การค้นหาแบบเอสตาร์

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ขั้นตอนวิธีเอสตาร์  เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการหาเส้นทางและการท่องในกราฟ ซึ่งเป็นกระบวนการในการหาเส้นทางระหว่างจุด (เรียกจุดดังกล่าวว่า "โนด" (node)) ขั้นตอนวิธีนี้มีประสิทธิภาพและความแม่นยำสูงจึงมีการนำไปใช้งานอย่างแพร่หลาย ผู้นิยามขั้นตอนวิธีนี้คือ ปีเตอร์ ฮาท์, นิล นีลสัน และเบิร์ดแรม เรฟเซด ซึ่งนิยามไว้ในปี ค.ศ. 1968 ขั้นตอนวิธีนี้เป็นส่วนขยายของขั้นตอนวิธีของไดค์สตราซึ่งสร้างใน ค.ศ. 1959 เอสตาร์มีประสิทธิภาพที่ดีกว่า (โดยขึ้นกับเวลา) จากการนำเทคนิคฮิวริสติกมาใช้ แต่ถ้าฮิวริสติกเป็นแบบโมโนโทนจะทำให้ความเร็วในการทำงานเท่ากับขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา
นิยาม.
เอสตาร์ใช้การค้นหาตามแนวกว้างและหาเส้นทางที่มีระยะทางน้อยที่สุดจากโหนดแรกไปสู่โหนดเป้าหมายซึ่งอาจจะมีได้หลายโหนด โดยใช้ฟังก์ชันฮิวริสติกแบบค่าของระยะทาง (ใช้สัญลักษณ์ <math>f(x)</math>) เพื่อที่จะหาลำดับการผ่านโหนดในกราฟ โดยฟังก์ชันดังกล่าวเป็นผลรวมของสองฟังก์ชันดังนี้
ซึ่งฟังก์ชัน <math>h(x)</math> ที่เป็นส่วนหนึ่งของ <math>f(x)</math> จะต้องมีฮิวริสติกที่ยอมรับได้ กล่าวคือค่าประมาณฮิวริสติกยอมรับได้จะต้องไม่สูงกว่าระยะทางจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด ตัวอย่างเช่นในการจัดเส้นทางซึ่งมีทั้งเส้นทางที่เป็นเส้นตรงและเส้นโค้ง <math>h(x)</math> อาจแทนด้วยเส้นตรงจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด ซึ่งหากวัดทางกายภาพแล้ว เส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดจะมีระยะทางน้อยที่สุดในบรรดาเส้นเชื่อมทั้งหมดที่เชื่อมระหว่างจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด
ถ้าฮิวริสติกของ h สอดคล้องกับเงื่อนไข <math>h(x) \le d(x,y) + h(y)</math> สำหรับทุกเส้นเชื่อม x,y ในกราฟ (เมื่อ d หมายถึงความยาวของเส้น) จะเรียก h ว่าเป็นฮิวริสติกชนิดโมโนโทน หรือฮิวริสติดแบบเสถียร ซึ่งในกรณีดังกล่าวเอสตาร์สามารถมีประสิทธิภาพสูงเทียบเท่าได้กับการใช้ขั้นตอนวิธีของเดสสตาร์แบบปรับแต่งให้ <math>d'(x, y) := d(x, y) - h(x) + h(y)</math> ซึ่งไม่มีโหนดใด ๆ จะต้องถูกดำเนินการมากกว่าหนึ่งครั้ง นอกจากนี้เอสตาร์ยังสามารถปรับปรุงเป็นรูปทั่วไปของการค้นหาแบบสองทิศทางได้อีกด้วย
ประวัติ.
