Rozdział 1. Wprowadzenie do równań cząstkowych

Wprowadzenie do równań cząstkowych

Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak również w związku z badaniami   zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki.  Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie  XVIII  wieku przez J. d'Alemberta (1717-1783).  Było to równanie  według dzisiejszej nomenklatury   typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej.   L. Euler (1707 - 1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Póżniej,  kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernulli (1702 - 1782) przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął  J. Fourier (1750 - 1830) tworząc początki teori szeregów trygonometrycznych. A.L. Cauchy (1789 - 1857) sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj  zagadnieniem Cauchy'ego. P. Laplace (1749-1827) zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę  równania Laplace'a.   S.D. Poisson (1781 -1840) rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane obecnie równaniem Poissona.  Tak więc badania z zakresu  mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań  noszących dziś nazwę  równań  eliptycznych.  W początkach XIX wieku G. Green (1793-1841) stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając  teorię elektryczności i magnetyzmu. Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy  doprowadziły natomiast do powstania klasy równań które nazywamy dzisiaj równaniami parabolicznymi. Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych.   Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann (1826-1866), H. Poincare (1854-1921), E. Picard (1856-1941), J. Hadamard (1865-1937), E. Goursat (1854-1938).  Z polskich matematyków wymienić należy  autora jednej z pierwszych monografii poświęconych  równaniom  różniczkowym cząstkowym - M. Krzyżańskiego  (1907 - 1965). Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień fizyki i chociaż obecnie  zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk które pierwotnie opisywały, np. równanie struny, równanie fali kulistej, równanie fali  walcowej, równanie przewodnictwa cieplnego, równanie dyfuzji. Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów  matematyki, zwłaszcza topologii i analizy funkcjonalnej.

Równanie  różniczkowe cząstkowe, to równanie w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych niezależnych oraz niektóre jej pochodne cząstkowe. Rzędem równania nazywamy najwyższy rząd pochodnej. I tak równaniem różniczkowym cząstkowym pierwszego rzędu nazywamy zależność

gdzie  \( \hskip 0.3pc (x_1, \ldots ,x_n)\in U \subset \mathbb{R}^n \hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.3pc F:U\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R} \hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją, a  \( \hskip 0.3pc  u:U\to\mathbb{R}\hskip 0.3pc \) funkcją szukaną. Podobnie równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego  rzędu nazywamy zależność

gdzie  \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest funkcją daną, a  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) funkcją szukaną.

Rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego rzędu  \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) w obszarze  \( \hskip 0.3pc U \subset R^n \hskip 0.3pc \)nazywamy funkcję  \( \hskip 0.3pc u:U\to R^n \hskip 0.3pc \),  posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu  \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \), spełniającą   równanie w każdym punkcie obszaru  \( \hskip 0.3pc  U.\hskip 0.3pc \) Rozwiązanie takie nazywamy   rozwiązaniem klasycznym.  Zastosowania wymagają jednak często rozwiązań które nie mają ciągłych pochodnych, lub nie wszędzie są różniczkowalne lub wreszcie nie wszędzie są ciągłe.  Wymaga to wprowadzenia tak zwanych rozwiązań słabych. W niniejszym tekście ograniczymy się do rozważania  rozwiązań klasycznych, chociaż z punktu widzenia zatosowań są one daleko niewystarczające. Postaramy się natomiast sygnalizawać sytuacje w których widać potrzebę rozważania szerszej klasy rozwiązań oraz sformułujemy wstępne definicje,  zachęcając w ten sposób Czytelnika do sięgnięcia po opracowania bardziej zaawansowane.

W dalszym ciągu będziemy rozważać pewne szczególne przypadki równań różniczkowych cząstkowych.  Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie  postaci ( 1 ),  jeśli funkcja  \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest liniowa względem funkcji  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) oraz jej pochodnych  \( \hskip 0.3pc u_{x_1}, \ldots ,u_{x_n}, \hskip 0.3pc \) czyli równanie postaci

Jeśli  \( \hskip 0.3pc f=0 \hskip 0.3pc \)to równanie  ( 3 ) nazywamy  jednorodnym.  Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi-liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci   ( 1 ) jeśli funkcja  \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \)jest liniowa względem  pochodnych  \( \hskip 0.3pc u_{x_1}, \ldots ,u_{x_n}, \hskip 0.3pc \)czyli równanie postaci

Jeśli  \( \hskip 0.3pc f=0 \hskip 0.3pc \) to równanie ( 4 )  nazywamy równaniem quasi liniowym  jednorodnym. Zazwyczaj przyjmujemy, że zadane funkcje  \( \hskip 0.3pc a_1, \ldots , a_n \hskip 0.3pc \) oraz funkcja  \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) są ciągłe  w rozważanych obszarach.  Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym drugiego  rzędu nazywamy równanie  postaci ( 2 )  jeśli funkcja  \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \)jest liniowa względem funkji  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) oraz jej pochodnych,  tzn.  równanie postaci

gdzie  \( \hskip 0.3pc a_{ij}, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc b_i \hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc i,j=1, \ldots ,n \hskip 0.3pc \) oraz   \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \)są zadanymi funkcjami zmiennych  \( \hskip 0.3pc x_1, \ldots ,x_n. \hskip 0.3pc \) Jeśli  \( \hskip 0.3pc f=0 \hskip 0.3pc \) to równanie ( 5 )  nazywamy  jednorodnym.  Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi-liniowym drugiego rzędu nazywamy równanie  postaci ( 2 )  jeśli funkcja  \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \)jest liniowa względem pochodnych drugiego rzędu  funkcji  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)czyli równanie postaci

Załóżmy, że  równanie różniczkowe rozważamy w obszarze  \( \hskip 0.3pc \Omega . \hskip 0.3pc \) Jeśli szukamy rozwiązania które na brzegu  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \)  obszaru   \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) przyjmuje zadane wartości,  to problem ten nazywamy  problemem brzegowym. Możemy też szukać rozwiązania dla którego na brzegu obszaru mamy zadane wartości pochodnych lub wartości pochodnej w kierunku normalnym do powierzchni, lub też kombinację tych warunków.  Ze względu na interpretację fizyczną,  często wyróżniamy jedną ze zmiennych i nazywamy czasem. Nie jest to na ogół obojętne, jeśli bowiem równanie różniczkowe opisuje pewne zjawisko fizyczne,  to każda ze zmiennych ma z góry ustaloną interpretację. Jeśli poszukujemy rozwiązania które w chwili początkowej \( \hskip 0.3pc t=t_0 \hskip 0.3pc \)  przyjmuje zadane wartości, to rozważany problem  nazywamy problemem początkowym albo  problemem Cauchy'ego.  Możemy też szukać rozwiązania dla  którego w chwili początkowej  \( \hskip 0.3pc t=t_0 \hskip 0.3pc \)   mamy zadane wartości pochodnych,  lub rozwiązania które w chwili początkowej  \( \hskip 0.3pc t=t_0 \hskip 0.3pc \)  spełnia kombinację tych warunków. Należy wyrażnie zaznaczyć, że nie istnieje ogólna metoda rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych.  Co więcej, stosowane techniki nie tylko zależą od typu równania,  ale często również od rozpatrywanych warunków początkowych i brzegowych oraz obszaru w którym szukamy rozwiązania. Dlatego też badania skupiają się na konkretnych równaniach różniczkowych cząstkowych jak też konkretnych problemach początkowych i brzegowych, które sa ważne z punktu widzenia zastosowań   w matematyce czy też w innych naukach. Na koniec zauważmy,  że ze  względu na oszczędność zapisu sensownym jest wprowadzenie operatorów różniczkowych

Jeśli operator  \( \hskip 0.3pc L \hskip 0.3pc \)  jest określony wzorem (8) (odp. (7)), równanie ( 5 ) (odp.( 6 ) ) możemy  zapisać krótko

Szczególnie rozpowszechniony jest operator Laplace'a (tzw.  laplasjan)

Zauważmy, że  \( \hskip 0.3pc \Delta = \bigtriangledown\cdot \bigtriangledown = \bigtriangledown ^2, \hskip 0.3pc \) przy czym iloczyn rozumiemy tu w sensie iloczynu skalarnego.


Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych

Równania różniczkowe cząstkowe służą jako modele dla opisu szeregu zjawisk począwszy od fizyki i  techniki, poprzez nauki przyrodnicze, ekonomię, medycynę aż do nauk humanistycznych. I tak na przykład są one podstawowym narzędziem do opisu zagadnień mechaniki, elektrotechniki, hydromechaniki, akustyki czy fizyki kwantowej. W niniejszym module podamy przykłady opisu takich zjawisk, mianowicie drgań struny, drgań elektrycznych w przewodniku, przewodnictwa ciepła oraz przepływu cieczy lub gazu. Należy podkreślić, że  w literaturze nietrudno znależć wyprowadzenia bardziej precyzyjne.  Ponieważ naszym celem jest elementarne wprowadzenie do teorii równań różniczkowych,  ograniczymy się do rozważań bardzo uproszczonych.

Przez strunę rozumiemy jednorodną elastyczną nić o stałym przekroju. Zakładamy, że struna jest zamocowana na osi \( \hskip 0.3pc 0x \hskip 0.3pc \) w punktach  \( \hskip 0.3pc 0 \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc l \hskip 0.3pc \) i pod działaniem sił naprężenia jest skierowana wzdłuż osi  \( \hskip 0.3pc 0x. \hskip 0.3pc \)  Przyjmujemy przy tym, że siła naprężenia w  każdym punkcie struny jest stała. Jeśli pod działaniem siły zewnętrznej struna zostanie wyprowadzona z położenia równowagi, to  pod wpływem  sił naprężenia zacznie drgać. W naszych rozważaniach przyjmujemy, że struna przesuwa się w jednej płaszczyżnie, a punkty struny poruszają się jedynie w kierunku prostopadłym do osi  \( \hskip 0.3pc 0x. \hskip 0.3pc \) Odchylenie  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) punktu drgającej struny jest szukaną funkcją dwóch zmiennych niezależnych, współrzędnej  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) oraz czasu  \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \) czyli  \( \hskip 0.3pc u =u(x,t). \hskip 0.3pc \) Oczywiście,  siła naprężenia  \( \hskip 0.3pc T \hskip 0.3pc \)  jest w każdym punkcie  styczna do struny, a ruch struny jest wymuszony jej składową na oś  \( \hskip 0.3pc 0u \hskip 0.3pc \) (zobacz Rys. 1 ). Przyjmujemy,  że wartość siły naprężenia struny jest stała, ponadto rozważamy tylko takie drgania, dla których amplituda jest mała w stosunku do długości struny. Oznaczmy przez  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc x+\Delta x \hskip 0.3pc \) rzut punktów  \( \hskip 0.3pc M_1 \hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc M_2 \hskip 0.3pc \)  na oś  \( \hskip 0.3pc 0x, \hskip 0.3pc \) a przez  \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc \varphi +\Delta  \varphi \hskip 0.3pc \)  kąt między kierunkiem działania siły naprężenia  \( \hskip 0.3pc T \hskip 0.3pc \)  w punktach  \( \hskip 0.3pc M_1 \hskip 0.3pc \)i  \( \hskip 0.3pc  M_2\hskip 0.3pc \) a osią  \( \hskip 0.3pc 0x. \hskip 0.3pc \) Zauważmy, że przyrost siły działającej  w kierunku osi  \( \hskip 0.3pc 0u \hskip 0.3pc \) na element struny  \( \hskip 0.3pc M_1M_2 \hskip 0.3pc \)  wyraża się wzorem:

dla pewnego \( \hskip 0.3pc \theta \in [0,1] \hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc  \Delta x =x_2-x_1.\hskip 0.3pc \) (Ponieważ założyliśmy, że \( \hskip 0.3pc  \varphi \hskip 0.3pc \)  jest małe, wartość  \( \hskip 0.3pc \sin \varphi \hskip 0.3pc \) zastąpiliśmy wartością  \( \hskip 0.3pc  {\rm tg}  \varphi,\hskip 0.3pc \) która - jak wiadomo - jest równa wartości pochodnej funkcji  \( \hskip 0.3pc u, \hskip 0.3pc \)  a następnie wykorzystaliśmy twierdzenie o wartości średniej). Z drugiej strony, korzystając z zasady Newtona, siłę działającą w kierunku osi  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) na element  \( \hskip 0.3pc M_1M_2 \hskip 0.3pc \)  możemy wyrazić wzorem:

gdzie  \( \hskip 0.3pc \rho \hskip 0.3pc \) oznacza gęstość liniową struny.

gdzie współczynnik  \( \hskip 0.3pc a =\sqrt{T/\rho} \hskip 0.3pc \) opisuje prędkość rozchodzenia się drgań prostopadłych.  Jest to równanie typu hiperbolicznego. Zauważmy, że w opisanym modelu spełnione są następujące warunki brzegowe

zaś wyprowadzenie struny z polożenia  równowagi zadane jest warunkami początkowymi

gdzie  \( \hskip 0.3pc  \varphi \hskip 0.3pc \)i  \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \)są zadanymi funkcjami, przy czym  \( \hskip 0.3pc \varphi (0)=  \varphi (l)=\psi (0)=\psi (l)=0. \hskip 0.3pc \) Jeśli założymy ponadto, że na strunę działa siła zewnętrzna  \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) to nietrudno sprawdzić, że  drgania struny opisane są równaniem

gdzie  \( \hskip 0.3pc f(x,t)=F(x,t)/T. \hskip 0.3pc \)

Przypomnijmy, że prąd przepływający w przewodniku scharakteryzowany jest przez natężenie  \( \hskip 0.3pc i=i(x,t)  \hskip 0.3pc \) oraz napięcie  \( \hskip 0.3pc u=u(x,t)  \hskip 0.3pc \) gdzie  \( \hskip 0.3pc x  \hskip 0.3pc \) oznacza odległość liniową od początku linii, a  \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) czas. Ponadto, jak zwykle niech  \( \hskip 0.3pc R \hskip 0.3pc \) oznacza gęstość liniową oporności przewodnika,  \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) gęstość liniową pojemności,  \( \hskip 0.3pcL  \hskip 0.3pc \) - gęstość liniową indukcji, a  \( \hskip 0.3pc G  \hskip 0.3pc \)- gęstość liniową upływności (współczynnik izolacji). Spadek potencjału przewodnika od punktu  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) do punktu \( \hskip 0.3pc  x+\Delta x,  \hskip 0.3pc \) czyli

\( \hskip 0.3pc  i R \Delta x  \hskip 0.3pc \)- spadek napięcia wywołany oporem,

\( \hskip 0.3pc L \dfrac{\partial i}{\partial t} \Delta x \hskip 0.3pc \)- siłę  elektromagnetyczną samoindukcji.

Podobnie, spadek natężenia na odcinku od punktu  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) do punktu \( \hskip 0.3pc  x+\Delta x,  \hskip 0.3pc \) w czasie  \( \hskip 0.3pc \Delta t  \hskip 0.3pc \) czyli

\( \hskip 0.3pc C \dfrac{\partial u}{\partial t} \Delta x \Delta t \hskip 0.3pc \)- prądu przepływającego przez rozważany odcinek,

\( \hskip 0.3pc G u\Delta x \Delta t \hskip 0.3pc \)- strat prądu.

Zespół równań ( 7 ), ( 8 ) nazywamy równaniami linii elektrycznej. Różniczkując równanie ( 7 ) względem  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) a równanie ( 8 ) względem  \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) otrzymamy

Jeśli przyjmiemy  \( \hskip 0.3pc R \cong 0, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc G \cong 0, \hskip 0.3pc \) tzn. założymy,  że linia jest bez samoindukcji i bez upływnienia, to eliminując z uzyskanego układu równań pochodną mieszaną, otrzymamy

gdzie  \( \hskip 0.3pc a =1/\sqrt{LC}. \hskip 0.3pc \) Otrzymaliśmy zatem ponownie równanie postaci ( 3 ).

3. Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie

Rozważmy zagadnienie rozchodzenia się ciepła w  pręcie jednorodnym.  Niech  \( \hskip 0.3pc u =u(x,t) \hskip 0.3pc \) oznacza  temperaturę w chwili  \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) w punkcie  \( \hskip 0.3pc x. \hskip 0.3pc \) Ilość ciepła przechodząca przez sekcję pręta  w punkcie  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \)w przedziale czasowym  \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) wynosi

gdzie  \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego a  \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) powierzchnią przekroju pręta. Jeśli  \( \hskip 0.3pc Q_1 \hskip 0.3pc \) oznacza ilość ciepła przepływająca przez sekcję  pręta w punkcie  \( \hskip 0.3pc x=x_1 \hskip 0.3pc \)  a  \( \hskip 0.3pc  Q_2\hskip 0.3pc \)  przez sekcję w punkcie  \( \hskip 0.3pc x=x_2, \hskip 0.3pc \) czyli

gdzie  \( \hskip 0.3pc \theta \in [0,1], \hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc \Delta x =x_2-x_1. \hskip 0.3pc \) Ciepło  \( \hskip 0.3pc \Delta Q \hskip 0.3pc \) powoduje zmianę temperatury odcinka  \( \hskip 0.3pc [x_1,x_2]\hskip 0.3pc \) o wielkość  \( \hskip 0.3pc \Delta u.\hskip 0.3pc \) Oczywiście

gdzie  \( \hskip 0.3pc c \hskip 0.3pc \) oznacza ciepło właściwe a  \( \hskip 0.3pc \rho \hskip 0.3pc \) gęstość właściwą pręta. Uwzględniając, że

równanie bilansu cieplnego możemy zapisać w postaci

gdzie  \( \hskip 0.3pc a^2=k/(c\rho ). \hskip 0.3pc \)  Jest to równanie typu parabolicznego.

4. Równanie przewodnictwa cieplnego w bryle

Rozważmy teraz zagadnienie rozchodzenia się ciepła w jednorodnej i izotropowej bryle trójwymiarowej  \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \)  o powierzchni  \( \hskip 0.3pc S. \hskip 0.3pc \) Niech  \( \hskip 0.3pc u=u(x,y,z,t) \hskip 0.3pc \) oznacza temperaturę w punkcie  \( \hskip 0.3pc (x,y,z) \hskip 0.3pc \) w chwili  \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) współczynnik przewodnictwa cieplnego,  \( \hskip 0.3pc \vec{n} \hskip 0.3pc \) oznacza (jednostkowy) wektor normalny do powierzchni  \( \hskip 0.3pc  S,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc c \hskip 0.3pc \)ciepło właściwe a  \( \hskip 0.3pc \rho \hskip 0.3pc \) gęstość bryły. Ilość ciepła przepływającego w jednostce czasu przez powierzchnię  \( \hskip 0.3pc S, \hskip 0.3pc \)  wyraża się wzorem

a ilość ciepła w bryle  \( \hskip 0.3pc  V\hskip 0.3pc \) w chwili  \( \hskip 0.3pc  t\hskip 0.3pc \) wzorem

gdzie symbol  \( \hskip 0.3pc \cdot \hskip 0.3pc \) znacza iloczyn skalarny, ilość  ciepła która przechodzi przez element powierzchni  \( \hskip 0.3pc \Delta S \hskip 0.3pc \)  w czasie   \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem

Zatem przez powierzchnie  \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) w czasie  \( \hskip 0.3pc  \Delta t\hskip 0.3pc \) przechodzi natępująca ilość ciepła

Przepływające ciepło powoduje zmianę temperatury  \( \hskip 0.3pc u, \hskip 0.3pc \) przy czym przyrost ciepła   bryły  \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \)   wyraża się  wzorem

Równanie bilansu cieplnego ma zatem postać

Po uproszczeniu przez  \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) i wykorzystaniu twierdzenia Gaussa - Greena (zob. twierdzenie A.2) otrzymamy

Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego obszaru  \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) o dostatecznie regularnej powierzchni,  zakładając ciagłość   wyrażeń podcałkowych otrzymamy

gdzie   \( \hskip 0.3pc a^2=k/(c \rho). \hskip 0.3pc \) Ostatecznie otrzymane równanie możemy zapisać w postaci

lub,  używając symbolu laplasjanu  \( \hskip 0.3pc \Delta =\dfrac{\partial^2 }{\partial x^2}  +\dfrac{\partial^2 }{\partial y^2}  +\dfrac{\partial^2 }{\partial z^2}, \hskip 0.3pc \)  w postaci

Jest to również równanie typu parabolicznego. Jeśli w rozważanym obszarze znajdują się żródła ciepła opisane funkcją  \( \hskip 0.3pc g(x,y,z,t), \hskip 0.3pc \) wówczas można pokazać, że równanie przewodnictwa cieplnego przyjmie postać

Jeśli temperatura nie zmienia się w czasie, równanie przewodnictwa cieplnego ma postać

Równanie ( 14 )  nosi nazwę  równania Laplace'a. Jest to równanie typu eliptycznego.  Aby znależć temperaturę ciała, wystarczy  znać temperaturę na powierzchni, czyli

oraz  prędkość przepływu ciepła przez powierzchnię, czyli

gdzie  \( \hskip 0.3pc \vec{n} \hskip 0.3pc \) oznacza wektor normalny do powierzchni.  Ponieważ warunki te są zadane na brzegu obszaru,  problem ten nazywamy  problemem brzegowym a wymienione warunki  warunkami brzegowymi.

Niech  \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \)  będzie zadanym obszarem jednospójnym o regularnej powierzchni  \( \hskip 0.3pc S. \hskip 0.3pc \) Załóżmy, że przez obszar  \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) przepływa ciecz lub gaz z prędkością  \( \hskip 0.3pc \vec{v} =\vec{v}(x,y,z,t). \hskip 0.3pc \) Przez  element powierzchni  \( \hskip 0.3pc \Delta S \hskip 0.3pc \) w czasie  \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) przepływa następująca ilość substancji

gdzie  \( \hskip 0.3pc \vec{n} \hskip 0.3pc \) oznacza wektor normalny do powierzchni  \( \hskip 0.3pc S, \hskip 0.3pc \) a  \( \hskip 0.3pc \rho =\rho(x,y,z,t) \hskip 0.3pc \) gęstość przepływającej substancji w punkcie  \( \hskip 0.3pc (x,y,z) \hskip 0.3pc \) i chwili  \( \hskip 0.3pc t. \hskip 0.3pc \)   Stąd przez powierzchnię  \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) w czasie  \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) przepłynie następująca ilość substancji

Z drugiej strony ilość substancji w bryle  \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) w chwili  \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) wynosi

Oczywiście zmiana ilości substancji powoduje zmianę jej gęstości, a przyrost substancji w czasie  \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) spowodowany zmianą gęstości wyraża się wzorem

Równanie bilansu ilości substancji ma zatem postać

Wykorzystując twierdzenie Gaussa - Greena (zob. twierdzenie A.2)  otrzymamy

Ponieważ wzór ten zachodzi dla dowolnego obszaru regularnego  \( \hskip 0.3pc V, \hskip 0.3pc \) więc funkcje podcałkowe są równe, wynika stąd równość

zwana równaniem ciągłości Jeśli przyjmimy, że

gdzie  \( \hskip 0.3pc P \hskip 0.3pc \) oznacza ciśnienie, a  \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) współczynnik przepuszczalności a   \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) pewną stałą, to

Jeśli rozważana substancja jest nieściśliwa, wówczas  \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial P}{\partial t}=0, \hskip 0.3pc \) a równanie ( 15 ) przyjmie postać

Ponownie otrzymaliśmy  równanie Laplace'a.


Rozdział 2. Metoda charakterystyk dla równań liniowych pierwszego rzędu

Metoda charakterystyk dla równań liniowych o stałych współczynnikach

W rozdziale tym omówimy rozwiązywanie równań liniowych różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach metodą charakterystyk.  Metoda ta polega na sprowadzeniu rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego do rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych, tak zwanych równań charakterystyk.  W tym celu należy znaleść rozwiązania równania wyjściowego wzdłuż pewnych krzywych, a następnie pokazać, że powierzchnia utworzona w stosowny sposób z tak skonstruowanych krzywych (charakterystyk) jest rozwiązaniem równania wyjściowego. Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu o stałych współczynnikach

Niech  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)   będzie rozwiązaniem równania ( 1 ) w obszarze \( \hskip 0.3pc D.  \hskip 0.3pc \)  Rozważmy krzywą  \( \hskip 0.3pc \Gamma  \hskip 0.3pc \) zawartą w  \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \)  daną równaniami

Oczywiście wzdłuż krzywej  \( \hskip 0.3pc \Gamma  \hskip 0.3pc \) rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc u  \hskip 0.3pc \) przyjmuje wartości

a pochodna względem zmiennej  \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem

Załóżmy, że krzywa  \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \) jest tak dobrana, że

Stąd i z faktu, że  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) wynika, że prawa strona relacji ( 2 ) jest równa  \( \hskip 0.3pc c, \hskip 0.3pc \) czyli

Rozwiązując równanie ( 3 ) z warunkami początkowymi:  \( \hskip 0.3pc x(0)=x_0, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0,  \hskip 0.3pc \)  otrzymamy

lub po wyrugowaniu parametru  \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \)

Zauważmy, że przez każdy punkt obszaru  \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \) przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie układu równań ( 3 ). Rozwiązanie równania ( 4 ) ma postać

Przypomnijmy, że funkcja ( 6 ) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) wzdłuż  krzywej  \( \hskip 0.3pc  \Gamma,  \hskip 0.3pc \) czyli krzywej danej  równaniem ( 5 ). Jeśli zatem  stałą  \( \hskip 0.3pc K \hskip 0.3pc \) zastąpimy dowolną funkcją która  na krzywej  \( \hskip 0.3pc \Gamma  \hskip 0.3pc \) przyjmuje stałą  wartość, co symbolicznie możemy zapisać

gdzie  \( \hskip 0.3pc y_0 \hskip 0.3pc \) jest dane wzorem ( 5 ),   funkcja

będzie w dalszym ciągu spełniać równanie ( 1 ) wzdłuż krzywej  \( \hskip 0.3pc \Gamma. \hskip 0.3pc \) Rozważmy teraz funkcje

gdzie  \( \hskip 0.3pc F  \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Bezpośredni rachunek pokazuje, że funkcja ta jest rozwiązaniem równania ( 1 ). Istotnie

Tak więc, aby znaleźć rozwiązania równania ( 1 ), wystarczy  rozwiązać układ równań liniowych ( 3 ), ( 4 ). Równania te noszą nazwę równań charakterystyk. Warunki początkowe  \( \hskip 0.3pc x(0)=x_0, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0 \hskip 0.3pc \) należy  dobrać tak, aby krzywe całkowe  \( \hskip 0.3pc \Gamma  \hskip 0.3pc \) pokryły cały obszar  \( \hskip 0.3pc D. \hskip 0.3pc \)  Zazwyczaj jako punkty początkowe wygodnie jest wziąść punkty leżące na stosownie dobranej  krzywej, na przykład na osi  \( \hskip 0.3pc Ox \hskip 0.3pc \) lub  \( \hskip 0.3pc Oy. \hskip 0.3pc \) Często wystarczy ograniczyć się do rozwiązań spełniających warunki: \( \hskip 0.3pc x(0)=0, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0.  \hskip 0.3pc \) Zauważmy jeszcze, że ponieważ  \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest funkcją dowolną, wygodnie jest uzyskane rozwiązanie   równania ( 1 ) zapisać w postaci równoważnej

Opisaną tu metodę możemy stosować również w przypadku, gdy współczynniki a, b, c są funkcjami zmiennych  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc y.  \hskip 0.3pc \)


Metoda charakterystyk dla równań liniowych pierwszego rzędu

Moduł ten poświęcony jest rozwiązywaniu równań cząstkowych liniowych rzędu pierwszego kiedy współczynniki są funkcjami, a szukana funkcja zależy od dwóch zmiennych. Rozważmy  liniowe równanie różniczkowe cząstkowe  pierwszego rzędu

gdzie  \( \hskip 0.3pc a, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc b, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc c, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \)  są funkcjami ciągłymi w obszarze  \( \hskip 0.3pc D\subset \mathbb{R}^2. \hskip 0.3pc \) Załóżmy ponadto, że funkcje \( \hskip 0.3pc a \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc b \hskip 0.3pc \) nie zerują się równocześnie w żadnym punkcie  zbioru  \( \hskip 0.3pc D. \hskip 0.3pc \) Celem znalezienia rozwiązań równania ( 1 ) dokonajmy zmiany zmiennych

tak dobranej, aby po zmianie zmiennych w równaniu ( 1 ) wyrugować jedną z pochodnych cząstkowych. Załóżmy chwilowo, że taka zmiana zmiennych istnieje i ponadto, że z równań ( 2 ) możemy lokalnie wyznaczyć  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) jako funkcje zmiennych \( \hskip 0.3pc \xi  \hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc \eta, \hskip 0.3pc \)  czyli

przy czym tak określone  funkcje  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc y  \hskip 0.3pc \) posiadają pochodne cząstkowe względem \( \hskip 0.3pc\xi  \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \eta. \hskip 0.3pc \) Połóżmy

Wracając do zmiennych wyjściowych  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) otrzymamy

Podstawiając ostatnie związki do równania ( 1 ) otrzymamy

Zauważmy, że postawiony cel osiągniemy, jeśli funkcje  \( \hskip 0.3pc \eta \hskip 0.3pc \) dobierzemy tak, aby

lub funkcje  \( \hskip 0.3pc \xi  \hskip 0.3pc \) tak aby

Niech  \( \hskip 0.3pc \eta \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równanie ( 4 ). Połóżmy

gdzie  \( \hskip 0.3pc K \hskip 0.3pc \) jest dowolną stałą. Oczywiście  \( \hskip 0.3pc d\eta=0, \hskip 0.3pc \) czyli

Jeśli  \( \hskip 0.3pc  \eta_y \neq 0,\hskip 0.3pc \) z warunków ( 4 ), ( 5 ) wynika, że

Równanie ( 6 ) nazywamy  równaniem charakterystyk równania ( 1 ).  Rodzinę krzywych  \( \hskip 0.3pc \psi (x,y)=K, \hskip 0.3pc \) będącą rozwiązaniem ogólnym równania ( 6 ) nazywamy  rodziną  charakterystyk równania ( 1 ). Niech   \( \hskip 0.3pc \psi (x,y)=K \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem ogólnym  równania ( 6 ). Kładąc

Zauważmy, że zależność ( 7 ) możemy traktować jako równanie różniczkowe zwyczajne względem zmiennej  \( \hskip 0.3pc \xi, \hskip 0.3pc \) zależne od parametru  \( \hskip 0.3pc \eta. \hskip 0.3pc \) Niech  \( \hskip 0.3pc w=w(\xi , \eta) \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem tego równania.  Połóżmy

Nietrudno sprawdzić, że tak określona funkcja  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ). Zauważmy jeszcze, że równania charakterystyk ( 6 ) możemy zapisać w postaci układu równań


Metoda charakterystyk dla równań liniowych o n-zmiennych niezależnych

Rozważmy najpierw  liniowe jednorodne równanie różniczkowe cząstkowe  \( \hskip 0.3pc 1 \hskip 0.3pc \)-go rzędu o  \( \hskip 0.3pc n \hskip 0.3pc \)-zmiennych niezależnych

gdzie  \( \hskip 0.3pc a_1, \ldots ,a_n \hskip 0.3pc \) są funkcjami klasy  \( \hskip 0.3pcC^1  \hskip 0.3pc \)  określonymi w zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb{R}^n. \hskip 0.3pc \) Rozważmy ponadto układ równań

zwany układem równań charakterystyk dla równania ( 1 ).

Bezpośrednim rachunkiem nietrudno sprawdzić iż zachodzi następująca uwaga:

Zauważmy, że jeśli    \( \hskip 0.3pc u_1,\ldots,u_m  \hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależne w zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \)  to dla  dowolnego  \( \hskip 0.3pc x \in \Omega \hskip 0.3pc \) równość

zachodzi tylko wówczas, gdy    \( \hskip 0.3pc\lambda_1 =  \cdots =  \lambda_m =0.\hskip 0.3pc \) Przypomnijmy, że punkt   \( \hskip 0.3pc\stackrel{o}{x}\in \Omega\hskip 0.3pc \)  nazywamy  punktem  równowagi  (lub  stacjonarnym) układu ( 2 ), jeśli prawe strony tego układu zerują się w tym punkcie, czyli

Dowód tego twierdzenia został przedstawiony w module "Całki pierwsze"  (patrz twierdzenie 1 ).

gdzie  \( \hskip 0.3pca_1, \ldots ,a_n  \hskip 0.3pc \) są funkcjami klasy  \( \hskip 0.3pc C^1  \hskip 0.3pc \) określonymi w zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n.  \hskip 0.3pc \) Szukamy rozwiązania w postaci uwikłanej

gdzie  \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) jest funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu  \( \hskip 0.3pc  \stackrel{o}w=(\stackrel{o}x_1, \ldots ,\stackrel{o}x_n, \stackrel{o}u). \hskip 0.3pc \) Załóżmy, że  \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial V}{\partial u}( \stackrel{o}w)\neq 0. \hskip 0.3pc \) Z twierdzenia o pochodnej funkcji uwikłanej w otoczeniu punktu  \( \hskip 0.3pc  \stackrel{o}w \hskip 0.3pc \) otrzymamy

Podstawiając ostatnie wielkości do  równania ( 5 )  otrzymamy  równanie liniowe jednorodne

Równania charakterystyk równania ( 7 ) mają postać:

Niech   \( \hskip 0.3pc  \psi_1, \ldots , \psi_n\hskip 0.3pc \) będą funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu równań ( 8 ).  Zgodnie z wzorem ( 3 ) całka ogólna równania ( 7 ) ma postać

gdzie  \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \)  jest dowolną funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe. Stąd i  ( 6 ) wynika, że całką ogólną równania ( 5 ) ma postać

Definicja 1:

 Funkcje  \( \hskip 0.3pc u=u(x_1, \ldots ,x_n)  \hskip 0.3pc \)  klasy  \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) w zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega  \hskip 0.3pc \) nazywamy całką pierwszą układu równań ( 2 ) jeżeli dla dowolnego rozwiązania

								\( x_1=x_1(t),\, \ldots ,\,\,\, x_n= x_n(t),\quad  t \in I, \)

układu równań ( 2 )  mamy

								\( u\big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big)= {\rm const} \qquad {\rm dla}\quad t \in I, \)

tzn. funkcja  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)  jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania układu równań ( 2 ).

Definicja 2:

  Funkcje  \( \hskip 0.3pc u_1,\,\ldots,\,u_m\in C^1(\Omega)\hskip 0.3pc m\leq n,  \hskip 0.3pc \) nazywamy  funkcyjnie niezależnymi   w zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \)
  jeśli dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc  x=(x_1,\ldots,x_n)\in \Omega\hskip 0.3pc \) rząd macierzy

								\( \begin{bmatrix} \dfrac{\partial u_1}{\partial x_1}(x)  &\ldots & \dfrac{\partial u_1}{\partial x_n}(x)\\\vdots &\ddots &\vdots\\ \dfrac{\partial u_m}{\partial x_1}(x)& \ldots & \dfrac{\partial u_m}{\partial x_n}(x)\end{bmatrix} \)

wynosi  \( \hskip 0.3pc m. \hskip 0.3pc \)
W szczególności,  jeśli  \( \hskip 0.3pc m=n  \hskip 0.3pc \) oznacza to, że wyznacznik z powyższej macierzy jest różny od zera.


Metoda charakterystyk dla prawie-liniowego równania różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu

Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu

gdzie  \( \hskip 0.3pc a, \hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc b,  \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc c \hskip 0.3pc \) są funkcjami klasy  \( \hskip 0.3pcC^1 \hskip 0.3pc \)  w zbiorze   \( \hskip 0.3pc\Omega \subset \mathbb R^3. \hskip 0.3pc \)Niech  \( \hskip 0.3pc D=\{(x,y): (x,y,z)\in \Omega \,\,{\textrm{dla pewnego}}\,\, z \in \mathbb R\}. \hskip 0.3pc \) Zakładamy ponadto, że funkcje  \( \hskip 0.3pc a,\hskip 0.3pc b \hskip 0.3pc \) nie zerują się równocześnie w żadnym punkcie obszaru  \( \hskip 0.3pc  \Omega. \hskip 0.3pc \) Przypomnijmy, że rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze  \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \) nazywamy funkcje  \( \hskip 0.3pc u \in C^1(D), \hskip 0.3pc \) spełniającą dla każdego  \( \hskip 0.1pc (x,y)\in D \hskip 0.3pc \) równanie ( 1 ). Rodzinę wszystkich rozwiązań równania ( 1 ) nazywamy   całką ogólną tego równania. Jeśli funkcja  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze  \( \hskip 0.3pc D, \hskip 0.3pc \) to powierzchnia  \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) dana wzorem  \( \hskip 0.3pc z=u(x,y),  \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D  \hskip 0.3pc \)  nazywa się  powierzchnią całkową lub  wykresem rozwiązania  równania ( 1 ). Zauważmy, że dla dowolnego punktu  \( \hskip 0.3pc P_0 =(x_0,y_0,z_0) \in S \hskip 0.3pc \)  wektor

Ponieważ  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ), zatem

co oznacza, że wektor  \( \hskip 0.3pc \big(a(P_0),\,b(P_0),\,c(P_0)\big) \hskip 0.3pc \) jest prostopadły do wektora  \( \hskip 0.3pc \vec n(x_0,y_0), \hskip 0.3pc \) a zatem jest styczny do wykresu rozwiązania  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc P_0. \hskip 0.3pc \) Rozważmy układ równań

Krzywe, które są rozwiązaniami układu ( 3 ), nazywami charakterystykami równania ( 1 ), a same równania ( 3 ), równaniami charakterystyk. Pokażemy, że jeśli dane jest rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) określone w zbiorze  \( \hskip 0.3pc D,\hskip 0.3pc \)  to przez dowolny punkt powierzchni całkowej  \( \hskip 0.1pc S \hskip 0.3pc \)   danej wzorem  \( \hskip 0.3pc z=u(x,y), \hskip 0.4pc \)  \(  (x,y)\in D, \hskip 0.3pc \) przechodzi dokładnie jedna charakterystyka.

dla  \( \hskip 0.3pc s\in J, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc P=\big(X(s,0), Y(s,0),Z(s,0)\big)=\big(\gamma_1(s),\gamma_2(s),\gamma_3(s)\big).  \hskip 0.3pc \) Warunek ( 18 ) możemy zapisać w postaci

Po zróżniczkowanie ( 7 ) względem   \( \hskip 0.3pc s \hskip 0.3pc \)  otrzymamy

natomiast  z ( 1 ) i ( 11 ) wynika natychmiast, że

Z równości ( 19 ), ( 20 ) i ( 21 ) wynika,  że  \( \hskip 0.3pc  \gamma_3^\prime (s) =\lambda  c(P). \hskip 0.3pc \) Zatem wektory  \( \hskip 0.3pc \big(\gamma_1^\prime (s),\, \gamma_2^\prime (s), \gamma_3^\prime (s)\big) \hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc \big(a(P),\, b(P),\, c(P)\big), \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc s\in J, \hskip 0.3pc \)   są równoległe, co oznacza,  że  \( \hskip 0.3pc\gamma  \hskip 0.3pc \) jest charakterystyką równania ( 1 ). Zauważmy, że w tym przypadku problem ( 1 ), ( 7 ) posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Istotnie, niech  \( \hskip 0.3pc \tilde\gamma \hskip 0.3pc \) będzie krzywą  przecinającą  krzywą  \( \hskip 0.3pc \gamma. \hskip 0.3pc \)  Na mocy twierdzenia 1 istnieje (dokładnie jedno) rozwiązanie równania ( 1 ) zawierające krzywą  \( \hskip 0.3pc \tilde \gamma. \hskip 0.3pc \)  Z drugiej strony  \( \hskip 0.3pc \gamma  \hskip 0.3pc \)  ma wspólny punkt z tym rozwiązaniem, zatem na mocy uwagi 2,  również krzywa  \( \hskip 0.3pc  \gamma \hskip 0.3pc \) leży całkowicie na tym rozwiązaniu.  Ponieważ takich krzywych  \( \hskip 0.3pc \tilde\gamma  \hskip 0.3pc \) może być nieskończenie wiele, więc otrzymamy nieskończenie wiele rozwiązań zawierających krzywą  \( \hskip 0.3pc \gamma. \hskip 0.3pc \)


Metoda charakterystyk - przykłady

Na poniższym przykładzie prześledzimy różne sposoby praktycznego wykorzystania metody charakterystyk, które umownie nazwiemy  metodą krzywych charakterystycznych, metodą charakterystyk, metodą zmiany zmiennych oraz metodą całek pierwszych. Znaleźć rozwiązanie równania


Rozdział 3. Klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego. Metoda charakterystyk

Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych 2-go rzędu 2-zmiennych

Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

Pokażemy, że dokonując stosownej zmiany zmiennych, możemy  równanie ( 1 ) doprowadzić do postaci,  w której współczynnik  przy pochodnej mieszanej przyjmie wartość zero. Postać taką nazywamy postacią kanoniczną,  przy czym: jeśli pozostałe współczynniki przy pochodnych drugiego rzędu są różne od zera i mają ten sam znak, równanie nazywamy typu  eliptycznego,  jeśli są znaków różnych, typu hiperbolicznego,  jeśli przynajmniej  jeden ze  współczynników przy pochodnych drugiego rzędu  jest równy zeru, natomiast pochodne pierwszego rzędu względem tych  zmiennych nie znikają, typu  parabolicznego.  Tak więc równania:

są odpowiednio typu eliptycznego, hiperbolicznego i parabolicznego. Należy podkreślić, że typ równania nie zależy od sposobu sprowadzenia do postaci kanonicznej.  Okazuje się, że jest on niezmiennikiem  względem przekształceń nieosobliwych. Rozważmy przekształcenie

Przyjmijmy, że przekształcenie to obszar  \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \) przekształca w obszar  \( \hskip 0.3pc \Delta. \hskip 0.3pc \) Załóżmy, że funkcje  \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \)   i  \( \hskip 0.3pc\eta  \hskip 0.3pc  \)  są klasy  \( \hskip 0.3pc C^1  \hskip 0.3pc \) w zbiorze  \( \hskip 0.3pc D \hskip  0.3pc \) i ponadto istnieje przekształcenie

odwrotne do przekształcenia ( 2 ). Przypomnijmy, że jeśli   jakobian przekształcenia ( 2 ) jest różny od zera, to przekształcenie takie  nazywamy  przekształceniem nieosobliwym. Przekształcenie nieosobliwe jest zawsze odwracalne. Kładąc

równanie ( 1 ) przekształcimy na równanie względem zmiennych  \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \eta. \hskip 0.3pc \)  Niech  \( \hskip 0.3pc w  \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równania przekształconego. Po powrocie  do współrzędnych wyjściowych otrzymamy rozwiązanie równania wyjściowego.

to równanie ( 1 ) po zastosowaniu przekształcenia ( 3 ) przyjmie postać

gdzie współczynniki  \( \hskip 0.3pc  \widetilde a_{11},\hskip 0.3pc \widetilde a_{12},\hskip 0.3 pc  \widetilde a_{22}\hskip 0.3pc \) są funkcjami  zmiennych   \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \eta.  \hskip 0.3pc \) Założmy, że przekształcenie ( 2 ) jest tak dobrane, że   \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11}=0 \hskip 0.3pc \)  oraz  \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{22}=0. \hskip 0.3pc \) Równość \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11}=0 \hskip 0.3pc \)   oznacza, że

Podobnie równość  \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{22}=0 \hskip 0.3pc \)  oznacza, że jest spełnione równanie ( 5 ) z funkcją  \( \hskip 0.3pc \eta \hskip 0.3pc \)  w miejsce \( \hskip 0.3pc \xi.  \hskip 0.3pc \) Oba zatem przypadki dają to samo równanie ( 5 ).

Równanie ( 6 ) nazywamy równaniem charakterystyk równania ( 1 ). Zauważmy jeszcze, że warunek   \( \hskip 0.3pc \varphi_y \neq 0 \hskip 0.3pc \) w powyższej uwadze nie jest ograniczający. Istotnie, jeśli chcemy aby rozważane przekształcenie było nieosobliwe, pochodne cząstkowe  \( \hskip 0.3pc \varphi_x \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \varphi_y  \hskip 0.3pc \)  funkcji  \( \hskip 0.3pc\varphi  \hskip 0.3pc \)  nie mogą zerować  się równocześnie, zatem jedna z nich jest różna od zera. Jeśli  \( \hskip 0.3pc \varphi_x \neq 0, \hskip 0.3pc \)  argument jest analogiczny. Kładąc  \( \hskip 0.3pc \lambda =\dfrac {dy}{dx} \hskip 0.3pc \)  równanie ( 6 ) przyjmie postać

Jak wiadomo, rozwiązanie tego równania względem   \( \hskip 0.3pc \lambda  \hskip 0.3pc \) zależy od wyróżnika

przy czym należy rozważyć trzy przypadki: \( \hskip 0.3pc \delta <0, \hskip 0.3pc\delta =0\hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc \delta >0. \hskip 0.3pc \)

Przypadek  \( \hskip 0.3pc \delta <0.\hskip 0.3pc \)  Załóżmy, że  \( \hskip 0.3pc \delta (x,y) <0  \hskip 0.3pc \)  dla  \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D. \hskip 0.3pc \) Równanie ( 9 ) posiada wówczas dwa rozwiązania o wartościach rzeczywistych:

Niech  \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \)  będą odpowiednio rozwiązaniami równań

a po podzieleniu przez  \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{12} \hskip 0.3pc \) do postaci

gdzie funkcja   \( \hskip 0.3pc  \widetilde F\hskip 0.3pc \) zawiera wszystkie wyrazy z pochodnymi niższego rzędu. Dokonując kolejnej zmiany zmiennych

Po uwzględnieniu ostatnich zależności równanie ( 10 )  przyjmuje postać

gdzie podobnie jak poprzednio funkcja   \( \hskip 0.3pc \widehat F \hskip 0.3pc \) zawiera wszystkie wyrazy o pochodnych niższego rzędu. Jest to więc równanie typu  hiperbolicznego.

Przypadek  \( \hskip 0.3pc  \delta=0.\hskip 0.3pc \)  Załóżmy, że  \( \hskip 0.3pc \delta(x,y)=0 \hskip 0.3pc \)  dla  \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D. \hskip 0.3pc \) Oznacza to, że  \( \hskip 0.3pc a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0, \hskip 0.3pc \) czyli  \( \hskip 0.3pc a_{12}= \sqrt{a_{11}a_{22}}  \hskip 0.3pc \) lub   \( \hskip 0.3pc a_{12}=- \sqrt{a_{11}a_{22}}.  \hskip 0.3pc \) Załóżmy, że  \( \hskip 0.3pc a_{12} \hskip 0.3pc \) przyjmuje pierwszą z wymienionych wartości, a ponadto  \( \hskip 0.3pc a_{11}>0. \hskip 0.3pc \)  Korzystając z ostatniej równości otrzymamy

Zatem  \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11}=0 \hskip 0.3pc \) implikuje  \( \hskip 0.3pc\widetilde a_{12}=0.  \hskip 0.3pc \)  Analogiczny rezultat uzyskamy gdy  \( \hskip 0.3pc a_{12} \hskip 0.3pc \) przyjmuje drugą z wymienionych wartości. Jeśli zatem za funkcje   \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) przyjmiemy rozwiązanie równania ( 6 ) a za  \( \hskip 0.3pc \eta \hskip 0.3pc \) dowolną funkcje  tak aby przekształenie   było nieosobliwe,  to po zmianie zmiennych równanie ( 1 ) przyjmie postać

Jeśli przy tym po prawej stronie nie znika   \( \hskip 0.3pc w_{\xi}, \hskip 0.3pc \)  jest to  równanie typu  parabolicznego. Oczywiście najprostrze wydaje się podstawienie  \( \hskip 0.3pc \xi = \varphi (x,y), \hskip 0.3pc \eta = y\hskip 0.3pc  \)  lub  \( \hskip 0.3pc  \xi =x,\hskip 0.3pc \eta =\varphi (x,y),\hskip 0.3pc \) gdzie  \( \hskip 0.3pc\varphi  \hskip 0.3pc \)  jest  całką równania  ( 6 ).

Przypadek  \( \hskip 0.3pc \delta >0. \hskip 0.3pc \)  Załóżmy, że  \( \hskip 0.3pc\delta (x,y)>0  \hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D. \hskip 0.3pc \) W tym przypadku równanie ( 9 ) posiada  dwa rozwiązania o wartościach zespolonych:

Niech  \( \hskip 0.3pc \Phi \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc\Psi  \hskip 0.3pc \) będą odpowiednio rozwiązaniami równań

Oznaczmy przez  \( \hskip 0.3pc \varphi  \hskip 0.3pc \) część rzeczywistą funkcji  \( \hskip 0.3pc \Phi,  \hskip 0.3pc \)  a przez  \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) jej część urojoną. Wówczas

Oczywiście krzywe  \( \hskip 0.3pc \Phi (x,y)=C \hskip 0.3pc \) (podobnie   \( \hskip 0.3pc  \Psi (x,y)=C\hskip 0.3pc \)) są całkami równania ( 5 ), a warunek  \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11}=0 \hskip 0.3pc \) przyjmie postać

Podstawiając do ostatniego równania  związki

gdzie   \( \hskip 0.3pc  \varphi\hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc\psi  \hskip 0.3pc \)  są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną całki  \( \hskip 0.3pc \Phi, \hskip 0.3pc \) ze związków  ( 4 ) i ( 11 ) otrzymamy  natychmiast:   \( \hskip 0.3pc\widetilde a_{11}= \widetilde a_{22},  \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{12}=0.  \hskip 0.3pc \) Zatem przekształcenie ( 12 ) sprowadza  równanie ( 1 ) do postaci

Jest to zatem równanie typu eliptycznego. Na zakończenie rozważań rozpatrzmy  przypadek, gdy w równaniu ( 1 ) współczynnik  \( \hskip 0.3pc a_{22}=0. \hskip 0.3pc \)  Wówczas zgodnie z  ( 4 )

Jeśli   \( \hskip 0.3pc \varphi (x,y)=0 \hskip 0.3pc \)  jest całką ogólną równania  ( 6 ), wówczas zerowanie się współczynników  \( \hskip 0.3pc \widetilde a_{11},\hskip 0.3pc \widetilde a_{22} \hskip 0.3pc \) uzyskamy przyjmując \( \hskip 0.3pc \xi=\varphi (x,y),\hskip 0.3pc \eta =y. \hskip 0.3pc \) Jeśli natomiast  \( \hskip 0.3pc a_{11}=0,  \hskip 0.3pc \) przyjmując  \( \hskip 0.3pc \xi=\varphi (x,y),\hskip 0.3pc \eta =x. \hskip 0.3pc \)


Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych 2-go rzędu n-zmiennych

Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

gdzie  \( \hskip 0.3pc a_{ij}, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc i,j=1,\ldots, n \hskip 0.3pc \) są funkcjami określonymi na zbiorze  \( \hskip 0.3pc U\subset \mathbb{R}^n, \hskip 0.3pc \) niezerującymi się równocześnie w żadnym punkcie tego zbioru,  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest szukaną funkcją zmiennych  \( \hskip 0.3pc x_1, \ldots ,x_n, \hskip 0.3pc \) a  \( \hskip 0.3pc F  \hskip 0.3pc \)  jest funkcją zadaną. Z równaniem ( 1 ) możemy związać formę kwadratową

Z teorii form kwadratowych wiadomo, że dla każdego ustalonego punktu  \( \hskip 0.3pc (x_1,\ldots, x_n)\in U \hskip 0.3pc \) istnieje przekształcenie postaci

które formę ( 3 ) sprowadza do   postaci kanonicznej,

tzn. postaci w której występują tylko kwadraty  \( \hskip 0.3pc \mu_i. \hskip 0.3pc \) Z twierdzenia Sylwestera-Jacobiego o bezwładności form kwadratowych wynika, że ilość współczynników dodatnich oraz ujemnych nie zależy od sposobu  sprowadzenia do postaci kanonicznej. Jest ona niezmiennikiem względem przekształceń nieosobliwych. Oznacza to, że równanie ( 1 ) poprzez stosowne przekształcenie  możemy sprowadzić  do postaci kanonicznej

Mówimy, że równanie ( 1 ) jest w punkcie  \( \hskip 0.3pc (x_1, \ldots ,x_n) \hskip 0.3pc \)  typu eliptycznego, jeżeli wszystkie współczynniki   \( \hskip 0.3pc \widetilde a_i \hskip 0.3pc \) w postaci kanonicznej ( 5 ) są różne od zera i mają ten sam znak, typu hiperbolicznego jeżeli są różne od zera i występują zarówno współczynniki ujemne jak i dodatnie, typu parabolicznego, jeżeli niektóre współczynniki są równe zeru a odpowiadające im pochodne pierwszego rzędu nie znikają równocześnie. Jeśli ponadto współczynniki różne od zera mają ten sam znak, równanie nazywamy paraboliczno-eliptycznym, jeśli znaki różne,  paraboliczno-hiperbolicznym. Jeśli   \( \hskip 0.3pc \Lambda =[\lambda_1, \ldots ,\lambda_n] \hskip 0.3pc \) oznacza macierz jednowierszową  \( \hskip 0.3pc \Lambda^T \hskip 0.3pc \)  macierz transponowaną, a  \( \hskip 0.3pc A \hskip 0.3pc \)  macierz  \( \hskip 0.3pc n\times n \hskip 0.3pc \) wymiarową o wyrazach  \( \hskip 0.3pc a_{ij}, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc i,j =1, \ldots, n \hskip 0.3pc \) to formę kwadratową ( 2 ) możemy zapisać w postaci macierzowej  \( \hskip 0.3pc \Lambda\,A\,\Lambda^T. \hskip 0.3pc \) Sprowadzenie formy do postaci kanonicznej odpowiada przekształceniu macierzy  \( \hskip 0.3pc A \hskip 0.3pc \) do postaci diagonalnej, tzn. postaci w której poza przekątną występują same zera. Jeśli w macierzy diagonalnej na przekątnej wszystkie wyrazy są różne od zera i mają ten sam znak, równanie różniczkowe ( 1 ) jest typu eliptycznego, jeśli są różnych znaków , typu hiperbolicznego, a jeśli niektóre wyrazy są równe zeru, przy czym odpowiadające tym zmiennym pochodne pierwszego rzędu nie znikają -typu parabolicznego. Zapiszmy równanie  ( 1 ) w postaci  \( \hskip 0.3pc Lu=g, \hskip 0.3pc \) gdzie  \( \hskip 0.3pc L \hskip 0.3pc \) jest operatorem określonym wzorem


Rozwiązywanie równań liniowych cząstkowych 2-go rzędu metodą charakterystyk

Dla równania różniczkowego cząstkowego rzędu drugiego

W niniejszym paragrafie pokażemy przykłady rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu wykorzystując postać kanoniczną rozważanego równania. Istotną rolę w tej metodzie  ogrywa  równanie   charakterystyk ( 2 ).


Rozdział 4. Metoda rozdzielania zmiennych

Rozwiązanie równania struny ograniczonej metodą rozdzielania zmiennych

Metoda rozdzielania albo separacji  zmiennych, zwana też  metodą Fouriera, jest jedną z najstarszych  metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Polega ona na próbie wyznaczenia rozwiązania danego równania w postaci kombinacji funkcji o mniejszej ilości zmiennych. Najczęściej szukamy rozwiązania w postaci sumy lub iloczynu funkcji. W szczególności, jeśli szukane rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)  jest funkcją zmiennych \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc t,  \hskip 0.3pc \),  to rozwiązania  tego możemy szukać w postaci iloczynu  dwóch funkcji z których jedna jest funkcją zmiennej  \( \hskip 0.3pc x, \hskip 0.3pc \)  a  druga zmiennej  \( \hskip 0.3pc t. \hskip 0.3pc \)  Metoda ta jest szczególnie przydatna, jeśli szukamy rozwiązania w zbiorze ograniczonym o zadanych wartościach na brzegu obszaru. Zinterpretujemy to poniżej rozważając  równanie struny ograniczonej jednorodnej  o jednorodnych warunkach  brzegowych.

Przyjmujemy przy tym, że   \( \hskip 0.3pc  \varphi (0)=\varphi (l)=0, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc \psi (0)=\psi (l)=0. \hskip 0.3pc \) Szukamy rozwiązania w postaci

Podstawiając ostatnią funkcje do równania ( 1 ) otrzymamy

Przyjmując, że  \( \hskip 0.3pc  T\neq 0\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc X\neq 0 \hskip 0.3pc  \) możemy  ostatnie równanie przekształcić do postaci

Ponieważ lewa strona zależy tylko od  \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \) zaś prawa strona tylko od  \( \hskip 0.3pc x, \hskip 0.3pc \)  zatem oba ilorazy muszą być równe stałej.  Oznaczając tę stałą przez  \(  \hskip 0.3pc-\lambda \hskip 0.3pc \), ostatnią równość możemy zapisać w postaci dwóch równań:

Ponadto  z warunków brzegowych ( 2 ) wynika  natychmiast, że

Przedyskutujemy teraz rozwiązania równań ( 4 ) w zależności od znaku  \( \hskip 0.3pc  \lambda \hskip 0.3pc \)

Przypadek    \( \hskip 0.3pc \lambda <0. \hskip 0.3pc \) Rozwiązania równań ( 4 ) mają postać:

Z warunków brzegowych ( 5 ) wynika, że  \( \hskip 0.3pc C=D=0, \hskip 0.3pc \) czyli   \( \hskip 0.3pc u(x,t)=0.  \hskip 0.3pc \). Ponieważ rozwiązanie zerowe nie jest dla nas interesujące,  przypadek ten należy odrzucić.  Przypadek    \( \hskip 0.3pc \lambda =0. \hskip 0.3pc \)      Rozwiązania równań ( 4 ) mają postać:

Uwzględniając warunki brzegowe ( 5 ) otrzymamy jak poprzednio  \( \hskip 0.3pc u(x,t)=0, \hskip 0.3pc \), a zatem również ten przypadek należy odrzucić.  Przypadek   \( \hskip 0.3pc \lambda >0. \hskip 0.3pc \)  Wygodnie jest teraz w równaniu ( 4 ) symbol    \( \hskip 0.3pc\lambda\hskip 0.3pc  \)   zastąpić  symbolem   \( \hskip 0.3pc \lambda^2, \hskip 0.3pc \) czyli zapisać te równania w postaci:

Z warunku  \( \hskip 0.3pc  X(0)=0\hskip 0.3pc \) wynika, że  \( \hskip 0.3pc C=0, \hskip 0.3pc \) a warunek  \( \hskip 0.3pc X(l)=0 \hskip 0.3pc \) daje równość

która jest spełniona dla    \( \hskip 0.3pc \lambda_n =\dfrac{n\pi}{l}, \hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N. \hskip 0.3pc \) Wartości te nazywamy wartościami własnymi. Zauważmy, że tylko dla takich wartości  \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) może istnieć szukane rozwiązanie.  Dla  \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N \hskip 0.3pc \) połóżmy

Zauważmy, że tak określona funkcja   \( \hskip 0.3pc u_n \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ), spełnia warunki brzegowe ( 2 ), ale na ogół nie spełnia warunków początkowych ( 3 ). Rozwiązania równania ( 1 ) które będzie spełniać waruneki ( 2 ) i ( 3 ) będziemy szukać w  postaci sumy szeregu

Załóżmy, że szereg po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny jak również szereg pierwszych i drugich pochodnych jest jednostajnie zbieżny do odpowiedniej pochodnej z funkcji  \( \hskip 0.3pc u. \hskip 0.3pc \). Przy przyjętych założeniach pochodne szeregu są równe szeregowi pochodnych, a funkcja  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) spełnia równanie ( 1 ) oraz warunki brzegowe ( 2 ). Oczywiście

Załóżmy dalej, że funkcje  \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) można rozwinąć w szereg sinusów w przedziale  \( \hskip 0.3pc [0,l] \hskip 0.3pc \)

Zauważmy, że pierwszy z warunków początkowych  \( \hskip 0.3pc u(x,0)=\varphi (x)\hskip 0.3pc \) jest spełniony, jeśli  \( \hskip 0.3pc A_n =\alpha_n\hskip 0.3pc  \), czyli

W celu zapewnienia drugiego z warunków początkowych należy policzyć pochodną  z funkcji  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc  \) względem  \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \).

Rozwijając funkcje  \( \hskip 0.3pc\psi\hskip 0.3pc \) w szereg sinusów otrzymamy

Zatem drugi z warunków początkowych ( 3 ) jest spełniony, jeśli  \( \hskip 0.3pc \dfrac{na\pi}{l} B_n =\beta_n\hskip 0.3pc \),  czyli

Szukane rozwiązanie ( 7 ) ma zatem postać

Rozważmy ponownie rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc u_n\hskip 0.3pc \) dane wzorem ( 6 ). Kładąc

Funkcja  \( \hskip 0.3pc u_n\hskip 0.3pc \) opisuje drgania harmoniczne (tzw. n-ta harmoniczna) odpowiadające wartości własnej   \( \hskip 0.3pc\lambda_n = \dfrac{n\pi}{l}\hskip 0.3pc \), przy czym występujące tu wielkości mają następującą interpretacje fizyczną:

\( \hskip 0.3pc\rho_n \sin(\dfrac{n\pi}l x)\hskip 0.3pc -\,\,  \)  amplituda drgania  \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-tejharmonicznej;

\( \hskip 0.3pc \omega_n= \dfrac{na\pi}l \hskip 0.3pc-\,\, \)   częstotliwość  drgania  \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-tej harmonicznej.

Pamiętając że   \( \hskip 0.3pc a^2=\dfrac{T}{\rho}\hskip 0.3pc \), gdzie  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) oznacza  siłę naprężenia a   \( \hskip 0.3pc\rho\hskip 0.3pc \)  gęstość, otrzymamy

Częstotliwość  \( \omega_1  = \dfrac{\pi}{l}  \sqrt{\dfrac{T}{\rho}}\hskip 0.3pc \)  odpowiada tzw. dżwiękowi podstawowemu (zwanemu też pierwszą harmoniczną). Jest to dżwięk najsilniejszy. Melodia struny zależy natomiast od dalszych dżwięków uzupełniających. Jeśli  \( \hskip 0.3pc A_1 = \ldots =A_{n-1}=0\hskip 0.3pc \)  oraz   \( \hskip 0.3pc B_1 = \dots =B_{n-1}=0,\hskip 0.3pc \) natomiast  \( \hskip 0.3pc A_n\neq 0\hskip 0.3pc \) lub  \( \hskip 0.3pc B_n\neq 0\hskip 0.3pc \), dżwięk podstawowy odpowiada częstotliwości  \( \hskip 0.3pc\omega_n.\hskip 0.3pc \) Wynika stąd, że   dżwięk struny zależy od warunków początkowych

oraz wielkości  \( \hskip 0.3pc l,\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \rho\hskip 0.3pc \).


Rozwiązanie równania niejednorodnego struny metodą rozdzielania zmiennych

gdzie  \( \hskip 0.3pc \omega_n, \hskip 0.3pc \)   \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N,  \hskip 0.3pc \) są nieznanymi funkcjami które będziemy starali się wyznaczyć tak, aby uzyskać szukane rozwiązanie. Zapiszmy funkcje  \( \hskip 0.3pc f, \hskip 0.3pc \)   \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \)  w postaci szeregów Fouriera

Podstawiając ( 4 ) i ( 5 ) do ( 1 ) otrzymamy

gdzie  \( \hskip 0.3pc \lambda_n=\dfrac{n\pi}{l}. \hskip 0.3pc \) Z kolei podstawiając ( 4 ) i ( 6 ) do warunków początkowych ( 3 ) otrzymamy

Warunki ( 8 ), ( 9 ) i ( 10 ) są spełnione, jeśli dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc n \in \mathbb N \hskip 0.3pc \)

Podstawiając  ostatni związek do wzoru ( 4 ) otrzymamy

i uwzględniając ( 7 ) rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) możemy zapisać w postaci


Przykłady metody rozdzielania zmiennych dla równań parabolicznych i hiperbolicznych

Metoda rozdzielania albo separacji  zmiennych, zwana też  metodą Fouriera, jest jedną z najstarszych  metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Polega ona na próbie wyznaczenia rozwiązania danego równania w postaci kombinacji funkcji o mniejszej ilości zmiennych. Najczęściej szukamy rozwiązania w postaci sumy lub iloczynu funkcji. W szczególności, jeśli szukane rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest funkcją zmiennych  \( \hskip 0.3pc  x\hskip 0.3pc \) i     \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc  \)  to rozwiązania  tego możemy szukać w postaci iloczynu  dwóch funkcji z których jedna jest funkcją zmiennej  \( \hskip 0.3pc x, \hskip 0.3pc \)   a  druga zmiennej  \( \hskip 0.3pc t. \hskip 0.3pc \)  Metoda ta jest szczególnie przydatna, jeśli szukamy rozwiązania w zbiorze ograniczonym o zadanych wartościach na brzegu obszaru. W niniejszym module podamy przykłady zastosowania tej metody dla równań parabolicznych i hiperbolicznych.

Po podstawieniu do równania ( 1 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

Ponieważ dla  \( \hskip 0.3pc\lambda \leq 0\hskip 0.3pc \)   otrzymujemy rozwiązanie zerowe, przyjmujemy  \( \hskip 0.3pc\lambda >0\hskip 0.3pc \). Rozwiązując powyższe równania otrzymamy:

Z warunku  \( \hskip 0.3pc X(0)=0\hskip 0.3pc  \) wynika, że  \( \hskip 0.3pc A=0\hskip 0.3pc \), zaś warunek  \( \hskip 0.3pc X(l)=0\hskip 0.3pc \) implikuje

Zatem dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc n \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) funkcja

jest rozwiązaniem  równania ( 1 ) spełniającym warunki brzegowe ( 2 ). Rozwiązanie to na ogół nie spełnia warunku początkowego ( 3 ). Rozważmy funkcje

Podobnie jak w module  5.2 można sprawdzić, że przy stosownych założeniach powyższa  funkcja  spełnia równanie ( 1 ) oraz warunki brzegowe ( 2 ). Powstaje pytanie, czy można tak dobrać stałe  \( \hskip 0.3pc B_n\hskip 0.3pc \) aby był spełniony również warunek początkowy ( 3 ). W tym celu rozwińmy funkcje  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) w przedziale  \( \hskip 0.3pc [0,l]\hskip 0.3pc \) w szereg sinusów

Zauważmy, że ostatni wzór podaje rozwiązanie problemu ( 1 ) - ( 3 ) w zależności od warunków początkowych.

Powyższy problem możemy sprowadzić do jednorodnych warunków brzegowych kładąc

do problemu wyjściowego otrzymamy równanie

Szukamy rozwiązania równania ( 6 ) w postaci szeregu

gdzie  \( \hskip  0.3pc\omega_n\hskip  0.3pc \) są niewiadomymi funkcjami, które należy wyznaczyć. Podstawiając ( 9 ) oraz rozwinięcie

Podstawiając natomiast ( 9 ) do ( 8 ), po uwzględnieniu rozwinięcia

co implikuje   \( \hskip  0.3pc \omega_n(0)=\beta_n.\hskip  0.3pc \) Rozwiązując równanie ( 11 ) z warunkiem początkowym  \( \hskip  0.3pc\omega_n(0)=\beta_n\hskip  0.3pc \) otrzymamy

Podstawiając uzyskaną wielkość do wzoru ( 9 ),  rozwiązanie problemu ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) przyjmie postać

gdzie  \( \hskip  0.3pc\lambda_n,\hskip  0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc\alpha_n\hskip  0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc\beta_n\hskip 0.3pc \) są dane odpowiednio wzorami ( 12 ), ( 10 ), ( 13 ).

Po podstawieniu do równania ( 14 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

Dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc\lambda \in \mathbb R\hskip 0.3pc \) funkcja

jest rozwiązaniem równania ( 14 ). Na ogół rozwiązanie to nie spełnia warunku początkowego ( 15 ).  Rozważmy teraz funkcje

Jeśli ostatnia całka jet zbieżna, to oczywiście określa ona rozwiązanie równania ( 14 ). Aby rozwiązanie to spełniało  warunek początkowy ( 15 ), winna zachodzić równość

Jeśli  \( \hskip 0.3pc\varphi\hskip 0.3pc  \) jest funkcją całkowalną, to zgodnie z wzorem Fouriera

Wstawiając ostatnią równość do poprzedniego wzoru i uwzględniając związek

Ostatecznie  rozwiązanie równania wyjściowego ma postać

Problem ten opisuje drgania membrany prostokątnej, unieruchomionej na brzegu, o zadanym kształcie początkowym. Szukamy rozwiązania w postaci

Po podstawieniu do równania ( 15 ) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

Ponieważ poszczególne składniki w powyższym równaniu są funkcjami innej zmiennej, więc każdy ze składników musi przyjmować wartości stałe. Dostajemy zatem równania:

Po uwzględnieniu warunków ( 17 ) oraz ( 18 ) otrzymamy następujące problemy brzegowe:

gdzie    \( \hskip 0.3pc\lambda_n =\dfrac{n\pi}{l},\hskip 0.3pc \)    \( \hskip 0.3pc \mu_m =\dfrac{m\pi}{l}.\hskip 0.3pc  \) Rozwiązując zaś równanie

Dla    \( \hskip 0.3pc m,n \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) funkcja

jest rozwiązaniem problemu ( 16 ) spełniającym warunki brzegowe ( 17 ) i ( 18 ). Na ogół nie spełnia ona warunków początkowych ( 19 ). Rozważmy teraz funkcje

Jeśli szereg występujący po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny oraz szeregi drugich pochodnych są jednostajnie zbieżne, to funkcja  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 16 ).  W oczywisty sposób spełnia ona warunki brzegowe ( 17 ) i ( 18 ). Pozostaje dobrać stałe  \( \hskip 0.3pc A_{mn} \hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc B_{nm}\hskip 0.3pc \) tak aby zachodziły warunki początkowe ( 18 ). Z warunku

wnioskujemy, że  \( \hskip 0.3pc B_{nm}=0\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc n,m \in \mathbb N,\hskip 0.3pc  \) natomiast z warunku

wynika, że  \( \hskip 0.3pc A_{nm}=c \alpha_n \beta_m,\hskip 0.3pc \) gdzie

Po podstawieniu do równania ( 20 ) i rozdzieleniu  zmiennych otrzymamy

Równość ta może zachodzić tylko wówczas gdy obie strony są równe pewnej stałej, powiedzmy   \( \hskip 0.3pc-\lambda.\hskip 0.3pc  \) Otrzymujemy zatem następujące równania różniczkowe:

