Spontaniczna i wymuszona emisja fotonów

Omówimy teraz przykład wykorzystania zjawisk kwantowych w praktyce. Przedstawimy kwantowy generator światła nazwany laserem. Urządzenie to znalazło bardzo szerokie zastosowanie min. w telekomunikacji, badaniach naukowych, technologii obróbki metali i medycynie.

Zgodnie z postulatem Bohra, promieniowanie elektromagnetyczne zostaje wysłane tylko wtedy gdy elektron poruszający się po orbicie o całkowitej energii  \( E_{k} \) zmienia swój ruch skokowo, tak że porusza się następnie po orbicie o energii  \( E_{j} \). Mówimy, że cząstka (elektron) przechodzi ze stanu wzbudzonego (o wyższej energii) do stanu podstawowego. Takiemu samoistnemu przejściu towarzyszy emisja fotonu o częstotliwości

Zjawisko takie jest nazywane emisją spontaniczną.

Jeżeli różnica energii wynosi kilka elektronowoltów (na przykład tak jak w atomie wodoru, gdzie  \( E_{1} \) = -13.6 eV) to czas charakterystyczny dla procesu emisji spontanicznej ma wartość rzędu 10 \( ^{-8} \) s.

Oczywiście atomy (cząsteczki) nie tylko emitują ale i absorbują promieniowanie o ściśle określonych częstotliwościach (długościach fali). Ponieważ elektron w atomie ma energię całkowitą równą jednej z energii dozwolonych (stan stacjonarny) więc z padającego promieniowania absorbuje tylko określone kwanty energii przechodząc ze stanu podstawowego do wzbudzonego. Energia absorbowanych kwantów  \( h\nu  \) jest dokładnie równa różnicy pomiędzy energiami dozwolonych stanów.

Teoria kwantowa przewiduje także, że oprócz emisji spontanicznej oraz procesów absorpcji może wystąpić także inny proces, nazywany emisją wymuszoną.

Przypuśćmy, że atom znajduje się w stanie wzbudzonym  \( E_{k} \) i może przy przejściu do stanu podstawowego  \( E_{j} \) emitować foton o energii ( \( E_{k} - E_{j} \)). Jeżeli taki atom zostanie oświetlony promieniowaniem, które zawiera fotony o energii właśnie równej ( \( E_{k} - E_{j} \)) to prawdopodobieństwo wypromieniowania energii przez atom wzrośnie.

Takie zjawisko przyspieszenia wypromieniowania energii przez oświetlenie atomów wzbudzonych odpowiednim promieniowaniem nazywamy właśnie emisją wymuszoną.

Emisja wymuszona stwarza więc szansę uzyskania promieniowania spójnego.

Procesy absorpcji, emisji spontanicznej i emisji wymuszonej pokazane są schematycznie na Rys. 1.

Żeby przeanalizować możliwość emisji wymuszonej, musimy wiedzieć, jak atomy (cząsteczki) układu obsadzają różne stany energetyczne to znaczy musimy określić ile atomów jest w stanie podstawowym (stanie o najniższej energii), a ile w stanach wzbudzonych (o wyższych energiach).


Rozdział 3. Elementy mechaniki kwantowej

Podstawowe informacje o rozkładzie Boltzmanna

Szczegółowy układ fizyczny złożony z dużej liczby cząstek jest bardzo skomplikowany i dlatego podstawowe własności układu wyprowadzamy z samych rozważań statystycznych. Przykładem jest rozkład Maxwella prędkości cząsteczek gazu, który daje informację o prawdopodobieństwie znalezienia cząsteczki o prędkości z przedziału  \( v, v + dv \). Znając funkcję rozkładu  \( N(v) \) możemy obliczyć takie wielkości mierzalne jak ciśnienie czy temperaturę.

Prawdopodobieństwo z jakim cząstki układu zajmują różne stany energetyczne jest również opisane przez odpowiednią funkcję rozkładu

gdzie A jest stałą proporcjonalności, a  \( k \) stałą Boltzmana. Jest to tak zwany rozkład Boltzmana. Więcej o rozkładzie Boltzmana możesz przeczytać w Dodatkowe informacje o rozkładzie Boltzmanna.

Widzimy, że prawdopodobna ilość cząstek układu, w temperaturze  \( T \), znajdujących się w stanie o energii  \( E \) jest proporcjonalna do  \( \exp(-E/kT) \).

Na Rys. 1 pokazana jest zależność  \( N(E) \) dla trzech różnych temperatur i trzech odpowiednich wartości stałej  \( A \).


Dodatkowe informacje o rozkładzie Boltzmanna

Na początku rozważmy układ zawierający pewną niewielką ilość identycznych cząstek (np. cztery), których energia może przyjmować jedną z następujących wartości  \( E = 0 \),  \( \Delta E \),  \( 2\Delta E \),  \( 3\Delta E \),  \( 4\Delta E \)...... Energia całkowita układu ma wartość  \( 3\Delta E \), a cząstki znajdują się w równowadze w temperaturze  \( T \).

By osiągnąć ten stan równowagi cząstki muszą wymieniać energię ze sobą (na przykład poprzez zderzenia). Podczas tej wymiany ich energie zmieniają się, przyjmując różne wartości.

W ten sposób może być realizowany każdy możliwy podział energii całkowitej  \( 3\Delta E \) pomiędzy te cząstki. W Tabela 1 pokazane są te wszystkie możliwe podziały.

Zwróćmy uwagę, że obliczając ilość sposobów realizacji danego podziału traktujemy jako rozróżnialny podział, który można otrzymać z danego w drodze przestawiania cząstek pomiędzy różnymi stanami. Przestawienia cząstek w tym samym stanie energetycznym nie prowadzą do nowych sposobów realizacji podziałów, bo nie można eksperymentalnie odróżnić od siebie takich samych cząstek o tej samej energii.

Ponadto przyjmujemy, że wszystkie sposoby podziału energii mogą wydarzyć się z tym samym prawdopodobieństwem.

Następnie obliczamy  \( N(E) \) czyli prawdopodobną ilość cząstek w danym stanie energetycznym  \( E \). Rozpatrzmy stan  \( E = 0 \).

Dla podziału  \( k = 1 \) mamy  \( N_{1} \) = 3 cząstki w stanie o  \( E = 0 \), a prawdopodobieństwo, że taki podział ma miejsce wynosi  \( P_{1} \) = 4/20.

Dla podziału  \( k = 2 \) mamy  \( N_{2} \) = 2 cząstki w stanie o  \( E = 0 \), a prawdopodobieństwo, że taki podział ma miejsce wynosi  \( P_{2} \) = 12/20.

Dla podziału  \( k = 3 \) mamy  \( N_{3} \) = 1 cząstkę w stanie o  \( E = 0 \), a prawdopodobieństwo, że taki podział ma miejsce wynosi  \( P_{3} \) = 4/20.

Zatem prawdopodobna ilość cząstek w stanie  \( E = 0 \) wynosi:

Analogicznie obliczamy  \( N(E) \) dla pozostałych wartości  \( E \) (patrz ostatni wiersz Tabela 1 ).

Zauważmy, że suma tych liczb wynosi cztery, tak że jest równa całkowitej liczbie cząstek we wszystkich stanach energetycznych. Wykres zależności  \( N(E) \) jest pokazany na Rys. 1.

Ciągła krzywa na rysunku jest wykresem malejącej wykładniczo funkcji  \( N(E)=\text{Ae}^{-\frac{E}{E_{0}}} \).

Możemy teraz wybierać coraz mniejsze  \( \Delta E \) (zwiększając ilość dozwolonych stanów) przy tej samej co poprzednio wartości całkowitej energii. Oznacza to, że będziemy dodawać coraz więcej punktów do naszego wykresu, aż w granicy gdy  \( \Delta E \rightarrow 0 \) przejdziemy do funkcji ciągłej danej powyższym równaniem.

Potrzebujemy jeszcze znaleźć wartość  \( E_{0} \). Obliczenia te choć proste wykraczają poza ramy tego wykładu. Wystarczy więc zapamiętać, że  \( E_{0} = kT \), toznaczy jest równa średniej energii układu cząstek w temperaturze  \( T \). Ostatecznie więc

Jest to rozkład Boltzmana, który mówi, że prawdopodobna ilość cząstek układu w równowadze w temperaturze  \( T \), znajdujących się w stanie o energii  \( E \) jest proporcjonalna do  \( \exp(-E/kT) \). Sposób wyboru stałej proporcjonalności A zależy od tego jaki układ rozważamy.


Laser

Z rozkładu Boltzmana wynika, że w danej temperaturze liczba atomów w stanie podstawowym jest większa niż liczba atomów w stanach o wyższej energii. Jeżeli zatem taki układ atomów (cząsteczek) oświetlimy odpowiednim promieniowaniem to światło padające jest silnie absorbowane, a emisja wymuszona jest znikoma.

Żeby w układzie przeważała emisja wymuszona, to w wyższym stanie energetycznym powinno znajdować się więcej atomów (cząsteczek) niż w stanie niższym. Mówimy, że rozkład musi być antyboltzmannowski.

Taki układ można przygotować na kilka sposobów m.in. za pomocą zderzeń z innymi atomami lub za pomocą tzw. pompowania optycznego czyli wzbudzania atomów na wyższe poziomy energetyczne przez ich oświetlanie.

Ten pierwszy sposób jest wykorzystywany w laserze helowo-neonowym. Schemat poziomów energetycznych dla takiego lasera jest pokazany na Rys. 1.

W tym laserze atomy neonu są wzbudzane na poziom E \( _{3} \) w wyniku zderzeń z atomami helu. Przejście na poziom E \( _{2} \) zachodzi wskutek emisji wymuszonej. Następnie atomy neonu przechodzą szybko do stanu podstawowego E \( _{1} \) oddając energię w wyniku zderzeń ze ściankami.

Przebieg emisji wymuszonej w laserze przedstawiony jest na Rys. 2.

Foton wprowadzony do gazu ( Rys. 2a) wymusza emisję drugiego fotonu przez wzbudzony atom ( Rys. 2b). Przez układ poruszają się więc dalej dwa fotony, które wymuszają kolejne procesy emisji i w efekcie coraz więcej fotonów, o tej samej fazie, porusza się przez układ ( Rys. 2c).

Jeżeli na końcach zbiornika umieścimy zwierciadła, to ten proces będzie trwał aż wszystkie atomy wypromieniują nadmiar energii. Spójna wiązka fotonów może opuścić układ jeżeli jedno z tych zwierciadeł będzie częściowo przepuszczające.

Inny sposób „odwrócenia” rozkładu boltzmanowskiego jest wykorzystany w laserze rubinowym pokazanym na Rys. 3.

Laser zbudowany na ciele stałym składa się z pręta wykonanego z kryształu Al \( _{2} \)O \( _{3} \), w którym jonami czynnymi są atomy domieszki np. atomy chromu. Na końcach pręta są naniesione zwierciadła odbijające. Promieniowanie 'pompujące' jest wytwarzane przez lampę błyskową umieszczoną wokół kryształu. Absorbując światło z lampy błyskowej atomy chromu przechodzą do stanu wzbudzonego.

Od czasu uruchomienia pierwszego lasera to jest od 1960 r. technologia tych urządzeń bardzo się rozwinęła. Obecnie działają zarówno lasery impulsowe, jak i lasery o pracy ciągłej. Ośrodkami czynnymi w laserach są gazy, ciała stałe i ciecze, a zakres długości fal jest bardzo szeroki; od podczerwieni przez obszar widzialny aż do nadfioletu


Podsumowanie informacji o fizyce kwantowej


Zadania z fizyki kwantowej


Dodatek: Zasada nieoznaczoności w pomiarach

Aby przetestować nasze możliwości pomiarowe rozważmy wiązkę elektronów padających z prędkością  \( v_{0} \) na szczelinę o szerokości  \( \Delta y \), tak jak na Rys. 1.

Jeżeli elektron przechodzi przez szczelinę, to znamy jego położenie z dokładnością  \( \Delta y \). Elektrony ulegają ugięciu na szczelinie tak, że na ekranie obserwujemy obraz dyfrakcyjny. Oznacza to, że elektrony mają teraz oprócz prędkości poziomej także składową w kierunku pionowym  \( y \) (są odchylone). Spróbujmy ocenić tę składową pionową prędkości.

Rozpatrzmy elektron padający na ekran w miejscu pierwszego minimum dyfrakcyjnego (punkt A na Rys. 1 ). Pierwsze minimum jest dane równaniem

Elektron dolatujący do punktu a (1-sze minimum) ma prędkość pionową  \( \Delta v_{y} \) taką, że

Korzystając z obu powyższych równań, otrzymujemy

Długość fali wiązki elektronowej jest dana przez relację de Broglie'a

Podstawiając tę zależność do równania ( 5 ), otrzymujemy

Jeżeli chcemy poprawić pomiar położenia  \( y \) (zmniejszyć  \( \Delta y \)), to w wyniku zmniejszenia szerokości szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugięcie). Innymi słowy, zwiększone zostało  \( \Delta p_{y} \).

Otrzymany wynik zgadza się z granicą wyznaczaną przez zasadę nieoznaczoności.


Rozdział 4. Elementy fizyki materii skondensowanej

Rodzaje kryształów

Kiedy pierwiastek lub związek chemiczny, będący w stanie gazowym lub ciekłym, zostanie dostatecznie ochłodzony to krzepnie czyli przechodzi do stanu stałego.

Ciała stałe dzielimy na kryształy, polikryształy i ciała bezpostaciowe. Jak już mówiliśmy w module Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X), atomy w krysztale ułożone są w powtarzający się regularny wzór zwany siecią krystaliczną (na Rys. 1 pokazane jest przykładowo rozmieszczenie atomów w krysztale NaCl).

Wiele ciał stałych nie posiada jednolitej struktury krystalicznej dlatego, że są zbudowane z bardzo wielu malutkich kryształków; mówimy, że te ciała mają strukturę polikrystaliczną. Wreszcie w przyrodzie występują ciała niekrystaliczne takie, jak na przykład szkło, w których uporządkowanie atomowe nie rozciąga się na duże odległości.

W dalszej części modułu zajmiemy się ciałami krystalicznymi. Ich klasyfikację prowadzi się zarówno według ich struktury geometrycznej, jak i według dominującego rodzaju wiązania.

Ze względu na typy wiązań kryształy dzielimy na:

Kryształy cząsteczkowe (molekularne) składają się ze stabilnych cząsteczek, oddziaływujących ze sobą słabymi siłami wiążącymi, tzw. siłami van der Waalsa, takimi jakie występują pomiędzy cząsteczkami w fazie gazowej.

Oddziaływanie to jest związane z przesunięciami ładunków w cząsteczkach. Cząsteczki zachowują się jak dipole elektryczne i oddziaływanie pomiędzy dipolami stanowi siłę wiążącą kryształ.

Ciała cząsteczkowe tworzą między innymi w stanie stałym gazy szlachetne i zwykłe gazy, takie jak tlen, azot, wodór. Energia wiązania jest słaba, rzędu 10 \( ^{-2} \) eV to jest 10 \( ^{-21} \) J. Przypomnijmy sobie, że energia cieplna cząsteczki w temperaturze pokojowej to około 300 K wynosi  \( {\frac{3}{2}k_{{B}}T≈ 6\cdot \text{10}^{{-\text{21}}}} \)J. Ta energia ruchu termicznego jest odpowiedzialna za rozrywanie wiązań. Widać więc, z porównania jej z energią wiązania, dlaczego zestalenie kryształów cząsteczkowych zachodzi dopiero w bardzo niskich temperaturach. Na przykład temperatura zestalania wodoru wynosi 14 K (tj. -259 °C).

Kryształy cząsteczkowe, ze względu na brak elektronów swobodnych są na ogół bardzo złymi przewodnikami ciepła i elektryczności.

W pewnych warunkach atomy wodoru mogą tworzyć silne wiązania z atomami pierwiastków elektroujemnych, takich jak na przykład tlen czy azot. Te wiązania zwane wodorowymi odgrywają ważną rolę min. w kryształach ferroelektrycznych i w cząsteczkach kwasu DNA (dezoksyrybonukleinowego).

Kryształy jonowe składają się z trójwymiarowego naprzemiennego ułożenia dodatnich i ujemnych jonów. Jony, ułożone jak gęsto upakowane kulki, przyciągają się siłami kulombowskimi. Przykładem takiego kryształu jest pokazany na Rys. 1 kryształ chlorku sodu (NaCl).

Kryształy jonowe, ze względu na brak swobodnych elektronów są złymi przewodnikami elektryczności i ciepła. Ponieważ siły kulombowskie wiążące kryształy jonowe są duże więc kryształy te są zazwyczaj twarde i mają wysoką temperaturę topnienia.

Kryształy kowalentne składają się z atomów połączonych ze sobą parami wspólnych elektronów walencyjnych to jest elektronów z najbardziej zewnętrznej powłoki. Chmura wspólnych elektronów skupiona jest pomiędzy parą atomów, więc wiązania te mają kierunek i wyznaczają ułożenie atomów w strukturze krystalicznej. Przykładami kryształów kowalentnych są diament, german, krzem.

Kryształy kowalentne są twarde i posiadają wysoką temperaturę topnienia. Brak elektronów swobodnych powoduje, że ciała atomowe nie są dobrymi przewodnikami elektryczności i ciepła. Czasami jednak, jak w przypadku wymienionych Ge i Si są one półprzewodnikami.

Wiązanie metaliczne można sobie wyobrazić jako graniczny przypadek wiązania kowalentnego, w którym elektrony walencyjne są wspólne dla wszystkich jonów w krysztale, a nie tylko dla sąsiednich jonów.

Wynika to z tego, że w atomach, z których jest zbudowany kryształ metaliczny, elektrony na zewnętrznych powłokach są słabo związane i mogą zostać uwolnione z tych atomów kosztem bardzo małej energii. Te swobodne elektrony poruszają się w całym krysztale; są więc wspólne dla wszystkich jonów. Mówimy, że tworzą one gaz elektronowy wypełniający przestrzeń pomiędzy dodatnimi jonami.

Gaz elektronowy działa na każdy jon siłą przyciągania większą od odpychania pozostałych jonów w wyniku czego tworzy się wiązanie. Ponieważ istnieje wiele nie obsadzonych stanów elektronowych (na zewnętrznych powłokach są wolne miejsca) to elektrony mogą poruszać się swobodnie w krysztale od atomu do atomu. W konsekwencji kryształy metaliczne są doskonałymi przewodnikami elektryczności i ciepła. Przykładem kryształów metalicznych są kryształy tworzone przez metale alkaliczne.

W podsumowaniu należy zaznaczyć, że istnieją kryształy, w których wiązania muszą być interpretowane jako mieszanina opisanych powyżej głównych typów wiązań. Typ wiązania w poszczególnych kryształach wyznacza się doświadczalnie m.in. przez badanie dyfrakcji promieni X.


Podstawowe informacje o fizyce półprzewodników

Przykładowymi materiałami półprzewodnikowymi są german i krzem. Są to pierwiastki z IV grupy układu okresowego, mają po cztery elektrony walencyjne. Elektrony te biorą udział w wiązaniach atomowych z czterema innymi atomami. Pary wspólnych elektronów walencyjnych zaznaczono na Rys. 1 podwójnymi liniami.

Ponieważ wszystkie elektrony walencyjne biorą udział w wiązaniach więc brak jest elektronów swobodnych.

Istnieje jednak możliwość wzbudzenia, na przykład termicznie, elektronu walencyjnego, tak że stanie się on swobodnym elektronem przewodnictwa. Powstaje wtedy w powłoce walencyjnej puste miejsce po elektronie nazywane dziurą. Na Rys. 1 zaznaczono symbolicznie tę sytuację.

W obecności zewnętrznego pola elektrycznego inny elektron walencyjny, sąsiadujący z dziurą może zająć jej miejsce, pozostawiając po sobie nową dziurę, która zostanie zapełniona przez kolejny elektron, itd. Zatem dziura w polu elektrycznym przemieszcza się w kierunku przeciwnym niż elektron i zachowuje jak nośnik ładunku dodatniego (dodatni elektron). Liczba dziur jest równa liczbie elektronów przewodnictwa. Takie półprzewodniki nazywamy samoistnymi.

Jeżeli w trakcie wzrostu kryształów do krzemu dodamy na przykład niewielką ilość arsenu (grupa V układu okresowego) to arsen wbudowuje się w strukturę krzemu, wykorzystując cztery spośród pięciu elektronów walencyjnych. Piąty elektron walencyjny arsenu nie bierze udziału w wiązaniu i łatwo staje się elektronem przewodnictwa poprzez dostarczenie mu niewielkiej ilości energii (np. cieplnej). Dzięki temu mamy prawie tyle elektronów przewodnictwa, ile jest atomów domieszki. Zauważmy, że w tym wypadku nie powstaje dziura po oderwanym elektronie, bo wszystkie wiązania atomowe są wypełnione. Oczywiście możemy, tak jak w półprzewodniku samoistnym, wzbudzić elektrony walencyjne krzemu i wytworzyć dziury, ale pod warunkiem dostarczenia znacznie większej energii. Taki półprzewodnik nazywany jest półprzewodnikiem typu n (negative - ujemny), bo atom domieszki oddaje elektron.

Krzem można też domieszkować pierwiastkiem z III grupy układu okresowego na przykład galem. Ponieważ atom galu ma tylko trzy elektrony walencyjne, to ma tendencję do wychwytywania elektronu z sąsiedniego atomu krzemu, aby uzupełnić cztery wiązania kowalencyjne. Zatem atom galu wprowadza do systemu dziurę i mamy półprzewodnik typu p (positive - dodatni).


Zastosowania półprzewodników

Właściwości materiałów półprzewodnikowych omówione w module Podstawowe informacje o fizyce półprzewodników, przyczyniły sie do niezwykłej popularności takich materiałów w stosowanej dziś technice. Przykłady niektórych zastosowań półprzewodników omawiamy w tym module.

W miarę wzrostu temperatury obserwujemy szybki wzrost przewodności półprzewodników związany z termicznym wzbudzeniami elektronów walencyjnych, które stają się elektronami przewodnictwa.

Przykładowo, przewodność czystego krzemu zwiększa się aż dwukrotnie przy wzroście temperatury od 0° C do 10° C. Dlatego czysty krzem może być stosowany w czułych miernikach temperatury. Taki przyrząd półprzewodnikowy do pomiaru temperatury jest nazywany termistorem.

Jeżeli półprzewodniki typu n i typu p zostaną ze sobą zetknięte to część elektronów z obszaru typu n (nadmiar elektronów) będzie przepływała do obszaru typu p, a dziury będą przepływały z obszaru typu p (nadmiar dziur) do obszaru typu n. W wyniku tego obszar p naładuje się ujemnie, a obszar typu n dodatnio. Powstaje kontaktowa różnica potencjałów pokazana na Rys. 1.

Jeżeli do takiego złącza p - n przyłożymy zewnętrzny potencjał to wielkość prądu płynącego przez złącze zależy od kierunku i wartości tego napięcia. Jeżeli przyłożymy potencjał dodatni  \( V \) (napięcie przewodzenia) do półprzewodnika typu p to zmniejszymy różnicę potencjału na złączu p - n (do wartości  \( V – V_{0} \)). Przez złącze popłynie wówczas duży prąd tak jak pokazano na Rys. 2. Natomiast przyłożenie ujemnego potencjału (napięcie zaporowe) do obszaru typu p powiększa różnicę potencjałów na złączu (do wartości  \( V + V_{0} \)) i wartość prądu przez złącze jest bardzo mała (praktycznie równa zeru).

To urządzenie jest nazywane diodą p - n. Zauważmy, że ta dioda nie spełnia prawa Ohma. Natężenie płynącego prądu nie jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia jak w przypadku metali. Mówimy, że dioda jest elementem nieliniowym. Jednym z jej zastosowań są detektory radioodbiorników o modulacji amplitudowej.

Jeżeli oświetlimy obszar przejściowy złącza p - n to elektron walencyjny pochłaniając foton zostanie wzbudzony do stanu przewodnictwa (tak samo jak energią cieplną). Pochłonięty foton kreuje parę elektron - dziura. Powstałe dziury są wciągane do obszaru p, a elektrony do obszaru n. W obwodzie zawierającym złącze p - n płynie prąd. W ten sposób można zamienić energię światła bezpośrednio na energię elektryczną.

Urządzeniem, którego współcześnie spowodowało prawdziwą rewolucję techniczną jest niewątpliwie tranzystor. Schemat tranzystora pnp jest pokazany na Rys. 3a, a rozkład potencjału wewnątrz tranzystora na Rys. 3b.

Jak widać tranzystor jest diodą, do której dołączono dodatkowy obszar p (kolektor). Do „diody” jest przyłożone napięcie w kierunku przewodzenia więc płynie duży prąd (dziurowy) z emitera do bazy.

Baza jest na tyle cienka, że większość dziur przechodzi (dyfunduje) do kolektora, a tylko niewielka część (około  \( 1\% \)) wypływa z bazy ( \( I_{be} \)). Pozostały prąd ( \( 99\% \)) wypływa przez kolektor. Jak widać na Rys. 3b kolektor jest na bardziej ujemnym potencjale niż baza aby dodatnie dziury łatwiej mogły do niego przechodzić.

Stosunek prądu kolektora do prądu bazy  \( {\beta =I_{{{ke}}}/I_{{{be}}}} \) nazywamy współczynnikiem wzmocnienia prądu. W typowych tranzystorach  \( \beta  \) = 100. Oznacza to, że jeżeli na wejściu tranzystora prąd  \( I_{be} \) jest sygnałem zmiennym o danej charakterystyce to na wyjściu tranzystora otrzymamy prąd  \( I_{ke} \) o takiej samej charakterystyce ale 100 razy silniejszy.

Charakterystyki tranzystorów npn są takie same z tym, że nośnikami większościowymi ładunku są elektrony, a nie dziury.

Istnieje jeszcze wiele innych urządzeń półprzewodnikowych mających szerokie zastosowania. Z konieczności ograniczymy się tylko do wymienienia najważniejszych takich jak układy scalone dużej skali integracji, diody tunelowe, tyrystory, tranzystory polowe, lasery półprzewodnikowe.


Własności magnetyczne materii - wstęp

Ze zjawiskami magnetycznymi spotykamy się na co dzień. Najczęściej mamy do czynienia z magnesami stałymi ponieważ są one powszechnie wykorzystywane we wszelkich urządzeniach technicznych. Na przykład w urządzeniach w gospodarstwie domowym posiadamy do kilkunastu kilogramów magnesów trwałych (wszystkie urządzenia posiadające silnik elektryczny - robot kuchenny, blender, krajalnica, maszynka do miesa, ale także głosniki i mikrofony).

Omówienie własności magnetycznych rozpoczniemy od przypomnienia obliczeń, z modułu Działanie pola magnetycznego na przewodnik z prądem. Pokazaliśmy tam, że elektron krążący w odległości  \( r \) wokół jądra w atomie posiada magnetyczny moment dipolowy  \( {\mu _{{e}}=\frac{e}{2m}L} \) związany z orbitalnym momentem pędu  \( L \). Podobnie jak z orbitalnym momentem pędu elektronu również z jego spinem związany jest moment magnetyczny tak zwany spinowy moment magnetyczny.

Własności magnetyczne ciał są określone przez zachowanie się tych elementarnych momentów (dipoli) magnetycznych w polu magnetycznym.

Przy opisie własności magnetycznych ciał posługujemy się pojęciem wektora polaryzacji magnetycznej  \( M \) nazywanej też namagnesowaniem lub magnetyzacją. Wektor ten określa sumę wszystkich momentów magnetycznych, czyli wypadkowy moment magnetyczny jednostki objętości.

Jeżeli próbkę zawierającą elementarne dipole magnetyczne umieścimy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji  \( B_{0} \) to pole to dąży do ustawienia dipoli w kierunku pola i w efekcie powstaje w próbce wypadkowe pole o indukcji

Względną przenikalnością magnetyczną ośrodka  \( \mu_{r} \) można na podstawie wzoru ( 1 ) zapisać jako

gdzie wielkość  \( \chi \) nazywana jest podatnością magnetyczną.

W zależności od wielkości i znaku podatności magnetycznej  \( \chi \) , dzielimy ciała na następujące trzy grupy:


Diamagnetyzm i paramagnetyzm

Diamagnetyzm jest związany ze zmianą orbitalnego momentu pędu elektronów wywołaną zewnętrznym polem magnetycznym. Oznacza to, że diamagnetyzm występuje w każdym materiale umieszczonym w polu magnetycznym (w każdym materiale są elektrony). Jednak doświadczalnie jest on obserwowany tylko w ciałach, w których momenty magnetyczne elektronów wchodzących w skład danego atomu znoszą się wzajemnie (kompensują) tak, że moment magnetyczny atomu jest równy zeru. W innym przypadku efekt ten jest maskowany przez wypadkowy moment magnetyczny atomów. Diamagnetykami są na przykład te ciała, których atomy lub jony posiadają wypełnione powłoki elektronowe.

Jeżeli atom diamagnetyczny umieścimy w zewnętrznym polu magnetycznym to na elektrony działa siła magnetyczna  \( \mathbf{F} = e\mathbf{v} \times \mathbf{B} \), która powoduje zmianę siły dośrodkowej działającej na elektron i zmienia prędkość kątową elektronów.

Zmiana ta zależy od kierunku ruchu elektronu względem pola  \( B \) i dlatego nie jest jednakowa dla wszystkich elektronów. Oznacza to, że momenty magnetyczne elektronów przestały się kompensować. W zewnętrznym polu magnetycznym  \( B \) został wyindukowany moment magnetyczny, o kierunku przeciwnym do  \( B \). W efekcie próbka diamagnetyczna jest odpychana od bieguna silnego magnesu, a jej podatność magnetyczna  \( \chi  \) jest ujemna.

Przykładem idealnego diamagnetyka, który całkowicie wypycha pole magnetyczne ze swego wnętrza, są nadprzewodniki, czyli materiały wykazujące m.in. zerowy opór elektryczny w niskich temperaturach. Pokazano to na poniższym filmie:

Paramagnetykami są ciała, których atomy posiadają wypadkowy moment magnetyczny różny od zera. Przykładem mogą być atomy o nieparzystej liczbie elektronów, w których wypadkowy spin elektronów będzie zawsze większy od zera.

Podatność paramagnetyków ma wartość nieznacznie większą od zera. W zewnętrznym polu magnetycznym atomowe dipole magnetyczne dążą do ustawienia równoległego do kierunku pola. Jednak ten proces jest silnie zakłócany przez energię drgań termicznych (energię cieplną) tak, że efektywny moment magnetyczny jest dużo mniejszy od maksymalnego, możliwego do uzyskania. Te ruchy cieplne są odpowiedzialne za to, że po usunięciu pola magnetycznego znika namagnesowanie i momenty dipolowe paramagnetyka są całkowicie nieuporządkowane.

Dla paramagnetyków (nie zawierających elektronów swobodnych) podatność magnetyczna zależy od temperatury zgodnie z prawem Curie.

Jedną z nietypowych substancji paramagnetycznych jest tlen, co można zobrazować po jego skropleniu:


Ferromagnetyzm

Istnieją pierwiastki takie, jak Fe, Co, Ni oraz wiele różnych stopów, w których obserwujemy uporządkowanie magnetyczne pomimo, przeciwdziałających temu, ruchów termicznych atomów. Substancje te zwane ferromagnetykami charakteryzują się dużą podatnością, przy czym wielkość namagnesowania zależy zarówno od pola magnesującego, jak i od tego czy były one magnesowane wcześniej.

Jest to związane z silnym oddziaływaniem wymiennym jakie występuje pomiędzy spinowymi momentami magnetycznymi atomów. Ferromagnetyzm jest więc własnością kryształów, a nie pojedynczych atomów.

Poszczególne atomy (tak jak w paramagnetyku) posiadają momenty magnetyczne, które podczas krystalizacji, w wyniku oddziaływania wymiennego, ustawiają się równolegle do siebie w dużych obszarach kryształu zwanych domenami. Każda domena jest więc całkowicie magnetycznie uporządkowana. Natomiast kierunki momentów magnetycznych poszczególnych domen są różne i próbka jako całość może nie mieć wypadkowego namagnesowania.

Zjawisko porządkowania momentów magnetycznych w domeny prezentuje poniższy film

Na Rys. 1 pokazano fragment nienamagnesowanego ferromagnetyka. Linie pokazują granice domen, a strzałki oznaczają kierunek momentu magnetycznego w domenie.

Jeżeli taki materiał ferromagnetyczny umieścimy w zewnętrznym polu magnetycznym zaobserwujemy, że próbka uzyskuje duże namagnesowanie w relatywnie niskim polu magnetycznym. Dzieje się tak dlatego, że momenty magnetyczne atomów wewnątrz domen dążą do ustawienia się zgodnie z polem oraz, że przesuwają się ściany domen: domeny zorientowane zgodnie z polem rosną kosztem domen o innej orientacji.

Ten proces nie jest całkowicie odwracalny. Po usunięciu pola granice domen nie wracają do położeń początkowych i materiał pozostaje namagnesowany trwale. Zjawisko to nazywamy histerezą magnetyczną.

Na Rys. 2 pokazana jest krzywa (ab) namagnesowania ferromagnetyka (początkowo nienamagnesowanego) i towarzysząca jej pętla histerezy (bcdeb).

Nienamagnesowany (punkt a) materiał ferromagnetyczny magnesujemy zewnętrznym polem magnetycznym  \( B_{0} \) aż do wartości odpowiadającej punktowi b. Następnie zmniejszamy pole magnesujące do zera. Namagnesowanie materiału maleje, ale nie znika całkowicie (punkt c); materiał został namagnesowany trwale. Namagnesowanie w punkcie c nosi nazwę pozostałości magnetycznej.

Następnie, ponownie zwiększamy pole magnesujące, ale w kierunku przeciwnym do namagnesowania. Trwałe namagnesowanie ferromagnetyka zostaje usunięte dopiero po osiągnięciu wartości pola magnetycznego nazywanego polem koercji (punkt d). Dalsze zwiększanie pola magnesującego pozwala ponownie namagnesować materiał, ale w nowym kierunku (punkt e). Możemy teraz powtórzyć postępowanie opisane powyżej i w efekcie powrócić do punktu b. Krzywa (bcdeb) nosi nazwę pętli histerezy.

Pozostałość magnetyczna i pole koercji są parametrami, które decydują o przydatności danego materiału jako magnesu trwałego. Duża pozostałość magnetyczna gwarantuje, że będziemy mieli silny magnes, a duże pole koercji, że będzie on trwały (nie zostanie łatwo rozmagnesowany). Materiałami, które posiadają najlepsze wartości tych parametrów są obecnie SmCo \( _{5} \) i Nd \( _{2} \)Fe \( _{14} \)B.

O przydatności ferromagnetyka jako magnesu trwałego decyduje również zależność jego podatności od temperatury, bo powyżej pewnej charakterystycznej temperatury  \( T_{C} \) ferromagnetyk staje się paramagnetykiem. Temperaturę  \( T_{C} \) nazywamy temperaturą Curie. Z punktu widzenia zastosowań istotne jest, aby materiał ferromagnetyczny miał możliwie wysoką temperaturę przejścia w stan paramagnetyczny.


Podsumowanie informacji o materii skondensowanej


Zadania z fizyki materii skondensowanej


Podstawowe informacje o fizyce jądrowej

Każde jądro atomowe składa się z protonów i neutronów wiązanych siłami jądrowymi, niezależnymi od ładunku. Ponieważ neutron i proton mają prawie taką samą masę i bardzo zbliżone inne własności, obydwa określa się wspólną nazwą nukleon. Nazwa nuklid jest używana zamiennie z terminem jądro.

Nuklidy o tej samej liczbie protonów, różniące się liczbą neutronów nazywamy izotopami. Łączną liczbę protonów i neutronów w jądrze nazywamy liczbą masową jądra i oznaczamy literą  \( A \). Liczba neutronów jest dana równaniem  \( A-Z \), gdzie  \( Z \) jest liczbą protonów zwaną liczbą atomową. Wartość liczby  \( A \) dla jądra atomowego jest bardzo bliska masie odpowiadającego mu atomu. Atom pierwiastka X o liczbie atomowej  \( Z \) i liczbie masowej  \( A \) oznaczamy symbolem  \( _{Z}^{A} \)X.

Wyniki pomiarów rozpraszania wysokoenergetycznych protonów lub neutronów na jądrach atomowych pozwalają wyznaczyć rozkład masy w jądrze i jego rozmiar.  \( Z \) tych pomiarów wynika, że jądra mają kształt kulisty oraz że średni promień dla wszystkich jąder (oprócz najmniejszych) jest dany wyrażeniem

W tabeli przedstawione zostały gęstości wybranych obiektów między innymi gęstość jądra uranu  \( \rho  \) = 10 \( ^{17 } \)kg/m \( ^{3} \). Obliczymy teraz tę gęstość na podstawie wzoru ( 1 ).

Dla jądra o promieniu  \( R \) i liczbie masowej  \( A \) liczba cząstek na jednostkę objętości wynosi

Gęstość  \( \rho  \) obliczamy jako iloczyn liczby nukleonów N w jądrze i masy nukleonu. Masa protonu jest z dobrym przybliżeniem równa masie neutronu i wynosi  \( M \) = 1.67·10 \( ^{-27} \) kg. Stąd

Zauważmy, że gęstość materii jądrowej nie zależy od rozmiarów jądra, ponieważ jego objętość jest proporcjonalna do liczby masowej  \( A \).


Oddziaływanie nukleon-nukleon

Oddziaływania grawitacyjne, elektromagnetyczne nie pozwalają na wyjaśnienie struktury jądra atomowego. Aby wyjaśnić co tak silnie wiąże nukleony w jądrach atomowych, trzeba wprowadzić nowe oddziaływanie. Ta siła wiążąca musi być większa niż siła odpychania elektrostatycznego występująca pomiędzy protonami. Określamy ją mianem siły jądrowej lub oddziaływania silnego.

Potencjał opisujący to oddziaływanie jest pokazany na Rys. 1 w porównaniu z potencjałem elektrostatycznego odpychania proton - proton.

Oddziaływanie proton - proton, proton - neutron i neutron - neutron jest identyczne (jeżeli zaniedbamy relatywnie małe efekty odpychania elektrostatycznego) i nazywamy go oddziaływaniem nukleon - nukleon.

Masy atomowe i energie wiązań można wyznaczyć doświadczalnie w oparciu o spektroskopię masową lub bilans energii w reakcjach jądrowych. W Tabela 1 poniżej zestawione są masy atomowe i energie wiązań  \( \Delta  E \) jąder atomów wybranych pierwiastków.

Masy atomowe i energie wiązań jąder atomów Z

Analizując bliżej dane zestawione w Tabela 1 można uzyskać dalsze informacje o jądrach atomowych. Dla przykładu porównajmy masę atomu  \( {{_{{2}}^{{4}}}{}{}{\text{}}{}\text{He}} \) z sumą mas jego składników. Z Tabela 1 można odczytać

Natomiast całkowita masa jego składników równa jest sumie mas dwu atomów wodoru  \( {{_{{1}}^{{1}}}{}{}{\text{}}{}H} \) i dwu neutronów:

Masy dwu elektronów są uwzględnione w masie helu jak i w masach dwóch atomów wodoru. Zauważmy, że masa helu jest mniejsza od masy składników o wartość 0.0303779 u. Analogiczny rachunek pokazuje, że dla każdego atomu jego masa jest mniejsza od masy składników o wielkość  \( \Delta  M \) zwaną niedoborem masy lub defektem masy.

Wynik ten jest świadectwem istnienia energii wiązania jąder jak i równoważności masy i energii. Zauważmy, że energia nukleonów tworzących jądro zmienia się w miarę ich zbliżania od wartości E = 0 dla nukleonów swobodnych ( \( r \rightarrow \infty \)) do wartości ujemnej  \( E<0 \) dla nukleonów w jądrze (zob. Rys. 1 ). Oznacza to, że gdy układ oddzielnych swobodnych nukleonów łączy się w jądro energia układu zmniejsza się o wartość  \( \Delta  E \) energii wiązania jądra.

Zgodnie ze wzorem Einsteina całkowita energia spoczywającego jądra jest związana z jego masą zależnością (patrz uzupełnienie)  \( {E={mc}^{{2}}} \). Oznacza to, że zmniejszeniu o  \( \Delta  E \) całkowitej energii układu musi towarzyszyć, zgodnie z teorią względności, zmniejszenie masy układu o  \( \Delta  M \)

W ostatniej kolumnie Tabela 1 podana jest wielkość energii wiązania przypadającej na nukleon w jądrze  \( \Delta E/A \). Jest to jedna z najważniejszych cech charakteryzujących jądro. Zauważmy, że początkowo wielkość  \( \Delta E/A \) wzrasta ze wzrostem liczby  \( A \), ale potem przybiera w przybliżeniu stałą wartość około 8 MeV. Wyniki średniej energii wiązania na nukleon w funkcji liczby masowej jądra  \( A \) są pokazane na Rys. 2 poniżej.

Widzimy, że najsilniej są wiązane nukleony w jądrach pierwiastków ze środkowej części układu okresowego. Gdyby każdy nukleon w jądrze przyciągał jednakowo każdy z pozostałych nukleonów to energia wiązania byłaby proporcjonalna do  \( A \) (wielkość  \( \Delta E/A \) byłaby stała). To, że tak nie jest wynika głównie z krótkiego zasięgu sił jądrowych.


Rodzaje rozpadów jądrowych

Rozpady jądrowe zachodzą zawsze (prędzej czy później) jeśli jądro o pewnej liczbie nukleonów znajdzie się w stanie energetycznym, nie będącym najniższym możliwym dla układu o tej liczbie nukleonów. Takie nietrwałe (w stanach niestabilnych) jądra mogą powstać w wyniku reakcji jądrowych. Niektóre reakcje są wynikiem działań laboratoryjnych, inne dokonały się podczas powstawania naszej części Wszechświata.

Jądra nietrwałe pochodzenia naturalnego są nazywane promieniotwórczymi, a ich rozpady noszą nazwę rozpadów promieniotwórczych. Rozpady promieniotwórcze dostarczają wielu informacji zarówno o jądrach atomowych ich budowie, stanach energetycznych, oddziaływaniach ale również wielu zasadniczych informacji o pochodzeniu Wszechświata.

Badając własności promieniotwórczości stwierdzono, że istnieją trzy rodzaje promieniowania alfa ( \( \alpha  \)), beta( \( \beta  \)) i gamma ( \( \gamma  \)). Po dalszych badaniach stwierdzono, że promienie  \( \alpha  \) to jądra helu, promienie  \( \gamma  \) to fotony, a promienie  \( \beta  \) to elektrony lub pozytony (cząstka elementarna dodatnia o masie równej masie elektronu).

Szczególnie ważnym rozpadem promieniotwórczym jest rozpad alfa ( \( \alpha \)) występujący zazwyczaj w jądrach o  \( Z \) ≥ 82. Rozpad alfa polega na przemianie niestabilnego jądra w nowe jądro przy emisji jądra  \( ^{4} \)He tzn. cząstki  \( \alpha \).

Zgodnie z Oddziaływanie nukleon-nukleon-Rys. 2 dla ciężkich jąder energia wiązania pojedynczego nukleonu maleje ze wzrostem liczby masowej, więc zmniejszenie liczby nukleonów (w wyniku wypromieniowania cząstki  \( \alpha \)) prowadzi do powstania silniej związanego jądra. Proces zachodzi samorzutnie bo jest korzystny energetycznie. Energia wyzwolona w czasie rozpadu (energetyczny równoważnik niedoboru masy) jest unoszona przez cząstkę  \( \alpha \) w postaci energii kinetycznej. Przykładowa reakcja dla jądra uranu wygląda następująco

Istnieją optymalne liczby protonów i neutronów, które tworzą jądra najsilniej związane (stabilne). Jądra, których ilość protonów  \( Z \) różni się od wartości odpowiadającej stabilnym jądrom o tej samej liczbie masowej  \( A \), mogą zmieniać  \( Z \) w kierunku jąder stabilnych poprzez rozpad beta ( \( \beta  \)).

Jeżeli rozpatrywane jądro ma większą od optymalnej liczbę neutronów to w jądrze takim zachodzi przemiana neutronu w proton

Neutron n rozpada się na proton p, elektron e \( ^{-} \) i antyneutrino  \( {\overline{{v}}} \) (cząstka elementarna o zerowym ładunku i praktycznie zerowej masie spoczynkowej). Ten proces nosi nazwę rozpadu  \( \beta \) \( ^{-} \) (beta minus). Przykładem takiej przemiany jest rozpad uranu  \( ^{239} \)U

Powstały izotop też nie jest trwały i podlega dalszemu rozpadowi

Zauważmy, że w takim procesie liczba protonów  \( Z \) wzrasta o jeden, a liczba nukleonów  \( A \) pozostaje bez zmiany.  \( Z \) kolei, gdy jądro ma nadmiar protonów to zachodzi proces przemiany protonu w neutron

Proton p rozpada się na neutron n, pozyton e \( ^{-} \) i neutrino v (cząstka elementarna o własnościach bardzo zbliżonych do antyneutrina). Ten proces nosi nazwę rozpadu  \( \beta ^{+} \) (beta plus). W tym procesie liczba protonów  \( Z \) maleje o jeden, a liczba nukleonów  \( A \) pozostaje bez zmiany.

Pierwiastki powstające w rozpadach alfa i beta są na ogół także promieniotwórcze i ulegają dalszemu rozpadowi. Większość naturalnych pierwiastków promieniotwórczych można podzielić na trzy grupy, nazywane szeregami promieniotwórczymi. W szeregu uranu rozpoczynającym się od  \( _{\text{92}}^{\text{238}} \)U liczby masowe zmieniają się według wzoru 4n + 2. W szeregu aktynu rozpoczynającym się od  \( _{\text{92}}^{\text{235}} \)U liczby masowe zmieniają się według wzoru 4n + 3, a w szeregu toru rozpoczynającym się od  \( _{\text{90}}^{\text{232}} \)Th liczby masowe są opisane wzorem 4n. Wszystkie trzy szeregi kończą się na trwałych izotopach ołowiu.

Każdy naturalny materiał promieniotwórczy zawiera wszystkie pierwiastki wchodzące w skład danej rodziny i dlatego promieniowanie wysyłane, np. przez minerały jest bardzo złożone.

Rozpadom alfa i beta towarzyszy zazwyczaj emisja wysokoenergetycznego promieniowania elektromagnetycznego zwanego promieniowaniem gamma ( \( \gamma  \)). Ta samoczynna emisja fotonów następuje gdy jądra posiadające nadmiar energii czyli znajdujące się w stanie wzbudzonym przechodzą do niższych stanów energetycznych. Widmo promieniowania  \( \gamma  \) ma charakter liniowy tak jak charakterystyczne promieniowanie X i bardzo wysoką energię, tysiące razy większą od energii fotonów wysyłanych przez atomy.

Jądra w stanie wzbudzonym można również otrzymać za pomocą neutronów o małej energii. Przykładowo, jeżeli skierujemy wiązkę takich powolnych neutronów na próbkę uranu  \( ^{238} \)U, to część neutronów zostanie wychwyconych i powstaną jądra uranu  \( ^{239} \)U* w stanie wzbudzonym (oznaczone *). Takie jądra przechodzą do stanu podstawowego emitując kwanty  \( \gamma  \). Proces ten przebiega następująco

Podkreślmy, że emisji promieniowania gamma nie towarzyszy zmiana liczby masowej ani liczby atomowej.


Prawo rozpadu nuklidów

Rozpatrzmy układ zawierający w chwili początkowej wiele jąder tego samego rodzaju. Jądra te podlegają rozpadowi promieniotwórczemu ( \( \alpha  \) lub  \( \beta  \)). Chcemy określić liczbę jąder pozostałych po czasie  \( t \) od chwili początkowej to jest tych, które nie uległy rozpadowi.

W tym celu oznaczamy przez  \( N \) liczbę jąder w materiale, w chwili  \( t \). Wtedy  \( dN \) jest liczbą jąder, które rozpadają się w czasie  \( dt \), tzn. w przedziale  \( (t, t + dt) \). Spodziewana liczba rozpadów (liczba jąder, które się rozpadną) w czasie  \( dt \) jest dana wyrażeniem

gdzie  \( \lambda  \) jest stałą rozpadu. Określa ona prawdopodobieństwo rozpadu w jednostce czasu. Stała  \( \lambda \) nie zależy od czynników zewnętrznych takich, jak temperatura czy ciśnienie. Znak minus w równaniu ( 1 ) wynika stąd, że  \( dN \) jest liczbą ujemną, bo liczba jąder  \( N \) maleje z czasem.

Zależność ( 1 ) opisuje doświadczalny fakt, że liczba jąder rozpadających się w jednostce czasu jest proporcjonalna do aktualnej liczby jąder  \( N \). Równanie to możemy przekształcić do postaci

Skąd ostatecznie otrzymujemy wykładnicze prawo rozpadu.

Często wyraża się  \( N \) poprzez średni czas życia jąder  \( \tau  \), który z definicji jest równy odwrotności stałej rozpadu  \( \lambda  \)

Możemy teraz przepisać prawo rozpadu w postać

Do scharakteryzowania szybkości rozpadu używa się czasu połowicznego rozpadu (zaniku)  \( T \). Jest to taki czas, po którym liczba jąder danego rodzaju maleje do połowy to znaczy  \( N \) = (½)  \( N_{0} \). Podstawiając tę wartość do równania ( 8 ), otrzymujemy

Czasy połowicznego zaniku pierwiastków leżą w bardzo szerokim przedziale. Przykładowo dla uranu  \( ^{238} \)U czas połowicznego zaniku wynosi 4.5·10 \( ^{9} \) lat (jest porównywalny z wiekiem Ziemi), a dla polonu  \( ^{212} \)Po jest rzędu 10 \( ^{-6} \)s.


Rozszczepienie jąder atomowych

Z modułu Oddziaływanie nukleon-nukleon-Rys. 2 wynika, że energia wiązania na jeden nukleon wzrasta z liczbą masową aż do  \( A \) > 50. Dzieje się tak dlatego, że dany nukleon jest przyciągany przez coraz większą liczbę sąsiednich nukleonów. Jednak przy dalszym wzroście liczby nukleonów nie obserwujemy wzrostu energii wiązania nukleonu w jądrze, a jej zmniejszanie.

Wyjaśnienie tego efektu można znaleźć, analizując Oddziaływanie nukleon-nukleon-Rys. 1. Widać na nim, że siły jądrowe mają bardzo krótki zasięg i jeżeli odległość między dwoma nukleonami jest większa niż 2.5·10 \( ^{-15} \) m to oddziaływanie pomiędzy nimi jest słabsze. Jądra zawierające dużą liczbę nukleonów mają większe rozmiary i odległości pomiędzy poszczególnymi nukleonami mogą być relatywnie duże, a stąd słabsze przyciąganie pomiędzy nimi.

Konsekwencją takich zmian energii wiązania ze wzrostem liczby nukleonów w jądrze jest występowanie zjawisk rozszczepienia i syntezy jądrowej.

Jeżeli ciężkie jądro rozdzielimy na dwie części, to powstałe dwa mniejsze jądra są silniej wiązane od jądra wyjściowego, to znaczy te dwie części mają masę mniejszą niż masa jądra wyjściowego. Dzięki temu w reakcji rozszczepienia wydziela się energia. Źródłem energii bomby atomowej i reaktora jądrowego są procesy rozszczepienia jądrowego.

Spontaniczne rozszczepienie naturalnego jądra jest na ogół mniej prawdopodobne niż rozpad  \( \alpha  \) tego jądra. Można jednak zwiększyć prawdopodobieństwo rozszczepienia, bombardując jądra neutronami o odpowiednio wysokiej energii. Właśnie takie neutrony powodują reakcje rozszczepienia uranu  \( ^{235} \)U i plutonu  \( ^{239} \)Pu.

Analizując liczby masowe i atomowe pierwiastków (na podstawie  ),  można zauważyć, że pierwiastki lekkie zawierają w jądrze zbliżone ilości protonów i neutronów podczas, gdy dla pierwiastków ciężkich przeważa liczba neutronów.

W związku z tym w reakcji rozszczepienia powstaje na ogół kilka neutronów. W konsekwencji rozszczepienie jądrowe może stać się procesem samopodtrzymującym w wyniku tak zwanej reakcji łańcuchowej. Jeżeli przynajmniej jeden z powstałych neutronów wywoła kolejne rozszczepienie to proces będzie sam się podtrzymywał. Ilość materiału powyżej, której spełniony jest powyższy warunek nazywamy masą krytyczną.

Jeżeli liczba rozszczepień na jednostkę czasu jest utrzymywana na stałym poziomie to mamy do czynienia z kontrolowaną reakcją łańcuchową. Po raz pierwszy taką reakcję rozszczepienia przeprowadzono (E. Fermi) na Uniwersytecie Chicago w 1942 r.

Masa materiału rozszczepianego (np.  \( ^{235} \)U czy  \( ^{239} \)Pu) może też być nadkrytyczna. Wówczas neutrony powstałe w wyniku jednego rozszczepienia wywołują więcej niż jedną reakcję wtórną. Mamy do czynienia z lawinową reakcją łańcuchową. Cała masa nadkrytyczna może być rozszczepiona (zużyta) w bardzo krótkim czasie,  \( t =  \)0.001 s, ze względu na dużą prędkość neutronów (3·10 \( ^{5} \) m/s). Tak eksploduje bomba atomowa. Najczęściej przygotowuje się kulę o masie nadkrytycznej, ale rozrzedzonej. Następnie otacza się ją klasycznymi ładunkami wybuchowymi, których detonacja wywołuje wzrost ciśnienia zewnętrznego i gwałtownie zwiększenie gęstości materiału (zmniejsza się objętość kuli). W konsekwencji osiągnięty zostaje stan nadkrytyczny.

Oczywiście w elektrowniach atomowych spalanie paliwa odbywa się bardzo powoli. W związku z tym konieczne jest spowalnianie neutronów i dobór warunków stacjonarnej pracy reaktora. Wymaga to stosowania skomplikowanych instalacji dużo droższych niż w elektrowniach konwencjonalnych spalających węgiel. Dodatkowe, bardzo znaczne koszty w elektrowni atomowej są związane z budową i eksploatacją systemu ochrony i zabezpieczeń oraz ze składowaniem odpadów promieniotwórczych. Jednak pomimo tak wysokich kosztów energia jądrowa skutecznie konkuruje z paliwem tradycyjnym i jest bardziej ekonomiczna na dużą skalę. Również zanieczyszczenia powstające przy spalaniu węgla w tradycyjnych elektrowniach stanowią nie mniejszy (a w opinii wielu znacznie większy) problem niż odpady promieniotwórcze.

Energia jądrowa powinna ułatwić pokrycie światowego zapotrzebowania na energię w obliczu wyczerpywania się tradycyjnych źródeł energii.


Reakcja syntezy jądrowej

Z analizy Oddziaływanie nukleon-nukleon-Rys. 2 wynika, że masa dwóch lekkich jąder jest większa niż masa jądra powstającego po ich połączeniu. Jeżeli więc takie jądra zbliżymy do siebie na dostatecznie małą odległość, to z ich połączenia powstawanie nowe jądro i wydzieli się energia związana z różnicą mas.

Przykładowo przy połączeniu dwóch deuteronów  \( _{1}^{2}\text{H} \) (jądro izotopu wodoru) w jądro helu,  \( 0.6\% \) masy zostanie zamieniona na energię. Zauważ, że ta metoda jest wydajniejsza od rozszczepiania jąder uranu (zob. moduł Rozszczepienie jąder atomowych-Porównanie elektrowni konwencjonalnych z atomowymi ). Poza tym dysponujemy nieograniczonym źródłem deuteru w wodzie mórz i oceanów.

Jednak istnieje przeszkoda w otrzymywaniu energii tą metodą. Jest nią odpychanie kulombowskie, które nie pozwala zbliżyć się deuteronom na odległość niezbędną do ich połączenia (porównywalną z zasięgiem przyciągających sił jądrowych). Reakcja ta nie jest możliwa w temperaturze pokojowej, ale byłaby możliwa, gdyby deuter mógł być ogrzany do temperatury około 5·10 \( ^{7} \) K.

Reakcje, które wymagają takich temperatur nazywamy reakcjami termojądrowymi. Temperatury osiągane podczas wybuchu bomby atomowej są wystarczające do zapoczątkowania takiej reakcji. Raz zapoczątkowana reakcja termojądrowa wytwarza dostateczną ilość energii do utrzymania wysokiej temperatury (dopóki materiał nie zostanie spalony). Tak działa bomba wodorowa.

Nam jednak zależy na uzyskaniu użytecznej energii z reakcji syntezy jądrowej, to znaczy na prowadzeniu reakcji w sposób kontrolowany. Dlatego prowadzone są próby skonstruowania reaktora termojądrowego. Podstawowym problemem jest utrzymanie gazu o tak wysokiej temperaturze, w pewnej ograniczonej objętości. Czas trwania reakcji musi być wystarczająco długi żeby wytworzona energia była większa od energii zużytej na uzyskanie tak gorącego gazu (uruchomienie reaktora). Stwarza to wiele problemów technicznych i jak dotąd nie udało się przeprowadzić zakończonej sukcesem kontrolowanej reakcji termojądrowej.

W przyrodzie obserwuje się ciągłe wytwarzanie energii termojądrowej. Procesy termojądrowe są źródłem energii gwiazd w tym i „naszego” Słońca.


Źródła energii gwiazd

Ewolucja wielu gwiazd rozpoczyna się od wyodrębnienia się chmury wodoru z materii międzygwiezdnej. Chmura ta zapada się pod wpływem siły grawitacji. Zagęszczaniu materii pod wpływem grawitacji towarzyszy wzrost temperatury do momentu, aż osiągnięte zostaje stadium protogwiazdy.

Ponieważ energia protogwiazdy, źródłem której jest grawitacyjne zapadanie się, zmniejsza się przez promieniowanie elektromagnetyczne (protogwiazda świeci) trwa dalsze jej kurczenie się aż do pojawienia się nowego źródła energii, które może temu przeciwdziałać. Tym nowym źródłem są reakcje termojądrowe.

Obliczmy teraz rozmiar (promień) Słońca w funkcji jego masy. W tym celu zakładamy, że gęstość Słońca jest stała (w rzeczywistości rdzeń ma większą gęstość niż warstwy przy powierzchni), a jego masę przyjmujemy równą  \( M_{S} \) = 2·10 \( ^{30} \) kg.

Zapadanie się masy gazu w Słońcu zostanie zatrzymane, gdy ciśnienie termiczne wywołane ogrzewaniem gazu przez energię z reakcji termojądrowych wyrówna ciśnienie grawitacyjne. Obliczamy więc ciśnienie grawitacyjne wewnątrz jednorodnej kuli o promieniu  \( R \). Korzystamy z równania  \( {p=\rho \overline{{g}}h} \), gdzie  \( {\overline{{g}}=\frac{1}{2}g} \) jest wartością średnią przyspieszenia (na powierzchni kuli przyspieszenie jest równe  \( g \), a w środku przyspieszenie jest równe zeru). Stąd

gdzie  \( {g=\frac{{GM}_{{S}}}{R^{{2}}}} \). Ostatecznie więc

Na podstawie równania stanu gazu doskonałego ciśnienie termiczne gazu wynosi

gdzie  \( m_{p} \) jest masą protonu (masa atomu wodoru  \( {\approx} \) masa protonu).

Porównanie tych dwóch ciśnień daje wyrażenie na promień Słońca

Teraz oceńmy, jaka jest najniższa temperatura potrzebna do zbliżenia dwóch protonów na odległość 2·10 \( ^{-15} \)m wystarczającą do ich połączenia się. Każdy proton ma energię  \( (3/2)kT \), więc energia kinetyczna pary protonów jest równa  \( 3kT \). Ta energia musi zrównoważyć energię odpychania elektrostatycznego równą  \( e^2 / 4 \pi \epsilon _0 R \). Z porównania tych energii otrzymujemy temperaturę  \( T≈2.8·10^{9} \) K.

We wnętrzu gwiazdy wystarcza temperatura o jeden lub nawet dwa rzędy wielkości niższa, bo zawsze znajdzie się wystarczająca ilość protonów o prędkościach większych od średniej (przypomnij sobie Maxwella rozkład prędkości - moduł Rozkład Maxwella prędkości cząstek ), aby podtrzymać reakcję. Tak więc temperatura, dla której zaczynają zachodzić reakcje termojądrowe jest rzędu 10 \( ^{7} \) K. Na podstawie tych danych otrzymujemy wartość promienia Słońca zbliżoną do wartości obserwowanej  \( R = 7·10^{8} \) m.

Temperatura rzędu 10 \( ^{7} \) K jest więc dostatecznie wysoka, aby wywołać następujące reakcje termojądrowe

gdzie  \( D \) oznacza izotop wodoru  \( _1^2\text{H} \) - deuter. Ten ciąg reakcji termojądrowych pokazany na Rys. 1 jest znany jako cykl wodorowy.

W cyklu wodorowym wytworzona zostaje cząstka alfa, 2 pozytony, 2 neutrina i 2 fotony gamma. Masa jądra helu stanowi  \( 99.3\% \) masy czterech protonów więc wydziela się energia związana z różnicą mas. Cykl wodorowy jest głównym mechanizmem produkcji energii przez Słońce i inne gwiazdy bogate w wodór.

Energia wytwarzana przez Słońce jest ogromna. W ciągu sekundy 592 miliony ton wodoru zamieniają się w 587.9 milionów ton helu. Różnica tj. 4.1 miliony ton jest zamieniana na energię (w ciągu sekundy). Odpowiada to mocy około 4·10 \( ^{26} \) W.


Podsumowanie informacji o fizyce jądrowej


Zadania z fizyki jądrowej


Transformacja Galileusza

Spróbujemy teraz opisać zjawiska widziane z dwóch różnych inercjalnych układów odniesienia, poruszających się względem siebie (zob. Rys. 1 ). W tym celu wyobraźmy sobie, obserwatora na Ziemi, który rejestruje dwa zdarzenia (na przykład dwie eksplozje) zachodzące na pewnej, jednakowej wysokości.

Odległość między miejscami wybuchów wynosi (według ziemskiego obserwatora)  \( \Delta x \), natomiast czas między wybuchami  \( \Delta t \). Te same dwa zdarzenia obserwowane są przez pasażera samolotu lecącego z prędkością  \( V \) po linii prostej łączącej miejsca wybuchów. Względem lokalnego układu odniesienia związanego z lecącym samolotem różnica położeń wybuchów wynosi  \( \Delta x' \), a różnica czasu  \( \Delta t' \).

Porównajmy teraz spostrzeżenia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to na przykład z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisać to co widzą pasażerowie samolotu. Jeżeli, pierwszy wybuch nastąpił w punkcie  \( x_{1} \)’ (wg samolotu), a drugi po czasie  \( \Delta t \), to w tym czasie samolot przeleciał drogę  \( V\Delta t \) (względem obserwatora na Ziemi) i drugi wybuch został zaobserwowany w punkcie

Jednocześnie, ponieważ samolot leci wzdłuż linii łączącej wybuchy, to  \( \Delta y' = \Delta z'  \) = 0. Oczywistym wydaje się też, że  \( \Delta t' = \Delta t \). Otrzymaliśmy więc wzory przekładające wyniki obserwacji jednego obserwatora na spostrzeżenia drugiego

Te równania noszą nazwę transformacji Galileusza.

Sprawdźmy czy stosując powyższe wzory do opisu doświadczeń, otrzymamy takie same wyniki, niezależnie od układu, w którym to doświadczenie opisujemy. Jako przykład wybierzmy ciało poruszające wzdłuż osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a.

W układzie nieruchomym prędkość chwilowa ciała wynosi

Jego przyspieszenie jest stałe i równe  \( a \). Natomiast obserwator w pojeździe poruszającym się wzdłuż osi  \( x \) ze stałą prędkością  \( V \) rejestruje, że w czasie  \( \Delta t' \) ciało przebywa odległość  \( \Delta x' \). Zatem prędkość chwilowa ciała zmierzonego przez tego obserwatora wynosi

Zgodnie z transformacją Galileusza  \( \Delta x' = \Delta x - V\Delta t \), oraz  \( \Delta t' = \Delta t \), więc

Otrzymaliśmy prędkość względną jednego obiektu względem drugiego, co jest wynikiem intuicyjnie oczywistym. Natomiast przyśpieszenie w układzie poruszającym się wynosi

Widać, że w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik zgodny z doświadczeniem. Jednak nie jest to prawdą w każdym przypadku. Miedzy innymi stwierdzono, że ta transformacja zastosowana do równań Maxwella nie daje tych samych wyników dla omawianych układów inercjalnych. W szczególności z praw Maxwella wynika, że prędkość światła jest podstawową stałą przyrody i powinna być sama w każdym układzie odniesienia. Oznacza to na przykład, że gdy impuls światła rozchodzący się w próżni w kierunku  \( x \) jest obserwowany przez dwóch obserwatorów pokazanych na Rys. 1 to zarówno obserwator nieruchomy jak poruszający się z prędkością  \( V \) (względem pierwszego) zmierzą identyczną prędkość impulsu  \( c = 2.998·10^{8} \) m/s. Tymczasem zgodnie z transformacją Galileusza i ze zdrowym rozsądkiem powinniśmy otrzymać wartość  \( c - V \).

Wykonano szereg doświadczeń, w których próbowano podważyć równania Maxwella, a w szczególności próbowano pokazać, że prędkość światła, tak jak prędkość dźwięku zależy od układu odniesienia (stosuje się do transformacji Galileusza). Najsławniejsze z nich, to doświadczenie Michelsona-Morleya mające na celu wykrycie wpływu ruchu orbitalnego Ziemi na prędkość światła poprzez pomiar prędkości światła w kierunku prostopadłym i równoległym do ruchu Ziemi. Wszystkie te doświadczenia dały wynik negatywny i musimy uznać, że

Niektóre wnioski wynikające ze stałości prędkości światła, pomówione zostały w modułach Transformacja Lorentza oraz Dylatacja czasu.


Dylatacja czasu

Rozpatrzmy rakietę, w której znajduje się przyrząd wysyłający impuls światła z punktu A, który następnie odbity przez zwierciadło Z, odległe o  \( d \), powraca do tego punktu A, gdzie jest rejestrowany (zob. Rys. 1 ).

Czas  \( \Delta t' \) jaki upływa między wysłaniem światła, a jego zarejestrowaniem przez obserwatora będącego w rakiecie ( Rys. 1a) jest oczywiście równy  \( \Delta t' = 2d/c \). Teraz to samo zjawisko opisujemy z układu nieruchomego obserwatora ( Rys. 1b), względem którego rakieta porusza się w prawo z prędkością  \( V \). Chcemy, w tym układzie, znaleźć czas  \( \Delta t \) przelotu światła z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A. Jak widać na Rys. 1b światło przechodząc od punktu A do zwierciadła Z, porusza się po linii o długości  \( S \)

Zatem czas potrzebny na przebycie drogi AZA (to jest dwóch odcinków o długości  \( S \)) wynosi

Przekształcając to równanie, otrzymujemy ostatecznie

Widzimy, że warunek stałości prędkości światła w różnych układach odniesienia może być spełniony tylko wtedy gdy, czas pomiędzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi i mierzonymi z różnych układów odniesienia jest różny. Prowadzi to do efektu tzw. dylatacji czasu.

To zjawisko dylatacji czasu jest własnością samego czasu i dlatego spowolnieniu ulegają wszystkie procesy fizyczne gdy są w ruchu. Dotyczy to również reakcji chemicznych, więc i biologicznego starzenia się.

Dylatację czasu zaobserwowano doświadczalnie między innymi za pomocą nietrwałych cząstek. Cząstki takie przyspieszano do prędkości bliskiej prędkości światła i mierzono zmianę ich czasu połowicznego zaniku.


Transformacja Lorentza

Szukamy ponownie (jak przy module Transformacja Galileusza ) wzorów przekładających spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znaleźć transformację współrzędnych, ale taką, w której obiekt poruszający się z prędkością równą  \( c \) w układzie nieruchomym  \( (x, y, z, t) \), również w układzie  \( (x', y', z', t') \) poruszającym się z prędkością  \( V \) wzdłuż osi  \( x \) będzie poruszać się z prędkością  \( c \). Transformacja współrzędnych, która uwzględnia niezależność prędkości światła od układu odniesienia ma postać

gdzie  \( \beta = V/c \). Te równania noszą nazwę transformacji Lorentza. Omówimy teraz niektóre wnioski wynikające z transformacji Lorentza.

Przyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi  \( x' \) (czyli także wzdłuż osi  \( x \), bo zakładamy, że te osie są równoległe) pewne dwa zdarzenia zachodzą równocześnie  \( \Delta t' \) = \( t_{2} \)'-  \( t_{1} \)' = 0, ale w rożnych miejscach  \( x_{2} \)' -  \( x_{1} \)' =  \( \Delta x' \)  \( {\neq} \) 0. Sprawdźmy, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora w spoczynku. Z transformacji Lorentza wynika, że

Jeżeli teraz uwzględnimy fakt, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą są jednoczesne  \( \Delta t' \) = 0, to otrzymamy ostatecznie

Widzimy, że równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna, w układzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie są jednoczesne.

Teraz rozpatrzmy inny przykład. W rakiecie poruszającej się z prędkością  \( V \), wzdłuż osi  \( x' \) leży pręt o długości  \( L' \). Sprawdźmy jaką długość tego pręta zaobserwuje obserwator w układzie nieruchomym.

Pomiar długości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się na końcach pręta to  \( \Delta x'= L' \). Ponadto żarówki zapalają się w tym samym czasie (dla obserwatora w układzie spoczywającym), to dodatkowo  \( \Delta t \) = 0. Uwzględniając te warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza

gdzie  \( \Delta x \) jest długością pręta  \( L \) w układzie nieruchomym. Stąd

Okazuje się, że pręt ma mniejszą długość, jest krótszy.


Dodawanie prędkości w transformacji Lorentza

Zajmiemy się przypadkiem, gdy obiekt ma już pewną prędkość  \( U_{x} \)' w ruchomym układzie odniesienia (to jest względem rakiety). Sprawdzimy jaką prędkość  \( U_{x} \) zarejestruje nieruchomy obserwator, w układzie którego rakieta porusza się z prędkością  \( V \) wzdłuż osi  \( x \). Z transformacji Lorentza wynika, że

Dzieląc te równania przez siebie, otrzymujemy

a po podstawieniu  \( {U_{{x}}'=\frac{\mathit{\Delta x'}}{\mathit{\Delta t'}}} \) oraz   \( {U_{{x}}=\frac{\mathit{\Delta x}}{\mathit{\Delta t}}} \)

Powyższe równanie można rozwiązać ze względu na  \( U_{x} \)


Zależność masy od prędkości w szczególnej teorii względności

Aby odpowiedzieć na pytanie: jak można opisać zachowanie ciała pod wpływem sił w sytuacji, gdy transformacja Lorentza (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to, czy druga zasada dynamiki Newtona  \( F = dp/dt \) może być stosowana i czy zasada zachowania pędu ma taką samą postać we wszystkich układach inercjalnych.

Okazuje się, że warunkiem zachowania pędu przy transformacji z jednego układu odniesienia do innego jest uwzględnienie zależność masy ciała  \( m \) od jego prędkości  \( V \), danej następującym wyrażeniem

w którym  \( m_{0} \) oznacza masę spoczynkową, czyli masę nieruchomego ciała. Zauważmy ponadto, że masa cząstki rośnie wraz z prędkością i zmierza do nieskończoności, gdy  \( V{\rightarrow}c \).

Rozpatrzmy teraz ruch ciała pod wpływem stałej siły  \( F \) działającej równolegle do kierunku ruchu. Zależność prędkości ciała od czasu obliczamy na podstawie drugiej zasad dynamiki Newtona. Uwzględniając zależność masy od prędkości ( 1 ), otrzymujemy

Porównanie zależność prędkości ciała od czasu działania siły w mechanice klasycznej i relatywistycznej jest pokazane na Rys. 1. W przeciwieństwie do opisu klasycznego, z powyższej zależności wynika, że cząstki nie da się przyspieszać w nieskończoność działając stałą siłą.

Zmiana masy z prędkością została potwierdzona wieloma doświadczeniami przeprowadzonymi dla cząstek elementarnych.


Równoważność masy i energii w szczególnej teorii względności

Einstein pokazał, że zasada zachowania energii jest spełniona w mechanice relatywistycznej pod warunkiem, że pomiędzy masą i całkowitą energią ciała zachodzi związek

gdzie  \( m \) zależy od prędkości ciała  \( V \) zgodnie z równaniem Zależność masy od prędkości w szczególnej teorii względności-( 1 ). To znane powszechnie równanie Einsteina opisuje równoważność masy i energii. Wynika z niego, że ciało w spoczynku ma zawsze pewną energię związaną z jego masa spoczynkową

Energię kinetyczną ciała poruszającego się z prędkością  \( V \) obliczamy, odejmując od energii całkowitej energię spoczynkową (nie związaną z ruchem)

Widzimy, że mechanika relatywistyczna wiąże energię kinetyczną z przyrostem masy ciała.

Na zakończenie zobaczmy jaką wartość przyjmuje energia całkowita, jeśli prędkość  \( V \) jest mała. Dla małego  \( V \) równanie Zależność masy od prędkości w szczególnej teorii względności-( 1 ) można przybliżyć (rozwijając w szereg) do postaci

Podstawiając tę wartość do wyrażenia na energię całkowitą otrzymujemy

Pierwszy wyraz jest energią związaną z istnieniem samej masy (energia spoczynkowa), natomiast drugi jest klasyczną energią kinetyczną związaną z ruchem ciała. Otrzymaliśmy rozwiązanie klasyczne jako graniczny przypadek (dla małych prędkości) rozwiązania relatywistycznego.


Zadania ze szczególnej teorii względności


Wielkości fizyczne i jednostki

Prawa fizyki wyrażają związki między różnymi wielkościami fizycznymi. Prawa te formułowane są w postaci równań matematycznych wyrażających ścisłe ilościowe relacje między tymi wielkościami, a to wiąże się zawsze z pomiarami określającymi liczbowo stosunek danej wielkości do przyjętej jednostki.

Wiele z wielkości fizycznych jest współzależnych. Na przykład prędkość jest długością podzieloną przez czas, gęstość masą podzieloną przez objętość itd. Dlatego spośród wszystkich wielkości fizycznych wybieramy pewną ilość tak zwanych wielkości podstawowych, za pomocą których wyrażamy wszystkie pozostałe wielkości nazywane wielkościami pochodnymi. Z tym podziałem związany jest również wybór jednostek. Jednostki podstawowe wielkości podstawowych są wybierane (ustalane), a jednostki pochodne definiuje się za pomocą jednostek podstawowych.

Aktualnie obowiązującym w Polsce układem jednostek jest układ SI (Systeme International Unites). Układ SI ma siedem jednostek podstawowych i dwie uzupełniające niezbędne w sformułowaniach praw fizyki. Wielkości podstawowe i ich jednostki są zestawione w Tabela 1 poniżej.

Definicje jednostek podstawowych są związane albo ze wzorcami jednostek albo z pomiarem. Przykładem jednostki związanej ze wzorcem jest masa. Obecnie światowym wzorcem kilograma (kg) jest walec platynowo-irydowy przechowywany w Międzynarodowym Biurze Miar i Wag w Sevres (Francja). Natomiast przykładem jednostki związanej z pomiarem jest długość. Metr (m) definiujemy jako długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie 1/299792458 s.

Oprócz jednostek w fizyce posługujemy się pojęciem wymiaru jednostki danej wielkości fizycznej. Wymiarem jednostki podstawowej jest po prostu ona sama. Natomiast dla jednostek pochodnych wymiar jest kombinacją jednostek podstawowych (w odpowiednich potęgach). Na przykład, jednostka siły ma wymiar kgm/s \( {^2} \) wynikający ze wzoru \( F = ma \). Niektóre jednostki pochodne mają swoje nazwy tak jak jednostka siły - Niuton.

Wreszcie, oprócz jednostek podstawowych i pochodnych posługujemy się także jednostkami wtórnymi, które są ich wielokrotnościami. Wyraża się je bardzo prosto poprzez dodanie odpowiedniego przedrostka określającego odpowiednią potęgę dziesięciu, która jest mnożnikiem dla jednostki (patrz Tabela 2 ).


Użyteczne wzory matematyczne


Wektory w opisie ruchu

W fizyce mamy do czynienia zarówno z wielkościami skalarnymi jak i wielkościami wektorowymi. Wielkości skalarne takie jak, np. masa, objętość, czas, ładunek, temperatura, praca, mają jedynie wartość. Natomiast wielkości wektorowe, np. prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, natężenie pola, posiadają wartość, kierunek, zwrot i punkt przyłożenia. Poniżej przypominamy podstawowe działania na wektorach.

W działaniach na wektorach operuje się składowymi tych wektorów wyznaczonymi w wybranym układzie odniesienia.

Składowe wektora wyznaczamy umieszczając początek wektora w początku układu współrzędnych i rzutując koniec wektora na poszczególne osie wybranego układu współrzędnych.

W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez podanie jego współrzędnych, np.

Zwróćmy w tym miejscu uwagę na przyjętą konwencję. Wszystkie wektory wyróżnione są w tekście czcionką wytłuszczoną.

Sumą dwóch wektorów jest nowy wektor o współrzędnych

Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna (zob. Rys. 2 ).

Iloczyn skalarny dwóch wektorów  \( a \cdot b \) jest liczbą (skalarem) równą iloczynowi wartości bezwzględnych (długości) tych wektorów pomnożony przez cosinus kąta między nimi

Iloczyn skalarny jest często stosowany do opisu wielkości fizycznych. Przykładem wielkości fizycznej, którą można przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch wielkości wektorowych jest praca. Praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów  \(  {\bf a} \times {\bf b}  \) jest nowym wektorem  \( {\bf c} \), którego długość (wartość bezwzględna) jest równa iloczynowi długości tych wektorów i sinusa kąta pomiędzy nimi

Wektor  \(  {\bf c}  \) jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory  \( {{\bf a}} \) i  \( {\bf b} \). Zwrot jego jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu wektora  \( {\bf a} \) do wektora  \( {\bf b} \) (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora  \(  {\bf c}={\bf a} \times {\bf b} \) tak jak na Rys. 3


Średnia ważona

W celu przybliżenia pojęcia średniej ważonej rozważmy prosty układ, w którym mamy do czynienia ze skrzynką zawierającą, np. jabłka o różnej masie. W skrzynce mamy  \( n_{1} \) jabłek, każde o masie  \( m_{1} \), oraz  \( n_{2} \) jabłek, każde o masie  \( m_{2} \). Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka:

To jest średnia ważona (wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy w ten sposób fakt, że liczby jabłek (wchodzące do średniej) nie są równe.


Ruch jednowymiarowy

Dział Fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał nazywamy kinematyką.

Położenie określamy względem układu odniesienia, tzn. wybranego ciała lub układu ciał. Zwróćmy uwagę na to, że ruch tego samego ciała widziany z różnych układów odniesienia może być różny. W szczególności można wybrać taki układ odniesienia, w którym ciało nie porusza się. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym. Ponadto, w naszych rozważaniach będziemy posługiwać się pojęciem punktu materialnego.

Rzeczywiste ciała mają zawsze skończoną objętość, ale dopóki rozpatrujemy ich ruch postępowy (ciała nie obracają się, ani nie wykonują drgań) to z dobrym przybliżeniem możemy je traktować jako punkty materialne. To przybliżenie może być z powodzeniem stosowane do opisu ruchu obiektów o różnej wielkości, zarówno "małych" cząsteczek, jak i "dużych" planet.

Jeżeli wskazania prędkościomierza samochodu nie zmieniają się, oznacza to, że samochód porusza się ze stałą prędkością  \( v \), i jeżeli w pewnej chwili  \( t_{0} \) znajdował się w położeniu  \( x_{0} \) to po czasie  \( t_{} \) znajdzie się w położeniu  \( x \)

Zależność między położeniem  \( x \) i czasem  \( t \) pokazana jest na Rys. 1 dla dwóch ciał (np. pojazdów). Jak wynika ze wzoru ( 1 ) nachylenie wykresu  \( x(t) \) przedstawia prędkość danego ciała. Różne nachylenia wykresów  \( x(t) \) odpowiadają więc różnym prędkościom. Prędkość  \( {\bf v} \) (wektor) może być dodatnia albo ujemna; jej znak wskazuje kierunek ruchu. Wektor  \( {\bf v} \) dodatni - ruch w kierunku rosnących  \( x \), ujemny to ruch w kierunku malejących \( x \).

Gdy samochód przyspiesza lub hamuje to wskazania prędkościomierza zmieniają się i nie możemy mówić o jednej stałej prędkości. Prędkość zmienia się i w każdej chwili jest inna. Nie można wtedy stosować wzoru ( 1 ) chyba, że ograniczymy się do bardzo małych wartości  \( x - x_{0} \) ( \( \Delta x  \)) czyli również bardzo małego przedziału czasu  \( \Delta t = t - t_{0}  \) (chwili). Prędkość chwilową w punkcie x otrzymamy, gdy  \( \Delta t \) dąży do zera.

Tak definiuje się pierwszą pochodną więc

Nachylenie krzywej  \( x(t) \) ponownie przedstawia prędkość  \( v \), a znajdujemy je (zgodnie z definicją pochodnej) jako nachylenie stycznej do wykresu  \( x(t) \) , w danym punkcie tj. dla danej chwili  \( t \) ( Rys. 2 ).

Często określenie zależności  \( x(t) \) nie jest możliwe, np. przy oszacowaniu czasu dojazdu do wybranej miejscowości nie jesteśmy w stanie przewidzieć wszystkich parametrów podróży wpływających na prędkość takich, jak natężenie ruchu, konieczność ograniczenia prędkości w terenie zabudowanym, itp. Posługujemy się wtedy pojęciem prędkości średniej. Prędkość średnia ciała w przedziale czasu  \( t \) jest zdefiniowana jako

Wartość średnia daje praktyczne wyniki. Zilustrujmy to jeszcze jednym ćwiczeniem.

Jeżeli ciało przyspiesza lub hamuje i jego prędkość zmienia się jednostajnie z czasem to przyspieszenie  \( \bf a \) tego ciała jest stałe

Gdy prędkość rośnie ( \( a > 0 \) to ruch nazywamy jednostajnie przyspieszonym, a gdy prędkość maleje ( \( a < 0 \)) to ruch określamy jako jednostajnie opóźniony.

Jeżeli przyspieszenie nie jest stałe, zmienia się z czasem, musimy wtedy ograniczyć się do pomiaru zmian prędkości  \( \Delta v \) w bardzo krótkim czasie  \( \Delta t  \) (podobnie jak dla prędkości chwilowej). Wówczas przyspieszenie chwilowe definiujemy jako pierwszą pochodną v względem  \(  t  \).

Z ruchem jednostajnie zmiennym spotykamy się na co dzień, np. gdy obserwujemy swobodny spadek ciał w pobliżu powierzchni Ziemi. Jeżeli możemy zaniedbać opór powietrza (w porównaniu z ciężarem ciała) to każde ciało upuszczone swobodnie porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem równym  \( 9.81 \) m/s \( ^{2} \).

Wyrażenie na prędkość ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem możemy otrzymać wprost ze wzoru ( 6 )

Natomiast do policzenia położenia korzystamy ze wzoru ( 6 ) na prędkość średnią przekształconego do postaci

Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od  \( v_{0} \) do  \( v \) więc prędkość średnia wynosi

Łącząc powyższe trzy równania otrzymujemy

Jako podsumowanie, pokazane jest graficzne przedstawienie ruchu prostoliniowego jednostajnego i jednostajnie zmiennego w postaci wykresów  \( x(t) \),  \( v(t) \) oraz  \( a(t) \).

Rozważając ruch po linii prostej możemy operować liczbami, a nie wektorami bo mamy do czynienia z wektorami równoległymi. Jednak trzeba sobie przy opisie zjawisk (rozwiązywaniu zadań) uświadamiać, że w równaniach ruchu mamy do czynienia z wektorami. Prześledzimy to wykonując następujące ćwiczenie:

Pamiętanie o tym, że liczymy na wektorach jest bardzo istotne przy rozpatrywaniu ruchu w dwóch lub trzech wymiarach, np. w ruchu na płaszczyźnie.

Definicja 1: Pojęcie ruchu

Pod pojęciem ruchu rozumiemy zmiany wzajemnego położenia jednych ciał względem drugich wraz z upływem czasu.

Definicja 2: Punkt materialny

Punkty materialne to obiekty obdarzone masą, których rozmiary (objętość) możemy zaniedbać.

Definicja 3: Prędkość

Prędkość definiujemy jako zmianę położenia ciała w jednostce czasu.

Definicja 4: Prędkość chwilowa

Prędkość chwilowa jest pochodną drogi względem czasu.

(4)

								\( {\bf v}=\frac{d\;{\bf x}}{d\;t} \)

Definicja 5: Prędkość średnia

(5)

								\( \overline{{v}}=\frac{x-x_{{0}}}{t} \)

					gdzie
 \( x - x_{0} \) jest odległością przebytą w czasie  \( t \)

Definicja 6: Przyspieszenie

Przyspieszeniem nazywamy tempo zmian prędkości.

Definicja 7: Przyspieszenie

(7)

								\( {\bf a}=\frac{\mathit{d{\bf v}}}{\mathit{dt}} \)


Ruch na płaszczyźnie

Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych  \( x \) i  \( y \). Na przykład  \( y \) - wysokość,  \( x \) - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.

Położenie punktu w chwili  \( t \) przedstawia wektor  \( {\bf r}(t) \) ; prędkość wektor  \( {\bf v}(t) \) , przyspieszenie wektor  \( {\bf a}(t) \) . Wektory \( {\bf r}(t), {\bf v}(t), {\bf a}(t) \) są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić za pomocą wersorów  \( {\bf i} \text{ oraz } {\bf j} \) czyli wektorów jednostkowej długości zorientowanych odpowiednio wzdłuż osi  \( x \) i  \( y \).

Położenie punktu określić można podając wektor \( {\bf r} \) lub, dla wybranego układu odniesienia, poprzez podanie współrzędnych tego wektora np.  \( x \),  \( y \). Oczywiście wektor \( {\bf r} \) i jego współrzędne zmieniają się z czasem więc trzeba podać zależności czasowe  \( {\bf r}(t) \),  \( x(t) \),  \( y(t) \) tak jak na Rys. 1.

Warto w tym miejscu również zapamiętać, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru poruszającego się punktu. Punkty, przez które przechodzi poruszający się punkt tworzą krzywą, którą nazywamy torem ruchu.

Jako przykład rozpatrzmy ruchu jednostajnie zmienny na płaszczyźnie. Ponieważ ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem tzn. nie zmieniają się ani kierunek ani wartość przyspieszenia to nie zmieniają się też składowe przyspieszenia. Spróbujmy najpierw napisać równania wektorowe dla tego ruchu. Mają one następującą postać

Przypuśćmy, że chcemy znaleźć położenie ciała (wektor  \( \bf r \)) po czasie  \( t \). W tym celu, jak widać z równań ( 4 )( 5 ) i ( 6 ) trzeba wyznaczyć (znaleźć wartość, kierunek i zwrot) i dodać do siebie geometrycznie trzy wektory:  \( {\bf r_{0}} \),  \( {\bf v_{0}} \)t oraz  \( {1/2\bf a}t^{2} \). Zadanie możemy jednak znacznie uprościć korzystając z tego, że równania wektorowe ( 4 )( 5 ) i ( 6 ) są równoważne równaniom w postaci skalarnej (zestawionym w Tabela 1 poniżej) i zamiast dodawania geometrycznego wektorów możemy poprostu dodawać liczby. Znalezienie wektora  \( {\bf r} \) prowadza się teraz do znalezienia jego składowych.

Na przykładzie modułu Rzut ukośny opisano ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem.


Rzut ukośny

Piłka kopnięta przez piłkarza lub rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony przez atletę czy wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się po torze krzywoliniowym. Naszym celem jest znalezienie prędkości i położenia rzuconego ciała w dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasięgu rzutu.

Jeżeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym  \( {\bf g}=(0, -g) \) ; możemy więc zastosować równania z  w module Ruch na płaszczyźnie. Ponieważ przyspieszenie jest skierowane "w dół" wygodnie jest wybrać układ współrzędnych tak, że  \( x \) będzie współrzędną poziomą, a  \( y \) pionową. Ponadto, przyjmijmy, że początek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn.  \( r_{0} \) = 0 oraz, że prędkość w chwili początkowej  \( t=0  \) jest równa  \( v_{0} \) i tworzy kąt  \( \theta  \) z dodatnim kierunkiem osi  \( x \) ( Rys. 1 poniżej).

Składowe prędkości początkowej (zgodnie z Rys. 1 ) wynoszą odpowiednio

Stąd dla składowej  \( x \) (poziomej) prędkości otrzymujemy (porównaj z  w module Ruch na płaszczyźnie )

Ponieważ  \( g_{x}= 0 \) (przyspieszenie jest skierowane w "dół") więc

Składowa pozioma prędkości jest stała, ruch w kierunku  \( x \) jest jednostajny. Natomiast dla składowej pionowej  \( y \) otrzymujemy

Ponieważ  \( g_{y}=-g \) (przyspieszenie jest skierowane "w dół") więc

Wartość wektora prędkości w dowolnej chwili wynosi

Teraz obliczamy położenie ciała w dowolnej chwili  \( t \). Ponownie korzystamy z równań z  i otrzymujemy odpowiednio

Wartość wektora położenia w dowolnej chwili obliczamy z zależności

Sprawdźmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej  \( y(x) \). Równania ( 8 ), ( 9 ) przedstawiają zależność  \( x(t) \) oraz  \( y(t) \). Równanie  \( y(x) \) możemy więc obliczyć eliminując czas  \( t \) z tych równań. Z zależności  \( x(t) \) obliczamy  \( t \), a następnie wstawiamy do równania  \( y(t) \), które przyjmuje postać

Otrzymaliśmy równanie paraboli (skierowanej ramionami w dół) i taki kształt ma tor ruchu  \( y(x) \) pokazany na rysunku poniżej.

Gdy mówimy o ruchu prostoliniowym to ewentualne przyspieszenie ciała związane jest ze zmianą wartości prędkości ale nie ze zmianą jej kierunku czy zwrotu. Dlatego mówimy wtedy o przyspieszeniu stycznym

W omawianym rzucie ukośnym zmienia się zarówno wartości prędkości jak i jej kierunek i zwrot. Zanim jednak omówimy ten przypadek zaczniemy od rozpatrzenia prostszej sytuacji gdy wartość prędkości się nie zmienia, a zmienia się jej kierunek i zwrot tj. Ruch jednostajny po okręgu.


Ruch jednostajny po okręgu

Rozważać będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością po okręgu o promieniu  \( R \) pokazane na rysunku poniżej. Punkt materialny poruszający się jednostajnie po okręgu znajduje się w punkcie  \( P \) w chwili  \( t \), a w punkcie  \( P' \) w chwili  \( t+\Delta t \). Wektory prędkości  \( {\bf v},{\bf v}' \) mają jednakowe długości, ale różnią się kierunkiem; pamiętajmy, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru. Chcąc znaleźć przyspieszenie musimy wyznaczyć różnicę prędkości  \( {\bf v }  \) i  \(  {\bf v }' \).

W tym celu przerysowujemy wektor  \( {\bf v'} \) w punkcie  \( P \) i wyznaczamy różnicę  \( \Delta {\bf v}  \). Zauważmy, że kąt pomiędzy wektorami  \( {\bf v }  \) i  \(  {\bf v }' \) jest równy kątowi  \( \theta  \) więc korzystając z podobieństwa trójkątów możemy zapisać równość

gdzie  \( l \) jest długością odcinka  \( PP' \), a dla małych wartości  \( l \) długością łuku  \( PP' \). Ponieważ  \( l = v \Delta t  \) więc

Znając już  \( \Delta v \) możemy obliczyć przyspieszenie

Jak widać na Rys. 1, wektor  \( \Delta {\bf v}  \) jest prostopadły do toru to znaczy pokrywa się z kierunkiem promienia i jest zwrócony do środka okręgu. Oznacza to, że i wektor przyspieszenia ma taki sam kierunek i zwrot ( Rys. 2 ). W ruchu po okręgu przyspieszenie to nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym (jest zwrócone do środka okręgu), a dla ruchu po dowolnej krzywej przyspieszeniem normalnym  \( a_{n} \) (jest prostopadłe do toru) lub radialnym  \( a_{r} \) (jest skierowane wzdłuż promienia).

Przyspieszenie normalne jest związane ze zmianą kierunku prędkości, a przyspieszenie styczne za zmianę jej wartości.

Przyspieszenie dośrodkowe często wyraża się poprzez okres  \( T \) czyli czas, w którym punkt materialny wykonuje pełen obieg okręgu. Ponieważ


Ruch przyspieszony po okręgu

W module tym uzupełnimy wiadomości z ruchu po okręgu wyprowadzając równania na przyspieszenie w tymże ruchu.

Współrzędne  \( x, y \) punktu poruszającego się po okręgu można wyrazić za pomocą promienia  \( R \) (o stałej wartości) oraz kąta ( Rys. 1 poniżej).

Przy czym związek między drogą liniową  \( s \), a drogą kątową  \( \varphi  \), jest dany z miary łukowej kąta  \( \varphi = s/R  \).

Różniczkując powyższe równania możemy obliczyć zgodnie ze wzorami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) składowe prędkości

gdzie wprowadzono prędkość kątową  \( \omega =d\varphi/dt. \)

Różniczkując z kolei uzyskane równania otrzymamy zgodnie ze wzorami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ), Ruch na płaszczyźnie-( 3 ) składowe przyspieszenia

gdzie wprowadzono przyspieszenie kątowe  \( \alpha = d \omega /dt \).

Na podstawie powyższych zależności możemy obliczyć wektor całkowitego przyspieszenia

Wektor przyspieszenia całkowitego a jest sumą dwóch wektorów: przyspieszenia stycznego a \( _{s} \) (równoległego do wektora prędkości v)

i przyspieszenia normalnego a \( _{n} \) (przeciwnego do wektora R czyli skierowanego do środka okręgu)


Ruch krzywoliniowy

Prześledźmy przykład, w którym zmieniają się i wartość i kierunek prędkości. Całkowite przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym jest sumą przyspieszenia stycznego  \( a_{s} \) i prostopadłego do niego przyspieszenia normalnego  \( a_{n} \).

Ponownie rozpatrzymy rzut ukośny. W tym ruchu przyspieszenie grawitacyjne  \( g \) jest odpowiedzialne zarówno za zmianę wartości prędkości i jej kierunku tak jak przedstawiono na Rys. 1 poniżej.

Teraz obliczymy obie składowe przyspieszenia. Przyspieszenie styczne obliczamy na podstawie zależności  \( {a_{{s}}=\mathit{dv}/{\mathit{dt}}} \) (obliczamy zmianę wartości prędkości) i wyrażenia na prędkość w rzucie ukośnym  \( {v=\sqrt{v_{{0}}{{^2}}-2v_{{0}}gt\sin\theta+g{{^2}}t{{^2}}}} \) (równanie Rzut ukośny-( 7 ) )

Natomiast przyspieszenie normalne możemy obliczyć korzystając z zależności  \( {a_{{r}}=\sqrt{g^{{2}}-a_{{s}}{{^2}}}} \) ( Rys. 1 )

Można oczywiście skorzystać z równania Ruch jednostajny po okręgu-( 3 )  \( {a=v^{{2}}/{R}} \), ale trzeba umieć obliczyć promień krzywizny  \( R \) w każdym punkcie toru.


Podstawy dynamiki

Dotychczas zajmowaliśmy się wyłącznie opisem ruch (za pomocą wektorów  \( {\bf r} \),  \( {\bf v} \), oraz  \( {\bf a} \)). Były to rozważania geometryczne. Teraz omówimy przyczyny ruchu, zajmiemy się dynamiką. Nasze rozważania ograniczymy do przypadku ciał poruszających się z małymi (w porównaniu z prędkością światła  \( c \)) prędkościami tzn. zajmujemy się mechaniką klasyczną.

Żeby móc przewidzieć jaki będzie ruch ciała wywołany siłą na nie działającą trzeba wiedzieć jakiego rodzaju jest to siła i skąd się bierze. Dlatego rozpoczniemy nasze rozważania od poznania podstawowych oddziaływań oraz od zdefiniowania masy, pędu i wprowadzenia pojęcia siły  \( {\bf F} \). Następnie poszukamy praw rządzących oddziaływaniami, a w dalszych częściach zajmiemy się poszczególnymi oddziaływaniami występującymi w przyrodzie.

Według naszej dotychczasowejj wiedzy istnieją tylko cztery podstawowe oddziaływania (siły), z których wynikają wszystkie siły i oddziaływania zaobserwowane we Wszechświecie:

W tabeli poniżej zestawione są cztery oddziaływania podstawowe.

Nasze rozważania rozpoczynamy od przypisania ciałom masy  \( m \). Chcemy w ten sposób opisać fakt, że różne ciała wykonane z tego samego materiału, w tym samym otoczeniu uzyskują pod działaniem tej samej siły różne przyspieszenia (np. pchamy z jednakową siłą dwa rożne pojazdy "lekki" i "ciężki" i uzyskują one różne  \( {\bf a} \)).

Zaproponowana poniżej metoda postępowania jest jednym z równoważnych sposobów definiowania masy. Opiera się ona na porównaniu nieznanej masy  \( m \) z wzorcem masy  \( m_0=1 \) kg. Pomiędzy masami umieszczamy ściśniętą sprężynę i następnie zwalniamy ją. Masy  \( m \) i  \( m_0 \), które początkowo spoczywały polecą odrzucone w przeciwnych kierunkach odpowiednio z prędkościami  \( v \) i  \( v_0 \) ( Rys. 1 ).

Podstawiając wyrażenie ( 2 ) i wykonując różniczkowanie otrzymujemy

a dla ciała o stałej masie  \( m= const \) .

Wprowadziliśmy w ten sposób pojęcie siły  \(  \bf F  \). Teraz podamy metodę obliczania sił działających na ciała; poznamy prawa rządzące oddziaływaniami.

Na zakończenie tej części zapoznajmy się z jednostkami siły i masy.

Definicja 1: Masa

(1)

								\( m=m_{{0}}\frac{v_{{0}}}{v} \)

Definicja 2: Pęd

Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jegomasy i prędkości (wektorowej)
					(2)

								\( {\bf p}=\mathit{m{\bf v}} \)

Definicja 3: Siła

Jeżeli na ciało o masie  \( m \) działa siła  \( \bf F \), to definiujemy ją jako zmianę w czasie pędu tego ciała.
					(3)

								\( {\bf F}=\frac{\mathit{d{\bf p}}}{\mathit{dt}} \)

Definicja 4: Jednostki

Jednostką masy w układzie SI jest kilogram (kg), natomiast jednostką siły jest niuton (N); 1N = 1kg·m/s \( {^2} \)


Zasady dynamiki Newtona

Podstawowa teoria, która pozwala przewidywać ruch ciał, składa się z trzech równań, które nazywają się zasadami dynamiki Newtona.

Sformułowanie pierwszej zasady dynamiki Newtona:

Siła wypadkowa  \( {\bf F}_{\text{wyp}} \) jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało. Jeżeli  \( {\bf F}_{\text{wyp}}=0 \), to również przyspieszenie ciała  \( {\bf a}=0 \), a to oznacza, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek prędkości, tzn. ciało jest w stanie spoczynku lub porusza się ze stałą co do wartości prędkością po linii prostej.

Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki nie ma rozróżnienia między ciałami spoczywającymi i poruszającymi się ze stałą prędkością. Nie ma też różnicy pomiędzy sytuacją, gdy nie działa żadna siła i przypadkiem, gdy wypadkowa wszystkich sił jest równa zeru.

Sformułowanie drugiej zasady dynamiki Newtona:

Sformułowanie trzeciej zasady dynamiki Newtona:

Pierwsza zasada dynamiki wydaje się być szczególnym przypadkiem drugiej, bo, gdy  \( {\bf a}=0 \), to i  \( {\bf F}_{\text{wyp}}=0 \). Przypisujemy jej jednak wielką wagę dlatego, że zawiera ważne pojęcie fizyczne: definicję inercjalnego układu odniesienia.

Układy inercjalne są tak istotne, bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa. Większość omawianych zagadnień będziemy rozwiązywać właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje się, że są to układy, które spoczywają względem gwiazd stałych, ale układ odniesienia związany z Ziemią w większości zagadnień jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego.

Ponieważ przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (od przyspieszenia obserwatora), w którym jest mierzone, więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania  \( {\bf F}=m{\bf a} \) zmieniałaby się w zależności od przyspieszenia obserwatora.

Więcej o układach inercjalnych i nieinercjalnych dowiesz się w module Siły bezwładności.

Zwróćmy jeszcze raz uwagę na fakt, że w równaniu drugiej zasady dynami Niutona występuje siła wypadkowa. Oznacza to, że trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na ciało. Doświadczenia potwierdzają zasadę addytywności sił. Zasada ta dotyczy również masy: masa układu jest sumą mas poszczególnych ciał tego układu.

Siły oddziaływania pomiędzy punktami materialnymi należącymi do danego układu nazywamy siłami wewnętrznymi. Na przykład w ciałach stałych są to siły oddziaływania sprężystego pomiędzy atomami, cząsteczkami. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, jeżeli punkt  \( i \) układu działa na punkt  \( j \), to równocześnie punkt  \( j \) działa na punkt  \( i \) siłą równą co do wartości, ale przeciwnie skierowaną  \( {{\bf F}_{{i\rightarrow j}}=-{\bf F}_{{j\rightarrow i}}} \) .

Na punkty materialne układ mogą ponadto działać siły zewnętrzne, to jest siły pochodzące spoza układu. Druga zasada dynamiki Newtona dla układu  \( n \) punktów materialnych przyjmuje więc postać

gdzie  \( m_{i} \) oznacza masę  \( i \)-tego punktu,  \( a_{i} \) - jego przyspieszenie,  \( F_{i} \) - wypadkową siłę działająca na ten punkt. W równaniu tym występuje suma wszystkich sił, to znaczy zarówno wewnętrznych jak i zewnętrznych. Jednak na podstawie pierwszego równania widzimy, że siły wewnętrzne znoszą się parami, więc ostatecznie wypadkowa wszystkich sił jest równa wypadkowej sił zewnętrznych.

Prześledźmy teraz zastosowanie zasad dynamiki na następującym przykładzie.

Zwróćmy uwagę na addytywność mas. Taki sam wynik otrzymalibyśmy traktując ciała jak jedną masę. Doświadczenia potwierdzają zasadę addytywności masy: masa układu jest sumą mas poszczególnych ciał układu.

Podstawiając wynik ( 6 ) do równań ( 5 ) obliczamy naciągi nitek

Spróbuj teraz samodzielnie rozwiązać podobny problem.

Zwróćmy jeszcze raz uwagę na fakt, że w drugiej zasadzie dynamiki Newtona występuje siła wypadkowa. Oznacza to, że trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na ciało. Możesz się o tym przekonać rozwiązując podane poniżej zadanie.

Bardziej zaawansowany przykład zastosowania zasad dynamiki możesz poznać w module Dodatek: Ruch w polu grawitacyjnym z uwzględnieniem oporu powietrza.

Definicja 1: Inercjalny układ odniesienia

Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła (lub, gdy siła wypadkowa jest równa zeru), to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym.


Siły kontaktowe i tarcie

Gdy dwa ciała są dociskane do siebie, to występują między nimi siły kontaktowe. Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości występuje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z malejącą odległością. Jest to siła elektromagnetyczna. Żeby prześledzić ten problem rozważmy następujący przykład.

Siły kontaktowe, o których mówiliśmy, są normalne (prostopadłe) do powierzchni. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu, to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem (opóźnieniem), to musi na nie działać siła. Tę siłę, która przeciwstawia się ruchowi nazywamy siłą tarcia.

Siła tarcia zawsze działa stycznie do powierzchni zetknięcia ciał i może istnieć nawet wówczas, gdy powierzchnie są nieruchome względem siebie. Żeby się o tym przekonać wystarczy wykonać proste ćwiczenie. Połóżmy na stole jakiś obiekt np. książkę i spróbujmy wprawić ją w ruch stopniowo zwiększając przykładaną siłę. Początkowo, gdy siła jest "mała", obiekt nie porusza się. Oznacza to, że naszej sile  \( F \) przeciwstawia się siła tarcia  \( T \) równa co do wartości, lecz przeciwnie do niej skierowana. Zwiększamy dalej siłę  \( F \) , aż książka zacznie się poruszać. Zauważmy, że im gładsza powierzchnia tym szybciej to nastąpi. Siłę tarcia działającą między nieruchomymi powierzchniami nazywamy tarciem statycznym. Maksymalna siła tarcia statycznego  \( T_s \) jest równa tej krytycznej sile, którą musieliśmy przyłożyć, żeby ruszyć ciało z miejsca. Dla suchych powierzchni  \( T_s \) spełnia dwa prawa empiryczne.

Stosunek maksymalnej siły \( {T}_s \) do siły nacisku  \( F_N \) nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego  \( \mu_s \)

Zwróćmy uwagę, że we wzorze ( 3 ) występują tylko wartości bezwzględne sił (a nie wektorowe), bo te siły są do siebie prostopadłe.

Wiemy już, że gdy działająca siła  \( F \) jest większa od  \( T_s \), to ciało zostanie wprawione w ruch, ale nadal będzie istniała siła tarcia, tarcia kinetycznego  \( T_{k} \), przeciwstawiająca się ruchowi. Siła  \( T_{k} \) spełnia dodatkowo, oprócz dwóch wymienionych powyżej, trzecie empiryczne prawo.

Istnieje, analogiczny do  \( \mu_s \), odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego  \( \mu_k \)

Dla większości materiałów  \( \mu_k \)jest nieco mniejszy od  \( \mu_s \).

Tarcie jest bardzo złożonym zjawiskiem i wyjaśnienie go wymaga znajomości oddziaływań atomów na powierzchni. Dlatego ograniczmy się do zauważenia, że tarcie odgrywa bardzo istotną rolę w życiu codziennym. Na przykład w samochodzie na pokonanie siły tarcia zużywa się około  \( 20\% \) mocy silnika. Tarcie powoduje zużywanie się trących powierzchni i dlatego staramy się je zmniejszać. Z drugiej strony wiemy, że bez tarcia nie moglibyśmy chodzić, jeździć samochodami, czy też pisać ołówkiem.

W przykładach pokazujących zastosowanie zasad dynamiki Newtona opisywaliśmy ruch ciał z punktu widzenia inercjalnych układów odniesienia, to znaczy takich, w których ciało nie poddane działaniu sił pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Teraz zajmiemy się układami nieinercjalnymi i występującymi w nich siłami bezwładności.


Środek masy

Traktowanie przedmiotów jak punktów materialnych, tzn. obdarzonych masą cząstkek bezwymiarowych (o zerowej objętości), wystarczało w przypadku ruchu postępowego ciał, ponieważ ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała. Jednak rzeczywiste ciała są układami ogromnej liczby atomów, a ich ruch może być bardzo skomplikowany. Ciało może wirować lub drgać, w trakcie ruchu cząstki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie. Przykład takiego ruchu jest przedstawiony na Rys. 1.

Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek masy. Sposób wyznaczania środka masy zilustrujemy następującym przykładem.

Widzimy, że położenie środka masy układu punktów materialnych wyznaczamy jak średnią ważoną, przy czym masa tych punktów jest czynnikiem ważącym przy tworzeniu średniej. Przez analogię dla układu  \( n \) cząstek (punktów materialnych) współrzędna  \( x \) środka masy jest dana zależnością

gdzie suma mas  \( m_i \) poszczególnych punktów układu jest całkowitą masą  \( M \) układu. Postępując w ten sam sposób, możemy wyznaczyć pozostałe współrzędne  \( y \),   \( z \). W wyniku otrzymujemy trzy równania skalarne (analogiczne do ( 3 ) ), które możemy zastąpić jednym równaniem wektorowym

Zauważmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia, a nie zależy od wyboru układu odniesienia. Dla ciał o regularnym kształcie środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym.


Ruch środka masy

Rozważmy układ punktów materialnych o masach  \( m_1 \),  \( m_2 \),  \( m_3 \) ...,  \( m_{n} \) i o stałej całkowitej masie  \( M \). Na podstawie równania Środek masy-( 4 ) możemy napisać

Różniczkując (względem czasu) powyższe równanie otrzymujemy zgodnie z równaniami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ) oraz Ruch na płaszczyźnie-( 3 )

To ostatnie równanie możemy zapisać w postaci

Suma (wektorowa) wszystkich sił działających na poszczególne punkty materialne układu jest równa wypadkowej sile zewnętrznej więc

Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, że nawet ciała materialne będące układami złożonymi z dużej liczby punktów materialnych możemy w pewnych sytuacjach traktować jako pojedynczy punkt materialny. Tym punktem jest środek masy. To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych. W szczególności układ może być ciałem o budowie ciągłej (np. ciało stałe). Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie występujące w równaniach Środek masy-( 3 ) i Środek masy-( 4 ) zastępujemy całkowaniem. Układ może też być zbiorem cząstek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kineycznej.

Bardziej zaawansowany przykład wykorzystania pojęcia środka masy (do obliczania energii kinetycznej) możesz poznać w Energia kinetyczna w układzie środka masy