การแปลงฟูรีเย

การแปลงฟูรีเย  ตั้งชื่อตาม โฌแซ็ฟ ฟูรีเย หมายถึงการแปลงเชิงปริพันธ์ โดยเป็นการเขียนแทนฟังก์ชันใด ๆ ในรูปผลบวก หรือปริพันธ์ ของฐาน ที่เป็นฟังก์ชันรูปคลื่น ไซน์หรือ โคไซน์
รูปแบบต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย.
การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง.
โดยปกติแล้วคำ "การแปลงฟูรีเย" จะใช้หมายถึง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชัน "f" ("t") ที่สามารถหาปริพันธ์ของกำลังสองได้ ด้วยผลบวกของ ฟังก์ชัน เอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อน ซึ่งมี ความถี่เชิงมุม ω และ ขนาด (หรือ แอมปลิจูด) เป็นจำนวนเชิงซ้อน "F" (ω) ;
 <math>
f(t) = \mathcal{F}^{-1} (F) (t)
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F (\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.
</math>
ความสัมพันธ์ด้านบนคือ การแปลงกลับของ การแปลงฟูรีเยแบบต่อเนื่อง (Inverse Fourier transform) ส่วนการแปลงฟูรีเยนั้นปกติจะเขียน "F" (ω) ในรูปของ "f" ("t") คู่ของ ฟังก์ชันดั้งเดิม และ ผลของการแปลงของฟังก์ชันนั้น บางครั้งก็เรียก "คู่ของการแปลง" (transform pair) ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง ภาคขยายของการแปลงนี้คือ การแปลงฟูรีเยแบบไม่เป็นจำนวนเต็ม  ซึ่งค่ายกกำลังของการแปลง (จำนวนการแปลงซ้ำ) นั้นไม่จำเป็นจะต้องเป็นจำนวนเต็ม สามารถเป็นค่าจำนวนจริงใด ๆ
เมื่อ "f" ("t") เป็น ฟังก์ชันคู่ (ฟังก์ชันคี่) เทอม ไซน์ (โคไซน์) จะไม่ปรากฏ ซึ่งคงเหลือไว้แต่ การแปลงโคไซน์ และ การแปลงไซน์ ตามลำดับ อีกกรณีหนึ่งคือ เมื่อ "f" ("t") เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะทำให้ "F" (−ω)  = "F" (ω) *
อนุกรมฟูรีเย.
การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องนั้นเป็นภาคขยาย ของแนวความคิดที่เกิดก่อนหน้านั้น คือ อนุกรมฟูรีเย ซึ่งเป็นการเขียนแทน ฟังก์ชันคาบ (หรือฟังก์ชัน ในโดเมนจำกัด) "f" ("x") (มีคาบ 2π) ด้วย อนุกรม ของฟังก์ชันรูปคลื่น:
 <math>f (x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,</math>
ซึ่ง <math>F_n</math> เป็น ค่าจำนวนเชิงซ้อนของขนาด หรือ ค่าจริงของขนาดเมื่อ ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันค่าจริง อนุกรมฟูรีเยยังอาจเขียนในรูป:
 <math>f (x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos (nx) +b_n\sin (nx) \right],</math>
โดย "a""n" และ "b""n" เป็นค่าจำนวนจริงของขนาด ของอนุกรมฟูรีเย
การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง.
สำหรับการคำนวณด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ ค่าสัญญาณในทั้งสองโดเมนจำเป็นต้องมีค่าเป็นดิจิทัล ซึ่งคือฟังก์ชันค่าไม่ต่อเนื่อง <math>x[n]</math> บนโดเมนไม่ต่อเนื่อง แทนที่จะเป็นโดเมนต่อเนื่อง ในช่วงจำกัด หรือ เป็นคาบ ในกรณีนี้เราจะใช้ การแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง (-DFT) ซึ่งเขียนแทน <math>x[n]</math> ด้วยผลบวกของฟังก์ชันคาบ
 <math>x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{2\pi ink/N} \quad \quad n = 0,\dots,N-1</math>
โดยที่ <math>X[k]</math> คือ ค่าขนาดบนโดเมนการแปลง การคำนวณจากสมการข้างต้นจะใช้ความซับซ้อนในการคำนวณ O ("N"2) ซึ่งสามารถลดลงเหลือเพียง O ("N" log "N") โดยการใช้ขั้นตอนวิธี การแปลงฟูรีเยอย่างเร็ว (-FFT)
รูปแบบอื่น ๆ.
DFT เป็นกรณีที่เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องบนทั้งสองโดเมน ซึ่งบางครั้งใช้ในการประมาณค่าของ การแปลงฟูรีเยเวลาไม่ต่อเนื่อง (-DTFT) ซึ่ง <math>x[n]</math> เป็นค่าไม่ต่อเนื่องบนโดเมนที่ไม่จำกัด ดังนั้นจึงมีสเปกตรัมเป็นค่าต่อเนื่อง และเป็นคาบ DTFTเป็นความสัมพันธ์ตรงข้ามกับ อนุกรมฟูรีเย
การแปลงฟูรีเย สามารถขยายความการแปลงบน อาบีเลียนโทโพโลยีกรุ๊ปใด ๆ ที่คอมแพคเฉพาะที่  เป็นการแปลงจากกรุ๊ปหนึ่งไปยังกรุ๊ปคู่ของมัน ซึ่งเป็นหัวข้อใน การวิเคราะห์ฮาร์โมนิก  ภายใต้การขยายความนี้ทำให้สามารถ สร้างความสัมพันธ์ทั่วไปของ ทฤษฎีการคอนโวลูชัน  ซึ่งเป็นทฤษฎีความสัมพันธ์ระหว่าง การแปลงฟูรีเย และ การคอนโวลูชัน "ดู ความเป็นคู่ของพอนเทรียกิน  สำหรับพื้นฐานภาคขยายความของการแปลงฟูรีเย"
นอกจากนั้นแล้ว ยังมีภาคขยายเพื่อการวิเคราะห์ข้อมูลความถี่ ณ จุดเวลาใด ๆ คือ การแปลง เวลา-ความถี่  เช่น การแปลงฟูรีเยช่วงเวลาสั้น (short-time Fourier transform) การแปลงเวฟเลท  การแปลงเชิพเลท  และ การแปลงฟูรีเยแบบไม่เป็นจำนวนเต็ม  เป็นการแปลงซึ่งมีจุดมุ่งหมายในการคำนวณ ข้อมูลความถี่ ของสัญญาณ ในรูปฟังก์ชันของเวลา ความสามารถในการคำนวณหาข้อมูลบนทั้งโดเมนเวลา และ ความถี่พร้อม ๆ กันนั้นจะถูกจำกัดโดย กฎความไม่แน่นอน 
การแปลงในตระกูลการแปลงฟูรีเย.
ตารางด้านล่างสรุปการแปลงทั้งหมดที่อยู่ในตระกูลเดียวกับการแปลงฟูรีเย จะสังเกตเห็นว่าความต่อเนื่องหรือความไม่ต่อเนื่องในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความเป็นคาบหรือความไม่เป็นคาบในอีกโดเมนหนึ่ง นอกจากนั้นแล้วการมีค่าเป็นจำนวนจริงในโดเมนหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดความสมมาตรในอีกโดเมน
ประวัติศาสตร์ การพัฒนา อุปสรรค และความขัดแย้ง.
"หมายเหตุ : เนื้อหาส่วนใหญ่ในส่วนนี้ถือตาม ซึ่งมีการอ้างอิงถึงเอกสารดั้งเดิมอย่างละเอียด และเนื้อหาอาจมีความแตกต่างจากแหล่งอื่น"
อนุกรมฟูรีเย และบทความปี ค.ศ. 1807.
