จานแอรี

จานแอรี (Airy disc) และ แบบรูปแอรี (Airy pattern) เป็นปรากฏการณ์ทางแสงอย่างหนึ่ง เนื่องจากโดยธรรมชาติเชิงคลื่นของแสงแล้ว แสงที่ผ่าน รูเปิดวงกลมจะเกิดการเลี้ยวเบน แล้วเกิดเป็นรูปล่างแถบมืดสว่างเหมือนแผ่นจานกลมที่มีวงแหวนล้อม
แสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงที่สม่ำเสมอผ่านรูรับแสงวงกลมทำให้เกิดแบบรูปการเลี้ยวเบนบนพื้นผิว และพื้นที่สว่างกลม ณ ใจกลางนั้นได้รับการตั้งชื่อเรียกว่า "จานแอรี" และจานแอรีนี้ถูกล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกันหลายวงซึ่งเรียกว่า "แบบรูปแอรี" ชื่อจานและวงแหวนนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม จอร์จ บิดเดิล แอรี เส้นผ่านศูนย์กลางของจานนี้ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงและขนาดของรูรับแสงวงกลม
จานแอรีเป็นแนวคิดที่สำคัญในด้าน ฟิสิกส์ ทัศนศาสตร์ และ ดาราศาสตร์
สำหรับในกล้องถ่ายภาพและกล้องโทรทรรศน์แล้ว จานแอรีถือว่ามีนัยสำคัญ ภาพโฟกัสของลำแสงที่ส่องผ่านเลนส์ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจำกัดค่าหนึ่งนั้นจะไม่ใช่เป็นจุด แต่จะเป็นจานกลมที่มีขนาดเท่ากับจานแอรี เนื่องจากเกิดการเลี้ยวเบน แม้จะใช้เลนส์แบบไม่มีความคลาดทางทัศนศาสตร์ก็ตาม ความละเอียดเชิงแสงของภาพโฟกัสที่สร้างขึ้นได้โดยเลนส์นี้ก็ยังมีขีดจำกัด โดยอาจกล่าวได้ว่าความละเอียดเชิงแสงของระบบเชิงแสงจะถูกกำหนดโดยขีดจำกัดการเลี้ยวเบน การที่เวลาถ่ายภาพโดยใช้รูรับแสงขนาดเล็กเกินไปแล้วเกิดภาพเบลอก็สามารถอธิบายได้ด้วยจานและแบบรูปแอรีนั่นเอง
ขนาดของจานแอรี.
รัศมีของจานแอรี <math> \theta</math> นิยามโดยมุมระหว่างวงแหวนมืดด้านในสุดกับแกนเชิงแสงเมื่อมองจากจุดตัดของระนาบของรูรับแสงวงกลมและแกนเชิงแสง คำนวณได้โดยสมการต่อไปนี้
 <math> \sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}</math>
โดยที่ <math>\lambda</math> คือความยาวคลื่นของแสง และ <math>d</math> คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม
ขีดจำกัดของความละเอียดเชิงแสงของภาพตามเกณฑ์ของเรย์ลี พิจารณาจากสถานะที่จุดกึ่งกลางของจานแอรีของภาพที่โฟกัสจุดหนึ่ง ไปซ้อนทับกับวงแหวนมืดวงแรกของจานแอรี (วงแหวนมืดที่ล้อมรอบจานแอรี) ของอีกจุด เมื่อใช้เกณฑ์นี้ค่าความละเอียดเชิงมุมจะหาได้จากสูตรเดียวกันนี้
ตัวอย่าง.
กล้องถ่ายภาพ.
หากถ่ายภาพด้วยกล้องถ่ายภาพ ในขณะที่ค่อยลดระยะห่างระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุด (ซึ่งก็จะทำให้มุมระหว่างแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดเมื่อมองจากกล้องค่อย ๆ เล็กลงด้วย) จานแอรีของแหล่งกำเนิดแสงแบบจุด 2 จุดนั้นจะเริ่มซ้อนทับกันเมื่อเข้าใกล้กันมากจนถึงในระดับหนึ่ง และในที่สุดภาพจากจุดกำเนิดแสงทั้งสองที่ปรากฏจะซ้อนทับกันจนทำให้เริ่มเห็นภาพพร่ามัว ไม่สามารถเห็น 2 จุดนั้นแยกออกจากกันเป็น 2 จุดได้อย่างชัดเจน นั่นเพราะเมื่อจุดศูนย์กลาง (ส่วนที่สว่างที่สุด) ของแบบรูปแอรีของแหล่งกำเนิดแสงจุดหนึ่ง ซ้อนทับวงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปแอรีของอีกจุด จะทำให้เริ่มไม่สามารถแยกแยะ 2 จุดนั้น ทำให้เห็นเหมือนเป็นจุดเดียว
ตามเกณฑ์ของเรย์ลี ขีดจำกัดของมุมที่จะพอมองแยกแหล่งกำเนิดแสงสองจุดดังกล่าว (ความละเอียดเชิงแสงของเลนส์) อาจคำนวณได้จากรัศมีของจานแอรีดังที่กล่าวมาข้างต้น
 <math> \sin \theta = 1.22\ \frac{\lambda}{d}</math>
โดยที่ θ มีค่าน้อยพอที่จะให้ค่าประมาณได้ดังนี้
 <math> \frac{x}{f} = 1.22\ \frac{\lambda}{d}</math>
ในที่นี้ <math>x</math> คือช่วงระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดแสงบนฟิล์ม <math>f</math> ระยะทางระหว่างเลนส์ถึงฟิล์ม คำนวณจากความยาวโฟกัสของเลนส์คือ
 <math> x = 1.22\ \frac{\lambda f}{d}</math>
ในที่นี้ <math>\frac{f}{d}</math> คือค่าเอฟของเลนส์ ตัวอย่างเช่น ในช่วงวันที่มีแดดจัดมักใช้ f/16 ส่วนค่าความยาวคลื่น <math>\lambda</math> ต่างไปตามสีของแสง เช่น ถ้าพิจารณาที่ค่าประมาณ 450 นาโนเมตร ในช่วงแสงที่มองเห็นได้ จะได้ว่า <math>x</math> มีขนาดประมาณ 0.01 มิลลิเมตร เมื่อถ่ายภาพด้วยกล้องดิจิทัลที่ f/16 ต่อให้เพิ่มความหนาแน่นพิกเซลของเซนเซอร์รูปภาพให้หนาแน่นขึ้น ความละเอียดเชิงแสงจริง ๆ ของกล้องนั้นก็จะไม่ได้มากขึ้นไปกว่านี้
ตาของมนุษย์.
ค่าเอฟของดวงตามนุษย์อยู่ที่ประมาณ 2.1 เมื่อรูม่านตาขยายมากที่สุด กำลังการแยกบนจอตาอยู่ที่ประมาณ 1 ไมโครเมตร ซึ่งคำนวณจากระยะห่างของเซลล์รับแสงในจอตาของมนุษย์ โดยความหนาแน่นของเซลล์ที่รอยบุ๋มจอตาอยู่ที่ประมาณ 170,000 เซลล์ต่อตารางมิลลิเมตร นั่นคือระยะห่างระหว่างเซลล์อยู่ที่ประมาณ 2.5 ไมโครเมตร
ลำแสงเลเซอร์.
เมื่อฉายลำแสงเลเซอร์วงกลมที่มีความเข้มสม่ำเสมอทั่วทั้งวงผ่านเลนส์รวมแสงจะก่อตัวเป็นจานแอรีที่จุดโฟกัส ความเข้มของลำแสงเลเซอร์ที่ตำแหน่งโฟกัสจะขึ้นอยู่กับขนาดของจานแอรี
เงื่อนไขในการสังเกตเห็นจานแอรี.
แสง (หรือคลื่นราบสม่ำเสมอ) ที่ลอดผ่านรูรับแสงวงกลมที่ส่องสว่างสม่ำเสมอจะแสดงแบบรูปการเลี้ยวเบนแอรีบนระนาบที่ห่างจากรูรับแสงวงกลม กรณีที่แหล่งกำเนิดแสงและระนาบอยู่ที่ระยะอนันต์จากรูรับแสงวงกลมจะเรียกว่า การเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ และกรณีที่แหล่งกำเนิดแสงหรือตัวระนาบอยู่ในระยะทางจำกัดเรียกว่าการเลี้ยวเบนแฟรแนล
ถ้าจะเห็นแบบรูปแอรีโดยไม่ใช้เลนส์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้
คำอธิบายด้วยสมการ.
]
ความเข้มของการเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ที่เกิดจากรูรับแสงวงกลมคำนวณได้โดย
 <math>I(\theta) = I_0 \left (\frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right)^2 = I_0 \left (\frac{2 J_1(x)}{x} \right)^2</math>
ในที่นี้ <math>I_0</math> คือความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน <math>J_1</math> เป็น ฟังก์ชันเบ็สเซิลประเภทที่หนึ่ง <math>k = {2 \pi}/{\lambda}</math> คือเลขคลื่น <math>a</math> คือรัศมีของรูรับแสงวงกลม <math>\theta</math> คือมุมที่พิจารณา (มุมที่เส้นที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมกับจุดบนระนาบ ทำกับแกนเชิงแสง) และ
 <math>x = ka \sin \theta = \frac{2 \pi a}{\lambda} \frac{q}{R} = \frac{\pi q}{\lambda N} </math>
โดยที่ <math>q</math> คือระยะห่างของระนาบที่สังเกตการณ์ (หรือระนาบโฟกัส) จากแกนลำแสง และ <math>N =R/d</math> คือ ค่าเอฟของระบบเชิงแสง (โดย <math>d=2a</math> คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม และ <math>R</math> คือระยะห่างระหว่างรูรับแสงวงกลมกับระนาบการสังเกต) การวางเลนส์ประกบหลังรูรับแสงวงกลมจะสร้างแบบรูปแอรีบนระนาบโฟกัสของเลนส์ โดยที่ <math>R = f</math> (โดยที่ <math>f</math> คือความยาวโฟกัสของเลนส์) ขีดจำกัดของ <math>\theta \rightarrow 0</math> (หรือ <math>x \rightarrow 0</math>) คือ <math>I(0) = I_0</math>
<math>J_1(x)</math> จะมีค่าเป็น 0 เมื่อ <math>x = ka \sin \theta \approx 0, 3.8317, 7.0156, 10.1735, 13.3268, 16.4706... </math> วงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปการเลี้ยวเบนแสดงด้วยสมการต่อไปนี้
 <math>\sin \theta = \frac{3.83}{ka} = \frac{3.83 \lambda}{2 \pi a} = 1.22 \frac{\lambda}{2a} = 1.22 \frac{\lambda}{d}</math> .
ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงแหวนมืดดวงแรกบนระนาบ <math>q_1</math> และมุม <math>\theta</math> คือ
 <math>q_1 = R \sin \theta</math>
โดยที่ <math>R</math> คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ระยะห่างจากจุดกึ่งกลาง <math>x</math> ที่ความเข้มแสงของจานแอรีเหลือครึ่งนึง (คือที่ <math>J_1(x)=1/2</math>) คือ <math>x = 1.61633... </math> ส่วนที่ความเข้มเหลือเป็น 1/e2 (<math>J_1(x)=1/e^2</math>) คือ <math>x = 2.58383... </math> ส่วนที่สว่างที่สุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือ <math>x = 5.13562... </math>
ความสัมพันธ์ของความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน <math>I_0</math> กับความเข้มของแสงที่ผ่านรูรับแสงวงกลม <math>P_0</math> แสดงโดยสูตรต่อไปนี้
 <math>I_0 = \frac{\Epsilon_A^2 A^2}{2 R^2} = \frac{P_0 A}{\lambda^2 R^2}</math>
ในที่นี้ <math>\Epsilon</math> คือความเข้มของแสงต่อหน่วยพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม "A" คือพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม (<math>A=\pi a^2</math>) "R" คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ความเข้มแสงบนระนาบโฟกัสของเลนส์เป็น <math>I_0 = (P_0 A)/(\lambda^2 f^2)</math> ความเข้มสูงสุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือประมาณ 1.75% ของค่าที่ตรงกลางของจานแอรี
ความเข้มแสงรวมทั้งหมดภายในวงที่อยู่ในบริเวณในมุม <math>\theta</math> ที่กำหนดคำนวณได้เป็น
 <math>P(\theta) = P_0 [ 1 - J_0^2(ka \sin \theta) - J_1^2(ka \sin \theta) ]</math>
ซึ่งจะได้ว่าความเข้มแสงภายในวงแหวนมืดที่ 1, วงแหวนมืดที่ 2, วงแหวนมืดที่ 3 (ที่ซึ่ง <math>J_1(ka \sin \theta)=0</math>) เป็น 83.8%, 91.0% และ 93.8% ตามลำดับ
แบบรูปแอรีที่มีการบังแสงตรงกลาง.
การเลี้ยวเบนในลักษณะเดียวกันนี้ยังเกิดขึ้นในกรณีที่รูรับแสงมีการบดบังเป็นวงกลมที่ส่วนใจกลางด้วย โดยแบบรูปการเลี้ยวเบนของแสงรูปวงแหวนที่เกิดจากรูรับแสงที่มีตัวบังแสงเป็นวงกลมที่ศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมจะแสดงได้ดังสูตรนี้
 <math>I(\theta) = \frac{I_0}{ (1 - \epsilon ^2)^2} \left (\frac{2 J_1(x)}{x} - \frac{2 \epsilon J_1(\epsilon x)}{x}\right)^2</math>
ในที่นี้ <math>\epsilon</math> คืออัตราส่วนที่รูรับแสงวงกลมถูกบดบัง กล่าวคือ อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของแผ่นบังต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม <math> \left(0 \le \epsilon < 1 \right) </math> และ <math>x</math> นิยามเป็น <math>x=ka sin(\theta) \approx \frac {\pi R}{\lambda N}</math> โดยที่ <math>R</math> คือเส้นผ่านศูนย์กลางบนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส <math>\lambda</math> คือความยาวคลื่น และ <math>N</math> คือ ค่าเอฟของระบบเชิงแสง พลังงานแสงที่โฟกัส (อัตราส่วนของพลังงานทั้งหมดที่รวบรวมได้ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง <math>R</math> ที่มีจุดกึ่งกลางอยู่บนแกนเชิงแสงของระนาบโฟกัส) คำนวณโดย
 <math>E(R) = \frac{I_0}{ (1 - \epsilon ^2)^2 }
 \left(1 - J_0^2(x) - J_1^2(x) + \epsilon ^2 \left[ 1 - J_0^2 (\epsilon x) - J_1^2(\epsilon x) \right] - 4 \epsilon \int_0^x \frac {J_1(t) J_1(\epsilon t)}{t}\,dt \right)
</math>
เมื่อ <math>\epsilon \rightarrow 0</math> จะได้สูตรออกมาเหมือนกับสูตรที่กล่าวไปข้างต้นในกรณีที่ไม่มีการบังตรงกลาง