pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
ข้อสังเกต: สัดส่วนที่อ้างมาจากจอห์น ฮาร์วีย์นอกจากจะอ้างอิงเป็นอย่างอื่น สมัยและลักษณะทางสถาปัตยกรรมเป็นศัพท์ที่ใช้โดยแบนนิสเตอร์ เฟล็ทเชอร์ (Banister Fletcher) และผู้อื่นที่มีรากฐานมาจากริคแมนและชาร์พ
ลักษณะโดยทั่วไปของมหาวิหารอังกฤษ.
มหาวิหารอังกฤษก็เช่นเดียวกับมหาวิหารในประเทศอื่นที่เป็นทรงกางเขนละติน (Latin Cross) โดยมีแขนกางเขน (transept) ทางขวางแขนเดียวเป็นส่วนใหญ่แต่ก็มีบ้างที่มีแขนกางเขนซ้อนเช่นที่มหาวิหารซอลสบรี มหาวิหารลิงคอล์น มหาวิหารเวลล์ส และมหาวิหารแคนเทอร์เบอรี ซึ่งเป็นลักษณะที่เป็นเอกลักษณ์เฉพาะในอังกฤษ นอกจากนั้นแขนกางเขนของอังกฤษก็มักจะยาวออกไปอย่างเด่นชัดกว่าของฝรั่งเศส มหาวิหารไม่ว่าจะเป็นมหาวิหารระบบสำนักสงฆ์หรือนอกระบบมักจะมีสิ่งก่อสร้างรองจากตัวมหาวิหารหลักโดยเฉพาะหอประชุมสงฆ์ และระเบียงคด
มหาวิหารส่วนใหญ่จะมีช่องทางเดินข้างข้างละหนึ่งช่องขนาบช่องทางเดินกลางที่จะมีระดับต่ำกว่า ที่ทำให้สามารถสร้างหน้าต่างชั้นบนเหนือช่องทางเดินกลางเพื่อให้แสงสาดเข้ามาในวัดได้มากขึ้น ข้อยกเว้นคือที่มหาวิหารบริสตอลที่ช่องทางเดินข้างมีความสูงเท่ากับช่องทางเดินกลางเช่นเดียวกับวัดโถง (Hall church) ของวัดทางตอนเหนือของเยอรมนี และที่มหาวิหารชิเชสเตอร์ที่มีช่องทางเดินข้างข้างละสองคล้ายกับมหาวิหารในฝรั่งเศสบางมหาวิหาร มหาวิหารบางมหาวิหารที่มีแขนกางเขนกว้างก็อาจจะมีช่องทางเดินข้างทางด้านตะวันออกของแขนกางเขนเช่นที่มหาวิหารปีเตอร์บะระ, มหาวิหารเดอแรม, มหาวิหารลิงคอล์น และมหาวิหารซอลสบรี หรืออาจจะมีทั้งสองข้างเช่นที่มหาวิหารวินเชสเตอร์ มหาวิหารเวลส์ มหาวิหารอีลี และมหาวิหารยอร์ค
ช่องทางเดินกลางหรือบางครั้งทางมุขตะวันออกมักจะยาวกว่ามหาวิหารในประเทศอื่น มหาวิหาร 7 มหาวิหารในบรรดา 25 มหาวิหารอังกฤษ: มหาวิหารแคนเตอร์บรี, เดอแรม, อีลี, ลิงคอล์น, เซนต์อัลบัน, วินเชสเตอร์ และ ยอร์คมีช่องทางเดินกลางที่ยาวกว่า 150 เมตร (ราวระหว่าง 155 ถึง 169 เมตร) จะเทียบได้ก็แต่มหาวิหารมิลาน และมหาวิหารฟลอเรนซ์เท่านั้น อีก 9 มหาวิหาร นอริช, ปีเตอร์บะระห์, ซอลสบรี, วูสเตอร์, กลอสเตอร์, เวลล์ส, เอ็กซิเตอร์, ชิคเชสเตอร์ และ ลิชฟิลด์มีความยาวระหว่าง 120 ถึง 150 เมตร เมื่อเทียบกับมหาวิหารยาวๆ ทางตอนเหนือของฝรั่งเศสเช่น มหาวิหารน็อทร์-ดามแห่งปารีส มหาวิหารอาเมียง มหาวิหารโนเทรอดามแห่งรูอ็อง มหาวิหารแร็งส์ และมหาวิหารชาร์ตร์ ก็มีความยาวระหว่าง 135 ถึง 140 เมตร เช่นเดียวกับมหาวิหารโคโลญในเยอรมนี มหาวิหารที่ยาวที่สุดในสเปนที่รวมทั้งมหาวิหารเซวิลล์ที่มีเนื้อที่ใช้สอยมากที่สุดในบรรดามหาวิหารในยุคกลางมีความยาวเพียง 120 เมตร ห้ามหาวิหารอังกฤษ: เชสเตอร์, แฮรฟอร์ด, รอเชสเตอร์, เซาท์เวล และ ริพพอนมีความยาวระหว่าง 90 ถึง 115 เมตร อีกสี่มหาวิหารจะด้วยเหตุผลใดก็ตามไม่มีช่องทางเดินกลางหรือเหลืออยู่เพียงช่วงระหว่างทางเดินเท่านั้น ช่องทางเดินกลางของมหาวิหารบริสตอลและซัทเธิคมาสร้างในสมัยวิคตอเรีย ที่ทำให้คาร์ไลและออกซฟอร์ดที่มีช่องทางเดินกลางเพียงสองช่วงยาว 73 เมตร และสี่ช่วงยาว 57 เมตรตามลำดับ
