ฟังก์ชันประกอบ

ในทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการประกอบฟังก์ชัน <math>\circ</math> จะนำฟังก์ชันสองตัว <math>f</math> และ <math>g</math> มารวมกันและให้ฟังก์ชันใหม่กำหนดโดย<math>h(x) := (g \circ f) (x) = g(f(x))</math> นั่นคือทำฟังก์ชัน "g" หลังจากทำฟังก์ชัน "f" กับ "x" 
ฟังก์ชัน <math>(g \circ f)</math> อ่านว่า ฟังก์ชันประกอบของ <math>g</math> และ <math>f</math> เรียกการดำเนินการนี้ว่าการประกอบฟังก์ชัน  
การประกอบฟังก์ชันย้อนกลับ (Reverse Composition) บางครั้งเขียนแทนด้วย <math>f \mapsto g</math> ซึ่งหมายถึงการทำงานในลำดับตรงกันข้าม โดยใช้ฟังก์ชัน <math>f</math> ก่อนและ <math>g</math> หลัง ในเชิงสัญชาตญาณ การประกอบย้อนกลับเป็นกระบวนการต่อเนื่องที่ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน "f" จะถูกส่งเข้าเป็นอินพุตของฟังก์ชัน "g"
การประกอบฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของการประกอบความสัมพันธ์ (Composition of Relations) ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์ <math>\circ</math> ด้วยเช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของการประกอบความสัมพันธ์จึงสามารถนำมาใช้กับการประกอบฟังก์ชันได้ เช่น สมบัติการจัดกลุ่มของความสัมพันธ์
สมบัติ.
การประกอบฟังก์ชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งเป็นสมบัติที่ได้รับจากการประกอบความสัมพันธ์ นั่นคือ ถ้า f, g และ h เป็นฟังก์ชันที่สามารถประกอบกันได้ จะมีความสัมพันธ์ ดังนี้: "f" ∘ ("g" ∘ "h") = ("f" ∘ "g") ∘ "h" เนื่องจากวงเล็บไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ในการประกอบฟังก์ชัน จึงนิยมละการเขียนวงเล็บออก
การประกอบฟังก์ชันมีนิยามที่แตกต่างกันหลายระดับ ในแง่ที่รัดกุมเข้มงวดที่สุด ฟังก์ชันประกอบ "g" ∘ "f" จะมีความหมายก็ต่อเมื่อโคโดเมนของ f เท่ากับโดเมนของ g แต่มีการนิยามฟังก์ชันประกอบที่กว้างขึ้น โดยยอมให้ฟังก์ชันประกอบ "g" ∘ "f" มีความหมายได้เมื่อ โคโดเมนของ f เป็นสับเซตของโดเมนของ g 
นอกจากกรณีข้างต้น หลายครั้งที่การประกอบฟังก์ชันใช้งานสะดวกขึ้นหากยอมให้จำกัดโดเมนของ f ลงไป โดยจำกัดโดเมนของ f ไปยังเซตของสมาชิกทั้งหมดที่เมื่อส่งผ่าน f แล้วลงไปอยู่ในโดเมนของ g ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการประกอบฟังก์ชัน "g" ∘ "f" ระหว่างฟังก์ชัน "f" : R → (−∞,+9] ที่กำหนดโดย "f"("x") = 9 − "x"2 และ "g" : [0,+∞) → R ที่กำหนดโดย <math>g(x) = \sqrt x</math> สามารถนิยามได้ในช่วง [−3,+3] ภายใต้นิยามนี้
ฟังก์ชัน g และ f จะเรียกว่าสลับที่ได้ ถ้า "g" ∘ "f" = "f" ∘ "g" ซึ่งหมายความว่าการประกอบฟังก์ชันในลำดับใด ๆ จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน สมบัติการสลับที่กันได้นั้นเป็นสมบัติพิเศษที่เกิดขึ้นเฉพาะกับฟังก์ชันบางคู่ และมักจะเกิดขึ้นในสถานการณ์พิเศษ ตัวอย่างเช่น |"x"| + 3 = |"x" + 3| จะเป็นจริงเมื่อ "x" ≥ 0 ชภาพด้านข้างแสดงตัวอย่างอื่น ๆ อีกเช่นกัน
การประกอบฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสองตัวจะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ ในทำนองเดียวกันการประกอบฟังก์ชันทั่วถึงสองตัวจะได้ฟังก์ชันทั่วถึงเสมอ ดังนั้นการประกอบฟังก์ชันสองตัวที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเช่นเดียวกัน
ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันประกอบ (หากมีฟังก์ชันผกผันอยู่จริง) มีคุณสมบัติว่า ("f" ∘ "g")−1 = "g"−1∘ "f"−1
อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันประกอบที่มีหาอนุพันธ์ได้สามารถหาได้โดยใช้กฎลูกโซ่ สำหรับอนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันเหล่านี้หาได้จากสูตรของ Faà di Bruno
เราอาจมองว่าการประกอบฟังก์ชันเป็นการคูณชนิดหนึ่งบนปริภูมิของฟังก์ชัน แต่จะมีสมบัติแตกต่างจากการคูณรายจุดของฟังก์ชัน (เช่น การประกอบฟังก์ชันไม่เป็นการคูณที่สลับที่ได้)
โมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน.
หากเรามีฟังก์ชันสองตัว "f": "X" → "X", "g": "X" → "X" ซึ่งมีโดเมนและโคโดเมนเดียวกัน ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่าการแปลง (transformation) เราสามารถประกอบฟังก์ชันต่อกันไปเรื่อย ๆ เป็นลูกโซ่ เช่น "f" ∘ "f" ∘ "g" ∘ "f" ลูกโซ่เหล่านี้มีโครงสร้างทางพีชคณิตแบบโมนอยด์ ซึ่งเรียกว่าโมนอยด์การแปลง (transformation monoid) หรือโมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน (composition monoid) โมนอยด์การแปลงโดยทั่วไปอาจมีโครงสร้างที่ซับซ้อนมากเช่นในกรณีของเส้นโค้งเดอรัง 
เซตของฟังก์ชัน "f": "X" → "X" ทั้งหมดเรียกว่า กึ่งกรุปของการแปลงเต็ม (full transformation semigroup) หรือ กึ่งกรุปสมมาตร "("symmetric semigroup")" บน X
หากการแปลงเหล่านี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ดังนั้นสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้) แล้วเซตของฟังก์ชันประกอบทั้งหมดที่เป็นไปได้จะสร้างกรุปการแปลง (transformation group) หรือกรุปการจัดเรียง (permutation group) และจะกล่าวว่ากรุปการจัดเรียงก่อกำเนิดโดยฟังก์ชันฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง 
ผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีกรุปชื่อว่าทฤษฎีบทของเคย์ลีย์กล่าวว่ากรุปใด ๆ จะเป็นสับกรุปของกรุปการจัดเรียง (จนถึงขั้นภาวะสมสัณฐาน) เซตของฟังก์ชัน "f": "X" → "X" หนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดบนเซต "X" (ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าการเรียงสับเปลี่ยน) ประกอบกันเป็นกรุปภายใต้การรวมฟังก์ชันเรียกว่ากรุปสมมาตร