pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
สำหรับคณะผู้ปฏิบัติงานยุคแรก ของช่อง 4 บางขุนพรหม ได้แก่ จำนง รังสิกุล เป็นผู้อำนวยการคนแรกของสถานีฯ และหัวหน้าฝ่ายผลิตรายการ, อัมพร พจนพิสุทธิ์ เป็นหัวหน้าฝ่ายกำกับภาพ, สมชาย มาลาเจริญ เป็นหัวหน้าฝ่ายช่างกล้อง, ธนะ นาคพันธุ์ เป็นหัวหน้าฝ่ายควบคุมการออกอากาศ, เกรียงไกร (สนั่น) ชีวะปรีชา เป็นหัวหน้าฝ่ายเครื่องส่ง, ธำรง วรสูตร ร่วมกับ ฟู ชมชื่น เป็นหัวหน้าฝ่ายเครื่องส่งและเสาอากาศ, จ้าน ตัณฑโกศัย เป็นหัวหน้าฝ่ายกำกับเสียง, รักษ์ศักดิ์ วัฒนพานิช เป็นหัวหน้าฝ่ายบริการเครื่องรับโทรทัศน์, สรรพสิริ วิรยศิริ เป็นหัวหน้าฝ่ายข่าว กับหัวหน้าฝ่ายช่างภาพและแสง
ส่วนผู้ประกาศยุคแรก ได้แก่ เย็นจิตต์ สัมมาพันธ์ (ปัจจุบันคือ เย็นจิตต์ รพีพัฒน์ ณ อยุธยา), อารีย์ นักดนตรี (ปัจจุบันคือ อารีย์ จันทร์เกษม), ดาเรศร์ ศาตะจันทร์, นวลละออ ทองเนื้อดี (ปัจจุบันคือ นวลละออ เศวตโสภณ), ชะนะ สาตราภัย และประไพพัฒน์ นิรัตพันธ์, สรรพสิริ วิรยศิริ, อาคม มกรานนท์, สมชาย มาลาเจริญ และบรรจบ จันทิมางกูร เป็นต้น
ในระยะแรกออกอากาศทุกวันอังคาร, วันพฤหัสบดี, วันเสาร์ และวันอาทิตย์ ระหว่างเวลา 18:30 - 23:00 น. ต่อมาเพิ่มวันและเวลาออกอากาศมากขึ้นตามลำดับ ทั้งนี้ รัฐบาลในสมัยนั้น มักใช้ สถานีโทรทัศน์ไทยทีวีช่อง 4 ถ่ายทอดการปราศรัยของนายกรัฐมนตรีและรัฐมนตรี, เผยแพร่ผลงานของรัฐบาล, ถ่ายทอดการประชุมรัฐสภา ตลอดจนถ่ายทอดสดงานฉลอง 25 พุทธศตวรรษ ในปี พ.ศ. 2500 แต่เพียงฝ่ายเดียวเท่านั้น จอมพล สฤษดิ์ ธนะรัชต์ ผู้บัญชาการทหารบกในขณะนั้น จึงสั่งการให้กองทัพบก จัดตั้งสถานีโทรทัศน์ขึ้นอีกแห่งหนึ่งคือ สถานีวิทยุโทรทัศน์กองทัพบกช่อง 7 (ภาพขาวดำ; ปัจจุบันคือ สถานีวิทยุโทรทัศน์กองทัพบก ช่อง 5) ในระหว่างปี พ.ศ. 2500 - 2501
ราวต้นเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2517 ได้เปลี่ยนระบบการออกอากาศทาง ช่อง 4 บางขุนพรหม จากภาพขาวดำเป็นภาพสีในระบบ 625 เส้น 25 อัตราภาพอย่างสมบูรณ์ โดยได้ย้ายห้องส่งโทรทัศน์ไปที่ถนนพระสุเมรุ แขวงบางลำพู และราวปี พ.ศ. 2519 ได้หยุดทำการออกอากาศพร้อมกับการเปลี่ยนชื่อเป็น สถานีโทรทัศน์ไทยทีวีสีช่อง 9 บางลำพู ตั้งแต่วันจันทร์ที่ 1 มิถุนายน พ.ศ. 2513 ที่ผ่านมา
สถานีโทรทัศน์ไทยทีวีช่อง 4 บางขุนพรหม มีอัตลักษณ์เป็นภาพ "วิชชุประภาเทวี" หมายถึง เทวดาผู้หญิง ที่เป็นเทพเจ้าหรือนางพญาแห่งสายฟ้า ประดับด้วยลายเมฆ และสายฟ้าอยู่ภายในรูปวงกลม ที่ออกแบบโดย กรมศิลปากร กระทรวงวัฒนธรรม (ในขณะนั้น)
สถานีโทรทัศน์ไทยทีวีสีช่อง 9.
สถานีโทรทัศน์ไทยทีวีสีช่อง 9 บางลำพู.
บจก.ไทยโทรทัศน์ เริ่มออกอากาศเป็นภาพสี 625 เส้นในย่านความถี่ VHF ทางช่องสัญญาณที่ 9 ตั้งแต่วันจันทร์ที่ 1 มิถุนายน พ.ศ. 2513 โดยแพร่ภาพออกอากาศคู่ขนานกับช่องสัญญาณที่ 4 ในระบบภาพขาวดำเป็นเวลาประมาณ 4 ปี กระทั่งราวต้นเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2517 จึงยุติการออกอากาศในระบบภาพขาวดำ 525 เส้น ทางช่องสัญญาณที่ 4 คงไว้เพียงระบบภาพสีทางช่องสัญญาณที่ 9 อย่างสมบูรณ์ จึงเปลี่ยนชื่อเป็น "สถานีโทรทัศน์ไทยทีวีสีช่อง 9"  พร้อมทั้งย้ายห้องส่งโทรทัศน์รวมถึงที่ทำการทั้งหมด ไปยังอาคารพาณิชย์ขนาด 5 คูหา ย่านถนนพระสุเมรุ แขวงบางลำพู (ดังที่ผู้ชมทั่วไป มักเรียกว่า "ช่อง 9 บางลำพู" ในสมัยนั้น) เนื่องจากธนาคารแห่งประเทศไทย เสนอซื้อที่ดิน, อาคารที่ทำการ บจก.ไทยโทรทัศน์ และสิ่งปลูกสร้างทั้งหมด ซึ่งอยู่ภายในบริเวณวังบางขุนพรหม
สถานีโทรทัศน์ไทยทีวีสีช่อง 9 อ.ส.ม.ท..
สมเด็จพระกนิษฐาธิราชเจ้า กรมสมเด็จพระเทพรัตนราชสุดาฯ สยามบรมราชกุมารี เสด็จพระราชดำเนินมาทรงเปิดอาคารที่ทำการของ อ.ส.ม.ท. บนเนื้อที่ 14 ไร่ ที่มีห้องส่งโทรทัศน์ขนาดใหญ่ที่สุดในประเทศไทยขณะนั้น เมื่อวันที่ 28 มิถุนายน พ.ศ. 2524 เวลา 09:25 น. ต่อมาระหว่างปี พ.ศ. 2528 - 2532 สมเกียรติ อ่อนวิมล อาจารย์ประจำคณะรัฐศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย และพิธีกรรายการ ความรู้คือประทีป ในขณะนั้น ตอบรับคำเชิญของผู้อำนวยการ อ.ส.ม.ท. ในขณะนั้น ให้เข้ามาช่วยปรับปรุงการนำเสนอข่าว 9 อ.ส.ม.ท. ร่วมกับ บริษัท แปซิฟิค อินเตอร์คอมมิวนิเคชัน จำกัด ส่งผลให้เกิดผู้ประกาศข่าวคู่ซึ่งมีชื่อเสียงที่สุดของยุคนั้นคือ ดร.สมเกียรติ และกรรณิกา ธรรมเกษร (ซึ่งทำหน้าที่ ในวันจันทร์ถึงวันศุกร์ ส่วนวันเสาร์และวันอาทิตย์ ดร.สมเกียรติ ประกาศคู่กับ อรุณโรจน์ เลี่ยมทอง)
วันที่ 16 กรกฎาคม พ.ศ. 2530 อ.ส.ม.ท. ร่วมลงนามในสัญญากับสถานีวิทยุโทรทัศน์ไทยทีวีสีช่อง 3 เพื่อขยายเครือข่ายกิจการโทรทัศน์ของทั้งไทยทีวีสีช่อง 3 และไทยทีวีสีช่อง 9 อ.ส.ม.ท. ไปสู่ส่วนภูมิภาค และหน่วยงานภาครัฐ จัดสรรคลื่นความถี่ส่งด้วยระบบวีเอชเอฟ พร้อมอุปกรณ์การออกอากาศ เพื่อจัดตั้งสถานีเครื่องส่งโทรทัศน์ในการกำกับของ อ.ส.ม.ท. แต่ละแห่ง (ระยะหลังจึงขยายไปสู่ระบบ UHF) ตั้งแต่เดือนมิถุนายน พ.ศ. 2531 - กรกฎาคม พ.ศ. 2534 เป็นระยะเวลา 3 ปี จึงทำให้สถานีโทรทัศน์ในการกำกับของ อ.ส.ม.ท. ทั้ง 2 แห่ง สามารถออกอากาศไปได้ทั่วประเทศ
ราวปี พ.ศ. 2535 แสงชัย สุนทรวัฒน์ เข้ารับตำแหน่งผู้อำนวยการ อ.ส.ม.ท. ในช่วงที่ถูกเรียกว่า "แดนสนธยา" เนื่องจากมีกลุ่มอิทธิพลมืดฝังตัวอยู่ในองค์กร แต่แสงชัยก็สามารถขจัดอิทธิพลมืดเหล่านั้นสำเร็จ รวมถึงสามารถพัฒนา อ.ส.ม.ท. ขึ้นมาเป็นอย่างดี แต่แล้วแสงชัยก็ถูกลอบสังหารด้วยอาวุธปืนจนเสียชีวิต ระหว่างนั่งรถยนต์เดินทางกลับบ้านพักในเมืองทองธานี เมื่อวันที่ 11 เมษายน พ.ศ. 2539 จากผลการสอบสวนของตำรวจ ระบุว่า อุบล บุญญชโลธร อดีตผู้รับสัมปทานจัดรายการทางสถานีวิทยุ อ.ส.ม.ท. ส่วนภูมิภาค จ้างวานให้บุตรเขย คือ ทวี พุทธจันทร์ ส่งมือปืนไปลอบสังหารแสงชัย ต่อมาอุบลถูกลอบสังหารจนเสียชีวิตบนรถยนต์ก่อนกลับถึงบ้านพักเช่นเดียวกับแสงชัย เมื่อปี พ.ศ. 2541
สถานีโทรทัศน์โมเดิร์นไนน์.
เมื่อปี พ.ศ. 2545 มิ่งขวัญ แสงสุวรรณ ผู้อำนวยการ อ.ส.ม.ท. ขณะนั้น มีดำริให้ปรับปรุงการบริหารงานของสถานีโทรทัศน์ไทยทีวีสีช่อง 9 อ.ส.ม.ท. ให้มีความทันสมัย รวดเร็ว และฉับไว ในด้านการนำเสนอ รายงานข่าวสาร สาระความรู้ และความบันเทิง เพื่อให้ทันต่อเทคโนโลยีการสื่อสารในยุคโลกาภิวัตน์ และเพื่อขจัดความเป็น "แดนสนธยา" ภายในองค์กรอีกด้วย
ในวันที่ 6 พฤศจิกายน จึงมีพิธีเปิดตัว "สถานีโทรทัศน์โมเดิร์นไนน์" โดยมีทักษิณ ชินวัตร นายกรัฐมนตรีในขณะนั้น เป็นประธานในพิธี พร้อมทั้งเริ่มออกอากาศตามรูปแบบใหม่ ตั้งแต่เวลา 18:30 น. เป็นต้นไป โดยมีทั้งการเปลี่ยนแปลงตราสัญลักษณ์ของสถานีฯ พร้อมทั้งปรับปรุงรูปแบบการเสนอรายการตลอด 24 ชั่วโมง เพิ่มเวลานำเสนอข่าว โดยเฉพาะข่าวต้นชั่วโมง และแถบตัววิ่งข่าว (News Bar) เพิ่มช่วงแมกกาซีนออนทีวีในข่าวภาคค่ำ ซึ่งนำเสนอข่าวสารและสาระความรู้ ในประเด็นและการนำเสนอแบบสบาย ๆ โดยใช้วิธีการนำเสนอแบบนิตยสาร ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนาเป็นรายการข่าวบันเทิงในชื่อ ไนน์เอ็นเตอร์เทน ในเวลาต่อมา รวมถึงเพิ่มบทบาทความสัมพันธ์กับเครือข่ายสำนักข่าวชั้นนำทั่วโลก เช่น CNN/CNBC/AP/Reuters/VOA ของสหรัฐ, BBC ของสหราชอาณาจักร, NHK ของประเทศญี่ปุ่น และ CCTV ของประเทศจีน เป็นต้น
โมเดิร์นไนน์ทีวีดำเนินการผลิตรายการโทรทัศน์ ตลอดจนการแพร่ภาพ และควบคุมการออกอากาศ จากสถานีส่วนกลางในกรุงเทพมหานคร ไปยังสถานีเครือข่ายแอนะล็อกส่วนภูมิภาค 32 สถานี สามารถให้บริการครอบคลุมพื้นที่ 79.5% ของประเทศ มีประชากรในขอบเขตการออกอากาศไม่น้อยกว่า 96.5% ของประเทศ โดยมีรายการประเภทข่าวสาร สาระความรู้ ความบันเทิง กีฬา และรายการเพื่อสาธารณประโยชน์ รวมทั้งการถ่ายทอดสดต่างๆ โดยเฉพาะรายการประเภทข่าวสาร และสาระความรู้ ในด้านต่างๆ มานำเสนอในช่วงไพรม์ไทม์ที่มีผู้ชมมากที่สุด เพื่อให้ผู้ชม ได้รับข่าวสารและความรู้ที่เป็นประโยชน์อย่างเท่าเทียมกัน โดยมุ่งหวังจะเป็นอีกทางเลือกหนึ่งของผู้ชมชาวไทย
มีเหตุการณ์สำคัญ ระหว่างรัฐประหารเมื่อวันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2549 ซึ่งเกี่ยวข้องกับโมเดิร์นไนน์ทีวี คือ เมื่อเวลา 22:15 น. พลเอกนายสนธิ บุญยรัตกลิน เป็นหัวหน้าคณะปฏิรูปการปกครองในระบอบประชาธิปไตย อันมีพระมหากษัตริย์ทรงเป็นประมุข ยึดอำนาจรัฐบาลรักษาการ ทั้งนี้ คุณทักษิณ ชินวัตร นายกรัฐมนตรีในขณะนั้น ได้ออกประกาศสถานการณ์ฉุกเฉินในเขตพื้นที่กรุงเทพมหานคร ผ่านทางโทรศัพท์เคลื่อนที่จากสหรัฐอเมริกามาออกอากาศสดทางโมเดิร์นไนน์ทีวี แต่อ่านแถลงการณ์ได้เพียง 3 ฉบับ ก็มีกำลังพลทหารพร้อมอาวุธกลุ่มหนึ่งบุกเข้าไปถึงห้องควบคุมการออกอากาศ แล้วออกคำสั่งให้หยุดการประกาศทันที จึงทำให้เจ้าหน้าที่สถานีฯ ต้องปฏิบัติตามในที่สุด
จากนั้นเมื่อวันที่ 25 เมษายน พ.ศ. 2555 คุณยิ่งลักษณ์ ชินวัตร นายกรัฐมนตรีในขณะนั้น เป็นประธานในงานครบรอบ 60 ปี การสถาปนา อสมท พร้อมทั้งเริ่มออกอากาศรายการข่าวโทรทัศน์รูปแบบใหม่ของสำนักข่าวไทย ตามดำริของ จักรพันธุ์ ยมจินดา รองประธานกรรมการ และรักษาการกรรมการผู้อำนวยการใหญ่ บริษัท อสมท จำกัด (มหาชน) (บมจ.อสมท) ประกอบด้วย การนำเทคโนโลยีวิดีโอวอลล์ ขนาดความยาว 20 เมตร ความกว้าง 3 เมตร มาใช้กับการรายงานข่าวในห้องส่ง ร่วมกับการนำเฮลิคอปเตอร์ มาใช้ประกอบรายงานข่าวนอกสถานที่ เป็นครั้งแรกของสำนักข่าวไทย โดยใช้ชื่อว่า "เบิร์ดอายส์นิวส์" (Bird Eye's News) รวมทั้งจัดสำรวจความเห็นผู้ชมในชื่อ "เอ็มคอตโพลล์" (MCOT Poll) นอกจากนี้จะออกแบบตราสัญลักษณ์ของสำนักข่าวไทยขึ้นใหม่ ให้มีความทันสมัยมากขึ้น (ทว่าแบบที่จัดทำในยุคของจักรพันธุ์ มิได้นำมาใช้จริงแต่อย่างใด ซึ่งหลังจากนั้นมีการออกแบบใหม่ แล้วจึงนำออกใช้จริงต่อมา)
สถานีโทรทัศน์ช่อง 9 เอ็มคอตเอชดี.
เมื่อวันพุธที่ 9 กันยายน พ.ศ. 2558 ศิวะพร ชมสุวรรณ กรรมการผู้อำนวยการใหญ่ บมจ.อสมท เป็นประธานในพิธีเปิดตัว ช่อง 9 MCOT HD ที่โรงแรมเซ็นทาราแกรนด์และบางกอกคอนเวนชันเซ็นเตอร์ ณ ศูนย์การค้าเซ็นทรัลเวิลด์ แขวงปทุมวัน เขตปทุมวัน กรุงเทพมหานคร โดยนำเทปบันทึกภาพมาออกอากาศ ระหว่างเวลา 19:00-19:20 น. ทางโมเดิร์นไนน์ทีวี เพื่อเปลี่ยนผ่านไปสู่ชื่อใหม่ดังกล่าว ซึ่งมีการปรับปรุงอัตลักษณ์รูปแบบใหม่ เพื่อนำมาใช้แทนที่ตราสัญลักษณ์เดิมซึ่งใช้ร่วมกับกิจการในเครือ บมจ.อสมท นับแต่ปลายปี พ.ศ. 2545 พร้อมทั้งเพิ่มเติมรายการใหม่ จากผู้ผลิตเนื้อหาหลายแห่ง เช่น บริษัท เนชั่น บรอดแคสติ้ง คอร์ปอเรชั่น จำกัด (มหาชน) (เนชั่นทีวี), บริษัท สปริง 26 จำกัด (สปริง 26) และบริษัท ทรูวิชั่นส์ กรุ๊ป จำกัด (มหาชน) (ทรูวิชั่นส์) เป็นต้น
ในวันที่ 15 เมษายน พ.ศ. 2561 เวลา 18:30 น. ช่อง 9 เอ็มคอตเอชดี ได้ทำการยุติการออกอากาศโทรทัศน์ระบบแอนะล็อกจากสถานีเครื่องส่งโทรทัศน์ 13 สถานีเป็นลำดับแรก โดยมีผลกระทบต่อผู้ชมในพื้นที่ของจังหวัดแม่ฮ่องสอน (รวมไปถึงที่อำเภอแม่สะเรียง) จังหวัดน่าน จังหวัดตาก จังหวัดเพชรบูรณ์ จังหวัดเลย จังหวัดสกลนคร จังหวัดมุกดาหาร จังหวัดสระแก้ว จังหวัดชุมพร จังหวัดระนอง (รวมไปถึงอำเภอตะกั่วป่า) จังหวัดสตูล และในวันที่ 16 กรกฎาคม พ.ศ. 2561 เวลา 18:30 น. ช่อง 9 MCOT HD ได้ทำการยุติการแพร่ภาพในระบบอนาล็อกครบทุกพื้นที่ในประเทศ โดยยุติการแพร่ภาพจากสถานีเครื่องส่งโทรทัศน์ที่เหลืออีก 23 สถานี ซึ่งรวมไปถึงสถานีในกรุงเทพมหานครซึ่งยุติการออกอากาศเป็นลำดับสุดท้าย เนื่องจากโครงข่ายการออกอากาศโทรทัศน์ภาคพื้นดินระบบดิจิทัลของ บมจ.อสมท ให้บริการครอบคลุมทั่วประเทศแล้ว และเหลือแต่เพียงแค่การออกอากาศในระบบดิจิทัลทางช่องหมายเลข 30 (ภาพความคมชัดสูง) แต่เพียงอย่างเดียว
จำนวนตรรกยะ
ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน)  คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน "a"/"b" เมื่อ "a" และ "b" เป็นจำนวนเต็ม และ "b" ไม่เท่ากับศูนย์
จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น formula_1 รูปแบบที่เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ "a" และ "b" นั้น "a" และ "b" จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้
นอกจากนี้ จำนวนตรรกยะทุกจำนวนยังสามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมไม่รู้จบหรือทศนิยมซ้ำอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น formula_2 เป็นทศนิยมรู้จบ, formula_3 และ formula_4 เป็นทศนิยมซ้ำ เป็นต้น
จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ
ในทางคณิตศาสตร์ "...ตรรกยะ" หมายถึง การจำกัดขอบเขตให้อยู่ในระบบจำนวนตรรกยะเท่านั้น เช่น พหุนามตรรกยะ
เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเราใช้สัญลักษณ์ Q หรือ Blackboard Bold formula_5 โดยใช้เซตเงื่อนไข ได้ดังนี้
เลขคณิต.
การบวกและการคูณจำนวนตรรกยะสามารถทำได้โดยหลักต่อไปนี้
จำนวนตรรกยะสองจำนวน formula_9 และ formula_10 จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ formula_11
การบวกและการคูณจำนวนตรรกยะกับจำนวนตรงข้ามสามารถทำได้ดังนี้
จำนวนอดิศัย
ในทางคณิตศาสตร์นั้น จำนวนอดิศัย  คือ จำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ไม่ใช่ราก (คำตอบ) ของสมการพหุนาม
โดย "n" ≥ 1 และสัมประสิทธิ์ formula_2 เป็นจำนวนเต็ม (หรือจำนวนตรรกยะ ซึ่งให้ความหมายเดียวกัน เนื่องจากเราสามารถคูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วยตัวคูณร่วมน้อย เพื่อให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดกลายเป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว
จำนวนอดิศัยไม่สามารถนับได้.
ตามหลักทฤษฎีเซต เซตของจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดนั้น "สามารถนับได้" (สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ระหว่างเซตของจำนวนนับและจำนวนเชิงพีชคณิตได้) ในขณะที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมด "ไม่สามารถนับได้" (ไม่สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จากเซตของจำนวนนับไปยังจำนวนจริงได้) ดังนั้นเซตของจำนวนอดิศัยทั้งหมดนั้นจึง "ไม่สามารถนับได้"
ในมุมมองดังกล่าว เราสามารถกล่าวได้ว่า "จำนวนอดิศัยทั้งหมดมีมากกว่าจำนวนเชิงพีชคณิต" อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบันนั้นมีจำนวนอดิศัยเพียงไม่กี่กลุ่มเท่านั้นที่เรารู้จัก (ในทำนองเดียวกันกับปัญหาที่ไม่สามารถคำนวณได้ในทฤษฎีการคำนวณได้) โดยทั่วไป การพิสูจน์ว่าจำนวนหนึ่ง ๆ เป็นจำนวนอดิศัยนั้น "ยากอย่างยิ่ง" อย่างไรก็ตามคุณสมบัติของจำนวนปกติอาจจะช่วยในการระบุจำนวนอดิศัยจากจำนวนอื่นๆ ได้
ประวัติการค้นพบจำนวนอดิศัย.
จำนวนอดิศัยตัวแรกถูกค้นพบโดย Joseph Liouville ในปี ค.ศ. 1844 จึงมีชื่อเรียกว่าค่าคงที่ Liouville
จำนวนอดิศัยที่สำคัญ.
จำนวนอดิศัยอื่น ๆ ที่เรารู้จักมีดังต่อไปนี้:
ความสำคัญของจำนวนอดิศัย.
การค้นพบจำนวนอดิศัย สามารถนำไปใช้พิสูจน์ความ "เป็นไปไม่ได้" ในการแก้ปัญหาของคณิตศาสตร์กรีกโบราณหลายข้อที่เกี่ยวกับ การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน เช่น การสร้างสี่เหลี่ยมจตุรัสจากวงกลม ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก π เป็นจำนวนอดิศัย. ในขณะที่การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน สามารถสร้างได้แต่รูปที่มีความยาวในขอบเขตของจำนวนเชิงพีชคณิตเท่านั้น
มอสโก
มอสโก (; , ; ) เป็นเมืองหลวงและเมืองใหญ่ที่สุดของประเทศรัสเซีย นครแห่งนี้ตั้งอยู่ริมแม่น้ำมอสควาในพื้นที่ทางตอนกลางของรัสเซียตะวันตก มีประชากรประมาณ 12.6 ล้านคนในเขตนครจำกัด แต่ถ้านับรวมพื้นที่เขตเมืองเข้าไปด้วยแล้ว จะมีประชากรถึง 17 ล้านคน และถ้านับรวมพื้นที่ปริมณฑลด้วยแล้ว จะมีประชากรทั้งสิ้น 20 ล้านคน ตัวนครมีพื้นที่ 2,511 ตารางกิโลเมตร หากนับรวมเขตเมืองจะมีพื้นที่ 5,891 ตารางกิโลเมตร และเมื่อรวมปริมณฑล จะมีพื้นที่ 26,000 ตารางกิโลเมตร มอสโกเป็นหนึ่งในนครที่ใหญ่ที่สุดในโลก นครที่มีประชากรมากที่สุดในทวีปยุโรป เขตเมืองที่มีประชากรมากที่สุดในทวีปยุโรป และเขตปริมณฑลที่มีประชากรมากที่สุดในทวีปยุโรป นอกจากนี้ ยังเป็นนครที่มีพื้นที่มากที่สุดในทวีปยุโรป
มอสโกก่อตั้งขึ้นใน ค.ศ. 1147 ในฐานะเมืองเล็ก ก่อนที่จะเติบโตขึ้นเป็นเมืองที่เจริญและมีอำนาจจนกลายเป็นเมืองหลวงของแกรนด์ดัชชีมอสโก เมื่อแกรนด์ดัชชีมอสโกกลายเป็นอาณาจักรซาร์รัสเซียแล้ว มอสโกก็ยังคงเป็นศูนย์กลางทางการเมืองและเศรษฐกิจของอาณาจักรมาโดยตลอด เมื่ออาณาจักรซาร์กลายเป็นจักรวรรดิรัสเซีย เมืองหลวงถูกย้ายจากมอสโกไปยังเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก และย้ายกลับสู่มอสโกอีกครั้งหลังจากที่มีการปฏิวัติรัสเซีย ตัวนครกลับไปเป็นศูนย์กลางทางการเมืองของสหพันธ์สาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตรัสเซียและสหภาพโซเวียต และเมื่อสหภาพโซเวียตล่มสลาย มอสโกก็ได้ทำหน้าที่เป็นเมืองหลวงของสหพันธรัฐรัสเซียมาจนถึงปัจจุบัน
ในฐานะที่เป็นนครใหญ่ที่อยู่ทางเหนือสุดและมีอากาศหนาวเย็นที่สุดในโลก ประกอบกับประวัติศาสตร์อันยาวนานกว่าแปดศตวรรษ มอสโกมีฐานะเป็นนครสหพันธ์ซึ่งเป็นศูนย์กลางทางการเมือง เศรษฐกิจ วัฒนธรรม และวิทยาศาสตร์ของรัสเซียและยุโรปตะวันออก นอกจากนี้ ในฐานะที่เป็นนครโลกอัลฟา มอสโกเป็นหนึ่งในเขตเมืองที่มีขนาดเศรษฐกิจใหญ่ที่สุดในโลก หนึ่งในเมืองที่มีค่าครองชีพสูงที่สุดในโลก และเป็นหนึ่งในจุดหมายปลายทางการท่องเที่ยวที่เติบโตเร็วที่สุดในโลก มอสโกเป็นเมืองที่มีเศรษฐีพันล้านมากเป็นอันดับที่สามของโลก และมากที่สุดในทวีปยุโรป ศูนย์ธุรกิจนานาชาติมอสโกเป็นหนึ่งในศูนย์กลางทางการเงินที่ใหญ่ที่สุดในทวีปยุโรปและโลก และมีตึกระฟ้าหลายตึกที่สูงเป็นอันดับต้น ๆ ของทวีปยุโรป มอสโกเป็นที่ตั้งของหอคอยออสตันกีนอซึ่งเป็นสิ่งก่อสร้างที่สูงที่สุดในทวีปยุโรป และเป็นเมืองเจ้าภาพจัดการแข่งขันโอลิมปิกฤดูร้อน 1980 และฟุตบอลโลก 2018
