ตัวแปรเสริมสโตกส์

ตัวแปรเสริมสโตกส์ (Stokes parameters) เป็นชุดของค่าสี่ค่าที่ใช้อธิบายสถานะของโพลาไรเซชัน ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตาม จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ ซึ่งเป็นผู้เสนอขึ้นในปี 1852
ตัวแปรเสริมเหล่านี้มักจะถูกเขียนในรูปแบบของเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์สโตกส์ (Stokes vector) โดยแสดงเป็นฟังก์ชันของความเข้มรวมของลำแสง ระดับของโพลาไรเซชัน และตัวแปรเสริมที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างเชิงวงรีของการโพลาไรซ์ ใช้เพื่ออธิบายแสงทั้งที่ไม่โพลาไรซ์ โพลาไรซ์บางส่วน และโพลาไรซ์ทั้งหมด ต่างจากวิธีการคำนวณของโจนส์ ซึ่งสามารถอธิบายได้เฉพาะแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น การแทนด้วยค่านี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการทดลอง เนื่องจากแต่ละค่าสอดคล้องกับผลรวมหรือความแตกต่างของความเข้มที่วัดได้ง่าย
ผลของระบบทางแสงที่มีต่อโพลาไรเซชันของแสงสามารถกำหนดได้โดยการสร้างเวกเตอร์สโตกส์สำหรับแสงที่ตกกระทบและใช้เมทริกซ์มึลเลอร์ เพื่อให้ได้เวกเตอร์สโตกส์ของแสงขาออกจากระบบ
หลักการ.
เรามักจะนำตัวแปรเสริมสโตกส์มาเขียนรวมเป็นเวกเตอร์สโตกส์ ดังนี้:
 <math>
\vec S \ = 
</math>
เราสามารถมองว่าตัวแปรเสริมสโตกส์เป็นความเข้มทั่วไปสามค่า
สำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมด ซึ่งมีสถานะโพลาไรซ์แบบเดียวกันทั้งหมด สามารถแสดงได้เป็น
 <math>
Q^2+U^2+V^2 = I^2
</math>
สำหรับลำแสงโพลาไรซ์บางส่วน ตัวแปรเสริมสโตกส์จะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ย สมการก่อนหน้าจะกลายเป็นอสมการ:
 <math>
Q^2+U^2+V^2 = I_p^2 \le I^2
</math>
โดย <math>I_p/I</math> เรียกว่าเป็น อัตราโพลาไรเซชัน
คำจำกัดความ.
เราสามารถให้คำจำกัดความของตัวแปรเสริมสโตกส์ได้หลายแบบขึ้นอยู่กับว่าอธิบายสถานะของโพลาไรซ์ของแสงอย่างไร
คลื่นระนาบอาจแสดงลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์คลื่น <math>\vec{k}</math> และแอมพลิจูดเชิงซ้อนของสนามไฟฟ้า <math>E_1</math> และ <math>E_2</math> อธิบายด้วยฐาน <math>(\hat{\epsilon}_1,\hat{\epsilon}_2)</math> หรืออาจแสดงโดยใช้เวกเตอร์คลื่น เฟส <math>\phi</math> และสถานะโพลาไรเซชัน <math>\Psi</math> โดย <math>\Psi</math> คือเส้นโค้งที่วาด สนามไฟฟ้าในระนาบหนึ่ง ๆ สถานะโพลาไรเซชันที่พบบ่อยที่สุดคือโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง และแบบวงกลม ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสถานะทั่วไปของโพลาไรเซชันแบบวงรี
องค์ประกอบสนามไฟฟ้า.
ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามตามองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าโดย
 <math> \begin{matrix}
I & \equiv & |E_x|^{2}+|E_y|^{2} \\
 & = & |E_a|^{2}+|E_b|^{2} \\
 & = & |E_l|^{2}+|E_r|^{2} \\
Q & \equiv & |E_x|^{2}-|E_y|^{2} & \\
U & \equiv & |E_a|^{2}-|E_b|^{2} &\\
V & \equiv & |E_l|^{2}-|E_r|^{2} &
\end{matrix} </math>
โดยที่ดัชนีอ้างอิงถึงสามฐาน: ฐานอ้างอิงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (<math>\hat{x},\hat{y}</math>) ฐานที่ทำมุม 45 องศากับฐานอ้างอิง (<math>\hat{a},\hat{b}</math>) และฐานวงกลม (<math>\hat{l},\hat{r}</math>) โดยฐานวงกลมถูกกำหนดโดย <math>\hat{l} = (\hat{x}+i\hat{y})/\sqrt{2}</math>
รูปทางขวาแสดงให้เห็นว่าเครื่องหมายบวกลบของตัวแปรเสริมสโตกส์มีความสัมพันธ์กับทิศทางการหมุนและการวางแนวของแกนเอกของวงรีอย่างไร
นอกจากนี้ยังสามารถแสดงตัวแปรเสริมสโตกส์ในทั้งสามฐานแต่ละฐานแยกกัน
ในฐาน (<math>\hat{x},\hat{y}</math>) ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามโดย
 <math> \begin{matrix}
I&=&|E_x|^2+|E_y|^2 \\
Q&=&|E_x|^2-|E_y|^2 \\
U&=&2\mbox{Re}(E_xE_y^*) \\
V&=&-2\mbox{Im}(E_xE_y^*) \\
</math>
ในฐาน <math>(\hat{a},\hat{b})</math> แสดงได้เป็น
 <math> \begin{matrix}
I&=&|E_a|^2+|E_b|^2 \\
Q&=&-2\mbox{Re}(E_a^{*}E_b) \\
U&=&|E_a|^{2}-|E_b|^{2} \\
V&=&2\mbox{Im}(E_a^{*}E_b) \\
</math>
และในฐาน <math>(\hat{l},\hat{r})</math>:
 <math> \begin{matrix}
I &=&|E_l|^2+|E_r|^2 \\
Q&=&2\mbox{Re}(E_l^*E_r) \\
U & = &-2\mbox{Im}(E_l^*E_r) \\
V & =&|E_l|^2-|E_r|^2 \\
\end{matrix} </math>
ในรูปของวงรี.
วิธีหนึ่งในการอธิบายโพลาไรเซชันคือการระบุแกนเอกและแกนโทของวงรีโพลาไรเซชัน การวางแนว และทิศทางการหมุน ความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่าง ๆ ในของวงรีโพลาไรเซชันกับตัวแปรเสริมสโตกส์ อาจแสดงได้ดังนี้:
 <math>
I_p & = & A^2 + B^2 \\
Q & = & (A^2-B^2)\cos(2\theta) \\
U & = & (A^2-B^2)\sin(2\theta) \\
V & = & 2ABh \\
</math>
และในทางกลับกัน:
 <math>
A & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p+|L|)} \\
B & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p-|L|)} \\
\theta & = & \frac{1}{2}\arg(L)\\
h & = & \sgn(V). \\
</math>
ในพิกัดทรงกลม.
ตัวแปรเสริมสโตกส์อาจแสดงในรูปของพิกัดทรงกลม เรียกว่าทรงกลมปวงกาเร
 <math> \begin{align}
S_0 &= I \\
S_1 &= I p \cos 2\psi \cos 2\chi\\
S_2 &= I p \sin 2\psi \cos 2\chi\\
S_3 &= I p \sin 2\chi
\end{align} </math>
ในที่นี้ <math>I p</math>, <math>2\psi</math> และ <math>2\chi</math> คือพิกัดทรงกลมของสถานะโพลาไรเซชันในปริภูมิสามมิติของตัวแปรเสริมสโตกส์สามตัวหลัง ตัวคูณ 2 อยู่ข้างหน้า <math>\psi</math> แสดงถึงความจริงที่ว่าวงรีที่หมุนไป 180 องศาจะไม่ต่างจากเดิม ในขณะที่ตัวคูณ 2 ที่อยู่ข้างหน้า <math>\chi</math> บ่งบอกว่าวงรีจะไม่สามารถแยกความแตกต่างได้เมื่อพลิกแกนทั้งสองตามด้วยการหมุน 90
สามารถหาค่าต่าง ๆ ในพิกัดทรงกลมจากตัวแปรเสริมสโตกส์ได้ด้วยสมการต่อไปนี้:
 <math> \begin{align}
I &= S_0 \\
p &= \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0} \\
2\psi &= \mathrm{atan} \frac{S_2}{S_1}\\
2\chi &= \mathrm{atan} \frac{S_3}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}\\
\end{align} </math>
ตัวอย่าง.
ตารางต่อไปนี้แสดงเวกเตอร์สโตกส์สำหรับสถานะโพลาไรเซชันของแสงที่พบได้บ่อย