pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
ค่า MCHC จะต่ำในโลหิตจางชนิดเม็ดเลือดขนาดเล็ก (microcytic anemia) และมีค่าปกติใน โลหิตจางชนิดเม็ดเลือดขนาดใหญ่ (macrocytic anemia) เนื่องจากเซลล์ที่มีขนาดใหญ่ ปริมาณของฮีโมโกลบินหรือ MCH จะสูง ดังนั้น ความเข้มข้นจึงดูปกติ ค่า MCHC จะสูงใน hereditary spherocytosis, sickle cell disease และ homozygous hemoglobin C disease
ค่า MCHC สามารถใช้เป็นแนวทางอย่างคร่าว ๆ ในการดูสีของเม็ดเลือดแดง เช่น สีจาง คือ ต่ำกว่าปกติ
Complications with cold agglutinin.
เมื่อเราใช้เครื่องอัตโนมัติในการคำนวณค่า MCHC เราสามารถพบค่า MCHC ที่สูงมาก (มากกว่า 370 g/L) ได้เมื่อเกิดภาวะ cold agglutinin ซึ่งเป็นภาวะที่เลือดจะเกาะกลุ่มกันเมื่ออุณหภูมิต่ำกว่า 37°C เครื่องอัตโนมัติจึงอาจคำนวณว่ามีจำนวนเซลล์ที่ต่ำกว่าความเป็นจริง ดังนั้น เราควรทำให้อุณหภูมิของเลือดอยู่ในภาวะที่ทำให้เซลล์แยกออกจากกันก่อนที่จะนำเข้าไปในเครื่องอัตโนมัติ
เมื่อใช้เครื่องอัตโนมัติในการคำนวณและพบว่าค่า MCHC มีค่าสูงมากกว่า 370 g/L หรือ 37.0 g/dL ควรปฏิบัติดังนี้
Mean corpuscular hemoglobin concentration
สมเด็จพระราชินีนูร์แห่งจอร์แดน
สมเด็จพระราชินีนูร์ อัลฮุซัยน์ (; เดิม: ลิซ่า นาจีบ ฮัลลาบี (; พระราชสมภพ 23 สิงหาคม พ.ศ. 2494 ณ กรุงวอชิงตัน ดี.ซี. ประเทศสหรัฐอเมริกา) เป็นพระมเหสีหม้ายในสมเด็จพระราชาธิบดีฮุซัยน์แห่งจอร์แดน ทรงเป็นพระอัครมเหสีพระองค์ที่สี่และพระบรมราชินีในช่วงระหว่างปีพ.ศ. 2521 จนถึงปีพ.ศ. 2542
สมเด็จพระราชินีนูร์ได้ทรงปฏิบัติพระราชกรณียกิจด้วยการริเริ่มประเด็นด้านสิทธิมนุษยชน การศึกษาและการพัฒนาเศรษฐกิจอย่างยั่งยืน ทรงเป็นองค์ประธานในขบวนการสหวิทยาลัยโลก ทั้งยังทรงเป็นผู้นำที่ร่วมก่อตั้งองค์กร Global Zero ที่เรียกร้องการขจัดอาวุธนิวเคลียร์ให้หมดไปจากโลก ทรงเป็นกรรมการสถาบันแอสเพนและผู้อพยพสากล รวมไปถึงมูลนิธินูร์อัลฮุซัยน์ ที่ทรงจัดตั้งขึ้นเพื่อให้การช่วยเหลือด้านสิทธิมนุษยชนของสตรีจอร์แดน
พระชนพ์ชีพช่วงต้นและพื้นฐานครอบครัว.
สมเด็จพระราชินีนูร์แห่งจอร์แดน เสด็จพระราชสมภพเมื่อวันที่ 23 สิงหาคม พ.ศ. 2494 ณ กรุงวอชิงตัน ดี.ซี. ประเทศสหรัฐอเมริกา ในครอบครัวชาวซีเรีย อเมริกัน มีพระนามเดิมว่า ลิซ่า นาจีบ ฮัลลาบี เป็นธิดาของนายนาจีบ ฮัลลาบีกับนางดอริส คาร์ลควิสต์ ภรรยาชาวอเมริกันสวีเดน แต่ตัวพระองค์เองทรงเชื่อว่ามีเชื้อสาย อังกฤษ-สกอตแลนด์หรือ ไอริช พระชนกของพระองค์เป็นนักบินทดสอบของกองทัพเรือสหรัฐ ผู้บริหารสายการบินและข้าราชการ เขาทำหน้าที่เป็นผู้ช่วยรัฐมนตรีว่าการกระทรวงกลาโหมสหรัฐฯในการบริหารทรูแมน ก่อนที่จะได้รับการแต่งตั้งจากประธานาธิบดีสหรัฐฯ จอหน์ เอฟ. เคนเนดี้ ให้เป็นหัวหน้าฝ่ายบริหารการบินแห่งชาติ นอกจากนี้ นายนาจีบ ฮัลลาบียังมีอาชีพภาคเอกชนโดยทำหน้าที่เป็นผู้บริหารของสายการบินแพนอเมริกันเวิลด์แอร์เวย์ ตั้งแต่ปีพ.ศ. 2512 จนถึงปีพ.ศ. 2515
ครอบครัวฮัลลาบีมีบุตร – ธิดาทั้งหมดสามคน ได้แก่
ลิซ่า บุตรสาวคนโต (ต่อมาคือสมเด็จพระราชินีนูร์แห่งจอร์แดน)
คริสเตียน บุตรชายคนกลาง
อเล็กซ์ซ่า บุตรสาวคนเล็ก
พระชนกและพระชนนีได้หย่าร้างกันในปีพ.ศ. 2520
นายนาจีบ อีเลียส ฮัลลาบี พระอัยกาของสมเด็จพระราชินีนูร์ เป็นผู้อพยพชาวเลบานอน ซีเรียที่อพยพมาจากประเทศเลบานอน เขาเป็นนายหน้าซื้อขายปิโตรเลียมตามบันทึกการสำรวจสำมะโนประชากรปีพ.ศ. 2463
