เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์ (analytic geometry, coordinate geometry หรือ Cartesian geometry) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่ศึกษาเรขาคณิต ผ่านระบบพิกัด ซึ่งแตกต่างจากเรขาคณิตสังเคราะห์ที่ไม่ใช้ระบบพิกัด แต่ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างรูปร่างรูปทรงเรขาคณิตแทน
เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นพื้นฐานของฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ ในการเดินอากาศ วิศวกรรมการบินและอวกาศ นอกจากนี้ยังเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตสมัยใหม่เกือบทั้งหมด ซึ่งรวมไปถึงเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตวิยุต และเรขาคณิตเชิงคณนา 
โดยทั่วไปแล้วเรขาคณิตวิเคราะห์ใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเพื่อให้ได้สมการของระนาบ เส้นตรง และวงกลมในสองหรือสามมิติ ในหนังสือแบบเรียนทั่วไป เรขาคณิตวิเคราะห์ยังหมายรวมไปถึงการศึกษาเส้นโค้งภาคตัดกรวย เหตุผลที่พีชคณิตของจำนวนจริงสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ในเรขาคณิตได้เป็นผลจากสัจพจน์ของคันตอร์-เดเดคินด์ 
ระบบพิกัด.
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ เราระบุระบบพิกัดให้แก่ระนาบ ซึ่งทำให้จุดแต่ละจุดบนระนาบมีพิกัดระบุด้วยคู่อันดับของจำนวนจริง ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิสามมิติแบบยูคลิดสามารถให้ระบบพิกัดเป็นสามสิ่งอันดับของจำนวนจริงได้ พิกัดของจุดขึ้นอยู่กับการเลือกให้จุดได้เป็นจุดกำเนิด ต่อไปนี้เป็นระบบพิกัดที่นิยมใช้
ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน.
ระบบพิกัดที่นิยมใช้มากที่สุดคือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งแต่ละจุดจะมีพิกัดตามแนวแกน "x" ที่ระบุตำแหน่งตามแนวนอน และพิกัดตามแนวแกน "y" ซึ่งระบุตำแหน่งตามแนวตั้งเมื่อวัดจากจุดกำเนิด โดยทั่วไปจะเขียนพิกัดเป็นคู่อันดับ ("x", "y") และระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถใช้ในสามมิติได้ และพิกัดจะเป็นสามสิ่งอันดับ ("x", "y", "z")
ระบบพิกัดเชิงขั้ว.
ในระบบพิกัดเชิงขั้ว ทุกจุดบนระนาบจะมีพิกัดระบุโดยระยะทาง "r" ว่าห่างจากจุดกำเนิดเท่าใด และมุม "θ" ซึ่งวัดในแนวทวนเข็มนาฬิกาจากแกน "x" บวก ในระบบพิกัดเชิงขั้วเราเขียนแทนพิกัดด้วยคู่อันดับ ("r", "θ")
เราสามารถเปลี่ยนระบบพิกัดจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และระบบพิกัดเชิงขั้วได้ด้วยสูตรดังนี้<math display="block">x = r\, \cos\theta,\, y = r\, \sin\theta; \, r = \sqrt{x^2+y^2},\, \theta = \arctan(y/x).</math> ระบบพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายไปยังปริภูมิสามมิติได้โดยใช้ระบบพิกัดทรงกระบอก และระบบพิกัดทรงกลม
ระบบพิกัดทรงกระบอก.
ในระบบพิกัดทรงกระบอก จุดแต่ละจุดจะแทนด้วยความสูง "z", รัศมี "r" ที่วัดจากแกน "z" และมุม "θ" ที่วัดว่าภาพฉายของจุดลงบนระนาบ "xy" ทำมุมกับแกน "x" เท่าใด
ระบบพิกัดทรงกลม.