ทฤษฎีการแปลงฟูรีเย มีจุดเริ่มต้นจากบทความของ ฟูรีเย ที่เขียนในปี ค.ศ. 1807 (ถูกปฏิเสธ) กับ ค.ศ. 1811 (ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1824 และ ค.ศ. 1826) และ หนังสือ "ทฤษฎีการวิเคราะห์ความร้อน" ในปีค.ศ. 1822
เริ่มต้นจาก ฟูรีเย ได้ส่งบทความวิชาการของเขาในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ไปยัง "สถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส" ในวันที่ 21 ธันวาคม ค.ศ. 1807 ซึ่งในขณะนั้น เดอลอมเบรอ เป็นเลขาธิการถาวร ในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ และ คณิตศาสตร์ เดอลอมเบรอมอบหมายให้ลากรองจ์ ลาปลาส ลาครัวซ์ และมงจ์ เป็นกรรมการตรวจสอบบทความ โดยที่มงจ์ให้การสนับสนุน ส่วนลาปลาสและลาครัวซ์ก็ให้ความเห็นชอบ แต่ลากรองจ์ไม่ยอมรับแนวความคิดของฟูรีเย เป็นผลให้บทความของฟูรีเยนั้นถูกปฏิเสธรับเพื่อตีพิมพ์ มีเพียงแต่บทวิจารณ์ในงานของฟูรีเยโดย ปัวซง เท่านั้นที่ตีพิมพ์ออกเผยแพร่ ซึ่งบทวิจารณ์ของปัวซงก็ไม่ได้ให้ความสำคัญกับแนวความคิดของฟูรีเยแต่อย่างใด
"หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล) " ฟูรีเยนั้นเคยเรียนกับ ลากรองจ์ ลาปลาส และมงจ์ ที่ "เอกอล นอร์มาล" (วิทยาลัยครู) ในปี ค.ศ. 1795 ซึ่งเปิดสอนได้ไม่กี่เดือนก็ต้องปิดไป ฟูรีเยย้ายไปที่ "เอกอล โปลีเทคนีค" (วิทยาลัยโปลีเทคนิค) ซึ่งมงจ์เป็นผู้อำนวยการ แต่ไม่สามารถเข้าเป็นนักเรียนได้เนื่องจากมีอายุมากกว่าเกณฑ์คือ 20 ปี มงจ์จึงช่วยเหลือให้ฟูรีเยได้เป็นผู้ช่วยสอน
อุปสรรคจากลากรองจ์.
เหตุผลในการตอบปฏิเสธบทความของฟูรีเย นั้นมีหลายจุด แต่หลัก ๆ นั้นไม่เห็นด้วยกับ อนุกรมฟูรีเย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติการลู่เข้า ของอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ หลังจากนั้นฟูรีเยได้ส่ง รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติการลู่เข้าไปหาลากรองจ์ และ ในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1809 ได้ส่งเอกสารเพิ่มเติม เกี่ยวกับข้อกังขาต่าง ๆ ของกรรมการที่มีต่อบทความในปี ค.ศ. 1807 ไปยัง "สถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส" แต่บทความปี ค.ศ. 1807 ก็ไม่ได้รับการตีพิมพ์
เบิร์นฮาร์ด รีมันน์ ได้กล่าวว่า เมื่อฟูรีเย ได้นำเสนอแนวความคิดของเขาในบทความ ปี ค.ศ. 1807 นั้น ผลลัพธ์เป็นที่น่าประหลาดใจมาก จนลากรองจ์ได้แสดงความเห็นว่าเป็นไปไม่ได้อย่างเด็ดขาด
เหตุผลที่ลากรองจ์ ไม่เห็นด้วยกับบทความของฟูรีเย นั้นสามารถสืบย้อนกลับไปถึงปัญหาการสั่นของเชือก  "ดูบทความหลัก สมการคลื่น"
 <math>{ \partial^2 y \over \partial t^2 } = a^2 { \partial^2 y \over \partial x^2 } </math>
ซึ่งผู้ที่ทำการศึกษาและหาคำตอบทั่วไปในยุคแรก ๆ คือ ดาเลมแบร์ ออยเลอร์ และ ดานีเอล แบร์นูลี 
ในปี ค.ศ. 1747 ดาเลมแบร์ ได้เสนอคำตอบในรูปฟังก์ชันนอล <math>y (x,t) = f (x+att) + g (x-at) </math> และพิจารณาเงื่อนไขขอบ ถึงแม้ว่าฟังก์ชันในรูปที่ ดาเลมแบร์พิจารณานั้นมีรูปแบบทั่วไป แต่เขาก็ยึดติดกับรูปแบบของฟังก์ชันพีชคณิต ที่มีอนุพันธ์ ในปีถัดมา ค.ศ. 1748 ออยเลอร์ ได้ยกปัญหาของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ เสนอแนวความคิดของการกำหนดฟังก์ชัน บนโดเมนที่แบ่งออกเป็นส่วน ๆ
