การคูณ

การคูณ คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ทำให้เกิดการเพิ่มหรือลดจำนวนจำนวนหนึ่งเป็นอัตรา การคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการพื้นฐานของเลขคณิตมูลฐาน (การดำเนินการอย่างอื่นได้แก่ การบวก การลบ และการหาร)
การคูณสามารถนิยามบนจำนวนธรรมชาติว่าเป็นการบวกที่ซ้ำ ๆ กัน ตัวอย่างเช่น 3 คูณด้วย 4 (หรือเรียกโดยย่อว่า 3 คูณ 4) หมายถึงการบวกจำนวน 4 เข้าไป 3 ชุด ดังนี้
 <math>4+4+4 = 12\,\!</math>
สำหรับการคูณของจำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) และจำนวนจริง ก็นิยามโดยกรณีทั่วไปที่เป็นระบบของแนวความคิดพื้นฐานดังกล่าว
การคูณอาจมองได้จากการนับวัตถุที่จัดเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (สำหรับจำนวนธรรมชาติ) หรือการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยการหนดความยาวของด้านมาให้ (สำหรับจำนวนทั่วไป) ส่วนกลับของการคูณคือการหาร ในเมื่อ 3 คูณด้วย 4 เท่ากับ 12 ดังนั้น 12 หารด้วย 4 ก็จะเท่ากับ 3 เป็นต้น
การคูณสามารถนิยามให้ขยายไปบนจำนวนชนิดอื่นเช่นจำนวนเชิงซ้อน และมีโครงสร้างที่เป็นนามธรรมมากขึ้นเช่นเมทริกซ์
สัญกรณ์และคำศัพท์เฉพาะทาง.
โดยทั่วไปการคูณสามารถเขียนโดยใช้เครื่องหมายคูณ (x) ระหว่างจำนวนทั้งสอง (ในรูปแบบสัญกรณ์เติมกลาง) ตัวอย่างเช่น
 <math>2 \times 3 = 6</math> (อ่านว่า 2 คูณ 3 เท่ากับ 6)
 <math>3 \times 4 = 12</math>
 <math>2 \times 3 \times 5 = 6 \times 5 = 30</math>
 <math>2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32</math> (ดูเพิ่มที่ ยกกำลัง)
อย่างไรก็ตามก็ยังมีการใช้สัญกรณ์อื่น ๆ แทนการคูณโดยทั่วไป อาทิ
จำนวนที่ถูกคูณโดยทั่วไปเรียกว่า "ตัวประกอบ" (factor) หรือ "ตัวตั้งคูณ" (multiplicand) ส่วนจำนวนที่นำมาคูณเรียกว่า "ตัวคูณ" (multiplier) ตัวคูณของตัวแปรหรือนิพจน์ในพีชคณิตจะเรียกว่า "สัมประสิทธิ์" (coefficient) ซึ่งจะเขียนไว้ทางซ้ายของตัวแปรหรือนิพจน์ เช่น 3 เป็นสัมประสิทธิ์ของ 3"xy"2
ผลลัพธ์ที่เกิดจากการคูณเรียกว่า "ผลคูณ" (product) หรือเรียกว่า "พหุคูณ" (multiple) ของตัวประกอบแต่ละตัวที่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น 15 คือผลคูณของ 3 กับ 5 และในขณะเดียวกัน 15 ก็เป็นทั้งพหุคูณของ 3 และพหุคูณของ 5 ด้วย
ผลคูณของลำดับ.
ถ้าพจน์แต่ละพจน์ของผลคูณไม่ได้เขียนออกมาทั้งหมด เราอาจจะใช้เครื่องหมายจุดไข่ปลาแทนพจน์ที่หายไป เช่นเดียวกับการดำเนินการอื่น ๆ (เช่น การบวก) เช่น ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ ตั้งแต่ 1-100 อาจเขียน <math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100</math>. และสามารถเขียนให้เครื่องหมายจุดไข่ปลาอยู่บริเวณกึ่งกลางแนวตั้งของแถวได้อีกด้วย คือ <math>1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100</math>.
นอกจากนี้แล้ว ผลคูณยังสามารถเขียนได้ด้วยเครื่องหมายผลคูณ ซึ่งมาจาก อักษร Π (Pi) ตัวใหญ่ ในอักษรกรีก.
