สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น  ถูกเสนอเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1936 โดยคอลโมโกรอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย1 ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นถูกนิยามด้วยฟังก์ชัน แต่ไม่ได้หมายความว่าทุก ๆ ฟังก์ชันจะสามารถแปลความหมายเป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นได้ทั้งหมด สัจพจน์ของความน่าจะเป็นจึงถูกนิยามมาเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันใดสามารถที่จะแปลความหมายในเชิงความน่าจะเป็นได้ กล่าวโดยสรุป ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติตรงกับที่สัจพจน์คอลโมโกรอฟกำหนดไว้ทุกข้อ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ สัจพจน์ของความน่าจะเป็นถูกเสนอ โดยบรูโน เด ฟิเนตติ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนและริชาร์ด คอกซ์ นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน เด ฟิเนตติเสนอสัจพจน์โดยมีแนวคิดมาจากเกมส์การพนัน ส่วนคอกซ์เสนอสัจพจน์ของเขาโดยมีแนวคิดมาจากการขยายความสามารถของตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล สิ่งที่น่าทึ่งก็คือ "ในทางปฏิบัติโดยทั่วไปแล้ว"2 สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน (ทั้ง ๆ ที่ทั้งสามท่านมีแนวคิดเริ่มต้นต่างกันโดยสิ้นเชิง)
สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างง่าย.
กำหนดให้ <math>P (x) </math> เป็นฟังก์ชันใดๆ ทางคณิตศาสตร์ โดยมีโดเมนคือ <math>\Omega</math> เราจะกล่าวว่า <math>P (x) </math> เป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นก็ต่อเมื่อ <math>P (x) </math> มีคุณสมบัติต่อไปนี้
อนึ่ง เราจะเรียกแต่ละสมาชิกใน <math>\Omega</math> ว่า เหตุการณ์พื้นฐาน และ สับเซตเช่น <math>A,B</math> ของ <math>\Omega</math> ว่า เหตุการณ์ (ถึงแม้ว่า ไม่ใช่ว่าทุกสับเซตใด ๆ ของ <math>\Omega</math> จะมีคุณสมบัติดังสัจพจน์ข้อที่ 3 แต่ในทางปฏิบัติสับเซตที่เรารู้จักต่างก็มีคุณสมบัติดังนั้นจริง ดูคำอธิบายที่สมบูรณ์ได้ในหัวข้อถัดไป)
สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างสมบูรณ์.
นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory) นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็น ปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์ ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด
ในบริบทของทฤษฏีการวัด, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นอธิบายได้ดังนี้
ค่าความน่าจะเป็น <math>\mathbb{P}</math> ของเหตุการณ์(event) <math> \mathbf{E} </math>, <math>\mathbb{P} (\mathbf{E}) </math> ขึ้นกับ "เอกภพสัมพัทธ์"(universe) หรือ "ปริภูมิของการสุ่ม"(sample space) <math> \boldsymbol{\Omega} </math> ของเหตุการณ์พื้นฐาน ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ และ <math>\mathbb{P}</math> นั้นจะต้องมีคุณสมบัติตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น
ภายใต้บริบทของทฤษฎีการวัด ปริภูมิความน่าจะเป็น <math> (\boldsymbol{\Omega} ,\mathfrak{F} , \mathbb{P}) </math> นิยามโดยมีฟังก์ชันการวัด <math>\mathbb{P}</math> เป็นฟังก์ชันการวัดที่ไม่เป็นลบบน ซิกม่าแอลจีบรา (σ-algebra) หรือ ซิกม่าฟิลด์ (σ-field) <math>\mathfrak{F}</math> ของทุกสับเซต ของ <math>\boldsymbol{\Omega}</math> โดยที่ <math>\mathbb{P} (\boldsymbol{\Omega}) =1</math>
"หมายเหตุ: พยายามรักษารูปแบบการนำเสนอเดิมของ คอลโมโกรอฟ แต่มีการเปลี่ยนตัวแปรและเครื่องหมายที่ใช้"
สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ.
ถ้า <math>\boldsymbol{\Omega}</math> เป็น เชตของเหตุการณ์พื้นฐานของการสุ่ม 
และจากข้อ 4 และ ข้อ 5 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า 
<math> P (\bigcup_{n=1}^\infty \mathbf{A_n}) = \sum_{n=1}^\infty P (A_n) </math>
คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ.
ในส่วนที่เราทุกคนรู้กันเป็นอย่างดีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือ หากเรามี เหตุการณ์ <math> \mathbf{A} </math> ใด ๆ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นจะมีค่า <math>0 \leq \mathbb{P} (\mathbf{A}) \leq 1</math> และ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด <math>\mathbb{P} (\boldsymbol{\Omega}) =1</math> 
สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟข้างต้น นอกเหนือจากจะกล่าวถึง คุณสมบัติของฟังก์ชันการกำหนดค่าความน่าจะเป็นแล้ว ยังได้ระบุถึงโครงสร้างของสิ่งที่ค่าความน่าจะเป็นจะถูกระบุลงไปอีกด้วย คือ ปริภูมิของเหตุการณ์ (event space) ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น ปริภูมิของเหตุการณ์ ประกอบด้วย สับเซต ทั้งหมดของ ปริภูมิของการสุ่ม <math>\boldsymbol{\Omega}</math> ที่เราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้ โดยปกติแล้วเราอาจไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของทุกสับเซตของ <math>\boldsymbol{\Omega}</math> ได้ สับเซตที่ระบุค่าความน่าจะเป็นได้นี้อธิบายในสัจพจน์ข้างต้นด้วย ฟิลด์ และ ซิกม่าฟิลด์
ปกติเราสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้นจากเหตุการณ์อื่น ๆ ด้วยการใช้ตัวดำเนินการทางเซต เช่น หากเราพิจารณาแบบจำลองของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก โดยมีปริภูมิของการสุ่ม <math>\boldsymbol{\Omega} = \{1,2,3,4,5,6 \}</math> 
เพราะฉะนั้น ผลลัพธ์จากการดำเนินการทางเซต จะได้ผลลัพธ์เป็นเหตุการณ์ คือ เป็นสับเซตที่สามารถระบุความน่าจะเป็นได้ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการทางเซต
ตัวอย่าง พิจารณา <math>\boldsymbol{\Omega} = \{1,2,3,4\}</math> หากเราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ <math> \mathbf{A} = \{1,2,3\}</math> และ <math> \mathbf{B} = \{3,4\} </math> ได้ สับเซตทั้งหมดที่สามารถหาค่าความน่าจะเป็นได้ คือ ฟิลด์ ที่กำเนิดจากเหตุการณ์ทั้งสองข้างต้นคือ
<math> \emptyset \quad \mathbf{A}\cap\mathbf{B}=\{3\} \quad \mathbf{A}^c\cap\mathbf{B}=\{4\} \quad \mathbf{B}^c=\mathbf{A}\cap\mathbf{B}^c=\{1,2\} \quad \mathbf{B}=\{3,4\} \quad \mathbf{A}=\{1,2,3\} \quad \boldsymbol{\Omega}</math>
สังเกตว่า เหตุการณ์ <math> \{1\} </math> และ <math> \{2\} </math> นั้นไม่ได้อยู่ในปริภูมิของเหตุการณ์ และ ไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้
ในกรณีของเหตุการณ์ นับได้จำนวนไม่จำกัด เช่น การโยนเหรียญจำนวนอินฟินิตีครั้ง ปริภูมิของเหตุการณ์จะอธิบายด้วย ซิกมาฟิลด์ ซึ่งเป็นกลุ่มของสับเซตของปริภูมิของการสุ่ม ที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้ การดำเนินการทางเซต นับได้ จำนวนไม่จำกัด
หมายเหตุ.
1 แม้ว่าคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นจะถูกพัฒนาขึ้นตั้งแต่มานานตั้งแต่ ปิแยร์ แฟร์มาต์ แบลส์ ปาลกาล จนถึง ปิแยร์ ซิมง ลาปลัสก็ตาม นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้กำหนดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นอย่าง เคร่งครัด คล้ายกับกรณีออกัสติน หลุยส์ โคชี่ได้นิยามแคลคูลัสของไอแซก นิวตัน กับ กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซอย่างเคร่งครัดในคริสต์ศตวรรษที่ 19 นั่นเอง
2 อนึ่ง ในบทความนี้ได้กล่าวว่า "ในทางปฏิบัติโดยทั่วไป" สัจพจน์ของทั้งสามท่านได้ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน "ในทางปฏิบัติ" ในที่นี้หมายถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็น เป็นเซตจำกัด ทำให้ประเด็นเรื่อง การบวกได้เชิงเซตจำกัด (finite additivity) และ การบวกได้เชิงเซตอนันต์นับได้ (countably additivity) ของทฤษฎีการวัดไม่ส่งผลต่อการใช้งานสัจพจน์. ในหนังสือของเอดวิน ทอมป์สัน เจนส์ (Jaynes, 2003) ได้วิเคราะห์ความเหมือน ความแตกต่าง แนวคิด และปรัชญา ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ ไว้อย่างละเอียดในภาคผนวก รวมทั้งยังนำเสนอวิธีการสังเคราะห์สัจพจน์ของคอกซ์อย่างละเอียดจาก "ความต้องการพื้นฐานที่สมเหตุสมผล" ของทฤษฏีความน่าจะเป็นแบบเบย์อีกด้วย