เส้นโค้งเชิงวงรี

ในคณิตศาสตร์ เส้นโค้งเชิงวงรี (elliptic curve) คือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตโปรเจคทีฟที่เป็นเส้นโค้งเรียบและมีจีนัสเท่ากับ 1 และจุดพิเศษ O กำหนดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งเชิงวงรีนิยามบนฟีลด์ K และประกอบไปด้วยจุดใน  ถ้าค่าแคแรคเตอริสติกของฟีลด์นั้นไม่เท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วเส้นโค้งเชิงวงรีสามารถเขียนอยู่ในรูปผลเฉลยของสมการ
y^2 = x^3 + ax + b
สำหรับบาง  และ  ใน 
เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน นั่นคือจะต้องไม่มีบัพแหลม (cusp) และไม่ตัดตัวเอง (non-self-intersecting) ซึ่งสมมูลกับเงื่อนไขที่ว่า  นั่นคือสมการข้างต้นไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ในตัวแปร  โดยทั่วไปถือว่าเส้นโค้งเชิงวงรีอยู่บนระนาบเชิงการฉายโดยมีจุด O  ผู้เขียนหลายคนนิยามให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งที่กำหนดด้วยสมการข้างต้น (ถ้า K มีแคแรคเตอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการข้างต้นจะไม่ครอบคลุมเส้นโค้งกำลังสามทั้งหมด, ดูหัวข้อ  ด้านล่าง)
เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นวาไรอิตีอาบีเลียน นั่นคือมีกรุปอาบีเลียนนิยามบนเส้นโค้งดังกล่าว และ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป
ถ้า  เมื่อ  เป็นพหุนามกำลังสามใด ๆ ที่ไม่มีรากซ้ำ แล้วเซตของผลเฉลยของสมการข้างต้นจะเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่ไม่เอกฐานและมีจีนัสเท่ากับ 1 ทำให้เซตดังกล่าวเป็นเส้นโค้งเชิงวงรี แต่ถ้า  มีดีกรีเท่ากับ 4 และปลอดกำลังสองแล้วสมการข้างต้นเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่มีจีนัสเท่ากับ 1 แต่ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ที่เลือกมาแบบธรรมชาติได้ ยิ่งไปกว่างนั้น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตที่มีจีนัสเท่ากับ 1 ใด ๆ เช่นที่เกิดจากรอยตัดระหว่างพื้นผิวกำลังสอง (quadric surface) ในปริภูมิเชิงภาพฉายสามมิติ (three-dimensional projective space) จะเป็นเส้นโค้งเชิงวงรีหากมีจุดพิเศษที่ระบุให้เป็นเอกลักษณ์
โดยใช้ทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงวงรี (elliptic function) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนจะสัมพันธ์กันกับการฝังทอรัสเข้าไปในปริภูมิเชิงภาพฉายเชิงซ้อน ทอรัสนั้นเป็นกรุปอาบีเลียน และความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุปทั้งสองด้วย
เส้นโค้งเชิงวงรีมีความสำคัญมากโดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวน และเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญหัวข้อหนึ่งในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาใช้เส้นโค้งเชิงวงรี นอกจากนี้เส้นโค้งเชิงวงรียังมีบทประยุกต์ในการเข้ารหัสโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (elliptic curve cryptography, ECC) และการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
เส้นโค้งเชิงวงรีไม่ใช่วงรี ที่เป็นภาคตัดกรวยเชิงภาพฉายซึ่งต้องมีจีนัสเป็น 0 ที่มาของชื่อมาจากปริพันธ์เชิงวงรี (elliptic integral) อย่างไรก็ตาม เรามีการระบุเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำนวนจริงผ่านตัวยืนยัง  ซึ่งสามารถแสดงแทนได้เป็นวงรีบนระนาบไฮเพอร์บอลิก \mathbb{H}^2
ในเชิงทอพอโลยี เส้นโค้งเชิงวงรีเชิงซ้อนเป็นทอรัส และวงรีเชิงซ้อนเป็นทรงกลม
== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริง ==

ถึงแม้ว่าบทนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต แต่เราอาจแสดงลักษณะที่สำคัญของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริงผ่านพีชคณิตและเรขาคณิตพื้นฐานได้
ภายใต้มุมมองพื้นฐาน เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งบนระนาบที่สามารถเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้นให้อยู่ในรูป
