หลายสิ่งอันดับ

หลายสิ่งอันดับ หรือ ทูเพิล  เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง โดย <math>n</math>-สิ่งอันดับ เป็นลำดับของสิ่ง <math>n</math> สิ่ง (เมื่อ <math>n</math> เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ คุณสมบัติดังกล่าวนี้เองทำให้หลายสิ่งอันดับแตกต่างจากเซต การเขียนหลายสิ่งอันดับมักเขียนระบุสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค และครอบด้วยเครื่องหมายวงเล็บ เช่น <math> (2, 7, 4, 1, 7) </math> เป็นห้าสิ่งลำดับ ซึ่งแตกต่างจากห้าสิ่งอันดับ <math> (7, 7, 1, 2, 4) </math> หากหลายสิ่งอันดับนั้นมีสองสิ่ง จะมีชื่อเรียกเฉพาะว่าคู่อันดับ
ในคณิตศาสตร์ หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่นเวกเตอร์ ส่วนในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ภาษาศาสตร์ และปรัชญา
คุณสมบัติ.
โดยทั่วไปแล้ว จะกำหนดให้ <math>n</math>-สิ่งอันดับเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสิ่งที่อยู่ในตำแหน่งตรงกันนั้นเท่ากันทั้งหมด นั่นคือ
 <math> (a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1, b_2, \ldots, b_n) </math> ก็ต่อเมื่อ <math>a_1=b_1, \text{ }a_2=b_2, \text{ }\ldots, \text{ }a_n=b_n.</math>
คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจากเซต ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้
นิยาม.
หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้
นิยามด้วยฟังก์ชัน.
ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม <math>n</math>-สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน "F" ที่มีโดเมนเป็นเซต "X" ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต "Y" ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้ <math>n</math>-สิ่งอันดับ คือ
 <math> (a_1, a_2, \dots, a_n) \equiv (X, Y, F) </math>
เมื่อ
 <math>
X & = \{1, 2, \dots, n\} \\
Y & = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \\
F & = \{ (1, a_1), (2, a_2), \ldots, (n, a_n) \} \\
</math>
หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น
 <math> (a_1, a_2, \dots, a_n) := (F (1), F (2), \dots, F (n)) </math>
นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน.
ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม <math>n</math>-สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ <math>n</math>-สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้
เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า
 <math> (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, (a_3, (\ldots, (a_n, \emptyset) \ldots)))) </math>
ตัวอย่างเช่น
 <math>
(1, 2, 3) & = (1, (2, (3, \emptyset))) \\
(1, 2, 3, 4) & = (1, (2, (3, (4, \emptyset)))) \\
</math>
หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้
เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า
 <math> (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = ((\ldots (((\emptyset, a_1), a_2), a_3), \ldots), a_n) </math>
ตัวอย่างเช่น
 <math>
(1, 2, 3) & = (((\emptyset, 1), 2), 3) \\
(1, 2, 3, 4) & = ((((\emptyset, 1), 2), 3), 4) \\
</math>
นิยามด้วยเซตซ้อน.
เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ <math>n</math>-สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้
ตัวอย่างเช่น
 <math>
 & & &=& \emptyset \\
(1) &=&  \rightarrow 1 &=& \{\{  \}, \{ , 1\}\} \\
& & &=& \{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\} \\
(1, 2) &=& (1) \rightarrow 2 &=& \{\{ (1) \}, \{ (1), 2\}\} \\
& & &=& \{\{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}, 2\}\} \\
(1, 2, 3) &=& (1, 2) \rightarrow 3 &=& \{\{ (1, 2) \}, \{ (1, 2), 3\}\} \\
& & &=& \{\{\{\{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}, 2\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}\}, \\
& & & & \{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}, 2\}\}, 3\}\} \\
</math>