คู่อันดับ

คู่อันดับยังอาจมองเป็น ทูเพิล, เวกเตอร์ 2 มิติ หรือ ลำดับความยาว 2 ก็ได้ เนื่องจากคู่อันดับสามารถมีสมาชิกเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็ตาม สมาชิกของคู่อันดับก็อาจจะเป็นคู่อันดับด้วยเช่นกัน ทำให้สามารถนิยาม n สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดได้ ตัวอย่างเช่น สามสิ่งอันดับ ("a","b","c") สามารถนิยามโดย ("a", ("b","c")) หรือก็คือการนำคู่อันดับซ้อนกันไปเรื่อยๆ
ผลคูณคาร์ทีเซียน และ ความสัมพันธ์ทวิภาค (ซึ่งรวมถึงฟังก์ชัน) สามารถนิยามด้วยคู่อันดับได้ด้วยเช่นเดียวกัน
หลักโดยทั่วไป.
กำหนดคู่อันดับ <math>(a_1, b_1)</math> และ <math>(a_2, b_2)</math> เป็นคู่อันดับใด ๆ คุณสมบัติของคู่อันดับคือ
<math>(a_1, b_1) = (a_2, b_2)</math> ก็ต่อเมื่อ <math>a_1 = a_2</math> และ <math>b_1 = b_2.\!</math>
เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต "X" และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต "Y" เรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของ "X" และ "Y" หรืออาจเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า "X"×"Y" ซึ่งความสัมพันธ์ทวิภาคจากเซต "X" ไปเซต "Y" ใด ๆ จะเป็นเซตย่อยของ "X"×"Y"
ในกรณีที่วงเล็บได้นำมาใช้เพื่อจุดประสงค์อื่นแล้ว เช่นใช้แทนช่วงเปิดบนเส้นจำนวน ก็อาจใช้สัญลักษณ์วงเล็บ <math>\left \langle a,b\right \rangle</math> แทน <math>(a, b)</math> ตามปกติได้
การนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซต.
เนื่องจากทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่าเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็จะต้องสามารถนิยามภายใต้เซตได้ รวมถึงคู่อันดับด้วย โดยได้มีนิยามหลากหลายรูปแบบในการนิยามคู่อันดับขึ้นมาจากเซต
นิยามของ Wiener.
Norbert Wiener ได้เสนอนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซตเป็นคนแรกในปี 1914
<math>\left(a, b \right) := 
\left\{\left\{ \left\{a\right\},\, \emptyset \right\},\, \left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.</math>
เขายังสังเกตว่าด้วยนิยามนี้สามารถนำไปใช้กับการนิยามประเภทให้อยู่ในรูปของเซตได้อีกด้วย 
Wiener ใช้ แทนที่ {"b"} เพื่อให้นิยามนี้เข้ากันได้กับทฤษฎีประเภท ซึ่งมีข้อกำหนดว่าสมาชิกทุกตัวในคลาสต้องเป็น "ประเภท" เดียวกัน หรือนั่นก็คือเพื่อทำให้ <math>\{\{b\}\}</math> เป็นประเภทเดียวกันกับ <math>\{\{a\}, \emptyset\}</math>
นิยามของ Hausdorff.
ในเวลาใกล้เคียงกันกับการเสนอนิยามคู่อันดับของ Wiener ในปี 1914 Felix Hausdorff ก็ได้นำเสนอนิยามด้วยเช่นกัน
 <math>(a, b) := \left\{ \{a, 1\}, \{b, 2\} \right\}</math>
โดยที่ 1 และ 2 ต้องแตกต่างจาก a และ b
นิยามของ Kuratowski.
ในปี 1921 Kazimierz Kuratowski ได้เสนอนิยามคู่อันดับซึ่งปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันอย่างแพร่หลาย ว่า
<math>(a, \ b)_K \ := \ \{ \{ a \}, \ \{ a, \ b \} \}.</math>
มีการใช้นิยามนี้แม้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังเหมือนกัน
 <math>(x,\ x)_K = \{\{x\},\{x, \ x\}\} = \{\{x\},\ \{x\}\} = \{\{x\}\}</math>
เมื่อกำหนดคู่อันดับ "p" การทดสอบว่า "x" เป็นสมาชิกตัวหน้าของ "p" หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ
<math>\forall{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y}.</math>
ในกรณีที่ต้องการทดสอบว่า "x" เป็นสมาชิกตัวหลังของ "p" หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ
<math>(\exist{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y})\land(\forall{Y_{1},Y_{2}}{\in}{p}:Y_{1}\ne Y_{2}\rarr ({x}{\notin}{Y_{1}}\lor{x}{\notin}{Y_{2}})).</math>
สังเกตว่าเงื่อนไขนี้สามารถใช้ได้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังเหมือนกันด้วย เพราะประพจน์เชื่อม (conjunct) <math>(\forall{Y_{1},Y_{2}}{\in}{p}:Y_{1}\ne Y_{2}\rarr ({x}{\notin}{Y_{1}}\lor{x}{\notin}{Y_{2}}))</math> จะเป็นจริงเสมอจากการที่ "Y"1 ≠ "Y"2 ให้ค่าความจริงเป็นเท็จ ส่งผลให้เหลือแต่การทดสอบว่ามีสมาชิกตัวหลังในสมาชิกของเซตหรือไม่
หากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหน้าออกมาจากคู่อันดับ "p" สามารถหาได้จาก
<math>\pi_1(p) = \bigcup\bigcap p</math>
และหากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหลังออกมาจากคู่อันดับ "p" สามารถหาได้จาก
<math>\pi_2(p) = \bigcup\{x \in \bigcup p \mid \bigcup p \not= \bigcap p \rarr x \notin \bigcap p \}</math>