ในระบบพิกัดทรงกลม จุดแต่ละจุดจะแทนด้วยระยะห่าง "ρ" วัดจากจุดกำเนิด, มุม "θ" ที่วัดว่าภาพฉายของจุดลงบนระนาบ "xy" ทำมุมกับแกน "x" เท่าใด, และมุม "φ" ที่วัดว่าจุดนั้นทำมุมเท่าใดกับแกน "z" ชื่อตัวแปรของแต่ละมุมอาจต่างออกไปในวิชาฟิสิกส์
สมการและเส้นโค้ง.
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ คำตอบทั้งหมดของสมการที่มีตัวแปรเป็นพิกัดจะเป็นสับเซตของระนาบ ซึ่งเรียกว่าเซตผลเฉลย หรือทางเดินของจุด ตัวอย่างเช่นสมการ "y" = "x" จะได้เป็นเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบที่พิกัด "x" และพิกัด "y" มีค่าเท่ากัน จุดเหล่านี้ประกอบกันเป็นเส้นตรง และเรากล่าวว่าสมการ "y" = "x" เป็นสมการของเส้นตรงดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วสมการกำลังหนึ่งจะให้เส้นตรงทั้งหมด และสมการกำลังสองจะให้ภาคตัดกรวย
โดยทั่วไปแล้วสมการหนึ่งสมการจะได้เป็นเส้นโค้งหนึ่งเส้นบนระนาบ แต่อาจจะไม่เป็นจริงเสมอไป อาทิ สมการ "x" = "x" ได้ระนาบทั้งหมด และสมการ "x"2 + "y"2 = 0 มีเพียงจุด (0, 0) จุดเดียวเท่านั้น ในสามมิติ สมการหนึ่งสมการมักจะให้ผิว และเส้นโค้งจะเป็นรอยตัดระหว่างผิวสองผิว หรืออาจระบุด้วยระบบสมการอิงตัวแปรเสริม 
เส้นตรงและระนาบ.
เส้นตรงในระนาบที่ให้พิกัดคาร์ทีเซียนทุกเส้นได้จาก"สมการเส้นตรง" หรือสมการกำลังหนึ่ง ในสองมิติ สมการของเส้นตรงทุกเส้นที่ไม่ใช่เส้นในแนวตั้งจะนิยมเขียนในรูปความชันและจุดตัด (slope-intercept form):
<math display="block"> y = mx + b </math>
เมื่อ:
ในสามมิติ เราสามารถระบุระนาบได้ด้วยวิธีที่คล้ายกันกับในสองมิติ ด้วยการระบุจุดหนึ่งจุดที่อยู่บนระนาบ และเวกเตอร์หนึ่งเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ (เรียกว่า เวกเตอร์ปรกติ) ที่ระบุความชันของระนาบ 
ภาคตัดกรวย.
ในระบุพิกัดคาร์ทีเซียน กราฟของสมการกำลังสองในสองมิติจะเป็นภาคตัดกรวยเสมอ แต่มีกรณีที่อาจจะได้ภาคตัดกรวยลดรูป สมการทั่วไปที่สุดของภาคตัดกรวยคือ
<math display="block">Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0 </math>
โดยที่ <math>A, B, C</math> ไม่เป็น 0 พร้อมกัน
เนื่องจากเราสามารถคูณสมการข้างต้นด้วยจำนวนจริงไม่เป็นศูนย์ แล้วยังได้สมการที่มีทางเดินของจุดเป็นแบบเดิม เราสามารถมองภาคตัดกรวยว่าเป็นจุดในปริภูมิเชิงภาพฉาย <math>\mathbf{P}^5</math> ใน 5 มิติได้
สมการภาคตัดกรวยสามารถจำแนกได้โดยพิจารณาดิสคริมิแนนต์
<math display="block">B^2 - 4AC</math>
ถ้าภาคตัดกรวยไม่ใช่ภาคตัดกรวยลดรูป (คือไม่ใช่จุดหรือไม่ใช่เซตว่าง) แล้ว