แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์

แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์ (เรียกอีกอย่างว่า แบบจำลองซอมเมอร์เฟลด์ หรือ ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์) เป็นการขยายแบบจำลองของ นิลส์ โปร์ เพื่อให้วงโคจรของอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียสของอะตอมเป็นวงรีได้ ทฤษฎีโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวเดนมาร์ก นิลส์ โปร์ และนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ให้เหตุผลว่าหากวงโคจรของอิเล็กตรอนสามารถเป็น วงรี แทนจะเป็นวงกลม พลังงานของอิเล็กตรอนก็จะเท่ากัน ยกเว้นในกรณีที่มีสนามแม่เหล็ก ซึ่งนำไปสู่สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าการเสื่อมของควอนตัม
แบบจำลองโปร์-ซอมเมอร์เฟลด์เพิ่มเงื่อนไขของโมเมนตัมเชิงมุมควอนตาในแบบจำลองของโปร์ โดยเพิ่มการควอนตาเชิงรัศมี (เงื่อนไขที่เสนอโดย วิลเลียม วิลสัน เป็นที่รู้จักในชื่อเงื่อนไขการควอนตาแบบวิลสัน-ซอมเมอร์เฟลด์) :
 <math>
\int_0^T p_r \, dq_r = n h,
</math>
โดยที่ "pr" คือโมเมนตัมเชิงรัศมีที่สอดคล้องกับพิกัด "q" ซึ่งเป็นตำแหน่งตามแนวรัศมี และ "T" คือช่วงเวลาเต็มของหนึ่งวงโคจร การอินทิเกรตนี้คือ การกระทำ ของ พิกัดการกระทำ-มุม เงื่อนไขนี้ซึ่งแนะนำโดยหลักการโต้ตอบเป็นเพียงเงื่อนไขเดียวที่เป็นไปได้ เนื่องจากเลขควอนตัมเป็นค่าคงที่อะเดียแบติก
ประวัติศาสตร์.
ในปี ค.ศ. 1913 นิลส์ โบร์ ได้แสดงพื้นฐานของหลักการที่ภายหลังถูกนิยามเป็น หลักการโต้ตอบ และใช้มันในการสร้าง แบบจำลอง ของ อะตอมไฮโดรเจน ซึ่งอธิบายถึง สเปกตรัมเส้น ในอีกไม่กี่ปีถัดมา อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ได้ขยายกฎควอนตัมไปยังระบบที่สามารถแยกแยะได้ โดยใช้หลักการของ การไม่เปลี่ยนแปลงของปริมาณอดิอาบาติก ที่แนะนำโดย เฮนดริก ลอเรนซ์ และ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ซอมเมอร์เฟลด์ได้มีบทบาทสำคัญ โดยการทำให้ "z"-component ของ โมเมนตัมเชิงมุม ถูกควอนตัม ซึ่งในยุคควอนตัมเก่าถูกเรียกว่า "ควอนตัมเชิงทิศทาง" (เยอรมัน: "Richtungsquantelung") สิ่งนี้ทำให้วงโคจรของอิเล็กตรอนเป็นรูปวงรีแทนที่จะเป็นวงกลม และแนะนำแนวคิดของการสลายตัวทางควอนตัม ทฤษฎีนี้จะอธิบาย ปรากฏการณ์เซมัน ได้อย่างถูกต้อง ยกเว้นในเรื่องของ สปิน ซอมเมอร์เฟลด์ได้สร้างแบบจำลองที่ใกล้เคียงกับภาพควอนตัมกลศาสตร์สมัยใหม่มากกว่าแบบจำลองของบอร์
ในทศวรรษ ค.ศ. 1950 โจเซฟ เคลเลอร์ ได้ปรับปรุงการควอนตัมแบบ โบร์-ซอมเมอร์เฟลด์ โดยใช้การตีความของไอน์สไตน์ในปี ค.ศ. 1917 ซึ่งปัจจุบันเป็นที่รู้จักในชื่อ วิธีการไอน์สไตน์–บริลลูอิน–เคลเลอร์ ในปี ค.ศ. 1971 มาร์ติน กัตซ์วิลเลอร์ ได้พิจารณาว่าวิธีการนี้ใช้ได้เฉพาะกับระบบที่สามารถแยกแยะได้เท่านั้น และได้พัฒนาวิธีการควอนตัมแบบกึ่งคลาสสิกสำหรับ ความโกลาหลของควอนตัม จาก การกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทาง
การทำนาย.
แบบจำลองของซอมเมอร์เฟลด์ได้ทำนายว่าค่าของโมเมนต์แม่เหล็กของอะตอมที่วัดตามแกนจะมีค่าเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งดูเหมือนจะขัดแย้งกับสมมาตรเชิงการหมุน แต่ได้รับการยืนยันจากการทดลอง การทดลองสเติร์น–เกอร์ลาช นี่เป็นก้าวสำคัญในการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม นอกจากนี้ยังอธิบายถึงความเป็นไปได้ที่ ระดับพลังงาน ของอะตอมจะแตกออกเนื่องจาก สนามแม่เหล็ก (เรียกว่า ผลซีแมน) วอลเธอร์ คอสเซล ได้ร่วมงานกับโปร์และซอมเมอร์เฟลด์ในแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ของอะตอม โดยแนะนำอิเล็กตรอนสองตัวในชั้นแรกและแปดตัวในชั้นที่สอง
ปัญหา.
แบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์มีความไม่สอดคล้องกันโดยพื้นฐานและนำไปสู่พาราดอกซ์หลายประการ เลขควอนตัมแม่เหล็ก วัดการเอียงของระนาบออร์บิทัลสัมพันธ์กับระนาบ "xy" ซึ่งสามารถรับค่าได้เพียงไม่กี่ค่าที่แยกจากกัน ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ชัดเจนว่าอะตอมสามารถหมุนไปในทิศทางต่าง ๆ ตามพิกัดได้โดยไม่มีข้อจำกัด ซอมเมอร์เฟลด์ควอนตัมสามารถทำได้ในพิกัดแคนอนิคัลที่แตกต่างกันและบางครั้งให้คำตอบที่แตกต่างกัน การรวมการแก้ไขจากการแผ่รังสีเป็นเรื่องยาก เนื่องจากต้องการการหาพิกัดแอ็คชัน-มุมสำหรับระบบแผ่รังสี/อะตอมที่รวมกัน ซึ่งเป็นเรื่องยากเมื่อการแผ่รังสีสามารถหลุดออกไปได้ ทฤษฎีทั้งหมดไม่ขยายไปสู่การเคลื่อนที่ที่ไม่สามารถรวมได้ ซึ่งหมายความว่าหลายระบบไม่สามารถได้รับการพิจารณาแม้แต่ในหลักการ ในที่สุด แบบจำลองนี้ก็ถูกแทนที่ด้วยการปฏิบัติที่เป็นกลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ของอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งครั้งแรกถูกเสนอโดย ว็อล์ฟกัง เพาลี ในปี ค.ศ. 1925 โดยใช้ กลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์ก ภาพปัจจุบันของอะตอมไฮโดรเจนอิงจาก วงโคจรอะตอม ของ สมการชเรอดิงเงอร์ ซึ่ง แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ พัฒนาขึ้นในปี 1926
อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์ไม่มีความสำเร็จ การคำนวณที่อิงจากแบบจำลองโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์สามารถอธิบายปรากฏการณ์สเปกตรัมอะตอมที่ซับซ้อนได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น ถึงการเบี่ยงเบนลำดับแรก ทฤษฎีการรบกวน แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมทำการคาดการณ์ที่เหมือนกันสำหรับการแยกบรรทัดสเปกตรัมใน เอฟเฟกต์สตาร์ค อย่างไรก็ตาม ในการเบี่ยงเบนลำดับที่สูงขึ้น แบบจำลองโปร์และกลศาสตร์ควอนตัมมีความแตกต่างกัน และการวัดผลสตาร์กภายใต้ความแรงของสนามสูงช่วยยืนยันความถูกต้องของกลศาสตร์ควอนตัมเหนือแบบจำลองโปร์ ทฤษฎีที่ครอบงำเบื้องหลังความแตกต่างนี้อยู่ที่รูปทรงของวงโคจรของอิเล็กตรอน ซึ่งแตกต่างกันไปตามสถานะพลังงานของอิเล็กตรอน
เงื่อนไขการควอนตัมของโปร์–ซอมเมอร์เฟลด์นำไปสู่คำถามในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เงื่อนไขการควอนตัมเชิงเซมิคลาสสิคที่สอดคล้องกันต้องการโครงสร้างประเภทหนึ่งบนพื้นที่เฟส ซึ่งกำหนดข้อจำกัดทางทอพอโลยีเกี่ยวกับประเภทของมานิโฟลด์ซิมเพลติกที่สามารถควอนตัมได้ โดยเฉพาะ รูปแบบซิมเพลติกควรเป็น รูปทรงโค้ง ของ การเชื่อมต่อ ของ ชาร์ลส์ เฮอร์ไมต์ มัดเส้นตรง, ซึ่งเรียกว่า การหาปริมาตรล่วงหน้า
การโคจรสัมพัทธภาพ.
อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ได้พัฒนาวิธีการแก้ปัญหาสัมพัทธภาพของระดับพลังงานอะตอม การเริ่มต้นการพัฒนานี้ ด้วยสมการสัมพัทธภาพสำหรับพลังงานใน ศักย์ไฟฟ้า
<math>W={m_\mathrm{0} c^2} \left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) - k \frac{Z e^2}{r}</math>
หลังจากการแทนที่ <math>u = \frac{1}{r}</math> เราจะได้
<math>\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{W}{m_\mathrm{0} c^2} + k \frac{Z e^2}{m_\mathrm{0} c^2} u</math>
สำหรับโมเมนตัม <math>p_\mathrm{r} = m \dot{r}</math>, <math>p_\mathrm{\varphi} = m r^2 \dot{\varphi}</math> และอัตราส่วนของ<math>\frac{p_\mathrm{r}}{p_\mathrm{\varphi}} = - \frac{du}{d \varphi}</math> สมการการเคลื่อนที่คือ (ดู สมการบิเนต์)
<math>\frac{d^2 u}{d \varphi ^2} = - \left(1 - k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 p_\mathrm{\varphi}^2} \right) u + \frac{m_\mathrm{0} kZe^2}{p_\mathrm{\varphi}^2} \left(1+\frac{W}{m_\mathrm{0} c^2} \right) = - \omega_\mathrm{0}^2 u + K </math>
โดยมีคำตอบเป็น
<math> u = \frac{1}{r} = K + A \cos \omega_\mathrm{0} \varphi </math>
การเคลื่อนที่มุมของ จุดใกล้และไกลที่สุด ต่อการหมุนรอบหนึ่งรอบคือ
<math> \varphi_\mathrm{s} = 2 \pi \left(\frac{1}{\omega_\mathrm{0}} - 1\right) \approx 4 \pi^3 k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 n_\mathrm{\varphi}^2 h^2} </math>
โดยใช้เงื่อนไขควอนตัม
<math> \oint p_\mathrm{\varphi} \, d \varphi = 2 \pi p_\mathrm{\varphi} = n_\mathrm{\varphi} h</math>
และ
<math> \oint p_\mathrm{r} \, d r = p_\mathrm{\varphi} \oint \left(\frac{1}{r} \frac{dr}{d \varphi} \right)^2 \, d \varphi = n_\mathrm{r} h</math>
เราจะได้รับพลังงาน
<math> \frac{W}{m_\mathrm{0} c^2} = \left(1 + \frac{\alpha ^2 Z^2}{\left(n_\mathrm{r} + \sqrt{n_\mathrm{\varphi} ^2 - \alpha ^2 Z^2} \right)^2} \right) ^{-1/2} - 1</math>
โดยที่ <math>\alpha</math> คือ ค่าคงที่โครงสร้างละเอียด คำตอบนี้ (โดยใช้ การแทนที่สำหรับตัวเลขควอนตัม) เป็นไปได้เทียบเท่ากับคำตอบของ สมการของดิแรก อย่างไรก็ตาม คำตอบทั้งสองนี้ล้มเหลวในการคาดการณ์ การเลื่อนแลมบ์