กฎของแก๊สอุดมคติ

กฎของแก๊สอุดมคติ  บ้างก็เรียกว่า สมการแก๊สทั่วไป เป็นสมการของสภาวะ (equation of state) ของแก๊สอุดมคติ (ideal gas) สมมุติและเป็นการประมาณพฤติกรรมของแก๊สที่ดีภายใต้สภาวะต่าง ๆ แม้ยังมีข้อจำกัดอยู่หลายข้อ ถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย เบอนัว ปอล เอมีล กลาแปรง ในปี ค.ศ. 1834 เป็นการรวมกันของกฏของบอยล์ (Boyle's law), กฎของชาร์ล (Charles's law), กฎของอาโวกาโดร และกฎของแก-ลูว์ซัก (Gay-Lussac's law) ซึ่งเป็นเชิงประจักษ์ กฎของแก๊สอุดมคติมักถูกเขียนอยู่ในรูปเชิงประจักษ์:
<math>PV = nRT</math>
โดย <math>P</math>, <math>V</math> และ <math>T</math> คือ ความดัน, ปริมาตร และอุณหภูมิ (Thermodynamic temperature) <math>n</math> คือ จำนวนของสสาร (amount of substance) และ <math>R</math> คือ ค่าคงตัวของแก๊สซึ่งมีค่าเท่าเดิมไม่ว่าเป็นแก๊สชนิดใด เราสามารถอนุพัทธ์สมการนี้ได้จากทฤษฎีจลน์ของแก๊สในระดับจุลทรรศน์ดังเช่นที่ได้กระทำแล้ว (โดยอิสระจากกัน) โดย เอากุสต์ เครอนิค (August Krönig) ในปี ค.ศ. 1856 และ รูด็อล์ฟ เคลาซีอุส ในปี ค.ศ. 1857
สมการ.
สภาวะ (state function) ของแก๊สปริมาณหนึ่งถูกกำหนดโดยความดัน, ปริมาตร และอุณหภูมิ สมการรูปแบบปัจจุบันแสดงความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นสองรูปแบบอย่างง่าย อุณหภูมิในสมการของสภาวะเป็นอุณหภูมิสัมบูรณ์ซึ่งมีหน่วย SI เป็นเคลวิน
รูปแบบสามัญ.
รูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุด คือ:
<math>pV = nRT = nk_\text{B}N_\text{A}T</math>
โดย:
ในหน่วย SI "p" ถูกวัดเป็นปาสกาล "V" ถูกวัดเป็นลูกบาศก์เมตร "n" ถูกวัดเป็นโมล และ "T" ถูกวัดเป็นเคลวิน (มาตราวัดเคลวินคือมาตราวัดเซลเซียสที่ถูกเลื่อนซึ่งอุณหภูมิที่ต่ำที่สุด 0.00 K = −273.15 °C) "R" มีค่าเท่ากับ 8.314 J/(K·mol) ≈ 2 cal/(K·mol) หรือ 0.0821 l·atm/(mol·K)
รูปแบบโมลาร์.
เราสามารถระบุปริมาณแก๊สที่มีอยู่ได้จากมวลแทนปริมาณทางเคมีได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์หากเรามีกฎของแก๊สอุดมคติอีกรูปแบบหนึ่ง ปริมาณทางเคมี ("n") (หน่วยเป็นโมล) เท่ากับมวลรวมของแก๊ส ("m") (หน่วยเป็นกิโลกรัม) หารด้วยมวลโมลาร์ (molar mass) ("M") (หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อโมล):
 <math> n = \frac{m}{M} </math>
เมื่อแทน "n" ด้วย "m"/"M" แล้วใส่ความหนาแน่น "ρ" = "m"/"V" ลงไปในสมการ เราจะได้:
 <math> pV = \frac{m}{M} RT </math>
 <math> p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} </math>
 <math> p = \rho \frac{R}{M} T </math>
ให้นิยามค่าคงตัวของแก๊สจำเพาะ "R"specific(r) เป็นอัตราส่วน "R"/"M"
 <math> p = \rho R_\text{specific}T </math>
กฎของแก๊สอุดมคติรูปแบบนี้มีประโยชน์อย่างมากมาก เพราะสามารถเชื่อมโยงความดัน ความหนาแน่น และอุณหภูมิเข้าด้วยกันในสูตรที่เป็นเอกลักษณ์ซึ่งไม่พึ่งพาปริมาณของแก๊สที่เราพิจารณา กฎนี้สามารถเขียนเป็นอีกแบบได้โดยใช้ค่าปริมาตรจำเพาะ "v" ซึ่งเป็นส่วนกลับของความหนาแน่น:
 <math> pv = R_\text{specific}T </math>
ในการใช้งานทางวิศวกรรมและอุตุนิยมวิทยา ค่าคงตัวของแก๊ส จำเพาะ มักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ "R" และค่าคงตัวของแก๊ส สากล จะใช้สัญลักษณ์ต่างจากเดิมเป็น <math>\bar R</math> หรือ <math>R^*</math> เพื่อแยกแยะทั้งสองค่าจากกัน อย่างไรก็ตาม บริบทและ/หรือหน่วยของค่าคงตัวของแก๊สจะเป็นตัวบอกให้กระจ่างเองว่าสัญลักษณ์นั้นแทนค่าคงตัวของแก๊สแบบจำเพาะหรือสากล
กลศาสตร์สถิติ.
ในกลศาสตร์สถิติ (statistical mechanics) เราสามารถอนุพัทธ์หาสมการเชิงโมเลกุลได้จาก <math>p</math> ในสมการแรก
โดย "P" คือ ความดันสัมบูรณ์ของแก๊ส, "n" คือ ความหนาแน่นเชิงจำนวนของโมเลกุล (กำหนดเป็นอัตราส่วน "n" = "N"/"V" ซึ่งต่างจากรูปสมการก่อนที่ "n" เป็น "จำนวนโมล"), "T" คือ อุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ และ "k"B คือ ค่าคงตัวบ็อลทซ์มันซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและอุณหภูมิ กำหนดว่า:
 <math> k_\text{B} = \frac{R}{N_\text{A}} </math>
โดย "N"A คือ ค่าคงตัวอาโวกาโดร
จากนี่เราพบว่าแก๊สมวล "m" มีมวลอนุภาคเฉลี่ยเท่ากับ "μ" คูณค่าคงตัวมวลอะตอม "m"u (หรือเท่ากับ "μ" u) จำนวนของโมเลกุลเท่ากับ:
<math> N = \frac{m}{\mu m_\text{u}} </math>
เนื่องจาก "ρ" = "m"/"V" = "nμm"u เราจึงสามารถเขียนกฎของแก๊สอุดมคติอีกแบบได้เป็น
<math> P = \frac{1}{V}{N}k_\text{B} T = \frac{1}{V}\frac{m}{\mu m_\text{u}} k_\text{B} T = \frac{k_\text{B}}{\mu m_\text{u}} \rho T </math>
ในหน่วย SI "P" มีหน่วยเป็นปาสกาล, "V" มีหน่วยเป็นลูกบาศก์เมตร, "T" มีหน่วยเป็นเคลวิน และ "k"B =
กฎรวมของแก๊ส.
นำกฎของชาร์ล กฎของบอยล์ และกฎของแก-ลูว์ซักมารวมกันแล้วได้ กฎรวมของแก๊ส ซึ่งมีรูปแบบการใช้งานแบบเดียวกับกฎของแก๊สอุดมคติ หากแต่ไม่ระบุจำนวนโมลของแก็สและสมมุติว่าอัตราส่วน <math>PV</math> ต่อ <math>T</math> เป็นค่าคงตัว (<math>nR = k</math>):
<math>\frac{PV}{T}=k,</math>
โดย <math>P</math> คือ ความดันของแก๊ส, <math>V</math> คือ ปริมาตรของแก๊ส, <math>T</math> คือ อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแก๊ส และ <math>k</math> เป็นค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเปรียบเทียบสสารเดียวกันภายใต้สภาวะที่ต่างกันสองสภาวะ สามารถเขียนกฎนี้ได้เป็น 
<math> \frac{P_1 V_1}{T_1}= \frac{P_2 V_2}{T_2} </math>
พลังงานซึ่งสัมพันธ์กับแก๊ส.