ตัวอย่างเช่น
 <math> \prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}. </math>
ตัวห้อยของประโยคสัญลักษณ์ข้างต้นแทนตัวแปรหุ่น (สำหรับประโยคนี้คือ <math>i</math>) และขอบเขตล่าง (<math>m</math>); ตัวยกแทนขอบเขตบน (<math>n</math>) เช่น
 <math> \prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}. </math>
เรายังสามารถหาผลคูณที่มีพจน์เป็นอนันต์ได้อีกด้วย เรียกว่าผลคูณอนันต์
ในการเขียน เราจะแทนที่ "n" ด้านบนด้วยเครื่องหมายอนันต์ (∞).
ผลคูณของพจน์จะกำหนดด้วยขีดจำกัดของผลคูณของ <math>n</math> พจน์แรก โดย <math>n</math> เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต เช่น
 <math> \prod_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i} </math>
นอกจากนี้ยังสามารถแทน <math>m</math> ด้วยจำนวนลบอนันต์
 <math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i := \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=-n}^m x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=m+1}^n x_i\right),</math>
และสำหรับจำนวนเต็ม <math>m</math> บางจำนวน สามารถกำหนดได้ทั้งอนันต์และลบอนันต์
นิยาม.
สำหรับความหมายของการคูณ ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ n และ m ใด ๆ
 <math>nm := \sum_{k=1}^n m</math>
กล่าวสั้น ๆ คือ 'บวก m เข้ากับตัวเอง n ตัว' สามารถเขียนได้ในลักษณะนี้เพื่อให้ชัดเจนมากขึ้น
 "n" × "m" = "m" + "m" + "m" + ... + "m"
หมายถึงมีจำนวน 'm' n ตัวบวกกันนั่นเอง
โดยใช้นิยาม เราสามารถพิสูจน์สมบัติของการคูณได้โดยง่ายดาย โดยดูจากสองตัวอย่างข้างต้น เรามีสมบัติว่า จำนวนสองจำนวนที่คูณกันสามารถสลับที่กันได้โดยผลคูณยังคงเดิม เราเรียกสมบัตินี้ว่า สมบัติการสลับที่ และ สมบัตินี้เป็นจริงสำหรับจำนวน x และ y ใด ๆ นั่นคือ
 "x" · "y" = "y" · "x".
นอกจากนี้ การคูณยังมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่อีกด้วย ความหมายสำหรับจำนวน x,y และ z ใด ๆ คือ
 ("x" · "y")"z" = "x"("y" · "z").
หมายเหตุจากพีชคณิต: เครื่องหมายวงเล็บ หมายถึง การดำเนินภายในวงเล็บจะต้องกระทำก่อนการดำเนินการภายนอกวงเล็บ
การคูณมีสมบัติการแจกแจง เพราะ
 "x"("y" + "z") = "xy" + "xz".
มีสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับการคูณกับ 1 นั่นคือ
 1 · "x" = "x".
เราเรียก 1 ว่า จำนวนเอกลักษณ์
สำหรับเลข 0 เราจะได้
 "m" · 0 = 0 + 0 + 0 +...+ 0
เมื่อเรานำ '0' "m" ตัวมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมเป็นศูนย์ นั่นคือ
 "m" · 0 = 0
ไม่ว่า "m" จะเป็นจำนวนใด (แม้กระทั่งอนันต์).
การคูณกับจำนวนลบอาจจะต้องมีการคิดเล็กน้อย เริ่มจากการคูณ (−1) กับจำนวนเต็ม "m" ใด ๆ
 "m"(−1) = (−1) + (−1) +...+ (−1) = −"m"
นี่เป็นความจริงที่น่าสนใจว่า จำนวนลบ คือ จำนวนลบหนึ่ง คูณกับจำนวนบวกนั่นเอง เพราะฉะนั้นผลคูณระหว่างจำนวนบวกกับจำนวนลบทำได้โดยการคูณปกติ แล้วคูณด้วย (−1)
 (−1)(−1) = −(−1) = 1
ในขณะนี้ เราสามารถสรุปการคูณระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ ได้แล้ว และนิยามนี้ยังขยายไปสำหรับเซตของเศษส่วน หรือ จำนวนตรรกยะ และขยายไปถึงจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน
หลายคนอาจสงสัยถ้าบอกว่า ผลคูณของ'ไร้จำนวน' คือ 1
รูปแบบนิยามเรียกซ้ำของการคูณเป็นไปตามกฎ
 "x" · 0 = 0
 "x" · "y" = "x" + "x"·("y" − 1)
เมื่อ "x" เป็นจำนวนจริง และ "y" เป็นจำนวนธรรมชาติ เมื่อเรากำหนดนิยามของการคูณจำนวนธรรมชาติแล้ว เรายังขยายผลไปถึงจำนวนเต็ม จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนได้
การคำนวณ.
วิธีการคูณจำนวนโดยการทดลงกระดาษตามปกติ จำเป็นต้องใช้สูตรคูณที่ท่องจำ ซึ่งเป็นผลคูณของเลข 1−2 หลัก เพื่อให้สามารถตั้งคูณได้ แต่สำหรับวิธีการแบบชาวอียิปต์โบราณไม่เป็นเช่นนั้น ดังที่จะได้กล่าวต่อไป 
การคูณจำนวนมากกว่าสองจำนวนบนเลขฐานสิบอาจทำให้เกิดความเบื่อหน่าย และก่อให้เกิดความผิดพลาดได้ง่าย จึงมีการคิดค้นลอการิทึมสามัญ (ลอการิทึมฐานสิบ) เพื่อทำให้คำนวณง่ายขึ้น นอกจากนั้นสไลด์รูลก็เป็นเครื่องมือช่วยคูณจำนวนอย่างรวดเร็ว และได้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำประมาณสามหลัก และตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 ก็มีการประดิษฐ์เครื่องคิดเลขเชิงกล ซึ่งสามารถคูณเลขได้โดยอัตโนมัติถึง 10 หลัก ปัจจุบันนี้ใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์แทน ซึ่งสามารถช่วยประหยัดเวลาการคูณเลขไปได้อย่างมาก
ขั้นตอนวิธีในประวัติศาสตร์.
วิธีการคูณหลายวิธีมีการบันทึกไว้เป็นลายลักษณ์อักษรโดยอารยธรรมอียิปต์ กรีซ บาบิโลเนีย ลุ่มแม่น้ำสินธุ และจีน
อียิปต์.
วิธีการคูณจำนวนเต็มและเศษส่วนของชาวอียิปต์โบราณ ดังเช่นที่ระบุไว้ใน Ahmes Papyrus เป็นการบวกต่อเนื่องกันและการเพิ่มค่าเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น การหาผลคูณของ 13 กับ 21 ก่อนอื่นจะต้องเพิ่มค่า 21 เป็นสองเท่า 3 ครั้ง ซึ่งจะได้ 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168 จากนั้นจึงรวมพจน์ที่เหมาะสมเข้าด้วยกันจนได้ผลคูณ นั่นคือ
13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273
บาบิโลเนีย.
เนื่องจากชาวบาบิโลนใช้ระบบเลขเชิงตำแหน่งฐานหกสิบ ซึ่งเทียบได้กับเลขฐานสิบของปัจจุบัน แต่มีสัญลักษณ์แทนเลขโดดในแต่ละหลักถึง 60 ตัว ดังนั้นการคูณของชาวบาบิโลนจึงคล้ายกับวิธีการตั้งคูณในปัจจุบัน แต่เนื่องจากเป็นการยากที่จะจดจำผลคูณที่แตกต่างกันทั้งหมด 60 × 60 จำนวน นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนจึงใช้ตารางการคูณ (สูตรคูณ) เข้าช่วย ตารางเหล่านี้ประกอบด้วยรายชื่อของพหุคูณ 20 จำนวนแรกของจำนวนที่สำคัญ "n" ซึ่งจะได้ "n", 2"n", ..., 20"n" ตามด้วยพหุคูณของ 10"n" นั่นคือ 30"n", 40"n", และ 50"n" การคำนวณผลคูณคือการบวกค่าในตารางผลคูณเข้าด้วยกัน เช่น 53"n" ก็หาได้จากการบวกค่าของ 50"n" กับ 3"n" เป็นต้น
จีน.
ในตำราเรียนคณิตศาสตร์ของจีนชื่อว่า "Zhou Pei Suan Ching" (周髀算經) เมื่อ 300 ปีก่อนคริสตกาล และหนังสือ "The Nine Chapters on the Mathematical Art" (九章算術) ได้อธิบายวิธีการคูณโดยการเขียนเป็นตัวหนังสือ ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์ชาวจีนสมัยก่อนจะใช้ลูกคิดคำนวณด้วยมือทั้งการบวกและการคูณ
ลุ่มแม่น้ำสินธุ.
นักคณิตศาสตร์ชาวฮินดูในอารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุในสมัยก่อน ใช้กลวิธีที่หลากหลายเพื่อคำนวณการคูณ ซึ่งการคำนวณส่วนใหญ่จะทำบนกระดานชนวนขนาดเล็ก เทคนิคหนึ่งที่ใช้กันคือการคูณแลตทิซ (lattice multiplication) เริ่มตั้งแต่การวาดตารางขึ้นมาหนึ่งตาราง กำกับด้วยตัวตั้งและตัวคูณลงบนแถวและหลัก แต่ละช่องจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนตามแนวทแยง เป็นแลตทิซรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเฉียงเป็นแนวเดียวกันทุกช่อง จากนั้นแต่ละช่องสี่เหลี่ยมให้เขียนผลคูณของเลขโดดที่กำกับไว้ลงไป ผลคูณของจำนวนจะหาได้จากการรวมแถวที่เป็นแนวเฉียงเข้าด้วยกันทีละหลัก
สมบัติ.
สำหรับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน รวมทั้งจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และ จำนวนตรรกยะ การคูณมีสมบัติต่อไปนี้:
 ผลลัพธ์ของการคูณไม่ขึ้นกับลำดับของตัวตั้งและตัวคูณ:
<math>x\cdot y = y\cdot x</math>
 ลำดับการดำเนินการคูณ(หรือการบวก)ไม่มีผลต่อผลลัพธ์:
<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>
 เป็นจริงกับการคูณเหนือการบวก สมบัตินี้สำคัญมากเพราะใช้ทำให้นิพจน์พีชคณิตอยู่ในรูปอย่างง่าย:
<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>
 เอกลักษณ์การคูณคือ 1 จำนวนใด ๆ คูณด้วยหนึ่งได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนนั้น อาจเรียกสมบัตินี้ว่าสมบัติเอกลักษณ์:
<math>x\cdot 1 = x</math>
 จำนวนใด ๆ คูณด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ สมบัตินี้เรียกว่าสมบัติการคูณด้วยศูนย์:
<math>x\cdot 0 = 0</math>
จำนวนธรรมชาติอาจรวมศูนย์หรือไม่ก็ได้ 
สมบัติบางประการของการคูณอาจเป็นจริงสำหรับจำนวนบางระบบเท่านั้น
ลบหนึ่งคูณกับจำนวนใด ๆ เท่ากับตัวผกผันการบวกของจำนวนนั้น
<math>(-1)\cdot x = (-x)</math>
ลบหนึ่งคูณลบหนึ่งเป็นบวกหนึ่ง
<math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>
จำนวนธรรมชาติไม่รวมจำนวนลบ
จำนวน <math>x</math> ใด ๆ นอกเหนือจากศูนย์ มีตัวผกผันการคูณคือ <math>\frac{1}{x}</math> ที่ <math>x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1</math>
 การคูณด้วยจำนวนบวกคงอันดับความมากน้อย:
ถ้า <math>a > 0 </math> แล้ว(ถ้า <math>b > c</math> แล้ว <math>ab > ac</math>)
 การคูณด้วยจำนวนลบสลับอันดับความมากน้อย:
ถ้า <math>a < 0 </math> แล้ว(ถ้า <math>b > c</math> แล้ว <math>ab < ac</math>)
ไม่มีการเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อน
ระบบคณิตศาสตร์นอกเหนือจากนี้ที่มีการดำเนินการคูณอาจไม่มีสมบัตินี้ทั้งหมด เช่นการคูณไม่มีสมบัติการสลับที่สำหรับเมทริกซ์และควอเทอร์เนียน