รูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด "A", "B", และ "C" เขียนแทนด้วย #เปลี่ยนทาง 
ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุด 3 จุดใด ๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)
ข้อเท็จจริงพื้นฐาน.
ข้อเท็จจริงเบื้องต้นเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมได้แสดงไว้ในหนังสือชื่อ "Elements" เล่ม 1-4 เมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่ง และเป็น 2-ซิมเพล็กซ์ (2-simplex) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปสองมิติ
มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิดจะรวมได้ 180° เสมอ ด้วยข้อเท็จจริงนี้ทำให้เราสามารถหาขนาดของมุมที่สาม เมื่อเราทราบขนาดของมุมแล้วสองมุม มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม (คือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายใน โดยต่อความยาวด้านหนึ่งออกไป) จะมีขนาดเท่ากับมุมภายในที่ไม่ได้อยู่ติดกับมุมภายนอกรวมกัน สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทมุมภายนอก มุมภายนอกทั้งสามจะรวมกันได้ 360° เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมนูนอื่น ๆ
ผลบวกของความยาวของสองด้านใด ๆ ในรูปสามเหลี่ยม จะมากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ สิ่งนี้เรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม (กรณีพิเศษของการเท่ากันคือ มุมสองมุมถูกยุบให้มีขนาดเป็นศูนย์ รูปสามเหลี่ยมจะลดตัวลงเป็นเพียงส่วนของเส้นตรง)
รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่า "คล้ายกัน" ก็ต่อเมื่อทุกมุมของรูปหนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปหนึ่ง ซึ่งในกรณีนี้ ด้านที่สมนัยกันจะเป็นสัดส่วน (proportional) ต่อกัน ตัวอย่างกรณีนี้เช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านตรงข้ามมุมนั้นขนานกัน เป็นต้น
นอกจากนี้ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้
สำหรับรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สมภาคต่อกัน (หรือเรียกได้ว่า "เท่ากันทุกประการ") ซึ่งหมายความว่ามุมและด้านมีขนาดเท่ากันทั้งหมด ก็ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรื่องนี้
ถึงแม้ว่ามุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน ("มุม-มุม-มุม") เรายังไม่สามารถสรุปได้ว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองสมภาคต่อกัน เพียงแค่คล้ายกัน
โปรดสังเกตต่อไปอีกว่า
การใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากและแนวคิดเรื่องความคล้าย ฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างไซน์และโคไซน์จึงถูกนิยามขึ้น ซึ่งเป็นฟังก์ชันของมุมที่ใช้ในการตรวจสอบเรื่องตรีโกณมิติ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) เป็นอีกทฤษฎีบทหนึ่งที่สำคัญ กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของทั้งสองด้านที่เหลือ ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว "c" หน่วย และด้านประกอบมุมฉากยาว "a" และ "b" หน่วย ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงให้ความหมายว่า
<math>a^2 + b^2 = c^2\,\!</math>
บทกลับของทฤษฎีบทนี้ก็ยังคงเป็นจริง นั่นคือถ้าความยาวของด้านทั้งสามตรงตามเงื่อนไขในสมการข้างต้น ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ข้อเท็จจริงอย่างอื่นที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีดังนี้
<math>a + b + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies a + b = 90^{\circ} \implies a = 90^{\circ} - b</math>
สำหรับรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ขนาดของด้านและมุมมีความสัมพันธ์กันตามกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
จุด เส้นตรง และรูปวงกลมที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม.
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน และตั้งฉากกับด้านนั้น นั่นคือ ทำมุมฉากกับด้านนั้น เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียว คือ ศูนย์กลางวงล้อม (circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อม (circumcircle) ซึ่งเป็นวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสาม 
ทฤษฎีบทของธาลีส (Thales' theorem) กล่าวว่า ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้ว มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน
ส่วนสูง (altitude) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก (ทำมุมฉาก) กับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่า"ฐาน" (base) ของส่วนสูง และจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ขยายออกมา) นั้นเรียกว่า "เท้า" (foot) ของส่วนสูง ความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอด ส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว เรียกจุดนั้นว่า จุดออร์โทเซนเตอร์ (orthocenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดออร์โทเซนเตอร์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก (orthocentric system)
เส้นแบ่งครึ่งมุม (angle bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน (incircle) ของรูปสามเหลี่ยม วงกลมแนบในคือวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม และสัมผัสด้านทั้งสาม มีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือ วงกลมแนบนอก (excircle) คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสอง จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก
<br clear=left>
เส้นมัธยฐาน (median) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากัน เส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ เซนทรอยด์ (centroid) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้จะเป็นศูนย์ถ่วง (center of gravity) ของรูปสามเหลี่ยมด้วย ถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยด์ของมันหรือเส้นใด ๆ ที่ลากผ่านเซนทรอยด์ เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วน 2:1 นั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์ จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม
จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม และเท้าของส่วนสูงทั้งสาม จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน คือ วงกลมเก้าจุด (nine point circle) ของรูปสามเหลี่ยม อีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับจุดออร์โทเซนเตอร์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนสูง รัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อม มันจะสัมผัสวงกลมแนบใน (ที่จุด Feuerbach) และสัมผัสวงกลมแนบนอก
<br clear=left>
เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (จุดสีแดง) ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกัน ที่เรียกว่า เส้นออยเลอร์ (Euler's line) (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับศูนย์กลางวงล้อม ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์
จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์
ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกัน เรียกว่า symmedian symmedianทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุด symmedian (symmedian point) ของรูปสามเหลี่ยม
<br clear="all">
การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม.
การคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่มักจะพบในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน สูตรที่ง่ายและเป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ
<math>S=\frac{1}{2}bh</math>
เมื่อ "S" หมายถึงพื้นที่ "b" คือความยาวของฐาน และ "h" คือความสูงหรือส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม คำว่าฐานในที่นี้สามารถหมายถึงด้านในด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และส่วนสูงคือระยะที่วัดจากมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้นตั้งฉากไปยังฐาน
ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะง่าย แต่ก็ใช้ประโยชน์ได้เฉพาะเมื่อสามารถหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมได้โดยง่าย ตัวอย่างเช่นการรังวัดที่ดินที่มีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม จะวัดความยาวของด้านทั้งสามแล้วสามารถคำนวณหาพื้นที่ได้โดยไม่ต้องวัดส่วนสูงเป็นต้น วิธีการที่หลากหลายถูกใช้ในทางปฏิบัติ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมบ้าง วิธีต่อไปนี้เป็นสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใช้กันบ่อย ๆ
ใช้เวกเตอร์.
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้ด้วยเวกเตอร์ กำหนดให้ "AB" และ "AC" เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จาก "A" ไป "B" และ "A" ไป "C" ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน "ABCD" คือ <math>|{AB}\times{AC}|</math> ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ "AB" กับ "AC" และ <math>|{AB}\times{AC}|</math> มีค่าเท่ากับ <math>|{h}\times{AC}|</math> เมื่อ "h" แทนส่วนสูงที่เป็นเวกเตอร์
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม "ABC" เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปนี้ หรือ <math>S = \frac{1}{2}|{AB}\times{AC}|</math>
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม "ABC" ก็ยังสามารถเขียนได้ด้วยรูปแบบของผลคูณจุดดังนี้
<math>\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2}\,</math>
ใช้ตรีโกณมิติ.
ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วยตรีโกณมิติ จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ "h" = "a" sin γ นำไปแทนในสูตร "S" = ½"bh" ที่ได้จากข้างต้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจึงแสดงได้เป็น
<math>S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta</math>
นอกจากนั้น เมื่อ sin α = sin ("π" - α) = sin (β + γ) และเป็นเช่นนี้เหมือนกันกับอีกสองมุมที่เหลือ จะได้สูตร
<math>S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha)</math>
ใช้พิกัด.
ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และกำหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ <math>{B = (x_B, y_B) , C = (x_C, y_C)}</math> แล้วพื้นที่ S จะคำนวณได้จาก ½ เท่าของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์
<math>S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|</math>
สำหรับจุดยอดสามจุดใด ๆ สมการคือ 121.12-74258/4561*754120+54851
<math>S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big| </math>
<math>S=\frac{1}{2} \big| (x_C - x_A) (y_B - y_A) - (x_B - x_A) (y_C - y_A) \big|</math> 
ในสามมิติ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม <math>{A = (x_A, y_A, z_A) , B = (x_B, y_B, z_B) , C = (x_C, y_C, z_C)}</math> คือผลบวกพีทาโกรัสของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ฉายไปบนระนาบพื้นฐาน (<math>x = 0, y = 0, z = 0</math>)
<math>S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left (\det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right) ^2 +
\left (\det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right) ^2 +
\left (\det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right) ^2 } </math>
ใช้สูตรของเฮรอน.
