Elementy orientacji wewnętrznej i dystorsja

Konwencja przyjęta dla zwrotu osi \(z\) powoduje, że wszystkie punkty zdjęcia mają w układzie kamery współrzędną \(z\) równą \(-c\). Dla lotów blokowych oś \(x\) wskazuje w którym kierunku przemieszcza się kamera.

W roli układu zdjęcia używa się też układu sensora ustalonego przez kolumny i wiersze matrycy. W fotogrametrii analogowej układ zdjęcia był wyznaczany przez znaczki (markery) położone na marginesach zdjęcia, stąd nosił nazwę układu tłowego (znaczki tłowe kamery są widoczne na  Rys. 1).

Z punktu widzenie fotogrametrii rzut środkowy jest wyznaczony przez wskazanie środka rzutu, rzutni oraz punktu głównego zdjęcia (rzut ortogonalny środka rzutu na zdjęcie). Środek rzutu \(O\) i punkt główny \(O'\) dzieli odległość obrazowa \(c\) zwana w fotogrametrii stałą kamery 1     (ang. principal distance). Jeśli kamera idealnie realizuje rzut środkowy, to punkt główny zdjęcia pokrywa się ze środkiem geometrycznym zdjęcia S ( Rys. 1A). Jest to bardzo trudne do osiągnięcia w praktyce, z reguły punkt główny nie leży dokładnie w środku geometrycznym zdjęcia lecz w jego pobliżu (Rys. 1B). Układ zdjęcia (scentrowany) stanowi fizyczną referencję dla punktu głównego [1].

Współrzędne punktu \(P'\) w układzie kamery wynoszą (Rys. 1):

gdzie: \(\hat {x}, \hat {y}\) – współrzędne punktu \(P'\) w układzie scentrowanym, \(x_{o}\), \(y_{o}\), \(c\) – EOW.

Obiektywy aparatów fotograficznych wprowadzają względem rzutu środkowego szereg zniekształceń, zwanych aberracjami. Wskutek aberracji: chromatycznej, sferycznej, krzywizny pola i astygmatyzmu, następuje spadek ostrości obrazu. Z kolei dystorsja (geometryczna) ujawnia się odwzorowaniem na zdjęciu linii prostych w postaci krzywych (zob.  Rys. 3) [2, 3]. Promienie przechodząc przez soczewki obiektywu tracą prostoliniowość – kąt promieni względem osi kamery jest inny w przestrzeni przedmiotowej i obrazowej. W rezultacie obraz punktu \(P\) zamiast powstać z zachowaniem kolinearności w punkcie \(P'\), sytuuje się w błędnym punkcie \(P''\) (Rys. 2A).

Zostały opracowane modele matematyczne opisujące deformacje geometryczne zdjęcia. Wydzielono dystorsję radialną – symetryczną względem punktu głównego 2     (Rys. 2A,B) i tangencjalną, której wektor jest prostopadły do promienia radialnego (Rys. 2B). Najczęściej stosowany jest wielomianowy model Brown-a [4], który dystorsję radialną opisuje wzorem  (2) a tangencjalną wzorem  (3).

gdzie: \(\Delta x_r, \Delta y_r \) – składowe dystorsji radialnej, \(\Delta x_t, \Delta y_t \) – składowe dystorsji tangencjalnej, \(\Delta x_d, \Delta y_d \) – składowe dystorsji sumarycznej, \(k_1, k_2, k_3 \) – parametry dystorsji radialnej, \(p_1, p_2 \) – parametry dystorsji tangencjalnej, \(x,y\) – współrzędne punktu odniesione do punktu głównego, obliczane z wzoru  (5) , \(r\) – promień punktu względem punktu głównego zdjęcia, obliczany z wzoru  (6).

Sposób wyznaczania parametrów dystorsji opisany jest w  Kalibracja kamer.

Definicja 1: Układ kamery

  prawoskrętny układ 3D zaczepiony w środku rzutu kamery, oś \(z\) jest
skierowana wzdłuż osi kamery w kierunku od obiektu, osie \(x\) i \(y\) są równoległe do ramki matrycy kamery (Rys.
1).

Definicja 2: Układ zdjęcia scentrowany

  prawoskrętny układ 2D zaczepiony w środku geometrycznym
zdjęcia, osie \(\hat {x}\) i \(\hat {y}\) są równoległe do ramki matrycy kamery, co pokazuje Rys. 1 (ang. image-centered frame).

Definicja 3: Elementy orientacji wewnętrznej kamery – EOW

  zespół trzech parametrów:
współrzędne punktu głównego w układzie zdjęcia scentrowanym i stała kamery (\(x_{o}\), \(y_{o}\), \(c\)).


Kalibracja kamer

Wykonywane dookolnie zdjęcia pola kalibracyjnego pokazanego na Rys. 2 mają znacząco inną orientację przestrzenną, co zmniejsza korelację niewiadomych (parametrów EOW i dystorsji), a przez to poprawia dokładność kalibracji [3].

Najprostszym polem kalibracyjnym jest szachownica wyświetlana na ekranie monitora (Rys. 3). Wykonuje się zwykle dziewięć zdjęć tak, aby szachownica była ujęta z różnych perspektyw, aby wypełniała cały kadr zdjęcia, a pomiędzy zdjęciami nie zmienia się ostrości (odległość obrazowa ma być stała). Do obliczeń EOW i dystorsji używa się najczęściej metody opracowanej przez Zhang-a [4], której implementacja informatyczna jest bibliotece OpenCV. Kalibracja "na szachownicę" nadaje się dla aparatów o krótkich ogniskowych, które po wyostrzeniu na bliski plan mają większe głębie ostrości niż aparaty długoogniskowe.

Szczególnym rodzajem kalibracji jest tzw. samokalibracja, w której rolę pola kalibracyjnego odgrywa obiekt będący przedmiotem pomiaru fotogrametrycznego.

Definicja 1: Kalibracja kamery

  estymacja EOW i dystorsji na podstawie zaobserwowanych na
zdjęciach deformacji wzorca geometrycznego (pola kalibracyjnego).

Definicja 2: Samokalibracja kamery

  wyznaczenie EOW i dystorsji na podstawie deformacji zdjęć
wykrytych podczas procesu opracowania zdjęć wykonanych dla potrzeb pomiarowych (zob.  Metoda SfM).


Kamery metryczne i niemetryczne

Podstawowe cechy wielkoformatowych cyfrowych kamer pomiarowych (Rys. 1) [1]:

Kamery wielogłowicowe rejestrują w tym samym czasie osobne kanały (Rys. 2), które później są montowane w jedno zdjęcie wirtualne. Zdjęcie kolorowe powstaje na drodze syntezy kanałów R,G,B z kanałem panchromatycznym (bez stosowania filtra Bayer-a). Kanał NIR jest opcjonalnie wykorzystywany do tworzenia obrazów w tzw. fałszywych kolorach, stosowanych głównie w leśnictwie do analizy kondycji drzew.

Stosowana w kamerach pomiarowych kompensacja ruchu postępowego polega na mechanicznym przesunięciu zdjęcia w kierunku lotu o pokazany na Rys. 3 wektor, którego długość \(u_t'\) równa się potencjalnej plamce rozmazania zdjęcia – zgodnie z wzorem   (1). Przesunięcie zdjęcia musi odbyć się w czasie otwarcia migawki, co wymaga synchronizacji z prędkością i wysokością lotu. Elektronicznym odpowiednikiem mechanicznego systemu kompensacji FMC jest sukcesywne przesuwanie naświetlonych „linijek” w kierunku lotu (TDI – Time Delay Integration). Dzięki FMC/TDI mogą być stosowane dłuższe czasy otwarcia migawki, co pozwala uniknąć zwiększenia czułości matrycy.

Kamery pomiarowe są podstawowym narzędziem fotogrametrii lotniczej ze statków załogowych. Praktyka pokazuje, że kalibrację kamer pomiarowych należy okresowo sprawdzać (co rok lub dwa), a w przypadku dużych zmian względem fabrycznej metryki, kieruje się ją do producenta na badanie kontrolne.

W kamerach średnioformatowych nie stosuje się wielogłowicowej rejestracji pojedynczego zdjęcia, nie ma też redukcji nieostrości zdjęcia wskutek ruchu postępowego. Zdjęcia kolorowe powstają z zastosowaniem zmodyfikowanych filtrów Bayer-a. Kamery mają centralną migawkę pozwalającą na bardzo krótkie czasy naświetlania (np. 1/2500 s) oraz matryce o wysokiej czułości bazowej (ISO < 100), dzięki czemu można uzyskiwać ostre zdjęcia pomimo ruchu kamery. Zaletą kamer jest dostępność obiektywów o różnych ogniskowych (po wymianie obiektywu zalecana jest kalibracja). Dzięki małej masie można montować systemy złożone z kilku kamer, zarówno do zdjęć pionowych jak i zdjęć ukośnych. Popularne są zestawy pięciu kamer, z których jedna jest skierowana w dół, a pozostałe są odchylone o \(45^{\circ }\) od pionu i wykonują zdjęcia w czterech różnych kierunkach. Coraz więcej kamer średnioformatowych nadaje się do stosowania w BSP.

Przy wykonywaniu zdjęć fotogrametrycznych z dronów (zob.  Fotogrametryczne statki powietrzne), stosuje się kamery o masie < 1 kg, o różnym poziomie stabilności EOW i dystorsji. Standardem postępowania de facto jest  samokalibracja kamer (2) (zakłada się, że w czasie trwania lotu kamera jest stabilna).

W przypadku zdjęć wykonywanych w ruchu, co przeważa w fotogrametrii, nie zaleca się stosowania kamer wyposażonych w migawki szczelinowe (zob.  Aparat fotograficzny czyli udoskonalona camera obscura). Czas przewijania migawki szczelinowej jest dłuższy niż czas naświetlania matrycy, co może doprowadzić do rozmazania obrazu, nazywanego efektem rolling shuter. Z punktu widzenia fotogrametrii znacznie lepsza jest mechaniczna migawka centralna lub elektroniczna globalna.

Aparaty fotograficzne instalowane w smartfonach mają znacznie mniejsze rozmiary w stosunku do klasycznych aparatów fotograficznych, matryce są miniaturowe, obiektywy plastikowe [4]. Z tych powodów aparaty smarfonowe cechuje zmienność EOW (dystorsja jest relatywnie stała). Niezależnie od tych uwarunkowań aparaty smartfonowe mogą być stosowane do zastosowań pomiarowych w których wystarczają mniejsze dokładności [5].

Definicja 1: Kamery metryczne

  kamery wyprodukowane specjalnie dla potrzeb fotogrametrycznych,
EOW i dystorsja kamer nie ulegają zmianie w czasie (przy założeniu, że kamera nie doświadczy gwałtownych
wstrząsów czy uszkodzenia mechanicznego); kamery są fabrycznie kalibrowane i dostarczane wraz z protokołem
kalibracji.

Definicja 2: Kamery niemetryczne

  aparaty fotograficzne ogólnego przeznaczenia, EOW i dystorsja są
wyznaczone przez użytkownika na drodze kalibracji powtarzanej okresowo albo przed każdym pomiarem
fotogrametrycznym, albo wykonywanej w trybie samokalibracji.


Równania kolinearności i elementy orientacji zewnętrznej

gdzie: \(X,Y,Z\) – współrzędne punktu \(P\) w układzie terenowym \(XYZ\), \(x,y,-c\) – współrzędne punktu \(P'\) (obraz \(P\)) w układzie kamery, skorygowane o EOW i dystorsję (zob. wzór   (7) w Elementy orientacji wewnętrznej i dystorsja).

Cechą rzutu środkowego jest współliniowość (kolinearność) środka rzutu \(O\), punktu \(P\) i jego obrazu \(P'\) na zdjęciu, co pokazuje Rys. 1. W części B rysunku w miejscu układu kamery usytuowany jest pomocniczy układ współrzędnych \(\dot {x}, \dot {y}, \dot {z}\), którego osie są równoległe do osi układu terenowego \(XYZ\).

Kolinearność punktów \(O, P, P'\) można zapisać następująco [1]:

gdzie: \(X, Y, Z\) – współrzędne punktu \(P\) w układzie \(XYZ\),                                                                                \(X_o, Y_o, Z_o\) – współrzędne środka rzutu \(O\) w układzie \(XYZ\), \(m\) – mianownik skali w jakiej odwzorował się punkt \(P'\), \(m\) wyraża ile razy wektor \(OP\) jest dłuższy od wektora \(OP'\), \(\dot {x}, \dot {y}, \dot {z}\) – współrzędne punktu \(P'\) w układzie \(\dot {x}\dot {y}\dot {z}\), \(\mathbf {R}\) – macierz obrotu transformująca współrzędne z układu kamery do układu \(\dot {x}\dot {y}\dot {z}\).

