สมการจรวดซีออลคอฟสกี

สมการจรวดของซีออลคอฟสกี  หรือ สมการจรวดอุดมคติ  อธิบายถึงการเคลื่อนที่ของยานพาหนะที่เป็นไปตามหลักการพื้นฐานของจรวด: จรวดเป็นอุปกรณ์ที่สามารถประยุกต์ความเร่งของตัวมันเอง (แรงขับดัน) โดยการขับไล่ส่วนหนึ่งของมวลของมันด้วยความเร็วที่สูงออกมาและทำให้เกิดการเคลื่อนที่ไปได้เนื่องมาจากกฏการอนุรักษ์โมเมนตัม สมการนี้มีความเกี่ยวข้องสัมพันธ์กันโดยค่าเดลต้า-วี (การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของความเร็วของจรวดถ้าไม่มีแรงภายนอกอื่น ๆ มากระทำ) กับประสิทธิภาพความเร็วไอเสียและมวลเมื่อเริ่มต้นและครั้งสุดท้ายของจรวด (หรือจะเป็นเครื่องยนต์แห่งแรงปฏิกิริยาอื่น ๆ ก็ตามแต่)
สมการคือ:
<math>\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m_1}</math>
เมื่อ:
<math>m_0</math> คือ มวลรวมตอนเริ่มต้น, รวมทั้งมวลของเชื้อเพลิงจรวด,
<math>m_1</math> คือ มวลรวมตอนสุดท้าย,
<math>v_\text{e}</math> คือ ประสิทธิภาพความเร็วไอเสีย (<math>v_\text{e} = I_\text{sp} \cdot g_0</math> เมื่อ <math>I_\text{sp}</math> คือ การดลจำเพาะ มีค่าตามช่วงเวลา, <math>g_0</math> คือ ค่าความเร่งโน้มถ่วงมาตรฐาน),
<math>\Delta v\ </math> คือ เดลต้า-v - การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของอัตราเร็วของยานพาหนะ, (เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ),:<math>\ln</math> หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ,
หน่วยที่ใช้สำหรับมวลหรือความเร็วนั้นไม่สำคัญตราบเท่าที่พวกมันยังมีความสอดคล้องกัน
สมการถูกตั้งตามชื่อของคอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี ซึ่งเป็นผู้ที่คิดขึ้นมาและผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในปี 1903 
ประวัติ.
สมการนี้มีที่มาอย่างอิสระโดย คอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี (Konstantin Tsiolkovsky) ในช่วงปลายของศตวรรษที่ 19 และเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางในนามภายใต้ชื่อของเขาหรือเป็น 'สมการจรวดในอุดมคติ' อย่างไรก็ดีหนังสือเล่มเล็ก ๆ ที่เพิ่งค้นพบเมื่อไม่นานมานี้คือ "ตำราเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจรวด" (A Treatise on the Motion of Rockets) โดยวิลเลียม มัวร์ (William Moore) ได้แสดงให้เห็นว่าแหล่งที่มาของสมการนี้ที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกในข้อเท็จจริงคือมาจากโรงเรียนนายร้อยทหารบกแห่งวูลวิช (Royal Military Academy at Woolwich) ในประเทศอังกฤษในปี 1813, และได้ถูกนำมาใช้สำหรับการวิจัยอาวุธ
สมการดังกล่าวได้รับการอนุมานมาก่อนหน้านี้โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ วิลเลียม มัวร์ ในปี ค.ศ. 1810 และต่อมาได้รับการตีพิมพ์ในหนังสือแยกต่างหากในปี ค.ศ. 1813 
โรเบิร์ต ก็อดเดิร์ด ชาวอเมริกัน ได้พัฒนาสมการนี้ขึ้นเองในปี ค.ศ.1912 เมื่อเขาเริ่มการวิจัยเพื่อปรับปรุงเครื่องยนต์จรวดสำหรับความเป็นไปได้ในการบินไปในอวกาศ
ที่มา.
พิจารณาระบบดังต่อไปนี้: 
ในแหล่งที่มาดังต่อไปนี้ คำว่า "จรวด" จะถูกนำไปใช้ในความหมายว่า "จรวดและเชื้อเพลิงจรวดที่ยังไม่ถูกเผาไหม้ทั้งหมด"
กฎข้อที่สองของนิวตันของการเคลื่อนที่เกี่ยวข้องกับแรงภายนอก (<math>F_i\,</math>) ไปสู่การเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมเชิงเส้นของระบบดังต่อไปนี้:
<math>\sum F_i = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P_2-P_1}{\Delta t}</math>
เมื่อ <math>P_1\,</math> คือ โมเมนตัมของจรวดที่เวลา "t=0":
<math> P_1 = \left({m + \Delta m} \right)V</math>
และ <math>P_2\,</math> คือ โมเมนตัมของจรวดและโมเมนตัมของมวลไอเสียที่เวลา <math>t=\Delta t\,</math>:
<math>P_2 = m\left(V + \Delta V \right) + \Delta m V_e</math>
และเมื่อเทียบกับผู้สังเกต:
ความเร็วของไอเสีย <math>V_e</math> อยู่ในกรอบของผู้สังเกตการณ์ที่สัมพันธ์กับความเร็วของไอเสีย <math>v_e</math> ในกรอบของจรวดโดย (เนื่องจากความเร็วของไอเสียเป็นไปในทิศทางที่เป็นลบ)
<math>V_e=V-v_e</math>
ดังนั้น จะได้
<math>P_2-P_1=m\Delta V-v_e\Delta m\,</math>
และ, โดยใช้ <math>dm=-\Delta m</math>, เนื่องจากขณะดันออก เป็นบวก <math>\Delta m</math> จึงส่งผลให้เกิดการลดลงของมวล,
<math>\sum F_i=m\frac{dV}{dt}+v_e\frac{dm}{dt}</math>
ถ้าไม่มีแรงภายนอกแล้ว <math>\sum F_i=0</math> และ
<math>m\frac{dV}{dt}=-v_e\frac{dm}{dt}</math>
สมมติว่า <math>v_e\,</math> เป็นค่าคงที่, นี่อาจจะทำการอินทิเกรทให้ได้ผลเป็น:
<math>\Delta V\ = v_e \ln \frac {m_0} {m_1}</math>
หรือสมมูลกับ
<math>m_1=m_0 e^{-\Delta V\ / v_e}</math>      หรือ      <math>m_0=m_1 e^{\Delta V\ / v_e}</math>      หรือ      <math>m_0 - m_1=m_1 (e^{\Delta V\ / v_e} - 1)</math>
เมื่อ <math>m_0</math> คือ มวลรวมเริ่มต้นรวมทั้งเชื้อเพลิงจรวด, <math>m_1</math> คือ มวลรวมสุดท้าย และ <math>v_e</math> คือ ความเร็วของไอเสียจรวดส่วนที่เกี่ยวกับจรวด (แรงดลจำเพาะ, หรือหากวัดในเวลาจะคูณด้วยอัตราเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก)
ค่า <math>m_0 - m_1</math> เป็นมวลรวมของเชื้อเพลิงจรวดที่ถูกใช้, และด้วยเหตุนี้:
<math>M_f = 1-\frac {m_1} {m_0}=1-e^{-\Delta V\ / v_\text{e}}</math>
เมื่อ <math>M_f</math> เป็นเศษส่วนมวลของเชื้อเพลิงจรวด (ส่วนหนึ่งของมวลรวมเริ่มต้นที่ใช้เป็นมวลปฏิกิริยา)
(เดลต้า v) คือการอินทิเกรทในช่วงเวลาของขนาดของความเร่งที่ผลิตโดยใช้เครื่องยนต์จรวด (สิ่งที่จะเป็นความเร่งที่เกิดขึ้นจริงถ้าแรงจากภายนอกไม่มี) ในพื้นที่ว่าง (หรือ อวกาศอิสระ), สำหรับกรณีของความเร่งในทิศทางของความเร็ว, นี้คือการเพิ่มขึ้นของความเร็ว ในกรณีที่มีความเร่งในทิศทางตรงข้าม (ชะลอความเร็วลง) มันคือการลดลงของอัตราเร็ว แน่นอนว่าแรงโน้มถ่วงและแรงฉุดก็คือตัวทำให้เกิดความเร่งต่อจรวด, และสามารถเพิ่มหรือลดลงได้ในการเพื่อที่จะเปลี่ยนแปลงความเร็วของมันโดยการได้รับประสบการณ์จากการควบคุมอากาศยานลำนั้น ๆ นั่นเอง ดังนั้น เดลต้า-v มักจะไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นจริงในอัตราเร็วหรือความเร็วของอากาศยาน
ถ้าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกนำมาพิจารณา, สมการดังต่อไปนี้จะสามารถได้มาจากการเคลื่อนที่แบบจรวดเชิงสัมพัทธ (relativistic rocket), ด้วย <math>\Delta v</math> อีกครั้งโดยถูกกำหนดให้เป็นความเร็วสุดท้ายของจรวด (หลังจากการเผาไหม้เชื้อเพลิงออกไปหมดและมีการลดลงของมวลส่วนที่เหลือ <math>m_1</math>) ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเมื่อจรวดเริ่มต้นเคลื่อนที่ที่จุดหยุดนิ่ง (ที่มีมวลส่วนที่เหลือรวมทั้งเชื้อเพลิงที่เป็น <math>m_0</math> ในตอนเริ่มต้น) และ <math>c</math> ถูกกำหนดให้เป็นค่าสำหรับอัตราเร็วของแสงในสูญญากาศ:
<math>\frac{m_0}{m_1} = \left[\frac{1 + {\frac{\Delta v}{c}}}{1 - {\frac{\Delta v}{c}}}\right]^{\frac{c}{2v_e}}</math>
การเขียน <math>\frac{m_0}{m_1}</math> ให้เป็น <math>R</math>, ด้วยพีชคณิตเล็ก ๆ น้อย ๆ แบบนี้จะช่วยทำให้สมการนี้ได้รับการปรับปรุงใหม่เป็น
<math>\frac{\Delta v}{c} = \frac{R^{\frac{2v_e}{c}} - 1}{R^{\frac{2v_e}{c}} + 1}</math>
จากนั้นใช้เอกลักษณ์ <math>R^{\frac{2v_e}{c}} = \exp \left[ \frac{2v_e}{c} \ln R \right]</math> (ในที่นี่ "exp" หมายถึงฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (exponential function); "ดูเพิ่มเติม" ลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าเช่นเดียวกับ "ยกกำลัง" ของเอกลักษณ์ของเอกลักษณ์ลอการิทึม (Logarithmic identities) และเอกลักษณ์ <math>\tanh x = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math> ("ดู" ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (Hyperbolic function)) นี้จะเทียบเท่ากับ
<math>\Delta v = c \cdot \tanh \left(\frac {v_e}{c} \ln \frac{m_0}{m_1} \right)</math>