ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว  หรือ ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใด ๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่าภาคแสดงนั้นเป็นจริงสำหรับสมาชิกใด ๆ ในโดเมน หรือก็คือ สมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้น ๆ สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด
การบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∀ ร่วมกับตัวแปร เช่น "∀x", "∀(x)" หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดด ๆ จะแทนข้อความที่ว่า สำหรับ x ใด ๆ หรือ สำหรับทุก x 
ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวแตกต่างจากตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)
รหัสของสัญลักษณ์นี้ในระบบยูนิโคดคือ และ <code>\forall</code> ในระบบ LaTeX
พื้นฐาน.
เราทราบกันดีว่าข้อความด้านล่างนี้จริง
"<math>2\cdot0=0+0</math> และ <math>2\cdot1=1+1</math> และ <math>2\cdot2=2+2</math> เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ"
ข้อความนี้ดูเหมือนจะประพจน์ที่อาศัยการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์เชื่อมประพจน์เข้าด้วยกัน เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำ ๆ แต่อย่างไรก็ดี วลีที่ว่า "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ไม่มีความหมายในระบบตรรกศาสตร์รูปนัยได้ ข้อความดังกล่าวจะต้องเขียนใหม่เป็น:
"<math>\forall n :n\in\mathbb{N};2\cdot n=n+n</math>"
ข้อความที่เขียนใหม่ข้างต้นเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง อีกนัยหนึ่งคือ สูตรที่เขียนนั้นมีความหมาย
รูปประโยคข้างต้นจะรัดกุมมากกว่าประพจน์แรก เพราะว่า ถึงแม้เราอาจตีความวลี "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ว่ารวมเอาเฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ทำให้เกิดความกำกวมและไม่รัดกุม การใช้ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวร่วมกับการระบุเอกภพสัมพัทธ์เจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะจะรัดกุมกว่า 
ประพจน์นี้เป็นจริง เพราะว่า เมื่อเราแทนค่า <math>n</math> ด้วยจำนวนธรรมชาติใด ๆ แล้ว ภาคแสดง "<math>2\cdot n = n+n</math>" จะเป็นจริง
ตัวอย่างถัดไป พิจารณาประพจน์
<math>\forall n : n\in\mathbb{N};2\cdot n>2+n</math>
ซึ่งเป็นเท็จ เพราะถ้า <math>n</math> ถูกแทนที่ด้วย 1 ภาคแสดงด้านหลังก็จะกลายเป็น <math>2\cdot 1>2+1</math> ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติ"ส่วนใหญ่"เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ
แต่ในทางตรงกันข้าม หากพิจารณาเฉพาะ <math>n</math> ใด ๆ ที่เป็นจำนวนประกอบ ประพจน์ข้างต้นจะกลายเป็นจริงทันที นี่แสดงให้เห็นว่าการระบุเอกภพสัมพัทธ์ที่ใช้ในการพิจารณาเป็นเรื่องสำคัญ อนึ่ง เราสามารถใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาเพื่อเปลี่ยนเอกภพสัมพัทธ์ของประพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่า
"สำหรับจำนวนประกอบ <math>n</math> ใด ๆ เราจะได้ว่า <math>2\cdot n > 2+n</math>"
สมมูลกับ
"สำหรับจำนวนธรรมชาติ <math>n</math> ใด ๆ ถ้า <math>n</math> เป็นจำนวนประกอบ แล้วเราจะได้ว่า <math>2\cdot n > 2+n</math>"
ดูเพิ่ม.
ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ <math>\forall</math> (ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว เกอร์ฮาร์ท เกนท์เซนเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์นี้ในปี ค.ศ. 1935
ตัวบ่งประมาณสำหรับทุกตัว จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อระบุตัวแปรของตัวบ่งปริมาณ และตามหลังด้วยภาคแสดงเท่านั้น นั่นคือ ถ้า <math> P(n) </math> เป็นภาคแสดง และ <math> x </math> เป็นตัวแปร แล้ว <math> (\forall x)(P(x)) </math> จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ในหลาย ๆ ครั้งเราละการเขียนวงเล็บเหลือเพียง <math> \forall x P(x) </math> แทน
นอกจากนี้ เราสามารถระบุเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปรได้โดยกำหนดให้ <math> (\forall x \in A)(P(x)) </math> หรือ <math> (\forall x\colon x \in A)(P(x)) </math> แทนประพจน์ <math> (\forall x)(x \in A \implies P(x)) </math>
ตัวอย่างเช่น หากกำหนดให้ <math>P(n)</math> แทนภาคแสดง "<math>2\cdot n > 2 + n</math>" และ <math>\mathbb{N}</math> เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว
<math> (\forall n \in \N)(P(n)) </math> ซึ่งก็คือ <math>(\forall n\in\mathbb{N}) (2\cdot n>2+n)</math>
จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นเท็จ)
เช่นกัน หากกำหนด <math>Q(n)</math> แทนภาคแสดง "<math>n</math> เป็นจำนวนประกอบ" แล้ว
<math> (\forall n \in \N)(Q(n) \rightarrow P(n)) </math>
เป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นจริง)
สมบัติ.
การนิเสธ.
ฟังก์ชันประพจน์หรือภาคแสดงเมื่อระบุตัวบ่งปริมาณพร้อมกับตัวแปร แล้วจะเป็นประพจน์ ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ <math>\neg</math> อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน
ตัวอย่างเช่น ถ้า <math>P(x)</math> เป็นภาคแสดงแทนประโยคที่ว่า "x แต่งงานแล้ว" และกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ <math>\mathbf{X}</math> คือเซตของมนุษย์ทุกคน 
ข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" จะสามารถเขียนแทนได้ด้วย 
<math>\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)</math>
ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้เป็นเท็จอย่างแน่นอน เพราะฉะนั้นนิเสธของประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ซึ่งก็คือ
"<math>\lnot (\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x))</math>" เป็นจริง
ถ้าข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" ไม่จริง และเมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องได้ว่ามีคนอย่างน้อยหนึ่งคนที่ยังไม่แต่งงาน ซึ่งทำให้ภาคแสดงเป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ <math>\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) </math> จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน" ซึ่งก็คือประพจน์ที่ว่า
<math>\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)</math>
โดยนัยทั่วไปแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว และสมมูลกันตามเงื่อนไขดังนี้
<math>\lnot\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)</math>
ข้อควรระวังคือ ประโยค "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") มีความหมายแตกต่างจาก "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว" (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") หรือก็คือ
<math> \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv\ \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)</math>
ตัวเชื่อมอื่นๆ.
ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ↚ เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :
<math>P(x) \land (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \land Q(y))</math>
<math>P(x) \lor (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \lor Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset</math>
<math>P(x) \to (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \to Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset</math>
<math>P(x) \nleftarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nleftarrow Q(y))</math>
<math>P(x) \land (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \land Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset</math>
<math>P(x) \lor (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \lor Q(y))</math>
<math>P(x) \to (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \to Q(y))</math>
<math>P(x) \nleftarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nleftarrow Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset</math>
ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป
<math>P(x) \uparrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \uparrow Q(y))</math>
<math>P(x) \downarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \downarrow Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset</math>
<math>P(x) \nrightarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nrightarrow Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset</math>
<math>P(x) \gets (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \gets Q(y))</math>
<math>
P(x) \downarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \downarrow Q(y))</math>
<math>
P(x) \nrightarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nrightarrow Q(y))</math>
<math>
P(x) \gets (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \gets Q(y)),~\mathrm{provided~that}~\mathbf{Y}\neq \emptyset</math>
กฎการอนุมานของตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว.
กฎการอนุมานเป็นกฎใช้สรุปผลจากเหตุหรือจากสมมติฐาน มีกฎการอนุมานอยู่หลายกฎที่ใช้กับตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว
"การกำหนดเฉพาะจากการอ้างทั้งหมด"  กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงกับสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :
<math> (\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x))\to\ P(c)</math>
เมื่อ <math> c</math> เป็นสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์
"การสรุปทั้งหมดจากการกำหนดเฉพาะ"  กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกใดๆ หาก c แทนสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ใด ๆ จะเขียนได้ในรูป :
<math> P(c) \to\ (\forall{x}{\in}\mathbf{X}\,(P(x)))</math>
สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกไม่เจาะจงใด ๆ ของเอกภพสัมพัทธ์
เซตว่าง.
โดยปกติแล้ว รูปแบบ <math>(\forall{x}{\in}\emptyset)(P(x)) </math> นั้นจะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า<math> P(x)</math> จะเป็นภาคแสดงใด : "ดูที่ค่าความจริงว่าง"
การปิดแบบทั้งหมด.
การปิดแบบทั้งหมด  ของสูตร <math>\phi
 </math> เป็นสูตรที่ไม่มีตัวแปรอิสระที่ได้จากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใด ๆ ใน <math>\phi </math> ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ
<math>P(y) \land \exists x Q(x,z)</math>
คือ
<math>\forall y \forall z (P(y) \land \exists x Q(x,z))</math>
นัยทั่วไปของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด.
ในทฤษฎีแคทิกอรี และทฤษฎีทอพอพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นแอดจอยน์ทางขวา (Right adjoint) ของฟังก์เตอร์ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ฟังก์เตอร์ภาพผกผันของฟังก์ชันระหว่างสองเซตมองได้คล้ายกันว่าเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นแอดจอยน์ทางซ้าย
ให้ <math>X</math> เป็นเซตใดๆ และ <math>\mathcal{P}X</math> แทนพาวเวอร์เซตของ <math>X </math>
สำหรับฟังก์ชัน <math>f:X\to Y</math> ใด ๆ ระหว่างเซต <math>X</math> และ <math>Y</math> จะมีฟังก์เตอร์ภาพผกผัน <math>f^*:\mathcal{P}Y\to \mathcal{P}X</math> ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ส่งซับเซตของโคโดเมนของ <math>f </math> คืนให้ซับเซตของโดเมนของตัวมันเอง แอดจอยน์ทางซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (<math>\exists _{f}</math>) ส่วนแอดจอยน์ด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว (<math>\forall_f</math>)
นั่นคือ ฟังก์เตอร์ <math>\exists_f\colon \mathcal{P}X\to \mathcal{P}Y</math> เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับเซต <math>S \subset X</math> ใด ๆ จะคืนค่าเป็นซับเซต <math>\exists_f S \subset Y</math> กำหนดโดย
<math>{\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\}}</math>
นั่นคือ <math>y</math> อยู่ในอิมเมจของ <math>S</math> ภายใต้ <math>f</math> 
ในทำนองเดียวกัน ฟังก์เตอร์ <math>\forall_f\colon \mathcal{P}X\to \mathcal{P}Y</math> เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับแต่ละเซต <math>S \subset X</math> จะคืนค่าเป็นสับเซต <math>\forall_f S \subset Y</math> กำหนดโดย
<math>{\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\}}</math>
นั่นคือ <math>y</math> เป็นสมาชิกที่พรีอิมเมจภายใต้ <math>f</math> อยู่ใน <math>X</math> ทั้งหมด
เราสามารถทำกลับให้ได้ตัวบ่งปริมาณแบบปรกติที่ใช้ในตรรกศาสตร์อันดับแรก โดยให้ <math>f </math> ข้างต้นเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ <math>{\displaystyle !:X\to 1}</math> ที่ทำให้ <math>{\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}</math> เป็นเซตที่มีสมาชิกสองตัวแทนจริงและเท็จตามลำดับ แล้วซับเซต S เป็นซับเซตที่ทำให้ <math>S(x)</math> เป็นจริง และ
<math>{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}</math>
<math>{\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x)}</math>
จะเป็นจริง หาก <math>S</math> ไม่ใช่เซตว่าง และ
<math>{\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x)}</math>
จะเป็นเท็จ หาก <math>S</math> ไม่ใช่ <math>X</math>
ตัวบ่งปริมาณสามารถขยายออกไปใช้กับแคทิกอรีพรีชีฟได้