การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical induction) เป็นเทคนิคการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ที่ใช้เพื่อพิสูจน์ว่าข้อความ P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;. . . ; แปลว่าข้อความทั้งสิ้นเป็นลำดับของกรณี P(0), P(1), P(2), P(3), . . . . จำนวนมากไม่สิ้นสุด เราสามารถใช้คำอุปมาเพื่ออธิบายเทคนิคนี้ได้อย่างอรูปนัยด้วยการเทียบกับโดมิโนที่ล้มตาม ๆ กันหรือการปีนบันได:
การพิสูจน์ด้วยการอุปนัย (proof by induction) ประกอบไปด้วยกรณีสองกรณี กรณีแรกคือ กรณีฐาน (base case หรือ basis) เป็นการพิสูจน์สำหรับข้อความที่ n = 0 โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับกรณีอื่น ๆ เลย กรณีที่สองคือ ขั้นตอนอุปนัย (induction step) เป็นการพิสูจน์ว่าถ้าข้อความเป็นจริงสำหรับ n = k ใด ๆ แล้ว มันก็ต้องเป็นจริงสำหรับกรณี&nbsp;n  = k + 1 ถัด ๆ ไปด้วย ขั้นตอนสองขั้นตอนนี้แสดงให้เห็นว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน กรณีฐานไม่จำเป็นต้องเริ่มด้วย n = 0 แต่มักจะเริ่มด้วย n = 1 และก็เป็นไปได้ที่จะใช้จำนวนธรรมชาติ n = N คงที่ใด ๆ เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ≥ N ทุกตัว
วิธีการนี้สามารถนำมาขยายใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับโครงสร้างรากฐานดี (well-founded) ที่ทั่วไปมากขึ้นเช่นต้นไม้ (tree (set theory)) การวางนัยทั่วไปนี้ซึ่งมีชื่อว่าการอุปนัยเชิงโครงสร้าง (structural induction) ถูกใช้ในคณิตตรรกศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ในความหมายแบบขยายมีความใกล้เคียงกับการเรียกซ้ำ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นกฏการอนุมาน (rule of inference) ที่ถูกใช้ในการพิสูจน์เชิงรูปนัย (formal proof) และในบางรูปแบบก็เป็นรากฐานของการพิสูจน์ความถูกต้องของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (formal verification) ทั้งหมด
แม้ชื่อจะคล้ายกันแต่ไม่ควรสับสนการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์กับการให้เหตุผลแบบอุปนัยที่ใช้ในปรัชญา (ดูปัญหาของการอุปนัย (Problem of induction)) วิธีการทางคณิตศาสตร์วิธีนี้ตรวจสอบกรณีจำนวนมากเป็นอนันต์เพื่อพิสูจน์ข้อความทั่วไปข้อหนึ่ง แต่ทำเช่นนั้นด้วยอนุกรมของการให้เหตุผลแบบนิรนัยจำนวนจำกัดซึ่งใช้ตัวแปร n แทนค่าจำนวนได้มากเป็นอนันต์
==ประวัติ==
ในปี 370 ก่อนคริสต์ศักราช พาร์เมนิเดสของเพลโตมีตัวอย่างแรก ๆ ของการพิสูจน์แบบอุปนัยโดยปริยาย การนำการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มาใช้อย่างชัดเจนเป็นครั้งแรกที่สุดสามารถพบได้ในการพิสูจน์ของยุคลิดที่บอกว่ามีจำนวนเฉพาะมากเป็นอนันต์ เทคนิคการทำซ้ำซึ่งตรงข้ามกันใช้การนับลงแทนการนับเพิ่มขึ้นที่ละหนึ่งและสามารถพบได้ในปฏิทรรศน์กองทราย (sorites paradox) ซึ่งมีการอ้างเหตุผลว่าหากทราย 1,000,000 เม็ดก่อตัวเป็นกองทรายและการเอาทรายออกเม็ดหนึ่งกองนั้นก็ยังถูกนับได้ว่าเป็นกองทรายแล้ว ทรายเพียงเม็ดเดียว (หรือไม่มีสักเม็ดเลย) ก็เป็นกองทรายเช่นเดิม
การพิสูจน์โดยปริยายด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แรก ๆ ในประเทศอินเดียปรากฏอยู่ใน "จักรวาลวิธี" (Chakravala method) ของภาสคาราที่ 2 (Bhāskara II) และใน อัลฟะครี (al-Fakhri) ซึ่งถูกเขียนขึ้นในประมาณปี ค.ศ. 1000 โดยอัลกะระญี (al-Karaji) ซึ่งเขานำมาประยุกต์ใช้กับอนุกรมเลขคณิตเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททวินามและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมปัสกาล
เกร์โซนิเดส (Gersonides) (ค.ศ. 1288-1344) เป็นผู้ใช้การอุปนัยอย่างเคร่งครัดเป็นครั้งแรก แบลซ ปัสกาล บัญญัติหลักของการอุปนัยอย่างชัดแจ้งเป็นครั้งแรกใน Traité du triangle arithmétique (ค.ศ. 1665) ชาวฝรั่งเศสอีกคนหนึ่งชื่อ ปีแยร์ เดอ แฟร์มา นำหลักการที่เกี่ยวข้องมาใช้: การพิสูจน์อ้อมด้วยการลดหลั่นอนันต์ (Proof by infinite descent)
สมมติฐานการอุปนัยนี้ยังถูกนำมาใช้โดย ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) และก็กลายเป็นที่รู้จักตั้งแต่นั้นมา การปฏิบัติต่อหลักการนี้อย่างรูปนัยแบบสมัยใหม่มีขึ้นในคริสตศตวรรษที่ 19 โดย จอร์จ บูล ออกัสตัส เดอ มอร์แกน (Augustus de Morgan), ชารลส์ แซนเดอรส์ เพิร์ซ (Charles Sanders Peirce),
จูเซ็ปเป เปอาโน (Giuseppe Peano) และ ริชาร์ด เดเดคินด์ (Richard Dedekind)
==คำบรรยาย==
รูปแบบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ง่ายและพบเจอได้มากที่สุดอนุมานว่าข้อความใด ๆ ที่มีการใช้จำนวนธรรมชาติ n (นั้นคือจำนวนเต็ม n\geq0 หรือ 1) เป็นจริงสำหรับค่า n ใด ๆ การพิสูจน์ประกอบด้วยสองขั้นตอนคือ:
กรณีฐาน หรือ กรณีต้น: พิสูจน์ว่าข้อความเป็นจริงสำหรับค่า 0 หรือ 1
ขั้นตอนอุปนัย หรือ กรณีขั้นตอน: พิสูจน์ว่าหากข้อความเป็นจริงสำหรับค่า n ทุกค่า ข้อความจะเป็นจริงสำหรับ n+1 ด้วย หรือพูดอีกแบบคือให้สมมุติว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ และพิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับค่า n+1
สมมติฐานในขั้นตอนการอุปนัยที่กล่าวว่าข้อความเป็นจริงกับค่า n ค่าหนึ่งเรียกว่า สมมติฐานอุปนัย ต้องมีการสมุมติสมมติฐานอุปนัยสำหรับค่า n และใช้สมมติฐานนี้เพื่อพิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ n+1 เพื่อพิสูจน์ขั้นตอนอุปนัย
ผู้ที่นิยมนิยามของจำนวนธรรมชาติซึ่งเริ่มจาก 0 จะใช้จำนวนนี้ในกรณีฐาน ผู้ที่นิยมนิยามของจำนวนธรรมชาติซึ่งเริ่มจาก 1 จะใช้จำนวนนี้แทน
==ตัวอย่าง==
===ผลบวกของจำนวนธรรมชาติที่ต่อเนื่องตามลำดับ===
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความ P(n) ดังต่อไปนี้สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวนได้
P(n)\!:\ \ 0 + 1 + 2 + \cdots + n \,=\, \frac{n(n + 1)}{2}.
นี่เป็นสูตรทั่วไปสำหรับผลบวกของจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนที่กำหนด ซึ่งเป็นอนุกรมของข้อความจำนวนมากเป็นอนันต์โดยพฤตินัย: 0 = \tfrac{(0)(0+1)}2,  0+1 = \tfrac{(1)(1+1)}2,  0+1+2 = \tfrac{(2)(2+1)}2, ฯลฯ
ประพจน์  สำหรับจำนวน n\in\mathbb{N} ใด ๆ,  0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.
การพิสูจน์  ให้ P(n) เป็นข้อความ 0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}. และเราพิสูจน์โดยการอุปนัยกับ n
กรณีฐาน: แสกงให้เห็นว่าข้อความนี้เป็นจริงกับจำนวนธรรมชาติที่น้อยทีสุด n = 0.
P(0) เป็นจริงอย่างชัดเจน:  0 = \tfrac{0(0 + 1)}{2}\,.
ขั้นตอนอุปนัย: แสดงให้เห็นว่าสำหรับค่า k ≥ 0 ใด ๆ หาก P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) จะเป็นจริงด้วย
สมมุติสมมติฐานอุปนัยว่าสำหรับค่า k ค่าหนึ่ง กรณีที่ n = k เป็นจริง หมายความว่า P(k) เป็นจริงด้วย:0 + 1 + \cdots + k \ =\ \frac{k(k{+}1)}2.ดังนั้น:
(0 + 1 + 2 + \cdots + k )+ (k{+}1) \ =\  \frac{k(k{+}1)}2 + (k{+}1).
ฝั่งขวาสามารถทำให้ง่ายด้วยวิธีการทางพีชคณิตเป็น:
\begin{align}
\frac{k(k{+}1)}{2} + (k{+}1) & \ =\ \frac {k(k{+}1)+2(k{+}1)} 2 \\
& \ =\ \frac{(k{+}1)(k{+}2)}{2} \\
& \ =\ \frac{(k{+}1)((k{+}1) + 1)}{2}.
\end{align}
จับฝั่งซ้ายและฝั่งขวาเข้าสมการ เรานิรนัยได้ว่า:0 + 1 + 2 + \cdots + k + (k{+}1) \ =\  \frac{(k{+}1)((k{+}1)+1)}2.นั่นคือข้อความว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย เป็นการแสดงขั้นตอนอุปนัย
ข้อสรุป: เนื่องจากทั้งกรณีฐานและขั้นตอนอุปนัยถูกพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริง ข้อความ P(n) จึงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวนด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ∎
===อสมการตรีโกณมิติ===
อสมการมักถูกพิสูจน์ด้วยการอุปนัย เราจะพิสูจน์ว่า |\!\sin nx|\leq n|\!\sin x| สำหรับจำนวนจริง x และจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ
แวบแรกที่มอง รูปแบบของสมการที่ทั่วไปกว่า |\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x| สำหรับจำนวนจริง n,x ใด ๆ อาจดูเหมือนว่าสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องอุปนัย แต่กรณีที่ n=\frac{1}{2},\, x=\pi แสดงให้เห็นว่าข้อความนี้สามารถเป็นเท็จได้สำหรับค่า n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ทำให้เราต้องพิจารณาข้อความสำหรับจำนวน n ที่เป็นจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะและการอุปนัยเป็นเครื่องมือที่พร้อมนำมาใช้ที่สุด
ประพจน์.  สำหรับค่า x\in \mathbb{R},n\in\mathbb{N} ใด ๆ,  |\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|.
การพิสูจน์  กำหนดจำนวนจริง x ค่าใด ๆ ค่าหนึ่ง, และให้ P(n) เป็นข้อความ |\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|. และเราพิสูจน์โดยการอุปนัยกับ n.
กรณีฐาน: การคำนวณ |\!\sin 0x| = 0 \leq 0 = 0\,|\!\sin x| พิสูจน์ว่า P(0) เป็นจริง.
ขั้นตอนอุปนัย: เราจะแสดงว่า P(k)\implies P(k{+}1) สำหรับจำนวนธรรมชาติ k ใด ๆ.  สมมุติสมมติฐานอุปนัยว่าสำหรับค่า n=k\geq 0 กรณีของ P(k) จะเป็นจริง เรานิรนัยโดยใช้สูตรผลบวกของมุมและอสมการอิงรูปสามเหลี่ยมได้:
\begin{array}{rcll}
|\sin(k{+}1)x|
& = & |\sin kx\,\cos x+\sin x\,\cos kx\,| & \text{(ผลบวกของมุม)}
\\
& \leq & |\!\sin kx\,\cos x| + |\!\sin x\,\cos kx| & \text{(อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม)}
\\
& = & |\!\sin kx|\,|\!\cos x|+|\!\sin x|\,|\!\cos kx|&
\\
& \leq & |\!\sin kx| + |\!\sin x| & (\,|\!\cos t|\leq 1)
\\
& \leq &
k\,|\!\sin x|+|\!\sin x| & \text{(สมมติฐานอุปนัย})\\
& \ =\ & (k{+}1)\,|\!\sin x|. &
\end{array}
อสมการระหว่างฝั่งซ้ายและฝั่งขวาแสดงให้เห็นว่า P(k{+}1) เป็นจริง ขั้นตอนอุปนัยจึงเสร็จสมบูรณ์
ข้อสรุป: ประพจน์ P(n) เป็นจริงสำหรับเลขจำนวนธรรมชาติ n ทุกค่า ∎
==รูปแปรผัน==
ในทางปฏิบัติ การพิสูจน์โดยการอุปนัยมักมีแบบแผนที่ต่างกันซึ่งขึ้นอยู่กับลักษณะของคุณสมบัติที่เราต้องการจะพิสูจน์ รูปแปรผันของการอุปนัยทุกรูปแบบเป็นกรณีพิเศษของการอุปนัยเชิงอนันต์ ดูด้านล่าง
===ฐานของการอุปนัยนอกเหนือจาก 0 หรือ 1===
หากเราไม่ประสงค์จะพิสูจน์ข้อความหนึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน แต่ต้องการพิสูจน์เพียงสำหรับจำนวน n ทุกจำนวนที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่า b เท่านั้นแล้ว การพิสูจน์ด้วยการอุปนัยจะประกอบด้วย:
การแสดงให้เห็นว่าข้อความเป็นจริงเมื่อ n=b
การแสดงให้เห็นว่าหากข้อความเป็นจริงสำหรับค่า n \geq b ค่าหนึ่งแล้ว ข้อความเดียวกันนี้ก็จะเป็นจริงสำหรับค่า n+1 ด้วย
เราสามารถนำวิธีนี้มาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่า 2^n \geq n + 5 สำหรับ n \geq 3
เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อความ P(n) ข้อความหนึ่งเป็นจริงสำหรับค่า n \geq 1 หรือแม้แต่สำหรับค่า n \geq -5 การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์รูปแบบนี้ความจริงแล้วเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบก่อนหน้าเพราะหากข้อความที่ถูกพิสูจน์คือ P(n) แล้ว การพิสูจน์ด้วยกฎสองข้อนี้ก็เท่ากับการพิสูจน์ข้อความ P(n+b) สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวนโดยมีกรณีฐานอุปนัยกับค่า 0
==== ตัวอย่าง: การใช้เหรียญบาทต่าง ๆ เพื่อให้รวมได้จำนวนเงินจำนวนหนึ่ง ====
สมมติว่าเรามีเหรียญสี่บาทและเหรียญห้าบาทจำนวนไม่จำกัด เราสามารถใช้การอุปนัยเพื่อพิสูจน์ได้ว่าจำนวนเต็มของเงินบาทใด ๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 12 สามารถใช้เหรียญสี่บาทและห้าบาทมารวมกันได้จำนวนนั้น ให้ S(k) เป็นข้อความว่า "จำนวนเงิน k บาทสามารถรวมมาจากเหรียญสี่บาทและเหรียญห้าบาท" การพิสูจน์ว่า S(k) เป็นจริงสำหรับค่า k \geq 12 ทุกค่าสามารถทำได้ด้วยการอุปนัยกับ k ดังนี้:
กรณีฐาน: การแสดงให้เห็นว่า S(k) เป็นจริงสำหรับ k=12 ง่ายมาก เพียงแค่มีเหรียญสี่บาทสามเหรียญ
ขั้นตอนอุปนัย: กำหนดให้ S(k) เป็นจริงสำหรับค่า k \geq 12 ค่าหนึ่ง (สมมติฐานอุปนัย) พิสูจน์ว่า S(k+1) เป็นจริงด้วย:
สมมติให้ S(k) เป็นจริงสำหรับค่า k\geq 12 ใด ๆ หากมีคำตอบสำหรับจำนวน k บาทที่อย่างน้อยต้องมีเหรียญสี่บาทอยู่หนึ่งเหรียญ เพียงแค่เปลี่ยนเหรียญสี่บาทเป็นเหรียญห้าบาทสักหนึ่งเหรียญก็จะได้จำนวนเงิน k+1 บาท หรือหากในคำตอบมีแต่เหรียญห้าบาท k จำต้องเป็นจำนวนที่เป็นผลคูณของ 5 เพราะฉะนั้นต้องมีค่าเท่ากับ 15 เป็นอย่างน้อย เราจึงสามารถแทนเหรียญห้าบาททั้งสามเหรียญเป็นเหรียญสี่บาทสี่เหรียญเพื่อให้ได้จำนวนเงิน k+1 บาท ในกรณีแต่ละกรณีข้อความ S(k+1) เป็นจริง
เพราะฉะนั้น S(k) เป็นจริงสำหรับค่า k\geq 12 ทุกค่าด้วยหลักของการอุปนัย และการพิสูจน์จึงสมบูรณ์
แม้ S(k) จะเป็นจริงสำหรับค่า k \in \{ 4, 5, 8, 9, 10 \} ในตัวอย่างนี้ด้วย เราไม่สามารถดัดแปลงค่าต่ำสุด 12 ให้น้อยไปกว่านี้ได้อีกเป็นค่า m ในการพิสูจน์ข้างบน
สำหรับ m=11 กรณีฐานเป็นเท็จ
สำหรับ m=10 กรณีที่สองในขั้นตอนอุปนัยจะใช้ไม่ได้ (การแทนเหรียญห้าบาทเป็นเหรียญสี่บาททำไม่ได้)
ส่วนสำหรับค่า m ที่น้อยกว่านี้ก็ไม่จำเป็นต้องเอ่ยถึงเลย
===การอนุมานกับตัวนับมากกว่าหนึ่งตัว===
บางครั้งก็เป็นการดีกว่าที่จะใช้จำนวนธรรมชาติสองจำนวน n กับ m เพื่อพิสูจน์ข้อความข้อหนึ่งด้วยการทำกระบวนการอุปนัยซ้ำ นั่นคือการพิสูจน์กรณีฐานและขั้นตอนอุปนัยสำหรับ n และก็พิสูจน์สำหรับ m ด้วย ดูตัวอย่างได้ใน
การพิสูจน์สมบัติการสลับที่ (Proofs involving the addition of natural numbers) ซึ่งประกอบการบวกจำนวนธรรมชาติ การอ้างเหตุผลที่ซับซ้อนกว่านี้อาจมีตัวนับได้ถึงสามตัวหรือมากกว่า
===การลดหลั่นอนันต์===
วิธีการการลดหลั่นอนันต์ (Infinite descent) เป็นรูปแปรผันของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ ปีแยร์ เดอ แฟร์มา ใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความ Q(n) ข้อหนึ่งเป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน รูปแบบดั้งเดิมประกอบไปด้วยการแสดงว่าถ้า Q(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ค่าหนึ่งก็จะเป็นจริงสำหรับค่า m ที่น้อยกว่าโดยแท้ แต่เพราะจำนวนธรรมชาติที่ลดหลั่นอย่างไม่สิ้นสุดไม่มีอยู่จริงจึงทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปไม่ได้ และดังนั้นจึงเป็นการแสดง (โดยข้อขัดแย้ง) ว่า Q(n) ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับค่า n ใด ๆ
เราสามารถพิสูจน์ยืนยันความสมเหตุสมผลของวิธีการนี้ได้จากหลักปกติของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ด้วยการใช้การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์กับข้อความ P(n) ซึ่งถูกนิยามไว้ว่า "Q(m) เป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ m ทุกค่าที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n" จึงแสดงว่า P(n) เป็นจริงสำหรับ n ทุกค่า ซึ่งแปลว่า Q(n) เป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน
===การอุปนัยตัวเติมหน้า===
รูปแบบของการพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่พบได้ทั่วไปที่สุดมีความจำเป็นให้พิสูจน์ในขั้นตอนอุปนัยว่า
\forall k (P(k) \to P(k+1))
ซึ่งต่อจากนั้นหลักการอุปนัยจะ "ทำโดยอัตโนมัติ" (automate) การใช้ขั้นตอนนี้จำนวน n ครั้งเพื่อไปจาก P(0) สู่ P(n) นี่เรียกได้ว่าเป็น "การอุปนัยตัวนำหน้า" เพราะในแต่ละขั้นตอนก็เป็นการพิสูจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเลขตัวหนึ่งจากบางสิ่งที่เกี่ยวกับเลขที่นำหน้าเลขตัวนั้น
สิ่งหนึ่งซึ่งได้รับความสนใจในเรื่องความซับซ้อนในการคำนวณคือ "การอุปนัยตัวเติมหน้า" (prefix induction) ซึ่งเป็นการพิสูจน์ข้อความดังต่อไปนี้ในขั้นตอนอุปนัย
\forall k (P(k) \to P(2k) \land P(2k+1))
หรือซึ่งสมมูลกัน
\forall k \left( P \left(\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor \right) \to P(k) \right)
แล้วหลักการอุปนัยจึง "ทำโดยอัตโนมัติ" การใช้การอนุมานนี้จำนวน log n ครั้งเพื่อไปจาก P(0) สู่ P(n) ที่เรียกว่า "การอุปนัยตัวเติมหน้า" เพราะแต่ละขั้นตอนเป็นการพิสจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเลขตัวหนึ่งจากบางสิ่งที่เกี่ยวกับ "ตัวเติมหน้า" (prefix) ของเลขตัวนั้นซึ่งถูกสร้างขึ้นจากการตัดปลายบิต (bit) ส่วนต่ำของการแทนเลขแบบฐานสอง และยังสามารถมองเป็นการประยุกต์การอุปนัยแบบดั้งเดิมกับความยาวของการแทนแบบฐานสอง
หากการอุปนัยตัวนำหน้าถูกตีความทางคำนวณว่าเป็นวงวน (loop) n ขั้นตอนแล้ว การอุปนัยตัวเติมหน้าก็จะสมนัยกับวงวน log n ขั้นตอน เพราะฉะนั้นการพิสูจน์โดยใช้การอุปนัยตัวเติมหน้าจึง "สรรค์สร้างอย่างเป็นไปได้" (feasibly constructive) มากกว่าการพิสูจน์ซึ่งใช้การอุปนัยตัวนำหน้า
การอุปนัยตัวนำหน้าสามารถจำลองการอุปนัยตัวเติมหน้ากับข้อความเดียวกันได้อย่างชัด การอุปนัยตัวเติมหน้าสามารถจำลองการอุปนัยตัวนำหน้าได้แต่ต้องแลกมาด้วยการทำให้วากยสัมพันธ์ของข้อความซับซ้อนขึ้น (เพิ่มตัวบ่งปริมาณทั้งหมดซึ่งมีขอบเขต) ผลลัพธ์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ของการอุปนัยตัวเติมหน้ากับการคำนวณซึ่งใช้เวลาพหูพจน์ (polynomial time) จึงขึ้นอยู่กับการเอาตัวบ่งปริมาณซึ่งไม่มีขอบเขตออกไปทั้งหมดและการจำกัดจำนวนการสับเปลี่ยนระหว่างตัวบ่งปริมาณทั้งหมดซึ่งมีขอบเขตกับตัวบ่งปริมาณบางตัวที่อนุญาติให้ทำในข้อความ
===  การอุปนัยอย่างเข้ม===
รูปแปรผันอีกรูปหนึ่งเรียกว่า การอุปนับอย่างเข้ม (Complete induction หรือ Strong induction) (ตรงข้ามกันคือรูปแบบของการอุปนัยขั้นพื้นฐานซึ่งบางครั้งก็เรียกว่า การอุปนัยอย่างอ่อน (weak induction)) ทำให้ขั้นตอนอุปนัยพิสูจน์ได้ง่ายขั้นด้วยการใช้สมมติฐานที่แรงขึ้น: เราพิสูจน์ข้อความ  ภายใต้สมมติฐานว่า P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวนซึ่งน้อยกว่า  ในทางตรงกันข้ามรูปแบบพื้นฐานสมมุติเพียง P(m) "การอุปนัยอย่างเข้ม" เป็นชื่อที่ไม่ได้หมายความว่าวิธีนี้สามารถพิสูจน์ได้เยอะกว่า "การอุปนัยแบบอ่อน" แต่หมายถึงเพียงสมมติฐานที่ถูกใช้ในขั้นตอนอุปนัยที่แรงขึ้น
ความจริงแล้วเราสามารถแสดงให้เห็นว่าทั้งสองวิธีนั้นสมมูลกันตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง กรณีฐาน P(0) ยังจำเป็นต้องถูกพิสูจน์และอาจจำเป็นต้องพิสูจน์กรณีฐานเพิ่มเติมด้วยเช่น P(1) ในการอุปนัยอย่างเข้มก่อนที่การอ้างเหตุผลแบบทั่วไปจะใช้ได้ อย่างเช่นตัวอย่างของจำนวนฟีโบนัชชี Fn ด้านล่าง
แม้รูปแบบที่เพิ่งอธิบายไปให้ต้องพิสูจน์กรณีฐาน เราไม่จำเป็นต้องพิสูจน์หากสามารถพิสูจน์ P(m) (โดยสมมติ P(n) สำหรับค่า n ที่น้อยกว่าทุกค่า) ได้สำหรับค่า  ทุกตัว นี่เป็นกรณีพิเศษของการอุปนัยเชิงอนันต์อย่างที่อธิบายไว้ด้านล่าง ในรูปแบบนี้กรณีฐานถูกรวมอยู่ในกรณี  ซึ่ง  P(0) ถูกพิสูจน์โดยไม่มีการสมมติ P(n) อื่น เราอาจต้องจัดการกับกรณีนี้แยกไปแต่บางครั้งการอ้างเหตุผลเดียวกันใช้ได้กับ m&nbsp;=&nbsp;0 และ  ซึ่งทำให้การพิสูจน์เรียบง่ายและสวยงามกว่า อย่างไรก็ตามก็เป็นสิ่งที่สำคัญที่จะรับประกันว่าการพิสูจน์ P(m) ไม่ได้สมมติโดยนัยว่า  เช่นด้วยการบอกว่า "เลือกจำนวน  ค่าหนึ่ง" หรือด้วยการสมมติว่าเซตซึ่งมีสมาชิกจำนวน m มีสมาชิกหนึ่งตัว
การอุปนัยอย่างเข้มสมมูลกับการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบธรรมดาอย่างที่อธิบายไว้ด้านบนในแง่ที่สามารถแปลงการพิสูจน์ด้วยวิธีการหนึ่งไปเป็นการพิสูจน์ด้วยอีกวิธีได้ สมมุติว่ามีการพิสูจน์ P(n) ด้วยการอุปนัยอย่างเข้ม ให้ Q(n) หมายถึง "P(m) เป็นจริงสำหรับค่า m ใด ๆ โดยที่ " แล้ว Q(n) จะเป็นจริงสำหรับ n ทุกค่าก็ต่อเมื่อ P(n) เป็นจริงสำหรับ n ทุกค่า และการพิสูจน์ P(n) ของเราก็ถูกแปลงเป็นการพิสูจน์ Q(n) ได้อย่างง่ายดายด้วยการอุปนัย (แบบธรรมดา) ในทางกลับกันหาก P(n) ได้ถูกพิสูจน์โดยการอุปนัยธรรมดาแล้ว การพิสูจน์นั้นกลายเป็นอันที่ทำด้วยการอุปนัยแบบเข้มแล้วโดยประสิทธิผล: P(0) ถูกพิสูจน์ในกรณีฐานโดยไม่ใช้สมมติฐานและ  ถูกพิสูจน์ในขั้นตอนอุปนัยแล้วซึ่งอาจมีการสมมุติกรณีก่อนหน้านี้ทั้งหมดแต่ต้องใช้เพียงกรณี P(n) เท่านั้น
====ตัวอย่าง: จำนวนฟีโบนัชชี====
การอุปนัยอย่างเข้มมีประโยชน์สูงสุกเมื่อต้องใช้สมมติฐานอุปนัยหลาย ๆ รอบต่อขั้นตอนอุปนัยขั้นคอนหนึ่ง เช่นเราสามารถการอุปนัยอย่างเข้มเพื่อแสดงให้เห็นว่า
F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\varphi - \psi}
ซึ่ง F_n เป็นจำนวนฟีโบนัชชีจำนวนที่ n, \varphi =  (อัตราส่วนทอง) และ \psi =  เป็นรากของพหูพจน์ x^2-x-1 เอกลักษณ์ด้านบนสามารถถูกพิสูจน์ยืนยันด้วยการคำนวณ F_{n+2} โดยตรงหากเราสมมุติว่า F_{n+1} and F_n เป็นจริงอยู่แล้วด้วยการใช้ข้อเท็จจริงว่า F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} สำหรับ n \in \Bbb{N} แต่ละตัว เพื่อให้การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ เอกลักษณ์จะต้องถูกพิสูจน์ยืนยันในกรณีฐานทั้งสองกรณี: n=0 และ n=1
====ตัวอย่าง: การแยกตัวประกอบเฉพาะ====
การพิสูจน์ด้วยการอุปนัยอย่างเข้มอีกอันหนึ่งใช้สมมติฐานว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวน n ทุกค่าที่น้อยกว่าอย่างถี่ถ้วนกว่า พิจารณาข้อความที่ว่า "จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนซึ่งมากกว่า 1 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ (หนึ่งจำนวนหรือมากกว่า)" ซึ่งเป็นส่วน "การมีจริง" (existence) ของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต สำหรับการพิสูจน์ขั้นตอนอุปนัยสมมติฐานอุปนัยคือสำหรับค่า n>1 ซึ่งกำหนดมาข้อความจะเป็นจริงสำหรับค่า n>1 ซึ่งน้อยกว่าทุกค่า หาก m เป็นจำนวนเฉพาะแล้วมันเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะอย่างแน่นอน และหากไม่ใช่แล้วก็จะเป็นผลคูณ m=n_1 n_2 โดยนิยามโดยตัวประกอบทั้งสองไม่เท่ากับ 1 ดังนั้นทั้งสองจึงไม่เท่ากับ m เพราะฉะนั้นทั้งสองจึงมากกว่าหนึ่งและน้อยกว่า m สมมติฐานอุปนัยตอนนี้ใช้ได้กับ n_1 และ n_2 ดังนั้นทั้งสองแต่ละตัวเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ ฉะนั้น m เป็นผลคูณของผลคูณของจำนวนเฉพาะและจึงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเองโดยการขยาย
==== ตัวอย่าง: กลับมาหาจำนวนเงินบาท ====
เราสมควรที่จะดูการพิสูจน์ตัวอย่างเดียวกับด้านบนครั้งนี้ด้วย การอุปนัยอย่างเข้ม ข้อความยังคงเดิม:
S(n): \,\,n\geq12 \to \,\exists\, a,b\in\mathbb{N}. \,\, n=4a+5b
แต่ทว่าโครงสร้างและสมมติฐานของการพิสูจน์จะมีความแตกต่างเล็กน้อย เริ่มจากกรณีฐานแบบขยาย:
กรณีฐาน: แสดงให้เห็นว่า S(k) เป็นจริงสำหรับค่า k=12,13,14,15.
\begin{align}
4 \cdot 3+5 \cdot 0=12\\
4 \cdot 2+5 \cdot 1=13\\
4 \cdot 1+5 \cdot 2=14\\
4 \cdot 0+5 \cdot 3=15
\end{align}
กรณีฐานเป็นจริง
สมมติฐานอุปนัย: กำหนดจำนวน j>15 ค่าหนึ่ง สมมติว่า S(m) เป็นจริงสำหรับค่า m ทุกค่าโดย 12\leq m.
ขั้นตอนอุปนัย: พิสูจน์ว่า S(j) เป็นจริง
การเลือกค่า m=j-4 และสังเกตว่า 15 แสดงให้เห็นว่า S(j-4) เป็นจริงโดยสมมติฐานอุปนัย นั่นคือผลบวก j-4 สามารถถูกสร้างขึ้นมาด้วยส่วนผสมของเหรียญ 4 และ 5 บาท แล้วดังนั้นเพียงแค่เพิ่มเหรียญ 4บาทลงไปในกองเหรียญนั้นแล้วก็จะให้ผลเป็นผลบวก j นั่นก็คือ S(j) เป็นจริง ∎
===การอุปนัยคืบหน้า-ถอยหลัง===
บางครั้งการนิรนัยถอยหลังคือการพิสูจน์ข้อความสำหรับ n-1 เมื่อพิจารณาความสมเหตุสมผลของมันสำหรับ n จะสะดวกกว่า อย่างไรก็ตามการไม่พิสูจน์ความสมเหตุสมผลของข้อความสำหรับเลขตัวใดเพียงพอเพื่อสร้างกรณีฐาน เราต้องพิสูจน์ข้อความสำหรับเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติไม่มีสิ้นสุดแทน เช่น โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี (Augustin Louis Cauchy) ใช้การอุปนัยคืบหน้า (ปรกติ) เพื่อพิสูจน์อสมการมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต (inequality of arithmetic and geometric means) สำหรับกำลังของ 2 ทุกค่า แล้วใช้การอุปนัยถอยหลังเพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนด้วย 
==ตัวอย่างของความผิดพลาดในขั้นตอนอุปนัย==
ขั้นตอนอุปนัยจะต้องถูกพิสูจน์สำหรับ n ทุกค่า เพื่อแสดงสิ่งนี้ให้เห็น โจเอล อี. โคเฮน ได้นำเสนอการอ้างเหตุผลว่าสามารถพิสูจน์ว่าม้าทุกตัวมีสีเดียวกัน (All horses are the same color) ได้ด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้ดังต่อไปนี้:
กรณีฐาน: ในเซตของม้าแค่หนึ่งตัว จะมีสีแค่หนึ่งสี
ขั้นตอนอุปนัย: สมมติว่าในเซตของม้า n ตัวเซตใด ๆ ก็จะมีสีเพียงหนึ่งสีเป็นสมมติฐานอุปนัย คราวนี้ดูที่เซตของม้า n+1 ตัว ใส่ลำดับเลขแต่ละตัวเป็น: 1,\; 2,\; 3,\; \dotsc,\; n,\; n+1 พิจารณาเซต \left\{1,\; 2,\; 3,\; \dotsc,\; n\right\} และ \left\{2,\;3,\;4,\;\dotsc,\;n+1\right\} แต่ละเซตเป็นเซตของม้า  n ตัวเพราะฉะนั้นจึงมีสีเพียงสีเดียวในแต่ละเซตและทั้งสองเซตเหลื่อมกัน ม้า n+1 ตัวทุกตัวจึงจะต้องมีสีเพียงสีเดียวเท่านั้น
กรณีฐาน n=1 เป็นเรื่องธรรมดา (เพราะไม่ว่าม้าตัวไหนก็จะมีสีเดียวกับตัวมันเอง) และขั้นตอนอุปนัยถูกต้องในกรณีที่  n > 1 ทุกกรณี แต่ทว่าตรรกะของขั้นตอนอุปนัยสำหรับค่า n=1 ไม่ถูกต้องเพราะข้อความที่ว่า "ทั้งสองเซตเหลื่อมกัน" เป็นเท็จ (มีม้าเพียง n+1=2 ตัวทั้งก่อนและหลังการเอาม้าตัวหนึ่งออกจากเซต เซตของม้าตัวเดียวจึงไม่เหลื่อมกัน)
==การกำหนดรูป  ==
เราสามารถเขียน "สัจพจน์ของการอุปนัย" ในตรรกะอันดับสอง (second-order logic) ได้ดังนี้:
\displaystyle\forall P\Bigl( P(0) \land \forall k \bigl( P(k) \to P(k+1)\bigr ) \to \forall n \bigl(P(n)\bigr)\Bigr),
ซึ่ง P(.) เป็นตัวแปรของภาคแสดงซึ่งมีจำนวนธรรมชาติหนึ่งตัวและ k กับ n เป็นตัวแปรของจำนวนธรรมชาติ is a variable
อธิบายเป็นลายลักษณ์อักษรได้ว่า กรณีฐาน P(0) และขั้นตอนอุปนัย (กล่าวคือ สมมติฐานอุปนัย P(k) บอกเป็นนัย P(k&nbsp;+&nbsp;1)) บอกเป็นนัยร่วมกันว่า P(n) สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ สัจพจน์ของการอุปนัยยืนยันความสมเหตุสมผลของการอนุมานว่า P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ จากกรณีฐานและขั้นตอนอุปนัย
ตัวบ่งปริมาณตัวแรกในสัจพจน์ครอบคลุมถึงภาคแสดงแทนที่จะเป็นตัวเลขแต่ละตัว นี่เป็นตัวบ่งปริมาณอันดับสองซึ่งแปลว่าสัจพจน์นี้ถูกกล่าวในตรรกะอันดับสอง การกำหนดสัจพจน์การอุปนัยเลขคณิตในตรรกะอันดับหนึ่ง (first-order logic) จำเป็นต้องมีเค้าร่างสัจพจน์ (Axiom schema) ซึ่งประกอบขึ้นด้วยสัจพจน์ซึ่งแยกจากกันสำหรับภาคแสดงที่เป็นไปได้แต่ละภาค บทความสัจพจน์เปอาโน (Peano axioms) พูดถึงประเด็นนี้เพิ่มเติม
สัจพจน์ของการอุปนัยเชิงโครงสร้างสำหรับจำนวนธรรมชาติถูกกำหนดรูปเป็นครั้งแรกโดยเปอาโนผู้ซึ่งใช้มันเพื่อระบุจำนวนธรรมชาติเข้าด้วยกันด้วยสัจพจน์อื่นสี่ข้อดังต่อไปนี้:
0 เป็นจำนวนธรรมชาติ
ฟังก์ชันตัวตามหลัง s ของจำนวนธรรมชาติใด ๆ ให้ผลออกมาเป็นจำนวนธรรมชาติ (s(x)=x+1).
ฟังก์ชันตัวตามหลังเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง
0 ไม่ได้อยู่ในพิสัยของ s
การบ่งปริมาณกับภาคแสดงทำไม่ได้ในทฤษฎีเซตแซร์เมโล-เฟรนเคิลอันดับหนึ่ง (Zermelo-Fraenkel set theory) แต่เรายังสามารถแสดงการอุปนัยด้วยการบ่งปริมาณกับเซต:
\forall A \Bigl( 0 \in A \land \forall k \in \mathbb{N} \bigl( k \in A \to (k+1) \in A \bigr) \to \mathbb{N}\subseteq A\Bigr)
เราสามารถอ่าน A เป็นเซตซึ่งแทนประพจน์และมีจำนวนธรรมชาติสำหรับที่ประพจน์เป็นจริง นี่ไม่ใช่สัจพจน์แต่เป็นทฤษฎีบทคล้ายกับของเปอาโน โดยกำหนดว่าจำนวนธรรมชาติถูกนิยามในภาษาของทฤษฎีเซต ZFC ด้วยสัจพจน์
==การอุปนัยเชิงอนันต์==
(Transfinite induction)
เราสามารถนำหลักการของการอุปนัยอย่างเข้มมาใช้กับข้อความเกี่ยวกับสมาชิกของเซตรากฐานดี (Well-founded set) เซตใด ๆ ได้ด้วยนอกเหนือจากข้อความเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น นั่นคือเซตซึ่งมีความสัมพันธ์ไม่สะท้อน (irreflexive relation) ซึ่งไม่มีเซตอันดับทุกส่วนลดหลั่นอนันต์ (infinite descending chain) เซตของจำนวนเชิงการนับเซตใด ๆ เป็นเซตรากฐานดีซึ่งรวมไปถึงเซตของจำนวนธรรมชาติ
เมื่อนำไปประยุกต์กับเซตรากฐานดีก็สามารถกำหนดรูปใหม่เป็นขั้นตอนเดียวได้ว่า:
แสดงให้เห็นว่าหากข้อความข้อหนึ่งเป็นจริงสำหรับค่า  ค่าใด ๆ แล้วข้อความเดียวกันนั้นก็จะเป็นจริงสำหรับ n ด้วย
เมื่อนำการอุปนัยรูปนี้ไปประยุกต์ใช้กับเซตของจำนวนเชิงอันดับที่แล้ว (ซึ่งทำให้เกิดคลาสอันดับดี (well-order) และจึงเป็นคลาสรากฐานดี) ก็จะเรียกว่าการอุปนัยเชิงอนันต์ นี่เป็นเทคนิคการพิสูจน์ที่สำคัญในทฤษฎีเซต ทอพอโลยีและสาขาวิชาอื่น ๆ
การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงอนันต์โดยปกติแล้วจะจำแนกกรณีเป็นสามกรณี:
เมื่อ n เป็นสมาชิกเล็กสุด หรือก็คือไม่มีสมาชิกซึ่งเล็กไปกว่า n อีก
เมื่อ n มีตัวนำหน้าโดยตรง หรือก็คือเซตของสมาชิกซึ่งเล็กกว่า n มีสมาชิกใหญ่สุด
เมื่อ n ไม่มีตัวนำหน้าโดยตรง หรือก็คือ n เป็นสิ่งที่เรียกกันว่าจำนวนเชิงอันดับที่จำกัด (limit ordinal)
หากพูดให้ชัดเจน มันไม่จำเป็นที่จะต้องพิสูจน์กรณีฐานในการอุปนัยเชิงอนันต์เพราะมันเป็นกรณีพิเศษว่างเปล่า (Vacuous truth) ของประพจน์ว่าหาก P เป็นจริงสำหรับค่า  ทุกค่าแล้ว P จะเป็นจริงสำหรับ m มันเป็นจริงอย่างว่างเปล่าก็เป็นเพราะว่าไม่มีค่า  ค่าใดซึ่งสามารถทำหน้าที่เป็นตัวอย่างขัดแย้งได้
== ความสัมพันธ์กับหลักการจัดอันดับดี ==
หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มักถูกกล่าวว่าเป็นสัจพจน์ข้อหนึ่งของจำนวนธรรมชาติ (ดูที่สัจพจน์เปอาโน) หลักการนี้แรงกว่าหลักการจัดอันดับดี (Well-ordering principle) ในบริบทของสัจพจน์เปอาโนอื่น ๆ สมมุติสิ่งต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:
สัจพจน์ไตรวิภาค (trichotomy (mathematics)): n น้อยกว่าหรือเท่ากับ m ก็ต่อเมื่อ m ไม่น้อยกว่า n สำหรับจำนวนธรรมชาติ n และ m ใด ๆ
สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ
ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่อยู่ และ  สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ
ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่าศูนย์
จากนั้นก็จะสามารถพิสูจน์ด้วยสัจพจน์ที่ทำรายการไว้ด้านบนได้ว่าการอุปนัยบอกเป็นนัยถึงหลักการจัดอันดับดี การพิสูจน์ดังต่อไปนี้ใช้การอุปนัยอย่างเข้มและสัจพจน์ข้อที่หนึ่งและสี่
การพิสูจน์ สมมติว่ามีเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีสมาชิกเล็กสุด S ซึ่งไม่ว่างอยู่เซตหนึ่ง ให้ P(n) เป็นข้อความยืนยันว่าไม่มี n อยู่ใน S แล้ว P(0) จะเป็นจริงเพราะไม่เช่นนั้น 0 ก็จะกลายเป็นสมาชิกเล็กสุดของ S จากนั้นให้ n เป็นจำนวนธรรมชาติและสมมติว่า P(m) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ m ทุกตัวที่มีค่าน้อยกว่า n+1 ฉะนั้นหาก P(n+1) เป็นเท็จ n+1 จะอยู่ใน S และจึงเป็นสมาชิกน้อยสุดของ S ซึ่งเป็นการขัดแย้ง ดังนั้น P(n+1) จึงเป็นจริง เพราะฉะนั้น P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกตัวโดยหลักการอุปนัยอย่างเข้ม และ S จึงเป็นเซตว่างซึ่งก็เป็นการขัดแย้ง ∎
ในทางกลับกันเซต {(0,n): n∈ℕ} ∪ {(1,n): n∈ℕ} ซึ่งแสดงอยู่ในรูปมีอันดับดีโดยอันดับพจนานุกรม (lexicographic order) มากไปกว่านั้นยังสอดคล้องกับสัจพจน์เปอาโนทุกประการยกเว้นสัจพจน์อุปนัย โดยค่าคงตัว 0 ของเปอาโนถูกตีความเป็นคู่อันดับ (0,0) และฟังก์ชันตัวตามหลังของเปอาโนถูกนิยามไว้สำหรับคู่อันดับเป็น succ(x,n)=(x,n+1) สำหรับ x∈{0,1} และ n∈ℕ ทุกตัว เพื่อเป็นตัวอย่างสำหรับการฝ่าฝืนสัจพจน์อุปนัยให้นิยามภาคแสดง P(x,n) เป็น (x,n)=(0,0) หรือ (x,n)=(succ(y,m)) สำหรับ y∈{0,1} และ m∈ℕ บางตัว แล้วกรณีฐาน P(0,0) จะเป็นจริงโดยธรรมดาและขั้นตอนอุปนัยก็เป็นจริงด้วย: หาก P(x,n) แล้ว P(succ(x,n)) แต่ทว่ากลับไม่เป็นจริงสำหรับคู่อันดับทุกคู่ในเซต
สัจพจน์ของเปอาโนกับหลักการอุปนัยจำลองแบบจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะ การเปลี่ยนหลักการอุปนัยเป็นหลักการจัดอันดับดีทำให้สามารถสร้างแบบจำลองที่แตกต่างมากขึ้นซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ทุกประการ
ในหนังสือและแหล่งข้อมูลหลายแห่งใส่ข้อมูลที่ผิดพลาดไว้ว่าหลักการจัดอันดับดีนั้นสมมูลกับสัจพจน์อุปนัย แต่ทว่านี่ไม่เป็นจริงในบริบทของสัจพจน์เปอาโนข้ออื่น ๆ แต่ในสัจพจน์อื่น ๆ จะสมมูลกัน หลักการจัดอันดับดีบอกเป็นนัยสัจพจน์อุปนัยในบริบทของสัจพจน์ซึ่งเรียงลำดับไว้ด้านบนสองข้อแรกและ
จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนไม่เป็น 0 ก็เป็น  สำหรับ จำนวนใดจำนวนหนึ่ง
ข้อผิดพลาดซึ่งพบได้บ่อยในการพิสูจน์ซึ่งเข้าใจผิดคือการสมมติว่า  เป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นได้อย่างเดียวและถูกนิยามไว้อย่างดีซึ่งเป็นคุณสมบัติที่สัจพจน์เปอาโนข้ออื่น ๆ ไม่ได้บอกเป็นนัย
==ดูเพิ่ม==
การพิสูจน์เชิงการจัด (Combinatorial proof)
ปริศนาอุปนัย (Induction puzzles)
การพิสูจน์โดยการแจงกรณี (Proof by exhaustion)
การเรียกซ้ำ
การเรียกซ้ำ (วิทยาการคอมพิวเตอร์) (recursion (computer science))
การอุปนัยเชิงโครงสร้าง (Structural induction)
การอุปนัยเชิงอนันต์ (Transfinite induction)
==หมายเหตุ==
==อ้างอิง==
==บรรณานุกรม==
===บทนำ===
(Ch. 8.)
(Section 1.2.1: Mathematical Induction, pp.&nbsp;11–21.)
(Section 3.8: Transfinite induction, pp.&nbsp;28–29.)
===ประวัติ===
Reprinted (CP&nbsp;3.252–288), (W&nbsp;4:299–309)