ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ในทางคณิตศาสตร์การแปลงเชิงเส้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (eigenvector) ของการแปลงเชิงเส้นนั้นต้องเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ที่เมื่อนำไปใช้ในการแปลงนั้นจะเปลี่ยนระยะแต่ไม่เปลี่ยนทิศทาง
สำหรับทุกเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้น จะมีค่าสเกลาร์ที่เรียกว่า ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) สำหรับเวกเตอร์นั้นซึ่งกำหนดผลรวมเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นมาตราส่วนภายใต้การแปลงเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น: ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ +2 หมายความว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีความยาวและจุดเป็นเท่าตัวในทิศทางเดิม, ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ +1 หมายความว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะไม่มีการเปลี่ยนแปลง ในขณะที่ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ −1 หมายความว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะมีทิศทางผันกลับ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ (eigenspace) ของการแปลงที่ให้มาสำหรับค่าลักษณะเฉพาะเฉพาะส่วนเป็นเซต (ผลการแผ่เชิงเส้น (linear span)) ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ความความสัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะนี้ พร้อมทั้งเวกเตอร์ศูนย์ (ไม่มีทิศทาง)
ในพีชคณิตเชิงเส้น ทุก ๆ การแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์มิติอันตะ (finite-dimensional vector spaces) สามารถแสดงอยู่ในรูปของเมทริกซ์ ซึ่งเป็นแถวลำดับสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่อยู่ในแถวและหลัก วิธีพื้นฐานสำหรับการหา ค่าลักษณะเฉพาะ, เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ ของเมทริกซ์จะกล่าวถึงอยู่ด้านล่าง
มันมีบทบาทหลักในหลาย ๆ สาขาของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ — เป็นส่วนสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น, การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน และเล็กน้อยในคณิตศาสตร์ไม่เป็นเชิงเส้น
วัตถุทางคณิตศาสตร์หลายชนิดสามารถเขียนอยู่ในรูปแบบเวกเตอร์ได้ เช่น ฟังก์ชัน, ฮาร์มอนิก, กลศาสตร์ควอนตัม และความถี่ ในกรณีนี้แนวคิดของ "ทิศทาง" โดยทั่วไปจะสูญเสียความหมายของมันไป และถูกให้นิยามที่เลื่อนลอย ดังนั้น "ทิศทาง" ที่ไม่มีตัวตนนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลงเชิงเส้นที่ให้มา ถ้าใช้ "ไอเกน (eigen)" นำหน้า อย่างใน "ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (eigenfunction)", "วิธีลักษณะเฉพาะ (eigenmode)", "สภาวะลักษณะเฉพาะ (eigenstate)" และ "ความถี่ลักษณะเฉพาะ (eigenfrequency)"
ประวัติ.
ค่าลักษณะเฉพาะถูกกล่าวถึงบ่อยครั้งในบริบทของพีชคณิตเชิงเส้นหรือทฤษฎีเมทริกซ์ ตามประวัติศาสตร์นั้นเกิดขึ้นมาจากการศึกษารูปแบบกำลังสอง (quadratic form) และสมการเชิงอนุพันธ์
ออยเลอร์ได้ศึกษาการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง (rigid body) และได้ค้นพบความสำคัญของเส้นแกนมุขสำคัญ ดังที่ลากร็องฌ์พิสูจน์ไว้ เส้นแกนมุขสำคัญนั้นเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ความเฉื่อย ในต้นศตวรรษที่ 19 โอกุสแต็ง หลุยส์ โกชีเห็นว่าวิธีของออยเลอร์และลากร็องฌ์สามารถใช้แยกประเภทผิวกำลังสอง และยังครอบคลุมไปถึงมิติสัมพัทธ์ (arbitrary dimensions) โคชีสร้างศัพท์ว่า "racine caractéristique" (รากลักษณะเฉพาะ) สำหรับใช้เรียกสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่า "ค่าลักษณะเฉพาะ" ศัพท์ของเขานั้นยังมีการใช้อยู่อยู่ในเรื่อง"สมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation)"
กระบวนการทางจำนวนในการคำนวณหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1929 เมื่อ Von Mises ได้เสนอ power method. และวิธีที่ได้รับความนิยมมากในปัจจุบันคือ QR algorithm ถูกเสนอโดย John G.F. Francis และ Vera Kublanovskaya ในปี ค.ศ. 1961
บทนิยาม.
สามารถเขียนเป็นสมการข้างล่างได้
<math>A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}</math>
โดยที่ <math>A\,\!</math> คือเมทริกซ์มิติ n × n, <math>\mathbf{x}</math> คือเวกเตอร์มิติ n × 1, และ <math>\lambda\,\!</math> คือสเกลาร์ที่เรียกว่า ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue)
เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะซ้ายและขวา.
โดยทั่วไป"เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ"นั้นจะหมายถึง เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะขวา <math>x_R</math> ซึ่งสามารถแสดงได้ดังสมการค่าลักษณะเฉพาะ: <math>A x_R = \lambda_R x_R</math> ซึ่งเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ใช้กันโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะซ้าย <math>x_L</math> ก็มีอยู่เช่นกัน และสามารถแสดงได้ดังสมการ: <math>x_L A = \lambda_L x_L</math>
สมการลักษณะเฉพาะ.
เมื่อการแปลงแทนโดยเมทริกซ์จัตุรัส "A", สมการค่าลักษณะเฉพาะสามารถแสดงได้ดังนี้
 <math>A \mathbf{x} - \lambda I \mathbf{x} = \mathbf{0}</math>
สามารถจัดใหม่ได้ดังนี้
 <math>(A - \lambda I) \mathbf{x} = \mathbf{0}</math>
ถ้าเมทริกซ์ผกผันมีจริงจะได้
 <math>(A\ - \lambda I)^{-1} </math>
นำเมทริกซ์ผกผันมาคูณทั้งสองข้างเพื่อให้ได้: x = 0 ดังนั้น เราต้องการให้มันที่ไม่อยู่ในรูปเมทริกซ์ผกผันโดยสมมติจากพีชคณิตเชิงเส้นว่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์:
 <math>\det(A\ - \lambda I) = 0</math>
ดีเทอร์มิแนนต์ที่ต้องการเรียกว่า "สมการลักษณะเฉพาะ" (secular equation) ของ "A", และด้านซ้ายมือเรียกว่า "พหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial)" ซึ่งจะให้สมการพหุนามสำหรับหาค่า <math>\lambda</math> ส่วนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ x หรือส่วนประกอบของมันไม่แสดงในสมการลักษณะเฉพาะ
ตัวอย่าง.
เมทริกซ์
 <math>\begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix}</math>
นิยามการแปลงเชิงเส้นของระนาบจำนวนจริง ค่าลักษณะเฉพาะของการแปลงนี้ได้มาโดยสมการลักษณะเฉพาะ
 <math>\det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1\\1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0</math>
รากของสมการนี้คือ <math>\lambda=1</math> และ <math>\lambda=3</math> เมื่อได้ค่าลักษณะเฉพาะ เราจะสามารถหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะได้ พิจารณาค่าลักษณะเฉพาะ <math>\lambda=3</math> จะได้
<math>\begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}</math>
แถวทั้งคู่ของสมการเมทริกซ์นี้จะลดรูปเหลือสมการเชิงเส้นเดี่ยว <math>x=y</math> ในการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เราสามารถเลือกค่าอะไรก็ได้มาแทนค่า x, ดังนั้นเลือก x=1 จาก y=x, เราจะได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็น 
<math>\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}</math>
เราสามารถตรวจสอบว่าเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหรือไม่โดย :<math>\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}</math> 
เมื่อค่าลักษณะเฉพาะ: <math>\lambda=1,</math> ทำแบบเดิมจะได้สมการ <math>x=-y</math>, ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะได้
<math>\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}</math>
ปัญหาจุกจิกในการหาราก/ค่าลักษณะเฉพาะของพหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial) ที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในส่วนองศาของพหุนาม (มิติของปริภูมิเวกเตอร์) ที่เพิ่มขึ้น มีวิธีที่เที่ยงตรงสำหรับมิตที่ต่ำกว่า 5 แต่สำหรับมิติที่สูงขึ้นยังไม่มีวิธีที่แน่นอนและมีการอาศัยวิธีทางจำนวนเพื่อหาค่าประมาณ สำหรับเมทริกซ์มากเลขศูนย์ (sparse matrix) สมมาตรขนาดใหญ่ได้ใช้ขั้นตอนวิธี Lanczos คำนวณหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