พ่อค้านามว่า สแตนเลย์ มาร์คัส จำได้ว่าในช่วงกลางทศวรรษปีพ.ศ. 2463 นายฮัลลาบีได้เปิดร้านชื่อว่าฮัลลาบีแกลเลอรี่ ร้านขายพรมและของตกแต่งภายในที่ Neiman Marcus ในแดลลัส เท็กซัส และได้ดำเนินกิจการร่วมกันกับลอร่า วิลกินส์ ภรรยาชาวเท็กซัสของเขา
นายนาจีบ อีเลียส ฮัลลาบีเสียชีวิตหลังจากนั้นไม่นานและที่ดินของเขาไม่สามารถดำเนินธุรกิจใหม่ได้
พระองค์ทรงเข้าเรียนที่โรงเรียนในนิวยอร์กและแคลิฟอร์เนีย ก่อนทรงเข้าศึกษาต่อที่โรงเรียนมหาวิหารแห่งชาติจากเกรดสี่ถึงเกรดแปด ทรงเข้าเรียนที่โรงเรียน Chapin ในนครนิวยอร์กเป็นเวลาสองปี จากนั้นทรงสำเร็จการศึกษาจาก คองคอร์ด อะคาเดมี่ โรงเรียนมัธยมในคองคอร์ด แมสซาชูเซตส์ ต่อมาทรงเข้าเรียนที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันด้วยชั้นปีแรกในสหศึกษาและได้รับปริญญาตรีด้านสถาปัตยกรรมและการวางผังเมืองในปีพ.ศ. 2517
หลังจากที่พระองค์ทรงสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน พระองค์ได้ทรงย้ายไปที่ออสเตรเลียและทรงทำงานให้กับบริษัทที่เชี่ยวชาญในการวางแผนผังเมืองใหม่ด้วยความสนใจเป็นอย่างมากในตะวันออกกลาง หลังจากผ่านไปหนึ่งปี ในปีพ.ศ. 2518 พระองค์ทรงยอมรับข้อเสนองานจาก เวลีน เดวีส์ บริษัทสถาปัตยกรรมและการวางแผนของอังกฤษ ซึ่งได้รับการว่าจ้างให้ออกแบบแบบจำลองเมืองหลวงในกรุงเตหะราน ประเทศอิหร่าน เมื่อมีการเพิ่มความไม่มีเสถียรภาพทางการเมือง ทำให้บริษัทต้องย้ายถิ่นฐานไปยังสหราชอาณาจักร พระองค์จึงทรงเดินทางไปยังโลกอาหรับและตัดสินใจสมัครเรียนวารสารศาสตร์บัณฑิตของมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย ในขณะที่ทรงทำงานวิจัยสิ่งอำนวยความสะดวกด้านการบินชั่วคราวในอัมมาน พระองค์ได้ทรงออกจากอาหรับแอร์ และทรงรับงานกับอาลียาแอร์ไลน์ เพื่อเป็นผู้อำนวยการฝ่ายวางแผนและออกแบบสิ่งอำนวยความสะดวก
พระองค์ทรงเป็นพระสหายกับสมเด็จพระราชาธิบดีฮุซัยน์แห่งจอร์แดน ในขณะที่สมเด็จพระราชาธิบดียังทรงโทมนัสต่อการสวรรคตของสมเด็จพระราชินีอาลียา พระอัครมเหสีของพระองค์จากอุบัติเหตุเฮลิคอปเตอร์พระที่นั่งตก เมื่อปีพ.ศ. 2520 มิตรภาพระหว่างพระองค์และพระราชสวามีได้เริ่มพัฒนามากยิ่งขึ้นและทรงหมั้นในปีพ.ศ. 2521
ทรงเข้าพระราชพิธีราชาภิเษกสมรสกับสมเด็จพระราชาธิบดีฮุซัยน์แห่งจอร์แดน เมื่อวันที่ 15 มิถุนายน พ.ศ. 2521 ณ กรุงอัมมาน และทรงได้รับการสถาปนาให้ขึ้นดำรงพระอิสริยยศ สมเด็จพระราชินีแห่งจอร์แดน
พระองค์ได้เข้ารีตศาสนาอิสลามตามพระราชสวามีก่อนอภิเษกสมรส ทรงเปลี่ยนพระนามจากเดิม ลิซ่า ฮัลลาบี เป็นพระนาม "นูร์ อัลฮุซัยน์" (แสงสว่างของฮุซัยน์) พระราชพิธีราชาภิเษกสมรสเป็นพระราชพิธีแบบดั้งเดิมของชาวมุสลิม การเปลี่ยนมานับถือศาสนาอิสลามและการอภิเษกสมรสกับกษัตริย์แห่งจอร์แดนของพระองค์ได้รับการรายงานข่าวอย่างกว้างขวางในสื่อตะวันตก หลายคนคิดว่าพระองค์จะทรงถูกมองว่าเป็นคนแปลกหน้าในประเทศเพราะพระองค์ทรงเป็นคนอเมริกันเชื้อสายยุโรปส่วนใหญ่ที่ถูกเลี้ยงดูในศาสนาคริสต์ อย่างไรก็ตาม เนื่องด้วยพระอัยกาเชื้อสายซีเรียของพระองค์ ทำให้พระองค์ทรงได้รับการพิจารณาจากประชากรส่วนใหญ่ว่าเป็นชาวอาหรับที่ได้เดินทางกลับบ้านมากกว่าชาวต่างชาติ ในไม่นานพระองค์ทรงมีอำนาจและอิทธิพลจากการใช้บทบาทของพระองค์ในฐานะที่ทรงเป็นพระอัครมเหสีในสมเด็จพระราชาธิบดีฮุซัยน์ และการศึกษาของพระองค์ในการวางผังเมืองสำหรับการปฏิบัติพระราชกรณียกิจทางการกุศลและการปรับปรุงเศรษฐกิจของประเทศเช่นเดียวกับการเสริมสร้างศักยภาพของสตรีในชีวิตทางเศรษฐกิจของจอร์แดน
พระราชสันตติวงศ์.
