เกรเดียนต์

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์  คือการดำเนินการกับฟังก์ชันหลายตัวแปร <math>f</math> ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีค่าเป็นสเกลาร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือสนามเวกเตอร์ <math>\nabla f</math> ที่ค่าที่แต่ละจุดจะชี้ไปในทิศทางที่ <math>f</math> มีค่ามากขึ้นที่สุด และขนาดของเวกเตอร์เท่ากับอัตราการเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น ๆ เรียกสนามเวกเตอร์นี้ว่า เกรเดียนต์ของ <math>f</math>สัญลักษณ์ <math>\nabla</math> เรียกว่า"สัญลักษณ์นาบลา" (nabla) หรือ "เดล" (del)
เนื่องจากเกรเดียนต์ระบุทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นมากที่สุด และทิศทางตรงกันข้ามของเกรเดียนต์ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยที่สุด เกรเดียนต์จึงมีความสำคัญในวิชาการหาค่าเหมาะที่สุด เพื่อหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน <math>f</math> ด้วยขั้นตอนวิธีการเคลื่อนลงตามความชัน (gradient descent)
แนวคิดจูงใจของเกรเดียนต์.
พิจารณาห้องที่อุณหภูมิภายในกำหนดด้วยฟังก์ชันค่าสเกลาร์ <math>T</math> นั่นคือที่จุด <math>(x, y, z)</math> อุณหภูมิที่ตำแหน่งนั้นคือ <math>T(x, y, z)</math> และเป็นอิสระจากเวลา 
เกรเดียนต์ของ <math>T</math> ที่จุด <math>(x, y, z)</math> จะบอกทิศทางที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดเมื่อเดินทางออกจากจุด <math>(x, y, z)</math> และขนาดของเกรเดียนต์จะระบุอัตราเร็วที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น
พิจารณาพื้นผิวที่ความสูงจากระดับน้ำทะเลที่จุด <math>(x, y)</math> กำหนดโดยฟังก์ชัน <math>H(x,y)</math> เกรเดียนต์ของ <math>H</math> ที่จุด <math>(x, y)</math> จะเป็นเวกเตอร์ที่ชี้บอกทิศทางที่ชันมากที่สุดจากจุดนั้น และความชันจะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์เกรเดียนต์ 
นอกจากนี้ เกรเดียนต์ยังสามารถใช้วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันค่าสเกลาร์ในทิศทางอื่นนอกเหนือไปจากทิศทางของเกรเดียนต์เอง โดยการหาผลคูณจุด สมมติว่าความชันสูงสุดที่จุด ๆ หนึ่งบนเนินเขาเท่ากับ 40% ถนนขึ้นเนินที่ทำมุมอื่น ๆ ย่อมจะมีความชันน้อยกว่า เราสามารถหาความชันได้โดยหาผลคูณจุดระหว่างเกรเดียนต์ที่จุดที่สนใจ และเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามทิศทางของถนน 
โดยทั่วไปกว่านั้น ถ้าฟังก์ชัน <math>H</math> ที่ระบุความสูงของเนิน เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วเกรเดียนต์ของ <math>H</math> คูณสเกลาร์กับเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับความชันของเนินในทิศทางนั้น หรือก็คืออนุพันธ์ระบุทิศทางของ <math>H</math> ในทิศทางของเวกเตอร์หน่วยนั้น
สัญลักษณ์ที่ใช้.
เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน <math>f</math> ที่จุด <math>a</math> นิยมเขียนแทนด้วย <math>\nabla f (a)</math> แต่อาจจะมีสัญลักษณ์อื่น ๆ เช่น
นิยาม.
เกรเดียนต์ ของฟังก์ชันสเกลาร์ <math>f(x_1, \dotsc, x_n)</math> เขียนแทนด้วย <math>\nabla f</math> หรือ <math>\vec{\nabla} f</math> นิยามให้เป็นสนามเวกเตอร์ซึ่งมีเพียงแบบเดียวที่ผลคูณจุดกับเวกเตอร์ <math>\mathbf{v}</math> ที่จุด <math>x</math> จะเท่ากับอนุพันธ์ระบุทิศทางของ <math>f</math> ไปตาม <math>\mathbf{v}</math> นั่นคือ <math display="block">\big(\nabla f(x)\big)\cdot \mathbf{v} = D_{\mathbf v}f(x)</math>
เมื่อพจน์ทางขวามือคืออนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน <math>f</math> ในทางรูปนัยเราจะกล่าวว่าการหาอนุพันธ์เป็น "ดูอัล" ของเกรเดียนต์ มีวิธีการหาค่าของเกรเดียนต์หลายวิธีซึ่งเสนอไว้ด้านล่าง
สัญลักษณ์ <math>\nabla</math> เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สำหรับเวกเตอร์
ขนาดและทิศทางของเกรเดียนต์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดที่ใช้
ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน.
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติพร้อมกับเมตริกแบบยูคลิด เกรเดียนต์ถ้ามีค่าจะเป็นไปตามสมการ
<math display="block">\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}</math>
เมื่อ i, j, k เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานในทิศทางของระบบพิกัด "x", "y" และ "z" ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน <math display="block">f(x,y,z)= 2x+3y^2-\sin(z)</math> คือ <math display="block">\nabla f(x, y, z) = 2\mathbf{i}+ 6y\mathbf{j} -\cos(z)\mathbf{k}</math> หรือเขียนแทนด้วย<math display="block">\nabla f(x, y, z) = 
 2 \\
 6y \\
 -\cos z
</math>
ในบางการใช้งานนิยมเขียนเกรเดียนต์เป็นเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์หลัก