Algorytm adaptacyjny

Definicja 1: Funkcja interpolująca uzyskana poprzez projekcję w jednym wymiarze

Niech  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) będzie siatką obliczeniową.
Niech  \(  V_{hp} \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \subset V  \) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.
Niech  \(  V_w   \) będzie przestrzenią aproksymacyjną pośrednią  \(  V_{hp} \subset V_w \subset V_{\frac{h}{2}p+1}  \).
Niech  \(  K\in T_{hp}  \) będzie elementem skończonym na siatce obliczeniowej.
Niech  \(  u_{hp} \in V_{hp}, u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1}  \) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej. Funkcją interpolującą  \(  w \in V_w  \) na elemencie   \(  K \) uzyskaną poprzez projekcję z rozwiązania na siatce referencyjnej  \(  u_{\frac{h}{2}p+1}\in V_{\frac{h}{2}p+1}  \) nazywamy   \(  w  \) uzyskane poprzez następującą procedurę

Interpolacja w węzłąch wierzchołkowych elementu  \(  w(a_i)=u_{\frac{h}{2}p+1}(a_i), i=1,2   \)
Projekcja na węzłach wewnętrznych  \(  \| w' - u_{\frac{h}{2}p+1}'  \|_{L^2(a_3)} \rightarrow min  \) gdzie  \(  \| \cdot \|_{L^2(a_3)}   \) oznacza normę nad wnętrzem elementu

Definicja 2: Funkcja interpolująca uzyskana poprzez projekcję w dwóch wymiarach

Niech  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) będzie siatką obliczeniową.
Niech  \(  V_{hp} \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \subset V  \) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.
Niech  \(  V_w   \) będzie przestrzenią aproksymacyjną pośrednią  \(  V_{hp} \subset V_w \subset V_{\frac{h}{2}p+1}  \).
Niech  \(  K\in T_{hp}  \) będzie elementem skończonym na siatce obliczeniowej.
Niech  \(  u_{hp} \in V_{hp}, u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1}  \) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej. Funkcją interpolującą  \(  w \in V_w  \) na elemencie   \(  K \) uzyskaną poprzez projekcję z rozwiązania na siatce referencyjnej  \(  u_{\frac{h}{2}p+1}\in V_{\frac{h}{2}p+1}  \) nazywamy   \(  w  \) uzyskane poprzez następującą procedurę

Interpolacja w węzłąch wierzchołkowych elementu  \(  w(a_i)=u_{\frac{h}{2}p+1}(a_i), i=1,2,3,4   \)
Projekcja na węzłach krawędziowych  \(  \| \nabla  w \cdot e - \nabla u_{\frac{h}{2}p+1} \cdot e \|_{L^2(a_j)} \rightarrow min, j=5,6,7,8  \)  gdzie  \(  \nabla  w \cdot e   \) oznacza pochodną kierunkową w kierunku równoległym do krawędzi, oraz  \(  \| \cdot \|_{L^2(a_j)}   \) oznacza normę nad krawędzią elementu
Projekcja na węzłach wewnętrznych  \(  \| \nabla  w - \nabla u_{\frac{h}{2}p+1}  \|_{L^2(a_9)} \rightarrow min  \) gdzie  \(  \| \cdot \|_{L^2(a_j)}   \) oznacza normę nad wnętrzem elementu

Definicja 3: Optymalna rozszerzona przestrzeń aproksymacyjna

Niech  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) będzie siatką obliczeniową.
Niech  \(  V_{hp} \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \subset V  \) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej  i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.
Niech  \(  u_{hp} \in V_{hp}, u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1}  \) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej.
Przestrzeń aproksymacyjną  \(  V_{opt}  \) nazywamy optymalną rozszerzoną przestrzenią aproksymacyjną nad siatką obliczeniową, jeśli na każdym elemencie   \(  K \) funkcja interpolująca  \(  w_{opt}   \) uzyskana poprzez projękcję rozwiązania na siatce referencyjnej  \(  u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1}  \) spełnia następujące minimum
 \(  \frac{| u_{\frac{h}{2}p+1} - u_{hp} |_{H^1(K)}-| u_{\frac{h}{2}p+1} - w_{opt} |_{H^1(K)} } {\Delta nrdof (V_{hp},V_{opt},K) } = max_{V_{hp} \subset V_w \subset V_{\frac{h}{2}}p+1} \frac{| u_{\frac{h}{2}p+1} - u_{hp} |_{H^1(K)}-| u_{\frac{h}{2}p+1} - w |_{H^1(K)} } {\Delta nrdof (V_{hp},V_w,K) }  \)
gdzie  \(  \| \cdot \|_{H^1(K)}   \) oznacza normę  \(  H^1   \) nad wnętrzem elementu,  \(  w  \) to funkcja interpolująca uzyskana przez projekcję,  \(  u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1}  \) na  \(  V_w  \) na elemencie  \( K   \), oraz  \(  \Delta nrdof (V_{hp},V_w,K)  \) oznacza liczbę niewiadomych koniecznych do dodania do przestrzeni aproksymacyjnej na siatce obiczeniowej w celu rozszerzenia jej do przestrzeni  \(  V_w  \) nad elementem  \(  K  \).

Definicja 4: Błąd względny na siatce obliczeniowej

Niech  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) będzie siatką obliczeniową.
Niech  \(  V_{hp} \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \subset V  \) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej  i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.
Niech  \(  u_{hp} \in V_{hp}, u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1}  \) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej.
Błędem względnym rozwiązania na siatce obliczeniowej dany jest wzorem
 \(  err\_rel (u_{hp}) = \frac{ \|u_{\frac{h}{2}p+1}-u_{hp}\|_{H^1(\Omega)} }{ \|u_{\frac{h}{2}p+1}\|_{H^1(\Omega)} }  \)


Klasyczna i izogeometryczna metoda elementów skończonych

Rozdział 8. Matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych

Zbieżność metody elementów skończonych

Poniższe trzy lematy mają następujące zastosowania. Lemat Laxa-Milgrama oraz bardziej ogólny Warunek infimum-supremum służą do sprawdzania czy dane sformułowanie słabe posiada jednoznaczne rozwiązanie. Lemat Cea z kolei pozwala na oszacowanie błędu rozwiązania i tempa zbieżności dla metody elementów skończonych.

Dla bardziej skomplikowanych przypadków form sformułowania słabego  \(  B(u,v)=L(v)-B(\hat{u},v) \quad \forall v \in V  \) zamiast Lematu Laxa-Milgrama stosuje się Lemat Babuśki równoważny Lematowi Brezzi [1].

Znaczenie Lematu Cea jest następujące. W idealnym przypadku, odległość rozwiązania problemu metody elementów skończonych   \(  u_{hp} \in V_{hp}  \) na siatce obliczeniowej  \(  T_{hp }=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) od rozwiązania problemu słabego   \(  u \in V   \) byłaby to minimalna odległość rozwiązania  \(  u \in V   \) problemu wariacyjnego od wszystkich elementów przestrzeni  \(  V_h  \), w której szukamy rozwiązania problemu metody elementów skończonych. Byłoby tak, gdyby stała  \(  \frac{M}{\alpha} =1 \). Jest ona jednak   \(  \frac{M}{\alpha} \geq 1  \). Oznacza to, że błąd, który popełniamy rozwiązując problem metodą elementów skończonych, obarczony jest po pierwsze błędem wynikającym z konstrukcji siatki obliczeniowej  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) (adaptacja siatki obliczeniowej zwiększa rozmiar przestrzeni  \(  V_{hp}  \) i przybliża nasze rozwiązanie przybliżone  \(  u_{hp} \in V_{hp}  \) do rozwiązania idealnego  \(  u \in V  \)). Pozostały błąd wynika ze stosunku stałych   \(  M  \) ciągłości i   \(  {\alpha}   \) koercywności funkcjonału dwuliniowego  \(  B:V\times V \rightarrow {\cal R}   \). Błąd ten można wyeliminować stosując metody stabilizacji opisane w stosownych modułach podręcznika.


Izogeometryczna metoda elementow skonczonych

Definicja 1: Jednowymiarowy izogeometryczny element skończony stopnia drugiego

Jednowymiarowym referencyjnym izogeometrycznym elementem skończonym stopnia drugiego nazywamy czwórkę
 \(  \left( \hat{K}, X\left(\hat{K}\right), \Pi_p \right)  \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków

Geometria:  \(  \hat{K}=[0,1] \subset {\cal R}  \)
Wybór węzłów:  \(  \hat{a}_1, \hat{a}_2  \) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu oraz  \(  \hat{a}_3  \) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu
Definicja funkcji kształtu elementu  \(  X \left( \hat{K}\right)=span \{ \hat{\chi}_j \in {\cal P}^p\left(\hat{K}\right),j=1,...,3 \}  \) gdzie  \(  {\cal P}^p\left(\hat{K}\right)  \) to wielomiany stopnia  \( p  \) określone na przedziale  \( \hat{K} =(0,1)  \) oraz  \(  \hat{\chi}_1(\xi)=\frac{1}{2}(1-\xi)^2  \),  \(  \hat{\chi}_2(\xi)=\frac{1}{2}\xi^2  \),  \(  \hat{\chi}_3(\xi)=-\xi^2+x+\frac{1}{2}  \).
Definicja operatora interpolacji przez projekcję  \(  \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right)  \). Dla danej funkcji  \(  u \in H^1\left(\hat{K} \right)  \), jej interpolant bazujący na projekcji to  \(  \Pi_pu\in X\left( \hat{K}\right)  \) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:
 \(  \Pi_p u(\hat{a}_1)=u(\hat{a}_1)  \)
 \(  \Pi_p u(\hat{a}_2)=u(\hat{a}_2)  \)
 \(  \| \left( \Pi_p u \right)' -u' \|_{H^1(0,1)}\rightarrow min  \)
gdzie  \(  \| \left( \Pi_p u \right)' -u' \|_{H^1(0,1)} = \int_0^1 \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi   \)  to norma w przestrzeni Sobolewa  \(  H^1(0,1)  \).

Definicja 2: Dwuwymiarowy izogeometryczny element skończony stopnia drugiego

Dwuwymiarowym referencyjnym izogeometrycznym elementem skończonym stopnia drugiego nazywamy czwórkę
 \(  \left( \hat{K}, X\left(\hat{K}\right), \Pi_p \right)  \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków

Geometria:  \(  \hat{K}=[0,1]^2 \subset {\cal R}^2  \)
Wybór węzłów:  \(  \hat{a}_1, \hat{a}_2, \hat{a}_3, \hat{a}_4,   \) węzły związane z wierzchołkami elementu (0,0), (1,0), (1,1), (0,1),   \(  \hat{a}_5,  \hat{a}_6,  \hat{a}_7,  \hat{a}_8  \) węzły związane z krawędziami elementu, oraz   \(  \hat{a}_9  \) węzeł związany z wnętrzem elementu.
Definicja funkcji kształtu elementu  \(  X \left( \hat{K}\right)=span \{ \hat{\chi}_j \in {\cal S}^{(2,2)}\left(\hat{K}\right),j=1,...,9 \}  \) gdzie  \(  {\cal S}^{(2,2)}\left(\hat{K}\right) \) to wielomiany stopnia drugiego względem zmiennej  \( \xi_1  \) oraz względem zmiennej  \( \xi_2  \), określone na  \( \hat{K}=[0,1]^2  \). Definiujemy funkcje kształtu  \(  \hat{\phi}_1(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_1(\xi_1)\hat{\chi}_1(\xi_2)  \),  \(  \hat{\phi}_2(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_2(\xi_1)\hat{\chi}_1(\xi_2)  \),  \(  \hat{\phi}_3(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_2(\xi_1)\hat{\chi}_2(\xi_2)  \),  \(  \hat{\phi}_3(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_1(\xi_1)\hat{\chi}_2(\xi_2)  \),  \(  \hat{\phi}_{5,2}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_{3}(\xi_1)\hat{\chi}_1(\xi_2) \),  \(  \hat{\phi}_{6,2}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_2(\xi_1)\hat{\chi}_{3}(\xi_2)  \),  \(  \hat{\phi}_{7}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_{3}(\xi_1)\hat{\chi}_2(\xi_2)  \),  \(  \hat{\phi}_{8}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_1(\xi_1)\hat{\chi}_{3}(\xi_2)  \),  \(  \hat{\phi}_{9}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_{3}(\xi_1)\hat{\chi}_{3}(\xi_2)  \).
Definicja operatora interpolacji bazującego na projekcji  \(  \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right)  \). Dla danej funkcji  \(  u \in H^1\left(\hat{K} \right)  \), jej interpolant bazujący na projekcji to  \(  \Pi_pu\in X\left( \hat{K}\right)  \) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:
 \(  \Pi_p u(0,0)=u(0,0)  \)
 \(  \Pi_p u(1,0)=u(1,0)  \)
 \(  \Pi_p u(0,1)=u(0,1)  \)
 \(  \Pi_p u(1,1)=u(1,1)  \)
 \(  \| \left( \Pi_p u \right)' -u' \|_{H^1(\hat{K})}\rightarrow min  \)
gdzie  \(  \| \left( \Pi_p u \right)' -u' \|_{H^1(\hat{K})} = \int_{\hat{K}} \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi_1d\xi_2   \)  to seminorma w przestrzeni Sobolewa  \(  H^1(\hat{K})  \).


Przyszłość metody elementów skończonych

Wśród aktualnych (na koniec roku 2019) trendów dotyczących dalszego rozwoju metody elementów skończonych wyróżnić można:

Metoda elementów skończonych jest narzędziem do wykonywania symulacji. Jak wiele narzędzi, może zostać wykorzystana w rozmaity sposób. Jest narzędziem potężnym, potrafiącym modelować rzeczywistość i zmieniać świat, w którym żyjemy. Pamiętajmy zawsze o etycznych przesłaniach wynikających z naszych wyborów i celów do których dążymy, szczególnie jeśli mamy w ręku tak potężne narzędzia.


Załącznik 1

Dwa kody MATLABa obliczające izogeometryczną L2 projekcję bitmapy (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu projekcji bitmapy )

Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak.