Z warunków ( 21 ) i ( 22 ) wynika natomiast, że   \( \hskip 0.3pc X(0)=0,\hskip 0.3pc \) \(  \hskip 0.3pc X(\pi)=0,\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc  \lim\limits_{y\to +\infty}Y(y)=0\hskip 0.3pc \). Rozważmy problem

Dla  \( \hskip 0.3pc \lambda \leq 0\hskip 0.3pc \) problem ten posiada wyłącznie  rozwiązanie zerowe. Załóżmy więc, że  \( \hskip 0.3pc \lambda >0\hskip 0.3pc \).  Wówczas

Z warunków brzegowych wynika, że  \( \hskip 0.3pc A=0\hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc\sin( \sqrt{\lambda} \pi)=0.\hskip 0.3pc \) Zatem rozwiązanie niezerowe istnieje dla  \( \hskip 0.3pc\lambda =  n^2,\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N, \hskip 0.3pc \)  czyli

Zauważmy teraz, że   rozwiązanie problemu

Wynika stąd, że dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N\hskip 0.3pc  \) funkcja

jest rozwiązaniem problemu ( 20 ) spełniającym warunki brzegowe. Na ogół rozwiązanie to nie spełnia  warunku początkowego. Rozważmy więc funkcje

Jeśli ostatni szereg oraz szeregi jego pochodnych drugiego rzędu są jednostajnie zbieżne, funkcja ta spełnia równanie ( 20 ) oraz warunki brzegowe ( 21 ). Aby spełniała ona również warunek początkowy  ( 22 ) wystarczy przyjąć

Po podstawieniu do równania ( 23 ) i rozdzieleniu  zmiennych otrzymamy równość

Całka ogólna pierwszego równania ma postać

Stąd   \( \hskip 0.3pc C_1=C_2=C_3=0\hskip 0.3pc  \), a jedynymi liczbami  \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) dla których mogą być spełnione powyższe warunki, są liczby

jest rozwiązaniem postawionego problemu.


Metoda rozdzielania zmiennych dla równania Laplace’a we współrzędnych biegunowych

Postać obszaru  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \)  sugeruje przejście na współrzędne biegunowe

Podstawiając ostatnie związki  do równania ( 1 ) otrzymamy równanie Laplace'a we współrzędnych biegunowych

gdzie  \( \hskip 0.3pc g(\alpha)=f(r\cos (\alpha), r\sin (\alpha) )\hskip 0.3pc \) . Szukamy rozwiązania w postaci

Ze względu na charakter współrzędnych biegunowych możemy przyjąć, że  \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \)  jest funkcją okresową o okresie  \( \hskip 0.3pc 2\pi\hskip 0.3pc \)  określoną na  \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) . Po podstawieniu ostatniego wzoru do równania ( 3 ) i rozdzieleniu  zmiennych otrzymamy

Równość ta może zachodzić tylko wówczas gdy obie strony są równe pewnej stałej, powiedzmy   \( \hskip 0.3pc \lambda .\hskip 0.3pc \) Otrzymujemy zatem  równania różniczkowe:

Z okresowości funkcji  \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \)  wynika, że przypadki  \( \hskip 0.3pc \lambda <0\hskip 0.3pc \)  oraz  \( \hskip 0.3pc \lambda =0\hskip 0.3pc \)  prowadzą do rozwiązania zerowego. Dla przypadku  \( \hskip 0.3pc \lambda >0\hskip 0.3pc \)  rozwiązanie równania ( 5 ) ma postać

Ponieważ  \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \)  jest funkcją okresową o okresie  \( \hskip 0.3pc 2\pi,\hskip 0.3pc \)   \( \hskip 0.3pc \sqrt {\lambda}\hskip 0.3pc \)  musi być liczbą naturalną, czyli  \( \hskip 0.3pc {\lambda}=n^2,\hskip 0.3pc \)   \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N.\hskip 0.3pc \)  Zatem

Szukając rozwiązania równania ( 6 ) w postaci

Stąd  \( \hskip 0.3pc k=n\hskip 0.3pc \)  lub  \( \hskip 0.3pc k=-n.\hskip 0.3pc \)  Rozwiązanie ogólne równania ( 6 ) ma zatem postać

Ponieważ dla  \( \hskip 0.3pc \rho =0\hskip 0.3pc \)  wyraz  \( \hskip 0.3pc \rho^{-n}\hskip 0.3pc \)  nie jest określony i ponadto  \( \hskip 0.3pc \lim_{\rho \to 0^+}\rho^{-n} =\infty,\hskip 0.3pc \)  aby uniknąć osobliwości w początku układu należy przyjąć  \( \hskip 0.3pc D=0.\hskip 0.3pc \)  W konsekwencji dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N\hskip 0.3pc \)  funkcja

jest  rozwiązaniem klasy  \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \)  równania ( 3 ). Rozwiązanie to na ogół nie spełnia warunku ( 4 ). Rozważmy więc funkcje

Jeśli ostatni szereg oraz szereg pochodnych pierwszego i drugiego rzędu jest jednostajnie zbieżny, to tak określona funkcja  \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \)  jest rozwiązaniem równania ( 3 ). Warunek ( 4 ) przyjmuje postać

Jeśli funkcja  \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \)  jest rozwijalna w szereg Fouriera, to ostatnia równość jest spełniona, jeśli

Uwzględniając ostatnią równość rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \)  możemy zapisać w postaci:

Dla  \( \hskip 0.3pc \rho=0\hskip 0.3pc \)  oraz  \( \hskip 0.3pc \alpha =0\hskip 0.3pc \)  ostatni wzór daje zależność

Uzyskana  równość  mówi, że wartość średnia rozwiązania po brzegu kuli o środku w punkcie  \( \hskip 0.3pc (0,0)\hskip 0.3pc \)  jest równa wartości rozwiązania w tym punkcie.


Rozwiązanie równania struny metodą d’Alemberta

w obszarze  \( \hskip 0.3pc D=\{(x,t)\in \mathbb{R}^2:t> 0\}\hskip 0.3pc \)  spełniające warunki początkowe:

gdzie  \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \)  są zadanymi funkcjami. Równanie charakterystyk w naszym przypadku ma postać

równanie wyjściowe sprowadzimy do postaci

Całkując względem  \( \hskip 0.3pc \eta\hskip 0.3pc \)  otrzymamy

a następnie całkując względem  \( \hskip 0.3pc \xi\hskip 0.3pc \)  otrzymamy

gdzie  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \)  są dowolnymi  funkcjami klasy  \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) . Wracając do zmiennych wyjściowych mamy

Rozwiązania  zadane odpowiednio funkcjami  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \)  nazywają  się falami prostymi. Uwzględniając warunki początkowe mamy

a po scałkowaniu w przedziale  \( \hskip 0.3pc [x_0, x]\hskip 0.3pc \)  dostajemy

Postawiając uzyskane wzory na  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \)  do ( 3 ) otrzymamy

Uzyskany w ten sposób wzór ( 4 )  na rozwiązanie problemu początkowego ( 1 ), ( 2 ) nosi nazwę wzoru d'Alemberta.


Równanie niejednorodne struny

Zauważmy wpierw, korzystając z liniowości operacji różniczkowania, że rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy zapisać jako sumę  \( \hskip 0.3pc u=u_1+u_2,\hskip 0.3pc \)  gdzie  \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu

zaś  \( \hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc  \) jest rozwiązaniem problemu

W celu znalezienia rozwiązania problemu ( 3 ) rozważmy najpierw równanie

Ponieważ warunek początkowy jest zadany w chwili  \( \hskip 0.3pc t_0=\tau\hskip 0.3pc  \),  rozwiązanie problemu ( 4 ), ( 5 ) zależy od  \( \hskip 0.3pc \tau,\hskip 0.3pc  \) co symbolicznie będziemy zapisywać  \( \hskip 0.3pc w(, \,; \tau).\hskip 0.3pc  \) Zauważmy, ze  rozwiązanie   problemu ( 4 ), ( 5 ) możemy wyrazić w postaci

Oczywiście  \( \hskip 0.3pc w(x,t,t)=0\hskip 0.3pc  \) dla  \( \hskip 0.3pc x\in\mathbb R\hskip 0.3pc  \),  \( \hskip 0.3pc t>0 \).

Na mocy lematu 1 oraz   wzoru 4 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta",  rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy   zapisać w postaci

Ponieważ warunki początkowe są zadane tylko dla  \( \hskip 0.3pc x>0\hskip 0.3pc  \), bezpośrednio nie możemy skorzystać z  wzoru 4 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta".  Ponadto, jeśli  \( \hskip 0.3pc g\neq 0\hskip 0.3pc  \) oraz  \( \hskip 0.3pc g^\prime\neq 0\hskip 0.3pc  \), nie możemy również skorzystać z uwagi o przedłużaniu  warunków początkowych. Możemy natomiast wykorzystać  wzór 3 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta". Zgodnie z tym wzorem

Dla  \( \hskip 0.3pc x>0\hskip 0.3pc  \) z warunku  \( \hskip 0.3pc u(x,0)=0\hskip 0.3pc  \) otrzymamy  \( \hskip 0.3pc F(x)+G(x)=0,\hskip 0.3pc  \) czyli

Z kolei z warunku  \( \hskip 0.3pc u_t(x,0)=0\hskip 0.3pc  \) wynika, że  \( \hskip 0.3pc F^\prime (x)=0\hskip 0.3pc  \) dla  \( \hskip 0.3pc x>0,\hskip 0.3pc  \) a w konsekwencji  \( \hskip 0.3pc F(x)=C.\hskip 0.3pc  \) Wykorzystując ostatni warunek  mamy

Stąd i z warunku  \( \hskip 0.3pc u(0,t)=g(t)\hskip 0.3pc  \) dla  \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc  \) otrzymujemy

a kładąc  \( \hskip 0.3pc s= -at\hskip 0.3pc  \)  mamy


Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania

gdzie laplasjan  \( \hskip 0.3pc \Delta = \frac {\partial ^2}{\partial ^2 x}+\frac {\partial ^2}{\partial ^2 y} +\frac {\partial ^2}{\partial ^2 z},\hskip 0.3pc   \) a  \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc  \)  jest  podzbiorem otwartym i spójnym w  przestrzeni  \( \hskip 0.3pc \mathbb  R^3.\hskip 0.3pc  \) Technika rozwiązania zaprezentowana poniżej polega na przekształceniu równania o trzech zmiennych na jednowymiarowe równanie falowe. Redukcję taką uzyskamy wprowadzjąc tak zwane  średnie sferyczne. Przypuśćmy,  że problem  ( 1 ), ( 2 ) posiada rozwiązanie  \( \hskip 0.2pc u\hskip 0.2pc  \) w obszarze \( \hskip 0.2pc \Omega = V\times [0,\infty ).\hskip 0.2pc \) Ustalmy punkt  \( \hskip 0.1pc P_0 =(x_0,y_0,z_0) \in V.  \) Dobierzmy  \( \hskip 0.2pc r>0\hskip 0.2pc  \) tak, aby kula  \( \hskip 0.2pc K(P_0,r) \subset V.\hskip 0.2pc  \) Niech  \( \hskip 0.2pc S(P_0,r)\hskip 0.2pc  \)  będzie sferą o środku w punkcie  \( \hskip 0.3pc P_0\hskip 0.3pc  \) i promieniu  \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc  \). Połóżmy

gdzie po prawej stronie występuje całka powierzchniowa po sferze  \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc  \), a  \( \hskip 0.3pc (\xi ,\eta,\zeta) \hskip 0.3pc  \) oznaczają współrzędne kartezjańskie punktu bieżącego na sferze.  Wielkość  \( \hskip 0.3pc \widetilde u(r,t)\hskip 0.3pc  \) oznacza wartość  średnią funkcji  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc  \) na sferze  \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc  \) w chwili  \( \hskip 0.3pc t.\hskip 0.3pc  \)

Zapiszmy równanie sfery  \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc  \)  we współrzędnych sferycznych

element powierzchniowy  \( \hskip 0.3pc dS\hskip 0.3pc  \) na sferze  \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc  \),  po przejściu na współrzędne sferyczne wyraża się wzorem

Zamieniając we wzorze ( 3 ) całkę powierzchniową na całkę iterowaną otrzymamy

Całkując równanie ( 1 ) po kuli  \( \hskip 0.3pc K(P_0,r)\hskip 0.3pc  \) otrzymamy

a po zastosowaniu   do prawej strony wzoru Gaussa-Greena  mamy

gdzie  \( \hskip 0.3pc \frac {\partial u}{\partial \nu}\hskip 0.3pc  \) oznacza pochodną funkcji  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc  \) w kierunku normalnej zewnętrznej do powierzchni  \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc  \).  Zauważmy, że jeśli  \( \hskip 0.3pc \nu=(\nu_1,\nu_2,\nu_3)\hskip 0.3pc  \) jest unormowanym wektorem normalnym do powierzchni  \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc  \) w punkcie  \( \hskip 0.3pc (\xi,\eta,\zeta)\hskip 0.3pc  \), wówczas  \( \hskip 0.3pc \xi =x_0+\nu_1r\hskip 0.3pc  \),   \( \hskip 0.3pc \eta =y_0+\nu_2r,\hskip 0.3pc  \)  \( \hskip 0.3pc \zeta =z_0+\nu_3r.\hskip 0.3pc  \) Prosty rachunek pokazuje, że

Po wprowadzeniu współrzędnych sferycznych i zamianie całek na całki iterowane otrzymamy

Różniczkując ostatnią równość względem  \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc  \) i dzieląc przez  \( \hskip 0.3pc 4\pi r^2\hskip 0.3pc  \) otrzymamy

Zapisując różniczkowanie względem  \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc  \) na zewnątrz całki i wprowadzając  średnie wartości  sferyczne  (zob. ( 4 ) ) otrzymamy

a po pomnożeniu przez  \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc  \)

