รากที่ n

ในทางคณิตศาสตร์ รากที่ "n" ของจำนวน "x" คือจำนวน "r" ที่ซึ่งเมื่อยกกำลัง "n" แล้วจะเท่ากับ "x" นั่นคือ
<math>r^n = x\,</math>
ตัวแปร "n" คือจำนวนที่ใส่เข้าไปเป็นดีกรีของราก โดยทั่วไปรากของดีกรี "n" จะเรียกว่ารากที่ "n" เช่นรากของดีกรีสองเรียกว่ารากที่สอง รากของดีกรีสามเรียกว่ารากที่สาม เป็นอาทิ
ตัวอย่างเช่น
รากที่ "n" ของจำนวนหนึ่งอาจมีหลายคำตอบก็ได้และไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง
รากเหล่านี้โดยปกติเขียนแทนด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ ซึ่งมีลักษณะดังนี้ <math>\sqrt{\,\,}</math> โดยส่วนบนจะยาวคลุมตัวถูกดำเนินการโดยตลอด (เสมือนเป็นวงเล็บในตัว) รากที่สองของ "x" เขียนแทนด้วย <math>\sqrt{x}</math> รากที่สามเขียนแทนด้วย <math>\sqrt[3]{x}</math> รากที่สี่เขียนแทนด้วย <math>\sqrt[4]{x}</math> เช่นนี้เรื่อยไป เมื่อจำนวนหนึ่งเขียนอยู่ภายใต้กรณฑ์ มันต้องให้ค่าออกมาเพียงค่าเดียวเหมือนฟังก์ชัน ดังนั้นรากที่เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ ซึ่งเรียกว่า รากที่ "n" มุขสำคัญ (principal "n"-th root) จะเป็นจำนวนที่ถูกเลือกมากกว่ารากอื่น จำนวนติดกรณฑ์ที่ไม่ได้แจงค่าหรือหาค่ามิได้ บ่อยครั้งที่ถูกเรียกว่าเสิร์ด (surd) หรือราก (radical) ไปอย่างนั้น ในภาษาไทยนิยมเรียกสั้น ๆ ว่ารูต (root)
ในแคลคูลัส รากต่าง ๆ ถือว่าเป็นกรณีพิเศษของยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนดังนี้
<math>\sqrt[n]{x} \,=\, x^{(1/n)}</math>
รากต่าง ๆ มีความสำคัญโดยเฉพาะกับทฤษฎีของอนุกรมอนันต์ ซึ่งการทดสอบโดยรากเป็นตัวพิจารณารัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง รากที่ "n" อาจสามารถนิยามสำหรับจำนวนเชิงซ้อนและรากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ทฤษฎีกาลัวจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถเขียนแทนในรูปของกรณฑ์ได้ นำไปสู่ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีที่ว่าพหุนามดีกรีห้าขึ้นไปโดยทั่วไปไม่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้รากเพียงอย่างเดียว
ประวัติ.
ต้นกำเนิดเกี่ยวกับเครื่องหมายกรณฑ์ (radical symbol, root symbol) <math>\sqrt{\,\,}</math> นั้นยังเป็นที่สงสัยอยู่ โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เชื่อว่ามันมีที่มาจากอักษรตัว "r" ซึ่งเป็นตัวอักษรขึ้นต้นของคำว่า "radix" ในภาษาลาตินอันมีความหมายเช่นเดียวกับการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนเดิม ซึ่งเครื่องหมายนี้ถูกตีพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่ปรากฏเส้นลากข้างบนในปี ค.ศ. 1525 ในหนังสือ "Die Coss" โดย คริสตอฟ รูดอล์ฟ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน
<math>
ปฏิบัติการมูลฐาน.
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad ; a \ge 0, b \ge 0
</math>
<math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad ; a \ge 0, b > 0</math>
<math>
\sqrt[n]{a^m} = \left (\sqrt[n]{a}\right) ^m = \left (a^{\frac{1}{n}}\right) ^m = a^{\frac{m}{n}},
</math> ; a > 0, b > 0
และทุก ๆ "a" เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ จะทำให้มี b เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน n จำนวนซึ่ง "b""n" = "a", ดังนั้นการใช้ <math>\sqrt[n]{a}</math> จึงไม่อาจใช้อย่างกำกวมได้ รากที่ n ของ รากของเอกภพ จึงมีความสำคัญยิ่ง
จำนวนสามารถเปลี่ยนไปอยู่ในรูปเอกซ์โปเนนเชียลได้ โดยให้รากที่ต้องการอยู่ในรูปของส่วนในเศษส่วนเลขยกกำลังได้ ดังนี้
<math>a^m a^n = a^{m+n} \,</math>
<math>\left ({\frac{a}{b}}\right) ^m = \frac{a^m}{b^m}</math>
<math> (a^m) ^n = a^{mn} \,</math>
ตัวอย่าง:
<math>\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15}</math>
<math>\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = a^\frac{1}{2}a^\frac{-1}{4}= a^\frac{4 - 2}{8} = a^\frac{2}{8} = a^\frac{1}{4}</math>
<math>\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}</math>
เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานในการนำตัวเลขเข้าและออกเครื่องหมายกรณฑ์แล้ว ก็จะสามารถจัดกลุ่มพหุนามได้ เช่น
<math>\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}</math>
<math>=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}</math>
<math>=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}</math>
<math>= ({a+a^2}) \sqrt[3]{a^2}</math>