Siły bezwładności

Omawiając zasady dynamiki Newtona wprowadziliśmy ważne pojęcie fizyczne: zdefiniowaliśmy inercjalny układ odniesienia. Stwierdziliśmy wtedy, że układy inercjalne są tak istotne, bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa, i dlatego większość zagadnień staramy się rozwiązywać właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Nasuwa się jednak pytanie, jak stosować zasady dynamiki Newtona w układzie odniesienia, który doznaje przyspieszenia. Na przykład, co możemy powiedzieć o siłach, jakich działania "doznajemy", gdy znajdujemy się w samochodzie, który przyspiesza, hamuje lub zakręca?

W tym celu rozpatrzymy ruch ciała o masie  \( m \) poruszającego się wzdłuż osi  \( x \) ruchem przyspieszonym, pod wpływem działania siły  \( F= ma \) .

Ruch ten jest obserwowany z dwóch różnych układów odniesienia (dwaj obserwatorzy), z których jeden  \( xy \) jest układem inercjalnym, a drugi  \( x'y' \) porusza się względem pierwszego wzdłuż osi  \( x \) ( Rys. 1 ).

Odległość miedzy dwoma obserwatorami (układami) wynosi w danej chwili  \( x_0(t) \), więc związek między położeniem ciała rejestrowanym przez obu obserwatorów ma postać

Natomiast przyspieszenie w obu układach znajdujemy korzystając z równań Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ),  Ruch na płaszczyźnie-( 3 )

to znaczy, różniczkując dwukrotnie równanie ( 1 )

Widać, że przyspieszenia w obu układach są równe tylko wtedy, gdy  \( a_0=0 \), więc gdy układ  \( x'y' \) porusza się względem układu  \( xy \) ruchem jednostajnym lub względem niego spoczywa, to znaczy, gdy układ  \( x'y' \) też jest układem inercjalnym tak jak  \( xy \). Natomiast gdy  \( a_0{\neq}0 \), to układ  \( xy \) nazywamy układem nieinercjalnym, a jego przyspieszenie  \( a_0 \) przyspieszeniem unoszenia.

Widzimy, że przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (od przyspieszenia obserwatora), w którym jest mierzone, więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania  \( F= ma \) zmienia się w zależności od przyspieszenia obserwatora. Jeżeli pomnożymy równanie ( 3 ) obustronnie przez  \( m \), to otrzymamy

Widzimy, że w układzie  \( x'y' \) (przyspieszającym) nie obowiązują zasady dynamiki Newtona, bo:

Ze wzorów ( 4 ) i ( 5 ) wynika, że jeżeli w układach nieinercjalnych chcemy stosować drugą zasadę dynamiki Newtona, to musimy uwzględniać siły bezwładności.

Jak już mówiliśmy, istnieją tylko cztery podstawowe oddziaływania, z których wynikają wszystkie siły zaobserwowane we Wszechświecie. Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi, ponieważ możemy je zawsze związać z działaniem pochodzącym od konkretnym ciał materialnych. Inaczej jest z siłami bezwładności, które nie pochodzą od innych ciał, a ich obserwowanie jest związane wyłącznie z wyborem nieinercjalnego układu odniesienia. Dlatego siły bezwładności nazywamy siłami pozornymi.

Działanie sił bezwładności odczuwamy nie tylko podczas przyspieszania i hamowania (przyspieszenie styczne), ale również gdy zmienia się kierunek prędkości. Zgodnie z definicją siły bezwładności

a dla ruchu krzywoliniowego przyspieszenie układu jest przyspieszeniem normalnym (dośrodkowym w ruchu po okręgu)

Tę siłę bezwładności nazywamy siłą odśrodkową. Z taką siłą mamy do czynienia na przykład podczas jazdy samochodem na zakręcie. Również Ziemia nie jest idealnym układem inercjalnym, ponieważ wiruje. Jednak w większości rozpatrywanych przez nas zjawisk można zaniedbać wpływ ruchu Ziemi na ich przebieg.

Wpływ ruchu obrotowego układu na ruch względny ciała (siła bezwładności Coriolisa) została omówiona w module Siła Coriolisa.

Definicja 1: Siła bezwładności

Iloczyn masy i przyspieszenia unoszenia (ze znakiem minus) nazywamy siłą bezwładności  \( F_{b} \).


Zadania z kinematyki i dynamiki


Podsumowanie kinematyki i dynamiki


Dodatek: Ruch w polu grawitacyjnym z uwzględnieniem oporu powietrza

Naszym zadaniem jest opisanie ruchu ciała o masie  \( m \) puszczonego z pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi, które spadając doznaje oporu powietrza. Z codziennych doświadczeń wiemy, że opór powietrza zależy od prędkości, na przykłady podczas jazdy na rowerze, i jest tym większy im szybciej jedziemy. Przyjmiemy więc, założenie że siła oporu powietrza jest proporcjonalna do prędkości  \( v \)

Znak minus wskazuje, że siła oporu działa przeciwnie do kierunku ruchu (wektora prędkości  \( {\bf v}  \)).

Ruch ciała odbywa się pod działaniem dwóch sił: stałej siły grawitacji i zmiennej siły oporu. Wraz ze wzrostem prędkości rośnie siła oporu, aż do momentu gdy stanie się ona równa co do wartości sile grawitacji. Wówczas siła wypadkowa działająca na ciało staje się równa zeru, prędkość dalej już nie rośnie i nie rośnie też siła oporu, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki ciało porusza się od tej chwili ruchem jednostajnym, prostoliniowym. Graniczną prędkość  \( v_gr \) jaką osiąga ciało obliczamy z warunku

Teraz poszukujemy odpowiedzi napytanie jak zmienia się prędkość podczas ruchu. W tym celu korzystamy z Zasady dynamiki Newtona-Druga zasada dynamiki Newtona, która przyjmuje postać równania

Rozwiązaniem równania różniczkowego ( 4 ) jest funkcja  \( v(t) \)

Zależność ta jest wykreślona na Rys. 1 poniżej. Widać, że po odpowiednio długim czasie prędkość osiąga wartość graniczną.

Otrzymaliśmy więc równanie  \( v(t) \) opisujące ruch ciała.


Energia i praca wykonana przez siłę stałą

Znajomość zagadnień związanych z szeroko rozumianym pojęciem energii jest konieczna dla wszelkich rozważań zarówno technologicznych, ekonomicznych, ekologicznych jak i społecznych. Żeby się o tym przekonać wystarczy sprawdzić jak istotną pozycją w budżecie domowym stanowią wydatki związane z zapotrzebowaniem na energię (zakupy żywności, opłaty za prąd, gaz, ogrzewanie czy paliwo do samochodu).

Z energią związana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Do zasady tej będziemy się odwoływali wielokrotnie w kolejnych rozdziałach dotyczących różnych zagadnień fizyki. W mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać w bardzo prosty sposób ruch ciał, stanowi alternatywę do stosowania zasad dynamiki Newtona.

W najprostszym przypadku, punkt materialny przemieszcza się pod wpływem stałej siły  \( F \). Traktując przesunięcie  \( s \) jako wektor o długości równej drodze jaką przebywa ten punkt i kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu, możemy zdefiniować pracę  \( W \).

gdzie  \( \alpha  \) jest kątem między kierunkami siły i przesunięcia. Zwróćmy uwagę, że kąt  \( \alpha  \) może być różny od zera bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Dzieje się tak gdy działają jeszcze inne siły (np. ciężar, tarcie). Ale nawet gdy działała tylko jedna siła to i tak ciało nie musi poruszać się w kierunku jej działania np. siła grawitacji w rzucie ukośnym. Rozpatrzmy teraz następujący przykład.

Ze wzoru ( 1 ) wynika, że praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie gdy  \( \alpha < 90° \) , jak i ujemne gdy  \( \alpha > 90°  \). W omawianym przykładzie, poza siłą ciągnącą ciało, działa jeszcze siła tarcia kinetycznego  \( T \) (zob. Rys. 1 ) przeciwstawiająca się ruchowi ( \(  \alpha= 180°  \)). Praca wykonana przez siłę tarcia jest ujemna  \( W={\bf T}\cdot {\bf s}=Ts\cos 180° = -Ts \). W szczególności praca może być równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia ( \( \alpha = 90° \) , \(  \cos 90°= 0 \) ). Przykładem może być siła dośrodkowa. Przyspieszenie dośrodkowe jest prostopadłe do toru więc siła dośrodkowa nie wykonuje pracy.

Rozpatrzmy jeszcze raz powyższy przykład, ale w sytuacji gdy człowiek ciągnący ciało porusza się ze stałą prędkością. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że wtedy  \( {\bf F}_{wyp}= 0 \). W kierunku poziomym  \( F_{wyp}=F\cos\alpha-T=0 \), zatem "dodatnia" praca wykonana przez człowieka jest równa co do wartości bezwzględnej "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę tarcia.

Z podobna sytuacją mamy do czynienia przy podnoszeniu w górę (ze stałą prędkością) ciała o masie  \( m \) na wysokość  \( h \) (zob. Rys. 2 ).

Zauważmy, że w trakcie podnoszenia ciała człowiek działa siłą  \( F \) równą ciężarowi ale przeciwnie skierowaną, więc "dodatnia" praca  \( W = mgh \) wykonana na drodze  \( h \) przez siłę  \( F \) (człowieka) jest równa co do wartości "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę ciężkości.

Wzór ( 1 ) pozwala obliczyć pracę dla siły stałej; do obliczeń "podstawiamy" za  \( F \) konkretną jej wartość. W module Praca wykonana przez siłę zmienną poznamy jak obliczyć pracę gdy siła zmienia się, przyjmuje różne wartości.

Definicja 1: Praca

Praca  \( W \) wykonana przez stałą siłę  \( {\bf F} \) jest iloczynem skalarnym tej siły  \( {\bf F} \) i wektora przesunięcia  \( {\bf s} \).

(1)

								\( W={\bf F}\cdot {\bf s}=Fs{\cos}\alpha \)


Praca wykonana przez siłę zmienną

Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia \( F(x), \) której kierunek jest zgodny z osią  \( x. \) Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia  \( x_1 \) do położenia  \( x_2. \) Wzór  \( W={\bf F}\cdot {\bf s} \) pozwala obliczyć pracę dla stałej siły  \( {\bf F}. \) Natomiast gdy wartość siły zmienia się, na przykład tak jak na Rys. 1, Rys. 2 oraz Rys. 3 (linia ciągła), trzeba stosować inny algorytm.

Zacznijmy od zastosowania przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie  \( x \) na  \( n \) jednakowych odcinków  \( \Delta x \) tak, jak na Rys. 1. Wewnątrz takiego przedziału  \( \Delta x  \) przyjmujemy (i to jest to przybliżenie), że siła jest stała i możemy już teraz skorzystać ze wzoru ( 1 ) do obliczenia pracy w dowolnym przedziale  \( \Delta x \)

gdzie  \( F_i \) jest wartością siły na  \( i \)-tym odcinku  \( \Delta x \). Następnie sumujemy prace wykonane na poszczególnych odcinkach, otrzymując całkowitą pracę

Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchni kolejnych prostokątów o podstawie  \( \Delta x \) i wysokości  \( F_i. \)

Możemy "poprawić" nasze przybliżenie. W tym celu, w kolejnym kroku dzielimy przedział ( \( x_1 \),  \( x_2 \)) na więcej (mniejszych) odcinków  \( \Delta x \), tak jak pokazano na Rys. 2. Widać, że nowe przybliżenie jest lepsze. Wartości sił  \( F_i \) dla poszczególnych przedziałów są znacznie bliższe rzeczywistej funkcji  \( F(x) \), a co za tym idzie obliczona (wzór ( 2 ) ) wartość pracy całkowitej jest bliższa wartości rzeczywistej (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą).

Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy)  \( \Delta x \rightarrow 0 \). Stosujemy tę samą procedurę, obliczając całkowitą pracę.

W taki sposób w matematyce definiujemy całkę. Całkowanie funkcji  \( F(x) \) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzywą  \( F(x) \) w zadanym przedziale (zob. Rys. 3 ). Ta procedura odpowiada też z definicji liczeniu wartości średniej  \( {W=\overset{{\text{__}}}{{F}}(x_{{2}}-x_{{1}})} \), co zgadza się z intuicyjnym podejściem.

Żeby obliczyć pracę wykonaną przez zmienną siłę trzeba albo umieć obliczyć całkę (ewentualnie poszukać rozwiązania w tablicach), albo umieć obliczyć pole powierzchni pod krzywą, co w szczególnych przypadkach nie jest trudne.


Energia kinetyczna

Rozpatrzmy jeszcze raz ruch ciała pod wpływem stałej, niezrównoważonej siły  \( {\bf F} \) i obliczmy pracę jaką wykonuje ona na drodze  \( {\bf s} \). Stałość siły oznacza, że ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem  \( {\bf a} \). Zakładamy ponadto, że kierunek siły  \( {\bf F} \) i przyspieszenia  \( {\bf a} \) pokrywa się z kierunkiem przesunięcia  \( {\bf s} \). Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego możemy napisać

Na podstawie wzorów ( 3 ) i ( 4 ) widzimy, że

Z tego twierdzenia wynika, że jednostki pracy i energii są takie same.

Definicja 1: Energia kinetyczna

Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną  \( E_{k} \) ciała o masie  \( m \).