ตามสมมติฐานจากทฤษฎีจลน์ของแก๊ส เราสามารถสมมุติได้ว่าโมเลกุลของแก๊สอุดมคตินั้นไม่มีแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล หรือพูดอีกแบบคือไม่มีพลังงานศักย์ พลังงานทั้งหมดที่แก๊สมีจึงเป็นเพียงพลังงานจลน์ของแก๊สแต่ละโมเลกุล
 <math>E=\frac{3}{2} n RT </math>
คือสูตรสำหรับพลังงานจลน์ของแก็สอะตอมเดี่ยวจำนวน "n" โมลซึ่งมีองศาเสรี 3 องศา; "x", "y", "z"
การประยุกต์ใช้ในกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์.
ในตารางด้านล่าง สมการของแก๊สอุดมคติถูกทำให้ง่ายลงสำหรับการนำไปใช้กับกระบวนการเฉพาะต่าง ๆ และทำให้สามารถแก้ปัญหาด้วยวิธีเชิงตัวเลขง่ายยิ่งขึ้น
กระบวนการทางอุณหพลศาสตร์ (thermodynamic process) มีนิยามเป็นระบบซึ่งเคลื่อนจากสภาวะที่ 1 ไปสู่สภาวะที่ 2 โดยเลขซึ่งบอกสภาวะแทนด้วยตัวห้อย โดยกระบวนการพื้นฐานถูกแบ่งออกเป็นแต่ละชนิดตามคุณสมบัติของแก๊สที่ถูกตรึงให้คงที่ไว้ตลอดกระบวนการ ("P", "V", "T", "S" หรือ "H") ดังที่แสดงในสดมภ์แรกของตาราง
จะต้องมีการระบุ (ไม่ว่าโดยตรงหรือโดยอ้อม) หนึ่งในอัตราส่วนระหว่างคุณสมบัติ (ซึ่งมีการจัดรายการไว้ในสดมภ์ที่ชื่อว่า "อัตราส่วนที่รู้จัก") เพื่อระบุขอบเขตของกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์ชนิดหนึ่ง และคุณสมบัติซึ่งปรากฎอยู่ในอัตราส่วนจะต้องต่างจากคุณสมบัติที่คงที่ (ไม่เช่นนั้นแล้วอัตราส่วนก็จะเป็นเอกภาพ และเราจะไม่มีข้อมูลมากพอที่จะสามารถทำให้สมการง่ายลงได้)
ส่วนในสามสดมภ์สุดท้าย เราสามารถหาค่าของคุณสมบัติ ("p", "V" หรือ "T") ของสภาวะที่ 2 ได้จากการนำค่าของคุณสมบัติเหล่านั้นในสภาวะที่ 1 มาคำนวณในสมการซึ่งถูกจัดไว้อยู่ในรายการ 
 a. ในกระบวนการเอนโทรปีคงที่ เอนโทรปี ("S") ของระบบมีค่าคงที่ และ "p"1 "V"1"γ" = "p"2 "V"2"γ" ภายใต้เงื่อนไขนี้ โดย "γ" คืออัตราส่วนความร้อนจำเพาะ (heat capacity ratio) ซึ่งในแก๊สสมบูรณ์แบบทางพลังงาน (calorically perfect gas) มีค่าคงที่ ค่าของ "γ" ที่ปกติใช้กับแก๊สสองอะตอม (diatomic gas) เช่นแก๊สไนโตรเจน (N2) และแก๊สออกซิเจน (O2) (และอากาศ ซึ่งประกอบไปด้วยแก๊สสองอะตอม 99%) มีค่าเท่ากับ 1.4 ส่วนค่าที่ใช้กับแก๊สอะตอมเดี่ยวเช่นแก๊สมีสกุล ฮีเลียม (He) และอาร์กอน (Ar) มีค่าเท่ากับ 1.6 ค่า "γ" ในเครื่องยนต์เผาไหม้ภายในมีค่าระหว่าง 1.35 และ 1.15 ซึ่งขึ้นกับองค์ประกอบของแก๊สและอุณหภูมิ
 b. ในกระบวนการเอนทาลปีคงที่ เอนทาลปี ("H") ของระบบมีค่าคงที่ ในบริบทของการขยายตัวอิสระ (free expansion) ของแก๊สอุดมคติ อุณหภูมิมีค่าคงที่และโมเลกุลไม่มีปฏิกิริยาระหว่างกัน กลับกันในแก๊สจริงนั้น โมเลกุลมีปฏิกิริยาระหว่างกันผ่านการดึงดูดหรือผลักไสขึ้นกับความดันและอุณหภูมิ และสามารถร้อนหรือเย็นลงได้ นี่เป็นที่รู้จักว่าปรากฏการณ์จูล-ทอมสัน (Joule-Thomson effect) สำหรับการอ้างอิง สัมประสิทธิ์จูล-ทอมสัน μJT สำหรับอากาศที่อุณหภูมิห้อง ณ ระดับน้ำทะเลเท่ากับ 0.22 °C/bar
การเบี่ยงเบนจากพฤติกรรมในอุดมคติของแก๊สจริง.
สมการของสภาวะที่กำหนดมานี้ ("PV=nRT") สามารถนำไปใช้กับแก๊สอุดมคติหรือนำไปใช้เพื่อประมาณพฤติกรรมของแก๊สจริงซึ่งมีความคล้ายกับแก๊สอุดมคติพอสมควรได้เท่านั้น ความจริงแล้ว สมการของสภาวะสมการนี้มีรูปแบบอยู่หลายรูปแบบ กฎของแก๊สอุดมคติไม่สนใจขนาดโมเลกุล (molecular size) และแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล (inter molecular attraction) จึงสามารถนำไปใช้ได้อย่างแม่นยำที่สุดกับแก๊สอะตอมเดี่ยว (monatomic) ที่อุณหภูมิสูงและความดันต่ำ ยิ่งความหนาแน่นลดลงหรือยิ่งปริมาตรสูงขึ้นและความดันต่ำลง ความสำคัญของขนาดโมเลกุลก็ยิ่งลดลงเช่นเดียวกัน เพราะระยะทางความห่างระหว่างโมเลกุลโดยเฉลี่ยจะมีค่าสูงกว่าขนาดของโมเลกุลอย่างมาก และยิ่งพลังงานจลน์ทางความร้อนสูงขึ้นหรือยิ่งอุณหภูมิสูงขึ้น ความสำคัญของแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลก็ยิ่งลดลงโดยสัมพัทธ์ "สมการของสภาวะ"ที่มีรายละเอียดสูงกว่า เช่น สมการวานเดอร์วาลส์ (van der Waals equation) จะมีการแก้ไขการเบี่ยงเบนจากอุดมคติซึ่งเกิดจากขนาดของโมเลกุลและแรงระหว่างโมเลกุล
สมบัติตกค้าง (residual property (physics)) มีนิยามเป็นความแตกต่างระหว่างสมบัติของแก๊สจริง (real gas) และสมบัติของแก๊สอุดมคติภายใต้ความดัน อุณหภูมิ และองค์ประกอบเดียวกัน
การอนุพัทธ์.
เชิงประจักษ์.
กฎเชิงประจักษ์ซึ่งนำไปสู่การอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติถูกค้นพบผ่านการทดลอง โดยใช้การเปลี่ยนตัวแปรสภาวะของแก๊สเพียงสองอย่างและตรึงตัวแปรที่เหลือให้คงที่ 
กฎของแก๊สทั้งหมดที่สามารถค้นพบได้ด้วยการจัดเตรียมการทดลองแบบนี้มี:
 <math>{PV}=C_1 </math> หรือ <math>P_1V_1=P_2V_2 </math> (1) เรียกว่ากฏของบอยล์
 <math>\frac{V}{T} = C_2 </math> หรือ <math>\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} </math> (2) เรียกว่ากฎของชาร์ล
 <math>\frac{V}{N}=C_3 </math> หรือ <math>\frac{V_1}{N_1}=\frac{V_2}{N_2} </math> (3) เรียกว่ากฎของอาโวกาโดร
 <math>\frac{P}{T}=C_4 </math> หรือ <math>\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2} </math> (4) เรียกว่ากฎของแก-ลูว์ซัก
 <math>NT=C_5 </math> หรือ <math>N_1T_1=N_2T_2 </math> (5)
 <math>\frac{P}{N}=C_6 </math> หรือ <math>\frac{P_1}{N_1}=\frac{P_2}{N_2} </math> (6)
โดย "P" แทนความดัน, "V" แทนปริมาตร, "N" แทนจำนวนอนุภาคของแก๊ส และ "T" แทนอุณหภูมิ โดย <math>C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6 </math> ไม่ใช่ค่าคงตัวของจริง แต่เป็นค่าคงตัวในบริบทนี้ เพราะแต่ละสมการต้องการตัวแปรที่ระบุไว้อย่างชัดเจนให้เปลี่ยนเท่านั้น
เราไม่จำเป็นต้องรู้กฎของแก๊สทั้งหกสูตรเพื่ออนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติ เพียงรู้แค่สามกฎเราจะสามารถอนุพัทธ์กฎที่เหลือได้ และเราต้องรู้แค่สี่กฎเพื่อที่จะสามารถอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติได้
ในเมื่อสูตรแต่ละสูตรจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตัวแปรสภาวะที่อยู่ในสูตรเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงในขณะที่ตัวแปรที่เหลือมีค่าคงที่ เราไม่สามารถใช้พีชคณิตเพื่อรวมสูตรโดยตรงได้ เราต้องพิจารณาถึงการทดลองของบอยล์ว่าเขาทำการทดลองโดยตรึงค่า "N" และ "T" ไว้ให้คงที่
เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องจินตนาการว่าแก๊สเปลี่ยนสถาวะผ่านกระบวนการทีละกระบวนการเพื่อให้อนุพัทธ์ได้อย่างถูกต้อง การอนุพัทธ์ซึ่งใช้สูตรสี่สูตรเป็นดังนี้:
ในตอนแรก แก๊สมีพารามิเตอร์ <math>P_1,V_1,N_1,T_1 </math>
ให้เริ่มเปลี่ยนเฉพาะความดันและปริมาตรตามกฎของบอยล์ แล้ว:
 <math>P_1V_1=P_2V_2 </math> (7) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ <math>P_2,V_2,N_1,T_1 </math>
จากนั้นใช้สมการที่ (5) เพื่อเปลี่ยนจำนวนอนุภาคและอุณหภูมิของแก๊ส
 <math>N_1T_1=N_2T_2 </math> (8) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ <math>P_2,V_2,N_2,T_2 </math>
จากนั้นใช้สมการที่ (6) เพื่อเปลี่ยนความดันและจำนวนอนุภาค
 <math>\frac{P_2}{N_2}=\frac{P_3}{N_3} </math> (9) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ <math>P_3,V_2,N_3,T_2 </math>
จากนั้นใช้กฎของชาร์ลเพื่อเปลี่ยนปริมาตรและอุณหภูมิของแก๊ส
 <math>\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3} </math> (10) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ <math>P_3,V_3,N_3,T_3 </math>
จากนั้นใช้พีชคณิตรวมสมการที่ (7), (8), (9) และ (10) จะได้:
 <math>\frac{P_1V_1}{N_1T_1}=\frac{P_3V_3}{N_3T_3} </math> หรือ <math>\frac{PV}{NT}=K_B </math> โดย <math>K_B </math> แทนค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน
ในทางเดียวกัน ในเมื่อ <math>nR=NK_B </math> โดย "n" คือจำนวนโมลของแก๊ส และ "R" คือค่าคงตัวของแก๊สสากล เราจะได้:
 <math>PV=nRT, </math> ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อว่ากฎของแก๊สอุดมคติ
หากเราทำการทดลองและพบสูตรเพียงสามสูตรจากทั้งหกสูตร เราสามารถอนุพัทธ์สูตรที่เหลือได้ผ่านวิธีการที่เขียนอธิบายไว้ด้านบน แต่เพราะแต่ละสมการมีตัวแปรแค่สองตัวเท่านั้น เราไม่สามารถใช้สูตรสามสูตรสูตรใดก็ได้ เช่นหากเรามีสมการที่ (1), (2) และ (4) เราไม่สามารถอนุพัทธ์สมการอื่นได้ เพราะการรวมสมการสองสมการใด ๆ จะให้ผลเป็นสมการอันที่สามที่เราเลือกมา แต่หากเรามีสมการที่ (1), (2) และ (3) เราจะสามารถหาสมการทั้งหกสมการได้โดยไม่จำเป็นต้องทำการทดลองอื่นอีก เพราะการรวมสมการที่ (1) และ (2) จะให้ผลเป็นสมการที่ (4), (1) และ (3) จะได้สมการที่ (6), (4) และ (6) หรือ (2) และ (3) จะได้สมการที่ (5) ตามที่มีการอธิบายให้เห็นเป็นรูปภาพที่แสดงความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:
โดยเลขแต่ละตัวแทนกฎของแก๊สตามที่เรียงเลขที่ไว้ด้านบน
หากเราทำตามวิธีการด้านบนกับกฎสองกฎจากเลขที่อยู่บนมุมสองมุมจากทั้งสามมุมของสามเหลี่ยมที่มีเลข "O" อยู่ภายใน เราจะได้ผลออกมาเป็นกฎตามเลขที่ปรากฏบนมุมที่สาม 
ตัวอย่างเช่น:
เปลี่ยนแค่ความดันและปริมาตรก่อน: <math>P_1V_1=P_2V_2 </math> (1´)
จากนั้นเปลี่ยนแค่ปริมาตรและอุณหภูมิ: <math>\frac{V_2}{T_1}=\frac{V_3}{T_2} </math> (2´)
และในเมื่อเราสามารถให้ <math>V_3 </math> แทนค่าใดก็ได้ เราจะให้ <math>V_1=V_3 </math> และสมการที่ (2´) จะกลายเป็น: <math>\frac{V_2}{T_1}=\frac{V_1}{T_2} </math>(3´)
การรวมสมการที่ (1´) และ (3´) จะได้ผลเป็น <math>\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2} </math> ซึ่งก็คือสมการที่ (4) โดยเราไม่เคยรู้จักสมการนี้มาก่อนจนกระทั่งเราได้อนุพัทธ์มันออกมา
เชิงทฤษฎี.
ทฤษฎีจลน์.
เราสามารถอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติได้จากหลักการแรก (first principle) โดยใช้ทฤษฎีจลน์ของแก๊สซึ่งมีสมมติฐานที่ทำให้ง่ายลงหลายข้อ เช่นการสมมติว่าโมเลกุลหรืออะตอมของแก๊สเป็นมวลจุดหรือมีมวลแต่มีปริมาตรที่น้อยจนไม่มีนัยสำคัญ และชนกับผนังของภาชนะและชนกันอย่างยืดหยุ่นเท่านั้น โดยอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและพลังงานจลน์ 
สมมติฐานพื้นฐานของทฤษฎีจลน์ของแก๊สบอกเป็นนัยว่า
<math>PV=\frac{1}{3}Nmv_{\text{rms}}^2</math>
จากนั้น ตามการกระจายตัวแบบแมกซ์เวลล์-บ็อลทซ์มัน (Maxwell-Boltzmann distribution) โมเลกุลส่วนหนึ่งที่มีอัตราเร็วอยู่ในช่วง <math>v</math> ถึง <math>v+dv</math> เท่ากับ <math>f(v) \, dv</math> โดย
<math>f(v)=4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}</math>
และ <math>k</math> คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน ค่าเฉลี่ยกำลังสองหาได้จากการคำนวณดังนี้
<math>v_{\text{rms}}^2=\int_0^\infty v^2 f(v) \, dv=4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\int_0^\infty v^4 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \, dv</math>
ด้วยสูตรของปริพันธ์
<math>\int_0^\infty x^{2n}e^{-\frac{x^2}{a^2}} \, dx=\sqrt{\pi} \, \frac{(2n)!}{n!}\left(\frac{a}{2}\right)^{2n+1},</math>
เราจึงได้
<math>v_{\text{rms}}^2=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\pi} \, \frac{4!}{2!}\left(\frac{\sqrt{\frac{2kT}{m}}}{2}\right)^{5}=\frac{3kT}{m},</math>
และจากนั้น เราก็จะได้กฎของแก๊สอุดมคติ:
<math>PV=\frac{1}{3}Nm\left(\frac{3kT}{m}\right)=NkT</math>
กลศาสตร์สถิติ.
