การให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย  เป็นวิธีการให้เหตุผลที่ข้อตั้งแสดงหลักฐาน"บางส่วน"ซึ่งสื่อถึงความเท็จจริงของข้อสรุป การให้เหตุผลแบบนี้อาจเรียกได้อีกแบบว่าการให้เหตุผลจากล่างขึ้นบน  การให้เหตุผลแบบอุปนัยยังถูกเรียกว่าเป็นวิธีการสังเคราะห์ความจริงแบบทั่วไปจากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้งและสิ่งที่ได้เรียนรู้มาจากผู้อื่น พจนานุกรมหลายเล่มนิยามการให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการหาหลักการทั่วไปด้วยการสังเกต แต่ว่ามีการให้เหตุผลแบบอุปนัยหลายแบบที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบนั้น
การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการสรุปจากหลักฐานที่มีซึ่งตรงกันข้ามกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย ความเท็จจริงของข้อสรุปจากการให้เหตุผลแบบอุปนัยจะมี"ความน่าจะเป็น"ซึ่งขึ้นกับหลักฐานในขณะที่ข้อสรุปจากการให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้นจะแน่นอนเมื่อข้อตั้งทุกข้อเป็นจริง ข้อสรุปหรือความจริงจากการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้นจึงไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง ข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากน้อยเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล หลักฐาน และข้อเท็จจริงที่นำมาอ้างอิง
ชนิด.
ชนิดของการให้เหตุผลแบบอุปนัยหลัก ๆ แล้วมีอยู่สามชนิดคือการวางนัยทั่วไป แนวเทียบ และการอนุมานเชิงสาเหตุ อย่างไรก็ตามทั้งสามนี้ยังถูกแบ่งย่อยลงไปเป็นประเภทต่าง ๆ อีก และถึงแม้แต่ละประเภทจะคล้ายกันแต่มีรูปแบบที่ต่างกัน
การวางนัยทั่วไป.
การวางนัยทั่วไป  (หรือการวางนัยทั่วไปแบบอุปนัย) เริ่มจากข้อตั้ง (premise) เกี่ยวกับกลุ่มตัวอย่าง (statistical sample) กลุ่มหนึ่งไปยังข้อสรุปเกี่ยวกับประชากร (statistical population) ข้อสังเกตซึ่งได้มาจากกลุ่มตัวอย่างจะถูกฉายลงบนกลุ่มประชากรที่กว้างกว่า
สัดส่วน Q ของกลุ่มตัวอย่างมีลักษณะ A
เพราะฉะนั้น:
สัดส่วน Q ของประชากรมีลักษณะ A
ตัวอย่างเช่น:
ในไหมีลูกบอลสีดำและสีขาว 20 ลูก เพื่อประมาณปริมาณของทั้งสองสี คุณหยิบตัวอย่างออกมาสี่ลูกแล้วได้สีดำสามลูกและสีขาวหนึ่งลูก เราจะวางนัยทั่วไปแบบอุปนัยว่าในไหมีลูกบอลสีดำ 15 ลูกและสีขาว 5 ลูก
ข้อตั้งจะสนับสนุนข้อสรุปมากเท่าใดขึ้นอยู่กับ (ก) ปริมาณของกลุ่มตัวอย่าง (ข) ปริมาณของประชากร และ (ค) ระดับที่กลุ่มตัวอย่างนั้นเป็นตัวแทนของประชากร (สามารถทำได้ด้วยวิธีการสุ่มตัวอย่าง) เหตุผลวิบัติจากการวางนัยทั่วไป (faulty generalization) เช่นการวางนัยทั่วไปเร็วเกินไปและความเอนเอียงในกลุ่มตัวอย่าง (sampling bias)
การวางนัยทั่วไปเชิงสถิติ.
การวางนัยทั่วไปเชิงสถิติ  เป็นการอ้างเหตุผลแบบอุปนัยชนิดหนึ่งที่ข้อสรุปเกี่ยวกับประชากรถูกอนุมานมาจากกลุ่มตัวอย่างซึ่งเป็นตัวแทนเชิงสถิติ (sample (statistics)) เช่น:
จากกลุ่มตัวอย่างแบบสุ่มของผู้ออกเสียงลงคะแนนขนาดใหญ่พอสมควร 66% สนับสนุนมาตรการ Z
เพราะฉะนั้นผู้ลงคะแนนเสียงประมาณ 66% สนับสนุนมาตรการ Z
การวัดแบบนี้มีความน่าเชื่อถืออยู่มากภายในขอบเขตของความคลาดเคลื่อนที่นิยามไว้อย่างชัดเจนตราบใดที่ตัวอย่างมีขนาดใหญ่และถูกสุ่ม เราสามารถวัดความน่าเชื่อของมันได้ทันที ให้เปรียบเทียบการให้เหตุผลก่อนหน้ากับดังต่อไปนี้: "หกในสิบคนในชมรมหนังสือของฉันเป็นพวกอิสรนิยม คน 60% จากทั้งหมดเป็นพวกอิสรนิยม" การให้เหตุผลแบบนี้อ่อนแอมากเพราะตัวอย่างเฉพาะเจาะจงหรือไม่ได้สุ่มมาและมีขนาดเล็กเกินไป
การวางนัยทั่วไปเชิงสถิติถูกเรียกในอีกชื่อว่า"การคาดคะเนเชิงสถิติ" (statistical projections) และ"การคาดคะเนด้วยกลุ่มตัวอย่าง" (sample projections) 
การวางนัยทั่วไปโดยเรื่องเล่า.
การวางนัยทั่วไปโดยเรื่องเล่า  เป็นการอ้างเหตุผลแบบอุปนัยชนิดหนึ่งที่ข้อสรุปเกี่ยวกับประชากรถูกอนุมานมาจากกลุ่มตัวอย่างที่ไม่เป็นเชิงสถิติ หรือกล่าวคือ การวางนัยทั่วไปแบบนี้อิงกับหลักฐานโดยเรื่องเล่า ตัวอย่างเช่น:
จนถึงปีนี้ ทีมลิตเติ้ลลีกของลูกชายเขาแข่งชนะหกเกมจากสิบเกมแล้ว
พอจบฤดู พวกเขาน่าจะชนะประมาณ 60% ของเกมทั้งหมด
การอนุมานแบบนี้เชื่อถือได้น้อยกว่าแบบเชิงสถิติ (และจึงมีโอกาสที่จะเกิดเหตุผลวิบัติจากการวางนัยทั่วไปเร็วเกินไปมากกว่า) อย่างแรกเพราะเหตุการณ์ตัวอย่างไม่ได้เป็นแบบสุ่ม และอย่างที่สองเพราะว่ามันไม่สามารถเขียนย่อเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ ถ้าพูดในเชิงสถิติ ไม่มีทางที่เราจะรู้ วัด และคำนวณสภาวะแวดว้อมที่ส่งผลต่อประสิทธิภาพของทีมของลูกชายเขาได้ ถ้าพูดในขั้นปรัชญา การให้เหตุผลแบบนี้อาศัยสมมุติฐานว่าเหตุการณ์ในอนาคตจะเป็นไปในรูปแบบเดียวกับในอดีต หรือพูดอีกอย่างก็คือการให้เหตุผลแบบนี้ทึกทักเองว่ามีภาวะเอกรูปแห่งธรรมชาติอยู่ ซึ่งเป็นหลักการที่ยังไม่ถูกพิสูจน์และไม่สามารถหาคำตอบจากข้อมูลเชิงประจักษ์ได้ การให้เหตุผลที่สมมุติโดยปริยายว่าหลักการนี้มีอยู่จริงบางครั้งถูกเรียกว่าเป็น"แบบฮูม"ตามชื่อของนักปราชญ์ผู้ที่นำเรื่องนี้มาพิจารณาทางปรัชญาเป็นคนแรก
การคาดการณ์.
การคาดการณ์แบบอุปนัย  หาข้อสรุปเกี่ยวกับกรณีในอนาคตจากกลุ่มตัวอย่างในอดีต การคาดการณ์แบบอุปนัยธรรมดาจะพึ่งพิงชุดของข้อมูลซึ่งประกอบไปด้วยกรณีเฉพาะของปรากฏการณ์หนึ่งเหมือนกับการวางนัยทั่วไปแบบอุปนัย แต่การคาดการณ์แบบอุปนัยจะสรุปด้วยข้อความเฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่กรณีถัดไปจะมีหรือไม่มีคุณสมบัติร่วมกับกรณีก่อน ๆ หรือไม่ แทนที่จะสรุปด้วยข้อความทั่วไป
 สัดส่วน Q ของสมาชิกที่สังเกตการณ์ในกลุ่ม G มีลักษณะ A
 เพราะฉะนั้น มีความน่าจะเป็นซึ่งสอดคล้องกับ Q ที่สมาชิกอื่น ๆ ในกลุ่ม G จะมีลักษณะ A ในการสังเกตการณ์ครั้งถัดไป
ตรรกบทสถิติ.
