เคิร์ล

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เคิร์ล  เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ที่อธิบายการหมุนของสนามเวกเตอร์ ในสามมิติ เคิร์ลที่แต่ละจุดในสนามเวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ซึ่งความยาวและทิศทางแสดงถึงลักษณะการหมุนที่จุดนั้น 
ทิศทางของเคิร์ลคือแกนของการหมุนตามที่กำหนดโดยกฎมือขวา และขนาดของเคิร์ลคือขนาดของการหมุน เช่น ถ้าสนามเวกเตอร์แทนความเร็วการไหลของของไหลที่กำลังเคลื่อนที่ แล้วเคิร์ลจะเป็น ความหนาแน่นของการไหลเวียน ของของไหล สนามเวกเตอร์ที่เคิร์ลเป็นศูนย์เรียกว่าสนามไร้การหมุน (irrotational) เคิร์ลเป็นการหาอนุพันธ์รูปแบบหนึ่งสำหรับสนามเวกเตอร์ และทฤษฎีบทที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสสำหรับเคิร์ลคือ ทฤษฎีบทของสโตกส์ ซึ่งเชื่อมโยงปริพันธ์ตามผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์กับปริพันธ์ตามเส้นของสนามเวกเตอร์รอบเส้นโค้งขอบเขตของพื้นผิวนั้น 
สัญกรณ์ของเคิร์ล เขียนเป็น curl F หรือ ∇ × F ซึ่งใช้ตัวดำเนินการเดลและผลคูณไขว้ บางครั้งอาจเรียกเคิร์ลว่า "โรเตชัน" (rotation) หรือ "โรเตชันนอล" (rotational) เขียนเป็นสัญกรณ์ว่า rot F 
เคิร์ลแตกต่างจากตัวดำเนินการเกรเดียนต์และไดเวอร์เจนซ์ เนื่องจากวางนัยทั่วไปไปยังมิติอื่น ๆ ได้ยากกว่า มีการวางนัยทั่วไปอยู่หลายวิธี แต่จะมีเพียงในสามมิติเท่านั้นที่เคิร์ลของสนามเวกเตอร์จะยังได้ผลลัพธ์เป็นสนามเวกเตอร์เหมือนเดิม ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับ ผลคูณไขว้ ซึ่งนิยามในสามมิติและขยายไปใช้ในมิติอื่นได้ยากเช่นเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้สะท้อนในสัญกรณ์ ∇× สำหรับเคิร์ล 
ชื่อ "เคิร์ล" เสนอเป็นครั้งแรกโดย เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ใน ค.ศ. 1871 แต่แนวคิดนี้มีการใช้งานตั้งแต่ ค.ศ. 1839 ในทฤษฎีสนามเชิงแสงของเจมส์ แมกคัลลัค 
นิยาม.
เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ F (แทนด้วย curl F หรือ ∇ × F หรือ rot F) ที่จุดหนึ่ง ๆ นิยามจากภาพฉายของมันลงบนเส้นต่าง ๆ ที่ผ่านจุดนั้น ถ้า n̂ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใด ๆ ภาพฉายของเคิร์ลของ F ไปบน n̂ นิยามโดยลิมิตของปริพันธ์ตามเส้นปิดในระนาบที่ตั้งฉากกับ n̂ หารด้วยพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ เมื่อเส้นทางการหาปริพันธ์ลดขนาดลงสู่จุด 
ตัวดำเนินการเคิร์ลส่งฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง "f" : ℝ3 → ℝ3 ให้ได้ฟังก์ชันต่อเนื่อง ℝ3 → ℝ3 และโดยทั่วไปแล้วจะแปลงฟังก์ชัน "parts":[{"template":{"target":{"wt":"math","href":"./Template:Math"},"params":{"1":{"wt":""Ck""}},"i":0}}]}" about="#mwt974625047" class="texhtml" data-ve-no-generated-contents="true">"C""k" ใน ℝ3 เป็นฟังก์ชัน "C""k"−1 ใน ℝ3 
โดยปริยาย นิยามของเคิร์ล เขียนเป็นสมการได้เป็น
<math>(\nabla \times \mathbf{F})(p) \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0}\left(\frac{1}\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\right)\mathbf{\hat{n}}</math> 
โดยที่ ∮"C" F ⋅ "d"r คือ อินทิกรัลตามเส้น ตามขอบเขตของพื้นที่รอบจุดและ คือขนาดของพื้นที่ ถ้า n̂ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบ และ v̂ เป็นเวกเตอร์ปกติที่ในระนาบที่ชี้ออกไปด้านนอกพื้นที่ (ดูภาพขวา) แล้ว ทิศทางของ "C" จะเลือกให้เวกเตอร์สัมผัส ω̂ ของ C ทำให้ {n̂,ν̂,ω̂} เป็นชุดเวกเตอร์ที่เป็นไปตามกฎมือขวา
การใช้งาน.
ในทางปฏิบัติ นิยามข้างต้นไม่ค่อยได้ใช้เพราะในเกือบทุกกรณี ตัวดำเนินการเคิร์ลสามารถนำมาใช้ในกรอบของระบบพิกัดเชิงเส้นโค้งบางระบบ ที่มีการคำนวณหาสูตรที่ง่ายกว่าเอาไว้แล้ว 
สัญกรณ์ ∇ × F มีต้นกำเนิดในความคล้ายคลึงกับผลคูณไขว้สามมิติ และมีประโยชน์ในการช่วยจำสูตรหาเคิร์ลในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดย ∇ แทนตัวดำเนินการเดล สัญกรณ์เช่นนี้ถือเป็นปกติใน ฟิสิกส์ และ พีชคณิต 
เมื่อกระจายสูตร ∇ × F ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ (ดู "เดลในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม" สำหรับสูตรในระบบพิกัดทรงกลม และทรงกระบอก พิกัด) สำหรับ F ที่มีองก์ประกอบเวกเตอร์เป็น ["Fx", "Fy", "Fz"] จะได้เป็น 
<math>\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[5pt]
 {\dfrac{\partial}{\partial x}} & {\dfrac{\partial}{\partial y}} & {\dfrac{\partial}{\partial z}} \\[10pt]
 F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math>
โดยที่ i, j, และ k เป็น เวกเตอร์หน่วย สำหรับ แกน x y และ z ตามลำดับ สิ่งนี้จะขยายออกดังนี้: 
<math>\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}</math> 
แม้ว่าจะแสดงในรูปแบบของพิกัด ผลลัพธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนที่เหมาะสมของแกนพิกัด แต่จะพลิกด้านภายใต้การสะท้อน