การทดสอบการลู่เข้า

ในทาง คณิตศาสตร์ การทดสอบการลู่เข้าเป็นวิธีการทดสอบหาการลู่เข้า การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ช่วงลู่เข้า หรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> 
รายการการทดสอบ.
ลิมิตของส่วนของผลบวก.
ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกหาค่าไม่ได้หรือไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ <math>\lim_{n \to \infty}a_n \ne 0</math> แล้วอนุกรมจะลู่ออก ในแง่นี้ ผลบวกย่อยจะเป็นแบบโคชี เฉพาะในกรณีที่ลิมิตหาค่าได้และมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น การทดสอบจะสรุปไม่ได้ ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกเป็นศูนย์ สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบด้วยพจน์ที่ n การทดสอบการลู่ออก หรือ การทดสอบอนุกรมลู่ออก
การทดสอบด้วยอัตราส่วน.
สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า เกณฑ์ของดาล็องแบร์
 พิจารณาลิมิตสองลิมิต <math>\ell=\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math> และ <math>L=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math> ถ้า <math>\ell>1</math> อนุกรมจะลู่ออก ถ้า <math>L<1</math> อนุกรมจะลู่เข้าโดยสัมบูรณ์ ถ้า <math>\ell\le1\le L</math> การทดสอบจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าแบบสมบูรณ์ แบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออกได้
การทดสอบโดยราก.
สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบโดยรากที่ "n" หรือ เกณฑ์ของโคชี
 ให้
 <math>r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]</math>
 เมื่อ <math>\limsup</math> หมายถึงลิมิตซูพีเรียร์ (อาจได้ <math>\infty</math> หากมีลิมิตก็จะมีค่าได้เดิม)
 ถ้า "r" < 1 แล้วอนุกรมนั้นจะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หาก "r" > 1 แล้วอนุกรมนี้จะลู่ออก ถ้า "r" = 1 การทดสอบโดยรากจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกจากกัน
การทดสอบรากจะเข้มกว่าการทดสอบอัตราส่วน เมื่อใดที่การทดสอบด้วยอัตราส่วนกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ การทดสอบรากก็จะกำหนดการลู่เช่นกัน แต่บทกลับอาจไม่เป็นจริงเสมอไป 
การทดสอบด้วยปริพันธ์.
อนุกรมสามารถเปรียบเทียบกับปริพันธ์เพื่อกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออก ให้ <math>f:[1,\infty)\to\R_+</math> เป็น ฟังก์ชันไม่เป็นลบและลดลงทางเดียว โดยที่ <math>f(n) = a_n</math> ถ้าให้ <math display="block">\int_1^\infty f(x) \, dx=\lim_{t\to\infty}\int_1^t f(x) \, dx<\infty,</math> แล้วอนุกรมนี้ก็จะลู่เข้า แต่ถ้าปริพันธ์ลู่ออก อนุกรมก็จะลุ่ออกด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออนุกรมของ <math>{a_n}</math> ลุ่เข้าก็ต่อเมื่อปริพันธ์ลู่เข้า
การทดสอบโดยใช้อนุกรมพี.
บทย่อยที่ใช้กันบ่อยของการทดสอบด้วยปริพันธ์คือการทดสอบโดยใช้อนุกรมพี ให้ <math>k > 0</math> แล้ว <math>\sum_{n=k}^{\infty} \bigg(\frac{1}{n^p}\bigg)</math> จะลู่เข้า ถ้า <math>p > 1</math>
กรณีที่ <math>p = 1, k = 1</math> จะได้อนุกรมฮาร์มอนิกที่ลู่ออก กรณีที่ <math>p = 2, k = 1</math> คือปัญหาบาเซิล และอนุกรมจะลู่เข้าหา <math>\frac{\pi^2}{6}</math> โดยทั่วไปแล้ว สำหรับ <math>p > 1, k = 1</math> อนุกรมนี้จะเท่ากับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่นำไปใช้กับ <math>p</math> นั่นก็คือ <math>\zeta(p)</math>
การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง.
ถ้าอนุกรม <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ <math>|a_n|\le |b_n|</math> สำหรับ "n" ที่มากพอ แล้อนุกรม <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> จะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต.
ถ้า <math>\{a_n\},\{b_n\}>0</math> (นั่นคือทุกสมาชิกของลำดับทั้งสองเป็นค่าบวก) และลิมิต <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}</math> หาค่าได้ เป็นจำนวนจำกัดและไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าหรือลู่ออกทั้งคู่
การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี.
ให้ <math>\left \{ a_n \right \}</math> เป็นลำดับที่ไม่เป็นลบและไม่เพิ่ม แล้วผลรวม <math>A = \sum_{n=1}^\infty a_n</math> จะลู่เข้า ก็ต่อเมื่อผลรวม <math>A^* = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}</math> ลู่เข้า ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าลู่เข้าแล้ว <math>A \leq A^* \leq 2A</math> จะเป็นจริง
การทดสอบของอาเบล.
สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง
แล้ว <math>\sum a_nb_n </math> ก็จะลู่เข้าด้วย
การทดสอบการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์.
อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทุกอนุกรมจะลู่เข้า
การทดสอบอนุกรมสลับ.
สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง
แล้ว <math> \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n} a_n </math> และ <math> \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n+1} a_n </math> เป็นอนุกรมลู่เข้า การทดสอบนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เกณฑ์ของไลบ์นิทซ์
การทดสอบของดิริชเลต์.
ถ้า <math>\{a_n\}</math> เป็นลำดับของจำนวนจริง และ <math>\{b_n\}</math> ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ
* <math>a_n \geq a_{n+1}</math>
* <math>\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = 0</math>
* <math>\left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M</math> สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก "N"
โดยที่ "M" เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุกรม
 <math>\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n</math>
ลู่เข้า
การทดสอบการลู่เข้าของโคชี.
อนุกรม <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> จะลู่เข้าก็ต่อเมื่อสำหรับทุก <math>\varepsilon>0</math> มีจำนวนนับ "N" ที่
 <math>|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon</math>
เป็นจริงสำหรับทุก "n" > "N" และทุก "p" ≥ 1 
ทฤษฎีบทสโตลซ์–เชซาโร.
ให้ <math>(a_n)_{n \geq 1}</math> และ <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> เป็นลำดับของจำนวนจริงสองลำดับ สมมติว่า <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> เป็นลำดับลู่ออกทางเดียวโดยแท้ และลิมิตต่อไปนี้หาค่าได้
 <math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\ </math>
แล้วลิมิต
 <math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ </math>
การทดสอบแบบเอ็มของไวเออร์ชตราสส์.
สมมติให้ ("fn") เป็นลำดับของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดบนเซต "A" และมีลำดับของจำนวนไม่เป็นลบ ("Mn") ที่สอดคล้องเงื่อนไข
แล้วอนุกรม
 <math>\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)</math>
ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และเอกรูปบน "A"
ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วน.
การทดสอบด้วยอัตราส่วนอาจไม่ชัดเจนเมื่อลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1 อย่างไรก็ตาม ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วนบางครั้งช่วยให้สามารถจัดการกับกรณีนี้ได้
การทดสอบของราเบ-ดูอาแมล.
ให้ {"a""n"} เป็นลำดับของจำนวนบวก
กำหนดให้
 <math>b_n=n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right).</math>
ถ้า
 <math>L=\lim_{n\to\infty}b_n</math>
มีความเป็นไปได้สามทาง
สูตรทางเลือกสำหรับการทดสอบนี้สามรถเขียนได้ดังนี้ ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง แล้วถ้า "b" > 1 และ "K" (จำนวนธรรมชาติ) มีอยู่ได้ว่า
 <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le 1-\frac{b}{n} </math>
สำหรับทุก "n" > "K" ดังนั้นอนุกรม {"a""n"} จะลู่เข้า
การทดสอบของเบอร์ทรานด์.
ให้ {"a""n"} เป็นลำดับของจำนวนบวก นิยามให้
 <math>b_n=\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right).</math>
ถ้า
 <math>L=\lim_{n\to\infty}b_n</math>
มีอยู่สามความเป็นไปได้ 
การทดสอบของเกาส์.
ให้ {"a""n"} เป็นลำดับของจำนวนบวก ถ้า <math>\frac{a_n}{a_{n + 1}} = 1+ \frac{\alpha}{n} + O(1/n^\beta)</math> สำหรับบาง β > 1 แล้ว <math> \sum a_n</math> ลู่เข้าถ้า α > 1 และลู่ออกถ้า α ≤ 1 
การทดสอบของคุมเมอร์.
ให้ {"a""n"} เป็นลำดับของจำนวนบวกแล้ว 
(1) <math> \sum a_n</math> ลู่เข้าก็ต่อเมื่อมีลำดับ <math>b_{n}</math> ของจำนวนบวกและจำนวนจริง "c" > 0 โดยที่ <math>b_k (a_{k}/a_{k+1}) - b_{k+1} \ge c</math> -
(2) <math> \sum a_n</math> จะลู่ออกก็ต่อเมื่อมีลำดับ <math>b_{n}</math> ของจำนวนบวกที่ทำให้ <math>b_k (a_{k}/a_{k+1}) - b_{k+1} \le 0</math>
และ <math> \sum 1/b_{n}</math> ลู่ออก
การทดสอบของอาบู-มุสตาฟา.
ให้ <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> เป็นอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์จริงและให้ <math>f:\R\to\R</math> เป็นฟังก์ชันจริงใด ๆ ที่ <math>f(1/n)=a_n</math> สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก "n" และอนุพันธ์อันดับสอง <math>f"</math> หาค่าได้ที่ <math>x=0</math> แล้ว <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ถ้า <math>f(0)=f'(0)=0</math> และลู่ออกในกรณีอื่น 
ตัวอย่าง.
พิจารณาอนุกรม
การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชีบอกว่า (i) ลู่เข้าแบบจำกัดถ้า
เป็นลู่เข้าแบบจำกัด เนื่องจาก
 <math>\sum_{n=1}^\infty 2^n \left(\frac 1 {2^n} \right)^\alpha = \sum_{n=1}^\infty 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^\infty 2^{(1-\alpha) n} </math>
(ii) เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน <math> 2^{(1-\alpha)} </math> (ii) จะลู่เข้าแบบจำกัดถ้าอัตราส่วนน้อยกว่าหนึ่ง (กล่าวคือ <math>\alpha > 1</math>). ดังนั้น (i) จะลู่เข้าแบบจำกัดก็ต่อเมื่อ <math>\alpha > 1</math>.
การลู่เข้าของผลคูณ.
แม้ว่าการทดสอบส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ แต่ก็สามารถใช้แสดงการลู่เข้าหรือการลู่ออกจากกันของผลคูณอนันต์ ได้เช่นกันสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ให้ <math>\left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty</math> เป็นลำดับของจำนวนบวก แล้วผลคูณอนันต์ <math>\prod_{n=1}^\infty (1 + a_n)</math> จะลู่เข้าก็ต่อเมื่ออนุกรมนี้ <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> ลู่เข้า ในทำนองเดียวกัน ถ้า <math>0 < a_n < 1</math>เป็นจริง แล้ว <math>\prod_{n=1}^\infty (1 - a_n)</math> จะเข้าใกล้ลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> ลู่เข้า
สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้ลอการิทึมของผลคูณและใช้การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิตต