pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
การปัดเศษจะถูกใช้เมื่อผลลัพธ์ที่ถูกต้องที่ได้จากการดำเนินการจำนวนจุดลอยตัว (หรือการแปลงเป็นรูปแบบจุดลอยตัว) มีเลขโดดมากเกินกว่าที่จะเก็บได้ในซิกนิฟิแคนด์ การปัดเศษมีวิธีการหลายแบบที่ต่างกัน แนวทางทั่วไปในอดีตคือการปัดเศษทิ้ง (truncation) และตั้งแต่มีการแนะนำ IEEE 754 แบบวิธีเริ่มต้นคือการปัดเศษเลขคู่ใกล้สุด หรือเรียกว่าการปัดเศษของนักธนาคาร (Banker's Rounding) มีใช้อย่างปกติสามัญมากกว่า แบบวิธีนี้จะปัดเศษผลลัพธ์ในอุดมคติ (ที่มีความเที่ยงอนันต์) จากการดำเนินการเลขคณิต ไปสู่จำนวนที่สามารถแทนค่าได้ที่ใกล้ที่สุด และให้ผลเป็นการแทนค่านั้นออกมา ในกรณีที่ผลลัพธ์อยู่กึ่งกลาง ค่าที่มีซิกนิฟิแคนด์ลงท้ายเป็นเลขคู่จะถูกเลือก มาตรฐาน IEEE 754 กำหนดว่าจำเป็นต้องใช้วิธีการปัดเศษเดียวกันในทุก ๆ การดำเนินการพีชคณิตพื้นฐาน ซึ่งรวมถึงรากที่สองและการแปลงจำนวน เมื่อผลลัพธ์เป็นค่าเชิงตัวเลข สิ่งนี้หมายความว่า ผลลัพธ์จากการดำเนินการ IEEE 754 จะถูกพิจารณาทุกบิตในผลลัพธ์ ยกเว้นค่า NaN (ฟังก์ชัน "ไลบรารี" อาทิโคไซน์หรือลอการิทึมไม่ถูกบังคับ)
วิธีการปัดเศษทางเลือกอื่นก็มีให้ใช้ได้ IEEE 754 ได้ระบุวิธีการปัดเศษไว้ดังนี้
แบบวิธีทางเลือกต่าง ๆ มีประโยชน์เมื่อจำนวนของค่าคลาดเคลื่อนต้องถูกจำกัดขอบเขต การประยุกต์ที่จำเป็นต้องใช้ค่าคลาดเคลื่อนที่จำกัดขอบเขต คือจำนวนจุดลอยตัวหลายความเที่ยง และเลขคณิตอันตรภาค (interval aritmetics)
การใช้งานการปัดเศษเพิ่มเติมคือ การปัดเศษจำนวนให้มีจำนวนหลักที่ต้องการในฐานสิบ (หรือฐานสอง) เช่นในการปัดเศษผลลัพธ์สกุลเงิน (จุดทศนิยมสองหลัก)
การดำเนินการเลขคณิตจุดลอยตัว.
เพื่อความง่ายในการนำเสนอและการทำความเข้าใจ ตัวอย่างต่อไปนี้จะใช้เลขฐานสิบที่มีความเที่ยง 7 หลัก ตามที่ระบุไว้ใน IEEE 754 รูปแบบฐานสิบ 32 บิต หลักการพื้นฐานนั้นเหมือนกันในฐานหรือความเที่ยงใด ๆ เว้นแต่การทำให้เป็นบรรทัดฐานเป็นทางเลือกที่ไม่บังคับ (มันไม่ส่งผลต่อค่าเชิงจำนวนของผลลัพธ์) "s" ในที่นี้หมายถึงซิกนิฟิแคนด์และ "e" คือเลขชี้กำลัง
วิธีการอย่างง่ายในการบวกจำนวนจุดลอยตัวคือ อันดับแรกต้องทำเลขชี้กำลังให้เหมือนกันเสียก่อน จากตัวอย่างต่อไปนี้ จำนวนที่สองถูกเลื่อนจุดฐานไปทางขวาสามหลัก จากนั้นจึงกระทำการบวกธรรมดา
123456.7 = 1.234567 × 10^5
101.7654 = 1.017654 × 10^2 = 0.001017654 × 10^5
123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 10^5) + (1.017654 × 10^2)
= (1.234567 × 10^5) + (0.001017654 × 10^5)
= (1.234567 + 0.001017654) × 10^5
= 1.235584654 × 10^5
โดยรายละเอียด
e=5; s=1.234567 (123456.7)
+ e=2; s=1.017654 (101.7654)
e=5; s=1.234567
+ e=5; s=0.001017654 (หลังจากเลื่อนจุดฐานแล้ว)
e=5; s=1.235584654 (ผลบวกแท้จริง 123558.4654)
ผลบวกนี้เป็นค่าแท้จริงที่ถูกต้องแม่นยำ มันจะถูกปัดเศษให้เหลือเพียงเจ็ดหลัก แล้วทำให้เป็นบรรทัดฐานหากจำเป็น ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้ายคือ
e=5; s=1.235585 (ผลลัพธ์สุดท้าย 123558.5)
สังเกตว่าสามหลักสุดท้ายจากการบวก (654) สูญเสียไปอย่างสำคัญ สิ่งนี้เรียกว่าค่าคาดเคลื่อนการปัดเศษ (round-off error) ในกรณีสุดขีด ผลบวกของจำนวนสองจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์อาจเท่ากับค่าเดิมของจำนวนใดจำนวนหนึ่ง
+ e=-3; s=9.876543
+ e=5; s=0.00000009876543 (หลังจากเลื่อนจุดฐานแล้ว)
e=5; s=1.23456709876543 (ผลบวกแท้จริง)
e=5; s=1.234567 (หลังจากปัดเศษ/ทำให้เป็นบรรทัดฐาน)
อีกตัวอย่างหนึ่งของปัญหาการสูญเสียนัยสำคัญ เกิดขึ้นในการลบสองจำนวนที่มีค่าใกล้เคียงกัน จากตัวอย่างนี้ และ เป็นการแทนค่าของจำนวนตรรกยะ 123457.1467 และ 123456.659 ตามลำดับ
e=5; s=1.234571
− e=5; s=1.234567
e=5; s=0.000004
e=−1; s=4.000000 (หลังจากปัดเศษ/ทำให้เป็นบรรทัดฐาน)
การแทนค่าที่ดีที่สุดของผลต่างนี้ควรเป็น ซึ่งต่างจากผลลัพธ์ อยู่มากกว่า 20% ในกรณีสุดขีด ผลลัพธ์สุดท้ายอาจกลายเป็นศูนย์แม้ว่าการคำนวณที่แท้จริงอาจได้ค่าหลายล้าน การสูญเสียนัยสำคัญเช่นนี้แสดงให้เห็นถึงความอันตรายในการสมมติว่า เลขโดดทุกหลักของผลลัพธ์ที่คำนวณได้ล้วนมีความหมาย การรับมือต่อผลสืบเนื่องของค่าคลาดเคลื่อนเหล่านี้เป็นหัวข้อศึกษาอันหนึ่งในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข (numerical analysis) ดูเพิ่มที่ ปัญหาความแม่นยำ
การคูณและการหาร.
การคูณกระทำได้โดยคูณซิกนิฟิแคนด์ทั้งสอง และบวกเลขชี้กำลังเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกปัดเศษและทำให้เป็นบรรทัดฐาน
e=3; s=4.734612
× e=5; s=5.417242
e=8; s=25.648538980104 (ผลคูณแท้จริง)
e=8; s=25.64854 (หลังจากปัดเศษ)
e=9; s=2.564854 (หลังจากทำให้เป็นบรรทัดฐาน)
การหารก็กระทำด้วยวิธีที่คล้ายกันนี้ แต่ซับซ้อนมากกว่า
การคูณและการหารไม่เกิดปัญหาการสูญเสียหรือการดูดกลืนนัยสำคัญ แม้ว่าค่าคลาดเคลื่อนจำนวนน้อยอาจถูกสะสมในการดำเนินการที่กระทำซ้ำ ๆ ในทางปฏิบัติ แนวทางของการดำเนินการเหล่านี้ค่อนข้างซับซ้อนในตรรกะดิจิทัล ดูที่ขั้นตอนวิธีการคูณของบูทและการหารเชิงดิจิทัล สำหรับวิธีการที่รวดเร็วและง่าย ดูที่แบบแผนของฮอร์เนอร์
การรับมือกับกรณีผิดปรกติ.
การคำนวณจำนวนจุดลอยตัวในคอมพิวเตอร์สามารถทำให้เกิดปัญหาสามประเภทได้แก่
ก่อนที่จะมีมาตรฐาน IEEE เงื่อนไขดังกล่าวมักทำให้โปรแกรมหยุดทำงาน หรือกระตุ้นให้เกิดกับดัก (trap) ที่โปรแกรมเมอร์สามารถตรวจจับได้ แนวทางที่สิ่งนี้ทำงานขึ้นอยู่กับระบบ หมายความว่าโปรแกรมที่ใช้จำนวนจุดลอยตัวจะไม่สามารถย้ายไปทำงานบนเครื่องอื่นได้
มาตรฐานต้นฉบับ IEEE 754 (พ.ศ. 2527) เป็นก้าวแรกของวิธีการมาตรฐานสำหรับการดำเนินงานตาม IEEE 754 ในการบันทึกข้อผิดพลาดเกิดขึ้น ต่อไปนี้เราจะไม่พิจารณาการตรวจจับกับดัก (ซึ่งเป็นทางเลือกในรุ่น พ.ศ. 2527) และ "โหมดการจัดการสิ่งผิดปรกติแบบอื่น" (ซึ่งมาแทนที่การตรวจจับกับดักในรุ่น พ.ศ. 2551 แต่ก็ยังคงเป็นทางเลือก) แต่พิจารณาแค่แบบวิธีที่จำเป็นในการจัดการสิ่งผิดปรกติตาม IEEE 754 สิ่งผิดปรกติเชิงเลขคณิตต้องถูกบันทึกลงในบิตแสดงความผิดพลาดแบบ "ยึดติด" โดยปริยาย คำว่า "ยึดติด" หมายความว่า บิตแสดงความผิดพลาดจะไม่ถูกตั้งใหม่โดยการดำเนินการเลขคณิตถัดไป แต่จะยังคงมีค่าอยู่จนกว่าสั่งให้ตั้งใหม่อย่างแน่ชัด โดยปกติแล้วการดำเนินการหนึ่ง ๆ จะให้ผลลัพธ์ตามข้อกำหนดเสมอโดยไม่ยับยั้งการคำนวณ ตัวอย่างเช่น 1/0 ให้ผลลัพธ์เป็น +∞ พร้อมตั้งค่าบิตความผิดพลาดของการหารด้วยศูนย์ด้วย
อย่างไรก็ตามมาตรฐานต้นฉบับ IEEE 754 มิได้แนะนำการดำเนินการต่าง ๆ เพื่อจัดการกับกลุ่มของบิตความผิดพลาดเหล่านั้น ดังนั้นเมื่อสิ่งเหล่านี้ถูกพัฒนาในฮาร์ดแวร์ การทำให้เกิดผลจากภาษาโปรแกรมแต่เริ่มแรกจึงไม่ได้จัดเตรียมมาตรการเพื่อเข้าถึงมัน (นอกจากแอสเซมเบลอร์) ในเวลาต่อมามาตรฐานของภาษาโปรแกรมบางภาษา (เช่นภาษาซีหรือภาษาฟอร์แทรน) ได้ปรับปรุงเพื่อระบุแบบวิธีสำหรับเข้าถึงและเปลี่ยนแปลงสถานภาพกับบิตความผิดพลาด มาตรฐาน IEEE 754 รุ่น พ.ศ. 2551 ที่ใช้อยู่ในปัจจุบันจึงได้ระบุการดำเนินการบางชนิดสำหรับเข้าถึงและจัดการบิตความผิดพลาดเชิงเลขคณิต ตัวแบบการเขียนโปรแกรมที่มีพื้นฐานการทำงานเทร็ดเดียวแต่ถูกใช้โดยหลายเทร็ด จะต้องมีมาตรการเกี่ยวกับภาวะพร้อมกันนอกเหนือไปจากมาตรฐาน
IEEE 754 กำหนดความผิดพลาดเชิงเลขคณิตห้าประการที่ต้องถูกบันทึกในบิตความผิดพลาดที่ "ยึดติด" ดังนี้
ปัญหาความแม่นยำ.
ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนจุดลอยตัวไม่สามารถแทนค่าจำนวนจริงทั้งหมดได้อย่างแม่นยำ และการดำเนินการจุดลอยตัวไม่อาจใช้แทนการดำเนินการเลขคณิตที่แท้จริงได้ นำมาซึ่งสถานการณ์ที่ไม่คาดหวัง สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความเที่ยงที่มีขนาดจำกัดที่คอมพิวเตอร์ใช้แทนจำนวนต่าง ๆ
จากตัวอย่างต่อไปนี้ 0.1 และ 0.01 ในฐานสิบไม่สามารถแทนค่าได้ในฐานสองอย่างแม่นยำ หมายความว่าผลลัพธ์ของการพยายามคำนวณ 0.1 ยกกำลังสอง จะไม่ได้จำนวน 0.01 หรือจำนวนที่แทนค่าได้และใกล้เคียงที่สุดเลย ในการแทนค่า 24 บิต (ความเที่ยงหนึ่งเท่า) จำนวน 0.1 ฐานสิบ ดังที่เคยกล่าวไว้ว่าแทนค่าได้เป็น มีค่าที่แท้จริงเท่ากับ
เมื่อนำจำนวนนี้มายกกำลังสองจะได้ผลลัพธ์แท้จริงเป็น
หากนำมายกกำลังสองด้วยฮาร์ดแวร์จุดลอยตัวความเที่ยงหนึ่งเท่า (พร้อมทั้งปัดเศษ) จะได้
แต่จำนวนที่แทนค่าได้และใกล้เคียง 0.01 ที่สุดคือ
อีกตัวอย่างหนึ่ง จำนวนที่ไม่สามารถแทนค่าได้อย่าง π (และ π/2) ทำให้การพยายามคำนวณ tan(π/2) จะไม่ได้ผลลัพธ์เป็นค่าอนันต์หรือแม้แต่ภาวะมากเกินเก็บ ฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์มาตรฐานไม่สามารถคำนวณ tan(π/2) เพราะ tan(π/2) ไม่สามารถแทนค่าได้อย่างแม่นยำ เช่นในการคำนวณในภาษาซีดังนี้
จะให้ผลลัพธ์เป็น 16331239353195370.0 แต่ในความเที่ยงหนึ่งเท่า (ใช้ฟังก์ชัน tanf) ผลลัพธ์จะเป็น −22877332.0
ในกรณีคล้ายกัน การพยายามคำนวณ sin(π) จะไม่ได้ค่าศูนย์ ผลลัพธ์ที่ได้โดยประมาณจะเท่ากับ 0.1225 ในความเที่ยงสองเท่า หรือ −0.8742 ในความเที่ยงหนึ่งเท่า
การบวกและการคูณจำนวนจุดลอยตัวมีสมบัติการสลับที่ ("a" + "b" = "b" + "a" และ "a" × "b" = "b" × "a") แต่ไม่จำเป็นว่าจะต้องมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ นั่นคือ ("a" + "b") + "c" ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ "a" + ("b" + "c") เสมอไป เช่นตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเลขคณิตฐานสิบเจ็ดหลัก กำหนดให้ "a" = 1234.567, "b" = 45.67834, "c" = 0.0004
การบวกและการคูณจำนวนจุดลอยตัวก็ไม่จำเป็นต้องมีสมบัติการแจกแจง นั่นคือ ("a" + "b") × "c" ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ "a" × "c" + "b" × "c" เสมอไป จากตัวอย่างนี้กำหนดให้ "a" = 1234.567, "b" = 1.234567, "c" = 3.333333
นอกเหนือจากการสูญเสียนัยสำคัญ ความไม่สามารถในการแทนค่าจำนวนอาทิ π และ 0.1 ได้อย่างแม่นยำ และความไม่เที่ยงตรงเล็กน้อยอื่น ๆ ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว ปรากฏการณ์ต่อไปนี้ก็อาจเกิดขึ้นได้เช่นกัน
ความเที่ยงของเครื่องจักร.
"ความเที่ยงของเครื่องจักร" หมายถึงปริมาณที่บ่งบอกความแม่นยำของระบบจำนวนจุดลอยตัว เป็นที่รู้จักในชื่อ "การปัดเศษหน่วย" (unit round-off) หรือ "เอปไซลอนเครื่องจักร" (machine epsilon) มักจะแสดงด้วย Εmach ค่าของมันขึ้นอยู่กับวิธีการปัดเศษเฉพาะที่ใช้
การปัดเศษเข้าหาศูนย์จะได้
ในขณะที่การปัดเศษสู่ค่าที่ใกล้ที่สุดจะได้
ปริมาณนี้มีความสำคัญเนื่องจากเป็นตัวจำกัดขอบเขตของ "ค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์" ในการแทนค่าจำนวนจริงใด ๆ "x" ที่ไม่เป็นศูนย์ภายใต้พิสัยบรรทัดฐานของระบบจำนวนจุดลอยตัว ดังนี้
การลดผลกระทบของปัญหาความแม่นยำ.
การใช้เลขคณิตจำนวนจุดลอยตัวอย่างตรงไปตรงมา นำไปสู่ปัญหาหลายอย่างดังที่กล่าวมาแล้วทั้งหมดข้างต้น การสร้างซอฟต์แวร์จุดลอยตัวที่คงทนถาวรอย่างสมบูรณ์จึงเป็นงานที่ซับซ้อน และความเข้าใจอันดีของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเป็นสิ่งสำคัญ
นอกจากการออกแบบโปรแกรมอย่างระมัดระวัง การจัดการอย่างรอบคอบโดยตัวแปลโปรแกรมก็จำเป็นเช่นกัน "การเพิ่มประสิทธิภาพ" บางอย่างที่ตัวแปลกระทำ (เช่นการจัดเรียงการดำเนินการใหม่) อาจไม่เป็นไปตามจุดมุ่งหมายของการพัฒนาซอฟต์แวร์ที่ทำงานได้ดี มีการถกเถียงเกี่ยวกับความล้มเหลวของตัวแปลโปรแกรมและการออกแบบภาษาในเรื่องนี้ ดูเพิ่มเติมที่แหล่งข้อมูลอื่น
เลขคณิตจุดลอยตัวฐานสอง เป็นสภาวการณ์ดีที่สุดเมื่อใช้วัดปริมาณในโลกแห่งความเป็นจริงซึ่งมีพิสัยของมาตราส่วนกว้าง (เช่นคาบดาราคติของไอโอหรือมวลของโปรตอน) แต่เป็นสภาวการณ์แย่ที่สุดเมื่อถูกคาดหวังให้จำลองความสัมพันธ์ของปริมาณในรูปของสายอักขระฐานสิบซึ่งมุ่งหวังว่าจะได้ค่าที่ถูกต้อง ตัวอย่างของกรณีหลังเช่นการคำนวณเชิงการเงิน ซอฟต์แวร์การเงินจึงมีความโน้มเอียงที่จะไม่ใช้การแทนจำนวนจุดลอยตัวฐานสองด้วยเหตุนี้ มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัวฐานสิบของ IEEE 854 และชนิดตัวแปร "decimal" ของภาษาซีชาร์ปเป็นอาทิ ถูกออกแบบขึ้นเพื่อให้หลีกเลี่ยงปัญหาการแทนจำนวนจุดลอยตัวฐานสองที่ใช้กับค่าของเลขฐานสิบ ซึ่งมนุษย์จำเป็นต้องป้อนเข้าอย่างถูกต้อง และทำให้การคำนวณเลขคณิตได้ผลลัพธ์ตรงกับจำนวนฐานสิบที่คาดหวังเสมอ
ค่าคลาดเคลื่อนในเลขคณิตจุดลอยตัวอาจยิ่งสะสมมากขึ้น เมื่อขั้นตอนวิธีของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ถูกกระทำหลายครั้งมาก ตัวอย่างบางส่วนเช่น การหาตัวผกผันของเมทริกซ์ การคำนวณเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ขั้นตอนวิธีเหล่านี้จะต้องถูกออกแบบอย่างระมัดระวังมากเพื่อให้ทำงานได้ดี
ความคาดหวังต่าง ๆ ในทางคณิตศาสตร์อาจไม่สามารถทำให้เป็นจริงได้ในขอบเขตของการคำนวณจำนวนจุดลอยตัว ตัวอย่างเช่น เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์อันเป็นที่ทราบโดยทั่วไปอาทิ formula_12 หรือ formula_13 ไม่สามารถไว้วางใจได้เมื่อปริมาณที่เกี่ยวข้องเป็นผลลัพธ์มาจากการคำนวณจำนวนจุดลอยตัว
การแก้ปัญหาทางเทคนิคโดยละเอียดสำหรับการเขียนซอฟต์แวร์จุดลอยตัวคุณภาพสูงเป็นเรื่องเกินขอบเขตของบทความนี้ ผู้อ่านกรุณาดูเพิ่มเติมในแหล่งอ้างอิงที่ท้ายบทความ ต่อไปนี้จะอธิบายเทคนิคอย่างง่ายเพียงเล็กน้อย
การทดสอบภาวะเท่ากัน (codice_1) โดยปกติไม่เป็นที่แนะนำเมื่อความคาดหวังขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ การทดสอบเช่นนี้บางครั้งถูกแทนที่ด้วยการเปรียบเทียบแบบ "คลุมเครือ" (codice_2 ซึ่ง epsilon มีค่าเล็กน้อยอย่างเพียงพอและถูกปรับให้เหมาะสมกับการใช้งานเช่น 1.0E−13) การตัดสินใจกระทำเช่นนี้แตกต่างหลากหลายอย่างมาก การจัดระเบียบรหัสดังกล่าวก็มักจะดีกว่าแม้การทดสอบดังกล่าวไม่มีความจำเป็น
การตระหนักถึงการสูญเสียเลขนัยสำคัญที่สามารถเกิดขึ้นก็มีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราบวกจำนวนขนาดใหญ่มากกับจำนวนขนาดเล็กมากเมื่อเปรียบเทียบกับผลบวก จะทำให้เกิดการสูญเสียเลขนัยสำคัญ การบวกโดยทั่วไปจะเป็นเหมือนเช่นนี้
3253.671
+ 3.141276
3256.812
สามหลักสุดท้ายของตัวบวกสูญเสียไปในผลลัพธ์ สมมติว่าเราต้องการบวกจำนวนหลายจำนวนซึ่งทุกจำนวนมีค่าประมาณ 3 หลังจากบวกเข้าไป 1000 ครั้ง ผลบวกจะเพิ่มขึ้นประมาณ 3000 เลขนัยสำคัญที่สูญไปมิได้ถูกนำกลับมาเพื่อคำนวณใหม่ ขั้นตอนวิธีการบวกของคาฮานอาจใช้เพื่อลดค่าคลาดเคลื่อนนี้ได้
การคำนวณอาจถูกปรับปรุงใหม่ในทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่าแต่มีแนวโน้มของความคลาดเคลื่อนน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น อาร์คิมิดีสประมาณค่า π โดยการคำนวณความยาวรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมที่บรรจุภายในและภายนอกรูปวงกลม โดยเริ่มที่รูปหกเหลี่ยมแล้วเพิ่มจำนวนด้านทีละสองเท่า สูตรเวียนเกิดของรูปหลายเหลี่ยมภายนอกรูปวงกลมคือ
ในที่นี้จะคำนวณด้วยเลขคณิต "double" แบบ IEEE (ซิกนิฟิแคนด์ที่มีความเที่ยง 53 บิต)
i 6 × 2i × ti รูปแบบที่หนึ่ง 6 × 2i × ti รูปแบบที่สอง
0 '.4641016151377543863 '.4641016151377543863
1 '.2153903091734710173 '.2153903091734723496
2 '596599420974940120 '596599420975006733
3 '60862151314012979 '60862151314352708
4 '27145996453136334 '27145996453689225
5 '8730499801259536 '8730499798241950
6 '6627470548084133 '6627470568494473
7 '6101765997805905 '6101766046906629
8 '70343230776862 '70343215275928
9 '37488171150615 '37487713536668
10 '9278733740748 '9273850979885
11 '7256228504127 '7220386148377
12 '717412858693 '707019992125
13 '189011456060 '78678454728
14 '717412858693 '46593073709
15 '19358822321783 '8571730119
16 '717412858693 '6566394222
17 '810075796233302 '6065061913
18 '717412858693 '939728836
19 '4061547378810956 '908393901
20 '05434924008406305 '900560168
21 '00068646912273617 '8608396
22 '349453756585929919 '8122118
23 '00068646912273617 '95552
24 '.2245152435345525443 '68907
25 62246
26 62246
27 62246
28 62246
ค่าที่แท้จริงคือ
ในขณะที่รูปแบบทั้งสองของสูตรเวียนเกิดเทียบเท่ากันอย่างชัดเจน สูตรแรกมีการลบ 1 ด้วยจำนวนที่มีค่าใกล้เคียง 1 อย่างสุดขีด จนทำให้เกิดการตัดออกหมดขนานใหญ่ สังเกตว่าการเวียนเกิดซ้ำ ๆ จะให้ผลที่แม่นยำมากขึ้นในตอนแรก แต่ภายหลังก็ลดลง ไม่สามารถมีค่าที่แม่นยำมากกว่า 8 หลัก แม้จะใช้เลขคณิต 53 บิตที่สามารถจัดการกับความเที่ยงประมาณ 16 หลัก ในอีกทางหนึ่ง สูตรที่สองของการเวียนเกิดให้ผลลัพธ์ลู่เข้าที่แม่นยำถึง 15 หลัก
ซูแฌร์เดอแซงต์เดอนีส์
FLOPS
การปฏิบัติการจุดลอยตัวต่อวินาที
Hwarang segi
เจ้าอนันตวรฤทธิเดช
เจ้าอนันตวรฤทธิเดช ทรงเป็นเจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 62 และองค์ที่ 12 แห่งราชวงศ์ติ๋นมหาวงศ์ ทรงเป็นราชโอรสในสมเด็จเจ้าฟ้าอัตถวรปัญโญ เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 57 ชาวเมืองน่านเรียกพระนามโดยลำลองว่า เจ้ามหาชีวิต ทรงครองเมืองน่านระหว่างปี พ.ศ. 2395 - พ.ศ. 2435 และทรงเป็นเจ้าผู้ครองนครน่านที่ครองราชย์สมบัติเมืองนครน่าน ยาวนานที่สุดถึง 40 ปี
เจ้าอนันตวรฤทธิเดชฯ ทรงมีพระนามเดิมว่า เจ้าอนันตยศ ประสูติเมื่อปี พ.ศ. 2348 ทรงเป็นพระโอรสองค์โตในสมเด็จเจ้าฟ้าอัตถวรปัญโญ เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 57 ประสูติแต่แม่เจ้าขันแก้วราชเทวี (ชายาองค์ที่ 4) ราชธิดาในเจ้าฟ้าเมืองเชียงแขง ทรงมีพระขนิษฐาร่วมพระมารดา 1 พระองค์ คือ เจ้านางต่อมคำ
เจ้าอนันตยศ ได้รับพระกรุณาโปรดเกล้าฯ ตั้งขึ้นเป็น เจ้าพระพิไชยราชา เมืองน่าน ต่อมาได้รับพระกรุณาโปรดเกล้าฯ เลื่อนยศขึ้นเป็น เจ้าพระยารัตนหัวเมืองแก้ว เมืองน่าน ต่อมาได้รับพระกรุณาโปรดเกล้าฯ เลื่อนยศขึ้นเป็น เจ้าพระยาบุรีรัตน เมืองน่าน ต่อมาภายหลังจากที่พระเจ้ามหาวงศ์ เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 61 ถึงแก่พิราลัย เมื่อวันที่ 23 ตุลาคม พ.ศ. 2394 เจ้าบุรีรัตน์ (อนันตยศ) เจ้าบุรีรัตน์นครเมืองน่าน ผู้เป็นพระภาติยะในพระเจ้ามหาวงศ์ เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 61 จึงได้ขึ้นครองราชย์สมบัติเมืองนครน่าน (รอการแต่งตั้งจากสยาม) ต่อมาพระบาทสมเด็จพระจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว ทรงพระกรุณาโปรดเกล้าฯ เลื่อนยศขึ้นเป็น “เจ้าเมืองน่าน” ได้รับการเฉลิมพระนามว่า .. พระยามงคลวรยศ พระยานครน่าน .. ในวันที่ 14 พฤษภาคม พ.ศ. 2395 ต่อมาทรงได้รับพระกรุณาโปรดเกล้าฯ ยกวงศ์สกุลเจ้าเมืองน่านขึ้นเป็น "เจ้า" กันทั้งวงศ์สกุล พระยามงคลวรยศ เจ้าเมืองน่าน จึงได้รับพระกรุณาโปรดเกล้าฯ เลื่อนอิสริยยศขึ้นเป็น “เจ้านครเมืองน่าน” ได้รับการเฉลิมพระนามว่า .. เจ้าอนันตวรฤทธิเดช กุลเชฐมหันต์ ไชยนันทบุร มหาราชวงษาธิบดี เจ้านครเมืองน่าน .. ในวันที่ 7 เมษายน พ.ศ. 2400
เจ้าอนันตวรฤทธิเดชฯ เจ้านครเมืองน่าน ทรงดำรงพระอิสริยยศ ดังนี้
ราชโอรส ราชธิดา.
เจ้าอนัตวรฤทธิเดชฯ ทรงมีพระชายา , ชายา , หม่อม 12 องค์ และพระโอรสพระธิดา รวมทั้งสิ้น 31 พระองค์ (อยู่ในราชสกุล ณ น่าน สายที่ 2) มีรายพระนามตามลำดับ ดังนี้&lt;br&gt;
พระชายาที่ 1 แม่เจ้าสุนันทาอัครราชเทวี ประสูติพระโอรสพระธิดา 6 พระองค์ ดังนี้
พระชายาที่ 2 แม่เจ้าขอดแก้วอัครเทวี ประสูติพระโอรสพระธิดา 2 พระองค์ ดังนี้
พระชายาที่ 3 แม่เจ้าคำปิวราชเทวี ไม่มีประสูติกาล
พระชายาที่ 4 แม่เจ้าบัวเขียวเทวี (เชื้อสายเจ้านายเมืองแพร่) ประสูติพระธิดา 1 พระองค์ ดังนี้
พระชายาที่ 5 แม่เจ้าแว่นเทวี ประสูติพระโอรสพระธิดา 3 พระองค์ ดังนี้
พระชายาที่ 6 แม่เจ้าอัมราเทวี ประสูติพระโอรสพระธิดา 2 พระองค์ ดังนี้
พระชายาที่ 7 แม่เจ้าปาริกาเทวี (เชื้อสายเจ้านายเมืองเชียงของ) ประสูติพระโอรสพระธิดา 8 พระองค์ ดังนี้
พระชายาที่ 8 แม่เจ้าสุคันธาเทวี ประสูติพระโอรสพระธิดา 4 พระองค์ ดังนี้
พระชายาที่ 9 แม่เจ้าแว่นเทวี (เชื้อสายชาวไทลื้อเมืองเงิน หรือ เมืองกุสาวดี) ไม่มีประสูติกาล
หม่อมที่ 10 หม่อมแก้ว ชายา (หลานของพระยาหลวงมนตรี) ประสูติพระโอรสพระธิดา 2 พระองค์ ดังนี้
หม่อมที่ 11 หม่อมคำแปง ชายา ประสูติพระโอรสพระธิดา 2 พระองค์ ดังนี้
หม่อมที่ 12 บาทบริจาริกา ประสูติพระโอรส 1 พระองค์ ดังนี้
(1.) ด้านการถวายความจงรักภักดีต่อราชวงศ์จักรี.
เจ้าอนันตวรฤทธิเดชฯ เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 62 (ครองราชย์ 14 พฤษภาคม พ.ศ. 2395 - 28 พฤษภาคม พ.ศ. 2435) ได้เข้าเฝ้าทูลอองธุลีพระบาทถวายความจงรักภักดีต่อราชวงศ์จักรี ดังนี้
เจ้าอนันตวรฤทธิเดช เจ้านครเมืองน่าน เจ้านายบุตรหลานแสนเท้าพระยานครเมืองน่าน ลงวันที่ ๑๙ มกราคม ร.ศ. ๑๐๘ ความว่า เจ้าอนันตวรฤทธิเดช จัดได้นรมาต ๒ ยอด หนัก ๒ ชั่ง แต่งให้นายน้อยบรม นายน้อยบุญเลิศ นายหนานมหาวงษ์ แสนท้าวพระยาคุมลงมาทูลเกล้าฯ ถวาย กับขอนายบรมเป็นที่เจ้าบุรีรัตน แลเจ้าอนันตวรฤทธิเดช อายุได้ ๘๔ ปี เดินไปทางไกลหาได้ไม่ ขอรับพระราชทานแคร่ขึ้นไปขี่พอเปนเกียรติยศต่อไป
แล้วพระยาศรีสิงหเทพ นำนายน้อยบรม นายน้อยบุญเลิศ นายหนานมหาวงษ์ พระยาไชยราศ พระยาไชยศาล หลวงพรหมศาล เฝ้าทูลลอองธุลีพระบาท จำนวนคนนายไพร่ที่ลงมาครั้งนี้ ๕๐ คน
มีพระราชปฏิสัณฐาร ถึงเจ้าอนันตวรฤทธิเดช แลเจ้านายบุตรหลานแสนเท้าพระยา ซึ่งมาเฝ้าทูลลอองธุลีพระบาทครั้งนี้ทั่วกัน
(2.) ด้านการปกครองเมือง.
คุ้มหลวงพระเจ้านครน่านหรือ “หอคำเมืองน่าน”
หอคำคุ้มหลวงนครน่าน
ตรงใจกลางเมืองเป็นที่อยู่ของเจ้าผู้ครองนคร เรียกว่าคุ้มหลวงและหอคำ “ คุ้ม” ตรงกับภาษาไทยใต้เรียกว่า “ วัง” คุ้มหลวง ก็คือวังใหญ่นั่นเอง และ “ หอคำ” นั้นตรงกับภาษาไทยใต้เรียกว่า “ ตำหนักทอง” อันสร้างขึ้นไว้ในบริเวณคุ้มหลวงเป็นเครื่องประดับเกียรติยศของเจ้าผู้ครองนคร
บรรดาเมืองประเทศราชในลานนาไทยทั้งปวง ย่อมมีบริเวณที่คุ้มหลวงสำหรับเมือง ใครได้เป็นเจ้าเมืองจะเป็นโดยได้สืบทายาทหรือไม่ก็ตาม ย่อมย้ายจากบ้านเดิมไปอยู่ในคุ้มหลวง แต่ส่วนเหย้าเรือนในคุ้มหลวงนั้นแต่ก่อนสร้างเป็นเครื่องไม้ ถ้าเจ้าเมืองคนใหม่ไม่พอใจจะอยู่ร่วมเรือนกับเจ้าเมืองคนเก่าก็ย่อมจะให้ รื้อถอนเอาไปปลูกถวายวัด ( ยังปรากฏเป็นกุฏิวิหารของวัดที่เมืองน่านบางแห่ง ) แล้วสั่งกะเกณฑ์ให้สร้างเรือนขึ้นอยู่ตามชอบใจของตน ส่วนหอคำนั้น มิได้มีทุกเมืองประเทศราช เพราะหอคำหลวง เป็นเครื่องประดับพระเกียรติพิเศษ สำหรับตัวเจ้าผู้ครองนคร ต่อเจ้าผู้ครองเมืองคนใดได้รับเกียรติเศษสูงกว่าเจ้าผู้ครองเมืองโดยสามัญ ก็สร้างหอคำขึ้งเป็นที่อยู่เฉลิมพระเกียรติยศ
หอคำหลวงเมืองน่าน สร้างขึ้นระหว่างปี พ.ศ. 2399 - พ.ศ. 2400 ในสมัยของเจ้าอนันตวรฤทธิเดช กุลเชษฐมหันต์ ไชยนันทบุรมหาราชวงศาธิบดี เจ้านครเมืองน่าน ปรากฏในพงศาวดารเมืองน่าน ว่าเมื่อพระยาอนันตยศ ย้ายกลับมาตั้งอยู่ ที่เมืองเก่าแล้ว ต่อมาอีกปีหนึ่งคือปี พ.ศ. 2399 พระบาทสมเด็จพระจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว ทรงพระกรุณาโปรดเกล้าฯ ให้สถาปนาพระยาอนันตยศเลื่อนขึ้นเป็นเจ้าอนันตวรฤทธิเดช กุลเชษฐมหันต์ ไชยนันทบุรมหาราชวงศาธิบดี เจ้านครเมืองน่าน มีพระเกียรติยศสูงกว่าเจ้าเมืองน่านคนก่อนๆ ซึ่งเคยมียศเป็นแต่พระยา ฉะนั้นในปี พ.ศ. 2400 เจ้าอนันตวรฤทธิเดชจึงสร้างหอคำขึ้นและให้เปลี่ยนชื่อคุ้มหลวงว่า “ คุ้มแก้ว” เพื่อให้วิเศษเป็นตามลักษณะของหอคำ
หอคำหลวง ที่สร้างขึ้นในครั้งนั้น เป็นอาคารไม้สักผสมไม้ตะเคียน หลังคาเป็นทรงจั่ว มุงกระเบื้องไม้แป้นเกล็ด ประดับช่อฟ้าใบระกาและหางหงส์ ตามแบบศิลปะพื้นบ้านเมืองน่าน มีบันไดทางขึ้นสองด้าน มีกำแพงอิฐทั้งสี่ด้าน เป็นตัวเรือนรวมอยู่ในคุ้มแก้ว 7 หลัง โดยเฉพาะตัวเรือนที่เป็นหอคำมีห้องโถงใหญ่ นับว่าเป็นทำนองท้องพระโรงสำหรับเป็นที่ว่าราชการ
ต่อมาในปี พ.ศ. 2446 พระเจ้าสุริยพงษ์ผริตเดช พระเจ้าผู้ครองนครเมืองน่าน ได้โปรดให้รื้อลงและสร้างหอคำขึ้นใหม่ตามแบบสถาปัตยกรรมตะวันตกผสมล้านนา ซึ่งปัจจุบันคือพิพิธภัณฑสถานแห่งชาติน่าน สมุดภาพปักปันเขตแดน ร.ศ. 124 โดยกรมการปกครอง
--- อาณาจักรหลักคำ หรือ กฎหมายเมืองน่าน สร้างขึ้นและใช้ในปี พ.ศ. 2396 - พ.ศ. 2451 ลักษณะเป็นพับสา มีไม้ประกับสองด้าน จำนวน 1 เล่ม 61 หน้า มีขนาดความกว้าง 11.8 เซนติเมตร ยาว 36.5 เซนติเมตร และหนา 5 เซนติเมตร ต้นฉบับเป็นอักษรธรรมล้านนา ภาษาไทยยวน พิพิธภัณฑสถานแห่งชาติ น่าน ได้รับมอบจาก นางสุภาพ สองเมืองแก่น เมื่อวันที่ 14 สิงหาคม พ.ศ. 2530
--- อาณาจักรหลักคำ หรือ กฎหมายเมืองน่าน นอกจากจะมีความสำคัญในเมืองน่านเมื่อครั้งอดีตแล้ว ในปัจจุบันยังนับเป็นหลักฐานสำคัญทางประวัติศาสตร์ ที่มีคุณค่าความสำคัญจนได้รับการขึ้นทะเบียนเป็น "เอกสารมรดกความทรงจำแห่งโลก" ของประเทศไทย ส่วนท้องถิ่น เมื่อวันที่ 20 ธันวาคม พ.ศ. 2559
--- คำว่า "อาณาจักรหลักคำ" มีความหมายว่า "อาณาจักร" ในที่นี้หมายถึง "กฎหมาย" ดังปรากฏข้อความตอนหนึ่งในอาณาจักรหลักคำว่า "จึ่งได้หาเอาเจ้านายพี่น้องขัตติยราชวงสา ลูกหลานและท้าวพญาเสนาอามาตย์ ขึ้นเปิกสาพร้อมกันยังหน้าโรงไชย เจ้าพระยาหอหน้าเปิกสากันพิจารณา ด้วยจักตั้งพระราชอาณาจักรนั้นตกลงแล้ว” และในอีกนัยหนึ่ง กล่าวว่า "อาณา" เป็นคำบาลีตรงกับ "อาชญา" ซึ่งเป็นคำสันสกฤต แปลว่า อำนาจการปกครอง จักร แปลว่า ล้อ แว่นแคว้น รวมความแล้วจึงหมายถึง อำนาจปกครองของบ้านเมือง ส่วนคำว่า “หลักคำ” หมายถึง หลักอันมีค่าประดุจทองคำ คำว่า อาณาจักรหลักคำ จึงอาจหมายถึง “กฎหมายที่ใช้เป็นหลักในการปกครองบ้านเมืองอันมีคุณค่าประดุจดั่งทองคำ”
--- อาณาจักรหลักคำ หรือ กฎหมายเมืองน่าน ได้บัญญัติขึ้นเมื่อวันที่ 7 มกราคม พ.ศ. 2396 โดยเจ้าอนันตวรฤทธิเดชฯ เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 62 (14 พฤษภาคม พ.ศ. 2395 - 28 พฤษภาคม พ.ศ. 2435) กฎหมายฉบับนี้เป็นกฎหมายที่ใช้ปกครองเฉพาะในเมืองนครน่านและหัวเมืองต่างๆที่ขึ้นกับเมืองนครน่าน เหตุที่ต้องมีการออกกฎหมายได้มีการกล่าวไว้ในตอนต้นของกฎหมายอาณาจักรหลักคำว่า ".. บ้านเมืองในขณะนั้นเกิดความวุ่นวาย มีการลักขโมย การเล่นการพนัน ตลอดจนปัญหาต่างๆ ที่สร้างความเดือดร้อนแก่ผู้คนในเมือง เพื่อให้บ้านเมืองเป็นไปด้วยความสงบสุขและเป็นระเบียบเรียบร้อย จึงได้กำหนดกฎหมายฉบับนี้ขึ้นมา .. "โดยอาณาจักรหลักคำเป็นกฎหมายที่ใช้ปกครองภายในเมืองนครน่าน และเมืองต่างๆ ที่ขึ้นกับเมืองนครน่าน เรื่อยมาจนถึงปี พ.ศ. 2451 ในรัชสมัยเจ้าสุริยพงษ์ผริตเดชฯ เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 63 (21 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2436 - 5 เมษายน พ.ศ. 2461) ได้ประกาศให้ยกเลิกการใช้อาณาจักรหลักคำเป็นกฎหมายในการปกครองของเมืองนครน่าน และให้เปลี่ยนมาใช้กฎหมายลักษณะอาญา ร.ศ. ๑๒๗ ของกรุงรัตนโกสินทร์แทน เนื่องด้วยในขณะนั้นพระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว ทรงมีนโยบายในการรวมอำนาจเข้าสู่ศูนย์กลาง จึงทรงปฏิรูปการปกครองมณฑลพายัพและส่งข้าหลวงจากส่วนกลางมาเป็นส่วนหนึ่งของเค้าสนามหลวงประจำอยู่ที่เมืองนครน่าน
--- อาณาจักรหลักคำ มีลักษณะเป็นกฎหมายท้องถิ่น ซึ่งออกโดยเจ้าผู้ครองนครน่าน เจ้านายบุตรหลาน ขุนนาง และพ่อเมืองต่างๆ ร่วมกันออกตัวบทกฎหมายเพื่อใช้ภายในบ้านเมืองของตน โดยในการใช้กฎหมายนอกจากใช้ในเขตเมืองนครน่านโดยมีเค้าสนามหลวงดำเนินการแล้ว ยังมีการกระจายอำนาจให้กับหัวเมืองต่างๆ ที่อยู่ภายใต้การปกครองของเมืองนครน่านให้มีอำนาจตัดสินคดีความ แต่หากคดีนั้นพิจารณาในหัวเมืองน้อยแล้วยังไม่ยอมความ สามารถที่จะฟ้องร้องต่อเค้าสนามหลวงในเวียงเพื่อพิจารณาคดีใหม่ได้
--- ในส่วนของเนื้อหากฎหมายในอาณาจักรหลักคำ อาจแบ่งออกเป็น 2 ช่วง ได้แก่ กฎหมายในช่วงตอนต้นที่ออกในปี พ.ศ. 2395 และกฎหมายในช่วงตอนหลังที่ออกในปี พ.ศ. 2418
--- ปัจจุบัน อาณาจักรหลักคำ ซึ่งถูกจัดเก็บรักษาและจัดแสดงอยู่ที่พิพิธภัณฑสถานแห่งชาติ น่าน ได้มีโครงการศูนย์ส่งเสริมศิลปวัฒนธรรม มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ ซึ่งจัดทำโครงการอนุรักษ์คัมภีร์ใบลาน ได้บันทึกภาพอาณาจักรหลักคำไว้ในรูปไมโครฟิล์ม เมื่อวันที่ 20 สิงหาคม พ.ศ. 2532 และต่อมาจึงได้มีการปริวรรตโดยศาสตราจารย์เกียรติคุณ สรัสวดี อ๋องสกุล
ในปี พ.ศ. 2397 เจ้าอนันตวรฤทธิเดชฯ เจ้านครมืองน่าน ได้ย้ายเมืองน่าน จากดงพระเนตรช้างกลับมาอยู่ที่หัวเวียงใต้ หรือเมืองน่านในปัจจุบัน และให้ซ่อมกำแพงเมืองให้มั่นคง โดยสร้างเป็นกำแพงอิฐ สร้างเสร็จเมื่อปี พ.ศ. 2400 ตัวเมืองเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหันหน้าออกสู่แม่น้ำน่าน ตัวกำแพงก่ออิฐถือปูนประดับใบเสมา ตั้งอยู่บนเชิงเทิน ซุ้มประตูและป้อมเป็นทรงเรือนยอด กำแพงสูงประมาณ 6 เมตร เชิงเทินกว้าง 2.20 เมตร ใบเสมากว้าง 1 เมตร ยาว 0.90 เมตร สูง 1.20 เมตร ความสูงจากเชิงเทินถึงใบเสมาประมาณ 2 เมตร
ลักษณะของประตูเมืองทำเป็นซุ้มบานประตูเป็นไม้ หลังคาประตูเป็นทรงเรือนยอดสี่เหลี่ยมซ้อนกันสามชั้น มีป้อมอยู่เพียงสามป้อมอยู่ทางด้านตะวันออกเฉียงเหนือ และด้านตะวันตกเฉียงใต้ เป็นป้อมแปดเหลี่ยม หลังคาทรงเรือนยอดซ้อนกันสองชั้น หลังคาชั้นแรกเป็นทรงแปดเหลี่ยม ชั้นที่สองเป็นทรงสี่เหลี่ยม
(3.) ด้านศาสนา.
เจ้าอนันตวรฤทธิเดชฯ เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 62 พระองค์ทรงทำนุบำรุงพระพุทธศาสนาในพระอาณาจักรเมืองน่าน ทั้งการสร้างวิหาร วัด พระพุทธรูป รวมไปถึงการอุปถัมภ์การบูรณะปฏิสังขรณ์ วัดวาอาราม ต่างๆ ในพระอาณาจักรนครเมืองน่าน ดังนี้
นอกจากนี้ ยังได้สร้างธรรมนิทานชาดก และจารพระไตรปิฎกลงในคัมภีร์ใบลาน รวมได้ 335 คัมภีร์ นับเป็นผูกได้ 2,606 ผูก ได้นำไปมอบให้เมืองต่าง ๆ มีเมืองลำปาง เมืองลำพูน เมืองเชียงใหม่ เมืองพะเยา เมืองเชียงราย และเมืองหลวงพระบาง
การตั้งเมืองน่าน (ปัจจุบัน) เมื่อปี พ.ศ. 2400.
เมืองนครน่าน (ณ ปัจจุบัน) นับตั้งแต่ปี พ.ศ. 2400 จนถึงปัจจุบัน เจ้าผู้ครองนครน่านที่เสวยราชย์สมบัติอยู่ที่เวียงเหนือสืบกันมาได้ 36 ปี จนถึงปี พ.ศ. 2398 พระยาอนันตยศ เจ้าเมืองน่าน (ภายหลังได้รับการสถาปนาเลื่อนอิสริยยศขึ้นเป็น เจ้าอนันตวรฤทธิเดช เจ้านครเมืองน่าน คือพระบิดาในพระเจ้าสุริยพงศ์ผรติเดช และเจ้ามหาพรมสุรธาดา) จึงขอพระราชทานพระบรมราชานุญาตจาก รัชกาลที่ 4 ย้ายเมืองกลับมาตั้งอยู่ที่เวียงเก่า (เมืองน่าน ปัจจุบัน) และโปรดให้ย้ายมาเมื่อปี พ.ศ. 2400 และโปรดให้สร้างคุ้มหลวงหอคำเป็นที่ประทับของเจ้าผู้ครองนครน่าน สืบกันมาจนบัดนี้
ตัวเมืองน่าน ในปี พ.ศ. 2400