(5)

								\( E_{{k}}=\frac{1}{2}\mathit{mv}{{^2}} \)

Definicja 2: Jednostki

Jednostką pracy i energii jest w układzie SI dżul (J); 1J = 1N·m.
W fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki elektronowolt (eV) 1eV  \( =1.6·10{^{-19}} \)  J.


Moc

Z punktu widzenia zastosowań praktycznych często istotnym jest nie to ile energii można uzyskać ze źródła ale to jak szybko można ją uzyskać (zamienić w użyteczną postać). Na przykład, ważnym parametrem samochodu, istotnym przy wyprzedzaniu, jest to jak szybko samochód przyspiesza tzn. jak szybko silnik wykonuje pracę związaną z rozpędzaniem samochodu. Inny przykład to, dwa dźwigi, które podnoszą jednakowe masy na jednakową wysokość  \( h \) ale w różnym czasie. Tak jak zostało to już pokazane na wcześniejszym przykładzie, każdy z dźwigów wykonuje taką samą pracę równą  \( mgh \). Jednak jeden zdźwigów wykonuje tę pracę w czasie krótszym niż drugi. Mówimy, że ten dźwig ma większą moc.

Jeżeli praca  \( W \) została wykonana w czasie  \( t \) to średnia moc jest dana wzorem

Dla stałej siły  \( F \) wzór ten przyjmuje postać

Dla czasu  \( t\rightarrow 0 \) mówimy o mocy chwilowej

Moc chwilową obliczamy jako pochodną pracy względem czasu.

Definicja 1: Moc

Moc definiujemy jako ilość wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w jakim została ona wykonana.

Definicja 2: Jednostki

Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych powszechnie stosowaną jednostką mocy jest kilowat (kW), a jednostką energii (iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh).


Siły zachowawcze i niezachowawcze

Praca wykonana przez siłę wypadkową działającą na punkt materialny (ciało) wzdłuż pewnej drogi, jest równa zmianie energii kinetycznej  \( E_k \) tego punktu materialnego

Skorzystamy z tego związku dla rozróżnienia sił zachowawczych i niezachowawczych. W tym celu rozpatrzmy ciało rzucone pionowo do góry, któremu nadano prędkość początkową  \( v_0 \), a tym samym energię kinetyczną  \( E_k=\frac{mv_0^2}{2} \). Podczas wznoszenia się ciała, siła grawitacji działa przeciwnie do kierunku ruchu więc prędkość ciała, a także i jego energia kinetyczna maleją aż do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpływem siły grawitacji, która teraz jest zgodna z kierunkiem ruchu. Przy zaniedbywalnym oporze powietrza, prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało początkowo. Ciało rzucone do góry, wraca z tą samą prędkością i energią kinetyczną. Widzimy, że po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmieniła się, więc na podstawie równania ( 1 ) oznacza to, że praca wykonana przez siłę grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa zeru. Praca wykonana przez siłę grawitacji podczas wznoszenia się ciała jest ujemna, bo siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia (kąt pomiędzy przemieszczeniem i siłą wynosi  \( 180°; \cos 180° = -1  \)). Gdy ciało spada siła i przemieszczenie są jednakowo skierowane, praca jest dodatnia, tak że całkowita praca jest równa zeru.

Siła grawitacji jest siłą zachowawczą. Wszystkie siły, które działają w ten sposób, np. siła sprężysta wywierana przez idealną sprężynę, nazywamy siłami zachowawczymi.

Jeżeli jednak, opór powietrza nie jest do zaniedbania, to ciało rzucone pionowo w górę powraca do położenia początkowego i ma inną energię kinetyczną niż na początku, ponieważ siła oporu przeciwstawia się ruchowi bez względu na to, w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła grawitacji). Praca wykonywana przez siłę oporu jest ujemna dla każdej części cyklu, zarówno przy wznoszeniu jak i opadaniu ciała, więc podczas tego cyklu została wykonana praca różna od zera.

Siła oporu powietrza jest siłą niezachowawczą. Wszystkie siły, które działają w ten sposób, np. siła tarcia, nazywamy siłami niezachowawczymi.

Różnicę między siłami niezachowawczymi i zachowawczymi możemy zobrazować jeszcze inaczej. W tym celu rozpatrzmy pracę wykonaną przez siłę grawitacji podczas ruchu ciała z punktu  \( A \) do punktu  \( B \) po dwóch różnych drogach tak jak pokazano na rysunku poniżej.

Z naszych poprzednich rozważań wiemy, że praca wykonana przez siłę grawitacji podczas ruchu ciała w górę jest ujemna, bo siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia (kąt pomiędzy przemieszczeniem i siłą wynosi  \( 180°; \cos 180° = -1  \)). Gdy ciało przemieszcza się w dół, to siła grawitacji i przemieszczenie są jednakowo skierowane, praca jest dodatnia. Natomiast przy przemieszczaniu w bok, siła grawitacji nie wykonuje żadnej pracy, bo jest prostopadła do przemieszczenia ( \( \cos90° = 0 \)). Widzimy, że przesunięcia w górę znoszą się z przemieszczeniami w dół, tak że wypadkowe przemieszczenie w pionie wynosi  \( h \) i w konsekwencji wypadkowa praca wykonana przez siłę grawitacji wynosi  \( W = mgh \) bez względu na wybór drogi. Praca w polu grawitacyjnym nie zależy od wyboru drogi łączącej dwa punkty, ale od ich wzajemnego położenia.

Możemy uogólnić nasze rozważania na dowolną siłę zachowawczą. Jeszcze raz rozpatrzmy ruch ciała z punktu  \( A \) do punkt  \( B \) po jednej drodze (1) oraz powrót z  \( B \) do  \( A \) po innej drodze (2) ( Rys. 2a).

Ponieważ siła działająca na ciało jest zachowawcza, to dla drogi zamkniętej z  \( A \) do  \( B \) i z powrotem praca jest równa zeru

Jeżeli teraz odwrócimy kierunek ruchu i przejdziemy z  \( A \) do  \( B \) po drodze (2) ( Rys. 2b) to, ponieważ zmieniamy tylko kierunek ruchu, to otrzymujemy pracę tę samą, co do wartości ale różniącą się znakiem

Porównując dwa ostatnie równania otrzymujemy

Widać z tego, że praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu ciała od  \( A \) do  \( B \) jest taka sama dla obu dróg. Drogi (1) i (2) mogą mieć dowolny kształt o ile tylko łączą te same punkty  \( A \) i  \( B \)

Przedstawione definicje siły zachowawczej są równoważne.

Teraz, kiedy znasz już definicję sił zachowawczych, wykonaj poniższe ćwiczenie.

Definicja 1: Siła zachowawcza

Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, jest równa zeru.

Definicja 2: Siła nie zachowawcza

Siła jest niezachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, nie jest równa zeru.

Definicja 3: Siła zachowawcza i niezachowawcza

Siłę nazywamy zachowawczą, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi łączącej te punkty.


Energia potencjalna

Gdy rozpatrywaliśmy (w module Siły zachowawcze i niezachowawcze ) ruch ciała pod wpływem siły grawitacji lub siły sprężystości widzieliśmy, że energia kinetyczna poruszającego się ciała zmieniała się (malała i rosła) podczas ruchu, tak że w cyklu zamkniętym powracała do początkowej wartości. W tej sytuacji, gdy działają siły zachowawcze, do opisania tych zmian celowe jest wprowadzenie pojęcia energii potencjalnej  \( E_{p} \). Mówimy, że zmianie energii kinetycznej ciała o wartość  \( \Delta E_k \) towarzyszy zmiana energii potencjalnej  \( \Delta E_p \) tego ciała równa co do wartości, ale przeciwnego znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru

Każda zmiana energii kinetycznej ciała  \( E_k \) jest równoważona przez zmianę energii potencjalnej  \( E_p \), tak że ich suma pozostaje przez cały czas stała

Energię potencjalną można traktować jako energię nagromadzoną, która może być w przyszłości całkowicie odzyskana i zamieniona na inną użyteczną formę energii. Oznacza to, że nie możemy wiązać energii potencjalnej z siłą niezachowawczą. Energię potencjalną często nazywa się energią stanu. Mówimy, że jeżeli energia układu zmieniła się to zmienił się stan układu.

Z twierdzenia o pracy i energii  Energia kinetyczna-( 6 ) wynika, że

więc zgodnie z wprowadzonym pojęciem energii potencjalnej, dla zachowawczej siły  \( F \), zachodzi związek

Korzystając z ogólnego wzoru na pracę  Praca wykonana przez siłę zmienną-( 3 ) otrzymujemy ogólną zależność

Możemy również zapisać zależność odwrotną między siłą i energią potencjalną

Zauważmy, że na podstawie równania ( 5 ) potrafimy obliczyć zmianę energii potencjalnej  \( \Delta E_p \), a nie samą energię potencjalną  \( E_p \). Ponieważ  \( \Delta E_p=E_p(r)-E_p(r_0) \), to żeby znaleźć  \( E_p(r) \) trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość  \( E_p(r_0) \)

Punkt  \( r_0 \) nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak, żeby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia  \( E_p(r_0) \) była równa zeru. Jako punkt odniesienia  \( r_0 \) często wybiera się położenie, w którym siła działająca na ciało jest równa zeru. Trzeba jednak podkreślić, że wybór punktu odniesienia jest sprawą czysto umowną.

Energia potencjalna związana z siłą grawitacyjną wynosi  \( mgy \), gdzie  \( y \) jest wysokością ponad punktem (poziomem) odniesienia i jest równa pracy jaką trzeba wykonać przy podnoszeniu ciała na tę wysokość (przykład Energia i praca wykonana przez siłę stałą-Sanki ). Energia potencjalna przedstawia tu formę nagromadzonej w wyniku wykonanej pracy energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną, podczas spadku ciała z danej wysokości.

W analogiczny sposób obliczymy teraz energię potencjalną idealnej nieważkiej sprężyny. Gdy sprężyna jest rozciągnięta na odległość  \( x \) od położenia równowagi to siła sprężystości wynosi  \( F = - kx \). Jako punkt odniesienia przyjmujemy tym razem  \( x_0=0 \). Odpowiada to położeniu równowagi, w którym sprężyna jest nierozciągnięta i siła sprężystości jest równa zeru. Energię potencjalną ponownie obliczamy z równania ( 7 ) przy czym korzystamy z podanego wyrażenia  Praca wykonana przez siłę zmienną-( 4 ) na pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny

Spróbuj teraz, korzystając z definicji energii potencjalnej, wykonać następujące ćwiczenie


Zasada zachowania energii

Pokazaliśmy, że gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza, to dla dowolnej drogi z  \( A \) do  \( B \)

Równanie ( 4 ) wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej.

Podaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla pojedynczego ciała, ale ta zasada jest bardziej ogólna i obowiązuje dla wszystkich odosobnionych układów ciał. Układy odosobnione to takie, na które nie działają siły zewnętrzne (spoza układu). W takich układach suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez względu na oddziaływania w nich zachodzące.

Teraz spróbujemy odpowiedzieć na pytanie czy energia jest zachowana w przypadku, gdy w układzie działa siła niezachowawcza. Jeżeli oprócz siły zachowawczej  \( F_z \) działa jeszcze siła niezachowawcza  \( F_{nz} \) (np. tarcie), to z twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy

a ponieważ  \( {W_{{z}}=-\mathit{\Delta E}_{{p}}} \), to

Widzimy, że siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest siłą rozpraszającą). Pozostaje wyjaśnić co stało się ze "straconą" energią mechaniczną. Okazuje się, że zostaje ona przekształcona na energię wewnętrzną  \( U \), która objawia się wzrostem temperatury ciała i otoczenia. Zmiana energii wewnętrznej  \( \Delta U \) jest równa rozproszonej energii mechanicznej

Na zakończenie uwzględnijmy jeszcze dodatkowo siłę  \( F_{zew} \) wywieraną na układ przez czynnik zewnętrzny. Jeżeli działa taka siła to równanie ( 11 ) przyjmuje postać

Praca wykonana przez czynnik zewnętrzny równa jest sumie zmian energii kinetycznej, potencjalnej i energii wewnętrznej układu. W ten sposób uwzględniliśmy już całą energię.

Zasada zachowania energii należy do najbardziej podstawowych praw fizyki. Wszystkie nasze doświadczenia pokazują, że jest to prawo bezwzględnie obowiązujące; nie znamy wyjątków od tego prawa.

Jak widzieliśmy na przykładzie omawianym w ćwiczeniu powyżej, w zderzeniach nie musi być zachowana energia mechaniczna. Okazuje się jednak, że w zderzeniach spełniona jest też inna zasada zachowania; Zasada zachowania pędu.


Energia kinetyczna w układzie środka masy

Rozpatrzmy układ, o stałej masie  \( M \), złożony z  \( n \) punktów materialnych o masach  \( m_1 \),. ...,  \( m_{n} \) oraz prędkościach  \( v_{1} \), .....,  \( v_{n} \). Energia kinetyczna tego układu mierzona względem środka masy jest dana wyrażeniem

gdzie  \( v_{śr.m.} \) jest prędkością środka masy, a  \( v_{i,wzg} \) jest prędkością  \( i \)-tego punktu mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie skalarne otrzymujemy

Zgodnie z równaniem Ruch środka masy-( 3 )

a ponieważ prędkość środka masy mierzona względem środka masy jest równa zeru  \( v_{śr.m.,wzg}= 0 \) więc drugi wyraz w równaniu ( 2 ) znika. Ostatecznie

gdzie  \( E_k' \) jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Zastosowanie tego równania zilustrujemy obliczając energię kinetyczną obręczy o masie  \( m \) toczącej się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość  \( v \) ( Rys. 1 )

Ponieważ w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię obrotową (rotacyjną ) więc równanie ( 4 ) przyjmuje postać

gdzie  \( v_{{\text{obrot}\text{.}\text{wzg}}} \) to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością  \( v \) więc  \( v_{{\text{obrot}\text{.}\text{wzg}}} \) =  \( v \).

Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie  \( m \) poruszającego się z tą samą prędkością  \( v \) (ale nie obracającego się).


Pęd układu punktów materialnych

Zdefiniowaliśmy pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy  \( m \) i jego prędkości  \( {\bf v} \). Poznaliśmy też, drugą zasadę dynamiki Newtona w postaci

Jeżeli jednak zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem, o stałej masie  \( M \), złożonym z  \( n \) punktów materialnych o masach  \( m_1 \), ......,  \( m_{n} \) oraz prędkościach  \( {\bf v}_{1} \), ...,  \( {\bf v}_{n} \) to układ jako całość będzie miał całkowity pęd  \( {\bf P} \) będący sumą wektorową pędów poszczególnych punktów

Porównując tę zależność z równaniem Ruch środka masy-( 2 ) otrzymujemy zależność

więc druga zasada dynamiki Newtona dla układu punktów materialnych przyjmuje postać

Ponownie widzimy, że nawet ciała materialne będące układami złożonymi z dużej liczby punktów materialnych możemy w pewnych sytuacjach traktować jako pojedynczy punkt materialny. Tym punktem jest środek masy.

Z równania ( 5 ) wynika, że gdy wypadkowa siła zewnętrzna równa jest zeru  \( {\bf F}_{zew}=0 \), to dla układu o stałej masie, środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, przy czym poszczególne punkty układu mogą poruszać się po różnych torach.

To stwierdzenie wprowadza nas w zasadę zachowania pędu Zasada zachowania pędu.


Zasada zachowania pędu

Ponownie rozpatrzmy układ  \( n \) punktów materialnych. Jeżeli układ jest odosobniony, to znaczy nie działają siły zewnętrzne, to zgodnie z równaniem Pęd układu punktów materialnych-( 5 )

Ten warunek wyraża zasadę zachowania pędu.

Zobaczymy teraz jak ta zasada stosuje się do wybranej sytuacji.

Analogicznie posługując się zasadą zachowania pędu można wytłumaczyć zjawisko odrzutu występujące przy strzelaniu z broni palnej. Zjawisko odrzutu ma jednak ważne praktyczne znaczenie. Zostało wykorzystane w silnikach odrzutowych i rakietowych, w których wyrzucane spaliny nadają samolotowi (rakiecie) przeciwnie skierowany pęd. Zjawisko to jednak różni się od opisanych powyżej, bo w przeciwieństwie do układów, gdzie masa elementów składowych pozostawała stała, masa wyrzucanych spalin i masa rakiety zmieniają się.

Przykład zastosowania zasad zachowania pędu dla układu o zmiennej masie (rakieta) możesz poznać w Układy o zmiennej masie.

Wiemy już, że jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, to spełniona jest zasada zachowania pędu. W takim układzie mogą jednak działać siły wewnętrzne, na przykład siły występujące przy zderzeniach między cząsteczkami gazu. I właśnie dlatego możemy skorzystać z zasady zachowania pędu do opisu zderzeń.


Zderzenia

Termin zderzenia obejmuje w fizyce szeroką klasę zjawisk. Dotej kategorii zaliczamy na przykład zderzenia kul bilardowych czy uderzenia piłki o ścianę. W tych przypadkach zderzające się ciała stykają się bezpośrednio i w punkcie ich zetknięcia pojawia się bardzo duża siła kontaktowa. Jednak oddziaływujące ciała nie muszą się stykać ze sobą, a i tak możemy mówić o ich zderzeniu. Dotyczy to na przykład oddziaływania cząstek naładowanych za pośrednictwem pola elektrycznego: odpychanie elektrostatyczne wpływa na ruch "zderzających się" cząstek. Pod pojęcie zderzeń możemy podciągnąć również reakcje jądrowe. Przykładowo, proton w trakcie zderzenia zjądrem może wniknąć do niego. Możemy również rozszerzyć definicję zderzeń o rozpady cząstek. Cechą charakterystyczną tych wszystkich zjawisk jest występowanie sił impulsowych, to jest sił działających przez bardzo krótki czas.

Właśnie ze względu na krótki czas działania nie możemy na ogół zmierzyć sił działających podczas zderzenia. Wiemy jednak, że musi być spełniona zasada zachowania pędu (występują tylko siły wewnętrzne oddziaływania między zderzającymi się obiektami, a siły zewnętrzne są równe zeru), oraz zasada zachowania energii całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można, stosując te zasady, spróbować przewidzieć wynik zderzenia.

W zderzeniu sprężystym całkowita energia kinetyczna jest zachowana podczas, gdy w zderzeniu niesprężystym ciała tracą część energii kinetycznej. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się, mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesprężyste.

Zobacz też Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej oraz Zderzenia na płaszczyźnie.

Definicja 1: Zderzenia sprężyste i nie sprężyste

Gdy dwa ciała zderzają się, to zderzenie może być sprężyste (elastyczne) lub niesprężyste (nieelastyczne), w zależności od tego, czy energia kinetyczna jest zachowana podczas tego zderzenia czy też nie.


Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej

Rozpatrzymy zderzenie sprężyste dwóch gładkich niewirujących kul o masach  \( m_1 \) i  \( m_2 \). Przed zderzeniem kule poruszają się wzdłuż linii łączącej ich środki (zderzenie centralne) z prędkościami odpowiednio  \( v_{1} \) i  \( v_{2} \), na przykład tak, jak na Rys. 1. Naszym celem jest znalezienie prędkości  \( u_1 \) i  \( u_2 \) tych kul po zderzeniu.

Z zasady zachowania pędu dla układu obu kul otrzymujemy

Ponieważ zderzenie jest sprężyste, to zgodnie z definicją energia kinetyczna jest zachowana w tym zderzeniu

Rozwiązujemy układ dwóch równań ( 1 ) i ( 2 ) z dwoma niewiadomymi  \( u_1 \),  \( u_2 \) i otrzymujemy

Rozpatrzmy teraz kilka przypadków. W każdym z nich, posługując się zależnościami ( 3 ) i ( 4 ), obliczymy prędkości ciał po zderzeniu  \( u_1 \) i  \( u_2 \).

Powyższa analiza pokazuje, na przykład jak dobierać materiał spowalniający neutrony w reaktorze. Neutrony muszą być spowalniane, aby podtrzymać proces rozszczepienia. W tym celu zderza się je sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza. Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra, to neutrony zderzając się "odbijałyby" się nie tracąc nic z prędkości (przypadek b). Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie, np. elektrony, to neutrony poruszałyby się wśród nich praktycznie bez zmiany prędkości (przypadek c). Zatem trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z masą neutronów (przypadek a).

Rozważmy teraz przypadek zderzenia całkowicie niesprężystego. Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest zachowana. Energia będąca różnicą pomiędzy początkową i końcową energią kinetyczną przechodzi w inne formy energii, na przykład w ciepło lub energię potencjalną związaną z deformacją ciała podczas zderzenia. Tak jest w przypadku wahadła balistycznego, które służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się ono z bloku drewnianego o masie  \( M \), wiszącego na dwóch sznurach. Pocisk o masie  \( m \), mający prędkość poziomą  \( v \), wbija się w klocek i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło, tzn. klocek z tkwiącym w nim pociskiem, wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość  \( h \) tak, jak pokazano na Rys. 2.

Pęd przed zderzeniem jest równy pędowi pocisku, poniważ klocek jest nieruchomy. Natomiast po zderzeniu klocek i pocisk poruszają się razem. Stosując zasadę zachowania pędu, otrzymujemy

gdzie  \( u \) jest prędkością układu klocek - pocisk zaraz po zderzeniu. W zderzeniu część energii kinetycznej pocisku jest tracona m.in. na ciepło i odkształcenie klocka, w który pocisk się wbija. Pozostała część energii kinetycznej zamienia się po zderzeniu w potencjalną energię grawitacji, co możemy zapisać w postaci równania

Rozwiązując ostatnie dwa równania, otrzymujemy

Wystarczy więc zmierzyć wysokość  \( h \) oraz masy  \( m \) i  \( M \), aby móc wyznaczyć prędkość pocisku  \( v \).


Zderzenia na płaszczyźnie

Dotychczas zajmowaliśmy się zderzeniami cząstek w przestrzeni jednowymiarowej. Teraz rozpatrzymy najprostszy przypadek wielowymiarowy; zajmiemy się zderzeniami sprężystymi na płaszczyźnie. Zaczniemy od analizy zderzenia sprężystego ukośnego kuli o masie  \( m \) i prędkości  \( v \) ze ścianą. Naszym celem jest znalezienie prędkości kuli po zderzeniu.

Ruch kuli opisujemy w układzie współrzędnych  \( x \) i  \( y \) związanym ze ścianą, oś  \( x \) pokazuje kierunek prostopadły do ściany, y - kierunek równoległy, a początek układu umieszczamy na powierzchni ściany w punkcie zderzenia. W tak wybranym układzie współrzędnych rozkładamy na składowe wektor prędkości \( v \) ( Rys. 1 )

Na przykładzie rzutu ukośnego (moduł Rzut ukośny ) pokazaliśmy, że taki ruch na płaszczyźnie można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe. Ruch kuli w kierunku y odbywa się równolegle do ściany, więc składowa  \( v_{y} \) nie ulega zmianie przy odbiciu. Natomiast składowa prostopadła do powierzchni ściany, po zderzeniu zmienia znak na przeciwny, kula odbija się od ściany jak w przykładzie (b) w poprzednim rozdziale ( Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej ). Stąd prędkość kuli po zderzeniu (odbiciu się od ściany)

Prędkość po odbiciu od ściany jest taka sama jak przed odbiciem, a kąt odbicia jest równy kątowi padania ( Rys. 1 ).

Teraz rozpatrzymy ukośne, sprężyste zderzenie kuli bilardowej poruszającej się z prędkością  \( v_{1} \) z drugą identyczną spoczywająca kulą. Takie zagranie stosuje się, żeby skierować wybraną kulę pod pewnym kątem w bok. Dzieje się tak, gdy środek kuli spoczywającej nie leży na linii wzdłuż, której porusza się pierwsza kula. Takie zderzenie jest pokazane na rysunku poniżej ( Rys. 2 ).

Zgodnie z zasadą zachowania pędu i zasadą zachowania energii

Z równań tych wynika, że wektory  \( {\bf v}_1 \),  \( {\bf u}_{1} \) i  \( {\bf u}_{2} \) tworzą boki trójkąta prostokątnego (twierdzenie Pitagorasa) tak jak na Rys. 3.

Oznacza to, że dla dowolnego kąta  \( \alpha (0,\pi/2 ) \) po zderzeniu kule będą zawsze poruszały się względem siebie pod kątem prostym. Wartość kąta  \( \alpha  \) zależy natomiast od tak zwanego parametru zderzenia czyli odległości między pierwotnym kierunkiem ruchu kuli pierwszej, a środkiem kuli spoczywającej.


Układy o zmiennej masie

Rozpatrzymy układ, który stanowi rakieta wyrzucająca ze swej dyszy gorący gaz z dużą prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość ( Rys. 1 ).

Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością  \( {\bf v}_{s} \) względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa  \( \bf{ v} \), zatem prędkość spalin względem rakiety  \( v_{wzg} \) jest dana zależnością

Jeżeli w przedziale czasu  \( dt \) z rakiety wyrzucona zostaje masa  \( dm_s \) z prędkością  \( v_{s} \), to masa rakiety maleje o  \( dm \), a jej prędkość rośnie o  \( dv \), przy czym

Znak minus wynika stąd, że masa rakiety maleje. Obliczamy teraz zmianę pędu  \( {\bf P} \) układu w czasie  \( dt \)

Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak i prędkość, podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością.

Zmiana pędu układu jest, zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, równa sile zewnętrznej działającej na układ. Uwzględniając zależności ( 1 ) i ( 2 ) możemy przekształcić równanie ( 5 ) do postaci

Ostatni wyraz w równaniu ( 6 ) może być interpretowany jako siła wywierana na układ przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety (samolotu) nosi ona nazwę siły ciągu.

Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej, to siły zewnętrzne  \( {\bf F}_{zew} \) są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu (jest spełniona zasada zachowania pędu). Natomiast gdy ruch odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie), to wówczas  \( {\bf F}_{zew} \) reprezentuje ciężar rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć  \( {\bf F}_{zew} \). Na przykład rakieta Saturn 5, o masie ponad  \(  3000 \)  ton, wytwarzała przy starcie siłę ciągu  \(  40 \)  MN.


Podsumowanie o pracy, energii i pędzie


Zadania z pracy, energii i pędu


Kinematyka ruchu obrotowego

Rozważania dotyczące ruchu obrotowego zaczniemy od wyprowadzenia równań kinematyki ruchu obrotowego, podobnych do równań kinematyki ruchu postępowego. W ruchu obrotowym wielkością analogiczną do przesunięcia jest przesunięcie kątowe  \( \varphi  \). Kąt  \( \varphi  \) określa położenie (kątowe) punktu P względem układu odniesienia, jak pokazano na Rys. 1.

Związek  \( \varphi = s/R  \) między drogą liniową  \( s \), a przesunięciem kątowym  \( \varphi  \) wynika bezpośrednio z miary łukowej kąta  \( \varphi  \). W ruchu obrotowym wielkością analogiczną chwilowej prędkości liniowej  \( v \) jest chwilowa prędkość kątowa  \( \omega  \)

W ruchu obrotowym podobnie jak w ruchu po okręgu  \( \omega  \), jest też nazywana częstością kątową i jest związana z częstotliwością  \( f \) relacją

Podobnie jak chwilowe przyspieszenie liniowe  \( a \) zostało zdefiniowane chwilowe przyspieszenie kątowe  \( {\alpha} \)

Możemy teraz podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem kątowym  \( \alpha  \) poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

Pamiętajmy, że zarówno prędkość kątowa jak i przyspieszenie kątowe są wektorami. Na Rys. 2 poniżej, pokazane są wektory: prędkości liniowej   \( \mathbf{v}  \), prędkości kątowej  \( \boldsymbol{\omega} \), przyspieszenia stycznego  \( \mathbf{a_{s}} \), przyspieszenia normalnego  \( \mathbf{a_{n}} \) i przyspieszenia kątowego  \( \boldsymbol{\alpha} \) punktu P obracającego się ciała sztywnego. Punkt P porusza się ruchem przyspieszonym po okręgu.

Związki pomiędzy wielkościami liniowymi i kątowymi w postaci skalarnej są dane równaniami ( 1 ), ( 3 ) oraz równaniem Ruch jednostajny po okręgu-( 3 ). Natomiast te zależności w postaci wektorowej mają postać

Więcej o ruchu przyspieszonym po okręgu możesz przeczytać w module Ruch przyspieszony po okręgu

Z powyższych rozważań wynika, że jeżeli kąt  \( \varphi  \) jest mierzony w radianach (rad) to jednostką prędkości kątowej  \( \omega  \) jest radian na sekundę (rad/s), a przyspieszenia kątowego  \( \alpha  \) radian na sekundę do kwadratu (rad/s \( ^{2} \)).

Na koniec rozwiążemy przykładowe zadanie dotyczące kinematyki ruchu obrotowego.


Dynamika ruchu obrotowego

W module tym wprowadzimy dwie wielkości wektorowe o zasadniczym znaczeniu dla opisu ruchu obrotowego - moment siły i moment pędu, obie powiązanie drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego.

Jak wynika z naszego codziennego doświadczenia w ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość siły, ale to gdzie i pod jakim kątem jest ona przyłożona. Na przykład, drzwi najłatwiej jest otworzyć przykładając siłę na ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym do płaszczyzny drzwi. Siła przyłożona wzdłuż płaszczyzny drzwi jak i siła przyłożona w miejscu zawiasów nie pozwalają na ich obrót. Dla ruchu obrotowego wielkością, która odgrywa rolę analogiczną do siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy)  \( \boldsymbol{\tau} \), zdefiniowany następująco:

Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wynosi

Wielkość   \( r  \) nazywamy ramieniem siły. Z równania ( 1 ) wynika, że tylko składowa siły prostopadła do ramienia  \( {F_{\bot}=F\text{sin}\theta } \) wpływa na moment siły.

Zdefiniujmy wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu. Wielkość L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako:

Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Żeby ją wyprowadzić zróżniczkujmy obie strony równania ( 2 ):

Ponieważ wektory v oraz p są równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru. Natomiast drugi składnik równania jest zgodnie z definicją moment siły wypadkowym momentem siły. Otrzymujemy więc

To jest sformułowanie drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego. Równanie ( 5 ) jest analogiczne do równania Zasady dynamiki Newtona-( 1 ) dla ruchu postępowego. Analogicznie możemy sformułować pierwszą zasadę dynamiki ruchu obrotowego

oraz trzecią zasadę dynamiki ruchu obrotowego

Definicja 1: moment siły

Jeżeli siła F jest przyłożona w punkcie którego położenie opisuje wektor wodzący r to moment  \( \boldsymbol{\tau} \) siły F względem początku układu współrzędnych

 \( \boldsymbol{\tau} = {\bf r} \times {\bf F} \)

Definicja 2: Moment pędu

(2)

								\( {\bf L} = {\bf r} \times {\bf p},  \)

gdzie p jest pędem punktu materialnego, a r reprezentuje jego położenie względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi

(3)

								\( L = r p \sin(\theta) \)


Zasada zachowania momentu pędu

Dla układu n cząstek możemy zsumować momenty sił działające na poszczególne punkty materialne

gdzie L oznacza teraz całkowity moment pędu układu. Zauważmy, że jeśli  \( \underset{i}{\sum }{\bf \unicode[Times]{x3C4}}_i = 0 \), to  \( \frac{d{\bf L}}{dt} = 0 \), zatem L= const. Zależność ta wyraża zasadę zachowania momentu pędu:

Zasadę zachowania momentu pędu ilustruja poniższe filmy:


Ciało sztywne i moment bezwładności

Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne, ale rozciągłe ciała sztywne. Przeanalizujmy teraz ruch takiej bryły sztywnej obracającej się ze stałą prędkością kątową  \( \omega  \) wokół stałej osi obrotu w układzie środka masy. Zauważmy, że chociaż wszystkie punkty mają te samą prędkość kątową  \( \omega  \), to punkty znajdujące się w różnych odległościach od osi obrotu mają różną prędkość liniową  \( v \) ( Rys. 1 ). Prędkość  \( i \)-tego punktu o masie  \( \Delta m_i \)wynosi  \( v_{i} = r_{i}\omega  \), gdzie  \( r_{i} \) jest odległością od osi obrotu.

Obliczamy teraz wartość momentu pędu  \( L \) tego ciała

Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności  \( I \), który definiujemy jako

Zwróćmy uwagę, że moment bezwładności  \( I \) zależy od osi obrotu. Możemy teraz wyrazić moment pędu poprzez moment bezwładności

a ponieważ zgodnie z równaniem Dynamika ruchu obrotowego-( 5 )  \( \tau = dL/dt \)  więc

gdzie  \( \alpha  \) jest przyspieszeniem kątowym.

Obliczmy teraz energię kinetyczną obracającego się ciała

Zestawmy teraz odpowiednie wielkości obliczone dla ruchu obrotowego z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.

Z tego porównania widać, że moment bezwładności  \( I \) jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu postępowym. Zwróćmy uwagę, że w przeciwieństwie do masy moment bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał sztywnych są podane w Tabela 2.

Przykład obliczania momentu bezwładności znajdziesz w module Obliczanie momentu bezwładności.

Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności  \(  I  \) ciała względem danej osi, a momentem bezwładności  \( I_{śr.m.} \) tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do danej.

Definicja 1: moment bezwładności

(2)

								\( I=\underset{{i}}{\sum }{r_{{i}}^{{2}}{\Delta m}_{{i}}} \)

gdzie  \( r_i \) jest odległością masy punktowej  \( m_i \) od osi obrotu, a dla ciągłego rozkładu masy

(3)

								\(  I = \int r^2 dm . \)


Ruch obrotowo-postępowy

Na co dzień często mamy do czynienia z toczeniem się ciał. W przeciwieństwie do ruch obrotowego względem nieruchomej osi obrotu w przypadku toczenia występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego spróbujemy opisać toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego. W tym celu prześledźmy ruch walca o promieniu  \( {\bf R} \) pokazany na Rys. 1.

W ruchu postępowym, Rys. 1 (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym wokół środka masy S, Rys. 1 (b), przeciwległe punkty poruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na Rys. 1 (c) pokazano wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektorów z Rys. 1 (a) i (b). Zwróćmy uwagę, że podstawa walca (punkt A styczności z podłożem) w każdej chwili spoczywa (prędkość chwilowa v \( _{A} \) = 0). Natomiast prędkość liniowa punktów S i B jest proporcjonalna do ich odległości od punktu A (punkt B w odległości 2R ma prędkość dwukrotnie większą niż punkt S w odległości R). Jeszcze pełniej widać to na Rys. 2 gdzie narysowane są prędkości chwilowe kilku punktów na obwodzie toczącego się walca.

Widać, że prędkość każdego z tych punktów jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z podstawą A i proporcjonalna do odległości tego punktu od A. Takie zachowanie jest charakterystyczne dla ciała wykonującego ruch obrotowy względem nieruchomej osi. Oznacza to, że opisywany walec obraca się wokół punktu A, a co za tym idzie, że możemy toczenie opisywać również wyłącznie jako ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej przez punkt A styczności z powierzchnią, po której toczy się ciało.

W celu zilustrowania równoważności obu opisów obliczymy teraz energię kinetyczną walca o masie m toczącego się z prędkością v. Najpierw potraktujemy toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego względem środka masy. Energię kinetyczną obliczamy jako sumę energii ruchu postępowego i obrotowego.

Podstawiając wartość momentu bezwładności walca odczytaną z  oraz uwzględniając, że dla ciała toczącego się bez poślizgu  \( \omega = v/R  \) otrzymujemy

Teraz powtórzymy nasze obliczenia ale potraktujemy toczenie wyłącznie jako obrót względem osi obrotu w punkcie A zetknięcia walca z powierzchnią. Energia kinetyczną obliczamy więc jako

Moment bezwładności walca  \( I_{A} \), względem osi A, obliczamy z twierdzenia Steinera

Po podstawieniu tej wartości i uwzględniając, że  \( \omega = v/R \) otrzymujemy

W obu przypadkach otrzymaliśmy ten sam rezultat. Widzimy, że możemy sformułować następującą zasadę:

Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w inercjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii. O ruchu precesyjnym bąka możesz przeczytać w module Ruch precesyjny bąka.


Obliczanie momentu bezwładności

Jako przykład obliczymy moment bezwładności pręta o masie M i długości d pokazanego na rysunku poniżej ( Rys. 1 ). Oś obrotu przechodzi przez środek pręta i jest do niego prostopadła (linia przerywana).

Najpierw, pręt dzielimy umownie na "nieskończenie małe" elementy o masie  \( dm \) i długości  \( dx \), które możemy traktować jak punkty materialne (patrz Rys. 1 ). Moment bezwładności takiego elementu wynosi  \( x^{2}dm \), a moment bezwładności całego pręta jest, zgodnie z definicją Ciało sztywne i moment bezwładności-( 2 ), Ciało sztywne i moment bezwładności-( 3 ), sumą (całką) momentów bezwładności poszczególnych elementów

gdzie całkowanie przebiega po całej długości pręta tj. w granicach od - \( d/2 \) do  \( d/2 \).

Zakładając, że pręt ma stałą gęstość to masę dm możemy wyrazić z prostej proporcji jako \( {dm}=\frac{M}{d}{dx} \)

Podstawiając tę zależność do wzoru ( 1 ) i wykonując całkowanie otrzymujemy


Ruch precesyjny bąka

Przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w inercjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii. Z doświadczenia wiemy, że oś wirującego bąka porusza się dookoła osi pionowej, zakreślając powierzchnię stożka. Taki ruch nazywamy precesją.

W sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej bąk ma prędkość kątową  \( \omega  \) dookoła swej osi. Ma również moment pędu L względem tej osi, która tworzy kąt  \( \theta \) z osią pionową. Punkt podparcia bąka znajduje się w początku inercjalnego układu odniesienia.

Siła działająca na bąk w punkcie podparcia ma zerowy moment względem punktu podparcia ponieważ ramię siły jest równe zeru. Natomiast ciężar mg wytwarza względem punktu podparcia moment siły

gdzie r określa położenie środka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, że  \( {\bf \unicode[Times]{x3C4}}  \) jest prostopadłe do r i do mg. Zauważmy, że wektory  \( {\bf \unicode[Times]{x3C4}}  \), L i r wirują dokoła osi pionowej z częstością precesji  \( \omega_p  \). Z rysunku wynika, że

Ponieważ  \( \Delta L \ll L \), to możemy napisać

Z Dynamika ruchu obrotowego-Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego oraz Zasada zachowania momentu pędu-( 1 ) wynika, że  \( {\Delta L = \tau \Delta t} \) więc

Zwróćmy uwagę, że prędkość precesji nie zależy od kąta  \( \theta \) i jest odwrotnie proporcjonalna do wartości momentu pędu.

Spróbujmy teraz podać ogólne wektorowe równanie opisujące precesję. W tym celu najpierw przekształcamy równanie ( 6 ) do postaci

Widać, że prawa strona równania jest równa wartości iloczynu wektorowego  \( {\bf \unicode[Times]{x3C9}}_p \times {\bf L} \). Tak więc ostatecznie wyrażenie wiążące prędkość kątową precesji z momentem siły i momentem pędu ma postać

Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstawą różnych technik doświadczalnych jak np. magnetyczny rezonans jądrowy (MRJ), które znalazły szerokie zastosowanie w badaniach naukowych, technice i medycynie.


Ciekawe przykłady ruchu obrotowego

Na poniższych filmach przedstawiono ciekawe przykłady ilustrujące zachowanie ciał w ruchu obrotowym i skutki działania tzw. sił żyroskopowych.


Siła Coriolisa

Tę siłę bezwładności musimy uwzględniać, gdy rozpatrujemy ruch postępowy ciała w obracającym się układzie odniesienia. Przykładem możebyć człowiek poruszający się po linii prostej (radialnie) od środka do brzegu obracającej się karuzeli. Na rysunku poniżej pokazana jest zmiana prędkości człowieka.

