pythainlp/thai_wikipedia_clean_20230101 huggingface dataset:
การจัดการความรู้ประกอบด้วย กระบวนการหลักๆ ได้แก่ การค้นหาความรู้ การสร้างและแสวงหาความรู้ใหม่ การจัดการความรู้ให้เป็นระบบ การประมวลผลและกลั่นกรองความรู้ การแบ่งปันแลกเปลี่ยนความรู้ สุดท้าย คือ การเรียนรู้และเพื่อให้มีการนำความรู้ไปใช้ให้เกิดประโยชน์สูงสุดต่อองค์กรเครื่องมือหลากหลายประเภทถูกสร้างขึ้นมาเพื่อนำไปใช้ในการถ่ายทอดและแลกเปลี่ยนความรู้
ดวงตะวัน
ประสงค์ หวลประไพ
พลเอก ประสงค์ หวลประไพ (11 พฤษภาคม พ.ศ. 2482 - 3 ธันวาคม พ.ศ. 2552) เป็นบุตรของ นายจำเนียร นางหลุย หวลประไพ
สมรสกับนางผ่องศรี (เศวตพันธุ์) หวลประไพ มีบุตร-ธิดา 4 คน
พลเอก ประสงค์ หวลประไพ ถึงแก่อนิจกรรม เมื่อวันที่ 3 ธันวาคม พ.ศ. 2552 สิริอายุ 70 ปี 6 เดือน 22 วัน เมื่อวันที่ 2 พฤษภาคม พ.ศ. 2553 เวลา 17.00 น. สมเด็จพระกนิษฐาธิราชเจ้า กรมสมเด็จพระเทพรัตนราชสุดาฯ สยามบรมราชกุมารี เสด็จพระราชดำเนินไปพระราชทานเพลิงพระศพ ณ วัดโสมนัสราชวรวิหาร
พ.ศ. 2512 - เหรียญสหประชาชาติเกาหลี
การรุกบูดาเปสต์
การรุกบูดาเปสต์ เป็นการรบโดยทั่วไปของกองทัพแดงแห่งสหภาพโซเวียต เพื่อกวาดล้างกองทัพนาซีเยอรมนีและพันธมิตรฝ่ายอักษะให้ออกไปจากฮังการี การรุกเริ่มต้นขึ้นตั้งแต่วันที่ 29 ตุลาคม ค.ศ. 1944 จนกระทั่งกรุงบูดาเปสต์แตกในวันที่ 13 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1945 กองทัพเยอรมันซึ่งได้รับคำสั่งจากฮิตเลอร์ให้เข้ายึดครองฮังการี (ตามแผนปฏิบัติการพันแซร์เฟาสท์และปฏิบัติการมาร์กาเรต) เพื่อหลีกเลี่ยงการละทิ้งที่มั่นจากค่ายของฝ่ายอักษะ และปกป้องปีกใต้ของแนวรบฝ่ายเยอรมนี จนต้องปราชัยให้แก่กองทัพโซเวียตในที่สุด
เกานัส
เกานัส  เป็นเมืองที่มีประชากรมากเป็นอันดับที่ 2 ของประเทศลิทัวเนีย ตั้งอยู่ตรงบริเวณที่แม่น้ำเนริสและแม่น้ำแนมูนัสมาบรรจบกัน เคยเป็นเมืองหลวงชั่วคราวของลิทัวเนียในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20
เกานัสเป็นเมืองแฝดกับเมืองและเขตการปกครองดังต่อไปนี้
เมืองคาอูนัส
โซนิกยูท
โซนิกยูท  เป็นวงร็อกอเมริกัน จากนิวยอร์กซิตี ก่อตั้งในปี ค.ศ. 1981 สมาชิกปัจจุบันประกอบด้วย เทิร์สตัน มัวร์ (ร้องและกีตาร์), คิม กอร์ดอน (ร้อง, เบส, กีตาร์), ลี รานัลโด (ร้องและกีตาร์), สตีฟ เชลลีย์ (กลอง), มาร์ก ไอบอลด์ (เบส, กีตาร์)
ในยุคแรก โซนิกยูท ได้ทำผลงานศิลปะและดนตรีแบบโนเวฟ ในแบบนิวยอร์กซิตี ยังเป็นส่วนหนึ่งของคลื่นแรกของกลุ่มดนตรีนอยส์ร็อกอเมริกัน วงได้ทำให้ความหมายของฮาร์ดคอร์พังก์ให้เกิดขึ้นมากับเพลงใต้ดินอเมริกัน ที่ในช่วงนั้นสนใจกับ ดนตรีในลักษณะ DIY มากกว่าดนตรีเฉพาะอย่างนี้ ผลก็คือโซนิกยูท ได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้นำในกระแสเพลงอัลเทอร์เนทีฟร็อกที่เจริญเติบโตขึ้นมา วงประสบความสำเร็จและได้รับเสียงวิจารณ์ที่ดีตลอดทั้ง 3 ทศวรรษ จนก้าวสู่สหัสวรรษใหม่ รวมถึงยังได้เซ็นสัญญากับค่ายใหญ่อย่าง ดีจีซี ใน ค.ศ. 1990 และยังเป็นวงนำในเทศกาลลอลลาพาลูซา ปี 1995
โซนิกยูท ได้รับอิทธิพลจากดนตรีหลากหลายแนว ตั้งแต่นักดนตรีโปรโตพังก์ อย่าง แพตตี สมิท ไปจนถึงนักประพันธ์เพลง จอห์น เคจ วงได้รับการสรรเสริญว่าได้ "จำกัดความใหม่ของกีตาร์ร็อก"
โซนิกยูธ
โซนิก ยูธ
แอล (เพลง)
แอล  เป็นผลงานซิงเกิลที่ 50 ของอายูมิ ฮามาซากิ วางจำหน่ายในวันที่ 29 กันยายน พ.ศ. 2553
ซิงเกิล "L" เป็นโปรเจกต์สุดท้ายของโปรเจกต์นับถอยหลังสู่ซิงเกิลที่ 50 ของอายูมิ ฮามาซากิ
ที่มาของชื่อซิงเกิลมารูปแบบการเขียนตัวเลขแบบโรมัน คือ L เป็นสัญลักษณ์ของเลข 50
เพลง "Virgin Road" เป็นเพลงประกอบโฆษณา music.jp และเพลง "Sweet Season" เป็นเพลงประกอบโฆษณาของนิตยสาร sweet
แอบบีแซงต์-เรอมีแห่งแรงส์
มหาวิหารโนเทรอดามแห่งชาร์ทร์
มหาวิหารนอเทรอดามเดอลาซงป์ซียงแห่งแกลร์มง-แฟร็อง
มหาวิหารแซ็ง-ซีร์และแซ็งต์-ฌูว์ลีตแห่งเนอแวร์
เกอร์ด ฟอน รุนด์ชเทดท์
มหาวิหารนอเทรอดามแห่งมูแล็ง
มหาวิหารนอเทรอดามแห่งรูอ็อง
มหาวิหารนอเทรอดามแห่งแร็งส์
แรมโบ้(รีบอร์น)
แอบบีแซ็ง-ปีแยร์แห่งโบลีเยอ-ซูร์-ดอร์ดอญ
มหาวิหารแซงต์เดอนีส์
อาร์กนาที
รายชื่อเทศบาลในประเทศนอร์เวย์
ประเทศนอร์เวย์ ได้แบ่งการปกครองเป็น 18 เทศมณฑล  และอีก 422 เทศบาล โดยมีกรุง ออสโล เป็นเมืองหลวง นอกเขตเทศบาล
เทศบาลในนอร์เวย์ถือเป็นส่วนเล็กๆ ของรัฐบาลในแต่ละท้องถิ่น ของประเทศนอร์เวย์ซึ่งได้ดูแลรับผิดชอบเรื่องการศึกษาระดับประถม (จนถึงเกรด 10) การบริการสุขภาพผู้ป่วยนอกบริการผู้สูงอายุ, การว่างงานและบริการสังคมอื่น ๆ การแบ่งเขตการพัฒนาเศรษฐกิจและถนนเทศบาล การบังคับใช้กฎหมายในแต่ละมณฑลด้วย
ในปี 1930 มีเทศบาลในประเทศนอร์เวย์อยู่ 747 เทศบาล
จอห์น เบวิส
จอห์น เบวิส (31 ตุลาคม ค.ศ. 1693 หรือ 10 พฤศจิกายน ค.ศ. 1695 โอลด์ซารัม วิลท์เชอร์ — 6 พฤศจิกายน ค.ศ. 1771) เป็นแพทย์และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ เป็นที่รู้จักกันดีในฐานะที่เป็นผู้ค้นพบเนบิวลาปูในปี ค.ศ. 1731 เบวิสยังได้สังเกตการบังดาวพุธของดาวศุกร์เมื่อวันที่ 28 พฤษภาคม ค.ศ. 1737 ตลอดจนถึงสังเกตและค้นพบกฎการทำนายการเกิดสุริยุปราคาของดวงจันทร์ของดาวพฤหัสบดี
จากการสังเกตด้วยกล้องโทรทรรศน์ของเขาในสโตคเนวิงตัน มิดเดิลเซ็กส์ เขาได้รวบรวมบัญชีรายชื่อดาวฤกษ์ชื่อว่า "Uranographia Britannica" ราว ค.ศ. 1750
จำนวนจุดลอยตัว
ในทางคอมพิวเตอร์ จำนวนจุดลอยตัว  คือระบบแทนจำนวนชนิดหนึ่ง ซึ่งจำนวนนั้นอาจมีขนาดใหญ่หรือขนาดเล็กเกินกว่าที่จะแทนด้วยจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนต่าง ๆ สามารถเขียนแทนด้วยเลขนัยสำคัญ (mantissa) จำนวนหนึ่งโดยประมาณ และเปลี่ยนสเกลด้วยเลขชี้กำลัง (exponent) ฐานของสเกลปกติจะเป็น 2, 10 หรือ 16 เป็นต้น จำนวนทั่วไปจึงสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้
คำว่า "จุดลอยตัว" จึงหมายถึงจุดฐาน (จุดทศนิยม หรือในคอมพิวเตอร์คือ จุดทวินิยม) ที่สามารถ "ลอยตัว" ได้ หมายความว่า จุดฐานสามารถวางไว้ที่ตำแหน่งใดก็ได้ที่สัมพันธ์กับเลขนัยสำคัญของจำนวนนั้น ตำแหน่งนี้แสดงไว้แยกต่างหากในข้อมูลภายใน และการแทนด้วยจำนวนจุดลอยตัวจึงอาจถือว่าเป็นสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ในบริบทของคอมพิวเตอร์ หลายปีที่ผ่านมา คอมพิวเตอร์ใช้งานจำนวนจุดลอยตัวในรูปแบบที่แตกต่างกัน เวลาต่อมาจึงทำให้เกิดมาตรฐาน IEEE 754 สำหรับจำนวนที่พบได้อย่างปกติสามัญชนิดนี้
ข้อดีของจำนวนจุดลอยตัวที่มีต่อจำนวนจุดตรึง (fixed point รวมทั้งจำนวนเต็ม) คือจำนวนจุดลอยตัวสามารถรองรับค่าได้ในขอบเขตที่กว้างกว่า ตัวอย่างเช่น จำนวนจุดตรึงที่มีตัวเลขเจ็ดหลัก และกำหนดให้สองหลักสุดท้ายอยู่หลังจุด สามารถแทนจำนวนเหล่านี้ได้ 12345.67, 123.45, 1.23 ในขณะที่จำนวนจุดลอยตัว (ตามเลขฐานสิบของมาตรฐาน IEEE 754) ที่มีตัวเลขเจ็ดหลักเช่นกัน สามารถแทนจำนวนเหล่านี้ได้อีกเพิ่มเติม 1.234567, 123456.7, 0.00001234567, 1234567000000000 เป็นต้น แต่ข้อเสียคือรูปแบบของจำนวนจุดลอยตัวจำเป็นต้องใช้หน่วยเก็บข้อมูลมากขึ้นอีกเล็กน้อย (สำหรับเข้ารหัสตำแหน่งของจุดฐาน) ดังนั้นเมื่อจำนวนทั้งสองประเภทเก็บบันทึกอยู่ในที่ที่เหมือนกัน จำนวนจุดลอยตัวจะใช้เนื้อที่มากกว่าเพื่อเพิ่มความเที่ยง (precision)
ความเร็วของการดำเนินการกับจำนวนจุดลอยตัว เป็นการวัดประสิทธิภาพของคอมพิวเตอร์อย่างหนึ่งที่สำคัญในขอบเขตข่ายโปรแกรมประยุกต์ ซึ่งมีหน่วยวัดเป็นฟล็อปส์ (FLOPS - floating-point operations per second การประมวลผลจุดลอยตัวต่อวินาที)
