pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
ความผิดต่อองค์พระมหากษัตริย์ไทยอยู่ในประมวลกฎหมายอาญา มาตรา 112 บัญญัติไว้ว่า "ผู้ใดหมิ่นประมาท ดูหมิ่น หรือแสดงความอาฆาตมาดร้ายพระมหากษัตริย์ พระราชินี รัชทายาท หรือผู้สำเร็จราชการแทนพระองค์ ต้องระวางโทษจำคุกตั้งแต่ 3 ปีถึง 15 ปี" กฎหมายไทยสมัยใหม่บรรจุความผิดต่อองค์พระมหากษัตริย์ครั้งแรกในกฎหมายลักษณะอาญา ร.ศ. 127 (พ.ศ. 2453), มีการเพิ่มให้การ "ดูหมิ่น" เป็นความผิด และเป็นความผิดต่อความมั่นคงของรัฐในประมวลกฎหมายอาญา พ.ศ. 2499 และมีการเพิ่มโทษครั้งล่าสุดในปี 2519 ในประมวลกฎหมายไม่มีนิยามว่าพฤติการณ์แบบใดเข้าข่าย "หมิ่นประมาท" หรือ "ดูหมิ่น" มีการตีความอย่างกว้างขวางซึ่งสะท้อนสถานะอันล่วงละเมิดมิได้ของพระมหากษัตริย์ เฉกเช่นพระมหากษัตริย์ในสมัยศักดินาหรือสมบูรณาญาสิทธิราช ธานินทร์ กรัยวิเชียร อดีตนายกรัฐมนตรี ยังตีความว่า กฎหมายห้ามครอบคลุมถึงการวิจารณ์โครงการอันเนื่องมาจากพระราชดำริ สถาบันพระมหากษัตริย์ ราชวงศ์จักรีและพระมหากษัตริย์ไทยทุกพระองค์ มีข้อโต้แย้งว่า ความผิดต่อองคมนตรีเข้าข่ายความผิดนี้หรือไม่ อนึ่ง ในปี 2556 ศาลฎีกาว่า กฎหมายคุ้มครองพระมหากษัตริย์ในอดีตทุกพระองค์ด้วย แม้ว่า "พยายาม" กระทำความผิด เสียดสีสัตว์ทรงเลี้ยง หรือไม่ติเตียนเมื่อพบเห็นผู้กระทำผิดก็ถูกดำเนินคดีด้วย
สถานการณ์ความไม่สงบในชายแดนภาคใต้ของประเทศไทยกำลังดำเนินอยู่ในสามจังหวัด คือ จังหวัดปัตตานี ยะลาและนราธิวาส และบางอำเภอของจังหวัดสงขลา ระหว่างรัฐไทยกับกลุ่มก่อความไม่สงบหลายกลุ่ม อย่างไรก็ดี บางครั้งมีการลุกลามมาถึงบางอำเภอของจังหวัดสงขลา เหตุการณ์บานปลายหลังปี พ.ศ. 2544 โดยมีการกลับกำเริบในปี 2547 ระหว่างปี 2547–2554 มีผู้เสียชีวิต 4,500 คนและได้รับบาดเจ็บ 9,000 คน ลักษณะการก่อเหตุมีจุดมุ่งหมายเพื่อแก้แค้นมากขึ้น และเป็นการโจมตีไม่เลือกลดลง กลุ่มก่อความไม่สงบในระยะแรกมีเป้าหมายเพื่อแยกตัวออกเป็นอิสระ เช่น BNPP และ PULO ผู้นำท้องถิ่นเรียกร้องอัตตาณัติระดับหนึ่งแก่ภูมิภาคปัตตานีอย่างต่อเนื่อง และขบวนการผู้ก่อการกำเริบแยกตัวออกบางส่วนเรียกร้องให้มีการเจรจาสันติภาพ อย่างไรก็ดี หลังความรุนแรงรอบใหม่ในปี 2544 แม้ยังไม่ทราบกลุ่มก่อความไม่สงบแน่ชัด แต่มีการชี้ว่า GMIP, BRN-C และ RKK (กลุ่มติดอาวุธของ BRN) เป็นผู้นำการก่อเหตุ ซึ่งบางรายงานระบุว่ากลุ่มเหล่านี้ไม่ได้ต้องการแยกตัวเป็นอิสระ แต่ต้องการทำให้ภูมิภาคปาตานีปกครองไม่ได้
ภูมิภาคสามจังหวัดภาคใต้ดังกล่าวนั้นเดิมเป็นรัฐสุลต่านปัตตานีซึ่งปกครองตนเองมาก่อน จนเมื่อมีการกลืนวัฒนธรรมทำให้เกิดความขัดแย้งเริ่มตั้งแต่ปี 2491 เป็นการก่อกำเริบการแยกออกทางเชื้อชาติและศาสนาในภูมิภาคมลายูปัตตานี มีความรุนแรงเพื่อแบ่งแยกดินแดนระดับต่ำในภูมิภาคดังกล่าวแล้วหลายทศวรรษ
พระสัมมาสัมพุทธเจ้า หรือ พระพุทธเจ้า เป็นพระสมัญญานามที่ใช้เรียกพระบรมศาสดาของศาสนาพุทธ พระพุทธศาสนาทั้งฝ่ายเถรวาทและมหายานต่างนับถือพระพุทธเจ้าว่าเป็นศาสดาของตนเหมือนกันแต่รายละเอียดปลีกย่อยต่างกัน ฝ่ายเถรวาทให้ความสำคัญกับพระพุทธเจ้าพระองค์ปัจจุบันคือ "พระโคตมพุทธเจ้า" ซึ่งเชื่อว่าเป็นพระองค์ที่ 4 ในภัทรกัปนี้ และมีกล่าวถึงพระพุทธเจ้าในอดีตกับในอนาคตบ้างแต่ไม่ให้ความสำคัญเท่า ฝ่ายมหายานนับถือพระพุทธเจ้าของฝ่ายเถรวาททั้งหมดและเชื่อว่านอกจากพระพุทธเจ้า 28 พระองค์ ที่ระบุในพุทธวงศ์ของพระไตรปิฎกภาษาบาลีแล้ว ยังมีพระพุทธเจ้าอีกมากมายเพิ่มเติมขึ้นมาหลังจากตำนานของเถรวาท
ผู้ปรารถนาจะเป็นพระพุทธเจ้าต้องบำเพ็ญบารมีเป็นพระโพธิสัตว์ก่อน เมื่อบารมีเต็มแล้วจึงจะได้ตรัสรู้เป็นพระพุทธเจ้าในชาติสุดท้าย พระพุทธเจ้าทุกพระองค์มีลักษณะพิเศษตรงกันคือ เป็นมนุษย์เพศชายเกิดในวรรณะกษัตริย์หรือพราหมณ์ พระวรกายสมบูรณ์ด้วยมหาปุริสลักขณะ ก่อนออกผนวชจะอภิเษกสมรสมีพระโอรสพระองค์หนึ่ง หลังจากนั้นทรงพบเทวทูตทำให้ตัดสินใจออกผนวช วันออกผนวชจะตรงกับวันเพ็ญเดือนวิสาขะ
คัมภีร์พุทธศาสนาทั้งนิกายเถรวาทและนิกายมหายานบันทึกตรงกันว่า พระโคตมพุทธเจ้าประสูติ 623 ปี ก่อนคริสต์ศักราช พระองค์ทรงดำรงพระชนมชีพอยู่ระหว่าง 80 ปีก่อนพุทธศักราช จนถึงเริ่มพุทธศักราชซึ่งเป็นวันปรินิพพาน ตรงกับ 543 ปี ก่อนคริสตกาลตามตำราไทยซึ่งอ้างอิงปฏิทินสุริยคติไทยและปฏิทินจันทรคติไทย และตรงกับ 483 ปีก่อนคริสตกาลตามปฏิทินสากล
ความหมายและคุณลักษณะ.
ในพระพุทธศาสนา พุทธะ ( แปลว่า "ผู้รู้ ผู้ตื่น ผู้เบิกบาน") หมายถึงบุคคลผู้ตรัสรู้อริยสัจ 4 แล้วอย่างถ่องแท้
ธชัคคสูตร กล่าวว่าพระพุทธเจ้ามีคุณลักษณะ 9 ประการ เรียกว่า พุทธคุณ 9 ได้แก่
พระสมัญญา.
มีหลายคำดังจะกล่าวต่อไปนี้
ในคติเถรวาท.
ในพระไตรปิฎกภาษาบาลีกล่าวว่า ในภัทรกัปนี้มีพระพุทธเจ้าอุบัติขึ้นแล้ว 4 พระองค์ พระพุทธเจ้าพระองค์ปัจจุบันเป็นองค์ที่ 4 และพระพุทธเจ้าพระองค์ถัดไปคือพระศรีอริยเมตไตรย ในทัศนะเถรวาทถือว่าพระพุทธเจ้าเป็นมนุษย์ธรรมดา แต่ที่เหนือกว่าคนทั่วไปคือพระองค์พบทางดับทุกข์ได้ด้วยพระองค์เอง และเผยแผ่หนทางนั้นต่อสรรพสัตว์ ทรงเป็นบุคคลในประวัติศาสตร์ เมื่อทรงดับขันธปรินิพพาน คือดับไปโดยไม่เหลือเชื้อใด ๆ ผู้จะเป็นพระพุทธเจ้าต้องทำความดี (บารมี) มาในชาติก่อน ๆ นับชาติไม่ถ้วน (ก่อนที่จะเป็นพระพุทธเจ้าเรียกว่าพระโพธิสัตว์)
การประสูติของพระพุทธเจ้า.
พระโพธิสัตว์ผู้ที่จะจุติจากสวรรค์ชั้นดุสิตลงมาตรัสรู้เป็นพระพุทธเจ้านั้น ก่อนจะจุติจะทรงพิจารณา 5 อย่าง เรียกว่า มหาวิโลกนะ 5 คือ
อายุขัยของมนุษย์ขึ้นอยู่กับกระแสสังขารและการทำความดี หากทำดีมากขึ้นอายุก็จะเพิ่มขึ้น หากทำดีน้อยอายุขัยก็จะลดลง อายุขัยของมนุษย์อยู่ระหว่าง 10 ปีถึง 1 อสงไขยปี (1 × 10140 ปี) แต่พระโพธิสัตว์ทรงเลือกอายุขัยมนุษย์ระหว่าง 100-100,000 ปี ถ้าหากน้อยกว่า 100 ปีมนุษย์จะมีจิตใจหยาบช้าเกินกว่าจะฟังธรรมให้แตกจนบรรลุพระนิพพานได้ ถ้าเกิน 100,000 ปีมนุษย์จะเริ่มประมาทความแก่ ความเจ็บ ความตายเพราะอายุยืนความตายมาถึงช้า จะไม่เห็นอริยสัจ 4 หรือธรรมใดๆ
พระโพธิสัตว์เลือกชมพูทวีปเป็นทวีปที่จะจุติทุกครั้ง เพราะมนุษย์ในชมพูทวีปมีทั้งความสุขและความทุกข์ มีความเห็นทุกข์ เห็นสุข ได้ดีกว่ามนุษย์ในทวีปอื่นๆ
สาเหตุอีกอย่างที่เลือกลงมามนุษยภูมิเพราะมนุษย์เห็นสุขทุกข์ได้ง่ายที่สุด สัตว์ในอบายภูมิ 4 มีแต่ความทุกข์ไม่เห็นสุขกระจ่าง เทวดาพรหมก็เห็นสุขมากกว่าทุกข์จนยากที่จะทำให้เป็นพระอรหันต์ได้ อีกทั้งมนุษย์ทำบุญได้ จึงทรงเลือกมนุษย์
พระโพธิสัตว์จะทรงเลือกประเทศที่มีความเจริญรุ่งเรือง เศรษฐกิจดี มีประชากรหนาแน่น มีนักปราชญ์ เจ้าสำนัก เป็นที่รวมของการศึกษาและศิลปวิทยามากมาย มีผู้มีคุณธรรมมากมาย จะสามารถเผยแพร่ธรรมให้รุ่งเรือง มีคนรู้มากได้
พระโพธิสัตว์ทรงเลือกได้ระหว่าง วรรณะกษัตริย์ กับ วรรณะพราหมณ์ ว่าในช่วงเวลานั้นตระกูลใดเจริญมากกว่ากัน ได้รับการยอมรับมากกว่ากัน ใน 4 อสงไขยแสนมหากัปล่าสุดนี้มีพระพุทธเจ้าจากตระกูลกษัตริย์มากกว่า แต่ในภัทรกัปนี้มีพระพุทธเจ้าจากตระกูลพราหมณ์มากกว่า (พระกกุสันธะ พระโกนาคมณ์ พระกัสสปะ และพระเมตไตรยะ) มีเพียงพระโคตมพุทธเจ้าเพียงพระองค์เดียวที่มาจากตระกูลกษัตริย์
พระโพธิสัตว์ผู้ได้มาจุติเป็นพระพุทธเจ้าองค์ปัจจุบันนี้ ทรงเลือกตระกูลศากยโคตมวงศ์แห่งกรุงกบิลพัสดุ์นคร เพราะได้รับความนับถือมาก และบริสุทธิ์มา 7 รุ่นแล้ว ถ้าไม่บริสุทธิ์แล้วลงมาจุติแล้วเป็นพระพุทธเจ้าก็ยากที่จะได้รับการนับถือ สาเหตุที่เลือกตระกูลกษัตริย์เพราะในช่วงเวลานั้นมีการแบ่งชนชั้นวรรณะกัน และวรรณะกษัตริย์เป็นวรรณะที่มีคนนับถือมากที่สุด จึงทรงเลือกวรรณะกษัตริย์
พระโพธิสัตว์จะทรงเลือกผู้หญิงจากตระกูลกษัตริย์หรือพราหมณ์ที่รักษาศีล รักษาธรรมได้ดีที่สุด บริสุทธิ์ทางกาย วาจา ใจ ไม่ดื่มสุรา ไม่หลงในอบายมุข ไม่โลเลในบุรุษ และทรงกำหนดอายุของพระมารดาว่ามีประมาณเท่าใด เพราะพระครรภ์ที่ประทับแห่งพระโพธิสัตว์ผู้จะได้เสด็จอุบัติตรัสรู้เป็นพระสัมมาสัมพุทธเจ้านั้น เปรียบประดุจพระคันธกุฎีแห่งพระบรมศาสดา ไม่สมควรแก่ผู้อื่น
พระบรมโพธิสัตว์ทรงเลือกพระมารดาที่บริสุทธิ์ไม่แปดเปื้อนมลทินโทษ มิฉะนั้นจะยากแก่การเผยแผ่ศาสนา เพราะจะถูกโจมตีว่ามารดาของพระศาสดาไม่บริสุทธิ์ พระนางสิริมหามายาได้อธิษฐานเป็นพระพุทธมารดามาแต่อดีตกาล เมื่อประสูติพระบรมโพธิสัตว์เจ้าได้ 7 วันก็เสด็จทิวงคต ไปบังเกิดเป็นเทพบุตรสถิตในดุสิตเทวโลก ตามประเพณี พระพุทธมารดาไม่ได้เป็นหญิงอย่างเก่า ที่เกิดเป็นหญิงเพราะอธิษฐานขอเป็นมารดาพระพุทธเจ้า
ประเภทของพระพุทธเจ้า.
ในพระไตรปิฎกภาษาบาลีกล่าวถึงพระพุทธเจ้าไว้ 2 ประเภท คือ
ต่อมาในคัมภีร์มโนรถปูรณี อรรถกถาของอังคุตตรนิกาย พระพุทธโฆสะได้กล่าวถึงพุทธะทั้งหมด 4 ประเภท อีกประเภท 2 ประเภทที่เพิ่มเข้ามา คือ
ประเภทของพระพุทธเจ้าโดยการบำเพ็ญบุญบารมี.
นอกจากนั้นพระพุทธเจ้ามีอยู่ 3 ประเภทตามกำลังบุญบารมีที่ได้สร้างสั่งสมมาคือ
พระพุทธเจ้าในอนาคต.
ในคัมภีร์อนาคตวงศ์นั้น ได้กล่าวถึงพระพุทธเจ้าในอนาคต 10 พระองค์ที่จะบังเกิดขึ้นในอนาคตอันใกล้ ดังนี้
พระพุทธเจ้าตามความเชื่อของฝ่ายมหายาน.
นิกายมหายานยอมรับพระพุทธเจ้าตามคัมภีร์ฝ่ายเถรวาททั้งหมดและยังสร้างพระพุทธเจ้าอีกมากมาย ทั้งที่เป็นมนุษย์และมีสถานะเหมือนเทพเจ้าในศาสนาฮินดู นิกายมหายานเชื่อว่าเมื่อพระพุทธเจ้าปรินิพพานไปแล้วไม่ดับสูญแต่ไปประทับ ณ พุทธเกษตรซึ่งเป็นดินแดนที่งดงามกว่าสวรรค์ พระพุทธเจ้าตามคติมหายานแบ่งได้เป็น 3 ประเภท คือ
จำนวนของพระพุทธเจ้า.
ในคัมภีร์ของทางมหายานนั้นได้ระบุนามของพระพุทธเจ้าไว้เป็นจำนวนมาก มีทั้งพระพุทธเจ้า 35 พระองค์ พระพุทธเจ้า 53 พระองค์ และที่มากที่สุดคือพระพุทธเจ้า 3,000 พระองค์ โดยแบ่งเป็น
ทฤษฎีกราฟ
ทฤษฎีกราฟ  เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ที่ศึกษาถึงคุณสมบัติต่าง ๆ ของกราฟ
ทฤษฎีกราฟนั้น มีจุดเริ่มจากผลงานตีพิมพ์ของ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ภายใต้ชื่อ "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis" ในปี ค.ศ. 1736 (พ.ศ. 2279) หรือที่รู้จักกันในนาม "ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองโคนิกส์เบิร์ก" (Seven Bridges of Königsberg) เขาสนใจวิธีที่จะข้ามสะพานทั้ง 7 แห่งนี้ โดยข้ามแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ผลงานนี้ยังถือว่าเป็นงานแนวทอพอโลยีชิ้นแรกในเรขาคณิต กล่าวคือเป็นงานที่สนใจเฉพาะโครงสร้างของรูปเรขาคณิตที่ไม่ขึ้นกับขนาด ระยะ หรือการวัดใดๆ งานชิ้นสำคัญนี้ยังได้แสดงความเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้งระหว่างทฤษฎีกราฟและทอพอโลยี
ในปี ค.ศ. 1845 (พ.ศ. 2388) กุสตาฟ คีร์คฮอฟฟ์ ได้เผยแพร่ผลงานที่รู้จักกันภายใต้ชื่อกฎวงจรไฟฟ้าของคีร์คฮอฟฟ์ ที่แสดงความสัมพันธ์ของกระแสและความต่างศักย์ บนกราฟที่แทนวงจรไฟฟ้า
ต่อมาในปี ค.ศ. 1852 (พ.ศ. 2395) ฟรานซิส กัทธรี ได้ตั้ง"ปัญหาสี่สี" (Four color problem) เพื่อศึกษาถึงความเป็นไปได้ที่จะใช้สีเพียง 4 สี เพื่อระบายให้กับประเทศต่าง ๆ บนแผนที่ใด ๆ โดยที่ประเทศเพื่อนบ้านจะไม่มีสีเดียวกัน. ปัญหานี้ได้ถูกแก้ในอีกมากกว่า 100 ปีถัดมา ในปี ค.ศ. 1976 (พ.ศ. 2519) โดย เคนเนธ แอปเพล และวูล์ฟกัง ฮาเคน ซึ่งใช้คอมพิวเตอร์เข้าช่วยในการพิสูจน์ ซึ่งทำให้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างกว้างขวาง. อย่างไรก็ตามจากความพยายามในการแก้ปัญหา 4 สีนี้ ทำให้มีการสร้างแนวคิดและนิยามพื้นฐานในทฤษฎีกราฟขึ้นอย่างมากมาย จนอาจจะกล่าวได้ว่าจุดเริ่มต้นของทฤษฎีกราฟเกิดจากปัญหาสี่สีนี้เอง
กราฟมักถูกนำเสนอในลักษณะของรูปภาพ โดยใช้จุดแทนจุดยอดแต่ละจุด และลากเส้นระหว่างจุดยอดถ้าจุดยอดทั้งสองนั้นมีเส้นเชื่อมถึงกัน ถ้ากราฟมีทิศทาง ทิศทางของเส้นเชื่อมจะถูกระบุโดยใช้ลูกศร
เราไม่ควรจะสับสนระหว่างกราฟที่วาดออกมากับกราฟ (ที่เป็นโครงสร้างนามธรรม) เนื่องจากกราฟหนึ่ง ๆ สามารถเขียนออกมาได้หลายแบบ และสาระหลักของกราฟนั้นมีแค่ว่าจุดยอดใด เชื่อมต่อกับจุดยอดใด ด้วยเส้นเชื่อมกี่เส้น ไม่ใช่วิธีการที่วาดมันออกมา ในทางปฏิบัติแล้ว การจะตัดสินว่ากราฟที่วาดออกมาสองกราฟนั้น มาจากกราฟเดียวกัน ในบางกรณี การวาดกราฟบางแบบอาจมีความเหมาะสมและทำให้เข้าใจได้ง่ายกว่าแบบอื่น
โครงสร้างข้อมูลกราฟ.
มีหลายวิธีในการจัดเก็บกราฟในระบบคอมพิวเตอร์ โดยโครงสร้างข้อมูลที่ใช้ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของกราฟ และขั้นตอนวิธีสำหรับประมวลผลกราฟนั้น ในทางทฤษฎีเราอาจแยกแยะโครงสร้างที่เป็นแบบรายการกับที่เป็นเมทริกซ์ได้ แต่ในทางปฏิบัติมักพบว่าโครงสร้างที่ดีมักเป็นลูกผสมของโครงสร้างทั้งสองแบบ โครงสร้างแบบรายการนั้นมักใช้ในกรณีของกราฟเบาบาง (sparse graph) เนื่องจากมีการใช้หน่วยความจำที่น้อยกว่า ในทางกลับกันโครงสร้างแบบเมทริกซ์นั้น มีการเข้าถึงที่รวดเร็วกว่า แต่ก็ใช้หน่วยความจำขนาดใหญ่ถ้าจำนวนจุดยอดของกราฟมีมาก
การรู้จำแบบ
การรู้จำแบบ (pattern recognition) เป็นสาขาย่อยหนึ่งของ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เป็นศาสตร์ที่มีจุดประสงค์ในเพื่อการจำแนก วัตถุ (objects) ออกเป็นประเภท (classes) ตาม รูปแบบของวัตถุ โดยในการคำนวณจะมีการใช้เทคนิคจากสาขาอื่น ๆ มากมาย เช่น การประมวลผลสัญญาณ ปัญญาประดิษฐ์ และสถิติ
รูปแบบ (pattern) ในที่นี้หมายถึง รูปร่าง หรือ คุณลักษณะ ของวัตถุ ที่เราสนใจ โดยวัตถุนั้นอาจเป็น รูปธรรม หรือ นามธรรม ก็ได้ หรือจะเป็นรูปแบบ ที่กระจายบนพื้นที่ หรือ เปลี่ยนแปลงตามเวลา ก็ได้
คำ การแบ่งประเภท (classification) และ การแบ่งกลุ่ม (clustering) นี้ในทางวิทยาการคอมพิวเตอร์ จะใช้ในความหมายที่เฉพาะเจาะจง โดย การแบ่งประเภท คือ การแยกแบบมีผู้สอน และ การแบ่งกลุ่ม คือ การแยกแบบไม่มีผู้สอน
ทฤษฎีสารสนเทศ
ทฤษฎีสารสนเทศ  เป็นสาขาหนึ่งใน ทฤษฎีความน่าจะเป็น และคณิตศาสตร์เชิงสถิติ ขอบข่ายเนื้อหาของทฤษฎีนี้จะเกี่ยวข้องกับสารสนเทศ, เอนโทรปีของสารสนเทศ, ระบบการสื่อสาร, การส่งข้อมูล, ทฤษฎีอัตราการบิดเบือน, วิทยาการเข้ารหัสลับ, สัดส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน, การบีบอัดข้อมูล, การแก้ความผิดพลาด และหัวข้ออื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง
คำแปลที่ตามราชบัณฑิต คือ "ทฤษฎีสารสนเทศ" นี้ มาจากคำว่า "information theory" ซึ่งคำว่า information เป็นคำเดียวกันกับที่หมายถึง สารสนเทศ แต่เนื่องจากความหมายของ information theory นั้นจะเกี่ยวเนื่องกับ เนื้อความในแง่ของสัญญาณ จึงอาจจะใช้คำว่า ทฤษฎีข้อมูล แทนความหมายของสารสนเทศ ที่เป็นในแง่ของเนื้อหาข่าวสาร และ สื่อตัวกลาง หรือสื่อบันทึกในบางกรณี
ตัวอย่างของการนำทฤษฎีสารสนเทศมาประยุกต์ใช้ ได้แก่ ZIP Files, เครื่องเล่นเอ็มพีสาม , อินเทอร์เน็ตความเร็วสูงดีเอสแอล, อุปกรณ์สื่อสารไร้สาย อาทิ โทรศัพท์มือถือ วิทยุสื่อสาร, เครื่องเล่นซีดี และการศึกษาเกี่ยวกับหลุมดำ เป็นต้น
คล็อด อี. แชนนอน ได้รับการขนานนามว่าเป็น "บิดาแห่งทฤษฎีสารสนเทศ" ทฤษฎีของแชนนอนนี้ เป็นทฤษฎีแรกที่ได้ทำการวินิจฉัยปัญหาทางการสื่อสาร ในรูปของปัญหาคณิตศาสตร์เชิงสถิติ เป็นทฤษฎีที่ได้เปิดหนทาง ให้วิศวกรการสื่อสาร สามารถคำนวณขนาด หรือปริมาณสูงสุดของช่องสัญญาณ ออกมาในหน่วยบิต (bits)
ทฤษฎีสารสนเทศที่เรารู้จักอยู่ในทุกวันนี้ เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปว่า เริ่มต้นจากผลงานตีพิมพ์ของแชนนอนเรื่องทฤษฎีเชิงคณิตศาสตร์ของการสื่อสาร ("The Mathematical Theory of Communication") ลงในวารสารทางเทคนิคเบลล์ซิสเต็ม (Bell System Technical Journal) ฉบับเดือนมิถุนายน ในปี พ.ศ. 2491 (ค.ศ. 1948) ซึ่งงานชิ้นนี้นั้น เป็นงานที่ได้สร้างเสริมต่อมาจาก ผลงานของ แฮร์รี นายควิสท์  และ ราล์ฟ ฮาร์ทลีย์
ในงานของแชนนอน ที่ทำให้วิศวกรระบบสื่อสาร สามารถออกแบบระบบสื่อสารที่มีประสิทธิภาพสูงขึ้นได้นั้น แชนนอนได้นิยามเอนโทรปีของสารสนเทศเท่ากับ
สูตรนี้เมื่อนำไปใช้กับ แหล่งกำเนิดสารสนเทศ จะทำให้สามารถคำนวณขนาดของช่องสัญญาณ ที่จำเป็นต้องใช้ในการส่งข้อมูลนั้น ในรูปของรหัสฐานสองได้ โดยถ้าลอการิทึมในสมการข้างต้น เป็นฐานสอง เอนโทรปีที่วัดจะอยู่ในหน่วยบิตเช่นกัน แต่ถ้าเป็น ลอการิทึมฐานธรรมชาติ หรือ ฐาน formula_2 เอนโทรปีที่วัดจะอยู่ในหน่วย แนท (nats) [1] การวัดเอนโทรปีของแชนนอน เป็นการวัดขนาดของสารสนเทศซึ่งอยู่ในข้อความ
เมื่อไม่นานมานี้ ได้ปรากฏหลักฐานว่า เอนโทรปี นั้นได้ถูกค้นพบและนิยามในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง โดยแอลัน ทัวริง ที่ เบล็ทชลีย์ พาร์ค  ทัวริง ได้ตั้งชื่อปริมาณนี้ว่าน้ำหนักของหลักฐาน (weight of evidence) และใช้หน่วยวัดเป็น bans และ decibans (อย่าสับสนคำ "weight of evidence" นี้กับคำเดียวกันที่ใช้ในบทความทางด้านการอนุมานทางสถิติ หรือ บัญญัติขึ้นโดย กู๊ด  ซึ่งมีความหมายตรงกับคำที่ทัวริงใช้คือ "log-odds" หรือ "lods") ถึงแม้ว่า ทัวริง และ แชนนอน นั้นได้ทำงานร่วมกันในช่วงสงครามแต่ดูเหมือนว่าทั้งคู่นั้นต่างคนต่างพัฒนาแนวความคิดนี้ขึ้นมาด้วยตนเอง (สำหรับเอกสารอ้างอิงดู Alan Turing: The Enigma โดย แอนดรูว์ ฮอดจส์ Andrew Hodges)
ความสัมพันธ์กับเอนโทรปีของอุณหพลศาสตร์.
เอนโทรปีของสารสนเทศ ที่พัฒนาต่อมาจากแนวความคิดดั้งเดิมของ แชนนอน นั้นมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับ เอนโทรปี ของ อุณหพลศาสตร์
