เส้นโค้งเชิงวงรี

ในคณิตศาสตร์ เส้นโค้งเชิงวงรี  คือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตโปรเจคทีฟที่เป็นเส้นโค้งเรียบและมีจีนัสเท่ากับ 1 และจุดพิเศษ "O" กำหนดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งเชิงวงรีนิยามบนฟีลด์ K และประกอบไปด้วยจุดใน "K"2 ถ้าค่าแคแรคเตอริสติกของฟีลด์นั้นไม่เท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วเส้นโค้งเชิงวงรีสามารถเขียนอยู่ในรูปผลเฉลยของสมการ
 <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>
สำหรับบาง a และ b ใน K 
เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน นั่นคือจะต้องไม่มีบัพแหลม (cusp) และไม่ตัดตัวเอง (non-self-intersecting) ซึ่งสมมูลกับเงื่อนไขที่ว่า 4"a"3 + 27"b"2 ≠ 0 นั่นคือสมการข้างต้นไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ในตัวแปร x โดยทั่วไปถือว่าเส้นโค้งเชิงวงรีอยู่บนระนาบเชิงการฉายโดยมีจุด "O" ผู้เขียนหลายคนนิยามให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งที่กำหนดด้วยสมการข้างต้น (ถ้า "K" มีแคแรคเตอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการข้างต้นจะไม่ครอบคลุมเส้นโค้งกำลังสามทั้งหมด, ดูหัวข้อ ด้านล่าง)
เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นวาไรอิตีอาบีเลียน นั่นคือมีกรุปอาบีเลียนนิยามบนเส้นโค้งดังกล่าว และ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป
ถ้า "y"2 = "P"("x") เมื่อ P เป็นพหุนามกำลังสามใด ๆ ที่ไม่มีรากซ้ำ แล้วเซตของผลเฉลยของสมการข้างต้นจะเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่ไม่เอกฐานและมีจีนัสเท่ากับ 1 ทำให้เซตดังกล่าวเป็นเส้นโค้งเชิงวงรี แต่ถ้า P มีดีกรีเท่ากับ 4 และปลอดกำลังสองแล้วสมการข้างต้นเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่มีจีนัสเท่ากับ 1 แต่ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ที่เลือกมาแบบธรรมชาติได้ ยิ่งไปกว่างนั้น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตที่มีจีนัสเท่ากับ 1 ใด ๆ เช่นที่เกิดจากรอยตัดระหว่างพื้นผิวกำลังสอง (quadric surface) ในปริภูมิเชิงภาพฉายสามมิติ (three-dimensional projective space) จะเป็นเส้นโค้งเชิงวงรีหากมีจุดพิเศษที่ระบุให้เป็นเอกลักษณ์
โดยใช้ทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงวงรี (elliptic function) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนจะสัมพันธ์กันกับการฝังทอรัสเข้าไปในปริภูมิเชิงภาพฉายเชิงซ้อน ทอรัสนั้นเป็นกรุปอาบีเลียน และความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุปทั้งสองด้วย
เส้นโค้งเชิงวงรีมีความสำคัญมากโดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวน และเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญหัวข้อหนึ่งในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาใช้เส้นโค้งเชิงวงรี นอกจากนี้เส้นโค้งเชิงวงรียังมีบทประยุกต์ในการเข้ารหัสโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (elliptic curve cryptography, ECC) และการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
เส้นโค้งเชิงวงรีไม่ใช่"วงรี" ที่เป็นภาคตัดกรวยเชิงภาพฉายซึ่งต้องมีจีนัสเป็น 0 ที่มาของชื่อมาจากปริพันธ์เชิงวงรี (elliptic integral) อย่างไรก็ตาม เรามีการระบุเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำนวนจริงผ่านตัวยืนยัง "j" ≥ 1 ซึ่งสามารถแสดงแทนได้เป็นวงรีบนระนาบไฮเพอร์บอลิก <math>\mathbb{H}^2</math>
ในเชิงทอพอโลยี เส้นโค้งเชิงวงรีเชิงซ้อนเป็นทอรัส และวงรีเชิงซ้อนเป็นทรงกลม
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริง.
ถึงแม้ว่าบทนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต แต่เราอาจแสดงลักษณะที่สำคัญของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริงผ่านพีชคณิตและเรขาคณิตพื้นฐานได้
ภายใต้มุมมองพื้นฐาน เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งบนระนาบที่สามารถเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้นให้อยู่ในรูป
 <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง สมการในรูปแบบนี้เรียกว่าสมการไวเออร์ชตราส (Weierstrass equation) และเรียกเส้นโค้งเชิงวงรีในรูปแบบนี้ว่าอยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราส (Weierstrass form) หรืออยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราสปรกติ (Weierstrass normal form)
นิยามของเส้นโค้งเชิงวงรีระบุเพิ่มเติมอีกว่าเส้นโค้งนั้นต้องไม่เอกฐาน นั่นคือกราฟของเส้นโค้งไม่มีบัพแหลม ไม่ตัดตัวเอง และไม่มีจุดเอกเทศ (isolated point) ซึ่งจะเกิดขึ้นหากดิสคริมิแนนต์ <math>\Delta</math> ไม่เท่ากับศูนย์:
 <math>\Delta = -16\left(4a^3 + 27b^2\right) \neq 0</math>
เส้นกราฟเชิงจริงของเส้นโค้งไม่เอกฐานจะมีสองชิ้น (เรียกว่า "คอมโพแนนต์" (component)) หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก และมีชิ้นเดียวหากดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ในกราฟด้านข้างสมการ "y"2 = "x"3 − "x" มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ 64 จึงมีคอมโพแนนต์ของเส้นกราฟสองส่วน ในขณะที่สมการ "y"2 = "x"3 − "x" + 1 มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ -368 จึงมีคอมโพแนนต์เดียว
กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี.
เมื่อเราทำงานในระนาบเชิงภาพฉาย (projective plane) สมการของเส้นโค้งเชิงวงรีในระบบพิกัดเอกพันธ์ (homogeneous coordinate) จะกลายเป็น :
 <math>\frac{Y^2}{Z^2} =
+a\frac{X}{Z} + b</math>
สมการข้างต้นไม่นิยามบนเส้นตรงที่อนันต์ (line at infinity) แต่เราสามารถคูณตลอดด้วย <math>Z^3</math> เพื่อให้ได้สมการที่นิยามทุกที่บนระนาบเชิงภาพฉาย :
 <math>ZY^2 = X^3 + aZ^2X + bZ^3</math>
เส้นโค้งข้างต้นสามารถฉายลงให้ได้เส้นโค้งเชิงวงรีบนระนาบในหัวข้อข้างต้น เพื่อหาว่าเส้นโค้งนี้ตัดกับเส้นตรงที่อนันต์ที่ใด เราแทนค่า <math>Z = 0</math> ซึ่งจะทำให้ได้ <math>X^3 = 0</math> นั่นคือ <math>X = 0</math> ส่วนค่า <math>Y</math> จะเป็นจำนวนใดก็ได้ดังนั้นทุกสามสิ่งอันดับ <math>(0,Y,0)</math> สอดคล้องกับสมการข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงภาพฉายจะได้ว่าเซตของทุกสามสิ่งอันดับแทนด้วยจุดเดียว ฉะนั้นจุดตัดมีเพียงจุดเดียวซึ่งคือจุด <math>O = [0:1:0]</math>
เนื่องจากเส้นโค้งข้างต้นเป็นเส้นโค้งเรียบ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดที่อนันต์นี้เป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้างกรุปที่เราจะนิยามต่อไป
เส้นโค้งนี้สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน x หากกำหนดจุด P บนเส้นโค้งมา เรานิยาม −"P" ให้เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับมันเมื่อเทียบกับแกน x เราจะได้ <math> -O = O</math> เพราะ <math>O</math> อยู่บนระนาบ XZ ฉะนั้น <math>-O</math> เป็นจุดที่สมมาตรกับจุด <math>O</math> เมื่อเทียบกับแกน x 
ถ้า P และ Q เป็นจุดบนเส้นโค้ง เรานิยาม "P" + "Q" ให้เป็นจุดที่กำหนดดังต่อไปนี้ ลากเส้นตรงเชื่อมระหว่าง P และ Q เส้นตรงนี้มักจะตัดเส้นโค้งเชิงวงรีที่จุดที่สาม กำหนดให้เป็นจุด R แล้วจะนิยาม "P" + "Q" ให้เป็นจุด −"R" ที่อยู่ตรงข้ามกับ R
นิยามข้างต้นใช้ได้ทั่วไปเว้นแต่กรณีเฉพาะบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับจุดที่อนันต์และการตัดซ้ำซ้อน ในกรณีที่มีจุดบางจุดเป็น O เราจะนิยามให้ "P" + "O" = "P" = "O" + "P" ส่งผลให้ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป ถ้า "P" = "Q" เราจะมีจุดเพียงจุดเดียว ฉะนั้นจะนิยามเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองไม่ได้เพราะไม่ได้มีเพียงเส้นตรงเดียว เราจึงเลือกเส้นที่สัมผัสเส้นโค้งแทน โดยทั่วไปเส้นสัมผัสจะตัดเส้นโค้งนี้อีกครั้งซึ่งเราสามารถกำหนดให้เป็น R และหา −"R" ได้ ในขณะที่หาก P และ Q เป็นจุดบนเส้นโค้งที่อยู่ตรงข้ามกัน เรานิยามให้ "P" + "Q" = "O" และสุดท้าย หาก P เป็นจุดเปลี่ยนเว้า เรานิยาม R ให้เป็นจุด P เอง และ "P" + "P" คือจุดที่ตรงข้ามตัวมันเอง ซึ่งก็คือจุด P เอง
ให้ K เป็นฟีลด์ที่เส้นโค้งนี้นิยามบนฟีลด์นั้น หรือก็คือสัมประสิทธิ์ของสมการนิยามเส้นโค้งอยู่ใน K และเขียนแทนเส้นโค้งด้วย E แล้วจุด K-"rational points" ของ E คือจุดบน E ที่ทุกพิกัดอยู่ใน K รวมถึงจุดที่อนันต์ 
เซตของจุด K-rational point กำหนดโดย "E"("K") จะเป็นกรุปภายใต้การบวกจุดข้างต้น นอกจากนี้ หาก K เป็นฟีลด์ย่อยของ L แล้ว "E"("K") จะเป็นสับกรุปของ "E"("L")
มุมมองเชิงพีชคณิต.
โครงสร้างกรุปข้างต้นสามารถกำหนดได้ด้วยพีชคณิตเช่นเดียวกับที่ใช้เรขาคณิตกำหนด ให้ "y"2 = "x"3 + "ax" + "b" เป็นเส้นโค้งเหนือฟีลด์ "K" (ที่แคแรกเทอริสติกของฟีลด์ไม่ใช่ 2 หรือ 3) และกำหนดให้จุด "P" = ("xP", "yP") และ "Q" = ("xQ", "yQ") อยู่บนเส้นโค้ง สมมติเสียก่อนว่า "xP" ≠ "xQ" (ให้เป็นกรณีที่ "1") ให้ "y" = "sx" + "d" เป็นสมการของเส้นตรงที่ตัดเส้นโค้งที่จุด "P" และ "Q" ดังนั้นจะมีความชันเท่ากับ
 <math>s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}</math>
เส้นโค้งและเส้นตรงตัดกันที่จุด "xP", "xQ", และ "xR" เมื่อแทนค่า "y" = "sx" + "d" ลงในสมการเส้นโค้งแล้วจะได้ว่า
 <math>\left(s x + d\right)^2 = x^3 + ax + b</math>
ซึ่งสมมูลกับสมการ
 <math>x^3 - s^2 x^2 - 2sdx + ax + b - d^2 = 0</math>
และเนื่องจาก "xP", "xQ", and "xR" เป็นจุดที่เส้นตรงและเส้นโค้งตัดกัน จึงเป็นผลเฉลยของสมการข้างต้น และเป็นรากของสมการ
 <math>(x - x_P) (x - x_Q) (x - x_R) = x^3 + (-x_P - x_Q - x_R) x^2 + (x_P x_Q + x_P x_R + x_Q x_R) x - x_P x_Q x_R </math>
สมการทั้งสองมีรากเป็นตัวเดียวกัน ฉะนั้นจึงเป็นสมการเดียวกัน ด้วยการเทียบสัมประสิทธิ์หน้า "x"2 จะได้ว่า
 <math>-s^2 = (-x_P - x_Q - x_R)</math>
แก้หาตัวแปร "xR" ได้ว่า
 <math>x_R = s^2 - x_P - x_Q</math>
"yR" หาได้จากสมการเส้นตรง
 <math>y_R = y_P + s(x_R - x_P)</math>
จะเห็นได้ว่า "yR" เป็นสมาชิกใน "K" เพราะ "s" เป็นสมาชิกใน "K" ด้วย
ถ้า "xP" = "xQ" แล้วจะมีความเป็นไปได้สองแบบ หนึ่งคือ "yP" = −"yQ" (กรณีที่ "3") ซึ่งรวมกรณี "yP" = "yQ" = 0 (กรณีที่ "4") เข้าไปด้วย แล้วเรานิยามให้ผลบวก "P" + "Q" คือ 0 ดังนั้นอินเวอร์สของแต่ละจุดบนเส้นตรงหาได้จากสะท้อนจุดนั้นข้ามแกน "x"
และถ้า "yP" = "yQ" ≠ 0 แล้ว "Q" = "P" และ "R" = ("x""R", "y""R") = −("P" + "P") = −2"P" = −2"Q" (กรณีที่สอง "2") ความชัดจะหาได้จากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด ("xP", "yP"):
 <math>\begin{align}
 s &= \frac{3{x_P}^2 + a}{2y_P}\\
 x_R &= s^2 - 2x_P\\
 y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}</math>
เส้นโค้งไม่อยู่ในรูปไวเออร์ชตราส.
สำหรับเส้นโค้งกำลังสามที่ไม่อยู่ในรูปแบบของไอเออร์ชตราส เราสามารถนิยามโครงสร้างกรุปบนมันได้โดยกำหนดให้จุดเปลี่ยนเว้าจุดหนึ่งจากทั้งหมดเก้าจุดของเส้นโค้งเป็นเอกลักษณ์ "O" ในระนาบเชิงภาพฉาย เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดเส้นโค้งกำลังสามที่จุดสามจุด (เมื่อพิจารณาภาวะรากซ้ำเข้าไปด้วย) สำหรับแต่ละจุด "P" นิยามให้ −"P" เป็นจุดที่สามที่เป็นจุดตัดของเส้นโค้งและเส้นตรงที่ผ่าน "O" และ "P" แล้วสำหรับแต่ละ "P" และ "Q" ให้ "P" + "Q" นิยามเป็น −"R" เมื่อ "R" คือจุดที่สามบนเส้นตรงที่ผ่านจุด "P" และ "Q"
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ.
เส้นโค้งเชิงวงรี "E" นิยามเหนือฟีลด์ของจำนวนตรรกยะก็นิยามบนฟิลด์ของจำนวนจริงด้วย ดังนั้นวิธีการบวกจุดที่มีคู่อันดับเป็นจำนวนจริงที่นิยามผ่านเส้นสัมผัสสามารถทำได้บน "E" เช่นกัน สูตรที่เกี่ยวข้องแสดงให้เห็นว่าผลบวกระหว่างจุด "P" และ "Q" ที่มีพิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะจะมีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจากสมการเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด "P" และ "Q" มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ฉะนั้นเซตของจุดตรรกยะบน "E" เป็นสับกรุปของเซตของจุดค่าจริงบน "E" และเป็นกรุปอาบีเลียน
จุดจำนวนเต็ม.
เส้นโค้งเชิงวงรีอาจมีจุดที่เป็นจำนวนเต็มได้หลายจุด
ตัวอย่างเช่นสมการ "y"2 = "x"3 + 17 มีผลเฉลยจำนวนเต็มทั้งหมด 8 จำนวนที่ "y" > 0:
 ("x", "y") = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), 
อีกตัวอย่างหนึ่ง คือสมการของลยุงเกริน (Ljunggren's equation) ทีมี่รูปแบบไวเออร์ชตราสคือ "y"2 = "x"3 − 2"x" มีผลเฉลยเพียง 4 ผลเฉลยที่ "y" ≥ 0 :
 ("x", "y") = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338,)
โครงสร้างของจุดตรรกยะ.
