อนุพันธ์อันดับสอง

ในแคลคูลัส อนุพันธ์อันดับสอง  ของฟังก์ชัน "f" คือ อนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ "f" อนุพันธ์อันดับสองสามารถกล่าวในลักษณะไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขณะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา 
ในสัญกรณ์ไลบ์นิซ<math display="block">a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}</math>โดยที่ "a" คือ ความเร่ง, "v" คือ ความเร็ว, t คือ เวลา, "x" คือ ตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย <math>\tfrac{d^2 x}{dt^2}</math> คือ อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง ("x") เทียบกับเวลา
บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับความโค้ง หรือความเว้าของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าบนในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม
กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง.
กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้<math display="block">\frac{d^2}{dx^2} x^n = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx} x^n = \frac{d}{dx} \left(n x^{n-1}\right) = n \frac{d}{dx} x^{n-1} = n(n - 1)x^{n-2}</math>
สัญกรณ์.
อนุพันธ์อันดับสองของ <math>f(x)</math> โดยมากจะเขียนเป็น <math>f"(x)</math> ซึ่งคือ
<math display="block">f" = \left(f'\right)' </math>
เมื่อใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม y เทียบตัวแปรอิสระ x จะเขียนได้ว่า<math display="block">\frac{d^2y}{dx^2} </math>ที่มาของสัญกรณ์นี้คือ<math display="block">\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) </math>
ตัวอย่าง.
เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน
<math display="block">f(x) = x^3</math>
อนุพันธ์ของ <math>f</math> คือ ฟังก์ชัน
<math display="block">f'(x) = 3x^2</math>
อนุพันธ์อันดับสองของ <math>f</math> คือ อนุพันธ์ของ <math>f'</math> กล่าวคือ
<math display="block">f"(x) = 6x</math>
ความสัมพันธ์กับกราฟ.
ความเว้า.
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน "f" สามารถใช้เพื่อกำหนด ความเว้า ของกราฟของ <math>f</math> ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียก "เว้าบน" (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่าใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน เส้นสัมผัสจะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเรียกว่า "เว้าล่าง" (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสใกล้กับจุดที่สัมผัสจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน
จุดเปลี่ยนเว้า.
ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าล่างไปเป็นเว้าบนหรือกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วอนุพันธ์อันดับสองต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใด ๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง.
ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่าจุดนิ่งของฟังก์ชัน (คือ จุดที่ <math>f'(x) = 0</math>) ว่าใช่ค่าสูงสุดเฉพาะที่หรือค่าต่ำสุดเฉพาะที่ไหม
เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด
ลิมิต.
สามารถเขียนลิมิตเพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้<math display="block">f"(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}</math>ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองโดยนิยามปกติจะหาไม่ได้ก็ตาม
นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็นผลหารเชิงผลต่างของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้<math display="block">\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} - \dfrac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}</math>ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปแบบที่ต่อเนื่องของผลต่างอันดับสองของลำดับ
-1 & \text{if } x < 0, \\
0 & \text{if } x = 0, \\
1 & \text{if } x > 0 
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) - 2\cdot 0 + \sgn(-h)}{h^2} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) + (-\sgn(h))}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0
\end{align}</math>
การประมาณกำลังสอง.
เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการประมาณเส้นตรง อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน "f" เป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ "f" ที่จุดหนึ่ง ๆ สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ "f" รอบ ๆ จุด "x" = "a" คือ<math display="block">f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{1}{2} f"(a)(x-a)^2</math>การประมาณกำลังสองคือพหุนามเทย์เลอร์อันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ "x" = "a"
ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง.
เงื่อนไขขอบจำนวนมากสามารถหาสูตรสำหรับค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสองออกมาได้โดยชัดแจ้ง สมมติให้ <math>x \in [0,L]</math> และเงื่อนไขขอบดิริชเลต์เอกพันธ์ุ (เช่น <math> v(0) = v(L) = 0</math> โดยที่ "v" เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) ค่าเฉพาะเป็น <math> \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}</math> และเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันเฉพาะ) คือ <math> v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right) </math> จะได้ <math> v"_j(x) = \lambda_j v_j(x)</math> เมื่อ 
สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง
การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น.
เมทริกซ์เฮสเซียน.
อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน "f": R3 → R อนุพันธ์ย่อยอันดับสองประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยดังนี้
<math display="block">\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} </math>
และอนุพันธ์ย่อยผสม
<math display="block">\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; 
\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}</math>
ในบางกรณี เช่นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองทุกตัวเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราสามารถนำอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดประกอบกันเป็นเมทริกซ์สมมาตร เรียกว่า เมทริกซ์เฮสเซียน ค่าเฉพาะของเมทริกซ์นี้สามารถใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง)
ตัวดำเนินการลาปลาส.
การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสอง คือ ตัวดำเนินการลาปลาส ซึ่งเป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล <math>\nabla^2</math> (หรือ <math>\Delta</math>) ที่กำหนดโดย
<math display="block">\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
ลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ และเท่ากับรอยของเมทริกซ์เฮสเซียน