Załącznik 2

Kod w MATLABie obliczający i rysujący funkcje bazowe B-spline na podstawie zadanego wektora węzłów (zob. rozdział Implementacja w MATLABie generacji funkcji bazowych na podstawie wektora węzłów )


Załącznik 3

Kod MATLABa obliczający problem transportu ciepła na obszarze w kształcie litery L (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu transportu ciepła )


Załącznik 3A

Kod MATLABa obliczający problem adwekcji-dyfuzji metodą Galerkina, dla modelowego problemu Erikksona-Johnsona (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu adwekcji-dyfuzji metodą Galerkina )


Załącznik 4

Kod w MATLABie obliczający L2 projekcję bitmapy przy zastosowaniu izogeometrycznej metody elementów skończonych (zob. rozdział Implementacja w MATLABie algorytmu solwera zmienno-kierunkowego dla problemu projekcji bitmapy )


Załącznik 4A

Kod w Zadaniu 1: Projekcja terenu (zob. rozdział Implementacja w MATLABie algorytmu solwera zmienno-kierunkowego dla problemu projekcji bitmapy )


Załącznik 5

Kod MATLABa obliczający problem adwekcji-dyfuzji metodą elementów skończonych ze stabilizacją metodą Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu adwekcji-dyfuzji ze stabilizacją metodą SUPG )


Załącznik 5A

Kod MATLABa obliczający problem adwekcji-dyfuzji metodą elementów skończonych ze stabilizacją metodą minimalizacji reziduum, dla modelowego problemu Erikksona-Johnsona (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu adwekcji-dyfuzji za stabilizacją metodą minimalizacji reziduum )


Załącznik 6

Kod w MATLABie obliczający L2 projekcję bitmapy z zastosowaniem adaptacyjnej metody elementów skończonych (zob. rozdział Implementacja w MATLABie adaptacyjnego algorytmu projekcji bitmapy )


Załącznik 7

Kod MATLABa wykonujący symulacje dla schematu alfa dla dwuwymiarowego problemu transportu ciepła (zob. rozdział Implementacja w MATLABie schematu alpha dla problemu transportu ciepła )


Liczby zespolone

Geometrycznie liczbę zespoloną  \( z=(x,y) \) interpretujemy jako wektor zaczepiony w punkcie  \(  (0,0)  \) o końcu w punkcie  \(  (x,y)  \).

W tej interpretacji w naturalny sposób zobrazujemy dodawanie liczb zespolonych jako dodawanie wektorów:

Zbiór liczb zespolonych możemy również interpretować jako zbiór punktów na płaszczyźnie.

W tej interpretacji naturalnym staje się określenie równości liczb zespolonych. Otóż dwie liczby zespolone  \( z_{1}=(x_{1},y_{1}) \) oraz  \( z_{2}=(x_{2},y_{2}) \)) są równe, jeżeli  \( x_{1}=x_{2} \) oraz \( y_{1}=y_{2} \). Zbiór wszystkich liczb zespolonych na płaszczyźnie (wektorów lub punktów) nazywamy płaszczyzną zespoloną (lub płaszczyzną Gaussa).

W zbiorze liczb zespolonych rozważmy podzbiór  \(  \{ (x,0): x\in\mathbb{R} \}  \) składający się z liczb zespolonych leżących na osi odciętych OX. Zauważmy, że liczby tej postaci mają następujące własności:

Dzięki temu możemy utożsamić zbiór liczb zespolonych postaci  \( \{(x,0): x\in\mathbb{R}\} \) ze zbiorem liczb rzeczywistych i parę  \( (x,0) \) zapisywać po prostu jako  \( x \). Oś \( OX \) będziemy wówczas nazywać osią rzeczywistą. Wyróżnijmy teraz jednostkę na osi  \( OY \), tj. liczbę zespoloną postaci  \( (0,1) \).

Powyższy fakt, niemożliwy dla liczb rzeczywistych, tłumaczy nazwę "jednostka urojona". Oś  \( OY \), której wersorem jest jednostka urojona, będziemy nazywać osią urojoną.

Niech  \( z=(x,y) \) będzie liczbą zespoloną. Współrzędna  \( x \) liczby  \( z \) jest określona względem osi rzeczywistej  \( OX \), dlatego mówimy, że jest to część rzeczywista liczby z. Z kolei współrzędna  \( y \) liczby  \( z \) jest określona względem osi urojonej  \( OY \) i dlatego nosi nazwę części urojonej liczby z. Dla liczby zespolonej  \( z=(x,y) \) wprowadzamy oznaczenia

od łacińskiego słowa realis(  \( z \)) oznaczającego część rzeczywistą liczby  \( z \) oraz

od łacińskiego imaginarius( \( z \)) oznaczającego część urojoną liczby  \( z \).

Definicja 1: Zbiór liczb zespolonych

Zbiór  \(  \mathbb{C}= \left\{  (x,y) : x,y\in\mathbb{R}  \right\} \) z działaniami  \( + \) i  \( \cdot \) określonymi jako

 \(  (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}), \)
 \(   (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}\cdot x_{2}-y_{1}\cdot y_{2},x_{1}\cdot y_{2}+x_{2}\cdot y_{1}). \)
nazywamy zbiorem liczb zespolonych, a jego elementy liczbami zespolonymi.

Definicja 2:

Liczbę  \(  i=(0,1) \) nazywamy jednostką urojoną.


Postać algebraiczna liczby zespolonej

Niech  \( z=x+iy \) będzie liczbą zespoloną w postaci algebraicznej. Przypomnijmy, że liczbę  \( x \) nazywamy częścią rzeczywistą liczby  \( z \) i oznaczamy sybolem  \( \mathfrak{Re}z \), zaś liczbę  \( y \) nazywamy częścią urojoną liczby  \( z \) i oznaczamy symbolem \( \mathfrak{Im}z \).

Niech  \( z_{1}=(x_{1},y_{1}) \) oraz  \( z_{2}=(x_{2},y_{2}) \) będą liczbami zespolonymi. Liczby  \( z_{1} \) i  \( z_{2} \), jako uporządkowane pary punktów, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy  \( x_{1}=x_{2} \) oraz  \( y_{1}=y_{2} \). Stąd, zapisując liczby \( z_{1} \) i  \( z_{2} \) w postaci algebraicznej jako \( z_{1}=x_{1}+iy_{1} \) oraz  \( z_{2}=x_{2}+iy_{2} \) otrzymujemy, że  \( z_{1}=z_{2} \) wtedy i tylko wtedy, gdy  \( \mathfrak{Re}z_{1}=\mathfrak{Re}z_{2} \) oraz  \( \mathfrak{Im}z_{1}=\mathfrak{Im}z_{2} \).

Postać kanoniczna liczby zespolonej umożliwia dodawanie i mnożenie liczb zespolonych tak samo jak wielomianów, tzn. podobny do podobnego (dla dodawania) i każdy z każdym (dla mnożenia), w przypadku mnożenia pamiętając o warunku  \( i^{2}=-1 \). Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną  \( z=x+iy \) mnożymy dzielną i dzielnik przez  \( x-iy \), otrzymując w mianowniku liczbę rzeczywistą.

Definicja 1: Postać algebraiczna liczby zespolonej

Niech  \(  z=(x,y) \), gdzie \(  x,y\in\mathbb{R} \) będzie dowolną liczbą zespoloną. Zauważmy, że liczbę  \( z \) możemy zapisać następująco:

 \(  z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)\cdot (0,1). \)
Wówczas oznaczając  \( x=(x,0) \),  \( y=(y,0) \) oraz  \( i=(0,1) \) otrzymujemy postać algebraiczną (Hamiltona, kanoniczną) liczby zespolonej  \( z \)

 \(  z=x+iy. \)

Definicja 2: Sprzężenie liczby zespolonej

Niech  \( z=x+iy \), gdzie  \( x,y\in\mathbb{R} \). Sprzężeniem liczby  \( z \) nazywamy liczbę \( \bar{z} \) daną wzorem
 \( \bar{z}=x-iy. \)


Moduł i argument liczby zespolonej

Innym, powszechnie stosowanym oznaczeniem modułu liczby zespolonej  \( z \) jest symbol  \( r=|z| \).

Geometrycznie moduł liczby zespolonej  \( z \) to odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.

Powyższą interpretację możemy rozszerzyć na dwie dowolne liczby zespolone. Niech mianowicie  \( z_{0}=x_{0}+iy_{0} \) oraz  \( z=x+iy \) będą dwiema liczbami zespolonymi. Wówczas  \( z-z_{0}=(x-x_{0})+i(y-y_{0}) \) oraz  \( \mathfrak{Re}z=x-x_{0} \),  \( \mathfrak{Im}z=y-y_{0} \). Mamy

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie równości jest zwykłą odległością euklidesową punktu  \( (x,y) \) od punktu  \( (x_{0},y_{0}) \). Zatem dla dowolych liczb zespolonych  \( z,z_{0}\in\mathbb{C} \) moduł ich różnicy  \( |z-z_{0}| \) oznacza odległość  \( z \) od  \( z_{0} \) na płaszczyźnie zespolonej.

Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej  \( z=\mathbf{0} \) jest dowolna liczba rzeczywista  \( \varphi\in\mathbb{R} \), zaś argumentem głównym dla  \( z=\mathbf{0} \) jest  \( \varphi=0 \). Argument liczby  \( z \) oznaczamy symbolem  \(  \mathrm{arg}z  \), zaś argument główny symbolem  \(  \mathrm{Arg}z \).  Mamy zatem

Geometrycznie argument liczby zespolonej  \( z \) to kąt skierowany, jaki tworzy wektor  \( \vec{\mathbf{0}z}  \) z dodatnią półosią osi rzeczywistej  \( \mathfrak{Re}z \).

Łatwo zauważyć, że dla liczby zespolonej  \( z=x+iy \), podanie jej modułu  \( r=|z| \) i argumentu  \( \varphi=\mathrm{Arg}z \) jest opisem położenia liczby  \( z \) względem bieguna w punkcie  \( \mathbf{0} \) oraz półosi dodatniej jako półosi biegunowej.

Definicja 1: Moduł liczby zespolonej

Niech  \( z=x+iy \), gdzie  \( x,y\in\mathbb{R} \), będzie dowolną liczbą zespoloną. Modułem liczby  \( z \) nazywamy liczbę rzeczywistą  \( |z|  \) daną wzorem

								\(  |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.  \)

Definicja 2: Argument liczby zespolonej

Niech  \( z=x+iy \), gdzie  \( x,y\in\mathbb{R} \), będzie liczbą zespoloną różną od zera. Argumentem liczby  \( z \) nazywamy każdą liczbę rzeczywistą  \( \varphi \), spełniającą warunki:

					(1)

								\( \begin{cases}  \cos \varphi&=&\frac{x}{|z|},\\ \sin \varphi&=&\frac{y}{|z|}. \end{cases} .  \)

Argumentem głównym liczby  \( z \) nazywamy ten argument, który należy do przedziału  \(  \lbrack 0,2\pi)  \).

Definicja 3: Biegunowy układ współrzędnych

Dla ustalenia położenia punktu na płaszczyźnie można wprowadzić biegunowy układ odniesienia. W biegunowym układzie odniesienia wyróżniamy pewien punkt płaszczyzny, nazywany biegunem płaszczyzny oraz pewną wyróżnioną półprostą poprowadzoną z bieguna, nazywaną półosią biegunową. Wówczas położenie dowolnego punktu płaszczyzny określamy poprzez podanie odległości  \( r \) tego punktu od bieguna oraz określenie kąta skierowanego  \( \varphi \) pomiędzy półosią biegunową a półprostą o początku w biegunie i przechodzącą przez dany punkt (tzw. promieniem wodzącym tego punktu).


Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Niech  \( z=x+iy \) będzie dowolną, różną od  \( \mathbf{0} \) liczbą zespoloną. Zauważmy, że liczbę  \( z \) możemy zapisać w postaci

Łatwo również zauważyć, że liczba  \( \sqrt{x^{2}+y^{2}} \) określa moduł  \( r=|z| \), zaś wielkości  \( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \) i  \( \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \) stanowią odpowiednio  \( \cos \varphi \) i  \( \sin \varphi \), gdzie  \( \varphi=\mathrm{arg}z \).

Zatem dowolną liczbę zespoloną  \( z \) (również  \( z=\mathbf{0} \)) można zapisać w postaci

Z określenia postaci trygonometrycznej liczby zespolonej łatwo wynika, że aby tę postać uzyskać wystarczy obliczyć moduł oraz jeden z argumentów danej liczby zespolonej.

Warto podkreślić, że przedstawienie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej nie jest jednoznaczne. Wynika to z faktu, że dla danej liczby zespolonej, zbiór jej argumentów jest nieskończony. W szczególności w powyższym przykładzie moglibyśmy napisać  \( z=\sqrt{2}\left(\cos(- \frac{3}{4}\pi)+i\sin (-\frac{3}{4}\pi)\right) \) gdyż, jak łatwo sprawdzić, również kąt  \( \left(-\frac{3}{4}\pi\right) \) spełnia układ ( 1 ).

A zatem, przy mnożeniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły się mnoży, a argumenty dodaje.

Zatem przy dzieleniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły się dzieli, a argumenty odejmuje.

Definicja 1:

Powyższe przedstawienie liczby  \( z \) nazywamy jej  postacią trygonometryczną .


Postać wykładnicza liczby zespolonej

Wprost z definicji wynika, że  \( |e^{i\varphi}|=1 \) oraz  \( \mathrm{arg}(e^{i\varphi})=\varphi+2k\pi \) dla  \( k\in\mathbb{Z} \).

Warto zapamiętać, że podobnie jak w przypadku postaci trygonometrycznej, zapis liczby zespolonej w postaci wykładniczej nie jest jednoznaczny. Wynika to z faktu, że dowolna liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów.

Przy pomocy liczby  \( e^{i\varphi}=\cos \varphi+i\sin \varphi \) wyrażamy cosinus i sinus kąta  \( \varphi \). Mamy mianowicie

Warto wspomnieć w tym miejscu o jeszcze jednym wzorze, również nazywanym wzorem Eulera lub tożsamością Eulera. Przedstawiając mianowicie liczbę  \( -1 \) w postaci wykładniczej, tj. jako  \( -1=e^{i\pi} \), otrzymujemy wzór łączący pięć najważniejszych stałych matematycznych:

Przez wielu, wzór ten uważany jest za najpiękniejszy wzór matematyczny.

Definicja 1: Symbol  \( e^{i\varphi} \)

 Niech  \( \varphi\in\mathbb{R} \). Symbolem   \( e^{i\varphi} \)oznaczamy liczbę zespoloną  \( \cos\varphi+i\sin\varphi \). Mamy zatem
 \( e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi . \)

Definicja 2: Postać wykładnicza liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną  \( z \) można zapisać w postaci
 \( z=re^{i\varphi}, \)
gdzie  \( r \) oznacza moduł, zaś  \( \varphi\in\mathbb{R} \) jest argumentem liczby  \( z \).
Postać  \( z=re^{i\varphi} \) nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.


Pierwiastki z liczby zespolonej

Podkreślmy, że symbol  \( \sqrt[n]{r} \) występujący w powyższym wzorze oznacza "zwykły" pierwiastek arytmetyczny stopnia  \( n \) z liczby rzeczywistej  \( r \), jest zatem określony jednoznacznie.

Warto zapamiętać, że w interpretacji geometrycznej wszystkie pierwiastki zespolone stopnia  \( n \) z liczby  \( z=r(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi) \) leżą na okręgu o środku w punkcie  \(  (0,0)  \) i promieniu  \( \sqrt[n]{r}  \), w punktach będących wierzchołkami  \( n \)-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg. Warto także zaznaczyć, że zbiór pierwiastków z liczby zespolonej  \( z \) nie zależy od wyboru argumentu tej liczby.

Bywa, że łatwo jest odgadnąć jeden z pierwiastków z danej liczby zespolonej. Przykładowo liczba  \( w_{0}=1 \) jest jednym z pierwiastków (dowolnego stopnia) z liczby  \( z=1 \). W takiej sytuacji do obliczenia pozostałych pierwiastków wygodnie jest zastosować następujące twierdzenie:

Definicja 1: Pierwiastek z liczby zespolonej

Niech  \( n \) będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem stopnia  \( n \) z liczby zespolonej  \( z \) nazywamy każdą liczbę zespoloną  \( w \) spełniającą warunek

								\( w^{n}=z \)

Symbolem  \( \sqrt[n]{z} \) oznaczamy zbiór pierwiastków  \( n \)-tego stopnia z liczby zespolonej  \(  z  \).


Równania w zbiorze liczb zespolonych

Pojęcie pierwiastka stopnia  \( n \) z liczby zespolonej  \( z \) różni się istotnie od pojęcia pierwiastka stopnia  \( n \) z liczby rzeczywistej. Zatem prawa potęg analogiczne jak w zbiorze liczb rzeczywistych, w dziedzinie zespolonej dotyczą tylko wykładników całkowitych, ale nie wymiernych.


Zbiory liczb zespolonych - interpretacja geometryczna

Rozpoczniemy od interpretacji geometrycznej liczb zespolonych w postaci algebraicznej.

Bardzo ważna jest umiejętność interpretacji geometrycznej równań i nierówności z modułem i argumentem liczby zespolonej.


Działania na macierzach

Macierz o   \( m \) wierszach i  \( n \) kolumnach nazywamy macierzą wymiaru  \( m \times n \).

Macierz wymiaru  \( m\times n  \) utworzoną z elementów  \( a_{ij} \) oznaczamy również symbolem  \(  A=(a_{ij})_{m\times n}  \). W przypadku, gdy wymiar macierzy jasno wynika z kontekstu, stosujemy zapis  \(  A=(a_{ij})  \). Macierz, której wszystkie elementy są równe  \( 0 \) nazywamy macierzą zerową i oznaczamy symbolem  \( \mathbb{O}. \)

Zbiór macierzy wymiaru  \( m\times n \) o elementach ze zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem  \( \mathbb{R}^{m\times n} \), natomiast dla oznaczenia zbioru macierzy o elementach ze zbioru liczb zespolonych stosujemy zapis  \( \mathbb{C}^{m\times n} \).

Wprost z definicji wynika, że dodawać i odejmować możemy tylko macierze takich samych wymiarów.

Zgodnie z definicją iloczyn macierzy  \( A\cdot B \) jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy  \( A \) jest równa liczbie wierszy macierzy  \( B \). Otrzymana macierz  \( A\cdot B \) ma tyle wierszy, co macierz  \( A \) i tyle kolumn, co macierz  \( B \). Mnożąc macierze trzeba pamiętać, że działanie to nie jest przemienne.

Do mnożenia macierzy wygodnie jest stosować następujący schemat, zwany schematem Falka, polegający na odpowiednim ułożeniu mnożonych macierzy. Mnożąc mianowicie macierz  \( A \) przez macierz  \( B \) zapisujemy obie macierze w tabeli następująco

przy czym symbolem  \(  C \) oznaczamy, jak w definicji, iloczyn  \( A\cdot B \). Następnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy  \( A \) przez kolejne elementy pierwszej kolumny macierzy  \( B \), otrzymane iloczyny sumujemy i zapisujemy wynik w lewym górnym rogu pola oznaczonego jako  \(   C, \) tj. w miejscu elementu  \(  c_{11} \). Podobnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy  \( A \) przez kolejne elementy drugiej kolumny macierzy  \( B \), sumujemy otrzymane iloczyny i zapisujemy wynik w miejscu elementu  \(  c_{12} \) itd.

Definicja 1: Macierz

Macierzą rzeczywistą (zespoloną) o  \( m \) wierszach i  \( n \) kolumnach oraz elementach  \(  a _ {ij} \), gdzie  \(  1 \leq i \leq m  \),  \( 1\leq j \leq n  \) nazywamy prostokątną tablicę liczb rzeczywistych (zespolonych)

(1)

								\(  A= \left(\begin{array}{cccc}a_ {11} & a_ {12} & \ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ldots & a_ {2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ldots & a_ {mn} \end{array}\right). \)

Definicja 2: Suma i różnica macierzy

 Niech  \( A=(a_{ij})_{m\times n} \) i  \( B=(b_{ij})_{m\times n} \) będą macierzami wymiaru  \( m\times n \).
 Sumą macierzy  \( A \) i  \( B \) (ozn.  \( (A+B) \) nazywamy macierz  \( C=(c_{ij})_{m\times n} \) taką, że każdy element macierzy  \( C \) jest sumą odpowiednich elementów macierzy  \( A \) i  \( B \)  tj. dla każdej pary  \( (ij) \), gdzie  \( 1\leq i\leq m \),  \( 1\leq j \leq n \) zachodzi równość  \( c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. \)
 Różnicą macierzy  \( A \) i  \( B \) (ozn.  \( A-B \)) nazywamy macierz  \( C=(c_{ij})_{m\times n} \) taką, że każdy element macierzy  \( C \) jest różnicą odpowiednich elementów macierzy  \( A \) i  \( B \) tj. dla każdej pary  \( (ij) \), gdzie  \( 1\leq i\leq m \),  \( 1\leq j \leq n \) zachodzi równość  \( c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}. \)

Definicja 3: Mnożenie macierzy przez liczbę

Niech  \( \alpha \) będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną i niech  \( A=(a_{ij})_{m\times n}  \).  Iloczynem macierzy  \( A \) i liczby  \( \alpha \), oznaczanym symbolem  \( \alpha A \), nazywamy macierz wymiaru  \( m\times n \), której elementy są równe  \( \alpha \cdot a_{ij} \).

Definicja 4: Iloczyn macierzy przez macierz

 Rozważmy macierz  \( A=(a_{ij})  \) wymiaru  \( m\times k \) oraz macierz  \( B=(b_{ij}) \) wymiaru  \( k\times n \).
Iloczynem macierzy  \( A \) i  \( B \) (ozn.  \( A\cdot B \)) nazywamy macierz  \( C=(c_{ij}) \) wymiaru  \( {m\times n} \), której element  \( c_{ij} \) jest określony wzorem

(2)

								\( c_{ij}=\sum_{s=1}^{k}a_{is}b_{sj}, \)

dla  \( i=1,\ldots, m \),  \( j=1,\ldots, n. \)


Szczególne typy macierzy

Macierz jednostkową stopnia  \( n \) oznaczamy symbolem  \( I_{n} \). Czasami, jeżeli nie ma wątpliwości co do wymiaru danej macierzy jednostkowej, pomijamy dolny indeks pisząc po prostu  \( I \).

Z definicji wynika, że macierz transponowana powstaje z macierzy wyjściowej poprzez zapisanie kolejno poszczególnych wierszy macierzy  \( A \) jako kolejne kolumny macierzy  \( A^{T} \).

Z definicji wynika, że macierz kwadratowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są sobie równe. Z kolei macierz kwadratowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są liczbami wzajemnie przeciwnymi, zaś elementy na głównej przekątnej są równe  \( 0 \).

Definicja 1: Macierz zerowa

Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywamy macierzą zerową. Macierz zerową oznaczamy symbolem  \( \mathbb{O} \).

Definicja 2: Macierz kwadratowa, główna przekątna

 Jeżeli liczba wierszy macierzy jest równa liczbie jej kolumn, to mówimy, że dana macierz jest kwadratowa. Jeżeli liczba wierszy i kolumn macierzy jest równa  \( n \), to wówczas mówimy, że macierz jest stopnia  \(  n  \).
 Główną przekątną macierzy kwadratowej  \( A=(a_{ij}) \) stopnia  \( n \) nazywamy zbiór elementów, dla których numer wiersza i numer kolumny są równe, tj. zbiór elementów  \( \{a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}  \} \).

Definicja 3: Macierz trójkątna górna, macierz trójkątna dolna

 Macierzą trójkątną górną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące pod główną przekątną są równe zero.
Macierzą trójkątną dolną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące nad główną przekątną są równe zero.

Definicja 4: Macierz diagonalna

Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną są równe zero.

Definicja 5: Macierz jednostkowa

Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną, której wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są równe  \( 1 \).

Definicja 6: Macierz transponowana

Jeżeli  \( A=(a_{ij}) \) jest macierzą wymiaru  \( m\times n \) to macierzą transponowaną do  \( A \) lub transpozycją  \( A \) nazywamy macierz  \( A^{T}=(a_{ij}^{T}) \) wymiaru  \( n\times m \), której elementy wyrażają się wzorem  \( a_{ij}^{T}=a_{ji} \).

Definicja 7: Macierz symetryczna i macierz antysymetryczna

 Macierz kwadratową  \( A  \) nazywamy symetryczną, jeżeli jest równa swojej macierzy transponowanej, tj. zachodzi warunek  \( A=A^{T} \).
 Macierz kwadratową  \( A \) nazywamy antysymetryczną, jeżeli  \( A^{T}=-A \).


Wyznacznik macierzy - definicja i własności

Wyznacznik macierzy będziemy również oznaczać, stosując następujący zapis:

Warto zapamiętać, że wyznaczniki liczymy tylko dla macierzy kwadratowych.

W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 2 można zastosować prostszą metodę mnożenia .

W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 3 można zastosować prostszą metodę tzw.

Jest to podstawowy fakt z teorii macierzy, wyznaczników i układów równań liniowych. Stanowi on podstawę dla tzw. metody Gaussa.

Definicja 1: Definicja wyznacznika

Z każdą macierzą kwadratową  \( A \) związana jest liczba (rzeczywista lub zespolona) nazywana wyznacznikiem macierzy  \( A \) , oznaczana symbolem

								\( \mathrm{det}A \)

					. Wyznacznik definiujemy indukcyjnie, w następujący sposób:
 jeżeli macierz  \( A=(a_{11}) \) jest stopnia  \( 1 \), to  \( \mathrm{det}A=a_{11}; \)  jeżeli macierz  \( A=(a_{ij}) \) jest stopnia  \( n \), gdzie  \( n> 1 \), to

								\( \mathrm{det}A=\mathrm{det}\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ddots&\ldots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn} \end{array} \right)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\mathrm{det}A_{i1}, \)

gdzie

								\( A_{i1} \)

					 oznacza podmacierz stopnia  \( n-1 \) otrzymaną z macierzy

								\( A \)

					 poprzez skreślenie  \( i \)-tego wiersza oraz pierwszej kolumny.


Wyznaczniki macierzy stopni 2 i 3

Obliczając wyznaczniki macierzy stopni  \( 2 \) i  \( 3 \) możemy, tak jak w przypadku wyznaczników wszystkich innych stopni, zastosować rozwinięcie Laplace'a względem dowolnie wybranego wiersza lub kolumny macierzy, jednak w przypadku tych dwóch szczególnych stopni istnieją prostsze metody obliczania wyznaczników.

Do obliczania wyznaczników macierzy stopnia  \( 2 \) stosujemy regułę:

Do obliczania wyznaczników macierzy stopnia  \( 3 \) stosuje się tzw. metodę Sarrusa, która polega na dopisaniu pod macierzą pierwszego i drugiego wiersza, a następnie obliczeniu sum iloczynów elementów wzdłuż linii kropkowanych i odjęciu sum iloczynów elementów wzdłuż linii ciągłych:

Trzeba przy tym zapamiętać, że metodę Sarrusa stosujemy tylko do obliczania wyznaczników macierzy stopnia  \( 3 \).

Alternatywną wersją metody Sarrusa jest dopisanie do macierzy, której wyznacznik należy wyliczyć, zamiast pierwszego i drugiego wiersza, pierwszej i drugiej kolumny danej macierzy. Dalej metoda postępowania jest analogiczna.


Metoda Laplace'a obliczania wyznaczników

Warto zwrócić uwagę, że zgodnie z powyższym twierdzeniem, wyznacznik macierzy jest równy rozwinięciu Laplace'a względem dowolnie wybranego wiersza bądź kolumny macierzy, podczas gdy definicja indukcyjna nakazuje wykonać rozwinięcie względem konkretnej (w tym przypadku pierwszej) kolumny macierzy.

Niejednokrotnie przy obliczaniu wyznacznika wygodnie jest daną macierz przekształcić, stosując operacje nie mające wpływu na jej wyznacznik (zob.: twierdzenie Własności wyznacznika macierzy ).

Definicja 1: Dopełnienie algebraiczne

Niech  \( A=(a_{ij}) \) będzie macierzą kwadratową stopnia  \( n \), gdzie  \( n\geq 2 \). Niech  \( A_{ij} \) będzie podmacierzą stopnia  \( n-1 \) powstałą z macierzy  \( A \) poprzez skreślenie \( i \)-tego wiersza i  \( j \)-tej kolumny. Liczbę
 \( D_{ij}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}A_{ij} \)

nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu  \( a_{ij} \) macierzy  \( A \).


Macierz odwrotna

Warto zapamiętać, że macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowej, jednakże nie każda macierz kwadratowa ma swoją macierz odwrotną.

Wprost z definicji wynika również, że macierz odwrotna do macierzy kwadratowej stopnia  \( n \) także jest macierzą kwadratową stopnia  \( n \).

Podamy teraz ogólny wzór na postać macierzy odwrotnej. W tym celu, w pierwszej kolejności sformułujemy pojęcia dopełnienia algebraicznego elementu macierzy oraz macierzy dopełnień algebraicznych.