การแทนจำนวน (หรือเรียกว่าระบบเลขในคณิตศาสตร์) เป็นการกำหนดวิธีการเก็บบันทึกจำนวนหนึ่ง ๆ ที่อาจถูกเข้ารหัสให้เป็นสายอักขระของเลขโดด เลขคณิตของจำนวนถูกนิยามให้เป็นกลุ่มของการปฏิบัติกับรูปแบบนั้น ซึ่งเป็นการจำลองการดำเนินการทางเลขคณิตแบบดั้งเดิม
มีกลไกหลายประเภทที่ใช้สายอักขระของเลขโดดแทนจำนวน ในสัญกรณ์คณิตศาสตร์ทั่วไป สายอักขระของเลขโดดสามารถยาวเท่าใดก็ได้ และตำแหน่งของจุดฐานแสดงไว้โดยการใส่จุดทศนิยม (ซึ่งอาจเป็นมหัพภาคหรือจุลภาค) ไว้ตรงนั้น ถ้าจุดฐานไม่ปรากฏ จะถูกสมมติโดยนัยว่าวางอยู่ทางขวาสุด (นัยสำคัญน้อยสุด) ของสายอักขระของเลขโดด (นั่นคือจำนวนนั้นเป็นจำนวนเต็ม) ในระบบจำนวนจุดตรึง สมมติฐานบางข้อถูกกำหนดขึ้นว่าจุดฐานจะอยู่ที่ตำแหน่งใดของสายอักขระ ตัวอย่างเช่น ข้อตกลงเกิดขึ้นว่าสายอักขระประกอบด้วยเลขโดดฐานสิบ แปดหลัก โดยมีจุดทศนิยมอยู่ตรงกลาง ดังนั้นจำนวน "00012345" จึงหมายถึงค่า 1.2345
ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ จำนวนที่กำหนดจะเปลี่ยนสเกลด้วยกำลังของ 10 ดังนั้นเลขนัยสำคัญจึงมีค่าอยู่ในช่วงจำเพาะคืออยู่ระหว่าง 1 ถึง 10 โดยจุดฐานจะปรากฏถัดจากเลขโดดตัวแรกทันที ตัวคูณสเกลที่เป็นกำลังของ 10 จะแสดงแยกต่างหากไปที่ท้ายจำนวน ตัวอย่างเช่น เวลาที่ใช้ในการหมุนรอบตัวเองของดวงจันทร์ไอโอของดาวพฤหัสบดีเท่ากับ 152853.5047 วินาที จำนวนนี้สามารถแสดงได้ในสัญกรณ์คณิตศาสตร์รูปแบบมาตรฐานเป็น 1.528535047 วินาที
จำนวนจุดลอยตัวเป็นแนวคิดที่คล้ายกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ จึงประกอบด้วยสองส่วนตามหลักเหตุผล
"ซิกนิฟิแคนด์" คูณด้วย "ฐาน" ที่ยกกำลังด้วย "เลขชี้กำลัง" จะเทียบเท่ากับการเลื่อนจุดฐานจากตำแหน่งสมมติ ไปเป็นจำนวนหลักเท่ากับค่าของเลขชี้กำลัง โดยเลื่อนไปทางขวาถ้าเลขชี้กำลังเป็นบวกหรือไปทางซ้ายถ้าเลขชี้กำลังเป็นลบ
หากอธิบายด้วยเลขฐานสิบอันเป็นสัญกรณ์ที่คุ้นเคย จำนวน 152853.5047 ซึ่งมีเลขโดดฐานสิบ ความเที่ยงสิบหลัก การแทนจำนวนจะได้ 1528535047 เป็นซิกนิฟิแคนด์ และเลขชี้กำลังเป็น 5 (โดยจุดฐานถูกสมมติขึ้นที่หลังเลข 1 ซึ่งเป็นเลขโดดที่มีนัยสำคัญมากสุด) และเพื่อที่จะเรียกคืนค่าแท้จริง จะเติมจุดทศนิยมที่หลังเลขโดดตัวแรกของซิกนิฟิแคนด์ แล้วนำไปคูณด้วย จนได้ 1.528535047 ซึ่งนั่นก็คือจำนวน 152853.5047 ในการเก็บบันทึกจำนวนเช่นนี้ ฐาน 10 ไม่จำเป็นต้องเก็บบันทึกไปด้วย เนื่องจากมันมีใช้เหมือนกันในทุก ๆ จำนวน และสามารถอนุมานได้ในภายหลัง จำนวนนี้จึงอาจเขียนอย่างง่ายได้เป็น 1.528535047 E 5 ซึ่ง "E" กำหนดให้หมายถึง "คูณด้วยสิบยกกำลัง..." เช่นเดียวกับข้อตกลงอันเป็นที่ทราบ
หากเขียนเป็นสัญลักษณ์ ค่าสุดท้ายที่ได้ออกมาคือ
เมื่อ "s" คือซิกนิฟิแคนด์ที่เติมจุดฐานสมมติเข้าไปแล้ว "b" คือฐาน และ "e" คือเลขชี้กำลัง
หรือเทียบเท่ากับประโยคนี้
เมื่อ "s" คือจำนวนเต็มจากซิกนิฟิแคนด์ทั้งหมดโดยไม่พิจารณาจุดฐานสมมติ ส่วน "p" คือความเที่ยง (precision) หมายถึงจำนวนหลักของซิกนิฟิแคนด์
ในอดีตที่ผ่านมา ฐานที่แตกต่างกันถูกใช้แทนจำนวนจุดลอยตัว เช่นฐานสองที่เป็นปกติสามัญที่สุด ตามมาด้วยฐานสิบ และฐานสิบหกที่พบได้น้อยกว่า จำนวนจุดลอยตัวถือว่าเป็นจำนวนตรรกยะเพราะมันสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษหนึ่งส่วนจำนวนอื่น อย่างไรก็ตาม ฐานจะเป็นตัวพิจารณาว่าเศษส่วนจะถูกเขียนแทนอย่างไร ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถเขียนแทนด้วยจำนวนจุดลอยตัวในฐานสองได้อย่างแม่นยำ แต่สามารถเขียนแทนในฐานสิบได้อย่างถูกต้อง
วิธีการที่ซิกนิฟิแคนด์ เลขชี้กำลัง และบิตเครื่องหมายถูกเก็บบันทึกภายในคอมพิวเตอร์ขึ้นอยู่กับวิธีการทำให้เกิดผล รูปแบบปกติของ IEEE ได้อธิบายรายละเอียดในเวลาต่อมา ตัวอย่างเช่น การแทนจำนวนจุดลอยตัวฐานสองขนาดความเที่ยงหนึ่งเท่า (32 บิต) ซึ่งมีความเที่ยง "p" = 24 หมายความว่าจะเก็บบันทึกซิกนิฟิแคนด์ได้เป็นสายอักขระ 24 บิต (ประกอบด้วย 0 และ 1) กำหนดให้ค่าของพาย 33 บิตแรกคือ 11001001 00001111 11011010 10100010 0 การปัดเศษให้เหลือ 24 บิตในฐานสองทำได้โดยเพิ่มค่าบิตที่ 24 ซึ่งกระจายมาจากบิตที่ 25 จะได้ 11001001 00001111 11011011 เมื่อเก็บบันทึกในการเข้ารหัส IEEE 754 จำนวนนี้จะกลายเป็นซิกนิฟิแคนด์ "s" โดยที่ "e" = 1 (เมื่อสมมติให้จุดทวินิยมอยู่หลังบิตแรกสุดใน "s") หลังจากมีการปรับค่าเข้าสู่ทางซ้ายแล้วซึ่งจะทำให้เลขศูนย์นำหน้าหรือตามหลังจำนวนถูกตัดออกถ้ามี (แต่จากตัวอย่างนี้ไม่เกิดผลใด ๆ) ดังนั้นบิตแรกสุดของซิกนิฟิแคนด์จึงเป็น 1 เสมอ (หากค่านั้นไม่ใช่การแทนจำนวน 0) ทำให้เกิดบิตเพิ่มเติมของความเที่ยงซึ่งไม่จำเป็นต้องเก็บบันทึก ค่าของพายจึงคำนวณได้จากสูตร
เมื่อ "n" คือบิตที่ "n" จากทางซ้ายของซิกนิฟิแคนด์ที่ปรับแต่งแล้ว การปรับแต่งซิกนิฟิแคนด์หรือเรียกว่า "การทำให้เป็นบรรทัดฐาน" (normalization) คือการสงวนค่า 1 ที่บวกเข้าไปในภายหลัง และอาจเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของการบีบอัด นั่นคือซิกนิฟิแคนด์ฐานสองจะย่อลงจากเดิมหนึ่งบิตจากความเที่ยงมากสุด ในการประมวลผลเพิ่มเติม
คำว่า "แมนทิสซา" มักจะใช้เรียกเป็นคำคล้ายกับซิกนิฟิแคนด์แม้ว่ามันจะไม่ถูกต้องนัก เนื่องจากแมนทิสซาในความหมายดั้งเดิมนิยามขึ้นจากส่วนจำนวนเศษของลอการิทึม ในขณะที่ "แคแรกเทอริสติก" ก็เป็นส่วนจำนวนเต็มของลอการิทึม คำนี้ปรากฏอยู่ในตารางลอการิทึมก่อนที่จะมีคอมพิวเตอร์ใช้กันทั่วไป ตารางลอการิทึมความจริงแล้วก็คือตารางของแมนทิสซา ดังนั้นแมนทิสซาจึงเป็นลอการิทึมของซิกนิฟิแคนด์
การแทนจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มชนิดอื่นในคอมพิวเตอร์.
การแทนจำนวนจุดลอยตัว โดยเฉพาะรูปแบบมาตรฐาน IEEE แม้ว่าเป็นวิธีที่ปกติสามัญที่สุดอย่างกว้างขวางสำหรับการแทนจำนวนจริงโดยประมาณในคอมพิวเตอร์ เพราะมันสามารถใช้งานได้ในตัวประมวลผลของคอมพิวเตอร์ขนาดใหญ่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่ก็ยังมีทางเลือกอื่น ๆ อีกเช่น
พิสัยของจำนวนจุดลอยตัว.
เนื่องจากจุดฐานสามารถเปลี่ยนตำแหน่งได้ สัญกรณ์จำนวนจุดลอยตัวจึงสามารถคำนวณขนาดที่มีพิสัยกว้าง โดยใช้เลขโดดจำนวนหนึ่งตายตัว ในขณะที่ยังคงไว้ซึ่งความเที่ยงที่ดี ตัวอย่างเช่น การคูณที่คำนวณโดยมนุษย์เขียนเป็น
เมื่อเขียนแทนในระบบจำนวนจุดลอยตัวฐานสิบ ซึ่งมีเลขโดดสามหลัก จะได้
ในขณะที่ระบบจำนวนจุดตรึงที่มีจุดทศนิยมอยู่ทางซ้ายสุด ซึ่งมีเลขโดดสามหลักเช่นกัน จะได้
จะเห็นว่าผลลัพธ์ของจำนวนจุดตรึงสูญหายไปบางส่วน เพราะไม่มีที่อยู่สำหรับเลขโดดที่เกินมา และจุดทศนิยม "ลอยตัว" ไม่ได้ภายในสายอักขระของเลขโดด
พิสัยของจำนวนจุดลอยตัวจึงขึ้นอยู่กับจำนวนบิตหรือเลขโดดที่ใช้สำหรับแทนซิกนิฟิแคนด์ (เลขนัยสำคัญของจำนวน) และเลขชี้กำลัง การแทนจำนวนจุดลอยตัวฐานสองขนาดความเที่ยงสองเท่า (64 บิต) ในระบบคอมพิวเตอร์ทั่วไป จะมีสัมประสิทธิ์ 53 บิต (ซึ่งบิตแรกสุดไม่ต้องเก็บบันทึก) เลขชี้กำลัง 11 บิต และบิตเครื่องหมายอีกหนึ่งบิต จำนวนจุดลอยตัวที่เป็นค่าบวกในรูปแบบนี้จึงมีพิสัยอยู่ที่ประมาณ ถึง (ค่า 308 มาจาก 1023 × log10 (2) โดยประมาณ และพิสัยของเลขชี้กำลังอยู่ในช่วง [−1022, 1023]) พิสัยโดยรวมทั้งหมดของรูปแบบนี้จึงเก็บบันทึกได้ตั้งแต่ − ไปจนถึง + (ดูเพิ่มที่ IEEE 754)
จำนวนทั้งหมดของจำนวนจุดลอยตัวที่เป็นบรรทัดฐานแล้วในระบบ F("B", "P", "L", "U") คือ formula_6 เมื่อ "B" คือฐานของระบบเลข "P" คือความเที่ยงของระบบ "L" คือเลขชี้กำลังน้อยสุดที่สามารถแทนได้ในระบบ และ "U" คือเลขชี้กำลังมากสุดที่สามารถแทนได้ในระบบ
จำนวนจุดลอยตัวที่เป็นบรรทัดฐานแล้วที่เล็กที่สุดในค่าบวก เรียกว่า "ระดับน้อยเกินเก็บ" (underflow level) คือ formula_7 ซึ่งจะมีเลขโดด 1 เป็นตัวนำและ 0 สำหรับหลักที่เหลือทั้งหมดในซิกนิฟิแคนด์ และค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของเลขชี้กำลัง
จำนวนจุดลอยตัวที่เป็นบรรทัดฐานแล้วที่ใหญ่ที่สุด เรียกว่า "ระดับมากเกินเก็บ" (overflow level) คือ formula_8 ซึ่งจะมีเลขโดด "B" − 1 สำหรับทุกหลักในซิกนิฟิแคนด์ และค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของเลขชี้กำลัง
นอกจากนี้ก็มีค่าระหว่าง −UFL และ UFL ที่สามารถแทนได้ ซึ่งนั่นก็คือ 0 และ −0 รวมทั้งจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน (subnormal number)
เมื่อ พ.ศ. 2481 คอนรัด ทซูเซอ (Konrad Zuse) จากเบอร์ลิน ประดิษฐ์คอมพิวเตอร์ฐานสองเชิงกลที่สามารถโปรแกรมได้เครื่องแรกชื่อ Z1 ทำงานด้วยจำนวนจุดลอยตัวฐานสอง 22 บิต โดยมีเลขชี้กำลังแบบมีเครื่องหมาย 7 บิต ซิกนิฟิแคนด์ 15 บิต (รวมหนึ่งบิตที่ซ่อนไว้) และบิตเครื่องหมาย 1 บิต หน่วยความจำใช้ส่วนโลหะเลื่อนไปมาเพื่อเก็บบันทึกจำนวนเช่นนั้นได้ 64 จำนวน ต่อมาเครื่อง Z3 ที่พัฒนาด้วยรีเลย์ถูกสร้างขึ้นใน พ.ศ. 2484 ได้พัฒนาเลขคณิตของจำนวนจุดลอยตัวให้เกิดผล ยกเว้นการแทนจำนวนสำหรับค่าอนันต์บวกลบและค่าที่ไม่นิยาม
คอมพิวเตอร์ "เชิงพาณิชย์" เครื่องแรกที่มีฮาร์ดแวร์จำนวนจุดลอยตัวคือ Z4 ของทซูเซอ ออกแบบและสร้างขึ้นระหว่าง พ.ศ. 2485–2488 คอมพิวเตอร์มาร์ก V ของเบลล์แลบอลาทอรีส์ใช้งานจำนวนจุดลอยตัวฐานสิบใน พ.ศ. 2489 เวลาต่อมาเกือบทศวรรษคือ พ.ศ. 2497 คอมพิวเตอร์ไอบีเอ็ม 704 ซึ่งใช้หลอดสุญญากาศถูกสร้างขึ้นเพื่อจำหน่ายจำนวนมาก คอมพิวเตอร์รุ่นดังกล่าวได้แนะนำการใช้งานเลขชี้กำลังแบบไบแอส หลายทศวรรษหลังจากนั้น ฮาร์ดแวร์จำนวนจุดลอยตัวเป็นคุณลักษณะทางเลือก และคอมพิวเตอร์ที่มีคุณลักษณะนี้ถูกเรียกว่า "คอมพิวเตอร์วิทยาศาสตร์" หรือมีความสามารถใน "การคำนวณทางวิทยาศาสตร์" ไม่บรรจุเป็นมาตรฐาน จนกระทั่ง พ.ศ. 2532 คอมพิวเตอร์สำหรับ "จุดประสงค์ทั่วไป" มีความสามารถเกี่ยวกับจำนวนจุดลอยตัวในฮาร์ดแวร์เป็นมาตรฐาน
ชุดคอมพิวเตอร์ยูนิแวก 1100/2200 แนะนำขึ้นเมื่อ พ.ศ. 2505 รองรับรูปแบบจำนวนจุดลอยตัวได้สองรูปแบบ คือความเที่ยงหนึ่งเท่า ซึ่งใช้ 36 บิต แบ่งเป็นบิตเครื่องหมาย 1 บิต เลขชี้กำลัง 8 บิต และซิกนิฟิแคนด์ 27 บิต และความเที่ยงสองเท่า ซึ่งใช้ 72 บิต แบ่งเป็นบิตเครื่องหมาย 1 บิต เลขชี้กำลัง 11 บิต และซิกนิฟิแคนด์ 60 บิต คอมพิวเตอร์ไอบีเอ็ม 7094 แนะนำขึ้นในปีเดียวกัน รองรับทั้งความเที่ยงหนึ่งเท่าและสองเท่า แต่มีรูปแบบที่ต่างไปเล็กน้อย
ก่อนที่จะมีมาตรฐาน IEEE 754 คอมพิวเตอร์ต่าง ๆ ใช้รูปแบบจำนวนจุดลอยตัวในรูปแบบที่ต่างกันมากมาย ซึ่งต่างกันที่ขนาดของเวิร์ด รูปแบบของการแทน และพฤติกรรมการปัดเศษของการดำเนินการ ระบบต่าง ๆ ที่แตกต่างกันนี้ทำให้เกิดการพัฒนาเลขคณิตในฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์แตกต่างกัน ด้วยความเที่ยงตรงแม่นยำที่ไม่เหมือนกัน
มาตรฐาน IEEE 754 สร้างขึ้นเมื่อ พ.ศ. 2528 หลังจากขนาดของเวิร์ด 32 บิต (หรือ 16 หรือ 64) ได้รับการยอมรับโดยทั่วไป ซึ่งมีพื้นฐานมาจากข้อเสนอของอินเทล ผู้พัฒนาตัวประมวลผลร่วมเชิงตัวเลข อินเทล 8087 ในขณะนั้น นวัตกรรมที่เกิดขึ้นใหม่คือสิ่งเหล่านี้
IEEE 754: จำนวนจุดลอยตัวในคอมพิวเตอร์สมัยใหม่.
สถาบันวิชาชีพวิศวกรไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ (IEEE) ได้กำหนดมาตรฐานสำหรับการแทนจำนวนจุดลอยตัวฐานสองใน IEEE 754 คอมพิวเตอร์สมัยใหม่เกือบทั้งหมดทำตามมาตรฐานนี้ ข้อยกเว้นที่โดดเด่นคือคอมพิวเตอร์เมนเฟรมของไอบีเอ็ม ซึ่งใช้รูปแบบของมันเอง (สถาปัตยกรรมจุดลอยตัวของไอบีเอ็ม เพิ่มเติมจากรูปแบบฐานสองและฐานสิบจาก IEEE 754) และคอมพิวเตอร์เครย์ ซึ่งรุ่น T90 ใช้ตามรูปแบบของ IEEE แต่รุ่น SV1 ยังคงใช้รูปแบบของมันเอง
มาตรฐานนี้กำหนดรูปแบบหลายชนิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ต่างกันที่รายละเอียดเพียงเล็กน้อย มีห้ารูปแบบเรียกว่า "รูปแบบพื้นฐาน" และมีอีกสองรูปแบบเป็นรูปแบบที่ใช้อย่างกว้างขวางในฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์และภาษาโปรแกรมโดยเฉพาะได้แก่
รูปแบบพื้นฐานอื่นเช่น ความเที่ยงสี่เท่า (quadruple precision) ฐานสอง (128 บิต) จำนวนจุดลอยตัวฐานสิบ (64 บิต) และจำนวนจุดลอยตัวฐานสิบความเที่ยงสองเท่า (128 บิต) เป็นต้น
รูปแบบที่พบได้น้อยกว่าปกติเช่น
จำนวนเต็มใด ๆ ที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 224 สามารถแทนในรูปแบบความเที่ยงหนึ่งเท่า และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 253 สามารถแทนในรูปแบบความเที่ยงสองเท่า ยิ่งไปกว่านั้น พิสัยอย่างกว้างของกำลังของสอง คูณด้วยจำนวนเช่นนั้นก็สามารถแทนค่าได้ สมบัติเหล่านี้บางครั้งใช้กับข้อมูลจำนวนเต็มเพียงอย่างเดียว เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม 53 บิต บนแพลตฟอร์มที่มีระบบจำนวนจุดลอยตัวความเที่ยงสองเท่า แต่มีระบบจำนวนเต็มเพียง 32 บิต เป็นตัวอย่าง
มาตรฐานนี้ระบุค่าพิเศษบางค่าไว้ด้วยพร้อมทั้งการแทนจำนวน ได้แก่ อนันต์บวก (+∞) อนันต์ลบ (−∞) ลบศูนย์ (−0) ซึ่งต่างจากศูนย์ธรรมดา และค่าที่ "ไม่ใช่จำนวน" (NaN)
การเปรียบเทียบจำนวนจุดลอยตัวก็ได้กำหนดไว้ในมาตรฐาน IEEE ซึ่งต่างจากการเปรียบเทียบจำนวนเต็มตามปกติเล็กน้อย นั่นคือลบศูนย์กับบวกศูนย์ถือว่าเท่ากัน และ NaN ไม่เท่ากับจำนวนใด ๆ เลยรวมทั้งตัวมันเองด้วย นอกเหนือจากกรณีพิเศษเหล่านี้ บิตที่มีนัยสำคัญมากกว่าจะถูกเก็บบันทึกก่อนบิตที่มีนัยสำคัญน้อยกว่า ค่าทุกค่ายกเว้น NaN ถือว่าน้อยกว่า +∞ และมากกว่า −∞ อย่างเคร่งครัด
การแทนค่าบิตของจำนวนจุดลอยตัวฐานสองจะแปรตามลอการิทึมฐานสองเพื่อการประมาณค่าอย่างหยาบ ด้วยความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยประมาณ 3% (เพราะว่าเขตข้อมูลเลขชี้กำลังอยู่ในส่วนที่มีนัยสำคัญมากกว่าของข้อมูล) สิ่งนี้สามารถใช้ประโยชน์ได้ในโปรแกรมประยุกต์บางโปรแกรม เช่นการปรับความดังในการประมวลผลเสียงดิจิทัล
แม้ว่ารูปแบบ 32 บิต (หนึ่งเท่า) และ 64 บิต (สองเท่า) เป็นรูปแบบสามัญที่สุดในวงกว้าง มาตรฐานนี้ก็อนุญาตให้ใช้ระดับความเที่ยงที่ต่างกันหลายระดับ ฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ (อาทิชุดคอมพิวเตอร์อินเทล เพนเทียม และชุดคอมพิวเตอร์โมโตโรลา 68000) มักจะเตรียมรูปแบบความเที่ยงแบบขยาย 80 บิตไว้ให้ โดยมีเลขชี้กำลัง 15 บิต ซิกนิฟิแคนด์ 64 บิต และไม่มีบิตที่ซ่อนไว้
มีการโต้เถียงเกี่ยวกับความล้มเหลวของภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ ที่ไม่สามารถทำรูปแบบความเที่ยงแบบขยายให้โปรแกรมเมอร์ใช้ (ถึงแม้ภาษาซีและภาษาที่เกี่ยวข้อง มักจะเตรียมรูปแบบเหล่านี้ด้วยชนิดข้อมูล long double บนฮาร์ดแวร์เช่นนั้น) ผู้จำหน่ายระบบอาจเตรียมรูปแบบขยายเพิ่มเติม (เช่น 128 บิต) แล้วจำลองการทำงานในซอฟต์แวร์
โครงการปรับปรุงแก้ไขมาตรฐาน IEEE 754 เริ่มขึ้นในปี พ.ศ. 2543 แล้วเสร็จและอนุมัติในเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2551 มาตรฐานนี้มีรูปแบบจำนวนจุดลอยตัวฐานสิบหลายแบบ และจำนวนจุดลอยตัวฐานสอง 16 บิตหนึ่งแบบ (binary16) จำนวนจุดลอยตัวฐานสอง 16 บิตมีโครงสร้างและกฎเหมือนรูปแบบของเดิม มีใช้ในภาษาซีจีของเอ็นวิเดียและมาตรฐาน openEXR
การแทนค่าภายใน.
โดยทั่วไปจำนวนจุดลอยตัวบรรจุอยู่ในข้อมูลคอมพิวเตอร์ เป็นบิตเครื่องหมาย เขตข้อมูลเลขชี้กำลัง และเขตข้อมูลซิกนิฟิแคนด์ (แมนทิสซา) ตามลำดับจากซ้ายไปขวา สำหรับรูปแบบ IEEE 754 ในฐานสองจะถูกแบ่งสรรดังนี้
เมื่อเลขชี้กำลังเป็นบวกหรือลบ จะเก็บบันทึกเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมายซึ่งบวกไบแอส (bias) แบบคงที่เข้าไป (เช่นค่า −9 บวกด้วยไบแอส 15 จะเก็บเป็นค่า 6) เมื่อเลขชี้กำลังเป็น 0 ทุกบิต จะสงวนไว้สำหรับค่าศูนย์และจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน และเมื่อเลขชี้กำลังเป็น 1 ทุกบิต จะสงวนไว้สำหรับค่าอนันต์และ NaN พิสัยของเลขชี้กำลังของจำนวนบรรทัดฐานคือ [−126, 127] สำหรับความเที่ยงหนึ่งเท่า [−1022, 1023] สำหรับความเที่ยงสองเท่า ฯลฯ จำนวนบรรทัดฐานไม่รวมค่าทั้งสี่ประเภทได้แก่ ศูนย์ จำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน อนันต์ และ NaN
ในรูปแบบเพื่อการแลกเปลี่ยนข้อมูลฐานสองของ IEEE บิตแรกสุดของซิกนิฟิแคนด์ที่ทำให้เป็นบรรทัดฐานแล้วซึ่งเป็น 1 ความจริงแล้วจะไม่ถูกเก็บบันทึกในข้อมูลคอมพิวเตอร์ บิตนี้เรียกว่า "บิตที่ซ่อน" หรือ "บิตโดยนัย" ด้วยเหตุนี้ความเที่ยงจึงเพิ่มขึ้น 1 บิตจากซิกนิฟิแคนด์ที่เก็บบันทึก รูปแบบความเที่ยงหนึ่งเท่าจึงมีความเที่ยงแท้จริง 24 บิต รูปแบบความเที่ยงสองเท่ามี 53 บิต ฯลฯ
ตัวอย่างเช่น จำนวนต่อไปนี้คือค่า π ในฐานสอง ปัดเศษที่ความเที่ยง 24 บิต จะได้
ในรูปแบบความเที่ยงหนึ่งเท่า ผลบวกระหว่างเลขชี้กำลัง 1 กับไบแอส 127 คือ 128 (10000000) ดังนั้นจะแทนค่าได้เป็น
จำนวนพิเศษ.
ศูนย์มีเครื่องหมาย.
ในมาตรฐาน IEEE 754 ค่าศูนย์มีเครื่องหมาย หมายความว่ามีทั้ง "บวกศูนย์" (+0) และ "ลบศูนย์" (−0) ในสภาวะแวดล้อมขณะทำงานส่วนใหญ่ ค่าบวกศูนย์โดยทั่วไปพิมพ์เป็น "0" และค่าลบศูนย์อาจพิมพ์เป็น "-0" จำนวนทั้งสองมีความเท่ากันในการเปรียบเทียบเชิงจำนวน แต่การดำเนินการบางอย่างกับ +0 และ −0 จะให้ผลลัพธ์ที่ต่างออกไป ตัวอย่างเช่น 1 / (−0) จะให้ผลเป็นค่าอนันต์ที่เป็นลบ ในขณะที่ 1 / (+0) จะให้ผลเป็นค่าอนันต์ที่เป็นบวก อย่างไรก็ตามการดำเนินการดังกล่าวจะเกิดขึ้นพร้อมกับสิ่งผิดปรกติ "การหารด้วยศูนย์" หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง การดำเนินการ arccot สมมาตรมีเครื่องหมาย จะให้ผลลัพธ์ต่างกับสำหรับ +0 และ −0 โดยไม่มีสิ่งผิดปรกติ ความแตกต่างระหว่าง +0 และ −0 เป็นที่สังเกตได้มากที่สุดในการดำเนินการเชิงซ้อนที่ส่วนตัดแบรนช์ (branch cut)
จำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน.
จำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน (subnormal number) เป็นจำนวนที่เติมในช่องว่างน้อยเกินเก็บ (underflow gap) ด้วยค่าซึ่งระยะห่างสัมบูรณ์ระหว่างจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน เหมือนกับจำนวนอื่นที่อยู่ติดกันนอกช่องว่างน้อยเกินเก็บนี้ สิ่งนี้เป็นการปรับปรุงการปฏิบัติแบบเก่าซึ่งให้ค่าเป็นศูนย์เท่านั้นภายในช่องว่างน้อยเกินเก็บ และผลลัพธ์ที่น้อยเกินเก็บถูกแทนที่ด้วยศูนย์ (ถูกปัดเศษทิ้งเป็นศูนย์)
ฮาร์ดแวร์จำนวนจุดลอยตัวสมัยใหม่สามารถจัดการจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐานเหล่านี้ได้ เช่นเดียวกับจำนวนบรรทัดฐาน และไม่ต้องการการจำลองจากซอฟต์แวร์
อนันต์.
อนันต์บนเส้นจำนวนจริงขยายสามารถแทนได้ในชนิดข้อมูลจำนวนจุดลอยตัว IEEE เช่นเดียวกับจำนวนจุดลอยตัวทั่วไปอย่าง 1 หรือ 1.5 ค่านี้ไม่ใช่ค่าที่เกิดความผิดพลาด ถึงแม้ว่ามันจะใช้แทนค่าที่มากเกินเก็บ (overflow) (แต่ไม่เสมอไป ขึ้นอยู่กับการปัดเศษ) เมื่อเกิดสิ่งผิดปรกติของการหารด้วยศูนย์ จะคืนค่าอนันต์ที่เป็นบวกหรือลบออกมาเป็นผลลัพธ์ ค่าอนันต์สามารถแนะนำให้เป็นจำนวนจำนวนหนึ่ง (เหมือนแมโคร INFINITY ของภาษาซี หรือ ∞ ถ้าภาษาโปรแกรมนั้นอนุญาตให้ใช้ได้)
IEEE 754 ต้องการการจัดการอนันต์อย่างสมเหตุสมผล ตัวอย่างเช่น
IEEE 754 ระบุค่าพิเศษอีกอย่างหนึ่งคือค่าที่ "ไม่ใช่จำนวน" (NaN) เพื่อคืนค่าเป็นผลลัพธ์สำหรับการดำเนินการที่ "ไม่สมเหตุสมผล" ตัวอย่างเช่น 0/0, ∞×0, sqrt(−1) เป็นต้น NaN แท้จริงแล้วมีสองชนิดคือ signaling และ quiet การใช้ signaling NaN ในการดำเนินการเลขคณิตใด ๆ (รวมทั้งการเปรียบเทียบเชิงจำนวน) ทำให้เกิดสิ่งผิดปรกติ "ไม่สมเหตุสมผล" ส่วนการใช้ quiet NaN จะได้ผลลัพธ์เป็น NaN เท่านั้นโดยไม่เกิดสิ่งผิดปรกติ
การแทนค่า NaN ที่กำหนดโดยมาตรฐาน มีบางบิตที่ไม่ระบุซึ่งอาจใช้เข้ารหัสชนิดของข้อผิดพลาดได้ แต่ก็ไม่มีมาตรฐานสำหรับการเข้ารหัสนี้ ในทางทฤษฎี signaling NaN สามารถใช้กับระบบขณะทำงาน (runtime system) เพื่อขยายจำนวนจุดลอยตัวด้วยค่าพิเศษอื่น โดยไม่ต้องชะลอการคำนวณกับจำนวนธรรมดา แม้ว่าการขยายเช่นนั้นดูเหมือนว่าไม่เป็นสิ่งปกติสามัญ
จำนวนที่แทนได้ การแปลง และการปัดเศษ.
โดยธรรมชาติแล้ว จำนวนทุกจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบจำนวนจุดลอยตัว เป็นจำนวนตรรกยะที่มีจุดฐานรู้จบในฐานที่สัมพันธ์กัน (เช่นทศนิยมรู้จบในฐานสิบ หรือทวินิยมรู้จบในฐานสอง) ส่วนจำนวนอตรรกยะอย่างเช่น π หรือ √2 หรือจำนวนตรรกยะที่มีจุดฐานไม่รู้จบต้องใช้เป็นค่าประมาณ จำนวนของเลขโดด (หรือบิต) ของความเที่ยงก็เป็นตัวจำกัดเซตของจำนวนตรรกยะที่สามารถแทนค่าได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น จำนวน 123456789 จะไม่สามารถแทนค่าได้อย่างแม่นยำถ้ามีความเที่ยงบนเลขโดดฐานสิบเพียงแปดหลัก เป็นต้น
เมื่อจำนวนหนึ่งถูกแทนค่าในรูปแบบอย่างหนึ่ง (เช่นสายอักขระ) ซึ่งไม่ใช่การแทนจำนวนจุดลอยตัวพื้นเดิมที่รองรับในคอมพิวเตอร์ จำนวนนั้นจะต้องถูกแปลงก่อนนำมาใช้ในระบบคอมพิวเตอร์ ถ้าหากจำนวนนั้นสามารถแทนค่าในรูปแบบจำนวนจุดลอยตัวได้อย่างแม่นยำ การแปลงนั้นก็จะถูกต้องแม่นยำด้วย ถ้าหากไม่สามารถแทนค่าได้อย่างแม่นยำ การแปลงก็จะต้องเลือกจำนวนจุดลอยตัวอื่นมาใช้แทนค่าดั้งเดิม ซึ่งค่าที่ถูกเลือกนี้มีค่าต่างจากค่าดั้งเดิม และค่าที่ถูกปรับแต่งเรียกว่า "ค่าจากการปัดเศษ"
จำนวนตรรกยะไม่จำเป็นว่าต้องมีจุดฐานรู้จบในฐานที่สัมพันธ์กัน ตัวอย่างเช่น จำนวน ในฐานสิบเป็นทศนิยมรู้จบ (0.5) ในขณะที่ เป็นทศนิยมไม่รู้จบ (0.333…) จำนวนตรรกยะในฐานสองที่มีตัวส่วนเป็นกำลังของ 2 เท่านั้นที่เป็นทวินิยมรู้จบ (เช่น หรือ ) จำนวนตรรกยะที่มีตัวส่วนเป็นตัวประกอบเฉพาะอื่นนอกจาก 2 เป็นทวินิยมไม่รู้จบ สิ่งนี้หมายความว่า จำนวนที่สั้นและแม่นยำซึ่งเขียนในฐานสิบ อาจจำเป็นต้องประมาณค่าเมื่อแปลงเป็นจำนวนจุดลอยตัวฐานสอง เช่น จำนวนฐานสิบ 0.1 ไม่สามารถแทนค่าได้อย่างแม่นยำในจำนวนจุดลอยตัวฐานสองอันมีความเที่ยงจำกัด การแทนฐานสองจะได้ลำดับ "1100" ซ้ำไปเรื่อย ๆ ไม่รู้จบ
เมื่อ "s" คือซิกนิฟิแคนด์และ "e" คือเลขชี้กำลัง ดังที่เคยอธิบายไว้ก่อนหน้า
เมื่อปัดเศษให้เหลือ 24 บิตจะกลายเป็น
ซึ่งมีค่าที่แท้จริงเท่ากับ 0.100000001490116119384765625 ในฐานสิบ
หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง จำนวนจริง π เขียนแทนในฐานสองด้วยลำดับบิตไม่รู้จบได้เป็น
ในจำนวนจุดลอยตัวฐานสองแบบความเที่ยงหนึ่งเท่า จำนวนนี้จะแทนค่าด้วย "s" = 1.10010010000111111011011 และ "e" = 1 ซึ่งจำนวนนี้มีค่าในฐานสิบเป็น
ในขณะที่การประมาณค่า π ที่เที่ยงตรงมากกว่าควรจะเป็น
ผลลัพธ์ของการปัดเศษต่างจากค่าที่แท้จริงประมาณ 0.03 ส่วนต่อล้านส่วน และตรงกับเลขฐานสิบของ π เพียง 7 หลักแรก ส่วนต่างนี้เรียกว่าค่าคลาดเคลื่อนของความไม่ต่อเนื่อง (discretization error) และถูกจำกัดโดยเอปไซลอนเครื่องจักร (machine epsilon)
ผลต่างเชิงเลขคณิตระหว่างจำนวนจุดลอยตัวสองจำนวนที่สามารถแทนค่าได้และอยู่ติดกันตามลำดับ ซึ่งมีเลขชี้กำลังเดียวกัน ผลต่างนี้เรียกว่า หน่วยในตำแหน่งสุดท้าย (unit in the last place: ULP) ตัวอย่างเช่น ถ้าหากไม่มีจำนวนที่แทนค่าได้อยู่ระหว่าง 1.45a70c2216 กับ 1.45a70c2416 หน่วยในตำแหน่งสุดท้ายก็คือ 2×16−8 หรือเท่ากับ 2−31 สำหรับจำนวนที่มีเลขชี้กำลังเป็น 0 หน่วยในตำแหน่งสุดท้ายจะเท่ากับ 2−23 หรือประมาณ 10−7 ในความเที่ยงหนึ่งเท่า และประมาณ 10−16 ในความเที่ยงสองเท่า พฤติกรรมที่ถูกกำหนดของฮาร์ดแวร์ที่ยอมรับมาตรฐาน IEEE คือผลลัพธ์ต้องอยู่ภายในครึ่งหนึ่งของหน่วยในตำแหน่งสุดท้าย
วิธีการปัดเศษ.