เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตเชิงพีชคณิต  เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เริ่มแรกศึกษารากของพหุนามหลายตัวแปร โดยอาศัยวิธีการทางพีชคณิตนามธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องมือจากพีชคณิตสลับที่เพื่อใช้การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเซตของรากของพหุนามดังกล่าว
วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) ซึ่งเป็นผลเฉลยของระบบสมการพหุนามเมื่อมองว่าเป็นวัตถุเรขาคณิต ตัวอย่างวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ได้รับการศึกษามากที่สุด เช่น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตระนาบ ซึ่งรวมถึง เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา, เส้นโค้งคิวบิก เช่น เส้นโค้งเชิงวงรี และเส้นโค้งควอร์ติกเช่น เลมนิสเคต และ วงรีแคสสินี เส้นโค้งข้างต้นมีจุดบนเส้นโค้งบางจุดที่มีความสำคัญและมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง อาทิเช่น จุดเอกฐาน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดที่ตำแหน่งอนันต์ ส่วนทฤษฎีขั้นสูงของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสนใจทอพอโลยีของเส้นโค้งต่าง ๆ และความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งแต่ละเส้น
เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และมีความเชื่อมโยงไปยังสาขาต่าง ๆ จำนวนมาก เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทอพอโลยี และ ทฤษฎีจำนวน ตลอดจนมีบทประยุกต์ในการออกแบบการทดลองในสถิติเชิงคณิตศาสตร์""
แนวคิดพื้นฐาน.
รากของระบบพหุนาม.
ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นักคณิตศาสตร์ศึกษารากของระบบสมการพหุนาม ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิมิติต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ R3 เป็นเซตของจุด ("x,y","z") ∈ R3 ทั้งหมดที่ทำให้
 <math>x^2+y^2+z^2-1=0</math>
อีกตัวอย่างหนึ่ง "วงกลมเอียง" ใน R3 ซึ่งเกิดจากเซตของจุด ("x","y","z") ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการพหุนามสองสมการ
 <math>\begin{cases} x^2+y^2+z^2-1=0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}</math>
วาไรตีเชิงพีชคณิต.
วาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) เป็นวัตถุพื้นฐานที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ในที่นี้เราสนใจวาไรตีในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิค ซึ่งมีนิยามดังนี้
วาไรตี "V" เหนือ Rn (หรือ Cn) เป็นเซตของจุด ("x1...,xn)" ที่สอดคล้องกับระบบสมการพหนุม "fi (x1...,xn)" สำหรับแต่ละ "i = 1, 2, ..."
เส้นโค้งเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มี "n = 2" วาไรตีเชิงพีชคณิตที่พื้นฐานที่สุด ได้แก่ วาไรตีสัมพรรค (Affine variety) และวาไรตีเชิงภาพฉาย หรือวาไรตีโพรเจคทีฟ (Projective variety)
ฟังก์ชันพหุนามและเซตเชิงพีชคณิต.
ให้ <math>k</math> เป็นฟิลด์ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิกนิยมใช้ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน C แต่เราสามารถเปลี่ยน C เป็นฟีลด์ที่มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิตใด ๆ ได้ (นั่นคือทุกพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ในฟิลด์ <math>k</math> มีรากเสมอ) โดยที่ทฤษฎีทั่วไปยังคงเป็นจริง 
เราสนใจปริภูมิสัมพรรค (Affine space) มิติ "n" เหนือฟิลด์ "k" ซึ่งเขียนแทนด้วย <math>\mathbf{A}^n(k)</math> (บางครั้งเขียน <math>\mathbf A^n</math> เมื่อ <math>k</math> ชัดเจนจากบริบท) สังเกตว่า หากเรากำหนดระบบพิกัดฉากให้ <math>\mathbf{A}^n(k)</math> แล้ว <math>\mathbf{A}^n(k)</math> จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์ <math>k^n</math> เหตุผลที่เราไม่พิจารณา <math>k^n</math> โดยตรงก็เพื่อ "ลืม" ว่า <math>k^n</math> มีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์
ฟังก์ชัน <math>f\colon \mathbf{A}^n \to \mathbf{A}^1</math> จะเป็น "ฟังก์ชันพหุนาม" (หรือ "ฟังก์ชันปกติ") หากสามารถเขียนเป็นพหุนามได้ นั่นคือถ้ามีพหุนาม <math>p \in k[x_1,\dotsc,x_n]</math> ที่ทำให้ <math>f(M) = p(t_1, \dotsc,t_n)</math> สำหรับทุกจุด <math>M</math> ที่มีพิกัด <math>(t_1,\dotsc,t_n)</math> ใน <math>\mathbf A^n</math> ในกรณีที่ฟีลด์ของเราเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (หรือโดยทั่วไปกว่าเมื่อฟิลด์เป็นฟิลด์อนันต์) จะมีความสัมพันธ์ 1-1 ทั่วถึงระหว่างฟังก์ชันพหุนามและพหุนามใน <math>k[x_1,\dotsc,x_n]</math> ซึ่งทำให้เซตของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดเป็นริง เรียกว่า ริงของฟังก์ชันพหุนาม และเขียนแทนด้วย <math>k[\mathbf{A}^n]</math>
ให้ <math>S</math> เป็นเซตของพหุนามใน <math>k[\mathbf{A}^n]</math> "เซตศูนย์" หรือ "เซตแวนิชชิง" (Zero set หรือ Vanishing set) ของ S คือเซต <math>V(S)</math> ของจุดทั้งหมดใน <math>\mathbf A^n</math> ที่ทำให้พหุนามทุกตัวใน <math>S</math> เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ตามนิยามด้านล่าง
 <math>V(S) = \{(t_1,\dots,t_n) \mid p(t_1,\dots,t_n) = 0 \text{ for all } p \in S\}</math>
จะเรียกสับเซต <math>W</math> ใด ๆ ของ <math>\mathbf A^n</math> ว่าเป็น "เซตเชิงพีชคณิต" (Algebraic set) ถ้าหาก <math>W</math> สามารถเขียนได้ในรูป <math>V(S)</math> สำหรับบางเซต <math>S \subseteq k[\mathbf{A}^n]</math> 
ความสมมูลระหว่างเรขาคณิต-พีชคณิต.
เราสนใจปัญหาที่ว่า หากระบุสับเซต <math>W</math> ใด ๆ ของ <math>\mathbf{A}^n</math> มา สามารถหาเซตของพหุนาม <math>S\subseteq k[\mathbf{A}^n]</math> ที่ก่อกำเนิด <math>W</math> (หรือก็คือ <math>V(S) = W</math>) ได้หรือไม่ 
นิยามเซต <math>I(W)</math> แทนเซตของพหุนามทั้งหมดที่เซตศูนย์ของมันมี <math>W</math> เป็นสับเซต สัญลักษณ์ <math>I</math> มาจากสมบัติที่ว่าเซตดังกล่าวเป็นไอดีลของ <math>\mathbf{A}^n</math>
จากนิยามข้างต้น ทำให้เกิดคำถามต่อไปนี้
คำตอบของคำถามแรกได้จากการกำหนดทอพอโลยีบน <math>\mathbf{A}^n</math> เรียกว่า ทอพอโลยีซาริสกี (Zariski topology) ซึ่งเซตปิดบนทอพอโลยีดังกล่าว ได้แก่เซตเชิงพีชคณิตทั้งหมด และทอพอโลยีนี้สะท้อนโครงสร้างพีชคณิตของ <math>k[\mathbf{A}^n]</math> แล้วจะได้ว่า <math>W = V(I(W))</math> ก็ต่อเมื่อ <math>W</math> เป็นเซตเชิงพีชคณิต หรือเซตปิดในทอพอโลยีซาริสกี ส่วนคำถามที่สองนั้นเป็นผลจากทฤษฎีบทที่เรียกว่า ฮิลแบร์ทนูลสเต็ลเลินซาต์ส หรือ "ทฤษฎีบทโลคัส-ศูนย์ของฮิลแบร์ท" (Hilbert's Nullstellensatz) ซึ่งกล่าวว่า <math>I(V(S))</math> เป็นราดิคัลของไอดีลที่ก่อกำเนิดโดย <math>S</math> ผลลัพธ์จากทฤษฎีทั้งสองระบุว่า ไอดีลใน <math>k[\mathbf{A}^n]</math> และเซตเชิงพีชคณิตใน <math>\mathbf A^n</math> เป็นอย่างเดียวกัน
วาไรตีสัมพรรค.
เซตเชิงพีชคณิตจะเป็น "เซตลดรูปไม่ได้" (Irreducible set) หากมันไม่เป็นยูเนียนของเซตเชิงพีชคณิตที่เล็กกว่าสองเซตได้ เราพบว่า เซตเชิงพีชคณิตใด ๆ อยู่ในรูปยูเนียนจำกัดของเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ และการแยกส่วนแบบดังกล่าวมีได้แบบเดียว ดังนั้นส่วนประกอบหรือเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า "ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้" (Irreducible components) ของเซตพีชคณิต เซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้เรียกอีกอย่างว่า วาไรตี หรือ วาไรตีสัมพรรค เพื่อระบุเจาะจงว่าเราทำงานอยู่ในปริภูมิสัมพรรค 
มีทฤษฎีบทว่า เซตเชิงพีชคณิตจะเป็นวาไรตีก็ต่อเมื่อ มีไอดีลเฉพาะ <math>I</math> ของ <math>k[\mathbf{A}^n]</math> ที่ทำให้เซตเชิงพีชคณิตนั้นเป็นเซตศูนย์ของไอดีล <math>I</math> 
ประวัติ.
คริสต์ศตวรรษที่ 20.
วาน เดอร์ วาร์เดน, ออสการ์ ซาริสกี และ อองเดร์ แวย์ พัฒนารากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยอาศัยพีชคณิตสลับที่ รวมถึง ทฤษฎีแวลิวเอชัน (Valuation theory) และทฤษฎีของไอดีล เป้าหมายประการหนึ่งเพื่อสร้างกรอบโครงร่างที่รัดกุมเพื่อใช้พิสูจน์ผลงานของนักคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสกุลอิตาลี ทั้งนี้เพราะว่า นักคณิตศาสตร์ในสกุลนี้ใช้แนวคิดเรื่อง จุดทั่วไป (Generic points) ในงานคณิตศาสตร์โดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน นิยามจุดทั่วไปกำหนดเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ข้างต้นในช่วงทศวรรษ 1930
ในช่วงทศวรรษที่ 1950 และ 1960 ฌ็อง-ปิแยร์ แซร์ และ อเล็กซองดร์ โกรเธนดีก สร้างรากฐานใหม่โดยใช้ ทฤษฎีชีฟ (Sheaf theory) ในภายหลังโกรเธนดีกได้ริเริ่มเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ สกีม (Scheme) ร่วมกับวิธีการทางฮอมอโลยี
วาไรตีที่สำคัญรูปแบบหนึ่งคือ วาไรตีอาบีเลียน ซึ่งเป็นวาไรตีเชิงภาพฉายที่มีจุดบนวาไรตีนี้เป็นกรุปอาบีเลียน ตัวอย่างต้นแบบของวาไรตีอาบีเลียนคือ เส้นโค้งเชิงวงรี ซึ่งมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องมากมาย เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และยังใช้ใน การเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรีอีกด้วย