รูปสี่เหลี่ยม

ในเรขาคณิตแบบยูคลิด รูปสี่เหลี่ยม คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้าน (หรือขอบ) และมุมสี่มุม (หรือจุดยอด)
รูปสี่เหลี่ยมมีทั้งที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่าย (ไม่มีด้านที่ตัดกันเอง) และรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน (มีด้านที่ตัดกันเอง หรือเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมไขว้) รูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน (convex) หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า (concave) อย่างใดอย่างหนึ่ง
มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายรวมกันได้ 360 องศา ส่วนรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน เนื่องจากมุมภายในที่ด้านตรงข้ามเป็นมุมกลับ ทำให้รวมกันได้ 720 องศา 
รูปสี่เหลี่ยมนูนทุกรูปสามารถ[เทสเซลเลชัน|ปูเต็มปริภูมิ]โดยการหมุนรอบจุดกึ่งกลางที่ด้านของมัน
การจำแนกชั้น.
การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยมสามารถแสดงได้ตามแผนภาพทางขวามือ รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า คำว่า trapezium ในภาพเป็นชื่อแบบบริเตน (ชื่อแบบอเมริกันคือ trapezoid) คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทั่วไป และ kite นอกจากจะหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวแล้ว ยังหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศรด้วย
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูน.
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม "ABCD" สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ "AC" และเวกเตอร์ "BD" เป็นเส้นทแยงมุมจาก "A" ไปยัง "C" และจาก "B" ไปยัง "D" ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ
<math>Area = \frac{1}{2} |{AC}\times{BD}|</math>
ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ "AC" กับเวกเตอร์ "BD" ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ "AC" เขียนเป็น <math>(x_1, y_1)</math> และเวกเตอร์ "BD" เขียนเป็น <math>(x_2, y_2)</math> พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ
<math>Area = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|</math>
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น 
<math>Area = \frac{1}{2} pq \cdot \sin \theta</math>
เมื่อ "p" และ "q" เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น <math>\tfrac{1}{2} pq</math> เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°
สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula) คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้
<math>
Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 + \cos (\gamma + \lambda) ]} \\
&= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \left[ \cos^2 \left(\tfrac{\gamma + \lambda}{2} \right) \right]} \\
s &= \frac{1}{2} (a+b+c+d) \\
</math>
เมื่อ "a", "b", "c", "d" คือความยาวของด้านทั้งสี่ "s" คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°
อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน "b" กับ "c" และ λ อยู่ระหว่างด้าน "a" กับ"d" (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)
<math>Area = \frac{1}{2}bc \cdot \sin \gamma + \frac{1}{2}ad \cdot \sin \lambda</math>
ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น
<math>Area = \frac{1}{2}(bc+ad)\sin \gamma</math>
และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง <math>ab \cdot \sin \gamma</math>
สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม 
<math>
Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{4p^{2}q^{2}- \left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} \right) ^{2}} \\
</math>
เมื่อ "p" และ "q" เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ <math>pq=ac+bd</math>
นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90° 
<math>Area = \frac{4} \cdot \left| a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right|</math>
ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น
<math>Area = \frac{2} \cdot \left| a^2 - b^2 \right|</math>