กฎของมาลุส

กฎของมาลุส (loi de Malus) เป็นกฎทางทัศนศาสตร์ ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณความเข้มแสงที่ส่งผ่านโพลาไรเซอร์ที่สมบูรณ์แบบ
== ประวัติศาสตร์ ==
ชื่อกฎของมาลุสนี้มีที่มาจากชื่อเอเตียน-หลุยส์ มาลุส นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส ผู้ซึ่งได้ค้นพบกฎนี้ในปี 1809
== หลักการ ==
สมมติว่าคลื่นของแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงแผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ ให้มุม θ เป็นมุมระหว่างแกนโพลาไรเซชันของคลื่นแสงนี้กับแกนของโพลาไรเซอร์ คลื่นที่ส่งผ่านออกมาจะถูกโพลาไรซ์ตามแกนของโพลาไรเซอร์ โดยจะถูกลดทอนด้วยปัจจัยบางอย่าง ถ้าเราสังเกตความเข้มขาเข้า I_0 และความเข้มขาออก I จะได้ว่าเป็นไปตามกฎมาลุส คือ
I=I_0 \cos^2{(\theta)}
จากกฎนี้เราจะได้ว่า
หากโพลาไรเซชันของคลื่นที่ตกกระทบอยู่ในทิศทางเดียวกับแกนของโพลาไรเซอร์ นั่นคือ \theta=0 ความเข้มของแสงทั้งหมดจะถูกส่งผ่าน
หากโพลาไรเซชันของคลื่นที่ตกกระทบตั้งฉากกับแกนของโพลาไรเซอร์ นั่นคือ \theta=90 ก็จะไม่เกิดคลื่นขาออก
หากคลื่นที่ตกกระทบเป็นคลื่นไม่ได้โพลาไรซ์ กล่าวคือ ประกอบด้วยโพลาไรเซชันในทุกทิศที่เป็นไปได้ทั้งหมด แล้วหาค่าเฉลี่ย ของ I เราจะได้ว่า I=I_0/2 นั่นคือความเข้มลดลงครึ่งหนึ่ง ปรากฏการณ์เช่นนี้อาจสังเกตได้เมื่อมองหลอดไส้ร้อนแบบธรรมดาผ่านโพลาไรเซอร์
== การพิสูจน์ ==
โพลาไรเซอร์มีผลทำให้แอมพลิจูดของสนามไฟฟ้า E0 ของคลื่นที่ส่งผ่านเหลือแค่ในส่วนทิศที่ตรงกับแกนของลาไรเซอร์ ในกรณีของคลื่นแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรง ค่านี้จะเป็นสัดส่วนกับโคไซน์ของมุม θ ดังนั้นแอมพลิจูดขาออกคือ
E=E_0 \cos{(\theta)}
และความเข้มของการส่องสว่าง ตามคำนิยามแล้ว แปรผันตามกำลังสองของแอมพลิจูดของคลื่น
I_0 = \overrightarrow{E}.\overrightarrow{E} = E_0^2
ดังนั้นเมื่อผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มแสงจึงเป็น
I = E_0^2\cos^2(\theta) = I_0 \cos^2{(\theta)}
ในกรณีของคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ สูตรจะพิสูจน์ได้โดยการหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน \cos^2(\theta) ซึ่งหากอนุมานแบบคร่าว ๆ เราจะเห็นว่าค่า \cos^2(\theta) อยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เท่านั้น
ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ \cos^2(\theta) จึงควรเป็น \frac 12 ดังนั้นสูตรคือ I=\frac{I_0}{2}
อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์อย่างเข้มงวดควรทำโดยหาค่าเฉลี่ยจากการคำนวณปริพันธ์ โดยฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดเป็น 1 ที่มุม 0° และมีค่าต่ำสุดเป็น 0 ที่มุม 90° ดังนั้น หาค่าเฉลี่ยระหว่างค่าทั้งสองโดย
\frac{\displaystyle\int_0^{\pi/2} {\color{OliveGreen}\cos^2(\theta)}\,d\theta}{\pi/2-0}=\frac{\displaystyle\int_0^{\pi/2} {\color{OliveGreen}\left( \frac{1+\cos(2\theta)}2 \right)} \,d\theta}{\pi/2-0}
ซึ่งได้มาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
\color{OliveGreen}\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2
จากนั้นทำการรวบแต่ละพจน์
=\frac{\frac 12{\color{blue}\displaystyle\int_0^{\pi/2} 1 \,d\theta} + \tfrac 12\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(2\theta) \,d\theta}{\pi/2-0}=\frac{\frac 12}{\pi/2-0}
เพื่อที่จะแก้หาปริพันธ์ ในที่นี้เราแทน \color{YellowOrange}u=2\theta และ \color{YellowOrange}d\theta=\tfrac {du}2
=\frac{\frac 12{\color{blue}\left[\theta\right]_0^{\pi/2}} + {\color{YellowOrange}\tfrac 12\cdot\tfrac 12\displaystyle\int_0^{\pi} \cos(u) \,du}}{\pi/2-0}=\frac{\frac 12{\color{blue}\left[\theta\right]_0^{\pi/2}} + {\color{YellowOrange}\tfrac 14\displaystyle\left[ \sin(u) \right]_0^{\pi}}}{\pi/2-0}
จากนั้นใช้สมบัติการแจกแจงของการคูณ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก
=\frac{\frac 12\left[\theta\right]_0^{\pi/2} + {\color{YellowOrange}\tfrac 14\displaystyle\left[\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/2}}}{\pi/2-0}=\frac{\left[ \frac {\theta}2 + \frac {\color{OliveGreen}\sin(2\theta)}4 \right]_0^{\pi/2}}{\pi/2-0}=\frac{\left[ \frac {\theta}2 + \frac {\color{OliveGreen}2\sin (\theta)\cos (\theta)}4 \right]_0^{\pi/2}}{\pi/2-0}
ซึ่งได้มาจาก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
{\color{OliveGreen}\sin [2(x)]=2\sin (x)\cos (x)}
แล้วสุดท้ายก็จะได้
=\left[ {\color{Plum}\frac{\theta + \sin(\theta)\cos(\theta)}2} \right]_0^{\tfrac {\pi}2}\cdot\frac{2}{\pi}=\left( {\color{Plum}F(\tfrac {\pi}2) - F(0)} \right)\cdot\frac{2}{\pi}=\frac{\color{red}\pi}{4}\cdot\frac{2}{\color{red}\pi}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
จากผลการหาปริพันธ์ที่ได้นี้ ความเข้มแสงเฉลี่ยทั้งหมดตั้งแต่มุม 0° ถึง 90° จะเป็น
{\bar I}=\frac{\displaystyle\int_0^{\pi/2} {I_0}\cos^2(\theta)\,d\theta}{\pi/2-0}=\frac{\pi/2-0}={I_0}\frac{\color{red}\pi}{4}\cdot\frac{2}{\color{red}\pi}={I_0}\frac{2}{4}=\frac{I_0}{2}
ดังนั้นสำหรับคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ จึงได้ว่า
I=\frac{I_0}{2}
นั่นคือเมื่อแสงไม่โพลาไรซ์แผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มจะลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง
== การสังเกตการณ์ในการทดลอง ==
ตัวอย่างภาพด้านล่างนี้เป็นการสังเกตแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรงที่มาจากหน้าจอคอมพิวเตอร์ ตามกฎของมาลุส โพลาไรเซอร์ที่วางอยู่ข้างหน้าจะกันแสงโดยขึ้นอยู่กับทิศทางของมัน
Polariseur1.JPG
Polariseur2.JPG
Polariseur3.JPG
Polariseur4.JPG
Polariseur5.JPG
== อ้างอิง ==
โพลาไรเซชัน