มหาวิหารอังกฤษเน้นความยาวแต่เมื่อมาถึงความสูงแล้วเพดานของมหาวิหารอังกฤษมักจะต่ำเมื่อเทียบกับมหาวิหารที่พบในประเทศอื่น ความสูงของเพดานหินที่สูงที่สุดในอังกฤษคือเพดานของแอบบีเวสต์มินสเตอร์ที่สูง 55 เมตร เท่ากับมหาวิหารยอร์คแต่ของมหาวิหารยอร์คเป็นเพดานไม้ มหาวิหารอังกฤษส่วนใหญ่แล้วสูงประมาณระหว่าง 20 ถึง 26 เมตร ซึ่งตรงกันข้ามกับมหาวิหารโบเวส์, อาเมียงส์, และโคโลญที่ความสูงภายในต่างก็สูงกว่า 42 เมตร
สิ่งที่เป็นเอกลักษณ์ที่สำคัญทางสถาปัตยกรรมของมหาวิหารอังกฤษที่ไม่พบที่อื่นคือหอสี่เหลี่ยมเหนือจุดตัดของแขนกางเขนกับทางเดินกลาง หอที่ใหญ่ ๆ ก็ได้แก่หอของมหาวิหารเวลส์ที่สูง 55 เมตร และที่มหาวิหารลิงคอล์นที่สูง 82.5 เมตร หอเหนือจุดตัดอาจจะเป็นจุดเด่นของสิ่งก่อสร้างจุดเดียวเช่นที่มหาวิหารซอลสบรี กลอสเตอร์ วูสเตอร์ นอริช และชิเชสเตอร์ หรืออาจจะรวมทั้งหอคู่ทางมุขด้านตะวันตกของโบสถ์เช่นที่มหาวิหารยอร์ก ลิงคอล์น แคนเทอร์เบอรี เดอแรม และเวลส์ ถ้ามีหอสามหอ หอเหนือจุดตัดก็มักจะเป็นหอที่สูงที่สุด หอสองหอของมหาวิหารเซาท์เวลเป็นด้วยยอดแหลมทรงปิรามิดที่มุงด้วยแผ่นตะกั่ว
มหาวิหารซอลสบรีและมหาวิหารนอริชมีหอกลางที่เป็นหอยอดแหลม (spire) ที่ยังคงตั้งอยู่ แต่หอของมหาวิหารชิคเชสเตอร์มาสร้างใหม่ในคริสต์ศตวรรษที่ 19 หลังจากหอเก่าพังทลายลงมา หอของมหาวิหารซอลสบรีสูง 123 เมตรซึ่งเป็นหอที่สูงที่สุดในอังกฤษ และเป็นหอหินตันที่สูงที่สุดในคริสต์ศตวรรษที่ 14 (ตรงข้ามกับหอหินโปร่งของเยอรมนีและฝรั่งเศส) และเป็นหอที่สูงที่สุดจากยุคกลางหอเดียวที่ยังไม่ได้รับการสร้างใหม่ แต่หอที่สูงกว่าต่อมาคือหอของมหาวิหารลิงคอล์นและมหาวิหารเซนต์พอลเก่า หอของมหาวิหารลิงคอล์นสร้างเมื่อต้นคริสต์ศตวรรษที่ 14 ถึงปี ค.ศ. 1548 เหนือหอกลางเป็นยอดแหลมที่สูงที่สุดในโลกในขณะนั้นที่สูงราว 170 เมตร มหาวิหารลิชฟิลด์มีลักษณะที่เป็นเอกลักษณ์แห่งเดียวในอังกฤษตรงที่มีหอยอดแหลมหินสามหอ
แม้ว่าการสร้างหอทางตะวันตกเพียงหอเดียว (แทนที่จะเป็นสองหอขนาบทางเข้า) จะเป็นลักษณะที่นิยมกันในการก่อสร้างวัดประจำท้องถิ่นในอังกฤษ แต่มหาวิหารอีลีก็เป็นเพียงมหาวิหารเดียวที่สร้างในลักษณะที่ว่านี้โดยมีหอที่เตี้ยกว่าขนาบสองข้าง แต่หอทางด้านซ้ายพังทลายลงมาแล้ว มหาวิหารอีลีเป็นมหาวิหารในอังกฤษแห่งเดียวที่มีสิ่งก่อสร้างเหนือจุดตัดที่ดูคล้ายหอตะเกียง หลายเหลี่ยมที่นิยมสร้างกันในสเปน หอที่สร้างอย่างงดงามที่คล้ายโคมนี้เรียกว่า “ตะเกียงแปดเหลี่ยม” (The Octagon) ที่คร่อมทั้งช่องทางเดินกลางและช่องทางเดินข้างที่เชื่อกันว่ามีอิทธิพลต่อการออกแบบโดมของมหาวิหารเซนต์พอลโดยคริสต์โตเฟอร์ เร็น ด้านบนรับด้วยคานแฮมเมอร์ (hammer-beam) ที่ซ่อนไว้ซึ่งเป็นลักษณะที่เป็นเอกลักษณ์ของสถาปัตยกรรมกอธิคแบบอังกฤษ
ลักษณะการก่อสร้างด้านหน้าของมหาวิหารของอังกฤษแตกต่างกันออกไปมากแทนที่จะค่อย ๆ วิวัฒนาการเช่นมหาวิหารทางตอนเหนือของฝรั่งเศสหรือในบริเวณอื่นในยุโรปที่ได้รับอิทธิพลจากสถาปัตยกรรมกอทิกฝรั่งเศส ในหลายกรณีด้านหน้าของมหาวิหารไม่ว่าจะเป็นสถาปัตยกรรมยุคใดมักจะใช้เป็นฉากตกแต่งที่มีช่องเล็กช่องน้อยสำหรับวางรูปสลัก ซึ่งมาถูกดึงลงมาทำลายไปมากในคริสต์ศตวรรษที่ 17 จะยังเหลืออยู่ก็เพียงไม่กี่แห่งเช่นบน “ระเบียงกษัตริย์” ของมหาวิหารลิงคอล์นยังคงเหลืออยู่เพราะตั้งอยู่สูงเกินเอื้อม หรือระเบียงรูปสลักที่ถูกกัดกร่อนไปตามกาลเวลาของมหาวิหารเอ็กซิเตอร์
