โครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม

โครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม (อังกฤษ:Polygon Triangulation) คือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นเซ็ทของสามเหลี่ยมที่มากกว่า 1 รูป ซึ่งไม่ทับกันเลย สำหรับขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแบ่งนั้นสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มีและไม่มีรูภายในจะแตกต่างกัน
โครงร่างสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมแบบไม่มีจุดยอดเพิ่มเติม.
วิธีการตัดหู (Ear Clipping Method).
วิธีที่ได้รับความนิยมและง่ายในการเขียนวิธีหนึ่งคือการตัดสามเหลี่ยมที่เป็น “หู” สามเหลี่ยมที่เป็นหูคือสามเหลี่ยมที่มีด้าน 2 ด้านอยู่ที่ขอบของรูปหลายเหลี่ยมและด้านที่เหลืออยู่ในด้านในทั้งหมด ซึ่งวิธีนี้จะใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีรูภายในเท่านั้น โดยรูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นที่มีมุมมากกว่า 4 มุมขึ้นไป จะมี 2 หูเป็นอย่างน้อย หลังจากตัดทิ้งไปแล้วก็จะได้รูปหลายเหลี่ยมใหม่ที่มีจุดยอดมากกว่าเท่ากับ 3 ให้ทำต่อไปเรื่อย ๆ จนหมดก็จะได้เซ็ทของสามเหลี่ยมทั้งหมด ซึ่งเวลาที่ใช้จะเป็น <math>O(n^2)</math> วิธีในการหาหูนั้นถูกค้นพบโดย , และ โดยในการหาหูจะใช้เวลาเป็น <math>O(n)</math>
รหัสเทียม.
กำหนดให้ GSP คือรูปหลายเหลี่ยมย่อยของ P ที่เกิดจากการลากเส้นทแยงมุมจากมุมหนึ่งไปสู่อีกมุมหนึ่งเพียงเส้นเดียว
 Function FindAnEar (GSP, pi)
 if pi is an ear then
 return pi
 Find a vertex pj such that (pi, pj) is a diagonal of GSP.Let GSP' be the good sub-polygon of GSP formed by (pi, pj). Re-label the vertices of GSP' so that pi = p0 and pj = pk-1 (or pj = p0 and pi = pk-1 as appropriate) where k is the number of vertices of GSP'.
 FindAnEar (GSP', floor (k/2))
 End FindAnEar
วิธีรูปหลายเหลี่ยมทางเดียว (Monotone Polygons Method).
เราสามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมให้กลายเป็นรูปหลายเหลี่ยมทางเดียวได้
ขั้นตอนวิธี.
1. แยกรูปหลายเหลี่ยมให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู.
กำหนดให้ S คือเซ็ทของเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่เส้นแนวนอนและไม่ตัดกัน ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม  จะถูกใช้เพื่อสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูจากเส้นตรงใน S ซึ่งจะทำโดยจะดึงเส้นตรงใน S ออกมาทีละเส้นแบบสุ่มเพื่อสร้างเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู วิธีนี้จะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูจำนวนหนึ่งตัวสี่เหลี่ยมคางหมูนี้สามารถลดรุปเป็นสามเหลี่ยมได้ถ้ามีขอบด้านใดด้านหนึ่งมีความยาวด้านนอนเป็นศูนย์ สำหรับเงื่อนไขที่ว่าเส้นในเซ็ทจะต้องไม่เป็นเส้นนอนนั้นมีขึ้นเพื่อจำกัดจำนวนที่ต้องทำให้ลดน้อยลง แต่ก็ไม่ได้ส่งผลอะไรต่อผลลัพธ์ที่จะได้ ซึ่งจากที่ ได้พิสูจน์ไว้เราสรุปได้ว่าขั้นตอนนี้ใช้เวลาในการทำงานเป็น <math>O (nlog n)</math>
2. แยกสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมทางเดียว.
รูปหลายเหลี่ยมทางเดียวคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสายโซ่ทางเดียวในแกน <math>y</math> 2 สาย รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้จะถูกคำนวณจากการแบ่งรูปเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูโดยการตรวจสอบว่ามุม 2 มุมหนึ่ง ๆ ของรูปหลายเหลี่ยมเดิมนั้นอยู่บนฝั่งเดียวกันหรือไม่ ขั้นตอนนี้ใช้เวลาเป็นเชิงเส้น <math>O(n)</math>
3. แยกรูปหลายเหลี่ยมทางเดียวเป็นสามเหลี่ยม.
รูปหลายเหลี่ยมทางเดียวสามารถแยกเป็นสามเหลี่ยมได้โดยใช้ขั้นตอนวิธีเชิงละโมบ โดยให้ตัดมุมเว้าไปเรื่อย ๆ ซึ่งในส่วนนี้จะใช้เวลาเป็น <math>O(n)</math> 
รหัสเทียม.
 Input: Monotone polygon P
 Output: Set of triangles
 Sort the n vertices belonging to polygon P with respect to x-coordinate and store them in V.
 Initialize sweep-line active list L
 L = a list with the first two points of V
 WHILE V is not empty DO
 /* Extract the next vertex from V */
 p = MIN (V)
 IF (p is opposite to points in L) THEN
 WHILE |L| > 1 DO
 REMOVE (FIRST (L)) 
 Add p to L
 ELSE
 WHILE (Angle{Last (L), Previous (Last (L)), p}is convex .AND. |L| > 1) DO
 REMOVE last (L) 
 /* The angle is reflex or cardinality of L is 1 */
 Add p to L
ความซับซ้อนในการคำนวณ.
โครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมนั้นเป็นปัญหาที่มีการคิดกันมานานแล้วว่าจะสามารถทำให้ได้ไวกว่า <math>O(n log n)</math> ได้หรือไม่ ในปี 1990 นั้น , , ได้ค้นพบขั้นตอนวิธีที่ใช้เวลาเพียง <math>O(n log log n)</math> สำหรับวิธีใช้ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มนั้นเช่นขั้นตอนวิธีของ or ใช้เวลาเป็น <math>O(n log* n)</math> ซึ่งในความเป็นจริงแล้วแทบไม่ต่างอะไรกับ <math>O(n)</math> เลย
นอกจากวิธีการข้างต้นแล้ว ยังได้แสดงให้เห็นว่าโครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมนั้นสามารถหาได้ด้วยเวลาเชิงเส้น แต่ขั้นตอนวิธีนั้นมีความซับซ้อนมาก
ต่อมาในปี 1998 ขั้นตอนวิธีที่ใช้เวลาเฉลี่ยเป็น <math>O(n)</math> ก็ได้ถูกค้นพบและตีพิมพ์โดย และ โดยขั้นตอนวิธีนี้จะใช้หลักการของกำหนดการพลวัตในการจำรูปสามเหลี่ยม
ส่วนความซับซ้อนทางด้านเวลาของขั้นตอนวิธีในการหาโครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปสามเหลี่ยมที่มีรูภายในนั้นจะใช้เวลาเป็น <math>\Omega(n log n)</math>
เนื้อหาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องหรือใกล้เคียง.
Triangulation Algorithm for General Polygons