เศษส่วนต่อเนื่อง

ในคณิตศาสตร์ เศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction) คือนิพจน์ที่อยู่ในรูป
<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\cdots}}} </math>
เมื่อ <math>a_0</math> เป็นจำนวนเต็มใด ๆ และเลข <math>a_i</math> ตัวอื่น ๆ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเศษของเศษส่วนต่อเนื่องแต่ละชั้นสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มอื่น ๆ ที่ไม่ใช่หนึ่งได้ เราจะเรียกนิพจน์เหล่านั้นว่าเศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป (generalized continued fraction) เพื่อป้องกันความสับสน เราอาจเรียกเศษส่วนต่อเนื่องธรรมดา (ที่ "ไม่ใช่" เศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป) ว่า "เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย"
สัญลักษณ์.
เราสามารถเขียนย่อเศษส่วนต่อเนื่องในรูป
<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3}}} </math>
ด้วยสัญลักษณ์
<math>x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;</math>
หรือด้วยสัญลักษณ์ของพริงส์ไฮม์
<math>x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3} </math>
หรือ
<math>x = a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +} </math>
(สัญลักษณ์ข้างบนนี้ไม่ค่อยเป็นที่นิยมใช้เท่าใดนัก) หรือ
<math>x = \left \langle a_0; a_1, a_2, a_3 \right \rangle \;</math>
โดยอาจใช้จุลภาคแทนเซมิโคลอนก็ได้
นอกจากนี้เรายังสามารถนิยม "เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์" (infinite continued fraction) เป็นลิมิต
<math>[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \,\ldots, a_{n}]. </math>
โดยลิมิตนี้สามารถหาค่าได้เสมอไม่ว่าจำนวนเต็ม <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>, ... จะมีค่าเท่าไหร่ก็ตาม
การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง.
การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง <math>r</math> ทำได้ดังต่อไปนี้ เริ่มต้นจากเขียนภาคจำนวนเต็มของ <math>r</math> แล้วลบภาคจำนวนเต็มออกจาก <math>r</math> การหาเศษส่วนต่อเนื่องจะเสร็จสิ้นเมื่อผลลัพธ์ที่ได้เป็นศูนย์ หากไม่เป็นศูนย์ ให้หาส่วนกลับของผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์เป็นศูนย์ (อย่างไรก็ดี ขั้นตอนวิธีนี้จะเสร็จสิ้นก็ต่อเมื่อ <math>r</math> เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น) เสร็จแล้วให้นำภาคจำนวนเต็มทั้งหมดมาเขียนเรียงกันจากตัวแรกถึงตัวสุดท้าย ก็จะได้เศษส่วนต่อเนื่องของ <math>r</math>
นอกจากนี้ 3.245 ยังสามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่อง [3; 4, 12, 3, 1] อีกด้วย
ขั้นตอนวิธีข้างต้นนี้สามารถใช้ได้กับจำนวนจริงทุกจำนวน อย่างไรก็ดี เวลานำไปเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ พึงระวังว่าการใช้จำนวนทศนิยมเลื่อน (floating point number) แทนจำนวนเต็มจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องได้ แต่เนื่องจำนวนทศนิยมเลื่อนทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงสามารถดัดแปลงขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดมาใช้หาเศษส่วนต่อเนื่องได้
เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด.
สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใด ๆ
<math>[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots, a_{n} + 1] \;</math>
ดังนั้น เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใด ๆ จะมีเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอีกตัวหนึ่งที่มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น 
<math> [2; 3, 1] = [2; 4] = 9/4 = 2.25\;</math>
เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนต่อเนื่องได้สองแบบเท่านั้น ในแบบหนึ่ง เลขตัวสุดท้ายคือ 1 ในอีกแบบหนึ่งเลขตัวสุดท้ายจะมีค่ามากกว่า 1 เว้นแต่ว่าจำนวนตรรกยะที่กล่าวถึงคือ 1
เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์.
เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ทุกตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเพียงหนึ่งแบบเท่านั้น
การเขียนแทนจำนวนตรรกยะด้วยเศษส่วนต่อเนื่องมีประโยชน์มาก เนื่องจากส่วนต้นของเศษส่วนต่อเนื่องจะให้จำนวนตรรกยะที่เป็นค่าประมาณที่ดีของจำนวนอตรรกยะนั้น จำนวนตรรกยะเหล่านี้ เรียกว่า "คอนเวอร์เจนท์" ของเศษส่วนต่อเนื่อง คอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 2, 4, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิม และคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 1, 3, 5, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิมเสมอ
คอนเวอร์เจนท์สี่ตัวแรกของเศษส่วนต่อเนื่อง <math>[a_0;a_1,a_2,\ldots]</math> (ตัวที่ 0 ถึงตัวที่ 3) ได้แก่
<math>
\frac{a_0}{1},\qquad
\frac{a_0a_1+1}{a_1},\qquad
\frac{ a_2(a_0a_1+1) +a_0}{a_2a_1+1},\qquad
</math>
สังเกตว่า เศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามเกิดจากการคูณเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สองด้วยภาคจำนวนเต็ม (จากอัลกอริทึมข้างบน ในที่นี้คือ <math>a_3</math>) ตัวที่สาม แล้วบวกด้วยเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สอง ส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามก็สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน
หากเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 1, 2, ... คือ <math>h_0,h_1, h2,\ldots</math> และส่วนคือ <math>k_0,k_1, k_2,\ldots</math> เราจะได้ว่า <math>h_0 = a_0</math>, <math>k_0 = 1</math>, <math>h_1 = a_0 a_1 + 1</math>, และ <math>k_1 = a_1</math> เศษและส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวอื่น ๆ สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดต่อไปนี้
<math>
h_n=a_nh_{n-1}+h_{n-2},\qquad
k_n=a_nk_{n-1}+k_{n-2}.</math>
ดังนั้น
<math>
\frac{h_n}{k_n}=
</math>
ทฤษฎีบทที่สำคัญ.
ทฤษฎีบท 1.
สำหรับจำนวนจริงบวก <math>x</math> ใด ๆ
<math>
\left[a_0, a_1, \,\dots, a_{n-1}, x \right]=
 {x k_{n-1}+k_{n-2}}</math>
ทฤษฎีบท 2.
คอนเวอร์เจนท์ของ ["a"0, "a"1, "a"2, ...] อยู่ในรูป
<math>
\left[a_0, a_1, \,\dots, a_n\right]=
 {k_n}</math>
ทฤษฎีบท 3.
ถ้าคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ <math>n</math> ของเศษส่วนต่อเนื่องตัวหนึ่งคือ <math>h_n/k_n</math> แล้ว
<math>
k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1) ^n
</math>
บทเสริมที่ 1: คอนเวอร์เจนท์ทุกตัวเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เนื่องจากตัวประกอบร่วมของ <math>h_n</math> และ <math>k_n</math> จะต้องหาร <math>k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n</math> ลงตัว)
บทเสริม 2: ผลต่างของคอนเวอร์เจนท์สองตัวที่ติดกันเป็นเศษส่วนที่ค่าสัมบูรณ์ของเศษคือ 1
<math>
\left|\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} \right|=
\left|\frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}}\right|=
</math>
บทเสริม 3: ลำดับของคอนเวอร์เจนท์สมมูลกับอนุกรมต่อไปนี้
<math>
</math>
บทเสริม 4: แมทริกซ์
<math>\begin{bmatrix}
h_n & h_{n-1} \\
\end{bmatrix}</math>
มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 หรือ -1 ดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของกรุปของแมทริกซ์ยูนิมอดูลาร์ <math>S^*L(2,\mathbb{Z}) </math>
ทฤษฎีบท 4.
คอนเวอร์เจนท์ตัวหนึ่ง ๆ จะมีค่าใกล้กลับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องมากกว่าคอนเวอร์เจนท์ที่มาก่อนมันเสมอ โดยเราสามารถเขียนข้อความนี้เป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้ ให้ <math>x</math> เป็นค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง <math>[a_0; a_1, a_2, \ldots]</math> และให้ <math>r</math> และ <math>s</math> เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใด ๆ โดยที่ <math>r > s</math>
<math>
\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_r]-x\right|>
\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_s]-x\right|</math>
บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคู่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ แต่ไม่มีทางเกิน <math>x</math>
บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคี่จะมีค่าลดลงเสมอ แต่ไม่มีทางต่ำกว่า <math>x</math>
<math>
ทฤษฎีบท 5.
\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n) }<
\left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|<
</math>
บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ใด ๆ จะมีค่าใกล้กับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องกว่าจำนวนตรรกยะใด ๆ ที่มีส่วนไม่เกินส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวนั้น
บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ที่นำหน้าภาคจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่จะเป็นค่าประมาณที่ดีของค่าของเศษส่วนเชิงซ้อน