นิลส์ นิลสัน สร้างวิธีที่ใช้ฮิวริสติก มาเพิ่มความเร็วของขั้นตอนวิธีของไดค์สตราในปี ค.ศ. 1964 และเรียกขั้นตอนวิธีนี้ว่า A1 ต่อมาในปี ค.ศ. 1967 เบิร์ดแรม เรมเซสปรับปรุงขั้นตอนวิธีตัวนี้เพิ่มเติม แต่ไม่สามารถพิสูจน์ถึงความเร็วที่เพิ่มนี้ได้ เขาเรียกขั้นตอนวิธีนี้ว่า A2 ในปี ค.ศ. 1968 ปีเตอร์ อี ฮาร์ทแสดงการพิสูจน์ว่า A2 เป็นขั้นตอนวิธีที่เร็วขึ้นได้ และการพิสูจน์ของเขาได้แสดงอีกด้วยว่าขั้นตอนวิธี A2 เป็นขั้นตอนวิธีที่ดีที่สุดในเงื่อนไขที่กำหนด เขาจึงใส่คลีนสตาร์ (*) หลังตัว A เพื่อตั้งชื่ออัลกอรึทึมตัวนี้ซึ่งหมายถึง A และทุกรูปแบบของ A
หลักการ.
หลักการทำงานของเอสตาร์คือ เมื่อเอสตาร์ท่องไปในกราฟ เอสตาร์จะเลือกเส้นทางที่มีค่าน้อยที่สุดที่มันทราบ โดยคงแถวคอยลำดับความสำคัญของเส้นทางอื่น ๆ ระหว่างนั้นที่เรียบเรียงไว้แล้ว ถ้าระหว่างที่เอสตาร์ท่องไปแต่ละจุดแล้วเจอเส้นทางที่มีค่ามากกว่าเส้นทางอื่น ขั้นตอนวิธีนี้จะไม่พิจารณาเส้นทางที่มีค่ามากกว่า แต่จะไปเลือกเส้นทางที่มีค่าน้อยกว่าแทน กระบวนการนี้จะทำต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งถึงจุดหมาย
กระบวนการ.
เช่นเดียวกับขั้นตอนวิธีการหาแบบมีข้อมูลประเภทอื่น ๆ เอสตาร์จะเริ่มจากหาเส้นทางที่น่าจะไปถึงจุดหมายมากที่สุดก่อน นอกจากเซตเอสตาร์จะเป็นส่วนนึงของขั้นตอนวิธีแบบละโมบเชิงการค้นหาแนวกว้างแล้ว เซตเอสตาร์ยังจะเก็บค่าระยะทางที่ไปมาแล้ว โดย <math>g(x)</math> จะเป็นส่วนของฮิวริสติกที่เก็บค่าระยะทางจากจุดเริ่มต้น ไม่ใช่ค่าระยะทางจากโหนดที่ผ่านมาเท่านั้น
การทำงานของเอสตาร์จะเริ่มจากโหนดแรกสุด จากนั้นจะนำโหนดที่อยู่ในเซตเปิดที่ต้องท่องไปเข้าสู่แถวคอยลำดับความสำคัญ แถวคอยลำดับความสำคัญที่ใช้จะจัดอันดับความสำคัญให้โหนด <math>x</math> ที่มีค่า <math>f(x)</math> น้อยสุดมีความสำคัญมากกว่า ในแต่ละขั้นตอนของอัลกอรึทึมจะทำการดึงโหนด <math>x</math> ที่มีค่า <math>f(x)</math> ต่ำที่สุด และปรับค่า <math>f</math> และ <math>h</math> ของโหนดที่อยู่ติดกัน แล้วนำโหนดที่อยู่ติดกับโหนด <math>x</math> นี้ใส่ในแถวคอย จากนั้นอัลกอรึทึมก็ทำกระบวนการนี้ต่อไปจนกระทั่งโหนดเป้าหมายมีค่า <math>f</math> น้อยกว่าโหนดทุกโหนดในแถวคอย หรือหยุดเมื่อแถวคอยไม่มีข้อมูลอยู่แล้ว ซึ่งกระบวนการนี้อาจจะมีการพิจารณาโหนดเป้าหมายหลายครั้ง เช่น หากมีโหนดที่มีค่า f ต่ำกว่าโหนดที่ถูกดึงไปแล้ว เพื่อให้แน่ใจว่าเส้นทางที่เลือกจะเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุด ค่าระยะทางที่สั้นที่สุดคือค่า <math>f</math> ของจุดเป้าหมายโดย <math>h</math> ของจุดเป้าหมายจะเป็นศูนย์ในฮิวริสติกที่ยอมรับได้ ถ้าต้องการหาจุดทั้งหมดที่ทำให้ได้ค่าเส้นทางที่สั้นที่สุดอัลกอรึทึมตัวนี้อาจจะเพิ่มให้โหนดจำโหนดก่อนหน้านี้ถัดขึ้นไป 1 โหนดของเส้นทางที่ดีที่สุดเท่าที่พบ และข้อมูลนี้ก็จะช่วยในการสร้างเส้นทางได้โดยการกระทำย้อนกลับจากจุดเป้าหมายไปยังจุดเริ่มต้น นอกจากนี้หากฮิวริสติกมีลักษณะโมโนโทน หรือเสถียร อาจใช้เซตปิดของโหนดที่ท่องไปแล้วเพื่อให้การค้นหามีประสิทธิภาพมากขึ้นก็ได้
รหัสเทียม.
อัลกอรึทึมสามารถแสดงด้วยรหัสเทียมได้ดังนี้
หมายเหตุ รหัสเทียมด้านบนนี้ถือว่าฮิวริสติกฟังก์ชันเป็นฮิวริสติกแบบโมโนโทนิกซึ่งเป็นกรณีที่พบบ่อยในหลาย ๆ ปัญหาเช่น ปัญหาการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในระบบเครือข่าย อย่างไรก็ดีหากฮิวริสติกไม่ได้เป็นแบบโมโนโทนิกแล้ว โหนดในเซตปิดอาจใช้ซ้ำ ซึ่งอาจเพิ่มค่าระยะทางได้ ในอีกนัยหนึ่งหากวิธีแก้ปัญหานั้นมีอย่างแน่นอน หรือมีการปรับขั้นตอนวิธีให้โหนดใหม่อยู่ในเซตเปิดเมื่อมีค่า f ต่ำกว่าการวนซ้ำทั้งหมดที่ผ่านมาแล้ว อาจไม่ต้องใช้เซตปิด และสามารถใช้ขั้นตอนวิธีค้นหาต้นไม้ได้
ตัวอย่างการทำงานของขั้นตอนวิธี.
ในตัวอย่างนี้สมมติให้โหนดแต่ละโหนดเป็นเมืองที่ต่อกับเมืองอื่นด้วยถนนและ h(x) เป็นเส้นตรงที่ระบุระยะทางไปยังจุดเป้าหมาย
ตัวอย่างนี้ใช้ สีเขียวคือจุดเริ่มต้น สีฟ้าคือจุดเป้าหมาย สีส้มคือจุดที่ผ่านแล้ว และใช้สัญลักษณ์ ",” แสดงจุดทศนิยม
คุณสมบัติ.
