ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/Hyperfine Structure

โครงสร้างสุดละเอียด (Hyperfine Structure).
โครงสร้างสุดละเอียดคือการที่เกิดการเลื่อนไปเล็กน้อยของระดับชั้นพลังงานของอะตอมเนื่องจาก อัตรกิริยาระหว่างนิวเคลียส กับ ออเล็กตรอน ทำให้เกิดโครงสร้างแบบละเอียดขึ้น 
เนื่องจากเกิดไดโพลแม่เหล็กของโปรตรอน 
ในโครงสร้างสุดละเอียดเราจะพิจารณาสปินโปรตอน <math>S_{p}</math> เช่นเดียวกับของอิเล็กตรอน โดยจะเกิดไดโพลแม่เหล็กของโปรตอนขึ้น แต่จะมีค่าน้อยกว่าของอิเล็กตรอนเนื่องจากมวลที่มีค่ามากกว่า ตามสมการ
<math> \vec{\mu_{p} }=\frac{g_{p} e}{2m_{p}}\vec{S_{p}} </math> โดยที่ <math>g_{p}</math> เป็นค่า g-factor ของโปรตอนซึ่งประมาณ <math>5.59</math>
<math> \vec{\mu_{e} }=-\frac{g_{e} e}{m_{e}}\vec{S_{e}} = -\frac{e}{m_{e}}\vec{S_{e}} </math>
ซึ่งไดโพลนั้นก็จะสร้างสนามแม่เหล็กซึ่งมีค่า
<math> \vec{B} = \frac{\mu _{0}}{4\pi r^{3}}[3(\vec{\mu} \cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{\mu} ]+\frac{2\mu _{0}}{3}\vec{\mu} \delta ^{3}\hat{r} </math>
และสนามแม่เหล็กดังกล่าวที่เกิดจากไดโพลของโปรตอนก็จะไปรบกวนไดโพลของอิเล็กตรอน ตามสมการ
<math> H=-\vec{\mu }\cdot \vec{B} </math>
ทำให้ได้ฮามิลโตเนียนของอิเล็กตรอนที่ถูกรบกวนเป็น
<math> H_{hf}=\frac{\mu _{0} g_p e^{2}}{8\pi m_{p}m_{e}}\frac{[3(\vec{S_{p}}\cdot \hat{r})(\vec{S_{e}}\cdot \hat{r})-\vec{S_{p}}\cdot \vec{S_{e}}]}{r^3}+\frac{\mu _{0} g_p e^{2}}{3 m_{p}m_{e}} \vec{S_{p}}\cdot \vec{S_{e}}\delta ^3(\hat{r}) </math>
จากทฤษฏีการรบกวน ค่าการแก้ไขของพลังงานอันดับที่ 1 คือค่าเฉลี่ยของฮามิลโตเนียนที่รบกวน
<math> E_n^{(1)} = \left \langle n^{(0)} \right | V \left |n^{(0)} \right \rang </math>
ได้ว่า
<math> E_{hf} = \frac{\mu _{0} g_p e^{2}}{8\pi m_{p}m_{e}}\left \langle\frac{3(\vec{S_{p}}\cdot \hat{r})(\vec{S_{e}}\cdot \hat{r})-\vec{S_{p}}\cdot \vec{S_{e}}}{r^3} \right \rangle+\frac{\mu _{0} g_p e^{2}}{3 m_{p}m_{e}} \left \langle \vec{S_{p}}\cdot \vec{S_{e}} \right \rangle\left | \psi (0) \right |^{2} </math>
ในสถานะที่ โมเมนต์แม่เหล็กของอะตอมมีค่าเป็น 0 (l=0) ฟังก์ชันคลื่นจะมีลักษณะสมมาตรแบบทรงกลม จะทำให้เทอมแรกมีค่าเป็นศูนย์ และเมื่อพิจารณาสถานะที่พลังงานต่ำสุดหรือสถานะพื้น (Ground state) มีฟังก์ชันคลื่นคือ
<math> \psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a^{3}}} e^{-r/a} </math>
ได้ว่า 
<math> \left | \psi_{100}(0) \right |^{2} = \frac{1}{\pi a^{3}} </math> 
จะได้ว่าค่าแก้ไขอันดับที่หนึ่งของการถูกรบกวนจากการถูกรบกวน
<math>E_{hf} = \frac{\mu _{0} g_p e^{2}}{3 \pi m_{p}m_{e} a^3} \left \langle \vec{S_{p}}\cdot \vec{S_{e}} \right \rangle</math>
พิจารณาสปินรวม <math>\vec{S} = \vec{S_p} + \vec{S_e}</math> จะได้
<math>S^2 = S_{p}^{2} + S_{e}^{2} + 2\vec{S_p} \cdot \vec{S_e}</math>
จะได้
<math>\vec{S_p} \cdot \vec{S_e} = \frac{1}{2} (S^2 - S_{p}^{2} - S_{e}^{2})</math>
ดังนั้น
<math>E_{hf} = \frac{\mu _{0} g_p e^{2}}{3 \pi m_{p}m_{e} a^3} \frac{1}{2} (s(s+1) - s_p(s_p +1) - s_e(s_e +1))\hbar^2</math>
เนื่องจากสปินของทั้งโปรตอนและอิเล็กตรอนมีค่าเป็น <math> \frac{1}{2} </math> จะได้
<math>E_{hf} = \frac{\mu _{0} g_p e^{2} \hbar^2}{3 \pi m_{p}m_{e} a^3} \frac{1}{2} \left (s(s+1) - \frac{3}{2} \right)</math>
และแยกออกของระดับพลังงานจะแบ่งเป็น 2 สถานะคือ triplet state ซึ่งมีค่าสปินรวมเป็น 1 และ singlet state ซึ่งมีค่าสปินรวมเป็น 0 จะได้ว่า
<math>E_{hf} = \frac{\mu _{0} g_p e^{2} \hbar^2}{3 \pi m_{p}m_{e} a^3} \left\{\begin{matrix}
+\frac{1}{4} & (\textrm{triplet})\\ 
-\frac{3}{4} & (\textrm{singlet})
\end{matrix}\right. </math>
ดังนั้น ผลต่างของระดับพลังงานทั้งสองคือ
<math>\Delta E = \frac{\mu _{0} g_p e^{2} \hbar^2}{3 \pi m_{p}m_{e} a^3} = 9.42 \times 10^{-25} \; J</math>
ซึ่งความถี่ของโฟตอนที่ปลดปล่อยออกมาขณะเปลี่ยนระดับชั้นจาก triplet ไปยัง singlet state คือ
<math>f = \frac{\Delta E}{h} = 1.42 \times 10^{9} \; Hz</math>
และคิดเป็นความยาวคลื่น
<math>\lambda = \frac{c}{f} = 21.1 \; cm</math>
โดยความยาวคลื่นดังกล่าวอยู่ในช่วงของคลื่นไมโครเวฟ โดยเรียกว่า 21 centimeter line
การประยุกต์ใช้งาน.
Astrophysics.
เนื่องการเปลี่ยนของอิเล็กตรอนไฮเจนในสถานะโครงสร้างสุดละเอียด จะให้โฟตอนในช่วงความยาวคลื่น 21 cm ซึ่งสามารถนำไปสู่การสร้าง แผนที่ไฮโดรเจนในอวกาศได้ 
ต่อมา Carl Sagan และ Frank Drake ได้นำ การเปลี่ยนในสถาะสุดละเอียด ไปใช้ในการเข้ารหัสของ Pioneer plaque และ Voyager Golden Record ซึ่งสามารถจะติดต่อกับมนุษย์ต่างดาวได้ เพราะเป็นปรากฏการณ์ธรรมชาติของจักรวาล