มัชฌิมเรขาคณิต

ในวิชาคณิตศาสตร์ มัชฌิมเรขาคณิต เป็นค่ามัชฌิมหรือค่าเฉลี่ยที่บ่งบอกถึงแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจำนวนชุดหนึ่งด้วยผลคูณของค่าแต่ละค่า (ต่างจากมัชฌิมเลขคณิตซึ่งใช้ผลบวกของค่าแต่ละค่า) นิยามของมัชฌิมเรขาคณิตคือรากที่ "n" ของผลคูณของจำนวน n จำนวน กล่าวได้ว่า สำหรับชุดของจำนวน "a"1, "a"2, ..., "an" มัชฌิมเรขาคณิตมีนิยามเป็น
<math>\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}</math>
หรือแสดงออกโดยสมมูลกันเป็นมัชฌิมเลขคณิตของแต่ละจำนวนในมาตราส่วนลอการิทึม
<math>\exp{\left({\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\ln a_i} \right)}</math>
ยกตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน อาทิ 2 กับ 8 เป็นรากที่สอง (square root) ของผลคูณของทั้งสองจำนวน นั่นคือ <math>\sqrt{2 \cdot 8} = 4</math> ยกอีกตัวอย่างหนึ่ง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวน 4, 1, และ 1/32 เป็นรากที่สามของผลคูณของทั้งสามจำนวน (1/8) นั่นก็คือ 1/2 กล่าวคือ <math>\sqrt[3]{4 \cdot 1 \cdot 1/32} = 1/2</math> มัชฌิมเรขาคณิตใช้ได้กับจำนวนบวกเท่านั้น
มัชฌิมเรขาคณิตมักถูกใช้สำหรับชุดของจำนวนซึ่งจะนำมาคูณกันหรือมีลักษณะเป็นเลขยกกำลัง เช่นตัวเลขการเติบโตต่าง ๆ เช่น จำนวนประชากรโลก หรืออัตราดอกเบี้ยของการลงทุนทางการเงินเมื่อเวลาผ่านไป นอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ในการวัดเปรียบเทียบสมรรถนะของคอมพิวเตอร์ โดยมีประโยชน์สำหรับการคำนวณค่ามัชฌิมของอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้น (speedup) เพราะค่ามัชฌิมของจำนวน 0.5x (ช้าลงครึ่งหนึ่ง) กับ 2x (เร็วขึ้นสองเท่า) จะเป็นจำนวนเท่ากับ 1 (ไม่เร็วขึ้น)
สามารถทำความเข้าใจมัชฌิมเรขาคณิตในแง่ของเรขาคณิตได้ มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน <math>a</math> กับ <math>b</math> เป็นความยาวของด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว <math>a</math> และ <math>b</math> มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวนก็คล้ายกัน มัชฌิมเรขาคณิตของ <math>a</math>, <math>b</math>, กับ <math>c</math> เป็นความยาวของสันหนึ่งของทรงลูกบาศก์ซึ่งมีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (cuboid) ที่แต่ละสันยาวเท่ากับจำนวนสามจำนวนที่กำหนดมา
มัชฌิมเรขาคณิตเป็นหนึ่งในสามค่ามัชฌิมพีทาโกรัสเช่นเดียวกับมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมฮาร์มอนิก (harmonic mean) สำหรับชุดข้อมูลจำนวนบวกทุกชุดซึ่งมีสองจำนวนที่มีไม่เท่ากันเป็นอย่างน้อย มัชฌิมฮาร์มอนิกจะมีค่าน้อยที่สุดเสมอ มัชฌิมเลขคณิตจะมีค่ามากที่สุดจากมัชฌิมทั้งสามชนิด และมัชฌิมเรขาคณิตจะอยู่ระหว่างทั้งสองค่า (ดูที่ อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต (Inequality of arithmetic and geometric means))
การคำนวณ.
มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล <math display="inline">\left\{a_1, a_2,\, \ldots,\, a_n\right\}</math> มีนิยามเป็น:
<math>\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}</math>
สมการนี้ใช้สัญกรณ์ "π" ตัวใหญ่เพื่อแสดงถึงการคูณเป็นลำดับ ทั้งสองฝั่งของสมการแสดงการคูณค่าชุดหนึ่งตามลำดับ ("n" คือจำนวนของค่าทั้งหมด) เพื่อให้ได้ผลคูณรวมของเซต จากนั้นจึงหารากที่ "n" ของผลคูณรวมเพื่อหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล ตัวอย่างเช่น หากมีเซตของจำนวนสี่จำนวน <math display="inline">\{1, 2, 3, 4\}</math> ผลคูณของ <math display="inline">1 \times 2 \times 3 \times 4</math> เท่ากับ <math display="inline">24</math> แล้วค่ามัชฌิมเรขาคณิตจะเท่ากับรากที่สี่ของ 24 หรือประมาณ 2.213 เลขชี้กำลัง <math display="inline">\frac{1}{n}</math> ที่ฝั่งซ้ายแสดงถึงการหารากที่ "n" กล่าวคือ <math display="inline">24^\frac{1}{4} = \sqrt[4]{24}</math>
การคำนวณด้วยการทำซ้ำ.
มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลชุดหนึ่งจะน้อยกว่ามัชฌิมเลขคณิตของชุดข้อมูลนั้น ยกเว้นหากสมาชิกทุกตัวในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน ในกรณีนี้ค่ามัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิตจะมีค่าเท่ากัน เหตุนี้ทำให้สามารถให้นิยามค่ามัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต (arithmetic-geometric mean) ได้ ซึ่งเป็นส่วนร่วมกันระหว่างทั้งสองที่จะให้ค่าออกมาระหว่างทั้งสองค่านั้นเสมอ
มัชฌิมเรขาคณิตคือ มัชฌิมเลขคณิต-ฮาร์มอนิก ด้วย ในแง่ที่หากมีลำดับอยู่สองลำดับ (<math display="inline">a_n</math> และ <math display="inline">h_n</math>) ที่มีนิยามว่า:
<math>a_{n+1} = \frac{a_n + h_n}{2}, \quad a_0 = x</math>
และ
<math>h_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{h_n}}, \quad h_0 = y</math>
โดยที่ <math display="inline">a_{n+1}</math> คือ มัชฌิมเลขคณิต และ <math display="inline">h_{n+1}</math> คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของค่าในลำดับก่อน ๆ ของทั้งสองลำดับ แล้ว <math display="inline">a_n</math> และ <math display="inline">h_n</math> จะลู่เข้าหาค่าของมัชฌิมเรขาคณิตของ <math display="inline">x</math> และ <math display="inline">y</math> ทั้งสองลำดับจะลู่เข้าหาลิมิตเดียวกัน และคงสภาพของมัชฌิมเรขาคณิตไว้:
<math>\sqrt{a_i h_i} =
 \sqrt{\frac{a_i + h_i}{\frac{a_i + h_i}{h_i a_i}}} =
 \sqrt{\frac{a_i + h_i}{\frac{1}{a_i} + \frac{1}{h_i}}} =
</math>
และได้ผลลัพธ์เดียวกันเมื่อแทนที่มัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกด้วยมัชฌิมทั่วไป (generalized mean) สองค่าที่มีเลขชี้กำลัง <math>p</math> เป็นจำนวนจำกัดที่มีค่าตรงข้ามกัน เช่น 1 กับ -1
ความสัมพันธ์กับลอการิทึม.
มัชฌิมเรขาคณิตสามารถถูกแสดงออกในรูปเลขชี้กำลังของมัชฌิมเลขคณิตของลอการิทึมได้ การคูณสามารถแสดงออกเป็นผลรวมและการยกกำลังสามารถแสดงออกเป็นการคูณได้โดยใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมเพื่อแปลงสภาพของสูตร:
โดยที่ <math>a_1, a_2, \dots, a_n > 0</math>
 <math>\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \exp\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i\right];</math> 
เพราะ 
<math>\begin{align}
\left (\prod_{i=1}^{n}a_i \right)^{\frac{1}{n}}&= \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\\
&=e ^{\ln(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n}}\\
&=e ^{\frac{1}{n}\left (\ln a_1+\ln a_2+\cdots +\ln a_n \right)}\\
&=e ^\\
 \end{align}</math> 
หรือสามารถใช้ฐานเป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ ก็ตามทั้งในลอการิทึมและเลขยกกำลัง 
นอกจากนั้น หากให้ <math>a_i</math> เป็นจำนวนลบได้
 <math>\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^\frac{1}{n} = \left(\left(-1\right)^m\right)^\frac{1}{n} \exp\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln \left|a_i\right| \right],</math> 
โดยที่ "m" คือจำนวนของจำนวนลบ
นี่บางครั้งถูกเรียกว่า log-average (อย่าสับสนกับมัชฌิมลอการิทึม (logarithmic average)) เพราะเป็นการคำนวณหาค่ามัชฌิมเลขคณิตของค่า <math>a_i</math> ที่ถูกแปลงเป็นรูปลอการิทึม (กล่าวคือเป็นมัชฌิมเลขคณิตในมาตราส่วนลอการิทึม) แล้วจากนั้นใช้การยกกำลังเพื่อแปลงการคำนวณกลับไปยังมาตราส่วนเดิม นั่นคือ เป็นมัชฌิมกึ่งเลขคณิต (Quasi-arithmetic mean) ที่ <math>f(x) = \log x</math> ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 8 สามารถคำนวณหาได้ดังนี้ โดย <math>b</math> เป็นฐานค่าใดก็ตามของลอการิทึม (โดยทั่วไปจะเท่ากับ 2 ค่า <math>e</math> หรือ 10):
<math>b^{\frac{1}{2}\left[\log_b (2) + \log_b (8)\right]} = 4</math>
สำหรับชุดข้อมูล <math>a_1, \ldots, a_n</math> เราสามารถมองค่ามัชฌิมเรขาคณิตได้ว่าเป็นค่าที่จะให้ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
<math>f(a) = \sum_{i=1}^n (\log(a_i) - \log(a))^2 = \sum_{i=1}^n (\log(a_i/a))^2</math>
โดยทั่วไป รูปลอการิทึมเป็นทางเลือกที่ได้รับความนิยมในการปฏิบัติใช้มัชฌิมเรขาคณิตในภาษาคอมพิวเตอร์ เพราะการคำนวณผลคูณของจำนวนหลายจำนวนอาจนำให้เกิดสภาวะน้อยเกินเก็บ (arithmetic underflow) หรือสภาวะมากเกินเก็บเลขคณิต (arithmetic overflow) ซึ่งมีโอกาสเกิดน้อยกว่าในกรณีของการหาผลรวมของลอการิทึมของจำนวนแต่ละจำนวน
เปรียบเทียบกับมัชฌิมเลขคณิต.
<templatestyles src="Stack/styles.css"/>
มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลของจำนวน (บวก) จะมีค่ามากที่สุดไม่เกินไปกว่ามัชฌิมเลขคณิตของมันเสมอ และจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทุก ๆ จำนวนในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน มิเช่นนั้นมัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 3 คือ 2.45 ในขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 2.5 
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าเมื่อเซตของจำนวนที่ไม่เหมือนกันถูกทำให้กระจายโดยคงสภาพมัชฌิม (mean-preserving spread) กล่าวคือสมาชิกของเซต "กระจายออกจากกัน" มากขึ้นแต่ไม่ทำให้มัชฌิมเลขคณิตเปลี่ยนไป มัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยลง
อัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย.
