การหารสังเคราะห์พหุนาม

ในพีชคณิต การหารสังเคราะห์พหุนาม หรือการหารสังเคราะห์ (อังกฤษ: synthetic division) เป็นการคำนวนโดยใช้วิธีการหารพหุนามยุคลิด และเป็นวิธีที่สั้นกว่าการหารยาวพหุนาม 
ส่วนใหญ่จะสอนใช้กับแค่พหุนามโมนิกเชิงเส้น (กฎของรัฟฟินี) แต่สามารถวางนัยกับพหุนามทั่วไปได้
ข้อดีของการหารสังเคราะห์คือ สามารถทดได้โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร คำนวนน้อย และใช้พื้นที่น้อยกว่าการหารยาว อีกทั้งการลบในการหารยาวเปลี่ยนเป็นการบวกแทนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตอนแรก ๆ ช่วยป้องกันการเขียนเครื่องหมายผิด
การหารสังเคราะห์ปกติ.
ตัวอย่างแรกคือการหารสังเคราะห์ที่มีตัวส่วนเป็นโมนิกเชิงเส้น <math>x-a</math>
<math>\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}</math>
ตัวเศษเขียนใหม่ได้เป็น <math>P(x)=x^3-12x^2+0x-42</math>
รากของตัวส่วน <math>g(x)</math> คือ <math>3</math>
สัมประสิทธิ์ของ <math>P(x)</math> เรียงได้ดังนี้ โดยเขียนรากของ <math>g(x)</math> ไว้ทางซ้าย
 \begin{array}{|rrrr} \ 
 1 & -12 & 0 & -42 \\
 \hline 
\end{array}</math>
สัมประสิทธิ์ตัวแรกหลังเส้นกั้น ถูกดึงลงมาแถวสุดท้าย
 \begin{array}{|rrrr} 
 \color{blue}1 & -12 & 0 & -42 \\
 \hline 
 \color{blue}1 & & & \\
\end{array}</math>
เลขที่ถูกดึงคูณกับเลขหน้าเส้นกั้น ผลคูณวางทแยงไปขวาบนในหลักถัดไป
 \begin{array}{|rrrr} 
 1 & -12 & 0 & -42 \\
 & \color{brown}3 & & \\
 \hline 
 \color{blue}1 & & & \\
\end{array}</math>
บวกกันภายในหลักถัดไป
 \begin{array}{|rrrr} 
 1 & \color{green}-12 & 0 & -42 \\
 & \color{green}3 & & \\
 \hline 
 1 & \color{green}-9 & & \\
\end{array}</math>
ทำสองขั้นตอนที่แล้วไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงหลักสุดท้าย
 \begin{array}{|rrrr} 
 1 & -12 & 0 & -42 \\
 & 3 & -27 & -81 \\
 \hline 
 1 & -9 & -27 & -123 
\end{array}</math>
ที่นี้ หลักสุดท้าย (-123) คือเศษเหลือ ที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร
เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร
<math> \begin{array}{rrr|r} 
 1x^2 & -9x & -27 & -123 
\end{array}</math>
ผลหารและเศษเหลือจะเป็นดังนี้
<math>q(x) = x^2 - 9x - 27 
</math>
<math>r(x) = -123</math>
การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ.
รูปแบบการหารสังเคราะห์ข้างต้นมีประโยชน์ในการหาเศษเหลือจากพหุนามตัวแปรเดียวจากทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยสรุป ค่าของ <math>P(x)</math> ณ <math>a</math> จะเท่ากับเศษเหลือจากการหาร <math>P(x)</math> ด้วย <math>x-a</math>
ข้อดีจากการใช้วิธีนี้ตือการคูณน้อยลงประมาณครึ่งหนึ่งจากการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ อีกวิธีทางเลือกคือวิธีของฮอร์เนอร์
การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย.
วิธีนี้วางนัยได้กับการหารพหุนามโมนิกทั่วไปได้ ข้อแตกต่างจากวิธีปกติจะทำเส้นหนา ใช้ขั้นตอนเหมือนกับวิธีปกติกับการหารพหุนามต่อไปนี้
<math>\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3}</math>
ดูเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวเศษ เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวตั้งข้างบน
<math> \begin{array}{|rrrr} 
\ 1 & -12 & 0 & -42 
\end{array}</math>
กลับเครื่องหมายตัวหาร
<math> \begin{array}{rrr} 
 -1x^2 &-1x &+3
\end{array}</math>
เขียนสัมประสิทธิ์ทุกตัวยกเว้นตัวแรกทางซ้ายก่อนเส้นกั้น เขียนทแยงไปทางขวาบน (ดูภาพถัดไป)
 \begin{array}{|rrrr} \ 
 1 & -12 & 0 & -42 \\
 & & & \\
 \hline 
\end{array}</math>
สังเกตการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายจาก 1 เป็น -1 และจาก -3 เป็น 3 ดึงสัมประสิทธิ์ตัวแรกหลังเส้นกั้นลงมาแถวสุดท้าย
 \begin{array}{|rrrr} 
 \color{blue}1 & -12 & 0 & -42 \\
 & & & \\
 \hline 
 \color{blue}1 & & & \\ 
\end{array}</math>
คูณเลขที่ถูกดึงกับเลขทแยงหน้าเส้นกั้น ผลคูณวางทแยงไปขวาบนจนกว่าจะคูณครบทุกเลขหน้าเส้นกั้นในหลักถัด ๆ ไป
 \begin{array}{|rrrr} 
 1 & -12 & 0 & -42 \\
 & & \color{brown}3 & \\
 & \color{brown}-1 & & \\
 \hline 
 \color{blue}1 & & & \\ 
\end{array}</math>
บวกกันภายในหลักถัดไป
 \begin{array}{|rrrr} 
 1 & \color{green}-12 & 0 & -42 \\
 & & 3 & \\
 & \color{green}-1 & & \\
 \hline 
 1 & \color{green}-13 & & \\ 
\end{array}</math>
ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเส้นทแยงผลคูณจะเลยหลักสุดท้าย
 \begin{array}{|rrrr} 
 1 & -12 & 0 & -42 \\
 & & 3 & -39 \\
 & -1 & 13 & \\
 \hline 
 1 & -13 & 16 & \\ 
\end{array}</math>
แล้วก็บวกหลักที่เหลือ
 \begin{array}{|rrrr} 
 1 & -12 & 0 & -42 \\
 & & 3 & -39 \\
 & -1 & 13 & \\
 \hline 
 1 & -13 & 16 & -81 \\ 
\end{array}</math>
นับจำนวนตัวเลขหน้าเส้นกั้น เนื่องจากมีสองตัว เศษเหลือจึงมีดีกรีเป็นหนึ่ง สังเกตได้ว่าหลักที่ไม่ได้ถูกคูณจะเป็นเศษเหลือ ซึ่งเป็นสองหลักใต้เส้นกั้นที่นับจากทางขวา เขียนเส้นกั้นลงไป 
<math> \begin{array}{rr|rr} 
 1 & -13 & 16 & -81 
\end{array}</math>
เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร
<math> \begin{array}{rr|rr} 
 1x & -13 & 16x & -81 
\end{array}</math>
ผลลัพท์จากการหารจะได้ดังนี้
<math>\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}</math>
สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก.
วิธีนี้ยังสามารถวางนัยทั่วไปให้สามารถใช้ได้กับพหุนามทั่วไป ไม่ใช่แค่พหุนามโมนิกโดยการดัดแปลงเล็กน้อย โดยปกติจะหารตัวหาร <math>g(x)</math> ด้วยสัมประสิทธิ์นำ <math>a</math>
<math>h(x) = \frac{g(x)}{a}</math>
แล้วหารสังเคราะห์โดยใช้ <math>h(x)</math> เป็นตัวหาร แล้วหารผลหารที่ได้ด้วย <math>a</math> ถึงจะได้ผลหารจากการหารด้วย <math>g(x)</math> (เศษเหลือยังคงเดิม) แต่วิธีนี้ผิดพลาดได้ง่ายเนื่องจากตัวคูณในการหารสังเคราะห์เป็นเศษส่วน
จากการสังเกตจากการหารยาวพหุนามด้วยตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก สัมประสิทธิ์ <math>P(x)</math> จะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของ <math>g(x)</math> หลังถูกดึงและก่อนคูณ
โดยแสดงจากการหารพหุนามดังต่อไปนี้
<math>\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1}</math>
ใช้ตารางที่ถูกดัดแปลงเล็กน้อย
 \begin{array}{|rrrr} 
 6 & 5 & 0 & -7 \\
 & & & \\
 \hline
 & & & \\ 
\end{array}</math>
สังเกตว่ามีแถวเพิ่มขึ้นข้างล่าง ใช้เพื่อเขียนค่าหลังจากหารตัวที่ถูกดึงด้วยสัมประสิทธิ์นำของ <math>g(x)</math> (ในที่นี้คือ /3 สังเกตว่าตัวเลขนี้ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ต่างจากสัมประสิทธิ์ตัวอื่น ๆ ของ <math>g(x)</math>)
สัมประสิทธิ์ตัวแรกของ <math>P(x)</math> ถูกดึงลงมาตามเดิม
 \begin{array}{|rrrr} 
 \color{blue} 6 & 5 & 0 & -7 \\
 & & & \\
 \hline
 \color{blue} 6 & & & \\ 
\end{array}</math>
ตัวเลขที่ถูกดึงลงมาหารด้วย 3 แล้วเขียนลงไปในแถวถัดไป
 \begin{array}{|rrrr} 
 6 & 5 & 0 & -7 \\
 & & & \\
 \hline
 \color{blue}6 & & & \\ 
 \color{blue}2 & & & \\ 
\end{array}</math>
ตัวเลขใหม่ที่ถูกหารนี้ ไปคูณกับเลขหน้าเส้นกั้นและเขียนในแถวที่เป็นพหุคูณของ 2 และ 1 ดังที่ได้อธิบายไว้ในวิธีส่วนขยายที่กล่าวไป
 \begin{array}{|rrrr} 
 6 & 5 & 0 & -7 \\
 & & \color{brown} 2 & \\
 & \color{brown} 4 & & \\
 \hline
 6 & & & \\ 
 \color{blue} 2 & & & \\ 
\end{array}</math>
เลข 5ถูกดึงและบวกกับ 4 ผลลัพท์จะถูกหารด้วย 3
 \begin{array}{|rrrr} 
 6 & \color{green}5 & 0 & -7 \\
 & & 2 & \\
 & \color{green}4 & & \\
 \hline
 6 & \color{green}9 & & \\ 
 2 & \color{green} 3 & & \\ 
\end{array}</math>
ทำเข่นเดียวกันกับเลข 3
 \begin{array}{|rrrr} 
 6 & 5 & 0 & -7 \\
 & & 2 & \color{brown}3 \\
 & 4 & \color{brown}6 & \\
 \hline
 6 & 9 & & \\ 
 2 & \color{blue}3 & & \\ 
\end{array}</math>
ณ จุดนี้หลัวจากได้ผลบวกตัวที่สาม เส้นทแยงผลคูณจะ "ตกขอบขวา" ดังนั้นผลบวกตัวนี้จะเป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกของเศษเหลือ เหมือนในวิธีส่วนขยายที่ได้กล่าวไป แต่ค่าของเศษเหลือจะไม่ถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร
 \begin{array}{|rrrr} 
 6 & 5 & 0 & -7 \\
 & & 2 & 3 \\
 & 4 & 6 & \\
 \hline
 6 & 9 & 8 & -4 \\ 
 2 & 3 & & \\ 
\end{array}</math>
เหมือนในการหารสังเคราะห์แบบขยาย สองหลักสุดท้ายจะเป็นสัมประสิทธิ์เศษเหลือ (ดีกรีของตัวหารเป็น 2) ส่วนค่าที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร
<math> \begin{array}{rr|rr} 
 2x & +3 & 8x & -4 
\end{array}</math>
ผลลัพท์จะได้ดังนี้
<math>\frac{6x^3+5x^2-7}{3x^2-2x-1} = 2x + 3 + \frac{8x - 4}{3x^2-2x-1}</math>
การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ.
แต่ว่าการเขียนแนวทแยงจากที่ได้กล่าวมานั้น จะกินพื้นที่เมื่อดีกรีตัวหารเกินครึ่งหนี่งของตัวตั้ง พิจารณาได้จากการหารต่อไปนี้
<math>\dfrac{a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0}</math>
จะเห็นได้ว่าจะเขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดไหนก็ได้ ขอให้แค่ถูกหลักก็พอ โดยใช้กลยุทธ์แบบละโมบในการย่อขั้นตอนวิธี ดังการหารต่อไปนี้
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & r_2 & r_1 & r_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
ต่อไปนี้คือขั้นตอนวิธีของการหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ สามารถใช้ได้กับพหุนามไม่เป็นโมนิกอีกด้วย
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{|rrrrrrrr} \ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \end{array} \end{array}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrrrrr}\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline \end{array} \end{array}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr|rrrr} a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr|rrrr} a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
<math>\begin{array}{cc}\begin{array}{rrrr} \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & & & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & & & & & & \\ q_3 & & & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & & & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & & & & & \\ q_3 & q_2 & & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math> ii.ให้ <math>q_1 = \frac{q_1'}{b_4}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & & & & \\ q_3 & q_2 & q_1 & & & & & \\ \end{array} \end{array}</math> iii.ให้ <math>q_0 = \frac{q_0'}{b_4}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & & & \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
<math>\begin{array}{cc} \begin{array}{rrrr} \\ \\ \\ \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ \\ &&&&/b_4 \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr|rrrr} & & & & q_0 b_3 & & & \\ & & & q_1 b_3 & q_1 b_2 & q_0 b_2 & & \\ & & q_2 b_3 & q_2 b_2 & q_2 b_1 & q_1 b_1 & q_0 b_1 & \\ & q_3 b_3 & q_3 b_2 & q_3 b_1 & q_3 b_0 & q_2 b_0 & q_1 b_0 & q_0 b_0 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ \hline a_7 & q_2' & q_1' & q_0' & r_3 & r_2 & r_1 & r_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & & & & \\ \end{array} \end{array}</math>
<math>\dfrac{a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0} = q_3 x^3 + q_2 x^2 + q_1 x + q_0 + \dfrac{r_3 x^3 + r_2 x^2 + r_1 x + r_0}{b_4 x^4 - b_3 x^3 - b_2 x^2 - b_1 x - b_0}</math>