Metoda Eulera

Omówiliśmy kilka rodzajów RRZ rzędu pierwszego, których rozwiązania można uzyskać za pomocą procesu całkowania. Niestety, nawet jeśli ograniczymy się do RRZ rzędu pierwszego, to większości z nich nie jesteśmy w stanie rozwiązać poprzez ich całkowanie, co więcej, rozwiązania takich równań nie są funkcjami elementarnymi. Dlatego powinniśmy w dalszym ciągu omówić bardziej uniwersalne metody.

Rozpatrzmy parę  \(  x, y  \), gdzie  \(  x  \) jest zmienną niezależną, natomiast  \(  y  \) jest pewną różniczkowalną funkcją zmiennej  \( x. \) Zadamy sobie pytanie, co oznacza równość

Odpowiedź, którą już znamy, brzmi następująco: prawa strona równania zadaje w każdym punkcie  \( (x_0,\,y_0) \) płaszczyzny fazowej wielkość pochodnej rozwiąznia  \( y=\phi(x;\,C) \) przechodzącego przez ten punkt. Można to przeformułować jeszcze w taki sposób: prosta

jest styczna do rozwiązania  \( y=\phi(x;\,C) \) równania ( 1 ) spełniającego warunek początkowy  \( y(x_0)=y_0. \) Rozwinięcie tego rozwiązania w szereg Taylora

pozwala wnioskować że "dokładne" rozwiązanie w małym otoczeniu punktu  \( x_0 \) różni się od linii prostej ( 2 ), o wyraz który jest rzędu  \( |x-x_0|^2 \). A więc, dokładne rozwiązanie można przybliżać odcinkami prostej postaci

gdzie  \( (x_k,\,y_k), \quad k=0,1,.... \) - zbiór punktów leżących w pobliżu poszukiwanej krzywej. W poszukiwaniu takiego przybliżenia korzystamy z pojęcia pola kierunków, które można określić jako pole taz zwanych infinitezymalnych odcinków zadanych w każdym punkcie  \(  (x,\,y)  \) za pomocą wzoru

Obraz graficzny takiego pola kierunków można uzyskać w każdym z dostępnych pakietów matematyki komputerowej (MathCad, MathLab, Maple, Mathematica ). Tutaj i dalej będziemy przytaczać "orfografię" pakietu Mathematica. Zobrazujemy, dla przykładu, pole kierunków funkcji

Wynikiem jest wykres pola kierunków przedstawiony na Rys. 1

Na Rys. 2 przedstawione zostało pole kierunków z kilkoma rozwiązaniami dokładnymi równania

Widać na nim wyraźnie, że pole kierunków jest styczne do rozwiązania w każdym punkcie.

Znajomość pola kierunków w celu konstrukcji przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego wykorzystał po raz pierwszy Leonard Euler. Jego algorytm dotyczy poszukiwania rozwiązania przybliżonego zadadnienia Cauchyego

Traktując stałe  \( x_0, \,\,y_0 \) oraz funkcję  \( f(x,\,y) \) jako znane wielkości, Euler zaproponował opis łamanej przybliżającej rozwiązanie na odcinku  \( [a=x_0,\,b] \) w postaci następującego algorytmu:

Do tego, by przybliżenie dostatecznie dobrze opisywało poszukiwane rozwiązanie, należy stosować dostatecznie mały krok  \( h \) (czyli duże  \( N \)). Do zastosowania powyższego algorytmu, w zasadzie, wystarczy umieć posługiwać się kalkulatorem, jednak odpowiednie obliczenia są bardzo żmudne. Podamy, zgodnie z 1,

dwie wersje algorytmu Eulera, zaimplentowane w pakiecie Mathematica dla rozwiązywania zagadnienia początkowego

Prosty kod wygląda następująco: Komórka 1.2.

to otrzymamy poszukiwane przybliżone rozwiązanie w postaci tabelki. Powyższy algorytm przy dużej liczbie iteracji  \( N \) będzie pracować wolno, ponieważ przy każdej kolejnej liczbie  \( n \) obliczenia rozpoczynają się od punktu  \( y[0] \). Algorytm można jednak zmodyfikować w taki sposób że wielkości  \( v[0],\,v[1],\,...v[n] \) będą zapamiętywane, co znacznie usprawni obliczenia. Kolejną rzeczą jest zastąpienie tabelki  \( sol \) przez funkcję interpolacyjną  \( vEul[t_{-}] = Interpolation[sol][t]  \). Wszystko to razem wzięte tworzy następujący szybko działający algorytm: Komórka 1.4.

W wyniku implementacji tego algorytmu uzyskujemy rozwiązanie przybliżone na tle rozwiązania dokładnego, co ilustruje  Rys. 3.


Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów - podstawowe pojęcia

Dowód tego twierdzenia jest przedstawiony w module Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych.

Definicja 1: Równania liniowego rzędu n-tego

Równaniem różniczkowym liniowym rzędu  \( n \) nazywamy równanie postaci

(1)

								\( a_{n}(t)y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + a_{1}(t)y^{\prime}(t)+a_{0}(t)y(t)=f(t) \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) jest szukaną funkcją  \( \hskip 0.3pcy: I\rightarrow \mathbb{R},\hskip 0.3pc \) a dane funkcje  \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc  \) i   \( \hskip 0.3pc a_{i}(t),\hskip 0.3pc i=0,\ldots, n\hskip 0.3pc \) są ciągłe i określone w przedziale  \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) o wartościach rzeczywistych. Przez przedział  \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) rozumiemy jeden z następujących zbiorów:  \( \hskip 0.3pc(a,b),\hskip 0.3pc(-\infty,a), \)    \( \hskip 0.3pc (a,+\infty ) \hskip 0.3pc \) lub  \( \hskip 0.3pc \mathbb{R} \).

Definicja 2: Rozwiązania

Rozwiązaniem równania ( 1 ) nazywamy funkcję  \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) określoną w przedziale  \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-krotnie różniczkowalną, spełniającą dla każdego  \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \) równanie ( 1 ).

Definicja 3: Problemu początkowego

Zagadnienie polegające na znalezieniu rozwiązania równania ( 1 ), które dla ustalonego  \( \hskip 0.3pc t_{0}\in I\hskip 0.3pc \) spełnia  \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-równości:

(2)

								\( y(t_0)=b_0,\hskip 0.5pc y^{\prime}(t_0)=b_1,\ldots ,\hskip 0.4 pc y^{n-1}(t_0)=b_{n-1}, \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc b_0,\ldots ,b_{n-1}\hskip 0.3pc \) są danymi stałymi, będziemy nazywać problemem początkowym.


Liniowa zależność i niezależność funkcji

Definicja 1: Liniowej zależności zbioru funkcji

Mówimy, że zbiór funkcji  \( \hskip 0.3pc  f_1(t),\ldots,f_n(t) \hskip 0.3pc  \) określonych na przedziale  \( \hskip 0.3pc  I\subset\mathbb{R}\hskip 0.3pc  \) jest liniowo zależny, jeżeli istnieją stałe  \( \hskip 0.3pc  c_1,\ldots ,c_n \hskip 0.3pc   \) nie wszystkie równe zero, takie że  \( \hskip 0.3pc  c_1f_1(t)+\cdots +c_nf_n(t)=0\hskip 0.3pc , \) dla każdego  \( \hskip 0.3pc  t\in I\hskip 0.3pc  \).

Definicja 2: Liniowej niezależności zbioru funkcji

Mówimy, że zbiór funkcji  \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc  \) określonych na przedziale  \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc   \) jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny. Inaczej mówiąc, równość   \( \hskip 0.3pc  c_1f_1(t)+\cdots +c_nf_n(t)=0\hskip 0.3pc  \) zachodzi dla każdego  \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc  \) jedynie w przypadku, gdy wszystkie współczynniki   \( \hskip 0.3pc  c_i, \hskip 0.3pc  i=1,\dots,n\hskip 0.3pc  \) są równe zero.


Fundamentalny zbiór rozwiązań dla równań różniczkowych liniowych wyższych rzędów

będzie równaniem różniczkowym liniowym rzędu   \( \hskip 0.3pc n,\hskip 0.3pc  \)  gdzie  \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc  \) jest nieznaną funkcją a dane funkcje  \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc a_{k}(t),\: k=0,\ldots n\hskip 0.3pc  \)  są ciągłe i określone w przedziale  \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}.\hskip 0.3pc  \) Przez przedział  \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc  \) rozumiemy jeden z następujących zbiorów:  \( \hskip 0.3pc (a,b),\hskip 0.3pc (-\infty,a), \)    \( (a,+\infty ) \hskip 0.3pc  \) lub  \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}\hskip 0.3pc  \).

Definicja 1: Fundamentalnego zbioru rozwiązań

Zbiór rozwiązań   \( \hskip 0.3pc \{y_1(t),\dots,\hskip 0.3pc y_n(t)\},\hskip 0.3pc  \) równania ( 2 ) będziemy nazywali fundamentalnym zbiorem rozwiązań , jeżeli dla każdego  \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \)  wrońskian   \( \hskip 0.3pc W(y_1(t),\ldots ,y_n(t))\hskip 0.3pc \) jest różny od zera.


Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych drugiego rzędu, gdy znamy jedno rozwiązanie

Wyznaczenie fundamentalnego zbioru rozwiązań równania

gdy współczyniki  \( \hskip 0.3pc a_i(t)\hskip 0.3pc \) nie są stałymi, jest z reguły trudnym zadaniem. Jeżeli znamy jedno rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc  \) równania ( 1 ) to kolejne, liniowo niezależne rozwiązanie szukamy w postaci  \( \hskip 0.3pc y(t)=u(t)y_1(t),\hskip 0.3pc  \) gdzie  \( \hskip 0.3pc u(t)\hskip 0.3pc  \) jest nieznaną funkcją. Metoda ta prowadzi do wyznaczenia rozwiązania równania różniczkowego liniowego rzędu  \( \hskip 0.3pc n-1,\hskip 0.3pc  \) gdzie niewiadomą jest funkcja  \( \hskip 0.3pc u(t)\hskip 0.3pc  \). W praktyce metoda ta jest użyteczna dla równań rzędu drugiego.


Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Rozwiązania równania ( 1 ) szukamy w postaci funkcji  \( \hskip 0.3pc y(t)=e^{\lambda t}\hskip 0.3pc  \).

Dzieląc powyższe równanie przez  \( \hskip 0.3pc e^{\lambda t}\hskip 0.3pc  \) dostajemy tak zwane równanie charakterystyczne

Zauważmy, że równanie charakterystyczne można otrzymać podstawiając do równania ( 1 ) w miejsce  \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t),\hskip 0.3pc y^{\prime}(t),\hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc  \) odpowiednio  \( \hskip 0.3pc \lambda ^2,\hskip 0.3pc \lambda,\hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc  \). Równanie kwadratowe może mieć deltę dodatnią, równą zeru lub ujemną. Gdy  \( \hskip 0.3pc \Delta >0\hskip 0.3pc   \) wtedy równanie ( 2 ) ma dwa różne rzeczywiste pierwiastki

Mamy wtedy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 1 )

Funkcje te są liniowo niezależne,  więc  rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) ma w tym przypadku postać

Gdy  \( \hskip 0.3pc \Delta =0\hskip 0.3pc   \) wtedy równanie ( 2 ) ma jeden pierwiastek rzeczywisty  \( \hskip 0.3pc \lambda =-\frac{a_1}{2a_2}.\hskip 0.3pc  \) Funkcja  \( \hskip 0.3pc y_1(t)=e^{\lambda t}\hskip 0.3pc  \) jest rozwiązaniem równania ( 2 ). Drugie liniowo niezależne rozwiązanie wyznaczamy na podstawie  twierdzenia Liouville'a  i ma postać

Rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) ma w tym przypadku postać

Gdy  \( \hskip 0.3pc \Delta <0\hskip 0.3pc   \) wtedy równanie ( 2 ) ma dwa różne pierwiastki zespolone wzajemnie sprzężone

Wtedy mamy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 1 )

Funkcje te są liniowo niezależne. Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) ma w tym przypadku postać

Niedogodnością tego przedstawienia jest to, że funkcje  \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc  \) są funkcjami o wartościach zespolonych. Wyznaczymy teraz liniowo niezależne funkcje o wartościach rzeczywistych, spełniające równanie ( 1 ). W celu uproszczenia zapisów wprowadzamy następujące oznaczenia

Wtedy pierwiastki  \( \hskip 0.3pc \lambda_1,\hskip 0.3pc   \lambda_2\hskip 0.3pc  \) możemy zapisać następująco

Na podstawie  twierdzenia 1 dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania ( 1 ) jest rozwiązaniem tego równania, stąd następujące funkcje są rozwiązaniami równania ( 1 ).

Na podstawie  wniosku 3  funkcje te są liniowo niezależne. Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) w tym przypadku ma postać

Definicja 1:

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci

(1)

								\( a_2y^{\prime\prime}(t)+a_1y^{\prime}(t)+a_0y(t)=0. \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc a_0,\hskip 0.3pc a_1\hskip 0.3pc a_2\hskip 0.3pc  \) są stałymi i  \( \hskip 0.3pc a_2\neq 0\hskip 0.3pc  \).


Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach rzędu wyższego niż dwa

Chcąc wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) musimy wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań równania ( 1 ). Tak jak w przypadku dla   \( \hskip 0.3pc n=2,\hskip 0.3pc  \) szukamy rozwiązania równania ( 1 ) w postaci funkcji  \( \hskip 0.3pc y(t)=e^{\lambda t}\hskip 0.3pc  \). Równanie charakterystyczne odpowiadające równaniu ( 1 ) ma postać

Przpadek I. Jeżeli  \( \hskip 0.3pc \lambda_1, \ldots ,\lambda_k\hskip 0.3pc \) są rzeczywistymi  jednokrotnymi pierwiastki  równania ( 2 )  wtedy z przykładu 7 z modułu "Liniowa zależność i niezależność funkcji" wynika, że funkcje

Przpadek II.  Jeżeli   \( \hskip 0.3pc \lambda_0\hskip 0.3pc  \) jest  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.2pc \) - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 ) wtedy funkcje

Istotnie, dla dowolnej liczby naturalnej  \( \hskip 0.3pc i,\hskip 0.3pc 1\le i\le k-1\hskip 0.3pc  \) prawdziwa jest następująca zależność:

Ponieważ   \( \hskip 0.3pc \lambda_0\hskip 0.3pc  \) jest  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.2pc \) - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 )  więc

Zatem funkcja  \( \hskip 0.3pc y_{i+1}(t)\hskip 0.3pc  \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ). Liniowa niezależność rozwiązań  \( \hskip 0.3pc y_1(t),\hskip 0.3pc\ldots ,y_k(t)\hskip 0.3pc  \)   równania ( 1 ) wynika z  wniosku 2. Przpadek III. Niech  \( \hskip 0.3pc \lambda =\alpha +\beta i\hskip 0.3pc  \) będzie jednokrotnym zespolonym pierwiastkiem równania ( 2 ). Wtedy liczba sprzężona  \( \hskip 0.3pc \bar{\lambda }=\alpha -\beta i\hskip 0.3pc  \) też jest pierwiatkiem jednokrotnym równania ( 2 ) gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste. Analogicznie jak dla równań rzędu drugiego pokazuje się, że pierwiastkom tym odpowiadają następujące linowo niezależne rozwiązania równania ( 1 ):

Przpadek IV.Niech  \( \hskip 0.3pc \lambda =\alpha +\beta i\hskip 0.3pc  \) będzie pierwiastkiem zespolonym równania ( 2 ) o krotności  \( \hskip 0.3pc k,\hskip 0.3pc  \) Wtedy liczba sprzężona  \( \hskip 0.3pc \bar{\lambda }=\alpha -\beta i\hskip 0.3pc  \) też jest pierwiatkiem równania ( 2 )  o krotności  \( \hskip 0.3pc k,\hskip 0.3pc  \) gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste. Analogicznie jak w "Przypadku II" dowodzi się, że następujące funkcje

Postępując tak samo jak dla równań rzędu drugiego można wykazać, że rozwiązaniom

będące rozwiązaniami równania ( 1 ). Na podstawie  wniosku 3  wynika, że  powyższe rozwiązania równania ( 1 )  są liniowo niezależne.

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu  \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc  \) o stałych współczynikach nazywamy równanie postaci

(1)

								\( L(y(t)):=a_{n}y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+\cdots + a_{1}y^{\prime}(t)+a_{0}y(t)=0, \hskip 1pc  t\in\mathbb{R} \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc a_0,\ldots ,a_n\hskip 0.3pc   \) są stałymi i  \( \hskip 0.3pc a_n\neq 0\hskip 0.3pc  \).


Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych wyższych rzędów metodą uzmieniania stałych

W module tym omówimy wyznaczanie rozwiązań dla równań liniowych niejednorodnych postaci

gdy znamy fundamentalny zbiór rozwiązań równania jednorodnego


Przykłady rozwiązywania równań różniczkowych liniowych niejednorodnych wyższych rzędów o stałych współczynnikach metodą uzmienniania stałych

Jedną z metod rozwiązywania równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach jest metoda uzmienniania stałych opisana jest w module  Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych wyższych rzędów metodą uzmieniania stałych. Podamy teraz przykłady jej zastosowania do równan liniowych o stałych współczynnikach.


Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych wyższych rzędów o stałych współczynnikach metodą przewidywań

Metodę przewidywań można stosować jedynie do rozwiązywania  równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach. Zaletą tej metody jest to, że unika się całkowania, jak to ma miejsce w metodzie współczynników nieoznaczonych. Natomiast wadą jest to, że ma zastosowanie tylko dla pewnego typu funkcji. Rozważmy równanie

a  \( \hskip 0.3pc P_k(t)\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc R_m(t)\hskip 0.3pc  \) są wielomianami odpowiednio stopnia  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc m.\hskip 0.3pc  \) Oznaczmy przez  \( \hskip 0.3pc \phi (\lambda)\hskip 0.3pc  \)  wielomian występujący po lewej  stronie równania charakterystycznego

Przypadek gdy  \( \hskip 0.3pc \beta=0\hskip 0.3pc  \).  W tym przypadku funkcja  \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc  \) ma postać

1. Jeżeli  \( \hskip 0.3pc \alpha\hskip 0.3pc   \) nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania ( 1 ) w postaci

gdzie  \( \hskip 0.3pc W_k(t) \) jest nieznanym wielomianem stopnia   \( \hskip 0.3pc  k.\hskip 0.3pc  \) 2. Jeżeli  \( \hskip 0.3pc \alpha \hskip 0.3pc  \) jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności   \( \hskip 0.3pc r,\hskip 0.3pc  \) to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania  ( 1 ) w postaci

gdzie  \( \hskip 0.3pc W_k(t)\hskip 0.3pc  \) jest nieznanym wielomianem stopnia   \( \hskip 0.3pc k.\hskip 0.3pc  \) Przypadek  gdy  \( \hskip 0.3pc \beta\neq 0\hskip 0.3pc  \).  W tym przypadku funkcja  \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc  \) ma postać ( 2 ). 1. Jeżeli  \( \hskip 0.3pc \alpha \pm\beta i \hskip 0.3pc  \) nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania ( 1 ) w postaci

2. Jeżeli   \( \hskip 0.3pc \alpha \pm\beta i\hskip 0.3pc   \)  jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności   \( \hskip 0.3pc r,\hskip 0.3pc  \) to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania  ( 1 ) w postaci


Przykłady zastosowań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego

Przy pomocy równań liniowych rzędu drugiego opisuje sie wiele zagadnień fizycznych, np. zagadnienia związane z ruchem drgającym. Drganiami harmonicznymi nazywamy drgania wykonywane przez ciało, na które działa siła:  \( \hskip 0.3pc \vec{F}=-k\vec{r}.\hskip 0.3pc  \) W jednowymiarowym przypadku Rys. 1 można ją zapisać jako:  \( \hskip 0.3pc F=-kx,\hskip 0.3pc  \) gdzie  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc  \) to stała dodatnia, a  \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc  \) jest to wartość wychylenia z położenia równowagi. Znak minus związany jest z tym, że siła działająca na ciało jest przeciwnie skierowana, niż wychylenie z położenia równowagi.


Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

W module tym będziemy rozpatrywać równania rzędu drugiego postaci

gdzie  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą ze względu na wszystkie swoje zmienne. Rozpatrzymy trzy przypadki.

Przypadek I.  Jeśli  \( \hskip 0.3pc F(t,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0.\hskip 0.3pc \) W tym równaniu  \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) nie występuje w sposób jawny. Dokonujemy podstawienia:

wtedy  \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)=u^{\prime}(t)\hskip 0.3pc  \)  i rozpatrywane równanie sprowadza się do równania rzędu pierwszego

Przypadek II. Jeśli  \( \hskip 0.3pc F(y,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0.\hskip 0.3pc  \) W tym równaniu  \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc  \) nie występuje w sposób jawny. Dokonujemy podstawienia:

gdzie  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc  \) jest funkcją zależną od  \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc  \).

Przypadek III.  Równania różniczkowe jednorodne rzędu drugiego.

W celu rozwiązania równania ( 5 ) dokonujemy podstawienia

Po  dwukrotnym zróżniczkowaniu powyższej funkcji:  \( \hskip 0.3pc y^{\prime}=e^uu^{\prime},  \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}=e^u((u^{\prime})^2+u^{\prime\prime})\hskip 0.3pc  \)  i podstawieniu do równanie ( 5 ) przyjmuje ono postać

Równanie

(5)

								\( F(t,y,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0  \)

nazywamy równaniem jednorodnym stopnia  \( \hskip 0.3pc n,\hskip 0.3pc  \)  jeżeli dla każdego  \( \hskip 0.3pc \lambda \in\mathbb{R}\hskip 0.3pc  \)  mamy

								\( F(t,\lambda y,\lambda y^{\prime},\lambda y^{\prime\prime})=\lambda^nF(t,y,y^{\prime},y^{\prime\prime}). \)


Równania różniczkowe Eulera

Chcąc wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) musimy najpierw wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań równania jednorodnego

Omówimy wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań   dla  \( \hskip 0.3pc n=2,\hskip 0.3pc  \) czyli dla równania:

Rozwiązania równania  ( 3 )  szukamy w postaci funkcji  \( \hskip 0.3pc y(t)=t^k\hskip 0.3pc  \) gdzie  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc  \) jest stałą. Wtedy  \( \hskip 0.3pc y(t)=t^k\hskip 0.3pc  \),   \( \hskip 0.3pc y^\prime(t)=kt^{k-1}\hskip 0.3pc   \) i  \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)=k(k-1)t^{k-2}\hskip 0.3pc   \) podstawiamy do równania ( 3 ) i dostajemy

Dzieląc powyższe równanie przez   \( \hskip 0.3pc t^k\hskip 0.3pc  \) otrzymamy  równanie

Rozważymy trzy przypadki w zależności od  \( \hskip 0.3pc \Delta =(a_1-a_2)^2-4a_2a_0 \hskip 0.3pc  \) . Przypadek I.  \( \hskip 0.3pc \Delta >0.\hskip 0.3pc  \) Równanie ( 4 ) ma wtedy dwa różne rzeczywiste pierwiastki

Wtedy mamy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 3 )

Funkcje te są liniowo niezależne ponieważ ich wrońskian

jest różny od zera. Zatem rozwiązanie ogólne równania( 3 ) w tym przypadku ma postać

Przypadek II.  \( \hskip 0.3pc \Delta =0.\hskip 0.3pc  \) Równanie ( 4 ) ma wtedy jeden  pierwiastek rzeczywisty  \( \hskip 0.3pc k =\frac{a_2-a_1}{2a_2}.\hskip 0.3pc  \) Funkcja  \( \hskip 0.3pc y_1(t)=t^{k}\hskip 0.3pc  \) jest rozwiązaniem równania ( 3 ). Dzieląc  obustronnie równanie ( 3 ) przez  \( \hskip 0.3pc a_2t^2\hskip 0.3pc  \)  otrzymujemy

Drugie liniowo niezależne rozwiązanie wyznaczamy na podstawie   twierdzenia Liouville'a

Rozwiązanie ogólne równania ( 3 ) w tym przypadku ma postać

Przypadek III.  \( \Delta <0. \) Równanie ( 1 ) ma wtedy dwa różne  pierwiastki zespolone wzajemnie sprzężone

Funkcje te są liniowo niezależne. Uzasadnienie jest identyczne jak w przypadku pierwszym. Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 3 ) w tym przypadku ma postać

Niedogodnością tego przedstawienia jest to, że funkcje  \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc  \) są funkcjami o wartościach zespolonych. Wyznaczymy teraz funkcje liniowo niezależne o wartościach rzeczywistych, spełniające równanie ( 3 ). W celu uproszczenia zapisów wprowadzamy następujące oznaczenia

Wtedy pierwiastki   \( \hskip 0.3pc k_1, \hskip 0.3pc  k_2\hskip 0.3pc  \) równania ( 4 ) możemy zapisać następująco

i faktu, że  \( \hskip 0.3pc t=e^{\ln t}.\hskip 0.3pc  \) Stąd otrzymujemy

Na podstawie  twierdzenia 1  dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania ( 3 ) jest rozwiązaniem tego równania, stąd następujące funkcje są rozwiązaniami równania ( 3 ).

Ponieważ  funkcje te są liniowo niezależne, więc rozwiązanie ogólne równania ( 3 ) w tym przypadku ma postać

W przypadku gdy  \( \hskip 0.3pc n>2,\hskip 0.3pc  \) postępuje się analogicznie jak dla równań o stałych współczynnikach. Szuka się rozwiązania równania w postaci funkcji  \( \hskip 0.3pc y(t)=t^k\hskip 0.3pc  \). Licząc kolejno pochodne   \( \hskip 0.3pc y^\prime(t),\ldots, y^{n}(t)\hskip 0.3pc  \)  i podstawiając do równania ( 2 ) otrzymuje się wielomian stopnia  \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc  \)  zmiennej  \( \hskip 0.3pc k,\hskip 0.3pc  \)  który będziemy oznaczać  \( \hskip 0.3pc \psi _n(k)\hskip 0.3pc  \). Analogicznie jak w przypadku  \( \hskip 0.3pc n=2,\hskip 0.3pc  \) rozpatrzymy trzy przypadki, w zależności od pierwiastków równania

Przypadek I. Pierwiastki   \( \hskip 0.3pc k_1, \ldots ,k_s\hskip 0.3pc  \)  równania ( 5 ) są rzeczywiste i jednokrotne. Wtedy  funkcje

stanowią liniowo niezależny zbiór rozwiązań równania ( 2 ). Przypadek II. Niech  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc  \) będzie pierwiatkiem rzeczywistym równania ( 5 ) o krotności  \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc  \) gdzie  \( \hskip 0.3pc r>1.\hskip 0.3pc  \) Wtedy funkcje

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 2 ) Przypadek III. Niech  \( \hskip 0.3pc k =\alpha +\beta i\hskip 0.3pc  \)  będzie pierwiastkiem  równania ( 5 ) o krotności  \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc  \) gdzie  \( \hskip 0.3pc r\ge1\hskip 0.3pc  \). Wtedy liczba sprzężona  \( \hskip 0.3pc \bar{k }=\alpha -\beta i\hskip 0.3pc  \) też jest pierwiatkiem tego równania  o krotności  \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc  \). Pierwiastkom tym odpowiadają nastepujące funkcje

będące liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 2 ).

Równaniem różniczkowym Eulera rzędu  \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc  \) nazywamy równanie postaci

(1)

								\( a_nt^ny^{(n)}(t)+a_{n-1}t^{n-1}y^{(n-1)}(t)+\cdots + a_{1}ty^\prime(t)+a_{0}y(t)=f(t) \)

gdzie:  \( \hskip 0.3pc a_0,\ldots ,a_n\hskip 0.3pc   \) są to stałe,   \( \hskip 0.3pc a_n\neq 0\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc  \) jest funkcją ciągłą  określoną w przedziale  \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}. \)


Rozwiązywanie układów równań różniczkowych metodą operatorową (sprowadzanie układu równań do równania zwyczajnego rzędu wyższego)

Przez  \( \hskip 0.3pc D\hskip 0.3pc  \) będziemy oznaczać operator różniczkowania - przyporządkowujący funkcji  \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc  \) jej funkcję pochodną:  \( \hskip 0.3pc Dx(t):=x^\prime(t).\hskip 0.3pc  \) Przez  \( \hskip 0.3pc D^k\hskip 0.3pc  \) będziemy oznaczać  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc  \)-krotne złożenie operatora  \( \hskip 0.3pc D\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc D^kx(t):=x^{(k)}(t).\hskip 0.3pc  \) Jeżeli \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc  \) jest operatorem określonym następująco

gdzie  \( \hskip 0.3pc a_0,\ldots,a_k\hskip 0.3pc  \)-są to  dowolne stałe, to dla dowolnej funkcji  \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc  \)  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc  \)-krotnie różniczkowalnej mamy:

Stosując powyższe oznaczenia układ równań ( 1 ) można zapisać następująco:

gdzie :  \( \hskip 0.3pc  L_{11}=D^2+1, \hskip 0.3pc  L_{12}=2D, \hskip 0.3pc  L_{13}=-1, \hskip 0.3pc  \)  \( \hskip 0.3pc L_{21}=D^2-1,\hskip 0.3pc  \) \(  \hskip 0.3pc L_{22}=D^2+1, \hskip 0.3pc  \)   \( \hskip 0.3pc L_{23}=D,\hskip 0.3pc  \)  \(  \hskip 0.3pc L_{31}=-D,\hskip 0.3pc  \)  \( \hskip 0.3pc  L_{32}=D,\hskip 0.3pc   L_{33}=2D^2+1.\hskip 0.3pc  \) Omówimy teraz rozwiązywanie układów równań postaci:

gdzie operatory  \( \hskip 0.3pc L_{ij}\hskip 0.3pc  \) są postaci ( 2 ) Powyższy układ rozwiązuje się podobnie jak układ równań liniowych, z wykorzystaniem wzorów Cramera:

Mnożeniu elementów przy liczeniu wyznacznika  \( W \) odpowiada złożenie operatorów. Przy liczeniu wyznaczników  \( \hskip 0.3pc W_i\hskip 0.3pc  \) najpierw składamy odpowiednie operatory, a następnie wyliczamy wartość tak otrzymanego operatora dla funkcji  \( \hskip 0.3pc f_k(t)\hskip 0.3pc  \). Na przykład mnożąc elementy na przekątnej dostajemy :

Pokażemy prawdziwość wzorów ( 4 ) dla  \( \hskip 0.3pc n=2\hskip 0.3pc  \). Rozważmy układ równań

Pierwsze równanie układu ( 6 ) obkładamy obustronie operatorem  \( \hskip 0.3pc L_{22}\hskip 0.3pc  \) a drugie operatorem  \( \hskip 0.3pc L_{12}\hskip 0.3pc  \) i otrzymujemy następujący układ równań:

dostajemy równanie różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach odpowiedniego rzędu zmiennej  \( \hskip 0.3pc x_1\hskip 0.3pc  \):

Analogicznie jeżeli pierwsze równanie układu ( 6 ) obłożymy obustronnie operatorem  \( \hskip 0.3pc L_{21}\hskip 0.3pc  \) a drugie  \( \hskip 0.3pc L_{11}\hskip 0.3pc  \) i odejmiemy stronami to otrzymamy

Przez układ równań różniczkowych będziemy rozumieli dwa lub więcej równań zawierających pochodne dwóch lub więcej nieznanych funkcji jednej zmiennej.


