pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
: G’.E = G.E
: G’.w = -G.w
return shortestPathDAG(G’, Start, End);
ขั้นตอนวิธีดังกล่าวก็จะมีเวลาในการทำงานเท่ากับ
จึงได้เวลาในการทำงานรวม (กรณีใช้ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา) เป็น O(|G.E| log(|G.V|))
int LongestPathDAG(Graph G, Vertex Start, Vertex End){
topologicalSorting(G);
int distance[|G.V|] arrage by sorted G;
for each vertex u in topOrder of G.V
for each edge e in G.E point from u to v
if (distance(v) &lt; distance(u) + weight(e))
distance(v) = distance(u) + weight(e);
return max value element in distance
ประสิทธิภาพในการทำงานขอขั้นตอนวิธีนี้เกิดจาก
รวมเป็นเวลาในการทำงานทั้งหมด O(|G.V| + |G.E|)
จำนวนเฉพาะแมร์กแซน
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  หมายถึงฟังก์ชัน "e""x" เมื่อ "e" คือจำนวนที่ทำให้ฟังก์ชัน "e""x" เท่ากับอนุพันธ์ของมันเอง (ซึ่ง "e" มีค่าประมาณ 2.718281828) ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงตัวในตัวแปรอิสระ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนเดียวกันในตัวแปรตาม (เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราร้อยละ) ฟังก์ชันนี้มักเขียนเป็น exp("x") โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรอิสระเขียนเป็นตัวยกไม่ได้
กราฟของฟังก์ชัน "y" = "e""x" มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ "x" เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน "x" เสมอ แต่เมื่อ "x" เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน "x" ดังนั้นแกน "x" จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด "y" ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln("x") ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น "แอนติลอการิทึม" (antilogarithm)
ในบางกรณีคำว่า "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ "cb""x" เมื่อ "b" คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น "e" ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้
โดยทั่วไปตัวแปร "x" สามารถเป็นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน หรือแม้แต่วัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ต่างชนิดกันอย่างสิ้นเชิงก็ได้ ดูรายละเอียดที่ นิยามเชิงรูปนัย
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง และนำไปสู่จำนวน "e" ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
ต่อมา ค.ศ. 1697 โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ก็ได้ศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังกล่าว
ถ้ามีเงินต้นจำนวน 1 และได้รับดอกเบี้ยในอัตรารายปี "x" โดยทบต้นรายเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับต่อเดือนจึงเป็น "x"/12 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน แต่ละเดือนจึงมียอดรวมของเดือนก่อนหน้าคูณด้วย (1+"x"/12) ในที่สุดมูลค่าที่ได้เมื่อสิ้นปีจึงเท่ากับ (1+"x"/12)12 ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันแทน มูลค่าจะกลายเป็น (1+"x"/365)365 และถ้ากำหนดให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด จะนำไปสู่นิยามของลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังนี้
นิยามนี้กำหนดไว้โดยออยเลอร์ สิ่งนี้เป็นการอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังวิธีหนึ่ง ส่วนวิธีการอื่นจะเกี่ยวข้องกับอนุกรมและสมการเชิงอนุพันธ์
จากนิยามใด ๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามเอกลักษณ์การยกกำลังพื้นฐาน
จึงเป็นที่มาว่าเหตุใดฟังก์ชันเลขชี้กำลังจึงสามารถเขียนในรูปแบบ "e""x" ได้
อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra)
นิยามเชิงรูปนัย.
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง "e""x" สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะได้เทียบเท่ากันหลายวิธีการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามด้วยอนุกรมกำลังต่อไปนี้
การใช้นิยามวิธีอื่นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันเมื่อขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์
"e""x" อาจถูกนิยามให้เป็นคำตอบ "y" ของสมการนี้ ซึ่งเป็นรูปแบบที่พบได้น้อยกว่า
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็อาจหมายถึงลิมิตดังนี้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในตอนต้น
อนุพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์.
ความสำคัญหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เกิดจากสมบัติของอนุพันธ์ของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
นั่นคือ "e""x" เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง และเป็นตัวอย่างพื้นฐานอันหนึ่งของฟังก์ชันแบบพฟัฟฟ์ (Pfaffian function) ฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ "ce""x" ซึ่ง "c" เป็นค่าคงตัว เป็นฟังก์ชันกลุ่มเดียวที่มีสมบัติเช่นนี้ (จากทฤษฎีบทปิการ์-ลินเดเลิฟ (Picard–Lindelöf theorem)) หรือกล่าวให้เจาะจงได้ว่า กำหนดให้ "k" เป็นค่าคงตัวจำนวนจริงใด ๆ ฟังก์ชัน "f" : R→R จะสอดคล้องกับเงื่อนไข "f" ′ = "kf" ก็ต่อเมื่อ "f"("x") = "ce""kx" สำหรับค่าคงตัว "c" บางจำนวน การอธิบายด้วยวิธีอื่นที่ให้ผลเหมือนกันเช่น
โดยข้อเท็จจริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์หลายชนิดทำให้เกิดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รวมทั้งสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) สมการลาปลัส (Laplace's equation) และสมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (simple harmonic motion)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นคือ
ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จึงเป็นพหุคูณค่าคงตัวของอนุพันธ์ของตัวเอง
สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นที่มีค่าคงตัวประกอบในเลขชี้กำลัง
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับค่า "c" ทุกจำนวน แต่ผลลัพธ์ของอนุพันธ์เมื่อ "c" &lt; 0 จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน
ถ้าอัตราการเติบโตหรือเสื่อมสลายของตัวแปรได้สัดส่วนกับขนาดของตัวแปร เช่นการเติบโตของประชากรอย่างไม่จำกัด ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง หรือการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ตัวแปรนั้นจะสามารถเขียนในรูปแบบค่าคงตัวคูณด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังของเวลา
นอกเหนือจากนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ "f"("x") ชนิดใด ๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้
เศษส่วนต่อเนื่องของ "e""x".
