กฎการหาอนุพันธ์

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและกฎการหาอนุพันธ์ หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส
กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น.
ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง (R) ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน (C) ด้วย
กฎพจน์ค่าคงที่.
สำหรับฟังก์ชั่น <math>f</math> และ <math>g</math> และจำนวนจริง <math>a</math> และ <math>b</math> ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>h(x) = af(x) + bg(x)</math> ในส่วน <math>x</math> คือ<math> h'(x) = a f'(x) + b g'(x)</math>
 <math>\begin{align}
การพิสูจน์.
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(c) - (c)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} 0 \\
&= 0
\end{align}</math>
บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0
คำอธิบายททางเรขาคณิต.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง
การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น.
สำหรับฟังก์ชัน<math>f</math> และ <math>g</math> และจำนวนจริง <math>a</math> และ <math>b</math> ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>h(x) = af(x) + bg(x)</math> ที่ส่วน <math>x</math> คือ <math> h'(x) = a f'(x) + b g'(x)</math>
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 
<math display="block"> \frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}</math>
กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่
กฎผลคูณ.
สำหรับฟังก์ชั่น <math>f</math> และ <math>g</math> ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>h(x) = f(x) g(x)</math> ในส่วน <math>x</math> คือ 
<math display="block"> h'(x) = (fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)</math>
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 
<math display="block">\frac{d(fg)}{dx} = g \frac{df}{dx} + f \frac{dg}{dx}</math>
ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่ <math>\text{D}</math> ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้
<math display="block"> [\text{D} (f\circ g)]_x = [\text{D} f]_{g(x)} \cdot [\text{D}g]_x\,</math>
กฎลูกโซ่.
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>h(x) = f(g(x))</math> คือ<math display="block"> h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).</math>
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป <math display="block">\frac{d}{dx}h(x) = \left.\frac{d}{dz}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x)</math>
มักจะย่อเป็น <math display="block">\frac{dh(x)}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}</math>
สำหรับค่า <math>c</math> ใด ๆ เมื่อ <math>c \in \mathbb{R}</math>, ถ้า <math>f(x)</math> คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่ <math>f(x) = c</math> แล้ว <math>\frac{df}{dx} = 0</math> 
กฎฟังก์ชันผกผัน.
ถ้าฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน g ซึ่งหมายความว่า <math>g(f(x)) = x</math> และ <math>f(g(y)) = y</math> แล้ว <math display="block">g' = \frac{1}{f'\circ g}</math>
เมื่อ <math>r = 1</math> จะเป็นกรณีพิเศษถ้า <math>f(x) = x</math> แล้ว <math>f'(x) = 1</math>
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป <math display="block"> \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}</math>
กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ.
กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น.
ถ้า <math>f(x) = x^r</math> สำหรับจำนวนจริงใดๆ <math>r \neq 0</math> แล้ว
 <math>f'(x) = rx^{r-1}</math>
การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้
กฎส่วนกลับ.
อนุพันธ์ของ <math>h(x)=\frac{1}{f(x)}</math> สำหรับฟังก์ชัน "f" (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ
 <math> h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> โดยที่ "f" ไม่เป็นศูนย์
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 
 <math> \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}</math>
กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่
กฎผลหาร.
ถ้า "f" และ "g" เป็นฟังก์ชัน แล้ว
 <math>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad</math> โดยที่ "g" ไม่เป็นศูนย์
ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ
 <math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right) \quad</math>
กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป.
ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม
กรณีพิเศษ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม.
<math> \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {ac^{ax} \ln c } ,\qquad c > 0</math>
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่อนุพันธ์เมื่อ <math display="inline">c<0</math> ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน
 <math> \frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}</math>
 <math> \frac{d}{dx}\left(\log_c x\right) = {1 \over x \ln c}, \qquad c > 1</math>
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก "c" แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก <math display="inline">c<0\!</math> -
 <math> \frac{d}{dx}\left(\ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0</math>
 <math> \frac{d}{dx}\left(\ln |x|\right) = {1 \over x} ,\qquad x \neq 0</math>
 <math> \frac{d}{dx}\left(W(x)\right) = {1 \over {x+e^{W(x)}}} ,\qquad x > -{1 \over e}.\qquad</math> เมื่อ <math>W(x)</math> คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท
 <math> \frac{d}{dx}\left(x^x \right) = x^x(1+\ln x).</math>
 <math> \frac{d}{dx}\left(f(x)^{ g(x) } \right) = g(x)f(x)^{g(x)-1} \frac{df}{dx} + f(x)^{g(x)}\ln{(f(x))}\frac{dg}{dx}, \qquad \text{if }f(x) > 0, \text{ and if } \frac{df}{dx} \text{ and } \frac{dg}{dx} \text{ exist.}</math>
 <math> \frac{d}{dx}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left (... \right)^{f_{n}(x)}}} \right) = \left [\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial }{\partial x_{k}} \left(f_{1}(x_1)^{f_{2}(x_2)^{\left (... \right)^{f_{n}(x_n)}}} \right) \right ] \biggr\vert_{x_1 = x_2 = ... =x_n = x}, \text{ if } f_{i<n}(x) > 0 \text{ and }</math> <math> \frac{df_{i}}{dx} \text{ exists. }</math>
อนุพันธ์เชิงลอการิทึม.
อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):
 <math> (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad</math> โดยที่ "f" เป็นบวก
อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริง[ "" ]
ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ.
ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้
 <math>\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\, dt</math>
 <math>\begin{align}
อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ.
\Gamma'(x) & = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt \\
& = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) \\
& = \Gamma(x) \psi(x)
\end{align}</math> กับ <math>\psi(x)</math> เป็น ฟังก์ชันไดแกมม่า ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ <math>\Gamma(x)</math> ในบรรทัดด้านบน
 <math>\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}</math>
 <math>\begin{align}
=-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \\
\end{align}</math>
อนุพันธ์ของปริพันธ์.
สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน "x" ของฟังก์ชัน
 <math>F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt</math>
ที่ฟังก์ชั่น <math>f(x,t)</math> และ <math>\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)</math> ต่อเนื่องทั้ง <math>t</math> และ <math>x</math> ในบางบริเวณของระนาบ <math>(t,x)</math> รวมทั้ง <math>a(x)\leq t\leq b(x),</math> <math>x_0\leq x\leq x_1</math> และฟังก์ชัน <math>a(x)</math> และ <math>b(x)</math> ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ <math>x_0\leq x\leq x_1</math> - แล้วเมื่อ <math>\,x_0\leq x\leq x_1</math> -
 <math> F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\, </math>
สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
อนุพันธ์อันดับดับที่ "n".
มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่ n ของฟังก์ชัน โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง
สูตรของฟาอาดิบรูโน.
ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง <math display="block"> \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}</math> เมื่อ <math display="inline"> r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m</math> และเซต <math> \{k_m\}</math> ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์ <math display="inline"> \sum_{m=1}^{n} m k_m = n</math> -
กฎทั่วไปของไลบ์นิซ.
ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง <math display="block">\frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)</math>
ที่มาและอ่านเพิ่มเติม.
กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน