รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ในวิชาคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปรมุม เมื่อแต่ละข้างของสมการสามารถหาค่าได้ ในทางเรขาคณิต เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุมหนึ่งมุมขึ้นไป แตกต่างจากเอกลักษณ์รูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับมุมเช่นกัน แต่จะรวมถึงความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วย
เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นประโยชน์ เมื่อใดที่มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ที่สำคัญ คือ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นวิธีการที่ต้องใช้การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นลำดับแรกก่อน แล้วจึงหาผลลัพธ์ของปริพันธ์โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
สัญกรณ์.
มุม.
บทความนี้จะใช้อักษรกรีก เช่น แอลฟา (α), บีตา (β), แกมมา (γ), และทีตา (θ) เพื่อใช้แทนมุม และมีหน่วยในการวัดขนาดของมุมที่แตกต่างกันที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ได้แก่ องศา เรเดียน และแกรเดียน (แกร็ด หรือก็อน)
1 รอบเต็มของวงกลม  = 360 องศา = 2π เรเดียน = 400 ก็อน
ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลงหน่วยและค่าของมุมทั่วไป
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์และโคไซน์ของมุม บางครั้งสามารถเขียนย่อได้เป็น sin("θ") และ cos("θ") ตามลำดับ เมื่อ θ เป็นขนาดของมุม แต่เราสามารถเขียนละวงเล็บที่อยู่หน้าและหลังขนาดของมุมได้เป็น sin "θ" และ cos "θ"
ฟังก์ชันไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)
ฟังก์ชันโคไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)
ฟังก์ชันแทนเจนต์ (tan) ของมุม คือ อัตราส่วนของไซน์และโคไซน์
<math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math>
และสุดท้าย ฟังก์ชันส่วนกลับ ได้แก่ เซแคนต์ (sec), โคเซแคนต์ (csc), และโคแทนเจนต์ (cot) ซึ่งเป็นส่วนกลับการคูณของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตามลำดับ
<math>\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}</math>
นิยามเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์อัตราส่วน
ฟังก์ชันผกผัน.
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของไซน์ เรียกว่า อินเวอร์สไซน์ (sin−1) หรือ อาร์กไซน์ (arcsin หรือ asin) โดยที่
<math>\sin(\arcsin x) = x\quad\text{for} \quad |x| \leq 1 </math>
และ
<math>\arcsin(\sin x) = x\quad\text{for} \quad |x| \leq \frac{\pi}{2} </math>
บทความนี้จะใช้สัญกรณ์ข้างล่างนี้สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ.
เมื่อกำหนด <math>A</math> เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้
<math>\sin A \cdot \csc A = 1</math>
<math>\cos A \cdot \sec A = 1</math>
<math>\tan A \cdot \cot A = 1</math>
<math>\cos A \cdot \tan A = \sin A</math>
<math>\sin A \cdot \cot A = \cos A</math>
<math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1\,</math>
<math>\sec^2 A - \tan^2 A = 1\,</math>
<math>\csc^2 A - \cot^2 A = 1\,</math>
เมื่อกำหนด <math>x</math> และ <math>y</math> เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้
<math>\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y</math>
<math>\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y</math>
<math>\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y</math>
<math>\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y</math>
<math>\tan \left(x+y\right)=\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}</math>
<math>\tan \left(x-y\right)=\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}</math>
<math>\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right) \cos \left(\frac{x-y}{2} \right) </math>
<math>\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \sin \left(\frac{x-y}{2} \right) </math>
<math>\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cos \left(\frac{x-y}{2} \right)</math>
<math>\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right)\sin \left(\frac{x-y}{2} \right)</math>
<math>\tan x+\tan y=\frac{\sin \left(x+y\right) }{\cos x\cos y}</math>
<math>\tan x-\tan y=\frac{\sin \left(x-y\right) }{\cos x\cos y}</math>
<math>\cot x+\cot y=\frac{\sin \left(x+y\right) }{\sin x\sin y}</math>
<math>\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left(x-y\right) }{\sin x\sin y}</math>
<math>2\sin x \cos y=\sin \left(x+y\right) + \sin \left(x-y\right)</math>
<math>2\cos x \sin y=\sin \left(x+y\right) - \sin \left(x-y\right)</math>
<math>2\cos x \cos y=\cos \left(x+y\right) + \cos \left(x-y\right)</math>
<math>2\sin x \sin y=\cos \left(x-y\right) - \cos \left(x+y\right)</math>
<math>\sin 2x=2\sin x \cos x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}</math>
<math>\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}</math>
<math>\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}</math>
<math>\sin 3x=3\sin x - 4\sin^3 x</math>
<math>\cos 3x=4\cos^3 x - 3\cos x</math>
<math>\tan 3x=\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1-3\tan ^2x}</math>