Wprowadzenie do teorii dystrybucji

Chociaż teoria dystrybucji jest działem matematyki abstrakcyjnej, dostarcza ona ścisłych uzasadnień dla wielu manipulacji formalnych stosowanych w naukach przyrodniczych i w literaturze technicznej. Ponadto dostarcza ona możliwości dalszego rozwoju klasycznych dyscyplin matematycznych, np. równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, rachunku operacyjnego, teorii transformacji.  Pewne rodzaje dystrybucji (np. funkcja  delta i jej pochodne) używane  były w naukach fizycznych i technicznych już w XIX wieku, znacznie przed pojawieniem się teorii dystrybucji, która została zaproponowana w latach trzydziestych zeszłego stulecia przez L.S. Sobolewa. Zwykle stosowane dzisiaj ujęcie tej teorii należy do L. Schwartza, który sfomułował je w latach pięćdziesiątych zeszłego stulecia. Rozważmy punkt materialny o masie  \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) poruszający się po linii prostej z prędkością jednostajną. Przypuśćmy, że  w chwili  \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc \) punkt napotkał przeszkodę i w wyniku kolizji zmienił kierunek ruchu w stronę przeciwną. Zgodnie z prawami mechaniki powinna zachodzić zależność

gdzie  \( \hskip 0.3pc v_1\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc v_2\hskip 0.3pc \) są prędkościami w chwili  \( \hskip 0.3pc t_1\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc t_2\hskip 0.3pc  \), a  \( \hskip 0.3pc F(t)\hskip 0.3pc \) oznacza siłę działającą na punkt materialny w chwili  \( \hskip 0.3pc t.\hskip 0.3pc \) Przyjmijmy, że  \( \hskip 0.3pc F(t)=0\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc t \neq t_0\hskip 0.3pc \). Zauważmy, że jeśli  \( \hskip 0.3pc t_1<t_2<t_0,\hskip 0.3pc \) to  \( \hskip 0.3pc v_2=v_1,\hskip 0.3pc \) a zatem równość ( 1 ) jest spełniona. Podobnie, gdy  \( \hskip 0.3pc t_0<t_1<t_2.\hskip 0.3pc \) Jeśli natomiast  \( \hskip 0.3pc t_1<t_0<t_2,\hskip 0.3pc  \) wówczas  \( \hskip 0.3pc v_2=-v_1.\hskip 0.3pc \) W konsekwencji lewa strona warunku ( 1 ) wynosi  \( \hskip 0.3pc 2mv_2\hskip 0.3pc \), zaś prawa strona jest równa zeru.  Oznacza to, że w tym przypadku warunek ( 1 ) nie jest spełniony. Powstaje naturalne pytanie: jak sformułować matematyczny opis obserwowanego zjawiska aby równość ( 1 ) była zawsze zachowana. Niestety, w zakresie klasycznego rachunku całkowego jest to niemożliwe, bowiem zarówno całka Riemanna jak i całka Lebesgue'a z funkcji równej zeru poza jednym punktem jest równa zeru. Oznacza to, że za pomocą  wymienionych  całek nie jesteśmy  w stanie opisać zjawisk impulsowych.  Z drugiej strony zjawiska  impulsowe w fizyce występują w sposób naturalny.  Wystarczy wyobrazić sobie ruch cząsteczek gazu. Każda kolizja cząstek powoduje impulsowe przekazanie energii.  Powstaje więc naturalna potrzeba stworzenia aparatu  matematycznego zdolnego opisywać takie zjawiska. Przed wprowadzeniem formalnych pojęć pozwalających opisać reakcje impulsowe spróbujmy działania   impulsowe  opisać za pomocą procesu granicznego. Dla  \( \hskip 0.3pc n \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) połóżmy

Przy  \( \hskip 0.3pc n\to \infty\hskip 0.3pc \) ciąg funkcji  \( \hskip 0.3pc \{\varphi_n\}\hskip 0.3pc \) jest punktowo zbieżny do funkcji

Dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc n \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) całka z funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi_n\hskip 0.3pc \) po zbiorze  \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest równa  \( \hskip 0.3pc 1,\hskip 0.3pc \) natomiast całka Lebesgue'a z funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi_0\hskip 0.3pc \) jest równa zero. Oznacza to, że całki z funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi_n\hskip 0.3pc \) nie są zbieżne do całki z funkcji granicznej  \( \hskip 0.3pc \varphi_0\hskip 0.3pc \), tak więc, za pomocą opisanego procesu granicznego nie uzyskamy równości ( 1 ). Aby opisać przedstawioną powyżej sytuacje reakcji impulsowych już w XIX wieku  fizycy wprowadzili pojęcie tzw. delty  Diraca  \( \hskip 0.3pc \delta.\hskip 0.3pc \) Jest to obiekt który posiada następującą własność. Dla dowolnej funkcji  \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) zachodzi

Oczywistym jest, że tak wprowadzony obiekt nie jest funkcją w sensie klasycznym, bowiem wartość całki zależy tylko od wartości funkcji w punkcie  \( \hskip 0.3pc 0\hskip 0.3pc \) (Należy zaznaczyć, że użycie symbolu całki jest tutaj pewnym nadużyciem, bowiem zarówno całka Riemanna jak i całka Lebesgue'a były  zdefiniowane tylko dla stosownych klas funkcji, natomiast w powyższym zapisie symbol ten odnosi się do zupełnie innych obiektów, które  nie zostały jeszcze  zdefiniowane). Niemniej przyjmując powyższą konwencje mamy

Nietrudno sprawdzić, że jeśli ciąg  \( \hskip 0.3pc \{\varphi_n\}\hskip 0.3pc \) jest dany wzorem ( 2 ) to

a zatem pożądane przejście graniczne zostało zachowane. Ciąg funkcji  \( \hskip 0.3pc \{\varphi_n\}\hskip 0.3pc \) nazywamy ciągiem tworzącym dla delty Diraca.  Zauważmy, że   dla delty Diraca można skonstruować ciągi tworzące których wyrazami są funkcje klasy  \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) o nośnikach zwartych. Rozważmy np. ciąg

Oczywiście  \( \hskip 0.3pc \psi_n \in C^{\infty}(\mathbb R),\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc n=1,2,\ldots. \hskip 0.3pc \)  Widać też natychmiast, że ciąg  \( \hskip 0.3pc \{\psi_n\}\hskip 0.3pc \)  jest zbieżny punktowo do funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi_0\hskip 0.3pc \) danej wzorem ( 3 ).  Ponadto, dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc n \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) całka z funkcji  \( \hskip 0.3pc \psi_n\hskip 0.3pc \) jest równa  \( \hskip 0.3pc 1.\hskip 0.3pc \) Oznacza to, że nawet dla tak regularnych   funkcji  \( \hskip 0.3pc \psi_n \hskip 0.3pc \) ciąg całek z tych funkcji nie jest  zbieżny do całki z funkcji granicznej. Fakt ten  praktycznie przekreśla nadzieje na przeprowadzanie rozsądnych analiz  w zakresie pojęć  analizy klasycznej.  Aby usunąć tę trudność zbudowaną tzw. teorię funkcji uogólnionych,  zwaną też teorią dystrybucji.  Standartowym przykładem dystrybucji jest wspomniana wyżej delta Diraca. Przed formalnym wprowadzeniem pojęcia dystrybucji przypomnijmy  pewne fakty z teorii funkcji i całki, które w naszych rozważaniach będą istotne. Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie zbiorem otwartym. Nośnikiem  funkcji  \( \hskip 0.3pc f:\,\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) nazywamy zbiór

Funkcje  \( \hskip 0.3pc f:\,\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) nazywamy  lokalnie całkowalną, jeśli jest całkowalna na dowolnym podzbiorze zwartym  zbioru  \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \) Przestrzeń funkcji lokalnie całkowalnych na zbiore  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać symbolem  \( \hskip 0.3pc L_{loc}^1(\Omega ).\hskip 0.3pc \)  Zauważmy, że każda funkcja całkowalna,  w szczególności funkcja ciągła o nośniku zwartym, jest lokalnie całkowalna.

Istotna dla naszych celów  jest następująca   własność całki Lebesgue'a, którą przypomnimy w formie uwagi.

Uwaga 1 jest natychmiastową konsekwencją znanego faktu, że jeśli  \( \hskip 0.3pc \int_K fdx=0 \hskip 0.3pc \) dla każdego zbioru zwartego  \( \hskip 0.3pc K \subset \Omega, \hskip 0.3pc \) to  \( \hskip 0.3pc  f=0 \hskip 0.3pc \) prawie wszędzie w  \( \hskip 0.3pc \Omega. \hskip 0.3pc \)

Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie zbiorem otwartym.  Niech   \( \hskip 0.3pc D(\Omega)\hskip 0.3pc \) oznacza zbiór wszystkich funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi :\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) klasy  \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) o zwartych nośnikach.  Widać natychmiast, że  \( \hskip 0.3pc D(\Omega)\hskip 0.3pc \) jest przestrzenią liniową. Zauważmy, że jeśli  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) to  \( \hskip 0.3pc \varphi^{(n)} \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) dla dowolnego   \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N\hskip 0.3pc \); ponadto, jeśli  \( \hskip 0.3pc  \psi \in C^{\infty}(\Omega),\hskip 0.3pc \)  \(  \varphi \in D(\Omega),\hskip 0.3pc \)  to  \( \hskip 0.3pc \varphi \psi \in D(\Omega).\hskip 0.3pc \) Nietrudno sprawdzić, że funkcja  \( \hskip 0.3pc \phi :\mathbb R\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) dana wzorem

należy do  \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Jeśli   \( \hskip 0.3pc x^2\hskip 0.3pc  \) zastąpimy iloczynem skalarnym  \( \hskip 0.3pc x\cdot x,\hskip 0.3pc \)  \(  x\in \mathbb R^n, \hskip 0.3pc \) otrzymamy funkcje z przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \)

Innymi słowami,  ciąg  \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi,\hskip 0.3pc \) jeśli zarówno ciąg funkcji jak i ciągi ich pochodnych dowolnego rzędu są  jednostajnie zbieżne odpowiednio do funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \)  oraz jej stosownej pochodnej. Zauważmy, że jest to zbieżność bardzo silna. W dalszym ciągu tak zdefiniowaną zbieżność będziemy nazywać zbieżnością w  \( \hskip 0.3pc D(\Omega).\hskip 0.3pc \)

Wygodnie jest przyjąć następujące oznaczenie na pochodne mieszane

gdzie   \( \hskip 0.3pc  k = (k_1, \ldots ,k_n)\hskip 0.3pc \),  \(  | k |=k_1+ \ldots +k_n\hskip 0.3pc  \).

Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych (czyli zbiór wszystkich dystrybucji) na  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \)  będziemy oznaczać symbolem  \( \hskip 0.3pc D^*(\Omega)\hskip 0.3pc \). Warto podkreślić, że dystrybucje nie są określone w punktach zbioru  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) lecz na elementach przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D(\Omega).\hskip 0.3pc \)  Funkcje z przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D(\Omega)\hskip 0.3pc \) często nazywa się funkcjami próbnymi.

Mówimy, że dystrybucje  \( \hskip 0.3pc L,T\in D^*(\Omega)\hskip 0.3pc \) są równe, jeśli  \( \hskip 0.3pc \langle L,\varphi \rangle =\langle T, \varphi\rangle \hskip 0.3pc \) dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega).\hskip 0.3pc \) Mówimy, że dystrybucje  \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) są równe w zbiorze otwartym  \( \hskip 0.3pc U\subset \Omega\hskip 0.3pc \) jeśli   \( \hskip 0.3pc \langle L,\varphi \rangle =\langle T, \varphi\rangle \hskip 0.3pc \) dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) takiego, że  \( \hskip 0.3pc{\rm supp}\, \varphi \subset U.\hskip 0.3pc \)  W szczególności mówimy, że dystrybucja  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) zeruje się na zbiorze  \( \hskip 0.3pc U,\hskip 0.3pc \) jeśli   \( \hskip 0.3pc \langle T,\varphi \rangle =0\hskip 0.3pc \) dla dowolnego  \(  \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) takiego, że  \( \hskip 0.3pc {\rm supp}\,\varphi \subset U\hskip 0.3pc \). Podobnie jak nośnik  funkcji można również wprowadzić pojęcie nośnika dystrybucji. Mianowicie,  nośnikiem dystrybucji  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) nazywamy  najmniejszy zbiór domknięty  \( \hskip 0.3pc K\hskip 0.3pc \) taki, że  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) zeruje się na zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega \setminus K.\hskip 0.3pc  \)  Podobnie jak dla funkcji, nośnik dystrybucji będziemy oznaczać symbolem  \( \hskip 0.3pc {\rm supp}\, T.\hskip 0.3pc \)

Możemy teraz formalnie zdefiniować wspomnianą  poprzednio   \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \)-Diraca kładąc

lub ogólniej,  dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc a \in \Omega\hskip 0.3pc \) możemy określić   \( \hskip 0.3pc \delta_a\hskip 0.3pc \),  kładąc

Zauważmy, że  \( \hskip 0.3pc \delta_a\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją na  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \). Istotnie, w oczywisty sposób  \( \hskip 0.3pc \delta_a\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem liniowym na  \( \hskip 0.3pc D(\Omega).\hskip 0.3pc \) Ponadto  dla dowolnego ciągu   \( \hskip 0.3pc \{\varphi_k\}\subset D(\Omega)\hskip 0.3pc \) zbieżngo do  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) mamy

Stąd  wynika natychmiast, że  \( \hskip 0.3pc \delta_a\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem ciągłym, co należało pokazać.

