กฎของโลปีตาล

ในแคลคูลัส กฎของโลปีตาล  หรือ กฎของแบร์นูลลี  เป็นทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด  ด้วยการใช้อนุพันธ์กฎนี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิตโดยการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ กฎนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกีโยม เดอ โลปีตาล ถึงแม้กฎนี้มักถูกพิจารณาว่าถูกเขียนโดยเดอ โลปีตาล แต่ทฤษฎีบทนี้แบร์นูลลีเป็นคนเสนอให้กับเขา
กฏของโลปีตาล —  ฟังก์ชัน <math>f</math> และ <math>g</math> ที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด <math>I</math> ยกเว้นเมื่อที่จุด <math>c</math> อยู่ใน <math>I</math>
ถ้า <math>\lim \limits_{x\to c} f(x)=\lim \limits_{x\to c} g(x)=0</math> หรือ <math>\pm\infty</math> และ <math>g'(x)\ne 0</math>
สำหรับทุก <math>x</math> ใน <math>I</math> ที่ <math>x \neq c</math> และ <math>\lim \limits_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} </math> หาค่าได้ 
แล้ว <math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>
ประวัติ.
กีโยม เดอ โลปีตาลเผยแพร่กฎนี้ในปี พ.ศ. 2239 (ค.ศ. 1696) ในหนังสือชื่อ "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" เป็นหนังสือเล่มแรกที่เขียนเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ถึงอย่างไรก็ตาม เชื่อกันว่ากฎนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อโยฮันน์ แบร์นูลลี
รูปทั่วไป.
รูปทั่วไปของกฎของโลปีตาลครอบคลุมหลากหลายกรณี ให้ <math>c</math> และ <math>L</math> เป็นจำนวนจริงส่วนขยาย (ต.ย. จำนวนจริง อนันต์บวก อนันต์ลบ) ให้ <math>I</math> เป็นช่วงเปิดที่มี <math>c</math> อยู่ (สำหรับลิมิตสองข้าง) หรือช่วงเปิดที่มี <math>c</math> เป็นจุดปลาย (สำหรับลิมิตข้างเดียว หรือลิมิตที่อนันต์ ถ้า <math>c</math> เป็นอนันต์) สมมติให้ฟังก์ชันค่าจริง <math>f</math> และ <math>g</math> หาอนุพันธ์ได้บน <math>I</math> อาจยกเว้นที่ <math>c</math> และ <math>g'(x) \ne 0</math> บน <math>I</math> อาจยกเว้นที่ <math>c</math> ด้วย ยังสมมติให้ <math display="inline">\lim \limits_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L </math> ดังนั้นกฎนี้สามารถใช้ได้ในสถานการณ์เมื่ออัตราส่วนของอนุพันธ์มี่ค่าจำกัดหรือไม่จำกัด แต่ใข้ไม่ได้ในสถานการณ์อัตราส่วนแปรปรวนตลอดที่ <math>x</math> มีค่าเข้าไกล้ <math>c</math>
ถ้า
<math>\lim_{x\to c}f(x) = \lim_{x\to c}g(x) = 0</math>
หรือ
<math>\lim_{x\to c} |f(x)| = \lim_{x\to c} |g(x)| = \infty </math>
อย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว
<math>\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=L</math>
ถึงแม้ว่าเราจะเขียนในรูป <math>x\to c </math> ตลอด ลิมิตนั้นอาจเป็นลิมิตข้างเดียว (<math>x\to c^+ </math> หรือ <math>x\to c^- </math>) เมื่อ <math>c</math> เป็นจุดปลายจำกัดของ <math>I</math>
ในกรณีที่สองนั้น สมมุติฐานให้ <math>f</math> ลู่ออกไปอนันต์จะไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ (ดูหมายเหตุตรงท้ายหัวเรื่อง"บทพิสูจน์") ดังนั้นโดยปกติเงื่อนไขของกฎจะกล่าวไว้ตามข้างบน เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองที่จะทำให้กระบวนการของกฎนี้ถูกต้องสามารถกล่าวได้อย่างสั้น ๆ ว่า <math display="inline">\lim_{x \to c} |g(x)| = \infty </math>
สมมุติฐานที่ว่า <math>g'(x) \ne 0</math> จะพบเห็นได้บ่อยตามงานเขียน แต่บางผู้เขียนละสมมุติฐานนี้โดยการเขียนสมมติฐานอื่น วิธีหนึ่ง คือการนิยามลิมิตของฟังก์ชันนั้นโดยเพิ่มข้อกำหนดทีฟังก์ชันที่ใช้หาลิมิตนั้นต้องถูกนิยามทุกที่บนช่วงที่เกี่ยวข้อง <math>I</math> อาจยกเว้นที่ <math>c</math> อีกวิธี คือให้ทั้ง <math>f</math> และ <math>g</math> จำเป็นที่จะต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บนช่วงที่มี <math>c</math> อยู่
ตัวอย่าง.
 \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x^2+x} &= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(x^2+x)} \\[4pt]
 &= \lim_{x\to 0} \frac{e^x}{2x+1} \\[4pt]
 &= 1 
</math>
<math display="block">
& =\lim_{x\to 0}{\frac{2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}} \\[4pt]
& = \lim_{x\to 0}{\frac{-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}} \\[4pt]
& = \lim_{x\to 0}{\frac{-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}} \\[4pt]
& ={\frac{-2+8}{1}} \\[4pt]
& = 6 
\end{align}</math>
=n\cdot \lim_{x\to\infty}{\frac{x^{n-1}}{e^x}} 
</math>ใช้กฎของโลปีตาลซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ (ถ้า <math>n</math> เป็นจำนวนเต็ม) หรือติดลบ (ถ้า <math>n</math> เป็นเศษส่วน) ถีงจะสรุปได้ว่าลิมิตมีค่าเป็นศูนย์
 = \lim_{x\to 0^+} -x = 0.</math>
 &= \lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h} \\[4pt]
 &= \lim_{h\to 0}\frac{f"(x+h) + f"(x-h)}{2} \\[4pt]
 &= f"(x)
 \end{align}</math>
\lim_{x\to\infty }f(x)
= \lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)+f'(x)\bigr)
</math>ดังนั้นถ้า <math display="inline">\lim_{x\to\infty}f(x)</math> หาค่าได้ แล้ว <math display="inline">\lim_{x\to\infty}f'(x) = 0 </math>
รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ.
รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ เช่น <math>1^\infty</math> <math>0^0
</math> <math>\infty^0</math> <math>0\cdot\infty</math> และ <math>\infty-\infty</math> สามารถหาค่าโดยใช้กฎของโลปีตาลได้ เช่นการหาลิมิตทีมี <math>\infty-\infty</math> โดยการเปลี่ยนสองฟังก์ชันที่ลบกันเป็นการหาร
<math>
\lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac1{\ln x}\right)
& = \lim_{x\to 1}\frac{x\cdot\ln x -x+1}{(x-1)\cdot\ln x} & \quad (1) \\[6pt]
& = \lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{\frac{x-1}{x}+\ln x} & \quad (2) \\[6pt]
& = \lim_{x\to 1}\frac{x\cdot\ln x}{x-1+x\cdot\ln x} & \quad (3) \\[6pt]
& = \lim_{x\to 1}\frac{1+\ln x}{1+1+\ln x} & \quad (4) \\[6pt]
& = \lim_{x\to 1}\frac{1+\ln x}{2+\ln x} \\[6pt]
& = \frac{1}{2}\\
</math>
กฎของโลปีตาลถูกใช้ในขั้นตอนจาก (1) ไป (2) และอีกครั้งในขั้นตอน (3) ไป (4) 
กฎของโลปีตาลใช้ได้กับรูปแบบยังไม่กำหนดที่มีเลขยกกำลังโดยใช้ลอการิทึมช่วย"ตบเลขยกกำลังลงมา" ตัวอย่างเช่น
<math>
\lim_{x\to 0^+}x^x
= e^{\lim\limits_{x\to 0^+}(x\cdot\ln x)} 
</math>
ย้ายลิมิตเข้าไปในฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการที่เลขชี้กำลัง <math>x</math> "อยู่ข้างล่าง" ลิมิต <math>\lim_{x\to 0^+}x\cdot\ln x</math> อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด <math>0\cdot\infty</math> แต่จากที่ได้แสดงในตัวอย่างข้างบนมา กฎของโลปีตาลยังสามารถบอกได้ว่า
<math>\lim_{x\to 0^+}x\cdot\ln x = 0 </math> ดังนั้น <math>\lim_{x\to 0^+}x^x = e^0 = 1 </math>
ตารางต่อไปนี้คือรายการรูปแบบยังไม่กำหนดที่พบบ่อย กับการแปลงโดยใช้กฎโลปีตาล
บทพิสูจน์กฎโลปีตาล.
กรณีพิเศษ.
การพิสูจน์กฎโลปีตาลนั้นง่ายในกรณีที่ <math>f</math> และ <math>g</math> ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จุด <math>c</math> และหลังหาอนุพันธ์ครั้งแรกจะเจอลิมิตจำกัด จึงไม่ใช่การพิสูจน์กฎโลปีตาลทั่วไปเพราะมีความจำกัดกว่านิยาม ฟังก์ชันทั้งสองต้องต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ และ <math>c</math> เป็นจำนวนจริง เนื่องจากฟังก์ชันทั่วไปต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ (ต.ย. พหุนาม ไซน์และโคไซน์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) จึงเป็นกรณีที่สมควรแก่การสนใจ
ให้ <math>f</math> และ <math>g</math> ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จำนวนจริง <math>c</math> โดย <math>f(c)=g(c)=0</math> และ <math>g'(c)\neq 0</math> แล้ว <math display="block">
& \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f(x)-0}{g(x)-0} = \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} \\[6pt]
= {} & \lim_{x\to c}\frac{\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c} \right)} = \frac{\lim\limits_{x\to c}\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\lim\limits_{x\to c} \left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}= \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} 
</math>มาจากนิยามอัตราส่วนเชิงผลต่างของอนุพันธ์ การเท่ากันครั้งสุดท้ายเกิดจากความต่อเนื่องของอนุพันธ์ที่ <math>c</math> ลิมิตทีสรุปมาได้เป็นรูปแบบกำหนดเพราะ <math>g'(c)\neq 0</math>
บทพิสูจน์ทั่วไปของกฎโลปีตาลได้รับการอธีบายไว้ข้างล่างนี้
บทพิสูจน์ทั่วไป.
บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นของ#เปลี่ยนทาง ซึ่งพิสูจน์รูปแบบยังไม่กำหนดทั้ง <math display="inline">\frac{0}{0} </math> และ <math display="inline">\frac{\pm\infty}{\pm \infty} </math> เทย์เลอร์ยังทราบว่ามีบทพิสูจน์อื่นอยู่ใน#เปลี่ยนทาง และ#เปลี่ยนทาง 
ให้ <math>f</math> และ <math>g</math> เป็นฟังชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่ตั้งไว้ในหัวข้อ"รูปทั่วไป" ให้ <math>\mathcal{I}</math> เป็นช่วงเปิดในสมมติฐานที่มีจุดปลาย <math>c</math> พิจรณาให้ <math>g'(x)\ne 0</math> บนช่วงนี้ และ <math>g</math> ต่อเนื่อง สามารถเลือก <math>\mathcal{I}</math> ที่เล็กกว่าที่ทำให้ <math>g</math> ไม่เป็นศูนย์บน <math>\mathcal{I}</math> ได้
สำหรับทุก <math>x</math> ในช่วง นิยามให้ <math>m(x)=\inf\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math>และ <math>M(x)=\sup\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math> โดยที่ <math>\xi</math> มีค่าอยู่ระหว่าง <math>x</math> และ <math>c</math> (ฟังก์ขัน <math display="inline">\inf</math> กับ <math display="inline">\sup</math> คืออินฟิมัมกับซูพรีมัมตามลำดับ)
จากการหาอนุพันธ์ได้ของ <math>f</math> และ <math>g</math> บน <math>\mathcal{I}</math> ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชียืนยันได้ว่าสำหรับจุดสองจุดใด ๆ <math>x</math> และ <math>y</math> ใน <math>\mathcal{I}</math> จะมี <math>\xi</math> ระหว่างค่า <math>x</math> และ <math>y</math> ที่ทำให้ <math>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} </math> ส่งผลให้ <math>m(x)\leq \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} \leq M(x)</math> สำหรับทุกตัวเลือกค่า <math>x</math> และ <math>y</math> ที่แตกต่างในช่วง
ค่า <math>g(x)-g(y)</math> ไม่เป็นศูนย์เมื่อ <math>x</math> และ <math>y</math> แตกต่างกันในช่วง เพราะถ้ามีค่าเป็นศูนย์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะนิรนัยได้ว่ามี <math>p</math> ที่อยู่ระหว่าง <math>x</math> และ <math>y</math> ที่ทำให้ <math>g'(p) = 0 </math>
จากนิยามของ <math>m(x)</math> และ <math>M(x)</math> ทำให้ค่าเป็นจำนวนจริงขยาย และอาจสามารถมีค่าเป็น <math display="inline">\pm\infty </math> ได้ ในกรณีต่อไปนี้ <math>m(x)</math> และ <math>M(x)</math> จะเป็นขอบเขตของอัตราส่วน <math display="inline">\frac fg</math>
กรณีที่ 1 <math>\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0</math>
สำหรับทุก <math>x</math> ในช่วง <math>\mathcal{I}</math> และจุด <math>y</math> ระหว่าง <math>x</math> และ <math>c</math>
<math>m(x)\le \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(y)}{g(x)}}{1-\frac{g(y)}{g(x)}}\le M(x)</math>
และเมื่อ <math>y</math> มีค่าเข้าใกล้ <math>c</math> ทั้ง <math>\frac{f(y)}{g(x)}</math> และ <math>\frac{g(y)}{g(x)}</math> จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ทำให้
<math display="inline">m(x)\leq\frac{f(x)}{g(x)}\leq M(x)</math>
กรณีที่ 2 <math>\lim_{x\to c}|g(x)|=\infty</math>
สำหรับทุก <math>x</math> บนช่วง <math>\mathcal{I}</math> นิยาม <math>S_x=\{y\mid y </math> อยู่ระหว่าง <math>x</math> และ <math>c\}</math> สำหรับทุกจุด <math>y</math> ระหว่าง <math>x</math> และ <math>c</math>
<math>m(x)\le \frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}=\frac{\frac{f(y)}{g(y)}-\frac{f(x)}{g(y)}}{1-\frac{g(x)}{g(y)}} \le M(x) </math>
โดยที่เมือ <math>y</math> มีค่าเข้าใกล้ <math>c</math> ทั้ง <math>\frac{f(x)} {g(y)}</math> และ <math>\frac{g(x)}{g(y)}</math> จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น
<math>m(x)\le \liminf_{y\in S_x} \frac{f(y)}{g(y)} \le \limsup_{y\in S_x} \frac{f(y)}{g(y)} \le M(x).</math>
ลิมิตอินฟิเรียร์ และลิมิตซูพีเรียร์นั้นจำเป็นเนื่องจากการมีอยู่ของลิมิต <math display="inline">\frac fg</math> ยังไม่ได้รับการยืนยัน
แบ่งได้เป็นสองกรณีได้แก่
<math>\lim_{x\to c}m(x)=\lim_{x\to c}M(x)=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L </math>
และ
<math>\lim_{x\to c}\left(\liminf_{y\in S_x}\frac{f(y)}{g(y)}\right)=\liminf_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}</math> และ<math>\lim_{x\to c}\left(\limsup_{y\in S_x} \frac{f(y)}{g(y)}\right)=\limsup_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} </math>
ในกรณีแรก ทฤษฎีบทการบีบบอกได้ว่า <math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}</math> หาค่าได้และเท่ากับ <math>L</math> ในกรณีที่สอง ทฤษฎีบทการบีบยังบอกได้ว่า <math>\liminf_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\limsup_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> ดังนั้น <math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}</math> หาค่าได้และเท่ากับ <math>L</math> นี่เป็นผลลัพท์ที่ต้องพิสูจน์
ในกรณีที่สอง สมมติฐานที่ว่า <math>f(x)</math> ลู่ออกไปหาอนันต์ไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ หมายความว่าถ้า <math>|g(x)|</math> ลู่ออกหาอนันต์เมื่อ <math>x</math> เข้าใกล้ <math>c</math> และทั้ง<math>f</math> และ <math>g</math> สอดคล้องกับสมมติฐานของกฎของโลปีตาล แล้ว <math>f(x)</math> ไม่จำเป็นที่ต้องมีสมมติฐานเพิ่ม ลิมิตของ <math>f(x)</math> อาจไม่มีก็ได้ ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของโลปีตาลเป็นผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทสโตลซ์-เชซาโร