ตรรกบทสถิติ  เริ่มจากนัยทั่วไปเกี่ยวกับกลุ่ม ๆ หนึ่งไปยังข้อสรุปเกี่ยวกับปัจเจก
 สัดส่วน Q ของแต่ละกรณีที่รู้ในประชากร P มีคุณลักษณะ A
 ปัจเจก I เป็นสมาชิกอีกอันของ P 
 เพราะฉะนั้น มีความน่าจะเป็นซึ่งสอดคล้องกับ Q ที่ I จะมี A
ตัวอย่างเช่น:
90% ของผู้จบการศึกษาจากโรงเรียนเตรียมเจริญวิทยาเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัย
บ็อบเป็นนักเรียนที่จบจากโรงเรียนเตรียมเจริญวิทยา
บ็อบได้เข้าเรียนระดับอุดมศึกษาแน่นอน
นี่คือ"ตรรกบทสถิติ" เราไม่สามารถมั่นใจได้ว่าบ็อบจะได้เข้ามหาวิทยาลัยแน่ ๆ แต่เราสามารถมั่นใจในความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นี้ (หากไม่มีข้อมูลอื่นเพิ่มเติม) การให้เหตุผลแบบนี้อาจดูมั่นใจเกินไปและอาจถูกกล่าวหาได้ว่า "โกง" เพราะความน่าจะเป็นมีอยู่ในข้อตั้งข้อแรกอยู่แล้ว โดยปกติการให้เหตุผลแบบอุปนัยจะพยายาม"กำหนด"ความน่าจะเป็น เราสามารถพบเหตุผลวิบัติการขึ้นอยู่กับกรณี (Secundum quid) สองแบบในตรรกบทสถิติ: การทำลายข้อยกเว้น (accident (fallacy)) และการทำลายกฏ (converse accident)
การอ้างเหตุผลโดยอาศัยแนวเทียบ.
กระบวนการของการอนุมานโดยอาศัยแนวเทียบ  คือการจดบันทึกลักษณะที่มีร่วมกันระหว่างสิ่งของอย่างน้อยสองอย่างขึ้นไป และอนุมานว่าสิ่งของเหล่านั้นอาจมีลักษณะร่วมกันเพิ่มเติมได้:
P กับ Q คล้ายกันในด้าน a, b, และ c
วัตถุ P ถูกสังเกตว่ามีลักษณะ x เพิ่มเติมด้วย
เพราะฉะนั้น Q อาจมีลักษณะ x ด้วย
การให้เหตุผลโดยแนวเทียบพบได้บ่อยในสามัญสำนึก วิทยาศาสตร์ ปรัชญา กฎหมาย และมนุษยศาสตร์ บางครั้งการให้เหตุผลวิธีนี้ถูกยอมรับให้เป็นเพียงแค่วิธีเสริม ส่วนวิธีที่ขัดเกลาแล้วคือการให้เหตุผลด้วยฐานกรณี (case-based reasoning)
แร่ A และแร่ B เป็นหินอัคนีซึ่งมักมีสายแร่ควอตซ์และพบเจอได้บ่อยในบริเวณที่มีกิจกรรมภูเขาไฟโบราณในทวีปอเมริกาใต้
แร่ A ยังเป็นหินที่อ่อนที่เหมาะแก่การนำไปเจียระไนเป็นเครื่องประดับ 
เพราะฉะนั้น แร่ B อาจเป็นหินที่อ่อนที่เหมาะแก่การนำไปเจียระไนเป็นเครื่องประดับ 
นี่คือ"การอุปนัยโดยแนวเทียบ" กล่าวคือ สิ่งที่คล้ายกันในด้านหนึ่งมีโอกาสคล้ายกันในด้านอื่นด้วย การอุปนัยรูปแบบนี้ถูกสำรวจลงรายละเอียดโดยนักปรัชญา จอห์น สจ๊วต มิลล์ ในหนังสือ "A System of Logic" ของเขาว่า "ไม่ต้องสงสัยเลยว่าความคล้ายคลึงทุกประการ[ซึ่งไม่รู้ว่าเกี่ยวข้องกัน]มีความน่าจะเป็นอยู่ในระดับหนึ่งที่มากเกินกว่าที่อาจมีอยู่จริง เพื่อสนับสนุนข้อสรุป"
การอุปนัยโดยแนวเทียบจำเป็นต้องมีการตรวจสอบเพิ่มเติมถึง"ความเกี่ยวข้อง"ของลักษณะที่ถูกอ้างว่าทั้งสองสิ่งมีร่วมกัน ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ หากเราเพิ่มข้อตั้งไปว่าหินทั้งสองเคยปรากฏในบันทึกของนักสำรวจชาวสเปนยุคบุกเบิก คุณลักษณะร่วมกันที่ว่ามานี้ไม่"เกี่ยวข้อง"และนอกประเด็นเรื่องหินและไม่สนับสนุนความน่าจะเป็นของความสัมพันธ์กันระหว่างหินทั้งสอง
กับดักของแนวเทียบคือคุณลักษณะที่เลือกมาสามารถเป็นแบบ "เลือกที่รัก มักที่ชัง" หรือ cherry picked: แม้ทั้งสองสิ่งจะมีคุณสมบัติหนึ่งที่คล้ายกันอย่างมากแต่เมื่อลองเทียบข้าง ๆ กันอย่างละเอียดอาจมีคุณสมบัติอื่นที่ไม่ถูกระบุไว้ในแนวเทียบซึ่งไม่มีความคล้ายคลึงกันเลย ดังนั้นแนวเทียบอาจนำไปสู่ข้อสรุปที่ไขว้เขวหากคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องทั้งหมดไม่ถูกนำมาเปรียบเทียบกันก่อน
การอนุมานเชิงสาเหตุ.
การอนุมานเชิงสาเหตุ  หาข้อสรุปถึงการมีอยู่ของความเชื่อมโยงเชิงสาเหตุจากเงื่อนไขที่ผลลัพธ์นั้นเกิดขึ้น ข้อตั้งเกี่ยวกับสหสัมพันธ์ของทั้งสองสิ่งสามารถชี้ให้เห็นความสัมพันธ์เชิงสาเหตุระหว่างทั้งสองสิ่งนั้น แต่ต้องยืนยันปัจจัยเพิ่มเติมก่อนที่จะสร้างรูปแบบที่แน่นอนของความสัมพันธ์เชิงสาเหตุนั้นได้
วิธีการ.
มีวิธีการหลักสองวิธีที่ถูกใช้เพื่อได้มาซึ่งข้อสรุปแบบอุปนัย กล่าวคือ "การอุปนัยแบบแจงนับ" และ "การอุปนัยแบบขจัด"
การอุปนัยแบบแจงนับ.
การอุปนัยแบบแจงนับ  เป็นวิธีการอุปนัยที่ข้อสรุปถูกสร้างขึ้นมาบนฐานของ"จำนวน"ของกรณีที่สนับสนุน ยิ่งมีกรณีสนับสนุนมากเท่าใดข้อสรุปก็ยิ่งเข้มแข็งมากขึ้น
รูปแบบการอุปนัยแบบแจงนับที่พื้นฐานที่สุดคือการให้เหตุผลจากกรณีเฉพาะเจาะจงไปหากรณีทุกกรณี และจึงเป็นการวางนัยทั่วไปที่ไม่จำกัด (unrestricted) สมมุติว่าถ้าเราสังเกตหงส์ 100 ตัวและทั้งหมดเป็นสีขาว เราอาจอนุมานประพจน์แบบจัดกลุ่ม (Categorical proposition) แบบสากลได้ในรูป "หงส์ทุกตัวเป็นสีขาว" แต่เนื่องจากข้อตั้งของรูปตรรกะ (Logical form) นี้แม้มันอาจจะเป็นจริงแต่ไม่ได้นำมาซึ่งความเท็จจริงของข้อสรุป นี่จึงเป็นรูปแบบหนึ่งของการอนุมานแบบอุปนัย ข้อสรุปอาจเป็นจริงและอาจจะจริงหรือเท็จก็ยังได้ คำถามเกี่ยวกับการให้เหตุผลสนับสนุนและรูปแบบของการอุปนัยแบบแจงนับเป็นเรื่องหลักในปรัชญาวิทยาศาสตร์ (Philosophy of science) เพราะการอุปนัยแบบแจงนับมีบทบาทสำคัญในตัวแบบดั้งเดิมของระเบียบวิธีแบบวิทยาศาสตร์ 
สิ่งมีชีวิตทุกตัวเท่าที่ถูกค้นพบมาประกอบไปด้วยเซลล์
สิ่งมีชีวิตทุกตัวประกอบไปด้วยเซลล์
นี่คือ"การอุปนัยแบบแจงนับ" เรียกอีกอย่างคือ "การอุปนัยแบบง่าย" หรือ "การอุปนัยเชิงคาดการณ์แบบง่าย" ซึ่งเป็นหมวดหมู่ย่อยของการวางนัยทั่วไปแบบอุปนัย ในการใช้งานประจำวันนี่เป็นรูปแบบการอุปนัยที่พบได้บ่อยที่สุด ข้อสรุปจากการให้เหตุผลก่อนหน้านี้ดูน่าเชื่อถือแต่มันคาดการณ์ไปไกลเกินหลักฐานที่มีอยู่ อย่างแรกคือมันสมมุติว่าสิ่งมีชีวิตทุกตัวที่พบเจอมาจนถึงตอนนี้สามารถบอกได้ว่าที่จะเจออนาคตจะเป็นอย่างไรซึ่งเป็นการจำนนต่อภาวะเอกรูป อย่างที่สองคือคำว่า"ทุก"ในข้อสรุปเป็นการกล่าวที่ห้าวมาก ข้อขัดแย้งเพียงกรณีเดียวสามารถทำให้การให้เหตุผลแบบนี้พังทลายลงทันที และสุดท้ายคือการคำนวณหาระดับความเป็นไปได้ในรูปแบบคณิตศาสตร์นั้นทำได้อย่างมีปัญหา 
เราใช้มาตรฐานอะไรมาเอาตัวอย่างสิ่งมีชีวิตที่เรารู้จักบนโลกไปเปรียบเทียบกับสิ่งมีชีวิตทุก ๆ ตัว? สมมุติว่าเราค้นพบสิ่งมีชีวิตใหม่เป็นจุลินทรีย์ที่ลอยอยู่ในชั้นมีโซสเฟียร์หรือบนดาวเคราะห์น้อยสักดวงแล้วมันประกอบไปด้วยเซลล์ การค้นพบครั้งนี้ทำให้ความเป็นไปได้ของประพจน์เพิ่มขึ้นหรือไม่ ปกติแล้วคำตอบที่มีเหตุผลคือ "ใช่" และสำหรับหลาย ๆ คนคำตอบนี้อาจแย้งไม่ได้ด้วย ถ้าอย่างนั้นแล้วคำถามควรจะเป็นข้อมูลใหม่นี้ควรจะเปลี่ยนความเป็นไปได้ไปมากน้อย"เท่าไหร่" ไม่มีฉันทมติในเรื่องนี้ แต่กลับมีปัญหาว่าเรายังสามารถพูดถึงความเป็นไปได้ได้อย่างสอดคล้องอยู่รึเปล่าหากไม่ใช้ปริมาณที่เป็นตัวเลขเลย
สิ่งมีชีวิตทุกตัวเท่าที่ถูกค้นพบมาประกอบไปด้วยเซลล์
สิ่งมีชีวิตตัว"ต่อไป"ที่ถูกค้นพบจะประกอบไปด้วยเซลล์
นี่เป็นการอุปนัยแบบแจงนับใน"รูปอย่างอ่อน" ซึ่งลดหลั่นคำว่า "ทุก" ไปกลายเป็นแค่กรณีเดียว และเพราะกล่าวอ้างอย่างอ่อนกว่ามากทำให้ความเป็นไปได้ของข้อสรุปนี้สูงขึ้นอย่างมาก มิฉะนั้นก็จะมีจุดอ่อนอย่างเดียวกับในรูปอย่างเข้มคือ ประชากรตัวอย่างไม่เป็นแบบสุ่มและวิธีการวัดปริมาณไม่มีความชัดเจน
การอุปนัยแบบขจัด.
การอุปนัยแบบขจัด  เป็นวิธีการอุปนัยที่ข้อสรุปถูกสร้างขึ้นมาบนฐานของ"ความหลากหลาย"ของกรณีที่สนับสนุน การอุปนัยแบบขจัดให้เหตุผลบนฐานของความหลากหลายของกรณีที่สนับสนุนข้อสรุป ไม่ใช่จำนวนของกรณีที่สนับสนุนเหมือนกับการอุปนัยแบบแจงนับ ยิ่งความหลากหลายของกรณีสนับสนุนเพิ่มมากขึ้น ข้อสรุปจากกรณีสนับสนุนเหล่านั้นก็ยิ่งสามารถถูกระบุได้ว่าขัดกันได้มากขึ้นและถูก"ขจัด"ทิ้งไป นี่จึงเพิ่มความเข้มแข็งของข้อสรุปใด ๆ ที่หลงเหลืออยู่และยังสอดคล้องกับกรณีสนับสนุนที่หลากหลาย การอุปนัยชนิดนี้อาจใช้วิธีการต่าง ๆ เช่นการทดลองแบบกึ่ง (quasi-experimentation) ซึ่งเป็นการทดสอบและขจัดสมมติฐานคู่แข่งทิ้งหากสามารถทำได้ การทดสอบเชิงหลักฐานต่าง ๆ ก็อาจถูกนำมาใช้เพื่อขจัดความเป็นไปได้ซึ่งถูกนำมาพิจารณา
การอุปนัยแบบขจัดมีความสำคัญในระเบียบวิธีแบบวิทยาศาสตร์ และถูกใช้เพื่อขจัดเอาสมมติฐานที่ไม่สอดคล้องกับการสังเกตการณ์และการทดลองทิ้ง โดยมุ่งสนใจหาสาเหตุที่เป็นไปได้ แทนที่จะสนใจความเชื่อมโยงเชิงสาเหตุที่สังเกตเห็นจริง
เปรียบเทียบกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย.
การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นรูปแบบของการอ้างเหตุผลซึ่งให้ข้อสรุปที่มีโอกาสเป็นเท็จแม้ข้อตั้งทั้งหมดจะเป็นจริงก็ตาม ความแตกต่างระหว่างการให้เหตุผลแบบอุปนัยกับนิรนัยถูกสะท้อนผ่านการใช้คำศัพท์เพื่ออธิบายการให้เหตุผลทั้งสองแบบ ในการให้เหตุผลแบบนิรนัย การอ้างเหตุผลจะ "สมเหตุสมผล" (validity (logic)) เมื่อข้อสรุป"ต้อง"เป็นจริงเมื่อเราสมมติให้ข้อตั้งของการอ้างเหตุผลเป็นจริง เมื่อการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลและข้อตั้ง"เป็น"จริงแล้วการอ้างเหตุผลนั้นก็จะ "สมบูรณ์" (soundness) ในทางตรงกันข้ามในการให้เหตุผลแบบอุปนัย ข้อตั้งของการอ้างเหตุผลไม่สามารถรับประกันว่าข้อสรุปจะ"ต้อง"เป็นจริง ดังนั้นการอ้างเหตุผลอุปนัยไม่สามารถสมเหตุสมผลหรือสมบูรณ์ได้ แต่การอ้างเหตุผลนั้นจะ "เข้ม" เมื่อข้อสรุป"น่าจะ"เป็นจริงเมื่อเราสมมติให้ข้อตั้งของการอ้างเหตุผลนั้นเป็นจริง และหากการอ้างเหตุผลนั้นเข้มและข้อตั้ง"เป็น"จริงแล้วการอ้างเหตุผลนั้นก็จะ "น่าเชื่อถือ" (cogent) หากพูดในเชิงรูปนัยน้อยกว่า การอ้างเหตุผลแบบอุปนัยสามารถเรียกได้ว่า "น่าจะเป็น" "ฟังขึ้น" "เป็นไปได้" "มีเหตุผล" หรือ "เที่ยงธรรม" แต่ไม่มีวัน "แน่นอน" หรือ "จำเป็น" ไม่มีสะพานเชื่อมระหว่างความน่าจะเป็นและความแน่นอนในตรรกศาสตร์
เราสามารถแสดงให้เห็นถึงความไร้ประโยชน์ที่จะพยายามบรรลุถึงความแน่นอนจากความน่าจะเป็นได้ผ่านการทอยเหรียญ สมมุติเราจะทดสอบว่าเหรียญ ๆ หนึ่งเป็นเหรียญที่ยุติธรรมหรือลำเอียง เราจึงทอยเหรียญไปสิบครั้งและทั้งสิบครั้งออกหัวทุกครั้ง ตอนนี้เรามีเหตุผลมากพอที่จะเชื่อว่าเหรียญนี้ลำเอียงในเมื่อมีโอกาสที่จะออกหัวติดกันถึงสิบรอบเพียง .000976 หรือน้อยกว่าหนึ่งในพันครั้งเสียอีก แล้วต่อจากนั้นทอยเหรียญอีกหนึ่งร้อยรอบแต่ทุกรอบก็ยังออกหัวเช่นเดิม คราวนี้มีความแน่นอน "เสมือนจริง" แล้วว่าเหรียญลำเอียง แต่เราไม่สามารถพิสูจน์โดยตรรกะหรือโดยประจักษ์ได้ว่าหากโยนครั้งต่อไปเหรียญจะไม่ออกหาง ไม่ว่าเหรียญจะออกหัวอีกกี่สักครั้งเราก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ดังเดิม หากมีใครสักคนเขียนโปรแกรมหุ่นยนต์ให้โยนเหรียญซ้ำเรื่อย ๆ ณ จุด ๆ หนึ่งหุ่นยนต์ตัวนั้นก็จะโยนออกหัวติดกันหนึ่งร้อยครั้ง และหากปล่อยให้หุ่นยนต์โยนต่อไปเรื่อย ๆ เป็นอนันต์รูปแบบทุกรูปแบบก็จะปรากฏออกมาในที่สุด
ส่วนโอกาสอันน้อยนิดที่เหรียญยุติธรรมจะทอยออกติดกันสิบครั้งซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้เหรียญถูกกล่าวหาว่าลำเอียงนั้น หลายคนอาจประหลาดใจว่าโอกาสที่ลำดับของหัว (H) และหาง (T) รูปแบบใด ๆ จะเกิดขึ้นนั้นมีค่าเท่ากันหมด (เช่น H-H-T-T-H-T-H-H-H-T) แต่แล้วมันก็เกิดขึ้นใน"ทุก ๆ" รอบที่เราทอยเหรียญสิบครั้ง หมายความว่าผลลัพธ์"ทั้งหมด"จากการทอยเหรียญสิบครั้งนั้นมีความน่าจะเป็นเท่ากับการที่เราจะได้หัวทั้งสิบครั้งซึ่งก็คือ 0.000976 หากเราไปวัดความน่าจะเป็นสำหรับลำดับหัว-หางรูปแบบอื่น ๆ ไม่ว่าผลจะออกมาเป็นอย่างไรลำดับนั้นก็จะมีโอกาสออกเท่ากับ 0.000976
การอ้างเหตุผลเป็นแบบนิรนัยเมื่อข้อสรุปจำเป็นเพราะข้อตั้ง นั่นก็คือข้อสรุปต้องเป็นจริงเมื่อข้อตั้งเป็นจริง
หากข้อสรุปแบบนิรนัยเป็นผลมาจากข้อตั้งตามที่กำหนดแล้ว ข้อสรุปจะสมเหตุสมผล มิฉะนั้นก็จะไม่สมเหตุสมผล (การที่การอ้างเหตุผลใด ๆ ไม่สมเหตุสมผลไม่ได้หมายความว่ามันเป็นเท็จ ข้อสรุปอาจเป็นจริงเพียงแต่ไม่ได้เป็นเพราะข้อตั้ง) การพิจารณาตัวอย่างดังต่อไปจะแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างข้อตั้งกับข้อสรุปคือ ความจริงของข้อสรุปอยู่ในข้อตั้งโดยปริยายอยู่แล้ว คนโสดไม่มีแฟนเพราะเรา"ว่า"อย่างนั้น มันคือนิยามที่เรากำหนด โสกราตีสเป็นมรรตัยเพราะเรานับเขาอยู่ในเซตของสิ่งที่ดำรงอยู่อย่างมรรตัย ข้อสรุปจากการอ้างเหตุผลแบบนิรนัยที่สมเหตุสมผลมีอยู่ในในข้อตั้งอยู่แล้วเนื่องจากความจริงของมันขึ้นกับความสัมพันธ์เชิงตรรกะโดยแท้ มันพูดอะไรมากกว่าข้อตั้งไม่ได้ กลับกันข้อตั้งแบบอุปนัยนำเนื้อหาของมันมาจากข้อเท็จจริงและหลักฐานและข้อสรุปก็อ้างหรือทำนายตามข้อเท็จจริงไปตามนั้น ความน่าเชื่อถือของมันผันแปรไปตามสัดส่วนกับหลักฐาน การอุปนัยต้องการเปิดเผยสิ่งที่"ใหม่"เกี่ยวกับโลก อาจกล่าวได้ว่าการอุปนัยต้องการจะพูดอะไร"มากกว่า"ที่มีอยู่ในข้อตั้ง
เพื่อที่จะเห็นความแตกต่างระหว่างการอ้างเหตุผลแบบอุปนัยและแบบนิรนัยได้ดีขึ้น พิจารณาเมื่อเราบอกว่า: "สี่เหลี่ยมทั้งหมดที่เคยเจอมาจนถึงตอนนี้มีมุมฉากสี่มุม ดังนั้นสี่เหลี่ยมรูปต่อไปที่จะเจอมีมุมฉากสี่มุม" ก็จะไม่เข้าท่าเลย เพราะเป็นการปฏิบัติต่อความสัมพันธ์เชิงตรรกะเสมือนเป็นสิ่งที่เท็จจริงและถูกค้นพบจึงแปรผันและไม่แน่นอน ในทางเดียวกันเราอาจบอกแบบนิรนัยได้ว่า: "ยูนิคอร์นทุกตัวบินได้ ฉันมียูนิคอร์นชื่อปีเตอร์ ปีเตอร์บินได้" การอ้างเหตุผลแบบนิรนัยอันนี้นั้นสมเหตุสมผลเพราะความสัมพันธ์เชิงตรรกะนี้ถูกต้อง เราไม่สนใจความสมบูรณ์เชิงเท็จจริง
การให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่แน่นอน (uncertainty) โดยธรรมชาติ มันจัดการกับข้อสรุปที่ "น่าเชื่อถือ" ตามทฤษฎีใดเกี่ยวกับหลักฐานเนื่องมาจากข้อตั้งที่ได้มา ตัวอย่างเช่นตรรกศาสตร์หลายค่า (many-valued logic), ทฤษฎีเดมพ์สเตอร์-เชเฟอร์ (dempster-shafer theory), หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วยกฏแห่งการอนุมานเช่นกฏของเบย์ (baye's theorem) การให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่ได้พึ่งพาขอบเขตของสัมพันธสาร (closed world assumption) เพื่อนำมาซึ่งข้อสรุปแบบการให้เหตุผลแบบนิรนัย จึงสามารถนำมาใช้ได้แม้ในกรณีที่มีความไม่แน่นอนทางญาณวิทยา (open world assumption) (อาจมีปัญหาทางเทคนิคเกิดขึ้น เช่นสัจพจน์ข้อสองของความน่าจะเป็นเป็นมูลบทโลกกว้าง) 
ความแตกต่างที่สำคัญอีกอันหนึ่งระหว่างการอ้างสองรูปแบบนี้คือ ความแน่นอนแบบนิรนัยนั้นเป็นไปไม่ได้ในระบบไร้สัจพจน์เช่นความเป็นจริง ทำให้เหลือการให้เหตุผลแบบอุปนัยทิ้งไว้เท่านั้นที่เป็นเส้นทางหลักสู่ความรู้ (ที่เป็นในรูปแบบความน่าจะเป็น) ในระบบเหล่านั้น 
ได้ว่า "ถ้า "ก" เป็นจริง แล้วจะทำให้ "ข", "ค" และ "ง" เป็นจริง" ตัวอย่างของการนิรนัยเป็นเช่น ""ก" เป็นจริง ดังนั้นนิรนัยได้ว่า "ข", "ค" และ "ง" เป็นจริง" ตัวอย่างของการอุปนัยเป็นเช่น ""ข", "ค" และ "ง" ถูกสังเกตว่าเป็นจริง เพราะฉะนั้น "ก" อาจเป็นจริง" "ก" เป็นคำอธิบายที่มีเหตุผลที่ "ข", "ค" และ "ง" เป็นจริง
ตัวอย่างเช่น:
การพุ่งชนของดาวเคราะห์น้อยขนาดกับโลกจะสร้างหลุมพุ่งชนขนาดใหญ่มากและทำให้เกิดฤดูหนาวดาวพุ่งชนโลกที่สามารถฆ่าล้างไดโนเสาร์ที่บินไม่ได้จนสูญพันธ์
เราสังเกตเจอหลุมพุ่งชนขนาดใหญ่ (chicxulub crater) อยู่ในอ่าวเม็กซิโกซึ่งมีอายุใกล้เคียงกับเหตุการณ์สูญพันธุ์ของไดโนเสาร์ที่บินไม่ได้
เพราะฉะนั้น เป็นไปได้ที่การพุ้งชนนี้จะอธิบายว่าไดโนเสาร์ที่บินไม่ได้สูญพันธุ์ไปอย่างไร
แต่ทราบว่าคำอธิบายดาวเคราะห์น้อยนี้ไม่จำเป็นต้องถูก อาจมีเหตุการณ์อื่นที่มีความสามารถส่งผลต่อสภาพอากาศโลกที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวกันกับเหตุการณ์การสูญพันธุ์ของไดโนเสาร์ที่บินไม่ได้ เช่นการปดปล่อยก๊าซภูเขาไฟ (โดยเฉพาะซัลเฟอร์ไดออกไซด์) ในระหว่างการก่อตัวของหินทรัปป์เดกกันในอินเดีย
ตัวอย่างของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอีกอันคือ:
สิ่งมีชีวิตทางชีววิทยาที่เรารู้จักทั้งหมดพึ่งพาน้ำเหลวเพื่อมีชีวิต
เพราะฉะนั้น ถ้าเราค้นพบสิ่งมีชีวิตใหม่ มันน่าจะพึ่งพาน้ำเหลวเพื่อมีอชีวิต
สามารถอ้างแบบนี้ได้ทุกครั้งที่ค้นพบสิ่งมีชีวิตใหม่ และอาจถูกทุกครั้ง แต่มันเป็นไปได้ที่ในอนาคตจะค้นพบสิ่งมีชีวิตทางชีววิทยาที่ไม่ต้องการน้ำเหลว ดังนั้นการอ้างนี้อาจกล่าวใหม่ได้เป็นทางการน้อยกว่าว่า:
สิ่งมีชีวิตทางชีววิทยาที่เรารู้จักทั้งหมดพึ่งพาน้ำเหลวเพื่อมีชีวิต
สิ่งมีชีวิตทางชีววิทยาทั้งหมดน่าจะพึ่งพาน้ำเหลวเพื่อมีชีวิต
ตัวอย่างสุดคลาสสิกของการอ้างแบบอุปนัยที่ "ไม่ถูกต้อง" ได้นำเสนอโดยจอห์น วิกเกอร์ส:
หงส์ทุกตัวที่ได้เห็นมาเป็นสีขาว
เพราะฉะนั้น เรา"รู้"ว่าหงส์ทุกตัวสีขาว
ข้อสรุปที่ถูกจะเป็น: เราคาด (expectation (epistemic)) ว่าหงส์ทุกตัวสีขาว
พูดสั้น ๆ ได้ว่า: การนิรนัยเกี่ยวกับ "ความแน่นอน/ความจำเป็น" การอุปนัยเกี่ยวกับ "ความน่าจะเป็น" ทุก ๆ การอ้างจะเป็นหนึ่งในสองรูปแบบนั้น อีกแนวทางการวิเคราะห์การให้เหตุผลคือตรรกศาสตร์อัญรูป (modal logic) ซึ่งจัดการกับการแบ่งแยกระหว่าง ความจำเป็น และ "ความเป็นไปได้" โดยไม่ได้สนใจถึงความน่าจะเป็นในสิ่งที่ถือว่าเป็นไปได้
นิยามทางปรัชญาของการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้นแตกต่างจากการพัฒนาง่าย ๆ จากตัวอย่างเฉพาะใด ๆ ไปสู่การวางนัยทั่วไปกว้าง ๆ เพียงแต่ว่าข้อตั้งของการอ้างเหตุผล (argument) เชิงตรรกะแบบอุปนัยสนับสนุนแต่ไม่ได้ส่งผล (logical consequence) ต่อความน่าจะเป็นแบบอุปนัยของข้อสรุปในปริมาณใด ๆ นั่นคือ มันเสนอแต่ไม่ได้รับรองความเท็จจริง มันมีความเป็นไปได้ที่จะนำการวางนัยทั่วไปไปสู่กรณีเฉพาะในกิริยานี้ (เช่น ตรรกบทสถิติ มีต่อด้านล่าง)
ทราบว่านิยามของการให้เหตุผลแบบ"อุปนัย"ที่ระบุในที่นี่ต่างจากการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) ซึ่งแท้จริงแล้วเป็นรูปแบบของการให้เหตุผลแบบ"นิรนัย" กางอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของเซตที่ถูกนิยามแบบเวียนบังเกิดอย่างเคร่งครัด ความเป็นนิรนัยของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มาจากหลักที่ว่ามีจำนวนกรณีที่ไม่จำกัด ซึ่งตรงข้ามกับจำนวนกรณีที่จำกัดที่มีส่วนในกระบวนการการอุปนัยแบบแจงนับเช่นการพิสูจน์โดยการแจงกรณี (proof by exhaustion) ทั้งการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์และการพิสูจน์โดยแจงกรณีเป็นตัวอย่างของการอุปนัยสมบูรณ์
ประวัติ.
ปรัชญาโบราณ.
สำหรับการเคลื่อนจากเฉพาะสู่ทั่วไป แอริสตอเติลในปี 300 ก่อนคริสต์ศักราช ใช้คำภาษากรีกว่า "epagogé" (อ่านว่า เอะปะกอแก) ซึ่งกิแกโรแปลเป็นภาษาละตินคำว่า "inductio" (อ่านว่า อินดุกติโอ) แต่พวกลัทธิปิร์โรน (Pyrrhonism) ได้ชี้ให้เห็นว่าการอุปนัยไม่สามารถให้เหตุผลที่จะยอมรับว่าข้อความสากลนั้นเป็นจริง
ปรัชญาสมัยใหม่ตอนต้น.
ในปี พ.ศ. 2163 ปรัชญาสมัยใหม่ตอนต้น (early modern philosophy) ฟรานซิส เบคอนปฏิเสธค่าของประสบการณ์และการอุปนัยแบบแจงนับด้วยตัวมันเองตัวใดตัวหนึ่ง วิธีการอุปนัยนิยม (inductivism) ของเขานั้นบอกว่าการสังเกตการณ์ทุกอันที่จะเปิดเผยโครงสร้างของธรรมชาติและความสัมพันธ์เชิงเหตุผลต้องคู่กับการอุปนัยแบบแจงนับเพื่อที่จะได้ความรู้เหนือขอบเขตของประสบการณ์ปัจจุบัน อุปนัยนิยมนั้นจึงต้องใช้การอุปนัยแบบแจงนับควบคู่ไปเป็นส่วนประกอบ
จุดยืนของเดวิด ฮูมนักประจักษนิยมในปี พ.ศ. 2283 คิดว่าการอุปนัยแบบแจงนับไม่มีรากฐานที่มีเหตุผล หรือแม้แต่มีตรรกะ แต่การอุปนัยเป็นสิ่งที่ต้องใช้ประจำวัน ในขณะที่การสังเกตการณ์เช่นการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ สามารถจับคู่กับหลักการเป็นเอกรูปของธรรมชาติ (uniformitarianism) และผลิตข้อสรุปที่ดูแน่นอน ปัญหาของการอุปนัย (problem of induction) มีขึ้นมาจากข้อเท็จจริงที่ภาวะเอกรูปของธรรมชาตินั้นไม่ใช่หลักที่ถูกต้องเชิงตรรกะ ฮูมมีข้อกังขาต่อการนำการอุปนัยแบบแจงนับมาใช้ และการที่สามารถไปสู่ความแน่นอนเกี่ยวกับสิ่งที่สังเกตไม่ได้ และโดยเฉพาะการอนุมานเหตุภาพจากข้อเท็จจริงที่การปรับเปลี่ยนแง่มุมของความสัมพันธ์หนึ่งจะขัดขวางหรือผลิตผลลัพธ์หนึ่งออกมา
อิมมานูเอล คานต์ได้ตื่นจาก "การหลับไหลของสิทธันต์ (dogma)" ด้วยงานของฮูมที่แปลเป็นภาษาเยอรมัน เขาแสวงหาที่จะอธิบายความเป็นไปได้ของอภิปรัชญา ในปี พ.ศ. 2324 หนังสือ"คำวิจารณ์ของเหตุผลบริสุทธิ์" (Critique of Pure Reason) ได้นำเสนอ"เหตุผลนิยม (rationalism)" เป็นเส้นทางสู่ความรู้แตกต่างจาก"ประจักษนิยม (empiricism)" คานต์แบ่งข้อความเป็นสองประเภท ข้อความเชิงวิเคราะห์ (analytic-synthetic distinction) เป็นจริงด้วยอานิสงค์ของการจัดเรียงคำและความหมาย ดังนั้นข้อความเชิงวิเคราห์เป็นสัจนิรันดร์ (tautology) เป็นความจริงเชิงตรรกะ เป็นจริงโดยจำเป็น (logical truth) ในขณะที่ข้อความเชิงสังเคราะห์มีความหมายที่อ้างอิงสถานะของความเท็จจริง เป็นอุบัติการณ์ แต่เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะเข้าใจวัตถุในตัวมันเองแท้จริง คานต์สรุปว่าภารกิจของนักปรัชญาไม่ควรเป็นการพยายามมองหลังม่านของสภาพปรากฏเพื่อเห็น"ชานการณ์ (noumena)" แต่ดูแค่เรื่อง"ปรากฏการณ์ (phenomenon)"ก็พอ
คานต์ได้ให้เหตุผลว่าจิตนั้นต้องมีการแบ่งประเภทจัดระเบียบข้อมูลประสาทสัมผัส (sense data) ของมันเอง ทำให้ประสบการณ์ของ "ปริภูมิ" และ "เวลา" เป็นไปได้ คานต์สรุปว่าเอกรูปของธรรมชาติเป็นความจริงที่"มีอยู่ก่อน"การมีประสบการณ์ หมวดหมู่ของข้อความเชิงสังเคราะห์ที่ไม่ใช่อุบัติการณ์ (contingency) แต่เป็นจริงโดยจำเป็นจึงถูกเรียกว่า"ที่มีอยู่ก่อน"เชิงสังเคราะห์ คานต์จึงทำให้อภิปรัชญาและกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันรอด แต่ผลกระทบคือสัจนิยมทางวิทยาศาสตร์ (scientific realism) ถูกทิ้งไปและได้พัฒนาจิตนิยมอุตรวิสัย (transcendental idealism) ขึ้นมา จิตนิยมอุตรวิสัยของคานต์ได้ให้กำเนิดจิตนิยมเยอรมัน (german idealism) ตามมาด้วยจิตนิยมสัมบูรณ์ของเฮเกิลซึ่งต่อมาจำเริญทั่วยุโรปภาคพื้นทวีป
ปรัชญาสมัยใหม่ตอนปลาย.
พัฒนาโดยอองรี เดอ แซ็ง-ซิมอง (Henri de Saint-Simon) และถูกเผยแพร่ในช่วงปี พ.ศ. 2373 โดยนักเรียนเก่าของเขาออกุสต์ กองต์ (Auguste Comte) ปฏิฐานนิยม (positivism) เป็นปรัชญาวิทยาศาสตร์ตอนปลายชนิดแรก ในควันหลงของการปฏิวัติฝรั่งเศสกองต์ต่อต้านอภิปรัชญาเพราะกลัวการล่มสลายของสังคม กองต์กล่าวว่าความรู้ของมนุษย์วิวัฒนาการจากศาสนาสู่อภิปรัชญาสู่วิทยาศาสตร์ ซึ่งก็ไหลมาจากคณิตศาสตร์สู่ดาราศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา และสังคมวิทยา โดยเป็นขอบเขตความรู้ที่ซับซ้อนขึ้นเรื่อย ๆ ตามลำดับ ความรู้ของสังคมทั้งหมดได้กลายเป็นวิทยาศาสตร์ทั้งหมดแล้ว และคำถามทางอภิปรัชญาและเทววิทยาก็ไม่สามารถหาคำตอบได้ กองต์คิดว่าการอุปนัยแบบแจงนับนั้นเชื่อถือได้เป็นผลมาจากการมีพื้นฐานในประสบการณ์ที่มี เขาอ้างว่าการใช้วิทยาศาสตร์แทนความจริงทางอภิปรัชญาเป็นวิธีพัฒนาสังคมที่ถูกต้อง
ตามที่กองต์กล่าวไว้ ระเบียบวิธีแบบวิทยาศาสตร์ตีกรอบการทำนายไว้ ทดสอบว่าถูกต้องหรือไม่ และกำหนดกฏขึ้นมา เป็นข้อความเชิงปฏิฐาน ไม่สามารถแย้งได้โดยเทววิทยาหรืออภิปรัชญา นักปรัชญาชาวบริเตนจอห์น สจ๊วต มิลล์ถือว่าประสบการณ์สามารถอธิบายการอุปนัยแบบแจงนับด้วยการแสดงถึงภาวะเอกรูปแห่งธรรมชาติ เขาต้อนรับปฏิฐานนิยมของกองต์ แต่บอกว่ากฏวิทยาศาสตร์ (scientific laws) เสี่ยงต่อการยกเลิกและการปรับปรุง และแยกตัวจากศาสนาแห่งมนุษยชาติ (religion of humanity) ของกองต์ กองต์มั่นใจในการกระทำต่อกฏวิทยาศาสตร์เป็นเหมือนพื้นฐานที่แย้งไม่ได้ของความรู้ทั้งมวล และเชื่อว่าโบสถ์ทั้งหลายยกย่องนักวิทยาศาสตร์ชื่อดัง และควรสำรวมทัศนคติของสังคมสู่"ปรัตถนิยม (altruism)"-คำที่กองต์สร้างขึ้นมา- เพื่อนำวิทยาศาสตร์มาใช้สำหรับสวัสดิการสังคมของมนุษยชาติผ่านสังคมวิทยา ศาสตร์สำคัญของกองต์
ในช่วงปี พ.ศ. 2373 ถึง 2383 ระหว่างที่กองต์และมิลล์เป็นนักปรัชญาชั้นนำในด้านศาสตร์ วิลเลียม ฮยูเอิล (William Whewell) คิดว่าการอุปนัยแบบแจงนับนั้นไม่ค่อยน่าเชื่อถือขนาดนั้น และได้บัญญัติ "การอภิอุปนัย" ขึ้นมาโดยไม่คำนึงถึงการครอบงำของอุปนัยนิยม ฮยูเอิลอ้างว่า "การนำคำว่าอุปนัยมาใช้แบบแปลก ๆ" นั้นต้องได้การรับรู้: "มันมีการสร้างมโนภาพที่ "อภิอุปนัย" อยู่บนข้อเท็จจริง" นั่นคือ "การคิดค้นมโนภาพใหม่ในทุกการอนุมานอุปนัย" การสร้าง"การสร้างมโนภาพ"นั้นถูกมองข้ามได้อย่างง่ายดาย และไม่เคยถูกรับรู้ก่อนฮยูเอิลกล่าวออกมา ฮยูเอิลอธิบายว่า:
"Although we bind together facts by superinducing upon them a new Conception, this Conception, once introduced and applied, is looked upon as inseparably connected with the facts, and necessarily implied in them. Having once had the phenomena bound together in their minds in virtue of the Conception, men can no longer easily restore them back to detached and incoherent condition in which they were before they were thus combined."
แปลไทย:
ถึงแม้เราเชื่อมข้อเท็จจริงเข้าหากันด้วยการอภิอุปนัยการสร้างมโนภาพใหม่ลงไป การสร้างมโนภาพนี้ เมื่อนำเสนอและนำมาใช้แล้ว ก็ถูกมองเสมือนเกี่ยวโยงกับข้อเท็จจริงนั้นอย่างแยกไม่ได้ และเป็นนัยในตัวมันอย่างจำเป็น เมื่อปรากฏการณ์นั้นถูกเชื่อมกันครั้งหนึ่งในใจด้วยอำนาจของการสร้างมโนภาพนั้นแล้ว คนไม่สามารถกลับคืนสู่สถานะที่ไม่ยึดติดและไม่เชื่อมโยงกันอย่างง่ายดาย เหมือนก่อนที่ปรากฏการณ์และมโนภาพนั้นจะถูกประสานกัน
คำอธิบาย "อภิอุปนัย" นี้อาจมีข้อบกพร่อง แต่ความแม่นยำนั้นถูกเสนอเมื่อมันแสดงสิ่งที่ฮยูเอิลเรียกว่า "การบรรจบรวม (consilience)" นั่นคือ การทำนายการวางนัยทั่วไปแบบอุปนัยพร้อม ๆ กันในหลายสาขาวิชา ความสำเร็จที่ฮยูเอิลบอกว่าสามารถสถาปนาความจริงของมันได้ บางทีที่ฮยูเอิลอุทิศหลายบทให้กับ "วิธีการอุปนัย" และบางครั้งใช้วลี "ตรรกะของการอุปนัย" โดยไม่คำนึงว่าการอุปนัยไม่มีกฏและไม่สามารถฝึกกันได้ นั้นก็เพื่ออำนวยสงเคราะห์มุมมองที่มีทั่วไปว่าวิทยาศาสตร์เป็นวิธีการแบบอุปนัยนิยม
ในช่วงปี พ.ศ. 2413 ผู้ริเริ่มปฏิบัตินิยม (pragmatism) ชารลส์ แซนเดอรส์ เพิร์ซ (Charles Sanders Peirce) ได้ทำการตรวจสอบอย่างกว้างขวางที่อธิบายหลักของการอนุมานแบบนิรนัยเป็นการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ (ก็อทโลพ เฟรเกอก็ได้ทำอย่างเดียวกัน แต่ไม่เกี่ยวข้องกัน) เพิร์ซรับรู้การอุปนัยแต่ยืนกรานบนการอนุมานรูปแบบที่สามที่เขาเรียกว่า "การจารนัย (abductive reasoning)" หรือ "การเสนอใหม่ (retroduction)" หรือ "สมมุติฐาน" หรือ "การสันนิษฐาน" ต่อมานักปรัชญาเรียกการจารนัยของเพิร์ซว่า "การอนุมานสู่คำอธิบายที่ดีที่สุด" (Inference to the Best Explanation, IBE) 
ปรัชญาร่วมสมัย.
เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์.
หลังจากที่ได้เน้นปัญหาของการอุปนัยของฮูม จอห์น เมย์นาร์ด เคนส์เสนอ "ความน่าจะเป็นเชิงตรรกะ" เป็นคำตอบ หรือเป็นสิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดที่เขาพอจะลุถึง เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์คิดว่าหนังสือ "Treatise on Probability" (แปล: ตำราของความน่าจะเป็น) ของเคนส์เป็นการพิจารณาของการอุปนัยที่ดีที่สุด และเชื่อว่าถ้าอ่านกับ "Le Probleme logique de l'induction" (แปล: ปัญหาเชิงตรรกะของการอุปนัย) ของฌาง นิโกด์ และบทวิจารณ์งานของเคนส์ชื่อ "Mind" ฉบับเดือนตุลาคมปี พ.ศ. 2468 ของอาร์. บี. เบรธเวต (R. B. Braithwaite) ก็จะครอบคลุม "เกือบทุกสิ่งที่รู้เกี่ยวกับการอุปนัย" ถึงแม้ "วิชานี้จะเชี่ยวชาญและยาก และมีคณิตศาสตร์อยู่มาก" สองทศวรรษต่อมาเบอร์ทรันด์ รัสเซลล์เสนอว่าการอุปนัยแบบแจงนับเป็น "หลักการเชิงตรรกะอิสระ" รัสเซลล์พบว่า:
"Hume's skepticism rests entirely upon his rejection of the principle of induction. The principle of induction, as applied to causation, says that, if "A" has been found very often accompanied or followed by "B", then it is probable that on the next occasion on which "A" is observed, it will be accompanied or followed by "B". If the principle is to be adequate, a sufficient number of instances must make the probability not far short of certainty. If this principle, or any other from which it can be deduced, is true, then the casual inferences which Hume rejects are valid, not indeed as giving certainty, but as giving a sufficient probability for practical purposes. If this principle is not true, every attempt to arrive at general scientific laws from particular observations is fallacious, and Hume's skepticism is inescapable for an empiricist. The principle itself cannot, of course, without circularity, be inferred from observed uniformities, since it is required to justify any such inference. It must, therefore, be, or be deduced from, an independent principle not based on experience. To this extent, Hume has proved that pure empiricism is not a sufficient basis for science. But if this one principle is admitted, everything else can proceed in accordance with the theory that all our knowledge is based on experience. It must be granted that this is a serious departure from pure empiricism, and that those who are not empiricists may ask why, if one departure is allowed, others are forbidden. These, however, are not questions directly raised by Hume's arguments. What these arguments prove—and I do not think the proof can be controverted—is that induction is an independent logical principle, incapable of being inferred either from experience or from other logical principles, and that without this principle, science is impossible."
แปล: ความกังขาของฮูมอยู่บนการปฏิเสธหลักของการอุปนัยทั้งสิ้น หลักของการอุปนัยตามที่ใช้ในเหตุกรรม บอกว่าถ้า A ถูกพบเจอบ่อยพร้อมกับหรือตามด้วย B แล้วมันน่าจะเป็นที่ในโอกาสอื่นเมื่อได้สังเกตพบ A อีกก็จะพบพร้อมกับหรือตามด้วย B ถ้าหลักการคือการทำให้เพียงพอ จำนวนกรณีต้องมีพอที่จะทำให้ความน่าจะเป็นใกล้เคียงกับความแน่นอน ถ้าหลักการนี้หรือหลักการอื่นที่ถูกนิรนัยมาจากหลักการนี้นั้นเป็นจริง แล้วการอนุมานเชิงสาเหตุที่ฮูมปฏิเสธนั้นก็จะถูกต้อง โดยไม่ได้ให้ความแน่นอน แต่ให้ความน่าจะเป็นที่เพียงพอต่อการใช้งานเชิงปฏิบัติ ถ้าหลักการนี้ไม่เป็นจริง การพยายามบัญญัติกฏวิทยาศาสตร์ทั่วไปจากการสังเกตจำนวนหนึ่งนั่นผิดทั้งหมด และการกังขาของฮูมนั้นหนีไม่ได้สำหรับนักประสบการณ์นิยม ตัวหลักการนั้นไม่สามารถอนุมานจากการสังเกตภาวะเอกรูปได้แน่นอนฆากไม่ใช้การให้เหตุผลแบบวงกลม เพราะมันจำเป็นต้องใช้เพื่ออธิบายการอนุมานรูปแบบนั้นทุกอัน ดังนั้นมันต้องนิรนัยมาจากหรือเป็นหลักการอสระที่ไม่ได้ตั้งอยู่บนประสบการณ์ ฮูมได้พิสูจน์ในระดับหนึ่งว่าประสบการณ์นิยมเพียว ๆ ไม่ใช่พื้นฐานที่เหมาะสมของวิทยาศาสตร์ แต่ถ้าหลักการนี้ถูกยอมรับ ทุกอย่างสามารถดำเนินต่อไปได้บนทฤษฎีที่ความรู้ทั้งหมดของเราตั้งอยู่บนประสบการณ์ เราต้องยินยอมว่านี่เป็นการออกนอกหลักการประสบการณ์นิยมบริสุทธิ์อย่างสาหัส และผู้ที่ไม่ใช่นักประสบการณ์นิยมอาจถามว่าทำไมถึงออกนอกหลักการได้ครั้งเดียว แล้วอันอื่นถึงทำไม่ได้ แต่ว่าคำถามเหล่านี้ไม่ได้เกิดขึ้นมาจากการอ้างของฮูมโดยตรง การอ้างนี้พิสูจน์-และผมคิดว่าไม่สามารถถูกโต้แย้งได้-ว่าการอุปนัยนั้นเป็นหลักการเชิงตรรกะอิสระ ไม่สามารถถูกอนุมานจากประสบการณ์หรือจากหลักการเชิงตรรกะอื่นได้ และถ้าไม่มีหลักการนี้ วิทยาศาสตร์นั้นเป็นไปไม่ได้
กิลเบิร์ต ฮาร์แมน.
ในงานวิจัยปี พ.ศ. 2508 ของกิลเบิร์ต ฮาร์แมน (Gilbert Harman) อธิบายว่าการอุปนัยแบบแจงนับไม่ใช่ปรากฏการณ์อิสระ แต่เป็นเพียงผลของการอนุมานสู่คำอธิบายที่ดีที่สุด (IBE) ที่แฝงตัวอยู่ ซึ่ง IBE ก็ตรงกับ "การจารนัย" ของเพิร์ซ นักปรัชญาวิทยาศาสตร์หลายคนที่รับหลักการสัจนิยมทางวิทยาศาสตร์ก็คงไว้ว่า IBE เป็นวิธีที่นักวิทยาศาสตร์พัฒนาทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับธรรมชาติที่จริงพอประมาณหนึ่ง
คำวิจารณ์.
ถึงแม้นักปรัชญาตั้งแต่สมัยของนักปรัชญาลัทธิปิร์โรน เซกสโตส เอมปิริโกส (Sextus Empiricus) ได้ชี้ให้เห็นความฟังไม่สมเหตุสมผลของการให้เหตุผลแบบอุปนัย บทวิจารณ์เชิงปรัชญาสุดคลาสสิกของปัญหาของการอุปนัยมาจากนักปรัชญาชาวสก็อตเดวิด ฮูม ถึงแม้การนำไปใช้ของการให้เหตุผลแบบอุปนัยจะแสดงให้เห็นว่ามีความสำเร็จพอตัว การให้ความถูกต้องของการนำไปประยุกต์ใช้นั้นน่าสงสัย เมื่อรับรู้ถึงสิ่งนี้ ฮูมชี้ให้เหตุถึงข้อเท็จจริงที่สมองของเรามักหาข้อสรุปจากประสบการณ์ที่จำกัดและดูถูกต้อง แต่ไม่ใกล้เคียงความแน่นอนเลย ในการนิรนัยค่าความเท็จจริงของข้อสรุปอยู่บนฐานของความเท็จจริงของข้อตั้ง แต่ในการอุปนัยข้อสรุปมันไม่แน่นอนว่าจะขึ้นอยู่กับข้อตั้งตลอดตัวอย่างเช่น สมมุติว่านกเรเวนทุกตัวสีดำ ความจริงที่ว่ามีนกเรเวนสีดำอยู่หลายตัวสนับสนุนข้อสมมุตินี้ แต่จะไม่สมเหตุสมผลทันทีที่ค้นพบเจอนกเรเวนสีขาว เพราะฉะนั้นกฏทั่วไปที่ว่า "นกเรเวนทุกตัวสีดำ" ไม่ใช่ข้อความที่สามารถแน่นอนได้เลย ฮูมยังอ้างต่อไปว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะให้ความถูกต้องการให้เหตุผลแบบอุปนัย นั่นเพราะมันไม่สามารถได้ความถูกต้องผ่านการนิรนัยได้ ดังนั้นตัวเลือกเดียวของเราคือต้องให้ความถูกต้องผ่านการอุปนัย ในเมื่อการอ้างนี้เป็นวงกลม ด้วยการช่วยเหลือจากส้อมของฮูม (Hume's fork) เขาสรุปว่าการใช้การอุปนัยของเรานั้นไม่สามารถให้ความถูกต้องได้
อย่างไรก็ตามฮูมได้กล่าวไว้ว่าแม้การอุปนัยถูกพิสูจน์ว่าไม่น่าเชื่อถือ เราก็ยังต้องพึ่งพามันอยู่ดี ดังนั้นแทนที่ฮูมจะมีจุดยืนเป็นวิมตินิยมเชิงปรัชญา (philosophical skepticism) ฮูมสนับสนุนวิมตินิยมเชิงวิทยาศาสตร์ (scientific skepticism) ที่มีหลักอยู่บนสามัญสำนึก โดยที่การหลีกไม่ได้ของการอุปนัยนั้นถูกยอมรับ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ แสดงกังขาคติของฮูมให้เห็นด้วยการเล่าเรื่องเกี่ยวกับไก่ตัวหนึ่ง ถูกให้อาหารเช้าทุก ๆ วัน และด้วยกฏของการอุปนัยก็สรุปว่าจะได้อาหารแบบนี้ต่อไปเรื่อย ๆ จนวันหนึ่งสุดท้ายโดนเกษตรกรเชือดทิ้ง
ในปี พ.ศ. 2506 คาร์ล พอปเปอร์ (Karl Popper) เขียนไว้ว่า "การอุปนัย กล่าวคือการอนุมานที่ขึ้นอยู่กับการสังเกตการณ์หลายอัน เป็นเรื่องหลอกลวง มันไม่ใช่ข้อเท็จจริงทั้งทางจิตวิทยา ในชีวิตทั่วไป หรือหนึ่งในกระบวนการทางวิทยาศาสตร์" ("Induction, "i.e." inference based on many observations, is a myth. It is neither a psychological fact, nor a fact of ordinary life, nor one of scientific procedure.") ในหนังสือปี พ.ศ. 2515 ของป็อปเปอร์ชื่อ "Objective Knowledge" (ความรู้รูปธรรม) ซึ่งบทแรกเกี่ยวกับเรื่องปัญหาของการอุปนัย เริ่มขึ้นว่า "ผมคิดว่าผมได้แก้ไขปัญหาทางปรัชญาที่สำคัญได้แล้ว: ปัญหาของการอุปนัย" ในโครงร่างของป็อปเปอร์ การอุปนัยแบบแจงนับเป็น "ภาพลวงตาชนิดหนึ่ง" ที่ถูกทอดโดยขั้นตอนของการคาดการณ์และการพิสูจน์ระหว่าง "การเคลื่อนปัญหา" การเก้ากระโดดที่เพ้อฝัน "คำตอบที่ไม่แน่นอน" ถูกปฏิภาณหรือ "ด้น" ขึ้นมา ขาดกฏของการอุปนัยเพื่อนำทางมัน ผลที่ได้คือการวางนัยทั่วไปที่ไม่จำกัดและเป็นเชิงนิรนัย ผลที่ตามมาของการพิจารณาที่เป็นการอธิบายทั้งหมด แต่ข้อโต้เถียงก็ดำเนินต่อไปและคำอธิบายที่ป็อปเปอร์สันนิษฐานขึ้นมาไม่ถูกยอมรับโดยทั่วไป
ไม่นานมานี้ การอนุมานแบบอุปนัยได้ถูกแสดงว่าสามารถมีความแน่นอนได้ แต่แค่ในโอกาสที่หายากมาก ๆ เช่นในโปรแกรมการเรียนรู้ของเครื่องในปัญญาประดิษฐ์ (หรือ เอไอ)#เปลี่ยนทาง จุดยืนของป็อบเปอร์เรื่องการอุปนัยที่ว่าเป็นภาพลวงตาได้ถูกพิสูจน์แล้วว่าผิด การอุปนัยแบบแจงนับมีอยู่จริง แต่ถึงอย่างนั้น การให้เหตุผลแบบอุปนัยมีอยู่น้อยเกินไปในวิทยาศาสตร์ ถึงแม้จะถูกพูดถึงเป็นอย่างมากในหมู่นักปรัชญาสมัยนี้ การจารนัย หรือการอนุมานสู่คำอธิบายที่ดีที่สุด ไม่มีกฏการอนุมาน (rule of inference) และการอนุมานที่หามาได้ด้วยการจารนัยนั้นเกิดขึ้นจากจินตนาการและการสร้างสรรค์ของมนุษย์
ความเอนเอียง.
เช่นเดียวกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย ความลำเอียงสามารถบิดเบือนการนำการอ้างแบบอุปนัยไปใช้อย่างเหมาะสมได้ ด้วยเหตุนั้นจึงยับยั้งไม่ให้ผู้ให้เหตุผลหาข้อสรุปเชิงตรรกะ (logical consequence) ที่ดีที่สุดที่อยู่บนหลักฐานได้ ตัวอย่างของความเอนเอียงเช่น ฮิวริสติกโดยความเข้าถึงได้ง่าย ความเอนเอียงเพื่อยืนยัน และความเอนเอียงโลกที่คาดเดาได้
ฮิวริสติกโดยความเข้าถึงได้ง่ายทำให้ผู้ให้เหตุผลอาศัยข้อมูลที่มีอยู่พร้อมและเข้าถึงได้ง่ายเป็นหลัก เช่นในแบบสำรวจ เมื่อผู้คนถูกขอให้ประมาณอัตราร้อยละของสาเหตุการตายต่าง ๆ ของผู้คน ผู้ตอบจะเลือกสาเหตุที่ปรากฏอยู่ชุกในสื่อ เช่นการก่อการร้าย ฆาตกรรม และอุบัติเหตุการบิน มากกว่าโรคและอุบัติเหตุจราจรซึ่ง "เข้าถึงได้ยากกว่า" เพราะไม่ได้ถูกเน้นมากเท่าในสังคมรอบตัว
ความเอนเอียงเพื่อยืนยันอยู่บนแนวโน้มโดยธรรมชาติที่จะยืนยันมากกว่าปฏิเสธสมมติฐานปัจจุบัน งานวิจัยได้แสดงให้เห็นว่าผู้คนบ่ายเบนหาคำตอบของปัญหาที่ตรงกับสมมติฐานที่เข้าใจมากกว่าจะพยายามพิสูจน์ว่าสมมติฐานผิด ในการทดลอง บ่อยครั้งที่ผู้รับจะถามคำถามที่หาคำตอบที่เข้ากับสมมติฐานที่สถาปนาไว้ จึงเป็นการยืนยันสมมติฐานเหล่านั้นเอง เช่นถ้าสมมติฐานว่าสมหญิงเป็นคนเข้าสังคม ผู้รับการทดลองจะพยายามยืนยันข้อตั้งนี้โดยธรรมชาติด้วยการถามคำถามที่จะผลิตคำตอบที่ยืนยันว่า สมหญิงนั้นเป็นคนที่เข้าสังคมได้จริง ๆ
ความเอนเอียงโลกที่คาดเดาได้เวียนอยู่เรื่องการบ่ายเบนที่จะแลเห็นระเบียบในที่ ๆ ยังไม่ถูกพิสูจน์ว่ามีอยู่ ไม่ว่าจะไม่มีเลยหรือมีอย่างเป็นนามธรรมในระดับหนึ่ง ตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดเช่นการพนัน นักการพนันมักจะเริ่มคิดว่าตัวเองเห็นรูปแบบที่ง่ายและชัดเจนในผลลัพธ์และจึงเชื่อว่าตัวเองสามารถคาดเดาผลลัพธ์ด้วยสิ่งที่ตัวเองเห็น แต่ในความเป็นจริง ผลลัพธ์ของเกมแต่ละเกมยากที่จะคาดเดาและซับซ้อนมาก โดยทั่วไปแล้วผู้คนมักจะหาระเบียบอย่างง่ายรูปแบบหนึ่งเพื่ออธิบายหรือให้ความถูกต้องกับความเชื่อและประสบการณ์ของตัวเอง และยากมากที่พวกเขาจะนึกขึ้นได้ว่าระเบียบที่ตัวเองเห็นอาจผิดไปจากความจริงโดยสิ้นเชิง
การอนุมานแบบเบย์.
เป็นตรรกะของการอุปนัยมากกว่าทฤษฎีของความเชื่อ การอนุมานแบบเบย์ไม่ได้ระบุว่าความเชื่อใดมีตรรกะ"ก่อนประสบการณ์" แต่ระบุว่าเราควรเปลี่ยนความเชื่อของเราอย่างมีตรรกะอย่างไรเมื่อเผชิญกับหลักฐาน เราเริ่มโดยไว้ใจความน่าจะเป็นก่อน (prior probability) สำหรับสมมติฐานที่อยู่บนตรรกะหรือประสบการณ์ก่อน ๆ และเมื่อเผชิญกับหลักฐาน เราปรับความมั่นใจของความเชื่อเราในสมมติฐานนั้นในกิริยาที่แม่นยำด้วยตรรกะแบบเบย์
การอนุมานแบบอุปนัย.
ในช่วงปี 2503 เรย์ โซโลมอนอฟ ก่อตั้งทฤษฎีการอนุมานแบบอุปนัยของโซโลโมนอฟ (solomonoff's theory of inductive inference) ทฤษฎีการพยากรณ์ที่อยู่บนการสังเกตการณ์ ตัวอย่างเช่นการพยากรณ์เครื่องหมายต่อไปตามลำดับเครื่องหมายที่ให้มา นี่เป็นขอบข่ายการอุปนัยแบบทางการที่รวมทฤษฎีสารสนเทศเชิงขั้นตอนวิธี (algorithmic information theory) กับขอบข่ายของเบย์ การอนุมานอุปนัยสากลอยู่บนรากฐานเชิงปรัชญาที่สมบูรณ์ และสามารถถือได้ว่าเป็นมีดโกนอ็อกคัมที่ถูกทำให้เป็นทางการในรูปแบบของคณิตศาสตร์ ส่วนประกอบพื้นฐานของทฤษฎีนี้เป็นแนวคิดของความน่าจะเป็นเชิงขั้นตอนวิธีและความซับซ้อนคอลโมโกรอฟ
ดูเพิ่ม.
<templatestyles src="Div col/styles.css"/>