Definicja ciągu

Idea ciągu, w różnej formie, towarzyszy każdemu z nas w dniu codziennym. Kolejka do lekarza, układ haseł w encyklopedii, czy cyfry tworzące numer konta bankowego, to wszystko są przykłady ciągów. Widzimy jednak różnicę między ciągiem będącym np. alfabetyczną listą studentów w grupie, a ciągiem, który jest spisem dat w kalendarzu. Jeden z nich jest z konieczności ciągiem skończonym, tzn. posiadającym skończoną liczbę wyrazów, a drugi wydaje się ciągnąć w nieskończoność.

Z matematycznego punktu widzenia układ liczb lub innych obiektów (niekoniecznie matematycznych) tworzy ciąg, jeżeli każdemu elementowi przypiszemy jednoznacznie odpowiadające mu miejsce w ciągu, czyli liczbę naturalną. Najbardziej oczywistym przykładem ciągu liczbowego są liczby naturalne, ponieważ wartość liczby jednocześnie podaje numer miejsca, na którym ona stoi w ciągu.

Komentarz Zgodnie z definicją ciągu możemy podawać ciąg jako funkcję, czyli podać wzór  \( n \)-tego wyrazu ciągu np. w przykładzie Idea tworzenia ciągu liczbowego wzór na  \( n \)-ty wyraz to  \( a_n=3n \), a w przykładzie Nieskończone ciągi liczbowe a)  \( a_n=\frac{1}{3^{n-1} } \). Zaletą takiego określenia ciągu jest to, że możemy natychmiast wyliczyć dowolny wyraz ciągu podstawiając do wzoru odpowiednie  \( n \in \mathbb{N}  \). Inną z możliwości jest opisanie metody jak należy szukać kolejnych wyrazów ciągu, np. w przykładzie Nieskończone ciągi liczbowe b) szukamy kolejnych figur geometrycznych zgodnie z opisem, a następnie wyliczamy ich pola. Możemy również podać procedurę jak tworzyć kolejne wyrazy ciągu za pomocą wyrazów poprzednich, tzw. procedurę rekurencyjną, należy pamiętać jednak o podaniu wartości odpowiedniej ilości wyrazów początkowych tak, aby procedura mogła wystartować, np. w  przykładzie Nieskończone ciągi liczbowe c) procedurę można opisać następująco

Wadą tej metody określania ciągu jest to, że musimy znać wyrazy poprzednie ciągu, aby wyliczyć wyraz kolejny, co oczywiście jest w praktyce niewygodne, gdy chcemy obliczyć wyraz dla dużego  \( n \). Kolejną często spotykana metodą zadania ciągu jest podanie kilku jego początkowych wyrazów, tak, aby można było zauważyć schemat tworzenia wyrazów następnych, np. przykład Nieskończone ciągi liczbowe a), w którym widać, że każdy następny wyraz powstaje z poprzedniego przez przemnożenie go przez  \( \frac{1}{3}  \). Przy tej metodzie wadą jest to, że należy podać odpowiednio dużo wyrazów początkowych, żeby można było zauważyć schemat, a następnie sprawdzić, czy jest poprawny.

Zgodnie z definicją ciągu, może on być przedstawiony graficznie w postaci wykresu, gdzie na osi odciętych zaznaczamy kolejne liczby naturalne i w układzie współrzędnych zaznaczamy punkty  \(  (n,a_n)  \). Widzimy więc, że wykres ciągu składa się z izolowanych punktów w układzie współrzędnych.

Wadą takiej graficznej interpretacji ciągu jest to, że zawsze możemy zobaczyć tylko kilka początkowych wyrazów ciągu, czyli w sytuacji, gdy interesować nas będzie zachowanie się ciągu dla bardzo dalekich wyrazów, taka interpretacja jest bezużyteczna. Wygodniej będzie przedstawiać ciąg tylko na osi rzędnych, czyli zrzutować prostopadle punkty reprezentujące wyrazy ciągu na tę oś. Zauważmy, że ten drugi sposób pozwala na umieszczenie na Rys. 1 większej ilości wyrazów ciągu.

Definicja 1: Ciąg liczbowy

Ciągiem liczbowym o wyrazach rzeczywistych nazywamy funkcję  \(  a: M \rightarrow \mathbb{R}  \), która elementom podzbioru  \(  M \) zbioru liczb naturalnych  \( \mathbb{N} \) (  \( M \subset  \mathbb{N}  \) ) przyporządkowuje liczby rzeczywiste.

Definicja 2: Ciąg skończony

Jeżeli dziedzina  \( M \) ciągu  \( a \) jest zbiorem skończonym (np.  \( M=\{1,2,…,n\}  \) ), to mówimy, że  \( a \) jest ciągiem skończonym ( \( n \)-wyrazowym).

Definicja 3: Ciąg nieskończony

Jeżeli dziedzina  \( M \) ciągu  \( a \) jest zbiorem nieskończonym (np.  \( M=\mathbb{N} \)  lub  \( M= \)zbór liczb parzystych), to mówimy, że  \( a \) jest ciągiem nieskończonym.

Definicja 4: Metody określania ciągu

 Podstawowymi metodami określania ciągu są:
 podanie wzoru na  \( n \)-ty wyraz ciągu, np.  \( a_n =\frac{1-\sqrt[3]{n^2+1}}{\log_3{(n+3)}} ,  a_n=\frac{6n-8}{4+\sqrt{\arcsin(n^{-2})}}  \)
 podanie wzoru rekurencyjnego, np.  \(  \left\{\begin{array}{c} a_1=3\\  a_{n+1}=6 – 2a_n  +\sqrt{1+a_n } \end{array}\right. , \hspace{1em}  \left\{\begin{array}{c} a_1=1\\  a_2=2\\ a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{2} \end{array}\right.  \)
 opisanie sposobu tworzenia kolejnych wyrazów, np.  \( a_n \)  jest kolejnym wyrazem rozwinięcia dziesiętnego liczby  \(  \sqrt{5}  \)  podanie kilku wyrazów początkowych ciągu, aby wiadomo było, według jakiej zasady należy tworzyć wyrazy następne, np.:   \(  (a_n )=(\frac{1}{2},\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5},…).  \)

Definicja 5: Interpretacja geometryczna ciągu

Graficznie ciąg możemy przedstawiać w postaci wykresu funkcji o argumentach naturalnych, otrzymując pełny wykres ciągu lub w postaci rzutu tego wykresu na oś wartości, otrzymując uproszczony wykres ciągu.


Ciąg monotoniczny

Ciągi, tak jak funkcje, mogą mieć różne własności, których znajomość może przyczynić się do dalszej analizy ich zachowania. Na wykresach ciągów z Rys. 1 widzimy, że charakter każdego z ciągów jest zupełnie inny.

W pierwszym ciągu pokazanym na Rys. 1 każdy kolejny wyraz jest większy od wyrazów poprzednich i ciąg o takiej własności nazywamy rosnącym. W ciągu drugim każdy kolejny wyraz jest od poprzednich mniejszy i ciąg mający taką własność nazywamy malejącym. W trzecim ciągu wszystkie wyrazy są takie same i taki ciąg nazywamy stałym. Może się również zdarzyć, że każdy kolejny wyraz ciągu jest nie mniejszy albo nie większy (tzn. może być też równy) od wyrazu poprzedniego i ciągi o takich własnościach nazywamy niemalejącym albo nierosnącym. Zauważmy, że ciąg stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący.

Istnieją oczywiście ciągi, które nie są ani rosnące lub niemalejące, ani malejące lub nierosnące, ani stałe i mówimy, że taki ciąg nie jest monotoniczny. Rys. 2 przedstawia ciąg, który nie ma żadnej z powyższych własności.

Rzeczywiście, np. wyraz drugi jest większy od wyrazu pierwszego, wyraz trzeci jest natomiast mniejszy od drugiego, wyraz czwarty jest znowu większy od trzeciego itp.

' Komentarz Definicję Ciąg rosnący można w sposób równoważny wyrazić w postaci nierówności   \( a_{n+1}-a_n > 0  \), która powinna być spełniona dla każdego  \(  n \in M  \). Jeżeli dodatkowo wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu  \(  (a_n)_{n \in M }  \)  są dodatnie, to ciąg jest rosnący, gdy dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest nierówność  \(  \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1  \). Jeżeli w nierównościach zmienimy zwroty nierówności na przeciwne, to analogiczne warunki równoważne definiują ciąg malejący. Wypisane warunki są łatwiejsze do sprawdzenia w praktyce, gdyż wystarczy zbadać znak różnicy  \(  a_{n+1}-a_n \)  lub dla ciągów o wyrazach dodatnich przyrównać iloraz  \(  \frac{a_{n+1}}{a_n}  \)  do jedynki, aby odpowiedzieć na pytanie o monotoniczność ciągu.

Komentarz Bardzo często analiza zachowania się ciągu liczbowego sprowadza się do badania zachowania się tego ciągu dla wyrazów o dużych indeksach, czyli nie interesuje nas zachowanie się początkowych wyrazów ciągu (nawet dużej ich ilości), a raczej „końcówka” tego ciągu. Z takiego punktu widzenia, może się zdarzyć, że dopiero po odrzuceniu pewnej liczby wyrazów początkowych, otrzymujemy ciąg monotoniczny i takie ciągi nazywamy monotonicznymi od pewnego miejsca.

Rys. 3 przedstawia wykresy trzech ciągów, których monotoniczność ustala się dopiero od pewnego wyrazu, a nie od wyrazu pierwszego, jak to ma miejsce dla ciągów monotonicznych. Rzeczywiście pierwszy wykres przedstawia ciąg, który jest rosnący począwszy od 11-go wyrazu. Drugi wykres przedstawia ciąg, który jest malejący począwszy od 8-go wyrazu, a wykres trzeci przedstawia ciąg, który jest stały od 16-go wyrazu.

Definicja 1: Ciąg rosnący

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M}  \) jest rosnący, jeżeli dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} > a_n  \).

Definicja 2: Ciąg malejący

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M}  \) jest malejący, jeżeli  dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} < a_n  \).

Definicja 3: Ciąg stały

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M}  \)  jest stały, jeżeli  dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest równość  \(  a_{n+1} = a_n  \).

Definicja 4: Ciąg niemalejący

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M}  \)  jest niemalejący, jeżeli  dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest nierówność  \(  a_{n+1}\geq  a_n  \).

Definicja 5: Ciąg nierosnący

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M }  \)  jest nierosnący, jeżeli dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} \leq a_n  \).

Definicja 6: Ciąg rosnący od pewnego miejsca

Jeżeli  dziedziną ciągu  \(  (a_n)  \) jest  \(  \mathbb{N}  \) i istnieje  \(  n_0 \in \mathbb{N}  \) takie, że dla każdego  \( n \geq n_0  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} > a_n  \) , to mówimy, że ciąg jest rosnący od pewnego miejsca.

Definicja 7: Ciąg malejący od pewnego miejsca

Jeżeli dziedziną ciągu  \(  (a_n)  \) jest  \(  \mathbb{N}  \) i istnieje   \(  n_0 \in \mathbb{N}  \) takie, że dla każdego   \( n \geq n_0  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} < a_n \) , to mówimy, że ciąg jest malejący od pewnego miejsca.

Definicja 8: Ciąg stały od pewnego miejsca

Jeżeli dziedziną ciągu  \(  (a_n)  \) jest  \(  \mathbb{N}  \) i istnieje  \(  n_0 \in \mathbb{N}  \) takie, że dla każdego  \( n \geq n_0  \) spełniona jest równość  \(  a_{n+1} = a_n \) , to mówimy, że ciąg jest stały od pewnego miejsca.


Ciąg ograniczony

Zbadajmy zachowanie się ciągów ze względu na własność ograniczoności.

Rys. 1 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są mniejsze od liczby A=2.

Rys. 2 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są większe od liczby A=-1,6.

Na Rys. 1 i Rys. 2 widzimy wykresy dwóch ciągów, przy czym wszystkie wyrazy pierwszego ciągu są mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej i taki ciąg nazywamy ciągiem ograniczonym od góry, podczas gdy wszystkie wyrazy drugiego ciągu są większe od pewnej liczby rzeczywistej i nazywamy go ciągiem ograniczonym od dołu.

Rys. 3 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są mniejsze od liczby 1, ale większe od liczby -3. Oznacza to, że wszystkie wyrazy tego ciągu leżą w przedziale  \( [-3,3] \).

Istnieją również ciągi, które są ograniczone zarówno od góry, jak i od dołu i taki ciąg nazywamy ograniczonym. Zauważamy, że wszystkie wyrazy ciągu ograniczonego leżą w przedziale \( [-A, A]  \), dla pewnej liczby  \( A>0 \).

Rys. 4 przedstawia wykres ciągu, dla którego znajdą się wyrazy zarówno większe jak i mniejsze od dowolnej liczby rzeczywistej. Ciąg taki nie spełnia więc żadnego z warunków ograniczoności.

W przypadku, gdy nie znajdziemy takiej liczby, od której wszystkie wyrazy ciągu byłyby mniejsze, lub takiej, od której wszystkie wyrazy byłyby większe, to ciąg o tej własności nazywamy nieograniczonym.

Aby analitycznie zbadać, czy ciąg jest ograniczony od góry (albo od dołu) należy znaleźć liczbę rzeczywistą, dla której spodziewamy się, że każdy wyraz ciągu będzie od niej mniejszy (albo większy), a następnie udowodnić, że rzeczywiście tak jest. Znaleźć taką liczbę można korzystając z wykresu ciągu lub z ogólnych zasad pozwalających ograniczać wartości wyrażeń. Warto zauważyć prosty fakt, że ciąg rosnący jest zawsze ograniczony od dołu, a ciąg malejący jest ograniczony od góry przez swój pierwszy wyraz.

Definicja 1: Ciąg ograniczony od góry

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)  \) jest ograniczony od góry, jeżeli istnieje liczba  \( A \in \mathbb{R}  \) taka, że dla każdego  \(  n \in \mathbb{N}  \) zachodzi   \(  a_n \leq A  \).

Definicja 2: Ciąg ograniczony od dołu

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)  \) jest ograniczony od dołu, jeżeli istnieje liczba  \( A \in \mathbb{R}  \) taka, że dla każdego  \(  n \in \mathbb{N}  \) zachodzi  \( a_n \geq A \).

Definicja 3: Ciąg ograniczony

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)  \) jest ograniczony, jeżeli ciąg  \(  (a_n)  \) jest ograniczony od dołu i od góry, co jest równoważne warunkowi, że istnieje liczba  \(  A \gt 0 \) taka, że dla każdego  \(  n \in \mathbb{N}  \) zachodzi  \(  |a_n| \leq A  \).


Granica ciągu

Dla kolejnych rozważań zakładamy, że ciąg  \(  (a_n)  \) jest nieskończony. Zastanówmy się, jak zachowują się wyrazy ciągu  \(  (a_n)  \), jeżeli  \( n \) jest coraz większe, czyli mówimy, że  \( n \) zmierza do nieskończoności. Na Rys. 1 widzimy ciąg o wyrazach dodatnich, którego wyrazy, wraz ze wzrostem wartości  \( n \), coraz bardziej zbliżają się do liczby zero, nigdy tej wartości nie osiągając. Jeżeli jednak wybierzemy liczbę  \(  \varepsilon \gt 0 \), dowolnie bliską zeru, to nieskończenie wiele wyrazów ciągu leży w przedziale  \(  \lbrack - \varepsilon, \varepsilon\rbrack \).

Komentarz W wielu sytuacjach warto wiedzieć czy wyrazy rozważanego ciągu mają tendencję do skupiania się wokół jakiejś liczby. Gdyby rzeczywiście tak było, to znajomość tej liczby pozwala „zlokalizować” nasz ciąg na osi. Oznacza to, że prawie wszystkie, poza skończoną ilością, wyrazy naszego ciągu leżą w pobliżu danej liczby, którą nazywamy granicą ciągu. Fakt, że liczba  \( g \) jest granicą właściwą ciągu  \(  (a_n)  \) oznacza więc, że prawie wszystkie (tzn. wszystkie od pewnego miejsca) wyrazy ciągu leżą w przedziale  \(  (g-\varepsilon,g+\varepsilon)  \), a ponieważ  \(  \varepsilon \) może być dowolnie małe, tak więc dowolnie blisko liczby  \( g \) znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu  \(  (a_n)  \)

Zauważamy, że ciągi z Rys. 2 zachowują się, przy  \( n \) zmierzającym do nieskończoności, inaczej niż ciąg zbieżny do pewnej granicy  \( g \). Jeżeli wybierzemy dowolnie dużą liczbę  \(  E>0 \), to nieskończenie wiele wyrazów ciągu pierwszego jest większych od liczby  \( E \), oraz nieskończenie wiele wyrazów ciągu drugiego jest mniejszych od liczby  \( -E \). Z dowolności wyboru liczby  \( E \) wnioskujemy, że wyrazy żadnego z obydwu ciągów nie lokalizują się w pobliżu żadnej liczby rzeczywistej. Mówimy wtedy, że ciąg jest rozbieżny do  \( + \infty  \), w pierwszym przypadku, albo do  \( - \infty  \), w drugim przypadku.

Na Rys. 3 widzimy wykres ciągu, który ma nieskończenie wiele wyrazów, większych od dowolnie wybranej liczby  \( E>0 \), ale równocześnie ma też nieskończenie wiele wyrazów, które są mniejsze od liczby  \( –E \). Wyrazy tego ciągu nie tylko nie lokalizują się wokół żadnej liczby rzeczywistej, ale również nie spełniają definicji ciągu rozbieżnego do  \(  + \infty  \), ani do  \( - \infty \). Taki ciąg nazywamy ciągiem rozbieżnym, albo ciągiem, który nie ma granicy.

Definicja 1: Granica właściwa ciągu

Mówimy, że ciąg nieskończony  \(  (a_n)  \) ma granicę właściwą  \( g \), jeżeli dla dowolnej liczby  \(  \varepsilon \gt 0 \) od pewnego miejsca  zachodzi warunek  \(  |a_n-g| \lt \varepsilon  \).

Definicja 2: Granica niewłaściwa  \( + \infty  \) ciągu

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)  \) ma granicę niewłaściwą  \( + \infty  \), jeżeli  dla dowolnej liczby  \( E>0 \) od pewnego miejsca zachodzi nierówność   \( a_n> E \).

Definicja 3: Granica niewłaściwa  \( - \infty  \) ciągu

Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)  \) ma granicę niewłaściwą  \( - \infty  \), jeżeli dla dowolnej liczby  \( E>0 \) od pewnego miejsca zachodzi nierównośc  \( a_n<-E \).

Definicja 4: Ciąg rozbieżny

Ciąg, który nie posiada granicy właściwej ani niewłaściwej nazywamy ciągiem rozbieżnym.


Własności granic ciągów

Rys. 1 przedstawia wykres ciągu, który jest zbieżny do granicy  \( 2 \). Ponieważ wiemy z definicji granicy ciągu, że prawie wszystkie jego wyrazy leżą w przedziale  \(  [1,3]  \) i poza tym przedziałem leży tylko skończona liczba wyrazów ciągu, więc jeżeli są wyrazy większe od  \( 3 \), to żaden wyraz ciągu nie będzie większy niż największy z tych, które są większe od  \( 3 \).

Analogicznie rozumujemy ograniczając ciąg od dołu albo przez liczbę  \( 1 \), albo przez najmniejszy z wyrazów, które są mniejsze od  \( 1 \).

Rys. 2 przedstawia wykres ciągu, który jest ograniczony, ale nie posiada granicy właściwej. Przykład ten pokazuje, że własność ograniczoności ciągu nie jest tożsama ze zbieżnością, czyli istnieją ciągi, które są ograniczone i nie mają granicy właściwej.

Rys. 3 przedstawia dwa ciągi, z których pierwszy jest rozbieżny do  \(  + \infty \), a drugi rozbieżny do  \( - \infty \). Zauważamy, że prawie wszystkie wyrazy pierwszego ciągu są większe od dowolnej liczby rzeczywistej oraz prawie wszystkie wyrazy drugiego ciągu są mniejsze od dowolnej liczby rzeczywistej.

Rys. 4 pokazuje ciąg, którego nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby  \( 1 \), ale również nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby  \( -1 \).

Jeżeli wybierzemy  \(  \varepsilon \in (0,1)  \), to poza przedziałami  \(  [ 1- \varepsilon, 1+ \varepsilon ]  \) oraz  \(  [ -1- \varepsilon, -1+ \varepsilon ]  \) leży zawsze nieskończenie wiele wyrazów ciągu, czyli liczby  \( 1 \) ani  \( -1 \) nie mogą być granicami ciągu. Tym bardziej granicą nie może być żadna inna liczba rzeczywista różna od  \( 1 \) i  \( -1 \). Pokazuje to, że nawet jeżeli nieskończenie wiele wyrazów ciągu skupia się wokół pewnej liczby rzeczywistej, to nie musi ona być granicą ciągu.

Rys. 5 przedstawia na jednym wykresie dwa ciągi zbieżne, z których jeden (czerwony) ma wyrazy od pewnego miejsca większe niż drugi (niebieski). Wydaje się być oczywiste, że granica ciągu o wyrazach większych nie może być mniejsza od granicy ciągu o wyrazach mniejszych. Już nie taki oczywisty jest fakt, że granice te mogą być równe, mimo, że pomiędzy wyrazami zachodzą nierówności silne.

Rys. 6 przedstawia dwa ciągi ograniczone, z których jeden jest rosnący (niebieski), a drugi malejący (czerwony). Zauważamy, że obydwa ciągi mają granice właściwe, ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny do najmniejszego swojego ograniczenia górnego, a ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny do największego swojego ograniczenia dolnego.


Symbole oznaczone i nieoznaczone w granicy ciągu

Na wyrazach dwóch lub więcej ciągów możemy wykonywać działania arytmetyczne otrzymując nowy ciąg. Jeżeli ciągi wyjściowe były zbieżne, to analogiczne działania arytmetyczne można również wykonywać na granicach właściwych tych ciągów, ale także na granicach niewłaściwych otrzymując symbole graniczne ujmowane w nawisy kwadratowe, dla zaznaczenia, że nie są to działania wykonywane na liczbach, tylko na granicach. Niektóre z tych symboli dają zawsze ten sam wynik, bez względu na to jakie ciągi składowe dają określony symbol graniczny i nazywamy je symbolami oznaczonymi. Niektóre znów dają różne wyniki w zależności od tego, na jakich ciągach wykonujemy działania i takie symbole nazywamy nieoznaczonymi.

Rys. 1 przedstawia dwa ciągi, z których jeden (czerwony) powstaje z drugiego (niebieskiego) poprzez operację odwrócenia wyrazów ciągu tzn.  \( b_n= \frac{1}{a_n}  \) . Zauważamy, że jeżeli ciąg wyjściowy jest rozbieżny do  \( + \infty  \), to ciąg odwrotności jego wyrazów jest zbieżny do zera i na odwrót, jeżeli ciąg wyjściowy o wyrazach dodatnich jest zbieżny do zera, to ciąg odwrotności jego wyrazów jest rozbieżny do  \( +\infty \).

Definicja 1: Symbol oznaczony i nieoznaczony

Symbolem oznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i które daje zawsze taki sam wynik zależny tylko od granic ciągów, z których powstaje symbol graniczny.

Symbolem nieoznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i którego wartości nie da się jednoznacznie obliczyć na podstawie jedynie granic ciągów, z których powstaje symbol graniczny.


Twierdzenia pozwalające wyliczać granice ciągów

Rys. 1 przedstawia na jednym wykresie dwa ciągi, z których jeden ma od pewnego miejsca wyrazy większe od drugiego. Na pierwszym wykresie ciąg o wyrazach mniejszych (czerwony) jest rozbieżny do  \( +\infty \) i na podstawia twierdzenia o zachowaniu nierówności w granicy możemy wnioskować, że ciąg o wyrazach większych (niebieski) też musi być rozbieżny do  \( +\infty \).

Na Rys. 2 przedstawiony jest ciąg o wyrazach większych (czerwony), który jest rozbieżny do  \( -\infty \) i stąd wnioskujemy, że ciąg o wyrazach mniejszych (niebieski) tez musi być rozbieżny do  \( -\infty \).

Rys. 3 przedstawia na jednym wykresie trzy ciągi, z których jeden (czerwony) ma wyrazy od pewnego miejsca leżące pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów (niebieskiego i zielonego), przy czym ciągi o wyrazach skrajnych są zbieżne do tej samej granicy właściwej  \( g \). Ponieważ prawie wszystkie wyrazy ciągów skrajnych leżą w przedziale  \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), a wyrazy ciągu środkowego leżą pomiędzy wyrazami ciągów skrajnych, to z konieczności w przedziale  \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \) leża prawie wszystkie wyrazy ciągu środkowego, czyli ma on taką sama granicę  \( g \).

Rys. 4 przedstawia wykres ciągu zbieżnego do zera (niebieski) oraz wykres ciągu ograniczonego (czerwony) i wykres ciągu, którego każdy wyraz jest iloczynem wyrazów poprzednich ciągów (zielony). Ponieważ prawie wszystkie wyrazy ciągu zbieżnego do zera leżą w przedziale  \( (-\epsilon,\epsilon) \) i wszystkie wyrazy ciągu ograniczonego lezą w przedziale  \( [-A,A] \), to prawie wszystkie wyrazy iloczynu tych ciągów leżą w przedziale  \( (-\epsilon A,\epsilon A) \). Z dowolności liczby  \( \epsilon \) otrzymujemy, że liczba  \( \epsilon A \) może też być dowolnie mała, czyli liczba zero jest granicą iloczynu wyjściowych ciągów.


Granice pewnych ciągów specjalnych

Rys. 1 przedstawia wykres ciągu  \( a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \). Zauważamy, że jest to ciąg rosnący, ograniczony od dołu przez liczbę  \( 2 \), a od góry przez liczbę  \( 2,8 \). Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wnioskujemy, że jest to ciąg zbieżny.

Komentarz Liczba Eulera, znana również pod nazwą liczby Nepera, pojawia się jako jedna z podstawowych wielkości w fizyce, a także ekonomii, naukach społecznych itp. Liczba  \( e \) jest wykorzystywana w wielu zagadnieniach matematycznych, widzimy ją w podstawie tzw. logarytmu naturalnego oraz jako podstawę funkcji wykładniczej  \( e^x \), która jest niezastąpiona w równaniach różniczkowych, wystepuje we wzorach funkcji specjalnych, liczbach zespolonych itd.

Definicja 1: liczba Eulera lub Nepera

Granicę ciągu  \( a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \) nazywamy liczbą Eulera lub Nepera.


Metody obliczania granic ciągów

Obliczanie granic ciągów, w najbardziej ogólnym rozumieniu, polega na wyznaczeniu symbolu granicznego i jeżeli otrzymujemy symbol oznaczony, to stosujemy odpowiednie twierdzenie podając wartość tego symbolu. Jeżeli otrzymujemy symbol nieoznaczony, to do wyrazu ciągu stosujemy odpowiednie przekształcenia algebraiczne tak, aby powstał symbol oznaczony. Do przekształcania konkretnych symboli nieoznaczonych można stosować szereg metod, które pozwalają wyliczać granice ciągów. Należy zauważyć że podane poniżej metody mają swoje zastosowanie w przypadku ściśle określonych typów ciągów dających w granicy symbol nieoznaczony, jednak są to najczęściej spotykane sytuacje, dlatego warto metody te poznać.


Podciąg i WKW zbieżności ciągu

Rys. 1 przedstawia wykres ciągu o dziedzinie  \( \mathbb{N} \) (niebieski), z którego zostały wybrane tylko pewne wyrazy (poprawione na czerwono). Indeksy tych wyrazów zostały zaznaczone na osi odciętych (zielone) i są to pewne liczby naturalne tworzące ciąg liczb naturalnych  \( (n_k) \).

Komentarz Nieskończenie wiele, ale nie wszystkie, wyrazy starego ciągu  \( (a_n) \) tworzą więc nowy ciąg  \( (a_{n_k}) \) indeksowany liczbami  \( n_k \), które zachowują porządek liczb naturalnych, tzn. jeżeli  \( k < l \), to   \( n_k < n_l \). Czyli na bazie ciągu starego powstaje nowy ciąg nieskończony, którego dziedzina jest podzbiorem zbioru  \( \mathbb{N} \). Taki nowy ciąg nazywamy podciągiem ciągu starego. Oczywiste jest, że mamy nieskończenie wiele możliwości utworzenia z ciągu bazowego różnych jego podciągów np. poprzez odrzucenie pewnej skończonej liczby wyrazów ciągu, poprzez wybranie wyrazów o indeksach będących wielokrotnością pewnej liczby naturalnej itp.

Rys. 2 przedstawia ciąg zbieżny do granicy  \( 3 \) (niebieski) i wybrany z niego podciąg (czerwony). Z definicji granicy wiemy, że dla dowolnego  \( \epsilon >0 \) prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w przedziale  \( (3-\epsilon,3+\epsilon) \), a ponieważ wyrazy podciągu są jednocześnie wyrazami naszego ciągu, prawie wszystkie wyrazy podciągu też leżą w tym przedziale. Czyli możemy wnioskować, że dla ciągu zbieżnego, wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy, co wyjściowy ciąg. Rozumowanie to działa też w drugą stronę, gdyż przy założeniu, że wszystkie podciągi badanego ciągu są zbieżne do tej samej granicy, a jednym z podciągów jest np. wyjściowy ciąg bez kilku początkowych wyrazów, więc wyjściowy ciąg też jest zbieżny do tej samej granicy, gdyż skończona liczba początkowych wyrazów nie ma wpływu na zbieżność ciągu.

Od razu widać mankamenty, ale też zalety tego twierdzenia. Wprawdzie wykazanie za pomocą WKW, że jakiś ciąg jest zbieżny, jest dość trudne, bo musielibyśmy znaleźć wszystkie możliwe podciągi naszego ciągu i pokazać, że mają takie same granice, ale wykazanie, że ciąg jest rozbieżny jest za to bardzo proste. Wystarczy znaleźć jakiekolwiek dwa podciągi, które mają różne granice i wtedy na podstawie WKW wiadomo, że ciąg nie jest zbieżny.

Definicja 1: Podciąg

Nieskończonym podciągiem ciągu  \( a_n={\textbf a}(n), n\in \mathbb{N} \) nazywamy funkcję  \( {\textbf a}\colon A\to \mathbb{R} \), gdzie  \( A\subset \mathbb{N} \) i zbiór  \( A \) jest nieskończony.


Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Definicja ciągłości funkcji. Przykłady

Definicja 1: Otoczenie punktu na prostej liczbowej

Otoczeniem  \( U \) punktu  \( x_0\in \mathbb{R} \) nazywamy każdy przedział otwarty zawierający ten punkt.
Otoczeniem punktu  \( x_0 \) o promieniu  \( r \) nazywamy przedział  \( U_{(x_0,r)}=(x_0-r,x_0+r) \).
Otoczenia jednostronne punktu  \( x_0 \) to odpowiednio:

 otoczenie lewostronne punktu  \( x_0 \):  \( U_{(x_0^-,r)}=(x_0-r,x_0] \)
 otoczenie prawostronne punktu  \( x_0 \):  \( U_{(x_0^+,r)}=[x_0,x_0+r) \)

Definicja 2: Ciągłość funkcji w punkcie

Niech funkcja  \( f \) będzie określona w pewnym otoczeniu  \( U_{x_0} \). Mówimy, że funkcja  \( f \) jest ciągła w punkcie  \( x_0\in D_f \) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

 istnieje granica  \( \lim\limits_{x\to x_0}f(x) \),
 granica ta jest równa wartości funkcji  w punkcie  \( x_0 \), czyli  \( \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \).

Definicja 3: Ciągłość jednostronna

Niech funkcja  \( f \) będzie określona przynajmniej w prawostronnym otoczeniu punktu  \( x_0 \).
Mówimy, że funkcja  \( f \) jest prawostronnie ciągła w punkcie  \( x_0\in D_f \) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

 istnieje granica prawostronna  \( \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x) \)
 granica ta jest równa wartości funkcji  w punkcie  \( x_0 \) czyli  \( \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0) \)
Niech teraz funkcja  \( f \) będzie określona przynajmniej w lewostronnym otoczeniu punktu  \( x_0 \).
Mówimy, że funkcja  \( f \) jest lewostronnie ciągła w punkcie  \( x_0\in D_f \) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

 istnieje granica lewostronna  \( \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) \)
 granica ta jest równa wartości funkcji  w punkcie  \( x_0 \), czyli  \( \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) \).

Definicja 4: Ciągłość funkcji w przedziale

Funkcja  \( f \) jest ciągła w przedziale otwartym  \( (a,b) \), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Funkcja  \( f \) jest ciągła w przedziale domkniętym  \( [a,b] \), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie wewnątrz tego przedziału oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie  \( a \) i lewostronnie ciągła w punkcie  \( b \).
Funkcja  \( f \) jest ciągła w dowolnym zbiorze  \( A \) jeżeli jest odpowiednio ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w całej swojej dziedzinie.


Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji

Definicja 1: Funkcja nieciągła

Funkcję  \( f \) nazywamy funkcją nieciągłą, gdy nie jest ona ciągła w co najmniej jednym punkcie swojej dziedziny. Każdy taki punkt nazywamy punktem nieciągłości funkcji.


Własności funkcji ciągłych


Zastosowanie twierdzenia Darboux do rozwiązywania równań


Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina

W otaczającej nas rzeczywistości zarówno fizycznej jak i społecznej, występuje wiele zależności pomiędzy różnymi zjawiskami, obiektami czy wielkościami. Na przykład, podczas jazdy samochodem długość przebytej drogi zależy od czasu podróży. Każdej chwili odpowiada, przebyta dotąd droga. W sytuacji, gdy jedziemy ze stałą prędkością dystans ten możemy bardzo łatwo obliczyć mnożąc prędkość przez czas.

W sytuacji realnej najczęściej prędkość jest zmienna, jedziemy raz szybciej raz wolniej, co parę godzin zatrzymujemy się, jednakże i wówczas każdej chwili podróży możemy przyporządkować liczbę przejechanych kilometrów. Jako przykłady z innej dziedziny zauważmy, że każdemu członkowi danej społeczności (np. każdemu obywatelowi Polski) odpowiada jego data urodzenia.

Każdemu obywatelowi nadawany jest też numer identyfikacyjny PESEL, a każdemu studentowi danego wydziału AGH odpowiada numer jego indeksu (tzw. numer albumu). We wszystkich wspomnianych przykładach mamy do czynienia z odpowiedniością pomiędzy elementami dwóch zbiorów  \( X \) oraz  \( Y \) .

W przypadku podróży  \( X \) oznacza przedział liczbowy określający czas jazdy od chwili początkowej, która może być przyjęta umownie, jako czas  \( t=0 \) do końca podróży  \( t=T \) . Możemy wówczas zapisać  \( X=[0,T] \) ).  \( Y \) to zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych wyrażających długość przebytej drogi (np. w kilometrach). W drugim i trzecim przykładzie  \( X \) jest zbiorem wszystkich obywateli RP, a w czwartym zbiorem wszystkich studentów wydziału.

Zauważmy, że we wszystkich tych przypadkach każdemu elementowi  \( x \) ze zbioru  \( X \) odpowiada tylko jeden elementy ze zbioru  \( Y \). Faktycznie, jeden człowiek nie może mieć dwóch różnych dat urodzenia, w każdej chwili podróży stwierdzamy, że przejechaliśmy konkretną liczbę kilometrów itd.Ta jedyność elementu  \( y  \) odpowiadającego danemu elementowi x ma kluczowe znaczenie w pojęciu funkcji.

Jeżeli zbiory  \( X \) i  \( Y \) są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych  \( \mathbb R \) to mówimy, że  \( f \) jest funkcją rzeczywistą (myśląc o jej wartości ze zbioru liczb rzeczywistych) zmiennej rzeczywistej (myśląc o jej argumentach ze zbioru liczby rzeczywistych). Możemy, więc zanotować następującą definicję.

Definicja 1: Funkcja

Niech będzą dane niepuste zbiory   \( X \) i  \( Y \).

 Funkcją odwzorowującą zbiór  \( X \) w zbór  \( Y \) (co zapisujemy  \( f:X\to Y \)) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi  \( x \) ze zbioru  \( X \) dokładnie jednego elementu  \( y \) ze zbioru  \( Y \). Element  \( x \) ze zbioru  \( X \) nazywamy argumentem funkcji a jedyny element  \( y \) ze zbioru  \( Y \), który został przyporządkowany elementowi  \( x \) oznaczamy przez  \( f(x) \) i nazywamy wartością funkcji  \( f \) dla argumentu  \( x \).

Zbiór  \( X \) nazywamy dziedziną funkcji  \( f \) i oznaczamy przez  \( D_f \). Zbiór obrazów wszystkich argumentów czyli zbiór elementów  \( \{f(x):x\in X\} \) nazywamy przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji  \( f \) i oznaczamy  \( \mathbb R_f \). Przeciwdziedzina jest zawsze podzbiorem zbioru  \( Y \). Rysunek 1:  Funkcja  \( f:X\to Y \)

Definicja 2: Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej

Niech  \( X \) oraz  \( Y \) będą niepustymi podzbiorami liczb rzeczywistych  \( \mathbb R \).

Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej prowadzącą ze zbioru  \( X \) w zbiór  \( Y \) (co zapisujemy  \( f:X\to Y \)) nazywamy przyporządkowanie każdej liczby  \( x \) ze zbioru  \( X \) dokładnie jednej liczby  \( y \) ze zbioru  \( Y \).Rysunek 2:  Funkcja rzeczywista  \( f:X\to Y \)

Definicja 3: Teoriomnogościowa definicja funkcji

Niech  \( X \) i  \( Y \) będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

Funkcją o dziedzinie  \( X \) i wartościach ze zbioru  \( Y \) nazywamy zbiór  \( f \) par uporządkowanych  \( (x, y) \) takich, że pierwszy element pary należy do zbioru  \( X \), a drugi do zbioru  \( Y \) oraz zbiór par spełnia tzw. warunek prawostronnej jednoznaczności tzn. dla każdego elementu  \( x \) ze  zbioru  \( X \) w zbiorze par  \( f \) jest tylko jedna para mająca  \( x \) na pierwszym miejscu.


Wykres funkcji

Definicja 1: Wykres funkcji

Wykres funkcji  \( f:X \to Y \) jest to zbiór par uporządkowanych

 \( \{(x,y):x\in X, y\in Y, y=f(x)\} \)


Przekształcanie wykresów funkcji

W wielu przypadkach funkcja, którą badamy, „nieznacznie” różni się od pewnej funkcji  \( f \) o znanym wykresie. Wówczas możemy narysować jej wykres, stosując odpowiednie przekształcenie znanego wykresu funkcji  \( f \).


Sposoby zadawania funkcji

słownie:  \( f \) jest funkcją przyporządkowującą każdej liczbie ze zbioru  \( \{1,2,5,7\} \) różnicę liczby od niej dwa razy większej i jedynki za pomocą jednego z następujących wzorów:


Dziedzina naturalna funkcji


Suriekcja, iniekcja, bijekcja

Funkcja  \( f \) jest różnowartościowa gdy dowolna prosta pozioma o równaniu  \( y=\textrm{const} \) przecina wykres  \( f \) w co najwyżej jednym punkcie.

Definicja 1: Suriekcja czyli funkcja „na”

Mówimy, że  \( f:X\to Y \) jest suriekcją, (czyli funkcją „na”) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi końcowemu  \( Y \).

Zapisujemy wówczas  \( f:X\xrightarrow{na} Y \)  co odczytujemy: funkcja  \( f \) prowadzi ze zbioru  \( X  \)na zbiór  \( Y \).

Definicja 2: Funkcja różnowartościowa, iniekcja

Mówimy, że  \( f:X\to Y \) jest iniekcją (funkcją różnowartościową) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów  \( x_1,x_2\in X \) stąd, że  \( x_1\neq x_2 \) wynika, że  \( f(x_1)\neq f(x_2) \)
Interpretacja geometryczna różnowartościowości.

Definicja 3: Funkcja różnowartościowa na zbiorze

Mówimy, że funkcja  \( f \) jest różnowartościowa w zbiorze  \( A \) zawartym w dziedzinie wtedy i tylko wtedy, gdy jej restrykcja do zbioru  \( A \) jest funkcja różnowartościową.

Definicja 4: Bijekcja

Funkcję  \( f:X\to Y \)nazywamy bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją różnowartościową oraz „na”, czyli jest zarówno  iniekcją jak i suriekcją jednocześnie.


Restrykcja (zawężenie) funkcji

Definicja 1: Równość funkcji

Mówimy, że funkcje  \( f  \) i  \( g  \) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same dziedziny oraz dla każdego punktu wspólnej dziedziny mają te same wartości. Możemy to zapisać \( f=g\Leftrightarrow D_f=D_g \) i dla każdego  \( x\in D_f=D_g \) mamy  \( f(x)=g(x). \)

Definicja 2: Restrykcja funkcji

Niech będzie dana funkcja  \( f:X\to Y \) oraz zbiór  \( A\subset X \).

Funkcje  \( g:A\to Y \) taką, że dla każdego  \( x\in A \) zachodzi równość  \( g(x)=f(x) \) nazywamy restrykcją lub zawężeniem funkcji  \( f \) do zbioru  \( A \) i oznaczamy  \( f_ {\vert A} \) Rysunek 1:  Restrykcja funkcji, funkcja  \( f_1 \) jest zawężeniem funkcji  \( f \) do zbioru  \( \mathbb R_+ \)


Podstawowe własności funkcji: okresowość, parzystość, nieparzystość, ograniczoność, monotoniczność

Aby sporządzić wykres funkcji okresowej, wystarczy narysować go dla argumentów z dowolnego przedziału o długości  \( w \), a następnie „powielić” na prawo i lewo od tego przedziału. Podobnie, aby podać funkcję okresową wystarczy zadać jej wartości w takim przedziale. Najbardziej znanymi funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne. Okres podstawowy funkcji sinus i cosinus wynosi  \( 2\pi \), zaś funkcji tangens i cotangens  \( \pi \).

Funkcję nazywamy ściśle monotoniczną w  \( A \), jeśli jest ona rosnąca lub malejąca.

Funkcje logartymiczne i wykładnicze o podstawie ułamkowej z przedziału  \( (0,1) \) są malejące, stąd zmiana zwrotu podczas "opuszczania" symbolu tych funkcji, np: Rozwiązując nierówność:

pamiętamy, że funkcja  \( x\mapsto \log_{1\over 2}x \) jest malejąca i zmieniamy zwrot znaku nierówności przy "opuszczaniu logarytmu otrzymując nierówność kwadratową".

Natomiast podczas rozwiązywania nierówności:  \( \log_2(3x+2)\le \log_2x^2, \) wiedząc, że funkcja  \( x \mapsto log_2x \) jest rosnąca pozostawiamy niezmieniony zwrot nierówności otrzymując wówczas nierówność kwadratową  \( 3x+2\le x^2, \)

Definicja 1: Funkcja okresowa

Funkcję  \( f:X\to\mathbb R \) nazywamy okresową, jeśli istnieje taka liczba  \( w\neq 0 \), że dla każdego  \( x\in X \) zachodzą warunki  \( x\pm w\in X \) oraz  \( f(x\pm w)=f(x) \).

Liczbę  \( w \) nazywamy okresem funkcji. Jeżeli istnieje najmniejszy dodatni okres, to nazywamy go okresem podstawowym.

Definicja 2: Parzystość i nieparzystość funkcji

Funkcję  \( f:X\to Y \) nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  \( x\in X \) liczba  \( (-x)\in X \) oraz  \( f(-x)=f(x) \). Funkcję  \( f:X\to Y \) nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  \( x\in X \) liczba  \( (-x)\in X \) oraz  \( f(-x)=-f(x) \).

Definicja 3: Funkcja ograniczona z góry

Funkcja  \( f:X\to Y \) jest ograniczona z góry, jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony z góry, czyli jeśli istnieje taka liczba  \( M \), że dla każdego  \( x \) należacego do dziedizny funkcji  \( f(x)\le M. \)

Definicja 4: Funkcja ograniczona z dołu

Funkcja  \( f:X\to Y \) jest ograniczona z dołu, jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony z dołu, czyli jeśli istnieje taka liczba  \( m \), że dla każdego  \( x\in D_f \) zachodzi  \( f(x)\ge m. \)

Definicja 5: Funkcja ograniczona

Funkcja  \( f:X\to F \) jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona zarówno z góry jak i z dołu.

Definicja 6: Funkcja rosnąca

Funkcja  \( f \) jest rosnąca w zbiorze  \( A\subset D_f \), jeśli dla każdych dwóch elementów  \( x_1,x_2\in A \) stąd, że  \( x_1<x_2 \) wynika, że  \( f(x_1)<f(x_2) \).

Definicja 7: Funkcja słabo rosnąca

Funkcja  \( f \) jest słabo rosnąca (niemalejąca) w zbiorze  \( A\subset D_f \), jeśli dla każdych dwóch elementów  \( x_1,x_2\in A \) stąd, że  \( x_1<x_2 \) wynika, że  \( f(x_1)\le f(x_2) \)

Definicja 8: Funkcja malejąca

Funkcja  \( f \) jest malejąca w zbiorze  \( A\subset D_f \), jeśli dla każdych dwóch elementów  \( x_1,x_2\in A \) stąd, że  \( x_1<x_2 \) wynika, że  \( f(x_1)>f(x_2) \)

Definicja 9: Funkcja słabo malejąca

Funkcja  \( f \) jest słabo malejąca (nierosnąca) w zbiorze  \( A\subset D_f \), jeśli dla każdych dwóch elementów  \( x_1,x_2\in A \) stąd, że  \( x_1<x_2 \) wynika, że  \( f(x_1)\ge f(x_2) \)

Definicja 10: Funkcja monotoniczna

Funkcja monotoniczna w zbiorze  \( A\subset D_f \) to funkcja, która jest słabo rosnąca na  \( A \) lub słabo malejąca na  \( A \).


Algebraiczne działania na funkcjach

Definicja 1: Suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji

Niech będą dane dwie funkcje
 \( f:X\to \mathbb R \),  \( g:X\to\mathbb R \)

Sumą funkcji  \( f \)  i  \( g \) nazywamy funkcję	     \( (f+g):X\to\mathbb R \) taką, że  \( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \), dla każdego  \( x\in X \).

Różnicą funkcji  \( f \)  i  \( g \) nazywamy funkcję	 \( (f-g):X\to\mathbb R \) taką, że  \( (f-g)(x)=f(x)-g(x) \), dla każdego  \( x\in X \).

Iloczynem funkcji  \( f \)  i  \( g \) nazywamy funkcję	 \( (f\cdot g):X\to\mathbb R \) taką, że  \( (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \), dla każdego  \( x\in X \).

Jeżeli ponadto  \( g(x)\neq 0 \) dla każdego  \( x\in X \) to ilorazem funkcji  \( f \)  i  \( g \) nazywamy funkcję	 \( {f\over g}:X\to\mathbb R \) taką, że  \( {f\over g}(x)={{f(x)}\over {g(x)}} \) dla każdego  \( x\in X \)


Identyczność

Definicja 1: Funkcja identycznościowa

Funkcją identycznościową w zbiorze  \( A \) (identycznością w zbiorze  \( A \)) nazywamy funkcję  \( f:A\to A \) określoną wzorem  \( f(x)=x \), dla każdego  \( x\in A \).

Funkcję identycznościową w zbiorze  \( A \) oznaczamy symbolem  \( id_A \). Mamy więc  \( id_A:A\to A \),  \( id_A(x)=x \), dla każdego  \( x\in A \)


Składanie funkcji

Funkcję  \( f \) nazywamy wówczas funkcją wewnętrzną, a funkcję  \( g \) funkcja zewnętrzną.

Definicja 1: Złożenie funkcji

Złożeniem funkcji  \( f:X\to Y \) i  \( g:Z\to W \), gdzie  \( Y\subset Z \) nazywamy funkcję oznaczoną  \( g\circ f \), określoną następująco  \( g\circ f:X\to W \),  \( (g\circ f)(x)=g(f(x)) \), dla każdego  \( x\in X \).


Pojęcie funkcji odwrotnej do danej

Definicja 1: Funkcja odwrotna

Niech funkcja  \( f:X\to Y \) będzie bijekcją (funkcją różnowartościową (iniekcją) i „na” (suriekcją). Funkcją odwrotną do funkcji  \( f \)  nazywamy funkcję  \( f^{-1}:Y\to X \) spełniającą warunek:

 \( f^{-1}\circ f=id_X,\quad f\circ f^{-1}=id_Y: \)Rysunek 1:  Dziedziną funkcji  \( f^{-1} \) jest przeciwdziedzina funkcji  \( f \), a przeciwdziedziną funkcji  \( f^{-1} \) jest dziedzina funkcji  \( f \)


Funkcje cyklometryczne. Definicje, wykresy, podstawowe własności

Definicja 1: Funkcja arkus sinus

Funkcją arkus sinus (oznaczaną arcsin) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji sinus zawężonej do przedziału domkniętego  \( \left[{-\pi\over 2},{\pi\over 2}\right] \)

 \( \arcsin:=\left(\sin_{\vert\left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]}\right)^{-1} \)

Dziedziną funkcji arkus sinus jest przedział  \( [-1, 1] \), zaś zbiorem wartości przedział  \( \left[{-\pi\over 2},{\pi\over 2}\right] \). Wykres funkcji arcsin powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej  \( y=x \) wykresu zawężonej funkcji sinus  \( \left(\sin_{\vert \left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]}\right) \)

Definicja 2: Funkcja arkus kosinus

 Funkcją arkus kosinus (oznaczaną arccos) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji kosinus zawężonej do przedziału domkniętego  \( [0,\pi] \).

 \( \arccos:=(\cos_{\vert[0,\pi]})^{-1}. \)

Dziedziną funkcji arkus kosinus jest przedział  \( [-1, 1] \), zaś zbiorem wartości przedział  \( [0,\pi] \). Wykres funkcji arccos powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej  \( y=x \) wykresu zawężonej funkcji kosinus  \( (\cos_{\vert[0,\pi]}) \)

Definicja 3: Funkcja arkus tangens

Funkcją arkus tangens (oznaczaną arctg) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji tangens zawężonej do przedziału otwartego  \( (-{\pi\over 2},{\pi\over 2}) \),

 \( {\rm arctg}:=({\rm tg}_{\vert(-{\pi\over 2},{\pi\over 2})})^{-1}. \)

Dziedziną funkcji arkus tangens jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości tej funkcji jest przedział otwarty  \( (-{\pi\over 2},{\pi\over 2}) \). Wykres funkcji arccos powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej  \( y=x \) wykresu zawężonej funkcji tangens  \( ({\rm tg}_{\vert (-{\pi\over 2},{\pi\over 2})}) \).

Definicja 4: Funkcja arkus kotangens

Funkcją arkus kotangens (oznaczaną arcctg) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji kotangens zawężonej do przedziału otwartego  \( (0,\pi) \)

 \( {\rm arcctg} :=\left({\rm ctg}_{\vert(0,\pi)}\right)^{-1} \)

Dziedziną funkcji arkus kotangens jest cały zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości tej funkcji jest przedział otwarty  \( (0,\pi) \). Wykres funkcji arcctg powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej  \( y=x \) wykresu zawężonej funkcji kotangens  \( ({\rm ctg}_{\vert(0,\pi)}) \).


Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych


Podstawowe funkcje elementarne

Definicja 1: Podstawowe funkcje elementarne

Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy następujące funkcje: funkcję identycznościową,  \( y=x \), funkcję stałą  \( y=const \), funkcję wykładniczą  \( y=e^x \),  funkcję trygonometryczną  \( y=sin x \).

Definicja 2: Funkcje elementarne

Funkcjami elementarnymi nazywamy wszystkie funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania i odwracania funkcji.

Definicja 3: Wielomian

Wielomianem stopnia  \( n \) nazywamy funkcje  \( W:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 \) gdzie  \( n \) jest liczbą naturalną lub zerem, zaś współczynniki  \( a_i \) dla  \( i=0,1,\ldots,n \) są stałymi, przy czym  \( a_n\neq 0 \).

Przyjmujemy, że funkcja tożsamościowo równa zeru  \( W(x)=0 \) jest wielomianem stopnia  \( -\infty \).

Definicja 4: Funkcja wymierna

Funkcją wymierną nazywamy funkcję, którą można zapisać za pomocą ilorazu dwóch wielomianów.

Definicja 5: Funkcja wykładnicza

Niech  \( a>0 \) i  \( a\neq 1 \). Funkcją wykładniczą o podstawie  \( a \) nazywamy funkcję  \( f:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( f(x)=a^x \). Dziedziną funkcji wykładniczej jest  \( \mathbb R \), zbiorem wartości  \( \mathbb R_+ \).

Funkcja wykładnicza o podstawie  \( a>1 \) jest rosnąca, natomiast o podstawie  \( 0<a<1 \) jest malejąca.

Definicja 6: Funkcja logarytmiczna

Niech  \( a>0 \) i  \( a\neq 1 \). Funkcją logarytmiczną o podstawie  \( a \) nazywamy funkcję  \( f:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( f(x)=\log_ax \). Dziedziną funkcji logarytmicznej jest  \( \mathbb R_+ \), zbiorem wartości  \( \mathbb R \)

Funkcja logarytmiczna o podstawie  \( a>1 \) jest rosnąca, natomiast o podstawie  \( 0<a<1 \) jest malejąca.


Funkcje hiperboliczne

Definicja 1: Kosinus hiperboliczny

Funkcją kosinus hiperboliczny nazywamy funkcję  \( \cosh:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( \cosh(x)={{e^x+e^{-x}}\over 2} \), gdzie  \( e \) jest stałą Eulera - (  \( e:=\lim\limits_{n\to \infty} ({1+}{1\over n})^n \) ).

Dziedziną funkcji kosinus hiperboliczny jest  \( \mathbb R \), a zbiorem wartości  \( [1,\infty) \)

Definicja 2: Sinus hiperboliczny

Funkcją sinus hiperboliczny nazywamy funkcję  \( \sinh:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( \sinh(x)={{e^x-e^{-x}}\over 2} \), gdzie  \( e \) jest stałą Eulera (patrz definicja kosinusa hiperbolicznego).

Dziedziną i zbiorem wartości funkcji sinus hiperboliczny jest  \( \mathbb R \).

Definicja 3: Tangens hiperboliczny

Funkcją tangens hiperboliczny nazywamy funkcję  \( th:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( th(x)={{\sinh x}\over {\cosh x}} \).

Dziedziną funkcji tangens hiperboliczny jest  \( \mathbb R \), zaś zbiorem wartości przedział otwarty  \( (-1,1) \).

Rysunek 4:  Tangens hiperboliczny

Definicja 4: Kotangens hiperboliczny

Funkcją kotangens hiperboliczny nazywamy funkcję  \( cth:\mathbb R\setminus \{ 0\}\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( cth(x)={{\cosh x}\over {\sinh x}} \).

Dziedziną funkcji tangens hiperboliczny jest  \( \mathbb R\setminus \{0\} \), zaś zbiorem wartości suma przedziałów   \( (-\infty,-1)\cup (1,\infty) \).

Rysunek 5:  Kotangens hiperboliczny


Granica funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Definicja granicy funkcji w punkcie i w nieskończoności

Oznaczenia Otoczenie punktu  \( x_0\in \mathbb{R} \) oznaczamy symbolicznie  \( \mathcal{O}(x_0) \), a sąsiedztwo punktu  \( x_0\in \mathbb{R} \) oznaczamy przez  \( \mathcal{S}(x_0)=\mathcal{O}(x_0)\setminus \{x_0\} \).

Komentarz W wielu sytuacjach, przy badaniu własności funkcji  \( f\colon D_f\to \mathbb{R} \), gdzie  \( D_f\subset \mathbb{R} \) interesuje nas tylko jej zachowanie w bliskim sąsiedztwie punktu w którym funkcja nie musi być określona. Zawężamy wtedy funkcję do otoczenia lub sąsiedztwa punktu  \( x_0 \), zamiast zajmować się całą dziedziną funkcji. Jeżeli funkcja posiada pewną własność w otoczeniu lub sąsiedztwie, które może być nawet bardzo małe, punktu  \( x_0 \), to mówimy o lokalnym zachowaniu się funkcji. Pojęcie granicy funkcji w punkcie należy właśnie do takiej kategorii własności.

Oznaczenia Granicę funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \) oznaczamy przez  \( \lim_{x\to x_0}{f(x)}. \)

Na Rys. 1 widzimy wykres funkcji  \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem  \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę  \( g \). Chcemy pokazać, że liczba  \( g \) jest granicą funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \). W tym celu bierzemy dowolne  \( \epsilon > 0 \) i wyznaczamy przedział  \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych  \( y=g-\epsilon \) i  \( y=g+\epsilon \) z wykresem funkcji  \( f \), które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez  \( \delta \) oznaczymy najmniejszą z odległości zrzutowanych punktów od punktu  \( x_0 \). Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu  \( x \) należącego do przedziału  \( (x_0-\delta,x_0+\delta) \) wartość funkcji  \( f \) dla tego argumentu  \( f(x) \) wpada do przedziału  \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie.

Rys. 2 przedstawia wykres funkcji  \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem  \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę  \( g \). Chcemy pokazać, że liczba  \( g \) jest granicą funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \). W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji  \( f\ x_1,x_2,x_3,\dots \) różne od  \( x_0 \), który ma granicę  \( x_0 \) i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji  \( f \) dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji  \( f(x_n) \) lokalizuje się wokół liczby  \( g \). Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.

Rys. 3 przedstawia wykres funkcji określonej w przedziale  \( [0,+\infty) \) oraz metodę wyznaczania granicy funkcji w nieskończoności korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg rozbieżny do  \( +\infty \) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg zbieżny, to funkcja ma granicę w nieskończoności, co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy znajdziemy prostą o równaniu  \( y=g \), do której wykres funkcji zbliża się nieograniczenie wraz ze wzrostem wartości argumentów.

Rys. 4 przedstawia wykres funkcji określonej w sąsiedztwie liczby  \( 10 \) oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie  \( x_0=10 \) korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do  \( x_0=10 \) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do  \( +\infty \), to funkcja ma granicę niewłaściwą  \( +\infty \) w punkcie  \( x_0=10 \), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu  \( y=A \) znajdziemy sąsiedztwo punktu  \( x_0=10 \) takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży powyżej prostej.

Rys. 5 przedstawia wykres funkcji określonej w całym zbiorze liczb rzeczywistych oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności, korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg rozbieżny do  \( +\infty \) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do  \( +\infty \), to funkcja ma granicę niewłaściwą w nieskończoności  \( +\infty \), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu  \( y=A \) znajdziemy na osi odciętych przedział  \( (a,+\infty) \) taki, że dla argumentów z tego przedziału wykres funkcji leży powyżej prostej.

Definicja 1: Otoczenie i sąsiedztwo punktu

Otoczeniem punktu  \( x_0\in \mathbb{R} \) nazywamy dowolny przedział otwarty  \( (a,b) \) zawierający ten punkt, tzn.  \( x_0\in (a,b) \), a sąsiedztwem punktu  \( x_0\in \mathbb{R} \) nazywamy otoczenie z wyłączeniem punktu  \( x_0 \).

Definicja 2: Definicja Cauchy'ego granicy właściwej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja  \( f\colon D_f\to \mathbb{R} \) ma granicę  \( g \) w punkcie  \( x_0 \) , gdzie pewne sąsiedztwo  \( \mathcal{S}(x_0) \) jest zawarte w dziedzinie funkcji, jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu  \( g\in \mathbb{R} \) da się dobrać sąsiedztwo punktu  \( x_0 \) tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa, wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu  \( g \).

Definicja 3: Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja  \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę  \( g \) w punkcie  \( x_0 \) , gdzie pewne sąsiedztwo  \( \mathcal{S}(x_0) \) jest zawarte w dziedzinie funkcji,  jeżeli dla każdego nie stałego ciągu  \( (x_n) \)  argumentów funkcji  \( f \) różnych od  \( x_0 \) zbieżnego do granicy  \( x_0 \), ciąg wartości funkcji odpowiadających argumentom  \( x_n \) jest zbieżny do granicy  \( g \).

Definicja 4: Granica właściwa funkcji w nieskończoności

Mówimy, że funkcja  \( f\colon (a,+\infty)\to \mathbb{R} \) ma granicę  \( g \) w  \( +\infty \), jeżeli dla każdego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) rozbieżnego do  \( +\infty \), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) jest zbieżny do granicy  \( g \).

Mówimy, że funkcja  \( f\colon (-\infty, a)\to \mathbb{R} \) ma granicę  \( g \) w  \( -\infty \), jeżeli dla każdego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) rozbieżnego do  \( -\infty \), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) jest zbieżny do granicy  \( g \).

Definicja 5: Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja  \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę niewłaściwą  \( +\infty \) w punkcie  \( x_0 \) , jeżeli dla każdego nie stałego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) różnych od  \( x_0 \) zbieżnego do granicy  \( x_0 \), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) jest rozbieżny do  \( +\infty \).

Mówimy, że funkcja  \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę niewłaściwą  \( -\infty \) w punkcie  \( x_0 \), jeżeli dla każdego nie stałego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) różnych od  \( x_0 \) zbieżnego do granicy  \( x_0 \), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) jest rozbieżny do  \( -\infty \).

Definicja 6: Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności

Mówimy, że funkcja  \( f\colon (a,+\infty)\to \mathbb{R} \) ma granicę  \( \pm \infty \) w  \( +\infty \), jeżeli dla każdego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) rozbieżnego do  \( +\infty \), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) jest rozbieżny do  \( \pm \infty \).

Mówimy, że funkcja  \( f\colon (-\infty,a) \) ma granicę  \( \pm \infty \) w  \( -\infty \), jeżeli dla każdego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) rozbieżnego do  \( -\infty \), ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) jest rozbieżny do  \( \pm \infty \).


Granice jednostronne i WKW istnienia granicy funkcji

Rys. 1 przedstawia wykres funkcji  \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem  \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w lewostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę  \( g \). Chcemy pokazać, że liczba  \( g \) jest granicą lewostronną funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \). W tym celu bierzemy dowolne  \( \epsilon > 0 \) i wyznaczamy przedział  \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych  \( y=g-\epsilon \) i  \( y=g+\epsilon \) z wykresem funkcji  \( f \), które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez  \( \delta \) oznaczymy odległość punktu  \( x_0 \) od tego ze zrzutowanych punktów, który leży na lewo od punktu  \( x_0 \). Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu  \( x \) należącego do przedziału  \( (x_0-\delta,x_0) \) wartość funkcji  \( f \) dla tego argumentu  \( f(x) \) wpada do przedziału  \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy lewostronnej funkcji w punkcie.

Rys. 2 przedstawia wykres funkcji  \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem  \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w prawostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę  \( g \). Chcemy pokazać, że liczba  \( g \) jest granicą prawostronną funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \). W tym celu bierzemy dowolne  \( \epsilon > 0 \) i wyznaczamy przedział  \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych  \( y=g-\epsilon \) i  \( y=g+\epsilon \) z wykresem funkcji  \( f \), które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez  \( \delta \) oznaczymy odległość punktu  \( x_0 \) od tego ze zrzutowanych punktów, który leży na prawo od punktu  \( x_0 \). Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu  \( x \) należącego do przedziału  \( (x_0,x_0+\delta) \) wartość funkcji  \( f \) dla tego argumentu  \( f(x) \) wpada do przedziału  \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy prawostronnej funkcji w punkcie.

Rys. 3 przedstawia wykres funkcji  \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem  \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w lewostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę  \( g \). Chcemy pokazać, że liczba  \( g \) jest lewostronną granicą funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \). W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji  \( f \)  \( x_1,x_2,x_3,\dots \) mniejsze od  \( x_0 \) który ma granicę  \( x_0 \) i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji  \( f \) dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji  \( f(x_n) \) lokalizuje się wokół liczby  \( g \). Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.

Rys. 4 przedstawia wykres funkcji  \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem  \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w prawostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę  \( g \). Chcemy pokazać, że liczba  \( g \) jest prawostronną granicą funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \). W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji  \( f \)  \( x_1,x_2,x_3,\dots \)  większe od  \( x_0 \) który ma granicę  \( x_0 \) i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji  \( f \) dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji  \( f(x_n) \) lokalizuje się wokół liczby  \( g \). Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.

Rys. 5 przedstawia wykres funkcji określonej w lewostronnym sąsiedztwie liczby  \( 2 \) oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie  \( x_0=2 \) korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do  \( x_0=2 \) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując  wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do  \( -\infty \), to funkcja ma granicę niewłaściwą  \( -\infty \) w punkcie  \( x_0=2 \), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu  \( y=-A \) znajdziemy lewostronne sąsiedztwo punktu  \( x_0=2 \) takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży poniżej prostej.

Rys. 6 przedstawia wykres funkcji określonej w prawostronnym sąsiedztwie liczby  \( 0 \) oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie  \( x_0=0 \) korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do  \( x_0=0 \) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do  \( +\infty \), to funkcja ma granicę niewłaściwą  \( +\infty \) w punkcie  \( x_0=0 \), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu  \( y=A \) znajdziemy prawostronne sąsiedztwo punktu  \( x_0=0 \) takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży powyżej prostej.

Definicja 1: Lewostronne sąsiedztwo punktu

Lewostronnym sąsiedztwem punktu  \( x_0 \in \mathbb{R} \) nazywamy dowolny przedział otwarty, którego prawym końcem jest punkt  \( x_0 \).

Definicja 2: Prawostronne sąsiedztwo punktu

Prawostronnym sąsiedztwem punktu  \( x_0\in \mathbb{R} \) nazywamy dowolny przedział otwarty, którego lewym końcem jest punkt  \( x_0 \).

Definicja 3: Definicja Cauchy'ego właściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja  \( f\colon D_f\to \mathbb{R} \) ma granicę lewostronną w punkcie  \( x_0 \) równą  \( g \), jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu  \( g\in \mathbb{R} \) da się dobrać lewostronne sąsiedztwo punktu  \( x_0 \) zawarte w dziedzinie funkcji tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa, wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu  \( g \).

Definicja 4: Definicja Cauchy'ego właściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja  \( f\colon D_f\to \mathbb{R} \)  ma granicę prawostronną w punkcie  \( x_0 \) równą  \( g \), jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu  \( g\in \mathbb{R} \) da się dobrać prawostronne sąsiedztwo punktu  \( x_0 \) zawarte w dziedzinie funkcji tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa, wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu  \( g \).

Definicja 5: Defincija Heinego właściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja  \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę lewostronną w punkcie  \( x_0 \)  równą  \( g \), jeżeli dla dowolnego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) o wyrazach mniejszych od  \( x_0 \) zbieżnego do granicy  \( x_0 \), ciąg wartości funkcji  \( f \) dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) ma granicę równą  \( g \).

Definicja 6: Definicja Heinego właściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja  \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę prawostronną w punkcie  \( x_0 \) równą  \( g \), jeżeli dla dowolnego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) o wyrazach większych od  \( x_0 \) zbieżnego do granicy  \( x_0 \), ciąg wartości funkcji  \( f \) dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) ma granicę równą  \( g \).

Definicja 7: Heinego niewłaściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja  \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę lewostronną w punkcie  \( x_0 \) równą  \( \pm\infty \), jeżeli dla dowolnego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) o wyrazach mniejszych od  \( x_0 \) zbieżnego do granicy  \( x_0 \), ciąg wartości funkcji  \( f \) dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) jest rozbieżny do  \( +\infty \) albo do  \( -\infty \).

Definicja 8: Heinego niewłaściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja  \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę prawostronną w punkcie  \( x_0 \) równą  \( \pm\infty \), jeżeli dla dowolnego ciągu  \( (x_n) \) argumentów funkcji  \( f \) o wyrazach większych od  \( x_0 \) zbieżnego do granicy  \( x_0 \), ciąg wartości funkcji  \( f \) dla wyrazów ciągu  \( (x_n) \) jest rozbieżny do  \( +\infty \) albo do  \( -\infty \).


Symbole oznaczone i nieoznaczone w granicy funkcji

Obliczając granice funkcji poprzez zastąpienie jej argumentu wartością graniczną, do której zmierza argument, otrzymujemy symbole graniczne ujmowane w nawiasy kwadratowe, w celu zaznaczenia, że są to wyrażenia otrzymywane przy obliczaniu granic, a nie działania arytmetyczne na liczbach.  Należy na tę symbolikę zwracać szczególną uwagę zwłaszcza w sytuacji, gdy otrzymujemy zero w mianowniku, albo wyrażenia zmierzające do nieskończoności. Niektóre z symboli granicznych dają zawsze ten sam wynik, bez względu na to w granicach jakich funkcji otrzymujemy określony symbol i nazywamy je symbolami oznaczonymi. Inne znów dają różne wyniki w zależności od funkcji, której granicę liczymy i takie symbole nazywamy nieoznaczonymi.

Definicja 1: Symbol oznaczony i nieoznaczony

Symbolem oznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i które daje zawsze taki sam wynik niezależny od typu funkcji, w granicy której otrzymuje się dany symbol graniczny.

Symbolem nieoznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i którego wartości nie da się jednoznacznie obliczyć na podstawie jedynie granic funkcji składowych, z których powstaje symbol graniczny i wynik zależy od typu funkcji, w granicy której otrzymuje się dany symbol graniczny.


Własności granic funkcji


Granice pewnych funkcji specjalnych

Komentarz Rys. 1 przedstawia wykresy funkcji  \( x \) oraz  \(  \sin x  \) w otoczeniu punktu  \( x_0=0 \). Zauważamy, że jeżeli przyjrzymy się bliżej małemu otoczeniu punktu zero, to wykresy obydwu funkcji są prawie nierozróżnialne, dlatego też w granicy, przy argumencie zmierzającym do zera granica ilorazu tych funkcji wynosi  \( 1 \). Czyli symbol nieoznaczony  \(  [\frac{0}{0}]  \), który otrzymujemy licząc granicę  \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}  \) w tym szczególnym przypadku daje wartość  \( 1 \). Analogicznie, analizując wykresy pozostałych funkcji występujących w innych podpunktach powyższego twierdzenia, otrzymujemy w granicy taki sam wynik.


Metody obliczania granic funkcji

Do obliczania granic funkcji w przypadku, gdy prowadzą one do symboli nieoznaczonych stosuje się znane metody obliczania granic ciągów, takie jak wyłączanie przed nawias odpowiednich wyrażeń, rozszerzanie o odpowiednio skonstruowaną jedynkę, korzystanie ze wzorów skróconego mnożenia, wzorów trygonometrycznych, własności odpowiednich funkcji. Metody te stosujemy zarówno do granicy funkcji w punkcie, jak i nieskończości oraz do granicy jednostronnej.

Komentarz W przypadku symboli nieoznaczonych  \(  [1^{\infty}]  \) lub  \(  [\frac{0}{0}]  \) w wielu przypadkach wykorzystujemy granice pewnych funkcji specjalnych, które w granicach dają właśnie takie symbole. Często do obliczenia tych granic stosujemy też twierdzenie Własności granic funkcji-o zamianie zmiennej w granicy.

Komentarz W przypadku, gdy w granicy funkcji otrzymujemy zero w mianowniku i ma to wpływ na wartość granicy, albo gdy otrzymujemy wartość bezwzględną z wyrażenia, które w granicy przyjmuje zero, albo gdy funkcja, której granicę liczymy jest w punkcie obliczania granicy sklejeniem dwóch funkcji (tzn. jest określona innym wzorem w lewostronnym sąsiedztwie punktu, a innym w prawostronnym sąsiedztwie tego punktu), to do obliczania granicy stosujemy WKW istnienia granicy funkcji, czyli liczymy granic jednostronne.


Asymptota pionowa wykresu funkcji

Komentarz Z definicji Asymptota pionowa lewostronna i Asymptota pionowa prawostronna wynika, że dla argumentów zbliżających się do punktu  \( x_0 \) od strony lewej lub prawej, wykres funkcji nieograniczenie (asymptotycznie) zbliża się do prostej  \( x=x_0 \) nigdy jej nie dotykając. Poszukiwania prostych które mogą być asymptotami pionowymi wykresu funkcji  \( f(x) \) zaczynamy od wyznaczania punktów, które nie należą do dziedziny funkcji, ale w sąsiedztwie lewo lub prawostronnym których funkcja jest określona, a następnie obliczamy odpowiednie granice jednostronne, aby sprawdzić, czy są to granice niewłaściwe.

Rys. 1 przedstawia wykres funkcji, dla którego prosta o równaniu x=1 jest asymptotą pionowa obustronną. Rzeczywiście zauważamy, że punkt x=1 nie należy do dziedziny funkcji (funkcja nie posiada wartości dla x=1), a granica lewostronna w punkcie x=1 jest niewłaściwa i wynosi  \( - \infty \) oraz granica prawostronna w punkcie x=1 jest niewłaściwa i wynosi  \( +\infty \).

Definicja 1: Asymptota pionowa lewostronna

Niech funkcja  \( f(x)  \) będzie określona w lewostronnym sąsiedztwie punktu  \( x_0 \not\in D_f  \). Prostą  \(  x=x_0 \) nazywamy asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji  \( y=f(x)  \), jeżeli  granica lewostronna funkcji  \( f(x)  \) w punkcie  \( x_0 \) jest niewłaściwa  \(  (\lim_{x \rightarrow x_0^- } f(x)=± \infty )  \).

Definicja 2: Asymptota pionowa prawostronna

Niech funkcja  \(  f(x)  \) będzie określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu  \( x_0 \not\in D_f \). Prostą  \( x=x_0 \) nazywamy asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji  \( y=f(x) \), jeżeli  granica prawostronna funkcji  \( f(x) \) w punkcie  \( x_0 \) jest niewłaściwa  \(  ( \lim_{x \rightarrow x_0^+ } f(x)=± \infty)  \).


Asymptota ukośna wykresu funkcji

Komentarz Z definicji Asymptota ukośna prawostronna wynika, że wykres funkcji wraz ze wzrostem argumentów coraz bardziej zbliża się do asymptoty. Z definicji Asymptota ukośna lewostronna wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do  \( - \infty \) coraz bardziej zbliża się do asymptoty. Zauważamy również, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, dlatego też, jeżeli okaże się, że istnieje asymptota pozioma lewo lub prawostronna wykresu funkcji, to nie badamy już istnienia asymptoty ukośnej.

Rys. 1 przedstawia wykres funkcji, dla którego prosta o równaniu  \( y=-x+1/2 \) jest asymptotą ukośną lewostronną, a prosta o równaniu  \( y=x-1/2 \) jest asymptotą ukośną prawostronną. Rzeczywiście dla ciągu argumentów zmierzających do  \( -\infty \) różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji liniowej  \( y=-x+1/2 \) dąży do zera. Analogicznie dla ciągu argumentów zmierzających do  \( +\infty \) różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji liniowej  \( y=x-1/2 \) dąży do zera.

Definicja 1: Asymptota ukośna lewostronna

Prosta  \( y=ax+b \) jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji  \( y=f(x)  \), jeżeli  \( D_f \) jest zbiorem nieograniczonym od dołu oraz granica różnicy wartości funkcji  \( f(x)  \) i funkcji liniowej  \(  (ax+b)  \) w  \( - \infty  \) jest równa zero  \(  ( \lim_{x \rightarrow - \infty} \lbrack f(x)-(ax+b) \rbrack =0)  \).

Definicja 2: Asymptota ukośna prawostronna

Prosta  \( y=ax+b \) jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji  \( y=f(x)  \), jeżeli  \( D_f \) jest zbiorem nieograniczonym od góry oraz granica różnicy wartości funkcji  \( f(x)  \) i funkcji liniowej  \(  (ax+b)  \) w  \( + \infty  \) jest równa zero  \(  ( \lim_{x \rightarrow \infty} \lbrack f(x)-(ax+b) \rbrack =0)  \).


Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji odwrotnej

Chcemy poznać prędkość obiektu, który porusza się ze zmienną prędkością. Mamy informację, jaką drogę przebył w każdym czasie między chwilą  \( 0 \) i  \( T \). Obiekt przez pewien czas przyśpieszał, poruszał się ze stałą prędkością, zwalniał, zatrzymywał się,... Jeżeli policzymy iloraz drogi przebytej w czasie  \( T \) przez czas  \( T \), to otrzymamy jedynie prędkość średnią, która słabo opisuje, jak poruszał się obiekt w rzeczywistości. Oczywiście możemy podzielić czas na mniejsze przedziały czasowe. Im mniejsze będą te przedziały czasowe, tym lepiej prędkość średnia przybliży nam rzeczywistą prędkość osiągniętą przez obiekt w tym krótszym czasie. Ideałem byłoby znać dokładną wartość prędkości w każdej chwili z osobna, czyli prędkość średnią zmierzoną przy długości przedziału czasu dążącej do zera.

I właśnie tak uzyskaną prędkość w danej chwili nazwiemy pochodną drogi względem czasu. Prędkość w danej chwili  \( t_0 \) będzie zatem graniczną wartością prędkości średnich obliczonych w przedziale czasowym  \( [t_0, t] \) lub  \( [t, t_0] \), o ile  \( \Delta t=t-t_0 \) dąży do zera ( \( t \) - inny moment czasu).  Analogicznie możemy policzyć jak zmienia się inna wielkość w zależności od zmiany czasu i nie tylko, ponieważ pochodna opisuje, jak zmienia się wartość funkcji w stosunku do zmiany jej argumentu, gdy zmiana argumentu dąży do zera.

Zanim zdefiniujemy pochodną funkcji, określmy najpierw czym na osi liczbowej jest otoczenie punktu  \( x_0\in \mathbb{R} \).

Przejdźmy do definicji pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie.

Pochodna funkcji w punkcie jest granicą (obustronną). Oprócz granicy (obustronnej) funkcji rozważamy również granice jednostronne funkcji. W związku z tym, definiujemy również pochodne jednostronne funkcji w punkcie  \( x_0 \).

Przyjrzyjmy się jeszcze twierdzeniu o pochodnej funkcji odwrotnej w punkcie  \( x_0 \) i zobaczmy zastosowanie tego twierdzenia do obliczenia pochodnej funkcji arcus sinus w dowolnie zadanym punkcie  \( x_0\in (-1,1) \).

Jeżeli mówimy o pochodnej funkcji w punkcie  \( x_0 \), to mówimy o pochodnej właściwej funkcji w punkcie  \( x_0 \), ale możemy również zdefiniować rzadziej rozważaną pochodną niewłaściwą funkcji w punkcie  \( x_0 \).

Definiuje się również jednostronne pochodne niewłaściwe funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \).

Definicja 1: Otoczenie punktu

Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \).

Otoczeniem punktu  \( x_0 \) o promieniu  \( \varepsilon>0 \)  nazywamy przedział  \( (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \) i oznaczamy przez  \( O(x_0,\varepsilon) \).

Otoczeniem lewostronnym punktu  \( x_0 \) o promieniu  \( \varepsilon>0 \)  nazywamy przedział  \( (x_0-\varepsilon,x_0] \) i oznaczamy przez  \( O(x_0^-,\varepsilon) \).

Otoczeniem prawostronnym punktu  \( x_0 \) o promieniu  \( \varepsilon>0 \)  nazywamy przedział  \( [ x_0, x_0+\varepsilon) \) i oznaczamy przez  \( O(x_0^+,\varepsilon) \).

Gdy promień otoczenia nie jest istotny (czyli może być dowolną liczbą dodatnią), powyższe otoczenia oznaczamy odpowiednio przez  \( O(x_0) \),  \( O(x_0^-) \),  \( O(x_0^+) \).

Definicja 2: Pochodna funkcji w punkcie

Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona w otoczeniu  \( O(x_0) \).

Pochodną (właściwą) funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \)  nazywamy granicę właściwą

								\( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \)

					 Pochodną funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \) oznaczamy przez  \( f^{\prime} (x_0) \) lub też przez:  \( \frac{df}{dx}(x_0) \),   \( \dot{f}(x_0) \),  \( Df(x_0) \).

Definicja 3: Pochodna lewostronna funkcji w punkcie

Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona w otoczeniu  \( O(x_0^{-}) \).

Pochodną lewostronną (właściwą) funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \) , którą oznaczamy przez  \( f^{\prime}_{-} (x_0) \), nazywamy granicę właściwą

								\( f^{\prime}_{-} (x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \)

Definicja 4: Pochodna prawostronna funkcji w punkcie

Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona w otoczeniu  \( O(x_0^{+}) \).

Pochodną prawostronną (właściwą) funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \) , którą oznaczamy przez  \( f^{\prime}_{+} (x_0) \), nazywamy granicę właściwą

								\( f^{\prime}_{+} (x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \)

Definicja 5: Pochodna niewłaściwa funkcji w punkcie

Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu  \( O(x_0) \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną niewłaściwą w punkcie  \( x_0 \) , gdy

								\( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty\quad\text{ lub }\quad \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty. \)

Fakt, że funkcja ma pochodną niewłaściwą w punkcie  \( x_0 \) zapisujemy:

								\( f^{\prime}(x_0)=-\infty\quad\text{ lub }\quad f^{\prime}(x_0)=+\infty. \)

Definicja 6: Pochodna niewłaściwa lewostronna funkcji w punkcie

 Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu  \( O(x_0^-) \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną niewłaściwą lewostronną w punkcie  \( x_0 \) , gdy

								\( \lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty\quad\text{ lub }\quad \lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty, \)

					 co zapisujemy:  \( f^{\prime}_-(x_0)=-\infty \) lub  \( f^{\prime}_-(x_0)=+\infty \).

Definicja 7: Pochodna niewłaściwa prawostronna funkcji w punkcie

Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu  \( O(x_0^+) \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie  \( x_0 \) , gdy

								\( \lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty\quad\text{ lub }\quad \lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty, \)

					 co zapisujemy:  \( f^{\prime}_+(x_0)=-\infty \) lub  \( f^{\prime}_+(x_0)=+\infty \).


Pochodna funkcji w przedziale. Różniczkowalność funkcji. Pochodna funkcji wektorowej

Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie możemy rozszerzyć na przedział i mówić o pochodnej funkcji w przedziale. Z pochodną funkcji wiąże się również pojęcie różniczkowalności funkcji.

Definiuje się również następujące pojęcia:

Przyglądnijmy się teraz klasie funkcji różniczkowalnych - sformułujemy dwa twierdzenia opisujące własności funkcji różniczkowalnych.

Zdefiniujmy również pochodną funkcji wektorowej.

Definicja 1: Pochodna funkcji w przedziale

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym  \( (a,b) \) , gdzie  \( -\infty\leq a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale domkniętym  \( [a,b] \) , gdzie  \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym  \( (a,b) \) i pochodną prawostronną w  \( a \) i pochodną lewostronną w  \( b \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale  \( (a,b] \) , gdzie  \( -\infty\leq a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym  \( (a,b) \) i pochodną lewostronną w  \( b \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale  \( [a,b) \) , gdzie  \( -\infty\lt a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym  \( (a,b) \) i pochodną prawostronną w  \( a \).

Definicja 2: Funkcja pochodna

Funkcję określoną w przedziale  \( I \), której wartości są równe  \( f^{\prime}(x) \) dla każdego  \( x\in I \), nazywamy funkcją pochodną funkcji  \( f \) w przedziale  \( I \)  lub pochodną funkcji  \( f \) w przedziale  \( I \)  i oznaczamy ją przez  \( f^{\prime} \) lub  \( \frac{df}{dx} \).

Definicja 3: Funkcja różniczkowalna

Funkcję mającą pochodną (właściwą) w każdym punkcie przedziału nazywamy funkcją różniczkowalną w tym przedziale.

Definicja 4: Pochodna funkcji wektorowej

Niech  \( \vec v:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}^2 \) o przepisie  \( \vec v(t)=(x(t),y(t)) \) będzie funkcją wektorową.

Pochodną funkcji wektorowej  \( \vec v \)  określamy wzorem

								\( \vec v\,^{\prime}(t)=(x^{\prime}(t),y^{\prime}(t)). \)


Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia

Pochodną funkcji można obliczyć, korzystając z twierdzeń opisujących własności pochodnych funkcji -  i  - oraz . Poniżej przedstawimy te twierdzenia oraz przykłady obliczania pochodnej funkcji wykorzystujące te własności.

Pochodną funkcji można obliczyć z definicji, jednak często jest to żmudne zadanie. Dlatego zazwyczaj obliczamy pochodną funkcji, wykorzystując  i  oraz powyższe .

Przy liczeniu pochodnej funkcji elementarnej będziemy często potrzebować jeszcze wzoru na pochodną złożenia funkcji.


Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji

Pojęcie stycznej do wykresu funkcji  \( f \) w danym punkcie wykresu  \( P(x_0,f(x_0)) \) jest ściśle związane z pochodną funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \). Styczną możemy traktować jako geometryczną interpretację pochodnej funkcji. Pojęcie stycznej w sensie rachunku różniczkowego jest czymś innym niż styczna do figury czyli prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z figurą, którą poznaje się w szkole średniej.

Zwróćmy jeszcze raz uwagę, że określenie stycznej do wykresu funkcji jako prostej, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, jest błędne. Przykład stycznej do wykresu funkcji w punkcie  \( x_0 \), która ma więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem przedstawia poniższy rysunek.

Natomiast w  rozważaliśmy funkcję, której wykres pokrywa się ze styczną w dowolnym punkcie  \( \mathbb{R} \), czyli wykres i styczna mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Z drugiej strony, oczywiście, każdy z łatwością wskaże proste mające tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, a nie są stycznymi do tego wykresu.

W ostatniej uwadze został wspomniany przypadek pionowej stycznej do wykresu funkcji. Taka sytuacja ma miejsce, gdy funkcja jest ciągła w otoczeniu  \( O(x_0) \) i obie pochodne jednostronne w  \( x_0 \) są niewłaściwe (pochodna obustronna może istnieć lub nie).

Zwróćmy uwagę, że przypadek stycznej pionowej spełnia definicję stycznej do wykresu funkcji. Przykładem takiej stycznej jest prosta  \( x=0 \), która jest styczną do wykresu funkcji  \( f(x)=\sqrt[3]{x} \) w punkcie  \( x_0=0 \).

Na podstawie tego wyprowadzenia sformułujmy twierdzenie.

Znając własności współczynnika kierunkowego  \( a \) prostej  \( y=ax+b \), możemy sformułować następujące twierdzenie.

Jednym z zastosowań stycznej, a tym samym pochodnej funkcji, jest określenie kąta między krzywymi będącymi wykresami funkcji, które się przecinają.

Kąt przecięcia się wykresów funkcji możemy obliczyć, wykorzystując twierdzenie:

Powyższy wzór jest konsekwencją wzoru na tangens różnicy kątów oraz związku pochodnej funkcji w punkcie ze styczną do wykresu funkcji w tym punkcie. Wartość  \( \frac{f^{\prime}(x_0)-g^{\prime}(x_0)}{1+f^{\prime}(x_0)g^{\prime}(x_0)} \) jest równa tangensowi kąta  \( \varphi \) lub kąta do niego przyległego. Wartość tangensa dla kątów przyległych różni się tylko znakiem. Szukamy tangensa dodatniego kąta ostrego, więc właściwą wartość wybieramy przez zastosowanie wartości bezwzględnej.

Definicja 1: Styczna do wykresu funkcji

Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu  \( O(x_0) \).

Styczną do wykresu funkcji  \( f \) w punkcie  \(  x_0 \) (w punkcie wykresu  \( P (x_0, f(x_0)) \) lub dla argumentu  \( x_0 \))  nazywamy prostą będąca granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji  \( f \) przechodzących przez punkty  \(  (x_0, f(x_0)) \) i  \(  (x, f(x)) \), gdy  \( x\to x_0 \).

Definicja 2: Kąt przecięcia się wykresów funkcji

Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \). Niech funkcje  \( f \) i  \( g \) będą określone w otoczeniu  \( O(x_0) \), posiadają pochodne właściwe lub niewłaściwe w punkcie  \( x_0 \) oraz ich wykresy mają punkt wspólny  \( (x_0,y_0) \).

Kątem przecięcia się wykresów funkcji  \( f \) i  \( g \) w punkcie  \( (x_0,y_0) \)  nazywamy kąt ostry lub prosty między stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie przecięcia  \( (x_0,y_0) \).


Różniczka funkcji i jej zastosowanie do obliczeń przybliżonych

Z pojęciem pochodnej wiąże się pojęcie różniczki. Funkcja posiadająca pochodną (właściwą) w danym zbiorze jest nazywana funkcją różniczkowalną w tym zbiorze, ale czym jest różniczka?

Definicja 1: Różniczka funkcji

Niech  \( x_0\in\mathbb{R} \) i funkcja  \( f \) ma pochodną właściwą w punkcie  \( x_0 \).

Różniczką funkcji  \( f \) w punkcje  \( x_0 \)  nazywamy funkcję  \( df_{x_0} \) zmiennej  \( h \) określoną wzorem

								\( df_{x_0}(h)=f^{\prime}(x_0)\cdot h. \)


Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora

Możemy obliczyć pochodną funkcji pochodnej. W ten sposób otrzymujemy pochodną rzędu drugiego zadanej funkcji, a także pochodne wyższych rzędów. Pojęcie pochodnych wyższych rzędów znajduje zastosowanie między innymi we wzorze Taylora, który umożliwia przybliżanie funkcji w lepszy sposób niż robi to różniczka funkcji czy geometrycznie styczna.

Indukcyjnie również definiujemy pochodne jednostronne wyższego rzędu:

Pochodną wyższego rzędu w przedziale definiujemy analogicznie do pochodnej rzędu pierwszego w przedziale:

Zauważmy, że gdybyśmy policzyli piątą pochodną funkcji  \( x^5 \) otrzymamy też liczbę:  \( 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5! \). I tak dalej. Są to szczególne przypadki następującej obserwacji:

Wykorzystując pochodne wyższych rzędów możemy sformułować twierdzenie o wzorze Taylora.

Twierdzenie jest prawdziwe również dla przedziału  \( [ x, x_0] \).

Ilustracją graficzną tej uwagi niech będą wykresy funkcji i ich przybliżeń przez wielomiany Taylora wyliczone w ostatnich przykładach.

Zwróćmy uwagę, że dla funkcji  \( g(x)=\sin x \) wielomianu Taylora stopnia 5 w  \( x_0=\pi \) i wielomianu Taylora stopnia 6 w  \( x_0=\pi \) ma identyczną postać, bo  \( g^{(6)}(\pi)=0 \).

Należy jednak zaznaczyć, że wykresy powyższych funkcji i ich wielomianów Taylora nie pokrywają się w żadnym przedziale.

Dla funkcji różniczkowalnej wystarczająco wiele razy możemy, szacując resztę  \( R_n \), ustalić stopnień wielomianu Taylora w punkcie  \( x_0 \), tak aby przybliżenie danej funkcji przez ten wielomian Taylora miało zadaną z góry dokładność, czyli błąd przybliżenia był mniejszy lub równy od zadanej wartości. W szczególności przy pomocy wzoru Taylora możemy określić przybliżoną wartość funkcji dla zadanego argumentu z zadaną z góry dokładnością.

Definicja 1: Pochodna rzędu  \( n \) funkcji w punkcie

Niech  \( n\in\mathbb{N} \).

Pochodną (właściwą) rzędu  \( n \) funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \) (lub pochodną  \( n \)-tego rzędu funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \))  oznaczamy przez  \( f^{(n)}(x_0) \) i definiujemy jako

								\( f^{(n)}(x_0)=\left[f^{(n-1)}\right]^{\prime}(x_0)\quad \text{ dla }n\geq 2, \)

					 o ile funkcja  \( f^{(n-1)} \) jest określona w otoczeniu punktu  \( x_0 \) i istnieje pochodna funkcji  \( f^{(n-1)} \) w punkcie  \( x_0 \). Przyjmujemy, że  \( f^{(1)}(x_0)=f^{\prime}(x_0) \).

Definicja 2: Funkcja pochodna rzędu  \( n \)

Funkcję określoną w przedziale  \( I \), której wartości w punktach  \( x\in I \) są równe  \( f^{(n)}(x) \), nazywamy funkcją pochodną rzędu  \( n \) funkcji  \( f \) w przedziale  \( I \)  lub pochodną  \( n \)-tego rzędu funkcji  \( f \) w przedziale  \( I \),  lub też  \( n \)-tą pochodną funkcji  \( f \) w przedziale  \( I \)  i oznaczamy  \( f^{(n)} \) dla  \( n\in \mathbb{N} \).

Definicja 3: Pochodna lewostronna rzędu  \( n \) funkcji w punkcie

Niech  \( n\in\mathbb{N} \).

Pochodną lewostronną (właściwą) rzędu  \( n \) funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \)  oznaczamy przez  \( f^{(n)}_{-}(x_0) \) i definiujemy jako

								\( f^{(n)}_{-}(x_0)=\left[f^{(n-1)}\right]^{\prime}_{-}(x_0)\quad \text{ dla }n\geq 2, \)

					 o ile funkcja  \( f^{(n-1)} \) jest określona w otoczeniu lewostronnym punktu  \( x_0 \) i istnieje pochodna lewostronna funkcji  \( f^{(n-1)} \) w punkcie  \( x_0 \). Przyjmujemy, że  \( f^{(1)}_{-}(x_0)=f^{\prime}_{-}(x_0) \).

Definicja 4: Pochodna prawostronna rzędu  \( n \) funkcji w punkcie

Niech  \( n\in\mathbb{N} \).

Pochodną prawostronną (właściwą) rzędu  \( n \) funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \)  oznaczamy przez  \( f^{(n)}_{+}(x_0) \) i definiujemy jako

								\( f^{(n)}_{+}(x_0)=\left[f^{(n-1)}\right]^{\prime}_{+}(x_0)\quad \text{ dla }n\geq 2, \)

					 o ile funkcja  \( f^{(n-1)} \) jest określona w otoczeniu prawostronnym punktu  \( x_0 \) i istnieje pochodna prawostronna funkcji  \( f^{(n-1)} \) w punkcie  \( x_0 \). Przyjmujemy, że  \( f^{(1)}_{+}(x_0)=f^{\prime}_{+}(x_0) \).

Definicja 5: Pochodna rzędu  \( n \) funkcji w przedziale

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną rzędu  \( n \) w przedziale otwartym  \( (a,b) \) , gdzie  \( -\infty\leq a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną rzędu  \( n \) w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną rzędu  \( n \) w przedziale domkniętym  \( [a,b] \) , gdzie  \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną rzędu  \( n \) w przedziale otwartym  \( (a,b) \) i pochodną prawostronną rzędu  \( n \) w  \( a \) i pochodną lewostronną rzędu  \( n \) w  \( b \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną rzędu  \( n \) w przedziale  \( (a,b] \) , gdzie  \( -\infty\leq a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną rzędu  \( n \) w przedziale otwartym  \( (a,b) \) i pochodną lewostronną rzędu  \( n \) w  \( b \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną rzędu  \( n \) w przedziale  \( [a,b) \) , gdzie  \( -\infty\lt a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną rzędu  \( n \) w przedziale otwartym  \( (a,b) \) i pochodną prawostronną rzędu  \( n \) w  \( a \).


Zastosowanie pochodnej. Twierdzenie Rolle'a i Lagrange'a. Pochodna a monotoniczność funkcji

Przedstawimy tu twierdzenia opisujące zastosowania pochodnej funkcji. Szczególne miejsce wśród nich zajmuje twierdzenie określające związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji. Twierdzenie to jest ważnym narzędziem badania monotoniczności funkcji.

Przejdźmy teraz do wspomnianego twierdzenia łączącego znak pochodnej funkcji z monotonicznością funkcji. Twierdzenie to pozwala badanie monotoniczności funkcji sprowadzić do rozwiązania nierówności.

Następne dwa twierdzenia pokażą nam, że porównanie wartości pochodnych dwóch funkcji w pewnym przedziale oraz porównanie wartości tych funkcji w pewnym punkcie tego przedziału, pozwala wnioskować o relacji tych funkcji w rozważanym przedziale.

Powyższe twierdzenia znajdują zastosowanie również w rozwiązywaniu równań i nierówności nieelementarnych.


Reguła de l'Hospitala

Pochodna funkcji okazuje się pomocna również przy obliczaniu granicy funkcji w punkcie. Mówi o tym twierdzenie de l'Hospitala, nazwane często regułą de l'Hospitala.

Regułę de l'Hospitala możemy również zastosować, gdy szacując granicę ilorazu funkcji otrzymamy symbol nieoznaczony  \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \).

Jednak w przypadku innych symboli nieoznaczonych możemy tak przekształcić wyrażenie, którego granicę liczymy, aby móc zastosować regułę de l'Hospitala, czyli tak, aby otrzymać symbol nieoznaczony  \( \left[\frac{0}{0}\right] \) lub  \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \).


Ekstrema lokalne. Wartość najmniejsza i największa funkcji

Pochodna funkcji może służyć nam do szukania ekstremów (czyli minimów i maksimów) funkcji. Wiele zadań optymalizacyjnych można rozwiązać właśnie wyznaczając ekstrema.

Wartość najmniejsza funkcji w zbiorze  \( A \) jest też nazywana minimum globalnym  funkcji w zbiorze  \( A \), a wartość największa w zbiorze  \( A \)- maksimum globalnym w zbiorze  \( A \) . Algorytm wyznaczania wartości najmniejszej i największej funkcji  \( f \) ciągłej w przedziale  \( [a,b] \):

Definicja 1: Minimum lokalne

Funkcja  \( f \) ma w punkcie  \( x_0\in\mathbb{R} \) minimum lokalne  (minimum lokalne właściwe), jeżeli istnieje  \( \delta >0 \) taka, że dla każdego  \( x\in S(x_0, \delta) \) zachodzi nierówność  \( f(x)\geq f(x_0) \) ( \( f(x)>f(x_0) \)).

Definicja 2: Maksimum lokalne

Funkcja  \( f \) ma w punkcie  \( x_0\in\mathbb{R} \) maksimum lokalne (maksimum lokalne właściwe), jeżeli istnieje  \( \delta >0 \) taka, że dla każdego  \( x\in S(x_0, \delta) \) zachodzi nierówność  \( f(x)\leq f(x_0) \) ( \( f(x)< f(x_0) \)).

Definicja 3: Wartość najmniejsza w zbiorze

Liczba  \( m\in\mathbb{R} \) jest wartością najmniejszą funkcji  \( f \) w zbiorze  \( A \)  zawartym w dziedzinie funkcji, jeżeli istnieje  \( x_0\in A \) takie, że  \( f(x_0)=m \) i dla każdego  \( x\in A \) zachodzi nierówność  \( f(x)\geqslant m \).

Definicja 4: Wartość największa w zbiorze

Liczba  \( M\in\mathbb{R} \) jest wartością największą funkcji  \( f \) w zbiorze  \( A \)  zawartym w dziedzinie funkcji, jeżeli istnieje  \( x_0\in A \) takie, że  \( f(x_0)=M \) i dla każdego  \( x\in A \) zachodzi nierówność  \( f(x)\leqslant M \).


Wypukłość funkcji. Punkty przegięcia

Rys. 1 ilustruje definicję funkcji ściśle wypukłej (czyli również wypukłej) dla  \( I=(a,b) \):

Na Rys. 2 przedstawiona została funkcja wypukła, która nie jest ściśle wypukła:

Definicję funkcji ściśle wklęsłej dla  \( I=(a,b) \) ilustruje Rys. 3:

Na Rys. 4 przedstawiona została funkcja wklęsła, która nie jest ściśle wklęsła:

Definicja 1: Funkcja wypukła

Funkcję nazywamy wypukłą (wypukłą ku dołowi)  w przedziale  \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji  \( f \) zawężonej do przedziału  \( I \) leży powyżej lub na wykresie tej funkcji.

Definicja 2: Funkcja ściśle wypukła

Funkcję nazywamy ściśle wypukłą (ściśle wypukłą ku dołowi)  w przedziale  \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji  \( f \) zawężonej do przedziału  \( I \) leży powyżej wykresu tej funkcji.

Definicja 3: Funkcja wklęsła

Funkcję nazywamy wklęsłą (wypukłą ku górze)  w przedziale  \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji  \( f \) zawężonej do przedziału  \( I \) leży poniżej lub na wykresie tej funkcji.

Definicja 4: Funkcja ściśle wklęsła

Funkcję nazywamy ściśle wklęsłą (ściśle wypukłą ku górze)  w przedziale  \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji  \( f \) zawężonej do przedziału  \( I \) leży poniżej wykresu tej funkcji.

Definicja 5: Punkt przegięcia

Niech  \( f \) będzie funkcją ciągłą w  \( O(x_0) \). Funkcja  \( f \) ma punkt przegięcia  w  \( x_0 \), gdy spełniony jest jeden z warunków:

1. funkcja  \( f \) jest ściśle wypukła w  \( S(x_0^-) \) i  ściśle wklęsła w  \( S(x_0^+) \)

albo

2. funkcja  \( f \) jest ściśle wklęsła w  \( S(x_0^-) \) i ściśle wypukła w  \( S(x_0^+) \).


Badanie przebiegu zmienności funkcji

Fundamentalne dla rachunku różniczkowego pojęcia, takie jak granica, ciągłość, pochodna, są niezwykle skutecznymi narzędziami do badania przebiegu zmienności funkcji. Przez badanie przebiegu zmienności funkcji rozumiemy wykrywanie zasadniczych cech jej wykresu, gdy znamy funkcję jedynie jako abstrakcyjny przepis. Dzięki granicom obliczamy jej asymptoty, pochodna wykrywa jej monotoniczność i ekstrema, zaś badanie drugiej pochodnej umożliwia nam znalezienie punktów przegięcia i określenie przedziałów wypukłości funkcji. Badanie przebiegu zmienności stanowi zatem syntezę i ukoronowanie całości metod rachunku różniczkowego i, jako takie, jest zarazem dużym wyzwaniem rachunkowym ze względu na swoją złożoność. W celu ułatwienia tego zadania organizuje się pracę według następujących kroków, zwanych schematem badania funkcji.

Aby zbadać przebieg zmienności funkcji, należy: