ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งสาขาทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร  เป็นทฤษฎีบทจัดจำแนกสำหรับทรงกลม 3 มิติ ซึ่งเป็นไฮเปอร์สเฟียร์ล้อมรอบบอลหนึ่งหน่วยในปริภูมิ 4 มิติ
อองรี ปวงกาเรตั้งข้อความคาดการณ์ของเขาเป็นครั้งแรกในปี 1904 ปวงกาเรสนใจปริภูมิที่เหมือนปริภูมิสามมิติเมื่อดูใกล้ ๆ และตัวปริภูมิมีขนาดจำกัด ปวงกาเรคาดการณ์ว่าถ้าปริภูมิเช่นนั้นมีสมบัติเพิ่มเติมไปอีกว่าทุกลูปในปริภูมิดังกล่าวสามารถรัดเข้าหากันอย่างต่อเนื่องจนกระทั่งกลายเป็นจุดได้ แล้วรูปทรงนั้นจะต้องเหมือนกับทรงกลม 3 มิติ ความพยายามพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวนำไปสู่ความก้าวหน้าในคณิตศาสตร์สาขาทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตตลอดช่วงศตวรรษที่ 20 
กริกอรี เพเรลมาน พิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้ได้สำเร็จในช่วงปี 2002 ถึง 2003 โดยเขาเสนอบทพิสูจน์ในบทความบนเว็บไซต์ arXiv บทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้อาศัยงานของ ริชาร์ด แฮมิลตัน เป็นพื้น ซึ่งแฮมิลตันเป็นผู้ริเริ่มการใช้ Ricci flow ในการแก้ปัญหาข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร เพเรลมานพัฒนาเทคนิกใหม่ ๆ สำหรับ Ricci flow จนสำหรับดัดแปลงงานของแฮมิลตันเพื่อพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรได้ในที่สุด นอกจากนี้เขายังพิสูจน์ Geometrization conjecture ของวิลเลียม เทอร์สตันที่ซับซ้อนมากกว่าข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร
บทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรถือว่าเป็นหมุดหมายที่สำคัญในวิชาทอพอโลยี แฮมิลตันได้รับรางวัลชอว์จากผลงานของเขา ข้อความคาดการณ์นี้ยังเป็นหนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียม ซึ่งสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ยื่นข้อเสนอ 1 ล้านดอลล่าร์สหรัฐให้แก่ผู้ที่สามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ ข้อพิสูจน์ของเพเรลมานได้รับการตรวจสอบและยืนยันในปี ค.ศ. 2006 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์เสนอรางวัลมิลเลนเนียมให้แก่เพเรลมานเมื่อ 18 มีนาคม ค.ศ. 2010 และเขายังได้รับการเสนอเหรียญรางวัลฟีลด์ส แต่เขาปฏิเสธรางวัลทั้งคู่ โดยให้เหตุผลว่าผลงานของแฮมิลตันมีส่วนสำคัญพอ ๆ กับผลงานของเขาเอง ปัจจุบันข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นปัญหารางวัลมิลเลนเนียมข้อแรกและข้อเดียวที่ได้รับการไขข้อพิสูจน์ได้
ประวัติ.
คำถามดั้งเดิมของปวงการ.
ในปี 1900 ปวงกาเรอ้างว่าฮอมอโลยี ซึ่งเขาเป็นผู้เสนอขึ้นมาเองโดยอาศัยงานของเอนริโก เบ็ตตี นั้นเพียงพอที่จะใช้ตรวจสอบว่า แมนิโฟลด์สามมิติที่กำหนดเป็นทรงกลม 3 มิติหรือไม่ แต่ในปี 1904 ปวงกาเรค้นพบตัวอย่างค้านกับข้ออ้างของเขา โดยปัจจุบันรู้จักปริภูมิที่เป็นตัวอย่างค้านนี้ในชื่อ ทรงกลมฮอมอโลยีปวงกาเร (Poincaré homology sphere) ทรงกลมปวงกาเรเป็นตัวอย่างแรกของทรงกลมฮอมอโลยีซึ่งเป็นแมนิโฟลด์ที่มีฮอมอโลยีเท่ากับทรงกลม เพื่อพิสูจน์ว่าทรงกลมปวงกาเรต่างจากทรงกลมสามมิติ ปวงกาเรได้เสนอการตัวยืนยงทางทอพอโลยีอันใหม่นั่นคือ กรุปพื้นฐาน (fundamental group) และพิสูจน์ว่าทรงกลมปวงกาเรมีกรุปพื้นฐานอันดับ 120 ในขณะที่ทรงกลมสามมิติมีกรุปพื้นฐานชัดแจ้ง ปัจจุบันนักคณิตศาสตร์ค้นพบทรงกลมฮอมอโลยีอยู่จำนวนมาก
ในบทความเดียวกัน ปวงกาเรสนใจว่าแมนิโฟลด์สามมิติที่มีทั้งฮอมอโลยีและกรุปพื้นฐานเหมือนกับทรงกลมสามมิติ จำเป็นต้องเป็นทรงกลมสามมิติหรือไม่ กรุปพื้นฐานของทรงกลมสามมิติชัดแจ้งและเงื่อนไขนี้สมมูลกับข้อความที่ว่า "ทุกลูปสามารถหดให้เป็นจุดได้" ปวงกาเรไม่ได้เขียนไว้ว่าเขาเชื่อในข้อความคาดการณ์หรือไม่
รูปแบบมาตรฐานของข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรมีดังนี้
<templatestyles src="แม่แบบ:คำพูด/style.css" />ทุกแมนิโฟลด์ 3 มิติซึ่งเป็นแมนิโฟลด์ปิดและเป็นปริภูมิเชื่อมโยงเชิงเดียวจะสมานสัณฐานกับทรงกลม 3 มิติ
แมนิโฟลด์"ปิด"คือแมนิโฟลด์ที่กระชับและไม่มีขอบ เงื่อนไขนี้จำเป็น เช่นปริภูมิยูคลิเดียนสามมิติเป็นปริภูมิเชื่อมโยงเชิงเดียว แต่ไม่กระชับ ฉะนั้นจึงไม่สมานสัณฐานกับทรงกลม
ความพยายามแก้ปัญหา.
ในช่วงปี 1930 เจ.เอช.ซี. ไวท์เฮดเสนอว่าเขามีบทพิสูจน์ แต่ได้ถอนออกไปในภายหลัง แต่ในความพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ไวท์เฮดค้นพบตัวอย่างของแมนิโฟลด์เชื่อมโยงเชิงเดียว (ยิ่งไปกว่านั้นเป็นปริภูมิที่ contractible หรือก็คือสมมูลทางฮอมอโทปีกับจุด) แต่เป็นแมนิโฟลด์ไม่กะชับ และไม่สมานสัณฐานกับ <math>\R^3</math> ซึ่งในปัจจุบันเราเรียกว่าแมนิโฟลด์ไวท์เฮด (Whitehead manifold)
ในช่วงปี 1950 และ 1960 นักคณิตศาสตร์คนอื่นก็ได้พยายามพิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้เช่นกัน แต่พบว่ามีจุดผิดพลาดเสมอ ตัวอย่างนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเช่น ฌอร์ฌ เดอ รัง, อาร์.เอช. บิง, ว็อล์ฟกัง ฮาเคิน, เอดวิน อี. โมอีส และ Christos Papakyriakopoulos ต่างพยายามพิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้ attempted to prove the conjecture. ในปี 1958 อาร์.เอช. บิง พิสูจน์รูปแบบที่อ่อนกว่าของข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรที่ว่า ถ้าทุกเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวของแมนิโฟลด์สามมิติกระชับถูกบบรรจุในบอลสามมิติ แล้วแมนิโฟลด์นั้นจะสมานสัณฐานกับทรงกลมสามมิติ บิงได้อธิบายจุดผิดพลาดบางจุดขณะพยายามพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร
วลอดิเมียซ ยาคอปช์ (Włodzimierz Jakobsche) พิสูจน์ในปี 1978 ว่าหากข้อความคาดการณ์บิง–บอร์ซูกเป็นจริงในมิติ 3 แล้วข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรจะเป็นจริงด้วย
มิติต่าง ๆ.
ทฤษฎีบทการจัดจำแนกพื้นผิวปิดในสองมิติระบุว่าข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นจริงในสองมิติ และในมิติที่สูงกว่า 3 เราอาจถามคำถามเดียวกันนั้นได้ว่าเป็น"ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรวางนัยทั่วไป" ซึ่งถามว่า ทรงกลมฮอมอโทปีมิติ <math display="inline">n</math> จะสมานสัณฐานกับทรงกลมมิติ "<math display="inline">n</math>" หรือไม่ เงื่อนไขนี้แรงกว่าเงื่อนไขในสามมิติ ทั้งนี้เพราะมีการค้นพบว่าในมิติ 4 ขึ้นไปจะมีแมนิโฟลด์ปิดและเป็นปริภูมิเชื่อมโยงเชิงเดี่ยวที่ไม่สมมูลเชิงฮอมอโทปีกับ ทรงกลมมิติ "<math display="inline">n</math>" 
ก่อนหน้านี้เชื่อกันโดยทั่วไปว่าข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรวางนัยทั่วไปเป็นเท็จสำหรับมิติตั้งแต่สี่เป็นต้นไป ในปี 1961 สตีเฟน สมาลสร้างความตื่นตะลึงให้กับวงการคณิตศาสตร์โดยพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรวางนัยทั่วไปสำหรับมิติที่สูงกว่าสี่ทั้งหมด และใช้วิธีการเดียวกันพิสูจน์ทฤษฎีบทเอช-โคบอร์ดิสม์ ในปี 1982 ไมเคิล ฟรีดแมนพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรวางนัยทั่วไปสำหรับสี่มิติ งานของฟรีดแมนยังเหลือความเป็นไปได้ที่จะมีแมนิโฟลด์เรียบในสี่มิติที่สมานสัณฐานกับทรงกลมสี่มิติ แต่ไม่อนุพันธสัณฐานกับทรงกลมสี่มิติ คำถามนี้เรียกว่า "ข้อความคาดการณ์ปวงกาเรเรียบ" (smooth Poincaré conjecture) ในมิติที่สี่ยังเป็นปัญหาเปิด และเชื่อกันว่าเป็นปัญหาที่ยาก ข้อความคาดการณ์ปวงกาเรเรียบในเจ็ดมิตินั้นเป็นเท็จโดยมีตัวอย่างค้านคือทรงกลมผิดธรรมดา (exotic sphere) ของจอห์น มิลนอร์
ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นจริงในมิติสี่ และมิติที่สูงกว่าด้วยเหตุผลที่ต่างกันอย่างยิ่ง และในสามมิติข้อความคาดการณ์นี้ต้องรอจนข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชัน (geometrization conjecture) วางกรอบให้กับแมนิโฟลด์สามมิติทั้งหมด จอห์น มอร์แกนเขียนไว้ว่า:
<templatestyles src="แม่แบบ:คำพูด/style.css" />ในมุมมองของข้าพเจ้า ก่อนงานของเธอร์สตันเกี่ยวกับแมนิโฟลด์ไฮเพอร์บอลิกและ... ข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชันจะปรากฎ ไม่มีมติเอกฉันท์ในหมู่ผู้เชี่ยวชาญว่าข้อความของปวงกาเรเป็นจริงหรือไม่ หลังงานของเธอร์สตันก็มีความคิดเอกฉันท์ขึ้นมาว่าข้อความของปวงกาเร (และข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชัน) เป็นจริง ถึงแม้ว่าทั้งสองไม่มีผลโดยตรงระหว่างกัน
โปรแกรมของแฮมิลตันและบทพิูสจน์.
โปรแกรมของแฮมิลตันเริ่มในบทความปี 1982 ของริชาร์ด เอส. แฮมิลตัน โดยแฮมิลตันเสนอแนวคิดเรื่องริคคีโฟล์ว (Ricci flow) บนแมนิโฟลด์ และแสดงการใช้มันพิสูจน์กรณีพิเศษของข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร หลายปีต่อมา แฮมิลตันพัฒนางานของเขาแต่ยังไม่สามารถพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ได้ จนกระทั่งกริกอรี เพเรลมานตีพิมพ์บทความของเขา
ในช่วงปลายปี 2002 และ 2003 เพเรลมานเผยแพร่บทความสามบทความบน arXiv ในสามบทความนี้ เพเรลมานร่างบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร และข้อความคาดการณ์ที่ทั่วไปกว่าคือข้อความคาดการณ์จีโอเมไทรเซชัน เป็นการเพิ่มเติมโปรแกรมของแฮมิลตัน
ในช่วงเดือนพฤษภาคมถึงกรกฎาคมปี 2006 มีกลุ่มวิจัยจำนวนมากเสนอบทความที่เติมรายละเอียดในบทพิสูจน์ของเพเรลมาน อันได้แก่
ทั้งสามกลุ่มวิจัยพบช่องว่างในงานของเพเรลมานนั้นเล็กน้อย และอาจแก้ได้โดยวิธีการของเขาเอง
ในวันที่ 22 สิงหาคม ปี 2006 สภานานาชาตินักคณิตศาสตร์ (ICM) ให้รางวัลเหรียญฟีลดส์แก่เพเรลมาน แต่เขาปฏิเสธ จอห์น มอร์แกนกล่าวในงาน ICM ในวันที่ 24 สิงหาคม 2006 และประกาศว่า "ในปี 2003 เพเรลมานได้แก้ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นผลสำเร็จ"
ในเดือนธันวาคมปี 2006 วารสาร "Science" ยกย่องบทพิสูจน์ของข้อความคาดการณ์ปวงกาเรว่าเป็น"การค้นพบที่ยิ่งใหญ่แห่งปี" (Breakthrough of the Year) และนำขึ้นปกวารสาร