เช่นเดียวกับการค้นหาตามแนวกว้างก่อน เอสตาร์จะมีจุดสิ้นสุดและได้คำตอบเสมอ ถ้ามีคำตอบที่เป็นไปได้นั้น
ในกรณีที่ฟังก์ชันฮิวริสติก <math>h</math> เป็นฮิวริสติกยอมรับได้ ซึ่งจะไม่ประมาณค่าเกินไปกว่าค่าคำตอบที่ต่ำที่สุดจริง ๆ ของเป้าหมาย เอสตาร์จะยอมรับได้เมื่อไม่ได้ใช้เซตปิด หรือถ้ามีการใช้เซตปิด คำตอบของ <math>h</math> จะต้องเป็นแบบโมโนโทนิกจึงจะทำให้เอสตาร์จะเป็นคำตอบที่ยอมรับได้ ซึ่งการเป็นโมโนโทนิกนั้นหมายความว่าทุก ๆ เส้นของโหนด <math>x</math> และ <math>y</math> ที่อยู่ติดกัน และ <math>d(x,y)</math> หมายถึงความยาวของเส้นระหว่างโหนดทั้งสอง เราจะได้ว่า
<math>h(x) \le d(x,y) + h(y)</math>
ทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าทุกเส้นทาง <math>X</math> จากโหนดเริ่มต้นไปยังโหนด <math>x</math> เป็น
<math>L(X) + h(x) \le L(X) + d(x,y) + h(y) = L(Y) + h(y)</math>
โดยที่ <math>L(\cdot)</math> แสดงถึงความยาวของเส้นทาง และ<math>Y</math> แสดงเส้นทางที่เกิดจากเส้นทาง <math>X</math> รวมกับเส้นทางไปยัง <math>y</math> ซึ่งจะไม่สามารถลดค่าของระยะทางสะสมได้โดยใส่โหนดที่อยู่ติดกันในเส้นทางนั้น ๆ (มีลักษณะคล้ายกับขั้นตอนวิธีของเดกสตาร์ที่มีข้อจำกัดว่าไม่สามารถจัดการกับเส้นที่ติดลบได้) รูปแบบโมโนโทนิกอาจถือได้ว่าเป็นรูปแบบที่ยอมรับได้เมื่อค่าประมาณฮิวริสติกที่ทุก ๆ โหนดเป้าหมายนั้นเองมีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งแสดงได้โดยอสมการต่อไปนี้ เมื่อกำหนดให้ <math>P = (f,v_1,v_2,\ldots,v_n,g)</math> เป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุด <math>f</math> ใด ๆ ไปยังจุดหมาย <math>g</math>
<math>h(f) \le d(f,v_1) + h(v_1) \le d(f,v_1) + d(v_1,v_2) + h(v_2) \le \ldots \le L(P) + h(g) = L(P)</math>
เอสตาร์จะมีประสิทธิภาพที่เหมาะสมสำหรับฮิวริสติก <math>h</math> ใด ๆ ดังนั้นจะไม่มีขั้นตอนวิธีใดที่ใช้ฮิวริสติกแบบเดียวกันแล้วใช้จำนวนโหนดในการพิจารณาน้อยกว่าเอสตาร์ ยกเว้นในกรณีที่มีหลายคำตอบซึ่ง <math>h</math> จะประมาณค่าของเส้นทางที่ดีที่สุด ซึ่งแม้จะมีกรณีดังกล่าวเกิดขึ้นในแต่ละกราฟ ก็อาจมีลำดับของตัวเลือกในแถวคอยบุพริมภาพที่เอสตาร์จะนำมาใช้เพื่อพิจารณาโหนดจำนวนน้อยที่สุดที่เป็นไปได้
กรณีพิเศษ.
เราสามารถมองขั้นตอนวิธีของเดกสตาร์ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของขั้นตอนวิธีค้นหาระยะทางแบบเอกรูป เป็นกรณีพิเศษของเอสตาร์โดยที่ <math>h(x) = 0</math> สำหรับทุก ๆ ค่า <math>x</math> การค้นตามแนวกว้างก็สามารถประยุกต์จากเอสตาร์ได้เช่นกันโดยสร้างตัวนับ “C” ให้มีค่าเริ่มต้นที่ใหญ่มาก ๆ เมื่อทำการพิจารณาโหนดใดแล้วเราจะใส่ “C” ไปยังทุกโหนดที่อยู่ติดกัน ระหว่างที่กำลังใส่ “C” ให้กับโหนดจะต้องลดค่า “C” ทีละหนึ่งด้วย วิธีนี้ถ้ายิ่งหาโหนดพบเร็วเท่าใด ค่าของ <math>h(x)</math> ก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น อย่างไรก็ดีถ้าต้องการเพิ่มประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีของเดสสตาร์และการค้นตามแนวกว้าง ก็สามารถทำได้โดยไม่ใส่ค่า <math>h(x)</math> ในแต่ละโหนด
การนำไปปรับใช้.
