อนุกรมเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่าง ๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น
<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {1 \over 2^n}</math>
และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต
<math>\sum_{n=0}^\infty ar^n</math>
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ <math>|r| < 1</math>
ผลรวม.
ผลรวมย่อย.
ผลรวมย่อยของ n พจน์แรกคือ
 <math>\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n\,\!</math>
คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย <math>(1-r)</math>ได้
<math>\begin{align}(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k &= (1-r)(a+ar+ar^2+...+ar^n) \\
&= (a+ar+ar^2+...+ar^n)-r(a+ar+ar^2+...+ar^n)\\
&= (a+\cancel{ar}+\cancel{ar^2}+...+\cancel{ar^n})-(\cancel{ar}+\cancel{ar^2}+\cancel{ar^3}...+ar^{n+1})\\
\end{align}</math>
ซึ่งพจน์อื่น ๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ "r" ≠ 1
 <math>\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(r^{n+1}-1)}{r-1}</math>
ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ
 <math>\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}</math>
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ "r" เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย <math>(1-r^2)</math>
 <math>(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}</math>
จะได้สูตร
 <math>\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}</math>
ส่วนเลขชี้กำลังของ "r" ที่มีแต่จำนวนคี่
 <math>(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}</math>
จะได้สูตร
 <math>\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}</math>
ผลรวมทั้งหมด.
สามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด
 <math>\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} </math>
ซึ่ง <math>r^k</math> จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ "k" มีค่าเข้าใกล้อนันต์ก็ต่อเมื่อ <math>|r| < 1</math> ดังนั้น
 <math>\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}</math>
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ "r" เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร
 <math>\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}</math>
ส่วนเลขชี้กำลังของ "r" ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร
 <math>\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}</math>
โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ <math>|r| < 1</math> เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก
การนำไปใช้.
ทศนิยมซ้ำ.
สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตใช้เขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ โดยตัวอย่างเช่น 0.121212... เขียนได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 12/100 และ r = 1/100 ดังนี้
<math>\begin{align}0.121212... &= 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + ...\\
&= \frac{12}{100} + \frac{12}{10000} + \frac{12}{1000000} + ...\\
&= \frac{12}{100} + \frac{12}{100}\left(\frac{1}{100}\right) + \frac{12}{100}\left(\frac{1}{100}\right)^2 + ...\\
\end{align}</math>
ในทำนองเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทศนิยมซ้ำที่มีช่วงซ้ำยาว n หลัก จะสามารถเขียนในรูปของเศษส่วนที่มีเศษเป็นชุดตัวเลขที่ซ้ำ และส่วนเป็น 10n - 1
อนุกรมกำลัง.
จากสูตร
<math>\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+x^4...+x^n+... </math> เมื่อ <math>|x| < 1</math>
สามารถนำไปพิสูจน์อนุกรมอื่น ๆ ได้โดยแคลคูลัส เช่น เมื่อนำสูตรนี้ไปหาอนุพันธ์ซ้ำ ๆ จะได้
<math>\frac{1}{(1-x)^2} = 1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+...+...+nx^{n-1}+... </math> เมื่อ <math>|x| < 1</math>
<math>\frac{1}{(1-x)^3} = 2+6x+12x^2+20x^3+30x^4+...+n(n-1)x^{n-2}+... </math> เมื่อ <math>|x| < 1</math>
<math>\frac{1}{(1-x)^4} = 6+24x+60x^2+120x^3+210x^4...+n(n-1)(n-2)x^{n-3}+... </math> เมื่อ <math>|x| < 1</math>
เป็นเช่นนี้เรื่อยไป