เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์

เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ (Euler's identity) หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า สมการของอ็อยเลอร์ (Euler's equation) คือสมการต่อไปนี้:
<math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>
สมการประกอบด้วย:
<math>e\,\!</math> คือ เลขของอ็อยเลอร์ ซึ่งเป็นเลขฐานของลอการิทึมธรรมชาติ 
<math>i\,\!</math> คือ หน่วยจินตภาพ: หนึ่งในจำนวนเชิงซ้อนที่ยกกำลังสองแล้วได้ −1 (อีกตัวคือ <math>-i\,\!</math>)
<math>\pi\,\!</math> คือ พาย : อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง ต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม
เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ เป็นเอกลักษณ์ที่ตั้งชื่อตามเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวสวิส ได้ชื่อว่าเป็น สมการคณิตศาสตร์ที่สวยที่สุด) เนื่องจากสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ของค่าคงที่ทั้ง 5 ตัว (<math>e\,\!</math>, <math>i\,\!</math>, <math>\pi\,\!</math>, 1, 0) อันเป็นค่าคงที่และตัวเลขที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์
ความงามทางคณิตศาสตร์.
เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์มักถูกอ้างถึงเป็นตัวอย่างของ "ความงามทางคณิตศาสตร์"ที่ลึกซึ้ง มีเอกลักษณ์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน 3 อย่างเกิดขึ้นอย่างละหนึ่งครั้ง: การบวก การคูณ และ การยกกำลัง เอกลักษณ์ยังเชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานห้าประการเข้าไว้ด้วยกัน: 
ยิ่งไปกว่านั้นสมการถูกกำหนดในรูปแบบของการแสดงออกมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นเรื่องที่นิยมทำกันในคณิตศาสตร์
 ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด กล่าวว่า "เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์เปรียบเสมือนโคลงของเชกสเปียร์ ที่รวบรวมแก่นแท้ของความรัก หรือ ภาพวาดที่แสดงความงามของร่างมนุษย์ที่อยู่ไกลเกินผิวหนัง ส่วนสมการของอ็อยเลอร์ ได้ดำดิ่งไปดูความเป็นจริงของสรรพสิ่ง"
 ศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัยนิวแฮมป์เชียร์ ผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับสูตรของอ็อยเลอร์และการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ อธิบายถึงอัตลักษณ์ของอ็อยเลอร์ว่าเป็น "ความงามที่งดงาม"
 นักเขียนวิชาคณิตศาสตร์ ได้ให้ความเห็นว่าอัตลักษณ์ของอ็อยเลอร์คือ "สูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด" และ Benjamin Peirce นักปรัชญาชาวอเมริกัน นักคณิตศาสตร์ และ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ในศตวรรษที่ 19 กล่าวไว้หลังจากพิสูจน์เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ ในระหว่างการบรรยาย ระบุว่าอัตลักษณ์ "นั้นขัดแย้งกันจริง ๆ เราไม่เข้าใจและเราไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไร แต่เราได้พิสูจน์มันแล้ว ดังนั้นเราจึงรู้ว่ามันต้องเป็นความจริง"
แบบสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย ' ในปี ค.ศ.1990 ได้จัดอัตลักษณ์ของอ็อยเลอร์ให้เป็น "ทฤษฎีบทที่สวยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์" ในการสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย ' ในปี ค.ศ.2004 มีการพบว่าเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์มีความเชื่อมโยงกับสมการของแม็กเวลล์ (ของแม่เหล็กไฟฟ้า) ในฐานะ "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เคยมีมา"
การศึกษาสมองของนักคณิตศาสตร์สิบหกคนพบว่า "สมองส่วนควบคุมอารมณ์" (โดยเฉพาะคือเยื่อหุ้มสมอง orbitofrontal ซึ่งส่องสว่างขึ้นสำหรับดนตรีบทกวีรูปภาพ ฯลฯ) สว่างขึ้นเมื่อดูเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์มากกว่าสูตรอื่น ๆ
หนังสืออย่างน้อยสามเล่มที่เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ยอดนิยม ได้ตีพิมพ์เกี่ยวกับเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์:
คำอธิบาย.
เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพ.
โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ แสดงออกว่า <math>e^{i\pi}</math>มีค่าเท่ากับ −1. นิพจน์ <math>e^{i\pi}</math>คือ รูปพิเศษหนึ่งของ <math>e ^ {z}</math> โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว <math>e ^ {z}</math> ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:
<math>e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n.</math>
เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้, <math>(1 + i\pi/n)^n</math>จะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา
เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของอ็อยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:
<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
สำหรับจำนวนจริง <math>x</math> ถ้าเราให้ <math>x = \pi</math> จะได้
<math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!</math>
จากนิยามของ
<math>\cos \pi = -1\,\!</math>
และ
<math>\sin \pi = 0\,\!</math>
เราจะได้
 <math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math> หรือ <math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>