การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์

การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์  ในคณิตศาสตร์ และในปริภูมิสามมิติ เป็นการสะท้อนเวกเตอร์กับระนาบ ในปริภูมิยูคลิเดียนทั่วไป การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์เป็นการแปลงเชิงเส้นซึ่งเวกเตอร์กับระนาบเกินที่ผ่านจุดกำเนิด
อัลสตัน สกอตต์ เฮาส์โฮลเดอร์ ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับการแปลงชนิดนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2501 การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์เป็นเครื่องมือสำคัญในการหาการแยก QR ของเมทริกซ์
นิยามและสมบัติ.
ระนาบเกินที่จะใช้สะท้อนเวกเตอร์นั้นสามารถแทนได้โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย <math>v</math> ซึ่งตั้งฉากกับระนาบเกินนั้น
ถ้า <math>I</math> คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ การแปลงเชิงเส้นที่กล่าวในบทนำของบทความนี้สามารถแทนใดโดยเมทริกซ์เฮาส์โฮลเดอร์
 <math>Q = I - 2 vv^T</math>
โดยแมทริกซ์เฮาส์โฮลเดอร์มีสมบัติดังต่อไปนี้
และ <math>Q</math> สะท้อนเวกเตอร์ <math>x</math> ใด ๆ กับระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ <math>v</math> โดยข้อความนี้สามารถแสดงให้เห็นจริงได้โดยสมการ
 <math>Qx = x-2vv^Tx = x - 2\langle v,x\rangle v</math>
เมื่อ <math>\langle v,x\rangle</math> คือผลคูณจุดของ <math>x</math> และ <math>v</math> ซึ่งมีค่าเท่ากับระยะห่างของจุดปลายที่ไม่ใช่จุดกำเนิดของ <math>x</math> จากระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ <math>v</math> ด้วยเหตุนี้จุดปลายที่ไม่ใช่จุดกำเนิดของ <math>Qx</math> จึงอยู่คนละข้างของระนาบเกินกับจุดปลายของ <math>x</math> และห่างจากระนาบเกินเท่ากับระยะห่างจากจุดปลายของ <math>x</math> กับระนาบเกิน กล่าวคือเป็นภาพสะท้อนของ <math>x</math> นั่นเอง
การประยุกต์ใช้ในการแยก QR.
ในการแยก QR เราต้องการเขียนเมทริกซ์ <math>A_{n \times n}</math> ที่กำหนดให้ในรูป <math>A = QR</math> โดย <math>Q</math> เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากและ <math>R</math> เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน เราสามารถใช้การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ในการคำนวณ <math>Q</math> และ <math>R</math> ได้ดังต่อไปนี้
ให้ <math>e_1</math> แทนเวกเตอร์ <math>(1,0,\dots,0)^T</math> ที่มีศูนย์อยู่ <math>n</math> ตัว ให้ <math>\| x\|</math> แทนนอร์มของเวกเตอร์ <math>x</math> ใด ๆ และให้ <math>a_1</math> เป็นเวกเตอร์หลักที่ 1 ของ <math>A</math> แล้ว กำหนด
 <math>v_1 = a_1 - \| a_1 \|e_1 </math>
และ
 <math>Q_1 = I_n - 2\frac{v_1v_1^T}{\| v_1 \|^2}</math>
(<math>I_n</math> คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด <math>n \times n</math>) เป็นการแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ที่สะท้อนเวกเตอร์กับระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ <math>v_1</math> แล้ว เราจะได้ว่า
 <math>Q_1a_1 = \| a_1 \|e_1</math>
หรือ
 <math>Q_1 A = \begin{bmatrix}
 \| a_1 \| &\star&\dots&\star\\
 0 & & & \\
 \vdots & & A'_2 & \\
 0 & & & \end{bmatrix}</math>
โดยที่ <math>A'_2</math> เป็นเมทริกซ์ขนาด <math>(n-1) \times (n-1)</math> กล่าวคือ <math>Q_1</math> ทำให้หลักแรกของ <math>A</math> มีสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์อยู่เพียงตัวเดียว
เราสามารถใช้กรรมวิธีข้างต้นหาการแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ <math>Q'_2</math> ที่ทำให้
 <math>Q_1 A'_2 = \begin{bmatrix}
 \star &\star&\dots&\star\\
 0 & & & \\
 \vdots & & A'_3 & \\
 0 & & & \end{bmatrix}</math>
และ <math>Q'_3</math>, <math>Q'_4</math>, <math>\dots</math>, <math>Q'_{n-1}</math> ที่มีผลเช่นเดียวกันกับ <math>A'_3</math>, <math>A'_4</math>, <math>\dots</math>, <math>A'_{n-1}</math> ตามลำดับ และเมื่อเราให้
 <math>Q_k = \begin{bmatrix} I_{k-1} & 0\\ 0 & Q_k'\end{bmatrix}</math>
สำหรับ <math>2 \leq k \leq n-1</math> แล้ว เราจะได้ว่า
 <math>Q_{n-1} Q_{n-2} \cdots Q_2 Q_1 A = \begin{bmatrix}
 \| a_1 \| &\star & \star & \dots & \star & \star\\
 0 & \star & \star & \dots & \star & \star\\
 0 & 0 & \star & \dots & \star & \star\\
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots\\
 0 & 0 & 0 & 0 & \star & \star\\
 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \star\end{bmatrix} = R</math>
เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน ดังนั้น
 <math>A = (Q_{n-1} Q_{n-2} \cdots Q_1)^{-1} R = Q_1 Q_2 \cdots Q_{n-1} R </math>
และเนื่องจาก <math>Q_i</math> ทุกตัวเป็นเมทริกซ์ฮาส์โฮลเดอร์ซึ่งเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก ทำให้ <math>Q = Q_1 Q_2 \cdots Q_{n-1}</math> เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากตามไปด้วย <math>A = QR</math> จึงเป็นการแยก QR ตามที่เราต้องการ
ขั้นตอนวิธีตามที่ได้บรรยายข้างต้น สามารถนำไปเขียนเป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ทำการคำนวณด้วยจำนวนจุดเลื่อนซึ่งมีเสถียรภาพทางตัวเลข เป็นผลให้เราสามารถแก้สมการเชิงเส้น และหาค่าเฉพาะเจาะจงของเมทริกซ์ได้โดยค่าที่หาได้จะไม่คลาดเคลื่อนมากนักหากเมทริกซ์ที่เป็นข้อมูลเข้ามีเลขเงื่อนไขต่ำ