กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป

ใน แคลคูลัส กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป ตั้งชื่อตาม ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ วางนัยทั่วไปให้กับกฎผลคูณของอนุพันธ์ของผลคูณฟังก์ชันสองฟังก์ชัน (เรียกอีกอย่างได้ว่า "กฎของไลบ์นิทซ์") ระบุไว้ว่าถ้า <math>f</math> และ <math>g</math> เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง แล้วผลคูณ <math>fg</math> สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง และอนุพันธ์อันดับที่ n จะได้ว่า <math display="block">(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)} g^{(k)}</math> เมื่อ <math>{n \choose k}={n!\over k! (n-k)!}</math> เป็นสัมประสิทธิ์ทวินามและ <math>f^{(j)}</math> หมายถึงอนุพันธ์อันดับที่ "j" ของ "f" (และโดยเฉพาะ <math>f^{(0)}= f</math>)
กฎดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้กฎผลคูณและการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
อนุพันธ์ลำดับที่สอง.
ตัวอย่างเช่น เมื่อ "n" = 2 กฎจะให้นิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน<math display="block">(fg)"(x)=\sum\limits_{k=0}^{2}{\binom{2}{k} f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f"(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g"(x).</math>
มากกว่าสองฟังก์ชัน.
 \prod_{1\le t\le m}f_{t}^{(k_{t})}\,</math> โดยที่ผลรวมขยายไปทั่ว "m"-สิ่งอันดับ ("k"1...,"k""m") ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบด้วย <math display="inline">\sum_{t=1}^m k_t=n,</math> และ <math display="block"> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}</math> เป็นสัมประสิทธิ์อเนกนาม คล้ายกับสูตรอเนกนามในพีชคณิต
บทพิสูจน์.
บทพิสูจน์กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป#เปลี่ยนทาง โดยการใช้อุปนัย ให้ <math>f</math> และ <math>g</math> เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ <math>n</math> ครั้ง กรณีฐานเมื่อ <math>n=1</math> อ้างว่า<math display="block"> (fg)' = f'g + fg'</math> ซึ่งเป็นกฎผลคูณและทราบว่าเป็นจริง ต่อไปให้ถือว่าข้อความนั้นถือเป็นจริงเมื่อ <math>n \geq 1
</math> นั่นก็คือว่า <math display="block"> (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} f^{(n-k)}g^{(k)} </math>
 (fg)^{(n+1)} &= \left[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)} \right]' \\
 &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k+1)} \\
 &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} f^{(n+1-k)} g^{(k)} \\
 &= \binom{n}{0} f^{(n+1)} g^{(0)} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \binom{n}{n} f^{(0)} g^{(n+1)} \\
 &= \binom{n+1}{0} f^{(n+1)} g^{(0)} + \left(\sum_{k=1}^n \left[\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right]f^{(n+1-k)} g^{(k)} \right) + \binom{n+1}{n+1} f^{(0)} g^{(n+1)} \\
 &= \binom{n+1}{0} f^{(n+1)} g^{(0)} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \binom{n+1}{n+1}f^{(0)} g^{(n+1)} \\
 &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} 
 \end{align}</math> และการอ้างดังกล่าวก็เป็นจริงสำหรับ <math>n + 1</math>
ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม.
</math> ซึ่งทำให้
 <math>(a + b)^n e^{(a+b)x} = e^{(a+b)x}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k</math>
แล้วหารทั้งสองข้างด้วย <math>e^{(a+b)x}</math> #เปลี่ยนทาง 
แคลคูลัสหลายตัวแปร.
โดยใช้สัญกรณ์อเนกดัชนีสำหรับอนุพันธ์ย่อย ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว กฎของไลบ์นิทซ์ระบุไว้โดยทั่วไปว่า <math display="block">\partial^\alpha (fg) = \sum_{ \beta\,:\,\beta \le \alpha } {\alpha \choose \beta} (\partial^{\beta} f) (\partial^{\alpha - \beta} g)</math>
สูตรนี้สามารถนำมาใช้เพื่อหาสูตรที่คำนวณสัญลักษณ์ขององค์ประกอบของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้ ในความเป็นจริงให้ "P" และ "Q" เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงพอหลายครั้ง) และ <math>R = P \circ Q</math> เนื่องจาก "R" เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ สัญลักษณ์ของ "R" จึงกำหนดโดย: <math display="block">R(x, \xi) = e^{-{\langle x, \xi \rangle}} R (e^{\langle x, \xi \rangle})</math>
การคำนวณโดยตรงให้<math display="block">R(x, \xi) = \sum_\alpha {1 \over \alpha!} \left({\partial \over \partial \xi}\right)^\alpha P(x, \xi) \left({\partial \over \partial x}\right)^\alpha Q(x, \xi)</math>
โดยทั่วไปสูตรนี้เรียกว่าสูตรไลบ์นิทซ์ ใช้เพื่อกำหนดองค์ประกอบในพื้นที่ของสัญลักษณ์ ทำให้เกิดโครงสร้างวงแหวน