ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

ในคณิตศาสตร์สาขาทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต, ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียว  เป็นทฤษฎีบทซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น หากไม่สนใจการเรียงลำดับ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน
6936 = 23 · 3 · 172   หรือ   1200 = 24 · 3 · 52
และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบเฉพาะของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะในรูปแบบอย่างอื่น (หากเราไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ)
เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบทั้งหมดในผลคูณเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น เพราะการเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น <math>12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4</math>
ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม 1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น <math>2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = \ldots</math>
ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า โดเมนแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมโครงสร้างริงจำนวนมากในพีชคณิต ตั้งแต่ โดเมนไอดีลมุขสำคัญ (principal ideal domain หรือ PID) โดเมนยูคลิเดียน (Euclidean domain) และจนถึงริงพหุนามเหนือฟีลด์ ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มามีความซับซ้อน
เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราสามารถมองว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)
ประวัติ.
ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถพิสูจน์ได้จากประพจน์ที่ 30, 31 และ 32 เล่ม VII และประพจน์ 14, เล่ม IX ในตำรา"เอเลเมนส์"ของยุคลิด ยุคลิดเป็นผู้แรกที่เขียนถึงการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ในขณะที่อัล-ฟาริสีเป็นบุคคลแรกที่พิจารณาการมีแบบเดียว และระบุข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตที่รวมทั้งการมีอยู่และการมีได้แบบเดียว (existence and uniqueness)
เกาส์ได้เขียนไว้ใน Article 16 (ข้อที่ 16) ในหนังสือ "Disquisitiones Arithmeticae" ถึงรูปแบบสมัยใหม่อันแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต พร้อมกับให้บทพิสูจน์ที่ใช้เลขคณิตมอดุลาร์
บทประยุกต์.
รูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มบวก.
ทุกจำนวนเต็มบวก "n" > 1 สามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียงแบบเดียว 
 <math>
</math>
เมื่อ "p"1 < "p"2 < ... < "p"k เป็นจำนวนเฉพาะ และ "n""i" เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียนเช่นนี้อาจขยายไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกได้โดยรวม 1 โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่า ผลคูณว่างจะเท่ากับ 1 (ผลคูณว่างคือกรณีเมื่อ "k" = 0)
การเขียนแบบนี้เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ (canonical representation) ของ "n" หรือรูปแบบมาตรฐาน (standard form) ของ "n" ตัวอย่างเช่น
 999 = 33×37,
 1000 = 23×53,
 1001 = 7×11×13.
สามารถเพิ่มตัวประกอบ "p"0 = 1 โดยไม่เปลี่ยนค่าของ "n" (ตัวอย่างเช่น 1000 = 23×30×53) ยิ่งไปกว่านั้นทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณอนันต์ของจำนวนเฉพาะบวก 
 <math>n=2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3}7^{n_4}\cdots=\prod_{i=1}^\infty p_i^{n_i},</math>
โดยมี "n""i" เพียงจำกัดจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่เหลือมีค่าเป็นศูนย์
หากยอมให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบจะได้รูปแบบบัญญัติของจำนวนตรรกยะ 
การดำเนินการทางเลขคณิต.
รูปแบบบัญญัติของผลคูณ, รูปแบบบัญญัติของห.ร.ม. และ รูปแบบบัญญัติของค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนสามารถเขียนได้ในเทอมของรูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มทั้งสอง
 <math>\begin{alignat}{2}
 a\cdot b & = 2^{a_1+b_1}3^{a_2+b_2}5^{a_3+b_3}7^{a_4+b_4}\cdots
 && = \prod p_i^{a_i+b_i},\\
 \gcd(a,b) & = 2^{\min(a_1,b_1)}3^{\min(a_2,b_2)}5^{\min(a_3,b_3)}7^{\min(a_4,b_4)}\cdots
 && = \prod p_i^{\min(a_i,b_i)},\\
 \operatorname{lcm}(a,b) & = 2^{\max(a_1,b_1)}3^{\max(a_2,b_2)}5^{\max(a_3,b_3)}7^{\max(a_4,b_4)}\cdots
 && = \prod p_i^{\max(a_i,b_i)}.
 \end{alignat}</math>
อย่างไรก็ตาม การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม นั้นยากกว่าการหาผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน
ฟังก์ชันเลขคณิต.
ฟังก์ชันเลขคณิตจำนวนมากนิยามผ่านรูปแบบบัญญัติข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าของฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็นฟังก์ชันแยกบวก หรือเป็นฟังก์ชันแยกคูณขึ้นอยู่กับค่าของมันสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ
การพิสูจน์.
การพิสูจน์ด้านล่างจประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ
การมีอยู่.
สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้นจะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้นโดยหลักการจัดอันดับดี ให้จำนวนนั้นคือ "<math>n</math>" จะเห็นได้ว่า "<math>n</math>" ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะ <math>n</math> เป็นผลคูณของตัวมันเองตัวเดียวซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น "<math>n</math>" จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้
 <math>n = ab</math>
เมื่อ "<math>a</math>" และ "<math>b</math>" เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า "<math>n</math>" แต่ "<math>n</math>" เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทไม่จริง ดังนั้น "<math display="inline">a = p_1 \dotsb p_j</math>" และ "<math>b = q_1 \dotsb q_j</math>" ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ได้ว่า
 <math>n = ab = p_1 \dotsc p_j q_1 \dotsc q_k </math>
ฉะนั้น <math>n</math> เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง
การเขียนได้แบบเดียว.
เราจะใช้บทตั้งของยุคลิดที่ว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ "p" หารผลคูณ "ab" ลงตัวแล้ว มันจะหาร "a" ลงตัว หรือหาร "b" ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์
พิจารณาการแยก <math>n</math> ให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ <math display="inline">p_1, \dotsc, p_j </math> และ <math display="inline">q_1, \dotsc, q_k </math> สองแบบ
 <math display="inline">n = p_1 \dotsb p_j = q_1 \dotsb q_k</math>
จะเห็นว่า <math>p_1</math> จะหาร <math>q_1 \dotsb q_k </math> ลงตัว จากบทตั้งของยุคลิด "<math>p_1</math>"จะต้องหารตัวประกอบ <math>q_i</math> ในผลคูณ <math>q_1 \dotsb q_k </math> ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้เป็น <math>q_1</math> แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น "<math>p_1</math>" จะต้องเท่ากับ <math>q_1</math> ดังนั้นเราจึงตัด "<math>p_1</math>" และ <math>q_1</math>ออกจากทั้งสองผลคูณได้ จะได้ว่า
 <math>p_2 \dotsb p_j = q_2 \dotsb q_k</math>
และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอจนหมด (เทียบเท่ากับการใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บนจำนวนตัวประกอบเฉพาะ) 
หมายเหตุ.
<templatestyles src="Reflist/styles.css" />