Potencjał elektryczny

Jak pokazano w module Energia potencjalna w polu elektrycznym energia potencjalna ładunku w polu elektrycznym zależy od wielkości tego ładunku. Dlatego do opisu pola elektrycznego lepiej posługiwać się energią potencjalną przypadającą na jednostkowy ładunek czyli potencjałem elektrycznym.

Potencjał pola ładunku punktowego  \( Q \) możemy otrzymać natychmiast dzieląc równanie Energia potencjalna w polu elektrycznym-( 4 ) obustronnie przez  \( q \)

Obliczony potencjał określa pracę potrzebną do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności na odległość  \( r \) od ładunku  \( Q \). Potencjał charakteryzuje pole elektryczne; a nie zależy od umieszczonego w nim ładunku.

Często w fizyce posługujemy się pojęciem różnicy potencjałów czyli napięciem (oznaczanym  \( U \)). Różnica potencjałów między dwoma punktami  \( A \) i  \( B \) jest równa pracy potrzebnej do przeniesienia w polu elektrycznym ładunku jednostkowego (próbnego)  \( q \) pomiędzy tymi punktami. Wyrażenie na różnicę potencjałów otrzymamy bezpośrednio ze wzoru Energia potencjalna w polu elektrycznym-( 2 ) w module Energia potencjalna w polu elektrycznym, dzieląc to równanie obustronnie przez  \( q \)

Znak minus odzwierciedla fakt, że potencjał maleje w kierunku wektora  \( {\bf E} \).

Podobnie jak natężenie pola elektrycznego, które ilustrowaliśmy za pomocą linii sił pola (zob. moduł Pole elektryczne ) również potencjał elektryczny można przedstawialiśmy graficznie. W tym celu rysujemy powierzchnie lub linie ekwipotencjalne, które przedstawiają w przestrzeni zbiory punktów o jednakowym potencjale.

Jako przykład pokazany jest na Rys. 1 rozkład potencjału, na płaszczyźnie  \( xy \), wokół dipola elektrycznego. Poziomice (linie pogrubione) łączą punkty o jednakowym potencjale (linie ekwipotencjalne). Każda krzywa odpowiada innej stałej wartości potencjału.

Gdy znamy rozkład potencjału elektrycznego wytworzonego w każdym punkcie przestrzeni przez dany układ ładunków to na podstawie wielkości zmiany potencjału, przypadającej na jednostkę długości w danym kierunku możemy określić natężenie pola elektrycznego  \( \bf E \) w tym kierunku. Warunek ten (we współrzędnych  \( x \),  \( y \),  \( z \)) wyraża się następująco

Możemy więc przy pomocy obliczania pochodnych cząstkowych z wielkości skalarnej (potencjału  \( V \)) otrzymać składowe wielkości wektorowej (pola  \( \bf E \)) w dowolnym punkcie przestrzeni.

Im większa (mniejsza) zmiana potencjału na jednostkę długości tym większe (mniejsze) pole elektryczne w danym kierunku. Znak minus odzwierciedla fakt, że wektor  \( \bf E \) jest skierowany w stronę malejącego potencjału. Kierunek pola elektrycznego w dowolnym punkcie odpowiada kierunkowi, wzdłuż którego potencjał spada najszybciej, co oznacza, że linie sił pola są prostopadłe do powierzchni (linii) ekwipotencjalnych. Zostało to zilustrowane na Rys. 2, gdzie pokazane są powierzchnie ekwipotencjalne (linie ich przecięcia z płaszczyzną rysunku) oraz linie sił pola (a) ładunku punktowego, (b) dipola elektrycznego (porównaj z  ).

Wzory wyrażające związek pomiędzy potencjałem i polem elektrycznym są bardzo użyteczne, bo na ogół łatwiej obliczyć i zmierzyć potencjał niż natężenie pola.

W module Zastosowanie prawa Gaussa: Izolowany przewodnik pokazano, że cały ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku gromadzi się na jego powierzchni i że pole  \( E \) musi być prostopadłe do powierzchni, bo gdyby istniała składowa styczna do powierzchni, to elektrony przemieszczałyby się. W oparciu o wyrażenie ( 5 ) możemy podać alternatywne sformułowanie. Jeżeli pole  \( E \) wzdłuż powierzchni przewodnika równa się zeru, to różnica potencjałów też równa się zeru  \( \Delta V = 0 \). Oznacza to, że

Obliczeń potencjału elektrycznego dla różnych naładowanych ciał można zobaczyć w module Obliczanie potencjału elektrycznego.

Definicja 1: Potencjał elektryczny

Potencjał elektryczny definiujemy jako energię potencjalną pola elektrycznego podzieloną przez jednostkowy ładunek.

(1)

								\( {V(r)=\frac{E_{{p}}(r)}{q}=\frac{W_{{\infty r}}}{q}} \)

Definicja 2: Jednostka potencjału elektrycznego

Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt ( \( V \)); \( 1 V = 1 J/C \).


Rozdział 1. Pole elektryczne i elektrostatyka

Obliczanie potencjału elektrycznego

Jako przykład rozważymy różnicę potencjałów między powierzchnią i środkiem sfery o promieniu  \( R \) naładowanej jednorodnie ładunkiem  \( Q \). Jak pokazaliśmy w module Zastosowanie prawa Gaussa: Jednorodnie naładowana sfera pole elektryczne wewnątrz naładowanej sfery ( \( r < R \) ) jest równe zeru  \( E = 0 \). Oznacza to (równanie Potencjał elektryczny-( 5 ) ), że różnica potencjałów też jest równa zeru  \( V_{B}- V_{A} = 0 \), to znaczy potencjał w środku jest taki sam jak na powierzchni sfery. Natomiast na zewnątrz (dla  \( r {\geq} R \)) potencjał jest taki jak dla ładunku punktowego skupionego w środku sfery, czyli jest dany równaniem Potencjał elektryczny-( 2 ). Zależność potencjału i odpowiadającego mu natężenia pola od odległości od środka naładowanej sfery jest pokazana na Rys. 1.

Porównując dwa powyższe wykresy  \( V(r) \) i  \( E(r) \), możemy zauważyć, że istnieje między nimi związek dany wyrażeniem

W każdym punkcie natężenie pola  \( E(r) \) jest równe nachyleniu wykresu  \( V(r) \) ze znakiem minus. Ten związek pomiędzy natężeniem pola i potencjałem wynika wprost z równania Potencjał elektryczny-( 5 ) bo na jego mocy  \( {\mathit{dV}=\mathit{Edr}} \). Obliczanie potencjału dla układu ładunków punktowych prześledzimy na przykładzie potencjału dipola. W tym celu rozpatrzymy punkt  \( P \) odległy o  \( r \) od środka dipola tak jak to widać na Rys. 2. Położenie punktu  \( P \) jest określone poprzez  \( r \) i  \( \theta  \).

Dlatego potencjał w punkcie  \( P \) pochodzący od ładunków  \( Q \) i  \( -Q \) wynosi

To jest ścisłe wyrażenie na potencjał dipola, ale do jego obliczenia potrzeba znać  \( r_1 \) oraz  \( r_2 \). My natomiast rozważymy tylko punkty odległe od dipola, dla których  \( r>>l \). Dla takich punktów możemy przyjąć z dobrym przybliżeniem, że  \( {r_{2}-r_{1}}\approx {l \cos \theta}  \) oraz  \( {r_{{2}}r_{{1}}\approx r^{{2}}} \). Po uwzględnieniu tych zależności wyrażenie na potencjał przyjmuje postać

gdzie  \( p = Ql \) jest momentem dipolowym.

Na zakończenie wróćmy do modułu Zastosowanie prawa Gaussa: Płaskie rozkłady ładunków i obliczymy różnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt o polu powierzchni  \( S \) każda, znajdujących się w odległości  \( d \) od siebie. Ładunki na płytach wynoszą odpowiednio  \( +Q \) i  \( -Q \), więc gęstość powierzchniowa ładunku  \( \sigma  = Q/S \). Ze wzoru Potencjał elektryczny-( 5 ) wynika, że

a ponieważ, zgodnie z naszymi obliczeniami, pole pomiędzy płytami jest równe  \( E = \sigma / \varepsilon_{0} \), więc


Pojemność elektryczna

Układ dwóch przewodników, który może gromadzić ładunek elektryczny, przy przyłożonej różnicy potencjałów, nazywamy kondensatorem, a te przewodniki okładkami kondensatora. Rys. 1 przedstawia kondensator płaski, w którym przewodniki (okładki) stanowią dwie równoległe płytki przewodzące.

Wielkością charakteryzującą kondensator jest jego pojemność, którą definiujemy następująco:

Zwróćmy uwagę, że  \( Q \) jest ładunkiem na każdym przewodniku, a nie ładunkiem wypadkowym na kondensatorze (ładunek wypadkowy równy jest zeru). Pojemność kondensatora płaskiego możemy obliczyć z definicji ( 1 ), korzystając z równania Obliczanie potencjału elektrycznego-( 9 ).

Zauważmy, że pojemność zależy od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego położenia. Oznacza to, że dla kondensatorów o innej geometrii obowiązują inne wzory. Równanie ( 2 ) obowiązuje dla kondensatora płaskiego znajdującego się w próżni. Zależność pojemność kondensatora od przenikalności elektrycznej ośrodka jest omówiona w module Kondensator z dielektrykiem.

Kondensatory są częścią składową prawie wszystkich układów elektronicznych. W celu dobrania odpowiedniej pojemności powszechnie stosuje się ich łączenie w układy szeregowe lub równoległe.

Definicję pojemności można rozszerzyć na przypadek pojedynczego izolowanego przewodnika.

Dany przewodnik można zatem uważać za jedną z okładek kondensatora, w którym druga okładka kondensatora znajduje się w nieskończoności i ma potencjał równy zeru.

Definicja 1: Pojemność elektryczna

Pojemnością elektryczną nazywamy stosunek ładunku kondensatora do różnicy potencjałów (napięcia) między okładkami.

(1)

								\( {C=\frac{Q}{\mathit{\Delta V }}} \)

Definicja 2: Jednostka pojemności

Jednostką pojemności jest farad ( \( F \));  \( 1F = 1C/1V \). Powszechnie stosuje się jednak mniejsze jednostki:  \( \mu F \),  \( nF \),  \( pF. \)

Definicja 3: Pojemność elektryczna przewodnika

Pojemnością elektryczną przewodnika nazywamy stosunek ładunku umieszczonego na przewodniku do potencjału jaki ma ten przewodnik w polu elektrycznym wytworzonym przez ten ładunek.

(7)

								\( {C=\frac{Q}{V}} \)


Energia pola elektrycznego w kondensatorze

Rozpatrzmy początkowo nienaładowany kondensator, który ładujemy, przenosząc elektrony pomiędzy okładkami. Okładka, z której zabieramy elektrony ładuje się dodatnio, a okładka, na którą je przenosimy ujemnie. W wyniku tego postępowania różnica potencjałów rośnie od  \( 0 \) do  \( \Delta V \), a ładunek na kondensatorze wzrasta od  \( 0 \) do  \( Q \). Praca zużyta na przeniesienie porcji ładunku dq pomiędzy okładkami przy panującej w danej chwili różnicy potencjałów  \( \Delta V \) wynosi zgodnie ze wzorem Potencjał elektryczny-( 5 )

Musimy przy tym pamiętać, że w trakcie ładowania kondensatora różnica potencjałów rośnie, więc przenoszenie dalszych porcji ładunku jest coraz trudniejsze (wymaga więcej energii). Całkowita praca na przeniesienie ładunku  \( Q \), równa energii potencjalnej zgromadzona w kondensatorze, wynosi zatem

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru Pojemność elektryczna-( 1 ) na pojemność. Przypomnijmy, że dla kondensatora płaskiego (moduł Pojemność elektryczna )

Po podstawieniu do wzoru ( 2 ), otrzymujemy

Uwzględniając wyrażenie Pojemność elektryczna-( 2 ) na pojemność kondensatora płaskiego ostatecznie

Zauważmy, że iloczyn  \( Sd \) jest objętością kondensatora, więc gęstość energii  \( w \) (pola elektrycznego), która jest energią zawartą w jednostce objętości wynosi


Kondensator z dielektrykiem

Doświadczenie pokazuje, że umieszczenie dielektryka (izolatora) pomiędzy okładkami kondensatora zwiększa jego pojemność  \( \varepsilon_{r} \) razy

Wielkość  \( \varepsilon_{r} \)nazywamy względną przenikalnością elektryczna lub stałą dielektryczną. W Tabela 1 zestawione zostały stałe dielektryczne wybranych materiałów.

Wzrost pojemności kondensatora w wyniku umieszczenia w nim dielektryka wynika z zachowania się atomów (cząsteczek) dielektryka w polu elektrycznym w kondensatorze, przy czym istnieją dwie możliwości. Po pierwsze istnieją cząsteczki, w których środek ładunku dodatniego jest trwale przesunięty względem środka ładunku ujemnego. Przykładem może być cząsteczka  \( H_{2}O \) pokazana na Rys. 1.

W wyniku charakterystycznej budowy w cząsteczce wody ładunek ujemny jest przesunięty w stronę atomu tlenu, a środek ładunku dodatniego jest bliżej atomów wodoru. Takie cząsteczki mają więc trwały elektryczny moment dipolowy.

Po drugie, w przypadku cząsteczek i atomów nie posiadających trwałych momentów dipolowych, taki moment może być wyindukowany przez umieszczenie ich w zewnętrznym polu elektrycznym. Pole działa na ładunki dodatnie (jądra atomowe) i ujemne (chmury elektronowe), rozsuwając ich środki. Atomy (cząsteczki) wykazują elektryczny moment dipolowy, ulegają polaryzacji. Przykładowo, jeżeli umieścimy atom wodoru w zewnętrznym polu  \( E \), to siła  \( F = -eE \) przesuwa elektron o  \( r \) względem protonu. Wówczas atom ma indukowany moment dipolowy  \( p = er \). Ponieważ jest to moment indukowany polem zewnętrznym więc znika, gdy usuniemy pole.

W zerowym polu momenty dipolowe są zorientowane przypadkowo (zob. Rys. 2a). Natomiast po umieszczeniu w polu elektrycznym trwałe elektryczne momenty dipolowe dążą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a stopień uporządkowania zależy od wielkości pola i od temperatury (ruchy termiczne cząstek zaburzają uporządkowanie). Natomiast momenty indukowane są równoległe do kierunku pola. Cały materiał w polu  \( E \) zostaje spolaryzowany. Spolaryzowany zewnętrznym polem  \( E \) dielektryk (umieszczony w naładowanym kondensatorze) jest pokazany na Rys. 2b.

Zwróćmy uwagę, że w rezultacie wewnątrz dielektryka ładunki kompensują się, a jedynie na powierzchni dielektryka pojawia się nieskompensowany ładunek  \( q' \). Ładunek dodatni gromadzi się na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni dielektryka (zob. Rys. 2c).

Ładunek  \( q \) jest zgromadzony na okładkach, a  \( q' \) jest ładunkiem wyindukowanym na powierzchni dielektryka. Te wyindukowane ładunki wytwarzają pole elektryczne  \( \bf E' \) przeciwne do pola  \( \bf E \) pochodzącego od swobodnych ładunków na okładkach kondensatora. Wypadkowe pole w dielektryku  \( \bf E_{w} \) (suma wektorowa pól  \( \bf E' \) i  \( \bf E \)) ma ten sam kierunek co pole  \( \bf E \), ale mniejszą wartość. Pole związane z ładunkiem polaryzacyjnym  \( q' \) nosi nazwę polaryzacji elektrycznej.

Zastosujemy teraz prawo Gaussa do kondensatora wypełnionego dielektrykiem. Dla powierzchni Gaussa zaznaczonej na Rys. 2c linią przerywaną otrzymujemy

Ponieważ pole  \( E \) jest jednorodne, więc

Pojemność takiego kondensatora wypełnionego dielektrykiem wynosi zatem

Dzieląc powyższe równanie obustronnie przez  \( C \), otrzymujemy

Powyższe równanie pokazuje, że wyindukowany ładunek powierzchniowy  \( q' \) jest mniejszy od ładunku swobodnego  \( q \) na okładkach. Dla kondensatora bez dielektryka  \( q' = 0 \) i wtedy  \( \varepsilon_{r} = 1 \).

Więcej na ten temat dielektryków w polu elektrycznym możesz dowiedzieć się w moduIe Dodatek: Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe.

Korzystając z powyższego związku ( 6 ) i podstawiając za  \( q - q' \) do równania ( 2 ), możemy napisać prawo Gaussa (dla kondensatora z dielektrykiem) w postaci

To równanie stanowi najbardziej ogólną postać prawa Gaussa.

Zauważmy, że strumień pola elektrycznego dotyczy wektora  \( \varepsilon_{r}{\bf E } \) (a nie wektora  \( {\bf E } \)), i że w równaniu występuje tylko ładunek swobodny, a wyindukowany ładunek powierzchniowy został uwzględniony przez wprowadzenie stałej dielektrycznej  \( \varepsilon_{r} \). Porównując pole elektryczne w kondensatorze płaskim bez dielektryka  \( E = q/\varepsilon_{0}S \) z wartością daną równaniem ( 4 ) widzimy, że wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne  \( \varepsilon_{r} \) razy (indukowany ładunek daje pole przeciwne do pola od ładunków swobodnych na okładkach (zob. Rys. 2b).


Podsumowanie z elektrostatyki


Dodatek: Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe

Rozpatrzmy atom umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu  \( E \). Wówczas na atom działa siła, która przesuwa chmurę elektronową o  \( r \) względem jądra atomowego ( Rys. 1 ).

Wówczas atom ma indukowany moment dipolowy  \( p \), a wypadkowe pole elektryczne w miejscu jądra jest sumą pola zewnętrznego i pola od chmury elektronowej.

Jeżeli potraktujemy, w naszym uproszczonym modelu, chmurę elektronową jako jednorodnie naładowaną kulę o promieniu  \( R \) to pole elektryczne wytworzone przez chmurę elektronową w odległości  \( r \)  \( (r < R) \)od jej środka jest dane wzorem Prawo Gaussa-( 7 )

Ponieważ jądro znajduje się w położeniu równowagi (nie przemieszcza się) więc  \( E_{wyp.}=0 \), skąd dostajemy

Zatem, indukowany moment dipolowy jest równy

Moment  \( p \) zgodnie z oczekiwaniami jest proporcjonalny do natężenia zewnętrznego pola elektrycznego  \( E \).

Rozpatrzmy teraz dielektryk, w którym znajduje się  \( N \) atomów (cząsteczek). Jeżeli każdy atom ma średni moment dipolowy  \( {\overline{{p}}} \) skierowany zgodnie z zewnętrznym polem  \( E \) to całkowity moment dipolowy

Z drugiej strony indukowany ładunek  \( q' \) pojawia się jedynie na powierzchni dielektryka więc dla kondensatora płaskiego, wypełnionego dielektrykiem, którego okładki o powierzchni  \( S \) są umieszczone w odległości  \( d \)

gdzie  \( n \) koncentracją atomów (cząsteczek), tj. ilością atomów w jednostce objętości  \( n = N/(Sd)n \). Ostatecznie więc

Podstawiamy tę wielkość do wzoru na  \( \varepsilon_{r} \)

Pokazaliśmy powyżej, że indukowany moment dipolowy  \( p \) wynosi  \( {p=Qr=\frac{R^{{3}}}{k}E} \).

Podstawiając do tego wzoru wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w kondensatorze płaskim (wzór Kondensator z dielektrykiem-( 4 ) ), otrzymujemy

Wstawiając to wyrażenie do wzoru ( 11 ), obliczamy  \( \varepsilon_{r} \)

Otrzymana zależność jest przybliżona ze względu na znaczne uproszczenia przyjętego modelu atomu jednak pokazuje, że przenikalność dielektryczna  \( \varepsilon_{r} \) jest większa od jedności i że zależy od właściwości dielektryka, takich jak koncentracja atomów  \( n \) i promień atomu  \( R \).


Dodatek: Pole elektryczne na osi pierścienia

Z zasady superpozycji możemy również skorzystać dla ciągłych rozkładów ładunków. Jako przykład rozpatrzymy jednorodnie naładowany pierścień o promieniu  \( R \) i całkowitym ładunku  \( Q \) pokazany na Rys. 1. Chcemy obliczyć pole elektryczne na osi pierścienia w odległości  \( x \) od jego środka.

W pierwszym kroku dzielimy pierścień na elementy o długości  \( dl \) i obliczamy pole elektryczne \( dE \) wytwarzane przez taki element. Zgodnie z Rys. 1

Jeżeli  \( \lambda=Q/2\pi R \) jest liniową gęstością ładunku (ilością ładunku na jednostkę długości) to element  \( dl \) zawiera ładunek  \( dQ=\lambda dl  \) i natężenie pola od tego elementu jest równe

Pole elektryczne całego pierścienia otrzymujemy zgodnie z zasadą superpozycji, sumując (całkując) pola od wszystkich elementów pierścienia. Zwróćmy uwagę, że składowe pionowe  \( dE_{y} \) elementów leżących po przeciwnych stronach pierścienia znoszą się wzajemnie więc

Zauważmy, że w środku pierścienia  \( (x=0) \)  \( E=0 \), a w bardzo dużej odległości od pierścienia  \( (x>>R) \) pole zmierza do wartości  \( E\rightarrow kQ/x^{2} \) takiej jak pole ładunku punktowego w tej odległości.

Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola elektrycznego jest to, że nie musimy zajmować się szczegółami źródła pola. Powyższy przykład pokazuje, że z pomiaru pola elektrycznego nie możemy ustalić jaki jest rozkład ładunków będący źródłem tego pola (ładunek punktowy czy odległy naładowany pierścień).


Natężenie prądu elektrycznego

Nośnikami ładunku w metalu są poruszające się swobodnie (nie związane z poszczególnymi atomami) elektrony, tzw. elektrony przewodnictwa.

Bez pola elektrycznego te elektrony poruszają się (dzięki energii cieplnej) przypadkowo we wszystkich kierunkach. Elektrony swobodne zderzają się z atomami (jonami) przewodnika, zmieniając swoją prędkość i kierunek ruchu zupełnie tak, jak cząsteczki gazu zamknięte w zbiorniku. Jeżeli rozpatrzymy przekrój poprzeczny  \( S \) przewodnika, jak na Rys. 1, to elektrony w swoim chaotycznym ruchu cieplnym przechodzą przez tę powierzchnię w obu kierunkach i wypadkowy strumień ładunków przez tę powierzchnię jest równy zeru. Przez przewodnik nie płynie prąd.

Ruchowi chaotycznemu nie towarzyszy przepływ prądu. Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków.

Przyłożenie napięcia  \( U \) (różnicy potencjałów  \( \Delta V \)) pomiędzy końcami przewodnika wytwarza pole elektryczne  \( E \), które działa siłą na ładunki, powodując ich ruch w określonym kierunku w przewodniku. Ruch chaotyczny każdego elektronu zostaje zmodyfikowany. W przewodniku płynie prąd elektryczny. Na Rys. 1 zaznaczona jest prędkość ruchu elektronów uzyskana dzięki przyłożonemu polu elektrycznemu.

Przepływ prądu przez przewodnik jest opisywany przez natężenia prądu.

Jeżeli natężenie prądu nie jest stałe, to wyrażenie ( 1 ) określa średnie natężenie prądu, a natężenie chwilowe jest określone jako

Wielkością związaną z natężeniem prądu jest gęstość prądu.

Gęstość prądu jest wektorem. Jego długość określa wzór ( 3 ), a kierunek i zwrot są zgodne z wektorem prędkości ładunków dodatnich. Zauważmy, że oprócz ujemnych elektronów, które są nośnikami ładunku w metalach mamy do czynienia również z innymi nośnikami: w półprzewodnikach obok elektronów nośnikami są dziury (nośniki dodatnie), a w gazach i cieczach elektrony oraz jony dodatnie (kationy) i jony ujemne (aniony). Za umowny kierunek prądu przyjmujemy kierunek ruchu ładunków dodatnich.

Jak już powiedzieliśmy wcześniej, w nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego swobodne elektrony w metalu poruszają się chaotycznie we wszystkich kierunkach. Natomiast w zewnętrznym polu elektrycznym elektrony uzyskują średnią prędkość unoszenia  \( v_{u} \). Jeżeli  \( n \) jest koncentracją elektronów, to ilość ładunku  \( Q \) jaka przepływa przez przewodnik o długości  \( l \) i przekroju poprzecznym  \( S \) w czasie  \( t = l/v_{u} \) wynosi

gdzie iloczyn  \( lS \) jest objętością przewodnika. Natężenie prądu wynosi więc

gdzie  \( \rho  \) jest gęstością ładunku.

Powstaje więc pytanie, jak przy tak znikomo małej prędkości elektronów możliwe jest błyskawiczne przenoszenie sygnałów elektrycznych, np. w sieci telefonicznej, komputerowej czy elektrycznej?

Dzieje się tak dlatego, że wywołana przyłożonym napięciem (sygnałem) zmiana pola elektrycznego rozchodzi się wzdłuż przewodnika z prędkością bliską prędkości światła w próżni (2.998·10 \( ^{8} \) m/s). Oznacza to, że zewnętrzne pole elektryczne wywołuje ruch elektronów praktycznie jednocześnie z włączeniem napięcia (nadaniem sygnału) wzdłuż całej długości przewodnika, tzn. równocześnie zaczynają się poruszać elektrony zarówno w pobliżu nadajnika, jak i odbiornika. Tak więc pomimo bardzo małej prędkości średniej uporządkowanego ruchu elektronów, sygnał "natychmiast" dociera do odbiornika.

Definicja 1: Natężenie prądu

Natężenie prądu elektrycznego definiujemy jako ilość ładunku jaka przepływa przez przekrój poprzeczny przewodnika w jednostce czasu.

(1)

								\( {I=\frac{Q}{t}} \)

Definicja 2: Gęstość prądu

Gęstość prądu elektrycznego definiowana jest jako natężenie prądu na jednostkę powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika.

(3)

								\( {j=\frac{I}{S}} \)


Prawo Ohma

Jeżeli do przewodnika przyłożymy napięcie  \( U \) (różnicę potencjałów  \( \Delta V \)), to przez przewodnik płynie prąd, którego natężenie I jest proporcjonalne do przyłożonego napięcia. Ten ważny wynik doświadczalny jest treścią prawa Ohma, które stwierdza, że

Prawo Ohma jest słuszne pod warunkiem, że przewodnik znajduje się w stałej temperaturze. Zależność oporu od temperatury jest omówiona w dalszej części. O wyprowadzeniu prawa Ohma możesz przeczytać w module Wyprowadzenie prawa Ohma.

Opór przewodnika zależy od jego wymiarów; opór  \( R \) jest proporcjonalny do długości przewodnika  \( l \) i odwrotnie proporcjonalny do jego przekroju  \( S \).

Stałą  \( \rho  \), charakteryzującą elektryczne własności materiału, nazywamy oporem właściwym (rezystywnością), a jej odwrotność  \( \sigma  = 1/\rho  \) przewodnością właściwą.

W Tabela 1 poniżej zestawione zostały opory właściwe wybranych materiałów

Opory właściwe wybranych materiałów (w temperaturze pokojowej)

Korzystając ze wzorów ( 1 ), ( 2 ) oraz z zależności  \( U = El \) możemy wyrazić gęstość prądu w przewodniku jako

Jak już powiedzieliśmy wcześniej gęstość prądu jest wektorem i dlatego ten związek pomiędzy gęstością prądu, a natężeniem pola elektrycznego w przewodniku zapisujemy często w postaci wektorowej

Jest to inna, wektorowa lub mikroskopowa, postać prawa Ohma

Opór właściwy materiału  \( \rho  \) zależy od temperatury. Wiąże się to z tym, że prędkość ruchu przypadkowego cząsteczek zależy od temperatury (zob. moduł Temperatura, równanie stanu gazu doskonałego ).

Typowa zależność oporu od temperatury dla przewodników metalicznych jest pokazana na Rys. 1.

Z dobrym przybliżeniem jest to zależność liniowa  \( \rho T \) za wyjątkiem temperatur bliskich zera bezwzględnego. Wtedy zaczyna odgrywać rolę tzw. opór resztkowy  \( \rho_{0} \) zależny w dużym stopniu od czystości metalu. Doświadczenie prezentujące zależność oporu od temperatury można prześledzić na filmie poniżej.

Istnieją jednak metale i stopy, dla których obserwujemy w dostatecznie niskich temperaturach całkowity zanik oporu. Zjawisko to nosi nazwę nadprzewodnictwa. Prądy wzbudzone w stanie nadprzewodzącym utrzymują się w obwodzie bez zasilania zewnętrznego. Ta możliwość utrzymania stale płynącego prądu rokuje duże nadzieje na zastosowania techniczne, które znacznie wzrosły po odkryciu w 1986 r materiałów przechodzących w stan nadprzewodzący w stosunkowo wysokich temperaturach, około 100 K. Materiały te noszą nazwę wysokotemperaturowych nadprzewodników a ich odkrywcy J. G. Bednorz i K. A. Müller zostali wyróżnieni Nagrodą Nobla w 1987 r.

Z prawa Ohma wnioskujemy, że natężenie prądu jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia. Jest to słuszne dla większości przewodników (przy niewielkich napięciach i natężeniach prądu). Należy jednak wspomnieć, że istnieją układ, które nie spełniają prawa Ohma. Są to między innymi szeroko stosowane półprzewodnikowe elementy elektroniczne takie jak diody i tranzystory. Właściwości materiałów półprzewodnikowych omówione są w module Podstawowe informacje o fizyce półprzewodników.


Wyprowadzenie prawa Ohma

Nośnikami ładunku w metalu są poruszające się swobodnie (nie związane z poszczególnymi atomami) elektrony, tak zwane elektrony przewodnictwa. Bez pola elektrycznego elektrony poruszają się (dzięki energii cieplnej) przypadkowo we wszystkich kierunkach i dlatego nie obserwujemy przepływu prądu. Elektrony swobodne zderzają się z atomami (jonami) przewodnika, zmieniając swoją prędkość i kierunek ruchu zupełnie tak, jak cząsteczki gazu zamknięte w zbiorniku. Dlatego, podobnie jak w przypadku gazu, do opisu zderzeń posłużymy się pojęciem średniej drogi swobodnej  \( \lambda  \) (droga przebywana przez elektron pomiędzy kolejnymi zderzeniami). Jeżeli u jest prędkością ruchu chaotycznego elektronów to średni czas pomiędzy zderzeniami wynosi  \( \Delta t = \lambda /u \).

Jeżeli do przewodnika przyłożymy napięcie, to na każdy elektron będzie działała siła  \( \mathbf{F} = -e\mathbf{E} \) i po czasie  \( \Delta t \) ruch chaotyczny każdego elektronu zostanie zmodyfikowany; elektron uzyska prędkość unoszenia  \( v_{u}= \Delta u \). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona

Podstawiając za  \( \Delta t = \lambda /u \), otrzymujemy

Prędkość unoszenia ma ten sam kierunek (przeciwny do  \( \mathbf{E} \)) dla wszystkich elektronów. Przy każdym zderzeniu z atomem elektron traci prędkość unoszenia. Średnia droga swobodna  \( \lambda  \) jest tak mała, że  \( v_{u} \) jest zawsze dużo mniejsza od  \( u \).

Możemy teraz obliczyć natężenie prądu, wstawiając za prędkość wyrażenie ( 3 ) do wzoru Natężenie prądu elektrycznego-( 5 )

Natomiast opór elementu przewodnika o długości  \( l \) wyznaczamy z prawa Ohma, korzystając z faktu, że napięcie  \( U = El \).

Widzimy, że opór  \( R \) jest proporcjonalny do długości przewodnika  \( l \) i odwrotnie proporcjonalny do jego przekroju  \( S \). Równanie ( 5 ) możemy przepisać w postaci

Stałą  \( \rho  \) nazywamy oporem właściwym (rezystywnością), a jej odwrotność  \( \sigma  \) = 1/ \( \rho  \) przewodnością właściwą.

Z równania ( 5 ) wynika, że opór właściwy pozostaje stały tak długo, jak długo stała jest prędkość  \( u \). Przypomnijmy sobie  (zob. Temperatura, równanie stanu gazu doskonałego ), że prędkość ruchu przypadkowego cząsteczek zależy tylko od temperatury. Tym samym opór właściwy też zależy od temperatury.


Praca i moc prądu elektrycznego, straty cieplne

Na Rys. 1 pokazany jest najprostszy obwód elektryczny składający się ze źródła prądu (np. baterii) oraz z dowolnego odbiornika energii elektrycznej takiego jak żarówka, grzejnik, silnik elektryczny, komputer, itp.

Jeżeli przez odbiornik przepływa prąd o natężeniu  \( I \), a napięcie na odbiorniku wynosi  \( U \) to zmiana energii potencjalnej ładunku  \( dq \) przepływającego przez odbiornik (od punktu A do B ) wynosi

Dzieląc obie strony równania przez  \( dt \) otrzymujemy wzór, który przedstawia szybkość zmian energii elektrycznej

Energia potencjalna ładunku przepływającego przez odbiornik maleje, ponieważ potencjał punktu A (połączonego z dodatnim biegunem baterii) jest wyższy niż punktu B (połączonego z ujemnym biegunem baterii). Ta tracona energia jest przekształcana w inny rodzaj energii w zależności od typu odbiornika.

Jeżeli mamy do czynienia z odbiornikiem energii zawierającym tylko opornik (np. grzejnik), to cała energia stracona przez ładunek dq poruszający się przy napięciu  \( U \) wydziela się w oporniku w postaci energii cieplnej. Elektrony przewodnictwa poruszając się w przewodniku zderzają się z atomami (jonami) przewodnika i tracą energię (którą uzyskały w polu elektrycznym), co objawia się wzrostem temperatury opornika.

Korzystając z prawa Ohma, możemy równanie ( 3 ) zapisać w postaci

Równania ( 4 ) opisują przemianę energii elektrycznej na energię cieplną, którą nazywamy ciepłem Joule'a.


Siła elektromotoryczna, prawo Ohma dla obwodu zamkniętego

Aby w obwodzie elektrycznym utrzymać prąd, potrzebujemy źródła energii elektrycznej. Takimi źródłami są, np. baterie i generatory elektryczne. Nazywamy je źródłami siły elektromotorycznej SEM. W urządzeniach tych otrzymujemy energię elektryczną w wyniku przetwarzania innej energii, np. energii chemicznej w bateriach, a energii mechanicznej w generatorach.

Siła elektromotoryczna  \( \epsilon  \) określa energię elektryczną  \( \Delta W \) przekazywaną jednostkowemu ładunkowi  \( \Delta q \) w źródle SEM

Typowe wartości oporu wewnętrznego różnych źródeł są zestawione w Tabela 1.

Rozpatrzmy teraz pokazany na Rys. 1 najprostszy obwód zamknięty. Linią przerywaną zaznaczono rzeczywiste źródło prądu, tj. źródło siły elektromotorycznej  \( \epsilon  \) oraz opór wewnętrzny  \( R_{w} \). Opornik zewnętrzny  \( R_{z} \) przedstawia odbiornik mocy nazywany obciążeniem (np. żarówka, głośnik), a  \( U_{z} \) jest napięciem zasilania (na biegunach źródła).

Posłużymy się teraz równaniem ( 1 ), aby znaleźć natężenie prądu w tym obwodzie zamkniętym. Przekształcając ten wzór otrzymujemy

Zgodnie z prawem Ohma  \( U_{z} = IR_{z} \) więc

Definicja 1: Definicja SEM

Miarą SEM jest różnica potencjałów (napięcie) na biegunach źródła prądu w warunkach, kiedy przez ogniwo nie płynie prąd (ogniwo otwarte).

Natomiast gdy czerpiemy prąd ze źródła, napięcie między jego elektrodami, nazywane teraz napięciem zasilania  \( U_{z} \), maleje wraz ze wzrostem pobieranego z niego prądu. Dzieje się tak dlatego, że każde rzeczywiste źródło napięcia posiada opór wewnętrzny  \( R_{w} \). Napięcie zasilania jest mniejsze od SEM właśnie o spadek potencjału na oporze wewnętrznym

(2)

								\( {U_{{z}}=\epsilon -{IR}_{{w}}} \)

Z tej zależności wynika, że  \( U_{z} = \epsilon  \), gdy  \( I = 0 \)


Prawa Kirchhoffa

W praktyce mamy do czynienia z bardzo złożonymi obwodami elektrycznymi zawierającymi rozgałęzienia i dużą liczbę źródeł SEM. Wówczas przy znajdowaniu prądów i napięć posługujemy się prawami Kirchhoffa.

Twierdzenie o obwodzie zamkniętym jest wynikiem zasady zachowania energii, a twierdzenie o punkcie rozgałęzienia wynika z zasady zachowania ładunku.

Przy stosowaniu praw Kirchhoffa zakładamy jakiś kierunek prądu i jego natężenie w każdej gałęzi. Spadek napięcia pojawia się gdy "przechodzimy" przez opornik w kierunku zgodnym z przyjętym kierunkiem prądu, a przyrost napięcia gdy przechodzimy przez źródło SEM w kierunku od "-" do "+". Jeżeli w wyniku obliczeń otrzymamy ujemne natężenie prądu to znaczy, że rzeczywisty kierunek prądu jest przeciwny do przyjętego.


Podsumowanie informacji o prądzie elektrycznym


Zadania z prądu elektrycznego


Siła magnetyczna

W pobliżu przewodników z prądem elektrycznym i magnesów działają siły magnetyczne. Spotykamy je gdy mamy do czynienia z magnesem trwałym, elektromagnesem, silnikiem elektrycznym, prądnicą, czy monitorem komputerowym. Magnesem jest sama Ziemia. Jej działanie na igłę kompasu jest znane od Starożytności. Natomiast w XIX w. Oersted stwierdził, że kompas ulega również wychyleniu w pobliżu przewodnika, w którym płynie prąd i zmienia kierunek wychylenia wraz ze zmianą kierunku prądu.

To oddziaływanie pomiędzy prądem i magnesem opisujemy wprowadzając pojęcie pola magnetycznego. Przypomnijmy, że w przypadku sił grawitacyjnych posługiwaliśmy się pojęciem natężenia pola grawitacyjnego  \( \gamma  \), gdzie  \( {F_{{G}}=\mathit{m\gamma }} \), a w przypadku sił elektrycznych pojęciem natężeniu pola elektrycznego  \( E \), gdzie  \( {F_{{E}}=\mathit{mE}} \). Natomiast siłę działającą na ładunek q poruszający się w polu magnetycznym z prędkością  \( v \) wiążemy z indukcją magnetyczną  \( B \). Związek pomiędzy siłą magnetyczną a indukcją magnetyczną  \( B \) zapisujemy w postaci równania wektorowego

Tabela 1 pozwala na zorientowanie się w zakresie pól magnetycznych dostępnych w przyrodzie i wytwarzanych przez różne urządzenia.

Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, z równania ( 1 ) wynika, że wartość siły działająca na naładowaną cząstkę w polu magnetycznym jest równa

gdzie  \( \theta  \) jest kątem pomiędzy wektorami  \( \mathbf{v} \) i  \( \mathbf{B} \).

Siła jest równa zeru gdy cząstka nie porusza się oraz gdy wektor prędkości jest równoległy do wektora  \( \mathbf{B} \) ( \( \theta  \) =  \( 0^{\circ} \)) lub do niego antyrównoległy ( \( \theta \)=  \( 180^{\circ} \)). Natomiast maksimum siły występuje gdy wektor prędkości  \( \mathbf{v} \) jest prostopadły do wektora  \( \mathbf{B} \) ( \( \theta  \) =  \( 90^{\circ} \)).

Równanie ( 1 ) określa również kierunek i zwrot wektora siły  \( \mathbf{F} \). Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że wektor  \( \mathbf{F} \) jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory  \( \mathbf{v} \) i  \( \mathbf{B} \). Zwrot jego jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu wektora  \( \mathbf{v} \) do wektora  \( \mathbf{B} \) (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora  \( F ∼ \mathbf{v}{\times}\mathbf{B} \) tak jak na Rys. 1.

Zwrot wektora  \( \mathbf{F} \) pokazany na rysunku powyżej odpowiada dodatniemu ładunkowi  \( q \). Dla ładunku ujemnego kierunek jest ten sam ale zwrot przeciwny.

Definicja 1: Siła Lorentza

(1)

								\( {\mathbf{F}=\mathit{q\mathbf{v}}\times \mathbf{B}} \)

Siłę tę nazywamy siłą Lorentza, a powyższe równanie definiuje indukcję pola magnetycznego  \( B \).


Linie pola magnetycznego, kierunek pola

Pole magnetyczne prezentujemy graficznie, rysując, tzw. linie pola magnetycznego czyli linie wektora indukcji magnetycznej  \( \mathbf{B} \). Wektor  \( \mathbf{B} \) jest styczny do tych linii pola w każdym punkcie, a rozmieszczenie linii obrazuje wielkość pola - im gęściej rozmieszczone są linie tym silniejsze jest pole.

Na Rys. 1 pokazane są linie pola magnetycznego w pobliżu stałego magnesu w kształcie sztabki. Linie te przechodzą przez magnes i tworzą zamknięte pętle.

Najsilniejsze pole występuje w pobliżu końców magnesu czyli w pobliżu biegunów magnetycznych. Koniec magnesu, z którego wychodzą linie nazywamy północnym biegunem magnesu (N), a ten do którego wchodzą linie biegunem południowym (S).

Podobnie jak w przypadku pola magnetycznego Ziemi kierunek linii pola magnesu można wyznaczyć za pomocą kompasu przesuwając go wokół magnesu. Kierunek igły kompasu, która sama jest magnesem sztabkowym, pokazuje kierunek pola magnetycznego. Igła wskazuje kierunek od bieguna północnego w stronę południowego. Wynika to z oddziaływania magnesów. Doświadczalnie stwierdzono, że bez względu na kształt magnesów, bieguny przeciwne przyciągają się, a jednakowe bieguny odpychają się.

Linie pola magnetycznego można też wyznaczyć doświadczalnie przy użyciu np. opiłków żelaza, które zachowują się jak dipole magnetyczne (małe magnesy). Opiłki ustawiają się zgodnie z kierunkiem  \( \mathbf{B} \) i dają obraz linii pola magnetycznego. Efekt ten można obejrzeć na filmach poniżej.

Filmy zostały udostępnione przez Politechnikę Warszawską na licencji Creative Commons BY-SA 3.0. PL dla potrzeb e-podręczników AGH.

Na Rys. 2 pokazane jest pole magnetyczne Ziemi. Igła magnetyczna kompasu w polu Ziemi pokazuje kierunek linii taki jak na Rys. 2. Widzimy, że linie są skierowane w stronę Arktyki i zgodnie z przyjętą konwencją oznaczałoby to, że tam znajduje się magnetyczny biegun południowy. Tymczasem ten kierunek geograficzny przyjmujemy za północy. W związku z tym w przypadku Ziemi odstępujemy od przyjętej reguły i ten biegun nazywamy północnym biegunem geomagnetycznym. Należy przy tym zwrócić uwagę na to, że biegun geomagnetyczny nie pokrywa się z geograficznym biegunem północnym. Aktualnie znajduje się w północnej Kanadzie. Bieguny magnetyczne Ziemi zmieniają swoje położenie i w odległej przeszłości północny biegun geomagnetyczny znajdował się na półkuli południowej.


Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym

Zauważmy, że zgodnie z równaniem Siła magnetyczna-( 1 ) wektor siły  \( \mathbf{F} \) działającej na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym jest zawsze prostopadły do wektora prędkości  \( \mathbf{v} \) i wektora  \( \mathbf{B} \). Oznacza to, że siła  \( F \) nie może zmienić wartości prędkości  \( v \), a co za tym idzie nie może zmienić energii kinetycznej cząstki. Siła  \( F \) może jedynie zmienić kierunek prędkości  \( v \), zakrzywić tor jej ruchu. Siła magnetyczna jest więc siłą dośrodkową.

Żeby prześledzić tor ruchu naładowanej cząstki w polu magnetycznym rozpatrzmy cząstkę, która z prędkością  \( v \) wpada do jednorodnego stałego pola magnetycznego o indukcji  \( B \) tak jak na Rys. 1.

Prędkość początkową cząstki (z którą wlatuje w obszar pola  \( B \)) możemy rozłożyć na dwie składowe: jedną równoległą  \( {v_{{\text{II}}}} \), a drugą prostopadłą  \( v_{⊥} \) do pola  \( B \). Zauważmy, że zgodnie ze wzorem Siła magnetyczna-( 2 ) siła magnetyczna związana jest tylko ze składową prędkości prostopadłą do pola  \( B \) ( \( \theta = 90^{\circ} \)) natomiast nie zależy od składowej równoległej do pola ( \( \theta = 0^{\circ} \)). Siła magnetyczna zmienia więc tylko składową prędkości prostopadłą do pola  \( B \), natomiast składowa prędkości równoległa pozostaje stała. W rezultacie cząstka przemieszcza się ze stałą prędkością wzdłuż pola  \( B \) równocześnie zataczając pod wpływem siły magnetycznej okręgi w płaszczyźnie prostopadłej do pola. Cząsteczka porusza się po spirali tak jak pokazano na Rys. 2.

Zjawisko odchylania toru naładowanych cząstek w polu magnetycznym znalazło szerokie zastosowanie w technice i nauce. Jednym z przykładów jest lampa kineskopowa w telewizorze czy monitorze. Na Rys. 3 pokazany jest przykładowy tor wiązki elektronów w lampie.

W kineskopie pole magnetyczne jest przyłożone wzdłuż kierunku  \( x \) i w kierunku  \( y \). Pole  \( B_{x} \), w zależności od zwrotu ( \( +x \),  \( -x \)) odchyla elektrony w górę lub w dół ekranu, natomiast pole  \( B_{y} \), w zależności od zwrotu ( \( +y \),  \( -y \)) odchyla wiązkę elektronów w prawo lub w lewo. W ten sposób sterujemy wiązką elektronów, która przebiega (skanuje) cały ekran docierając do każdego punktu ekranu (piksela).

Innym przykład stanowi spektrometr masowy, którego schemat jest pokazany na Rys. 4.

Cząstka (jon) o masie  \( m \) i ładunku  \( q \) wyemitowana ze źródła Z zostaje przyspieszona napięciem  \( U \) po czym wlatuje w obszar jednorodnego pola magnetycznego  \( B \) prostopadłego do toru cząstki. (Pamiętaj, że symbol  \( \odot \) oznacza wektor skierowany przed płaszczyznę rysunku, a symbolem ⊗ oznaczamy wektor skierowany za płaszczyznę rysunku). Pole magnetyczne zakrzywia tor cząstki, tak że porusza się ona po półokręgu o promieniu  \( R \), po czym zostaje zarejestrowana w detektorze (np. na kliszy fotograficznej) w odległości  \( 2R \) od miejsca wejścia w pole magnetyczne.

Promień okręgu po jakim porusza się naładowana cząstka w polu  \( B \) obliczyliśmy w ostatnim ćwiczeniu

gdzie  \( v \) jest prędkością z jaką porusza się cząstka. Tę prędkość uzyskuje ona dzięki przyłożonemu napięciu  \( U \). Zmiana energii potencjalnej ładunku przy pokonywaniu różnicy potencjału  \( U \) jest równa energii kinetycznej jaką uzyskuje ładunek

Stąd otrzymujemy wyrażenie na prędkość  \( v \)

Ostatecznie po przekształceniu otrzymujemy

Widzimy, że pomiar odległości ( \( 2R \)), w jakiej została zarejestrowana cząstka pozwala na wyznaczenie jej masy m.

Zakrzywianie toru cząstek w polu magnetycznym jest również wykorzystywane w urządzeniach zwanych akceleratorami. Te urządzenia służące do przyspieszania cząstek naładowanych, znalazły szerokie zastosowanie w nauce, technice i medycynie. Przykładem akceleratora cyklicznego jest cyklotron. O jego działaniu możesz przeczytać w module Dodatek: Cyklotron.


Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem

Ponieważ siła magnetyczna działa na ładunki w ruchu zatem działa na cały przewodnik z prądem

gdzie  \( N \) jest liczbą elektronów zawartych w danym przewodniku o długości  \( l \) i przekroju poprzecznym  \( S \), a  \( v_{u} \) ich średnią prędkością unoszenia. Jeżeli  \( n \) jest koncentracją elektronów (ilością elektronów w jednostce objętości) to

Zgodnie z wzorem Natężenie prądu elektrycznego-( 5 ) natężenie prądu w przewodniku wynosi

Podstawiając te wyrażenia do wzoru na siłę otrzymujemy

Na Rys. 1 zaznaczona jest siła działająca w polu magnetycznym na przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu  \( I \). W polu magnetycznym znajduje się odcinek  \( l \) przewodnika, a wektor długości  \( l \) ma zwrot zgodny ze zwrotem prądu.

Równanie  \( {\mathbf{F}=I\mathbf{l}\times \mathbf{B}} \) jest równoważne równaniu  \( {\mathbf{F}=\mathit{q\mathbf{v}}\times \mathbf{B}} \) w tym sensie, że każde z nich definiuje indukcję pola magnetycznego  \( B \). Jednak w praktyce łatwiej jest zmierzyć siłę działającą na przewodnik niż na pojedynczy ładunek.


Działanie pola magnetycznego na obwód z prądem

Rozważymy teraz działanie pola magnetycznego na zamknięty obwód z prądem. W tym celu rozpatrzmy prostokątną ramkę o bokach  \( a \) i  \( b \) umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji  \( B \). Taka ramka stanowi podstawowy element silnika elektrycznego. Przez ramkę płynie prąd o natężeniu  \( I \), a normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt  \( \theta  \) z polem  \( B \), tak jak na Rys. 1.

Rozpatrujemy siłę działającą na każdy z boków. Zauważmy, że siły  \( F_{b} \) działające na boki b znoszą się wzajemnie. Siły  \( F_{a} \) działające na boki a też się znoszą ale tworzą parę sił dającą wypadkowy moment siły obracający ramkę

lub w zapisie wektorowym (na podstawie definicji iloczynu wektorowego)

gdzie  \( S = ab \) jest powierzchnią ramki. Równanie ( 4 ) możemy zapisać w postaci wektorowej

gdzie  \( \mathbf{S} \) jest wektorem powierzchni.


Magnetyczny moment dipolowy

Pole magnetyczne działa więc na ramkę z prądem momentem skręcającym

obracając ją tak jak igłę kompasu, która umieszczona w polu magnetycznym obraca się, ustawiając zgodnie z polem. Położenie równowagi ramki występuje dla  \( \theta  \) = 0, tj. gdy moment dipolowy  \( \mu  \) jest równoległy do pola magnetycznego  \( B \) (ramka jest ustawiona prostopadle do pola). Ramka zachowuje się więc tak jak igła kompasu czyli dipol magnetyczny.

Obracając dipol magnetyczny pole magnetyczne wykonuje pracę i wobec tego dipol posiada energię potencjalną. Można pokazać, że energia potencjalna dipola magnetycznego związana z jego orientacją w zewnętrznym polu magnetycznym dana jest równaniem

Widzimy, że energia osiąga minimum dla momentu dipolowego  \( \mathbf{\mu}  \) równoległego do zewnętrznego pola magnetycznego  \( \mathbf{B} \), a maksimum gdy moment dipolowy jest skierowany przeciwnie do pola (zob. Rys. 1 ).

Jak już mówiliśmy ramka z prądem jest przykładem dipola magnetycznego. Taką "kołową ramką z prądem" jest również elektron krążący po orbicie w atomie. Moment dipolowy elektronu krążącego po orbicie o promieniu  \( r \) wynosi

Natężenie prądu  \( I \) wytwarzanego przez elektron o ładunku  \( e \) przebiegający orbitę w czasie  \( T \) (okres obiegu) wynosi

gdzie  \( v \) jest prędkością elektronu. Stąd

gdzie  \( L = mvr \) jest momentem pędu elektronu. Elektron, krążący po orbicie jest więc elementarnym dipolem magnetycznym. Własności magnetyczne ciał są właśnie określone przez zachowanie się tych elementarnych dipoli w polu magnetycznym. Własności te omawiamy w modułach Diamagnetyzm i paramagnetyzm oraz Ferromagnetyzm.

Definicja 1: Magnetyczny moment dipolowy

Wielkość wektorową

(1)

								\( {\mathbf{\mu} =\mathit{\mathbf{I} \cdot \mathbf{S}}} \)

nazywamy magnetycznym momentem dipolowym. Wektor  \( \mathbf{\mu}  \) jest prostopadły do płaszczyzny ramki z prądem.


Efekt Halla

Rozpatrzmy płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieszczoną w polu magnetycznym, prostopadłym do kierunku przepływu prądu. Jeżeli w płytce płynie prąd to na ładunki działała siła odchylająca powodująca zakrzywienie ich torów w kierunku jednej ze ścianek bocznych płytki tak jak pokazano na Rys. 1.

Gromadzenie się ładunków na ściance bocznej powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego Halla  \( E_{H} \).

gdzie  \( \Delta V_{LP} \) jest różnicą potencjałów pomiędzy stroną lewą L i prawą P, a d odległością między nimi (szerokością płytki). Zwróćmy uwagę, że strona prawa płytki ładuje się ujemnie i powstałe pole Halla przeciwdziała dalszemu przesuwaniu elektronów. Osiągnięty zostaje stan równowagi, w którym odchylające pole magnetyczne jest równoważone przez pole elektryczne Halla

Wynika stąd, że jeżeli zmierzymy  \( E_{H} \) (w praktyce  \( V_{LP} \)) i pole  \( B \) to możemy wyznaczyć  \( v_{u} \). Gdy  \( v_{u} \) i  \( B \) są prostopadłe to

Na podstawie równania Natężenie prądu elektrycznego-( 5 )

Znając  \( E_{H} \),  \( B \) oraz gęstość prądu, możemy wyznaczyć koncentrację nośników  \( n \). Zjawisko Halla znalazło w praktyce zastosowanie do pomiaru pól magnetycznych oraz do pomiaru natężenia prądu elektrycznego.


Dodatek: Cyklotron

Cyklotron jest przykładem akceleratora cyklicznego. Schemat cyklotronu jest pokazany na Rys. 1.

Dwie cylindryczne elektrody, tak zwane duanty, są umieszczone w jednorodnym polu magnetycznym  \( B \) prostopadłym do płaszczyzny duantów (płaszczyzny Rys. 1 ). Do tych elektrod doprowadzone jest z generatora zmienne napięcie, które cyklicznie zmienia kierunek pola elektrycznego w szczelinie pomiędzy duantami.

Jeżeli ze źródła Z (w środku cyklotronu) zostanie wyemitowana naładowana cząstka, to porusza się ona pod wpływem pola elektrycznego w stronę jednego z duantów. Gdy cząstka wejdzie do duantów wówczas przestaje na nią działać pole elektryczne (ekranowane przez miedziane ścianki duantów), natomiast zaczyna działać pole magnetyczne. Pod jego wpływem cząstka porusza się po torze kołowym (zob. Rys. 1 ). W wyniku tego cząstka ponownie wchodzi w obszar pomiędzy duantami. Jeżeli równocześnie zostanie zmieniony kierunek pola elektrycznego pomiędzy nimi, to cząstka ponownie doznaje przyspieszenia w szczelinie. Ten proces jest powtarzany cyklicznie, pod warunkiem, że częstotliwość z jaką krąży cząstka jest zsynchronizowana z częstotliwością zmian pola elektrycznego pomiędzy duantami. Jest to o tyle proste, że częstotliwość (okres) krążenia cząstki w polu  \( B \) nie zależy od jej prędkości

a częstotliwość tę można względnie łatwo "dostroić" zmieniając pole  \( B \).

Cząstka przechodząc przez szczelinę pomiędzy duantami, zwiększa swoją prędkość (przyspieszana polem elektrycznym) i równocześnie zwiększa promień  \( R \) swojej orbity zgodnie ze związkiem

Cząstki poruszają się po spirali (zob. Rys. 1 ). Po osiągnięciu maksymalnego promienia cząstki są wyprowadzane poza cyklotron za pomocą elektrody nazywanej deflektorem.

Maksymalna energia jaką uzyskują cząstki w cyklotronie jest ograniczona relatywistycznym wzrostem ich masy. Powyżej pewnej prędkości masa cząstek wzrasta i maleje częstotliwość krążenia cząstek co prowadzi do utraty synchronizacji.

Te trudności zostały rozwiązane w synchrotronie. W tego typu akceleratorze pole magnetyczne  \( B \) i częstotliwość oscylacji pola elektrycznego są zmieniane tak, że utrzymywana jest cały czas synchronizacja z krążącymi cząstkami co pozwala na osiąganie dużych (relatywistycznych) prędkości (energii).

Zwróćmy uwagę na to, że przy tak dużych prędkościach tor, po którym krążą cząstki osiąga znaczne rozmiary. Na przykład synchrotron protonów w laboratorium Fermiego (Fermilab) w USA ma obwód 6.3 km, a w ośrodku badawczym CERN pod Genewą aż 27 km.


Rozdział 4. Pole magnetyczne przewodników z prądem

Prawo Ampere'a

Doświadczalnie można wyznaczyć linie pola magnetycznego przy użyciu na przykład opiłków żelaza, które zachowują się jak dipole magnetyczne. Opiłki ustawiają się zgodnie z kierunkiem  \( \mathbf{B} \) i dają obraz linii pola magnetycznego. Doświadczenie takie można obejrzeć jest zaprezentowane poniżej

Film został udostępniony przez Politechnikę Warszawską na licencji Creative Commons CC BY-SA 3.0 PL https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/ dla potrzeb e-podręczników AGH.

Na Rys. 1 pokazany jest rozkład opiłków żelaza wokół prostoliniowego przewodnika z prądem.

Widzimy więc, że linie pola  \( \mathbf{B} \) wytwarzanego przez przewodnik są zamkniętymi współśrodkowymi okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika tak jak pokazano na Rys. 2. Wektor  \( \mathbf{B} \) jest styczny do tych linii pola w każdym punkcie.

Zwrot wektora indukcji  \( \mathbf{B} \) wokół przewodnika wyznaczamy, stosując następującą zasadę: jeśli kciuk prawej ręki wskazuje kierunek prądu  \( I \), to zgięte palce wskazują kierunek  \( \mathbf{B} \) (linie pola  \( \mathbf{B} \) krążą wokół prądu).

Natomiast wartość pola  \( \mathbf{B} \) wokół przewodnika z prądem można obliczyć, korzystając z prawa Ampère'a.

Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występujące rozkłady prądów, takie jak przewodniki prostoliniowe, cewki, itp. Potrzebujemy prawa analogicznego do prawa Gaussa, które pozwalało na podstawie znajomości ładunku (źródła pola  \( \mathbf{E} \)) wyznaczyć natężenie pola  \( \mathbf{E} \). Dla pola magnetycznego szukamy związku pomiędzy prądem (źródłem pola  \( \mathbf{B} \)).

Pokazaliśmy, że linie pola magnetycznego wokół przewodnika z prądem stanowią zamknięte okręgi. Stąd, zamiast sumowania (całki) po zamkniętej powierzchni (jak w prawie Gaussa), w prawie Ampère'a sumujemy (całkujemy) po zamkniętym konturze (liczymy całkę krzywoliniową). Taka całka dla pola  \( \mathbf{E} \) równała się wypadkowemu ładunkowi wewnątrz powierzchni, a w przypadku pola  \( \mathbf{B} \) jest równa całkowitemu prądowi  \( I \)otoczonemu przez kontur. Tak jak w przypadku prawa Gaussa, wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkniętej, tak dla prawa Ampère'a wynik nie zależy od kształtu konturu zamkniętego.

Stała  \( \mu _{0} = 4\pi·10^{-7} \) Tm/A, jest tzw. przenikalnością magnetyczną próżni. Gdy pole magnetyczne jest wytworzone nie w próżni ale w jakimś ośrodku to fakt ten uwzględniamy wprowadzając stałą materiałową  \( \mu _{r} \), zwaną względną przenikalnością magnetyczną ośrodka tak, że prawo Ampère'a przyjmuje postać


Zastosowanie prawa Ampere'a - prostoliniowy przewodnik


Zastosowanie prawa Ampere'a - cewka


Oddziaływanie równoległych przewodników z prądem

Na Rys. 1 przedstawione są dwa prostoliniowe przewodniki z prądem umieszczone równoległe w próżni w odległości  \( d \) od siebie.

Przewodnik 'a' wytwarza w swoim otoczeniu w odległości  \( d \) pole magnetyczne, które zgodnie ze wzorem Zastosowanie prawa Ampere'a - prostoliniowy przewodnik-( 3 ) wynosi

W tym polu znajduje się przewodnik 'b', w którym płynie prąd I \( _{b} \). Na odcinek  \( l \) tego przewodnika działa siła

Zwrot siły jest pokazany na Rys. 1. Oczywiście to rozumowanie można "odwrócić" i obliczyć siłę jaka działa na przewodnik 'a' w polu magnetycznym wytwarzanym przez przewodnik 'b'. Wynik obliczeń jest ten sam co wprost wynika z trzeciej zasady dynamiki Newtona. Widzimy, że dwa równoległe przewodniki z prądem oddziaływają na siebie za pośrednictwem pola magnetycznego. Przewodniki, w których prądy płyną w tych samych kierunkach przyciągają się, a te w których prądy mają kierunki przeciwne odpychają się.

Doświadczenie to można prześledzić na filmie poniżej

Film został udostępniony przez Politechnikę Warszawską na licencji Creative Commons BY-SA 3.0. PL dla potrzeb e-podręczników AGH.


Prawo Biota-Savarta

Istnieje równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć pole  \( B \) z rozkładu prądu. To prawo jest matematycznie równoważne z prawem Ampère'a (zob. moduł Prawo Ampere'a ). Jednak prawo Ampère'a można stosować tylko, gdy znana jest symetria pola (trzeba ją znać do obliczenie odpowiedniej całki). Gdy ta symetria nie jest znana, wówczas dzielimy przewodnik z prądem na różniczkowo małe elementy i stosując prawo Biota-Savarta, obliczamy pole jakie one wytwarzają w danym punkcie. Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów żeby uzyskać wypadkowy wektor  \( B \). Na Rys. 1 pokazany jest krzywoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu  \( I \). Zaznaczony jest element  \( dl \) tego przewodnika i pole  \( dB \) jakie wytwarza w punkcie P.

Zgodnie z prawem Biota-Savarta pole  \( dB \) w punkcie P wynosi


Podsumowanie informacji o polu magnetycznym


Zadania z pola magnetycznego


Prawo indukcji Faradaya

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu siły elektromotorycznej SEM w obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła pola magnetycznego i tego obwodu. Mówimy, że w obwodzie jest indukowana siła elektromotoryczna indukcji (SEM indukcji). W obwodzie zamkniętym SEM indukcji wywołuje przepływ prądu indukcyjnego i w konsekwencji powstanie wytwarzanego przez ten prąd indukowanego pola magnetycznego.

Na Rys. 1 pokazany jest efekt wywołany przemieszczaniem źródła pola magnetycznego (magnesu) względem nieruchomej przewodzącej pętli (obwodu).

Doświadczenie pokazuje, że indukowane: siła elektromotoryczna, prąd i pole magnetyczne powstają w obwodzie tylko podczas ruchu magnesu. Gdy magnes spoczywa to bez względu na to czy znajduje się w oddaleniu od obwodu czy bezpośrednio przy nim nie obserwujemy zjawiska indukcji. Ponadto, gdy magnes rusza z miejsca i zwiększa swoją prędkość to rośnie indukowane pole magnetyczne, co oznacza, że rosną SEM indukcji i prąd indukowany. Dzieje się tak aż do chwili, gdy magnes zacznie poruszać się ze stałą prędkością. Natomiast gdy magnes zatrzymuje się (jego prędkość maleje) to indukowane pole, SEM i prąd również maleją zanikając do zera z chwilą zatrzymania magnesu.

Doświadczenie pokazuje, że prąd indukcyjny obserwujemy, gdy źródło pola magnetycznego porusza się względem nieruchomej pętli (obwodu), ale również gdy przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego. Oznacza to, że dla powstania prądu indukcyjnego potrzebny jest względny ruch źródła pola magnetycznego i przewodnika.

Na podstawie powyższych obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że o powstawaniu siły elektromotorycznej indukcji decyduje szybkość zmian strumienia magnetycznego  \( \phi_{B} \). Ilościowy związek przedstawia prawo Faradaya.

Analogicznie jak strumień pola elektrycznego  \( E \), strumień pola magnetycznego  \( B \) przez powierzchnię  \( S \) jest dany ogólnym wzorem

który dla płaskiego obwodu w jednorodnym polu magnetycznym wyrażenie upraszcza się do postaci

gdzie  \( \alpha  \) jest kątem między polem  \( B \), a wektorem powierzchni  \( S \) (normalną do powierzchni).

Widzimy, że możemy zmienić strumień magnetyczny, i w konsekwencji wyindukować prąd w obwodzie, zmieniając wartość pola magnetycznego w obszarze, w którym znajduje się przewodnik. Taką sytuację mamy przedstawioną na Rys. 1. Magnes jest zbliżany do obwodu i w wyniku tego narasta pole magnetyczne (pochodzące od magnesu) przenikające przez obwód (pętlę). Gdy magnes zostaje zatrzymany, pole wewnątrz pętli przestaje zmieniać się i nie obserwujemy zjawiska indukcji.

Również zmiana wielkości powierzchni  \( S \) obwodu powoduje zmianę strumienia magnetycznego. W trakcie zwiększania (lub zmniejszania) powierzchni zmienia się liczba linii pola magnetycznego przenikających (obejmowanych) przez powierzchnię  \( S \) obwodu. W rezultacie w obwodzie zostaje wyindukowany prąd.

Wreszcie, zmianę strumienia magnetycznego można uzyskać poprzez obrót obwodu w polu magnetycznym (zmiana kąta  \( \alpha  \)) tak jak pokazano na Rys. 2.

Zwróćmy uwagę na to, że strumień zmienia zarówno swoją wartość, jak i znak, więc indukowana jest zmienna SEM. Jeżeli ramka obraca się z prędkością kątową  \( \omega =\alpha t  \) to strumień (zgodnie ze wzorem ( 3 ) ) jest dany wyrażeniem

Indukowana jest zmienna SEM i tym samym zmienny prąd. Ten sposób jest właśnie wykorzystywany powszechnie w prądnicach (generatorach prądu).


Reguła Lenza

Zauważmy, że w równaniu Prawo indukcji Faradaya-( 1 ) przedstawiającym prawo Faradaya występuje znak minus. Dotyczy on kierunku indukowanej SEM w obwodzie zamkniętym. Ten kierunek możemy wyznaczyć na podstawie reguły Lenza.

Regułę tę obrazuje Rys. 1. Przedstawia on efekt wywołany przemieszczaniem źródła pola magnetycznego (magnesu) względem nieruchomej pętli (obwodu) zarówno przy zbliżaniu (a), jak i przy oddalaniu magnesu (b).

Pokazuje, że kierunek prądu indukowanego w pętli i wytwarzanego przez niego pola magnetycznego zależy od tego czy strumień pola magnetycznego pochodzącego od przesuwanego magnesu rośnie, czy maleje czyli od tego czy zbliżamy, czy oddalamy magnes od przewodnika.

Prąd  \( I \) indukowany w obwodzie ma taki kierunek, że pole indukcji  \( B_{ind} \) przez niego wytworzone przeciwdziała zmianom zewnętrznego pola  \( B \) (np. od magnesu). Gdy pole  \( B \) narasta to pole  \( B_{ind} \) jest przeciwne do niego (przeciwdziałając wzrostowi), natomiast, gdy pole  \( B \) maleje, to pole  \( B_{ind} \) jest z nim zgodne (kompensując spadek).

Na Rys. 2 pokazany jest kolejny przykład ilustrujący zjawisko indukcji i regułę Lenza. Obwód w kształcie prostokątnej pętli jest wyciągany z obszaru stałego pola magnetycznego (prostopadłego do pętli) ze stałą prędkością  \( v \).

Przestawiona sytuacja jest podobna do omawianej poprzednio i pokazanej na Rys. 1, tylko teraz obwód przemieszcza się względem pola magnetycznego, a nie źródło pola względem obwodu. Dla powstania prądu indukcyjnego potrzebny jest względny ruch źródła pola magnetycznego i przewodnika.

W wyniki ruchu ramki maleje strumień pola przez ten obwód ponieważ malej obszar ramki, który wciąż pozostaje w polu magnetycznym; przez ramkę przenika coraz mniej linii pola  \( B \).

Jeżeli ramka przesuwa się o odcinek  \( \Delta x \), to obszar ramki o powierzchni  \( \Delta S  \) wysuwa się z pola  \( B \) i strumień przenikający przez ramkę maleje o

gdzie  \( a \) jest szerokością ramki. Jeżeli ta zmiana nastąpiła w czasie  \( \Delta t \) to zgodnie z prawem Faradaya wyindukowała się siła elektromotoryczna

gdzie  \( v \) jest prędkością ruchu ramki.

Jeżeli ramka jest wykonana z przewodnika o oporze  \( R \), to w obwodzie płynie prąd indukcji (zob. Rys. 2 ) o natężeniu

Ponieważ obwód znajduje się (częściowo) w polu magnetycznym, to na boki ramki (te znajdujące się w polu  \( B \)) działa siła Lorentza (równanie Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem-( 5 ) ). Siły te są przedstawione na Rys. 2. Widzimy, że siły ( \( F_{b} \)) działające na dłuższe boki ramki znoszą się i pozostaje nieskompensowana siła  \( F_{a} \), która działa przeciwnie do kierunku ruchu ramki. Siła  \( F_{a} \) przeciwdziała więc, zgodnie z regułą Lenza, zmianom strumienia magnetycznego.


Indukcyjność

Powszechnie stosowanym urządzeniem, w którym wykorzystano zjawisko indukcji elektromagnetycznej jest transformator. W urządzeniu tym dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej). Jedna z tych cewek jest zasilana prądem przemiennym wytwarzającym w niej zmienne pole magnetyczne, które z kolei wywołuje SEM indukcji w drugiej cewce. Ponieważ obie cewki obejmują te same linie pola  \( B \) to zmiana strumienia magnetycznego jest w nich jednakowa. Zgodnie z prawem Faradaya

gdzie  \( N_{1} \) jest liczba zwojów w cewce pierwotnej, a  \( N_{2} \) liczbą zwojów w cewce wtórnej. Stosunek napięć w obu cewkach wynosi zatem

Widać, że regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże i odwrotnie. Ta wygodna metoda zmiany napięć jest jednym z powodów, dla którego powszechnie stosujemy prąd przemienny. Ma to duże znaczenie przy przesyłaniu energii. Generatory wytwarzają na ogół prąd o niskim napięciu. Chcąc zminimalizować straty mocy w liniach przesyłowych, zamieniamy to niskie napięcie na wysokie, a przed odbiornikiem transformujemy je z powrotem na niskie.

W przypadku transformatora zmiany prądu w jednym obwodzie indukują SEM w drugim obwodzie. Ale o zjawisku indukcji możemy mówić również w przypadku pojedynczego obwodu. Wynika to stąd, że prąd płynący w obwodzie wytwarza własny strumień magnetyczny, który przenika przez ten obwód. Wobec tego

Tę siłę elektromotoryczną nazywamy siłą elektromotoryczną samoindukcji, a samo zjawisko zjawiskiem indukcji własnej. Jeżeli obwód (cewka) zawiera  \( N \) zwojów to

Całkowitym strumień  \( N\phi_B \) zawarty w obwodzie jest proporcjonalny do natężenie prądu płynącego przez obwód

nazywamy indukcyjnością (współczynnikiem indukcji własnej lub współczynnikiem samoindukcji). Zróżniczkowanie równania ( 8 ) prowadzi do wyrażenia

Łącząc równania ( 6 ) i ( 9 ), otrzymujemy wyrażenie na siłę elektromotoryczną samoindukcji

Definicja 1: Jednostka indukcyjności

Jednostką indukcyjności  \( L \) jest henr (H);  \( 1 \) H  \(  =1 \) Vs/A.


Energia pola magnetycznego

W module Energia pola elektrycznego w kondensatorze pokazaliśmy, że jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne o natężeniu  \( E \), możemy uważać, że w tym punkcie jest zmagazynowana energia w ilości  \( ½\varepsilon_{0}E^{2} \) na jednostkę objętości. Podobnie energia może być zgromadzona w polu magnetycznym. Rozważmy na przykład obwód zawierający cewkę o indukcyjności  \( L \). Jeżeli do obwodu włączymy źródło SEM (np. baterię), to prąd w obwodzie narasta od zera do wartości maksymalnej  \( I_{0} \). Zmiana prądu w obwodzie powoduje powstanie na końcach cewki różnicy potencjałów  \( \Delta V \) (SEM indukcji  \( \varepsilon  \)) przeciwnej do SEM przyłożonej

Do pokonania tej różnicy potencjałów przez ładunek  \( dq \) potrzeba jest energia (praca)  \( dW \)

Energię tę (pobraną ze źródła SEM) ładunek przekazuje cewce, więc energia cewki wzrasta o  \( dW \). Całkowita energia magnetyczna zgromadzona w cewce podczas narastania prądu od zera do  \( I_{0} \) wynosi więc

Jeżeli rozpatrywana cewka ma długości  \( l \) i powierzchnię przekroju  \( S \), to jej objętość jest równa iloczynowi  \( lS \) i gęstość energii magnetycznej zgromadzonej w cewce wynosi

Przypomnijmy, że dla cewki indukcyjność i pole magnetyczne dane są odpowiednio przez wyrażenia

co prowadzi do wyrażenie opisującego gęstość energii magnetycznej w postaci


Drgania w obwodzie LC

Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności  \( L \) (cewki) i pojemności  \( C \) (kondensatora) pokazany na Rys. 1. Przyjmijmy, że opór elektryczny (omowy) obwodu jest równy zeru ( \( R = 0 \)). Załóżmy też, że w chwili początkowej na kondensatorze  \( C \) jest nagromadzony ładunek  \( Q_{0} \), a prąd w obwodzie nie płynie ( Rys. 1a). W takiej sytuacji energia zawarta w kondensatorze

Następnie kondensator zaczyna rozładowywać się ( Rys. 1b). W obwodzie płynie prąd  \( I = dQ/dt \). W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze, maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu.

Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki ( Rys. 1c). Jednak pomimo, że kondensator jest całkowicie rozładowany prąd dalej płynie w obwodzie (w tym samym kierunku). Jego źródłem jest SEM samoindukcji powstająca w cewce, która podtrzymuje słabnący prąd. Ten prąd ładuje kondensator (przeciwnie), więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora ( Rys. 1d). Wreszcie ładunek na kondensatorze osiąga maksimum a prąd w obwodzie zanika. Stan końcowy jest więc taki jak początkowy tylko kondensator jest naładowany odwrotnie ( Rys. 1e).

Sytuacja powtarza się, tylko teraz prąd rozładowania kondensatora będzie płynął w przeciwnym kierunku. Mamy więc do czynienia z oscylacjami (drganiami) ładunku (prądu). Zmienia się zarówno wartość jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i prądu w obwodzie.

Do opisu ilościowego tych drgań skorzystamy z prawa Kirchhoffa, zgodnie z którym

gdzie  \( U_{L} \) i  \( U_{C} \) są napięciami odpowiednio na cewce i kondensatorze. Korzystając z równań Indukcyjność-( 10 ) i Pojemność elektryczna-( 1 ), otrzymujemy

Jest to równanie drgań w obwodzie  \( LC \). Równanie to opisujące oscylacje ładunku ma identyczną postać, jak równanie Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 3 ) drgań swobodnych masy zawieszonej na sprężynie, przy czym następujące wielkości elektryczne odpowiadają wielkościom mechanicznym: ładunek  \( Q  \)  \( \rightarrow \) przesunięcie  \( x \); indukcyjność  \( L \rightarrow \) masa  \( m \); pojemność  \( C \rightarrow \) odwrotność współczynnika sprężystości  \( 1/k \); prąd  \( I = dQ/dt{ }\rightarrow \) prędkość  \( v = dx/dt \).

Ponieważ zagadnienie drgań swobodnych zostało rozwiązane w module Siła harmoniczna i drgania swobodne, więc możemy skorzystać z uprzednio wyprowadzonych wzorów i napisać rozwiązanie równania ( 5 )

gdzie częstość drgań jest dana wyrażeniem

Możemy teraz obliczyć napięcie chwilowe na cewce i kondensatorze

Zauważmy, że maksymalne wartości (amplitudy) tych napięć są takie same

Z powyższych wzorów wynika, że w obwodzie  \( LC \) ładunek na kondensatorze, natężenie prądu i napięcie zmieniają się sinusoidalnie tak jak dla drgań harmonicznych. Zauważmy ponadto, że między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, równa  \( \pi /2  \). Gdy napięcie osiąga maksymalną wartość to prąd jest równy zeru i na odwrót.

Więcej o innych obwodach ( \( RC \),  \( RL \)), w których natężenie prądu zmienia się w czasie możesz przeczytać w module Dodatek: Obwody RC i RL, stałe czasowe.


Obwód szeregowy RLC

Każdy obwód, poza indukcyjność  \( L \) oraz pojemność  \( C \), ma także pewien opór  \( R \), przykładowo jest to opór drutu, z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w module Oscylator harmoniczny tłumiony, przy czym współczynnik tłumienia  \( \beta = 1/(2\tau)  \) jest równy  \( R/2L \). Drgania w obwodzie  \( RLC \) można podtrzymać, jeżeli obwód będziemy zasilać zmienną SEM ze źródła zewnętrznego włączonego do obwodu na przykład tak, jak pokazano na Rys. 1.

Jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym

to prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy  \( R \),  \( L \),  \( C \) oraz źródło napięcia (SEM) ma postać

Różniczkując to wyrażenie obustronnie po  \( dt \) i podstawiając  \( I = dQ/dt \) otrzymujemy równanie

Równanie to jest analogiczne do równania drgań wymuszonych (zob. moduł Drgania wymuszone i rezonans-( 5 ) ). Możemy więc skorzystać z uzyskanych poprzednio wyników. Z tej analogii wynika, że rozwiązaniem równania ( 4 ) jest funkcja

Różnica faz jaka istnieje między napięciem i natężeniem prądu jest dana równaniem

Zauważmy, że to wyrażenie ma postać (prawa Ohma) przy czym stała proporcjonalności pomiędzy  \( U_0 \) i  \( I_{0} \)

pełni analogiczną rolę jak opór  \( R \) w prawie Ohma. Wielkość  \( Z \) nazywamy zawadą obwodu. Zauważmy, że gdy obwód zawiera tylko kondensator i źródło sinusoidalnie zmiennego napięcia to zawada jest równa

Tę wielkość nazywamy opornością pojemnościową lub reaktancją pojemnościową. W takim obwodzie różnica faz pomiędzy napięciem i natężeniem prądu wynosi  \( \pi /2  \). Prąd "wyprzedza" napięcie na kondensatorze o  \( \pi /2  \). Natomiast gdyby obwód zawiera tylko cewkę i źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego, to zawada jest równa

Tę wielkość nazywamy opornością indukcyjną lub reaktancją indukcyjną. Ponownie między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, równa  \( \pi /2  \), ale teraz prąd "pozostaje" za napięciem na cewce o  \( \pi /2 \). Zauważmy, że w obwodzie  \( RLC \) mamy do czynienia z szeregowym połączeniem oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego ( Rys. 1 ), a mimo to ich opór zastępczy (zawada) nie jest sumą algebraiczną tych oporów tak jak w przypadku łączenia szeregowego wielu oporów omowych. Ten fakt wynika ze wspomnianych przesunięć fazowych pomiędzy prądem i napięciem. Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć i w konsekwencji przy liczeniu zawady. O obliczaniu zawady w obwodzie  \( RLC \) możesz przeczytać w module Dodatek: Zawada w obwodzie RLC.


Rezonans w obwodach prądu zmiennego

Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania  \( \omega  \) (częstością wymuszającą). Analogicznie jak dla mechanicznych drgań wymuszonych (zob. moduł Drgania wymuszone i rezonans ) amplituda tych drgań zależy od  \( \omega  \) i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy rezonansem.

Dla małego oporu  \( R \) czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony, gdy

gdzie  \( \omega_{0} \) jest częstością drgań nietłumionych (drgania w obwodzie  \( LC \)). Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą

Widzimy, że natężenie prądu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani pojemności ani indukcyjności.

W warunkach rezonansu napięcie na kondensatorze (w obwodzie  \( RLC \)) jest równe

i może być wielokrotnie większe od napięcia zasilającego. Możesz to sprawdzić rozwiązując następujące zagadnienie:


Moc w obwodzie prądu zmiennego

O mocy wydzielanej w obwodzie prądu stałego mówiliśmy w module Praca i moc prądu elektrycznego, straty cieplne. W obwodzie prądu zmiennego moc dana jest takim samym wyrażeniem

ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w przypadku prądu zmiennego do obliczenia mocy posłużymy się wartościami średnimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie  \( RLC \) w dowolnej chwili  \( t \) wynosi

Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów, otrzymujemy

gdzie ponadto skorzystaliśmy z relacji   \( {\sin}\mathit{\omega t} {\cos}\mathit{\omega t} = {\sin}2\mathit{\omega t}/2 \). Moc średnia jest więc dana wyrażeniem

Ponieważ   \( {\sin}^{{2}}\mathit{\omega t}+{\cos}^{{2}}\mathit{\omega t}=1 \), to   \( {\overline{{{\sin}^{{2}}\mathit{\omega t}}}=\overline{{{\cos}^{{2}}\mathit{\omega t}}}=1/{2}} \) (wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o  \( \pi /2 \)). Ponadto   \( {\overline{{{\sin}2\mathit{\omega t}}}=0} \), bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna, więc

Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem i prądem.

Na podstawie wzoru Obwód szeregowy RLC-( 6 ) i korzystając ze związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta można pokazać, że   \( {{\cos}\varphi =R/Z} \). Uwzględniając, ponadto że  \( U_0 = ZI_{0} \) możemy przekształcić wyrażenie na moc średnią do postaci

Przypomnijmy, że dla prądu stałego  \( {P=I^{{2}}R} \). Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie  \( I_{0} \) jest taka sama, jak prądu stałego o natężeniu.

Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze średnią mocą traconą na oporze  \( R \)

Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze  \( R \), a to oznacza, że na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy. Ten wniosek pozostaje w zgodności z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność lub indukcyjność (nie ma oporu omowego), to przesuniecie fazowe jest równe  \( \pi /2 \), a ponieważ  \( cos(\pi /2) = 0 \), to zgodnie z równaniem ( 5 ) średnia moc jest równa zeru. Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu).

Omawiane obwody, w których elementy  \( R \),  \( L \),  \( C \) stanowiły odrębne części nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która oprócz indukcyjności  \( L \) ma zawsze opór  \( R \) oraz pojemność międzyzwojową  \( C \). Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach rozłożonych.

Definicja 1: Wartość skuteczna natężenia prądu zmiennego

(7)

								\( {I_{{\text{sk}}}=\frac{I_{{0}}}{\sqrt{2}}} \)

Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną natężenia prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartość napięcia.

Definicja 2: Wartość skuteczna napięcia prądu zmiennego

(8)

								\( {U_{{\text{sk}}}=\frac{U_{{0}}}{\sqrt{2}}} \)


Dodatek: Obwody RC i RL, stałe czasowe

Na Rys. 1 pokazany jest obwód złożony z opornika  \( R \), pojemności  \( C \) i idealnego (bez oporu wewnętrznego) źródła napięcia (SEM)  \( \varepsilon  \).

Celem naładowania kondensatora zamykamy wyłącznik do pozycji (a). Prąd jaki popłynie w obwodzie  \( RC \) obliczamy, korzystając z prawa Kirchoffa, zgodnie z którym

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja  \( Q(t) \) postaci

Natomiast prąd w obwodzie obliczamy z zależności  \( I = dQ/dt \)

Obie zależności zostały pokazane na Rys. 2 oraz Rys. 3.

Z przedstawionych wykresów widać, że ładunek na kondensatorze narasta, a prąd maleje eksponencjalnie z czasem. Szybkość tych zmian zależy od wielkość  \( \tau = RC  \), która ma wymiar czasu i jest nazywana stałą czasową obwodu.

Jeżeli teraz w obwodzie przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać kondensator. Teraz w obwodzie nie ma źródła SEM i prawo Kirchoffa dla obwodu przyjmuje postać

Zarówno ładunek jak i prąd maleją eksponencjalnie ze stałą czasową \( \tau=RC \).

Analogicznie, jak w obwodzie  \( RC \), opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu obserwuje się w obwodzie  \( RL \)  przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.

Gdyby w obwodzie znajdował się tylko opornik  \( R \), to po ustawieniu wyłącznika w pozycji (a) prąd osiągnąłby natychmiast wartość  \( \varepsilon /R  \). Obecność indukcyjności  \( L \) w obwodzie powoduje, że pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji  \( \varepsilon_{L} \), która zgodnie z regułą Lenza przeciwdziała wzrostowi prądu co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do  \( \varepsilon  \).

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja  \( I(t) \) postaci

Prąd w obwodzie narasta eksponencjalnie ze stałą czasową  \( \tau=L/R \). Podobnie rośnie napięcie na oporniku  \( R \)

Natomiast napięcie na indukcyjności  \( L \) maleje z tą samą stałą czasową

Jeżeli po ustaleniu się prądu w obwodzie, przestawimy przełącznik do pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM i spowodujemy zanik prądu w obwodzie. Ponownie jednak indukcyjność  \( L \) powoduje, że prąd nie zanika natychmiastowo.

Spadek prądu obliczamy ponownie na podstawie prawa Kirchoffa (równanie( 12 ) ) uwzględniając, że  \( \varepsilon=0  \)

Obserwujemy zanik prądu, ponownie ze stałą czasową  \( \tau=L/R.  \)


Dodatek: Zawada w obwodzie RLC

W omawianym obwodzie  \( RLC \) pomimo szeregowego połączenia oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego opór zastępczy (zawada) nie jest sumą algebraiczną tych oporów. Wynika to bezpośrednio z występujących w obwodzie przesunięć fazowych pomiędzy prądem i napięciem, które trzeba uwzględniać przy dodawaniu napięć i w konsekwencji przy liczeniu zawady.

Żeby to sprawdzić obliczmy napięcie wypadkowe w obwodzie  \( RLC \)

Po podstawieniu odpowiednich wyrażeń i uwzględnieniu przesunięć fazowych pomiędzy prądem i napięciem dla poszczególnych elementów obwodu otrzymujemy

Zwróćmy uwagę, że na kondensatorze napięcie  \( U \) pozostaje za prądem  \( I \), a na cewce  \( U \) wyprzedza  \( I \).

Równanie ( 3 ) można przekształcić do postaci

Mamy więc teraz dodać do siebie dwie funkcje, sinus i cosinus.

W tym celu skorzystamy z wyrażenia Obwód szeregowy RLC-( 6 ), zgodnie z którym  \( {(X_{{L}}-X_{{C}})/{R}=tg\varphi } \). Relacja ta, pokazana na rysunku poniżej, przedstawia związek między reaktancjami  \( X_{L} \),  \( X_{C} \) oporem  \( R \) oraz kątem fazowym  \( \varphi  \).

Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie  \( {Z=\sqrt{R^{{2}}+\left(X_{{L}}-X_{{C}}\right)^{{2}}}} \).

Dzielimy teraz obustronnie równanie ( 4 ) przez  \( Z \) i otrzymujemy

z której wynika, że napięcie  \( U \) wyprzedza prąd  \( {I=I_{{0}}{\sin}(\mathit{\omega t}-\varphi )} \) o kąt fazowy  \( \varphi  \) oraz, że zawada  \( Z \) jest stałą proporcjonalności pomiędzy  \( U_0 \) i  \( I_{0} \).


Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Przypomnijmy, że analogicznie jak strumień pola elektrycznego  \( {\bf E } \), strumień pola magnetycznego  \( {\bf B } \) przez powierzchnię  \( S \) jest dany ogólnym wzorem

Jednak, jak już podkreślaliśmy istnieje zasadnicza różnica między stałym polem magnetycznym i elektrycznym, różnica pomiędzy liniami pola elektrycznego i magnetycznego. Linie pola magnetycznego są zawsze liniami zamkniętymi podczas gdy linie pola elektrycznego zaczynają się i kończą na ładunkach. Ponieważ linie pola  \( {\bf B } \) są krzywymi zamkniętymi, więc dowolna powierzchnia zamknięta otaczająca źródło pola magnetycznego jest przecinana przez tyle samo linii wychodzących ze źródła co wchodzących do niego (zob. Rys. 1 ).

W konsekwencji strumień pola magnetycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zeru

Ten ogólny związek znany jest jako prawo Gaussa dla pola magnetycznego. Wynik ten wiąże się z faktem, że nie udało się zaobserwować w przyrodzie (pomimo wielu starań) ładunków magnetycznych (pojedynczych biegunów) analogicznych do ładunków elektrycznych.


Indukowane wirowe pole elektryczne

W module Prawo indukcji Faradaya przedstawione zostało zjawisko indukcji elektromagnetycznej polegające na powstawaniu siły elektromotorycznej  \( SEM \) w obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła pola magnetycznego i tego obwodu.

Ponieważ prawo Faradaya określa indukowaną  \( SEM \) niezależnie od sposobu w jaki zmieniamy strumień magnetyczny, więc w szczególności zmiana strumienia magnetycznego może być wywołana zmieniającym się w czasie polem magnetycznym. Jeżeli w tym zmiennym polu magnetycznym umieścimy przewodzącą kołową pętlę (obwód), to w tym obwodzie popłynie prąd. Oznacza to, że w miejscu gdzie znajduje się przewodnik istnieje pole elektryczne  \( {\bf E } \), które działa na ładunki elektryczne w przewodniku wywołując ich ruch.

To pole elektryczne  \( {\bf E } \) zostało wytworzone (wyindukowane) przez zmieniające się pole magnetyczne  \( {\bf B } \). Ogólnie:

Jako przykład rozpatrzmy jednorodne pole magnetyczne  \( {\bf B } \), którego wartość maleje z czasem ze stałą szybkością  \( dB/dt \). Na Rys. 1 pokazano natężenie pola elektrycznego  \( {\bf E } \) wyindukowanego przez to malejące pole  \( {\bf B } \). Kierunek wyindukowanego pola elektrycznego określamy z reguły Lenza, analogicznie jak znajdowaliśmy kierunek indukowanego prądu (który to pole elektryczne wywołuje w przewodniku). Zauważmy przy tym, że obecność pętli (obwodu) nie jest konieczna. Jeżeli go nie będzie, to nie będziemy obserwować przepływu prądu jednak indukowane pole elektryczne  \( {\bf E } \) będzie nadal istnieć.

Linie indukowanego pola elektrycznego mają kształt koncentrycznych okręgów (zamkniętych linii), co w zasadniczy sposób różni je od linii pola  \( {\bf E } \) związanego z ładunkami, które nie mogą być liniami zamkniętymi, bo zawsze zaczynają się na ładunkach dodatnich i kończą na ujemnych. Zapamiętajmy, że indukowane pola elektryczne nie są związane z ładunkiem, ale ze zmianą strumienia magnetycznego. Indukowane pole elektryczne nazywamy (ze względu na kształt linii) wirowym polem elektrycznym. Natężenia kołowego pola elektrycznego pokazanego na Rys. 1 jest zgodnie z równaniem Potencjał elektryczny-( 5 ) związane z indukowaną siłą elektromotoryczna relacją

gdzie całkowanie odbywa się po drodze, na której działa siła to jest wzdłuż linii pola elektrycznego. W polu elektrycznym pokazanym na Rys. 1 ładunki elektryczne poruszają się po torach kołowych, więc równanie ( 1 ) przyjmuje postać  \( {\varepsilon ={E2\pi r}} \). Korzystając z równania ( 1 ) możemy zapisać uogólnione prawo indukcji Faradaya w postaci


Indukowane pole magnetyczne

W poprzednim paragrafie dowiedzieliśmy się, że zmianom pola magnetycznego towarzyszy zawsze powstanie pola elektrycznego. Teraz zajmiemy się powiązaniem prędkości zmian pola elektrycznego z wielkością wywołanego tymi zmianami pola magnetycznego.

W tym celu rozpatrzmy obwód elektryczny zawierający kondensator cylindryczny pokazany na Rys. 1.

W stanie ustalonym pole elektryczne w kondensatorze jest stałe. Natomiast gdy ładujemy lub rozładowujemy kondensator to do okładek dopływa (lub z nich ubywa) ładunek i w konsekwencji zmienia się pole elektryczne  \( {\bf E } \) w kondensatorze. Doświadczenie pokazuje, że pomiędzy okładkami kondensatora powstaje pole magnetyczne wytworzone przez zmieniające się pole elektryczne. Linie pola, pokazane na Rys. 1, mają kształt okręgów tak jak linie pola wokół przewodnika z prądem. Pole magnetyczne jest wytwarzane w kondensatorze tylko podczas jego ładowania lub rozładowania. Tak więc pole magnetyczne może być wytwarzane zarówno przez przepływ prądu (prawo Ampère'a) jak i przez zmienne pole elektryczne.

Na tej podstawie Maxwell uogólnił prawo Ampère'a do postaci

Sprawdźmy czy stosując tę modyfikację uzyskamy poprawny wynik na pole  \( B \) pomiędzy okładkami. Z prawa Gaussa wynika, że strumień pola elektrycznego pomiędzy okładkami kondensatora wynosi

Różniczkując to wyrażenie obustronnie po dt otrzymujemy

Przypomnijmy, że zgodnie z prawem Ampère'a

Podstawiając za prąd  \( I \) (równanie ( 3 ) ), otrzymujemy wyrażenie

identyczne z wyrazem dodanym przez Maxwella do prawa Ampère'a.

Mówiąc o polu magnetycznym wytwarzanym przez zmienne pole elektryczne, możemy posłużyć się pojęciem prądu przesunięcia. Więcej na ten temat możesz przeczytać w module Prąd przesunięcia.


Prąd przesunięcia

W module Indukowane pole magnetyczne-Rys. 1 widzimy, że linie pola  \( B \) mają taki sam kształt, jak linie wytworzone przez przewodnik z prądem. Zauważmy ponadto, że w uogólnionym prawie Ampère`a

wyraz  \( {\varepsilon_{{0}}\mathit{d\phi}_{{E}}/{\mathit{dt}} } \) ma wymiar prądu.

Mimo, że nie mamy tu do czynienia z ruchem ładunków w obszarze pomiędzy okładkami kondensatora, to wyraz ten z przyczyn wymienionych powyżej nazywamy prądem przesunięcia.

Mówimy, że pole  \( B \) może być wytworzone przez prąd przewodzenia  \( I \) lub przez prąd przesunięcia  \( I_{p} \).

Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na zachowanie ciągłości prądu w przestrzeni gdzie nie jest przenoszony ładunek. Przykładowo w trakcie ładowania kondensatora prąd dopływa do jednej okładki i odpływa z drugiej więc wygodnie jest przyjąć, że płynie on również pomiędzy okładkami tak, aby była zachowana ciągłość prądu w obwodzie.


Równania Maxwella

W Tabela 1 zestawione są cztery prawa, które opisują ogół zjawisk elektromagnetycznych. Są to równania Maxwella. Przedstawione równania sformułowano dla próżni to jest gdy w ośrodku nie ma dielektryków i materiałów magnetycznych.

Wszystkie powyższe prawa są słuszne zarówno w przypadku statycznym (pola niezależne od czasu) jak i w przypadku pól zależnych od czasu.

Więcej o równaniach Maxwella w przypadku statycznym jak i w przypadku pól zależnych od czasu przeczytasz w module Równania Maxwella zależne i niezależne od czasu. Równaniach Maxwella można zapisać także w inny sposób (zob. moduł Równania Maxwella w postaci różniczkowej (operatorowej) ).


Równania Maxwella w postaci różniczkowej (operatorowej)

Istnieje kilka równoważnych sformułowań równań Maxwella. Poza, przedstawioną w module Równania Maxwella i Równania Maxwella zależne i niezależne od czasu postacią całkową, równania Maxwella często przedstawiane są postaci różniczkowej. Tę formę równań można otrzymać bezpośrednio z formy całkowej w wyniku przekształceń matematycznych w oparciu o twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego i Stokesa.

W module Pole grawitacyjne, pola sił omówiliśmy, na przykładzie sił grawitacyjnych, ważne w fizyce pojęcie pola. Analogicznie w module Pole elektryczne zdefiniowaliśmy natężenie pola elektrycznego. W obu przypadkach mamy do czynienia z wektorowym polem sił (grawitacyjnej, elektrostatycznej). W każdym punkcie takiej przestrzeni/pola określona jest pewna funkcja wektorowa  \( {\bf v } ({\bf r } ) \), określony jest wektor pola  \( {\bf v } (v_1 , v_2 , v_3 ) \). Takie pole nazywamy polem wektorowym (zob. moduł Dodatek: Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe ).

Kierunek pola jest wyznaczony poprzez linie pola wektorowego, do których wektor pola jest styczny w każdym punkcie. Skorzystamy teraz, z wprowadzonego w module Dodatek: Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe, operatora wektorowego nabla  \( \nabla\left(\widehat{i}\frac{\partial}{\partial x },\widehat{j}\frac{\partial}{\partial y },\widehat{k}\frac{\partial}{\partial z }\right) \) do zdefiniowania operatorów dywergencji i rotacji.

Operator dywegencji to wynik iloczynu skalarnego operatora nabla i wektora pola  \( {\bf v } (v_1 , v_2 , v_3 ) \) (działanie na funkcję wektorową). W wyniku otrzymujemy pole skalarne

Dywergencja jest miarą źródłowości pola (oznacza intensywność źródła), wskazuje na lokalne źródła pola wektorowego i wiąże się z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego, które umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową:

gdzie  \( V \) jest obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą  \( S \).

Operator rotacji to wynik iloczynu wektorowego operatora nabla i wektora pola  \( {\bf v } (v_1 , v_2 , v_3 ) \) (działanie na funkcję wektorową). W wyniku otrzymujemy pole wektorowe

Rotacja określa obrót wektora pola, np. dla płynącej cieczy,  \( rot {\bf v } \) oznacza, że mamy do czynienia z wirami. Rotacja jest miarą obecności lokalnych zawirowań pola i wiąże się z twierdzeniem Stockesa, które wiąże całkę liniową z pola wektorowego po zamkniętym konturze  \( L \) z całką powierzchniową po płacie powierzchniowym  \( S \) ograniczonym przez kontur  \( L \):

Teraz (zob. Tabela 1 ) na podstawie twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego zamieniamy całkę powierzchniową na całkę objętościową, a na podstawie twierdzenia Stokesa zamieniamy całkę liniową (cyrkulację) na całkę powierzchniową i przekształcamy równania Maxwella do postaci różniczkowej (operatorowej).

gdzie \( \rho \) jest gęstością ładunku, a  \( {\bf J } \) wektorem gęstości prądu.


Równania Maxwella zależne i niezależne od czasu

W przypadku statycznym (pola niezależne od czasu) dwa równania Maxwella

opisują prawa elektrostatyki. Z pierwszego równania wynika prawo Coulomba, które jest słuszne tylko w przypadku statycznym bo nie opisuje oddziaływania pomiędzy ładunkami w ruchu.

Równanie ( 2 ) pokazuje, że gdy nie występuje zmienny (w czasie) strumień magnetyczny, to praca pola  \( E \) wzdłuż dowolnej zamkniętej drogi jest równa zeru - pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym i do jego opisu możemy posłużyć się pojęciem potencjału.

Natomiast w przypadku pól zależnych od czasu równanie to ma postać

i pole  \( E \) nie jest polem zachowawczym - nie możemy go opisać za pomocą potencjału.

Kolejne dwa równania Maxwella, w przypadku statycznym (pola niezależne od czasu) opisują prawa magnetostatyki

Pierwsze z tych równań ( ( 4 ) ) mówi, że nie istnieją ładunki magnetyczne (pojedyncze bieguny) analogiczne do ładunków elektrycznych. Natomiast równanie ( 5 ) pokazuje, że źródłem pola magnetostatycznego są stałe prądy elektryczne.

i uwzględnia efekt zmieniających się pól elektryczny.

Zauważmy, że w przypadku statycznym prawa opisujące pola elektryczne i magnetyczne są od siebie niezależne natomiast w przypadku pól zależnych od czasu równania Maxwella łączą ze sobą pola elektryczne i magnetyczne.


Widmo fal elektromagnetycznych

Maxwell nie tylko połączył w jedną całość podstawowe równania opisujące zjawiska elektromagnetyczne, ale wyciągnął z tych równań szereg wniosków o znaczeniu fundamentalnym. Z równań wiążących ze sobą pola elektryczne i magnetyczne

wynika, że każda zmiana w czasie pola elektrycznego wywołuje powstanie zmiennego pola magnetycznego, które z kolei indukuje wirowe pole elektryczne itd. Taki ciąg sprzężonych pól elektrycznych i magnetycznych tworzy falę elektromagnetyczną (zob. Rys. 1 ).

Maxwell wykazał, że wzajemnie sprzężone pola elektryczne i magnetyczne są do siebie prostopadłe i prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, i że prędkość tych fal elektromagnetycznych w próżni jest dana wyrażeniem

Pokazał też, że przyspieszony ładunek elektryczny będzie promieniować pole elektryczne i magnetyczne w postaci fali elektromagnetycznej oraz, że w wypromieniowanej fali stosunek amplitudy natężenia pola elektrycznego do amplitudy indukcji magnetycznej jest równy prędkości  \( c \)

Znany nam obecnie zakres widma fal elektromagnetycznych przedstawia Rys. 2. Wszystkie wymienione fale są falami elektromagnetycznymi i rozchodzą się w próżni z prędkością  \( c. \) Różnią się natomiast częstotliwością (długością) fal. Przedstawiony podział wiąże się z zastosowaniem określonych fal lub sposobem ich wytwarzania.

Poszczególne zakresy długości fal zachodzą na siebie, ich granice nie są ściśle określone.


Równanie falowe

Przypomnijmy sobie równanie ruchu falowego (zob. moduł  ) dla struny

Równanie to opisuje falę poprzeczną rozchodzącą się w kierunku  \( x \) (cząstki ośrodka wychylały się w kierunku  \( y \)). Równanie falowe w tej postaci, stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal, np.: fal dźwiękowych i fal elektromagnetycznych. Możemy więc przez analogię napisać (pomijając wyprowadzenie) równanie falowe dla fali elektromagnetycznej (rozchodzącej się w kierunku osi  \( x \))

Oczywiście pole elektryczne  \( \bf E \) spełnia takie samo równanie

Pola  \( \bf E \) i  \( \bf B \) są do siebie prostopadłe.


Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych

Dla zilustrowania rozchodzenia się fal elektromagnetycznych i wzajemnego sprzężenia pól elektrycznych i magnetycznych rozpatrzymy jedną z najczęściej stosowanych linii transmisyjnych jaką jest kabel koncentryczny. Na Rys. 1 pokazany jest rozkład pola elektrycznego i magnetycznego w kablu koncentrycznym w danej chwili  \( t \). Pole elektryczne jest radialne, a pole magnetyczne tworzy współosiowe koła wokół wewnętrznego przewodnika. Pola te poruszają się wzdłuż kabla z prędkością  \( c \) (zakładamy, że linia transmisyjna ma zerowy opór). Mamy do czynienia z falą bieżącą.

Rysunek pokazuje tylko jedną z możliwych konfiguracji pól odpowiadającą jednej z różnych fal jakie mogą rozchodzić wzdłuż kabla. Pola  \( E \) i  \( B \) są do siebie prostopadłe w każdym punkcie. Innym przykładem linii transmisyjnej (obok kabli koncentrycznych) są tzw. falowody, które stosuje się do przesyłania fal elektromagnetycznych w zakresie mikrofal. Falowody wykonywane są w postaci pustych rur metalowych o różnych kształtach przekroju poprzecznego (bez przewodnika wewnętrznego). Ściany takiego falowodu mają znikomą oporność. Jeżeli do końca falowodu przyłożymy generator mikrofalowy (klistron) to przez falowód przechodzi fala elektromagnetyczna. Przykładowy rozkład pól  \( E \),  \( B \) takiej fali jest pokazany na Rys. 2 dla falowodu, którego przekrój jest prostokątem. Fala rozchodzi się w kierunku zaznaczonym strzałką.

Typ transmisji czyli rozkład pól (typ fali) w falowodzie zależy od jego rozmiarów. Zwróćmy uwagę, że rozkład pól nie musi być sinusoidalnie zmienny. Elektromagnetyczna linia transmisyjna może być zakończona w sposób umożliwiający wypromieniowanie energii elektromagnetycznej do otaczającej przestrzeni. Przykładem takiego zakończenia jest antena dipolowa umieszczona na końcu kabla koncentrycznego pokazana na Rys. 3.

Jeżeli różnica potencjałów pomiędzy między drutami zmienia się sinusoidalnie to taka antena zachowuje się jak dipol elektryczny, którego moment dipolowy zmienia się co do wielkości jak i kierunku. Energia elektromagnetyczna przekazywana wzdłuż kabla jest wypromieniowywana przez antenę tworząc falę elektromagnetyczną w ośrodku otaczającym antenę. Na rysunku Rys. 4 oraz Rys. 5 pokazane jest pole  \( \bf E \) wytwarzane przez taki oscylujący dipol (przez taką antenę) w dwu przykładowo wybranych chwilach. Rysunek przedstawia położenie ładunków dipola i pole elektryczne wokół niego.

Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną bardzo istotną cechę fal elektromagnetycznych. Fale elektromagnetyczne mogą rozchodzić się w próżni w przeciwieństwie do fal mechanicznych, na przykład fal akustycznych, które wymagają ośrodka materialnego. Prędkość fal elektromagnetycznych w próżni jest dana wzorem

gdzie  \( v \) jest częstotliwością,  \( \lambda  \) długością fali,  \( \omega  \) częstością kołową, a  \( k \) liczbą falową.


Wektor Poyntinga

Fale elektromagnetyczne posiadają zdolność do przenoszenia energii od punktu do punktu. Szybkość przepływu energii przez jednostkową powierzchnię płaskiej fali elektromagnetycznej opisujemy wektorem  \( {\bf S } \) zwanym wektorem Poyntinga. Wektor  \( {\bf S } \) definiujemy za pomocą iloczynu wektorowego

W układzie SI jest on wyrażony w  \( W/m^{2} \), kierunek  \( {\bf S } \) pokazuje kierunek przenoszenia energii. Wektory  \( {\bf E } \) i  \( {\bf B } \) są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w rozpatrywanym punkcie.


Podsumowanie z indukcji EM i fal EM


Zadania z indukcji EM i fal EM


Optyka geometryczna i falowa - wstęp

Promieniowanie świetlne, o którym będziemy mówić jest pewnym, niewielkim wycinkiem widma elektromagnetycznego wyróżnionym przez fakt, że oko ludzkie reaguje na ten zakres promieniowania.

Jeżeli rozwiązałeś powyższe zadanie możesz porównać ten wynik z przedstawioną na Rys. 1 względną czułością oka ludzkiego.

Maksimum czułości oka ludzkiego przypada dla barwy zielono-żółtej dla  \( \lambda \) = 550 nm. Więcej o widzeniu barwnym możesz przeczytać w module Widzenie barwne.


Widzenie barwne

Obraz w oku powstaje na siatkówce oka. Światło po przejściu przez soczewkę pada na znajdujące się w siatkówce komórki wrażliwe na światło - fotoreceptory. Są dwa podstawowe rodzaje fotoreceptorów: pręciki i czopki.

Pręciki rejestrują zmiany jasności, a dzięki czopkom możemy rozróżnić kolory. Pręcik są bardziej czułe na światło niż czopki. W nocy gdy jest ciemno, komórki odpowiedzialne za widzenie barwne (czopki) nie są stymulowane. Reagują jedynie pręciki. Dlatego o zmierzchu wszystko wydaje się szare.

W oku znajdują się trzy rodzaje czopków, które są wrażliwe na trzy podstawowe barwy widmowe:

W zależności od stopnia stymulacji poszczególnych rodzajów czopków widzimy określony kolor, który można przedstawić jako kombinację tych trzech podstawowych barw. Barwę białą zobaczymy, gdy wszystkie trzy rodzaje czopków podrażnione będą jednakowo silnie.

Okazuje się, że czopki w największym stopniu pochłaniają żółtozielone światło o długości fali około 550 nanometrów i dlatego właśnie oko ludzkie najsilniej reaguje na światło o tej długości fali. Jednak odbiór konkretnej barwy uzależniony jest od czułości poszczególnych czopków, a ich czułość jest uzależniona od fizjologicznych cech poszczególnych osób więc każdy człowiek te same barwy odbiera trochę inaczej.


Odbicie i załamanie

Wiemy już, że światło rozchodzi się w próżni z prędkością  \( c \). Natomiast, jak pokazują wyniki doświadczeń, w ośrodkach materialnych prędkość światła jest mniejsza. Jeżeli w jednorodnym ośrodku światło przebędzie w czasie  \( t \) drogę  \( l_{1} = vt \) to droga  \( l \) jaką w tym samym czasie światło przebyłoby w próżni wynosi

nosi nazwę bezwzględnego współczynnika załamania. Natomiast iloczyn drogi geometrycznej l \( _{1} \) i współczynnika załamania  \( n \) nosi nazwę drogi optycznej. Poniżej w Tabela 1 podane zostały bezwzględne współczynniki załamania wybranych substancji.

Bezwzględne współczynniki załamania wybranych ośrodków (dla  \( \lambda  \) = 589 nm - żółte światło sodu)

W nagłówku powyższej tabeli podano dla jakiej fali zostały wyznaczone współczynniki załamania. Jest to ważna informacja bo, jak pokazuje doświadczenie, prędkość fali przechodzącej przez ośrodek zależy od częstotliwości światła. Zjawisko to nazywamy dyspersją światła. Dla większości materiałów obserwujemy, że wraz ze wzrostem częstotliwości fali świetlnej maleje jej prędkość czyli rośnie współczynnik załamania ( Prawo odbicia i załamania-Rys. 1 ).


Prawo odbicia i załamania

Jeżeli światło pada na granicę dwóch ośrodków, to ulega zarówno odbiciu na powierzchni granicznej, jak i załamaniu przy przejściu do drugiego ośrodka tak, jak pokazano to na Rys. 1 dla powierzchni płaskiej.

Na Rys. 1 pokazana jest też dyspersja światła; promień niebieski jest bardziej załamany niż czerwony. Światło białe, złożone z fal o wszystkich długościach z zakresu widzialnego, uległo rozszczepieniu to jest rozdzieleniu na barwy składowe. Na rysunku pokazano promienie świetlne tylko dla dwu skrajnych barw niebieskiej i czerwonej.

Odbiciem i załamaniem rządzą dwa następujące prawa:

gdzie skorzystaliśmy z definicji bezwzględnego współczynnika załamania  \( {n=c/{v}} \).

Powyższe prawa dotyczące fal elektromagnetycznych można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie trudne. Można też skorzystać z prostej (ale ważnej) zasady odkrytej w XVII w. przez Fermata.

Więcej o zasadzie Fermata możesz przeczytać w module Zasada Fermata.

Omawiając odbicie i załamanie, ograniczyliśmy się do fal płaskich i do płaskich powierzchni. Uzyskane wyniki stosują się jednak do bardziej ogólnego przypadku fal kulistych. Stosują się również do kulistych powierzchni odbijających - zwierciadeł kulistych i kulistych powierzchni załamujących - soczewek. Te ostatnie mają szczególne znaczenie ze względu na to, że stanowią część układu optycznego oka i wielu przyrządów optycznych takich jak, np. lupa, teleskop, mikroskop.

Przystępna demonstracja prawa odbicia i załamania została zamieszczona poniżej: