ปัญหาการยุติการทำงาน

ในทฤษฎีการคำนวณได้ ปัญหาการยุติการทำงาน  คือปัญหาการตัดสินใจที่ถามว่า
"กำหนดขั้นตอนวิธีและข้อมูลป้อนเข้าให้ จงหาว่าขั้นตอนวิธีเมื่อทำงานกับข้อมูลป้อนเข้าดังกล่าวแล้ว จะยุติการทำงาน (ทำงานเสร็จสิ้น) หรือจะทำงานไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด"
แอลัน ทัวริง (Alan Turing) พิสูจน์ในปี ค.ศ. 1936 ว่า ไม่มีขั้นตอนวิธีที่แก้ปัญหาการยุติการทำงานสำหรับข้อมูลป้อนเข้าใด ๆ ได้ทั้งหมดบนเครื่องจักรทัวริง จึงกล่าวว่าปัญหาการยุติการทำงานนี้ไม่สามารถตัดสินได้
ความสำคัญและผลสืบเนื่อง.
ปัญหานี้มีความสำคัญเพราะว่าเป็นปัญหาแรกที่ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินได้ หลังจากการค้นพบของปัญหานี้ก็มีการค้นพบปัญหาอื่น ๆ ซึ่งไม่สามารถตัดสินได้เช่นเดียวกัน โดยวิธีพิสูจน์ทั่วไปว่าปัญหาหนึ่ง ๆ ไม่สามารถตัดสินได้ มักจะใช้"การลดรูป" ซึ่งเป็นการแสดงว่าถ้ามีขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาต่าง ๆ เหล่านี้ เราจะสามารถนำขั้นตอนวิธีนั้นมาใช้เพื่อตัดสินปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินได้ โดยการแปลงตัวปัญหา (instance) ของปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินได้นั้นให้อยู่ในรูปของปัญหาใหม่นี้ แต่เนื่องจากเราทราบว่า"ไม่มี"ขั้นตอนวิธีใดจะตัดสินปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินได้ เราจึงสรุปได้ว่าไม่มีวิธีใดที่จะตัดสินปัญหาอันใหม่ได้ด้วย
การที่เราไม่สามารถตัดสินปัญหาการยุติการทำงานได้ มีผลสืบเนื่องทำให้เราไม่มีทางมีวิธีทั่วไปในการตัดสินได้ว่าถ้อยแถลง (statement) เกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติในเป็นจริงหรือไม่ ทั้งนี้เนื่องจากประพจน์ที่ระบุว่าขั้นตอนวิธีหนึ่ง ๆ จะยุติการทำงานเมื่อรับข้อมูลป้อนเข้าหนึ่ง ๆ นั้นสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของถ้อยแถลงเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติที่เทียบเท่ากันได้ ดังนั้น ขั้นตอนวิธีที่ตัดสินความจริงของถ้อยแถลงเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ จะสามารถนำมาใช้เพื่อตัดสินปัญหาการยุติการทำงานได้ ข้อสรุปก็คือ ขั้นตอนวิธีดังกล่าวจึงไม่สามารถมีอยู่จริง เพราะว่าเราทราบว่าไม่มีขั้นตอนวิธีใดที่ตัดสินปัญหาการยุติการทำงานได้ สังเกตว่าการแสดงการไม่สามารถตัดสินได้ดังกล่าวใช้วิธีการลดทอนปัญหาสู่ปัญหาการยุติการทำงาน
อย่างไรก็ตาม การแสดงว่าปัญหาบางปัญหาไม่สามารถตัดสินได้นั้น ยังสามารถแสดงได้ด้วยวิธีอื่น ๆ โดยไม่จำเป็นต้องผ่านการลดทอนสู่ปัญหาการยุติการทำงานเสมอไป เกเกอรี่ ไชตินได้แสดงว่ามีปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินได้ในทฤษฎีข้อมูลเชิงขั้นตอนวิธีที่ไม่ต้องใช้ปัญหาการยุติการทำงาน นอกจากนี้เขายังได้ให้นิยามที่น่าประหลาดเกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการยุติการทำงานที่แสดงถึงความน่าจะเป็นที่โปรแกรมที่สร้างขึ้นแบบสุ่มจะทำงานสิ้นสุด
แม้ว่าบทพิสูจน์ของทัวริงจะแสดงว่าไม่มีวิธีใดที่สามารถตัดสินได้ว่าขั้นตอนวิธีที่ให้มานั้น ทำงานสิ้นสุดได้ สำหรับบางขั้นตอนวิธีแล้ว เราก็มีวิธีในการแสดงว่าขั้นตอนวิธีนั้นทำงานสิ้นสุด หรือแม้กระทั่งแสดงขอบเขตของเวลาที่ขั้นตอนวิธีดังกล่าวจะต้องใช้ในการทำงาน นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มักสร้างบทพิสูจน์ดังกล่าว เพื่อแสดงว่าขั้นตอนวิธีทำงานถูกต้อง ซึ่งบทพิสูจน์ดังกล่าวมักเป็นส่วนหนึ่งของบทพิสูจน์ความถูกต้อง อย่างไรก็ตาม บทพิสูจน์ดังกล่าวแต่ละอันนั้น จะใช้รูปแบบในการให้เหตุผลที่แตกต่างกัน นั่นคือ: ไม่มี "วิธีอัตโนมัติเชิงกล"ที่สามารถตัดสินได้ว่าขั้นตอนวิธีใด ๆ จะทำงานสิ้นสุดได้ สำหรับโปรแกรมทั่วไปแล้ว บ่อยครั้งความรู้เฉพาะทางบางอย่างสามารถนำมาใช้เพื่อสร้างข้อพิสูจน์ของการยุติการทำงานได้ การศึกษาเกี่ยวกับเรื่องนี้เรียกว่าการวิเคราะห์การยุติการทำงาน
ข้อควรระวัง.
ความยากในปัญหาการยุติการทำงานคือการที่ต้องตอบคำถามสำหรับทุก ๆ โปรแกรมและทุก ๆ ข้อมูลนำเข้าว่าจะเกิดการยุติการทำงานหรือไม่ ดังนั้นขั้นตอนวิธีที่ตอบเพียงว่าจะ "ยุติการทำงาน" (หรือ "ไม่ยุติการทำงาน") เพียงอย่างเดียวจึงไม่สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ พิจารณาโปรแกรมที่จำลองการทำงานของโปรแกรมอื่น หากโปรแกรมที่เราทดสอบนั้นยุติการทำงาน โปรแกรมจำลองก็จะให้ผลลัพธ์ถูกต้อง แต่หากโปรแกรมทดสอบไม่ยุติการทำงาน โปรแกรมจำลองก็ย่อมไม่ยุติการทำงานด้วยเช่นกัน ซึ่งส่งผลให้ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ตามที่ได้กล่าวไว้
ปัญหาการยุติการทำงานอาจเป็นปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้ (นั่นคือสามารถแก้ได้) บนโมเดลในการคำนวณอื่น ๆ เช่น บนเครื่องจักรที่มีหน่วยความจำจำกัด (linear bounded automata; LBAs) เนื่องจากจำนวนสถานะในเครื่องจักรเหล่านี้มีจำกัด เมื่อทำงานไปเรื่อย ๆ โดยหลักรังนกพิราบ จะมีจุดหนึ่งที่สถานะในหน่วยความจำเหมือนกัน นั่นคือถ้าหากเราปล่อยให้โปรแกรมทำงานต่อไปอีก สถานะก็จะมาซ้ำที่จุดเดิมอีกไปเรื่อย ๆ ดังนั้นเมื่อมาถึงจุด ๆ นั้น เราก็สามารถบอกได้ทันทีว่าโปรแกรมนี้ไม่ยุติการทำงาน
ถึงแม้คอมพิวเตอร์ในยุคปัจจุบันจะเป็นเครื่องจักรที่มีหน่วยความจำจำกัดประเภทหนึ่ง ทำให้สามารถแก้ปัญหาการยุติการทำงานได้ในทางทฤษฎี จำนวนสถานะที่แตกต่างกันทั้งหมดของคอมพิวเตอร์นั้นมีมากกว่า 21,000,000 สถานะ ซึ่งมากมายมหาศาล เวลาในการแก้ไขปัญหานี้จึงมากมายมหาศาลด้วยเช่นกัน (สามารถเปรียบเทียบว่าเวลาในการแก้ไขปัญหานี้ ทำให้ช่วงเวลาอายุของเอกภพไร้ความหมายได้เลย)
ร่างบทพิสูจน์.
