ฟังก์ชันก่อกำเนิด

ในทางฟิสิกส์ ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating function approach) คือการใช้อนุพันธ์ย่อยสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงพลศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างทั่วไป เช่น ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function) ของกลศาสตร์สถิติ หรือฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตของตัวแปรคาโนนิคัล (Canonical variable) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ (Canonical transformation)
สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแปลงฟังก์ชันระหว่าง (q, p, "H") และ (Q, P, "K") ซึ่งทั้งสองเซตจะต้องเป็นไปตามหลักการฮามิลตัน (Hamilton's principle) โดยสามารถเขียนสมการลากรานจ์ได้ คือ <math>\mathcal{L}_{qp}=\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)</math> และ <math>\mathcal{L}_{QP}=\mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - K(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t)</math> ตามลำดับ โดยที่การแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) จะต้องมีค่าคงตัว นั่นคือ :
<math>\begin{align}
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) \right] dt &= 0 \\
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - K(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) \right] dt &= 0
\end{align}</math>
ทั้งสองสมการจะได้ความสัมพันธ์ ดังนี้
<math>\lambda \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) \right] = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - K(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{dG}{dt} </math>
โดยที่ G จะเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ขึ้นกับพิกัดและโมเมนตัมทั้งในระบบเก่า (q หรือ p) และระบบใหม่ ระบบเก่า (Q หรือ P) และ λ จะเป็นตัวปรับขนาดของการแปลง (Scale transformation) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติจะให้ <math>\lambda = 1 </math>
สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ จะมีฟังก์ชันก่อกำเนิดทั้งหมด 4 รูปแบบ ดังนี้
รูปแบบที่ 1 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด.
<math>G_{1}</math> ขึ้นกับพิกัดของทั้งระบบเก่าและใหม่
<math>G \equiv G_{1}(\mathbf{q}, \mathbf{Q}, t)</math>
สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้
<math> \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - K(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}</math>
เนื่องจากพิกัดระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
<math>\begin{align}
\mathbf{p} &= \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \\
\mathbf{P} &= -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \\
\end{align}</math>
รูปแบบที่ 2 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด.
<math>G_{2}</math> ขึ้นกับพิกัดของระบบเก่ากับโมเมนตัมของระบบใหม่
<math>G \equiv -\mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{2}(\mathbf{q}, \mathbf{P}, t)</math>
สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้
<math> \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = -\mathbf{Q} \cdot \dot{\mathbf{P}} - K(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{2}}{\partial t} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} \cdot \dot{\mathbf{P}}</math>
เนื่องจากพิกัดของระบบเก่าและโมเมนตัมของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
<math>\begin{align}
\mathbf{p} &= \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}} \\
\mathbf{Q} &= \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} \\
\end{align}</math>
รูปแบบที่ 3 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด.
<math>G_{3}</math> ขึ้นกับโมเมนตัมของระบบเก่ากับพิกัดของระบบใหม่
<math>G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)</math>
สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้
<math>-\mathbf{q} \cdot \dot{\mathbf{p}} - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - K(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{3}}{\partial t} + \frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}} \cdot \dot{\mathbf{p}} + \frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}</math>
เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและพิกัดของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
<math>\begin{align}
\mathbf{q} &= -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}} \\
\mathbf{P} &= -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}} \\
\end{align}</math>
รูปแบบที่ 4 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด.
<math>G_{4}</math> ขึ้นกับโมเมนตัมของทั้งระบบเก่าและใหม่
<math>G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)</math>
สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้
<math>-\mathbf{q} \cdot \dot{\mathbf{p}} - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = -\mathbf{Q} \cdot \dot{\mathbf{P}} - K(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{4}}{\partial t} + \frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}} \cdot \dot{\mathbf{p}} + \frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}} \cdot \dot{\mathbf{P}} </math>
เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
<math>\begin{align}
\mathbf{q} &= -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}} \\
\mathbf{Q} &= \frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}} \\
\end{align}</math>