ลุดวิก โบลทซ์แมน ( และ วิลลาร์ด กิบส์  นั้นมีส่วนสำคัญในการพัฒนาทางด้าน อุณหพลศาสตร์เชิงสถิติ  งานของเขานั้นเกิดจากความพยายามในการที่จะนำคำ "เอนโทรปี" จาก ทฤษฎีสารสนเทศมาใช้ เอนโทรปี จากแนวความคิดของ ทฤษฎีสารสนเทศ และ แนวความคิดของ อุณหพลศาสตร์เชิงสถิติ นี้มีความสัมพันธ์กันที่ลึกซึ้ง ตัวอย่างหนึ่งที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง สารสนเทศ และ เอนโทรปีของอุณหพลศาสตร์ คือ ปีศาจของแมกซ์เวลล์  ซึ่งเป็นปิศาจเฝ้าตูดควบคุมการเลือกผ่านของโมเลกุล เพื่อสร้างการไหลของพลังงานสวนทางกับเอนโทรปีของอุณหพลศาสตร์ ในการแหกกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์ แต่ในขณะเดียวกัน ในการคุมตูดนั้นปีศาจก็ต้องการข้อมูล ที่แม่นยำ ซึ่งทั้งสองนี้หักล้างกันไปทำให้ปิศาจไม่สามารถสร้างความได้เปรียบทางอุณหพลศาสตร์สวนกฎข้อที่สองได้
ปริมาณที่ใช้วัดข้อมูลที่มีประโยชน์ อีกปริมาณหนึ่งก็คือ สารสนเทศร่วม  ซึ่งเป็นปริมาณที่บ่งบอกถึงความขึ้นแก่กันทางสถิติของตัวแปรสุ่มสองตัว นิยามของสารสนเทศที่เกิดร่วมกันของเหตุการณ์ formula_3 และ formula_4 คือ
โดยที่ formula_6 คือ เอนโทรปีร่วม นิยามโดย
และ formula_8 คือ เอนโทรปีตามเงื่อนไข  ของ formula_3 มีเงื่อนไขขึ้นกับค่าสังเกตการณ์ของ formula_4 ดังนั้น สารสนเทศร่วม สามารถตีความ หมายถึง ปริมาณของความไม่แน่นอนของค่า formula_3 ที่ลดลงเมื่อรู้ค่าที่แน่นอนของ formula_4 และในทางกลับกัน
ดนตรี  คือ เสียงและโครงสร้างที่จัดเรียงอย่างเป็นระเบียบแบบแผน ซึ่งมนุษย์ใช้ประกอบกิจกรรมศิลปะที่เกี่ยวข้องกับเสียง โดยดนตรีนั้นแสดงออกมาในด้านระดับเสียง (ซึ่งรวมถึงท่วงทำนองและเสียงประสาน) จังหวะ และคุณภาพเสียง ได้แก่ ความต่อเนื่องของเสียง เนื้อเสียง ความดังค่อย และพรรณลักษณ์ของเสียง (texture)
ดนตรีในความหมายอย่างกว้าง หมายถึง กิจกรรมการแสดงออกทางวัฒนธรรม (une activité culturelle) ของมนุษย์ที่เกี่ยวกับการขับร้อง รวมถึงการสร้างจังหวะและทำนอง ดนตรีจึงมีความสำคัญ ไม่เพียงแค่ในเชิงการสื่อสาร หรือการใช้เพื่อความบันเทิงและในพิธีกรรม แต่ยังรวมถึงความสำคัญในด้านศิลปะ และด้านสุนทรียศาสตร์ อีกด้วย
คำว่า "ดนตรี" มีรากศัพท์มาจากภาษาสันสกฤต คือ तन्त्री (ตนฺตฺรี) ซึ่งแปลว่า ดนตรี ในภาษาอื่นที่มีรากศัพท์เดียวกัน ได้แก่ ภาษาเขมร คือ តន្ត្រី (ตนฺตฺรี) และ ภาษาลาว คือ ດົນຕີ (ดนตี)
การประมวลผลสัญญาณดิจิทัล
การประมวลผลสัญญาณดิจิทัล หรือ ที่เรียกกันติดปากสั้น ๆ ว่า ดีเอสพี (DSP - digital signal processing) เป็นการศึกษาการประมวลผลสัญญาณที่อยู่ในรูปดิจิทัล (digital)
โดยทั่วๆ ไป การประมวลผลสัญญาณ อาจแบ่งได้ตาม:
ดีเอสพีนี้อาจแบ่งออกได้เป็นในส่วนของซอฟต์แวร์และฮาร์ดแวร์ หรือตามการประยุกต์เป็น การประมวลผลสัญญาณเสียง (audio signal processing) การประมวลผลภาพดิจิทัล (digital image processing) และ การประมวลผลคำพูด (speech processing)
ถึงแม้ว่าในดีเอสพีนั้น สัญญาณที่เราพิจารณากันจะเป็นดิจิทัล แต่โดยทั่วไปสัญญาณเหล่านี้จากแหล่งกำเนิด จะอยู่ในรูปเดิมที่เป็นแอนะล็อก การได้มาซึ่งสัญญาณดิจิทัลซึ่งเป็นตัวแทนสัญญาณแอนะล็อกที่เราสนใจนี้ จะต้องผ่านกระบวนการแปลงสัญญาณแอนะล็อกเป็นดิจิทัล (Analog-to-Digital Conversion - ADC) หรือการดิจิไทซ์ (digitization) ซึ่งประกอบด้วยการสุ่มตัวอย่าง (sampling) (อย่าสับสนกับคำว่า สุ่ม ที่มาจาก random หรือ stochastic) และการควอนไทซ์ (quantization) ให้อยู่ในรูปดิจิทัลก่อนที่จะทำการประมวลผลต่อไป
การสุ่มสัญญาณ (signal sampling) และการควอนไทซ์ (quantization).
รูปข้างต้นแสดงกระบวนการชักตัวอย่างสัญญาณและควอนไทซ์
โดเมนของเวลาและสถานที่ (temporal and spatial domain).
ตัวอย่างสัญญาณในรูปของตัวแปรเวลา หรือ temporal signal : เสียง
ตัวอย่างสัญญาณในรูปตัวแปรของสถานที่ หรือ spatial signal : รูปภาพ
ภาพนี้เป็นภาพหนึ่งที่ถือได้ว่าเป็นภาพมาตรฐานที่เป็นที่รู้จักและใช้กันอย่างกว้างขวางในวงการการประมวลผลภาพ
จึงมีเรื่องราวที่น่าสนใจเบื้องหลังภาพนี้ ดู ภาพลีนา หรือ ภาพเลนา
กราฟ (คณิตศาสตร์)
ในคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ กราฟ  ประกอบไปด้วยเซตของวัตถุที่เรียกว่าจุดยอด (vertex) ซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเส้นเชื่อม (edge) โดยทั่วไปแล้วเรามักวาดรูปแสดงกราฟโดยใช้จุด (แทนจุดยอด) เชื่อมกันด้วยเส้น (แทนเส้นเชื่อม) กราฟเป็นวัตถุพื้นฐานของการศึกษาในวิยุตคณิต หัวข้อทฤษฎีกราฟ