Układ kamery \(xyz\) i układ pomocniczy \(\dot {x}\dot {y}\dot {z}\) są wzajemnie skręcone (Rys. 1). Obracając jeden układ kolejno wokół trzech osi można doprowadzić go do pozycji tożsamej z drugim układem (zob. kąty Eulera). W ogólności kolejność obrotów jest dowolna. W fotogrametrii przyjęto następującą konwencję obrotów: obracany jest układ \(\dot {x}\dot {y}\dot {z}\), kolejność obrotów \( \omega , \phi , \kappa \) (Rys. 2), dodatnim obrotem jest kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara gdy obrót obserwujemy z dodatniego kierunku osi obrotu [2].

Dla przyjętej konwencji obrotów można zapisać transformację współrzędnych z układu kamery \(xyz\) do układu \(\dot {x}\dot {y}\dot {z}\) jako zespół kolejno po sobie następujących transformacji elementarnych, wyrażających obroty \( \omega , \phi , \kappa \) wokół kolejno obracanych osi \(\dot {x}, \dot {y}, \dot {z}\) (każdy kolejny obrót powoduje nowe położenie układu). Transformacje elementarne są pokazane na Rys. 2, pod którym są umieszczone macierze transformacji \(\mathbf {R_{\omega }}, \mathbf {R_{\phi }}, \mathbf {R_{\kappa }}\).

Po wymnożeniu macierzy elementarnych \(\mathbf {R_{\omega }}, \mathbf {R_{\phi }}, \mathbf {R_{\kappa }}\) uzyskamy macierz obrotu \(\mathbf {R}\) wyrażoną wzorem  (4). Macierz \(\mathbf {R}\) ma rozmiar 3×3, jest ortogonalna, czyli \(\mathbf {R}^{-1} = \mathbf {R}^T\) 1    .

Kolinearność zapisana wzorem  (2) pokazuje drogę przeliczenia współrzędnych punktu \(P'\) na współrzędne punktu \(P\), czyli "zdjęcie \(\Rightarrow \) teren". Wzór  (2) łatwo przekształcić do postaci  (5) która reprezentuje drogę przeliczenia współrzędnych punktu \(P\) na współrzędne punktu \(P'\), czyli "teren \(\Rightarrow \) zdjęcie".

Z wzoru  (5) można otrzymać równoważną postać złożoną z trzech oddzielnych równań odpowiednio dla \(x, y\) i \(-c\). Jeśli następnie podzielimy dwa pierwsze równania przez równanie trzecie i ostatecznie wymnożymy oba równania przez \(-c\), to uzyskamy równania kolinearności:

gdzie: \( r_{11}, r_{12},.., r_{33}\) – elementy macierzy \(\mathbf {R}\).

Równania kolinearności  (6) pozwalają obliczyć położenie obrazów punktów terenowych na zdjęciu na podstawie:

Równania kolinearności  (6) stanowią punkt wyjścia dla sformułowania równań obserwacyjnych w procesie obliczania najbardziej prawdopodobnych EOZ (zob.  Estymacja EOZ - aerotriangulacja).

    Definicja 1: Elementy orientacji zewnętrznej kamery
– EOZ 2

  dane określające położenie układu kamery w układzie terenowym, składające się ze współrzędnych
środka rzutu \(X_o,Y_o,Z_o\) oraz trzech kątów \( \omega , \phi , \kappa \) wyrażających orientację kątową układu kamery względem terenowego (zbiór
sześciu EOZ składa się z trzech elementów liniowych i trzech kątowych).


Bezpośredni pomiar EOZ

Dane z nawigacyjnych systemów GNSS i INS (zob.  Fotogrametryczne statki powietrzne) opisują chwilowe położenie statku powietrznego, jednak nie są wystarczające do wykorzystania bezpośrednio jako georeferencje kamer. Dlatego stosuje się osobne urządzenia pomiarowe oparte o analogiczne techniki jak w nawigacji, ale o wyższej dokładności i wzajemnie zintegrowane:

Urządzeniem pomiarowym INS jest jednostka inercyjna (IMU-Inertial Measurement Unit). IMU składa się najczęściej z 3 żyroskopów, 3 akcelerometrów oraz opcjonalnie magnetometru. Żyroskopy (mechaniczne, optyczne lub światłowodowe) służą do wyznaczenia orientacji kątowej (poprzez pomiar prędkości kątowych). Akcelerometry (przyspieszeniomierze) służą do wyznaczenia pozycji (poprzez pomiar liniowych zmian prędkości).

W pomiarach GNSS/INS występują dwa 1     układy współrzędnych, pokazane na Rys. 1:

Pomiar GNSS odniesiony do układu \(X^e Y^e Z^e\) jest wykonywany przy wsparciu stacji referencyjnych (np. ASG EUPOS), technikami: różnicową (dGPS), kinematyczną (RTK) lub kinematyczną z opracowaniem w post-processingu (PPK). Pomiar orientacji kątowej wykonywany przez INS jest odniesiony do układu nawigacyjnego \(NED\). Orientacja kątowa jest wyrażana przez odchylenie od pionu (roll, pitch ) i azymut względem północy (yaw). Nazwy kątów i ich zwroty są zaadoptowane z nawigacji lotniczej (zob. Aircraft Rotations), zmiany orientacji kątowej kamery są pochodną ruchu statku powietrznego (zob. animacja yaw, animacja pitch, animacja roll).

Pomiędzy anteną GNSS, IMU oraz kamerą występują ekscentry które muszą być wyznaczone w procesie kalibracji zestawu pomiarowego, aby możliwe było przeliczenie mierzonych kątów (INS) i współrzędnych (GNSS) na wartości odpowiadające układowi kamery (Rys. 2A). Mierzone przez INS kąty yaw, pitch, roll dotyczą IMU, a nie kamery (Rys. 2B). Dlatego przeliczenie pomierzonych kątów na orientację kątową kamery wymaga uwzględnienia, poza ekscentrem liniowym, nierównoległości układu kamery i układu IMU.

Podstawowym parametrem charakteryzującym dokładność IMU jest dryft (liniowa strata dokładności w funkcji czasu) [2]. Najwyższej klasy urządzenia mają dryft na poziomie 0,001\(^{\circ }\)/h, a jednostki klasy consumer grade rzędu (\({10} - {10^3}\))\(^{\circ }\)/h [3]. Stosowane w fotogrametrii ze statków załogowych urządzenia GNSS/INS są wzajemnie zintegrowane, co pozwala korygować dryft INS. W BSP stosuje się zwykle wysokiej jakości system GNSS (RTK/PPK) i znacznie niższej INS.

Uzyskane z INS i skorygowane do układu kamery kąty yaw, pitch, roll są współmierne względem kątów \(\omega , \phi , \kappa \), podobieństwa i różnice są następujące [5]:

Do przeliczenia yaw, pitch, roll na \(\omega , \phi , \kappa \) trzeba znać:

Konieczność przeliczenia kątów nie występuje, gdy estymacja EOZ (zob.  Estymacja EOZ - aerotriangulacja) odbywa się w układzie geocentrycznym (lub topocentrycznym którego płaszczyzna \(XY\) jest styczna do elipsoidy w środku obszaru opracowania). Takie postępowanie jest korzystne dla dużych obszarowo projektów fotogrametrycznych, gdyż nie wprowadza do estymacji EOZ zaburzeń z tytułu zniekształceń odwzorowania kartograficznego.

Definicja 1: Pomiar georeferencji kamery

  pomiar pozycji i orientacji kątowej kamery (EOZ)
wykonywany technikami GNSS i INS podczas lotu fotogrametrycznego.


Estymacja EOZ - aerotriangulacja

Metoda niezależnych wiązek oraz bezpośredni pomiar georeferencji są współmierne w tym sensie, że maję wspólny cel: określenie EOZ zdjęć. Estymacja "wiązkami" jest od wielu lat stosowana operacyjnie, dzięki czemu zyskała miano metody skutecznej, niezawodnej i wystarczająco dokładnej. Integracja obu metod staje się standardem de facto współczesnej fotogrametrii.

Punkty wiążące tworzą kameralną osnowę fotogrametryczną, w odróżnieniu od fotopunktów i punktów kontrolnych nie są mierzone w terenie (zob.  Terenowa osnowa fotogrametryczna). Liczba punktów wiążących w porównaniu z osnową terenową jest bardzo duża, od kilku (5-6) punktów na każdym zdjęciu do tysięcy punktów (gdy do estymacji EOZ jest wykorzystana  Metoda SfM). W procesie estymacji EOZ punkty wiążące uzyskują współrzędne terenowe \(X,Y,Z\).

Estymacja EOZ zdjęć lotniczych jest tradycyjnie nazywana aerotriangulacją [1]. Nazwa ta była w pełni adekwatna w czasach fotogrametrii analogowej, kiedy konieczne było zagęszczanie osnowy terenowej, gdyż rzadko rozłożone fotopunkty nie wystarczały do opracowania stereoskopowego par zdjęć lotniczych [2]. Punkty wiążące z uzyskanymi po aerotriangulacji współrzędnymi terenowymi stanowiły nieodzowne uzupełnienie osnowy terenowej. Współcześnie współrzędne terenowe punktów wiążących nie są głównym celem aerotriangulacji, mają znaczenie pomocnicze.

Punkty wiążące i fotopunkty powinny równomiernie pokrywać obszar bloku zdjęć, co pokazuje Rys. 2 (na przykładzie symbolicznego bloku złożonego z dwóch szeregów po trzy zdjęcia każdy).

Zapiszmy równania kolinearności   (6) w symbolicznej postaci  (1):

gdzie: \(c\) – stała kamery, \(X_{o_j}, Y_{o_j}, Z_{o_j}, \omega _j, \phi _j, \kappa _j\) – EOZ zdjęcia \(j\), \(X_i, Y_i, Z_i\) – współrzędne terenowe punktu osnowy \(i\), \(x_{ij}\), \(y_{ij}\) – współrzędne punktu osnowy \(i\) odwzorowanego na zdjęciu \(j\).

Na podstawie równań kolinearności  (1) ułóżmy równania poprawek dla obserwowanych współrzędnych:

Gdy równania  (2) dotyczą fotopunktów, to zawierają 6 niewiadomych (EOZ), natomiast w równaniach dla punktów wiążących jest o 3 niewiadome więcej, są to ich współrzędne terenowe.

Estymacja EOZ metodą niezależnych wiązek polega na jednoczesnym rozwiązaniu układu równań obserwacyjnych  (2) zestawionych dla wszystkich obserwacji (współrzędne \(x,y\) punktów osnowy), przy warunku minimalizacji sumy kwadratów losowych poprawek do obserwacji. Każdy punkt osnowy wnosi tyle par równań  (2) na ilu zdjęciach został odwzorowany. Liczba niewiadomych układu równań wynosi: 6 ⋅ liczba zdjęć + 3 ⋅ liczba punktów wiążących. Dzięki pokryciu zdjęć, w szczególności potrójnemu, nawet przy niedużej liczbie zdjęć występują obserwacje nadliczbowe względem liczby niewiadomych (zob. przykład  (1)).

Ponieważ równania kolinearności są nieliniowe, to dla potrzeb estymacji EOZ konieczna jest ich linearyzacja z wykorzystaniem wzoru Taylora. Linearyzacja wymaga oszacowania wartości przybliżonych niewiadomych, obliczenia pochodnych cząstkowych (1 stopnia) względem niewiadomych, a przedmiotem estymacji są przyrosty do podanych przybliżeń. Wzory na pochodne cząstkowe są podane w [4].

Opracowano metodę szacowania wartości przybliżonych opartą na sukcesywnym budowaniu bloku w układzie lokalnym (zob.  Metoda SfM), w której nie jest potrzebny  Bezpośredni pomiar EOZ a zdjęcia mogą mieć dowolne nachylenie.

Rozwiązanie jest iteracyjne, w każdej iteracji liczone są przyrosty do wejściowych wartości niewiadomych.                                                                                W nowszych rozwiązaniach zamiast kolejnych iteracji stosuje algorytm optymalizacji nieliniowej Levenberga-Marquardta, co przyspiesza obliczenia [5].

gdzie:                                                                                \(\mathbf {v}\) – wektor poprawek losowych, rozmiar \(n \times 1\), \(\mathbf {P}\) – macierz wag obserwacji, rozmiar \(n \times n\), \(n\) – liczba obserwacji, \(u\) – liczba niewiadomych.

Wskaźnikiem zrównoważonej estymacji jest uzyskanie: \(\sigma _0 \! \approx \! 1\). Liczone są także błędy średnie współrzędnych pomierzonych na zdjęciach oraz współrzędnych fotopunktów i pomierzonych EOZ (gdy te pomiary były traktowane jako obserwacje).

Poza statystyką wyprowadzoną z procesu estymacji oblicza się empiryczne wskaźniki dokładności aerotriangulacji, w szczególności porównując współrzędne punktów kontrolnych z pomiaru terenowego (zob.  Terenowa osnowa fotogrametryczna) i fotogrametrycznego (zob.  Dokładność pomiarów fotogrametrycznych).

W powyższym przykładzie liczba obserwacji nadliczbowych jest niewielka, gdyż blok zdjęć jest bardzo mały, a liczba punktów wiążących praktycznie najmniejsza z dopuszczalnych. Nadliczbowość rośnie ze wzrostem pokrycia zdjęć i liczby punktów osnowy (zwłaszcza punktów wiążących odwzorowanych na wielu zdjęciach).

Klasyczny proces estymacji EOZ zdjęć wykonanych kamerą pomiarową jest realizowany przy pomocy specjalistycznego oprogramowania (np. Trimble Inpho, Socet Set, Image Station), obejmuje następujące etapy:

    Definicja 1: Estymacja EOZ metodą niezależnych
wiązek 1

  ustalenie EOZ wielu zdjęć w jednym procesie obliczeniowym, w którym korygowane są inicjalne EOZ w taki
sposób, aby zapewnić optymalne dopasowanie wiązek promieni wychodzących ze środków rzutu kamer, a
przecinających się na punktach wiążących i fotopunktach (Rys. 1).

Definicja 2: Punkty wiążące

  punkty homologiczne potrzebne do rekonstrukcji promieni tworzących
wiązki poszczególnych zdjęć, które podlegają dopasowaniu w procesie estymacji EOZ (potocznie: punkty
służące do "powiązania" zdjęć).


Orientacja wzajemna i bezwzględna

Wyobraźmy sobie dwa zdjęcia na których zobrazowana jest scena reprezentowana przez punkt \(P\) na Rys. 1. Przecięcie bazy (wektora \(O_1O_2\)) z płaszczyznami zdjęć daje punkty epipolarne. Proste łączące punkty epipolarne z obrazami punktu \(P\) na zdjęciach (\(P'\!_1, P'\!_2\)) nazywa się liniami epipolarnymi.

Gdy zdjęcia są wzajemnie zorientowane to:

Analityczne ujęcie związków geometrycznych przedstawionych na Rys. 1 wyraża wzór  (1) [1]:

gdzie: \(x_1, y_1, x_2, y_2\) – współrzędne punktów \(P'\!_1\) i \(P'\!_2\) na zdjęciach, w dowolnym układzie 2D, \(\mathbf {F}\) – macierz fundamentalna 2    .

Obliczenie elementów macierzy \(\mathbf {F}\) wymaga znajomości 8 punktów homologicznych (dodatkowe warunki pozwalają zmniejszyć liczbę do 7). Macierz fundamentalną można dekomponować na translację oraz rotację [1]. Znajomość \(\mathbf {F}\) i współrzędnych punktu na jednym zdjęciu, pozwala obliczyć równanie linii epipolarnej na drugim zdjęciu (zależność punkt -> linia epipolarna). Do orientacji wzajemnej zdjęć poprzez macierz fundamentalną nie jest potrzebna znajomość EOW kamery (ale dystorsja powinna być usunięta). Jeśli EOW kamery są znane, wówczas liczba niewiadomych orientacji wzajemnej zmniejsza się do pięciu, określają one jawnie położenie przestrzenne jednego zdjęcia względem drugiego (uzyskujemy zależność punkt -> punkt) [2].

Położenie prawego zdjęcia względem lewego jest zdefiniowane przez pięć parametrów (Rys. 2):

Składowa bazy \(b_x\) jest przyjmowana arbitralnie, decyduje o skali modelu (np. \(b_x=1\)). Parametry orientacji wzajemnej można traktować jako EOZ zdjęcia prawego, ale odniesione do układu modelu 6    . Ten fakt podkreśla, że w orientacji wzajemnej nie jest istotne położenie względem układu terenowego a jedynie relacja jednego zdjęcia do drugiego. Powstały po orientacji wzajemnej model 3D zachowuje proporcje rozmiarów obiektów, ale nie ma określonej skali i położenia w przestrzeni.

Model przestrzenny utworzony po orientacji wzajemnej pary zdjęć jest wyrażony w układzie modelu o nieznanym położeniu względem terenu, ma przypadkową skalę. Transformacja modelu do układu terenowego jest złożona z przesunięcia, przeskalowania i obrotu [3] (transformacja Helmerta 3D), co wyraża wzór  (2) i pokazuje symbolicznie Rys. 3.

gdzie: \(\ddot {x}, \ddot {y}, \ddot {z}\) – współrzędne punktów modelu, \(\mathbf {R}\) – macierz obrotu modelu o kąty \(\ddot {\omega }, \ddot {\phi }, \ddot {\kappa } \) 7    ,                                                                                \(m\) – współczynnik przeskalowania modelu (jeden dla całego modelu), \(X_o, Y_o, Z_o \) – współrzędne początku układu modelu w układzie \(XYZ\).

Do wyznaczenia siedmiu parametrów transformacji modelu (\(X_o, Y_o, Z_o, \ddot {\omega }, \ddot {\phi }, \ddot {\kappa }, m \)) potrzeba minimum trzech fotopunktów (poza współrzędnymi terenowymi \(X,Y,Z\) muszą one mieć znane współrzędne w układzie modelu \(\ddot {x}\ddot {y}\ddot {z}\)).

Definicja 1: Orientacja wzajemna pary zdjęć 1

  rekonstrukcja przestrzennej orientacji pary zdjęć względem siebie w oparciu o warunek poprawnego przecinania
się promieni punktów homologicznych; rezultat orientacji nazywany jest modelem (fotogrametrycznym).

Definicja 2: Układ współrzędnych modelu

  arbitralnie przyjęty układ
w którym wyrażone jest wzajemne położenie zdjęć (kamer), np. układ zaczepiony w
środku rzutu kamery lewej i dziedziczący jej kierunki osi, ale przy założeniu, że oś \(z\) jest
pionowa 3
   ;
układ służy do obliczania współrzędnych 3D z przecięcia promieni punktów homologicznych zdjęć tworzących
model 4
   .

Definicja 3: Orientacja bezwzględna (absolutna) modelu

  transformacja modelu do układu terenowego
(ang. absolute orientation – AO).


Wcięcia fotogrametryczne i normalizacja zdjęć

gdzie: \({X_{o}}, {Y_{o}}, {Z_{o}}, {\omega }, {\phi },{\kappa }\) – obliczane EOZ zdjęcia, \(X_i,Y_i,Z_i\) – współrzędne terenowe fotopunktu \(i\), \(i=1...\geq 3\), \(x_{i}, y_{i}\) – współrzędne fotopunktu \(i\) na zdjęciu, \(c\) – stała kamery.

Aby z układu równań  (1) wyliczyć EOZ trzeba podać wartości przybliżone niewiadomych (ta zasada dotyczy wszystkich zadań opartych na równaniach kolinearności). W przypadku zdjęć prawie pionowych oszacowanie przybliżonych EOZ nie jest trudne. Dla zdjęć o dużych odchyleniach od pionu pozyskanie przybliżonych EOZ jest problemem, dlatego stosowane są metody, które nie wymagają przybliżeń:

Wyznaczanie EOZ wcięciem wstecz jest mało efektywne w porównaniu do aerotriangulacji, gdyż wymaga, aby fotopunkty były na każdym zdjęciu. Algorytmy PnP są używane w procesie sukcesywnego dopasowania orientacji kolejnych zdjęć w szeregu (zob.  Metoda SfM). Wówczas w roli fotopunktów wykorzystuje się punkty wiążące o obliczonych współrzędnych 3D (punkty wiążące stają się pseudo-fotopunktami, ich współrzędne 3D nie są mierzone w terenie).

Wcięcie w przód jest używane w dwóch zasadniczych sytuacjach:

Wcięcie będzie przedstawione dla sytuacji II, która jest ogólniejsza.

Metoda zasadza się na ustaleniu współczynników wydłużenia wektorów \(O_1P_1\) i \(O_2P_2\), aby spotkały się punkcie \(P\) (Rys. 2), co wyraża zależność  (2):

gdzie: \(X,Y,Z\) – obliczane współrzędne terenowe punktu \(P\) odwzorowanego na dwóch zdjęciach, \(X_{o_1},Y_{o_1}, Z_{o_1}\) i \(X_{o_2},Y_{o_2}, Z_{o_2}\) – współrzędne terenowe środków rzutów obu zdjęć (znane), \(\mathbf {R_1}\) i \(\mathbf {R_1}\) – macierze obrotów obu zdjęć (znane), \(x_{1}, y_{1}\) i \(x_{1}, y_{1}\) – współrzędne punktu \(P\) na zdjęciach (znane), \(c\) – stała kamery (znana), \(m_1\) i \(m_2\) – mianowniki lokalnej skali punktu \(P\) odpowiednio dla obu zdjęć (nieznane).

Na podstawie  (2) można zestawić układ równań w którym niewiadomymi są tylko współczynniki \(m_1\) i \(m_2\):

Układ trzech równań  (3) ma dwie niewiadome, można go rozwiązać jako nadokreślony układ równań liniowych. Często postępuje się inaczej, rezygnując z równania drugiego i obliczając \(m_1\) i \(m_2\) z pozostałych równań [1]. Następnie z pominiętego równania oblicza się współrzędną \(Y\) osobno dla zdjęcia lewego i prawego, a uzyskana różnica \(p_Y\!= \!Y_{o_2}\!-\!Y_{o_1}\), zwana paralaksą poprzeczną, jest wskaźnikiem jakości wcięcia. Gdy prawie pionowe tworzą szeregi ukierunkowane wzdłuż osi X układu terenowego, wówczas paralaksa poprzeczna powinna być bliska zero 1    .

Do wcięcia z wielu zdjęć przystępuje się z założeniem, że przyczyną braku idealnego przecięcia promieni w przestrzeni 3D są błędy pomierzonych na zdjęciach współrzędnych. Za optymalne wcięcie uznaje się takie, przy którym poprawki losowe do pomierzonych współrzędnych spełniają warunek minimum sumy kwadratów [1, 4]. Algorytm wcięcia bazuje na równaniach kolinearności zestawionych dla                                                                                wszystkich punktów homologicznych będących obrazami punktu \(P\) o nieznanych współrzędnych \(X,Y,Z\) (Rys. 3).

Równania kolinearności dla punktu homologicznego na zdjęciu \(j\) mają postać  (4):

gdzie: \({X}, {Y}, {Z}\) – obliczane współrzędne terenowe punktu odwzorowanego na \(j\) zdjęciach, \(j=1...\geq 2\), \(X_{o_j}, Y_{o_j}, Z_{o_j}, \omega _j, \phi _j, \kappa _j \) – EOZ zdjęcia \(j\), \(x_{Pj}, y_{Pj}\) – współrzędne obrazu punktu \(P\) na zdjęciu \(j\), \(c\) – stała kamery.

Równania kolinearności  (4) z racji nieliniowości wymagają rozwinięcia w szereg Taylora względem niewiadomych (\(X,Y,Z\)), wraz z podaniem ich wartości przybliżonych. Do obliczenia wartości przybliżonych można wykorzystać algorytm dokonujący wcięcia z dwóch zdjęć.

Wskaźnikiem jakości wcięcia są błędy reprojekcji punktu \(P\) na zdjęcia (na Rys. 3 pokazane są punkty pomierzone i uzyskane z reprojekcji). Średni błąd reprojekcji wcięcia jest liczony z poprawek losowych \(v_x,v_y\) na poszczególnych zdjęciach, zgodnie z wzorem:  (5):

gdzie: \(v_x, v_y\) – losowe poprawki uzyskane po reprojekcji na poszczególne zdjęcia, \(n\) – liczba zdjęć (promieni) użytych do wcięcia.

Gdy błąd reprojekcji jest większy od oczekiwanego, wówczas odrzuca się obserwacje uznane za odstające. W przypadku dużej liczby promieni wcinających dobrą praktyką jest pominięcie tych promieni, pomiędzy którymi kąt wcinający jest bardzo mały (teoretycznie im większy kąt wcinający, tym wyższa dokładność współrzędnej \(Z\)).

Normalizacja może być przeprowadzona po orientacji wzajemnej, bezwzględnej oraz po aerotriangulacji. Najczęściej wykonuje się ją po aerotriangulacji, tworząc stereogramy znormalizowane z różnych kombinacji pokrywających się zdjęć. Do obliczenia ekwiwalentnego położenia punktów homologicznych na zdjęciach znormalizowanych wykorzystuje się równania kolinearności.

Definicja 1: Wcięcie wstecz

  wyznaczenie EOZ zdjęcia na podstawie fotopunktów odwzorowanych na
zdjęciu.

