วิธีกงดอร์แซ

วิธีกงดอร์แซ  คือระบบการลงคะแนนที่ใช้เลือกผู้สมัครที่ชนะคะแนนเสียงข้างมากในการเลือกตั้งแบบตัวต่อตัว (head-to-head election) กับผู้สมัครรายอื่นแต่ละรายจนครบ กล่าวคือผู้สมัครรายนั้นได้รับความนิยมจากผู้ลงคะแนนมากกว่าผู้สมัครรายอื่น ๆ ทั้งหมด ซึ่งผู้ชนะที่มีคุณสมบัติตามเกณฑ์ข้างต้นนี้เรียกว่า "ผู้ชนะทุกคน" ("beats-all winner") และเรียกอย่างเป็นทางการว่า "ผู้ชนะแบบกงดอร์แซ" ("Condorcet winner") โดยการเลือกตั้งแบบตัวต่อตัวนั้นไม่จำเป็นจะต้องกระทำแยกเป็นครั้ง ๆ ไป โดยสามารถให้ผู้ลงคะแนนลงคะแนนผู้สมัครเป็นรายคู่โดยใช้ผลลัพธ์จากการจัดลำดับได้
ในการเลือกตั้งบางกรณีไม่อาจหาผู้ชนะแบบกงดอร์แซได้เนื่องจากผลการลงคะแนนนั้นอาจจะเป็นวัฏจักร (cyclic) กล่าวคือมีความเป็นไปได้ (แต่พบได้ยาก) ว่าผู้สมัครทุกคนจะมีคู่แข่งที่แพ้ในการแข่งขันเป็นคู่ ๆ เสมอกัน (คล้ายกับการเป่ายิ้งฉุบที่การเสี่ยงมือแบบหนึ่งจะชนะแบบหนึ่งและแพ้อีกแบบหนึ่งได้) ความเป็นไปได้ของการเกิดวัฏจักรนั้นเรียกว่า ปฏิทรรศน์กงดอร์แซ (Condorcet paradox) อย่างไรก็ตาม ผู้แข่งขันจากกลุ่มที่เล็กที่สุดที่สามารถเอาชนะผู้สมัครทุกรายที่ไม่อยู่ในกลุ่มเดียวกันได้มักจะเกิดขึ้นได้เสมอ ซึ่งเรียกกันว่า กลุ่มสมิธ (Smith set) โดยกลุ่มสมิธหากมีอยู่จะสามารถรับรองว่าจะเลือกผู้ชนะของกงดอร์แซได้ 
ระบบการลงคะแนนแบบกงดอร์แซนั้นตั้งชื่อตามมารี ฌ็อง อ็องตวน นีกอลา การีตา มาร์กี เดอ กงดอร์แซ นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศสซึ่งเป็นผู้คิดค้นระบบนี้ขึ้นในคริสต์ศตวรรษที่ 18 อย่างไรก็ตามระบบคล้ายกันกับกงดอร์แซได้ถูกใช้ครั้งแรกใน ค.ศ. 1299 โดยราโมน ยุลย์ นักปรัชญาชาวมาจอร์กา โดยเป็นวิธีเดียวกันกับวิธีของโคปแลนด์ในแบบที่ไม่มีคะแนนเสมอเป็นคู่
