ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ  มีค่าเท่ากับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริง "x" หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะเป็นฟังก์ชันที่หาว่า "x" เป็นจำนวนเฉพาะลำดับที่เท่าไร เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ π("x")
ประวัติศาสตร์.
หัวข้อที่เป็นที่สนใจอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนคืออัตราการเจริญเติบโต ของฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 18 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ และโดยอาดรีแย็ง-มารี เลอฌ็องดร์ เสนอว่าข้อความคาดการณ์ว่า π("x") จะมีค่าใกล้เคียงกลับ
<math> \frac x {\log(x)} </math>
เมื่อฟังก์ชันลอการิทึมข้างต้นเป็นฟังก์ชันลอการิทึมฐานธรรมชาติ ในความหมายที่ว่า
<math>\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log(x)}=1 </math>
ข้อความข้างต้นรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (prime number theorem) โดยสมมูลกันกับ
<math>\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1</math>
เมื่อ li(x) คือฟังก์ชันอินทิกรัลลอการิทึม ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะพิสูจน์ได้ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1896 โดย ฌัก อาดามาร์ และโดย ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง อย่างอิสระต่อกัน โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันซีตาของรีมันที่ แบร์นฮาร์ท รีมัน เสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1859 บทพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช้ฟังก์ชันซีตาหรือไม่ใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนมีขึ้นในราวปี ค.ศ. 1948 โดย อัตเลอ เซลแบรก์ และโดย พอล แอร์ดิช (โดยงานเกือบทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน)
ในปี ค.ศ. 1899 ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง ได้พิสูจน์ว่า#เปลี่ยนทาง 
<math> \pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty</math>
สำหรับค่าคงที่บวก a บางจำนวน โดยที่ "O"(...) คือ สัญกรณ์โอใหญ่
ตอนนี้ทราบค่าประมาณของ <math>\pi(x)\!</math> ที่แม่นยำยิ่งขึ้นแล้ว ตัวอย่างเช่น ในปี ค.ศ. 2002 เควิน ฟอร์ด ได้พิสูจน์ว่า
<math>\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left(-0.2098(\log x)^\frac35 (\log \log x)^{-\frac 1 5} \right) \right)</math>
จากการพิสูจน์ของ Mossinghoff และ Trudgian ขอบเขตบนชัดแจ้งสำหรับผลต่างระหว่างฟังก์ชัน <math>\pi(x)</math> และ <math>\operatorname{li}(x)</math> เป็นไปตามสมการ
<math>\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2593 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left(-\sqrt{ \frac{\log x}{6.315} } \right)</math>
สำหรับ <math>x \ge 229</math>
สำหรับค่าส่วนใหญ่ของ <math>x</math> ที่เราสนใจ (เช่น เมื่อ <math>x</math> ไม่มีค่ามากเกินไป) <math>\operatorname{li}(x)</math> จะมีค่ามากกว่า <math>\pi(x)</math> อย่างไรก็ตามฟังก์ชัน <math> \pi(x) - \operatorname{li}(x)</math> เป็นที่ทราบกันว่ากลับค่าระหว่างบวกและลบเป็นอนันต์ครั้ง สำหรับการพิจารณาในเรื่องนี้ โปรดดูที่ จำนวนสกีว
รูปแบบแม่นตรง.
สำหรับ <math>x>1</math> ให้ <math>\pi_0 (x)=\pi(x)-1/2</math> เมื่อ <math>x</math> เป็นจำนวนเฉพาะ มิฉะนั้นแล้ว <math>\pi_0 (x)=\pi(x)</math> บทพิสูจน์ของแบร์นฮาร์ท รีมันที่มีความสำคัญอย่างยิ่งคือการพิสูจน์ค่าสมมูลกับ <math>\pi_0(x)</math>
<math>\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) </math>
เมื่อ
<math>\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n})</math>
โดยที่ "μ"("n") คือ ฟังก์ชันเมอบิอุส, li("x") คือ ฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม, "ρ" เป็นดรรชีสำหรับทุกรากของฟังก์ชันซีตาของรีมัน และ li("xρ/n") ไม่ได้หาค่าจากการสร้าง branch cut แต่หาค่าจาก โดยที่ Ei("x") คือฟังก์ชันปริพันธ์เลขชี้กำลัง 
ถ้าหากไม่พิจารณารากชัดแจ้งของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และพิจารณาผลรวมจากรากที่ไม่ชัดแจ้ง แล้ว <math>\pi_0(x)</math> สามารถประมาณค่าได้โดย
<math>\pi_0(x) \approx \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac{1}{\log{x}} + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\log{x}}} .</math>
สมมติฐานของรีมันน์เสนอว่าทุกรากที่ไม่ใช่รากชัดแจ้งจะสอดคล้องกับ Re("s") = 1/2
ตารางของ π("x"), "x" / log "x" และ li("x").
ตารางแสดงฟังก์ชัน π("x"), "x" / log "x" และ li("x") เปรียบเทียบที่ตัวแปร "x" ยกกำลัง 10 ดูเพิ่มเติม และ