สูตรของเฮรอน

ในทางเรขาคณิต สูตรของเฮรอน หรือ สูตรของเฮโร  จะจัดรูปให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม อยู่ในรูปของความยาวด้านของทั้งสามด้าน ⁠<math>a,</math>⁠⁠ <math>b</math>⁠ และ <math>c</math>⁠ โดยกำหนดให้ ⁠<math>s</math>⁠ เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) จะได้ว่า <math>s =\tfrac12(a + b + c)</math> ทำให้ได้พื้นที่ ⁠<math>A</math>⁠ เป็น 
 <math>A =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>
สูตรข้างต้นถูกตั้งชื่อตามวิศวกรในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ซึ่งมีชื่อว่าเฮรอนแห่งอะเล็กซานเดรีย (หรือเฮโร) ซึ่งผลงานของเขามีชื่อว่า "เมตริกา" ("Metrica") ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะรู้จักกันมานานหลายศตวรรษแล้วก็ตาม
ตัวอย่าง.
กำหนดให้ ⁠<math>\triangle ABC</math>⁠ มีด้านทั้งสามยาว <math>a=4</math> <math>b=13</math> และ <math>c=15</math> โดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) เป็น <math>s = \tfrac12(a + b + c) =</math> <math>\tfrac12(4+13+15)=16</math> จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น
 <math>\begin{align}
A &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16 \cdot (16-4) \cdot (16-13) \cdot (16-15)} \\
&= \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24
\end{align}</math>
จากตัวอย่างนี้ ความยาวด้านและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นจำนวนเต็มทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด อย่างไรก็ตามสูตรของเฮรอนจะใช้ได้ดี ในกรณีที่ความยาวด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขึ้นไปไม่ใช่จำนวนเต็ม
การเขียนสมการในรูปอื่น ๆ.
สูตรของเฮรอนยังสามารถเขียนในรูปของความยาวด้านเพียงอย่างเดียว แทนที่จะใช้ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนั้นสามารถทำได้ในหลายวิธี ดังนี้
 <math>\begin{align}
A &=\tfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)} \\[6mu]
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2} \\[6mu]
\end{align}</math>
หลังจากจัดนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว พจน์ที่อยู่ในรากที่สองจะเป็นพหุนามกำลังสองของความยาวด้านแต่ละด้านยกกำลังสอง ได้แก่ <math>a^2</math> <math>b^2</math> และ <math>c^2</math> 
ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ สามารถจัดรูปได้โดยใช้ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์
 <math> -16A^2 = \begin{vmatrix}
 0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0 & 1 \\
 1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix} </math>
ประวัติ.
สูตรข้างต้นนั้นได้ยกย่องให้เป็นสูตรของเฮรอน (หรือเฮโร) แห่งอะเล็กซานเดรีย (ราว ค.ศ. 60) และหลักฐานนั้นสามารถพบได้ในหนังสือชื่อ "เมตริกา" ("Metrica") ซึ่งนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ โทมัส ฮีธ ได้เสนอว่า อาร์คิมิดีสรู้สูตรนี้มาก่อนถึงสองศตวรรษ และเนื่องจาก "เมตริกา" คือหนังสือที่เป็นการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในโลกยุคโบราณ จึงเป็นไปได้ที่สูตรดังกล่าวอาจมีอายุก่อนการอ้างอิงที่ให้ไว้ในผลงานนั้น
สูตรที่คล้ายกับของเฮรอน คือ
 <math>
</math>
สูตรนี้ถูกค้นพบโดยชาวจีน ได้รับการตีพิมพ์ใน "Mathematical Treatise in Nine Sections" (ฉิน จิ่วฉาว, 1247)
บทพิสูจน์.
มีหลายวิธีในการพิสูจน์สูตรของเฮรอน เช่น การใช้ตรีโกณมิติดังด้านล่าง หรือการใช้วงกลมที่แนบในและแนบนอกรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นกรณีพิเศษในทฤษฎีบทของเดอ กวา (เฉพาะสำหรับกรณีที่สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม) หรือใช้ในกรณีพิเศษในสูตรของพรหมคุปต์ (สำหรับกรณีของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม)
การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคไซน์.
จากข้อพิสูจน์สมัยใหม่ซึ่งใช้พีชคณิตมีความแตกต่างจากหลักฐานที่เฮรอนให้ไว้ มีดังนี้ โดยกำหนดให้ ด้าน <math>a</math> <math>b</math> และ <math>c</math> ของสามเหลี่ยม มีมุมตรงข้ามเป็น <math>\alpha</math> <math>\beta</math> และ <math>\gamma</math> ตามลำดับ เมื่อนำมาใช้กับกฎของโคไซน์ จะได้ว่า
 <math>\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
จากการพิสูจน์นี้เราจะได้สมการว่า
 <math>\sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>
โดยความสูงของสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็น <math>a</math> มีความยาวเป็น <math>b\sin\gamma</math> และจะได้ดังนี้
 <math>\begin{align}
A
&= \tfrac12 (\mbox{base}) (\mbox{altitude}) \\[6mu]
&= \tfrac12 ab\sin \gamma \\[6mu]
&= \frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\[6mu]
&= \sqrt{
 \left(\frac{a + b + c}{2}\right)
 \left(\frac{- a + b + c}{2}\right)
 \left(\frac{a - b + c}{2}\right)
 \left(\frac{a + b - c}{2}\right)} \\[6mu]
\end{align}</math>
การพิสูจน์ด้วยพีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส.
หลักฐานข้างต้นนี้คล้ายกับหลักฐานที่ Raifaizen ให้ไว้มาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ <math>b^2 = h^2 + d^2</math> และ <math>a^2 = h^2 + (c - d)^2</math> ตามรูปด้านขวา หลังจากนั้นนำสมการทั้งสองสมการมาลบกันจนได้ผลลัพธ์ดังนี้ <math>a^2 - b^2 = c^2 - 2cd</math> ทำให้สามารถแสดงนิพจน์ของ <math>d</math> ในรูปของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ว่า
 <math>
</math>
โดยสำหรับความสูงของสามเหลี่ยม จะได้ <math>h^2 = b^2 - d^2</math> จากนั้นทำการแทนค่า <math>d</math> จากสมการข้างต้นเข้าไปและจะใช้สูตรเอกลักษณ์ผลต่างของกำลังสอง จะได้
 <math>
 h^2 &= b^2-\left(\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}\right)^2 \\
 &= \frac{(2bc - a^2 + b^2 + c^2)(2bc + a^2 - b^2 - c^2)}{4c^2} \\
 &= \frac{\big((b + c)^2 - a^2\big)\big(a^2 - (b - c)^2\big)}{4c^2} \\
 &= \frac{(b + c - a)(b + c + a)(a + b - c)(a - b + c)}{4c^2} \\
 &= \frac{2(s - a) \cdot 2s \cdot 2(s - c) \cdot 2(s - b)}{4c^2} \\
</math>
จากนั้นใช้ผลลัพธ์ที่มาใช้กับสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความสูง เป็น
 <math>
 A &= \frac{ch}{2} \\
 &= \sqrt{\frac{c^2}{4} \cdot \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}} \\
</math>
การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคแทนเจนต์.
ถ้า <math>r</math> เป็นรัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 3 รูปที่มีความสูงเท่ากับ <math>r</math> และมีฐานยาว <math>a,</math> <math>b</math> และ <math>c</math> จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งสามเป็น
 <math>A = \tfrac12ar + \tfrac12br + \tfrac12cr =rs</math>
โดยที่ <math>s = \tfrac12(a + b + c + d)</math> คือความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 6 รูป ที่เป็นคู่ที่เท่ากันทั้งหมด 3 คู่ ที่มีความสูง <math>r</math> และมีฐานยาว <math>s-a</math> <math>s-b</math> และ <math>s-c</math> จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหกรูปเป็น (จากกฎของโคแทนเจนต์)
 <math>\begin{align}
 A &= r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) \\[2mu]
 &= r^2\left(\frac{s - a}{r} + \frac{s - b}{r} + \frac{s - c}{r}\right) \\[2mu]
 &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} + \cot{\frac{\beta}{2}} + \cot{\frac{\gamma}{2}}\right) \\[3mu]
 &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} \cot{\frac{\beta}{2}} \cot{\frac{\gamma}{2}}\right)\\[3mu]
 &= r^2\left(\frac{s - a}{r} \cdot \frac{s - b}{r} \cdot \frac{s - c}{r}\right) \\[3mu]
\end{align}</math>
ขั้นตอนต่อจากข้างต้น คือ <math display="inline">\cot{\tfrac{\alpha}{2}} + \cot{\tfrac{\beta}{2}} + \cot{\tfrac{\gamma}{2}} = {}</math><math>\cot{\tfrac{\alpha}{2}}\cot{\tfrac{\beta}{2}}\cot{\tfrac{\gamma}{2}}</math> ตามเอกลักษณ์ของโคแทนเจนต์ (triple cotangent identity) ซึ่งนำมาใช้ได้เนื่องจากผลรวมของครึ่งหนึ่งของมุมคือ <math display="inline">\tfrac\alpha2 + \tfrac\beta2 + \tfrac\gamma2 = \tfrac\pi2</math>
เมื่อรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้
 <math>A^2 = s(s - a)(s - b)(s - c)</math>
ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ของพื้นที่ตามมา
ความเสถียรเชิงตัวเลข.
สูตรของเฮรอนที่ให้ไว้ข้างต้นมีความไม่เสถียรในเชิงตัวเลข (numerically unstable) สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมเล็กมาก เมื่อใช้เลขแบบจำนวนจุดลอยตัว (floating-point arithmetic) เพื่อทำให้มีความเสถียรทางตัวเลขจะการจัดเรียงความยาวของด้านเพื่อให้ <math>a \ge b \ge c</math> จากการคำนวณได้ว่า
 <math>A = \tfrac14 \sqrt{\big(a + (b + c)\big) \big(c - (a - b)\big) \big(c + (a - b)\big) \big(a + (b - c)\big)}</math>
จำเป็นต้องมีวงเล็บในสูตรข้างต้นเพื่อป้องกันความไม่เสถียรของตัวเลขในการหาค่า
สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมคล้าย.
อีกสามสูตรของสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไป จะมีโครงสร้างคล้ายกับสูตรของเฮรอน แต่จะแสดงในรูปของตัวแปรที่ต่างกัน
ขั้นตอนแรก กำหนดให้ <math>m_a,</math> <math>m_b</math> และ <math>m_c</math>⁠ คือเส้นมัธยฐาน (medians) ของด้าน <math>a,</math> <math>b</math> และ <math>c</math> ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวเส้นมัธยฐาน คือ <math>\sigma = \tfrac12(m_a + m_b + m_c)</math> จะได้
 <math>
</math>
ถัดไป ให้ <math>h_a,</math> <math>h_b</math> และ <math>h_c</math> คือความสูงจากด้าน <math>a,</math> <math>b</math> และ <math>c</math> ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมส่วนกลับความสูง คือ <math>H = \tfrac12\bigl(h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1}\bigr)</math> จะได้ 
 <math>
</math>
จะได้ว่า ให้ <math>\alpha,</math> <math>\beta</math> และ <math>\gamma</math> เป็นมุมทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม และครึ่งหนึ่งของผลรวมของไซน์ของรูปสามเหลี่ยมคือ <math>S = \tfrac12(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma)</math> จะได้
 <math>\begin{align}
A &= D^{2} \sqrt{S(S-\sin \alpha)(S-\sin \beta)(S-\sin \gamma)} \\[5mu]
 &= \tfrac12 D^{2} \sin \alpha\,\sin \beta\,\sin \gamma
\end{align}</math>
โดย <math>D</math> คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมวงกลมล้อม (circumcircle) <math>D =a/{\sin \alpha} = b/{\sin \beta} = c/{\sin \gamma}</math> สูตรสุดท้ายนี้สอดคล้องกับสูตรในรูปมาตรฐานของเฮรอน เมื่อวงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยมมีความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง
การสรุปโดยทั่วไปจากกรณีเฉพาะ.
สูตรของเฮรอนเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) สูตรของเฮรอนและสูตรของพรหมคุปต์ ทั้งสองสูตรเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม สูตรของเฮรอนสามารถหาได้จากสูตรของพรหมคุปต์หรือสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ โดยให้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมให้เป็นศูนย์
จากสูตรของพรหมคุปต์ให้พื้นที่ <math>K</math> เป็นพื้นที่ของ⁠รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) ที่มีความยาวด้านเป็น <math>a</math> <math>b</math> <math>c</math> และ <math>d</math> ทำให้ได้
 <math>K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>
โดย <math>s = \tfrac12(a + b + c + d)</math> คือ ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม
สูตรของเฮรอนยังเป็นกรณีเฉพาะของสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพิจารณาจากด้านเท่านั้น สูตรของเฮรอนได้มาโดยการกหนดให้ด้านขนานที่เล็กกว่าความยาวเป็นศูนย์
สามารถแสดงสูตรของเฮรอนด้วยฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์ ในรูปของกำลังสองของระยะทางระหว่างจุดยอดทั้งสามที่กำหนดให้
 <math> A = \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
 0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0 & 1 \\
 1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix} } </math>
แสดงให้เห็นถึงความคล้ายกับสูตรของตาร์ตาเญีย สำหรับปริมาตรของ 3-ซิมเพล็กซ์หรือทรงสี่หน้า
ข้อสรุปทั่วไปของสูตรของเฮรอนของรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมวงกลมล้อมถูกค้นพบโดย เดวิด พี. ร็อบบินส์ 
สูตรการหาปริมาตรของทรงสี่หน้าแบบเฮรอน.
ให้ <math>U,</math> <math>V,</math> <math>W,</math> <math>u,</math> <math>v</math> และ <math>w</math> เป็นความยาวขอบของทรงสี่หน้า (สามด้านแรกนำมาประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม โดย <math>u</math> ตรงข้ามกับ <math>U</math> และต่อไปตามลำดับ) จะได้
 <math>\text{volume} = \frac
 {192\,u\,v\,w}</math>
โดยที่
 <math>\begin{align}
a &= \sqrt {xYZ} \\
b &= \sqrt {yZX} \\
c &= \sqrt {zXY} \\
d &= \sqrt {xyz} \\
X &= (w - U + v)\,(U + v + w) \\
x &= (U - v + w)\,(v - w + U) \\
Y &= (u - V + w)\,(V + w + u) \\
y &= (V - w + u)\,(w - u + V) \\
Z &= (v - W + u)\,(W + u + v) \\
z &= (W - u + v)\,(u - v + W)
\end{align}</math>
สูตรของเฮรอนในเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด.
นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลม (Spherical geometry) หรือเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic plane) อีกด้วย สำหรับรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมที่มีความยาวด้าน <math>a</math> <math>b</math> และ <math>c</math> และครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปเป็น <math>s=\tfrac12(a+b+c)</math> และมีพื้นที่เป็น <math>S</math> ตามสูตรดังกล่าวจะได้
 <math>
\tan^2 \frac S 4 = \tan \frac s2 \tan\frac{s-a}2 \tan\frac{s-b}2 \tan\frac{s-c}2
</math>
ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา จะได้
 <math>
\tan^2 \frac S 4 = \tanh \frac s2 \tanh\frac{s-a}2 \tanh\frac{s-b}2 \tanh\frac{s-c}2 
</math>