แมนิโฟลด์

ในคณิตศาสตร์ แมนิโฟลด์  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือนปริภูมิยูคลิเดียน หรือให้รัดกุมกว่านั้นคือแมนิโฟลด์มิติ <math display="inline">n</math> หรือเรียกว่า "<math>n</math>-แมนิโฟลด์" เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แต่ละจุดมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับเซตเปิดในปริภูมิยุคลิเดียนมิติ <math display="inline">n</math>
ตัวอย่างแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ เช่น เส้นตรงและวงกลม แต่ไม่รวมเส้นโค้งที่ตัดตัวเองเช่นรูปเลข 8 ในขณะที่แมนิโฟลด์สองมิตินิยมเรียกว่าพื้นผิว (surface) ตัวอย่างพื้นผิวเช่น ระนาบ ทรงกลม ทอรัส และรวมไปถึงขวดไคลน์ และระนาบจริงเชิงภาพฉาย
แนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์เป็นหัวใจหลักของเรขาคณิตและฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทั้งนี้เพราะแมนิโฟลด์สามารถใช้อธิบายปริภูมิหรือโครงสร้างที่สลับซับซ้อนในเทอมของทอพอโลยีของปริภูมิที่ง่ายกว่าได้ นอกจากนี้อาจมองแมนิโฟลด์ว่าผลเฉลยของระบบสมการ หรือกราฟของฟังก์ชันได้ ซึ่งมีประยุกต์ใช้ในงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ที่ต้องสร้างภาพจากระบบพิกัด เช่น ระบบซีทีสแกน 
แมนิโฟลด์อาจมีโครงสร้างเพิ่มขึ้นมาได้อีก ตัวอย่างชั้นของแมนิโฟลด์ที่สำคัญได้แก่ แมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ (differentiable manifold) ซึ่งมีโครงสร้างหาอนุพันธ์ได้ทำให้สามารถใช้แคลคูลัสบนแมนิโฟลด์ได้ การระบุเมทริกรีมันเนียนบนแมนิโฟลด์สามารถใช้วัดระยะทางและมุมได้ แมนิโฟลด์ซิมเพลคติกเป็นปริภูมิเฟสในกลศาสตร์ดั้งเดิมรูปแบบแฮมิลโทเนียน และแมนิโฟลด์ลอเรนเซียนสี่มิติใช้จำลองปริภูมิ-เวลาในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
ตัวอย่างของแมนิโฟลด์.
วงกลม.
วงกลมเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ที่ง่ายที่สุดถัดจากเส้นตรง ในวิชาทอพอโลยีไม่สนใจการบิดงอ ดังนั้นชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของวงกลมจึงมีสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือนกันกับเส้นตรง พิจารณาส่วนของวงกลมหนึ่งหน่วย "x"2 + "y"2 = 1 เฉพาะส่วนท่อนบนที่ค่าพิกัด "y" เป็นค่าบวก (แสดงด้วยส่วนสีเหลืองในรูป 1) ทุกจุดบนส่วนนี้สามารถระบุได้เพียงแบบเดียวโดยอาศัยค่าพิกัด "x" เท่านั้น 
ดังนั้นการฉายส่วนของวงกลมนี้ลงบนแกน x จะเป็นการส่งที่ต่อเนื่องและหาอินเวอร์สได้จากส่วนโค้งบน (top) ไปยังช่วงเปิด (−1, 1)
