ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ  ถูกเสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1905 โดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ในบทความของเขาที่มีชื่อว่า "พลศาสตร์ไฟฟ้าของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ (On the Electrodynamics of Moving Bodies)" สามศตวรรษก่อนหน้านั้น หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอกล่าวไว้ว่า การเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ทั้งหมดเป็นการสัมพัทธ์ และไม่มีสถานะของการหยุดนิ่งสัมบูรณ์และนิยามได้ คนที่อยู่บนดาดฟ้าเรือคิดว่าตนอยู่นิ่ง แต่คนที่สังเกตบนชายฝั่งกลับบอกว่า ชายบนเรือกำลังเคลื่อนที่ ทฤษฎีของไอน์สไตน์รวมหลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอเข้ากับสมมติฐานที่ว่า ผู้สังเกตทุกคนจะวัดอัตราเร็วของแสงได้เท่ากันเสมอ ไม่ว่าสภาวะการเคลื่อนที่เชิงเส้นด้วยความเร็วคงที่ของพวกเขาจะเป็นอย่างไร
ทฤษฎีนี้มีข้อสรุปอันน่าประหลาดใจหลายอย่างซึ่งขัดกับสามัญสำนึก แต่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการทดลอง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษล้มล้างแนวคิดของปริภูมิสัมบูรณ์และเวลาสัมบูรณ์ของนิวตันโดยการยืนยันว่า ระยะทางและเวลาขึ้นอยู่กับผู้สังเกต และรับรู้เวลากับปริภูมิต่างกันขึ้นอยู่กับผู้สังเกต มันนำมาซึ่งหลักการสมมูลของสสารและพลังงาน ซึ่งสามารถแสดงเป็นสมการชื่อดัง "E"="mc"2 เมื่อ c คืออัตราเร็วของแสง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสอดคล้องกับกลศาสตร์นิวตันในสำนึกทั่วไปและในการทดลองเมื่อความเร็วของสิ่งต่าง ๆ น้อยมากเมื่อเทียบกับอัตราเร็วแสง
ทฤษฎีนี้เรียกว่า "พิเศษ" เนื่องจากมันประยุกต์หลักสัมพัทธภาพกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยเท่านั้น ไอน์สไตน์พัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยประยุกต์หลักสัมพัทธภาพให้ใช้ทั่วไป กล่าวคือ ใช้ได้กับทุกกรอบอ้างอิง และทฤษฎีดังกล่าวยังรวมผลของความโน้มถ่วง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไม่ได้รวมผลของความโน้มถ่วง แต่มันสามารถจัดการกับความเร่งได้
ถึงแม้ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพจะทำให้เกิดการสัมพัทธ์กันของปริมาณบางอย่าง เช่น เวลาซึ่งเรามักคิดว่าเป็นปริมาณสัมบูรณ์เนื่องจากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน ถึงกระนั้นมันก็มีปริมาณบางอย่างที่เป็นปริมาณสัมบูรณ์ทั้ง ๆ ที่เราคิดว่ามันน่าจะเป็นปริมาณสัมพัทธ์ กล่าวให้ชัดคือว่า อัตราเร็วของแสงจะเท่ากันสำหรับทุกผู้สังเกต แม้ว่าพวกเขาจะเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันก็ตาม ทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่า c ไม่ใช่แค่ความเร็วของปรากฏการณ์ที่เรียกว่า แสง เท่านั้น แต่ยังเป็นค่าพื้นฐานที่เชื่อมปริภูมิกับเวลาเข้าด้วยกัน กล่าวโดยเจาะจงคือว่า ทฤษฎีสัมพัทธภาพยืนยันว่าไม่มีวัตถุใดเคลื่อนที่เร็วเท่ากับแสงได้
สมมติฐาน.
"บทความหลัก: สมมติฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ" (Einstein Postulate)
พลังของทฤษฎีไอน์สไตน์เกิดขึ้นจากวิธีที่เขาได้มาซึ่งผลลัพธ์อันน่าตื่นตระหนกและดูจะไม่น่าถูกต้องจากข้อสมมุติง่าย ๆ สองอย่างซึ่งค้นพบจากการสังเกต ผู้สังเกตพยายามวัดอัตราเร็วของแสงที่แผ่ออกมา พบว่าได้คำตอบเท่าเดิมไม่ว่าผู้สังเกตหรือองค์ประกอบของระบบวัดจะเคลื่อนที่อย่างไร
ความบกพร่องของกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์.
หลักสัมพัทธภาพ ซึ่งกล่าวว่าไม่มีกรอบอ้างอิงที่อยู่กับที่ นั้นสืบเนื่องมาจากกาลิเลโอ และถูกรวมเข้ากับฟิสิกส์ของนิวตัน อย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 การมีอยู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าทำให้นักฟิสิกส์เสนอแนวคิดว่า เอกภพเต็มไปด้วยสารที่รู้จักในนาม "อีเทอร์" ซึ่งทำตัวเป็นตัวกลางยามที่การสั่นของคลื่นเคลื่อนไป อีเทอร์ถูกตั้งขึ้นเพื่อการมีกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ต้านกับหลักที่ว่าอัตราเร็วของกรอบอ้างอิงใด ๆ สามารถวัดได้ กล่าวอีกอย่างคือ อีเทอร์เป็นสิ่งเดียวที่ถูกตรึงหรือไม่เคลื่อนที่ในเอกภพ อีเทอร์ถูกสมมุติให้มีคุณสมบัติอันอัศจรรย์: มันยืดหยุ่นพอที่จะรองรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และคลื่นนั้นต้องสามารถมีการกระทำกับสสาร ในขณะที่ตัวอีเทอร์เองต้องไม่มีความต้านทานในการเคลื่อนที่สำหรับวัตถุที่ทะลุผ่านมันไป ผลการทดลองต่าง ๆ รวมทั้งการทดลองของไมเคิลสันและเมอร์เลย์ ชี้ให้เห็นว่าโลก 'อยู่กับที่' -- ซึ่งเป็นอะไรที่ยากจะอธิบายได้ เพราะโลกอยู่ในวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ ผลลัพธ์อันสละสลวยของไอน์สไตน์ล้มล้างแนวคิดเรื่องอีเทอร์และการอยู่นิ่งสัมบูรณ์ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกเขียนขึ้นไม่ใช่แค่ถือว่ากรอบอ้างอิงเฉพาะใด ๆ นั้นพิเศษ แต่ว่าในสัมพัทธภาพ กรอบหนึ่ง ๆ ต้องสังเกตพบกฎทางฟิสิกส์แบบเดียวกันโดยไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วของผู้สังเกต กล่าวให้ชัดคือ อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศต้องวัดได้ c เสมอ แม้ว่าจะวัดโดยระบบต่าง ๆ ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่าง ๆ (แต่คงที่)
ผลสรุป.
ไอน์สไตน์ได้กล่าวไว้ว่าผลที่ตามมาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถหาได้จากการพิจารณาการแปลงแบบลอเรนซ์
การแปลงเหล่านี้ รวมทั้งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ นำไปสู่การทำนายลักษณะกายภาพที่ต่างไปจากกลศาสตร์นิวตันเมื่อความเร็วสัมพัทธ์มีค่าเทียบเคียงอัตราเร็วแสง อัตราเร็วแสงนั้นมากกว่าทุกสิ่งที่มนุษย์เคยประสบ จนทำให้ผลบางอย่างซึ่งทำนายจากหลักการสัมพัทธ์นั้นจะขัดกับสัญชาตญาณตั้งแต่แรก:
กรอบอ้างอิง ระบบพิกัด และการแปลงแบบลอเรนซ์.
ทฤษฎีสัมพัทธภาพขึ้นอยู่กับ "กรอบอ้างอิง" กรอบอ้างอิงคือจุดในปริภูมิที่อยู่นิ่ง หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ จากตำแหน่งซึ่งสามารถวัดได้ตามแกน 3 แกน นอกจากนี้ กรอบอ้างอิงยังมีนาฬิกาซึ่งกำลังเคลื่อนที่ไปกับกรอบอ้างอิงซึ่งใช้ในการวัดเวลาของเหตุการณ์
เหตุการณ์ คือสิ่งที่เกิดขึ้นโดยสามารถระบุเป็นเวลาและตำแหน่งเดี่ยว ๆ ในปริภูมิสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิง: นั่นคือ "จุด" ในปริภูมิ-เวลา เนื่องจากอัตราเร็วแสงมีค่าคงที่ในแต่ละกรอบอ้างอิงและทุก ๆ กรอบ พัลส์ของแสงจึงสามารถใช้วัดระยะทางได้อย่างแม่นยำและกลับมาเมื่อครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้นไปยังนาฬิกา ถึงแม้ว่าแสงจะใช้เวลากลับมาหานาฬิกาหลังจากที่เหตุการณ์ได้เกิดขึ้นแล้วก็ตาม
ยกตัวอย่างเช่น การระเบิดของประทัดสามารถเป็น "เหตุการณ์" ได้ เราสามารถระบุเหตุการณ์ได้อย่างสมบูรณ์ด้วยใช้พิกัด ปริภูมิ-เวลา 4 มิติ: เวลาที่เหตุการณ์เกิดขึ้น และตำแหน่ง 3 มิติจากตำแหน่งอ้างอิง เรียกกรอบอ้างอิงนี้ว่า S
ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เรามักต้องการคำนวณตำแหน่งของจุดจากตำแหน่งอ้างอิงอีกอันหนึ่ง
สมมุติเรามีกรอบอ้างอิงที่สอง คือ S' ซึ่งมีแกนพิกัดและนาฬิกาวางตัวทับกันกับระบบของ S ที่เวลาเป็นศูนย์ แต่กรอบอ้างอิงที่สองกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ <math>v\,</math> เทียบกับกรอบอ้างอิง S ไปตามแกน <math>x\,</math>
เนื่องจากไม่มีกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ แนวคิดเรื่อง 'การเคลื่อนที่' จึงไม่ได้มีอยู่อย่างชัดเจน จากที่ทุกสิ่งย่อมเคลื่อนที่เทียบกับกรอบอ้างอิงอื่นเสมอ แทนที่โดย กรอบสองกรอบใด ๆ ที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน ในทิศทางเดียวกันจะเรียกว่า การเคลื่อนที่ร่วม ดังนั้น S และ S' จึงไม่ได้เป็นการเคลื่อนที่ร่วมกัน
กำหนดให้ เหตุการณ์ เกิดขึ้นในพิกัดปริภูมิ-เวลา <math>(t, x, y, z) \,</math> ในระบบ S และในพิกัด <math>(t', x', y', z') \,</math> ในระบบ S' จากนั้นการแปลงแบบลอเรนซ์ระบุว่าพิกัดทั้งสองสัมพันธ์กันดังนี้:
 <math>t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right) </math>
 <math>x' = \gamma (x - v t) \,</math>
 <math>y' = y\,</math>
 <math>z' = z\,</math>
เมื่อ <math>\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math> เรียกว่า Lorentz factor และ <math>c</math> คือ อัตราเร็วแสง ในสุญญากาศ
พิกัด <math>y\,</math> และ <math>z\,</math> ไม่ได้รับผล แต่แกน <math>x\,</math> และ <math>t\,</math> นั้นผสานกันในสูตรการแปลง โดยการแปลงนี้สามารถเข้าใจได้ด้วย การหมุนแบบไฮเพอร์โบลิก
ปริมาณซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์รู้จักกันในนาม Lorentz scalar
ความพร้อมกัน.
จากสมการที่หนึ่งของการแปลงแบบลอเรนซ์ในเทอมผลต่างของพิกัด จะได้
 <math>\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right) </math>
เห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์สองอย่างที่พร้อมกันในกรอบอ้างอิง S (คือ <math>\Delta t = 0\,</math>) นั้นไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นพร้อมกันในอีกกรอบอ้างอิงหนึ่งซึ่งในที่นี้ก็คือ กรอบอ้างอิง S' (คือ <math>\Delta t' = 0\,</math>) เหตุการณ์ทั้งสองนั้นจะเกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิง S'ด้วยก็ต่อเมื่อเหตุการณ์เหล่านั้นเกิดขึ้น ณ ตำแหน่งเดียวกันในกรอบอ้างอิง S (คือ <math>\Delta x = 0\,</math>)
การยืดออกของเวลา และการหดสั้นของความยาว.
