สมการแฟรแนล

สมการแฟรแนล  หรือ สัมประสิทธิ์แฟรแนล  เป็นชุดของสมการในทางทัศนศาสตร์ซึ่งค้นพบและอธิบายโดยนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส โอกุสแต็ง-ฌ็อง แฟรแนล เพื่ออธิบายการสะท้อน และ การหักเห ของแสงเมื่อแผ่ผ่านตัวกลางสองชนิดที่มีค่าดรรชนีหักเหต่างกัน การสะท้อนที่อธิบายโดยสมการนี้อาจเรียกอีกอย่างว่า "การสะท้อนแบบแฟรแนล"
ภาพรวม.
เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็น <math>n_1\,</math>ไปยังตัวกลางอีกตัวที่มีดรรชนีหักเหเป็น <math>n_2\,</math>จะเกิดการสะท้อนและหักเหของแสงขึ้นพร้อมกันที่จุดรอยต่อของตัวกลางทั้งสอง สมการแฟรแนลสามารถอธิบายว่าองค์ประกอบต่าง ๆ ของคลื่นแสงจะถูกหักเหและสะท้อนอย่างไร และยังอธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงเฟส เมื่อคลื่นสะท้อนกลับ
เงื่อนไขสำหรับสมการคือ: ผิวจุดเปลี่ยนเป็นระนาบเรียบ (ไม่ขรุขระ) และแสงที่ตกกระทบเป็นคลื่นระนาบ
โพลาไรเซชัน s และ p.
ผลการคำนวณขึ้นอยู่กับสถานะโพลาไรเซชัน ของแสงที่ตกกระทบ โดยจะแบ่งออกเป็นสองกรณี คือ
อนึ่ง ตั้งฉากและขนานในที่นี้กล่าวถึงทิศทางขององค์ประกอบสนามไฟฟ้าเท่านั้น ส่วนองค์ประกอบสนามแม่เหล็กจะถูกกำหนดตามมาโดยกฎมือขวา 
สมการความเข้มแสง.
ในภาพด้านขวา เมื่อแสงตกกระทบ PO มาถึงจุด O บนส่วนรอยต่อระหว่างตัวกลางทั้งสอง แสงส่วนหนึ่งจะสะท้อนไปทาง OQ ในขณะที่อีกส่วนหักเหไปทาง OS ให้มุมระหว่างเส้นแนวฉากกับรังสีตกกระทบ, รังสีสะท้อน และรังสีหักเหเป็น <math>\theta_i\,</math>, <math>\theta_r\,</math> และ <math>\theta_t\,</math>ตามลำดับ
มุมของรังสีตกกระทบจะเท่ากับมุมของรังสีสะท้อนตามกฎการสะท้อน:
<math>\theta_\mathrm{i} = \theta_\mathrm{r}</math>
และความสัมพันธ์ระหว่างมุมตกกระทบกับมุมของรังสีหักเหเป็นไปตามกฎของสแน็ล คือ:
<math>\frac{\sin\theta_\mathrm{i}}{\sin\theta_\mathrm{t}} = \frac{n_2}{n_1}</math>
อัตราส่วนของความเข้มของแสงที่สะท้อนต่อแสงที่ตกกระทบบนพื้นผิวคือค่า ความสะท้อน <math>R\,</math> ส่วนอัตราส่วนของการแสงที่หักเหคือค่า ความส่งผ่าน <math>T\,</math> การคำนวณค่าความสะท้อนและความส่งผ่านต้องใช้ทฤษฎีการแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในวิชาพลศาสตร์ไฟฟ้า รายละเอียดอาจอ่านได้ที่ "หลักการทางทัศนศาสตร์: ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของการแผ่ของแสง การแทรกสอด และการเลี้ยวเบน" ของ มัคส์ บอร์น หรือ "กลศาสตร์ไฟฟ้าพลศาสตร์แบบคลาสสิก" ของแจ็กสัน
รูปแบบเฉพาะของการสะท้อนแสงและการส่งผ่านยังเกี่ยวข้องกับโพลาไรเซชันของแสงที่ตกกระทบ ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบตั้งฉากกับระนาบของภาพ (คือคลื่น s) ความสะท้อนจะเป็น
 <math>R_s = \left[ \frac{\sin (\theta_t - \theta_i)}{\sin (\theta_t + \theta_i)} \right]^2
=\left(\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}\right)^2
=\left[\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}{n_1\cos\theta_i+n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}\right]^2</math>
ในที่นี้มุมของรังสีหักเห <math>\theta_t\,</math> ถูกแทนด้วยมุมของรังสีตกกระทบ <math>\theta_i\,</math> โดยกฎของสแน็ล แล้วแปลงด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
ถ้าเวกเตอร์องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบขนานกับระนาบของภาพ (คือคลื่น p) ความสะท้อนจะเป็น
 <math>R_p = \left[ \frac{\tan (\theta_t - \theta_i)}{\tan (\theta_t + \theta_i)} \right]^2
=\left(\frac{n_1\cos\theta_t-n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t+n_2\cos\theta_i}\right)^2
=\left[\frac{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}-n_2\cos\theta_i}{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}+n_2\cos\theta_i}\right]^2</math>
ไม่ว่าในกรณีใด ค่าความส่งผ่านจะได้เป็น <math>T = 1 - R\,</math>
หากแสงที่ตกกระทบเป็นแสงไม่โพลาไรซ์ (ประกอบด้วย ส่วน s และ ส่วน p ในปริมาณที่เท่ากัน) ค่าความสะท้อนโดยรวมคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของทั้งสอง
<math>R = \frac{R_s + R_p}{2}\,</math>
อัตราส่วนของแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่สะท้อนและหักเหต่อแอมพลิจูดของคลื่นแสงที่ตกกระทบ จะหาได้จากสมการที่คล้ายกัน แอมพลิจูดการสะท้อนและแอมพลิจูดการส่งผ่านมักจะเขียนด้วยตัวพิมพ์เล็ก <math>r\,</math> และ <math>t\,</math> โดยมีความสัมพันธ์กับค่าความสะท้อน <math>R\,</math> และความส่งผ่าน <math>T\,</math> คือ:
 <math>R=r^2</math>
 และ
 <math>T=\left(\frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\right)t^2</math> 
สำหรับแสงตกกระทบที่เป็นคลื่น p ค่า <math>R_p\,</math>จะเป็นศูนย์ที่มุมตกกระทบเป็นค่าจำเพาะค่าหนึ่ง ในกรณีนี้คลื่น p จะถูกส่งผ่านอย่างสมบูรณ์โดยไม่มีการสะท้อนออกมา มุมนี้เรียกว่า มุมบริวสเตอร์ สำหรับกรณีที่ตัวกลางเป็นแก้วในอากาศหรือในสุญญากาศมุมนี้จะมีค่าประมาณ 56° อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้ใช้ได้สำหรับตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหเป็นจำนวนจริงเท่านั้น สำหรับวัสดุที่ดูดกลืนแสง เช่น โลหะ และ สารกึ่งตัวนำ ดรรชนีหักเหจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น <math>R_p\,</math> โดยทั่วไปไม่เป็นศูนย์
เมื่อแสงแผ่จากตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหสูงไปยังตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหต่ำกว่า (คือ <math>n_1\ > n_2\,</math>) จะมีค่ามีมุมตกกระทบวิกฤต ซึ่งแสงที่ตกกระทบมากกว่ามุมตกกระทบนี้จะถูกสะท้อนโดยพื้นผิวอย่างสมบูรณ์ทั้งคลื่น s และ p นั่นคือ <math>R_s = R_p = 1\,</math> ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การสะท้อนกลับทั้งหมด ค่ามุมวิกฤตนี้มีค่าประมาณ 41° สำหรับแก้วในอากาศ
เมื่อรังสีตกกระทบทำมุมเกือบตั้งฉาก (<math>\theta_i \approx \theta_t \approx 0\,</math>) ความสะท้อนและความส่งผ่านจะเป็น:
 <math>R = R_s = R_p = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2</math>
 <math>T = T_s = T_p = 1-R = \frac{4 n_1 n_2}{\left(n_1 + n_2 \right)^2} </math>
สำหรับแก้วธรรมดา ค่าความสะท้อนจะอยู่ที่ประมาณ 4% อย่างไรก็ตาม การสะท้อนของคลื่นแสงข้างหน้าต่างรวมถึงชั้นด้านหน้าและชั้นด้านหลัง ดังนั้นคลื่นแสงจำนวนเล็กน้อยจะสะท้อนไปมาระหว่างชั้นทั้งสองก่อให้เกิดการแทรกสอดขึ้น หากละเลยผลของการแทรกสอดนี้ ความสะท้อนรวมของทั้งสองชั้นคือ
 <math>\frac{2R}{1 + R}\,</math>
หมายเหตุว่า คำอธิบายทั้งหมดในข้างต้นนี้ถือว่าค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็กของตัวกลาง <math>\mu\,</math> มีค่าเท่ากับสภาพให้ซึมผ่านได้ของสุญญากาศ <math>\mu_0\,</math> ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นจริงสำหรับวัสดุไดอิเล็กตริกส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่สำหรับสสารโดยทั่วไป ดังนั้น รูปแบบของสมการแฟรแนลที่ใช้จริงจึงซับซ้อนยิ่งกว่านี้