สัญกรณ์บรา-เค็ท

ในกลศาสตร์ควอนตัม สัญกรณ์บรา-เค็ท  คือ สัญกรณ์พื้นฐานที่ใช้ในการอธิบายสถานะควอนตัม แทนด้วยสัญลักษณ์ angle bracket ("<math>\langle</math>", และ "<math>\rangle</math>") และ vertical bar ("<math>\mid</math>") สัญกรณ์นี้สามารถแทนได้ทั้งเวกเตอร์และเมทริกซ์ ซึ่งถูกนำเสนอโดยพอล ดิแรก (Paul Dirac) ในปี 1939 และเป็นที่รู้จักกันในชื่อ สัญกรณ์ดิแรก (Dirac notation)
ในรูปผลคูณเชิงสเกลาร์ สามารถแสดงได้ดังนี้
 <math>\langle\phi\mid\psi\rangle</math>
ประกอบด้วยส่วนทางขวา <math>|\psi\rangle</math> เรียกว่า เวกเตอร์เค็ท (ket vector)
และส่วนทางด้านซ้าย <math>\langle\phi|</math> เรียกว่า เวกเตอร์บรา (bra vector) ซึ่งเป็นสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) ของเค็ท
สมบัติ.
สัญกรณ์บรา-เค็ทถูกคิดค้นมาเพื่อความสะดวกในการแสดง state function หรือ state vector สามารถหาสมบัติบางประการ โดยกำหนดให้ 
"c"1 และ "c"2 แทน จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ 
"c"∗ แทน สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน "c" 
"A" แทน "B" แทน ตัวดำเนินการเชิงเส้นใด ๆ 
ความเป็นเชิงเส้น.
เนื่องจากบรา เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear functional)
 <math>\langle\phi| \; \bigg(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle </math>
จากนิยามการบวกและการคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น
 <math>\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2 \langle\phi_2|\psi\rangle </math>
สมบัติการเปลี่ยนหมู่.
เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงซ้อน, บรา, เค็ท, ผลคูณภายใน (inner product), ผลคูณภายนอก (outer product) และตัวดำเนินการเชิงเส้น โดยสามารถเขียนในรูปสัญกรณ์บรา-เค็ทได้ดังนี้
 <math> \lang \psi| (A |\phi\rang) = (\lang \psi|A)|\phi\rang \, \stackrel{\text{def}}{=} \, \lang \psi | A | \phi \rang </math>
 <math> (A|\psi\rang)\lang \phi| = A(|\psi\rang \lang \phi|) \, \stackrel{\text{def}}{=} \, A | \psi \rang \lang \phi |</math>
สังยุคเอร์มีเชียน.
สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugation) แทนด้วยสัญลักษณ์ † มีกฎต่าง ๆ ดังนี้
จากกฎต่าง ๆ สามารถแสดงสมบัติบางประการของสังยุคเอร์มีเชียนได้ดังนี้
<math>
\left(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle\right)^\dagger = c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2| ~
</math>
<math>\langle \phi | \psi \rangle^* = \langle \psi|\phi\rangle ~</math>
<math>\langle \phi| A | \psi \rangle^* = \langle \psi | A^\dagger |\phi \rangle</math>
<math>\langle \phi| A^\dagger B^\dagger | \psi \rangle^* = \langle \psi | BA |\phi \rangle ~</math>
<math>\left((c_1|\phi_1\rangle\langle \psi_1|) + (c_2|\phi_2\rangle\langle\psi_2|)\right)^\dagger = (c_1^* |\psi_1\rangle\langle \phi_1|) + (c_2^*|\psi_2\rangle\langle\phi_2|)~</math>
ตัวดำเนินการเชิงเส้น.
ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ท.
ตัวดำเนินการเชิงเส้น (linear operators) ที่กระทำต่อเค็ทและได้ผลเป็น เค็ท เราจะสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการนั้นเป็น “เชิงเส้น” ได้ เมื่อตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติที่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า ถ้าให้ <math>A</math> เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ <math>|\psi\rangle</math> เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าเค็ท จะได้ว่า เมื่อ <math>A</math> กระทำต่อ <math>|\psi\rangle</math> จะทำให้ได้ <math>A|\psi\rangle</math> เป็นสถานะใหม่ขึ้นมา
ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกใช้อย่างมากในวิชากลศาสตร์ควอนตัม ใน Hilbert space ที่มีจำนวน <math>N</math> มิติ สถานะ <math>|\psi\rangle</math> สามารถเขียนในรูปของคอลัมน์เวกเตอร์ <math>N\times1</math> มิติ ส่วนตัวดำเนินการ <math>A</math> จะอยู่ในรูปเมริกซ์ <math>N\times N</math> มิติ โดยที่ <math>A|\psi\rangle</math> สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์
ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อบรา.
ตัวดำเนินการจะกระทำจากทางด้านขวาของบรา ถ้าให้ "<math>A</math>" เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ <math>\langle\psi|</math> เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าบรา ซึ่ง <math>\langle\psi|A</math> จะเป็นสถานะใหม่ที่ถูกนิยามตามสมการ
<math>\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg)</math>
ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ <math>\langle\psi|</math> สามารถเขียนในรูปของแถวเวกเตอร์ <math>1\times N</math> มิติ ส่วนตัวดำเนินการ <math>A</math> จะอยู่ในรูปเมริกซ์ <math>N\times N</math> มิติ โดยที่ <math>\langle\psi|A</math> สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์ และถ้าสถานะของเวกเตอร์อยู่ในรูปของสัญกรณ์บราและเค็ทจะเขียนได้เป็น
<math>\langle\phi|A|\psi\rangle</math>
ผลที่ออกมาจะแสดงผลของปริมาณที่เรียกว่า ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ย
Outer products.
วิธีที่จะนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นใน Hilbert space จะใช้ outer product โดยถ้าให้ <math>\langle\psi|</math> และ <math>|\psi\rangle</math> เป็นสถานะที่เรียกว่าบราและเค็ทตามลำดับ จะเขียน outer product เป็น <math>|\psi\rangle</math><math>\langle\psi|</math> ซึ่งจะแสดงตัวดำเนินการที่เรียกว่า rank-one operator เป็นไปตามสมการ
<math> (|\phi\rang \lang \psi|)(x) = \lang \psi | x \rang |\phi \rang</math>
สำหรับ vector space มิติจำกัดสามารถเขียนในรูปของการคูณแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้
<math> |\phi \rangle \, \langle \psi | {\doteq \!\,}
\phi_1 \psi_1^* & \phi_1 \psi_2^* & \cdots & \phi_1 \psi_N^* \\
\phi_2 \psi_1^* & \phi_2 \psi_2^* & \cdots & \phi_2 \psi_N^* \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
</math>
ซึ่ง outer product ของตัวดำเนินการจะได้ออกมาเป็นเมทริกซ์ N× N มิติ