เส้นสัมผัส

ในเรขาคณิต เส้นสัมผัสเส้นโค้ง (tangent line) ที่จุด ๆหนึ่ง หมายถึงเส้นตรงที่ "แตะ" หรือ "สัมผัส" เส้นโค้งที่จุดนั้นโดยไม่ตัดผ่าน ไลบ์นิทซ์ นิยามว่าเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่อยู่ใกล้กันมาก ๆ อย่างกณิกนันต์บนเส้นโค้งนั้น นิยามที่แม่นยำขึ้นคือ เส้นตรงจะเป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง #เปลี่ยนทาง ที่จุด #เปลี่ยนทาง หากเส้นนั้นผ่านจุด #เปลี่ยนทาง บนเส้นโค้งและมีความชัน เท่ากับ #เปลี่ยนทาง ซึ่ง "f"' คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน "f" นิยามที่คล้ายกันนี้สามารถใช้กับเส้นโค้งในปริภูมิและเส้นโค้งในปริภูมิยูคลิด "n"-มิติได้เช่นกัน
จุดที่เส้นสัมผัสและเส้นโค้งจวบกันหรือตัดกันเรียกว่าจุดสัมผัส อาจกล่าวได้ว่าเส้นสัมผัสโค้งไป"ในทิศทางเดียวกัน"กับเส้นโค้งที่มันสัมผัสอยู่ ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเป็นการประมาณด้วยเส้นตรงที่ดีสของเส้นโค้งที่จุดนั้น เส้นสัมผัสที่จุดใด ๆ บนเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้สามารถถือได้ว่าเป็นการประมาณเส้นโค้งด้วยเส้นสัมผัส ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประมาณฟังก์ชันเดิมได้ดีที่สุดที่จุดที่สัมผัส
ในทำนองเดียวกัน ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่จุดหนึ่งคือระนาบที่"สัมผัส" พื้นผิวนั้นที่จุดนั้น แนวคิดของวัตถุสัมผัสเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และสามารถวางนัยทั่วไปได้เป็นปริภูมิแทนเจนต์
ประวัติ.
ยูคลิด ได้กล่าวถึงเส้นสัมผัส (ἐφαπτομένη ephaptoménē) ของวงกลมหลายครั้งในหนังสือ III ของ Elements (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ในงาน Conics ของอะพอลโลเนียส (ประมาณ 225 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เขาได้กำหนดว่าเส้นสัมผัสเป็นเส้นตรงที่ไม่มีเส้นตรงอื่นใดสามารถผ่านระหว่างมันกับเส้นโค้งได้
อาร์คิมิดีส (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) พบเส้นเวียนก้นหอยอาร์คิมิดีส โดยพิจารณาจากเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งนั้น
ในช่วงทศวรรษ 1630 แฟร์มาต์พัฒนาเทคนิคการคำนวณเส้นสัมผัสและปัญหาอื่น ๆ ในการวิเคราะห์ โดยใช้วิธีการที่เรียกว่า "adequality" ซึ่งคล้ายกับการหาค่าความแตกต่างระหว่าง <math>f(x+h)</math> และ <math>f(x)</math> แล้วหารด้วยกำลังของ <math>h</math> เรอเน เดการ์ตค้นพบวิธีของตนเองที่เรียกว่า "method of normals" โดยอิงจากการสังเกตว่ารัศมีของวงกลมจะตั้งฉากกับวงกลมเสมอ
วิธีการเหล่านี้นำไปสู่การพัฒนาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในศตวรรษที่ 17 หลายคนมีส่วนในการพัฒนา เช่น โรแบวาล ซึ่งค้นพบวิธีการทั่วไปในการวาดเส้นสัมผัสโดยการพิจารณาเส้นโค้งเป็นเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการเคลื่อนไหวที่ง่ายกว่าหลายแบบรวมกัน เรอเน-ฟรองซัวส์ เดอ สลูส และโยฮันเนส ฮุดเด ค้นพบอัลกอริทึมทางพีชคณิตในการหาค่าเส้นสัมผัส การพัฒนาเพิ่มเติมรวมถึงผลงานของจอห์น วอลลิส และไอแซก บาร์โรว์ ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีของไอแซก นิวตันและกอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ
ในปี 1828 เส้นสัมผัสถูกนิยามว่า "เส้นตรงที่แตะเส้นโค้ง แต่เมื่อขยายออกไปจะไม่ตัดเส้นโค้ง" นิยามนี้ป้องกันไม่ให้จุดเปลี่ยนเว้า มีเส้นสัมผัส ซึ่งถูกยกเลิกไปในภายหลัง นิยามสมัยใหม่ที่เทียบเท่ากับของไลบ์นิซคือ เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุด P บนเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเป็น ลิมิต ของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดบนเส้นโค้งเมื่อจุดทั้งสองนี้เคลื่อนที่เข้าใกล้จุด P
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ.
แนวคิดเชิงสัญชาตญาณที่ว่าเส้นสัมผัส "สัมผัส" กับเส้นโค้งสามารถทำให้ชัดเจนขึ้นโดยการพิจารณาลำดับของเส้นตรง (เส้นสัมผัส) ที่ผ่านจุดสองจุด "A" และ "B" ซึ่งตั้งอยู่บนเส้นโค้งของฟังก์ชัน เส้นสัมผัสที่จุด "A" คือขีดจำกัดเมื่อจุด "B" เข้าใกล้หรือมุ่งสู่ "A" การมีอยู่และเอกลักษณ์ของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันในชื่อ "การอนุพันธ์" (differentiability) เช่น ถ้าส่วนโค้งของวงกลมสองส่วนมาบรรจบกันที่จุดคม (vertex) จะไม่มีเส้นสัมผัสที่กำหนดอย่างชัดเจนที่จุดยอด เพราะการประมาณค่าของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับทิศทางที่ "จุด "B"" เข้าใกล้จุดยอด
ที่จุดส่วนใหญ่ เส้นสัมผัสจะสัมผัสเส้นโค้งโดยไม่ข้ามมัน (แม้ว่าเมื่อเส้นสัมผัสยืดออกไปอาจจะข้ามเส้นโค้งในที่อื่น ๆ ห่างจากจุดสัมผัส) จุดที่เส้นสัมผัส (ที่จุดนี้) ข้ามเส้นโค้งเรียกว่า "จุดเปลี่ยนเว้า" วงกลม พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และ วงรี ไม่มีจุดเปลี่ยนรูป แต่เส้นโค้งที่ซับซ้อนมากขึ้นมี เช่น กราฟของ ฟังก์ชันกำลังสาม ที่มีจุดเปลี่ยนรูปหนึ่งจุด หรือเส้นไซน์ (sinusoid) ที่มีจุดเปลี่ยนรูปสองจุดต่อแต่ละ ช่วงเวลา ของ ไซน์
ในทางกลับกัน อาจเกิดกรณีที่เส้นโค้งอยู่ทางด้านเดียวของเส้นตรงที่ผ่านจุดบนมัน และเส้นตรงนี้ไม่ใช่เส้นสัมผัส ตัวอย่างเช่น เส้นที่ผ่านจุดยอดของ สามเหลี่ยม และไม่ตัดกับมันที่อื่น ๆ ซึ่งเส้นสัมผัสไม่สามารถมีได้จากเหตุผลที่กล่าวไว้ข้างต้น ใน เรขาคณิตนูน เส้นตรงเหล่านี้เรียกว่า ไฮเปอร์เพลนรองรับ
คำอธิบายที่เข้าใจได้ง่าย.
สมมุติว่าเส้นโค้งกำหนดโดยกราฟของฟังก์ชัน "y" = "f"("x") เพื่อหาค่าของเส้นสัมผัสที่จุด "p" = ("a", "f"("a")) ให้พิจารณาจุดใกล้เคียงอีกจุดหนึ่ง "q" = ("a" + "h", "f"("a" + "h")) บนเส้นโค้ง ความชันของเส้นตัด ที่ผ่านจุด "p" และ "q" จะเท่ากับค่าของสัดส่วนต่าง (difference quotient) ซึ่งเป็น:
 <math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>
เมื่อจุด "q" เข้าใกล้ "p" มากขึ้น (ซึ่งสอดคล้องกับการทำให้ "h" เล็กลงเรื่อย ๆ) ค่าของสัดส่วนต่างนี้จะเข้าใกล้ค่าจำกัดที่แน่นอน "k"ซึ่งเป็นความชันของเส้นสัมผัสที่จุด "p" หากทราบว่า "k" คือค่าความชัน สามารถหาสมการของเส้นสัมผัสได้ในรูปแบบสมการจุด-ความชัน:
 <math> y-f(a) = k(x-a)\,</math>
More rigorous description.