บทพิสูจน์ใช้การพิสูจน์แบบการสร้างข้อขัดแย้ง (หรือที่เรียกในภาษาละตินว่า reductio ad absurdum) โดยสมมติว่า"มี"ขั้นตอนวิธีที่อธิบายได้ด้วยโปรแกรม <code>halt (a, i) </code> ซึ่งตัดสินว่าขั้นตอนวิธีที่ระบุด้วยข้อความ "a" จะยุติการทำงานเมื่อได้รับข้อมูลป้อนเข้าเป็นข้อความ "i" เราจะแสดงว่าข้อสมมติดังกล่าวจะทำให้เกิดข้อขัดแย้ง และนั่นหมายความว่าโปรแกรม <code>halt</code> นั้น"ไม่สามารถมีตัวตน"อยู่ได้
สมมติให้โปรแกรม <code>halt (a, i) </code> คืนค่าจริง ถ้าขั้นตอนวิธีที่ระบุด้วยข้อความ "a" ยุติการทำงานเมื่อรับ "i" เป็นข้อมูลป้อนเข้า และคืนค่าเท็จ ในกรณีอื่น ๆ ด้วยโปรแกรมดังกล่าว เราสามารถสร้างโปรแกรมอีกโปรแกรมหนึ่ง ชื่อว่า <code>trouble (s)</code> ดังต่อไปนี้:
 function trouble ("string" s)
 if halt (s, s) = false
 stop
 else
 loop forever
โปรแกรม <code>trouble</code> รับข้อความ "s" และเรียกโปรแกรม <code>halt</code> โดยใช้ข้อมูลป้อนเข้าทั้งที่เป็นข้อความที่ระบุขั้นตอนวิธี "a" และข้อความที่จะใช้เป็นข้อมูลป้อนเข้า "i" ของขั้นตอนวิธีดังกล่าวเป็น "s" กล่าวอย่างไม่เป็นทางการก็คือ <code>trouble</code> ถาม <code>halt</code> ว่าขั้นตอนวิธี "s" เมื่อรับข้อความที่ระบุตัวขั้นตอนวิธีเองแล้ว จะยุติการทำงานหรือไม่ จากนั้น ถ้า <code>halt (s,s)</code> คืนค่าเท็จ โปรแกรม <code>trouble</code> จะจบการทำงาน แต่ถ้า <code>halt (s,s) </code> คืนค่าจริง โปรแกรม <code>trouble</code> จะวนรอบไม่รู้จบ
เนื่องจากโปรแกรมใด ๆ สามารถเขียนระบุเป็นข้อความได้ ดังนั้นสำหรับโปรแกรม <code>trouble</code> เองก็มีข้อความ "⌜trouble⌝" ที่ระบุโปรแกรม <code>trouble</code> พิจารณาคำถามต่อไปนี้:
 <code>trouble (⌜trouble⌝)</code> จะยุติการทำงานหรือไม่?
มีความเป็นไปได้ทั้งหมดสองกรณี:
เนื่องจากทั้งสองกรณีทำให้เกิดข้อขัดแย้งที่ล้วนเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นสามารถสรุปได้ว่าข้อสมมติเริ่มต้นแรกสุด ("มี"ขั้นตอนวิธีที่อธิบายได้ด้วยโปรแกรม <code>halt (a, i) </code>) นั้นไม่ถูกต้อง กล่าวคือ"ไม่มี"โปรแกรม <code>halt</code> หรือขั้นตอนวิธีใด ๆ ที่สามารถตัดสินปัญหาการยุติการทำงานได้