สมการเค็พเพลอร์

สมการเค็พเพลอร์  เป็นสมการอดิศัยในทางกลศาสตร์วงโคจร ที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง "<math> E </math>", มุมกวาดเฉลี่ย "<math> M </math>" และ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร "<math> e </math>" ในปัญหาเค็พเพลอร์ที่ใช้ในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์
<math> M = E - e \sin E</math>
เมื่อแทนค่าความเยื้องศูนย์กลาง <math> e </math> ที่กำหนดโดยวงโคจรในสมการนี้ ตำแหน่งของดาวเคราะห์ในวงโคจรสามารถระบุได้โดยการหาค่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง "<math> E </math>" ในรูปของฟังก์ชันของค่ามุมกวาดเฉลี่ย "<math> M </math>"
ประวัติศาสตร์.
ในหนังสือ อัสโตรโนเมีย โนวา ("ดาราศาสตร์ใหม่") ในปี ค.ศ. 1609 โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ได้อธิบายถึงสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อว่า กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ โดยกฎข้อที่หนึ่ง "ดาวเคราะห์โคจรด้วยวงโคจรวงรีโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่ง" และกฎข้อที่สอง (กฎพื้นที่กวาดคงที่) ได้ถูกอธิบายไว้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากในยุคสมัยของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีแคลคูลัส การอธิบายทางคณิตศาสตร์จึงเป็นในทางเรขาคณิตเป็นหลัก โดยตัวเค็พเพลอร์เองได้เขียนอธิบายเป็นคำพูด ไม่ใช่เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ แต่หากเขียนเป็นสมการก็จะได้แบบนี้ (ดูรูปทางขวาประกอบ)
<math> t \propto </math> สามเหลี่ยม " KHN + " เซกเตอร์ " KHA " <math> = \frac{ 1 }{ 2 } (E - e \sin E)</math>
โดยที่ "<math> t </math>" คือเวลานับจากที่ดาวเคราะห์โคจรผ่านจุดใกล้, <math> e </math> คือความเยื้องศูนย์กลาง และ "<math> E </math>" คือมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง
ต่อมาสูตรนี้ถูกเขียนใหม่ในภายหลังโดยเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ โดยอ็อยเลอร์ได้แสดงได้โดยใช้คาบการโคจร "T" เขียนเป็น
 <math> \frac{ t }{ T } = \frac{ E - e \sin E }{ 2 \pi }</math>
หรือใช้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย <math> n = 2 \pi / T </math> แล้วแสดงด้วยค่าที่เรียกว่ามุมกวาดเฉลี่ย ซึ่งนิยามโดย <math>M = nt</math> เขียนสมการใหม่ได้ในรูป
 <math> M = E - e \sin E</math>
ซึ่งสมการในรูปแบบนี้เองที่ได้กลายมาเป็นที่รู้จักโดยทั่วไปในชื่อว่า สมการเค็พเพลอร์
ในยุคปัจจุบันเราสามารถระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลาได้โดยการแก้สมการการเคลื่อนที่ด้วยวิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลข แต่ในยุคของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีวิธีการแบบนั้น รวมถึงยังไม่มีการค้นพบกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันด้วย ดังนั้นในการระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลานั้น จึงต้องทำโดยเริ่มจากกำหนดรูปร่างของวงโคจรวงรี (กล่าวคือตัวแปร <math> e </math> และ <math> l </math> ของระบบพิกัดเชิงขั้วของวงรี <math> r = l / (1 + e \cos \theta) </math>) แล้วก็แก้สมการของเค็พเพลอร์ นั่นคือเมื่อได้ค่ารู้ค่า "<math> M </math>" และ <math> e </math> เราต้องแก้หาว่า <math> E </math> สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ "<math> M </math>" และ <math> e </math> ได้อย่างไร อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมการนี้เป็นสมการอดิศัย จึงต้องใช้เทคนิคที่มีความซับซ้อนในการหาผลเฉลย
การแก้.
วิธีแก้สมการเค็พเพลอร์ที่เป็นที่รู้จักดีมีอยู่ 2 วิธี โดยวิธีหนึ่งคือการใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ และอีกวิธีคือการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิล
เมื่อใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ เราสามารถเขียนสมการเค็พเพลอร์ในรูปของอนุกรมกำลังได้เป็น
 <math>E = e \sin M + \frac{ e^{ 2 } }{ 2 } \sin 2 M + \cdots</math>
โดยจะใช้ได้ดีเมื่อ <math>e</math> มีขนาดเล็ก
ส่วนวิธีการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิลนั้นใช้ได้ดีแม้ในกรณีที่ <math>e</math> ไม่ได้มีขนาดเล็ก ทำโดยแจกแจงเป็นอนุกรมฟูรีเย ซึ่งผลสุดท้ายแล้วจะได้ว่า
 <math> E = M + \sum^{ \infty }_{ n = 1 } \frac{ 2 }{ n } J_{ n } (n e) \sin n M</math>
โดยในที่นี้ <math>J_n</math> คือฟังก์ชันเบ็สเซิลอันดับที่ <math>n</math>
 <math> J_{ n } (z) = \frac{ 1 }{ \pi }\int^{ \pi }_{ 0 } \cos (z \sin \theta - n \theta) d \theta</math>