ทฤษฎีสนามควอนตัม

ทฤษฎีสนามควอนตัม (หรือ QFT) คือกรอบทางทฤษฎีที่ผสานระหว่างทฤษฎีสนามแบบฉบับ สัมพัทธภาพพิเศษ และกลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีสนามควอนตัมถูกใช้ในฟิสิกส์อนุภาคเพื่อสร้างแบบจำลองทางฟิสิกส์ของอนุภาคย่อยของอะตอมและอันตรกิริยาระหว่างอนุภาค ซึ่งให้คำอธิบายเชิงทฤษฎีสำหรับการทำความเข้าใจแรงพื้นฐานในธรรมชาติที่ประกอบไปด้วย แรงแม่เหล็กไฟฟ้า แรงนิวเคลียร์อย่างอ่อน แรงนิวเคลียร์อย่างเข้ม และแรงโน้มถ่วง แม้ว่าการรวมแรงโน้มถ่วงเข้ากับทฤษฎีสนามควอนตัมยังเป็นความท้าทายที่ยังดำเนินอยู่
ในทฤษฎีสนามควอนตัม อนุภาคถูกมองว่าเป็นการกระตุ้นของสนาม สนามเหล่านี้จะกระจายอยู่ทั่วจักรวาล ตัวอย่างเช่น สนามแม่เหล็กไฟฟ้าสัมพันธ์กับอนุภาคโฟตอน อันตรกิริยาระหว่างอนุภาคอธิบายได้ด้วยการแลกเปลี่ยนอนุภาคที่เรียกว่าอนุภาคสื่อนำแรงหรืออนุภาคโบซอน การแลกเปลี่ยนอนุภาคนี้เป็นสิ่งที่ทำโดยแรงพื้นฐานในธรรมชาติ
หนึ่งในความสำเร็จของของทฤษฎีสนามควอนตัวคือแบบจำลองมาตรฐานของอนุภาค ซึ่งอธิบายอันตรกิริยาแม่เหล็กไฟฟ้า อันตรกิริยาอย่างอ่อนและอันตรกิริยาอย่างเข้ม การมีอยู่ของอนุภาคฮิกส์ได้ถูกนำทายโดยแบบจำลองมาตรฐานและถูกค้นพบในปี ค.ศ. 2012 อนุภาคฮิกส์ได้ทำหน้าที่ให้มวลแก่อนุภาคอื่น
ประวัติศาสตร์.
ทฤษฎีสนามควอนตัมเป็นความสำเร็จครั้งยิ่งใหญ่ในวิชาฟิสิกส์ที่พัฒนาจากความร่วมมือของนักฟิสิกส์หลายคนตลอดช่วงศตวรรษที่ 20 ต้นกำเนิดของทฤษฎีสนามควอนตัมต้องย้อนกลับไปในช่วงทศวรรษ 1920 โดยเริ่มต้นจากคำอธิบายเชิงทฤษฎีว่าแสงมีอันตรกิริยาต่ออิเล็กตรอนอย่างไร ซึ่งนำไปสู่การกำเนิดของทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัม (Quantum Electrodynamics) ซึ่งเป็นรูปแบบแรกของทฤษฎีสนามควอนตัม อย่างไรก็ตามทฤษฎีนี้ก็ต้องเผชิญกับความท้าทายครั้งสำคัญคือการจัดการกับการคำนวณค่าอนันต์ ปัญหานี้ถูกก้าวข้ามได้สำเร็จในทศวรรษ 1950 ด้วยการใช้เทคนิครีนอร์มัลไลเซชัน (Renomalization) อุปสรรคต่อมาของทฤษฎีสนามควอนตัมคือการที่ไม่สามารถอธิบายอันตรกิริยาอย่างอ่อนและเข้มให้ได้อย่างชัดเจน จนถึงขั้นที่นักฟิสิกส์เลือกที่จะละทิ้งทฤษฎีสนาม แต่การพัฒนาของทฤษฎีเกจและความสมบูรณ์ของแบบจำลองมาตรฐานในทศวรรษ 1970 ได้นำไปสู่ยุคเรอแนซ็องส์ของทฤษฎีสนามควอนตัม
พื้นฐานเชิงทฤษฎี.
ความสำเร็จของทฤษฎีสนามแบบฉบับมีต้นกำเนิดมาจากกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน ถึงแม้ว่าแนวคิดของสนามจะไม่ได้ปรากฎในบทความ Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ของเขาก็ตาม แรงโน้มถ่วงในมุมมองของนิวตันจะส่งผลไปยังทุกบริเวณในจักรวาลแบบทันทีทันใดโดยไม่สนใจระยะทาง อย่างไรก็ตามนิวตันและริชาร์ด เบนต์ลีย์ได้สนทนาแลกเปลี่ยนกันผ่านจดหมาย โดยนิวตันได้ระบุว่า "มันไม่น่าจะเป็นไปได้ที่วัตถุจะส่งแรงถึงกันได้โดยปราศจากการสัมผัสซึ่งกันและกัน" จนกระทั่งในศตวรรษที่ 18 นักฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ได้ค้นพบคำอธิบายแรงโน้มถ่วงโดยใช้แนวคิดของสนามซึ่งมีความสะดวกมากขึ้น โดยสนามเป็นปริมาณที่มีค่าเป็นตัวเลขสำหรับทุกบริเวณ แต่อย่างไรก็ตามหลักการนี้ยังเป็นเพียงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ยังไม่สามารถวัดออกมาได้ในทางฟิสิกส์
นักฟิสิกส์เริ่มระแคะระคายการมีอยู่ของสนามเมื่อมีการพัฒนาทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าขึ้นในศตวรรษที่ 19 ไมเคิล ฟาราเดย์เป็นผู้บัญญัติศัพท์ภาษาอังกฤษว่า "Field (สนาม)" ขึ้นในปี ค.ศ. 1845 ฟาราเดย์นำเสนอว่าสนามเป็นคุณสมบัติของอวกาศ (ถึงแม้ว่าจะไม่มีสสารอยู่ในบริเวณนั้น) ฟาราเดย์ยังได้โต้แย้งเรื่องแนวคิดการส่งผ่านแรงระหว่างวัตถุโดยไม่มีการสัมผัสของนิวตัน ด้วยคำแถลงว่าอันตรกิริยาระหว่างวัตถุเกิดขึ้นเพราะมีเส้นแรง เหมือนกับเส้นแรงแม่เหล็ก
ชุดสมการของแม็กซ์เวลล์ได้ทำให้ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าสมบูรณ์ในปี ค.ศ. 1864 ชุดสมการดังกล่าวได้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสนามไฟฟ้า สนามแม่เหล็ก กระแสไฟฟ้าและประจุไฟฟ้า ชุดสมการของแม็กซ์เวลล์ได้บอกถึงการมีอยู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กมีการแผ่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งด้วยความเร็วค่าหนึ่ง ซึ่งกลายเป็นความเร็วของแสงในเวลาต่อมา
ถึงแม้ว่าทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าแบบฉบับจะประสบความสำเร็จเพียงใด แต่ทฤษฎีนี้ก็ไม่สามารถอธิบายความไม่ต่อเนื่องของสเปกตรัมของอะตอมได้ รวมไปถึงการแผ่รังสีของวัตถุดำที่ความยาวคลื่นต่าง ๆ การศึกษาการแผ่รังสีของวัตถุดำของมักซ์ พลังก์เป็นจุดเริ่มต้นของกลศาสตร์ควอนตัม พลังก์มองว่าอะตอมที่ดูดกลืนและปลดปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นเหมือนกับตัวสั่นขนาดเล็กที่มีค่าความถี่ของการสั่นเป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่อง ตัวสั่นนี้เป็นที่รู้จักในชื่อตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิกเชิงควอนตัม (Quantum Harmonic Oscillator) ในมุมมองนี้ค่าพลังงานจะถูกทำให้เป็นควอนตัมโดยมีค่าไม่ต่อเนื่องแทนที่จะเป็นค่าต่อเนื่อง สิ่งนี้ทำให้อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์นำเสนอคำอธิบายของปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกที่แสงถูกพิจารณาว่าเป็นกลุ่มก้อนของพลังงานที่เรียกว่าโฟตอน (ควอนตัมของแสง) สิ่งนี้ชี้ให้เราเห็นว่าการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีพฤติกรรมแบบคลื่นในทฤษฎีดั้งเดิม ยังมีพฤติกรรมแบบอนุภาคด้วย
ในปี ค.ศ. 1913 นิลส์ โปร์นำเสนอแบบจำลองอะตอมของโปร์ ที่อิเล็กตรอนภายในอะตอมถูกทำให้เป็นควอนตัมแล้วมีค่าระดับชั้นพลังงานเป็นค่าไม่ต่อเนื่อง แบบจำลองอะตอมของโปร์ประสบความสำเร็จในการอธิบายความไม่ต่อเนื่องของสเปกตรัมการแผ่รังสีของอะตอม ในปี ค.ศ. 1924 หลุยส์ เดอ บรอยนำเสนอทวิภาคคลื่นอนุภาคที่อนุภาคในระดับจุลภาคจะประพฤติตัวเป็นทั้งคลื่นและอนุภาคต่างกันไปในแต่ละสถานการณ์ ในช่วงปี ค.ศ. 1925-1926 กลศาสตร์ควอนตัมได้ถูกสร้างขึ้นมาจากการรวบรวมแนวคิดเหล่านี้เข้าด้วยกัน
ในปีเดียวกันกับที่ไอน์สไตน์นำเสนอปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก ไอน์สไตน์ยังได้นำเสนอทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโดยสร้างขึ้นมาจากทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ การแปลงลอเรนซ์ได้ถูกนำมาใช้ในการอธิบายวิธีการในการแปลงพิกัดของกาลอวกาศระหว่างสองผู้สังเกตที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน การแปลงรอเลนซ์ยังได้อธิบายอีกว่ากฎทางฟิสิกส์จะต้องเหมือนกันสำหรับทุกผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ภายใต้กรอบอ้างอิงเฉื่อย กล่าวคือกฎทางฟิสิกส์ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงลอเรนซ์
แต่ยังคงมีความยากลำบากอยู่อีกสองข้อ ในทางการทดลองสมการชโรดิงเจอร์ที่เป็นรากฐานของกลศาสตร์ควอนตัมสามารถอธิบายการปลดปล่อยรังสีจากอะตอมได้ โดยที่อิเล็กตรอนจะคายโฟตอนออกมาเมื่อได้รับผลกระทบจากสนามแม่เหล็กภายนอก แต่สมการชโรดิงเจอร์ไม่สามารถอธิบายการปลดปล่อยที่เกิดขึ้นเองได้ โดยอิเล็กตรอนจะมีพลังงานลดลง จากนั้นคายโฟตอนออกมาได้โดยไม่ต้องมีผลของสนามแม่เหล็กภายนอก ขณะที่ในทางทฤษฎีสมการชโรดิงเจอร์ไม่ได้อยู่ในรูปแบบของสัมพัทธภาพพิเศษที่มองว่าเวลาเป็นพิกัดในกาลอวกาศ
พลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัม.
ทฤษฎีสนามควอนตัมได้เริ่มต้นจากการศึกษาอันตรกิริยาแม่เหล็กไฟฟ้า เนื่องจากว่าแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นเพียงสองสนามที่คนรู้จักกันในช่วงทศวรรษ 1920 จากงานของบอร์น ไฮเซนแบร์ก ปาสกวอล จอร์แดนในปี ค.ศ. 1925-1926 สนามควอนตัมได้ถูกพัฒนาขึ้นมาด้วยการทำให้สนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นควอนตัม โดยการมองว่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นการสั่นของตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิกเชิงควอนตัม แต่ยังไม่ได้พิจารณาอันตรกิริยาของสนามต่อสสาร อย่างไรก็ตามทฤษฎีสนามควอนตัมนี้ยังไม่ให้ผลที่สอดคล้องกับโลกแห่งความเป็นจริง
ในปี 1927 ดิแรกได้บัญญัติศัพท์คำว่า "Quantum Electrodynamics (พลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัม)" ขึ้นมาในบทความ "The quantum theory of the emission and absorption of radiation" ในทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัมได้มีการเพิ่มพจน์ที่อธิบายสนามแม่เหล็กไฟฟ้าอิสระที่เป็นอันตรกิริยาเพิ่มเติมระหว่างความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าและศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้าเข้าไปด้วย ดิแรกประสบความสำเร็จในการอธิบายปรากฏการณ์การปลดปล่อยรังสีได้เองด้วยการใช้ทฤษฎีการรบกวน (Perturbation theory) จากหลักความไม่แน่นอนในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิกเชิงควอนตัมจะไม่สามารถอยู่ในสถานการณ์ที่หยุดนิ่งได้ เพราะมันจะมีค่าพลังงานต่ำสุดที่ไม่เป็นศูนย์และมีการสั่นอยู่ตลอดเวลาแม้จะอยู่ในสถานะพื้น ดังนั้นแม้ในสุญญากาศสมบูรณ์ สนามแม่เหล็กไฟฟ้าก็จะยังคงสั่นด้วยพลังงานที่ต่ำที่สุด (Zero-point energy) นี่คือความผันผวนทางควอนตัม (Quantum fluctuation) ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศที่กระตุ้นให้อิเล็กตรอนในอะตอมมีการคายพลังงานออกมาได้เอง ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัมของดิแรกประสบความสำเร็จอย่างมากในการอธิบายทั้งการดูดกลืนและการปลดปล่อยพลังงานของอะตอม ซึ่งสามารถอธิบายการกระเจิงของโฟตอน การเรืองแสงด้วยการสั่นพ้อง และการกระเจิงของคอมป์ตันในขอบเขตล่างของสัมพัทธภาพด้วยการใช้ทฤษฎีการรบกวนลำดับที่สอง อย่างไรก็ตาม นักฟิสิกส์ยังคงพบปัญหาในการจัดการค่าอนันต์จากการใช้ทฤษฎีการรบกวนในอันดับที่สูงขึ้น
ในปี 1928 ดิแรกได้นำเสนอสมการของดิแรก (Dirac equation) ซึ่งเป็นสมการคลื่นที่ใช้ในการอธิบายอิเล็กตรอนที่รวมผลของสัมพัทธภาพ ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่สำคัญ เช่น อิเล็กตรอนมีสปิน 1/2 อิเล็กตรอนมีค่าตัวประกอบ g เป็น 2 เป็นต้น สิ่งเหล่านี้นำไปสู่การแก้ไขสูตรของซอมเมอร์เฟลด์สำหรับค่า Fine structure ของอะตอมไฮโดรเจนให้ถูกต้อง และยังสามารถใช้ในการพิสูจน์สูตรของไคลน์-นิชินะสำหรับการกระเจิงคอมป์ตันเชิงสัมพัทธภาพ ถึงแม้ว่าสมการดิแรกจะประสบความสำเร็จอย่างงดงาม แต่สิ่งนี้ได้บ่งบอกเป็นนัยถึงการมีอยู่ของสถานะค่าพลังงานติดลบซึ่งจะทำให้อะตอมไม่มีความเสถียร เพราะไม่มีค่าพลังงานต่ำสุด อะตอมจะสลายตัวเรื่อย ๆ
หลักการ.
สนามแบบฉบับ.
สนามแบบฉบับเป็นฟังก์ชันของพิกัดอวกาศและเวลาและเป็นปริมาณที่มีค่าเป็นตัวเลขในทุกตำแหน่งและเวลา ดังนั้น สนามจึงมีจำนวนองศาอิสระเป็นอนันต์ เช่น สนามความโน้มถ่วงของนิวตัน <math> \vec{g}(\vec{x},t)</math> สนามไฟฟ้า <math>\vec{E} (\vec{x},t) </math> และสนามแม่เหล็ก <math> \vec{B}(\vec{x},t) </math> 
รูปแบบของสนามที่ง่ายที่สุดคือสนามสเกลาร์จำนวนจริง ซึ่งเป็นสนามที่มีค่าเป็นจำนวนจริงในทุกบริเวณและเปลี่ยนแปลงตามเวลา เราจะใช้สัญลักษณ์ <math> \phi(\vec{x}, t) </math> แทนสนาม เมื่อ <math> \vec{x} </math> คือเวกเตอร์ตำแหน่งใน 3 มิติ และ <math> t </math> คือเวลา ความหนาแน่นลากรานเจียน (Lagrangian density) สนามสเกลาร์จำนวนจริงถูกเขียนได้เป็น
<math> \mathcal{L}=\frac{1}{2} (\partial^\mu \phi)(\partial_\mu \phi)- \frac{1}{2}m^2\phi^2=\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2\phi^2 </math> 
เมื่อ <math> \mathcal{L} </math> คือความหนาแน่นลากรานเจียน <math> \dot{\phi} </math> คืออนุพันธ์เทียบกับเวลาของสนาม และ <math> m </math> คือพารามิเตอร์จำนวนจริง (มวลของสนาม) สมการออยเลอร์-ลากร็องฌ์ (Euler-Lagrange equation) สำหรับสนามถูกเขียนได้เป็น
<math> \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}=0 </math>
เมื่อเราแทนค่าความหนาแน่นลากรานเจียนของสนามลงในสมการออยเลอร์-ลากร็องฌ์จะได้แต่ละพจน์เป็นดังนี้
<math display> 
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} &= -m^2 \phi\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} &= \frac{\partial }{\partial (\partial_\mu \phi)} \left(\frac{1}{2} (\partial^\nu \phi)(\partial_\nu \phi)\right) \\
&= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial (\partial^\nu \phi)}{\partial (\partial_\mu \phi)} (\partial_\nu \phi) +(\partial^\nu \phi) \frac{ \partial (\partial_\nu \phi) }{\partial (\partial_\mu \phi)} \right)\\
&=\frac{1}{2} \left(g^{\nu\gamma}\frac{\partial (\partial_\gamma \phi)}{\partial (\partial_\mu \phi)}(\partial_\nu \phi)+(\partial^\nu \phi) \delta^{\ \mu}_{\nu} \right)\\
&=\frac{1}{2} \left(g^{\nu\gamma}\delta_{\gamma}^{\ \mu} (\partial_\nu \phi) +(\partial^\mu \phi) \right)\\
&=\partial^\mu \phi \\
\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}&=\partial_\mu \partial^\mu \phi
</math>
สมการการเคลื่อนที่ของสนามจึงเขียนได้เป็น
<math> \left(\partial_\mu \partial^\mu -m^2\right) \phi =0 </math>
สมการนี้เป็นที่รู้จักในชื่อสมการไคลน์-กอร์ดอน (Klein-Gordon equation) พิจารณาการแปลงฟูเรียร์ของสนาม
<math> \phi(\vec{x})=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}} \tilde{\phi}(\vec{p}) </math>
จากสมการไคลน์-กอร์ดอน เราจะได้
<math> \left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\vec{p}+m^2\right)\phi(\vec{x})\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}} \tilde{\phi}(\vec{p})=0</math>