การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  เป็นรูปแบบหนึ่งของการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นจากวัตถุหรืออนุภาค (โพรเจกไทล์) ซึ่งอยู่ในสนามโน้มถ่วง เช่น จากพื้นผิวโลก วัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง ภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงเท่านั้น การคำนวณส่วนใหญ่มักจะละเว้นผลกระทบของแรงต้านอากาศเป็น
ความเร็วเริ่มต้น.
เมื่อปล่อยให้โปรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น <math> \mathbf{v} (0) \equiv \mathbf{v}_0 </math> ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วได้ดังต่อไปนี้
<math> \mathbf{v}_0 = v_{0x}\mathbf{i} + v_{0y}\mathbf{j} </math>
องค์ประกอบ <math> v_{0x} </math> และ <math> v_{0y} </math> สามารถหาได้เมื่อทราบมุมเริ่มต้น <math>\theta</math> ดังนี้
<math> v_{0x} = v_0\cos\theta </math> และ
<math> v_{0y} = v_0\sin\theta </math>
ปริมาณจลนพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์.
ในปี ค.ศ. 1638 กาลิเลโอ กล่าวในหนังสือ ว่าสำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น การเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่งและแนวราบจะเป็นอิสระต่อกัน
ความเร่ง.
สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเกิดความเร่งเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเท่านั้น ส่วนแนวราบความเร็วจะคงตัวมีค่าเท่ากับ <math> \mathbf{v}_0 \cos\theta </math> การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุจะเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว <math>g</math> องค์ประกอบของความเร่งคือ
<math> a_x = 0 </math> และ
<math> a_y =- g </math>
ความเร็ว.
องค์ประกอบของความเร็วในแนวราบของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของความเร็วในแนวตั้งจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเส้นเพราะมีความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงที่มีค่าคงที่ องค์ประกอบของความเร็วทั้งในทิศทาง x และ y สามารถรวมกันเพื่อแก้ปัญหาองค์ประกอบของความเร็ว ณ เวลา <math>t</math> ได้ดังนี้
<math> v_x = v_0 \cos(\theta) </math> และ
<math> v_y = v_0 \sin(\theta) - gt </math>
ขนาดของความเร็ว (ภายใต้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
<math> v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 \ } </math>
การกระจัด.
ณ เวลา <math> t </math> ใด ๆ การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบและแนวดิ่งคือ
<math> x = v_0 t \cos(\theta) </math> และ
<math> y = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 </math>
ขนาดของการกระจัดคือ
<math> \Delta r=\sqrt{x^2 + y^2 \ } </math>
พิจารณาสมการ
<math> x = v_0 t \cos(\theta)</math> และ
<math> y = v_0 t\sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 </math>
ถ้า <math> t </math> ถูกกำจัดออกระหว่างทั้งสองสมการ จะได้
<math> y = \tan(\theta) \cdot x-\frac{g}{2v^2_{0}\cos^2 \theta} \cdot x^2 </math>
เมื่อ <math>g</math> <math>\theta </math> และ <math>v_0</math> เป็นค่าคงที่ สมการข้างต้นจะอยู่ในรูป
<math> y=ax+bx^2 </math>
ซึ่ง <math>a</math> และ <math> b </math> เป็นค่าคงที่ สมการนี้เป็นสมการพาราโบลา ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จึงเป็นรูปพาราโบลา ถ้าทราบตำแหน่ง (x,y) ของโพรเจกไทล์ และมุมยิง (<math>\theta </math> หรือ <math> r </math>) ความเร็วเริ่มตั้น <math>v_0</math> สามารถหาได้จากการแก้สมการพาราโบลาข้างต้น ได้เป็น 
<math> v_0 = \sqrt </math>
เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่.
เวลาทั้งหมดที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศหาได้จากสมการ
<math> y = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 </math>
หลังจากที่วัตถุถูกยิงออกไปและตกกลับลงมาบนพื้นอีกครั้ง (แกน x) ดังนั้น <math> y=0 </math>
<math> 0 = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 </math>
<math> v_0 t \sin(\theta) = \frac{1}{2}gt^2 </math>
<math> v_0 \sin(\theta) = \frac{1}{2}gt </math>
<math> t = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g} </math>
ในที่นี้จะไม่สนใจแรงต้านของอากาศที่กระทำต่อวัตถุ
ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง <math> y_0 </math> เมื่อเทียบกับจุดตก เวลาที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศ คือ 
 <math> t = \frac{d}{v \cos\theta} = \frac{v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gy_0}}{g} </math>
สมการข้างต้นสามารถลดรูปเป็น
 <math> t = \frac{v\sin{\theta} + \sqrt{(v\sin{\theta})^{2}}}{g} = \frac{v\sin{\theta} + v\sin{\theta}}{g} = \frac{2v\sin{\theta}}{g} = \frac{2v\sin{(45)}}{g} = \frac{2v\frac{\sqrt{2}}{2}}{g} = \frac{\sqrt{2}v}{g}</math>
ถ้า <math> \theta</math> = 0 และ <math> y_0</math> = 0
ระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่.
จุดที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้เป็นระยะสูงที่สุดก่อนที่จะตกกลับลงมา เรียกว่า จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ จุดนี้ องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่ง <math> v_y=0 </math> นั้นคือ
<math> 0=v_0 \sin(\theta) - gt_h </math>
เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด
<math> t_h = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} </math>
จากการกระจัดที่สูงที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
<math> h = v_0 t_h \sin(\theta) - \frac{1}{2} gt^2_h </math>
<math> h = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} </math>
ความสัมพันธ์ระหว่างระยะไกลสุดกับระยะสูงสุด.
ความสัมพันธืระหว่างระยะไกลสุดบนแนวราบ <math>R</math> กับระยะสูงสุด <math>h</math> ที่ <math> \frac{t_d}{2} </math> เป็น 
<math> h = \frac{R\tan\theta}{4} </math>
พิสูจน์.
<math> h = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} </math>
<math> R = \frac{v_0^2\sin2\theta}{g} </math>
<math> \frac{h}{R} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} </math> × <math> \frac{g}{v_0^2\sin2\theta} </math>
<math> \frac{h}{R} = \frac{\sin^2\theta}{4\sin\theta\cos\theta} </math>
<math> h = \frac{R\tan\theta}{4} </math>
พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์.
ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มวลของวัตถุจะไม่ส่งผลต่อระยะไกลสุดตามแนวราบและระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่ เมื่อขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน ระยะไกลสุดตามแนวราบของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เรียกว่า "พิสัย" <math>d</math> คือ ระยะทางตามแนวราบจากจุดที่ขว้างวัตถุออกไปจนถึงจุดที่วัตถุตกกลับลงมาที่ตำแหน่งความสูงเริ่มต้น <math>(y=0)</math>
<math> 0 = v_0 t_d \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt_d^2 </math>
เวลาเมื่อตกถึงพื้น
<math> t_d = \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} </math>
จากการเคลื่อนที่ในแนวราบ ระยะทางของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น
<math> d = v_0 t_d \cos(\theta) </math>
ดังนั้น
<math> d = \frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta) </math>
<math>d</math> จะมีค่าสูงสุดเมื่อ
<math> \sin 2\theta=1 </math>
ซึ่งสอดคล้องกับ
<math> 2\theta=90^\circ </math>
หรือ
<math> \theta=45^\circ </math>
ระยะทางในแนวราบ <math>d</math> ที่เคลื่อนที่ได้
 <math> d = \frac{v \cos \theta}{g} \left(v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gy_0} \right) </math>
เมื่อพื้นเรียบ (ความสูงเริ่มต้น (<math>y_0 = 0</math>)) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้
 <math> d = \frac{v^2 \sin(2 \theta)}{g} </math>
ดังนั้นวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด เมื่อ <math>\theta</math> มีค่าเท่ากับ 45 องศา
 <math> d = \frac{v^2}{g} </math>
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงาน.
ตามทฤษฎีงานและพลังงาน องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่งคือ
<math> v_y^2 = (v_0 \sin \theta)^2-2gy </math>
สมการเหล่านี้จะไม่พิจารณาแรงต้านของอากาศ และถือว่าพื้นเป็นพื้นราบเรียบ