ด้านหน้าของมหาวิหารอังกฤษส่วนใหญ่แบ่งเป็นสองกลุ่มใหญ่ ๆ แต่ละกลุ่มก็มีรายละเอียดที่ต่างกันไป กลุ่มแรกเป็นมหาวิหารที่มีหอคู่อยู่ทางมุขตะวันตกเช่นที่มหาวิหารแคนเตอร์บรี, มหาวิหารเดอแรม, มหาวิหารเซาท์เวล, มหาวิหารเวลล์ส, มหาวิหารริพพอน และมหาวิหารยอร์ค ระหว่างหอก็อาจจะเป็นหน้าต่างที่มีลวดลายตกแต่งของสมัยกอธิควิจิตรเช่นที่มหาวิหารยอร์ค และมหาวิหารแคนเตอร์บรี หรือหน้าต่างเรียบที่ปราศจากลวดลายซี่หิน (untraceried lancet) ของกอธิคตอนต้นเช่นที่มหาวิหารริพพอน หรือมหาวิหารเวลล์ส ซึ่งจะแทบไม่มีหน้าต่างกุหลาบเช่นในมหาวิหารของฝรั่งเศส ประตูทางเข้ามักจะมีสามประตูแต่ไม่เหมือนมหาวิหารของฝรั่งเศสที่จะไม่สูงและไม่มีการตกแต่งอย่างวิจิตร และจะเน้นประตูกลางมากกว่าประตูข้าง แต่ประตูทางเข้าที่ใช้บ่อยมักจะนิยมสร้างทางด้านข้างของตัววัดที่เข้ามายังช่องทางเดินข้างแทนที่จะเข้ามาทางมุขตะวันตกหรือด้านหน้า
ถ้าไม่มีหอใหญ่สองหอทางมุขตะวันตกก็มักจะมีหอที่มียอดแหลมเล็กเป็นกรอบด้านหน้ามหาวิหารหรือช่องทางเดินกลางแทนที่ คล้ายกับการใช้ค้ำยันขนาดใหญ่ เช่นที่พบที่มหาวิหารซอลสบรี, มหาวิหารวินเชสเตอร์ และ มหาวิหารรอเชสเตอร์ ด้านหน้ามหาวิหารลิงคอล์นเป็นฉากหินแบบกอธิคที่มีค้ำยันที่สร้างขวางด้านหน้าที่รวมทั้งประตูทางเข้าแบบนอร์มัน แต่ซ่อนหอนอร์มันไว้ข้างหลัง และมาสร้างเสริมให้สูงขึ้นเหนือฉากต่อมา
ด้านหน้าของมหาวิหารปีเตอร์บะระเป็นฉากแบบกอธิคที่ยื่นออกมาจากทางเดินกลางแบบนอร์มัน ฉากที่ว่านี้เป็นซุ้มโค้งขนาดใหญ่สามซุ้ม ซุ้มสองซุ้มด้านนอกที่กว้างเป็นกรอบให้ซุ้มกลางที่แคบกว่า ความใหญ่โตของประตูทำให้บดบังความเด่นของส่วนประกอบอื่น ๆ ของด้านหน้าเช่นเช่นหอสองหอที่สูงไม่เท่ากันที่สร้างอยู่หลังฉาก ลักษณะสถาปัตยกรรมด้านหน้าของของมหาวิหารปีเตอร์บะระห์เป็นลักษณะที่เป็นเอกลักษณ์ที่แปลกกว่ามหาวิหารอื่นที่ไม่มีผู้ใดทำกันมาก่อนและไม่มีผู้ใดสร้างตาม แม้ว่าจะมีข้อบกพร่อง ๆ ต่างแต่ก็ถือกันว่าเป็นงานชิ้นเอกของสถาปัตยกรรมแบบกอธิคที่แสดงให้เห็นถึงความสามารถและความมีจินตนาการของสถาปนิกอังกฤษในยุคกลาง
มุขตะวันออก.
มุขตะวันออกหรือด้านหลังของมหาวิหารอังกฤษมีลักษณะที่แตกต่างกันออกไปมากกว่าที่พบในประเทศอื่น มหาวิหารที่สร้างในสมัยนอร์มันจะมีมุขตะวันออกที่สูงและล้อมรอบด้วยจรมุข (ambulatory) ที่ต่ำกว่าเช่นเดียวกับทางตอนเหนือของฝรั่งเศส เช่นมุขตะวันออกของมหาวิหารนอริชและบางส่วนของมหาวิหารปีเตอร์บะระห์ และมีร่องรอยของทรงนี้จากสถาปัตยกรรมกอธิคอังกฤษตอนต้นของมุขตะวันออกของมหาวิหารแคนเตอร์บรีแต่ในมหาวิหารอื่นๆ ส่วนนี้ได้รับการขยายเปลี่ยนแปลง
มุขตะวันออกที่สร้างแบบกอทิกจะเป็นสี่เหลี่ยมและอาจจะเป็นคล้ายผาเช่นที่มหาวิหารยอร์ก, มหาวิหารลิงคอล์น, มหาวิหารริพพอน, มหาวิหารอีลี และมหาวิหารคาร์ไล หรืออาจจะมีชาเปลแม่พระใหญ่ยื่นออกไปจากมุขซึ่งก็มีด้วยกันหลายแบบเช่นที่มหาวิหารซอลสบรี, มหาวิหารลิชฟิลด์, มหาวิหารแฮรฟอร์ด, มหาวิหารเอ็กซิเตอร์ และมหาวิหารชิคเชสเตอร์.
มุขตะวันออกของมหาวิหารนอริช และมหาวิหารแคนเตอร์บรีก็มีชาเปลยื่นออกไป แต่ที่นอริชเป็นส่วนที่สร้างเพิ่มเติมแบบกอธิคจากส่วนที่เดิมเป็นแบบนอร์มัน ส่วนที่แคนเตอร์บรีส่วนนี้เรียกว่า “มงกุฎ” (Corona) เป็นแบบสถาปัตยกรรมกอทิกแบบอังกฤษตอนต้นที่สร้างขึ้นสำหรับเป็นที่ตั้งของกะโหลกของนักบุญทอมัส เบ็กเก็ตที่ถูกเฉือนออกไปโดยผู้ลอบสังหาร มุขตะวันออกของมหาวิหารอื่นเช่นมหาวิหารเดอแรม, มหาวิหารปีเตอร์บะระห์ และมหาวิหารกลอสเตอร์ได้รับการขยายเปลี่ยนแปลงและไม่เป็นรูปทรงที่ไม่สามารถบอกลักษณะที่สำคัญได้
มหาวิหารอังกฤษมักจะล้อมรอบด้วยลานหญ้ากว้างใหญ่ที่สามารถทำให้มองเห็นลักษณะโครงสร้างได้อย่างชัดเจนซึ่งไม่เหมือนกับมหาวิหารในยุโรปที่มักจะล้อมรอบด้วยบ้านเรือนหรือกลุ่มสิ่งก่อสร้างของอาราม ภาพพจน์ของมหาวิหารแบบอังกฤษคือสิ่งก่อสร้างที่มีแขนขาแผ่ออกไป ส่วนที่ยื่นออกไปตามแนวนอนได้รับความสมดุลจากหอใหญ่เหนือจุดตัดและ/หรือด้านหน้าที่ตั้งตามแนวดิ่ง มหาวิหารหลายมหาวิหารโดยเฉพาะที่มหาวิหารวินเชสเตอร์, มหาวิหารเซนต์อัลบัน และมหาวิหารปีเตอร์บะระห์ที่หอไม่ค่อยสูงเท่าใดนักจนทำให้ได้รับคำบรรยายว่าดูคล้าย “เรือบรรทุกอากาศยาน”
นอกจากมหาวิหารแทบทุกมหาวิหารจะเป็นสิ่งก่อสร้างที่ประทับตาประทับใจแล้วก็ยังเป็นสิ่งก่อสร้างที่มีความสำคัญในการเป็นที่หมายตาและเป็นองค์ประกอบของภูมิทัศน์ที่มองเห็นได้แต่ไกลจากทุ่งโล่ง เช่นมหาวิหารอีลีที่สูงเด่นขึ้นมาเมื่อมีน้ำท่วมในบริเวณนั้นจนได้รับฉายาว่า “เรือแห่งเฟ็นส” (The Ship of the Fens) หรือหอสามหอของมหาวิหารลิชฟิลด์ที่ได้รับฉายาว่า “สามสาวแห่งเวล” (The Ladies of the Vale) หรือ “หออันงดงาม” ของมหาวิหารวูสเตอร์สามารถมองเห็นจากอีกฝั่งหนึ่งของแม่น้ำเซเวิร์น มหาวิหารลิงคอล์นที่มีหอสามหอด้านหน้ามหาวิหาร หอที่สูงที่สุดสูงถึง 80 เมตรตั้งเด่นสง่าอยู่บนเนินสูงเหนือตัวเมือง มหาวิหารซอลสบรีที่มี “ยอดแหลมอันไม่มีที่ติ” (faultless spire) ที่กลายเป็นภาพสัญลักษณ์ของทิวทัศน์ของอังกฤษ และยิ่งทำให้แพร่หลายยิ่งขึ้นไปอีกจากภาพเขียนของจอห์น คอนสตาเบิล (John Constable) ทางด้านเหนือของอังกฤษ มหาวิหารเดอแรมก็ตั้งเด่นบนเนินชันเหนือแม่น้ำเวียร์ราวกับเป็น “กึ่งสถานที่ศักดิ์สิทธิ์และกึ่งปราสาทที่สร้างความยำเกรงแก่ชาวสกอต”
เน้นแนวนอน.
ความที่ลักษณะการก่อสร้างของมหาวิหารอังกฤษแตกต่างจากกันเป็นอันมากทำให้ลักษณะภายในก็ต่างกันมากเช่นกัน ภายในมหาวิหารแบบอังกฤษมักจะสร้างความประทับตาว่าเป็นสิ่งก่อสร้างที่ยาวหรือลึก และตามความเป็นจริงแล้วก็เป็นสิ่งก่อสร้างที่ยาวจริงๆ นอกจากนั้นแล้วการก่อสร้างของสถาปัตยกรรมของยุคกลางก็ยังแตกต่างกับมหาวิหารในประเทศอื่นที่เน้นความประทับตาตามแนวนอนมากกว่าที่จะเน้นแนวตั้งเช่นในฝรั่งเศส โดยเฉพาะในกรณีของมหาวิหารเวลล์สที่ไม่มีผนังแนวตั้งที่ต่อเนื่องกันตลอดแนวให้เห็น แต่มีระเบียงแนบที่ตั้งตลอดแนวของช่องทางเดินกลางที่ดูสุดลูกหูลูกตา
มหาวิหารซอลสบรีก็เช่นกันที่ไม่เน้นแนวตั้งและใช้การตกแต่งภายใต้ระเบียงแนบด้วยเสาที่ทำด้วยหินเพอร์เบ็ค (Purbeck stone) ที่ช่วยเพิ่มความยาวหรือความลึกของแนวนอน มหาวิหารวินเชสเตอร์, มหาวิหารนอริช และมหาวิหารเอ็กซิเตอร์เน้นแนวนอนโดยการใช้สันบนเพดานโค้งที่ตกแต่งอย่างงดงาม
เพดานโค้ง.
ความซับซ้อนของเพดานโค้งเป็นลักษณะสำคัญอีกลักษณะหนึ่งของมหาวิหารอังกฤษ เพดานโค้งมีตั้งแต่เพดานโค้งแบบง่ายๆ ตามแบบเพดานโค้งแบบฝรั่งเศสเช่นที่มหาวิหารชิคเชสเตอร์ไปจนถึงเพดานโค้งที่ซับซ้อนขึ้นที่รวมทั้ง “เพดานโค้งซ้อน” (“tierceron”) ที่มหาวิหารเอ็กซิเตอร์ หรือ “เพดานโค้งสอดสลับ” (“lierne”) ที่มหาวิหารนอริช หรือที่ซับซ้อนยิ่งไปกว่านั้นก็ที่มหาวิหารวินเชสเตอร์, หรือเพดานโค้งสอดสลับที่เป็นเอกลักษณ์ของมหาวิหารบริสตอล, หรือเพดานโค้งเป็นแหเหนือบริเวณร้องเพลงสวดของมหาวิหารกลอสเตอร์ และมหาวิหารยอร์ก เพดานพัดหลังบริเวณร้องเพลงสวดที่มหาวิหารปีเตอร์บะระห์ และเพดานที่แต่งด้วยปุ่มหินที่ห้อยลงมาเหมือนตะเกียงในบริเวณร้องเพลงสวดของมหาวิหารออกซฟอร์ด เพดานที่วิวัฒนาการขึ้นมาอย่างซับซ้อนเป็นลักษณะเฉพาะของอังกฤษ นอกไปจากเพดานดาวของสเปนและเยอรมนี
แซกซันและนอร์มัน.
