ความเครียด (กลศาสตร์)

ความเครียด  คือปริมาณการเปลี่ยนแปลงขนาดของวัตถุเทียบกับขนาดตั้งต้น
การเปลี่ยนแปลงรูปร่างของวัตถุสามารถเขียนได้ด้วยการเขียนตำแหน่งสุดท้ายของวัตถุ x = F(X) โดยที่ X คือตำแหน่งตั้งต้นของวัตถุ การเขียนสมการแบบนี้จะไม่แยกระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุ (การเปลี่ยนตำแหน่งและหมุน) และการเปลี่ยนรูปร่างและขนาดของวัตถุ
เราสามารถนิยามความเครียดได้จาก
 <math>
\boldsymbol{\varepsilon} \doteq \cfrac{\partial}{\partial\mathbf{X}}\left(\mathbf{x}-\mathbf{X}\right)
</math>
โดยที่ I คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นความเครียดจึงไม่มีหน่วย และมักจะนิยมเขียนเป็นจุดทศนิยม เปอร์เซ็นต์ หรือ ร้อยละ ความเครียดบอกถึงการเปลี่ยนรูปร่างที่ตำแหน่งใด ๆ ในวัตถุจากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด
ความเครียดเป็นปริมาณเทนเซอร์ ความเครียดสามารถแบ่งองค์ประกอบเป็นความ "เครียดตั้งฉาก" (normal strain) และ "ความเครียดเฉือน" (shear strain) เมื่อวัตถุถูกเปลี่ยนรูปร่าง ความเครียดตั้งฉาก บอกถึงอัตราส่วนการเปลี่ยนขนาดหรือความยาวของวัตถุ ในขณะที่ความเครียดเฉือนบอกถึงมุมที่วัตถุถูกเบือนจากทิศทางตั้งต้น โดยความเครียดทั้งสอบแบบนี้บอกถึงการเปลี่ยนรูปร่างในทิศตั้งฉากกัน 
ถ้าความยาวของวัตถุเพิ่มขึ้น ความเครียดเฉือนตั้งฉากจะเรียกว่า "ความเครียดดึง" (tensile strain) ในทางกลับกันถ้าความยาวลดลง เราจะเรียกว่า "ความเครียดอัด" (compressive strain)
นอกเหนือจากนิยามที่กล่าวมายังมีการนิยามความเครียดหลายแบบ เช่น "ความเครียดทางวิศวกรรม" (engineering strain) ซึ่งมักจะใช้กับวัสดุที่ใช้ในเคลื่องกลและโครงสร้างทางวิศวกรรมซึ่งจะเปลี่ยนรูปร่างได้เพียงเล็กน้อย ในขณะที่วัสดุบางประเภท อาทิ อีลาสโตเมอร์และพอลิเมอร์สามารถเปลี่ยนรูปร่างได้เยอะ การใช้นิยามความเครียดทางวิศวกรรมนั้นอาจจะไม่เหมาะสมเมื่อวัตถุขยายขนาดมากกว่า 1% จึงต้องใช้นิยามแบบอื่น เช่น อัตราส่วนการยืด หรือ ความเครียดจริง
นิยามความเครียด.
ความเครียดทางวิศวกรรม.
ความเครียดทางวิศวกรรม (engineering strain หรือ Cauchy strain) คืออัตราส่วนระหว่างขนาดที่เปลี่ยนไปต่อขนาดตั้งต้น สำหรับวัตถุขนาดยาวตั้งต้น "L" ที่เปลี่ยนความยาว Δ"L" สามารถเขียนได้ว่า
<math>
</math>
โดย e คือความเครียดตั้งฉากทางวิศวกรรมและ l คือความยาวสุดท้าย ถ้าความเครียดนี้เป็นบวกหมายความว่าความยาวเพิ่มขึ้น แต่ถ้าเป็นลบแสดงว่าความยาวลดลง
ส่วนความเครียดเฉือนทางวิศวกรรมนิยามจากค่า tan ของมุมเฉือน ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนระหว่างความยาวที่เปลี่ยนไปในทิศของแรงเฉือนต่อความยาวตั้งฉากกับแรงเฉือน
การคำนวณความเครียดทางวิศวกรรมนั้นคำนวณได้ง่าย แต่บอกได้ถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดโดยรวมเท่านั้น ไม่สามารถบอกถึงว่าวัตถุถูกเปลี่ยนแปลงรูปร่างผ่านขั้นตอนอะไร
อัตราส่วนความยืด.
อัตราส่วนความยืด (stretch ratio หรือ extension ratio) คือ ปริมาณที่บอกว่าวัตถุเปลี่ยนความยาวไปแค่ไหน ซึ่งนิยามจจากอัตราส่วนระหว่างความสุดท้าย l ต่อความยาวตั้งต้น "L"
 <math>\ \lambda=\frac{l}{L}</math>
ซึ่งสัมพันธ์กับความเครียดทางวิศวกรรมโดย
 <math>\ e=\frac{l-L}{L}=\lambda-1</math>
ถ้าความเครียดเป็นศูนย์ซึ่งแปลวาสวัตถุไม่เปลี่ยนความยาว อัตราการยืดจะเท่ากับ 1 
อัตราส่วนความยืดนั้งมักถูกใช้ในการวิเคราะห์วัสดุที่เปลี่ยนรูปร่างขนาดใหญ่ เช่น อีลาสโตเมอร์หรือยาง ซึ่งสามารถเปลี่ยนขนาดได้ที่อัตราส่วน 3 หรือ 4 เท่า ก่อนที่มันจะเสียหาย ในทางตรงกันข้ามวัสดุทางวิศกรรม เช่น คอนกรีต หรือ เหล็กกล้า จะเสียหายที่อัตราส่วนที่ต่ำกว่ามาก
ความเครียดจริง.
ความเครียดจริง (true strain or logarithmic strain) คำนวณจากการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงความยาวเล็กน้อย 𝛿"l" จากความยาว "l" ซึ่งทำให้เกิดความเครียดตั้งฉาก
 <math>\ \delta \varepsilon=\frac{\delta l}{l}</math>
เนื่องจากความยาวนั้นเปลี่ยนเรื่อย ๆ ความเครียดโดยรวมจึงหาได้จาก
 <math>\ \begin{align}
\int\delta \varepsilon &=\int_{L}^{l}\frac{\delta l}{l}\\
\varepsilon&=\ln\left(\frac{l}{L}\right)=\ln (\lambda) \\
&=\ln(1+e) \\
&=e-\frac{e^2}{2}+\frac{e^3}{3}- \cdots \\
</math>
โดย e คือความเครียดทางวิศวกรรม ความเครียดจริงบอกถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของวัตถุโดยนำขั้นตอนการเปลี่ยนขนาดมาพิจารณาด้วย
ส่วนความเครียดเฉือนจริงนั้นคำนวณได้จากมุม (ในหน่วยเรเดียน) ของวัตถุที่เปลี่ยนไปหลังจากการเปลี่ยนรูปร่าง
ความเครียดตั้งฉากและความเครียดเฉือน.
อย่างที่กล่าวมาว่าความเครียดแบ่งเป็นสองแบบคือความเครียดตั้งฉากซึ้งตั้งฉากกับหน้าตัดของวัตถุและความเครียดเฉือนที่ขนานกับหน้าตัดของวัตถุ โดยนิยามเหล่านี้สอดคล้องกับความเค้นตั้งฉาก (normal stress) และความเค้นเฉือน (shear stress)
ความเครียดตั้งฉาก.
สำหรับวัสดุที่สม่ำเสมอและมีพฤติกรรมตามกฎของฮุค ความเค้นตั้งฉากจะทำให้เกิดความเครียดตั้งฉาก 
พิจารณา element สี่เหลี่ยมในสองมิติมีขนาด "dx" × "dy" ซึ่งเมื่อถูกเปลี่ยนรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน การเปลี่ยนรูปร่างสามารถบรรยายโดยใช้สนามกระจัด (displacement field) จากรูปเราสามารถเขียนความยาวด้าน
 <math>
 \mathrm{length}(AB) = dx \,
 </math>
และ
 <math>\begin{align}
\mathrm{length}(ab) &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\
&= dx~\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)^2} \\
\end{align}\,\!</math>
สำหรับการเปลี่ยนแปลงขนาดเล็ก พจน์ยกกำลังสองนั้นมีขนาดเล็กและสามารถละทิ้งได้ ดังนั้น
 <math>
 \mathrm{length}(ab)\approx dx +\frac{\partial u_x}{\partial x}dx
 </math>
ความเครียดตั้งฉากในทิศ x ของสี่เหลี่ยมนั้นนิยามว่า
 <math>
 </math>
ในทิศ y และ ทิศ z ก็เขียนได้ในลักษณะเดียวกัน
 <math>\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y} \quad , \qquad \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}\,\!</math>
ความเครียดเฉือน.
ความเครียดเฉือนทางวิศวกรรม ("γxy") นิยามจากมุมที่เปลี่ยนไประหว่างส่วนของเส้นตรง "AC" และ "AB" ดังนั้น
 <math>
 \gamma_{xy}= \alpha + \beta\,\!
 </math>
จากรูปเราสามารถคำนวณมุมได้
 <math>
 \tan \alpha & =\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}dx}=\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}} \\
</math>
สำหรับการเปลี่ยนแปลงขนาดเล็ก
 <math>
 \cfrac{\partial u_x}{\partial x} \ll 1 ~;~~ \cfrac{\partial u_y}{\partial y} \ll 1
 </math>
สำหรับการเปลี่ยนมุมขนาดเล็ก (α และ β ≪ 1) เราสามารถประมาณ tan "α" ≈ "α", tan "β" ≈ "β" 
 <math>
 </math>
ดังนั้น
 <math>\gamma_{xy}= \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}\,\!</math>
โดยการสลับสัญลักษณ์ x กับ y และ "ux" กับ "uy" ดังนั้น จึงเขียนได้อีกว่า "γxy" = "γyx"
ในทางเดียวกัน สามารถคำนวณความเครียดเฉือนในระนาบ yz และ xz ได้
 <math>\gamma_{yz}=\gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad , \qquad \gamma_{zx}=\gamma_{xz}= \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}\,\!</math>
เราสามารถเขียนความเครียดในรูปแบบเทนเซอร์ซึ่งจะรวมทั้งความเค้นตั้งฉากและเฉือนเข้าด้วยกัน
 <math>\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \left[\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
 \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
 \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
\varepsilon_{xx} & \tfrac12\gamma_{xy} & \tfrac12\gamma_{xz} \\
 \tfrac12\gamma_{yx} & \varepsilon_{yy} & \tfrac12\gamma_{yz} \\
 \tfrac12\gamma_{zx} & \tfrac12\gamma_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
 \end{matrix}\right]\,\!</math>