ทฤษฎีระบบควบคุม

ทฤษฎีระบบควบคุม  เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ในที่นี้ การควบคุมหมายถึง การควบคุมระบบพลศาสตร์ ให้มีค่าเอาต์พุตที่ต้องการ โดยการป้อนค่าอินพุตที่เหมาะสมให้กับระบบ ตัวอย่างที่เห็นได้ทั่วไป เช่น ระบบควบคุมอุณหภูมิห้องของเครื่องปรับอากาศ หรือ แม้แต่ลูกลอยในโถส้วม ที่เปิดน้ำปิดน้ำโดยอัตโนมัติเมื่อน้ำหมดและน้ำเต็ม
การควบคุมการขับเคลื่อนยานพาหนะ เช่น รถยนต์ ก็ถือเป็นการควบคุมชนิดหนึ่ง โดยผู้ขับขี่เป็นผู้ควบคุมทิศทางและความเร็ว ซึ่งระบบควบคุมประเภทที่ต้องมีคนเข้ามาเกี่ยวข้องนี้ถือว่าเป็น ระบบควบคุมไม่อัตโนมัติ (manual control) แต่ทฤษฎีระบบควบคุมจะครอบคลุมเฉพาะการวิเคราะห์และออกแบบ ระบบควบคุมอัตโนมัติ (automatic control) เท่านั้น เช่น ระบบขับเคลื่อนอัตโนมัติ (cruise control)
ระบบควบคุมยังอาจแบ่งออกได้เป็นระบบควบคุมวงเปิด (open-loop control) คือ ระบบควบคุมที่ไม่ได้ใช้สัญญาณจากเอาต์พุต มาบ่งชี้ถึงลักษณะการควบคุม ส่วนระบบควบคุมวงปิด (closed-loop control) หรือ ระบบป้อนกลับ (feedback control) นั้นจะใช้ค่าที่วัดจากเอาต์พุต มาคำนวณค่าการควบคุม นอกจากนี้ยังอาจแบ่งได้ตามคุณลักษณะของระบบ เช่น เป็นเชิงเส้น (linear) / ไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear) , แปรเปลี่ยนตามเวลา (time-varying) / ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (time-invariant) และเวลาต่อเนื่อง (Continuous time) / เวลาไม่ต่อเนื่อง (Discontinuous time)
ประวัติศาสตร์และการพัฒนาของทฤษฎีระบบควบคุม.
ระบบควบคุมในยุคโบราณ.
การใช้ระบบควบคุมวงปิด นั้นมีมาแต่โบราณกาล ตัวอย่างเช่น นาฬิกาน้ำของกรีก ซึ่งมีการใช้ลูกลอยในการควบคุมระดับน้ำในถัง อุปกรณ์ที่ถือว่าเป็นจุดเริ่มต้น ของการใช้ระบบควบคุมป้อนกลับในวงการอุตสาหกรรม ก็คือ ลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง (หรือเรียก fly-ball governor) ในการควบคุมความเร็วในการหมุน เครื่องจักรไอน้ำที่ประดิษฐ์ขึ้นโดย เจมส์ วัตต์ ในปี ค.ศ. 1788
จุดกำเนิดของทฤษฎีระบบควบคุม.
ในยุคก่อนหน้านี้ การออกแบบระบบควบคุมต่าง ๆ นั้น เป็นไปในลักษณะลองผิดลองถูก ไม่ได้มีการใช้คณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ ออกแบบแต่อย่างใด จนกระทั่งในปี ค.ศ. 1840 นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ จอร์จ แอรี ได้ประดิษฐ์อุปกรณ์ควบคุมทิศทางของกล้องดูดาว โดยอุปกรณ์นี้จะหมุนกล้องดูดาว เพื่อชดเชยกับการหมุนของโลกโดยอัตโนมัติ ในระหว่างการออกแบบ แอรีได้สังเกตถึงความไม่เสถียร (instability) ของระบบป้อนกลับ จึงใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในการจำลองและวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบ การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบนี้เป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีระบบควบคุม
ในปี ค.ศ. 1868 เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ เป็นบุคคลแรก ที่ทำการศึกษาถึงเสถียรภาพของ ลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลางของ เจมส์ วัตต์ โดยใช้แบบจำลองสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ทฤษฎีเสถียรภาพของระบบเชิงเส้นของแมกซ์เวลล์นี้ พิจารณาเสถียรภาพของระบบจาก รากของสมการคุณลักษณะ  ของระบบ ต่อมาในปี ค.ศ. 1892 เลียปูนอฟได้ทำการศึกษาถึงเสถียรภาพของระบบไม่เป็นเขิงเส้น และสร้างทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ  แต่ทฤษฎีของเลียปูนอฟนี้เป็นทฤษฎีที่สำคัญที่ไม่ได้รับความสนใจ จนกระทั่งหลายสิบปีต่อมา
 ระบบควบคุมแบบดั้งเดิม  หมายถึง ระบบควบคุมที่ออกแบบและวิเคราะห์บนโดเมนความถี่ (หรือโดเมนการแปลงฟูรีเย) และโดเมนการแปลงลาปลาส โดยการใช้แบบจำลองในรูปของ ฟังก์ชันส่งผ่าน (transfer function) โดยไม่ได้ใช้ข้อมูลรายละเอียดของไดนามิกส์ภายในของระบบ (internal system dynamic)
ระบบควบคุมแบบดั้งเดิม.
