ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/โครงสร้างละเอียด

โครงสร้างละเอียด (Fine Structure) เป็นโครงสร้างของอะตอมไฮโดรเจนซึ่งมีความละเอียดกว่ารูปแบบเดิมซึ่งคิดเพียงผลของศักย์จากแรงคูลอมบ์ (Coulomb force) โดยผลจากการคิดพลังงานรวมจากการแก้ไขผ่านทางทฤษฎีสัมพัทธภาพ (Relative Correction) และจากสนามแม่เหล็กที่โปรตรอนและอิเล็กตรอนสร้างขึ้นมาจากอันตรกิริยา (Spin–orbit coupling) อันถือว่าเป็นผลจากการรบกวน 
Relativistic Correction.
เนื่องจากว่าอิเล็กตรอนและโปรตรอนมีมวลที่เล็กมากๆและวิ่งโคจรระหว่างกันด้วยความเร็วสูงจนใกล้เคียงกับความเร็วแสง(วิ่งด้วยความเร่ง) หากจะใช้กฏของนิวตันมาอธิบายจะไม่ครอบคลุมในกรณีที่ความเร็วสูงจนใกล้ความเร็วแสง ทำให้เราจะต้องพิจารณาผลของสัมพัทธภาพด้วยค่าที่จะต้องแก้ไขคือ 
โมเมนตัมตามสัมพัทธภาพ <math> p=\gamma mv</math> 
พลังงานรวมตามสัมพัทธภาพ <math>E=\gamma mc^{2}</math>
โดยที่ <math>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>
เมื่อนำสมการโมเมนตัมและพลังงานรวมตามสัมพัทธภาพมายกกำลังสองแล้วนำมาลบกันจะได้ว่า 
<math>{E^2}-{p^2} {c^2}={m^2} {c^4}</math>
จากพลังงานจลน์เชิงสัมพัทธภาพ <math>T={E} -{m} {c^2}</math> หรือ <math>{E}=T+{m} 
<math>{(T+{m}{c^2})^2}-{p^2} {c^2}={m^2} {c^4}</math>
จะได้พลังงานจลน์เชิงสัมพัทธภาพ เป็นดังนี้
<math>T=\sqrt{m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}-mc^{2}=T=mc^{2}\left [ \sqrt{1+\left (\frac{p}{mc}\right)^{2}}-1 \right]</math>
จากการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor expansion) <math>\sqrt{1+x^{2}}=1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{8}+...</math> จะได้
<math>T=mc^{2}[1+\frac{1}{2} (\frac{p}{mc})^{2}-\frac{1}{8} (\frac{p}{mc})^{4}+...-1] </math>
ซึ่งจัดรูปจะได้
<math>T=\frac{p^2}{2 m}-\frac{p^4}{8 m^3 c^2}+...</math>
เนื่องจากพจน์ที่สามเป็นต้นไปมีค่าน้อยมาก เนื่องจาก <math>p«mc</math> จึงสามารถประมาณโดยการตัดพจน์ที่สามเป็นต้นไปทิ้ง จะได้
<math> T\cong\frac{p^2}{2 m}-\frac{p^4}{8 m^3 c^2} </math>
ดังนั้นแฮมิลโทเนียนรวมของระบบที่แก้ไขโดย Relative Correction คือ 
<math>H=T-V=H_{0} + H_{Re}=\frac{p^2}{2 m}+V-\frac{p^4}{8 m^3 c^2} </math>
ซึ่งแฮมิลโทเนียนที่เป็นพจน์ของการรบกวนระบบจาก Relative Correction คือ 
<math> H_{Re}=-\frac{p^4}{8 m^3 c^2} </math> 
ซึ่งเรียกว่า Perturbation Harmionian of Relative Correction
จากนั้นเราจะหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนจาก 
<math> E_r^{(1)} = \left \langle \psi \right | {H_r} \left |\psi \right \rang =-\frac{1}{8 m^3 c^2} \left \langle \psi \right | {p^4} \left |\psi \right \rang </math>
เนื่องจากตัวดำเนินการ <math>p^4</math> ไม่ใช่ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน (Hermitian operators) แต่ตัวดำเนินการ <math>p^2</math> เป็นตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน จึงแยกตัวดำเนินการ <math>p^4</math> ได้ออกมาเป็นดังนี้
<math> E_r^{(1)} =-\frac{1}{8 m^3 c^2} \left \langle \psi \right | {p^2}{p^2} \left |\psi \right \rang = (\left \langle \psi |p^2 |) (p^2|\psi \right \rangle)</math>
จากสมการชโรดิงเจอร์ 
<math> H_0 \left | \psi \right \rang = E_n \left | \psi \right\rang</math> 
โดยที่ <math>H_0 = \frac{p^2}{2m} + V</math> จะได้
<math> \left (\frac{p^2}{2m} + V \right) \left | \psi \right \rang = E_n \left | \psi \right\rang</math> 
ซึ่งย้ายข้างจะได้ 
<math> p^2 \left | \psi \right \rang = 2 m (E_n - V) \left | \psi \right\rang</math>
จะได้ว่า
<math> E_r^{(1)} = -\frac{1}{8 m^3 c^2} (\left \langle \psi |(2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}|\psi \right \rangle)</math> ซึ่งจัดรูปได้เป็น
<math> E_r^{(1)} = -\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle)</math>
ในกรณีของอะตอมไฮโดรเจน <math>V = -{\frac{e^2}}</math> ดังนั้น จะได้ว่า 
<math> \left\langle V \right\rangle = -{\frac{e^2}} \left\langle {\frac{1}{r}}\right\rangle </math> โดยที่จากการคำนวณ <math> \left\langle {\frac{1}{r}} \right\rangle = \frac{1}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}{\frac{e^2}} \frac{1}{n^2 a} +\left({\frac{e^2}}\right)^2 \frac{1}\right)</math>
จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน <math>E_{n} = - \left[ \frac{m}{2\hbar^2} \left({\frac{e^2}}\right)^2 \right] \frac{1}{n^2}</math> และรัศมีของบอห์ร <math>a = \frac{4\pi \varepsilon _{0}\hbar^{2}}{me^2}</math> แทนค่าจัดรูป จะได้ค่าแก้ไขพลังงานจาก Relative Correction คือ
 <math> E_r^{(1)} = - \frac\left[ {\frac} - 3} \right] </math>
Spin-Orbit Coupling.
Spin-Orbit Coupling เป็นผลเกิดขึ้นเนื่องจากอิเล็กตรอนวิ่งโคจรรอบๆโปรตอน หรือโปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนในแต่ละกรอบอ้างอิง ทำให้เกิดอันตรกิริยาขึ้นระหว่างโปรตอนและอิเล็กตรอน อันตรกิริยาดังกล่าวเป็นผลทำให้เกิดสนามแม่เหล็กที่อิเล็กตรอนและโปรตอนสร้างขึ้น โดยถือว่าเป็นผล ของการรบกวนจึงต้องพิจารณาค่าการแก้ไข ในกรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนจะทำให้เกิดสนามแม่เหล็กขึ้นตามกฏของบิโอต์-ชาวาร์ต ดังนี้ 
<math> \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e(-\vec{v})\times\vec{r}}{r^3} </math> 
โดยที่โมเมนตัมเชิงมุมรอบนิวเคลียสในกรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนคือ 
<math> \vec{L}=-m (\vec{v} \times\vec{r}) </math> หรือ <math>\vec{v} \times\vec{r} = -\frac{\vec{L}}{m}</math>
แทนค่าลงในสมการของกฎบิโอต์-ชวาร์ต จะได้ว่า 
<math> \vec{B}= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e}{r^3} \frac{\vec{L}}{m} </math>
จากความสัมพันธ์ของอัตราเร็วคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ <math>c</math> สภาพยอมของสุญญากาศ <math>\varepsilon _{0}</math> และค่าความสามารถซึมซับแม่เหล็กของสุญญากาศ <math>\mu_{0}</math> 
 <math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon _{0}}}</math> หรือ <math>\mu_{0} = \frac{1}{\varepsilon _{0} c^2} </math> จะได้ <math> \vec{B}= \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}} \frac{e}{m c^2 r^3} \vec{L} </math>
โมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก (Magnetic dipole moment) <math>\mu_{s}</math> สามารถหาได้จากสมการ
<math>\vec{\mu_{s}} = \frac{q}{2m} \vec{S} = -\frac{e}{2m} \vec{S}</math> โดยที่ <math>\vec{S}</math> คือโมเมนตัมเชิงมุมสปิน (Spin angular momentum)
แต่เนื่องจากในการทดลองจริงได้ผลไม่ตรงกับทฤษฎี จึงมีการคูณค่าที่ได้ด้วย g-factor ซึ่งในกรณีของอิเล็กตรอน <math>g = 2</math> จะได้ว่า
<math>\vec{\mu_{s}} = -\frac{e}{m} \vec{S}</math>
ซึ่งจะได้พลังงานรวมสนามแม่เหล็กเป็นแฮมิลโทเนียนจากสมการ
<math>H = -\vec{\mu_{s}}\cdot \vec{B} = \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}} \frac{e^2}{m^2 c^2 r^3} \vec{L} \cdot \vec{S}</math>
เนื่องจากการประมาณดังกล่าว กรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย ดังนั้นจะต้องมีการแก้ไขโดยวิธี Thomas Precession โดยการคูณพจน์ทางขวาด้วย <math> \frac{1}{2} </math> จะได้ว่า
<math>H_{so} = \frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}} \frac{e^2}{m^2 c^2 r^3} \vec{L} \cdot \vec{S}</math>
จากนั้นเราจะหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนได้โดยเลือกใช้ฐาน (Basis) คือ <math> \left | n,l,j,m_j \right \rangle </math> เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมรวม <math>\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}</math> มีค่าคงที่ จะได้ว่า
<math>E_{so}^{(1)} = \left \langle n,l,j,m_j \left | H_{so}^{(1)} \right | n,l,j,m_j \right \rangle </math>
<math>E_{so}^{(1)} = \frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}} \frac{e^2}{m^2 c^2} \left \langle n,l,j,m_j \left | \frac{1}{r^3} \vec{L} \cdot \vec{S} \right | n,l,j,m_j \right \rangle </math>
พิจารณาตัวดำเนินการ <math>\vec{L} \cdot \vec{S}</math> จากโมเมนตัมเชิงมุมรวม <math>\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}</math> จะได้
<math>J^2 = L^2 + S^2 + 2\vec{L} \cdot \vec{S}</math>
ดังนั้น จะได้ว่า
<math>\vec{L} \cdot \vec{S} = \frac{1}{2} (J^2 - L^2 - S^2)</math>
เนื่องจากผลของตัวดำเนินการเมื่อไปกระทำ คือ 
<math>J^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle = j(j+1) \hbar^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle</math>
<math>L^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle = l(l+1) \hbar^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle</math>
<math>S^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle = s(s+1) \hbar^2 \left |n,l,j,m_j \right \rangle</math>
จะได้
<math>E_{so}^{(1)} = \frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}} \frac{e^2}{m^2 c^2} \frac{1}{2} \left[ j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) \right ] \hbar^2 \left \langle n,l,j,m_j \left | \frac{1}{r^3} \right | n,l,j,m_j \right \rangle </math>
สำหรับในกรณีของอิเล็กตรอนเลขควอนตัมสปิน <math>s = \frac{1}{2}</math> เสมอ จะได้ว่า
<math>E_{so}^{(1)} = \frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}} \frac{e^2}{m^2 c^2} \frac{1}{2} \left[ j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4} \right ] \hbar^2 \left \langle n,l,j,m_j \left | \frac{1}{r^3} \right | n,l,j,m_j \right \rangle </math>
จากการคำนวณ <math> \left \langle \frac {1}{r^3} \right \rangle=\frac{1}{l(l+\frac{1}{2}) (l+1) n^3 a^3} </math> จะได้
<math>E_{so}^{(1)} = \frac{1}{8\pi \varepsilon _{0}} \frac{e^2}{m^2 c^2} \frac{\hbar^2}{2} \frac{\left[ j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4} \right ]}{l(l+\frac{1}{2}) (l+1) n^3 a^3} </math>
จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน <math>E_{n} = - \left[ \frac{m}{2\hbar^2} \left({\frac{e^2}}\right)^2 \right] \frac{1}{n^2}</math> และรัศมีของบอห์ร <math>a = \frac{4\pi \varepsilon _{0}\hbar^{2}}{me^2}</math> แทนค่าจัดรูป จะได้ค่าแก้ไขพลังงานจาก Spin-Orbit Coupling คือ
<math>E_{so}^{(1)} = \frac{(E_n)^2}{mc^2} \left [ \frac{n \left[ j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4} \right ]}{l(l+\frac{1}{2}) (l+1)} \right ] </math>
โครงสร้างละเอียดจากผลของ Relativistic Correction และ Spin-Orbit Coupling.
เมื่อนำผลของ Relativistic Correction และ Spin-Orbit Coupling ที่ได้มารวมกัน จะได้พลังงานแก้ไขรวม <math>E_{fs}^{(1)} = E_{r}^{(1)} + E_{so}^{(1)}</math>
เนื่องจากเลขควอนตัมสปินของอิเล็กตรอน <math>s = \frac{1}{2}</math> ค่าโมเมนตัมเชิงมุมรวมที่เป็นไปได้จึงเป็น <math>j = l \pm \frac{1}{2}</math> ซึ่งเมื่อนำไปแทนในพลังงานแก้ไขรวม <math>E_{fs}^{(1)}</math> จะได้ว่า
<math>E_{fs}^{(1)} = \frac{(E_n)^2}{2mc^2} \left (3 - \frac{4n}{j + \frac{1}{2}} \right)</math>
จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน <math>E_{n} = - \left[ \frac{m}{2\hbar^2} \left({\frac{e^2}}\right)^2 \right] \frac{1}{n^2}</math> และนิยามของ Fine structure constant <math>\alpha = \frac{1}{4 \pi \varepsilon _0} \frac{e^2}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}</math> จะได้ <math>E_{fs}^{(1)}</math> ในรูปของ <math>\alpha</math> คือ
<math>E_{fs}^{(1)} = \frac{\alpha^2 E_n}{4 n^2} \left (\frac{4n}{j + \frac{1}{2}} - 3 \right)</math>
ดังนั้น จะได้พลังงานรวมของโครงสร้างละเอียด <math>E_{nj} = E_{n} + E_{fs}^{(1)}</math> คือ
<math>E_{nj} = E_{n} + \frac{\alpha^2 E_n}{4 n^2} \left (\frac{4n}{j + \frac{1}{2}} - 3 \right) = - \frac{13.6\;\textrm{eV} }{n^2} \left [ 1 + \frac{\alpha^2}{4n^2} \left (\frac{4n}{j+\frac{1}{2}} - 3 \right) \right]</math>