สมเด็จพระราชินีนูร์และสมเด็จพระราชาธิบดีฮุซัยน์แห่งจอร์แดน มีพระราชบุตรและพระราชธิดาสี่พระองค์
เจ้าชายฮัมซา (ประสูติเมื่อวันที่ 29 มีนาคม พ.ศ. 2523 ณ กรุงอัมมาน) ทรงเป็นมกุฎราชกุมารแห่งจอร์แดนตั้งแต่ปีพ.ศ. 2542 ถึง พ.ศ. 2547 มีพระธิดาห้าพระองค์และพระโอรสหนึ่งพระองค์
เจ้าชายฮาชิม (ประสูติเมื่อวันที่ 10 มิถุนายน พ.ศ. 2524 ณ กรุงอัมมาน) มีพระธิดาสามพระองค์และพระโอรสสองพระองค์
เจ้าหญิงอิมาน (ประสูติเมื่อวันที่ 24 เมษายน พ.ศ. 2526 ณ กรุงอัมมาน) มีพระโอรสหนึ่งพระองค์
เจ้าหญิงไรยา (ประสูติเมื่อวันที่ 9 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2529 ณ กรุงอัมมาน)
สมเด็จพระราชินีนูร์ ในสมเด็จพระราชาธิบดีฮุซัยน์แห่งจอร์แดน.
หลังการสวรรคตของพระราชสวามี.
สมเด็จพระราชาธิบดีฮุซัยน์แห่งจอร์แดน เสด็จสวรรคตเมื่อวันที่ 7 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2542 ด้วยพระโรคมะเร็งต่อมน้ำเหลือง พระราชโอรสพระองค์แรกของพระองค์กับเจ้าหญิงมูนา อัลฮุซัยน์ อดีตพระราชชายา เจ้าชายอับดุลลอฮ์ มกุฎราชกุมารแห่งจอร์แดนเสด็จขึ้นเถลิงถวัลยราชสมบัติเป็นสมเด็จพระราชาธิบดีแห่งจอร์แดน และได้ทรงสถาปนาเจ้าชายฮัมซาขึ้นเป็นพระรัชทายาท ทว่าในปีพ.ศ. 2547 เจ้าชายฮัมซาทรงถูกถอดพระราชอิสริยยศโดยมิได้ทรงคาดคิด เนื่องด้วยสมเด็จพระราชาธิบดีอับดุลลอฮ์ที่ 2 มีพระราชประสงค์ที่จะทรงสถาปนาเจ้าชายฮุซัยน์ พระราชโอรสพระองค์ใหญ่ของพระองค์ขึ้นแทน ในวันที่ 2 กรกฎาคม พ.ศ. 2552
ช่วงปลายพระชนม์ชีพ.
สมเด็จพระราชินีนูร์มิเพียงประทับในประเทศจอร์แดนเพียงเท่านั้น พระองค์ได้เสด็จพระราชดำเนินไปประทับพัก ณ กรุงวอชิงตัน ดี.ซี.และสหราชอาณาจักร ตามแต่พระราชประสงค์ พระองค์ยังคงปฏิบัติพระราชกรณียกิจในนามขององค์กรระหว่างประเทศ ทรงรับสั่งได้ทั้งภาษาอาหรับ ภาษาอังกฤษและภาษาฝรั่งเศส นอกจากนี้ สมเด็จพระราชินียังทรงโปรดการเล่นสกี สกีน้ำ เทนนิส การทรงเรือใบ การทรงม้า การทรงพระอักษร การทำสวนและการฉายพระรูป
• ลิซ่า นาจีบ ฮัลลาบี (23 สิงหาคม พ.ศ. 2494 – 15 มิถุนายน พ.ศ. 2521)
• "เฮอร์มาเจสตี้" สมเด็จพระราชินีแห่งจอร์แดน (15 มิถุนายน พ.ศ. 2521 – 7 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2542)
• "เฮอร์มาเจสตี้" สมเด็จพระราชินีนูร์ ในสมเด็จพระราชาธิบดีฮุซัยน์แห่งจอร์แดน (7 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2542 – ปัจจุบัน)
ตะแกรงกำลังสอง
ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสอง  เป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีในการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มให้อยู่ในรูปของผลคูณของเลขยกกำลังของจำนวนเฉพาะซึ่งยังเป็นสิ่งที่น่าสนใจเนื่องจากมีการนำไปใช้ในการเข้ารหัส (โดยถ้าใช้บางขั้นตอนวิธีอาจจะต้องใช้เวลามากกว่าอายุของจักรวาลเสียอีก) Carl Pomerance เป็นผู้ค้นพบขั้นตอนวิธีนี้ในปี ค.ศ. 1981 จากการปรับขั้นตอนวิธีตะแกรงเชิงเส้นของชโรโพล (Schroeppel's linear sieve) ซึ่งใช้ในการแก้ปัญหาเดียวกัน โดยเป็นขั้นตอนวิธีที่สามารถแยกตัวประกอบได้เร็วที่สุดสำหรับจำนวนเต็มที่มีจำนวนหลักน้อยกว่าเท่ากับ 100 หลัก แต่ในกรณีถัวเฉลี่ยของจำนวนเต็มใดๆ นั้นจะพบว่า ขั้นตอนวิธีดังกล่าวเป็นขั้นตอนวิธีที่สามารถแยกตัวประกอบได้เร็วเป็นอันดับสองรองจากตะแกรงของเขตข้อมูลจำนวนเต็มทั่วไป (general number field sieve) ซึ่งจะพบว่าขั้นตอนวิธีแบบตะแกรงกำลังสองนั้นสามารถเข้าใจได้ง่าย เวลาที่ใช้ในการคำนวณนั้นขึ้นอยู่กับขนาดของจำนวนเต็มที่จะนำมาแยกตัวประกอบ โดยไม่ขึ้นกับโครงสร้างและคุณสมบัติของตัวเลขมากนัก
จากดังกล่าวจะพบว่าขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองนั้นเป็นขั้นตอนวิธีที่พยายามใช้พื้นฐานของขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น (congruence of squares mod "n") ซึ่งขั้นตอนวิธีดังกล่าวได้ถูกนำไปในใช้ในการแก้ปัญหาการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มหลากหลายขั้นตอนวิธี รวมถึงขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองเอง โดยเราจะพิจารณาแบ่งขั้นตอนวิธีนี้ออกเป็นสองส่วนคือ การเก็บสะสมข้อมูล ("data collection") ซึ่งจะเก็บข้อมูลที่มีโอกาสทำให้เกิดการคอนกรูเอ็นกำลังสองเพื่อเตรียมไปประมวลผล หลังจากนั้นพิจารณาทำให้ส่วนที่สองที่เป็นการนำข้อมูลมาประมวลผล ("data processing") ซึ่งจะนำข้อมูลที่เก็บมาใส่เมทริกซ์แล้วพิจารณาคำนวณค่าเพื่อหาคำตอบ จนกระทั่งพบการเกิดคอนกรูเอ็นกำลังสองจริงๆ ในส่วนแรกนั้นเราสามารถทำได้โดยใช้ระบบคู่ขนานของระบบประมวลผลของคอมพิวเตอร์ แต่ในส่วนที่สองนั้นจะต้องไปยุ่งเกี่ยวกับหน่วยความจำเนื่องจากต้องจองพื้นที่สำหรับการสร้างเมทริกซ์ ซึ่งอาจจะต้องใช้ ขั้นตอนวิธีกล่องวีดด์แมนน์ (block Wiedemann algorithm) เข้าช่วยในการทำให้การทำงานส่วนที่สองมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้นในการระบบสามารถที่จะเก็บเมทริกซ์ได้
จะพบว่าขั้นตอนวิธีตะแกรงแบบยกกำลังสองนั้นมีการดัดแปลงมาจากขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของดิกสัน
โดยเวลาในการรันสำหรับขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองสำหรับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม "n" ใด คือ
ในสัญลักษณ์ของ L (L-notation)
โดย "e" คือค่าที่นิยมใช้เป็นฐานของลอการิทึม
ขั้นตอนวิธีดังกล่าวมีแนวความคิดมาจากขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มของแฟร์มาต์ (Fermat's factorization method) โดยพิจารณาจาก ทฤษฎีบทที่ว่าถ้าพิจารณาให้ "n" เป็นจำนวนคี่แล้วจะได้ว่ามี "a" "b" ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ :"N" = "a"2 - "b"2 ซึ่งเมื่อพิจารณาให้ "x" mod "y" คือ เศษที่ได้จากการหาร "x" ด้วย "y" นั่นคือเราเพียงพอที่จะหา "a" ที่ทำให้ "a"2 mod "n" ให้มีค่าเป็น "b"2 เพื่อที่จะแยกตัวประกอบของ "n" โดยอาศัยค่าที่ได้จาก "a", "b"และ "n" ที่ได้มาจากดังกล่าว แต่เนื่องจากการหาค่า "a" นั้นเป็นเรื่องที่ยากมากโดยเฉพาะสำหรับในกรณีที่จำนวนเต็มที่ต้องการแยกตัวประกอบมีขนาดใหญ่มาก ซึ่งขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองจะพิจารณาปรับปรุงในส่วนดังกล่าว โดยจะพิจารณาจากการคำนวณ ในหลายๆ ค่าของ "a" จากนั้นจะพิจารณาเลือกกลุ่มของ "a" ที่ทำให้ผลคูณของในแต่ละ "a" สามารถอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มนั่นเอง
ยกตัวอย่างเช่น 412 mod 1649 = 32, 422 mod 1649 = 115, และ 432 mod 1649 คือ 200 ซึ่งจะพบว่าการหาเศษที่ได้ทั้ง 4 ค่าของ "a" นั้นไม่อยู่ในรูปกำลังของจำนวนเต็ม แต่เมื่อพิจารณาจากผลคูณของ (32) (200) = 6400 = 802, and mod 1649, (32) (200) = (412) (432) = ((41) (43)) 2 จะพบว่าอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มนั่นเอง นั่นคือจะได้ว่า 1142 ≡ 802 (mod 1649) ซึ่งเมื่อจะพิจารณาขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ "n" จากค่า "a", "b" ที่ได้นั้นสามารถทำได้โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ว่า ถ้ามี "a", "b" ที่เป็นจำนวนมีซึ่ง "a" และ "a"2="b"2 mod "n" นั่นคือจะได้ว่า GCD ("a"+"b", "n") และ GCD ("a"-"b","n") เป็นตัวประกอบของ ซึ่งสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ในเรื่องของ คอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น (congruence of squares mod "n")
ซึ่งจากดังกล่าวก็มาถึงปัญหาที่ว่าถ้าให้ set ของจำนวนเต็มมาหนึ่งจำนวน จะทราบได้อย่างไรว่าผลคูณของตัวเลขใน set เหล่านั้น จะมีบางกลุ่มที่สามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มได้ ซึ่งจากดังกล่าวจะอาศัยการเขียนอยู่ในรูปแบบของ เวกเตอร์หรือที่เรียกกันว่าเวกเตอร์ชี้กำลัง exponent vector ยกตัวอย่างเช่น ในการแยกตัวประกอบของจำรวนเต็มที่ทำให้อยู่ในรูปยกกำลังของจำนวนเฉพาะของ 504 คือ 23325071 นั่นคือสามารถเขียนได้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ชี้กำลัง (exponent vector) (3,2,0,1) ซึ่งเป็นค่าของเลขชี้กำลังของ 2, 3, 5, 7 ตามลำดับ ในกรณีของ 490 ก็สามารถเขียนได้ในทำนองเดียวกันโดยสามารถเขียนเป็นเวกเตอร์ชี้กำลังได้เป็น (1,0,1,2) โดยเมื่อพิจารณาการคูณกันของ (504) (490) ก็เปรียบเสมือนการนำค่าในเวกเตอร์ชี้กำลังมาบวกกันในแต่ละสมาชิกที่มีดัชนีตรงกัน ซึ่งจะบวกได้เป็น (4,2,1,3) ทั้งนี้มาจากทฤษฎีบทที่ว่า "a""m + n" = "a"m"a"n
จากดังกล่าวชัดเจนว่าเมื่อตัวเลขในเวกเตอร์ชี้กำลังของจำนวนๆหนึ่งนั้นเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมดนั่นคือจะได้ว่าจำนวนดังกล่าวสามารถเขียนได้อยู่ในรูปของกำลังสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม ยกตัวอย่างเช่นเมื่อเรานำเวกเตอร์ (3,0,0,1) มาบวกกับเวกเตอร์ (1,2,0,1) ได้เป็นเวกเตอร์ (4,2,0,2) ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด โดยจะมีค่าเป็น (56) (126) ซึ่งเป็นค่ายกกำลังสองของจำนวนเต็ม นั่นคือการที่จะพิจารณาว่าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนอยู่ในรูปกำลังสองของจำนวนเต็มรึเปล่านั้นสามารถพิจารณาได้ง่ายจากการพิจารณาความเป็นคู่/คี่ของเวกเตอร์ชี้กำลัง ซึ่งเราสามารถนำสมาชิกในแต่ละตัวของเวกเตอร์ชี้กำลังมาหารด้วยสองแล้วเปลี่ยนค่าสมาชิกก่อนที่จะนำเวกเตอร์ดังกล่าวมาบวก ซึ่งเมื่อพิจารณาจากผลลัพธ์ของการบวกเวกเตอร์ ในรูปแบบดังกล่าว แล้วนำเวกเตอร์ผลลัพธ์มาทำในทำนองเดียวกันจะพบว่าจะอยู่ในรูปกำลังสองสัมบูรณ์เมื่อเป็นเวกเตอร์ศูนย์นั่นเองตัวอย่างเช่นจากตัวอย่างที่แล้วเราสามารถทำได้ในรูปแบบดังกล่าวและบวกกันได้เป็น (1,0,0,1) + (1,0,0,1) = (0,0,0,0) ซึ่งในการบวก vector นั้นเราเพียงพอที่จะทำได้ง่ายโดยการนำมาทำการ XOR กันแบบบิตต่อบิตที่ดัชนีตรงกัน
จากดังกล่าวจะเห็นได้ชัดว่าปัญหาได้เล็กลง โดยพิจารณาปัญหาที่ว่าให้เซ็ตของเวกเตอร์ชี้กำลังที่อยู่ในรูป 0/1 เราจะหาเซ็ตย่อยที่สามารถบวกกันได้เป็นเวกเตอร์ศูนย์ได้อย่างไร จากดังกล่าวเราจะพิจารณาใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นนั่นคือการพิจารณาจาก ความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์นั่นเอง กล่าวคือจะนำเวกเตอร์ดังกล่าวมาใส่ในแต่ละแถวของเมทริกซ์จากนั้นใช้วิธีการกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination) ซึ่งจะสามารถทำได้ง่ายยิ่งขึ้นเนื่องจากเป็นเวกเตอร์ที่ถูกนำมาสมาชิกหารด้วยสองแล้วพิจารณาเพียงแค่เศษ ซึ่งจะพิจารณาได้เซตย่อยที่เป็นคำตอบในกรณีที่เวกเตอร์ภายในเซตย่อยเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน
อย่างไรก็ตาม จะพบว่าเลขสุ่มบางเลขเมื่อพิจารณาเศษที่ได้จากการหารด้วย "n" ตามขั้นตอนก่อนหน้านี้ จะพบว่าอาจจะมีขนาดใหญ่มากและส่งผลให้เมื่อแยกตัวประกอบดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนมากซึ่งส่งผลโดยตรงทำให้เวกเตอร์ที่ได้มีขนาดยาวและเมทริกซ์ที่จะใช้ในการหาความเป็นอิสระเชิงเส้นนั้นมีขนาดใหญ่ ซึ่งการแก้ปัญหาดังกล่าวคือ ต้องหาค่า "a" ที่ทำให้ "a"2 mod "n" สามารถแยกตัวประกอบแล้วได้จำนวนเฉพาะเป็นจำนวนน้อย ซึ่งภายหลังจะเรียกว่าจำนวนนุ่มนวล (Smooth Numbers) ซึ่งจะทำให้เวกเตอร์ชี้กำลังและเมทริกซ์มีขนาดเล็กลงแม้จะยากในการหาจำนวนดังกล่าวก็ตาม ซึ่งจากดังกล่าวเราจะหาจำนวนนุ่มนวลดังกล่าวโดยใช้เทคนิคที่เรียกว่าการร่อนตะแกรง (sieving นั่นเอง) ซึ่งจะพิจารณากันต่อไป
จากที่ได้กล่าวไปแล้วในก่อนหน้านี้เราจะสรุปได้เป็นขั้นตอนดังต่อไปนี้
การใช้ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองในการแก้ปัญหาคอนกรูเอนซ์.
ในขั้นตอนวิธีตะแกรงแบบยกกำลังนั้นจะอาศัยการหาคู่ตัวเลขของจำนวนเต็มระหว่าง "x" และ "y (x) " ซึ่ง "y (x) " คือฟังก์ชันของ "x" โดยจะเลือกเซตของจำนวนเฉพาะที่เรียกว่า ฐานตัวประกอบ (factor base) ซึ่งจะหาค่า "x" ซึ่งคือเศษของน้อยสุดและเป็นบวกที่ทำให้ "y (x) " = "x"2 mod "n" มีตัวประกอบทั้งหมดมาจากฐานตัวประกอบ ซึ่งจะเรียก x ตัวนั้นว่า นุ่มนวล (smooth) กับ ฐานตัวประกอบเหล่านั้น
โดยจากดังกล่าวขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสองได้เพิ่มความเร็วโดยอาศัยหลักการที่จะหาความสัมพันธ์โดยการพิจารณาทำให้ "x" ที่มีค่าเข้าใกล้รากที่สองของ "n" ซึ่งทำให้มั่นใจได้มากขึ้นว่า "y (x) " จะมีค่าเล็กขึ้น และเพิ่มโอกาสที่จะทำให้นุ่มนวลมากขึ้นด้วย
จากดังกล่าวจะเห็นว่าค่า "y" ว่ามีค่าประมาณ 2"x"[√"n"] อย่างไรก็ตามก็แดงให้เห็นว่าอัตราการเติบโตของ "y" นั้นเป็นเชิงเส้นกับ "x" เท่าของรากที่สองของ "n"
นอกจากนี้ยังจะพบว่ายังมีวิธีอื่นที่จะเพิ่มความนุ่มนวลเช่นกัน ซึ่งทำได้ง่ายโดยการเพิ่มขนาดของฐานตัวประกอบนั่นเองแต่ถึงอย่างไรนั้น ก็ยังเป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องหาความสัมพันธ์ที่นุ่มนวลอย่างน้อยมากกว่าจำนวนฐานของตัวประกอบอยู่ดีเพื่อให้มั่นใจได้ว่ายังมีโอกาสที่จะเกิดอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ชี้กำลัง
ความสัมพันธ์เมื่อทำไปแล้วเพียงบางส่วน (Partial relation) และวงวน (Cycles).
จากดังกล่าวเราจะพบว่าบางครั้ง "y (x) " นั้นอาจจะไม่นุ่มนวลแต่ก็สามารถจะรวมความสัมพันธ์ที่เป็นส่วนย่อย ("partial relations") เหล่านั้นเข้าด้วยกัน เช่น ถ้า y สองค่าเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่เหมือนกันที่อยู่นอกเหนือจากฐานตัวประกอบ (แต่เท่ากับ ฐานตัวประกอบเมื่อถูกขยายแล้ว) ยกตัวอย่างเช่นมี ฐานตัวประกอบเป็น {2, 3, 5, 7} และ "n" = 91 เราจะได้ความสัมพันธ์ในส่วนย่อยดังนี้
โดยเมื่อพิจารณาการคูณกันจะได้ดังต่อไปนี้
จากนั้นพิจารณาการคูณทั้งสองข้างด้วย (11−1) 2 modulo 91และจาก 11−1 modulo 91 มีค่าเป็น 58 ดังนั้น
โดยในการสร้างความสัมพันธ์แบบเต็มรูปแบบในแต่ความสัมพันธ์ที่เต็มรูปแบบจะถูกเรียกว่าวงวน ("cycle")
การร่อนตะแกรง.
พิจารณากระบวนการต่อไปนี้
ซึ่งจะเห็นได้ว่าได้ว่าเมื่อ "y(x)" ≡ 0 (mod "p") สำหรับ "x" ใดๆที่ได้คำตอบจะพบว่า "y" ที่สอดคล้องกับค่าดังกล่าวนั้นจะหารด้วย "p" ลงตัวและจากดังกล่าวปัญหาที่เราทำคือการหารากที่สองของการมอดุลโลจำนวนเฉพาะ ซึ่งจะพบว่ามีขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพในการกระทำดังกล่าว เช่น ขั้นตอนวิธีของแชงค์และโทเนลลี่(Shanks–Tonelli algorithm)เป็นต้น
โดยในการร่อนตะแกรงนั้นจะเริ่มด้วยการให้ทุกๆสมาชิกในอาเรย์ "A"[] เป็นค่า 0 และสำหรับในแต่ละ "p" ของฐานตัวประกอบก็จะถูกนำมาแก้สมการกำลังสองมอดุลโล "p" ซึ่งจะให้คำตอบสองค่าคือ"α" และ "β" จากนั้นก็จะให้ค่าประมาณ log(p) ให้กับสมาชิกที่มี "y"("x") = 0 mod "p" ซึ่งก็จะอยู่ในรูปแบบ "A"["kp" + "α"] และ "A"["kp" + "β"] นั่นเอง
จากดังกล่าวเราจะอธิบายตัวอย่างพื้นฐานของการประยุกต์ใช้ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสอง ในการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม ซึ่งเรายกตัวอย่างตัวเลขที่มีขนาดเล็กก่อนกล่าวคือสามารถแก้ปัญหาได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้การลดรูปด้วยการลดรูปแบบลอการึทึมหรืออื่นๆ(logarithm optimization or prime powers)โดยตัวเลขจะนำมาแยกตัวประกอบคือ "N" = 15347 ซึ่งจะพบว่าค่าจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของจำนวนดังกล่าวคือ 124 และเนื่องจาก "N" มีค่าเล็กมาก จึงเพียงพอที่ใช้พหุนามในการหาคำตอบ ซึ่งจะใช้สมการกำลังสองดังกล่าวคือ "y"("x") = ("x" + 124)2 − 15347
การนำข้อมูลมาประมวลผล (Data processing).
เนื่องจาก "N" มีขนาดเล็กจึงเพียงพอที่จะใช้จำนวนเฉพาะเพียงแค่ 4 ตัวเพื่อเป็นฐานตัวประกอบ โดยจำนวนเฉพาะ 4 ตัวแรกที่ formula_14 ยังคงหาค่าได้คือ ซึ่งจำนวน 2, 17, 23, 29 เฉพาะดังกล่าวจะใช้ในการร่อนตะแกรงเพื่อหาตัวประกอบนั่นเอง
เริ่มต้นด้วยการสร้างตะแกรงชื่อว่า formula_15 ของ
โดยเริ่มการร่อนตะแกรงสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะทั้ง 4 ตัวที่ได้มา โดยเลือกที่จะร่อนตะแกรงตัวเลข 0 ≤ X &lt; 100 ของ Y(X) ดังต่อไปนี้
ขั้นตอนถัดไปเราจะพิจารณาปรับเปลี่ยนตะแกรงของเราโดยจะพิจารณาจำนวนเฉพาะ p ในฐานตัวประกอบของเราได้แก่ formula_18 ในการแก้สมการ
เพื่อที่จะหาสมาชิกในตาราง "V" ว่ามีค่าใดบ้างที่หารด้วย "p" ลงตัว
โดยเริ่มต้นพิจารณาสำหรับ "p" = 2 นั่นคือ formula_20 ซึ่งจะได้คำตอบเป็น
ดังนั้น เมื่อพิจารณา X=1 และเพิ่มค่าทีละ 2 จะพบว่าค่าของสมาชิกที่ดัชนีดังกล่าวจะสามารถหารด้วย 2 ลงตัว
นั่นคือจะพิจารณาหารที่ดัชนีนั้นๆด้วย 2 ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้
ในทำนองเดียวกันกับจำนวนเฉพาะที่เราจะนำไปพิจารณาต่อที่เหลือคือ formula_23
ซึ่งเมื่อทำในทำนองเดียวกันจะได้เป็น
โดยจะสังเกตเห็นได้ว่าเมื่อ "p" &gt; 2 จะได้ค่าของคำตอบเชิงเส้นจำนวน 2 คำตอบ ซึ่งสอดคล้องกับการใช้รากที่ 2 นั่นเอง
ในแต่ละสมการ formula_25 คำตอบใน formula_26 จะหารด้วย "p" ลงตัวเมื่อ "x" = "a" สำหรับแต่ละพหุคูณของ "p" นั่นคือเมื่อเราพิจาณาหารค่าสมาชิกใน "V" ที่ตำแหน่ง "a", "a"+"p", "a"+2"p", "a"+3"p"... สำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะที่เป็นฐานตัวประกอบเพื่อค้นหาจำนวนนุ่มนวลในคุณสมบัติที่ว่ามันต้องพบแต่ละจำนวนเฉพาะดังกล่าวไม่เกิน 1 ครั้งเท่านั้น
ซึ่งจากดังกล่าวดังนั้นเราจะพิจารณาเลือกสมาชิกใน "V" ที่มีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งสอดคล้องกับการเป็นจำนวนนุ่มนวล จากตัวอย่างจะพบสามค่าบางส่วนที่มีคุณสมบัติดังกล่าว ได้แก่ formula_28, formula_29, and formula_30 ซึ่งมีค่าเป็น 1 ซึ่งจะสามารถทำเป็นตารางอธิบายได้ดังนี้
การนำข้อมูลมาประมวลผลผ่านเมทริกซ์ (Matrix processing).
เนื่องจากคุณสมบัติของ Smooth Number จึงสามารแก้ไขปัญหาได้ด้วยการใช้คุณสมบัติที่ว่า formula_31
โดยเริ่มต้นในส่วนนี้เราจะเขียนค่าในเซตย่อยที่เราเลือกมาจากขั้นตอนที่แล้วมาเขียนรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เราพิจารณาใช้เป็นฐานตัวประกอบ ซึ่งจะได้ดังต่อไปนี้
จากนั้นพิจาณาเขียนในรูปเวกเตอร์ชี้กำลังตามที่ได้กล่าวไปก่อนหน้านี้เพื่อที่จะนำมาใส่เมทริกซ์เพื่อพิจารณาแก้ปัญหาดังต่อไปนี้
ซึ่งจะพบว่าเราจะได้เมทริกซ์ S ดังกล่าวเป็น
นั่นคือจะได้ว่าผลคูณของค่าสามค่าในเซตย่อยดังกล่าวสามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสอง(mod N)ได้กล่าวคือ
ซึ่งจากดังกล่าวเมื่อพิจารณาคูณทั้งสองข้างของสมการคอนกรูเอนซ์จะได้ว่า
ซึ่งจะได้ว่า GCD(3070860 - 22678, 15347) = 103 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ 15347 และจะได้ตัวประกอบที่เหลือของ 15347 คือ 149
จากดังกล่าวจะพิจารณาอ้างอิงถึงรหัสเทียมที่จำเป็นต้องใช้ในการแก้ปัญหาตะแกรงกำลังสองดังต่อไปนี้
ซึ่งง่ายต่อการเข้าใจและอยากให้ผู้อ่านไปศึกษาเพิ่มเติมด้วยตัวเอง
ขั้นตอนวิธีที่ 1 วิธีการของตะแกรงของเอราโตสเทเนส (The Sieve of Eratosthenes)
for i∈[2,B] do
a[i] is unmarked
for i ∈ [2,p] do
if i is unmarked then
for each multiple j of i ∈ [i + 1,√B]
Mark a[j]
return All unmarked a[i]
ขั้นตอนวิธีที่ 2 การตรวจสอบว่า "N" เป็นจำนวนนุ่มนวลขนาด "B" หรือไม่ โดยพิจารณาให้ "P""B" เป็นเซ็ตของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า "B"
for i∈PB do
while N mod i = 0 do
N ← N mod i
if N = 1 then
return Is Smooth
return Not Smooth
ขั้นตอนวิธีที่ 3 เป็นการลบค่าของ "p" ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดออกจาก "N"
//FactorOut(N,p)
while N mod p = 0 do
N ← N mod p
ขั้นตอนที่ 4 การร่อนตะแกรง
B ← formula_38L(n)½formula_39
pB ← SieveOfEratosthenes(B)
for p ∈ pB do
z ← N(p-1)/2 mod p
if z = 1 then
ให้ I ประกอบไปด้วยช่วง [a, b] ขนาดใหญ่ หนึ่งช่วงสำหรับแต่ละระบบประมวลผล
for [a, b] ∈ I do
for x ∈ [a, b] do
R[x - a] ← x2 - N
for p ∈ F do
หาค่า s ซึ่งทำให้ s2= N mod p
x ← formula_38a/pformula_39p
while x - s ≤ b do
if a &lt; x - s &lt; b then
R[x - a] ← FactorOut(x - s, p)
if a &lt; x + s &lt; b then
R[x + a] ← FactorOut(x + s, p)
x ← x + p
if R[x] = 1 then
รวมทุกๆลีสต์ L จากทุกระบบประมวลผล
จากดังกล่าวเราจะพบว่าขั้นตอนวิธีตะแกรงแบบยกกำลังสองนั้นเป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีสำหรับการแยกตัวประกอบของตัวเลขที่มีขนาดใหญ่ โดยสำหรับตัวเลขที่มี 40 หลักถึง 100 หลักจะพบว่าเป็นขั้นตอนวิธีที่มีความเร็วในการแยกตัวประกอบมากที่สุด แต่ยังเป็นอันดับสองในกรณีทีจำนวนเต็มที่ต้องการแยกตัวประกอบมีมากกว่า 100 หลัก
นอกจากนี้เรายังได้เห็นการลดรูปในหลายขั้นตอนเช่นการร่อนตะแกรงผ่าน ("ax" + "b")2 - "N" แทน "x"2 - "N" และเนื่องด้วยการลดปัญหาโดยใช้วิธีดังกล่าวทำให้เราสามารถแบ่งการแยกตัวประกอบผ่านเครือข่ายขนาดใหญ่ของคอมพิวเตอร์โดยใช้สมการพหุนามแค่สมการเดียว
ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสอง
Quadratic sieve
การคูณของทูม-คุก
การคูณของทูม-คุก  ตั้งชื่อตามผู้คิดค้นคือ และ บางครั้งอัลกอลิทึมนี้จะถูกเรียกว่า ทูม - 3 ซึ่งเป็นวิธีการ คูณเลขจำนวนเต็มขนาดใหญ่ 2 จำนวน
ถ้าเรามีเลขจำนวนเต็ม 2 จำนวนขนาดใหญ่ให้ชื่อว่า formula_1 กับ formula_2 และทั้งสองค่านี้จะถูกแบ่งเป็นส่วนย่อยๆจำนวน formula_3 ส่วน และความยาว formula_4 โดยอัลกอลิทึมของ ทูม - 3 เสนอว่าให้แบ่งจำนวนเหล่านี้เป็นส่วนย่อยจำนวน 3 ส่วน formula_5 เพื่อให้ความซับซ้อนของวิธีนี้ลดลง แต่ในความจริงแล้วเราสามารถที่จะแบ่งจำนวนนี้ได้มากกว่า 3 ส่วน แต่ความซับซ้อนของอัลกอลิทึมก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน
อัลกอลิทึมทูม - 3 นี้ จะช่วยลดการคูณเลขจากการคูณเลขแบบปกติจำนวน 9 ครั้งเหลือเพียง 5 ครั้งเท่านั้น ทำให้เวลาลดลงจาก formula_6 มีค่าประมาณ formula_7 เหลือเพียง formula_8 มีค่าประมาณ formula_9 ซึ่งกระบวนการนี้หาได้จากวิธีการคำนวณ ทูม - k คือ formula_10 เมื่อ formula_11 โดยส่วนของ formula_12 คือเวลาของการคูณส่วนย่อยหรือส่วนของอัลกอลิทึมของทูม และ formula_13 คือเวลาที่ใช้ไปกับการคูณจำนวนขนาดเล็กย่อยๆซึ่งเป็นกระบวนการในการทำอัลกอลิทึมนี้นั่นเอง ซึ่งหากเราใช้ ทูม - 3 แล้วจะได้ formula_14 และ formula_15 นั่นก็คือ formula_8 หากเราสนใจอัลกอลิทึมของ คารัทซูบา คือกรณีพิเศษของทูมอัลกอลิทึม ที่แบ่งจำนวนเป็น 2 ส่วนformula_17 นั่นเอง จะทำให้ใช้เวลาเท่ากับ formula_18 ซึ่งมีค่าประมาณ formula_19 และถ้าเราสนใจการคูณแบบปกติทั่วไป คือกรณีของ ทูม - 1 โดยเสียเวลาเท่ากับ formula_20
จะสังเกตได้ว่าถ้าเราเพิ่ม formula_3 ไปเรื่อยๆจะสามารถทำให้ค่า formula_22 เข้าใกล้ 1 ได้ซึ่งจะเป็นเวลาในอุดมคติมาก คือ formula_23 แต่ในความจริงแล้วมันจะทำให้ส่วนของค่า formula_13 เพิ่มขึ้นจากที่เดิมเป็น 1 นั่นเอง จากข้อจำกัดนี้ทำให้ เราแบ่งเลขได้เพียงไม่กี่ส่วนเท่านั้น
การนำอัลกอลิทึมนี้ถูกจำกัดให้ใช้กับเลขนาดกลาง -ใหญ่เพราะถ้าเราไปใช้กับเลขนาดเล็กจะใช้เวลามากกว่าการคูณแบบปกติ และอัลกอลิทึมนี้ถูกแทนที่ด้วยอัลกอลิทึมที่เร็วกว่านั่นคือ สตราเซน อัลกอลิทึม นั่นเอง
อังเดร ทูมได้เผยแพร่อัลกอลิทึมนี้ในปี 1963 หลังจากนั้น สตีเฟน คุก ได้มาปรับปรุงเพิ่มเติมในปี 1966
รายระเอียดของกระบวนการ.
ในกรณีของการใช้เลขขนาดใหญ่ เราจะแทนจำนวนเหล่านี้เป็นบล็อกหรือช่วงย่อยๆโดยอาจจะใช้เลขฐานเข้ามาช่วยเพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณโดยในตัวอย่างนี้จะ ให้ส่วยย่อยๆมีขนาด 4 หลักหรือให้ตัวแปร formula_2 เป็นเลขฐานที่มีขนาด 10000 formula_26 จะทำให้เลขเป็นดังนี้
"จากตัวอย่างนี้ใช้เลขขนาดเล็กเพื่อง่ายต่อการทำความเข้าใจ เลขนี้ถือว่ามีขนาดเล็กมากในการใช้อัลกอลิทึมนี้ ดังนั้นหากเราใช้การคูณเลขแบบปกติจะมีความเร็วมากกว่า"
การแยกค่า.
หลังจากที่เราแบ่งเลขเป็นส่วนย่อยๆแล้ว เราต้องมาหาฐานที่แท้จริงในการแบ่งเลขนี้ออกเป็นส่วนๆของการใช้อัลกอลิทึม ทูม - คุก นี้ ซึ่งก็คือเราต้องการแบ่งออกเป็น 3 ส่วนในแต่ละจำนวน ซึ่งหาค่าฐานได้จาก formula_27 โดย formula_28 จะเป็นฐานที่ใช้จริงๆ ส่วน formula_2 คือฐานที่แบ่งไว่ในช่วงต้น และเราสามารถหาค่า formula_30 ได้จาก
จากนั้นเราใช้เลขเหล่าไปเป็นสัมประสิทธิ์ของสมการพนุนามกำลัง "k-1" เราใช้ ทูม - คุก ที่ใช้ "k = 3" ดังนั้นจะเป็นสมการพหุนามกำลัง 2 โดยให้ p (B) = m และ q (B) = n