กฎลูกโซ่

ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่  คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต
เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร "y" เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร "u" ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร "x" แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ "y" เทียบกับ "x" หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ "y" เทียบกับ "u" คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ "u" เทียบกับ "x"
สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่
ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน "f" หาอนุพันธ์ได้ที่ "g(x)" และฟังก์ชัน "g" หาอนุพันธ์ได้ที่ "x" คือเราจะได้ <math>f \circ g = f(g(x))</math> ดังนั้น
 <math>
 \frac {df} {dx} = \frac {d} {dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
</math>
นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:
 <math>
</math>
เมื่อ <math>\frac {df} {dg}</math> ระบุว่า "f" เปลี่ยนแปลงตาม "g" เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง
ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
กฎเลขยกกำลังทั่วไป.
กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้
ตัวอย่างข้อที่ 1.
พิจารณา <math> f(x) = (x^2 + 1)^3 </math>. <math> f(x) </math> เทียบได้กับ <math> h(g(x)) </math> โดยที่ <math> g(x) = x^2 + 1 </math> และ <math> h(x) = x^3 </math> ดังนั้น
ตัวอย่างข้อที่ 2.
ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 <math>f(x) = \sin(x^2),</math>
เราสามารถเขียน <math>f(x) = h(g(x))</math> ด้วย <math>h(x) = \sin x</math> และ <math>g(x) = x^2</math> จากกฎลูกโซ่ จะได้
 <math>f'(x) = 2x \cos(x^2)</math>
เนื่องจาก <math>h'(g(x)) = \cos (x^2)</math> และ <math>g'(x) = 2x</math>
กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร.
กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน <math>f(u(x, y), v(x, y))</math> โดยที่
 <math> u(x, y) = 3x + y^2 </math> และ <math> v(x, y) = \sin(xy) </math>
ดังนั้น
 <math> {\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3 + \cos(xy)y </math>
บทพิสูจน์กฎลูกโซ่.
ให้ "f" และ "g" เป็นฟังก์ชัน และให้ "x" เป็นจำนวนที่ "f" สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ "g(x)" และ "g" หาอนุพันธ์ได้ที่ "x" ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้
 <math> g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \,</math> ซึ่ง <math> \frac{\epsilon(\delta)}{\delta} \to 0 \,</math> ขณะที่ <math>\delta\to 0</math>
ในทำนองเดียวกัน
 <math> f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha) \,</math> ซึ่ง <math>\frac{\eta(\alpha)}{\alpha} \to 0 \,</math> ขณะที่ <math>\alpha\to 0 \,</math>
จะได้
ซึ่ง <math>\alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \,</math>
จะเห็นว่าขณะที่ <math>\delta\to 0</math> นั้น <math>\frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x)</math> และ <math>\frac{\eta(\alpha_\delta)}{\delta}\to 0</math> ดังนั้น
 <math> \frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x))</math> ขณะที่ <math>\delta \to 0</math>
กฎลูกโซ่พื้นฐาน.
กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า "E" "F" และ "G" เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ "f" : "E" → "F" และ "g" : "F" → "G" เป็นฟังก์ชัน และถ้า "x" เป็นสมาชิกของ "E" ซึ่ง "f" หาอนุพันธ์ได้ที่ "x" และ "g" หาอนุพันธ์ได้ที่ "f"("x") แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต "g" o "f" ที่ "x" จะเป็นดังนี้
 <math>\mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \circ \mbox{D}_x\left(f\right)</math>
สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์
การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ "M" "N" และ "P" เป็นแมนิโฟลด์ "C""k" (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้
 "f" : "M" → "N" และ "g" : "N" → "P"
เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ "f" แทนด้วย d"f" จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ "M" ไปยังปมสัมผัสของ "N" และสามารถเขียนแทนด้วย
 <math>\mbox{d}\left(g \circ f\right) = \mbox{d}g \circ \mbox{d}f</math>
ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ "C"∞ โดยมีการแปลง "C"∞ เป็นสัณฐาน
เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่.
ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์