สมการของแมกซ์เวลล์

สมการของแมกซ์เวลล์  ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่าง ๆ
รายละเอียดโดยย่อ.
รูปทั่วไป.
กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (โดยความเป็นจริงเราไม่มีชื่อให้สำหรับกฎข้อนี้) : บอกได้ว่าในชีวิตประจำวันเราจะไม่พบแม่เหล็กซึ่งมีขั้วแยกจากกันโดยชัดเจน นั่นคือเราจะไม่พบแม่เหล็กที่มีขั้วเหนือเพียงขั้วเดียวหรือแม่เหล็กที่มีขั้วใต้เพียงขั้วเดียว
Faraday's Law : สามารถอธิบายจากสมการได้ว่า "สนามไฟฟ้าเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กในหนึ่งหน่วยเวลาและจะเกิดในทิศหมุนวน (สังเกตจาก operator curl)" ซึ่งจากความรู้เบื้องต้นเราทราบมาว่าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุอิสระ แต่จาก Faraday's Law บอกได้ว่าสนามไฟฟ้าสามารถเกิดจากสนามแม่เหล็กได้เช่นกันแต่ต้องเป็นสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น (ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามไฟฟ้า)
Ampere's Law : สมการรูปนี้เป็นสมการที่ Generalized แล้วโดย Maxwell's อธิบายจากสมการได้คือ "สนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงในหนึ่งหน่วยเวลาโดยจะเกิดในทิศหมุนวนเช่นกัน" นั่นคือสนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าที่คงที่หรือเกิดได้จากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
โดยที่:
และ
 <math>
\mathbf{\nabla} \cdot</math> คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)
 <math>
\mathbf{\nabla} \times</math> คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)
ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships).
ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships" ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่ (macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป
 <math> \mathbf{D} = \mathbf{D} (\mathbf{E},\mathbf{H}) </math>
 <math> \mathbf{B} = \mathbf{B} (\mathbf{E},\mathbf{H}) </math>
 <math> \mathbf{J} = \mathbf{J} (\mathbf{E},\mathbf{H}) </math> (กฎของโอห์ม สำหรับสารตัวนำ)
ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม
เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป
 <math> \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math>
 <math> \mathbf{B} = \mu \mathbf{H}</math>
 <math> \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}</math> 
โดยที่ 
เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร
ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร
ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)
Lagrangian.
Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้
<math>S=-\frac{1}{4}\int d^3x F^{\mu 
u} F_{\mu 
u}</math>
โดยที่
<math>F^{\mu 
u} = \partial^\mu A^
u - \partial^
u A^\mu</math>
Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ Guass's Law และ Faraday's Law
<math>\partial_
u F^{\mu 
u} = 0</math>
สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก Bianchi identity
รูปแบบอื่น.
รูปแบบยอดนิยมอื่นๆ ของสมการแมกซ์เวลล์ที่เป็นทฤษฎีดั้งเดิมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีค่อนข้างน้อย เนื่องจากสมการตั้งต้นยังคงใช้ได้ดีแม้เวลาผ่านมาหลายปี
แม่เหล็กขั้วเดียว.
สมการของแมกซ์เวลล์กล่าวว่ามีประจุไฟฟ้า แต่ไม่มีประจุแม่เหล็ก (เรียกอีกอย่างว่า แม่เหล็กขั้วเดียว) ในจักรวาล ซึ่งอันที่จริง ก็ไม่เคยมีการสังเกตเห็นประจุแม่เหล็กเลย แม้จะมีการค้นหาอย่างกว้างขวาง และอาจจะไม่มีอยู่จริงด้วยซ้ำ แต่หากมีอยู่จริง กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็กและกฎของฟาราเดย์ก็จะต้องได้รับการปรับเปลี่ยน และผลลัพธ์ที่เป็นสมการทั้งสี่ที่ก็จะสมมาตรอย่างสมบูรณ์ภายใต้การแลกเปลี่ยนของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก #เปลี่ยนทาง