ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/ปรากฏการณ์ซีมาน

ปรากฏการณ์ซีมานเป็นปรากฏการณ์ที่ถูกค้นพบโดย ปีเตอร์ ซีมาน ชาวเนเธอร์แลนด์ เมื่อปี ค.ศ. ๑๘๙๖
พบว่าเมื่อให้สนามแม่เหล็กอย่างอ่อนๆแก่แหล่งกำเนิดแสง สเปกตรัมของแสงจะถูกแยกออกจากกัน 
ในปีเดียวกัน เฮนดริก ลอเลนซ์ ได้ใช้ผลจากปรากฏการณ์นี้ทำนายการมีอยู่ของอนุภาคซึ่งทำให้แสงมีขั้ว 
อนุภาคนั้นมีมวลน้อยกว่าไฮโดรเจนพันเท่า และมีประจุเป็นลบ ก่อนที่ เจ เจ ทอมป์สัน จะค้นพบอิเล็กตรอน
ผลจากงานวิจัยนี้ทำให้ ซีมาน ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี ค.ศ. ๑๙๐๒ ร่วมกับ เฮนดริก ลอเลนซ์ 
= ปรากฏการณ์ซีมานปรกติ (Normal Zeeman Effect) =
ปรากฏการณ์ซีมานปรกติคิดผลอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็กของแหล่งกำเนิดแสง กับ สนามแม่เหล็กภายนอก
ในกรณีที่ค่าสปินรวมของอิเล็กตรอนเท่ากับ 0
ฮามิลโทเนียนรบกวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณภายในระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก กับ สนามแม่เหล็กภายนอก <math>\vec{B}_{ext}</math>ซึ่งมีทิศชี้ไปแกน <math>z</math> ดังนี้
<math> H_{Z} = - \vec{\mu_e} \cdot \vec{B}_{ext} = \frac{e}{2 m_e} \vec{L} \cdot B \hat{z} = \frac{e B}{2 m_e} L_z = \frac{\mu_e}{\hbar} B L_z </math>
โดยที่ <math>\mu_e = e \hbar / 2 m_e</math> คือบอห์รแมกนีตอน, <math>L_z</math> คือ เงาของโมเมนตัมเชิงมุม <math>\vec{L}</math> บนแกน <math>z</math>
ในอะตอมไฮโดรเจน ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวน คือ
<math> H_0 = \frac{\hat{p}^2}{2 m_e} - \frac{ke^2}{r} </math>
= ปรากฏการณ์ซีมานไม่ปรกติ =
ปรากฏการณ์ซีมานปรกติคิดผลอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาระหว่าง ไดโพลโมเมนต์แม่เหล็ก กับ สนามแม่เหล็กภายนอกซึ่งมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับสนามแม่เหล็กภายในอะตอม ในกรณีที่ค่าสปินรวม (S) ของอิเล็กตรอนมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ ทำให้เส้นสเปกตรัมในสนามแม่เหล็กมีความซับซ้อนขึ้น 
เนื่องจากมีการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนทำให้เกิดสนามแม่เหล็ก จึงสามารถหาโมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก (Magnetic dipole moment) <math>\vec{\mu_{l}}</math> จากผลดังกล่าวได้จาก
<math>\vec{\mu_{l}} = \frac{q}{2m} \vec{L} = -\frac{e}{2m} \vec{L}</math> โดยที่ <math>\vec{L}</math> คือ Orbital angular momentum
เรื่องสปินรวมของเล็กตรอนไม่เป็นศูนย์ โมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็กจึงคิดผลจากสปินด้วย ซึ่งค่าที่ได้จะมีค่า g-factor ซึ่งในกรณีของอิเล็กตรอน <math>g = 2</math> คูณอยู่ จะได้
<math>\vec{\mu_{s}} = -\frac{e}{m} \vec{S}</math> โดยที่ <math>\vec{S}</math> คือโมเมนตัมเชิงมุมสปิน (Spin angular momentum)
ซึ่งจะได้พลังงานรวมสนามแม่เหล็กเป็นแฮมิลโทเนียนจากสมการ
<math>H_z = -(\vec{\mu_{l}} + \vec{\mu_{s}})\cdot \vec{B} = \frac{e}{2m} (\vec{L} + 2 \vec{S}) \cdot \vec{B}</math>
เมื่อสนามแม่เหล็กภายนอก <math>\vec{B}</math> ในที่นี้มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับสนามไฟฟ้าภายในที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของประจุ จะได้ว่า <math>H_z</math> เป็นตัวรบกวน (Perturbation) โดยจากความสัมพันธ์ของโมเมนตัมเชิงมุมรวม <math>\vec{J}</math> คือ
<math>\vec{J} = \vec{L} + \vec{S} </math> จะได้ <math>\vec{L} = \vec{J} - \vec{S} </math> แทนลงไปใน <math>H_z</math> จะได้
<math>H_z = \frac{e}{2m} (\vec{J} + \vec{S}_{avg}) \cdot \vec{B}</math>
ซึ่งเราจะใช้ <math>\vec{S} = \vec{S}_{avg}</math> เนื่องจาก <math>\vec{S}</math> ไม่ได้มีค่าคงที่ แต่มีการหมุนควงรอบ <math>\vec{J}</math> เราจึงสามารถแยกออกเป็นสององค์ประกอบคือ ในแนวขนานกับ <math>\vec{J}</math> ซึ่งมีขนาดเป็น <math>S_{\parallel }</math> และในแนวตั้งฉากกับ <math>\vec{J}</math> ซึ่งมีขนาดเป็น <math>S_{\perp}</math> โดยเมื่อ <math>\vec{S}</math> หมุนควงรอบ <math>\vec{J}</math> ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ <math>S_{\perp}</math> ในแนวตั้งฉากมีค่าเป็นศูนย์ จึงได้ว่าค่าเฉลี่ย <math>\vec{S}_{avg}</math> จะมีขนาดเท่ากับ <math>S_{\parallel }</math> และมีทิศทางชี้ไปทางเดียวกับ <math>\vec{J}</math> จะได้
<math>\vec{S}_{avg} = S_{\parallel } \frac{\vec{J}}{J} = S \cos \theta \frac{\vec{J}}{J}</math> โดยที่ <math>\theta</math> เป็นมุมระหว่าง <math>\vec{S}</math> กับ <math>\vec{J}</math> ซึ่งจะได้ว่า
<math>\vec{S}_{avg} = S \frac{(\vec{S}\cdot \vec{J})} {SJ} \frac{\vec{J}}{J} = \frac{(\vec{S} \cdot \vec{J})}{J^2}\vec{J} </math> จะได้
<math>H_z = \frac{e}{2m} (\vec{J} + \frac{(\vec{S} \cdot \vec{J})}{J^2}\vec{J}) \cdot \vec{B} = \frac{e}{2m} (1 + \frac{\vec{S} \cdot \vec{J}}{J^2}) \vec{J} \cdot \vec{B}</math>
เมื่อกำหนดให้สนามแม่เหล็กภายนอก <math>\vec{B}</math> มีขนาดเป็น <math>B_0</math> และมีทิศทางไปทางแกน <math>z</math> จะได้ว่า
<math>H_z = \frac{e B_0}{2m} (1 + \frac{\vec{S} \cdot \vec{J}}{J^2}) J_z</math>
พิจารณาตัวดำเนินการ <math>\vec{S} \cdot \vec{J}</math> จากโมเมนตัมเชิงมุมรวม <math>\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}</math> หรือ <math>\vec{L} = \vec{J} - \vec{S}</math> จะได้
<math>L^2 = J^2 + S^2 - 2\vec{S} \cdot \vec{J}</math>
ดังนั้น จะได้ว่า
<math>\vec{S} \cdot \vec{J} = \frac{1}{2} (J^2 + S^2 - L^2)</math> นั่นคือ
<math>H_z = \frac{e B_0}{2m} \left(1 + \frac{J^2 + S^2 - L^2}{2 J^2}\right) J_z</math>
ทำการหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนได้โดยเลือกใช้ฐานคือ <math> \left | n,l,j,m_j \right \rangle </math> เนื่องจากผลของสนามแม่เหล็กที่มีค่าน้อยกว่าสนามแม่เหล็กภายใน ทำให้โมเมนตัมเชิงมุมรวม <math>\vec{J}</math> ประมาณได้ว่าคงที่ จะได้ว่า
<math>\left \langle n,l,j,m_j \left | H_z^{(1)} \right | n,l,j,m_j \right \rangle = \frac{e B_0}{2m} \left \langle n,l,j,m_j \left | \left(1 + \frac{J^2 + S^2 - L^2}{2 J^2}\right) J_z \right | n,l,j,m_j \right \rangle</math>
เนื่องจากผลของตัวดำเนินการเมื่อไปกระทำ คือ 
<math>J^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle = j(j+1) \hbar^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle</math>
<math>S^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle = s(s+1) \hbar^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle</math>
<math>L^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle = l(l+1) \hbar^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle</math>
<math>J_z \left |n,l,j,m_j \right \rangle = m_j \hbar \left |n,l,j,m_j \right \rangle</math>
จะได้
<math>\left \langle n,l,j,m_j \left | H_z^{(1)} \right | n,l,j,m_j \right \rangle = \frac{e B_0}{2m} \left(1 + \frac{j(j+1) + s(s+1) - l(l+1)}{2 j(j+1)}\right) m_j \hbar</math>
สำหรับในกรณีของอิเล็กตรอนเลขควอนตัมสปิน <math>s = \frac{1}{2}</math> เสมอ จะได้ว่า
<math>\left \langle n,l,j,m_j \left | H_z^{(1)} \right | n,l,j,m_j \right \rangle = \frac{e B_0}{2m} \left(1 + \frac{j(j+1) - l(l+1) +\frac{3}{4}}{2 j(j+1)}\right) m_j \hbar</math>
ซึ่งสังเกตว่าค่าของ <math>\left \langle n,l,j,m_j \left | H_z^{(1)} \right | n,l,j,m_j \right \rangle</math> จะมีค่าไม่เป็นศูนย์ในกรณีที่เลขควอนตัมในฐานทั้งสองด้านมีค่าเท่ากันทุกตัวเท่านั้น จึงทำให้การใช้ฐาน <math> \left | n,l,j,m_j \right \rangle </math> ได้คำตอบอยู่ในรูปของ เมทริกซ์ทแยง (Diagonal matrix) นั่นคือจะทำให้สมาชิกในตำแหน่งนอกแนวทแยงที่เลขควอนตัมบางตัวไม่เท่ากันมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด ซึ่งทำให้ง่ายต่อการหาค่าไอเกนหรือพลังงานในแต่ละสถานะได้ทันทีจากสมาชิกในแนวทแยง จึงได้ว่า
<math>E_{z}^{(1)} = \frac{e B_0}{2m} \left(1 + \frac{j(j+1) - l(l+1) +\frac{3}{4}}{2 j(j+1)}\right) m_j \hbar = \mu_B g_j m_j B_0</math>
โดยที่ <math>\mu_B = \frac{e \hbar}{2m}</math> เป็นค่าคงที่เรียกว่า Bohr magneton ส่วน <math>g_j = 1 + \frac{j(j+1) - l(l+1) +\frac{3}{4}}{2 j(j+1)}</math> เรียกว่า Landé g-factors
ตัวอย่าง:การเปลี่ยนในอนุกรมไลมาณ-อัลฟ่า ของไฮโดรเจน (Lyman alpha transition in hydrogen).
ในกรณีนี้ เรื่องจากไฮโดรเจนมีอิเล็กตรอนเพียงตัวเดียว ค่าสปินรวม จึงไม่เท่ากับศูนย์ จึงเกิดปรากฏการณ์ซีมานแบบไม่ปรกติ โดยอิเล็กตรอนเปลี่ยนจาก 
<math>2P_{1/2} \to 1S_{1/2}</math> และ <math>2P_{3/2} \to 1S_{1/2}.</math>
เมื่อมีสนามแม่เหล็กอย่างอ่อนจากภายนอกเข้าไปกระทำ จะทำให้แยกระดับชั้นพลังงาน 1S1/2 และ 2P1/2 ไปยังสองระดับพลังงาน ที่มี (<math>m_j = 1/2, -1/2</math>)และ 2P3/2 ไปยังสี่สถานะคือ (<math>m_j = 3/2, 1/2, -1/2, -3/2</math>). โดยมี Landé g-factors สำหรับสามสถานะคือ 
<math>g_J = 2</math> สำหรับ <math>1S_{1/2}</math> (j=1/2, l=0)
<math>g_J = 2/3</math> สำหรับ <math>2P_{1/2}</math> (j=1/2, l=1)
<math>g_J = 4/3</math> สำหรับ <math>2P_{3/2}</math> (j=3/2, l=1).
สำหรับภาพประกอบสามารถชมได้ที่ 
https://en.wikipedia.org/wiki/Zeeman_effect#mediaviewer/File:Zeeman_p_s_doublet.svg