Każdej funkcji ciągłej  \( \hskip 0.3pc f:\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) odpowiada dystrybucja  \( \hskip 0.3pc T_f\hskip 0.3pc \) dana wzorem

Można pokazać, że jeśli dwie funkcje ciągłe wyznaczają tę samą dystrybucje to muszą być równe. Co więcej,  dla dowolnej funkcji lokalnie całkowalnej  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) całka po prawej stronie wzoru ( 6 ) istnieje, a formuła ( 6 ) określa funkcjonał liniowy na przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D(\Omega ).\hskip 0.3pc \) Ponadto, jeśli  \(  \hskip 0.3pc \varphi_k \to \varphi\hskip 0.3pc \) w sensie powyższej definicji, a  \( \hskip 0.3pc K\hskip 0.3pc \) jest odpowiadającym (zgodnie z definicją 2)  zbiorem zwartym, to

Ponieważ przy  \( \hskip 0.3pc k\to \infty\hskip 0.3pc \) prawa strona ostatniej nieówności dąży do zera, funkcjonał określony wzorem  ( 6 ) jest ciągły, czyli jest elementem przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D^*(\Omega).\hskip 0.3pc \) Zatem dla dowolnej funkcji lokalnie całkowalnej  \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) wzór ( 6 ) określa   dystrybucje.   Dystrybucje takie nazywany  regularnymi.  Przykładem dystrybucji regularnej jest dystrybucja generowana przez funkcje Heaviside'a

czyli dystrybucja  \( \hskip 0.3pc T_{H}\hskip 0.3pc \) dana wzorem

Zwykle dystrybucje  \( \hskip 0.3pc T_f\hskip 0.3pc \) generowaną przez funkcje  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) wzorem ( 6 ) oznacza się krótko również symbolem  \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc  \)  Oznaczenie takie upraszcza zapis, a na ogół nie prowadzi do nieporozumień. W zależności od sytuacji symbol  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \)   będzie oznaczać funkcje lokalnie całkowalną albo odpowiadającą jej dystrybucje. W niniejszym tekście będziemy używać obu oznaczeń. Kiedy wymagać tego będzie  przejrzystość wykładu, dystrybucje generowaną przez funkcje  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać symbolem  \( \hskip 0.3pc T_f.\hskip 0.3pc  \) Ciągłe  funkcjonały liniowe na przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D(\Omega ),\hskip 0.3pc \) które nie mają reprezentacji całkowej  postaci ( 6 ) (tzn. nie są generowane przez funkcje lokalnie całkowalne) nazywamy dystrybucjami nieregularnymi. Przykładem dystrybucji nieregularnej jest wspomniana wyżej  \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \)-Diraca.

Dystrybucja regularna  \( \hskip 0.3pc T_f=0\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy, gdy  \( \hskip 0.3pc f=0\hskip 0.3pc \) prawie wszędzie (względem miary Lebesgue'a).  Poniżej pokażemy ten fakt przy dodatkowym założeniu, że  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest rozwijalna w szereg Fouriera.

Definicja 1:

 Mówimy, że ciąg funkcji  \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\}\hskip 0.3pc \) należących do  \( \hskip 0.3pc D(\Omega)\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega),\hskip 0.3pc \) jeśli:
(i) Istnieje zbiór zwarty  \( \hskip 0.3pc K\subset \Omega\hskip 0.3pc \) który zawiera  nośniki wszystkich  funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi _i\hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.3pc i \in \mathbb N\hskip 0.3pc \);

(ii)  Dla dowolnego ciągu liczb   \( \hskip 0.3pc k_1, \ldots ,k_n\in \{0,1, \ldots \}\hskip 0.3pc \)

								\( \displaystyle\lim\limits_{i\to \infty}\dfrac{\partial ^{| k|}\varphi_i}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_n^{k_n}}\hskip 0.3pc =\hskip 0.3pc \dfrac{\partial ^{| k|}\varphi}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_n^{k_n}} \)

jednostajnie w  \( \hskip 0.3pc K,\hskip 0.3pc \)  gdzie  \( \hskip 0.3pc | k |=k_1+ \ldots +k_n.\hskip 0.3pc  \)

Definicja 2:

Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie zbiorem otwartym.  Dystrybucją na zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) nazywamy dowolny ciągły funkcjonał liniowy  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) określony na   \( \hskip 0.3pc D(\Omega ),\hskip 0.3pc  \)   tzn. odwzorowanie  liniowe  \( \hskip 0.3pc T:D(\Omega)\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) takie, że jeśli  \( \hskip 0.3pc \varphi_k, \varphi \in D(\Omega),\hskip 0.3pc \)  \(  \varphi_k \to \varphi\hskip 0.3pc  \) w sensie definicji 1, to  \( \hskip 0.3pc  \langle T,\varphi_k\rangle \to\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc \langle T, \varphi \rangle\hskip 0.3pc \), gdzie symbol  \( \hskip 0.3pc \langle T,\,\varphi \rangle\hskip 0.3pc \) oznacza wartość funkcjonału  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) na elemencie  \( \hskip 0.3pc \varphi,\hskip 0.3pc \) tzn.  \( \hskip 0.3pc \langle T,\,\varphi \rangle = T(\varphi).\hskip 0.3pc \)


Zbieżność w sensie dystrybucyjnym

Zauważmy, że jest to klasyczna zbieżność punktowa na  \( \hskip 0.3pc D(\Omega).\hskip 0.3pc \)

Zachodzi następujące ważne twierdzenie, które przytaczamy bez dowodu.

Definicja 1:

 Ciąg dystrybucji  \( \hskip 0.3pc \{T_k\} \subset D^*(\Omega)\hskip 0.3pc \) nazywa się zbieżnym  do dystrybucji   \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\Omega)\hskip 0.3pc \), jeśli

(1)

								\( \displaystyle\lim_{k \to \infty}\langle T_k,\varphi\rangle = \langle T,\varphi \rangle . \)

 dla dowolnej funkcji    \( \hskip 0.3pc \varphi \in {\cal D}(\Omega). \)

Definicja 2:

 Ciąg lokalnie całkowalnych  funkcji  \( \hskip 0.3pc \{f_k\}\hskip 0.3pc \)  nazywa się zbieżnym dystrybucyjnie do lokalnie całkowalnej  funkcji  \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) jeśli

								\( \displaystyle\lim_{k \to \infty}\displaystyle\int_{\mathbb R}f_k(x)\varphi (x)dx= \displaystyle\int_{\mathbb R}f(x)\varphi (x)dx. \)

 dla dowolnej funkcji  \( \hskip 0.3pc\,\varphi \in {\cal D}(\Omega). \)


Podstawowe działania na dystrybucjach

Jezeli dystrybucja jest regularna, to definicje te pokrywają się ze zwykłymi definicjami sumy funkcji i iloczynu funkcji przez liczbę.  Nietrudno sprawdzić, że  przy tak określonych działaniach, przestrzeń dystrybucji jest  przestrzenią liniową. Z zasady przy określaniu działań na dystrybucjach żąda się, aby w przypadku dystrybucji regularnych, pokrywały się one z odpowiednimi działaniami na funkcjach. Kolejną   powszechnie używaną operacją na funkcjach jest mnożenie funkcji przez funkcje. Niestety, operacji takiej nie możemy określić dla dowolnych dystrybucji. Wyjaśnia to poniższy przykład.

Możemy natomiast określić iloczyn dystrybucji w przypadkach szczególnych. Na przykład, jeśli  \( \hskip 0.3pc f,g:\Omega \to\mathbb R\hskip 0.3pc \) są funkcjami lokalnie całkowalnymi i ich iloczyn  \( \hskip 0.3pc fg\hskip 0.3pc \) jest też funkcją lokalnie całkowalną, to określa on dystrybucje

Zauważmy, że  jeśli  \( \hskip 0.3pc \alpha \hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy  \( \hskip 0.3pc C^{\infty,}\hskip 0.3pc \) to  \( \hskip 0.3pc \alpha \varphi \in D(\Omega )\hskip 0.3pc \) dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega ).\hskip 0.3pc \)  Ponadto, jeśli ciąg  \( \hskip 0.3pc \{\varphi _i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do  \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) w  \( \hskip 0.3pc D(\Omega ),\hskip 0.3pc \) to również ciąg  \( \hskip 0.3pc \{\alpha \varphi _i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do  \( \hskip 0.3pc \alpha \varphi\hskip 0.3pc \)  w  \( \hskip 0.3pc D(\Omega ).\hskip 0.3pc  \) Zatem jeśli  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją lokalnie całkowalną na  \(  \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) to  z tożsamości

wynika, że iloczyn dystrybucji regularnej  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) przez funkcje  \( \hskip 0.3pc \alpha\hskip 0.3pc \) klasy  \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) można zdefiniować wzorem

Oczywiście wzór ten można rozszerzyć na dowolną dystrybucje  \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\Omega)\hskip 0.3pc \) przyjmując

Należy odnotować, że zapis ten koliduje z oznaczeniem  \( \hskip 0.3pc T_f\hskip 0.3pc \) dystrybucji generowanej przez funkcje  \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \) Ponieważ jednak z kontekstu będzie zawsze jasno wynikać o jakie oznaczenie chodzi, pozostawimy tę niezgodność notacyjną.

Przykładem translacji dystrybucji jest zdefiniowana poprzednio dystrybucja  \( \hskip 0.3pc \delta_{x_0}.\hskip 0.3pc \) Istotnie

Podobnie, dla  \( \hskip 0.3pc \alpha  >0\hskip 0.3pc \) symbolem    \( \hskip 0.3pc T^{\alpha} \hskip 0.3pc \) oznaczać będziemy  dystrybucje określoną wzorem

Zauważmy, że  definicje te są całkiem naturalne. Jeśli bowiem  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną  generowaną przez funkcje lokalnie całkowalną  \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R^n\to \mathbb R,\hskip 0.3pc \) to

czyli  \( \hskip 0.3pc T_{x_0}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje  \( \hskip 0.3pc f(x-x_0).\hskip 0.3pc \) Analogicznie

czyli  \( \hskip 0.3pc T^{-}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje  \( \hskip 0.3pc f(-x).\hskip 0.3pc \)

czyli  \( \hskip 0.3pc T^{\alpha }\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje  \( \hskip 0.3pc f(\alpha x).\hskip 0.3pc \)

Dystrybucje  \( \hskip 0.3pc T\in D^*( \mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) nazywamy

\(  \lambda\hskip 0.3pc \)- jednorodną,  jeśli   \( \hskip 0.3pc T^t =t^{\lambda}T\hskip 0.3pc \) dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \);

parzystą,  jeśli   \( \hskip 0.3pc T^- = T\hskip 0.3pc  \);

nieparzystą,  jeśli   \( \hskip 0.3pc T^- = -T\hskip 0.3pc \) ;

okresową , jeśli   \( \hskip 0.3pc T_a= T\hskip 0.3pc \) dla pewnego  \( \hskip 0.3pc a\in\mathbb    R^n.\hskip 0.3pc \) Element  \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) nazywamy okresem dystrybucji.

Aby móc wygodnie przeprowadzać rachunki, często wprowadza się formalnie zapis  \( \hskip 0.3pc T(x).\hskip 0.3pc \) Oczywiście  \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) oznacza argument funkcji próbnej, na której działa dystrybucja  \(  \hskip 0.3pc T.\hskip 0.3pc \) W tej konwencji dystrybycje  \(  \hskip 0.3pc T_{x_0},\hskip0.3pc \)  \(  T^-\hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc T^{\alpha},\hskip0.3pc  \)   przyjmują postać   \( \hskip 0.3pc T(x-x_0)\hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.3pc T(-x)\hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc T(\alpha x)\hskip 0.3pc \). W szczególności dystybucja  \( \hskip 0.3pc \delta _{x_0}\hskip 0.3pc \) ma postać  \( \hskip 0.3pc \delta (x-x_0)\hskip 0.3pc \).

Definicja 1: sumy  dystrybucji.

Sumę dystrybucji  \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) określamy następująco

								\( \langle L+T,\, \varphi\rangle \,=\,\langle L, \,\varphi\rangle  + \langle T,\, \varphi\rangle,\hskip 1pc \varphi\in D(\Omega). \)

Definicja 2: iloczynu dystrybucji przez liczbę.

Iloczyn dystrybucji  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) przez liczbę  \( \hskip 0.3pc \alpha\hskip 0.3pc \)określamy  wzorem

								\( \langle \alpha T,\, \varphi\rangle \,=\, \alpha\langle T,\, \varphi\rangle,\hskip 1pc \varphi\in D(\Omega) . \)

Definicja 3:  translacji dystrybucji.

Niech  \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) i niech  \( \hskip 0.3pc x_0 \in \mathbb R^n. \hskip 0.3pc \)  Translację dystrybucji  \( \hskip 0.3pc  T\hskip 0.3pc \) o wektor  \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) oznaczamy symbolem  \( \hskip 0.3pc T_{x_0}\hskip 0.3pc \)   i  określamy wzorem

					(2)

								\( \langle T_{x_0} ,\varphi (x)\rangle =\langle T_ ,\varphi (x+x_0)\rangle,\qquad\varphi \in D(\mathbb R^n ). \)

Definicja 4: transpozycji dystrybucji.

 Transpozycję  dystrybucji  \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \)  oznaczamy symbolem  \( \hskip 0.3pc T^{-}\hskip 0.3pc \)  i określamy wzorem

					(3)

								\( \langle T^-, \varphi (x)\rangle =\langle T, \varphi (-x)\rangle, \qquad\varphi \in D(\mathbb R^n ). \)


Pochodna w sensie dystrybucyjnym

Dla uproszczenia sytuacji ograniczymy się początkowo do dystrybucji określonych na  \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \), chociaż formalnie sytuacja jest taka sama dla dystrybucji określonych na dowolnym zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset  \mathbb R^n.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że dana jest funkcja różniczkowalne  \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części oraz faktu, że   \( \hskip 0.3pc \varphi (-\infty) = \varphi (+\infty)=0,\hskip 0.3pc \) otrzymamy

Analogicznie dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc k \geq 1\hskip 0.3pc \) otrzymamy

Wzorując się na ostatniej równości, możemy formalnie sformułować następującą definicje.

Oczywiście pochodna dystrybucyjna jest dystrybucją. Z przeprowadzonych powyżej rozważań wynika natychmiast, że jeśli funkcja  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) posiada pochodną w sensie klasycznym, to posiada również pochodną w sensie dystrybucyjnym i pochodna ta  pokrywa się z dystrybucją generowaną przez pochodną klasyczną.  Co więcej, jeśli funkcja  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest różniczkowalna prawie wszędzie, a jej pochodna jest funkcją lokalnie całkowalną  (w sensie Lebesgue'a), to pochodna dystrybucyjna pokrywa się z dystrybucją generowaną przez pochodną klasyczną. Definicje  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \)-tej pochodnej dystrybucyjnej możemy sformułować dla dowolej dystrybucji, mamy mianowicie następującą definicje:

Z własności przestrzeni   \( \hskip 0.3pc { D}(\mathbb R)\hskip 0.3pc \), wynika natychmiast, że definicja ta jest dobrze określona. Ponieważ funkcje  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) są nieskończenie wiele razy różniczkowalne, każda  dystrybucja jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Widać też natychmiast, że  różniczkowanie dystrybucyjne jest operacją liniową.

Zgodnie z powyższą definicją, dla dowolnej funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \), mamy

Jeśli  \( \hskip 0.3pc H\hskip 0.3pc \) jest funkcją Heaviside'a  to

Zatem   \( \hskip 0.3pc H^\prime=\delta\hskip 0.3pc \) oraz ogólnie  \( \hskip 0.3pc H^\prime(x-x_0)=\delta _{x_0}.\hskip 0.3pc \) Wykorzystując indukcje matematyczną łatwo sprawdzić,  że  \( \hskip 0.3pc H^{(n)}=\delta^{(n-1)}\hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc H^{(n)}(x-x_0)=\delta^{(n-1)}_{x_0}\hskip 0.3pc \) dla  \(  \hskip 0.3pc n \geq 1\hskip 0.3pc \).

Pochodna dystrybucyjna posiada szereg naturalnych własności. Niektóre z nich podamy poniżej.

Zauważmy, że własność 3 w przeciwieństwie do przypadku pochodnych klasycznych nie wymaga żadnych dodatkowych założeń (przypomnijmy, że aby granica pochodnych wyrazów ciągu była równa pochodnej granicy - w przypadku pochodnych klasycznych -  ciąg funkcji oraz ciąg pochodnych muszą być  jednostajnie zbieżne).

Analogicznie można wykazać następującą uwagę:

Zdefiniujemy  teraz  pochodną dystrybucyjną funkcji lokalnie całkowalnej  na dowolnym zbiorze otwartym  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset  \mathbb R^n.\hskip 0.3pc \)

Z własności przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D(\Omega)\hskip 0.3pc \) oraz liniowości i ciągłości  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) wynika wynika natychmiast, że  pochodna dystrybucyjna  \( \hskip 0.3pc D^{ k}T=\tfrac{\partial^k T}{\partial x_1^{k_1}\ldots \partial x_n^{k_n}}\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem liniowym i ciągłym  na  \( \hskip 0.3pc D(\Omega),\hskip 0.3pc \) czyli dystrybucją na  \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \)

Rozumując analogicznie nietrudno sprawdzić, że mieszane pochodne dystrybucyjne - jak zauważyliśmy poprzednio - nie zależą od kolejności różniczkowania.  W zastosowaniach teorii dystrybucji własność ta jest  istotna. Wyjaśnia to poniższy przykład.

Definicja 1:

 Pochodną dystrybucyjną rzędu  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) z lokalnie całkowalnej funkcji  \( \hskip 0.3pc f: \mathbb R \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) oznaczamy symbolem  \( \hskip 0.3pc f^{(k)}\hskip 0.3pc  \) i określamy wzorem

								\( \langle f^{(k)},\, \varphi \rangle\,=\,(-1)^k\displaystyle\int_{ -\infty}^{ +\infty}\,f (x)\, \varphi^{ (k)}(x)dx . \)

Definicja 2:

 Pochodną rzędu  \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) z dystrybucji
 \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) nazywamy dystrybucje   \( \hskip 0.3pc T^{(k)}\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \)  określoną wzorem

								\( \langle T^{(k)},\varphi\rangle =(-1)^k \langle T,\varphi^{(k)}\rangle. \)

dla  \(  \hskip 0.3pc\,\varphi \in D(\mathbb R). \)

Definicja 3:

 Załóżmy, że   \( \hskip 0.3pc \Omega \subset  \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) i rozważmy funkcje  \( \hskip 0.3pc f:\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) lokalnie całkowalną na  \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \)  Pochodną dystrybucyjną  \( \hskip 0.3pc D^{ k}=\tfrac{\partial^{|k|}}{\partial x_1^{k_1}\ldots \partial x_n^{k_n}},\hskip 0.3pc \) gdzie  \( \hskip 0.3pc  k =(k_1, \ldots ,k_n),\hskip 0.3pc \) \(  \hskip 0.3pc | k|=k_1+\ldots +k_n,\hskip 0.3pc \)  z funkcji  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) określamy wzorem

								\( \langle D^{ k} f,\varphi\rangle  =(-1)^{| k|} \displaystyle\int_{\Omega}f(x_1, \ldots, x_n) D^{ k}  \varphi (x_1,\ldots ,x_n)\,dx_1 \ldots dx_n  \)

dla dowolnej funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega).\hskip 0.3pc \).
 Podobnie, jeśli  \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\Omega),\hskip 0.3pc \) to pochodną dystrybucyjną   \( \hskip 0.3pc D^{ k}\hskip 0.3pc \) z dystrybucji  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) określamy wzorem

								\( \big<D^{ k} T,\varphi\big> = (-1)^{| k|} \big<T, D^{ k}\varphi\big> \quad {\textrm dla~ dowolnej~ funkcji} \quad\varphi \in D(\Omega).  \)


Dystrybucje skończonego rzędu

Oczywiście pochodna w sensie klasycznym  \( \hskip 0.3pc h^\prime(t)=H(t)\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc t\neq 0.\hskip 0.3pc \) Korzystając z definicji pochodnej dystrybucyjnej oraz wzoru na całkowanie przez części otrzymamy

Zatem  \( \hskip 0.3pc T_H=T_{h^\prime}\hskip 0.3pc \), co oznacza, że  \( \hskip 0.3pc T_H\hskip 0.3pc \) jst dystrybucją pierwszego rzędu. Ponieważ, jak zauważyliśmy poprzednio,  \( \hskip 0.3pc \delta =H^\prime=h^{\prime\prime},\hskip 0.3pc \) zatem  \( \hskip 0.3pc \delta \hskip 0.3pc \) jest dystrybucją 2-go rzędu. Ogólnie,  \( \hskip 0.3pc \delta ^{(n)}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją rzędu  \( \hskip 0.3pc n+2.\hskip 0.3pc \)

Ponieważ  \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą,  \( \hskip 0.3pc T_f\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją skończonego rzędu, dokładniej rzędu  \( \hskip 0.3pc 0,\hskip 0.3pc \) jeśli  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą oraz rzędu  \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \) jeśli  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją nieciągłą.

Definicja 1:

Dystrybucje  \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) nazywamym dystrybucją skończonego rzędu jeśli istnieją funkcja ciągła  \( \hskip 0.3pc g:\mathbb R\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) oraz liczba naturalna  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) takie, że  \( \hskip 0.3pc T=g^{(k)},\hskip 0.3pc  \) gdzie  \( \hskip 0.3pc g^{(k)}\hskip 0.3pc \) oznacza pochodną dystrybucyjną rzędu  \(  \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) z funkcji  \( \hskip 0.3pc g.\hskip 0.3pc \)

Definicja 2:

 Dystrybucje  \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\Omega ),\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset  \mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) nazywamy dystrybucją skończonego rzędu, jeśli istnieje funkcja ciągła  \( \hskip 0.3pc g:\Omega\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) oraz wielowskaźnik  \(  \hskip 0.3pc  k=(k_1, \ldots ,k_n)\hskip 0.3pc \) takie, że

								\( T=\dfrac{\partial ^{| k|}g}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_n^{k_n}}, \)

 gdzie  \( \hskip 0.3pc | k |=k_1+ \ldots +k_n.\hskip 0.3pc  \)


Dystrybucje wolno rosnące

Szereg zastosowń wymaga specjalnych klas dystrybucji. Szczególnie ważne są tzw.  dystrybucje wolno rosnące zwane też dystrybucjami temperowanymi.  Na tej klasie dystrybucji można stosunkowo prosto zdefiniować transformate Fouriera. W celu określenia dystrybucji temperowanych wprowadzimy najpierw tzw. przestrzeń funkcji  szybko malejących.

Elementy przestrzeni  \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) nazywamy funkcjami szybko malejącymi. Przykładem  funkcji szybko malejącej   jest funkcja  \( \hskip 0.3pc x\mapsto e^{-\|x\|^2},\hskip 0.3pc \)      \(  x\in  \mathbb R^n. \hskip 0.3pc \) Zauważmy też, że    \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n )\subset S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc  \) bowiem  \( \hskip 0.3pc D^{ k}\varphi (x)=0\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc \|x\| \hskip 0.3pc  \) dostatecznie dużych.

Przestrzeń  \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) posiada szereg interesujących własności.  Niektóre z nich zostały przedstawione w poniższych uwagach.

Zauważmy też, że  ciąg  \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\} \subset D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) w przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \)  wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ten jest również zbieżny do funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc  \) w sensie zbieżności przestrzeni  \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \) Wynika to z faktu, że wszystkie funkcje  \( \hskip 0.3pc \varphi _i\hskip 0.3pc \) oraz ich pochodne są równe zeru poza pewnym zbiorem zwartym, a na tym zbiorze  mamy zbieżność jednostajną na mocy definicji zbieżności w  \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)

Zauważmy, że każda dystrybucja temperowana jest oczywiście  dystrybucją, tzn.  \( \hskip 0.3pc S^*( \mathbb R^n ) \subset D^*( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)  Przestrzeń  \( \hskip 0.3pc S^*( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D^*( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) co oznacza, że istnieją dystrybucje które nie są dystrybucjami temperowanymi. Na przykład

jest dystrybucją w  \( \hskip 0.3pc D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) ale nie jest dystrybucją temperowaną. Istotnie, funkcja  \( \hskip 0.3pc \varphi (x)=e^{-x^2}\hskip 0.3pc \) jest elementem przestrzeni      \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) a szereg

jest rozbieżny.  Zatem  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) nie jest określona na  \( \hskip 0.3pc \varphi, \hskip 0.3pc \) czyli  \( \hskip 0.3pc T\notin S^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \).

Warto odnotować, że znajomość wartości dystrybucji temperowanej na zbiorze  \( \hskip 0.3pc D( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \)  wystarczy do  wyznaczenia jej wartości na  \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \) Istotnie, dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \)

gdzie ciąg  \( \hskip 0.3pc \{\varphi _i\}\hskip 0.3pc \) jest dany przez lemat 1. Z ostatniej obserwacji oraz liniowości dystrybucji wynika natychmiast nastepująca uwaga:

Definicja 1:

  Oznaczmy przez  \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) przestrzeń funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi \in C^{\infty}( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \)  takich, że

								\( \displaystyle\lim_{\|x\|\to \infty} \|x\|^m D^{ k}\varphi (x)=0 \)

dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc m\in \mathbb N\hskip 0.3pc \) oraz dowolnego wielowskażnika  \( \hskip 0.3pc  k=(k_1, \ldots ,k_n ).\hskip 0.3pc \)

Definicja 2:

Mówimy, że ciąg funkcji  \( \hskip 0.3pc \{\varphi_i\}\hskip 0.3pc \) należących do    \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n )\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do funkcji  \( \hskip 0.3pc \varphi \in S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) jeśli dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc m \in \mathbb N\hskip 0.3pc \) oraz dowolnego wielowskażnika  \( \hskip 0.3pc  k=(k_1, \ldots ,k_n ),\hskip 0.3pc \)  ciąg  \( \hskip 0.3pc \big\{x\mapsto \|x\|^mD^{ k}\varphi_i(x)\big\}\hskip 0.3pc \) jest jednostajnie zbieżny w  \( \hskip 0.3pc   \mathbb R^n \hskip 0.3pc \) do funkcji  \( \hskip 0.3pc x\mapsto \|x\|^mD^{ k}\varphi (x).\hskip 0.3pc \)

Definicja 3: Dystrybucja wolno rosnąca.

Dystrybucją wolno rosnącą (albo temperowaną)  nazywamy dowolny ciągły funkcjonał liniowy  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) określony na   \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n  ),\hskip 0.3pc  \)  tzn. odwzorowanie  liniowe  \( \hskip 0.3pc T:S( \mathbb R^n )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) takie, że jeśli  \( \hskip 0.3pc \varphi_i, \varphi \in S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.1pc \varphi_i \to \varphi\hskip 0.3pc \)  w   \( \hskip 0.3pc S( \mathbb R^n ),\hskip 0.3pc \) to  \( \hskip 0.3pc  \langle T,\varphi_i\rangle \to\hskip 0.3pc \)   \( \hskip 0.1pc \langle T, \varphi \rangle.\hskip 0.3pc \)  Zbiór wszystkich dystrybucji temperowanych bedziemy oznaczać symbolem  \( \hskip 0.3pc S^*( \mathbb R^n ).\hskip 0.3pc \)


Pierwotna z dystrybucji określonej na R

W analizie klasycznej funkcją pierwotną (albo całką nieoznaczoną) z funkcji    \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) nazywamy   funkcje  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) taką, że  \( \hskip 0.3pc F^\prime =f.\hskip 0.3pc \) Funkcje dla których istnieje funkcja pierwotna nazywamy funkcjami całkowalnymi. Należą do nich na przykład  wszystkie funkcje ciągłe. Okazuje się, że pojęcie funkcji pierwotnej może być rozszerzone na dystrybucje.  Mianowicie pokażemy, że każda dystrybucja na  \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc  \) posiada  pierwotną, która jest również dystrybucją na  \( \hskip 0.3pc \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Dystrybucja pierwotna, podobnie jak całka nieoznaczona, jest określona z dokładnością do stałej, tzn. dowolne dwie pierwotne tej samej dystrybucji różnią się o stałą i jeśli dwie dystrybucje różnią się o stałą to są pierwotnymi tej samej dystrybucji. Ponieważ pierwotna jest typem operacji odwrotnej do różniczkowania, nasuwa się natychmiast pomysł aby dystrybucje  pierwotną  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) z dystrybucji  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) określić następująco:

Niestety, wzór ( 1 ) określa  funkcjonał  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \)  tylko na podzbiorze    \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) przestrzeni  \( \hskip 0.3pc D^*({\mathbb R}),\hskip 0.3pc \) gdzie

Nietrudno sprawdzić, że  \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) jest  podprzestrzenią właściwą przestrzeni  \(  \hskip 0.3pc D(\mathbb R),\hskip 0.3pc \)  tzn. istnieją  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) takie, że  \( \hskip 0.3pc \varphi \notin D_1(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Na przykład funkcja  \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) dana wzorem

nie należy do  \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \). Warunek (1) możemy zapisać w postaci równoważnej

Zauważmy, że jeśli     \( \hskip 0.3pc \varphi \in D_1(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) to   \( \hskip 0.3pc \psi_{\varphi} \in D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \)  Z postaci wzoru ( 1 ) wynika natychmiast, że  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na  \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R).\hskip 0.3pc \)  Aby otrzymać rozsądną definicje pierwotnej, należy tak określony funkcjonał  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) na  \( \hskip 0.3pc D_1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) rozszerzyć na calą przestrzeń  \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Okazuje się, że nie ma jednoznacznego sposobu rozszerzenia, co wynika z faktu, że jest wiele pierwotnych dla danej dystrybucji.  Aby uzyskać   przedłużenie funkcjonału ( 2 )  posłużymy się następującym lematem.

