ความสูงมาตราส่วน

ในวิทยาศาสตร์บรรยากาศ, วิทยาศาสตร์โลก, และ วิทยาศาสตร์ดาวเคราะห์, ความสูงมาตราส่วน, ซึ่งมักแสดงด้วยตัวอักษร "H", เป็นระยะทาง (ระยะทางแนวตั้ง หรือ รัศมี) ที่ ปริมาณทางกายภาพ จะลดลงด้วยปัจจัย e (ฐานของ ลอการิทึมธรรมชาติ, ซึ่งมีค่าประมาณ 2.718)
ความสูงมาตราส่วนที่ใช้ในแบบจำลองความดันบรรยากาศง่าย ๆ.
สำหรับชั้นบรรยากาศของดาวเคราะห์ ความสูงมาตราส่วนคือการเพิ่มความสูงที่ทำให้ ความดันบรรยากาศ ลดลงด้วยปัจจัย "e" โดยความสูงมาตราส่วนจะคงที่สำหรับอุณหภูมิที่กำหนด สามารถคำนวณได้จาก
<math display="block">H = \frac{k_\text{B}T}{mg}</math>
หรือในรูปแบบสมการเดียวกัน
<math display="block">H = \frac{RT}{Mg}</math>
โดยที่:
ความดัน (แรงต่อหน่วยพื้นที่) ที่ความสูงหนึ่ง ๆ เป็นผลมาจากน้ำหนักของชั้นบรรยากาศที่อยู่เหนือขึ้นไป หากที่ความสูง "z" ชั้นบรรยากาศมี ความหนาแน่น "ρ" และความดัน "P" การเลื่อนขึ้นไปที่ความสูง "dz" จะลดความดันลงเป็นจำนวน "dP" ซึ่งเท่ากับน้ำหนักของชั้นบรรยากาศที่มีความหนา "dz"
ดังนั้น:
<math display="block">\frac{dP}{dz} = -g\rho</math>
โดยที่ "g" คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สำหรับ "dz" ขนาดเล็กสามารถสมมติว่า "g" เป็นค่าคงที่ เครื่องหมายลบหมายถึงเมื่อความสูงเพิ่มขึ้น ความดันจะลดลง ดังนั้น โดยใช้ สมการสถานะ สำหรับ ก๊าซอุดมคติ ที่มีมวลโมเลกุลเฉลี่ย "M" ที่อุณหภูมิ "T" ความหนาแน่นสามารถแสดงเป็น
<math display="block">\rho = \frac{MP}{RT}</math>
การรวมสมการเหล่านี้จะให้ผลลัพธ์เป็น
<math display="block">\frac{dP}{P} = \frac{-dz}{\frac{k_\text{B}T}{mg}}</math>
ซึ่งสามารถรวมกับสมการของ "H" ที่กำหนดไว้ข้างต้นได้ว่า:
<math display="block">\frac{dP}{P} = - \frac{dz}{H}</math>
ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงเว้นแต่อุณหภูมิจะเปลี่ยน การรวมสมการข้างต้นและสมมติว่า "P"0 คือความดันที่ความสูง "z" = 0 (ความดันที่ ระดับน้ำทะเล) ความดันที่ความสูง "z" สามารถเขียนได้ว่า:
<math display="block">P = P_0\exp\left (-\frac{z}{H}\right) </math>
ซึ่งแปลว่าความดันจะ ลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล ตามความสูง
ใน ชั้นบรรยากาศของโลก ความดันที่ระดับน้ำทะเล "P"0 มีค่าเฉลี่ยประมาณ #เปลี่ยนทาง 
, มวลโมเลกุลเฉลี่ยของอากาศแห้งเท่ากับ 28.964 u ดังนั้น m = 28.964 × #เปลี่ยนทาง 
 = #เปลี่ยนทาง 
 เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิ ความสูงมาตราส่วนของชั้นบรรยากาศโลกคือ "H"/"T" = "k"/"mg" = (1.38/ (4.808×9.81)) ×103 = #เปลี่ยนทาง 
 ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นความสูงมาตราส่วนต่อไปนี้สำหรับอุณหภูมิอากาศที่เป็นตัวแทน
ตัวเลขเหล่านี้ควรเปรียบเทียบกับอุณหภูมิและความหนาแน่นของชั้นบรรยากาศโลกที่พล็อตใน NRLMSISE-00 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นของอากาศลดลงจาก 1200 g/m3 ที่ระดับน้ำทะเลเหลือ 0.53 = 0.125 g/m3 ที่ความสูง 70 กม. ซึ่งเป็นปัจจัย 9600 บ่งชี้ความสูงมาตราส่วนเฉลี่ยที่ 70/ln (9600) = 7.64 กม. ซึ่งสอดคล้องกับค่าเฉลี่ยอุณหภูมิอากาศในช่วงนั้นที่ใกล้เคียงกับ 260 K
หมายเหตุ:
ตัวอย่างของดาวเคราะห์.
ความสูงมาตราส่วนโดยประมาณสำหรับดาวเคราะห์ในระบบสุริยะที่เลือก:
<templatestyles src="Div col/styles.css"/>
ความสูงมาตราส่วนในดิสก์บาง.
สำหรับดิสก์ของก๊าซรอบวัตถุกลางที่ควบแน่น เช่น ดาวฤกษ์เริ่มต้น สามารถคำนวณระยะชั้นดิสก์ซึ่งคล้ายคลึงกับระยะชั้นของดาวเคราะห์ได้ เราเริ่มจากดิสก์ก๊าซที่มีมวลน้อยกว่าวัตถุกลางอย่างมาก เราสมมุติว่าดิสก์อยู่ในสมดุลไฮโดรสแตติกกับส่วนประกอบ "z" ของแรงโน้มถ่วงจากดาวฤกษ์ โดยที่แรงโน้มถ่วงจะชี้ไปที่กลางดิสก์:
<math display="block">\frac{dP}{dz} = - \frac{GM_*\rho z}{ (r^2+z^2) ^{3/2}}</math>
โดยที่:
ในกรณีที่ถือว่าดิสก์บาง <math> z \ll r </math> และสมการสมดุลไฮโดรสแตติกจะเป็น:
<math display="block">\frac{dP}{dz} \approx - \frac{GM_*\rho z}{r^3}</math>
ในการคำนวณความดันของก๊าซ สามารถใช้ กฎของก๊าซอุดมคติ:
<math display="block"> P = \frac{\rho k_\text{B} T}{\bar{m}} </math>
โดยที่:
การใช้ กฎของก๊าซอุดมคติ และสมการสมดุลไฮโดรสแตติกจะให้:
<math display="block">\frac{d\rho}{dz} \approx - \frac{GM_* \bar{m}\rho z}{k Tr^3}</math>
ซึ่งมีคำตอบเป็น:
<math display="block"> \rho = \rho_0 \exp\left (-\left (\frac{z}{h_D}\right) ^2 \right) </math>
โดยที่ <math> \rho_0 </math> คือความหนาแน่นของมวลก๊าซที่กลางดิสก์ที่ระยะ "r" จากศูนย์กลางของดาวฤกษ์ และ <math> h_D </math> คือระยะชั้นของดิสก์ โดยมี:
<math display="block"> h_D = \sqrt{\frac{2kTr^3}{GM_* \bar{m}}} \approx 0.0306 \sqrt{\frac{\left (T/100 \ \text{K}\right) \left (r/1 \text{ au} \right) ^3}{\left (M_* / M_\odot\right) \left (\bar{m}/2 \text{ amu} \right)}} \ \text{ au} </math>
โดยที่ <math> M_\odot </math> คือ มวลดวงอาทิตย์, <math> \text{au} </math> คือ หน่วยดาราศาสตร์ และ <math> \text{amu} </math> คือ หน่วยมวลอะตอม
เป็นการประมาณที่ช่วยให้เห็นภาพ หากเรามองข้ามความแปรผันตามรัศมีในอุณหภูมิ <math> T </math> เราจะเห็นว่า <math> h_D \propto r^{3/2} </math> และดิสก์จะเพิ่มความสูงขึ้นเมื่อเคลื่อนที่ออกจากวัตถุกลาง
เนื่องจากสมมุติฐานว่าอุณหภูมิของก๊าซในดิสก์ "T" ไม่ขึ้นกับ "z", <math> h_D </math> บางครั้งเรียกว่า ระยะชั้นของดิสก์ที่มีอุณหภูมิคงที่
ระยะชั้นดิสก์ในสนามแม่เหล็ก.
สนามแม่เหล็กในดิสก์ก๊าซบางรอบวัตถุกลางสามารถเปลี่ยนแปลงระยะชั้นของดิสก์ได้ ตัวอย่างเช่น หากดิสก์ที่ไม่เป็นตัวนำไฟฟ้าอย่างสมบูรณ์หมุนผ่านสนามแม่เหล็กพอลอยดอล (เช่น สนามแม่เหล็กเริ่มต้นตั้งฉากกับระนาบของดิสก์) จะมีการผลิตสนามแม่เหล็กโทริคัล (เช่น ขนานกับระนาบดิสก์) ภายในดิสก์ ซึ่งจะทำให้ดิสก์ถูก "หนีบ" และบีบอัด ในกรณีนี้ ความหนาแน่นของก๊าซในดิสก์คือ
<math display="block"> \rho (r, z) = \rho_0 (r) \exp \left (- \left (\frac{z}{h_D}\right) ^2 \right) - \rho_\text{cut} (r)
\left[1 - \exp \left (- \left (\frac{z}{h_D}\right) ^2 \right) \right] </math>
โดยที่ความหนาแน่น "ตัดขาด" <math> \rho_\text{cut} </math> มีรูปแบบเป็น:
<math display="block"> \rho_{\rm cut} (r) = (\mu_0 \sigma_D r) ^2 \left (\frac{B_z^2}{\mu_0}\right)
\left (\frac{\Omega_*}{\Omega_K} - 1 \right) ^2 </math>
โดยที่:
สูตรเหล่านี้ให้ความสูงสูงสุดของดิสก์ที่มีแม่เหล็ก <math> H_B </math> เป็น:
<math display="block"> H_B = h_D \sqrt{\ln\left (1 + \rho_0/\rho_{\rm cut} \right)}, </math>
ในขณะที่ระยะชั้นแม่เหล็ก e-folding <math> h_B </math> คือ:
<math display="block"> h_B = h_D \sqrt{\ln\left (1 + \frac{1 - 1/e}{1/e + \rho_\text{cut}/\rho_0} \right)} \ </math>