การใช้อนุกรมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นรูปแบบคำตอบสมการคลื่น นั้นถูกนำเสนอเป็นครั้งแรกโดย ดานีเอล แบร์นูลี ในปี ค.ศ. 1753 ในรูป
 <math> f (x) = \alpha \sin {\pi x \over l} + \beta \sin {\pi x \over l} + \cdots</math>
แนวความคิดของดานีเอล แบร์นูลี ไม่ได้มาจากคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ แต่มาจากคุณสมบัติทางกายภาพที่เห็นได้ชัด ของการซ้อนทับกันของการสั่นที่หลายความถี่
ในปี ค.ศ. 1754 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ตั้งข้อโต้แย้งกับแนวความคิดการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติดังกล่าวของแบร์นูลี โดยได้บ่งชี้ถึงงานของเขา ในปี ค.ศ. 1748 ซึ่งได้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวอย่าง ออยเลอร์ได้ให้เหตุผลของการไม่ยอมรับแนวความคิดของการใช้ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนฟังก์ชันใด ๆ ไว้ว่า ถึงแม้ว่าสัมประสิทธิ์จำนวนนับไม่ถ้วน ในอนุกรมจะให้ความยืดหยุ่น ในการใช้อนุกรมแทนฟังก์ชันทั่วไป แต่เนื่องจากคุณสมบัติ ความเป็นคาบ และ ความเป็นฟังก์ชันคี่ ของไซน์ นั้นทำให้การใช้อนุกรมนี้แทนฟังก์ชันใด ๆ ที่ไม่มีคุณสมบัติดังกล่าวนั้นเป็นไปไม่ได้
ในปีค.ศ. 1859 ลากรองจ์ ได้เขียนบทความเกี่ยวกับปัญหาการสั่นของเชือกนี้ ลากรองจ์ยอมรับในหลักการทั่วไป และ รูปแบบคำตอบของออยเลอร์ แต่ลากรองจ์ได้นำเสนอวิธีการทำให้ได้มาซึ่งคำตอบ จากมุมมองที่แตกต่างจากออยเลอร์ ลากรองจ์ได้เสนอแบบจำลองวัตถุ "n" ชิ้น (n-body model) และหาคำตอบที่จำนวนวัตถุ "n" มีค่าเข้าสู่ อินฟินิตี้ ได้คำตอบในรูป
 <math> y = {2 \over l} \int_{0}^{l} {\sum_{r=1}^{\infty}\sin{r \pi X \over l}\sin{r \pi x \over l}\cos{r \pi ct \over l}Y (X)} \, dX + {2 \over \pi c} \int_{0}^{l} {\sum_{r=1}^{\infty}\sin{r \pi X \over l}\sin{r \pi x \over l}\sin{r \pi ct \over l}V (X)} \, dX </math>
โดยที่ "Y (x) " คือ ตำแหน่งเริ่มต้นของเชือก และ "V (x) " คือความเร็วเริ่มต้น
สังเกตว่า สมการของลากรองจ์นี้ หากแทนค่า เวลา "t = 0" จะได้อนุกรมฟูรีเย ถึงแม้ว่าจะสามารถหาอนุกรมฟูรีเยจากสมการของลากรองจ์ได้ แต่จุดประสงค์ของสมการนี้ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่จะนำไปสู่แนวความคิดนั้น โดยได้มีการตั้งข้อสังเกตการสลับตำแหน่งของ <math>\mathcal{s}</math> และ Σ โดยลากรองจ์นั้นสลับเอา Σไว้ภายในอินทิเกรต ซึ่งหากสมการอยู่ในรูปที่ขึ้นต้นด้วย ผลบวกจะทำให้อยู่ในรูปของอนุกรมอนันต์ ซึ่งบ่งชี้ถึงความไม่เห็นด้วยถึงหลักการเขียนแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ นอกจากนั้นแล้วยังมีข้อบ่งชี้ถึงความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดของลากรองจ์ในการหาคำตอบข้างต้น ซึ่งรูปคำตอบนั้นเป็นไปในแนวความคิดเดียวกับออยเลอร์ ผู้ซึ่งได้แสดงความไม่เห็นด้วยกับแนวความคิดของ ดาเนียล เบอร์นูลลี ในการใช้อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติในการแทนฟังก์ชันทั่วไปด้วยเหตุผลของ ความเป็นคาบ และความเป็นฟังก์ชันคี่ดังกล่าวข้างต้น ดังนั้นความไม่เห็นด้วยของลากรองจ์ต่อแนวความคิดของฟูรีเย ก็อาจจะมาจากพื้นฐานเดียวกัน
การแปลงฟูรีเย และ บทความปี ค.ศ. 1811.
ต่อมา"สถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส" ได้ตั้งปัญหารางวัลกรังปรีซ์คณิตศาสตร์สำหรับปี ค.ศ. 1812 ในหัวข้อการแพร่กระจายความร้อน ซึ่งฟูรีเยได้ส่งบทความ "บันทึกเกี่ยวกับการแพร่กระจายของความร้อน" ซึ่งเป็นบทความที่พัฒนาจากบทความปี ค.ศ. 1807 ของเขา เข้าชิงรางวัลในปลายปี ค.ศ. 1811 โดยมี ลากรองจ์ ลาปลัส และ อาเดรียน-มารี เลอจองเดรอ เป็นกรรมการตรวจสอบ ถึงแม้ว่าบทความของฟูรีเยจะชนะรางวัล แต่บทความของเขาก็โดนวิพากษ์วิจารณ์ ถึงวิธีการที่ใช้ในการวิเคราะห์และพิสูจน์ และถูกเก็บดองไว้ไม่ได้ตีพิมพ์ใน "บันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์" ในขณะนั้น
"หมายเหตุ : (ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล) " ในวัยเยาว์ ฟูรีเยได้เข้าเรียนที่โรงเรียนการทหารในเมืองของเขา โดยมี เลอจองเดรอ เป็นผู้อำนวยการโรงเรียน (ผู้ตรวจสอบ) ต่อมาเขาได้สมัครเข้าเรียนต่อที่โรงเรียนการวิศวกรรม และ ปีนใหญ่ โดยได้รับการสนับสนุนจาก เลอจองเดรอ แต่เขาถูกตอบปฏิเสธการรับเข้า
บทความของฟูรีเยในปี ค.ศ. 1811 นั้นได้ขยายความจากอนุกรมอนันต์ ออกไปครอบคลุมถึงรูปปริพันธ์ "ดูบทความหลัก การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง" ถึงแม้ว่าจะไม่มีข้อมูลเด่นชัดถึงแรงบันดาลใจที่ฟูรีเยขยายความจากอนุกรมไปสู่รูปปริพันธ์ได้อย่างไร ได้มีการตั้งข้อสันนิษฐานว่าอาจได้รับอิทธิพลมาจากลาปลัส เนื่องจากในช่วงปี ค.ศ. 1809 นั้นฟูรีเยได้มีการติดต่อกับลาปลัส ในเรื่องของปัญหาการแพร่ความร้อนที่เขาทำการศึกษา ซึ่งต่อมาลาปลัสได้นำเสนอคำตอบซึ่งอยู่ในรูปปริพันธ์ ถึงแม้ว่าจะมีแนวความคิดที่แตกต่างจากของฟูรีเย แต่ก็อาจจะเป็นจุดบันดาลใจให้ฟูรีเยได้คิด
ในปี ค.ศ. 1817 ออกุสตัง หลุยส์ โคชี ได้ตีพิมพ์บทความ ซึ่งมีการแปลงรูปปริพันธ์ของฟูรีเย ในบทความนั้นโคชี ได้กล่าวว่าเขาได้ค้นพบรูปคำตอบใหม่ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในรูปปริพันธ์ ฟูรีเยได้ทำการทักท้วง ซึ่งส่งผลให้ในบทความถัดมาของโคชี ในปี ค.ศ. 1818 มีข้อความแสดงการยอมรับถึงการค้นพบก่อนหน้าเขาโดยฟูรีเย มีการตั้งข้อสังเกตว่า เนื่องจากในปี ค.ศ. 1816 นั้นโคชี ได้รับตำแหน่งที่ว่างลงใน "ราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์" ทำให้เขาอยู่ในตำแหน่งที่สามารถอ่านบทความในปี ค.ศ. 1811 ของฟูรีเยซึ่งยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ได้ นอกจากนั้นในปีเดียวกันคือ ค.ศ. 1816 ฟูรีเยได้พิมพ์บทคัดย่อของหนังสือที่เขาจะเขียนออกในปี ค.ศ. 1822 ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้มากที่ โคชีได้อ่านบทความของฟูรีเยมาแล้ว
หลังจากที่ ลากรองจ์เสียชีวิตลงในปี ค.ศ. 1813 เมื่อเดอลอมเบรอได้เสียชีวิตในปี ค.ศ. 1824 ฟูรีเยได้รับเลือกให้ขึ้นดำรงตำแหน่งเลขาธิการถาวร ด้วยความคาใจฟูรีเยจึงได้ตีพิมพ์บทความในปี ค.ศ. 1811 ของเขาซึ่งยังไม่ได้รับการตึพิมพ์ ในลักษณะดั้งเดิมโดยไม่มีการแก้ไข โดยแบ่งออกเป็น 2 ส่วนตีพิมพ์ใน "บันทึกของราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์แห่งสถาบันแห่งชาติฝรั่งเศส" ในปี ค.ศ. 1824 และ ค.ศ. 1826
หลังจากนั้นในปี ค.ศ. 1829 โยฮันน์ ปีเตอร์ กุสตาฟ เลอเจิน ดีริชเลต์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้แสดงบทพิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรมฟูรีเย ซึ่งเป็นที่รู้จักกว้างขวางในปัจจุบัน
 <math>f (x) = a_0 + 2 a_1 \cos (x) + 2 a_2 \cos (2x) + \ldots + 2 a_n \cos (nx) + \ldots</math>
 โดยวิธีคูณด้วย <math>\cos nx</math> และอินทิเกรตทีละเทอม จาก 0 ถึง π ได้
 <math>a_n = {1 \over \pi} \int_0^{\pi} f (x) \cos (nx) \,dx</math>
ข้อโต้แย้งต่าง ๆ.
ถึงแม้ว่าทั้งสองจะได้นำเสนอรูปสมการที่เหมือน หรือ สามารถปรับให้เหมือนอนุกรมฟูรีเย ได้ แต่วิธีของทั้ง ลากรองจ์ และ ออยเลอร์ นั้นไม่ได้นำไปสู่ แนวความคิดของการแทนฟังก์ชันใด ๆ ด้วยอนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยิ่งไปกว่านั้นทั้งสองยังได้แสดงความคิดเห็นที่คัดค้านต่อแนวความคิดดังกล่าว สมการของลากรองจ์นั้นมีจุดประสงค์เพียงต้องการใช้ยืนยันผลคำตอบตามแนวความคิดของออยเลอร์ ส่วนวิธีการข้างต้นของออยเลอร์นั้นนำเสนอเพื่อใช้กับ อนุกรมฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รู้แน่นอน ไม่ได้ใช้สำหรับการแทนฟังก์ชันทั่วไป ดังนั้นจึงตั้งชื่อเป็นเกียรติแก่ฟูรีเย ผู้ซึ่งให้กำเนิดแนวความคิด
ฌอง กาสตง ดาบูซ์  ในการรวบรวมผลงานของฟูรีเย ในปี ค.ศ. 1888 เขาได้พบต้นฉบับบทความของฟูรีเยปี ค.ศ. 1807 ซึ่งสาบสูญไปหลังจากที่ฟูรีเยเสียชีวิตลงในปี ค.ศ. 1830 ที่ห้องสมุดของ "École Nationale des Ponts et Chaussées" ในกรุงปารีส ซึ่งดาบูซ์ได้ชี้ว่าในบทความนั้น ฟูรีเยได้พิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรม และวิธีการที่ฟูรีเยใช้จริง ๆ แล้วก็ไม่แตกต่างจากที่ ดีริชเลต์ ใช้ในการพิสูจน์ต่อมาในภายหลัง