เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (Algebraic geometry) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เริ่มแรกศึกษารากของพหุนามหลายตัวแปร โดยอาศัยวิธีการทางพีชคณิตนามธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องมือจากพีชคณิตสลับที่เพื่อใช้การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเซตของรากของพหุนามดังกล่าว
วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) ซึ่งเป็นผลเฉลยของระบบสมการพหุนามเมื่อมองว่าเป็นวัตถุเรขาคณิต ตัวอย่างวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ได้รับการศึกษามากที่สุด เช่น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตระนาบ ซึ่งรวมถึง เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา, เส้นโค้งคิวบิก เช่น เส้นโค้งเชิงวงรี และเส้นโค้งควอร์ติกเช่น เลมนิสเคต และ วงรีแคสสินี เส้นโค้งข้างต้นมีจุดบนเส้นโค้งบางจุดที่มีความสำคัญและมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง อาทิเช่น จุดเอกฐาน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดที่ตำแหน่งอนันต์ ส่วนทฤษฎีขั้นสูงของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสนใจทอพอโลยีของเส้นโค้งต่าง ๆ และความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งแต่ละเส้น
เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และมีความเชื่อมโยงไปยังสาขาต่าง ๆ จำนวนมาก เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทอพอโลยี และ ทฤษฎีจำนวน ตลอดจนมีบทประยุกต์ในการออกแบบการทดลองในสถิติเชิงคณิตศาสตร์'
== แนวคิดพื้นฐาน ==
=== รากของระบบพหุนาม ===

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นักคณิตศาสตร์ศึกษารากของระบบสมการพหุนาม ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิมิติต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ R3 เป็นเซตของจุด (x,y,z) ∈ R3 ทั้งหมดที่ทำให้
x^2+y^2+z^2-1=0
อีกตัวอย่างหนึ่ง วงกลมเอียง ใน R3 ซึ่งเกิดจากเซตของจุด (x,y,z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการพหุนามสองสมการ
\begin{cases} x^2+y^2+z^2-1=0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}
=== วาไรตีเชิงพีชคณิต ===
วาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) เป็นวัตถุพื้นฐานที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ในที่นี้เราสนใจวาไรตีในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิค ซึ่งมีนิยามดังนี้
วาไรตี V เหนือ Rn  (หรือ Cn) เป็นเซตของจุด (x1,...,xn) ที่สอดคล้องกับระบบสมการพหนุม fi (x1,...,xn) สำหรับแต่ละ i = 1, 2, ...
เส้นโค้งเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มี n = 2  วาไรตีเชิงพีชคณิตที่พื้นฐานที่สุด ได้แก่ วาไรตีสัมพรรค (Affine variety) และวาไรตีเชิงภาพฉาย หรือวาไรตีโพรเจคทีฟ (Projective variety)
=== ฟังก์ชันพหุนามและเซตเชิงพีชคณิต ===
ให้ k เป็นฟิลด์ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิกนิยมใช้ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน C แต่เราสามารถเปลี่ยน C' เป็นฟีลด์ที่มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิตใด ๆ ได้ (นั่นคือทุกพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ในฟิลด์ k มีรากเสมอ) โดยที่ทฤษฎีทั่วไปยังคงเป็นจริง
เราสนใจปริภูมิสัมพรรค (Affine space) มิติ n เหนือฟิลด์ k ซึ่งเขียนแทนด้วย \mathbf{A}^n(k) (บางครั้งเขียน \mathbf A^n เมื่อ k ชัดเจนจากบริบท) สังเกตว่า หากเรากำหนดระบบพิกัดฉากให้ \mathbf{A}^n(k) แล้ว \mathbf{A}^n(k) จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์ k^n เหตุผลที่เราไม่พิจารณา k^n โดยตรงก็เพื่อ "ลืม" ว่า k^n มีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์
ฟังก์ชัน f\colon \mathbf{A}^n \to \mathbf{A}^1 จะเป็น ฟังก์ชันพหุนาม (หรือ ฟังก์ชันปกติ) หากสามารถเขียนเป็นพหุนามได้ นั่นคือถ้ามีพหุนาม p \in k[x_1,\dotsc,x_n] ที่ทำให้ f(M) = p(t_1, \dotsc,t_n) สำหรับทุกจุด M ที่มีพิกัด (t_1,\dotsc,t_n) ใน \mathbf A^n ในกรณีที่ฟีลด์ของเราเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (หรือโดยทั่วไปกว่าเมื่อฟิลด์เป็นฟิลด์อนันต์) จะมีความสัมพันธ์ 1-1 ทั่วถึงระหว่างฟังก์ชันพหุนามและพหุนามใน k[x_1,\dotsc,x_n] ซึ่งทำให้เซตของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดเป็นริง เรียกว่า ริงของฟังก์ชันพหุนาม และเขียนแทนด้วย k[\mathbf{A}^n]
ให้ S เป็นเซตของพหุนามใน k[\mathbf{A}^n] เซตศูนย์ หรือ เซตแวนิชชิง (Zero set หรือ Vanishing set) ของ S คือเซต V(S) ของจุดทั้งหมดใน \mathbf A^n ที่ทำให้พหุนามทุกตัวใน S เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ตามนิยามด้านล่าง
V(S) = \{(t_1,\dots,t_n) \mid p(t_1,\dots,t_n) = 0 \text{ for all } p \in S\}
จะเรียกสับเซต W ใด ๆ ของ \mathbf A^n ว่าเป็น เซตเชิงพีชคณิต (Algebraic set) ถ้าหาก W สามารถเขียนได้ในรูป V(S) สำหรับบางเซต S \subseteq k[\mathbf{A}^n]
==== ความสมมูลระหว่างเรขาคณิต-พีชคณิต ====
เราสนใจปัญหาที่ว่า หากระบุสับเซต W ใด ๆ ของ \mathbf{A}^n มา สามารถหาเซตของพหุนาม S\subseteq k[\mathbf{A}^n] ที่ก่อกำเนิด W (หรือก็คือ V(S) = W) ได้หรือไม่
นิยามเซต I(W) แทนเซตของพหุนามทั้งหมดที่เซตศูนย์ของมันมี W เป็นสับเซต สัญลักษณ์ I มาจากสมบัติที่ว่าเซตดังกล่าวเป็นไอดีลของ \mathbf{A}^n
จากนิยามข้างต้น ทำให้เกิดคำถามต่อไปนี้
กำหนดเซต W \subseteq \mathbf{A}^n ใด ๆ เมื่อไรที่ W = V(I(W))
กำหนดเซตของพหุนาม S เมื่อไรที่ S = I(V(S))
คำตอบของคำถามแรกได้จากการกำหนดทอพอโลยีบน \mathbf{A}^n เรียกว่า ทอพอโลยีซาริสกี (Zariski topology) ซึ่งเซตปิดบนทอพอโลยีดังกล่าว ได้แก่เซตเชิงพีชคณิตทั้งหมด และทอพอโลยีนี้สะท้อนโครงสร้างพีชคณิตของ k[\mathbf{A}^n] แล้วจะได้ว่า W = V(I(W)) ก็ต่อเมื่อ W เป็นเซตเชิงพีชคณิต หรือเซตปิดในทอพอโลยีซาริสกี ส่วนคำถามที่สองนั้นเป็นผลจากทฤษฎีบทที่เรียกว่า ฮิลแบร์ทนูลสเต็ลเลินซาต์ส หรือ ทฤษฎีบทโลคัส-ศูนย์ของฮิลแบร์ท (Hilbert's Nullstellensatz) ซึ่งกล่าวว่า I(V(S)) เป็นราดิคัลของไอดีลที่ก่อกำเนิดโดย S ผลลัพธ์จากทฤษฎีทั้งสองระบุว่า ไอดีลใน k[\mathbf{A}^n] และเซตเชิงพีชคณิตใน \mathbf A^n เป็นอย่างเดียวกัน
=== วาไรตีสัมพรรค ===
เซตเชิงพีชคณิตจะเป็น เซตลดรูปไม่ได้ (Irreducible set) หากมันไม่เป็นยูเนียนของเซตเชิงพีชคณิตที่เล็กกว่าสองเซตได้ เราพบว่า เซตเชิงพีชคณิตใด ๆ อยู่ในรูปยูเนียนจำกัดของเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ และการแยกส่วนแบบดังกล่าวมีได้แบบเดียว ดังนั้นส่วนประกอบหรือเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้ (Irreducible components) ของเซตพีชคณิต เซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้เรียกอีกอย่างว่า วาไรตี หรือ วาไรตีสัมพรรค เพื่อระบุเจาะจงว่าเราทำงานอยู่ในปริภูมิสัมพรรค
มีทฤษฎีบทว่า เซตเชิงพีชคณิตจะเป็นวาไรตีก็ต่อเมื่อ มีไอดีลเฉพาะ I ของ k[\mathbf{A}^n] ที่ทำให้เซตเชิงพีชคณิตนั้นเป็นเซตศูนย์ของไอดีล I
== ประวัติ ==
=== คริสต์ศตวรรษที่ 20 ===
วาน เดอร์ วาร์เดน, ออสการ์ ซาริสกี และ อองเดร์ แวย์ พัฒนารากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยอาศัยพีชคณิตสลับที่ รวมถึง ทฤษฎีแวลิวเอชัน (Valuation theory) และทฤษฎีของไอดีล เป้าหมายประการหนึ่งเพื่อสร้างกรอบโครงร่างที่รัดกุมเพื่อใช้พิสูจน์ผลงานของนักคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสกุลอิตาลี ทั้งนี้เพราะว่า นักคณิตศาสตร์ในสกุลนี้ใช้แนวคิดเรื่อง จุดทั่วไป (Generic points) ในงานคณิตศาสตร์โดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน นิยามจุดทั่วไปกำหนดเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ข้างต้นในช่วงทศวรรษ 1930
ในช่วงทศวรรษที่ 1950 และ 1960 ฌ็อง-ปิแยร์ แซร์ และ อเล็กซองดร์ โกรเธนดีก สร้างรากฐานใหม่โดยใช้ ทฤษฎีชีฟ (Sheaf theory) ในภายหลังโกรเธนดีกได้ริเริ่มเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ สกีม (Scheme) ร่วมกับวิธีการทางฮอมอโลยี
วาไรตีที่สำคัญรูปแบบหนึ่งคือ วาไรตีอาบีเลียน ซึ่งเป็นวาไรตีเชิงภาพฉายที่มีจุดบนวาไรตีนี้เป็นกรุปอาบีเลียน ตัวอย่างต้นแบบของวาไรตีอาบีเลียนคือ เส้นโค้งเชิงวงรี ซึ่งมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องมากมาย เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และยังใช้ใน การเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรีอีกด้วย
== อ้างอิง ==
==  ดูเพิ่ม ==
The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry โดย Ravi Vakil
The Stacks Project'' หนังสือโอเพินซอร์สสำหรับอ้างอิงเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
สาขาของคณิตศาสตร์
เรขาคณิตเชิงพีชคณิต