สมบัติการเปลี่ยนหมู่

ในคณิตศาสตร์ สมบัติการเปลี่ยนหมู่  เป็นสมบัติหนึ่งที่สามารถมีได้ของการดำเนินการทวิภาค ซึ่งนิพจน์ที่มีตัวดำเนินการเดียวกันตั้งแต่สองตัวขึ้นไป การดำเนินการสามารถกระทำได้โดยไม่สำคัญว่าลำดับของตัวถูกดำเนินการจะเป็นอย่างไร นั่นหมายความว่า การใส่วงเล็บเพื่อบังคับลำดับการคำนวณในนิพจน์ จะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย ตัวอย่างเช่น
(5 + 2) + 1 = 5 + (2 + 1) = 8
นิพจน์ข้างซ้ายจะบวก 5 กับ 2 ก่อนแล้วค่อยบวก 1 ส่วนนิพจน์ข้างขวาจะบวก 2 กับ 1 ก่อนแล้วค่อยบวก 5 ไม่ว่าลำดับของวงเล็บจะเป็นอย่างไร ผลบวกของนิพจน์ก็เท่ากับ 8 ไม่เปลี่ยนแปลง และเนื่องจากสมบัตินี้เป็นจริงในการบวกของจำนวนจริงใด ๆ เรากล่าวว่า การบวกของจำนวนจริงเป็นการดำเนินการที่ "เปลี่ยนหมู่ได้" (associative)
ไม่ควรสับสนระหว่างสมบัติการเปลี่ยนหมู่กับสมบัติการสลับที่ สมบัติการสลับที่เป็นการเปลี่ยนลำดับของตัวถูกดำเนินการในนิพจน์ ในขณะที่สมบัติการเปลี่ยนหมู่ไม่ได้สลับตัวถูกดำเนินการเหล่านั้น เพียงแค่เปลี่ยนลำดับการคำนวณ เช่นตัวอย่างต่อไปนี้
(5 + 2) + 1 = (2 + 5) + 1
ไม่ใช่ตัวอย่างของสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เพราะว่า 2 กับ 5 สลับที่กัน
การดำเนินการเปลี่ยนหมู่ได้มีมากมายในคณิตศาสตร์ และด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าโครงสร้างเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่จำเป็นต้องมีการดำเนินการทวิภาคที่เปลี่ยนหมู่ได้เป็นส่วนประกอบ อย่างไรก็ตามการดำเนินการหลายอย่างที่สำคัญก็ "เปลี่ยนหมู่ไม่ได้" หรือ "ไม่เปลี่ยนหมู่" (non-associative) เช่นผลคูณไขว้ของเวกเตอร์วิคเตอร์ โรเนลเเมสซี
นิยาม.
กำหนดการดำเนินการทวิภาค ∗ บนเซต "S" เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น "เปลี่ยนหมู่ได้" ถ้าหาก
<math>\forall x,y,z \in S: (x * y) * z = x * (y * z) \,</math>
และเนื่องจากลำดับของการดำเนินการไม่มีความสำคัญ เราจึงอาจไม่จำเป็นต้องใส่วงเล็บ ดังนี้
<math>x * y * z \,</math>
อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญที่จะต้องจดจำคือ การเปลี่ยนลำดับของการดำเนินการจะต้องไม่ทำให้ตัวถูกดำเนินการเปลี่ยนตำแหน่งไปภายในนิพจน์
กำหนดฟังก์ชันทวิภาค f : "A"×"A" → "B" เราจะกล่าวว่าฟังก์ชันนั้น "เปลี่ยนหมู่ได้" ถ้าหาก
<math>\forall x,y,z \in A: f(f(x,y),z) = f(x,f(y,z)) \,</math>
ตัวอย่าง.
ตัวอย่างบางส่วนของการดำเนินการเปลี่ยนหมู่มีดังนี้
<math>
\left.
(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad
(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \,
</math>
 <math>
\left.
\operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(x,y),z)=
\operatorname{gcd}(x,\operatorname{gcd}(y,z))=
\operatorname{gcd}(x,y,z)\ \quad
\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(x,y),z)=
\operatorname{lcm}(x,\operatorname{lcm}(y,z))=
\operatorname{lcm}(x,y,z)\quad
</math>
 <math>
\left.
(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C\quad
(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=A\cup B\cup C\quad
\mbox{for all sets }A,B,C
</math>
<math>(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad\forall f,g,h\in S</math>
<math>(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h</math>
ดังนั้น การจับคู่จึงเป็นการดำเนินการเปลี่ยนหมู่ได้เสมอ
การดำเนินการไม่เปลี่ยนหมู่.
กำหนดการดำเนินการทวิภาค ∗ บนเซต "S" เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น "เปลี่ยนหมู่ไม่ได้" ถ้าหาก
<math>\exists x,y,z \in S: (x * y) * z \ne x * (y * z) \,</math>
การดำเนินการเช่นนั้น ลำดับของการคำนวณจึงมีความสำคัญ เช่นการลบ การหาร และการยกกำลัง
<math>(5-3)-2\ne 5-(3-2)</math>
<math>(4\div2)\div2\ne 4\div(2\div2)</math>
<math>2^{(1^2)}\ne (2^1)^2</math>
เครื่องหมายวงเล็บจึงถูกใช้เพื่อแสดงลำดับของการดำเนินการ เมื่อมีการดำเนินการเหล่านี้มากกว่าหนึ่งครั้งในนิพจน์ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ได้ยอมรับลำดับความสำคัญของการดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนหมู่หลายชนิด เป็นหลักการในการเขียนเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้วงเล็บ แบ่งออกได้เป็นสองประเภท ได้แก่การดำเนินการที่จัดกลุ่มทางซ้าย
<math>
\left.
x*y*z=(x*y)*z\qquad\qquad\quad\,
w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad
\mbox{etc.}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \,
\forall w,x,y,z\in S
</math>
และการดำเนินการที่จัดกลุ่มทางขวา
<math>
\left.
x*y*z=x*(y*z)\qquad\qquad\quad\,
w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad
\mbox{etc.}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \,
\forall w,x,y,z\in S
</math>