Zauważmy najpierw, że  \( \hskip 0.3pc \langle F,\varphi_0\rangle \hskip 0.3pc \) nie zależy od  \( \hskip 0.3pc \varphi,\hskip 0.3pc \) czyli jest stałą, która  zależy od wyboru  \( \hskip 0.3pc \varphi _0\hskip 0.3pc \) i może przyjmować dowolnie wartości. Jeśli  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D_1(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) to  \(  \hskip 0.3pc \lambda =0,\hskip 0.3pc \)  \(  \varphi  =\chi,\hskip 0.3pc \) czyli   \(  \hskip 0.3pc \psi ^\prime =\varphi \hskip 0.3pc \) i w konsekwencji  równość ( 9 )  przyjmie postać

Należy sprawdzić, że definicja 1 jest poprawna, tzn. że  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją na  \(  \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) a pochodna z  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \)jest równa  \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \)

Pokażemy najpierw, że  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem liniowym na  \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Niech  \( \hskip 0.3pc \varphi_1,\hskip 0.3pc \)  \(  \hskip 0.1pc \varphi_2 \in D(\mathbb R),\hskip 0.3pc \)  \(  \alpha_1,\hskip 0.3pc \)  \(  \alpha_2 \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Zgodnie z lematem 1

gdzie funkcja  \( \hskip 0.3pc \varphi_0 \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) jest ustalona, a  \( \hskip 0.3pc \lambda_1,\hskip 0.3pc \)  \(  \lambda_2,\hskip 0.3pc \)  \(  \chi_1,\hskip 0.3pc \)  \(  \chi_2\hskip 0.3pc \) są dobrane zgodnie z  lematem 1. Ponadto niech  \(  \hskip 0.3pc \psi_1\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \psi_2\hskip 0.3pc \) odpowiadają funkcjom  \( \hskip 0.3pc \chi_1\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \chi_2\hskip 0.3pc \) zgodnie z wzorem ( 6 ). Niech  \( \hskip 0.3pc \varphi =\alpha _1\varphi _1+\alpha _2\varphi _2,\hskip 0.3pc \) a  \( \hskip 0.3pc \lambda ,\hskip 0.3pc \)  \(  \chi \hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) są dobrane do  \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) zgodnie  z  lematem 1. Nietrudno sprawdzić, że

Z kolei pokażemy, że  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem ciągłym na  \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Niech  \( \hskip 0.3pc \{\varphi _i\} \subset D(\mathbb R),\hskip 0.3pc \)  \(  \varphi _i\to 0\hskip 0.3pc \) w  \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \) Zgodnie z  lematem 1

Ponieważ ciąg liczb  \( \hskip 0.3pc \{\lambda_i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do zera, również ciąg funkcji  \(  \hskip 0.3pc \{\chi_i\}\hskip 0.3pc \)   jest zbieżny do zera w  \( \hskip 0.3pc D(\mathbb R).\hskip 0.3pc  \) W konsekwencji ciąg  \( \hskip 0.3pc \{\psi_i\},\hskip 0.3pc \)   gdzie

wynika, że ciąg  \( \hskip 0.3pc \{\langle F,\,\varphi_i\rangle\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do zera. Na mocy uwagi 2 z modułu "Wprowadzenie do teorii dystrybucji" wnosimy, że  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem ciągłym, co należało wykazać. Pozostaje sprawdzić, że  \( \hskip 0.3pc F^\prime=f.\hskip 0.3pc \)  Niech  \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R).\hskip 0.3pc \)  Na mocy definicji 2 z modułu "Pochodna w sensie dystrybucyjnym" oraz równości ( 1 )  mamy

Definicja 1:

 Pierwotną  z dystrybucji    \( \hskip 0.3pc f\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \)  nazywamy dystrybucje  \( \hskip 0.3pc F\in D^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) określoną wzorem

(9)

								\( \langle F,\,\varphi \rangle \hskip 0.1pc =\, \lambda\langle F,\,\varphi_0\rangle -\langle f,\,\psi\rangle  \quad{\rm dla}\quad \varphi \in D(\mathbb R), \)

gdzie funkcja  \( \hskip 0.3pc \varphi_0 \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) jest ustalona,   \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.1pc \chi\hskip 0.3pc \) są wzięte zgodnie  z lematem 1, zaś funkcja  \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) jest dana wzorem ( 6 ).


Rozwiązania uogólnione równań różniczkowych

Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n\hskip 0.3pc \)  będzie zadanym zbiorem otwartym, a  \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) liczbą naturalną.  Dla  \( \hskip 0.3pc 1\leq p <\infty\hskip 0.3pc  \) oznaczmy przez   \( \hskip 0.3pc W^{m,p}(\Omega)\hskip 0.3pc \)  przestrzeń wszystkich funkcji  \( \hskip 0.3pc u:\Omega \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) lokalnie całkowalnych i   takich, że dla dowolnego wielowkaźnika  \( \hskip 0.3pc  k=(k_1, \ldots ,k_n)\hskip 0.3pc \)  takiego, że  \( \hskip 0.3pc | k|= k_1+\ldots +k_n \leq m,\hskip 0.3pc \) pochodna  \( \hskip 0.3pc D^{ k}u\hskip 0.3pc \) istnieje (w sensie dystrybucyjnym ) i należy do przestrzeni  \( \hskip 0.3pc L^p(\Omega).\hskip 0.3pc \) Dla  \( \hskip 0.3pc u\in W^{m,p}(\Omega)\hskip 0.3pc \) połóżmy

0kazuje się, że tak określona wielkość  \( \hskip 0.3pc \|\cdot \|_{{m,p}}\hskip 0.3pc \) jest normą, a przestrzeń  \(  \hskip 0.3pc W^{m,p}(\Omega)\hskip 0.3pc \)  wyposażona w tę normę  jest przestrzenią Banacha. Szczególnie interesujący jest przypadek  \( \hskip 0.3pc p=2.\hskip 0.3pc \) Przestrzeń

jest przestrzenią Hilberta. Zauważmy, że  \( \hskip 0.3pc H^0\supset H^1\supset H^2\supset \ldots. \hskip 0.3pc \) Przestrzenie te odgrywają  w teorii równań różniczkowych  szczególną rolę. Zauważmy jeszcze, że zbieżność ciągu  \( \hskip 0.3pc \{u_i\}\hskip 0.3pc \) do funkcji  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) w  \( \hskip 0.3pc H^1\hskip 0.3pc \) oznacza, że:

Zbieżność w   \( \hskip 0.3pc H^2\hskip 0.3pc  \) oznacza, że  funkcje oraz ich pierwsze i drugie pochodne są zbieżne w normie przestrzeni  \( \hskip 0.3pc L^2.\hskip 0.3pc  \)

Przyjmując, że  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją, możemy rozwiązania tego równania szukać w zbiorze dystrybucji. Otrzymamy wówczas tzw. rozwiązania dystrybucyjne.  Możemy też podejść do tego problemu nieco delikatniej, wprowadzając tzw.  rozwiązania uogólnione ( słabe).

Niech  \( \hskip 0.3pc f \in C(\Omega).\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że  \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\Omega)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem klasycznym równania ( 1 ), a  \( \hskip 0.3pc \upsilon\hskip 0.3pc \) oznacza unormowany wektor normalny do  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega.\hskip 0.3pc \) Dla dowolnej funkcji  \(  \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc \) zgodnie z wzorem 6 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" mamy

(skorzystaliśmy tutaj z faktu, że  \( \hskip 0.3pc \varphi (x)=0\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc x\in \partial\Omega.\hskip 0.3pc \)) Stąd i ( 1 )  otrzymamy

Równość  ( 2 ) zachodzi dla każdego rozwiązania  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) równania (1). Co więcej, ma ona również sens nawet wówczas, gdy  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) nie jest rozwiązaniem klasycznym, np. nie posiada pochodnych drugiego rzędu w sensie klasycznym. Równość ta sugeruje następującą definicje :

Jeśli  \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\Omega)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem słabym, przy czym  \( \hskip 0.3pc f\in C(\Omega),\hskip 0.3pc \) to można pokazać - wykorzystując wzory Greena - że  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc  \) jest  także rozwiązaniem równania  ( 1 ) w sensie klasycznym. Na zakończenie chcemy zwrócić uwagę, że naszkicowana powyżej idea rozwiązań słabych  we współczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych została szeroko wykorzystana i rozbudowana.

Niech  \( \hskip 0.3pc u\in H^1(\Omega),\hskip 0.3pc \)  \(  \hskip 0.3pc f\in C(\Omega).\hskip 0.3pc \) Jeśli dla każdej funkcji   \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega)\hskip 0.3pc  \) zachodzi równość  ( 2 ), to mówimy, że  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem uogólnionym (lub słabym) równania  ( 1 ).


Dalsze przykłady i własności dystrybucji

Moduł ten rozpoczniemy od następującego lematu technicznego, który wykorzystamy w następnym przykładzie.


Funkcja Greena dla równania ciepła

W module "Równanie Poissona" rozwiązanie równania  Poissona wyraziliśmy w postaci całki z iloczynu rozwiązania podstawowego równania Laplace'a przez prawą stronę równania Poissona, a rozwiązanie problemu początkowego dla równania ciepła jako całkę z iloczynu rozwiązania podstawowego równania ciepła przez funkcje określającą rozkład początkowy temperatury. Innymi słowami, rozwiązanie  rozważanego problemu wyraziliśmy za pomocą rozwiązania podstawowego oraz prawej strony równania  lub  warunków początkowych. W niniejszym module rozwiniemy te idee, wykorzystując w miejsce rozwiązania podstawowego, tzw. funkcje Greena. Trudność tej metody wynika z faktu, że dla każdego typu problemu należy indywidualnie wyznaczyć funkcje Greena.  Natomiast korzyść polega na tym, że  po znalezieniu funkcji Greena otrzymamy formułę, która podaje wartości rozwiązania w zależności od zadanych wartości początkowych czy brzegowych.

Niech  \( \hskip 0.3pc  \Omega \subset \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie zadanym obszarem o gładkim brzegu. Rozważmy problem:

gdzie  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \)  są zadanymi funkcjami odpowiednio na zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że funkcja   \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem tego problemu.  Niech  \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \)  będzie rozwiązaniem podstawowym równania Laplace'a,  danym wzorem

gdzie  \( \hskip 0.3pc \alpha (n) \hskip 0.3pc \) oznacza objętość kuli jednostkowej w  \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n.  \hskip 0.3pc \) Niech  \( \hskip 0.3pc x\in \Omega\hskip 0.3pc \) i niech  \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc  \) będzie tak dobraną liczbą,  aby  \( \hskip 0.3pc B(x, \varepsilon )\subset \Omega.\hskip 0.3pc \)  Połóżmy  \( \hskip 0.3pc \Omega_{\epsilon}= \Omega \setminus \overline B(x,\varepsilon).\hskip 0.3pc \) Stosując wzór 7 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" na zbiorze   \( \hskip 0.3pc \Omega_{\varepsilon}\hskip 0.3pc \)  do funkcji  \( \hskip 0.3pc y \mapsto u(y)\hskip 0.3pc \)  i  \( \hskip 0.3pc y \mapsto \Phi (y-x)\hskip 0.3pc \)   otrzymamy

gdzie  \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) oznacza punkt bieżący, symbol  \( \hskip 0.3pc \Delta\hskip 0.3pc  \) -  laplasjan względem zmiennej  \( \hskip 0.3pc y,\hskip 0.3pc \)  \(  dS\hskip 0.3pc  \) - element powierzchniowy względem zmiennej  \( \hskip 0.3pc y,\hskip 0.3pc \)  a  \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) - unormowany wektor normalny do powierzchni  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega_{\varepsilon}.\hskip 0.3pc \)

Ponieważ  \( \hskip 0.3pc \Delta\Phi(y-x)=0\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc y \in \Omega_ {\varepsilon},\hskip 0.3pc \) ostatni wzór możemy zapisać w postaci

Zauważmy, że wektor normalny do powierzchni  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega_{\epsilon }\hskip 0.3pc \) w punkcie  \( \hskip 0.3pc y\in \partial B(x,\varepsilon)\hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem

Rozważmy przypadek  \( \hskip 0.3pc n\geq 3\hskip 0.3pc \) (analogiczny rachunek dla  \( \hskip 0.3pc n=2\hskip 0.3pc \) pozostawiamy Czytelnikowi).  Różniczkując funkcje  \( \hskip 0.3pc \Phi (y-x)\hskip 0.3pc \)  względem  \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) w punkcie   \( \hskip 0.3pc y\in \partial B(x,\varepsilon)\hskip 0.3pc \) otrzymamy

Korzystając z ostatniej równości a następnie z  faktu, że wartość   \( \hskip 0.3pc n\alpha (n)\varepsilon^{n-1}\hskip 0.3pc \) jest  równa powierzchni sfery  \( \hskip 0.3pc \partial B(x,\varepsilon )\hskip 0.3pc \)  oraz z własności wartości średniej,  otrzymamy

W konsekwencji, przechodząc z  \( \hskip 0.3pc \varepsilon\hskip 0.3pc \) do zera we wzorze ( 3 )   otrzymamy

Zauważmy, że wzór ( 4 ) pozwala wyznaczyć szukaną funkcje  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jeśli znamy wartości  \( \hskip 0.3pc \Delta u\hskip 0.3pc \) na zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) oraz wartości  \( \hskip 0.3pc u\hskip0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial u}{\partial \nu}\hskip 0.3pc \) na brzegu  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \) zbioru  \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \) Niestety, w rozważanym przypadku wartości pochodnej    \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial u}{\partial \nu}\hskip 0.3pc \) na zbiorze   \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \)  nie znamy. Wprowadzimy teraz pewną korektę tak, aby wyeliminować nieznaną wartość  \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial u}{\partial \nu}.\hskip 0.3pc \) W tym celu rozważamy problem pomocniczy

Stosując ponownie  wzór 7 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena"  do funkcji  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc \Psi\hskip 0.3pc \) w obszarze  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \),  gdzie  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem  problemu ( 1 ), ( 2 ),  a  \( \hskip 0.3pc \Psi\hskip 0.3pc \) rozwiązaniem problemu pomocniczego ( 5 ), ( 6 ).  Otrzymamy

Tak zdefiniowaną funkcje  \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) będziemy nazywać  funkcją Greena dla problemu ( 1 ), ( 2 ).  Sumując równości ( 4 ), ( 7 ) i uwzględniając zależność ( 6 ),  dostajemy

Zauważmy, że po wyznaczeniu funkcji  \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) wartości wszystkich funkcji występujących po prawej stronie ostatniego wzoru są znane, a szukane rozwiązanie możemy zapisać w postaci

Oczywiście w obu całkach zmienną całkowania jest  \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \).  Wzór ten określa rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) w zależności od zadanych funkcji  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc g.\hskip 0.3pc \) Warto podkreślić, że  funkcja Greena  jest określona dla operatora Laplace'a oraz zbioru  \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) nie zależy natomiast od funkcji  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc g.\hskip 0.3pc \)

Zgodnie z przykładem 1 oraz wzorem na rozwiązanie podstawowe równania Laplace'a funkcja Greena  ma postać

a rozwiązanie, zgodnie z wzorem ( 11 ), postać

Zastosowana w powyższych przykładach metoda wyznaczania funkcji Greena nosi nazwę  metody punktów symetrycznych.


Metoda funkcji Greena dla równań parabolicznych

Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb R^n\hskip 0.3pc \)  będzie obszarem ograniczonym o gładkim brzegu  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \) i niech  \( \hskip 0.3pc u:\Omega\times (0,+\infty )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją posiadającą pochodne drugiego rzędu względem zmiennych  \( \hskip 0.3pc x_1, \ldots ,x_n.\hskip 0.3pc \)  Rozważmy operator

gdzie  \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc q\hskip 0.3pc \) są zadanymi funkcjami określonymi na zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \)  a   \( \hskip 0.3pc \nabla =\big(\tfrac {\partial}{\partial x_1}, \ldots ,\tfrac {\partial}{\partial x_n}\big)\hskip 0.3pc \) jest operatorem Nabla. Zauważmy, że w definicji operatora  \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) występuje tylko różniczkowanie względem zmiennych przestrzennych  \( \hskip 0.3pc x_1, \ldots ,x_n\hskip 0.3pc \).


Wyznaczanie funkcji Greena przy pomocy odwzorowań konforemnych

Przypomnijmy, że punkt  \( \hskip 0.3pc (x,y)\in\mathbb R^2\hskip 0.3pc \) możemy identyfikować z liczbą zespoloną  \( \hskip 0.3pc z=x+iy\hskip 0.3pc \)  i na odwrót.  W konsekwencji zbiór  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^2\hskip 0.3pc \) możemy utożsamiać z odpowiadającym mu zbiorem liczb zespolonych. Ponieważ nie prowadzi to do nieporozumień, w dalszym ciągu zbiory te będziemy oznaczać tym samym symbolem.

Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb C\hskip 0.3pc \) będzie ograniczonym obszarem o gładkim brzegu  \( \hskip 0.3pc \partial\Omega.\hskip 0.3pc \) Niech  \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) będzie konforemnym odwzorowaniem obszaru  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) w kulę  \( \hskip 0.3pc |z|<1.\hskip 0.3pc \) Dla  \( \hskip 0.3pc z_0\in \Omega\hskip 0.3pc \) połóżmy

Nietrudno sprawdzić, że funkcja  \( \hskip 0.3pc f(\,\cdot\,;z_0)\hskip 0.3pc \) odwzorowuje konforemnie obszar  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) w kulę  \( \hskip 0.3pc |z|<1,\hskip 0.3pc \) przy czym  \( \hskip 0.3pc f(z_0;z_0)=0.\hskip 0.3pc \)  Ponieważ  \( \hskip 0.3pc f'(z;z_0)\neq 0\hskip 0.3pc \) dla   \( \hskip 0.3pc z\in \Omega,\hskip 0.3pc \) zatem

gdzie  \( \hskip 0.3pc \varphi (\,\cdot;z_0)\hskip 0.3pc \) jet funkcją analityczną w  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.1pc \),  \( \hskip 0.3pc \varphi (z_0;z_0)=0\hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.1pc \varphi '(z;z_0)\neq 0\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc z\in \Omega.\hskip 0.3pc \)

Korzystając z wymienionych własności odwzorowań konforemnych  pokażemy, że funkcje Greena dla operatora Laplace'a w obszarze  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^2\hskip 0.3pc \) można wyrazić wzorem

W tym celu wystarczy sprawdzić, że funkcja ta spełnia warunki (i) i (ii) uwagi 1 z modułu "Funkcja Greena dla równania ciepła". Istotnie,  zgodnie z wzorem ( 2 )

Oczywiście pierwsza z  funkcji po prawej stronie ostatniego wzoru jest harmoniczna dla  \( \hskip 0.3pc (x,y)\neq (x_0,y_0).\hskip 0.3pc \) Ponieważ   \( \hskip 0.3pc \ln |\varphi (z;z_0)|={\rm Re}\ln \varphi (z;z_0),\hskip 0.3pc \) również funkcja   \( \hskip 0.3pc \ln |\varphi (\cdot ;z_0)|\hskip 0.3pc \) jest harmoniczna,  jako część rzeczywista funkcji analitycznej  \( \hskip 0.3pc \ln \varphi (\,\cdot \,;z_0).\hskip 0.3pc \) Z tych samych powodów funkcja ta jest harmoniczna względem zmiennych  \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0)\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0)\neq (x,y).\hskip 0.3pc  \) Oznacza to, że warunek (i) jest spełniony.  Ponieważ dla  \( \hskip 0.3pc z\in \partial \Omega,\hskip0.1pc \)  \( \hskip 0.3pc |f(z;z_0)|=1,\hskip 0.3pc \) zachodzi również warunek (ii).

Funkcje  \( \hskip 0.3pc f:\Omega \to \mathbb C\hskip 0.3pc \),  \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb C,\hskip 0.3pc \) nazywamy odwzorowaniem konforemnym,  jeśli odwzorowanie to zachowuje kąty, tzn. jeśli  \( \hskip 0.3pc t\mapsto w_1(t),\hskip 0.1pc \) \( \hskip 0.3pc t\mapsto w_2(t),\hskip 0.1pc \)  \( \hskip 0.3pc t\in [t_0,t_1],\hskip 0.3pc \) są dwoma krzywymi regularnymi  wychodzącymi z punktu  \( \hskip 0.3pc z\in\Omega,\hskip 0.3pc \) to kąt między tymi krzywymi w punkcie  \( \hskip 0.3pc z\hskip 0.3pc \)  pokrywa się z kątem między krzywymi   \( \hskip 0.3pc t\mapsto f(w_1(t)),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\mapsto f(w_2(t))\hskip 0.3pc \) w punkcie  \( \hskip 0.3pc f(z).\hskip 0.3pc  \)


Dalsze przykłady wyznaczania funkcji Greena

Aby lepiej wyjaśnić idee rozwiązywania równań metodą  funkcji Greena omówimy jeszcze kilka przykładów.


Definicja przekształcenia Laplace’a

Przyjmujemy oznaczenie  \( \hskip 0.3pc F= {\cal L}(f).\hskip 0.3pc \)  Aby móc zapisać operacje na argumencie funkcji  \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) będziemy też stosować zapis  \( \hskip 0.3pc {\cal L}(f(t)).\hskip 0.3pc \) Funkcje  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \)  nazywamy  oryginałem,  a funkcje  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \)  transformatą funkcji  \( \hskip 0.3pc f.\hskip0.3pc  \)

Wówczas dla  \( \hskip 0.3pc x>\alpha _0\hskip 0.3pc \) ( \( \hskip 0.3pc x=\hskip 0.3pc \) Re \( \,z\hskip 0.3pc \))  całka

jest zbieżna, a dla  \( \hskip 0.3pc x<\alpha _0\hskip 0.3pc \) rozbieżna. Oznacza to, że transformata Laplace'a  z funkcji  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest określona w zbiorze   \( \hskip 0.3pc \{z\in \mathbb C:{\rm Re}\,z>\alpha _0\}.\hskip 0.3pc \) W poniższych przykładach 1 i 3  transformatę Laplace'a rozpatrujemy w zbiorze  \( \hskip 0.3pc \{z\in\mathbb C: \textrm{Re}\,z>0\},\hskip 0.3pc \)  a w przykładzie 2 w zbiorze  \( \hskip 0.3pc \{z\in\mathbb C: \textrm{Re}\,z>\alpha\}.\hskip 0.3pc \)

Definicja 1: Transformaty Laplace'a.

  Przekształceniem lub transformatą Laplace'a funkcji  \( \hskip 0.3pc f:(0,+\infty ) \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) nazywamy funkcje  zmiennej zespolonej  \( \hskip 0.3pc F:\mathbb C\to\mathbb C\hskip 0.3pc \)  określoną wzorem

					(1)

								\( F(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f(t)\,dt. \)

 Symbol   \( \hskip 0.3pc \mathbb C\hskip 0.3pc \)   oznacza zbiór liczb zespolonych, tzn.  \( \hskip 0.3pc \mathbb C=\{z\, :\, z = x+iy,\,x,y\in \mathbb R \},\hskip 0.3pc \) gdzie  \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.3pc \) oznacza jednostkę urojoną.


Podstawowe własności transformaty Laplace’a

Definicja 1:

Dla danych funkcji  \( \hskip 0.3pc f,\,g :[0,+\infty )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) całkowalnych,  splot funkcji  \( \hskip 0.3pc f*g\hskip 0.3pc \)  określony jest wzorem

								\( (f*g)(t)=\displaystyle\int_0^tf(t-s)g(s)ds=\displaystyle\int_0^tf(s)g(t-s)ds. \)


Odwrotna transformata Laplace’a

Niech  \( \hskip 0.3pc f:[0,+\infty )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją całkowalną  taką, że  \( \hskip 0.3pc |f(x)|\leq Me^{\alpha x}.\hskip 0.3pc \) Niech  \( \hskip 0.3pc a>0.\hskip 0.3pc \) Można pokazać, że

gdzie    \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest transformatą Laplacea funkcji  \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc  \)

Definicja 1: Transformaty odwrotnej.

 Przekształcenie odwrotne  \( \hskip 0.3pc {\cal L}^{-1}\hskip 0.3pc  \) do  \( \hskip 0.3pc {\cal L}\hskip 0.3pc \) dane jest wzorem

								\( {\cal L}^{-1}(F)= \dfrac 1{2\pi i}\displaystyle\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}F(z)e^{zx}dz=\dfrac 1{2\pi i}\displaystyle\lim_{b\to \infty}\displaystyle\int_{a-ib}^{a+ib}F(z)e^{zx}dz. \)

Zauważmy, że przekształcenie odwrotne jest liniowe.


Przekształcenie Laplace’a dystrybucji

Transformate Laplace'a określimy tylko dla pewnego podzbioru zbioru wszystkich dystrybucji. Mianowicie, oznaczmy przez  \( \hskip 0.3pc D_0^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) zbiór dystrybucji skończonego rzędu takich, że  \( \hskip 0.3pc T\in D_0^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \)  wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja  ciągła  \( \hskip 0.3pc g:\mathbb R\to\mathbb R\hskip 0.3pc  \) taka, że  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest pochodną dystrybucyjną skończonego rzędu z funkcji  \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) (tzn.  \( \hskip 0.3pc T=g^{(k)})\hskip 0.3pc \) a ponadto:

\( 2^0.\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \)  posiada transformatę Laplace'a.

Wyznaczmy teraz ponownie (zob.  przykład 7 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" ) transformatę Laplace'a z dystrybucji   \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) korzystając z definicji 1.   Ponieważ  \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją 2-go rzędu  \( \hskip 0.3pc \delta =h^{\prime\prime},\hskip 0.3pc \) gdzie

Ponieważ  \( \hskip 0.3pc \delta^{(n)}=h^{(n+2)}\hskip 0.3pc \) zgodnie z definicją 1 mamy

Podobnie, ponieważ  \( \hskip 0.3pc H(t-t_0)=h^\prime(t-t_0),\hskip 0.3pc \) mamy

Zauważmy też, iż po sprawdzeniu, że  zależność 5 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a"  zachodzi dla pochodnych dystrybucyjnych, mamy następujący prosty rachunek

Z ostatniej równości wynika natychmiast znana zależność

Definicja 1:

  Dla dystrybucji  \( \hskip 0.3pc T\in D^*_0(\mathbb R ),\hskip 0.3pc \)  określamy transformatę Laplace'a wzorem

								\( {\cal L}(T)(z)=z^k{\cal L}(g(t))(z), \)

gdzie  \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą taką, że  \( \hskip 0.3pc T=g^{(k)},\hskip 0.3pc  \) a ponadto  \( \hskip 0.3pc g(t)=0\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc t<0.\hskip 0.3pc  \)


Zastosowanie przekształcenia Laplace’a w teorii równań różniczkowych zwyczajnych

W poniższym przykładzie pokażemy jak postępować gdy warunek początkowy jest w punkcie  \( \hskip 0.3pc t_0\neq 0. \hskip 0.3pc \)


Zastosowanie przekształcenia Laplace’a w teorii równań różniczkowych cząstkowych

W  module tym omówimy zastosowanie przekształcenia Laplace'a w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Niech  \( \hskip 0.3pc u=u(x,t)\hskip 0.3pc \) będzie funkcją taką, że  \( \hskip 0.3pc u(x,t)=0\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc t<0\hskip 0.3pc \). Transformatę Laplace'a funkcji  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) względem zmiennej  \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) określamy wzorem

Powyższa transformacja zależna  jest od parametru  \( \hskip 0.3pc x.\hskip 0.3pc \) Ze względów praktycznych przyjmiemy oznaczenie

Zobaczymy teraz, że transformacja ta może być  użyteczna przy rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych.


