กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน

กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน  ใช้อุณหภูมิเพื่ออธิบายถึงพลังงานที่วัตถุดำแผ่รังสีออกมา โดยกล่าวว่าพลังงานทั้งหมดซึ่งวัตถุดำแผ่ออกมาต่อหน่วยพื้นที่ผิวที่ความยาวคลื่นทุกค่าต่อหน่วยเวลา <math> j^{\star}</math> (หรือเรียกว่าความเปล่งรังสีของวัตถุดำ) ซึ่งแปรผันตรงกับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ ของวัตถุดำ "T" กำลังสี่:
<math> j^{\star} = \sigma T^{4}.</math>
ในที่นี้ "σ" เป็นค่าคงตัว เรียกว่า ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน (Stefan–Boltzmann constant) ซึ่งหามาได้จากค่าคงตัวทางฟิสิกส์ค่าอื่นที่รู้อยู่แล้ว ค่าคงตัวนี้มีค่าเท่ากับ
<math>
\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670373 \times 10^{-8}\, \mathrm{W\, m^{-2}K^{-4}},
</math>
เมื่อ "k" เป็นค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน "h" เป็นค่าคงตัวของพลังค์ และ "c" เป็นอัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ ความแรงรังสี (radiance) จากองศาการมองที่กำหนด (วัตต์ต่อตารางเมตรต่อสเตอเรเดียน) ถูกกำหนดไว้เป็น 
<math> L = \frac{j^{\star}}\pi = \frac\sigma\pi T^{4}.</math>
วัตถุที่ไม่ดูดกลืนรังสีตกกระทบทั้งหมด (บางครั้งถูกเรียกว่าวัตถุเทา) ปล่อยพลังงานรวมทั้งหมดน้อยกว่าวัตถุดำและมีคุณลักษณะสภาพเปล่งรังสี (Emissivity) <math>\varepsilon < 1</math>:
<math> j^{\star} = \varepsilon\sigma T^{4}.</math>
การเปล่งรังสี <math> j^{\star}</math> มีมิติ (dimensional analysis) เป็นฟลักซ์พลังงาน (energy flux) (พลังงานต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่) และหน่วย SI ของมันคือจูลต่อวินาทีต่อตารางเมตรหรือวัตต์ต่อตารางเมตร หน่วย SI ของอุณหภูมิสัมบูรณ์ "T" คือเคลวิน สภาพเปล่งรังสีของวัตถุเทาคือ "<math>\varepsilon</math>" และหากเป็นวัตถุดำที่สมบูรณ์ <math>\varepsilon=1</math> ส่วนในกรณีทั่วไป (และสมจริงกว่า) นั้นสภาพเปล่งรังสีขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น 
<math>\varepsilon=\varepsilon(\lambda)</math>
เราสามารถหากำลังทั้งหมดที่ถูกแผ่รังสีออกมาจากวัตถุได้ด้วยการคูณด้วยพื้นที่ผิว <math>A</math>:
<math> P= A j^{\star} = A \varepsilon\sigma T^{4}.</math>
อนุภาคระดับความยาวคลื่นและเล็กกว่าความยาวคลื่น อภิวัสดุ (metamaterial) และโครงสร้างนาโนอื่น ๆ ไม่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตหรือรังสี และอาจถูกออกแบบมาให้เกินกว่ากฎของชเต็ฟฟัน-บ็อลทซ์มัน 
ประวัติ.
ในปี ค.ศ. 1864 จอห์น ทินดัลล์ (John Tyndall) นำแสนอการวัดค่าการเปล่งรังสีอินฟราเรดของเส้นใยทองคำขาวและสีของเส้นใยที่สอดคล้องกัน
สัดส่วนกำลังสี่ของอุณหภูมิสัมบูรณ์นั้นถูกนิรนัยโดยโยเซ็ฟ ชเต็ฟฟัน (ค.ศ. 1835–1893) ในปี ค.ศ. 1879 บนพื้นฐานของการวัดผลการทดลองของทินดัลล์ในบทความ "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" ("เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการแผ่รังสีความร้อนกับอุณหภูมิ") ใน "Bulletins from the sessions" ของ Vienna Academy of Sciences.
