สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร "x" และ "y" คือ
<math>y = mx + c \!</math>
โดยที่ "m" คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ "b" แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน "y" สำหรับสมการที่มีพจน์ "x"2, "y"1/3, "xy" ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น
ตัวอย่าง.
สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น
<math>3a + 472b = 10b -
 37 \!</math>
<math>2x + y -5 = -7x + 4y +3 \!</math>
รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ.
สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของพีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น 
ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ อักษรตัวใหญ่ใช้แทนค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ "x" และ "y" คือตัวแปร
<math>Ax + By + C = 0 \!</math>
รูปแบบทั่วไป.
เมื่อ "A" กับ "B" ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ "A" ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุก ๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ "A" ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน "x" จะอยู่ที่ระยะ −"C"/"A" และเมื่อ "B" ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน "y" จะอยู่ที่ระยะ −"C"/"B" ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −"A"/"B"
<math>Ax + By = C \!</math>
รูปแบบมาตรฐาน.
เมื่อ "A" และ "B" ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง "A", "B", "C" จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 และมักเขียนให้ "A" ≥ 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนัก
เช่น
<math>y = mx + b \!</math>
รูปแบบความชันและระยะตัดแกน.
เมื่อ "m" แทนความชันของเส้นตรง และ "b" คือระยะตัดแกน "y" ซึ่งเป็นพิกัด "y" ของจุดที่เส้นตรงนั้นตัดผ่านแกน "y" ถ้าหากให้ค่า "x" = 0 เราจะเห็นสมการนี้อยู่ในรูปแบบ "y" = "b"
<math>y - y_1 = m \cdot (x - x_1) \!</math>
รูปแบบจุดและความชัน.
เมื่อ "m" คือความชันของเส้นตรงและ ("x"1, "y"1) คือจุดใด ๆ บนเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนได้โดยง่าย รูปแบบจุดและความชันแสดงให้เห็นถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงนั้นในแนวแกน "x" และแกน "y" โดยมีจุด ("x"1, "y"1) เป็นจุดยืน 
ในบางโอกาสเราอาจเห็นรูปแบบจุดและความชันอยู่ในรูปแบบนี้
<math display="block">\frac{y - y_1}{x - x_1} = m</math>
แต่อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก "x" = "x"1 สมการนี้จะไม่มีความหมาย
 <math>\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1</math>
รูปแบบระยะตัดแกน.
เมื่อ "E" และ "F" ต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ กราฟของสมการนี้จะมีระยะตัดแกน "x" เท่ากับ "E" และระยะตัดแกน "y" เท่ากับ "F" รูปแบบระยะตัดแกนสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยกำหนดให้ "A" = 1/"E", "B" = 1/"F" และ "C" = 1
<math>y - k = \frac{q - k}{p - h} (x - h)</math>
รูปแบบจุดสองจุด.
เมื่อ "p" ≠ "h" กราฟนี้จะเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด ("h", "k") และจุด ("p", "q") โดยมีความชันเท่ากับ "m" = ("q" − "k") / ("p" − "h") รูปแบบจุดสองจุดสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบจุดและความชันได้ โดยการคำนวณหาค่าที่เจาะจงของความชันมาแทนที่ตำแหน่งของ "m"
<math>\begin{align} x & = Tt + U \\ y & = Vt + W \end{align}</math>
รูปแบบอิงพารามิเตอร์.
รูปแบบนี้เป็นสมการหลายชั้น (simultaneous equations) สองสมการในพจน์ของตัวแปรพารามิเตอร์ "t" ที่มีความชัน "m" = "V"/"T" โดยมีระยะตัดแกน "x" อยู่ที่ ("VU"−"WT") / "V" และระยะตัดแกน "y" อยู่ที่ ("WT"−"VU") / "T"
สมการรูปแบบนี้มีความสัมพันธ์กับรูปแบบจุดสองจุด เมื่อ "T" = "p"−"h", "U" = "h", "V" = "q"−"k", และ "W" = "k" จะได้
<math>\begin{align} x & = (p - h)t + h \\ y & = (q - k)t + k \end{align}</math>
ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ "t" จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด ("h", "k") ไปยัง 1 ที่จุด ("p", "q") ค่าของ "t" ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิดการประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ "t" จะทำให้เกิดการประมาณค่านอกช่วง (extrapolation)
<math>y \sin \phi + x \cos \phi - p = 0 \!</math>
รูปแบบเส้นแนวฉาก.
เมื่อ "φ" คือมุมเอียงของเส้นแนวฉาก และ "p" คือความยาวของเส้นแนวฉาก เส้นแนวฉากนี้คือระยะทางของส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุด ที่เชื่อมระหว่างกราฟเส้นตรงของสมการเชิงเส้นกับจุดกำเนิด รูปแบบเส้นแนวฉากสามารถแปลงจากรูปแบบทั่วไปได้โดยหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย <math>\sqrt{A^2 + B^2}</math> และถ้าหาก C > 0 ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย −1 เพื่อให้ค่าคงตัวตัวสุดท้ายติดลบ รูปแบบนี้เรียกว่า "รูปแบบมาตรฐานเฮสส์" ซึ่งตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ลุดวิก ออตโต เฮสส์ (Ludwig Otto Hesse)
<math>y = F \!</math>
กรณีพิเศษ.
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ "A" = 0 และ "B" = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน "m" = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน "y" เท่ากับ "F" ถ้า "F" ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน "x" แต่ถ้า "F" = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน "x" เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน
<math>x = E \!</math>
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ "A" = 1 และ "B" = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน "x" เท่ากับ "E" ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า "E" ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน "y" แต่ถ้า "E" = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน "y" เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน
<math>y = y \!</math> และ <math>x = x \!</math>
ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นเอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ "xy") ดังตัวอย่าง <math>2x + 4y = 2(x + 2y)</math> นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ "x" และ "y" จะเป็นค่าใด
โปรดสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนทางพีชคณิต อาจทำให้ประพจน์เกิดความเป็นเท็จ อาทิ 1 = 0 ซึ่งเราจะเรียกสมการนั้นว่าเป็น "สมการที่ขัดแย้งกัน" หมายความว่า ไม่ว่าค่าของ "x" และ "y" จะเป็นค่าใด สมการก็ยังเป็นเท็จอยู่เสมอและไม่สามารถวาดกราฟได้ ดังเช่นสมการนี้ <math>3x + 2 = 3x - 5</math>
สมการเชิงเส้นที่มากกว่าสองตัวแปร.
สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร "n" ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ
<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b</math>
ซึ่ง <math>a_1, a_2, ..., a_n</math> เป็นสัมประสิทธิ์ <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> คือตัวแปร และ "b" คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อย ๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่ <math>x_1, x_2, x_3</math> ด้วยชื่อตัวแปรอื่น ๆ เช่น <math>x, y, z</math> ได้ตามต้องการ
สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอระนาบเกิน "n"–1 มิติ (hyperplane) ในปริภูมิแบบยุคลิด "n" มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น