การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง  เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งซึ่งทำการแมพฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง อีกนัยหนึ่งการแปลงฟูรีเยนั้นเป็นการแยกองค์ประกอบของฟังก์ชัน ตามสเปกตรัมของความถี่ที่มีค่าต่อเนื่อง และใช้หมายถึง ค่าสัญญาณใน "โดเมนของความถี่" ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม
นิยาม.
สมมุติ "f" เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง "F" และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย
โดยที่ จำนวนจริง "ω" คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง "F(ω)" เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน "f(t)" ที่แต่ละความถี่
สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor) <math>1/\sqrt{2\pi}</math> ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ <math>\,1/2\pi\,</math> เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ <math>\,1/2\pi\,</math> (ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง "f(t)" ไปเป็น "F(ω)" และแปลงกลับ จะได้ "f(t)" โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด เรียกคุณสมบัติว่า ยูนิแทรี (unitary)
ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม อาจใช้การแปลงไปเป็นฟังก์ชันของความถี่ แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม "ω" นิยมใช้สัญลักษณ์ "f" หรือ <math>\nu</math> แทนความถี่โดยที่ <math>f = 2\pi\omega</math>
ตารางต่อไปนี้สรุปการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องแบบต่างๆ ที่นิยมใช้ เพื่อป้องกันความสับสน ในตารางข้างล่างนี้ "f" หมายถึงความถึ่ ส่วนฟังก์ชัน ใช้ "x(t)" แทน "f(t)" ส่วนเนื้อหาในหัวข้อถัดๆไป จะใช้การแปลงแบบแรกในตารางเป็นหลัก
รูปทั่วไป.
คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้
โดยที่ ค่าคงที่ "a" และ "b" เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก <math>(a,b) = (0,1)</math> สำหรับการแปลงไม่เป็นยูนิทารี <math>(a,b) = (1,1)</math>
ค่า "a" และ "b" ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ <math>(a,b)=(0,2\pi)</math> ซึ่งในกรณีนี้ <math>\omega</math> จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ <math>\nu</math> หรือ "f" ในกรณีที่ "a" และ "b" เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก "a" มีหน่วยเวลา "b" จะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที
การแปลงในมิติที่สูงขึ้น.
สำหรับฟังก์ชัน "f"(x) ของ เวกเตอร์ x ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ k (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องจะกำหนดโดย
 <math>F(\mathbf{k})= 
\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^N
</math>
โดยที่ dx เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน  และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:
 <math>\delta(\mathbf{k})=\left(\frac{1}{2\pi}\right)^N
</math>
เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:
 <math>f(\mathbf{x})= 
\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^N
</math>
คู่ของการแปลง.
ตรารางแสดงคู่ของการแปลงที่สำคัญ โดยใช้การแปลงตามนิยามในตอนต้นของบทความ
โดยที่สัญลักษณ์ <math>f(t)\,\iff\,F(\omega)</math> หมายถึง <math>\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)</math>
หมายเหตุ : * คือ คู่ของการแปลง ที่อาจมีสัมประสิทธิ์ <math>1, 2\pi, \sqrt{2\pi}</math> แตกต่างไป ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของการปรับขนาดที่ใช้ในนิยามของการแปลง