เพื่อทำให้เหตุผลข้างต้นเป็นทางการ ต้องอธิบายว่าการคำนวณความแตกต่าง (difference quotient) เข้าใกล้ค่า "k" อย่างไร การกำหนดทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำถูกให้โดย โกชี ในศตวรรษที่ 19 และอิงจากแนวคิดของ ลิมิต
สมมุติว่าเส้นกราฟไม่มีการขาดหรือขอบคมที่จุด "p" และไม่เป็นแนวดิ่งหรือมีการแกว่งมากเกินไปใกล้ "p" ดังนั้นจะมีค่า "k" เฉพาะที่ทำให้เมื่อ "h" เข้าใกล้ 0, ความแตกต่างของการคำนวณความแตกต่างจะเข้าใกล้ "k" มากขึ้นเรื่อย ๆ และระยะห่างระหว่างพวกมันจะไม่สำคัญเมื่อเปรียบเทียบกับขนาดของ "h" ถ้า "h" เล็กพอ
นี่นำไปสู่การนิยามของความชันของเส้นสัมผัสที่กราฟว่าเป็นลิมิตของความแตกต่างของการคำนวณสำหรับฟังก์ชัน "f" ลิมิตนี้คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน "f" ที่ "x" = "a" ซึ่งเขียนว่า "f" ′("a") ใช้อนุพันธ์ สมการของเส้นสัมผัสสามารถแสดงได้ดังนี้:
 <math> y=f(a)+f'(a)(x-a)\,</math>
แคลคูลัสให้กฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ถูกกำหนดโดยสูตร เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล, ลอการิทึม, และการรวมกันต่าง ๆ ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสที่กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ รวมถึงฟังก์ชันอื่น ๆ สามารถหาได้โดยวิธีการของแคลคูลัส
วิธีการที่อาจล้มเหลว.
คณิตศาสตร์การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันและจุดบนกราฟของมันที่ลิมิตที่กำหนดความชันของเส้นสัมผัสไม่เป็นที่มีอยู่ สำหรับจุดเหล่านี้ ฟังก์ชัน "f" ถือว่าเป็น "non-differentiable" หรือไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ มีสาเหตุสองประการที่ทำให้วิธีการหาค่าของเส้นสัมผัสตามลิมิตและอนุพันธ์ล้มเหลว: คือ เส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตมีอยู่ แต่เป็นเส้นแนวตั้ง ซึ่งไม่สามารถแสดงในรูปแบบจุด-ความชันได้เนื่องจากมันไม่มีความชัน หรือกราฟมีลักษณะหนึ่งในสามประเภทที่ไม่สามารถมีเส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตได้
กราฟ "y" = "x"1/3 แสดงตัวอย่างแรก: ที่นี่คำต่างต่างที่ "a" = 0 เท่ากับ "h"1/3/"h" = "h"−2/3 ซึ่งมีค่ามากเมื่อ "h" เข้าใกล้ 0 เส้นโค้งนี้มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดที่เป็นแนวตั้ง
กราฟ "y" = "x"2/3 แสดงอีกตัวอย่างหนึ่ง: กราฟนี้มี "cusp" ที่จุดกำเนิด ซึ่งหมายความว่า เมื่อลิมิต "h" เข้าใกล้ 0, คำต่างต่างที่ "a" = 0 จะเข้าใกล้อนันต์บวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ "x" ดังนั้นทั้งสองสาขาของเส้นโค้งอยู่ใกล้กับเส้นครึ่งหนึ่งแนวตั้งที่ "y" = 0 แต่ไม่มีสาขาใดใกล้กับส่วนลบของเส้นนี้ โดยพื้นฐานแล้วไม่มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดในกรณีนี้ แต่ในบางบริบทอาจถือว่าเส้นนี้เป็นเส้นสัมผัส และใน เรขาคณิตเชิงพีชคณิต อาจเรียกว่า "double tangent"
กราฟ "y" = |"x"| ของฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้นที่มีความชันต่างกันเชื่อมต่อที่จุดกำเนิด ขณะที่จุด "q" เข้าใกล้จุดกำเนิดจากขวา เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ 1 เสมอ ขณะที่จุด "q" เข้าใกล้จุดกำเนิดจากซ้าย เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ -1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่มีเส้นสัมผัสที่ชัดเจนที่จุดกำเนิด การมีความชันที่แตกต่างกันสองค่า (แต่เป็นค่าที่จำกัด) เรียกว่า "corner"
สุดท้าย เนื่องจากการมีอนุพันธ์หมายถึงความต่อเนื่อง การแย้งสลับที่ กล่าวว่า "ความไม่ต่อเนื่อง" หมายถึงการไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ การมีจุดกระโดดหรือการหยุดชะงักที่จุดใดจุดหนึ่งจะไม่มีเส้นสัมผัส ซึ่งรวมถึงกรณีที่ความชันเข้าใกล้อนันต์บวกในขณะที่อีกค่าหนึ่งเข้าใกล้อนันต์ลบ ซึ่งนำไปสู่การกระโดดที่ไม่สิ้นสุด
สมการ.
เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย "y" = "f"("x") ความชันของเส้นสัมผัสคือ <math>dy/dx</math> ดังนั้นตาม สูตรจุด-ความชัน สมการของเส้นสัมผัสที่จุด ("X", "Y") คือ
<math>y-Y=\frac{dy}{dx}(X) \cdot (x-X)</math>
โดยที่ ("x", "y") เป็นพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นสัมผัส และการอนุพันธ์จะถูกประเมินที่ <math>x=X</math>
เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย "y" = "f"("x") สมการของเส้นสัมผัสยังสามารถหาจาก การหารพหุนามแบบยาว โดยการหาร <math>f , (x)</math> ด้วย <math>(x-X)^2</math>; หากเศษที่เหลือคือ <math>g(x)</math> สมการของเส้นสัมผัสคือ
<math>y=g(x)</math>
เมื่อสมการของเส้นโค้งถูกกำหนดในรูปแบบ "f"("x", "y") = 0 ค่าของความชันสามารถหาได้จาก ฟังก์ชันโดยนัย ซึ่งให้
<math> \frac{dy}{dx}=-\frac{\partial f}{\partial x} \bigg/ \frac{\partial f}{\partial y}</math>
สมการของเส้นสัมผัสที่จุด ("X", "Y") ซึ่ง "f"("X", "Y") = 0 คือ
<math> \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot (x-X) + \frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot (y-Y) = 0</math>
สมการนี้ยังคงเป็นจริงหาก
<math>\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \neq 0</math>
ในกรณีนี้ความชันของเส้นสัมผัสจะเป็นอนันต์ หากอย่างไรก็ตาม
<math> \frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) = \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) = 0</math>
เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนดและจุด ("X", "Y") ถือเป็น จุดพิเศษ
 สำหรับ เส้นโค้งพีชคณิต การคำนวณอาจถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็น พิกัดเอกพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งเป็น "g"("x", "y", "z") = 0 ซึ่ง "g" เป็นฟังก์ชันโฮโมจีนีของระดับ "n" ดังนั้นหาก ("X", "Y", "Z") อยู่บนเส้นโค้ง ฟังก์ชันเอกพันธ์ กล่าว
<math display=block>\frac{\partial g}{\partial x} \cdot X +\frac{\partial g}{\partial y} \cdot Y+\frac{\partial g}{\partial z} \cdot Z=ng(X, Y, Z)=0</math>
ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นสัมผัสคือ
<math> \frac{\partial g}{\partial x}(X,Y,Z) \cdot x + \frac{\partial g}{\partial y}(X,Y,Z) \cdot y + \frac{\partial g}{\partial z}(X,Y,Z) \cdot z = 0 </math>
สมการของเส้นสัมผัสในพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถหาจากการตั้ง "z"=1 ในสมการนี้