ลูทวิช บ็อลทซ์มัน (ค.ศ. 1844–1906) ได้นำเสนอการอนุพัทธ์กฎนี้ผ่านการพิจารณาเชิงทฤษฎีในปี ค.ศ. 1884 โดยนำงานของอาดอลโฟ บาร์โตลี (Adolfo Bartoli) มาใช้ ในปี ค.ศ. 1876 บาร์โทลิได้อนุพัทธ์การมีอยู่ของแรงดันรังสี (radiation pressure) จากหลักอุณหพลศาสตร์ และต่อมาบ็อลทซ์มันได้พิจารณาถึงเครื่องจักรความร้อนที่ใช้รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสิ่งที่ทำงานแทนแก็สอุดมคติ
กฎนี้ถูกยืนยันผ่านการทดลองแทบจะทันที ไฮน์ริช ฟรีดริช เวเบอร์ ได้ชี้ให้เห็นการเบี่ยงเบนในอุณหภูมิที่สูงกว่าแต่ได้มีการยืนยันถึงความแม่นยำเกือบสมบูรณ์ภายในความไม่แน่นอนของการวัดในอุณหภูมิสูงถึง 1535 เคลวินในปี ค.ศ. 1897 กฎนี้รวมไปถึงการคาดการณ์เชิงทฤษฎีของค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันว่าเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วของแสง ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน และค่าคงตัวของพลังค์เป็นผลพวงโดยตรงของกฎของพลังค์อย่างที่ถูกกำหนดไว้ในปี ค.ศ. 1900
ตามการนิยามหน่วยฐานเอสไอใหม่ พ.ศ. 2562 ซึ่งแก้ไขค่าของค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน "k" ค่าคงตัวของพลังค์ "h" และอัตราเร็วของแสง "c" ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ
<math>
\sigma = \frac{5454781984210512994952000000 \pi^5}{29438455734650141042413712126365436049}\, \mathrm{Wm^{-2}K^{-4}}\.
</math>
ตัวอย่าง.
อุณหภูมิของดวงอาทิตย์.
ชเต็ฟฟันยังได้คำนวณอุณหภูมิบนพื้นผิวของดวงอาทิตย์ด้วยกฎของเขา#เปลี่ยนทาง . เขาอนุมานจากข้อมูลของ ฌัก-หลุยส์ ซอแร (Jacques-Louis Soret; 1827–1890) ได้ว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากแผ่นโลหะบาง ๆ ชนิดหนึ่งที่ร้อนถึง 29 เท่า แผ่นบาง (lamella) รูปร่างกลมถูกวางไว้ห่างไประยะหนึ่งซึ่งทำให้มองเห็นอยู่ในมุมเดียวกับดวงอาทิตย์ โซเรต์ประมาณไว้ว่าอุณหภูมิของแผ่นบางคือประมาณ 1900 ถึง 2000°C ชเต็ฟฟันสันนิษฐานว่า ⅓ ของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์ถูกดูดกลืนโดยบรรยากาศของโลก เขาจึงถือว่าฟลักซ์พลังงานของดวงอาทิตย์ที่ถูกต้องมีค่ามากกว่าค่าของโซเรต์ 3/2 เท่า คือ 29 × 3/2 = 43.5 เท่า
ค่าของการดูดกลืนของบรรยากาศไม่เคยมีการวัดค่าอย่างแม่นยำจนกระทั่งปี ค.ศ. 1888 และ 1904 ค่าของอุณหภูมิที่ชเต็ฟฟันได้มาคือค่ามัธยฐานของค่าก่อน ๆ คือ 1950 °C และค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 2200 K ในเมื่อ 2.574 = 43.5 จึงอนุมานตามกฎได้ว่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าอุณหภูมิของแผ่นบางแผ่นนั้น 2.57 เท่า เขาจึงได้ค่าออกมาเท่ากับ 5430 °C หรือ 5700 K (ค่าที่วัดได้ปัจจุบันคือ 5778 K) นี่เป็นการวัดค่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ที่สมเหตุสมผลเป็นครั้งแรก แต่ก่อนนี้ค่าที่วัดได้มีค่าต่ำสุดตั้งแต่ 1800 °C จนถึงค่าสูงสุด 13,000,000 °C โกลด ปูยเย (Claude Pouillet) (ค.ศ. 1790–1868) คำนวณได้ค่าต่ำสุด 1800 °C ในปี ค.ศ. 1838 โดยใช้กฎของดูลง–เปอตี (Dulong–Petit law)
อุณหภูมิของดาวฤกษ์.
อุณหภูมิของดาวฤกษ์ดวงอื่นนอกเหนือจากดวงอาทิตย์สามารถประมาณได้ด้วยวิธีที่คล้ายกันโดยการถือพลังงานที่เปล่งออกมาเสมือนการแผ่รังสีของวัตถุดำ So:
 <math>L = 4 \pi R^2 \sigma {T_e}^4 </math>
โดย "L" เป็นกำลังส่องสว่าง "σ" เป็นค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน "R" เป็นรัศมีของดาว (stellar radius) และ "T" เป็นอุณหภูมิยังผล เราสามารถใช้สูตรเดียวกันเพื่อคำนวณรัศมีโดยประมาณของดาวฤกษ์แถบลำดับหลัก (main sequence stars) เทียบกับของดวงอาทิตย์:
 <math>\frac{R}{R_\odot} \approx \left (\frac{T_\odot}{T} \right)^{-2} \cdot \sqrt{\frac{L}{L_\odot}}</math>
โดย <math>R_\odot</math> เป็นรัศมีดวงอาทิตย์ <math>L_\odot</math> เป็นความสว่างดวงอาทิตย์เป็นต้น
นักดาราศาสตร์สามารถอนุมานหารัศมีของดาวฤกษ์ได้ด้วยกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน 
กฎนี้ปรากฏในอุณหพลศาสตร์ (Black hole thermodynamics) ของหลุมดำในสิ่งที่เรียกว่าการแผ่รังสีฮอว์กิง
อุณหภูมิยังผลของโลก.
ในทางคล้ายกันเราสามารถคำนวณอุณหภูมิยังผลของโลก "T"⊕ ด้วยการจับพลังงานที่ได้รับจากดวงอาทิตย์มาเท่ากับพลังงานที่แผ่รังสีจากโลกภายใต้การประมาณของวัตถุดำ (การผลิตพลังงานของโลกเองนั้นน้อยพอที่ไม่จำเป็นต้องสนใจ) กำลังส่องสว่างของดวงอาทิตย์ "L"⊙ ถูกกำหนดไว้เป็น:
<math>
L_\odot = 4\pi R_\odot^2 \sigma T_\odot^4
</math>
พลังงานเคลื่อนมาที่โลกผ่านทรงกลมรัศมี "a"0 หรือระยะทางจากดวงอาทิตย์มาที่โลก ความรับอาบรังสี (irradiance) (พลังที่ได้รับต่อหน่วยพื้นที่) ถูกกำหนดไว้เป็น
<math>
</math>
รัศมีของโลกเท่ากับ "R"⊕ ดังนั้นจึงมีพื้นที่ตัดขวางเท่ากับ <math>\pi R_\oplus^2</math> ฟลักซ์การแผ่รังสี (radiant flux) (นั่นคือ พลังแสงอาทิตย์) ที่โลกดูดกลืนถูกกำหนดเป็น:
<math>
\Phi_\text{abs} = \pi R_\oplus^2 \times E_\oplus
</math>
เพราะกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันใช้เลขชี้กำลังที่สี่ จึงมีผลให้การแลกเปลี่ยนเสถียร ฟลักซ์ที่ถูกปล่อยจากโลกจึงมีแนวโน้มเท่ากับฟลักซ์ที่ดูดกลืน และมีสภาพใกล้เคียงกับสภาวะคงที่:
<math>
4\pi R_\oplus^2 \sigma T_\oplus^4 &= \pi R_\oplus^2 \times E_\oplus \\
 &= \pi R_\oplus^2 \times \frac{4\pi R_\odot^2\sigma T_\odot^4}{4\pi a_0^2} \\
</math>
"T"⊕ จึงหาได้จาก:
<math>
T_\oplus^4 &= \frac{R_\odot^2 T_\odot^4}{4 a_0^2} \\
T_\oplus &= T_\odot \times \sqrt\frac{R_\odot}{2 a_0} \\
& = 5780 \; {\rm K} \times \sqrt{696 \times 10^{6} \; {\rm m} \over 2 \times 149.598 \times 10^{9} \; {\rm m} } \\
</math>
โดย "T"⊙ เป็นอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ "R"⊙ เป็นรัศมีของดวงอาทิตย์ และ "a"0 เป็นระยะทางระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ ทั้งหมดนี้ให้ค่าอุณหภูมิยังผลของโลกเท่ากับ 6 °C บนพื้นผิวของโลก เมื่อเราถือว่าโลกไม่มีชั้นบรรยากาศและสามารถดูดกลืนการเปล่งรังสีที่ตกกระทบได้ทั้งหมด
โลกมีอัตราส่วนสะท้อนเท่ากับ 0.3 นั่นหมายความว่า 30% ของรังสีจากดวงอาทิตย์ที่ชนโลกนั้นจะสะท้อนกลับไปในอวกาศ ผลของอัตราส่วนสะท้อนที่มีต่ออุณหภูมิสามารถถูกประมาณได้ว่าพลังงานที่ถูกดูดกลืนลดลงเหลือ 70% แต่โลกก็จะยังแผ่รังสีออกแบบวัตถุดำ (ตามนิยามของอุณหภูมิยังผลซึ่งเป็นสิ่งที่เรากำลังคำนวณ) การประมาณอันนี้ลดอุณหภูมิที่คำนวณลงได้ 0.71/4 เท่าเหลือ 255 K (−18 °C)
อุณหภูมิที่คำนวณได้ด้านบนเป็นอุณหภูมิของโลกอย่างที่มองเห็นจากอวกาศ ไม่ใช่อุณหภูมิบนพื้นผิวแต่เป็นค่าเฉลี่ยของวัตถุที่เปล่งรังสีทั้งหมดตั้งแต่บนพื้นผิวจนถึงพื้นที่ระดับสูง อุณหภูมิพื้นผิวเฉลี่ยจริงของโลกคือประมาณ 288 K (15 °C) ซึ่งสูงกว่าอุณหภูมิยังผล 255 K และอุณหภูมิของวัตถุดำ 279 K เนื่องมาจากปรากฏการณ์เรือนกระจก
ด้านบนเราสมมติว่าพื้นผิวทั้งหมดของโลกมีอุณหภูมิเดียวกัน เราจึงถามได้อีกว่าอุณหภูมิของพื้นผิววัตถุดำบนโลกจะมีอุณหภูมิเท่าใดหากเราสมมติว่าผิวนั้นอยู่ในสภาวะสมดุลกับแสงอาทิตย์ที่ตกกระทบ แต่นี่ขึ้นอยู่กับองศาของแสงอาทิตย์และปริมาณบรรยากาศที่แสงส่องผ่าน เมื่อดวงอาทิตย์อยู่เหนือศีรษะและพื้นผิวนอนราบ ความรับอาบรังสีสามารถสูงถึง 1120 W/m2 และเราได้อุณหภูมิจากกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันเท่ากับ
<math>T=\left(\frac{1120\text{ W/m}^2}\sigma\right)^{1/4}\approx 375\text{ K}</math>
หรือ 102 °C (ด้านบนชั้นบรรยากาศอุณหภูมิจะสูงขึ้นเป็น: 394 K.) เราสามารถมองพื้นผิวของโลกได้ว่า "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลในช่วงเวลากลางวันแต่ถูกทำให้เย็นลงโดยบรรยากาศ และ "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลกับแสงดาวและแสงจันทร์ในช่วงเวลากลางคืนแต่ถูกทำให้อุ่นโดยบรรยากาศ
ต้นกำเนิด.
การอนุพัทธ์ความหนาแน่นของพลังงานโดยทางอุณหพลศาสตร์.
ข้อเท็จจริงว่าความหนาแน่นของพลังงาน (energy density) ภายในกล่องที่บรรจุรังสีแปรผันกับ <math>T^{4}</math> นั้นสามารถหามาได้ด้วยอุณหพลศาสตร์ การอนุพัทธ์นี้ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันรังสี "p" กับความหนาแน่นของพลังงานภายใน (internal energy) <math>u</math> ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบของเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic stress–energy tensor) ความสัมพันธ์นี้คือ:
 <math> p = \frac{u}{3}.</math>
จากความสัมพันธ์ทางอุณหพลศาสตร์มูลฐาน (fundamental thermodynamic relation)
 <math> dU = T \, dS - p \, dV, </math>
หลังจากหารด้วย <math> dV </math> และตรึงค่า <math> T </math> ไว้ เราจึงได้นิพจน์ดังต่อไปนี้:
 <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T - p = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p. </math>
สมการสุดท้ายได้มาจากความสัมพันธ์ของแมกซ์เวลล์:
 <math> \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V. </math>
จากนิยามของความหนาแน่นของพลังงาน เราจึงได้
 <math> U = u V </math>
โดยความหนาแน่นของพลังงานของการแผ่รังสีขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ดังนั้น
 <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = u \left(\frac{\partial V}{\partial V}\right)_T = u. </math>
แล้วสมการนี้
 <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p, </math>
เมื่อแทน <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}</math> และ <math> p </math> ด้วยนิพจน์ซึ่งสมมูลของแต่ละอันลงไปในสมการ ก็จะเขียนใหม่ได้เป็น
 <math> u = \frac{T}{3} \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V - \frac{u}{3}. </math>
ในเมื่ออนุพันธ์ย่อย <math> \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V </math> สามารถแสดงออกเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง <math> u </math> และ <math> T </math> เพียงสองอย่างเท่านั้น (ถ้าย้ายข้างไปอยู่อีกฝั่งของสมการ) เราสามารถเปลี่ยนอนุพันธ์ย่อยนี้เป็นอนุพันธ์แบบธรรมดา และหลังจากแยกผลต่างเชิงอนุพันธ์ออกจากกันแล้วสมการจะกลายเป็น 
 <math> \frac{du}{4u} = \frac{dT}{T}, </math>
ซึ่งนำไปสู่ <math> u = A T^4 </math> โดย <math> A </math> เป็นค่าคงตัวของปริพันธ์ค่าหนึ่ง
การอนุพัทธ์จากกฎของพลังค์.
เราสามารถอนุพัทธ์กฎนี้ได้ด้วยการพิจารณาพื้นผิวของวัตถุดำแบนราบราบขนาดเล็กซึ่งแผ่รังสีออกมาเป็นครึ่งทรงกลม และจะใช้ระบบพิกัดทรงกลมในการอนุพัทธ์ โดย "θ" เป็นมุมเชิงขั้ว (zenith angle) และ "φ" เป็นมุมทิศ (azimuth angle) พื้นผิวของวัตถุดำแบนราบอยู่บนระนาบ xy ที่ "θ" = π/2
ความเข้มของแสงที่เปล่งออกมาจากพื้นผิววัตถุดำถูกกำหนดโดยกฎของพลังค์เป็น:
<math>I(\nu,T) =\frac{2 h\nu^3}{c^2}\frac{1}{ e^{h\nu/(kT)}-1}.</math>
โดย
*<math>I(\nu,T)\,</math> คือปริมาณของกำลังต่อหน่วยพื้นที่ผิวต่อหน่วยมุมตัน (solid angle) ต่อหน่วยความถี่ ที่เปล่งออกมา ณ ความถี่ <math>\nu \,</math> จากวัตถุดำที่อุณหภูมิ "T".
*<math>h \,</math> คือค่าคงตัวของพลังค์
*<math>c \,</math> คืออัตราเร็วของแสง และ
*<math>k \,</math> คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน
<math>I(\nu,T) ~A ~d\nu ~d\Omega</math> คือปริมาณของกำลังที่แผ่ออกมาโดยพื้นที่ผิว A ผ่านมุมตัน "dΩ" ในช่วงความถี่ระหว่าง "ν" และ "ν" + "dν".
กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันกำหนดกำลังที่เปล่งออกมาต่อหน่วยพื้นที่ของวัตถุเป็น
<math>\frac{P}{A} = \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int \cos \theta \, d\Omega \,</math>
โคไซน์มีอยู่ในสมการเพราะวัตถุดำเป็นแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ท (นั่นคือ ปฏิบัติตามกฎโคไซน์ของลัมแบร์ท) หมายความว่าความเข้มที่ตรวจวัดได้ตลอดทรงกลมนั้นจะเท่ากับความเข้มจริงคูณด้วยโคไซน์ของมุมเชิงขั้ว เราจำเป็นเป็นต้องปริพันธ์ <math display="inline">d\Omega = \sin \theta\ d\theta d\varphi</math> ตลอดครึ่งทรงกลม และปริพันธ์ <math>\nu</math> จาก 0 ถึง ∞ เพื่ออนุพัทธ์หากฎของชเต็ฟฟันบ็อลทซ์มัน
 <math>
\frac{P}{A} & = \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int_0^{2\pi} \, d\varphi \int_0^{\pi/2} \cos \theta \sin \theta \, d\theta \\
& = \pi \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu
</math>
แล้วใส่ค่า "I" ลงไป:
 <math>\frac{P}{A} = \frac{2 \pi h}{c^2} \int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} \, d\nu </math>
เราต้องใช้การแทนที่เพื่อแก้ปริพันธ์นี้
<math>
u & = \frac{h \nu}{k T} \\[6pt]
du & = \frac{h}{k T} \, d\nu
</math>
และได้:
 <math>\frac{P}{A} = \frac{2 \pi h }{c^2} \left(\frac{k T}{h} \right)^4 \int_0^\infty \frac{u^3}{ e^u - 1} \, du.</math>
ปริพันธ์ฝั่งขวาเป็นแบบมาตรฐานซึ่งมีชื่อเรียกหลายชื่อ มันเป็นกรณีเฉพาะของปริพันธ์โพส-ไอน์สไตน์ (Bose-Einstein integral), โพลีลอการิทึม (Polylogarithm) หรือฟังก์ชันซีตาของรีมัน <math> \zeta(s) </math> ค่าของปริพันธ์เท่ากับ <math> 6\zeta(4) =\frac{\pi^4}{15} </math> ทำให้ได้ผลลัพธ์สำหรับพื้นผิววัตถุดำเป็น:
 <math>j^\star = \sigma T^4 ~, ~~ \sigma = \frac{2 \pi^5 k^4 }{15 c^2 h^3} = \frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2}. </math>
สุดท้าย แม้การพิสูจน์นี้เริ่มจากการพิจารณาพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กเท่านั้น แต่เราสามารถประมาณพื้นผิวที่อนุพันธ์ได้ (Differentiable manifold) ทุกผิวด้วยพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กได้ พลังงานทั้งหมดที่แผ่ออกมาคือผลรวมของพลังงานที่แผ่ออกมาจากพื้นผิวทั้งหมดตราบใดที่ลักษณะทางเรขาคณิตของพื้นผิวนั้นไม่ทำให้วัตถุดำต้องดูดกลืนรังสีที่ตัวเองเปล่งออกมากลับเข้าไป และพื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวแต่ละผิว ดังนั้นกฎนี้จึงเป็นจริงสำหรับวัตถุดำแบบคอนเวกซ์หรือนูน (convex set) ทุกวัตถุตราบใดที่พื้นผิวมีอุณหภูมิเท่ากันตลอดทั้งผิว กฎนี้สามารถขยายไปใช้กับวัตถุที่ไม่นูนได้เพียงใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเปลือกหุ้มคอนเวกซ์ (convex hull) ของวัตถุดำนั้นแผ่รังสีเสมือนตัวมันเองเป็นวัตถุดำ
ความหนาแน่นของพลังงาน.
เราสามารถคำนวณความหนาแน่นของพลังงานรวม "U" ได้ในลักษณะคล้ายกัน ต่างกันเพียงคราวนี้เราจะปริพันธ์ตลอดทั้งทรงกลม และไม่มีโคไซน์ และเราจะหารฟลักซ์พลังงาน (U c) ด้วยอัตราเร็ว "c" เพื่อให้ค่าความหนาแน่นของพลังงาน "U":
<math>U = \frac{1}{c} \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int \, d\Omega \,</math>
ดังนั้น <math>\int_0^{\pi/2} \cos \theta \sin \theta \, d\theta </math> ถูกแทนที่ด้วย <math>\int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta </math>, ซึ่งให้ตัวประกอบเพิ่มค่าเท่ากับ 4
ดังนั้น จากทั้งหมดได้:
<math>U = \frac{4}{c} \, \sigma \, T^4 </math>