รากที่สองของสอง

รากที่ 2 ของ 2 หรือที่รู้จักในชื่อ ค่าคงตัวของพีทาโกรัส เขียนแทนด้วย <math>\sqrt2</math> เป็นจำนวนจริงบวก ที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 มีค่าประมาณ 1.414213562373095
ในทางเรขาคณิต รากที่สองของสองคือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย ความยาวนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งรากที่สองของสองนี้ถือเป็นจำนวนอตรรกยะจำนวนแรกที่เป็นที่รู้จัก
ประวัติ.
จากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาวบาบิโลนเผยให้เห็นค่าประมาณของ <math>\sqrt2</math> ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ <math>\frac{1}{60}</math> จำนวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียงถึงทศนิยมตำแหน่งที่หก
 <math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.</math>
บันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาวอินเดียโบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล) ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วยหนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้น:-
 <math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.</math>
การค้นพบจำนวนอตรรกยะนี้ ถือเป็นผลงานที่สำคัญของฮิปปาซุส (ศิษย์ในสำนักของพีทาโกรัส) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของสอง เป็นที่เชื่อกันตามคำกล่าวว่าพีทาโกรัสเชื่อในความสมบูรณ์แบบของจำนวนและทำให้ไม่ยอมรับในการค้นพบจำนวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าพีทาโกรัสจะไม่สามารถพิสูจน์ความไม่มีอยู่ของจำนวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหารฮิปปาซุสโดยการกดน้ำ ตำนานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้ำโดยศิษย์คนอื่นของพีทาโกรัส หรืออาจถูกขับออกจากสำนัก
วิธีการทำ.
นักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีการคำนวณรากที่สองของสองในรูปแบบต่าง ๆ กันเพื่อเขียนค่าประมาณใกล้เคียงของรากที่สองของสองออกมาในรูปของอัตราส่วนของจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยม หนึ่งในวิธีการที่ถือว่าเป็นเบื้องต้นที่สุดคือขั้นตอนวิธีของบาบิโลเนียเพื่อคำนวณรากที่สองของสอง ซึ่งถือเป็นพื้นฐานการคำนวณของคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข ขั้นตอนวิธีเพื่อหารากที่สอง (อาจใช้เพื่อหารากที่สองของจำนวนใด ๆ ไม่เฉพาะของสอง) ดังกล่าวสามารถทำได้ดังนี้
 <math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n} </math>
ในปี ค.ศ. 1997 ทีมของยาซูมาสะ คานาดะได้คำนวณค่าของ √2 แม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 137,438,953,444
เดือนกุมภาพันธ์ปี ค.ศ. 2006 ความท้าทายในการคำนวณค่าของ √2 ได้ถูกทำให้หมดไปด้วยการใช้คอมพิวเตอร์บ้าน ชิเกรุ คอนโดได้คำนวณค่าประมาณใกล้เคียงของ √2 ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 200,000,000,000 ในเวลา 13 วัน 14 ชั่วโมง โดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลขนาด 3.6 GHz และหน่วยความจำ 16 Gb
อย่างไรก็ดี เป็นที่ยอมรับกันทั่วไปว่าในจำนวนค่าคงตัวอตรรกยะทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ถือเป็นความท้าทายต่อนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนในรูปของทศนิยมไม่รู้จบ ค่า π ดูจะเป็นจำนวนที่ถูกประมาณได้แม่นยำละเอียดสูงสุด
การพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะ.
√2 สามารถพิสูจน์ว่าเป็นอตรรกยะได้ผ่านการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง: 
ดังนั้นข้อสมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ นำไปสู่ข้อขัดแย้ง √2 จึงต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ
ขนาดกระดาษ.
√2 ถูกใช้เป็นค่าสัดส่วนของการผลิตกระดาษตามมาตรฐาน ISO 216 (A4, A3, A0, ฯลฯ)สัดส่วนนี้ถูกตั้งขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าทุกครั้งที่ทำการตัดครึ่งตามขวางกระดาษที่มีสัดส่วนเท่ากับ √2 กระดาษที่ถูกตัดจะยังคงมีสัดส่วนยาว:กว้างคงที่ คือ เป็น √2 เท่าเดิม
ความสับสนในภาษาไทย.
คำว่า "ราก" ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีความหมายในเชิงผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ การกล่าวถึง "รากที่สองของสอง" จึงมีความหมายเดียวกับผลลัพธ์ของสมการ x2=2 นั่นคือ +√2 และ -√2
เครื่องหมาย "กรณฑ์" ในทางคณิตศาสตร์ ใช้เพื่อเรียกเครื่องหมาย square root หรือ √ การกล่าวถึง "กรณฑ์ที่สองของสอง" จึงเป็นการหมายถึง รากที่สอง"ที่เป็นบวก"ของสอง นั่นคือ +√2 เท่านั้น
อย่างไรก็ดีในปัจจุบัน การเรียก รากที่สองของสอง แต่ไม่ได้หมายความว่าเป็นรากที่สองอย่างเดียว แต่เป็นรากที่ 8 ด้วย ถูกเข้าใจกันโดยทั่วไปว่าหมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกของสองแต่เพียงอย่างเดียว เพื่อป้องกันความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนจึงจำเป็นต้องอาศัยบริบทในการพิจารณา