E (ค่าคงตัว)

e เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828 สามารถนิยามได้หลายวิธี เช่น e เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน <math>e^x</math> มีค่าเท่ากับความชัน (derivative) ของตัวเองสำหรับทุกจำนวนจริง x หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะอยู่ในรูป <math>ke^x</math> เมื่อ <math>k</math> เป็นค่าคงตัวใด ๆ นอกจากนี้ e ยังมีค่าเท่ากับ <math display="inline">\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) นอกจากนี้ <math>e</math> สามารถคำนวณได้โดยสูตรอนุกรมอนันต์นี้ :
<math>e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{1\cdot2\cdot3} + ...</math>
ค่าคงที่ <math>e</math> สามารถทำให้อยู่ในรูปสมการได้หลายรูปแบบ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน <math>f(x) = e^x</math> เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์ (Derivative) ของตัวเอง มีเอกลักษณ์แตกต่างจากฟังก์ชันอื่น
ส่วนลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือ กับฟังก์ชันเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1) สามารถหาได้โดยตรงจากพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน <math display="inline">f(x)=\frac{1}{x}</math> ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 1 และ e จะเท่ากับ <math>\ln(e)</math> (ลอการิทึมธรรมชาติของ e) หรือ 1
e มักเรียกกันว่า จำนวนของออยเลอร์ (Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ, ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่า ค่าคงตัวเนเปียร์ ตาม (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบลอการิทึม อนึ่ง ค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดย (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น
"e" เป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ โดย e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ จำนวนอดิศัย เหมือนกับค่า <math>\pi</math> โดยค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และ <math>i</math> มีบทบาทที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ และมักปรากฏตัวในสมการทางคณิตศาสตร์ โดยมีสมการหนึ่งที่รวมค่าคงตัวทั้งห้านี้เอาไว้ในสมการเดียว เรียกว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ อันได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิตศาสตร์ 
ค่า "e" ที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... (ลำดับ ใน)
การประยุกต์ใช้ e.
การคิดดอกเบี้ยทบต้น.
 (Jacob Bernoulli) ค้นพบค่า <math>e</math> ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:
<templatestyles src="แม่แบบ:คำพูด/style.css" />สมมุติว่าบัญชีธนาคารมีเงิน 1 บาทและได้รับดอกเบี้ยร้อยละ 100 ต่อปี แน่นอนว่าถ้าดอกเบี้ยมีการทบต้นทุก ๆ ปี สิ้นปีนี้ในบัญชีนี้จะมีเงินอยู่ 2 บาท แต่หากดอกเบี้ยมีการทบต้นด้วยความถี่มากกว่านี้ จำนวนเงินในบัญชีจะเป็นอย่างไร?
หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้ 1.52 = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.254 = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)12 = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น <math>n</math> ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ <math display="inline">\frac{100\%}{n}</math> และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน <math display="inline">(1+\frac{1}{n})^n</math> บาท
แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่า <math>e</math> นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน <math>N</math>บาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา <math>R</math> ต่อปี จะมีเงินจำนวน <math>Ne^{Rt}</math> เมื่อเวลาผ่านไป <math>t</math> ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)
การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (สถิติศาสตร์).
การแจกแจงปรกติ (Normal distribution) ที่มีค่า "μ" = 0 และ "σ" 2 = 1 จะถูกเรียกว่า การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น :
<math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>
เมื่อ <math>\sigma</math> เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ <math>\mu </math> เป็นค่าเฉลี่ย
ความน่าจะเป็น.
ในวิชาความน่าจะเป็น พบ "e" ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n ใบ โดยหมวกและกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น
<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + ... = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}</math>
ซึ่งเมื่อจำนวนแขก <math>n</math> เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา <math display="inline">\frac{1}{e}</math>
การประมาณของสเตอร์ลิง.
e ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร
<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
ซึ่งแปลว่า
<math>e = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
แคลคูลัส.
หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า <math>e</math> คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>y = a^x</math> จากนิยามของอนุพันธ์
 \frac{d}{dx}a^x
 &= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{a^x a^h - a^x}{h} \\
 &= a^x \cdot \left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right)
\end{align}</math>
จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับ <math>x</math> แต่ขึ้นกับฐาน <math>a</math> เพียงอย่างเดียว โดยที่ <math>e</math> คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า
<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x</math>
e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์
ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน <math>y = \log_{a}x</math> จะได้
 \frac{d}{dx}\log_a x
 &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x + h) - \log_a(x)}{h} \\
 &= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(1 + h/x)}{x\cdot h/x} \\
 &= \frac{1}{x}\log_a\left(\lim_{n\to 0}(1 + \frac{1}{n})^n\right) \\
 &= \frac{1}{x}\log_a e,
\end{align}</math>
โดย <math>n = \frac{x}{h}</math>
ดังนั้นถ้าแทน <math>a</math> เป็น <math>e</math> จะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น
<math>\frac{d}{dx}\log_{e}x=\frac{1}{x}</math>
ลอการิทึมฐาน <math>e</math> นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วย <math>\ln</math> ดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่า <math>e</math> เป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส
จากคุณสมบัติที่ <math display="inline">\ln x</math> มี <math display="inline">\frac{1}{x}</math> เป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยาม <math>e</math> อีกวิธีคือ
<math>\int_0^e \frac{dt}{t} = 1</math>
ทฤษฎีจำนวน.
<math>e</math> เป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัย นั่นแปลว่า <math>e</math> ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า <math>e</math> เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่า <math>e</math> เขียนเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ได้ สำหรับการที่ <math>e</math> เป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่า <math>e</math> เป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต
จำนวนเชิงซ้อน.
ในระบบจำนวนจริง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล <math>e^x</math> สามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น
<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...</math>
ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของ <math>e^x</math> ไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชัน <math>e^x</math> สำหรับจำนวนเชิงซ่อนใด ๆ
จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ <math>\sin x</math> และ <math>\cos x</math> นำไปสู่สูตรของออยเลอร์ <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math> (ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์ <math>e^{i\pi}+1=0</math> เป็นกรณีพิเศษที่ <math>x = \pi</math>) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์ <math>(\cos x + i\sin x)^n = (e^{ix})^n = e^{inx} = \cos{nx} + i\sin{nx}</math>