เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์  คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์
มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในหลากหลายสาขาของวิทยาศาสตร์ ในสาขาฟิสิกส์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในทุก ๆ แขนงของฟิสิกส์ที่มีอยู่ เช่น กลศาสตร์, ทัศนศาสตร์, แม่เหล็กไฟฟ้า, กลศาสตร์ควอนตัม หรือ ไฟฟ้ากระแสควอนตัม มีการใช้ทฤษฎีเมทริกซ์ในการศึกษาปรากฎการณ์ทางฟิสิกส์ เช่น การเคลื่อนที่ของวัตถุ ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการทำคอมพิวเตอร์กราฟฟิก โดยใช้สร้างโมเดล 3 มิติ เพื่อแสดงผลบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ที่เป็น 2 มิติ
ในทางสถิติศาสตร์ มีการใช้เมทริกซ์เฟ้นสุ่มในการอธิบายถึงชุด (set) ของความน่าจะเป็น อาทิ มีการประยุกต์ใช้ร่วมกับอัลกอริทึมแบบ PageRank ในการเรียงหน้าผลการค้นหาในเว็บไซต์เสิร์จเอนจินอย่าง Google ในการศึกษาแคลคูลัส มีการใช้แคลคูลัสเชิงเมทริกซ์ (Matrix calculus) ในการวิเคราะห์อนุพันธ์ (Derivative) และฟังก์ชันเลขชี้กำลังในมิติที่อยู่สูงขึ้นไป (Higher dimension) นอกจากนั้นยังมีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการอธิบายระบบความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจ
นิยาม.
เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น
<math>\begin{bmatrix}
1 & 56 & 3 \\
0 & 15 & 4 \\
5 & -31 & -4 \end{bmatrix}</math>
เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า "แถว" เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า "หลัก" และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า "สมาชิก" ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
 สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
 สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
 สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5
เราเรียกเมทริกซ์ที่มี <math>m</math> แถว และ <math>n</math> หลัก เรียกว่า "เมทริกซ์ <math> m \times n </math>" เราเรียกจำนวน <math>m</math> และ <math>n</math> ว่า "มิติ" หรือ "ขนาด" ของเมทริกซ์
เราใช้สัญลักษณ์ <math>A = (a_{i,j})_{m \times n}</math> เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ <math>A</math> ซึ่งมี <math>m</math> แถว และ <math>n</math> หลัก โดยที่ <math>a_{i,j}</math> (หรือ <math>a_{ij}</math>) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว <math>i</math> และ หลัก <math>j</math> ของเมทริกซ์
<math>A=A_{m \times n}=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & & \ddots & & \vdots\\
\vdots & & & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \cdots & a_{mn}\\
\end{bmatrix}</math>
การกระทำระหว่างเมทริกซ์.
การบวก.
ให้ <math>A = (a_{i,j})_{m \times n}</math> และ <math>B = (b_{i,j})_{m \times n}</math> เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม "ผลรวม" หรือ "ผลบวก" <math>A+B</math> ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด <math>m \times n</math> ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก <math>C = (c_{i,j})_{m \times n} = A+B </math> แล้ว
<math>c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}</math>
ยกตัวอย่างเช่น
<math>
 1 & 3 & 2 \\
 1 & 0 & 0 \\
 1 & 2 & 2
 0 & 0 & 5 \\
 7 & 5 & 0 \\
 2 & 1 & 1
 1+0 & 3+0 & 2+5 \\
 1+7 & 0+5 & 0+0 \\
 1+2 & 2+1 & 2+1
 1 & 3 & 7 \\
 8 & 5 & 0 \\
 3 & 3 & 3
</math>
การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง
การคูณด้วยสเกลาร์.
กำหนดเมทริกซ์ <math>A = (a_{i,j})_{m \times n}</math> และจำนวน <math>c</math> เราสามารถนิยาม "ผลคูณสเกลาร์" <math>cA</math> ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด <math>m \times n</math> ที่คำนวณโดยการนำ <math>c</math> ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ <math>A</math> กล่าวคือ หาก <math>B = (b_{i,j})_{m \times n} = cA</math> แล้ว <math>b_{i,j} = ca_{i,j}</math> ยกตัวอย่างเช่น
<math>2
 1 & 8 & -3 \\
 4 & -2 & 5
 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
 2 & 16 & -6 \\
 8 & -4 & 10
</math>
จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด <math>m \times n</math> ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ <math>mn</math> ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง
การคูณ.
ถ้า <math>A = (a_{i,j})_{m \times n}</math> และ <math>B = (b_{i,j})_{n \times p}</math> เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ <math>A</math> เท่ากับจำนวนแถวของ <math>B</math> แล้ว เราสามารถนิยาม "ผลคูณ" <math>AB</math> ว่าเป็นเมทริกซ์ <math>C = (c_{i,j})_{m \times p}</math> โดยที่
 <math>c_{i,j} = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,j} + \cdots + a_{i,n} b_{n,j} = \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}</math>
กล่าวคือสมาชิกในแถว <math>i</math> หลัก <math>j</math> ของผลคูณ <math>AB</math> คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก <math>i</math> ของ <math>A</math> และสมาชิกของคอลัมน์ <math>B</math> ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง <math>n</math> ผลคูณนั้นมาบวกกัน
การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นjเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ <math>a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,n}) </math> เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว <math>i</math> ของ <math>A</math> และให้ <math>b_j = (b_{1,j}, b_{2,j}, \ldots, b_{n,j}) </math> เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก <math>j</math> ของ <math>B</math> แล้ว เราจะได้ว่า <math>c_{i,j} = a_i \cdot b_j</math> เมื่อ <math>a_i \cdot b_j</math> คือผลคูณจุดของ <math>a_i</math> และ <math>b_j</math> เช่น
ให้ <math> A = 
 a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
 a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
 \end{bmatrix} = 
 a_1 \\
 a_2 \\
</math> และ <math>
B = 
 b_{1,1} & b_{1,2} \\
 b_{2,1} & b_{2,2} \\
 b_{3,1} & b_{3,2} \\
 \end{bmatrix} = 
 b_1 & b_2 \\
</math>
แล้ว <math> A \times B = 
 a_1 \cdot b_1 & a_1 \cdot b_2 \\
 a_2 \cdot b_1 & a_2 \cdot b_2 \\
</math>
และ
<math>
 1 & 0 & 2 \\
 -1 & 3 & 1 \\
\times
 3 & 1 \\
 2 & 1 \\
 1 & 0
 (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\
 (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\
 5 & 1 \\
 4 & 2 \\
</math>
การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ <math>A</math> ขนาด <math>m \times n</math> และ <math>B</math> ขนาด <math>n \times p</math> ใดๆ 
 <math>
1 & 0\\
0 & 2
3 & 4\\
5 & 6
3 & 4\\
10 & 12
\neq
3 & 8\\
5 & 12
3 & 4\\
5 & 6
1 & 0\\
0 & 2
</math>
เรากล่าวว่าเมทริกซ์ <math>A</math> "แอนติคอมมิวต์" (anticommute) กับเมทริกซ์ <math>B</math> ถ้า <math>AB = -BA</math> เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด
ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column
การสลับเปลี่ยน.
เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด "m" × "n" คือ AT ขนาด "n" × "m" (หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A') ซึ่ง AT[ "i", "j" ] = A[ "j", "i" ] ยกตัวอย่างเช่น
<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
1 & 3 \\
</math>
เมทริกซ์จัตุรัส.
เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด "n" × "n" ยกเว้น "n" = 1 
<math>
เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ.
\mathbf{I}_3 =
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
</math>