ทฤษฎีบทของโรลล์

ในแคลคูลัส ทฤษฎีบทของโรลล์ หรือ บทแทรกของโรล  กล่าวว่าฟังก์ชันค่าจริงใด ๆ ที่หาอนุพันธ์ได้ และมีจุดสองจุดที่ทำให้ฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากัน จะต้องมีจุดนิ่ง (stationary point) อย่างน้อยหนึ่งจุดระหว่างจุดสองจุดนั้น โดยจุดนิ่งคือจุดที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์
ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส
รูปแบบมาตรฐานของทฤษฎีบท.
ทฤษฎีบทของโรลล์ —  ถ้า <math>f</math> เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ต่อเนื่องบนช่วงปิด <math>[a,b]</math> (โดยที่ <math>a < b</math>) และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด <math>(a,b)</math> และ <math>f(a) = f(b)</math> แล้วจะมีจำนวนจริง <math>c</math> ในช่วง <math>(a,b)</math> อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ทำให้ <math>f'(c) = 0</math>
ทฤษฎีบทของโรลล์สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งทฤษฎีบทของโรลล์เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทดังกล่าวอีกทอดหนึ่ง นอกจากนี้ทฤษฎีบทของโรลล์ยังเป็นฐานสำหรับพิสูจน์ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์อีกด้วย
ประวัติ.
แม้ว่าทฤษฎีบทจะตั้งชื่อตาม มิเชล โรลล์ แต่บทพิสูจน์ในปี 1691 ของโรลล์นั้นครอบคลุมเฉพาะกรณีฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น บทพิสูจน์ของเขาไม่ได้ใช้แคลคูลัส ซึ่งในตอนนั้นเขาถือว่าเป็นทฤษฎีที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล ทฤษฎีของโรลล์ในรูปแบบปัจจุบันนี้พิสูจน์ครั้งแรกโดย ออกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี ในปี ค.ศ. 1823 โดยเป็นบทแทรกหนึ่งของ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ชื่อ "ทฤษฎีบทของโรลล์" ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย มอริตซ์ วิลเฮล์ม โดรบิสช์ ชาวเยอรมันในปี 1834 และ กุยอิสโต เบลลาวิติส ชาวอิตาลีในปี 1846
ตัวอย่าง.
ตัวอย่างแรก: ครึ่งวงกลม.
กำหนดรัศมี <math>r > 0</math> พิจารณาฟังก์ชันรูปครึ่งวงกลม
 <math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r]</math>
กราฟของฟังก์ชันข้างต้นคือครึ่งวงกลมส่วนบนที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบนช่วงปิด <math>[-r,r]</math> และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด <math>(-r,r)</math> แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดปลาย <math>-r</math> และ <math>r</math> ทั้งสอง
เนื่องจาก <math>f(-r) = f(r)</math> เราสามารถใช้ใช้ทฤษฎีบทของโรลล์กับฟังก์ชันนี้ได้ และจะเห็นว่ามีจุดที่อนุพันธ์ของ <math>f</math> เป็นศูนย์ สังเกตว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้แม้ว่าฟังก์ชันจะไม่มีอนุพันธ์ที่จุดปลายของช่วงปิดได้ เนื่องจากต้องการความหาอนุพันธ์ได้ของฟังก์ชันบนช่วงเปิดเท่านั้น
ตัวอย่างที่สอง: ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์.
ถ้าฟังก์ชันไม่มีสมบัติหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด อาจไม่ได้ผลลัพธ์ตามทฤษฎีบทของโรลล์ พิจารณาฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
 <math>f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1]</math>
พบว่า <math>f(-1) = f(1)</math> แต่ไม่มีค่า <math>c</math> ระหว่าง −1 และ 1 ที่ทำให้ <math>f'(c) = 0</math> ทั้งนี้เป็นเพราะว่าฟังก์ชันดังกล่าวหาอนุพันธ์ที่จุด <math>x = 0</math> ไม่ได้ 
สังเกตว่าอนุพันธ์ของ <math>f</math> เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด <math>x = 0</math> แต่เท่ากับ 0 ทฤษฎีบทของโรลล์ใช้ไม่ได้เพราะฟังก์ชัน <math>f</math> ไม่ได้หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดในช่วงเปิด อย่างไรเสียเราจะเห็นว่า <math>f</math> มีจุดวิกฤติในช่วงดังกล่าว
กรณีทั่วไป.
 ตัวอย่างที่สองเป็นตัวอย่างหนึ่งของกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทของโรลล์:
ทฤษฎีบทของโรลล์แบบทั่วไป —  พิจารณาฟังก์ชันต่อเนื่อง <math>f</math> บนช่วงปิด <math>[a,b]</math> ที่ซึ่ง <math>f(a) = f(b)</math> ถ้าหากสำหรับทุก <math>x</math> ในช่วงเปิด <math>(a,b)</math> พบว่า"อนุพันธ์ทางขวา"
 <math>f'(x^+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
และ"อนุพันธ์ทางซ้าย"
 <math>f'(x^-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
หาค่าได้บนเส้นจำนวนจริงขยาย <math>[-\infty,\infty]</math> แล้วจะมีจำนวนจริง <math>c</math> ในช่วงเปิด <math>(a,b)</math> ที่ทำให้ลิมิตค่าหนึ่งจากในสองค่า
 <math>f'(c^+)\quad\text{และ}\quad f'(c^-)</math>
มีค่า ≥ 0 และอีกค่าที่เหลือ ≤ 0 (บนเส้นจำนวนจริงขยาย)
ในกรณีที่ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาเท่ากันทั้งสองค่าสำหรับทุก <math>x</math> แล้วฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ และจะได้ทฤษฎีบทของโรลล์
 <math>f'(x^-) \le f'(x^+) \le f'(y^-),\qquad x < y</math>