Definicja i podstawowe własności transformaty Fouriera

Niech  \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \mathbb C\hskip 0.3pc \) będzie funkcją taką, że  \( \hskip 0.3pc |f| \hskip 0.3pc \) jest całkowalna na  \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \)  tzn. \( \hskip 0.3pc f\in L^1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) (Czytelnik nieobeznany z funkcjami o wartościach zespolonych może przyjąć, że  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją o wartościach rzeczywistych, czyli  \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R \to \mathbb R\hskip 0.3pc \)).

Ponieważ  \( \hskip 0.3pc \big|e^{ixy}\big|=\big|e^{-ixy}\big|=1,\hskip 0.3pc \)  przekształcenia ( 1 ) i ( 2 )  są dobrze określone dla dowolnych całkowalnych funkcji   \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i   \( \hskip 0.3pc \hat f.\hskip 0.3pc \) Należy  zaznaczyć, że używanie terminu  transformacja odwrotna jest tutaj pewnym nadużyciem, bowiem nie każda tranformata funkcji z  \( \hskip 0.3pc L^1(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) jest funkcją  całkowalną, nie dla każdej więc transformaty jest określone przekształcenie ( 2 ) .  Formalnie, aby móc mówić o przekształceniu odwrotnym,  należałoby przekztałcenie  \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) zawęzić do podzbioru na którym jest odwracalne.

przekształcenie ( 1 ), w przypadku gdy  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją o wartościach rzeczywistych,  możemy zapisać w postaci równoważnej

Przedstawimy teraz podstawowe własności transformaty Fouriera.

Załóżmy, że transformata Fouriera z rozważanych funkcji istnieje. Zgodnie z przyjętą powyżej konwencją niech  \( \hskip 0.3pc \hat f\hskip 0.3pc \) oznacza transformatę Fouriera  funkcji  \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \) tzn. \( \hskip 0.3pc \hat f={\cal F}(f).\hskip 0.3pc \) Podobnie, jak w przypadku przekształcenia Laplace'a, aby móc zapisac operacje na argumentach funkcji  \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc \)  będziemy używać  zapisu  \( \hskip 0.3pc {\cal F}(f(x))\hskip 0.3pc \) w miejsce  \( \hskip 0.3pc {\cal F}(f).\hskip 0.3pc \) Wymienimy teraz podstawowe własności przekształcenia Fouriera. Dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do przypadku  \( \hskip 0.3pc n=1,\hskip 0.3pc \) pozostawiając Czytelnikowi sformułowanie i dowód tych własności dla  \( \hskip 0.3pc n\geq 2\hskip 0.3pc \) (Formalnie rozważania są identyczne).

  Dla danej funkcji  \( \hskip 0.3pc f\in L^1(\mathbb R),\hskip 0.3pc  \)  funkcje  \( \hskip 0.3pc \hat{f}:\mathbb R \to \mathbb C\hskip 0.3pc \) daną wzorem

(1)

								\( \hat f(y)= \dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-xyi}f(x)dx \)

nazywamy transformatą Fouriera funkcji  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i oznaczamy symbolem  \( \hskip 0.3pc  {\cal F}(f).\hskip 0.3pc \) Odwzorowanie  \( \hskip 0.3pc  {\cal F}\hskip 0.3pc \) przyporządkujące funkcji  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jej transformatę nazywamy przekształceniem (transformacją) Fouriera.

Definicja 2:

 Dla   funkcji  \( \hskip 0.3pc f: \mathbb R^n \to \mathbb C\hskip 0.3pc \) ( w szczególności  \( \hskip 0.3pc f: \mathbb R^n \to \mathbb R\hskip 0.3pc \))  transformatę Fouriera oraz transformatę odwrotną do transformaty Fouriera określamy wzorami:

								\(  \hat f(y_1,\ldots ,y_n)= \dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{-x\cdot y\,i}f(x_1,\ldots ,x_n)dx_1\ldots dx_n \)

oraz

								\( f(x_1,\ldots ,x_n)= \dfrac 1{(\sqrt{2\pi})^n}\displaystyle\int_{\mathbb R^n}e^{x\cdot y\,i}\hat f(y_1,\ldots ,y_n)dy_1 \ldots dy_n, \)

gdzie   \( \hskip 0.3pc x\cdot y=  x_1y_1+\ldots +x_ny_n.\hskip 0.3pc \)


Przykłady transformaty Fouriera

Przed przystąpieniem do wyznaczenia transformacji Fouriera konkretnych funkcji,  przypomnimy niektóre wzory całkowe. Zauważmy najpierw, że ze wzoru Eulera

wynikają natychmiast następujące przedstawienia funkcji trygonometrycznych:

Korzystając ze wzoru Cauchy'ego na obliczanie całek za pomocą rachunku reziduów

gdzie  \( \hskip 0.3pc z_j\hskip 0.3pc \) są biegunami funkcji  \( \hskip 0.3pc f,\hskip 0.3pc  \) a symbol Res \( \hskip 0.1pc (f,z_j)\hskip 0.3pc \) oznacza wartość reziduum funkcji  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) w punkcie  \( \hskip 0.3pc z_j,\hskip 0.3pc \)  nietrudno pokazać, że

Istotnie, rozważmy funkcje  \( \hskip 0.3pc f(z)=e^{i\alpha z}/z.\hskip 0.3pc \) Funkcja ta posiada dokładnie jeden biegun w punkcie  \( \hskip 0.3pc z=0,\hskip 0.3pc \) a Res \( \, (f, \,0)=1.\hskip 0.3pc \) Przyjmijmy najpierw,   że  \( \hskip 0.3pc \alpha >0.\hskip 0.3pc \) Zgodnie ze wzorem ( 2 )

Załóżmy teraz, że   \( \hskip 0.3pc \alpha <0.\hskip 0.3pc \)  Stosując podstawienie  \( \hskip 0.3pc t=-x\hskip 0.3pc \) otrzymamy

Oczywiście dla  \( \hskip 0.3pc \alpha =0\hskip 0.3pc \) całka jest równa zeru (przypomnijmy, że przez całkę rozumiemy tu tzw. wartość główną całki). Zatem wzór ( 3 )  został pokazany.

Z  zależności ( 1 ), ( 2 )  i ( 3 ) wynika natychmiast, że

Istotnie, rozważmy funkcje  \( \hskip 0.3pc f(z)=e^{i\alpha z}/(1+z^2)\hskip 0.3pc \). Funkcja ta posiada dwa bieguny pierwszego rzędu w punktach  \( \hskip 0.3pc z=-i\hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc z=i.\hskip 0.3pc  \) Łatwo sprawdzić, że  \( \hskip 0.3pc {\rm Res}(f,i)=e^{-\alpha }/2i.\hskip 0.3pc \) Załóżmy najpierw, że  \( \hskip 0.3pc \alpha >0.\hskip 0.3pc \) Zgodnie z wzorem ( 2 )

Podobnie jak poprzednio można sprawdzić, że dla  \( \hskip 0.3pc \alpha <0\hskip 0.3pc \)

Ponieważ dla  \( \hskip 0.3pc \alpha =0\hskip 0.3pc \) równość ( 5 )  jest oczywista, dowód został zakończony.


Dalsze własności transformaty Fouriera

Rozważania o podstawowych własnościach przekształcenia Fouriera zakończymy twierdzeniem dotyczącym istnienia przekształcenia odwrotnego. W tym celu jest nam potrzebny natępujący lemat.


Przekształcenie Fouriera dystrybucji wolno rosnących

W module  policzyliśmy  transformacje Fouriera z  \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) wykorzystując własność całkową dystrybucji  \( \hskip 0.3pc \delta,\hskip 0.3pc \) chociaż wcześniej przekstałcenie Fouriera dla dystrybucji nie zostało zdefiniowane.  Aby poprawnie sformułować uzyskane tam rezultaty, w niniejszym paragrafie podamy definicje przekształcenia Fouriera na zbiorze dystrybucji wolno rosnących.  Przypomnijmy, że  \( \hskip 0.3pc \delta \hskip 0.3pc \) jest dystrybucją wolno rosnącą. W celu zapoznania się z dalszymi uogólnieniami przekształcenia Fouriera dla dystrybucji, w szczególności z definicją przekształcenia Fouriera dla dowolnych dystrybucji z  \( \hskip 0.3pc D^*(\mathbb R^n),\hskip 0.3pc \) odsyłamy Czytelnika do opracowań monograficznych.

Niech  \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) oznacza przestrzeń funkcji szybko malejących (zob. definicja 1 z modułu Dystrybucje wolno rosnące-1 ).  Pokażemy, że transformacja Fouriera przeprowadza przestrzeń  \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) w siebie, ponadto jest przekształceniem ciągłym, tzn. jeśli ciąg elementów  \( \hskip 0.3pc \{\varphi _k\}\hskip 0.3pc \) z przestrzeni  \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do elementu   \( \hskip 0.3pc \varphi \in S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) w sensie zbieżności w przestrzeni  \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \), to  ciąg    \( \hskip 0.3pc \{\hat{\varphi} _k\}\hskip 0.3pc \)  jest zbieżny  do  \( \hskip 0.3pc \hat{\varphi}\hskip 0.3pc \) w sensie tej samej zbieżności.

Jeśli  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną, tzn.  \( \hskip 0.3pc T=T_f,\hskip 0.3pc  \) gdzie  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją całkowalną, to

Wynika stąd, że  \( \hskip 0.3pc \hat T_f=T_{\hat f},\hskip 0.3pc \) co oznacza, że przekształcenie Fouriera na zbiorze  regularnych  dystrybucji temperowanych pokrywa się z klasycznym przekształceniem Fouriera na przestrzeni  \( \hskip 0.3pc L^1(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc  \)

Moduł ten zakończymy wyznaczeniem transformaty Fouriera dystrybucji  \( \hskip 0.3pc \delta. \hskip 0.3pc \) Zgodnie ze wzorem ( 1 )

skąd wynika, że   \( \hskip 0.3pc \hat{\delta}= (\sqrt{2\pi})^{-n}.\hskip 0.3pc \) W szczgólności, w przypadku gdy  \( \hskip 0.3pc n=1,\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc \hat{\delta}= 1/\sqrt{2\pi}.\hskip 0.3pc  \)

Definicja 1:

 Niech  \( \hskip 0.3pc T\in S^*(\mathbb R^n),\hskip 0.3pc \) tzn.  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją wolno rosnącą. Rozważmy funkcjonał  \( \hskip 0.3pc \hat T:S(\mathbb R^n)\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) dany wzorem

(1)

								\( \langle \hat T,\varphi \rangle = \langle   T, \hat{\varphi}\rangle . \)

Na mocy twierdzenia 1 odwzorowanie  \( \hskip 0.3pc \hat T\hskip 0.3pc \) jest dobrze określone. Oczywiście jest to funkcjonał liniowy. Z uwagi 1 wynika natychmiast, że  \( \hskip 0.3pc \hat T\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem ciągłym na  \( \hskip 0.3pc S(\mathbb R^n).\hskip 0.3pc \) Jest  zatem dystrybucją wolno rosnąca. Dystrybucje tę będziemy nazywać  transformatą Fouriera dystrybucji  \( \hskip 0.3pc T,\hskip 0.3pc \) a odwzorowanie które dystrybucji  \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) przyporządkowuje  dystrybucje   \( \hskip 0.3pc \hat T\hskip 0.3pc \) zgodnie ze wzorem ( 1 ), przekształceniem Fouriera dystrybucji wolno rosnących.


Zastosowania przekształcenia Fouriera

W następnym przykładzie zobaczymy, że przeksztłcenie Fouriera może być wykorzystane również do wyznaczenia funkcji Greena.


Rozdział 11. Elementy rachunku wariacyjnego

Wprowadzenie do rachunku wariacyjnego

Początki rachunku wariacyjnego sięgają drugiej połowy XVII wieku, kiedy to J. Bernoulli  sformułował tzw. problem  brachistochrony:  wyznaczyć tor łaczący dwa punkty tak, aby punkt materialny  ześlizgujący się po nim pod wpływem siły ciężkości   przebył go w najkrótszym czasie. Sformułujemy go w języku matematycznym.


Funkcjonały

Niech  \( \hskip 0.3pc X\hskip 0.3pc \) będzie  przestrzenią Banacha. Odwzorowanie  \( \hskip 0.3pc \varphi :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) nazywamy funkcjonałem.

Zauważmy, że rozwiązanie problemów sformułowanych w module wprowadzenie do rachunku wariacyjnego polega na znalezieniu ekstremum stosownych funkcjonałów. W zależności od rozważanego problemu, a zatem postaci funkcjonału  \( \hskip 0.3pc \varphi, \hskip 0.3pc \) należy odpowiednio dobrać przestrzeń funkcyjną  \( \hskip 0.3pc X,\hskip 0.3pc \) ewentualnie jej podzbiór, na którym szukamy ekstremum.  Najczęściej spotykane przestrzenie to:

(i)   \( \hskip 0.3pc C\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) - przestrzeń funkcji ciągłych na  \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w  \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) z normą jednostajnej zbieżności

(ii)   \( \hskip 0.3pc C^1\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) - przestrzeń funkcji określonych na  \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w   \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc  \) posiadających ciągłą pochodną,  z normą

(iii)   \( \hskip 0.3pc C^1\big([a,b], \mathbb R^n\big)\hskip 0.3pc \) -  przestrzeń funkcji określonych   na  \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w   \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n,\hskip 0.3pc  \) posiadających ciągłą pochodną,  z normą

(iv)   \( \hskip 0.3pc PC\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) - przestrzeń funkcji kawałkami ciągłych na  \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w   \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc  \) z normą jednostajnej zbieżności. (Funkcje  \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) nazywamy kawałkami ciągłą, jeśli istnieje podział  \( \hskip 0.3pc a=x_0 <x_1< \ldots <x_m=b\hskip 0.3pc \) przedziału  \(  \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) taki, że na każdym podprzedziale   \( \hskip 0.3pc (x_{i-1},x_i)\hskip 0.3pc  \) funkcja  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest ciągła).

(v)   \( \hskip 0.3pc PC^1\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) - przestrzeń funkcji kawałkami różniczkowalnych  na  \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w   \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc  \)  z normą

W dalszym ciągu przestrzenie  \( \hskip 0.3pc C\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \)  oraz  \( \hskip 0.3pc C^1\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać zwykle symbolami  \( \hskip 0.3pc C\big([a,b]\big)\hskip 0.3pc  \)  oraz  \( \hskip 0.3pc C^1\big([a,b]\big)\hskip 0.3pc \)

Definicja 1: Minimum.

