Przenoszenie energii przez fale

Fale przenoszą dostarczoną ze źródła energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku. Na przykład, wprawiając koniec struny w drgania poprzeczne (zob. Rys. 1 ) źródło wykonuje pracę, która objawia się w postaci energii kinetycznej i potencjalnej punktów struny (ośrodka).

Siła  \( F \) jaka działa na koniec struny porusza struną w górę i w dół wprawiając jej koniec w drgania w kierunku  \( y \).

Do wyznaczenia szybkości przenoszenia energii przez falę posłużymy się wyrażeniem na moc

Jak widać na Rys. 1 prędkość poprzeczna jest równa  \( {v_{{y}}=\partial y/\partial t} \), a składowa siły  \( F \) w kierunku  \( y \) wynosi  \( F_{y} = F\sin\theta  \). Podstawiając otrzymujemy

Dla małych kątów  \( \theta  \) możemy przyjąć   \( {\sin\theta = -\partial y/\partial x} \) (znak minus wynika z ujemnego nachylenia struny). Stąd

Obliczamy teraz pochodne równania fali harmonicznej  \( {y=A\sin({kx}-{\omega t})} \)

Korzystając z zależności Rozchodzenie się fal w przestrzeni-( 7 ) oraz Prędkość fal i równanie falowe-( 7 ) otrzymujemy ostatecznie

Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Widzimy ponadto, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.


Rozdział 9. Fale w ośrodkach sprężystych

Interferencja fal i fale stojące

Interferencją fal nazywamy zjawisko nakładania się fal. Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach, ale o fazach różniących się o  \( \varphi \). Jeżeli te fale rozchodzą się w kierunku  \( x \), z jednakowymi prędkościami to możemy je opisać równaniami

Podobnie, jak w przypadku drgań, również dla fal obowiązuje zasada superpozycji więc wypadkową falę znajdujemy jako sumę fal składowych

To jest ponownie równanie fali sinusoidalnej  \( {y=A'\sin(kx-\omega t+\varphi/2)} \) o amplitudzie

Widzimy, że wynik nakładania się fal (interferencji) zależy wyłącznie od różnicy faz  \( \varphi  \). Dla  \( \varphi  \) = 0 fale są zgodne w fazie i wzmacniają się maksymalnie (amplituda  \( A’ \) osiąga maksimum), a dla  \( \varphi = 180^o \) fale są przeciwne w fazie i wygaszają się (amplituda  \( A’ = 0 \)). Oczywiście dla pozostałych wartości  \( \varphi  \) otrzymujemy pośrednie wyniki nakładania się fal.

Interferencję dwóch fal kolistych przedstawia poniższy film:

Ponownie zajmiemy się interferencją dwu fal o równych częstotliwościach i amplitudach, ale rozchodzących się w przeciwnych kierunkach na przykład  \( +x \) i  \( -x \). Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład, gdy fala rozchodząca się w danym ośrodku (ciele) odbija się od granicy ośrodka (ciała) i nakłada się na falę padającą. Fale te można opisać równaniami

Falę wypadkową znajdujemy jako sumę tych fal składowych

Zauważmy, że jest to równanie ruchu harmonicznego prostego postaci  \( {y=A'\cos\omega t} \) z amplituda równą

Widzimy, że cząstki ośrodka drgają ruchem harmonicznym prostym ale w przeciwieństwie do fali bieżącej różne punkty ośrodka mają różną amplitudę drgań zależną od ich położenia  \( x \). Taką falę nazywamy falą stojącą.

Punkty, dla których  \( kx = \pi/2  \),  \( 3\pi/2  \),  \( 5\pi/2  \), itd. czyli znajdujące się w położeniach  \( x = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4  \) itd. mają maksymalną amplitudę. Punkty te nazywamy strzałkami, a punkty dla których  \( kx = \pi, 2\pi, 3\pi  \) itd. tj. takie, że  \(  x = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2 \) itd. mają zerową amplitudę i nazywane są węzłami. Widać, że odległości między kolejnymi węzłami i strzałkami wynoszą pół długości fali. Sytuacja ta jest przedstawiona na Rys. 1, gdzie zaznaczonych jest kilka możliwych drgań struny zamocowanej na obu końcach.

Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną istotną różnicę pomiędzy falą bieżącą, a falą stojącą. W fali stojącej energia nie jest przenoszona wzdłuż sznura bo nie może ona przepłynąć przez węzły (energia kinetyczna i potencjalna węzłów jest równa zeru bo węzły nie drgają). Energia w fali stojącej jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych elementach ośrodka (np. struny).

Powstawanie fali stojącej obrazuje film:


Analiza fal złożonych

Przyjrzyjmy się drganiu poprzecznemu struny. Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta, a następnie puszczona, to wzdłuż struny rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji powstaje fala stojąca. Zwróćmy uwagę, że drgania struny wytwarzają w otaczającym strunę powietrzu dźwiękowe fale podłużne (fale akustyczne). Ponieważ jedynym warunkiem, jaki musi być spełniony, jest nieruchomość obu końców struny, czyli istnienie węzłów fali stojącej na tych końcach, to mogą powstać w tej strunie fale stojące o różnej długości. Pierwsze trzy rodzaje drgań jakie powstają w strunie o długości  \( L \) zamocowanej na końcach zostały pokazane na Rys. 1.

Widzimy, że dla kolejnych drgań  \( {L=\frac{1}{2}\lambda _{{1}}} \),  \( {L=\lambda _{{2}}} \),  \( {L=\frac{3}{2}\lambda _{{3}}} \). Możemy więc zapisać ogólny związek na długość fali powstającej w strunie

gdzie  \(  n = 1, 2, 3, ...  \) Korzystając z tego, że prędkość fali  \( {v=\lambda /{T={\lambda f}}} \) oraz z równania Prędkość fal i równanie falowe-( 7 ) na prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (struny) możemy obliczyć częstotliwość fal stojących w strunie

Najniższą częstość nazywamy częstością podstawową, a pozostałe wyższymi harmonicznymi czyli alikwotami.

Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, również drgania harmoniczne, a dźwięki jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań. O jakości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte w dźwięku i jakie są ich natężenia. Przykładowo, drganie wypadkowe struny będące złożeniem tonu podstawowego  \( (n = 1) \) i wyższych harmonicznych  \(  (n = 3, 5, 7) \) o różnych amplitudach jest pokazane na Rys. 2.

Zwróćmy uwagę, że wypadkowe drganie (chociaż okresowe) nie jest harmoniczne (nie daje się opisać funkcją sinus lub cosinus). Zagadnienie przedstawienia dowolnego drgania okresowego jako sumy drgań harmonicznych ujmuje twierdzenie Fouriera, które mówi, że

Dotyczy to dowolnej funkcji okresowej więc można na przykład skonstruować za pomocą fal sinusoidalnych (które są wszędzie zakrzywione) przebieg piłokształtny, który jest złożony z odcinków prostych.

Definicja 1:

Dowolne drganie okresowe o okresie  \( T \) możemy przedstawić jako kombinację liniową (sumę) drgań harmonicznych o okresach danych wzorem  \( T_{n} = T/n \), gdzie  \( n \) jest liczbą naturalną.


Dudnienia, modulacja amplitudy

W zjawisku interferencji fal możemy wyróżnić przypadki tzw. interferencji w przestrzeni (superpozycja zaburzeń daje w wyniku falę o amplitudzie stałej w czasie ale zależnej od położenia cząstki drgającej  \( x \) jak w przypadku fali stojącej, zob. moduł Interferencja fal i fale stojące ) oraz interferencji w czasie, którą omówimy w tym module. W tym celu rozpatrzymy, w danym punkcie przestrzeni  \( x \), wynik nakładania się dwóch biegnących w tym samym kierunku fal o jednakowych amplitudach, ale nieznacznie różnych częstotliwościach. Drgania harmoniczne danej cząstki ośrodka (w zadanym punkcie  \( x \)) wywołane przez te fale mają postać

Równanie to ma postać   \( y=A'\sin(\omega t)=A'\sin(2\pi ft) \). Drgania wypadkowe można więc uważać za drgania o częstotliwości

(która jest średnią częstotliwości dwóch fal) i o amplitudzie  \( A' \) (wyrażenie w nawiasie kwadratowym w równaniu ( 4 ) ). Zauważ, że amplituda zmienia się w czasie z częstotliwością

Jeżeli częstotliwości  \( f_1 \) i  \( f_2 \) są bliskie siebie, to amplituda zmienia się powoli ( \( f_{\text{amp}} \) jest mała). Mówimy, że mamy do czynienia z modulacją amplitudy (AM – amplitude modulation).

Naturalną modulację amplitudy dla fal dźwiękowych możemy usłyszeć, gdy dwie struny instrumentu są nastrojone na niewiele różniące się tony. Gdy obie te struny wydają równocześnie dźwięk (na przykład uderzono dwa sąsiednie klawisze fortepianu) to usłyszymy tak zwane dudnienia przejawiające się jako zmiana głośności (zob. Rys. 1 ). Zastosowanie modulacji ma na celu wprowadzenie do procesu potrzebnej informacji, która ma być przesłana za pomocą fal. Modulacja amplitudy jest najstarszym i najbardziej rozpowszechnionym (obok modulacji częstotliwości FM) sposobem przesyłania informacji za pomocą fal radiowych.


Zjawisko Dopplera

Zjawisko Dopplera polega na pozornej zmianie częstotliwości fali z powodu ruchu obserwatora lub źródła fali.

W pracy z 1842 r. Christian Doppler zwrócił uwagę, że barwa świecącego ciała (częstotliwość wysyłanego promieniowania) musi się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwatora lub źródła. Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal; my szczegółowo rozważymy je dla fal dźwiękowych. Ograniczymy się do przypadku ruchu źródła i obserwatora wzdłuż łączącej ich prostej.

Rozpatrzmy sytuację, gdy źródło dźwięku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku źródła z prędkością  \( v_o \) (względem ośrodka). Jeżeli fale o długości  \( \lambda  \) rozchodzą się z prędkością  \( v \) to w czasie  \( t \) dociera do nieruchomego obserwatora  \( {{vt}/\lambda } \) fal. Jeżeli obserwator porusza się w kierunku źródła (wychodzi falom na przeciw), to odbiera jeszcze dodatkowo  \( {v_ot/\lambda } \) fal. W związku z tym częstotliwość  \( f \ ' \) słyszana przez obserwatora

Obserwator rejestruje wyższą częstotliwość niż częstotliwość źródła. Kiedy obserwator oddala się od źródła należy w powyższych wzorach zmienić znak (na minus) prędkości obserwatora  \( v_{o} \). W tym przypadku częstotliwość zmniejsza się.

Analogicznie możemy przestudiować przypadek źródła poruszającego się z prędkością  \( v_{z} \) względem nieruchomego obserwatora (i względem ośrodka). Otrzymujemy wtedy zależność

dla przypadku źródła zbliżającego się do obserwatora. Obserwator rejestruje wyższą częstotliwość niż częstotliwość źródła. Gdy źródło oddala się to w powyższym wzorze zmieniamy znak prędkości źródła  \( v_{z} \). Ta sytuacja jest przedstawiona na Rys. 1, gdzie pokazane są powierzchnie falowe dla fal wysłanych ze źródła Z poruszającego się z prędkością  \( v_{z} \) w stronę obserwatora O (rysunek a) w porównaniu do powierzchni falowych dla fal wysłanych znieruchomego źródła (rysunek b). Widzimy, że w przypadku (a) obserwator rejestruje podwyższoną częstotliwość.

Zwróćmy uwagę, że zmiany częstotliwości zależą od tego czy porusza się źródło czy obserwator. Wzory ( 2 ) i ( 3 ) dają inny wynik dla jednakowych prędkości obserwatora i źródła.

W sytuacji kiedy porusza się zarówno źródło, jak i obserwator, otrzymujemy zależność będącą połączeniem wcześniejszych wzorów.

Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbliżaniu się źródła i obserwatora, a znaki "dolne" ich oddalaniu się. Powyższe wzory są słuszne, gdy prędkości źródła i obserwatora są mniejsze od prędkości dźwięku.

Zjawisko Dopplera dla fal na wodzie ilustruje poniższy film:

Zjawisko Dopplera obserwujemy również w przypadku fal elektromagnetycznych, a więc i świetlnych. Opis tego zjawiska dla światła jest inny niż dla fal dźwiękowych. Dla fal dźwiękowych otrzymaliśmy dwa wyrażenia ( 2 ) i ( 3 ) na zmianę częstotliwości fali w zależności od tego czy to źródło, czy też obserwator poruszają się względem ośrodka przenoszącego drgania (powietrza).

Zjawisko Dopplera dla dźwięku ilustruje poniższy film:

Do rozchodzenia się światła nie jest potrzebny ośrodek (światło może rozchodzić się w próżni) ponadto, zgodnie ze szczególną teorią względności Einsteina, prędkość światła nie zależy od układu odniesienia i dlatego częstotliwość fali świetlnej odbieranej przez obserwatora zależy tylko od prędkości względnej źródła światła i obserwatora. Jeżeli źródło i obserwator poruszają się wzdłuż łączącej ich prostej to

gdzie   \( {\beta =u/c} \). W tej zależności u jest prędkością względną źródła względem odbiornika, a c prędkością światła. Dla małych wartości prędkości względnej  \( {|u| \ll c} \) powyższy wzór przyjmuje postać

Znak "+" odnosi się do wzajemnego zbliżania się źródła i obserwatora, a znak "-" do ich wzajemnego oddalania się. Zbliżaniu towarzyszy więc wzrost częstotliwości (dla światła oznacza to przesunięcie w stronę fioletu), a oddalaniu się obniżenie częstotliwości (dla światła oznacza to przesunięcie w stronę czerwieni).

Zjawisko to ma liczne zastosowania: na przykład w astronomii służy do określenia prędkości odległych świecących ciał niebieskich. Porównujemy długości fal światła wysyłanego przez pierwiastki tych obiektów z długościami fal światła wysyłanego przez takie same pierwiastki znajdujące się na Ziemi. To właśnie szczegółowe badania przesunięć ku czerwieni w widmach odległych galaktyk wykazały, że Wszechświat rozszerza się.


Prędkość grupowa

W module tym wyjaśnimy pojęcie prędkości grupowej, wspomniane w module Prędkość fal i równanie falowe.

Rozważmy, dwie poprzeczne fale sinusoidalne o zbliżonych częstotliwościach i długościach fal (zob. Rys. 1 ) opisane równaniami

Na rysunku widzimy, że fala sumaryczna  \( y_{1} \) +  \( y_{2 } \)jest modulowana, a z równania ( 2 ) wynika, że funkcja modulująca ma postać

Prędkość paczki fal (prędkość ruchu obwiedni) wyznaczamy analizując jak przemieszcza się w czasie wybrany punkt obwiedni (na przykład maksimum). Odpowiada to warunkowi

otrzymujemy wyrażenie na prędkość grupową

Prędkość grupowa jest na ogół różna od prędkości fal składowych.


Prędkość fal w naprężonym sznurze

Jak wspomniano w module Prędkość fal i równanie falowe, obliczenie prędkości rozchodzenia się fali w naprężonym sznurze (strunie) pozwala na wyprowadzenie równania falowego.

Spróbujmy wyprowadzić wzór na zależność prędkości  \( v \) fali od siły  \( F \) naprężającej sznur i od  \( \mu = m/l \) tj. masy przypadającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura o długości  \( dx \) pokazany na Rys. 1.

Końce wycinka sznura tworzą z osią  \( x \) małe kąty  \( \theta_1 \) i  \( \theta _{2} \). Dla małych kątów  \( \theta \approx \sin\theta \approx dy/dx \). Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku  \( y \) wynosi

Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka  \( dm = \mu dx \) i jego przyspieszenia. Stąd

Uwzględniając, że   \( {\theta =\partial y/\partial x} \) otrzymujemy

Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpowiednie pochodne równania fali harmonicznej  \( {y=f(x,t)=A\sin({kx}-{\omega t})} \)

W ten sposób pokazaliśmy również, że zaproponowana przez nas funkcja Rozchodzenie się fal w przestrzeni-( 8 ) jest rozwiązaniem równania falowego ( 4 ) jeżeli spełniona jest zależność ( 7 ). Zwróćmy ponadto uwagę, że fala harmoniczna jest przenoszona wzdłuż struny prędkością niezależną od amplitudy i częstotliwości. Przepiszmy teraz równanie falowe z uwzględnieniem zależności ( 8 )

Równanie falowe w tej postaci, stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal.


Podsumowanie wiadomości z fal mechanicznych


Zadania z fal mechanicznych


Ciśnienie i gęstość płynów

Powszechnie przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy zarówno ciecze jak i gazy. Płyny, w odróżnieniu od ciał sztywnych, mających określony rozmiar i kształt, łatwo zmieniają swój kształt, a w przypadku gazów przyjmują objętość równą objętości naczynia.

Mówimy, że płyny nie mają sprężystości kształtu, a mają sprężystość objętości. Dlatego rozwiązanie zagadnień zmechaniki płynów wymaga posługiwania się nowymi pojęciami takimi, jak ciśnienie i gęstość.

Różnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe jest związana z tym, że w cieczy siły występują tylko przy zmianie objętości, a nie jak w ciałach stałych przy ich deformacji (zmianie kształtu). W związku z tym w cieczy siła powierzchniowa, zwana siłą parcia, musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu, podczas gdy w ciele stałym może mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie może równoważyć sił stycznych (warstwy płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego może zmieniać kształt i płynąć. W związku z tym będziemy opisywać siłę działającą na płyn za pomocą ciśnienia p zdefiniowanego następująco:

Ciśnienie jest wywierane zarówno na ścianki naczynia jak i na dowolne przekroje płynów zawsze prostopadle do tych ścianek i przekrojów.

Jednostki Ciśnienie jest wielkością skalarną. Jednostką ciśnienia w układzie SI jest pascal (Pa); 1 Pa = 1 N/m \( ^{2} \). Inne stosowane jednostki to bar (1 bar =  \( 10^{5} \) Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), milimetr słupka rtęci (760 mm Hg = 1atm).

Rozważmy teraz zamkniętą powierzchnię zawierającą płyn (zob. Rys. 1 ). Dowolny element powierzchni  \( dS \) jest reprezentowany przez wektor powierzchni  \( d\mathbf{S} \).

Siła  \( \mathbf{F} \) wywierana przez płyn na ten element powierzchni wynosi

Ponieważ   \( \mathbf{F} \) i   \( \mathbf{S} \) mają ten sam kierunek więc ciśnienie   \( p \) można zapisać

Do opisu płynów stosujemy również pojęcie gęstości  \( \rho  \) wyrażonej jako

Gęstość płynów zależy od wielu czynników takich jak temperatura, czy ciśnienie. W Tabela 1  przedstawiony jest zakres gęstości spotykanych w przyrodzie materiałów.

Równanie ( 2 ) opisuje ciśnienie wywierane przez płyn na powierzchnię, która go ogranicza. Możemy także mówić o ciśnieniu wewnętrznym płynu. W tym celu rozpatrzmy element płynu w kształcie cienkiego dysku znajdującego się na głębokości   \( h  \) pod powierzchnią płynu pokazany na Rys. 2. Grubość dysku wynosi   \( dh  \), a powierzchnia podstawy wynosi   \( S  \). Masa takiego elementu wynosi  \( \rho Sdh \) a jego ciężar  \( \rho gSdh \). Pamiętajmy, że siły działające na element są w każdym punkcie prostopadłe do powierzchni. Siły poziome wywołane jedynie przez ciśnienie płynu równoważą się. Siły pionowe są wywoływane nie tylko przez ciśnienie płynu ale też przez jego ciężar. Ponieważ płyn jest nieruchomy więc wypadkowa siła działająca na element płynu jest równa zeru.

Zachowanie równowagi w kierunku pionowym wymaga aby

Powyższe równanie pokazuje, że ciśnienie zmienia się z głębokością płynu. Powodem jest ciężar warstwy płynu leżącej pomiędzy punktami, dla których mierzymy różnicę ciśnień. Wielkość  \( \rho g \) nazywamy ciężarem właściwym płynu. Dla cieczy zazwyczaj  \( \rho \) jest stałe (ciecze są praktycznie nieściśliwe) więc możemy obliczyć ciśnienie cieczy na głębokości  \( h \) całkując równanie ( 5 )

gdzie  \( p_{0} \) jest ciśnieniem na powierzchni cieczy ( \( h = 0 \)). Zazwyczaj jest to ciśnienie atmosferyczne. Równanie ( 6 ) nie tylko pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale też, że jest jednakowe dla punktów o tej samej głębokości, a nie zależy od kształtu naczynia (paradoks hydrostatyczny).

Założenie o stałej gęstości  \( \rho  \) nie jest jednak prawdziwe dla gazów gdy mamy do czynienia ze znaczną zmianą wysokości (np. gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się wtedy znacznie i zmienia się też  \( \rho  \).

E. Torricelli skonstruował w 1643 r. barometr rtęciowy. Barometr Torricellego składa się z rurki wypełnionej rtęcią ( \( \rho_{Hg} = 13.6·10^{3} \) kg/m \( ^{3} \)), którą odwracamy nad naczyniem z rtęcią tak jak na Rys. 3.

Ciśnienia w punktach A i B są jednakowe bo punkty te są na jednakowej wysokości więc

Mierząc więc wysokość słupa rtęci mierzymy wielkość ciśnienia atmosferycznego.

Definicja 1: Definicja ciśnienia

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni.

Definicja 2: Definicja wektora powierzchni

Długość wektora   \( \mathbf{S} \). jest równa polu powierzchni S, jego kierunek jest prostopadły do powierzchni, a zwrot na zewnątrz powierzchni.


Prawo Pascala i prawo Archimedesa

Rozpatrzmy ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który możemy działać zmiennym ciśnieniem zewnętrznym  \( p_{0} \). W każdym punkcie cieczy znajdującym się na głębokości  \( h \), ciśnienie jest dane wyrażeniem Ciśnienie i gęstość płynów-( 6 ). Możemy teraz powiększyć ciśnienie zewnętrzne o wartość  \( \Delta p_{0} \). Ponieważ ciecze są nieściśliwe więc gęstość pozostaje praktycznie bez zmian i ciśnienie teraz wynosi

Zjawisko to opisuje prawo Pascala, które można następująco sformułować:

Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów, podobnie jak prawo Archimedesa. Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i nazywa się siłą wyporu. Gdy przyjmiemy przykładowo, że w cieczy zostało zanurzone ciało w kształcie walca o powierzchni podstawy równej  \( S \) (zob. Rys. 1 ) to wypadkowa siła działająca na to ciało jest związana z różnicą ciśnień na głębokościach  \( h_{1} \) i  \( h_{2} \) odpowiednio nad i pod walcem.

gdzie  \( {V=S(h_{{2}}-h_{{1}})} \) jest objętością walca. Z otrzymanej zależności wynika, że siła działająca na walec jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez ten walec. Zauważmy, że ta siła nie zależy od kształtu ciała, a tylko od jego objętości.

Możemy więc sformułować prawo Archimedesa:

gdzie  \( m_{p} \) jest masą płynu, a  \( \rho  \) jego gęstością. Natomiast  \( V \) jest objętością części zanurzonej ciała.

Na każde zanurzone w płynie ciało działają siła wyporu i siła ciężkości. Dla ciała o masie  \( m \) i objętości  \( V \) całkowicie zanurzonego w płynie wypadkowa tych dwóch sił wynosi

gdzie  \( \rho  \) jest gęstością płynu, a  \( \rho_{1} \) średnią gęstością ciała. Widzimy, że zwrot siły wypadkowej zależy od różnicy gęstości płynu i ciała. Na przykład ciało zanurzone w cieczy o gęstości  \( \rho < \rho _{1} \) tonie, a dla gęstości  \( \rho > \rho_{1} \) pływa częściowo zanurzone.


Ogólny opis przepływu płynów

Dynamika płynów zajmuje się opisem ruchu płynów. Znane są dwa podejścia do opisu ruchu płynu. Możemy albo zająć się opisem ruchu poszczególnych cząsteczek płynu, albo opisywać gęstość płynu i jego prędkość w każdym punkcie przestrzeni w funkcji czasu. Oznacza to, że koncentrujemy się na wybranym punkcie przestrzeni, w którym definiujemy funkcje  \( \rho(x,y,z,t) \) oraz  \( v(x,y,z,t) \).

Na wstępie poznamy ogólne pojęcia charakteryzujące przepływ:

W naszych rozważaniach ograniczymy się do przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich.

W przepływie ustalonym  \( v \) jest stała w czasie w danym punkcie. Oznacza to, że każda cząstka przechodząca przez dowolny punkt ma taką samą prędkość, np.  \( v_{1} \). Tak samo jest w kolejnym punkcie, gdzie każda cząstka ma prędkość  \( v_{2} \). Dotyczy to wszystkich punktów. Oznacza to, że wystarczy prześledzić tor jednej cząstki, a będziemy znali tor każdej cząstki przechodzącej przez dany punkt. Tor tej cząstki nazywamy linią prądu (rysunek poniżej). Linia prądu jest równoległa do prędkości płynu. Żadne linie prądu nie mogą się przecinać, bo istniałaby niejednoznaczność w wyborze drogi przez cząstkę (przepływ nie byłby ustalony).

Jeżeli wybierzemy pewną skończoną liczbę linii prądu, to taką wiązkę nazywamy strugą prądu. Brzegi składają się z linii prądu, a ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości więc płyn nie przepływa przez brzegi strugi. Płyn wchodzący jednym końcem strugi musi opuścić ją drugim tak jak w rurce. Na rysunku poniżej prędkość cząstek w punkcie  \( P_{1} \) wynosi  \( v_{1} \), a pole przekroju strugi  \( S_{1} \). W punkcie  \( P_{2} \) mamy odpowiednio prędkość  \( v_{2} \) i pole przekroju  \( S_{2} \).

W czasie  \( \Delta t \) cząstka płynu przebywa odległość równą  \( v\Delta t \). Masa płynu przechodzącego przez  \( S_{1} \) w czasie  \( \Delta t \) wynosi

gdzie  \( S_{1}v_{1}\Delta t \) stanowi objętość elementu płynu. Analogicznie masa płynu przepływającego przez powierzchnię  \( S_{2} \) w czasie  \( \Delta t \) jest równa

Ponieważ płyn jest nieściśliwy więc jego gęstość jest taka sama w punkcie  \( P_{1} \) i  \( P_{2} \). Ponadto między tymi punktami płyn nie może opuścić strugi więc strumienie mas przepływające przez obie powierzchnie muszą być sobie równe. Zatem

Otrzymany związek nosi nazwę równania ciągłości. Wynika zniego, że

Linie prądu muszą się zagęszczać w węższej części, a rozrzedzać w szerszej. To znaczy, rzadko rozmieszczone linie oznaczają obszary niskiej prędkości, linie rozmieszczone gęsto obszary wysokiej prędkości.


Równanie Bernoulliego

Rozważmy, pokazany na Rys. 1, nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu w strudze. Płyn na rysunku przemieszcza się w stronę prawą. W czasie  \( \Delta t \) powierzchnia  \( S_{1} \) przemieszcza się o odcinek  \( v_{1}\Delta t \). Analogicznie powierzchnia  \( S_{2} \) przemieszcza się o odcinek  \( v_{2}\Delta t \). Na powierzchnię  \( S_{1} \) działa siła  \( F_{1} = p_{1}S_{1} \), a na powierzchnię  \( S_{2} \) siła  \( F_{2} = p_{2}S_{2} \).

Skorzystamy teraz z twierdzenia o pracy i energii, które mówi, że praca wykonana przez wypadkową siłę jest równa zmianie energii układu. Siłami, które wykonują pracę są  \( F_{1} \) i  \( F_{2} \). Obliczamy więc całkowitą pracę

Ponieważ w czasie  \( \Delta t \) ta sama objętość płynu  \( V \) wpływa do strugi i z niej wypływa   \( {S_{{2}}v_{{2}}{\Delta t}=S_{{1}}v_{{1}}{\Delta t}=V} \) więc

Obliczoną pracę porównujemy ze zmianą energii strugi

gdzie  \( m \) jest masą przemieszczonej objętości  \( V \) płynu. Dzieląc stronami równanie ( 3 ) przez objętość  \( V \), a następnie wprowadzając gęstość cieczy  \(  \rho = m/V  \) można, grupując odpowiednio wyrazy, przekształcić to równanie do postaci

Ponieważ nasze rozważania odnosiły się do dowolnych dwóch położeń, możemy opuścić wskaźniki i napisać

Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego dla przepływu ustalonego, nielepkiego i nieściśliwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów. Wyraża fakt, że z przepływem płynu związane jest (oprócz ciśnienia statycznego) ciśnienie dynamiczne  \( {{\rho v}^{{2}}/2} \).

Wynika z niego, że przepływ cieczy w strudze może być wywołany różnicą ciśnień na końcach strugi lub różnicą poziomów tych końców.

Równanie Bernoulliego może być wykorzystane do wyznaczenia prędkości płynu na podstawie pomiaru ciśnienia. Ponownie posługujemy się rurką z przewężeniem, do której przymocowano tak jak na Rys. 3, dwie pionowe rurki A i B służące do pomiaru ciśnienia.

Stosując równanie Bernoulliego dla punktów, w których prędkość płynu wynosi odpowiednio  \( v_{1} \) i  \( v_{2} \) (przewężenie) otrzymujemy

Ponieważ  \( v_{1} < v_{2} \) więc ciśnienie w przewężeniu jest mniejsze niż w rurce  \( p_{2} < p_{1} \). Różnica ciśnień zgodnie z równaniem ( 6 ) wynosi

Podstawiając tę zależność do równania ( 7 ) otrzymujemy

Równocześnie tę samą różnicę ciśnień można wyznaczyć z różnicy poziomów płynu w rurkach A i B ( Rys. 3 )

Porównując powyższe dwa wzory możemy wyznaczyć prędkość  \( v_{1} \) w rurce

Metoda pomiaru prędkości płynu oparta na wyznaczeniu różnicy wysokości płynu w dwóch pionowych rurkach nosi nazwę metody Venturiego.

Opisane powyżej zagadnienia ilustrują poniższe filmy:

Filmy zamieszczone poniżej prezentują tzw. paradoksy aerodynamiczne, które łatwo wyjaśnisz, stosując właśnie poznane prawo Bernoulliego.


Dynamiczna siła nośna

W odróżnieniu od statycznej siły nośnej, którą jest siła wyporu działającą zgodnie z prawem Archimedesa na przykład na balon czy statek, dynamiczna siła nośna wywołana jest ruchem ciał w płynie, na przykład na skrzydła samolotu czy śmigła helikoptera. Na rysunku poniżej pokazane są schematycznie linie prądu i ruch cząstek powietrza wokół skrzydła samolotu.

Samolot wybieramy jako układ odniesienia i rozpatrujemy ruch powietrza względem skrzydła.

Analizując linie prądu zauważymy, że ze względu na ustawienie skrzydła (tak zwany kąt natarcia) linie prądu nad skrzydłem są rozmieszczone gęściej niż pod skrzydłem co oznacza, że prędkość  \( v_{1} \) powietrza ponad skrzydłem jest większa niż prędkość  \( v_{2 } \) pod skrzydłem. Prowadzi to do wniosku, zgodnie z prawem Bernoulliego, że ciśnienie nad skrzydłem jest mniejsze od ciśnienia pod skrzydłem i że otrzymujemy wypadkową siłę nośną  \( F \) skierowaną ku górze. Wniosek ten wynika wprost z trzeciej zasady dynamiki Newtona. Wektor prędkości  \( v_{a} \) powietrza zbliżającego się do skrzydła jest poziomy podczas gdy powietrze za skrzydłem jest skierowane na ukos w dół (prędkość  \( v_{b} \) ma składową pionową). Oznacza to, że skrzydło pchnęło powietrze w dół więc w reakcji powietrze pchnęło skrzydło do góry.

W naszych rozważaniach pominęliśmy siłę oporu powietrza tak zwaną siłę oporu czołowego. W warunkach rzeczywistych siła nośna jest wypadkową przedstawionej powyżej siły parcia wynikającej zasymetrycznej budowy skrzydła i siły oporu czołowego. Przy konstrukcji skrzydeł jak i śmigieł staramy się zminimalizować opór czołowy. Ta sama siła oporu czołowego wpływa znacząco na zużycie paliwa w samochodach. Dlatego tak wielką wagę konstruktorzy przywiązują do optymalizacji kształtu nadwozia samochodów.


Podsumowanie wiadomości z mechaniki płynów


Zadania z mechaniki płynów


Ciśnienie gazu doskonałego

Termodynamika zajmuje się właściwościami cieplnymi układów makroskopowych, zaniedbując w odróżnieniu od mechaniki statystycznej mikroskopową budowę ciał tworzących układ. Gdybyśmy chcieli ściśle określić stan fizyczny układu zawierającego ogromną liczbę cząsteczek, na przykład porcji gazu, to musielibyśmy znać stan każdej cząsteczki oddzielnie to znaczy musielibyśmy podać położenie każdej cząsteczki, jej prędkość oraz siły nań działające. Takie obliczenia ze względu na dużą liczbę cząsteczek są niemożliwe. Okazuje się jednak, że posługując się metodami statystycznymi (rachunkiem prawdopodobieństwa) możemy znaleźć związki między wielkościami mikroskopowymi (dotyczącymi poszczególnych cząsteczek), a wielkościami makroskopowymi opisującymi cały układ. Chcąc opisać gaz jako całość możemy więc badać jedynie wielkości makroskopowe takie jak ciśnienie, temperatura czy objętość bez wdawania się w zachowanie poszczególnych cząsteczek.

Rozpocznijmy nasze rozważania od definicji gazu doskonałego. Zrobimy to, podając następujące założenia dotyczące cząsteczek gazów:

Wyprowadzimy teraz prawo gazów doskonałych. Cząsteczki gazu będziemy traktować jako  \( N \) małych, twardych kulek, każda o masie  \( m \) zamkniętych w sześciennym pudełku o objętości  \( V \). Kulki są twarde to znaczy będą zderzały się sprężyście ze ściankami naczynia, a to oznacza, że ich energia kinetyczna będzie stała. Na początek rozważmy jedną cząsteczkę, która zderza się ze ścianką naczynia (zob. Rys. 1 ).

Siła jaką cząsteczka wywiera na ściankę w czasie  \( \Delta t \) wynosi zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona

Zmiana składowej  \( x \) pędu cząsteczki spowodowana zderzeniem wynosi

Cząsteczka po odbiciu dociera do ścianki przeciwnej i powraca. Jeżeli po drodze nie zderza się z innymi cząsteczkami, to czas pomiędzy kolejnymi zderzeniami z wybraną ścianką jest równy czasowi przelotu przez cały sześcian i z powrotem

gdzie  \( L \) jest odległością między ściankami. Stąd siła wywierana na ściankę (przez jedną cząsteczkę) wynosi

Dla  \( N \) cząstek całkowita siła wynosi

gdzie  \( {\overline{{v_{{x}}^{{2}}}}} \) jest to  \( {v_{{x}}^{{2}}} \) uśrednione po wszystkich cząsteczkach. Dzieląc obie strony równania przez pole powierzchni ścianki  \( S = L^{2} \), otrzymujemy ciśnienie

Jak widać iloczyn  \( pV \) jest stały tak długo, jak długo jest stała energia kinetyczna cząstek.

Prędkość średnią kwadratową cząsteczki możemy zapisać jako

Zauważmy ponadto, że cząsteczki gazu wykonują ruch chaotyczny więc poruszają się we wszystkich kierunkach, a żaden nie jest wyróżniony. Dlatego zachodzi równość

Podstawiamy to wyrażenie do równania ( 7 ) i otrzymujemy

Ponieważ iloczyn  \( Nm \) jest równy masie gazu  \( M \), to korzystając z wyrażenia na gęstość  \( \rho = M/V \), można przepisać powyższe równanie w postaci

Z równania ( 12 ) możemy wyznaczyć tzw. prędkością średnią kwadratową, która jest pierwiastkiem kwadratowym z  \( \overline{v^2} \)

Powyższe równania ( 12 ) i ( 13 ) są przykładem związku o jakim mówiliśmy we wstępie. Opisują one relację pomiędzy wielkością makroskopową jaką jest ciśnienie gazu i kwadratem prędkości cząstek gazu to jest wielkością mikroskopową.

Definicja 1: Definicja gazu doskonałego

Cząsteczki gazu doskonałego traktujemy jako punkty materialne (objętość cząsteczek gazu jest o wiele mniejsza niż objętość zajmowana przez gaz i dlatego z dobrym przybliżeniem przyjmujemy, że ich objętość jest równa zeru). W gazie doskonałym zderzenia z innymi cząsteczkami oraz ze ściankami naczynia są sprężyste i dlatego całkowita energia cząsteczek jest równa ich energii kinetycznej; energia potencjalna jest stale równa zeru (nie ma przyciągania ani odpychania pomiędzy cząsteczkami).


Temperatura, równanie stanu gazu doskonałego

Potocznie temperaturę rozumiemy jako miarę ciepłoty układu. Za pomocą dotyku, możemy, np. stwierdzić, które z dwóch ciał jest cieplejsze. Mówimy o nim, że ma wyższą temperaturę. Możemy również stwierdzić, że gdy dwa ciała o różnych temperaturach zetkniemy ze sobą (i odizolujemy od innych) to po dostatecznie długim czasie ich temperatury wyrównają się. Mówimy wtedy, że te ciała są w równowadze termicznej ze sobą. Formułujemy teraz postulat nazywany zerową zasadą termodynamiki.

Jako kryterium równowagi cieplnej między ciałami wprowadzamy pojęcie temperatury. Umawiamy się, że układom fizycznym, które mogą być jednocześnie ze sobą w stanie równowagi cieplnej, przypisujemy tę samą temperaturę.

Teraz gdy zapoznaliśmy się z pojęciem temperatury, poznamy jej definicję na gruncie teorii kinetycznej, czyli przy podejściu mikroskopowym.

Czynnik  \( (2/3k) \) jest współczynnikiem proporcjonalności. Wartość stałej  \( k \), zwanej stałą Boltzmana, wynosi  \( k = 1.38·10^{-23} \) J/K. Z tej definicji wynika, że średnie energie kinetyczne ruchu postępowego (na cząsteczkę) dla dwu kontaktujących się gazów są równe.

Jeżeli obliczymy  \( \overline{v^2} \) z zależności ( 1 ) i podstawimy do równania Ciśnienie gazu doskonałego-( 11 ) to otrzymamy równanie stanu gazu doskonałego w postaci

Ponieważ przy opisie własności gazów wygodnie jest posługiwać się liczbą moli  \( n \) to równanie stanu gazu często przedstawia się w postaci

gdzie stała  \( R = 8.314  \) J/mol K jest uniwersalną stałą gazową związaną ze stałą Boltzmana i liczbą Avogadra  \( N_{Av} \) relacją  \( R = kN_{Av} \).

Stała Avogadra  \( N_{Av} = 6.023·10^{23} \) 1/mol, określa liczbę cząsteczek w jednym molu. Przypomnijmy, że mol jest ilością materii układu zawierającego liczbę cząsteczek równą liczbie atomów zawartych w 0.012 kg węgla  \( ^{12}C \) (równą  \( N_{Av} \)).

Równanie stanu gazu doskonałego zostało sformułowane w XIX w. przez Clapeyrona na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcześniej przez innych badaczy:

Prawo Gay-Lussaca ilustruje poniższy film:

zgodną z równaniem stanu gazu doskonałego ( 3 ).

Żeby wyznaczyć temperaturę na podstawie definicji ( 1 ) musielibyśmy wyznaczyć energię kinetyczną cząsteczek gazu co jest bardzo trudne. Ale możemy się posłużyć równaniem stanu gazu doskonałego ( 3 ). Łatwo bowiem jest zmierzyć iloczyn  \( pV \) na przykład dla gazu pod stałym ciśnieniem lub przy stałej objętości. Termometr gazowy służył przez wiele lat jako wzorzec temperatury. Za jego pomocą określono doświadczalnie punkty odniesienia, takie jak na przykład punkt wrzenia wody, dla praktycznych pomiarów temperatur. W praktyce w powszechnym użyciu jest skala Celsjusza. W tej skali temperatura równowagi wody i lodu wynosi  \( 0° \) C, a temperatura równowagi wody i pary wodnej wynosi  \( 100° C \). Natomiast w fizyce stosujemy bezwzględną termodynamiczną skalę temperatur nazywaną skalą Kelvina.

Jednostką temperatury bezwzględnej jest kelwin (K). Ponieważ w obu skalach Kelvina i Celsjusza różnica pomiędzy temperaturą zamarzania i wrzenia wody wynosi 100 stopni więc wielkość stopnia jest taka sama w obu skalach.

Między temperaturą w skali Celsjusza  \( t_{C} \) a temperaturą w skali bezwzględnej  \( T \) zachodzi związek

Definicja 1: Temperatura bezwzględna

Temperaturę bezwzględną definiujmy jako wielkość wprost proporcjonalną do średniej energii kinetycznej cząsteczek.

					(1)

								\( {T=\left(\frac{2}{3k}\right)\frac{m\overline{v^2}}{2}} \)


Ekwipartycja energii

W równowadze termodynamicznej średnie energie kinetyczne ruchu postępowego wszystkich cząsteczek są równe. Wiemy to m.in na podstawie równania Temperatura, równanie stanu gazu doskonałego-( 1 ). Powstaje pytanie czy cząsteczka może gromadzić energię w innej postaci niż energia ruchu postępowego?

Odpowiedź jest twierdząca: jeżeli tylko cząsteczka nie ma kształtu kulki (cząsteczka jednoatomowa), a ma pewną strukturę wewnętrzną to może wirować i drgać. Przykładowo, dwuatomowa cząsteczka w kształcie hantli (zob. Rys. 1 ) będzie się obracać po zderzeniu z inną cząsteczką.

Na podstawie mechaniki statystycznej można pokazać, że gdy liczba punktów materialnych jest bardzo duża i obowiązuje mechanika Newtonowska to:

Zasada ta nosi nazwę zasady ekwipartycji energii.

Każdy z tych sposobów absorpcji energii nazywa się stopniem swobody i jest równy liczbie niezależnych współrzędnych potrzebnych do określenie położenia ciała w przestrzeni. Możemy więc zasadę ekwipartycji energii wyrazić innymi słowami:

Na podstawie równania Temperatura, równanie stanu gazu doskonałego-( 1 ) średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki wynosi

Odpowiada to trzem stopniom swobody ponieważ potrzebujemy trzech współrzędnych  \( (x, y, z) \) do określenia położenia środka masy cząsteczki. Stąd średnia energia przypadająca na jeden stopień swobody wynosi  \( {\frac{1}{2}{kT}} \) na cząsteczkę.

Dla cząsteczek obracających się potrzeba dodatkowych współrzędnych do opisania ich obrotu więc mamy dodatkowe stopnie swobody. O ile dla  \( N \) cząsteczek nie obracających się całkowita energia wewnętrzna  \( U \)jest energią kinetyczną ruchu postępowego

to dla cząstek wieloatomowych, które mogą obracać się swobodnie we wszystkich trzech kierunkach (wokół osi x, y, z)

Natomiast dla cząstki dwuatomowej (hantli pokazanej na Rys. 1 )

W tym przypadku mamy tylko dwa rotacyjne stopnie swobody bo moment bezwładności względem osi hantli (oś  \( x \)) jest znikomo mały.

Zwróćmy uwagę, że mówimy tu o energii "ukrytej" (wewnętrznej) cząstek, a nie o energii makroskopowej (związanej z przemieszczaniem masy). O energii wewnętrznej mówiliśmy w module Zasada zachowania energii (energia indywidualnych cząstek nie zawarta w energii kinetycznej czy potencjalnej ciała jako całości ). Energię wewnętrzną oznacza się zazwyczaj przez  \( U \).


Pierwsza zasada termodynamiki

W mechanice rozważaliśmy zmiany energii mechanicznej układu, będące wynikiem pracy wykonanej przez siły zewnętrzne. W przemianach termodynamicznych możliwy jest inny (nie mechaniczny) sposób przekazywania energii. Gdy dwa układy o różnych temperaturach zetkniemy ze sobą, to ciepło  \( Q \) przepływa z ciała cieplejszego do chłodniejszego.

To jest sformułowanie pierwszej zasady termodynamiki. W tym zapisie mamy rozdzieloną energię ciała na część makroskopową (energię mechaniczną) i mikroskopową (energię wewnętrzną). Zasada ta działa również w "drugą stronę" to znaczy, gdy nad układem zostanie wykonana praca, to układ może oddawać ciepło. To równanie często piszemy w postać różniczkowej

Widzimy, że zmiana energii wewnętrznej związana jest z ciepłem pobieranym  \( (dQ > 0) \) lub oddawanym  \( (dQ < 0) \) przez układ oraz z pracą wykonaną przez układ  \( (dW > 0) \) lub nad układem  \( (dW < 0) \).

Rozpatrzymy teraz gaz działający siłą  \( F \) na tłok o powierzchni  \( S \), jak na Rys. 1

Pamiętamy, że w mechanice praca sił zachowawczych wykonana nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależała tylko od tych punktów, a nie od łączącej je drogi. W termodynamice stwierdzamy, że

Oznacza to, że chociaż  \( dQ \) i  \( dW \) z osobna zależą od drogi przejścia to  \( dU \) ma określoną wartość niezależną od sposobu przejścia układu do stanu końcowego. Taką wielkość fizyczną (funkcję tego typu), która charakteryzuje stan układu, i której wartości nie zależą od sposobu w jaki układ został do danego stanu doprowadzony nazywamy funkcją stanu.


Ciepło właściwe

W module zapoznamy się z jednym z kluczowych pojęć termodynamiki - ciepłem właściwym.

Gdy masę wyrażamy w kilogramach, to mówimy o cieple właściwym wagowym, a gdy wyrażamy ją w molach, mamy do czynienia z molowym ciepłem właściwym.

Ciepło właściwe jednego mola gazu utrzymywanego w stałej objętości oznaczamy  \( c_v \). Ponieważ  \( dV = 0 \) więc zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki  \( dU = dQ \), a stąd

Dla gazu jednoatomowego (dla jednego mola) mamy na podstawie równania Ekwipartycja energii-( 2 )  \( {U=\frac{3}{2}N_{{{Av}}}{kT}=\frac{3}{2}{RT}} \). Zatem

Dla jednego mola gazu dwuatomowego na podstawie równania Ekwipartycja energii-( 4 )

a dla jednego mola cząsteczek wieloatomowych z równania Ekwipartycja energii-( 3 )

Jak wynika z powyższych obliczeń mechanika klasyczna przewiduje ciepło właściwe niezależne od temperatury. Tymczasem badania pokazują, że jest to prawdziwe tylko dla gazów jednoatomowych. Dla pozostałych  \( c_v \) rośnie z temperaturą.

Przykład takiej zależności jest pokazany na Rys. 1 gdzie przedstawiono ciepło właściwe  \( c_v \) dla wodoru (cząsteczka dwuatomowa H \( _{2} \)) w funkcji temperatury (w skali logarytmicznej).

Zauważmy, że w temperaturach niższych od 100 K,  \( {c_{{V}}=\frac{3}{2}R} \) co wskazuje, że w tak niskich temperaturach cząsteczka porusza się tylko ruchem postępowym i nie wiruje. Rotacja staje się możliwa dopiero w temperaturach powyżej 100 K; i dopiero wtedy  \( {c_{{V}}=\frac{5}{2}R} \). Ale w temperaturach powyżej 2000 K ciepło właściwe  \( c_v \) rośnie do wartości  \( {c_{{V}}=\frac{7}{2}R} \) co oznacza, że przybyły jeszcze dwa stopnie swobody. Ten wynik doświadczalny wiążemy z drganiami atomów w cząsteczkach. W tak wysokich temperaturach cząsteczka przestaje się zachowywać jak ciało sztywne i zderzenia między cząsteczkami powodują, że dwa atomy wodoru (w cząsteczce) będą drgały.

Wytłumaczenie tych zjawisk nie jest możliwe na gruncie mechaniki klasycznej. Dopiero mechanika kwantowa daje wyjaśnienie tych zmian ciepła właściwego. Na jej gruncie można pokazać, że do wzbudzenia rotacji potrzeba pewnej minimalnej energii. Podobnie jest dla ruchu drgającego, który może być wywołany dopiero dla dostatecznie wysokiej energii.

Zatem w wysokich temperaturach oprócz energii kinetycznej ruchu postępowego i obrotowego istnieje jeszcze energia kinetyczna i potencjalna drgań. Wobec tego średnia energia wewnętrzna na cząsteczkę wodoru wynosi

Stąd otrzymujemy molowe ciepło właściwe przy stałej objętości

a na podstawie równania ( 1 )  \( {{dU}=c_{{V}}{dT}} \) więc

Z równania stanu gazu doskonałego  \( {{pV}={nRT}} \) wynika, że dla jednego mola gazu przy stałym ciśnieniu  \( {{pdV}={RdT}} \) więc

a to z definicji jest równe ciepłu właściwemu przy stałym ciśnieniu  \( c_{p} \), więc

Widzimy, że ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu jest większe od ciepła właściwego przy stałej objętości  \( c_{p} > c_v \). Dzieje się tak dlatego, że w przemianie izobarycznej trzeba dostarczać ciepła nie tylko na zmianę energii wewnętrznej, związaną ze zmianą temperatury, ale i na wykonanie pracy związanej ze zmianą objętości podczas gdy w przemianie izochorycznej praca jest równa zeru.

Definicja 1: Ciepło właściwe

Ciepło właściwe substancji definiujemy jako  \( dQ/dT \) czyli ilość ciepła, którą trzeba dostarczyć do jednostki masy, żeby spowodować jednostkową zmianę jej temperatury.


Rozprężanie izotermiczne i adiabatyczne

Rozprężanie się gazu zamkniętego w cylindrze z ruchomym tłokiem zostało szeroko wykorzystane w konstrukcji silników. Rozpatrzymy teraz dwa zwykle występujące procesy to jest rozprężanie izotermiczne i rozprężanie adiabatyczne.

Przy rozprężaniu izotermicznym trzeba utrzymywać stałą temperaturę ścian cylindra; więc tłok musi poruszać się wolno, żeby gaz mógł pozostawać w równowadze termicznej ze ściankami cylindra. Ponieważ  \( T = \text{const.} \), więc  \(  dU = 0 \). Stąd, na podstawie pierwszej zasady termodynamiki, otrzymujemy warunek  \( {{dQ}={dW}={pdV}} \), a dalej

gdzie, na podstawie równania stanu gazu doskonałego, podstawiono  \( {p=\frac{{NkT}}{V}} \).

Często w silnikach nie są spełnione warunki rozprężania izotermicznego, ponieważ tłok porusza się bardzo szybko i nie ma dość czasu na przepływ ciepła pomiędzy gazem a ścianami cylindra. Taką przemianę zachodzącą bez wymiany ciepła z otoczeniem nazywamy przemianą adiabatyczną. Oznacza to, że  \( dQ = 0 \) i pierwsza zasada termodynamiki przyjmuje postać  \( {{dU}+{pdV}=0} \). Równanie to można przekształcić do postaci

gdzie  \( {\kappa =c_{{p}}/c_{{v}}} \). Równanie to nosi nazwę równania Poissona dla przemiany adiabatycznej.

Z tego równania i równania stanu gazu doskonałego wynika, że w przemianie adiabatycznej zmieniają się wszystkie parametry stanu gazu:  \( p, V \ \text{i} \ T \).


Równanie Poissona dla przemiany adiabatycznej

Wyprowadzimy teraz równanie opisujące przemianę adiabatyczną, tzw. równanie Poissona. W przemianie adiabatycznej nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem. Oznacza to, że  \( dQ = 0 \) i pierwsza zasada termodynamiki przyjmuje postać  \( {{dU}+{pdV}=0} \). Równanie to możemy przepisać w postaci

Różniczkując równanie stanu gazu doskonałego  \( pV = nRT \), otrzymujemy (dla jednego mola gazu)

Łącząc oba powyższe równania (eliminując  \( dT \)), otrzymujemy

Podstawiając  \( {c_{{p}}=c_{{v}}+R} \), otrzymujemy

gdzie  \( {\kappa =c_{{p}}/c_{{v}}} \). Możemy teraz scałkować to równanie

Skąd  \( {\kappa \ln V+\ln p=\text{const}\text{.}} \) (stała całkowania)

otrzymujemy poszukiwane równanie Poissona dla przemiany adiabatycznej.


Średnia droga swobodna

Model gazu doskonałego jest brdzo wygodnym, ale przybliżonym sposobem opisu rzeczywistych gazów. Teraz spróbujemy omówić niektóre istotne właściwości gazu rzeczywistego. Zwróćmy na przykład uwagę na to, że gdyby cząsteczki były punktowe to nie zderzałyby się w ogóle ze sobą. Tak więc w opisie zderzeń musimy uwzględnić skończone wymiary cząsteczek. Będziemy teraz traktować cząsteczki jako kuleczki o średnicy  \( d \). Oznacza to, że zderzenie pomiędzy cząsteczkami będzie miało miejsce gdy odległość między ich środkami będzie mniejsza niż  \( d \). Inaczej mówiąc cząsteczka zachowuje się jak tarcza o efektywnej powierzchni

Ta powierzchnia nosi nazwę całkowitego przekroju czynnego.

W czasie  \( t \) cząsteczka poruszająca się z prędkością  \( v \) przemiata objętość walca równą  \( vts \). Jeżeli  \( n \) jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości to na swej drodze (w tym walcu) nasza cząstka napotka  \( n_{z} \) innych cząsteczek

Tym samym otrzymaliśmy liczbę zderzeń, których doznaje cząsteczka w czasie  \( t \). Widać, że zależy ona od rozmiarów cząsteczek i od ich liczby w jednostce objętości. Wprowadzimy teraz pojęcie średniej drogi swobodnej  \( {\overline{{\lambda }}} \).

Średnia droga swobodna jest równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez liczbę zderzeń (zob. Rys. 1).

Równanie ( 3 ) wyprowadziliśmy przy założeniu, że cząstka zderza się z innymi nieruchomymi cząsteczkami. W rzeczywistości cząsteczki uderzają w inne też poruszające się cząsteczki. Rzeczywista częstość zderzeń jest więc większa, a średnia droga swobodna mniejsza

Ta różnica we wzorach wynika z tego, że w poprzednim równaniu ( 3 ) występujące tam dwie prędkości są różne: prędkość w liczniku to prędkość średnia cząsteczek  \( {\overline{{v}}} \) względem naczynia, a prędkość w mianowniku to średnia prędkość względna w stosunku do innych cząsteczek. Można się przekonać jakościowo, że te prędkości są różne. Na przykład, gdy cząstki biegną naprzeciw siebie to mają względną prędkość równą  \( {2\overline{{v}}} \), gdy pod kątem prostym to równą  \( {\overline{{v}}\sqrt{2}} \), a gdy w tę samą stronę to względna prędkość jest równa zeru. Uwzględniając rzeczywisty rozkład prędkości, otrzymujemy  \( {v_{{\text{wzgl}\text{.}}}=\overline{{v}}\sqrt{2}} \).

Definicja 1: Średnia droga swobodna

Średnią drogę swobodną definiujemy jako średnią odległość przebywaną przez cząsteczkę pomiędzy kolejnymi zderzeniami.


Rozkład Maxwella prędkości cząstek

W przykładzie Średnia droga swobodna-Średnia droga swobodna i liczba zderzeń posługiwaliśmy się pojęciem prędkości średniej cząsteczek gazu. Jednak każdy gaz ma charakterystyczny rozkład prędkości, który zależy od temperatury. Cząstki nie mogą mieć takich samych prędkości bo przecież ich prędkości zmieniają się w wyniku zderzeń. Clerk Maxwell podał prawo rozkładu prędkości cząsteczek, które dla gazu zawierającego  \( N \) cząsteczek ma postać

Funkcja  \( N(v) \) określa prawdopodobieństwo, że w temperaturze  \( T \),  \( dN \) spośród wszystkich  \( N \) cząsteczek ma prędkości zawarte w przedziale od  \( v \) do  \( v + d v \);  \( k \) jest stałą Boltzmana, a  \( m \) masą cząsteczki. Całkowitą liczbę cząsteczek można zatem obliczyć, dodając (tj. całkując) liczby cząstek dla poszczególnych różniczkowych przedziałów prędkości  \( dv \)

Na Rys. 1 pokazany jest rozkład Maxwella prędkości dla dwóch różnych temperatur; gdzie zaznaczono prędkość średnią, prędkość średnią kwadratową i prędkość najbardziej prawdopodobną.

Zauważmy, że krzywa rozkładu nie jest symetryczna, bo dolny limit (najmniejsza prędkość) równy jest zeru, podczas gdy górny nieskończoności. Ze wzrostem temperatury rośnie prędkość średnia kwadratowa. Obszar prędkości jest teraz większy. Ponieważ liczba cząstek (pole pod krzywą) jest stała więc rozkład się "rozpłaszcza". Wzrost, wraz z temperaturą, liczby cząstek o prędkościach większych od danej tłumaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybkości reakcji chemicznych towarzyszących zwiększeniu temperatury. Ponadto rozkład prędkości zależy od masy cząsteczek. Im mniejsza masa tym więcej szybkich cząsteczek (w danej temperaturze). Dlatego na przykład wodór łatwiej ucieka z górnych warstw atmosfery niż tlen czy azot.


Procesy odwracalne i nieodwracalne, cykl Carnota

Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego sprężania gazu. W pierwszym, tłok przesuwamy bardzo szybko i czekamy aż ustali się równowaga z otoczeniem. W czasie takiego procesu ciśnienie i temperatura gazu nie są dobrze określone, ponieważ nie są jednakowe w całej objętości.

W drugim tłok przesuwamy bardzo powoli tak, że ciśnienie i temperatura gazu są w każdej chwili dobrze określone. Ponieważ zmiana jest niewielka to gaz szybko osiąga nowy stan równowagi. Możemy złożyć cały proces z ciągu takich małych przesunięć tłoka i wtedy podczas całego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Jeżeli będziemy zmniejszać nasze zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w którym wszystkie stany pośrednie (pomiędzy początkowym i końcowym) są stanami równowagi.

Pierwszy proces nazywamy procesem nieodwracalnym, a proces drugi procesem odwracalnym.

Przykładem cyklu odwracalnego jest cykl Carnota. Jest to bardzo ważny cykl odwracalny ponieważ wyznacza granicę naszych możliwości zamiany ciepła na pracę. Cykl Carnota, pokazany na Rys. 1 przebiega czterostopniowo:

Praca wykonywana przez gaz lub siłę zewnętrzną jest równa każdorazowo polu pod wykresem  \( p(V) \) odpowiadającym danej przemianie (zob. Rys. 1 ). Stąd wypadkowa praca  \( W \) wykonana przez układ w czasie pełnego cyklu jest opisana przez powierzchnię zawartą wewnątrz zamkniętej krzywej opisującej cały cykl.

Wypadkowa ilość ciepła pobrana przez układ podczas jednego cyklu wynosi  \( Q_{1} - Q_{2} \). Natomiast wypadkowa zmiana energii wewnętrznej wynosi zero, ponieważ stan końcowy pokrywa się z początkowym, zatem na podstawie pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy

Schematycznie jest to przedstawione na Rys. 2.

Widzimy, że pewna ilość ciepła została zamieniona na pracę. Możemy powtarzać ten cykl, uzyskując potrzebną ilość pracy. Takie urządzenie nazywamy silnikiem cieplnym. Sprawność  \( \eta  \) silnika cieplnego definiujemy jako

Korzystając z równania stanu gazu doskonałego i z pierwszej zasady termodynamiki, można pokazać, że sprawność silnika Carnota (dla gazu doskonałego) wynosi

Cykl Carnota można prowadzić w kierunku przeciwnym i wtedy urządzenie działa jako maszyna chłodząca.

Definicja 1: Proces odwracalny

Proces nazywamy odwracalnym, gdy za pomocą bardzo małej (różniczkowej) zmiany otoczenia można wywołać proces odwrotny do niego, tzn. przebiegający po tej samej drodze w przeciwnym kierunku.


Sprawność silników cieplnych

Rozpatrzmy schemat pokazany na Rys. 1, w którym silnik o sprawności hipotetycznie większej od silnika Carnota napędza taki silnik Carnota, który pracuje jako chłodnica między tymi samymi zbiornikami ciepła.

Silnik o sprawności  \( \eta  \) pobiera ze źródła o temperaturze  \( T_{1} \) ciepło  \( Q_{1} \) i zamienia ją na energię mechaniczną W równą

Jeżeli układ napędowy tej maszyny jest połączony z układem napędowym silnika Carnota, to energia  \( W \) zostanie zużyta na napędzanie chłodni Carnota. W wyniku tego do źródła ciepła zostanie dostarczone ciepło  \( Q_{1}' \) równe

Ponieważ założyliśmy, że sprawność silnika jest większa od sprawności silnika Carnota  \( \eta > \eta'  \), to ciepło dostarczone do źródła ciepła jest większe niż ciepło pobrane  \( Q_{1}'> Q_{1} \) co oznacza, że w końcowym efekcie ciepło jest przenoszone z chłodnicy do źródła ciepła. Wnioskujemy więc, że jeśli istniałby silnik o sprawności większej od sprawności silnika Carnota, to naruszona zostałaby druga zasada termodynamiki w sformułowaniu: żadna cyklicznie pracująca maszyna nie może bez zmian w otoczeniu przenosić w sposób ciągły ciepła z jednego ciała do drugiego o wyższej temperaturze.


Sprawność silnika Carnota

Wyprowadzimy teraz wzór na sprawność silnika Carnota.

Cykl Carnota, przedstawiony na Rys. 1, przebiega czterostopniowo:

Podczas przemiany (1) gaz pobiera ciepło  \( Q_{1} \) i jego kosztem wykonuje  \( W_{1} \)

Analogicznie podczas przemiany (3) siła zewnętrzna wykonuje pracę  \( W_{2} \), a z gazu do zbiornika przechodzi ciepło  \( Q_{2} \)

Dzieląc te równania stronami, otrzymujemy

Z równania stanu gazu doskonałego  \( pV=nRT \) dla przemian izotermicznych (1) i (3) wynika, że

Natomiast dla przemian adiabatycznych (2) i (4) z równania Poissona  \( pV^{\kappa} = \text{const.} \) wynika, że

Podstawiając to wyrażenie do równania ( 3 ), otrzymujemy

i możemy teraz zapisać sprawność silnika Carnota (dla gazu doskonałego) jako


Druga zasada termodynamiki

Zwróćmy uwagę na to, że w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego (zob. moduł Procesy odwracalne i nieodwracalne, cykl Carnota ) część pobieranego ciepła jest oddawana do zbiornika o niższej temperaturze i w konsekwencji ta ilość ciepła nie jest zamieniana na pracę. Powstaje pytanie, czy można skonstruować urządzenie, które pobierałoby ciepło i w całości zamieniałoby je na pracę? Moglibyśmy wtedy wykorzystać ogromne (z naszego punktu widzenia nieskończone) ilości ciepła zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowanie słoneczne.

Negatywna, niestety, odpowiedź na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie termodynamiki. Poniżej podane zostały równoważne sformułowania tej zasady:

Oznacza to, że nie możemy zbudować doskonałego silnika cieplnego, bo nie możemy wytwarzać pracy pobierając jedynie ciepło z jednego zbiornika bez oddawania pewnej ilości ciepła do zbiornika zimniejszego.

Wiemy, z doświadczenia, że ciepło przepływa od ciała cieplejszego do ciała zimniejszego. Żeby zmienić ten kierunek musi zostać wykonana praca przez czynnik zewnętrzny. Nie można więc zbudować doskonałej maszyny chłodzącej, która bez dodatkowych efektów (wydatkowania pracy z zewnątrz) przenosiłaby w sposób ciągły ciepło z ciała zimniejszego do cieplejszego.

Oznacza to, że żadna maszyna cieplna nie może mieć sprawności większej od sprawności silnika Carnota.

Przypomnijmy, że sprawność silnika Carnota jest równa  \( {\eta =\frac{W}{Q_{{1}}}=\frac{Q_{{1}}-Q_{{2}}}{Q_{{1}}}=\frac{T_{{1}}-T_{{2}}}{T_{{1}}}} \). Wynika stąd, że

Możemy więc wyznaczyć stosunek temperatur dowolnych zbiorników ciepła mierząc ilość ciepła przenoszoną podczas jednego cyklu Carnota. Wzór ( 1 ) stanowi definicję tak zwanej termodynamicznej skali temperatur.


Entropia

Zerowa zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem temperatury. Pierwsza zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem energii wewnętrznej. Natomiast drugą zasadę termodynamiki wiążemy z pojęciem entropii.

Entropia  \( S \) jest termodynamiczną funkcją stanu, zależy tylko od początkowego i końcowego stanu układu, a nie od drogi przejścia pomiędzy tymi stanami. Entropia jest funkcją określoną dla stanu równowagi, taką że dla procesu odwracalnego jej zmiany możemy powiązać z ciepłem wymienianym przez układ z otoczeniem.

Z tego punktu widzenia szczególnie interesujące są procesy adiabatyczne nie związane z przepływem ciepła pomiędzy układem i otoczeniem. W procesie adiabatycznym  \( dQ = 0 \), więc dla procesu odwracalnego  \( dS = 0 \) na podstawie równania ( 1 ). Oznacza to, że możemy sformułować następujące twierdzenie:

Można uogólnić zasadę wzrostu entropii na układy nie izolowane adiabatycznie to znaczy takie, które wymieniają ciepło z otoczeniem. Traktujemy wtedy nasz układ i otoczenie razem jako jeden "większy" układ ponownie izolowany adiabatycznie. Wtedy

gdzie  \( dS_{o} \) jest zmianą entropii otoczenia. Zmienia się więc entropia naszego układu i otoczenia. Jeżeli proces jest odwracalny, podczas przenoszenia ciepła  \( dQ \) z otoczenia do naszego układu, entropia otoczenia maleje o  \( dQ/T \), a entropia układu rośnie o tę samą wartość  \( dQ/T \), więc całkowita zmiana entropii jest równa zeru.

Zatem posługując się entropią (zgodnie z drugą zasadą termodynamiki), możemy stwierdzić czy dany proces może zachodzić w przyrodzie.

Entropię układu można opisać na gruncie mechaniki statystycznej. W takim podejściu entropia jest miarą nieuporządkowania układu cząstek. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki dla procesów zachodzących w przyrodzie entropia układu (wraz z otoczeniem) rośnie to znaczy, że rośnie również nieuporządkowanie (układu wraz z otoczeniem). Oznacza to, że im większy jest stan nieporządku (położeń i prędkości cząstek) w układzie, tym większe jest prawdopodobieństwo, że układ będzie w tym stanie.

Pokażmy teraz, że to sformułowanie jest równoważne definicji termodynamicznej entropii. W tym celu rozpatrzmy swobodne rozprężanie gazu od objętości  \( V_{1} \) do objętości końcowej  \( V_{2} \).

Względne prawdopodobieństwo znalezienia jednej cząstki w objętości  \( V_{1} \) w porównaniu do  \( V_{2} \) jest równe

Podstawiając zależność ( 11 ), otrzymujemy

Równanie to można, dzieląc je i mnożąc przez  \( T \), przekształcić do postaci

gdzie wyrażenie w liczniku jest równe ilości ciepła dostarczonego do układu, aby ten przeszedł do stanu końcowego w sposób odwracalny rozprężając się izotermiczne (zob. moduł Rozprężanie izotermiczne i adiabatyczne ).

Podsumowując, w ujęciu termodynamicznym stan równowagi odpowiada stanowi o największej entropii, a w ujęciu statystycznym jest stanem najbardziej prawdopodobnym.

Pojęcie entropii ilustrują poniższe filmy.

Definicja 1: Entropia

W procesach odwracalnych entropię definiujemy wzorami:

(1)

								\( {{dS}=\frac{{dQ}}{T}} \)

lub

(2)

								\( {S=\int {\frac{{dQ}}{T}}} \)

gdzie  \( dQ \) jest ciepłem dostarczanym do układu w procesie odwracalnym.

Definicja 2: Statystyczna definicja entropii

Entropię definiujemy jako

(9)

								\(  S=k\ln\omega  \)

gdzie  \( k \) jest stałą Boltzmana, a  \( \omega  \) prawdopodobieństwem (tzw. prawdopodobieństwem termodynamicznym), że układ znajdzie się w danym stanie (w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów). Prawdopodobieństwo to wyraża się przez liczbę sposobów na jakie dany stan termodynamiczny makroskopowy może być zrealizowany przez stany mikroskopowe.


Równanie stanu Van der Waalsa

Równanie stanu gazu doskonałego  \( {{pV}={nRT}} \) (zob. moduł Temperatura, równanie stanu gazu doskonałego ) dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy małych gęstościach. Przy większych gęstościach nie można pominąć faktu, że cząstki zajmują część objętości dostępnej dla gazu oraz że działają na siebie siłami przyciągania lub odpychania w zależności od odległości między nimi. Van der Waals zmodyfikował równanie stanu gazu doskonałego, tak aby uwzględnić te czynniki.

Jeżeli cząstki posiadają skończoną objętość to rzeczywista objętość dostępna dla cząstek jest mniejsza od objętości naczynia. "Objętość swobodna" jest mniejsza od objętości naczynia o "objętość własną" cząsteczek  \( b \). Jeżeli oznaczymy przez  \( v \) objętość przypadającą na jeden mol  \( v = V/n \) to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu gazu

Można również prosto uwzględnić efekt sił międzycząsteczkowych. W dowolnym miejscu w naczyniu siła przyciągania pomiędzy  \( n \) cząsteczkami (na jednostkę objętości) z sąsiednimi  \( n \) cząsteczkami (na jednostkę objętości) jest proporcjonalna do  \( n^{2} \) czyli proporcjonalna do  \( 1/v^{2} \). Siła przyciągająca wywołuje dodatkowe ciśnienie. Stąd otrzymujemy równanie Van der Waalsa

Stałe  \( a \) i  \( b \), różne dla różnych gazów, wyznaczamy doświadczalnie.

Na Rys. 1 porównano zachowanie się gazu doskonałego (a) z gazem Van der Waalsa (b). Skala obu rysunków jest jednakowa.

Izotermy gazu doskonałego są hiperbolami danymi równaniem  \( pV = \text{const.} \) Natomiast dla gazu Van der Waalsa ciśnienie zmienia się zgodnie z zależnością

Widzimy, że dla wysokich temperatur izotermy gazu Van der Waalsa zbliżają się do izoterm dla gazu idealnego.

Natomiast poniżej pewnej temperatury, tak zwanej temperatury krytycznej, obserwujemy charakterystyczne minima i maksima w zależności  \( p(v) \).

Temperatura krytyczna jest ważnym parametrem charakteryzującym dany gaz. Poniżej temperatury krytycznej gaz rzeczywisty może ulec skropleniu, a powyżej niej może występować wyłącznie w stanie gazowym.

Temperatury krytyczne większości gazów są niskie i dlatego nie jest łatwo je skroplić. Na przykład temperatura krytyczna dwutlenku węgla wynosi 304 K, ale wodoru już 33 K, a helu 5.3 K. Pionierami badań nad uzyskiwaniem niskich temperatur byli Karol Olszewski i Zygmunt Wróblewski, którzy w 1883 roku jako pierwsi dokonali skroplenia powietrza (azot, tlen). Chociaż, równanie Van der Waalsa daje dobry opis jakościowy to bywa czasami zawodne przy opisie ilościowym. Jednak nie jest znana prosta formuła, która stosowałaby się do różnych gazów w różnych warunkach.

Skraplanie tlenu można przeprowadzić dysponując ciekłym azotem, co pokazano na filmie:

co ciekawe, tlen wykazuje własności paramagnetyczne (zob. Diamagnetyzm i paramagnetyzm ), co widać na poniższym filmie:


Stany równowagi, zjawiska transportu

W termodynamice bardzo często posługujemy się pojęciem stanu równowagi układu, czyli stanu, w którym żaden z parametrów potrzebnych do makroskopowego opisu układu nie zależy od czasu. Zajmujemy się wtedy procesami, które zaczynały się jednym stanem równowagi, a kończyły innym stanem równowagi.

Dla układu jednorodnego (przykładowo gazu) w stanie równowagi do jego opisu wystarcza znajomość dwu podstawowych parametrów stanu na przykład ciśnienia i objętości. Opis komplikuje się gdy mamy układ niejednorodny na przykład ciecz w równowadze z parą. Dla danej temperatury stan równowagi tego układu jest możliwy przy różnych objętościach układu (od objętości zależy ilość fazy ciekłej i gazowej). Natomiast temperatura i ciśnienie przestają być niezależne. W każdej temperaturze równowaga jest możliwa tylko przy określonym ciśnieniu (pary nasyconej). Przy wyższym istnieje tylko ciecz, przy niższym para. Podobnie ciecz i ciało stałe mogą istnieć w równowadze tylko w temperaturze topnienia, która jest funkcją ciśnienia. Wreszcie ciało stałe współistnieje w równowadze z parą nasyconą, której ciśnienie jest funkcją temperatury. Krzywe równowagi pokazane na rysunku Rys. 1

Literą a oznaczona jest krzywa równowagi ciało stałe - ciecz (związek temperatury topnienia z ciśnieniem). Krzywa a' przedstawia tę zależność dla kilku nietypowych substancji, które przy topnieniu zmniejszają objętość, na przykład dla lodu. Krzywa b + b' pokazuje zależność ciśnienia pary nasyconej od temperatury. Odcinek b' to krzywa równowagi ciało stałe - para, a odcinek b to krzywa równowagi ciecz - para. Krzywa równowagi ciecz - para kończy się w punkcie krytycznym K. Dla temperatury wyższej od temperatury punktu krytycznego K zanika różnica pomiędzy fazą ciekłą i gazową. Dlatego warunkiem skroplenia gazu jest ochłodzenie go poniżej jego temperatury krytycznej. Punkt P, w którym łączą się krzywe nazywamy punktem potrójnym. W tym punkcie mogą znajdować się w równowadze wszystkie trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to ciśnieniu  \( p = 610.6 \) Pa i  \( T = 273.16 \) K ( \( 0.01 \) °C). Punkt potrójny wody posłużył do definicji jednostki temperatury - kelwina.

Znajomość dochodzenia układów do stanów równowagi jest równie ważna, jak znajomość ich własności w stanach równowagi, a każdy układ pozostawiony samemu sobie przez dostatecznie długi czas dochodzi do stanu równowagi.

Teraz zapoznamy się z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodzą, gdy układy dążą do stanów równowagi. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem (transportem) materii, energii, pędu lub ładunku elektrycznego. Wszystkie te zjawiska transportu opisujemy w pierwszym przybliżeniu za pomocą takiego samego równania różniczkowego, które przedstawia propagację (rozprzestrzenianie się) pewnej wielkości fizycznej  \( \varphi  \) mającą na celu osiągnięcie równowagi

W tym równaniu  \( j \) jest gęstością strumienia (gęstość prądu) wielkości fizycznej  \( \varphi  \), a  \( K \) jest stałą charakteryzującą daną sytuację fizyczną. Stałą  \( K \) wiążemy z właściwościami mikroskopowymi rozpatrywanego układu statystycznego. Jest to tak zwany współczynnik transportu.

Omówimy teraz krótko wybrane zjawiska transportu.

Dyfuzja w gazie czyli przenoszenie cząstek w kierunku obszarów o mniejszej koncentracji  \( n \) (dążenie do wyrównania koncentracji. Równanie ( 1 ) nosi teraz nazwę równania dyfuzji i ma postać

gdzie  \( j_{D} \) jest gęstością strumienia cząstek,   \( dn/dx  \) jest różnicą stężeń występującą na odległości   \( dx  \), a   \( D  \) współczynnikiem dyfuzji. Równanie to znane jest pod nazwą prawa Ficka. Ponieważ dyfuzja jest przenoszeniem cząstek (z miejsc o większym stężeniu do miejsc o mniejszym stężeniu) więc mamy do czynienia z transportem masy.

Przewodnictwo cieplne czyli transport energii wskutek ruchu cząstek w kierunku obszaru o niższej  \( T \) (dążenie do wyrównania temperatury). Równanie transportu ciepła ma postać

gdzie  \( j_{Q} \) jest gęstością strumienia ciepła,  \( dT/dx \) jest różnicą temperatur w warstwie ciała o grubości  \( dx \), a   \( \kappa  \) jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego. Równanie to znane jest pod nazwą prawa Fouriera.

Przewodnictwo elektryczne czyli przenoszenie ładunku elektrycznego w wyniku ruchu elektronów (dążenie do wyrównania potencjałów elektrycznych). Równanie, zwane prawem Ohma, ma postać

gdzie  \( dV/dx \) jest różnicą potencjałów (napięciem) pomiędzy punktami przewodnika odległymi o  \( dx \),  \( \sigma \) przewodnością elektryczną,  \( \rho  \) opornością właściwą, a  \( E \) natężeniem pola elektrycznego.


Podsumowanie wiadomości z termodynamiki


Zadania z termodynamiki


Dodatek: Rotacyjne i wibracyjne stopnie swobody cząsteczki wodoru

Na gruncie mechaniki kwantowej można pokazać, że moment pędu obracającej się cząsteczki jest skwantowany i jego wartość wynosi co najmniej  \( {L=h/2\pi } \), gdzie  \( h \) jest stałą Plancka. Wartość  \( L_{min} = 10^{-34} \) kg m \( ^{2} \)s \( ^{-1} \). Energia kinetyczna ruchu obrotowego jest dana wyrażeniem  \( {E_{{\text{obr.}}}={I\omega}^{{2}}/2=L^{{2}}/(2I)} \), gdzie  \( I \) jest momentem bezwładności.

Ponieważ na jeden stopień swobody przypada energia  \( kT/2 \) więc

Stąd dla  \( {L_{\text{min.}}=h/2\pi } \) otrzymujemy  \( T_{min}{\approx}90 \) K.

Podobnie jest dla ruchu drgającego, który także jest skwantowany i minimalna energia drgań  \( {E_{{\text{drg.}}}={hf}} \), gdzie  \( f \) jest częstotliwością drgań. Dla cząsteczek typowe częstotliwości drgań są rzędu  \( 10^{14} \) Hz (zakres podczerwieni i widzialny) i dla takiej częstotliwości otrzymujemy energię drgań  \( {\approx}6·10^{-20} \) J co odpowiada temperaturze około 4000 K. Powoduje to, że stopnie swobody związanie z drganiami cząsteczki są nieaktywne w niskich temperaturach, jak wspomniano w module Ciepło właściwe.


Dodatek: Przepływ ciepła

Wykażemy teraz, że ciepło (energia cieplna) samoczynnie przepływa zawsze od ciała cieplejszego do ciała zimniejszego, co jest konsekwencją drugiej zasady termodynamiki. Rozważmy dwa identyczne ciała o temperaturach  \( T_{1} \) i  \( T_{2} \), które kontaktujemy ze sobą termicznie. Po chwili, temperatury ciał wynoszą odpowiednio  \( T_{1} - dT_{1} \) oraz  \( T_{2} +  dT_{2} \) w wyniku przepływu następujących ilości ciepła

gdzie  \( m \) jest masą każdego z ciał, a  \( c_{w} \) ciepłem właściwym. Ponieważ ilość ciepła pobranego jest równa ilości ciepła oddanego  \( dQ_{1} = -dQ_{2} \) więc również zmiany temperatur są równe  \( dT_{1} = -dT_{2} = dT \)

Obliczamy teraz zmiany entropii każdego z ciał

Ponieważ, zgodnie z drugą zasadą termodynamiki zmiana entropii układu jest dodatnia   \( dS >  0   \) zatem, gdy  \( T_{1} > T_{2} \), to zmiana temperatury   \( dT  \) też jest dodatnia, a to oznacza, że ciepło przepływa od ciała o temperaturze  \( T_{1} \) do ciała o temperaturze  \( T_{2} \).


Informacja o e-podręczniku "Fotowoltaika"

E-podręcznik opracowano w ramach Zintegrowanego Programu Rozwoju Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Wiedza Edukacja Rozwój 2014-2020. Oś III Szkolnictwo wyższe dla gospodarki i rozwoju, Działanie 3.5 Kompleksowe programy szkół wyższych.


1.1 Wstęp

Odnawialne źródła energii towarzyszą ludzkości od zawsze. Spalanie biomasy było źródłem ciepła. Energię wiatru wykorzystywano jako siłę napędową łodzi i tratew żaglowych, do transportu wody na wyżej lub dalej położone obszary rolnicze czy w końcu do produkcji mąki w wiatrakach o początkowo pionowej, a w miarę rozwoju techniki, poziomej osi. Analizując fizyczne podstawy fotowoltaiki należy uwzględnić fakt, że ten rodzaj produkcji energii ma źródło poza Ziemią. Szczęśliwie z punktu widzenia  ludzkości Słońce posiada niewyczerpane zasoby energii. Ma natomiast jedna wadę, z którą należy się liczyć tj. dostarcza energię tylko do tej strony Ziemi, która akurat jest zwrócona w stronę Słońca. Fakt ten skutkuje możliwością produkcji energii elektrycznej tylko w okresie dziennym i to ze zmienną intensywnością zależną od pory dnia. Istnieje również zależność od położenia geograficznego elektrowni na kuli ziemskiej ze względu na różnice w nasłonecznieniu. Zjawisko fotowoltaiczne zostało odkryte w XIX wieku przez Alexandra Edmonda Becquerela (1839). Jednak realne zastosowanie znalazło dopiero po drugiej wojnie światowej wraz z dynamicznym rozwojem elektroniki i materiałów półprzewodnikowych (w początkowej fazie w zastosowaniach kosmicznych i militarnych). Szczególnie właśnie konkurencja i wyścig w przestrzeni kosmicznej popchnęła rozwój fotowoltaiki znacząco do przodu, jako że baterie słoneczne stanowiły lekkie (koszt transportu na orbitę) i niewyczerpywalne (stały dostęp do energii słonecznej) źródło energii elektrycznej do zasilania urządzeń satelitarnych. Pierwszy powojenny kryzys energetyczny z połowy lat siedemdziesiątych i Raport Klubu Rzymskiego o wyczerpywaniu się zasobów kopalnych na Ziemi skierował uwagę społeczeństw na problemy energetyki odnawialnej. Takie źródła jak hydroelektrownie, elektrownie wiatrowe czy w końcu elektrownie fotowoltaiczne stały się przedmiotem analiz inżynierów, konstruktorów i ekonomistów na całym świecie. Hydroelektrownia to inwestycja trwająca dziesiątki lat (samo napełnianie zbiornika trwało np. w Colorado ponad 18 lat). Elektrownie wiatrowe o dużych mocach (pojedyncze wiatraki to moce od 2 do 10 MW) spotykają się z protestami ekologów ze względu na ich oddziaływanie na środowisko i wędrówki ptaków. Fotowoltaika jednak stanowi atrakcyjną alternatywę dla konwencjonalnych źródeł energii jak i wymienionych wyżej, ponieważ energia elektryczna uzyskiwana jest bezpośrednio z energii słonecznej, bez hałasu, zanieczyszczeń i innych czynników wywołujących niekorzystne zmiany środowiska. Prawie nieograniczone zapotrzebowanie na krzem monokrystaliczny przemysłu elektronicznego ograniczył rozwój fotowoltaiki w drugiej połowie XX wieku. Dopiero transfer wielu technologii do Chin, a szczególnie próżniowej technologii Czochralskiego do produkcji monokrystalicznego krzemu stał się początkiem lawinowego rozwoju fotowoltaiki w pierwszych dwóch dekadach XXI wieku. Każdy dynamiczny rozwój przyciąga uwagę badaczy i inżynierów. Tak też się stało i w przypadku fotowoltaiki. Szereg modyfikacji znacząco podniósł efektywność konwersji energii monokrystalicznych ogniw fotowoltaicznych. Opracowano metodę relatywnie taniej produkcji krzemu polikrystalicznego do wytwarzania ogniw fotowoltaicznych. Badania półprzewodników doprowadziły do zastosowania szeregu nowych materiałów półprzewodnikowych do produkcji ogniw fotowoltaicznych. Szczególnie perspektywiczna okazała się technologia cienkowarstwowa, w której zużycie materiału jest sto razy mniejsze niż w ogniwach krzemowych. A ostatnie 10 lat wprowadziło w obszar fotowoltaiki tanie materiały jak perowskity i polimery. Ten dynamiczny rozwój instalacji fotowoltaicznych i badań w wielu przypadkach wyprzedza długotrwałe cykle edukacyjne. Stąd potrzeba publikacji, które stanowią źródło wiedzy i informacji dla coraz szerszego kręgu ludzi zaangażowanych w rozwój przemysłu fotowoltaicznego. Mam tu na myśli inżynierów materiałowych, energetyków aż do odbiorców końcowych energii elektrycznej. W tym miejscu należy oddać hołd Prof. Janowi Stopczykowi, który stworzył pojęcie i filozofię prosumenta tj. producenta i jednocześnie odbiorcy energii elektrycznej w mikroskali. Jednak ten wkład pomnożony przez miliony prosumentów staje się poważnym wkładem w systemie energetycznym państwa. Nikt nie ma najmniejszych wątpliwości, że po zużyciu paliw kopalnianych ludzkość nie ma taniej alternatywy dla odnawialnych źródeł energii w tym szczególnie dla fotowoltaiki. Gwałtowny wzrost produkcji i instalacji fotowoltaicznych doprowadził do drastycznego spadku cen za kWp pochodzącego ze źródeł fotowoltaicznych co stanowiło główna barierę rozwoju instalacji. Książka, którą oddajemy czytelnikowi przeznaczona jest w głównej mierze dla studentów kształcących się na kierunkach związanych z odnawialnymi źródłami energii w tym fotowoltaiką, ale również dla wszystkich zainteresowanych wiedzą na temat fotowoltaiki, jej rozwoju i perspektyw. Nie stanowi natomiast materiału instruktażowego dla instalatorów systemów fotowoltaicznych jako, że tego typu materiały znajdują się już w obiegu księgarskim. Forma elektroniczna podręcznika została wybrana ze względu na zmianę sposobu docierania do studenta i czytelnika oraz możliwość dokonywania modyfikacji treści wynikających z dynamicznych zmian zachodzących w tej rozwijającej się dziedzinie  techniki.

Jak dynamiczne zmiany mają miejsce na świecie w obszarze odnawialnych źródeł energii w tym fotowoltaiki można się przekonać obserwując zmiany dokonujące się w zwiększającym się stale udziale tych źródeł w produkcji energii. Porównanie krajów, w których obserwujemy w ostatniej dekadzie bardzo silne wzrosty zainstalowanych mocy fotowoltaicznych nie odzwierciedla położenia najlepiej nasłonecznionych obszarów globu. W obecnej sytuacji to raczej decyzje polityczne o metodach dofinansowania instalacji fotowoltaicznych czy zasobników energii stanowią podstawę dynamiki instalacyjnej. Drugim czynnikiem są poważne inwestycje w rozbudowę przemysłu fotowoltaicznego jak np. dominacja Chin w produkcji podłoży krzemowych. Porównując 2010 r., kiedy prawie cały słupek mocy zainstalowanych zajmowała Europa, do ostatnich danych z 2019 r. widać jak kolosalne zmiany dokonały się w tym zakresie ( Rys. 1 ) [1]. Wielkość instalacji w takich krajach jak Chiny, USA, Japonia, czy reszta świata przegoniły kraje Europy wielokrotnie. Mocom zainstalowanym daleko jeszcze do wartości pokazujących całe energetyczne zapotrzebowanie świata. Jednak dynamika zmian wskazuje na to, że wiele krajów rozumie niebezpieczeństwa płynące z emisji   \( CO_{2} \) i rolę jaką odgrywają odnawialne źródła energii zarówno ze względu na uwarunkowania klimatyczne, jak i w światowym mikście energetycznym.


2.1 Energia słoneczna docierająca do powierzchni Ziemi

Nachylenie osi Ziemi w stosunku do orbity Ziemi wokół Słońca generuje zmianę pór roku, co wpływa na ilość energii słonecznej, docierającej do różnych obszarów Ziemi w ciągu roku. Do półkuli północnej najwięcej energii dociera latem, a najmniej zimą. Jest to spowodowane zmianą kąta nachylenia płaszczyzny Ziemi do kierunku padania promieni słonecznych oraz czasem nasłonecznienia (długością dnia), w którym promieniowanie słoneczne dociera do Ziemi. Nasłonecznienie zależy nie tylko od położenia na równoleżniku, ale także od zachmurzenia w danym regionie.

Moc promieniowania słonecznego zależy więc od pory dnia, pory roku oraz położenia geograficznego, w którym będzie ono mierzone ( Rys. 1 ).

Długość drogi przebytej przez promieniowanie słoneczne ( Rys. 2 ) w atmosferze zmienia się w zależności od położenia Słońca nad horyzontem. Zależność od pory roku związana jest z nachyleniem osi obrotu Ziemi względem płaszczyzny, po której porusza się Ziemia ( Rys. 1 ). Zjawisko fotowoltaiczne jest nierozerwalnie związane ze źródłem energii, którym jest Słońce. Średnia moc dostarczana przez Słońce na granicę atmosfery ziemskiej wynosi   \( 1362 \frac{W}{m^{2}} \) (stała słoneczna) [1], czyli na całą powierzchnię Ziemi pada około 175*1015 W mocy promieniowania słonecznego (energii w ciągu sekundy). Energia ta po przejściu przez atmosferę jest konwertowana w ogniwach fotowoltaicznych na energię elektryczną. Ilość energii docierającej do powierzchni Ziemi jest oczywiście różna w różnych obszarach geograficznych. Jest ona zwykle określana wielkością nasłonecznienia, czyli ilością energii promieniowania słonecznego padającego w jednostce czasu na jednostkę powierzchni. Jednostką nasłonecznienia (insolacji) jest  \( \frac{W}{m^{2}} \) lub  \( \frac{kWh}{m^{2} { rok}} \). Rozkład nasłonecznienia na kulę ziemską pokazano na Rys. 3.

Przedstawione na Rys. 3 czarne kropki obejmują powierzchnię, która pokryta ogniwami fotowoltaicznymi o efektywności konwersji  \( 8\% \) mogą wytworzyć 568 EJ energii ( \( EJ=10^18 J \)), co pokrywa całe zapotrzebowanie światowe na energię elektryczną [2], [3]. Instalacje fotowoltaiczne mocowane są zwykle w nachyleniu południowym. Wybiera się taki kąt nachylenia, aby ilość energii słonecznej docierającej do powierzchni ogniwa była maksymalna. Najlepszym rozwiązaniem byłoby, aby powierzchnia ogniwa podążała za ruchem Słońca, śledziła pozorny ruch Słońca po nieboskłonie (ustawiała płaszczyznę prostopadle do padającego promieniowania słonecznego). Układ nadążny generuje jednak dodatkowe koszty związane z umocowaniem, z napędem całego układu ogniw oraz jego konserwacją. Dlatego to rozwiązanie stosuje się rzadziej niż trwałe mocowanie paneli fotowoltaicznych.

Na Rys. 4 przedstawiono kontury Europy [2], [3], a na Rys. 5 kontury Polski z naniesionym średnim nasłonecznieniem (moc promieniowania słonecznego przypadającą na jednostkę powierzchni poziomej) w latach 1994-2010 dla Europy i w latach 1994-2013 dla Polski [2], [3]. Natężenie koloru ilustruje wielkość nasłonecznienia, które zależne jest nie tylko od szerokości geograficznej (nie pokrywa się dokładnie z układem równoleżników), ale także od zachmurzenia, jakie występuje na danym obszarze.

Na Rys. 5 przedstawiono mapę Polski z zaznaczonym nasłonecznieniem (energia padająca na 1 m*m w ciągu roku w kWh/m2). Z mapy wynika, że nasłonecznienie w ciągu roku jest największe w południowo-wschodniej Polsce. Różnice w ilości energii w poszczególnych obszarach sięgają  \( 30\% \), co musi być uwzględniane w rachunku ekonomicznym, szczególnie dla dużych instalacji fotowoltaicznych. Wykresy przebiegu tarczy słonecznej po nieboskłonie określane są indywidualnie dla każdej lokalizacji i można je przedstawić używając programu PVSol (np. dla Krakowa na Rys. 6 ) (opracowanie własne). I tak, latem altitude w zenicie wynosi około  \( 70_{}^{o}\textrm{} \), a zimą około  \( 25_{}^{o}\textrm{} \), przy czym latem azymut zmienia się od około  \( 60_{}^{o}\textrm{} \) do około  \( 300_{}^{o}\textrm{} \). Natomiast, zimą słońce wschodzi, gdy azymut wynosi około   \( 120_{}^{o}\textrm{} \), a zachodzi, gdy azymut wynosi około  \( 240_{}^{o}\textrm{} \).

Podsumowując, do granicy atmosfery Ziemi dociera światło o natężeniu H=1,362  \( \frac{kW}{m^{2}} \) (tzw. stała słoneczna), zaś do powierzchni Ziemi dociera ok.  \( 73\% \) tej wielkości.

Vosti Lublin, Wojewódzki Program Rozwoju Alternatywnych Źródeł Energii dla Województwa Lubelskiego – zob. http://vosti.pl/blog/naslonecznienie-polsce-a-panele-fotowoltaiczne/.


2.2 Widmo promieniowania słonecznego

Po analizie, gdzie, kiedy i ile energii słonecznej do nas dociera zajęto się analizą częstotliwościową promieniowania elektromagnetycznego. Widma promieniowania słonecznego w funkcji długości fali przedstawiono na Rys. 1. Przedstawione widma promieniowania słonecznego to docierające do granic atmosfery (AM 0) oraz widmo promieniowania słonecznego docierające do powierzchni Ziemi po przebyciu promienia słonecznego przez atmosferę Ziemską wpadające pod kątem  \(  \ 42^{o } \) nad horyzontem oznaczone przez AM 1.5. Litera d przy oznaczeniu widma wskazuje, że jest to promieniowanie padające bezpośrednio ze Słońca natomiast litera g oznacza, że to suma promieniowania bezpośredniego ze Słońca oraz rozproszenie Rayleigha i promieniowanie odbite od chmur. Procentowy udział energetyczny poszczególnych obszarów widma jest następujący:

Energia wypromieniowana przez Słońce w postaci fali elektromagnetycznej zanim dotrze do powierzchni Ziemi ulega odbiciu (około  \( 30\% \)) oraz pochłonięciu przez atmosferę Ziemi (około  \( 20\% \)). Do powierzchni atmosfery ziemskiej dociera około  \( 175 \cdot 10^{15 } \) W, a na powierzchnię Ziemi około   \( 89 \cdot 10^{15 } \)  W. Absorpcja w atmosferze ziemskiej występuje na skutek obecności cząsteczek tlenu, ozonu, dwutlenku węgla, pary wodnej itd. Ponadto, w troposferze występuje rozpraszanie Rayleigh’a na cząsteczkach pyłów. Intensywność promieniowania słonecznego w odległości Ziemi od Słońca jest na poziomie 1362  \( \frac{W}{m^{2}} \). Wielkość tę nazwano stałą słoneczną, jest to energia promieniowania słonecznego jaka pada na powierzchnię jednego metra kwadratowego w ciągu sekundy w odległości Ziemi od Słońca (średnia odległość wynosi 150 mln km). Na tej podstawie policzono energię emitowaną w ciągu sekundy przez Słońce i wynosi ona   \( 9.65 \cdot 10^{25 } \) W. Sumaryczna energia, jaka dociera do powierzchni Ziemi w ciągu całego roku, wynosi od 600  \( kWh/m^{2}/rok \) w krajach skandynawskich, a do ponad 2200  \( kWh/m^{2}/rok \) w centralnej Afryce. W Polsce wynosi ona około 990   \( kWh/m^{2}/rok \) [1]. Promieniowane słoneczne pochodzi z fotosfery, czyli z zewnętrznej powierzchni warstwy gazowej Słońca, której temperatura wynosi około 5770 K. Maksimum promieniowania elektromagnetycznego o widmie ciągłym ciała doskonale czarnego, podobnie jak dla promieniowania słonecznego, przypada w obszarze widma widzialnego o długości fali około 500 nm ( Rys. 1 ).

Obszar widzialny widma to od  \( 4 \cdot 10^{-7 } \)m do  \( 7,8 \cdot 10^{-7 } \)m. Porównując widmo ciała doskonale czarnego ( Rys. 2 ) z widmem promieniowania Słońca można w pierwszym przybliżeniu przyjąć, że są one podobne Rys. 1. Zakres pracy paneli słonecznych (kolor zielony) na tle spektrum promieniowania słonecznego jest pokazany na Rys. 3. Promieniowanie Słońca powyżej atmosfery ziemskiej odpowiada w przybliżeniu promieniowaniu ciała doskonale czarnego o temperaturze 5762 K (~6000K). Promieniowanie słoneczne, jakie dociera do powierzchni Ziemi, jeszcze wyraźniej różni się od widma ciała doskonale czarnego. Jest to spowodowane absorpcją, rozproszeniem i odbiciem promieniowania w przestrzeń kosmiczną, co powoduje znaczną modyfikację rozkładu jego widma [2].

Na Rys. 3 pokazano widmo promieniowania słonecznego na powierzchni Ziemi (AM1) po przejściu przez atmosferę [3].

Podczas przechodzenia promieniowania słonecznego przez atmosferę występują straty związane z:

W Polsce do powierzchni Ziemi dociera około 1000  \( \frac{W}{m^{2}} \)promieniowania słonecznego. Wykorzystanie części promieniowania słonecznego do przetwarzania na energię elektryczną związane jest z właściwościami fizycznymi półprzewodników. Na Rys. 3 zaznaczono obszar energetyczny, który jest wykorzystywany do konwersja energii słonecznej w urządzeniach fotowoltaicznych. Obszar ten to prawie  \( 50\% \) energii słonecznej, pozostała część widma nie jest wykorzystywana.

Prowadzone są badania nad zjawiskami i technologiami rozszerzającymi zakres wykorzystywanych częstotliwości, jak np. efektu termoelektrycznego [4], niemniej, w praktyce z instalacji wykorzystujących promieniowanie słoneczne tylko efekt fotowoltaiczny jest szeroko wykorzystywany komercyjnie.


2.3 Uwarunkowania geograficzne

Promieniowanie słoneczne zanim dotrze do powierzchni Ziemi musi przejść przez atmosferę ziemską. Atmosfera ziemska składa się w głównej mierze z azotu ( \( 78,084\% \) objętości), tlenu ( \( 20,946\% \)), argonu ( \( 0,934\% \)), dwutlenku węgla ( \( 0,0408\% \)) oraz pary wodnej, której zawartość ulega zmianie. Oprócz tych składników występuje jeszcze metan, wodór, tlenki azotu, związki siarki, ozon, radon, jod, amoniak i aerozole atmosferyczne (o średnicy 0,05-0,35 μm) w śladowych ilościach. Atmosfera powoduje, że promieniowanie na drodze do powierzchni Ziemi ulega zaabsorbowaniu oraz rozproszeniu.

Promieniowanie słoneczne ulega absorpcji i rozproszeniu (ang. diffusion) ( Rys. 1 ). Do powierzchni panelu PV, oprócz bezpośredniego promieniowania ze Słońca, dochodzi jeszcze światło odbite oraz składowa rozproszenia [1]. Promieniowanie słoneczne padające na powierzchnię Ziemi złożone jest z promieniowania bezpośredniego  \( I_{b} \) (ang. beam radiation) i rozproszonego  \( I_{d} \) (ang. diffuse radiation), zwanego czasem dyfuzyjnym lub promieniowaniem nieboskłonu ( Rys. 2 ). Promieniowanie rozproszone to promieniowanie słoneczne, które uległo rozproszeniu w atmosferze ziemskiej ( 1 ).

Jeżeli promieniowanie słoneczne pada na płaszczyznę odchyloną od poziomu Ziemi, to na promieniowanie składa się promieniowanie bezpośrednie   \( I_{b} \), rozproszone  \( I_{d} \) i promieniowanie odbite   \( I_{od} \) od powierzchni otaczającego gruntu ( 2 ).

Na Rys. 2 oznaczono  \( I_{b} \) – promieniowanie bezpośrednie,  \( I_{d} \) – promieniowanie rozproszone,  \( I_{\alpha b} \) – promieniowanie bezpośrednie padające pod kątem  \( \alpha  \),  \( I_{\alpha o} \) – promieniowanie odbite od powierzchni otaczającego gruntu. Promieniowanie dociera do powierzchni Ziemi przez różne grubości warstwy powietrza w zależności od położenia na kuli ziemskiej, a więc obserwowane jest różne natężenie promieniowania słonecznego ( Rys. 3 ).

Zmianę długości drogi promienia słonecznego S przez atmosferę ziemską przy zmianie kąta padania ϕ pokazano na Rys. 3.

gdzie kąt ϕ jest pomiędzy kierunkiem, w którym znajduje się Słońce, a kierunkiem zenitu. Powoduje to zmianę mocy promieniowania słonecznego docierającego do powierzchni Ziemi. Obrazuje to fakt, że w różnych miejscach na Ziemi występują znacząco różne ilości energii słonecznej do wykorzystania przy konwersji na energię elektryczną.

gdzie kąt ϕ jest pomiędzy kierunkiem, w którym znajduje się Słońce, a kierunkiem zenitu ( Rys. 4 ). Jeśli istnieje potrzeba wyznaczenia liczby masy powietrznej z większą dokładnością, należy znać ciśnienie atmosferyczne, a następnie użyć wzoru ( 5 ) (oprac. własne) [2].

gdzie po=1013 hPa, p – aktualne ciśnienie atmosferyczne, hPa=100 Pa. Dla Polski przyjęto liczbę masy powietrznej wynoszącą AM1.5 (szerokość geograficzna ok.  \( 48_{}^{o}\textrm{} \)).

Różnice warunków oświetlenia w różnych miejscach na powierzchni Ziemi wymusiły standaryzację przeprowadzenia badań wszystkich paneli fotowoltaicznych w dokładnie  [2] takich samych warunkach środowiskowych. Wprowadzono standard STC (ang. Standard Test Conditions). Określają one widmo promieniowania (AM1.5), natężenie oświetlenia – ilość energii padającej na 1 \( m^{2} \) w ciągu 1S (1000  \( \frac{W}{m^{2}} \)) oraz temperaturę w jakiej prowadzone są badania  \( (25_{}^{o}\textrm{C}) \).


2.4 Dobowe zmiany energii słonecznej

Słońce nad horyzontem zmienia swoje położenie w zależności od pory dnia. Horyzont obserwatora znajdującego się w środku i położenie Słońca względem niego w zależności od pory dnia pokazano na Rys. 1.

Słońce zmienia swoje położenie na nieboskłonie ze wschodu na zachód, jak również wznosząc się nad horyzontem, przez cały dzień. Najwyższy punkt osiąga w południe słoneczne, a następnie obniża się aż do zachodu. Pozioma pozycja Słońca nazywana jest azymutem słonecznym ( Rys. 1 ), który dla półkuli północnej jest mierzony w stopniach na wschód i zachód od geograficznego południa (nie magnetycznego południa). Kąt azymutu Słońca wynosi  \( 180^{o} \) dla geograficznego południa. Pionowa pozycja Słońca, czyli wysokość kątowa Słońca (altitude) mierzona jest w stopniach nad horyzontem. Przy wschodzie Słońca wynosi  \( 0^{o} \), gdy Słońce się wznosi kąt rośnie do maksymalnej wartości w południe i wynosi w zależności od położenia na kuli ziemskiej do  \( 90^{o} \) (zależnie od szerokości geograficznej). Pozycję Słońca w zależności od pory roku i dnia przedstawiono na Rys. 2 (na podstawie danych z Wschód i zachód Słońca w Krakowie – zob. https://halloween.friko.net/slonce/Krakow [1]). Horyzont obserwatora znajduje się w środku, a położenie Słońca względem niego zależy od pory dnia i roku. Na półkuli północnej najwyższa wysokość kątowa Słońca osiągana jest w porze letniej, a najniższa w zimie. Linia przerywana pokazuje wrażenie rzutu ruchu Słońca na płaszczyznę horyzontu, jakie widzi obserwator.

W celu efektywnego wykorzystania nasłonecznienia panele fotowoltaiczne powinny być ustawione w taki sposób, aby energia promieniowania słonecznego padająca na panel była jak największa. Jeżeli ustawienie panelu jest stacjonarne, czyli nie podąża za słońcem, to powinien on być ustawiony w kierunku południowym. Kąt nachylenia panelu fotowoltaicznego ustawia się w zależności od usytuowania na powierzchni Ziemi (czyli, w zależności od szerokości geograficznej zamontowania panelu PV), aby mógł on odbierać maksymalne nasłonecznienie. Na Rys. 3 (dane pobrano z [2]) pokazano przykładowe różnice w nasłonecznieniu dla Polski południowej i północnej. Optymalny kąt pochylenia panelu fotowoltaicznego dla Polski północnej jest większy niż dla południowej.

Na podstawie powyższego wykresu można stwierdzić, że ustawienie panelu fotowoltaicznego pod kątem w granicach  \( 20^{o} \)-  \( 50^{o} \) zmienia pobór energii słonecznej od  \( 1175\frac{kWh}{m^{2}} \) do  \( 1204\frac{kWh}{m^{2}} \), czyli w zakresie mniejszym niż  \( 3\% \). Panele fotowoltaiczne umieszcza się zwykle na dachu budynku, a ten nie zawsze skierowany jest dokładnie na południe. Dlatego, należy również przeanalizować sytuację, w której panele fotowoltaiczne mają inne ustawienie względem południa.

Na podstawie przedstawionych danych eksperymentalnych ( Rys. 4 ) (dane pobrano z [2]) można stwierdzić, że im bardziej panel fotowoltaiczny odchylany jest od kierunku południowego, tym mniej energii słonecznej dociera do niego. Jeżeli odchylenie od kierunku południowego nie przekroczy  \( 30^{o} \), zmniejszenie nasłonecznienia panelu nie przekroczy  \( 5\% \). Reasumując, odchylenie ustawienia panelu od kierunku południowego do  \( 30^{o} \) i ewentualna zmiana kąta pochylenia w granicach od  \( 20^{o} \) do  \( 50^{o} \) nie powodują większych strat niż  \( 8\% \). Większe wartości ww. kątów spowodują jednak większe zmniejszenie nasłonecznienia danego panelu. Jeżeli wystąpi potrzeba instalacji fotowoltaicznej tzw. specjalnej, np. na domku letniskowym, trzeba wykorzystać największe nasłonecznienie w okresie korzystania z domku, czyli w okresie letnim. Wtedy kąt odchylenia od kierunku południowego też nie powinien przekraczać  \( 30^{o} \), natomiast kąt nachylenia panelu powinien zostać dostosowany do pory letniej, kiedy domek będzie wykorzystywany.


3.1 Początki fotowoltaiki

Efekt fotowoltaiczny jest to zjawisko polegające na powstaniu siły elektromotorycznej w ciele stałym pod wpływem promieniowania słonecznego. Efekt fotowoltaiczny jest wykorzystywany w ogniwach fotowoltaicznych, urządzeniach, które produkują energię elektryczną bezpośrednio z promieniowania słonecznego. Ogniwa fotowoltaiczne są podstawowym elementem budowy baterii słonecznych nazywanych także modułami czy panelami fotowoltaicznymi. W oparciu o baterie słoneczne budowane są instalacje fotowoltaiczne. W tabeli na Rys. 1 przedstawiono kilka dat związanych z odkryciem zjawiska oraz modyfikacji dokonanych do początku XXI  wieku (rysunki w tabeli stanowią opracowanie własne, fotografie pochodzą z: [1], [2], [3], [4], zdjęcie salelity na podstawie [5]; fotografie na wolnych licencjach).


3.2 Fotowoltaika na przełomie wieku XX i XXI

W prezentowanym rozdziale przedstawiony jest dalszy rozwój odkryć i osiągnięć w obszarze fotowoltaiki po 1960 r. do czasów obecnych (fotografie zamieszczone na Rys. 1 pochodzą z [1], [2]; wykorzystano do celów edukacyjnych).