ค่าคาดหมาย

สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นแล้ว ค่าคาดหมาย  ของ ตัวแปรสุ่ม คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (weighted average) ของทุก ๆ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม โดยในการคำนวณการถ่วงน้ำหนักจะใช้ค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง หรือใช้ค่าฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็น (probability mass function) สำหรับตัวแปรวิยุต หากกำหนดให้ <math> X </math> เป็นตัวแปรสุ่ม จะแทนค่าคาดหมายของ <math> X </math> ด้วย <math> \operatorname{E}(X) </math> หรือ <math> \mathbb{E}(X) </math> หรือบางครั้งแทนด้วย <math>\mu_x</math> 
ค่าความคาดหมายนี้เมื่อพิจารณาจากกฎว่าด้วยจำนวนมาก ก็คือค่าลิมิตแบบ almost surely ของค่าเฉลี่ยที่ได้จากการสุ่มตัวอย่าง โดยที่จำนวนการสุ่มโตเข้าสู่ค่าอนันต์
หรือกล่าวอย่างไม่เป็นทางการว่า ค่าความคาดหมายคือค่าเฉลี่ยจากการสุ่มวัดที่ทำหลาย ๆ ครั้งมาก ๆ
นิยาม.
ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าจำกัด.
สมมติ ตัวแปรสุ่ม <math> X </math> มีโอกาสมีค่าเป็น <math>x_1</math> ด้วยความน่าจะเป็น <math>p_1</math>, มีโอกาสมีค่าเป็น <math>x_2</math> ด้วยความน่าจะเป็น <math>p_2</math>, ... , มีโอกาสมีค่าเป็น <math>x_k</math> ด้วยความน่าจะเป็น <math>p_k</math> ดังตาราง
ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม "<math> X </math>" จะถูกนิยามได้เป็น
 <math>
 \operatorname{E}[X] = x_1p_1 + x_2p_2 + \ldots + x_kp_k \;
 </math>
ตัวอย่างที่ 1. ให้ "<math> X </math>" เป็นตัวแปรสุ่มแทนหน้าที่ออกจากการทอยลูกเต๋า ค่าที่เป็นไปได้ของ "<math> X </math>" คือ 1, 2, 3, 4, 5, และ 6, โดยแต่ละค่ามีโอกาสออกได้เท่า ๆ กัน (แต่ละค่ามีความน่าจะเป็น 1/6) ค่าคาดหมายของ "<math> X </math>" คือ
 <math>
 \operatorname{E}[X] = 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 + 4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 = 3.5.
 </math>
ดังนั้นถ้าเราทอยลูกเต๋า <math>
 n
 </math> ครั้งและคำนวณค่าเฉลี่ย ของหน้าที่ออกแล้ว ค่าเฉลี่ยนี้จะลู่เข้าสู่ค่าคาดหมายเมื่อ <math>
 n
 </math> ใหญ่ขึ้น
ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าไม่จำกัด.
สมมติ ตัวแปรสุ่ม <math> X </math> มีโอกาสมีค่าเป็น <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, ... ด้วยความน่าจะเป็น <math>p_1</math>, <math>p_2</math>, ... ตามลำดับ
ค่าคาดหมายของ <math> X </math> จะนิยามได้ว่า
 <math>
 \operatorname{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i,
 </math>
ถ้าค่าของอนุกรมนี้ไม่เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ จะเรียกว่า ค่าคาดหมายของ <math> X </math> ไม่ปรากฏ
ตัวอย่างเช่น สมมติ ตัวแปรสุ่ม <math> X </math> มีโอกาสมีค่าเป็น 1, −2, 3, −4, ..., ด้วยความน่าจะเป็น "c"/1², "c"/2², "c"/3², "c"/4², ..., โดย #เปลี่ยนทาง (ค่าของ "c" นี้มีแค่เพื่อทำให้ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมเป็น 1)
ค่าของอนุกรมจะเป็น
 <math>
 \sum_{i=1}^\infty x_i\,p_i = c\,\bigg(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots \bigg)
 </math>
ซึ่งลู่เข้าและลู่เข้าสู่ค่า #เปลี่ยนทาง 
แต่อนุกรมนี้ไม่ได้เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ ดังนี้ค่าคาดหมายของ <math> X </math> ในกรณีนี้จึงไม่มี
ตัวแปรต่อเนื่อง.
เมื่อตัวแปรสุ่ม <math> X </math> มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น <math>
 f(x)
 </math> ค่าคาดหมายของ <math> X </math> สามารถคำนวณได้จาก
 <math>
 \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \operatorname{d}x .
 </math>
 <math>
คุณสมบัติค่าคาดหมาย.
 \operatorname{E}(c) = c
 </math>
 <math>
 \operatorname{E}(X + c) = \operatorname{E}(X) + c
 </math>
 <math>
 \operatorname{E}(X + Y) = \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)
 </math>
 <math>
 \operatorname{E}(cX) = c\operatorname{E}(X)
 </math>
เมื่อ <math> c </math> คือค่าคงที่, <math> X </math> และ <math> Y </math> เป็นตัวแปรสุ่มจากการแจกแจงใด ๆ