พาย (ค่าคงตัว)

พาย หรือ ไพ (อักษรกรีก: π ภาษาอังกฤษ: pi)เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์ และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละติน มีชื่อว่า "pi" (อ่านว่า "พาย" ในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่า "พี" ในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่า ค่าคงตัวของอาร์คิมิดีส (Archimedes' Constant) หรือจำนวนของลูดอล์ฟ (Ludolphine number หรือ Ludolph's Constant)
ในเรขาคณิตแบบยุคลิด π มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังสอง ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น π คือจำนวนบวก "x" ที่น้อยสุดที่ทำให้ sin ("x") = 0
ค่า π โดยประมาณ 125 ตำแหน่งคือ
 (ลำดับ #เปลี่ยนทาง 
ส่วนมากจะใช้ค่าประมาณ คือ 3.14159...
แม้ว่าค่านี้มีความละเอียดพอที่จะใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์แล้ว ปัจจุบันมีการคำนวณค่า π ได้หลายตำแหน่ง ซึ่งหาได้ทั่วไปจากอินเทอร์เน็ต คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยทั่วไปสามารถคำนวณค่า π ได้พันล้านหลัก ขณะที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณค่า π ได้เกินล้านล้านหลัก และไม่พบว่ามีรูปแบบที่ซ้ำกันของค่า π ปรากฏอยู่
สูตรที่เกี่ยวข้องกับ π.
เรขาคณิต.
π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม
<math>\frac2\pi=
การวิเคราะห์.
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots</math>
<math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
หรือเขียนอีกแบบได้เป็น:
<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}</math>
<math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>
 <math>\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{\pi}{2}</math>
<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>
<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
<math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
<math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>
เศษส่วนต่อเนื่อง.
π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น
<math> \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} </math>
<math> \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>
<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>
<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2} </math>
สูตรที่นอกเหนือจากคณิตศาสตร์.
การอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพ.
แม้ว่า π จะไม่เป็นค่าคงตัวทางฟิสิกส์ แต่ก็มีปรากฏในสมการที่ใช้อธิบายเกี่ยวกับหลักการพื้นฐานของจักรวาลอยู่บ่อยครั้ง เนื่องจากความสัมพันธ์ของ π กับวงกลม และระบบพิกัดทรงกลม จากสูตรง่าย ๆ จากกลศาสตร์ดั้งเดิม เช่น ให้ระยะเวลาโดยประมาณเป็น "T" ของลูกตุ้มที่มีความยาว "L" แกว่งด้วยแอมพลิจูดขนาดเล็ก ("g" คือ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก)
<math>T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math>
หนึ่งในสูตรสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมคือหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนแบร์ก ซึ่งแสดงให้เห็นความไม่แน่นอนในการวัดตำแหน่งของอนุภาค (Δ"x") และโมเมนตัม (Δ"p") ซึ่งไม่สามารถมีขนาดเล็กโดยปราศจากเหตุผลในเวลาเดียวกันได้ (เมื่อ "h" เป็นค่าคงตัวของพลังค์)
<math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}</math>
ความจริงที่ว่า π มีค่าประมาณเท่ากับ 3 นั้น มีบทบาทในอายุการใช้งานที่ยาวนานของออร์โธโพสิโทรเนียม ซึ่งอายุการใช้งานนั้นจะผกผันไปสู่ลำดับต่ำสุดในค่าคงที่โครงสร้างละเอียด "α" คือ
<math>\frac{1}{\tau} = 2\frac{\pi^2 - 9}{9\pi}m\alpha^{6},</math>
เมื่อ "m" คือมวลของอิเล็กตรอน