ฟังก์ชันแกมมา

ฟังก์ชันแกมมา  เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนขยายของฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนเชิงซ้อน หรือสามารถกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นการเติมเต็มฟังก์ชันแฟกทอเรียลของค่า "n" ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน "z" ซึ่งส่วนจริงเป็นค่าบวก ได้นิยามไว้ว่า
<math> \Gamma (z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t </math>
นิยามดังกล่าวทำให้ผลลัพธ์สามารถขยายไปได้ถึงระนาบจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อส่วนจริงเป็นจำนวนเต็มลบ สำหรับกรณีถ้า "z" มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้
<math>\Gamma (z) = (z-1) !\,</math>
ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแฟกทอเรียล
ฟังก์ชันแกมมาเป็นองค์ประกอบหนึ่งในฟังก์ชันที่เกี่ยวกับการกระจายและความน่าจะเป็นหลากหลายฟังก์ชัน นั่นหมายความว่าฟังก์ชันนี้นำไปใช้ได้ในเรื่องของความน่าจะเป็นและสถิติ
นิยาม.
นิยามหลัก.
สัญกรณ์ Γ ("z") กำหนดขึ้นโดยอาเดรียง-มารี เลอช็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) ซึ่งใช้อักษรกรีก แกมมา ตัวใหญ่ (Γ) แทนชื่อฟังก์ชัน โดยนิยามไว้ว่า ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน "z" เป็นค่าบวก (ℜ{"z"} > 0) ดังนั้นปริพันธ์นี้
<math>\Gamma (z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t \,\!</math>
จะลู่เข้าสัมบูรณ์ โดยการหาปริพันธ์ทีละส่วนจะสามารถแสดงได้ว่า
<math>\Gamma (z+1) =z \, \Gamma (z) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \,\!</math>
สมการเชิงฟังก์ชันนี้เป็นข้อสรุปทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ "n"! = "n" ("n" − 1) ! ของฟังก์ชันแฟกทอเรียล เราสามารถวิเคราะห์การประเมินค่าของ Γ (1) ได้ว่า
<math>\Gamma (1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1</math>
โดยการรวมความสัมพันธ์ข้างต้นสองประการ แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลเป็นกรณีพิเศษอันหนึ่งของฟังก์ชันแกมมา ดังนี้
<math>\Gamma (n+1) = n \, \Gamma (n) = \cdots = n! \, \Gamma (1) = n!\,</math>
สำหรับทุกค่า "n" ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น Γ (5) = 4! เป็นต้น
ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถจัดเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนค่า "x" โดยมีโพล อยู่บน "x" = −"n" (เมื่อ "n" = 0, 1, 2, 3, ...) และมี ส่วนตกค้าง อยู่ที่ <math>\textstyle\frac{(-1) ^n}{n!}</math> ดังนั้นเราจะสามารถขยาย Γ ("z") ไปเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิกโดยนิยามให้มีค่าสำหรับทุกๆ ค่า "z" ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อ "z" = 0, −1, −2, −3, ... ตามการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ซึ่งส่วนขยายดังกล่าวมักเป็นการอ้างถึงฟังก์ชันแกมมาโดยปกติ
นิยามแบบอื่น.
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และคาร์ล ไวแยร์สตราสส์ (Karl Weierstrass) ได้นิยามฟังก์ชันแกมมาโดยใช้ผลคูณอนันต์ ตามลำดับดังนี้
<math>
\Gamma (z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \cdots (z+n)} \\
\Gamma (z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left (1 + \frac{z}{n}\right) ^{-1} e^{z/n} \\
</math>
เมื่อ γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-แมสเชโรนี ซึ่งสามารถใช้ได้กับทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน "z" ที่ไม่เท่ากับจำนวนเต็มลบหรือศูนย์
เราสามารถแสดงให้เห็นอย่างตรงไปตรงมาว่า นิยามของออยเลอร์สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน (1) ด้านบน เมื่อ "z" ไม่เท่ากับ 0, −1, −2, ...
<math>
\Gamma (z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^{z+1}}{(z+1) \; (z+2) \cdots (z+1+n)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left (z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2) \cdots (z+n)} \; \frac{n}{(z+1+n)}\right) \\
&= z \; \Gamma (z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(z+1+n)} \\
&= z \; \Gamma (z) \\
</math>
คุณสมบัติ.
คุณสมบัติทั่วไป.
สมการเชิงฟังก์ชันอื่นสำหรับฟังก์ชันแกมมาที่สำคัญคือ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ (Euler's reflection formula)
<math>\Gamma (1-z) \; \Gamma (z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math>
และ สูตรการทำซ้ำ (duplication formula)
<math>\Gamma (z) \; \Gamma\left (z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma (2z) \,\!</math>
ซึ่งสูตรการทำซ้ำเป็นกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของทฤษฎีบทการคูณ (multiplication theorem) ที่ว่า
<math>
\Gamma (z) \; \Gamma\left (z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left (z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left (z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi) ^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma (mz) \,\!
</math>
อนึ่ง ค่าของฟังก์ชันแกมมา ซึ่งตัวแปรต้นไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ
<math>\Gamma\left (\frac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi} \,\!</math>
สามารถหาได้จากการแทนค่า "z" = 1/2 ลงในสูตรการสะท้อนด้านบน หรือจากฟังก์ชันบีตาโดยผ่านค่า (1/2, 1/2) ลงไป ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ออกมาเท่ากับ π โดยทั่วไปแล้ว หากเราให้ "n" เป็นจำนวนคี่ เราจะได้คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งคือ
<math>\Gamma\left (\frac{n}{2}+1\right) = \sqrt{\pi}\, \frac{n!!}{2^{(n+1)/2}}</math>
เมื่อ "n"!! หมายถึงดับเบิลแฟกทอเรียล
อนุพันธ์ของฟังก์ชันแกมมา สามารถอธิบายได้ในนิพจน์ของฟังก์ชันโพลีแกมมา ดังตัวอย่าง
<math>\Gamma' (z) =\Gamma (z) \psi_0 (z) \,\!</math>
ฟังก์ชันแกมมามีโพล (pole) อันดับ 1 อยู่ที่ "z" = −"n" สำหรับทุกค่าของ "n" ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ และส่วนตกค้าง (residue) มีค่าเท่ากับ
<math>\operatorname{Res} (\Gamma,-n) =\frac{(-1) ^n}{n!} \,\!</math>
ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ในบรรดาฟังก์ชันทั้งหมดที่ขยายมาจากฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนจริงบวก มีเพียงฟังก์ชันแกมมาเท่านั้นที่เป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์แบบลอการิทึม (logarithmically convex function) ซึ่งหมายความว่า ลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์ (convex function)
ฟังก์ชันพาย.
สัญกรณ์อีกรูปแบบหนึ่งซึ่งนำเสนอโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ คือ ฟังก์ชันพาย (Pi function, "P ตัวใหญ่") ใช้อธิบายนิพจน์ของฟังก์ชันแกมมาว่า
<math>\Pi (z) = \Gamma (z+1) = z \; \Gamma (z) \,\!</math>
ดังนั้น
<math>\Pi (n) = n! \,\!</math>
โดยการใช้ฟังก์ชันพาย เราจึงสามารถเขียนสูตรการสะท้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้
<math>\Pi (z) \; \Pi (-z) = \frac{\pi z}{\sin (\pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc} (z)} \,\!</math>
เมื่อ "sinc" หมายถึงฟังก์ชันไซน์คาร์ดินัลแบบบรรทัดฐาน (normalized sinc function) ในขณะที่ทฤษฎีบทการคูณก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันพายได้เช่นกัน
<math>
\Pi\left (\frac{z}{m}\right) \, \Pi\left (\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left (\frac{z-m+1}{m}\right)
= \left (\frac{(2 \pi) ^m}{2 \pi m}\right) ^{1/2} \, m^{-z} \, \Pi (z) \,\!
</math>
เรายังสามารถหาค่าของ
<math>\pi (z) = \frac{1}{\Pi (z)} \,\!</math>
ซึ่งเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) นิยามบนทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน และเนื่องจาก π ("z") เป็นฟังก์ชันทั่ว นั่นคือฟังก์ชันดังกล่าวไม่มีโพล ดังนั้นผลลัพธ์ของ Γ ("z") จึงไม่มีทางเป็นศูนย์
<math>\Beta (x,y) =\frac{\Gamma (x) \; \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)} \,\!</math>
<math>\pi^{-z/2} \; \Gamma\left (\frac{z}{2}\right) \zeta (z) = \pi^{-\frac{1-z}{2}} \; \Gamma\left (\frac{1-z}{2}\right) \; \zeta (1-z) \,\!</math>
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น.
และในอีกสูตรหนึ่งที่ดูเรียบง่ายคือ
<math>\zeta (z) \; \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{z-1}}{e^u - 1} \; \mathrm{d}u \,\!</math>
<math>
ค่าเฉพาะบางค่าที่ควรทราบ.
\Gamma (-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma (-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma (1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma (1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma (3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma (2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma (5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma (3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma (7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma (4) &= 3! &= 6 \\
</math>