ระบบมีพลวัตแบบเวลายง

ระบบมีพลวัตแบบเวลายง หรือ ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา  คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า <math>x (t)</math> ที่เวลา <math>t</math> จะได้สัญญาณขาออกเป็น <math>y (t)</math> ที่เวลา <math>t</math> ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา <math>t + \delta</math> นั้นคือ <math>x (t + \delta)</math> สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ <math>y (t + \delta)</math>เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา <math>t + \delta</math> ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า <math>x (t + \delta)</math>
ตัวอย่างที่หนึ่ง.
ตัวอย่างนี้เป็นการพิจารณาอย่างง่าย โดยเมื่อพิจารณา สมการสถานะ :
จะเห็นได้ว่า ระบบ A นั้นมีพารามิเตอร์ของระบบ (สัมประสิทธิ์หน้า <math> x (t)</math>) ขึ้นกับเวลา "t" อย่างชัดแจ้ง นั้นหมายความว่าระบบมีคุณสมบัติเปลี่ยนแปรตามเวลาได้ 
ส่วนระบบ B นั้น พารามิเตอร์ของระบบไม่ขึ้นกับ เวลา "t" ดังนั้นระบบเป็นระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
ตัวอย่างที่ 2.
ในตัวอยางนี้เราจะใช้นิยามที่ 2 ในการตรวจสอบคุณสมบัติความไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาของระบบ
ระบบ A:
พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า (delay) <math>x_d (t) = \,\!x (t + \delta)</math>
<math>y (t) = t\, x (t)</math>
<math>y_1 (t) = t\, x_d (t) = t\, x (t + \delta)</math>
และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา <math>t + \delta</math>
<math>y (t) = t\, x (t)</math>
<math>y_2 (t) = \,\!y (t + \delta) = (t + \delta) x (t + \delta)</math>
จะเห็นได้ว่า <math>y_1 (t) \,\!\ne y_2 (t)</math>, ดังนั้นระบบมีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา
ระบบ B:
พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า <math>x_d (t) = \,\!x (t + \delta)</math>
<math>y (t) = 10 \, x (t)</math>
<math>y_1 (t) = 10 \,x_d (t) = 10 \,x (t + \delta)</math>
และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา <math>\,\!\delta</math>
<math>y (t) = 10 \,x (t)</math>
<math>y_2 (t) = y (t + \delta) = 10 \,x (t + \delta)</math>
จะเห็นได้ว่า <math>y_1 (t) = \,\!y_2 (t)</math>, ดังนั้นระบบไม่มีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา
ตัวอย่างที่ 3.
เราจะใช้ ตัวดำเนินการเลื่อน (shift operator) โดยเขียนในสัญลักษณ์ <math>\mathbb{T}_r</math> โดยที่ <math>r</math> คือจำนวนที่เราต้องการทำการเลื่อนเชิงเวลา ตัวอย่างเช่น ระบบที่มีการล้ำหน้าเชิงเวลาไป 1 (advance-by-1)
<math>x (t+1) = \,\!\delta (t+1) * x (t)</math>
เวลาเขียนในรูปแบบที่ใช้ตัวดำเนินการเลื่อนได้ดังนี้
<math>\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}</math>
โดยที่ <math>\tilde{x}</math> คือฟังก์ชันนิยามโดย
<math>\tilde{x} = x (t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}</math>
ซึ่งหลังจากดำเนินการเลื่อนแล้วจะได้ว่า
<math>\tilde{x}_1 = x (t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}</math>
โดยจะเห็นได้ว่า <math>\mathbb{T}_1</math> คือตัวดำเนินการที่ทำให้สัญญาณขาเข้าของเวกเตอร์เลื่อนไปข้างหน้า 1 ขั้นของหน่วยเวลา
หากเราเขียนระบบในในรูปของตัวดำเนินการของตัวระบบ (ในที่นี้คือพารามิเตอร์ A, B, C, D ในรูปแบบสมการปริภูมิสถานะนั้นเอง) <math>\mathbb{H}</math> ที่ว่านี้ จะเห็นได้ว่าระบบจะมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลา ถ้าสมการของตัวระบบมีสมบัติการสลับที่กับตัวดำเนินการเลื่อน ดังนี้
<math>\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \,\, \forall \, r</math>
นั้นคือถ้าระบบของเราสามารถเขียนได้ในรูปสมการนี้
<math>\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}</math>
จะเห็นได้ว่าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลาถ้าเราสามารถดำเนินการระหว่าง <math>\mathbb{H}</math> ต่อ <math>\tilde{x}</math> แล้วตามด้วยนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ <math>\mathbb{T}_r</math> ที่หลัง หรือ เราสามารถดำเนินการ <math>\mathbb{T}_r</math> กับ <math>\mathbb{H}</math> ได้เลย แล้วนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ <math>\tilde{x}</math> โดยผลลัทพ์ที่ได้สุดท้าย นั้นจะไม่แต่ต่างกันเลย
โดยการดำเนินการของระบบ <math>\mathbb{H}</math> ก่อนกับ <math>\tilde{x}</math> จะได้
<math>\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r</math>
โดยการดำเนินการเลื่อน <math>\mathbb{T}_r</math> ต่อ <math>\tilde{x}</math> ก่อนจะได้
<math>\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r</math>
และถ้าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปรงเชิงเวลาแล้วจะได้ว่า
<math>\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r</math>