จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อมาจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน <math>i</math> ซึ่งทำให้สมการ <math>i^2+1=0</math> เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน <math>z</math> ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป <math>x + iy</math> โดยที่ <math>x</math> และ <math>y</math> เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก <math>x</math> และ <math>y</math> ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ <math>z</math> ตามลำดับ
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ <math>\mathbb{C}</math> จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น
นิยาม.
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน.
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน <math>\mathbb{C}</math> ประกอบด้วยเซตของคู่อันดับ <math> (a, b) </math> ทั้งหมดโดยที่ <math>a</math> และ <math>b</math> เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ <math>+</math> (การบวก) และ <math>\cdot</math> (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
ให้ <math> (a, b) </math> และ <math> (c, d) </math> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
 <math> (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) \, </math>
 <math> (a, b) \cdot (c, d) = (ac-bd, ad+bc) \, </math>
เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ
จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม.
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้
 <math>c (a, b) = (ca, cb) = (a, b) c \, </math> เมื่อ <math>c</math> เป็นจำนวนจริงและ <math> (a, b) </math> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ <math> (1, 0) </math> และ <math> (0, 1) </math> กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:
 <math> (a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) \, </math>
ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ <math> (a, 0) = a (1, 0) </math> ว่าเป็นจำนวนจริง <math>a</math> (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ <math>i</math> แทน <math> (0, 1) </math> จำนวนเชิงซ้อน <math> (a, b) </math> จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า <math>a+bi</math> ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า <math>i^2 = (-1, 0) = -1</math> นั่นคือ <math>i</math> เป็นคำตอบของสมการ <math>x^2 + 1 = 0</math> ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม <math>x^2 +1</math> อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม <math>\mathbb{R}[x]</math> กับไอดีล <math> (x^2+1) </math> เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า
 <math>\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/ (x^2+1) </math>
สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง.
ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ.
ถ้า <math>z = a+bi \, </math> เราเรียก <math>a</math> ว่า "ส่วนจริง" ของ <math>z</math> เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <math>\Re (z) </math> และเราเรียก <math>b</math> ว่า "ส่วนจินตภาพ" ของ <math>z</math> เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <math>\Im (z) </math> เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)
สังยุคเชิงซ้อน.
ถ้า <math>z=a+bi\, </math> เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ <math>z</math> คือ <math>a-bi\, </math> เราเขียนแทนสังยุคของ <math>z</math> ด้วย <math>\bar{z}</math> สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้
เมื่อ <math>z</math>, <math>z_1</math>, <math>z_2</math> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน.
"ขนาด"ของจำนวนเชิงซ้อน <math>z=a+bi \, </math> เขียนแทนด้วย <math>|z|</math> คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ <math>\sqrt{a^2 + b^2}</math> เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0, 0) ไปยังจุด (a, b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้
เมื่อ <math>z</math>, <math>z_1</math>, และ <math>z_2</math> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง <math>a</math> ด้วยจำนวนเชิงซ้อน <math> (a, 0) </math> ทำให้เราได้ว่าถ้า <math>z \neq 0</math>
 <math>z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}</math>
ระนาบเชิงซ้อน.
เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่า"ระนาบเชิงซ้อน" (complex plane) หรือ"ผังของอาร์กานด์" ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ
พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน <math>z = a+bi \, </math> คือ <math> (a, b) </math> ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ <math> (r, \varphi) \, </math> เมื่อ <math>r = |z|</math> และ <math>\varphi \, </math> เป็นมุมที่เวกเตอร์ <math> (a, b) </math> ทำกับแกน <math>x</math> ในหน่วยเรเดียน เราเรียก <math>\varphi \, </math> ว่า "อาร์กิวเมนต์"ของ <math>z</math> และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <math>\arg (z) </math> สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ <math>2\pi</math> จะมีค่าเท่ากัน
สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้
 <math>z = a+bi = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = re^{i\varphi}\, </math>
และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า
 <math>r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i (\varphi_1 + \varphi_2)} = r_1r_2 (\cos (\varphi_1+\varphi_2) + i\sin (\varphi_1+\varphi_2)) </math>
และ
 <math>\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi_1-\varphi_2) + i\sin (\varphi_1-\varphi_2)) </math>
เมื่อ <math>r_2 \neq 0</math> ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่ง ๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ
การคูณด้วย <math>i = e^{i\pi/2}</math> จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ <math>i^2 = -1</math> ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ <math> (0, 1) </math> ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1, 0) "
สมบัติต่าง ๆ.
การเรียงลำดับ.
<math>\mathbb{C}</math> ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย
ปริภูมิเวกเตอร์.
อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น <math>\mathbb{C}</math> เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน <math>\mathbb{R}</math> เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน <math>\mathbb{R} </math> (<math>\mathbb{R}</math>-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป
 <math>f (z) = az + b\bar{z}</math>
เมื่อ <math>a</math> และ <math>b</math> เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน <math>f_1 (z) = a (z) </math> เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน <math>f_2 (z) = b\bar{z}</math> นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า <math>f_1</math> เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน <math>\mathbb{C}</math> และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ <math>f_2</math> ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์
สมบัติเชิงพีชคณิต.
<math>\mathbb{C}</math> (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ <math>C</math>) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้
ด้วยเหตุนี้ <math>\mathbb{C}</math> จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ <math>\mathbb{C}</math> บนเซตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง