ผลพวงเชิงตรรกะ

ผลพวงเชิงตรรกะ  เป็นแนวคิด (concept) พื้นฐานในวิชาตรรกศาสตร์ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ซึ่งเป็นจริงระหว่างข้อความเมื่อข้อความหนึ่ง"เป็นผลมาจาก"ข้อความอื่นหนึ่งข้อขึ้นไป การอ้างเหตุผลซึ่งมีตรรกะที่สมเหตุสมผลเป็นการอ้างเหตุผลซึ่งข้อสรุป (consequent) เป็นผลมาจากข้อตั้งเพราะข้อสรุปเป็นผลพวงมาจากข้อตั้ง การวิเคราะห์ (philosophical analysis) ผลพวงเชิงตรรกะในเชิงปรัชญาประกอบไปด้วยการตั้งคำถามเช่น: ข้อสรุปเป็นผลมาจากข้อนำในแง่อะไรไหน? และการที่ข้อสรุปเป็นผลพวงจากข้อนำหมายความว่าอะไร? ทั้งหมดทั้งมวลของตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา (Philosophical logic) ตั้งใจที่จะอธิบายธรรมชาติของผลพวงและความจริงเชิงตรรกะ (logical truth)
ผลพวงเชิงตรรกะจำเป็นและเป็นรูปนัย (formalism (philosophy of mathematics)) ตามตัวอย่างที่อธิบายโดยการพิสูจน์เชิงรูปนัย (formal proof) และตัวแบบการตีความ (interpretation (logic)) ประโยคหนึ่งเป็นผลพวงเชิงตรรกะของเซตของประโยคในภาษา (formal language) ที่กำหนดภาษาหนึ่งก็ต่อเมื่อประโยคนั้นจะเป็นจริงเมื่อประโยคทุกประโยคในเซตนั้นเป็นจริงโดยวิธีการทางตรรกะเท่านั้น (ไม่สนใจการตีความ"ส่วนตัว")
นักตรรกวิทยาให้คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะว่าด้วยภาษา <math>\mathcal{L}</math> ที่กำหนดอย่างละเอียด ไม่ว่าด้วยการสร้างระบบนิรนัย (deductive system) สำหรับ <math>\mathcal{L}</math> หรือด้วยการตีความที่ตั้งใจ (intended interpretation) เชิงรูปนัยสำหรับภาษา <math>\mathcal{L}</math> นักตรรกวิทยาชาวโปแลนด์ อัลเฟรด ทาร์สกี (Alfred Tarski) ได้ระบุลักษณะเฉพาะสามลักษณะของผลพวงเชิงตรรกะ: (1) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับรูปตรรกะ (logical form) ของประโยค (2) ความสัมพันธ์เป็นแบบก่อนประสบการณ์ (a priori and a posteriori) นั่นคือมันสามารถถูกระบุได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้หลักฐานเชิงประสบการณ์ (หลักฐานจากประสาทสัมผัส) และ (3) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะมีส่วนประกอบอัญรูป (modal logic)
คำอธิบายเชิงรูปนัย.
มุมมองเรื่องการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายที่สุดคือด้วยการอาศัยรูปแบบ นั่นหมายความว่าข้อความหนึ่งจะเป็นผลมาจากอีกข้อความหนึ่งหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับโครงสร้างหรือรูปตรรกะของข้อความนั้นโดยไม่สนใจถึงเนื้อหาซึ่งอยู่ในรูปนั้น
คำอธิบายเชิงวากยสัมพันธ์ของผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับเค้าร่างซึ่งใช้กฎการอนุมาน (inference rule) ตัวอย่างเช่นเราสามารถแสดงรูปตรรกะของการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลได้ว่า
 ทุก "X" เป็น "Y"
 ทุก "Y" เป็น "Z"
 เพราะฉะนั้น ทุก "X" เป็น "Z"
การอ้างเหตุผลอันนี้สมเหตุสมผลแบบรูปนัยเนื่องจากกรณี (Substitution (logic)) ของการอ้างเหตุผลซึ่งใช้เค้าร่างเช่นนี้ทุกกรณีนั้นสมเหตุสมผล
ซึ่งนี่ตรงกันข้ามกับการอ้างเหตุผลเช่น "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์ เพราะฉะนั้นสมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เพราะการอ้างเหตุผลแบบนี้ขึ้นอยู่กับความหมายของคำว่า "พี่ชาย" "ลูก" และ "หลาน" ข้อความ "สมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เป็นสิ่งที่เรียกว่าผลพวงเชิงเนื้อหา (material consequence) ของ "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์" และไม่ใช่ผลพวงรูปนัย (formal consequence) ผลพวงรูปนัยจำเป็นต้องเป็นจริง"ในทุกกรณี" แต่ทว่านี่คือนิยามของผลพวงรูปนัยที่ไม่สมบูรณ์เพราะแม้การอ้างเหตุผลว่า ""P" เป็นลูกของพี่ชายของ "Q" เพราะฉะนั้น "P" เป็นหลานของ "Q"" จะเป็นจริงในทุกกรณีก็ตามที แต่ก็ยังไม่ใช่การอ้างเหตุผล"รูปนัย"
คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะ.
