จำนวนฟีโบนัชชี

จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขจำนวนฟีโบนัชชี  คือจำนวนเต็มที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้
 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ลำดับ #เปลี่ยนทาง 
โดยนิยามความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ ลำดับของจำนวนดังกล่าวเรียกว่า ลำดับจำนวนฟีโบนัชชี 
หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ "Fn" ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้
 <math>F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\!</math>
โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้ 
 <math>F_0 = 0;\; F_1 = 1</math>
ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13
รูปปิด.
เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า "สูตรของบิเนต์" มีดังต่อไปนี้
<math>F\left(n\right) = </math>
โดย <math>\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1.618</math> เป็นตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทอง
พิจารณาสมการพหุนาม <math>x^2=x+1</math> เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย <math>x^{n-1}</math> เราได้ว่า
<math>x^{n+1} = x^n + x^{n-1}\,</math>
ผลเฉลยของสมการ <math>x^2=x+1</math> ได้แก่ <math>\varphi</math> และ <math>1-\varphi</math> ดังนั้น
พิจารณาฟังก์ชัน
<math>F_{a,b}(n) = a\varphi^n+b(1-\varphi)^n</math> เมื่อ <math>a</math> และ <math>b</math> เป็นจำนวนจริงใดๆ 
เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี
เลือก <math>a=1/\sqrt 5</math> and <math>b=-1/\sqrt 5</math> เราได้ว่า
<math>F_{a,b}(0)=\frac{1}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}=0=F(0)\,\!</math>
และ
<math>F_{a,b}(1)=\frac{\varphi}{\sqrt 5}-\frac{(1-\varphi)}{\sqrt 5}=\frac{-1+2\varphi}{\sqrt 5}=\frac{-1+(1+\sqrt 5)}{\sqrt 5}=1=F(1)</math>
เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นขั้นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ <math>F_{a,b}(n) = F(n)</math> และใช้เอกลักษณ์ของ <math>F_{a,b}</math> พิสูจน์ขั้นอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า
<math>F(n)=</math> สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ <math>n</math> ทุกตัว
เนื่องจาก <math>|1-\varphi|^n/\sqrt 5 < 1/2</math> สำหรับทุกๆ <math>n>0\,\!</math> เราจึงได้ว่า <math>F_n\,\!</math> จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ <math>\varphi^n/\sqrt 5</math> ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า
<math>F(n)=\bigg\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\bigg\rfloor</math>
ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทอง.
โยฮันเนส เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง กล่าวคือ
<math>\frac{F(n+1)}{F(n)}</math> ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง <math>\varphi</math>
การพิสูจน์:
สำหรับจำนวนจริง <math>a \ne 0, b \ne 0</math> เราได้ว่า
เนื่องจาก <math>\left |{\frac{1-\varphi}{\varphi}}\right | < 1</math> ดังนั้น <math>\lim_{n\to\infty}(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n=0</math>
เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ <math>F_{a,b}</math> เมื่อ <math>a = 1/\sqrt{5}</math> และ <math>b = -1/\sqrt{5}</math> ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย
รูปเมทริกซ์(Matrix).
ระบบสมการความแตกต่างเชิงเส้นที่อธิบายลำดับฟีโบนัชชีได้คือ
<math>\begin{align}
 {F_{k+2} \choose F_{k+1}} &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} {F_{k+1} \choose F_{k}} \\
\end{align}</math>
และมีรูปปิดคือ
<math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.</math>
ด้วยรูปปิดดังกล่าว การคำนวณค่าฟีโบนัชชีจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวนการดำเนินการเลขคณิต O(log "n") หรือใช้เวลา O("M"("n") log("n")) โดยที่ "M"("n") คือเวลาในการคูณเลข "n" หลัก 2 ตัว โดยใช้วิธียกกำลังโดยการยกกำลังสอง กล่าวคือ
<math> x^n= 
 x \, (x^{2})^{\frac{n - 1}{2}}, & \mbox{if } n \mbox{ is odd} \\
 (x^{2})^{\frac{n}{2}} , & \mbox{if } n \mbox{ is even}.
</math>
เมื่อให้ "x" เป็นเมทริกซ์ จึงสามารถหาค่า "F""n" ได้ในเวลาที่กล่าวไว้แล้ว
ลำดับฟีโบนัชชีในธรรมชาติ.
สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก
นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย 
ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี
การนำไปใช้.
จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน
ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท
จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า "การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ"
ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม
จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ "เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา" ของ เบลา บาท็อก, และเพลง"แลเทอราทัส" ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")