ผลรวม

ในทางคณิตศาสตร์ ผลรวม  หมายถึงการบวกของเซตของจำนวน ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น "ผลบวก" (sum, total) จำนวนที่กล่าวถึงอาจเป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงซ้อน เมตริกซ์ หรือวัตถุอื่นที่ซับซ้อนกว่านั้น ผลรวมไม่จำกัดของลำดับเรียกว่าเป็นอนุกรม
สัญกรณ์.
ผลรวมของลำดับ 1, 2, 4 คือ #เปลี่ยนทาง ดังนั้นผลบวกก็คือ 7 และเนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จึงไม่สำคัญที่จะแปลผล #เปลี่ยนทาง ว่าเป็น #เปลี่ยนทาง หรือ #เปลี่ยนทาง เพราะถึงอย่างไรก็ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน ดังนั้นเครื่องหมายวงเล็บจึงมักจะถูกละทิ้งในการเขียนผลรวม นอกจากนั้นการบวกจำนวนจำกัดมีสมบัติการสลับที่ จึงทำให้ลำดับในการบวกจำนวนก่อนหรือหลังก็ไม่ส่งผลต่อผลบวกสุดท้าย (สำหรับสมบัติการสลับที่ของการบวกจำนวนไม่จำกัด ดูเพิ่มที่การลู่เข้าสัมบูรณ์)
ถ้าหากผลรวมหนึ่ง ๆ มีพจน์มากเกินไปเกินกว่าจะเขียนให้แยกออกจากกัน มักจะย่อด้วยจุดไข่ปลาตรงตำแหน่งพจน์ที่หายไป ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 เขียนได้เป็น #เปลี่ยนทาง 
สัญกรณ์ซิกมาตัวใหญ่.
คณิตศาสตร์มีสัญกรณ์พิเศษมาใช้เพื่อที่จะเขียนผลรวมให้กะทัดรัดมากขึ้น นั่นคือ "สัญลักษณ์ผลรวม" ∑ (U+2211) โดยยืมมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า
<math>\sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} + \cdots + x_{n-1} + x_n</math>
ตัวห้อยที่อยู่ข้างล่าง "i" เป็นสัญลักษณ์แทนดัชนีของผลรวม "m" คือขอบเขตล่างของผลรวม และ "n" คือขอบเขตบนของผลรวม การที่กำหนดให้ #เปลี่ยนทาง หมายความว่าดัชนี "i" เริ่มตั้งแต่ค่าที่เท่ากับ "m" พจน์ถัดไปจะถูกสร้างขึ้นโดยเพิ่มค่า "i" ขึ้นไปทีละหนึ่งของค่าก่อนหน้า และหยุดเมื่อ #เปลี่ยนทาง เราสามารถใช้ตัวแปรอื่นแทน "i" ก็ได้ เช่น
<math>\sum_{k=2}^6 k^2 = 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 90</math>
ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง ("i" ไปถึง "q") เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น
บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น
<math>\sum x_i^2</math> จะมีความหมายเทียบเท่ากับ <math>\sum_{i=1}^n x_i^2</math>
หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น
<math>\sum_{0 \le k < 100} f (k) </math>
คือผลรวมของ "f" ("k") บนทุกจำนวนเต็ม "k" ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว
<math>\sum_{x \in S} f (x) </math>
คือผลรวมของ "f" ("x") บนทุกสมาชิก "x" ในเซต "S" และ
<math>\sum_{d|n}\;\mu (d) </math>
คือผลรวมของ μ ("d") บนทุกจำนวนเต็ม "d" ที่หาร "n" ได้ลงตัว เป็นต้น
นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น
<math>\sum_{\ell,\ell'}</math> จะมีความหมายเหมือนกับ <math>\sum_\ell\sum_{\ell'}</math>
สัญกรณ์ภาษาโปรแกรม.
ในภาษาโปรแกรมบางภาษาใช้สัญกรณ์อย่างย่อแทนผลรวมคล้ายกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ อย่างเช่นภาษาไพทอน
ภาษาฟอร์แทรนและแมตแล็บ
ภาษาเจ
ส่วนในภาษาอื่น ๆ ที่ไม่มีสัญกรณ์แทนผลรวม ก็ต้องเขียนเป็นการวนรอบแทน เช่นภาษาวิชวลเบสิก/วีบีสคริปต์
หรือภาษาซี/ซีพลัสพลัส/ซีชาร์ป/จาวา สมมติว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดค่าแล้ว
ในบางกรณี การวนรอบก็สามารถย่อให้สั้นลงได้ อย่างเช่นภาษาเพิร์ล
ภาษารูบี
สำหรับภาษาซีพลัสพลัส สามารถเรียกใช้ฟังก์ชันจากไลบรารีมาตรฐานได้
สังเกตว่าตัวอย่างข้างต้นจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดให้ตัวแปรผลบวกเป็น 0 ซึ่งเป็นสมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการบวก แต่บางภาษาจะกำหนดให้โดยอัตโนมัติ และค่ากลับคืนของตัวอย่างทั้งหมดข้างต้น จะได้เป็นสเกลาร์ค่าหนึ่ง
กรณีพิเศษ.
มีความเป็นไปได้ที่ผลรวมจะประกอบขึ้นจากสมาชิกน้อยกว่า 2 ตัว
การประมาณค่าด้วยปริพันธ์.
การประมาณค่าของผลรวม สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมกับปริพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม "f"
<math>\int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds</math>
และฟังก์ชันลด "f"
<math>\int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds</math>
ส่วนการประมาณค่าแบบทั่วไป ดูได้ที่ สูตรออยเลอร์-แมคลอริน (Euler-Maclaurin formula)
สำหรับฟังก์ชัน "f" ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง ["a", "b"] ค่าของปริพันธ์สามารถประมาณค่าได้ด้วยผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้คือผลบวกรีมันน์ข้างซ้ายที่แบ่งช่วงเป็น "n" ส่วนเท่ากัน
<math>\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right) \approx \int_a^b f(x)\ dx</math>
ซึ่งการประมาณค่านี้จะแม่นยำมากขึ้น เมื่อ "n" มีค่ามากขึ้น (ถูกแบ่งเป็นส่วนมากขึ้น) จนเข้าใกล้อนันต์
<math> \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right) = \int_a^b f(x)\ dx</math>
เอกลักษณ์.
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับผลรวมที่สำคัญ
<math>\sum_{n=s}^t C\sdot f(n) = C\sdot \sum_{n=s}^t f(n)</math> เมื่อ "C" เป็นค่าคงตัว (ดูเพิ่มที่การคูณสเกลาร์)
<math>\sum_{i=s}^n f(C) = (n-s+1)f(C)</math> เมื่อ "C" เป็นค่าคงตัว
<math>\sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right]</math>
<math>\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p)</math>
<math>\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math>
<math>\sum_{i=m}^n x = (n-m+1)x</math>
<math>\sum_{i=1}^n x = nx</math> เป็นนิยามของการคูณ เมื่อ "n" เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวคูณของ "x"
<math>\sum_{i=m}^n i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}</math> (ดูเพิ่มที่อนุกรมเลขคณิต)
<math>\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{(n)(n+1)}{2}</math> (กรณีพิเศษของอนุกรมเลขคณิต)
<math>\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}</math>
<math>\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2</math>
<math>\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}</math>
<math>\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}</math> เมื่อ <math>B_k</math> เป็นจำนวนแบร์นูลลีตัวที่ "k"
<math>\sum_{i=m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-x^m}{x-1}</math> (ดูเพิ่มที่อนุกรมเรขาคณิต)
<math>\sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math> (กรณีพิเศษของสูตรก่อนหน้านี้ เมื่อ "m" = 0)
<math>\sum_{i=0}^n i 2^i = 2+2^{n+1}(n-1)</math>
<math>\sum_{i=0}^n \frac{i}{2^i} = \frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}</math>
<math>\sum_{i=0}^n i x^i = \frac{x}{(1-x)^2} (x^n(n(x-1)-1)+1)</math>
<math>\sum_{i=0}^n i^2 x^i = \frac{x}{(1-x)^3} (1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})</math>
<math>\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n</math> (ดูเพิ่มที่สัมประสิทธิ์ทวินาม)
<math>\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}</math>
<math>\left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right) = \sum_i\sum_j a_ib_j</math>
<math>\left(\sum_i a_i\right)^2 = 2\sum_i\sum_{j
<math>\sum_{n=a}^b f(n) = \sum_{n=b}^{a} f(n)</math>
<math>\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=-t}^{-s} f(-n)</math>
<math>\sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n)</math>
<math>\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\sdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\sdot t+z-1} f(n)</math>
<math>\widehat{b}^{\left[\sum_{n=s}^t f(n) \right]} = \prod_{n=s}^t \widehat{b}^{f(n)}</math> (ดูเพิ่มที่ผลคูณของอนุกรม)
<math>\sum_{n=s}^t \ln f(n) = \ln \prod_{n=s}^t f(n)</math>
<math>\lim_{t\rightarrow \infty} \sum_{n=a}^t f(n) = \sum_{n=a}^\infty f(n)</math> (ดูเพิ่มที่ลิมิตอนันต์)
<math>(a + b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i</math> สำหรับการกระจายทวินาม
<math>\sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2} = \sum_{n=1}^{2b} \frac{1}{2n}</math>
<math>\left(\sum_{i=1}^{n} f_i(x)\right)^\prime = \sum_{i=1}^{n} f_i^\prime(x)</math>
<math>\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n f\left(a + \frac{b-a}{n}i\right)\cdot\frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x) dx</math>
อัตราการเติบโต.
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าอัตราการเติบโต โดยใช้สัญกรณ์ทีตา
<math>\sum_{i=1}^n i^c = \Theta(n^{c+1})</math> สำหรับจำนวนจริง "c" ที่มากกว่า −1
<math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \Theta(\log n)</math>
<math>\sum_{i=1}^n c^i = \Theta(c^n)</math> สำหรับจำนวนจริง "c" ที่มากกว่า 1
<math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c = \Theta(n \cdot \log(n)^{c})</math> สำหรับจำนวนจริง "c" ที่ไม่เป็นลบ
<math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d = \Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c})</math> สำหรับจำนวนจริง "c", "d" ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด
<math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \cdot b^i = \Theta (n^d \cdot \log(n)^c \cdot b^n)</math> สำหรับจำนวนจริง "b" > 1, "c", "d" ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด