ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส  เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่าอนุพันธ์และปริพันธ์ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน 
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถแบ่งได้เป็นสองส่วน ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก (First fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง <math>f</math> ใด ๆ ปฏิยานุพันธ์ของ <math>f</math> สามารถหาได้จากการอินทิเกรต <math>f</math> เหนือช่วงสักช่วง แล้วให้ขอบเขตบนของการอินทิเกรตเป็นตัวแปรของฟังก์ชัน
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง (Second fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าปริพันธ์ของฟังก์ชัน <math>f</math> เหนือช่วงสักช่วง จะเท่ากับผลต่างของค่าของปฏิยานุพันธ์ของ <math>f</math> ที่จุดขอบของช่วง 
ทฤษฎีบททั้งสองเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัส ผลสืบเนื่องสำคัญของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน
ภาพโดยทั่วไป.
โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่น ๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม
เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน "x"("t") เมื่อ "t" คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ ของ "x" ต่อช่วงเวลาที่น้อยมาก ๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว "v" ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ
<math>\frac{dx}{dt} = v(t) </math>
เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้
<math>dx = v(t)\,dt </math>
จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน "x" ที่เรียกว่า <math>\Delta x</math> คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ "dx" มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมาก ๆ
ผลรวมอนันต์นี้ คือ ปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้
เนื้อหาของทฤษฎีบท.
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสมีสองส่วน
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก.
ให้ <math>f</math> เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด <math>[a,b]</math> และ <math>F</math> เป็นฟังก์ชันบนช่วง <math>[a,b]</math> นิยามโดย
<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt</math> สำหรับทุก <math>a \leq x \leq b</math>
แล้ว <math>F</math> ต่อเนื่องบน <math>[a,b]</math> ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า <math>f</math> เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน <math>[a,b]</math> แล้ว <math>F</math> หาอุนพันธ์ได้ทุกจุดบน <math>[a,b]</math> และ <math>F'(x) = f(x)\,</math> สำหรับทุก <math>x</math> ในช่วง <math>[a,b]</math>
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง.
ให้ <math>f</math> เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด <math>[a,b]</math> ถ้า <math>f'</math> หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด <math>[a,b]</math> แล้ว
 <math>f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt</math>
สำหรับทุก <math>a \leq x \leq b</math>
บทพิสูจน์.
ส่วนที่ 1.
กำหนดให้
<math>F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt</math>
ให้ "x"1 และ "x"1 + Δ"x" อยู่ในช่วง ["a", "b"] จะได้
<math>F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) dt</math>
และ
<math>F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt</math>
นำทั้งสองสมการมาลบกันได้
<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x_1} f(t) dt \qquad (1)</math>
เราสามารถแสดงได้ว่า
<math>\int_{a}^{x_1} f(t) dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt </math>
(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)
ย้ายข้างสมการได้
<math>\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x_1} f(t) dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt </math>
นำไปแทนค่าใน (1) จะได้
<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt \qquad (2)</math>
ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี "c" อยู่ในช่วง ["x"1, "x"1 + Δ"x"] ที่ทำให้
<math>\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = f(c) \Delta x </math>
แทนค่าลงใน (2) ได้
<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,</math>
หารทั้งสองข้างด้วย Δ"x" จะได้
<math>\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c) </math>
สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ "F" ที่ "x"1
ใส่ลิมิต Δ"x" → 0 ทั้งสองข้างของสมการ
<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) </math>
สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ "F" ที่ "x"1
<math>F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) \qquad (3) </math>
เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า "c" อยู่ในช่วง ["x"1, "x"1 + Δ"x"] ดังนั้น "x"1 ≤ "c" ≤ "x"1 + Δ"x"
จาก <math>\lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1</math> และ <math>\lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1</math>
ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า
<math>\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1</math>
แทนค่าลงใน (3) จะได้
<math>F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)</math>
ฟังก์ชัน "f" มีความต่อเนื่องที่ "c" ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น
<math>F'(x_1) = f(x_1) \,</math>
จบการพิสูจน์
ส่วนที่ 2.
ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์
ให้ "f" เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง ["a", "b"] และ "F" เป็นปฏิยานุพันธ์ของ "f" พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้
<math>F(b) - F(a)\,</math>
ให้ <math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b</math> จะได้
<math>F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,</math>
แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้
<math>\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\
& = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \, \end{matrix}</math>
เขียนใหม่เป็น
<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F(x_i) - F(x_{i-1})] \qquad (1)</math>
เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า
ให้ "f" เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง ["a", "b"] และมีอนุพันธ์บนช่วง ("a", "b") แล้ว จะมี c อยู่ใน ("a", "b") ที่ทำให้ 
<math>f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>
และจะได้
<math>f'(c)(b - a) = f(b) - f(a) \,</math>
ฟังก์ชัน "F" เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง ["a", "b"] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง "x""i"-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้
<math>F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,</math>
แทนค่าลงใน (1) จะได้
<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]</math>
จาก <math>F'(c_i) = f(c_i)\,</math>
และ <math>x_i - x_{i-1}</math> สามารถเขียนในรูป <math>\Delta x</math> ของผลแบ่งกั้น <math>i</math>
<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)] \qquad (2)</math>
สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง
สังเกตอีกว่า <math>\Delta x_i</math> ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุก ๆ ค่าของ <math>i</math> หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม <math>n</math> รูป เมื่อขนาดของส่วนต่าง ๆ เล็กลง และ <math>n</math> มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่าง ๆ มากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริง ๆ ของเส้นโค้ง
โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่าง ๆ นี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่น ๆ มีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์
ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้
<math>\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)]\,dx</math>
ทั้ง "F"("b") และ "F"("a") ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ "F"("b") - "F"("a")
<math>F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)]</math>
และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึง อินทิกรัลของ "f" จาก "a" ไป "b" ดังนั้น เราจะได้
<math>F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx</math>
จบการพิสูจน์
ตัวอย่าง.
ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา
<math>\int_2^5 x^2\;\mathrm{d}x </math>
ให้ <math>f(x)=x^2</math> เราจะได้ <math>F(x)=\frac{x^3}{3}</math> เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น
<math>\int_2^5 x^2\;\mathrm{d}x = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39</math>
ถ้าเราต้องการหา
จะได้ <math>\int_1^3 \frac{dx}{x}=\big[\ln|x|\big]_1^3 =\ln 3-\ln1=\ln 3</math>
นัยทั่วไป.
เราไม่จำเป็นต้องให้ <math>f</math> ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า <math>f</math> เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง <math>[a, b]</math> และ <math>x_0</math> เป็นจำนวนในช่วง <math>[a, b]</math> ซึ่ง <math>f</math> ต่อเนื่องที่ <math>x_0</math> จะได้
<math>F(x) = \int_a^x f(t)\;\mathrm{d}t</math>
สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ <math>x=x_0</math> และ <math>F(x_0)=f(x_0)</math> เราสามารถคลายเงื่อนไขของ <math>f</math> เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน <math>F</math> นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ <math>F'(x)=f(x)</math> จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก
ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน <math>f</math> ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ <math>F</math> (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)
ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ <math>U</math> เป็นเซตเปิดใน <math>\mathbb{C}</math> และ <math>f:U\to\mathbb{C}</math> เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ <math>F</math> ใน <math>U</math> ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง <math>\gamma : [a,b] \to U</math> ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก
<math>\oint_{\gamma} f(z) \;\mathrm{d}z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))</math>
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้ผ่านทฤษฎีบทของสโตกส์