ให้ q = ("q"x, "q"y, "q"z) และ p = ("p"x, "p"y, "p"z) แสดงถึงเวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์โมเมนตัมของอนุภาคแก๊สอุดมคติตามลำดับ ให้ F แสดงถึงแรงสุทธิที่กระทำบนอนุภาคนั้น แล้วพลังงานจลน์เฉลี่ยกับเวลาของอนุภาคเท่ากับ:<br>
 <math>
\langle \mathbf{q} \cdot \mathbf{F} \rangle &= \Bigl\langle q_{x} \frac{dp_{x}}{dt} \Bigr\rangle +
\Bigl\langle q_{y} \frac{dp_{y}}{dt} \Bigr\rangle +
\Bigl\langle q_{z} \frac{dp_{z}}{dt} \Bigr\rangle\\
&=-\Bigl\langle q_{x} \frac{\partial H}{\partial q_x} \Bigr\rangle -
\Bigl\langle q_{y} \frac{\partial H}{\partial q_y} \Bigr\rangle -
\Bigl\langle q_{z} \frac{\partial H}{\partial q_z} \Bigr\rangle = -3k_{B} T,
</math>
โดยสมการแรกคือกฎข้อที่สองของนิวตัน บรรทัดที่สองใช้สมการของแฮมิลตันและทฤษฎีบทการแบ่งเท่า (equipartition theorem) ผลบวกรวมทั้งระบบของอนุภาค "N" อนุภาคเท่ากับ
<math>
3Nk_{B} T = - \biggl\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \biggr\rangle
</math>
ตามกฎข้อที่สามของนิวตันและสมมติฐานของแก๊สอุดมคติ แรงสุทธิที่กระทำบนระบบคือแรงที่ผนังของภาชนะกระทำ และแรงนี้ถูกกำหนดโดยความดัน "P" ของแก๊ส ดังนั้น
<math>
-\biggl\langle\sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k}\biggr\rangle = P \oint_{\mathrm{surface}} \mathbf{q} \cdot d\mathbf{S},
</math>
โดย dS คือองค์ประกอบพื้นที่ขนาดกณิกนันต์รอบผนังของภาชนะ ในเมื่อไดเวอร์เจนซ์ (divergence) หรือความลู่ออกของเวกเตอร์ตำแหน่ง q เท่ากับ
<math>
\nabla \cdot \mathbf{q} =
\frac{\partial q_{x}}{\partial q_{x}} +
\frac{\partial q_{y}}{\partial q_{y}} +
\frac{\partial q_{z}}{\partial q_{z}} = 3,
</math>
ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (divergence theorem) บอกเป็นนัยว่า
<math>P \oint_{\mathrm{surface}} \mathbf{q} \cdot d\mathbf{S} = P \int_{\mathrm{volume}} \left(\nabla \cdot \mathbf{q} \right) dV = 3PV,
</math>
โดย "dV" คือปริมาตรขนาดกณิกนันต์ภายในภาชนะ และ "V" คือปริมาตรทั้งหมดของภาชนะ
เมื่อนำสมการทั้งหมดมารวมกัน จะได้ผลเป็น
<math>
3Nk_{B} T = -\biggl\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \biggr\rangle = 3PV,
</math>
ซึ่งแสดงถึงกฎของแก๊สอุดมคติของอนุภาค "N" อนุภาค:
<math>
PV = Nk_{B} T = nRT,\,
</math>
โดย "n" = "N"/"N"A คือจำนวนโมลของแก๊ส และ "R" = "N"A"k"B คือค่าคงตัวของแก๊ส
ในมิติอื่น.
ความดันของแก๊สอุดมคติในระบบ "d" มิติเท่ากับ:
<math>P^{(d)}=\frac{N k_B T}{L^d}, </math>
โดย <math>L^d</math> คือปริมาตรของขอบเขต "d" มิติที่มีแก๊สอยู่ สังเกตว่ามิติ (หรือหน่วย) ของความดันเปลี่ยนตามมิติที่เปลี่ยนไป