Przykłady rozwiązywania układów równań różniczkowych metodą operatorową


Przykład rozwiązywania układów równań z warunkami początkowymi metodą operatorową


Układ normalny równań różniczkowych rzędu pierwszego

Istotnie, określmy następująco nowe zmienne

Wtedy równanie ( 3 ) można zapisać w postaci układu równań

Układem normalnym równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

(1)

								\(  \begin{cases}x_1^\prime(t)=f_1(t,x_1(t),\ldots , x_n(t))&\\x_2^\prime(t)=f_2(t,x_1(t),\ldots ,x_n(t))&\\\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc \vdots &\\x_n^\prime(t)=f_n(t,x_1(t),\ldots ,x_n(t))& \end{cases} \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc  \) są nieznanymi funkcjami zmiennej niezależnej  \( \hskip 0.3pc t\in I,\hskip 0.3pc  \) a  \( \hskip 0.3pc f_1,\ldots,\hskip 0.3pc f_n\hskip 0.3pc  \) są danymi funkcjami określonymi w  \( \hskip 0.3pc I\times U,\hskip 0.3pc   \) gdzie  \( \hskip 0.3pc I=(a,b),\hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc b\hskip 0.3pc \) mogą być nieskończonościami,  \( \hskip 0.3pc U\subset \mathbb{R}^n.\hskip 0.3pc  \)

Definicja 2:

Przez rozwiązanie układu równań rózniczkowych ( 1 ) rozumiemy funkcje różniczkowalne
 \( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc  \) spełniające dla każdego  \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc  \) układ równań ( 1 ).

Definicja 3:

 Jeżeli  \( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc  \) są rozwiązaniem układu ( 1 ) to trajektorią rozwiązania nazywamy zbiór punktów w przestrzeni  \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^n\hskip 0.3pc \) określony następująco

								\( \{(x_1(t),x_2(t),\ldots ,x_n(t)),\hskip 0.3 pc\hskip 0.3 pc t\in I \}. \)

Definicja 4:

 Problem początkowy (Cauchy'ego) dla układu ( 1 ) polega na znalezieniu w przedziale  \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc  \) rozwiązania  \( \hskip 0.3pc x_1(t),\hskip 0.3pc x_2(t),\ldots ,\hskip 0.3pcx_n(t) \) układu ( 1 ) spełniającego warunki początkowe

					(2)

								\( x_1(t_0)=x_{01},\hskip 0.3pc x_2(t_0)=x_{02},\ldots ,\hskip 0.3pcx_n(t_0)=x_{0n},  \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc x_{01},\ldots ,\hskip 0.3pc x_{0n}\hskip 0.3pc \) są dane, a  \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc \) jest ustalonym punktem przedziału  \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \).


Układy równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego

Zapis macierzowy układu ( 1 ). Wprowadzając następujące oznaczenia:

Dowód tego twierdzenia jest przedstawiony w  module "Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych".

Struktura zbioru rozwiązań układu jednorodnego:

będzie zbiorem wszystkich rozwiązań układu  \( \hskip 0.3pc (5)\hskip 0.3pc  \).

Podamy teraz jak wyznacza się rozwiązanie układu niejednorodnego ( 3 ) gdy znamy już układ fundamentalny rozwiązań układu jednorodnego ( 5 ).

Definicja 1:

Układem normalnym równań różniczkowych liniowych  rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

(1)

								\(  \begin{cases}x_1^\prime(t)=a_{11}(t)x_1(t)+\cdots +a_{1n}(t)x_n(t)+f_1(t)&\\ \hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc  \vdots &\\x_n^\prime(t)=a_{n1}(t)x_1(t)+\cdots +a_{nn}(t)x_n(t)+f_n(t)& \end{cases} \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc   \) są nieznanymi funkcjami zmiennej niezależnej  \( \hskip 0.3pc t\in I,\hskip 0.3pc  \) a współczynniki  \( \hskip 0.3pc a_{ij}(t)\hskip 0.3pc  \) i funkcje  \( \hskip 0.3pc f_i(t)\hskip 0.3pc  \) są danymi funkcjami określonymi w przedziale   \( \hskip 0.3pc I =(a,b)\hskip 0.3pc  \), gdzie  \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc b\hskip 0.3pc  \) mogą być nieskończonościami.

Definicja 2:

Jeżeli  \( \hskip 0.3pc f_i(t)=0,\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc i=1,\ldots, n,\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc t\in I,\hskip 0.3pc  \) to układ ( 1 ) nazywamy jednorodnym.

Definicja 3:

Rozwiązaniem układu ( 1 )  nazywamy funkcje  \( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc \) ciągłe i różniczkowalne w przedziale  \( \hskip 0.3pc I,\hskip 0.3pc  \) spełniające układ ( 1 ) dla każdego  \( \hskip 0.3pc t\in I.\hskip 0.3pc  \)

Definicja 4:

Warunkiem początkowym dla układu ( 1 ) nazywamy układ równości :

(2)

								\( x_1(t_0)=x_{01},\hskip 0.5 pc x_2(t_0)=x_{02},\ldots ,\hskip 0.3pc x_n(t_0)=x_{0n} \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc x_{01},\ldots ,\hskip 0.3pc x_{0n}\hskip 0.3pc  \) są danymi stałymi, a  \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc  \) jest ustalonym punktem przedziału  \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc  \).

Definicja 5:

Dowolną bazę  \( \hskip 0.3pc x_1(t),\ldots, x_n(t)\hskip 0.3pc  \) przestrzeni  \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc  \) będziemy nazywać układem fundamentalnym dla równania ( 5 ).

Definicja 6:

Jeżeli  \( \hskip 0.3pc x_1(t),\ldots, x_n(t)\hskip 0.3pc  \) jest układem fundamentalnym dla  układu  \( \hskip 0.3pc (5),\hskip 0.3pc  \) to macierz

								\( X(t)=\begin{bmatrix} x_{11}(t)& x_{12}(t)&\ldots &x_{1n}(t)\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ x_{n1}(t)& x_{n2}(t)&\ldots &x_{nn}(t) \end{bmatrix} \)

nazywamy macierzą fundamentalną i spełnia ona równanie macierzowe

								\( X^\prime(t)=A(t)\cdot X(t). \)


Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są rzeczywiste i jednokrotne

Omówimy wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań dla układu równań różniczkowych ( 1 ) gdy wartości własne macierzy  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc  \) są rzeczywiste i jednokrotne. Rozwiązania układu ( 1 ) szukamy w postaci funkcji

Podstawiamy  \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3 pc  \) i   \( \hskip 0.3 pc x^\prime(t)=\lambda ve^{\lambda t}\hskip 0.3pc  \) do równania ( 1 )

Dzielimy powyższą równość obu stronie przez  \( \hskip 0.3pc e^{\lambda t}\hskip 0.3pc  \)

Stąd wynika, że  \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc  \) jest wartością własną macierzy  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc  \) a  \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc  \)- wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej. Z powyższych rozważań wynika, że chcąc wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań układu ( 1 ) należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wartości własne macierzy  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc  \) i odpowiadające im wektory własne. Wartości własne macierzy  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc  \) są pierwiastkami wielomianu:

gdzie  \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc  \) oznacza macierz jednostkową a  \( \hskip 0.3pc p_0,\ldots,p_n\hskip 0.3pc  \)- są to liczby rzeczywiste. Jeśli  \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc  \) jest wartością własną macierzy  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc  \) to przez

oznaczać będziemy zbiór wektorów własnych odpowiadających wartości własnej  \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc  \).


Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są jednokrotne, ale nie wszystkie rzeczywiste

Rozważmy układ równań różniczkowych postaci

Omówimy wyznaczanie układu fundamentalnego dla układu ( 1 ) gdy wartości własne macierzy  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) są jednokrotne, ale nie wszyskie rzeczywiste.

Wartości własne macierzy  \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \) są miejscami zerowymi wielomianu:

Z uwagi 1 wynika, że jeżeli  \( \hskip 0.3pc\lambda\hskip 0.3pc \) jest zespoloną wartością własną macierzy  \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \) to  \( \hskip 0.3pc\overline{\lambda}\hskip 0.3pc \)  jest też wartością własną macierzy  \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \).

Niech  \( \hskip 0.3pc\lambda =\alpha+\beta i\hskip 0.3pc \) będzie zespoloną wartością własną macierzy  \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \) a  \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej.

Z uwagi 2 wynika, że funkcje  \( \hskip 0.3pc ve^{\lambda t},\hskip 0.3pc  \overline {v}e^{\overline{\lambda} t}\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu ( 1 ). Korzystając z zależności

funkcje  \( \hskip 0.3pc ve^{\lambda t},\hskip 0.3pc  \overline {v}e^{\overline{\lambda} t}\hskip 0.3pc \) można zapisać następująco:

gdzie  \( \hskip 0.3pc\Re\hskip 0.3pc  \) oznacza część rzeczywistą a  \( \hskip 0.3pc\Im\hskip 0.3pc \) część urojoną. Ponieważ zbiór rozwiązań układu równań różniczkowych ( 1 ) jest przestrzenią wektorową to następujące funkcje,

Stąd wynika, że dla wartości własnych zespolonych  \( \hskip 0.3pc\lambda\hskip 0.3pc  \) i  \( \hskip 0.3pc\overline {\lambda}\hskip 0.3pc \)  wystarczy wyznaczyć tylko wektor własny   \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \)  dla wartości własnej  \( \hskip 0.3pc \lambda \).


Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest diagonalizowalna

Z kursu algebry liniowej wiemy, że macierz  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc  \) jest diagonalizowalna jeżeli dla każdej watrości własnej wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej tej wartości jest równy jej krotności.

Jeżeli układ wektorów   \( \hskip 0.3pc \{v_1,\ldots ,\hskip 0.3pc v_k\}\hskip 0.3pc  \) jest bazę przestrzeni  \( \hskip 0.3pc V_\lambda\hskip 0.3pc  \) to następujące funkcje


Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu nie jest diagonalizowalna

Z algebry liniowej wiadomo, że macierz nie jest diagonalizowalna, jeżeli istnieje wartość własna, której krotność jest większa niż odpowiadający jej wymiar podprzestrzeni własnej.

Na początek wprowadzimy pewne oznaczenia:

Zbiory  \( \hskip 0.3pc V_{\lambda}^{(i)} \hskip 0.6pc  i=1,\hskip 0.3pc 2,\ldots \hskip 0.3pc  \) - są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni  \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^n\hskip 0.3pc  \) i  będziemy nazywać je podprzestrzeniami wektorów głównych rzędu  \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.3pc  \). Podprzestrzenie wektorów głównych dla wartości własnej  \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc  \) tworzą ciąg wstępujący

Dokładniej mówiąc, istnieje liczba naturalna  \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc  \) taka, że


Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy  macierz układu nie jest diagonalizowalna


Macierz wykładnicza i jej własności

Przez  \( \hskip 0.3pc M(n\times n,\hskip 0.3pc\mathbb{C})\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać zbiór macierzy o wymiarach  \( \hskip 0.3pc n\times n\hskip 0.3pc \) i wartościach zespolonych.

Dla  \( \hskip 0.3pc t\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) definiujemy ciąg macierzy  \( \hskip 0.3pc\{S_k(t)\}\hskip 0.3pc  \)

Elementy macierzy  \( \hskip 0.3pc S_k(t)\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać  \( \hskip 0.3pc b_{ij}^{(k)}(t)\hskip 0.3pc \)

Ponieważ dla każdego  \( \hskip 0.6pc i,\hskip 0.3pc j=1,\ldots ,\hskip 0.3pc n\hskip 0.6pc \) mamy nierówność

więc z uwagi 1 wynika, że ciąg  \( \hskip 0.3pc \{b_{ij}^{(k)}(t)\}\hskip 0.3pc \) jest ciągiem Cauchy'ego. Zatem istnieje granica tego ciągu

Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 7 ) przy użyciu macierzy  \( \hskip 0.3pc e^{tA}\hskip 0.3pc \) można zapisać następująco:

Natomiast rozwiązanie równania ( 7 ) z warunkiem początkowym  \( \hskip 0.3pc x(t_0)=x_0\hskip 0.3pc \)  gdzie  \( \hskip 0.3pc x_0=\begin{bmatrix}x_{01}\\ \vdots \\x_{0n}\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \) można zapisać następująco:

Definicja 1:

Normę w przestrzeni  \( \hskip 0.3pc M(n\times n,\hskip 0.3pc\mathbb{C})\hskip 0.3pc \) określamy następująco:

								\( \lVert A\lVert =\max \{|a_{ij}|,\hskip 0.3pc\hskip 0.3pci,j=1,\ldots,n\}. \)

Definicja 2:

 Macierz wykładniczą  \(  \hskip 0.3pc e^{tA}\hskip 0.3pc \) definujemy jako granicę ciągu macierzy  \(  \hskip 0.5pc \{S_k(t)\}\hskip 0.5pc \):

								\( e^{tA}=\begin{bmatrix}b_{11}(t)\ldots b_{1n}(t)\\ \vdots \ddots\vdots\\ b_{n1}(t)\ldots b_{nn}(t)\end{bmatrix}=\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\begin{bmatrix}b_{11}^{(k)}(t)\ldots b_{1n}^{(k)}(t)\\ \vdots \ddots\vdots \\b_{n1}^{(k)}(t)\ldots b_{nn}^{(k)}(t)\end{bmatrix}=\lim\limits_{k\rightarrow \infty}S_k(t)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty }\dfrac{t^i}{i!}A^i. \)


Wyznaczanie macierzy wykładniczej

Do wyznaczania macierzy wykładniczej   \( \hskip 0.3pc e^{tA}\hskip 0.3pc \) wykorzystamy następujące twierdzenie:

Omówimy teraz jak wyznacza się klatki Jordana i macierz nieosobliwą P.

Niech  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \)  będzie rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru  \( \hskip 0.3pc n\times n,\hskip 0.3pc \) a  \( \hskip 0.3pc\lambda_1, \ldots ,\lambda_k,\hskip 0.5pck\le n\hskip 0.3pc \) będą wartościami własnymi macierzy  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \). Niech

będzie podprzestrzenią własną odpowiadająca wartości własnej  \( \hskip 0.3pc \lambda_i\hskip 0.3pc \). Rozważymy następujące przypadki.

1. Wymiar przestrzeni  \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)}\hskip 0.3pc \) jest równy krotności wartości własnej  \( \hskip 0.3pc\lambda_i.\hskip 0.3pc \) Niech  \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \)- oznacza krotność wartości własnej  \( \hskip 0.3pc \lambda_i\hskip 0.3pc \) i niech układ wektorów  \( \hskip 0.3pc \{v_{i_1}^{(0)},\ldots ,v_{i_m}^{(0)}\}\hskip 0.3pc \)  będzie bazą przestrzeni  \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)}\hskip 0.3pc \). Każdemu wektorowi  \( v_{i_j}^{(0)} \) odpowiada pojedyncza klatka Jordana, którą będziemy oznaczać  \( \hskip 0.3pc J_{i_j}=[\lambda_i].\hskip 0.3pc \) W tym przypadku mamy  \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) jednakowych pojedynczych klatek Jordana.

2. Wymiar przestrzeni  \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)}\hskip 0.3pc \) jest mniejszy od krotności wartości własnej  \( \hskip 0.3pc \lambda_i\hskip 0.3pc \). Jeżeli  \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \)- jest krotnością wartości własnej  \( \hskip 0.3pc\lambda_i\hskip 0.3pc \)  a  \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \)- wymiarem przestrzeni własnej  \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)},\hskip 0.3pc \) wtedy mamy  \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) wektorów  \( \hskip 0.3pc\{v_{i_1}^{(0)},\ldots ,v_{i_m}^{(0)}\},\hskip 0.3pc \)  z których tylko pierwszych  \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) stanowi  bazę przestrzeni  \( \hskip 0.3pc V_i^{(0)}\hskip 0.3pc \) a pozostałe  \( \hskip 0.3pc m-r\hskip 0.3pc \) wektorów są wektorami głównymi odpowiednich rzędów związanymi niekoniecznie ze wszystkimi wektorami własnymi  \( \hskip 0.3pc\{v_{i_1}^{(0)},\ldots ,v_{i_r}^{(0)}\}\hskip 0.3pc \). Każdemu wektorowi własnemu  \( \hskip 0.3pc v_{i_1}^{(0)},\ldots ,v_{i_r}^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiada odpowiednio klatka Jordana  \( \hskip 0.3pcJ_{i_1},\ldots ,J_{i_r}. \) Jeżeli wektorowi  \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \)- nie odpowiada żaden  wektor główny, to klatka Jordana odpowiadająca wektorowi  \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \) jest jednoelementowa   \( \hskip 0.3pc J_{i_j}=[\lambda_i].\hskip 0.3pc \) Jeżeli natomiast  wektorowi  własnemu  \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \) odpowiadają wektory główne  \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(1)},\ldots ,v_{i_j}^{(k)}\hskip 0.3pc \) związane z wektorem  \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \) zależnościami:

W macierzy  \( \hskip 0.3pc J_{i_j}\hskip 0.3pc \) jej pierwszej kolumnie odpowiada wektor własny  \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\hskip 0.3pc \), drugiej wektor główny  \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(1)},\hskip 0.3pc \)  odpowiednio  \( \hskip 0.3pc k+1\hskip 0.2pc \)-kolumnie wektor główny  \( \hskip 0.3pc v_{i_j}^{(k)}\hskip 0.3pc \). Kolumnami macierzy nieosobliwej  \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \) są wektory własne i główne. Konstrukcje macierzy  \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \) wyjaśnimy na przykładzie. Niech macierz  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) wymiaru  \( \hskip 0.3pc 5\times 5\hskip 0.3pc \) ma dwie wartości własne:  \( \hskip 0.3pc\lambda_1\hskip 0.3pc \)  o krotności  \( \hskip 0.3pc 3,\hskip 0.3pc  \) której odpowiadają wektory  \( v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_1^{(1)},\hskip 0.3pc v_1^{(2)}\hskip 0.3pc \) określone zależnością ( 1 ) oraz wartość własną  \( \hskip 0.3pc\lambda_2\hskip 0.3pc \)  o krotności 2 , której odpowiadają wektory  \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)},\hskip 0.3pc v_2^{(1)}\hskip 0.3pc \) określone zależnością ( 1 ). Wówczas klatki Jordana odpowiadające wartościom własnym  \( \hskip 0.3pc \lambda_1\hskip 0.3pc \) (odpowiednio  \( \hskip 0.3pc \lambda_2\hskip 0.3pc \)) mają postać

Macierz Jordana  \( \hskip 0.3pc J\hskip 0.3pc \) ma wtedy postać:

a kolumnami  macierzy  \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \) są odpowiednio współrzędne wektorów  \( \hskip 0.3pc v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_1^{(1)},\hskip 0.3pc v_1^{(2)},\hskip 0.3pc v_2^{(0)},\hskip 0.3pc v_2^{(1)}.\hskip 0.3pc  \) Macierz Jordana  \( \hskip 0.3pc J\hskip 0.3pc \) można zapisać też w postaci

ale wtedy kolumnami macierzy  \( \hskip 0.3pc P\hskip 0.3pc \) są odpowiednio współrzędne wektorów  \( \hskip 0.3pc v_2^{(0)},\hskip 0.3pc v_2^{(1)},\hskip 0.3pc v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_1^{(1)},\hskip 0.3pc v_1^{(2)}\hskip 0.3pc  \).

Niech  \( \hskip 0.3pc J_i\hskip 0.3pc \) będzie klatką Jordana wymiaru  \( \hskip 0.3pc s\times s\hskip 0.3pc \)

Macierz  \( \hskip 0.3pc J_i\hskip 0.3pc \)  możemy zapisać jako sumę macierzy

Ponieważ  \( \hskip 0.3pc D_i\cdot M_i=M_i\cdot D_i\hskip 0.3pc \) więc na mocy   uwagi 4  mamy

Policzymy teraz  \( \hskip 0.3pc e^{tD_i}\hskip 0.3pc \). Ponieważ

Policzymy teraz  \( \hskip 0.3pc e^{tM_i}\hskip 0.3pc \).

Wyznaczymy teraz  macierze   \( \hskip 0.3pc J,\hskip 0.3pc P,\hskip 0.3pc \)  i   \( \hskip 0.3pc e^{tJ}\hskip 0.3pc \) dla niektórych przykładów z następujących modułów: "Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są różne, ale nie wszystkie rzeczywiste",  "Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest diagonalizowalna",  "Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu nie jest diagonalizowalna".


Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach przy użyciu macierzy wykładniczej

Przykład 2 pokazuje, że jeżeli macierz  \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) ma wartości własne zespolone, to macierz  \( \hskip 0.3pc P\cdot e^{tJ}\hskip 0.3pc \) jest zespolona, natomiast macierz  \( \hskip 0.3pc P\cdot e^{tJ}\cdot P^{-1}\hskip 0.3pc \) jest rzeczywista, dlatego musimy wyznaczyć macierz  \( \hskip 0.3pc P^{-1},\hskip 0.3pc  \) bo inaczej otrzymalibyśmy rozwiązanie zespolone układu.


Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą uzmienniania stałych

stanowią układ fundamentalny rozwiązań dla układu  jednorodnego :

nazywamy macierzą fundamentalną układu ( 2 ). Z  twierdzenia 3 wynika, że rozwiązanie ogólne układu równań ( 1 ) jest postaci

gdzie  \( \hskip 0.5pc C=\begin{bmatrix}c_1\\ \vdots \\c_n\end{bmatrix}\hskip 0.5pc \),  a  \( \hskip 0.6pc c_1,\ldots ,\hskip 0.3pc c_n\hskip 0.3pc \)-są to dowolne stałe. Natomiast rozwiązanie  układu równań ( 1 ) spełniającego warunek początkowy

gdzie  \( \hskip 0.3pc x_{01},\hskip 0.3pc \ldots ,\hskip 0.3pc x_{0n},\hskip 0.3pc \) są dane, a  \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc  \) jest ustalonym punktem przedziału  \( \hskip 0.3pc I,\hskip 0.3pc \) jest postaci:


Rozwiązywanie układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą przewidywań

gdzie  \( \hskip 0.3pc  x(t)= \begin{bmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\x_n(t) \end{bmatrix}, \hskip 1pc  A=\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots  & a_{nn} \end{bmatrix},  \hskip 1pc   f(t)= \begin{bmatrix} f_1(t) \\	\vdots \\ f_n(t) \end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \) Jeżeli  \( \hskip 0.3pc x_c(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego:

Metoda przewidywań ma zastosowanie , jeżeli elementy macierzy  \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \)  są wielomianami, funkcjami wykładniczymi, funkcjami sinus lub cosinus, ewentualnie sumami lub iloczynami wymienionych funkcji.

Algorytm postępowania przy wyznaczaniu rozwiązania układu ( 1 ) metodą przewidywań.

3. Dla każdej funkcji  \( \hskip 0.3pc f_i(t),\hskip 0.3pc i=1,\ldots,k \hskip 0.3pc \) wyznaczamy rozwiązanie szczególne  \( \hskip 0.3pc x_{p_i}(t) \hskip 0.3pc \) układu równań

W zależności od postaci funkcji  \( \hskip 0.3pc f_i(t) \hskip 0.3pc \) przewidujemy rozwiązanie szczególne  \( \hskip 0.3pc x_{p_i}(t) \hskip 0.3pc \) w postaci ( 3 ), ( 4 ) i ( 6 ) lub ( 7 ). Podstawiając  \( \hskip 0.3pc x_{p_i}(t) \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc x_{p_i}^\prime (t) \hskip 0.3pc \) do równania ( 8 ) otrzymamy równanie macierzowe, z kórego wyliczamy stałe   \( \hskip 0.3pc d_{lj},\hskip 0.3pc c_{lj}.  \)

4. Rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) zapisujemy jako sumę wyżej wymienionych rozwiązań:


Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą przewidywań


Przykłady zastosowania układów równań różniczkowych

Układy równań różniczkowych mają zastosowanie przy opisie wielu zagadnień fizycznych, technicznych i ekonomicznych.


Układy dynamiczne. Klasyfikacja punktów stacjonarnych na płaszczyźnie

Rozpatrzmy układ  \( n \) równań różniczkowych zwyczajnych, których prawe strony nie zależą od zmiennej  \( t \):

Będziemy zakładać, że funkcje  \( f_i, \,\,i=1,...n,\, \) są różniczkowalne w sposób ciągły po wszystkich zmiennych  \( x_i. \) Układ ( 1 ) nazywa się układem autonomicznym, albo też układem dynamicznym.

Zamiast pełnego układu ( 1 ), w małym otoczeniu punktu stacjonarnego można rozpatrywać jego linearyzację . Rozpatrzmy prawą stronę tego układu. Każdą funkcję  \( f_i(x_{1},\,x_{2},...x_{n}) \) można w otoczeniu punktu  \( \left(x_{1,0},\,x_{2,0},...x_{n,0}\right) \) przedstawić, zgodnie ze wzorem Taylora, w postaci

gdzie  \( \xi=\sqrt{\sum_{k=1}^n\left(x_k-x_{k,0}\right)^2}  \) oraz

Układ  (2) nazywa się linearyzacją układu dynamicznego ( 1 ) w otoczeniu punktu stacjonarnego  \( (x_{1,0},\,x_{2,0},...x_{n,0}) \). Okazuje się, że przy pewnych warunkach, rozwiązania układu ( 1 ) oraz rozwiąznia układu liniowego ( 2 ) są w małym otoczeniu punktu stacjonarnego "jakościowo identyczne". Ponieważ rozwiązywać (analizować) układ liniowy jest na ogół niezmiernie prościej, niż układ pełny, opłaca się spróbować znaleźć warunki umożliwiające taką podmianę. To, czy zachowanie  pełnego układu w otoczeniu punktu stacjonarnego jest rzeczywiście reprezentowane przez jego linearyzację, zależy od wartości własnych macierzy linearyzacji układu ( 2 ). Przeanalizujemy to na przykładzie układu w  \( R^2 \), podając przy okazji klasyfikację prostych punktów stacjonarnych. Rozpatrzmy zatem układ równań

Portretem fazowym układu ( 3 ) nazywamy zbiór krzywych sparametryzowanych

które tworzą rozwiązania  tego układu. Posługując się terminologią zapożyczoną w mechanice punktu materialnego, krzywe ( 4 ) nazywają też często trajektoriami lub trajektoriami fazowymi.

Przystępujemy do klasyfikacji punktów stacjonarnych układu ( 3 ).

1. Przypadek, gdy wartości własne  \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy  \( \hat A \) są rzeczywiste, różne, dodatnie. Niech na przykład   \( 0\lt \lambda_1\,\lt\,\lambda_2 \). Wtedy punkt  \( (0,\,0)  \) przestrzeni fazowej nazywa się źródłem. Wówczas da się znaleźć taką liniową zamianę zmiennych

Rozwiązaniem tego układu są wówczas funkcje

W przypadku, gdy  \( C_1 \neq 0 \), rozwiązanie to można przedstawić w postaci równoważnej, przedstawiając  \( y_2  \) jako funkcję  \( y_1 \) poprzez wyrugowanie  \( t \):

Portret fazowy układu ( 5 ) wygląda w tym przypadku  tak, jak jest to  pokazane na Rys. 1.

Zwróćmy uwagę na to, że osie współrzędnych są trajektoriami fazowymi układu. Oś pozioma odpowiada przypadku  \( C_2=0 \), zaś oś pionowa odpowiada przypadkowi osobliwemu  \( C_1=0 \). Te dwie trajektorie fazowe nie są ujęte we wzorze ( 6 ).

2. Wartości własne  \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy  \( \hat A \) są rzeczywiste, różne, ujemne.

Niech na przykład  \( \lambda_2\,\lt\,\lambda_1\,\lt\,0 \). Punkt  \( (0,\,0) \) przestrzeni fazowej nazywa się wówczas zlewem. Podobnie jak w przypadku poprzednim, istnieje liniowa zamiana zmiennych  \( (\xi,\,\eta)\rightarrow (y_1,\,y_2) \) taka, że w nowych zmiennych układ ( 3 ) ma postać

Zauważmy teraz, że zamiana zmiennej niezależnej  \( t\rightarrow\tau=-t \) odzworowuje układ ( 7 ) w układ

równoważny układowi ( 5 ). Przekształcenie  \( t\rightarrow\tau=-t \) nazywa się odbiciem zmiennej czasowej. Prowadzi ono do tego, że ruch wzdłuż każdej trajektorii fazowej odbywa się w przeciwnym kierunku. Poza tym portret fazowy pozostaje bez zmian. Wynika stąd, że portret fazowy układu ( 7 ) będzie taki, jak pokazano na Rys. 2.

3. Przypadek gdy wartości własne  \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy  \( \hat A \) są rzeczywiste, niezerowe i mają różne znaki. Niech, na przykład,  \( \lambda_1\,\gt\,0\,\gt\,\lambda_2 \). Wtedy punkt  \( (0,\,0) \) przestrzeni fazowej nazywa się siodłem. Wówczas istnieje liniowa zamiana zmiennych  \( (\xi,\,\eta)\rightarrow (y_1,\,y_2) \) taka że w nowych zmiennych układ ( 3 ) ma postać

Rozwiązanie tego układu dane jest wzorami

W przypadku, gdy  \( C_1 \neq 0 \), rozwiązanie to można też przepisać w postaci równoważnej, przedstawiając  \( y_2  \) jako funkcję  \( y_1 \) poprzez wyrugowanie zmiennej  \( t \):

Portret fazowy układu ( 9 ) w tym przypadku wygląda tak, jak to jest pokazane na Rys. 3. Zwrócmy uwagę na to, że osie współrzędnych są również trajektoriami fazowymi układu ( 10 ). Oś pozioma odpowiada przypadkowi  \( C_2=0 \); oś pionowa odpowiada przypadku osobliwemu  \( C_1=0 \). Te dwie trajektorie fazowe nie są wyrażone poprzez wzór ( 9 )

4. Przypadek gdy wartości własne  \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy  \( \hat A \) są czysto urojone i róznią się znakiem:  \( \lambda_{1,2}= \pm\,i\,\omega \).

W tym przypadku punkt  \( (0,\,0) \) przestrzeni fazowej nazywa się środkiem. Istnieje liniowa zamiana zmiennych  \( (\xi,\,\eta)\rightarrow (y_1,\,y_2) \) taka, że w nowych zmiennych układ ( 3 ) ma postać

Rozwiązania te są funkcjami okresowymi. W płaszczyźnie fazowej na rysunku Rys. 4 są one przedstawione w postaci krzywych (orbit) zamkniętych.

5. Przpadek gdy wartości własne  \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy  \( \hat A \) są zespolone, czyli  \( \lambda_{1,2}=\alpha\,\pm\,i\,\omega \). W tym przypadku punkt  \( (0,\,0) \) przestrzeni fazowej nazywa się ogniskiem niestabilnym w przypadku gdy  \( \alpha\,\gt\,0 \) oraz stabilnym gdy  \( \alpha\lt 0 \). Portret fazowy ogniska niestabilnego przedstawionno na Rys. 5. Portret fazowy ogniska stabilnego wygląda podobnie, przy czym trajektorie są tu skierowane do początku układu współrzędnych.

Definicja 1:

Punkt  \( (x_{1,0},\,x_{2,0},...x_{n,0})\in R^n \) nazywa się punktem stacjonarnym układu ( 1 ), jeżeli  \( f_i(x_{1,0},\,x_{2,0},...x_{n,0})=0, \,\,i=1,...n \).

Definicja 2:

Zbiór zmiennych  \( (\xi,\,\eta)\in\,R^2 \) nazywamy płaszczyzną fazową układu ( 3 )


Pojęcie całkowania jakościowego. Układy hamiltonowskie na płaszczyźnie

Kompletne badanie układu dynamicznego polega na znalezieniu rozwiązania analitycznego dla dowolnego dobrze postawionego zagadnienia początkowego. Cel ten, jednak, jest osiągalny dla bardzo niewielkiej rodziny układów liniowych i to zwykle o stałych współczynnikach oraz tylko dla niektórych układów nieliniowych, które udaje się w ten czy inny sposób scałkować, wykorzystując ich szczególną sprzyjającą całkowaniu postać. W teorii jakościowej układów dynamicznych badania układu równań traktuje się nieco inaczej, gdyż główny nacisk w tym podejściu kładzie się na opis rozwiązań chzrakterystycznych dla danego układu. Badania jakościowe układu dynamicznego włączają takie elementy jak odnajdywanie punktów stacjonarnych oraz badanie ich charakteru, czy też badanie istnienia trajektorii okresowych oraz obserwacje zachowania się rozwiązań, przy wartościach argumentu dążących do nieskończoności. Zatem, zamiast próby scałkowania układu, która rzadko kiedy bywa skuteczna, usiłujemy uzyskać informację o charakterze rozwiązań jedynie na podstawie samej postaci układu dynamicznego. Okazuje się że analiza jakościowa jest wyjątkowo skuteczna w sytuacji, gdy układ dynamiczny jest hamiltonowski. Analizie pewnej rodziny układów hamiltonowskich, ważnej z punktu widzenia zastosowań, poświęcony jest w całości niniejszy moduł.

nazywa się układem hamiltonowskim, jeżeli istnieje różniczkowalna funkcja  \( H(x,\,y) \) taka, że zachodzą równości

Dowód Niech funkcje  \( x(t),\,\,\,y(t) \) będą rozwiązaniami układu hamiltonowskiego. Wówczas, różniczkując funkcję  \( H[x(t),\,\,y(t)] \) względem  \( t \), otrzymamy:

Równaniem które można sprowadzić do układu hamiltonowskiego, jest równanie

opisujące ruch punktu materialnego o masie jednostkowej w polu sił potencjalnych. Wprowadzając zmienną  \( y(t)=\dot x(t) \), równanie to można przedstawić w postaci układu dynamicznego

Całkując względem zmiennej  \( y \) pierwsze równanie otrzymamy funkcję

gdzie nieznana funkcja  \( V(x) \) pełni rolę stałej całkowania. Podstawiając ten wynik do drugiego równania, otrzymamy

Zatem nieznaną funkcję można przedstawić w postaci

Jak widać ze wzoru ( 2 ), dodanie do funkcji Hamiltona stałej adytywnej nie wpływa na postać funkcji  \( F(x,\,y) \) oraz  \( G(x,\,y) \). Dlatego, bez straty ogólności, możemy przyjąć, że  \( C_1=0. \)

1. Wszystkie punkty stacjonarne (zob. moduł Układy dynamiczne. Klasyfikacja punktów stacjonarnych na płaszczyźnie ) układu ( 6 ) znajdują się na osi  \( OX \). Współrzędna  \( x_0 \) punktu stacjonarnego spełnia równanie  \( \phi(x_0)=0 \).

2. Każdą trajektorię fazową układu ( 6 ) można przedstawić w płaszczyźnie fazowej  \( (x,\,y) \) w postaci poziomicy funkcji  \( H(x,\,y) \);

3. Funkcja Hamiltona układu ( 6 ) nie zmienia się pod działaniem transformacji  \( \bar y=-y \). Własność ta wynika bezpośrednio ze wzoru ( 7 ).

4. Trajektorie fazowe przecinają oś  \( OX \) pod kątem prostym, wszędzie za wyjątkiem, ewentualnie, punktów stacjonarnych.

Prawa strona tej równości dąży do  \( \pm\infty, \) gdy  \( y \) dąży do zera, chyba że  \( \phi(x)=0 \) (czyli  \( x \) jest punktem stacjonarnym). Ponieważ  \( \frac{d\,y}{d\,x} \) pokrywa się z tangensem kąta stycznej do trajektorii, więc w miarę zbliżania się do punktu  \( (x,\,0) \) kąt ten dąży do  \( \pm \pi/2 \).

5. Następująca własność jest bardzo przydatna z punktu widzenia konstrukcji portretów fazowych. Z tego, że hamiltonian przybiera stałą wartość na rozwiązaniach układu dynamicznego, wynika równość

Ponieważ człon po lewej stronie (energia kinetyczna) nie może być ujemny, więc trajektoria nie może mieć współrzędnej  \( x, \) której odpowiada wartość funkcji  \( V(x)\,\gt\,H_0 \). Dlatego jeśli założymy, na przykład, że  \( V(x) \) monotonicznie rośnie, to wówczas dla danej trajektorii istnieje maksymalna wartość  \( x_{M} \) współrzędnej  \( x \), określonej jako współrzędna przecięcia się wykresów odpowiednich funkcji, zob. Rys. 1.

Z własności ( 3 ), ( 4 ), z kolei, wynika, że w punkcie  \( x_M \) trajektoria fazowa doznaje odbicia, zob. Rys. 2

6. Współrzędna  \( x \) punktu stacjonarnego odpowiada ekstremum funkcji  \( V(x) \). Punkt stacjonarny  \( (x_0,\,0) \) jest środkiem, jeżeli  \( V \) ma w  \( x_0 \) minimum lokalne; punkt stacjonarny \( (x_1,\,0) \) jest siodłem, jeżeli w  \( V(x_1) \) ma w  \( x_1 \) maksimum lokalne. Dowód. Jeżeli  \( x_\nu \) jest punktem stacjonarnym, to  \( \phi(x_\nu)=0 \). Stąd  \( V'(x_\nu)=-\phi(x_\nu)=0 \), a zatem punkt  \( x_\nu \) jest podejrzany o to, że jest on punktem ekstremalnym dla funkcji  \( V(x) \). Licząc dalej macierz linaryzacji układu w punkcie  \( x_\nu , \) otrzymamy:

Jak wiadomo, charakter punktu stacjonarnego zależy od wartości własnych macierzy linearyzacji. Obliczamy więc warości własne macierzy  \(  M|_{x=x_\nu}: \)

i punkt  \( (x_\nu,\,0) \) jest środkiem;

i punkt  \( (x_\nu,\,0) \) jest siodłem.

7. Trajektoria odpowiadająca poziomicy  \( H=H_0 \), przecinającej jamę potencjalną (zob. Rys. 3, góra) jest trajektorią zamkniętą (zob. Rys. 3, dół), reprezentującą rozwiązanie okresowe.


Analiza jakościowa równania Duffinga

W r. 1918 G. Duffing wyprowadził równanie, opisujące drgania rdzenia sprężystego, podwieszonego w silnym polu magnetycznym (zob. Rys. 1 ):

Równanie to jest równoważne układowi hamiltonowskiemu

Ponieważ  \(  V'(x)=x \,(x-1)\, (x+1) \), więc ekstrema funkcji  \( V(x) \) mogą się znajdywać w punktach  \(  x_0=0,\,\,\,x_{\pm}=\pm 1 \). Badanie drugiej pochodnej pozwala orzec że w punkcie  \( x_0 \) jest maksimum lokalne, natomiast w punktach  \( x_{\pm}=\pm 1 \) znajdują się minima lokalne. Konsekwentnie, w punkcie  \( (0,\,0) \) płaszczyzny fazowej  \( (x,\,y) \) znajduje się siodło, natomiast w punktach  \( (\pm1,\,0) \) znajdują się środki. Przebieg zmienności funkcji  \( V(x) \) jest przedstawiony na Rys. 2.

Funkcja  \( V(x) \) ma dwa minima lokalne (zwane jamami potencjalnymi). Dąży ona asymptotycznie do  \( +\infty , \) gdy  \( |x| \to \pm \infty \). Na Rys. 2 przedstawione są również poziomice funkcji  \( H_0=H(x,\,y) \). Na Rys. 3 przedstawione są trajektorie fazowe odpowiadające tym poziomicom. Trajektorie okresowe otaczające środki odpowiadają poziomicom leżącym wewnątrz jam potencjalnych; trajektorie homokliniczne, bi-asymptotyczne do siodła, odpowiadają poziomicom przechodzącym przez maksimum lokalne (pogrubione linie przerywane na Rys. 2; poziomicy najwyżej położonej odpowiada trajektoria okresowa otaczająca oba środki.

Interpretacja fizyczna omawianych rozwiązań jest następująca: ruchy okresowe dookoła punktów środkowych odpowiadają sytuacji, gdy rdzeń dokonuje małych drgań wokół jednego ze stabilnych punktów równowagi, które w obecności pola magnetycznego rdzeń posiada, gdy jest on odchylony od pionu w kierunku jednego z biegunów magnesu. Duże trajektorie okresowe otaczające oba środki odpowiadają dostatecznie dużym odchyleniom początkowym rdzenia. Trajektorie homokliniczne odpowiadają ruchom granicznym, oddzielającym małe lokalne drgania od dużych.

Omówione rozwiązania wyczerpują wszystkie możliwe ruchy rdzenia wyprowadzonego z położenia równowagi w polu magnetycznym.


Analiza jakościowa równania opisującego ruch płaski wahadła matematycznego

Rozpatrzmy model opisujący ruch płaski (czyli dwuwymiarowy) punktu materialnego o masie  \( m, \) podwieszonego na nierozciągliwej nici długości  \( L, \) w polu grawitacyjnym. Model fizyczny przedstawiony jest na Rys. 1.

Na punkt materialny działa siła grawitacyjna  \( F_{gr}=m\cdot g \) skierowana w dół oraz siła naciągu nici  \( T \), która w każdej chwili rekompensuje współrzędną podłużną siły grawitacji (warunek nierozciągliwości nici). Siłą wypadkową działającą na punkt materialny jest wówczas składowa poprzeczna siły grawitacji, wynosząca  \( m\cdot g\cdot \sin{x} \), gdzie  \( x \) oznacza kąt odchylenia nici od pionu. Punkt materialny porusza się wzdłuż okręgu o promieniu  \( L \); jego prędkość i przyspieszenie wynoszą odpowiednio  \( L \dot x(t)    \) i  \( L \ddot x(t)    \). Zgodnie z Zasady dynamiki Newtona-Druga zasada dynamiki Newtona, równanie ruchu ma postać

Znak minus w prawej stronie wzoru odzwierciedla to, że siła poprzeczna, skierowana ku położeniu równowagi wahadła przeciwdziała wzrostowi kąta odchylenia. Napiszmy równanie ruchu w postaci:

W przypadku gdy  \( |x|<<1   \) (relacja   \( |x|<<1 \) oznacza, że wartość bezwzględna   \( x \) jest znacznie mniejsza od jedynki),  \( \sin{x} \) można zastąpić funkcją  \( x \). Wówczas otrzymamy dobrze znane równanie liniowe, opisujące małe drgania punktu wokół położenia równowagi:

Ogólne rozwiązanie równania ( 2 ) dane jest wzorem  \( x(t)=A\,\sin{(\omega \, t +\phi)}  \). Poniżej przedstawiamy analizę zbioru rozwiazań równania ( 1 ). Ponieważ rozwiązań tych nie można opisać dokładnie poprzez funkcje elementarne, do ich analizy stosuje się metody jakościowe.

Napiszmy równanie ( 1 ) w postaci równoważnego układu równań rzędu pierwszego:

Dowód przeprowadza się bezpośrednim sprawdzeniem.

Dowód wynika z niezmienniczości funkcji Hamiltona względem odbić  \( x\rightarrow  -x,   \)  \( y\rightarrow -y \) oraz okresowości funkcji  \( cos x \). Przypomnijmy sobie, że każdą trajektorię fazową układu hamiltonowskiego można przedstawić w postaci  \( H(x,\,y)=C,   \) przy pewnej stałej  \( C \). Trajektorie układu (3) są symetryczne względem odbić od obu osi współrzędnych. Ponadto, na mocy trzeciej własności funkcji  \( H \), wystarczy przeanalizować przebieg trajektorii fazowych na odcinku  \( (-\pi,\,\,\pi)   \) i dalej przedłużyć je na kolejne sąsiadujące ze sobą odcinki krotności  \( 2\,\pi \).

Wszystkie punkty stacjonarne układu (3) leżą na osi poziomej. Współrzędna  \( x \) punktu stacjonarnego należy do zbioru  \( \left\{0,\,\pm \pi,\,\pm 2\,\pi,...,\pm\,k\,\pi,...\right\}  \)  \( \left\{0,\,\pm \pi,\,\pm 2\,\pi,...,\pm\,k\pi,...\right\}, k\in\ N \). Typy poszczególnych punktów stacjonarnych określa zachowanie funkcji

opisującej energię potencjalną układu. Z wykresu tej funkcji, przedstawionego na Rys. 2 odczytujemy że punkty stacjonarne o współrzędnych  \( (\pm 2\,k\,\pi,\,\,0)   \) są środkami, wtedy gdy punkty stacjonarne o współrzędnych  \(  \left(\pm ( 2\,k+1)\,\pi,\,\,0\right)  \) są siodłami.

Fragment portretu fazowego układu (3) jest przedstawiony na Rys. 3.

Fragmenty, nie pokazane na przedstawionym rysunku, uzyskuje się przeniesieniem portretu odpowiadającego odcinkowi  \( (-\pi,\,\,\pi) \) o  \( 2\,\pi \) w lewo i w prawo. Zauważmy że trajektoriom zamkniętym (oznaczonym kolorem niebieskim) odpowiadają nieliniowe rozwiązania okresowe, trajektoriom łączącym siodła (oznaczonym kolorem czerwonym) - rozwiązania heterokliniczne, trajektoriom leżacym poniżej lub powyżej heteroklinik (oznaczonym kolorem zielonym) - rozwiazania nieograniczone względem współrzędnej  \( x \).


Nieliniowe rozwiązania okresowe w dwuwymiarowym układzie dynamicznym

W module poświęconym klasyfikacji punktów stacjonarnych nie wchodząc w szczegóły wspominaliśmy o tym, że wszystkie omawiane punkty stacjonarne, poza środkiem, są odporne na małe zaburzenia. Zaburzenia takie mają rozmaity charakter. Zauważmy przede wszystkim, że układy dynamiczne służące do modelowania procesów naturalnych, uwzględniają zależności od rozmaitych parametrów, jak na przykład masy, przyspieszenia siły grawitacyjnej, współczynnika tarcia i wielu innych, dlatego typowy układ dynamiczny należałoby zapisać w postaci

gdzie  \( \mu=(\mu_1,\,...\mu_m)\,\in\,R^m   \) - zbiór parametrów. Charakter punktu stacjonarnego w ogólnym przypadku zależy od tego, jakie konkretne wartości przybierają parametry. Innym źródłem zaburzeń jest dodanie do układu zlinearyzowanego w małym otoczeniu punktu stacjonarnego odrzuconych członów szeregu Taylora:

gdzie  \( \xi^i=x^i-x_0^i \),  \( DF[x_0]_j^i,\,\,D^2F[x_0]_{jk}^i,,...   \)- są to odpowiednio pierwsza, druga oraz wyższe pochodne cząstkowe  \( i \)-tej skladowej wektor funkcji  \( F  \) obliczone w punkcie  \( x_0 \). Otóż środek zmienia swój charakter pod wpływem zaburzeń zarówno pierwszego jak i drugiego rozaju. Rzeczywiście, przejście od macierzy niezaburzonej

czyni ze środka ognisko niestabilne przy dowolnie małym  \( \mu>0 \). Dodanie do układu zlinearyzowanego, opisujacego środek części nieliniowej, może mieć podobny efekt, jak w przypadku układu

który opisuje ognisko stabilne. Można się o tym przekonać przechodząc do zmiennych biegunowych  \( \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \quad \phi= \arctan(y/x)  \). W zmiennych tych układ przekształca się w parę równań od siebie niezależnych

Rozwiązania tych równań, jak łatwo się można przekonać, mają postać

Widać, ze zmienna  \( \rho(t) \) dąży do zera gdy  \( t \) dąży do  \( +\infty \), a więc portret fazowy układu w płaszczyźnie zmiennych ( \( x,\,\,y \)) powinien przypominać ognisko stabilne. Zauważmy też że przy  \( \mu>0 \) efekt zaburzenia części liniowej oraz efekt od dodania wyżej opisanej nieliniowości działają niejako w przeciwnych kierunkach. W wyniku takich jednoczesnych zburzeń, pojawia się nieliniowe rozwiązanie okresowe, zwane cyklem granicznym. Przebieg powstania takiego rozwiązania jest opisany niżej.

Zakładamy, że układ ma punkt stacjonarny w zerze oraz, że przy  \( \mu=0 \) macierz linearyzacji  \(  DF_0(0)=\hat A \) ma parę czysto urojonych wartości własnych  \( \lambda_{1,\,2}=\pm\,i\,\omega \), natomiast przy  \( |\mu|<<1 \) — parę zespolonych wartości własnych  \( \lambda_{1,\,2}=\mu\,\pm\,i\,\omega(\mu) \). Zakładamy ponadto, że  \( |\omega|=O(1) \) oraz, że  \( \omega(\mu) \) w sposób różniczkowalny zależy od parametra  \( \mu \), a zatem  \(  \omega(\mu)=\omega+O(|\mu|)  \).

Opiszemy poniżej procedurę przejścia do współrzędnych kanonicznych, w których macierz linearyzacji ma specyficzną postać. Punktem wyjścia będzie dla nas układ

gdzie  \( \hat A=D\,F_\mu[0]   \). Zakładamy, jak wyżej, że macierz ma parę zespolonych wartości własnych  \( \lambda_{\pm}=\mu\,\pm\,i\,\omega(\mu) \), którym odpowiada para zespolonych wektorów własnych  \( V_{\pm}=R\,\pm i\,I   \),  \( R,\,I\,\in\,R^2   \). Założenie to można przedstawić w postaci wzoru

lub, zapisując osobno część rzeczywistą i urojoną dla tej równości, w wposób następujący:

Określmy macierz  \( P=\left(R,\,-I   \right)   \) oraz macierz  \( P^{-1} \) do niej odwrotną

gdzie   \( R^{-1}=(a_1,\,a_2), \,\, I^{-1}=(b_1,\,b_2)   \) są to wektory spełniające warunki

Wykorzystując powyższe wzory, łatwo możemy wykazać następujący

Dowód Działając na równanie ( 1 ) operatorem  \(  P^{-1} \) z lewej strony otrzymujemy:

gdzie  \(  (z_1,\,z_2)^{tr} \) oznacza operację transponowania wiersza. Rozważmy teraz macierz linearyzacji układu. Wykorzystując wzory ( 2 ) oraz relacje ortogonalności ( 3 ) otrzymamy:

Zatem w nowych zmiennych układ przyjmuje postać

Kolejnym krokiem jest sprowadzenie części nieliniowej układu ( 4 ) do postaci kanonicznej, umożliwiającej analizę powstania cyklu granicznego oraz jego stabilności (zob. też moduł Skalarne równanie quasiliniowe dla funkcji n zmiennych niezależnych ). Najprościej można to zrobić, przechodząc na zmienne zespolone  \( z=x+\,i\,y  \). Przejście to pozwala przedstawić układ ( 4 )  w postaci

Interesować nas będą dwa pierwsze człony rozkładu funkcji  \( F[z,\,\bar z] \) w szereg Taylora, dlatego funkcję  \( F[z,\,\bar z] \) przedstawimy jako

gdzie  \( \,\,P_2= \sum_{a+b=2}P^2_{a\,b}w^a \bar w^b\,\,  \),  \(  P^2_{a\,b} \) będą na początek oznaczały dowolne współczynniki zespolone. Podstawiając ten wzór do równania ( 5 ), otrzymamy:

gdzie  \( I_2 \) jest to dwuwymiarowa macierz jednostkowa,

Odtąd będziemy traktować przekształcenie ( 6 ) jako asymptotyczne, zatem obliczenia będziemy dokonywali z dokładnoscią do  \(  O(|w|^3)  \). Mnożąc równanie ( 7 ) przez operator  \(  \left[ I_2-D\,P_2\right]+  \) z lewej strony, otrzymujemy z żądaną dokładnością równanie

Załóżmy, że  \(  \lambda = i \omega  \). Założenie to nie wpłynie na wynik ostateczny, gdyż parametr  \(  \mu  \) jest niezależny i można go wybrać jako dowolnie mały. W nowych zmiennych współczynnik przy jednomianie  \(  w^a \bar w^b  \) zniknie jeżeli dokonamy następujacego wyboru  \(  P^2_{a\,b}  \):

Wzór ( 10 ) ma sens, jeżeli  \( 1 - a + b \neq 0  \). Jednomiany dla których wzór ( 10 ) nie jest dobrze określony, noszą nazwę jednomianów nieusuwalnych, lub jednomianów rezonansowych. Obecność takich jednomianów drugiego stopnia można przeanalizować, rozwiązując układ równań

Układ powyższy ma jedyne rozwiązanie  \(  a=3/2,\,\,b=1/2  \), więc nie spełnia go żadna para liczb  \( a,\,\,b\,\in \,N \bigcup\,\{0\}  \). Wynika stąd, że wszystkie jednomiany stopnia 2 są usuwalne i przy odpowiednim doborze stałych  \(  P^2_{a\,b},  \) układ ( 8 ) da się sprowadzić do postaci

W celu usunięcia nierezonansowych jednomianów stopnia trzeciego, wykorzystamy zamianę zmiennych

Po podstawieniu tego wyrażenia do ( 11 ) oraz po przemnożeniu uzyskanego wyrażenia przez operator  \( I_2 - D P_3   \), otrzymamy układ (zob. też moduł Skalarne równanie quasiliniowe dla funkcji n zmiennych niezależnych )

Zatem co najmniej niektóre z jednomianów trzeciego stopnia da się wyeliminować, dobierając  \(  P^3_{m\,n}  \) w postaci

W celu sprawdzenia obecności jednomianów rezonansowych, rozważmy układ równań

Układ ten ma jedyne rozwiązanie  \( m=2,\,\,n=1   \), które, tym razem, należy do zbioru  \(  N \bigcup\,\{0\}.  \) Tak więc, przy odpowiednim doborze współczynników  \(  P^3_{m\,n},  \) pierwsze równanie układu (z ponownym uwzględnieniem parametru zaburzającego) można przedstawić w postaci

Zmienną  \( v \) można zapisać w postaci trygonometrycznej:

Wstawiając to do powyższego wzoru, a następnie zapisując odpowiednie równania dla części rzeczywistej i zespolonej, otrzymamy układ dynamiczny

Parametr  \( a \), występujący w dwóch poprzednich wzorach, jest częścią rzeczywistą tzw. pierwszego indeksu Floqueta. Odgrywa on wiodącą rolę w badaniu narodzin cyklu granicznego oraz określeniu jego stabilności. Rozważamy równanie

Ma ono zawsze punkt stacjonarny  \( \rho_0=0 \), a oprócz tego punkt stacjonarny  \( \rho_1=\sqrt{-\frac{\mu}{a}}\,\, \) jednakże pod warunkiem, że  \( -\frac{\mu}{a}>0 \). Zachodzą tu dwa przypadki:

drugiego równania układu reprezentują na płaszczyźnie zmiennych fizycznych  \(  \left( Re (v),\,\,Im(v) \right)   \) stabilne rozwiązanie okresowe. Ze względu na stabilność punktu stacjonarnego  \(  \rho_1,  \) wszystkie pobliskie trajektorie w trakcie ewolucji są przyciągane do opisanego wyżej rozwiazania okresowego, co właśnie cechuje jego stabilność.

Na zakończenie tego punktu, przedstawimy wzór pozwalający określić parametr  \( a \). W zmiennych występujących we wzorze ( 4 ), można go policzyć zgodnie z następującym wzorem 1


Warunki powstania cyklu granicznego w równaniu typu Van der Pola

Rozpatrzmy równanie (zob. też moduł Nieliniowe rozwiązania okresowe w dwuwymiarowym układzie dynamicznym ):

Równanie to można przedstawić w postaci układu dynamicznego

Zatem, przy  \(  \alpha=0,   \) macierz linearyzaji układu ( 2 ) w punkcie stacjonarnym  \( (0,\,\,0)    \) ma parę czysto urojonych wartości własnych  \( \lambda_{\pm}(0)=\pm\,i   \). Przeanalizujemy teraz warunki powstania cyklu granicznego w otoczeniu tego punktu, kładąc  \( \alpha =0 \). Obliczmy w tym celu macierz

której kolumny  \( R=(R_1,\,R_2)^{tr}   \),  \( -I=-(I_1,\,I_2)^{tr}   \) spełniają równanie

Zatem uklad ( 3 )-( 6 ) jest spełniony gdy  \( R_1=I_2 \),  \( R_2=-I_1 \), przy czym  \( I_1 \),  \( I_2 \) mogą być wybrane w dowolny sposób (eliminujemy, oczywiście, przypadek  \( I_1=I_2=0 \)).

Przyjmując, że  \( I_1=-1   \),  \( I_2=0   \) otrzymujemy następujący wzór:

Mnożąc układ ( 1 ) z lewej strony przez  \( P^{-1}=P \) oraz stosując zamianę zmiennych

Wykorzystując wzór na obliczenie pierwszego indeksu Floqueta 1

Z powyższego wzoru wynika, że w przypadku, gdy  \( \beta>0   \), układ posiada stabilne rozwiązanie okresowe przy małych  \( \alpha>0 \). Przy  \( \beta<0   \) oraz przy małych ujemnych wartościach  \( \alpha, \) w układzie realizują się niestabilne rozwiązania okresowe. Poniżej przedstawiono implementację w pakiecie "Mathematica" symulacji numerycznej równania Van der Pola. Na Rys. 1 przedstawiony jest portret fazowy ilustrujący przebieg rozwiązań w otoczeniu stabilnej trajektorii okresowej.


Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe

Równania cząstkowe, są to równania wiążące funkcje wielu zmiennych oraz ich pochodne cząstkowe. Rozwiązywanie równań cząstkowych (w tych przypadkach, gdy jest to możliwe) wymaga opracowania metod istotnie różniących się od tych, które stosuje się w przypadku równań zwyczajnych. Istnieje jednak ważna klasa równań cząstkowych, która jest ściśle związana z układami równań zwyczajnych i których rozwiązywanie w dużej mierze opiera się na podejściach stosowanych w teorii równań zwyczajnych.

Jeżeli funkcje  \( \left\{P_j\right\}_{j=1}^n \) nie zależą od zmiennej  \( z \), natomiast prawa strona równania ( 1 ) jest tożsamościowo równa zeru, wówczas równanie nazywa się liniowym jednorodnym. Wśród równań quasiliniowych wyróżniamy ważną podklasę równań o dwóch zmiennych niezależnych, dopuszczającą klarowną interpretację geometryczną. Będzie ona rozpatrzona w pierwszej kolejności, a następnie metody opracowane dla niej zostaną przeniesione na równania quasiliniowe o dowolnej ilości zmiennych niezależnych.

gdzie  \( z=z(x,\,y) \). Zakładamy że  \( P,\,Q,\,R \) — są funkcjami ciągłymi w pewnym zbiorze otwartym  \( U\,\subset\,R^3. \) Ponadto zakładamy, że w zbiorze  \( U \) nie ma żadnego punktu, w którym te funkcje zerują się jednocześnie. Rozpatrzmy funkcję wektorową

gdzie  \( \vec i,\,\vec j,\,\vec k  \) są to wektory o jednostkowej długości, skierowane odpowiednio wzdłuż osi  \( OX,\,OY,\,OZ. \) Mówimy wówczas, że wzór ( 3 ) przyporządkowujący każdemu punktowi  \( (x,\,y,\,z)   \) pewien wektor przestrzenny, zadaje w obszarze  \( U\,\subset\,R^3 \) pole wektorowe.

Rozpatrzmy teraz krzywą sparametryzowaną

która w całości leży w  \( U \) oraz spełnia warunek transwersalności

Warunek ( 5 ) oznacza, że krzywa  \( \Gamma \) w żadnym punkcie nie jest styczna do pola  \( \vec F(x,\,y,\,z). \) W dalszym ciągu rozpatrzmy dwuparametrową rodzinę funkcji  \( x(t,\,s),\,y(t,\,s),\,z(t,\,s)    \) będących rozwiązaniami zagadnienia początkowego

Rodzina ta opisuje powierzchnię  \( \Sigma \) ( tzw. powierzchnię wektorową pola  \( \vec F \)), która cechuje się tym, że pole  \( \vec F=(P,\,Q,\,R) \) jest styczne do niej w każdym punkcie. Potocznie mówi się że powierzchnia  \(  \Sigma=(x(t,\,s),\,y(t,\,s),\,z(t,\,s) )   \) jest utkana z trajektorii pola wektorowego  \( \vec F  \). Opis powierzchni  \( \Sigma  \) można oprzeć na takiej obserwacji: jeżeli wzór

opisuje pewną gładką powierzchnię w  \( R^3 \), wówczas pole wektorowe

zwane polem gradientowym powierzchni  \( \Phi=C, \) jest prostopadłe do tej powierzchni. Warunek prostopadłości można przedstawić w następującej postaci:

Powyższy warunek wynika z tego, że pole  \( \vec F \) jest styczne do powierzchni  \( \Sigma  \). Wówczas pole gradientowe jest w każdym punkcie do tej powierzchni prostopadłe. Powierzchnię tę można przedstawic w postaci funkcji

Wówczas można przyjąć, że  \(  \Phi=\phi(x,\,y)-z  \) i warunek styczności przybiera postać równania

które po dokonaniu podstawienia  \( \phi(x,\,y;\,C)=z  \) oraz po przeniesieniu ostatniego wyrazu na prawą stronę, pokrywa się z ( 2 ). Jeżeli dla pewnego punktu  \( \rho_0=(x_0,\,y_0,\,z_0)  \) spełniony jest warunek

wzór  \( \Phi (x,\,y,\,z)=C  \) zadaje w postaci uwikłanej pewną funkcję  \( z=\psi(x,\,y) \), która jest określona w sposób jednoznaczny, przy ustalonej wartości parametru  \( C  \). Warunek prostopadłości zapisuje się wówczas w postaci jednorodnego równania liniowego

Między quasiliniowym niejednorodnym równaniem ( 2 ), a liniowym jednorodnym równaniem ( 7 ) istnieje ścisły związek, który jest przedstawiony poniżej.

Dowód Rzeczywiście, załóżmy że funkcja  \( z=\phi(x,\,y;\,C) \) jest określona równaniem

Wówczas, różniczkując powyższą tożsamość najpierw względem  \( x \), a następnie względem  \( y, \) otrzymamy:

Podstawiając te wzory do ( 2 ) i mnożąc wynik przez  \( -{\partial\,\Phi}/{\partial\,z}\,\,  \) otrzymamy, po elementarnych przeksztalceniach, żądaną tezę.

Definicja 1:

 Skalarnym niejednorodnym równaniem cząstkowym quasiliniowym  nazywa się równanie postaci

(1)

								\( P_1(x_1,x_2,...x_n;z)\frac{\partial z}{\partial x_1}+...+P_n(x_1,x_2,...x_n;z)\frac{\partial z}{\partial x_n}=R(x_1,x_2,...x_n;z). \)

Definicja 2:

 Liniami pola wektorowego  \(   \vec F(x,\,y,\,z)  \)  nazywamy rozwiązania zagadnienia początkowego

(4)

								\( \begin{cases}\frac{d\,x}{d\,t}=P(x,\,y,\,z),& \qquad x(t_0)=x_0, \\ \\ \frac{d\,y}{d\,t}=Q(x,\,y,\,z),& \qquad y(t_0)=y_0, \\ \\ \frac{d\,z}{d\,t}=R(x,\,y,\,z),& \qquad z(t_0)=z_0,\end{cases} \)

gdzie  \( (x_0,\,y_0,\,z_0)\,\in\,U.   \) Z interpretacji geometrycznej układu wynika, że pole wektorowe  \( \vec F=(P,\,Q,\,R)   \) jest styczne do krzywej całkowej  \(  \left(x(t),\,y(t),\,z(t) \right)   \) w każdym jej punkcie.


Rozwiązanie ogólne równania quasiliniowego w przypadku funkcji dwóch zmiennych niezależnych

Ponieważ każda powierzchnia całkowa równania

może byc utkana z rozwiązań Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe-( 2 )

to znalezienie rozwiązania ogólnego  równania quasiliniowego sprowadza się do scałkowania stowarzyszonego z nim układu dynamicznego.

Algorytm uzyskania rozwiązania ogólnego układu jest następujący:

1. Rozwiązując układ ( 2 ), znajdujemy dwie niezależne całki pierwsze

Funkcje te nazywamy charakterystykami. Sprawdzając, czy otrzymane charakterystyki sa niezależne, stosujemy następujące kryterium:

2. Wybieramy dowolną gładką funkcję dwóch zmiennych  \( \Phi(z_1,\,z_2)  \), następnie rugując stałe  \( C_1,\,\, C_2 \) z układu

otrzymujemy równanie opisujące (dowolną) powierzchnię całkową

Należy oczywiście sprawdzić, czy wzór rzeczywiście w sposób niejawny zadaje funkcję  \( z(x,\,y)  \), spełniającą równanie. Dla sprawdzenia zrózniczkujmy więc wzór ( 3 ) względem  \( x \) i  \( y \):

jest to pochodna zupełna względem  \( x \),  \( D_y \) określa się analogicznie;  \( \Phi_1, \,\,\Phi_2 \) są to odpowiednio pochodne cząstkowe względem pierwszej i drugiej zmiennej funcji  \( \Phi \). Pochodne cząstkowe funkcji  \( z \) mają wówczas postać

Podstawiając powyższe wzory do lewej strony równania ( 1 ), otrzymamy:

Ponieważ  \( \psi^i \) dla  \( i=1,\,2 \) spełniają układ ( 2 ) , zatem

Podstawiając je do prawej strony wzoru ( 4 ), otrzymujemy równanie ( 1 ) i to konczy dowód.

Definicja 1:

Układ

(2)

								\( \frac{d\,x}{{}P(x,y,z)}=\frac{dy}{{}Q(x,y,z)}=\frac{dz}{{}R(x,y,z)}=dt \)

nazywa się postacią charakterystyczną równania ( 1 ).


Przykłady znajdowania rozwiązania ogólnego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych


Rozwiązywanie zagadnienia początkowego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

Zanim przejdziemy do konkretnych przykładów, przypomnijmy sobie, że rozwiazanie ogólne równania

opisuje rodzinę powierzchni wektorowych pola  \( \vec F=\left(P,\,Q,\,R   \right)    \) (zob. moduł Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe ) lub, innymi słowy, rodzinę powierzchni gładkich, do których pole  \( \vec F \) jest styczne w każdym punkcie. Powierzchnie te są utkane z krzywych całkowych stowarzyszonego z równaniem układu dynamicznego

Konkretna powierzchnia będzie zadana w sposób jednoznaczny, jeżeli wskazana będzie gładka krzywa przestrzenna, w całości należąca do tej powierzchni. Ponieważ krzywa w  \( R^3 \) jest miejscem geometrycznym przecięcia się pary powierzchni, można ją zadać podając parę równań

opisujących te krzywą. Procedura znalezienia powierzchni całkowej pola  \( \vec F \), przechodzacej przez krzywą zadaną układem ( 3 ), polega na wspólnym rozwiązaniu układu

Drugą parę równań tego układu stanowią równania niezależnych charakterystyk, spełniających układ

Techniczne znalezienie powierzchni, przechodzącej przez linię zadaną równaniami, polega na wykluczeniu współrzędnych  \( (x,\,y,\,z) \) z układu ( 4 ),( 5 ). Daje to w efekcie funkcję, wiążącą stałe  \( C_1 \) i  \( C_2 \).


Skalarne równanie quasiliniowe dla funkcji n zmiennych niezależnych

Schemat rozwiązywania równania quasiliniowego można uogólnić na przypadek funkcji zależnej od  \( n \) zmiennych ( \( n\,>\,2 \)). Rozpoczniemy od rozwiązywania równania liniowego jednorodnego

Załóżmy że  \( P_i,\,i=1...n, \) są funkcjami ciągłymi, które nie zerują się jednocześnie w żadnym punkcie pewnego zbioru  \( U\,\subset\,R^n. \) Schemat rozwiązania równania jest następujący: zapisujemy układ równań

i znajdujemy  \( \,n-1\, \) niezależnych całek pierwszych

tego układu. Funkcje  \( \psi^1,....\psi^{n-1}    \) nazywane są charakterystykami. Żeby przekonać się, że charakterystyki są niezależne, wystarczy sprawdzić, czy rząd macierzy Jacobiego

w każdym punkcie  \( (x_1,\,x_2,...x_n)\,\in\,U \) jest maksymalny, czyli równy  \( n-1 \). Wykażemy

Dowód Różniczkując równanie  \( \,\,\psi^k(x_1,\,x_2,....x_n)=C_k,\, \) otrzymujemy

Ponieważ różniczka  \( d\,t \) nie jest równa zeru, więc

Dowód Każda charakterystyka zachowuje stałą wartość na każdym rozwiązaniu układu ( 2 ), więc każda funkcja gładka, zależna wyłącznie od charakterystyk danego układu, również zachowuje stałą wartość na jego rozwiązaniach.

Dowód Skorzystajmy ze wzoru na pochodną cząstkową złożonej funkcji

Zmieniając kolejność sumowania, otrzymamy

Ostatnia równość wynika stąd, że, na mocy lematu 1, suma w nawiasach klamrowych jest równa zeru. Zachodzi również

Całkując ostatnie równanie układu, otrzymujemy charakterystykę

Przyrównując teraz po kolei pierwsze wyrażenie do drugiego, trzeciego i t.d., otrzymamy całkując pozostałe charakterystyki:

Skreślając pierwszą kolumnę macierzy  \( J \), otrzymamy macierz kwadratową wymiaru  \( (n-1)\,\times\,(n-1)  \)

Rozwijając wyznacznik tej oraz kolejnych macierzy względem pierwszej kolumny, otrzymamy:

Wyrażenie to nie jest równe zeru i jest dobrze okreslone w dowolnym obszarze, który nie przecina żadnej z osi współrzędnych.

3. Przedstawiamy rozwiązanie ogólne równania w postaci

Okazuje się, że rozwiązywanie quasiliniowego niejednorodnego równania skalarnego zawsze można sprowadzić do rozwiązywanie równania liniowego jednorodnego, w którym poszukiwana funkcja ma o jedną zmienną więcej. Rozpatrzmy równanie postaci u

Analogicznie, jak dla przypadku funkcji zależnej od dwóch zmiennych, można poszukiwać rózwiązania równania ( 4 ) w postaci uwikłanej

dodając warunek  \( u_z\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z   \right)\,\neq\,0, \) który umożliwia przejście do jawnej postaci. Traktując w powyższym wzorze  \( z  \) jako funkcję zmiennych  \(  x_1,\,x_2,....x_n \) i różniczkując względem  \( x_i \) lewą i prawą stronę wzoru

Podstawiając ( 6 ) do równania ( 1 ), mnożąc przez  \( -u_z \) i przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę, otrzymamy liniowe jednorodne równanie względem funkcji  \( u \):

Żeby zatem określić rozwiązanie równania ( 4 ), należy rozwiązać równanie ( 7 ) wzlędem funkcji  \( u \), a następnie, o ile jest to możliwe, uzyskać jawną postać  \( z=\varphi(x_1,...x_n)  \), rozwikłując wzór  \(   u\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z   \right)=0  \) względem ostatniej zmiennej. Procedura rozwiązania równania ( 7 ) jest nam już znana z poprzednimch rozważań: zapisujemy stowarzyszone równanie charakterystyczne

znajdujemy  \( n \) niezależnych całek pierwszych

a następnie konstruujemy z nich rozwiązanie ogólne postaci

gdzie  \( \Phi \) jest to dowolna funkcja  \( n \) zmiennych, różniczkowalna w sposób ciągły po każdym ze swoich argumentów.

Pokażemy że pole wektorowe skojarzone z rozpatrzonym wcześniej układem, w którym, na skutek bifurkacji Hopfa (zob. moduł Nieliniowe rozwiązania okresowe w dwuwymiarowym układzie dynamicznym ), powstaje nieliniowe rozwiązanie okresowe, posiada co najmniej jedno rozwiązanie osobliwe.

Rozpatrzmy znany z Nieliniowe rozwiązania okresowe w dwuwymiarowym układzie dynamicznym układ dynamiczny

Układ jest postacią charakterystyczną równania

Ponieważ analiza problemu w układzie katrezjańskim jest bardzo trudna, skorzystajmy, jak wyżej przy rozpatrzeniu bifurkacji Hopfa, z reprezentacji biegunowej. Najprościej można do niej przejść, wprowadzając zmienną zespolonąc \( z=x+i\,y \) i zapisując postać zespoloną układu ( 10 ), ( 11 ) :

(równanie ( 12 ) przy tym, oczywiście, nie ulegnie zmianie). Przechodząc dalej do reprezentacji biegunowej  \( z=r\,e^{i\,\varphi} \), otrzymamy równanie:

Przyrównując do siebie części rzeczywiste i zespolone występujące w równaniu, oraz dodając ( 12 ), otrzymamy następujący układ charakterystyczny:

Układowi temu odpowiada biegunowa reprezentacja równania ( 13 ):

Przyrównując do siebie i całkując najpierw pierwszy i drugi, a następnie, na przykład, drugi i trzeci wyraz układu charakterystyk

gdzie  \( \Phi \) jest to dowolna różniczkowalna funkcja dwóch zmiennych, określa w postaci niejawnej rozwiązanie ogólne równania ( 18 ).