การปรับขั้นตอนวิธีเอสตาร์อย่างง่ายในเชิงรายละเอียดบางประการ ส่งผลต่อความสามารถในการนำไปปรับใช้ของเอสตาร์อย่างมีนัยสำคัญได้ เช่นวิธีที่แถวคอยความสำคัญจัดการกับปมนั้น อาจมีผลกระทบต่อประสิทธิภาพอย่างมีนัยสำคัญได้ในบางกรณี หากไม่มีปม และความสำคัญเป็นไปตามรูปแบบเข้าทีหลังออกก่อน เอสตาร์จะมีลักษณะเหมือนการค้นหาแนวกว้างในระยะทางที่เท่ากัน
เมื่อจำเป็นจะต้องมีเส้นทางหลังเสร็จสิ้นการค้นหา โดยปกติแล้วจะมีการคงอ้างอิงระหว่างโหนดก่อนหน้ากับโหนดปัจจุบันไว้เพื่อใช้หาเส้นทางที่เหมาะสม ซึ่งการคงอ้างอิงไว้อาจมีความสำคัญในเชิงโหนดเดียวกันจะไม่ปรากฏในแถวคอยความสำคัญเกินหนึ่งครั้ง (กล่าวคือ แต่ละจุดรับเข้าจะสอดคล้องกับเส้นทางที่ไม่เหมือนกันและมีค่าไม่เท่ากัน) แนวปฏิบัติทั่วไปเมื่อมีกรณีดังกล่าวคือการตรวจสอบว่าโหนดที่จะถูกเพิ่มเข้าไปอยู่ในแถวคอยความสำคัญแล้วหรือไม่ ถ้ามีแล้วความสำคัญและจุดเชื่อมของโหนดแม่จะเปลี่ยนไปเชื่อมกับเส้นทางที่มีค่าน้อยกว่า ในการใช้วิธีตรวจสอบโหนดลูกที่จะเก็บค่าน้อยกว่าโหนดแม่นี้จะใช้เวลา <math>O(n)</math> หน่วย การแต่งเติมโหนดลูกโดยใช้ตารางแฮชอาจช่วยลดเวลาจากที่เป็นฟังก์ชันเป็นเวลาที่แน่นอนจำนวนหนึ่งได้
การยอมรับได้และความเหมาะสม.
เอสตาร์เป็นขั้นตอนวิธีที่ยอมรับได้และถือว่าใช้จำนวนโหนดน้อยกว่าการค้นหาที่ใช้ฮิวริสติกเดียวกันที่ยอมรับได้อื่น ๆ เนื่องจากเอสตาร์ใช้ค่าประมาณที่เหมาะสมของค่าระยะทางผ่านทุกโหนดที่เอสตาร์ถือว่ายอมรับได้ ทำให้ค่าระยะทางที่ผ่านโหนดดังกล่าวไปถึงโหนดเป้าหมายจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าที่ประมาณไว้ แต่ต้องเป็นเท่าที่เอสตาร์รู้ว่าค่าประมาณที่เหมาะสมนั้นมีอยู่และหาค่าได้เท่านั้น ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ดังนี้
"เมื่อเอสตาร์ยุติการค้นหา เอสตาร์จะพบเส้นทางที่มีค่าระยะทางจริงน้อยกว่าค่าระยะทางที่ประมาณไว้และผ่านโหนดเปิดใด ๆ แต่เนื่องจากค่าประมาณนี้เหมาะสมแล้ว เอสตาร์จึงจะไม่สนใจโหนดเปิดอีกต่อไป หรือก็คือเอสตาร์จะไม่ค้นหาความเป็นไปได้ที่จะมีระยะทางที่จะมีค่าต่ำกว่านี้ และถือว่าค่านี้ยอมรับได้แล้ว กรณีต่อไปนี้สมมุติว่าขั้นตอนวิธี B ยุติการค้นหาโดยค่าระยะทางจริงมีค่าไม่น้อยกว่าค่าที่ประมาณไว้ของเส้นทางที่ผ่านโหนดเปิดบางโหนด ขั้นตอนวิธี B ก็จะพิจารณาความเป็นไปได้ที่มีโหนดที่มีค่าต่ำกว่าโดยใช้ข้อมูลฮิวริสติกที่มันมี ซึ่งก็คือแม้ B จะถือได้ว่ามีจำนวนโหนดน้อยกว่าเอสตาร์แต่ก็ไม่อาจยอมรับได้ ซึ่งจะได้ว่าเอสตาร์มีจำนวนโหนดน้อยที่สุดในบรรดาขั้นตอนวิธีค้นหาที่ยอมรับได้"
ซึ่งข้อพิสูจน์ดังกล่าวจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเอสตาร์สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
ความซับซ้อนของขั้นตอนวิธี.
