กลศาสตร์แฮมิลตัน

ฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันฮามิลตัน (Hamilton function) สำหรับระบบทางกลศาสตร์แบบฉบับ (classical mechanics) คือฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดทั่วไป โมเมนตัมสังยุค และเวลา ที่สามารถใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลา (time evolution) ของระบบนั้นได้ ทั้งนี้เนื่องจากสถานะของระบบในกลศาสตร์แบบฉบับสามารถอธิบายได้โดยการบอกพิกัดและโมเมนตัมเป็นฟังก์ชันของเวลา
นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน.
ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตันและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน  ของระบบ เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี พ.ศ. 2376 (ค.ศ. 1833) โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ
เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป  และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน</br>
<math> p(t) \equiv \frac{\partial L \left(q,\dot{q},t\right)}{\partial \dot{q}} </math></br>
โดย <math>q(t)</math> คือพิกัดทั่วไป <math>\dot{q}(t)</math> คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ <math>t</math> คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ 
เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว <math>\dot{q}(t)</math> ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space
ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์  ของลากรางเจียนคือ</br>
<math>H(q(t),p(t),t) = p(t) \dot{q}(q,p,t) - L(q,\dot{q}(q,p,t),t)</math></br>
โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)
ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไป.
ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด <math>N</math> ตัว</br>
<math>q \equiv \left\{q_1(t), q_2(t)...,q_N(t)\right\}</math></br>
เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน</br>
<math>L\left(q,\dot{q},t\right) \equiv L\left(q_1,q_2...q_N, \dot{q}_1,\dot{q}_2...,\dot{q}_N, t\right)</math></br>
เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว <math>p_i(t)</math> ได้โดย</br>
<math>p_i(t) \equiv \frac{\partial L \left(q_1,q_2...q_N, \dot{q}_1,\dot{q}_2...,\dot{q}_N, t\right)}{\partial \dot{q}_i} \qquad\qquad i = 1,2...,N </math></br>
ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม
</br><math>\dot{q}_i = f_i \left(q_1, q_2...,q_N,p_1, p_2...,p_N,t \right)</math></br>
เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์
</br><math>H\left(q(t),p(t),t\right) = \sum_i p_i(t) \dot{q}_i(q,p,t) - L\left(q,\dot{q}(q,p,t),t\right)</math>
ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุก ๆ ตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้
ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรานเจียน.
เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2
เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ <math> \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q,\dot{q},t) </math> เราจะได้
</br><math> \delta\left(\sum_i \dot{q}_i p_i - L\right) = \sum_i \dot{q}_i\delta p_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial L}{\partial t}\delta t + \sum_i\left(p_i - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta \dot{q}_i </math></br>
จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย <math>p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math> ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ <math>\dot{q}_i</math> ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ <math>\delta q_i</math> เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
</br><math> \delta H(q,p,t) = \sum_i \dot{q}_i\delta p_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial L}{\partial t}\delta t </math></br>
จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
</br><math> \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} </math></br>
ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
</br><math> \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \Longleftrightarrow p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} </math></br>
ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์
เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ
<math> \sum_i \dot{q}_i p_i - H(q,p,t) </math>
จะพบว่า
</br><math> \delta\left(\sum_i \dot{q}_i p_i - H(q,p,t)\right) = \sum_i p_i\delta\dot{q}_i - \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial H}{\partial t}\delta t + \sum_i\left(\dot{q}_i - \frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\delta p_i </math></br>
และเมื่อใช้นิยามของ <math> \dot{q}_i = \partial H/\partial p_i </math> จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง
</br><math> \delta L(q,\dot{q},t) = \sum_i p_i\delta\dot{q}_i - \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial H}{\partial t}\delta t</math></br>
นอกจากนั้นเราพบว่า
</br><math> \frac{\partial L}{\partial q_i} = - \frac{\partial H}{\partial q_i}</math></br>
และ
</br><math> \frac{\partial L}{\partial t} = - \frac{\partial H}{\partial t}</math></br>
ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร <math>q_i</math> และ <math>t</math> ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์
ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์
การแปลงแบบคาโนนิคัล.
การแปลงแบบคาโนนิคัลอาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากระบบพิกัดที่เป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน หรือที่เรียกกันว่า ระบบพิกัดคาโนนิคัล เนื่องจากการแก้ไขปัญหาทางกลศาสตร์บางครั้งทำได้ยาก แต่ถ้าเราแปลงระบบพิกัดหรือโมเมนตัมให้เหมาะสมก็อาจทำให้การแก้ปัญหาทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลยังคงอยู่ในรูปของคาโนนิคัลเดิมของสมการแฮมิลตัน เป็นการแปลงกลุ่มของพิกัด <math>q_i</math> ไปเป็นกลุ่มพิกัดใหม่ <math>Q_i</math> ซึ่งการแปลงมีรูปแบบเป็น <math>Q_i=Q_i</math> และ <math>P_i=P_i</math>
กล่าวได้ว่า การที่จะทราบระบบพิกัดใหม่ได้ จำเป็นที่จะต้องทราบระบบพิกัดเดิมและโมเมนตัมเดิม การแปลงนี้ที่จะต้องพิจารณา คือ การแปลงที่ทำให้ทั้ง <math>Q</math> และ <math>P</math> ใหม่ที่จะได้ต่างก็เป็นพิกัดคาโนนิคัล ซึ่งหมายความว่า ระบบพิกัดใหม่ที่ได้ต้องเป็นไปตามสมการแฮมิลตัน นั่น คือ จะต้องมีฟังก์ชัน <math>K</math> ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
<math>\begin{align}
\dot{\mathbf{Q_i}} &= \frac{\partial K}{\partial \mathbf{P_i}} \\
\end{align}</math>
จะเห็นได้ว่าฟังก์ชัน <math>K</math> ก็คือ ฮามิลโทเนียนในระบบพิกัดใหม่นั่นเอง เรียกการแปลงที่ทำให้สมการข้างต้นทั้งสองเป็นจริงว่า การแปลงแบบคาโนนิคัล
การจะแปลงจากพิกัดและโมเมนตัมเก่าไปเป็นระบบพิกัดและโมเมนตัมใหม่นั้น จะต้องมีฟังก์ชันก่อกำเนิด เป็นฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเดิมกับตัวแปรอิสระใหม่ จะแบ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลออกเป็น 4 รูปแบบตามปริภูมิเฟสที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งการกำหนดฟังก์ชันจะอาศัยหลักการของการแปลงเลอจองด์
1. <math>G \equiv G_{1}(\mathbf{q}, \mathbf{Q}, t)</math>
2. <math>G \equiv -\mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{2}(\mathbf{q}, \mathbf{P}, t)</math>
3. <math>G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)</math>
4. <math>G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)
</math>
ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน.
การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ.
ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน
</br><math>L(x,\dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2}k x^2</math></br>
โดย <math>x(t)</math> คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ <math>k</math> คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด <math>x(t)</math> คือ
</br><math>p = \frac{\partial L(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}</math></br>
ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด <math>x(t)</math> ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้
</br><math>\dot{x} = \frac{p}{m}</math></br>
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
</br><math> H (x,p) = p \dot{x}(p) - L (x,\dot{x}(p)) = p \frac{p}{m} - \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2 </math></br>
สังเกตว่า
</br><math> H (x,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2 = T(p) + V(x)</math></br>
เมื่อ <math>T(p)</math> คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ <math>V(x)</math> คือพลังงานศักย์ของระบบ
การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential).
แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)
</br><math> V = V(r) </math></br>
ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า
</br><math> q_1(t) = r(t), \qquad q_2(t) = \theta(t),\qquad q_3(t) = \phi(t) </math></br>
การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน (รอบแกนใด ๆ ก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้น ๆ ไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ
</br><math> L\left(r,\phi\right) = \frac{1}{2}m \left(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - V(r) </math></br>
ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ
</br><math> p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r} </math></br>
และ
</br><math> p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = mr^2 \dot{\phi} </math></br>
โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ
</br><math> \dot{r} = \frac{p_r}{m} </math></br>
</br><math> \dot{\phi} = \frac{p_\phi}{m r^2} </math></br>
สังเกตว่าอัตราเร็ว <math>\dot{\phi}</math> เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด <math>\phi</math> เองและฟังก์ชันของพิกัด <math>r</math> ด้วย
ในกรณีนี้จะได้
</br><math>H(r,\phi,p_r,p_\phi) = \frac{p_r^2}{2 m} +\frac{p_\phi^2}{2 m r^2} + V(r)</math></br>
ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน
อนุภาคในสนามไฟฟ้า.
สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมาก ๆ (<math>v « c</math>) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ
</br><math> L\left(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}\right) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2 - e\phi(r)</math></br>
โดยที่ <math>e</math> คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค <math>\phi = \phi(r)</math> คือศักย์สเกลาร์
ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
</br><math> \mathbf{p}_r = m \dot\mathbf{r} </math></br>
ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum <math>m \dot{r}</math> ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
</br><math> H(\mathbf{r},\mathbf{p}) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2 + e\phi(r) = \frac{\mathbf{p}_r^2}{2m} + e\phi(r) </math></br>
ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์ (เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค) และพลังงานศักย์ได้
อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก.
เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมาก ๆ (<math>v « c</math>) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
</br><math> L\left(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}\right) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2 - e\phi(r) + \frac{e}{c}\mathbf{A}\cdot\dot{\mathbf{r}}</math></br>
โดยที่ <math>\mathbf{A}=\mathbf{A}(r)</math> คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)
ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
</br><math> \mathbf{p}_r = m \dot\mathbf{r} + \frac{e}{c}\mathbf{A} </math></br>
ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum <math>m \dot{r}</math>
ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
</br><math> H(\mathbf{r},\mathbf{p}) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2 + e\phi(r) = \frac{1}{2m} \left(\mathbf p - \frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + e\phi(r) </math></br>
ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม "พลังงาน" ในรูป <math> \frac{e}{c}\mathbf{A}\cdot\dot{\mathbf{r}}(\mathbf{p}_r) </math> ซึ่งจริง ๆ แล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา (interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
เมื่อใดที่ H = T + V.
ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน <math> H = T + V </math> เมื่อ <math>T</math> คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ <math>V</math> คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก
กรณีทั่วไป.
เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใด ๆ อยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
</br><math> L(q,p) = T(\dot{q}^2) - V(q)</math></br>
และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น
</br><math>T(\dot{q}) = \frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}\dot{q}_i\dot{q}_k </math></br>
โดยที่ <math>a_{ik}=a_{ik}(q)</math> อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ
</br><math> p_i(q,p) = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} = \sum_{k}a_{ik}\dot{q}_k </math></br>
ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้
</br><math> q_i(q,p) = f_i(q,p,t) </math></br>
เมื่อ <math>f_i(q,p)</math> คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า
</br><math>\sum_{i} \dot{q}_i p_i = \sum_{i,k}\dot{q}_i a_{ik}\dot{q}_k = 2 T</math></br>
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น
</br><math> H(q,p) = \sum_{i} \dot{q}_i p_i - L = 2T - (T-V) = T(p) + V(q) </math></br>
โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง (และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)
สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป
</br><math> L(q,\dot{q},t) = \frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}\dot{q}_i\dot{q}_k + \sum_i b_i \dot{q}_i - V(q)</math></br>
โดยที่ <math>a_{ik}</math> และ <math>b_i</math> อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า
</br><math> p_i = \sum_{k} a_{ik}\dot{q}_k + b_i </math></br>
ดังนั้น
</br><math> H(q,p,t)= \sum{p_i \dot{q}_i} - L = 2T + \sum_i b_i\dot{q}_i - L = \frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}\dot{q}_i(q,p,t)\dot{q}_k(q,p,t) + V(q) </math></br>
สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น (linear) ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้ "วิธีลัด" <math>H=T+V</math>
ตัวอย่าง.
ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน
</br><math> L\left(r,\phi\right) = \frac{1}{2}m \left(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - V(r) </math></br>
เป็นฟังก์ชันของ <math> \dot{r}^2, \dot{\phi}^2, r</math> โดย <math> a_{rr} = m </math> และ <math> a_{\phi\phi} = m r^2 </math> ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้
ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม <math>\frac{e}{c}\mathbf{A}\cdot\dot{\mathbf{r}}</math> ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์
เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์.
สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา
ตัวอย่าง.
เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว 
</br><math> L(q,\lambda \dot{q}) = \lambda L(q,\dot{q}) </math></br>
เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า
</br><math> p\dot{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} = L </math></br>
ดังนั้น
</br><math> H(q,p) = p \dot{q}-L(q,p) = L - L = 0 </math></br>
อนุภาค relativistic.
ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา <math>t</math> เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์ <math> \tau</math> ใด ๆ ในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ
</br><math> x^\mu = x^\mu(\tau) = \left(t(\tau),\mathbf{x}(\tau)\right)\qquad\qquad \mu=0,1,2,3 </math></br>
สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ  คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์  มีค่าเป็นหนึ่ง
ในกรณีที่เราเลือก <math>\tau</math> ที่ทำให้
</br><math> \sum_\mu \dot{x}^\mu \dot{x}_{\mu} \equiv \sum_{\mu}\frac{d x^\mu}{d \tau}\frac{d x_\mu}{d \tau} = 1 </math></br>
เราจะสามารถใช้ <math>\tau</math> เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร <math> \dot{x}^\mu = \frac{d x^\mu}{d \tau} </math>
ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ
</br><math> L(\dot{x}) = m\sqrt{ \sum_\mu \dot{x}^\mu \dot{x}_{\mu}} </math></br>
เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว
</br><math> L(\lambda\dot{x}) = m\sqrt{ \sum_\mu \lambda\dot{x}^\mu \lambda\dot{x}_{\mu} } = \lambda m\sqrt{ \sum_\mu \dot{x}^\mu \dot{x}_{\mu}} = \lambda L(\dot{x})</math></br>
โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime <math>(\dot{x}^\mu)</math> คือ
</br><math> p_\mu(\tau) = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu} = \frac{m \dot{x}_\mu} {\sqrt{\sum_\nu \dot{x}^\nu\dot{x}_\nu}} </math></br>
เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
</br><math> H(x,p) = \sum_\mu \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu} \dot{x}^\mu - L = L-L = 0 </math></br>
สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ
</br><math> p_\mu(\lambda \dot{x}) = \frac{m \lambda \dot{x}_\mu} {\sqrt{\sum_\nu \lambda^2\dot{x}^\nu\dot{x}_\nu}} = p_\mu(\dot{x})</math></br>
ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ <math>\dot{x}^\mu</math> ที่ลากระหว่างจุด <math>\dot{x}^\mu</math> ใดๆกับจุด <math>\lambda\dot{x}^\mu</math> จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุด ๆ เดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค
</br><math> p^2 \equiv \sum_\mu p_\mu p^\mu = \frac{m \dot{x}_\mu} {\sqrt{\sum_\nu \dot{x}^\nu\dot{x}_\nu}} \frac{m \dot{x}^\mu} {\sqrt{\sum_\sigma \dot{x}^\sigma\dot{x}_\sigma}} = m^2 </math></br>
ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า
</br><math> p^2 = E^2 - \mathbf{p}^2 = m^2 </math></br>
ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface
ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค) ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน
วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่.
ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์  ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่ <math>i</math> และหลักที่ <math>j</math> คือ
</br><math> \frac{\partial{p_i}}{\partial\dot{q}_j} = \frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_j \partial \dot{q}_i} \qquad\qquad i,j = 1,2,3...N </math></br>
โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้
</br><math> \dot{q}_i = \dot{q}_i(q,p,t) \qquad\qquad i=1,2...,N </math></br>
ก็ต่อเมื่อ
</br><math> \text{det}\left(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_j \partial \dot{q}_i}\right) \neq 0 </math></br>
ส่วนในกรณีที่
</br><math> \text{det}\left(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_j \partial \dot{q}_i}\right) = 0 </math></br>
เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง
ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบี.
การแปลงระบบพิกัดแบบคาโนนิคัลเป็นวิธีอันหนึ่งที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ โดยหากแฮมิลโทเนียนของระบบเป็นปริมาณอนุรักษ์ ก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้ด้วยการแปลงระบบพิกัดนั้นไปยังระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่ที่มีระบบพิกัดเป็นไซคลิก การแก้ปัญหาด้วยวิธีการแปลงแบบคาโนนิคัลที่เหมาะสม จนทำให้ระบบพิกัดและโมเมนตัม <math></math> ที่เวลาใด ๆ เป็นปริมาณคงตัว ซึ่งปริมาณที่คงตัวนี้อาจจะเป็นค่าของพิกัดและโมเมนตัมที่เวลาเริ่มต้น <math></math> การแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดชุดของสมการของการแปลงที่มีรูปแบบเป็น
<math>q=q</math> -----1
<math>p=p</math> -----2
สมการที่ 1 และ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัมที่เวลา t ใด ๆ กับพิกัดและโมเมนตัมขณะเริ่มต้นซึ่งคงตัว แสดงให้เห็นว่าทั้งพิกัดและโมเมนตัมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น สมการ 1 และ 2 จะเป็นคำตอบของปัญหา หากแฮมิลโทเนียนในระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่มีค่าเป้นศูนย์ จะทำให้ตัวแปรใหม่มีค่าคงตัว นั่นคือ
<math>\begin{align}
\dot{\mathbf{Q_i}} &= \frac{\partial K}{\partial \mathbf{P_i}} &= 0 \\
\dot{\mathbf{P_i}} &= -\frac{\partial K}{\partial \mathbf{Q_i}} &= 0
\end{align}</math>
เมื่อ <math>K</math> เป็นแฮมิลโทเนียนใหม่ และ<math></math> เป็นกลุ่มของตัวแปรใหม่ที่ได้จากการแปลง และเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแฮมิลโทเนียนเก่า<math>(H)</math> และแฮมินโทเนียนใหม่<math>(K)</math> ได้ดังสมการ
<math>
K = H + {\partial F \over \partial t}</math>
โดย <math>F</math> เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ดังนั้น ถ้า <math>K = 0</math> ฟังก์ชัน <math>F</math>จะเป็นไปตามสมการ
<math>H(q,p,t) + {\partial F \over \partial t }=0
</math>
ซึ่งมีแนวคิดทฤษฎีมาจากการแปลงคาโนนิคัลที่ใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดชนิดที่ 2 คือเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปเดิมและโมเมนตัมทั่วไปใหม่ จะเขียนความสัมพันธ์ได้เป็น
โดยที่ <math>S = S(q_1,q_2,\ldots, q_N, t)</math> เป็นฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน (Hamilton's principal function)
สมการแฮมิลตัน – จาโคบีสามารถแก้ปัญหาการเคลื่อนที่การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วงได้
วงเล็บปัวส์ซอง.
เนื่องจากสมการการเคลื่อนที่ของสมการของแฮลมิลตันสามารถให้หาการขึ้นกับเวลาของ <math> (q_i,\, p_i)</math> ในปริภูมิเฟส จากความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถหาสมการการเคลื่อนที่ของฟังก์ชัน F(q, p; t) ใด ๆ ได้โดยใช้วงเล็บปัวส์ซอง (Poisson bracket) เสนอโดย Siméon Denis Poisson (1781–1840)
สำหรับฟังก์ชัน <math> f(p_i,\, q_i, t)</math> และ <math> g(p_i,\, q_i, t)</math> ใดที่ขึ้นกับตัวแปรคาโนนิคัล (q, p) เขียนนิยามของวงเล็บปัวส์ซองได้เป็น
<math>\{f, g\} = \sum_{i=1}^{N} \left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}\right)</math>
สมบัติของสมการวงเล็บปัวส์ซองที่เป็นพื้นฐานและถูกใช้บ่อย คือ
<math>\begin{align}
 \{q_i,q_j\} &= 0 \\
 \{p_i,p_j\} &= 0 \\
\end{align}</math>
โดยที่ "δ" คือ Kronecker delta
สมบัติของวงเล็บปัวส์ซอง.
1) <math>\{f, f\} = 0</math>
2) <math>\{f, g\} = -\{g, f\}</math>
3) <math>\{f + g, h\} = \{f, h\} + \{g, h\}</math>
4) <math>\{fg, h\} = \{f, h\}g + f\{g, h\}</math>
5) <math>\{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0</math>
พี.เอ.เอ็ม.ดิเรก (P.A.M.Direc) พบว่าวงเล็บปัวส์ซองในแบบกลศาสตร์คลาสสิคมีความเชื่อมโยงกันกับวงเล็บการสลับที่ของกลศาสตร์ควอนตัม โดย พี.เอ.เอ็ม.ดิเรกสามารถที่จะกำหนดค่าวงเล็บปัวส์ซองในกลศาสตร์คลาสสิคได้จากการสลับที่ของตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแสดงความหมายว่ากลศาสตร์คลาสสิคอยู่ในขอบเขตที่ค่าคงที่แพลงค์เป็นศูนย์
สมบัติของค่าคงที่ของการเคลื่อนที่.
วงเล็บปัวส์ซองไม่สามารถหาคำตอบของที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ได้ แต่มีประโยชน์มากในการใช้อธิบายและหาสมบัติของการเป็น Constant of motion ของการเคลื่อนที่ โดยค่าคงที่ดังกล่าวนี้จะเปลี่ยนไปกับแฮมิลโทเนียนภายใต้วงเล็บปัวส์ซอง สมมติว่าฟังก์ชัน "f(p, q)" เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ หมายความว่า ถ้า "p(t)", "q(t)" เป็นวิธีการแก้สมการแฮมิลโทเนียนของการเคลื่อนที่ ดังนั้น
<math>0 = \frac{\text{d}f}{\text{d}t}</math>
ตลอดการเคลื่อนที่ จากนั้น
<math>0 = \frac{\text{d}}{\text{d}t} f(p,q) = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}</math>