การแปลงเชิงปริพันธ์

การแปลงเชิงปริพันธ์  ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง การแปลง "T" ใดๆ ที่อยู่ในรูป
 <math> (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.</math>
โดยส่งผ่านฟังก์ชัน "f" เข้าสู่การแปลง และได้ผลลัพธ์ออกมาในรูป "Tf" การแปลงเชิงปริพันธ์นี้เป็นตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง
การแปลงเชิงปริพันธ์ที่มีประโยชน์นั้นมีอยู่หลายชนิด ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันสองตัวแปร "K" ที่เลือกใช้ ฟังก์ชัน "K" นี้เรียกว่า เคอร์เนลของการแปลง  หรือ นิวเคลียส ของการแปลง
เคอร์เนลบางตัวนั้นมี "เคอร์เนลอินเวอร์ส" <math>K^{-1}(u,t)</math> ซึ่งให้การแปลงกลับ:
 <math> f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}(u,t)\, (Tf)(u)\, du.</math>
"เคอร์เนลที่สมมาตร" (symmetric kernel) คือ เคอร์เนลที่มีหน้าตาเหมือนกัน เมื่อสลับที่ตัวแปรทั้งสอง
สิ่งจูงใจ.
หากไม่กล่าวถึงเรื่องประโยชน์ที่ได้จากการใช้รูปแบบเครื่องหมาย สิ่งจูงใจของการใช้การแปลงเชิงปริพันธ์ที่เห็นได้ชัดเจนก็คือ ในบางปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีรูปแบบดั้งเดิมยากแก่การแก้ปัญหา การใช้การแปลงเชิงปริพันธ์เพื่อทำการแปลง รูปแบบของสมการจากในโดเมนดั้งเดิม ไปยังอีกโดเมนหนึ่งนั้น จะช่วยทำให้การจัดรูปและแก้ปัญหาสมการนั้นง่ายขึ้น หลังจากแก้ปัญหาสมการในโดเมนของการแปลงแล้ว ก็ทำการแปลงกลับให้มาอยู่ในโดเมนดั้งเดิมได้
การแปลงเชิงปริพันธ์ ใช้หลักการของการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม  ตาม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (หรือ หมายความง่าย ๆ ว่า เราสามารถเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนน้อยกว่านั่นเอง
ประวัติ.
การแปลงเชิงปริพันธ์ นั้นมีประวัติความเป็นมาเริ่มต้นจากการเขียนแทนฟังก์ชันในช่วงจำกัด ในรูปอนุกรมฟูรีเย และพัฒนาต่อมาเป็นการแปลงฟูรีเย เพื่อใช้สำหรับฟังก์ชันในช่วงไม่จำกัด
การเขียนฟังก์ชันในรูปอนุกรมฟูรีเย ฟังก์ชันจะถูกเขียนอยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ ที่มีขนาด และ ตำแหน่ง ต่าง ๆ โดยฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ นี้ก็เป็นตัวอย่างของฐานเชิงตั้งฉากปรกติ
ความสำคัญของฐานที่ตั้งฉาก.
ฟังก์ชันฐานที่ตั้งฉาก (orthogonal) นั้นหมายถึง ปริพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันฐานที่ต่างกัน ตลอดทั้งช่วงโดเมนของมันจะต้องมีค่าเป็นศูนย์ การแปลงเชิงปริพันธ์นั้นเพียงเป็นการเปลี่ยนรูปฟังก์ชันจากที่แสดงโดยฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง เป็นอีกฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่งเท่านั้น ค่าที่แต่ละจุดของฟังก์ชันในโดเมนของการแปลงคือ ค่าขนาดของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ ที่เป็นองค์ประกอบของการกระจายฟังก์ชันจากการแปลง กระบวนการกระจายฟังก์ชันจาก"รูปแบบมาตรฐาน" เป็นผลบวกของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ ซึ่งอาจถูกปรับขนาด และ ตำแหน่ง เรียกว่า "การแยกองค์ประกอบสเปกตรัม" (spectral factorization) กระบวนการนี้คล้ายกับหลักการของการแทนจุดใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติ ด้วยค่าตามแกน "x", "y", "z" ซึ่งค่าแต่ละแกนจะตั้งฉากกัน และเป็นอิสระไม่ขึ้นแก่กัน ในการหาขนาดองค์ประกอบในการแยกองค์ประกอบสเปกตรัมของฟังก์ชัน "F" ตามฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ นั้นจะใช้คำว่า "โพรเจกชัน" (projection) ของ "F" ไปบนฟังก์ชันฐานนั้น เช่นเดียวกับในกรณีของเวกเตอร์
เราสามารถมองกราฟของฟังก์ชันบนพิกัดคาร์ทีเซียน เหมือนกับเป็นการกระจายบนฐานเชิงตั้งฉากปรกติเช่นกัน โดยแต่ละจุดบนกราฟจะเป็นองค์ประกอบของแต่ละฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ เช่นจุด (3,5) บนกราฟ หมายถึง องค์ประกอบ ของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ δ(x-3) โดยที่ "δ" คือ ฟังก์ชันครอเนกเคอร์เดลต้า  ที่มีขนาดเท่ากับ 5 หากมองเช่นนี้แล้ว กราฟต่อเนื่องของฟังก์ชันจำนวนจริงบนระนาบ ก็คือผลรวมของฟังก์ชันฐานจำนวนไม่จำกัด เพราะหากฟังก์ชันฐานมีจำนวนจำกัด เส้นกราฟก็ควรจะมีรูปร่างเป็นจุด ๆ แทนที่จะเป็นเส้นต่อเนื่อง
ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์.
<table border="1" cellspacing=0 cellpadding="5">
<tr>
<th>การแปลง</th>
<th>สัญลักษณ์</th>
<th><math>K</math></th>
<th>t1</th>
<th>t2</th>
<th><math>K^{-1}</math></th>
<th>u1</th>
<th>u2</th>
</tr>
<tr>
<td>การแปลงฟูรีเย </td>
<td><math>\mathcal{F}</math></td>
<td><math>\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}</math></td>
<td><math>-\infty\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
<td><math>\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}</math></td>
<td><math>-\infty\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td>การแปลงฮาร์ทลีย์ </td>
<td><math>\mathcal{H}</math></td>
<td><math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math></td>
<td><math>-\infty\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
<td><math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math></td>
<td><math>-\infty\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td>การแปลงเมลลิน </td>
<td><math>\mathcal{M}</math></td>
<td><math>t^{u-1}\,</math></td>
<td><math>0\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
<td><math>\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,</math></td>
<td><math>c\!-\!i\infty</math></td>
<td><math>c\!+\!i\infty</math></td>
</tr>
<tr>
<td>การแปลงลาปลาสสองด้าน </td>
<td><math>\mathcal{B}</math></td>
<td><math>e^{-ut}\,</math></td>
<td><math>-\infty\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
<td><math>\frac{e^{+ut}}{2\pi i}</math></td>
<td><math>c\!-\!i\infty</math></td>
<td><math>c\!+\!i\infty</math></td>
</tr>
<tr>
<td>การแปลงลาปลาส </td>
<td><math>\mathcal{L}</math></td>
<td><math>e^{-ut}\,</math></td>
<td><math>0\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
<td><math>\frac{e^{+ut}}{2\pi i}</math></td>
<td><math>c\!-\!i\infty</math></td>
<td><math>c\!+\!i\infty</math></td>
</tr>
<td>การแปลงแฮงเคิล </td>
<td></td>
<td><math>t\,J_\nu(ut)</math></td>
<td><math>0\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
<td><math>u\,J_\nu(ut)</math></td>
<td><math>0\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td>การแปลงอาเบล </td>
<td></td>
<td><math>\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}</math></td>
<td><math>u\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
<td><math>\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}</math></td>
<td><math>t\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td>การแปลงฮิลเบิร์ต </td>
<td><math>\mathcal{H}il</math></td>
<td><math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math></td>
<td><math>-\infty\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
<td><math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math></td>
<td><math>-\infty\,</math></td>
<td><math>\infty\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td>การแปลงเอกลักษณ์ </td>
<td></td>
<td><math>\delta (u-t)\,</math></td>
<td><math>t_1</td>
<td><math>t_2>u\,</math></td>
<td><math>\delta (t-u)\,</math></td>
<td><math>u_1\!<\!t</math></td>
<td><math>u_2\!>\!t</math></td>
</tr>
</table>
ในการแปลงกลับ ค่า c เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นกับฟังก์ชันของการแปลง เช่น สำหรับการแปลงลาปลาสด้านเดียว และสองด้าน c จะต้องมีค่ามากกว่า ค่าส่วนจำนวนจริงที่มากที่สุดของค่าศูนย์(zero) ฟังก์ชันของการแปลง