เศษส่วนต่อเนื่องของ "e""x" สามารถนำมาจากเอกลักษณ์ข้อหนึ่งของออยเลอร์
เศษส่วนต่อเนื่องนัยทั่วไปของ "e"2"x"/"y" ต่อไปนี้ มีค่าลู่เข้าอย่างรวดเร็ว
สำหรับกรณีพิเศษเมื่อ "x" = "y" = 1 จะได้
ระนาบเชิงซ้อน.
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามบนระนาบเชิงซ้อนได้หลายรูปแบบเทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับกรณีของจำนวนจริง การนิยามเหล่านี้บางอย่างเหมือนสูตรต่าง ๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง หากกล่าวโดยเฉพาะเจาะจง เรายังสามารถใช้นิยามอนุกรมกำลังซึ่งค่าจริงถูกแทนที่ด้วยค่าเชิงซ้อน
จากการใช้นิยามนี้ทำให้ง่ายต่อการแสดงว่า formula_15 ยังคงเป็นจริงบนระนาบเชิงซ้อน
นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ formula_16 ส่วนแรก "e""x" จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม formula_17 ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้
เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่นิยามบนระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังยังคงมีสมบัติที่สำคัญดังนี้
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน "z" และ "w" ทุกจำนวน
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่ง เนื่องจากมันเป็นสาทิสสัณฐาน (holomorphic) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวนยกเว้นค่า 0 สิ่งนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทเล็กของปิการ์ (Picard's little theorem) ซึ่งกล่าวว่า ฟังก์ชันทั่วที่ไม่เป็นค่าคงตัวใด ๆ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน โดยอาจยกเว้นค่าใดค่าหนึ่ง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะเป็นคาบ (periodic) ซึ่งมีคาบบนจำนวนจินตภาพเป็น 2π"i" และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสูตร
เมื่อ "a" และ "b" เป็นค่าจริง (ดูเพิ่มที่สูตรของออยเลอร์) สูตรนี้เป็นตัวเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเข้ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเพอร์บอลิก ดังนั้นฟังก์ชันมูลฐาน (elementary function) ทั้งหมดยกเว้นพหุนาม เป็นผลมาจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง
การขยายแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติไปยังจำนวนเชิงซ้อน ทำให้ ln("z") เป็นฟังก์ชันหลายค่า (multi-valued function) การยกกำลังสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปมากขึ้นดังนี้
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน "z" และ "w" ทุกจำนวน การยกกำลังนี้จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าตามไปด้วย กฎการยกกำลังที่ระบุไว้ข้างต้นยังคงเป็นจริง ถ้าตีความว่าเป็นประโยคที่เกี่ยวกับฟังก์ชันหลายค่าอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามกฎการคูณเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงบวก ไม่สามารถใช้ได้ในบริบทของฟังก์ชันหลายค่า นั่นคือ
ดูเพิ่มที่ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมเกี่ยวกับปัญหาของการผสานรวมการยกกำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นการจับคู่ (map) เส้นตรงบนระนาบเชิงซ้อน ไปยังเส้นเวียนก้นหอยเชิงลอการิทึม (logarithmic spiral) บนระนาบเชิงซ้อนที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มีกรณีพิเศษสองกรณีได้แก่ เมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจริง เส้นเวียนก้นหอยจะไม่เวียนใกล้เข้ามาหาตัวเอง และเมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจินตภาพ เส้นเวียนก้นหอยจะกลายเป็นรูปวงกลมที่มีรัศมีขนาดหนึ่ง
การคำนวณ "a""b" เมื่อทั้ง "a" และ "b" เป็นจำนวนเชิงซ้อน.
การยกกำลังเชิงซ้อน "a""b" สามารถนิยามได้จากการแปลง "a" เป็นพิกัดเชิงขั้วและการใช้เอกลักษณ์ ("e"ln("a"))"b" = "a""b" นั่นคือ
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
เอกซ์โพเนนเชียล
เหตุเครื่องบินสโมสรฮอกกี้โลโคโมติฟยาโรสลัฟล์ตก พ.ศ. 2554
เหตุเครื่องบินสโมสรฮอกกี้โลโคโมติฟยาโรสลัฟล์ตก พ.ศ. 2554 เกิดขึ้นเมื่อวันที่ 7 กันยายน พ.ศ. 2554 เมื่อเวลา 16.02 น. ตามเวลาท้องถิ่น เมื่ออากาศยานโดยสารแบบยัค-42 ซึ่งบรรทุกผู้โดยสารทีมฮ็อกกีน้ำแข็งอาชีพ และเจ้าหน้าที่โค้ชของทีมโลโคโมติฟยาโรสลัฟล์แห่งคอนตีเนนทัลฮอกกี้ลีก (KHL) ตกใกล้กับยาโรสลัฟล์ ประเทศรัสเซีย ทีมกำลังออกเดินทางมุ่งหน้าไปยังมินสค์ ประเทศเบลารุส เพื่อเริ่มต้นแข่งขัน KHL ฤดูกาล 2011-12 ผู้เล่นทุกคนในรายชื่อทีมหลักและผู้เล่นสี่คนจากทีมสำรองอยู่บนอากาศยานลำนั้น ซึ่งชนเข้ากับเสาหอคอย และประสบอุบัติเหตุตกไม่นานหลังนำเครื่องขึ้น ราว 2.5 กิโลเมตรจากท่าอากาศยานตูโนชนา รายงานเบื้องต้นว่า ผู้โดยสารบนเครื่องทั้งหมด 45 คนได้รับยืนยันว่าเสียชีวิต ยกเว้นสองคน เป็นผู้เล่นหนึ่งคนและสมาชิกลูกเรือหนึ่งคน
อากาศยานลำที่เกิดอุบัติเหตุ ยาคอฟเลฟ ยัค-42ดี หมายเลขทะเบียน RA-42434 และหมายเลขการผลิต 4520424305017 บินครั้งแรกใน พ.ศ. 2536 และถูกส่งไปยังโอเรลแอร์เอ็นเทอร์ไพรซ์ หลังปฏิบัติงานกับบืยโคโว อะเวีย มันได้ถูกส่งไปปฏิบัติงานกับฝูงบินเอโร เรนท์ และต่อมาปฏิบัติงานโดยยัคเซอร์วิส ซึ่งเป็นผู้ให้บริการอากาศยานลำที่ประสบอุบัติเหตุ โอเลก พันเทเลเยฟ หัวหน้าฝ่ายวิเคราะห์ที่อาเวียพอร์ท ชี้ว่า ยัค-42 ได้รับการออกแบบมาให้มีอายุใช้งาน 36 ปี และเครื่องบินลำดังกล่าว ตามจำนวนชั่วโมงบิน จำนวนครั้งที่นำเครื่องขึ้นและลงจอด ยังมีอายุการใช้งานเหลืออยู่อีก 60% ตามข้อมูลของพันเทเลเยฟ ในการบินพลเรือน ไม่มีสิ่งที่เรียกว่า "อากาศยานลำเก่า" แต่พิจารณาความเหมาะสมในการใช้งาน (airworthiness) แทน ตามข้อมูลของรัฐมนตรีช่วยกระทรวงคมนาคม วาเลรี โอคูลอฟ เครื่องยนต์หนึ่งในสามของเครื่องบินถูกเปลี่ยนหนึ่งเดือนก่อนเกิดเหตุ อากาศยานลำดังกล่าวมีกำหนดจะถูกปลดระวางในปลาย พ.ศ. 2554 เพื่อยกเครื่องยนต์ครั้งใหญ่ตามกำหนด
ใน พ.ศ. 2552 ยัคเซอร์วิสถูกสอบสวนโดยคณะกรรมาธิการยุโรป หลังมีความกังวลด้านความเหมาะสมในการใช้งานและความปลอดภัยทางอากาศ ทางการรัสเซียออกข้อจำกัดต่อบริษัท และทำให้ยัคเซอร์วิสต้องได้รับการตรวจสอบเพื่อให้ได้มาตรฐานสากล ใน พ.ศ. 2553 ยัคเซอร์วิสถูกห้ามทำการบินเข้าไปในน่านฟ้ายุโรป กระทรวงคมนาคมรัสเซีย เมื่อวันที่ 18 พฤษภาคม ห้ามยัคเซอร์วิสมิให้บินเข้าไปในยุโรป วันที่ 11 สิงหาคม พ.ศ. 2553 ข้อจำกัดการทำการถูกยกเลิกโดยทางการรัสเซีย อย่างไรก็ดี คณะกรรมาธิการยุโรปยังไม่พอใจกับอุปกรณ์บังคับที่มีอยู่บนเครื่องบินยัคเซอร์วิสทุกลำ และห้ามเครื่องบินโดยสารขนาดเล็กยัค-40 สองลำ (หมายเลขทะเบียน RA-87648 และ RA-88308) มิให้ทำการบินในน่านฟ้ายุโรป