(Oczywiście równanie ( 7 ) możemy rozważać dla  \( \hskip 0.3pc t\in \mathbb R.\hskip 0.3pc  \)) Uśredniając - zgodnie z wzorem ( 3 ) - warunki początkowe ( 2 ) otrzymamy

Zatem funkcja  \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc  \) jest rozwiązaniem równania ( 7 ) spełniającym warunki

zgodnie z metodą d'Alemberta  rozwiązanie   ogólne równania ( 7 ) możemy zapisać w postaci

gdzie  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc  \) są dowolnymi funkcjami klasy  \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc  \). Z warunku  \( \hskip 0.3pc v(0,t)=0\hskip 0.3pc  \) wynika, że  \( \hskip 0.3pc G(t)=-F(t)\hskip 0.3pc  \) dla  \( \hskip 0.3pc t \in \mathbb  R.\hskip 0.3pc  \) W konsekwencji

z  \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc  \) do zera, otrzymamy

Obliczając wartości obu stron ostatniej równości w punkcie  \( \hskip 0.3pc (0,a t)\hskip 0.3pc  \) i  wykorzystując  równości ( 9 ) i ( 5 ) otrzymamy

Podstawiając w ostatnim wzorze w miejsce funkcji    \( \hskip 0.3pc \widetilde u\hskip 0.3pc  \) jej reprezentacje daną  wzorem  ( 3 ) otrzymamy

Uwzględniając warunki początkowe ( 2 )  oraz fakt, że

Przypomnijmy, że punkt  \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0,z_0)\in V\hskip 0.3pc  \)  był ustalony dowolnie. Zatem opuszczając wskażnik  \( \hskip 0.3pc 0\hskip 0.3pc  \) otrzymamy wartość rozwiązania  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc  \) dla dowolnych  \( \hskip 0.3pc (x,y,z)\in V\hskip 0.3pc  \)  w postaci tak zwanego wzoru Kirchhoffa

gdzie  \( \hskip 0.3pc 0\leq \alpha < 2\pi, \hskip 0.3pc  -\pi /2 \leq \beta \leq \pi /2 \),

Przypomnijmy, że wzór Kirchhoffa otrzymaliśmy przy założeniu, że problem ( 1 ), ( 2 ) posiada rozwiązanie. Na odwrót, jeśli założymy, że funkcja  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc  \) jest klasy  \( \hskip 0.3pc C^3\hskip 0.3pc  \)  a funkcja  \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc  \) klasy  \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc  \) to nietrudno pokazać bezpośrednim rachunkiem,  że funkcja  \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) dana wzorem Kirchhoffa jest rozwiązaniem problemu ( 1 ), ( 2 ). Oczywiście rozwiązanie to jest określone jednoznacznie.  Pokazaliśmy zatem następujące twierdzenie.


Niejednorodne równanie fal kulistych

Rozważmy niejednorodne  równanie fal kulistych

gdzie  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc  \) są funkcjami  klasy  \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc  \),  a  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc  \) funkcją  klasy  \( \hskip 0.3pc C^3\hskip 0.3pc  \)  w zbiorze  \( \hskip 0.3pc V.\hskip 0.3pc  \) W celu rozwiązania problemu ( 1 ), ( 2 ) rozbijamy go na dwa problemy oddzielne:

Rozwiązanie problemu ( 3 ), ( 4 ) dane jest wzorem Kirchhoffa (zob. twierdzenie 1 w module "Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania").   Aby znaleźć rozwiązanie problemu ( 5 ), ( 6 ) rozważmy problem pomocniczy

Ponieważ rozwiązanie problemu ( 7 ), ( 8 )  zależy od  \( \hskip 0.3pc \tau,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc  \) będziemy zaznaczać to pisząc  \( \hskip 0.3pc v(\cdot ,\,\cdot,\,\cdot,\,\cdot\,;\tau).\hskip 0.3pc  \)  Wykorzystując wzór Kirchhoffa,  rozwiązanie problemu ( 7 ), ( 8 ) możemy zapisać w postaci:

Pokażemy, że funkcja  \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu ( 5 ), ( 6 ). Istotnie, zauważmy najpierw, że

co oznacza, że funkcja  \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc  \) spełnia równanie ( 5 ). Ponieważ w oczywisty sposób funkcja   \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc  \) spełnia również warunki początkowe ( 6 ), jest ona rozwiązaniem problemu ( 5 ), ( 6 ). Zgodnie z zasadą liniowości rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy uzyskać jako sumę rozwiązań problemu ( 3 ), ( 4 ) oraz problemu ( 5 ), ( 6 ), czyli


Równanie fal walcowych. Metoda redukcji

Rozważmy równanie fali dla  \( \hskip 0.3pc n=2\hskip 0.3pc \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc D\subset \mathbb  R^2\hskip 0.3pc \),  \(  \hskip 0.3pc\Delta =  \frac {\partial ^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial ^2}{\partial y^2}\hskip 0.3pc \). Okazuje się, że  nie widać prostego podstawienia które pozwoliłoby zredukować problem dwuwymiarowy do problemu jednowymiarowego. Posłużymy się więc następującym chwytem. Rozważamy nasz problem  w przestrzeni trójwymiarowej przyjmując, że funkcje występujące w równaniu nie zależą od zmiennej  \( \hskip 0.3pc z\hskip 0.3pc \). Mianowicie połóżmy

Niech  \( \hskip 0.3pc \widetilde u\hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem problemu

gdzie  \( \hskip 0.3pc V=D\times \mathbb  R\hskip 0.3pc \). Niech  \( \hskip 0.3pc P_0=(x_0,y_0)\in D\hskip 0.3pc \) i niech  \( \hskip 0.3pc S(P_0,at)\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc K(P_0,at)\hskip 0.3pc \) oznacza, odpowiednio sferę i kulę w przestrzeni  \( \hskip 0.3pc \mathbb R^2\hskip 0.3pc \) zawarte w  \( \hskip 0.3pc D\hskip 0.3pc \) o środku w  punkcie  \( \hskip 0.3pc P_0\hskip 0.3pc \) i promieniu  \( \hskip 0.3pc a t\hskip 0.3pc \),  a     \( \hskip 0.3pc \widetilde S(\widetilde P_0,at)\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \widetilde K(\widetilde P_0,at)\hskip 0.3pc \), gdzie  \( \hskip 0.3pc \widetilde P_0=(x_0,y_0,z_0)\hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.3pc z_0 \in \mathbb R\hskip 0.3pc \),  sferę i kulę w przestrzeni  \( \hskip 0.3pc \mathbb R^3\hskip 0.3pc \). Niech  \( \hskip 0.3pc \widetilde P = (\xi, \eta, \zeta) \hskip 0.3pc \) będzie punktem bieżącym na sferze  \( \hskip 0.3pc  \widetilde S(\widetilde P_0,at)\hskip 0.3pc \). Na mocy wzoru Kirchhoffa

Zamieńmy teraz całki powierzchniowe we wzorze ( 3 ) na całki podwójne. Oczywiście równanie sfery    \( \hskip 0.3pc  \widetilde S(\widetilde P_0, \,at) \hskip 0.3pc \) możemy zapisać za pomocą równań półsfer:

gdzie  \( \hskip 0.3pc K(P_0,at)\hskip 0.3pc \) oznacza kulę domkniętą w przestrzeni  \( \hskip 0.3pc \mathbb R^2\hskip 0.3pc \), a

Nietrudno sprawdzić, że element powierzchniowy na obu półsferach wyraża się wzorem

W konsekwencji, uwzględniając definicje funkcji  \( \hskip 0.3pc \widetilde{\varphi}\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \widetilde {\psi}\hskip 0.3pc \), po zamianie całek powierzchniowych na całki podwójne,  otrzymamy

Ponieważ punkt  \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0)\in D\hskip 0.3pc \) był dobrany dowolnie, możemy opuścić wskaźnik  \( \hskip 0.3pc 0.\hskip 0.3pc \)  Ponadto, uwzględniając   związek  \( \hskip 0.3pc u(x,y,t)=\widetilde u(x ,y,z,t),\hskip 0.3pc \)    otrzymamy rozwiązanie  problemu ( 1 ), ( 2 ) w postaci tzw. wzoru  Poissona:


Rozdział 6. Rozwiązania podstawowe równania Laplace’a i przewodnictwa cieplnego. Zasada maksimum

Równanie Laplace’a

Niewątpliwie do jednych z najważniejszych równań różniczkowych cząstkowych należą równanie Laplace'a

gdzie  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest szukaną funkcją określoną na obszarze  \(  \hskip 0.3pc\Omega \subset\mathbb R^n \hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.3pc x=(x_1, \dots ,x_n),\hskip 0.3pc \) \(  \hskip 0.3pc \Delta u =\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x_1}+\ldots +\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x_n},\hskip 0.3pc \) a  \(  \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją. Równania te spotykamy przy opisie licznych zjawisk. Przypomnijmy niektóre  z nich:

(i).  Ustalony stan pola cieplnego. Zjawisko rozchodzenia się ciepła jest opisane równaniem  \( \hskip 0.3pc u_t-\Delta u=0\hskip 0.3pc  \). W przypadku pola stacjonarnego, tzn. takiego, że rozkład temperatury nie zmienia się w czasie, funkcja  \(  \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) nie zależy od czasu i spełnia równanie Laplace'a ( 1 ). Jeśli występują przy tym źródła ciepła, to spełnia ona równanie  Poissona ( 2 ), gdzie funkcja  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) opisuje źródła ciepła.

(ii). Bezwirowy ruch cieczy. Przypuśćmy, że w pewnym ograniczonym obszarze występuje ruch cieczy nieściśliwej o prędkości  \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \). Jeśli ruch cieczy jest bezwirowy, to prędkość  \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) ma potencjał  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \). Jeśli ponadto pole jest beźródłowe, to  \( \hskip 0.3pc \Delta \varphi =0\hskip 0.3pc \).  Zatem potencjał  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) ustalonego pola elektrycznego spełnia równanie Laplace'a.

(iii).  Pole elektrostatyczne.  Przypuśćmy, że  dane jest pole elektrostatyczne ładunków stacjonarnych i niech   \( \hskip 0.3pc \rho (x,y,z) \hskip 0.3pc \) oznacza gęstość objętościową ładunków. Można pokazać, że potencjał  elektrostatyczny pola  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) spełnia równanie  \(  \hskip 0.3pc \Delta \varphi =-4\pi \rho\hskip 0.3pc \), tzn. równanie Poissona. Gdy brak jest ładunków przestrzennych, potencjał spełnia równanie Laplace'a. W literaturze nietrudno znaleźć wiele dalszych zjawisk które opisane są równaniami Laplace'a lub Poissona (zob. np. Feynmana wykłady z fizyki)

Rozwiązanie podstawowe równania Laplace'a. Zastosujemy tutaj dość typowy dla teorii równań różniczkowych sposób postępowania.   Najpierw  znajdziemy   stosunkowo proste  rozwiązania równania wyjściowego, a następnie - przy pomocy tego rozwiązania - będziemy konstruuować  dalsze rozwiązania, które spełniają żądane warunki, np. początkowe lub brzegowe. Takie rozwiązanie   nazywamy rozwiązaniem podstawowym lub fundamentalnym. Ponieważ równanie Laplace'a jest symetryczne względem zmiennych, a w konsekwencji niezmiennicze względem obrotów, naturalnym wydaje się szukać rozwiązań radialnych, tzn. rozwiązań zależnych tylko od odległości od początku układu. Spróbujemy zatem znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) postaci

Zauważmy, że dla  \( \hskip 0.3pc r\ne 0\hskip 0.3pc \)

Postawione zadanie sprowadza się  zatem do rozwiązania równania

gdzie  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) jest dowolną stałą. Rozwiązując ostatnie równanie otrzymamy

gdzie  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) są dowolnymi stałymi. Ze względu na dalsze zastosowania wygodnie jest    przyjąć    \( \hskip 0.3pc B=0\hskip 0.3pc \),  natomiast

gdzie  \( \hskip 0.3pc \alpha (n)\hskip 0.3pc \) oznacza objętość kuli jednostkowej w przestrzeni  \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n.\hskip 0.3pc \) Zgodnie z tymi rozważaniami przyjmujemy następującą definicje rozwiązania podstawowego.

W teorii równania Laplace'a niezmiernie ważne, ze względu na zastosowania, są: zagadnienie brzegowe Dirichleta, zagadnienie brzegowe Neumanna oraz zagadnienie brzegowe Robina, zwane też pierwszym, drugim i trzecim zagadnieniem brzegowym. W dalszym ciągu podzbiór otwarty i spójny (tzn. taki że każde dwa punkty tego zbioru można połączyć krzywą zawartą w tym zbiorze) będziemy nazywać  obszarem.

Zagadnienie Dirichleta (zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju). Znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) (lub ( 2 ) ) które jest ciągłe w domknięciu obszaru  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) i spełniają warunek brzegowy

Zagadnienie Neumanna ( zaganienie brzegowe drugiego rodzaju).  Załóżmy, że brzeg  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) obszaru  \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) jest gładki (tzn. w każdym punkcie  zbioru  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) istnieje płaszczyzna styczna). Znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) (lub ( 2 ) )  określone w obszarze  \( \hskip 0.3pc \Omega, \hskip 0.3pc \) klasy  \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc  \) w jego domknięciu i spełniające warunek

gdzie  \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) jest normalną zewnętrzną do  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) w punkcie  \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \), a  \( \hskip 0.3pc \varphi :\partial \Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \)  zadaną funkcją ciągłą.

Zagadnienie Robina ( zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju). Znaleźć rozwiązanie równania ( 1 ) (lub ( 2 ) ) w obszarze  \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) spełniające warunek

gdzie  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega \hskip 0.3pc \) jest brzegiem obszaru  \( \hskip 0.3pc \Omega, \hskip 0.2pc \)  \( \hskip 0.1pc a,\hskip 0.2pc \)  \( \hskip 0.1pc b,\hskip 0.2pc \)  \( \hskip 0.1pc g\hskip 0.3pc \) są danymi funkcjami określonymi na   \( \hskip 0.3pc \partial \Omega ,\hskip 0.3pc \)    \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) jest normalną zewnętrzną do  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega .\hskip 0.3pc \)

Definicja 1: Rozwiązania podstawowego.

 Rozwiązaniem podstawowym równania Laplace'a ( 1 ) nazywamy funkcję

(3)

								\( \Phi (x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{2\pi} \ln \|x\|,& {\rm dla}\hskip 0.5pc n=2;\\ \dfrac {1}{n(n-2) \alpha (n)}\dfrac{1}{\|x\|^{n-2}}, & {\rm dla} \hskip 0.5pc n\geq 3.\end{cases} \)


Własności funkcji harmonicznych

Funkcje harmoniczne posiadają wiele interesujących własności, a ich teoria stanowi rozbudowany dział matematyki. Poniżej podamy niektóre  własności tych funkcji.  Rozpoczniemy od  prostych wniosków wynikających łatwo z wzorów Gaussa-Greena.

Istotnie, ze wzoru 5 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" wynika, że

Istotnie, niech  \( \hskip 0.3pc x\in \Omega \hskip 0.3pc \) i niech  \( \hskip 0.3pc  B(x,\varepsilon )\hskip 0.3pc \) będzie kulą zawartą w  \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \). Ze  wzoru 5 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" oraz założeń wniosku 2  wynika że

Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego   dostatecznie małego  \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \), wnosimy stąd, że  \( \hskip 0.3pc \Delta u(x)=0\hskip 0.3pc \). Teza wniosku została dowiedziona, bowiem   \( \hskip 0.3pc x \in \Omega \hskip 0.3pc \) jest  dowolne.

Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie zbiorem otwartym i niech  \( \hskip 0.3pc u:\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją harmoniczną w  \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc  \). Wówczas dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc x \in \Omega \hskip 0.3pc \) oraz kuli  \( \hskip 0.3pc B(x,r) \subset \Omega \hskip 0.3pc \), wartość  \( \hskip 0.3pc u(x)\hskip 0.3pc  \) jest równa średniej wartości funkcji  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) na sferze  \(  \hskip 0.3pc \partial B(x,r)\hskip 0.3pc \) oraz średniej wartości funkcji  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) na kuli  \( \hskip 0.3pc  B(x,r)\hskip 0.3pc \). Oznaczmy przez   \( \hskip 0.3pc \upsilon_r\hskip 0.3pc \)  powierzchnię, a przez  \( \hskip 0.3pc \omega_r\hskip 0.3pc \) objętość kuli   \( \hskip 0.3pc B(x,r)\subset\mathbb R^n. \hskip 0.3pc \)  Nietrudno sprawdzić, że  \( \hskip 0.3pc \omega_r = (r/n)\upsilon_r.\hskip 0.3pc \) Jeśli  \( \hskip 0.3pc \alpha (n)\hskip 0.3pc \) oznacza objętość kuli jednostkowej w przestrzeni  \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) to  \( \hskip 0.3pc \omega_r =\alpha (n)\,r^n,\hskip 0.3pc \) natomiast  \( \hskip 0.3pc \upsilon_r =n\alpha (n)r^{n-1}.\hskip 0.3pc \)

Istnieją też ścisłe związki między funkcjami harmonicznymi dwu zmiennych a funkcjami analitycznymi jednej zmiennej zespolonej.  Mianowicie, część rzeczywista   \( \hskip 0.3pc u=u(x.y)\hskip 0.3pc \) i część urojona  \( \hskip 0.3pc v=v(x,y)\hskip 0.3pc  \) funkcji analitycznej  \( \hskip 0.3pc f(z)=u(x,y) +iv(x,y)\hskip 0.3pc \) zmiennej zespolonej  \( \hskip 0.3pc z=x+iy\hskip 0.3pc \) są funkcjami harmonicznymi (dokładniej funkcjami harmonicznymi sprzężonymi).  Na odwrót, mając daną funkcję harmoniczną, możemy łatwo skonstruować odpowiadającą jej funkcję analityczną. Stąd też szereg własności funkcji harmonicznych jest natychmiastową konsekwencją stosownych własności  funkcji zmiennej zespolonej i na odwrót.

Definicja 1: Funkcji harmonicznej.

 Funkcję klasy  \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) w obszarze  \( \hskip 0.3pc  \Omega \subset\mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) spełniającą w tym obszarze równanie Laplace'a:

								\(  \Delta u =0, \hskip 1.3pc  x\in \Omega,   \)

nazywamy  funkcją  harmoniczną w  \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \).


Równanie Poissona

Zauważmy, że funkcja  \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) dana wzorem

jest harmoniczna dla  \( \hskip 0.3pc x\neq 0.\hskip 0.3pc \) Jeśli początek układu przesuniemy do punktu  \(  \hskip 0.3pc y,\hskip 0.3pc \) to funkcja  \( \hskip 0.3pc x \mapsto \Phi(x-y)\hskip 0.3pc  \) jest harmoniczna dla  \( \hskip 0.3pc x\neq y.\hskip 0.3pc \) Zauważmy ponadto, że jeśli  \(  \hskip 0.3pc f:X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją, to  \( \hskip 0.3pc x \mapsto \Phi(x-y)f(y)\hskip 0.3pc \) jest również funkcją harmoniczna dla  \( \hskip 0.3pc x\neq y\hskip 0.3pc \). Można by zatem oczekiwać, że funkcja

Okazuje się, że tak nie jest. Wynika to stąd, że funkcja  \( \hskip 0.3pc x \mapsto \Phi (x-y)\hskip 0.3pc \) ma osobliwość w punkcie  \( \hskip 0.3pc x=y,\hskip 0.3pc \) a zatem nie możemy z operacją różniczkowania wejść pod całkę. Pokażemy natomiast, że dla dostatecznie regularnej funkcji  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc  \)  wzór ( 2 ) określa rozwiązanie równania Poissona

Rozwiązanie podstawowe równania przewodnictwa cieplnego.

Równanie przewodnictwa cieplnego, zwane też równaniem dyfuzji, opisuje w jaki sposób zmienia się w czasie gęstość  pewnej wielkości, np. temperatury,  stężenia chemicznego  czy potencjału elektrycznego. Przykłady zjawisk które możemy  opisać tego typu równaniem zostały podane w module "Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych". Rozważmy przypadek jednorodnego równania przewodnictwa cieplnego

gdzie  \( \hskip 0.3pc u:\,\mathbb R^n\times R \to \mathbb R\hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\, \ldots ,\, x_n)\in\mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) a symbol  \( \hskip 0.3pc \Delta =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial ^2}{\partial x_i^2}\hskip 0.3pc \) oznacza operator  Laplace'a. Chociaż zaproponowaną poniżej metodę można bez żadnych istotnych zmian stosować dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc n\geq 1,\hskip 0.3pc  \) dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do  \( \hskip 0.3pc n=1,\hskip 0.3pc \) czyli do równania

Zauważmy, że jeśli funkcja   \( \hskip 0.3pc u=u(x,t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 8 ), to również funkcja  \( \hskip 0.3pc u=u(\lambda x,\,\lambda^2t),\hskip 0.3pc \) dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc \lambda \in \mathbb R,\hskip 0.3pc \) jest również rozwiązaniem równania ( 8 ). Nasuwa się stąd pomysł, aby szukać rozwiązań wzdłuż krzywych  \( \hskip 0.3pc \{\big(\lambda x,\,\lambda^2t\big):\hskip 0.2pc \lambda \in\mathbb R\},\hskip 0.3pc  \) tzn. krzywych wyznaczonych przez stosunek  \( \hskip 0.3pc\dfrac{ (\lambda x)^2}{\lambda ^2t},\hskip 0.3pc  \)  czyli rozwiązań postaci

Podstawiając uzyskane wielkości do równania ( 8 ) otrzymamy

a kładąc  \( \hskip 0.3pc z=\dfrac {x^2}{t}\hskip 0.3pc \) mamy

gdzie  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) są dowolnymi stałymi, jest rozwiązaniem równania ( 8 ) dla  \( \hskip 0.3pc x \in \mathbb R\hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \). Rozwiązanie to ma dość niewygodną postać całkową.  Różniczkując funkcje ( 9 ) względem zmiennej  \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc  \) otrzymamy

Oczywiście tak uzyskana funkcja jest  również rozwiązaniem równania ( 8 ) w zbiorze  \( \hskip 0.3pc D=\{(x,t):\,\, x \in \mathbb R,\hskip 0.3pc  t>0\}\hskip 0.3pc \).  Wygodnie jest - co będzie widać z dalszych rozważań - przyjąc   \( \hskip 0.3pc A= \dfrac 1{4\sqrt{\pi}}\hskip 0.3pc  \) (Przy tak ustalonej stałej  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) otrzymamy rozwiązanie z którego całka jest równa  \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \)). Funkcję

nazywamy  rozwiązaniem podstawowym równania ( 8 ).  Zauważmy, że dla  \( \hskip 0.3pc t=0\hskip 0.3pc \) funkcja  \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) ma osobliwość. Dla  \( \hskip 0.3pc n\geq 2\hskip 0.3pc \) przez rozwiązanie podstawowe równania ( 7 ) rozumiemy funkcję

gdzie  \( \hskip 0.3pc \|x\|=\sqrt{x_1^2+ \ldots +x_n^2}.\hskip 0.3pc \)


Problem początkowy dla równania ciepła

Skonstruowane w (module Równanie Poissona-( 11 ) ) rozwiązanie podstawowe równania ciepła  wykorzystamy teraz dla znalezienia rozwiązania problemu Cauchy'ego (problemu początkowego) dla równania ciepła:

gdzie  \( \hskip 0.3pc g:R^n\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją. Przypomnijmy, że dla  \( \hskip 0.3pc t\neq 0\hskip 0.3pc \) funkcja  \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) dana wzorem

Nietrudno sprawdzić, że dla dowolnie ustalonego  \( \hskip 0.3pc z\in\mathbb R^n\hskip 0.3pc \) również funkcja  \( \hskip 0.3pc (x,t) \mapsto \Phi(x-z,t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 3 ) dla  \( \hskip 0.3pc t\neq 0.\hskip 0.3pc \) Rozważmy teraz funkcję  \( \hskip 0.3pc u:\,\mathbb R^n\times(0,\infty) \to \mathbb R^n\hskip 0.3pc  \) daną wzorem

Zauważmy, że funkcja  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest splotem rozwiązania podstawowego  \( \hskip 0.3pc \Phi \hskip 0.3pc \) oraz funkcji  \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \).

Obok problemu początkowego dla równania ciepła również bardzo ważnym jest tak zwany pierwszy problem brzegowy Dirichleta. Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) będzie obszarem  w  \( \hskip  0.3pc\mathbb R^n\times [0,T)\hskip 0.3pc \) o tej własności, że dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc t \in [0,T)\hskip 0.3pc \) zbiór  \( \hskip 0.3pc \big\{x:\, (x,\,t) \in \Omega\big\}\hskip 0.3pc \) jest  \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-wymiarowym obszarem w  \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n\hskip 0.3pc \). Oznaczmy przez  \( \hskip 0.3pc S\hskip 0.3pc  \) boczną powierzchnie  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) wraz z jego podstawą.  Wówczas pierwszym zagadnieniem brzegowym Dirichleta nazywamy problem znalezienia rozwiązania równania

gdzie  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją.

Niejednorodny problem początkowy dla równania ciepła.

Rozważmy teraz niejednorodny problem Cauchy'ego

gdzie  \( \hskip 0.3pc f:\, \mathbb R^n\times \mathbb R_+\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją. Rozważamy problem pomocniczy

Zgodnie z wzorem ( 4 ), kładąc  \( \hskip 0.3pc s=t-\tau\hskip 0.3pc \), rozwiązanie tego problemu możemy zapisć w  postaci

jest szukanym rozwiązaniem niejednorodnego problemu Cauchy'ego.


Zasada maksimum dla równania Laplace’a i równania ciepła


Zasada Duhamela

W modułach "Równanie niejednorodne struny", "Niejednorodne równanie fal kulistych", "Równanie fal walcowych. Metoda redukcji",  "Problem poczatkowy dla równania ciepła" aby znaleźć rozwiązanie problemu niejednorodnego, rozważaliśmy najpierw pomocniczy problem jednorodny zależny od parametru, a następnie rozwiązanie problemu  wyjściowego uzyskiwaliśmy całkując względem wspomnianego parametru rozwiązanie problemu  pomocniczego.  Zastosowaną metodę możemy sformułować nieco ogólniej, uzyskując tak zwaną  zasadę Duhamela.

gdzie  \( \hskip 0.3pc \Omega\subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \), a  \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc  \) jest operatorem eliptycznym względem zmiennych przestrzennych. Zauważmy, że w postawionym problemie funkcje  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) zależą od zmiennej  \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \).  Rozważmy analog problemu  ( 1 ) - ( 3 ) z funkcjami  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) niezależnymi od  \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \). Mianowicie, ustalmy  \( \hskip 0.3pc \tau >0\hskip 0.3pc \) i rozważmy problem

Załóżmy, że problem ( 4 ) - ( 6 ) posiada rozwiązanie dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc \tau >0\hskip 0.3pc \). Ponieważ zależy ono od parametru  \( \hskip 0.3pc \tau \hskip 0.3pc \), oznaczmy go symbolem  \( \hskip 0.3pc v=v(x,t;\tau )\hskip 0.3pc \). Twierdzimy, że funkcja

jest rozwiązaniem problemu  ( 1 ) - ( 3 ). Istotnie, warunki  ( 2 ) i ( 3 ) są spełnione w oczywisty sposób. Wykonując różniczkowanie w   ( 7 ), po uwzględnieniu  ( 5 ), otrzymamy

Stąd  oraz związków  ( 4 ) i ( 7 ) dostajemy

co kończy dowód. Taką metodę konstrukcji rozwiązań nazywamy  zasadą Duhamela.


Przykłady dotyczące równania Laplace’a i równania przewodnictwa cieplnego

W następnych przykładach rozwiniemy pomysły które wykorzystaliśmy dla znalezienia rozwiązań fundamentalnych dla równania Laplace'a oraz równania przewodnictwa cieplnego. W pierwszym przypadku szukaliśmy rozwiązań radialnych, w drugim rozwiązań wzdłuż specjalnie dobranych krzywych (powierzchni). Idea metody polega na redukcji ilości zmiennych niezależnych, a w sytuacji optymalnej, na  sprowadzeniu problemu do rozwiązania równania zwyczajnego.