ทรงกลม

ทรงกลม (อังกฤษ : sphere จากกรีกโบราณ ,) เป็นวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งอาจมองว่าเป็นวงกลมในสามมิติ นิยามที่รัดกุมของทรงกลม คือเซตของจุดในสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำหนดจุดหนึ่งเป็นระยะทาง "r" เสมอ จุดกำหนดจุดนั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางทรงกลม (centre) และค่า "r" เรียกว่ารัศมีของวงกลมนั้น ทรงกลมปรากฏขึ้นเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกในงานคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ
ทรงกลมเป็นวัตถุพื้นฐานในคณิตศาสตร์หลากหลายสาขา ทรงกลมและรูปทรงที่เกือบเป็นทรงกลมปรากฎทั้งในธรรมชาติและในกิจกรรมของมนุษย์ อาทิ ฟองสบู่ มีในภาวะสมดุลจะเป็นทรงกลม ในทางภูมิศาสตร์นิยมถือว่าโลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม และทรงกลมท้องฟ้าเป็นแนวคิดสำคัญในดาราศาสตร์
สมการของทรงกลม.
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ ("x"0, "y"0, "z"0) และรัศมี r คือทางเดินของจุด ("x", "y", "z") ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
 <math> (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2</math>
เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็นพื้นผิวกำลังสอง ซึ่งเป็นพื้นผิวเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง
ให้ a, b, c, d, e เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง "a" ≠ 0 และกำหนด
 <math>x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.</math>
แล้วจะได้ว่าสมการ
 <math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>
ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า <math>\rho < 0</math> และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของทรงกลมจินตภาพ (imaginary sphere) ถ้า <math>\rho = 0</math> แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ <math>f(x,y,z) = 0</math> คือจุด <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของทรงกลมจุดเดียว (point sphere) และในกรณีที่ <math>\rho > 0</math> สมการ<math>f(x,y,z) = 0</math> เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ <math>P_0</math> และมีรัศมีเท่ากับ <math>\sqrt \rho</math>
ถ้า a ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว <math>f(x,y,z) = 0</math> เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่อนันต์
สมบัติของทรงกลม.
ปริมาตร.
ในสามมิติ ปริมาตรภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ
 <math>V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\pi}{6}\ d^3 \approx 0.5236 \cdot d^3</math>
เมื่อ r คือรัศมี และ d คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า "ทรงกระบอกล้อมรอบของทรงกลม" (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น
เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้หลักการของคาวาเลียรี (Cavalieri's principle) นอกจากนี้อาจใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วยการอินทิเกรตแบบจานเพื่อหาปริมาตรปิดล้อม
พื้นที่ผิว.
พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี r คือ
 <math>A = 4\pi r^2</math>
อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่ 
ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะแรงตึงผิวพยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด
สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ.
ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน
หมายเหตุและอ้างอิง.
หมายเหตุ.
<templatestyles src="Reflist/styles.css" />