Definicja 2: Wcięcie w przód

  polega na wyznaczeniu współrzędnych 3D punktów terenowych
odwzorowanych na co najmniej dwóch zdjęciach, poprzez przecięcie promieni punktów homologicznych.

Definicja 3: Stereogram znormalizowany

  układ dwóch zdjęć o osiach prostopadłych do
poziomej bazy, uzyskany na drodze przetworzenia zdjęć tworzących stereogram rzeczywisty (Rys. 4).


Metoda SfM

SIFT 1     działa skutecznie na zdjęciach o różnych skalach i stosunkowo dużym wzajemnym skręceniu (zakres różnic zależy od takich czynników jak: wielkość GSD, kąt obserwacji detalu obiektu, oświetlenie, tekstura). Ostateczna liczba punktów wiążących jest zwykle rzędu kilku tysięcy na zdjęciu (!), co daje wysokie prawdopodobieństwo ich równomiernego rozmieszczenia na zdjęciach. Dzięki temu uzasadniona jest estymacja EOW i dystorsji na etapie aerotriangulacji (samokalibracja – zob.  Kalibracja kamer).

Efektywny algorytm detekcji punktów wiążących 2     pozwolił opracować metodę automatycznej estymacji EOZ zdjęć, opartą na równaniach kolinearności, która rozwiązuje problem przybliżonych wartości niewiadomych dla dowolnie zorientowanych zdjęć (elementem metody jest automatyczne szacowanie przybliżonych EOZ). Równolegle rozwijały się metody automatycznego, masowego pomiaru stereoskopowego na zdjęciach o znanych EOZ [4, 5], nazywane Multi View Stereo (MVS). Efekty obu ścieżek badawczych są łącznie implementowane w programach komputerowych, co podkreśla nazwa złożona z dwóch akronimów: SfM–MVS 3    .

SfM w części dotyczącej estymacji EOZ posiada następujące cechy użytkowe:

Estymację EOZ poprzedzają prace przygotowawcze, cały proces można podzielić na trzy etapy:

przy czym etapy 2) i 3) mogą się przeplatać.

Każda potencjalna para zdjęć jest weryfikowana poprzez wykonanie orientacji wzajemnej. W tym celu obliczana jest macierz fundamentalna na podstawie losowo wybranych co najmniej 8 punktów (zob.  Orientacja wzajemna i bezwzględna) i bada się poprawność pozostałych punktów przy pomocy strategii  RANSAC. Punkty nie spełniające warunku linii epipolarnych są odrzucane, a proces ma charakter iteracyjny. Pary zdjęć dla których nie udało się wykonać orientacji wzajemnej są eliminowane. Ostatecznie powstaje graf wskazujący na wzajemne relacje zdjęć.

Proces formowania bloku zaczyna się od wybrania inicjalnej pary zdjęć (w sposób arbitralny, np. zdjęcia leżące w środkowej części bloku lub wybór pary o dobrej geometrii przecięcia promieni homologicznych [6]). Układ modelu inicjalnego staje się układem w którym będzie formowany blok zdjęć. Kolejno są wykonywane następujące kroki [7]:

pokazane symbolicznie na Rys. 2. Następnie powtarzane są kroki B i C dla kolejnych zdjęć.

Wykonywane w kroku B wcięcie wstecz bazuje na algorytmach PnP (ang. perspective-n-point problem) [8]. Wcześniej wyznaczone współrzędne 3D punktów wiążących odgrywają rolę "wirtualnych" fotopunktów (klasyczny fotopunkt ma współrzędne wyznaczone pomiarem terenowym).

Opisane formowanie bloku zdjęć jest odniesione do układu modelu inicjalnego. Związanie z terenem wymaga minimum trzech fotopunktów, które powinny być pomierzone na zdjęciach (na których się odwzorowały). Po transformacji 3D bloku (zob.  Orientacja bezwzględna (absolutna) modelu (3)) zdjęcia uzyskują EOZ, a punkty wiążące współrzędne 3D, wyrażone w układzie terenowym. W ten sposób powstają wartości przybliżone niewiadomych potrzebne do estymacji EOZ metodą niezależnych wiązek (zob.  Estymacja EOZ - aerotriangulacja).

W trakcie formowania bloku ponownie sprawdza się poprawność punktów charakterystycznych jako potencjalnych punktów wiążących. Podczas obliczeń wykonywanych w ramach kroku B następuje filtracja z zastosowaniem strategii  RANSAC – wpierw liczone jest wcięcie wstecz na podstawie kilku losowo wybranych "wirtualnych" fotopunktów, a następnie wykonuje się wcięcie z wszystkich punktów 5    . Brak zgodności wyników (EOZ dołączanego zdjęcia) jest przesłanką do odrzucenia punktów należących do "wylosowanego" zbioru i powtórzenia procesu.

Nakreślona powyżej droga postępowania poprzez wyznaczenie wartości przybliżonych, a następnie estymację EOZ w jednym procesie dla całego bloku, jest podejściem globalnym [7]. Stosowana jest też strategia przyrostowa, która uruchamia proces dopasowania wiązek na etapie formowania bloku po każdorazowym dowiązaniu zdjęcia lub grupy zdjęć.

W przypadku samokalibracji, często stosowanej w SfM, równania kolinearności   (6) są uzupełnione o parametry EOW i dystorsji, które są dodatkowymi niewiadomymi (konieczne są ich wartości przybliżone), co ujmuje wzór  (1):

gdzie: \(x,y\) – współrzędne punktu osnowy (punkt wiążący, fotopunkt) na zdjęciu w układzie scentrowanym (zob. Elementy orientacji wewnętrznej i dystorsja), \(x_o, y_o\) – współrzędne punktu głównego, \(\Delta x_d, \Delta y_d \) – składowe dystorsji w postaci modelu Brown-a (zob.  Elementy orientacji wewnętrznej i dystorsja), pozostałe oznaczenia jak dla wzoru   (6).

Jakość estymacji EOZ, EOW i dystorsji ocenia się na podstawie średniego błędu reprojekcji \(\mathrm {RE}\) wszystkich punktów osnowy (gdzie jest wyraźna dominacja punktów wiążących), który jest liczony z wzoru  (2) 8    :

gdzie: \(v_x, v_y\) – losowe poprawki uzyskane dla wszystkich obserwacji \(x\) i \(y\) punktów osnowy na zdjęciach, \(n\) – liczba wszystkich pomiarów punktów osnowy na zdjęciach (obserwowana para współrzędnych \(x,y\) jest rozumiana jako jeden pomiar).

Błąd reprojekcji jest wykorzystywany również do filtracji punktów wiążących po aerotriangulacji, wówczas liczony jest tylko z obserwacji danego punktu osnowy. Po usunięciu punktów wiążących o błędach uznanych za duże (zwykle gdy \(\mathrm {RE} >>\) 1 piksel) wykonuje się ponownie estymację EOZ.

Opracowano wiele metod MVS [4, 5]. W wydajnym algorytmie  SGM dopasowanie jest prowadzone dla par zdjęć, a wyniki są łączone w jedną chmurę punktów. Podstawą dopasowania pikseli pomiędzy zdjęciami jest badanie funkcji kosztu opartej na liczeniu różnic jasności RGB pomiędzy otoczeniami pikseli na zdjęciach [9]. Proces obejmuje następujące zasadnicze etapy:

Punkt homologiczny (piksel) na drugim zdjęciu nie jest poszukiwany wzdłuż całej linii epipolarnej, lecz na pewnym jej odcinku, wyliczonym na podstawie wstępnie oszacowanego zakresu paralaks podłużnych pomiędzy zdjęciami tworzącymi stereogram. Na podstawie paralaks przypisanych pikselom poszczególnych zdjęć tworzy się mapy głębokości, które powstają z przeliczenia paralaks na przyrosty \(\Delta Z\) – zob.  Fotogrametria 3D.

Definicja 1: Sukcesywne formowanie bloku

  proces sekwencyjnego dopasowania orientacji kolejnych zdjęć względem
pary zdjęć przyjętej za inicjalną, którego celem jest doprowadzenie do poprawnego przecinania się promieni punktów
homologicznych 4
   .


Od zdjęcia do ortofoto

Do wykonania ortorektyfikacji zdjęcia są potrzebne:

Różnica pomiędzy NMT a NMPT polega na tym, że NMT jest modelem powierzchni topograficznej terenu, a NMPT jest modelem reprezentującym teren i pokrywające go obiekty, jak pokazuje Rys. 2. Typową strukturą przestrzenną modeli wysokościowych jest siatka kwadratów lub siatka trójkątów, w których każdy węzeł ma przypisaną jedną wysokość.

W zależności od modelu wysokościowego zastosowanego do ortorektyfikacji, wynikowy ortoobraz inaczej przedstawia obiekty wystające ponad teren, co pokazuje Rys. 3:

Ortorektyfikacja jest stosowana od kilkudziesięciu lat, wpierw była wykonywana na przyrządach analogowych, potem w sposób cyfrowy [4], ale przez długi czas zdjęcia przetwarzano wyłącznie na podstawie NMT. Na początku XXI wieku pojawiły się rozwiązania wykorzystujące NMPT, nazwano je true ortorektyfikacją, podkreślając w ten sposób różnicę w stosunku do "zwykłej" ortorektyfikacji. Obecnie stosuje się oba warianty ortorektyfikacji, gdyż każdy ma swoje zalety i wady, wybór ścieżki technologicznej zależy od celu jakiemu ma                                                                                służyć opracowanie.

Ortoobrazy dziedziczą po zdjęciach zakres obszarowy oraz wzajemne pokrycie. Dla większości zastosowań funkcjonalne jest połączenie ortoobrazów w większe moduły obszarowe.

Dla dużych obszarów (np. województwo) ortofotomapy opracowuje się w kartograficznym kroju sekcyjnym (arkuszowym). Dla mniejszych obszarowo opracowań ortofotomapom nadaje się kształt dostosowany do potrzeb (np. gmina, obszar projektowanej inwestycji). W Polsce termin ortofotomapa jest formalnie zarezerwowany dla opracowań wykonywanych kamerami metrycznymi [5]. Dlatego w przypadku technologii opartej na zdjęciach z BSP używa się nazwy ortomozaika. W fotogrametrii naziemnej wynik mozaikowania ortoobrazów określa się jako ortofotoplan [6].

Newralgicznym elementem mozaikowania ortoobrazów powstałych na podstawie NMT jest trasowanie linii wzdłuż której następuje połączenie ortoobrazów. Linia mozaikowania musi omijać obiekty wystające nad teren, jak pokazuje Rys. 4. W przeciwnym wypadku zetkną się niepasujące geometrycznie obiekty (budynki, drzewa) i powstają artefakty. Stosowane są różne metody automatycznego trasowania linii mozaikowania [7]. Poprawność przebiegu linii wymaga jednak weryfikacji, jest to jeden z nielicznych etapów opracowania                                                                                ortofotomapy z NMT, w którym potrzebny jest nadzór obserwatora.

Na ortofotomapie opracowanej z NMT obiekty wystające nad teren są pokazane w jednej perspektywie z przesunięciem radialnym, a przez to nie jest widoczny obszar zasłonięty przez dany obiekt. Jeśli zamiast ortofotomapy wykorzystywane są poszczególne ortoobrazy, to w miejscu ich pokrycia istnieje możliwość obserwacji terenu z różnych perspektyw, odpowiednio do ukierunkowania kamery w momencie fotografowania (Rys. 5). Daje to pełniejszy obraz zagospodarowania terenu, ale wymaga włączania/wyłączania poszczególnych ortoobrazów.

Na Rys. 5, poza przesłonięciami zagospodarowania za wysokimi budynkami, pokazany jest również problem wynikający ze zmiany oświetlenia fotografowanej sceny. Pomiędzy zdjęciami wykonanymi z różnych szeregów upływ czasu może powodować duże różnice jasności (R,G,B) na styku łączonych ortoobrazów (zdarza się, że szeregi "poprawkowe" są rejestrowane w innych dniach). Powoduje to konieczność korekcji jasności i nasycenia kolorów, aby na ortofotomapie różnice pomiędzy łączonymi ortoobrazami były jak najmniej widoczne.

Na ortoobrazach przetwarzanych na NMPT nie ma przesunięć radialnych obiektów wystających nad teren. Dlatego przy łączeniu ortoobrazów linia mozaikowania nie musi omijać takich obiektów. Wobec dowolności przebiegu linii mozaikowania jako nadrzędne kryterium stawia się wybór środkowych części ortoobrazów, dzieląc obszar diagramem Woronoja względem położenia środków rzutów zdjęć. W tej ścieżce technologicznej etapem krytycznym jest uzupełnianie miejsc zakrytych treścią z innych ortoobrazów (zob.  Praktyczne aspekty opracowania ortofoto).

Definicja 1: Ortorektyfikacja zdjęcia

  przetworzenie zdjęcia z rzutu środkowego do postaci
odpowiadającej hipotetycznemu rzutowi ortogonalnemu; rezultat ortorektyfikacji zdjęcia jest nazywany
ortoobrazem lub ortozdjęciem (ang. ortho-image, orthophoto [2, 3]).

Definicja 2: Ortofotomapa

  kartometryczny obraz cyfrowy powstały przez połączenie ortoobrazów w
większe moduły obszarowe w sposób gwarantujący ciągłość odwzorowanych obiektów na stykach ortoobrazów;
wyróżnia się:

ortofotomapę zwykłą, która pokazuje obiekty wystające nad teren z przesunięciem radialnym
(skutek ortorektyfikacji na NMT),

true ortofotomapę (ang. true orthophoto), która pokazuje obiekty wystające nad teren bez
przesunięcia radialnego (skutek ortorektyfikacji na NMPT).


Praktyczne aspekty opracowania ortofoto

Model wysokościowy (NMT, NMPT) jest zbiorem punktów (\(X,Y,Z\)) zorganizowanym w trójkąty lub kwadraty. Podstawową funkcjonalnością modelu jest określenie wysokości (\(Z\)) dla dowolnego punktu obszaru opracowania o wskazanym położeniu \((X,Y)\), poprzez interpolację z otaczających punkt węzłów siatki, co symbolicznie przedstawia wzór  (1):

Do ortorektyfikacji najczęściej stosuje się modele o strukturze siatki kwadratów, ze względu na prostotę algorytmu interpolacji wysokości [1]. W przypadku NMT "oczko" siatki może wynosić kilka-kilkanaście metrów. Siatka NMPT musi mieć znacznie większą gęstość, aby jak najwierniej oddać kształt budynków i koron drzew. Stosuje się również struktury hybrydowe, w których do siatki kwadratów dodaje się linie lub powierzchnie 3D, w miejscach skokowych zmian wysokości (np. krawędzie dachów budynków, skarpy, uskoki). Dodatkowe elementy wektorowe pozytywnie wpływają na jakość true ortofoto, jednak ich pozyskanie jest pracochłonne.

Obecnie w ortorektyfikacji dominują NMPT i NMT o drobnych oczkach (Rys. 1), gdyż istnieją techniki pomiarowe, które sprawnie dostarczają danych 3D o wysokiej gęstości. Jedną z tych technik jest  lotnicze skanowanie laserowe, a drugą automatyczne opracowanie gęstej chmury punktów ze zdjęć (zob.  Metoda SfM). Obie techniki generują zbiory punktów osadzonych na powierzchniach obiektów pokrycia terenu widocznych z perspektywy lotniczej (głównie dachy i korony drzew), a w miejscach otwartych – na terenie (w przypadku skanowania laserowego powierzchnie ażurowe jak drzewa i krzewy powodują, że część punktów przenika w głąb, aż do terenu). Tak uzyskane dane pomiarowe są zbiorami punktów o nieregularnym rozłożeniu, na drodze interpolacji uzyskuje się regularne siatki NMT/NMPT. Przed interpolacją NMT chmury punktów są poddawane filtracji, aby wydzielić z nich punkty terenu. Przygotowanie NMT dla ortorektyfikacji z reguły wymaga interwencji operatora, ale jest to zadanie mniej pracochłonne niż korekta automatycznie opracowanego NMPT, zapewniająca poprawne odwzorowanie krawędzi budynków na true ortofoto.

Naszkicowana w module  Od zdjęcia do ortofotomapy idea ortorektyfikacji, jest w praktyce realizowana metodą "wstecz", opartą na projekcji pikseli hipotetycznego ortoobrazu na zdjęcie (a nie projekcji zdjęcie -> orto) [1]. Metoda wstecz wymaga prognozy granic obszaru który będzie zajęty przez ortoobraz. Zadanie jest łatwe dla regularnych bloków zdjęć prawie pionowych, zorientowanych w przybliżeniu równolegle do osi układu terenowego. W przypadku bloków skręconych do układu terenowego lub zdjęć ukośnych, zdefiniowanie prostokąta otaczającego wymaga projekcji narożnych pikseli zdjęcia na płaszczyznę o średniej wysokości terenowej.

Odwzorowane na zdjęciu środki pikseli ortoobrazu tracą pierwotną regularność, odległości między nimi są zmienne (Rys. 2). Przypisanie koloru RGB pikselom ortobrazu wymaga wymaga interpolacji.

Środki pikseli ortofoto które tworzą siatkę kwadratów ( Rys. 3A), są nieregularnie rozłożone po reprojekcji na zdjęcie ( Rys. 3B). W ponownym próbkowaniu wykorzystuje się najczęściej interpolację dwuliniową [2]. Do interpolacji koloru są brane cztery piksele zdjęcia, których środki otaczają punkt reprezentujący środek piksela ortofoto na zdjęciu (Rys. 3C).

Kolor przypisany punktowi (de facto pikselowi ortoobrazu) jest średnią ważoną liczoną ze wzoru  (2), przy czym obliczenia dotyczą osobno składowych R,G,B:

gdzie: \(g_{orto}\) – jedna z trzech składowych koloru R,G,B piksela ortoobrazu (czerwona kropka na Rys. 3ABC), \(g_j\) – jedna z trzech składowych koloru R,G,B piksela zdjęcia (\(j=1,..,4\)), \(w_j\) – waga równa powierzchni pokazanej na Rys. 3C.

Wskutek ponownego próbkowania ortobraz składa się z pikseli których kolory różnią od kolorów pikseli zdjęcia. Największe zmiany następują w miejscach silnych kontrastów na zdjęciu. Ortoobraz jest mniej ostry od zdjęcia, gdyż interpolacja wygładza kolory. Gdy zdjęcie ma wysoki poziom szumów losowych, wówczas ponowne próbkowanie działa jak filtr redukujący szum.

Opracowanie true ortofoto wymaga wykrycia miejsc zasłoniętych na danym ortoobrazie i przeszukania ortoobrazów sąsiednich w celu znalezienia takich, na których miejsca zakryte są widoczne.

Do wykryciu miejsc zasłoniętych na zdjęciach, a w konsekwencji na ortoobrazach, stosuje się najczęściej metodę Z-bufora [3, 4], wywodzącą się z grafiki komputerowej. Z-bufor jest tablicą o rozmiarach identycznych jak zdjęcie 2    , do której są wpisywane sukcesywnie odległości od pikseli ortoobrazu (X,Y), uzupełnionych o wysokości (Z), do środka rzutu. Lokalizację poszczególnych odległości wskazują współrzędne \(x,y\) liczone z równań kolinearności   (6)). Jeśli do tej samej komórki Z-bufora trafi nowa odległość, to gdy będzie to wartość mniejsza – zostanie wpisana do komórki. Sytuacja taka jest pokazana na Rys. 4A: piksel położony za dachem w stosunku do środka rzutu zostanie wskazany jako niewidoczny, gdyż jego odległość do środka rzutu jest większa niż piksela na dachu. Piksele niewidoczne zwykle otrzymują wartości R=G=B=255, stając się "białymi plamami". Wypełnianie Z-bufora odległościami "teren–zdjęcie" to etap wstępny po którym następuje ortorektyfikacja metodą wstecz.

Ortoobrazy są osadzone w układzie współrzędnych, co pozwala na działanie pomiędzy nimi jak na warstwach GIS (w miejscach gdzie się pokrywają). Dla pikseli oznaczonych jako "białe plamy" na jednym ortoobrazie badane są piksele leżące w tym samych miejscach, ale na innych ortobrazach. W ten sposób wybrany jest ortoobraz (lub ortoobrazy) na którym miejsce nie było zasłonięte. Na Rys. 4B przestawione jest wymienne wypełnienie miejsc zakrytych powstałych na dwóch sąsiednich ortoobrazach \(i,i\!+1\!\) (zdjęcie \(i\!+\!1\) nie została jawnie pokazane). Jeśli istnieje więcej niż jedna możliwość zapełniania "plamy"                                                                                włączane są dodatkowe kryteria, np. mniejszy kąt pomiędzy osią kamery a promieniem do punktu [5].

Definicja 1: Ponowne próbkowanie obrazu

  tworzenie nowego obrazu który różni się od pierwotnego
innym układem pikseli; przypisanie koloru pikselom nowego obrazu odbywa się na drodze interpolacji w oparciu
o kolory pikseli obrazu pierwotnego (ang. resampling).


Pomiary fotogrametryczne i zastosowania fotogrametrii

Rodzaje pomiarów fotogrametrycznych

Pomiar fotogrametryczny może mieć charakter:

Pomiar manualny 3D jest realizowany dwoma metodami [2]:

Stereoskopia sztuczna wzoruje się na stereoskopii naturalnej (zob.  Fotogrametria 3D), polega na równoczesnej obserwacji dwóch zdjęć, z których każde jest skierowane do innego oka. Jeśli kolejność obserwowanych zdjęć odpowiada ich relacji przestrzennej, wówczas obserwator widzi głębię sceny odpowiadającą rzeczywistości, gdy kolejność jest zmieniona – głębia sceny jest odwrócona (efekt pseudoskopowy [3]). W fotogrametrii stosowane są następujące techniki obserwacji stereoskopowej [4]:

Zadaniem obserwatora podczas pomiaru jest takie ustawienie znaczka pomiarowego, aby dotknął detalu terenowego na modelu 3D. Zaletą obserwacji stereoskopowej jest prawidłowe wskazanie punktów homologicznych na obu zdjęciach, gdyż są widziane równocześnie. W przypadku pomiaru NMT realizowanego bezpośrednio w siatce kwadratów, jest stosowane automatyczne przesunięcie o rozmiar oczka siatki, w nowym miejscu obserwator "dotyka znaczkiem terenu". Wadą stereo jest możliwość pomiaru tylko na dwóch zdjęciach, wykorzystanie wszystkich odwzorowań detalu na zdjęciach wymaga sukcesywnej zmiany pary stereoskopowej. Jeżeli jest wiele par stereoskopowych, wówczas preferowane są stereogramy o większym kącie wcinającym, złożone ze zdjęć z tego samego szeregu.

W przypadku gdy mierzone detale są jednoznacznie identyfikowalne na pokrywających się zdjęciach, wówczas można stosować pomiar monoskopowy, czyli osobne wskazanie na kolejnych zdjęciach. W ten sposób można mierzyć takie szczegóły terenowe, których obraz jest plamką lub figurą geometryczną odcinającą się od tła (np. właz do kanału), albo jest wskazany poprzez przecinające się elementy liniowe (np. narożnik budynku). Metoda nie nadaje się do pomiarów w miejscach, gdzie na zdjęciach nie ma wyrazistej tekstury.

Chmura punktów z reguły pełni rolę produktu pośredniego, służy do:

Modele grid są często wykorzystywane w pomiarach objętości mas ziemnych i kruszyw. Modele mesh są przeznaczone głównie dla celów prezentacyjnych.

Szczegóły terenowe mogą być interpretowane i mierzone na chmurze punktów, wówczas jest to wtórny pomiar fotogrametryczny. Podobna sytuacja ma miejsce przy pomiarze szczegółów na ortofoto, przy czym jest to pomiar 2D.

Przedstawiony na Rys. 2 pomiar narożnika budynku jawi się jako podobny do pomiaru na zdjęciach (Rys. 1) ze względu na bardzo gęstą chmurę punktów, rzędu kilku milimetrów (zdjęcia były wykonywane z wysokości kilkunastu metrów). Gdy odstępy między punktami chmury są na poziomie centymetrów lub decymetrów, wówczas pomiar nie jest tak jednoznaczny i często odbywa się na drodze przecięcia pomocniczych prostych lub płaszczyzn estymowanych przez operatora (przy wsparciu funkcjonalnością narzędzi CAD).

Na podstawie ortofoto można mierzyć położenie szczegółów leżących na terenie i odróżniających się od otaczającego tła (warunki te często spełniają elementy naziemne podziemnego uzbrojenia terenu). Takie pomiary dostarczają współrzędnych \(X,Y\), co jest wystarczające w przypadku geodezyjnych pomiarów sytuacyjnych [1]. Wykorzystanie ortofotomapy (ortomozaiki) jest mało efektywne w pomiarach budynków, gdyż na ortofoto/NMPT narożniki tworzące kontur budynku są niewidoczne, a na ortofoto/NMT widoczne są tylko niektóre. Efektywność pomiaru przyziemi budynków jest wyższa, jeśli pomiar wykonywany jest na ortoobrazach z NMT. Takie postępowanie podnosi dokładność pomiaru (średnia z kilku obserwacji – Rys. 3). Niezgodność pomiarów na ortoobrazach jest sygnałem, że w mierzonym miejscu wystąpiło zniekształcenie z powodu błędów NMT/NMPT (znacznie częściej występują błędy na automatycznie generowanych modelach).

Definicja 1: Pomiar fotogrametryczny 3D

  polega na identyfikacji na co najmniej dwóch zdjęciach
punktów homologicznych reprezentujących punkt terenowy, pomiarze położenia tych punktów na zdjęciach i
obliczeniu współrzędnych 3D w układzie terenowym na drodze wcięcia w przód (zob.  Wcięcia
fotogrametryczne i normalizacja zdjęć).


Dokładność pomiarów fotogrametrycznych

Wspólnymi elementami dokładności wszystkich rodzajów pomiarów są: dokładność EOZ i EOW\(^{+}\) oraz GSD zdjęć (ściślej  Rozdzielczość przestrzenna zdjęcia (1)). Powtarza się również jakość identyfikacji szczegółu terenowego, przy czym odnosi się ona do innego materiału pomiarowego (zdjęcie, gęsta chmura, ortofoto).

Z procesu estymacji EOZ i EOW\(^{+}\) uzyskuje się odchylenia standardowe wyznaczanych parametrów, co pozwala wykonać analizę dokładności pomiaru fotogrametrycznego. Ze względu na wzajemną korelację parametrów EOZ i EOW\(^{+}\) (wewnątrz grup i pomiędzy nimi) [1], analiza ich wpływu na dokładność współrzędnych \(X,Y,Z\) z wcięcia w przód nie jest w pełni miarodajna. Dlatego zamiast teoretycznie oceniać dokładność pomiarów fotogrametrycznych, wykonuje się badanie empiryczne, oparte na punktach kontrolnych (zob.  Terenowa osnowa fotogrametryczna). Wynik tego badania nie jest równoznaczny z dokładnością pomiarów szczegółów terenowych, ale stanowi punkt wyjścia do wnioskowania, jaka dokładność może być osiągnięta.

Równolegle z badaniem dokładności punktów kontrolnych sprawdza się, czy estymacja ma charakter zrównoważony statystycznie [3]. Jest to konieczne, gdyż liczba punktów kontrolnych w opracowaniach produkcyjnych z reguły jest niewielka (wymagane minimum to 8 lub 10 – zob.  Terenowa osnowa fotogrametryczna) 1    , co przy dużych blokach zdjęć rodzi niebezpieczeństwo niewykrycia lokalnych błędów w wyrównywanej sieci 3D.

Aby ocenić dokładności pomiaru fotogrametrycznego należy:

Po estymacji EOZ/EOW\(^{+}\) mierzy się na zdjęciach punkty kontrolne i oblicza ich współrzędne terenowe z wcięcia w przód. Pozwala to zestawić różnice pomiędzy współrzędnymi fotogrametrycznymi a referencyjnymi (z pomiaru terenowego) i obliczyć średnie kwadratowe błędów współrzędnych \(X,Y,Z\) – zgodnie z wzorem  (1):

gdzie: \(X_i, Y_i, Z_i \) – współrzędne punktów kontrolnych z pomiaru fotogrametrycznego, \(\hat {X_i}, \hat {Y_i}, \hat {Z_i} \) – współrzędne punktów kontrolnych z pomiaru terenowego, \(n\) – liczba punktów kontrolnych.

Błąd średni położenia sytuacyjnego punktów kontrolnych wynosi:

Wraz z oceną RMSE analizuje się maksymalne wartości różnic pomiędzy współrzędnymi fotogrametrycznymi a referencyjnymi, oraz ich wartości średnie. Pozwala to sprawdzić, czy nie występuje składnik systematyczny, sygnalizujący nieprawidłowość w procesie estymacji. Zakładając, że różnice pomiędzy współrzędnymi fotogrametrycznymi a referencyjnymi mają rozkład normalny, należy traktować wielkości przekraczające 3 RMSE jako błędy grube. Taka sytuacja wymaga zbadania przyczyny błędu grubego 2     i ewentualnego dodania nowego punktu kontrolnego w bliskiej odległości od punktu błędnego.

Statystyka procesu estymacji zawiera wiele parametrów, spośród których kluczowe dla oceny jakości estymacji są:

Średnie kwadratowe błędów \(X,Y,Z\) fotopunktów są liczone analogicznie jak \(\mathrm {RMSE}\) punktów kontrolnych (zob. wzór  (1)). Wartości powinny być zbliżone do deklarowanych przed estymacją dokładności fotopunktów. Wartości podane a priori powinny uwzględniać zarówno dokładność pomiaru terenowego współrzędnych \(X,Y,Z\) jak i dokładność identyfikacji na zdjęciach. Przyjmuje się, że stosunek wartości a priori do uzyskanych a posteriori nie powinien różnić się od jedności więcej niż 10\(\%\). Większa różnica wskazuje na konieczność powtórzenia estymacji ze skorygowanym parametrem dokładności fotopunktów (zgodnie z Wnioskowaniem bayesowskim).

Odchylenie standardowe obserwacji jednostkowej liczone jest z wzoru   (4). Wartość \(\sigma _0\) jest bezwymiarowa i powinna być zbliżona do jedności. Duże odstępstwo od jedności świadczy o złym wagowaniu równań obserwacyjnych przy estymacji EOZ. W niektórych algorytmach aerotriangulacji stosuje się taki sposób wagowania obserwacji, który nadaje \(\sigma _0\) wymiar liniowy (µm, piksel). Wówczas wartość \(\sigma _0\) powinna być zbliżona do deklarowanej a priori dokładności pomiaru na zdjęciach.

Średni błąd reprojekcji jest liczony z wzoru   (2). Wartość błędu nie powinna być większa od deklarowanej przed estymacją dokładności punktów wiążących (na zdjęciu). Wobec bardzo dużej liczby punktów wiążących na wielkość średniego błędu reprojekcji nie wpływa znacząco obecność relatywnie niewielkiej grupy błędnych punktów wiążących. Tym niemniej powinny być analizowane błędy reprojekcji poszczególnych punktów a punkty o odstających błędach – usuwane, gdyż mogą powodować lokalne błędy w wyrównywanej sieci.

Dokładność identyfikacji szczegółów na zdjęciach jest zagadnieniem złożonym, gdyż zależy od splotu wielu czynników (zob.  Rozdzielczość przestrzenna zdjęcia). W przypadku zdjęć lotniczych zmienność skali jest relatywnie mała, co uprawnia do traktowania GSD jest terenowego odpowiednika piksela na zdjęcia. Tej samej miary można też użyć dla ortofoto, gdyż z reguły piksel ortofoto jest bliski GSD. Gęstość chmury punktów jest dla powierzchni płaskich powiązana z GSD, zatem i w tym przypadku można wykorzystać GSD do wyrażenia dokładności identyfikacji.

Trudniej identyfikować na zdjęciach szczegóły leżące na styku terenu ze ścianami budynków, zwłaszcza gdy te elementy mają podobną kolorystykę, oraz szczegóły w miejscach zacienionych. Dokładność identyfikacji szczegółów na zdjęciach zwykle mieści się w przedziale od 0,5 do 3 pikseli (równoważnie można ten zakres podać w GSD). Pomiar w trybie stereo, w stosunku do pomiaru mono, podnosi dokładność identyfikacji, najbardziej gdy szczegóły są słabo uwidocznione na zdjęciach (większe prawdopodobieństwo poprawnego wskazania punktów homologicznych, ale ograniczone do pary zdjęć).

Pomiar szczegółów na chmurze punktów 3     jest z reguły mniej jednoznaczny niż na zdjęciach, dotyczy to w pierwszej kolejności szczegółów położonych na powierzchni topograficznej terenu (na drogach, chodnikach, płaskich lub pofalowanych terenach rolnych). Taki przypadek obejmuje wszystkie szczegóły pokazane na Rys. 1. Natomiast jeśli szczegół można zidentyfikować na drodze przecięcia płaszczyzn (np. krawędź budynku, kalenica dachu), wówczas identyfikacja na chmurze może być być bliska 1 GSD. W ogólności błędy identyfikacji szczegółów na chmurach lokują się w przedziale od 1 do 4 GSD.

Identyfikacja na ortofoto jest współmierna w stosunku do wskazywania szczegółów na zdjęciach, jednak prawie zawsze jest mniej dokładna. Strata dokładności identyfikacji względem zdjęć kształtuje się na poziomie 25\(\%\), sporadycznie dochodzi do 50\(\%\) (w przypadku wystąpienia błędów NMT/NMPT strata może być jeszcze większa).


Zastosowania fotogrametrii

W wielu krajach ortofotomapy ze zdjęć lotniczych są wykonywane w ramach projektów centralnych lub regionalnych. W opracowanie ortofoto inwestują także globalne przedsiębiorstwa informatyczne, oferując serwisy z ortofoto lotniczymi i satelitarnymi. W dobie społeczeństwa informacyjnego ortofoto jest oczywistym elementem infrastruktury informacji przestrzennej. W ramach europejskiej dyrektywy INSPIRE powstała specyfikacja Orthoimagery, która standaryzuje opracowanie ortofoto.

W Polsce program cyklicznego opracowania ortofotomapy o zasięgu krajowym rozpoczął się na początku obecnego wieku. Program jest zarządzany centralnie, stawia wymóg, aby zdjęcia były wykonane kamerą pomiarową [3]. Dlatego ortofotomapy wykonywane w ramach programu krajowego są domeną fotogrametrii ze statków załogowych (zob.  Fotogrametryczne statki powietrzne). Punktem dostępowym jest serwis geoportal.gov.pl, serwis notuje około milion odwiedzin miesięcznie 1    . Ortofotomapa jest jedną z wielu warstw tematycznych, wyświetla się domyślnie jako mapa podkładowa danych wektorowych (przy odpowiednio dużej skali przeglądania). Podobną rolę odgrywa ortofoto w regionalnych serwisach informacji przestrzennej, np. Małopolska i systemach miejskich, np. Kraków. Ortofoto z różnych lat można nie tylko przeglądać, ale też pobrać i przy pomocy narzędzi GIS wykorzystać dla potrzeb zawodowych lub osobistych. Eksploatacja ortofoto w narzędziach GIS, jako warstwy odniesionej do dowolnego układu współrzędnych, jest ujednolicona dzięki otwartemu standardowi GeoTIFF. Kierunki wykorzystania ortofoto są bardzo zróżnicowane [1]. Dla celów zawodowych z ortofoto korzystają najczęściej: planiści przestrzenni, urbaniści, pośrednicy nieruchomości, pracownicy administracji publicznej, leśnicy, archeolodzy.

Prowadzone są próby zastąpienia fotogrametrii załogowej przez BSP, dowodzące, że pomiar budynków na zdjęciach zapewnia dokładności stawiane szczegółom I grupy (średni błąd położenia 10 cm) [9]. Duże pokrycie podłużne i poprzeczne stosowane w fotogrametrii z BSP poprawia kompletność pomiaru budynków, jednak w pełni kompletny pomiar jest praktycznie niemożliwy (zob.  Rodzaje pomiarów fotogrametrycznych). O ile zastosowanie fotogrametrii do pomiaru działek i budynków było i pozostanie problematyczne, to jednoznacznie pozytywnie jest oceniona przydatność ortofotomapy do pomiaru granic użytków gruntowych oraz jako materiał weryfikujący aktualność danych EGiB. Ortofotomapa przydaje się także w monitoringu zgłoszeń podatkowych, gdyż pozwala wskazać obiekty służące działalności gospodarczej a nie wykazane w rejestrach publicznych [10].

Scalenia gruntów w nowoczesnej, ukierunkowanej na zrównoważony rozwój formule [11], są coraz częściej wspierane opracowaniami fotogrametrycznymi [12, 13]. Ortofoto, obrazujące zmiany zagospodarowania w latach poprzedzających rozpoczęcie prac scaleniowych, jest znakomitym źródłem informacji o postępujących trendach, które rzutują na uwarunkowania założeń do projektu scalenia. Opracowana na podstawie aktualnego ortofoto szczegółowa mapa użytkowania oraz NMT, odgrywają kluczową rolę w przygotowaniu projektu scalenia, a ortofoto stanowi jednocześnie podkład mapowy czytelny dla wszystkich interesariuszy.

Inna grupę inżynieryjnych zastosowań fotogrametrii stanowią pomiary o nieco mniejszej dokładności (1-5 cm), ale dotyczące bardziej rozległych obszarów/obiektów, jak:

Poza klasyczną dokumentacją 2D, obejmującą rzuty i przekroje, wykonuje się również modele 3D mesh [27, 28]. W większości przypadków stanowią one materiał poglądowy, uzupełniający a nie zastępujący klasycznej dokumentacji.

Coraz częściej stosuje się integrację fotogrametrii ze skanowaniem laserowym [29, 30, 31]. Ważną zaletą skanowania jest skuteczna rejestracja 3D obiektów o słabo zarysowanej teksturze, natomiast wadą – niższa efektywność dokumentowania powierzchni o drobnej, układającej się w rysunek teksturze.

Fotogrametria, dzięki automatycznemu generowaniu gęstej chmury punktów (zob.  Metoda SfM) jest podstawową, obok skanowania laserowego, metodą dostarczania danych dla potrzeb modelowania 3D oraz 4D (czas jako czwarty wymiar). Chmura punktów jest zbiorem niezorganizowanym, któremu stosunkowo łatwo można nadać formę siatki mesh [32, 28]. Taki model 3D ma charakter poglądowy, nadaje się głównie do wizualizacji i pomiarów po interpretacji treści (analogia do ortofotomapy jako poglądowego modelu 2D). W przypadku modeli semantycznych, w których wydziela się obiekty i opisuje atrybutami [33], dane źródłowe 3D wymagają dość złożonego przetworzenia (identyfikacja obiektów, poprawa topologii, wprowadzenie atrybutów opisowych).

Przykłady usług wirtualnych wykorzystujących dane fotogrametryczne:

W niektórych zastosowaniach zdjęcia wykonuje się smartfonami [40, 41, 45], a do opracowania modeli jest wykorzystywana  Metoda SfM.

Gdy obiekt pomiaru jest płaski, wówczas można zastosować rozwiązanie określane jako  Fotogrametria 2D (też fotogrametria jednoobrazowa). Podstawa teoretyczna fotogrametrii zasadza się na transformacji perspektywicznej pomiędzy płaszczyznami czyli zdjęciem i płaskim obiektem, która jest wyrażona wzorem:   (2). Współczynniki transformacji oblicza się na podstawie 4 fotopunktów, których współrzędne na obiekcie mają charakter 2D, jak na zdjęciu. Transformację można wykorzystać w procesie podobnym ideowo do ortorektyfikacji ale prostszym algorytmicznie (zob.  Praktyczne aspekty opracowania ortofoto), gdyż nie nie są wykorzystane  Równania kolinearności i elementy orientacji zewnętrznej i zbędny jest NMT.

Założone w 1930 r. przedsiębiorstwo "Fotolot" wykonało zakrojone na szeroką skalę mapowanie Polesia dla potrzeb melioracji, w dużej części w postaci fotoplanów (map fotograficznych o analogicznym jak ortfotomapa                                                                                sposobie przekazu treści) [46]. Transformacja perspektywiczna była wtedy realizowana na przyrządach analogowych [47]. Współcześnie wykorzystuje się fotogrametrię 2D w inwentaryzacji zabytków jako wsparcie innych metod. Fotogrametria 2D jest dalej efektywna przy wykonywania fotoplanów płaskich malowideł, murów, elewacji.


Informacja o e-podręczniku "Klasyczna i izogeometryczna metoda elementów skończonych"

E-podręcznik opracowano w ramach Zintegrowanego Programu Rozwoju Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Wiedza Edukacja Rozwój 2014-2020. Oś III Szkolnictwo wyższe dla gospodarki i rozwoju, Działanie 3.5 Kompleksowe programy szkół wyższych.


Wprowadzenie do podręcznika o metodzie elementów skończonych

Podręcznik ten przedstawia obszerne wprowadzenie do metody elementów skończonych, z uwzględnieniem metod analizy izogeometrycznej. Rozdziały uzupełnione są o przykładowe kody MATLABa (możliwe do uruchomienia w darmowej wersji Octave). Autorem tekstu jest prof. dr hab. Maciej Paszyński.

Autorami kodów MATLABa są dr inż. Marcin Łoś oraz dr inż. Maciej Woźniak z Katedry Informatyki z mojego zespołu Algorytmów i Systemów Adaptacyjnych. Chciałbym bardzo podziękować Panom Maćkowi i Marcinowi za zaawansowane implementacje w MATLABie.

Chciałbym również bardzo podziękować mojej żonie, dr hab. Annie Paszyńskiej z Uniwersytetu Jagiellońskiego za pomoc w przygotowaniu wielu rysunków do podręcznika. Chciałbym bardzo serdecznie podziękować recenzentom, prof. Maciejowi Pietrzykowi i prof. Krzysztofowi Banasiowi za bardzo wnikliwe przeczytanie książki i szczegółowe recenzje, których uwzględnienie znacznie podniosło poziom podręcznika.

Podręcznik mój adresowany jest dla studentów studiów technicznych i informatycznych i z tego względu koncentruje się na aspektach praktycznych i implementacyjnych poszczególnych zagadnień związanych z metodą elementów skończonych. Podręcznik mój natomiast nie porusza zagadnień matematycznej teorii zbieżności metody elementów skończonych. Czytelników których interesują matematyczne podstawy metody elementów skończonych zachęcam do przeczytania rozdziału "Matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych". Czytelników bardziej zainteresowanych aspektami implementacji i ogólnym wprowadzeniem do metody elementów skończonych zachęcam do pominięcia tego rozdziału przy pierwszym czytaniu i rozpoczęcia lektury od rozdziału "Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy".

Podręcznik ten opisuję zarówno klasyczną metodę elementów skończonych oraz izogeometryczną metodę elementów skończonych. Pierwsze prace naukowe na temat metody elementów skończonych pochodzą z roku 1940 od Richarda Couranta (profesor matematyki, urodzony w Lublińcu w Polsce w roku 1888 na ówczesnym terytorium niemieckim, wyemigrował do USA) i Alexandra Hrennikoffa (profesor inżynierii lądowej, urodzony w Rosji, wyemigrował do Kanady), oraz Feng Kanga w Chinach w roku 1950 [1][2][3]. Metoda ta nabrała impetu w latach 1960-1970 dzięki pracy Olgierda Ziemkiewicza (profesor inżynierii lądowej, żyjącą w Wielkiej Brytanii, o Polskich korzeniach) [4]. W ostatnich latach rosnącą popularnością cieszy się izogeometryczna metoda elementów skończonych, propagowana przez zespół prof. T. J. R. Hughes'a, stosująca funkcje bazowe z rodziny B-spline, cechujące się ciągłością wyższego stopnia  \( C^k \) [5]. Równolegle do metod analizy izogeometrycznej rozwijane są metody adaptacyjne, korzystające z klasycznej metody elementów skończonych, stosujące hierarchiczne funkcje bazowe. Algorytmy  \( hp \) adaptacyjne pozwalające na eksponencjalną zbieżność dokładności rozwiązania względem rozmiaru siatki obliczeniowej, rozwijane są przez grupę prof. Leszka Demkowicza (polski matematyk i profesor mechaniki, pracujący na Uniwersytecie Teksańskim w Austin) [6][7]. Obserwuje się również próby łączenia metod adaptacyjnych z analizą izogeometryczną, poprzez tworzenie nowych rodzin wielomianów, możliwych do definiowania na siatkach adaptacyjnych, umożliwiających mieszanie wielomianów z rodziny B-spline różnego stopnia [8].

Klasyczna metoda elementów skończonych na siatkach regularnych jest szczególnym przypadkiem izogeometrycznej metody elementów skończonych. Jedyna różnica, polega na tym, iż funkcje bazowe używane w klasycznej metodzie elementów skończonych są wielomianami stopnia p o ciągłości  \( C^{p-1}  \)  we wnętrzu elementów, natomiast na granicy elementów skończonych są one klasy  \( C^0 \). Izogeometryczna metoda elementów skończonych uogólnia funkcje bazowe na wielomiany stopnia p które mogą być klasy  \( C^k \) na całym obszarze obliczeniowym. Mogą one być również klasy  \( C^{p-1}  \)  tylko we wnętrzach elementów oraz klasy  \( C^0 \) na granicy elementów. W szczególności funkcje B-spline używane w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych definiowane są przez tzw. wektory węzłów. Poprzez powtórzenie węzłów na granicy elementów uzyskuje się funkcje B-spline równoważne klasycznym wielomianom Lagrange'a.

Izogeometryczna metoda elementów skończonych stosowana jest zazwyczaj na siatkach będących obrazem regularnych (kwadratowych lub sześciennych) grup elementów, natomiast klasyczna metoda elementów skończonych może używać elementów kwadratowych lub trójkątnych w 2D, oraz sześciennych, czworościennych, pryzm i piramid w 3D. Istnieją natomiast nowoczesne metody definiowania funkcji B-spline na elementach trójkątnych i czworościennych, i wówczas ta równoważność (fakt iż izogeometryczna metoda elementów skończonych zwiększa ciągłość funkcji bazowych) jest zachowana.

Klasyczna metoda elementów skończonych aproksymuje pola skalarne i wektorowe występujące w obliczeniach inżynierskich w sposób kawałkami ciągły, a izogeometryczna metoda elementów skończonych w sposób globalnie ciągły. Istnieją oczywiście problemy obliczeniowe, dla których metoda izogeometryczna daje lepsze przybliżenie, oraz problemy obliczeniowe, dla których klasyczna metoda elementów skończonych daje lepsze przybliżenia.

Jakie elementy w moim przekonaniu powinien zawierać podręcznik o klasycznej metodzie elementów skończonych?

Ad.1) Definicje formalne klasycznej metody elementów skończonych opisane zostały w modułach rozdziału "Matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych". Książka zawiera również szereg nieformalnych definicji. W szczególności elementy trójkątne opisane zostały w rozdziale "Siatki nieregularne"; wielomiany Lagrange'a na elementach prostokątnych i sześciennych zdefiniowane zostały poprzez powtórzenie węzłów w wektorze węzłów definiujących funkcje bazowe B-spline (pamiętając że wielomiany Lagrange'a zawierają się w funkcjach B-spline) w rozdziale "Dyskretyzacja za pomocą różnych funkcji bazowych"

Ad.2) Algorytmy generacji siatek są obszernie opisane w rozdziale "Przetwarzanie siatek obliczeniowych",

Ad.3) Formy słabe i formy silne nie zależą od sposobu dyskretyzacji. W rozdziale "Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod" podanych jest szereg sformułowań wariacyjnych niezależnych od tego czy używamy metody klasycznej czy izogeometrycznej. Mamy w szczególności równania transportu ciepła, równania konwekcji-dyfuzji, problem Stokesa, oraz równania problemu liniowej sprężystości. Rozdziały te zawierają również dyskretyzację zazwyczaj wykonaną z pomocą izogeometrycznej metody elementów skończonych, jednakże w części ogólnej dotyczącej sformułowań silnych i wariacyjnych są one niezależne od metody dyskretyzacji.

Ad.4) Zagadnienie generacji układów równań wynikających z dyskretyzacji klasyczną metodą elementów skończonych zostało zilustrowane w rozdziale "Transport ciepła za pomocą tradycyjnej metody elementów skończonych" dla przypadku dwuwymiarowego. Odpowiednie algorytmy dla klasycznej metody elementów skończonych umieszczono w rozdziale "Formalne matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych". Umieszczono tam również przykład jednowymiarowej klasycznej metody elementów skończonych.

Ad.5) Algorytmy solwerów opisane są w rozdziale "Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES", w modułach "Algorytm eliminacji Gaussa", "Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem", "Algorytm LU faktoryzacji", "Algorytm solwera frontalnego", "Algorytm solwera wielo-frontalnego", "Algorytm solwera zmienno-kierunkowego", "Preconditioner".

Ad.6)  W rozdziale "Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod", w module "Transport ciepła za pomocą tradycyjnej metody elementów skończonych" podany jest przykład sformułowania słabego i silnego dla dwuwymiarowego problemu transportu ciepła z wykorzystaniem klasycznej metody elementów skończonych, oraz szereg algorytmów dotyczących generacji układu równań. W rozdziale "Formalne matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych" umieszczono przykład jednowymiarowej klasycznej metody elementów skończonych, oraz szereg przydatnych algorytmów. Ad.7) Metoda stabilizacji DG została opisana w rozdziale "Metody Stabilizacji" w module "Stabilizacja równań Stokesa za za pomocą metody Discontinuous Galerkin (DG)". W module "Stabilizacja równań adwekcji-dyfuzji" opisano metodę Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) która działa zarówno dla klasycznej jak i izogeometrycznej metody metody elementów skończonych

Jakie elementy w moim przekonaniu powinien zawierać podręcznik o izogemetrycznej metodzie elementów skończonych?

Ad.1) Ten aspekt został szczegółowo opisany w rozdziale "Dyskretyzacja za pomocą różnych funkcji bazowych", moduły "Liniowe funkcje bazowe", "Funkcje bazowe wyższego stopnia rzędu Ck w 1D", "Ulepszona analiza izogeometryczna w 1D", "Uogólnienie funkcji bazowych poprzez iloczyn tensorowy na 2D", "Uogólnienie funkcji bazowych poprzez iloczyn tensorowy na 3D"

Ad.2) Aspekt obliczeń adaptacyjnych w metodzie izogeometrycznej jest pokrótce opisany w rozdziale "Przetwarzanie siatek obliczeniowych" moduł "Analiza izogeometryczna na siatkach adaptacyjnych". Aspekt mapowania obiektów CAD na grupy elementów został w podręczniku pominięty ze względu na swoją obszerność i przynależność do pokrewnej (ale innej) tematyki związanej z modelowaniem geometrii w systemach informatycznych.

Ad.3) Zagadnienie to zilustrowane zostało w rozdziale "Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy" moduły "Aproksymacja za pomocą funkcji bazowych B-spline", "Wyprowadzenie układu równań liniowych", "Wygenerowanie układu równań linowych za pomocą obliczeń analitycznych", "Rozwiązanie układu równań linowych", "Interpretacja rozwiązania". Ad.4) Algorytmy te zostały opisane w rozdziale "Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES", moduły "Algorytm eliminacji Gaussa", "Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem", "Algorytm LU faktoryzacji", "Algorytm solwera frontalnego", "Algorytm solwera wielo-frontalnego", "Algorytm solwera zmienno-kierunkowego", "Preconditioner". Wszystkie te algorytmy jako takie są niezależne od faktu czy używamy klasycznej czy izogeometrycznej metody elementów skończonych. Dodatkowo moduły "Algorytm solwera iteracyjnego" oraz "Wybór solwera w zależności od rodzaju problemu" dotyczą przypadku izogeometrycznej metody elementów skończonych.

Ad.6) W rozdziale "Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy"  i "Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod" znajdują się obszerne przykłady obliczeniowe dla izogeometrycznej metody elementów skończonych.

Ad.7) Metoda stabilizacji izogeometrycznej metody elementów skończonych została opisana w rozdziale "Metody Stabilizacji" w modułach "Stabilizacja równań Stokesa za za pomocą metody minimalizacji reziduum" , oraz "Stabilizacja równań adwekcji-dyfuzji za pomocą metody Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)".

Dodatkowo podręcznik zawiera rozdział opisujący rozszerzenie metody elementów skończonych na problemy niestacjonarne (modelujące stan systemów zmieniający się w czasie) oraz wspomniany wcześniej rozdział wprowadzający do matematycznych podstaw metody elementów skończonych.

Wszelkie uwagi oraz pytania dotyczące treści książki proszę kierować na adres maciej.paszynski o agh.edu.pl.

Marcin Łoś i Maciej Woźniak są autorami kodów w MATLABie w rozdziałach:


Rozdział 1. Wstęp do metody elementów skończonych

Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy

W rozdziale tym zajmiemy się przykładowym problemem projekcji, który posłuży nam do zbudowania intuicji leżącej u podstaw metody elementów skończonych.


Aproksymacja za pomocą funkcji bazowych B-spline

Żeby napisać program komputerowy obliczający takie ciągłe przybliżanie terenu, musimy wykonać następujące czynności. Po pierwsze, musimy opisać nasz problem w sposób formalny, matematyczny. W szczególności musimy wybrać matematyczną definicję obiektu - bitmapy, oraz matematyczną definicje naszego ciągłego opisu terenu reprezentowanego przez bitmapę. Rozsądnym rozwiązaniem wydaje się powiedzenie iż bitmapa jest funkcją określoną na obszarze  \( \Omega = [1,maxx]\times[1,maxy] \ni (x,y) \rightarrow BITMAP(x,y) \in [0,255] \) gdzie poprzez  \( \Omega \) oznaczamy cały obszar, na którym rozpięta jest nasza bitmapa. Z kolei nasza ciągła reprezentacja świata będzie reprezentowana przez funkcję  \( u \) o wartościach rzeczywistych.  \( \Omega = [1,maxx]\times[1,maxy] \ni (x,y) \rightarrow u(x,y) \in [0,255] \) Chcemy by nasza funkcja była "smukła" i ciągła. Matematycznie zapisujemy warunek że nasza funkcja będzie klasy  \( C^1 \), oznacza to że w każdym punkcie będzie na tyle smukła żeby dało się policzyć jej pochodne w kierunkach prostopadłych do brzegów naszego obszaru. Oznacza to praktycznie iż w każdym punkcie możemy do wykresu naszej funkcji przyłożyć "linijkę" prostopadle do jednego z brzegów naszego obszaru, i zmierzyć kąt pomiędzy tą linijką a podstawą (powierzchnią płaską rozpostartą na wysokości zerowej). Pochodna to przecież nic innego jak tangens tego kąta. Innymi słowy nasza funkcja nie będzie miała "załamań" ani przerw, na których nie byłoby wiadomo jak przykładać naszą linijkę. Na załamaniach linijka ta przeskakiwała by z jednej pozycji na drugą, a w przypadku dziury w ogóle nie byłoby wiadomo jak ją przyłożyć. Oczywiście możliwość mierzenia pochodnej (przykładania linijki) w dwóch kierunkach prostopadłych do brzegu obszaru oznacza również możliwość przykładania linijki i mierzenia pochodnych kierunkowych w dowolnych innych kierunkach nie prostopadłych do brzegu. Możemy więc gładko przemieszczać się po powierzchni wykresu takiej smukłej funkcji, w dowolnych kierunkach. Jak uzyskać taką ciągłą smukłą funkcję? Musimy zdecydować jak nasza funkcja zostanie skonstruowana. Na przykład, możemy obszar, na którym rozpięta jest bitmapa podzielić na pewne elementy, i na tych elementach zdefiniować zbiór wielu smukłych funkcji, z których następnie "skleimy" naszą funkcję  \( u \). Wyobraźmy sobie że na wysokości odpowiadającej wysokości zerowej (takiej której odpowiada wartość piksela zero) budujemy płaską dwuwymiarową siatkę, której liczba kwadratowych elementów jest dowolna. Oczka te zgodnie z przyjętą nomenklaturą nazwiemy elementami skończonymi, ponieważ każdy z tych elementów posiada ograniczony skończony obszar. Elementów tych może być mniej niż pikseli w bitmapie, i wtedy nad każdym takim elementem rozpiętych będzie kilka pikseli. Granice pomiędzy naszymi elementami nie muszą zgadzać się z granicami pikseli. Mogą one być dowolnie zdefiniowane na płaskiej powierzchni. Może również być tak, że naszych elementów jest więcej niż pikseli, i wtedy w każdym pikselu znajdować się będzie wiele takich elementów. Załóżmy jednak że naszych elementów jest mniej niż pikseli. Tworzą one regularną siatkę o  \( N_x*N_y \) elementach skończonych. Teraz, na każdym takim elemencie definiujemy smukłą funkcję. Możemy w tym celu posłużyć się funkcjami B-spline. Funkcje te zostały po raz pierwszy wprowadzone przez amerykańskiego matematyka rumuńskiego pochodzenia Isaaka Jakuba Schoenberga [1]. Funkcje B-spline są powszechnie stosowane w modelowaniu i symulacjach komputerowych dzięki rosnącej popularności dziedziny zwanej analizą izogeometryczną rozpowszechnianej przez prof. T.J.R. Hughesa.[2]. Ideą tych metod jest zastosowanie rodzin funkcji B-spline do obliczeń za pomocą metody elementów skończonych. Funkcje te oznaczamy  \( B_{i,j;2}(x,y) \), gdzie  \( i \) oraz  \( j \) oznaczają numeracje naszych funkcji, a 2 oznacza iż są to wielomiany kawałkami drugiego stopnia, klasy  \( C^1 \).

Rys. 1 przedstawia trzy przykładowe dwuwymiarowe funkcje B-spline rozpięte na dwuwymiarowej siatce. Każda taka dwuwymiarowa funkcja B-spline powstaje poprzez wybranie i przemnożenie przez siebie dwóch jednowymiarowych funkcji B-spline, jednej wybranej ze zbioru jednowymiarowych funkcji B-spline rozpiętych wzdłuż poziomego brzegu siatki, i drugiej wybranej ze zbioru jednowymiarowych funkcji B-spline rozpiętych wzdłuż pionowego brzegu siatki. Zbiory te nazywamy bazami jednowymiarowych funkcji B-spline. Te jednowymiarowe funkcje B-spline oznaczamy z kolei  \( B^x_{i;2}(x) \) oraz   \( B^y_{j;2}(y) \) gdzie zmienne  \( x \) oraz  \( y \) identyfikują kierunki (osie układu współrzędnych) wzdłuż których określone są nasze B-spline'y (oś pozioma  \( x \) oraz oś pionowa  \( y \)),  \( i \) oraz  \( j \) oznaczają numeracje tych funkcji (którą kolejną jednowymiarową funkcję B-spline wybieramy z takiej jednowymiarowej bazy), oraz 2 oznacza ponownie że są to wielomiany kawałkami drugiego stopnia, klasy  \( C^1 \) (czyli że umiemy z nich liczyć pierwsze pochodne). Następnie wybrane funkcje jednowymiarowe są przemnażane przez siebie, co daje nam smukłą dwumymiarową funkcję B-spline. Taką metodę tworzenia dwuwymiarowych funkcji przez przemnażanie stosownych jednowymiarowych funkcji nazywa się iloczynem tensorowym funkcji.  \( B_{i,j;2}(x,y)=B^x_{i;2}(x)B^y_{j;2}(y) \) Jest to zilustrowane na Rysunku. Uzyskane w ten sposób dwuwymiarowe funkcje B-spline mają kształt smukłego "pagórka", określonego na dziewięciu sąsiadujących elementach. Najwyższy punkt takiej funkcji - pagórka znajduje się w centrum środkowego elementu. Funkcje te schodzą gładko do wartości zerowej, przyjmowanej na brzegach kwadratu zdefiniowanego przez dziewięć elementów, na których funkcja ta jest określona. Funkcje te zgodnie z przyjętą nomenklaturą nazwiemy funkcjami bazowymi.

Naszą ciągłą aproksymacje terenu uzyskamy w ten sposób, że zsumujemy ze sobą wiele takich smukłych pagórków - B-spline'ów. Każdy z nich zostanie przeskalowany (podniesiony do góry lub dół) tak by w sumie otrzymać ciągłą aproksymację terenu. Jeśli poprawnie dobierzemy wysokości poszczególnych pagórków, dostaniemy wówczas smukłe przybliżenia naszego terenu tak jak przedstawiono to na Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy-Rys. 2. Powstaje teraz pytanie, w jaki sposób dobrać wysokości, do których wyciągniemy nasze funkcje bazowe. Pierwsza metoda, która przychodzi nam do głowy to wybrać wartość piksela z  \( BITMAP(x,y) \) znajdującego się dokładnie w najwyższym punkcie B-spline (na środku pagórka). Niestety metoda ta ma kilka wad. Po pierwsze, jeśli naszych funkcji bazowych B-spline jest mniej niż pikseli, to wówczas ignorujemy wszystkie sąsiednie piksele znajdujące się w obszarze naszego B-spline'a, wybierając jedynie jedną wartość ze środka obszaru. Możliwe że nasza bitmapa posiada pewne zaburzenia i że trafimy akurat na lokalny odskok będący błędem pomiaru, lub że trafimy akurat w lokalną dziurę w ukształtowaniu terenu, lub w lokalne drzewo lub budynek który akurat zakłócił pomiar ukształtowania terenu. Po drugie, zauważmy że nasze funkcje bazowe rozpościerają się na kwadracie dziewięciu elementów. Skoro każdą taką funkcję B-spline skojarzyć można ze środkiem swojego elementu, oraz każda z tych funkcji rozpościera się na dziewięć sąsiednich elementów, oznacza to iż na każdym elemencie rozpostartych jest w sumie dziewięć takich funkcji, oraz że sąsiadujące funkcje zachodzą na siebie. Jeśli więc rozciągalibyśmy funkcje tak aby ich punkt maksymalny pokrywał się z centralnym pikselem, oraz zsumowalibyśmy te wszystkie funkcje razem w celu uzyskania naszej globalnej funkcji  \( u \), to wówczas na każdym elemencie, nawet w punkcie centralnym, nasza wynikowa aproksymacja (suma tych funkcji) byłaby wyżej niż nasz centralny piksel, dlatego iż sąsiednie osiem funkcji również byłyby niezerowe na danym elemencie i podnosiłyby one wartość naszej aproksymacji w tym punkcie do góry.


Wyprowadzenie układu równań liniowych

Problem doboru współczynników kombinacji liniowej funkcji B-spline służących do aproksymacji bitmapy (problem skalowania poszczególnych B-spline'ów) jest problemem globalnym, i należy rozwiązać go biorąc pod uwagę wszystkie współczynniki równocześnie. W tym celu przeprowadzamy następujące rozumowanie, które jest podstawą intuicji leżących u podstaw metody elementów skończonych.