Linia (promień) wzdłuż której porusza się człowiek zmienia swój kierunek (karuzela obraca się) o kąt  \( \Delta\theta  \) w czasie  \( \Delta t \) . W tym samym czasie człowiek zmienia swoje położenie z punktu  \( A \) do  \( A' \).

Obliczymy teraz zmianę jego prędkości radialnej (normalnej)  \( v_r \) i stycznej  \( v_s \). Prędkość radialna zmienia swój kierunek. Prędkość styczna natomiast zmienia zarówno kierunek (przyspieszenie dośrodkowe) ale również wartość bo człowiek oddala się od środka (rośnie  \( r \)). Najpierw rozpatrzmy różnicę prędkości  \( v_r \) w punktach  \( A \) i  \( A' \) pokazaną na Rys. 1 (b) po prawej stronie. Dla małego kąta  \( \Delta\theta  \) (tzn. małego  \( \Delta t \) ) możemy napisać

Jeżeli obustronnie podzielimy równanie ( 1 ) przez  \( \Delta t \) to w granicy  \( \Delta t \rightarrow 0 \) otrzymamy

gdzie wielkość  \( \omega=d\theta/dt \)jest definiowana jako prędkość kątowa.

W tym ruchu zmienia się również prędkość styczna bo człowiek porusza się wzdłuż promienia. W punkcie  \( A \) prędkość styczna  \( v_s=\omega r  \) a w punkcie  \( A' v_s=\omega (r +\Delta r) \). Zmiana prędkości stycznej wynosi więc

Jeżeli obustronnie podzielimy równanie ( 3 ) przez  \( \Delta t \) to w granicy  \( \Delta t \rightarrow 0 \) otrzymamy

Przyspieszenia  \( a_1 \) i  \( a_2 \) mają ten sam kierunek (równoległy do  \( v_s \)) więc przyspieszenie całkowite jest równe sumie

Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem Coriolisa. Pochodzi ono stąd, że nawet przy stałej prędkości kątowej  \( \omega  \) rośnie prędkość liniowa człowieka bo rośnie  \( r \). Gdyby człowiek stał na karuzeli to obserwator stojący na Ziemi mierzyłby tylko przyspieszenie dośrodkowe ( \( \omega^{2}r \)) skierowane do środka wzdłuż promienia. Natomiast gdy człowiek idzie na zewnątrz to obserwator rejestruje także przyspieszenie Coriolisa (o kierunku równoległym do  \( v_s \)). Oczywiście musi istnieć siła działająca w tym kierunku. Jest nią w tym przypadku siła tarcia między podłogą i nogami idącego człowieka. Jednak obserwator związany z karuzelą nie widzi ani przyspieszenia dośrodkowego ani przyspieszenia Coriolisa, człowiek poruszający się wzdłuż promienia jest w stanie równowagi w układzie karuzeli. A przecież istnieje realnie odczuwalna (rzeczywista) siła tarcia. Żeby wyeliminować tę rozbieżność obserwator stojący na karuzeli wprowadza dwie siły pozorne równoważące siłę tarcia. Jedna to siła odśrodkowa, a druga to siła Coriolisa. Siła odśrodkowa działa radialnie na zewnątrz a siła Coriolisa stycznie ale przeciwnie do  \( v_s \). Ogólnie, na ciało o masie  \( m \) poruszające się ruchem postępowym z prędkością  \( v \) w obracającym się układzie odniesienia działa siła bezwładności zwana siłą Coriolisa  \( {\bf F} \) \( _{c} \)

Ziemia nie jest idealnym układem inercjalnym ponieważ wiruje. W wyniku tego obrotu w zjawiskach zachodzących na Ziemi obserwujemy siłę Coriolisa. Przykładowo, rzeki płynące na półkuli północnej podmywają silniej prawy brzeg. Również ciała spadające swobodnie odchylają się od pionu pod działaniem tej siły. Jednak w większości rozpatrywanych przez nas zjawisk można zaniedbać wpływ ruchu Ziemi na ich przebieg.


Podsumowanie wiadomości z ruchu obrotowego


Zadania z ruchu obrotowego


Siła harmoniczna i drgania swobodne

Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym. Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić za pomocą funkcji sinus lub cosinus (tzw. funkcji harmonicznych). Ruch drgający jest powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.

Dla przesunięcia wzdłuż osi x, siła sprężystości jest dana równaniem

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak, aby masa m znalazła się w chwili t = 0 w położeniu x = A, a następnie zostanie zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu może być dane równaniem

Funkcja x(t) opisuje zarazem wychylenie ciała z położenia równowagi.

Sprawdźmy teraz czy to równanie dobrze opisuje ruch harmoniczny. Zgodnie z Zasady dynamiki Newtona-Druga zasada dynamiki Newtona

Żeby obliczyć przyspieszenie a obliczamy (zgodnie z równaniami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) ) odpowiednie pochodne wyrażenia ( 2 )

Teraz wyrażenia ( 2 ) i ( 5 ) podstawiamy do równania opisującego ruch oscylatora ( 3 ) i otrzymujemy

Widzimy, że zaproponowane równanie ( 2 ) jest rozwiązaniem równania ruchu oscylatora harmonicznego ( 3 ) przy warunku, że  \( {\omega = \sqrt{k/m}} \).

Zwróćmy uwagę, że funkcja  \( {x(t)=A\sin{\omega t}} \) jest również rozwiązaniem równania ale przy innych warunku początkowym bo gdy t = 0 to położenie masy x = 0, a nie jak przyjęliśmy x = A.

Ogólne rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego ( 3 ) ma postać

Stała A (opisująca maksymalne wychylenie) jest amplitudą ruchu, wyrażenie  \( \omega t + \varphi   \) nazywamy fazą drgań, a  \( \varphi  \) fazą początkową (stałą fazową). Stałe A i  \( \varphi  \) są wyznaczone przez warunki początkowe. Na przykład dla  \( \varphi = \pi/2  \) otrzymujemy rozwiązanie ( 2 ).

Równania ( 2 ), ( 4 ) i ( 5 ) opisują kolejno położenie, prędkość i przyspieszenie w funkcji czasu. Zależności te są pokazane na poniższym rysunku.

Zwróćmy uwagę, że wychylenie z położenia równowagi x(t) oraz przyspieszenie a(t) (a tym samym siła) osiągają równocześnie maksymalne wartości, przy czym zwroty wektorów x(t) i a(t) są przeciwne (równanie( 3 ) ) i stąd przeciwne znaki. Natomiast prędkość v(t) jest przesunięta w fazie (względem położenia) o  \( \pi/2  \) co odzwierciedla fakt, że prędkość osiąga maksimum przy przechodzeniu oscylującej masy przez położenie równowagi, a jest zerowa przy maksymalnym wychyleniu gdy ciało zawraca.

Odpowiednie maksymalne wartości położenia, prędkości i przyspieszenia wynoszą

Wartości funkcji sinus i cosinus powtarzają się gdy kąt zmienia się o  \( 2\pi  \). Oznacza to, że funkcje x(t), v(t) i a(t) przyjmują taką samą wartość po czasie  \( t = 2\pi/\omega  \). Ten czas jest więc okresem ruchu T. Uwzględniając zależność ( 6 ) otrzymujemy

Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych  \( T \) jest niezależny od amplitudy drgań A. Ta właściwość drgań harmonicznych została wykorzystana w konstrukcji zegara wahadłowego.

Definicja 1:

Siłą harmoniczną (sprężystości) nazywamy siłę działającą na ciało proporcjonalną do przesunięcia tego ciała od początku układu i skierowaną ku początkowi układu.


Wahadło proste

Wahadło proste (matematyczne) jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi, to zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. Znajdźmy okres  \( T \)  tego ruchu. Rysunek poniższy ( Rys. 1 ) przedstawia wahadło o długości  \( l \)  i masie  \( m \), odchylone o kąt  \( \theta  \) od pionu.

Na masę  \( m \) działa siła grawitacji  \( mg \) i naprężenia nici  \( N \). Siłę  \( mg \) rozkładamy na składową radialną (normalną) i styczną. Składowa normalna jest równoważona przez naciąg nici  \( N \). Natomiast składowa styczna przywraca równowagę układu i sprowadza masę  \( m \) do położenia równowagi.

Składowa styczna siły grawitacji ma wartość

Zwróćmy uwagę, że to nie jest, w myśl podanej definicji, siła harmoniczna bo jest proporcjonalna do sinusa wychylenia ( \( \sin\theta  \)), a nie do wychylenia  \( \theta  \). Jeżeli jednak kąt  \( \theta  \) jest mały (np. 5 stopni) to  \( \sin\theta  \) jest bardzo bliski  \(  \theta  \) (różnica rzędu  \( 0.1\% \)). Przemieszczenie x wzdłuż łuku wynosi (z miary łukowej kąta)  \( x = l \, \theta \). Przyjmując zatem, że  \( \sin\theta \approx\theta  \) otrzymujemy

Tak więc dla małych wychyleń siła jest proporcjonalna do przemieszczenia i mamy do czynienia z ruchem harmonicznym. Równanie ( 2 ) jest analogiczne do równania Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 1 ) przy czym  \( k = mg/l \). Możemy więc skorzystać z zależności  Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 9 ) i obliczyć okres wahań

Okres wahadła prostego nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.

Zauważmy, że pomiar okresu T może być prostą metodą wyznaczenia przyspieszenia g.

Spróbuj wykonać takie doświadczenie. Na nitce (możliwie długiej np. 1.5 m) zawieś niewielki ciężarek. Następnie wychyl wahadło o niewielki kąt (żeby było spełnione kryterium ruchu harmonicznego) i zmierz okres wahań. Żeby zmniejszyć błąd pomiaru czasu zmierz okres kilku wahań (np. 10) i potem oblicz T. Ze wzoru ( 3 ) wylicz przyspieszenie g.


Wahadło fizyczne

Wahadłem fizycznym nazywamy ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez to ciało. Na poniższym rysunku ( Rys. 1 ) ciało jest zawieszone w punkcie P, a punkt S, znajdujący się w odległości d od punkt P, jest środkiem masy ciała.

Moment siły  \( \tau  \) działający na ciało wynosi

co w połączeniu ze wzorem Ciało sztywne i moment bezwładności-( 5 ) daje

Dla małych wychyleń, dla których  \( \sin\theta \approx\theta  \), dostajemy równanie

Otrzymaliśmy równanie, które ma postać równania Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 3 ) dla ruchu harmonicznego, przy czym  \( \theta  \) odpowiada x. Możemy więc teraz napisać wyrażenie na częstość i okres drgań

Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości  \( l \) (wahadło proste). Wówczas moment bezwładności  \( I = ml^{2} \), oraz  \( d = l  \) i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego


Energia ruchu harmonicznego

Energią potencjalną sprężyny obliczyliśmy w rozdziale Praca wykonana przez siłę zmienną przy okazji dyskusji o pracy wykonywanej przez siły zmienne. Pokazaliśmy wtedy, że energia potencjalna sprężyny rozciągniętej o  \( x \) wynosi

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa  \( m \) znalazła się w chwili  \( t = 0 \) w położeniu  \( x = A \), to energia potencjalna układu

jest zarazem energią całkowitą (energia kinetyczna  \( E_{k}=0  \)). Jeżeli puścimy sprężynę to jej energia potencjalna będzie zamieniać się w energię kinetyczną masy  \( m \). Przy założeniu, że nie ma tarcia ani innych sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii suma energii kinetycznej i potencjalnej musi się równać energii całkowitej w dowolnej chwili ruchu

Korzystając z wyrażeń Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 2 ) i Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 4 ) na  \( x(t) \) i  \( v(t) \) oraz pamiętając, że  \( m\omega^{2}= k  \) otrzymujemy


Oscylator harmoniczny tłumiony

W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą ruch cząstki są tak zwane opory ruchu. Przykładem może tu być opór powietrza. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości  \( F_{op}\propto v \)

Definicja 1: Współczynnik dobroci

Współczynnik dobroci  \( Q \) definiujemy jako
					(7)

								\( Q=2\pi\frac{E_{\text{zmagazynowana}}}{E_{\text{stracona w 1 okresie}}}= 2 \pi\frac{E}{P/f}=\frac{E}{P/\omega } \)

					gdzie  \( P \) jest średnią stratą mocy,  \( f \) częstotliwością drgań.


Równanie ruchu harmonicznego tłumionego

Spróbujemy opisać ruch harmoniczny tłumiony jako złożenie ruchu wywołanego siłą harmoniczna i ruchu, w którym działa wyłącznie siła tłumiąca.

Gdy na ciało o masie m działała tylko siła harmoniczna to ciało wykonuje drgania swobodne o częstotliwości  \( \omega_{0} \), które można opisać równaniem

Teraz rozpatrzymy ruch pod wpływem siły tłumiącej. Przykładem może być pojazd utrzymujący stałą prędkością dzięki sile napędu. Z chwilą wyłączenia napędu pojazd porusza się dalej hamując pod wpływem siły oporu.

Gdy na ciało o masie m działała tylko siła oporu to zgodnie z drugą zasadą dynamiki

Jeżeli wprowadzimy nową stałą  \( {\tau =m/\gamma } \) (o wymiarze czasu) to powyższe równanie przyjmie postać

Powyższe równanie różniczkowe zawiera dwie zmienne v oraz t. Ponieważ zmienne te są rozdzielone (występują po różnych stronach równania) równanie może być łatwo rozwiązane poprzez obustronne scałkowanie.

Granice całkowania odpowiadają zmniejszaniu prędkości od wartości początkowej  \( v_{0} \) do  \( v \) w czasie  \( t \). Po wykonaniu całkowania otrzymujemy

Widać, że prędkość maleje wykładniczo z czasem. Inaczej mówiąc prędkość jest tłumiona ze stałą czasową  \( \tau  \) (rysunek poniżej).

Widzimy, że gdy uwzględnimy zarówno siłę harmoniczną jak i siłę tłumienia (oporu) to rozwiązanie równania ruchu będzie zawierać czynnik oscylacyjny ( 1 ) opisujący drgania i czynnik tłumiący ( 7 ) opisujący wykładnicze zmniejszanie się amplitudy drgań.


Drgania wymuszone i rezonans

W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem do zera. Jeżeli chcemy podtrzymać drgania to musimy działać odpowiednią siłą zewnętrzną  \( F(t) \) przyłożoną do oscylatora. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą. W przypadku drgań harmonicznych zewnętrzna siła wymuszająca jest siłą okresowo zmienną postaci

Zwróćmy uwagę na to, że siła wymuszająca działa przez cały czas i nie należy jej mylić z krótkotrwałymi impulsami takimi jakie na przykład stosujemy gdy chcemy podtrzymać wahania huśtawki popychając raz na jakiś czas.

Jeżeli uwzględnimy siłę wymuszającą to zgodnie z drugą zasadą dynamiki

lub korzystając z równań Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ) i Ruch na płaszczyźnie-( 3 )

Po podstawieniu wyrażenia na siłę wymuszającą ( 1 ) i wprowadzeniu nowych stałych

otrzymujemy równanie analogiczne do równania Oscylator harmoniczny tłumiony-( 4 ) dla ruchu tłumionego

Ponownie  \( \omega_{0} \) jest częstością własną układu, to jest częstością drgań swobodnych gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu, a  \( \tau  \) stałą czasową związaną ze współczynnikiem tłumienia  \( \beta  \) relacją  \( {\beta =1/2\tau } \). Zauważmy ponadto, że układ jest zasilany z częstością  \( \omega  \) różną od częstości własnej  \( \omega_{0} \). W takiej sytuacji

W równaniu ( 5 ) mamy dwie wielkości okresowo zmienne: położenie  \( x(t) \) oraz siłę wymuszającą  \( F(t) \). W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okresowych daje w wyniku też funkcję okresową, jak pokazuje Rys. 1.

Szukamy więc rozwiązania równania ( 5 ) w postaci

Jak widać z porównania równań ( 1 ) i powyższego równania ( 7 ) przesunięcie fazowe  \( \varphi  \) mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły (czyli o ile są przesunięte względem siebie funkcje sinus opisujące wychylenie ( 7 ) i siłę ( 1 ) ).

Żeby znaleźć rozwiązanie musimy wyznaczyć amplitudę  \( A \) oraz przesunięcie fazowe  \( \varphi  \). W tym celu obliczamy odpowiednie pochodne funkcji ( 7 ) i podstawiamy do równania ( 5 ).

Więcej o wyznaczeniu  \( A \) oraz  \( \varphi  \) możesz przeczytać w module Dodatek: Amplituda i faza w ruchu harmonicznym wymuszonym.

W wyniku otrzymujemy warunek na przesunięcie fazowe

Łącząc powyższe wzory otrzymujemy rozwiązanie

Równanie wygląda skomplikowanie ale pamiętajmy, że jest to rozwiązanie postaci  \( {x(t)=A\sin({\omega t}+\varphi)} \).

Zauważmy, że chociaż drgania odbywają się z częstością  \( \omega  \) siły wymuszającej to amplituda i faza zależą od relacji pomiędzy częstością wymuszającą  \( \omega  \), a częstością własną  \( \omega_0 \). W szczególności gdy siła wymuszająca osiągnie odpowiednią częstotliwość, to amplituda drgań może wzrosnąć gwałtownie nawet przy niewielkiej wartości siły wymuszającej. To zjawisko nazywamy rezonansem.

Wykres przedstawiający rezonansowy wzrost amplitudy drgań w funkcji częstości siły wymuszającej pokazany jest na Rys. 2, dla różnych wartości współczynnika tłumienia  \( \beta  \).

Liniami przerywanymi zaznaczono częstości rezonansowe to jest wartości częstości siły wymuszającej, dla której amplituda drgań jest maksymalna. Odpowiadająca jej amplituda nazywana jest amplitudą rezonansową.

Częstość rezonansową  \( \omega_{r} \) i amplitudę rezonansową  \( A_{r} \) możemy obliczyć z warunku na maksimum amplitudy drgań danej wzorem ( 9 ).

Funkcja  \( A(\omega)  \) osiąga maksimum dla częstości rezonansowej  \( \omega_{r} \)

Podstawiając tę wartość do wzoru na amplitudę otrzymujemy wyrażenie na amplitudę rezonansową  \( A_{r} \)

Widzimy, że dla drgań swobodnych, nietłumionych  \( \beta \rightarrow 0  \) częstość rezonansowa  \( \omega_{r} \) jest równa częstości drgań swobodnych  \( \omega_{0} \), a amplituda rezonansowa  \( A_{r} \rightarrow \infty \). W miarę wzrostu tłumienia wartość amplitudy rezonansowej  \( A_{r} \) maleje, a częstość rezonansowa przesuwa się w stronę częstości mniejszych od  \( \omega_{0} \). Dla bardzo dużego tłumienia rezonans nie występuje, maksymalna amplituda występuje dla częstości bliskiej zeru.

Dla drgań swobodnych, dla których  \( \omega_{r} = \omega_0 \) przesunięcie fazowe pomiędzy siłą, a wychyleniem, dane równaniem ( 8 ) jest równe  \( \varphi = \pi/2  \). Oznacza to, że siła wymuszająca nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Zauważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą  \( F \) zależy od prędkości

Warunek uzyskania rezonansu odpowiada maksimum mocy pochłanianej przez oscylator. Trzeba więc, zgodnie z powyższym wzorem, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była zgodna w fazie z siłą, a to oznacza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o  \( \pi/2  \).

Więcej o mocy absorbowanej przez oscylator możesz przeczytać w module Moc absorbowana przez oscylator.

Na poniższym filmie przedstawiono przykład wystąpienia rezonansu w układzie wahadeł. UWAGA: Na filmie we wzorze na okres drgań wahadła jest błąd w ułamku pod pierwiastkiem. Poprawny zapis to: l - długość wahadła powinno być w liczniku, g - przyśpieszenie ziemskie w mianowniku.

Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań na przykład z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do częstości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie.

Słynnym negatywnym skutkiem wystąpienia rezonansu jest zawalenie się mostu Tacoma w USA w 1940 roku. Film przedstawiający tę katastrofę budowlaną można znaleźć m.in w serwisie YouTube


Moc absorbowana przez oscylator

W module tym pokażemy jaka jest średnia moc absorbowana przez oscylator poruszający się pod wpływem siły wymuszonej, dyskutowany w module Drgania wymuszone i rezonans. Moc średnia jest dana wyrażeniem

gdzie kreska górna oznacza średnią czasową.

Korzystając z wyrażeń Drgania wymuszone i rezonans-( 1 ) i Drgania wymuszone i rezonans-( 10 )  znajdujemy (szczegółowe obliczenia pomijamy)

Zależność mocy absorbowanej od częstości drgań wymuszających, dla przypadku słabego tłumienia, jest przedstawiona na rysunku poniżej ( Rys. 1 ). Widać wyraźnie maksimum mocy związane ze zjawiskiem rezonansu.


Składanie drgań harmonicznych

Często spotykamy się z nakładaniem się dwu lub więcej drgań harmonicznych. Poniżej rozpatrzymy kilka przypadków drgań złożonych, powstających w wyniku nakładania się dwu drgań harmonicznych zachodzących zarówno wzdłuż prostych równoległych, jak i prostych prostopadłych.

Rozpatrzymy ruch punktu materialnego wynikający ze złożenia dwu drgań harmonicznych równoległych (zachodzących wzdłuż jednej prostej) opisanych równaniami

Drgania te odbywają się z jednakową częstością  \( \omega  \), ale są przesunięte w fazie (różnią się fazami) o  \( \varphi_0 \). Podobnie jak dla ruchu postępowego czy obrotowego, również dla drgań obowiązuje zasada niezależności ruchów.

Wyrażenia powyższe można znaleźć składając drgania metodą wektorową. Więcej o wektorowym składaniu drgań możesz dowiedzieć się z modułu Składanie drgań metodą wektorową.

Z powyższych równań wynika, że złożenie drgań harmonicznych równoległych o jednakowej częstości daje w wyniku oscylacje harmoniczne o takiej samej częstości. Sytuacja ta jest pokazana na rysunku poniżej. Ze wzoru ( 3 ) wynika ponadto, że amplituda wypadkowa osiąga maksimum dla drgań składowych o zgodnych fazach (różnica faz  \( \varphi_{0} = 0 \)), natomiast minimum, gdy różnica faz  \( \varphi_{0}=\pi  \) (fazy przeciwne).

Rozpatrzmy teraz złożenie dwu drgań harmonicznych zachodzących na płaszczyźnie wzdłuż kierunków prostopadłych względem siebie

Punkt materialny wykonujący drgania złożone porusza się po krzywej leżącej na płaszczyźnie  \( xy \), a jego położenie jest dane w dowolnej chwili równaniem ( 4 ). Przykładowe krzywe odpowiadające drganiom o jednakowych częstościach  \( \omega_{1} = \omega_{2} \), dla różnych wartości amplitud  \( A_{1} \) i  \( A_{2} \) oraz różnych wartości przesunięcia fazowego  \( \varphi  \) są pokazane na Rys. 2 poniżej.

Złożenie drgań prostopadłych o różnych częstościach daje w wyniku bardziej skomplikowany ruch. Na Rys. 3 pokazane są przykładowe krzywe (tak zwane krzywe Lissajous) będące wynikiem złożenia takich drgań. Sytuacja pokazana na tym rysunku odpowiada składaniu drgań o jednakowych amplitudach.

Obraz drgań złożonych można otrzymać w prosty sposób za pomocą oscyloskopu. Wiązki elektronów w lampie oscyloskopowej są odchylane przez dwa zmienne, prostopadłe pola elektryczne. Na ekranie oscyloskopu obserwujemy więc obraz odpowiadający złożeniu drgań wiązki elektronów wywołany przez te zmienne pola elektryczne, których amplitudy, częstości fazy możemy regulować.

Inny sposób bezpośredniej obserwacji składania drgań można zobaczyć na poniższym filmie


Składanie drgań metodą wektorową

W module tym przedstawimy wektorową metodę składania drgań, wspomnianą w module Składanie drgań harmonicznych.

Drgania harmoniczne, jak i harmoniczne zaburzenie falowe, mogą być przedstawione graficznie jako obracający się wektor, którego długość reprezentuje amplitudę drgań. Taki wektor nazywamy strzałką fazową (wskazem).

Oscylacja (zaburzenie falowe)  \( {x_{{1}}=A_{{1}}\cos{\omega t}} \) w chwili  \( t \) przedstawiona jest przez rzut tej "strzałki" (amplitudy) na oś poziomą (odpowiada to pomnożeniu  \( A_{1} \) przez  \( \cos\omega t  \)).

Druga oscylacja (zaburzenie falowe)  \( x_{{2}}=A_{{2}} \cos({\omega t}+\varphi _{{0}})  \), o amplitudzie  \( A_{2} \), różni się od drgań  \( x_{1} \) o fazę  \( \varphi_{0} \). Znajdujemy je podobnie jako rzut „strzałki” na oś poziomą. Teraz wystarczy dodać graficznie (wektorowo)  \( x_{1} \)i \(  x_{2}  \) żeby otrzymać wypadkowe drgania tak jak to pokazano na Rys. 1.

Widać to jeszcze lepiej, gdy narysuje się wektory dla fazy  \( \omega t = 0 \) (lub wielokrotności  \( 2\pi  \)), i gdy umieści się początek jednej strzałki na końcu poprzedniej zachowując różnicę faz ( Rys. 2 ).

Sytuacja odpowiada fazie  \( \omega t = 0 \).

Na podstawie tego rysunku możemy (korzystając z twierdzenia cosinusów) wyznaczyć amplitudę  \( A \) drgań wypadkowych

Widzimy, że amplituda wypadkowa osiąga maksimum dla równoległych wektorów składowych, co odpowiada zgodnym fazom (różnica faz  \( \varphi_{0} = 0 \)), natomiast minimum dla wektorów składowych antyrównoległych (różnica faz  \( \varphi_{0} = \pi  \)).


Podsumowanie wiadomości z ruchu harmonicznego


Zadania z ruchu harmonicznego


Dodatek: Amplituda i faza w ruchu harmonicznym wymuszonym

W module tym pokazujemy jak wyprowadzić równania na amplitudę i fazę w ruchu harmonicznym wymuszonym, dyskutowanym w module Drgania wymuszone i rezonans.

Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego

W tym celu obliczamy odpowiednie pochodne funkcji ( 2 )  \( {\frac{{dx}}{{dt}}={A\omega}\cos({\omega t}+\varphi )} \), \( {\frac{d^{{2}}x}{d^{{2}}t}=-{A\omega}^{{2}}\sin({\omega t}+\varphi )} \) i podstawiamy do równania ( 1 ), które przyjmuje postać

Równanie to przekształcamy korzystając ze związków

Powyższa równość może być spełniona tylko, gdy czynniki stojące przy funkcji  \( \sin\omega t  \) i  \( \cos\omega t \) po obu stronach równania będą sobie równe. Ten warunek oznacza, że czynnik przy  \( \cos\omega t \) ma być równy zeru co można zapisać jako

Z tego warunku znamy już  \( \varphi  \). Teraz wyznaczamy amplitudę porównując czynniki przy funkcji  \( \sin\omega t \) w równaniu ( 5 ) i podstawiając odpowiednie wyrażenia za  \( \cos\varphi  \) i  \( \sin\varphi  \). Otrzymujemy wyrażenie


Prawo powszechnego ciążenia

Rozważania dotyczące grawitacji rozpoczniemy od prostego przykładu.

Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między dwoma masami (między ich środkami) maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi. Ponadto zauważył, że skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła przyciągania między każdymi dwoma masami \( m_{1} \) i  \( m_{2} \). Na tej podstawie i w oparciu o liczne obserwacje astronomiczne dokonane przez jego poprzedników min. Kopernika, Galileusza, Keplera, Newton sformułował w 1687 r prawo powszechnego ciążenia.

To jest prawo powszechne, ponieważ stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych; np. wyjaśnia spadanie ciał na Ziemię, ale też tłumaczy ruch planet.

Wartość współczynnika proporcjonalności  \( G \), nazywanego stałą grawitacji, Newton oszacował stosując równanie  do siły działającej między Ziemią, a ciałem o masie  \( m \). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki

gdzie  \( R_Z \) jest promieniem Ziemi. Masę Ziemi  \( m_Z \) Newton obliczył zakładając średnią gęstość Ziemi równą  \( \rho_Z = 5·10{^3} \) kg/m \( {^3} \) (dla porównania gęstość żelaza, głównego składnika masy Ziemi, wynosi \( \rho_{Fe}= 7.9·10{^3} \)·kg/m \( {^3} \), a gęstość krzemu, podstawowego składnika skorupy ziemskiej, wynosi  \( \rho_{Si}= 2.8·10{^3} \) kg/m \( {^3} \)). Uwzględniając  \( R_Z =6.37·10{^6} \) m.

Newton otrzymał wartość  \( G =7.35·10{^{-11}} \)Nm \( {^2} \)/kg \( {^2} \) co jest wartością tylko o  \( 10\% \) większą niż ogólnie dzisiaj przyjmowana wartość \(  6.67·10{^{11}} \)Nm \( {^2} \)/kg \( {^2} \). Wartość stałej  \( G \)obliczonej przez Newtona jest obarczona błędem wynikającym z przyjętej średniej wartości gęstości Ziemi.

Żeby wyznaczyć stałą  \( G \) w laboratorium niezależnie odmasy Ziemi i tym samym uniknąć błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi trzeba by zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas \( m_{1} \) i  \( m_{2} \) umieszczonychw odległości  \( R \). Wówczas

Zauważmy jednak, że przykładowo dla mas każda po   \( 1  \) kg oddalonych odsiebie o   \( 10  \) cm siła  \( F \)  ma wartość  \( F=6.67·10{^{-9}} \) N i jest za mała by ją dokładnie zmierzyć standardowymi metodami.

Problem pomiaru tak małej siły rozwiązał Cavendish. Jego opis znajduje się w module Dodatek: Doświadczenie Cavendisha.


Ciężar

W pobliżu powierzchni Ziemi ciężar jest więc siłą z jaką Ziemia przyciąga ciało i dla ciała o masie  \( m \) jest równy  \( mg \). Na Księżycu ciężar jest mniejszy w porównaniu z ciężarem na Ziemi około sześć razy. Ciężaru nie należy więc mylić z masą ciała.

Gdy spróbujemy wprawić w ruch ciało popychając je to wymaga to pewnego wysiłku nawet gdy ruch odbywa się po idealnie gładkiej poziomej powierzchni. Wysiłek jest tym większy im ciało ma większą masę. Wynika to bezpośrednio z drugiej zasady dynamiki Newtona  \( F=ma \) . Masę  \( m \) występującą w tym wzorze nazywamy masą bezwładną.

Z kolei rozpatrzmy sytuację gdy utrzymujemy klocek uniesiony w górę w stanie spoczynku. Bezwładność nie odgrywa tu żadnej roli bo ciało nie przyspiesza, jest w spoczynku. Ale przecież musimy używać siły, o wartości równej przyciąganiu grawitacyjnemu między ciałem i Ziemią, żeby ciało nie spadło. Odgrywa tu rolę ta właściwość ciała, która powoduje że jest ono przyciąganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i siłą

Występującą w tym wzorze masę  \( m' \) nazywamy masą grawitacyjną.

Powstaje pytanie czy masa bezwładna  \( m \) i masa grawitacyjna  \( m' \) ciała są sobie równe?

Żeby znaleźć odpowiedź na to pytanie rozpatrzmy sytuację, w której masa bezwładna  \( m_{1} \) spadając swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi uzyskuje przyspieszenie  \( a_1 \) . Wtedy

Jeżeli natomiast inna masa  \( m_{2} \) uzyskuje przyspieszenie  \( a_2 \) to

Dzieląc równania ( 2 ) i ( 3 )  przez siebie otrzymujemy

Ponieważ doświadczalnie stwierdzono, że wszystkie ciała spadają (w próżni) w pobliżu Ziemi z tym samym przyspieszeniem   \( a_1=a_2=g \) to stosunek mas bezwładnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Aktualnie jesteśmy w stanie stwierdzić, że  \( a_1=a_2 \) z dokładnością do  \( 10^{-10} \).

Konsekwencją jest to, że nie można rozróżnić między przyspieszeniem układu, a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyjścia ogólnej teorii względności Einsteina.

Definicja 1: Ciężar

Ciężar definiujemy jako siłę ciężkości działającą na ciało.

Definicja 2: Zasada równoważności

Te wyniki wskazują, że masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej. To stwierdzenie nazywa się zasadą równoważności.


Pole grawitacyjne, pola sił

Na przykładzie sił grawitacyjnych omówimy, ważne w fizyce, pojęcie pola. Rozważania rozpoczynamy od umieszczenia masy  \( M \) w początku układu. W punkcie przestrzeni opisanym wektorem  \( {\bf r} \) znajduje się inna masa  \( m. \) Wektor  \( {\bf r} \) opisuje położenie masy  \( m \) względem masy  \( m \) więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między tymi masami (równanie Prawo powszechnego ciążenia-( 4 ) ) możemy zapisać w postaci wektorowej

gdzie znak minus wynika z faktu, że wektor  \( F \) jest zwrócony przeciwnie do wektora  \( r \). Zwróćmy uwagę, że siłę tę możemy potraktować jako iloczyn masy  \( m \) i wektora  \( {\bf \gamma} (r) \) przy czym

Zwróćmy uwagę na to, że jeżeli w punkcie  \( r \) umieścilibyśmy dowolną masę, np.  \( m' \)to zawsze możemy zapisać siłę jako iloczyn masy  \( m' \)i tego samego wektora  \( {\bf \gamma} (r). \)

Widzimy, że wektor  \( \gamma (r) \) nie zależy od obiektu, na który działa siła (masy  \( m'), \) ale zależy od źródła siły (masa  \( M \)) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą źródło (wektor  \( r \)). Oznacza to, że masa  \( M \) stwarza w punkcie  \( r \) takie warunki, że umieszczona w nim masa  \( m \) odczuje działanie siły. Inaczej mówiąc masie  \( M \) przypisujemy obszar wpływu (działania), czyli pole. Na Rys. 1 jest pokazany wektor  \( \gamma (r) \) w wybranych punktach wokół masy  \( M \).

Zwróćmy uwagę, że rozdzieliliśmy siłę na dwie części. Stwierdzamy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Taki opis pozwala uniezależnić się od obiektu (masy  \( m') \) wprowadzanego do pola.

Z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Jest ono bardzo użyteczne również przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. Źródłami i obiektami działania pola elektrycznego są ładunki w spoczynku, a pola magnetycznego ładunki w ruchu. Właściwości pól wytwarzanych przez ładunki elektryczne omówimy w dalszych rozdziałach.

Chociaż pole jest pojęciem abstrakcyjnym jest bardzo użyteczne i znacznie upraszcza opis wielu zjawisk. Na przykład gdy mamy do czynienia z wieloma masami, możemy najpierw obliczyć w punkcie  \( r \) pole pochodzące od tych mas, a dopiero potem siłę działającą na masę umieszczoną w tym punkcie.

Definicja 1: Natężenie pola grawitacyjnego

Wektor  \( {\bf \gamma} (r) \) dany równaniem ( 2 ) nazywamy natężeniem pola grawitacyjnego.


Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego

W module Energia potencjalna obliczyliśmy energię potencjalną związaną z siłą grawitacyjną w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowaliśmy, że siła grawitacji jest stała. Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię potencjalną masy  \( m \) znajdującej się w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o  \( r \) od środka Ziemi.

Gdy obliczaliśmy grawitacyjną energię potencjalną w pobliżu powierzchni Ziemi (przykład powyżej) właśnie powierzchnię Ziemi przyjmowaliśmy jako punkt odniesienia o zerowej energii potencjalnej. Natomiast dla ogólnych obliczeń punkt odniesienia wybiera się w nieskończoności. Temu położeniu ( \( r\rightarrow{\infty} \)) przypisujemy zerową energię potencjalną. Zwróćmy uwagę, że stan zerowej energii jest również stanem zerowej siły.

Przypomnijmy, że dla sił zachowawczych zmianę energii potencjalnej ciała przy przejściu z położenia (lub ogólniej ze stanu)  \( A \) do  \( B \) możemy zapisać jako

Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla tak wybranego punktu odniesienia

Praca wykonywaną przez siłę grawitacji przy przenoszeniu masy  \( m \) z nieskończoności do punktu odległego o  \( r \) od środka Ziemi wynosi

Znak minus wynika stąd, że kierunek działania siły grawitacji jest przeciwny do kierunku wektora  \( r \). Ponieważ energia potencjalna ma wartość równą zeru w nieskończoności (punkt odniesienia) więc grawitacyjna energia potencjalna w odległości  \( r \) od środka Ziemi (od środka dowolnej masy  \( M \)) wynosi

Energia potencjalna ma wartość równą zeru w nieskończoności (punkt odniesienia) i maleje w miarę zmniejszania się  \( r \). Oznacza to, że siła jest przyciągająca. Wzór ten jest prawdziwy bez względu na wybór drogi po jakiej punkt porusza się z nieskończoności do  \( r \) bo siła grawitacji jest siłą zachowawczą.

Widzimy, że z polem siły grawitacji wiąże się przestrzenny rozkład energii  \( E(r) \) dany równaniem ( 3 ).

Omawiając w module  Pole grawitacyjne, pola sił przedstawialiśmy siłę działającą na umieszczony w tym polu obiekt jako iloczyn natężenia pola i masy tego obiektu. Stwierdziliśmy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Inaczej mówiąc rozdzieliliśmy siłę na dwie części i w ten sposób uniezależniliśmy nasz opis od masy obiektu wprowadzanego do pola. Podobnie możemy postąpić z energią potencjalną. Zauważmy, że zgodnie z wyrażeniem ( 3 ) możemy ją przedstawić jako iloczyn masy  \( m \) i pewnej funkcji  \( V(r) \)

Jak już wspominaliśmy z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Przy opisie zjawisk elektrycznych również będziemy się posługiwali pojęciem pola (elektrycznego), jego natężenia i potencjału.

Jeżeli obiektowi nadamy na powierzchni Ziemi odpowiednio dużą prędkość początkową to zacznie on okrążać Ziemię i nie spadnie na jej powierzchnię. Tę graniczną prędkość nazywamy pierwszą prędkością kosmiczną. Jest to najmniejsza prędkość jaką musi mieć punkt materialny swobodnie krążący po orbicie wokół Ziemi. Na tak poruszający się obiekt działają dwie siły; siła grawitacji i siła odśrodkowa. Siły te mają przeciwne zwroty i dla stabilnej orbity równoważą się

Jeżeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału jeszcze większej energii kinetycznej to wtedy może ono bezpowrotnie uciec z Ziemi w przestrzeń kosmiczną. Prędkość początkową (tzw. prędkość ucieczki), przy której ciało ucieknie z powierzchni Ziemi do nieskończoności znajdujemy analogicznie jak w Zadaniu Prędkość początkowa wstawiając  \( h\rightarrow{\infty} \). Prędkość ta nosi nazwę drugiej prędkości kosmicznej i wynosi

Zauważmy, że w trakcie oddalania się ciała do nieskończoności (  \( R\rightarrow{\infty} \)) jego energia potencjalna rośnie dozera (jest ujemna) kosztem energii kinetycznej, która maleje do zera (jest dodatnia).

W naszych obliczeniach pominęliśmy inne siły, takie jak siły grawitacyjne wywierane przez Księżyc czy Słońce.

Definicja 1: Potencjał

Funkcję   \( V(r) \) nazywamy potencjałem pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do wartości tej masy.


Prawa Keplera ruchu planet

Jeszcze przed sformułowaniem przez Newtona prawa powszechnego ciążenia, Johannes Kepler zauważył, że ruch planet stosuje się do trzech prostych praw, które zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo dużą dokładnością.

Z  Drugie prawo Keplera (prawo równych pól) (zilustrowanego na Rys. 1 ) wynika, że planety (lub naturalne satelity) powinny poruszać się szybko w pobliżu Słońca (gdy wektor  \( R(t) \) jest najkrótszy) i coraz wolniej w miarę oddalania się od Słońca (gdy wektor  \( R(t) \) rośnie). Dobrym przykładem jest kometa Halleya, która obiega Słońce w ciągu 76 lat, z czego tylko 1 rok spędza w pobliżu Słońca (jest wtedy niewidoczna z Ziemi).