จุดตรรกยะทั้งหมดสามารถหาได้จากวิธีเส้นสัมผัสและจุดตัด ถ้ามีจุดตรรกยะเริ่มต้นมาให้"จำกัด"จุด หรืออาจกล่าวให้ชัดเจนยิ่งไปกว่านี้ได้โดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์ (Mordell–Weil theorem) ซึ่งระบุว่ากรุปของจุดตรรกยะ "E"(Q) เป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated group) ที่เป็นกรุปอาบีเลียน โดยทฤษฎีบทหลักมูลของกรุปก่อกำเนิดจำกัดอาบีเลียน เราจะได้ว่า "E"(Q) เป็นผลบวกตรงจำกัดตัวของ Z และกรุปวัฏจักรจำกัด
บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์มีสองส่วน ส่วนแรกแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกจำนวนเต็ม "m" > 1 กรุปผลหาร "E"(Q)/"mE"(Q) เป็นกรุปจำกัด (นี่คือทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน (weak Mordell–Weil theorem)) และส่วนที่สองนิยามฟังก์ชันชื่อ height function "h" บนจุดตรรกยะของ "E"(Q) นิยามโดย "h"("P"0) = 0 และ "h"("P") = log max(|"p"|, |"q"|) ถ้า "P" (ที่ไม่ใช่จุดที่อนันต์ "P"0) มีคู่อันดับตัวหน้าเป็นจำนวนตรรกยะในรูป "x" = "p"/"q" (เมื่อ "p" และ "q" เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) ฟังก์ชัน "h" มีสมบัติว่า "h"("mP") ประพฤติตัวมีค่าใกล้เคียงรากที่สองของ "m" ยิ่งไปกว่านั้นมีจุดตรรกยะเพียงจำกัดจุดเท่านั้นที่มี height น้อยกว่าค่าคงตัวใด ๆ
บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทจึงเหมือนวิธี infinite descent รูปแบบหนึ่ง และใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดบน "E": ให้ "P" ∈ "E"(Q) เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้ง และเขียน "P" ในรูปผลบวก 2"P"1 + "Q"1 เมื่อ "Q"1 เป็นตัวแทนสักตัวหนึ่งของ "P" ใน "E"(Q)/2"E"(Q) แล้ว height ของ "P"1 จะมีค่าประมาณ 1/4 ของ height ของ "P" (หรือโดยทั่วไปกว่านั้น สามารถเปลี่ยน 2 ด้วย "m" > 1 ใด ๆ ก็ได้ และจะเปลี่ยน 1/4 ให้เป็น 1/"m"2) แล้วทำเช่นนี้กับ "P"1 นั่นคือให้ "P"1 = 2"P"2 + "Q"2 และ "P"2 = 2"P"3 + "Q"3,ไปเรื่อย ๆ เราสามารถเขียนจุด "P" ให้เป็นผลรวมเชิงเส้นของจุด "Qi" ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ height ของจุดดังกล่าวมีขอบเขตสักค่าหนึ่งที่เลือกไว้ก่อนหน้า ฉะนั้นโดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน และสมบัติของ height function จะได้ว่า "P" เขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของจุดจำกัดตัวและมีสัมประสิทธิ์ในผลรวมเชิงเส้นเป็นจำนวนเต็ม
อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทข้างต้นไม่ได้ให้วิธีหาตัวแทนใด ๆ ของ "E"(Q)/"mE"(Q).
แรงก์ของกรุป "E"(Q) หรือจำนวนซ้ำของ Z ที่ปรากฎใน "E"(Q) ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดอิสระที่มีอันดับเป็นอนันต์ จะถูกเรียกว่าแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี "E" ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) เกี่ยวข้องกับการหาแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี โดยกล่าวว่าแรงก์จะมีค่ามากที่สุดเท่าใดก็ได้ ถึงแม้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่เรารู้จักจะมีแรงก์น้อย ๆ เท่านั้น เส้นโค้งเชิงวงรีที่มีแรงก์มากที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ
 "y"2 + "xy" + "y" = "x"3 − "x"2 − "x" + 
ซึ่งมีแรงก์เท่ากับ 20 และค้นพบโดย Noam Elkies และ Zev Klagsbrun ในปี 2020 เส้นโค้งที่มีแรงก์สูงกว่า 20 เราทราบว่ามีอยู่ตั้งแต่ปีค.ศ. 1994 โดยมีขอบเขตล่างตั้งแต่ 21 ถึง 28 แต่ไม่ทราบค่าแรงก์ที่แน่นอน และยังไม่มีบทพิสูจน์ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีไหนมีแรงก์สูงกว่ากัน
สำหรับกรุปที่เป็นทอร์ชันสับกรุป (torsion subgroup) ของ "E"(Q) เรามีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้: ทอร์ชันสับกรุปของ "E"(Q) ที่เป็นไปได้อยู่ใน 15 กรุปดังต่อไปนี้ (ทฤษฎีบทนี้ชื่อทฤษฎีบททอร์ชันของมาซูร์ (Mazur's torsion theorem) โดย Barry Mazur): Z/"NZ สำหรับ "N" = 1, 2, ..., 10, หรือ 12, หรือ Z/2Z × Z/2"NZ โดย "N" = 1, 2, 3, 4. เรารู้ส้นโค้งเชิงวงรีที่มีทอร์ชันสับกรุปตามทฤษฎีบทข้างต้นในทุกกรณี และเส้นโค้งเชิงวงรีที่มี Mordell–Weil groups เหนือ Q และมีทอร์ชันกรุปเดียวกันสามารถเขียนอยู่ในรูปอิงตัวแปรเสริมระหว่างกันได้
ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์.
ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, BSD) เป็นหนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียมของสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ ข้อคาดการณ์นี้เกี่ยวข้องกับวัตถุทางพีชคณิตและคณิตวิเคราะห์ที่นิยามจากเส้นโค้งเชิงวงรี
จากด้านคณิตวิเคราะห์ เรามีส่วนสำคัญคือฟังก์ชันเชิงซ้อน "L" ที่เรียกว่าฟังก์ชันซีตาของฮัสเซอ-แวย์ (Hasse–Weil zeta function) ของเส้นโค้งเชิงวงรี "E" เหนือ Q ฟังก์ชันนี้คล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมัน (Riemann zeta function) และ แอล-ฟังก์ชันของดิริชเลต์ (Dirichlet L-function) ฟังก์ชันนี้นิยามเป็นผลคูณออยเลอร์ (Euler product) โดยมีตัวประกอบหนึ่งตัวสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะ "p"
สำหรับแต่ละเส้นโค้ง "E" เหนือ Q กำหนดโดยสมการในรูป
 <math>y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6</math>
เมื่อ <math>a_i</math> เป็นสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หากเราลดทอนลงไปในมอดุโล "p" จะได้เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด F"p" ยกเว้นที่จำนวนเฉพาะ "p" จำกัดตัว ที่เมื่อลดทอนไปแล้วเส้นโค้งจะมีภาวะเอกฐาน ทำให้ไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี ในกรณีนี้เราเรียกว่า "E" มี bad reduction ที่ "p" ("E" is of bad reduction at "p")
เราอาจมองได้ว่าฟังก์ชันซีตาของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด F"p" เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ที่รวบรวมข้อมูลของจำนวนจุดของ "E" ที่มีค่าในฟีลด์ภาคขยายจำกัด F"pn" ของ F"p" ซึ่งกำหนดโดย
 <math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \exp\left(\sum \# \left[E({\mathbf F}_{p^n})\right]\frac{T^n}{n}\right)</math>
ผลรวมภายในฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลดูเหมือนฟังก์ชันลอการิทึม และสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันซีตาข้างต้นนี้เป็นฟังก์ชันตรรกยะ:
 <math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)},</math>
เมื่อเทอม <math>a_p</math> (เรียกเทอมนี้ว่า "trace of Frobenius") นิยามให้เป็นผลต่างระหว่างค่า"ที่ควรจะเป็น"คือ <math>p+1</math> และจำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี <math>E</math> เหนือ <math>\mathbb{F}_p</math> เขียนได้เป็น
 <math>
a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)
</math>
จัดรูปจะได้
 <math>
\#E(\mathbb{F}_p) = 1 - a_p + p 
</math>
เราสามารถนิยามปริมาณและฟังก์ชันที่คล้ายกันนี้เหนือฟีลด์จำกัดที่มีแคแรกเทอริสติก <math>p</math> โดยที่ <math>q = p^n</math> ด้วยการแทนลงในทุกที่ที่ <math>p</math> ปรากฎ
แอล-ฟังก์ชัน (L-function) ของ "E" เหนือ Q จะรวบรวมข้อมูลข้างต้นทั้งหมดเข้าด้วยกันสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ "p" โดยเรานิยามดังต่อไปนี้
 <math>L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-s} + p^{1 - 2s}\right)^{-1} \cdot \prod_{p\mid N} \left(1 - a_p p^{-s}\right)^{-1}</math>
เมื่อ "N" คือ conductor ของ "E" ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เป็น bad reduction ของ "E" โดยในกรณีดังกล่าว "ap" จะนิยามต่างออกไปจากข้างต้น (ดู Silverman (1986))
ผลคูณข้างต้นลู่เข้าเมื่อ Re("s") > 3/2 เท่านั้น ข้อความคาดการณ์ของฮัสเซอ (Hasse's conjecture) ยืนยันว่าแอล-ฟังก์ชันข้างต้นมีการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ไปยังระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด และสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่เชื่อมโยงระหว่าง "L"("E", "s") และ "L"("E", 2 − "s") สำหรับทุก "s" มีการพิสูจน์ได้ในปีค.ศ. 1999 ว่าข้อความคาดการณ์ข้างต้นเป็นผลจากบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของชิมูระ-ทานิยามะ-แวย์ (Shimura–Taniyama–Weil conjecture) ซึ่งกล่าวว่าทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ "Q" เป็นเส้นโค้งมอดูลาร์ (modular curve) และส่งผลให้แอล-ฟังก์ชันของมันเป็นแอล-ฟังก์ชันของมอดูลาร์ฟอร์ม ซึ่งเรารู้จักการต่อเนื่องวิเคราะห์ของมอดูลาร์ฟอร์มแล้ว ฉะนั้นเราสามารถพูดถึงค่าของ "L"("E", "s") สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อน "s"
เมื่อ "s=1" (ผลคูณของส่วน conductor สามารถตัดออกได้เพราะเป็นค่าจำกัด) แอล-ฟังก์ชันจะเท่ากับ
 <math>L(E(\mathbf{Q}), 1) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-1} + p^{-1}\right)^{-1} = \prod_{p\not\mid N} \frac{p}{p - a_p + 1} = \prod_{p\not\mid N}\frac{p}{\#E(\mathbb{F}_p)}</math>
ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์เชื่อมโยงพีชคณิตของเส้นโค้งเชิงวงรีกับพฤติกรรมของแอล-ฟังก์ชันที่"s" = 1โดยกล่าวว่า vanishing order ของ แอล-ฟังก์ชันที่ "s" = 1 เท่ากับแรงก์ของ "E" และทำนายเทอมแรกของของอนุกรมโลรองต์ของ "L"("E", "s") ที่จุดนั้นในเทอมของปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งเชิงวงรี
หากข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (BSD) เป็นจริง จะมีผลที่ตามมาจำนวนมาก โดยมีตัวอย่างสองข้อดังนี้
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด.
ให้ "K" = F"q" เป็นฟีลด์จำกัดที่มีสมาชิก "q" ตัว และ "E" เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีนิยามเหนือ "K" ถึงแม้ว่าจำนวนจุดตรรกยะของเส้นโค้งเชิงวงรี "E" เหนือ "K" โดยทั่วไปแล้วจะคำนวณออกมาได้ยาก แต่ทฤษฎีบทของฮัสเซอว่าด้วยเส้นโค้งเชิงวงรี (Hasse's theorem on elliptic curves) ให้อสมการด้านล่าง
 <math>|\# E(K) - (q + 1)| \le 2\sqrt{q}</math>
อีกนัยหนึ่งคือ จำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีโตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนสมาชิกในฟีลด์ ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีขั้นสูงที่ทั่วไปกว่า เช่น local zeta function และ étale cohomology
เซตของจุด "E"(F"q") จะเป็นกรุปอาบีเลียนจำกัด และเป็นกรุปวัฏจักรหรือผลคูณของกรุปวัฏจักรสองกรุปขึ้นกับภาวะคู่คี่ของ "q" ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ 
 <math>y^2 = x^3 - x</math>
เหนือ F71 มีจุดทั้งหมด 72 จุด (71 จุดสัมพรรค รวมถึง (0,0) และหนึ่งจุด ณ อนันต์) ในฟีลด์นี้ ซึ่งมีโครงสร้างกรุปที่กำหนดโดย Z/2Z × Z/36Z. จำนวนจุดบนเส้นโค้งจำเพาะสามารถคำนวณได้ด้วยขั้นตอนวิธีของสคูฟ
การศึกษาเส้นโค้งเหนือฟีลด์ภาคขยายของ F"q" ทำได้โดยการสร้างฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta function) ของ "E" เหนือ F"q", นิยามโดยอนุกรมก่อกำเนิด
 <math>Z(E(K), T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \# \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)</math>
เมื่อฟิลด์ "Kn" เป็นฟีลด์ภาคขยาย (มีฟีลด์เดียวหากนับความสมสัณฐาน) ของ "K" = F"q" ที่มีดีกรีเท่ากับ "n" (ซึ่งก็คือ F"qn").
ฟังก์ชันซีตานี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปร "T" ซึ่งสามารถพิสูน์ได้ดังนี้: จำนวนเต็ม <math>a_n</math> ที่ทำให้
 <math>\#E(K_n) = 1 - a_n + q^n</math>
จะมีจำนวนเชิงซ้อน <math>\alpha</math> ที่เกี่ยวข้องที่ทำให้
 <math>1 - a_n + q^n = 1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n</math>
เมื่อ <math>\bar\alpha</math> เป็นสังยุคเชิงซ้อนของ <math>\alpha</math> เราเลือก <math>\alpha</math> เพื่อให้ขนาดของมันเท่ากับ <math>\sqrt{q}</math> ดังนั้น <math>\alpha = q^{\frac12}e^{i\theta}, \bar\alpha = q^{\frac12}e^{-i\theta}</math> และ <math>\cos n\theta=\frac{a_n}{2\sqrt q}</math> ฉะนั้นเราจะได้ว่า <math>\alpha^n\bar\alpha^n = q^n</math> และ <math>\alpha^n+\bar\alpha^n = a_n</math> หรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้ว่า <math>(1 - \alpha^n)(1 - \bar\alpha^n) = 1 - a_n + q^n</math>.
แล้ว <math>\alpha</math> สามารถใช้แทนค่าลงไปฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่เพราะค่าของมันเมื่อเราเปลี่ยเลขชี้กำลังจะมีค่าประมาณใกล้เคียงกับพฤติกรรมของ <math>a_n</math>
 <math>\begin{alignat}{2} Z_E(T) & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n\right){T^n\over n} \right) \\ & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} {T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\alpha^n{T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\bar\alpha^n{T^n\over n} + \sum_{n=1}^{\infty}q^n{T^n\over n} \right) \\ & = \exp \left(-\ln(1-T) + \ln(1-\alpha T) + \ln(1-\bar\alpha T) - \ln(1-qT) \right) \\ & = \exp \left(\ln\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)} \right) \\ & =\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)} \\ \end{alignat}</math>
เนื่องจาก <math>(1 - \alpha T)(1 - \bar\alpha T) = 1 - aT + qT^2</math> ทำให้ได้ว่า
 <math>Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}</math>
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของ "E" : "y"2 + "y" = "x"3 เหนือฟีลด์ F2 กำหนดโดย
 <math>\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}</math>
ซึ่งได้มากจาก:
 <math> \left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{ odd} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}} & r \text{ even} \end{cases} </math>
สมการเชิงฟังก์ชันคือ
 <math>Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) = \frac{1 - a\frac{1}{qT} + q\left(\frac{1}{qT}\right)^2}{(1 - q\frac{1}{qT})(1 - \frac{1}{qT})}= \frac{q^2T^2 - aqT + q}{(qT - q)(qT - 1)} = Z(E(K), T)</math>
เนื่องจากสนใจเฉพาะพฤติกรรมของ <math>a_n</math> เราสามารถใช้ฟังก์ชันซีตาลดทอน
 <math>\begin{align} Z(a, T) & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} -a_n {T^n\over n} \right) \\ & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} -\alpha^n {T^n\over n} - \bar\alpha^n {T^n\over n} \right) \\ \end{align}</math>
และจะได้ว่า
 <math>Z_a(T) = \exp \left(\ln(1-\alpha T) + \ln(1-\bar\alpha T)\right)</math>
ทำได้ให้แอล-ฟังก์ชันเฉพาะที่ (local L-function)
 <math>L(E(K), T) = 1 - aT + qT^2</math>
ข้อความคาดการณ์ของซาโต-เทต (Sato–Tate conjecture) ระบุว่าเทอมความคาดเคลื่อน <math>2\sqrt{q}</math> ในทฤษฎีบทของฮัสเซอขึ้นกับจำนวนเฉพาะ "q" ที่ต่างกันหากเส้นโค้งเชิงวงรี "E" เหนือ Q อยู่ในรูปมอดุโล q ลดรูป ข้อความคาดการณ์ข้างต้นถูกพิสูจน์ (สำหรับเกือบทุกกรณีข้างต้น) ในปี 2006 โดย Taylor, Harris และ Shepherd-Barron 
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีบทประยุกต์ใช้ในวิทยาการเข้ารหัสลับ และการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มค่ามาก ๆ ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรีจะอาศัยความเป็นกรุปของจุดบน "E" ฉะนั้นขั้นตอนวิธีที่ใช้ได้กับกรุปทั่วไป เช่นกรุปของสมาชิกที่หาอินเวอร์สได้ใน F*"q" จะสามารถประยุกต์ใช้กับกรุปของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนวิธีลอการิทึมวิยุต
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป.
เส้นโค้งเชิงวงรีสามารถนิยามเหนือฟีลด์ "K" ใด ๆ ได้ โดยนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตเหนือ "K" เชิงภาพฉายไม่เอกฐานที่มีจีนัส 1 และมีจุดเฉพาะที่นิยามเหนือ "K"
ถ้าแคแรคเทอริสติกของ "K" ไม่ใช่ 2 หรือ 3 แล้วหลังจากการเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้น ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ "K" สามารถเขียนได้ในรูป
 <math>y^2 = x^3 - px - q</math>
ในที่นี้ "p" และ "q" เป็นสมาชิกของ "K" ที่ทำให้พหุนาม "x"3 − "px" − "q" ทางฝั่งขวามือไม่มีรากซ้ำ ถ้าแคแรกเทอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องมีพจน์ที่กำจัดไม่ได้มากขึ้น ในแคแรคเทอริสติก 3 สมการของเส้นโค้งที่ทั่วไปที่สุดคือ
 <math>y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6</math>
สำหรับค่าคงที่ "b"2, "b"4, "b"6 ที่ทำให้พหุนามมางขวามือของสมการมีรากที่แตกต่างกันทั้งหมด (สัญกรณ์ที่ใช้นี้มีที่มาทางประวัติศาสตร์) ในแคแรกเทอริสติก 2 จะต้องมีเทอมมากกว่านั้นอีก โดยมีสมการทั่วไปคือ 
 <math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>
เมื่อวาไรอิตี้ที่สมการนี้นิยามไม่เอกฐาน
โดยทั่วไป เรากำหนดให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเซตของจุด ("x","y") ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการข้างต้น โดยที่ "x" และ "y" เป็นสมาชิกในส่วนปิดคลุมเชิงพีชคณิตของ "K" จุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีทั้งหมดที่พิกัดทั้งสองอยู่ใน "K" เรียกว่า "K"-rational points
ผลลัพธ์จำนวนมากในหัวข้อก่อนหน้าเป็นจริงเมื่อฟีลด์ที่นิยามเส้นโค้งเชิงวงรี "E" เป็นฟีลด์จำนวน (number field) "K" นั่นคือเป็นฟีลด์ภาคขยายจำกัดของ Q โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ากรุป "E(K)" ของจุด "K"-rational points บนเส้นโค้งเชิงวงรี "E" ที่นิยามเหนือ "K" จะเป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่วางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมอร์เดล-แวย์ ทฤษฎีบทหนึ่งของ Loïc Merel แสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม "d" จะมีกรุปเพียงจำนวนจำกัดตัวที่สามารถเป็นทอร์ชันกรุปของ "E"("K") สำหรับเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์จำนวน "K" ดีกรี "d" ได้ ทฤษฎีบทนี้ส่งผลชัดแจ้งในแง่ที่ว่า หาก "d" > 1 ถ้าจุดทอร์ชันมีอันดับเท่ากับ "p" โดยที่ "p" เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว
 <math>p < d^{3d^2}</math>
สำหรับจุดอินทริกรัล ทฤษฎีบทของซีเกิลสามารถขยายออกได้ว่า หากเส้นโค้งเชิงวงรี "E" ที่นิยามเหนือฟีลด์จำนวน "K" โดยที่ "x" และ "y" เป็นพิกัดแบบไวเออร์ชตราส แล้วจะมีจุดเพียงจำกัดจำนวนใน "E(K)" ที่พิกัด "x" ของมันอยู่ในริงของจำนวนเต็ม "O""K"
สมบัติของฟังก์ชันฮัสเซอ-แวย์และข้อคาดการณ์เบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์สามารถวางนัยทั่วไปให้ครอบคลุมกรณีข้างต้นนี้ได้ 
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน.
