ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง

ค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง.
ที่มาของค่าการแก้ไขอันดับที่หนึ่ง เริ่มจาก แฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน <math>H_0</math>, อนุมานว่าไม่ขึ้นกับเวลา สามารถหา ค่าพลังงานไอเกน <math>E_n^{(0)}</math> และ สถานะไอเกน <math>|n^{(0)}\rang</math> ได้จาก สมการชเรอดิงเงอร์ ด่อไปนี้
<math> H_0 \left |n^{(0)} \right \rang = E_n^{(0)} \left |n^{(0)} \right\rang, \qquad n = 1, 2, 3, \cdots </math>
เพื่อความง่าย พลังงานไอเกนมีค่าไม่ต่อเนื่อง (เกิดจากการถูกจำกัดขอบเขต) ตัวห้อย <math>0</math> บ่งชี้ความหมายของการไม่ถูกรบกวน 
ให้ <math>V</math> เป็นศักย์รบกวนภายนอก และให้ <math>\lambda</math> เป็นค่าพารามิเตอร์ที่ไม่มีมิติ โดยมีค่าได้ตั้งแต่ <math>0</math> (ไม่มีการรบกวน) ไปจนถึง <math>1</math> (มีการรบกวนเต็มที่) ทำให้สามารถเขียน แฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน ได้เป็น
<math> H = H_0 + \lambda V </math>
ดังนั้น สถานะไอเกนจากแฮมิลโทเนียนที่ถูกรบกวน จึงสามารถเขียนได้ดังนี้
<math> \left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang . </math>
แนวคิดหลักคือเราต้องการเขียน พลังงานไอเกนใหม่ <math>E_n</math> และ สถานะไอเกนใหม่ <math>|n\rang</math> ให้อยู่ในรูปของ พลังงานไอเกนเดิม <math>E_n^{(0)}</math> และ สถานะไอเกนเดิม <math>|n^{(0)}\rang</math> ถ้าการรบกวนไม่แรงมากเราสามารถแจกแจงให้อยู่ในรูปของ อนุกรมกำลังของ <math>\lambda</math> ได้ดังนี้
<math>\begin{align}
E_n &= E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \\
\end{align}</math>
โดยที่
<math>\begin{align}
E_n^{(k)} &= \frac{1}{k!} \frac{d^k E_n}{d \lambda^k} \\
\end{align}</math>
เมื่อ <math>\lambda</math> เข้าสู่ <math>0</math> พลังงานไอเกน และ สถานะไอเกนใหม่ ก็จะเข้าสู่ พลังงานและสถานะเดิม ซึ่งมาจากสมการที่สอดคล้องกับพจน์ที่มี อนุกรมกำลังเป็นศูนย์ 
ทั้งนี้เนื่องจากการรบกวนมีค่าน้อยๆ ค่าพลังงานและ สถานะไอเกน ก็ไม่ควรจะเบี่ยงเบนออกจากค่าเดิมมาก และค่าแก้ไขที่สอดคล้องกับอนุกรมกำลังที่สูง ก็ควรจะมีค่าน้อยลงตามลำดับ ซึ่งขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลังของ <math>\lambda</math> เป็นตัวบ่งบอกถึงอันดับของค่าแก้ไขว่าละเอียดมากน้อยเพียงใด
ถ้าเราแทนอนุกรมกำลังของ <math>E_n</math> และ <math>|n\rang</math> ลงไปในสมการชเรอดิงเงอร์ที่ถูกรบกวน เราจะได้
<math>\left(H_0 + \lambda V \right) \left(\left |n^{(0)} \right \rang + \lambda \left |n^{(1)} \right \rang + \cdots \right) = \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(\left |n^{(0)} \right \rang + \lambda \left |n^{(1)} \right \rang + \cdots \right)</math>
กระจายพจน์ต่างๆ แล้วรวบเอา พจน์ที่มีลำดับอนุกรมเดียวกัน (เลขชี้กำลังของ <math>\lambda</math> เหมือนกัน) ไว้ด้วยกัน แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า
พจน์ที่มี <math>\lambda ^{0}</math> คือ
<math> H_0 \left |n^{(0)} \right \rang = E_n^{(0)} \left |n^{(0)} \right \rang</math> ซึ่งสอดคล้องกับสมการชเรอดิงเงอร์ของแฮมิลโทเนียนเดิมที่ไม่ถูกรบกวน
พจน์ที่มี <math>\lambda ^{1}</math> คือ
<math> H_0 \left |n^{(1)} \right \rang + V \left |n^{(0)} \right \rang = E_n^{(0)} \left |n^{(1)} \right \rang + E_n^{(1)} \left |n^{(0)} \right \rang </math>
ถ้าวาง <math> \lang n^{(0)} | </math> ลงทางด้านซ้ายทั้งสองข้างของสมการ จะได้ค่าแก้ไขพลังงานอันดับที่หนึ่งคือ
<math> E_n^{(1)} = \left \langle n^{(0)} \right | V \left |n^{(0)} \right \rang </math>
ซึ่งกล่าวง่ายๆ ได้ว่า พลังงานแก้ไขนี้คือ ค่าความคาดหวัง (Expectation value) ของแฮมิลโทเนียนที่มารบกวนระบบ ในขณะที่ระบบอยู่ในสถานะที่ไม่ถูกรบกวน กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ ถ้ามีการรบกวนเกิดขึ้นแต่เรายังติดตามสังเกตสถานะควอนตัมที่เป็นสถานะที่ไม่ถูกรบกวน <math>|n^{(0)}\rang</math> แม้ว่าจะไม่ใช่สถานะไอเกนแล้วก็ตาม เราจะได้ว่า การรบกวนทำให้ค่าเฉลี่ยของพลังงานมีค่าสูงขึ้น <math>\lang n^{(0)}|V|n^{(0)}\rang</math> จากเดิม อนึ่งค่าพลังงานที่เปลี่ยนไปที่แท้จริงจะต่างจากนี้เล็กน้อย เนื่องจากสถานะไอเกนใหม่ไม่เหมือนกับ <math>|n^{(0)}\rang</math> เสียทีเดียว ค่าที่ต่างออกไปเล็กน้อยนี้สามารถหาได้จากค่าแก้ไขลำดับที่สูงขึ้น