Newton pokazał, że prawa Keplera można wyprowadzić z zasad dynamiki. Pokazał na przykład, że tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości to spełnione są pierwsze i trzecie prawo Keplera.

O związku między zasadami dynamiki Newtona, a prawami Keplera możesz przeczytać w Prawa Keplera a zasady dynamiki Newtona.


Prawa Keplera a zasady dynamiki Newtona

Rozpoczniemy od wyprowadzenia trzeciego prawa Keplera dla planet poruszających się po orbitach kołowych. Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru Dodatek: Doświadczenie Cavendisha-( 5 ) na masę Słońca otrzymujemy dla pierwszej planety krążącej wokół Słońca

Porównując te równania stronami otrzymujemy

Teraz przejdziemy do drugiego prawa Keplera. Na Rys. 1 zaznaczona jest powierzchnia zakreślana w czasie  \( \Delta t \) przez linię łączącą planetę ze Słońcem.

Jeżeli weźmiemy bardzo krótki przedział czasu  \( dt \) ( \( \Delta t \rightarrow 0 \) ) to zaznaczone pole  \( ds \) jest powierzchnią trójkąta o podstawie równej długości zakreślanego łuku  \( (vdt) \) i wysokości równej promieniowi  \( R \)

Z równania ( 4 ) wynika, że chwilowa prędkość polowa (prędkość z jaką promień  \( R \) zakreśla powierzchnię) jest równa

Z zasad dynamiki Newtona wynika zasada zachowania momentu pędu (poznamy ją w następnych rozdziałach), zgodnie z którą moment pędu  \( L \) planety w jej obiegu wokół Słońca jest stały

Łącząc równania ( 5 ) i ( 6 ) otrzymujemy ostatecznie

Otrzymane równanie ( 7 ) wyraża drugie prawo Keplera.


Podsumowanie grawitacji


Dodatek: Doświadczenie Cavendisha

W swoim pomiarze Cavendish wykorzystał fakt, że siła potrzebna do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego jest bardzo mała. Natakim włóknie zawiesił pręt z dwiema małymi kulkami ołowianymi  \( (m) \) na końcach ( Rys. 1 ). Następnie w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę ołowianą  \( (M) \) i zmierzyłprecyzyjnie kąt  \( \alpha  \) o jaki obrócił się pręt.

Pomiar wykonany metodą Cavendisha dał wartość  \( G=6.67·10{^{-11}} \) Nm \( {^2} \)/kg \( {^2} \).

Znając już wartość stałej  \( G \), Cavendish wyznaczył masę Ziemi  \( M_Z \) z równania

Cavendish wyznaczył też masę Słońca i masy planet, tych których satelity zostały zaobserwowane.


Rozdział 9. Fale w ośrodkach sprężystych

Fale mechaniczne

Ruch falowy jest bardzo rozpowszechniony w przyrodzie. Na co dzień doświadczamy obecności fal dźwiękowych i fal świetlnych. Powszechnie też wykorzystujemy fale elektromagnetyczne do przekazywania informacji za pomocą radia, telewizji czy przenośnych telefonów.

Fale dźwiękowe czy też fale jakie obserwujemy na powierzchni wody posiadają jednak inną naturę niż fale elektromagnetyczne. Światło będące przykładem fali elektromagnetycznej rozchodzi się nie tylko w ośrodkach materialnych, ale również w próżni. Przykładem jest docierające do nas światło słoneczne. Natomiast do rozchodzenia się fal dźwiękowych niezbędny jest ośrodek materialny.

W tym module rozpoczniemy poznawanie właściwości fal powstających w ośrodkach sprężystych (takich jak fale dźwiękowe), które nazywamy falami mechanicznymi.

Jeżeli wychylimy jakiś fragment ośrodka sprężystego z jego położenia równowagi, to w następstwie będzie on wykonywał drgania wokół tego położenia. Te drgania, dzięki właściwościom sprężystym ośrodka, są przekazywane na kolejne części ośrodka, które zaczynają drgać. W ten sposób zaburzenie przechodzi przez cały ośrodek.

Zwróćmy uwagę, że sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drgania. Dobrym przykładem są tu fale na powierzchni wody: przedmioty pływające na powierzchni wody wykonują ruch drgający w rytm fal natomiast same fale rozchodzą się ruchem jednostajnym.

Fala dobiegając do danego punktu ośrodka wprawia go w ruch drgający, przekazując mu energię, która jest dostarczana przez źródło drgań. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Za pomocą fal można przekazywać energię na duże odległości przy czym cechą charakterystyczną jest to, że fale przenoszą energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku, a nie dzięki ruchowi postępowemu samego ośrodka. Jak wynika z powyższego, do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek. To właściwości sprężyste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.

Ze względu na kierunek drgań cząstek ośrodka względem kierunku rozchodzenia się fale dzielimy na fale podłużne i fale poprzeczne.

Fala jest podłużna gdy kierunek drgań cząstek ośrodka jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii (zob. Rys. 1 i Rys. 2 ). Przykładem są tu fale dźwiękowe w powietrzu czy też drgania naprzemiennie ściskanej i rozciąganej sprężyny.

Fala jest poprzeczna gdy kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii (zob. Rys. 3 ). Przykładem mogą tu być drgania naprężonego sznura, którego końcem poruszamy cyklicznie w górę i w dół.

Możemy również dokonać podziału ze względu na rodzaj zaburzenia. Ważnymi przykładami są impuls falowy i fala harmoniczna.

Impuls falowy powstaje gdy źródłem jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku: na przykład gdy wrzucimy kamień do wody lub gdy jednorazowo odchylimy koniec napiętej liny (zob. Rys. 5 ).

Fala harmoniczna powstaje gdy źródło wykonuje drgania harmoniczne: na przykład gdy cyklicznie wychylamy koniec napiętej liny (zob. Rys. 6 ).

Wprowadzimy teraz pojęcia czoła fali i promienia fali. Jeżeli w przestrzeni rozchodzi się fala to możemy w każdej chwili utworzyć powierzchnię łączącą punkty, do których w tej właśnie chwili dotarła ta fala. Przesuwanie się tej powierzchni obrazuje rozchodzenie się fali. Właśnie taką powierzchnię nazywamy czołem fali (lub powierzchnią falową), a każdą linię prostą, prostopadłą do czoła fali, wskazującą kierunek ruchu fali nazywamy promieniem fali.

Ze względu na kształt powierzchni falowej możemy wyróżnić fale płaskie i fale kuliste.

W przypadku fal płaskich zaburzenie rozchodzi się w jednym kierunku, a powierzchnie falowe są płaszczyznami prostopadłymi do kierunku ruchu fali tak jak na Rys. 7.

Dla fal kulistych zaburzenie rozchodzi się ze źródła we wszystkich kierunkach, a powierzchnie falowe są sferami jak Rys. 8.

Definicja 1: Ruch falowy

Ruchem falowym nazywamy rozchodzenie się zaburzenia w ośrodku.


Rozchodzenie się fal w przestrzeni

Rozważmy rozchodzenie się impulsu falowego (fali) wzdłuż długiego naprężonego sznura w kierunku  \( x \) jak na Rys. 1

Przyjmijmy, że w chwili t = 0 kształt sznura jest opisany funkcją

gdzie  \( y \) jest poprzecznym wychyleniem sznura w jego punkcie  \( x \).

W czasie  \( t \) impuls falowy (fala) poruszający się z prędkością  \( v \) przesuwa się o odcinek równy  \( vt \) wzdłuż sznura, to jest wzdłuż osi  \( x \), bez zmiany kształtu. Zatem po czasie  \( t \) równanie opisujące kształt sznura ma postać

Równanie ( 2 ) opisuje falę biegnącą w kierunku dodatnim osi  \( {x} \) (w prawo) o kształcie danym właśnie przez funkcję  \( f(x,t) \). Zauważmy, że kształt jest taki sam w chwili  \( {t} \) w punkcie  \( x = vt \) jaki był w chwili  \( t = 0 \) w punkcie  \( x = 0 \) (argument funkcji ma tę samą wartość równą zeru). Zatem równanie opisujące falę biegnącą w kierunku ujemnym osi  \( x \) (w lewo) będzie miało postać

Zauważmy, że dla danego  \( t \) mamy równanie  \( f(x) \)opisujące kształt sznura w danej chwili, a dla danego miejsca sznura  \( x \) mamy równanie  \( f(t) \) opisujące poprzeczne drgania cząstki sznura w punkcie  \( x \).

Z równań ( 1 ) i ( 2 ) wynika, że dowolna funkcja zmiennej  \( (x - vt) \) lub  \( (x + vt) \) opisuje falę biegnącą odpowiednio w prawo lub lewo, jednak do opisania rzeczywistej sytuacji musimy dokładnie określić postać funkcji  \( f \). Dlatego teraz zajmiemy się falą o szczególnym kształcie. Rozważać będziemy poprzeczną falę harmoniczną postaci

która przedstawia przenoszenie się drgań harmonicznych w kierunku  \( x \), i która pokazana jest na rys13.4. Stała  \( A \) (opisująca maksymalne wychylenie) jest amplitudą fali, a wyrażenie  \( {\frac{2\pi }{\lambda }(x-{vt})} \) przedstawia fazę. (Pamiętaj: gdy mówimy o wybranej części fali to tym samym mówimy o określonej fazie).

Zauważmy, że wartość wychylenia poprzecznego  \( y \) dana wzorem ( 4 ) jest taka sama w punktach o współrzędnych  \( x \), x +  \( \lambda  \), x + 2 \( \lambda  \), x + 3 \( \lambda  \), itd. Oznacza to, że te punkty mają taką samą fazę.

Wielkość  \( \lambda  \) nazywamy długością fali. Reprezentuje ona odległość między punktami o tej samej fazie na przykład między dwoma grzbietami (maksimami) tak jak Rys. 2.

Czas, w którym fala przebiega odległość równą  \( \lambda  \) nazywamy okresem  \( T \).

Widzimy, że w danej chwili  \( t \) taka sama faza jest w punktach  \( x \),  \( x + \lambda  \),  \( x + 2\lambda  \), itd., oraz, że w danym miejscu  \( x \) faza powtarza się w chwilach  \( t \),  \( t + T \),  \( t + 2T \), itd.

Często równanie fali bieżącej ( 6 ) wyraża się poprzez dwie inne wielkości: liczbę falową  \( k \) i częstość kołową  \( \omega \) (lub częstotliwość  \( f \), które są zdefiniowane jako

co po podstawieniu do równania ( 6 ) daje

Prędkość fali  \( v \) możemy wyrazić jako

Bardziej szczegółowo prędkość rozchodzenia się fal jest omówiona w module Prędkość fal i równanie falowe.


Prędkość fal i równanie falowe

Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali  \( v \), to śledzimy jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali czyli określona faza. Dlatego prędkość fali określa się jako prędkość fazową. Dla wybranej fazy fali  \( {y=f(x- vt)} \) poruszającej się w prawo sprowadza się to do warunku

Różniczkując to równanie względem czasu, otrzymujemy

W przypadku gdy zaburzenie falowe jest złożeniem fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach, to prędkość przenoszenia energii (prędkość fali modulowanej) może być inna niż prędkości fal składowych. Taką prędkość nazywa się prędkością grupową.

W module Rozchodzenie się fal w przestrzeni pokazaliśmy, że dowolna funkcja  \( f(x - vt) \) lub  \( f(x + vt) \) opisuje falę biegnącą odpowiednio w prawo lub lewo wzdłuż osi  \( x \) i jako przykład rozważaliśmy poprzeczną falę harmoniczną. Teraz poznamy równanie ruchu falowego, które stosuje się do wszystkich rodzajów fal: zarówno fal mechanicznych takich jak fale dźwiękowe, fale na wodzie, fale w strunach, w sprężynach, jak i do fal elektromagnetycznych takich, jak na przykład światło.

Równanie ruchu falowego możemy wyprowadzić wychodząc od ogólnego równania fali  \( {y=f(x-{vt})} \). W tym celu obliczamy przyspieszenie poprzecznych drgań punktu ośrodka o współrzędnej  \( x \), to znaczy obliczamy drugą pochodną  \( y \) względem czasu

gdzie  \( v^{2} \) jest pochodną funkcji wewnętrznej. (Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe, oznaczane symbolem  \( {\partial} \), bo wychylenie  \( y \) jest funkcją dwóch zmiennych  \( y = f(x,t) \).

Łącząc oba powyższe równania, otrzymujemy równanie różniczkowe ruchu falowego

To równanie spełnia każda funkcja  \( f(x - vt) \) jak również  \( f(x + vt) \).

Prędkość  \( v \) rozchodzenia się fali jest niezależna od amplitudy i częstotliwości, natomiast w przypadku fal mechanicznych zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Na przykład prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (struny) jest dana wyrażeniem

gdzie sprężystość sznura jest określona poprzez napinającą go siłę  \( F \) (im większa siła tym szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi), a jego bezwładność zależy od masy  \( \mu \) przypadającej na jednostkę długości sznura.

Równanie ruchu falowego można wyprowadzić bezpośrednio z zasad dynamiki Newtona, obliczając prędkość fal w naprężonym sznurze. Z tym wyprowadzeniem możesz się zapoznać w module Prędkość fal w naprężonym sznurze.