อีกวิธีที่ใช้คำนวณหาพื้นที่ <math>S</math> ได้คือการใช้สูตรของเฮรอน
<math>S = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}</math>
เมื่อ <math>s = (a+b+c)/2</math> คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม
นอกจากนี้ก็มีสูตรอื่นที่เทียบเคียงกับสูตรของเฮรอน
<math> S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2) ^2-2 (a^4+b^4+c^4)}</math>
<math> S = \frac{1}{4} \sqrt{2 (a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) - (a^4+b^4+c^4)}</math>
<math> S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}</math>
การคำนวณด้านและมุม.
โดยทั่วไปแล้ว มีวิธีการที่ได้รับการยอมรับหลากหลายวิธีเพื่อคำนวณความยาวของด้านหรือขนาดของมุม ในขณะที่วิธีการเฉพาะอย่างสามารถใช้ได้ดีกับค่าต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งวิธีอื่นอาจต้องอยู่ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนมากกว่า
อัตราส่วนตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก.
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์สามารถใช้คำนวณหามุมที่ไม่ทราบขนาด หรือความยาวของด้านที่ไม่ทราบได้ ด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมีดังต่อไปนี้
ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์.
ไซน์ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
<math>\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}</math>
โปรดสังเกตว่าอัตราส่วนนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเฉพาะรูปใดรูปหนึ่ง แค่เรามีมุมที่สนใจ "A" บนรูปสามเหลี่ยมนั้นก็เพียงพอ
โคไซน์ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านประชิดมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
<math>\cos A = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {b} {h}</math>
แทนเจนต์ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านประชิดมุม
<math>\tan A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{adjacent}} = \frac {a} {b}</math>
เราสามารถท่องว่า "ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด" สำหรับการจำอัตราส่วนเหล่านี้อย่างย่อ
ฟังก์ชันผกผัน.
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันสามารถใช้คำนวณมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเราทราบความยาวของด้านสองด้านใดๆ
อาร์กไซน์ ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
<math>\theta = \arcsin \left(\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right)</math>
อาร์กโคไซน์ ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านประชิดมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
<math>\theta = \arccos \left(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \right)</math>
อาร์กแทนเจนต์ ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านประชิดมุม
<math>\theta = \arctan \left(\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \right)</math>
กฎของไซน์และโคไซน์.
กฎของไซน์ (law of sine) หรือกฎไซน์ (sine rule) ระบุไว้ว่าอัตราส่วนของความยาวของด้าน "a" ที่สมนัยกับมุม "α" (มุมตรงข้าม) จะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้าน "b" ที่สมนัยกับมุม "β" ดังนี้
<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>
กฎของโคไซน์ (law of cosine) หรือกฎโคไซน์ (cosine rule) เป็นการเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ทราบความยาว ไปยังด้านที่เหลือและมุมที่อยู่ตรงข้าม จากรูปทางซ้ายมือ สมมติว่าเราทราบความยาวของด้าน "a" และ "b" และทราบขนาดของมุมตรงข้าม "γ" ความยาวของด้าน "c" สามารถคำนวณจากสูตรต่อไปนี้
<math>c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) \implies b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta) \implies a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)</math>
รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ.
รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ หมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้ถูกวาดขึ้นบนพื้นผิวที่แบนราบ ตัวอย่างรูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบเช่น รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมในเรขาคณิตทรงกลม และรูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลาในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา ซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิด
ในขณะที่รูปสามเหลี่ยมธรรมดา (สองมิติ) มุมภายในรูปสามเหลี่ยมจะรวมกันได้ 180° แต่รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบมุมภายในอาจรวมกันได้มากกว่าหรือน้อยกว่านั้น บนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบ (บุ๋มลงไป) จะบวกกันได้น้อยกว่า 180° และบนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นบวก (นูนขึ้นมา) จะบวกกันได้มากกว่า 180° นั่นหมายความว่า ถ้าเราวาดรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่มากบนพื้นผิวโลก มุมภายในจะรวมกันได้มากกว่า 180°