ทอพอโลยี

ทอพอโลยี (มาจากภาษากรีก: "topos", สถานที่ และ "logos", การเรียน) เป็นสาขาหลักทางคณิตศาสตร์ที่สนใจเกี่ยวกับคุณสมบัติทางรูปร่างของวัตถุต่าง ๆ ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) โดยเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่าความไม่แปรผันทางทอพอโลยี บางครั้งจึงนิยมเรียกทอพอโลยีว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง"
นอกจากนี้ ทอพอโลยี ยังหมายความถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่ง ซึ่งในความหมายนี้ ทอพอโลยี เป็นการกำหนดคุณสมบัติของเซตให้สามารถดำเนินการดึง ยืด หด จุดต่าง ๆ ภายในเซตนั้นได้ ซึ่งการกำหนดคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีให้กับเซต จะเปลี่ยนเซตดังกล่าวให้เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี 
ทำให้เราสามารถศึกษาฟังก์ชันที่คงสภาพความเป็นทอพอโลยีที่เรากำหนดไว้ได้
ทอพอโลยีในปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ถูกศึกษากันอย่างกว้างขวาง โดยมีการประยุกต์สาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น พีชคณิตนามธรรม เข้ามาร่วมด้วย และทอพอโลยียังถูกนำไปประยุกต์กับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ เช่น ตรรกศาสตร์
ประวัติ.
ตัวสาขาทอพอโลยีที่ศึกษากันในปัจจุบันมีจุดเริ่มต้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 แต่ทฤษฎีบทบางประการเป็นที่รู้กันมาก่อนหน้านี้แล้ว เรอเน เดการ์ต ค้นพบคุณสมบัติพื้นฐานทางทอพอโลยีของทรงหลายหน้าในเรขาคณิต ประมาณปี ค.ศ. 1630 แต่บทความดังกล่าวได้หายสาบสูญไป คุณสมบัติพื้นฐานอย่างเดียวกันนั้นถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ "สมการของออยเลอร์สำหรับทรงหลายหน้า" ซึ่งกล่าวว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีจำนวนจุดยอดเท่ากับ "V" จำนวนขอบเท่ากับ "E" และจำนวนหน้าเท่ากับ "F" จะสอดคล้องกับสมการ 
<math>V-E+F = 2 </math> 
มีผู้ให้ความเห็นว่าทฤษฎีบทข้างต้นเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทแรกเริ่มของวิชาทอพอโลยี อีกปัญหาที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นทฤษฎีบทแรก ๆ ของวิชาทอพอโลยี คือ ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค ซึ่งเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ศึกษาและตีพิมพ์ผลลัพธ์ในปี ค.ศ. 1736 
นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาทอพอโลยีในสมัยต่อมา อาทิ โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี, ลุดวิก ชเลฟลี, โยฮันน์ เบเนดิกต์ ลิสติง, แบร์นฮาร์ท รีมัน และ เอนริโก เบตติ ลิสติงเป็นผู้ริเริ่มใช้คำว่า "Topologie" โดยเป็นครั้งแรกในงานชื่อ "Vorstudien zur Topologie" (การศึกษาเบื้องต้นทางทอพอโลยี) ในปี 1847 โดยเขียนเป็นภาษาเยอรมัน ลิสติงใช้คำนี้ในจดหมายส่วนตัวเป็นเวลาสิบปีมาก่อนแล้ว งานของนักคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่กล่าวไป ได้รับการตรวจสอบและเพิ่มเติมอย่างมากโดย อ็องรี ปวงกาเร ในปี ค.ศ. 1895 ปวงกาเรได้ตีพิมพ์บทความสำคัญที่ให้กำเนิดสาขาทอพอโลยีชื่อ "Analysis Situs" หรือ "การวิเคราะห์เชิงตำแหน่ง" ในวารสารนั้นปวงกาเรได้พัฒนาแนวคิดเรื่อง ฮอมอโทปี, กรุปมูลฐาน และ ฟังก์ชันสมานสัณฐาน ซึ่งเป็นที่มาของวิชา ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต
มอริซ เฟรเชต์ ให้นิยาม ปริภูมิเมตริก เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1906 และในปี ค.ศ. 1914 เฟลิซ เฮาส์ดอร์ฟ เป็นคนแรกที่ให้ชื่อ "ปริภูมิเชิงทอพอโลยี" และนิยามปริภูมิที่ในปัจจุบันเราเรียกว่า ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ นิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีในปัจจุบันขยายนัยทั่วไปกว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและนิยามโดย กาซีมีแยช กูราตอฟสกี ในปี ค.ศ. 1922 ทอพอโลยีในปัจจุบันเกี่ยวข้องกับทฤษฎีเซตเป็นอย่างยิ่ง
รางวัลอาเบลประจำปี 2022 มอบให้แด่ Dennis Sullivan สำหรับงานของเขาในทอพอโลยีในความหมายโดยกว้างที่สุด ซึ่งรวมไปถึงมุมมองทางพีชคณิต เรขาคณิต และระบบพลวัตของทอพอโลยี
สาขาย่อยของทอพอโลยี.
ทอพอโลยีทั่วไป.
ทอพอโลยีทั่วไป (general topology) เป็นสาขาหลักของทอพอโลยี ซึ่งให้นิยามวัตถุพื้นฐานในทอพอโลยีผ่านทฤษฎีเซต และเป็นที่ประยุกต์ใช้ในทอพอโลยีสาขาอื่น หัวข้อที่ศึกษาในทอพอโลยีทั่วไปเช่น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันสมานสัณฐาน เป็นต้น ส่วนทฤษฎีพื้นฐานเช่น บทตั้งของอูรีซอห์น และ ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ
เนื่องจากบทนิยามพื้นฐานของวัตถุในทอพอโลยีนิยามผ่านจุดและเซต จึงนิยมเรียกทอพอโลยีทั่วไปว่า ทอพอโลยีจุด-เซต (point-set topology)
ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต.
ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (algebraic topology) เป็นการประยุกต์ใช้เครื่องมือจาก พีชคณิตนามธรรม เพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี แนวคิดสำคัญคือการพยายามหาตัวยืนยง (invariant) สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อที่จะจำแนกปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวยืนยงที่สำคัญคือ กรุปหลักมูล และ กรุปโฮโมโลยี
ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต.
ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต (geometric topology) เป็นการศึกษา แมนิโฟลด์ และการส่งระหว่างแมนิโฟลด์ สาขาหนึ่งของทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตที่เป็นที่สนใจคือ ทอพอโลยีในมิติต่ำ (low-dimensional topology) ซึ่งรวมหัวข้อย่อยเช่น ทฤษฎีเงื่อน
ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์.
ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ (differential topology) ศึกษาโครงสร้างเชิงทอพอโลยีของแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ 
แนวคิดสำคัญในทอพอโลยี.
ปริภูมิเชิงทอพอโลยี.
คำว่า ทอพอโลยี ในความหมายว่า "ทอพอโลยีบน" <math>X</math> ยังหมายถึงแฟมิลีของสับเซตของเซต <math>X</math> ที่ถูกกำหนดให้เป็นเซตเปิด 
ให้ <math>X</math> เป็นเซต และ <math>\tau</math> เป็นแฟมิลีของสับเซตของ <math>X</math> เราจะกล่าวว่า <math>\tau</math> เป็นทอพอโลยีบน <math>X</math> เมื่อ
ถ้า <math>\tau</math> เป็นทอพอโลยีบน <math>X</math> เราจะเรียก <math>(X, \tau)</math> ว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ในหลายครั้งเราจะละ <math>\tau</math> ไว้แล้วกล่าวว่า <math>X</math> เป็นปริภมิเชิงทอพอโลยี) สมาชิกใน <math>\tau</math> จะเรียกว่าเป็น เซตเปิด (open set) ใน <math>X</math> เซตที่เป็นคอมพลิเมนต์ของเซตเปิดใน <math>X</math> จะเรียกว่า เซตปิด (closed set) สังเกตว่าสับเซตของ <math>X</math> ตัวใดอาจเป็นเซตเปิด, เซตปิด, เซตเปิดและปิด หรือไม่เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน สมบัติความเป็นเซตเปิดและความเป็นเซตปิดไม่ได้เป็นนิเสธของกันและกัน
ฟังก์ชันต่อเนื่องและฟังก์ชันสมานสัณฐาน.
ฟังก์ชัน <math>f\colon X \to Y</math> ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี <math>(X,\tau)</math> และ <math>(Y, \omega)</math> จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพ <math>f^{-1}(U)</math> ของเซตเปิด <math>U \in \omega</math> ใด ๆ เป็นเซตเปิดด้วย (นั่นคือ <math>f^{-1}(U) \in \tau</math>) นิยามข้างต้นสมมูลกับนิยามฟังก์ชันต่อเนื่องทั่ว ๆ ไปบนเซตของจำนวนจริง เมื่อ <math>X = Y = \R</math> และทอพอโลยีที่กำหนดให้บน <math>\R</math> เป็นทอพอโลยีมาตรฐาน
ในกรณีที่ <math>f</math> เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และอินเวอร์สของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย จะเรียก <math>f</math> ว่าเป็นฟังก์ชันสมานสัณฐาน (homeomorphism) ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองอันใด ๆ ที่มีฟังก์ชันสมาณสัณฐานระหว่างกัน จะมีคุณสมบัติทางทอพอโลยีเหมือนกัน ตัวอย่างเช่นลูกบาศก์และทรงกลมสมานสัณฐานต่อกัน โดนัทและแก้วกาแฟสมานสัณฐานต่อกัน แต่ทรงกลมไม่สมานสัณฐานกับโดนัท