เวกเตอร์สี่มิติ

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เวกเตอร์สี่มิติ (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม ปริภูมิมิงคอฟสกี (Minkowski space)
ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ (spatial rotations) และ การบูสต์ (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา <math>\left(t,x,y,z\right)</math>
เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวม ๆ ว่า การแปลงโลเร็นตซ์ (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์ <math>4\times 4</math>
คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ.
จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า เหตุการณ์ (event) และถูกบรรยายด้วย เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector) กำหนดโดย
<math> \mathsf{x}:=\left(x^\mu\right)=\left(x^0, x^1, x^2, x^3\right)=\left(ct, x, y, z \right) </math>
สำหรับ <math>\left.\mu=0,1,2,3\right.</math> เมื่อ <math>\left.c\right.</math> เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light) 
ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ <math>\mathsf{x}</math> กับ <math>\mathsf{y}</math> ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation) 
เมื่อ <math>\left.\eta\right.</math> เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product) 
เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ สเปซไลค์ (spacelike) ไทม์ไลค์ (timelike) และ นัล (lightlike หรือ null) 
โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ
<math>\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma}</math>
ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์.
เมื่อ <math>\left.\gamma\right.</math> คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)
เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญ ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:
<math>\mathsf{U} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{x}= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathsf{x} = \left(\gamma c, \gamma \mathbf{u} \right)</math>
หรือ
<math>\left(U^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(x^\mu\right)= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma c, \gamma u^i \right)</math>
เมื่อ
<math>u^i = \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}</math>
สำหรับ <math>\left.i=1,2,3\right.</math> สังเกตว่า
<math> \mathsf{U}\cdot\mathsf{U} := U^\mu U_\mu = -c^2</math>
เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:
<math>\mathsf{A} := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\mathsf{U}= \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\mathsf{x} = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \mathbf{\dot{u}} \right)</math>
หรือ
<math>\left(A^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(U^\mu\right) = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2}\left(x^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma}u^i + \gamma^2\dot{u}^i \right)</math>
สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ คือ <math>\mathsf{A}\perp\mathsf{U}</math> 
<math>\mathsf{A}\cdot\mathsf{U} := A^\mu U_\mu = 0</math>
เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum) ถูกกำหนดโดย
<math>\mathsf{P} := m\mathsf{U} = \left(\gamma mc, \gamma m\mathbf{u}\right)= \left(\gamma mc, \mathbf{p}\right)</math>
หรือ
<math>\left(P^\mu\right) := m\left(U^\mu\right) = \left(\gamma mc, \gamma mu^i\right) = \left(\gamma mc, p^i\right)</math>
เมื่อ <math>\left.m\right.</math> คือมวลของอนุภาค และ <math>\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{u}</math> คือโมเมนตัมของอนุภาค 
เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force) ถูกกำหนดโดย
<math>\mathsf{F} := \frac{\mathrm{d}\mathsf{P}}{\mathrm{d}\tau} = m\mathsf{A} = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma\mathbf{f} \right)</math>
หรือ
<math> \left(F^\mu\right) := \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(P^\mu\right) = m\left(A^\mu\right) = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma \mathbf{f} \right) </math>
เมื่อ
<math> \mathbf{f} \equiv m\dot{\gamma}\mathbf{u} + m\gamma\mathbf{\dot{u}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma m\mathbf{u}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</math>
เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค
Deriving "E" = "mc"2.
เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ ("K") ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้
<math> \frac{dK}{dt}= \mathbf{f} \cdot \mathbf{u} </math>
ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า.
ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น 
เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) กำหนดโดย
<math> \mathsf{J} := \left(J^\mu\right) = \left(\rho c, \mathbf{j} \right) </math> 
ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density) <math>\mathbf{j}</math> และ ความหนาแน่นประจุ (charge density) <math>\left.\rho\right.</math> 
เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential) กำหนดโดย
<math> \mathsf{A} := \left(A^\mu\right) =\left(\frac{\varphi}{c}, \mathbf{A} \right)</math>
ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) <math>\mathbf{A}</math> และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential) <math>\varphi</math> 
คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) ดังนี้
<math>\mathsf{N} := \left(N^\mu\right) =\left(\nu, \nu \hat{\mathbf{n}}\right)</math>
เมื่อ <math>\left.\nu\right.</math> เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ <math>\hat{\mathbf{n}}</math> เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น สังเกตว่า
<math>\mathsf{N}\cdot\mathsf{N} := N^\mu N_\mu = \nu^2\left(n^2-1\right) = 0 </math>
ดังนั้นเวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) จะมีนอร์มเป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า null vector