Definicja 1: Macierz odwrotna

 Niech  \( A \) będzie macierzą kwadratową stopnia  \( n \). Jeżeli istnieje macierz  \( A^{-1} \) taka, że spełnione są warunki

 \( A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}, \)
to mówimy, że macierz  \( A \) jest odwracalna, a macierz  \( A^{-1} \) nazywamy macierzą odwrotną do  \( A \) (lub odwrotnością  \( A \) ).

Definicja 2: Macierz osobliwa i nieosobliwa

Macierz kwadratową  \( A \) taką, że  \(  \mathrm{det}A\neq 0 \) nazywamy macierzą nieosobliwą. W przeciwnym wypadku  \( A \) nazywamy  macierzą osobliwą.

Definicja 3: Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy

 Niech  \( A=(a_{ij}) \) będzie macierzą stopnia  \( n \), gdzie  \( n\geq 2 \). Niech  \( A_{ij} \) będzie podmacierzą powstałą z  \( A \) poprzez skreślenie  \( i \)-tego wiersza i  \( j \)-tej kolumny. Liczbę
 \( D_{ij}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}A_{ij} \)
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu  \( a_{ij} \) macierzy  \( A \).

Definicja 4: Macierz dopełnień algebraicznych

 Macierz
 \( A^{D}=\left( \begin{array}{cccc} D_{11}&D_{12}&\ldots&D_{1n}\\ D_{21}&D_{22}&\ldots&D_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ D_{n1}&D_{n2}&\ldots&D_{nn} \end{array} \right), \)
gdzie  \( D_{ij} \) oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów  \( a_{ij} \) macierzy  \( A \), nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych macierzy  \( A \).


Rząd macierzy

Warto zauważyć, że dowolna macierz kwadratowa stopnia  \( n \) ma dokładnie jeden minor stopnia  \( n \). Jest nim mianowicie jej wyznacznik.

Rząd macierzy  \( A \) oznaczamy symbolem  \( \mathrm{rz}(A) \) lub  \( \mathrm{rank}(A) \). Warto zanotować, że dla dowolnej niezerowej macierzy  \( A \) zachodzi  \( \mathrm{rz}(A)\geq 1 \). Wynika to z faktu, że każdy niezerowy element macierzy  \( A \) jest jednocześnie jej minorem stopnia  \( 1 \). Z kolei dla macierzy zerowej dowolnego wymiaru przyjmujemy, że jej rząd jest równy zero.

Wykonując przekształcenia elementarne macierzy będziemy używać pewnych specjalnych oznaczeń. Mianowicie zapis

będzie oznaczać, że po przekształceniu w miejsce wiersza  \( w_{i} \) wpiszemy wiersz  \( w_{i+1} \) pomnożony przez  \( \alpha \). Analogicznie, zapis

będzie oznaczał, że w miejsce kolumny  \( k_{j} \) wpiszemy  \(  \alpha\cdot k_{l}+\beta\cdot k_{m} \). Przykładowe przekształcenie może wyglądać następująco:

Definicja 1: Minor macierzy

Niech  \( A \) będzie dowolną macierzą wymiaru  \( m\times n \) i niech  \( k \) będzie liczbą naturalną mniejszą lub równą od mniejszej z liczb  \( m,n \). Minorem stopnia  \( k \) macierzy  \( A \) nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych  \( k \) wierszy i  \( k \) kolumn.

Definicja 2: Rząd macierzy

Rzędem dowolnej macierzy  \( A \) nazywamy taką liczbę naturalną  \( r \), że z macierzy  \( A \) można wybrać przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia  \( r \), natomiast wszystkie minory stopni większych od  \( r \), jeśli takie istnieją, są równe zero.

Definicja 3: Przekształcenia elementarne

 Niech  \( A \) będzie dowolną macierzą. Przekształceniami elementarnymi nazywamy następujące operacje na macierzy  \( A \):
 Przestawienie dwóch wierszy (kolumn);
 Pomnożenie wiersza (kolumny) przez stałą różną od zera;
 Dodanie do wiersza (kolumny) innych wierszy (kolumn) pomnożonych przez dowolne stałe.

Definicja 4: Macierz schodkowa

Macierzą schodkową (lub uogólnioną macierzą trójkątną) nazywamy taką macierz, w której pierwsze niezerowe elementy w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach tj. jeżeli  \( a_{ij}\neq 0 \) i dla każdego  \( k < j \)  \( a_{ik}=0 \), to  \( a_{(i+1)s}=0 \) dla  \( s\leq j \).


Wartości i wektory własne – definicje i metoda wyznaczania

Warunek (c) twierdzenia  1 pozwala wnioskować, że pierwiastki wielomianu  \( \varphi_{A} \) to wartości własne macierzy  \( A \). Każda macierz kwadratowa wymiaru  \( n\times n \) posiada zatem  \( n \) wartości własnych (liczonych z krotnościami). Oznaczając te wartości własne jako  \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n, \) wielomian charakterystyczny  \( \varphi_{A} \) przyjmuje postać

w której, co wynika z twierdzenia 1 ,  \( a_n=(-1)^n \) oraz  \( a_0=\det(A) \).

Definicja 1: Wartości i wektory własne macierzy kwadratowych

Liczbę zespoloną  \( \lambda \) nazywamy wartością własną macierzy kwadratowej  \( A \), jeżeli istnieje niezerowy wektor  \( v \) taki, że

(1)

								\( Av=\lambda v. \)

Każdy niezerowy wektor   \( v \)  spełniający równanie ( 1 )  nazywamy wektorem własnym macierzy  \( A \) odpowiadającym wartości własnej  \( \lambda \).

Definicja 2: Wielomian charakterystyczny macierzy

Jeżeli macierz  \( A \) jest macierzą kwadratową wymiaru  \( n\times n \), to funkcja

 \( \varphi_{A} \left(  \lambda\right)  =\det\left(  A-\lambda I\right) \)
jest wielomianem stopnia  \( n \); jest to tzw. wielomian charakterystyczny macierzy  \( A \).


Wartości i wektory własne – własności


Wartości własne macierzy trójkątnych

Niech  \( A\in\mathbb{C}^{n\times n} \) będzie macierzą trójkątną górną:

Oznacza to, że pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy trójkątnej (to samo rozumowanie można powtórzyć dla dowolnej macierzy trójkątnej dolnej) są elementy stojące na jej głównej przekątnej. Wynika stąd następujący wniosek.


Wartości własne macierzy rzeczywistych

Jeżeli  \( A \) jest macierzą rzeczywistą, to  \( A=\overline{A} \), gdzie  \( \overline{A} \) oznacza macierz, której elementy są sprzężeniami zespolonymi elementów macierzy  \( A \). Równość ta pozwala wnioskować, że warunek definiujący wartości i wektory własne

jest, w przypadku macierzy rzeczywistej, równoważny warunkowi

To oznacza, że jeżeli liczba zespolona  \( \lambda \) jest wartością własną macierzy rzeczywistej  \( A \), to liczba  \( \overline{\lambda} \) również jest jej wartością własną. Ponadto, jeżeli  \( v \) jest wektorem własnym macierzy  \( A \) odpowiadającym wartości własnej  \( \lambda, \) to wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej  \( \overline{\lambda} \) jest wektor  \( \overline{v} \), tj. wektor którego współrzędne są sprzężeniami zespolonymi współrzędnych wektora  \( v \).


Wartości własne macierzy hermitowskich

Niech  \( A\in\mathbb{C}^{n\times n} \) będzie macierzą hermitowską. Przypuśćmy, że  \( \lambda \) jest wartością własną macierzy  \( A, \) zaś  \( v\neq0 \) odpowiadającym tej wartości własnej wektorem własnym, tj.  \( Av=\lambda v \). Wówczas, na podstawie definicji macierzy hermitowskiej oraz twierdzenia Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy, otrzymujemy kolejno

Na podstawie warunku ( 2 ) wnioskujemy, że  \( v^{\ast}v \neq0 \) (gdyż  \( v\neq 0 \)). Stąd oraz z uzyskanej równości ( \( \lambda-\overline{\lambda})v^{\ast}v=0 \) wynika, że  \( \lambda=\overline{\lambda} \). To oznacza, że wartość własna  \( \lambda \) jest liczbą rzeczywistą.

Definicja 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy

Sprzężeniem hermitowskim  macierzy  \( A=[a_{ij}]\in\mathbb{C}^{m\times n} \) nazywamy macierz  \( A^{\ast}=[a^{\ast}_{ij}]\in\mathbb{C}^{n\times m} \), której elementy spełniają warunek:
 \( a^{\ast}_{ij}=\overline{a_{ji}}, \)
dla  \( i=1,\ldots,n; j=1,\ldots,m \).

Definicja 2: Macierz hermitowska

Macierz  \( A\in\mathbb{C}^{n\times n} \) nazywamy macierzą hermitowską, jeżeli

 \( A^{\ast}=A. \)
Rzeczywistą macierz hermitowską, tj. macierz spełniającą warunek

 \( A^T=A, \)
nazywamy macierzą symetryczną.


Układy równań liniowych

Z układem równań liniowych ( 1 ) można powiązać macierz wymiaru  \( m\times n \)

nazywaną macierzą współczynników układu równań ( 1 ), oraz dwie macierze kolumnowe (które, dla ułatwienia, nazywać będziemy wektorami):

wektor  \( x \) nazywany wektorem niewiadomych, wektor  \( b \) to tzw. wektor prawej strony. Przy przyjętych oznaczeniach, układ równań ( 1 ) możemy zapisać w postaci macierzowej:

W przypadku, gdy liczba równań układu ( 1 ) jest równa liczbie niewiadomych, macierz układu jest macierzą kwadratową. Jeżeli dodatkowo jest to macierz nieosobliwa (czyli kwadratowa o wyznaczniku różnym od zera), wówczas układ równań ( 1 ) nazywamy układem Cramera. Rozwiązanie równania macierzowego ( 2 ) - a więc i układu ( 1 ) - można wówczas wyznaczyć wykorzystując odwrotność macierzy układu.

Metoda rozwiązywania układu równań liniowych oparta na twierdzeniu Rozwiązanie układu Cramera i zilustrowana w przykładzie Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą macierzy odwrotnej wymaga znajomości (lub wyznaczenia) macierzy odwrotnej układu. To praktycznie dyskwalifikuje tę metodę, gdyż w przypadku ogólnym nie istnieje algorytm dobrze radzący sobie z zadaniem odwracania macierzy. Stąd potrzeba metody rozwiązywania układów równań liniowych nie wymagającej znajomości macierzy odwrotnej. Jedna z takich metod oparta jest na tzw. wzorach Cramera.

Przedstawiona w przykładzie Wzory Cramera metoda rozwiązywania układu równań liniowych oparta na wzorach Cramera nie wykorzystuje macierzy odwrotnej układu. W przypadku układów  \( n \) równań liniowych o  \( n \) niewiadomych wymaga ona obliczenia  \( n+1 \) wyznaczników macierzy stopnia  \( n \). Wybranie niewłaściwej metody obliczania tych wyznaczników (np. w oparciu o rozwinięcie Laplace'a) spowoduje, że ze względu na olbrzymią liczbę operacji niezbędnych do przeprowadzenia w celu uzyskania wyniku, i ta metoda okaże się być bezużyteczna.

Rozważmy układ równań liniowych postaci ( 1 ). Niech  \( U \) będzie macierzą o wymiarze  \( m\times\left( n+1\right)  \) powstałą z macierzy  \( A \) wymiaru  \( m\times n \) układu ( 1 ) przez dołączenie do macierzy  \( A \) dodatkowej kolumny - wektora prawej strony  \( b \), tj.

Tak utworzoną macierz  \( U \) nazywamy macierzą uzupełnioną układu ( 1 ).

Z twierdzenia Kroneckera-Capelliego wynika, że dla każdego układu równań liniowych zachodzi jedna z trzech możliwości:

Definicja 1: Układ równań liniowych

Układ równań postaci

					(1)

								\( \left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.  \)

nazywamy układem   \( m \) równań liniowych o   \( n \) niewiadomych    \( x_{1},\ldots,x_{n}  \). Liczby rzeczywiste (lub zespolone)   \( a_{ij}  \) oraz   \( b_{i}  \) nazywamy współczynnikami układu.

Definicja 2: Układ równań jednorodny

Układ równań liniowych ( 1 ), dla którego   \( b_{i}=0  \), dla   \( i=1,\ldots,m  \), nazywamy układem jednorodnym.
Układ równań, który nie jest układem jednorodnym nazywamy układem niejednorodnym.


Metoda eliminacji Gaussa

Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego metodą eliminacji Gaussa. Metoda ta, niezwykle efektywna pod względem numerycznym (nie istnieje algorytm rozwiązywania układów równań wymagający istotnie mniejszej liczby działań niż metoda eliminacji Gaussa), polega na sprowadzeniu macierzy uzupełnionej, odpowiadającej rozwiązywanemu układowi równań, do uogólnionej postaci trójkątnej (nazywanej również postacią schodkową). Aby osiągnąć ten efekt, na macierzy uzupełnionej wykonujemy dwa rodzaje operacji:

Operacje te nie wpływają na rozwiązania układu, nie zmieniają też rzędu macierzy. Do uzyskanej po zastosowaniu tych operacji macierzy stosujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Warto przypomnieć w tym miejscu, że pierwsza z wymienionych powyżej operacji nie zmienia wartości wyznacznika macierzy, druga może zmienić jedynie jego znak. W efekcie, metoda eliminacji Gaussa może być z powodzeniem stosowana zarówno do obliczania rzędu i wyznacznika macierzy, jak i do wyznaczania macierzy odwrotnej.

Ideę metody eliminacji Gaussa wyjaśnimy na kilku przykładach.

Niech \(  A\in\mathbb{R}^{n\times n} \) będzie zadaną macierzą nieosobliwą (warunek ten gwarantuje istnienie macierzy  \( A^{-1} \) ) oraz niech  \( X_i \) oznacza  \( i \)-tą kolumnę poszukiwanej macierzy  \( A^{-1} \), tj.  \( A^{-1}=(X_1,\ldots, X_n)  \). Łatwo sprawdzić, że przy przyjętych oznaczeniach

Dzięki tej prostej obserwacji równanie  \( A\cdot X=I \), którego jedynym rozwiązaniem jest  \( X=A^{-1} \), możemy zapisać w postaci  \( n \) układów równań liniowych:

których rozwiązaniami są kolejne kolumny macierzy  \( A^{-1} \). Do rozwiązania każdego z tych układów równań możemy zastosować algorytm eliminacji Gaussa.

