ผลคูณคาร์ทีเซียน

ในวิชาคณิตศาสตร์ ผลคูณคาร์ทีเซียน เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับเซตหลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ เซตผลคูณ) นั่นคือสำหรับเซต "A" และ "B" ผลคูณคาร์ทีเซียน #เปลี่ยนทาง เป็นเซตของทุกคู่อันดับ #เปลี่ยนทาง ที่ #เปลี่ยนทาง และ #เปลี่ยนทาง 
กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียน คือ จัตุรัสคาร์ทีเซียน ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตารางได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ "เซตของแถว" กับ "เซตของหลัก" ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน #เปลี่ยนทาง เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ #เปลี่ยนทาง 
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต "n" เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล "n" มิติ โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ เรอเน เดการ์ต ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์
ตัวอย่าง.
สำรับไพ่.
ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือไพ่ป๊อก เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่ #เปลี่ยนทาง มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ 
ระบบพิกัดสองมิติ.
ตัวอย่างจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์คือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต "X" และ "Y" ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ #เปลี่ยนทาง ผลคูณนี้เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ "X" และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ "Y" (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็นระนาบ x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ #เปลี่ยนทาง โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต "Y" และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต "X" ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มีสมบัติการสลับที่
<math>X\times Y = \{\,(x,y)\mid x\in X \ \land \ y\in Y\,\}</math> 
<math>Y\times X = \{\,(y,x)\mid y\in Y \ \land \ x\in X\,\}</math>
<math>X\times Y \neq Y\times X</math>
การประยุกต์ใช้ทั่วไปในทฤษฎีเซต.
นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ <math>(x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\}</math> ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ <math>X\times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))</math> โดย <math>\mathcal{P}</math> เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่
การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่.
ให้ <math>A</math> <math>B</math> และ <math>C</math> เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน <math> A \times B</math> ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ <math> A \times B \neq B \times A</math> เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข 
เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ
ตัวอย่าง 
<math>A = \{1,2\}</math> และ <math>B = \{1,3\}</math>
<math> A \times B = \{1,2\} \times \{1,3\}= \{ (1,1), (1,3), (2,1), (2,3) \}</math>
<math>B \times A = \{1,3\} \times \{1,2\} = \{(1,1), (1,2), (3,1), (3,2) \} </math>
<math> A \times B \neq B \times A</math> 
<math>A = B = \{1,2\}</math>
<math> A \times B = B \times A = \{1,2\} \times \{1,2\}= \{ (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) \}</math>
<math> A = \{1,2\} </math> และ <math>B = \{ \}</math>
<math> A \times B = \{1,2\} \times \{ \} = \{ \} </math> 
<math> B \times A = \{ \} \times \{1,2\} = \{ \} </math>
<math> A \times B = B \times A</math> 
ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ
 ตัวอย่าง
 <math>A = \{a\}</math> <math>B = \{b\}</math> และ <math>C= \{c\}</math>
 <math>(A \times B) \times C = (\{a\} \times \{b\}) \times \{c\} = \{(a,b)\}\times \{c\} = \{((a,b),c)\} </math>
 <math> A \times (B \times C) = \{a\} \times (\{b\} \times \{c\}) = \{a\} \times \{(b,c)\} = \{(a,(b,c))\} </math>
 <math> (A \times B) \times C \neq A\times (B \times C) </math>
สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน.
ให้ <math>A</math> <math>B</math> <math>C</math> และ <math>D</math> เป็นเซต
การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน
<math>(A \times C) \cap (B \times D) = (A \cap B) \times (C \cap D)</math>
แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน
<math>(A \times C) \cup (B \times D) \neq (A \cup B) \times (C \cup D)</math>
<math>(A \times C) \cup (B \times D) \subseteq (A \cup B) \times (C \cup D)</math>
มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:
<math>A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)</math>
<math>A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)</math>
<math>A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)</math>
<math>(A \times B)^c = (A^c \times B^c) \cup (A^c \times B) \cup (A \times B^c)</math>
สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:
ถ้า <math> A \subseteq B </math> แล้ว <math> A \times C \subseteq B \times C</math>
ถ้าทั้ง<math>A</math>และ<math>B</math> ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว <math> (A \times B \subseteq C \times D \iff A \subseteq C \land B \subseteq D)</math>
ภาวะเชิงการนับ.
ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต <math>A = \{m, n\}</math> และ <math>B = \{0, 1\}</math> ทั้งเซต <math>A</math> และเซต <math>B</math> ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย <math>A \times B</math> เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:
 <math>A \times B = \{(m,0), (m,1), (n,0), (n,1)\}</math>
สมาชิกแต่ละตัวของ <math>A</math> จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ <math>B</math> แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์
จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2
ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ
<math>|A \times B| = |A||B|</math>
และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า
<math>|A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_n| = |A_1||A_2||A_3|...|A_n|</math>
ภาวะเชิงการนับของ <math>A \times B</math> เป็นอนันต์ถ้าเซต <math>A</math> หรือเซต <math>B</math> เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง
จัตุรัสคาร์ทีเซียนและกำลังคาร์ทีเซียน.
จัตุรัสคาร์ทีเซียน (หรือ ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่) ของเซต "X" คือผลคูณคาร์ทีเซียน #เปลี่ยนทาง 
ตัวอย่างคือระนาบ #เปลี่ยนทาง เมื่อ R เป็นเซตของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงทุกจุด#เปลี่ยนทาง ที่ "x" และ "y" เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)