ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป

ในทางเรขาคณิต ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม (อังกฤษ: Semiperimeter) คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูป แม้ว่าจะสามารถหาค่าจากเส้นรอบวงแบบง่าย ๆ แต่ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปปรากฏบ่อยในสูตรที่เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม และรูปอื่น ๆ จนต้องมีชื่อเรียกแยกต่างหาก เมื่อครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปใช้เป็นส่วนหนึ่งของสูตร โดยทั่วไปจะแสดงด้วยตัวอักษร s
รูปสามเหลี่ยม.
ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปมักใช้กับรูปสามเหลี่ยม โดยสูตรสำหรับความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้ายยาว a, b และ c
 <math>s = \frac{a+b+c}{2} </math>
คุณสมบัติ.
ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ในจุดยอดใด ๆ ที่จุดที่วงกลมแนบนอกสัมผัสด้านตรงข้ามรูปสามเหลี่ยม จะแบ่งเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนที่มีความยาวเท่ากัน ทำให้เกิดเส้นสองเส้น ซึ่งแต่ละเส้นมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป หาก A, B, B', C' เป็นดังที่แสดงในรูป เซกเมนต์ที่เชื่อมจุดยอดกับเส้นสัมผัสวงกลมแนบนอกด้านตรงข้าม (แสดงเป็นสีแดงในแผนภาพ) เรียกว่าเส้นแบ่งพื้นที่ และ
 <math>\begin{align}
s &= |AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C| \\
 &= |AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|
\end{align}</math>
เส้นแบ่งพื้นที่ทั้งสามจวบกันที่จุดนาเกลของรูปสามเหลี่ยม
เส้นแบ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่แบ่งครึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมและมีจุดปลายจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่งจากสามด้าน ดังนั้นเส้นแบ่งเส้นรอบรูปใด ๆ เช่น เส้นแบ่งพื้นที่ใด ๆ ก็ตาม จะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วน โดยแต่ละส่วนมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป เส้นแบ่งเส้นรอบรูปสามเส้นนี้จวบกันอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลมสไปเกอร์ ซึ่งเป็นวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยมมัธยฐาน โดยจุดศูนย์กลางสไปเกอร์ คือศูนย์กลางมวลของจุดทั้งหมดบนเส้นขอบของรูปสามเหลี่ยม
เส้นที่ผ่านศูนย์กลางในของรูปสามเหลี่ยมจะแบ่งครึ่ง เส้นรอบรูปก็ต่อเมื่อเส้นดังกล่าวแบ่งครึ่งพื้นที่ด้วย
ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมมัธยฐาน
จากอสมการสามเหลี่ยม ความยาวด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมจะน้อยกว่าความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป
สูตรที่เกี่ยวข้องกับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป.
สำหรับรูปสามเหลี่ยม.
พื้นที่ A ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ คือผลคูณของรัศมีใน (รัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยมนั้น) และความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป:
 <math> A = rs</math>
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปและความยาวด้าน a, b และ c โดยใช้ สูตรของเฮรอน:
 <math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>
รัศมีวงกลมล้อม R ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จาก ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปและความยาวด้าน:
 <math>R = \frac{abc} {4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}</math>
สูตรนี้สามารถหาได้จากกฎของไซน์
รัศมีใน คือ
 <math>r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} </math>
จากกฎของโคแทนเจนต์ จะให้โคแทนเจนต์ของครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมในรูปของครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง, ด้าน และรัศมีใน
ความยาวของเส้นแบ่งครึ่งมุม ตรงข้ามกับด้านที่มีความยาว a คือ
 <math>t_a=\frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c} </math>
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รัศมีของวงกลมแนบนอกบนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป คือผลรวมของรัศมีในและสองเท่าของรัศมีวงล้อม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ <math>(s-a)(s-b)</math> โดยที่ a, b เป็นแขนของมุมฉาก
สำหรับรูปสี่เหลี่ยม.
สูตรสำหรับหาครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมที่มีความยาวด้าน a, b, c และ d คือ
 <math>s = \frac{a+b+c+d}{2}</math>
สูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปนั้นยังสามารถใช้ได้กับรูปสี่เหลี่ยมสัมผัสวง ซึ่งมีวงกลมแนบในและมีคู่ของด้านตรงข้ามที่มีความยาวรวมกันเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป (ตามทฤษฎีบทพิทอท) —พื้นที่คือผลคูณของรัศมีในและครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป:
 <math> K = rs</math>
รูปที่ง่ายที่สุดของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมมีรูปแบบคล้ายกับสูตรของเฮรอนสำหรับพื้นที่รูปสามเหลี่ยม:
 <math>K = \sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}.</math>
สูตรของเบรชไนเดอร์สามารถสรุปรูปสี่เหลี่ยมนูนทั้งหมดได้:
 <math> K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)} </math>
ซึ่ง α และ γ เป็นสองมุมตรงข้ามกัน
ด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมสองศูนย์กลาง คือสี่คำตอบของสมการกำลังสี่ที่กำหนดความยาวรอบรูปโดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป รัศมีใน และรัศมีวงล้อม
รูปหลายเหลี่ยมปกติ.
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ คือผลคูณของครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปและความยาวของเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านใดด้านหนึ่ง (Apothem)
รูปวงกลม.
ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปวงกลม เรียกอีกอย่างว่า ครึ่งเส้นรอบวง และจะแปรผันตรงกับรัศมี "r"
 <math>s = \pi \cdot r\! </math>
ค่าคงที่ของความได้สัดส่วนคือ จำนวนพาย หรือ π