เส้นเชื่อมอาจมีทิศทางหรือไม่ก็ได้ ตัวอย่างเช่น สมมุติให้จุดยอดแทนคนและเส้นเชื่อมแทนการจับมือกัน เส้นเชื่อมก็จะเป็นเส้นเชื่อมไม่มีทิศ เพราะการที่ "A" จับมือ "B" ก็แปลว่า "B" จับมือ "A" อย่างไรก็ตาม สมมุติถ้าจุดยอดแทนคนและเส้นเชื่อมแทนการรู้จัก เส้นเชื่อมก็ต้องเป็นเส้นเชื่อมมีทิศทาง เพราะ "A" รู้จัก "B" ไม่จำเป็นว่า "B" ต้องรู้จัก "A" หรือนั่นก็คือความสัมพันธ์การรู้จักไม่เป็นความสัมพันธ์สมมาตร
จุดยอดอาจจะถูกเรียกว่า"โหนด" "ปม" หรือ"จุด" ในขณะที่เส้นเชื่อมอาจถูกเรียกว่า"เส้น" คำว่า "กราฟ" ถูกใช้ครั้งแรกโดย J.J. Sylvester ในปี พ.ศ. 2421
โดยทั่วไป กราฟ "G" คือคู่อันดับ "G" = ("V", "E") โดยที่ "V" คือเซตของจุดยอด และ "E" คือเซตของเส้นเชื่อมซึ่งเป็นคู่ไม่อันดับของจุดยอด อันที่จริงนิยามที่กล่าวไปเป็นเพียงประเภทหนึ่งของกราฟที่เรียกว่า กราฟไม่ระบุทิศทาง และเป็น กราฟอย่างง่าย
กราฟประเภทอื่นๆจะมีรายละเอียดของเซตเส้นเชื่อม ("E") ที่แตกต่างกัน เช่น สังเกตว่านิยามข้างต้นจะไม่สามารถมีเส้นเชื่อมในกราฟสองเส้นที่เชื่อมจุดยอดสองจุดในลักษณะเดียวกันได้ เนื่องจาก "E" เป็นเซต ซึ่งสมาชิกที่เหมือนกันจะถูกมองเป็นเพียงแค่หนึ่งตัว หากเปลี่ยน "E" ให้กลายเป็นมัลติเซตก็จะได้สิ่งที่เรียกว่ามัลติกราฟหรือกราฟเทียมแทนกราฟปกติ ซึ่งรองรับเส้นเชื่อมหลายๆเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดที่เหมือนกัน หรือที่เรียกว่า เส้นเชื่อมขนาน (เส้นเชื่อมสีแดงตามภาพด้านขวา)
สำหรับประเภทของกราฟต่างๆที่สมบูรณ์มากกว่านี้ โปรดดูข้างล่าง
จุดยอดที่อยู่ที่ปลายของเส้นเชื่อมจะเรียกว่าจุดยอดปลายของเส้นเชื่อม แต่จุดยอดอาจจะไม่เป็นจุดยอดปลายก็ได้ (ในกรณีที่จุดยอดนั้นไม่มีเส้นเชื่อมมาต่อเลย)
"V" และ "E" โดยปกติจะเป็นเซตจำกัด ถึงแม้ว่าจะเป็นไปได้ที่ "V" หรือ "E" จะเป็นเซตอนันต์ แต่นิยามหลายๆอย่างจะใช้ไม่ได้ในกรณีนั้น อันดับของกราฟคือ |"V"| (จำนวนจุดยอด) ส่วนขนาดของกราฟคือ |"E"| (จำนวนเส้นเชื่อม) ระดับขั้นของจุดยอดคือจำนวนของเส้นเชื่อมที่ต่อกับจุดยอดนั้นๆ ในกรณีที่มีเส้นเชื่อมที่ปลายสองด้านต่อเข้ากับจุดยอดเดียวกัน หรือที่เรียกว่าวงวน (เส้นเชื่อมสีน้ำเงินตามภาพด้านขวา) ให้นับระดับขั้นเพิ่ม 2 สำหรับ 1 วงวน
เส้นเชื่อม {"u" , "v"} อาจเขียนให้สั้นว่า "uv" ก็ได้..
ประเภทของกราฟ.
ตามที่ได้กล่าวมาแล้วว่ากราฟมีหลายประเภท อย่างไรก็ตามกราฟในความหมายโดยทั่วไปจะหมายถึงกราฟไม่ระบุทิศทางอย่างง่ายและจำกัด
แบ่งตามทิศทาง.
กราฟไม่ระบุทิศทาง.
กราฟไม่ระบุทิศทาง (undirected graph) "G" คือคู่อันดับ "G" = ("V", "E") ที่ "E" คือ เซตของเส้นเชื่อมซึ่งเป็นคู่ไม่อันดับของจุดยอด "e" = {"x", "y"} จะถูกพิจารณาว่าเป็นเส้นเชื่อม เชื่อมระหว่าง "x" กับ "y" โดยที่ทั้ง "x" และ "y" จะถูกเรียกว่า จุดยอดปลาย (end vertices) ของเส้นเชื่อม
กราฟระบุทิศทาง.
กราฟระบุทิศทาง (directed graph) หรือ ไดกราฟ "D" คือคู่อันดับ "D" = ("V", "A") ที่ "A" คือ เซตของเส้นเชื่อมระบุทิศทางซึ่งเป็นคู่อันดับของจุดยอด เส้นเชื่อมระบุทิศทาง (directed edges) อาจถูกเรียกว่า อาร์ก (arcs) หรือ ลูกศร (arrows) เส้นเชื่อม "e" = ("x", "y") จะถูกพิจารณาว่าเป็นเส้นเชื่อม จาก "x" ไป "y" โดยที่ "y" จะถูกเรียกว่า หัว (head) และ "x" จะถูกเรียกว่า หาง (tail) ของเส้นเชื่อม เส้นเชื่อม ("y", "x") จะถูกเรียกว่าเป็นเส้นเชื่อมกลับทิศของ ("x", "y")
กราฟระบุทิศทาง "D" จะถูกเรียกว่า สมมาตร ก็ต่อเมื่อทุกๆเส้นเชื่อม ("x","y") มีเส้นเชื่อม ("y","x") อยู่ในกราฟด้วย ในแง่การไปถึงกันได้ กราฟระบุทิศทางที่สมมาตร "D" จะเทียบเท่ากับกราฟไม่ระบุทิศทาง "G" โดยเส้นเชื่อม ("x","y") และ ("y","x") เทียบเท่ากับเส้นเชื่อม {"x","y"} ดังนั้น หากเปรียบเทียบระหว่างกราฟระบุทิศทางที่สมมาตรและกราฟไม่ระบุทิศทาง ที่เทียบเท่ากัน จะได้ว่า |"E"| = |"A"|/2
กราฟอวัฏจักรระบุทิศทาง (directed acyclic graph: DAG) คือ กราฟระบุทิศทาง ที่ไม่มีวัฏจักร
กราฟผสม.
กราฟผสม (mixed graph) "G" คือสามสิ่งอันดับ (3-tuple) "G" = ("V","E","A") โดยที่ "V", "E" และ "A" เหมือนดังนิยามด้านบน
แบ่งตามความซับซ้อน.
กราฟอย่างง่าย.
กราฟอย่างง่าย หรือ กราฟเชิงเดียว (simple graph) เป็นกราฟที่ไม่มี วงวน (loop) ซึ่งเกิดจากเส้นเชื่อมที่มีจุดเริ่มต้นเป็นจุดเดียวกับจุดปลาย และไม่มีเส้นเชื่อมขนาน (parallel edge) ซึ่งเกิดจากเส้นเชื่อมที่มีจุดเริ่มต้นและจุดปลายเหมือนกัน
มัลติกราฟ.
มัลติกราฟ (multigraph) เป็นกราฟที่อนุญาตให้มีเส้นเชื่อมขนานได้ โดยเซตของเส้นเชื่อม "E" หรือ "A" จะถูกกำหนดเป็นมัลติเซตแทน เพื่อให้สามารถใส่เส้นเชื่อมสองเส้นที่เหมือนกันลงในกราฟได้
อย่างไรก็ตาม มัลติกราฟก็ยังถูกนิยามไม่ตรงกัน บ้างก็นิยามว่ามัลติกราฟไม่มีวงวน บ้างก็นิยามว่ากราฟมีวงวนได้ จึงมีการใช้คำว่ากราฟเทียม (pseudo graph) เพื่อระบุว่ากราฟสามารถมีได้ทั้งเส้นเชื่อมซ้ำและวงวน
แบ่งตามขนาด.
กราฟ "G" = ("V","E") จะเป็นกราฟจำกัด (finite graph) ก็ต่อเมื่อ "V" และ "E" เป็นเซตจำกัด
ในทางตรงกันข้าม หากมี "V" หรือ "E" อย่างใดอย่างหนึ่งที่เป็นเซตอนันต์ ก็จะได้ว่า "G" เป็นกราฟอนันต์ (infinite graph)
แบ่งตามน้ำหนัก.
กราฟถ่วงน้ำหนัก (weighted graph) คือ กราฟที่มีการกำหนดค่าให้กับเส้นเชื่อมแต่ละเส้น ซึ่งอาจเป็น "ค่าใช้จ่าย", "น้ำหนัก", "ความยาว" หรืออื่นๆขึ้นกับการใช้งาน บางคนเรียกกราฟประเภทนี้ว่าเครือข่าย กราฟถ่วงน้ำหนักนำไปใช้ในการแก้ปัญหาหลายๆอย่าง เช่น ปัญหาวิถีสั้นสุด เป็นต้น โดยทั่วไปน้ำหนักที่ถ่วงจะถือว่าเป็นจำนวนจริงบวก ในกรณีที่น้ำหนักเส้นเชื่อมเป็นลบได้จะมีการระบุเพิ่มเติม เนื่องจากการจัดการกับกรณีทั้งสองในหลายๆปัญหานั้นต่างกัน
โดยทั่วไปหากกล่าวถึงกราฟจะหมายถึงกราฟไม่ถ่วงน้ำหนัก (unweighted graph) ซึ่งไม่มีน้ำหนักถ่วงที่เส้นเชื่อม
คุณลักษณะของกราฟ.
เราจะกล่าวว่า
กราฟที่มีจุดยอดเพียงจุดเดียวและไม่มีเส้นเชื่อมใดๆ เรียกว่า กราฟชัด (trivial graph) กราฟที่มีแต่จุดยอดแต่ไม่มีเส้นเชื่อมใดๆ เรียกว่า กราฟว่าง (empty graph) ส่วนกราฟที่ไม่มีทั้งจุดยอดและเส้นเชื่อม เรียกว่า กราฟศูนย์ (null graph) แต่นิยามนี้ไม่เป็นที่นิยมนัก
โดยทั่วไปแล้วจุดยอดของกราฟนั้นจะไม่สามารถถูกแยกแยะ หรือพิจารณาว่าแตกต่างกันได้ (ยกเว้นในบางกรณีเช่นมีจำนวนเส้นเชื่อมที่แตกต่างกันเป็นต้น) อย่างไรก็ตาม บางสาขาของทฤษฎีกราฟต้องการให้ระบุจุดยอดที่ชัดเจนได้ ถ้าแต่ละจุดยอดมีการระบุชื่อที่ชัดเจน กล่าวคือมีป้ายชื่อกำกับ เราจะเรียกกราฟเหล่านั้นนั้นว่า "กราฟจุดยอดระบุชื่อ" (vertex-labeled graph) นอกจากนี้ เส้นเชื่อมก็ยังสามารถมีป้ายชื่อกำกับได้เช่นกัน เรียกกราฟลักษณะนี้ว่า "กราฟเส้นเชื่อมระบุชื่อ" (edge-labeled graph) ในกรณีที่ไม่มีการระบุชื่อจะเรียกกราฟว่า "กราฟไม่ระบุชื่อ" (unlabeled graph)
จากรูปทางขวา เขียนเป็นกราฟได้ดังนี้
ในทั่วไปของกราฟ.
ในไฮเปอร์กราฟ เส้นเชื่อมสามารถเชื่อมได้มากกว่าสองจุด
ทุก ๆ กราฟ ก่อให้เกิด เมทรอยด์ แต่โดยทั่วไปแล้ว เราจะไม่สามารถสร้างกราฟกลับมาจากเมทรอยด์ของมันได้ ดังนั้นเมทรอยด์จึงไม่ใช่นัยทั่วไปของกราฟ
ในทฤษฎีโมเดล กราฟเป็นแค่โครงสร้าง ในกรณีนั้นจะไม่มีข้อจำกัดในจำนวนของเส้นเชื่อม นั่นคือจะมีเส้นเชื่อมเป็นจำนวนเชิงการนับใด ๆ ก็ได้
ไดกราฟ (คณิตศาสตร์)
ฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล
วิศวกรรมคอมพิวเตอร์  เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการออกแบบและสร้างเครื่องหรือระบบคอมพิวเตอร์ และ ระบบที่ใช้คอมพิวเตอร์ ศาสตร์นี้เกี่ยวข้องกับการศึกษาทางด้านฮาร์ดแวร์ ซอฟต์แวร์ การสื่อสาร และความเกี่ยวเนื่องระหว่างเรื่องทั้งสาม หลักสูตรการเรียนมุ่งเน้นทางด้าน ทฤษฎี กฎ และ การฝึกฝนปฏิบัติของทางด้านวิศวกรรมไฟฟ้า และ คณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์รวมถึงการประยุกต์เข้ากับปัญหาทางด้านการออกแบบคอมพิวเตอร์ และ อุปกรณ์ที่ใช้คอมพิวเตอร์