ลำดับเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับเรขาคณิต  คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า "อัตราส่วนร่วม" (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเรขาคณิตลำดับหนึ่งคือ "a"1 และมีอัตราส่วนร่วม "r" ≠ 0 ดังนั้นพจน์ที่ "n" ของลำดับนี้คือ
 <math>a_n = a_1r^{n-1}\,\!</math>
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
 <math>a_n = a_mr^{n-m}\,\!</math>
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด
 <math>a_n = ra_{n-1}\,\!</math>
สมบัติเบื้องต้น.
การที่จะทำให้ทราบได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิตหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะมีค่าเท่ากันทั้งลำดับ อัตราส่วนร่วมอาจเป็นค่าติดลบก็ได้ ซึ่งจะทำให้เกิดลำดับสลับเครื่องหมาย หมายความว่าจำนวนจะสลับเครื่องหมายบวกลบตลอดทั้งลำดับ เช่น 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ −3
พฤติกรรมของจำนวนในการลำดับเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนร่วม ดังนี้
จะเห็นว่าลำดับเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของลำดับเลขคณิต แต่ลำดับทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของลำดับเลขคณิตก็จะได้ลำดับเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของลำดับเรขาคณิตก็จะได้ลำดับเลขคณิต
ผลรวม.
ผลรวมของสมาชิกในลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต 
 <math>\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n\,\!</math>
เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย <math>(1-r)</math> แล้วเราจะได้
 <math>(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k = a-ar^{n+1}\,\!</math>
ซึ่งพจน์อื่น ๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ "r" ≠ 1
 <math>\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(r^{n+1}-1)}{r-1}</math>
ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ
 <math>\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}</math>
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ "r" เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย <math>(1-r^2)</math>
 <math>(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}</math>
จะได้สูตร
 <math>\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}</math>
ส่วนเลขชี้กำลังของ "r" ที่มีแต่จำนวนคี่
 <math>(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}</math>
จะได้สูตร
 <math>\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}</math>
อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด.
อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง (<math>|r| < 1</math>) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด
 <math>\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} </math>
ซึ่ง <math>r^k</math> จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ "k" มีค่าเข้าใกล้อนันต์และ <math>|r| < 1</math> ดังนั้น
 <math>\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}</math>
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ "r" เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร
 <math>\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}</math>
ส่วนเลขชี้กำลังของ "r" ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร
 <math>\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}</math>
โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ <math>|r| < 1</math> เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก
ผลคูณ.
ผลคูณของลำดับเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้วยกกำลังด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้
 <math>\prod_{i=0}^{n} ar^i = \left(\sqrt{a_1 \cdot a_{n+1}}\right)^{n+1}</math> เมื่อ <math>a, r > 0</math>
กำหนดให้ผลคูณของลำดับเลขคณิตแทนด้วย "P"
 <math>P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}</math>
รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้
 <math>P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+n}</math>
นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ "r"
 <math>P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}</math>
 <math>P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}</math>
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
 <math>P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}</math>
และในที่สุดก็จะได้
 <math>P^2=(a_1 \cdot a_{n+1})^{n+1}</math>
 <math>P=(a_1 \cdot a_{n+1})^{\frac{n+1}{2}}</math>