ความซับซ้อนของขั้นตอนวิธีเอสตาร์จะขึ้นอยู่กับฮิวริสติก ในกรณีที่แย่ที่สุดคือจำนวนโหนดที่เพิ่มขึ้นเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังของความยาวที่สั้นที่สุด และจะเป็นฟังก์ชันพหุนามเมื่อกราฟที่ต้องการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดซึ่งมีสภาพที่เป็นเป้าหมายอย่างเดียว ดังนั้นฟังก์ชันฮิวริกติกจะสอดคล้องกับสมการดังนี้
<math>|h(x) - h^*(x)| = O(\log h^*(x))</math>
<math>h^*</math> คือฮิวริสติกที่เป็นคำตอบซึ่งเป็นค่าจาก <math>x</math> ไปถึงเป้าหมาย และค่าความผิดพลาดของ h จะโตช้ากว่าหรือเท่ากับค่าลอการิทึมของ ฮิวริสติกที่สมบูรณ์ <math>h^*</math> ที่ซึ่ง <math>h^*</math> จะเป็นค่าความยาวของ <math>x</math> ถึงเป้าหมาย
เปรียบเทียบระหว่าง ขั้นตอนวิธีของเดสตาร์กับขั้นตอนวิธีเอสตาร์
<table border=0 cellpadding=0 cellspacing=2 width = 500 style="border:solid 3px #ccc; padding:5px;"><tr>
<td align = center valign = top></td>
<td align = center valign = top></td>
</tr><td colspan = 2></td></table>
การนำไปใช้.
ในการพัฒนาเกมคอมพิวเตอร์ ได้ใช้เอสตาร์เป็นขั้นตอนวิธีในการหาเส้นทางการเคลื่อนที่ในพื้นที่ที่กำหนดที่ดีที่สุดของตัวละครในเกม ในพื้นที่นั้นอาจจะมีสิ่งกีดขวางหรือเป็นพื้นที่โล่ง นอกจากนี้ยังมีการนำเอสตาร์ไปใช้พัฒนาปัญญาประดิษฐ์อีกด้วย
ดูเพิ่ม.
สาเหตุที่เอสตาร์ได้รับความนิยมมากกว่าขั้นตอนวิธีของเดสสตาร์เพราะ ขั้นตอนวิธีเอสตาร์ใช้ความจำน้อยกว่าและทำงานเร็วกว่า แต่ถ้าฟังก์ชันการประมาณค่าฮิวริสติสไม่ดีพอ ประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีเอสตาร์จะได้พอ ๆ กับการใช้การค้นหาตามแนวกว้างทั่วไป ในการพัฒนาเกมคอมพิวเตอร์ มีการใช้การค้นหาเส้นทางด้วยขั้นตอนวิธีเอสตาร์มากที่สุด (ทั้งแบบดั้งเดิมและแบบดัดแปลง) สาเหตุที่ต้องดัดแปลงขั้นตอนวิธีเอสตาร์เพราะถ้าพื้นที่การค้นหามีขนาดใหญ่มาก ๆ เอสตาร์อาจจะทำให้เกมค้างได้