pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
ตลาดหลักทรัพย์ฯ กำหนดจำนวนหุ้นที่จะทำการซื้อขายบนกระดานหลัก เป็นหน่วยการซื้อขาย (Board Lot) โดยทั่วไป 1 หน่วยการซื้อขายจะเท่ากับ 100 หุ้น เท่ากันทุกหลักทรัพย์เช่นการซื้อขายหลักทรัพย์ ABC จำนวน 10 หน่วยการซื้อขายจะเท่ากับ 1,000 หุ้น ยกเว้นหลักทรัพย์มีราคาปิดตั้งแต่ 500 บาทขึ้นไปเป็นระยะเวลา 6 เดือนติดต่อกันจะกำหนดให้ 1 หน่วยการซื้อขายเท่ากับ 50 หุ้น ในกรณีที่ผู้ลงทุนต้องการซื้อขายหุ้นเป็นเศษของหน่วยการซื้อขาย เช่น 15 หุ้น, 77 หุ้น จะต้องซื้อขายบนกระดานหน่อยย่อย (Odd Lot Board)
ข้อกำหนดการซื้อขายหลักทรัพย์ตามช่วงราคา ขึ้นอยู่กับระดับราคาซื้อขายของแต่ละหลักทรัพย์ในขณะนั้น ๆ ซึ่งมีการแบ่งออกเป็น 8 กลุ่ม ตั้งแต่ช่วงราคาละ 0.01 บาท จนถึง 2.00 บาท ช่วงราคา
ช่วงเวลาในการซื้อขายหลักทรัพย์นั้นแบ่งออกเป็น 2 ช่วงเวลา ทุกวันจันทร์-ศุกร์ (ยกเว้นวันหยุดทำการของธนาคารพาณิชย์) คือ
โดยผู้ลงทุนสามารถส่งคำสั่งซื้อขายได้ก่อนเวลาทำการในแต่ละรอบล่วงหน้า 30 นาที คือส่งคำสั่งซื้อขายในรอบเช้าได้ตั้งแต่เวลา 9.30 น. และในรอบบ่ายตั้งแต่เวลา 14.00 น. ซึ่งเรียกว่าช่วง Pre-opening เพื่อนำคำสั่งทั้งหมดมาเรียงลำดับและคำนวณหาราคาเปิด นอกจากนี้ตลาดหลักทรัพย์ฯยังได้เปิดให้มีการซื้อขายหลักทรัพย์นอกเวลาทำการ (Off-hour Trading) เพิ่มขึ้นอีกประมาณ 20-25 นาที นับตั้งแต่เวลาปิดการซื้อขายประจำวันที่ได้จากการสุ่มเลือก ไปจนถึงเวลา 17.00 น. เพื่อให้ผู้ลงทุนสามารถปรับพอร์ตการลงทุนในวันนั้น ๆ ให้เหมาะสมและสะดวกยิ่งขึ้น รวมทั้งเพื่อรองรับการซื้อขายหลักทรัพย์ข้ามตลาดระหว่างประเทศที่มีแนวโน้มเพิ่มขึ้น
เพื่อเป็นการลดความเสี่ยงในการลงทุนให้กับผู้ลงทุน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงมีเหตุการณ์ไม่ปกติเกิดขึ้นส่งผลให้ราคาหลักทรัพย์มีการขึ้นลงผันผวนอย่างรุนแรง ตลาดหลักทรัพย์ฯกำหนดให้ราคาเสนอซื้อเสนอขายในแต่ละวันสามารถเปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้สูงสุดไม่เกินร้อยละ 30 ของราคาซื้อขายครั้งสุดท้ายในวันทำการก่อนหน้า แต่มีข้อยกเว้นในกรณีดังนี้
หากภาวะการซื้อขายหลักทรัพย์โดยรวมเกิดการเปลี่ยนแปลงลดลงอย่างผิดปกติ ตลาดหลักทรัพย์ฯ มีมาตรการที่เรียกว่า Circuit Breaker ที่จะหยุดการซื้อขายหลักทรัพย์ทั้งหมดเป็นการชั่วคราว เพื่อให้ผู้ลงทุนได้รับทราบสถานการณ์และมีเวลาไตร่ตรองข้อมูลข่าวสารที่เกิดขึ้นก่อนที่จะตัดสินใจลงทุนต่อไป โดย Circuit Breaker จะทำงานตามหลักเกณฑ์และระยะเวลาดังนี้
หลังทำการซื้อขายหลักทรัพย์แล้วผู้ซื้อและผู้ขายมีหน้าที่ต้องชำระราคาและส่งมอบหลักทรัพย์ภายในวันทำการที่ 2 หลังการซื้อขาย (T+2) ยกเว้นตราสารหนี้ที่จะต้องชำระราคาและส่งมอบในวันทำการที่ 2 หลังการซื้อขาย (T+2) โดยใช้ระบบชำระราคาแบบยอดสุทธิ (Net Clearing) และส่งมอบหลักทรัพย์โดยวิธีหักโอนหลักทรัพย์ทางบัญชีระหว่างบริษัทสมาชิก ระบบหลังการซื้อขายหลักทรัพย์ดังกล่าวดำเนินการโดย บริษัท ศูนย์รับฝากหลักทรัพย์ (ประเทศไทย) จำกัด
การส่งเสริมความรู้ให้แก่ผู้ลงทุน.
ตลาดหลักทรัพย์ฯได้ดำเนินกิจกรรมเพื่อส่งเสริมความรู้ให้แก่ผู้มีส่วนเกี่ยวข้องอย่างต่อเนื่อง โดยได้จัดตั้งสถาบันพัฒนาความรู้ตลาดทุน (Thailand Securities Institute:TSI) เพื่อส่งเสริมความรู้ในด้านการเงินการลงทุนแก่ผู้ลงทุนเยาวชนและประชาชนทั่วไป ให้มีความรู้ความเข้าใจและความสามารถในการบริหารจัดการการเงิน อันจะนำไปสู่การมีสุขภาพทางการเงินที่ดีในอนาคต ตลอดจนพัฒนาความรู้และทักษะในการประกอบอาชีพให้แก่บุคลากรในธุรกิจหลักทรัพย์ โดยยึดหลักความมีจริยธรรมควบคู่กับความเป็นมืออาชีพที่จะให้บริการแก่ประชาชน โดยให้ความรู้ผ่านกิจกรรมอบรมและสัมนาในหลักสูตรต่าง ๆ ที่เหมาะสมและสอดคล้องกับความต้องการของกลุ่มเป้าหมาย รวมทั้งพัฒนาสื่อการเรียนรู้หลากหลายรูปแบบเช่น หนังสือ วารสาร และสื่อการเรียนรู้อิเล็กทรอนิกส์ต่าง ๆ ตลอดจนร่วมมือกับสถาบันอุดมศึกษาที่เป็นพันธมิตรจัดตั้ง"มุมความรู้ตลาดทุน" (SET CORNER) ซึ่งเป็นเสมือนห้องสมุดสาขาย่อยของตลาดหลักทรัพย์ฯ ในสถาบันอุดมศึกษาต่าง ๆ ทั่วประเทศ
นอกจากนี้ ตลาดหลักทรัพย์ฯได้จัดตั้งบริษัทย่อยคือ บริษัท แฟมมิลี่ โนฮาว จำกัด เพื่อทำหน้าที่ผลิตและเผยแพร่สื่อความรู้และรายการสาระบันเทิงสอดแทรกความรู้ ที่เน้นเนื้อหาสาระด้านการจัดการการเงินส่วนบุคคลและการลงทุน เพื่อเผยแพร่ความรู้ไปยังผู้เกี่ยวข้องและผู้ที่สนใจอย่างแพร่หลายผ่านสื่อต่าง ๆ และจัดตั้งช่องโทรทัศน์ผ่านดาวเทียม "มันนีแชนแนล" เมื่อปี พ.ศ. 2548 เพื่อให้ความรู้ข่าวสารเศรษฐกิจและการลงทุน
สัญลักษณ์และชื่อตลาดหลักทรัพย์.
การตั้งชื่อตลาดหลักทรัพย์ฯ และการกำหนดตราสัญลักษณ์ประจำองค์กรเกิดจากแนวคิดของหยิน-หยาง จากการบอกเล่าของคุณศุกรีย์ แก้วเจริญ ซึ่งเป็นกรรมการและผู้จัดการ ตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทยคนแรก
ภาษีเงินปันผล.
เมื่อผู้ลงทุนเข้ามาซื้อขายหลักทรัพย์ในตลาดหลักทรัพย์ ผู้ลงทุนมีหน้าที่ต้องเสียภาษีอากรตามที่กฎหมายกำหนดไว้ให้ถูกต้อง ในส่วนนี้จึงสรุปการเสียภาษีอากรที่เกี่ยวข้องไว้เพื่อเป็นข้อมูลดังปรากฏต่อไปนี้
ตลาดหลักทรัพย์ เอ็ม เอ ไอ
ตลาดหลักทรัพย์ เอ็ม เอ ไอ (Market for Alternative Investment - MAI) เป็นตลาดหลักทรัพย์แห่งที่สองของประเทศไทย ก่อตั้งเมื่อวันที่ 21 มิถุนายน พ.ศ. 2542 และเปิดทำการซื้อขายวันแรกเมื่อวันที่ 17 กันยายน พ.ศ. 2544 มีจุดประสงค์การทำงานโดยทั่วไป เหมือนกับ ตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทย หรือ The Stock Exchange of (Thailand) (SET) คือ ทำหน้าที่เป็นตลาดทุน เพื่อให้กิจการต่างๆ สามารถระดมเงินทุนเพิ่มเติมจากสาธารณะได้ แต่ตลาดใหม่นี้ จะเน้นไปที่กิจการขนาดกลางและขนาดย่อม (เอสเอ็มอี - SME) และกิจการเกี่ยวกับนวัตกรรม โดยได้ผ่อนผันหลักเกณฑ์ต่าง ๆ ลง เช่น ทุนชำระแล้วขั้นต่ำของหลักทรัพย์ในตลาดหลัก คือ 200 ล้านบาท ในขณะที่ขั้นต่ำของตลาดใหม่ ลดลงเป็น 40 ล้านบาท เป็นต้น เพื่อเปิดโอกาสให้กิจการขนาดเล็ก ที่ไม่สามารถเข้าตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทยได้ ได้มีหนทางในการระดมทุน รวมทั้งสนับสนุนอุตสาหกรรมการร่วมลงทุน (venture capital) เพื่อเพิ่มจำนวนบริษัทจดทะเบียนในตลาดหลักทรัพย์
ผู้จัดการตลาดหลักทรัพย์คนปัจจุบันคือ ประพันธ์ เจริญประวัติ (ตั้งแต่ มีนาคม พ.ศ. 2557)
การคูณ
การคูณ คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ทำให้เกิดการเพิ่มหรือลดจำนวนจำนวนหนึ่งเป็นอัตรา การคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการพื้นฐานของเลขคณิตมูลฐาน (การดำเนินการอย่างอื่นได้แก่ การบวก การลบ และการหาร)
การคูณสามารถนิยามบนจำนวนธรรมชาติว่าเป็นการบวกที่ซ้ำ ๆ กัน ตัวอย่างเช่น 3 คูณด้วย 4 (หรือเรียกโดยย่อว่า 3 คูณ 4) หมายถึงการบวกจำนวน 4 เข้าไป 3 ชุด ดังนี้
สำหรับการคูณของจำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) และจำนวนจริง ก็นิยามโดยกรณีทั่วไปที่เป็นระบบของแนวความคิดพื้นฐานดังกล่าว
การคูณอาจมองได้จากการนับวัตถุที่จัดเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (สำหรับจำนวนธรรมชาติ) หรือการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยการหนดความยาวของด้านมาให้ (สำหรับจำนวนทั่วไป) ส่วนกลับของการคูณคือการหาร ในเมื่อ 3 คูณด้วย 4 เท่ากับ 12 ดังนั้น 12 หารด้วย 4 ก็จะเท่ากับ 3 เป็นต้น
การคูณสามารถนิยามให้ขยายไปบนจำนวนชนิดอื่นเช่นจำนวนเชิงซ้อน และมีโครงสร้างที่เป็นนามธรรมมากขึ้นเช่นเมทริกซ์
สัญกรณ์และคำศัพท์เฉพาะทาง.
โดยทั่วไปการคูณสามารถเขียนโดยใช้เครื่องหมายคูณ (x) ระหว่างจำนวนทั้งสอง (ในรูปแบบสัญกรณ์เติมกลาง) ตัวอย่างเช่น
อย่างไรก็ตามก็ยังมีการใช้สัญกรณ์อื่น ๆ แทนการคูณโดยทั่วไป อาทิ
จำนวนที่ถูกคูณโดยทั่วไปเรียกว่า "ตัวประกอบ" (factor) หรือ "ตัวตั้งคูณ" (multiplicand) ส่วนจำนวนที่นำมาคูณเรียกว่า "ตัวคูณ" (multiplier) ตัวคูณของตัวแปรหรือนิพจน์ในพีชคณิตจะเรียกว่า "สัมประสิทธิ์" (coefficient) ซึ่งจะเขียนไว้ทางซ้ายของตัวแปรหรือนิพจน์ เช่น 3 เป็นสัมประสิทธิ์ของ 3"xy"2
ผลลัพธ์ที่เกิดจากการคูณเรียกว่า "ผลคูณ" (product) หรือเรียกว่า "พหุคูณ" (multiple) ของตัวประกอบแต่ละตัวที่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น 15 คือผลคูณของ 3 กับ 5 และในขณะเดียวกัน 15 ก็เป็นทั้งพหุคูณของ 3 และพหุคูณของ 5 ด้วย
ผลคูณของลำดับ.
ถ้าพจน์แต่ละพจน์ของผลคูณไม่ได้เขียนออกมาทั้งหมด เราอาจจะใช้เครื่องหมายจุดไข่ปลาแทนพจน์ที่หายไป เช่นเดียวกับการดำเนินการอื่น ๆ (เช่น การบวก) เช่น ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ ตั้งแต่ 1-100 อาจเขียน formula_8. และสามารถเขียนให้เครื่องหมายจุดไข่ปลาอยู่บริเวณกึ่งกลางแนวตั้งของแถวได้อีกด้วย คือ formula_9.
นอกจากนี้แล้ว ผลคูณยังสามารถเขียนได้ด้วยเครื่องหมายผลคูณ ซึ่งมาจาก อักษร Π (Pi) ตัวใหญ่ ในอักษรกรีก.
ตัวห้อยของประโยคสัญลักษณ์ข้างต้นแทนตัวแปรหุ่น (สำหรับประโยคนี้คือ formula_11) และขอบเขตล่าง (formula_12); ตัวยกแทนขอบเขตบน (formula_13) เช่น
เรายังสามารถหาผลคูณที่มีพจน์เป็นอนันต์ได้อีกด้วย เรียกว่าผลคูณอนันต์
ในการเขียน เราจะแทนที่ "n" ด้านบนด้วยเครื่องหมายอนันต์ (∞).
ผลคูณของพจน์จะกำหนดด้วยขีดจำกัดของผลคูณของ formula_13 พจน์แรก โดย formula_13 เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต เช่น
นอกจากนี้ยังสามารถแทน formula_12 ด้วยจำนวนลบอนันต์
และสำหรับจำนวนเต็ม formula_12 บางจำนวน สามารถกำหนดได้ทั้งอนันต์และลบอนันต์
สำหรับความหมายของการคูณ ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ n และ m ใด ๆ
กล่าวสั้น ๆ คือ 'บวก m เข้ากับตัวเอง n ตัว' สามารถเขียนได้ในลักษณะนี้เพื่อให้ชัดเจนมากขึ้น
หมายถึงมีจำนวน 'm' n ตัวบวกกันนั่นเอง
โดยใช้นิยาม เราสามารถพิสูจน์สมบัติของการคูณได้โดยง่ายดาย โดยดูจากสองตัวอย่างข้างต้น เรามีสมบัติว่า จำนวนสองจำนวนที่คูณกันสามารถสลับที่กันได้โดยผลคูณยังคงเดิม เราเรียกสมบัตินี้ว่า สมบัติการสลับที่ และ สมบัตินี้เป็นจริงสำหรับจำนวน x และ y ใด ๆ นั่นคือ
นอกจากนี้ การคูณยังมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่อีกด้วย ความหมายสำหรับจำนวน x,y และ z ใด ๆ คือ
หมายเหตุจากพีชคณิต: เครื่องหมายวงเล็บ หมายถึง การดำเนินภายในวงเล็บจะต้องกระทำก่อนการดำเนินการภายนอกวงเล็บ
การคูณมีสมบัติการแจกแจง เพราะ
มีสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับการคูณกับ 1 นั่นคือ
เราเรียก 1 ว่า จำนวนเอกลักษณ์
สำหรับเลข 0 เราจะได้
เมื่อเรานำ '0' "m" ตัวมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมเป็นศูนย์ นั่นคือ
ไม่ว่า "m" จะเป็นจำนวนใด (แม้กระทั่งอนันต์).
การคูณกับจำนวนลบอาจจะต้องมีการคิดเล็กน้อย เริ่มจากการคูณ (−1) กับจำนวนเต็ม "m" ใด ๆ
นี่เป็นความจริงที่น่าสนใจว่า จำนวนลบ คือ จำนวนลบหนึ่ง คูณกับจำนวนบวกนั่นเอง เพราะฉะนั้นผลคูณระหว่างจำนวนบวกกับจำนวนลบทำได้โดยการคูณปกติ แล้วคูณด้วย (−1)
ในขณะนี้ เราสามารถสรุปการคูณระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ ได้แล้ว และนิยามนี้ยังขยายไปสำหรับเซตของเศษส่วน หรือ จำนวนตรรกยะ และขยายไปถึงจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน
หลายคนอาจสงสัยถ้าบอกว่า ผลคูณของ'ไร้จำนวน' คือ 1
รูปแบบนิยามเรียกซ้ำของการคูณเป็นไปตามกฎ
เมื่อ "x" เป็นจำนวนจริง และ "y" เป็นจำนวนธรรมชาติ เมื่อเรากำหนดนิยามของการคูณจำนวนธรรมชาติแล้ว เรายังขยายผลไปถึงจำนวนเต็ม จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนได้
วิธีการคูณจำนวนโดยการทดลงกระดาษตามปกติ จำเป็นต้องใช้สูตรคูณที่ท่องจำ ซึ่งเป็นผลคูณของเลข 1−2 หลัก เพื่อให้สามารถตั้งคูณได้ แต่สำหรับวิธีการแบบชาวอียิปต์โบราณไม่เป็นเช่นนั้น ดังที่จะได้กล่าวต่อไป
การคูณจำนวนมากกว่าสองจำนวนบนเลขฐานสิบอาจทำให้เกิดความเบื่อหน่าย และก่อให้เกิดความผิดพลาดได้ง่าย จึงมีการคิดค้นลอการิทึมสามัญ (ลอการิทึมฐานสิบ) เพื่อทำให้คำนวณง่ายขึ้น นอกจากนั้นสไลด์รูลก็เป็นเครื่องมือช่วยคูณจำนวนอย่างรวดเร็ว และได้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำประมาณสามหลัก และตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 ก็มีการประดิษฐ์เครื่องคิดเลขเชิงกล ซึ่งสามารถคูณเลขได้โดยอัตโนมัติถึง 10 หลัก ปัจจุบันนี้ใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์แทน ซึ่งสามารถช่วยประหยัดเวลาการคูณเลขไปได้อย่างมาก
ขั้นตอนวิธีในประวัติศาสตร์.
วิธีการคูณหลายวิธีมีการบันทึกไว้เป็นลายลักษณ์อักษรโดยอารยธรรมอียิปต์ กรีซ บาบิโลเนีย ลุ่มแม่น้ำสินธุ และจีน
วิธีการคูณจำนวนเต็มและเศษส่วนของชาวอียิปต์โบราณ ดังเช่นที่ระบุไว้ใน Ahmes Papyrus เป็นการบวกต่อเนื่องกันและการเพิ่มค่าเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น การหาผลคูณของ 13 กับ 21 ก่อนอื่นจะต้องเพิ่มค่า 21 เป็นสองเท่า 3 ครั้ง ซึ่งจะได้ 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168 จากนั้นจึงรวมพจน์ที่เหมาะสมเข้าด้วยกันจนได้ผลคูณ นั่นคือ
13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273
บาบิโลเนีย.
เนื่องจากชาวบาบิโลนใช้ระบบเลขเชิงตำแหน่งฐานหกสิบ ซึ่งเทียบได้กับเลขฐานสิบของปัจจุบัน แต่มีสัญลักษณ์แทนเลขโดดในแต่ละหลักถึง 60 ตัว ดังนั้นการคูณของชาวบาบิโลนจึงคล้ายกับวิธีการตั้งคูณในปัจจุบัน แต่เนื่องจากเป็นการยากที่จะจดจำผลคูณที่แตกต่างกันทั้งหมด 60 × 60 จำนวน นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนจึงใช้ตารางการคูณ (สูตรคูณ) เข้าช่วย ตารางเหล่านี้ประกอบด้วยรายชื่อของพหุคูณ 20 จำนวนแรกของจำนวนที่สำคัญ "n" ซึ่งจะได้ "n", 2"n", ..., 20"n" ตามด้วยพหุคูณของ 10"n" นั่นคือ 30"n", 40"n", และ 50"n" การคำนวณผลคูณคือการบวกค่าในตารางผลคูณเข้าด้วยกัน เช่น 53"n" ก็หาได้จากการบวกค่าของ 50"n" กับ 3"n" เป็นต้น
ในตำราเรียนคณิตศาสตร์ของจีนชื่อว่า "Zhou Pei Suan Ching" (周髀算經) เมื่อ 300 ปีก่อนคริสตกาล และหนังสือ "The Nine Chapters on the Mathematical Art" (九章算術) ได้อธิบายวิธีการคูณโดยการเขียนเป็นตัวหนังสือ ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์ชาวจีนสมัยก่อนจะใช้ลูกคิดคำนวณด้วยมือทั้งการบวกและการคูณ
ลุ่มแม่น้ำสินธุ.
นักคณิตศาสตร์ชาวฮินดูในอารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุในสมัยก่อน ใช้กลวิธีที่หลากหลายเพื่อคำนวณการคูณ ซึ่งการคำนวณส่วนใหญ่จะทำบนกระดานชนวนขนาดเล็ก เทคนิคหนึ่งที่ใช้กันคือการคูณแลตทิซ (lattice multiplication) เริ่มตั้งแต่การวาดตารางขึ้นมาหนึ่งตาราง กำกับด้วยตัวตั้งและตัวคูณลงบนแถวและหลัก แต่ละช่องจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนตามแนวทแยง เป็นแลตทิซรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเฉียงเป็นแนวเดียวกันทุกช่อง จากนั้นแต่ละช่องสี่เหลี่ยมให้เขียนผลคูณของเลขโดดที่กำกับไว้ลงไป ผลคูณของจำนวนจะหาได้จากการรวมแถวที่เป็นแนวเฉียงเข้าด้วยกันทีละหลัก
สำหรับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน รวมทั้งจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และ จำนวนตรรกยะ การคูณมีสมบัติต่อไปนี้:
สมบัติบางประการของการคูณอาจเป็นจริงสำหรับจำนวนบางระบบเท่านั้น
ระบบคณิตศาสตร์นอกเหนือจากนี้ที่มีการดำเนินการคูณอาจไม่มีสมบัตินี้ทั้งหมด เช่นการคูณไม่มีสมบัติการสลับที่สำหรับเมทริกซ์และควอเทอร์เนียน
ในคณิตศาสตร์ สูตรคูณ เป็นสูตรคณิตศาสตร์ซึ่งใช้เพื่อแสดงวิธีคูณเลขตามระบบพีชคณิต
ในเลขคณิตพื้นฐาน.
สูตรคูณเป็นตารางกริดที่หัวแถวและคอลัมน์เป็นเลขที่จะนำมาคูณ และตัวเลขในแต่ละช่องคือผลคูณดังกล่าว
จากตาราง ค่าของ 3 × 6 หาได้จากช่องที่ 3 กับ 6 ตัดกัน ได้คำตอบเป็น 18
การนำไปใช้ทั่วไป.
โดยปกติแล้ว ใช้สูตรคูณเป็นคอลัมน์เพื่อให้จดจำง่ายตามรูปแบบดังนี้
รูปแบบที่ปรากฏในตารางคูณ.
ตัวอย่างสำหรับสูตรคูณแม่ 6
2 × 6 = 12
4 × 6 = 24
8 × 6 = 48
10 × 6 = 60
ในรูปทั่วไป
ตัวเลข × 6 = ครึ่งหนึ่งของตัวเลขคูณสิบ + ตัวเลข
1 × 6 = 05 + 1 = 6
2 × 6 = 10 + 2 = 12
3 × 6 = 15 + 3 = 18
4 × 6 = 20 + 4 = 24
5 × 6 = 25 + 5 = 30
6 × 6 = 30 + 6 = 36
7 × 6 = 35 + 7 = 42
8 × 6 = 40 + 8 = 48
9 × 6 = 45 + 9 = 54
10 × 6 = 50 + 10 = 60
จังหวัดเพชรบุรี
เพชรบุรี (/เพ็ดชะบุรี/; เดิมสะกดว่า เพ็ชร์บุรี) เป็นจังหวัดหนึ่งในภาคตะวันตก (บ้างก็จัดอยู่ในภาคกลางตอนล่าง ด้านของการพยากรณ์อากาศจัดอยู่ภาคใต้ตอนบน) มีภูมิประเทศทั้งเป็นที่สูงติดเทือกเขาและที่ราบชายฝั่งทะเล มักเรียกชื่อสั้น ๆ ว่า เมืองเพชร เดิมเรียก พริบพรี และจากหลักฐานในสมัยพระเจ้าชัยวรมันที่ 7 ปรากฏชื่อว่า ศรีชัยวัชรปุระ
จังหวัดเพชรบุรีมีชื่อเสียงในฐานะแหล่งผลิตน้ำตาล เนื่องจากมีต้นตาลหนาแน่น เป็นเมืองเก่าแก่ มีประวัติศาสตร์ยาวนาน เพชรบุรีเป็นเมืองที่เคยรุ่งเรืองมาตั้งแต่สมัยโบราณและเป็นเมืองหน้าด่านที่สำคัญของไทยในกลุ่มหัวเมืองฝ่ายตะวันตก ปัจจุบันมีวัดเก่าแก่และบ้านเรือนทรงไทยจำนวนมาก นอกจากนี้ยังมีคำพูดติดปากว่า นักเลงเมืองเพชร ปัจจุบันเพชรบุรีเป็นเมืองด่านสำคัญระหว่างภาคกลางและภาคใต้ และยังเป็นเมืองท่องเที่ยวที่สำคัญ เช่น หาดชะอำ หาดปึกเตียน หาดเจ้าสำราญ แหลมหลวง แหลมเหลว และเขื่อนแก่งกระจาน
เพชรบุรีเป็นเมืองที่เคยรุ่งเรืองมาตั้งแต่สมัยโบราณและเป็นเมืองหน้าด่านที่สำคัญของไทยในกลุ่มหัวเมืองฝ่ายตะวันตก มีการติดต่อค้าขายกับต่างประเทศ มีหลักฐานชื่อเรียกปรากฏในหนังสือชาวต่างประเทศ เช่น ชาวฮอลันดาเรียกว่า "พิพรีย์" ชาวฝรั่งเศสเรียกว่า "พิพพีล์" และ "ฟิฟรี" จึงสันนิษฐานกันว่าชื่อ "เมืองพริบพรี" เป็นชื่อเดิมของเมืองเพชรบุรี ซึ่งสอดคล้องกับชื่อวัดพริบพลีที่เป็นวัดเก่าแก่วัดหนึ่งของจังหวัด และที่วัดแห่งนี้ยังเป็นสถานที่ตั้งเสาชิงช้าอีกด้วย
เพชรบุรี (ศรีชัยวัชรบุรี) เป็นเมืองเก่าแก่มาแต่โบราณ เคยเป็นอาณาจักรเล็ก ๆ อาณาจักรหนึ่ง บางสมัยมีเจ้าผู้ครองนครหรือกษัตริย์ปกครองเป็นอิสระ บางสมัยอาจจะตกเป็นเมืองขึ้นของอาณาจักรที่เข้มแข็งกว่า เจ้าผู้ครองนครได้ส่งเครื่องบรรณาการไปยังเมืองจีนเป็นประจำ เพชรบุรีมีปรากฏเป็นหลักฐานมาตั้งแต่สมัยพระเจ้าชัยวรมันที่ 7 เช่น พระปรางค์ 5 ยอด ณ วัดมหาธาตุวรวิหาร และปราสาทหินศิลาแลง ณ วัดกำแพงแลงเป็นต้น โดยที่มาของชื่อเมืองนั้นอาจเรียกตามตำนานที่เล่าสืบกันมาว่าในสมัยโบราณเคยมีแสงระยิบระยับในเวลาค่ำคืนที่เขาแด่น ทำให้ชาวบ้านเข้าใจว่ามีเพชรพลอยบนเขานั้นจึงพากันไปค้นหาแต่ก็ไม่พบ จึงได้ออกค้นหาในเวลากลางคืนแล้วใช้ปูนที่ใช้สำหรับกินหมากป้ายเป็นตำหนิไว้เพื่อมาค้นหาในเวลากลางวัน แต่ก็ไม่พบ บ้างก็ว่าเรียกตามชื่อของแม่น้ำเพชรบุรี เมืองเพชรบุรีมีศิลปวัตถุมากมาย เป็นหลักฐานที่แสดงว่าเพชรบุรีเคยเป็นบ้านเมืองที่มีผู้คนอาศัยอยู่เป็นชุมชนถาวรมาตั้งแต่สมัยทวารวดี เช่น ศิลปะปูนปั้น ทั้งนี้ก็เป็นไปได้ที่มีการเปลี่ยนชื่อ "วัชรปุระ" เป็น "เพชรบุรี" จากแผลงคำในชื่อ "วัชร" เป็น "เพชร" โดยเปลี่ยนจาก "ว" เป็น "พ"
แม้อาณาจักรสุโขทัยสมัยพ่อขุนรามคำแหงจะมีอำนาจครอบคลุมเพชรบุรี แต่เพชรบุรีก็ยังมีอิสระอยู่มาก สามารถส่งทูตไปจีนได้ ต้นวงศ์ของกษัตริย์เพชรบุรีในช่วงสมัยสุโขทัยคือ พระพนมทะเลศิริ ผู้เป็นเชื้อสายของพระเจ้าพรหมแห่งเวียงไชยปราการ ราชวงศ์นี้ได้ครองเมืองเพชรบุรีมาจนถึงสมัยพระเจ้าอู่ทองจึงได้เสด็จไปสถาปนากรุงศรีอยุธยาเป็นราชธานี
ในสมัยอยุธยาตอนต้น เพชรบุรีขึ้นต่อกรุงศรีอยุธยาในแบบศักดินาสวามิภักดิ์มีขุนนางควบคุมเป็นชั้น ๆ ขึ้นไป แต่หลังจากการเปลี่ยนแปลงการปกครองในสมัยพระบรมไตรโลกนาถ อำนาจในส่วนกลางมีมากขึ้น เพชรบุรียังมีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับกรุงศรีอยุธยา ดังนั้นอำนาจจากส่วนกลางจึงมามีส่วนในการปกครองเพชรบุรีมากกว่าเดิม
ในสมัยพระมหาธรรมราชา (พ.ศ. 2113) พระยาละแวก เจ้าเมืองเขมร ยกกองทัพมาสู้กับกองทัพอยุธยา แต่สู้ไม่ได้ จึงแพ้และหนีไป อีก 5 ปีต่อมา (พ.ศ. 2118) พระยาละแวกยกทัพเรือมาที่อยุธยาอีก สู้อยุธยาไม่ได้อีก จึงยกกองทัพกลับไป ต่อมา พ.ศ. 2121 ทางเขมรได้ให้พระยาจีนจันตุยกทัพมาตีเมืองเพชรบุรี แต่ชาวเพชรบุรีป้องกันเมืองไว้ได้ ต่อมา พ.ศ. 2124 อยุธยาติดพันรบกับกบฏ พระยาละแวกก็เลยชิงยกกองทัพเรือมาเองมีกำลังประมาณ 7,000 คน เมืองเพชรบุรีจึงตกเป็นของเขมร จนถึงสมัยสมเด็จพระนเรศวรมหาราชทรงตีเขมรชนะ เพชรบุรีจึงเป็นอิสระ โดยใน พ.ศ. 2136 เมื่อสมเด็จพระนเรศวรฯ พิจารณานิสัยสันดานของเขมรแล้วเจ็บช้ำพระทัย จึงยกกองทัพไปตีเขมร จับครอบครัวเอาไว้แล้วมาไว้ที่อยุธยา ตัดคอล้างพระบาท เพราะชอบฉกฉวยโอกาสขณะที่อยุธยาตีติดทัพที่อื่น แต่พระองค์ท่านยังมีพระเมตตา ให้โอกาสลูกชายคนโตของพระยาละแวก กลับไปปกครองเขมรต่อ แล้วให้ระบุว่า จะต้องไม่เป็นกบฏต่ออยุธยา และต้องเป็นเมืองขึ้นของสยามต่อไป และเนื่องจากทรงโปรดปรานเมืองเพชรบุรีเป็นพิเศษ จึงได้เสด็จมาประทับที่เมืองเพชรบุรีเป็นเวลาถึง 5 ปี ก่อนจะทรงยกทัพใหญ่ไปปราบพม่า และสวรรคตที่เมืองหาง
สมัยธนบุรีและรัตนโกสินทร์.
ตั้งแต่สมัยสมเด็จพระเจ้าตากสินมหาราชจนถึงสมัยสมเด็จพระพุทธเลิศหล้านภาลัย ไทยยังคงทำสงครามกับพม่ามาโดยตลอด ซึ่งเจ้าเมืองและชาวเมืองเพชรบุรีก็ยังคงมีส่วนร่วมในการทำสงครามดังกล่าว จนเมื่อพม่าตกเป็นของอังกฤษ บทบาทของเมืองเพชรบุรีที่มีต่อเมืองหลวงและราชสำนักจึงค่อย ๆ เปลี่ยนไป
พระบาทสมเด็จพระจอมเกล้าเจ้าอยู่หัวทรงโปรดปรานเมืองเพชรบุรีตั้งแต่ครั้งยังผนวช และเมื่อขึ้นครองราชย์แล้ว โปรดให้สร้างพระราชวัง วัด และพระเจดีย์ใหญ่ขึ้นบนเขาเตี้ย ๆ ใกล้กับตัวเมืองและพระราชทานนามว่า “พระนครคีรี” ต่อมาในสมัยพระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว โปรดเกล้าฯ ให้สร้างพระราชวังอีกแห่งหนึ่งในตัวเมืองเพชรบุรี คือ “พระรามราชนิเวศน์” หรือที่เรียกกันภาษาชาวบ้านว่า “วังบ้านปืน” และด้วยความเชื่อที่ว่าอากาศชายทะเลและน้ำทะเลอาจบรรเทาอาการเจ็บป่วยได้ พระบาทสมเด็จพระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัวจึงโปรดเกล้าฯ ให้สร้าง “พระราชนิเวศน์มฤคทายวัน” ที่ชายหาดชะอำเพื่อใช้เป็นที่ประทับรักษาพระองค์
จังหวัดเพชรบุรีอยู่ห่างจากกรุงเทพมหานคร ตามเส้นทางหลวงแผ่นดินหมายเลข 35 ระยะทางประมาณ 123 กิโลเมตร มีพื้นที่ทั้งหมด 6,225.138 ตารางกิโลเมตรหรือ 3,890,711.20 ไร่ โดยมีส่วนที่กว้างที่สุดวัดได้ 103 กิโลเมตรจากทิศตะวันออก-ตะวันตกและส่วนที่ยาวที่สุดวัดได้ 80 กิโลเมตรจากทิศเหนือ-ใต้ มีอาณาเขตติดต่อกับจังหวัดและประเทศใกล้เคียงต่อไปนี้
