pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
กองกำลังที่ไม่ขึ้นทั้งฝ่าย ZAFT และ กองทัพโลก สามารถแบ่งได้ดังนี้
กองกำลังไคลน์ (Clyne Faction)
เป็นกองกำลังที่เริ่มตั้งขึ้นตั้งแต่การขโมย Freedom Gundam เมื่อครอบครัวเริ่มถูกตามล่าในฐานะผู้ทรยศ ลักส์ ไคลน์ ลูกสาวเพียงคนเดียวของซีเกล ไคลน์ ซึ่งรอดการตามล่าของแพทริค ซาล่านั้น ได้ขโมยยานรบรุ่นใหม่ของซาร์ฟหรือ Eternal พร้อมกับ ความพยายามที่สร้างสันติภาพในเกิดขึ้นกับทุกฝ่าย
ผู้นำกองกำลัง - เจ้าหญิงแห่งเสียงเพลง ลักส์ ไคลน์ [GS/GSD]
ยานเอเทอนอล
สมาชิกบนยาน
นักบินโมบิลสูท / กันดั้ม / โมบิลอาร์เมอร์
อาร์คแองเจิ้ล (Arch angel)
กองกำลังออร์บ
ประเทศเป็นกลางในมหาสมุทรแปซิฟิก ประกอบด้วย mass driver คางุยะ และ โคโลนี่ เฮลิโอโพลิส
ผู้นำประเทศ - อูสึมิ นาระ อัสฮา [GS], ยูน่า โรม่า เซย์รัน [GSD], คางาริ ยูระ อัสฮา [GSD]
ผู้บริหาร /กองทัพออร์บ
ORB MEMBER
Heliopolish
คุซานางิ
มอร์เก็นเรต
โรงงานของประเทศเป็นกลาง ORB
รุ่งอรุณแห่งทะเลทราย
กองกำลังเป็นกลาง
กองทัพโลก.
กองกำลังของโลก ฝ่ายเนเฌอรัล ชื่อภาษาอังกฤษคือ OMNI (Oppose Militancy &amp; Neutralize Invasion Enforcer)
อาร์คแองเจิ้ล
สมกชิกบนยาน
โดมิเนียน
Phantom pain
BLUE COSMOS / LOGOS
กองทัพ ZAFT / PLANT.
กองกำลังของฝ่ายโคออร์ดิเนเตอร์ ชื่อภาษาอังกฤษคือ
- ZAFT (Zodiac Alliance Freedom Treaty)
- PLANT (Productive Location Ally on Nexus Technology)
สภาความมั่นคงแห่งแพลนท์
ZAFT / PLANT MEMBER
หน่วยคลูเซ่
ผู้บัญชาการ /กัปตัน /อื่นๆ
หน่วยกลาดิช
หน่วยวอลท์เฟลด์
จังหวัดกาฬสินธุ์
กาฬสินธุ์ เป็นจังหวัดหนึ่งในภาคตะวันออกเฉียงเหนือตอนกลางหรือตอนบนของประเทศไทย อยู่ห่างจากกรุงเทพมหานครประมาณ 510 กิโลเมตร เป็นจังหวัดที่มีความอุดมสมบูรณ์มากที่สุดจังหวัดหนึ่งในภาคอีสาน จากหลักฐานทางโบราณคดีบ่งบอกว่าเคยเป็นที่อยู่อาศัยของเผ่าละว้า ซึ่งมีความเจริญทางด้านอารยธรรมประมาณ 1,600 ปี
จากหลักฐานทางประวัติศาสตร์เริ่มตั้งเป็นเมืองในสมัยรัตนโกสินทร์ เมื่อปี พ.ศ. 2336 โดยท้าวโสมพะมิตรได้อพยพหลบภัยมาจากดินแดนฝั่งซ้ายแม่น้ำโขง (เมืองศรีสัตตนาคนหุตล้านช้างร่มขาวเวียงจันทน์) พร้อมไพร่พล และมาตั้งบ้านเรือนอยู่ริมแม่น้ำปาว เรียกว่า "บ้านแก่งสำโรง" แล้วได้นำเครื่องบรรณาการเข้าถวายสวามิภักดิ์ต่อพระบาทสมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช ต่อมาได้รับพระกรุณาโปรดเกล้ายกฐานะบ้านแก่งสำโรงขึ้นเป็นเมือง และพระราชทานนามว่า "เมืองกาฬสินธุ์" ซึ่งเป็นเมืองที่สำคัญทางประวัติศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณกาล "กาฬ" แปลว่า "ดำ" "สินธุ์" แปลว่า "น้ำ" "กาฬสินธุ์" จึงแปลว่า "น้ำดำ" (น้ำดำในที่นี้หมายถึง น้ำที่ใสสะอาดจนมองเห็นดินสีดำ ซึ่งดินดำเป็นดินที่อุดมสมบูรณ์ที่สุด) ทั้งมีพระบรมราชโองการโปรดเกล้าโปรดกระหม่อมแต่งตั้งให้ท้าวโสมพะมิตรเป็นพระยาชัยสุนทร (โสมพะมิตร) ครองเมืองกาฬสินธุ์เป็นคนแรก
กาฬสินธุ์มีแหล่งซากไดโนเสาร์และซากดึกดำบรรพ์อื่น ๆ หลายแห่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในอำเภอสหัสขันธ์ อีกทั้งยังมีชื่อเสียงด้านโปงลางและผ้าไหมแพรวา นอกจากนี้ยังมีความหลากหลายทางชาติพันธุ์ ไม่ว่าจะเป็นลาว, เขมร, จีน, เวียดนาม, ภูไท, กะเลิง, ไทข่า, ไทดำ และญ้อ เป็นต้น
สมัยก่อนประวัติศาสตร์-ยุคเหล็กตอนปลาย (พุทธศตวรรษที่ 3-7)
พบร่องรอยการอยู่อาศัยในหลุมขุดค้นบริเวณโนนเมืองเก่า คือ ภาชนะดินเผาลายเขียนสีแดงบนพื้นครีม ซึ่งเป็นภาชนะที่นิยมใช้กันอย่างแพร่หลายในสมัยก่อนประวัติศาสตร์ตอนปลายในบริเวณแอ่งสกลนครและแอ่งโคราช กำหนดอายุอยู่ในราว 2,200 – 1,800 ปีมาแล้ว และยังพบภาชนะที่ตกแต่งผิวด้วยการทาน้ำโคลนสีแดงด้วย มีการปลงศพด้วยการฝังยาว โดยวางศีรษะให้หันไปทางทิศตะวันตกเฉียงเหนือทั้งหมด แต่มีทั้งแบบนอนหงายและนอนตะแคง ไม่พบการอุทิศสิ่งของให้ศพ
นอกจากนี้ยังพบร่องรอยของกิจกรรมการถลุงเหล็กด้วยเทคนิคโบราณทางทิศตะวันตกเฉียงใต้ของโนนเมืองเก่า และชุมชนในชั้นนี้ยังรู้จักการผลิตเครื่องประดับสำริดประเภทกำไล แหวน ต่างหู ซึ่งจากหลักฐานที่พบ คือ เบ้าดินที่มีคราบโลหะติดอยู่ และอุปกรณ์การหล่อในรูปของแม่พิมพ์ดินเผา ทำให้ทราบว่าเป็นการผลิตสำริดด้วยเทคนิค กระบวนการผลิตขั้นที่ 2 (secondary metallurgical operation) ไม่มีการถลุงเพื่อสกัดโลหะออกจากแร่ดิบ เพียงแต่นำเอาโลหะที่ผ่านการถลุงแล้วมาหลอมแล้วหล่อให้ได้รูปทรงตามต้องการด้วยวิธี lost wax process คือ ใช้ขี้ผึ้งทำแบบขึ้นมาก่อนแล้วเอาดินพอกจากนั้นให้ความร้อนเพื่อให้ขี้ผึ้งละลายและไหลออก จากนั้นจึงเอาโลหะหลอมละลายในเบ้าดินเผาเทลงแทนที่ เมื่อแข็งตัวแล้วจึงทุบแม่พิมพ์ออก กระบวนการผลิตแบบนี้พบในแหล่งโบราณคดียุคโลหะในแอ่งสกลนครและแอ่งโคราชทั่วไป เช่น บ้านเชียง บ้านนาดี เป็นต้น
สมัยประวัติศาสตร์ตอนต้น (พุทธศตวรรษที่ 7-12)
ระยะนี้รู้จักการผลิตเครื่องมือเครื่องใช้จากเหล็ก ผลิตเครื่องประดับสำริดตลอดจนผลิตภาชนะดินเผารูปแบบต่างๆ โดยการขึ้นรูปด้วยแป้นหมุนมีการเผาทั้งแบบกลางแจ้งและเผาในเตาดินที่ควบคุมอุณหภูมิได้ แต่การเปลี่ยนแปลงที่เด่นชัดในช่วงนี้คือประเพณีการปลงศพซึ่งเปลี่ยนจากการฝังยาวมาเป็นการฝังโดยบรรจุกระดูกทั้งโครงหรือโครงกระดูกบางส่วนโดยไม่ผ่านการเผาลงในภาชนะดินเผา การปลงศพแบบนี้ถือว่าเป็นประเพณีที่แพร่หลายอยู่ในบริเวณลุ่มน้ำโขง ชี มูล ในช่วงหัวเลี้ยวประวัติศาสตร์
สมัยทวารวดี (พุทธศตวรรษที่ 12-16)
เป็นระยะที่มีการอาศัยอยู่หนาแน่นที่สุดเมื่อเทียบกับระยะอื่นๆ มีการประมาณกันไว้ว่าเมืองฟ้าแดดสงยางในยุคนี้มีประชากรราว 3,000 คนเลยทีเดียว[2] โดยพบเครื่องมือเหล็ก เครื่องประดับสำริดประเภทแหวน กำไล ลูกกระพรวน นอกจากนั้นยังพบลูกปัดแก้วสีเขียวอมฟ้า รวมทั้งลูกปัดหินอะเกต และหินคาร์เนเลียน ส่วนภาชนะดินเผาส่วนใหญ่จะเป็นหม้อมีสัน กาน้ำ (หม้อมีพวย) ตะคัน ตลอดจนได้พบแวดินเผา และเบี้ยดินเผาแบบต่างๆ อาจกล่าวได้ว่าโบราณวัตถุที่พบในชั้นนี้เหมือนกับโบราณวัตถุในวัฒนธรรมทวารวดีที่พบในแหล่งโบราณคดีสมัยทวารวดีในลุ่มน้ำเจ้าพระยา-ท่าจีน ซึ่งมีอายุอยู่ในช่วงพุทธศตวรรษที่ 12-16
ในสมัยนี้ชุมชนเริ่มได้รับอิทธิพลวัฒนธรรมทางพระพุทธศาสนาเข้ามาเช่นเดียวกับเมืองโบราณอื่นๆ ในสมัยเดียวกัน ซึ่งแพร่เข้ามาจากอินเดียในช่วงพุทธศตวรรษที่ 9-14 (สมัยคุปตะและปาละ) ดังปรากฏศาสนสถานที่มีลักษณะร่วมกันคือ เจดีย์ วิหารและอุโบสถ ซึ่งส่วนใหญ่จะก่อด้วยอิฐขนาดใหญ่ (มีความยาว 2 เท่าของความกว้าง) และไม่สอปูน แผนผังเจดีย์ที่นิยมในสมัยทวารวดีทั้งภาคกลางและอีสาน คือมีแปลนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีบันไดทางขึ้นด้านเดียวหรือ 4 ด้าน มีการตกแต่งผนังอิฐด้วยการฉาบปูนแล้วประดับด้วยประติมากรรมปูนปั้นและดินเผา นอกจากนี้วัฒนธรรมการสร้างปริมากรรมรูปธรรมจักรลอยตัวยังพบที่เมืองฟ้าแดดสงยางแห่งนี้ด้วย
อย่างไรก็ตาม ประติมากรรมที่ถือว่าโดดเด่นที่สุดที่พบในชุมชนสมัยทวารวดีในภาคตะวันออกเฉียงเหนือซึ่งไม่ใช่พระพุทธรูปหรือธรรมจักรที่นิยมในภาคกลาง คือ ใบเสมา ทั้งแบบที่มีภาพเล่าเรื่องและแบบที่ไม่มี ใบเสามาเหล่านี้อาจใช้ในการปักเขตแดนศาสนสถาน ซึ่งพบว่ามีจำนวนมากกว่า 14 แห่ง ( จำนวนที่ขุดแต่งครั้งแรกในปี 2510-2511)