พัฒนาการของทฤษฎีระบบควบคุมในช่วงนี้นั้น ส่วนใหญ่พัฒนาขึ้นเพื่อประยุกต์ใช้งานในทางทหารและทางระบบสื่อสาร อันเนื่องมาจากสงครามโลกครั้งที่สอง และ การขยายตัวของโครงข่ายสื่อสารโทรศัพท์
ในช่วงยุคที่มีการขยายตัวของระบบสื่อสารโทรศัพท์นั้น ระบบสื่อสารทางไกลมีความจำเป็นต้องใช้อุปกรณ์ขยายสัญญาณด้วยหลอดสุญญากาศ ในปี ค.ศ. 1927 แนวความคิดและประโยชน์ของระบบป้อนกลับแบบลบ ได้ถูกนำเสนอในรูปของ อุปกรณ์ขยายสัญญาณป้อนกลับแบบลบ (negative feedback amplifier) โดย เอช. เอส. แบล็ก แต่การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบขยายสัญญาณตามทฤษฎีของแมกซ์เวลล์ โดยใช้วิธีของ เราท์-ฮิวรวิทซ์ (Routh-Hurwitz) นั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากความซับซ้อนของระบบ วิศวกรสื่อสารของ Bell Telephone Laboratories จึงได้นำเสนอการวิเคราะห์บนโดเมนความถี่ โดยในปี ค.ศ. 1932 แฮร์รี่ ไนควิสต์นำเสนอ เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์  ซึ่งใช้วิธีการพล็อตกราฟเชิงขั้ว ของผลตอบสนองความถี่ตลอดวงรอบ (loop frequency response) ของระบบ ต่อมาในปี ค.ศ. 1940 เฮนดริค โบดีได้นำเสนอวิธีการวิเคราะห์เสถียรภาพโดยขอบเขตอัตราขยาย (gain margin) และขอบเขตมุม (phase margin) จากกราฟระหว่างขนาดและมุม  ของผลตอบสนองความถี่ เรียกว่า โบดีพล็อต 
ปัญหาหลายปํญหาในทางหทาร เช่น ปัญหาการนำร่องการเดินเรืออัตโนมัติ ปัญหาการเล็งเป้าโดยอัตโนมัติ นั้นเป็นแรงผลักดันสำคัญให้เกิดการพัฒนาการทางทฤษฎีระบบควบคุมที่สำคัญหลายอย่าง ในปี ค.ศ. 1922 มินอร์สกี  ได้กำหนดและวิเคราะห์กฎของ ระบบควบคุมพีไอดี หรือ สัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (proportional-integral-derivative) ซึ่งยังเป็นที่นิยมใช้อย่างกว้างขวางในปัจจุบัน เพื่อใช้ในการนำร่องการเดินเรือ ปัญหาที่สำคัญในช่วงนั้นคือ การเล็งเป้าของปืนจากเรือหรือเครื่องบิน ซึ่งในปี ค.ศ. 1934 ฮาเซน (H.L. Házen) ได้บัญญัติคำสำหรับประเภทปัญหาการควบคุมกลไกนี้ว่า กลไกเซอร์โว  การวิเคราะห์และออกแบบนั้นก็ใช้วิธีการบนโดเมนความถี่ จนกระทั่งในปีค.ศ. 1948 อีแวนส์ (W. R. Evans) ซึ่งทำงานกับปัญหาทางด้านการนำร่องและควบคุมเส้นทางบิน ซึ่งส่วนใหญ่นั้นเป็นระบบที่ไม่เสถียร ได้ประสบกับปํญหาการวิเคราะห์เสถียรภาพบนโดเมนของความถี่ จึงได้หันกลับไปศึกษาถึงรากของสมการคุณลักษณะ ซึ่งเป็นวิธีการวิเคราะห์บนโดเมนการแปลงลาปลาส และได้พัฒนาวิธี ทางเดินราก (root locus) ในการออกแบบระบบ
ระบบควบคุมสมัยใหม่.
