ควอเทอร์เนียน

ในคณิตศาสตร์ ควอเทอร์เนียน  เป็นระบบจำนวนที่เพิ่มเติมออกมาจากจำนวนเชิงซ้อน เป็นจำนวนที่เขียนได้ในรูป <math>w+ix+jy+kz</math> โดยที่ <math>w, x, y</math> และ <math>z</math> เป็นจำนวนจริง และ <math>i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = k = -ji</math> ซึ่งแสดงว่าควอเทอร์เนียนไม่มีสมบัติการสลับที่
ควอเทอร์เนียนมีบทบาททั้งในคณิตศาสตร์ทฤษฎีและคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการคำนวณที่มีการหมุนในสามมิติ เช่น คอมพิวเตอร์กราฟฟิกสามมิติ ในการใช้ประโยชน์เชิงปฏิบัติ ควอเทอร์เนียนสามารถใช้ควบคู่กับวิธีอื่นๆ เช่น มุมออยเลอร์ และเมทริกซ์การหมุน หรือใช้แทนไปเลยโดยขึ้นอยู่กับการใช้ประโยชน์
พีชคณิตควอเทอร์เนียนมักใช้ตัวอักษร H (จากชื่อ "Hamilton") หรือ ℍ (Unicode U+210D)
ความเป็นมา.
ควอเทอร์เนียน ถูกสร้างขึ้นโดย วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (Sir William Rowan Hamilton) ซึ่งมีชีวิตอยู่ในปี ค.ศ. 1805-1865 นักคณิตศาสตร์ชาวไอร์แลนด์ มีผลงานในด้านพีชคณิต ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์ 
วันที่ 16 ตุลาคม ปี ค.ศ. 1843 แฮมิลตันได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน ระหว่างทางที่เขากำลังเดินทางไปยัง Royal Irish Academy แฮมิลตันตื่นเต้นมากจนถึงขั้นสลักสมการต่อไปนี้ของควอเทอร์เนียนเอาไว้
<math display=block>\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i\,j\,k} = -1</math>
นิยาม.
ควอเทอร์เนียน H คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง (R4) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ R4 และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน R4 ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ R4 ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, "i", "j" และ "k" ดังนั้นสมาชิกใดๆก็ตามใน H ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน "a"1 + "bi" + "cj" + "dk" เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ "a", "b", "c" และ "d" เป็นจำนวนจริง และมี 1, "i", "j" และ "k" เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใดๆ มักเขียนในรูป "a" + "bi" + "cj" + "dk" ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฎการแจกแจง
การคูณระหว่างฐานหลัก.
ฐานหลักของควอเทอร์เนียนมีสมบัติ คือ <math>i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1\ </math> โดย "i", "j" และ "k" เป็นจำนวนจินตภาพ เราสามารถหาผลคูณระหว่างฐานหลักแต่ละคู่ได้ ยกตัวอย่างเช่น หากต้องการแสดงว่า <math>k = i j \ </math> สามารถทำได้โดยเริ่มจากพิจารณาสมการ
<math>-1 = i j k \ </math>
จากนั้นคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย "k" จะได้
<math>
-k & = i j k k \\
-k & = i j (-1) \\
 k & = i j
</math>
สำหรับผลคูณระหว่างฐานหลักคู่อื่นๆสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการเดียวกัน ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ ดังนี้
 <math>\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j
\end{alignat}</math>
ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product).
สำหรับจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวน "a"1 + "b"1"i" + "c"1"j" + "d"1"k" และ "a"2 + "b"2"i" + "c"2"j" + "d"2"k" ผลคูณฮามิลตัน ("a"1 + "b"1"i" + "c"1"j" + "d"1"k")("a"2 + "b"2"i" + "c"2"j" + "d"2"k") สามารถหาได้โดยการใช้สมบัติการแจกแจง จากนั้นหาผลรวมระหว่างผลคูณของฐานหลักแต่ละคู่ ดังต่อไปนี้
 <math>a_1a_2 + a_1b_2i + a_1c_2j + a_1d_2k + b_1a_2i + b_1b_2i^2 + b_1c_2ij + b_1d_2ik + c_1a_2j + c_1b_2ji + c_1c_2j^2 + c_1d_2jk + d_1a_2k + d_1b_2ki + d_1c_2kj + d_1d_2k^2</math>
เมื่อจัดหมู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ
 <math>(a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i + (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j + (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k</math>