โมเมนตัม

โมเมนตัม หมายถึง ความสามารถในการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณระหว่างมวลและความเร็วของวัตถุ มวลเป็นปริมาณสเกลาร์ แต่ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ เมื่อนำปริมาณทั้งสองเข้าคูณด้วยกัน ถือว่าปริมาณใหม่เป็นปริมาณเวกเตอร์เสมอ ฉะนั้นโมเมนตัมจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ คือมีทั้งขนาดและทิศทาง
โมเมนตัมในกลศาสตร์ดั้งเดิม.
ถ้าวัตถุเคลื่อนที่อยู่ในกรอบอ้างอิงใด ๆ ก็ตาม วัตถุนั้นจะมีโมเมนตัมอยู่ในกรอบอ้างอิงนั้น ๆ ค่าของโมเมนตัมของวัตถุจะขึ้นอยู่กับสองตัวแปร คือมวลกับความเร็วดังที่ได้กล่าวมาแล้ว ความสัมพันธ์ของตัวแปรทั้งสองเขียนได้เป็น:
โมเมนตัม = มวล × ความเร็ว
ในวิชาฟิสิกส์ สัญลักษณ์ของโมเมนตัมคือตัวอักษร p ดังนั้นอาจเขียนสมการข้างบนใหม่ได้เป็น:
<math>\mathbf{p}= m \mathbf{v}</math>
โดยที่ "m" แทนมวล และ "v" แทนความเร็ว หน่วยเอสไอของโมเมนตัม คือ กิโลกรัม เมตรต่อวินาที (kg m/s) ความเร็วของวัตถุจะให้ทั้งขนาด (อัตราเร็ว) และทิศทาง โมเมนตัมของวัตถุขึ้นอยู่กับความเร็ว จึงทำให้เป็นปริมาณเวกเตอร์
การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ เราเรียกว่า การดล ซึ่งหาได้จาก
มวล × การเปลี่ยนแปลงความเร็ว หรือ แรงที่กระทำต่อวัตถุ × เวลาที่แรงนั้นกระทำ
<math>m \Delta \mathbf{v}= \mathbf{F} \Delta t </math>
ก็จะได้ว่า Mometum (kg.m/s) = mass(kg) x velocity(m/s) หรือ Momentum = มวลของวัตถุ x ความเร็วของวัตถุ
กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และการชน.
กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมมีใจความว่า "ถ้าไม่มีแรงภายนอกกระทำต่อระบบแล้วโมเมนตัมของระบบจะมีค่าคงตัว" ในกรณีวัตถุสองก้อนขึ้นไปเคลื่อนที่มาชนกัน หรือเคลื่อนที่แยกจากกัน กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมก็ยังคงเป็นจริงเสมอ อาจเขียนเป็นลักษณะสมการได้ว่า ผลรวมโมเมนตัมของวัตถุก่อนชนเท่ากับผลรวมโมเมนตัมของวัตถุหลังชน กล่าวคือ เมื่ออยู่ในระบบปิด คือ ไม่มีการแลกเปลี่ยนพลังงานระหว่างระบบกับสิ่งแวดล้อม ซึ่งก็คือโมเมนตัมจะถูกอนุรักษ์อยู่เสมอ (ไม่เพิ่มขึ้น และในขณะเดียวกันก็ไม่ลดหายไป) แม้แต่ในการชน พลังงานจลน์นั้นจะไม่ถูกอนุรักษ์ในการชน ถ้าการชนนั้นเป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่น เนื่องจากการคงตัวของโมเมนตัมที่กล่าวมาแล้ว จึงทำให้สามารถนำไปคำนวณความเร็วที่ไม่ทราบค่าภายหลังการชนได้
ปัญหาในวิชาฟิสิกส์ที่จะต้องใช้ความจริงที่กล่าวมานี้ ก็คือการชนกันของสองอนุภาค โดยผลรวมของโมเมนตัมก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของโมเมนตัมหลังการชนเสมอ
<math>m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = m_1 \mathbf v_{1,f} + m_2 \mathbf v_{2,f} \,</math>
โดยที่ตัวห้อย "i" แสดงถึงก่อนการชน และตัวห้อย "f" แสดงถึงหลังการชน
โดยปกติ เราจะทราบเพียงความเร็วก่อนการชน หรือหลังการชน ไม่อย่างใดก็อย่างหนึ่ง และต้องการที่จะทราบความเร็วอีกตัวหนึ่ง การแก้ไขปัญหานี้อย่างถูกต้องจะทำให้เราทราบว่าการชนนั้นเป็นอย่างไร การชนนั้นมีสองประเภท ดังต่อไปนี้
การชนทั้งสองประเภทที่ได้กล่าวมานี้ เป็นการชนที่อนุรักษ์โมเมนตัมทั้งหมด
การชนแบบยืดหยุ่น.
การชนกันของลูกสนุ้กเกอร์สองลูก เป็นตัวอย่างหนึ่งของการชนแบบยืดหยุ่น นอกเหนือจากที่โมเมนตัมรวมกันก่อนชนต้องเท่ากับโมเมนตัมรวมกันหลังชนแล้ว ผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์หลังการชนด้วย
<math>\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,i}^2
 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,i}^2
 = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,f}^2
 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,f}^2 \,</math>
เนื่องจากตัวประกอบ 1/2 มีอยู่แล้วทุก ๆ พจน์ จึงสามารถนำออกไปได้เป็น
<math> m_1 v_{1,i}^2
 + m_2 v_{2,i}^2
 = m_1 v_{1,f}^2
 + m_2 v_{2,f}^2 \,</math>
การชนแบบพุ่งตรง (การชนในหนึ่งมิติ).
พิจารณาการชนกันของวัตถุ 2 วัตถุ กำหนดให้ วัตถุหนึ่งมีมวล <math>m_1</math> เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว <math>v_{1,i}</math> เข้าชนวัตถุมวล <math>m_2</math> ซึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว <math>v_{2,i}</math> และหลังชนวัตถุทั้งสองมีความเร็วเป็น <math>v_{1,f}</math> และ <math>v_{2,f}</math> ตามลำดับ 
ในกรณีที่วัตถุพุ่งเข้าชนกันแบบเต็ม ๆ เป็นทางตรง เราสามารถหาความเร็วหลังการชนได้เป็น
<math> v_{1,f} = \left (\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left (\frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,</math>
<math> v_{2,f} = \left (\frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left (\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,</math>
ถ้ามวลของวัตถุทั้งสองเท่ากัน ("m"1 = "m"2) จะได้ความเร็วหลังชนของวัตถุทั้งสองเป็น <math>v_{1,f} = v_{2,i}</math> และ <math>v_{2,f} = v_{1,i}</math> ซึ่งหมายความว่าวัตถุมีการแลกเปลี่ยนความเร็วกัน
ถ้าให้วัตถุที่สองหยุดนิ่ง จะได้ <math>v_{2,i}=0</math> สมการความเร็วหลังชนจะกลายเป็น
<math> v_{1,f} = \left (\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} \,</math>
<math> v_{2,f} = \left (\frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} \,</math>
ถ้ามวลของวัตถุที่หนึ่งมากกว่ามวลของวัตถุที่สอง และวัตถุที่สองหยุดนิ่ง เราจะเห็นว่า หลังการชน วัตถุทั้งสองจะเคลื่อนที่ไปในทิศเดียวกัน แต่วัตถุที่หนึ่งมีความเร็วลดลง
ถ้ามวลของวัตถุที่สองมากกว่ามวลของวัตถุที่หนึ่ง และวัตถุที่สองหยุดนิ่ง เราจะเห็นว่า หลังการชน วัตถุที่หนึ่งจะกระเด็นกลับ ส่วนวัตถุที่สองจะเคลื่อนที่ไปในทิศเดียวกับวัตถุที่หนึ่งก่อนชน
จากสมการพลังงานจลน์สามารถเขียนใหม่ได้เป็น
<math> \ m_1\left(v_{1,f}^2-v_{1,i}^2\right)=m_2\left(v_{2,i}^2-v_{2,f}^2\right)</math>
แยกตัวประกอบของทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้
<math> \ m_1\left(v_{1,f}-v_{1,i}\right)\left(v_{1,f}+v_{1,i}\right)=m_2\left(v_{2,i}-v_{2,f}\right)\left(v_{2,i}+v_{2,f}\right)</math>
และแยกเทอมที่เป็นตัวประกอบร่วมของสมการโมเมนตัม จะได้
<math> \ m_1(v_{1,f}- v_{1,i})=m_2(v_{2,i}-v_{2,f})</math>
จากสองสมการข้างต้นจะได้
<math> v_{1,f}+ v_{1,i}=v_{2,i}+v_{2,f} </math>
เราจะได้สมการความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วก่อนชนและหลังชนของวัตถุทั้งสองเป็น
<math> v_{1,i}-v_{2,i}=-\left(v_{1,f}-v_{2,f}\right) </math>
แสดงว่าอัตราเร็วสัมพันธ์ของวัตถุทั้งสองก่อนการชน <math>v_{1,i}-v_{2,i}</math> มีค่าเท่ากับค่าลบของอัตราเร็วสัมพันธ์ของวัตถุทั้งสองหลังการชน <math>-\left(v_{1,f}-v_{2,f}\right) </math>
ตัวอย่าง
"ก่อนชน" ลูกบอลลูกที่หนึ่งมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 4 m/s เข้าชนลูกบอลมวล 5 kg เคลื่อนที่กำลังด้วยความเร็ว 6 m/s ในทิศตรงข้ามกับลูกบอลลูกที่หนึ่ง
"หลังชน" ลูกบอลลูกที่หนึ่งกระเด็นกลับด้วยความเร็ว 8.5 m/s ลูกบอลลูกที่สองกระเด็นกลับด้วยความเร็ว 1.5 m/s
การชนแบบไม่ยืดหยุ่น.
ตัวอย่างที่พบเห็นได้ของการชนแบบไม่ยืดหยุ่น คือการที่วัตถุชนแล้วติดกัน (ไถลไปด้วยกัน) สมการต่อไปนี้จะแสดงการอนุรักษ์โมเมนตัม
เมื่อชนแล้ววัตถุจะติดกันไปโมเมนตัมก่อนชน = หลังชน ส่วนพลังงานจลน์ไม่เท่ากัน เช่น รถยนต์ชนกัน
<math>m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = \left (m_1 + m_2 \right) \mathbf v_f \,</math>
 เมื่อวัตถุคู่หนึ่งวิ่งเข้าหากัน หรือวิ่งออกจากกันจุดศูนย์กลางของมวลของวัตถุคู่นั้นย่อมมีการเคลื่อนที่ไปด้วย การศึกษาการชนกันของวัตถุอาจพิจารณาถึงจุดศูนย์กลางมวลได้เช่นกัน ความเร็วของจุดศูนย์กลางของมวลจะเป็นไปตามสมการ
การประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องโมเมนตัม.
โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทิศทางตามทิศของความเร็ว มีหน่วยเป็น กิโลกรัม-เมตรต่อนาที (kg.m/s) เนื่องจากโมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดังนั้นโมเมนตัมสามารถแตกเข้าสู่แกน X และ Y ได้ และมีวิธีการรวมตามหลักของเวกเตอร์โดยทั่วไป จากความหมายของโมเมนตัมพบว่า ค่าของโมเมนตัมขึ้นอยู่กับมวลและความเร็ว ถ้าวัตถุกำลังเคลื่อนที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วผลคือ โมเมนตัมก็จะมีการเปลี่ยนแปลงด้วย และสิ่งที่ทำให้ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงคือแรง ดังนั้นแรงจึงเป็นตัวการสำคัญที่ทำให้ความเร็วและโมเมนตัมของวัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลง หรืออาจกล่าวได้ว่า “แรงทำให้โมเมนตัมของวัตถุเปลี่ยนแปลง”
การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม.
ในกลศาสตร์ดั้งเดิม การดลจะเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ โดยการดลมีหน่วยและมิติเหมือนโมเมนตัมทุกประการ หน่วยเอสไอของการดลนั้นเหมือนกับหน่วยของโมเมนตัม (กิโลกรัม เมตร/วินาที) การดลสามารถคำนวณได้จากปริพันธ์ของแรงกับเวลา
<math>\mathbf{I} = \int \mathbf{F}\, dt </math>
โดยที่
I แทนการดล หน่วยเป็นกิโลกรัม เมตรต่อวินาที
F แทนแรง หน่วยเป็นนิวตัน
"t" เป็นเวลา หน่วยเป็นวินาที
หากมีแรงคงตัว การดลมักจะเขียนเป็น
<math>\mathbf{I} = \mathbf{F}\Delta t </math>
โดยที่
<math>\Delta t</math> เป็นเวลาที่แรง F กระทำ
จากนิยามของแรง
<math>\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, dt </math>
<math>\mathbf{I} = \int d\mathbf{p} </math>
<math>\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p} </math>
ทำให้ได้ว่าการดลคือการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม
การชน.
การชน  การชน หมายถึง การที่วัตถุหนึ่งกระทบกับอีกวัตถุหนึ่งในช่วงเวลาสั้น ๆ (การชนกันของรถ การกระทบกันของลูกตุ้ม กับเสาเข็ม การตีเทนนิส ตีปิงปอง ตีกอล์ฟ การเตะลูกบอล) หรือในบางครั้งวัตถุอาจ ไม่ต้องกระทบกัน แต่มีแรงมากระทำต่อวัตถุแล้วให้ผลเหมือนกับการชน (การระเบิดของวัตถุระเบิด การยิงปืน) ในการชนของวัตถุโดยมากมักจะมีแรงภายนอกมากระทำต่อวัตถุ ซึ่งขนาดของแรงจะมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับลักษณะการชนของวัตถุ และในการชนอาจมีการสูญเสียค่าโมเมนตัมมากหรือน้อย หรือไม่สูญเสียเลยก็ได้
1. เมื่อโมเมนตัมของระบบมีค่าคงที่
เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมากระทำน้อยมาก ๆ เมื่อ เทียบกับขนาดของแรงดลที่เกิดขึ้น หรือแรงภายนอกเป็นศูนย์ เช่น การชนกันของลูกบิดเลียด การชนของรถยนต์ การยิงปืน เป็นต้น
2. เมื่อโมเมนตัมของระบบไม่คงที่
เป็นการชนที่ขณะชนมีแรงภายนอกมากระทำมากกว่าแรงดลที่เกิดกับวัตถุขณะชนกัน เช่น ลูกบอลตกกระทบพื้น รถยนต์ชนกับต้นไม้ เป็นต้น ในที่นี้เราจะกล่าวถึงการชนของวัตถุ เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อระบบ ซึ่งจะเป็นผลให้โมเมนตัมของระบบมีค่าคงที่ พิสูจน์ได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน เมื่อวัตถุชนกันจะเกิดแรงกระทำซึ่งกันและกันด้วยขนาดที่เท่ากันแต่ทิศตรงกันข้าม