pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
งานทั้งหมดของอาเบลที่ปรากฏในวารสารของ Crelle ได้ถูกนำมาตีพิมพ์อีกครั้งในปี ค.ศ. 1839 และ ปี ค.ศ. 1881 ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัยหลายท่านยังแนะนำให้อ่านงานของอาเบลจวบจนทุกวันนี้ ชื่อของอาเบลปรากฏในศัพท์คณิตศาสตร์หลายแห่งมากมายเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา นอกจาก Abel's Test และ อาบีเลียนฟังก์ชันที่ได้กล่าวไปแล้ว ยังมี อาบีเลียนกรุ๊ป อาบีเลียนคาทีกอรี สมการปริพันธ์ของอาเบล การทรานส์ฟอร์มแบบอาเบล อาบีเลียนวาไรตี้
ในปี ค.ศ. 2002, ประเทศนอร์เวย์ได้ตั้งรางวัลอาเบล (Abel Prize) ให้แก่นักคณิตศาสตร์ที่มีผลงานดีเด่น
ในที่นี้คำว่าอาจารย์หมายถึงผู้ที่มีอิทธิพลสูงในการทำให้คณิตศาสตร์ก้าวหน้า โดยสำหรับตัวอาเบลเองเขาศึกษางานของนิวตัน ออยเลอร์ และลากรองช์ จนเข้าใจละเอียดลึกซึ้ง
กัปตันซึบาสะ เจ้าหนูสิงห์นักเตะ
กัปตันซึบาสะ  เป็นการ์ตูนญี่ปุ่นเกี่ยวกับฟุตบอล มีการจัดทำหลายภาคต่อมา และได้จัดทำเป็นวิดีโอเกมส์ และภาพยนตร์การ์ตูน เป็น เรื่องราวของเด็กชายโอโซระ ซึบาสะ ซึ่งได้รับการสอนฟุตบอลจากอดีตนักฟุตบอลทีมชาติบราซิล เชื้อสายญี่ปุ่นชื่อโรแบร์โต ฮอนโง และร่วมทีมนันคัตสึเพื่อเข้าชิงชัยฟุตบอล แห่งชาติทั้งระดับประถมและมัธยม
หนังสือการ์ตูนเรื่องกัปตันซึบาสะ ปัจจุบันได้มีทั้งหมด 7 ภาค โดยภาคแรกออกมาในช่วง ปี พ.ศ. 2524 - พ.ศ. 2531 มีจำนวน 37 เล่ม, ภาคเยาวชนโลก ออกมาในช่วง พ.ศ. 2537 - พ.ศ. 2540 มีจำนวน 18 เล่ม, ภาค Road to 2002 ออกมาในช่วง พ.ศ. 2544 - พ.ศ. 2547 มีจำนวน 15 เล่ม, และ ภาค Golden 23 ออกมาตั้งแต่ปี 2548 ถึงปัจจุบัน
ผลงานบางส่วนในเรื่องซึบาสะนี้ ได้มีการเก็บไว้ในพิพิธภัณฑ์ของสโมสรฟุตบอลบาร์เซโลนาด้วย
การ์ตูนเรื่องนี้เคยออกอากาศฉายทางโทรทัศน์ในประเทศไทยเป็นครั้งแรก ย้อนกลับไปเมื่อ 34 ปี ที่แล้ว ใน พ.ศ. 2530 เดือนมีนาคม ทุกเย็นวันเสาร์ เวลา 15.30 น. โดยสถานีโทรทัศน์กองทัพบกช่อง 5 โดยในสมัยนั้นใช้ชื่อเรื่องว่า "เจ้าหนูสิงห์นักเตะ" และตัวเอกของเรื่อง เรียกชื่อกันในสมัยนั้นออกเสียงเป็นคำสมัยนิยมว่า "เออซูล่า จิมาสะ"
โอโซระ ซึบาสะ เจ้าหนูสิงห์นักเตะ เรื่องราวนี้ได้เกิดขึ้นในเมืองนันคัตซึ จังหวัดชิสึโอกะ ซึบาสะ ได้พบกับเพื่อนเล่นบอลที่นี่ ไม่ว่าจะเป็น อิชิซากิ วากาบายาชิ มิซากิ ความฝันและการต่อสู้ของพวกเขาจึงได้เริ่มต้นขึ้น จากระดับเมือง เป็นจังหวัด จนถึงระดับประเทศ ได้แข่งขันกันอย่างดุเดือด ได้พบทั้งคู่แข่ง และเพื่อนมากมาย เช่น เฮียวงะ มิสุงิ มัตซึยาม่า พี่น้องทาจิบานา อีกทั้งเมื่อซึบาสะได้รู้จักกับ โรแบร์โต้ ฮอนโง อดีตนักฟุตบอลทีมชาติบราซิล
ทำให้ซึบาสะเกิดความฝันที่จะไปบราซิลกับโรแบร์โต้
แต่แล้วด้วยเหตุบางอย่าง ทำให้โรแบร์โต้จากเขาไปบราซิลแต่เพียงลำพัง ทิ้งให้ซึบาสะที่เพิ่งนำทีมประถมนันคัตซึชนะเลิศฟุตบอลระดับประเทศมาสดๆร้อนๆ ต้องอยู่ญี่ปุ่นต่อไป อย่างไรก็ตาม ซึบาสะก็ยังตั้งใจว่าสักวัน เขาจะต้องไปบราซิลและได้พบกับโรแบร์โต้อย่างแน่นอน หลังจากนั้นซึบาสะก็ใช้หนังสือที่โรแบร์โต้เขียนทิ้งไว้ให้ ฝึกฝนตนเองอยู่เสมอ เขาได้นำทีมมัธยมนันคัตซึเป็นแชมป์ระดับประเทศ 3 สมัยซ้อน จากนั้นเขาและเพื่อนๆ ทีมชาติ ได้นำชื่อของญี่ปุ่นไปชนะเลิศการแข่งขันฟุตบอลยุวชนนานาชาติที่ฝรั่งเศสอีกด้วย และสุดท้ายความฝันที่จะไปบราซิลกับโรแบร์โต้ของซึบาสะก็เป็นจริง
ภาค Road To 2002.
หลังจากภาคเยาวชนโลก ซึบาสะ ต้องการที่จะพาทีมชาติญี่ปุ่นคว้าแชมป์ฟุตบอลโลก 2002 ที่ญี่ปุ่นกับเกาหลีร่วมกันเป็นเจ้าภาพ และต้องการเป็นนักเตะอันดับ 1 ของโลก โดยซึบาสะย้ายทีมจากเซาเพาโลในประเทศบราซิล มาอยู่กับบาร์เซโลนาในประเทศสเปน และต้องพบกับความจริงจังในการเป็นนักเตะอาชีพ และได้พบกับ ริวัล หมายเลข 10 ของบาร์เซโลนา ซึ่งเป็นนักเตะอันดับ 1 ของโลก เพื่อนร่วมทีมอย่างเฮียวงะ โคจิโร่ที่ไปอยู่กับยูเวนตุส เพื่อสานฝันการเป็น สไตรเกอร์อันดับ 1 ของโลก และวากาบายาชิอยู่กับฮัมบูร์ก ส่วนคู่แข่งคนสำคัญ นาทูเรซา มาอยู่กับ เรอัล มาดริด ทั้งนี้เนื้อเรื่องมีความยาว 15 เล่มจบ แต่จริงๆแล้ว เนื้อเรื่องยังไม่จบ เพราะเล่มอวสานถึงแค่ซึบาสะเอาชนะศึกเอลกลาซิโก โดยถล่มเรอัล มาดริดไป 6:5
ภาค Golden 23.
ภาคนี้เนื้อเรื่องหลักคือการสร้างทีมเพื่อแข่งขันฟุตบอลโอลิมปิก หรือ U-23 ผู้จัดการทีม คิระ โคโซ ตัดสินใจจะผ่านรอบคัดเลือกโซนเอเชียไปให้ได้โดยไม่ใช้นักเตะอาชีพในต่างประเทศ (ซึบาสะ เฮียวงะ อาโออิ อากาอิ วากาบายาชิ) สาเหตุแรกคือต้องการให้พวกเขาเหล่านั้นพัฒนาตัวเองให้เต็มที่ในต่างประเทศ อีกสาเหตุคือผู้จัดการต้องการรีดเอาความสามารถของสมาชิกที่เหลืออยู่ให้มากที่สุด เพราะหากแค่รอบคัดเลือกโซนเอเชียยังผ่านด้วยสมาชิกเท่านี้ไม่ได้ ก็ไม่ต้องไปหวังเหรียญทองโอลิมปิก ในภาคนี้สีสันจึงอยู่ที่นักเตะที่เหลือได้มีบทบาทมากขึ้น เช่น นิตตะ ที่ต้องเป็นศูนย์หน้าตัวหลัก วากาชิมาสึ นอกจากเป็นผู้รักษาประตูแล้วยังได้ลงมาเล่นเป็นกองหน้าด้วย ทีมญี่ปุ่นที่นำโดย มิซากิ มัตซึยามา มิสุงิ (มีการเรียกขานพวกเขาว่า 3M) ต้องฝ่าฟันรอบคัดเลือกโซนเอเชียไปให้ได้ ในภาคนี้ยังมีเนื้อเรื่องรองเป็นเรื่องในต่างแดนของนักเตะในต่างประเทศแต่ละคน
ภาค In Cal Cio.
ภาคนี้เป็นเรื่องราวของนักเตะญี่ปุ่นในอิตาลี เฮียวงะถูกยืมตัวไปเล่นกับทีมเรจจิน่าในเซเรียซี อาโออิเล่นให้กับทีมอัลเบเซ่ในเซเรียซีเช่นกัน ท้ายสุดทั้งสองคนต้องมาเจอกันในนัดปิดฤดูกาลเพื่อแย่งสิทธิ์เลื่อนชั้นไปเซเรียบี ส่วนอากาอิยังคงเล่นให้กับทีมซามพ์โดเรียในเซเรียบีและสามารถปิดฤดูกาลช่วยให้ทีมเลื่อนชั้นไปเซเรียอาได้ แต่ตัวเขาบาดเจ็บต้องพักยาวไม่สามารถร่วมทีมแข่งโอลิมปิกได้
ภาค En La Liga.
ภาคนี้เป็นภาคของซีบาสะกับบาร์เซโลนาในสเปนต่อไป บาร์เซโลนาต้องการเป็นแชมป์ลาลีกาให้ได้ สุดท้ายก็กลับมาเจอกับนาทูเรซาและทีมเรอัล มาดริดอีกครั้ง
ภาค Rising Sun.
ฟุตบอลโอลิมปิกได้เปิดฉากขึ้นแล้ว ทีมชาติญี่ปุ่นนำโดยซึบาสะ ต้องพบกับทีมคู่แข่งทั้งหน้าเก่าและหน้าใหม่มากมาย ปัจจุบันภาคนี้ยังไม่จบ
ปี ค.ศ. 2018 มีการนำ "" ภาคแรกกลับมาสร้างใหม่ในรูปแบบภาพยนตร์ชุดอนิเมะอีกครั้ง และ ออกอากาศทาง ทีวีโตเกียว ซึ่งเป็นปีเดียวกับที่มีการแข่งขันฟุตบอลโลก 2018 ที่ประเทศรัสเซีย. Viz Media ได้รับสิทธิ์ในการเผยแพร่อนิเมะชุดนี้ . ฉบับพากย์เสียงภาษาอังกฤษเริ่มออกอากาศวันที่ ทาง Primo TV ในสหรัฐอเมริกา. ฉบับพากย์เสียงภาษาอินโดนีเซียและฉบับพากย์เสียงภาษาไทยเริ่มออกอากาศ วันที่ ทาง RCTI ในประเทศอินโดนีเซียและ PPTV ในประเทศไทยตามลำดับ.
สำหรับ PPTV ออกอากาศในระบบเสียง 2 ภาษาโดยไม่มีคำบรรยายภาษาไทย (แปลโดย : ทินรัตน์ คงฤทัยชัย)
สปีชีส์
ในวิชาชีววิทยา ชนิด หรือทับศัพท์ว่า สปีชีส์ (, ย่อ: sp., รูปพหูพจน์ย่อ: spp.) เป็นหน่วยการจำแนกชั้นทางวิทยาศาสตร์พื้นฐานและอันดับอนุกรมวิธานหนึ่ง มักนิยามว่า สปีชีส์เป็นกลุ่มอินทรีย์ใหญ่สุดที่สามารถสืบพันธุ์แล้วออกลูกที่สืบพันธุ์ได้ การมีลักษณะปรับตัวเฉพาะบางท้องถิ่นอาจแบ่งสปีชีส์ต่ออีกได้เป็น "ชื่อต่ำกว่าระดับชนิด" (infraspecific taxa) เช่น ชนิดย่อย (ในทางพฤกษศาสตร์ มีใช้คำอื่น เช่น พันธุ์ (variety) พันธุ์ย่อยและแบบ (forma))
กัปตันซึบาสะ ภาคเยาวชนโลก
กัปตันซึบาสะ ภาค Road to 2002
โครงสร้างส่วนบน
ในสาขาสังคมศาสตร์ โครงสร้างส่วนบน คือกลุ่มของกรอบควบคุมเชิงสังคมและจิตวิทยาที่รักษาโครงสร้างที่เป็นเอกภาพ และมีความหมายภายในสังคม โครงสร้างนี้รวมถึงวัฒนธรรม, สถาบัน, โครงสร้างของอำนาจ, บทบาทและหน้าที่ของสมาชิกในสังคม, รวมไปถึงขนบต่างๆ โครงสร้างดังกล่าวนี้สามารถกำหนดกฎเกณฑ์และแนวปฏิบัติของกิจกรรมต่างๆ ผ่านทางรูปแบบของพฤติกรรมที่พึงประสงค์ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ
ฮาร์ดดิสก์ หรือ จานบันทึกแบบแข็ง  คือ อุปกรณ์คอมพิวเตอร์ที่บรรจุข้อมูลแบบไม่ลบเลือน มีลักษณะเป็นจานโลหะที่เคลือบด้วยสารแม่เหล็กซึ่งหมุนอย่างรวดเร็วเมื่อทำงาน การติดตั้งเข้ากับตัวคอมพิวเตอร์สามารถทำได้ผ่านการต่อเข้ากับแผงวงจรหลัก (motherboard) ที่มีอินเตอร์เฟซแบบขนาน (PATA) , แบบอนุกรม (SATA) และแบบเล็ก (SCSI) ทั้งยังสามารถต่อเข้าเครื่องจากภายนอกได้ผ่านทางสายยูเอสบี, สายไฟร์ไวร์ รวมไปถึงอินเตอร์เฟซอนุกรมแบบต่อนอก (eSATA) ซึ่งทำให้การใช้ฮาร์ดดิสก์ทำได้สะดวกยิ่งขึ้นเมื่อไม่มีคอมพิวเตอร์ถาวรเป็นของตนเอง
โดยในปี 2008 ได้มีการพัฒนาเป็น Hybrid drive และ โซลิดสเตตไดรฟ์
ฮาร์ดดิสก์ที่มีกลไกเรื่มต้นแบบปัจจุบันถูกประดิษฐ์ขึ้นเมื่อ พ.ศ. 2499 โดยนักประดิษฐ์ยุคบุกเบิกแห่งบริษัทไอบีเอ็ม เรย์โนล์ด จอห์นสัน โดยมีความจุเริ่มแรกที่ 100 กิโลไบต์ มีขนาด 20 นิ้ว ในปี พ.ศ. 2523 ฮาร์ดดิสก์ยังเป็นสิ่งที่หายากและราคาแพงมาก แต่หลังจากนั้นฮาร์ดดิสก์กลายเป็นมาตรฐานของพีซีและราคาถูกลงมาก
สิ่งที่เปลี่ยนแปลงของฮาร์ดดิสก์จากปี 1980 ถึงปัจจุบัน
ขนาดและความจุ.
ความจุของฮาร์ดดิสก์โดยทั่วไปในปัจจุบันนั้นมีตั้งแต่ 20 จิกะไบต์ ถึง 3 เทระไบต์
ยิ่งมีความจุมาก ก็จะยิ่งทำให้การทำงานมีประสิทธิภาพมากขึ้น โดยความต้องการของตลาดในปัจจุบันที่ต้องการแหล่งเก็บข้อมูลที่มีความจุในปริมาณมาก มีความน่าเชื่อถือในด้านการรักษาความปลอดภัยของข้อมูล และไม่จำเป็นต้องต่อเข้ากับอุปกรณ์ที่ใหญ่กว่าอันใดอันหนึ่งได้นำไปสู่ฮาร์ดดิสก์รูปแบบใหม่ต่าง ๆ เช่นกลุ่มจานบันทึกข้อมูลอิสระประกอบจำนวนมากที่เรียกว่าเทคโนโลยี เรด รวมไปถึงฮาร์ดดิสก์ที่มีลักษณะเชื่อมต่อกันเป็นเครือข่าย เพื่อที่ผู้ใช้จะได้สามารถเข้าถึงข้อมูลในปริมาณมากได้ เช่นฮาร์ดแวร์ NAS หน่วยเก็บข้อมูลบนเครือข่าย เป็นการนำฮาร์ดดิสก์มาทำเป็นเครื่อข่ายส่วนตัว และระบบ SAN (Storage area network) เป็นการนำฮาร์ดดิสก์มาเป็นพื้นที่ส่วนกลางในการเก็บข้อมูล
ผู้ใช้ส่วนใหญ่เลือกซื้อฮาร์ดดิสก์โดยพิจารณาที่ความจุเป็นหลัก ไม่ค่อยคำนึงถึงประสิทธิภาพในการทำงานมากนัก
ทั้งๆที่ประสิทธิภาพของฮาร์ดดิสก์มีผลต่อสมรรถนะการทำงานโดยรวมของ คอมพิวเตอร์ไม่น้อยเลย
อย่าง ไรก็ดี สิ่งที่น่าเป็นห่วงมากกว่านั้นก็คือ การที่บางคนมีความเข้าใจในรายละเอียดทางเทคนิค หรือที่เรียกว่าสเปค (specification) ของฮาร์ดดิสก์เพียงผิวเผิน
แต่กลับไปยึดติดและให้ความสำคัญกับสเปคต่าง ๆ อย่างไม่สมเหตุสมผลในคอมพิวเตอร์
ดังที่จะพบว่าทุกวันนี้เมื่อพูดถึง การเลือกซื้อฮาร์ดดิสก์แล้ว ผู้ซื้อจำนวนมากให้ความสำคัญกั บตัวเลขที่บอกอัตราการส่งผ่านข้อมูลภายนอก (external transfer rate)
มากเท่าๆกับความเร็วรอบ (spindle speed) ของฮาร์ดดิสก์ ซึ่งถือเป็นเรื่องที่ไม่ถูกต้อง
เราจะมาดูกันครับว่า สเปคต่างๆที่ผู้ผลิตระบุไว้ในดาต้าชีท (data sheet) หรือสเปค ชีท (spec sheet) นั้นเกี่ยวข้องกับประสิทธิภาพของฮาร์ดดิสก์อย่างไร
และเราควรให้ความสำคัญกับอะไรมากน้อยแค่ไหน โดยจะขอแยกออกเป็น 2 กลุ่มคือ สเปคที่เกี่ยวเนื่องกับประสิทธิภาพในการหาตำแหน่ง และสเปคที่เกี่ยวเนื่องกับประสิทธิภาพในการส่งผ่านข้อมูล
ข้อมูลที่เก็บลงในฮาร์ดดิสก์จะอยู่บนเซกเตอร์และแทร็ก แทร็กเป็นรูปวงกลม ส่วนเซกเตอร์เป็นเสี้ยวหนึ่งของวงกลม อยู่ภายในแทร็กดังรูป แทร็กแสดงด้วยสีเหลือง ส่วนเซกเตอร์แสดงด้วยสีแดง ภายในเซกเตอร์จะมีจำนวนไบต์คงที่ ยกตัวอย่างเช่น 256 ถึง 512 ขึ้นอยู่กับว่าระบบปฏิบัติการของคอมพิวเตอร์จะจัดการแบ่งในลักษณะใด เซกเตอร์หลาย ๆ เซกเตอร์รวมกันเรียกว่า คลัสเตอร์ (Clusters) ขั้นตอน ฟอร์แมต ที่เรียกว่า การฟอร์แมตระดับต่ำ (Low -level format) เป็นการสร้างแทร็กและเซกเตอร์ใหม่ ส่วนการฟอร์แมตระดับสูง (High-level format) ไม่ได้ไปยุ่งกับแทร็กหรือเซกเตอร์ แต่เป็นการเขียน FAT ซึ่งเป็นการเตรียมดิสก์เพื่อที่เก็บข้อมูลเท่านั้น
หน่วยความจำภายนอก
อ่าวตังเกี๋ย (; ; จีนตัวเต็ม: 東京灣) เป็นอ่าวขนาด 480 x 240 กิโลเมตร อยู่ทางตะวันตกเฉียงเหนือของทะเลจีนใต้ ระหว่างประเทศเวียดนามกับประเทศจีน ทะเลในอ่าวมีความลึกน้อยกว่า 60 เมตร แม่น้ำสำคัญที่น้ำไหลลงสู่อ่าวตังเกี๋ย คือ แม่น้ำแดงในเวียดนาม ท่าเรือสำคัญอยู่ในเมืองไฮฟองของเวียดนาม และเป๋ย์ไห่ของจีน อ่าวตังเกี๋ยมีเกาะขนาดใหญ่ คือ เกาะไหหลำ (ไห่หนาน) ของจีน
อ่าวตังเกี๋ยมีความสำคัญในประวัติศาสตร์ อุบัติการณ์อ่าวตังเกี๋ยเมื่อเดือนสิงหาคม พ.ศ. 2507 (ค.ศ. 1964) นำไปสู่การมีส่วนร่วมอย่างเปิดเผยของสหรัฐอเมริกาในสงครามเวียดนาม
ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก "trigonon" มุม 3 มุม และ "metro" การวัด) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างความยาวและมุมของรูปสามเหลี่ยม ตรีโกณมิติเกิดขึ้นในสมัยเฮลเลนิสต์ ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ปัจจุบันได้มีการนำไปใช้ตั้งแต่ในวิชาเรขาคณิตไปจนถึงวิชาดาราศาสตร์
นักดาราศาสตร์ในศตวรรษที่ 3 ได้สังเกตว่าความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมระหว่างด้านมีความสัมพันธ์ที่คงที่ ถ้าทราบความยาวอย่างน้อยหนึ่งด้านและค่าของมุมหนึ่งมุม แล้วมุมและความยาวอื่น ๆ ที่เหลือก็สามารถคำนวณหาค่าได้ การคำนวณเหล่านี้ได้ถูกนิยามเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ และในปัจจุบันได้แพร่หลายไปทั้งคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ เช่น การแปลงฟูรีเย หรือสมการคลื่น หรือการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ที่เป็นคาบในสาขาวิชาฟิสิกส์ วิศวกรรมเครื่องกล วิศวกรรมไฟฟ้า ดนตรีและสวนศาสตร์ ดาราศาสตร์ นิเวศวิทยา และชีววิทยา นอกจากนี้ ตรีโกณมิติยังเป็นพื้นฐานของการสำรวจ
ตรีโกณมิติมีความเกี่ยวข้องมากที่สุดกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนระนาบ (กล่าวคือ รูปสามเหลี่ยมสองมิติที่มีมุมหนึ่งมีขนาด 90 องศา) มีการประยุกต์ใช้กับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉากด้วย โดยการแบ่งรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ปัญหาส่วนมากสามารถแก้ได้โดยใช้การคำนวณบนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น การประยุกต์ส่วนใหญ่ก็จะเกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ยกเว้นในตรีโกณมิติเชิงทรงกลม วิชาที่ศึกษารูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลม ซึ่งมีความโค้งเป็นค่าคงที่บวก ในเรขาคณิตอิลลิปติก (elliptic geometry) อันเป็นพื้นฐานของวิชาดาราศาสตร์และการเดินเรือ) ส่วนตรีโกณมิติบนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นค่าลบเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก
วิชาตรีโกณมิติเบื้องต้นมักมีการสอนในโรงเรียน อาจเป็นหลักสูตรแยกหรือเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรความรู้พื้นฐานสำหรับแคลคูลัส
นักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลาง (หรือยุคมืด ตามคำเรียกของชาวยุโรป) มีส่วนเป็นอย่างมากในการพัฒนาและอุทิศผลงานในคณิตศาสตร์สาขาตรีโกณมิติ โดยพวกเขาได้รับแนวคิดพื้นฐานมาจาก
อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง
คำว่า ตรีโกณมิติ เป็นการรวมคำสามคำ คือ ตรี (สันสกฤต : त्रि, "ตรี") หรือ tri แปลว่า สาม, โกณ (สันสกฤต : कोना, "โกณะ") หรือ gon แปลว่า มุม หรือ เหลี่ยม, มิติ (สันสกฤต : मिति, มิติ) หรือ metric แปลว่า การวัด ดังนั้น ตรีโกณมิติ หมายถึง การคำนวณโดยความสัมพันธ์ระหว่างมุมและด้านของรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกัน ถ้ารูปหนึ่งสามารถขยายได้เป็นอีกรูปหนึ่ง และจะเป็นกรณีนี้ก็ต่อเมื่อมุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน เป็นข้อเท็จจริงว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านแต่ละด้านจะเป็นสัดส่วนกัน นั่นคือ ถ้าด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ยาวเป็นสองเท่าของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จะกล่าวได้ว่า ด้านที่สั้นที่สุดจะยาวเป็นสองเท่าของด้านที่สั้นที่สุดของอีกรูปสามเหลี่ยม และด้านที่ยาวปานกลางก็จะเป็นสองเท่าของอีกรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมแรก จะเท่ากับ อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปด้วย
จากข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมฉากหนึ่งมุม (90 องศา หรือ π/2 (1.5707 เรเดียน)) ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมใดๆจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด แต่เพราะว่าผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา หรือ π เรเดียน ดังนั้นมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนี้คือมุมฉาก ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นด้านที่ตรงข้ามกับมุมฉาก เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก
นำ"รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก"มาสองรูปที่มีมุม "A" ร่วมกัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะคล้ายกัน และอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุม "A" ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากันทั้งสองรูป มันจะเป็นจำนวนระหว่าง 0 ถึง 1 ขึ้นอยู่กับขนาดของมุม "A" เท่านั้น เราเรียกว่า ไซน์ของ "A" และเขียนด้วย sin ("A") ในทำนองเดียวกัน เรานิยาม โคไซน์ของ "A" คืออัตราส่วนระหว่าง ด้านประชิดมุม "A" ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญ ฟังก์ชันอื่นๆสามารถนิยามโดยใช้อัตราส่วนของด้านต่างๆของรูปสามเหลี่ยม แต่มันก็สามารถเขียนได้ในรูปของ ไซน์ และ โคไซน์ ฟังก์ชันเหล่านี้คือ แทนเจนต์, ซีแคนต์, โคแทนเจนต์, และ โคซีแคนต์
วิธีจำ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ อย่างง่ายๆคือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด (ไซน์-ด้านตรงข้าม-ด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์-ด้านประชิด-ด้านตรงข้ามมุมฉาก แทนเจนต์-ด้านตรงข้าม-ด้านประชิด)
ที่ผ่านมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนิยามขึ้นสำหรับมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศา (0 ถึง π/2 เรเดียน) เท่านั้น หากใช้วงกลมหนึ่งหน่วย จะขยายได้เป็นจำนวนบวกและจำนวนลบทั้งหมด (ดูใน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
ครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ถูกจัดลงในตาราง (หรือคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข) ทำให้ตอบคำถามทั้งหมดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆได้อย่างแท้จริง โดยใช้กฎของไซน์ และ กฎของโคไซน์
กฎเหล่านี้สามารถใช้ในการคำนวณมุมที่เหลือและด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวด้านสองด้านและขนาดของมุมหนึ่งมุม หรือรู้ขนาดของมุมสองมุมและความยาวของด้านหนึ่งด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน
นักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่าตรีโกณมิติแต่เดิมนั้น ถูกประดิษฐ์ชึ้นเพื่อใช้คำนวณนาฬิกาแดด ซึ่งมักเป็นโจทย์ในหนังสือเก่าๆ มันมีความสำคัญมากในเรื่องการสำรวจ
ปัจจุบัน มีการนำตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่าง ๆ เช่น เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้ ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนำทาง งานที่มีการใช้(และการนำทางในมหาสมุทร บนเครื่องบิน และในอวกาศ) ,ทฤษฎีดนตรี, สวนศาสตร์, ทัศนศาสตร์, การวิเคราะห์ตลาดการเงิน, อิเล็กทรอนิกส์, ทฤษฎีความน่าจะเป็น, สถิติศาสตร์, ชีววิทยา, การสร้างภาพทางการแพทย์ (การกราดภาพตัดขวางใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAT scans) และ คลื่นเสียงความถี่สูง) , เภสัชศาสตร์, เคมี, ทฤษฎีจำนวน (รวมถึง วิทยาการเข้ารหัสลับ) , วิทยาแผ่นดินไหว, อุตุนิยมวิทยา, สมุทรศาสตร์, วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ, การสำรวจพื้นดิน และภูมิมาตรศาสตร์, สถาปัตยกรรม, สัทศาสตร์, เศรษฐศาสตร์, วิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมเครื่องกล, วิศวกรรมโยธา, เรขภาพคอมพิวเตอร์, การทำแผนที่, ผลิกศาสตร์
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เช่น เอกลักษณ์ดังต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส
การบวก
การบวก (มักแทนด้วยเครื่องหมายบวก "+") คือหนึ่งในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิตมูลฐาน นอกจากการบวกยังมีการลบ การคูณ และการหาร การบวกจำนวนสองจำนวนคือผลรวมของปริมาณสองปริมาณรวมกัน ตัวอย่างเช่น ในภาพด้านขวาเป็นการรวมแอปเปิล 3 ผลกับแอปเปิล 2 ผลเข้าด้วยกัน หลายเป็นแอปเปิล 5 ผล ดังนั้นจึงเหมือนกับว่ามีแอปเปิล 5 ผล การกระทำเช่นนี้เทียบเท่ากับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ว่า "3 + 2 = 5" หมายความว่า "3 บวก 2 เท่ากับ 5" เป็นต้น
นอกจากการนับผลไม้แล้ว การบวกสามารถใช้แทนการรวมวัตถุอื่น ๆ การบวกสามารถนิยามด้วยสมบัติที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และวัตถุนามธรรมอื่น ๆ เช่น เวกเตอร์ และเมทริกซ์ ฯลฯ
ในเลขคณิตมีกฎของการบวกที่เกี่ยวกับ และจำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ ถูกคิดค้นขึ้นใหม่ ในทางพีชคณิต การศึกษาการบวกนั้นเป็นไปในเชิงนามธรรมมากขึ้น
การบวกมีสมบัติที่สำคัญหลายประการ การบวกมี หมายความว่าลำดับไม่สำคัญ และมี หมายความว่าเมื่อจำนวนหนึ่งบวกกับจำนวนมากกว่าสองจำนวน ลำดับในการบวกก่อนหลังนั้นไม่สำคัญ (ดู "ผลรวม") การบวก 1 ซ้ำ ๆ มีความหมายเหมือนการนับ การบวกด้วย 0 จะไม่ทำให้จำนวนเปลี่ยนแปลง การบวกยังสามารถคล้อยตามกฎที่ทำนายได้ของการดำเนินการอื่น ๆ ได้แก่ การลบ และการคูณ
การกระทำการบวกเป็นหนึ่งในงานที่ง่ายที่สุด การบวกจำนวนน้อย ๆ สามารถเรียนรู้ได้ตั้งแต่วัยเด็กหัดเดิน เด็กทารกอายุห้าเดือน และแม้กระทั่งสัตว์บางชนิดก็สามารถคำนวณงานพื้นฐานที่สุดอย่าง 1 + 1 ได้ ในระดับประถมศึกษา นักเรียนจะได้เรียนรู้การบวกจำนวนในระบบเลขฐานสิบ โดยเริ่มต้นจากเลขหลักเดียว และพัฒนาการแก้ปัญหาที่ยากขึ้น เครื่องมือช่วยคำนวณการบวกก็แตกต่างกันไปตั้งแต่ลูกคิดโบราณจนไปถึงคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ซึ่งยังมีงานวิจัยเรื่องวิธีการบวกที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดเรื่อยมาถึงทุกวันนี้
สัญกรณ์และศัพทวิทยา.
ปกติการบวกเขียนแทนด้วยเครื่องหมายบวก (+) ใส่ไว้ระหว่างพจน์แบบสัญกรณ์เติมกลาง ผลลัพธ์ของการบวกจะถูกแสดงด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=) ตัวอย่างเช่น
แต่ก็มีบางสถานการณ์ที่สามารถทำให้เข้าใจได้ว่าเป็นการบวก แม้จะไม่มีเครื่องหมายบวกอยู่ก็ตาม ตัวอย่างเช่น
จำนวนหรือวัตถุที่จะบวกเข้าด้วยกันโดยทั่วไปเรียกว่า "พจน์" (term) "ตัวบวก" (addend) หรือ "ส่วนของผลบวก" (summand) ซึ่งศัพท์คำสุดท้ายนี้นำไปใช้อธิบายผลรวมของพจน์ที่เป็นพหุคูณ ผู้แต่งตำราบางท่านเรียกตัวบวกจำนวนแรกว่า "ตัวตั้งบวก" (augend) เนื่องจากข้อเท็จจริงในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ผู้แต่งตำราหลายท่านไม่นับว่าจำนวนแรกในการบวกเป็น "ตัวบวก" แต่ในทุกวันนี้คำว่า "ตัวตั้งบวก" มีการใช้น้อย และทั้งสองคำก็หมายถึงตัวบวกได้เหมือนกัน
การแปลความหมาย.
การบวกใช้สำหรับจำลองกระบวนการทางกายภาพได้อย่างนับไม่ถ้วน แม้แต่กรณีที่ง่ายที่สุดของการบวกจำนวนธรรมชาติ ก็มีการแปลความหมายที่เป็นไปได้มากมาย รวมไปถึงการนำเสนอด้วยภาพ
การรวมกลุ่ม.
การแปลความหมายของการบวกในระดับเบื้องต้น สามารถแสดงได้ด้วยการรวมกลุ่มวัตถุเข้าด้วยกัน นั่นคือ
การแปลความหมายเช่นนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพ ซึ่งอาจจะมีความกำกวมบ้างเล็กน้อย ความหมายนี้มีประโยชน์ต่อคณิตศาสตร์ในระดับสูงขึ้นไป โดยเฉพาะการนิยามเป็นต้น อย่างไรก็ตามการอธิบายด้วยการรวมกลุ่มอาจให้ความหมายไม่ชัดเจน เมื่อขยายการบวกออกไปบนเศษส่วนหรือจำนวนลบเป็นอาทิ
หนทางหนึ่งที่เป็นไปได้ คือการพิจารณาว่ากลุ่มของวัตถุเหล่านั้นสามารถตัดแบ่งได้โดยง่าย เหมือนกับขนมพายหรือท่อนไม้ มากกว่าเพียงแค่การรวมกลุ่มของวัตถุเข้าด้วยกัน เราสามารถนำปลายของท่อนไม้มาต่อกัน เพื่อแสดงอีกแนวความคิดหนึ่งของการบวก นั่นคือการบวกไม่ได้นับที่จำนวนท่อนไม้ แต่หมายถึงความยาวรวมของท่อนไม้
การขยายความยาว.
การแปลความหมายอย่างที่สองของการบวก มาจากการต่อความยาวขนาดเริ่มต้น ด้วยความยาวอีกขนาดหนึ่ง นั่นคือ
ผลบวกของ "a" + "b" สามารถแปลผลได้ในฐานะของการดำเนินการทวิภาค (ในความคิดทางพีชคณิต) ว่าเป็นการประสานกันระหว่าง "a" กับ "b" หรือหมายถึงการเพิ่มจาก "a" ไปเป็นจำนวน "b" สำหรับภายใต้การแปลความหมายอย่างหลัง ส่วนต่างๆ ของผลบวก "a" + "b" จึงมีบทบาทโดยไม่สมมาตร อาจมองได้ว่าเป็นการดำเนินการเอกภาค "+"b"" บน "a" และกรณีเช่นนี้จะถือว่า "a" เป็นตัวตั้งบวก แทนที่จะเป็นตัวบวกทั้งคู่ การมองให้เป็นการดำเนินการเอกภาคมีประโยชน์สำหรับอธิบายการลบ เพราะว่าการบวกแบบเอกภาคเป็นตัวผกผัน (inverse) ของการลบแบบเอกภาค และในทางกลับกันด้วย887
การบวกมีสมบัติการสลับที่ หมายความว่าเราสามารถสลับเปลี่ยนจำนวนที่อยู่ข้างซ้ายและขวาของเครื่องหมายบวกได้ โดยผลลัพธ์ยังคงเดิม สมมติให้ "a" และ "b" เป็นจำนวนสองจำนวนใดๆ แล้ว
ข้อเท็จจริงว่าการบวกสามารถสลับที่ได้ รู้จักกันว่าเป็น "กฎการสลับที่ของการบวก" วลีนี้ได้ชี้นำว่า ยังมีกฎการสลับที่อื่น ๆ อีก ตัวอย่างเช่น กฎการสลับที่ของการคูณเป็นต้น อย่างไรก็ตามการดำเนินการทวิภาคหลายชนิดก็ไม่มีสมบัติการสลับที่ อาทิการลบ และการหาร จึงนำไปสู่ความเข้าใจผิดเมื่อกล่าวถึงกฎการสลับที่โดยไม่ระบุให้ชัดเจน
การเปลี่ยนหมู่.
การบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ หมายความว่าเมื่อบวกจำนวนสามจำนวนขึ้นไป ลำดับของการดำเนินการจะไม่สำคัญ
ตัวอย่างเช่น ควรนิยามนิพจน์ a + b + c ว่าหมายถึง ("a" + "b") + "c" หรือ "a" + ("b" + "c") ในเมื่อการบวกสามารถเปลี่ยนหมู่ได้ ดังนั้นตัวเลือกทั้งสองจึงไม่สำคัญ สำหรับจำนวนสามจำนวนใด ๆ "a", "b", "c" เป็นจริงว่า ("a" + "b") + "c" = "a" + ("b" + "c") ตัวอย่างเช่น (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)
เมื่อใช้การบวกร่วมกับการดำเนินการอื่น ๆ ลำดับของการดำเนินการจะเป็นสิ่งสำคัญ สำหรับลำดับมาตรฐานของการดำเนินการ การบวกจะสำคัญน้อยกว่าการยกกำลัง รากที่ n การคูณ และการหาร แต่สำคัญเท่ากับการลบ
สมาชิกเอกลักษณ์.
เมื่อบวกศูนย์เข้ากับจำนวนใด ๆ ปริมาณที่ได้จะไม่เปลี่ยนแปลง ศูนย์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของการบวก หรือเรียกได้ว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก สำหรับค่า "a" ใดๆ จะได้ว่า
กฎนี้ปรากฏเป็นครั้งแรกในตำรา "พรัหมสผุฏะ สิทธานตะ" (Brahmasphuta-siddhanta) เขียนโดยพรัหมคุปตะ (Brahmagupta) เมื่อ ค.ศ. 628 ถึงแม้ว่าเขาจะเขียนกฎนี้แยกออกมาเป็นสามข้อ ขึ้นอยู่กับ "a" ว่าเป็นจำนวนลบ จำนวนบวก หรือเป็นศูนย์ และเขาใช้ถ้อยคำอธิบายแทนการใช้สัญลักษณ์ ในเวลาต่อมา มหวิระ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้เรียบเรียงแนวความคิดนั้นเสียใหม่เมื่อประมาณ ค.ศ. 830 โดยเขียนไว้ว่า "ศูนย์จะทำให้ตัวอะไรก็ตามที่บวกเข้ามามีค่าเช่นเดิม" เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค 0 + "a" = "a" ในคริสต์ศตวรรษที่ 12 ภาสกระที่ 2 ก็ได้เขียนเอาไว้ว่า "ในการบวกด้วยตัวศูนย์ หรือการลบ ปริมาณทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบจะคงค่าเดิม" เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค "a" + 0 = "a"
ตัวตามหลัง.
เมื่อกล่าวถึงจำนวนเต็ม การบวกด้วยหนึ่งยังมีบทบาทพิเศษ กล่าวคือ สำหรับจำนวนเต็ม "a" ใด ๆ แล้ว จำนวนเต็ม ("a" + 1) เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า a เรียกว่าเป็นตัวตามหลังของ "a" ตัวอย่างเช่น 3 เป็นตัวตามหลังของ 2 และ 7 คือตัวตามหลังของ 6 เนื่องด้วยตัวตามหลังนี้ ค่าของ "a" + "b" ใด ๆ สามารถมองว่าเป็นตัวตามหลังลำดับที่ b ของ "a" ทำให้การบวกกลายเป็นการตามหลังแบบวนซ้ำ ตัวอย่างเช่น 6 + 2 คือ 8 เพราะ 8 เป็นตัวตามหลังของ 7 ซึ่งก็เป็นตัวตามหลังของ 6 อีกทีหนึ่ง ทำให้ 8 เป็นตัวตามหลังลำดับที่ 2 ของ 6
ในการบวกปริมาณทางกายภาพซึ่งมีหน่วยวัดกำกับอยู่ ปริมาณเหล่านั้นจะต้องอยู่ในหน่วยเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ระยะความยาว 5 ฟุต หากถูกขยายออกไปอีก 2 นิ้ว ผลบวกของความยาวคือ 62 นิ้ว เนื่องจากความยาว 60 นิ้วมีความหมายเหมือนกับความยาว 5 ฟุต ในอีกทางหนึ่ง หน่วยที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ก็จะไม่สามารถรวมกันได้ เช่นการบวกระยะทาง 3 เมตรกับพื้นที่ 4 ตารางเมตร การบวกเช่นนี้จะไร้ความหมาย การพิจารณาดังกล่าวนี้เป็นรากฐานของการวิเคราะห์เชิงมิติ (dimensional analysis)
ผลบวกของลำดับ.
ถ้าพจน์แต่ละพจน์ของผลบวกไม่ได้เขียนออกมาทั้งหมด เราอาจจะใช้เครื่องหมายจุดไข่ปลาแทนพจน์ที่หายไป เช่นเดียวกับการดำเนินการอื่น ๆ (เช่น การคูณ) เช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติ ตั้งแต่ 1-100 อาจเขียน formula_1
นอกจากนี้แล้ว ผลบวกหรือผลรวมยังสามารถเขียนได้ด้วยเครื่องหมายผลรวม ซึ่งมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า
ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง ("i" ไปถึง "q") เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น
บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น
หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น
คือผลรวมของ "f" ("k") บนทุกจำนวนเต็ม "k" ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว
คือผลรวมของ "f" ("x") บนทุกสมาชิก "x" ในเซต "S" และ
คือผลรวมของ μ ("d") บนทุกจำนวนเต็ม "d" ที่หาร "n" ได้ลงตัว เป็นต้น
นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น
ค่าสัมบูรณ์
ในคณิตศาสตร์ ค่าสัมบูรณ์ หรือ มอดุลัส ของจำนวนจริง "x" ใด ๆ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 หรืออีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ ได้จากการตัดเครื่องหมายลบทิ้ง ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 และค่าสัมบูรณ์ของ −3 ก็คือ 3 เช่นกัน
นอกจากนี้ยังมีการขยายนัยทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ไปสู่ค่าสมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนควอเตอร์เนียน ริงเรียงอันดับ ฟีลด์ ปริภูมิเวกเตอร์ และนำไปสู่นอร์มเหนือปริภูมิเวกเตอร์
นิยามบนจำนวนจริง.
สำหรับจำนวนจริง "a" ใดๆ , ค่าสัมบูรณ์ของ "a" เขียนแทนด้วย |"a"| เท่ากับ "a" ถ้า "a" ≥ 0 และเท่ากับ −"a" ถ้า "a" &lt; 0 ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ ไม่เป็นจำนวนลบ นั่นคือจะไม่มีค่า "a" ที่ |"a"| &lt; 0
ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็น"ระยะทาง"ระหว่างจำนวนนั้นกับศูนย์
สมบัติของค่าสัมบูรณ์บนจำนวนจริง.
ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้ สำหรับจำนวนจริง formula_1 ใด ๆ
สมบัติข้างต้นเป็นสมบัติพื้นฐานที่ใช้ในการนิยามค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วไป สมบัติด้านล่างเป็นผลจากสมบัติข้างต้นทั้งสี่ข้อ