ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดาน

ในทางคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ฟังก์ชันพื้น  คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ก่อนหน้า นั่นคือ floor ("x") เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่ไม่มากกว่า "x" 
ส่วน ฟังก์ชันเพดาน  คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ถัดจากจำนวนนั้น นั่นคือ ceiling ("x") คือจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ไม่น้อยกว่า "x" 
กราฟของฟังก์ชันพื้นและเพดานทั้งหมด มีลักษณะคล้ายฟังก์ชันขั้นบันได แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันขั้นบันได เนื่องจากมีช่วงบนแกน "x" เป็นจำนวนอนันต์
สัญกรณ์.
เกาส์ได้แนะนำสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยม ["x"] สำหรับแทนฟังก์ชันพื้น ในการพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเขาเมื่อ ค.ศ. 1808 สิ่งนี้เป็นบรรทัดฐานในคณิตศาสตร์เรื่อยมา จนกระทั่งอิเวอร์สัน (Kenneth E. Iverson) ได้แนะนำให้ใช้ชื่อ "floor" และ "ceiling" พร้อมกับทั้งแนะนำสัญกรณ์ ⌊"x"⌋ และ ⌈"x"⌉ สำหรับฟังก์ชันทั้งสองตามลำดับ เพื่อเขียนโปรแกรมภาษาเอพีแอลเมื่อ ค.ศ. 1962 ปัจจุบันสัญกรณ์ทั้งสองแบบก็ยังมีการใช้กันอยู่ในคณิตศาสตร์ สำหรับบทความนี้จะอธิบายด้วยสัญกรณ์ของอิเวอร์สัน
ฟังก์ชันพื้นอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มมากสุด (greatest integer function) หรือ "อองเทียร์" (entier หมายถึงจำนวนเต็มในภาษาฝรั่งเศส) และสำหรับฟังก์ชันพื้นของจำนวนที่ไม่เป็นลบ "x" อาจเรียกว่าเป็น ภาคจำนวนเต็ม (integral part) ของ "x" ในภาษาโปรแกรมอื่นที่นอกเหนือจากภาษาเอพีแอล มักจะใช้สัญกรณ์ว่า <code>ENTIER ("x") </code> (ภาษาอัลกอล), <code>floor ("x") </code>, หรือไม่ก็ <code>int ("x") </code> (ภาษาซี/ซีพลัสพลัส) ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้สามารถเขียนเป็นวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองก็ได้ <math>[\![x]\!]</math> 
ส่วนฟังก์ชันเพดานอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มน้อยสุด (least integer function) ในภาษาโปรแกรมอื่นมักจะใช้แทนด้วย <code>ceil ("x") </code> หรือ <code>ceiling ("x") </code> ในทางคณิตศาสตร์ มีสัญกรณ์อีกแบบหนึ่งคือวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองที่หันออก <math>]\!]x[\![</math> หรือใช้เพียงแค่วงเล็บเหลี่ยมธรรมดาหันออกก็ได้ ]"x"[ 
ตัวอย่าง.
สำหรับนิยามของภาคเศษส่วน ดูในหัวข้อถัดไป
นิยามและสมบัติ.
ในสูตรคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ สมมติให้ "x", "y" เป็นจำนวนจริง "k", "m", "n" เป็นจำนวนเต็ม และ <math>\mathbb{Z}</math> คือเซตของจำนวนเต็ม (อันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์)
ฟังก์ชันพื้นและเพดานสามารถนิยามได้ด้วยเซตดังนี้
<math>\lfloor x \rfloor = \max\, \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \le x \}</math>
<math>\lceil x \rceil = \min\, \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \ge x \}</math>
เนื่องจากช่วงครึ่งเปิดความยาวหนึ่งหน่วย จะมีจำนวนเต็มเพียงหนึ่งตัวในช่วงนั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง "x" ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม "m" และ "n" ที่ทำให้
<math>x - 1 < m \le x \le n < x + 1\,\!</math>
เราจะได้ <math>\lfloor x \rfloor = m</math> และ <math>\lceil x \rceil = n</math> ซึ่งก็ถือว่าเป็นนิยามอย่างหนึ่งเช่นกัน
นอกจากนี้ก็ยังมี <math>\{x\} = x - \lfloor x \rfloor</math> และ <math>x \,\bmod\, y = x - y \left\lfloor \frac{x}{y} \right\rfloor</math>
การเทียบเท่า.
