ฟังก์ชันเลียปูนอฟ

ฟังก์ชันเลียปูนอฟ  เป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการการหาเสถียรภาพของระบบพลวัตในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ โดยตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918) ฟังก์ชันนี้มีบทบาทสำคัญมากในทฤษฎีเสถียรภาพ และ ทฤษฎีระบบควบคุม
ในขณะนี้ยังไม่มีวิธีการทั่วไปในการหาฟังก์ชันเลียปูนอฟของระบบในกรณีทั่วไป เพราะในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟสามารถบอกได้เพียงว่า ถ้าหากฟังก์ชันเลียปูนอฟสอดคล้องกับเกณฑ์ของเสถียรภาพจึงสามารถสรุปได้ว่าระบบนั้นมีเสถียรภาพ แต่ในทางกลับกัน ระบบที่มีเสถียรภาพไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าฟังก์ชันแบบใดที่เป็นฟังก์ชันเลียปูนอฟได้ ดังนั้นในการพิสูจน์เสถียรภาพของระบบ จะกระทำโดยการสร้างฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติตรงตามคุณสมบัติฟังก์ชันที่เข้าเกณฑ์การเป็นฟังก์เลียปูนอฟจะเรียกว่า ฟังก์ชันพลังงาน (Energy function หรือ Lyapunov-candidate-functions) กล่าวคือ การที่ไม่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟได้นันไม่ได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้นไม่ได้มีเสถียรภาพ แต่การที่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟมาพิสูจน์เสถียรภาพได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้น ๆ มีเสถียรภาพ 
ในทางปฏิบัติสำหรับระบบพลวัตทางฟิสิกส์ มักนิยมใช้กฎอนุรักษ์ต่าง ๆ ในการสร้างฟังก์ชันพลังงานได้
กำหนดให้ <math>V:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและเป็นสเกลาร์ <br>
<math>V</math> จะเป็นฟังก์ชันพลังงานถ้าหาก <math>V</math> เป็นฟังก์ชันบวกแน่นอนเฉพาะแห่ง (locally positive-definite function) กล่าวคือ
*<math>V(x) > 0 \quad \forall x \in U\setminus\{0\}</math> โดยที่ <math>U</math> เป็นเซตบริเวณใกล้เคียงรอบจุด <math>x = 0</math>
*<math>V(0) = 0 \,</math>
หมายเหตุ: ตัวอย่างของฟังก์ชันพลังงาน ได้แก่ <math>V(z) = z^TPz \,</math> โดยที่ <math>P = P^T \in R^{n \times n} > 0 \,</math> กล่าวคือ <math>P \,</math> คือเมทริกซ์บวกแน่นอน 
กำหนดให้ <math>g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math>
<math>\dot{y} = g(y) \,</math> เป็นระบบพลวัตอัตตาณัติที่กำหนดให้ โดยมีจุดสมดุลกำหนดให้เป็น <math>y^* \,</math> ดังนั้น
<math>0 = g(y^*) \,</math>
นิยามของจุดสมดุลของระบบ.
โดยไม่เสียความเป็นนัยยะทั่วไป เราสามารถแปลงพิกัดในอยู่ในรูป <math>x = y - y^* \,</math> เพื่อให้ระบบที่เราจะพิจารณาต่อไปมีจุดสมดุลอยู่ที่จุดกำเนิด ทำให้ความสะดวกต่อการพิจารณาต่อไป ดังต่อไปนี้
<math>\dot{x} = g(x + y^*) = f(x) \,</math>
<math> f(0) = 0 \,</math>
พื้นฐานของทฤษฎีเสถียรภาพเลียปูนอฟสำหรับระบบอัตตาณัติ.
กำหนดให้ <math>x^* = 0 \,</math> เป็นจุดสมดุลของระบบอัตตาณัติ
<math>\dot{x} = f(x) \,</math>
และให้ <math>\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x)</math>
เป็นเป็นอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงาน<math>V</math>
เสถียรภาพของจุดสมดุล.
ถ้าฟังก์ชันพลังงาน <math>V</math> เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบกึ่งแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative semidefinite):
<math>\dot{V}(x) \le 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}</math>
สำหรับย่าน <math>\mathcal{B}</math> รอบจุด <math>0</math> จะสรุปได้ว่าจุดสมดุลนั้นมีเสถียรภาพ (stable)
เสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ.
ถ้าฟังก์ชันพลังงาน <math>V</math> เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative definite):
<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}</math>
สำหรับย่าน <math>\mathcal{B}</math> รอบจุด <math>0</math> จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ (locally asymptotically stable)
เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ.
ถ้าฟังก์ชันพลังงาน <math>V</math> เป็นบวกแน่นอนวงกว้าง (globally positive definite) และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนวงกว้าง (globally negative definite):
<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}</math>
จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable)
หมายเหตุ: ฟังก์ชันพลังงาน <math>V(x)</math> จะไม่มีขอบเขตถ้าหาก <math>\| x \| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty </math>
ตัวอย่าง.
พิจารณาสมการอนุพันธ์ ที่มีคำตอบเป็น <math>x</math> โดยที่ <math>x \in \mathbb{R}</math>:
<math>\dot x = -x</math>
จะเห็นว่า <math>|x|</math> มีค่าเป็นบวกรอบจุดกำเนิด ซึ่งเราสามารถนำมาเป็นฟังก์ชันพลังงานได้ 
กำหนดให้ <math>V(x)=|x|</math> โดยที่ <math>x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math> ดังนั้น
<math>\dot V(x) = V'(x) f(x) = \mathrm{sign}(x)\cdot (-x) = -|x|<0</math>
จะเห็นได้ว่าระบบที่ถูกอธิบายด้วยสมการอนุพันธ์ข้างต้นมีเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับรอบจุดกำเนิด