Zasada Fermata

Zasadę Fermata formułujemy w następujący sposób:

Zasada ta wyjaśnia prostoliniowy bieg światła w ośrodku jednorodnym bo linia prosta odpowiada minimum drogi, a tym samym i minimum czasu. Właśnie z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i załamania.

Na Rys. 1 poniżej są przedstawione dwa punkty A i B oraz łączący je promień APB, który odbija się od powierzchni granicznej w punkcie P.

Całkowita długość drogi promienia wynosi

gdzie x jest zmienną zależną od położenia punktu P (punkt odbicia promienia).

Zgodnie z zasadą Fermata punkt P (zmienną  \( x \)) wybieramy tak, żeby czas przebycia drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza to warunek

Porównując z Rys. 1 widzimy, że jest to równoważne zapisowi

Podobnie postępujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuację przedstawioną na Rys. 2.

Czas przelotu z A do B przez punkt P jest dany jest wzorem

Uwzględniając, że  \( n = c/v \) możemy przepisać to równanie w postaci

Wyrażenie w liczniku  \( {l=n_{{1}}l_{{1}}+n_{{2}}l_{{2}}} \) jest drogą optyczną promienia. Ponownie dobieramy zmienną x (położenie punktu P), tak aby droga l była minimalna czyli, aby  \( dl/dx \) = 0. Ponieważ droga optyczna jest równa

Porównując ten wynik z Rys. 2 otrzymujemy


Optyka geometryczna dla soczewek

Soczewkami nazywamy ciała przeźroczyste ograniczone dwoma powierzchniami o promieniach krzywizn  \( R_{1} \) i  \( R_{2} \).

Nasze rozważania własności optycznych soczewek ograniczymy do soczewek cienkich to znaczy takich, których grubość jest znacznie mniejsza od promieni krzywizn  \( R_{1} \) i  \( R_{2} \) powierzchni ograniczających soczewkę. Ponadto zakładamy, że promienie świetlne padające na soczewkę tworzą małe kąty z osią soczewki to jest prostą przechodząca przez środki krzywizn obu powierzchni. Takie promienie (prawie prostopadłe do powierzchni soczewki) leżące w pobliżu osi soczewki nazywamy promieniami przyosiowymi.

Z wyjątkiem promienia biegnącego wzdłuż osi soczewki, każdy promień przechodzący przez soczewkę ulega dwukrotnemu załamaniu na obu powierzchniach soczewki.

Jeżeli przy przejściu przez soczewkę promienie równoległe do osi soczewki zostają odchylone w stronę tej osi, to soczewkę nazywamy skupiającą, a jeżeli odchylają się od osi, soczewka jest rozpraszająca. Soczewka skupiająca odchyla promienie równoległe w taki sposób, że są one skupiane w punkcie F, w odległości  \( f \) od soczewki. Punkt F nosi nazwę ogniska, a odległość  \( f \) nazywamy ogniskową soczewki.

Na Rys. 1 pokazany jest sposób wyznaczania położenia obrazu przedmiotu rozciągłego (strzałki). W celu jego wyznaczenia rysujemy promień równoległy do osi soczewki. Promień ten po przejściu przez soczewkę przechodzi przez ognisko F. Drugi promień przechodzi przez środek soczewki i nie zmienia swojego kierunku. Jeżeli obraz powstaje w wyniku przecięcia się tych promieni, to taki obraz nazywamy rzeczywistym (zob. Rys. 1a). Natomiast gdy promienie po przejściu przez soczewkę są rozbieżne, to obraz otrzymujemy z przecięcia się promieni przedłużonych i taki obraz nazywamy pozornym (zob. Rys. 1b).

Bieg promienia świetlnego w soczewce zależy od kształtu soczewki tzn. od  \( R_{1} \) i  \( R_{2} \), od współczynnika załamania  \( n \) materiału z jakiego wykonano soczewkę oraz od współczynnika załamania  \( n_{o} \) ośrodka, w którym umieszczono soczewkę. Ogniskowa soczewki jest dana równaniem:

Przy opisie soczewek przyjmujemy konwencję, że promienie krzywizn wypukłych powierzchni są wielkościami dodatnimi, a promienie krzywizn wklęsłych powierzchni są wielkościami ujemnymi; powierzchni płaskiej przypisujemy nieskończony promień krzywizny.

Gdy ogniskowa jest dodatnia  \( f >0 \) to soczewka jest skupiająca, a gdy  \( f<0 \) to soczewka jest rozpraszająca.

Odległość  \( x \) przedmiotu od soczewki i odległość  \( y \) obrazu od soczewki (zob. Rys. 1 ) są powiązane równaniem dla cienkich soczewek

a powiększenie liniowe obrazu jest dane wyrażeniem

Przyjmuje się umowę, że odległości obrazów pozornych od soczewki są ujemne.

Odwrotność ogniskowej soczewki  \( D = 1/f \) nazywa się zdolnością zbierającą soczewki.

Dla układu blisko siebie leżących soczewek ich zdolności skupiające dodają się

Wszystkie powyżej podane związki są prawdziwe dla cienkich soczewek i dla promieni przyosiowych.

Tymczasem dla soczewek w rzeczywistych układach optycznych mamy do czynienia z aberracjami to jest ze zjawiskami zniekształcającymi obrazy i pogarszającymi ich ostrość.

Przykładem takiego zjawiska jest aberracja sferyczna. Polega ona na tym, że w miarę oddalania się od osi zwierciadła promienie zaczynają odchylać się od ogniska. W ten sposób zamiast otrzymać obraz punktowy (jak dla promieni przyosiowych) otrzymujemy obraz rozciągły (plamkę). Inną wadą soczewek jest aberracja chromatyczna. Jest na związana ze zjawiskiem dyspersji. Światło o różnych barwach (różnych częstotliwościach) ma różne prędkości, więc i różne współczynniki załamania w szkle, z którego zrobiono soczewkę. W konsekwencji różne barwy są różnie ogniskowane i obraz białego punktu jest barwny.

Te jak i jeszcze inne wady soczewek można korygować, stosując zestawy soczewek oraz wykonując soczewki o odpowiednich krzywiznach i z materiału o odpowiednim współczynniku załamania.


Warunki stosowalności optyki geometrycznej

W module Prawo odbicia i załamania zakładaliśmy, że energia świetlna rozprzestrzenia się wzdłuż linii prostych. Posługiwanie się pojęciem promienia świetlnego było przydatne do opisu tych zjawisk, ale nie możemy się nim posłużyć przy opisie ugięcia światła. Żeby to sprawdzić, prześledźmy zachowanie fali płaskiej padającej na szczeliny o różnej szerokości. To zachowanie jest przedstawione schematycznie na Rys. 1 poniżej dla szczelin o szerokości  \( a = 5 \lambda  \),  \( a = 3 \lambda  \) oraz  \( a = \lambda  \).

Widzimy, że światło padające na szczelinę ulega ugięciu. Wiązka staje się rozbieżna i nie możemy wydzielić z niej pojedynczego promienia metodą zmniejszania szerokości szczeliny tym bardziej, że ugięcie staje się coraz bardziej wyraźne, gdy szczelina staje się coraz węższa ( \( a/\lambda \rightarrow 0 \)). W tym zjawisku ujawnia się falowa natura światła. To ugięcie jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fal. Dzięki temu możemy, np. słyszeć rozmowę (fale głosowe) znajdując się za załomem muru. Ugięcie fal na szczelinie (albo na przeszkodzie) wynika z zasady Huygensa (zob. moduł Dodatek: Zasada Huygensa ).


Dodatek: Zasada Huygensa

Huygens podał swoją teorię rozchodzenia się światła w XVII w., znacznie przed sformułowaniem teorii Maxwella. Nie znał więc elektromagnetycznego charakteru światła, ale założył, że światło jest falą. Teoria Huygensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasadą Huygensa), która pozwala przewidzieć położenie czoła fali w dowolnej chwili w przyszłości, jeżeli znamy jego obecne położenie.

Jako przykład prześledźmy jak za pomocą elementarnych fal Huygensa, można przedstawić rozchodzenie się fali płaskiej w próżni.

Na Rys. 1 widzimy czoło fali płaskiej rozchodzącej się w próżni. Fala na rysunku biegnie w stronę prawą. Zgodnie z zasadą Huygensa kilka dowolnie wybranych punktów na tej powierzchni traktujemy jako źródła fal kulistych. Ponieważ fala w próżni rozchodzi się z prędkością  \( c \) to po czasie  \( t \) promienie tych kul będą równe  \( ct \). Powierzchnia styczna do tych kul po czasie t jest nową powierzchnią falową. Oczywiście powierzchnia falowa fali płaskiej jest płaszczyzną rozchodzącą się z prędkością  \( c \).

Zauważmy, że w oparciu o tę zasadę można by oczekiwać, że fala Huygensa może się rozchodzić zarówno do tyłu jak i do przodu. Tę „niezgodność” modelu z obserwacją eliminuje się poprzez założenie, że natężenie fal kulistych Huygensa zmienia się w sposób ciągły od maksymalnego dla kierunku 'do przodu' do zera dla kierunku 'do tyłu'.

Metoda Huygensa daje się zastosować jakościowo do wszelkich zjawisk falowych. Można przedstawić za pomocą elementarnych fal Huygensa zarówno odbicie fal, jak i ich załamanie. My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na szczelinie (lub przeszkodzie) pokazanych w module Warunki stosowalności optyki geometrycznej.

Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny. Każdy jej punkt możemy potraktować jako źródło fal kulistych Huygensa. Jednak przez szczelinę przechodzi tylko część fal. Fale leżące poza brzegami szczeliny zostają wyeliminowane i nie dają fali płaskiej razem z falami przechodzącymi. Z tym właśnie związane jest zaginanie wiązki.

Zwróćmy uwagę na to, że gdy szerokość szczeliny staje się duża w stosunku do długości fali  \( a>>\lambda  \), to ugięcie można zaniedbać. Możemy przyjąć wówczas, że światło rozchodzi się po liniach prostych (zwanych promieniami) podlegających prawom odbicia i załamania. Mówimy, że stosujemy optykę geometryczną. Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej jest więc, aby wymiary liniowe wszystkich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin, itp.) były o wiele większe od długości fali.

Jeżeli tak nie jest to nie możemy przy opisie światła posługiwać się promieniami, lecz trzeba wziąć pod uwagę falowy charakter światła. Widać jak znaczące jest ugięcie fali, gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z długością fali. Mówimy wtedy, że stosujemy optykę falową. Optyka geometryczna jest szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falowej.


Interferencja i doświadczenie Younga

Doświadczenie wykonane przez Younga (w 1801 r.) wykazało zachodzenie interferencji (nakładania się fal) dla światła. Był to pierwszy eksperyment wskazujący na falowy charakter światła.

W swoim doświadczeniu, Young oświetlił światłem słonecznym ekran, w którym był zrobiony mały otwór  \( S_{0} \). Przechodzące światło padało następnie na drugi ekran z dwoma szczelinami  \( S_{1} \) i  \( S_{2} \) i dalej rozchodziły się dwie, nakładające się na siebie fale kuliste tak jak na Rys. 1.

Warunki stosowalności optyki geometrycznej nie są spełnione i na szczelinach następuje ugięcie fal. Mamy do czynienia z optyką falową.

Jeżeli umieścimy ekran w jakimkolwiek miejscu, tak aby przecinał on nakładające się na siebie fale to możemy oczekiwać pojawienia się na nim miejsc ciemnych i jasnych następujących po sobie kolejno w zależności od wyniku nakładania się fal (zob. Rys. 1 ). Miejsca ciemne powstają w wyniku wygaszania się interferujących fal, a jasne w wyniku ich wzajemnego wzmocnienia. Obserwujemy tak zwane prążki interferencyjne (zob. Rys. 1 ).

Przeanalizujemy teraz doświadczenie Younga ilościowo. Zakładamy, że światło padające zawiera tylko jedną długość fali (jest monochromatyczne). Na Rys. 2 poniżej punkt  \( P \) jest dowolnym punktem na ekranie, odległym o  \( r_{1} \) i  \( r_{2} \) od wąskich szczelin  \( S_{1} \) i  \( S_{2} \).

Linia  \( S_{2}B \) została poprowadzona tak, aby  \( PS_{2} \) =  \( PB \). Zwrócić uwagę, że dla przejrzystości na rysunku nie zachowano proporcji  \( d/D \). Naprawdę  \( d << D \) i wtedy kąt  \( S_{1} \) \( S_{2}B \) jest równy  \( \theta  \) z dużą dokładnością.

Oba promienie wychodzące ze szczelin  \( S_{1} \) i  \( S_{2} \) są zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali płaskiej. Jednak drogi, po których docierają do punktu  \( P \) są różne więc i ich fazy w punkcie  \( P \) mogą być różne. Odcinki  \( PB \) i  \( PS_{2} \) są identyczne (tak to skonstruowaliśmy) więc o różnicy faz decyduje różnica dróg optycznych tj. odcinek  \( S_{1}B \).

Aby w punkcie  \( P \) wystąpiło maksimum natężenia światła, odcinek  \( S_{1}B \) musi zawierać całkowitą liczbę długości fal. Jest tak dlatego, że po przebyciu odcinka równego  \( \lambda  \) faza fali powtarza się więc po przebyciu drogi równej m \( \lambda  \) (m - liczba całkowita) fala ma fazę taką jak na początku tej drogi. Odcinek  \( S_{1}B \) nie wpływa na różnicę faz, a ponieważ fale były zgodne w źródle więc będą zgodne w fazie w punkcie  \( P \).

Warunek na maksimum możemy zatem zapisać w postaci

Zgodnie z Rys. 2,  \( {S_{{1}}B=d\text{sin}\theta } \) więc

Zauważmy, że każdemu maksimum powyżej środkowego punktu  \( O \) odpowiada położone symetrycznie maksimum poniżej punktu  \( O \). Istnieje też centralne maksimum opisywane przez  \( m = 0 \).

Dla uzyskania minimum natężenia światła w punkcie  \( P \), odcinek  \( S_{1}B \) musi zawierać połówkową liczbę długości fal, to jest

Równanie ( 2 ) opisujące położenie kątowe maksimów interferencyjnych może posłużyć do wyznaczenia długości fali

Tak właśnie Young wyznaczył długości fal światła widzialnego.


Spójność (koherencja) fal świetlnych

Podstawowym warunkiem powstania dobrze określonego obrazu interferencyjnego jest, aby interferujące fale świetlne miały dokładnie określoną różnicę faz  \( \varphi  \) stałą w czasie. Przypomnijmy, że faza określa stan fali w danym miejscu i czasie. Przykładowo, jeżeli w jakimś miejscu na ekranie różnica faz interferujących fal wynosi  \( \pi  \) to oznacza fizycznie, że fale docierające tam wygaszają się (przy założeniu równych amplitud); mamy ciemny prążek. I tak jest przez cały czas o ile różnica faz nie zmieni się. Gdyby taka zmiana nastąpiła to w tym miejscu natężenie światła nie będzie już dłużej równe zeru. Widzimy, że warunkiem stabilności obrazu jest stałość w czasie różnicy faz fal wychodzących ze źródeł  \( S_{1} \) i  \( S_{2} \). Mówimy, że te źródła są koherentne czyli spójne.

Jeżeli szczeliny  \( S_{1} \) i  \( S_{2} \) zastąpimy przez dwa niezależne źródła fal (np. żarówki), to nie otrzymamy prążków interferencyjnych, ekran będzie oświetlony prawie równomiernie. Interpretujemy to w ten sposób, że różnica faz dla fal pochodzących z niezależnych źródeł zmienia się w czasie w sposób nieuporządkowany. W jednej chwili są spełnione warunki dla maksimum za moment warunki pośrednie, a jeszcze za chwilę warunki dla minimum. I tak dla każdego punktu na ekranie wypadkowe natężenie światła jest sumą natężeń od poszczególnych źródeł. Mówimy, że te źródła są niespójne, niekoherentne.

Na zakończenie zapamiętajmy, że zwykłe źródła światła takie jak żarówki (żarzące się włókna) dają światło niespójne bo emitujące światło atomy działają zupełnie niezależnie. Natomiast współcześnie szeroko stosowanymi źródłami światła spójnego są lasery. Szczegóły dotyczące emisji światła przez lasery jak i zasada działania lasera są omówione w modułach Spontaniczna i wymuszona emisja fotonów oraz Laser.


Natężenie światła w doświadczeniu Younga

W tym punkcie określimy ilościowo wypadkowe natężenie interferujących fal spójnych. Opisując interferencję fal elektromagnetycznych zajmiemy się wyłącznie opisem pola elektrycznego  \( E \) tych fal ponieważ działanie pola  \( B \) na detektory światła (w tym oko ludzkie) jest znikomo małe.

Załóżmy, że składowe pola elektrycznego obu fal w punkcie P, w którym rozpatrujemy wynik interferencji (zob. Interferencja i doświadczenie Younga-Rys. 2 ) zmieniają się następująco

gdzie  \( \omega  \) = 2 \( \pi \nu  \) jest częstością kołową fal, a  \( \varphi  \) różnicą faz między nimi.

Zauważmy, że różnica faz w punkcie P zależy od położenia tego punktu na ekranie, a tym samym od kąta  \( \theta  \). Przyjmijmy natomiast, że amplituda  \( E_{0} \) nie zależy od kąta  \( \theta  \). Jeżeli wektory  \( E \) interferujących fal są do siebie równoległe to wypadkowe pole elektryczne w punkcie P obliczmy jako sumę algebraiczną poszczególnych zaburzeń

Podstawiając równania obu fal obliczamy pole wypadkowe

gdzie  \( \beta  \) =  \( \varphi  \)/2 oraz  \( E_{theta}= 2E_{0} \)cos \( \beta = E_{m} \)cos \( \beta  \).

Energia drgań harmonicznych jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy więc natężenie fali wypadkowej

Obliczmy teraz stosunek natężeń fali wypadkowej do fali pojedynczej

Zgodnie z tym wyrażeniem natężenie wypadkowe zmienia się od zera, dla punktów, w których różnica faz  \( \varphi  \) = 2 \( \beta = 0 \), do maksymalnego, dla punktów, w których różnica faz  \( \varphi  \) = 2 \( \beta  \) = 0.

Różnica faz wiąże się z różnicą dróg poprzez prostą relację

czyli dla sytuacji pokazanej na Interferencja i doświadczenie Younga-Rys. 2.

To równanie wyraża zależność przesunięcia fazowego, a tym samym i natężenia fali wypadkowej od kąta  \( \theta  \) (miejsca na ekranie). Na Rys. 1 wykreślony został rozkład natężeń otrzymany w wyniku interferencji światła spójnego wychodzącego z dwóch szczelin w porównaniu z wynikiem dla źródeł niespójnych (równomierne oświetlenie ekranu) jak i dla pojedynczego źródła.


Interferencja w cienkich warstwach

Dobrze nam znane tęczowe zabarwienie cienkich warstewek, np. baniek mydlanych czy plam oleju na wodzie jest wynikiem interferencji. Na Rys. 1 pokazana jest warstwa o grubości  \( d \) i współczynniku załamania  \( n \).

Warstwa jest oświetlona przez rozciągłe źródło światła monochromatycznego. Dwa promienie wychodzące z punktu S źródła docierają do oka po przejściu przez punkt P. Promienie te przebiegają różne drogi gdyż jeden odbija się od górnej, a drugi od dolnej powierzchni błonki. To czy punkt P widzimy jako jasny czy ciemny zależy od wyniku interferencji fal w tym punkcie.

Fale te są spójne, bo pochodzą z tego samego punktu źródła światła. Jeżeli światło pada prawie prostopadle to geometryczna różnica dróg pomiędzy obu promieniami wynosi z dobrym przybliżeniem  \( 2d \). Można by więc oczekiwać, że maksimum interferencyjne (punkt P jasny) wystąpi, gdy odległość  \( 2d \) będzie całkowitą wielokrotnością długości fali. Tymczasem wynik doświadczenia jest inny.

Chcemy teraz uwzględnić oba czynniki czyli różnice dróg optycznych oraz zmiany fazy przy odbiciu. Dla dwóch promieni pokazanych na Rys. 1 warunek na maksimum ma więc postać

Czynnik  \( \lambda  \) \( _{n} \)/2 opisuje zmianę fazy przy odbiciu (od górnej powierzchni) bo zmiana fazy o 180° ( \( \pi  \)) jest równoważna, zgodnie z Natężenie światła w doświadczeniu Younga-( 9 ), różnicy dróg równej połowie długości fali. Ponieważ  \( \lambda_{n} = \lambda/n \) otrzymujemy ostatecznie

Analogiczny warunek na minimum ma postać


Interferencja fal z wielu źródeł

Interferencja i doświadczenie Younga-( 2 ) opisujące położenie kątowe maksimów interferencyjnych w doświadczeniu Younga z dwoma punktowymi szczelinami może posłużyć do wyznaczenia długości fali światła monochromatycznego. W praktyce jest to jednak trudne, bo ze względu na małe natężenia światła nie można w sposób dokładny wyznaczyć położenia maksimów interferencyjnych. Dlatego do wyznaczenia długości fali świetlnej stosuje się układ wielu równoległych do siebie szczelin czyli siatkę dyfrakcyjną.

Na Rys. 1 pokazany jest układ  \( N \) szczelin odległych od siebie o  \( d \). Odległość d nazywamy stałą siatki dyfrakcyjnej.

Obraz powstały przy oświetleniu siatki dyfrakcyjnej składa się z serii prążków interferencyjnych podobnie jak dla dwóch szczelin. Na Rys. 2 rozkład natężeń dla  \( N \) = 5 szczelin jest porównany z wynikiem uzyskanym w doświadczeniu Younga dla dwóch szczelin.

Z tego porównania wynika, że nie zmienia się odległości pomiędzy głównymi maksimami (przy zachowaniu odległości między szczelinami  \( d \) i długości fali  \( \lambda  \)). Położenia maksimów głównych nie zależą więc od  \( N \). Nastąpił natomiast bardzo wyraźny wzrost natężenia maksimów głównych, ich zwężenie oraz pojawiły się wtórne maksima pomiędzy nimi.

Maksima główne występują, gdy różnica dróg optycznych promieni wychodzących z sąsiednich szczelin (zob. Rys. 1 ) zawiera całkowitą liczbę długości fal  \( \lambda \) czyli gdy spełniony jest warunek

Wzór ten jest identyczny jak Interferencja i doświadczenie Younga-( 2 ) opisujące położenie kątowe maksimów interferencyjnych dla dwóch szczelin. Tym razem jednak ścisłe określenie położenia maksimów interferencyjnych jest łatwiejsze ze względu na ich większe natężenie i mniejszą szerokość.

W miarę wzrostu liczby szczelin siatki maksima główne stają się coraz węższe, a maksima wtórne zanikają i dlatego w praktyce stosuje się siatki dyfrakcyjne zawierające nawet kilka tysięcy szczelin, w których odległość między szczelinami jest rzędy tysięcznych części milimetra. Natężenie maksimów głównych ma wartość  \( {I=I_{{0}}N^{{2}}} \) czyli  \( N^{ 2} \) razy większe niż dla pojedynczego źródła.

Możliwość rozróżnienia maksimów obrazów dyfrakcyjnych dla dwóch fal o niewiele różniących się długościach decyduje o jakości siatki dyfrakcyjnej. Mówimy, że siatka powinna mieć dużą zdolność rozdzielczą, którą definiujemy jako

Praktyczne działanie jednowymiarowej siatki dyfrakcyjnej na promień lasera przedstawia film:

Definicja 1: Zdolność rozdzielcza

(4)

								\( {R=\frac{\lambda }{\mathit{\Delta \lambda }}} \)

gdzie  \( \lambda  \) jest średnią długością fali dwóch linii ledwie rozróżnialnych, a  \( \Delta  \lambda  \) różnicą długości fal miedzy nimi. Widać, że im mniejsza  \( \Delta \lambda  \) tym lepsza zdolność rozdzielcza.


Wprowadzenie do zjawiska dyfrakcji

W doświadczeniu Younga i doświadczeniu z siatką dyfrakcyjną mamy do czynienia z interferencją fal ugiętych na dwóch i wielu szczelinach (przeszkodach). Doświadczenia te stanowią więc dowód nie tylko interferencji, ale także dyfrakcji czyli ugięcia światła.

Na Rys. 1a pokazano na czym polega dyfrakcja. Fala ze źródła S przechodzi przez otwór w przesłonie i pada na ekran. Natężenie w punkcie P na ekranie można obliczyć dodając do siebie wszystkie zaburzenia falowe (wektory pola elektrycznego  \( E \)) docierające z różnych punktów szczeliny. Nie jest to łatwe bo te elementarne fale mają różne amplitudy i fazy. Wynika to z tego że:

Taka sytuacja, gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie, (promienie nie są równoległe) pojawia się gdy źródło fal i ekran, na którym powstaje obraz znajdują się w skończonej odległości od przesłony ze szczeliną. Taki przypadek nosi nazwę dyfrakcji Fresnela.

Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran odsuniemy na bardzo duże odległości od otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcją Fraunhofera. Czoła fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak na Rys. 1b.

Dyfrakcję Fraunhofera można zrealizować w laboratorium za pomocą dwu soczewek skupiających. Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległą, a druga skupia, w punkcie P, fale płaskie opuszczające otwór w przesłonie.


Dyfrakcja na pojedyńczej szczelinie

Rozpatrzmy falę płaską padającą prostopadle na szczelinę tak jak na Rys. 1. Zacznijmy od najprostszego przypadku tj. rozpatrzenia punktu środkowego O na ekranie. W tym punkcie są skupiane przez soczewkę S równoległe promienie wychodzące ze szczeliny. Te równoległe promienie przebywają do tego punktu te same drogi optyczne (choć różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość długości fal. Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fazie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie. Dlatego w środkowym punkcie O będziemy obserwować maksimum.

Rozpatrzmy teraz inny punkt P na ekranie pokazany na Rys. 1. Promienie docierające do P wychodzą ze szczeliny o szerokości a pod kątem  \( \theta  \). Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a drugi w jej środku. Dodatkowo pokazany jest (linią przerywaną) promień przechodzący przez środek soczewki. Promień ten nie jest odchylany i dlatego określa kąt  \( \theta  \).

Jeżeli wybierzemy punkt P tak, żeby różnica dróg BB' wynosiła  \( \lambda \)/2 to promienie, które mają zgodne fazy w szczelinie będą miały w punkcie P fazy przeciwne i wygaszą się. Podobnie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości  \( a \)/2 poniżej. Punkt P będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to minimum ma następującą postać

Zauważmy, że gdyby szerokość szczeliny była równa  \( \lambda \) wtedy pierwsze minimum pojawiłoby się dla  \( \theta \) = 90° czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran.

Podobne rozważania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci

Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście maksima natężenia określone przez warunek


Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym

Chcemy teraz znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym ekranie w funkcji kąta  \( \theta  \). Szczelinę dzielimy na  \( N \) odcinków i każdy z nich traktujemy jak źródło zaburzenia falowego. Zakładamy, że dla małych kątów  \( \theta  \) zaburzenia falowe docierające do punktu P z różnych miejsc szczeliny mają jednakowe amplitudy  \( E_{0} \). Wtedy w punkcie P dodaje się  \( N \) wektorów natężenia pola elektrycznego  \( E \) o tej samej amplitudzie  \( E_{0} \) i tej samej częstości. Różnica faz między falami pochodzącymi z sąsiednich odcinków szczeliny wynosi  \( \varphi  \). Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, to jest dla różnych kątów  \( \theta  \), co równocześnie odpowiada różnym wartościom  \( \varphi  \).

Skorzystamy tu z graficznej metody dodawania amplitud zaburzeń falowych. W tej metodzie każdej fali odpowiada wektor (nazywany wskazem), którego długość reprezentuje amplitudę fali, a kąt względem osi  \( x \) fazę. Amplitudę wypadkową fali znajdujemy jako sumę wektorów amplitud (wskazów) uwzględniając tym samym amplitudy fal składowych jak i różnice faz między falami.

Na Rys. 1 poniżej jest przedstawiona konstrukcja geometryczna, za pomocą której obliczymy natężenie światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie.

Łuk okręgu jest utworzony z wektorów amplitud fal pochodzących z  \( N \) elementarnych źródeł w szczelinie. Długość łuku wynosi  \( E_{m} \) czyli jest równa maksymalnej amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek). Kąt  \( \phi \) w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w łuku to znaczy \( \phi \) jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeliny.

W mierze łukowej kąt  \( \varphi =E_{{m}}/{R} \) więc

Podstawiając tę zależność do równania ( 2 ), otrzymujemy

Wektory na Rys. 1 odpowiadają amplitudom pola elektrycznego. Żeby otrzymać natężenie światła trzeba amplitudy podnieść do kwadratu, więc na podstawie równania ( 5 ) otrzymujemy

Jak widzimy, w przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego, natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych nie są jednakowe.

Ponieważ  \( \phi \) jest różnicą faz dla promieni wychodzących z brzegów szczeliny o szerokości  \( a \), więc różnica dróg jakie przebywają te promienie do punktu P wynosi asin \( \theta \). Korzystając z relacji

Łącząc równania ( 6 ) i ( 9 ), możemy obliczyć natężenie światła dla obrazu dyfrakcyjnego otrzymanego dla pojedynczej szczeliny. Widzimy, że natężenie  \( I_\theta \) przyjmuje wartości minimalne dla

Podstawiając tę zależność do równania ( 8 ) otrzymujemy wynik zgodny z uzyskaną poprzednio zależnością Dyfrakcja na pojedyńczej szczelinie-( 2 ).

Podobnie jest z wartościami maksymalnymi natężenia, które otrzymujemy dla

Na Rys. 2 przedstawiono rozkład natężenia światła (krzywe I \( _\theta \)) w funkcji położenia na ekranie (kąta  \( \theta \)) dla różnych szerokości szczeliny (w stosunku do długości fali  \( \lambda  \)).


Interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach

W doświadczeniu Younga przyjmowaliśmy, że szczeliny są punktowe tj.  \( a<<\lambda  \). W wyniku interferencji fal spójnych ugiętych na takich szczelinach otrzymywaliśmy prążki interferencyjne o jednakowym natężeniu. Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek  \( a<<\lambda  \). Oznacza to, że pojedyncza szczelina będzie dawała obraz dyfrakcyjny i w wyniku interferencji fal z dwóch szczelin otrzymamy obraz, w którym natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu Younga), ale zależne od tego obrazu dyfrakcyjnego.

Przypomnijmy, że natężenie światła w obrazie interferencyjnym dla dwóch punktowych szczelin dane jest wyrażeniem

gdzie  \( d \) jest odległością między szczelinami.

Natomiast natężenie fali ugiętej na szczelinie jest dane równaniem

gdzie  \( a \) jest szerokością szczeliny.

Teraz chcemy otrzymać łączny efekt. Dlatego w równaniu ( 1 ) stałą amplitudę obrazu interferencyjnego (dla wąskich szczelin) zastępujemy realnym natężeniem dyfrakcyjnym ( 3 ). Otrzymujemy

Ten wynik opisuje następujące fakty. W danym punkcie na ekranie natężenie światła, z każdej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dyfrakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nakładają się, fale interferują.

Na Rys. 1 pokazany jest ten wynik dla  \( d \) = 50 \( \lambda  \) i trzech wartości stosunku  \( a/ \lambda  \). Widzimy, że im szersze szczeliny tym wpływ dyfrakcji jest silniejszy (natężenia prążków są bardziej zmienione). Uzyskany obraz jest zgodnie z równaniem ( 5 ) iloczynem czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego.

To nakładanie się czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego jest jeszcze lepiej widoczne na Rys. 2. Czynnik interferencyjny ~cos \( ^{2} \) \( \beta  \) jest pokazany na górnym wykresie, czynnik dyfrakcyjny ~(sin \( \alpha /\alpha )^{2} \) na środkowym, a ich iloczyn na dolnym. Widzimy, że obwiednie prążków interferencyjnych pokrywają się dokładnie z obrazem dyfrakcyjnym.


Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X)

W krystalicznych ciałach stałych atomy ułożone są w przestrzeni w sposób regularny tworząc tzw. sieć krystaliczną. Na Rys. 1 pokazane jest rozmieszczenie atomów w krysztale NaCl. Małe kule przedstawiają atomy (jony) sodu, a duże jony chloru. Na Rys. 1 pokazana jest tzw. komórka elementarna. Jest to najmniejsza jednostka (cegiełka), z której można zbudować kryształ.

Takie ułożenie atomów w powtarzający się regularny wzór powoduje, że krystaliczne ciało stałe stanowi naturalny, trójwymiarowy układ szczelin (przeszkód) czyli trójwymiarową siatkę dyfrakcyjną.

Jednak w tym przypadku światło widzialne jest bezużyteczne, ponieważ długość jego fal jest dużo większa od odległości między atomami  \( \lambda \) a. Przykładowo, światło żółte ma długość równą 589 nm, a odległość między najbliższymi atomami w krysztale NaCl wynosi a  \( {\approx} \) 0.281 nm.

Musimy więc posłużyć się promieniowaniem X (promieniowanie rentgenowskie). Więcej o promieniowaniu rentgenowskim dowiemy się w dalszych rozdziałach, teraz zapamiętajmy jedynie, że jest to promieniowanie elektromagnetyczne o długościach fal rzędu 0.1 nm, to jest tego samego rzędu co odległości międzyatomowe w kryształach. Na Rys. 2 poniżej pokazana jest wiązka promieni X padająca na kryształ. Wiązki fal ugiętych na atomach padają na kliszę tworząc na niej w wyniku interferencji charakterystyczny obraz (układ punktów) zwany od nazwiska niemieckiego fizyka odkrywcy tej metody obrazem Lauego.

Natężenia linii w obrazie dyfrakcyjnym zależą od geometrii pojedynczej szczeliny. W idealnym przypadku zależą od szerokości szczeliny. Tak samo natężenia wiązek rozproszonych na krysztale zależą od geometrii pojedynczej rozpraszającej komórki elementarnej. Analiza położeń i natężeń tych punktów pozwala na określenie struktury kryształu.

Kierunki (kąty  \( \theta \)), dla których otrzymujemy wzmocnienie promieni X ugiętych na krysztale, określa prawo Bragga.

Więcej o prawie Bragga możesz przeczytać w module Prawo Bragga.

Widzimy, że znając długość fali  \( \lambda \) możemy z prawa Bragga wyznaczyć odległości międzyatomowe. Dyfrakcja promieni X jest ważną metodą doświadczalną w badaniu ciała stałego.


Prawo Bragga

Prawo Bragga podaje warunki, w jakich zachodzi dyfrakcja promieni Roentgena na krysztale. Rys. 1 pokazuje ugięcie wiązki promieni X na zespole równoległych płaszczyzn (linie przerywane). Odległość między płaszczyznami wynosi d.

Promienie ugięte będą się wzmacniać gdy różnica dróg pomiędzy sąsiednimi promieniami (zob. Rys. 1 ) będzie równa całkowitej wielokrotności długości fali

Dla  \( m \) = 0 otrzymujemy  \( \beta  \) =  \( \theta  \) to znaczy płaszczyzna wyznaczona przez atomy działa jak „zwierciadło” odbijające falę padającą (kąt padania = kąt odbicia) to znaczy w tym kierunku obserwujemy wzmocnienie promieniowania ugiętego.

Jeżeli chcemy otrzymać wzmocnienie promieniowania odbitego od całej rodziny płaszczyzn, dla kierunku określonego przez kąt  \( \theta  \), to muszą się wzmacniać promienie odbite od poszczególnych płaszczyzn. Oznacza to, że różnica dróg dla promieni odbitych od sąsiednich płaszczyzn ( Rys. 1a) musi być równa całkowitej wielokrotności  \( \lambda  \), co sprowadza się do warunku zwanego prawem Bragga.

W równaniu tym d oznacza odległość między sąsiednimi płaszczyznami. Należy tu zwrócić uwagę, że w krysztale znajduje się wiele różnych rodzin płaszczyzn o różnych odległościach międzypłaszczyznowych.

Pomiar dyfrakcji promieni X jest doświadczalną metodą badania rozmieszczenia atomów w kryształach.


Polaryzacja - podstawowe informacje

Teoria Maxwella przewiduje, że światło jest falą poprzeczną tzn. kierunki drgań wektorów  \( E \) i  \( B \) są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali.

Na Rys. 1 poniżej przedstawiono falę elektromagnetyczną, która wyróżnia się tym, że wektory  \( E \) są do siebie równoległe we wszystkich punktach fali. Dotyczy to również wektorów  \( B \). O takiej fali mówimy, że jest płasko spolaryzowana lub spolaryzowana liniowo. Wektory  \( E \) tworzą z kierunkiem ruchu fali płaszczyznę zwaną płaszczyzną drgań.

Przykładem fal spolaryzowanych liniowo są fale elektromagnetyczne radiowe emitowane przez antenę dipolową omawiane w module Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych.

W dużej odległości od dipola, wektor pola elektrycznego jest równoległy do osi dipola, anteny (zob. Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych-Rys. 3 ). Emitowana fala jest więc spolaryzowana liniowo. Kiedy taka fala pada na antenę odbiorczą wówczas zmienne pole elektryczne (zmienny wektor  \( E \) fali) wywołuje w antenie odbiorczej drgania elektronów w górę i w dół. W efekcie prąd zmienny popłynie w układzie wejściowym odbiornika. Jeżeli jednak obrócimy antenę o 90° wokół kierunku padania fali, to wektor  \( E \) będzie prostopadły do anteny i nie wywoła ruchu elektronów (antena nie odbiera sygnału).

Źródła światła widzialnego różnią się od źródeł fal radiowych między innymi tym, że atomy (cząsteczki) emitujące światło działają niezależnie. W konsekwencji rozchodzące się światło składa się z niezależnych ciągów fal, których płaszczyzny drgań zorientowane są przypadkowo wokół kierunku ruchu fali. Takie światło chociaż jest falą poprzeczną jest niespolaryzowane.

Na Rys. 2 pokazana jest schematycznie różnica między falą poprzeczną spolaryzowaną liniowo  Rys. 2a i falą poprzeczną niespolaryzowaną  Rys. 2b. Na rysunku  Rys. 2a wektor  \( E \) drga w jednej płaszczyźnie, podczas gdy w sytuacji pokazanej na rysunku  Rys. 2b płaszczyzny drgań wektora  \( E \) zorientowane są przypadkowo.

Rys. 2c przedstawia inny równoważny opis niespolaryzowanej fali poprzecznej: traktujemy ją jako złożenie dwóch spolaryzowanych liniowo fal o przypadkowo zmiennej różnicy faz. Oznacza to, że wypadkowy wektor  \( E \) ma zmienną (ale prostopadłą) orientację względem kierunku rozchodzenia się fali. Orientacja kierunków drgań składowych pól  \( E \) jest też przypadkowa chociaż zawsze prostopadła względem kierunku rozchodzenia się fali.

Z dotychczas omawianych doświadczeń z interferencją i dyfrakcją nie wynika poprzeczny charakter fal świetlnych bo fale podłużne też interferują i ulegają ugięciu. Natomiast zjawisko polaryzacji jest charakterystyczne dla fal poprzecznych. Jednak, aby móc odróżnić od siebie różne fale poprzeczne biegnące w tym samym kierunku potrzebna jest metoda, która pozwoliłaby rozdzielić fale o różnych płaszczyznach drgań. Dotyczy to również badania fal świetlnych niespolaryzowanych.


Płytki polaryzujące

Na Rys. 1 pokazana jest niespolaryzowana fala świetlna padająca na płytkę z materiału polaryzującego, zwanego polaroidem.

W płytce istnieje pewien charakterystyczny kierunek polaryzacji zaznaczony równoległymi liniami przerywanymi. Kierunek polaryzacji polaroidu ustala się w procesie produkcji. Cząsteczki o strukturze łańcuchowej osadza się na elastycznej warstwie plastycznej, a następnie warstwę rozciąga się co powoduje równoległe ułożenie cząsteczek.

Płytka przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drgań wektora elektrycznego są równoległe do kierunku polaryzacji, a pochłania te fale, w których kierunki te są prostopadłe. Jeżeli wektor  \( E \) wyznaczający płaszczyznę drgań tworzy kąt  \( \theta  \) z kierunkiem polaryzacji płytki to przepuszczana jest składowa równoległa  \( {E_{{\text{II}}}=E\text{cos}\theta } \) podczas gdy składowa prostopadła  \( {E_{{⊥}}=E\text{sin}\theta } \) jest pochłaniana (zob. Rys. 2 ).

Jeżeli więc oprócz płytki polaryzującej (polaryzatora) ustawimy na drodze światła drugą taką płytkę (nazywaną analizatorem), to obracając analizator wokół kierunku padania światła, możemy zmieniać natężenie światła przechodzącego przez obie płytki. Jeżeli amplituda pola elektrycznego fali padającej na analizator jest równa  \( E_{0} \), to amplituda fali wychodzącej z analizatora wynosi  \( E_{{0}}\text{cos}\theta \), gdzie  \( \theta  \) jest kątem pomiędzy kierunkami polaryzacji obu płytek.

Ponieważ natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy więc

Zauważmy, że natężenie światła osiąga maksimum dla  \( \theta  \) = 0° lub  \( \theta  \) = 180° to jest dla równoległych kierunków polaryzacji, a minimum dla  \( \theta  \) = 90° lub  \( \theta  \) = 270° to jest dla prostopadłych kierunków polaryzacji.

Działanie filtrów polaryzacyjnych na fale linowo spolaryzowana możemy zaobserwować na filmie:


Polaryzacja przez odbicie

Innym sposobem, w jaki światło może być spolaryzowane, częściowo lub całkowicie, jest odbicie od powierzchni dielektryka (np. szkła). Na Rys. 1 pokazana jest wiązka niespolaryzowana padająca na powierzchnię szkła.

Doświadczalnie stwierdzono, że istnieje pewien kąt padania, nazywanykątem całkowitej polaryzacji  \( \alpha_{p} \), dla którego wiązka odbita jest całkowicie spolaryzowana liniowo w kierunku prostopadłym do płaszczyzny padania. Oznacza to, że odbiciu ulega tylko składowa  \( \sigma  \) prostopadła do płaszczyzny padania (płaszczyzny Rys. 1 ) natomiast współczynnik odbicia składowej  \( \pi  \) leżącej w płaszczyźnie padania jest równy zeru. Natomiast wiązka przechodząca jest tylko częściowo spolaryzowana (składowa  \( \pi \) jest całkowicie załamana, a składowa  \( \sigma \) tylko częściowo).

Doświadczalnie stwierdzono, że gdy kąt padania jest równy kątowi całkowitej polaryzacji to wówczas wiązka odbita i załamana tworzą kąt prosty czyli

więc łącząc oba te równania, otrzymujemy

Poniżej znajduje się film ilustrujący omawiane zagadnienia:


Dwójłomność

Jedna z metod uzyskania światła spolaryzowanego polega na wykorzystujaniu, występującej w pewnych kryształach, zależności współczynnika załamania światła od kierunku polaryzacji. W module Prawo odbicia i załamania zakładaliśmy, że współczynnik załamania, nie zależy od kierunku rozchodzenia się światła w ośrodku ani od jego polaryzacji. Ciała spełniające te warunki nazywamy ciałami optycznie izotropowymi. Istnieje jednak szereg ciał anizotropowych i dotyczy to nie tylko własności optycznych, ale wielu innych. Na przykład, pewne kryształy łamią się łatwo tylko w jednej płaszczyźnie, a opór elektryczny mierzony w różnych kierunkach jest różny, niektóre kryształy łatwiej magnesuje się w jednym kierunku niż innych, itd.

Na Rys. 1 pokazana jest niespolaryzowana wiązka światła padająca na kryształ kalcytu (CaCO \( _{3} \)) prostopadle do jednej z jego ścian.

Pojedyncza wiązka światła rozszczepia się, przechodząc przez kryształ, na dwa promienie. Mamy do czynienia z dwójłomnością czyli podwójnym załamaniem.

Jeżeli zbadamy obie wychodzące wiązki za pomocą płytki polaryzującej, to okaże się, że obie wiązki są spolaryzowane liniowo, przy czym ich płaszczyzny drgań są wzajemnie prostopadłe. Wiązki te noszą odpowiednio nazwy promienia zwyczajnego (o) i promienia nadzwyczajnego (e). Ponadto okazuje się, że promień zwyczajny spełnia prawo załamania (tak, jak dla ośrodka izotropowego), a promień nadzwyczajny tego prawa nie spełnia.

Zjawisko to tłumaczy się tym, że promień o przechodzi przez kryształ z jednakową prędkością we wszystkich kierunkach (ma jeden współczynnik załamania  \( n_{o} \)) tak, jak izotropowe ciało stałe, natomiast prędkość promienia e zależy od kierunku w krysztale i zmienia się od wartości  \( v_{o} \) do  \( v_{e} \), a współczynnik załamania od  \( n_{o} \) do  \( n_{e} \). Dla kalcytu  \( n_{o} \) = 1.486, a  \( n_{e} \) = 1.658. Wielkości  \( n_{e} \) i  \( n_{o} \) nazywamy głównymi współczynnikami załamania kryształu.

Niektóre podwójnie załamujące kryształy wykazują ponadto własność nazywaną dichroizmem. Kryształy te pochłaniają jeden z promieni (o lub e) silniej niż drugi. Na wykorzystaniu tego zjawiska opiera się działanie szeroko stosowanych polaroidów.


Podsumowanie informacji o optyce


Zadania z optyki


Promieniowanie termiczne

Z codziennego doświadczenia wiemy, że rozgrzane do wysokiej temperatury ciała są źródłami światła widzialnego. Typowym przykładem są wolframowe włókna żarówek.

Promieniowanie wysyłane przez ogrzane ciała nazywamy promieniowaniem termicznym. Wszystkie ciała emitują takie promieniowanie do otoczenia, a także z tego otoczenia je absorbują w każdej temperaturze wyższej od zera bezwzględnego. Jeżeli ciało ma wyższą temperaturę od otoczenia, to będzie się oziębiać ponieważ szybkość promieniowania przewyższa szybkość absorpcji (oba procesy zawsze występują jednocześnie). Gdy osiągnięta zostanie równowaga termodynamiczna wtedy te szybkości będą równe.

Za pomocą siatki dyfrakcyjnej możemy zbadać światło emitowane przez te źródła to znaczy dowiedzieć się jakie są długości fal wypromieniowywanych przez ciało i jakie jest ich natężenie Wyniki takiej analizy dla taśmy wolframowej ogrzanej do  \( T = 2000 \) K są pokazane na Rys. 1.

Wielkość  \( R_{\lambda} \) przedstawiona na osi pionowej nazywana jest widmową zdolnością emisyjną promieniowania i jest tak zdefiniowana, że wielkość  \( R_{\lambda} d \lambda  \) oznacza moc promieniowania czyli szybkość, z jaką jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energię odpowiadającą długościom fal zawartym w przedziale od  \( \lambda  \), do  \( \lambda+d \lambda  \).

Całkowitą energię wysyłanego promieniowania w całym zakresie długości fal możemy obliczyć, sumując emisję dla wszystkich długości fal, tzn. całkując  \( R_{\lambda} \) po wszystkich długościach fal. Wielkość ta nazywana jest całkowitą emisją energetyczną promieniowania  \( R \) i wyraża się wzorem

Oznacza to, że możemy interpretować emisję energetyczną promieniowania  \( R \) jako powierzchnię pod wykresem  \( R_{\lambda} \) od  \( \lambda  \).

Widmo emitowane przez ciało stałe ma charakter ciągły i silnie zależy od temperatury. Ponadto szczegóły tego widma są prawie niezależne od rodzaju substancji.

Zauważmy, że w "zwykłych" temperaturach większość ciał jest dla nas widoczna dlatego, że odbijają one (lub rozpraszają) światło, które na nie pada, a nie dlatego, że ciała te wysyłają promieniowanie widzialne (świecą). Jeżeli nie pada na nie światło (np. w nocy) to są one niewidoczne. Dopiero gdy ciała mają wysoką temperaturę wtedy świecą własnym światłem. Ale jak widać z Rys. 1 i tak większość emitowanego promieniowania jest niewidzialna, bo przypada na zakres podczerwieni czyli promieniowania cieplnego. Dlatego ciała, świecące własnym światłem są bardzo gorące. Jeżeli będziemy rozgrzewać kawałek metalu to początkowo chociaż jest on gorący to z jego wyglądu nie można tego stwierdzić bo nie świeci; można to tylko zrobić dotykiem. Emituje promieniowanie podczerwone. Ze wzrostem temperatury kawałek metalu staje się początkowo ciemnoczerwony, następnie jasnoczerwony, aż wreszcie świeci światłem niebiesko-białym.

Ponieważ ilościowe interpretacje takich widm promieniowania są trudne to posługujemy się wyidealizowanym ciałem stałym, zwanym ciałem doskonale czarnym. Tak postępowaliśmy już w przypadku gazów; rozważaliśmy modelowy obiekt tak zwany gaz doskonały (zob. moduł Temperatura, równanie stanu gazu doskonałego ). Ciało doskonale czarne charakteryzuje się tym, że pochłania całkowicie padające nań promieniowanie. Wiecej informacji o ciele doskonale czarnym można znaleźć w module Ciało doskonale czarne.


Ciało doskonale czarne

Rozważmy pokazany na Rys. 1 blok metalowy posiadający pustą wnękę wewnątrz. W ściance bocznej tego bloku znajduje się niewielki otwór.

Promieniowanie pada na otwór z zewnątrz i po wielokrotnych odbiciach od wewnętrznych ścian zostaje całkowicie pochłonięte. Oczywiście ścianki wewnętrzne też emitują promieniowanie, które może wyjść na zewnątrz przez otwór. Otwór wnęki ma więc własności ciała doskonale czarnego.

Z obserwacji światła wysyłanego przez takie ciało wynika, że:

Zdolność emisyjna promieniowania  \( R_{\lambda} \) dla ciała doskonale czarnego zmienia się z temperaturą tak, jak na Rys. 2.

Długość fali, dla której przypada maksimum emisji jest zgodnie z prawem Wiena odwrotnie proporcjonalna do temperatury ciała.

Podkreślmy, że pokazane krzywe zależą tylko od temperatury i są całkiem niezależne od materiału oraz kształtu i wielkości ciała doskonale czarnego.

Żeby się o tym przekonać rozpatrzmy, pokazane na Rys. 3 dwa ciała doskonale czarne, tzn. dwie wnęki o dowolnym kształcie i jednakowej temperaturze ścianek obu wnęk (ciała stykają się). Promieniowanie oznaczone  \( R_{A} \) przechodzi z wnęki A do wnęki B, a promieniowanie  \( R_{B} \) w odwrotnym kierunku. Jeżeli te szybkości nie byłyby równe, wówczas jeden z bloków ogrzewałby się, a drugi stygł. Oznaczałoby to pogwałcenie drugiej zasady termodynamiki. Otrzymujemy więc  \( R_{A} \) =  \( R_{B} \) =  \( R_{C} \) gdzie  \( R_{C} \) opisuje całkowite promieniowanie dowolnej wnęki.

Nie tylko energia całkowita, ale również jej rozkład musi być taki sam dla obu wnęk. Stosując to samo rozumowanie co poprzednio, można pokazać, że  \( {R_{{\mathit{\lambda A}}}=R_{{\mathit{\lambda B}}}=R_{{\mathit{\lambda C}}}} \), gdzie  \( R_{\lambda C} \) oznacza widmową zdolność emisyjną dowolnej wnęki.


Teoria promieniowania we wnęce, prawo Plancka

Na przełomie ubiegłego stulecia Rayleigh i Jeans wykonali obliczenia energii promieniowania we wnęce (czyli promieniowania ciała doskonale czarnego). Zastosowali oni teorię pola elektromagnetycznego do pokazania, że promieniowanie wewnątrz wnęki ma charakter fal stojących. Promieniowanie elektromagnetyczne odbija się od ścian wnęki tam i z powrotem tworząc fale stojące z węzłami na ściankach wnęki (tak jak omawiane w module Interferencja fal i fale stojące ). Następnie Rayleigh i Jeans obliczyli wartości średniej energii w oparciu o znane nam prawo ekwipartycji energii i w oparciu o nią znaleźli widmową zdolność emisyjną.

Wynik jaki uzyskali został pokazany linią przerywaną na Ciało doskonale czarne-Rys. 2. Jak widać rozbieżność między wynikami doświadczalnymi i teorią jest duża. Dla fal długich (małych częstotliwości) wyniki teoretyczne są bliskie krzywej doświadczalnej, ale dla wyższych częstotliwości wyniki teoretyczne dążą do nieskończoności. Ten sprzeczny z rzeczywistością wynik rozważań klasycznych nazywany jest „katastrofą w nadfiolecie”.

Pierwszy wzór empiryczny dający wyniki widmowej zdolności emisyjnej w przybliżeniu zgodne z doświadczeniem przedstawił Wien. Wzór ten został następnie zmodyfikowany przez Plancka tak, że uzyskano wynik w pełni zgodny z doświadczeniem. Wzór Plancka ma postać

gdzie  \( C_{1} \) i  \( C_{2} \) są stałymi wyznaczanymi doświadczalnie.

Planck nie tylko zmodyfikował wzór Wiena, ale zaproponował zupełnie nowe podejście mające na celu stworzenie teorii promieniowania ciała doskonale czarnego. Założył on, że każdy atom zachowuje się jak oscylator elektromagnetyczny posiadający charakterystyczną częstotliwość drgań.

Ten postulat zmieniał radykalnie istniejące teorie. Wiemy, że zgodnie z fizyką klasyczną, energia każdej fali może mieć dowolną wartość, i że jest ona proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Tymczasem według Plancka energia może przyjmować tylko ściśle określone wartości czyli jest skwantowana.

Ponadto oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły, lecz porcjami czyli kwantami. Kwanty są emitowane, gdy oscylator przechodzi ze stanu (stanu kwantowego) o danej energii do drugiego o innej, mniejszej energii. Odpowiada to zmianie liczby kwantowej n o jedność, a w konsekwencji wypromieniowana zostaje energia w ilości

Sprawdźmy teraz czy ta nowatorska hipoteza stosuje się do znanych nam oscylatorów. Jako przykład rozpatrzmy wahadło proste złożone z ciała o masie 1 kg zawieszonego na lince o długości 1 m.

Częstotliwość drgań własnych takiego wahadła wynosi

Jeżeli wahadło wykonuje drgania o amplitudzie 10 cm, to jego energia całkowita wynosi

Zgodnie z hipotezą Plancka zmiany energii dokonują się skokowo przy czym  \( \Delta E = h\nu  \). Względna zmiana energii wynosi więc

Żeby zaobserwować nieciągłe zmiany energii, musielibyśmy wykonać pomiar energii z dokładnością przewyższającą wielokrotnie czułość przyrządów pomiarowych.

Kwantowa natura drgań nie jest więc widoczna dla makroskopowych oscylatorów podobnie, jak nie widzimy dyskretnej natury materii to jest cząsteczek, atomów, elektronów, itp., z których zbudowane są ciała. Wnioskujemy, że doświadczenia z wahadłem prostym nie mogą rozstrzygnąć o słuszności postulatu Plancka.


