กรุป (คณิตศาสตร์)

กรุป  ในพีชคณิตนามธรรม คือ เซตกับการดำเนินการทวิภาคซึ่งสอดคล้องกับสมบัติดังต่อไปนี้: การดำเนินการต้องเป็นการดำเนินการเปลี่ยนหมู่ มีสมาชิกเอกลักษณ์ของการดำเนินการ และทุกสมาชิกมีตัวผกผัน
โครงสร้างจำนวนมากในคณิตศาสตร์คือกรุปที่มีสมบัติเพิ่มเติม ตัวอย่างของกรุปที่ง่ายที่สุดคือเซตของจำนวนเต็มภายใต้การบวกปรกติซึ่งเป็นกรุปแบบหนึ่ง สาขาของคณิตที่ศึกษาเกี่ยวกับกรุปโดยเฉพาะเรียกว่า ทฤษฎีกรุป แต่กรุปยังปรากฏในสาขาอื่น ๆ ทั้งในคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ และศาสตร์อื่น ๆ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์
กรุปเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษาสมมาตรของวัตถุในรูปแบบต่าง ๆ หลักการที่ว่า "สมมาตรของวัตถุใด ๆ ก่อให้เกิดกรุป" เป็นหลักพื้นฐานของคณิตศาสตร์มากมาย ตัวอย่างโดยตรงคือกรุปสมมาตรของวัตถุ ซึ่งเป็นเครื่องมือหนึ่งในการอธิบายสมมาตรของวัตถุเชิงเรขาคณิต กรุปสมมาตรมีสมาชิกประกอบไปด้วยการแปลง (การหมุน การพลิกรูป การสะท้อน ฯลฯ) ที่คงรูปทรงของวัตถุนั้น ลีกรุปเป็นกรุปสมมาตรชนิดหนึ่งที่ปรากฏในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค กรุปปวงกาเรเป็นลีกรุปที่มีสมาชิกเป็นสมมาตรของกาลอวกาศในสัมพัทธภาพพิเศษ ในขณะที่กรุปจุดสามารถอธิบายสมมาตรของโมเลกุลเคมีได้
กรุปมีจุดกำเนิดเริ่มแรกจากการศึกษาสมการเชิงพหุนาม ในช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1830 เอวาริสต์ กาลัวเป็นคนแรกที่ใช้คำว่า "กรุป" ("Groupe" ในภาษาฝรั่งเศส) เรียกกรุปสมมาตรของรากของพหุนาม ซึ่งปัจจุบันเราเรียกกรุปเหล่านั้นว่า กรุปกาลัว ตั้งแต่นั้นมามีการศึกษากรุปจากสาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีจำนวน และ เรขาคณิต ก่อนที่แนวความคิดเกี่ยวกับกรุปทั่ว ๆ ไปจะได้รับการนิยามในช่วงปีคริสต์ศักราชที่ 1870 ในช่วงเวลาเดียวกันกับที่คณิตศาสตร์พัฒนาไปในทิศทางที่เป็นนามธรรมขึ้นเรื่อย ๆ ทฤษฎีกรุปจึงเป็นสาขาสำคัญของพีชคณิตนามธรรม 
ในปัจจุบัน ทฤษฎีกรุปสมัยใหม่ศึกษากรุปในตัวมันเอง ซึ่งนำไปสู่แนวคิดมากมาย เช่น สับกรุป กรุปผลหาร และ กรุปเชิงเดี่ยว นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์ยังศึกษากรุปในมุมมองที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น และสามารถระบุได้อย่างเจาะจง การศึกษานี้นำไปสู่ทฤษฎีตัวแทนและทฤษฎีกรุปเชิงการคำนวณ
นิยามพื้นฐาน.
กรุป <math>(G, \ast)</math> ประกอบด้วย เซตไม่ว่าง <math>G</math> กับ การดำเนินการทวิภาค <math>\ast\colon G \to G</math> ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ทุกข้อต่อไปนี้ 
บางครั้งผู้เขียนอาจกำหนดสัจพจน์ที่กรุปต้องสอดคล้องเพิ่มเติม เพื่อเน้นย้ำความเป็นการดำเนินการทวิภาคของ <math>\ast</math>
เมื่อเป็นที่เข้าใจ อาจละการเขียนตัวดำเนินการ และเรียกกรุป <math>(G, \ast)</math> แทนด้วย <math>G</math> แทน
ความคิดพื้นฐานในทฤษฎีกรุป.
ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป.
ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป หรือ โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกรุป (group homomorphism) คือฟังก์ชันที่รักษาโครงสร้างการเป็นกรุป ฟังก์ชัน <math>f\colon (G, \ast) \to (H, \cdot)</math> ระหว่างกรุป <math>(G,\ast)</math> และ <math>(H,\cdot)</math> จะเป็นฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป ก็ต่อเมื่อ
<math display="block">f(a \ast b) = f(a)\cdot f(b)</math>สำหรับทุก <math>a, b \in G</math>
สมบัติที่ได้จากนิยามข้างต้นคือ 
สมบัติข้างต้นเน้นย้ำว่าฟังก์ชันสาทิสสัณฐานรักษาโครงสร้างของกรุป <math>G</math>
อันดับของกรุปและอันดับของสมาชิก.
อันดับ (order) ของกรุป <math>G</math> (นิยมเขียนแทนด้วย <math>\left\vert G \right\vert</math>, <math>\operatorname{ord}(G)</math>หรือ <math>o(G)</math>) จะหมายถึงจำนวนสมาชิกของกรุป <math>G</math> ในกรณีที่ <math>G</math> เป็นเซตจำกัด และจะเรียก <math>G</math> ว่าเป็นกรุปจำกัด (Finite group) ในขณะที่ <math>G</math> เป็นเซตอนันต์ จะเรียกว่ากรุปนั้นเป็น"กรุปอนันต์" นิยมเขียนด้วย <math>\left\vert G \right\vert = \infty</math>
อันดับของสมาชิก <math>a</math> ในกรุป G คือจำนวนเต็ม n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ "an = e" โดยที่ "an" คือ a คูณตัวมันเอง n ครั้ง (หรือองค์ประกอบที่เหมาะสมอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการของกรุป) ถ้าไม่มีจำนวนนับ n ดังกล่าว จะเรียกว่า a มีอันดับเป็นอนันต์
อาบีเลียนกรุป.
กรุป G จะเป็น "อาบีเลียนกรุป" หรือ "กรุปสลับที่" ถ้าการดำเนินการของกรุปมีสมบัติสลับที่ได้ นั่นคือสำหรับทุก ๆ a,b ใน G จะได้ว่า a * b = b * a 
คำว่า อาบีเลียน (Abelian) ตั้งขึ้นตามชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ นีลส์ อะเบล นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์
กรุปวัฏจักร.
กรุปวัฏจักร คือกรุปซึ่งสมาชิกของมันอาจถูกก่อกำเนิดโดยการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปจะถูกใช้กับสมาชิกเดี่ยวของ
กรุปนั้น สมาชิกเดี่ยวนี้เรียกว่า ตัวก่อกำเนิดหรือสมาชิกปฐมฐานของกรุปนั้น
กรุปวัฏจักรการคูณซึ่ง G เป็นกรุป และ a เป็นตัวก่อกำเนิด
<math>G = \{ a^n \mid n \in \Z \} </math>
กรุปวัฏจักรการบวก ตัวก่อกำเนิดเป็น a
<math>G' = \{ n * a \mid n \in \Z \}</math>
ถ้าการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปถูกใช้กับสมาชิกไม่ปฐมฐานของกรุป กรุปย่อยวัฏจักรจะถูกก่อกำเนิด อันดับของกรุปย่อยวัฏจักรแบ่งอันดับของกรุปนั้น ดังนั้นถ้าอันดับของกรุปเป็นจำนวนเฉพาะ สมาชิกทุกตัวยกเว้นสมาชิกเอกลักษณ์จะเป็นสามชิกปฐมฐานของกรุป
ควรระลึกไว้ด้วยว่า กรุปประกอบด้วยกรุปย่อยวัฏจักรซึ่งถูกก่อกำเนิดโดยสมาชิกแต่ละตัวในกรุป อย่างไรก็ตามกรุปซึ่งประกอบขึ้นจากกรุปย่อยวัฏจักรนั้น ตัวมันเองไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นกรุปวัฏจักรเสมอไป ตัวอย่างเช่น กรุปไคลน์ไม่เป็นกรุปวัฏจักรแม้ว่าจะประกอบขึ้นมาจากกรุปวัฏจักรที่มีอันดับเป็น 2 ที่เหมือนกันสองกรุปก็ตามที
สัญกรณ์สำหรับกรุป.
กรุปสามารถใช้สัญกรณ์ต่าง ๆ กันขึ้นอยู่กับบริบทและการดำเนินการ
การละเลยตัวดำเนินการเป็นเรื่องทั่วไปที่ยอมรับได้ และทิ้งให้ผู้อ่านรู้บริบทและการดำเนินการเอาเอง
เมื่อจะนิยามกรุป มีสัญกรณ์มาตรฐานที่ใช้วงเล็บในการนิยามกรุปและการดำเนินการของมัน ตัวอย่างเช่น ("H", +) แสดงว่าเซต H เป็น
กรุปภายใต้การบวก
สมาชิกเอกลักษณ์ e หรือบางครั้งก็เรียกว่า สมาชิกกลาง และบางครั้งก็ถูกแสดงโดยใช้สัญลักษณ์อื่น ๆ ขึ้นอยู่กับกรุปนั้น ๆ :
ตัวอย่างของกรุป.
อาบีเลียนกรุป : จำนวนเต็มภายใต้การบวก.
กรุปที่คุ้นเคยกันก็คือกรุปของจำนวนเต็มภายใต้การบวก ให้ Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} และให้สัญลักษณ์ + แสดงการดำเนินการบวก แล้ว (Z,+) เป็นกรุป
พิสูจน์ :
กรุปนี้เป็นอาบีเลียนกรุปด้วยเพราะ "a" + "b" = "b" + "a"