อากาศยานยัคเซอร์วิสติดหอบอกตำแหน่งซึ่งอยู่ห่าง 450 เมตรจากปลายรันเวย์ 05 ที่ท่าอากาศยานตูโนชนา ขณะกำลังนำเครื่องขึ้น โดยมีรายงานว่าอากาศยานลำดังกล่าวใช้พื้นที่รันเวย์มากเกินไปในการนำเครื่องขึ้นและไม่ได้รับความสูงที่จะนำเครื่องขึ้นอย่างเหมาะสม หลังชนเข้ากับเสาเรดาร์ของหอ เครื่องบินได้ชนเข้ากับฝั่งแม่น้ำตูโนชนา ห่างจากจุดที่ไหลไปรวมกับแม่น้ำวอลกา 200 เมตร โดยสูญเสียส่วนหางไปเมื่อชน ขณะที่ส่วนหน้าของเครื่องแตกเป็นชิ้น ๆ ที่จุดตก ส่วนหางยังอยู่ในน้ำ ขณะที่ชิ้นส่วนหน้าอยู่บนพื้นแห้ง ตำแหน่งของซากเครื่องบินอยู่ห่างจากปลายรันเวย์อย่างน้อย 2 กิโลเมตร
รายงานพยานระบุว่าเครื่องบิน "ระเบิดลุกเป็นไฟ" หลังชนเข้ากับเสาเรดาร์ ทิศทางของเครื่องบินเปลี่ยนหลังจากนั้น พยานอีกรายงานหนึ่งอธิบายว่า เครื่องยนต์ของเครื่องเงียบลงไม่กี่อึดใจก่อนเกิดอุบัติเหตุชน อีกรายงานหนึ่งว่า เครื่องบินชนกับต้นไม้บางต้นก่อนตก อีกรายงานหนึ่งว่า เครื่องบินแตกออกเป็นสองส่วนก่อนชน กล้องเฝ้าตรวจความปลอดภัยซึ่งติดตั้งไว้บนเสาเรดาร์บันทึกการพุ่งเข้าของอากาศยานด้วยความเร็ว วิ่งออกปลายรันเวย์ เหนือพื้นดินไม่กี่เมตร และจมูกเชิดขึ้นไม่กี่อึดใจก่อนชนกับเสาเรดาร์
ขั้นตอนวิธีของโกสรชุ
ขั้นตอนวิธีของโกสรชุ  หรือ ขั้นตอนวิธีของโกสรชุ-ชารีร์  เป็นขั้นตอนวิธีสำหรับใช้หา ส่วนประกอบที่เชื่อมกันแบบเข้ม ของกราฟระบุทิศทาง (directed graph) ขั้นตอนวิธีนี้ใช้ประโยชน์จากหลักความจริงที่ว่า (กราฟเดียวกันที่เส้นเชื่อมทุกเส้นกลับทิศทางจากของเดิม) จะมีส่วนประกอบที่เชื่อมกันแบบเข้ม อันเดียวกับกราฟนั้นๆ
ในปี พ.ศ. 2521 โกสรชุ  ศาสตราจารย์สาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์แห่งมหาวิทยาลัยจอนส์ฮอปกินส์ ชาวอินเดีย ได้เขียนเอกสารวิจัย เรื่องขั้นตอนวิธีการคำนวณหาส่วนประกอบที่เชื่อมกันแบบเข้มของกราฟระบุทิศทางอย่างมีประสิทธิภาพ ขั้นตอนวิธีนี้ภายหลังได้ถูกเรียกว่า ขั้นตอนวิธีของโกสรชุ-ชารีร์ แต่เอกสารวิจัยดังกล่าวไม่ได้ถูกตีพิมพ์ ต่อมาขั้นตอนวิธีนี้ถูกเผยแพร่โดยอัลเฟร็ด อาโฮ  จอห์น ฮอปครอฟ  และเจฟเฟรย์ อัลแมน
อัลกอรึทึมของโกสรชุ-ชารีร์ นั้นมีหลักการดังนี้
หากกราฟถูกเก็บข้อมูลในรูปแบบ เมื่อใช้อัลกอรึทึมของโกสรชุ-ชารีร์ จะเกิดการเดินทางเข้าไปในกราฟ 2 ครั้ง และการ reverse กราฟอีก 1 ครั้ง แต่เนื่องจากเราใช้ adjacency list เก็บข้อมูล เราจะสามารถสร้างกราฟ reverse ได้ขณะที่เดินทางเข้าไปในกราฟครั้งแรก ทำให้แท้จริงแล้วการเวลาการทำงานจะคำนวณจากการเดินทางเข้าไปในกราฟ 2 ครั้งเท่านั้น จึงพบว่าประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีนี้เท่ากับ Θ(V+E) (เส้นตรง) เมื่อ V แทนจำนวนจุดยอด และ E แทนจำนวนเส้นเชื่อม ซึ่งถือว่าประสิทธิภาพเป็น เพราะเวลาการทำงานนั้นตรงกับขอบเขตล่าง (lower bound) เพราะทุกๆ ขั้นตอนวิธีจะต้องตรวจสอบทุกจุดยอดกับเส้นเชื่อม ดังนั้นตามหลักการแล้วขั้นตอนวิธีนี้เป็นขั้นตอนวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพ แต่ในทางปฏิบัติจะมีประสิทธิภาพต่ำกว่าขั้นตอนวิธีของ Tarjan หรือขั้นตอนวิธีของ Gabow ที่สามารถหาส่วนประกอบที่เชื่อมกันแบบเข้มได้โดยเดินทางเข้าไปในกราฟเพียงแค่รอบเดียว
ถ้ากราฟถูกเก็บข้อมูลในรูปแบบ ขั้นตอนวิธีจะใช้เวลาทำงาน O(V2)
การพิสูจน์ขั้นตอนวิธีของโกสรชุ.
พิสูจน์ว่าขั้นตอนวิธีของโกสรชุนั้นใช้ได้จริง โดยพิสูจน์ว่าจุดยอด s และ t อยู่ในต้นไม้ค้นหาเชิงลึก (Depth-first search tree) ต้นเดียวกันในกราฟ G ก็ต่อเมื่อ s และ t นั้นอยู่ในส่วนประกอบที่เชื่อมกันแบบเข้มเดียวกัน
แสดงว่าเส้นเชื่อมใดๆ ระหว่างปมในต้นไม้ที่มี s กับปมในต้นไม้ที่มี t จะเป็นเส้นเชื่อมที่เชื่อมระหว่างต้นไม้ 2 ต้น เนื่องจากเส้นเชื่อมระหว่างต้นไม้สองต้นจะเดินทางไปได้ในทิศทางเดียวเท่านั้น จึงสรุปได้ว่า s และ t ไม่อยู่ในส่วนประกอบที่เชื่อมกันแบบเข้มเดียวกัน
กำหนดให้ r แทนรากของต้นไม้, G’ แทนทรานสโพสต์ของกราฟ G
วันการรู้หนังสือสากล
องค์การยูเนสโกประกาศเมื่อวันที่ 17 พฤษภาคม พ.ศ. 2509 ให้วันที่ 8 กันยายนของทุกปีเป็นวันการรู้หนังสือสากล วันดังกล่าวจัดขึ้นครั้งแรกใน พ.ศ. 2510 โดยมีเป้าหมายเพื่อเน้นความสำคัญของการรู้หนังสือแก่ปัจเจกชน ชุมชนและสังคม ในวันการรู้หนังสือสากลทุกปี ยูเนสโกย้ำเตือนประชาคมนานาชาติถึงสถานะการรู้หนังสือและการเรียนรู้ผู้ใหญ่ทั่วโลก การจัดวันดังกล่าวมีขึ้นทั่วโลก
ผู้ใหญ่ราว 776 ล้านคนทั่วโลกขาดทักษะการรู้หนังสือขั้นต่ำ และผู้ใหญ่หนึ่งในห้ายังอ่านไม่ออกเขียนไม่ได้ และสองในสามในจำนวนนี้เป็นหญิง เด็ก 75 ล้านคนต้องออกจากโรงเรียนและอีกมากกว่านั้นเข้าร่วมการศึกษานอกระบบหรือออกโรงเรียนก่อนวัย (drop out) 60.7 million children are out-of-school and many more attend irregularly or drop out.
ตาม "รายงานการเฝ้าดูทั่วโลกว่าด้วยการศึกษาสำหรับทุกคน (2551)" เอเชียใต้และเอเชียตะวันตกมีอัตราการรู้หนังสือของผู้ใหญ่ในภูมิภาคต่ำที่สุด (58.6%) ประเทศที่มีอัตราการรู้หนังสือต่ำที่สุดในโลกคือ ประเทศบูร์กินาฟาโซ (12.8%) รายงานดังกล่าวแสดงความเชื่อมโยงอันชัดเจนระหว่างอัตราการไม่รู้หนังสือกับประเทศที่ตกอยู่ในภาวะยากจนรุนแรง และระหว่างอัตราการไม่รู้หนังสือกับอคติต่อสตรี
ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอส
ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอส (, "ชาบิเอ โรเมโร-ฟริอัส", เกิดปี พ.ศ. 2497) เป็นนักเขียนและนักวิชาการสัญชาติสเปน ผู้เชี่ยวชาญทางด้านมานุษยวิทยาและด้านภาษา เคยพำนักอยู่ที่มัลดีฟส์มาเป็นเวลามากกว่า 13 ปี ปัจจุบันพำนักอยู่ที่กรุงเทพมหานคร
ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอส เริ่มต้นศึกษาเจาะลึกเรื่องคติชาวบ้านและประเพณีการพูดของชาวมัลดีฟส์ในปี พ.ศ. 2522 ช่วงที่ประเพณีมัลดีฟส์หายไปอย่างรวดเร็ว จากการเพิ่มขึ้นของลัทธิอิสลามนิยมและสมัยใหม่ เขาพูดภาษาท้องถิ่นมัลดีฟส์ได้คล่องสองภาษาและเข้าใจภาษาท้องถิ่นอื่นๆด้วย เขามีความรู้อย่างซึ้งเกี่ยวกับการเขียนภาษามัลดีฟส์และอารบิก ระหว่างที่เขาอยู่ที่นั่น ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอสให้ความสนใจเป็นพิเศษกับการรวบรวมประเพณีของมัลดีฟส์โดยการผูกมิตรกับผู้เฒ่าผู้แก่ของเกาะที่เขาไป ก่อนที่ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟิแอส จะทำงานนี้ มีงานเขียนเกี่ยวกับเรื่องราวและตำนานของมัลดีฟส์ เพียงไม่กี่เรื่องเท่านั้น
หลังการทำงานมาหลายปี ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอสได้ทำการแปลตำนานและเรื่องเล่าเกี่ยวกับผีบ้านและนิยายโบราณจากเกาะปะการังหลายเกาะของมัลดีฟส์ประมาณร้อยเรื่องเป็นภาษาอังกฤษได้สำเร็จ แต่ส่วนใหญ่มาจากทางตอนใต้ของมัลดีฟส์และจากมาเล เมืองหลวงของประเทศ หลังจากนี้ เขาได้พำนักในอินเดีย 12 ปี เพื่อศึกษาภาษาสันสกฤต และวิจัยต้นกำเนิดของมรดกทางวัฒนธรรมของมัลดีฟส์ ในช่วงเวลานั้นเขาได้ตีพิมพ์เอกสารอย่างแพร่หลายเกี่ยวกับการวิจัยเกี่ยวกับเอกลักษณ์สืบทอดจากบรรพบุรุษของมัลดีฟส์ ซึ่งไม่รวมถึงแค่ตำนานเท่านั้น แต่ยังรวมการทั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับศาสนาท้องถิ่น แบบวาดรูปเรือ และตัวอย่างศิลปะท้องถิ่น ในบรรดาประเพณีโบราณอื่นๆของมัลดีฟส์ บทสุดท้ายของหนังสืออธิบายถึงผลกระทบของอุดมการณ์ความคิดของอิสลามเกี่ยวกับวัฒนธรรมประเพณี ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอส ได้ปฏิบัติตามขั้นตอนของนักวิชาการชาวอังกฤษชื่อ เอช ซี พี เบลล์ ตามนักวิชาการชาวศรีลังกาที่ชื่อ โรฮาน กูนารัตนา ดร.โรแลนด์ ซิลวา ผู้อำนวยการกองโบราณคดีศาสตร์ของศรีลังกาในช่วงระหว่างปี 2526 และ 2535 ได้เปรียบเทียบงานชิ้นบุกเบิกของ ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอส กับงานของ เฮนรี่ พาร์คเกอร์ นักมานุษยวิทยาชาวอังกฤษ ที่รวบรวมนิยายพื้นบ้านของหมู่บ้านในประเทศศรีลังกาประมาณปี 2423
ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอส ได้รับเชิญจาก ศาสตราจารย์ วี สุดาร์ซาน หัวหน้าแผนกมานุษยวิทยาให้มาสอนที่มหาวิทยามัดราสในช่วงปีทศวรรษที่ 80 ในฐานะของศิลปิน เขาได้ยกตัวอย่างหนังสือสำหรับ อี ดี ซี (ศูนย์พัฒนาการศึกษา) ของกระทรวงศึกษาธิการ ในมาลี มัลดีฟส์ และระบายสีปลาในทะเลมัลดีฟส์ รวมทั้งตำนานของมัลดีฟส์ และการเดินเรือในสมัยก่อน มีการแสดงผลงานของฮาเวียร์ โรเมโร-ฟิแอส ภาพวาดในเวียนนา ประเทศออสเตรีย ในปี 2530 ในช่วงสามสิบปีที่ผ่ายมาเขาได้เขียนบทความและความเห็นมากมาย
ศาสนาพุทธในมัลดีฟส์.
การศึกษาของ ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอส เกี่ยวกับศาสนาพุทธในมัลดีฟส์ มีความสำคัญอย่างยิ่งกับความเข้าใจในประวัติศาสตร์และโบราณคดีของเอเชียใต้มหาสมุทรอินเดียยุคแรกเพียงพอ การศึกษานี้จัดทำขึ้นครั้งแรกโดยนักโบราณคดีชาวอังกฤษ เอช ซี พี เบลล์ ประมาณปี 2463 แต่ยังไม่เสร็จสมบูรณ์ และได้รับการดำเนินการต่อโดย ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอส ผู้ซึ่งทำแบบวาดและรูปภาพของพุทธสถานโบราณ และซากทางโบราณคดีในเกาะปะการังอื่น ยิ่งไปกว่านั้น เขาได้ค้นพบร่องรอยของมรดกทางพุทธศาสนาในตำนานของชาวมัลดีฟส์ และอธิบายไว้ในการพิมพ์หนังสือครั้งแรกของเขา
งานของเขาจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อทั้งชาวมัลดีฟส์ นักวิชาการด้านศาสนาพุทธ และต่อโลกวิชาการโดยทั่วไป เพื่อความเข้าใจในเบื้องหลังประวัติศาสตร์ของวัฒนธรรมของเกาะที่เป็นเอกภาพของมัลดีฟส์
อ้างคำพูด.
เกี่ยวกับความยากลำบากสำหรับชาวมัลดีฟส์ ที่จะรวบรวมความเป็นเอกลักษณ์ของชาติอย่างเต็มใจ ฮาเวียร์ โรเมโร-ฟริแอส สังเกตว่า “ในใจของชาวมัลดีฟส์มีเรื่องการต่อสู้อย่างชัดเจนระหว่างประเพณีที่สืบทอดกันมากับอุดมการณ์ของมุสลิม เนื่องจากความขัดแย้งนี้ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข จึงมีความรู้สึกทั่วไปของความผิดและความสับสนที่ไม่สามารถจะปรับเปลี่ยนมรดกทางวัฒนธรรมของบรรพบุรุษไปสู่รูปแบบอุดมการณ์ของอิสลามได้”
อัลกอริทึมของเบรนท์
อัลกอริทึมของ Kosaraju
อัลกอริทึม Kirkpatrick–Seidel
ระยะทางแฮมมิง
ในทางทฤษฎีข้อมูลแล้ว ระยะทางแฮมมิง  ระหว่าง 2 ข้อความที่มีความยาวเท่ากัน คือจำนวนตำแหน่งที่มีสัญลักษณ์หรืออักขระที่แตกต่างกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันคือจำนวนน้อยที่สุดที่ต้องใช้เพื่อเปลี่ยนจากข้อความหนึ่งไปเป็นอีกข้อความหนึ่ง หรือจำนวนตัวอักษรที่"คลาดเคลื่อน"ที่เปลี่ยนจากข้อความหนึ่งไปเป็นอีกข้อความหนึ่ง
ระยะทางแฮมมิงระหว่าง:
"ความรัก" กับ "ความสุข" คือ 3
1011101 กับ 1001001 คือ 2
2173596 กับ 2733996 คือ 3
คุณสมบัติพิเศษ.
ระยะทางแฮมมิง สำหรับเลขฐานสอง มักจะเห็นได้ชัดใน ลูกบาศก์แฮมมิง หรือ กราฟทรงลูกบาศก์ใดๆ เพราะว่าพิกัดใดๆ บนทรงลูกบาศก์ที่มีเส้นเชื่อมถึงกันจะมีระยะทางแฮมมิงเป็น 1 ทุกคู่
ระยะทางแฮมมิง ตั้งชื่อตาม ริชาร์ด แฮมมิง (Richard Hamming) ผู้ที่นำเสนอให้ใช้ระยะทางแฮมมิงในการตรวจสอบคำ ในคริสต์ทศวรรษ 1950 ระยะทางแฮมมิงได้ถูกใช้ในการสื่อสาร โดยการนับจำนวนเลขฐานสองที่มีความยาวคงที่ ที่มีหลักต่างไปเพื่อตรวจเช็คความผิดพลาด หรือเรียกว่า ระยะทางสัญญาณ (Signal distance) โดยการสื่อสารในระบบดิจิตอลโดยส่วนมากไม่ว่าจะเป็นภาคพื้นดินเช่นระบบโทรศัพท์มือถือจนถึงการสื่อสารผ่านดาวเทียมมีโอกาสที่ข้อมูลที่ส่งผ่านระบบส่อสารผิดพลาดจึงมีการนำ Error Control Coding มาใช้ในการสื่อสารด้วย เพื่อลดความผิดพลาดของการสื่อสาร โดยจากสื่อสาร Error Control Coding คือการเข้ารหัสสัญญาณ และการถอดรหัสสัญญาณ โดยวิธีการลดความผิดพลาดของการสื่อสารทำโดยการตรวจจับความผิดพลาด (Error Detection) หรือแก้ไขข้อมูลความผิดพลาด (Error Correction)ในช่องสัญญาณแต่ละประเภทจะมีความจุของช่องสัญญาณ (Channel Capacity) ที่ไม่เท่ากับคุณสมบัติของช่องสัญญาณกับรหัสมีความสัมพันธ์กันโดยที่ การเข้ารหัสที่ซับซ้อนจะทำให้ข้อมูลที่เข้ารหัสเปลี่ยนไปอยู่ในรูปข้อมูลที่มีขนาดใหญ่ขึ้น ทำให้โอกาสที่จะเกิดการผิดพลาดของข้อมูลสูงขึ้น น้ำหนักของแฮมมิงถูกใช้ในการวิเคราะห์ได้หลายอย่างโดยการนำมาต่อยอดจากทฤษฎี เช่นในทางด้านการออกแบบฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ จะใช้ระยะทางแฮมมิงในการลดเวลาในการเปลี่ยนขั้นการทำงานของฮาร์ดแวร์ ซอฟต์แวร์ ที่ใช้เช่นระบบ เอทีเอ็ม ซึ่งข้อมูลที่รับส่งในการสื่อสารต้องไม่มีการผิดพลาดเลย จึงมีการตรวจสอบว่าข้อมูลที่ได้รับผิดพลาดหรือไม่ และหารข้อมูลนั้นผิดพลาดสามารถแก้ไขได้หรือไม่ เป็นต้น
ตัวอย่างการเขียนโปรแกรมเพื่อตรวจสอบระยะทางแฮมมิง.
HammingDistance(A,B){
for (ทุกตัวอักษร) {
if (ตัวอักษรของ A ไม่เท่ากับ ตัวอักษรของ B){
นับค่า
return ตัวนับ
cin»N;
char a[N],b[N];
cin»a»b;
int sum=0;
for (int i=0;i&lt;N;i++)if(a[i]!=b[i])sum++;
cout«"Hamming distance is "«sum«"\n";
วิเคราะห์เวลาการทำงาน.
กำหนดให้ความยาวของตัวอักษรที่ต้องการตรวจสอบให้มีค่าเท่ากับ N และเนื่องจากการตรวจสอบจำเป็นต้องตรวจเช็คทุกตัวอักษร ตามตัวอย่างโปรแกรมข้างต้น โดยยึดจากบรรทัดคำสั่งที่ใช้บ่อยที่สุด ซึ่งในที่นี้คือบรรทัดที่อยู่ในวงวน ซึ่งทำงาน N รอบ เพราะฉะนั้นจะได้เวลาการทำงานไม่เกิน N หรือ O(N)
ระยะทางแฮมมิง เกิดจากข้อความสองข้อความที่มีความยาวเท่ากัน ซึ่งระยะทางแฮมมิง คือจำนวนตัวอักษรที่แตกต่างกัน จากความหมายนี้เองทำให้เกิดการนำไปประยุกต์ใช้ในการเช็คคำผิดในการส่งข้อความหรือค้นหาข้อความ ลดเวลาการทำงานของฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ ซึ่งเกิดประโยชน์ในการพัฒนาทางด้านคอมพิวเตอร์และการสื่อสารเป็นอย่างมาก
อักซาน่า
การค้นหาแบบสองทิศทาง