เพื่อใช้กับเส้นโค้งเชิงพีชคณิต ให้เขียน "f"("x", "y") เป็น
<math>f=u_n+u_{n-1}+\dots+u_1+u_0</math>
โดยที่แต่ละ "u""r" เป็นผลรวมของทุกคำที่มีระดับ "r" สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งคือ
<math>g=u_n+u_{n-1}z+\dots+u_1 z^{n-1}+u_0 z^n=0</math>
การใช้สมการข้างต้นและตั้ง "z"=1 จะให้
<math>\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot x + \frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot y + \frac{\partial g}{\partial z}(X,Y,1) =0</math>
เป็นสมการของเส้นสัมผัส สมการในรูปนี้มักจะใช้ง่ายกว่าเนื่องจากไม่ต้องทำการปรับปรุงเพิ่มเติมหลังจากที่มันถูกใช้
หากเส้นโค้งถูกกำหนด parametrically โดย
<math>x=x(t),\quad y=y(t)</math>
ความชันของเส้นสัมผัสคือ
<math> \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \bigg/ \frac{dx}{dt} </math>
ทำให้สมการของเส้นสัมผัสที่ <math>t=T, X=x(T), Y=y(T)</math> เป็น
<math>\frac{dx}{dt}(T) \cdot (y-Y)=\frac{dy}{dt}(T) \cdot (x-X)</math>
หาก
<math>\frac{dx}{dt}(T)= \frac{dy}{dt}(T) =0 </math>
เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนด อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นว่าเส้นสัมผัสมีอยู่และสามารถคำนวณได้จากสมการเชิงพีชคณิตของเส้นโค้ง
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง.
เส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดสัมผัสเรียกว่า "เส้นปกติ" ที่จุดนั้น ความชันของเส้นที่ตั้งฉากมีผลคูณเป็น -1 ดังนั้นหากสมการของเส้นโค้งคือ "y" = "f"("x") ความชันของเส้นปกติคือ :<math>-1 \bigg/ \frac{dy}{dx}</math> และตามนั้น สมการของเส้นปกติที่จุด (X, Y) คือ :<math>(x-X)+\frac{dy}{dx}(y-Y)=0.</math> ในทำนองเดียวกัน หากสมการของเส้นโค้งมีรูปแบบ "f"("x", "y") = 0 สมการของเส้นปกติคือ :<math>\frac{\partial f}{\partial y}(x-X)-\frac{\partial f}{\partial x}(y-Y)=0</math>
หากเส้นโค้งถูกกำหนดตามพารามิเตอร์โดย :<math>x=x(t),\quad y=y(t)</math> สมการของเส้นปกติคือ :<math>\frac{dx}{dt}(x-X)+\frac{dy}{dt}(y-Y)=0</math>
มุมระหว่างเส้นโค้ง.
มุมระหว่างเส้นโค้งที่จุดที่พวกเขาตัดกันถูกกำหนดเป็นมุมระหว่างเส้นสัมผัสของพวกมันที่จุดนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งสองเส้นกล่าวว่ามีการสัมผัสที่จุดหากพวกมันมีเส้นสัมผัสเดียวกันที่จุดนั้น และมีลักษณะเป็นออร์โธโกนัลหากเส้นสัมผัสของพวกมันตั้งฉากกัน
เส้นสัมผัสหลายเส้นที่จุดเดียว.
สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นล้มเหลวเมื่อจุดเป็น จุดเอกพจน์ของเส้นโค้ง ในกรณีนี้อาจมีหลายสาขาของเส้นโค้งที่ผ่านจุดนั้นแต่ละสาขามีเส้นสัมผัสของตนเอง เมื่อตรงที่เป็นจุดกำเนิด สมการของเส้นเหล่านี้สามารถหาจากการแยกสมการที่กำจัดทุกอย่างที่มีระดับต่ำสุดจากสมการดั้งเดิม โดยเปลี่ยนจุดใด ๆ ให้เป็นจุดกำเนิดโดยการเปลี่ยนตัวแปร (หรือโดยการ การแปลง เส้นโค้ง) วิธีนี้ช่วยให้หาค่าของเส้นสัมผัสที่จุดพิเศษได้
ตัวอย่างเช่น สมการของ ไตรเซกทริกซ์แบบลิมาซอน ที่แสดงทางขวาคือ <math>(x^2+y^2-2ax)^2=a^2(x^2+y^2)</math> การขยายและการกำจัดคำที่มีระดับต่ำสุดจะให้ <math>a^2(3x^2-y^2)=0</math> ซึ่งเมื่อแยกจะกลายเป็น <math>y=\pm\sqrt{3}x</math> ดังนั้นนี่คือสมการของเส้นสัมผัสสองเส้นผ่านจุดกำเนิด
เมื่อเส้นโค้งไม่ข้ามตัวเอง เส้นสัมผัสที่จุดอ้างอิงอาจยังไม่ถูกกำหนดอย่างชัดเจนเนื่องจากเส้นโค้งไม่สามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดนั้นแม้ว่ามันจะสามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดอื่นได้ ในกรณีนี้ อนุพันธ์ซ้ายและขวา จะถูกกำหนดเป็นลิมิตของอนุพันธ์เมื่อจุดที่มันถูกประเมินเข้าใกล้จุดอ้างอิงจากทางซ้าย (ค่าต่ำกว่า) หรือจากทางขวา (ค่าที่สูงกว่า) ตัวอย่างเช่น เส้นโค้ง "y" = |"x" | ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่ "x" = 0: ความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเป็น -1 และ 1 ตามลำดับ เส้นสัมผัสที่จุดนั้นที่มีความชันเหล่านี้เรียกว่าเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวา
บางครั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเท่ากัน ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเหมือนกัน นี่เป็นจริงสำหรับเส้นโค้ง "y" = "x" 2/3 ซึ่งทั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามาที่ "x" = 0 เป็นอนันต์ ทั้งสองเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามามีสมการ "x" = 0
วงกลมสัมผัส.
วงกลมสองวงที่แตกต่างกันในระนาบเดียวกันจะกล่าวว่าสัมผัสกันหากพวกมันพบกันที่จุดเดียวเท่านั้น
หากจุดในระนาบถูกอธิบายโดยใช้ พิกัดคาร์ทีเซียน, วงกลมสองวงที่มี รัศมี 
<math>r_1, r_2</math> และ <math>(x_1, y_1)</math> และศูนย์กลางที่ <math>(x_2, y_2)</math> จะสัมผัสกันเมื่อ:
<math>\left(x_1 - x_2\right)^2 + \left(y_1 - y_2\right)^2 = \left(r_1 \pm r_2\right)^2</math>
วงกลมทั้งสองจะถูกเรียกว่า "สัมผัสภายนอก" หาก ระยะทาง ระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับผลรวมของรัศมีของพวกมัน:
<math>\left(x_1 - x_2\right)^2 + \left(y_1 - y_2\right)^2 = \left(r_1 + r_2\right)^2</math>
หรือ "สัมผัสภายใน" หากระยะทางระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับความแตกต่างของรัศมี:
<math>\left(x_1 - x_2\right)^2 + \left(y_1 - y_2\right)^2 = \left(r_1 - r_2\right)^2</math>
ระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิว.
แผ่นสัมผัส (Tangent Plane) ต่อพื้นผิวที่จุดกำหนด "p" ถูกกำหนดในลักษณะคล้ายกับเส้นสัมผัสในกรณีของเส้นโค้ง มันเป็นการประมาณที่ดีที่สุดของพื้นผิวโดยแผ่นที่จุด "p" และสามารถหามาได้จากตำแหน่งจำกัดของแผ่นที่ผ่านจุดสามจุดที่แตกต่างกันบนพื้นผิวที่ใกล้เคียงกับ "p" เมื่อตำแหน่งของจุดเหล่านี้เข้าใกล้ "p" ในทางคณิตศาสตร์ หากพื้นผิวถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน <math>z = f(x, y)</math> สมการของแผ่นสัมผัสที่จุด <math>(x_0, y_0, z_0)</math> สามารถเขียนได้ว่า:
<math>z-z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)</math>
ในที่นี้ <math display="inline">\frac{\partial f}{\partial x}</math> และ <math display="inline">\frac{\partial f}{\partial y}</math> คือ อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน <math>f</math> ตาม <math>x</math> และ <math>y</math> ตามลำดับ, ที่ประเมินที่จุด <math>(x_0, y_0)</math> โดยพื้นฐานแล้ว แผ่นสัมผัสจับพฤติกรรมท้องถิ่นของพื้นผิวที่จุดเฉพาะ "p" เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ใช้ในแคลคูลัสและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งมีความสำคัญในการเข้าใจการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในท้องถิ่นบนพื้นผิว