การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์  เป็นเทคนิคการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ที่ใช้พิสูจน์ว่าข้อความ "P"("n") เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจำนวนธรรมชาติ "n" = 0, 1, 2, 3, . . . นั่นคือกรณีต่าง ๆ "P"(0), "P"(1), "P"(2), "P"(3), . . . . ของข้อความดังกล่าวที่มีจำนวนมากไม่สิ้นสุดเป็นจริงทั้งหมด การอุปนัยเริ่มจากการพิสูจน์กรณีที่ง่ายก่อน แล้วพิสูจน์ว่าหากข้อความเป็นจริงในกรณีใดแล้ว กรณีถัดไปจะเป็นจริงด้วย เราสามารถใช้คำอุปมาเพื่ออธิบายการอุปนัยอย่างคร่าว โดยเทียบกับโดมิโนที่ล้มตามกันหรือการปีนบันได:
<templatestyles src="แม่แบบ:คำพูด/style.css" />"การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่าเราสามารถปีนบันไดสูงเท่าไหร่ก็ได้ โดยพิสูจน์ว่าสามารถปีนขึ้นขั้นแรกได้ และพิสูจน์ว่าจากแต่ละขั้นสามารถปีนขึ้นขั้นต่อไปได้"
การพิสูจน์ด้วยการอุปนัย (proof by induction) ประกอบไปด้วยกรณีสองกรณี กรณีแรกคือ กรณีฐาน (base case หรือ basis) เป็นการพิสูจน์สำหรับข้อความที่ "n =" 0 โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับกรณีอื่น ๆ เลย กรณีที่สองคือ ขั้นตอนอุปนัย (induction step) เป็นการพิสูจน์ว่า"ถ้า"ข้อความเป็นจริงสำหรับ "n = k" ใด ๆ "แล้ว" มันก็ต้องเป็นจริงสำหรับกรณี "n" = "k" + 1 ถัดไปด้วย ขั้นตอนสองขั้นตอนนี้แสดงให้เห็นว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ "n" ทุกจำนวน กรณีฐานไม่จำเป็นต้องเริ่มด้วย "n =" 0 แต่มักจะเริ่มด้วย "n =" 1 และก็เป็นไปได้ที่จะใช้จำนวนธรรมชาติ "n = N" คงที่ใด ๆ เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ "n ≥ N" ทุกตัว
วิธีการนี้สามารถนำมาขยายใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับโครงสร้างรากฐานดี (well-founded) ที่ทั่วไปมากขึ้นเช่นต้นไม้ (tree (set theory)) การวางนัยทั่วไปนี้ซึ่งมีชื่อว่าการอุปนัยเชิงโครงสร้าง (structural induction) ถูกใช้ในคณิตตรรกศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ในความหมายแบบขยายมีความใกล้เคียงกับการเรียกซ้ำ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นกฏการอนุมาน (rule of inference) ที่ถูกใช้ในการพิสูจน์เชิงรูปนัย (formal proof) และในบางรูปแบบก็เป็นรากฐานของการพิสูจน์ความถูกต้องของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (formal verification) ทั้งหมด 
แม้ชื่อจะคล้ายกันแต่ไม่ควรสับสนการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์กับการให้เหตุผลแบบอุปนัยที่ใช้ในปรัชญา (ดูปัญหาของการอุปนัย (Problem of induction)) ซึ่งเป็นการสรุปผลที่อาจเป็นไปได้จากตัวอย่างจำนวนมาก การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ตรวจสอบกรณีจำนวนมากเป็นอนันต์เพื่อพิสูจน์ข้อความทั่วไปข้อหนึ่ง แต่ทำเช่นนั้นด้วยการให้เหตุผลแบบนิรนัยจำนวนจำกัดข้อความซึ่งใช้ตัวแปร "n" แทนค่าจำนวนได้มากเป็นอนันต์ ผลที่ได้เป็นบทพิสูจน์ที่รัดกุม และไม่ใช่ว่าข้อความนั้นน่าจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง
ประวัติ.
ในปี 370 ก่อนคริสต์ศักราช พาร์เมนิเดสของเพลโตมีตัวอย่างแรก ๆ ของการพิสูจน์แบบอุปนัยโดยปริยาย การนำการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มาใช้อย่างชัดเจนเป็นครั้งแรกที่สุดสามารถพบได้ในการพิสูจน์ของยุคลิดที่บอกว่ามีจำนวนเฉพาะมากเป็นอนันต์ เทคนิคการทำซ้ำซึ่งตรงข้ามกันใช้การนับ"ลง"แทนการนับเพิ่มขึ้นที่ละหนึ่งและสามารถพบได้ในปฏิทรรศน์กองทราย (sorites paradox) ซึ่งมีการอ้างเหตุผลว่าหากทราย 1,000,000 เม็ดก่อตัวเป็นกองทรายและการเอาทรายออกเม็ดหนึ่งกองนั้นก็ยังถูกนับได้ว่าเป็นกองทรายแล้ว ทรายเพียงเม็ดเดียว (หรือไม่มีสักเม็ดเลย) ก็เป็นกองทรายเช่นเดิม
การพิสูจน์โดยปริยายด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แรก ๆ ในประเทศอินเดียปรากฏอยู่ใน "จักรวาลวิธี" (Chakravala method) ของภาสคาราที่ 2 (Bhāskara II) และใน "อัลฟะครี" (al-Fakhri) ซึ่งถูกเขียนขึ้นในประมาณปี ค.ศ. 1000 โดยอัลกะระญี (al-Karaji) ซึ่งเขานำมาประยุกต์ใช้กับอนุกรมเลขคณิตเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททวินามและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมปัสกาล
เกร์โซนิเดส (Gersonides) (ค.ศ. 1288-1344) เป็นผู้ใช้การอุปนัยอย่างเคร่งครัดเป็นครั้งแรก แบลซ ปัสกาล บัญญัติหลักของการอุปนัยอย่างชัดแจ้งเป็นครั้งแรกใน "Traité du triangle arithmétique" (ค.ศ. 1665) ชาวฝรั่งเศสอีกคนหนึ่งชื่อ ปีแยร์ เดอ แฟร์มา นำหลักการที่เกี่ยวข้องมาใช้: การพิสูจน์อ้อมด้วยการลดหลั่นอนันต์ (Proof by infinite descent)
สมมติฐานการอุปนัยนี้ยังถูกนำมาใช้โดย ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) และก็กลายเป็นที่รู้จักตั้งแต่นั้นมา การปฏิบัติต่อหลักการนี้อย่างรูปนัยแบบสมัยใหม่มีขึ้นในคริสตศตวรรษที่ 19 โดย จอร์จ บูล ออกัสตัส เดอ มอร์แกน (Augustus de Morgan), ชารลส์ แซนเดอรส์ เพิร์ซ (Charles Sanders Peirce), 
จูเซ็ปเป เปอาโน (Giuseppe Peano) และ ริชาร์ด เดเดคินด์ (Richard Dedekind)
คำบรรยาย.
รูปแบบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ง่ายและพบเจอได้มากที่สุดอนุมานว่าข้อความใด ๆ ที่มีเกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติ <math>n</math> (นั้นคือจำนวนเต็ม <math>n\geq0</math> หรือ 1) เป็นจริงสำหรับค่า <math>n</math> ใด ๆ การพิสูจน์ประกอบด้วยสองขั้นตอนคือ:
สมมติฐานในขั้นตอนอุปนัยที่สมมติว่าข้อความเป็นจริงกับค่า "<math>n</math>" ค่าหนึ่งเรียกว่า สมมติฐานอุปนัย ต้องมีการสมุมติสมมติฐานอุปนัยสำหรับค่า <math>n</math> และใช้สมมติฐานนี้เพื่อพิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ <math>n+1</math> เพื่อพิสูจน์ขั้นตอนอุปนัย
ผู้ที่นิยมนิยามของจำนวนธรรมชาติซึ่งเริ่มจาก 0 จะใช้จำนวนนี้ในกรณีฐาน ผู้ที่นิยมนิยามของจำนวนธรรมชาติซึ่งเริ่มจาก 1 จะใช้จำนวนนี้แทน
ตัวอย่าง.
ผลบวกของจำนวนธรรมชาติที่ต่อเนื่องตามลำดับ.
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์สามารถใช้พิสูจน์ข้อความ <math>P(n)</math> ดังต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ "<math>n</math>" ได้
<math>P(n)\!:\ \ 0 + 1 + 2 + \cdots + n \,=\, \frac{n(n + 1)}{2}</math>
นี่เป็นสูตรทั่วไปสำหรับผลบวกของจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ "<math>n</math>" ซึ่งประกอบไปด้วยข้อความที่มีจำนวนมากเป็นอนันต์: <math>0 = \tfrac{(0)(0+1)}2</math>, <math>0+1 = \tfrac{(1)(1+1)}2</math>, <math>0+1+2 = \tfrac{(2)(2+1)}2</math>, ฯลฯ
ประพจน์ สำหรับ <math>n\in\mathbb{N}</math> ใด ๆ, <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}</math>
การพิสูจน์ ให้ "P"("n") เป็นข้อความ <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}</math> เราจะพิสูจน์โดยการอุปนัยบน "<math>n</math>"
"กรณีฐาน:" แสดงให้เห็นว่าข้อความนี้เป็นจริงกับจำนวนธรรมชาติที่น้อยทีสุด "n" = 0
"P"(0) เป็นจริงอย่างชัดเจน: <math>0 = \tfrac{0(0 + 1)}{2} </math>
"ขั้นตอนอุปนัย:" แสดงให้เห็นว่าสำหรับค่า "k ≥" 0 ใด ๆ หาก "P"("k") เป็นจริงแล้ว "P"("k"+1) จะเป็นจริงด้วย 
สมมุติสมมติฐานอุปนัยว่าสำหรับค่า "k" ค่าหนึ่ง ให้ "n = k" เป็นจริง นั่นคือหมายความว่า "P"("k") เป็นจริง:<math>0 + 1 + \cdots + k \ =\ \frac{k(k{+}1)}2.</math>ดังนั้น:
<math>(0 + 1 + 2 + \cdots + k)+ (k{+}1) \ =\ \frac{k(k{+}1)}2 + (k{+}1).</math>
ฝั่งขวาสามารถจัดรูปด้วยวิธีการทางพีชคณิตได้เป็น:
<math>
\frac{k(k{+}1)}{2} + (k{+}1) & \ =\ \frac {k(k{+}1)+2(k{+}1)} 2 \\
& \ =\ \frac{(k{+}1)(k{+}2)}{2} \\
& \ =\ \frac{(k{+}1)((k{+}1) + 1)}{2}.
</math>
ฝั่งซ้ายมือสุดและฝั่งขวาสุดเท่ากันตรงกลาง เรานิรนัยได้ว่า:<math>0 + 1 + 2 + \cdots + k + (k{+}1) \ =\ \frac{(k{+}1)((k{+}1)+1)}2.</math>นั่นคือข้อความว่า "P"("k+"1) เป็นจริงด้วย เป็นการแสดงขั้นตอนอุปนัย
"ข้อสรุป": เนื่องจากทั้งกรณีฐานและขั้นตอนอุปนัยถูกพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริง ข้อความ "P"("n") จึงเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ "n" ด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ∎
อสมการตรีโกณมิติ.
อสมการมักถูกพิสูจน์ด้วยการอุปนัย เราจะพิสูจน์ว่า <math>|\!\sin nx|\leq n|\!\sin x|</math> สำหรับจำนวนจริง <math>x</math> และจำนวนธรรมชาติ <math>n</math> ใด ๆ 
แวบแรกที่มอง รูปแบบของสมการที่ทั่วไปกว่า <math>|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|</math> สำหรับจำนวน"จริง" <math>n,x</math> ใด ๆ อาจดูเหมือนว่าสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องอุปนัย แต่กรณีที่ <math display="inline">n=\frac{1}{2},\, x=\pi</math> แสดงให้เห็นว่าข้อความนี้สามารถเป็นเท็จได้สำหรับค่า <math>n</math> ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ทำให้เราต้องพิจารณาข้อความสำหรับจำนวน <math>n</math> ที่เป็นจำนวน"ธรรมชาติ"โดยเฉพาะและการอุปนัยเป็นเครื่องมือที่พร้อมนำมาใช้ที่สุด
ประพจน์. สำหรับค่า <math>x\in \mathbb{R},n\in\mathbb{N}</math> ใด ๆ, <math>|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|</math>. 