การค้นหาแบบสองทิศทาง  คือวิธีหนึ่งที่ใช้สำหรับการค้นหาข้อมูลภายในกราฟระบุทิศทาง โดยมีจุดประสงค์เป็นการหาวิถีสั้นสุดจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุดบนกราฟ หลักการค้นหาที่เป็นเอกลักษณ์ของวิธีการนี้ก็คือเราจะทำการค้นหาจากจุดเริ่มไปยังจุดสิ้นสุดและจากจุดสิ้นสุดกลับมายังจุดเริ่มต้นไปพร้อมๆกัน และเมื่อการค้นหามาบรรจบพร้อมกันที่จุดๆหนึ่งระหว่างกลางก็จะถือเป็นอันสิ้นสุด นอกจากนี้การค้นหาแบบสองทิศทางนี้ยังสามารถนำเอาไปประยุกต์รวมเข้ากับการค้นหาแบบอื่นๆเพื่อให้ได้ประสิทธิภาพที่ดียิ่งขึ้นได้ ตัวอย่างของวิธีการค้นหาที่สามารถนำเอามาประยุกต์กับการค้นหาแบบสองทิศทางเช่น การค้นตามแนวกว้าง, การค้นแบบดีที่สุด, ขั้นตอนวิธีเอสตาร์เป็นต้น ทั้งนี้ก็เพื่อที่จะเพิ่มประสิทธิภาพในการค้นหาให้ดีที่สุดนั่นเอง
การค้นหาแบบสองทิศทางนั้นโดยนิยามแล้วก็คือขั้นตอนวิธีที่ใช้หลักการซึ่งคล้ายกับขั้นตอนวิธีแบ่งแยกเพื่อเอาชนะ(อังกฤษ: Divide and conquer)ในกรณีที่เราทราบตำแหน่งของเป้าหมายที่จะค้นหาแล้ว แทนที่จะค่อยๆเริ่มจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดปลายเราจะทำการค้นหาจากจุดปลายย้อนกลับมาหาจุดเริ่มต้นไปพร้อมๆกันแทน ด้วยวิธีนี้ความเร็วในการค้นหาของแต่ละเส้นทางจะอยู่ที O (bd/2) เมื่อ formula_1 คือจำนวนการแตกกิ่งก้าน  และ formula_2 คือระยะทางทั้งหมดจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด ซึ่งเมื่อนำระยะเวลาการค้นหามารวมกันแล้วก็ยังถือว่าได้ลดเวลาในการค้นหาลงไปอย่างมากหากเทียบกับการค้นหาแบบปกติ O (bd)
อย่างไรก็ตามแม้ว่าวิธีการนี้จะดูเหมือนว่าสามารถที่จะลดเวลาการค้นหาไปได้อย่างมากก็ตาม ข้อเสียของมันก็ยังมีอยู่หลายข้อด้วยกันคือ
ด้วยสาเหตุทั้งปวงที่กล่าวมาทำให้การนำเอาวิธีการค้นหาแบบสองทิศทางไปใช้งานจริงนั้นจึงยุ่งยากพอสมควร
Ira Pohlคือบุคคลแรกที่ออกแบบและนำเอาการค้นหาแบบสองทิศทางมาใช้ในปีค.ศ.1971 เริ่มแรกนั้นขั้นตอนวิธีดังกล่าวไม่มีประสิทธิภาพมากนักคือการค้นหาจากสองทางมักจะพลาดไม่ได้มาบรรจบกันทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด ต่อมาในปีค.ศ.1983 Des Champeaux ได้ออกแบบขั้นตอนวิธีใหม่เพื่อเข้ามาใช้แก้ปัญหาดังกล่าวด้วยวิธีแบบBHFFA(Bidirectional heuristic front to front algorithm)แต่ก็ทำให้เกิดปัญหาในเรื่องพื้นที่หน่วยความจำ ต่อมาในปีค.ศ.1984 PohlและPolitowiskyได้นำเสนอทางออกอีกแบบที่เขาเรียกว่า D-node retargetingขึ้นมาซึ่งสามารถช่วยแก้ปัญหาที่มีมาแต่เดิมรวมถึงเรื่องของหน่วยความจำได้อย่างมีประสิทธิภาพกว่าเก่า
หลังจากนั้นวิธีการค้นหาแบบสองทิศทางก็ได้ผ่านการปรับปรุงเรื่อยมาอีกหลายครั้งจนถึงล่าสุดคือปีค.ศ.2009โดยWimและHenk ซึ่งได้คิดค้นออกแบบการค้นหาแบบสองทิศทางของเอสตาร์ที่ได้รับการปรังปรุงให้ค้นหาได้อย่างมีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น
จากกราฟด้านบนเราจะสามารถมองเห็นการทำงานคร่าวๆได้โดย หากเราสมมติให้ วงกลมแต่ละวงคือปมของกราฟโดยที่แต่ละปมจะเก็บค่าตำแหน่งของปมนั้นๆเอาไว้ เส้นเชื่อมที่หนาจะหมายถึงค่าใช้จ่ายที่มากกว่าในการเดินทางผ่าน ส่วนปมที่ถูกทาด้วยสีฟ้าจะหมายถึงเป็นปมที่ถูกเลือกและปมสีแดงคือจุดที่คาดว่าการค้นหาจากสองทิศทางมาบรรจบกัน เส้นประใช้แสดงขอบเขตของการค้นหาแยกแต่ละฝั่งเอาไว้
ในแง่ของการนำเอาไปใช้งานจริงนั้น การค้นหาแบบสองทิศทางมักจะถูกนำไปรวมเข้ากับขั้นตอนวิธีแบบอื่นเสียมากกว่า ทั้งนี้ก็เพื่อที่จะให้ได้ผลลัพธ์ออกมาตามแต่ที่ต้องการ
ขั้นตอนวิธีสามารถแสดงโดยสังเขปด้วยรหัสเทียมได้ดังนี้
อัญชลี ศิระฉายา
เทศบาลเมืองวังสะพุง