พื้นที่ด้านตะวันตกเป็นป่าไม้และภูเขาสูงสลับซับซ้อน มีเทือกเขาตะนาวศรีเป็นเส้นกั้นอาณาเขตระหว่างไทยกับพม่า เฉพาะในเขตจังหวัดเพชรบุรีมีความยาวประมาณ 120 กิโลเมตร แม่น้ำสายสำคัญไหลผ่าน 3 สาย ได้แก่ แม่น้ำเพชรบุรี มีความยาวตลอดสาย 227 กิโลเมตร แม่น้ำบางกลอย มีความยาว 44 กิโลเมตร และแม่น้ำบางตะบูน มีความยาว 18 กิโลเมตร มีประชากรอาศัยหนาแน่นทางตะวันออกของพื้นที่ ซึ่งเป็นที่ราบลุ่มชายฝั่งทะเล ลักษณะภูมิประเทศจังหวัดเพชรบุรี แบ่งเป็น 3 เขต คือ
ก. เขตภูเขาและที่ราบสูง อยู่ทางด้านตะวันตกของจังหวัดติดกับพม่าในบริเวณอำเภอแก่งกระจานและอำเภอหนองหญ้าปล้อง มีภูเขาสูงและเป็นบริเวณที่สูงชันของจังหวัด มีลักษณะเป็นเทือกเขาทอดยาวจากเหนือมาใต้ พื้นที่ถัดจากบริเวณนี้จะค่อย ๆ ลาดต่ำลงมาทางด้านตะวันออก บริเวณนี้เป็นต้นกำเนิดแม่น้ำเพชรบุรีและแม่น้ำปราณบุรี
ข. เขตที่ราบลุ่มแม่น้ำ บริเวณตอนกลางของจังหวัดซึ่งอุดมสมบูรณ์ที่สุด มีแม่น้ำเพชรบุรีซึ่งเป็นแม่น้ำสายสำคัญไหลผ่าน และมีเขื่อนแก่งกระจานและเขื่อนเพชรบุรีซึ่งเป็นแหล่งน้ำระบบชลประทาน บริเวณนี้เป็นเขตเกษตรกรรมที่สำคัญของจังหวัด เขตนี้คือบริเวณบางส่วนของอำเภอเมืองเพชรบุรี อำเภอท่ายาง อำเภอชะอำ อำเภอบ้านลาด อำเภอบ้านแหลม และอำเภอเขาย้อย
ค. เขตที่ราบฝั่งทะเล อยู่ทางด้านตะวันออกของจังหวัด ติดกับชายฝั่งทะเลด้านอ่าวไทย บริเวณนี้นับเป็นแหล่งเศรษฐกิจที่สำคัญยิ่งของจังหวัดในด้านการประมง การท่องเที่ยว เขตนี้ได้แก่ บางส่วนของอำเภอเมืองเพชรบุรี บ้านแหลม ท่ายาง และชะอำ ลักษณะพื้นที่ชายฝั่งเพชรบุรี เหนือแหลมหลวงไปทางทิศเหนือเป็นพื้นที่ชายฝั่งหาดโคลน มีระบบนิเวศป่าชายเลน ด้านทิศใต้ของแหลมหลวงลงไปด้านทิศใต้เป็นหาดทราย แหลมหลวงซึ่งอยู่ในพื้นที่ตำบลแหลมผักเบี้ยจึงเป็นแหลมที่แบ่งระบบนิเวศป่าชายเลน ออกจากระบบนิเวศหาดทราย เหนือแหลมหลวงขึ้นไปด้านทิศเหนือมีลักษณะเป็นหาดโคลนเพราะอยู่ใกล้พื้นที่ชุมน้ำของแม่น้ำสายใหญ่ ได้แก่ แม่น้ำเพชรบุรี แม่น้ำบางตะบูน แม่น้ำแม่กลอง แม่น้ำท่าจีน และแม่น้ำบางปะกง เมื่อฤดูน้ำหลากน้ำจากแม่น้ำได้พัดพาตะกอนลงสู่ทะเลเป็นจำนวนมาก จึงส่งผลให้พื้นที่ของชายฝั่งแถบนี้มีตะกอนในน้ำสูง ส่งผลให้ชายฝั่งมีโคลนจำนวนมาก ซึ่งเหมาะแก่ระบบนิเวศป่าชายเลน เป็นแหล่งอนุบาลสัตว์ทะเล บริเวณอ่าวไทยในเขตอำเภอบ้านแหลมถือว่าเป็นอ่าวที่พบหอยหลากชนิด เช่น หอยเสียบ หอยปากเป็ด หอยตระกาย หอยตลับ หอยหลอด หอยแครง เป็นต้น โดยเฉพาะหอยแครง เป็นแหล่งที่พบมากที่สุดในโลก ภายหลังได้มีการตัดไม้ป่าชายเลนนำไปเผาถ่าน ทำลายป่าเพื่อทำนากุ้งกุลาดำ จึงส่งผลให้ป่าชายเลนถูกทำลายเป็นจำนวนมาก
จังหวัดเพชรบุรีอยู่ติดอ่าวไทยจึงได้รับอิทธิพลของลมมรสุมตะวันออกเฉียงใต้ในฤดูฝน ซึ่งมีผลทำให้ฝนตกชุก และอิทธิพลจากลมมรสุมตะวันออกเฉียงเหนือในช่วงฤดูหนาว จึงทำให้มีอากาศหนาวเย็นในช่วงเวลาดังกล่าว สามารถแบ่งฤดูกาลออกเป็น 3 ฤดู
ใน พ.ศ. 2550 อุณหภูมิอากาศสูงที่สุด 37 องศาเซลเซียส (19 เมษายน) อุณหภูมิอากาศต่ำที่สุด 16 องศาเซลเซียส (4 กุมภาพันธ์) อุณหภูมิอากาศเฉลี่ยทั้งปี 28.02 องศาเซลเซียส ปริมาณฝนตกรวมทั้งปี 1,113.4 มิลลิเมตร มีจำนวนวันฝนตกวัดได้ตั้งแต่ 0.1 มิลลิเมตร จำนวน 99 วัน จากสถิติปริมาณน้ำฝนตั้งแต่ พ.ศ. 2537–2550 เฉลี่ยวันฝนตกประมาณปีละ 103 วัน ปริมาณน้ำฝนเฉลี่ยในรอบ 12 ปี (พ.ศ. 2539–2550) 1003.43 มิลลิเมตรต่อปี โดยมีฝนตกมากในช่วงเดือนกันยายน–ตุลาคม
จังหวัดเพชรบุรีมีรูปแบบการปกครองและการบริหารราชการแผ่นดิน 3 รูปแบบ คือ
การบริหารส่วนกลาง.
ประกอบด้วยหน่วยงานสังกัดส่วนกลางซึ่งมาตั้งหน่วยปฏิบัติงานในพื้นที่ จำนวน 75 ส่วนราชการ
การบริหารส่วนภูมิภาค.
มีหน่วยราชการที่อยู่ในความควบคุมดูแลของผู้ว่าราชการจังหวัด คือ ส่วนราชการต่าง ๆ ในระดับจังหวัด และอำเภอ ส่วนราชการในระดับจังหวัดเป็นหน่วยงาน 2 ลักษณะ คือ หน่วยราชการบริหาร ส่วนภูมิภาคประจำจังหวัด และหน่วยราชการบริหารส่วนกลางในจังหวัด (ขึ้นตรงต่อส่วนกลาง) หน่วยราชการบริหารส่วนภูมิภาคประจำจังหวัดของจังหวัดเพชรบุรีมีทั้งสิ้น 33 หน่วยงาน สังกัดกระทรวงมหาดไทย 8 หน่วยงาน และสังกัดกระทรวง ทบวง กรมอื่น ๆ 26 หน่วยงาน
การบริหารส่วนท้องถิ่น.
การปกครองส่วนท้องถิ่น ประกอบด้วย องค์การบริหารส่วนจังหวัดเพชรบุรี, เทศบาลเมือง 2 แห่ง, เทศบาลตำบล 13 แห่ง และองค์การบริหารส่วนตำบล 69 แห่ง มีรายละเอียดดังนี้
ตามหลักฐานการทะเบียนราษฎร ณ วันที่ 30 กันยายน พ.ศ. 2550 จังหวัดเพชรบุรีมีประชากร จำนวน 456,061 คน เป็นชาย 220,847 คน หญิง 235,214 คน จำนวนบ้าน 156,457 หลังคาเรือน ประชากรส่วนใหญ่นับถือศาสนาพุทธ (ร้อยละ 97.35) และศาสนาอื่น ๆ ได้แก่ ศาสนาอิสลาม (ร้อยละ 2.49) และศาสนาคริสต์ (ร้อยละ 0.16) รายได้ต่อหัวของประชากรจังหวัดเพชรบุรีใน พ.ศ. 2549 คือ 102,202 บาทต่อคนต่อปี
จังหวัดเพชรบุรีมีความสัมพันธ์ในฐานะเมืองพี่น้อง (Sister City) กับเมืองดังต่อไปนี้
25 มี.ค.
แอนเดร โคลโมโกรอฟ
จำนวนเฉพาะ
ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ  คือ จำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และมีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ตรงข้ามกับจำนวนประกอบ
ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย
ในเดือนธันวาคม 2561 มีข่าวจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดเท่าที่มีการค้นพบ ซึ่งมีความยาว 24,862,048 หลัก
การแทนจำนวนธรรมชาติ ด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะ.
ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ และเขียนได้แบบเดียวเท่านั้น จำนวนเฉพาะเป็นเหมือน "บล็อกก่อสร้าง"ของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น
ไม่ว่าเราจะแยกตัวประกอบของ 23244 แบบใดโดยไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบแล้ว มันก็จะไม่ต่างไปจากนี้
สมบัติมูลฐาน.
การมีอยู่นับไม่ถ้วน.
มีจำนวนเฉพาะอยู่มากมายนับไม่ถ้วน ข้อเท็จจริงนี้พร้อมบทพิสูจน์ปรากฏเป็นครั้งแรกในหนังสือ "Elements" โดยยุคลิด จึงได้ชื่อว่าทฤษฎีบทของยุคลิด
บทพิสูจน์ของยุคลิดนั้นเริ่มต้นโดยพิสูจน์ว่า รายการจำกัด formula_2 ของจำนวนเฉพาะใด ๆ จะมีจำนวนเฉพาะอื่นที่ไม่อยู่ในลำดับนี้ แนวคิดหลักของบทพิสูจน์นี้คือ คูณจำนวนเฉพาะ formula_2 ในรายการทุกตัวเข้าด้วยกัน แล้วบวกหนึ่งให้กับผลคูณที่ได้ ซึ่งจะได้เป็นจำนวนใหม่
โดยทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต จะได้ว่าจำนวนนี้ต้องแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้
(formula_6 อาจะมีตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวหรือหลายตัวก็ได้ และตัวประกอบเฉพาะเหล่านั้นอาจซ้ำกันก็ได้) แต่เนื่องจากจำนวนเฉพาะใด ๆ ในรายการ formula_2 เมื่อนำไปหาร formula_8 แล้วจะหารไม่ลงตัวเสมอ ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะ formula_9 ของ formula_8 ต้องเป็นจำนวนเฉพาะอื่นนอกเหนือจากในรายการ formula_2 จึงทำให้ได้ทันทีว่า มีจำนวนเฉพาะอยู่เป็นอนันต์
นอกจากบทพิสูจน์ของยูคลิดแล้ว ยังมีบทพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์ในแบบอื่น ๆ อีก เช่น บทพิสูจน์ของออยเลอร์โดยใช้วิธีการทางคณิตวิเคราะห์ บทพิสูจน์ของคริสเตียน ก็อลท์บัคโดยอาศัยจำนวนแฟร์มา บทพิสูจน์เชิงทอพอโลยีของฮิลแลล ฟัวร์ทสเตนแบร์ก และบทพิสูจน์ของเอิร์นส์ คุมเมอร์
การหาจำนวนเฉพาะ.
ตะแกรงเอราทอสเทนีส และ ตะแกรงของ Atkin เป็นวิธีที่ใช้สร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดตามจำนวนที่กำหนดอย่างรวดเร็ว