y^2 = x^3 + ax + b
เมื่อ  และ   เป็นจำนวนจริง สมการในรูปแบบนี้เรียกว่าสมการไวเออร์ชตราส (Weierstrass equation) และเรียกเส้นโค้งเชิงวงรีในรูปแบบนี้ว่าอยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราส (Weierstrass form) หรืออยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราสปรกติ (Weierstrass normal form)
นิยามของเส้นโค้งเชิงวงรีระบุเพิ่มเติมอีกว่าเส้นโค้งนั้นต้องไม่เอกฐาน นั่นคือกราฟของเส้นโค้งไม่มีบัพแหลม ไม่ตัดตัวเอง และไม่มีจุดเอกเทศ (isolated point) ซึ่งจะเกิดขึ้นหากดิสคริมิแนนต์ \Delta ไม่เท่ากับศูนย์:
\Delta = -16\left(4a^3 + 27b^2\right) \neq 0
เส้นกราฟเชิงจริงของเส้นโค้งไม่เอกฐานจะมีสองชิ้น (เรียกว่า คอมโพแนนต์ (component)) หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก และมีชิ้นเดียวหากดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ในกราฟด้านข้างสมการ  มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ 64 จึงมีคอมโพแนนต์ของเส้นกราฟสองส่วน ในขณะที่สมการ  มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ -368 จึงมีคอมโพแนนต์เดียว
== กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี ==
เมื่อเราทำงานในระนาบเชิงภาพฉาย (projective plane) สมการของเส้นโค้งเชิงวงรีในระบบพิกัดเอกพันธ์ (homogeneous coordinate) จะกลายเป็น :
\frac{Y^2}{Z^2} =
\frac{X^3}{Z^3}
+a\frac{X}{Z} + b
สมการข้างต้นไม่นิยามบนเส้นตรงที่อนันต์ (line at infinity) แต่เราสามารถคูณตลอดด้วย Z^3 เพื่อให้ได้สมการที่นิยามทุกที่บนระนาบเชิงภาพฉาย :
ZY^2 = X^3 + aZ^2X + bZ^3
เส้นโค้งข้างต้นสามารถฉายลงให้ได้เส้นโค้งเชิงวงรีบนระนาบในหัวข้อข้างต้น เพื่อหาว่าเส้นโค้งนี้ตัดกับเส้นตรงที่อนันต์ที่ใด เราแทนค่า Z = 0 ซึ่งจะทำให้ได้  X^3 = 0 นั่นคือ X = 0 ส่วนค่า Y จะเป็นจำนวนใดก็ได้ดังนั้นทุกสามสิ่งอันดับ (0,Y,0) สอดคล้องกับสมการข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงภาพฉายจะได้ว่าเซตของทุกสามสิ่งอันดับแทนด้วยจุดเดียว ฉะนั้นจุดตัดมีเพียงจุดเดียวซึ่งคือจุด O = [0:1:0]
เนื่องจากเส้นโค้งข้างต้นเป็นเส้นโค้งเรียบ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดที่อนันต์นี้เป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้างกรุปที่เราจะนิยามต่อไป
เส้นโค้งนี้สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน  หากกำหนดจุด  บนเส้นโค้งมา เรานิยาม  ให้เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับมันเมื่อเทียบกับแกน  เราจะได้   -O = O เพราะ O อยู่บนระนาบ  ฉะนั้น -O เป็นจุดที่สมมาตรกับจุด O เมื่อเทียบกับแกน 
ถ้า  และ  เป็นจุดบนเส้นโค้ง เรานิยาม  ให้เป็นจุดที่กำหนดดังต่อไปนี้ ลากเส้นตรงเชื่อมระหว่าง  และ  เส้นตรงนี้มักจะตัดเส้นโค้งเชิงวงรีที่จุดที่สาม กำหนดให้เป็นจุด  แล้วจะนิยาม  ให้เป็นจุด  ที่อยู่ตรงข้ามกับ 
นิยามข้างต้นใช้ได้ทั่วไปเว้นแต่กรณีเฉพาะบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับจุดที่อนันต์และการตัดซ้ำซ้อน ในกรณีที่มีจุดบางจุดเป็น  เราจะนิยามให้  ส่งผลให้  เป็นเอกลักษณ์ของกรุป ถ้า  เราจะมีจุดเพียงจุดเดียว ฉะนั้นจะนิยามเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองไม่ได้เพราะไม่ได้มีเพียงเส้นตรงเดียว เราจึงเลือกเส้นที่สัมผัสเส้นโค้งแทน โดยทั่วไปเส้นสัมผัสจะตัดเส้นโค้งนี้อีกครั้งซึ่งเราสามารถกำหนดให้เป็น  และหา  ได้ ในขณะที่หาก  และ  เป็นจุดบนเส้นโค้งที่อยู่ตรงข้ามกัน เรานิยามให้   และสุดท้าย หาก  เป็นจุดเปลี่ยนเว้า เรานิยาม  ให้เป็นจุด  เอง และ  คือจุดที่ตรงข้ามตัวมันเอง ซึ่งก็คือจุด  เอง
ECClines.svg
ให้  เป็นฟีลด์ที่เส้นโค้งนี้นิยามบนฟีลด์นั้น หรือก็คือสัมประสิทธิ์ของสมการนิยามเส้นโค้งอยู่ใน  และเขียนแทนเส้นโค้งด้วย  แล้วจุด -rational points ของ  คือจุดบน  ที่ทุกพิกัดอยู่ใน  รวมถึงจุดที่อนันต์
เซตของจุด -rational point กำหนดโดย  จะเป็นกรุปภายใต้การบวกจุดข้างต้น นอกจากนี้ หาก  เป็นฟีลด์ย่อยของ  แล้ว  จะเป็นสับกรุปของ 
=== มุมมองเชิงพีชคณิต ===
โครงสร้างกรุปข้างต้นสามารถกำหนดได้ด้วยพีชคณิตเช่นเดียวกับที่ใช้เรขาคณิตกำหนด ให้  เป็นเส้นโค้งเหนือฟีลด์  (ที่แคแรกเทอริสติกของฟีลด์ไม่ใช่ 2 หรือ 3) และกำหนดให้จุด  และ  อยู่บนเส้นโค้ง สมมติเสียก่อนว่า  (ให้เป็นกรณีที่ 1) ให้  เป็นสมการของเส้นตรงที่ตัดเส้นโค้งที่จุด  และ  ดังนั้นจะมีความชันเท่ากับ
s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}
เส้นโค้งและเส้นตรงตัดกันที่จุด , , และ  เมื่อแทนค่า  ลงในสมการเส้นโค้งแล้วจะได้ว่า
\left(s x + d\right)^2 = x^3 + ax + b
ซึ่งสมมูลกับสมการ
x^3 - s^2 x^2 - 2sdx + ax + b - d^2 = 0
และเนื่องจาก , , and  เป็นจุดที่เส้นตรงและเส้นโค้งตัดกัน จึงเป็นผลเฉลยของสมการข้างต้น และเป็นรากของสมการ
(x - x_P) (x - x_Q) (x - x_R) = x^3 + (-x_P - x_Q - x_R) x^2 + (x_P x_Q + x_P x_R + x_Q x_R) x - x_P x_Q x_R 
สมการทั้งสองมีรากเป็นตัวเดียวกัน ฉะนั้นจึงเป็นสมการเดียวกัน ด้วยการเทียบสัมประสิทธิ์หน้า  จะได้ว่า
-s^2 = (-x_P - x_Q - x_R)
แก้หาตัวแปร  ได้ว่า
x_R = s^2 - x_P - x_Q
 หาได้จากสมการเส้นตรง
y_R = y_P + s(x_R - x_P)
จะเห็นได้ว่า  เป็นสมาชิกใน  เพราะ  เป็นสมาชิกใน  ด้วย
ถ้า  แล้วจะมีความเป็นไปได้สองแบบ หนึ่งคือ  (กรณีที่ 3) ซึ่งรวมกรณี  (กรณีที่ 4) เข้าไปด้วย แล้วเรานิยามให้ผลบวก  คือ 0 ดังนั้นอินเวอร์สของแต่ละจุดบนเส้นตรงหาได้จากสะท้อนจุดนั้นข้ามแกน 
และถ้า  แล้ว  และ  (กรณีที่สอง 2) ความชัดจะหาได้จากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (xP, yP):
\begin{align}
s &= \frac{3{x_P}^2 + a}{2y_P}\\
x_R &= s^2 - 2x_P\\
y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}
=== เส้นโค้งไม่อยู่ในรูปไวเออร์ชตราส ===
สำหรับเส้นโค้งกำลังสามที่ไม่อยู่ในรูปแบบของไอเออร์ชตราส เราสามารถนิยามโครงสร้างกรุปบนมันได้โดยกำหนดให้จุดเปลี่ยนเว้าจุดหนึ่งจากทั้งหมดเก้าจุดของเส้นโค้งเป็นเอกลักษณ์  ในระนาบเชิงภาพฉาย เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดเส้นโค้งกำลังสามที่จุดสามจุด (เมื่อพิจารณาภาวะรากซ้ำเข้าไปด้วย) สำหรับแต่ละจุด  นิยามให้  เป็นจุดที่สามที่เป็นจุดตัดของเส้นโค้งและเส้นตรงที่ผ่าน  และ  แล้วสำหรับแต่ละ  และ  ให้  นิยามเป็น  เมื่อ  คือจุดที่สามบนเส้นตรงที่ผ่านจุด  และ 
== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ ==
เส้นโค้งเชิงวงรี E นิยามเหนือฟีลด์ของจำนวนตรรกยะก็นิยามบนฟิลด์ของจำนวนจริงด้วย ดังนั้นวิธีการบวกจุดที่มีคู่อันดับเป็นจำนวนจริงที่นิยามผ่านเส้นสัมผัสสามารถทำได้บน E เช่นกัน สูตรที่เกี่ยวข้องแสดงให้เห็นว่าผลบวกระหว่างจุด P และ Q ที่มีพิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะจะมีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจากสมการเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด P และ Q มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ฉะนั้นเซตของจุดตรรกยะบน E เป็นสับกรุปของเซตของจุดค่าจริงบน E และเป็นกรุปอาบีเลียน
=== จุดจำนวนเต็ม ===
เส้นโค้งเชิงวงรีอาจมีจุดที่เป็นจำนวนเต็มได้หลายจุด
ตัวอย่างเช่นสมการ  มีผลเฉลยจำนวนเต็มทั้งหมด 8 จำนวนที่ y&nbsp;> 0:
(x, y) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (, )
อีกตัวอย่างหนึ่ง คือสมการของลยุงเกริน (Ljunggren's equation) ทีมี่รูปแบบไวเออร์ชตราสคือ  มีผลเฉลยเพียง 4 ผลเฉลยที่ y&nbsp;≥ 0 :
(x, y) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338, )
=== โครงสร้างของจุดตรรกยะ ===
จุดตรรกยะทั้งหมดสามารถหาได้จากวิธีเส้นสัมผัสและจุดตัด ถ้ามีจุดตรรกยะเริ่มต้นมาให้จำกัดจุด หรืออาจกล่าวให้ชัดเจนยิ่งไปกว่านี้ได้โดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์ (Mordell–Weil theorem) ซึ่งระบุว่ากรุปของจุดตรรกยะ E(Q) เป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated group) ที่เป็นกรุปอาบีเลียน โดยทฤษฎีบทหลักมูลของกรุปก่อกำเนิดจำกัดอาบีเลียน เราจะได้ว่า E(Q) เป็นผลบวกตรงจำกัดตัวของ Z และกรุปวัฏจักรจำกัด
บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์มีสองส่วน ส่วนแรกแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกจำนวนเต็ม m&nbsp;>&nbsp;1 กรุปผลหาร E(Q)/mE(Q) เป็นกรุปจำกัด (นี่คือทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน (weak Mordell–Weil theorem)) และส่วนที่สองนิยามฟังก์ชันชื่อ [function] h บนจุดตรรกยะของ E(Q) นิยามโดย h(P0) = 0 และ  ถ้า P (ที่ไม่ใช่จุดที่อนันต์ P0) มีคู่อันดับตัวหน้าเป็นจำนวนตรรกยะในรูป x = p/q (เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) ฟังก์ชัน h มีสมบัติว่า h(mP) ประพฤติตัวมีค่าใกล้เคียงรากที่สองของ m ยิ่งไปกว่านั้นมีจุดตรรกยะเพียงจำกัดจุดเท่านั้นที่มี height น้อยกว่าค่าคงตัวใด ๆ
บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทจึงเหมือนวิธี infinite descent รูปแบบหนึ่ง และใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดบน E: ให้ P ∈ E(Q) เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้ง และเขียน P ในรูปผลบวก 2P1 + Q1 เมื่อ Q1 เป็นตัวแทนสักตัวหนึ่งของ P ใน E(Q)/2E(Q) แล้ว height ของ P1 จะมีค่าประมาณ  ของ height ของ  P (หรือโดยทั่วไปกว่านั้น สามารถเปลี่ยน 2 ด้วย m > 1 ใด ๆ ก็ได้ และจะเปลี่ยน  ให้เป็น ) แล้วทำเช่นนี้กับ P1 นั่นคือให้ P1 = 2P2 + Q2 และ P2 = 2P3 + Q3,ไปเรื่อย ๆ เราสามารถเขียนจุด P ให้เป็นผลรวมเชิงเส้นของจุด Qi ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ height ของจุดดังกล่าวมีขอบเขตสักค่าหนึ่งที่เลือกไว้ก่อนหน้า ฉะนั้นโดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน และสมบัติของ height function จะได้ว่า P เขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของจุดจำกัดตัวและมีสัมประสิทธิ์ในผลรวมเชิงเส้นเป็นจำนวนเต็ม
อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทข้างต้นไม่ได้ให้วิธีหาตัวแทนใด ๆ ของ E(Q)/mE(Q).
แรงก์ของกรุป E(Q) หรือจำนวนซ้ำของ Z ที่ปรากฎใน E(Q) ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดอิสระที่มีอันดับเป็นอนันต์ จะถูกเรียกว่าแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี E ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) เกี่ยวข้องกับการหาแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี โดยกล่าวว่าแรงก์จะมีค่ามากที่สุดเท่าใดก็ได้ ถึงแม้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่เรารู้จักจะมีแรงก์น้อย ๆ เท่านั้น เส้นโค้งเชิงวงรีที่มีแรงก์มากที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ
y2 + xy + y = x3 − x2 − x + 
ซึ่งมีแรงก์เท่ากับ 20 และค้นพบโดย Noam Elkies และ Zev Klagsbrun ในปี 2020 เส้นโค้งที่มีแรงก์สูงกว่า 20 เราทราบว่ามีอยู่ตั้งแต่ปีค.ศ. 1994 โดยมีขอบเขตล่างตั้งแต่ 21 ถึง 28 แต่ไม่ทราบค่าแรงก์ที่แน่นอน และยังไม่มีบทพิสูจน์ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีไหนมีแรงก์สูงกว่ากัน
สำหรับกรุปที่เป็นทอร์ชันสับกรุป (torsion subgroup) ของ E(Q) เรามีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้: ทอร์ชันสับกรุปของ E(Q) ที่เป็นไปได้อยู่ใน 15 กรุปดังต่อไปนี้ (ทฤษฎีบทนี้ชื่อทฤษฎีบททอร์ชันของมาซูร์ (Mazur's torsion theorem) โดย Barry Mazur): Z/NZ สำหรับ N = 1, 2, ..., 10, หรือ 12, หรือ Z/2Z × Z/2NZ โดย N = 1, 2, 3, 4. เรารู้ส้นโค้งเชิงวงรีที่มีทอร์ชันสับกรุปตามทฤษฎีบทข้างต้นในทุกกรณี และเส้นโค้งเชิงวงรีที่มี Mordell–Weil groups เหนือ Q และมีทอร์ชันกรุปเดียวกันสามารถเขียนอยู่ในรูปอิงตัวแปรเสริมระหว่างกันได้
=== ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ ===
ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, BSD) เป็นหนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียมของสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ ข้อคาดการณ์นี้เกี่ยวข้องกับวัตถุทางพีชคณิตและคณิตวิเคราะห์ที่นิยามจากเส้นโค้งเชิงวงรี
จากด้านคณิตวิเคราะห์ เรามีส่วนสำคัญคือฟังก์ชันเชิงซ้อน L ที่เรียกว่าฟังก์ชันซีตาของฮัสเซอ-แวย์ (Hasse–Weil zeta function) ของเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ Q ฟังก์ชันนี้คล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมัน (Riemann zeta function) และ แอล-ฟังก์ชันของดิริชเลต์ (Dirichlet L-function) ฟังก์ชันนี้นิยามเป็นผลคูณออยเลอร์ (Euler product) โดยมีตัวประกอบหนึ่งตัวสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะ  p
สำหรับแต่ละเส้นโค้ง E เหนือ Q กำหนดโดยสมการในรูป
y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6
เมื่อ a_i เป็นสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หากเราลดทอนลงไปในมอดุโล p จะได้เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด Fp ยกเว้นที่จำนวนเฉพาะ p จำกัดตัว ที่เมื่อลดทอนไปแล้วเส้นโค้งจะมีภาวะเอกฐาน ทำให้ไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี ในกรณีนี้เราเรียกว่า E มี bad reduction ที่ p (E is of bad reduction at p)
เราอาจมองได้ว่าฟังก์ชันซีตาของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด Fp เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function) ที่รวบรวมข้อมูลของจำนวนจุดของ E ที่มีค่าในฟีลด์ภาคขยายจำกัด Fpn ของ Fp ซึ่งกำหนดโดย
Z(E(\mathbf{F}_p)) = \exp\left(\sum \# \left[E({\mathbf F}_{p^n})\right]\frac{T^n}{n}\right)
ผลรวมภายในฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลดูเหมือนฟังก์ชันลอการิทึม และสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันซีตาข้างต้นนี้เป็นฟังก์ชันตรรกยะ:
Z(E(\mathbf{F}_p)) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)},
เมื่อเทอม a_p (เรียกเทอมนี้ว่า trace of Frobenius) นิยามให้เป็นผลต่างระหว่างค่า"ที่ควรจะเป็น"คือ  p+1 และจำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ \mathbb{F}_p เขียนได้เป็น
a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)
จัดรูปจะได้
\#E(\mathbb{F}_p) = 1 - a_p + p
เราสามารถนิยามปริมาณและฟังก์ชันที่คล้ายกันนี้เหนือฟีลด์จำกัดที่มีแคแรกเทอริสติก  p โดยที่ q = p^n ด้วยการแทนลงในทุกที่ที่  p ปรากฎ
แอล-ฟังก์ชัน (L-function) ของ E เหนือ Q จะรวบรวมข้อมูลข้างต้นทั้งหมดเข้าด้วยกันสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ p โดยเรานิยามดังต่อไปนี้
L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-s} + p^{1 - 2s}\right)^{-1} \cdot \prod_{p\mid N} \left(1 - a_p p^{-s}\right)^{-1}
เมื่อ N คือ conductor ของ E ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เป็น bad reduction ของ E โดยในกรณีดังกล่าว ap จะนิยามต่างออกไปจากข้างต้น (ดู Silverman (1986))
ผลคูณข้างต้นลู่เข้าเมื่อ Re(s) > 3/2 เท่านั้น ข้อความคาดการณ์ของฮัสเซอ (Hasse's conjecture) ยืนยันว่าแอล-ฟังก์ชันข้างต้นมีการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ไปยังระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด และสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่เชื่อมโยงระหว่าง L(E, s) และ L(E, 2 − s) สำหรับทุก s มีการพิสูจน์ได้ในปีค.ศ. 1999 ว่าข้อความคาดการณ์ข้างต้นเป็นผลจากบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของชิมูระ-ทานิยามะ-แวย์ (Shimura–Taniyama–Weil conjecture) ซึ่งกล่าวว่าทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ Q เป็นเส้นโค้งมอดูลาร์ (modular curve) และส่งผลให้แอล-ฟังก์ชันของมันเป็นแอล-ฟังก์ชันของมอดูลาร์ฟอร์ม ซึ่งเรารู้จักการต่อเนื่องวิเคราะห์ของมอดูลาร์ฟอร์มแล้ว ฉะนั้นเราสามารถพูดถึงค่าของ L(E, s) สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อน s