วิธีกงดอร์แซสามารถใช้บัตรลงคะแนนแบบจัดลำดับ แบบคาร์ดินัล หรือใช้การลงคะแนนอย่างง่ายกับผู้สมัครเป็นคู่ ๆ ได้ โดยวิธีส่วนใหญ่มักจะใช้การลงคะแนนแบบจัดลำดับรอบเดียว ซึ่งผู้ลงคะแนนแต่ละคนจะต้องจัดลำดับผู้สมัครทั้งหมดเริ่มตั้งแต่ลำดับที่ชอบมากที่สุด (เริ่มที่ 1) ไปจนถึงลำดับท้ายสุด (เลขจำนวนที่มากขึ้น) การจัดลำดับนี้มักเรียกว่า "ลำดับความชอบ" ("order of preference") ในการนับคะแนนสามารถกระทำได้หลายวิธีเพื่อตัดสินผู้ชนะ ในทุกวิธีของกงดอร์แซจะใช้หาผู้ชนะแบบกงดอร์แซในกรณีที่มีผู้ชนะที่เข้าเกณฑ์ หากไม่มีจะต้องใช้วิธีรองอื่น ๆ ที่สามารถเลือกผู้ชนะคนอื่น ๆ แทนได้ในกรณีที่เกิดผลเป็นวัฏจักร โดยผลลัพธ์จะออกมาแตกต่างกันขึ้นอยู่กับเกณฑ์ที่เลือกใช้
ตามขั้นตอนซึ่งระบุไว้ในข้อบังคับการประชุมของรอเบิร์ต (Robert's Rules of Order) สำหรับการลงมติต่าง ๆ ก็ยังถือเป็นวิธีกงดอร์แซเช่นกันถึงแม้ว่าผู้ลงคะแนนจะไม่ได้ออกเสียงโดยการจัดลำดับก็ตาม โดยในการลงคะแนนจะเกิดขึ้นหลายรอบ และในแต่ละรอบจะมีการลงคะแนนระหว่างตัวเลือกจำนวนเพียงสองตัวเลือก ผู้แพ้ (ตามเกณฑ์เสียงข้างมาก) ในแต่ละคู่จะตกรอบ และผู้ชนะในคู่นั้นจะถูกจับคู่กับผู้ชนะอีกคู่หนึ่งในรอบต่อไป จนสุดท้ายเหลือเพียงผู้ชนะคนสุดท้ายเพียงคนเดียว ระบบนี้จะเหมือนกับการแข่งขันหาผู้ชนะเป็นรอบ ๆ (single-winner tournament) กล่าวคือจำนวนการจับคู่แข่งขั้นทั้งหมดเท่ากับจำนวนของตัวเลือกลบด้วยหนึ่ง เนื่องจากผู้ชนะแบบกงดอร์แซชนะโดยเสียงข้างมากในแต่ละคู่ จึงย่อมไม่เคยตกรอบตามข้อบังคับของรอเบิร์ต แต่ในวิธีนี้ไม่สามารถทำให้เห็นปฏิทรรศน์ของการลงคะแนนซึ่งจะไม่มีผู้ชนะเลย และเสียงส่วนใหญ่ชอบผู้สมัครรายที่แพ้ก่อนมากกว่าผู้ชนะในรอบหลัง (ถึงแม้ว่าจะต้องเลือกผู้ชนะคนใดคนหนึ่งจากชุดสมิธก็ตาม) วรรณกรรมส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีทางเลือกสังคมล้วนกล่าวถึงลักษณะเฉพาะของระบบนี้เพราะถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางโดยองค์กรสำคัญต่าง ๆ (สภานิติบัญญัติ คณะกรรมาธิการ คณะกรรมการ ฯลฯ) อย่างไรก็ตามระบบนี้ไม่เหมาะสมที่จะทำมาใช้สำหรับการเลือกตั้งในทางปฏิบัติ เนื่องจากการลงคะแนนจำนวนหลายรอบนั้นจะทำให้สิ้นเปลืองต่อผู้ลงคะแนน ผู้สมัครรับเลือกตั้ง และสำหรับรัฐบาลในการกำกับดูแล 
โดยสังเขป.
ในการแข่งขันระหว่างผู้สมัคร A B และ C โดยใช้ระบบการลงคะแนนตามความชอบในวิธีกงดอร์แซ ซึ่งจะต้องมีการแข่งขันแบบตัวต่อตัวทีละคู่ ได้แก่ A กับ B, B กับ C และ C กับ A หากมีผู้สมัครรายใดที่ได้รับความชอบมากที่สุดจะถือเป็นผู้ชนะแบบกงดอร์แซ และชนะการเลือกตั้งไป
เนื่องจากยังมีความเป็นไปได้อยู่ที่จะเกิดปฏิทรรศน์ของการลงคะแนน (แต่น้อย) ซึ่งจะทำให้ไม่สามารถหาผู้ชนะกงดอร์แซในการเลือกตั้งบางประเภท โดยในบางครั้งเรียกว่า "วัฏจักรกงดอร์แซ" หรือ "วัฏจักร" โดยอธิบายอย่างง่ายเหมือนการเป่ายิ้งฉุบ ซึ่งค้อนชนะกรรไกร กรรไกรชนะกระดาษ และกระดาษชนะค้อน ระบบย่อยของกงดอร์แซหลายแบบแตกต่างกันในการแก้ปัญหาวัฏจักร (ในการเลือกตั้งส่วนใหญ่นั้นไม่ค่อยเกิดเหตุการณ์วัฏจักรขึ้น) หากกรณีไม่พบวัฏจักรขึ้น ทุกวิธีย่อยของกงดอร์แซจะเลือกผู้ชนะคนเดียวกัน และให้ผลเหมือนกันในทางปฏิบัติ
ในวิธีกงดอร์แซส่วนใหญ่นั้นผลการนับเพียงเท่านี้มากพอที่จะนับสรุปคะแนนได้จนจบ (เช่น ผู้ใดชนะ ผู้ใดมาอันดับสอง เป็นต้น) ซึ่งพอเพียงที่จะหาตัวผู้ชนะแบบกงดอร์แซ
ในกรณีคะแนนเสียงเสมอกันจะต้องใช้ข้อมูลบางส่วนเพิ่มเติม โดยเสมอกันอาจจะมาจากเหตุผลที่ไม่มีผู้ใดได้เสียงข้างมาก หรืออาจะเป็นเสียงข้างมากที่มีขนาดเท่ากัน แต่การเสมอนั้นเกิดขึ้นได้ยากมากถ้ามีผู้ลงคะแนนจำนวนมาก ในวิธีกงดอร์แซบางวิธีอาจมีคะแนนเสมอได้หลายประเภท ตัวอย่างเช่น ในวิธีของโคปแลนด์จะเกิดขึ้นได้เมื่อผู้สมัครสองคนขึ้นไปชนะจำนวนคู่เท่ากันซึ่งหมายความว่ากรณีจะไม่เจอผู้ชนะแบบกงดอร์แซ
ขั้นตอนเบื้องต้น.
การลงคะแนน.
ในการเลือกตั้งแบบกงดอร์แซผู้ลงคะแนนทำการจัดลำดับผู้สมัครแต่ละรายตามลำดับความชอบ หากใช้บัตรลงคะแนนแบบจัดลำดับ ผู้ลงคะแนนจะใส่หมายเลข "1" ให้กับผู้สมัครอันดับแรกที่ชอบ และ "2" ให้กับผู้สมัครอันดับที่สอง เป็นต้น ในวิธีกงดอร์แซแบบอื่นอาจยอมให้ผู้ลงคะแนนจัดลำดับผู้สมัครเท่ากันได้ซึ่งดังนั้นผู้ลงคะแนนอาจออกเสียงเลือกสองคนเท่า ๆ กันแทนที่จะชอบคนใดคนหนึ่งมากกว่า หากใช้บัตรลงคะแนนแบบให้คะแนน ผู้ลงคะแนนทำการให้คะแนนผู้สมัครตามมาตรคะแนน ตัวอย่างเดียวกับระบบการลงคะแนนแบบคะแนนรวมซึ่งผู้สมัครรายใดได้คะแนนมากกว่าจะเท่ากับได้รับความพึงพอใจมากกว่า
เมื่อใดที่ผู้ลงคะแนนไม่ได้ทำการจัดลำดับให้ครบผู้สมัครทุกราย จะตีความว่าผู้ลงคะแนนเลือกผู้สมัครรายที่จัดลำดับมากกว่าผู้สมัครที่ไม่ถูกจัดลำดับ และถือว่าไม่ได้เลือกผู้ใดเลยหากผู้สมัครทั้งคู่ไม่ได้รับการจัดอันดับเลย ในการเลือกตั้งวิธีกงดอร์แซบางวิธีสามารถให้ผู้ลงคะแนนเลือกเขียนชื่อผู้สมัครได้เอง
การหาผู้ชนะ.
การนับคะแนนจะทำโดยจับผู้สมัครเป็นคู่ ๆ แข่งขันกันแบบตัวต่อตัวจนครบทุกคู่ ผู้ชนะในแต่ละคู่จะเป็นผู้สมัครที่ถูกเลือกโดยผู้ลงคะแนนเสียงข้างมาก โดยสามารถหาผู้ที่ได้เสียงข้างมากได้ง่ายเนื่องจากมีเพียงสองตัวเลือกโดยยกเว้นในกรณีที่คะแนนเสมอ ผู้สมัครที่ได้รับเลือกโดยแต่ละผู้ลงคะแนนจะถือเป็นผู้สมัครที่ได้คะแนนสูงกว่า (หรือลำดับสูงกว่า) ในบัตรลงคะแนนของคู่นั้น ๆ ตัวอย่างเช่น หาก A จับแข่งขันคู่กับ B จะต้องนับคะแนนเสียงของผู้ลงคะแนนที่ให้อันดับ A สูงกว่า B และจำนวนคะแนนเสียงของผู้ที่ให้อันดับ B สูงกว่า A ซึ่งเมื่อ A ได้คะแนนจากผู้ลงคะแนนมากกว่าดังนั้น A จะเป็นผู้ชนะในคู่นี้ เมื่อนำการจับคู่ทั้งหมดมาแข่งขันกันจนครบ หากมีผู้สมัครรายใดที่สามารถเอาชนะรายอื่น ๆ ที่เหลือได้ จะถือว่าผู้นั้นเป็นผู้ชนะแบบกงดอร์แซ
ตามที่กล่าวไปข้างต้น หากไม่สามารถระบุผู้ชนะแบบกงดอร์แซได้ จะต้องใช้วิธีการเพิ่มเติมเพื่อหาตัวผู้ชนะ ซึ่งกลไกนั้นย่อมแตกต่างกันตามแต่ละลักษณะของแต่ละวิธี ในวิธีกงดอร์แซใด ๆ ที่ผ่านเกณฑ์ความอิสระของตัวเลือกของสมิธ ในบางครั้งจะสามารถระบุตัวชุดสมิธจากในการแข่งขันแบบตัวต่อตัวได้ และจะสามารถกำจัดผู้สมัครรายอื่น ๆ ที่ไม่ได้อยู่ในชุดก่อนการเข้ากระบวนการหาผู้ชนะตามวิธีกงดอร์แซ 
การนับคะแนนเป็นคู่และเมตริกซ์.
วิธีกงดอร์แซใช้การนับคะแนนทีละคู่ โดยในผู้สมัครแต่ละคู่นั้น การนับคะแนนของคู่จะแสดงให้เห็นถึงจำนวนผู้ลงคะแนนที่พอใจผู้สมัครรายหนึ่งในคู่นั้นมากกว่าอีกรายหนึ่ง และยังแสดงให้เห็นถึงคะแนนเสียงของผู้ที่สนับสนุนผู้สมัครรายที่คะแนนน้อยกว่าด้วย การนับคะแนนทั้งหมดจากทุกคู่จะสามารถสรุปให้เห็นถึงความชอบของผู้สมัครจากการจับคู่ที่ละคู่
การนับคะแนนทีละคู่มักจะแสดงเป็น "เมตริกซ์การเปรียบเทียบเป็นคู่" ("pairwise comparison matrix") หรือ "เมตริกซ์ที่เหนือกว่า" ("outranking matrix") ดังตัวอย่างข้างล่าง โดยในเมตริกซ์ ข้อมูลในแต่ละแถวประกอบด้วยชื่อผู้สมัคร "Runner" ในขณะที่แต่ละสดมภ์นั้นประกอบด้วยคู่แข่งขัน โดยในแต่ละช่องที่ตัดกันระหว่างแถวและสดมภ์นั้นแสดงผลลัพธ์ของแต่ละการแข่งขันในคู่นั้น ๆ ส่วนช่องที่จับคู่กับชื่อของตนนั้นจะถูกเว้นว่างไว้
สมมติให้ว่ามีการแข่งขันระหว่างผู้สมัครสี่คน: A B C และ D ในเมตริกซ์แรกนั้นแสดงให้เห็นความชอบผ่านการลงคะแนนด้วยบัตรลงคะแนนเดี่ยว ซึ่งความชอบของผู้ลงคะแนนแต่ละคนได้แก่ B C A D ซึ่งหมายความผู้ลงคะแนนเลือก B ก่อนเป็นอันดับแรก ตามด้วย C เป็นอันดับสอง A เป็นอันดับสาม และ D เป็นอันดับสี่ ในเมตริกซ์ '1' ระบุว่าผู้แข่งขันนั้นได้ถูกเลือกกว่า "คู่แข่ง" ในขณะที่ '0' นั้นหมายถึงเมื่อผู้แข่งขันนั้นแพ้
ตัวอย่างในการลงคะแนนเพื่อเลือกเมืองหลวงของรัฐเทนเนสซี.
สมมติว่ารัฐเทนเนสซีกำลังจะจัดการเลือกตั้งเพื่อเลือกเมืองหลวงของรัฐ โดยประชากรในรัฐเทนเนสซีนั้นกระจุกตัวอยู่ในเมืองหลักทั้งสี่เมืองซึ่งตั้งอยู่ในแต่ละฝั่งของรัฐ ในตัวอย่างนี้ให้สมมติว่าเขตเลือกตั้งทั้งเขตนั้นอยู่ในเขตเมืองทั้งสี่นี้ และประชาชนทุกคนต้องการเลือกให้อาศัยอยู่ใกล้เมืองหลวงมากที่สุด
รายชื่อเมืองผู้สมัครเข้ารับตำแหน่งเมืองหลวงได้แก่
การแบ่งจำนวนเสียงข้อผู้ลงคะแนนสามารถจำแนกได้ดังนี้
ในการหาผู้ชนะแบบกงดอร์แซนั้นผู้สมัครแต่ละรายจะต้องแข่งขันตัวต่อตัวเป็นคู่ ๆ จนครบ โดยในแต่ละคู่ผู้ชนะจะเป็นผู้ที่ได้คะแนนความชอบตามเสียงส่วนมากของผู้ลงคะแนน โดยหลังจากการนับคะแนนในแต่ละคู่แล้วได้ผลลัพธ์ดังนี้
โดยผลลัพธ์ตามเมตริกซ์เป็นดังนี้
ซึ่งเมื่อพิจารณาจากข้อมูลในตารางข้างต้นแล้ว แนชวิลล์สามารถเอาชนะผู้สมัครรายอื่นได้ทุกราย ซึ่งหมายความว่าแนชวิลล์เป็นผู้ชนะแบบกงดอร์แซ แนชวิลล์จะสามารถเอาชนะการเลือกตั้งที่ใช้วิธีกงดอร์แซได้ทั้งหมด
หากในการเลือกตั้งนั้นใช้ระบบแบ่งเขตคะแนนสูงสุดหรือระบบคะแนนเสียงเผื่อเลือก จะได้ผู้ชนะคือเมมฟิสและน็อกซ์วิลล์ตามลำดับ ซึ่งจะเกิดขึ้นได้แม้ว่าตามหลักความจริงแล้วผู้ลงคะแนนส่วนใหญ่ย่อมจะเลือกแนชวิลล์มากกว่าอีกสองรายดังกล่าว วิธีกงดอร์แซนั้นแสดงให้เห็นชัดเจนถึงลำดับความชอบมากกว่าที่จะเพิกเฉยหรือแม้แต่ไม่นับมาพิจารณา