ระบบพิกัดเชิงขั้ว

ในทางคณิตศาสตร์ ระบบพิกัดเชิงขั้ว  คือ ระบบค่าพิกัดสองมิติ ในแต่ละจุดบนระนาบถูกกำหนดโดยระยะทางจากจุดตรึงและมุมจากทิศทางตรึง 
จุดตรึง (เหมือนจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน) เรียกว่า ขั้ว ลากรังสี จากขั้วเข้ากับทิศทางตรึง คือ แกนเชิงขั้ว ระยะทางจากขั้วเรียกว่า พิกัดรัศมี หรือ รัศมี และมุม คือ พิกัดมุม, มุมเชิงขั้ว หรือ มุมทิศ
ประวัติ.
มีการนำแนวคิดเรื่องมุมและรัศมีมาใช้ตั้งแต่สมัยโบราณในหนึ่งสหัสวรรษก่อนคริสต์ศักราช นักดาราศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อฮิปปาร์คอส (190-120 BCE) สร้างตารางฟังก์ชันคอร์ดที่ให้ความยาวของคอร์ดสำหรับแต่ละมุม และมีการอ้างอิงว่าเขาใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วในการพิสูจน์ตำแหน่งของดวงดาว
ใน "On Spirals (ว่าด้วยเส้นเกลียว)" อาร์คิมิดีสบรรยายถึงวงก้นหอยอาร์คิมิดีสว่ารัศมีของฟังก์ชันขึ้นกับมุม อย่างไรก็ตามสิ่งที่ชาวกรีกเหล่านี้ทำก็ยังไม่ขยายออกไปถึงระบบพิกัดเชิงขั้วที่สมบูรณ์
ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ ฮะบัซ อัล-ฮะซับ อัล-มาร์วะซิ (Habash al-Hasib al-Marwazi) ใช้วิธีตรีโกณมิติเชิงทรงกลมและการฉายแผนที่เพื่อที่จะแปลงผันพิกัดเชิงขั้วไปเป็นระบบพิกัดที่แตกต่างโดยมุ่งความสนใจไปยังจุดจำเพาะบนรูปทรงกลม ในที่นี้คือกิบลัตมีทิศทางสู่มักกะหฺ นักภูมิศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ อะบู รอย์ฮาน บิรูนี (Abū Rayhān Bīrūnī) (973-1048) พัฒนาแนวคิดซึ่งดูเหมือนจะใกล้เคียงกับระบบพิกัดเชิงขั้ว ราว ๆ คริสต์ศตวรรษ 1025 เขาเป็นคนแรกที่บรรยายถึงการฉายที่ระยะห่างเท่ากันของแอซมัทเท่ากับขั้วของทรงกลมท้องฟ้า
มีรายงานที่ต่างกันของการเริ่มต้นของพิกัดเชิงขั้วตามส่วนหนึ่งของรูปนัยระบบพิกัด "Origin of Polar Coordinates (กำเนิดพิกัดเชิงขั้ว)" ประวัติของพิกัดนี้ถูกบรรยายโดย จูเลียน คูลิดจ์ (Julian Lowell Coolidge) ศาสตราจารย์ฮาร์วาร์ด เกรกัวร์ เดอ แชง-แวงซอง (Grégoire de Saint-Vincent) และ โบนาเวนตูรา คาวาลิเอริ (Bonaventura Cavalieri) ต่างเริ่มนำแนวคิดมาใช้ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 7 แชง-แวงซองเขียนถึงพิกัดเชิงขั้วโดยการส่วนตัวในปี ค.ศ. 1625 และตีพิมพ์งานของเขาในปี ค.ศ. 1647 ขณะที่คาวาลิเอริตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1635 และฉบับที่ถูกต้องในปี ค.ศ. 1653 คาวาลิเอริเป็นบุคคลแรกที่ใช้พิกัดเชิงขั้วแก้ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในวงก้นหอยอาร์คิมิดีส ต่อมาแบลซ ปัสกาลได้ใช้พิกัดเชิงขั้วคำนวณหาความยาวของส่วนโค้งของรูปพาราโบลา
ใน "Method of Fluxions (วิธีการไหล)" (เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1671, ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1736) เซอร์ไอแซก นิวตันพิเคราะห์การแปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้วซึ่งเขาได้อิงตาม "รูปแบบที่ 7 สำหรับวงก้นหอย" และพิกัดอื่นๆอีกเก้าพิกัด ในวารสาร "Acta Eruditorum" (1691), เจคอบ เบอร์โนลลี (Jacob Bernoulli) ใช้ระบบร่วมกับจุดบนเส้นที่เรียกว่า "ขั้ว" และ "แกนเชิงขั้ว" ตามลำดับ พิกัดเป็นระยะทางจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้ว งานของเบอร์โนลลีครอบคลุมไปถึงการพบรัศมีความโค้งของเส้นโค้งที่อยู่ในพิกัดนี้
คำว่า "พิกัดเชิงขั้ว" โดยแท้จริงแล้วน่าจะมาจากเกรโกรีโอ ฟอนตานา (Gregorio Fontana) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 18 และคำนี้ปรากฏเป็นภาษาอังกฤษในงานแปลของ จอร์จ พีค็อก (George Peacock) ที่ชื่อ "แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์" ของลาครัว (Lacroix) ในปี ค.ศ. 1816 อาแล็กซี แกลโรเป็นคนแรกที่คิดพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบสามมิติ และเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์เป็นคนแรกที่นำมาใช้งานจริง
สัญนิยม.
พิกัดรัศมีมักใช้ "r" แสดงแทนและพิกัดมุมใช้ θ หรือ "t" แสดงแทน 
มุมในเครื่องหมายขั้ว ทั่วไปถูกแสดงอยู่ในรูปแบบองศาหรือเรเดียน (2π rad เท่ากับ 360°) องศาถูกใช้ในการเดินเรือ, การสำรวจ และมีการนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขา ขณะที่เรเดียนโดยทั่วไปอยู่ในคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ฟิสิกส์
ในหลาย ๆ บริบท พิกัดมุมบวกหมายความว่ามุม θ ถูกวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนและมีค่าพิกัดมุมลบเมื่อวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา ในเอกสารทางคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งแกนเชิงขั้วถูกลากในแนวนอนและไปทางทางขวา
ความพิเศษของพิกัดเชิงขั้ว.
ทุกตัวเลขของการหมุนครบรอบ (360°) พิกัดมุมจะไม่เปลี่ยนทิศทาง และพิกัดรัศมีลบแสดงถึงระยะทางซึ่งได้จากการวัดเหมือนพิกัดรัศมีบวกแต่มีทิศทางตรงข้าม ดังนั้นในจุดเดียวกันสามารถแสดงด้วยตัวเลขไม่สิ้นสุดที่มีพิกัดเชิงขั้วต่างกัน #เปลี่ยนทาง หรือ #เปลี่ยนทาง เมื่อ "n" คือจำนวนเต็มใด ๆ ยิ่งไปกว่านั้น ขั้วเองสามารถแสดงแทนด้วย (0, θ) สำหรับมุม θ ใด ๆ
เมื่อต้องการแสดงแทนจุดใด ๆ ปกติใช้ "r" เป็นจำนวนไม่เป็นลบ  และ θ ในช่วง [0, 360°) หรือ (−180°, 180°] (ในเรเดียน, [0, 2π) หรือ (−π, π]) และต้องเลือกแอซิมัทสำหรับขั้ว เช่น θ = 0
ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนกับพิกัดเชิงขั้ว.
ค่าของพิกัดเชิงขั้ว "r" และ θ สามารถแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน "x" and "y" โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์:
<math>x = r \cos \theta \,</math>
<math>y = r \sin \theta \,</math>
ขณะที่ค่าของพิกัดคาร์ทีเซียน "x" และ "y" ก็สามารถแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว "r" โดย
<math>r = \sqrt{y^2 + x^2} \quad</math> (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส) และ
<math>\theta =
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0\\
\arcsin (\frac{y}{r}) & \mbox{if } x \geq 0 \\
-\arcsin (\frac{y}{r}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\
\end{cases}</math>
ทุกสูตรเหล่านี้สมมุติว่าขั้วคือจุดกำเนิดคาร์ทีเซียน (0,0) แกนเชิงขั้ว คือ แกนคาร์ทีเซียน "x" และทิศทางของแกนคาร์ทีเซียน "y" มีแอซิมัท +π/2 rad = +90° (แทนที่ −π/2) ฟังก์ชันอาร์กไซน์คือส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์ซึ่งสมมุติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [−π/2, +π/2] = [−90°, +90°]
สูตรสำหรับ θ นอกเหนือจากการแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [-π/2, +3π/2) = [−90°, +270°)
θ ในช่วง [0, 2π) อาจใช้
<math>\theta =
\arctan (\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y < 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0
\end{cases}</math>
ฟังก์ชันอาร์กแทนเป็นส่วนกลับของฟังก์ชันแทนเจนต์ ซึ่งสมมติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย (−π/2, +π/2) = (−90°, +90°)
θ ในช่วง (−π, π] อาจใช้
<math>\theta =
\arctan (\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0
\end{cases}</math>
ในภาษาโปรแกรมสมัยใหม่มีฟังก์ชันที่จะคำนวณหาพิกัดมุม θ เพียงให้ค่า "x" และ "y" โดยไม่ต้องให้อะไรเพิ่มเติม เช่น ฟังก์ชัน <code>atan2</code> ("y", "x") ในภาษาซี และ <code>atan</code> ("y", "x") ในคอมมอน ลิซ์ป (Common Lisp) ในทั้งสองกรณีนั้น ผลที่ได้เป็นมุมในเรเดียนในพิสัย (−π, π]
สมการเชิงขั้วของเส้นโค้ง.
สมการที่นิยามเส้นโค้งพืชคณิตแสดงในพิกัดเชิงขั้วหรือที่เรียกว่า สมการเชิงขั้ว ในหลายกรณี สมการสามารถถูกกำหนดง่าย ๆ โดยนิยาม "r" ตามฟังก์ชันของ θ ("r" = "f(θ)" หรือ "F(r, θ)" = "0") เส้นโค้งที่ได้ประกอบด้วยจุดในรูปแบบ ("r"(θ), θ) และสามารถถือว่าเป็นเส้นกราฟของฟังกชันขั้ว "r"
รูปแบบสมมาตรที่ต่างกันสามารถอนุมานจากสมการของฟังกชันขั้ว "r" ถ้า #เปลี่ยนทาง เส้นโค้งจะสมมาตรกับรังสีแนวนอน (0°/180°) ถ้า #เปลี่ยนทาง จะสมมาตรกับรังสีแนวตั้ง (90°/270°) และถ้า #เปลี่ยนทาง จะสมมาตรแบบหมุน α° ทวนเข็มนาฬิกา รอบขั้ว
เพราะธรรมชาติของวงกลมที่มีอยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้ว เส้นโค้งหลาย ๆ เส้นสามารถอธิบายโดยสมการเชิงขั้วง่าย ๆ เพราะว่ารูปแบบในพิกัดคาร์ทีเซียนของเส้นเหล่านั้นเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมาก เส้นโค้งที่เรารู้จักกันดีได้แก่ กลีบกุหลาบ, วงก้นหอย, ริบบิ้น, ลีมาซอง และ หัวใจ
วงกลม.
โดยทั่วไปสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ #เปลี่ยนทาง และรัศมี "a" คือ
<math>r^2 - 2 r r_0 \cos (\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2\, </math>
สมการนี้สามารถทำให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้หลายทางโดยปรับเปลี่ยนให้เข้าสู่กรณีเฉพาะ เช่นสมการ
<math>r (\theta) =a \,</math>
สำหรับวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ขั้วและรัศมี "a"
เส้นตรง.
เส้น"รัศมี" (ที่วิ่งผ่านขั้ว) แทนด้วยสมการ
<math>\theta = \varphi \,</math>
เมื่อ φ คือมุมของการยกตัวของเส้น; #เปลี่ยนทาง เมื่อ "m" คือความชันของเส้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรงที่ไม่ใช่รัศมีที่ตัดกับรัศมี #เปลี่ยนทาง ตั้งฉากที่จุด ("r0", φ) มีสมการดังนี้
<math>r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) \,</math>
กลีบกุหลาบ.
กลีบกุหลาบเป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดี ที่มองดูเหมือนกลีบดอกไม้ สามารถแสดงแทนในรูปสมการเชิงขั้วทั่วไปดังนี้
<math>r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,</math>
สำหรับทุก ๆ ค่าคงที่ φ0 (รวมถึงค่า 0) ถ้า "k" คือจำนวนเต็ม สมการจะสร้างกลีบดอกไม้ "k" กลีบถ้า "k" คือ จำนวนคี่ หรือ 2"k" กลีบถ้า "k" คือจำนวนคู่ ถ้า "k" คือ เลขเศษส่วนแต่ไม่ใช่จำนวนเต้ม เส้นโค้งจากสมการอาจเป็นรูปกลีบดอกไม้แต่กลีบอาจจะซ้อนทับกัน จากที่กล่าวมาข้างต้นทำให้สมการนี้ไม่สามารถกำหนดกลีบดอกไม้เป็นเป็น 2, 6, 10, 14, และอื่น ๆ กลีบได้ ตัวแปร "a" จะแทนความยาวของกลีบดอกไม้
วงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส.
เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสเป็นวงก้นหอยที่ถูกค้นพบโดยอาร์คิมิดีส ซึ่งสามารถแทนได้ด้วยสมการเชิงขั้ว
<math>r(\theta) = a+b\theta \,</math>
จำนวนเชิงซ้อน.
ทุก ๆ จำนวนเชิงซ้อนสามารถแทนได้ด้วยจุดในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้นจึงสามารถแสดงด้วยจุดในพิกัดคาร์ทีเซียน (เรียกว่า แบบมุมฉากหรือแบบคาร์ทีเซียน) หรือจุดในพิกัดเชิงขั้ว (เรียกว่า แบบเชิงขั้ว)
เลขเชิงซ้อน "z" สามารถแทนในรูปแบบมุมฉากดังนี้
 <math>z = x + iy</math>
เมื่อ "i" คือ หน่วยจินตภาพ หรือสามารถเลือกเขียนในแบบเชิงขั้ว (ตามสูตรการแปรผันข้างบน) ดังนี้
<math>z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)</math>
และลดรูปเป็น
 <math>z = re^{i\theta} \,</math>
เมื่อ "e" คือ ตัวเลขของออยเลอร์ซึ่งสมมูลตามที่แสดงโดยสูตรของออยเลอร์ (มุม θ ถูกแสดงในหน่วยเรเดียน)
สำหรับการคูณ, การหาร และการยกกำลังของเลขเชิงซ้อน ทั่วไปแล้วจะกระทำในแบบเชิงขั้วมากกว่าแบบมุมฉาก จากกฎของการยกกำลัง:
 <math>r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,</math>
 <math>\frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,</math>
 <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,</math>
แคลคูลัส.
แคลคูลัสสามารถประยุกต์สมการไปใช้พิกัดเชิงขั้วได้
พิกัดมุม "θ" ถูกแสดงในเรเดียนตลอดจนภาคตัดนี้ ซึ่งเป็นทางเลือกหนึ่งในการทำแคลคูลัส
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์.
ให้ #เปลี่ยนทาง และ #เปลี่ยนทาง ซึ่งได้จากความสัมพันธ์ของพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว ให้ฟังก์ชัน "u"("x","y") ตามสมการ
<math>r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial r} + r \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial r},</math>
<math>\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial \theta} + \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial \theta}</math>
หรือ
<math>r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x} \cos(\theta) + r \tfrac{\partial u}{\partial y} \sin(\theta) = x \tfrac{\partial u}{\partial x} + y \tfrac{\partial u}{\partial y}</math>
<math>\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = - \tfrac{\partial u}{\partial x} r \sin(\theta) + \tfrac{\partial u}{\partial y} r \cos(\theta) = -y \tfrac{\partial u}{\partial x} + x \tfrac{\partial u}{\partial y}</math>
เพราะฉะนั้น จะได้สมการ:
<math>r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,</math>
<math>\tfrac{\partial}{\partial \theta} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y} </math>
หาความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเชิงขั้ว "r"(θ) ในทุก ๆ จุดที่ให้ เส้นโค้งนั้นอยู่ในรูประบบสมการอิงตัวแปรเสริม
<math>x=r(\theta)\cos\theta \,</math>
<math>y=r(\theta)\sin\theta \,</math>
ทำอนุพันธ์ในเทอมของ θ ทั้งสองสมการ
<math>\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,</math>
<math>\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta \,</math>
หารสมการที่สองด้วยสมการแรกให้ความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด #เปลี่ยนทาง :
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}</math>
แคลคูลัสเวกเตอร์.
แคลคูลัสเวกเตอร์สามารถใช้กับพิกัดเชิงขั้วได้ด้วยเช่นกัน ให้ <math>\mathbf{r}</math> เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง #เปลี่ยนทาง , "r" และ θ ขึ้นกับเวลา "t"
ใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
<math>\hat{\mathbf{r}}=(\cos(\theta),\sin(\theta))</math>
ในทิศทางของ r และ
<math>\hat{\boldsymbol\theta}=(-\sin(\theta),\cos(\theta))</math>
ที่มุมฉากถึง r อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของตำแหน่งเป็น
<math>\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},</math>
<math>\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} +
 \frac{1}{r}\quad \dot {\overbrace{r^2\dot\theta}}\quad \hat{\boldsymbol\theta}</math>
การเชื่อมโยงกับพิกัดทรงกลมและกระบอก.
ระบบพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายออกไปถึงสามมิติกับระบบพิกัดที่แตกต่งกันอีกสองระบบได้คือระบบพิกัดทรงกลมและระบบพิกัดกระบอก