แม้ว่ามหาวิหารในอังกฤษส่วนใหญ่ที่เป็นสถาปัตยกรรมนอร์มันสร้างแทนที่คริสต์ศาสนสถานเดิมที่เป็นแบบแซ็กซอน มหาวิหารริพพอนยังคงรักษาคริพท์ (crypt) ที่เป็นแบบแซ็กซอนภายใต้บริเวณร้องเพลงสวด มหาวิหารทุกมหาวิหารที่ก่อสร้างในยุคกลางยกเว้นมหาวิหารซอลสบรี, มหาวิหารลิชฟิลด์ และ มหาวิหารเวลล์สพอมีร่องรอยของสถาปัตยกรรมนอร์มันหลงเหลืออยู่บ้าง และตัวสิ่งก่อสร้างส่วนใหญ่ของมหาวิหารปีเตอร์บะระห์, มหาวิหารเดอแรม และ มหาวิหารนอริชยังคงเป็นสถาปัตยกรรมนอร์มัน บางมหาวิหารก็มีบางส่วนที่เป็นแบบนอร์มันเช่นช่องทางเดินกลางของมหาวิหารอีลี, มหาวิหารกลอสเตอร์ และ มหาวิหารเซาท์เวลยังคงเป็นแบบนอร์มัน หรือหัวเสาแกะสลักเป็นสิงหาราสัตว์แบบนอร์มันที่มีชื่อเสียงภายในคริพท์ของมหาวิหารแคนเตอร์บรี
กอธิคตอนต้น.
มหาวิหารหลายมหาวิหารมีบริเวณหลักๆ ที่สร้างขึ้นระหว่างคริสต์ศตวรรษที่ 12 ถึง 13 ในสมัยสถาปัตยกรรมที่เรียกว่า “กอธิคตอนต้น” หรือ “กอธิคแลนเซ็ท” ที่เห็นได้จากลักษณะที่เรียบง่าย ไม่มีลวดลายตกแต่งด้วยซี่หินในบานหน้าต่าง ตัวอย่างของสถาปัตยกรรมกอธิคตอนต้นที่สำคัญคือที่มหาวิหารซอลสบรี, มหาวิหารเวลล์ส และมหาวิหารวูสเตอร์, ทางแขนกางเขนด้านตะวันออกของมหาวิหารแคนเตอร์บรี, มหาวิหารแฮรฟอร์ด และมหาวิหารซัทเธิค, และแขนกางเขนของมหาวิหารยอร์ค นอกจากนั้นสมัยนี้ยังเป็นสมัยที่มีการก่อสร้างด้านหน้าอย่างบรรเจิดเช่นที่ด้านหน้าของมหาวิหารปีเตอร์บะระห์ หรือที่ไม่หรูหราเท่าและกลมกลืนกว่าของมหาวิหารริพพอน
กอธิควิจิตร.
กอธิควิจิตรจะเห็นหน้าต่างที่มีการตกแต่งด้วยซี่หินเป็นลวดลายที่อาจจะเป็นลวดลายเรขาคณิตหรือม้วนโค้ง มหาวิหารมีส่วนที่สร้างเป็นแบบเรขาคณิตระหว่างกลางคริสต์ศตวรรษที่ 13 ถึงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 14 ที่รวมทั้งมหาวิหารลิงคอล์น, มหาวิหารลิชฟิลด์, บริเวณร้องเพลงสวดของมหาวิหารอีลี และหอประชุมสงฆ์ของมหาวิหารซอลสบรี และมหาวิหารเซาท์เวล เมื่อมาถึงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 13 การตกแต่งหน้าต่างก็เริ่มรวมการตกแต่งที่ใช้เส้นม้วนโค้งที่เห็นได้จากหน้าต่างของหอประชุมสงฆ์ของมหาวิหารยอร์ค, หอประชุมสงฆ์แปดเหลี่ยมของมหาวิหารอีลี และหน้าต่างทางมุขตะวันตกของมหาวิหารเอ็กซิเตอร์.
การวิวัฒนาการต่อมาก็รวมทั้งการใช้เส้นม้วนโค้งซ้อนหรือเส้นโค้งคล้ายเปลวไฟที่มักจะพบในหน้าต่างที่สร้างราวคริสต์ทศวรรษ 1320 โดยเฉพาะหน้าต่างด้านหลังของบริเวณร้องเพลงสวดที่มหาวิหารเวลล์ส และของช่องทางเดินกลางของมหาวิหารเอ็กซิเตอร์ การตกแต่งลักษณะนี้มักจะทำร่วมกับการใช้เพดานสันที่สลับเส้นสันกันอย่างซับซ้อนเช่นในหอประชุมสงฆ์ของมหาวิหารเวลล์สและบนเพดานของมหาวิหารเอ็กซิเตอร์ที่แล่นตลอดแนวช่องทางเดินกลางโดยไม่มีหอกลางมาขัดที่ยาวถึง 91 เมตร และเป็นเพดานโค้งจากยุคกลางที่ยาวที่สุดในโลก
ช่วงสุดท้ายของกอธิควิจิตรแบบโค้งม้วนเห็นได้ในงานตกแต่งเส้นโค้งม้วนที่ซับซ้อนมากขึ้น หน้าต่างที่มีชื่อเสียงและเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดในอังกฤษสร้างในช่วงเวลานี้ระหว่าง ค.ศ. 1320 ถึง ค.ศ. 1330 ที่รวมทั้งหน้าต่างกุหลาบบนผนังของแขนกางเขนด้านใต้ที่เรียกกันว่า “ตาพระสังฆราช” ที่มหาวิหารลิงคอล์น, “หัวใจของยอร์คเชอร์” บนมุขด้านตะวันตกของมหาวิหารยอร์ค และหน้าต่างเก้าช่องของมหาวิหารคาร์ไล
นอกจากนั้นก็ยังมีงานชิ้นเล็กๆ ภายในมหาวิหารที่สร้างแบบกอธิควิจิตรแบบโค้งม้วนที่รวมทั้งซุ้มโค้งของชาเปลพระแม่มารีที่มหาวิหารอีลีที่มีเพดานโค้งที่กว้างที่สุดในอังกฤษ, ฉากหินที่มหาวิหารลิงคอล์น และประตูที่ตกแต่งอย่างงดงามของมหาวิหารอีลี และมหาวิหารรอเชสเตอร์ ลักษณะที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งของยุคนี้คือการสร้างเพดานโค้งที่ซับซ้อนที่เรียกว่า “เพดานโค้งสอดสลับ” (“lierne”) ที่สันเพดานต่อเนื่องกันโดยสันที่ไขว้สลับที่ไม่ได้พุ่งออกมาจากผนังซึ่งทำให้ไม่ใช่สิ่งที่มีความสำคัญต่อโครงสร้าง ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือเพดานโค้งของมหาวิหารบริสตอล หรือมหาวิหารยอร์ค
กอธิคเพอร์เพ็นดิคิวลาร์.
ในคริสต์ทศวรรษ 1330 เมื่อสถาปนิกในยุโรปนิยมการตกแต่งแบบกอธิควิจิตร สถาปัตยกรรมอังกฤษก็เริ่มหันจากการตกแต่งแบบโค้งม้วนไปในแนวใหม่ที่เรียบกว่ากอธิคเพอร์เพ็นดิคิวลาร์ เช่นในการก่อสร้างบริเวณร้องเพลงสวดของแอบบีนอร์มันที่ปัจจุบันเป็นมหาวิหารที่มหาวิหารกลอสเตอร์ สถาปัตยกรรมกอธิคเพอร์เพ็นดิคิวลาร์ที่ใช้การไขว้สลับซี่หินแทนที่จะเป็นการแกะสลักด้วยเส้นโค้งม้วนเช่นที่ทำกันในสมัยกอธิควิจิตร ที่ทำให้ผลที่ออกมาดูกลมกลืนเป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน เช่นในการสร้างโครงสร้างของหน้าต่างของมุขตะวันออกและหน้าต่างชั้นบนที่ผสานกับลักษณะของซุ้มโค้งภายใต้และเพดานโค้งเหนือขึ้นไป ลักษณะการก่อสร้างที่ว่านี้เป็นลักษณะที่แปรเปลี่ยนได้ง่ายและใช้ในการสร้างช่องทางเดินกลางของมหาวิหารแคนเตอร์บรีและมหาวิหารวินเชสเตอร์ และในบริเวณร้องเพลงสวดของมหาวิหารยอร์ค
ระหว่างคริสต์ศตวรรษที่ 15 หอของมหาวิหารในอังกฤษไม่ก็สร้างหรือต่อเติมเป็นแบบเพอร์เพ็นดิคิวลาร์กันในสมัยนี้ ที่รวมทั้งหอของมหาวิหารกลอสเตอร์, วูสเตอร์,เวลล์ส, ยอร์ค, เดอแรม และ แคนเตอร์บรี และยอดแหลมของมหาวิหารชิชิสเตอร์ และมหาวิหารนอริช
การออกแบบภายในก็มาถึงช่วงสุดท้ายที่สร้างกันต่อมาจนถึงคริสต์ศตวรรษที่ 16 ที่เป็นการวิวัฒนาการการสร้างเพดานพัดที่สร้างกันเป็นครั้งแรกราวคริสต์ทศวรรษ 1370 ภายในระเบียงคดของมหาวิหารกลอสเตอร์ และต่อมาที่ด้านหลังของบริเวณร้องเพลงสวดที่มหาวิหารปีเตอร์บะระห์ในต้นคริสต์ศตวรรษที่ 15 หรือที่ยิ่งหรูหรากว่านั้นในการใช้ปุ่มหินห้อยบนเพดานเหนือบริเวณร้องเพลงสวดแบบนอร์มันที่มหาวิหารออกซฟอร์ด หรือในการตกแต่งชาเปลของพระเจ้าเฮนรีที่ 7ที่แอบบีเวสต์มินสเตอร์ในขณะที่อิตาลีอยู่ในสมัยการก่อสร้างแบบฟื้นฟูศิลปวิทยาเข้าไปแล้ว
ลักษณะความแตกต่างทางสถาปัตยกรรม.
ผังของมหาวิหารซอลสบรีที่เป็นรูปกางเขนซ้อนมักจะใช้ในการอ้างถึงในประวัติศาสตร์สถาปัตยกรรมในการเปรียบเทียบระหว่างสถาปัตยกรรมกอทิกแบบอังกฤษกับสถาปัตยกรรมกอทิกแบบฝรั่งเศสและสถาปัตยกรรมกอทิกแบบอิตาลีหรือกับในประเทศอื่นๆ มหาวิหารซอลสบรีมีลักษณะหลายอย่างซึ่งเป็นลักษณะที่เป็นเอกลักษณ์ของอังกฤษ เช่นผังของมหาวิหารวูสเตอร์ที่คล้ายคลึงกับของมหาวิหารซอลสบรี ทั้งสองซอลสบรีมีแขนกางเขนซ้อนกันสองแขน, มีหอเหนือจุดตัดขนาดใหญ่, ซุ้มทางเข้า (porch) ของช่องทางเดินกลางทางด้านเหนือขนาดใหญ่ และ ระเบียงคดทางด้านใต้ที่เปิดออกไปยังหอประชุมสงฆ์หลายเหลี่ยม ภายในทัศนมิติก็คล้ายคลึงกันที่ประกอบด้วยหน้าต่างแลนเซ็ทบนมุขตะวันออก และเรียงรายด้วยเสาสลับสีตัดกันที่ทำด้วยหินเพอร์เบ็ค แต่เมื่อมาถึงประวัติศาตร์แล้วสองมหาวิหารนี้ก็แตกต่างกันมาก มหาวิหารซอลสบรีใช้เวลาสร้าง 160 ปีก็เสร็จตั้งแต่การวางรากฐานในปี ค.ศ. 1220 จนเมื่อสร้างหอยอดแหลมในปี ค.ศ. 1380 ส่วนมหาวิหารวูสเตอร์ใช้เวลาถึง 420 ปีตั้งแต่การสร้างคริพท์แบบนอร์มันในปี ค.ศ. 1084 ไปจนถึงการสร้างชาเปลเจ้าชายอาร์เธอร์ในปี ค.ศ. 1504 แต่ประวัติการก่อสร้างของมหาวิหารวูสเตอร์เป็นประวัติที่คล้ายคลึงกับประวัติของการก่อสร้างมหาวิหารอื่นๆ ในอังกฤษในยุคก
างมากกว่าประวัติของมหาวิหารซอลสบรี
การก่อสร้างมหาวิหารซอลสบรี.
ระหว่างปี ค.ศ. 1075 ถึงปี ค.ศ. 1228 มหาวิหารซอลสบรีตั้งอยู่บนเนินใกล้กับป้อมที่โอลด์เซรัม เมื่อต้นคริสต์ศตวรรษที่ 13 ทางมหาวิหารก็ตัดสินใจย้ายที่ตั้งจากบนเนินไปตั้งบนที่ราบไม่ไกลจากที่ตั้งเดิมนัก สิ่งก่อสร้างใหม่ออกแบบเป็นแบบกอธิคแลนเซ็ท (หรือที่เรียกว่ากอธิคอังกฤษตอนต้น) โดยนายช่างหินเอกอีไลอัสแห่งเดอแรม (Elias of Dereham) และนิโคลัสแห่งอีลี (Nicholas of Ely) โดยเริ่มก่อสร้างในปี ค.ศ. 1220 ทางด้านมุขตะวันออกมาทางตะวันตกจนกระทั่งปี ค.ศ. 1258 จึงสร้างเสร็จ ส่วนที่สร้างต่อมาเป็นสถาปัตยกรรมเรขาคณิตวิจิตร (Geometric Decorated) ที่ตกแต่งด้วยลวดลายซี่หินในบานหน้าต่างและตามซุ้ม ราวห้าสิบปีหลังจากนั้นจึงได้มีการเริ่มสร้างหอกลางเหนือจุดตัดโดยสถาปนิกริชาร์ด ฟาร์ลีห์ การตกแต่งหรูหรากว่าลักษณะการก่อสร้างตอนต้น มหาวิหารทั้งหมดสร้างเสร็จในปี ค.ศ. 1380 การต่อเติมต่อมาก็เป็นเพียงแต่การสร้างหนุนซุ้มโค้งและหอเมื่อเสาข้างหนึ่งของหอเริ่มโก่งตัว สรุปแล้วมหาวิหารซอลสบรีแบ่งการก่อสร้างเป็นสามช่วงในระยะเวลา 160 ปีซึ่งทำให้เป็นมหาวิหารที่มีลักษณะความแตกต่างทางสถาปัตยกรรมน้อยที่สุดและดูกลมกลืนกันมากที่สุดในอังกฤษ
การก่อสร้างมหาวิหารวูสเตอร์.
ประวัติการก่อสร้างของมหาวิหารวูสเตอร์ไม่เหมือนกับของมหาวิหารซอลสบรี ส่วนสำคัญของมหาวิหารสร้างมาตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 11 มาจนถึง คริสต์ศตวรรษที่ 16
ส่วนที่เก่าที่สุดเป็นคริพท์รับด้วยคอลัมน์แบบนอร์มันที่มีหัวเสาแกะสลักที่เป็นของอารามที่เริ่มสร้างโดยนักบุญวูลฟสตันในปี ค.ศ. 1084 อีกส่วนหนึ่งที่เป็นสถาปัตยกรรมนอร์มันคือหอประชุมนักบวชที่เป็นหอกลมสร้างในปี ค.ศ. 1120 ที่มาเปลี่ยนเป็นทรงแปดเหลี่ยมทางด้านนอกเมื่อมาเสริมกำแพงในคริสต์ศตวรรษที่ 14 ช่องทางเดินกลางสร้างแล้วสร้างซ้ำเป็นช่วงๆ เป็นหลายแบบหลายลักษณะโดยสถาปนิกหลายคนในช่วงระยะเวลาที่รวมทั้งหมดด้วยกันกว่า 200 ปีระหว่างปี ค.ศ. 1170 ถึงปี ค.ศ. 1374 ช่วงซุ้มโค้งบางช่วงก็เป็นงานกึ่งนอร์มันกึ่งกอธิค มุขตะวันออกแบบนอร์มันสร้างเหนือคริพท์เดิมโดยอเล็กซานเดอร์ เมสันระหว่างปี ค.ศ. 1224 ถึงปี ค.ศ. 1269 ที่มีลักษณะคล้ายกับลักษณะส่วนใหญ่ของมหาวิหารซอลสบรี ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1360 จอห์น ไคลฟ์ก็สร้างช่องทางเดินกลางเสร็จและเริ่มสร้างเพดานโค้งเหนือช่องทางเดิน, มุขตะวันตก, ซุ้มทางเข้าทางด้านเหนือ และทางตะวันออกของระเบียงคด นอกจากนั้นแล้วไคลฟ์ก็ยังสร้างเสริมกำแพงของหอประชุมสงฆ์นอร์มันโดยเพิ่มค้ำยันและเปลี่ยนเพดานโค้ง งานชิ้นเอกของไคลฟ์คือหอกลางเหนือจุดตัดที่สร้างในปี ค.ศ. 1374 เดิมหนุนด้วยไม้และปูหลังคาด้วยตะกั่ว ระหว่างปี ค.ศ. 1404 ถึงปี ค.ศ. 1432 สถาปนิกไม่ทราบนามต่อเติมด้านเหนือและใต้ของระเบียงฉันนบถ ที่ต่อมามาต่อด้วยส่วนตะวันตกที่สร้างโดยจอห์น แช็พแมนระหว่างปี ค.ศ. 1435 ถึงปี ค.ศ. 1438 ส่วนสำคัญส่วนสุดท้ายที่สร้างคือชาเปลแชนทรีสำหรับเจ้าชายอาร์เธอร์ทางด้านขวาของบริเวณร้องเพลงสวดด้านใต้ระหว่างปี ค.ศ. 1502 ถึงปี ค.ศ. 1504
ลักษณะเด่นของแต่ละมหาวิหาร.
ข้อสังเกต: วันที่ที่อ้างถึงข้างล่างเป็นเวลาที่กล่าวโดยจอห์น ฮาร์วีย์
Architecture of the medieval cathedrals of England
เนกาทีฟติ๊งกิ่งบัตโพซิทีฟดูอิง
พระเจ้าบรมวงศ์เธอฯ กรมขุนชัยนาทนเรนทร
หากรัก
ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดาน
ในทางคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ฟังก์ชันพื้น  คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ก่อนหน้า นั่นคือ floor ("x") เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่ไม่มากกว่า "x"
ส่วน ฟังก์ชันเพดาน  คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ถัดจากจำนวนนั้น นั่นคือ ceiling ("x") คือจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ไม่น้อยกว่า "x"
กราฟของฟังก์ชันพื้นและเพดานทั้งหมด มีลักษณะคล้ายฟังก์ชันขั้นบันได แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันขั้นบันได เนื่องจากมีช่วงบนแกน "x" เป็นจำนวนอนันต์
เกาส์ได้แนะนำสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยม ["x"] สำหรับแทนฟังก์ชันพื้น ในการพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเขาเมื่อ ค.ศ. 1808 สิ่งนี้เป็นบรรทัดฐานในคณิตศาสตร์เรื่อยมา จนกระทั่งอิเวอร์สัน (Kenneth E. Iverson) ได้แนะนำให้ใช้ชื่อ "floor" และ "ceiling" พร้อมกับทั้งแนะนำสัญกรณ์ ⌊"x"⌋ และ ⌈"x"⌉ สำหรับฟังก์ชันทั้งสองตามลำดับ เพื่อเขียนโปรแกรมภาษาเอพีแอลเมื่อ ค.ศ. 1962 ปัจจุบันสัญกรณ์ทั้งสองแบบก็ยังมีการใช้กันอยู่ในคณิตศาสตร์ สำหรับบทความนี้จะอธิบายด้วยสัญกรณ์ของอิเวอร์สัน
ฟังก์ชันพื้นอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มมากสุด (greatest integer function) หรือ "อองเทียร์" (entier หมายถึงจำนวนเต็มในภาษาฝรั่งเศส) และสำหรับฟังก์ชันพื้นของจำนวนที่ไม่เป็นลบ "x" อาจเรียกว่าเป็น ภาคจำนวนเต็ม (integral part) ของ "x" ในภาษาโปรแกรมอื่นที่นอกเหนือจากภาษาเอพีแอล มักจะใช้สัญกรณ์ว่า codice_1 (ภาษาอัลกอล), codice_2, หรือไม่ก็ codice_3 (ภาษาซี/ซีพลัสพลัส) ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้สามารถเขียนเป็นวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองก็ได้ formula_1
ส่วนฟังก์ชันเพดานอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มน้อยสุด (least integer function) ในภาษาโปรแกรมอื่นมักจะใช้แทนด้วย codice_4 หรือ codice_5 ในทางคณิตศาสตร์ มีสัญกรณ์อีกแบบหนึ่งคือวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองที่หันออก formula_2 หรือใช้เพียงแค่วงเล็บเหลี่ยมธรรมดาหันออกก็ได้ ]"x"[
สำหรับนิยามของภาคเศษส่วน ดูในหัวข้อถัดไป
ในสูตรคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ สมมติให้ "x", "y" เป็นจำนวนจริง "k", "m", "n" เป็นจำนวนเต็ม และ formula_3 คือเซตของจำนวนเต็ม (อันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์)
ฟังก์ชันพื้นและเพดานสามารถนิยามได้ด้วยเซตดังนี้
เนื่องจากช่วงครึ่งเปิดความยาวหนึ่งหน่วย จะมีจำนวนเต็มเพียงหนึ่งตัวในช่วงนั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง "x" ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม "m" และ "n" ที่ทำให้
เราจะได้ formula_7 และ formula_8 ซึ่งก็ถือว่าเป็นนิยามอย่างหนึ่งเช่นกัน
นอกจากนี้ก็ยังมี formula_9 และ formula_10
การเทียบเท่า.
สูตรเหล่านี้สามารถใช้ถอดฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานออกจากนิพจน์
และสำหรับอสมการ
สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลจากการบวกด้วยจำนวนเต็ม "n" ภายในฟังก์ชัน
อย่างไรก็ตาม สูตรด้านบนอาจไม่เป็นจริงเสมอไปถ้า "n" ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะได้ผลดังนี้แทน
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน.
จากนิยามเราสามารถสรุปได้ว่า
สำหรับจำนวนเต็ม "n" ประโยคนี้จะเป็นจริง
สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นและเพดาน
สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของภาคเศษส่วน
ฟังก์ชันพื้น ฟังก์ชันเพดาน และภาคเศษส่วน เป็นฟังก์ชันนิจพล
ใช้ฟังก์ชันพื้นและเพดานซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันที่อยู่ในสุด
กำหนดให้ "y" มีค่าคงตัว "x" mod "y" จะเป็นนิจพล
และจากนิยาม
ผลหาร.
ถ้า "n" ≠ 0 แล้ว
ถ้า "n" เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า "m" เป็นจำนวนเต็มบวก
ซึ่งเมื่อ "m" = 2 จะทำให้เกิดสมบัตินี้
กรณีทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวก "m"
สูตรต่อไปนี้สามารถเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันพื้นกับฟังก์ชันเพดาน เมื่อ "m" เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า "m" และ "n" เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้
เนื่องจากสูตรข้างต้น "m" และ "n" มีความสมมาตรต่อกัน จึงสามารถกระจายฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับได้ดังนี้
และสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ "m" และ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก
สิ่งนี้เรียกว่า กฎการแลกเปลี่ยน
ผลหารซ้อน.
สำหรับจำนวนเต็มบวก "m" และ "n" และจำนวนจริง "x"
ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊"x"⌋ กับ ⌈"x"⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัวในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {"x"} ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน "x" mod "y" เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณของ "y" ถ้าให้ "y" มีค่าคงตัว
⌊"x"⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈"x"⌉ กับ {"x"} เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน "x" mod "y" จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ "y" เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ "y" เป็นจำนวนลบ
การกระจายอนุกรม.
เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่ต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่เขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมกำลังได้ และเนื่องจากฟังก์ชันพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ (periodic) สองฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการกระจายอนุกรมฟูรีเย
สำหรับ "x" mod "y" โดยที่ "y" มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้
ด้วยสมบัติที่ว่า {"x"} = "x" mod 1 ดังนั้นจะได้