ในบางกรณี มัชฌิมเรขาคณิตเป็นค่าที่ใช้วัดอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ยของปริมาณจำเพาะหนึ่งได้ดี อาทิหากคำสั่งซื้อต่อปีเพิ่มขึ้นร้อยละ 80 และร้อยละ 25 ในปีถัดไป ผลจะเท่ากับการมีอัตราการเติบโตคงที่ร้อยละ 50 เพราะมัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80 กับ 1.25 คือ 1.50 ในการหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย ไม่จำเป็นต้องหาผลคูณของอัตราการเติบโตที่วัดได้มาในทุก ๆ ขั้น หากให้ปริมาณมาเป็นลำดับของ <math>a_0, a_1..., a_n</math> โดยที่ <math>n</math> คือจำนวนขั้นจากเริ่มต้นจนจบ อัตราการเติบโตระหว่างการวัดแต่ละครั้ง <math>a_k</math> และ <math>a_{k+1}</math> คือ <math>a_{k+1}/a_k</math> มัชฌิมเรขาคณิตของอัตราการเติบโตเหล่านี้จึงเท่ากับ:
<math>\left(\frac{a_1}{a_0} \frac{a_2}{a_1} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}} \right)^\frac{1}{n} = \left(\frac{a_n}{a_0}\right)^\frac{1}{n}</math>
การประยุกต์ใช้กับค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน.
สมบัติพื้นฐานของมัชฌิมเรขาคณิตซึ่งมัชฌิมชนิดอื่น ๆ ไม่มีคือ หากมีลำดับสองลำดับ <math>X</math> และ <math>Y</math> ที่ความยาวเท่ากัน
 <math>\operatorname{GM}\left(\frac{X_i}{Y_i}\right) = \frac{\operatorname{GM}(X_i)}{\operatorname{GM}(Y_i)}</math>
จะทำให้มัชฌิมเรขาคณิตเป็นมัชฌิมชนิดเดียวที่ถูกต้องเมื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ซึ่ง"ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน" (normalized) กล่าวคือผลลัพธ์ซึ่งแสดงออกเป็นอัตราส่วนกับค่าอ้างอิง กรณีเช่นนี้เกิดขึ้นเมื่อต้องการแสดงประสิทธิภาพของคอมพิวเตอร์เมื่อเทียบกับคอมพิวเตอร์ที่นำมาอ้างอิง หรือเมื่อต้องการคำนวณดัชนีค่าเฉลี่ยค่าเดียวจากแหล่งที่ไม่เป็นแบบเดียวกัน (เช่นการคาดหมายคงชีพ ระยะเวลาการศึกษา และอัตราการเสียชีวิตทารก) ในสถานการณ์เหล่านี้ การใช้มัชฌิมเลขคณิตหรือฮาร์มอนิกจะเปลี่ยนการจัดลำดับของผลลัพธ์โดยขึ้นอยู่กับค่าที่ใช้อ้างอิง ยกตัวอย่างเช่นการเปรียบเทียบเวลากระทำการของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:
ตาราง 1
ทั้งมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตเห็นพ้องกันว่าคอมพิวเตอร์ C มีความเร็วประมวลผลสูงที่สุด ทว่าเมื่อเราแสดงด้วยค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐานอย่างถูกต้องแล้ว "แล้ว"ใช้ค่ามัชฌิมเลขคณิต เราแสดงให้เห็นได้ว่าคอมพิวเตอร์ทั้งสองเครื่องเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด หากใช้ A เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:
ตาราง 2
ในขณะที่หากใช้ B เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ B จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด แต่หากอ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:
ตาราง 3
และเมื่อใช้ C เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ C จะเร็วที่สุด แต่เมื่ออ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเร็วที่สุด:
ตาราง 4
ในทุก ๆ กรณี ลำดับความเร็วที่อ้างอิงตามมัชฌิมเรขาคณิตคงลำดับเดิมเหมือนกับที่ได้จากค่าที่ยังไม่ได้ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน
อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลแนวนี้ถูกตั้งคำถาม การได้ผลลัพธ์อย่างคงเส้นคงวาไม่ได้หมายความว่าเป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอไป โดยทั่วไปแล้ว จะเข้มงวดกว่าหากกำหนดให้แต่ละโปรแกรมมีน้ำหนักของตัวเอง คำนวณเวลากระทำการเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก (ด้วยมัชฌิมเลขคณิต) แล้วนำผลลัพธ์นั้นมาใช้เป็นบรรทัดฐานกับคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่ง ทั้งสามตารางด้านบนเพียงแต่กำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละโปรแกรมต่างกัน เป็นเหตุที่ผลลัพธ์ของมัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกไม่สอดคล้องกัน (ตาราง 4 ให้น้ำหนักกับทั้งสองโปรแกรมเท่ากัน ตาราง 2 ให้น้ำหนัก 1/1000 กับโปรแกรมที่สอง และตาราง 3 ให้น้ำหนัก 1/100 กับโปรแกรมที่สองและน้ำหนัก 1/10 กับโปรแกรมที่หนึ่ง) ควรหลีกเลี่ยงการใช้งานมัชฌิมเรขาคณิตในการรวบรวมตัวเลขสมรรถภาพ เพราะการคูณเวลากระทำการด้วยกันไม่มีนัยทางกายภาพใด ๆ ซึ่งต่างจากการบวกเข้าด้วยกันสำหรับมัชฌิมเลขคณิต ตัวชี้วัดซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับเวลา (เช่นอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้นหรือคำสั่งต่อรอบ (Instructions per cycle)) ควรเฉลี่ยด้วยมัชฌิมฮาร์มอนิก
มัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนักสามารถหาได้จากลิมิตของมัชฌิมทั่วไปเมื่อกำหนดให้เลขชี้กำลัง <math>p</math> มีค่าเข้าใกล้ศูนย์
มัชฌิมเรขาคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่อง.
หาก <math>f:[a,b]\to(0, \infty)</math> เป็นฟังก์ชันค่าจริงบวกต่อเนื่อง มัชฌิมเรขาคณิตของมันในช่วงนี้คือ
<math>\text{GM}[f] = \exp\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b\ln f(x)dx\right)</math>
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเอกลักษณ์ <math>f(x) = x</math> ในช่วงหนึ่งหน่วยแสดงให้เห็นว่ามัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนบวกระหว่าง 0 กับ 1 เท่ากับ <math>\frac{1}{e}</math>
การประยุกต์ใช้.
การเติบโตตามสัดส่วน.
มัชฌิมเรขาคณิตเหมาะสมต่อการอธิบายการเติบโตตามสัดส่วนมากกว่ามัชฌิมเลขคณิต ไม่ว่าจะเป็นการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง (exponential growth) (การเติบโตตามสัดส่วนที่คงที่) หรือการเติบโตแบบแปรผัน มัชฌิมเรชาคณิตของอัตราการเติบโตเป็นที่รู้จักในสาขาบริหารธุรกิจว่าอัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น (compound annual growth rate; CAGR) มัชฌิมเรขาคณิตของการเติบโตในช่วงเวลาระยะหนึ่งให้ผลลัพธ์เป็นอัตราการเติบโตแบบคงที่ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ในตอนสุดท้ายเท่ากัน 
สมมุติว่าต้นส้มออกผลส้ม 100 ลูกในปีหนึ่ง จากนั้น 180, 210 และ 300 ลูกในปีถัด ๆ ไป อัตราการเติบโตของแต่ละปีจึงเท่ากับร้อยละ 80, 16.6666 และ 42.8571 ตามลำดับ เมื่อเราคำนวณหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย (เชิงเส้น) ด้วยมัชฌิมเลขคณิตได้เท่ากับร้อยละ 46.5079 (80% + 16.6666% + 42.8571% แล้วหารด้วย 3) แต่หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 46.5079 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 314 ลูก ซึ่งไม่ใช่ 300 ค่าเฉลี่ยเชิงเส้นจึงให้ผลลัพธ์ที่เกินจริงไปจากการเติบโตต่อปี
แต่หากเราใช้มัชฌิมเรขาคณิตแทน การเติบโตร้อยละ 80 คือการคูณด้วย 1.80 เราจึงหามัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80, 1.166666 และ 1.428571 กล่าวคือ<math>\sqrt[3]{1.80 \times 1.166666 \times 1.428571} \approx 1.442249</math> ดังนั้น อัตราการเติบโต "โดยเฉลี่ย" ต่อปีจึงเท่ากับร้อยละ 44.2249 หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 44.2249 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 300 ลูก
การเงิน.
มีการนำมัชฌิมเรขาคณิตมาใช้คำนวณดัชนีทางการเงินต่าง ๆ (การเฉลี่ยแต่ละองค์ประกอบของดัชนี) เช่นในอดีตดัชนีเอฟที 30 (FT 30) ใช้มัชฌิมเรขาคณิต ดัชนีวัดอัตราเงินเฟ้อ RPIJ ของสหราชอาณาจักรและสหภาพยุโรปก็ใช้เช่นกัน
นี่ส่งผลให้ความเคลื่อนไหวภายในดัชนีถูกแสดงออกมาในระดับที่อ่อนลงเมื่อเทียบกับการใช้มัชฌิมเลขคณิต
สังคมศาสตร์.
แม้จะหาการใช้มัชฌิมเรขาคณิตในการคำนวณสถิติทางสังคมได้ยากพอสมควร แต่เมื่อ ค.ศ. 2010 ดัชนีการพัฒนามนุษย์ของสหประชาชาติได้เปลี่ยนมาคำนวณด้วยวิธีนี้ โดยให้เหตุผลว่าสะท้อนภาพธรรมชาติของสถิติที่รวบรวมมาและนำมาเปรียบเทียบอันไม่สามารถหาสิ่งใดมาทดแทนได้ได้ดีกว่าเดิม:
<templatestyles src="แม่แบบ:คำพูด/style.css" />มัชฌิมเรขาคณิตลดระดับการทดแทนกันได้ของแต่ละมิติ และรับรองว่าการลดลงร้อยละ 1 ของการคาดหมายคงชีพเมื่อกำเนิดเป็นต้นจะส่งผลต่อดัชนี HDI เท่ากับการลดลงร้อยละ 1 ในการศึกษาหรือรายได้ ดังนั้น การใช้วิธีการนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการเปรียบเทียบผลสัมฤทธิ์ต่าง ๆ จะเคารพความแตกต่างในตัวเองของแต่ละมิติมากกว่าวิธีการหาค่าเฉลี่ยแบบง่าย
รายได้ที่กระจายอย่างเท่าเทียมสวัสดิการเทียบเท่าของดัชนีแอตคินสัน (Atkinson Index) ที่มีตัวแปรความรังเกียจความไม่เท่าเทียม (inequality aversion) <math>\epsilon = 1.0</math> คือมัชฌิมเรขาคณิตของรายได้ทั้งหมด ส่วนเมื่อตัวแปรนั้นมีค่าที่ไม่เท่ากับ 1 รายได้ดังกล่าวจะมีค่าเท่ากับค่านอร์ม <math>L^p</math> (<math>L^p</math> space) หารด้วยจำนวนของข้อมูล โดย <math>p = 1 - \epsilon</math>
เรขาคณิต.
ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงคือความยาวของเส้นตรงที่ลากจากมุมฉากไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก เส้นนี้แบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นสองส่วน และมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองส่วนนี้คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมนั้น สมบัตินี้มีชื่อว่าทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต
ในกรณีของวงรี กึ่งแกนโทคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางที่ยาวที่สุดกับระยะทางที่สั้นที่สุดจากโฟกัสไปยังวงรี และเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม และกึ่งแกนเอกคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังโฟกัสจุดใดก็ตามกับระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นบังคับ (Directrix (conic section)) เส้นใดก็ตาม
หรือกล่าวได้อีกแบบว่า หากมีรูปวงกลมรัศมีเท่ากับ <math>r</math> เลือกจุดสองจุดซึ่งอยู่ตรงข้ามกันบนรูปวงกลม แล้วกดให้เปลี่ยนรูปกลายเป็นวงรีโดยมีกึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโทเท่ากับ <math>a</math> และ <math>b</math> ตามลำดับ เนื่องจากพื้นที่ของวงกลมรูปเดิมกับวงรีรูปที่ได้มามีค่าเท่ากัน เรากล่าวได้ว่า
<math>
\pi r^2 &= \pi a b \\
 r^2 &= a b \\
</math>
รัศมีของวงกลมเดิมคือมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งแกนโทของวงรีที่ได้มาจากการเปลี่ยนรูปวงกลมรูปนั้น
ระยะทางไปยังขอบฟ้าของทรงกลมมีค่าประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่อยู่ใกล้ที่สุดกับระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ไกลที่สุด หากกำหนดให้ระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ใกล้ที่สุดมีค่าน้อย
มัชฌิมเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในการประมาณจัตุรัสพื้นที่เท่ารูปวงกลม (squaring the circle) ของศรีนิวาสะ รามานุชัน และการสร้างรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้วย "mean proportional"
อัตราส่วนลักษณะ.
มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้ในการเลือกอัตราส่วนลักษณะประนีประนอมในภาพยนตร์และภาพเคลื่อนไหว กล่าวคือหากมีอัตราส่วนลักษณะอยู่สองแบบ มัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองจะเป็นอัตราส่วนลักษณะที่ประนีประนอมระหว่างทั้งสองที่ทำให้บิดเบี้ยวหรือสูญเสียภาพไปเท่า ๆ กันในแง่หนึ่ง ในเชิงรูปธรรม รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน (ที่จุดศูนย์กลางเดียวกันและมีด้านที่ขนานกัน) แต่มีอัตราส่วนลักษณะต่างกัน มีส่วนร่วมกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสอง และเปลือกนอกของมัน (รูปสี่เหลี่ยมขนาดเล็กที่สุดที่ครอบรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป) ก็มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองเช่นกัน
ในการหาสมดุลระหว่างอัตราส่วนลักษณะ CinemaScope#เปลี่ยนทาง 2.35 กับ 4:3 มัชฌิมเรขาคณิตเท่ากับ <math display="inline">\sqrt{2.35 \times \frac{4}{3}} \approx 1.7701</math> 
เอสเอ็มพีทีอี (SMPTE) จึงเลือกอัตราส่วนลักษณะ <math display="inline">16:9 = 1.77\overline{7}</math> เคินส์ พาวเวอส์ (Kerns Powers) ค้นพบอัตราส่วนลักษณะนี้ผ่านวิธีการเชิงประจักษ์ เขาตัดรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นพื้นที่เท่ากันและตัดออกให้มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับอัตราส่วนที่มีใช้อยู่แพร่หลายในขณะนั้น เมื่อนำมาซ้อนกันโดยวางจุดศูนย์กลางให้ตรงกัน เขาพบว่ารูปสี่เหลี่ยมอัตราส่วนลักษณะทั้งหมดใส่พอดีกับรูปสี่เหลี่ยมภายนอกที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 และทั้งหมดก็คลุมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมภายในร่วมกันที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 เช่นกัน 
เมื่อใช้เทคนิคหามัชฌิมเรขาคณิตแบบเดียวกันกับอัตราส่วนลักษณะ 16:9 และ 4:3 จะได้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่ากับ (<math display="inline">1.55\overline{5}</math>...) ซึ่งในแบบเดียวกัน เป็นการประนีประนอมระหว่างอัตราส่วนทั้งสอง
ขนาดกระดาษ.
มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้คำนวณขนาดกระดาษซีรีส์ B และ C กระดาษขนาด <math>B_n</math> มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษขนาด <math>A_n</math> กับ <math>A_{n-1}</math> ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของกระดาษ B1 เท่ากับ <math>\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm m^2</math> เพราะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A0 (<math>1\mathrm m^2</math>) กับของกระดาษ A1 (<math>\frac{1}{2}\mathrm m^2</math>) 
<math>\sqrt{1\mathrm m^2 \cdot \frac{1}{2}\mathrm m^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\mathrm m^4}=\frac{1}{\sqrt 2}\mathrm m^2= \frac{\sqrt 2}{2}\mathrm m^2</math>
ขนาดกระดาษซีรีส์ C ใช้หลักการเดียวกัน โดยมีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของขนาดกระดาษซีรีส์ A และ B ตัวอย่างเช่น กระดาษ C4 มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A4 และ B4
ข้อได้เปรียบของความสัมพันธ์แบบนี้คือกระดาษ A4 สามารถใส่ลงในซองกระดาษขนาด C4 ได้พอดี และกระดาษทั้งสองใส่ลงในซองกระดาษขนาด B4 ได้พอดี
ดูเพิ่ม.
<templatestyles src="Div col/styles.css"/>