 Mówimy, że funkcjonał  \( \hskip 0.3pc \varphi :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) posiada w punkcie  \( \hskip 0.3pc x_0\in X\hskip 0.3pc \)  minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie  \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) punktu  \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) takie, że

								\( \varphi (x_0)\leq \varphi (x),\qquad {\rm dla }\quad x\in V. \)

Jeśli

								\( \varphi (x_0) < \varphi (x),\qquad {\rm dla }\quad x\in V,\hskip 0.3pcx\neq x_0, \)

mówimy, że w punkie  \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) istnieje   minimum lokalne silne.
Zmieniając kierunek znaku otrzymamy definicje maksimum lokalnego  i silnego maksimum lokalnego.

Definicja 2: Różniczki funkcjonału.

 Niech  \( \hskip 0.3pc x\in X.\hskip 0.3pc  \) Odwzorowanie liniowe  \( \hskip 0.3pc L(x) :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc  \) takie, że

								\( \displaystyle\lim_{\|h\| \to 0}\dfrac{\varphi (x+h)-\varphi (x)-L(x)(h)}{\|h\|}=0, \)

nazywamy różniczką funkcjonału  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) w punkcie  \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) i oznaczamy symbolem  \( \hskip 0.3pc d\varphi (x)\hskip 0.3pc \) lub  \( \hskip 0.3pc \varphi ^\prime(x).\hskip 0.3pc \)


Pierwsza i druga wariacja funkcjonału

Niech  \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\times \mathbb R^2\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy  \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Rozważmy funkcjonał

w zbiorze  \( \hskip 0.3pc {\cal M}\hskip 0.3pc \) funkcji dopuszczalnych  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) określonych wzorem:

gdzie  \( \hskip 0.3pc \alpha ,\beta \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \) (W dalszym ciągu w zapisie całkowym postaci (1) argument funkcji  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) na ogół będziemy pomijać).

Przypuśćmy, że funkcjonał  \( \hskip 0.3pc {\cal F} \hskip 0.3pc \) posiada w punkcie  \( \hskip 0.3pc u_0\in {\cal M}\hskip 0.3pc \) minimum lokalne. Dla   \( \hskip 0.3pc u \in {\cal M}\hskip 0.3pc \) połóżmy

Oczywiście   \( \hskip 0.3pc h(a)=h(b)=0\hskip 0.3pc \) oraz  \( \hskip 0.3pc u_0+th\in \cal M\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc t \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Ustalmy  \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) tak, aby

Oczywiście  \( \hskip 0.3pc \phi (0)={\cal F}(u_0),\hskip 0.3pc \) a ponieważ  w punkcie  \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) funkcjonał  \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) posiada minimum, \( \hskip 0.3pc \phi (0)\leq \phi (t)\hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc t\in (-\varepsilon  ,\varepsilon ).\hskip 0.3pc \)  Stąd i różniczkowalności  funkcji  \( \hskip 0.3pc \phi \hskip 0.3pc \) wynika, że  \( \hskip 0.3pc \phi ^\prime(0)=0.\hskip 0.3pc \)

warunek  \( \hskip 0.3pc \phi^\prime(0)=0\hskip 0.3pc \) jest równoważny warunkowi

Dla  \( \hskip 0.3pc u\in {\cal M}\hskip 0.3pc \) i  \( \hskip 0.3pc h\in {\cal M}_0\hskip 0.3pc  \) rozważmy

Wykorzystując ( 6 ) i ( 4 ) wzór ( 5 ) można zapisać w postaci

Załóżmy teraz, że  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest klasy  \( \hskip 0.3pc C^2.\hskip 0.3pc  \) Na mocy twierdzenia Taylora

Jeśli pierwsza wariacja jest równa zeru, wówczas

Definicja 1: Pierwsza wariacja.

 Połóżmy

					(3)

								\( {\cal M}_0=\big\{h \in C([a,b])\,:\,h(a)=h(b)=0\big\}. \)

Niech  \( \hskip 0.3pc u \in {\cal M}.\hskip 0.3pc \) Odwzorowanie  \( \hskip 0.3pc \delta{\cal F}(u):{\cal M}_0\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) dane wzorem

(4)

								\( \delta{\cal F}(u)(h)= \displaystyle\int_a^b\Big(f_u\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)h(x)+ f_{u^\prime} \big(x,u(x),u^\prime(x)\big)h^\prime(x)\Big)dx \)

nazywa się  pierwszą wariacją funkcjonału  \( \hskip 0.3pc {\cal F}.\hskip 0.3pc \)

Definicja 2: Druga wariancja.

  Wyrażenie

								\( \delta^2{\cal F}(u)(h)= \displaystyle\int_a^b\Big(f_{uu}h^2+2f_{uu^\prime}hh^\prime +f_{u^\prime u^\prime} {h^\prime}^2\Big)dx \)

nazywamy   drugą wariacją funkcjonału  \( \hskip 0.3pc {\cal F}.\hskip 0.3pc \)


Równanie Eulera-Lagrange’a

Omówimy teraz szczególne równania Eulera-Lagrange'a.

W tej części modułu znajdziemy równania Eulera-Lagrange'a  dla szczególnych postaci funkcjonału  \( \hskip 0.3pc \cal F.\hskip 0.3pc  \)

Przypadek 1.  Przypuśćmy, że funkcja  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) nie zależy  bezpośrednio od  \(  \hskip 0.3pc u,\hskip 0.3pc \) czyli

Wówczas równanie Eulera - Lagrange'a ma postać

gdzie  \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) jest dowolną stałą.

Przypadek 2.  Przypuśćmy teraz, że  funkcja  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) nie zależy bezpośrednio od  \( \hskip 0.3pc x,\hskip 0.3pc \) czyli

Jeśli zachodzi równanie  ( 5 )  to prawa strona ostatniej równości jest równa zeru.  Odwrotnie, jeśli lewa strona ostatniej równości jest równa zeru i  \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) nie jest funkcją stałą, to zachodzi  ( 5 ).  Zatem równanie Eulera-Lagrange'a jest równoważne równaniu

Przypadek 3.  Rozważmy funkcjonał  \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) postaci

Definicja 1:  Równaniem Eulera-Lagrange'a.

 Równanie

								\( \dfrac d{dx} f_{u^\prime}\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)- f_u\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)=0 \)

nazywa się równaniem Eulera-Lagrange'a. Jest to podstawowe równanie w rachunku wariacyjnym.


Funkcjonały zależne od funkcji wektorowej

Niech  \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\times\mathbb R^{2n}\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy  \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \)  Rozważmy funkcjonał

w zbiorze funkcji   \( \hskip 0.3pc u\in C^1([a,b], \mathbb R^n),\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc u=(u_1,\ldots ,u_n).\hskip 0.3pc \) Rozwiązania będziemy szukać w zbiorze funkcji dopuszczalnych

gdzie  \( \hskip 0.3pc A,B\in \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) są dane.

Korzystając z lematu 1  i powtarzając argumenty dowodu  twierdzenia 1 z modułu Równanie Eulera-Lagrange’a-1 otrzymamy następujące twierdzenie.


Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów

Niech  \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\times\mathbb R^{n+1}\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy  \( \hskip 0.3pc C^n.\hskip 0.3pc \)  Szukamy minimum funkcjonału

w zbiorze funkcji   \( \hskip 0.3pc u\in C^n([a,b])\hskip 0.3pc \) spełniających warunki:

Można pokazać, że każda ekstremala funkcjonału ( 1 ) musi spełniać  równanie Eulera-Poissona

Jeśli  \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) jest ekstremalą, a ponadto druga wariacja jest określona dodatnio, funkcjonał  \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) osiąga na  \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \)  minimum lokalne, jeśli jest określona ujemnie, maksimum lokalne.


Funkcjonał zależny od funkcji wielu zmiennych

Rozważmy teraz funkcjonał zależny od funkcji n-zmiennych. Ponieważ rozważania są analogiczne ograniczymy się do funkcji dwóch zmiennych. Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) będzie obszarem zawartym w  \( \hskip 0.3pc\mathbb R^2.\hskip 0.3pc \)   Niech  \( \hskip 0.3pc f:\Omega\times\mathbb  R^3\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy  \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Poszukujemy funkcji  \( \hskip 0.3pc z=u(x,y),\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \Omega,\hskip 0.3pc \) o zadanych wartościach  \( \hskip 0.3pc u=\varphi \hskip 0.3pc \) na brzegu  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc  \) obszaru  \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \)  na której  funkcjonał

osiąga wartość ekstremalną. Zakładając, że  \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest klasy  \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc  \) i rozumując jak poprzednio, można wyprowadzić następujący wzór na wariację funkcjonału

Wykorzystując wzór na całkowanie przez części  i zakładając, że  \( \hskip 0.3pc h(x,y)=0\hskip 0.3pc \)  dla  \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) otrzymamy

Stąd i stosownego odpowiednika lematu 1 z modułu Równanie Eulera-Lagrange’a-1 otrzymamy następujące równanie Eulera-Lagrange'a

Równanie to wraz z zadanym warunkiem brzegowym  \( \hskip 0.3pc u(x,y)=\varphi (x,y) \hskip 0.3pc \) dla  \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \partial \Omega\hskip 0.3pc \), daje warunek konieczny istnienia ekstremum.


Problemy izoperymetryczne

Przez problem izoperymetryczny rozumiemy zagadnienie znalezienia ekstremów funkcjonału  \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip .3pc \)   w zbiorze funkcji dopuszczalnych  \( \hskip 0.3pc {\cal M},\hskip 0.3pc \) spełniających ponadto warunek   \(  \hskip 0.3pc {\cal K}(u)=L,\hskip 0.3pc \) gdzie  \( \hskip 0.3pc {\cal K}\hskip 0.3pc \) jest funkcjonałem podobnej natury jak funkcjonał  \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) a  \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) jest ustaloną stałą. Niech  \( \hskip 0.3pc f,g:[a,b]\times\mathbb R^2\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) będą funkcjami klasy  \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Niech  \( \hskip 0.3pc {\cal M}\hskip 0.3pc \) będzie następującą  klasą funkcji

gdzie  \( \hskip 0.3pc \alpha ,\beta \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Rozważmy funkcjonały:

określone na zbiorze funkcji  \( \hskip 0.3pc u\in C^1([a,b]).\hskip 0.3pc \) Szukamy ekstremów funkcjonału  \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \)   w zbiorze funkcji  \( \hskip 0.3pc u \in {\cal M},\hskip 0.3pc  \) spełniających ponadto warunek  \( \hskip 0.3pc {\cal K}(u)=L.\hskip 0.3pc \)  Problem ten możemy rozwiązać adoptując znaną z klasycznej teorii ekstremów warunkowych metodę mnożników Lagrange'a (szczegóły wyprowadzenia pomijamy). W tym celu rozważamy nowy funkcjonał

Zgodnie z poprzednimi wynikami ekstremale funkcjonału  \( \hskip 0.3pc {\cal J}\hskip 0.3pc \)  są rozwiązaniami równania Eulera-Lagrange'a

Jeśli ponadto spełniają one warunek  \( \hskip 0.3pc {\cal K}(u)=L,\hskip 0.3pc \) to są funkcjami na których badany problem izometryczny może osiągać ekstremum.


Całki pierwsze

gdzie  \( \hskip 0.3pc f:\Omega\to \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją, a  \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb R\times \mathbb R^n\hskip 0.3pc \)   zbiorem otwartym. Oczywiście równanie to możemy zapisać we współrzędnych w postaci układu równań

Widać natychmiast, że prawdziwa jest następująca uwaga:

Przypomnijmy, że punkt  \( \hskip 0.3pc (t_0,\stackrel{o}{x})\in \Omega\hskip 0.3pc \) nazywamy  punktem równowagi układu ( 2 ), jeśli prawe strony tego układu zerują się w tym punkcie, czyli

Załóżmy, że  \( \hskip 0.3pc f_n(x_1,\ldots ,x_n)\neq 0.\hskip 0.3pc \) Dla  \( \hskip 0.3pc i=1, \ldots ,n-1\hskip 0.3pc \) połóżmy

Zatem układ (4) możemy zapisać w formie:

Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, w otoczeniu dowolnego punktu nie będącego punktem równowagi, układ ten posiada  \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \) funkcyjnie niezależnych całek pierwszych

Ponadto, jeśli  \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest całką pierwszą w tym otoczeniu, to  \( \hskip 0.3pc g=F\circ (g_1,\ldots ,g_{n-1}),\hskip 0.3pc \) gdzie  \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy  \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \)

Definicja 1:

  Funkcje  \( \hskip 0.3pc g:\Omega\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) klasy  \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \) nazywamy całką pierwszą układu równań ( 2 )   jeśli dla dowolnego rozwiązania  \( \hskip 0.3pc x_1=x_1(t),\, \ldots ,\hskip 0.5pc x_n= x_n(t),\hskip 0.3pc \)  \( \hskip 0.3pc  t \in I,\hskip 0.3pc  \) tego układu

								\( g\big(t,x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big)= {\rm const} \qquad {\rm dla}\quad t \in I, \)

tzn. funkcja  \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania układu równań ( 2 ).

Definicja 2:

  Całki pierwsze   \( \hskip 0.3pc  g_1, \ldots , g_m \in C^1(\Omega )\hskip 0.3pc \) ( \( \hskip 0.3pc m\leq n\hskip 0.3pc \)) nazywamy  funkcyjnie niezależnymi w zbiorze  \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) jeśli dla dowolnego  \( \hskip 0.3pc (t,x)\in \Omega\hskip 0.3pc \)  rząd macierzy jakobianu

								\( \begin{bmatrix} \dfrac{\partial g_1}{\partial x_1}(t,\hskip 0.2pc x)  &\ldots & \dfrac{\partial g_1}{\partial x_n}(t,\hskip 0.2pc x)\\\vdots &\ddots &\vdots\\ \dfrac{\partial g_m}{\partial x_1}(t,\hskip 0.2pc x)& \ldots & \dfrac{\partial g_m}{\partial x_n}(t,\hskip 0.2pc x)\end{bmatrix} \)

wynosi  \( \hskip 0.3pc m,\hskip 0.3pc \) tzn. w każdym punkcie  \( \hskip 0.3pc (t,x_1,\ldots ,x_n)\in \Omega\hskip 0.3pc \) wiersze tej macierzy są wektorami liniowo niezależnymi.
W szczególności, jeśli  \( \hskip 0.3pc m =n\hskip 0.3pc \)  to wyznacznik powyższej macierzy jest różny od zera.


Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena

Niech  \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) będzie otwartym ograniczonym jednospójnym podzbiorem przestrzeni  \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) z gładkim brzegiem  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega,\hskip 0.3pc \)  co oznacza że w każdym punkcie  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \)  istnieje wektor normalny do  \( \hskip 0.3pc \partial \Omega.\hskip 0.3pc \)

Jeśli  \( \hskip 0.3pc  F=(0,\ldots,0,F_k,0,\ldots ,0)\hskip 0.3pc \) wówczas wzór ( 1 ) ma postać

W szczególności ze wzoru ( 2 )  wynika, że dla dowolnej funkcji   \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\overline \Omega)\hskip 0.3pc \) mamy

Niech  \( \hskip 0.3pc g:\Omega\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy  \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \)  Podstawiając we wzorze ( 3 )  funkcje   \( \hskip 0.3pc g u\hskip 0.3pc \) w miejsce    \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \), otrzymamy tzw.  wzór na całkowanie przez części


Tabela transformat Laplace’a


Tabela transformat Fouriera


Skalarne równania różniczkowe zwyczajne. Pojęcia wstępne

Czym są równania różniczkowe i do czego one służą? Zacznijmy od pewnych analogii. W kursie matematyki elementarnej rozwiązuje się równania algebraiczne. Przykładem może służyć układ równań liniowych

zwane równaniem kwadratowym. Rozwiązywanie obu równań polega na znalezieniu liczb, które po podstawieniu do odpowiednich równań czyniły by z nich tożsamości. W przypadku układu równań w naszym przypadku są to liczby  \( x=y=1/2 \), które są określone jednoznacznie. Podane równanie kwadratowe spełniają dwie liczby:  \( x=3 \) oraz  \( x=-2 \). W przypadku równań różniczkowych nie chodzi o znalezienie rozwiązań liczbowych. Rozwiązaniami są funkcje różniczkowalne spełniające równanie, przy czym niejednoznaczność rozwiązania jest raczej regułą niż wyjątkiem. Przejdźmy jednak do definicji.

Rozwiązać równanie ( 2 ) oznacza znaleźć  \( n \) razy różniczkowalną funkcję  \( x=\varphi(t) \), która, będąc podstawioną do równania ( 2 ), uczyni z niego tożsamość. Rzędem równania ( 2 ) nazywamy największy rząd pochodnej szukanej funkcji  \( x=\varphi(t) \), występującej w tym równaniu. Najprostsze równanie różniczkowe dyktuje problem znalezienia funkcji pierwotnej  \( x(t) \) do zadanej funkcji ciągłej  \( f(t) \):

Zatem rozwiązanie tego równania dane jest wzorem

opisującym nieskończenie wiele funkcji pierwotnych funkcji  \( x(t) \), rózniących się o dowolną stałą.

Definicja 1:

Równaniem różniczkowym zwyczajnym (RRZ) nazywamy równanie

(2)

								\( F(t,x(t),x'(t),\ldots, x^{(n)}(t))=0, \)

gdzie  \( F \) jest funkcją różniczkowalną w każdym ze swoich argumentów. W równaniu ( 2 ) niewiadomą jest  \( n- \)krotnie różniczkowana funkcja  \( x=x(t) \), zatem równanie ( 2 ) jest równaniem funkcyjnym.
Jeżeli jesteśmy w stanie rozwiązać równanie ( 2 ) względem ostatniej zmiennej, wówczas możemy go napisać w postaci równoważnej

(3)

								\( x^{(n)}=\Psi\left(t,\,\,x(t),\,\,x(t),\,...,x^{(n-1)}   \right), \)

zwanej postacią kanoniczną skalarnego RRZ  \( n \)-tego rzędu.


Równania różniczkowe rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych

zwaną postacią kanoniczną RRZ rzędu 1. Takiego równania nie można scałkować przy dowolnej prawej stronie. Poniżej przedstawimy podstawowe typy funkcji, dla których potrafimy podać rozwiązanie bądź to w postaci analitycznej bądź w postaci całek (kwadratur).

1. Funkcja  \( \varphi \) nie zależy od zmiennej  \( t \):

Przepisując równanie w postaci  \( \frac{d\,x}{\varphi(x)}=d\,t \), a następnie całkując, otrzymujemy rozwiązanie w postaci uwikłanej:

2. Funkcja  \( \varphi \) nie zależy od zmiennej  \( x \):

Przepisując równanie w postaci  \( {d\,x}=\psi(t)\,d\,t \), a następnie całkując, otrzymujemy rozwiązanie w postaci:

Oznaczenie. Wszystkie równania rozpatrzone w tym punkcie nazywamy RR rzędu 1 o zmiennych rozdzielonych.


Równania różniczkowe rzędu pierwszego, które sprowadzają się do równań o zmiennych rozdzielonych

Całkowanie równań różniczkowych (RR) rzędu pierwszego wiąże się, na ogół, z przedstawieniem ich w postaci równań o zmiennych rozdzielonych.

Stosujemy podstawienie  \( z=a\,t+b\,x \). Różniczkując  \( z \) względem  \( t,  \) otrzymamy  \( z'=a+b\,x' \) i wówczas wyjściowe równanie ma postać

2. Równania jednorodne. Są to równania, które nie zmieniają kształtu przy transformacjach  \( x \to \alpha\,x, t\to\alpha\,t \), gdzie  \( \alpha \) jest dowolną stałą nie równą się zeru. Równanie takie może być sprowadzone do postaci

Stosujemy podstawienie  \( z=\frac{x}{t} \). Wówczas  \( x=z\,t \) i  \( x'=t\,z'+z.  \) Otrzymamy wtedy

3. Do jednorodnego równania sprowadza się równanie postaci

Rozpatrzmy najpierw przypadek szczególny

Ponieważ  \( x=x(t), \) więc  \( p=p(t), \) zatem zmienną  \( r \) będziemy traktować jako nową zmienną niezależną, zaś funkcja  \( p \) będzie nową zmienną zależną. Zauważmy że zachodzą równości  \( d\,t=d\,r, \) oraz  \( d\,x=d\,p \). Równanie można zatem przepisać w postaci

Przypomnijmy kiedy układ równań liniowych

można rozwiązać względem zmiennych  \( \alpha,\,\,\beta \). Postać macierzowa tego układu jest następująca:

Z twierdzenia Cramera wynika, iż układ ma jedno rozwiązanie  \( \alpha,\,\,\beta  \), o ile

Jeżeli warunek powyższy zachodzi, wówczas możemy w sposób jednoznaczny dobrać stałe  \( \alpha,\,\,\beta \) w taki sposób że  \( h_1,\,\,h_2 \) znikną. Dzieląc licznik i mianownik prawej strony równania ( 4 ) przez  \( r \), otrzymamy wtedy

Jest to jednorodne równanie, które poprzez podstawienie  \( z=\frac{p}{r} \) sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych. Jeżeli  \(  \det M=a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \), wówczas nie można wyeliminować opisanym wyżej sposobem parametrów  \( h_1,\,\,h_2 \). Niemniej jednak ten przypadek również jest całkowalny. Rzeczywiście, równość  \( J=0 \) oznacza, że współczynniki są proporcjonalne, tzn. istnieje stała  \( k\neq 0 \) taka że  \( a_1=k\,a_2 \),  \( b_1=k\,b_2 \). A zatem równanie ( 3 ) można przepisać w postaci równania ( 1 )

I tak jak w równaniu ( 1 ) wprowadzamy podstwienie  \( z=a_2 t+b_2 x, \) otrzymując równanie

które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Przypadek ogólny, czyli równanie ( 2 ), przekształcamy w podobny sposób: jeżeli  \( a_1 t+b_1 x\neq k(a_2 t+b_2 x) \), to wówczas przechodzimy do zmiennych  \( \xi=t-t_0 \),  \( \eta=x-x_0 \), gdzie stałe  \( t_0,\,\,x_0 \) określamy jako rozwiązania układu równań

W wyniku dla funkcji  \( \eta(\xi) \) otrzymujemy równanie

jest to równanie jednorodne. W przypadku gdy  \( a_1 t+b_1 x= k(a_2 t+b_2 x) \), równanie ( 2 ) można zapisać jako

Podstawienie  \( z=a_2 t+b_2 x \), sprowadza go do równania o zmiennych rozdzielonych:

4. Równania jednorodne uogólnione. Jest to klasa równań, które się nie zmieniają przy jednoczesnym skalowaniu zmiennej zależnej i niezależnej  \( t\to\alpha\,t,\,\,\,\,x\to\alpha^k\,x \), gdzie  \( 0\neq\alpha,\,\,k \)-stałe. Równania takie można przedstawić w postaci

Podstawienie  \( z=x\,t^{-k} \) sprowadza równanie ( 8 ) do równania o zmiennych rozdzielonych:


Przykłady równań różniczkowych wykorzystywanych w naukach przyrodniczych

Ważnym wnioskiem wynikającym z powyższego przykładu jest,  że przy znajdowaniu rozwiązania równania  \( d\,^2\,x(t)/d\,t^2=0   \),

które jest najprostszym skalarnym równania różniczkowego zwyczajnego rzędu 2, musieliśmy dwa razy zastosować procedurę całkowania i stąd w rozwiązaniu

( 7 ) pojawiły się dwie dowolne stałe. Należy więc założyć,  iż w przypadku równania  \( n \)-go rzędu

znalezienie rozwiązania będzie wymagać  \( n \)-krotnego całkowania, a to z kolei wyprodukuje nam  \( n \) dowolnych stałych. Domniemanie to jest jak najbardziej słuszne: prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Wróćmy teraz do rozwiązania ( 7 ), równania ( 6 ) i zadajmy sobie pytanie odnośnie jego praktycznego

wykorzystania w celu przewidywania położenia punktu materialnego w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Otóż, żeby wyeliminować nieoznaczoności tkwiące w tym

równaniu w postaci dowolności stałych całkowania, musimy  dodatkowo znać zarówno położenie  \( x_0 \), w którym  znajdował się

punkt materialny w chwili początkowej  \( t_0 \),  jak i prędkość  \( v_0 \), z jaką punkt się

porusza. Daje to układ równań algebraicznych

z którego możemy łatwo określić stałe  \( C_0, \,\,C_1 \):

A zatem położenie w czasie  \( t \) punktu materialnego spełniającego zadane warunki początkowe


Zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy'ego). Poprawność zadania warunków początkowych

Powstaje pytanie: co należy zrobić, by rozwiązanie skalarnego RRZ nie zależało od dowolnych stałych? W innym sformułowaniu pytanie to brzmi następująco: przy jakich warunkach rozwiązanie RRZ będzie jednoznaczne? Otóż, skoro rozwiązanie ogólne skalarnego RRZ  \( n \)-go rzędu zależy od  \( n \) dowolnych stałych, to, żeby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, wystarczy, jak się wydaje, podać  \( n \) dodatkowych warunków algebraicznych. Domniemanie to jest słuszne w większości przypadków, z którymi stykamy się w praktyce.

Jednak w pewnych wyjątkowych sytuacjach, a mianowicie wówczas, gdy  dane początkowe są zadane niepoprawnie, rozwiązanie wciąż będzie niejednoznaczne. Może też  powstać sytuacja, że przy źle postawionych danych początkowych rozwiązanie nie będzie w ogóle istnieć.

Dla przykładu rozpatrzmy następujące równanie:

Równanie to można przepisać w postaci równości

Podstawiając funkcję  \( x=C\,t \) do równania wyjściowego, możemy przekonać się, że czyni ona z niego tożsamość. Lewa strona:

i rozwiązując równanie algebraiczne  \( x(t_0)=a=C\,t_0 \) względem  \( C \), otrzymamy  jedyne rozwiązanie  \(  x(t)=a\,\frac{t}{t_0}. \)

otrzymamy niedorzeczność:  \(  b=C\,\cdot\,0. \) Przyczyną tego jest nieokreśloność prawej strony równania przy  \(  t=0 \).

jest spełniony przy dowolnej wartości stałej  \(  C  \).Przyczynę tego można zrozumieć, gdy rozpatrzymy zbiór wszystkich możliwych rozwiązań równania ( 1 ) postaci ( 2 ).  Obrazuje go na płaszczyźnie fazowej  \( \left(t,\,\,x\right) \) pęk linii prostych przechodzących przez początek współrzędnych, (zob. Rys. 1 ). Widzimy że początek współrzędnych jest jedynym punktem na płaszczyźnie, przez który przechodzą wszystkie rozwiązania równania.  Dlatego  właśnie zadanie warunków początkowych w tym punkcie prowadzi do nieijednoznaczności.

Podsumowując to co powiedzieliśmy, wprowadzimy następujące oznaczenie: Punkt  \( (t_0,\,x_0) \) płaszczyzny fazowej nazywa się punktem osobliwym, jeżeli w tym punkcie prawa strona RRZ

przybiera wartość zerową, lub jest nieoznaczona. Ogólna reguła więc brzmi następująco:

Postawienie warunków początkowych w punkcie osobliwym prowadzi do niejednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego, lub do niedorzeczności.


Liniowe równania różniczkowe rzędu pierwszego

Liniowym niejednorodnym  równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

gdzie  \( p(t),\,\,q(t) \) - wiadome funkcje, przy czym  zakładamy że  \( q(t) \) nie równa się tożsamosciowo zeru. Stowarzyszonym równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci

Po przemnożeniu tego równania przez  \( \frac{dt}{{\overset{\circ}{x}}} \) otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych:

Rozwiązanie problemu niejednorodnego uzyskujemy metodą uzmienniania stałej. Polega ona na zamianie stałej  \( C \) w powyższeym wzorze przez pewną nieznaną funkcję  \( C(t) \). Rozwiązanie poszukujemy w postaci  \( x(t)=C(t)\,e^{-F(t)}  \),  \( F(t)=\int{p(t)\,d\,t} \). Po podstawieniu do równania wyjściowego  otrzymamy:

Zatem  \( C(t)=C_0+\int{q(t)\,e^{{}F(t)}\,d\,t } \).  Stąd już łatwo można otrzymać postać rozwiązania ogólnego problemu niejednorodnego:

Rozwiązanie Rozwiązanie ogólne równania ( 2 ) ma postać  \( x(t)=e^{-t}(C_0+e^t(t-1)). \)