จากการเขียนการแปลงแบบลอเรนซ์และอินเวอร์สในเทอมผลต่างของพิกัด เราจะได้
 <math>\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right) </math>
 <math>\Delta x' = \gamma (\Delta x - v \Delta t) \,</math>
และ
 <math>\Delta t = \gamma \left(\Delta t' + \frac{v \Delta x'}{c^{2}} \right) </math>
 <math>\Delta x = \gamma (\Delta x' + v \Delta t') \,</math>
สมมุติว่าเรามีนาฬิกาซึ่งอยู่นิ่งในกรอบอ้างอิง S เสียงติ๊กสองติ๊กของนาฬิกาวัดโดยที่ <math>\Delta x = 0</math> ถ้าเราต้องการรู้ความสัมพัทธ์ระหว่างเวลากับเสียงติ๊ก ซึ่งวัดโดยระบบอ้างอิงทั้งสอง เราสามารถใช้สมการแรกและพบว่า
 <math>\Delta t' = \gamma \Delta t \,</math>
นี่แสดงให้เห็นว่า ช่วงเวลา <math>\Delta t'</math> ระหว่างเสียงนาฬิกาสองติ๊กที่วัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' นั้นโตกว่าช่วงเวลา<math>\Delta t</math> ระหว่างเสียงนาฬิกาสองติ๊กที่วัดในกรอบอ้างอิงในกรอบที่หยุดนิ่งเทียบกับนาฬิกานั้น ปรากฏการณ์ดังกล่าวเรียกว่า การยืดออกของเวลา (ข้อสังเกต: การวัดเวลาระหว่างสองเหตุการณ์ใด ๆ จะต้องวัดที่ตำแหน่งในปริภูมิเดิมเสมอเทียบกับกรอบอ้างอิงนั้น ๆ คือ <math>\Delta x = 0</math> ในกรอบอ้างอิง S หรือ <math>\Delta x' = 0</math> ในกรอบอ้างอิง S' :ผู้แปล)
เช่นเดียวกัน สมมุติเรามีไม้วัดวางนิ่งอยู่ในกรอบอ้างอิง S ในระบบนี้ ความยาวของไม้สามารถเขียนเป็น <math>\Delta x</math> ถ้าเราต้องการหาความยาวของไม้นี้โดยวัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' เราต้องมั่นใจว่าวัดระยะ <math>x'</math> ที่ตำแหน่งปลายไม้อย่างพร้อมกันในกรอบอ้างอิง S' หรือพูดอีกอย่างก็คือ การวัดต้องให้ <math>\Delta t' = 0</math>ซึ่งเราสามารถรวมหลักการนี้เข้ากับสมการที่สี่เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างความยาว <math>\Delta x</math> กับ <math>\Delta x'</math> ได้เป็น:
 <math>\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma}</math>
นี่แสดงว่าความยาว <math>\Delta x'</math> ของไม้ซึ่งวัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' สั้นกว่าความยาว <math>\Delta x</math> ในกรอบที่อยู่นิ่งเทียบกับตัวไม้เอง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า "การหดสั้นของความยาว" หรือ "การหดสั้นแบบลอเรนซ์" (ข้อสังเกต: การวัดความยาวระหว่างสองตำแหน่งในปริภูมิจะต้องวัดที่เวลาเดียวกันเสมอเทียบกับกรอบอ้างอิงนั้น ๆ คือ <math>\Delta t = 0</math> ในกรอบอ้างอิง S หรือ <math>\Delta t' = 0</math> ในกรอบอ้างอิง S' :ผู้แปล)
ผลการยืดหดเหล่านี้ไม่ใช่เพียงภาพปรากฏเท่านั้น แต่มันสัมพันธ์อย่างชัดเจนกับวิธีในการวัดช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ 'ร่วมตำแหน่ง' และระยะทางระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างพร้อมกัน
Causality และการห้ามวัตถุเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง.
ในแผนภาพที่ 2 ช่วง AB เรียกว่า 'time-like' "กล่าวคือ" มีกรอบอ้างอิงซึ่งมีเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้นในตำแหน่งเดียวกันในปริภูมิ แต่แยกกันเนื่องจากการเกิดขึ้นในเวลาที่ต่างกันเท่านั้น ถ้า A เกิดก่อน B ในกรอบอ้างอิงนั้น A ย่อมเกิดขึ้นก่อน B ในทุก ๆ กรอบอ้างอิง จึงเป็นไปได้ในเชิงสมมติฐานว่า สสาร (หรือข้อมูล) จะสามารถเคลื่อนที่จาก A ไป B และมีความสัมพันธ์อย่างมีเหตุผล (โดย A เป็นเหตุ และ B เป็นผล)
ช่วง AC ในแผนภาพเรียกว่า 'space-like'; "กล่าวคือ" มีกรอบอ้างอิงซึ่งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ C เกิดขึ้นพร้อมกัน เว้นแต่ว่าอยู่คนละตำแหน่งในปริภูมิ อย่างไรก็ตามยังมีบางกรอบซึ่ง A เกิดก่อน C (ดังรูป) และบางกรอบซึ่ง C เกิดก่อน A ถ้าความสัมพันธ์แบบเหตุและผลนั้นเป็นไปได้ระหว่างเหตุการณ์ A และ C พาราดอกซ์ทางตรรกะ (logical paradoxes) จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ถ้า A เป็นเหตุ และ C เป็นผล ก็จะมีบางกรอบอ้างอิงที่ทำให้ผลมาก่อนเหตุ วิธีหนึ่งที่จะมองคือว่า ถ้ามีเทคโนโลยีที่ยอมให้มีการเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง มันก็จะทำตัวเป็นไทม์แมชชีน (time machine) ดังนั้นผลสรุปอย่างหนึ่งของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษคือว่า (โดยถือว่า causality เป็นหลักการทางตรรกะอย่างหนึ่ง) ไม่มีข้อมูลหรือวัตถุใดสามารถเคลื่อนที่ได้เร็วกว่าแสง อย่างไรก็ตาม สถานการณ์ทางตรรกะไม่ชัดเจนนักในกรณีของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ดังนั้นจึงเป็นคำถามปลายเปิดว่ามี fundamental principle ซึ่งรักษาหลัก causality (และรักษาหลักการเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปหรือไม่
การรวมความเร็ว.
ถ้าผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง <math>S</math> เห็นวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามแนวแกน <math>x</math> ด้วยความเร็ว <math>w</math> ผู้สังเกตในกรอบ <math>S'</math> จะเห็นว่าวัตถุดังกล่าวมีความเร็ว <math>w'</math> โดยที่
<math>w'=\frac{w-v}{1-wv/c^2}</math>
สมการนี้สามารถหาได้จากการแปลงปริภูมิและเวลาข้างต้น ระลึกไว้ว่าถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วแสงในกรอบอ้างอิง <math>S</math> (นั่นคือ <math>w=c</math>) วัตถุนั้นก็จะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วแสงในกรอบอ้างอิง <math>S'</math> เช่นกัน ถ้าทั้ง <math>w</math> และ <math>v</math> เล็กมากเมื่อเทียบกับอัตราเร็วแสง เราก็จะสามารถใช้การแปลงความเร็วแบบกาลิเลียนในแบบสัญชาตญาณของเรา คือ <math>w'=w-v</math>
มวล โมเมนตัม และพลังงาน.
นอกจากการปรับเปลี่ยนแนวคิดเกี่ยวกับปริภูมิและเวลาแล้ว ทฤษฎีสัมพัทธภาพยังบังคับให้เราต้องกลับมาพิจารณาแนวคิดของ มวล โมเมนตัม และ พลังงาน ทั้งหมดนี้มีความสำคัญต่อโครงสร้างใน กลศาสตร์นิวตัน ทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่า อันที่จริงแล้ว แนวคิดเหล่านั้นมีแง่มุมที่ต่างกันมากสำหรับปริมาณทางกายภาพเดียวกันเหมือนกับที่มันแสดงว่าปริภูมิกับเวลามีความเชื่อมโยงกัน
มีหลายวิธี (ที่เทียบเท่ากัน) ที่จะนิยามโมเมนตัมและพลังงานใน SR (หมายถึง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ :ผู้แปล) วิธีหนึ่งคือใช้ กฎการอนุรักษ์ ถ้ากฎเหล่านี้ยังคงใช้ได้ใน SR พวกมันย่อมเป็นจริงในทุกกรอบอ้างอิงที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำ การทดลองในความคิด อย่างง่ายโดยใช้การนิยามแบบนิวตันของโมเมนตัมและพลังงาน เราจะเห็นว่าปริมาณเหล่านั้นไม่อนุรักษ์ใน SR เราสามารถกู้แนวคิดของการอนุรักษ์กลับมาโดยทำการปรับนิยามเพื่อให้เข้ากับความเร็วเชิงสัมพัทธภาพ และนี่คือนิยามใหม่ซึ่งแก้ไขแล้วสำหรับโมเมนตัมและพลังงานใน SR
ให้วัตถุมี มวลไม่แปรเปลี่ยน "m"0 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว "v" พลังงานและโมเมตัมจะเป็น (และถูกสั่งให้เป็น)
<math>E = \gamma m_0 c^2 \,\!</math>
<math>\vec p = \gamma m_0 \vec v \,\!</math>
เมื่อ "γ" (Lorentz factor) มาจาก
<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \,\!</math>
และ "c" คืออัตราเร็วแสง เทอม γ ปรากฏอยู่บ่อย ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ และมันมาจาก สมการการแปลงแบบลอเรนซ์
พลังงานและโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพมีความสัมพันธ์กันตามสูตร
<math> E^2 - (p c) ^2 = (m_0 c^2) ^2 \,\!</math>
ซึ่งเรียกว่าเป็น "สมการพลังงาน-โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ (relativistic energy-momentum equation) "
สำหรับความเร็วที่น้อยกว่าของแสงมาก ค่า γ สามารถประมาณได้โดยใช้ Taylor series expansion และจะพบว่า
<math> E \approx m_0 c^2 + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} m_0 v^2 \,\!</math>
<math>\vec p \approx m_0 \vec v \,\!</math>
ถ้าไม่มีเทอมแรกในสูตรพลังงาน (จะกล่าวถึงภายหลัง) สูตรเหล่านี้จะสอดคล้องอย่างชัดเจนกับนิยามมาตรฐานของ พลังงานจลน์ และโมเมนตัมแบบนิวตัน นี่เป็นการแสดงว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษต้องสอดคล้องกับกลศาสตร์นิวตันที่ความเร็วต่ำ
เมื่อดูที่สูตรสำหรับพลังงานข้างต้น เราจะเห็นว่าวัตถุ เมื่ออยู่นิ่ง (v = 0 and γ = 1) จะมีพลังงานที่ไม่เท่ากับศูนย์เหลืออยู่ คือ
<math>E = m_0 c^2 \,\!</math>
พลังงานนี้เรียกว่า "พลังงานนิ่ง (rest energy) " พลังงานนิ่งไม่ได้เป็นสาเหตุของความขัดแย้งกับทฤษฎีแบบนิวตันเพราะว่ามันเป็นค่าคงที่ และเป็นความแตกต่างในแง่พลังงานซึ่งมีความหมายอย่างยิ่ง ตราบเท่าที่ยังพิจารณาพลังงานจลน์ 
เมื่อนำสูตรนี้พิจารณาค่า เราจะพบว่าในทฤษฎีสัมพัทธภาพ "มวลเป็นเพียงแค่พลังงานรูปแบบหนึ่ง" ในปี ค.ศ. 1927 ไอน์สไตน์ได้ตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไว้ว่า
"ภายใต้ทฤษฎีนี้ มวลนั้นไม่ใช่ปริมาณใหม่อะไร แต่เป็นเพียงปริมาณที่ขึ้นอยู่กับ (และจริง ๆ แล้ว คือ เหมือนกับ) พลังงาน" 
สูตรนี้มีความสำคัญเมื่อมีคนวัดมวลนิวคลิไอของอะตอมต่าง ๆ และโดยการดูผลต่างของมวลเหล่านั้น ก็สามารถทำนายได้ว่านิวคลีไอใดมีพลังงานที่เก็บไว้จนสามารถเกิด ปฏิกิริยานิวเคลียร์ ได้ รวมทั้งข้อมูลซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งในการพัฒนา ระเบิดนิวเคลียร์ ผลกระทบของสมการนี้ต่อผู้คนใน ศตวรรษที่ 20 ทำให้มันเป็นหนึ่งในสมการที่มีชื่อเสียงที่สุดในสาขาวิทยาศาสตร์ทั้งหมด
มวลเชิงสัมพัทธภาพ.
ในวิชาฟิสิกส์เบื้องต้นและหนังสือเก่า ๆ เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพบางครั้งจะนิยามคำว่า "มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ซึ่งเพิ่มขึ้นเมื่อความเร็วของวัตถุเพิ่มขึ้น ตามการตีความทางเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ มักจะไม่ชอบนิยามนี้ และคำว่า 'มวล' ถูกสงวนไว้สำหรับว่าคำว่า 'มวลนิ่ง' และไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง กล่าวคือ มัน "ไม่แปรเปลี่ยน"
จากการใช้นิยามของมวลเชิงสัมพัทธภาพ มวลวัตถุสามารถแปรเปลี่ยนได้ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยของผู้สังเกตเช่นเดียวกับปริมาณอื่น ๆ เช่น ความยาว การนิยามปริมาณหนึ่ง ๆ บางครั้งมี "ประโยชน์" ในการช่วยให้คำนวณง่ายขึ้นโดยจำกัดมันกับกรอบอ้างอิง ยกตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาวัตถุซึ่งมีมวลไม่แปรเปลี่ยน m0 ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วค่าหนึ่งสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตคนหนึ่ง ผู้สังเกตคนนั้นจะนิยาม "มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ของวัตถุเท่ากับ
<math>m = \gamma m_0\!</math>
"มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ไม่ควรสับสนกับนิยามของ "longitudinal" และ "transverse mass" ที่ถูกใช้ในช่วงปี ค.ศ. 1900 และที่ตั้งอยู่บนการประยุกต์ที่ขัดแย้งกันของกฎนิวตัน คือใช้ "F=ma" สำหรับมวลแปรค่าได้ ในขณะที่มวลเชิงสัมพัทธภาพสัมพันธ์กับมวลเชิงไดนามิกของนิวตัน โดยที่ "p=mv" และ "F=dp/dt"
ควรระลึกไว้เช่นกันว่า วัตถุ "ไม่" ได้มีมวลมากขึ้นในกรอบอ้างอิง "แท้"และกรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่นๆ (คือ กรอบอ้างอิงที่เห็นวัตถุหยุดนิ่ง :ผู้แปล,หรือกรอบที่เห็นวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่) เพราะมวลเชิงสัมพัทธภาพจะแตกต่างกันไปสำหรับผู้สังเกตในกรอบต่าง ๆ กัน(แท้จริงแล้วคือ Lorentz factor มีค่าต่าง ๆ กัน) มวลที่อิสระจากกรอบ "เท่านั้น" จึงจะเป็นมวลไม่แปรเปลี่ยน (มวลชิงสัมภัทธภาพ เปลี่ยนไปตามกรอบอ้างอิง แต่ไม่มีความจำเป็นที่จะนิยาม มวลเชิงสัมพัทธภาพขึ้นมาเลย)เมื่อใช้มวลเชิงสัมพัทธภาพ กรอบอ้างอิงที่ใช้ต้องระบุให้ชัดเจนหากมันไม่ชัดเจนหรือแสดงออกมา มันเป็นไปโดยไม่ได้กล่าวว่า การเพิ่มขึ้นในมวลเชิงสัมพัทธภาพไม่ได้มาจากจำนวนอะตอมที่เพิ่มขึ้นในวัตถุ แต่แทนที่จะเป็นอย่างนั้น มวลเชิงสัมพัทธภาพของแต่ละอะตอมและอนุภาคเล็กกว่าอะตอมก็ไม่เพิ่มขึ้น แต่พลังงานในการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้น และเราตีความว่ามวลคือพลังงานนั่นเองแท้จริงแล้วธรรมชาติของมวลและพลังงานต่างกันมาก
หนังสือเรียนฟิสิกส์เก่า ๆ บางครั้งจะใช้มวลเชิงสัมพัทธภาพเพราะมันยอมให้นักเรียนได้ใช้ความรู้ของฟิสิกส์แบบนิวตันเพื่อจะได้เข้าใจในทฤษฎีสัมพัทธภาพในกรอบอ้างอิงของตัวเลือก (ซึ่งมักจะเป็นของตัวเอง!) "มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ยังสอดคล้องกับแนวคิดของ "การยืดออกของเวลา" และ "การหดสั้นของระยะทาง"
แรง.
นิยามแบบคลาสสิกของแรง F กำหนดโดย กฎข้อที่สองของนิวตัน ในรูปแบบดั้งเดิม
<math>\vec F = d\vec p/dt </math>
และใช้ได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ 
หนังสือเรียนสมัยใหม่ มักจะเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันใหม่เป็น
<math>\vec F = m \vec a </math>
รูปแบบนี้ใช้ไม่ได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพและกรณีอื่นใดที่มวล "m" แปรเปลี่ยน
สำหรับมวลคงที่ "m"0 สูตรดังกล่าวสามารถเขียนแทนได้ ในกรณีสัมพัทธภาพ จะเป็น
<math>\vec F = \gamma m_0 \vec a + \gamma^3 m_0 \frac{\vec v \cdot \vec a}{c^2} \vec v</math>
จากการมองสมการนี้ จะพบว่าแรงและเวกเตอร์ความเร่งไม่เป็นจำเป็นต้องขนานกันในทฤษฎีสัมพัทธภาพ
เรขาคณิตของปริภูมิ-เวลา.
ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษใช้ปริภูมิ-เวลาแบบมินคอฟสกีสี่มิติแบบราบ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของ ปริภูมิ-เวลา อย่างไรก็ตาม ปริภูมิแบบนี้คล้ายกับปริภูมิแบบยูคลิดสามมิติมาตรฐานอย่างมาก และโชคดีคือว่าด้วยเหตุนั้น มันง่ายมากที่จัดการกับมัน
ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของระยะทาง("ds") ในปริภูมิสามมิติแบบคาร์ทีเซียน นิยามโดย
<math> ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 </math>
เมื่อ <math>(dx_1,dx_2,dx_3) </math> เป็นผลต่างเชิงอนุพันธ์ของมิติตามแกนทั้งสาม ในเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพ มิติที่สี่ คือ เวลา ได้ถูกเพิ่มเข้าไป พร้อมกับหน่วยของ c นั่นทำให้สมการสำหรับดิฟเฟอเรนเชียลของระยะทาง กลายเป็น
<math> ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2 </math>
ถ้าเราอยากทำให้พิกัดของเวลาดูเหมือนพิกัดของปริภูมิ เราสามารถทำให้เวลาเป็นจำนวนจินตภาพ: "x4 = ict" . ในกรณีนี้ สมการข้างต้นจะสมมาตร
<math> ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 + dx_4^2 </math>
นี่แสดงให้เห็นมุมมองทางทฤษฎีที่ลึกซึ้งเมื่อมันแสดงว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพเป็นการ สมมาตรเชิงหมุน ของ ปริภูมิ-เวลา ซึ่งคล้ายกับสมมาตรเชิงหมุนของ ปริภูมิแบบยูคลิด อย่างมาก หากเป็นปริภูมิแบบยูคลิดจะใช้ Euclidean metric ดังนั้นปริภูมิ-เวลาจะใช้ Minkowski metric ตาม Misner (1971 §2.3) แล้ว ความเข้าใจในเชิงลึกทั้งหมดของทั้งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไปจะมาจากการศึกษา Minkowski metric (จะบรรยายในภายหลัง) มากกว่า Euclidean metric "ปลอม" ที่ใช้ "ict" เป็นพิกัดเวลา
ถ้าเราลดแกนของปริภูมิลงเป็น 2 จนทำให้เราสามารถใช้ฟิสิกส์ในปริภูมิ 3 มิติ
<math> ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2 </math>
เราจะเห็นว่า null geodesics จะวางตัวตามกรวยคู่
ซึ่งนิยามโดยสมการ 
<math> ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2 </math>
หรือ
<math> dx_1^2 + dx_2^2 = c^2 dt^2 </math>
ซึ่งเป็นสมการของวงกลมซึ่ง "r=c*dt"
ถ้าเราขยายผลนี้เป็นปริภูมิสามมิติ null geodesics จะเป็นกรวย 4 มิติ
<math> ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2 </math>
<math> dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 = c^2 dt^2 </math>
null dual-cone นี้แทน "แนวการมองเห็น" ของจุดในปริภูมิ กล่าวคือ เมื่อเรามองไปที่ดวงดาวและกล่าวว่า "แสงจากดาวที่ฉันรับได้มีอายุ X ปี" หมายความว่าเรากำลังมองลงไปตามแนวการมองเห็นนี้ คือ null geodesic เรากำลังมองเหตุการณ์หนึ่งที่ห่างออกไป <math>d = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} </math> เมตร และ "d/c" วินาทีในอดีต ด้วยเหตุผลดังกล่าว null dual cone จึงรู้จักกันในนาม 'กรวยแสง' (จุดในมุมซ้ายล่างของภาพแทนดวงดาว จุดกำเนิดแทนตัวผู้สังเกต และเส้นเชื่อมนั้นแทน null geodesic "แนวการมองเห็น")
กรวยในเขต "-t" เป็นข้อมูลที่จุดนั้นกำลัง 'รับ' ในขณะที่กรวยในเขต "+t" เป็นข้อมูลที่จุดนั้นกำลัง 'ส่ง'
เรขาคณิตของปริภูมิ-เวลาแบบมินคอฟสกี สามารถพรรณนาได้โดยใช้ Minkowski diagrams ซึ่งมีประโยชน์เช่นกันในความเข้าใจการทดลองทางความคิดต่าง ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
ฟิสิกส์ในปริภูมิ-เวลา.
บัดนี้ เราจะได้เห็นวิธีการเขียนสมการของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในรูปแบบที่ไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน ตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ในปริภูมิ-เวลา สามารถกำหนดโดย contravariant four vector ซึ่งมีองค์ประกอบ คือ 
<math>x^\nu=\left(t, x, y, z\right) </math>
หมายความว่า <math>x^0 = t</math> และ <math>x^1 = x</math> และ <math>x^2 = y</math> และ <math>x^3 = z</math>. ตัวยกเป็นดัชนีของ contravariant indices ในส่วนนี้มากกว่าจะเป็นเลขชี้กำลังเว้นเสียแต่ว่าเมื่อมันหมายถึงยกกำลังสอง ส่วนตัวห้อยเป็น covariant indices ซึ่งเรียงจากศูนย์ไปถึงสามเมื่อใช้กับ spacetime gradient ของสนาม φ:
<math>\partial_0 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t}, \quad \partial_1 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad \partial_2 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial y}, \quad \partial_3 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial z}.</math>
เมตริกซ์และการแปลงพิกัด.
จากการระลึถึงธรรมชาติสี่มิติของปริภูมิ-เวลา เราถูกชักจูงให้สร้าง Minkowski metric, η, กำหนดให้มีองค์ประกอบ (ใช้ได้ใน กรอบอ้างอิงเฉื่อย ใด ๆ) คือ
<math>\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
-c^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
และส่วนกลับของมันคือ
<math>\eta^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
-1/c^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
ภายใต้เงื่อนไข
<math>\eta_{\alpha\beta}\eta^{\alpha\beta} = I </math>
จากนั้น เราระลึกได้ว่าการแปลงพิกัดระหว่างกรอบอ้างอิงเฉื่อยนั้นกำหนดโดย Lorentz transformation tensor Λ. สำหรับกรณีพิเศษของการเคลื่อนที่ตามแนวแกน x เราจะได้ 
<math>\begin{pmatrix}t'\\ x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\
-\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\ x\\ y\\ z\end{pmatrix}</math>
หรือ
<math>\Lambda^{\mu'}{}_\nu = \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\
-\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
ซึ่งก็คือ matrix of a boost (เช่นการหมุน) ระหว่างพิกัด "x" กับ "t" เมื่อ μ' บอกแถว และ ν บอกคอลัมน์ ค่า β และ γ ยังนิยามเป็น
<math>\beta = \frac{v}{c},\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.</math>
เพื่อให้ทั่วไปยิ่งขึ้น การแปลงจากกรอบอ้างอิงหนึ่ง (ซึ่งไม่สนการแปลงเพื่อความเรียบง่าย) ไปยังอีกกรอบ ต้องทำให้
<math>\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu'\nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\alpha \Lambda^{\nu'}{}_\beta \!</math>
เมื่อมี implied summation ของ <math>\mu' \!</math> และ <math>\nu' \!</math> จาก 0 ถึง 3 บนหลักมือขวาซึ่งสอดคล้องกับ Einstein summation convention Poincaré group เป็นกลุ่มที่ทั่วไปที่สุดของการแปลงซึ่งยังคงรักษาi Minkowski metric ไว้ และนี่เป็นสมมาตรทางกายภาพภายใต้ทฤษฎีสัมพัทธภาพอีกด้วย
ปริมาณทางกายภาพแท้ทั้งหมดกำหนดโดยเทนเซอร์ ดังนั้นเพื่อการแปลงกรอบหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง เราใช้จะกฎที่รู้จักกันดีในชื่อ tensor transformation law
<math>T^{\left[i_1',i_2'...i_p'\right]}_{\left[j_1',j_2'...j_q'\right]} = 
T^{\left[i_1,i_2...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2...j_q\right]}</math>
เมื่อ <math>\Lambda_{j_k'}{}^{j_k} \!</math> เป็นเมตริกซ์ส่วนกลับของ <math>\Lambda^{j_k'}{}_{j_k} \!</math>.
เพื่อให้เห็นว่ามันมีประโยชน์อย่างไร เราจะแปลงตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่งจากระบบพิกัดไม่มีเครื่องหมายไพรม์ "S" ไปยังระบบมีไพรม์ "S"' เราคำนวณได้ว่า
<math>
t'\\ x'\\ y'\\ z'
\end{pmatrix} = x^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_\nu x^\nu=
\gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\
-\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
t\\ x\\ y\\ z
\end{pmatrix} =
\gamma t- \gamma\beta x/c\\
\gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z
</math>
ซึ่งการแปลงแบบลอเรนซ์ให้ผลเหมือนกัน เทนเซอร์ทุกตัวแปลงด้วยกฎเดียวกัน
ความยาวกำลังสองของดิฟเฟอเรนเชียลของ position four-vector <math>dx^\mu \!</math> ซึ่งหาได้โดย
<math>\mathbf{dx}^2 = \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = -(c \cdot dt) ^2+(dx) ^2+(dy) ^2+(dz) ^2\,</math>
เป็นปริมาณไม่แปรเปลี่ยน การไม่แปรเปลี่ยนหมายความว่ามันให้ค่าเดิมเสมอในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย เพราะมันเป็นสเกลาร์ (0 rank tensor) และดังนั้นจึงไม่มี Λ ปรากฏในการแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ ระลึกไว้ว่าเมื่อ line element <math>\mathbf{dx}^2</math> เป็นลบ <math>d\tau=\sqrt{-\mathbf{dx}^2} / c</math>จะเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของ proper time ในขณะที่ เมื่อ <math>\mathbf{dx}^2</math> เป็นบวก <math>\sqrt{\mathbf{dx}^2}</math> จะเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของ proper distance
ค่าพื้นฐานของการจัดรูปสมการทางฟิสิกส์ในรูปของเทนเซอร์ คือสิ่งที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้the Poincaré group อย่างชัดเจน จนทำให้เราไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณเพิ่มเติมที่น่าเบื่อหน่ายเพื่อตรวจสอบความจริงนี้ เช่นเดียวกับการสร้างสมการ เรามักพบว่าสมการที่ตอนแรกดูจะไม่เกี่ยวข้องกันนั้น อันที่จริงแล้ว มันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดในการเป็นส่วนหนึ่งของสมการเทนเซอร์เดียวกัน
ความเร็วและความเร่งใน 4 มิติ.
การเขียนปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ เป็นเทนเซอร์สามารถนำมาซึ่งกฎการแปลงได้เรียบง่ายขึ้นเช่นกัน อย่างแรก ระลึกไว้ว่า velocity four-vector "U"μ กำหนดโดย
<math>U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \end{pmatrix}</math>
จากการเขียนเช่นนี้ เราสามารถกลับมามองกฎการรวมความเร็วในรูปแบบอย่างง่ายเกี่ยวกับการแปลง velocity four-vector ของอนุภาคจากกรอบอ้างอิงหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง "U"μ จึงมีรูปแบบไม่แปรเปลี่ยน คือ
<math>{\mathbf U}^2 = \eta_{\nu\mu} U^\nu U^\mu = -c^2 .</math>
ดังนั้น velocity four-vector ทุกตัวจึงมีขนาดเท่ากับ "c" นี่เป็นสิ่งที่บอกความจริงว่าไม่มีวัตถุใดอยู่นิ่งในสัมพัทธภาพ อย่างน้อยที่สุด คุณก็ต้องเคลื่อนที่ไปในเวลา acceleration 4-vector กำหนดโดย <math>A^\mu = d{\mathbf U^\mu}/d\tau</math>. เมื่อได้ดังนั้น ทำการ differentiate สมการข้างต้นด้วย "τ" จะได้
<math>2\eta_{\mu\nu}A^\mu U^\nu = 0. \!</math>
ดังนั้นในทฤษฎีสัมพัทธภาพ acceleration four-vector กับ velocity 4-vector ตั้งฉากกัน
โมเมนตัมใน 4 มิติ.
โมเมนตัมและพลังงานรวมอยู่ใน covariant 4-vector:
<math>p_\nu = m \cdot \eta_{\nu\mu} U^\mu = \begin{pmatrix}
-E \\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{pmatrix}.</math>
เมื่อ "m" คือ มวลไม่แปรเปลี่ยน
ปริมาณไม่แปรเปลี่ยน (invarient) ของ momentum 4-vector คือ:
<math>\mathbf{p}^2 = \eta^{\mu\nu}p_\mu p_\nu = -(E/c) ^2 + p^2 .</math>
เราสามารถทำออกมาได้ว่า ค่าไม่แปรเปลี่ยนนี้ เนื่องจากมันเป็นสเกลาร์ จึงไม่เกี่ยวข้องกับว่าเราใช้กรอบอ้างอิงไหนในการคำนวณ หลังจากนั้นโดยการแปลงกรอบที่ทำให้โมเมนคัมรวมเป็นศูนย์ 
<math>\mathbf{p}^2 = - (E_{rest}/c) ^2 = - (m \cdot c) ^2 .</math>
เราจะพบว่า พลังงานนิ่งเป็นค่าไม่แปรเปลี่ยนซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง พลังงานนิ่งสามารถคำนวณได้แม้ในระบบที่อนุภาคและระบบกำลังเคลื่อนที่ เพียงแปลงกรอบไปยังกรอบที่ทำให้โมเมนตัมเป็นศูนย์เท่านั้น
พลังงานนิ่งสัมพันธ์กับมวลตามสมการอันน่ายินดีที่เราได้พูดถึงไปแล้ว
<math>E_{rest} = m c^2\,</math>
ระลึกไว้ว่า มวลของระบบวัดในกรอบศูนย์กลางของโมเมนตัม (center of momentum frame) (เมื่อโมเมนตัมลัพธ์เป็นศูนย์) นั้นกำหนดโดยพลังงานรวมของระบบในกรอบอ้างอิงนั้น มันไม่ได้เท่ากับผลรวมของมวลแต่ละก้อนที่วัดในกรอบอ้างอิงอื่น
แรงใน 4 มิติ.
เมื่อใช้ กฎข้อที่สามของนิวตัน แรงทั้งสองต้องนิยามจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมซึ่งใช้พิกัดเวลาเดียวกัน กล่าวคือ เราต้องใช้แรงใน 3 มิติในการนิยามข้างต้น โชคร้ายที่ไม่มีเทนเซอร์ใน 4 มิติใดที่บรรจุองค์ประกอบของเวกเตอร์แรง 3 มิติตามองค์ประกอบต่าง ๆ ของมัน
ถ้าวัตถุไม่ได้เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว "c" เราสามารถแปลงแรงใน 3 มิติจากกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ร่วมไปกับวัตถุไปยังกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตได้ นั่นนำมาซึ่ง 4-vector ซึ่งเรียกว่า four-force มันคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ four-vector พลังงาน-โมเมนตัม เทียบกับ proper time รูป covariant version ของ four force คือ
<math>F_\nu = \frac{d p_{\nu}}{d \tau} = \begin{pmatrix} -{d E}/{d \tau} \\ {d p_x}/{d \tau} \\ {d p_y}/{d \tau} \\ {d p_z}/{d \tau} \end{pmatrix}</math>
เมื่อ <math>\tau \,</math> คือ proper time
ในกรอบนิ่งของวัตถุ องค์ประกอบเวลาของ four force จะเป็นศูนย์จนกว่า "มวลไม่แปรเปลี่ยน" ของวัตถุนั้นจะเปลี่ยนแปลง โดยที่ มันจะเท่ากับค่าลบของอัตราการเปลี่ยนแปลงคูณ "c"2 อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วองค์ประกอบของ four force ไม่ได้เท่ากับองค์ประกอบของแรงสามมิติ เพราะว่าแรงในสามมิตินิยามโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเทียบกับเวลาของพิกดันั้น กล่าวคือ <math>\frac{d p}{d t}</math> ในขณะที่ four force นิยามโดยอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเทียบกับ proper time นั่นคือ <math> \frac{d p} {d \tau} </math>.
ใน continuous medium "density of force"3 มิติรวมกับ "density of power" เพื่อสร้าง covariant 4-vector องค์ประกอบเชิงปริภูมิมาจากผลการหารแรงที่กระทำต่อเซลล์เล็กจิ๋ว (ใน 3 มิติ) โดยปริมาตรของเซลล์นั้น ส่วนองค์ประกอบเชิงเวลามาจากค่าลบของกำลังที่ส่งผ่านไปยังเซลล์หารด้วยปริมาตรของเซลล์นั้น เวกเตอร์นี้จะนำไปใช้ในเรื่องแม่เหล็กไฟฟ้าด้านล่างต่อไป 
สัมพัทธภาพกับการรวมสนามแม่เหล็กไฟฟ้า.
การแปลงแบบลอเรนซ์ของ สนามไฟฟ้า ของประจุซึ่งเคลื่อนที่ไปในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตซึ่งไม่ได้เคลื่อนที่ ให้ผลการปรากฏของเทอมทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันทั่วไปในนาม สนามแม่เหล็ก ในทางกลับกัน สนาม "แม่เหล็ก"ที่เกิดขึ้นจากประจุซึ่งเคลื่อนที่จะหายไปและกลายเป็นสนาม "ไฟฟ้าสถิต" ทั้งหมดในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปกับประจุ สมการของแมกซ์เวลล์ จึงเข้ากันอย่างเห็นไห้ชัดกับผลเชิงสัมพัทธภาพพิเศษในแบบจำลองคลาสสิกของเอกภพ เมื่อสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงและสัมพันธ์กัน จึงเรียกว่าสนาม "แม่เหล็กไฟฟ้า" ทั้งนี้ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษได้ให้กฎการแปลงสำหรับวิธีที่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าในกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งไปยังอีกกรอบอ้างอิงเฉื่อยอีกอันหนึ่ง 
ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าใน 4 มิติ.
สมการของแมกซ์เวลล์ ในรูปแบบสามมิตินั้นสอดคล้องกับเนื้อความเชิงกายภาพของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอยู่แล้ว แต่เราต้องเขียนมันใหม่เพื่อทำให้มันมีความไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน
ความหนาแน่นประจุ <math>\rho \!</math> และความหนาแน่นกระแส <math>[J_x,J_y,J_z] \!</math> สามารถรวมกันใน current-charge 4-vector:
<math>J^\mu = \begin{pmatrix}
\rho \\ J_x\\ J_y\\ J_z\end{pmatrix}</math>
กฎ การอนุรักษ์ประจุ จึงกลายเป็น
<math>\partial_\mu J^\mu = 0. \!</math>
สนามไฟฟ้า <math>[E_x,E_y,E_z] \!</math> และ magnetic induction <math>[B_x,B_y,B_z] \!</math> รวมกันใน (rank 2 antisymmetric covariant) electromagnetic field tensor
<math>
 F_{\mu\nu} =
 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
 E_x & 0 & B_z & -B_y \\
 E_y & -B_z & 0 & B_x \\
 E_z & B_y & -B_x & 0 
</math>
ความหนาแน่นของ แรงลอเรนซ์ <math>f_\mu \!</math> กระทำต่อวัตถุโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะกลายเป็น
<math>f_\mu = F_{\mu\nu}J^\nu .\!</math>
กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ และ กฎของเกาส์ สำหรับสนามแม่เหล็กรวมกันในรูป
<math>\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu \lambda}+
 \partial_\nu F_{\lambda \mu} = 0. \!</math>
ถึงแม้ว่าจะมีสมการปรากฏขึ้นถึง 64 สมการในที่นี้ จริง ๆ แล้วมันจะลดลงเหลือเพียงสี่สมการที่ไม่ขึ้นจากกัน โดยการใช้ antisymmetry ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า เราสามารถลดรูปเหลือ identity (0=0) หรือไม่ก็ลบสามารถทั้งหมดออกไปยกเว้นสมาการที่มี λ,μ,ν = 1,2,3 หรือ 2,3,0 หรือ 3,0,1 หรือ 0,1,2.
electric displacement <math>[D_x,D_y,D_z] \!</math> และ magnetic field <math>[H_x,H_y,H_z] \!</math> รวมกันเป็น (rank 2 antisymmetric contravariant) electromagnetic displacement tensor
<math>
 \mathcal{D}^{\mu\nu} =
 0 & D_x & D_y & D_z \\
 -D_x & 0 & H_z & -H_y \\
 -D_y & -H_z & 0 & H_x \\
 -D_z & H_y & -H_x & 0 
</math>
กฎของแอมแปร์ และ กฎของเกาส์ รวมกันในรูป
<math>\partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu} = J^{\mu}. \!</math>
ในสุญญากาศ constitutive equations คือ
<math>\mu_0 \mathcal{D}^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha} \eta^{\nu\beta} F_{\alpha\beta}. </math>
Antisymmetry ลดสมการทั้ง 16 สมการนี้เหลือเพียงหกสมการที่ไม่ขึ้นจากกัน
ความหนาแน่นพลังงาน ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ารวมกันกับ with Poynting vector และ Maxwell stress tensor เพื่อสร้างเป็น stress-energy tensor 4 มิติ มันคือ (ความหนาแน่น) ฟลักซ์ของ momentum 4-vector ในรูป rank 2 mixed tensor มันสามารถเขียนเป็น
<math>T_\alpha^\pi = F_{\alpha\beta} \mathcal{D}^{\pi\beta} - \frac{1}{4} \delta_\alpha^\pi F_{\mu\nu} \mathcal{D}^{\mu\nu}</math>
เมื่อ <math>\delta_\alpha^\pi</math> คือ Kronecker delta เมื่อดัชนีตัวบนต่ำกว่า η มันจะสมมาตรและเป็นส่วนหนึ่งของแหล่งกำเนิดสนามโน้มถ่วง
การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและพลังงานโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถเขียนเป็น
<math>f_\mu + \partial_\nu T_\mu^\nu = 0\!</math>
เมื่อ <math>f_\mu \!</math> คือความหนาแน่นของ แรงลอเรนซ์ สมการนี้สามารถสรุปได้จากสมการข้างต้นที่ผ่านมา (กับความพยายามอย่างสำคัญ)
สถานะ.
ทฤษฎีสัมพัทธภาพจะถูกต้องเมื่อ ศักย์โน้มถ่วง น้อยกว่า c2 มาก ๆ ในสนามโน้มถ่วงที่เข้ม เราต้องใช้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ซึ่งกลายเป็นสัมพัทธภาพพิเศษที่สนามอ่อน ๆ) ที่ระดับเล็กมากเช่นที่ระดับ ความยาวพลังค์ และต่ำลงไป ผลทางควอนตัมต้องถูกนำไปใช้พิจารณายังผลใน quantum gravity อย่างไรก็ตาม ที่ระดับโตและในที่ที่ปลอดสนามโน้มถ่วงเข้ม ๆ ทฤษฎีสัมพัทธภาพถูกทดสอบในเชิงทดลองได้ผลถูกต้องในระดับที่แม่นยำมาก (10-14) จึงได้รับการยอมรับจากสังคมฟิสิกส์ในทีสุด ผลการทดลองซึ่งพบว่าขัดแย้งกับทฤษฎีจะไม่อาจอยู่ได้ต่อไป และถูกเชื่อว่าที่เป็นเช่นนั้นเนื่องจากความผิดพลาดของการทดลอง
เนื่องจากความอิสระในการเลือกนิยามหน่วยของความยาวและเวลาในฟิสิกส์ มันจึงเป็นไปได้ที่จะสร้างผลสรุปของนิยามเชิง สัจนิรันดร์ จากหนึ่งในสองของสมมติฐานจากทฤษฎีสัมพัทธภาพ แต่เราไม่สามารถทำสิ่งเหล่านี้สำหรับสมมติฐานสองอย่างพร้อมกัน เพราะเมื่อรวมกัน พวกมันจะให้ผลสรุปซึ่งอิสระจากการเลือกนิยามความยาวและเวลา
ทฤษฎีสัมพัทธภาพนั้นสอดคล้องในตัวเองในเชิงคณิตศาสตร์ และมันเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีเชิงกายภาพยุคใหม่ทั้งหมด เช่น ทฤษฎีสนามควอนตัม, ทฤษฎีสตริง, และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ในกรณีจำกัดที่ลืมสนามโน้มถ่วงได้)
กลศาสตร์นิวตันก็สอดคล้องในเชิงคณิตศาสตร์กับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษที่ความเร็วน้อย ๆ (เทียบกับอัตราเร็วแสง) ดังนั้นกลศาสตร์นิวตันสามารถพิจารณาเท่ากับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ช้าได้ ดู สถานะของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม
การทดลองส่วนหนึ่งที่นำมาซึ่งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
การทดลองหลายอย่างนำมาสู่การทดสอบทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษต้านกับทฤษฎีคู่แข่ง รวมทั้งการทดลองเหล่านี้
นอกจากนี้ เครื่องเร่งอนุภาคกำลังทำงานอยู่ทุกวันนี้ในหลายที่ของโลก และมันเร่งและวัดสมบัติของอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ใกล้ความเร็วแสงอยู่เสมอ ผลหลายอย่างที่พบในเครื่องเร่งอนุภาคสอดคล้องอย่างยิ่งกับทฤษฎีสัมพัทธภาพและขัดแย้งอย่างยิ่งกับ กลศาสตร์นิวตัน ก่อนหน้านั้น