ผลคูณอนันต์

ในคณิตศาสตร์ ผลคูณอนันต์  ของลำดับ "a"1, "a"2, "a"3, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย 
<math>\prod_{n=1}^\infty a_n = a_1a_2a_3...</math> 
นิยามเป็นลิมิตของผลคูณย่อย "a"1"a"2..."an" เมื่อ "n" เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่า "ลู่เข้า" เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้"ลู่ออก" โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับอนุกรมอนันต์ มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ "an" เมื่อ "n" เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง 
ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า π เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ: 
<math>\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}...</math>
<math>\frac{\pi}{2} 
= \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}...
= \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)</math>
เกณฑ์ในการลู่เข้า.
ผลคูณของจำนวนจริงบวก 
<math>\prod_{n=1}^\infty a_n</math> 
จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม 
<math>\sum_{n=1}^\infty \log(a_n)</math> 
ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี "an" เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้ 
สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ <math>a_n \ge 1</math> หรือเขียนเป็น <math>a_n = 1 + p_n,\ p_n \ge 0</math> จะได้อสมการ 
<math>1 + \sum_{n=1}^N p_n 
\le \prod_{n=1}^N (1+p_n)
\le \exp\left(\sum_{n=1}^N p_n\right)</math> 
ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ "p""n" ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า <math>p_n \to 0 </math> แล้ว 
<math>\lim_{n\to\infty} \frac{\log(1+p_n)}{p_n}
= 1</math> 
ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ 
<math>\sum_{n=1}^\infty \log(1+p_n)</math> และ <math>\sum_{n=1}^\infty p_n</math> 
เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ 
บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก <math>a_n = 1 - q_n,\ 0\le q_n < 1</math> แล้ว <math>\prod_{n=1}^\infty (1-q_n)</math> ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม <math>\sum_{n=1}^\infty q_n </math> ลู่เข้า 
หากอนุกรม <math>\sum_{n=1}^\infty \log(a_n)</math> ลู่ออกไปสู่ <math>- \infty</math> แล้วลำดับของผลคูณย่อยของ "an" จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่า ลู่ออกไปสู่ศูนย์ 
สำหรับ <math>p_n \ </math> ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ <math>\sum_{n=1}^\infty p_n</math> ไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ <math>\prod_{n=1}^\infty (1+p_n)</math> ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก <math>\sum_{n=1}^\infty |p_n|</math> ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม (ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์) กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก <math>\sum_{n=1}^\infty|p_n|^2</math> ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน
รูปผลคูณของฟังก์ชัน.
ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) "f"("z") ทุกฟังก์ชัน (นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า "f" มีรากอันดับ "m" ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ "u"1, "u"2, "u"3, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว 
<math>f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{u_n}\right) 
\exp\left\{\frac{z}{u_n} + \frac{1}{2} \left(\frac{z}{u_n}\right)^2 + ... + \frac{1}{\lambda_n} \left(\frac{z}{u_n}\right)^{\lambda_n} \right\}</math> 
เมื่อ "λ""n" เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ "φ(z)" เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ "λ""n" อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด "p" ที่เมื่อ "λ""n" = "p" แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) "p" นี้เรียกว่า "อันดับ" (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ "p" = 0 จะได้เป็น 
<math>f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{u_n}\right)</math> 
ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ "φ" ("z") เป็นค่าคงที่ 
นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น: 
โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก "ζ" ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ "ζ" ("z") ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re ("z") > 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า "ζ" ("z")) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด "z" = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย