ฟังก์ชันเครื่องหมาย

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเครื่องหมาย  คือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งที่ดึงเครื่องหมายออกมาจากจำนวนจริง เขียนแทนด้วย sgn และเพื่อไม่ให้สับสนกับฟังก์ชันไซน์ (sine) ซึ่งออกเสียงเหมือนกันในภาษาอังกฤษ ฟังก์ชันนี้จึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ซินยุม หรือ ซิกนัม (signum) มาจากภาษาละติน
นิยาม.
นิยามของฟังก์ชันเครื่องหมายมีดังนี้ เมื่อ "x" เป็นจำนวนจริง
<math> \sgn (x) = \begin{cases}
-1 & \text{if } x < 0, \\
0 & \text{if } x = 0, \\
1 & \text{if } x > 0. \end{cases}</math>
สมบัติต่าง ๆ.
สำหรับจำนวนจริง "x" ใด ๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย
<math>x = \sgn (x) \cdot |x| \,\!</math>
จากสมการดังกล่าว เราจะได้ความหมายของฟังก์ชันเครื่องหมายอีกอย่างหนึ่ง เมื่อ "x" ไม่เท่ากับ 0
<math>\sgn (x) = {x \over |x|}</math>
ฟังก์ชันเครื่องหมาย คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งประเมินค่าไม่ได้ที่ 0)
<math>{d |x| \over dx} = {x \over |x|} \,\!</math>
ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดยกเว้นจุด 0 แต่สำหรับการหาอนุพันธ์ในทฤษฎีการกระจาย อนุพันธ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายมีค่าเป็นสองเท่าของฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)
<math>{d \ \sgn (x) \over dx} = 2 \delta (x) \,\!</math>
ฟังก์ชันเครื่องหมายมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮฟวีไซด์ (Heaviside step function) "H"1/2("x") นั่นคือ
<math>\sgn (x) = 2 H_{1/2}(x) - 1 \,\!</math>
เมื่อเลข 1/2 ของฟังก์ชันขั้นบันไดหมายถึง "H"1/2(0) = 1/2 ฟังก์ชันเครื่องหมายยังสามารถเขียนโดยใช้สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอีเวอร์สัน (Iverson bracket) ดังนี้
<math>\sgn (x) = -[x < 0] + [x > 0] \,\!</math>
สำหรับ "k" ≫ 0 การประมาณค่าโดยละเอียดของฟังก์ชันขั้นบันไดดังกล่าวหาได้จาก
<math>\sgn (x) \approx \tanh(kx)</math>
ฟังก์ชันบนจำนวนเชิงซ้อน.
ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน "z" ใด ๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้
<math>\sgn (z) = {z \over |z|}</math>
ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ "z" มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ
<math>\sgn (z) = \exp(i \arg z) \,\!</math>
โดยที่ arg "z" คือ อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ "z"
เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย
การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งของฟังก์ชันเครื่องหมายสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน คือ "csgn" ซึ่งนิยามโดย
<math>
 1 & \text{if } \Re(z) > 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\
 -1& \text{if } \Re(z) < 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\
 0 & \text{if } \Re(z)=\Im(z)=0. 
</math>
ซึ่งเราจะได้สมบัติดังนี้ (ยกเว้นค่า "z" = 0)
<math>\operatorname{csgn}(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}</math>
ฟังก์ชันเครื่องหมายแบบนัยทั่วไป.
ที่จำนวนจริง "x" เราสามารถสร้างฟังก์ชันเครื่องหมายในรูปแบบของฟังก์ชันนัยทั่วไป (generalized function) คือ <math>\varepsilon (x)</math> โดยนิยามให้ <math>\varepsilon(x)^2 = 1</math> บนทุกๆ ค่าของ "x" รวมทั้งจุดที่ "x" = 0 (ซึ่งต่างกับ sgn คือ <math>sgn(0)^2 = 0</math>) และถึงแม้ว่าฟังก์ชันนัยทั่วไปนี้สามารถทำให้เกิดพีชคณิตของฟังก์ชันได้ แต่จะเสียสมบัติการสลับที่ไป โดยเฉพาะฟังก์ชันเดลตาของดิแร็กที่เป็นคู่ต่างสลับที่ของฟังก์ชันนี้
<math>\varepsilon(x) \delta(x)+\delta(x) \varepsilon(x) = 0 \,\!</math>
นอกจากนั้น <math>\varepsilon(x)</math> ไม่สามารถประเมินค่าได้ที่ "x" = 0 ดังนั้นความหมายของ <math>\varepsilon</math> จึงสำคัญที่จะแยกแยะออกจากฟังก์ชัน sgn (นั่นคือ <math>\varepsilon(0)</math> ไม่นิยาม แต่ในขณะที่ sgn(0) = 0)