การพิสูจน์ กำหนดจำนวนจริง <math>x</math> ค่าใด ๆ ค่าหนึ่ง, และให้ <math>P(n)</math> เป็นข้อความ <math>|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|</math>. และเราพิสูจน์โดยการอุปนัยกับ <math>n</math>. 
"กรณีฐาน:" การคำนวณ <math>|\!\sin 0x| = 0 \leq 0 = 0\,|\!\sin x|</math> พิสูจน์ว่า <math>P(0)</math> เป็นจริง. 
"ขั้นตอนอุปนัย:" เราจะแสดงว่า <math>P(k)\implies P(k{+}1)</math> สำหรับจำนวนธรรมชาติ <math>k</math> ใด ๆ. สมมุติสมมติฐานอุปนัยว่าสำหรับค่า <math>n=k\geq 0</math> กรณีของ <math>P(k)</math> จะเป็นจริง เรานิรนัยโดยใช้สูตรผลบวกของมุมและอสมการอิงรูปสามเหลี่ยมได้: 
<math>\begin{array}{rcll} 
& = & |\!\sin kx|\,|\!\cos x|+|\!\sin x|\,|\!\cos kx|& 
& \leq & |\!\sin kx| + |\!\sin x| & (\,|\!\cos t|\leq 1)
& \leq &
k\,|\!\sin x|+|\!\sin x| & \text{(สมมติฐานอุปนัย})\\ 
& \ =\ & (k{+}1)\,|\!\sin x|. & 
\end{array}</math>
อสมการระหว่างฝั่งซ้ายและฝั่งขวาแสดงให้เห็นว่า <math>P(k{+}1)</math> เป็นจริง ขั้นตอนอุปนัยจึงเสร็จสมบูรณ์
"ข้อสรุป": ประพจน์ <math>P(n)</math> เป็นจริงสำหรับเลขจำนวนธรรมชาติ <math>n</math> ทุกค่า ∎
รูปแบบอื่น.
ในทางปฏิบัติ การพิสูจน์โดยการอุปนัยมักมีแบบแผนที่ต่างกันซึ่งขึ้นอยู่กับลักษณะของคุณสมบัติที่เราต้องการจะพิสูจน์ รูปแบบอื่น ๆ ของการอุปนัยทุกรูปแบบเป็นกรณีพิเศษของการอุปนัยเชิงอนันต์ ดูด้านล่าง
ฐานของการอุปนัยนอกเหนือจาก 0 หรือ 1.
หากเราไม่ประสงค์จะพิสูจน์ข้อความหนึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน แต่ต้องการพิสูจน์เพียงสำหรับจำนวน "n" ทุกจำนวนที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่า "b" เท่านั้นแล้ว การพิสูจน์ด้วยการอุปนัยจะประกอบด้วย:
เราสามารถนำวิธีนี้มาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่า <math display="inline">2^n \geq n + 5</math> สำหรับ <math>n \geq 3</math>
เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อความ <math>P(n)</math> ข้อความหนึ่งเป็นจริงสำหรับค่า <math>n \geq 1</math> หรือแม้แต่สำหรับค่า <math>n \geq -5</math> การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์รูปแบบนี้ความจริงแล้วเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบก่อนหน้าเพราะหากข้อความที่ถูกพิสูจน์คือ <math>P(n)</math> แล้ว การพิสูจน์ด้วยกฎสองข้อนี้ก็เท่ากับการพิสูจน์ข้อความ <math>P(n+b)</math> สำหรับจำนวนธรรมชาติ <math>n</math> ทุกจำนวนโดยมีกรณีฐานอุปนัยกับค่า <math>0</math>
ตัวอย่าง: การใช้เหรียญบาทต่าง ๆ เพื่อให้รวมได้จำนวนเงินจำนวนหนึ่ง.
สมมติว่าเรามีเหรียญสี่บาทและเหรียญห้าบาทจำนวนไม่จำกัด เราสามารถใช้การอุปนัยเพื่อพิสูจน์ได้ว่าจำนวนเต็มของเงินบาทใด ๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ <math>12</math> สามารถใช้เหรียญสี่บาทและห้าบาทมารวมกันได้จำนวนนั้น ให้ <math>S(k)</math> เป็นข้อความว่า ""จำนวนเงิน <math>k</math> บาทสามารถรวมมาจากเหรียญสี่บาทและเหรียญห้าบาท" การพิสูจน์ว่า <math>S(k)</math> เป็นจริงสำหรับค่า <math>k \geq 12</math> ทุกค่าสามารถทำได้ด้วยการอุปนัยกับ <math>k</math> ดังนี้:
"กรณีฐาน": การแสดงให้เห็นว่า <math>S(k)</math> เป็นจริงสำหรับ <math>k=12</math> ง่ายมาก เพียงแค่มีเหรียญสี่บาทสามเหรียญ 
"ขั้นตอนอุปนัย": กำหนดให้ <math>S(k)</math> เป็นจริงสำหรับค่า <math>k \geq 12</math> ค่าหนึ่ง ("สมมติฐานอุปนัย") พิสูจน์ว่า <math>S(k+1)</math> เป็นจริงด้วย: 
สมมติให้ <math>S(k)</math> เป็นจริงสำหรับค่า <math>k\geq 12</math> ใด ๆ หากมีคำตอบสำหรับจำนวน <math>k</math> บาทที่มีเหรียญสี่บาทอยู่อย่างน้อยหนึ่งเหรียญ เพียงแค่เปลี่ยนเหรียญสี่บาทเป็นเหรียญห้าบาทหนึ่งเหรียญก็จะได้จำนวนเงิน <math>k+1</math> บาท หรือหากในคำตอบมีแต่เหรียญห้าบาท แล้ว <math>k</math> จำต้องเป็นพหุคูณของ 5 เพราะฉะนั้นต้องมีค่าเท่ากับ 15 เป็นอย่างน้อย เราจึงสามารถแทนเหรียญห้าบาทสามเหรียญเป็นเหรียญสี่บาทสี่เหรียญเพื่อให้ได้จำนวนเงิน <math>k+1</math> บาท ในกรณีแต่ละกรณีข้อความ <math>S(k+1)</math> เป็นจริง
เพราะฉะนั้น <math>S(k)</math> เป็นจริงสำหรับค่า <math>k\geq 12</math> ทุกค่าด้วยหลักการอุปนัย และการพิสูจน์จึงสมบูรณ์
แม้ <math>S(k)</math> จะเป็นจริงสำหรับค่า <math>k \in \{ 4, 5, 8, 9, 10 \}</math> ในตัวอย่างนี้ด้วย เราไม่สามารถดัดแปลงค่าต่ำสุด <math>12</math> ให้น้อยไปกว่านี้ได้อีกเป็นค่า <math>m</math> ในการพิสูจน์ข้างบน 
สำหรับ <math>m=11</math> กรณีฐานเป็นเท็จ 
สำหรับ <math>m=10</math> กรณีที่สองในขั้นตอนอุปนัยจะใช้ไม่ได้ (การแทนเหรียญห้าบาทเป็นเหรียญสี่บาททำไม่ได้) 
ส่วนสำหรับค่า <math>m</math> ที่น้อยกว่านี้ก็ไม่จำเป็นต้องเอ่ยถึงเลย
การอนุมานกับตัวนับมากกว่าหนึ่งตัว.
บางครั้งการใช้จำนวนธรรมชาติสองจำนวน "n" กับ "m" เพื่อพิสูจน์ข้อความข้อหนึ่งด้วยการทำกระบวนการอุปนัยซ้ำนั้นดีกว่า นั่นคือการพิสูจน์กรณีฐานและขั้นตอนอุปนัยบนตัวแปร "n" และในแต่ละขั้นตอนอุปนัยก็พิสูจน์อุปนัยบนตัวแปร "m" ด้วย ดูตัวอย่างได้ในการพิสูจน์สมบัติการสลับที่ (Proofs involving the addition of natural numbers) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ"การบวกจำนวนธรรมชาติ" การอ้างเหตุผลที่ซับซ้อนกว่านี้อาจมีตัวนับได้ถึงสามตัวหรือมากกว่า
การลดหลั่นอนันต์.
วิธีการการลดหลั่นอนันต์  เป็นรูปแบบหนึ่งของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ ปีแยร์ เดอ แฟร์มา ใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความ "Q"("n") ข้อหนึ่งเป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ "n" ทุกจำนวน รูปแบบดั้งเดิมประกอบไปด้วยการแสดงว่าถ้า "Q"("n") เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ "n" ค่าหนึ่งก็จะเป็นจริงสำหรับค่า "m" ที่น้อยกว่า "n" โดยแท้ แต่เพราะลำดับของจำนวนธรรมชาติที่มีค่าลดหลั่นลงอย่างไม่สิ้นสุดไม่มีอยู่จริงจึงทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปไม่ได้ และดังนั้นจึงเป็นการแสดง (โดยข้อขัดแย้ง) ว่า "Q"("n") ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับค่า "n" ใด ๆ
เราสามารถพิสูจน์ยืนยันความสมเหตุสมผลของวิธีการนี้ได้จากหลักปกติของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ด้วยการใช้การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์กับข้อความ "P"("n") ซึ่งถูกนิยามไว้ว่า "Q"("m") เป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ "m" ทุกค่าที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ "n"" จึงแสดงว่า "P"("n") เป็นจริงสำหรับ "n" ทุกค่า ซึ่งแปลว่า "Q"("n") เป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ "n" ทุกจำนวน
การอุปนัยตัวเติมหน้า.
รูปแบบของการพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่พบได้ทั่วไปที่สุดมีความจำเป็นให้พิสูจน์ในขั้นตอนอุปนัยว่า
<math>\forall k (P(k) \to P(k+1))</math>
ซึ่งต่อจากนั้นหลักการอุปนัยจะ "ทำโดยอัตโนมัติ" (automate) การใช้ขั้นตอนนี้จำนวน "n" ครั้งเพื่อไปจาก "P"(0) สู่ "P"("n") นี่เรียกได้ว่าเป็น "การอุปนัยตัวนำหน้า" เพราะในแต่ละขั้นตอนก็เป็นการพิสูจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเลขตัวหนึ่งจากบางสิ่งที่เกี่ยวกับเลขที่นำหน้าเลขตัวนั้น
สิ่งหนึ่งซึ่งได้รับความสนใจในเรื่องความซับซ้อนในการคำนวณคือ "การอุปนัยตัวเติมหน้า"  ซึ่งเป็นการพิสูจน์ข้อความดังต่อไปนี้ในขั้นตอนอุปนัย 
<math>\forall k (P(k) \to P(2k) \land P(2k+1))</math>
หรือซึ่งสมมูลกัน
<math>\forall k \left(P \left(\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor \right) \to P(k) \right)</math>
แล้วหลักการอุปนัยจึง "ทำโดยอัตโนมัติ" การใช้การอนุมานนี้จำนวน log "n" ครั้งเพื่อไปจาก "P"(0) สู่ "P"("n") ที่เรียกว่า "การอุปนัยตัวเติมหน้า" เพราะแต่ละขั้นตอนเป็นการพิสจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเลขตัวหนึ่งจากบางสิ่งที่เกี่ยวกับ "ตัวเติมหน้า" (prefix) ของเลขตัวนั้นซึ่งถูกสร้างขึ้นจากการตัดปลายบิต (bit) ส่วนต่ำของการแทนเลขแบบฐานสอง และยังสามารถมองเป็นการประยุกต์การอุปนัยแบบดั้งเดิมกับความยาวของการแทนแบบฐานสอง
หากการอุปนัยตัวนำหน้าถูกตีความทางคำนวณว่าเป็นวงวน (loop) "n" ขั้นตอนแล้ว การอุปนัยตัวเติมหน้าก็จะสมนัยกับวงวน log "n" ขั้นตอน เพราะฉะนั้นการพิสูจน์โดยใช้การอุปนัยตัวเติมหน้าจึง "สรรค์สร้างอย่างเป็นไปได้" (feasibly constructive) มากกว่าการพิสูจน์ซึ่งใช้การอุปนัยตัวนำหน้า
การอุปนัยตัวนำหน้าสามารถจำลองการอุปนัยตัวเติมหน้ากับข้อความเดียวกันได้อย่างชัด การอุปนัยตัวเติมหน้าสามารถจำลองการอุปนัยตัวนำหน้าได้แต่ต้องแลกมาด้วยการทำให้วากยสัมพันธ์ของข้อความซับซ้อนขึ้น (เพิ่มตัวบ่งปริมาณทั้งหมดซึ่งมีขอบเขต) ผลลัพธ์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ของการอุปนัยตัวเติมหน้ากับการคำนวณซึ่งใช้เวลาพหูพจน์ (polynomial time) จึงขึ้นอยู่กับการเอาตัวบ่งปริมาณซึ่งไม่มีขอบเขตออกไปทั้งหมดและการจำกัดจำนวนการสับเปลี่ยนระหว่างตัวบ่งปริมาณทั้งหมดซึ่งมีขอบเขตกับตัวบ่งปริมาณบางตัวที่อนุญาตให้ทำในข้อความ
การอุปนัยอย่างเข้ม.
รูปแบบอื่นอีกรูปหนึ่งเรียกว่า การอุปนัยอย่างเข้ม  (ในทางตรงกันข้าม รูปแบบของการอุปนัยที่ได้กล่าวไปก่อนหน้านี้บางครั้งเรียกว่า การอุปนัยอย่างอ่อน (weak induction)) ทำให้ขั้นตอนอุปนัยพิสูจน์ได้ง่ายขึ้นด้วยการใช้สมมติฐานที่แรงขึ้น: เราพิสูจน์ข้อความ #เปลี่ยนทาง ภายใต้สมมติฐานว่า "P"("n") เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ "n" ทุกจำนวนซึ่งน้อยกว่า #เปลี่ยนทาง ในขณะที่รูปแบบพื้นฐานของการอุปนัยสมมุติเพียงแค่ว่า "P"("m") เป็นจริง ชื่อ "การอุปนัยอย่างเข้ม" ไม่หมายความว่าวิธีนี้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้เยอะกว่า "การอุปนัยแบบอ่อน" แต่หมายถึงเพียงสมมติฐานที่ถูกใช้ในขั้นตอนอุปนัยที่แรงขึ้น
ความจริงแล้วเราสามารถแสดงให้เห็นว่าทั้งสองวิธีนั้นสมมูลกันตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง ในการอุปนัยอย่างเข้มยังต้องพิสูจน์กรณีฐาน "P"(0) และอาจจำเป็นต้องพิสูจน์กรณีฐานเพิ่มเติมด้วยเช่น "P"(1) ก่อนที่การอ้างเหตุผลจะใช้ได้ อย่างเช่นในตัวอย่างของจำนวนฟีโบนัชชี "Fn" ด้านล่าง
แม้การอุปนัยอย่างเข้มต้องพิสูจน์กรณีฐาน เราไม่จำเป็นต้องพิสูจน์หากสามารถพิสูจน์ "P"("m") (โดยสมมติ "P"("n") สำหรับค่า "n" ที่น้อยกว่าทุกค่า) ได้สำหรับค่า #เปลี่ยนทาง ทุกตัว นี่เป็นกรณีพิเศษของการอุปนัยเชิงอนันต์อย่างที่อธิบายไว้ด้านล่าง ในรูปแบบนี้กรณีฐานถูกรวมอยู่ในกรณี #เปลี่ยนทาง ซึ่ง "P"(0) ถูกพิสูจน์โดยไม่มีการสมมติ "P"("n") อื่น เราอาจต้องจัดการกับกรณีนี้แยกไปแต่บางครั้งการอ้างเหตุผลเดียวกันใช้ได้กับ "m" = 0 และ #เปลี่ยนทาง ซึ่งทำให้การพิสูจน์เรียบง่ายและสวยงามกว่า อย่างไรก็ตามสิ่งที่สำคัญคือต้องมั่นใจว่าการพิสูจน์ "P"("m") ไม่ได้สมมติโดยนัยว่า #เปลี่ยนทาง เช่นด้วยการบอกว่า "เลือกจำนวน #เปลี่ยนทาง ค่าหนึ่ง" หรือด้วยการสมมติว่าเซตซึ่งมีสมาชิกจำนวน "m" มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัว
การอุปนัยอย่างเข้มสมมูลกับการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบธรรมดาอย่างที่อธิบายไว้ด้านบนในแง่ที่สามารถแปลงการพิสูจน์ด้วยวิธีการหนึ่งไปเป็นการพิสูจน์ด้วยอีกวิธีได้ สมมุติว่ามีการพิสูจน์ "P"("n") ด้วยการอุปนัยอย่างเข้ม ให้ Q("n") หมายถึง ""P"("m") เป็นจริงสำหรับค่า "m" ใด ๆ โดยที่ #เปลี่ยนทาง " แล้ว Q("n") จะเป็นจริงสำหรับ "n" ทุกค่าก็ต่อเมื่อ P("n") เป็นจริงสำหรับ "n" ทุกค่า และการพิสูจน์ "P"("n") ของเราก็ถูกแปลงเป็นการพิสูจน์ Q("n") ได้อย่างง่ายดายด้วยการอุปนัย (แบบธรรมดา) ในทางกลับกันหาก "P"("n") ได้ถูกพิสูจน์โดยการอุปนัยธรรมดาแล้ว การพิสูจน์นั้นกลายเป็นอันที่ทำด้วยการอุปนัยแบบเข้มแล้วโดยประสิทธิผล: "P"(0) ถูกพิสูจน์ในกรณีฐานโดยไม่ใช้สมมติฐานและ #เปลี่ยนทาง ถูกพิสูจน์ในขั้นตอนอุปนัยแล้วซึ่งอาจมีการสมมุติกรณีก่อนหน้านี้ทั้งหมดแต่ต้องใช้เพียงกรณี "P"("n") เท่านั้น
ตัวอย่าง: จำนวนฟีโบนัชชี.
การอุปนัยอย่างเข้มมีประโยชน์เมื่อต้องใช้สมมติฐานอุปนัยหลาย ๆ รอบต่อขั้นตอนอุปนัยขั้นตอนหนึ่ง เช่นเราสามารถการอุปนัยอย่างเข้มเพื่อแสดงให้เห็นว่า
<math> F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\varphi - \psi}</math> สำหรับทุก "n"
เมื่อ <math>F_n</math> เป็นจำนวนฟีโบนัชชีลำดับที่ "n", <math display="inline">\varphi = {{1 + \sqrt 5} \over 2}</math> (อัตราส่วนทอง) และ <math display="inline">\psi = {{1 - \sqrt 5} \over 2}</math> เป็นรากทั้งสองของพหุนาม <math>x^2-x-1</math> เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ข้างต้นด้วยการคำนวณ <math display="inline">F_{n+2}</math> ตรง ๆ หากเราสมมุติว่าเอกลักษณ์ดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ <math display="inline">F_{n+1}</math> และ <math display="inline">F_n</math> และใช้ข้อเท็จจริงว่า <math>F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}</math> สำหรับทุก <math>n \in \Bbb{N}</math> 
เพื่อให้การพิสูจน์โดยการอุปนัยอย่างเข้มเสร็จสมบูรณ์ เราจะต้องพิสูจน์เอกลักษณ์ในกรณีฐานสองกรณี ได้แก่ <math>n=0</math> และ <math display="inline">n=1</math> 
ตัวอย่าง: การแยกตัวประกอบเฉพาะ.
การพิสูจน์ด้วยการอุปนัยอย่างเข้มอีกอันหนึ่งใช้สมมติฐานว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวน <math>n</math> "ทุกค่าที่น้อยกว่า" พิจารณาข้อความที่ว่า "จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนซึ่งมากกว่า 1 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวนหรือมากกว่า" ซึ่งเป็นส่วน "การมีอย฿าจริง" (existence) ของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต ในการพิสูจน์ขั้นตอนอุปนัย สมมติฐานอุปนัยคือ "สำหรับค่า <math>m>1</math> ที่กำหนดมาให้ เราสมมติว่าข้อความเป็นจริงทุกจำนวนนับ <math>n>1</math> ซึ่งน้อยกว่า <math>m</math>" หาก <math>m</math> เป็นจำนวนเฉพาะแล้วมันเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะหนึ่งตัวอย่างแน่นอน และหากไม่ใช่แล้ว <math>m</math> จะเท่ากับผลคูณ <math>m=n_1 n_2</math> ตามนิยามของจำนวนประกอบ โดยตัวประกอบทั้งสองไม่เท่ากับ 1 ดังนั้นทั้ง <math>n_1, n_2 </math> จึงไม่เท่ากับ <math>m</math> เพราะฉะนั้นทั้งสองจึงมากกว่าหนึ่งและน้อยกว่า <math>m</math> เราสามารถใช้สมมติฐานอุปนัยกับ <math>n_1</math> และ <math>n_2</math> ดังนั้นทั้งสองแต่ละตัวเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ ฉะนั้น <math>m</math> เป็นผลคูณของผลคูณของจำนวนเฉพาะและจึงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเอง
ตัวอย่าง: กลับมาหาจำนวนเงินบาท.
เราจะดูการพิสูจน์ตัวอย่างเดียวกับด้านบน ครั้งนี้ด้วย "การอุปนัยอย่างเข้ม" แต่ข้อความยังคงเดิม:
<math>S(n): \,\,n\geq12 \to \,\exists\, a,b\in\mathbb{N}. \,\, n=4a+5b</math>
แต่ทว่าโครงสร้างและสมมติฐานของการพิสูจน์จะมีความแตกต่างเล็กน้อย เริ่มจากกรณีฐานที่ขยายจำนวนกรณี:
กรณีฐาน: แสดงให้เห็นว่า <math>S(k)</math> เป็นจริงสำหรับค่า <math>k=12,13,14,15</math>
 <math>\begin{align}
4 \cdot 3+5 \cdot 0=12\\
4 \cdot 2+5 \cdot 1=13\\
4 \cdot 1+5 \cdot 2=14\\
4 \cdot 0+5 \cdot 3=15
\end{align}</math>
ฉะนั้นกรณีฐานเป็นจริง
สมมติฐานอุปนัย: กำหนดจำนวน <math>j>15</math> ค่าหนึ่ง สมมติว่า <math>S(m)</math> เป็นจริงสำหรับค่า <math>m</math> ทุกค่าที่ <math>12\leq m< j</math>.
ขั้นตอนอุปนัย: จะพิสูจน์ว่า <math>S(j)</math> เป็นจริง
เลือกค่า <math>m=j-4</math> และสังเกตว่า <math>15< j \to 12\leq j-4<j</math> แสดงให้เห็นว่า <math>S(j-4)</math> เป็นจริงโดยสมมติฐานอุปนัย นั่นคือผลบวก <math>j-4</math> สามารถถูกสร้างขึ้นมาด้วยส่วนผสมของเหรียญ <math>4</math> และ <math>5</math> บาท แล้วดังนั้นเพียงแค่เพิ่มเหรียญ <math>4</math>บาทลงไปในกองเหรียญนั้น แล้วจะให้ผลบวกค่าเหรียญทั้งหมดเท่ากับ <math>j</math> นั่นคือ <math>S(j)</math> เป็นจริง ∎
การอุปนัยเดินหน้า-ถอยหลัง.
บางครั้งการพิสูจน์ถอยหลัง หรือการพิสูจน์ข้อความในกรณี <math>n-1</math> เมื่อทราบว่าข้อความเป็นจริงในกรณี <math>n</math> จะสะดวกกว่า อย่างไรก็ตามไม่มีเลขตัวใดเพียงตัวเดียวที่เหมาะสมจะเป็นกรณีฐานของการอุปนัยได้ เราต้องพิสูจน์ข้อความสำหรับเซตย่อยอนันต์ของจำนวนธรรมชาติบางตัวแทน เช่น โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชีใช้การอุปนัยเดินหน้า (หรือการอุปนัยปรกติ) เพื่อพิสูจน์อสมการมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต (inequality of arithmetic and geometric means) ในกรณีจำนวนตัวแปรเท่ากับกำลังของ 2 ทุกค่า แล้วใช้การอุปนัยถอยหลังเพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนด้วย 
ตัวอย่างของความผิดพลาดในขั้นตอนอุปนัย.
ขั้นตอนอุปนัยจะต้องถูกพิสูจน์สำหรับ "n" ทุกค่า เพื่อแสดงสิ่งนี้ให้เห็น โจเอล อี. โคเฮน ได้นำเสนอการอ้างเหตุผลว่าสามารถพิสูจน์ว่าม้าทุกตัวมีสีเดียวกัน (All horses are the same color) ได้ด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ดังต่อไปนี้:
กรณีฐาน <math>n=1</math> เป็นเรื่องธรรมดา (เพราะไม่ว่าม้าตัวไหนก็จะมีสีเดียวกับตัวมันเอง) และขั้นตอนอุปนัยถูกต้องในกรณีที่ <math>n > 1</math> ทุกกรณี แต่ทว่าตรรกะของขั้นตอนอุปนัยสำหรับค่า <math>n=1</math> ไม่ถูกต้องเพราะข้อความที่ว่า "ทั้งสองเซตเหลื่อมกัน" เป็นเท็จ (มีม้าเพียง <math>n+1=2</math> ตัวทั้งก่อนและหลังการเอาม้าตัวหนึ่งออกจากเซต เซตของม้าตัวเดียวจึงไม่เหลื่อมกัน)
การกำหนดรูปนัย {{anchor|สัจพจน์ของการอุปนัย}}.
เราสามารถเขียน "สัจพจน์ของการอุปนัย" ในตรรกะอันดับสอง (second-order logic) ได้ดังนี้:
 <math>\displaystyle\forall P\Bigl(P(0) \land \forall k \bigl(P(k) \to P(k+1)\bigr) \to \forall n \bigl(P(n)\bigr)\Bigr)</math>,
ซึ่ง "P"(.) เป็นตัวแปรของภาคแสดงซึ่งมีจำนวนธรรมชาติหนึ่งตัวเป็นตัวแปรและ "k" กับ "n" เป็นตัวแปรของจำนวนธรรมชาติ 
อธิบายได้ว่า กรณีฐาน "P"(0) และขั้นตอนอุปนัย (กล่าวคือ สมมติฐานอุปนัย "P"("k") นำไปสู่ "P"("k" + 1)) ทั้งสองข้อร่วมกันนำไปสู่ข้อความว่า "P"("n") เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ "n" ใด ๆ สัจพจน์ของการอุปนัยยืนยันความสมเหตุสมผลของการอนุมานว่า "P"("n") เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ "n" ใด ๆ จากกรณีฐานและขั้นตอนอุปนัย
ตัวบ่งปริมาณตัวแรกในสัจพจน์ครอบคลุมถึง"ภาคแสดง"แทนที่จะเป็นตัวเลขแต่ละตัว นี่เป็นตัวบ่งปริมาณอันดับสองซึ่งแปลว่าสัจพจน์นี้ถูกกล่าวในตรรกะอันดับสอง การกำหนดสัจพจน์การอุปนัยเลขคณิตในตรรกะอันดับหนึ่ง (first-order logic) จำเป็นต้องใช้เค้าร่างสัจพจน์ (axiom schema) ซึ่งประกอบไปด้วยสัจพจน์หนึ่งอันสำหรับภาคแสดงที่เป็นไปได้แต่ละภาคแสดง บทความสัจพจน์เปอาโน (Peano axioms) พูดถึงประเด็นนี้เพิ่มเติม
สัจพจน์ของการอุปนัยเชิงโครงสร้างสำหรับจำนวนธรรมชาติถูกกำหนดเป็นครั้งแรกโดยเปอาโน เขาใช้มันเพื่อระบุว่าระบบจำนวนธรรมชาติจะสอดคล้องกับสัพจน์ของการอุปนัยและสัจพจน์อื่นอีกสี่ข้อดังต่อไปนี้:
การบ่งปริมาณกับภาคแสดงทำไม่ได้ในทฤษฎีเซตแซร์เมโล-เฟรนเคิลอันดับหนึ่ง (Zermelo-Fraenkel set theory, ZF) แต่เราสามารถแสดงการอุปนัยด้วยการบ่งปริมาณกับเซต:
 <math>\forall A \Bigl(0 \in A \land \forall k \in \mathbb{N} \bigl(k \in A \to (k+1) \in A \bigr) \to \mathbb{N}\subseteq A\Bigr)</math>
เราสามารถอ่าน <math>A</math> เป็นเซตซึ่งแทนประพจน์และมีจำนวนธรรมชาติสำหรับที่ประพจน์เป็นจริง นี่ไม่ใช่สัจพจน์แต่เป็นทฤษฎีบทใน ZF หากนิยามจำนวนธรรมชาติในภาษาของทฤษฎีเซต ZF ด้วยสัจพจน์ที่คล้ายกับของเปอาโน
การอุปนัยเชิงอนันต์.
เราสามารถนำหลักการอุปนัยอย่างเข้มมาใช้กับข้อความเกี่ยวกับสมาชิกของเซตรากฐานดี (well-founded set) เซตใด ๆ ที่นอกเหนือไปจากเซตขอจำนวนธรรมชาติเท่านั้น นั่นคือเซตซึ่งมีความสัมพันธ์ไม่สะท้อน (irreflexive relation) ซึ่งไม่มีโซ่ลดหลั่นอนันต์ (infinite descending chain) เซตของจำนวนเชิงการนับเซตใด ๆ เป็นเซตรากฐานดีซึ่งรวมไปถึงเซตของจำนวนธรรมชาติ
เมื่อนำไปประยุกต์กับเซตรากฐานดีก็สามารถกำหนดรูปใหม่เป็นขั้นตอนเดียวได้ว่า:
เมื่อนำการอุปนัยรูปนี้ไปประยุกต์ใช้กับเซตของจำนวนเชิงอันดับที่แล้ว (ซึ่งทำให้เกิดคลาสอันดับดี (well-order) และจึงเป็นคลาสรากฐานดี) ก็จะเรียกว่า"การอุปนัยเชิงอนันต์" นี่เป็นเทคนิคการพิสูจน์ที่สำคัญในทฤษฎีเซต ทอพอโลยีและสาขาวิชาอื่น ๆ
การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงอนันต์โดยปกติแล้วจะจำแนกกรณีเป็นสามกรณี:
หากพูดให้ชัดเจน ไม่จำเป็นที่จะต้องพิสูจน์กรณีฐานในการอุปนัยเชิงอนันต์เพราะมันเป็นกรณีพิเศษว่างเปล่า (vacuous truth) ของประพจน์ว่าหาก "P" เป็นจริงสำหรับค่า {{nowrap|"n" < "m"}} ทุกค่าแล้ว "P" จะเป็นจริงสำหรับ "m" มันเป็นจริงอย่างว่างเปล่าก็เป็นเพราะว่าไม่มีค่า {{nowrap|"n" < "m"}} ค่าใดซึ่งสามารถทำหน้าที่เป็นตัวอย่างขัดแย้งได้
ความสัมพันธ์กับหลักการจัดอันดับดี{{anchor|การพิสูจน์การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์}}.
หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มักถูกระบุว่าเป็นสัจพจน์ข้อหนึ่งของจำนวนธรรมชาติ (ดูที่สัจพจน์เปอาโน) หลักการนี้แรงกว่าหลักการจัดอันดับดี (Well-ordering principle) หากกำหนดสัจพจน์เปอาโนข้ออื่น ๆ มาด้วย 
สมมุติข้อความดังต่อไปนี้:
สามารถพิสูจน์ด้วยสัจพจน์ที่สมมติไว้ด้านบนได้ว่า ถ้าการอุปนัยเป็นจริง แล้วการจัดอันดับดีเป็นจริง การพิสูจน์ต่อไปนี้ใช้การอุปนัยอย่างเข้มและสัจพจน์ข้อที่หนึ่งและสี่
"การพิสูจน์" สมมติว่ามีเซตของจำนวนธรรมชาติ "S" ที่ไม่มีสมาชิกเล็กสุดซึ่งไม่ว่างอยู่ ให้ "P"("n") เป็นข้อความว่า "n" ไม่อยู่ใน "S" แล้ว "P"(0) จะเป็นจริงเพราะไม่เช่นนั้น "0" ก็จะกลายเป็นสมาชิกเล็กสุดของ "S" จากนั้นให้ "n" เป็นจำนวนธรรมชาติและสมมติว่า "P"("m") เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ "m" ทุกตัวที่มีค่าน้อยกว่า "n"+1 ฉะนั้นหาก "P"("n"+1) เป็นเท็จ "n"+1 จะอยู่ใน "S" และจึงเป็นสมาชิกน้อยสุดของ "S" ซึ่งเป็นการขัดแย้ง ดังนั้น "P"("n"+1) จึงเป็นจริง เพราะฉะนั้น "P"("n") เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ "n" ทุกตัวโดยหลักการอุปนัยอย่างเข้ม และ "S" จึงเป็นเซตว่างซึ่งก็เป็นการขัดแย้ง ∎
ในทางกลับกันเซต {(0,"n"): "n"∈ℕ} ∪ {(1,"n"): "n"∈ℕ} ซึ่งแสดงอยู่ในรูปมีอันดับดี{{rp|35lf}}โดยอันดับพจนานุกรม (lexicographic order) มากไปกว่านั้นยังสอดคล้องกับสัจพจน์เปอาโนทุกประการยกเว้นสัจพจน์อุปนัย โดยค่าคงตัว 0 ของเปอาโนถูกตีความเป็นคู่อันดับ (0,0) และฟังก์ชัน"ตัวตามหลัง"ของเปอาโนถูกนิยามไว้สำหรับคู่อันดับเป็น "succ"("x","n")=("x","n"+1) สำหรับ "x"∈{0,1} และ "n"∈ℕ ทุกตัว เพื่อเป็นตัวอย่างสำหรับการฝ่าฝืนสัจพจน์อุปนัยให้นิยามภาคแสดง "P"("x","n") เป็น ("x","n")=(0,0) หรือ ("x","n")=("succ"("y","m")) สำหรับ "y"∈{0,1} และ "m"∈ℕ บางตัว แล้วกรณีฐาน "P"(0,0) จะเป็นจริงโดยธรรมดาและขั้นตอนอุปนัยก็เป็นจริงด้วย: หาก "P"("x","n") แล้ว "P"("succ"("x","n")) แต่ทว่ากลับไม่เป็นจริงสำหรับคู่อันดับทุกคู่ในเซต
สัจพจน์ของเปอาโนกับหลักการอุปนัยเป็นโมเดลของจำนวนธรรมชาติเพียงแบบเดียว การเปลี่ยนหลักการอุปนัยเป็นหลักการจัดอันดับดีทำให้สามารถสร้างโมเดลที่แตกต่างออกไปซึ่งยังสอดคล้องกับสัจพจน์ทุกประการ
ในหนังสือและแหล่งข้อมูลหลายแห่งใส่ข้อมูลที่ผิดพลาดไว้ว่าหลักการจัดอันดับดีนั้นสมมูลกับสัจพจน์อุปนัย แต่ทว่านี่ไม่เป็นจริงในบริบทของสัจพจน์เปอาโนข้ออื่น ๆ แต่ในสัจพจน์อื่น ๆ จะสมมูลกัน หลักการจัดอันดับดีบอกเป็นนัยสัจพจน์อุปนัยในบริบทของสัจพจน์ซึ่งเรียงลำดับไว้ด้านบนสองข้อแรกและ
ข้อผิดพลาดซึ่งพบได้บ่อยในการพิสูจน์ซึ่งเข้าใจผิดคือการสมมติว่า {{nowrap|"n" − 1}} เป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นได้อย่างเดียวและถูกนิยามไว้อย่างดีซึ่งเป็นคุณสมบัติที่สัจพจน์เปอาโนข้ออื่น ๆ ไม่ได้บอกเป็นนัย