ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาคณิตวิเคราะห์ ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (Inverse function theorem) เป็นทฤษฎีบทที่ระบุเงื่อนไขที่เพียงพอที่ทำให้ฟังก์ชันสามารถหาอินเวอร์สได้บนย่านใกล้เคียงของจุดบางจุดในโดเมนของฟังก์ชัน เงื่อนไขดังกล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และไม่เท่ากับศูนย์ที่จุดนั้น
ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย
ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นจริงสำหรับปริภูมิและฟังก์ชันจำนวนมาก อาทิ ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์ หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค เป็นต้น
== เนื้อความของทฤษฎีบท ==
ทฤษฎีบทข้างต้นมีหลายแบบสำหรับเงื่อนไขแตกต่างกัน ด้านล่างเป็นรูปแบบหนึ่ง
โดยใช้กฎลูกโซ่ จะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันนั้นจะเท่ากับ D(f^{-1})(x) = (Df(x))^{-1}
ในกรณีที่ n = 1 และ f เป็นฟังก์ชันในชั้น C^1 (นั่นคือ f หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) จะได้ทฤษฎีบทในแคลคูลัสตัวแปรเดียวดังนี้
== ตัวอย่าง ==
พิจารณาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\! กำหนดโดย
F(x,y)=
\begin{bmatrix}
{e^x \cos y}\\
{e^x \sin y}\\
\end{bmatrix}
เมทริกซ์จาโคเบียนของ 
F
 คือ
J_F(x,y)=
\begin{bmatrix}
{e^x \cos y} & {-e^x \sin y}\\
{e^x \sin y} & {e^x \cos y}\\
\end{bmatrix}
โดยมีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ
\det J_F(x,y)=
e^{2x} \cos^2 y + e^{2x} \sin^2 y=
e^{2x}
\,\!
จะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนท์ e^{2x}\! ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันจึงยืนยันได้ว่า ทุก ๆ จุด 
p \in \R^2 จะมีย่านใกล้เคียงของ 
p ที่ทำให้ 
F หาอินเวอร์สได้ แต่ไม่ได้หมายความว่า 
F จะหาอินเวอร์สได้บนโดเมนทั้งหมด ทั้งนี้เพราะว่า 
F ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยซ้ำ (เพราะ F(x,y)=F(x,y+2\pi)\! ดังนั้น 
F เป็นฟังก์ชันคาบ)
== ตัวอย่างค้านเมื่อสละเงื่อนไขบางส่วน ==

ถ้าหากไม่มีเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้องต่อเนื่องแล้ว ทฤษฎีบทข้างต้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน 
f\colon \R \to \R กำหนดโดย
f(x) = x + 2x^2\sin(\tfrac1x) และ f(0)= 0
มีอนุพันธ์ที่ไม่ต่อเนื่องดังนี้
f'(x) = \begin{cases} 1 -2\cos(\tfrac1x) + 4x\sin(\tfrac1x), & x \neq 0 \\ 1, &  x= 0 \end{cases}  และมีจุดที่ทำให้ f'(x) = 0 ทุก ๆ ย่านใกล้เคียงของ 0
ที่จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f ดังนั้น f จึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และหาอินเวอร์สไม่ได้ทุกช่วงที่มี x = 0
หรืออีกนัยหนึ่ง เส้นความชัน f'\!(0)=1 ไม่ได้กำกับหรือบังคับจุดใกล้เคียง ซึ่งเส้นโค้งความชันที่จุดนั้น ๆ จะสั่น (oscillate) เป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้
== วิธีการพิสูจน์ ==
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันมีบทพิสูจน์ที่หลากหลาย บทพิสูจน์ส่วนใหญ่ใช้หลักการการส่งแบบหดตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค และเนื่องจากทฤษฎีบทจุดตรึงนั้นสามารถขยายนัยทั่วไปไปยังกรณีมิติเป็นอนันต์ (ในปริภูมิบานาค) ได้ ทำให้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันขยายนัยทั่วไปไปยังมิติอนันต์ได้
บทพิสูจน์แบบหนึ่งใช้ทฤษฎีบทค่าขีดสุดสำหรับฟังก์ชันบนเซตกระชับ
อีกบทพิสูจน์หนึ่งใช้ขั้นตอนวิธีของนิวตัน ซึ่งสามารถให้ค่าประมาณขนาดย่านใกล้เคียงที่ฟังก์ชันนั้นหาอินเวอร์สได้
== การขยายนัยทั่วไป ==
=== แมนิโฟลด์ ===
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทอยู่ในรูป
ให้ F: M \to N เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในชั้น C^1) หากดิฟเฟอเรนเชียลของ  F
dF_p: T_p M \to T_{F(p)} N
เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่จุด  p ใน M แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด U ของ p ที่ทำให้
F|_U: U \to F(U)
เป็นอนุพันธสัณฐาน  สังเกตว่าทฤษฎีบทข้างต้นยืนยันว่าส่วนเชื่อมโยงใน M และ N ที่มี p และ F(p) เป็นสมาชิกจะมีมิติเท่ากัน นอกจากนี้ถ้าอนุพันธ์ของ F เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานทุกจุด p ใน M แล้วการส่ง F จะเป็นอนุพันธสัณฐานเฉพาะที่ (local diffeomorphism)
=== ปริภูมิบานาค ===
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถขยายไปยังการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค X และ Y  ให้ U เป็นย่านใกล้เคียงเปิดของจุดกำเนิดใน X และ F: U \to Y\!  เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และสมมติให้อนุพันธ์เฟรเช dF_0: X \to Y\! ของ F ที่จุด 0 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่มีขอบเขต แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด V ของ F(0)\! ใน Y และฟังก์ชัน G: V \to X\! ซึ่งเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ทำให้ F(G(y)) = y สำหรับทุก y \in Y
ยิ่งไปกว่านั้น G(y)\! จะเป็นผลเฉลยเดียวที่เล็กเพียงพอสำหรับสมการ F(x) = y\!
=== แมนิโฟลด์บานาค ===
การวางนัยทั่วไปข้างต้นสามารถนำมารวมกันได้เป็นทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับแมนิโฟลด์บานาค
=== ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ ===
ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายอาจมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะหนึ่งของทฤษฎีบทแรงค์คงที่ ซึ่งกล่วว่าการส่งเรียบที่มีแรงค์คงตัวใกล้จุด ๆ หนึ่งจะสามารถเขียนในรูปแบบปรกติใกล้จุด ๆ นั้นได้ หรืออีกนัยหนึ่ง หาก F:M\to N มีแรงค์คงตัวใกล้กับจุด p\in M\! แล้วจะมีช่วงเปิด U ของ p และ V ของ F(p) และอนุพันธสัณฐาน u:T_pM\to U\! และ v:T_{F(p)}N\to V\! ที่ทำให้ F(U)\subseteq V\! และอนุพันธ์ dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N\!  มีค่าเท่ากับ v^{-1}\circ F\circ u\!  ซึ่งก็คือ F ประพฤติตัวเหมือนเป็นอนุพันธ์ของมันเองใกล้ ๆ p ความเป็น semicontinuous ของฟังก์ชันแรงค์ส่งผลให้มีเซตปิดหนาแน่นบนโดเมนของ F ที่อนุพันธ์ดังกล่าวมีแรงค์คงตัว จึงทำให้ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ใช้ได้กับจุดใด ๆ บนโดเมน
เมื่ออนุพันธ์ของ F เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) ที่จุด p แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) บนย่านใกล้เคียงบางย่านของ p ด้วย ดังนั้นแรงค์ของ F จะคงตัวบนย่านนั้น จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทแรงค์คงตัวได้
=== ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ===
ถ้าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก F นิยามบนเซตเปิดของ \C^n ไปยัง \C^n และเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์เชิงซ้อนหาอินเวอร์สได้ที่จุด p แล้ว F จะเป็นฟังก์ชันหาอินเวอร์สได้ในบางบริเวณรอบ ๆ จุด p ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันค่าจริง และสามารถฟิสูจน์ได้ว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
=== ฟังก์ชันพหุนาม ===
ถ้าข้อความคาดการณ์จาโคเบียนเป็นจริง ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ข้อความดังกล่าวกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันพหุนามค่าเวกเตอร์มีดีเทอร์มิแนนท์จาโคเบียนเป็นพหุนามที่หาอินเวอร์สได้ (ซึ่งก็คือเป็นพหุนามคงตัวที่ไม่เป็นพหุนามศูนย์) แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันพหุนามด้วย ปัจจุบันยังไม่ทราบว่าข้อความคาดการณ์ดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จแม้แต่ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว จึงเป็นปัญหาเปิดสำคัญในทฤษฎีของพหุนาม
== ดูเพิ่ม ==
ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค
ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย
ทฤษฎีบทแนช-โมเซอร์
== อ้างอิง ==
== อ่านเพิ่ม ==
คณิตวิเคราะห์