pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
ในด้านการจัดการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกที่ผ่านมา จะมีการผลัดเปลี่ยนหมุนเวียนให้ประเทศสมาชิกต่าง ๆ ในแต่ละทวีปเป็นเจ้าภาพจัดการแข่งขัน และหากได้พิจารณาข้อมูลย้อนหลังนับตั้งแต่ปี ค.ศ. 1964 เป็นต้นมา ได้มีการพิจารณาตามเกณฑ์การกระจายแบบ Geographic Distribution
วิศวกรรมชีวเวช
วิศวกรรมชีวการแพทย์ หรือ วิศวกรรมชีวเวช  หรือ วิศวกรรมการแพทย์  เป็นสาขาวิชที่นำเอาความรู้ทางด้าน วิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์การแพทย์ มาประยุกต์ใช้ร่วมกัน เพื่อออกแบบ สร้างหรือพัฒนาซอฟต์แวร์ อุปกรณ์ หรือเครื่องมือทางการแพทย์ที่ได้มาตรฐาน สามารถใช้งานได้จริง รวมถึงการศึกษาค้นคว้าเทคโนโลยีใหม่ ๆ ที่มีความซับซ้อน และต้องการขั้นตอนการผลิตที่มีมาตรฐาน และ ประสิทธิภาพสูง
ทฤษฎีบทสี่สี
ทฤษฎีบทสี่สี  กล่าวว่า แผนที่ทางภูมิศาสตร์สามารถระบายด้วยสี 4 สี ซึ่งไม่มีพื้นที่ที่อยู่ติดกันมีสีเดียวกันได้เสมอ เราเรียกพื้นที่ว่า"ติดกัน"ก็ต่อเมื่อมันมีส่วนของขอบร่วมกัน ไม่ใช่แค่จุดร่วมกัน และพื้นที่แต่ละชิ้นจะต้องติดเป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน ไม่ใช่แยกเป็นหลายๆ ส่วน อย่างมิชิแกน หรืออาเซอร์ไบจาน
เป็นที่ประจักษ์ว่าสี 3 สีนั้นไม่เพียงพอ ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่ยาก นอกจากนั้น เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสี 5 สีนั้นเพียงพอในการระบายแผนที่
ทฤษฎีบทสี่สี เป็นทฤษฎีบทแรกที่ถูกพิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์ แต่การพิสูจน์นี้ไม่เป็นที่ยอมรับจากนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ เพราะว่ามันไม่สามารถตรวจสอบด้วยคนได้ และบางคนถึงกับกังวลในความถูกต้องของตัวแปลภาษา (คอมไพเลอร์) และฮาร์ดแวร์ที่ใช้ทำงานโปรแกรมสำหรับการพิสูจน์
การขาดความสง่างามทางคณิตศาสตร์ก็เป็นอีกสาเหตุหนึ่ง ดังคำกล่าวอันหนึ่งว่า "บทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ดีเป็นดั่งบทกวี — แต่นี่มันคือสมุดจดเบอร์โทรศัพท์ชัดๆ!"
ข้อความคาดการณ์อันนี้ถูกกล่าวถึงครั้งแรกในปี พ.ศ. 2395 (ค.ศ. 1852) เมื่อ ฟรานซิส กูทรี (Francis Guthrie) ได้สังเกตเห็นว่าสามารถใช้เพียงสี่สีก็เพียงพอในการระบาย ขณะที่กำลังระบายแผนที่ของเขตหนึ่งในอังกฤษ ในขณะนั้นกูทรีเป็นลูกศิษย์ของ ออกัสตัส เดอ มอร์แกน (Augustus De Morgan) ที่ ยูนิเวอร์ซิตีคอลเลจลอนดอน (University College London) (กูทรีจบการศึกษาในปี พ.ศ. 2393 (ค.ศ. 1850) และต่อมาได้เป็นศาสตราจารย์สาขาคณิตศาสตร์ในประเทศแอฟริกาใต้) โดยตามคำบอกเล่าของเดอร์มอร์แกน:
หลักฐานอ้างอิงที่มีการตีพิมพ์เป็นอันแรกถูกพบในงานของ อาร์เทอร์ เคย์เลย์ (Arthur Cayley) "On the colourings of maps.", Proc. Royal Geography Society 1, 259-261, 1879.
นับตั้งแต่ข้อความคาดการณ์นี้ถูกประกาศขึ้นมา ก็มีผู้คนจำนวนมากต้องประสบความล้มเหลวในการพิสูจน์มัน บทพิสูจน์หนึ่งของทฤษฎีบทนี้คืองานของ อัลเฟรด เคมป์ (Alfred Kempe) ในปี พ.ศ. 2422 (ค.ศ. 1879) ซึ่งเป็นชิ้นที่ผู้คนยอมรับกันทั่วไป บทพิสูจน์อีกอันหนึ่งคือของ ปีเตอร์ เทท (Peter Tait) ในปี พ.ศ. 2423(1880) จวบจนกระทั่งปี พ.ศ. 2433 (ค.ศ. 1890) เพอร์ซี เฮวูด (Percy Heawood) จึงได้แสดงว่าบทพิสูจน์ของเคมป์มีข้อผิดพลาด และใน พ.ศ. 2434 (ค.ศ. 1891) จูเลียส ปีเตอร์เซน (Julius Petersen) จึงได้แสดงว่าบทพิสูจน์ของเททผิดพลาด น่าแปลกใจว่าไม่มีผู้ใดเห็นข้อผิดพลาดเหล่านี้ในบทพิสูจน์แต่ละอันถึง 11 ปี
ใน พ.ศ. 2433 (ค.ศ. 1890) นอกจากเฮวูดจะชี้ให้เห็นถึงข้อผิดพลาดของบทพิสูจน์ของเคมป์แล้ว เขายังได้พิสูจน์ว่ากราฟเชิงระนาบทุกอันสามารถระบายได้ด้วยสี 5 สี - ดู ทฤษฎีบทห้าสี
ผลงานที่สำคัญได้ถูกสร้างขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวโครเอเชียชื่อ ดานีโล บลานูซา (Danilo Blanuš) ในช่วงปี พ.ศ. 2483-2492 (1940s) โดยการสร้างสนาร์ค (snark) ต้นแบบขึ้น
ในช่วงปี พ.ศ. 2503-2522 (1960s และ 70s) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ไฮน์ริค ฮีช (Heinrich Heesch) ได้พัฒนาวิธีการในการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยหาบทพิสูจน์
ในพ.ศ. 2512 (ค.ศ. 1969) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ จี สเปนเซอร์-บราวน์ (G. Spencer-Brown) อ้างว่าทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยระบบคณิตศาสตร์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นมา อย่างไรก็ตาม เขาไม่เคยสามารถที่จะสร้างบทพิสูจน์นี้ขึ้นมาจริงๆ ได้
จนกระทั่งปี พ.ศ. 2519 (ค.ศ. 1976) นั่นเอง จึงได้มีผู้พิสูจน์ข้อคาดการณ์สี่สีนี้ได้สำเร็จ โดย เคนเน็ท แอพเพล (Kenneth Appel) และ โวล์ฟแกง เฮเคน (Wolfgang Haken) แห่งมหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ เออร์บานา-แชมเปญ โดยได้รับคำปรึกษาทางด้านขั้นตอนวิธีจาก เจ คอช (J. Koch)
บทพิสูจน์เริ่มต้นด้วยการลดรูปแบบของแผนที่ทั้งหมดให้เหลือเพียง 1,936 รูปแบบ (และภายหลังสามารถลดลงเหลือ 1,476 รูปแบบ) จากนั้นจึงนำไปตรวจสอบทีละอันด้วยคอมพิวเตอร์ และมีการตรวจสอบซ้ำสองแยกต่างหากโดยโปรแกรมและเครื่องคอมพิวเตอร์ที่ต่างกัน อย่างไรก็ตามบทพิสูจน์นี้มีความยาวถึง 500 หน้า และเต็มไปด้วยตัวอย่างค้านของตัวอย่างค้าน (counter-counter-example) ที่เขียนด้วยมือ โดยส่วนใหญ่เป็นการทดสอบการระบายสีกราฟ ของลูกชายวัยสิบกว่าๆ ของเฮเคน โปรแกรมคอมพิวเตอร์นี้ใช้เวลาทำงานหลายร้อยชั่วโมง
ในปี พ.ศ. 2539 (ค.ศ. 1996) นีล โรเบิร์ตสัน (Neil Robertson) , แดเนียล แซนเดอร์ส (Daniel Sanders) , พอล ซีมัวร์ (Paul Seymour) และ โรบิน โทมัส (Robin Thomas) สร้างบทพิสูจน์ที่คล้ายๆ กัน แต่มีกรณีที่ต้องทดสอบเพียง 633 กรณี บทพิสูจน์อันใหม่นี้ก็ยังจำเป็นต้องใช้คอมพิวเตอร์ช่วย และเป็นการยากที่จะตรวจสอบด้วยคน
ในปี พ.ศ. 2547 (ค.ศ. 2004) เบนจามิน เวอร์เนอร์ (Benjamin Werner) และ จอร์จส์ กอนทิเออร์ (Georges Gonthier) พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ด้วยใช้โปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบทชื่อ Coq ซึ่งช่วยลดความจำเป็นที่จะต้องเชื่อในความถูกต้องของโปรแกรมหลายๆ โปรแกรม ที่ใช้ในการสอบกรณีแต่ละกรณี — เหลือเพียงแค่ต้องเชื่อใน Coq เท่านั้น
ตั้งแต่ได้มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำเร็จ ขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพมากมายก็ได้ถูกสร้างขึ้นสำหรับระบายสีแผนที่ด้วนสี่สี โดยทำงานในเวลาเพียง O("n"2) เมื่อ "n" คือจำนวนจุดยอด นอกจากนี้ยังมีขั้นตอนวิธีทรงประสิทธิภาพที่สามารถตรวจสอบได้ว่าแผนที่ใช้สี 1 หรือ 2 สีระบายได้หรือไม่ สำหรับกรณี 3 สีนั้นเป็นปัญหาเอ็นพีสมบูรณ์ และดังนั้นจึงเป็นไปได้สูงว่าจะไม่มีวิธีการเร็วๆ การตรวจสอบว่ากราฟโดยทั่วไป (ไม่จำเป็นต้องเป็นกราฟเชิงระนาบ) สามารถระบายด้วยสี่สีได้หรือไม่ ก็เป็นปัญหาเอ็นพีสมบูรณ์เช่นกัน
ไม่เกี่ยวกับการทำแผนที่.
ทฤษฎีบทสี่สีนี้ไม่ได้ถูกค้นพบ หรือมีต้นกำเนิด เกี่ยวข้องใดๆกับการเขียนแผนที่จริงๆ ตามคำกล่าวอ้างของเคนเนธ เมย์ นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ซึ่งได้ศึกษาตัวอย่างของสมุดแผนที่ในห้องสมุดรัฐสภาสหรัฐฯ เขาสรุปว่า ไม่มีข้อบ่งชี้เลยว่าจะมีความพยายามที่จะลดจำนวนสีที่ใช้ แผนที่ส่วนใหญ่ใช้มากกว่าสี่สี และเมื่อใดก็ตามที่ใช้เพียงสี่สี จำนวนสีที่ต้องการจริงๆกลับน้อยกว่านั้น
หนังสือเรียนวิชาการเขียนแผนที่ และประวัติศาสตร์การเขียนแผนที่ ไม่ได้กล่าวถึงทฤษฎีบทสี่สีเลย ถึงแม้ว่าการระบายสีแผนที่จะเป็นหัวข้อหนึ่งที่ให้ความสนใจกัน นักเขียนแผนที่บอกว่า โดยทั่วไปพวกเขาจะสนถึงการระบายสีให้เกิดความสมดุล ไม่ให้มีสีใดกลืนสีอื่นไปหมดมากกว่า เรื่องจำนวนสีไม่ได้อยู่ในความสนใจของพวกเขาเท่าใดนัก
รูปอย่างเป็นทางการในทฤษฎีกราฟ.
ในการทำทฤษฎีบทสี่สีให้อยู่ในรูปเป็นทางการโดยใช้ทฤษฎีกราฟ เราจะกล่าวว่าจุดยอด (vertices) ในกราฟเชิงระนาบสามารถระบายด้วยสีโดยใช้อย่างมากเพียง 4 สีได้เสมอ โดยไม่มีจุดยอดที่ประชิดกันมีสีเดียวกัน หรือกล่าวสั้นๆ ว่า "กราฟเชิงระนาบทุกกราฟเป็น กราฟ 4 สี (four-colorable) " ทุกพื้นที่ของแผนที่จะถูกแทนด้วยจุดยอดของกราฟ และจุดยอดสองจุดจะเชื่อมกันด้วยเส้นเชื่อม (edge) ก็ต่อเมื่อทั้งสองพื้นที่มีส่วนของขอบร่วมกัน
บทพิสูจน์แย้งที่ผิด.
ดังเช่นปัญหาคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงข้ออื่นๆ ทฤษฎีบทสี่สีได้ก่อให้เกิดบทพิสูจน์และบทพิสูจน์แย้งที่ผิดๆ ขึ้นมากมาย ตลอดประวัติศาสตร์อันยาวนานของมัน บทพิสูจน์บางอัน เช่น งานของเคมป์และเททที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว ยืนหยัดต้านทานการตรวจสอบอยู่ในวงการได้นานนับสิบปี ก่อนที่จะมีผู้ค้นพบข้อผิดพลาด แต่งานอื่นๆ อีกหลายชิ้น ซึ่งมักมาจากมือสมัครเล่นและพวกสติไม่เต็ม อาจจะไม่เคยถูกนำมาแสดงต่อสาธารณะเลย
ความพยายามเบื้องต้นที่สุดในการหา "ตัวอย่างค้าน" มักจะเริ่มด้วยการสร้างพื้นที่ที่ติดกับพื้นที่อื่นหลายๆ อัน ซึ่งช่วยบังคับให้บริเวณโดยรอบ ใช้สีจำกัดได้เพียงสามสีเท่านั้น (ถ้าทฤษฎีเป็นจริง) อย่างไรก็ตาม หลายคนอาจสนใจอยู่กับพื้นที่อันใหญ่มากเกินไป จนลืมสังเกตไปว่า ที่จริงแล้วแผนที่สามารถระบายได้ด้วยสีเพียงสามสี
ความผิดพลาดลักษณะนี้ ยังสามารถนำมาพูดในลักษณะที่กว้างขึ้นได้ นั่นคือ หากมีพื้นที่บางส่วนถูกกำหนดสีที่แน่นอนเอาไว้ก่อนแล้ว อาจเป็นไปได้ว่าพื้นที่ส่วนที่เหลือจะไม่สามารถระบายด้วยสี่สีได้ (ทั้งที่ในความจริงแล้ว หากเรายอมให้บางสีที่กำหนดไปแล้วเปลี่ยนแปลงได้ เราก็อาจจะยังสามารถระบายพื้นที่ที่เหลือด้วยสี่สีได้อยู่) ดังนั้นการทดสอบโดยการค่อยๆ ระบายสี จึงมักจะเกิดความผิดพลาดลักษณะนี้ และได้ผลลัพธ์เป็นตัวอย่างค้านแบบผิดๆ
เป็นไปได้ว่าต้นเหตุของความเข้าใจผิดอันนี้ มาจากความจริงที่ว่า การบังคับสีนั้นไม่ได้มีลักษณะถ่ายทอด นั่นคือพื้นที่หนึ่งๆ ถูกบังคับให้มีสีแตกต่างจากพื้นที่ที่ติดกับมันเท่านั้น แต่มันไม่ได้เกี่ยวข้องอะไรกับพื้นที่อันถัดไป (อันที่ติดกับอันที่ติดกับมัน) เลย และถ้าหากคุณสมบัตินี้เป็นจริงขึ้นมา กราฟเชิงระนาบก็คงต้องใช้สีสำหรับระบายจำนวนมหาศาลทีเดียว
บทพิสูจน์แย้งอื่นๆ ก็มักจะทำผิดข้อกำหนดบางอย่างของทฤษฎีบทโดยไม่ได้ตั้งใจ เช่น นำพื้นที่หนึ่งเข้าไปเป็นส่วนหนึ่งของอีกพื้นที่หนึ่ง, สร้างพื้นที่ที่แตกกระจายเป็นหลายส่วนไม่ติดกัน (เช่น มิชิแกน) หรือบังคับไม่ให้พื้นที่ที่มี"จุด"ร่วมกันมีสีเดียวกัน (ที่จริงแล้วข้อกำหนดบังคับเฉพาะพื้นที่ที่มี"ขอบ"ร่วมกัน)
พิจารณาปัญหาการระบายสีลงบนพื้นผิวใดๆนอกเหนือไปจากระนาบ การระบายสีลงบนพื้นผิวทรงกลมมีลักษณะเดียวกับบนระนาบ สำหรับพื้นผิวแบบปิด(แบบพลิกได้หรือพลิกไม่ได้ก็ได้(orientable or non-orientable)) ที่มีจีนัสเป็นบวก จำนวนสีสูงสุด "p" ที่ต้องการขึ้นอยู่กับค่าเฉพาะออยเลอร์ χ ของพื้นผิวนั้นๆ ตามสมการ
ข้อยกเว้นเดียวของสมการนี้คือ ขวดไคลน์(Klein bottle) ซึ่งมีค่าเฉพาะออยเลอร์เป็น 0 แต่ต้องการ 6 สี นี่เป็นที่รู้จักกันตอนแรกในฐานะข้อความคาดการณ์เฮวูด และถูกพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทการระบายสีแผนที่ โดยเกอร์ฮาร์ด ริงเกล(Gerhard Ringel) และยังส์ (J. T. W. Youngs) ในปีพ.ศ. 2511
ตัวอย่างเช่น ทอรัสมีค่าเฉพาะออยเลอร์ χ = 0 และต้องการ "p" = 7 สี ในทอรัส แผนที่ทุกๆแบบต้องการสี 7 สีเพื่อระบายมัน
ตัวอย่างค้านจากการใช้งานจริง.
ในความเป็นจริง บางประเทศอาจไม่ได้มีพื้นที่ติดเป็นแผ่นเดียวกัน (เช่น รัฐอะแลสกา ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสหรัฐอเมริกา) หากเราบังคับให้พื้นที่ที่เป็นประเทศเดียวกันต้องมีสีเดียวกัน สีจำนวนสี่สีอาจไม่เพียงพอ เนื่องจากเมื่อเขียนแผนที่เป็นกราฟแล้วมันอาจไม่เป็นกราฟเชิงระนาบ ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทสี่สีได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาแผนที่ต่อไปนี้
พื้นที่ "A" สองอันเป็นของประเทศเดียวกัน ดังนั้นจึงต้องใช้สีเดียวกัน เมื่อเป็นดังนี้ทำให้แผนที่นี้ต้องการห้าสี เนื่องจากพื้นที่ "A" ทั้งคู่อยู่ติดกับพื้นที่สี่ผืนที่เหลือ และทั้งสี่ผืนต่างก็ติดกับพื้นที่อื่นๆทั้งหมด ถ้า "A" มีสามผืนแยกจากกัน เราก็จะจำเป็นต้องใช้หกสี และในการสร้างลักษณะนี้ เราสามารถสร้างแผนที่ที่ต้องการสีเท่าใดก็ได้
ปัญหาสี่สี
ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ  คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์
ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้าย"นิยาม"ด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก.
ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม "A" เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม "A"
เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้
1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ
4). โคซีแคนต์ csc("A") คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin("A") นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม
5). ซีแคนต์ sec("A") คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos("A") นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด
6). โคแทนเจนต์ cot("A") คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan("A") นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม
นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย.
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:
จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน "x" ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด "x" และ "y" ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = "y"/1 และ cos θ = "x"/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม
สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:
เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ
คาบที่เป็นบวกที่"เล็กที่สุด"ของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า "คาบปฐมฐาน"ของฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา
จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน"ทั้งหมด" สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด "O" (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ "AB" เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θ เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้
ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)
นิยามด้วยอนุกรม.
โดยการใช้เรขาคณิตและคุณสมบัติของลิมิต เราแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของโคไซน์คือค่าลบของไซน์ เราสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับแสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนจริง "x":
เอกลักษณ์เหล่านี้มักใช้เป็น "นิยาม" ของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์
ซึ่งนำไปใช้เป็นจุดเริ่มต้นแบบเข้มของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และการประยุกต์ของมัน (เช่น อนุกรมฟูรีเย) เพราะว่ามันมีพื้นฐานอยู่บนระบบจำนวนจริง ไม่ขึ้นกับการตีความทางเรขาคณิตใดๆ การหาอนุพันธ์ได้และความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็มาจากนิยามนี้
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่ใช้ในปัจจุบันพัฒนามาจากยุคกลาง แต่การศึกษาตรีโกณมิติในยุคแรกๆ
สามารถย้อนไปถึงคอร์ดฟังก์ชัน ที่ค้นพบโดย ฮิปปาร์คัส (180 - 125 ก่อนคริสตกาล) และ ปโตเลมี (ค.ศ. 90-165)
หนังสือฉบับแรกที่มีการใช้ 'sin' 'cos' 'tan' ปรากฏในศตวรรษที่ 16 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อัลเบิรต์ จีลาด
ในฉบับที่พิมพ์ในปี ค.ศ. 1682 กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้พิสูจน์ว่า sin x ไม่ใช่ ฟังก์ชันพีชคณิต ของ x
มารี กูว์รี
มารี สกวอดอฟสกา-กูว์รี  มีชื่อแต่แรกเกิดว่า มาเรีย ซาลอแมอา สกวอดอฟสกา (; ; 7 พฤศจิกายน ค.ศ. 1867 – 4 กรกฎาคม ค.ศ. 1934) เป็นนักเคมีผู้ค้นพบรังสีเรเดียม ที่ใช้ยับยั้งการขยายตัวของมะเร็ง ซึ่งเป็นโรคร้ายที่ไม่สามารถรักษาให้หายขาดได้ แต่มีอัตราการตายของคนไข้เป็นอันดับหนึ่งมาทุกยุคสมัย ด้วยผลงานที่มีความสำคัญต่อมนุษยชาติเหล่านี้ ทำให้มารี กูว์รีได้รับรางวัลโนเบลถึง 2 ครั้งด้วยกัน
มารี กูว์รี เป็นชาวโปแลนด์ เกิดเมื่อวันที่ 7 พฤศจิกายน ค.ศ. 1867 ที่เมืองวอร์ซอ เขตวิสทูลา จักรวรรดิรัสเซีย ซึ่งปัจจุบันเป็นประเทศโปแลนด์ เป็นบุตรของบรอนีสวาวา  กับววาดึสวอฟ  ววาดึสวอฟ (บิดา) เป็นครูสอนวิทยาศาสตร์ และมักพาเธอมาที่ห้องปฏิบัติการเสมอ จึงทำให้เธอสนใจวิชาด้านวิทยาศาสตร์ตั้งแต่เด็ก แม้จะมีเหตุการณ์ทางการเมืองเมื่อรัสเซียมาปกครองโปแลนด์และบังคับให้ใช้ภาษารัสเซียเป็นภาษาทางการก็ตาม
ในสมัยนั้นค่านิยมในสังคมของผู้หญิงส่วนใหญ่จะต้องเรียนการเป็นแม่บ้าน ซึ่งมารี กูว์รี แตกต่างโดยสิ้นเชิง ที่ใส่ใจค้นคว้าทางด้านวิทยาศาสตร์
หลังจบการศึกษาระดับต้นแล้ว เธอกับพี่สาวก็ทำงานด้วยการเป็นครูสอนอนุบาล สอนหนังสือให้กับเด็ก ๆ แถว ๆ นั้น โดยทั้งสองมุ่งหวังอยากไปเรียนต่อที่ฝรั่งเศส แต่เงินไม่พอกับค่าใช้จ่าย เธอจึงให้พี่สาวคือ บรอเนีย ไปเรียนต่อด้านแพทยศาสตร์ก่อน พอจบแล้วค่อยส่งเสียเธอเรียนต่อด้านวิทยาศาสตร์ต่อไป จนพี่สาวจบมาเธอก็ได้ไปเรียนต่อที่มหาวิทยาลัยปารีส สมใจแต่ด้วยเงินอันน้อยนิดจากพี่สาวไม่พอต่อค่าใช้จ่าย เธอจึงดิ้นรนหางานทำจนได้เป็นผู้ช่วยในห้องปฏิบัติการทางเคมีของปีแยร์ กูว์รี จนทั้งสองแต่งงานมีลูกด้วยกัน แต่ปีแยร์เสียชีวิตก่อนเพราะอุบัติเหตุรถม้าชน ระหว่างที่เรียนไปทำงานไป เธอก็มุ่งมั่นศึกษาทดลองไปเรื่อย ๆ จนมาพบรังสีแร่ธาตุเรเดียม โดยได้มาจากแร่พิตช์เบลนด์ที่เป็นออกไซต์ชนิดหนึ่งสามารถแผ่กระจายรังสีได้ จากการเพียรพยายามทดลองมาหลายปีในการสกัดแร่ชนิดต่าง ๆ จนมาพบรังสีดังกล่าวทำให้เธอได้รับปริญญาเอกในการค้นพบแร่ธาตุเรเดียม
จนใน ค.ศ. 1902 เธอก็สามารถสกัดแร่เรเดียมให้บริสุทธิ์ได้ เรียกว่า "เรเดียมคลอไรด์" ที่สามารถแผ่รังสีได้มากกว่ายูเรเนียมหลายเท่า มีคุณสมบัติคือ ให้แสงสว่างและความร้อนได้ และเมื่อแร่นี้แผ่รังสีไปถูกวัตถุอื่น วัตถุนั้นจะเปลี่ยนสภาพเป็นธาตุกัมมันตรังสี และสามารถแผ่รังสีได้เช่นเดียวกันกับแร่เรเดียม จนทำให้เธอได้รับรางวัลโนเบลต่อมา
การศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับแร่เรเดียมอย่างหนัก และต่อเนื่องกว่า 4 ปี ทำให้เธอได้รับรางวัลโนเบลอีกครั้ง แม้สามีจะเสียชีวิตก็ตาม ด้วยกำลังใจอันล้นเปี่ยม เมื่อเกิดภาวะสงครามโลกครั้งที่ 1 ซึ่งผู้คนส่วนมากล้มตายและถูกเกณฑ์ไปเป็นทหาร เธอจึงอาสาสมัครเป็นอาสากาชาดเพื่อช่วยทหารที่บาดเจ็บ ในการเอกซเรย์เคลื่อนที่ตระเวนรักษาตามหน่วยต่าง ๆ จนสงครามสงบเธอก็กลับมาทำงาน แต่ก็ต้องล้มป่วยเพราะผลมาจากการทำงานหนัก และโดนรังสีเรเดียม ทำให้ไขกระดูกถูกทำลายและเสียชีวิตในเวลาต่อมา
อนึ่ง มารี กูว์รี สามารถจดสิทธิบัตรได้ และทำให้เธอเป็นเศรษฐีได้ในพริบตา แต่เธอกลับเลือกที่จะมอบสิ่งที่เธอค้นพบให้กับโลก ทำให้เธอและครอบครัวเป็นเพียงครอบครัวนักวิทยาศาสตร์จน ๆ ตลอดจนเสียชีวิต
หลังการเสียชีวิตของ มารี กูว์รี หนึ่งในลูกสาวของเธออีแรน ฌอลีโย-กูว์รี ก็ได้ค้นคว้างานวิจัยของเธอต่อไป จนประสบความสำเร็จได้รับรางวัลโนเบลในเวลาต่อมา
หลังจากปีแยร์ กูว์รี สามีของเธอจากไป มารีเคยถูกกล่าวหาว่าเป็นชู้กับนักฟิสิกส์ที่มีภรรยาแล้ว มีหลักฐานปรากฏชัดเป็นจดหมายรักที่เธอเขียน เรื่องได้เปิดเผยสู่สาธารณชนก่อนที่เธอจะเข้ารับรางวัลโนเบลครั้งที่สอง มีผู้ออกมาวิพากษ์วิจารณ์และกีดกันไม่ให้เธอเข้ารับรางวัล แต่เธอกลับกล่าวว่าเรื่องส่วนตัวไม่เกี่ยวกับการรับรางวัล
สมชาย นีละไพจิตร
สมชาย นีละไพจิตร (13 พฤษภาคม พ.ศ. 2494 - เห็นครั้งสุดท้ายในวันที่ 12 มีนาคม พ.ศ. 2547) เป็นนักกฎหมายและนักเคลื่อนไหวด้านสิทธิมนุษยชนมุสลิมชาวไทยที่ "หายตัวไป" ในวันที่ 12 มีนาคม พ.ศ. 2547 ในช่วงของรัฐบาล"ทักษิณ ชินวัตร"ในวันนั้น มีพยานเห็นสมชายครั้งสุดท้ายที่รามคำแหงโดยมีชายสี่คนลากเขาเข้าไปในรถ และไม่มีใครเห็นเขาอีกเลย
เจ้าหน้าที่ห้าคนถูกบังคับให้สืบสวนคดีของสมชายและพ้นผิดไปใน พ.ศ. 2558 ปีต่อมาทางดีเอสไอปิดคดีนี้ หลังจากไม่มีผลจากการสืบสวนมา 12 ปี สาเหตุการเสียชีวิต (ที่เป็นไปได้) ของสมชาย นีละไพจิตร ยังไม่ได้รับคำอธิบาย และใน พ.ศ. 2559 ทางกรมสอบสวนคดีพิเศษ (ดีเอสไอ) ประกาศปิดการสืบสวนคดีนี้
เขาเป็นทนายให้ความช่วยเหลือชาวบ้านในพื้นที่ โดยเฉพาะคดีที่ประชาชนถูกกล่าวหาว่าพัวพันกับการก่อการร้ายจนจำเลยพ้นจากข้อหาได้เกือบทุกคดี เช่น คดี โต๊ะกูเฮง หรือ กูมะนาเส กอตอนีลอ จากคดีเผาโรงเรียนเมื่อปี 2537 คดีหมอแว นายแพทย์ แวมาหะดี แวดาโอ๊ะ ซึ่งถูกกล่าวหาว่าพัวพันกับกลุ่มก่อการร้ายเจไอ และยังเข้าไปเป็นทนายให้กับผู้ต้องหาที่ตำรวจจับกุมได้ในภายหลังจากเหตุการณ์ลอบวางระเบิดโรงเรียนเมื่อ 4 มกราคม 2547
เขาสมรสกับ อังคณา นีละไพจิตร มีลูกสาวหนึ่งคนได้แก่ ดร.ประทับจิต นีละไพจิตร เป็นอดีตอาจารย์ สถาบันสิทธิมนุษยชนและสันติศึกษา มหาวิทยาลัยมหิดล
เบี้องหลัง.
ในช่วงที่เขาหายตัว สมชายส่งตัวแทนผู้ต้องสงสัยมุสลิม 5 คนที่ก่อเหตุในค่ายทหารที่จังหวัดนราธิวาสในเดือนมกราคม พ.ศ. 2547 อุบัติเหตุในวันนั้นส่งผลใหเกิดความไม่สงบในสามจังหวัดชายแดนใต้ สมชายที่ทำงานในด้านวิชาชีพทางกฎหมายเป็นเวลา 30 ปี ได้เรียกร้องให้ทหารยกเลิกกฏอัยการศึกในบริเวณนี้ เมื่อเดือนมกราคม พ.ศ. 2547 กฎอัยการศึกยังคงมีผลในจังหวัดปัตตานี, ยะลา และนราธิวาส
ใน พ.ศ. 2549 ศาลอาญามีคำสั่งให้ พันตำรวจตรี เงิน ทองสุข (Pol.Maj. Ngern Thongsuk) จากกองปราบปรามให้จำคุก 3 ปี เนื่องจากมีส่วนร่วมในการหายตัวของสมชาย ในขณะที่ตำรวจชายทั้งหมดที่ตั้งข้อหาขโมยและใช้กำลังในทางมิชอบได้รับการปล่อยตัว หลังจากนั้น พันตำรวจตรี เงินหายตัวไป ครอบครัวของเขาพิสูจน์ว่าเขาเสียชีวิตในเหตุการณ์ดินถล่ม ทางศาลประกาศให้เขาเป็นบุคคลสูญหาย
สถานะคดี.
การสืบสวนเกี่ยวกับชะตาของสมชายเริ่มขึ้นใน พ.ศ. 2547 ใน พ.ศ. 2552 ภรรยาของเขาได้เผยแพร่บัญชีที่ทำโดยเธอ, ที่ปรึกษากฎหมาย และองค์การนอกภาครัฐในนามของสมชาย ข้อมูลเมื่อมีนาคม 2560 เป็นช่วงครบรอบ 13 ปีที่หายตัวไป จึงคาดว่าเขาเสียชีวิตไปแล้ว
ในช่วงปลาย พ.ศ. 2556 ทางกรมสอบสวนคดีพิเศษ (ดีเอสไอ) กล่าวว่าแฟ้มคดีหายไป แต่อ้างในภายหลังว่าได้พบแฟ้มแล้ว สถานะของคดีและกระทรวงที่ดำเนินการก็ยังไม่ทราบที่แน่ชัด
ใน พ.ศ. 2559 กรมสอบสวนคดีพิเศษ (ดีเอสไอ) "ประกาศปิดคดี โดยกล่าวว่าไม่พบผู้กระทำผิด"
เซเว่น อีเลฟเว่น
เซเว่น-อีเลฟเว่น  เป็นแฟรนไชส์ของร้านสะดวกซื้อ จำหน่ายสินค้าเครื่องใช้ทั่วไปในชีวิตประจำวันและอาหารสำเร็จรูป มีสาขาอยู่ทั่วโลก
เซเว่น-อีเลฟเว่น ถือกำเนิดขึ้น เมื่อปี พ.ศ. 2470 โดย บริษัท เซาท์แลนด์ ไอซ์ จำกัด (เซาท์แลนด์ คอร์ปอเรชั่น) เริ่มต้นกิจการผลิต และจัดจำหน่ายน้ำแข็ง ที่เมืองดัลลัส รัฐเท็กซัส สหรัฐ ในปีเดียวกัน ทางบริษัทฯ ได้นำสินค้าอุปโภคบริโภคต่างๆ มาจำหน่าย เพื่ออำนวยความสะดวกแก่ลูกค้า จึงเปลี่ยนชื่อเป็น "Tote'm Store" ต่อมาในปี พ.ศ. 2489 ได้เปลี่ยนชื่ออีกครั้ง เป็น "เซเว่น-อีเลฟเว่น (7-Eleven)" เพื่อรองรับการขยายกิจการนี้ ซึ่งในระยะแรก เปิดให้บริการ ตั้งแต่เวลา 07.00-23.00 น. หรือ 07:00 AM.-11:00 PM. ของทุกวัน อันเป็นที่มาของชื่อ เซเว่น อีเลฟเว่น นั่นเอง
ในช่วงปลายคริสต์ทศวรรษที่ 1980 บริษัทเริ่มประสบปัญหาทางการเงิน และได้รับความช่วยเหลือจากอิโต-โยคะโดซึ่งเป็นผู้ซื้อแฟรนไชส์รายใหญ่ที่สุด บริษัทญี่ปุ่นมีอำนาจควบคุมบริษัทในปี พ.ศ. 2534 ในปี พ.ศ. 2548 อิโต-โยคะโดก่อตั้งบริษัทเซเว่น แอนด์ ไอ โฮลดิงส์และเซเว่น-อีเลฟเว่นก็กลายเป็นบริษัทลูกของเซเว่น แอนด์ ไอ โฮลดิงส์ตั้งแต่นั้นมา
ความเป็นมาของ 7-11 ในประเทศไทย.
ร้านสะดวกซื้อ เซเว่น อีเลฟเว่น ถือกำเนิดขึ้นที่ประเทศไทยเมื่อปี 2532 โดยสาขาแรกตั้งอยู่ที่ ซอยพัฒพงษ์ โดยผู้ได้รับสิทธิในการใช้เครื่องหมายการค้าคือ บริษัท ซีพี ออลล์ จำกัด (มหาชน) ซึ่งเป็นสิทธิในการใช้แบรนด์ 7-11 สำหรับธุรกิจค้าปลีกประเภทร้านค้าสะดวกซื้อ
นอกเหนือจากธุรกิจค้าปลีกใน เซเว่น อีเลฟเว่น ให้บริการแล้ว ยังประกอบธุรกิจอื่นๆ ยกตัวอย่างเช่น ธุรกิจตัวแทนการรับชำระเงิน โดยมีการตั้งบริษัทแยกออกมาโดยใช้ชื่อว่า บริษัท เคาน์เตอร์ เซอร์วิส จำกัด รวมถึง บริษัท ซีพีแรม จำกัด ซึ่งเป็นบริษัทเกี่ยวกับการซ่อมแซมอุปกรณ์ค้าปลีก และหน่วยงานที่เป็นรูปแบบบริษัทซึ่งดูแลระบบขององค์กรณ์โดยรวม (ด้านสารสนเทศ) บริษัท โกซอฟท์ ประเทศไทย จำกัด ด้วย
หากนับตั้งแต่ปี 2532 จนถึงปี 2564 ธุรกิจค้าปลีกภายใต้แบรนด์ เซเว่น อีเลฟเว่น ได้ดำเนินกิจการมามากกว่า 31 ปี ในประเทศไทย
เทคโนโลยีค้าปลีกออนไลน์.
จากการนำตลาดของ อีคอมเมิร์ซ ระดับโลก ลาซาด้า ผ่านการสนับสนุนของ ร็อกเก็ตอินเทอร์เน็ตซึ่งมีการเปิดตัวแพลตฟอร์มในปี 2012 ธุรกิจค้าปลีกในประเทศไทยถูกพัฒนาให้เป็นลักษณะ ออนไลน์ คอมเมิร์ซ มากยิ่งขึ้น เป็นปัจจัยหนึ่งที่ผลักดันให้ เซเว่น อีเลฟเว่น รุกเข้าธุรกิจค้าปลีกออนไลน์ หรือที่เรียกกันว่า อีคอมเมิร์ซ ซึ่งร่วมมือกับ เซเว่น อีเลฟเว่น ภายใต้ร่มใหญ่ของบริษัท ซีพีออลล์ จำกัด (มหาชน)
ภายใต้การบริหารจากบริษัทในเครือ ร่วมมือกับ เซเว่น อีเลฟเว่น เป็นเหตุให้มีการเปิดตัวเว็บไซต์ อีคอมเมิร์ซ แบรนด์แรกที่ใช้ชื่อว่า Shopat7 (ช้อปแอดเซเว่น) โดยมีการควบคุมบริหารงานโดย บริษัท ทเวนตี้โฟร์ ช้อปปิ้ง จำกัด ในปี 2557 ซึ่งต่อมาในปี 2559 Shopat7 ถูกเปลี่ยนชื่อเป็น Shopat24 จำหน่ายสินค้าออนไลน์ ภายใต้การบริการงานของบริษัทเดิม
เซเว่น อีเลฟเว่น เป็นจุดรับสินค้าจากสั่งซื้อออนไลน์.
เทคโนโลยีของ เริ่มมีการถูกใช้ในประเทศไทย โดยการสั่งสินค้าผ่านช่องทางออนไลน์ และรับสินค้าที่ในจุดที่ใกล้บ้านที่สุด และ เซเว่น อีเลฟเว่น ทุกสาขา เป็นจุดรับสินค้าของผู้ที่ทำการสั่งซื้อจากช่องทางออนไลน์ผ่าน Shopat24.com มาจนถึงปัจจุบัน โดยมีการผสานการสะสมคะแนนที่มีชื่อว่า All Member ที่สามารถใช้ใน ร้านเซเว่น อีเลฟเว่น มาใช้ในออนไลน์ได้
ปชป.
พรรคประชาธิปัตย์ (ย่อ: ปชป.) ก่อตั้งเมื่อวันที่ 6 เมษายน พ.ศ. 2489 เป็นพรรคการเมืองจดทะเบียนที่เก่าแก่ที่สุดของไทยที่ยังดำเนินการอยู่ พรรคมีสมาชิกที่ได้แจ้งต่อนายทะเบียนพรรคการเมืองไว้ จำนวน 2,895,933 คน นับเป็นพรรคการเมืองที่มีสมาชิกมากที่สุดในประเทศไทย และมีสาขาพรรคจำนวน 175 สาขา แรกเริ่มก่อตั้งเป็นพรรคอนุรักษนิยมและนิยมเจ้า ปัจจุบันมีจุดยืนแบบเสรีนิยมอนุรักษ์ (conservative liberalism) และนิยมตลาดแบบเสรีนิยมคลาสสิก
นายควง อภัยวงศ์ ได้ก่อตั้งพรรคประชาธิปัตย์ขึ้นเมื่อ 5 เมษายน พ.ศ. 2489 โดยการประชุมรวมตัวกันของนักการเมืองกลุ่มหนึ่งที่บริษัทของนายควง ที่ย่านเยาวราช แต่ทางพรรคถือเอาวันที่ 6 เมษายน เป็นวันก่อตั้งพรรค เพื่อให้ตรงกับวันจักรี มีวัตถุประสงค์เพื่อเป็นฝ่ายค้านคานอำนาจของ นายปรีดี พนมยงค์ ต่อมานายปรีดีลาออกจากตำแหน่งนายกรัฐมนตรี หลังถูกกดดันจากกรณีสวรรคต ร.8 และรัฐสภาลงคะแนนให้ พล.ร.ต.ถวัลย์ ธำรงนาวาสวัสดิ์ ผู้ใกล้ชิดนายปรีดี ขึ้นเป็นนายกรัฐมนตรีสืบต่อ
หลังจากนั้นพรรคประชาธิปัตย์ได้เป็นแกนนำจัดตั้งรัฐบาลอีก 6 ครั้งจนถึงปัจจุบัน คือในปี พ.ศ. 2518, 2519 (2 ครั้ง), 2535, 2540 และ 2551 ได้เป็นพรรคร่วมรัฐบาล 4 ครั้ง และเป็นพรรคฝ่ายค้านอีกรวม 16 ครั้ง โดยเป็นพรรคที่ได้รับเสียงข้างมากในกรุงเทพมหานครทันที และครองจำนวนที่นั่งในกรุงเทพมหานครจนถึงปี พ.ศ. 2522 ทั้งนี้ ประชาธิปัตย์ยังเป็นพรรคแรกที่หาเสียงด้วยวิธีการปราศรัยด้วย โดยเริ่มใช้ตั้งแต่การเลือกตั้งในเดือนสิงหาคมปี พ.ศ. 2489
ในปี พ.ศ. 2550 พรรคประชาธิปัตย์ได้จัดทำ "โครงการยุทธศาสตร์ประเทศไทย" (Thailand Strategy Project หรือ TSP) ขึ้น โดยมี นายอลงกรณ์ พลบุตร รองหัวหน้าพรรค เป็นผู้รับผิดชอบโครงการ เพื่อรวบรวมข้อมูลทางวิชาการใน 19 ยุทธศาสตร์หลัก ใช้เป็นฐานข้อมูลในการพัฒนานโยบายของพรรคประชาธิปัตย์ และจัดทำเป็นแผนยุทธศาสตร์ในการพัฒนาประเทศ รวมทั้งเพื่อแลกเปลี่ยนทรรศนะกับชุมชนวิชาการและประชาชนที่สนใจทั่วไป ผ่านทางเว็บไซต์ และเอกสารเผยแพร่ของโครงการ