สูตรเหล่านี้สามารถใช้ถอดฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานออกจากนิพจน์ 
<math>
\lfloor x \rfloor = n &\iff &n &\le x < n + 1 \\
\lceil x \rceil = n &\iff &n - 1 &< x \le n \\
\lfloor x \rfloor = n &\iff &x - 1 &< n \le x \\
\lceil x \rceil = n &\iff &x &\le n < x + 1 \\
</math>
และสำหรับอสมการ
<math>
x < n &\iff &\lfloor x \rfloor &< n \\
n < x &\iff &n &< \lceil x \rceil \\
x \le n &\iff &\lceil x \rceil &\le n \\
n \le x &\iff &n &\le \lfloor x \rfloor \\
</math>
สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลจากการบวกด้วยจำนวนเต็ม "n" ภายในฟังก์ชัน
<math>
\lfloor x + n \rfloor &= \lfloor x \rfloor + n \\
\lceil x + n \rceil &= \lceil x \rceil + n \\
\{ x + n \} &= \{ x \} \\
</math>
อย่างไรก็ตาม สูตรด้านบนอาจไม่เป็นจริงเสมอไปถ้า "n" ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะได้ผลดังนี้แทน
<math>
&\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor &\leq \; \lfloor x + y \rfloor \; &\leq \; \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1 \\
&\lceil x \rceil + \lceil y \rceil - 1 &\leq \; \lceil x + y \rceil \; &\leq \; \lceil x \rceil + \lceil y \rceil \\
</math>
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน.
จากนิยามเราสามารถสรุปได้ว่า
<math>\lfloor x \rfloor \le \lceil x \rceil</math> กรณีที่มีค่าเท่ากันคือเมื่อ "x" เป็นจำนวนเต็ม
<math>\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases}
0 &\mbox{ if } x \in \mathbb{Z} \\
1 &\mbox{ if } x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}</math>
สำหรับจำนวนเต็ม "n" ประโยคนี้จะเป็นจริง
<math>\lfloor n \rfloor = \lceil n \rceil = n</math>
สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นและเพดาน
<math>\lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil = 0</math>
<math>\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases}
0 &\mbox{ if } x \in \mathbb{Z} \\
-1 &\mbox{ if } x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}</math>
<math>\lceil x \rceil + \lceil -x \rceil = \begin{cases}
0 &\mbox{ if } x \in \mathbb{Z} \\
1 &\mbox{ if } x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}</math>
สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของภาคเศษส่วน
<math>\{ x \} + \{ -x \} = \begin{cases}
0 &\mbox{ if } x \in \mathbb{Z} \\
1 &\mbox{ if } x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}</math>
ฟังก์ชันพื้น ฟังก์ชันเพดาน และภาคเศษส่วน เป็นฟังก์ชันนิจพล
<math>
\Big\lfloor \lfloor x \rfloor \Big\rfloor &= \lfloor x \rfloor \\
\Big\lceil \lceil x \rceil \Big\rceil &= \lceil x \rceil \\
\Big\{ \{ x \} \Big\} &= \{ x \} \\
</math>
ใช้ฟังก์ชันพื้นและเพดานซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันที่อยู่ในสุด
<math>
\Big\lfloor \lceil x \rceil \Big\rfloor &= \lceil x \rceil \\
\Big\lceil \lfloor x \rfloor \Big\rceil &= \lfloor x \rfloor \\
</math>
กำหนดให้ "y" มีค่าคงตัว "x" mod "y" จะเป็นนิจพล
<math>(x \,\bmod\, y) \,\bmod\, y = x \,\bmod\, y</math>
และจากนิยาม
<math>\{x\} = x \,\bmod\, 1</math>
ผลหาร.
ถ้า "n" ≠ 0 แล้ว
<math>0 \le \left \{\frac{m}{n} \right\} \le 1-\frac{1}</math>
ถ้า "n" เป็นจำนวนเต็มบวก 
<math>\left\lfloor \frac{x + m}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\lfloor x \rfloor + m}{n} \right\rfloor</math>
<math>\left\lceil \frac{x + m}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{\lceil x \rceil + m}{n} \right\rceil</math>
ถ้า "m" เป็นจำนวนเต็มบวก 
<math>n = \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil + \left\lceil \frac{n - 1}{m} \right\rceil + \dots + \left\lceil \frac{n - m + 1}{m} \right\rceil</math>
<math>n = \left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n + 1}{m} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{n + m - 1}{m} \right\rfloor</math>
ซึ่งเมื่อ "m" = 2 จะทำให้เกิดสมบัตินี้
<math>n = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil</math>
กรณีทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวก "m" 
<math>\lceil mx \rceil = \left\lceil x \right\rceil + \left\lceil x - \frac{1}{m} \right\rceil + \dots + \left\lceil x - \frac{m-1}{m} \right\rceil</math>
<math>\lfloor mx \rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{m} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor x + \frac{m-1}{m} \right\rfloor</math>
สูตรต่อไปนี้สามารถเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันพื้นกับฟังก์ชันเพดาน เมื่อ "m" เป็นจำนวนเต็มบวก 
<math>\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil = \left\lfloor \frac{n + m - 1}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n - 1}{m} \right\rfloor + 1</math>
<math>\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor = \left\lceil \frac{n - m + 1}{m} \right\rceil = \left\lceil \frac{n + 1}{m} \right\rceil - 1</math>
ถ้า "m" และ "n" เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้
<math>\sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{im}{n} \right\rfloor = \frac{1}{2}(m - 1)(n - 1)</math>
เนื่องจากสูตรข้างต้น "m" และ "n" มีความสมมาตรต่อกัน จึงสามารถกระจายฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับได้ดังนี้
<math>\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2m}{n} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(n - 1)m}{n} \right\rfloor = 
\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2n}{m} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(m - 1)n}{m} \right\rfloor</math>
และสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ "m" และ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก
<math>\left\lfloor \frac{x}{n} \right\rfloor +
\left\lfloor \frac{m+x}{n} \right\rfloor +
\left\lfloor \frac{2m+x}{n} \right\rfloor +
\dots +
\left\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n} \right\rfloor</math>  <math>
= \left\lfloor \frac{x}{m} \right\rfloor +
\left\lfloor \frac{n+x}{m} \right\rfloor +
\left\lfloor \frac{2n+x}{m} \right\rfloor +
\dots +
\left\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m} \right\rfloor</math>
สิ่งนี้เรียกว่า กฎการแลกเปลี่ยน 
ผลหารซ้อน.
สำหรับจำนวนเต็มบวก "m" และ "n" และจำนวนจริง "x"
<math>\left\lfloor \frac{\lfloor x / m \rfloor}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{mn} \right\rfloor</math>
<math>\left\lceil \frac{\lceil x / m \rceil}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{x}{mn} \right\rceil</math>
ความต่อเนื่อง.
ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊"x"⌋ กับ ⌈"x"⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัวในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {"x"} ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน "x" mod "y" เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณของ "y" ถ้าให้ "y" มีค่าคงตัว
⌊"x"⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈"x"⌉ กับ {"x"} เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน "x" mod "y" จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ "y" เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ "y" เป็นจำนวนลบ
การกระจายอนุกรม.
เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่ต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่เขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมกำลังได้ และเนื่องจากฟังก์ชันพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ (periodic) สองฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการกระจายอนุกรมฟูรีเย
สำหรับ "x" mod "y" โดยที่ "y" มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้ 
<math>x \,\bmod\, y = \frac{y}{2} - \frac{y}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin\left(\frac{2 \pi k x}{y}\right)} {k}</math>
ด้วยสมบัติที่ว่า {"x"} = "x" mod 1 ดังนั้นจะได้
<math>\{x\} = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)} {k}</math>
ในจุดที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งที่เป็นค่าเฉลี่ยของลิมิตทางซ้ายและทางขวา สำหรับ "x" mod "y" ซึ่ง "y" มีค่าคงตัว อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้า "y" / 2 ที่ตำแหน่งพหุคูณของ "y" ส่วนในจุดอื่น ๆ ที่มีความต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าค่าจริง
จากสูตรที่ว่า {"x"} = "x" − ⌊"x"⌋ จึงสรุปได้ว่า
<math>\lfloor x \rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}</math>
การประยุกต์ใช้.
ภาคเศษส่วน.
ภาคเศษส่วน (fractional part) เป็นฟังก์ชันฟันเลื่อย เขียนแทนด้วย {"x"} สำหรับทุกจำนวนจริง "x" ซึ่งนิยามโดยสูตรนี้ 
<math>\{x\} = x - \lfloor x \rfloor</math>
ภาคเศษส่วนของ "x" จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นคือ
<math>0 \le \{x\} < 1</math>
ถ้า "x" เป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันพื้นของ "x" สามารถสรุปได้อย่างง่ายว่า เป็นค่า "x" ที่ตัดตัวเลขหลังจุดทศนิยมออกไป ดังนั้นภาคเศษส่วนของ "x" ก็คือค่า "x" ที่ตัดตัวเลขหน้าจุดทศนิยมออกไป
มอดุโล.
การดำเนินการมอดุโล (modulo) เขียนแทนด้วย "x" mod "y" สำหรับจำนวนจริง "x" และ "y" โดยที่ "y" ≠ 0 นิยามโดยสูตรนี้
<math>x \,\bmod\, y = x - y \left\lfloor \frac{x}{y} \right\rfloor</math>
ผลลัพธ์ของ "x" mod "y" จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง "y" นั่นคือ
<math>y > 0 \Rightarrow 0 \le x \,\bmod\, y < y</math>
<math>y < 0 \Rightarrow 0 \ge x \,\bmod\, y > y</math>
ถ้า "x" เป็นจำนวนเต็มและ "y" เป็นจำนวนเต็มบวก
<math>(x \,\bmod\, y) \equiv x \pmod{y}</math>
ฟังก์ชัน "x" mod "y" โดยที่ "y" เป็นค่าคงตัว จะเป็นฟังก์ชันฟันเลื่อยเช่นกัน
การแลกเปลี่ยนกำลังสอง.
การพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเกาส์ครั้งที่สาม ซึ่งปรับปรุงแก้ไขโดยไอเซนสไตน์ (Ferdinand Eisenstein) มีสองขั้นตอนพื้นฐานดังนี้ 
กำหนดให้ "p" และ "q" เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคี่คนละตัวกัน และกำหนดให้
<math>m = \frac{p - 1}{2},\;\; n = \frac{q - 1}{2}</math>
ขั้นตอนแรก สัญลักษณ์เลอช็องดร์ถูกนำมาเขียนอธิบายด้วยบทตั้งของเกาส์
<math>\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor }</math> 
<math>\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor }</math>
ขั้นตอนที่สองคือใช้การให้เหตุผลทางเรขาคณิตเพื่อที่จะแสดงว่า
<math>\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor 
+\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor 
= mn</math>
จากนั้นจึงเอาสูตรทั้งสองมารวมกัน ทำให้เกิดการแลกเปลี่ยนกำลังสอง
<math>\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{mn} = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}</math>
สูตรต่อไปนี้เป็นการใช้ฟังก์ชันพื้นเพื่อแสดงลักษณะกำลังสองของจำนวนขนาดเล็ก มอดุโลกับจำนวนเฉพาะ "p" 
<math>\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{4}\right\rfloor}</math>
<math>\left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{6}\right\rfloor}</math>
การปัดเศษ.
การปัดเศษจำนวนบวก "x" ไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ใกล้ที่สุด จะใช้วิธีการปัดเศษโดยครึ่งหนึ่งให้ปัดขึ้นโดยปกติ สามารถเขียนได้เป็น <math>\lfloor x + 0.5 \rfloor</math>
จำนวนหลัก.
จำนวนหลักของจำนวนเต็มบวก "k" ในฐาน "b" คำนวณได้จาก <math>\lfloor \log_{b}{k} \rfloor + 1</math>
ตัวประกอบของแฟกทอเรียล.
กำหนดให้ "n" เป็นจำนวนเต็มบวกและ "p" เป็นจำนวนเฉพาะ (ซึ่งเป็นบวกเช่นกัน) กำลังสูงสุดของ "p" ที่สามารถหาร "n"! (แฟกทอเรียลของ "n") ได้ลงตัว คำนวณได้จากสูตรนี้ 
<math>\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor + \dots</math>
ผลรวมของอนุกรมนี้จำกัด เนื่องจากฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เมื่อ "p""k" > "n"
ลำดับบีตตี.
ลำดับบีตตี (Beatty sequence) ได้แสดงไว้ว่าจำนวนอตรรกยะที่เป็นบวกทุกจำนวน เมื่อผ่านฟังก์ชันพื้นแล้วจะเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนธรรมชาติซึ่งเป็นสมาชิกของลำดับสองลำดับคู่กัน 
ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี.
สูตรที่ใช้แสดงค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี γ = 0.57721 56649 … ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นและเพดาน ตัวอย่างเช่น 
<math>\gamma = \int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx</math>
<math>\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left (\left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right)</math>
<math>
= \tfrac12-\tfrac13
+ 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right)
+ 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots
</math>
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์.
ฟังก์ชันภาคเศษส่วนปรากฏในการแจกแจงปริพันธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างตรงไปตรงมาด้วยการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน โดยสมมติว่า φ ("x") คือฟังก์ชันใด ๆ ที่มีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงปิด ["a", "b"]
<math>{ \sum_{a<n\le b}\phi(n) = 
\int_a^b\phi(x) dx +
\int_a^b\left(\{x\}-\tfrac12\right)\phi'(x) dx +
\left(\{a\}-\tfrac12\right)\phi(a) -
</math>
กำหนดให้ φ ("n") = "n"−"s" สำหรับส่วนจริงของ "s" ที่มากกว่า 1 และกำหนดให้ "a", "b" เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง "b" มีค่าเข้าใกล้อนันต์ จะได้
<math>\zeta(s) = s\int_1^\infty\frac{\frac12-\{x\}}{x^{s+1}}\;dx + \frac{1}{s-1} + \frac12</math>
สูตรนี้สามารถใช้ได้กับทุกค่าของ "s" ที่มีส่วนจริงมากกว่า −1 (ยกเว้นเมื่อ "s" = 1 เพราะจุดนั้นเป็นโพล) และเมื่อรวมเข้ากับการกระจายฟูรีเยของ {"x"} จะทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันซีตาได้กับทั้งระนาบเชิงซ้อน และใช้สำหรับพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชัน 
สำหรับ "s" = σ + "i t" ภายในแถบวิกฤต (critical strip) เช่น 0 < σ < 1 Balthasar van der Pol ได้ใช้สูตรนี้เพื่อสร้างคอมพิวเตอร์แอนะล็อกสำหรับคำนวณรากของฟังก์ชันซีตาเมื่อ ค.ศ. 1974 
<math>\zeta(s)=s\int_{-\infty}^\infty e^{-\sigma\omega}(\lfloor e^\omega\rfloor - e^\omega)e^{-it\omega}\,d\omega</math>
สูตรเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ.
"n" จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ 
<math>\sum_{m=1}^\infty \left(\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{m}\right\rfloor\right) = 2</math>
กำหนดให้ "r" > 1 เป็นจำนวนเต็ม, "p""n" คือจำนวนเฉพาะตัวที่ "n" และ α ซึ่งนิยามโดย
<math>\alpha = \sum_{m=1}^\infty p_m r^{-m^2}</math>
เราจะได้ว่า 
<math>p_n = \left\lfloor r^{n^2}\alpha \right\rfloor - r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^2}\alpha\right\rfloor</math>
มีจำนวน θ = 1.3064… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ <math>\left\lfloor \theta^3 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^9 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^{27} \right\rfloor, \dots</math> เป็นจำนวนเฉพาะ 
และมีจำนวน ω = 1.9287800… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ <math>\left\lfloor 2^\omega\right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^\omega} \right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^{2^\omega}} \right\rfloor, \dots</math> เป็นจำนวนเฉพาะ 
π ("x") เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ คือนับว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เท่าไรที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ "x" ซึ่งเป็นการลดทอนมาจากทฤษฎีบทของวิลสันที่ว่า 
<math>\pi(n) = \sum_{j=2}^n\left\lfloor\frac{(j-1)!+1}{j} - \left\lfloor\frac{(j-1)!}{j}\right\rfloor\right\rfloor</math>
และถ้าหาก "n" ≥ 2 จะได้ 
<math>\pi(n) = \sum_{j=2}^n \left\lfloor \frac{1}{\sum_{k=2}^j\left\lfloor\left\lfloor\frac{j}{k}\right\rfloor\frac{k}{j}\right\rfloor}\right\rfloor</math>
แต่สูตรในส่วนนี้ที่กล่าวมาทั้งหมด ไม่มีการนำไปใช้จริงในทางปฏิบัติ
ข้อปัญหาที่แก้ได้.
รามานุจันได้ส่งข้อปัญหาที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นเหล่านี้ลงใน "Journal of the Indian Mathematical Society" 
ถ้า "n" เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า
ข้อปัญหาที่แก้ไม่ได้.
จากการศึกษาข้อปัญหาของวาริง ได้นำไปสู่ปัญหาที่ยังไม่สามารถแก้ได้จนปัจจุบัน นั่นคือ
จริงหรือไม่ที่จำนวนเต็มบวก "k" ใด ๆ โดยที่ "k" ≥ 6 ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง 
<math>3^k-2^k\left\lfloor \left(\tfrac32\right)^k \right\rfloor > 2^k-\left\lfloor \left(\tfrac32\right)^k \right\rfloor -2</math>
เคิร์ต มาห์เลอร์ เคยพิสูจน์และสรุปว่า มีเพียงจำนวนจำกัดจำนวนหนึ่งเท่านั้นสำหรับ "k" ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น นอกเหนือจากนั้นยังไม่สามารถสรุปได้ 
การใช้งานในคอมพิวเตอร์.
ภาษาโปรแกรม.
ภาษาซี ภาษาซีพลัสพลัส และภาษาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง (เช่นภาษาซีชาร์ป ภาษาจาวา) มีฟังก์ชันมาตรฐาน <code>floor  </code> สำหรับฟังก์ชันพื้น และ <code>ceil  </code> สำหรับฟังก์ชันเพดาน 
นอกจากนี้ยังมีอีกวิธีการหนึ่งคือการแปลงจำนวนจุดลอยตัว (floating point) ไปเป็นจำนวนเต็มโดยการกำกับชนิดข้อมูล <code> (int) "value"</code> ซึ่งจะทำให้ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมถูกตัดออกไปทั้งหมด ไม่ว่าจำนวนนั้นจะเป็นบวกหรือลบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถูกปัดเศษไปยังค่าศูนย์ 
เชิงอรรถ.
<templatestyles src="Reflist/styles.css" />