กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์  คือ กฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ (พ.ศ. 2114–2173) เป็นผู้ค้นพบ
เค็พเพลอร์ ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์ก ชื่อทือโก ปราเออ โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เค็พเพลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่าย ๆ ทางคณิตศาสตร์
กฎของเค็พเพลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เค็พเพลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตัน สามารถสรุปกฎของเค็พเพลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด
กฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์.
กฎของเค็พเพลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วศูนย์สุริยะ <math>\ (r,\theta)</math> อย่างไรก็ตาม กฎของเค็พเพลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน
รายละเอียดทางคณิตศาสตร์.
กฎข้อที่ 1.
กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง“
คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้
สมการคือ
 <math>r=\frac{p}{1+\epsilon\cdot\cos\theta}</math>
โดยที่ "p" คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum), "ε" คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง, "r" คือระยะทางจากดวงอาทิตย์จนถึงดาวเคราะห์ และ "θ" คือมุมที่วัดจากตำแหน่งดาวเคราะห์ปัจจุบันไปถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดของดาวเคราะห์นั้น
เมื่อ "θ"=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
 <math>r_\mathrm{min}=\frac{p}{1+\epsilon}</math>
เมื่อ "θ"=90°: "r"="p" และเมื่อ "θ"=180° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:
 <math>r_\mathrm{max}=\frac{p}{1-\epsilon}</math>
กึ่งแกนเอกของวงรี "a" คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตระหว่าง "r"min และ "r"max:
 <math>a=\frac{p}{1-\epsilon^2}</math>
กึ่งแกนโทของวงรี "b" คือ ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตระหว่าง "r"min และ "r"max:
 <math>b=\frac p{\sqrt{1-\epsilon^2}}</math>
นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม
 <math>\frac a b=\frac b p</math>
กฎข้อที่ 2.
กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน” 
กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ
การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้
 1. คำนวณ มุมกวาดเฉลี่ย (mean anomaly) "M" จากสูตร
 <math>M=\frac{2\pi t}{P}</math>
 2. คำนวณ มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง eccentric anomaly "E" โดยการแก้ สมการของเค็พเพลอร์:
 <math>\ M=E-\epsilon\cdot\sin E</math>
 3. คำนวณ มุมกวาดจริง (true anomaly) "θ" โดยใช้สมการ:
 <math>\tan\frac \theta 2 = \sqrt{\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}}\cdot\tan\frac E 2</math>
 4. คำนวณ ระยะห่างศูนย์สุริยะ (heliocentric distance) "r" จากกฎข้อแรก:
 <math>r=\frac p {1+\epsilon\cdot\cos\theta}</math>
กฎข้อที่ 3.
กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน
 <math>P^2 \propto a^3</math>
 <math>P</math> = คาบการโคจรของดาวเคราะห์
 <math>a</math> = กึ่งแกนเอกของวงโคจร
ดังนั้น "P"2"a"–3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อใช้งานหน่วยใดหน่วยหนึ่ง เช่น ถ้าเลือกใช้หน่วยของ "P" เป็นปีดาราคติ และ "a" เป็นหน่วยดาราศาสตร์ "P"2"a"–3 จะมีค่าเป็น 1 แต่ถ้าเลือกใช้หน่วยเอสไอ: <math>\frac{P^{2}}{a^{3}} = 3.00\times 10^{-19} \frac{s^{2}}{m^{3}} \pm \ 0.7\%\,</math>
ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา.
ปัญหาเค็พเพลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:
และ
 <math>\ a=|cz|</math> กึ่งแกนเอก ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด นั่นคือกึ่งแกนเอก
 <math>\ \varepsilon={|cs|\over a}</math> ความเยื้องศูนย์กลาง
 <math>\ b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}</math> กึ่งแกนโท
 <math>\ r=|sp| </math> ระยะจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์
 <math>\nu=\angle zsp,</math> ตำแหน่งดาวเคราะห์ตามที่เห็นจากดวงอาทิตย์ นั่นคือ มุมกวาดจริง
ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว ("r","ν") ของดาวเคราะห์จากเวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด, "t"
<math>|zsx|=\frac a b \cdot|zsp|</math>
<math>\ |zcy|=|zsx|</math>
และ
 <math>M=\angle zcy</math>, "y" จากที่เห็นจากศูนย์กลาง นั่นคือมุมกวาดเฉลี่ย
<math>\ |zcy| = \frac{a^2 M}2</math>:<math>|zsp|=\frac b a \cdot|zsx|=\frac b a \cdot|zcy|=\frac b a\cdot\frac{a^2 M}2 = \frac {a b M}{2} </math>
 <math>M={2 \pi t \over T},</math>
โดย "T" คือคาบการโคจร
 <math>\ |zcy|=|zsx|=|zcx|-|scx|</math>
 <math>\frac{a^2 M}2=\frac{a^2 E}2-\frac {a\varepsilon\cdot a\sin E}2</math>
Division by "a"²/2 gives Kepler's equation
 <math>M=E-\varepsilon\cdot\sin E</math>
 <math>E\approx M+\left(\varepsilon-\frac18\varepsilon^3\right)\sin M+\frac12\varepsilon^2\sin 2M+\frac38\varepsilon^3\sin 3M+ \cdots</math>
 <math>a\cdot\cos E=a\cdot\varepsilon+r\cdot\cos \nu.</math>
 <math>\ \frac r a =\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu} </math>
to get
 <math>\cos E
=\varepsilon+\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}\cdot\cos \nu
=\frac{\varepsilon +\cos \nu}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}</math>
 <math>\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}</math>
จะได้
 <math>\tan^2\frac{E}{2}
=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\cdot\frac{1-\cos \nu}{1+\cos \nu}=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\cdot\tan^2\frac{\nu}{2}</math>
คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์
 <math>\tan\frac \nu2=\sqrt\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\cdot\tan\frac E2</math>
ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร
ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเค็พเพลอร์:
 <math>\ r=a\cdot\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}</math>
 <math> m\cdot\ddot\mathbf{r} = \frac{M\cdot m}{r^2}\cdot(-\hat{\mathbf{r}})\cdot G</math>
 <math> \dot\hat{\mathbf{r}} = \dot\theta \hat{\boldsymbol\theta}</math>
การอนุพัทธ์ (Derivation) กฎของนิวตัน.
การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2.
where <math> \hat{\boldsymbol\theta}</math> is the tangential unit vector, and
 <math> \dot\hat{\boldsymbol\theta} = -\dot\theta \hat{\mathbf{r}}.</math>
So the position vector
 <math>\mathbf{r} = r \hat{\mathbf{r}}</math>
is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector
 <math>\dot\mathbf{r} =\dot r \hat\mathbf{r} + r \dot\hat\mathbf{r}
=\dot r \hat{\mathbf{r}} + r \dot\theta \hat{\boldsymbol\theta},</math>
 <math>\ddot\mathbf{r}
= (\ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot r \dot\hat{\mathbf{r}})
+ r\dot\theta \dot\hat{\boldsymbol\theta})
= (\ddot r - r\dot\theta^2) \hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta) \hat{\boldsymbol\theta}.</math>
Note that for constant distance, <math>\ r</math>, the planet is subject to the centripetal acceleration, <math>r\dot\theta^2</math>, and for constant angular speed, <math>\dot\theta</math>, the planet is subject to the coriolis acceleration, <math>2\dot r \dot\theta</math>.
Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by "m", gives the vector equation of motion
 <math> (\ddot r - r\dot\theta^2) \hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta) \hat{\boldsymbol\theta}= -GMr^{-2}\hat{\mathbf{r}}</math>
Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:
 <math>\ddot r - r\dot\theta^2 = -GMr^{-2},</math>
 <math>r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0.</math>
<math>\ r \dot\theta:</math>
 <math>\frac{\ddot\theta}{\dot\theta} +2\frac{\dot r}{r}=0</math>
and integrate:
 <math>\log\dot\theta +2\log r = \log\ell,</math>
where <math>\log\ell</math> is a constant of integration, and exponentiate:
 <math> r^2\dot \theta =\ell .</math>
This says that the specific angular momentum <math> r^2 \dot \theta</math> is a constant of motion, even if both the distance <math>\ r</math> and the angular speed <math>\dot\theta</math> vary.
The area swept out from time "t"1 to time "t"2,
 <math>\ \int_{t_1}^{t_2}\frac 1 2 \cdot base\cdot height\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\frac 1 2 \cdot r\cdot r\dot \theta\cdot dt=\frac 1 2 \cdot\ell \cdot(t_2-t_1) </math>
depends only on the duration "t"2−"t"1. This is Kepler's second law.
 <math>p=\ell ^2 G^{-1}M^{-1}</math>
 <math>\ u =pr^{-1}</math>
การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1.
and get
 <math>-GMr^{-2}=-\ell^2 p^{-3}u^{2} </math>
and
 <math>\ \dot \theta =\ell r^{-2}=\ell p^{-2}u^2. </math>
 <math>\ \dot X=\frac {dX}{d \theta}\cdot \dot\theta=\frac {dX}{d \theta}\cdot\ell p^{-2}u^2. </math>
Differentiate
 <math>\ r =pu^{-1}</math>
twice:
 <math>\dot r = \frac{d(pu^{-1})}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2} = -pu^{-2}\frac{du}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2}= -\ell p^{-1}\frac{du}{d\theta}</math>
 <math>\ddot r = \frac{d\dot r}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2}= \frac{d}{d\theta}(-\ell p^{-1}\frac{du}{d\theta})\cdot\ell p^{-2}u^{2}= -\ell^2 p^{-3}u^{2}\frac{d^2 u}{d\theta^2}</math>
Substitute into the radial equation of motion
 <math>\ddot r - r\dot\theta^2 = -GMr^{-2}</math>
and get
 <math>(-\ell^2 p^{-3}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}) - (pu^{-1})(\ell p^{-2}u^2)^2 = -\ell ^2 p^{-3} u^2</math>
Divide by <math>-\ell^2 p^{-3}u^2</math>
 <math>\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 1 . </math>
 <math>\ u = 1.</math>
 <math>\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 0</math>
These solutions are
 <math>\ u = \epsilon\cdot\cos(\theta-A) </math>
where <math>\ \epsilon </math> and <math>\ A </math> are arbitrary constants of integration. So the result is
 <math>\ u = 1+ \epsilon\cdot\cos(\theta-A) </math>
Choosing the axis of the coordinate system such that <math>\ A=0</math>, and inserting <math>\ u=pr^{-1}</math>, gives:
 <math>\ pr^{-1 } = 1+ \epsilon\cdot\cos\theta . </math>
If <math>\ \epsilon<1 , </math> this is Kepler's first law.
 <math>T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} \cdot r^3</math>
กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 3.
where:
 <math>T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} \cdot a^3</math>
โดย:
 <math>\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1-\epsilon)a\cdot V_A\,dt= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B\,dt</math>
 <math>(1-\epsilon)\cdot V_A=(1+\epsilon)\cdot V_B</math>
 <math>V_A=V_B\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}</math>
 <math>\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\epsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\epsilon)a}</math>
 <math>\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\epsilon)a}-\frac{GM}{(1+\epsilon)a}</math>
 <math>\frac{V_A^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left (\frac{1}{(1-\epsilon)}-\frac{1}{(1+\epsilon)} \right) </math>
 <math>\frac{\left (V_B\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}\right) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left (\frac{1+\epsilon-1+\epsilon}{(1-\epsilon)(1+\epsilon)} \right) </math>
 <math>V_B^2 \cdot \left (\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}\right) ^2-V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot \left (\frac{2\epsilon}{(1-\epsilon)(1+\epsilon)} \right) </math>
 <math>V_B^2 \cdot \left (\frac{(1+\epsilon)^2-(1-\epsilon)^2}{(1-\epsilon)^2}\right)=\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)} </math>
 <math>V_B^2 \cdot \left (\frac{1+2\epsilon+\epsilon^2-1+2\epsilon-\epsilon^2}{(1-\epsilon)^2} \right) =\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)} </math>
 <math>V_B^2 \cdot 4\epsilon =\frac{4GM\epsilon\cdot (1-\epsilon)^2}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)} </math>
 <math>V_B =\sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}}.</math>
 <math>\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B </math>
 <math>= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}} = 
 \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}</math>
 <math>T\cdot \frac{dA}{dt}=\pi a \sqrt{(1-\epsilon^2)}a</math>
 <math>T\cdot \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}=\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2</math>
 <math>T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}= 
\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}</math>
 <math>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.</math>
 <math>T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.</math>
ซ.ต.พ.