การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน

ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน เป็นวิธีการที่ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ใช้เมื่อนิพจน์ที่มีตัวแปรเสริมเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งโดยปกติอยู่ในรูปของเลขยกกำลังของฟังก์ชันเบื้องต้น หรือผลคูณของฟังก์ชันอดิศัย และพหุนามที่มีดีกรีใด ๆ ไม่สามารถหาปริพันธ์โดยตรงได้ แต่การใช้วิธีการหาปริพันธ์อื่น ๆ สามารถกำหนดสูตรลดทอนเพื่อให้ได้ปริพันธ์ของนิพจน์เดียวกันหรือคล้ายกันที่มีตัวแปรจำนวนเต็มเสริมที่ต่ำลง โดยจะลดความซับซ้อนของปริพันธ์ลงทีละน้อยจนกระทั่งสามารถหาค่าได้ วิธีหาปริพันธ์นี้เป็นหนึ่งในวิธีแรก ๆ ที่ใช้กัน
วิธีการหาสูตรลดทอน.
สูตรลดทอนสามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์ทั่วไป เช่นการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ การหาปริพันธ์โดยการหาเศษส่วนย่อย ฯลฯ แนวคิดหลักคือให้ปริพันธ์ที่มีตัวแปรเสริมจำนวนเต็ม (เช่น เลขยกกำลัง) ของฟังก์ชันเป็น In ปริพันธ์ที่มีกับค่าตัวแปรเสริมที่ต่ำลง (เลขยกกำลังต่ำกว่า) ของฟังก์ชันนั้นให้เป็น เช่น "I""n" -1 หรือ "I""n" -2 ซึ่งทำให้สูตรลดทอนเป็นประเภทหนึ่งของความสัมพันธ์เวียนเกิด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สูตรลดทอนจะทำให้ปริพันธ์
 <math>I_n =\int f(x,n) \,\text{d}x, </math>
อยู่ในรูปของ
 <math>I_k = \int f(x,k) \,\text{d}x, </math>
เมื่อ
 <math>k < n.</math>
วิธีการคำนวณหาปริพันธ์.
ในการคำนวณหาปริพันธ์ เราให้ "n" เป็นค่าของตัวแปรเสริม และใช้สูตรลดทอนเพื่อแสดงอยู่ในรูปของปริพันธ์ของ ("n" – 1) หรือ ("n" – 2) ปริพันธ์ที่มีเลขยกกำลังต่ำกว่าสามารถนำมาใช้คำนวณปริพันธ์เลขยกกำลังสูงกว่าได้ โดยกระบวนการนี้ทำต่อไปซ้ำ ๆ จนกว่าจะถึงจุดที่สามารถหาปริพันธ์ฟังก์ชันได้ โดยปกติเมื่อเลขยกกำลังของฟังก์ชันดังกล่าวเป็น 0 หรือ 1 จากนั้นเราทำการแทนค่าผลลัพธ์ก่อนหน้านั้นอีกครั้งจนกระทั่งเราหา "In" ได้
ตัวอย่าง.
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการใช้สูตรลดทอน
ปริพันธ์ของฟังก์ชันโคไซน์.
โดยทั่วไปปริพันธ์เช่น
 <math>\int \cos^n x \,\text{d}x, \,\!</math>
สามารถหาค่าได้โดยการใช้สูตรลดทอน
เริ่มต้นโดยการตั้งให้
 <math>I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x . \,\!</math>
สามารถเขียนใหม่ได้เป็น
 <math>I_n = \int \cos^ {n-1} x \cos x \,\text{d}x, \,\!</math>
หาปริพันธ์โดยการแทนค่าดังนี้
 <math>\cos x \,\text{d}x = \text{d} (\sin x), \,\!</math>
 <math>I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) . \!</math>
สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน
 <math> \begin{align} \int \cos^n x \,\text{d}x & = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) \! = \cos^{n-1} x \sin x - \int \sin x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \sin x \cos^{n-2} x\sin x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1-\cos^2 x)\,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x - (n-1)\int \cos^n x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n ,
\end{align} \,</math>
 <math>I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} x \sin x\ + \ (n-1) I_{n-2}, \,</math>
 <math>n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin x\ + (n-1) I_{n-2}, \,</math>
 <math>I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2}, \,</math>
ดังนั้นสูตรลดทอนคือ
 <math>\int \cos^n x \,\text{d}x\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x . \!</math>
ตัวอย่างเพิ่มเติมจากตัวอย่างด้านบนสามารถนำมาใช้หาปริพันธ์สมมติให้ "n" = 5
 <math> I_5 = \int \cos^5 x \,\text{d}x . \,\!</math>
คำนวนหาปริพันธ์ที่มีเลขดัชนีต่ำกว่า
 <math>n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \tfrac{4}{5} I_3, \,</math>
 <math>n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3} I_1, \,</math>
แทนค่ากลับได้
 <math>\because I_1\ = \int \cos x \,\text{d}x = \sin x + C_1,\,</math>
 <math>\therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3}\sin x + C_2, \quad C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1,\,</math>
 <math>I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x\right] + C,\,</math>
โดยที่ "C" เป็นค่าคงที่
ปริพันธ์ของเลขชี้กำลัง.
ตัวอย่างทั่วไปอีกอันคือ
 <math>\int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!</math>
เริ่มโดยการตั้งให้
 <math>I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!</math>
หาปริพันธ์โดยการแทนค่า
 <math> x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} (x^{n+1})}{n+1}, \,\!</math>
 <math>I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}), \!</math>
สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน
 <math>\begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) & = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\
& = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x ,
\end{align} \!</math>
 <math>(n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1}, \!</math>
เลื่อนดัชนีกลับไป 1 ("n + 1" → "n" และ "n" → "n" – 1)
 <math>n I_{n-1} = x^ne^{ax} - a I_n, \!</math>
แก้หา "In" 
 <math> I_n = \frac{1}{a} \left (x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right), \,\!</math>
ดังนั้นสูตรลดทอนคือ
 <math> \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left (x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right). \!</math>
วิธีทางเลือกอื่นในการหาสูตรลดทอนทำได้โดยเริ่มจากการแทนค่า <math>e^{ax}</math> 
หาปริพันธ์โดยการแทนค่า
<math> e^{ax} \,\text{d}x = \frac{\text{d} (e^{ax})}{a}, \,\!</math>
<math>I_n = \frac{1}{a} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}), \!</math>
สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน
<math>\begin{align} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) & = x^{n}e^{ax} - \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n}) \\
& = x^{n}e^{ax} - n \int e^{ax} x^{n-1}\,\text{d}x ,
\end{align} \!</math>
ซึ่งให้สูตรลดลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ
<math> I_n = \frac{1}{a} \left (x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right), \,\!</math>
ซึ่งเท่ากับ
 <math> \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left (x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right). \!</math>
อีกทางเลือกหนึ่งในการหาสูตรลดทอนได้โดยการบูรณาการแบบแยกส่วน
 <math>I_n = \int x^{n} x e^{ax} \,\text{d}x, \!</math>
 <math> u = x^{n} \text{, }\ dv = e^{ax} ,</math>
 <math> \frac{du} {dx}\ = nx^{n-1} \text{, }\ v = \frac{e^{ax}}{a}\ </math>
 <math> I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \int nx^{n-1}\ \frac{e^{ax}}{a}\ \text{d}x\ </math>
 <math> I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \frac{n}{a}\ \int x^{n-1} e^{ax} \ \text{d}x\ </math>
จำไว้ว่า
 <math> I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{ax} \ \text{d}x\ </math>
 <math>\therefore\ I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \frac{n}{a}\ I_{n-1}</math>
ซึ่งให้สูตรลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ
 <math> I_n = \frac{1}{a} \left (x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right), \,\!</math>
ซึ่งเท่ากับ
 <math> \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left (x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right). \!</math>
รายการสูตรลดทอนจำนวนเต็ม.
ฟังก์ชันตรรกยะ.
ปริพันธ์ต่อไปนี้ ประกอบด้วย
 <math>I_{n+\frac{1}{2}} = I_{\frac{2n+1}{2}} =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}}\,\text{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}}\,\text{d}x\,\!</math>
ฟังก์ชันอดิศัย.
ปริพันธ์ต่อไปนี้ ประกอบด้วย