เมเชอร์ (คณิตศาสตร์)

ในคณิตศาสตร์ เมเชอร์  บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก 
จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก 
นิยามพื้นฐานเกี่ยวกับเมเชอร์.
คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ.
ในทางคณิตศาสตร์ "เมเชอร์" จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้
จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้
นิยามอย่างเป็นทางการ.
ให้ <math>X</math> เป็นเซต และ <math>\Sigma</math> เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต <math>X</math> นั้น จะเรียกฟังก์ชัน <math>\mu</math> ที่ส่งค่าจาก <math>\Sigma</math> ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย <math>[0,\infty]</math> ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ "μ" มีสมบัติต่อไปนี้
เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ <math>(X, \Sigma, \mu)</math> ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน <math>\Sigma</math> จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่ <math>(X, \Sigma)</math> เท่านั้น
ปริภูมิความน่าจะเป็น.
ปริภูมิความน่าจะเป็น (Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ <math display="inline"> \mu (X) = 1 </math> ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็นเมเชอร์ความน่าจะเป็น (probability measure)
นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ <math> (\Omega,\mathfrak{F},P) </math> แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ <math>(X, \Sigma, \mu)</math> เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก <math>X</math> มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ <math>\mu</math> แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้.
ให้ <math>(X, \Sigma_X)</math> และ <math>(Y, \Sigma_Y)</math> เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน <math>f\colon X \to Y</math> ว่าเป็นฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้ (measurable function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพของเซตหาเมเชอร์ได้ใน <math>Y</math> เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน <math>X</math> ด้วย หรือก็คือ <math>f^{-1} (A) \in \Sigma_X</math> สำหรับทุกเซต <math>A \in \Sigma_Y</math>
สมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม.
ให้ <math>\mu</math> เป็นเมเชอร์
ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว.
"<math>\mu</math>" มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว: กำหนดให้ <math>E_1</math> และ <math>E_2</math> เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ <math>E_1 \subseteq E_2</math> แล้วจะได้ว่า <math>\mu(E_1) \leq \mu (E_2)</math>
เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต.
กำหนดให้ <math> E_1, E_2, E_3, ...</math> เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน <math>\Sigma</math> จะได้ว่า
<math>\mu\left (\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu (E_i) </math>
นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ <math> E_1, E_2, E_3, ...</math> เป็นเซตใน Σ และ <math> E_n \subseteq E_{n+1} ,\forall n \in \mathbb{N} </math>, แล้วจะได้ว่า <math display="inline"> \bigcup_{n=1}^\infty E_n </math> อยู่ใน <math>\Sigma</math> ด้วย และ 
<math> \mu\left (\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu (E_i) </math>
เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต.
กำหนดให้ <math> E_1, E_2, E_3, ...</math> เป็นเซตใน <math>\Sigma</math> และ <math> E_{n+1} \subseteq E_n ,\forall n \in \mathbb{N} </math>, แล้วจะได้ว่า <math display="inline"> \bigcap_{n=1}^\infty E_n </math> อยู่ใน <math>\Sigma</math> ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก <math>E_n</math> อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด (<math>\mu(E_n) < \infty</math>) เราจะได้ว่า
<math> \mu\left (\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu (E_i) </math>
คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก <math>E_n</math> ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ <math> E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R} </math> สำหรับแต่ละ <math>n \in \N</math> แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ <math>E_n</math> มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์
สมบัติเพิ่มเติม.
เมเชอร์ซิกมาจำกัด.
ปริภูมิเมเชอร์ <math> (X, \Sigma, \mu) </math> จะเป็นปริภูมิเมเชอร์จำกัด (finite measure) ก็ต่อเมื่อ <math> \mu (X) </math> เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า <math> \mu </math> เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น <math display="inline"> \frac{1}{\mu(X)}\mu </math> 
นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์ <math> (X, \Sigma, \mu) </math> จะเป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง <math> X </math> ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก <math> \mu </math> ว่าเป็น "เมเชอร์ซิกมาจำกัด" (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง <math> \R </math> ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง <math> \R </math> ออกเป็นช่วงย่อย <math> [k, k+1) </math> ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม <math> k </math> ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1
ในทำนองกลับกัน เซต <math> \R </math> ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม <math> \R </math>
ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับสมบัติลินเดอเลิฟของปริภูมิเชิงทอพอโลยี 
เมเชอร์บริบูรณ์.
ในปริภูมิเมเชอร์ <math> (X, \Sigma, \mu) </math> เซต <math> N \subseteq X </math> จะเป็นเซตนัลล์ (null set) ก็เมื่อ <math> \mu(N) = 0 </math> สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต <math> M\subseteq N </math> ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว <math> \mu(M) = 0 </math> โดยอัตโนมัติ จะเรียก <math> (X, \Sigma, \mu) </math> ว่าเป็นเมเชอร์บริบูรณ์ (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้
หากมีปริภูมิเมเชอร์ <math> (X, \Sigma, \mu) </math> ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ 
เซตหาเมเชอร์ไม่ได้.
หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ <math> \R^n </math> ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าวเช่น เซตวีตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเฮาส์ดอร์ฟฟ์และปฏิทรรศน์ของบานาค-ทาร์สกี