ลิมิตของฟังก์ชัน

ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน (sin "x")/"x" จะไม่นิยามที่ 0 แต่เมื่อ "x" มีค่าเข้าใกล้ 0 มาก ๆ แล้ว (sin "x")/"x" มีค่าเข้าใกล้ 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ (sin "x")/"x" เมื่อ "x" เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ  1
ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง
นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน "f" จะรับค่า "x" แล้วคืนค่าออกมาคือ "f(x)" เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน "f" มีลิมิต "L" ที่จุด "p" ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน "f(x)" จะเข้าใกล้ "L" มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า "x" ที่เข้าใกล้ค่า "p" ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ
แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย
แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน ปริภูมิอิงระยะทาง และปริภูมิทอพอโลยี อีกด้วย
นิยามเป็นทางการ.
นิยามแบบ (ε, δ) ของลิมิต.
กำหนดให้ <math>f\colon (a,b) \to \R</math> เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ <math>p, L \in\R</math> เป็นจำนวนจริงโดยที่ <math>p \in (a,b)</math> เราจะกล่าวว่าลิมิตของ <math>f</math> เมื่อ <math>x</math> มีค่าเข้าใกล้ <math>p</math> คือ <math>L</math> ก็ต่อเมื่อ 
สำหรับทุกค่า <math>\varepsilon > 0</math> จะมีจำนวนจริง <math>\delta > 0</math> ที่ทำให้สำหรับทุกค่า <math>x</math> ถ้า <math>0 < \left\vert x - p \right\vert < \delta</math> แล้ว <math>\left\vert f(x) - L \right\vert < \varepsilon</math> 
ถ้าลิมิตของ <math>f</math> เมื่อ <math>x</math> มีค่าเข้าใกล้ <math>p</math> คือ <math>L</math> แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 
<math>\lim_{x \to p} f(x) = L</math> 
หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น 
<math>f(x) \to L</math> เมื่อ <math>x \to p</math> (อ่านว่า "<math>f(x)</math> มีค่าเข้าใกล้ <math>L</math> เมื่อ <math>x</math> มีค่าเข้าใกล้ <math>p</math>") 
สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ <math>f</math> ที่จุด <math>p</math> ยิ่งไปกว่านั้น <math>f(p)</math> ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้ 
ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง.
กำหนดให้ "f" : ("M",d"M") -> ("N",d"N") เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ "p" ∈"M" และ "L" ∈"N", เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ "f" ที่ "p" คือ "L"" และเขียนว่า:<math display="inline"> \lim_{x \to p}f(x) = L </math>ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ "สำหรับทุก ๆ" "x" ∈"M" "และ" d"M"("x", "p") < δ "แล้ว", d"N"("f"("x"), "L") < ε
ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง.
ให้ "f" เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้ว
<math> \lim_{x \to p}f(x) = L </math> เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง "M" และ "N" เป็นเซตของจำนวนจริง และ "d(x,y) = |x-y|"
หรือเราจะเขียน
<math> \lim_{x \to p}f(x) = \infty</math> ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ "R" > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ "สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง" "x" "ที่" 0 < |"x"-"p"| < δ, "f"("x") > "R";
หรือจะเขียนว่า
<math> \lim_{x \to p}f(x) = -\infty</math> ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ "R" < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ "สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง" "x" "ที่" 0 < |"x"-"p"| < δ, "f"("x") < "R"
ถ้าในนิยาม เราใช้ "x"-"p" แทน |"x"-"p"| เราก็จะได้ "ลิมิตขวา" เขียนแทนโดย :<math> \lim_{x \to p^+}</math> และถ้าใช้ "p"-"x" แทน ก็จะได้ "ลิมิตซ้าย" เขียนแทนโดย :<math> \lim_{x \to p^-}</math>
ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์.
ให้ "f"("x") เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ "x" เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
เราจะเขียน
<math> \lim_{x \to \infty}f(x) = L</math>
ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน.
ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น <math>d(x, y) := |x-y|</math> จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน
จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน
ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง.
สมมติให้ "f" เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า
<math> \lim_{x \to p}f(x) = L </math>
ได้ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง "x" ใด ๆ ซึ่ง 0<|"x"-"p"|<δ จะได้ |"f"("x")-"L"|<ε
นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง "M" และ "N" เป็นระนาบเชิงซ้อน
ลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์.
เราจะเขียน
<math> \lim_{x \to \infty}f(x) = L</math>
ได้ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี "S" >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |"x"|>"S" ใด ๆ เราจะได้ |"f"("x")-"L"|<ε
ตัวอย่าง.
คุณสมบัติ.
ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน "f" ที่ "p" คือ "L"" เหมือนกับประโยค
"สำหรับลำดับลู่เข้า ("x""n") ใน "M" ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ "p"ลำดับ ("f"("x""n")) ลู่เข้าสู่ลิมิต "L""
ในกรณีที่ "f" เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ "f" ที่ "p" คือ "L""
ฟังก์ชัน "f" ต่อเนื่อง ที่ "p" ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ "f"("x") เมื่อ "x" เข้าใกล้ "p" และค่านั้นเท่ากับ "f"("p")
หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน "f" แปลงลำดับใด ๆ ใน "M" ซึ่งสู่เข้าหา "p" ไปเป็นลำดับ "N" ซึ่งลู่เข้าหา "f"("p")