เมื่อ s=1 (ผลคูณของส่วน conductor สามารถตัดออกได้เพราะเป็นค่าจำกัด)  แอล-ฟังก์ชันจะเท่ากับ
L(E(\mathbf{Q}), 1) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-1} + p^{-1}\right)^{-1} = \prod_{p\not\mid N} \frac{p}{p - a_p + 1} = \prod_{p\not\mid N}\frac{p}{\#E(\mathbb{F}_p)}
ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์เชื่อมโยงพีชคณิตของเส้นโค้งเชิงวงรีกับพฤติกรรมของแอล-ฟังก์ชันที่s&nbsp;= 1โดยกล่าวว่า vanishing order ของ แอล-ฟังก์ชันที่ s&nbsp;= 1 เท่ากับแรงก์ของ E และทำนายเทอมแรกของของอนุกรมโลรองต์ของ L(E, s) ที่จุดนั้นในเทอมของปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งเชิงวงรี
หากข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (BSD) เป็นจริง จะมีผลที่ตามมาจำนวนมาก โดยมีตัวอย่างสองข้อดังนี้
จำนวนคอนกรูเอนต์ (Congruent number) คือจำนวนคี่ปลอดกำลังสอง n ที่เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะ เราทราบว่า n จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งเชิงวงรี y^2 = x^3 - n^2x มีจุดตรรกยะที่มีอันดับเป็นอนันต์ หาก BSD เป็นจริง นี่จะสมมูลกับแอล-ฟังก์ชันของเส้นโค้งเชิงวงรีนี้มีรากที่ s&nbsp;= 1  ทันเนล (Tunnell) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกันว่า หาก BSD เป็นจริง แล้ว n จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อจำนวนสามสิ่งอันดับของจำนวนเต็ม (x, y, z) ที่สอดคล้องกับ 2x^2 + y^2 + 8z^2 = n มีค่าเป็นสองเท่าของจำนวนของสามสิ่งอันดับที่สอดคล้องกับ  2x^2 + y^2 + 32z^2 = n ส่วนที่น่าสนใจคือเงื่อนไขนี้สามารถตรวจสอบได้โดยง่าย
ในอีกทิศทางหนึ่ง วิธีการทางคณิตวิเคราะห์แบบหนึ่งสามารถประมาณค่าอันดับของศูนย์ที่กึ่งกลางของแถบค่าวิกฤติ (critical strip) ของแอล-ฟังก์ชันบางตัวได้ หาก BSD เป็นจริง การประมาณค่านี้เกี่ยวข้องกับแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรีจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากข้อความคาดการณ์ของรีมันวางนัยทั่วไป (generalized Riemann hypothesis) และ BSD เป็นจริง แล้วโดยเฉลี่ยแล้ว แรงก์ของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ y^2=x^3+ax+b จะไม่เกิน 2
== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด ==

ให้ K = Fq เป็นฟีลด์จำกัดที่มีสมาชิก q ตัว และ E เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีนิยามเหนือ K ถึงแม้ว่าจำนวนจุดตรรกยะของเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ K โดยทั่วไปแล้วจะคำนวณออกมาได้ยาก แต่ทฤษฎีบทของฮัสเซอว่าด้วยเส้นโค้งเชิงวงรี (Hasse's theorem on elliptic curves) ให้อสมการด้านล่าง
|\# E(K) - (q + 1)| \le 2\sqrt{q}
อีกนัยหนึ่งคือ จำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีโตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนสมาชิกในฟีลด์ ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีขั้นสูงที่ทั่วไปกว่า เช่น local zeta function และ étale cohomology

เซตของจุด E(Fq) จะเป็นกรุปอาบีเลียนจำกัด และเป็นกรุปวัฏจักรหรือผลคูณของกรุปวัฏจักรสองกรุปขึ้นกับภาวะคู่คี่ของ q ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ
y^2 = x^3 - x
เหนือ F71 มีจุดทั้งหมด 72 จุด (71 จุดสัมพรรค รวมถึง (0,0) และหนึ่งจุด ณ อนันต์) ในฟีลด์นี้ ซึ่งมีโครงสร้างกรุปที่กำหนดโดย Z/2Z × Z/36Z. จำนวนจุดบนเส้นโค้งจำเพาะสามารถคำนวณได้ด้วยขั้นตอนวิธีของสคูฟ

การศึกษาเส้นโค้งเหนือฟีลด์ภาคขยายของ Fq ทำได้โดยการสร้างฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta function) ของ E เหนือ Fq, นิยามโดยอนุกรมก่อกำเนิด
Z(E(K), T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \# \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)
เมื่อฟิลด์ Kn เป็นฟีลด์ภาคขยาย (มีฟีลด์เดียวหากนับความสมสัณฐาน) ของ K = Fq ที่มีดีกรีเท่ากับ n (ซึ่งก็คือ Fqn).