<math display="block"> \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x \,</math>
ฟังก์ชันแบบดังกล่าว และบริเวณเปิดที่ส่งไปหาเรียกรวมกันว่า ชาร์ท (charts, "แผนที่") ในทำนองเดียวกันมีชาร์ทสำหรับส่วนล่าง (bottom) ส่วนซ้าย (left) และส่วนขวา (right) ของวงกลม 
 \chi_\mathrm{bottom}(x, y) &= x \\
 \chi_\mathrm{left}(x, y) &= y \\
 \chi_\mathrm{right}(x, y) &= y
\end{align}</math>
รวมกันแล้วชาร์ททั้งหมดคลุมวงกลมทั้งวง และชาร์ททั้งสี่ประกอบกันเป็นแอตลาส (atlas) ของวงกลม
ชาร์ทบน <math>\chi_\mathrm{top}</math> และชาร์ทขวา <math>\chi_\mathrm{right}</math> ต่างมีส่วนทับกันบนโดเมนของมัน จะเห็นว่าเป็นบริเวณซ้อนทับระหว่างสีเหลืองและสีเขียว ซึ่งเป็นส่วนของวงกลมที่พิกัด <math>x</math> และ <math>y</math> เป็นบวกทั้งคู่ ชาร์ททั้งสองส่งส่วนซ้อนทับนี้ไปบนช่วง <math>(0,1)</math> แต่ว่าส่งต่างกัน ดังนั้นเราอาจพิจารณาฟังก์ชัน <math> T:(0,1)\rightarrow(0,1)=\chi_\mathrm{right} \circ \chi^{-1}_\mathrm{top}</math> ได้
ให้ "a" เป็นจำนวนจริงใด ๆ ในช่วง <math>(0,1)</math> แล้ว:
 T(a) &= \chi_\mathrm{right}\left(\chi_\mathrm{top}^{-1}\left[a\right]\right) \\
 &= \chi_\mathrm{right}\left(a, \sqrt{1 - a^2}\right) \\
\end{align}</math>
ฟังก์ชัน <math>T</math> แบบข้างต้นเรียกว่า "transition map"
ชาร์ททั้งสี่ไม่ใช่แอตลาสเดียวที่เป็นไปได้สำหรับวงกลม พิจารณาชาร์ท
<math display=block>\chi_\mathrm{minus}(x, y) = s = \frac{y}{1 + x}</math>
และ
<math display=block>\chi_\mathrm{plus}(x, y) = t = \frac{y}{1 - x}</math>
ในที่นี้ "s" คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด ("x", "y") และจุด (−1, 0) ในทำนองเดียวกัน "t" เป็นค่าลบของความชันของเส้นตรงที่ผ่านพิกัด ("x", "y") และ (+1, 0) จะได้การส่งอินเวอร์สจาก "s" ไปยัง ("x", "y") นั้นกำหนดโดย
 x &= \frac{1 - s^2}{1 + s^2} \\[5pt]
\end{align}</math>
สามารถตรวจสอบได้ว่า "x"2 + "y"2 = 1 สำหรับทุกค่า "s" และ "t" ชาร์ททั้งสองเป็นแอตลาสอันที่สองสำหรับวงกลม โดยมี transition map คือ
<math display=block>t = \frac{1}{s}</math>
แต่ละชาร์ทจะไม่มีจุดอยู่หนึ่งจุด ได้แก่ (−1, 0) สำหรับ "s" หรือ (+1, 0) สำหรับ "t" ตามลำดับ ฉะนั้นชาร์ทเดียวจึงไม่สามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้ และสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีชาร์ทเดียวอันใดสามารถคลุมวงกลมได้ทั้งหมด
ทรงกลม.
ทรงกลมเป็นตัวอย่างของพื้นผิว ทรงกลมหนึ่งหน่วยที่กำหนดโดยสมการโดยปริยาย
"x"2 + "y"2 + "z"2 – 1 = 0
สามารถใช้ชาร์ทหกอันคลุมได้ดังนี้ ระนาบ "z" = 0 จะตัดทรงกลมออกเป็นสองครึ่ง ("z" > 0 และ "z" < 0) ซึ่งสามารถส่งไปยังดิสก์ "x"2 + "y"2 < 1 ด้วยการฉายลงบนระนาบ "xy" ทำให้ได้ชาร์ทสองอัน และอีกสี่ชาร์ทที่เหลือนั้นทำคล้าย ๆ กัน
เช่นเดียวกันกับวงกลม เราอาจหาชาร์ทที่เกือบคลุมทั้งทรงกลมเว้นแต่เพียงจุดหนึ่ง ฉะนั้นสองชาร์ทนั้นเพียงพอในการคลุมทรงกลม แต่ไม่สามารถทำได้ด้วยชาร์ทเดียว
ตัวอย่างนี้สำคัญในทางประวัติศาสตร์ และเป็นที่มาของคำว่าชาร์ทและแอตลาส พื้นผิวของโลกไม่สามารถทำออกมาเป็นแผนที่ระนาบเพียงอันเดียวได้ ฉะนั้นต้องใช้แอตลาสหรือสมุดแผนที่ (atlas) เพื่อครอบคลุมพื้นผิวของโลกทั้งหมด
เส้นโค้งอื่น ๆ.
แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง (ติดกันเป็นชิ้นเดียว) ตัวอย่างเช่น วงกลมสองวงเป็นแมนิโฟลด์ และแมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิด ฉะนั้นส่วนของเส้นตรงที่ไม่มีจุดปลายก็เป็นแมนิโฟลด์ 
ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ เช่น พาราโบลา, ไฮเพอร์โบลา และทางเดินของจุดบนเส้นโค้งกำลังสาม #เปลี่ยนทาง ซึ่งมีสองส่วน
ตัวอย่างของปริภูมิที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เช่น รูปเลข 8 ซึ่งไม่มีชาร์ทที่เหมาะสมสำหรับจุดตัดของวงกลมทั้งสองได้
นิยามทางคณิตศาสตร์.
ถ้าจะกล่าวโดยง่าย แมนิโฟลด์คือปริภูมิที่จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน แมนิโฟลด์อื่นที่ศึกษาเกิดจากการระบุโครงสร้างเพิ่มเติมไปบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีซึ่งจะได้นิยามด้านล่าง
แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี.
ให้ <math>X</math> เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะกล่าวว่า <math>X</math> เป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี (topological manifold) หากมีสมบัติดังต่อไปนี้
เงื่อนไขการเป็นเป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์และการเป็นปริภูมินับได้อันดับสองเป็นเงื่อนไขทางทอพอโลยีที่ตัดกรณีที่ "ไม่เหมาะ" จะพิจารณาเช่น เส้นตรงยาว (long line) หรือเส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุด (line with two origins) 
เงื่อนไขที่เสนอว่าแมนิโฟลด์จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน คือการที่ <math>X</math> "สมานสัณฐานเฉพาะที่" กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ <math>n</math> นั่นคือแต่ละจุดจะมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ <math>n</math> สำหรับบางจำนวนนับ <math>n</math> ภาวะสมานสัณฐานสื่อถึงการมีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือน ๆ กันระหว่างปริภูมิยูคลิเดียนและย่านใกล้เคียงรอบแต่ละจุด
ค่า <math>n</math> ที่ปรากฏเรียกว่า "มิติเฉพาะที่" (local dimension) ของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี โดยทั่วไปเรากำหนดให้แมนิโฟลด์จะต้องมีมิติเฉพาะที่เท่ากันทุกจุด ซึ่งเป็นจริงสำหรับแมนิโฟลด์เชื่อมโยง แต่หนังสือบางเล่มอาจยอมให้แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง และแต่ละจุดอาจจะมีมิติที่แตกต่างกัน 
ในมุมมองทางทฤษฎีชีฟ แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีเป็นปริภูมิมีริงเฉพาะที่ (locally ringed space) ที่มีชีฟโครงสร้างที่สมสัณฐานเฉพาะที่กับชีฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิยูคลิเดียน นี่เป็นมุมมองสำหรับแมนิโฟลด์ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
หมายเหตุ.
<templatestyles src="Reflist/styles.css" />