พหุนามฟีโบนัชชี

พหุนามฟีโบนัชชี  คือลำดับพหุนาม (polynomial sequence) ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบทั่วไปของจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number) และพหุนามที่สร้างจากรูปแบบเดียวกันนี้แต่ด้วยจำนวนลูคัส (Lucas number) นั้นเรียกว่าพหุนามลูคัส (Lucas polynomial)
นิยาม.
พหุนามฟีโบนัชชีนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) :
 <math>F_n (x) = \begin{cases}
0, & \mbox{if } n = 0\\
1, & \mbox{if } n = 1\\
x F_{n - 1} (x) + F_{n - 2} (x), & \mbox{if } n \geq 2
\end{cases}</math>
โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามฟีโบนัชชีคือ:
 <math>F_0 (x) =0 \, </math>
 <math>F_1 (x) =1 \, </math>
 <math>F_2 (x) =x \, </math>
 <math>F_3 (x) =x^2+1 \, </math>
 <math>F_4 (x) =x^3+2x \, </math>
 <math>F_5 (x) =x^4+3x^2+1 \, </math>
 <math>F_6 (x) =x^5+4x^3+3x \, </math>
พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนัชชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไปดังที่แสดงต่อไปนี้ :
 <math>L_n (x) = \begin{cases}
2, & \mbox{if } n = 0 \\
x, & \mbox{if } n = 1 \\
x L_{n - 1} (x) + L_{n - 2} (x), & \mbox{if } n \geq 2.
\end{cases}</math>
โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามลูคัสคือ:
 <math>L_0 (x) =2 \, </math>
 <math>L_1 (x) =x \, </math>
 <math>L_2 (x) =x^2+2 \, </math>
 <math>L_3 (x) =x^3+3x \, </math>
 <math>L_4 (x) =x^4+4x^2+2 \, </math>
 <math>L_5 (x) =x^5+5x^3+5x \, </math>
 <math>L_6 (x) =x^6+6x^4+9x^2 + 2. \, </math>
เราสามารถได้จำนานฟีโบนัชชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้ <math> x = 1 </math> จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์ <math> F_n </math> ที่ <math> x = 2 </math> โดยที่ ดีกรีของ <math> F_n </math> คือ <math> n-1 </math> และดีกรีของ <math> L_n </math> คือ <math> n </math>
ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สำหรับลำดับคือ :
 <math> \sum_{n=0}^\infty F_n (x) t^n = \frac{t}{1-xt-t^2}.</math>
 <math> \sum_{n=0}^\infty L_n (x) t^n = \frac{2-xt}{1-xt-t^2}.</math>
พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)
 <math>F_n (x) = U_n (x, -1), \, </math>
 <math>L_n (x) = V_n (x, -1).\, </math>
เอกลักษณ์.
เนื่องจากพหุนามฟีโบนัชชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนัชชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังต่อไปนี้
ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามให้แก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ <math> -n </math> โดยนิยามว่า 
 <math>F_{-n} (x) = (-1) ^{n-1}F_{n} (x), \, L_{-n} (x) = (-1) ^nL_{n} (x).</math>
และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:
 <math>F_{m+n} (x) =F_{m+1} (x) F_n (x) +F_m (x) F_{n-1} (x) \, </math>
 <math>L_{m+n} (x) =L_m (x) L_n (x) - (-1) ^nL_{m-n} (x) \, </math>
 <math>F_{n+1} (x) F_{n-1} (x) - F_n (x) ^2= (-1) ^n\, </math>
 <math>F_{2n} (x) =F_n (x) L_n (x).\, </math>
โดยที่รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ <math> F_n (x) </math> จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :
 <math>F_n (x) =\frac{\alpha (x) ^n-\beta (x) ^n}{\alpha (x) -\beta (x)}, \, L_n (x) =\alpha (x) ^n+\beta (x) ^n, </math>
เมื่อ
 <math>\alpha (x) =\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}, \, \beta (x) =\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}</math>
เป็นผลตอบ <math> t </math> ที่ได้จากสมการ
 <math>t^2-xt-1=0.\, </math>
มุมมองจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด.
ถ้าให้ "F" ("n", "k") คือค่าสัมประสิทธิ์ "xk" ใน "Fn" ("x") เราจะเขียน <math> F_n (x) </math> ใหม่ได้ว่า
 <math>F_n (x) =\sum_{k=0}^n F (n, k) x^k, \, </math>
นั้นก็คือว่า "F" ("n", "k") คือจำนวนวิธีที่สีเหลี่ยมขนาด ("n"−1) × 1 จะถูกเติมเต็มได้โดยสี่เหลี่ยมขนาด 2 × 1 และสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 และโดยมีเงื่อนไขว่าให้ใช้สี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 จำนวน "k" อันเท่านั้น ซึ่งนั้นก็หมายความว่า ประพจน์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สมมูลกันกับการที่มองว่า "F" ("n", "k") เป็นจำนวนวิธีในการเขียน "n"−1 ในรูปของการประกอบของการบวก (Composition) ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกันระหว่างเลข 1 และ 2 โดยที่กำหนดว่าเลข 1 นั้นจะต้องถูกใช้ในการประกอบการบวกเพียงแค่ "k" ครั้งเท่านั้น 
ตัวอย่างเช่น กรณี F (6, 3) = 4 เราจะเห็นได้ว่า 6-1 = 5 สามารถเขียนโดยใช้เลข 2 และ 1 ได้ใน F (6, 3) = 4 วิธี นั้นคือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 (จำนวนครั้งที่การประกอบการบวกที่มีเพียง 1 และ 2 ถูกนำมาใช้ประกอบการบวก และภายใต้เงื่อนไขที่ว่า 1 ถูกนำมาใช้ 3 ตัว นั้นมี 4 วิธี) หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งว่า "F" ("n", "k") นั้นก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้
 <math>F (n, k) =\binom{\tfrac{n+k-1}{2}}{k}</math>
เมื่อ "n" และ "k" คือ ภาวะคู่หรือคี่ที่อยู่ตรงข้ามกัน (opposite parity) และนั้นนำไปสู่การใช้สามเหลี่ยมปาสกาล ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีดังที่แสดงในรูปด้านซ้ายมือ