รูปวงรี

วงรี  เป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ซึ่งล้อมรอบจุดโฟกัสสองจุดและทำให้ผลรวมของระยะทางจากจุดบนเส้นโค้งไปหาจุดโฟกัสแต่ละจุดเป็นค่าคงที่ จากนิยามนี้ วงรีถือเป็นนัยทั่วไปของวงกลม นั่นคือ วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีที่มีจุดโฟกัสซ้อนกันเป็นจุดเดียว ความยืดของวงรีแสดงด้วยค่าความเยื้องศูนย์กลาง ซึ่งสำหรับวงรีอาจมีค่าได้ตั้งแต่ 0 (กรณีพิเศษของวงกลม) และมากเข้าใกล้ 1 เท่าใดก็ได้ แต่ไม่ถึง 1 (ซึ่งจะกลายเป็นพาราโบลา) วงรียังสามารถนิยามเป็นเซตของจุด ที่สำหรับแต่ละจุดในเซต อัตราส่วนของระยะทางไปหาจุดที่กำหนด (ซึ่งจะเป็นหนึ่งในจุดโฟกัส) ต่อระยะทางไปหาเส้นที่กำหนด (เรียกว่าเส้นไดเรกทริกซ์) เป็นค่าคงที่ ซึ่งค่าคงที่นี้จะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางข้างต้น
วงรีเป็นภาคตัดกรวย นั่นคือ เกิดจากการตัดกันของทรงกรวยกับระนาบ (ดูภาพขวา) และยังเป็นภาคตัดของทรงกระบอก ยกเว้นเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดขนานกับแกนทรงกระบอก
นิยาม.
วงรีมักนิยามเป็นโลกัสของจุดในระนาบสองมิติ โดยจากจุดโฟกัส <math>F_1</math> กับ <math>F_2</math> และระยะทาง <math>2a</math> จะนิยามวงรีเป็นเซตของจุด <math>P</math> ทั้งหมดที่ทำให้ผลบวกของระยะทาง <math>|PF_1|</math> กับ <math>|PF_2|</math> เป็น <math>2a</math> หรือเขียนเป็นสัญกรณ์ว่า 
<math>E = \{P \in \R^2|\ |PF_1| + |PF_2| = 2a \}</math> 
จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดโฟกัสทั้งสอง เรียกว่า "จุดศูนย์กลาง" ของวงรี เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสทั้งสองเรียกว่า"แกนเอก" และเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอกเรียกว่า "แกนโท" แกนเอกตัดกับวงกลมที่ "จุดยอด" ซึ่งห่างจากจุดศูนย์กลาง <math>a</math> หน่วย ระยะทางจากจุดโฟกัสไปจุดศูนย์กลางเรียกว่า "ระยะโฟกัส" <math>c</math> อัตราส่วน <math>\tfrac{c}{a} = e</math> คือ "ความเยื้องศูนย์กลาง"
สมบัติ.
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ <math>(h,k)</math> แกนเอกขนานแกน "x" ยาว <math>2a</math> แกนโทขนานแกน "y" ยาว <math>2b</math> เขียนสมการได้เป็น:
<math>\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1</math>
ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเป็นไปตามสูตร
<math>e = \sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}</math>
หากใช้ระบบสมการอิงตัวแปรเสริม จะสามารถเขียนวงรีในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น
<math>x = h + a\cos t,\ y = k + b\sin t,\ 0 \le t < 2\pi</math>
หากแทน <math>u = tan(t/2)</math> จะได้สมการตัวแปรเสริมอีกรูปคือ
<math>x = h + a\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right),\ y = k + b\left(\frac{2u}{1+u^2}\right),\ -\infty < u < \infty</math>
ในพิกัดเชิงขั้ว หากใช้จุดศูนย์กลางของวงรีเป็นจุดกำเนิด และวัดมุมเทียบกับแกนเอก จะได้เป็นสมการ
<math>r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{(b \cos \theta)^2 + (a\sin \theta)^2}}=\frac{b}{\sqrt{1 - (e\cos\theta)^2}}</math>
แต่หากใช่จุดโฟกัสเป็นจุดกำเนิด จะได้สมการที่ง่ายกว่า คือ
<math>r(\theta)=\frac{a (1-e^2)}{1 \pm e\cos\theta}</math>
วงรีมีพื้นที่ <math>\pi ab</math> เห็นได้จากการมองวงรีเป็นวงกลมรัศมี <math>b</math>ที่ถูกยืดออก <math>a/b</math> เท่า จึงได้พื้นที่เป็น <math>(\pi b^2)(\frac{a}{b}) = \pi a b</math> หรืออาจพิสูจน์จากการอินทิเกรต โดยจัดรูปสมการวงรี <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math> เป็น <math>y = b \sqrt{1-x^2/a^2}</math>อินทิเกรตจาก <math>-a</math> ถึง <math>a</math> จะได้พื้นที่ครึ่งบน ดังนั้นได้เป็น
A &= 2 \int_{-a}^{a} b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\ dx \\
&= \frac{b}{a} \cdot 2 \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-x^2}\ dx \\
&= \frac{b}{a} \cdot \pi a^2 \\
&= \pi ab
\end{align}</math>
ความยาวรอบรูปของวงรีไม่สามารถเขียนเป็นสูตรอย่างง่ายได้ โดยมีค่าเท่ากับอินทิกรัล
<math>C = 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta = 4 a E(e)</math>
เมื่อ <math>E</math> เป็นปริพันธ์วงรีสมบูรณ์ชนิดที่สอง (Complete elliptic integral of the second kind) 
<math>E(e) = \int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta</math>
สูตรความยาวรอบรูปสามารถเขียนในรูปอนุกรมอนันต์ได้เป็น
<math>\begin{align} C &= 2\pi a \left[{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2e^2 - \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\frac{e^4}{3} - \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2\frac{e^6}{5} - \cdots}\right] \\
&= 2\pi a \left[1 - \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{e^{2n}}{2n-1}\right] \end{align}</math>
รามานุจันได้ให้สูตรประมาณค่าความยาวรอบรูปว่า
<math>C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]= \pi \left[3(a+b)-\sqrt{10ab+3(a^2+b^2)}\right]</math>