เมื่อเรารู้ว่า <math>Q</math> เป็นผลโดยตรรกะมาจาก <math>P</math> แล้วความหมายของ <math>P</math> หรือ <math>Q</math> ที่เป็นไปได้อันใดก็ตามจะไม่ส่งผลใด ๆ ต่อความเป็นผลโดยตรรกะระหว่างทั้งสองที่เรารู้ ไม่มีความรู้เชิงประจักษ์ (A priori and a posteriori) ใดที่สามารถมีอิทธิพลต่อความรู้ของเราว่า <math>Q</math> เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ <math>P</math> เราสามารถรู้ว่าการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลแบบนิรนัยได้โดยไม่พึ่งประสบการณ์และจึงต้องสามารถรู้ได้ก่อนประสบการณ์ (a priori) อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถรับประกันได้ว่าผลพวงเชิงตรรกะไม่ได้รับอิทธิพลจากความรู้เชิงประจักษ์ได้ด้วยเพียงรูปแบบหรือความเป็นรูปนัย (formality) คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะจึงได้ถือว่าเป็นอิสระจากรูปแบบ
การพิสูจน์และตัวแบบ.
เทคนิคการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายสองแบบคือการแสดงแนวคิดในแง่ของ"การพิสูจน์" (proof) และผ่าน"ตัวแบบ" (model) ทฤษฎีการพิสูจน์ (proof theory) คือการศึกษาถึงผลพวงทางไวยากรณ์ (ของตรรกะอันหนึ่ง) ในขณะที่การศึกษาถึงผลพวงทางอรรถศาสตร์หรือทางความหมาย (ของตรรกะอันหนึ่ง) คือทฤษฎีตัวแบบ (model theory)
ผลพวงทางไวยากรณ์.
สูตรหรือ formula <math>A</math> เป็นผลพวงทางไวยากรณ์  ของเซตของสูตร <math>\Gamma</math> ในระบบรูปนัย <math>\mathcal{FS}</math> (formal system) ระบบหนึ่ง เมื่อมีการสืบสมุฏฐาน (formal proof) <math>A</math> จากเซตของ <math>\Gamma</math> ใน <math>\mathcal{FS}</math> 
<math>\Gamma \vdash_{\mathcal {FS} } A</math>
ผลพวงทางไวยากรณ์ไม่ขึ้นอยู่กับการตีความระบบรูปนัยในแบบใด ๆ
ผลพวงทางความหมาย.
สูตรหรือ formula <math>A</math> เป็นผลพวงทางความหมาย  ของเซตของข้อความ <math>\Gamma</math> ในระบบรูปนัย <math>\mathcal{FS}</math> ระบบหนึ่ง
<math>\Gamma \models_{\mathcal {FS} } A,</math>
ก็ต่อเมื่อไม่มีตัวแบบ <math>\mathcal{I}</math> ใด ๆ ที่ในนั้นสมาชิกของ <math>\Gamma</math> เป็นจริงแต่ <math>A</math> จะเป็นเท็จ หรือพูดอีกแบบหนึ่งคือ เซตของการตีความสมาชิกใน <math>\Gamma</math> ที่ทำให้ทั้งหมดเป็นจริงนั้นเป็นเซตย่อยของเซตของการตีความที่ทำให้ <math>A</math> เป็นจริง
คำอธิบายเชิงอัญรูป.
คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะทางอัญรูป (modal logic) เป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:
<math>\Gamma</math> <math>\vdash</math> <math>A</math> เป็นจริงก็ต่อเมื่อมัน"จำเป็น" ที่หากสมาชิกของ <math>\Gamma</math> ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว <math>A</math> เป็นจริง
ในทางกลับกัน (หรือคนส่วนใหญ่จะบอกว่าในทางเดียวกัน):
<math>\Gamma</math> <math>\vdash</math> <math>A</math> เป็นจริงก็ต่อเมื่อมัน"เป็นไปไม่ได้" ที่สมาชิกของ <math>\Gamma</math> ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว <math>A</math> เป็นเท็จ
คำอธิบายแบบนี้เป็น "เชิงอัญรูป" เพราะมันอาศัยความจำเป็นเชิงตรรกะ (logical truth) และความเป็นไปได้เชิงตรรกะ (logical possibility) ซึ่งเป็นแนวคิดเชิงอัญรูป 'มันจำเป็นที่' เป็นวลีที่มักถูกแสดงเป็นตัวบ่งปริมาณทั้งหมดบนโลกที่เป็นไปได้ (possible world) คำอธิบายด้านบนจึงสามารถแปลได้เป็น:
<math>\Gamma</math> <math>\vdash</math> <math>A</math> เป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่มีโลกที่เป็นไปได้ที่สมาชิกของ <math>\Gamma</math> ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว <math>A</math> เป็นเท็จ (ไม่จริง)
พิจารณาคำอธิบายเชิงอัญรูปในรูปของการให้เหตุผลซึ่งได้ให้ตัวอย่างไว้ด้านบน:
กบทุกตัวสีเขียว 
เคอร์มิตเป็นกบ 
เพราะฉะนั้น เคอร์มิตตัวสีเขียว
ข้อสรุปเป็นผลพวงเชิงตรรกะของข้อตั้งเพราะเราไม่สามารถจินตนาการถึงโลกที่เป็นไปได้ใด ๆ เลยที่ (ก) กบทุกตัวสีเขียว (ข) เคอร์มิตเป็นกบ แล้ว (ค) เคอร์มิตตัวสีไม่เขียว
คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัย.
คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัยรวมเอาคำอธิบายแบบรูปนัยและอัญรูปเข้าด้วยกันและให้ผลออกมาเป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:
<math>\Gamma</math> <math>\vdash</math> <math>A</math> ก็ต่อเมื่อหากมันเป็นไปไม่ได้ที่การอ้างเหตุผลซึ่งมีรูปตรรกะเดียวกันกับ <math>\Gamma</math>/<math>A</math> จะมีข้อตั้งที่เป็นจริงและข้อสรุปที่เป็นเท็จ
คำอธิบายบนเหตุผลสนับสนุน.
คำอธิบายซึ่งได้พิจารณาไว้ด้านบนทั้งหมดเป็นแบบ "ถนอมความจริง" (truth-preservational) ซึ่งหมายความว่าเป็นคำอธิบายที่ถือว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปเท็จที่มาจากข้อตั้งที่เป็นจริง แต่ในอีกทางหนึ่งคำอธิบายแบบ "ถนอมเหตุผลสนับสนุน" (warrant-preservational) ก็ถูกนำเสนอมาโดยบอกว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปที่ไม่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ซึ่งมาจากข้อตั้งที่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ และคำอธิบายนี้เป็นแบบที่นิยมโดยนักสหัชญาณนิยม (intuitionism) เช่น ไมเคิล ดัมเม็ตต์ (Michael Dummett)
ผลพวงเชิงตรรกะไม่เป็นทางเดียว.
คำอธิบายซึ่งถูกพิจารณาด้านบนทั้งหมดให้ผลเป็นความสัมพันธ์แบบผลพวงทางเดียว (Monotonicity of entailment) หรือก็คือแบบที่ถ้า <math>A</math> เป็นผลพวงของ <math>\Gamma</math> แล้ว <math>A</math> จะเป็นผลพวงของซูเปอร์เซตใด ๆ ของ <math>\Gamma</math> ด้วย เราสามารถระบุความสัมพันธ์แบบผลพวงไม่เป็นทางเดียว (Non-monotonic logic) เพื่อแสดงให้ดูว่าข้อความเช่น 'เจ้าขุนทองบินได้' เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ
{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก}
แต่ไม่เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ
{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก, เจ้าขุนทองเป็นนกเพนกวิน}
ดูเพิ่ม.
<templatestyles src="Div col/styles.css"/>