ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน  ในทางสถิติศาสตร์และความน่าจะเป็น เป็นการวัดการกระจายแบบหนึ่งของกลุ่มข้อมูล สามารถนำไปใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม ประชากร หรือมัลติเซต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักเขียนแทนด้วยอักษรกรีกซิกมาตัวเล็ก (<math>\sigma</math>) นิยามขึ้นจากส่วนเบี่ยงเบนแบบ root mean square (RMS) กับค่าเฉลี่ย หรือนิยามขึ้นจากรากที่สองของความแปรปรวน
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดค้นโดย ฟรานซิส กาลตัน (Francis Galton) ในช่วงปลายคริสต์ทศวรรษ 1860 เป็นการวัดการกระจายทางสถิติที่เป็นปกติทั่วไป ใช้สำหรับเปรียบเทียบว่าค่าต่าง ๆ ในเซตข้อมูลกระจายตัวออกไปมากน้อยเท่าใด หากข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ใกล้ค่าเฉลี่ยมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่าน้อย ในทางกลับกัน ถ้าข้อมูลแต่ละจุดอยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นส่วนมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่ามาก และเมื่อข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากันหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือไม่มีการกระจายตัว คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้หน่วยอันเดียวกันกับข้อมูล แต่กับความแปรปรวนนั้นไม่ใช่
เมื่อตัวอย่างของข้อมูลกลุ่มหนึ่งถูกเลือกมาจากประชากรทั้งหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรสามารถประมาณค่าได้จากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างนั้น
นิยาม.
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม <math>X</math> มีการนิยามไว้ดังนี้
<math>\begin{array}{lcl}
\sigma & = &\sqrt{\operatorname{E}((X - \operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2} \\
\end{array}</math>
เมื่อ <math>\operatorname{E}(X)</math> หมายถึงค่าคาดหมายของ <math>X</math> (เป็นอีกความหมายหนึ่งของมัชฌิม) และ <math>\operatorname{Var}(X)</math> หมายถึงความแปรปรวนของ <math>X</math>
แต่ก็ไม่ใช่ว่าตัวแปรสุ่มทุกตัวจะมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้าหากค่าคาดหมายไม่มีอยู่จริงหรือไม่นิยาม ตัวอย่างเช่น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มภายใต้การแจกแจงโคชี (Cauchy distribution) จะไม่นิยาม เพราะว่า <math>\operatorname{E}(X)</math> ก็ไม่นิยามเช่นกัน
ถ้าตัวแปรสุ่ม <math>X</math> มีพื้นฐานอยู่บนเซตข้อมูล <math>x_1, ..., x_N</math> ซึ่งสมาชิกเป็นจำนวนจริงและมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถคำนวณได้จากสูตรข้างล่างนี้ อันดับแรกต้องคำนวณหาค่าเฉลี่ยของ <math>X</math> เสียก่อน ค่าเฉลี่ยเขียนแทนด้วย <math>\overline{x}</math> ซึ่งนิยามด้วยผลรวม (summation) ดังนี้
<math>\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}</math>
เมื่อ <math>N</math> คือจำนวนสมาชิกของเซตข้อมูล จากนั้นจึงสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้จาก
<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}</math>
ในทางปฏิบัติ การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องข้างต้น สามารถสรุปได้ดังนี้
นอกจากนั้นสูตรดังกล่าวสามารถดัดแปลงให้เป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้
<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2 - N\overline{x}^2\right)}</math>
ซึ่งความเท่ากันของทั้งสองสูตร สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความรู้ทางพีชคณิต
<math>\begin{align}
\sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2 & = {} \sum_{i=1}^N (x_i^2 - 2 x_i\overline{x} + \overline{x}^2) \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \left(2 \overline{x} \sum_{i=1}^N x_i\right) + N\overline{x}^2 \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2 \overline{x} (N\overline{x}) + N\overline{x}^2 \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2N\overline{x}^2 + N\overline{x}^2 \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - N\overline{x}^2
\end{align}</math>
การประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร.
ในความเป็นจริง การคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรทั่วทั้งหมดนั้น อาจไม่สามารถทำให้เกิดขึ้นจริงได้ เว้นแต่ในกรณีเฉพาะเช่นการทดสอบมาตรฐาน (standardized test) ซึ่งทุกสมาชิกของประชากรจะถือว่าเป็นกลุ่มตัวอย่างทั้งหมด แต่ในกรณีส่วนใหญ่ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกคาดคะเนจากจากส่วนเบี่ยงเบนของตัวอย่างกลุ่มหนึ่งที่มาจากประชากร การวัดที่มักถูกใช้เป็นปกติทั่วไปคือ "ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง" (sample standard deviation) ซึ่งนิยามโดย
<math>s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}</math>
เมื่อ <math>\{ x_1, x_2, ..., x_N \}</math> คือตัวอย่างและ <math>\overline{x}</math> คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง ตัวส่วน <math>N-1</math> คือองศาเสรี (degrees of freedom) ของเวกเตอร์ <math>(x_1-\overline{x}, ..., x_N-\overline{x})</math>
เหตุผลของการนิยามเช่นนี้คือ <math>s^2</math> เป็นตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง (unbiased estimator) สำหรับความแปรปรวน <math>\sigma^2</math> บนประชากรที่เป็นพื้นฐาน ถ้าหากความแปรปรวนนั้นมีค่า และค่าต่าง ๆ ของตัวอย่างได้รับการสุ่มออกมาโดยอิสระต่อกัน อย่างไรก็ตาม <math>s</math> ไม่ใช่ตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ <math>\sigma</math> แต่เป็นการประเมินค่าที่ต่ำกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และถึงแม้ว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ <math>\sigma</math> จะสามารถทราบได้เมื่อตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงปกติ แต่สูตรดังกล่าวจะซับซ้อนขึ้นและมีการปรับแต่งตัวเลข ยิ่งกว่านั้นความไม่เอนเอียงก็ไม่ได้เป็นที่ต้องการเสมอไป
ตัวประมาณค่าอีกแบบหนึ่งบางครั้งก็ถูกใช้เหมือนสูตรเดิม
<math>\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}</math>
รูปแบบนี้จะทำให้เกิดค่าคลาดเคลื่อนประเภท mean squared error น้อยกว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง และเป็นการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (Maximum Likelihood Estimation) เมื่อการกระจายของประชากรนั้นเป็นการแจกแจงปกติ
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง.
การแจกแจงต่อเนื่อง (continuous distribution) มักจะเป็นการให้สูตรมาเพื่อคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ของการแจกแจง ในกรณีทั่วไปค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง <math>X</math> โดยมี <math>p(x)</math> เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) สามารถคำนวณได้จาก
<math>\sigma = \sqrt{\int (x-\mu)^2 \, p(x) \, dx}</math>
เมื่อ
<math>\mu = \int x \, p(x) \, dx</math>
คุณสมบัติของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน.
เมื่อ <math>c</math> เป็นค่าคงตัว และ <math>\operatorname{Covar}(X, Y)</math> คือความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance) ของตัวแปรสุ่ม <math>X</math> และ <math>Y</math>