ทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์ควอนตัม/โครงสร้างละเอียด

โครงสร้างละเอียด (Fine Structure) เป็นโครงสร้างของอะตอมไฮโดรเจนซึ่งมีความละเอียดกว่ารูปแบบเดิมซึ่งคิดเพียงผลของศักย์จากแรงคูลอมบ์ (Coulomb force) โดยผลจากการคิดพลังงานรวมจากการแก้ไขผ่านทางทฤษฎีสัมพัทธภาพ (Relative Correction) และจากสนามแม่เหล็กที่โปรตรอนและอิเล็กตรอนสร้างขึ้นมาจากอันตรกิริยา (Spin–orbit coupling) อันถือว่าเป็นผลจากการรบกวน 
Relativistic Correction
Relativistic Correction.
เนื่องจากว่าอิเล็กตรอนและโปรตรอนมีมวลที่เล็กมากๆและวิ่งโคจรระหว่างกันด้วยความเร็วสูงจนใกล้เคียงกับความเร็วแสง(วิ่งด้วยความเร่ง) หากจะใช้กฏของนิวตันมาอธิบายจะไม่ครอบคลุมในกรณีที่ความเร็วสูงจนใกล้ความเร็วแสง ทำให้เราจะต้องพิจารณาผลของสัมพัทธภาพด้วยค่าที่จะต้องแก้ไขคือ 
โมเมนตัมตามสัมพัทธภาพ formula_1 
พลังงานรวมตามสัมพัทธภาพ formula_2
โดยที่ formula_3
เมื่อนำสมการโมเมนตัมและพลังงานรวมตามสัมพัทธภาพมายกกำลังสองแล้วนำมาลบกันจะได้ว่า 
จากพลังงานจลน์เชิงสัมพัทธภาพ formula_5 หรือ formula_6 จะได้ว่า 
จะได้พลังงานจลน์เชิงสัมพัทธภาพ เป็นดังนี้
จากการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor expansion) formula_9 จะได้
ซึ่งจัดรูปจะได้
เนื่องจากพจน์ที่สามเป็นต้นไปมีค่าน้อยมาก เนื่องจาก formula_12 จึงสามารถประมาณโดยการตัดพจน์ที่สามเป็นต้นไปทิ้ง จะได้
ดังนั้นแฮมิลโทเนียนรวมของระบบที่แก้ไขโดย Relative Correction คือ 
ซึ่งแฮมิลโทเนียนที่เป็นพจน์ของการรบกวนระบบจาก Relative Correction คือ 
ซึ่งเรียกว่า Perturbation Harmionian of Relative Correction
จากนั้นเราจะหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนจาก 
เนื่องจากตัวดำเนินการ formula_17 ไม่ใช่ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน (Hermitian operators) แต่ตัวดำเนินการ formula_18 เป็นตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน จึงแยกตัวดำเนินการ formula_17 ได้ออกมาเป็นดังนี้
จากสมการชโรดิงเจอร์ 
โดยที่ formula_22 จะได้
ซึ่งย้ายข้างจะได้ 
จะได้ว่า
ในกรณีของอะตอมไฮโดรเจน formula_27 ดังนั้น จะได้ว่า 
จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน formula_30 และรัศมีของบอห์ร formula_31 แทนค่าจัดรูป จะได้ค่าแก้ไขพลังงานจาก Relative Correction คือ
Spin-Orbit Coupling
Spin-Orbit Coupling.
Spin-Orbit Coupling เป็นผลเกิดขึ้นเนื่องจากอิเล็กตรอนวิ่งโคจรรอบๆโปรตอน หรือโปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนในแต่ละกรอบอ้างอิง ทำให้เกิดอันตรกิริยาขึ้นระหว่างโปรตอนและอิเล็กตรอน อันตรกิริยาดังกล่าวเป็นผลทำให้เกิดสนามแม่เหล็กที่อิเล็กตรอนและโปรตอนสร้างขึ้น โดยถือว่าเป็นผล ของการรบกวนจึงต้องพิจารณาค่าการแก้ไข ในกรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนจะทำให้เกิดสนามแม่เหล็กขึ้นตามกฏของบิโอต์-ชาวาร์ต ดังนี้ 
โดยที่โมเมนตัมเชิงมุมรอบนิวเคลียสในกรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนคือ 
แทนค่าลงในสมการของกฎบิโอต์-ชวาร์ต จะได้ว่า 
จากความสัมพันธ์ของอัตราเร็วคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ formula_37 สภาพยอมของสุญญากาศ formula_38 และค่าความสามารถซึมซับแม่เหล็กของสุญญากาศ formula_39 
โมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก (Magnetic dipole moment) formula_43 สามารถหาได้จากสมการ
แต่เนื่องจากในการทดลองจริงได้ผลไม่ตรงกับทฤษฎี จึงมีการคูณค่าที่ได้ด้วย g-factor ซึ่งในกรณีของอิเล็กตรอน formula_46 จะได้ว่า
ซึ่งจะได้พลังงานรวมสนามแม่เหล็กเป็นแฮมิลโทเนียนจากสมการ
เนื่องจากการประมาณดังกล่าว กรอบที่โปรตอนวิ่งรอบอิเล็กตรอนไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย ดังนั้นจะต้องมีการแก้ไขโดยวิธี Thomas Precession โดยการคูณพจน์ทางขวาด้วย formula_49 จะได้ว่า
จากนั้นเราจะหาพลังงานได้จากแฮมิลโทเนียนได้โดยเลือกใช้ฐาน (Basis) คือ formula_51 เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมรวม formula_52 มีค่าคงที่ จะได้ว่า
พิจารณาตัวดำเนินการ formula_55 จากโมเมนตัมเชิงมุมรวม formula_52 จะได้
ดังนั้น จะได้ว่า
เนื่องจากผลของตัวดำเนินการเมื่อไปกระทำ คือ 
จะได้
สำหรับในกรณีของอิเล็กตรอนเลขควอนตัมสปิน formula_63 เสมอ จะได้ว่า
จากการคำนวณ formula_65 จะได้
จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน formula_67 และรัศมีของบอห์ร formula_31 แทนค่าจัดรูป จะได้ค่าแก้ไขพลังงานจาก Spin-Orbit Coupling คือ
โครงสร้างละเอียดจากผลของ Relativistic Correction และ Spin-Orbit Coupling
โครงสร้างละเอียดจากผลของ Relativistic Correction และ Spin-Orbit Coupling.
เมื่อนำผลของ Relativistic Correction และ Spin-Orbit Coupling ที่ได้มารวมกัน จะได้พลังงานแก้ไขรวม formula_70
เนื่องจากเลขควอนตัมสปินของอิเล็กตรอน formula_63 ค่าโมเมนตัมเชิงมุมรวมที่เป็นไปได้จึงเป็น formula_72 ซึ่งเมื่อนำไปแทนในพลังงานแก้ไขรวม formula_73 จะได้ว่า
formula_74
จากพลังงานของอะตอมไฮโดรเจน formula_67 และนิยามของ Fine structure constant formula_76 จะได้ formula_73 ในรูปของ formula_78 คือ
formula_79
ดังนั้น จะได้พลังงานรวมของโครงสร้างละเอียด formula_80 คือ
formula_81