ในฐานะที่เป็นศูนย์กลางทางวัฒนธรรมของประเทศ มอสโกเป็นบ้านเกิดของศิลปิน นักวิทยาศาสตร์ และนักกีฬาชาวรัสเซียหลายท่าน สังเกตได้จากการจัดแสดงในพิพิธภัณฑ์ สถาบันการศึกษาและการเมือง และโรงละคร นครเป็นที่ตั้งของแหล่งมรดกโลกหลายแห่งของยูเนสโก และมีชื่อเสียงในด้านสถาปัตยกรรมรัสเซีย ซึ่งปรากฏให้เห็นในมหาวิหารนักบุญเบซิล จัตุรัสแดง และเครมลินแห่งมอสโก ซึ่งเครมลินนี้เองเป็นที่ตั้งที่ทำการของรัฐบาลรัสเซีย มอสโกเป็นที่ตั้งของบริษัทการเงินและเทคโนโลยีหลายแห่ง และครอบคลุมด้วยระบบขนส่งต่าง ๆ อาทิ ท่าอากาศยานนานาชาติสี่แห่ง สถานีรถไฟเก้าแห่ง ระบบรถราง รถไฟฟ้ารางเดี่ยว และรถไฟใต้ดินมอสโก ซึ่งเป็นระบบรถไฟใต้ดินที่มีผู้โดยสารมากที่สุดในทวีปยุโรป และเป็นหนึ่งในระบบขนส่งมวลชนเร็วที่ใหญ่ที่สุดในโลก พื้นที่กว่าร้อยละ 40 ของนคร ปกคลุมด้วยต้นไม้ มอสโกจึงเป็นหนึ่งในนครที่มีพื้นที่สีเขียวมากที่สุดในทวีปยุโรปและโลก
ใน ค.ศ. 1237 เมืองมอสโกก็ถูกสร้างขึ้นมาใหม่โดยเป็นเมืองของรัฐอิสระโดยเจ้าชาย ยูรี ดาลการุสกี การอยู่ริมฝั่งแม่น้ำวอลกาช่วยให้มอสโกขยายตัวอย่างรวดเร็ว ต่อมาใน ค.ศ. 1380 ชาวมอสโกได้เป็นแกนนำในการปลดปล่อยรัสเซียจากมองโกล ต่อมาใน ค.ศ. 1480 พระเจ้าซาร์อีวานที่ 3 ได้ปลดปล่อยรัสเซียจากการปกครองของเผ่า ตาตาร์ และย้ายเมืองหลวงของประเทศมายังมอสโก
ใน ค.ศ. 1712 พระเจ้าซาร์ปีเตอร์มหาราชได้ย้ายเมืองหลวงไปยังเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก มอสโกได้เผชิญกับการปิดล้อมโดยกองทัพของนโปเลียน โบนาปาร์ต ใน ค.ศ. 1812 แต่นโปเลียนต้องถอยทัพกลับไปเนื่องจากทนความหนาวเย็นไม่ได้
หลังจากการปฏิวัติรัสเซีย ใน ค.ศ. 1917 เลนินได้ย้ายเมืองหลวงกลับมายังมอสโกเมื่อวันที่ 10 มีนาคม ค.ศ. 1918 ซึ่งยังคงเป็นเมืองหลวงมาจนถึงปัจจุบัน
มอสโกเผชิญการปิดล้อมอีกครั้งจากนาซีเยอรมันระหว่างสงครามโลกครั้งที่สองใน ค.ศ. 1941 และยังเป็นสถานที่จัดกีฬาโอลิมปิก ใน ค.ศ. 1980
มอสโกกับเมืองแฝดกับ:
ข้อตกลงด้านความร่วมมือ.
มอสโกทำข้อตกลงด้านความร่วมมือกับ:
ประเทศเซอร์เบียและมอนเตเนโกร
เซอร์เบียและมอนเตเนโกร  เป็นชื่อของอดีตสหพันธรัฐซึ่งเป็นการรวมอย่างหลวม ๆ ของเซอร์เบียและมอนเตเนโกร อดีตสาธารณรัฐของยูโกสลาเวีย ตั้งแต่ ค.ศ. 2003 จนถึง ค.ศ. 2006 ตั้งอยู่บนคาบสมุทรบอลข่านตอนตะวันตกกลาง ซึ่งแต่เดิมมีชื่อประเทศว่า สหพันธ์สาธารณรัฐยูโกสลาเวีย ต่อมาก็ได้เปลี่ยนชื่อประเทศในปี ค.ศ. 2003 ในชื่อ สหภาพรัฐเซอร์เบียและมอนเตเนโกร
เซอร์เบียและมอนเตเนโกรมีความร่วมมือกันเฉพาะบางด้านในการเมือง (เช่น ผ่านสหพันธ์การป้องกันประเทศ) ทั้ง 2 รัฐมีนโยบายเศรษฐกิจและหน่วยเงินของตนเอง และประเทศไม่มีเมืองหลวงรวมอีกต่อไป โดยที่แบ่งแยกสถาบันที่ใช้ร่วมกันระหว่างเมืองเบลเกรดในเซอร์เบียและเมืองพอดกอรีตซาในมอนเตเนโกร ทั้งสองรัฐแยกออกจากกันหลังจากมอนเตเนโกรจัดให้มีการลงประชามติเมื่อวันที่ 21 พฤษภาคม ค.ศ. 2006 และประกาศเอกราชเมื่อวันที่ 3 มิถุนายน ปีเดียวกัน ทำให้เกิดประเทศใหม่คือประเทศมอนเตเนโกร ส่วนประเทศเซอร์เบียก็กลายเป็นผู้สืบสิทธิ์ต่าง ๆ ของประเทศเซอร์เบียและมอนเตเนโกร
วิกฤตการณ์ยูโกสลาเวีย.
ความแตกแยกของยูโกสลาเวียในปัจจุบันมีที่มาเป็นปัจจัยพื้นฐานหลายประการ ที่สำคัญประการหนึ่งคือปัจจัยทางประวัติศาสตร์ ซึ่งสั่งสมมานานกว่าพันปีจากการที่สาธารณรัฐต่าง ๆ ซึ่งมาร่วมกันเป็นสหพันธ์ฯ มีเชื้อชาติ ศาสนา ความเป็นมาทางวัฒนธรรมและประวัติศาสตร์แตกต่างกัน ความขัดแย้งระหว่างเชื้อชาติจึงเป็นปัญหาที่คุกรุ่นมาโดยตลอด โดยเฉพาะอย่างยิ่งระหว่างชาวโครแอต ชาวเซิร์บ และชาวมุสลิม ในอดีตสโลวีเนียและโครเอเชียเคยเป็นส่วนหนึ่งของอาณาจักรโรมันและจักรวรรดิออสเตรีย-ฮังการี แห่งราชวงศ์ฮับส์บูร์ก (Hapsburg Empire) มาเป็นเวลาหลายศตวรรษ จึงมีความเกี่ยวพันทางสังคม วัฒนธรรม ภาษา ศาสนา และจิตใจกับยุโรปตะวันตก ในขณะที่รัฐทั้งหลายทางตอนใต้ คือ เซอร์เบีย มอนเตเนโกร บอสเนียและเฮอร์เซโกวีนา และมาซิโดเนีย เคยอยู่ภายใต้อำนาจของจักรวรรดิไบแซนไทน์ (Byzantine) และจักรวรรดิออตโตมัน (Ottoman) มานับพันปี จึงได้รับการหล่อหลอมวัฒนธรรมแบบบอลข่าน คือ แบบมุสลิมหรือคริสเตียนตะวันออก (Orthodox) ถึงแม้ภายหลังสงครามโลกครั้งที่ 1 สิ้นสุดลงด้วยการล่มสลายของจักรวรรดิออสเตรีย-ฮังการี และมีการก่อตั้ง "ราชอาณาจักรแห่งชาวเซิร์บ โครแอต และสโลวีน" (Kingdom of Serbs, Croates and Slovenes) เป็นประเทศเอกราช โดยมีกษัตริย์ปกครอง แต่เสถียรภาพทางการเมืองภายในยังคงคลอนแคลน เพราะรัฐต่าง ๆ ซึ่งมีความแตกต่างด้านเชื้อชาติและศาสนา ยังคงมีความขัดแย้งกันลึก ๆ ในปี 1929 กษัตริย์อาเลกซานดาร์ได้ทรงเปลี่ยนชื่อประเทศเป็น "ราชอาณาจักรยูโกสลาเวีย" (Kingdom of Yugoslavia) และปกครองประเทศด้วยนโยบายเด็ดขาดโดยความร่วมมือของทหารตลอดมา จนได้รับขนานนามว่าเป็น “Royal Dictatorship” เมื่อสงครามโลกครั้งที่ 2 ได้สิ้นสุดลง ประธานาธิบดียอซีป ตีโต สามารถยึดเหนี่ยวรัฐต่าง ๆ ของยูโกสลาเวียให้รวมกันอยู่ต่อไป ทั้งนี้ โดยใช้นโยบายอันเด็ดขาดกอปรกับอัจฉริยภาพของประธานาธิบดีตีโตเอง จนกระทั่งเมื่อประธานาธิบดีตีโตถึงแก่กรรมเมื่อปี 1980 ความแตกแยกระหว่างรัฐทั้งหลายที่ประกอบขึ้นเป็นสหพันธรัฐยูโกสลาเวียก็เริ่มปรากฏขึ้น และเมื่อนายสโลโบดัน มิโลเชวิช ผู้นำเชื้อสายเซิร์บ ซึ่งมีแนวคิดชาตินิยม ก้าวขึ้นสู่อำนาจในปี 1989 ความขัดแย้งภายในจึงได้ทวีความรุนแรงจนเกิดวิกฤตการณ์ยูโกสลาเวียเดิมประกอบด้วย 6 สาธารณรัฐ กล่าวคือ สาธารณรัฐสโลวีเนีย โครเอเชีย เซอร์เบีย บอสเนียและเฮอร์เซโกวีนา มอนเตเนโกร และมาซิโดเนีย รวมทั้งจังหวัดปกครองตนเองคอซอวอและวอยวอดีนา ซึ่งเป็นมณฑลปกครองตนเอง เมื่อวันที่ 25 มิถุนายน 1991 สาธารณรัฐสโลวีเนียและโครเอเชียได้ประกาศแยกตัวเป็นเอกราช ไม่อยู่ภายใต้การปกครองของยูโกสลาเวียอีกต่อไป ภายหลังจากการออกเสียงประชามติทั่วประเทศในสาธารณรัฐทั้งสอง การประกาศเป็นเอกราชดังกล่าว ถือได้ว่าเป็นจุดเริ่มต้นของวิกฤติการณ์ยูโกสลาเวีย ซึ่งได้ขยายตัวเป็นสงครามกลางเมืองในเวลาต่อมา เมื่อสาธารณรัฐมาซิโดเนียและบอสเนียและเฮอร์เซโกวีนา ได้ประกาศยกตัวออกเป็นรัฐเอกราชเช่นเดียวกัน เมื่อเดือนกันยายนและตุลาคม 1991 ตามลำดับ
สถานการณ์ในคอซอวอ.
คอซอวอเป็นจังหวัดปกครองตนเองแห่งหนึ่งทางภาคใต้ของสาธารณรัฐเซอร์เบีย ประกอบด้วยชาวแอลเบเนียร้อยละ 90 จากประชากรจำนวน 2 ล้านคน ในปี 1998 เคยเกิดการสู้รบอย่างรุนแรงระหว่างกองกำลังชาวคอซอวอเชื้อสายแอลเบเนียกับกองทัพของเซอร์เบียเมื่อเซอร์เบียประกาศยกเลิกสถานะการปกครองตนเองของคอซอวอ การสู้รบขยายตัวไปสู่การฆ่าล้างเผ่าพันธุ์ชาวแอลเบเนียอย่างโหดเหี้ยม ส่งผลให้เกิดผู้ลี้ภัยชาวแอลเบเนียในประเทศเพื่อนบ้านจำนวนมาก
การสู้รบดังกล่าว ยุติลงเมื่อ NATO ใช้ปฏิบัติการทางทหารกับเซอร์เบีย ในปี 1999 ซึ่งต่อมา NATO ได้ส่งกองกำลังคอซอวอ (Kosovo Force, KFOR) เข้าไปปฏิบัติการรักษาสันติภาพในคอซอวอ และสหประชาชาติได้จัดตั้งองค์กรบริหารชั่วคราวขึ้นในคอซอวอ (UNMIK) อย่างไรก็ดี กล่าวได้ว่า สถานการณ์ในคอซอวอหลังปี 1999 ยังไม่สงบนัก เนื่องจากมีการปะทะกันระหว่างชาวคอซอวอเชื้อสายแอลเบเนียกับเชื้อสายเซิร์บอยู่เป็นประจำ ก่อให้เกิดความตึงเครียดเป็นระยะ ๆ
การเจรจาระหว่างชาวคอซอวอเชื้อสายแอลเบเนียกับเชื้อสายเซิร์บ.
เมื่อวันที่ 20-21 กุมภาพันธ์ 2006 ได้มีการเจรจาแบบเผชิญหน้าครั้งแรกระหว่างฝ่ายเซิร์บกับฝ่ายแอลเบเนียในคอซอวอที่กรุงเวียนนา เพื่อกำหนดสถานะในอนาคตของคอซอวอ โดยเป็นการเจรจาระหว่างเจ้าหน้าที่ระดับกลางของทั้งสองฝ่าย และมีเจ้าหน้าที่ซึ่งแต่งตั้งโดยคณะมนตรีความมั่นคงแห่งสหประชาชาติเป็นผู้ประสานการเจรจา โดยเมื่อวันที่ 24 กรกฎาคม 2006 ได้มีการเจรจาระดับสูงระหว่างประธานาธิบดีเซอร์เบียและนายกรัฐมนตรีคอซอวอขึ้นเป็นครั้งแรกนับตั้งแต่ปี 1999 แต่ไม่สามารถตกลงกันได้ในเรื่องสถานะทางการเมืองที่ถาวรของคอซอวอ ฝ่ายเซิร์บยืนกรานให้คอซอวอเป็นส่วนหนึ่งของเซอร์เบีย โดยยินยอมให้อิสระในระดับหนึ่ง ขณะที่ฝ่ายแอลเบเนียต้องการอิสรภาพ สำหรับการเจรจาในระดับเจ้าหน้าที่ครั้งล่าสุดมีขึ้นเมื่อวันที่ 7-8 สิงหาคม ที่ผ่านมายังไม่สามารถหาข้อยุติได้ โดยฝ่ายเซิร์บได้คว่ำบาตรการเจรจาในหัวข้อที่เกี่ยวกับอนาคตของคอซอวอ
การล่มสลายของสหภาพรัฐ.
มอนเตเนโกรลงประชามติแยกตัวออกจากประเทศเซอร์เบียและมอนเตเนโกรเมื่อวันที่ 21 พฤษภาคม 2006 มอนเตเนโกรได้จัดการลงประชามติเพื่อแยกตัวออกจากประเทศเซอร์เบียและมอนเตเนโกร โดยมีผู้ลงคะแนนเสียงสนับสนุนให้รัฐมอนเตเนโกรแยกตัวออกจากประเทศเซอร์เบียและมอนเตเนโกร ร้อยละ 55.4 ซึ่งเกินเกณฑ์ขั้นต่ำ (ร้อยละ 55) ที่สหภาพยุโรปกำหนดที่จะให้การรับรอง โดยมีจำนวนผู้ที่มาใช้สิทธิมากถึง ร้อยละ 86.3 จากจำนวนผู้มีสิทธิลงคะแนนทั้งหมด 485,000 คน ซึ่งผลการลงประชามติในครั้งนี้ จะทำให้มอนเตเนโกรกลายเป็นประเทศเกิดใหม่ล่าสุดของโลก และมีแนวโน้มที่มอนเตเนโกรจะได้รับโอกาสในการพัฒนาประเทศและเข้าเป็นสมาชิกสหภาพยุโรปได้ในที่สุด อย่างไรก็ตาม เซอร์เบียจะเป็นรัฐสืบสิทธิเพียงผู้เดียว สำหรับมอนเตเนโกรนั้น เมื่อแยกตัวออกมาเป็นประเทศเอกราชจะต้องขอรับการรับรองจากนานาประเทศ และสมัครเข้าเป็นสมาชิกองค์การสหประชาชาติ และองค์การระหว่างประเทศอื่น ๆ อีกครั้งหนึ่ง
ประเทศเซอร์เบียและมอนเตเนโกรปกครองแบบสาธารณรัฐ โดยประธานาธิบดีเป็นประมุขมาจากการเลือกตั้งโดยตรง มีวาระการดำรงตำแหน่ง 5 ปี นายกรัฐมนตรีเป็นหัวหน้ารัฐบาล ได้รับเลือกตั้งจากสภาสำหรับจังหวัดปกครองตนเองคอซอวออยู่ภายใต้การบริหารของสหประชาชาติ
ประเทศเซอร์เบียและมอนเตเนโกรประกอบด้วย 2 สาธารณรัฐ (republics) คือ
ภายในสาธารณรัฐเซอร์เบียมี 2 มณฑลปกครองตนเอง (autonomous provinces) คือ
ในพื้นที่ดินแดนทั้ง 3 แห่งข้างต้น จะแบ่งออกเป็น เขต (districts) รวม 29 เขต และแต่ละเขตแบ่งย่อยลงไปอีกเป็น เทศบาล (municipalities)
ส่วนในสาธารณรัฐมอนเตเนโกรนั้นจะแบ่งออกเป็น 21 เทศบาล
ลิมิตของฟังก์ชัน
ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน (sin "x")/"x" จะไม่นิยามที่ 0 แต่เมื่อ "x" มีค่าเข้าใกล้ 0 มาก ๆ แล้ว (sin "x")/"x" มีค่าเข้าใกล้ 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ (sin "x")/"x" เมื่อ "x" เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ  1
ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้อกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง
นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน จะรับค่า แล้วคืนค่าออกมาคือ เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน มีลิมิต ที่จุด ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน จะเข้าใกล้ มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า ที่เข้าใกล้ค่า ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ
แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย
แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน ปริภูมิอิงระยะทาง และปริภูมิทอพอโลยี อีกด้วย
ดูที่ คณิตวิเคราะห์
นิยามเป็นทางการ.
นิยามแบบ (ε, δ) ของลิมิต.
กำหนดให้ formula_1 เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ formula_2 เป็นจำนวนจริงโดยที่ formula_3 เราจะกล่าวว่าลิมิตของ formula_4 เมื่อ formula_5 มีค่าเข้าใกล้ formula_6 คือ formula_7 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่า formula_8 จะมีจำนวนจริง formula_9 ที่ทำให้สำหรับทุกค่า formula_5 ถ้า formula_11 แล้ว formula_12
ถ้าลิมิตของ formula_4 เมื่อ formula_5 มีค่าเข้าใกล้ formula_6 คือ formula_7 แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น
formula_18 เมื่อ formula_19 (อ่านว่า "formula_20 มีค่าเข้าใกล้ formula_7 เมื่อ formula_5 มีค่าเข้าใกล้ formula_6")
สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ formula_4 ที่จุด formula_6 ยิ่งไปกว่านั้น formula_26 ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้
ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง.