ดีเทอร์มิแนนต์

ในสาขาพีชคณิต ดีเทอร์มิแนนต์  คือฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของ "n" ในมิติ "n"×"n" ของเมทริกซ์จัตุรัส "A" ส่วนความหมายทางเรขาคณิตเบื้องต้น ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวประกอบมาตราส่วน (scale factor) ของปริมาตร เมื่อ "A" ถูกใช้เป็นการแปลงเชิงเส้น ดีเทอร์มิแนนต์ถูกใช้ประโยชน์ในเรื่องพีชคณิตเชิงหลายเส้น (multilinear algebra) และแคลคูลัสซึ่งใช้สำหรับกฎการแทนที่ (substitution rule) ในตัวแปรบางกลุ่ม
สำหรับจำนวนเต็มบวก "n" ที่กำหนดขึ้น ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์จะมีเพียงหนึ่งเดียวบนเมทริกซ์มิติ "n"×"n" เหนือริงสลับที่ใด ๆ (commutative ring) โดยเฉพาะเมื่อฟังก์ชันนี้นิยามไว้บนริงสลับที่ที่เป็นฟีลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ "A" สามารถเขียนแทนได้ด้วย det ("A") หรือ |"A"| ซึ่งสัญกรณ์แบบขีดตั้งอาจเกิดความกำกวม เนื่องจากมีการใช้สัญกรณ์เดียวกันนี้สำหรับค่าประจำเมทริกซ์ (matrix norm) และค่าสัมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ค่าประจำเมทริกซ์มักจะเขียนด้วยสัญกรณ์แบบขีดตั้งสองขีด (เช่น ‖"A"‖) เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับดีเทอร์มิแนนต์
ตัวอย่างการใช้งาน กำหนดให้ "A" เป็นเมทริกซ์ดังนี้
<math>A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix}</math>
ดีเทอร์มิแนนต์ของ "A" สามารถเขียนเป็น
<math>\det (A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}</math>
ซึ่งวงเล็บเหลี่ยมนอกเมทริกซ์จะถูกแทนที่ด้วยเส้นตั้งเพียงอย่างเดียว
เมทริกซ์มิติ 2×2.
กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 2×2
<math>A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}</math>
จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ
<math>\det (A) = ad-bc \,</math>
ซึ่งแปลความหมายได้ว่า เป็นการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0), ("a", "b"), ("a"+"c", "b"+"d"), และ ("c", "d") เมื่อเมทริกซ์นั้นมีสมาชิกเป็นจำนวนจริง พื้นที่ที่คำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนต์เหมือนกับพื้นที่ในเรขาคณิต แต่ต่างกันตรงที่ผลลัพธ์จากดีเทอร์มิแนนต์สามารถเป็นค่าติดลบได้ ถ้าจุดยอดดังกล่าวเรียงลำดับตามเข็มนาฬิกา
เมทริกซ์มิติ 3×3.
กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 3×3
<math>A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}</math>
ด้วยการกระจายลาปลัส (หรือการกระจายโคแฟกเตอร์) บนแถวแรกของเมทริกซ์ เราจะได้
<math>\begin{align}
+c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix} \\
&= aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg \\
&= (aei+bfg+cdh) - (gec+hfa+idb)
</math>
ซึ่งสูตรนี้สามารถจำได้จากผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงลง ลบด้วยผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงขึ้น (ลงบวก ขึ้นลบ) โดยคัดลอกสองหลักแรกไปต่อท้ายเมทริกซ์เดิม ดังที่แสดงไว้ดังนี้
<math>
\color{blue}a & \color{blue}b & \color{blue}c & a & b \\
d & \color{blue}e & \color{blue}f & \color{blue}d & e \\
g & h & \color{blue}i & \color{blue}g & \color{blue}h
\quad - \quad
a & b & \color{red}c & \color{red}a & \color{red}b \\
d & \color{red}e & \color{red}f & \color{red}d & e \\
\color{red}g & \color{red}h & \color{red}i & g & h
</math>
โปรดทราบว่าวิธีลัดนี้ไม่สามารถใช้กับเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่านี้ได้
เมทริกซ์จัตุรัสทั่วไป.
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสทั่วไปสามารถคำนวณได้จากการกระจายลาปลัสบนแถวหรือคอลัมน์หนึ่ง ๆ ซึ่งมีประสิทธิภาพสำหรับเมทริกซ์มิติน้อย ดีเทอร์มิแนนต์จากสูตรของลาปลัสโดยพิจารณาบนแถวที่ "i" คำนวณได้จาก
<math>\det (A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1) ^{i+j} M_{i,j}</math>
เมื่อ <math>M_{i,j}</math> คือ ไมเนอร์ (minor) บนแถวที่ "i" หลักที่ "j" ของเมทริกซ์ "A" นั่นคือ ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่ตัดสมาชิกแถวที่ "i" หลักที่ "j" ออกไปทั้งหมด ส่วน <math>C_{i,j}</math> คือ โคแฟกเตอร์ (cofactor) บนแถวที่ "i" หลักที่ "j" ของเมทริกซ์ "A" ซึ่งมีค่าเท่ากับ <math> (-1) ^{i+j}</math> คูณด้วยไมเนอร์ ดังเช่นที่ปรากฏอยู่ในสูตร
คุณสมบัติ.
คุณสมบัติทั่วไปของดีเทอร์มิแนนต์มีดังนี้