pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
อุตรภาพ (อังกฤษ: transcendence) ในทางปรัชญา คือสภาวะที่อยู่เหนือความเข้าใจของมนุษย์ ยกตัวอย่างเช่น ประสบการณ์ที่อยู่เหนือความเข้าใจของมนุษย์ได้ สิ่งที่บางครั้งถูกจัดให้มีสภาวะเหนือความเข้าใจเช่น ศาสนา อภิปรัชญาหรือความตาย ในแนวคิดของคานท์ สิ่งที่ถูกจัดให้มีอุตรภาพคือ สิ่งที่อยู่นอกเหนือความรู้ของมนุษย์
คำว่า "อุตรภาพ" ในภาษาอังกฤษใช้คำว่า transcendence ซึ่งมีความหมายในทางคณิตศาสตร์ หมายถึงอดิศัย
ในคณิตศาสตร์ ตัวหารร่วมมาก หรือ ห.ร.ม. (: gcd) ของจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่งไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนลงตัว
ตัวหารร่วมมากของ "a" และ "b" เขียนแทนด้วย gcd("a", "b") หรือบางครั้งเขียนว่า ("a", "b") เช่น gcd(12, 18) = 6, gcd(−4, 14) = 2 และ gcd(5, 0) = 5 จำนวนสองจำนวนจะถูกเรียกว่า "จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์" ถ้าตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 เช่น 9 และ 28 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
ตัวหารร่วมมากมีประโยชน์ในการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ดังตัวอย่างนี้
ซึ่งเราตัดตัวหารร่วมมากของ 42 และ 56 คือ 14 ออก
การหา ห.ร.ม..
การหาตัวหารร่วมมาก ทำได้ด้วยการแยกตัวประกอบของจำนวนสองจำนวน และเปรียบเทียบตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น gcd(18,84) เราจะแยกตัวประกอบ 18 = 2·32 และ 84 = 22·3·7 สังเกตว่านิพจน์ที่"ซ้อน"กันคือ 2·3 ดังนั้น gcd (18,84) = 6 ในทางปฏิบัติ วิธีนี้จะทำได้สำหรับจำนวนที่น้อยๆเท่านั้น เพราะการแยกตัวประกอบโดยทั่วไปนั้นจะยาวเกินไป
วิธีที่มีประสิทธิภาพกว่าคือ ขั้นตอนวิธีของยุคลิด: หาร 84 ด้วย 18 จะได้ผลหารเท่ากับ 4 และเศษเหลือเท่ากับ 12 จากนั้นหาร 18 ด้วย 12 จะได้ผลหารเท่ากับ 1 และเศษเหลือเท่ากับ 6 จากนั้นหาร 12 ด้วย 6 จะได้เศษเหลือเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า 6 เป็น ห.ร.ม.
ตัวหารร่วมของ "a" และ "b" จะเป็นตัวหารของ gcd("a", "b")
gcd("a", "b") เมื่อ "a" และ "b" ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จะเป็นจำนวนเต็มบวก "d" ที่น้อยที่สุดที่สามารถเขียนในรูป "d" = "a"·"p" + "b"·"q" เมื่อ "p" และ "q" เป็นจำนวนเต็ม จำนวน "p" และ "q" สามารถคำนวณได้จากขั้นตอนวิธีของยุคลิดเพิ่มเติม
ถ้า "a" หาร "b"·"c" ลงตัว และ gcd("a", "b") = "d" แล้ว "a"/"d" หาร "c" ลงตัว
ถ้า "m" เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว gcd("m"·"a", "m"·"b") = "m"·gcd("a", "b") และ gcd("a" + "m"·"b", "b") = gcd("a", "b") ถ้า "m" เป็นตัวหารร่วมของ "a" และ "b" แล้ว gcd("a"/"m", "b"/"m") = gcd("a", "b") /"m"
ห.ร.ม.เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ กล่าวคือ ถ้า "a"1 และ "a"2 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว gcd("a"1·"a"2, "b") = gcd("a"1, "b") ·gcd("a"2, "b")
ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก gcd("a", "b", "c") = gcd(gcd("a", "b") , "c") = gcd("a", gcd("b", "c")) นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่
gcd ("a", "b") นั้นมีความเกี่ยวข้องกับตัวคูณร่วมน้อย lcm("a", "b") : จะได้ว่า
สูตรนี้มักถูกใช้เพื่อคำนวณค่าคูณร่วมน้อย โดยเริ่มด้วยการหา ห.ร.ม. โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด จากนั้นหารผลคูณของตัวเลขทั้งสองด้วย ห.ร.ม. คุณสมบัติการกระจายด้านล่างนี้เป็นจริง:
การนิยามให้ gcd(0, 0) = 0 และ lcm(0, 0) = 0 นั้นมีประโยชน์เนื่องจากจะทำให้เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นแลตทิซแบบกระจายที่บริบูรณ์ โดยที่ ห.ร.ม. เป็นการดำเนินการ meet และ ค.ร.น. เป็นการดำเนินการ join การขยายนิยามนี้สอดคล้องกับนัยทั่วไปของนิยามสำหรับริงสลับที่ด้านล่าง
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน gcd("a", "b") สามารถตีความว่าเป็นจำนวนของจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มบนเส้นตรงที่เชื่อมจุด (0, 0) และจุด ("a", "b") โดยที่ไม่นับจุด (0, 0)
ห.ร.ม. ในริงสลับที่.
