การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบ  ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึงการแบ่งย่อยวัตถุทางคณิตศาสตร์ (เช่น จำนวน พหุนาม หรือเมทริกซ์) ให้อยู่ในรูปผลคูณของวัตถุอื่น ซึ่งเมื่อคูณตัวประกอบเหล่านั้นเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังเดิม ตัวอย่างเช่น จำนวน 15 สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นจำนวนเฉพาะได้เป็น 3 × 5 และพหุนาม <math>x^2-4</math> สามารถแยกได้เป็น <math> (x-2) (x+2) </math> เป็นต้นจำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน <math>i</math> ซึ่งทำให้สมการ <math>i^2+1=0</math> เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน <math>z</math> ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป <math>x + iy</math> โดยที่ <math>x</math> และ <math>y</math> เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก <math>x</math> และ <math>y</math> ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ <math>z</math> ตามลำดับ
จุดมุ่งหมายของการแยกตัวประกอบคือการลดทอนวัตถุให้เล็กลง อาทิ จากจำนวนไปเป็นจำนวนเฉพาะ จากพหุนามไปเป็นพหุนามลดทอนไม่ได้ (irreducible polynomial) การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต ส่วนการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต สำหรับพหุนาม สิ่งที่ตรงข้ามกับการแยกตัวประกอบคือการกระจายพหุนาม (polynomial expansion) ซึ่งเป็นการคูณตัวประกอบทุกตัวเข้าด้วยกันเป็นพหุนามใหม่
การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มสำหรับจำนวนขนาดใหญ่อาจกลายเป็นข้อปัญหาที่ยุ่งยาก ซึ่งไม่มีวิธีใดที่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนขนาดใหญ่ได้อย่างรวดเร็ว แต่ความยุ่งยากนี้เป็นประโยชน์ต่อการรักษาความปลอดภัยในขั้นตอนวิธีของการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร อย่างเช่น RSA
สำหรับการแยกตัวประกอบของเมทริกซ์เรียกว่า การแยกเมทริกซ์ (matrix decomposition) ซึ่งมีวิธีการที่เหมาะสมแตกต่างกันไปสำหรับเมทริกซ์นั้นๆ เช่น การแยกแบบคิวอาร์ (QR decomposition) เป็นต้น วิธีหลักอย่างหนึ่งที่นิยมคือการทำให้เป็นผลคูณของ เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrix) หรือเมทริกซ์ยูนิแทรี (unitary matrix) กับเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยม (triangular matrix)
อีกตัวอย่างหนึ่งของการแยกตัวประกอบคือการแยกฟังก์ชันให้กลายเป็นการประกอบฟังก์ชัน (function composition) กับฟังก์ชันอื่นโดยมีเงื่อนไขที่เจาะจง ตัวอย่างเงื่อนไขเช่น ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการประกอบของฟังก์ชันทั่วถึง (surjective function) กับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) เป็นต้น
พหุนาม.
การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง.
พหุนามกำลังสองใด ๆ บนจำนวนเชิงซ้อน (คือพหุนามที่อยู่ในรูป <math>ax^2+bx+c</math> เมื่อ <math>a,b,c \in \mathbb{C}</math>) สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูป <math>a (x - \alpha) (x - \beta) \!</math> เมื่อ <math>\alpha</math> และ <math>\beta</math> คือรากของพหุนาม ซึ่งคำนวณได้จากสูตรกำลังสองดังนี้
 <math>ax^2 + bx + c = a (x - \alpha) (x - \beta) = a\left (x - \left (\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \right) \left (x - \left (\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \right) </math>
พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็ม.
บางครั้งพหุนามกำลังสองสามารถแยกออกได้เป็นทวินาม (binomial) สองตัวด้วยสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสองในการคำนวณ ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการหารากของสมการกำลังสอง โดยที่พหุนาม
 <math>ax^2+bx+c\!</math>
สามารถแยกได้เป็น
 <math> (mx+p) (nx+q) \!</math>
เมื่อ
 <math>mn = a\!</math>
 <math>pq = c\!</math>
 <math>pn + mq = b\!</math>
จากนั้นจึงให้ทวินามแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ แล้วคำนวณหาค่าของ "x" เพื่อหารากของสมการกำลังสอง
ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์.
พหุนามกำลังสองบางชนิดสามารถแยกตัวประกอบออกได้เป็นทวินามที่เหมือนกัน พหุนามนั้นเรียกว่า "ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์" หรือเพียงแค่ "กำลังสองสมบูรณ์" ซึ่งพหุนามดังกล่าวสามารถแยกได้ดังนี้
<math>(a + b) ^2= (a + b) (a + b) = a^2 + 2ab + b^2</math>
<math>(a - b) ^2= (a - b) (a - b) = a^2 - 2ab + b^2</math>
ผลบวกและผลต่างกำลังสอง.
การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีกอย่างหนึ่งเรียกว่า "ผลต่างกำลังสอง" มีสูตรดังนี้
 <math>a^2 - b^2 = (a-b) (a+b) \!</math>
ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้งสองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมีจำนวนจินตภาพเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงได้ดังนี้
 <math>a^2 + b^2 = (a+bi) (a-bi) \!</math>
ตัวอย่างเช่น <math>4x^2 + 49</math> สามารถแยกได้เป็น <math> (2x + 7i) (2x - 7i) </math> เป็นต้น
การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆ.
ผลบวกและผลต่างกำลังสาม.
สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของผลบวกและผลต่างกำลังสามเป็นดังนี้
ผลบวกและผลต่างสามารถแยกตัวประกอบเป็น
 <math> a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\!</math>
<math> a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\!</math>
เช่น "x"3 − 103 (or "x"3 − 1000) สามารถแยกตัวประกอบเป็น ("x" − 10)("x"2 + 10"x" + 100)