อนุกรม

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรม  คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น <math>\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, ...</math> อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ <math>a_1 + a_2 + a_3 + ...</math> อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ <math>\{1/2^n\}</math>
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots</math>
พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้างขึ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพาะ เช่นโดยสูตรคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธี ลำดับของการวัด หรือแม้แต่การสุ่มจำนวน และเนื่องจากพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอาจเรียกว่าเป็น อนุกรมไม่จำกัด หรือ อนุกรมอนันต์(infinite series) อนุกรมจำเป็นต้องมีเครื่องมือจากคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะทำความเข้าใจและเพื่อให้สามารถจัดการปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวมที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์
สมบัติพื้นฐาน.
อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้
กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง <math>\{a_n\}</math> เรานิยามให้
<math>S_N =\sum_{n=0}^N a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_N</math>
เราเรียก <math>S_N</math> ว่าเป็น "ผลรวมบางส่วน" "N" พจน์ ของลำดับ <math>\{a_n\}</math>ของ อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน <math>\{S_N\}</math>
ความสับสนที่อาจเกิดขึ้น.
เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ <math>\{S_N\}</math> ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง "ผลรวมของอนุกรม" อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบท
<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
เพื่อที่จะแยกแยะความแตกต่างของทั้งสองความหมายนี้ จึงมีการซ่อนขอบเขตบนและล่างเครื่องหมายผลรวม เช่น
<math>\sum a_n</math>
หมายถึงผลรวมของอนุกรม ซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้
อนุกรมลู่เข้าและลู่ออก.
อนุกรม ∑<math>a_n</math> จะเรียกว่า "ลู่เข้า" (converge) เมื่อลำดับ <math>\{S_N\}</math> ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ <math>S_N</math> เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า "ลู่ออก" (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น "ผลรวมของอนุกรม"
<math>\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n</math>
วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ <math>a_n</math> ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากผลรวมบางส่วนของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรม ลองพิจารณาตัวอย่างนี้
<math>1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots</math>
อนุกรมนี้อาจ "มองว่า" เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว "เท่ากับ" 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า "มากที่สุด" คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2
นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้
<math>x = 0.111\dots</math>
เหมือนว่าเรากำลังพูดถึงอนุกรม <math>0.1 + 0.01 + 0.001 + ...</math> แต่เมื่ออนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าบนจำนวนจริงเสมอ การอธิบายอนุกรมก็เหมือนกับการอธิบายค่าที่แท้จริงของจำนวนนั้น (ดูเพิ่มที่ 0.999...)
<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {1 \over 2^n}</math>
ตัวอย่างอนุกรม.
และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต
<math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math>
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ <math>|z| < 1</math>
<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}</math>
อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมลู่ออก
<math>1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1) ^{n+1} {1 \over n}</math>
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^r}</math>
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ "r" > 1 และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ "r" ≤ 1 ในฐานะฟังก์ชันของ "r" ผลรวมของอนุกรมนี้คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
<math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math>
จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลำดับ <math>b_n</math> ลู่เข้าไปยังขอบเขต "L" ค่าหนึ่ง เมื่อ "n" มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และค่าของอนุกรมนี้จะเท่ากับ <math>b_1 - L</math>
สมบัติอื่น ๆ.
อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้โดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์ <math>a_n</math> (ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์ <math>a_n</math> (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมาย
พจน์ที่ไม่เป็นลบ.
เมื่อ <math>a_n</math> เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ "n" ดังนั้นลำดับ <math>S_N</math> ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑<math>a_n</math> ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ <math>S_N</math> ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขต
ตัวอย่างเช่น กำหนดให้
<math>\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}</math>
เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากอสมการ
<math>\frac1 {n^2} \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}, \quad n \ge 2</math>
และผลรวมเทเลสโคปทำให้สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตไว้ที่ 2
การลู่เข้าสัมบูรณ์.
กำหนดให้อนุกรมหนึ่ง
<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าหากอนุกรมของค่าสัมบูรณ์
<math>\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|</math>
ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งด้วย ซึ่งเป็นค่าเดียวกันกับอนุกรมแรก
การลู่เข้าตามเงื่อนไข.
อนุกรมจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น
<math>\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1) ^{n+1} \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots</math>
เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า <math>a_n</math> เป็นจำนวนจริง และ "S" ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ "S"
การทดสอบของอาเบล (Abel's test) เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข ถ้าหากอนุกรมนั้นอยู่ในรูปแบบ
<math>\sum a_n = \sum \lambda_n b_n</math>
เมื่อผลรวมบางส่วน <math>B_N = b_0 + ... + b_N</math> ถูกจำกัดขอบเขต, <math>\lambda_n</math> เป็นตัวจำกัดความแปรผัน และ <math>\lambda_n B_n</math> มีลิมิต
<math>\sup_N \Bigl| \sum_{n=0}^N b_n \Bigr| < \infty, \ \ \sum |\lambda_{n+1} - \lambda_n| < \infty\ \text{and} \ \lambda_n B_n \ \text{converges}</math>
แล้วอนุกรม ∑<math>a_n</math> จะลู่เข้า สิ่งนี้เป็นจริงในการลู่เข้ารายจุดของอนุกรมตรีโกณมิติ อาทิ
<math>\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin (n x)}{\ln n}</math>
โดยที่ <math>0 < x < 2\pi</math> วิธีการของอาเบลประกอบด้วยการเขียน <math>b_{n+1} = B_{n+1} - B_n</math> และกระทำการแปลงอย่างหนึ่งซึ่งคล้ายกับการหาปริพันธ์เป็นส่วน (เรียกว่าผลรวมเป็นส่วน) ซึ่งทำให้อนุกรม ∑<math>a_n</math> เปลี่ยนเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ได้ดังนี้
<math>\sum (\lambda_n - \lambda_{n+1}) \, B_n</math>