ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน R"n" โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน R"n" จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ R"n" จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ
ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส
ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ.
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์
ข้อความ.
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สำหรับ <math>\mathbb{R}^n</math> —  ทุกลำดับมีขอบเขตใน R"n" จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า
พิสูจน์.
ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ <math>\mathbb{R}^1</math> (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน <math>\mathbb{R}</math> ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้
บทตั้ง — ทุกลำดับอนันต์ <math>(x_{n})</math> ใน <math>\mathbb{R}</math> มีลำดับย่อยที่เป็นลำดับทางเดียว
พิสูจน์ — 
เราจะเรียกดัชนีค่าบวก <math>n</math> ของลำดับว่าเป็น "จุดพีค" ของลำดับ ก็ต่อเมื่อเมื่อ <math>x_m < x_n</math> สำหรับทุก <math>m > n</math> สมมุติว่าลำดับมีจุดพีคเป็นอนันต์ แปลว่ามีลำดับย่อยที่สร้างจากดัชนี<math>n_1<n_2<n_3<\dots<n_j<\dots</math> และสอดคล้องกับเงื่อนไขว่า <math>x_{n_1}>x_{n_2}>x_{n_3}>\dots>x_{n_j}>\dots</math> . ดังนั้น ลำดับอนันต์ <math>(x_n)</math> ใน <math>\mathbb{R}</math> มีลำดับทางเดียวคือ <math>(x_{n_j})</math> นั้น
แต่ถ้าลำดับมีจุดพีคเพียงจำนวนจำกัดตัว ให้ <math>N</math> เป็นจุดพีคสุดท้ายของลำดับ จากนั้นพิจารณาลำดับย่อย <math>(x_{n_j})</math> ที่มีดัชนีตัวแรกคือ <math>n_1=N+1</math> จะเงื่อนไขได้ว่า <math>n_1</math> ไม่เป็นจุดพีค เพราะ <math>n_1</math> มาทีหลังจุดพีคสุดท้ายที่เป็นไปได้ ดังนั้นจะต้องมี <math>n_2</math> ที่ซึ่ง <math>n_1<n_2</math> และ <math>x_{n_1} \leq x_{n_2}</math>
เช่นกัน จาก <math>n_2</math> มาทีหลังจุดพีคสุดท้าย จะต้องมี <math>n_3</math> ที่ซึ่ง <math>n_2<n_3</math> และทำให้ <math>x_{n_2} \leq x_{n_3}</math> ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ลำดับไม่ลด <math>x_{n_1} \leq x_{n_2} \leq x_{n_3} \leq \ldots</math> ซึ่งเป็นลำดับย่อยของ <math>(x_n)</math> ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าทุกลำดับอนันต์ <math>(x_n)</math> ใน <math>\mathbb{R}</math> มีลำดับย่อยทางเดียว
เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า <math>(x_n)</math> เป็นลำดับมีขอบเขต ใน <math>\mathbb{R}</math> โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า
สำหรับกรณีทั่วไป (<math>\mathbb{R}^n</math>) จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน <math>\mathbb{R}^n</math> ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด <math>n</math> ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า
บทพิสูจน์แบบอื่น.
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต <math>(x_n)</math> :เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า <math>(I_n)_{n\in\N} = ([a_n, b_n])_{n\in\N}</math> เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่ <math>a_n \leq b_n</math>) แล้วอินเตอร์เซคชัน <math display="inline">\bigcap_{n\in\N} I_n</math> จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า <math display="inline">x \in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}</math> เป็นจุดเกาะกลุ่มของ <math>(x_n)</math>
กำหนดย่านใกล้เคียง <math>U</math> ของ <math>x</math> ใด ๆ มา เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง<math>I_N</math> ที่เป็นสับเซตแท้ของ <math>U</math> เนื่องจาก <math>I_N</math> บรรจุสมาชิกของ <math>(x_n)</math> เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ <math>I_N\subseteq U</math>, ดังนั้น <math>U</math> บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ <math>(x_n)</math>ทำให้ได้ว่า <math>x</math> เป็นจุดเกาะกลุ่มของ <math>(x_n)</math> ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ <math>(x_n)</math> ที่ลู่เข้า <math>x</math>