ความเร่ง

ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ ความเร่ง (สัญลักษณ์: "a") คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง (หรืออนุพันธ์เวลา) ของความเร็ว เป็นปริมาณเวกเตอร์ (ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ที่มีหน่วยเป็น ความยาว/เวลา² ในหน่วยเอสไอกำหนดให้หน่วยเป็น เมตร/วินาที²ยกตัวอย่างเช่น เมื่อรถเริ่มเคลื่อนที่จากจุดหยุดนิ่ง (ความเร็วเป็นศูนย์) เคลื่อนที่ไปตามแนวเส้นตรงด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้น ความเร่งจะมีทิศทางเดียวกันกับการเคลื่อนที่ ถ้ารถเปลี่ยนทิศทาง ความเร่งก็จะเปลี่ยนทิศทางตามไปด้วย เราจะเรียกการความเร่งที่ไปตามทิศทางของรถนี้ว่า "อัตราเร่งที่เป็นเส้นตรง (Linear Acceleration)" ซึ่งผู้โดยสารบนยานพาหนะบางคนอาจจะถูกดันลงไปกับเบาะ เมื่อเปลี่ยนทิศทางไป เราจะเรียกว่า "อัตราเร่งที่ไม่เป็นเส้นตรง (Non-Linear Acceleration)" ซึ่งผู้โดยสารบนยานพาหนะจะถูกแรงเหวี่ยง (Sideway Force) ออกไปถ้าความเร็วของรถลดลง ทิศทางของความเร่งจะตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่ (ความเร่งมีค่าติดลบ) หรือ ความหน่วง ซึ่งผู้โดยสารบนยานพาหนะจะถูกผลักไปด้านหน้าหากมีความหน่วง ตามหลักการทางคณิตศาสตร์แล้ว ความหน่วงจะไม่มีสมการเฉพาะแบบความเร่ง แต่จะเปลี่ยนไปตามความเร็วเท่านั้น
คำนิยามและสมบัติ.
ความเร่งเฉลี่ย.
ความเร่งเฉลี่ยของวัตถุใดวัตถุหนึ่งในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว <math>(\Delta\mathrm{v})</math>ต่อช่วงเวลา <math>(\Delta\mathrm{t})</math> เขียนได้ว่า :
<math>
</math>
ความเร่ง ณ ขณะใดขณะหนึ่ง.
ความเร่ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง คือลิมิตของความเร่งเฉลี่ยบนเวลากณิกนันต์ ในเชิงแคลคูลัส ความเร่ง ณ จุดใดจุดหนึ่งคืออนุพันธ์ของความเร็วตามเวลา :
<math>\mathbf {a} =\lim _={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}</math>
จะเห็นได้ว่าอินทริกัลของฟังก์ชันความเร่ง a(t) คือฟังก์ชันของความเร็ว ν(t) ซึ่งก็คือพื้นที่ใต้กราฟความเร่ง/เวลา (กราฟ a-t) :
<math>\mathbf {v} =\int \mathbf {a} \ dt</math>
เมื่อความเร่งถูกนิยามไว้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงความเร็ว (v) ต่อเวลา (t) และความเร็วถูกนิยามไว้ว่าเป็นการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ (x) ต่อเวลา (t) ความเร่งจะเขียนเป็นอนุพันธ์อันดับสองของ x ต่อ t ได้ว่า :
<math>\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}</math>
หน่วย.
ความเร่งมีมิติของความเร็ว (L/T) ส่วนด้วยเวลา
ในรูปแบบอื่น ๆ.
วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นแนวเส้นโค้ง (เช่น ดาวเทียมซึ่งโคจรอยู่รอบโลก) มีความเร่งซึ่งเปลี่ยนไปตามทิศทางการเคลื่อนที่ ซึ่งจะเป็นความเร่งสู่ศูนย์กลาง
ความเร่งสัมพัทธ์ เป็นความเร่งเมื่ออยู่ในสถานะตกแบบเสรี ซึ่งวัดโดยเครื่องวัดความเร่ง
สำหรับเรื่องกลศาสตร์ดั้งเดิม กฎข้อที่สองของนิวตันกล่าวไว้ว่า ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยผลรวมของเวกเตอร์ของแรง F บนวัตถุมีค่าเท่ากับมวล "m" ของวัตถุนั้นคูณด้วยความเร่ง a ของวัตถุ :
<math>\mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \to \quad \mathbf {a} =\mathbf {F} /m</math>
เมื่อ :
F คือ แรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุ
m คือ มวลของวัตถุ
a เป็นความเร่งศูนย์กลางมวล
หากความเร็วเป็นค่าความเร็วที่ใกล้เคียงความเร็วแสง ตามหลักการทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ มันจะมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ
ความเร่งสู่ศูนย์กลางกับความสัมพันธ์แทนเจนต์.
ความเร็วของการเคลื่อนที่บนเส้นโค้งของฟังก์ชันเวลาจะเขียนได้ว่า :
<math>\mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(t)</math>
เมื่อ v(t) เท่ากับความเร็วทั้งหมด และ
<math>\mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\ </math>
คือหน่วยของเวกเตอร์แทนเจนต์ที่มุ่งไปยังทิศทางการเคลื่อนที่ในแต่ละช่วงเวลาต่าง ๆ 
โดยจะอธิบายได้ว่า การเปลี่ยนแปลงของทั้งอัตราเร็ว v(t) และทิศทางของ ut สามารถแสดงถึงการเคลื่อนที่แบบเส้นโค้ง โดยใช้ความแตกต่างของกฎลูกโซ่ ผลลัพธ์ของฟังก์ชันเวลาทั้งสองฟังก์ชันจะได้ว่า :
<math>{\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ \\\end{alignedat}}</math>
เมื่อ ut เป็นหน่วย (สู่ศูนย์กลาง) เวกเตอร์แนวฉากต่อส่วนของเส้นโคจร (หรือแนวฉากมุขสำคัญ) และ r คือเส้นเฉียดโค้ง (instantaneous radius of curvature) ซึ่งอิงวงกลมความโค้ง (osculating circle) ณ เวลา t ตัวประกอบของสมการพวกนี้เรียกว่า ความเร่งเชิงแทนเจนต์, ความเร่งปกติ และความเร่งของวัตถุในแนวรัศมี
กรณีพิเศษ.
ความเร่งสม่ำเสมอ.
"ความเร่งสม่ำเสมอ" หรือความเร่งคงที่เป็นการเคลื่อนที่ที่ซึ่งความเร็วของวัตถุนั้น ๆ เปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอกับเวลา 
ตัวอย่างที่ถูกใช้กับความเร่งสม่ำเสมอมากที่สุดก็คือการตกของวัตถุแบบเสรีภายใต้สนามแรงโน้มถ่วงซึ่งไม่คิดแรงต้านอากาศโดยใช้ค่าความโน้มถ่วงมาตรฐาน (หรือจะเรียกว่า "ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง") ตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันข้อที่สอง แรงที่ F กระทำต่อวัตถุ จะได้ว่า
<math>\mathbf {F} =m\mathbf {g} </math>
ตามสมการค่าความเร่งคงตัว จะมีสมการอยู่หนึ่งสมการซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจัด, ความเร็วต้นและความเร็วปลาย และความเร่งต่อเวลาที่ใช้ไป :
<math>\mathbf {s} (t) =\mathbf {s} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2} =\mathbf {s} _{0}+{\frac {\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)}{2}}t</math>
<math>{\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t}</math>
<math>{\displaystyle {\mathbf{v}^{2}}(t)={\mathbf{v}_{0}}^{2}+2\mathbf {a\times } [\mathbf {s} (t)-\mathbf {s} _{0}]}</math>
เมื่อ
ในบางกรณี การเคลื่อนที่แบบความเร็วคงตัวและอื่น ๆ จะเป็นไปตามสมการดังกล่าว ดังที่กาลิเลโอได้เขียนไว้ ผลรวมของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ซึ่งจะมาช่วยอธิบาย (เส้นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ซึ่งจะเข้าสู่พื้นโลก)
การเคลื่อนที่แบบวงกลม.
การเคลื่อนที่แบบวงกลมคงที่ที่มีค่าอัตราเร็วตามเส้นโค้งเป็นตัวอย่างของผลความเร่งในขณะที่ขนาดของความเร็วมีค่าคงตัว ในกรณีนี้ เนื่องจากทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอ โดยจะทำมุม <math>\tan\mathrm{\theta}</math> กับวงกลม เส้นเวกเตอร์ความเร็วของวัตถุจะเปลี่ยนแปลงไป แต่อัตราเร็วจะไม่เปลี่ยนไป ความเร่งนี้เรียกว่า"ความเร่งเชิงรัศมี" เนื่องจากมีทิศทางไปข้างหน้าตามจุดศูนย์กลาง :
<math>{\textrm {a}}= \over {r}}</math>
เมื่อ v คือเส้นอัตราเร็วของวัตถุตามส่วนของเส้นโค้ง ซึ่งสมมูลกับ เวกเตอร์ความเร่งเชิงรัศมี a ซึ่งจะหาจากความเร็วเชิงมุม <math>{\displaystyle \omega } </math> :
<math>{\displaystyle \mathbf {a} ={-\omega ^{2}}\mathbf {r} } </math>
เมื่อ r คือเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางและมีขนาดเท่ากับรัศมี ส่วนค่าลบแสดงถึงเวกเตอร์ความเร่งซึ่งเคลื่อนที่ไปตามจุดศุนย์กลาง (ตรงข้ามกับรัศมี)
ความเร่งและแรงรวมที่กระทำต่อวัตถุในการเคลื่อนที่แบบวงกลมคงที่มีทิศทาง"ไปข้างหน้า"จากจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งก็คือแรงสู่ศูนย์กลาง และยังมีแรงหนีศูนย์กลาง ซึ่งจะกระทำต่อวัตถุ ซึ่งจริง ๆ แล้ว แรงหนีศูนย์กลางนั้นเป็นเพียงแรงเทียมจากกรอบอ้างอิงหมุนของวัตถุ จากโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุ
หากเป็นการเคลื่อนที่วงกลมไม่คงที่ (อัตราเร็วระหว่างส่วนของเส้นโค้งเปลี่ยนไป) ความเร่งตามขวางจะเปลี่ยนไปตามอัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราเร็วเชิงมุมตามเส้นโค้งตามรัศมีของวงกลม :
<math>a=r\alpha </math>
ความเร่งตามขวาง (หรือความเร่งซึ่งทำมุม tanθ) มีทิศทางทำมุมกับเวกเตอร์รัศมี ใช้สัญลักษณ์ความเร่งเชิงมุม (<math>\alpha</math>)
ความเร่งกับทฤษฎีสัมพันธภาพ.
ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ.
ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษอธิบายถึง "พฤติกรรม" ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่สัมพันธ์กับวัตถุอื่นในความเร็วใกล้ความเร็วแสงในสถานะสุญญากาศไว้ กลศาสตร์ดั้งเดิมได้อธิบายไว้ใกล้เคียงความเป็นจริงมาก แต่หากเป็นความเร็วที่เพิ่มขึ้นเป็นความเร็วแสง ความเร่งจะไม่เป็นไปตามสมการธรรมดาอีก
หากความเร็วของวัตถุใดวัตถุหนึ่งมีค่าเข้าใกล้ความเร็วแสง ความเร่งจะเพิ่มขึ้นในขณะที่แรงลดลง และจะมีขนาดเป็นกณิกนันต์ หากวัตถุมีความเร็วเท่ากับแสง
หากเป็นวัตถุที่มีมวล ความเร็วจะเข้าใกล้ความเร็วแสงอย่างเป็นเส้นกำกับ (Asymptote) (ลู่เข้าหากัน แต่ไม่บรรจบกัน) 
ทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป.
จากการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เป็นที่รู้จักกัน จะสามารถแยกได้ว่าแรงที่ถูกสังเกตอยู่ (Observed Force) นั้นมาจากความโน้มถ่วง หรือจากความเร่ง ความโน้มถ่วงและความเร่งเฉื่อยจะทำให้เวลาเดินช้าลง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เรียกปรากฏการณ์นี้ว่าหลักแห่งความสมมูล (Equivalence Principle) และบอกว่าผู้สังเกตการณ์จะไม่รู้สึกถึงแรง รวมไปถึงแรงโน้มถ่วง แค่เพียงสรุปได้ว่าวัตถุนั้นไม่มีความเร่ง