ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม ถูกสร้างขึ้นตามแนวคิดของตัวดำเนินการ กล่าวคือ ปริมาณที่สังเกตหรือที่วัดได้ในทางกายภาพของอนุภาคจากการทดลอง เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัมเชิงเส้น พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม เป็นต้น สามารถแทนได้ด้วยตัวดำเนินการ A ใด ๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม หากต้องการทราบข้อมูลหรือปริมาณดังกล่าวจะต้องใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากระทำกับฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคนั้น ๆ ดังนั้น ผลของการวัดจะทำให้ฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคกลายเป็นฟังก์ชันไอเกนที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการ ตามสมการ 
<math>\hat{A} \psi = a \psi </math>
เมื่อ <math>\hat{A}</math> เป็นตัวดำเนินการ
"a" เป็นค่าไอเกน (Eigenvalue) ของตัวดำเนินการ
"ψ" เป็นฟังก์ชันไอเกน
ฟังก์ชันคลื่น.
ให้ "ψ" เป็นฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบควอนตัม โดยฟังก์ชันคลื่นจะต้องมีสมบัติ square-integrable functions คือวิธีการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสอง เมื่อฟังก์ชันคลื่นคูณแบบสเกลาร์กับตัวมันเองแล้วสามารถหาค่าได้ กล่าวคือ
<math>\iiint_{\mathbb{R}^3} |\psi(\mathbf{r})|^2 {\rm d}^3\mathbf{r} = \iiint_{\mathbb{R}^3} \psi(\mathbf{r})^*\psi(\mathbf{r}){\rm d}^3\mathbf{r} < \infty </math>
ตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ คือ ฟังก์ชันคลื่นแบบกลศาสตร์ควอนตัม: <math>\Psi(\mathbf{r},t)</math>
ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา t ใด ๆ ในปริมาตร ซึ่งอยู่ในช่วง r ถึง r+dr (ช่วงที่จำกัด) หาได้จากสมการ
<math>\rho\left(\mathbf\mathbf{r},t \right) = \left | \Psi\left (\mathbf(\mathbf{r},t \right) \right |^2</math>
ซึ่งโอกาสที่จะพบอนุภาคในระบบมีค่าสูงสุดเท่ากับ 1 นั่นหมายความว่า อนุภาคต้องอยู่ที่ใดที่หนึ่ง 
<math>\iiint_{\mathbb{R}^3} |\psi(\mathbf{r})|^2 {\rm d}^3\mathbf{r} = 1 </math>
เราเรียกวิธีการทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นไปตามสมการข้างต้นว่า การแจกแจงแบบปกติ (normalized) 
สรุปคือ ฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ฟังก์ชันคลื่นใด ๆ ที่ไม่สามารถยกกำลังสองแล้วหาปริพันธ์ได้จะไม่มีความหมายในกลศาสตร์ควอนตัม
ตัวดำเนินการกับสถานะทางควอนตัม.
แบ่งได้เป็น 2 กรณี ได้แก่
กรณีสถานะแบบไม่ต่อเนื่อง.
ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis <math>|\phi_i\rangle</math>" "ที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปผลรวม (sum)
<math>|\psi\rangle = \sum_i c_i|\phi_i\rangle</math>
เมื่อ "ci" = <math>\langle\phi_i |\psi\rangle</math> เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นปริมาณที่เกิดจากการ projection ค่า <math> |\psi\rangle</math> ลงบน <math>|\phi_i\rangle</math> ซึ่ง |"ci"|2 = "ci"*"ci" คือ โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะ <math>|\phi_i\rangle</math>
กรณีสถานะแบบต่อเนื่อง.
ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบต่อเนื่อง (Continuum of eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis <math>|\phi_i\rangle</math> ที่เป็นแบบต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปปริพันธ์ (Integral) 
<math>|\psi\rangle = \int {\rm d}\phi c(\phi) |\phi\rangle </math>
เมื่อ <math> c(\phi) </math> คือ <math>\langle\phi_i |\psi\rangle</math> และเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่ง |<math> c(\phi) </math>|2 = <math> c(\phi) </math>*<math> c(\phi) </math> เป็น โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะควอนตัม <math>|\phi_i\rangle</math>
ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการ สำหรับสถานะ ψ.
ค่าคาดหวัง คือ ค่าเฉลี่ยของข้อมูลการสังเกตปริมาณ A ใด ๆ สำหรับอนุภาคในปริภูมิ R 
ค่าคาดหวัง <math>\langle \hat{A} \rangle </math> ของตัวดำเนินการ <math> \hat{A} </math> จะหาได้จาก
<math>\langle \hat{A} \rangle = \int_R \psi^{*}\left(\mathbf{r} \right) \hat{A} \psi \left(\mathbf{r} \right) \mathrm{d}^3\mathbf{r} = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle</math>
และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน F ใด ๆ ของตัวดำเนินการ ได้เป็น
<math> \langle F (\hat{A}) \rangle = \int_R \psi(\mathbf{r})^{*} \left [ F (\hat{A}) \psi(\mathbf{r}) \right ] \mathrm{d}^3 \mathbf{r} = \langle \psi | F (\hat{A}) | \psi \rangle , </math>
ตัวอย่าง ฟังก์ชัน F เป็น 2 เท่าของ A ในสถานะ "ψ"
& F(\hat{A}) = \hat{A}^2 \\
& \Rightarrow \langle \hat{A}^2 \rangle = \int_R \psi^{*} \left(\mathbf{r} \right) \hat{A}^2 \psi \left(\mathbf{r} \right) \mathrm{d}^3\mathbf{r} = \langle \psi \vert \hat{A}^2 \vert \psi \rangle \\
\end{align}\,\!</math>
ตัวดำเนินการเอมิตเชียน.
ตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน เป็นตัวดำเนินการที่มีนิยาม คือ   
<math>\hat{A} = \hat{A}^\dagger</math>
เมื่อ <math> \hat{A}^\dagger</math> เป็น คอนจูเกตและทรานสโพทของตัวดำเนินการ (Conjugate Transpose Operator) ของ  โดยเครื่องหมายที่เพิ่มขึ้นมา “<math> \dagger</math>” เรียกว่า แด็กเกอร์ (dagger) 
จากนิยามตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนข้างต้น สามารถเขียนในรูปของสัญลักษณ์ บรา (bar) - เค็ท (ket) ได้ดังนี้  
<math>\langle \phi_i | \hat{A} | \phi_j \rangle = \langle \phi_j | \hat{A} | \phi_i \rangle^*</math>