บ่อศักย์แบบลึกจำกัด

บ่อศักย์แบบลึกจำกัด หรือ บ่อศักย์แบบความกว้างจำกัด เป็นแนวคิดจากกลศาสตร์ควอนตัม โดยเป็นส่วนขยายของบ่อศักย์แบบอนันต์ซึ่งเป็นอนุภาคที่ถูกกักขังอยู่ในกล่องแต่ในที่นี้เป็นแบบที่มีความลึกจำกัด และแตกต่างจากแบบลึกอนันต์ตรงที่มีโอกาสที่จะพบอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่อง การตีความแบบกลควอนตัมจะแตกต่างจากการตีความแบบคลาสสิก คือ ถ้าพลังงานทั้งหมดของอนุภาคน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง อนุภาคจะไม่สามารถพบอยู่ภายนอกกล่องได้ แต่ในการตีความแบบควอนตัม จะมีความน่าจะเป็นของอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่องที่ไม่เป็นศูนย์ ถึงแม้พลังงานของอนุภาคจะน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง 
อนุภาคในกล่อง 1 มิติ.
สำหรับกรณี 1 มิติในแนวแกน x สามารถเขียนสมการชเรอชิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ได้ดังนี้
<math>-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi \quad (1)</math>
 เมื่อ <math>\hbar = \frac{h}{2 \pi}</math>,
 <math>h \,</math> คือ ค่าคงที่ของพลังค์
 <math>m \,</math> คือ มวขของอนุภาค
 <math>\psi\,</math> คือ ฟังก์ชันคลื่นจินตภาพ (ที่ต้องการหา)
 <math>V\left(x\right)\,</math> คือ ฟังก์ชันของพลังงานศักย์ในแต่ละค่า x
 <math>E\,</math> คือ พลังงาน ซึ่งเป็นจำนวนจริง 
เมื่อพิจารณาอนุภาคมวล m เคลื่อนที่ในบ่อศักย์แบบลึกจำกัด จะเขียนเป็นฟังก์ชันของพลังงานศักย์ได้ดังนี้
<math>V(x) = \begin{cases} V_0, & \mbox{if }x<-L/2 \\ 0, & \mbox{if }-L/2<x<L/2 \\ V_0 & \mbox{if }x>L/2 \end{cases}</math>
ตามทฤษฎีของกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคจะถูกกักและสะท้อนกลับไปกลับมาระหว่างขอบเขต -L/2<x<L/2 เท่านั้น โดยที่อนุภาคจะมีค่าพลังงานเป็นค่าใด ๆ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พลังงานของอนุภาคจะมีค่าได้เพียงบางค่าเท่านั้น และค่านั้นจะเป็นค่าเจาะลง (Eigen value) ของฟังก์ชันคลื่นที่เป็น Eigen function ที่สอดคล้องกันในแต่ละขอบเขตที่พิจารณา โดยฟังก์ชันคลื่นแต่ละขอบเขตจะแตกต่างกันตามขอบเขตของ x ขึ้นอยู่กับว่าอยู่ภายในหรือภายนอกของกล่อง แบ่งขอบเขตของกล่องเป็น 3 ส่วนและเขียนฟังก์ชันคลื่นได้ดังนี้
<math>\psi = \begin{cases} \psi_1, & \mbox{if }x<-L/2\mbox{ (the region outside the box)}; R_1 \\ \psi_2, & \mbox{if }-L/2<x<L/2\mbox{ (the region inside the box)} ; R_2 \\ \psi_3 & \mbox{if }x>L/2\mbox{ (the region outside the box)} ; R_3 \end{cases}</math>
ขอบเขตภายในกล่อง.
กรณีขอบเขตอยู่ภายในกล่อง (บริเวณที่ 2) จะได้ V(x) = 0 และเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น
<math>-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = E \psi_2 . \quad (2)</math>
เมื่อ <math>k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},</math>
ได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เป็น <math>\frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = -k^2 \psi_2 .</math>
ขอบเขตภายนอกกล่อง.
เมื่อพิจารณาบริเวณนอกกล่อง ซึ่งมี 2 บริเวณ คือ บริเวณที่ 1 และ 3 โดย V(x)= V0 เขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น
<math>-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = (E - V_o) \psi_1 \quad (3) </math>
การพิจารณาแบ่งเป็น 2 กรณี คือ 
ในกรณีนี้จะพิจารณา กรณีที่ 2 Bound state (E< V0) ดังนั้นเขียนสมการใหม่ได้เป็น
<math>\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = \alpha^2 \psi_1 \quad (4) </math>
เมื่อ <math>\alpha = \frac{\sqrt{2m(V_o - E)}}{\hbar}</math>
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (4) คือ  <math>\psi_1 = Fe^{- \alpha x}+ Ge^{ \alpha x} \,\!</math>
และคล้ายกันในบริเวณที่ 3 จะได้ <math>\psi_3 = He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} \,\!</math>
การหาฟังก์ชันคลื่นสำหรับกรณี bound state.
โดยในส่วนก่อนหน้า เราหาฟังก์ชันคลื่นแต่ละบริเวณได้เป็น
 <math>\psi_1 = Fe^{- \alpha x}+ Ge^{ \alpha x} \,\!</math>
 <math>\psi_2 = A \sin(k x) + B \cos(k x)\quad</math>
 <math>\psi_3 = He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} \,\!</math>
เมื่อพิจารณาที่ <math>x\rightarrow -\infty</math> จะเห็นว่าเทอม <math> Fe^{- \alpha x}</math> มีค่าไม่จำกัด
และเช่นเดียวกัน เมื่อพิจารณาที่ <math>x\rightarrow +\infty</math>  เทอม <math> Ie^{ \alpha x} \,\!</math> จะมีจำกัด 
ซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะต้องลู่เข้าสู่ศูนย์ นั่นคือต้องให้ F = I = 0 เขียนฟังก์ชันคลื่นใหม่ได้ว่า
ในการคำนวณหา eigenvalue นั้น คำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์หรือฟังก์ชันคลื่นทั้ง 3 บริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับ 1 ที่บริเวณรอยต่อที่ x = -L/2 และ L/2 
ตามสมการ
คำตอบของสมการเหล่านี้จะเป็นจริงได้ 2 กรณี
ในกรณี เป็นแบบสมมาตร (ฟังก์ชันคี่) (A = 0, B <math>\neq</math> 0) บริเวณรอยต่อที่ x = L/2 จะได้
 <math> He^{- \alpha L/2} = B \cos(k L/2) \quad (5)</math>
 <math> - \alpha He^{- \alpha L/2} = - k B \sin(k L/2) \quad (6)</math>
แก้สมการ โดย (6)/(5) จะได้
<math> \alpha=k \tan(k L/2) \quad (7)</math>
และเช่นเดียวกันใน กรณีไม่สมมาตร (ฟังก์ชันคู่) จะได้
<math> \alpha=-k \cot(k L/2) \quad (8)</math>
จากสมการ (7) และ (8) Eigenvalue ไม่สามารถหาค่าได้โดยตรง เนื่องจากทำได้ยาก ต้องหาค่าโดยใช้กราฟหรือตัวเลข