ระบบควบคุมสมัยใหม่  หมายถึง ระบบควบคุมที่ไม่ได้ใช้เทคนิคในการออกแบบแบบดั้งเดิม คือ จากรากของสมการคุณลักษณะ และอยู่บนโดเมนความถี่ แต่เป็นการออกแบบ โดยมีพื้นฐานจากแบบจำลองสมการอนุพันธ์ของไดนามิกส์ของระบบ และเป็นการออกแบบอยู่บนโดเมนเวลา
แรงผลักดันของพัฒนาการจากระบบควบคุมแบบดั้งเดิม มาสู่ระบบควบคุมสมัยใหม่นี้ มีอยู่หลัก ๆ สองประการคือ
ข้อจำกัดของระบบควบคุมแบบดั้งเดิมต่องานด้านอวกาศยาน : 
จากความสำเร็จในการส่งดาวเทียมสปุตนิก 1 ของสหภาพโซเวียตในปี ค.ศ. 1957 นั้นกระตุ้นให้เกิดความตื่นตัวของการประยุกต์ใช้งานทางด้านอวกาศยาน ความสำเร็จของโซเวียตนั้นเนื่องมาจากพัฒนาการทางด้านทฤษฎีระบบควบคุมแบบไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งไม่ได้รับความสนใจมากนักจากประเทศตะวันตก เนื่องจากความล้มเหลวในการใช้เทคนิคต่าง ๆ ของระบบควบคุมแบบดั้งเดิม กับงานด้านอวกาศยาน ซึ่งระบบส่วนใหญ่นั้น เป็นระบบหลายตัวแปรแบบไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear multivariable system) จึงมีการหันกลับมาพิจารณาการวิเคราะห์จากปัญหาดั้งเดิม ในรูปของแบบจำลองสมการอนุพันธ์ของระบบ
การประยุกต์ใช้คอมพิวเตอร์กับงานระบบควบคุม : 
พัฒนาการของคอมพิวเตอร์ มีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีต่าง ๆ ของระบบควบคุม เนื่องจากทำให้สามารถสร้างอุปกรณ์ควบคุมที่สามารถทำงานซับซ้อนได้ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณในการออกแบบกฎของการควบคุม ดังนั้นจึงมีการพัฒนาระบบควบคุมแบบต่าง ๆ ขึ้นอย่างมากมาย
ด้วยเหตุดังกล่าว จึงมีการพัฒนาทฤษฎีระบบควบคุม จากหลายแง่มุม
จากความพยายามในการใช้คอมพิวเตอร์ซึ่งเป็นดิจิทัล เพื่อการควบคุมระบบซึ่งโดยส่วนใหญ่จะเป็นระบบอนาล็อก จึงส่งผลให้มีการพัฒนาทางทฤษฎีระบบควบคุมดิจิทัล  โดยในปี ค.ศ. 1952 จอห์น รากัซซินี (J.R. Ragazzini) , แฟรงคลิน (G Franklin) และ ซาเดห์  ที่มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย ได้พัฒนาทฤษฎีระบบแบบชักข้อมูล (sampled data systems) ขึ้น การใช้คอมพิวเตอร์ในการควบคุมกระบวนการในอุตสาหกรรมนั้น ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1959 ที่ โรงกลั่นน้ำมัน พอร์ต อาเธอร์ (Port Arthur) ในรัฐเท็กซัส
นอกจากนั้นแล้วแนวความคิดของการควบคุมที่ซับซ้อนขึ้นโดยมีการรวม ข้อกำหนดความต้องการทางด้านประสิทธิภาพ (performance) ในการออกแบบระบบควบคุม ซึ่งเรียกว่า ระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด  รากฐานของทฤษฎีระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุดนี้มีมายาวนานตั้งแต่ปี ค.ศ. 1696 จาก "หลักของความเหมาะสมที่สุด" (principle of optimality) ในปัญหา บราคิสโตโครน  และ แคลคูลัสของการแปรผัน  ในปีค.ศ. 1957 ริชาร์ด เบลแมน ได้ประยุกต์ใช้วิธีการกำหนดการพลวัตของเขาในการแก้ปัญหาระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ต่อมาในปีค.ศ. 1958 พอนเทรียกิน  ได้พัฒนา "หลักการมากที่สุด"  สำหรับแก้ปัญหาในรูปของแคลคูลัสของการแปรผัน แบบเวลาต่อเนื่อง
การสังเกตถึงผลกระทบของสัญญาณรบกวนต่อประสิทธิภาพของระบบควบคุมนั้นมีมาตั้งแต่ในช่วงระบบควบคุมยุคดั้งเดิม เช่นในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ในการพัฒนาระบบควบคุมสำหรับเรดาร์ติดเครื่องบิน เพื่อควบคุมการยิง ที่ ห้องทดลองเรดิเอชัน (Radiation Lab) ที่ เอ็มไอที, ฮอลล์ (A.C. Hall) ได้ประสบปัญหาในการออกแบบ เขาได้สังเกตถึงผลกระทบจากการออกแบบที่ไม่ได้คำนึงถึงสัญญาณรบกวนต่อประสิทธิภาพของระบบ ถึงแม้ว่าจะมีการคำนึงถึงผลกระทบของสัญญาณรบกวน แต่ก็ไม่ได้มีการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสัญญาณรบกวนในการวิเคราะห์แต่อย่างใด จนกระทั่ง นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ ได้จำลองสัญญาณรบกวน โดยใช้แบบจำลองกระบวนการสตอแคสติก หรือ แบบจำลองทางสถิติ แบบเวลาต่อเนื่อง ในการพัฒนาระบบเล็งเป้าและควบคุมการยิงปืนต่อต้านอากาศยาน โดยใช้ข้อมูลจากเรดาร์ ซึ่งงานของเขาได้ถูกเก็บเป็นความลับ จนถึงปี ค.ศ. 1949 ในช่วงเดียวกันในปี ค.ศ. 1941 คอลโมโกรอฟ ก็ได้ทำการพัฒนาแบบจำลองสำหรับระบบเวลาไม่ต่อเนื่องขึ้น ระบบควบคุมที่ใช้แบบจำลองสคอแคสติกนี้ในการวิเคราะห์ จะเรียกว่า ระบบควบคุมสตอแคสติก 
การวิเคราะห์และควบคุมระบบบนโดเมนเวลา โดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะ หรือ แบบจำลองปริภูมิสถานะ  นั้นเป็นหัวใจของทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่ รูดอล์ฟ อีมิว คาลมาน และ Bellman นั้นถือได้ว่าเป็นบุคคลที่มีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีระบบควบคุมโดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะนี้ โดยที่ในปี ค.ศ. 1960 คาลมานได้นำมาใช้ในการออกแบบระบบ ซึ่งเป็นผลให้ผลงานของเลียปูนอฟกลับมาได้รับความสนใจ นอกจากนี้แนวทางใหม่นี้ยังสามารถตอบคำถามเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะของตัวระบบได้ ได้แก่ สภาพควบคุมได้ (controllability) สภาพสังเกตได้ (observability) ผลสัมฤทธิ์เล็กสุดเฉพาะกลุ่ม (minimal realization) และยังนำไปสู่การออกแบบตัวควบคุมแบบใหม่ เช่น การวางขั้ว (pole placement) ตัวควบคุมอิงตัวสังเกต (observer-based controller) และตัวควบคุมกำลังสองเชิงเส้นเหมาะที่สุด (optimal linear quadratic regulator) คาลมานได้พัฒนาวิธีการออกแบบระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด จากแบบจำลองปริภูมิสถานะ ในรูปของปัญหาระบบเชิงเส้นคงค่าแบบเหมาะสมที่สุดตามสมการกำลังสอง หรือ LQR  ในปีเดียวกันนี้ คาลมานได้นำเสนอผลงานของเขาในการประยุกต์ใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะนี้เข้ากับแนวความคิดทางด้านสตอแคสติกของวีนเนอร์ และคิดค้นสิ่งที่เรารู้จักกันในชื่อ ตัวกรองคาลมาน  ขึ้นมา โดยการใช้งานจริงครั้งแรกของตัวกรองคาลมาน นั้นได้ถูกประยุกต์เป็นส่วนหนึ่งของระบบนำร่องในโครงการอพอลโล ตั้งแต่นั้นมาตัวกรองคาลมานก็ได้ถูกประยุกต์ใช้งานอย่างกว้างขวางในปัจจุบัน
ในปัจจุบันแนวทางการวิเคราะห์และควบคุมระบบบนโดเมนเวลา โดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะสามารถประยุกต์ใช้ได้กับงานวิศวกรรมห้วงอากาศอวกาศ (aerospace engineering) การควบคุมกระบวนการ (process control) และเศษฐมิติ  
ประเภทของปัญหาระบบควบคุม.
ปัญหาของทฤษฎีระบบควบคุมนั้น สามารถแยกออกได้เป็นประเภทใหญ่ 2 ประเภท คือ
ประเภทของระบบ.
เราอาจจะสามารถจำแนกประเภทของระบบได้หลายแบบตามแต่เงื่อนไขในการจำแนกระบบที่ใช้ แต่ในบริบทของทฤษฎีระบบควบคุมนั้น เรามักจำแนกระบบตามภาวะเชิงเส้น, การแปรเปลี่ยนตามเวลา และความต่อเนื่องโดเมนเวลา ดังต่อไปนี้ คือ
จำแนกตามภาวะเชิงเส้น.
ระบบเชิงเส้น.
ระบบเชิงเส้น (Linear Systems) คือระบบที่มีภาวะเชิงเส้น (Linearity) กล่าวคือ ถ้าให้ <math>x_1 (t), x_2 (t) </math> เป็นสัญญาณขาเข้าของระบบ และ <math>y_i (t) = H \left \{ x_i (t) \right \}</math> โดยที่ <math>i \in \{1, 2\}</math>เป็นสัญญาณขาออก ถ้าระบบมีภาวะเชิงเส้นแล้วจะต้องสอดคล้องกับคุณสมบัติดังนี้
 <math>\alpha y_1 (t) + \beta y_2 (t) = H \left \{ \alpha x_1 (t) + \beta x_2 (t) \right \} </math>
<math>\forall \alpha, \beta \in \mathbb R \, </math>
ระบบไม่เชิงเส้น.
ระบบไม่เชิงเส้น (Nonlinear Systems) คือระบบที่ไม่มีสมบัติภาวะเชิงเส้นดังกล่าว
จำแนกตามการแปรเปลี่ยนตามเวลา.
ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา.
ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (Time-invariant system) คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า <math>x (t) </math> ที่เวลา <math>t</math> จะได้สัญญาณขาออกเป็น <math>y (t) </math> ที่เวลา <math>t</math> ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา <math>t + \delta</math> นั้นคือ <math>x (t + \delta) </math> สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ <math>y (t + \delta) </math>เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา <math>t + \delta</math> ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า <math>x (t + \delta) </math>
ระบบแปรเปลี่ยนตามเวลา.
ระบบแปรเปลี่ยนตามเวลา (Time-variant system) คือระบบที่จะปลี่ยนแปลงคุณสมบัติไปตามเวลา กล่าวคือ ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า <math>x (t) </math> ที่เวลา <math>t</math> แล้วจะได้สัญญาณขาออกเป็น <math>y (t) </math> ที่เวลา <math>t</math> ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา <math>t + \delta</math> นั้นคือ <math>x (t + \delta) </math> สัญญาณขาออกผลลัพธ์ จะไม่ได้ค่าเดิม คือ <math>y (t + \delta) </math> แต่จะเป็นค่าอื่นเพราะในช่วงเวลา <math>\delta</math> นั้นระบบได้เปลี่ยนคุณสมบัติไปแล้ว
จำแนกตามความต่อเนื่องโดเมนเวลา.
ระบบเวลาต่อเนื่อง.
ระบบเวลาต่อเนื่อง (Continuous time systems) คือระบบที่มีโดเมนเวลาเป็นสมาชิกเซตของจำนวนจริง กล่าวคือ <math> t \in \ \mathbb R \, </math>
ระบบเวลาวิยุต.
ระบบเวลาวิยุต หรือ ระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (Discontinuous time systems) คือระบบที่มีโดเมนเวลาเป็นสมาชิกเซตของจำนวนเต็ม (แม้ในบางครั้ง อาจจะไม่ใช้จำนวนเต็ม แต่ ถ้ากล่าวโดยไม่เสียนัยยะความเป็นทั่วไป เราสามารถแทนจำนวนเหล่านั้นที่แม้ไม่ใช้จำนวนเต็มได้ด้วย ดัชนีเวลา (time index) ที่เป็นจำนวนเต็มได้เสมอ) กล่าวคือ <math> t \in \ \mathbb Z \, </math>
ระบบผสม.
ระบบผสม (Hybrid systems) คือระบบที่โดเมนของเวลาต่อเนื่องเป็นช่วง ๆ กล่าวคือ มีทั้งช่วงที่ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องในโดเมนของเวลา ตัวอย่างของระบบที่ศึกษากันคือ ระบบเชิงเส้นกระโดดแบบมาร์คอฟ (Markovian jump linear system : MJLS) 
ในกรณีที่เป็น ระบบเชิงเส้นกระโดดแบบมาร์คอฟและเวลาไม่ต่อเนื่อง ระบบจะมีแบบจำลองดังต่อไปนี้
<math>x (k + 1) = A_{r (k)}x (k) + B_{r (k)}u (k) + F_{r (k)}w (k) </math>
<math>y (k) = C_{r (k)}x (k) + G_{r (k)}v (k) </math>
 โดยที่
<math>r (k) \in \{ 1, 2, 3, ...m\} </math> เป็นตัวแปรสถานะของกระบวนการมาร์คอฟ (Markov process) ที่มีความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนสถานะเป็น <math>Prob (r (k + 1) = j|r (k) = i) = q_{ij}</math>
และเมทริกซ์ของระบบแปรเปลี่ยนขึ้นกับ <math>r (k) </math>
<math>w (k) </math> เป็นสัญญาณรบกวนที่มีต่อตัวระบบ
<math> v (k) </math> เป็นสัญญาณรบกวนที่มีการสังเกต (สัญญาณขาออก)
ส่วน <math>x (k), y (k), A, B, C, D, F </math> จะนิยามในส่วนของแบบจำลองปริภูมิสถานะ ต่อไป
ทฤษฎีระบบควบคุมแบบดั้งเดิม.
ระบบควบคุมวงปิด.
เนื่องจากระบบควบคุมแบบวงเปิดมีปัญหาด้านเสถียรภาพของระบบเพราะไม่มีการป้อนกลับของสัญญาณขาออก ซึ่งไม่เหมาะกับการใช้งานหลายอย่าง จึงมีความต้องการที่จะออกแบบระบบควบคุมที่สามารถตรวจจับความคลาด
เคลื่อนระหว่างสัญญาณขาออกและสัญญาณอ้างอิงได้ จึงได้มีการคิดค้นระบบควบคุมแบบป้อนกลับ (Feedback control systems) หรือระบบควบคุมแบบวงปิด (Closed loop control systems) ขึ้นมาเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาที่เกิด
ขึ้นกับระบบควบคุมแบบวงเปิด โดยมีโครงสร้างดังในรูป
ระบบควบคุมแบบป้อนกลับมีความได้เปรียบเหนือกว่าระบบควบคุมแบบวงเปิด ดังต่อไปนี้
ในบางระบบ ระบบควบคุมแบบวงปิดและวงเปิดจะใช้ควบคู่กัน โดยที่ในกรณีนี้ระบบวงเปิดจะเรียกว่า 
ฟังก์ชันส่งผ่านของระบบวงปิด.
ฟังก์ชันส่งผ่าน (transfer function) คือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณขาออก (output signal) ต่อสัญญาณขาเข้า (input signal)
โดยฟังก์ชันส่งผ่านสามารถหาได้จากความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้
สมมุติให้ ตัวควบคุม <math>C</math>, ระบบพลวัต <math>P</math>, ตัวตรวจจับ <math>F</math> เป็นเชิงเส้น และ ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (ฟังก์ชันส่งผ่านของ <math>C (s) </math>, <math>P (s) </math>, and <math>F (s) </math> ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) และในที่นี้เราจะพิจารณาผลการแปลงการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันส่งผ่านย่อย ๆ กล่าวคือ ฟังก์ชันส่งผ่านของ <math>C (s) </math>, <math>P (s) </math>, and <math>F (s) </math> ซึ่งการหาฟังก์ชันส่งผ่านหาได้ดังนี้
 <math>Y (s) = P (s) U (s) \, \!</math>
 <math>U (s) = C (s) E (s) \, \!</math>
 <math>E (s) = R (s) - F (s) Y (s).\, \!</math>
แก้หา <math>Y (s) </math> ในรูปของ <math>R (s) </math> จะได้ว่า:
 <math>Y (s) = \left (\frac{P (s) C (s)}{1 + F (s) P (s) C (s)} \right) R (s) = H (s) R (s).</math>
โดยที่ <math>H (s) = \frac{P (s) C (s)}{1 + F (s) P (s) C (s)}</math> เราจะเรียกว่า ฟังก์ชันส่งผ่านของระบบวงปิดของระบบ (closed-loop transfer function)
ตัวควบคุมพีไอดี.
ตัวควบคุมพีไอดี หรือ ตัวควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ เป็นตัวควบคุมที่ได้รับความนิยมเป็นอย่างสูงและใช้งานอย่างแพร่หลาย โดยในปัจจุบันยังมีการใช้งานในแวดวงอุตสาหกรรม จนไปถึงยานอวกาศ ทั้งนี้เพราะเป็นตัวคบคุมที่มีใช้งานกันมานานและจนได้รับความไว้วางในแง่ของประสิทธิภาพ อีกทั้งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของมันก็เรียบง่ายและง่ายต่อการนำไปติดตั้ง
ตัวควบคุมพีไอดีมีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้
กำหนดให้ <math>u (t) </math> คือสัญญาณควบคุมที่จะส่งให้ตัวระบบ
และ <math>y (t) </math> คือสัญญาณขาออกที่ถูกวัดมาได้
และ <math>r (t) </math> คือสัญญาณอ้างอิง
สัญญาณความคลาดเคลื่อนคือ <math>e (t) =r (t) - y (t) </math> ดังนั้น
 <math>u (t) = K_P e (t) + K_I \int e (t) \text{d}t + K_D \frac{\text{d}}{\text{d}t}e (t).</math>
สมรรถนะและเสถียรถาพของระบบจะถูกกำหนดโดยการปรับแต่งค่าพารามิเตอร์สามตัว คือ <math> K_P</math>, <math> K_I</math> และ <math> K_D</math> นอกเหนือจากการปรับแต่งค่าเหล่านี้หลังจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของตัวระบบแล้ว ในทางปฏิบัติ ยังนิยมปรับแต่งค่าโดยใช้หลักการของ หรือใช้ประสบการณ์ของวิศวกร โดยที่เสถียรภาพของระบบมักขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ <math> K_P</math> แต่เพียงอย่างเดียว ส่วน <math> K_I</math> มักส่งผลในแง่ของความคงทนต่อการเปลี่ยนแปลงฉับพลันต่อตัวระบบ และ <math> K_D</math> มักเกี่ยวกับรูปร่างของผลตอบสนอง
เมื่อพิจารณาบนโดเมนการแปลงลาปลาส จะได้ว่า
 <math>u (s) = K_P e (s) + K_I \frac{1}{s} e (s) + K_D s e (s) </math>
 <math>u (s) = (K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s) e (s) </math>
โดยจะเห็นได้ว่าฟังกชั่นส่งผ่านของตัวควบคุมพีไอดีคือ
 <math>C (s) = (K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s).</math>
แม้ระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่ใช้ตัวควบคุมพีไอดีจะมีความสามารถที่ถูกปรับปรุงดีขึ้นมากกว่าระบบควบคุมแบบเปิดมาก แต่ก็ยังเหมาะแค่กับระบบที่มีสัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (or SISO) และยังไม่สามารถใช้ควบคุมระบบที่มีความซับซ้อนสูงได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบที่มีสัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (or MIMO)
ทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่.
ระบบพลวัตส่วนใหญ่มักมีพฤติกรรมที่สามารถใช้สมการอนุพันธ์อันดับใด ๆ มาอธิบายได้ ในขณะเดียวกันสมการเชิงอนุพันธ์อันดับใด ๆ ก็สามารถลดอันดับให้เหลือเพียงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งได้ จากความจริงตรงนี้จึงได้มีการเสนอวิธีการใหม่ในการวิเคราะห์และควบคุมระบบ ซึ่งจะวิเคราะห์บนโดเมนเวลาและได้มีการนำแบบจำลองปริภูมิสถานะ  มาใช้ซึ่งจะอยู่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งและแตกต่างจากระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่นิยมวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบบนโดเมนความถี่ นอกจากนี้การนำแบบจำลองปริภูมิสถานะมาใช้ทำให้เราสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบแบบสัญญาณขาเข้าหลายทางสัญญาณขาออกหลายทาง (MIMO) ได้โดยการกำหนดมิติของตัวแปรในสมการปริภูมิสถานะอย่างเหมาะสม
แบบจำลองปริภูมิสถานะ.
กรณีระบบเชิงเส้น.
กำหนดให้ระบบพลวัตมี <math>p</math> สัญญาณขาเข้า <math>q</math> สัญญาณขาออก และ <math>n</math> ตัวแปรสถานะ
สมการปริภูมิสถานะคือ:
 <math>\dot{\mathbf{x}} (t) = A (t) \mathbf{x} (t) + B (t) \mathbf{u} (t) </math>
 <math>\mathbf{y} (t) = C (t) \mathbf{x} (t) + D (t) \mathbf{u} (t) </math>
โดยที่:
 <math>\mathbf{x} (\cdot) </math> คือ เวกเตอร์ของตัวแปรสถานะ (state vector) ,   <math>\mathbf{x} (t) \in \mathbb{R}^n</math>;
 <math>\mathbf{y} (\cdot) </math> คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาออก (output vector) ,   <math>\mathbf{y} (t) \in \mathbb{R}^q</math>;
 <math>\mathbf{u} (\cdot) </math> คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาเข้า หรือ เวกเตอร์ของสัญญาณควบคุม (input vector, control vector) ,   <math>\mathbf{u} (t) \in \mathbb{R}^p</math>;
 <math>A (\cdot) </math> คือ เมทริกซ์ของตัวแปรสถานะ หรือ เมทริกซ์พลวัต (state matrix, dynamics matrix) ,   <math>\operatorname{dim}[A (\cdot)] = n \times n</math>,
 <math>B (\cdot) </math> คือ เมทริกซ์ขาเข้า (input matrix) ,   <math>\operatorname{dim}[B (\cdot)] = n \times p</math>,
 <math>C (\cdot) </math> คือ เมทริกซ์ขาออก (output matrix) ,   <math>\operatorname{dim}[C (\cdot)] = q \times n</math>,
 <math>D (\cdot) </math> คือ เมทริกซ์ป้อนผ่าน (feedthrough (or feedforward) matrix) (ในกรณีที่ระบบไม่มีการป้อนสัญญาณขาเข้า, <math>D (\cdot) </math> เป็นเมทริกซ์ศูนย์),   <math>\operatorname{dim}[D (\cdot)] = q \times p</math>,
 <math>\dot{\mathbf{x}} (t) := \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \mathbf{x} (t) </math>.
โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์ข้างต้นจะเป็นเมทริกซ์แปรผันตามเวลาได้ แต่ในกรณีเฉพาะที่ระบบไม่แปรผันตามเวลา  มักจะถูกนำมาศึกษาอยางแพร่หลายเพราะมีความซับซ้อนน้อยกว่าและเหมาะต่อการศึกษาในระดับพื้นฐาน นอกจากนี้ตัวแปรเวลาสามารถมีได้ทั้งแบบเวลาต่อเนื่อง (continuous time : <math>t \in \mathbb{R}</math>) และแบบเวลาวิยุต (ไม่ต่อเนื่อง) (discrete time : <math>t \in \mathbb{Z}</math>) โดยในกรณีของเวลาไม่ต่อเนื่องมักนิยมใช้ตัวแปร <math>k</math> นอกเหนื่อจากระบบแบบที่กล่าวมาแล้วยังมีระบบผสมซึ่งเป็นระบบที่มีโดเมนของเวลาอยู่ทั้งบนแกนเวลาต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง
สมการปริภูมิสถานะข้างต้นหากพิจารณาตามโดเมนของเวลาจะมีรูปแบบต่าง ๆ กันดังต่อไปนี้ :
 <math>\mathbf{\dot{x}} (t) = \mathbf{f} (t, x (t), u (t)) </math>
 <math>\mathbf{y} (t) = \mathbf{h} (t, x (t), u (t)) </math>
สภาพควบคุมได้.
สภาพควบคุมได้  จะบ่งบอกถึงความสามารถที่สัญญาณขาเข้าที่เป็นไปได้ (admissible inputs) จะสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะให้ไปถึงค่าใด ๆ ได้ในช่วงเวลาจำกัด (เวลาอันตะ) ไม่ว่าค่าเริ่มต้น (initial value) ของตัวแปรสถานะนั้น ๆ จะเป็นค่าอะไร ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้นเงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพควบคุมได้ ก็ต่อเมื่อ
 <math>\operatorname{rank}\begin{bmatrix}B& AB& A^{2}B& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n</math>
สภาพสังเกตได้.
สภาพสังเกตได้  เป็นสภาพที่บ่งบอกว่าระบบพลวัตมีความสามารถที่จะส่งผ่านข้อมูลของตัวแปรสถานะได้ดีแค่ไหนเมื่อพิจารณาจากสัญญาณขาออก สภาพควบคุมได้ และ สภาพสังเกตได้ เป็นสภาพคู่กันทางคณิตศาสตร์  กล่าวคือ ในขณะที่ สภาพควบคุมได้ หมายถึง สภาพที่แสดงออกว่าสัญญาณขาเข้าสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะไปที่ค่าใด ๆ ที่ต้องการได้ แต่ สภาพสังเกตได้ จะเป็นสภาพที่แสดงออกถึงสัญญาณขาออก (output trajectory) จะให้ข้อมูลเพียงพอต่อการคาดคะเนค่าเริ่มต้นของตัวแปรสถานะของระบบได้
ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้น เงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพสังเกตได้ได้ ก็ต่อเมื่อ
 <math>\operatorname{rank}\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n</math>
การแยกตัวประกอบคาลมาน.
การแยกตัวประกอบคาลมาน  เป็นกระบวนการแยกส่วนประกอบของเมทริกซ์ในสมการปริภูมิสถานะของระบบเชิงเส้นไม่เปลี่ยนตามเวลา ให้อยู่ในรูปแบบที่สามารถจำแนกได้ว่าส่วนใดในเมทริกซ์ของระบบ มีผลต่อ สภาพสังเกตได้ และสภาพควบคุมได้ ทำให้ง่ายต่อการวิเคราะห์คุณลักษณะของระบบ
จากสมการปริภูมิสถานะของระบบข้างต้น จะเห็นได้ว่าพารามิเตอร์ที่กำหนดลักษณะของระบบ LTI สามารถเขียนโดยย่อได้เป็นเวกเตอร์ <math>\, (A, B, C, D) </math> ในที่นี้จะสมมุติว่าระบบมีมิติเป็น <math>\, n</math>.
การแยกตัวประกอบคาลมาน ถูกนิยามว่า คือ การแปลงเวกเตอร์ <math>\, (A, B, C, D) </math> ให้เป็น <math>\, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D}) </math> โดยคูณเมทริกซ์การแปลง <math>\, T</math> ดังต่อไปนี้
 <math>\, {\hat{A}} = {T^{-1}}AT</math>
 <math>\, {\hat{B}} = {T^{-1}}B</math>
 <math>\, {\hat{C}} = CT</math>
 <math>\, {\hat{D}} = D</math>
โดยเมทริกซ์การแปลง <math>\, T</math> มีมิติ <math>\, n \times n</math> เป็นเมทริกซ์ผกผันได้ ถูกนิยามดังต่อไปนี้ ดังต่อไปนี้:
 <math>\, T = \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro} & T_{\overline{ro}} & T_{\overline{r}o}\end{bmatrix}</math>
โดยที่
จะเห็นได้ว่าโดยการสร้งเมทริกซ์ <math>\, T</math> ในลักษณะข้างต้น เมทริกซ์ <math>\, T</math> จึงผกผันได้ เป็นที่น่าสังเกตว่าเมทริกซ์ย่อยในเมทริกซ์ <math>\, T</math> นั้นสามารถเป็นเมทริกซ์ศูนย์ได้ ยกตัวอย่างเช่น กรณีที่ระบบมีสภาพสังเกตได้และควบคุมได้ เมทริกซ์ <math>\, T</math> ลดรูปเหลือ <math>\, T = T_{ro}</math> โดยที่ เมทริกซ์ย่อยอื่นเป็นเมทริกซ์ศูนย์
รูปแบบมาตรฐาน.
ระบบที่ได้รับการแปลงแล้ว <math>\, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D}) </math> จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:
 <math>\, \hat{A} = \begin{bmatrix}A_{r\overline{o}} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\
0 & A_{ro} & 0 & A_{24} \\
0 & 0 & A_{\overline{ro}} & A_{34}\\
0 & 0 & 0 & A_{\overline{r}o}\end{bmatrix}</math>
 <math>\, \hat{B} = \begin{bmatrix}B_{r\overline{o}} \\ B_{ro} \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}</math>
 <math>\, \hat{C} = \begin{bmatrix}0 & C_{ro} & 0 & C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}</math>
 <math>\, \hat{D} = D</math>
โดยที่