ประติมากรรมในทางพระพุทธศาสนาที่น่าสนใจอีกประเภทคือ พระพิมพ์ดินเผา ซึ่งขุดพบที่เมืองโบราณแห่งนี้จำนวน 7 พิมพ์ด้วยกัน พิมพ์ที่พบมากที่สุด (83 องค์) ซึ่งอาจจะเป็นพิมพ์พื้นเมือง และแพร่หลายในเขตลุ่มน้ำชี เพราะพบที่เมืองโบราณคันธาระ อำเภอกันทรวิชัยด้วย คือ ปรางค์สมาธิบนฐานดอกบัว ส่วนพิมพ์ที่ถือว่าเป็นเอกลักษณ์พิเศษของพระพิมพ์ลุ่มน้ำชี คือ ปางธรรมจักร ซึ่งพบเฉพาะที่เมืองโบราณฟ้าแดดสงยางและเมืองโบราณคันธาระเท่านั้น ไม่ปรากฏในบริเวณลุ่มน้ำเจ้าพระยา
นอกจากนี้ยังพบหลักฐานการจารึกบนพระพิมพ์ดินเผาเมืองฟ้าแดดสงยางด้วย ซึ่งอักษรที่ใช้จารึกเป็นอักษรสมัยหลังปัลลวะ (พุทธศตวรรษที่ 14) ภาษามอญโบราณ ด้านบนมีเนื้อหากล่าวถึง พระเจ้าอาทิตย์ ส่วนด้านหลัง เป็นข้อความสั้นๆ กล่าวแต่เพียงสังเขปว่า "พระพิมพ์องค์นี้ ปิณญะอุปัชฌายาจารย์ ผู้มีคุณเลื่องลือไกล" ซึ่งก็อาจแปลความได้ว่า พระพิมพ์องค์นี้ ท่านปิณญะอุปัชฌาจารย์ เกจิผู้มีชื่อเสียงได้สร้างขึ้นไว้สำหรับให้สาธุชนได้รับไปบูชา[3]
สมัยลพบุรี (พุทธศตวรรษที่ 17-18)
ตั้งแต่ช่วงพุทธศตวรรษที่ 17-18 เป็นต้นไปดูเหมือนว่าชุมชนโบราณแห่งนี้จะเริ่มเปลี่ยนค่านิยมเกี่ยวกับการปลงศพโดยนิยมการเผาแล้วเก็บอัฐิใส่โกศดินเผาไปฝังไว้ใต้ศาสนสถาน (บริเวณโนนฟ้าแดด) ดังที่พบผอบดินเผาเคลือบสีน้ำตาลอมเขียวที่ภายในบรรจุอัฐิ
สมัยอยุธยา (พุทธศตวรรษที่ 19-23)
ช่วงนี้เองที่ชุมชนแห่งนี้มีการติดต่อกับชุมชนในภูมิภาคต่างๆ รวมทั้งภาคเหนือของไทยด้วย เครื่องถ้วยจีนสมัยราชวงศ์ซุ่ย หยวน หมิง ที่เป็นสินค้าสำคัญในบริเวณลุ่มแม่น้ำมูล-ชี และลุ่มน้ำเจ้าพระยาก็ปรากฏในเมืองโบราณแห่งนี้ด้วย สมัยนี้ยังพบว่ามีการอยู่อาศัยกันอย่างหนาแน่น มีการสร้างศาสนสถานแบบอยุธยาซ้อนทับฐานศาสนสถานแบบทวารวดีเกือบทุกแห่ง ที่เห็นร่องรอยเด่นชัดที่สุดในปัจจุบันคือ ฐานล่างของพระธาตุยาคู ซึ่งเป็นศิลปะสมัยทวารวดีที่มีเจดีย์เป็นแบบศิลปะสมัยอยุธยาสร้างซ้อนทับและมีการบูรณปฏิสังขรณ์สืบต่อมาจนถึงสมัยรัตนโกสินทร์
ตามบันทึกประวัติศาสตร์ร่วมสมัย ในปี พ.ศ. 2336 บ้านแก่งสำโรงได้รับการสถาปนาเป็นเมืองกาฬสินธุ์ ในรัชสมัยพระบาทสมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช โดยแยกเอาดินแดนเดิมที่เคยขึ้นต่อเมืองทุ่งศรีภูมิ(อำเภอสุวรรณภูมิ จังหวัดร้อยเอ็ด) ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2256-พ.ศ. 2318 ซึ่งต่อมาเป็นเขตแดนของเมืองร้อยเอ็ด ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2318-พ.ศ. 2336 เป็นต้นมา ซึ่งครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของจังหวัดกาฬสินธุ์ หลังจากเจ้าโสมพะมิตรได้รับการช่วยเหลือจาก พระขัติยะวงษา (สีลัง ธนสีลังกูร) เจ้าเมืองร้อยเอ็ด ซึ่งเป็นพระญาติอันมีเชื้อสายเจ้านายจากราชวงศ์ล้านช้าง บุตรหลานของเจ้าแก้วมงคล แห่งเมืองทุ่งศรีภูมิ ให้นำพาเข้าเฝ้าฯ ถวายสวามิภักดิ์ ต่อ พระบาทสมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช หรือ รัชกาลที่1 โดยได้รับพระมหากรุณาธิคุณแต่งตั้งขึ้นเป็น "พระยาไชยสุนทร" เจ้าเมืองท่านแรกโดยให้รั้งเมืองสืบไป
เมื่อ พ.ศ. 2437 เมื่อพระยาชัยสุนทร (ท้าวเก) เป็นเจ้าเมือง มีการเปลี่ยนรูปแบบการปกครองแบบให้เจ้าเมืองปกครองขึ้นตรงต่อกรุงเทพมหานคร มาเป็นรูปการปกครองแบบเทศาภิบาล มีมณฑล จังหวัด อำเภอ ตำบล และมีพระบรมราชโองการโปรดเกล้าฯ ตั้งให้เมืองร้อยเอ็ดเป็นจังหวัดร้อยเอ็ด บรรดาหัวเมืองต่าง ๆ ให้ยุบเป็นอำเภอ คือ เมืองกาฬสินธุ์ เป็นอำเภออุทัยกาฬสินธุ์ เมืองกาฬสินธุ์ จึงกลายเป็น "อำเภออุทัยกาฬสินธุ์" ขึ้นกับจังหวัดร้อยเอ็ด
เมื่อวันที่ 1 สิงหาคม พ.ศ. 2456 ทรงพระกรุณาโปรดเกล้าฯ ยกฐานะจังหวัดร้อยเอ็ดขึ้นเป็นมณฑล ยกฐานะอำเภออุทัยกาฬสินธุ์เป็นจังหวัดกาฬสินธุ์ ขึ้นต่อมณฑลร้อยเอ็ด และมีอำนาจปกครองอำเภออุทัยกาฬสินธุ์ อำเภอสหัสขันธ์ อำเภอกุฉินารายณ์ อำเภอกมลาไสย อำเภอยางตลาด โดยให้พระภิรมย์บุรีรักษ์เป็นปลัดมณฑลประจำจังหวัดกาฬสินธุ์
ต่อมาเกิดข้าวยากหมากแพง เศรษฐกิจของประเทศตกต่ำ การเงินฝืดเคือง จำเป็นต้องยุบจังหวัดต่าง ๆ ลงเพื่อให้สมดุลกับรายได้ของประเทศ จังหวัดกาฬสินธุ์จึงถูกยุบเป็นอำเภอขึ้นกับจังหวัดมหาสารคาม เมื่อวันที่ 18 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2474 และโปรดเกล้าฯ แต่งตั้งอรรถเปศลสรวดี เป็นข้าหลวงประจำจังหวัดมหาสารคาม (แทนพระยามหาสารคามคณาภิบาลซึ่งออกรับบำนาญ) ครั้นเมื่อมีการประกาศใช้พระราชบัญญัติระเบียบบริหารแห่งราชอาณาจักรสยาม พ.ศ. 2476 จึงได้ยกเลิกมณฑล
วันที่ 1 ตุลาคม พ.ศ. 2490 ได้ยกฐานะเป็น "จังหวัดกาฬสินธุ์" จัดตั้งขึ้นโดย อันมีผลใช้บังคับตั้งแต่วันที่ 1 ตุลาคม 2490 จนถึงปัจจุบัน
จังหวัดกาฬสินธุ์มีอาณาเขตติดกับจังหวัดอื่น ๆ ดังนี้
การปกครองแบ่งออกเป็น 18 อำเภอ 135 ตำบล 1,584 หมู่บ้าน
องค์กรปกครองส่วนท้องถิ่นทั้งหมด 151 แห่ง คือ องค์การบริหารส่วนจังหวัด 1 แห่ง เทศบาลเมือง 2 แห่ง และเทศบาลตำบล 77 แห่ง และองค์การบริหารส่วนตำบล 71 แห่ง
มีรายชื่อดังนี้
อำเภอเมืองกาฬสินธุ์
อำเภอกุฉินารายณ์
อำเภอกมลาไสย
อำเภอเขาวง
อำเภอคำม่วง
อำเภอฆ้องชัย
อำเภอดอนจาน
อำเภอท่าคันโท
อำเภอนาคู
อำเภอนามน
อำเภอยางตลาด
อำเภอร่องคำ
อำเภอสมเด็จ
อำเภอสหัสขันธ์
อำเภอหนองกุงศรี
อำเภอห้วยผึ้ง
อำเภอห้วยเม็ก
ผลิตภัณฑ์ทางการเกษตรในจังหวัดกาฬสินธุ์ เช่น ข้าว มันสำปะหลัง อ้อย กุ้งก้ามกราม ยางพารา โรงงานผลิตแป้งมัน,แป้งข้าวโพด โรงงานน้ำตาล เป็นต้น
จังหวัดกาฬสินธุ์ มีสถาบันการศึกษาระดับขั้นพื้นฐานหลากหลายแห่ง ดังนี้
สถานศึกษาระดับอาชีวศึกษา ได้แก่
อาชีวศึกษารัฐ
อาชีวศึกษาเอกชน
สถานศึกษาระดับอุดมศึกษาในจังหวัดกาฬสินธุ์ ได้แก่
จังหวัดกาฬสินธุ์ใช้ระบบการขนส่งทางถนนเป็นหลัก และไม่มีการขนส่งระบบรางในจังหวัด ทางหลวงแผ่นดินที่สำคัญ ได้แก่ ทางหลวงแผ่นดินหมายเลข 12, ทางหลวงแผ่นดินหมายเลข 213, ทางหลวงแผ่นดินหมายเลข 214, ทางหลวงแผ่นดินหมายเลข 227, และทางหลวงแผ่นดินหมายเลข 299
ระยะจากตัวจังหวัดไปอำเภอต่างๆ
ยางตลาด)
• จิดาภา นาหัวหนอง นักกีฬาวอลเลย์บอลหญิงทีมชาติไทย
ราษฎร พรรคเพื่อไทย
แฟกทอเรียล
ในทางคณิตศาสตร์ แฟกทอเรียล  ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ "n" คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ "n" เขียนแทนด้วย "n"! (อ่านว่า "n" แฟกทอเรียล)
สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของผลคูณว่าง
การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคณิตศาสตร์เชิงการจัด พีชคณิต และคณิตวิเคราะห์ การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน "n" สิ่งสามารถทำได้ "n"! วิธี (การเรียงสับเปลี่ยนของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย นอกจากนี้ คริสเตียน แครมป์ (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ "n"! เมื่อ ค.ศ. 1808 (พ.ศ. 2351)
นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์
ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้
หรือนิยามแบบเวียนเกิดได้ดังนี้
นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย
ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก
ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียดด้านล่าง ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ในเครื่องคิดเลขระดับสูงและซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์อาทิเมเพิลหรือแมเทอแมติกา
แม้ว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลมีที่มาจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด แต่สูตรที่เกี่ยวข้องกับแฟกทอเรียลก็ปรากฏในคณิตศาสตร์หลายสาขา
ทฤษฎีจำนวน.
แฟกทอเรียลมีการใช้งานหลายอย่างในทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "n"! สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ "n" ได้ลงตัว ผลสรุปที่ตามมาคือ "n" &gt; 5 จะเป็นจำนวนประกอบก็ต่อเมื่อ
ทฤษฎีของวิลสัน (Wilson's theorem) ได้กล่าวถึงผลสรุปที่เคร่งครัดมากกว่าดังนี้
ก็ต่อเมื่อ "p" เป็นจำนวนเฉพาะ
อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) พบว่าการคูณของจำนวนเฉพาะ "p" ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ "n"! สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็น
ข้อเท็จจริงนี้มีพื้นฐานบนการนับจำนวนตัวประกอบ "p" ของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง "n"; จำนวนพหุคูณของ "p" ในจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง "n" สามารถพิจารณาได้จากสูตร formula_17 อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะนับตัวประกอบ "p" เพียงครั้งเดียว ยังคงมีตัวประกอบจำนวน formula_18 ตัวของ "p" ที่จะต้องนับอีก และยังมีที่คล้ายกันอีกในกำลังสาม สี่ ห้า จนถึงอนันต์ ผลรวมดังกล่าวเป็นจำนวนจำกัดเนื่องจาก "p""i" สามารถมีค่าได้แค่น้อยกว่าหรือเท่ากับ "n" สำหรับ "i" หลายค่าอย่างจำกัด และฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อใช้กับ "p""i" &gt; "n"
แฟกทอเรียลที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วยมีจำนวนเดียวคือ 2 แต่ก็มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่อยู่ในรูปแบบ "n"! ± 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะเชิงแฟกทอเรียล (factorial prime)
แฟกทอเรียลที่มากกว่า 0! และ 1! เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด เพราะว่าเป็นพหุคูณของ 2 นอกจากนี้แฟกทอเรียลที่มากกว่า 5! ก็เป็นพหุคูณของ 10 (และทำให้มีศูนย์ลงท้ายในหลักสุดท้ายเป็นต้นไป) เนื่องจากเป็นพหุคูณของ 5 กับ 2
อนุกรมที่มีแต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของแฟกทอเรียล ทำให้เกิดอนุกรมลู่เข้าและมีค่าเท่ากับ e
อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ "n" มีขนาดใหญ่.
เมื่อ "n" มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า "n"! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี "n" ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)
การประมาณค่าที่ใกล้เคียงที่สุดของ "n"! ใช้พื้นฐานบนลอการิทึมธรรมชาติดังนี้
กราฟของฟังก์ชัน "f"("n") = log "n"! แสดงไว้ในภาพด้านขวา ลักษณะของกราฟดูเหมือนเป็นเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) สำหรับทุกค่าของ "n" ที่เป็นไปได้ แต่ความจริงมันไม่ใช่เส้นตรง เราอาจประมาณค่า log "n"! อย่างง่ายโดยกำหนดขอบเขตบนและล่างด้วยปริพันธ์
ซึ่งจะได้การประมาณค่าดังนี้
เนื่องจากการคำนวณ log "n"! มีประสิทธิภาพเป็น Θ("n" log "n") สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ (ดูเพิ่มที่การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ)
จากขอบเขตของ log "n"! ที่ได้ สามารถลดรูปจนเหลือเพียง
การใช้สูตรดังกล่าวในทางปฏิบัติบางครั้งสามารถประมาณได้ง่ายกว่าแต่ไม่เคร่งครัด สูตรดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า สำหรับทุกค่าของ "n" จะได้ formula_24 และสำหรับ "n" ≥ 6 จะได้ formula_25 เป็นต้น
เมื่อ "n" เป็นจำนวนขนาดใหญ่ เรามีวิธีการประมาณค่า "n"! ที่ดีกว่าโดยใช้การประมาณของสเตอร์ลิง (Stirling's approximation)
ในความเป็นจริง สำหรับทุกค่าของ "n" สูตรดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่า
การประมาณค่า log "n"! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย ศรีนิวาสะ รามานุจัน ดังนี้
การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม.
ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย.
นอกเหนือจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าอื่นที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้ แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องเครื่องมือขั้นสูงจากคณิตวิเคราะห์ ฟังก์ชันอันหนึ่งที่ "เติมเต็ม" ค่าต่าง ๆ ของแฟกทอเรียล (แต่มีค่าเลื่อนไป 1 ในอาร์กิวเมนต์) เรียกว่าฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) เขียนแทนด้วย Γ("z") ซึ่งนิยามบนจำนวนเชิงซ้อน "z" ทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ และส่วนจริงของ "z" เป็นจำนวนบวก ดังนี้
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแกมมากับแฟกทอเรียลเมื่อ "n" เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นดังนี้
สูตรดั้งเดิมของออยเลอร์สำหรับนิยามฟังก์ชันแกมมาคือ
ยังมีสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่งซึ่งเกาส์เป็นผู้คิดค้นและบางครั้งก็ถูกใช้เช่นกัน นั่นคือ "ฟังก์ชันพาย" (Pi function) เขียนแทนด้วย Π("z") นิยามไว้สำหรับจำนวนจริง "z" ที่ไม่น้อยกว่า 0 ดังนี้
หากเทียบกับฟังก์ชันแกมมาจะได้ว่า
ฟังก์ชันพายเป็นการขยายแนวคิดแฟกทอเรียลอย่างแท้จริงดังนี้
ยิ่งไปกว่านี้ ฟังก์ชันพายมีการเวียนเกิดเหมือนกับแฟกทอเรียล แต่ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน "z" ทุกจำนวนที่นิยาม
โดยข้อเท็จจริงความสัมพันธ์เวียนเกิดไม่มีอีกต่อไปแล้ว เว้นแต่ในสมการเชิงฟังก์ชัน เมื่อแสดงในพจน์ของฟังก์ชันแกมมา สมการดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น
เนื่องจากแฟกทอเรียลถูกขยายโดยฟังก์ชันพาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อน "z" ทุกจำนวนที่นิยาม เราจึงสามารถเขียนว่า
ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ที่จำนวนเต็มครึ่ง (half-integer) สามารถพิจารณาได้จากสูตรต่อไปนี้ โดยพื้นฐานเราทราบว่า
เมื่อ "n" เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้สูตร
และอีกสูตรหนึ่ง
ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ("n" + 1) = "n"Γ("n"), เป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π("n") = "n"Π("n" − 1)
อย่างไรก็ตาม ก็ยังมีฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่นที่เรียบง่ายกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และสอดแทรกแฟกทอเรียลเข้าไป ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันแกมมา" ของฌัก อาดามาร์ (Jacques Hadamard) ต่างจากฟังก์ชันแกมมาปรกติตรงที่มันเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function)
ออยเลอร์ยังได้สร้างสูตรสำหรับการประมาณค่าด้วยผลคูณลู่เข้าสำหรับแฟกทอเรียลที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรของฟังก์ชันแกมมาที่ได้กล่าวไว้แล้ว
อย่างไรก็ดี สูตรนี้ไม่ได้ให้วิธีการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันพายหรือฟังก์ชันแกมมา เนื่องด้วยอัตราการลู่เข้าของมันนั้นช้า
การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา.
ปริมาตรของทรงกลม "n" มิติที่มีรัศมี "R" หน่วย คำนวณได้จากสูตร
ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล.
มัลติแฟกทอเรียล.
มัลติแฟกทอเรียล เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น
"n"!! หมายถึง ดับเบิลแฟกทอเรียล ของ "n" ซึ่งนิยามโดย
ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ "n" = 0, 1, 2... ได้แก่
จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ
ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ "n" = -1, -3, -5, -7... คือ
เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่
ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย
ซูเปอร์แฟกทอเรียล.
ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ
เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ
พระราชวังแวร์ซาย
พระราชวังแวร์ซาย  เป็นพระราชวังหลวงแห่งหนึ่งของประเทศฝรั่งเศส ตั้งอยู่ที่แวร์ซาย ห่างจากกรุงปารีสไปทางตะวันตกประมาณ พระราชวังแวร์ซายถือครองโดยสาธารณรัฐฝรั่งเศสและได้รับการจัดการภายใต้การกำกับของกระทรวงวัฒนธรรมฝรั่งเศส โดยสถาบันสาธารณะของพระราชวัง พิพิธภัณฑ์ และมรดกแห่งชาติของแวร์ซาย (Public Establishment of the Palace, Museum and National Estate of Versailles) มาตั้งแต่ ค.ศ. 1995 มีนักท่องเที่ยวมาเยี่ยมชมพระราชวังหรือสวนแวร์ซาย 15,000,000 คนต่อปี ทำให้เป็นหนึ่งในสถานที่ท่องเที่ยวที่ยอดนิยมที่สุดในโลก อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการระบาดทั่วของโควิด-19 ทำให้มีนักท่องเที่ยวลดลงร้อยละ 75 จนเหลือเพียงแปดล้านคนใน ค.ศ. 2019 ถึงสองล้านคนใน ค.ศ. 2020 จำนวนที่ลดลงอย่างมากมาจากนักท่องเที่ยวชาวต่างชาติ ซึ่งรวมเป็นนักท่องเที่ยวร้อยละ 80
พระราชวังและสวนได้รับเลือกเป็นแหล่งมรดกโลกของยูเนสโกใน ค.ศ. 1979 จากความสำคัญในฐานะศูนย์กลางทางอำนาจ ศิลปะ และวิทยาศาสตร์ในฝรั่งเศสช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 17 ถึง 18
เดิมเมืองแวร์ซายเป็นเพียงเมืองเล็ก ๆ แห่งหนึ่ง มีผู้คนอาศัยอยู่เบาบาง บริเวณส่วนใหญ่เป็นป่าเขาเยี่ยงชนบทอื่น ๆ ของฝรั่งเศส เมื่อพระเจ้าหลุยส์ที่ 13 แห่งฝรั่งเศส ยังทรงพระเยาว์ ขณะพระชนมายุได้ 23 พระชันษา ทรงนิยมล่าสัตว์ในป่า และทรงเห็นว่าตำบลแวร์ซายน่าจะเหมาะแก่การประทับเพื่อล่าสัตว์ จึงโปรดเกล้าฯ ให้สร้างพระตำหนักขึ้นมาใน พ.ศ. 2167 โดยในช่วงแรกเป็นเพียงกระท่อมเล็ก ๆ สำหรับพักชั่วคราวเท่านั้น
เมื่อพระเจ้าหลุยส์ที่ 14 แห่งฝรั่งเศส ขึ้นครองบัลลังก์ มีประสงค์ที่จะสร้างพระราชวังแห่งใหม่ เพื่อเป็นศูนย์กลางในการปกครองของพระองค์ จึงเริ่มปรับปรุงพระตำหนักเดิมในปี พ.ศ. 2204 ใช้เงินทั้งหมด 500,000,000 ฟรังก์ คนงาน 30,000 คน และใช้เวลาอยู่ถึง 30 ปีจึงแล้วเสร็จใน พ.ศ. 2231 ทุกส่วนทำด้วยหินอ่อนสีขาว เป็นแบบอย่างศิลปกรรมที่งดงาม ภายในแบ่งออกเป็นห้อง ๆ เช่น ห้องบรรทม ห้องเสวย ห้องสำราญ ฯลฯ ทุกห้องล้วนมีเครื่องประดับงดงามตระการตาและภาพเขียนที่มีชื่อเสียง
การก่อสร้างพระราชวังแวร์ซายแห่งนี้ได้นำเงินมาจากค่าภาษีอากรของราษฎรชาวฝรั่งเศส ต่อมาในช่วงการปฏิวัติฝรั่งเศสได้มีกองทัพประชาชนและผู้ประท้วงบุกเข้าพระราชวังเพื่อตามหาพระเจ้าหลุยส์ที่ 16 แห่งฝรั่งเศส กับพระนางมารี อองตัวเนต จนเหล่าเชื้อพระวงศ์ต้องย้ายไปพำนักที่พระราชวังตุยเลอรีส์
ปัจจุบันพระราชวังแวร์ซายยังอยู่ในสภาพดีและเปิดให้ประชาชนเข้าชมได้ ภายในพระราชวังแวร์ซายมีทั้งหมด 700 ห้อง ภาพวาด 6,123 ภาพ และงานแกะสลักทั้งหมด 18,893 ชิ้น
ห้องกระจก.
ห้องกระจก (Galerie des Glaces หรือ The Hall of Mirrors) เป็นห้องที่มีชื่อเสียงมากที่สุดซึ่งเคยใช้เป็นห้องลงนามในสัญญาสงบศึกระหว่างสัมพันธมิตรกับจักรวรรดิเยอรมัน ในสงครามโลกครั้งที่ 1 และใช้เป็นที่ลงนามเมื่อครั้งเยอรมนีบุกตีชนะฝรั่งเศสในสงครามโลกครั้งที่ 2 อีกด้วย ห้องนี้พระเจ้าหลุยส์ที่ 14 ทรงทำการก่อสร้างเอง ภายในห้องประกอบด้วยกระจกยักษ์ 17 บาน เปิดออกแล้วจะเห็นสวนแวร์ซายอันสวยงาม
พระราชวังแวร์ซายขึ้นทะเบียนให้เป็นมรดกโลกในการประชุมคณะกรรมการมรดกโลกสมัยสามัญครั้งที่ 3 เมื่อ พ.ศ. 2522 ที่ประเทศอียิปต์ ด้วยข้อกำหนดและหลักเกณฑ์ในการพิจารณา ดังต่อไปนี้
อุทยานแห่งชาติเขาพนมเบญจา
อุทยานแห่งชาติเขาพนมเบญจา มีเนื้อที่ครอบคลุมท้องที่ อำเภออ่าวลึก อำเภอเขาพนม และ อำเภอเมืองกระบี่ จังหวัดกระบี่ เขาพนมเบญจาเป็นสัญลักษณ์แห่งความงามที่โดดเด่นอีกแห่งหนึ่งของจังหวัดกระบี่ สภาพป่าอุดมสมบูรณ์ประกอบด้วยเทือกเขาสูงสลับซับซ้อน มีไอหมอกปกคลุมตลอดทั้งปี มีทิวทัศน์ธรรมชาติที่สวยงาม เช่น ลำธาร น้ำตก ถ้ำต่าง ๆ และสัตว์ป่านานาชนิด มีเนื้อที่ประมาณ 53 ตารางกิโลเมตร หรือ 33,125 ไร่
เป็นเทือกเขาที่เขียวชอุ่มสลับซับซ้อน มีหน้าผาสูงชัน ประกอบด้วยเขาพนมและเขาพนมเบญจา ซึ่งมียอดเขาสูงสุด 1,397 เมตรจากระดับน้ำทะเล เทือกเขาเหล่านี้มีลักษณะเป็นแนวยาวตลอดจากเหนือจรดใต้ เป็นต้นกำเนิดแหล่งน้ำสายสำคัญที่ใช้ในการอุปโภคบริโภคของประชาชนในตัวเมืองกระบี่ ได้แก่ คลองกระบี่ใหญ่ ซึ่งไหลลงสู่ทะเลอันดามัน ที่ตำบลปากน้ำ อำเภอเมือง จังหวัดกระบี่ เทือกเขาเหล่านี้มีลักษณะเป็นแนวยาวตลอดจากเหนือจรดใต้ ผ่านกลางอุทยานแห่งชาติ นอกจากนี้ยังเป็นแหล่งกำเนิดของต้นน้ำลำธารหลายสาย เช่น คลองโตน คลองกระบี่น้อย คลองพอทาก ห้วยสะเค ห้วยส้าน และห้วยไผ่
อุทยานแห่งชาติเขาพนมเบญจาอยู่ในเขตมรสุมเมืองร้อน ได้รับอิทธิพลจากลมมรสุมตะวันตกเฉียงใต้ และลมมรสุมตะวันออกเฉียงเหนือ ทำให้อากาศอบอุ่นและชุ่มชื้นตลอดปี ประกอบด้วย 2 ฤดู คือ
เนื่องจากป่าเขาพนมเบญจา เป็นป่าดิบชื้น ฝนตกชุกเกือบตลอดปี จึงมีไม้ที่สำคัญหลายชนิด คือ ตะเคียนทอง ยาง ตะแบก หลุมพอ จำปา สะตอป่า มะไฟป่า พืชพื้นล่าง ได้แก่ ปาล์ม หวาย เข็มป่า และไผ่ชนิดต่างๆ สำหรับสัตว์ป่านั้นยังชุกชุมอยู่มาก เพราะมีแหล่งน้ำและอาหารอุดมสมบูรณ์ สัตว์ป่าทั่วไป ได้แก่ สมเสร็จ เลียงผา หมูป่า เสือดำ เสือลายเมฆ หมีควาย กระจง ค่าง ชะนี ลิงเสน หมาใน กระรอก ชะมด นางอาย นกกางเขนดง นกเงือก นกคุ้ม ไก่ฟ้า และ ไก่ป่า
อุทยานแห่งชาติเขาพนมเบญจา มีสภาพป่าอุดมสมบูรณ์ ประกอบด้วยเทือกเขาสูงสลับซับซ้อน มีทิวทัศน์ธรรมชาติสวยงาม ทั้งลำธาร น้ำตก ถ้ำ และสัตว์ป่านานาชนิด สถานที่ท่องเที่ยวที่สำคัญมีดังนี้
อุทยานแห่งชาติธารโบกขรณี
อุทยานแห่งชาติธารโบกขรณี อยู่ใน อ.อ่าวลึก ต.เขาทอง อ.เมืองกระบี่ จังหวัดกระบี่ มีพื้นที่ประมาณ 121 ตารางกิโลเมตร ประกอบด้วยภูเขาหินปูน ป่าดิบ ป่าชายเลน และเกาะในทะเล
ประวัติความเป็นมาของอุทยาน.
เดิมอุทยานแห่งชาติธารโบกขรณี มีชื่อว่า "ธารอโศก" มีลักษณะเป็นป่าดงดิบและเป็นที่อยู่อาศัยของสัตว์ป่า ต่อมาในปี พ.ศ. 2496 พลโทบัญญัติ เทพหัสดิน ณ อยุธยา ได้เข้ามาพักผ่อนซึ่งเห็นว่าชื่อเดิมไม่เหมาะสม จึงได้เปลี่ยนชื่อมาเป็น "ธารโบกขรณี"
ในปี พ.ศ. 2498 ผู้ว่าราชการจังหวัดกระบี่ในสมัยนั้น เสนอเรื่องให้กรมป่าไม้ ตั้งขึ้นเป็นสวนรุกขชาติ ซึ่งกรมป่าไม้ได้รับหลักการและดำเนินการ จนในปี พ.ศ. 2528 สำนักงานป่าไม้จังหวัดกระบี่ ได้เสนอเรื่องขอจัดตั้ง “ธารโบกขรณี” และพื้นที่ใกล้เคียงเป็นอุทยานแห่งชาติ สังกัดกองอุทยานแห่งชาติ และโอนมาอยู่ในสังกัดส่วนอุทยานแห่งชาติทางทะเล พ.ศ. 2538 จนได้รับการจัดตั้งเป็นอุทยานแห่งชาติในราชกิจจานุเบกษา เล่มที่ 115 ตอนที่ 67 ก ลงวันที่ 30 กันยายน 2541
ธารโบกขรณี.
ตั้งอยู่บริเวณที่ทำการอุทยานฯ สภาพทั่วไปเป็นธารน้ำธรรมชาติไหลลงมายังแอ่งน้ำน้อยใหญ่ซึ่งอยู่ต่างระดับกัน รายรอบด้วยป่าไม้ร่มรื่น ด้านเหนือของธารโบกขรณี มีมณฑปพระพุทธบาทจำลองที่แกะสลักจากไม้ ประดิษฐานอยู่ใกล้กับศาลาบูชาเจ้าพ่อโต๊ะยวน-โต๊ะช่อง
ถ้ำลอดเหนือและถ้ำลอดใต้.
ตั้งอยู่ห่างจากตัวอำเภออ่าวลึกไปตามถนนอ่าวลึก-แหลมสัก ประมาณ 2 กิโลเมตร แยกขวาไปยังท่าเรือบ่อท่อ แล้วลงเรือรับจ้างไปตามลำคลองท่าปรัง ผ่านป่าชายเลนไปประมาณ 10 นาที ถ้ำลอดใต้เป็นอุโมงค์ใต้เขาหินปูน มีธารน้ำไหลผ่านอุโมงค์แคบ มีหินงอกและหินย้อยสวยงาม ส่วนถ้ำลอดเหนือเป็นโพรงถ้ำขนาดใหญ่ มีแนวอุโมงค์คดเคี้ยวและยาวกว่าถ้ำลอดใต้ เรือสามารถแล่นผ่านได้ในช่วงน้ำลงเท่านั้น
ถ้ำผีหัวโต หรือถ้ำหัวกะโหลก.