Działając na nią operatorem występującym w ( 18 ) otrzymamy, że

Równanie  \( \Phi_1=r^2-\mu=0 \) określa zatem rozwiązanie osobliwe nie należące do rodziny ( 19 ). Interpretację geometryczną wyjaśniającą genezę rozwiązania osobliwego można pokazać na Rys. 1. Jest tam pokazane pole wektorowe, odpowiadające prawym stronom układu ( 10 ) - ( 11 )  oraz trajektoria fazowa, odpowiadająca rozwiązaniu okresowemu, które jest reprezentowane równaniem  \( r^2-\mu=0. \)


Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych

Niech  \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R},  \hskip 0.3pc \) przez  \( \hskip 0.3pc\|x\|  \hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać normę w  \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^n  \hskip 0.3pc \)określoną następująco:

Niech  \( \hskip 0.3pc I\times \Omega\subset  \mathbb{R}^{n+1}  \hskip 0.3pc \) gdzie  \( \hskip 0.3pc I \hskip 0.3pc \) przedział w  \( \hskip 0.3pc  \mathbb{R} \hskip 0.3pc \)a  \( \hskip 0.3pc\Omega  \hskip 0.3pc \) podzbiór w  \( \hskip 0.3pc  \mathbb{R}^n.  \)

Mówimy, że funkcja  \( \hskip 0.3pc f  : \)

								\( I\times \Omega\ni (t,x)\rightarrow f(t,x)=(f_1(t,x),\ldots ,f_n(t,x))\in \mathbb{R}^n  \)

spełnia warunek Lipschitza ze względu na  \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) jeżeli

								\(  \exists L>0\,\forall (t,x),\,(t,\tilde {x})\in I\times \Omega:\hskip 0.5pc \|f(t,x)-f(t,\tilde{x})\|\le L\|x-\tilde{x}\|.   \)


Stabilność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych

Powyższy moduł jest poświęcony określeniu stabilności rozwiązań równań skalarnych i wektorowych rzędu pierwszego. Potocznie mówiąc rozwiązanie równania różniczkowego rzędu pierwszego jest stabine jeżeli niewiele zmieni się warunki początkowe to rozwiązania też niewiele się różnią od siebie.

gdzie  \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\ldots ,x_n),\hskip 0.3pc t\ge t_0  \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pcf(t,x)=(f_1(t,x),\ldots ,f_n(t,x)).   \)

Definicja 1: Stabilność w sensie Lapunowa

Rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc y(t) \hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) jest stabilne w sensie Lapunowa, jeśli dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0  \hskip 0.3pc \)istnieje  \( \hskip 0.3pc \delta>0,  \hskip 0.3pc \) że każde rozwiązanie  \( \hskip 0.3pc x(t)  \hskip 0.3pc \) tego równania, gdy warunki początkowe spełniają nierówność

								\( \|x(t_0)-y(t_0)\|<\delta  \)

to

								\(  \|x(t)-y(t)\|<\varepsilon \hskip 0.3pc{\rm dla \hskip 0.2pc każdego \hskip0.4pc  } t\ge t_0\hskip 0.3pc {\rm gdzie \hskip 0.2pc określone \hskip 0.2pc są \hskip 0.2pc oba \hskip 0.2pc rozwiązania}. \)

Definicja 2: Asymptotyczna stabilność

Rozwiązanie   \( \hskip 0.3pc y(t) \hskip 0.3pc \) równania  ( 1 ) jest asymptotycznie  stabilne jeżeli
i.   \( \hskip 0.3pc  \) jest stabilne w sensie Lapunowa
ii.    \( \hskip 0.3pc  \) określone jest na przedziale  \( \hskip 0.3pc [t_0,\,\infty ]  \hskip 0.3pc \)
iii.   \( \hskip 0.3pc  \) istnieje   \( \hskip 0.3pc \delta>0,  \hskip 0.3pc \)że każde rozwiązanie   \( \hskip 0.3pc x(t)  \hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) jest określone na przedziale  \( \hskip 0.3pc [t_0,\,\infty ]  \hskip 0.3pc \) gdy

								\(  \|x(t_0)-y(t_0)\|< \delta  \hskip 0.8pc {\rm i} \hskip 0.8pc \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|x(t)-y(t)\|=0.  \)


Definicja szeregu liczbowego

Komentarz Zauważamy, że w szeregu  \(  ( (a_n ),(S_n ) )  \) wyrazy ciągu sum częściowych  \(  (S_n)  \) są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu  \(  (a_n)  \). Również wyrazy ciągu  \(  (a_n)  \) są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu  \(  (S_n)  \) wzorem rekurencyjnym

Możemy zatem podawać postać tylko jednego z tych ciągów, aby jednoznacznie określić postać szeregu  \(  ( (a_n ),(S_n ) ) \).

Komentarz Zauważmy, że  \( R_{mn}=a_m+a_{m+1}+⋯+a_n \) i jeżeli szereg   \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest zbieżny do sumy  \( S \), to  \( m \)-tą resztę szeregu możemy wyrazić wzorem  \( R_m=S-S_{m-1}  \).

Definicja 1: Szereg liczbowy

Niech  \(  (a_n)  \) , dla  \( n \in \mathbb{N}_+  \)  będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym o wyrazach   \( a_n \)  nazywamy uporządkowaną parę ciągów  \(  ( (a_n ),(S_n ) )  \) , gdzie wyrazy ciągu  \( S_n \) określone są jako  \( S_n=a_1+a_2+⋯+a_n \) i nazywane  \( n \)-tymi sumami częściowymi szeregu.

Definicja 2: Szereg zbieżny

Mówimy, że szereg  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest zbieżny do sumy  \( S \), jeżeli istnieje właściwa granica ciągu sum częściowych  \(  (S_n)  \) szeregu równa  \( S \) tzn.   \(  \lim\limits_{n \to \infty}S_n =S  \). Mówimy wtedy, że liczba  \( S \) jest sumą szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \).

Definicja 3: Szereg rozbieżny do  \( + \infty  \) albo do  \( - \infty  \)

Jeżeli ciąg sum częściowych  \(  (S_n)  \) szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  ma granicę niewłaściwą  \( + \infty  \), albo  \( - \infty  \) to mówimy, że szereg  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest rozbieżny do  \( + \infty  \), albo do  \( - \infty  \).

Definicja 4: Szereg rozbieżny

Jeżeli ciąg sum częściowych  \(  (S_n)  \) szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  nie ma granicy, to mówimy, że szereg  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest rozbieżny.

Definicja 5: Reszta szeregu

Jeżeli przez  \( R_{mn}  \), dla  \( m \lt n  \) oznaczymy różnicę  \( n \)-tej i  \(  (m-1)  \)-szej sumy częściowej szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \) , tzn.   \(  R_{mn}=S_n-S_{m-1}  \), to  \( m \)-tą reszta szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  nazywamy liczbę  \( R_m=\lim\limits_{n \to \infty} R_{mn }  \).


Własności szeregów zbieżnych

Komentarz Zbadanie warunku koniecznego zbieżności szeregu nic nie mówi o zbieżności wtedy, gdy jest spełniony, ale gdy nie jest spełniony, to wiemy, że szereg jest rozbieżny (na podstawie prawa kontrapozycji:  \(  (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow ( \sim q \Rightarrow \sim p)  \), gdzie  \( p \) i  \( q \) są zdaniami logicznymi).

Definicja 1: szeregu o wyrazach nieujemnych

Mówimy, że szereg  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, jeżeli wszystkie wyrazy  \( a_n \) szeregu są nieujemne.

Definicja 2: szeregu o wyrazach dodatnich

Mówimy, że szereg  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest szeregiem o wyrazach dodatnich, jeżeli wszystkie wyrazy  \( a_n \) szeregu są dodatnie.

Definicja 3: szeregu naprzemiennego

Mówimy, że szereg  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest szeregiem naprzemiennym, jeżeli dla każdej liczby naturalnej  \( n \), zachodzi warunek  \( a_{n+1} \cdot a_n < 0  \).


Zbieżność szeregów harmonicznego i geometrycznego

Definicja 1: Szereg harmoniczny rzędu  \(  \alpha >1  \)

Szeregiem harmonicznym rzędu  \(  \alpha  \) nazywamy szereg postaci  \(  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}  \), gdzie  \(  \alpha \in \mathbb{R} \).

Definicja 2: Szereg geometryczny

Szeregiem geometrycznym o ilorazie  \(  q \in \mathbb{R}  \) nazywamy szereg postaci  \(  \sum_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}  \), gdzie  \(  a \in \mathbb{R}  \).


Kryterium porównawcze zbieżności i rozbieżności szeregów

Komentarz Zauważamy, że kryterium porównawcze można zastosować zarówno wtedy, gdy chcemy pokazać, że badany szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny, jak i w przypadku gdy pokazujemy, że jest on rozbieżny. Istota kryterium porównawczego kryje się w tym, czy wyrazy badanego szeregu o wyrazach nieujemnych ograniczamy od góry, czy od dołu. Oczywiście ograniczenie od góry przez wyrazy nowego szeregu, który jest zbieżny, stosujemy, gdy podejrzewamy, że badany szereg jest zbieżny, natomiast w przeciwnym przypadku szukamy szeregu o wyrazach mniejszych, o którym wiemy, że jest rozbieżny. Cała trudność kryterium porównawczego leży w znalezieniu odpowiedniego szeregu, który ma wyrazy większe, albo mniejsze od badanego i którego zbieżność potrafimy określić. W tym celu często stosuje się standardowe zasady mówiące jak ograniczać ułamki, a także znane  nierówności dla funkcji elementarnych lub też wykorzystuje się monotoniczność tych funkcji.


Kryterium ilorazowe zbieżności i rozbieżności szeregów


Kryterium całkowe zbieżności i rozbieżności szeregów


Kryterium Cauchy’ego zbieżności i rozbieżności szeregów


Kryterium d’Alemberta zbieżności i rozbieżności szeregów


Bezwzględna zbieżność szeregów

Definicja 1: Bezwzględna zbieżność szeregu

Mówimy, że szereg  \( \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} \) jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli szereg  \( \sum_{n=1}^{\infty}{|a_n|} \) jest zbieżny.

Definicja 2: Warukowa zbieżność szeregu

Mówimy, że szereg  \( \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} \) jest warunkowo zbieżny, jeżeli szereg  \( \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} \) jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.


Kryterium Leibniza zbieżności szeregów naprzemiennych

Komentarz Kryterium Leibniza stosujemy dla szeregów naprzemiennych wtedy, gdy nie działa WK bezwzględnej zbieżności, czyli w przypadku, gdy szereg naprzemienny nie jest bezwzględnie zbieżny. Jeżeli okazuje się, że szereg, który nie jest bezwzględnie zbieżny, jest zbieżny, to mamy zbieżność warunkową tego szeregu.


Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności szeregów


Informacja o podręczniku

E-podręcznik jest skierowany do studentów i doktorantów uczelni technicznych, którzy nie posiadają specjalistycznej wiedzy ekonomicznej, ale również do wszystkich zainteresowanych wiedzą na temat finansów. Jest on napisany w miarę prostym językiem, aby umożliwić szerokiemu gronu Czytelników zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i zagadnieniami ze świata finansów. Niektóre moduły oraz terminy tylko sygnalizują istnienie danego tematu lub problemu, aby zachęcić do jego samodzielnego zgłębiania.

Modułowa konstrukcja podręcznika oraz liczne podlinkowania umożliwiają łatwe poruszanie się pomiędzy modułami i zagadnieniami, które w ten sposób tworzą całość obrazu finansów sfery finansowej i realnej. Podręcznik zawiera dużą liczbę przykładów, ilustrujących poszczególne treści i pomagających Czytelnikowi lepiej je zrozumieć.

E-podręcznik jest finansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Wiedza Edukacja Rozwój 2014-2020, Zintegrowany Program Rozwoju Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie, nr POWR.03.05.00-00-Z309/18 oraz POWR.03.05.00-00-Z307/17.


Wstęp

Za system ekonomiczny uważa się gospodarkę oddzielnego kraju. Tworzą go podmioty gospodarcze o różnym profilu działalności. Wyjątkową funkcję w gospodarce krajowej pełnią jednak instytucje finansowe, które dostarczają podmiotom gospodarczym pieniądz i organizują jego obieg. Poza tym, umożliwiają przekształcenie oszczędności w inwestycje rzeczowe i kontrolują wielkość masy pieniężnej oraz pieniądza kredytowego w celu stabilizacji cen w gospodarce.

W ramach gospodarki krajowej finanse można poklasyfikować według kryterium podmiotowego dzieląc je na ( Rys. 1):

Oddzielną dziedzinę stanowią finanse międzynarodowe, które obejmują finanse organizacji międzynarodowych, systemy walutowe różnych krajów i ich współdziałanie, bilanse płatnicze poszczególnych państw, międzynarodowy rynek finansowy oraz międzynarodowe organizacje finansowe.

Niniejszy podręcznik składa się z trzech części (wprowadzenie w temat finansów, finanse sfery finansowej, finanse sfery realnej) i skupia swoją uwagę na finansach krajowych.

Pierwsza część podręcznika przytacza krótką historię rozwoju gospodarczego i wprowadza Czytelnika w świat finansów. Ponieważ każda gospodarka składa się z dwóch sfer – sfery realnej (produkującej dobra i świadczącej usługi) oraz sfery finansowej (obsługującej podmioty sfery realnej i finansowej), to kolejne dwie części poświęcono roli, strukturze i mechanizmom sfery finansowej oraz gospodarce finansowej typowych przedstawicieli sfery realnej (przedsiębiorstw). Na pierwszą część składają się dwa rozdziały:

Druga część podręcznika dostarcza Czytelnikowi ogólną wiedzę dotyczącą struktury systemu finansowego i roli, jaką odgrywają w nim poszczególne grupy jednostek. Szczególną uwagę zwrócono na rynek finansowy, jego                                                                                sektory, regulację i segmentację. Opisano cechy podstawowych rodzajów papierów wartościowych oraz instrumentów pochodnych. W podręczniku skrótowo wspomniano o roli systemu bankowego, jednak pominięto analizę finansów publicznych i finansów międzynarodowych, które są przedmiotem licznych opracowań naukowych i dydaktycznych. Do drugiej części podręcznika można zaliczyć następujące rozdziały:

Celem trzeciej części podręcznika jest przedstawienie podstawowych zagadnień związanych z finansami przedsiębiorstw. Opisano w niej własne i obce źródła finansowania podmiotów gospodarczych oraz omówiono sposoby ustalania kosztu kapitału własnego i obcego. Pokazano, jak można ocenić zyskowność działalności gospodarczej na podstawie analizy progu rentowności. Opisano możliwe formy opodatkowania podatkiem dochodowym, w zależności od formy organizacyjno-prawnej prowadzonej działalności gospodarczej. Omówiono sprawozdanie finansowe przedsiębiorstwa i pokazano, jak na jego podstawie można ocenić kondycję finansową przedsiębiorstw w aspekcie ich płynności, zadłużenia, sprawności działania i rentowności. Przedstawiono również metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych. Do trzeciej części zalicza się więc poniższe rozdziały:

Oczywiście każdy z rozdziałów można rozbudować w oddzielny podręcznik, jednak celem autorek było przekazanie najważniejszych informacji, które pomogą Czytelnikowi odnaleźć się w świecie finansów i będą przydatne w podejmowaniu trafnych decyzji finansowych związanych z lokowaniem kapitału (inwestycjami) na rynku finansowym i/lub prowadzeniem własnej działalności gospodarczej.