เซนทรอยด์

ในทางเรขาคณิต เซนทรอยด์  หรือชื่ออื่นเช่น ศูนย์กลางเรขาคณิต (geometric center), แบรีเซนเตอร์ (barycenter) ของรูปร่าง "X" บนระนาบ คือจุดตัดของเส้นตรงทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง "X" ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่า ๆ กัน หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในรูปร่าง "X" นิยามนี้ขยายออกไปยังวัตถุใด ๆ ที่อยู่ในปริภูมิ "n" มิติด้วย นั่นคือเซนทรอยด์คือจุดตัดของระนาบเกิน (hyperplane) ทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง "X" ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่า ๆ กัน
ในทางฟิสิกส์ เซนทรอยด์อาจหมายถึงศูนย์กลางเรขาคณิตของวัตถุดังที่กล่าวไปแล้ว หรืออาจหมายถึงศูนย์กลางมวลหรือศูนย์ถ่วงของวัตถุ ขึ้นอยู่กับบริบท หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมด ซึ่งชั่งน้ำหนักตามความหนาแน่นหรือน้ำหนักจำเพาะตามลำดับ
ในทางภูมิศาสตร์ เซนทรอยด์ของบริเวณหนึ่งบนพื้นผิวโลก ซึ่งเป็นภาพฉายตามแนวรัศมีไปบนพื้นผิว คือจุดกึ่งกลางโดยสมมติของพื้นที่บริเวณนั้น เรียกว่าศูนย์กลางภูมิศาสตร์ (geographical centre)
สมบัติ.
เซนทรอยด์ของวัตถุทรงนูน (convex) จะอยู่ในวัตถุนั้นเสมอ สำหรับรูปสามเหลี่ยมจะเป็นจุดที่เส้นมัธยฐานทั้งสามตัดกันพอดี ส่วนวัตถุที่ไม่เป็นทรงนูน เซนทรอยด์อาจอยู่นอกวัตถุก็ได้ ตัวอย่างวัตถุเช่น แหวนหรือถ้วย เซนทรอยด์จะอยู่กึ่งกลางช่องว่างระหว่างวัตถุ
ถ้าหากเซนทรอยด์ได้ถูกนิยามขึ้นมาแล้ว จุดนั้นจะเป็นจุดตรึง (fixed point) สำหรับสมมิติ (isometry) ทั้งหมดในกรุปสมมาตร (symmetry group) โดยเฉพาะเซนทรอยด์ของวัตถุที่อยู่บนจุดตัดของระนาบเกินทั้งหมดของความสมมาตร เซนทรอยด์ของรูปทรงหลายชนิด (เช่น รูปหลายเหลี่ยมปรกติ ทรงหลายหน้าปรกติ ทรงกระบอก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปวงกลม ทรงกลม รูปวงรี ทรงรี superellipse superellipsoid ฯลฯ) สามารถอธิบายได้ด้วยหลักการข้างต้น
ด้วยเหตุผลเดียวกัน เซนทรอยด์ของวัตถุที่สมมาตรเคลื่อนที่ (translational symmetry) จะไม่ถูกนิยาม (หรือวางอยู่นอกปริภูมิที่โอบล้อม) เพราะว่าการเคลื่อนที่นั้นไม่มีจุดตรึง
เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด.
เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด <math>x_1,x_2,\ldots,x_k</math> ในเซต <math>\mathbb{R}^n</math> คือ
<math>C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}</math>
เซนทรอยด์จากการแยกทางเรขาคณิต.
เซนทรอยด์ของรูปร่าง "X" บนระนาบ สามารถคำนวณได้จากการแบ่งรูปนั้นออกเป็นรูปร่างที่ง่ายกว่าเป็นส่วนๆ <math>X_1, X_2, ..., X_n</math> เป็นจำนวนจำกัด "n" ส่วน แล้วคำนวณหาเซนทรอยด์ย่อย <math>C_i</math> กับพื้นที่ย่อย <math>A_i</math> ของแต่ละส่วน เพื่อเข้าสูตรนี้
<math> C = \frac{\sum C_i A_i}{\sum A_i}</math>
สูตรนี้ก็สามารถใช้ได้บนวัตถุสามมิติ เว้นแต่เพียงว่า <math>A_i</math> ควรจะเป็นปริมาตรของวัตถุย่อย <math>X_i</math> แทนที่จะเป็นพื้นที่ และสูตรนี้ก็ยังใช้ได้บนเซตย่อยของ <math>\R^d</math> สำหรับวัตถุ "d" มิติ โดยที่ <math>A_i</math> จะถูกแทนที่ด้วยเมเชอร์ (measure) ของส่วนย่อยนั้น
สูตรนี้ก็ยังคงใช้ได้ถึงแม้ว่าจะมีบางส่วนทับซ้อน และ/หรือขยายออกไปนอกเซต "X" ซึ่งจะทำให้เมเชอร์ <math>A_i</math> มีค่าเป็นบวกหรือลบ ในทางเช่นนั้นผลรวมทุกส่วนของ <math>A_i</math> ที่โอบล้อมจุดที่กำหนด "x" จะเท่ากับ 1 เมื่อจุด "x" อยู่ในรูปร่าง "X" ส่วนกรณีอื่นจะเป็น 0
สูตรปริพันธ์.
เซนทรอยด์ของเซตย่อย "X" ในเซต <math>\R^d</math> สามารถคำนวณได้ด้วยปริพันธ์
<math>C = \frac{\int x f(x) \ dx}{\int f(x) \ dx}</math>
เมื่อปริพันธ์นั้นครอบคลุมปริภูมิ <math>\R^d</math> ทั้งหมด และ "f" คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function) ของเซตย่อยนั้น ซึ่งให้ค่าเป็น 1 หากอยู่ภายใน "X" และเป็น 0 หากอยู่ภายนอก (อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ไม่สามารถใช้ได้ถ้าวัตถุนั้นมีเมเชอร์เป็นศูนย์ หรือถ้าปริพันธ์ลู่ออก อย่างใดอย่างหนึ่ง)
เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมและทรงสี่หน้า.
เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือจุดตัดของเส้นมัธยฐาน (ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านที่อยู่ตรงข้าม) เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็นอัตราส่วน 2:1 ซึ่งเรียกได้ว่าเซนทรอยด์อยู่ที่ 1/3 ของส่วนสูง (ระยะตั้งฉากระหว่างด้านและมุมตรงข้าม) ดังรูปที่แสดงไว้ทางขวา
เซนทรอยด์จะเป็นศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยม ถ้าหากรูปสามเหลี่ยมนั้นสร้างขึ้นบนแผ่นวัสดุบาง ๆ เช่น แผ่นกระดาษหรือแผ่นโลหะ พิกัดคาร์ทีเซียนของเซนทรอยด์ คือมัชฌิมเลขคณิตของพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ ถ้าให้จุดยอดทั้งสามอยู่ที่ <math>a = (x_a, y_a)</math>, <math>b = (x_b, y_b)</math>, และ <math>c = (x_c, y_c)</math> ดังนั้นเซนทรอยด์จะอยู่ที่
<math>C = \frac13(a+b+c) = \Big(\frac13 (x_a+x_b+x_c), \ \frac13(y_a+y_b+y_c) \Big)</math>
ผลที่คล้ายกันนี้ก็มีเช่นกันในทรงสี่หน้า เซนทรอยด์ของทรงสี่หน้าคือจุดตัดของส่วนของเส้นตรงทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดยอดกับเซนทรอยด์ของหน้าที่อยู่ตรงข้าม (ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม) ส่วนของเส้นตรงนี้จะถูกแบ่งโดยเซนทรอยด์ด้วยอัตราส่วน 3:1 ด้วยผลเช่นนี้สามารถเกิดกับกรณีทั่วไปของซิมเพล็กซ์ "n" มิติ ถ้าเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์คือ <math>{v_0, v_1, ..., v_n}</math> เราจะพิจารณาว่าจุดยอดเหล่านี้เป็นเวกเตอร์ และเซนทรอยด์จะอยู่ที่
<math>C = \frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i</math>
isogonal conjugate ของเซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือ symmedian point
เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยม.
เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยมที่ด้านไม่ตัดกัน ซึ่งนิยามโดยจุดยอด <math>(x_i, y_i)</math> จำนวน "n" จุด สามารถคำนวณได้ ดังนี้
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือ
<math>A =3 \frac{1}{2}\sum_{i=4}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>
และเซนทรอยด์จะอยู่ที่ <math>C =3 (C_x,C_y)</math> เมื่อ
<math>C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>
<math>C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>
สำหรับสูตรเหล่านี้ จุดยอด <math>(x_n, y_n)</math> จะถูกกำหนดให้เป็น <math>(x_0, y_0)</math> ซึ่งก็หมายถึงจุดเดียวกัน