เราสามารถมองเส้นโค้งเชิงวงรีว่าเป็นการฝังทอรัสลงในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยอาศัยสมบัติพิเศษของฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์ชตราส โดยฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของของมันสอดคล้องกับสมการ
 <math>\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3</math>
ในที่นี้ "g"2 และ "g"3 เป็นค่าคงที่ และ ℘("z") เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีไวเออร์ชตราส (Weierstrass elliptic function) สังเกตว่าความสัมพันธ์ข้างต้นสอดคล้องกับสมการเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันไวเออร์ตราสมีคาบแบบคู่ (doubly periodic) นั่นคือเป็นฟังก์ชันคาบเทียบกับแลตทิซ Λ ฉะนั้นฟังก์ชันไวเออร์ชตราสจึงนิยามได้บนทอรัส "T" = C/Λ โดยธรรมชาติ ทอรัสนี้สามารถฝังเข้าไปในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยการส่ง
 <math>z \mapsto \left[1 : \wp(z) : \tfrac12\wp'(z)\right]</math>
การส่งนี้เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของกรุปบนทอรัส (ภายใต้โครงสร้างกรุปตามธรรมชาติ) และกรุปลอว์ที่เกิดจากการสร้างเส้นคอร์ดและเส้นสัมผัสบนเส้นโค้งกำลังสามอันเป็นภาพของการส่งนี้ นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของพื้นผิวรีมันน์จากทอรัสไปยังเส้นโค้งกำลังสามนั้นด้วย เพราะฉะนั้นในทางทอพอโลยีแล้ว เส้นโค้งเชิงวงรีจึงเป็นทอรัส หากแลตทิซ Λ สัมพันธ์ภายใต้การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน c ที่ไม่เป็นศูนย์กับแลตทิซ "c"Λ แล้วเส้นโค้งที่ได้จะสมสัณฐานกัน ชั้นสมมูลของเส้นโค้งเชิงวงรีกำหนดได้ด้วยตัวยืนยงเรียกว่า j-invariant
ชั้นสมมูลดังกล่าวสามารถมองได้ด้วยมุมมองที่ง่ายกว่าเช่นกัน ค่าคงตัว "g"2 และ "g"3 ซึ่งเรียกว่าตัวยืนยงมอดุลาร์ (modular invariants) ถูกกำหนดให้มีค่าได้เพียงค่าเดียวโดยแลตทิซ หรือก็คือโครงสร้างของทอรัส อย่างไรก็ตามทุกพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะแยกตัวประกอบเชิงเส้นเหนือจำนวนเชิงซ้อน (เพราะฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟีลด์จำนวนจริง) ฉะนั้นเราสามารถเขียนเส้นโค้งเชิงวงรีได้เป็น
 <math>y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)</math>
เราจะได้ว่า
 <math>\begin{align}
g_2' &= \frac{\sqrt[3]4}{3} \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right) \\[4pt]
g_3' &= \frac{1}{27} (\lambda + 1)\left(2\lambda^2 - 5\lambda + 2\right)
\end{align}</math>
และ
 <math>j(\tau) = 1728\frac{{g_2'}^3}{{g_2'}^3 - 27{g_3'}^2} = 256\frac{ \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right)^3}{\lambda^2\left(\lambda - 1\right)^2}</math>
โดยที่ <math>j(\tau)</math> เป็น {{mvar|j}}-invariant และ <math>\lambda(\tau)</math> เรียกว่าฟังก์ชันแลมบ์ดามอดุลาร์ (modular lambda function) ตัวอย่างเช่น ให้ <math>\tau = 2i</math> แล้ว <math>\lambda(2i) = (-1 + \sqrt{2})^4</math> ซึ่งส่งผลให้ <math>g'_2</math>, <math>g'_3</math> และ <math>{g'}_2^3 - 27{g'}_3^2</math> ในสมการข้างต้นเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดหาก <math>\tau</math> เกี่ยวข้องกับฟีลด์ควอดราติกเชิงซ้อน (imaginary quadratic field) ในกรณีนี้เราได้จำนวนเต็ม {{math|1="j"(2"i") = 663 = {{ค่า|287496}}}} ด้วยซ้ำ 
ในทางกลับกัน ค่าดิสคริมิแนนท์มอดุลาร์ (modular discriminant)
 <math>\Delta(\tau) = g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2 = (2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)</math>
มักจะเป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของฟังก์ชันอีตาดิริชเลต์ (Dedekind eta function) {{math|"η"(2"i")}} คือ
 <math>\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac14\right)}{2^\frac{11}{8} \pi^\frac34}</math>
สังเกตว่าทฤษฎีบทยูนิฟอร์มไมเซชัน (uniformization theorem) บ่งว่าทุกพื้นผิวรีมันน์ที่กระชับ (compact Riemann surface) ที่มีจีนัส 1 จะสามารถเขียนแทนได้ด้วยทอรัส นี่ทำให้เราสามารถเข้าใจจุดทอร์ชันบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ง่ายขึ้น: ถ้าแลตทิซ {{math|Λ}} ถูกสแปนโดยคาบพื้นฐาน {{math|"ω"1}} and {{math|"ω"2}} แล้วจุด "{{mvar|n}}"-ทอร์ชัน ({{mvar|n}}-torsion points) จะเป็นชั้นสมมูลของจุดในรูป
 <math> \frac{a}{n} \omega_1 + \frac{b}{n} \omega_2</math>
ถ้า
 <math>E : y^2=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math>
เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเฉพาะ และ
 <math>a_0=\sqrt{e_1-e_3}, \qquad b_0=\sqrt{e_1-e_2}, \qquad c_0=\sqrt{e_2-e_3},</math>
แล้วคู่ของคาบพื้นฐานของ {{mvar|E}} สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วจาก
 <math>\omega_1=\frac{\pi}{\operatorname{M}(a_0,b_0)}, \qquad \omega_2=\frac{\pi}{\operatorname{M}(c_0,ib_0)}</math>
เหนือจำนวนเชิงซ้อน ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีมีจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) เก้าจุด เส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านจุดเปลี่ยนเว้าสองจุดจะผ่านจุดเปลี่ยนเว้าอีกจุดเสมอ จุด 9 จุดและเส้นตรง 12 เส้นที่เกิดขึ้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของ Hesse configuration
ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรี.
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีการประยุกต์ใช้ในการเข้ารหัสและการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม ไอเดียสำคัญที่สามารถพบได้ในการประยุกต์ใช้เหล่านี้ คือเปลี่ยนขั้นตอนวิธีเดิมที่ใช้กรุปจำกัดบางตัว ให้ใช้กรุปของจำนวนตรรกยะบนเส้นโค้งเชิงวงรี
บรรณานุกรม.
เซอร์เก ลาง เคยเขียนในบทนำของหนังสือที่ได้อ้างอิงด้านล่างนี้ว่า "เป็นไปได้ที่จะเขียนเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีโดยไม่จบสิ้น (นี่ไม่ใช่คำขู่)" ("It is possible to write endlessly on elliptic curves. (This is not a threat.)") รายการด้านล่างนี้จึงเป็นเพียงรายการแนะนำไปยังวรรณกรรมเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีที่มีอยู่ดาษดื่น ทั้งในทางทฤษฎี ทางขั้นตอนวิธี และในทางวิทยาการเข้ารหัสลับของเส้นโค้งเชิงวงรี