Zaproponowaną metodę wyznaczania macierzy odwrotnej, która w literaturze funkcjonuje również jako metoda Gaussa-Jordana, przedstawimy na prostym przykładzie.


Wektory w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej

Dwa różne punkty  \(  A( x_{A},y_{A},z_{A})  \),  \( B(x_{B},y_{B},z_{B}) \in \mathbb{R}^{3}  \) wyznaczają dwa wektory:

tj. wektor o początku w punkcie  \( A \) i końcu w punkcie  \( B \) oraz

tj. wektor o początku w punkcie  \( B \) i końcu w punkcie  \( A \). Wektor  \(  \overrightarrow{BA}  \) nazywamy wektorem przeciwnym do wektora  \(  \overrightarrow{AB}  \) (zob. Rys. 1 ). Zgodnie z definicją wprowadzonych poniżej działań na wektorach, suma dowolnego wektora oraz wektora do niego przeciwnego daje wektor zerowy   \(  \overrightarrow{0}=(0,0,0)  \), tj.

Z tego powodu wektor przeciwny do wektora  \(  \overrightarrow{AB}  \) będziemy również oznaczać jako  \(  - \overrightarrow{AB}  \), tj.

Warunek trzeci twierdzenia Własności długości wektora nazywany jest warunkiem trójkąta. Nazwę tę można uzasadnić w następujący sposób: długość każdego boku trójkąta nie przekracza sumy długości pozostałych jego boków (zob. Rys. 3 ), tzn. jeżeli wektory  \(  \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \) tworzą trójkąt, to:

Ta sama informacja zawarta jest w warunku (zob. Rys. 4 )

który równoważny jest warunkowi trzeciemu twierdzenia Własności długości wektora.

Definicja 1: Działania na wektorach

Niech  \(  \overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \in \mathbb{R}^{3}  \) oraz  \(  \overrightarrow{w}=(w_{x},w_{y},w_{z}) \in \mathbb{R}^{3}  \) będą dwoma wektorami oraz niech  \(  \alpha \in\mathbb{R}  \). Możemy wówczas zdefiniować wektor

								\(  \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=(v_{x}+w_{x},v_{y}+w_{y},v_{z}+w_{z})  \)

nazywany sumą wektorów  \(  \overrightarrow{v}  \) i  \(  \overrightarrow{w}  \) oraz wektor

								\(  \alpha \cdot \overrightarrow{v}=( \alpha v_{x},\alpha v_{y},\alpha v_{z})  \)

nazywany iloczynem wektora  \(  \overrightarrow{v}  \) przez skalar  \(  \alpha  \).

Definicja 2: Długość wektora

Z dowolnym wektorem  \(  \overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \in \mathbb{R}^{3}  \) możemy stowarzyszyć liczbę nieujemną  \( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert  \) określoną wzorem

								\(  \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert =\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}%};  \)

liczbę tę nazywamy długością wektora  \(  \overrightarrow{v}  \).


Iloczyn skalarny wektorów

Miara kąta skierowanego może być zarówno dodatnia jaki i ujemna (pomijamy tu sytuację w której ramię początkowe pokrywa się z ramieniem końcowym tworząc kąt o mierze zero). Jest ona ujemna, gdy kierunek obrotu ramienia początkowego w kierunku ramienia końcowego jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara (zob. Rys. 2a), w przeciwnym przypadku przyjmuje ona wartości dodatnie (zob. Rys. 2b).

Kąt wyznaczony przez wektory  \(  \overrightarrow{v} \) oraz  \(  \overrightarrow{w} \)  to taki kąt, którego ramionami są półproste o wspólnym początku, o kierunkach i zwrotach zgodnych z kierunkami i zwrotami odpowiednio wektora  \(  \overrightarrow{v}  \) oraz wektora  \(  \overrightarrow{w} \).  Dwa wektory wyznaczają dwa kąty o miarach łukowych równych odpowiednio  \(  \alpha \) oraz  \( 2\pi-\alpha \) (zob. Rys. 3 ). Zazwyczaj przyjmuje się, że przez kąt jaki tworzą dwa wektory rozumie się kąt wypukły, tj. ten o mniejszej mierze lub kąt półpełny w przypadku, gdy kąty te są równe. Miarę kąta (wypukłego) utworzonego przez wektory  \(  \overrightarrow{v}  \) i  \(  \overrightarrow{w} \) oznaczać będziemy symbolem  \(  \measuredangle (  \overrightarrow {v},\overrightarrow{w} )  \).

Łącząc ze sobą wzory ( 1 ) oraz ( 2 ) otrzymujemy przepis na miarę kąta między dwoma niezerowymi wektorami.

Definicja 1: Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym wektorów  \(  \overrightarrow{u}=(u_{x},u_{y},u_{z})  \) oraz  \(  \overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z})  \) nazywamy liczbę (skalar)  \(  \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}  \) określoną wzorem

					(1)

								\( \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}:=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}. \)

Przykład 1: Obliczanie iloczynu skalarnego wektorówDla wektorów  \( \overrightarrow{u}=(1,2,-1) \) oraz  \( \overrightarrow{v}=(0,3,1) \) mamy:

								\(  \begin{array}{l}\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{u}=1\cdot 1+ 2\cdot 2 + (-1)\cdot (-1) = 6,\\ \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}=0\cdot 0+ 3\cdot 3 + 1\cdot 1 = 10,\\ \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=1\cdot 0+ 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1= 5.\end{array} \)

Definicja 2: Kąt, ramiona kąta, wierzchołek kąta

Rozważmy dwie półproste o wspólnym początku  \( O \) zawarte w pewnej płaszczyźnie. Półproste te dzielą płaszczyznę na dwa wzajemnie dopełniające się obszary, obie półproste są ich wspólnym brzegiem (zob. Rys. 1 ). Każdy z tych obszarów (wraz z półprostymi) nazywamy kątem, półproste nazywamy ramionami kąta, ich wspólny początek  \( O \) nazywamy wierzchołkiem kąta.

Definicja 3: Kąt skierowany

Po ustaleniu kolejności półprostych tworzących kąt otrzymamy kąt skierowany - pierwszą z tych półprostych nazwiemy ramieniem początkowym, drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.

Definicja 4: Ortogonalność

Niech  \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}%\in\mathbb{R}^{3} \). Jeżeli  \( \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=0, \) to piszemy  \( \overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{w} \) i mówimy, że wektory  \(  \overrightarrow{v} \) i  \( \overrightarrow{w} \) są ortogonalne.


Iloczyn wektorowy

Wzór ( 1 ) można wyrazić równoważnie w łatwej do zapamiętania postaci symbolicznego wyznacznika

gdzie  \( \overrightarrow{i}=\left( 1,0,0\right)  \),  \( \overrightarrow{j}=\left(0,1,0\right)  \),  \( \overrightarrow{k}=\left( 0,0,1\right)  \).

Z powyższego twierdzenia wynika następujący wniosek.

Kartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni  \( \mathbb{R}^{3} \) nazywamy trzy ustalone wzajemnie prostopadłe proste przecinające się w jednym punkcie nazywanym początkiem układu współrzędnych. Zwyczajowo proste te oznacza się  \( Ox \),  \( Oy \) oraz \( Oz \) i nazywa się osiami układu współrzędnych \( Oxyz \). Jako początek układu współrzędnych  \( Oxyz \) zwykle przyjmuje się punkt  \( (0,0,0) \).

W układzie współrzędnych  \( Oxyz \) można wprowadzić dwie orientacje: orientację dodatnią (układ prawoskrętny) oraz ujemną (układ lewoskrętny). Orientacja układu zależy od wzajemnego położenia osi układu  \( Ox \),  \( Oy \) oraz  \( Oz \). Jeżeli wyprostowany kciuk prawej ręki umieścimy w ten sposób, aby wskazywał dodatnią część osi  \( Oz \), a zgięte palce wskażą kierunek obrotu od osi  \( Ox \) do osi  \( Oy \) (odpowiednio: od osi  \( Oy \) do osi  \( Ox \) to wówczas mamy do czynienia z układem prawoskrętnym (lewoskrętnym).

Iloczyn wektorowy dwóch niezerowych, nierównoległych wektorów  \( \overrightarrow{u} \) oraz  \( \overrightarrow{v} \) ma tę własność, że uporządkowana (istotna kolejność) trójka wektorów  \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} \) ma orientację dodatnią, tzn. jeżeli ułożymy prawą dłoń w ten sposób, aby zgięte palce wskazywały kierunek obrotu od wektora  \( \overrightarrow{u} \) do wektora \( \overrightarrow{v} \), to wyprostowany kciuk wskaże kierunek oraz zwrot wektora  \( \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} \) (zob. Rys. 3 ).

Definicja 1: Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym wektorów  \(  \overrightarrow{v}=\left(  v_{x},v_{y},v_{z}\right)\in\mathbb{R}^{3} \) oraz  \(  \overrightarrow{w}=\left(w_{x},w_{y},w_{z}\right)\in\mathbb{R}^{3} \) nazywamy wektor  \(  \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w} \) określony wzorem

(1)

								\( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}:=\left(  v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y},v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z},v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}\right). \)


Iloczyn mieszany

Łatwo sprawdzić, że iloczyn mieszany wektorów jest wyznacznikiem macierzy, której wiersze są współrzędnymi tych wektorów, tj. dla \( \overrightarrow{u}=\left( u_{x},u_{y},u_{z}\right)  \) , \( \overrightarrow{v}=\left( v_{x},v_{y},v_{z}\right) \) oraz  \( \overrightarrow{w}=\left( w_{x},w_{y},w_{z}\right)  \) :

Definicja 1: Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów  \(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \) nazywamy liczbę  \(  \left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)  \) określoną wzorem

(1)

								\( \left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right):=\left(  \overrightarrow {u}\times\overrightarrow{v}\right)  \circ\overrightarrow{w}\text{.} \)


Proste w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej

Jest to tzw. równanie parametryczne prostej.

nazywane równaniem kierunkowym prostej, opisuje prostą   \( l  \) przechodzącą przez punkt  \( P\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)  \) i równoległą do wektora   \( \overrightarrow{v}=\left( v_{x},v_{y},v_{z}\right)  \) o niezerowych współrzędnych (zob. Rys. 2a).

Częścią wspólną tych płaszczyzn jest prosta

równanie ( 3 ) to jej równanie krawędziowe (zob. Rys. 2b).

Definicja 1: Wektor kierunkowy prostej

Wektor   \( \overrightarrow{v}   \) jest równoległy do prostej  \( l \), jeżeli dla dowolnych dwóch jej punktów  \( A \) i  \( B \) wektory   \(  \overrightarrow{AB}  \) oraz  \( \overrightarrow{v}  \) są równoległe.

Każdy wektor równoległy do prostej nazywamy jej wektorem kierunkowym (zob. Rys. 1 ).


Płaszczyzny w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej

Równanie płaszczyzny  \( \pi \) przechodzącej przez punkt   \( P\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)   \) oraz prostopadłej do niezerowego wektora   \( \overrightarrow{n}=\left(  A,B,C\right)   \) ma postać

Jest to tzw. równanie normalne płaszczyzny.

Każde trzy niewspółliniowe (nieleżące na jednej prostej) punkty   \( P_{i}\left(  x_{i},y_{i},z_{i}\right)  \), gdzie   \( i=1,2,3  \), wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę  \( \pi \), która je zawiera. Równanie tej płaszczyzny ma postać:

Jest to tzw. wyznacznikowe równanie płaszczyzny.

w którym  \( a,b,c \) są liczbami różnymi od zera, nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny  \( \pi \).

Płaszczyzna opisana równaniem ( 3 ) przecina osie   \( Ox,Oy  \) oraz   \( Oz  \) układu współrzędnych   \( Oxyz  \) w punktach równych odpowiednio   \( P_{x}\left(  a,0,0\right)   \),   \( P_{y}\left(  0,b,0\right)   \),   \( P_{z}\left(0,0,c\right)   \).

Równanie płaszczyzny  \( \pi \) przechodzącej przez punkt   \( P\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)   \) i równoległej do dwóch niezerowych, nierównoległych wektorów   \( \overrightarrow{v}=\left(  v_{x},v_{y},v_{z}\right)  \) oraz   \( \overrightarrow{w}=\left(  w_{x},w_{y},w_{z}\right)   \) ma postać:

Jest to tzw. równanie parametryczne płaszczyzny.

Definicja 1: Wektor normalny płaszczyzny

Wektor   \( \overrightarrow{n}  \) jest prostopadły do płaszczyzny   \( \pi  \), jeżeli dla dowolnych dwóch jej punktów  \( A  \) i   \( B  \) wektory  \( \overrightarrow{AB} \) oraz   \( \overrightarrow{n}  \) są prostopadłe.

Każdy niezerowy wektor prostopadły do płaszczyzny nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny  (zob. Rys. 1 ).


Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn

Kąt między dwiema prostymi to kąt ostry (lub prosty, gdy proste są prostopadłe) utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych. Kąt między dwiema płaszczyznami (zob. Rys. 6a) to kąt ostry (lub prosty, gdy płaszczyzny są prostopadłe) utworzony przez wektory normalne tych płaszczyzn (zob. Rys. 6b).

Kąt między prostą i płaszczyzną (zob. Rys. 7a), to kąt o mierze  \( \frac{\pi}{2}-\alpha, \) gdzie  \( \alpha \) to miara kąta ostrego (lub prostego, gdy prosta i płaszczyzna są równoległe) jaki tworzą wektor kierunkowy prostej oraz wektor normalny płaszczyzny (zob. Rys. 7b).

Odległość punktu  \(  P\left(  x_{0},y_{0},z_{0}\right)  \) od płaszczyzny  \(  \pi:Ax+By+Cz+D=0 \) wyraża się wzorem (zob. Rys. 8a)

Rozważmy punkt  \( P \) oraz prostą  \( l \) przechodzącą przez punkt  \( P_{0} \) i równoległą do wektora  \( \overrightarrow{v} \). Przypuśćmy, że punkt  \( P \) nie leży na prostej  \( l \). Wówczas, wektory  \( \overrightarrow{P_0P} \) oraz  \( \overrightarrow{v} \) tworzą równoległobok (zob. Rys. 8b). Pole tego równoległoboku, równe iloczynowi długości podstawy  \( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \) i wysokości  \( h \), możemy obliczyć również wykorzystując stosowną własność iloczynu wektorowego:

Poszukiwana odległość  \( d(P,l) \) punktu  \( P \) od prostej  \( l \), równa wysokości  \( h \) równoległoboku rozpiętego przez wektory  \( \overrightarrow{v} \) oraz  \( \overrightarrow{P_0P} \), wyraża się więc wzorem:

Niech  \( \pi \) będzie płaszczyzną o wektorze normalnym  \( \overrightarrow{n} \), a  \( l \) prostą o wektorze kierunkowym  \( \overrightarrow{v} \). Aby odległość prostej  \( l \) od płaszczyzny  \( \pi \) była niezerowa (tj. aby prosta nie przecinała płaszczyzny) wektory  \( \overrightarrow{n} \) i  \( \overrightarrow{v} \) muszą być prostopadłe. W takiej sytuacji, odległość prostej od płaszczyzny jest równa odległości dowolnego punkty prostej od płaszczyzny. Aby wyznaczyć tę odległość, wybieramy dowolny punkt prostej, następnie stosujemy wzór ( 4 ).

Rozważmy dwie płaszczyzny równoległe  \( \pi_1 \) oraz  \( \pi_2 \) o wspólnym wektorze normalnym  \( \overrightarrow{n}=(A,B,C) \), tj.:

Niech  \( l_{1} \) (odpowiednio  \( l_{2} \)) będzie prostą przechodzącą przez punkt  \( P_{1} \) (odpowiednio  \( P_{2} \) ) równoległą do wektora  \( \overrightarrow{v_{1}} \) (odpowiednio  \( \overrightarrow{v_{2}} \)).

Przypuśćmy, że proste  \( l_1 \) oraz  \( l_2 \) są równoległe. Możemy wówczas przyjąć (nie tracąc ogólności), że proste te mają wspólny wektor kierunkowy, tj.   \( \overrightarrow{v_1} =\overrightarrow{v_2} \). W celu wyznaczenia odległości pomiędzy prostymi   \( l_1 \) oraz  \( l_2 \), wystarczy na jednej z tych prostych, powiedzmy na prostej  \( l_2 \), wybrać dowolny punkt  \( P_2 \), następnie, korzystając ze wzoru ( 5 ) na odległość punktu od prostej, wyznaczyć odległość prostej  \( l_1 \) od punktu  \( P_2 \). Otrzymana wartość, równa odległości między równoległymi prostymi  \( l_1 \) oraz  \( l_2 \), wyraża się wzorem:

Poszukiwana odległość  \( d(l_1,l_2) \) pomiędzy prostymi skośnymi  \( l_1 \) oraz  \( l_2 \), równa wysokość  \( h \) równoległościanu rozpiętego przez wektory   \( \overrightarrow{v_{1}} \),  \( \overrightarrow{v_{2}} \) oraz  \( \overrightarrow{P_{2}P_{1}} \), wyraża się więc wzorem:

Rozważmy punkt  \( P \) oraz prostą  \( l \) przechodzącą przez punkt  \(  P_{0} \) i równoległą do wektora  \(  \overrightarrow{v} \) . Przypuśćmy, że punkt  \( P \) nie leży na prostej  \( l \). Wówczas, wektory  \(  \overrightarrow{P_0P} \) oraz  \(  \overrightarrow{v} \) tworzą równoległobok (zob. Rys. 8b). Pole tego równoległoboku, równe iloczynowi długości podstawy  \(  \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \)  i wysokości  \( h \), możemy obliczyć również wykorzystując stosowną własność iloczynu wektorowego:  \( h\cdot \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert=\left\Vert \overrightarrow{P_{0}P}\times \overrightarrow{v}\right\Vert.  \) Poszukiwana odległość  \(  d(P,l) \)  punktu  \( P \)  od prostej  \( l \) , równa wysokości  \( h \)  równoległoboku rozpiętego przez wektory  \(  \overrightarrow{v} \)  oraz  \(  \overrightarrow{P_0P} \) , wyraża się więc wzorem:

Niech  \( \pi \) będzie płaszczyzną o wektorze normalnym  \(  \overrightarrow{n} \), a  \( l \) prostą o wektorze kierunkowym  \(  \overrightarrow{v} \) . Aby odległość prostej  \( l \) od płaszczyzny  \( \pi \) była niezerowa (tj. aby prosta nie przecinała płaszczyzny) wektory  \(  \overrightarrow{n} \)  i  \(  \overrightarrow{v} \)  muszą być prostopadłe. W takiej sytuacji, odległość prostej od płaszczyzny jest równa odległości dowolnego punkty prostej od płaszczyzny. Aby wyznaczyć tę odległość, wybieramy dowolny punkt prostej, następnie stosujemy wzór ( 4 ).

Niech  \( l_{1} \) (odpowiednio  \( l_{2} \)) będzie prostą przechodzącą przez punkt  \( P_{1} \) (odpowiednio  \( P_{2} \)) równoległą do wektora  \( \overrightarrow{v_{1}} \) (odpowiednio  \( \overrightarrow{v_{2}} \)).

Przypuśćmy, że proste  \( l_1 \)oraz  \( l_2 \) są równoległe. Możemy wówczas przyjąć (nie tracąc ogólności), że proste te mają wspólny wektor kierunkowy, tj.   \( \overrightarrow{v_1} =\overrightarrow{v_2} \). W celu wyznaczenia odległości pomiędzy prostymi   \( l_1 \) oraz  \( l_2 \), wystarczy na jednej z tych prostych, powiedzmy na prostej  \( l_2 \), wybrać dowolny punkt  \( P_2 \), następnie, korzystając ze wzoru ( 5 ) na odległość punktu od prostej, wyznaczyć odległość prostej  \( l_1 \) od punktu  \( P_2 \). Otrzymana wartość, równa odległości między równoległymi prostymi  \( l_1 \) oraz  \( l_2 \), wyraża się wzorem:

Przypuśćmy, że proste  \( l_{1} \) i  \( l_{2} \) nie są równoległe. Oznacza to, że wektory kierunkowe tych prostych, równe odpowiednio  \( \overrightarrow{v_{1}} \) oraz  \( \overrightarrow{v_{2}} \), spełniają warunek

Z wektorów  \( \overrightarrow{v_{1}} \),  \( \overrightarrow{v_{2}} \) oraz  \( \overrightarrow{P_{2}P_{1}} \) możemy zatem utworzyć równoległościan (zob. Rys. 10 ), którego objętość, równa iloczynowi pola podstawy  \( \left\Vert\overrightarrow{v_{1}}\times\overrightarrow{v_{2}}\right\Vert \) i wysokości  \( h \), można również wyrazić przy pomocy Iloczyn mieszany-Zastosowanie iloczynu mieszanego trójki wektorów  \( \overrightarrow{v_{1}} \),  \( \overrightarrow{v_{2}} \) oraz  \( \overrightarrow{P_{2}P_{1}} \)


Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory

Definicja 1: Funkcja pierwotna

Rozważmy przedział  \(  I  \) zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych (  \( I\subset \mathbb{R}  \) ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym punkcie przedziału  \(  I  \) nazywamy   funkcją pierwotną funkcji  \(  f  \) w przedziale  \(  I  \)  , jeżeli w każdym punkcie  \(  x\in I  \) zachodzi  \(  F ^{\prime} (x) = f(x)  \) (tj. gdy w każdym punkcie z przedziału  \(  I  \) pochodna funkcji  \(  F  \) równa się wartości funkcji  \(  f  \) ).

Definicja 2: Całka nieoznaczona

Rodzinę wszystkich   funkcji pierwotnych  funkcji  \(  f  \) w przedziale  \(  I  \) nazywamy  całką nieoznaczoną funkcji  \(  f  \) w przedziale  \(  I  \)  i oznaczamy ją symbolem  \(  \int f(x)\, dx  \). Zatem

								\(  \int f(x)\, dx = F(x) + c \Leftrightarrow F ^{\prime} (x) = f(x) \, .  \)


Całkowanie przez podstawianie całek nieoznaczonych

W kolejnych przykładach oprócz twierdzenia o całkowaniu przez podstawianie będziemy wykorzystywać wzory podstawowe, twierdzenie o całce sumy oraz twierdzenie o wyciąganiu stałej przed znak całki.


Całkowanie przez części całek nieoznaczonych

W dalszej części przedstawimy zastosowanie powyższego twierdzenia. Oprócz niego wykorzystamy inne twierdzenia, tj. wzory podstawowe, twierdzenie o całce sumy, twierdzenie o wyciąganiu stałej przed znak całki oraz  twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie .

W poniższej uwadze podsumowano dotychczasowe przykłady.


Rozkład funkcji wymiernej na sumę wielomianu i ułamka wymiernego. Rozkład wielomianu na czynniki

Zauważmy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą (tj.  \( st.P(x) \geq st.Q(x) \)) można przedstawić jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej poprzez wykonanie dzielenia wielomianów z resztą. Kilka przykładów pozwoli nam się zapoznać z technikami przekształcania funkcji wymiernej niewłaściwej na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

Definicja 1: Funkcja wymierna

Funkcję  \(  W(x)=\frac{ P(x) }{ Q(x) }  \) nazywamy funkcją wymierną , jeśli   \(  P(x)  \) i  \( Q(x)   \) są wielomianami dowolnego stopnia.

Jeśli stopień wielomianu  \(  P(x)  \) jest mniejszy niż stopień wielomianu  \(  Q(x),  \) to funkcję   \(  W(x)  \) nazywamy funkcją wymierną właściwą (ułamkiem wymiernym) .


Ułamki proste. Rozkład ułamka wymiernego na ułamki proste

Jeżeli w ułamku wymiernym rozłożymy wielomian występujący w mianowniku tego ułamka na czynniki, to w rozkładzie pojawią się jedynie czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe w pewnych potęgach. W związku z tym podamy następujące definicje tak zwanych  ułamków prostych  jedynie dwóch rodzajów. W ułamku prostym pierwszego rodzaju, w mianowniku jest czynnik liniowy w pewnej potędze, a w liczniku stała. Natomiast w ułamku prostym drugiego rodzaju, w mianowniku jest nierozkładalna na iloczyn funkcja kwadratowa w pewnej potędze, a w liczniku czynnik liniowy.

Definicja 1: Ułamek prosty

Funkcję postaci  \(  f(x)=\frac{ A }{ (x-a)^k }  \) , gdzie   \( a,A \in \mathbb{ R }  \) i  \(  k \in \mathbb{ N }\backslash \{ 0\} \) nazywamy  ułamkiem prostym pierwszego rodzaju  .
Funkcję  \(  f(x)=\frac{ Bx+C }{ (x^2+bx+c)^l }  \), gdzie  \( b,c,B,C \in \mathbb{ R }  \),  \(  l \in \mathbb{ N }\backslash \{ 0\} \) oraz wielomian  \(  x^2+bx+c \) jest wielomianem nieposiadającym pierwiastków, tzn.  \(   \Delta =b^2-4c<0 \) nazywamy  ułamkiem prostym drugiego rodzaju  .


Całkowanie ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju


Całka z dowolnej funkcji wymiernej - kompletna procedura i przykłady

Procedura obliczania całki z funkcji wymiernej:

Definicja 1: Całka z funkcji wymiernej

Jeżeli  \( P(x), Q(x) \) są to dowolne wielomiany ( \( Q(x) \neq 0 \)), to całkę

								\(  \int \frac{ P(x) }{ Q(x) }dx \)

					 nazywamy całką z funkcji wymiernej.


Całki z funkcji trygonometrycznych

Zauważmy, że głównym celem podstawień trygonometrycznych jest zamiana całki z funkcji trygonometrycznych na całkę z funkcji wymiernej. To, w jaki sposób należy korzystać z podstawień trygonometrycznych, przybliżą nam poniższe przykłady.


Wzory rekurencyjne w całce z funkcji trygonometrycznych


Całka z pierwiastkami dowolnego stopnia z funkcji liniowej lub homograficznej

Głównym celem podstawienia w całce z pierwiastkiem z funkcji homograficznej jest to, aby zamiast rozwiązywać całkę z funkcji niewymiernej mieć do rozwiązywania całkę z funkcji wymiernej. Poniższe przykłady przybliżą nam w jaki sposób należy postępować w obliczaniu całki, w której występuje pierwiastek z funkcji liniowej albo homograficznej.


Podstawienia Eulera


Obliczanie pewnych całek niewymiernych metodą współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Aby obliczyć wszystkie niewiadome (współczynniki), stosujemy metodę Lagrange'a według następującego algorytmu:


Podstawienia trygonometryczne w całce niewymiernej


Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Definicja całki oznaczonej Riemanna

Niech  \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) będzie funkcją ograniczoną. Dla każdej liczby naturalnej  \( n \) wybierzmy pewne elementy  \( x_0, \ldots, x_n \) należące do przedziału  \( [a,b] \), które spełniają następujące zależności:

Zbiór  \( \Delta_n=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\} \) nazywamy  \( n \)-tym podziałem przedziału  \( [a,b] \) odpowiadającym ustalonej liczbie  \( n \). Dla  \( n \)-tego podziału przedziału  \( [a,b] \) oznaczmy przez  \( \Delta x_k \) długość dowolnego podprzedziału  \( [x_{k-1},x_k] \), tzn.

gdzie  \( k \in \{1,2,\ldots,n\} \). Liczbę  \( \Delta x_k \) nazywamy średnicą podprzedziału  \( [x_{k-1},x_k] \). Niech  \( \delta_n \) będzie największą ze średnic wszystkich podprzedziałów  \( [x_{k-1},x_k] \) występujących w  \( n \)-tym podziale przedziału  \( [a,b] \), czyli

Następnie dla każdego  \( k \in \{1,2,\ldots,n\} \) wybierzmy pewien element  \( \xi_k \in [x_{k-1},x_k] \) zwany punktem pośrednim podziału  \( \Delta_n \).

Oznacza to de facto, że gdy  \( n \) rośnie, to uzyskane podprzedziały (czyli części, na które dzielimy przedział  \( [a,b] \)) są coraz mniejsze.

Przejdźmy do definicji całki oznaczonej Riemanna funkcji ograniczonej.

W powyższej całce liczbę  \( a \) nazywamy dolną granicą całkowania, liczbę  \( b \) górną granicą całkowania, natomiast  \( f \) funkcją podcałkową. Jeżeli  \( a \) i  \( b \) są takimi liczbami rzeczywistymi, że  \( a \lt b \), to przyjmujemy, że

Ponadto dla liczby rzeczywistej  \( a \) przyjmujemy, że

Przyjrzyjmy się, w jaki sposób można obliczyć całkę oznaczoną Riemanna korzystając z jej definicji.

Wykażemy teraz, że nie każda funkcja ograniczona jest całkowalna.

Definicja 1: n-ta suma całkowa Riemanna

 Niech

								\( S_n=\sum\limits_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k. \)

Powyższą sumę  \( S_n \) nazywamy  \( n \)-tą sumą całkową Riemanna  funkcji  \( f \) w przedziale  \( [a,b] \).

Definicja 2: Normalny ciąg podziałów przedziału

Mówimy, że ciąg  \( (\Delta_n)_{n=1}^{\infty} \) podziałów przedziału  \( [a,b] \) jest normalny, jeżeli  \( \lim\limits_{n \to \infty}\delta_n=0 \).

Definicja 3: Całka oznaczona Riemanna

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu  \( (\Delta_n)_{n=1}^{\infty} \) podziałów przedziału  \( [a,b] \) ciąg  \( (S_n)_{n=1}^{\infty} \)  \( n \)-tych sum całkowych Riemanna jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów pośrednich  \( \xi_k \) ( \( k=1,\ldots,n \)), to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemanna  funkcji  \( f \) na przedziale  \( [a,b] \) i oznaczamy  symbolem  \( \int_a^b f(x) dx \), tzn.

								\( I=\int\limits_a^b f(x) dx := \lim\limits_{n \to \infty} S_n.  \)


Własności całki Riemanna

Przedstawimy teraz kilka podstawowych własności całki oznaczonej wynikających bezpośrednio z jej definicji.

Dzięki temu rezultatowi, w pewnych szczególnych sytuacjach jesteśmy w stanie porównać wartości rozpatrywanych całek, nawet jeżeli bezpośrednie wyliczenie całek jest trudne lub wręcz niemożliwe.

DOWÓD Zauważmy, że  \( -|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)| \) dla każdego  \( x \in [a,b] \). Całkując powyższe nierówności w granicach od  \( a \) do  \( b \), otrzymujemy

co z własności modułu implikuje żądaną nierówność. CND.

Konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.


Twierdzenie o średniej całkowej funkcji

DOWÓD Na wstępie zauważmy, że dzięki ciągłości funkcji  \( f \) na mocy twierdzenia Weierstrassa wartości

są skończone. Wtedy dla dowolnego  \( x \in [a,b] \) mamy  \( m \leq f(x) \leq M \). Całkując te nierówności w granicach od  \( a \) do  \( b \), otrzymujemy

Ponieważ funkcja ciągła w przedziale  \( [a,b] \) posiada własność Darboux, to dla każdej wartości  \( y \in [m,M] \) istnieje taki argument  \( x \in [a,b] \), że  \( y=f(x) \). W szczególności dla zdefiniowanego powyżej elementu  \( y_0 \) można znaleźć taki argument  \( c \in [a,b] \), że  \( y_0=f(c) \), co oznacza, że


Pierwsze zasadnicze twierdzenie rachunku całki oznaczonej Riemanna - twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania

DOWÓD Zauważmy, że twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania w oczywisty sposób jest prawdziwe dla funkcji  \( f \) tożsamościowo równej zero, gdyż wtedy funkcja  \( F \) jest również tożsamościowo równa zero. Rozpatrzmy przypadek, gdy  \( f \) osiąga wartość niezerową w pewnym punkcie przedziału  \( [a,b] \). Ustalmy  \( x_0 \in [a,b] \). Wówczas dla  \( x \in [a,b] \) otrzymujemy

Korzystając z nierówności dla całek, możemy oszacować od góry ostatni z wyrazów, jak następuje:

gdzie  \(  M \gt 0  \) jest maksymalną wartością funkcji  \(  |f|  \) w przedziale  \(  [a,b]. \) Wartość ta jest osiągana na mocy  twierdzenia Weierstrassa, gdyż  \( f \), a w konsekwencji  \( |f| \), jest funkcją ciągłą w domkniętym przedziale ograniczonym. Ustalmy dowolną liczbę  \(  \varepsilon \gt 0.  \) Przyjmując  \(  \delta=\frac{\varepsilon}{M}  \), dla każdego  \( x \) z dziedziny funkcji  \( F \) takiego, że  \(  |x-x_0| \lt \delta  \), wnioskujemy, że

a więc funkcja  \( F \) jest ciągła w punkcie  \(  x_0  \). Przejdźmy do dowodu drugiej części twierdzenia. Rozważmy przypadek, gdy  \( x_0 \in (a,b) \). (Jeżeli  \( x_0=a \) lub  \( x_0=b \), to dalsza część dowodu przebiega analogicznie.)  Korzystając z definicji pochodnej oraz przepisu funkcji  \(  F  \), otrzymujemy

Powołując się na twierdzenie , wnioskujemy, że dla każdego  \( x \) leżącego między  \(  x_0  \) a  \(  b  \) istnieje punkt  \(  c \in (x_0, x)  \) taki, że

Wykazaliśmy w ten sposób, że pochodna prawostronna funkcji  \( F \) w punkcie  \( x_0 \) jest równa  \( f(x_0) \). W analogiczny sposób wykazujemy, że pochodna lewostronna funkcji  \( F \) w punkcie  \( x_0 \) również wynosi  \( f(x_0) \). To implikuje, że  \( F^{\prime}(x_0)=f(x_0) \). CND.


Drugie zasadnicze twierdzenie rachunku całki oznaczonej Riemanna - twierdzenie Newtona-Leibniza

Podamy drugie podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, zwane twierdzeniem Newtona-Leibniza, które pozwala powiązać całkę oznaczoną funkcji ciągłej z całką nieoznaczoną.

Skoro funkcja  \( f \) jest ciągła, to na mocy twierdzenia o funkcji górnej granicy całkowania funkcja  \( F \) jest różniczkowalna i zachodzi równość  \( F^{\prime}(x)=f(x) \) we wszystkich punktach  \( x \in (a,b) \). Oznacza to, że  \( F \) jest funkcją pierwotną funkcji  \( f \). Ponieważ każde dwie funkcje pierwotne danej funkcji różnią się o stałą, to dla pewnej liczby rzeczywistej  \( C \) oraz dowolnego  \( x \in [a,b] \) zachodzi równość

a skoro  \( F(a)=\int\limits_a^a f(t) dt=0 \), to możemy kontynuować obliczenia, zapisując

gdzie ostatnia równość wynika z ( 2 ). Połączenie ( 3 ) z ( 4 ) implikuje żądany wzór i kończy dowód twierdzenia. CND.

Różnicę wartości funkcji pierwotnej na końcach przedziału występującą we wzorze ( 1 ) zapisujemy również w następujący sposób:


Całkowanie przez części całek oznaczonych

Podamy teraz niezwykle ważny wzór służący do obliczania całek oznaczonych, który uzasadnimy przy pomocy twierdzenia Newtona-Leibniza.

Skoro  \( (fg)^{\prime}=fg^{\prime} + f^{\prime}g \), to

Stosując do funkcji podcałkowej  \( fg^{\prime}+f^{\prime}g \) w przedziale  \( [a,b] \) twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy

Zastosujmy powyższe twierdzenie do obliczenia przykładowych całek oznaczonych.


Całkowanie przez podstawianie całek oznaczonych

Podamy twierdzenie, które podobnie jak , stanowi bardzo użyteczne narzędzie do obliczania całek oznaczonych.

DOWÓD Skoro funkcja  \( f \) jest ciągła, to posiada funkcję pierwotną  \( g \), a zatem  \( f=g^{\prime} \). W konsekwencji

Zauważmy, że w powyższych obliczeniach dwukrotnie użyliśmy twierdzenie Newtona-Leibniza, za pierwszym razem stosując je do funkcji podcałkowej  \( (g \circ \varphi)^{\prime} \) oraz jej funkcji pierwotnej  \( g \circ \varphi \), a dalej do funkcji podcałkowej  \( f \) oraz jej funkcji pierwotnej  \( g \). Ponadto przedostatnia równość została uzyskana dzięki założeniu, że  \( \varphi(\alpha)=a \) i  \( \varphi(\beta)=b \). CND.

Zastosujmy twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie do obliczenia przykładowych całek oznaczonych.

Na podstawie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie możemy sformułować natępujące wnioski.

Dokonując w pierwszej z całek występujących w powyższej sumie podstawienia  \( t=-x \) i stosownej zmiany granic całkowania

Ostatnia równość wynika z faktu, że  \( f \) jest funkcją parzystą oraz zamiany symbolu zmiennej całkowania z  \( t \) na  \( x \). CND.

Rozumując analogicznie jak powyżej, możemy otrzymać kolejny rezultat.

Powyższe wnioski mają dość duże znaczenie w praktycznych obliczeniach, gdyż niejednokrotnie prościej jest znaleźć wartość funkcji pierwotnej w zerze niż w  \( -a \). W szczególności powyższy wniosek pozwala natychmiast podać wartość liczbową niektórych całek bez konieczności przeprowadzania złożonych rachunków.


Całki niewłaściwe

Przypomnijmy, że pojęcie całki oznaczonej Riemanna zostało przez nas zdefiniowane dla funkcji ograniczonej, określonej na przedziale domkniętym i ograniczonym. Ze względu na praktyczne zastosowania istnieje potrzeba rozszerzenia tego pojęcia na przypadek funkcji działającej na przedziale nieograniczonym lub funkcji nieograniczonej. Na początek zdefiniujmy całkę niewłaściwą funkcji określonej na przedziale postaci  \( [a,+\infty) \), następnie  \( (-\infty,b] \), a dalej na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Należy podkreślić, że jeżeli całka  \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \) jest zbieżna, to można wykazać, że jej wartość nie zależy od wyboru punktu  \( a \in \mathbb{R} \) w powyższej definicji.

Sformułujmy teraz definicję całki niewłaściwej funkcji nieograniczonej określonej na przedziale ograniczonym.

W analogiczny sposób definiujemy całkę niewłaściwą Riemanna II rodzaju w przypadku, gdy funkcja  \(  (f:(a,b] \to \mathbb{R}) \) jest całkowalna w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych  \( [\alpha, b] \), przy czym  \( (a < \alpha < b) \), oraz jest nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu  \( (a) \). Wówczas przyjmujemy, że

W tej sytuacji analogicznie jak wyżej definiuje się pojęcia zbieżności i rozbieżności całki niewłaściwej.

Obliczmy teraz całkę podobną do tej z przykładu 2, w którym przedział całkowania był nieograniczony. Po wykonaniu poniższych obliczeń warto porównać wyniki uzyskane w obu przykładach.

Definicja 1: Całka niewłaściwa Riemanna I rodzaju w przedziale  \( [a,+\infty) \) lub  \( (-\infty,b] \)

 Niech  \( f:[a,+\infty) \to \mathbb{R} \) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych  \( [a,\beta] \), gdzie  \( a < \beta \). Całką niewłaściwą Riemanna I rodzaju  funkcji  \( f \) nazywamy granicę

								\(  \lim\limits_{\beta \to +\infty} \int\limits_a^{\beta} f(x)dx  \)

					 i oznaczamy ją symbolem

								\(  \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx \)

					.
Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa  \( \int_a^{+\infty} f(x)dx \) jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa  \( \int_a^{+\infty} f(x)dx \) jest rozbieżna.

Rysunek 1:  Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna I rodzaju w przedziale \( [a, +\infty) \)

W analogiczny sposób definuje się całkę niewłaściwą Riemanna I rodzaju  \( \int_{-\infty}^b f(x)dx \) funkcji  \( f \) określonej na przedziale  \( (-\infty,b] \), jak również pojęcia jej zbieżności i rozbieżności. Przyjmujemy wówczas, że

								\( \int\limits_{-\infty}^b f(x)dx:=\lim\limits_{\alpha \to -\infty} \int\limits_{\alpha}^b f(x)dx. \)

Definicja 2: Całka niewłaściwa Riemanna I rodzaju w zbiorze liczb rzeczywistych

Niech  \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna w każdym przedziale domkniętym  \( [\alpha,\beta] \) zawartym w  \( \mathbb{R} \). Całkę niewłaściwą Riemanna I rodzaju funkcji  \( f \) w  \( \mathbb{R} \) definujemy jako

								\( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx := \int\limits_{-\infty}^{a} f(x)dx + \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx, \)

gdzie  \( a \) jest dowolnie wybranym punktem z  \( \mathbb{R} \). Jeżeli obie całki w powyższej sumie są zbieżne, to mówimy, że całka  \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \) jest zbieżna. Gdy któraś z tych całek nie istnieje lub jest rozbieżna, to mówimy, że całka  \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \) jest rozbieżna.

Definicja 3: Całka niewłaściwa Riemanna II rodzaju w przedziale  \( [a,b) \) lub  \( (a,b] \)

Niech  \(  (f:[a,b) \to \mathbb{R})  \) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych  \( [a,\beta] \), przy czym  \( ( a < \beta < b)  \). Załóżmy, że funkcja  \( (f) \) jest nieograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu  \( (b) \). Całką niewłaściwą Riemanna II rodzaju  funkcji  \( (f) \) nazywamy granicę

								\( \lim\limits_{\beta \to b^-} \int\limits_a^{\beta} f(x)dx \)

i oznaczamy ją symbolem

								\( \int\limits_a^b f(x)dx. \)

Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa  \( \int_a^b f(x)dx \) jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa  \( \int_a^b f(x)dx \) jest rozbieżna.

Definicja 4: Całka niewłaściwa Riemanna II rodzaju w przedziale  \( (a,b) \)

Niech  \( (f:(a,b) \to \mathbb{R}) \) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych  \( [\alpha,\beta] \) , przy czym  \( (a < \alpha < \beta < b) \). Załóżmy, że funkcja  \( (f) \) jest nieograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu  \( (a) \) oraz  w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu  \( (b) \). Całkę niewłaściwą Riemanna II rodzaju  funkcji  \( (f) \) w  \( (a,b) \) definiujemy jako

								\( \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx, \)

gdzie  \( (c) \) jest dowolnie wybranym punktem z  \( ( (a, b) ) \). Jeżeli obie całki po prawej stronie powyższej równości są zbieżne, to  mówimy, że całka  \( (\int_{a}^{b} f(x)dx) \) jest zbieżna. Gdy któraś z tych całek nie istnieje lub jest rozbieżna, to mówimy, że całka niewłaściwa  \( (\int_{a}^{b} f(x)dx) \) jest rozbieżna.


Kryteria zbieżności całek niewłaściwych

Przedstawimy kryteria zbieżności całek niewłaściwych.

Przyjrzyjmy się przykładowym zastosowaniom tego kryterium, w którym dopuszczamy również możliwość, że  \( b=+\infty \).

Zauważmy, że dla  \( K \in (0, +\infty) \) całki  \( \int_a^b f(x) dx \) oraz  \( \int_a^b g(x) dx \) są jednocześnie zbieżne bądź rozbieżne.

W kryterium porównawczym II, podobnie jak w kryterium porównawczym I, dopuszczamy możliwość, że  \( b=+\infty \).

Powyższe kryteria zbieżności całek niewłaściwych można analogicznie sformułować dla funkcji ciągłych  \( f:(a,b] \to \mathbb{R} \) oraz  \( g:(a,b] \to \mathbb{R} \), które są nieograniczone w prawostronnym sąsiedztwie punktu  \( a \). Warto dodać, że dopuszczamy tu możliwość, że  \( a=-\infty \).


Obliczanie pól figur płaskich

Z definicji całki oznaczonej Riemanna wynika, że jeżeli  \(  f:[a,b] \to \mathbb{R}  \) jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale  \(  [a, b]  \), to całka  \(  \int_a^b f(x) dx \) jest równa polu  \( P \) figury ograniczonej przez wykres funkcji  \( f \), oś  \( OX \) oraz proste  \( x=a \) i  \( x=b \). Tak zadaną figurę, którą możemy opisać jako zbiór

nazywamy trapezem krzywoliniowym. Jeżeli  \(  f(x) \le 0  \) dla  \(  x \in [a, b]  \), to  \( P = -\int_a^b f(x) dx. \) W rezultacie dla dowolnej funkcji ciągłej  \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) prawdziwy jest następujący związek:

Aby obliczyć pole figury płaskiej przy pomocy całki oznaczonej, w pewnych sytuacjach warto jest całkować względem zmiennej  \( y \) zamiast zmiennej  \( x \). Pozwala to uniknąć dzielenia danego obszaru na mniejsze obszary oraz niepotrzebnego obliczania kilku całek.

Omówimy teraz sposób wyznaczania pola figury ograniczonej przez krzywą zadaną parametrycznie. Najpierw jednak podajmy definicję takiej krzywej.

DOWÓD W pierwszym kroku dowodu wykażemy, że przy przyjętych założeniach możemy wyrazić krzywą  \( \Gamma \) jako wykres funkcji ciągłej zmiennej  \( x \) na przedziale  \(  [a,b] \). Istotnie, ponieważ funkcja  \(  \varphi  \) jest rosnąca w przedziale  \( [\alpha, \beta],  \) to

a ponadto funkcja ta jest odwracalna. To z kolei implikuje, że  \( t = \varphi^{-1} (x) \) dla  \(  x \in [a,b]  \) (gdzie  \( \varphi^{-1} \) oznacza funkcję odwrotną do  \( \varphi \)), co po podstawieniu do równania  \(  y=\psi(t)  \) daje

Dalej, skoro funkcja  \( \psi \) jest nieujemna, to w konsekwencji funkcja  \( y \) zależna od zmiennej  \( x \) przyjmuje wartości nieujemne. Dzięki temu pole rozpatrywanego obszaru możemy obliczyć, stosując wzór

Aby obliczyć ostatnią całkę, zastosujmy twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla  \( t= \varphi^{-1}(x) \), pamiętając przy tym o stosownej zmianie granic całkowania. Z równania  \(  x=\varphi(t)  \), gdzie  \(  t \in [\alpha, \beta], \) dostajemy  \( dx=\varphi^{\prime}(t)dt \). W rezultacie

Jak wiadomo, położenie punktu na płaszczyźnie można określić dzięki wprowadzeniu na płaszczyźnie kartezjańskiego prostokątnego układu współrzędnych. Wówczas położenie punktu  \( P \) jest jednoznacznie określone poprzez podanie pary  \( (x_P,y_P) \), gdzie  \( x_P \) jest współrzędną tego punktu względem osi  \( OX \), zaś  \( y_P \) względem osi  \( OY \).

Jednakże położenie punktu  \( P \) na płaszczyźnie można też określić w inny sposób - dzięki wprowadzeniu tzw. biegunowego (polarnego) układu współrzędnych. Jest ono jednoznacznie określone poprzed podanie odległości od pewnego wyróżnionego na płaszczyźnie punktu zwanego biegunem  oraz poprzez podanie kąta  \( \varphi \) pomiędzy półprostą o początku w biegunie i przechodzącą przez punkt  \( P \) a inną wyróżnioną półosią o początku w biegunie, zwaną półosią biegunową. (Kąty skierowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara są dodatnie, a zgodnie z ruchem wskazówek zegara są ujemne).

Jeżeli umieścimy biegun w punkcie  \(  (0,0)  \), czyli w początku układu kartezjańskiego, zaś jako półoś biegunową przyjmiemy półoś dodatnią osi  \( OX \), to wówczas związki między obydwoma układami wyrażą się w następujący sposób:

Omówimy teraz, w jaki sposób można obliczyć pole figury ograniczonej, której fragment brzegu jest zadany za pomocą współrzędnych biegunowych.

Zauważmy, że krzywą zadaną biegunowo można przedstawić w następujący sposób w postaci parametrycznej (w zależności od parametru  \( \phi \)):

Niech  \(  O=(0,0), \)  \( A=(r(\alpha), \alpha), \)  \( B=(r(\beta), \beta)  \)  oraz załóżmy, że  \(  0 \lt \beta - \alpha \lt 2\pi. \) Wtedy promienie wodzące o amplitudach  \( \alpha \) i  \( \beta \), czyli odcinki  \( \overline{OA} \) i  \( \overline{OB} \), oraz łuk krzywej  \( \Gamma \) wyznaczają obszar zilustowany na poniższym rysunku.

Taki obszar nazywamy trapezem krzywoliniowym w sensie biegunowego układu współrzędnych. Jego pole możemy obliczyć korzystając z następującego twierdzenia.

DOWÓD Dla każdego  \( n \in \mathbb{N} \) podzielmy przedział  \(  [\alpha, \beta]  \) na  \( n \) podprzedziałów  \( [\phi_{k-1}, \phi_{k}]  \)  \( ( k=1,\ldots,n ) \) tak dobierając punkty \(  \phi_k,  \) aby zachodziła zależność

W ten sposób otrzymujemy  \( n \) trójkątów krzywoliniowych zawartych między łukiem krzywej  \( \Gamma \) oraz promieniami wodzącymi o amplitudach  \(  \phi_{k-1}  \) i  \(  \phi_{k}. \) Oznaczmy przez  \(  \Delta \phi_k  \) długość odcinka  \(  [\phi_{k-1}, \phi_{k}],  \) tzn.

gdzie  \(  k \in \{1,\ldots,n\}. \) Niech  \(  \delta_n  \) będzie największą ze średnic wszystkich przedziałów  \(  [\phi_{k-1}, \phi_{k}], \) czyli

Następnie dla każdego  \(  k \in \{1,\ldots,n\}  \) wybierzmy kąt pośredni  \( \xi_k \in [\phi_{k-1}, \phi_{k}].  \) Przy małych wartościach  \(  \Delta \phi_k \) pole  \( k \)-tego trójkąta jest w przybliżeniu równe polu  \(  P_k  \) wycinka kołowego o promieniu  \(  r(\xi_k)  \) i kącie środkowym  \(  \Delta \phi_k, \) wyrażającego się wzorem

gdzie  \( \Delta \phi_k \) jest miarą łukową tego kąta środkowego. Oznaczmy przez  \( P_n \) sumę pól wszystkich tych wycinków. Wówczas

Przechodząc do granicy (jak w konstrukcji całki oznaczonej Riemanna), otrzymujemy

Zastosujmy powyższy wzór do obliczenia pola figury ograniczonej przez krzywą zadaną biegunowo.

Definicja 1: Krzywa zadana parametrycznie

Mówimy, że  \( \Gamma \) jest krzywą zadaną parametrycznie, jeżeli istnieją takie funkcje ciągłe  \(  \varphi: [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}  \) oraz  \(  \psi: [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}  \), że

								\( \Gamma=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x =\varphi(t), y=\psi(t) \text{ dla } t \in [\alpha,\beta]\}. \)

Definicja 2: Krzywa zadana biegunowo

Mówimy, że  \( \Gamma \) jest krzywą zadaną biegunowo , jeżeli istnieje nieujemna funkcja ciągła  \(  r: [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}  \) taka, że

								\( \Gamma=\{ (r,\phi) \in \mathbb{R}^2: r = r(\phi), \phi \in [\alpha, \beta] \}. \)


Obliczanie długości łuku krzywych

DOWÓD Na początku zauważmy, że dla każdego  \( n \in \mathbb{N} \) długość łamanej  \( \Gamma_n \) jest równa

Ponieważ funkcje  \( \varphi \) i  \( \psi \) są klasy  \( C^1 \) na przedziale  \( [\alpha, \beta] \), więc do każdej z nich i do każdego z przedziałów  \( [t_{k-1}, t_k] \) ( \( k=1, \ldots,n \)) możemy zastosować twierdzenie Lagrange'a. Otóż na jego podstawie istnieją takie punkty  \( \xi_k \) i  \( \xi^*_k \) należące do przedziału  \( (t_{k-1}, t_k) \), że

gdzie  \( \Delta_k \) oznacza długość przedziału  \( (t_{k-1}, t_k) \). Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru na  \( d_n \), dostajemy

Teraz przechodząc z  \( d_n \) do granicy przy  \( n\to\infty \) (i oczywiście pamiętając, że  \( \lim\limits_{n \to \infty} \delta_n = 0 \)), otrzymujemy

Podamy teraz twierdzenie, które umożliwi nam wyznaczanie długości krzywej, która jest wykresem funkcji zmiennej  \( x \).

Wówczas na podstawie twierdzenia o długości krzywej zadanej parametrycznie otrzymujemy

Dla krzywej  \( \Gamma \) zadanej w postaci biegunowej zachodzi następujące twierdzenie.

DOWÓD Krzywą wyrażoną w postaci biegunowej można także zapisać parametrycznie, przy pomocy tzw. współrzędnych biegunowych:

gdzie  \( \phi \in [\alpha, \beta] \), a następnie jej długość wyrazić za pomocą wzoru ( 1 ).

Ponieważ pochodne funkcji  \( \varphi \) i  \( \psi \) są postaci

dla  \( \phi \in [\alpha, \beta] \), to wyrażenie podpierwiastkowe przyjmuje postać

Definicja 1: Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie

Rozważmy krzywą  \( \Gamma \) zadaną parametrycznie w następujących sposób:

								\( \Gamma=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x =\varphi(t), \, y=\psi(t), \, t \in [\alpha, \beta]\}, \)

gdzie  \( \varphi \) i  \( \psi \) są funkcjami ciągłymi w przedziale  \( [\alpha, \beta] \). Zdefiniujmy długość  \( d \) łuku krzywej  \( \Gamma \).  Podzielmy przedział  \( [\alpha, \beta] \) na  \( n \) podprzedziałów wybierając punkty podziału  \( t_k \) ( \( k=0,\dots,n \)) tak, aby zachodziła zależność

								\( \alpha =t_0\lt t_1\lt\ldots\lt t_n=\beta. \)

Niech  \( \Delta_k = t_k - t_{k-1} \) oraz  \( \delta_n = \max \{ \Delta_k : k=1,\ldots,n\} \). Zauważmy, że punkty  \( P_k=(\varphi(t_k),\psi(t_k)) \in \Gamma \)
( \( k=1,\dots,n \)) wyznaczają łamaną  \( \Gamma_n \), która przybliża krzywą  \( \Gamma \) w przedziale  \( [\alpha, \beta] \).

Rysunek 1:  Krzywa zadana parametrycznie wraz z oznaczonymi na niej punktami odpowiadającymi punktom podziału przedziału  \( [\alpha, \beta] \)

Długość otrzymanej łamanej wyraża się wzorem

								\( d_n=\sum\limits_{k=1}^n |P_{k-1}P_{k}|, \)

gdzie  \( |P_{k-1}P_{k}| \) jest długością odcinka łączącego punkty  \( P_{k-1} \) i  \( P_k \)  \( (k=1,\dots,n) \). Jeżeli istnieje granica

								\( \lim\limits_{n \to \infty}d_n \)

i jest ona jest niezależna od wyboru normalnego ciągu podziałów przedziału  \( [\alpha, \beta] \) (czyli takich jego podziałów, że  \( \lim\limits_{n \to \infty} \delta_n = 0 \)), to mówimy, że krzywa  \( \Gamma \) jest krzywą prostowalną  w przedziale  \( [\alpha, \beta] \). Granicę tę nazywamy długością łuku krzywej   \( \Gamma \) w przedziale  \( [\alpha, \beta]. \)


Obliczanie objętości brył obrotowych

Niech  \( \Gamma \) będzie krzywą zadaną parametrycznie:


Obliczanie pól powierzchni obrotowych

Zadajmy krzywą  \( \Gamma \) w postaci parametrycznej  \( x=\varphi(t) \),  \( y=\psi(t) \),  \(  t \in [\alpha, \beta ] \), przy czym załóżmy, że funkcje  \( \varphi \) i  \( \psi \) mają ciągłe pochodne. Przyjmijmy dodatkowo, że funkcja  \( \varphi^{\prime} \) jest stałego znaku, a funkcja  \( \psi \) jest nieujemna. Wówczas zachodzi następujące twierdzenie.


Zastosowania całek oznaczonych w fizyce

Podamy teraz niektóre z zastosowań całek oznaczonych w fizyce. Załóżmy, że pewien punkt  \( A \) porusza się w momencie  \( t_0 \) z prędkością chwilową opisaną równaniem  \(  v_0=v(t_0)  \). Zmienną prędkość punktu  \( A \) w całym czasie poruszania się tego punktu określa więc pewna funkcja  \( v(t) \).

Podamy teraz wzory na obliczanie momentów statycznych i momentów bezwładności oraz środka ciężkości trapezu krzywoliniowego   \( T \):

Załóżmy, że trapez  \( T \) jest figurą jednorodną (masa jest rozłożona na nim równomiernie), której gęstość powierzchniowa  \( \rho \) (tj. masa przypadająca na jednostkę pola) jest stała.