ห.ร.ม. สามารถนิยามให้กว้างขึ้นสำหรับสมาชิกของริงสลับที่
ถ้า "R" เป็นริงสลับที่ และให้ "a" และ "b" อยู่ใน "R" จะเรียกสมาชิก "d" ที่อยู่ใน "R" ว่า "ตัวหารร่วม"ของ "a" และ "b" ถ้ามันหาร "a" และ "b" ลงตัว (กล่าวคือ ถ้ามีสมาชิก "x" และ "y" ใน "R" ที่ทำให้ "d"·"x" = "a" และ "d"·"y" = "b") ถ้า "d" เป็นตัวหารร่วมของ "a" และ "b" และตัวหารร่วมทุกตัวของ "a" และ "b" หาร "d" ลงตัว จะเรียก "d" ว่าเป็น "ตัวหารร่วมมาก"ของ "a" และ "b"
สังเกตว่าจากนิยามนี้ สมาชิก "a" และ "b" อาจมี ห.ร.ม. หลายค่า หรือไม่มี ห.ร.ม. เลย แต่ถ้า "R" เป็นโดเมนจำนวนเต็ม (integral domain) แล้ว ห.ร.ม. สองตัวใด ๆ ของ "a" และ "b" ต้องเป็นสมาชิก associate ถ้า "R" เป็นโดเมน unique factorization แล้ว สมาชิกใด ๆ สองสมาชิกจะมี ห.ร.ม. เสมอ และถ้า "R" เป็นโดเมนยุคลิเดียน (Euclidean domain) แล้ว ขั้นตอนวิธีของยุคลิดสามารถปรับใช้หา ห.ร.ม. ได้
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของโดเมนจำนวนเต็มซึ่งสองสมาชิกไม่มี ห.ร.ม.
สมาชิก formula_3 และ formula_4 คือ "ตัวหารร่วม maximal" (กล่าวคือ ตัวหารร่วมใด ๆ ที่เป็นจำนวนเท่าของ 2 จะ associate กับ 2 สำหรับ formula_3 ก็มีคุณสมบัติเช่นเดียวกัน) แต่ค่าทั้งสองนี้ไม่ associate กัน ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าไม่มี ห.ร.ม. ของ "a" และ "b"
ภูเขาไฟ
ภูเขาไฟ เป็นธรณีสัณฐานที่หินหนืดปะทุผ่านขึ้นมายังพื้นผิวของดาวเคราะห์ ภูเขาไฟมักเกิดขึ้นใกล้กับแนวรอยต่อระหว่างแผ่นเปลือกโลก อย่างไรก็ตาม ยังมีภูเขาไฟที่เป็นข้อยกเว้น เรียกว่า จุดร้อนภูเขาไฟ (Volcanic Hotspot)
วิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับภูเขาไฟ เรียกว่า วิทยาภูเขาไฟ (vulcanology หรือ volcanology)
การจำแนกภูเขาไฟตามรูปร่าง.
ปกติจะมีการจำแนกภูเขาไฟตามรูปร่าง ตามส่วนประกอบที่ทำให้เกิด และชนิดของการปะทุ โดยสรุปแล้วเราจะจำแนกภูเขาไฟได้ 4 ลักษณะคือ
คำสิงห์ ศรีนอก
คำสิงห์ ศรีนอก (เกิด 25 ธันวาคม พ.ศ. 2473 - ) ศิลปินแห่งชาติ สาขาวรรณศิลป์ ใน พ.ศ. 2535 มีนามปากกาว่า ลาว คำหอม เกิดที่บ้านหนองบัวสะอาด ตำบลหนองบัวสะอาด อำเภอบัวใหญ่ จังหวัดนครราชสีมา ในครอบครัวชาวนา ต่อมาสำเร็จการศึกษาที่จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เคยได้รับรางวัลนักเขียนเรื่องสั้นดีเด่น วาระครอบ 100 ปี เรื่องสั้นไทย งานของลาว คำหอม นอกจากจะเป็นที่ยอมรับและนิยมยกย่องในวงวรรณกรรมไทยแล้ว ยังได้รับความสนใจจากวงวรรณกรรมต่างประเทศ โดยมีการแปลงานของเขาเป็นภาษาอังกฤษ สวีเดน เดนมาร์ก ดัตช์ ญี่ปุ่น สิงหล มลายู เยอรมัน (จัดพิมพ์ 6 เรื่อง) และภาษาฝรั่งเศส (จัดพิมพ์ 4 เรื่อง) เบเนดิก แอนเดอร์สันโต้แย้งว่าคำสิงห์เป็นนักแต่งเรื่องสั้นที่ดีที่สุดของประเทศไทย
คำสิงห์เกิดเมื่อวันที่ 25 ธ.ค. 2473 ณ บ้านหนองบัวสะอาด ตำบลบัวใหญ่ อำเภอบัวใหญ่ จังหวัดนครราชสีมา บิดาคือ นายสวย ศรีนอก มารดาคือ นางขำ ศรีนอก มีญาติพี่น้อง 7 คน และเป็นบุตรคนที่ 6 ของครอบครัว เขาเกิดในแถบชนบททางภาคอีสานของไทย ในสมัยเด็กเขาได้อ่านหนังสือมากมายโดยรับการสนับสนุนจากลุงที่เป็นพระและบิดามารดา และหลังจากจบการศึกษาจากโรงเรียนมัธยมบางใหญ่ ก็เดินทางเข้ากรุงเทพฯและเข้าเรียนในคณะวารสารศาสตร์ที่จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยและคณะเศรษฐศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์พร้อมกัน ในช่วงนี้เองที่ท่านได้ตกอยู่ในช่วงที่ไม่มีเงินจะซื้อกินซื้ออยู่ เลยต้องไปอยู่ในวัดแห่งหนึ่งและเริ่มงานผู้สื่อข่าวการเมืองของหนังสือ"แนวหน้า"รายวัน และเขียนเรื่องสั้นในนามปากการ ค.ส.น. ตีพิมพ์ในหนังสือแนวหน้าฉบับวันจันทร์ในช่วง พ.ศ. 2493 - 2494 และใน พ.ศ. 2495 เริ่มเข้ารับราชการเป็นพนักงานป่าไม้เขตจังหวัดเชียงใหม่ แต่ประจำอยู่ที่อำเภอลี้ จังหวัดลำพูน อยู่ราวสามปี ก่อนลาออกจากราชการกลับมากรุงเทพฯ เป็นผู้ช่วยนักวิจัย สถาบันค้นคว้าของมหาวิทยาลัยคอร์เนลล์ ประจำประเทศไทย เมื่อพ.ศ. 2499 ในช่วงเวลานี้เองที่เขาได้รู้จักกับชาวต่างชาตินาม ดำเนิน การเด่น ผู้ซึ่งเป็นเพื่อนฝรั่งที่ร่วมก่อตั้งสำนักพิมพ์เกวียนทองในเวลาต่อมา โดยชื่อ ดำเนิน การเด่นก็ได้ ศรีบูรพาตั้งให้ ตอนแรก ศรีบูรพาตั้งให้ว่า ดำเนิน ฝ่าพายุ แต่ก็ถูกชนิดแก้ให้เป็น ดำเนิน การเด่น จากชื่อ ภาษาอังกฤษ Robert Golden
นอกจากนี้ยังเป็นผู้ที่ทำให้คำสิงห์ได้รู้จักกับศรีบูรพา หรือ กุหลาบ สายประดิษฐ์ โดยผ่านทางภรรยาของท่าน จูเลียต หรือ ชนิด สายประดิษฐ์ อันเป็นเพื่อนร่วมงานของดำเนิน อีกด้วย
การก่อตั้งสำนักพิมพ์เกวียนทอง.
คำสิงห์กลับมาเขียนเรื่องสั้นอีกครั้งลงหนังสือพิมพ์ ปิยมิตร ด้วยนามปากกา "ลาวคำหอม" โดยมี "เขียดขาดำ" เป็นเรื่องแรกที่แต่ง และก่อตั้งสำนักพิมพ์เกวียนทองร่วมกับดำเนิน การเด่น พิมพ์หนังสือเล่มแรกคือ "ข้าพเจ้าได้เห็นมา ของ ศรีบูรพา โดย" เข้าใจกันว่าอยากช่วยเหลือครอบครัวสายประดิษฐ์ที่ กุหลาบเพิ่งออกจากคุกในคดีกบฏสันติภาพ เล่มต่อมาที่ตีพิมพ์นั่นคือ ปีศาจ ของ เสนีย์ เสาวพงศ์ ซึ่งรวมเล่มมาจากเรื่องสั้นของท่านอันพิมพ์กับนตยสารสามสมัย ตามมาด้วย "ความเป็นอนิจจังของสังคม" ของปรีดี พนมยงค์
ในปี 2501 "ฟ้าบ่กั้น" ของคำสิงห์ก็ถูกรวมเล่มจากเรื่องสั้นในปิยมิต พิมพ์ออกมา คาดว่าเป็นหนังสือเล่มสุดท้ายของสำนกพิมพ์เกวียนทอง
น่าเสียดายที่หลังจากวางแผงได้เพียงไม่นาน ก็เกิดการรัฐประหารยึดอำนาจของ จอมพลสฤษดิ์ ธนะรัชต์ ขึ้น ทำให้ต้องถูกเก็บไปนาน จนกระทั่งปี 2512 สุลักษณ์ ศิวรักษ์ มาเยี่ยมบ้านคำสิงห์พร้อม เทพศิริ สุขโสภา ค้นพบหนังสือเล่มนี้จึงนำมาตีพิมพ์ครั้งที่ 2 โดยสำนักพิมพ์ศึกษิตสยาม และได้รับการแปลไปหลายภาษา โดยเฉพาะกับภาษาอังกฤษที่ได้รับสนับสนุนแปลจากสำนักพิมพ์ อ๊อกฟอร์ดสาขากัวลาลัมเปอ และแปลโดย ดำเนิน การเด่น เพื่อนฝรั่งของเขานั่นเอง
ชีวิตในยุค 6 ตุลา และการลี้ภัยในต่างแดน.
ในขณะที่จอมพลสฤษดิ์ครองอำนาจ คำสิงห์ก็ถูกบีบบังคับให้จำต้องหลบลี้หนีภัยออกไปทำไร่ทำสวนอยู่ที่อำเภอปากช่อง จังหวัดนครราชสีมา เนื่องจากการปิดบังและปราปรามสื่อฝ้ายก้าวหน้า รวมถึงมีการจับกุม และสังหารปัญญาชนมากมาย นั่นทำให้สวนที่ปากช่องกลายเป็นแหล่งพักพิงของปัญญาชนหลายคนในช่วงนั้นด้วย คำสิงห์ไม่ได้เขียนงานอีกเลยจนกระทั่งจอมพลสฤกษดิ์สิ้นอำนาจหลังจากเสียชีวิตลงในวันที่ 8 ธันวาคม พ.ศ. 2506
ในช่วงปี พ.ศ. 2510–2511 คำสิงห์ได้เดินทางไปรับรางวัล Time Life ที่สหรัฐอเมริกา และระหว่างทางกลับไทยก็ได้แวะไปในหลยประเทศทั้งฝรั่งเศส เยรมัน อิสราเอล และที่โกตดิวัวร์ หรือ ไอวอรีโคสต์ ในแอฟริกาและบรรยายเกี่ยวกับวรรณคดีและวรรณกรรมไทยในหลายมหาลัย ก่อนจะกลับไทยและมีส่วนร่วมในวารสารของ สุชาติ สวัสดิ์ศรี ชื่อ สังคมศาสตร์ปริทัศน์ บทความงส่วนใหญ่ซึ่งเกี่ยวข้องกับความไม่เที่ยงธรรมในสังคมไทยนี้ได้ถูกรวบรวมตีพิมพ์เมื่อปี 2518 ในชื่อ กำแพง
ชุดตัวอักษรกรีก
ชุดตัวอักษรกรีก เป็นชุดของอักษรที่ใช้สำหรับเขียนภาษากรีก โดยมีพัฒนาการมาตั้งแต่ยุคคลาสสิก ประมาณ 357 ปีก่อนพุทธศักราช (ศตวรรษที่ 9 ก่อนคริสต์ศักราช) และยังคงใช้สืบต่อเรื่อยมา นับเป็นอักษรที่เก่าแก่ที่สุดแบบหนึ่งที่ยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน ในสมัยกรีกโบราณนั้น อักษรกรีกยังใช้เขียนแทนจำนวนอีกด้วย ซึ่งในกรณีนี้จะเรียกว่าเลขกรีก ในทำนองเดียวกับเลขโรมัน ทุกวันนี้เราใช้อักษรกรีกเป็นสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ เป็นชื่อดาวฤกษ์ เป็นชื่อกลุ่มภราดรและกลุ่มภคินี และใช้เพื่อวัตถุประสงค์อื่น ๆ อีกมาก
อักษรกรีกนั้นปรับปรุงแก้ไขจากอักษรฟินิเชีย และยังได้เป็นจุดกำเนิดพัฒนาการของอักษรอื่น ๆ อีกหลายแบบ เช่น อักษรละติน (อักษรโรมัน) อักษรกลาโกลิติก อักษรคอปติก และอักษรซีริลลิก เป็นต้น อาจรวมถึงอักษรอาร์มีเนียด้วย
จากข้อเขียนของเฮโรโดตัสระบุว่าตัวอักษรเข้าสู่กรีซครั้งแรกโดยชาวฟินิเชียชื่อแคดมัส การเปลี่ยนแปลงของอักษรกรีกเมื่อเทียบกับอักษรฟินิเชีย คือการเพิ่มสัญลักษณ์แทนเสียงสระ ซึ่งได้แก่ อัลฟา เอฟซีลอน ไอโอตา โอไมครอน และอัฟซีลอน และเพิ่มพยัญชนะบางตัวเข้าไป ในช่วงแรกอักษรกรีกมีความหลากหลายมาก มีความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่างกรีซตะวันตกหรือคัลเดียกับกรีซตะวันออกหรือไอโอนิก รัฐเอเธนส์กำหนดระบบการเขียนแบบไอโอนิกให้เป็นมาตรฐานเมื่อ พ.ศ. 140 ปัจจุบันอักษรกรีกเขียนจากซ้ายไปขวา แต่ในอดีตเคยเขียนจากขวาไปซ้าย
เกออร์ค คันทอร์
เกออร์ค แฟร์ดีนันท์ ลูทวิช ฟิลลิพ คันทอร์ (; 3 มีนาคม ค.ศ. 1845 – 6 มกราคม ค.ศ. 1918) เป็นนักคณิตศาสตร์ เกิดในรัสเซีย แต่ใช้ชีวิตอยู่ในเยอรมนี มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักในนามของผู้บัญญัติทฤษฎีเซตยุคใหม่ โดยได้ขยายขอบเขตของทฤษฎีเซตให้ครอบคลุมแนวคิดของจำนวนเชิงอนันต์ (transfinite or infinite numbers) ทั้งจำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่ นอกจากนี้ คันทอร์ยังเป็นที่รู้จักจากผลงานในเรื่องการแทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมตรีโกณมิติที่เป็นเอกลักษณ์ (unique representation of functions by means of trigonometric series) ซึ่งเป็นภาคขยายของอนุกรมฟูรีเย
บิดาของ คันทอร์ มีชื่อว่า จอร์จ วัลเดอมาร์ คันทอร์ (George Waldemar Cantor) เป็นพ่อค้าชาวเดนมาร์ก ที่ประสบความสำเร็จทางการค้าในเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก มารดาเป็นชาวรัสเซีย มีชื่อว่า Maria Anna Bohm เมื่อคันทอร์มีอายุได้ 11 ปี ครอบครัวของเขาจึ่งย้ายไปเยอรมนี ในวัยเรียน คันทอร์เป็นเด็กที่มีผลการเรียนในระดับดีเยี่ยม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิชาตรีโกณมิติ ต่อมาได้เข้าศึกษาต่อใน Höherem Gewerbeschule แห่งเมืองดาร์มชตัท และในปี ค.ศ. 1862 ย้ายไปสถาบันเทคโนโลยีแห่งสหพันธ์สวิส ซือริช ที่ซึ่งเขาเลือกเรียนทางด้านวิศวกรรมศาสตร์ตามความต้องการของบิดา และภายหลังจึงย้ายมาเรียนคณิตศาสตร์ตามความชอบของตนแทน ต่อมาเมือบิดาเสียชีวิตลง คันทอร์ จึงย้ายมาเรียนที่ มหาวิทยาลัยฮุมบ็อลท์แห่งเบอร์ลินนสำเร็จการศึกษาในปี ค.ศ. 1867 โดยมีหัวข้อวิทยานิพนธ์ทางด้านทฤษฎีจำนวน หลังจากสำเร็จการศึกษาแล้ว จึงเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนและย้ายมาเป็นอาจารย์ประจำที่มหาวิทยาลัยฮัลเลอในปี ค.ศ. 1869
ขณะเป็นอาจารย์ที่มหาวิทยาลัยฮัลเลอนี้เอง คันทอร์ได้รับอิทธิพลของเอดูอาร์ท ไฮเนอ ซึ่งเป็นอาจารย์อาวุโสประจำมหาวิทยาลัย ทำให้คันทอร์เริ่มเปลี่ยนความสนใจจากทฤษฎีจำนวนไปเป็นคณิตวิเคราะห์ ในปี ค.ศ. 1873 คันทอร์มีผลงานชิ้นสำคัญคือ การพิสูจน์ว่าเซตของจำนวนตรรกยะเป็นเซตนับได้ และในปลายปีเดียวกัน ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นเซตที่นับไม่ได้ ซึ่งผลงานทั้งสองนี้ได้รับการตีพิมพ์ในปีถัดมา ในผลงานดังกล่าว คันทอร์ยังได้เสนอแนวคิดเกี่ยวกับการสมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งของสมาชิกในเซตเป็นครั้งแรกอีกด้วย ในช่วงปี ค.ศ. 1879–1884 คันทอร์ได้ตีพิมพ์ผลงานที่สำคัญต่อการพัฒนาทฤษฎีเซตอย่างมากถึงหกฉบับลงในวารสาร "Mathematische Annalen" แต่ถูกนักคณิตศาสตร์บางคนในสมัยนั้นต่อต้าน เพราะมีแนวคิดที่แปลกใหม่จนเกินไป การโจมตีผลงานของคันทอร์ได้ส่งผลกระทบทางจิตใจของคันทอร์ในเวลาต่อมา
ในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 1884 คันทอร์เริ่มมีอาการซึมเศร้าและมีอาการเรื้อรังเรื่อยมา จนทำให้เขาเริ่มหันไปสนใจปรัชญาและวรรณคดี ในขณะที่ยังมีผลงานทางด้านคณิตศาสตร์อยู่ นับจากปี ค.ศ. 1899 เป็นต้นมาอาการป่วยของคันทอร์ก็หนักลงเรื่อย ๆ จนต้องลาจากการสอนเป็นระยะเพื่อรักษาตัว ในปี ค.ศ. 1911 คันทอร์ได้รับเกียรติในฐานะนักวิชาการต่างชาติไปร่วมงานเฉลิมฉลอง 500 ปี ของมหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูส์แห่งสกอตแลนด์ จากนั้นอีกปีหนึ่ง คันทอร์ก็ได้รับปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์จากมหาวิทยาลัยนี้เช่นกัน แต่ก้ไม่สามารถเดินทางไปรับได้เนื่องจากปัญหาด้านสุขภาพ คันทอร์เกษียณในปี ค.ศ. 1913 และมีอาการป่วยเรื้อรังตลอดเวลา ในปี ค.ศ. 1915 มหาวิทยาลัยฮัลเลอมีแผนจะจัดงานฉลองอายุครบ 70 ให้แก่คันทอร์ แต่ก้ต้องยกเลิกเพราะเกิดสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง คันทอร์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 6 มกราคม ค.ศ. 1918 ที่เยอรมนี ด้วยอาการหัวใจวาย รวมอายุได้ 72 ปี
ดาวิท ฮิลเบิร์ท ได้กล่าวยกย่องคันทอร์ไว้ว่า
อักษรซีริลลิก
อักษรซีริลลิก หรือ อักษรซิริลลิก  เป็นตัวอักษรที่ใช้เป็นตัวเขียนสำหรับภาษาในกลุ่มภาษาสลาวิกนอกจากนี้ยังใช้เป็นตัวเขียนสำหรับภาษาในอีกหลายประเทศ แต่ไม่มีอักษรซีริลลิกทุกตัวกับภาษาใด ขึ้นอยู่กับการเขียนในภาษานั้น
ในกลุ่มประเทศที่ใช้อักษรซีริลลิกด้วยกันเอง จะไม่เรียก ซีริล แต่จะออกเสียงว่า คีริล แทน เช่น ในภาษารัสเซียเรียกอักษรซีริลลิกว่า Кириллица คีริลลิซา
พัฒนามาจากอักษรกลาโกลิติกโดยนักบุญซีริลและเมโธเดียส (ในภาษารัสเซียออกเสียง ซีริล ว่า คีริล จึงเป็นที่มาของการอ่านชื่ออักษรไม่เหมือนกับในภาษาอังกฤษ) นำมาใช้แทนที่อักษรกลาโกลิติกเกือบจะสมบูรณ์เมื่อราว พ.ศ. 1500
รายชื่อกลุ่มดาวเรียงตามเนื้อที่
รายชื่อกลุ่มดาว 88 กลุ่ม เรียงตามเนื้อที่ในท้องฟ้า หน่วยเป็นตารางองศา
ฝนดาวตก
ฝนดาวตก คือดาวตกหลายดวงที่เหมือนกันออกมาจากบริเวณเดียวกันในท้องฟ้าช่วงเวลาเดียวกันของปี ซึ่งเกิดจากเศษชิ้นส่วนในอวกาศที่พุ่งเข้าบรรยากาศโลกด้วยอัตราเร็วสูง แต่ละคราวที่ดาวหางเข้ามาใกล้ดวงอาทิตย์ จะมีเศษชิ้นส่วนขนาดเล็กของดาวหางถูกสลัดทิ้งไว้ตามทางโคจร เรียกว่า "ธารสะเก็ดดาว" หากวงโคจรของโลกและของดาวหางซ้อนทับกัน โลกจะเคลื่อนที่ผ่านธารสะเก็ดดาวในช่วงวันเดียวกันของแต่ละปี ทำให้เกิดฝนดาวตก
การที่สะเก็ดดาวในธารเดียวกัน เคลื่อนที่ขนานกันและมีอัตราเร็วเท่ากัน ดาวตกที่เราเห็นจึงดูเหมือนพุ่งออกมาจากจุดเดียวกันในท้องฟ้า ซึ่งเป็นผลจากทัศนมิติ (perspective) เปรียบเหมือนกับที่เราเห็นรางรถไฟไปบรรจบกันที่ขอบฟ้า เมื่อยืนดูจากกลางราง
จักรราศี
จักรราศี ( มาจากภาษากรีก "ζῳδιακός" หมายถึง "สัตว์") เป็นแถบสมมติบนท้องฟ้าที่มีขอบเขตประมาณ 8 องศา ค่อนไปทางเหนือและใต้ของแนวเส้นทางที่ดวงอาทิตย์ปรากฏเคลื่อนผ่าน (สุริยวิถี) ซึ่งครอบคลุมแนวเส้นทางปรากฏของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดาวเคราะห์ในระบบสุริยจักรวาลอีก 7 ดวง คือ ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี ดาวเสาร์ ดาวยูเรนัส และดาวเนปจูน ส่วนดาวพลูโตนั้น ความเอียงของวงโคจรมีค่ามาก ดาวพลูโตจึงมีเส้นทางปรากฏห่างจากสุริยวิถี
ประวัติยุคเริ่มแรก.
การแบ่งเส้นสุริยวิถีออกเป็นจักรราศี เริ่มต้นในยุคบาบิโลเนีย ดาราศาสตร์ในช่วงครึ่งแรกของ 1,000 ปีก่อนคริสตกาล คล้ายกับช่วงกลางหรือบาบิโลเนียใหม่ เมื่อ 700 ปีก่อนคริสตกาล จักรราศีคลาสสิกแก้ไขมาจาก MUL.APIN ซึ่งได้รวบรวมขึ้นเมื่อประมาณ 1,000 ปีก่อนคริสตกาล กลุ่มดาวบางกลุ่มสามารถย้อนหลังไปได้ถึงยุคสำริด (บาบิโลเนียเก่า) รวมทั้งกลุ่มดาวคนคู่ (ราศีมิถุน) จาก MAŠ.TAB.BA.GAL.GAL "คู่แฝดที่ยิ่งใหญ่" และกลุ่มดาวปู (ราศีกรกฎ) จาก AL.LUL "กุ้งนาง"
เครื่องหมายทั้งสิบสอง.
ต่อไปนี้เป็นรายชื่อเครื่องหมายทั้งสิบสองของจักรราศีในปัจจุบันโดย 0° ของราศีเมษถือเป็นจุดวิษุวัต พร้อมทั้งชื่อภาษาละติน ภาษากรีก ภาษาสันสกฤต และภาษาบาบิโลเนีย
ตารางจักรราศีและช่วงวันที่ครอบคลุม.
จักรราศี (และช่วงวันที่ครอบคลุม) ซึ่งมีทั้งหมด 12 ราศี เป็นดังนี้
จักรราศีใหม่.
13 มกราคม พ.ศ. 2559 นาซ่าได้ประกาศในเว็ปไซด์สเปซเพลสและต่อมา Tumblr ถึงข้อเท็จจริงที่ว่าแท้จริงแล้วจักรราศีมี 13 ราศี โดยอ้างถึงปฏิทินของชาวบาบิโลน จักรราศีที่เพิ่มมาใหม่อยู่ระหว่างราศีพิจิก กับ ราศีธนู มีชื่อเรียกกว่า ราศีภุชงค์ หรือ คนแบกงู (Ophiuchus) ตำนานกรีกมีอยู่ว่า หมอออฟฟิอุคัส เป็นผู้ชำนาญการพิเศษเกี่ยวกับการแพทย์ วันหนึ่งเขาสังเกตเห็นงูกินผลไม้จากต้นที่มันกินและทำให้งูเป็นอมตะ ออฟฟิอุคัสจึงได้รู้ว่าต้นไม้ต้นนั้นมีผลที่สามารถทำให้เป็นอมตะได้ เมื่อเทพซุสรู้เช่นนั้นก็เกรงว่าความลับจะถูกเปิดเผยและกลัวว่าจะมีมนุษย์เป็นอมตะ เพื่อรักษาความสมดุลของโลกมนุษย์และเทพ จึงสังหารนายแพทย์คนนั้น และไว้อาลัยให้แก่เขาโดยการนำดวงวิญญาณขึ้นไปประดับบนท้องฟ้าซึ่งก็คือกลุ่มดาวคนแบกงู
กลุ่มดาวแกะ
กลุ่มดาวแกะ (♈) เป็นกลุ่มดาวหนึ่งในจักรราศี ชื่อในภาษาละติน "Aries" หมายถึงแกะตัวผู้ อยู่ระหว่างกลุ่มดาวปลาทางด้านทิศตะวันตก กับกลุ่มดาววัวทางด้านทิศตะวันออก มี่ชื่อในภาษาละตินว่า "Ram" และมีสัญลักษณ์คือ  ตั้งชื่อโดยปโตเลมี
กลุ่มดาววัว
กลุ่มดาววัว หรือ กลุ่มดาวพฤษภ (♉) เป็นกลุ่มดาวหนึ่งในกลุ่มดาวจักรราศี ปรากฏเด่นชัดในค่ำคืนฤดูหนาว อยู่ระหว่างกลุ่มดาวแกะทางทิศตะวันตก และกลุ่มดาวคนคู่ทางทิศตะวันออก ทางเหนือคือกลุ่มดาวเพอร์ซิอัสและกลุ่มดาวสารถี ทางทิศตะวันตกเฉียงใต้ คือ กลุ่มดาวนายพราน และทางทิศตะวันออกเฉียงใต้ คือ กลุ่มดาวแม่น้ำและกลุ่มดาวซีตัส
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ  เป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีการคำนวณ ที่มุ่งเน้นไปในการวิเคราะห์เวลาและเนื้อที่สำหรับการแก้ปัญหาหนึ่ง ๆ โดยปกติแล้วคำว่า "เวลา" ที่เราพูดถึงนั้น จะเป็นการนับจำนวนขั้นตอนที่ใช้ในการแก้ปัญหา ส่วนในเรื่องของ "เนื้อที่" เราจะพิจารณาเนื้อที่ ๆ ใช้ในการทำงานเท่านั้น (ไม่นับเนื้อที่ ๆ ใช้ในการเก็บข้อมูลป้อนเข้า). ในบางกรณีเราอาจจะสนใจการวิเคราะห์ปริมาณอื่น ๆ ที่นอกเหนือไปจากพื้นที่กับเวลา ยกตัวอย่างเช่น ในการประมวลผลแบบขนาน เราอาจจะวิเคราะห์ว่าต้องใช้หน่วยประมวลผลกี่ตัวในการแก้ปัญหาที่กำหนด. ทฤษฎีความซับซ้อนต่างจาก ทฤษฎีการคำนวณได้ ที่จะเน้นไปในการวิเคราะห์ว่าปัญหาสามารถแก้ได้หรือไม่ โดยไม่สนใจทรัพยากรที่ใช้ในการแก้ปัญหา
ภายหลังจากที่สามารถระบุได้ว่า ปัญหาใดสามารถแก้ได้ และปัญหาใดที่แก้ไม่ได้ เรามักจะเกิดคำถามขึ้นอีกว่าในบรรดาปัญหาที่แก้ได้ ซึ่งเป็นกลุ่มของฟังก์ชันที่คำนวณได้นั้น มีความซับซ้อนอยู่ในระดับใด จุดนี้เป็นความสนใจหลักของ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ในที่นี้ เราจะมอง "ปัญหา" หนึ่ง ๆ ว่าเป็นเซตของคำถามที่เกี่ยวข้องในปัญหานั้นทั้งหมด โดยแต่ละคำถามจะเป็นสตริงที่มีความยาวจำกัด ยกตัวอย่างเช่น ปัญหา แยกตัวประกอบ  คือ:
คำถามใดๆ คำถามหนึ่งจะถูกเรียกว่า "ตัวอย่างปัญหา" (instance) ในกรณีนี้ เราจะเรียก "จงหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ 15" ว่าเป็นตัวอย่างปัญหาของปัญหาแยกตัวประกอบ
เราจะนิยาม ความซับซ้อนด้านเวลา (time complexity) สำหรับปัญหาหนึ่ง ๆ ว่าเป็นจำนวนขั้นตอนที่ใช้ในการแก้ตัวอย่างปัญหาสำหรับปัญหานั้น ในรูปฟังก์ชันของขนาดของข้อมูลป้อนเข้า (ซึ่งโดยปกติแล้วเราจะคิดขนาดเป็นบิต) โดยใช้ขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุด ยกตัวอย่างเช่น ในปัญหา ๆ หนึ่ง สำหรับทุกตัวอย่างปัญหาที่มีขนาด formula_1 บิต ถ้าเราสามารถแก้ตัวอย่างปัญหานี้ได้ภายใน formula_2 ขั้นตอน เราสามารถพูดได้ว่าปัญหานี้มีความซับซ้อนด้านเวลาเป็น formula_2 ซึ่งในการกล่าวถึงเวลาที่ใช้นั้น แน่นอนว่าเครื่องจักร หรือ คอมพิวเตอร์แต่ละเครื่องก็ใช้เวลาในการคำนวณแตกต่างกันไป เพื่อที่จะหลีกเลี่ยงความแตกต่างในจุดนี้ เราจะใช้สัญกรณ์โอใหญ่ (Big O notation) ปัญหาที่มีความซับซ้อนด้านเวลาเป็น formula_4 ในเครื่องคอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่ง จะมีความซับซ้อนด้านเวลาเป็น formula_4 บนเครื่องอื่นๆด้วยเช่นกัน จะเห็นได้ว่าสัญกรณ์โอใหญ่ช่วยเราหลีกเลี่ยงการกล่าวถึงรายละเอียด ที่เป็นความแตกต่างระหว่างเครื่องคอมพิวเตอร์
หลายครั้งเราจะกล่าวถึงความซับซ้อนด้านเวลาว่าเป็น "เวลาที่ใช้ในการแก้ปัญหา" หรือ "เวลาที่ใช้ในการทำงาน"
ตัวอย่าง: การตัดหญ้าในสวนใช้เวลาในการทำงานเป็นเชิงเส้น เพราะว่าถ้าสนามหญ้าใหญ่กว่าเดิมเท่าตัว เราก็ต้องใช้เวลาในการตัดหญ้ามากขึ้นเป็นเท่าตัว แต่สำหรับการเปิดหาคำศัพท์ในพจนานุกรมนั้น เวลาที่ใช้ในการทำงานจะเป็นลอการิทึมของขนาดข้อมูลป้อนเข้า เพราะว่าสำหรับพจนานุกรมที่มีขนาดเพิ่มเป็นเท่าตัว เราทำงานเพิ่มขึ้นเพียงหนึ่งขั้นตอน (เปิดพจนานุกรมไปตรงกลางแล้วตรวจสอบว่าคำศัพท์ที่เรากำลังมองหาอยู่ในฝั่งใดของพจนานุกรม ซึ่งวิธีนี้จะลดขนาดของปัญหาลงครึ่งหนึ่งทุกครั้งที่มีการเปิดพจนานุกรม)
ปัญหาการตัดสินใจ.
ส่วนใหญ่แล้ว ทฤษฎีเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณ จะสนใจกลุ่มของปัญหาการตัดสินใจ. ซึ่งปัญหาที่อยู่ในกลุ่มนี้ จะมีคำตอบเพียงสองแบบก็คือ "ใช่" และ "ไม่ใช่" ยกตัวอย่างเช่นปัญหาที่ถามว่าจำนวนหนึ่ง ๆ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่. ปัญหาในกลุ่มนี้อาจมองได้อีกแบบหนึ่งก็คือ มองเป็น ภาษา ซึ่งเป็นเซตของสตริงความยาวจำกัด. สำหรับปัญหาการตัดสินใจปัญหาหนึ่ง เราอาจจะมองว่า มันคือภาษาที่มีสมาชิกในเซตเป็นตัวอย่างปัญหาทั้งหมดที่ให้คำตอบเป็น "ใช่".
ปกติแล้ว ปัญหาการตัดสินใจมักจะเป็นที่สนใจเพราะว่า ปัญหาหลายปัญหามักจะสามารถลดรูปไปเป็นปัญหาในกลุ่มนี้ได้. ยกตัวอย่างเช่น ปัญหา HAS-FACTOR ที่ถามว่า สำหรับจำนวนเต็ม formula_1 และ formula_7, จำนวน formula_1 มีตัวประกอบเฉพาะที่มีค่าไม่เกิน formula_7 หรือไม่? ในที่นี้เราจะแสดงให้เห็นว่า การแก้ปัญหา HAS-FACTOR จะนำไปสู่การแก้ปัญหา FACTORIZE ที่เราได้กล่าวถึงไปแล้ว โดยใช้ทรัพยากรไม่มากกว่ากันนัก สังเกตว่าหากเราสามารถแก้ปัญหา HAS-FACTOR ได้ เราสามารถใช้การค้นหาแบบทวิภาค  เพื่อหาค่าของ formula_7 ที่น้อยที่สุดที่เป็นตัวประกอบของ formula_1 และเมื่อเจอจำนวนนั้นแล้ว เราก็จะหารมันทิ้งไป ทำซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งไม่สามารถทำต่อได้ เราก็จะสามารถหาตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของ formula_1 ออกมาได้
ค่อนข้างจะชัดเจนว่าเนื้อที่ที่ใช้ในการแก้ปัญหา FACTORIZE จะไม่มากไปกว่าเนื้อที่ที่ใช้ในการแก้ปัญหา HAS-FACTOR นัก (สำหรับค่า formula_7 แต่ละค่าเราสามารถคืนหน่วยความจำที่ใช้ในการทำงานของค่า formula_7 ก่อนหน้าได้) สำหรับเวลาที่ใช้ก็เช่นกัน ในการหาตัวประกอบแต่ละตัวเราจะเรียกใช้ HAS-FACTOR ไม่เกิน formula_15 ครั้ง และจำนวนของตัวประกอบเฉพาะของ formula_1 ที่เป็นไปได้ก็ไม่เกิน formula_15 จำนวน
ในศาสตร์ของทฤษฎีความซับซ้อนของปัญหานั้น ตัวอย่างของปัญหาที่มีคำตอบเป็น "ใช่" มักจะมีความแตกต่างจากตัวอย่างของปัญหาที่มีคำตอบเป็น "ไม่ใช่" เช่น กลุ่มปัญหาเอ็นพี (NP) ประกอบด้วยปัญหาการตัดสินใจทั้งหมดที่ตัวอย่างปัญหาที่มีคำตอบเป็น "ใช่" สามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ และในทางกลับกัน กลุ่มปัญหาโค-เอ็นพี (co-NP) ประกอบด้วยปัญหาการตัดสินใจที่ตัวอย่างของปัญหาที่มีคำตอบเป็น "ไม่ใช่" สามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ (คำว่า co ในที่นี้หมายถึง ส่วนกลับ หรือ complement) ซึ่งส่วนกลับของปัญหาหนึ่งก็คือปัญหาเดิมที่มีการสลับตัวอย่างปัญหาที่มีคำตอบคือ "ใช่" กับตัวอย่างปัญหาที่มีคำตอบคือ "ไม่ใช่" ตัวอย่างเช่นปัญหา "IS-PRIME" เป็นส่วนกลับของปัญหา "IS-COMPOSITE"
ทฤษฎีบทที่สำคัญอันหนึ่งในด้านทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณก็คือ ไม่ว่าปัญหาของเราจะยากขนาดไหน เราจะมีปัญหาที่ยากกว่าเสมอ หากเราพิจารณาเฉพาะปัญหาที่สามารถแก้ได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของข้อมูลป้อนเข้า เราสามารถอธิบายในจุดนี้ได้ด้วยทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา  ที่กล่าวไว้ว่า หากเราให้คอมพิวเตอร์ของเราทำงานด้วยเวลาที่มากขึ้น ปัญหาที่เราสามารถแก้ได้ก็จะเพิ่มขึ้น (นั่นก็คือ มีปัญหาที่แก้ไม่ได้ถ้าไม่มีการเพิ่มเวลา) ทฤษฎีลำดับชั้นของเนื้อที่ (space hierarchy theorem) ก็จะกล่าวในเชิงคล้ายกัน เพียงแต่มุ่งความสนใจในเรื่องของเนื้อที่ที่อนุญาตให้มีการใช้งานได้
กลุ่มของความซับซ้อนของปัญหา.
ปัญหาการตัดสินใจสามารถแบ่งออกได้เป็นหลายๆกลุ่ม โดยที่แต่ละกลุ่มจะประกอบไปด้วยปัญหาที่มีความยากเท่าเทียมกัน
กลุ่มความซับซ้อนของปัญหา พี (P) คือเซตของปัญหาการตัดสินใจที่สามารถหาคำตอบได้ ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามของขนาดข้อมูลป้อนเข้า ด้วยเครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนด (deterministic turing machine) นิยามนี้สอดคล้องกับแนวคิดของปัญหาที่สามารถหาคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ
กลุ่มความซับซ้อนของปัญหา เอ็นพี (NP) คือเซตของปัญหาการตัดสินใจที่สามารถแก้ปัญหาได้โดยใช้เครื่องจักรทัวริงเชิงไม่กำหนดในเวลาพหุนาม ปัญหาที่อยู่ในกลุ่มนี้หลายปัญหาเป็นปัญหาที่มนุษย์ต้องการเป็นอย่างมากที่จะแก้ให้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ตัวอย่างของปัญหาในกลุ่มนี้ก็คือ ปัญหาความสอดคล้องแบบบูล (Boolean satisfiability problem) ปัญหาเส้นทางของฮามิลตัน  และ ปัญหาจุดยอดปกคลุม  ปัญหาทุกปัญหาในกลุ่มนี้สามารถตรวจคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ
ปัญหา P=NP.
ปัญหาที่สำคัญที่สุดในด้านทฤษฎีการคำนวณก็คือปัญหาที่ว่ากลุ่มความซับซ้อนของปัญหาพี และ เอ็นพี เป็นเซตที่เท่ากันหรือไม่ ซึ่งทาง ได้ตั้งรางวัลไว้สำหรับผู้ที่แก้ปัญหานี้ได้เป็นมูลค่าสูงถึง หนึ่งล้านดอลลาร์ (ดูรายละเอียดของปัญหาได้ใน กลุ่มความซับซ้อน พี และ เอ็นพี และ เครื่องจักรออราเคิล)
ปัญหาของพีและเอ็นพีนั้น ทำให้เกิดการสร้างแนวความคิดที่สำคัญมากในการวิจัยสาขานี้ขึ้นมา ซึ่งก็คือแนวความคิดเกี่ยวกับ "ความยาก (hardness)" และ "ความบริบูรณ์ (completeness)" เราจะเรียกเซตของปัญหา X ว่ายากสำหรับเซตของปัญหา Y เมื่อปัญหาทุกปัญหาใน Y สามารถลดรูปอย่างง่ายไปเป็นปัญหาบางปัญหาใน X ได้ (สำหรับรายละเอียดการลดรูป ขอละไว้ในที่นี้) สำหรับคำว่า "ง่าย" ในการลดรูปนั้นจะมีความหมายแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับบริบทที่สนใจ เซตที่เป็น "เซตยาก" ที่เราสนใจมากที่สุดนั้นก็คือเซต เอ็นพีแบบยาก (NP-hard) และคำว่า "ง่าย" ในการลดรูปที่มักจะเป็นที่สนใจก็คือการลดรูปที่ใช้เวลาเป็นฟังก์ชันพหุนามของขนาดของข้อมูลป้อนเข้า
สำหรับหลักการของ ความบริบูรณ์นั้น เราจะกล่าวว่าเซต X บริบูรณ์ สำหรับเซต Y เมื่อ:
เช่นเดียวกันกับเรื่องของความยาก เซตบริบูรณ์ที่สำคัญที่สุดก็คือ เซตเอ็นพีบริบูรณ์
ความยาก (Intractability).