กฎของรุฟฟีนี

ในคณิตศาสตร์ กฎของรุฟฟีนีคือวิธีการคำนวณการหารแบบยุคลิดของพหุนามด้วยทวินามในรูป <math>x-r</math> ได้รับการอธิบายไว้โดยปาโอโล รุฟฟีนี ใน ค.ศ. 1809 กฎนี้เป็นกรณีพิเศษของการหารสังเคราะห์เมื่อตัวหารเป็นตัวประกอบเชิงเส้น
ขั้นตอนวิธี.
กฎนี้กำหนดวิธีการหารพหุนาม 
<math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
ด้วยทวินาม
<math>Q(x)=x-r</math>
เพื่อจะได้พหุนามผลหาร
<math>R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0</math>
ขั้นตอนวิธีนี้เทียบได้กับการหารยาว <math>P(x)</math> ด้วย <math>Q(x)</math>
การหาร <math>P(x)</math> ด้วย <math>Q(x)</math>
</math> ขอบซ้ายล่างเหนือเส้น
<math>
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & & & & \\
\hline
</math>
<math>
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & & & & \\
\hline
 & a_n & & & & \\
 & =b_{n-1} & & & &
</math>
</math> แล้วเขียนผลคูณบนเส้นภายในหลักถัดไปทางขวา
<math>
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & b_{n-1} \cdot r & & & \\
\hline
 & a_n & & & & \\
 & =b_{n-1} & & & &
</math>
<math>
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
r & & b_{n-1}\cdot r & & & \\
\hline
 & a_n & b_{n-1}\cdot r+a_{n-1} & & & \\
 & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & &
</math>
<math>
 & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\
r & & b_{n-1}\cdot r & \dots & b_1\cdot r & b_0 \cdot r \\
\hline
 & a_n & b_{n-1} \cdot r+a_{n-1} & \dots & b_1 \cdot r+a_1 & a_0+b_0 \cdot r \\
 & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \dots & =b_0 & =s \\
</math>
ค่า <math>b
</math> ต่าง ๆ คือค่าของสัมประสิทธิ์พหุนามผลหาร (<math>R(x)</math>) ที่มีดีกรีน้อยกว่า <math>P(x)</math> อยู่หนึ่ง ค่าสุดท้าย <math>s
</math> คือเศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามบอกไว้ว่าเศษเหลือจะมีค่าเท่ากับ <math>P(x)</math> ที่ <math>r
</math> หรือ <math>P(r)</math>
ตัวอย่าง.
นี่เป็นตัวอย่างการหารพหนามตามที่ได้อธิบายไว้
ให้
<math>P(x)=2x^3+3x^2-4\,\!</math>
<math>Q(x)=x+1\,\!</math>
<math>P(x)</math> จะถูกหารด้วย <math>Q(x)</math> โดยใช้กฎของรุฟฟีนี ปัญหาคือ <math>Q(x)</math> ไม่ได้อยู่ในรูปทวินาม <math>x-r</math> แต่อยู่ในรูป <math>x+r</math> จึงต้องเปลี่ยนรูปโดยการ
<math>Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!</math>
ตอนนี้สามารถใช้ขั้นตอนวิธีได้
</math> ลงไป สังเกตว่า <math>P(x)</math> ไม่มีพจน์ <math>x
</math> จึงเขียน 0 ลงไปทดแทน
<math>
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & & & \\
\hline
</math>
<math>
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & & & \\
\hline
 &2 & & & \\
</math>
</math>
<math>
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & -2 & & \\
\hline
 & 2 & & & \\
</math>
<math>
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & -2 & & \\
\hline
 & 2 & 1 & & \\
</math>
<math>
 & 2 & 3 & 0 & -4\\
-1 & & -2 & -1 & 1\\
\hline
 & 2 & 1 & -1 & -3\\
</math>
จาก <math>P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!</math> เมื่อ
<math>R(x) = 2x^2+x-1</math> และ <math>s=-3; \quad \Rightarrow 2x^3+3x^2-4 = (2x^2+x-1)(x+1) - 3\!</math>
การประยุกต์ใช้ในการแยกตัวประกอบ.
กฎของรุฟฟีนีใช้ได้เมื่อต้องการจะหาผลหารระหว่างพหุนาม <math>P(x)</math> กับทวินามในรูป <math>x-r</math> (ถ้าตองการหาแค่เศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามจะเป็นวิธีที่ง่ายกว่า)
ตัวอย่างทั่ว ๆ ไปเมื่อต้องการหาผลหาร คือการแยกตัวประกอบ <math>p(x)</math> เมื่อทราบคำตอบ <math>r</math>
เศษเหลือของการหารแบบยุคลิดของ <math>p(x)</math>ด้วย <math>r</math> คือ <math>0</math> และถ้าผลหารคือ <math>q(x)</math> การหารแบบยุคลิดจะเขียนได้ดังนี้
<math>p(x)=q(x)\,(x-r)</math>
เป็นการแยกตัวประกอบ (อาจจะบางส่วน) ของ <math>p(x)</math> ซึ่งสามารถคำนวณโดยใช้กฎของรุฟฟีนี แล้วสามารถแยกตัวประกอบ <math>p(x)</math> ต่อโดยการแยกตัวประกอบ <math>q(x)</math>
ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตบอกไว้ว่าทุกพหุนามที่มีดีกรีเป็นบวกจะมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระบวนการข้างบนยังแสดงได้ว่าทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตส่อให้เห็นว่าทุกพหุนามในรูป <math>p(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} +\cdots +a_1x + a_0 </math> สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
<math>p(x)=a_n (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots(x-r_n)</math> 
เมื่อ <math>r_1,r_2,r_3,\ldots,r_n</math> เป็นจำนวนเชิงซ้อน
ประวัติ.
ผู้คิดค้นวิธีนี้คือปาโอโล รุฟฟีนี เขาได้เข้าร่วมการแข่งขันที่บัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งชาติอิตาลีจัดขึ้น โดยปัญหาท้าทายคือหาวิธีในการหาคำตอบของพหุคูณทั่วไป ใน ค.ศ. 1804 คำตอบที่รุฟฟีนีที่ส่งไปได้อันดับที่หนึ่งจาก 5 ฉบับที่มีผู้ส่งไป และวิธีของเขาได้รับการตีพิมพ์ เขาได้ปรับแต่งงานของเขาและตีพิมพ์ใน ค.ศ. 1807 และอีกครั้งใน ค.ศ. 1813