Zastosowanie prawa Plancka w termometrii

Promieniowanie emitowane przez gorące ciało można wykorzystać do wyznaczenia jego temperatury. Jeżeli mierzy się całkowite promieniowanie emitowane przez ciało, to korzystając z prawa Stefana-Boltzmana (por. moduł Ciało doskonale czarne ) można obliczyć jego temperaturę. Sprawdź ten sposób wykonując zadanie 1 Temperatura powierzchni Ziemi.

Ponieważ dla większości źródeł trudno dokonać pomiaru całkowitego promieniowania, więc mierzy się ich zdolność emisyjną dla wybranego zakresu długości fal. Z prawa Plancka wynika, że dla dwu ciał o temperaturach  \( T_{1} \) i  \( T_{2} \) stosunek natężeń promieniowania o długości fali  \( \lambda  \) wynosi

Jeżeli  \( T_{1} \) przyjmiemy jako standardową temperaturę odniesienia, to możemy wyznaczyć  \( T_{2} \) wyznaczając doświadczalnie stosunek  \( I_{1}/I_{2} \). Do tego celu posługujemy się urządzeniem zwanym pirometrem (zob. Rys. 1 ).

Obraz źródła  \( S \) (o nieznanej temperaturze) powstaje w miejscu gdzie znajduje się włókno żarowe pirometru  \( P \). Dobieramy prąd żarzenia tak, aby włókno stało się niewidoczne na tle źródła, tzn. świeciło tak samo jasno jak źródło  \( S \). Ponieważ urządzenie jest wyskalowane odczytując wartość prądu żarzenia, możemy wyznaczyć temperaturę źródła.


Zjawisko fotoelektryczne zewnetrzne

Potwierdzeniem kwantowej natury promieniowania jest zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.

Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne polega na wyrzucaniu elektronów z powierzchni ciała stałego pod wpływem padającego promieniowania. Na Rys. 1 pokazano aparaturę do badania zjawiska fotoelektrycznego.

W szklanej bańce, w której panuje wysoka próżnia, znajdują się dwie metalowe elektrody A i B. Światło przechodząc przez otwór w elektrodzie B pada na metalową płytkę A i uwalnia z niej elektrony, które nazywamy fotoelektronami.

Fotoelektrony są rejestrowane jako prąd elektryczny płynący między płytką A oraz elektrodą zbierającą B przy przyłożonym napięciu  \( U \). Do pomiaru prądu stosujemy czuły miliamperomierz (mA). Poniżej na Rys. 2 pokazana jest zależność prądu fotoelektrycznego od przyłożonego napięcia  \( U \), dla dwóch różnych wartości natężenia światła.

Widzimy, że gdy U jest dostatecznie duże, wtedy prąd fotoelektryczny osiąga maksymalną wartość (prąd nasycenia  \( I_{a} \),  \( I_{b} \)). Odpowiada to sytuacji, gdy wszystkie elektrony wybijane z płytki A docierają do elektrody B.

Jeżeli zmienimy znak napięcia  \( U \), to prąd nie spada natychmiast do zera (przy  \( U = 0 \) mamy niezerowy prąd). Oznacza to, że fotoelektrony emitowane z płytki A mają pewną energię kinetyczną, dzięki której docierają do B (nawet wtedy, gdy nie są przyspieszane napięciem \( U \)).

Ponadto zauważmy, że nie wszystkie elektrony mają jednakowo dużą energię kinetyczną, bo tylko część z nich dolatuje do elektrody B; przy  \( U = 0 \) prąd jest mniejszy od maksymalnego. Wreszcie przy dostatecznie dużym napięciu równym  \( U_{h} \) zwanym napięciem hamowania prąd zanika. Różnica potencjałów  \( U_{h} \) pomnożona przez ładunek elektronu 'e' jest więc miarą energii najszybszych elektronów (przy  \( U = U_{h} \) nawet najszybsze elektrony są zahamowane, nie dochodzą do elektrody B )

Krzywe na Rys. 1 różnią się natężeniem padającego światła. Zauważmy, że przy silniejszym oświetleniu (krzywa 'a') otrzymujemy większy prąd nasycenia, ale takie samo napięcie hamowania jak dla układu oświetlonego słabiej (krzywa 'b').

Widać więc, że  \( E_{kmax} \) nie zależy od natężenia światła. Zmienia się tylko prąd nasycenia, a to oznacza, że wiązka światła o większym natężeniu wybija więcej elektronów ale nie szybszych.

Wynik innego doświadczenia pokazuje Rys. 3. Wykreślono tu zależność napięcia hamowania od częstotliwości (barwy) światła padającego na powierzchnie sodu metalicznego. Zauważmy, że otrzymano zależność liniową oraz, że istnieje pewna wartość progowa częstotliwości  \( u_{0} \), poniżej której zjawisko fotoelektryczne nie występuje.

Opisane zjawisko fotoelektryczne ma cechy, których nie można wyjaśnić na gruncie klasycznej falowej teorii światła:

W module Kwantowa teoria Einsteina zjawiska fotoelektrycznego przedstawiono kwanotowomechaniczny opis tego zjawiska.


Kwantowa teoria Einsteina zjawiska fotoelektrycznego

Einsteinowi udało się wyjaśnić te własności zjawiska fotoelektrycznego dzięki nowemu rewolucyjnemu założeniu, że energia wiązki świetlnej rozchodzi się w przestrzeni w postaci skończonych porcji (kwantów) energii zwanych fotonami.

Energia pojedynczego fotonu jest dana wzorem

Przypomnijmy sobie, że według Plancka źródła emitują światło w sposób nieciągły, ale w przestrzeni rozchodzi się ono jako fala elektromagnetyczna.

Natomiast Einstein zapostulował, że kwanty światła rozchodzą się w przestrzeni jak cząstki materii, i gdy foton zderzy się z elektronem w metalu to może zostać przez elektron pochłonięty. Wówczas energia fotonu zostanie przekazana elektronowi.

Zgodnie z powyższą zależnością energia  \( h\nu  \) fotonu, w części ( \( W \)) zostaje zużyta na wyrwanie elektronu z materiału (jego przejście przez powierzchnię), a ewentualny nadmiar energii ( \( h\nu - W \)) elektron otrzymuje w postaci energii kinetycznej, przy czym część z niej może być stracona w zderzeniach wewnętrznych (przed opuszczeniem materiału).

Teoria Einsteina pozwala na wyjaśnienie, przedstawionych wcześniej, osobliwych własności zjawiska fotoelektrycznego:

Korzystając z zależności Zjawisko fotoelektryczne zewnetrzne-( 1 ), możemy przekształcć równanie ( 2 ) do postaci

Widzimy, że teoria Einsteina przewiduje liniową zależność pomiędzy napięciem hamowania, a częstotliwością, co jest całkowicie zgodne z doświadczeniem (zob. Zjawisko fotoelektryczne zewnetrzne-Rys. 3 ). Teoria fotonowa potwierdza więc fakty związane ze zjawiskiem fotoelektrycznym, ale jest sprzeczna z teorią falową, która też została potwierdzona doświadczalnie (zjawisko dyfrakcji, interferencji, polaryzacji).

Jak jest więc możliwe żeby światło było falą i jednocześnie zbiorem cząstek?

Nasz obecny punkt widzenia na naturę światła jest taki, że ma ono złożony charakter, to znaczy, że w pewnych warunkach zachowuje się jak fala, a w innych jak cząstka, czyli foton. Tę własność światła nazywa się dualizmem korpuskularno-falowym. W zjawisku fotoelektrycznym ujawnia się właśnie korpuskularna (cząstkowa) natura światła.


Efekt Comptona

Cząsteczkową naturę światła można w pełni zaobserwować w doświadczeniu związanym z rozpraszaniem fal elektromagnetycznych na swobodnych elektronach, nazywanym zjawiskiem Comptona.

Po raz pierwszy taki proces został zaobserwowany przez Comptona w 1923 r. W doświadczeniu wiązka promieni X, o dokładnie określonej długości fali pada na blok grafitowy tak jak na Rys. 1.

Compton mierzył natężenie wiązki rozproszonej pod różnymi kątami  \( \phi  \) jako funkcję długości fali  \( \lambda \). Wyniki doświadczenia są pokazane na Rys. 2.

Widać, że chociaż wiązka padająca na grafit ma jedną długość fali to w promieniowaniu rozproszonym występują dwie długości fal. Jedna z nich ma długość  \( \lambda  \) identyczną jak fala padająca, druga długość  \( \lambda  \)' większą o  \( \Delta\lambda  \). To tak zwane przesunięcie Comptona  \( \Delta \lambda  \) zmienia się wraz z kątem obserwacji  \( \phi  \) rozproszonego promieniowania X tzn.  \( \lambda  \)' zmienia się wraz z kątem.

Jeżeli padające promieniowanie potraktujemy jako falę to pojawienie się fali rozproszonej o zmienionej długości  \( \lambda \)' nie daje się wyjaśnić. Dopiero przyjęcie hipotezy, że wiązka promieni X nie jest falą ale strumieniem fotonów o energii  \( h\nu  \) pozwoliło Comptonowi wyjaśnić uzyskane wyniki.

Założył on, że fotony (jak cząstki) zderzają się z elektronami swobodnymi w bloku grafitu. Podobnie jak w typowych zderzeniach (np. kul bilardowych) zmienia się w wyniku zderzenia kierunek poruszania się fotonu oraz jego energia (część energii została przekazana elektronowi). To ostatnie oznacza zmianę częstotliwości i zarazem długości fali. Sytuacja ta jest schematycznie pokazana na Rys. 3.

Stosując do tego zderzenia zasadę zachowania pędu oraz zasadę zachowania energii otrzymujemy wyrażenie na przesunięcie Comptona

gdzie  \( m_{0} \) jest masą elektronu (spoczynkową). Tak więc przesunięcie Comptona zależy tylko od kąta rozproszenia.

W tym miejscu konieczny jest komentarz: ponieważ odrzucone elektrony mogą mieć prędkości porównywalne z prędkością światła więc dla obliczenia energii kinetycznej elektronu stosujemy wyrażenie relatywistyczne.

Na koniec musimy jeszcze wyjaśnić występowanie maksimum dla nie zmienionej długości fali  \( \lambda  \). Ten efekt jest związany z rozpraszaniem fotonów na elektronach rdzenia atomowego. W takim zderzeniu odrzutowi ulega cały atom o masie M. Dla grafitu M = 22000  \( m_{0} \), więc otrzymujemy niemierzalnie małe przesunięcie Comptona.


Wstęp do modelu atomu

Na początku XX w. znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, że atomy zawierają elektrony. Z faktu, że atomy są elektrycznie obojętne wnioskowano, że mają one również ładunek dodatni równy ujemnemu. Ponadto, ponieważ masa elektronów jest bardzo mała w porównaniu z masą najlżejszych nawet atomów oznaczało to, że ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą.

Na tej podstawie Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie naładowane elektrony są równomiernie rozłożone wewnątrz obszaru wypełnionego w sposób ciągły ładunkiem dodatnim. Ładunek dodatni tworzył kulę o promieniu rzędu 10 \( ^{-10} \) m.

Dowód nieadekwatności modelu Thomsona podał jego uczeń Rutherford, analizując wyniki rozpraszania cząstek alfa na atomach złota. Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynikało, że ładunek dodatni nie jest rozłożony równomiernie wewnątrz atomu, ale skupiony w małym obszarze zwanym jądrem (o rozmiarze 10 \( ^{-15} \) - 10 \( ^{-14} \) m) leżącym w środku atomu.

Taki obraz atomu był zgodny z wynikami doświadczeń nad rozpraszaniem cząstek alfa, ale pozostało wyjaśnienie zagadnienia stabilności takiego atomu.

Elektrony w atomie nie mogą być nieruchome ponieważ w wyniku przyciągania z dodatnim jądrem zostałyby do niego przyciągnięte i wtedy „wrócilibyśmy” do modelu Thomsona. Dlatego Rutherford zapostulował, że elektrony w atomach krążą wokół jądra po orbitach. Jeżeli jednak dopuścimy ruch elektronów wokół jądra (tak jak planet wokół Słońca w układzie słonecznym), to też natrafiamy na trudność interpretacyjną:

Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej każde naładowane ciało poruszające się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowanie elektromagnetyczne.

Przypomnijmy sobie antenę dipolową, którą omawialiśmy w module Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych. Zmienne pole elektryczne w antenie wywołuje oscylacje ładunku i antena emituje falę elektromagnetyczną. Podobnie, krążący elektron doznawałby stale przyspieszenia (dośrodkowego) i zgodnie z elektrodynamiką klasyczną wysyłałby energię kosztem swojej energii mechanicznej. Oznaczałoby to, że poruszałby się po spirali, ostatecznie spadając na jądro (model Thomsona).

Zagadnienie stabilności atomów doprowadziło do powstania nowego modelu zaproponowanego przez Bohra. Podstawową cechą tego modelu było to, że umożliwiał przewidywanie widm promieniowania wysyłanego przez atomy (których nie wyjaśniał model Rutherforda).


Widmo atomowe

Na Rys. 1 pokazany jest typowy układ do pomiaru widm atomowych. Źródłem promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do świecenia metodą wyładowania elektrycznego (tak jak w jarzeniówce). Promieniowanie przechodzi przez szczelinę kolimującą, a następnie pada na pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), który rozszczepia promieniowanie na składowe o różnych długościach fal.

Na Rys. 2 pokazana jest widzialna część widma atomu wodoru.

Na Rys. 2 uwidacznia się cecha szczególna obserwowanych widm. W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego na przykład przez powierzchnie ciał ogrzanych do wysokich temperatur, widma promieniowania pierwiastków w postaci gazów i par, pobudzonych do świecenia na przykład za pomocą wyładowania elektrycznego, są złożone z jasnych, ostrych linii, odpowiadających ściśle określonym długościom fal.

Promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy (tzw. widmo emisyjne) zawiera tylko pewną liczbę długości fal. Takie widmo nazywamy widmem liniowym, a każdą z takich składowych długości fal nazywana jest linią widmową.

Obok widm emisyjnych badano również widma absorpcyjne, tym razem obserwując promieniowanie pochłaniane przez gazy zamiast emitowanego.

Okazało się, że jeżeli światło o widmie ciągłym, na przykład światło żarówki, przechodzi przez gaz lub parę, to w widmie ciągłym wysyłanym przez żarówkę widoczne są ciemne linie, promieniowanie o pewnych długościach fal zostało pochłonięte przez gaz (zaabsorbowane). Długości tych fal dokładnie odpowiadają długościom fal widma emisyjnego danego pierwiastka.

Doświadczenia pokazują więc, że pojedyncze atomy (cząsteczki) zarówno emitują, jak i absorbują, promieniowanie o ściśle określonych długościach fali.

To właśnie badanie widma wodoru doprowadziło Bohra do sformułowania nowego modelu atomu (zob. Model Bohra atomu wodoru ). Model ten chociaż posiada pewne braki to ilustruje idę kwantowania w sposób prosty matematycznie.


Model Bohra atomu wodoru

Fizyka klasyczna przewidywała, że atom krążący po orbicie będzie wypromieniowywał energię, tak że częstość z jaką krąży elektronu i w konsekwencji także częstość wysyłanego promieniowania będą się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwujemy bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali).

Sprzeczności te usunął Niels Bohr, proponując nowy kwantowy model budowy atomu. Klasyczny obraz planetarnego atomu zbudowanego z masywnego jądra i krążących wokół niego pod wpływem siły kulombowskiej elektronów Bohr rozszerzył o nowe kwantowe postulaty:

Częstotliwość emitowanego promieniowania jest równa:

Natomiast  \( h\nu  \) jest energią fotonu, który zostaje w trakcie przejścia wypromieniowany przez atom. Zwróćmy uwagę, że taki był postulat Einsteina głoszący, że częstotliwość fotonu promieniowania elektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka.

Wynika stąd, że trzeba wyznaczyć energie stanów stacjonarnych i wtedy obliczając możliwe różnice tych energii, będzie można przewidzieć wygląd widma promieniowania emitowanego przez atom.

W tym celu zakładamy, że elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu  \( r \) ze środkiem w miejscu jądra oraz że jądro (pojedynczy proton) jest tak ciężkie, że środek masy pokrywa się ze środkiem protonu. Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona i prawa Coulomba (zob. moduł Prawo Coulomba ), otrzymujemy

gdzie uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujemnym elektronem, zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. (Słuszność tego założenia sprawdziliśmy rozwiązując zadanie w module Pole elektryczne ).

Na podstawie wzoru ( 2 ) można obliczyć energię kinetyczną elektronu

Natomiast energia potencjalna układu elektron-proton jest dana równaniem

Całkowita energia układu będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej wynosi

Ze wzoru ( 3 ) na energię kinetyczną możemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu

Na tej podstawie pęd elektronu dany jest równaniem

Zwróćmy uwagę, że jeżeli znamy promień orbity  \( r \), to znamy również pozostałe wielkości  \( E_{k} \),  \( E_{p} \),  \( E \),  \( \nu \),  \( p \) oraz  \( L \).

Oznacza to również, że jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest skwantowana (może przyjmować tylko ściśle określone, a nie dowolne wartości), to wszystkie wymienione wielkości też muszą być skwantowane.

Bohr poszukiwał zasady, która dopuszczałaby tylko pewne promienie orbit, czyli tylko pewne wartości energii elektronów i wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parametrów orbity i która mówiła, że moment pędu elektronu musi być całkowitą wielokrotnością stałej Plancka podzielonej przez  \( 2\pi  \).

Postulat Bohra dotyczy kwantyzacji momentu pędu  \( L \) (równanie ( 9 ) ). Jednak jeżeli jakakolwiek z wielkości  \( E_{k} \),  \( E_{p} \),  \( E \),  \( \nu \),  \( p \) oraz  \( L \) jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Łącząc wyrażenie na moment pędu ( 8 ) z postulatem Bohra ( 9 ), otrzymujemy

Widzimy jak skwantowane jest  \( r \). Podstawiając ten wynik do wyrażenia na energię całkowitą ( 5 ), otrzymujemy wartości energii dozwolonych stanów stacjonarnych

To równanie przedstawia wartości energii dozwolonych stanów stacjonarnych.

Stan z liczbą kwantową  \( n = 1 \) tzw. stan podstawowy odpowiada najniższej energii  \( E_{1} \) = -13.6 eV, a stan z liczbą kwantową  \( n \rightarrow {\infty} \) odpowiada stanowi o zerowej energii  \( E = 0 \), w którym elektron jest całkowicie usunięty poza atom.

Jak widać wprowadzenie kwantowania orbitalnego momentu pędu elektronu prowadzi do kwantowania jego energii całkowitej.


Stany energetyczne i widmo atomowe wodoru

Teoria Bohra przewiduje, że całkowita energia elektronu (i w konsekwencji energia atomu) jest wielkością skwantowaną. Dozwolone wartości energii elektronu są dane wzorem

Na podstawie tych wartości możemy, korzystając z zależności Model Bohra atomu wodoru-( 1 ), obliczyć energie kwantów promieniowania emitowanych (lub absorbowanych) przy przejściu między orbitami

gdzie  \( j \),  \( k \) są liczbami kwantowymi opisującymi niższy i wyższy stan stacjonarny,  \( \nu  \) jest częstotliwością promieniowania,  \( \lambda  \) długością fali , a  \( c \) prędkością światła.

Na Rys. 1 poniżej zaznaczone są symbolicznie (strzałkami) przeskoki między różnymi orbitami, a na rysunku Rys. 2 energie emitowanych kwantów promieniowania przy przeskokach elektronów pomiędzy odpowiadającymi im stanami stacjonarnymi. Długość każdej ze strzałek odpowiada różnicy energii między dwoma stanami stacjonarnymi czyli równa jest energii  \( \nu  \) wypromieniowanego kwantu.

(Na rysunku Rys. 1 nie są zachowane proporcje pomiędzy promieniami orbit, które zmieniają się zgodnie z relacją  \( r_{n} = r_{1}n^{2} \).)

Przejścia pomiędzy stanami stacjonarnymi i odpowiadające im linie widmowe tworzą serie widmowe. Dana seria obejmuje promieniowanie emitowane przy przejściu elektronu z poziomów wyższych na dany, np. seria Balmera obejmuje przejścia ze stanów o  \( n > 2 \) do stanu o  \( n = 2 \).

Zauważmy ponadto, że tylko przejściom elektronu na drugą orbitę (seria Balmera) towarzyszy emisja promieniowania z zakresu widzialnego. Seria Lymana obejmuje promieniowanie w zakresie nadfioletu, a seria Paschena w podczerwieni.

Na gruncie kwantowego modelu Bohra budowy atomu można łatwo zrozumieć własności widm emisyjnych i absorpcyjnych atomów jednoelektronowych. Jednak ten model nie wyjaśniał fundamentalnego faktu, dlaczego pojęć mechaniki klasycznej nie można stosować w świecie atomów (cząstek elementarnych).

Model Bohra został zastąpiony nowym udoskonalonym modelem budowy atomu, w którym położenie elektronu w danej chwili czasu nie jest określone dokładnie lecz z pewnym prawdopodobieństwem, a sam elektron traktowany jest nie jak cząstka, ale jako fala materii.


Rozdział 3. Elementy mechaniki kwantowej

Fale materii

W 1924 r. L. de Broglie zapostulował, że skoro światło ma dwoistą, falowo-cząstkową, naturę, to także materia może mieć taką naturę. Taką sugestię zaprezentował między innymi w oparciu o obserwację, że Wszechświat składa się wyłącznie ze światła i materii, oraz że pod wieloma względami przyroda jest symetryczna. De Broglie zasugerował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również własności falowych.

Posługując się klasyczną teorią elektromagnetyzmu, można pokazać, że światło o energii  \( E \) ma pęd  \( p = E/c \). Zatem foton (kwant światła) ma pęd równy

De Broglie nie tylko zasugerował istnienie fal materii, ale również przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła

Wyrażenie to wiąże pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii. Oba równania ( 1 ) i ( 2 ) zawierają wielkość charakteryzującą fale ( \( \lambda  \)), jak i wielkość związaną z cząstkami ( \( p \)).

Takie doświadczenie przeprowadzili, w 1926 roku, Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na Rys. 1 przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.

Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są napięciem  \( U \), które można regulować. Wiązka elektronów zostaje skierowana na kryształ niklu, a detektor jest ustawiony pod pewnym szczególnym kątem  \( \phi  \). Natężenie wiązki ugiętej na krysztale jest odczytywane przy różnych napięciach przyspieszających czyli przy różnej energii kinetycznej elektronów.

Okazuje się, że prąd w detektorze ujawnia maksimum dyfrakcyjne przy kącie równym 50° dla  \( U \) = 54 V. Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga (zob. moduł Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X) ) to możemy obliczymy wartość  \( \lambda  \), dla której obserwujemy maksimum w tych warunkach

gdzie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami  \( \theta  \) =90°- \( \phi  \)/2.

Długość fali obliczona dla niklu ( \( d \) = 0.091 nm) w oparciu o powyższe dane doświadczalne wynosi

Z drugiej strony w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV) możemy obliczyć długość fali de Broglie’a (tak jak w przykładzie powyżej)  \( {\lambda=\frac{h}{p}=0{.}{165}\;\text{nm}} \). Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, że w pewnych okolicznościach elektrony wykazują naturę falową.

Dzisiaj wiemy, że inne cząstki, zarówno naładowane, jak i nienaładowane, wykazują cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techniką eksperymentalną używaną do badania struktury ciał stałych. Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla światła, przyjmujemy istnienie dwoistego ich charakteru.


Struktura atomu

Teoria sformułowana przez Bohra pozwoliła na wyjaśnienie własności widma atomu wodoru, a przede wszystkim stabilnej struktury atomu. Jednak nie podawała uzasadnienia postulatów, na których się opierała, zwłaszcza reguły kwantowania momentu pędu.

Taką fizyczną interpretację reguł kwantowania Bohra zaproponował de Broglie, przyjmując, że elektron krążący wokół jądra po orbicie kołowej ze stałą prędkością jest reprezentowany przez pewną falę materii - falę elektronową.

Ta fala, tak jak elektron, przebiega wielokrotnie wzdłuż orbity kołowej, przy czym w każdym kolejnym okresie przebieg ulega dokładnemu powtórzeniu, to znaczy fala jest zgodna w fazie z falami z poprzednich obiegów. W przeciwnym razie powstająca fala wypadkowa miałaby natężenie równe zeru.

Ten warunek zgodności faz oznacza, że orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą liczbę długości fal de Broglie'a

Co w połączeniu z postulatem de Broglie'a, prowadzi do wyrażenia

Otrzymaliśmy warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu, który jest teraz konsekwencją przyjęcia założenia, że elektron jest reprezentowany przez odpowiednią falę materii.

Na Rys. 1 przedstawione są fale materii związaną z elektronem poruszającym się po orbicie o promieniu  \( r \). Długość fali de Broglie’a została dobrana tak, aby orbita o promieniu  \( r \) zawierała całkowitą liczbę  \( n \) fal materii.

Przedstawiony powyżej obraz sugeruje powstawanie stojących fal materii.

Mamy do czynienia z sytuacją, w której ruch fal jest ograniczony przez nałożenie pewnych warunków fizycznych ( 1 ), analogicznie jak dla drgań struny zamocowanej na obu końcach. Przypomnijmy sobie, że mamy wtedy do czynienia z falę stojącą (a nie bieżącą), a co ważniejsze w strunie mogą występować tylko pewne długości fal. Mamy więc do czynienia z kwantyzacją długości fal, wynikającą z ograniczeń nałożonych na falę.

Co więcej, fale stojące nie przenoszą energii (nie może ona płynąc przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych punktach przestrzeni), elektron krążący po orbicie nie emituje promieniowania elektromagnetycznego, jest w stanie stacjonarnym.

Postulat de Broglie'a wiążący elektron ze stojąca falą materii przyniósł zadawalające uzasadnienie reguł kwantowania Bohra i stworzył fundament współczesnej teorii opisu stanów atomowych.

Sam jednak nie był wystarczający, bo miedzy innymi nie dawał informacji o sposobie rozchodzenia się fal materii. Nie odpowiadał na pytanie jaką postać może mieć funkcja opisująca fale materii - funkcja falowa, jak ją wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.

Problem ten został wyjaśniony przez Heisenberga i Schrödingera, którzy zaproponowali nowy sposób opisu świata mikrocząstek - mechanikę kwantową.


Funkcja falowa

W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem falowych własności materii. Według tej teorii, elektron w stanie stacjonarnym w atomie może być opisany za pomocą stojących fal materii, przy czym podstawę stanowi związek de Broglie'a  \( p = h/\lambda \) wiążący własności cząsteczkowe z falowymi.

Teoria ta określa prawa ruchu falowego cząstek w dowolnym układzie mikroskopowym. Formułuje równanie opisujące zachowanie się funkcji falowej (funkcja opisująca fale materii) dla takiego układu i określa związek pomiędzy zachowaniem się cząstek, a zachowaniem funkcji falowej opisującej cząstki. Teoria Schrödingera stanowi uogólnienie hipotezy de Broglie'a.

Do pełnego opisu własności falowych cząstek nie wystarczy przypisac im własności falowych podając długość fali be Broglie'a, należy posłużyć się funkcją reprezentującą falę de Broglie'a, tak zwaną funkcją falową  \( \psi  \).

Przypomnijmy, że dla fal w strunie zaburzenie opisywaliśmy za pomocą równania fali opisującego poprzeczne wychylenie y struny (zob. moduł Rozchodzenie się fal w przestrzeni ), a dla fal elektromagnetycznych poprzez równanie opisujące wektor natężenia pola elektrycznego  \( E \) (zob. moduł Natężenie światła w doświadczeniu Younga ). Analogiczną miarą dla fal materii jest właśnie funkcja falowa  \( \psi  \).

Najogólniej, jest to funkcja współrzędnych przestrzennych i czasu  \( \psi(x,y,z,t) \). Na przykład dla swobodnej cząstki poruszającej się w kierunku osi  \( x \) można ją zapisać w postaci prostej funkcji sinusoidalnej o amplitudzie  \( A \)

Zauważmy, że wyrażenie to jest identyczne jak wzór Rozchodzenie się fal w przestrzeni-( 4 ) opisujący rozchodzenie się (w kierunku  \( x \)) fali harmonicznej wzdłuż długiego naprężonego sznura.

O ile jednak znamy fizyczne znaczenie funkcji opisującej zaburzenie falowe dla struny czy fali elektromagnetycznej to pozostaje odpowiedzieć na pytanie jaki jest związek pomiędzy funkcją falową, a opisywanym przez nią elektronem (cząstką), pozostaje wyjaśnić z czym wiąże się funkcja  \( \psi  \).

Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej zaproponował M. Born.

Ponieważ funkcja falowa może przyjmować wartości zespolone to uwzględniamy kwadrat modułu funkcji falowej.

Ta interpretacja funkcji  \( \psi  \) daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.

Jeżeli w jakiejś chwili  \( t \), dokonamy pomiaru mającego na celu ustalenie położenia cząstki opisywanej funkcją falowa  \( \psi(x,t) \) to prawdopodobieństwo, że znajdziemy cząstkę w przedziale  \( x-dx \) wynosi  \( {|\psi(x,t)|^{{2}}\mathit{dx}} \). Wielkość  \( {|\psi |^{{2}}} \) jest więc miarą gęstością prawdopodobieństwa.

Ponieważ ruch cząstki jest opisywany stowarzyszoną z nią falą materii, to oczekujemy, że w miejscu przebywania cząstki fala materii ma dużą amplitudę. Natomiast gdy amplituda fali materii jest równa zeru w pewnych punktach przestrzeni to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym miejscu jest zaniedbywalnie małe.


Zasada nieoznaczoności

Zauważmy, że jedną z konsekwencji falowo-cząsteczkowej natury materii jest to, że jedyne czego możemy dowiedzieć się o ruchu elektronów to prawdopodobieństwo znalezienia ich w przestrzeni. Powstaje pytanie czy musimy zadowolić się taką informacją czy też jest możliwy pomiar, który da nam odpowiedź na przykład na temat ewentualnych orbit po których poruszają się elektrony. Czy możemy "dokładnie" opisać ruch elektronu to znaczy równocześnie określić jego położenie i prędkość?

Negatywna odpowiedź na to pytanie jest zawarta w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga. Pierwsza część tej zasady dotyczy jednoczesnego pomiaru położenia i pędu.

Zauważmy, że im dokładniej mierzymy pęd, np. zmniejszamy  \( \Delta p_{x} \), tym bardziej rośnie nieoznaczoność położenia  \( \Delta x \).

Druga część zasady nieoznaczoności dotyczy pomiaru energii i czasu potrzebnego na wykonanie tego pomiaru.

Na szczególne podkreślenie zasługuje fakt, że ograniczenie dokładności pomiarów nie ma nic wspólnego z wadami i niedokładnościami aparatury pomiarowej lecz jest wynikiem falowej natury cząstek. Tak małe obiekty jak cząstki elementarne czy atomy nie podlegają prawom mechaniki klasycznej, ale prawom mechaniki kwantowej.

Sama zasada stanowi podstawę stwierdzenia, że w fizyce kwantowej musimy posługiwać się pojęciem prawdopodobieństwa.

Zauważmy, na przykład, że określenie położenia przedmiotów opiera się na rejestrowaniu światła odbitego przez te przedmioty. Po prostu widzimy gdzie są przedmioty. Światło w „zderzeniu” z przedmiotami o dużej masie praktycznie nie zaburza ich ruchu, ale całkiem inną sytuację mamy w przypadku elektronów. Tutaj też moglibyśmy się spodziewać, że zobaczymy elektron gdy odbije się od niego światło. Jednak elektron w zderzeniu z fotonem doznaje odrzutu, który całkowicie zmienia jego ruch (zob. moduł Efekt Comptona ). Tej zmiany ruchu elektronu nie można uniknąć ani dokładnie ocenić. Gdyby więc elektron poruszał się po ściśle określonym torze to znaczy istniałyby orbity to byłyby one całkowicie niszczone przy próbie pomiarów mających potwierdzić ich istnienie. Dlatego właśnie mówimy o prawdopodobieństwie znalezienia elektronu a nie o określonych orbitach.

Więcej o zasadzie nieoznaczoności możesz przeczytać w module Dodatek: Zasada nieoznaczoności w pomiarach.


Teoria Schroedingera atomu wodoru

Znajomość ścisłej postaci funkcji falowej jest niezbędna do określenia ruchu cząstek w konkretnych przypadkach (zjawiskach fizycznych). Przykładem może być funkcja falowa  \( \psi  \), opisująca ruch cząstki swobodnej, która została przedstawiona w module Funkcja falowa.

Taką ścisłą postać funkcji falowej dla dowolnego układu można znaleźć, rozwiązując równanie Schrödingera. Jest to równanie różniczkowe opisujące zachowanie się układu kwantowego w czasie i przestrzeni, które w szczególności przyjmuje postać

gdzie  \( E \) jest energią całkowitą cząstki,  \( U(x) \) jej energią potencjalną zależną od jej położenia, a  \( {\hbar =h/{2\pi}} \). Zależność ( 1 ) przedstawia najprostszą formę równania Schrödingera to jest równanie w jednym wymiarze i niezależne od czasu.

Rozwiązanie równania Schrödingera polega na znalezieniu postaci funkcji falowej  \( \psi  \) i wartości energii cząstki  \( E \) przy znanej działającej na cząstkę sile zadanej poprzez energię potencjalną  \( U \).

Omówimy teraz zastosowanie teorii Schrödingera do atomu wodoru. Ten przypadek ma szczególne znaczenie, gdyż był to pierwszy układ, do którego Schrödinger zastosował swoją teorię kwantową i który stanowił pierwszą jej weryfikację.

Ponieważ atom wodoru jest układem trójwymiarowym równanie Schrödingera dla atomu wodoru ma bardziej skomplikowaną postać niż podane wcześniej równanie ( 1 )

Zgodnie z równaniem  energia potencjalna dwóch ładunków punktowych (elektronu i protonu) znajdujących się w odległości  \( r \) jest dana wyrażeniem

Równanie Schrödingera ( 2 ) rozwiązuje się zazwyczaj we współrzędnych sferycznych  \( (r, \theta, \phi) \) (zob. Rys. 1 ) bo energia potencjalna oddziaływania elektronu z jądrem (równanie ( 3 ) ) zapisana we współrzędnych sferycznych jest funkcją tylko jednej zmiennej ( \( r \)) podczas gdy we współrzędnych prostokątnych funkcją wszystkich trzech współrzędnych  \( (x,y,z) \).

Rozwiązanie równania Schrödingera w trzech wymiarach jest problem trudnym matematycznie między innymi ze względu na obliczenia w trzech wymiarach. Dlatego nie będziemy go rozwiązywać, a jedynie omówimy wybrane rozwiązania tego równania dla atomu wodoru.


Orbitale i funkcje falowe elektronów w atomie wodoru

Okazuje się, że we współrzędnych sferycznych można funkcję falową przedstawić najogólniej jako iloczyn dwóch funkcji: funkcji radialnej  \( R(r) \) zależnej tylko od promienia  \( r \) oraz funkcji kątowej  \( Y \)( \( \theta  \),  \( \phi \)) zależnej tylko od kątów.

Rozwiązując równanie Schrödingera dla atomu wodoru stwierdzamy, że funkcja falowa elektronu zależy od trzech liczb całkowitych - iczb kwantowych:

Przypomnijmy, że w dotychczas prezentowanych modelach atomu wodoru, zarówno energia elektronu jak i długość stojącej fali materii stowarzyszonej z elektronem zależały od jednej liczby kwantowej  \( n \).

Tak jest w przypadku ruchu w jednym wymiarze. Jednak trójwymiarowa funkcja falowa zależy od trzech liczb kwantowych co wynika z faktu, że ruch cząstki w przestrzeni jest opisany przez trzy niezależne zmienne; na każdą współrzędną przestrzenną przypada jedna liczba kwantowa.

Te trzy liczby kwantowe oznaczane  \( n \),  \( l \),  \( m_{l} \) spełniają następujące warunki:

Ze względu na rolę jaką odgrywa liczba  \( n \) w określeniu energii całkowitej atomu, jest nazywana główną liczbą kwantową. Liczba  \( l \) nosi nazwę azymutalnej liczby kwantowej, a liczba  \( m_{l} \) magnetyczną liczbą kwantową.

Równania Schrödingera ma poprawne fizycznie rozwiązania tylko dla liczb kwantowych spełniających warunki ( 2 ).

Z tych warunków widać, że dla danej wartości  \( n \) (danej energii) istnieje na ogół kilka różnych możliwych wartości  \( l \),  \( m_{l} \).

Zgodnie z interpretację Borna związek pomiędzy falą materii i związaną z nią cząstką wyraża się poprzez kwadrat modułu funkcji falowej  \( {|\psi |^{{2}}} \), który wyraża gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni

Na Rys. 1 pokazane są (dla kilku stanów kwantowych) wykresy radialnej gęstości prawdopodobieństwa, danej wyrażeniem

(Czynnik  \( r^{2} \) w powyższym równaniu wynika stąd, że prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w obszarze pomiędzy  \( r \) i  \( r+dr \), w trzech wymiarach, jest proporcjonalne do elementarnej objętości  \( r^{2}dr \).).

Na Rys. 1 na osi x odłożona jest odległość elektronu od jądra  \( r \) podzielona przez promień pierwszej orbity Bohra  \( r_{1} \), natomiast na osi  \( y \) przyjęto jednostki umowne.

Maksima gęstości prawdopodobieństwa, zaznaczone linią przerywaną, odpowiadają promieniom orbit w modelu Bohra dla  \( n \) =1, 2, 3 ( \( r_{n} = r_{1}n^{2} \)).

Kątową gęstość prawdopodobieństwa  \( {|Y_{{l,\;m_{{l}}}}(\theta,\phi )|^{2}} \) też można przedstawić graficznie w postaci tak zwanych wykresów biegunowych.

Na Rys. 2 pokazane są wykresy biegunowe gęstości prawdopodobieństwa dla kilku stanów kwantowych atomu wodoru.

Początek takiego wykresu umieszczamy w punkcie  \( r = 0 \) (jądro), a kąt  \( \theta  \) mierzymy od osi pionowej ( \( z \)). Dla danej wartości kąta  \( \theta  \) punkt wykresu leży w odległości (mierzonej pod kątem  \( \theta  \)) równej  \( {|Y_{{l,\;m_{{l}}}}(\theta ,\phi )|^{2}} \) od początku układu tak jak to zaznaczono na jednym z wykresów.

Obraz przestrzenny otrzymujemy przez obrót wykresów biegunowych wokół pionowej osi (układ jest symetryczny ze względu na kąt  \( \phi \)).

Kątowe rozkłady prawdopodobieństwa (takie jak na Rys. 2 ) noszą nazwę orbitali. Do oznaczenia orbitali stosuje się litery:  \( l = 0 \) - orbital s,  \( l = 1 \) - orbital p,  \( l = 2 \) - orbital d,  \( l = 3 \) - orbital f, itd.

Orbitale można traktować jako rozkłady ładunku elektronu wokół jądra. Gdy mówimy, że jądro atomowe jest otoczone chmurą elektronową mamy właśnie na myśli orbitale.


Energia elektronu w atomie wodoru

Rozwiązanie równania Schrödingera dla atomu wodoru dostarcza oprócz funkcji falowych również wartości energii elektronu związanego w atomie. Te energie wyrażają się wzorem

Otrzymane wartości są identyczne z przewidywaniami modelu Bohra i wartościami obserwowalnymi doświadczalnie. Wynik ten stanowił pierwszą weryfikację teorii Schrödingera.

Teoria Schrödingera atomu jednoelektronowego ma ogromne znaczenie, ponieważ podając obraz struktury atomu, stworzyła podstawy kwantowego opisu wszystkich atomów wieloelektronowych, cząsteczek oraz jąder atomowych.

Opis falowy mikroświata jest już dzisiaj dobrze ugruntowaną teorią, a rozwój technik eksperymentalnych takich jak na przykład skaningowy mikroskop tunelowy pozwala na prowadzenie badań w świecie atomów.


Orbitalny moment pędu i spin elektronu

Pokażemy teraz w jaki sposób mechanika kwantowa pozwala zrozumieć strukturę atomów wieloelektronowych, wyjaśniając między innymi dlaczego w atomie znajdującym się w stanie podstawowym wszystkie elektrony nie są związane na najbardziej wewnętrznej powłoce (orbicie). Fizyka klasyczna nie wyjaśnia tego problemu; dopiero mechanika kwantowa przyniosła podstawy teoretyczne, na gruncie których można przewidzieć własności pierwiastków.

Rozwiązując równanie Schrödingera dla atomu wodoru, stwierdziliśmy, że funkcja falowa elektronu zależy od trzech liczb kwantowych  \( n \),  \( l \),  \( m_{l} \), przy czym stwierdziliśmy, że główna liczba kwantową  \( n \) jest związana z kwantowaniem energii całkowitej elektronu w atomie wodoru.

Okazuje się, że liczby kwantowe  \( l \),  \( m_{l} \) opisują z kolei kwantowanie przestrzenne momentu pędu elektronu.

Zgodnie z zasadami mechaniki klasycznej moment pędu elektronu krążącego wokół jądra w odległości  \( r \) jest dany wyrażeniem

Jednak z zasady nieoznaczoności wynika, że nie można jednocześnie w dokładny sposób wyznaczyć położenia i pędu elektronu więc nie można też dokładnie wyznaczyć momentu pędu.

Okazuje się, że dla elektronu krążącego wokół jądra można dokładnie wyznaczyć jego wartość (długość wektora  \( L \)) oraz rzut wektora  \( L \) na pewną wyróżnioną oś w przestrzeni (na przykład oś  \( z \)) to znaczy wartość jednej jego składowej  \( L_{z} \). Pozostałe składowe  \( L_{x} \) i  \( L_{y} \) mają wartości nieokreślone. Wartości  \( L \) oraz  \( L_{z} \) są skwantowane

Na podstawie badania widm optycznych atomów wodoru i metali alkalicznych oraz doświadczeń nad oddziaływaniem momentów magnetycznych atomów z polem magnetycznym (doświadczenie Sterna-Gerlacha) odkryto, że wszystkie elektrony mają, oprócz orbitalnego, również wewnętrzny moment pędu, który został nazwany spinowym momentem pędu (spinem). Okazało się, że elektron zachowuje się tak, jakby był kulką wirującą wokół pewnej osi obrotu (analogicznie jak Ziemia obiegająca Słońce i obracająca się wokół swej osi).

Okazuje się ponadto, że spin jest skwantowany przestrzennie i że dla danego stanu orbitalnego są możliwe dwa kierunki spinu czyli, że rzut wektora spinu na oś  \( z \) może przyjmować tylko dwie wartości co określa spinowa liczba kwantowa  \( s \), która może przyjmować dwie wartości  \( s \) = ± ½.

Moment pędu atomu jest sumą momentów pędów orbitalnych i spinów wszystkich elektronów w atomie i jest też skwantowany przestrzennie.


Zakaz Pauliego

W 1869 r. Mendelejew jako pierwszy zauważył, że większość własności pierwiastków chemicznych jest okresową funkcją liczby atomowe  \( Z \), określającej liczbę elektronów w atomie, co najlepiej uwidacznia się w odpowiednio skonstruowanym układzie okresowym pierwiastków. Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się jeżeli zebrać je w grupy zawierające 2, 8, 8, 18, 18, 32 elementów.

W 1925 r. Pauli podał prostą zasadę (nazywaną zakazem Pauliego), dzięki której automatycznie są generowane grupy o liczebności 2, 8, 18, 32. Pauli zapostulował, że

Ponieważ stan kwantowy charakteryzuje zespół czterech liczb kwantowych

więc zasada Pauliego może być sformułowana następująco

Na zakończenie warto dodać, że na podstawie danych doświadczalnych stwierdzono, że zasada (zakaz) Pauliego obowiązuje dla każdego układu zawierającego elektrony, nie tylko dla elektronów w atomach.


Układ okresowy pierwiastków

Posługując się zasadą Pauliego można określić jakie stany w atomie są obsadzane elektronami. Skorzystamy z niej, żeby rozpatrzyć przewidywaną przez teorię kwantową strukturę niektórych pierwiastków.

Wprowadźmy do opisu konfiguracji następującą konwencję: numer powłoki ( \( n \)) piszemy cyfrą, natomiast podpowłoki (orbitale):  \( l \) = 0, 1, 2, 3, oznaczmy literami s, p, d, f itd. Wskaźnik górny przy symbolu podpowłoki określa liczbę znajdujących się w niej elektronów, a wskaźnik dolny przy symbolu chemicznym pierwiastka określa wartość Z.

Jako pierwszy rozpatrzymy atom helu ( \( Z \) = 2)  \( \rightarrow_{2} \)He :1s \( ^{2} \).

Najpierw przeanalizujemy zjonizowany atom He \( ^{+} \). Jest to układ jedoelektronowy podobny do atomu wodoru, a różnica polega tylko na tym, że w jądrze helu znajdują się dwa ( \( Z \) = 2) protony. W związku z tym energia takiego jonu jest dana wzorem analogicznym jak dla atomu wodoru

a czynniki Z \( ^{2} \) jest związany z różnicą ładunku jądra.

Jeżeli teraz dodamy drugi elektron na powłokę  \( n \) = 1, to każdy z elektronów będzie oddziaływał nie tylko z jądrem, ale i z drugim elektronem; będzie się poruszał w wypadkowym polu elektrycznym jądra (przyciąganie) i elektronu (odpychanie). Jeżeli elektron znajduje się blisko jądra (bliżej niż drugi elektron) to porusza się w polu kulombowskim jądra  \( Z \) = 2, a jeżeli znajduje się dalej to wówczas oddziałuje z ładunkiem jądra  \( Z \) i ładunkiem drugiego elektronu czyli porusza się w polu ładunku jądra pomniejszonego o ładunek drugiego elektronu  \( Z \) -1. Mówimy, że elektron ekranuje ładunek jądra. Średnia arytmetyczna tych dwóch wartości daje efektywną wartość  \( Z_{ef} \) = 1.5 odpowiadającą wypadkowemu ładunkowi, jaki „czują” elektrony w atomie helu. Możemy więc uogólnić wzór ( 1 ) do postaci

Na podstawie tak oszacowanego ładunku efektywnego otrzymujemy energię jonizacji czyli energię oderwania jednego elektronu równą  \( E_{jonizacji} =  - 13.6 (1.5)^2/1^2 eV ≈ 30eV \).

W rzeczywistości elektrony nie tylko ekranują ładunek jądra, ale też odpychają się nawzajem (dodatnia energia potencjalna), więc energia wiązania jest mniejsza. Zmierzona energia jonizacji helu wynosi 24.6 eV (co odpowiada  \( Z_{ef} \) = 1.35).

Jest to największa energia jonizacji spośród wszystkich pierwiastków i siły chemiczne nie mogą dostarczyć takiej energii jaka jest potrzebnej do utworzenia jonu He \( ^{+} \). Również utworzenie jonu He \( ^{-} \) jest niemożliwe, bo powłoka  \( n \) = 1 jest już 'zapełniona' i dodatkowy elektron obsadzałby powłokę  \( n \) = 2 znacznie bardziej oddaloną od jądra. Ładunek efektywny widziany przez ten elektron będzie więc równy zeru i nie działa żadna siła, mogąca utrzymać ten elektron.

W rezultacie hel jest chemicznie obojętny, nie tworzy cząsteczek z żadnym pierwiastkiem. Podobnie zachowują się atomy innych pierwiastków o całkowicie wypełnionych powłokach. Nazywamy je gazami szlachetnymi.

Jako kolejny omówimy atom litu ( \( Z \) = 3)  \( \rightarrow_{3} \)Li :1s \( ^{2} \)2s \( ^{1} \).

Zgodnie z zasadą Pauliego dwa elektrony znajdują się w stanie  \( n \) = 1, a trzeci elektron na powłoce  \( n \) = 2. Zmierzona wartość energii jonizacji litu wynosi 5.4 eV (co odpowiada  \( Z_{ef} \) = 1.25).

Taki jednokrotnie zjonizowany atom litu jest podobny do atomu helu z tą różnicą, że ze względu na ładunek jądra ( \( Z \) = 3)  \( Z_{ef} \) = 2.35 (jest większe o 1 niż dla helu). Oznacza to, że oderwanie drugiego elektronu wymaga energii aż 75.6 eV. Dlatego spodziewamy się, że w związkach chemicznych lit będzie wykazywać wartościowość +1.

Kolejnym pierwiastkiem jest beryl ( \( Z = 4) \rightarrow_{4} \)Be : 1s \( ^{2} \)2s \( ^{2} \).

Beryl jest podobny do litu bo zgodnie z zasadą Pauliego w stanie 2s \( ^{2} \) mogą znajdować się dwa elektrony. Dla berylu energia oderwania (jonizacji) drugiego elektronu nie jest dużo większa niż dla pierwszego i beryl w związkach chemicznych ma wartościowość +2.

W tych sześciu pierwiastkach elektrony zapełniają podpowłokę 2p (n = 2, l = 1)

Wśród tych pierwiastków na uwagę zasługują fluor i tlen, którym do zapełnienia orbity p brakuje odpowiednio jednego i dwóch elektronów. Te 'wolne' miejsca są stanami o niskiej energii i dlatego pierwiastki te wykazują silną tendencję do przyłączenia dodatkowych elektronów tworząc trwałe jony Fl  \( ^{-} \) i O  \( ^{--} \). To zjawisko jest zwane powinowactwem elektronowym. Fluor i tlen są więc aktywnymi pierwiastkami chemicznymi.

Kontynuując powyższy schemat można napisać konfigurację elektronową dowolnego atomu. Okazuje się jednak, że w niektórych przypadkach przewidywane konfiguracje nie pokrywają się z obserwowanymi. Wnioskujemy, że różnice energii pomiędzy niektórymi podpowłokami muszą być tak małe, że w pewnych wypadkach może zostać odwrócona kolejność ich zapełniania. Można to zobaczyć na Rys. 1. Krzywe kończą się na  \( Z \) = 80 (rtęć). Uwaga: skala energii nie jest liniowa.

Zwróćmy uwagę, że każda podpowłoka p ma wyższą energię od poprzedzającej ją powłoki s. Natomiast różnice energii pomiędzy każdą podpowłoką s i poprzedzającą ją powłoką p są szczególnie duże. W konsekwencji wzbudzenie elektronu w atomach pierwiastków, w których zakończyło się właśnie zapełnianie powłoki p jest bardzo trudne (gazy szlachetne).

W ten sposób na gruncie mechaniki kwantowej można przeanalizować własności wszystkich pierwiastków.


Promienie X

Na Rys. 1 pokazana jest lampa rentgenowska.

Elektrony emitowane z katody są przyspieszane przez wysokie napięcie rzędu 10 \( ^{4} \) V (przyłożone pomiędzy katodą i anodą) i uderzają w anodę (tarczę). W anodzie elektrony są hamowane aż do ich całkowitego zatrzymania.

Zgodnie z fizyką klasyczną, w wyniku tego hamowania powinna nastąpić emisja promieniowania elektromagnetycznego o widmie ciągłym ponieważ ładunek doznaje przyspieszenia (opóźnienia).

Przykładowy rozkład widmowy rentgenowski otrzymany dla wolframu jest pokazany na Rys. 2.

Najbardziej charakterystycznymi cechami obserwowanych rozkładów widmowych promieniowania X są:

Istnienie krótkofalowej granicy widma ciągłego promieniowania X nie może być wyjaśnione przez klasyczną teorię elektromagnetyzmu, bo nie istnieją żadne powody, aby z anody nie mogły być wysłane fale o długości mniejszej od jakiejś wartości granicznej.

Jeżeli jednak potraktujemy promieniowanie rentgenowskie jako strumień fotonów to wyjaśnienie obserwowanego zjawiska jest proste. Elektron o początkowej energii kinetycznej  \( E_{k} \) (uzyskanej dzięki przyspieszeniu napięciem  \( U \)) w wyniku oddziaływania z ciężkim jądrem atomu tarczy (anody) jest hamowany i energia jaką traci pojawia się w formie kwantów (zob. Rys. 3 ).

Energia powstającego fotonu jest dana wzorem

gdzie  \( E_{k} \)' jest energią elektronu po zderzeniu. Elektron w trakcie zderzenia przekazuje jądru pewną energię jednak ze względu na to, że jądra tarczy są bardzo ciężkie (w porównaniu do elektronu) możemy ją zaniedbać.

Długość fali fotonu można obliczyć z relacji

W wyniku zderzeń elektrony tracą różne ilości energii (typowo elektron zostaje zatrzymany w wyniku wielu zderzeń z jądrami tarczy), otrzymujemy więc szereg fotonów o różnych energiach (różnych  \( \lambda  \)). Wobec tego promieniowanie rentgenowskie wytwarzane przez wiele elektronów będzie miało widmo ciągłe.

Powstaje wiele fotonów o długościach od  \( \lambda_{min} \) do  \( \lambda \rightarrow \infty \), co odpowiada różnym energiom traconym w zderzeniach. Foton o najmniejszej długości fali  \( \lambda_{min} \) (zarazem maksymalnej energii) będzie emitowany wtedy, gdy elektron straci całą energię w jednym procesie zderzenia. Oznacza to, że po tym zderzeniu  \( E_{k} \)' = 0 więc

Ponieważ energia kinetyczna elektronu jest równa  \( eU \) (elektron przyspieszony napięciem  \( U \)), więc otrzymujemy związek

Tak więc minimalna długość fali odpowiadająca całkowitej zamianie energii kinetycznej elektronów na promieniowanie zależy jedynie od napięcia  \( U \), a nie zależy na przykład od materiału z jakiego zrobiono tarczę.

Podobnie na gruncie fizyki kwantowej można wyjaśnić powstawanie widma liniowego (charakterystycznego).

Elektron z wiązki padającej przelatując przez atom anody, może wybić elektrony z różnych powłok atomowych. Na opróżnione miejsce (po wybitym elektronie) może przejść elektron z wyższych powłok. Towarzyszy temu emisja fotonu o ściśle określonej energii równej różnicy energii elektronu w stanie początkowym (przed przeskokiem) i stanie końcowym (po przeskoku). Z kolei powstało miejsce wolne, tak zwana dziura po elektronie, który przeskoczył na niższą powłokę. Miejsce to może być zapełnione przez kolejny elektron z wyższej powłoki, itd.

Zazwyczaj proces powrotu atomu do stanu podstawowego składa się więc z kilku kroków przy czym każdemu towarzyszy emisja fotonu. W ten sposób powstaje widmo liniowe.

Częstotliwość (długość fali) promieniowania charakterystycznego możemy obliczyć, korzystając ze wzoru analogicznego do wyrażenia Stany energetyczne i widmo atomowe wodoru-( 2 ), który podaliśmy dla atomu wodoru

gdzie  \( R \) jest stałą Rydberga. We wzorze tym uwzględniono fakt, że w atomie wieloelektronowym elektron jest przyciągany przez jądro o ładunku  \( +Ze \), a równocześnie obecność innych elektronów osłabia to oddziaływanie. Efekt ten nazywamy ekranowaniem jądra i uwzględniamy go poprzez wprowadzenie stałej ekranowania  \( a \).

Widzimy, że częstotliwość promieniowania charakterystycznego jest proporcjonalna do kwadratu liczby atomowej  \( Z \) więc jest charakterystyczna dla atomów pierwiastka anody. Ta zależność jest nazywana prawem Moseleya. Możemy się nią posłużyć przy analizie liniowych widm rentgenowskich w celu identyfikacji pierwiastków lub ich zawartości w badanym materiale.