ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาคณิตวิเคราะห์ ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน  เป็นทฤษฎีบทที่ระบุเงื่อนไขที่เพียงพอที่ทำให้ฟังก์ชันสามารถหาอินเวอร์สได้บนย่านใกล้เคียงของจุดบางจุดในโดเมนของฟังก์ชัน เงื่อนไขดังกล่าวคือ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และไม่เท่ากับศูนย์ที่จุดนั้น" 
ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย
ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นจริงสำหรับปริภูมิและฟังก์ชันจำนวนมาก อาทิ ในกรณีที่ <math>f</math> เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์ หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค เป็นต้น
เนื้อความของทฤษฎีบท.
ทฤษฎีบทข้างต้นมีหลายแบบสำหรับเงื่อนไขแตกต่างกัน ด้านล่างเป็นรูปแบบหนึ่ง
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (สำหรับ <math>\R^n</math>) —  ให้ <math>A</math> เป็นสับเซตเปิดของ <math>\R^n</math> และ <math>f\colon A \to \R^n</math> เป็นฟังก์ชันในชั้น <math>C^r</math> หากอนุพันธ์รวม <math>Df(x)</math> สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด <math>p \in A</math> แล้วจะมีย่านใกล้เคียง <math>U</math> รอบจุด <math>p</math> ที่ทำให้ <math>f</math> ส่งเซต <math>U</math> ไปยังเซตเปิด <math>V \subseteq \R^n</math> อย่างหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และ <math>f^{-1}\colon V \to U</math> เป็นฟังก์ชันในชั้น <math>C^r</math> ด้วย
เงื่อนไขที่สมมูลกันกับ อนุพันธ์รวม <math>Df(x)</math> สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด <math>p \in A</math> คือ จาโคเบียนเมทริกซ์ <math> J_{f}(p) </math> ที่จุด <math> p </math> มีดีเทอร์มิแนนท์ไม่เป็นศูนย์
โดยใช้กฎลูกโซ่ จะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันนั้นจะเท่ากับ <math>D(f^{-1})(x) = (Df(x))^{-1}</math>
ในกรณีที่ <math>n = 1</math> และ <math>f</math> เป็นฟังก์ชันในชั้น <math>C^1</math> (นั่นคือ <math>f</math> หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) จะได้ทฤษฎีบทในแคลคูลัสตัวแปรเดียวดังนี้
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (สำหรับ <math> \R </math>) — ให้ <math> f\colon I \to \R </math> เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิด <math> I </math> และ <math> f </math> เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ <math> f'(p) \neq 0</math> สำหรับบาง <math>p \in I</math> แล้วจะได้ว่า <math> f </math> มีอินเวอร์ส และฟังก์ชันอินเวอร์สนั้นหาอนุพันธ์ได้ที่จุด <math> b = f(a) </math>
นอกจากนี้แล้ว <math> (f^{-1})'(b) = 1/f'(a) </math>
ตัวอย่าง.
พิจารณาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ <math>F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\!</math> กำหนดโดย
 <math>
F(x,y)=
 {e^x \cos y}\\
 {e^x \sin y}\\
</math>
เมทริกซ์จาโคเบียนของ <math>
F
</math> คือ
 <math>
J_F(x,y)=
 {e^x \cos y} & {-e^x \sin y}\\
 {e^x \sin y} & {e^x \cos y}\\
</math>
โดยมีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ
 <math>
\det J_F(x,y)=
e^{2x} \cos^2 y + e^{2x} \sin^2 y=
\,\!</math>
จะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนท์ <math>e^{2x}\!</math> ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันจึงยืนยันได้ว่า ทุก ๆ จุด <math>
p \in \R^2</math> จะมีย่านใกล้เคียงของ <math>
p</math> ที่ทำให้ <math>
F</math> หาอินเวอร์สได้ แต่ไม่ได้หมายความว่า <math>
F</math> จะหาอินเวอร์สได้บนโดเมนทั้งหมด ทั้งนี้เพราะว่า <math>
F</math> ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยซ้ำ (เพราะ <math>F(x,y)=F(x,y+2\pi)\!</math> ดังนั้น <math>
F</math> เป็นฟังก์ชันคาบ)
ตัวอย่างค้านเมื่อสละเงื่อนไขบางส่วน.
ถ้าหากไม่มีเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้องต่อเนื่องแล้ว ทฤษฎีบทข้างต้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน <math>
f\colon \R \to \R</math> กำหนดโดย
<math>f(x) = x + 2x^2\sin(\tfrac1x)</math> และ <math>f(0)= 0</math> 
มีอนุพันธ์ที่ไม่ต่อเนื่องดังนี้ 
<math>f'(x) = \begin{cases} 1 -2\cos(\tfrac1x) + 4x\sin(\tfrac1x), & x \neq 0 \\ 1, & x= 0 \end{cases}</math> และมีจุดที่ทำให้ <math>f'(x) = 0</math> ทุก ๆ ย่านใกล้เคียงของ 0 
ที่จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน <math>f</math> ดังนั้น <math>f</math> จึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และหาอินเวอร์สไม่ได้ทุกช่วงที่มี <math>x = 0</math> 
หรืออีกนัยหนึ่ง เส้นความชัน <math>f'\!(0)=1</math> ไม่ได้กำกับหรือบังคับจุดใกล้เคียง ซึ่งเส้นโค้งความชันที่จุดนั้น ๆ จะสั่น (oscillate) เป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้
วิธีการพิสูจน์.
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันมีบทพิสูจน์ที่หลากหลาย บทพิสูจน์ส่วนใหญ่ใช้หลักการการส่งแบบหดตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค และเนื่องจากทฤษฎีบทจุดตรึงนั้นสามารถขยายนัยทั่วไปไปยังกรณีมิติเป็นอนันต์ (ในปริภูมิบานาค) ได้ ทำให้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันขยายนัยทั่วไปไปยังมิติอนันต์ได้
บทพิสูจน์แบบหนึ่งใช้ทฤษฎีบทค่าขีดสุดสำหรับฟังก์ชันบนเซตกระชับ
อีกบทพิสูจน์หนึ่งใช้ขั้นตอนวิธีของนิวตัน ซึ่งสามารถให้ค่าประมาณขนาดย่านใกล้เคียงที่ฟังก์ชันนั้นหาอินเวอร์สได้
การขยายนัยทั่วไป.
แมนิโฟลด์.
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทอยู่ในรูป
ให้ <math>F: M \to N</math> เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในชั้น <math>C^1</math>) หากดิฟเฟอเรนเชียลของ <math>F</math>
<math>dF_p: T_p M \to T_{F(p)} N</math>
เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่จุด <math>p</math> ใน <math>M</math> แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด <math>U</math> ของ <math>p</math> ที่ทำให้
 <math>F|_U: U \to F(U)</math>
เป็นอนุพันธสัณฐาน สังเกตว่าทฤษฎีบทข้างต้นยืนยันว่าส่วนเชื่อมโยงใน <math>M</math> และ <math>N</math> ที่มี <math>p</math> และ <math>F(p)</math> เป็นสมาชิกจะมีมิติเท่ากัน นอกจากนี้ถ้าอนุพันธ์ของ <math>F</math> เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานทุกจุด <math>p</math> ใน <math>M</math> แล้วการส่ง <math>F</math> จะเป็นอนุพันธสัณฐานเฉพาะที่ (local diffeomorphism)
ปริภูมิบานาค.
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถขยายไปยังการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค <math>X</math> และ "<math>Y</math>" ให้ <math>U</math> เป็นย่านใกล้เคียงเปิดของจุดกำเนิดใน <math>X</math> และ <math>F: U \to Y\!</math> เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และสมมติให้อนุพันธ์เฟรเช <math>dF_0: X \to Y\!</math> ของ <math>F</math> ที่จุด 0 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่มีขอบเขต แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด <math>V</math> ของ <math>F(0)\!</math> ใน <math>Y</math> และฟังก์ชัน <math>G: V \to X\!</math> ซึ่งเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ทำให้ <math>F(G(y)) = y</math> สำหรับทุก <math>y \in Y</math> 
ยิ่งไปกว่านั้น <math>G(y)\!</math> จะเป็นผลเฉลยเดียวที่เล็กเพียงพอสำหรับสมการ <math>F(x) = y\!</math>
แมนิโฟลด์บานาค.
การวางนัยทั่วไปข้างต้นสามารถนำมารวมกันได้เป็นทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับแมนิโฟลด์บานาค
ทฤษฎีบทแรงค์คงที่.
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายอาจมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะหนึ่งของทฤษฎีบทแรงค์คงที่ ซึ่งกล่วว่าการส่งเรียบที่มีแรงค์คงตัวใกล้จุด ๆ หนึ่งจะสามารถเขียนในรูปแบบปรกติใกล้จุด ๆ นั้นได้ หรืออีกนัยหนึ่ง หาก <math>F:M\to N</math> มีแรงค์คงตัวใกล้กับจุด <math>p\in M\!</math> แล้วจะมีช่วงเปิด <math>U</math> ของ <math>p</math> และ <math>V</math> ของ <math>F(p)</math> และอนุพันธสัณฐาน <math>u:T_pM\to U\!</math> และ <math>v:T_{F(p)}N\to V\!</math> ที่ทำให้ <math>F(U)\subseteq V\!</math> และอนุพันธ์ <math>dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N\!</math> มีค่าเท่ากับ <math>v^{-1}\circ F\circ u\!</math> ซึ่งก็คือ <math>F</math> ประพฤติตัวเหมือนเป็นอนุพันธ์ของมันเองใกล้ ๆ <math>p</math> ความเป็น semicontinuous ของฟังก์ชันแรงค์ส่งผลให้มีเซตปิดหนาแน่นบนโดเมนของ <math>F</math> ที่อนุพันธ์ดังกล่าวมีแรงค์คงตัว จึงทำให้ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ใช้ได้กับจุดใด ๆ บนโดเมน
เมื่ออนุพันธ์ของ <math>F</math> เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) ที่จุด <math>p</math> แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) บนย่านใกล้เคียงบางย่านของ <math>p</math> ด้วย ดังนั้นแรงค์ของ <math>F</math> จะคงตัวบนย่านนั้น จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทแรงค์คงตัวได้
ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก.
ถ้าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก <math>F</math> นิยามบนเซตเปิดของ <math>\C^n</math> ไปยัง <math>\C^n</math> และเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์เชิงซ้อนหาอินเวอร์สได้ที่จุด <math>p</math> แล้ว <math>F</math> จะเป็นฟังก์ชันหาอินเวอร์สได้ในบางบริเวณรอบ ๆ จุด <math>p</math> ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันค่าจริง และสามารถฟิสูจน์ได้ว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
ฟังก์ชันพหุนาม.
ถ้าข้อความคาดการณ์จาโคเบียนเป็นจริง ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ข้อความดังกล่าวกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันพหุนามค่าเวกเตอร์มีดีเทอร์มิแนนท์จาโคเบียนเป็นพหุนามที่หาอินเวอร์สได้ (ซึ่งก็คือเป็นพหุนามคงตัวที่ไม่เป็นพหุนามศูนย์) แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันพหุนามด้วย ปัจจุบันยังไม่ทราบว่าข้อความคาดการณ์ดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จแม้แต่ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว จึงเป็นปัญหาเปิดสำคัญในทฤษฎีของพหุนาม