ฟังก์ชันซีตานี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปร T ซึ่งสามารถพิสูน์ได้ดังนี้: จำนวนเต็ม a_n ที่ทำให้
\#E(K_n) = 1 - a_n + q^n
จะมีจำนวนเชิงซ้อน \alpha ที่เกี่ยวข้องที่ทำให้
1 - a_n + q^n = 1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n
เมื่อ \bar\alpha เป็นสังยุคเชิงซ้อนของ \alpha เราเลือก \alpha เพื่อให้ขนาดของมันเท่ากับ \sqrt{q} ดังนั้น  \alpha = q^{\frac12}e^{i\theta}, \bar\alpha = q^{\frac12}e^{-i\theta} และ \cos n\theta=\frac{a_n}{2\sqrt q} ฉะนั้นเราจะได้ว่า  \alpha^n\bar\alpha^n = q^n และ \alpha^n+\bar\alpha^n = a_n หรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้ว่า (1 - \alpha^n)(1 - \bar\alpha^n) = 1 - a_n + q^n.
แล้ว \alpha สามารถใช้แทนค่าลงไปฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่เพราะค่าของมันเมื่อเราเปลี่ยเลขชี้กำลังจะมีค่าประมาณใกล้เคียงกับพฤติกรรมของ a_n
\begin{alignat}{2} Z_E(T) & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty}  \left(1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n\right){T^n\over n} \right) \\ & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty}  {T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\alpha^n{T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\bar\alpha^n{T^n\over n} + \sum_{n=1}^{\infty}q^n{T^n\over n} \right) \\ & = \exp \left(-\ln(1-T) + \ln(1-\alpha T) + \ln(1-\bar\alpha T) - \ln(1-qT) \right) \\ & = \exp \left(\ln\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)} \right) \\ & =\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)} \\ \end{alignat}
เนื่องจาก (1 - \alpha T)(1 - \bar\alpha T)  = 1 - aT + qT^2 ทำให้ได้ว่า
Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของ E : y2 + y = x3 เหนือฟีลด์ F2 กำหนดโดย
\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}
ซึ่งได้มากจาก:
\left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{ odd} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}} & r \text{ even} \end{cases} 
สมการเชิงฟังก์ชันคือ
Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) = \frac{1 - a\frac{1}{qT} + q\left(\frac{1}{qT}\right)^2}{(1 - q\frac{1}{qT})(1 - \frac{1}{qT})}= \frac{q^2T^2 - aqT + q}{(qT - q)(qT - 1)} = Z(E(K), T)
เนื่องจากสนใจเฉพาะพฤติกรรมของ a_n เราสามารถใช้ฟังก์ชันซีตาลดทอน
\begin{align} Z(a, T) & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} -a_n {T^n\over n} \right) \\ & = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} -\alpha^n {T^n\over n} - \bar\alpha^n {T^n\over n} \right) \\ \end{align}
และจะได้ว่า
Z_a(T) = \exp \left(\ln(1-\alpha T) + \ln(1-\bar\alpha T)\right)
ทำได้ให้แอล-ฟังก์ชันเฉพาะที่ (local L-function)
L(E(K), T) = 1 - aT + qT^2
ข้อความคาดการณ์ของซาโต-เทต (Sato–Tate conjecture) ระบุว่าเทอมความคาดเคลื่อน 2\sqrt{q} ในทฤษฎีบทของฮัสเซอขึ้นกับจำนวนเฉพาะ q ที่ต่างกันหากเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ Q อยู่ในรูปมอดุโล q ลดรูป ข้อความคาดการณ์ข้างต้นถูกพิสูจน์ (สำหรับเกือบทุกกรณีข้างต้น) ในปี 2006 โดย Taylor, Harris และ Shepherd-Barron
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีบทประยุกต์ใช้ในวิทยาการเข้ารหัสลับ และการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มค่ามาก ๆ ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรีจะอาศัยความเป็นกรุปของจุดบน E ฉะนั้นขั้นตอนวิธีที่ใช้ได้กับกรุปทั่วไป เช่นกรุปของสมาชิกที่หาอินเวอร์สได้ใน F*q จะสามารถประยุกต์ใช้กับกรุปของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนวิธีลอการิทึมวิยุต
== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป ==
เส้นโค้งเชิงวงรีสามารถนิยามเหนือฟีลด์ K ใด ๆ ได้ โดยนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตเหนือ K เชิงภาพฉายไม่เอกฐานที่มีจีนัส 1 และมีจุดเฉพาะที่นิยามเหนือ K
ถ้าแคแรคเทอริสติกของ K ไม่ใช่ 2 หรือ 3 แล้วหลังจากการเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้น ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ K สามารถเขียนได้ในรูป
y^2 = x^3 - px - q
ในที่นี้ p และ q เป็นสมาชิกของ K ที่ทำให้พหุนาม x3 − px − q ทางฝั่งขวามือไม่มีรากซ้ำ ถ้าแคแรกเทอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องมีพจน์ที่กำจัดไม่ได้มากขึ้น ในแคแรคเทอริสติก 3 สมการของเส้นโค้งที่ทั่วไปที่สุดคือ
y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6
สำหรับค่าคงที่ b2, b4, b6 ที่ทำให้พหุนามมางขวามือของสมการมีรากที่แตกต่างกันทั้งหมด (สัญกรณ์ที่ใช้นี้มีที่มาทางประวัติศาสตร์) ในแคแรกเทอริสติก 2 จะต้องมีเทอมมากกว่านั้นอีก โดยมีสมการทั่วไปคือ
y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6
เมื่อวาไรอิตี้ที่สมการนี้นิยามไม่เอกฐาน
โดยทั่วไป เรากำหนดให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเซตของจุด (x,y) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการข้างต้น โดยที่ x และ y เป็นสมาชิกในส่วนปิดคลุมเชิงพีชคณิตของ K จุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีทั้งหมดที่พิกัดทั้งสองอยู่ใน K เรียกว่า K-rational points
ผลลัพธ์จำนวนมากในหัวข้อก่อนหน้าเป็นจริงเมื่อฟีลด์ที่นิยามเส้นโค้งเชิงวงรี E เป็นฟีลด์จำนวน (number field) K นั่นคือเป็นฟีลด์ภาคขยายจำกัดของ Q โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ากรุป E(K) ของจุด K-rational points บนเส้นโค้งเชิงวงรี E ที่นิยามเหนือ K จะเป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่วางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมอร์เดล-แวย์  ทฤษฎีบทหนึ่งของ Loïc Merel แสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม d จะมีกรุปเพียงจำนวนจำกัดตัวที่สามารถเป็นทอร์ชันกรุปของ E(K) สำหรับเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์จำนวน K ดีกรี d ได้ ทฤษฎีบทนี้ส่งผลชัดแจ้งในแง่ที่ว่า หาก d > 1 ถ้าจุดทอร์ชันมีอันดับเท่ากับ p โดยที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว
p 
สำหรับจุดอินทริกรัล ทฤษฎีบทของซีเกิลสามารถขยายออกได้ว่า หากเส้นโค้งเชิงวงรี E ที่นิยามเหนือฟีลด์จำนวน K โดยที่  x และ y เป็นพิกัดแบบไวเออร์ชตราส แล้วจะมีจุดเพียงจำกัดจำนวนใน E(K) ที่พิกัด x ของมันอยู่ในริงของจำนวนเต็ม OK
สมบัติของฟังก์ชันฮัสเซอ-แวย์และข้อคาดการณ์เบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์สามารถวางนัยทั่วไปให้ครอบคลุมกรณีข้างต้นนี้ได้
== เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ==

เราสามารถมองเส้นโค้งเชิงวงรีว่าเป็นการฝังทอรัสลงในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยอาศัยสมบัติพิเศษของฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์ชตราส โดยฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของของมันสอดคล้องกับสมการ
\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3
ในที่นี้  และ  เป็นค่าคงที่ และ  เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีไวเออร์ชตราส (Weierstrass elliptic function) สังเกตว่าความสัมพันธ์ข้างต้นสอดคล้องกับสมการเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันไวเออร์ตราสมีคาบแบบคู่  (doubly periodic) นั่นคือเป็นฟังก์ชันคาบเทียบกับแลตทิซ  ฉะนั้นฟังก์ชันไวเออร์ชตราสจึงนิยามได้บนทอรัส   โดยธรรมชาติ ทอรัสนี้สามารถฝังเข้าไปในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยการส่ง
z \mapsto \left[1 : \wp(z) : \tfrac12\wp'(z)\right]
การส่งนี้เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของกรุปบนทอรัส (ภายใต้โครงสร้างกรุปตามธรรมชาติ) และกรุปลอว์ที่เกิดจากการสร้างเส้นคอร์ดและเส้นสัมผัสบนเส้นโค้งกำลังสามอันเป็นภาพของการส่งนี้ นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของพื้นผิวรีมันน์จากทอรัสไปยังเส้นโค้งกำลังสามนั้นด้วย เพราะฉะนั้นในทางทอพอโลยีแล้ว เส้นโค้งเชิงวงรีจึงเป็นทอรัส หากแลตทิซ  สัมพันธ์ภายใต้การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน  ที่ไม่เป็นศูนย์กับแลตทิซ  แล้วเส้นโค้งที่ได้จะสมสัณฐานกัน ชั้นสมมูลของเส้นโค้งเชิงวงรีกำหนดได้ด้วยตัวยืนยงเรียกว่า -invariant
ชั้นสมมูลดังกล่าวสามารถมองได้ด้วยมุมมองที่ง่ายกว่าเช่นกัน ค่าคงตัว  และ  ซึ่งเรียกว่าตัวยืนยงมอดุลาร์ (modular invariants) ถูกกำหนดให้มีค่าได้เพียงค่าเดียวโดยแลตทิซ หรือก็คือโครงสร้างของทอรัส อย่างไรก็ตามทุกพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะแยกตัวประกอบเชิงเส้นเหนือจำนวนเชิงซ้อน (เพราะฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟีลด์จำนวนจริง) ฉะนั้นเราสามารถเขียนเส้นโค้งเชิงวงรีได้เป็น
y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)
เราจะได้ว่า
\begin{align}
g_2' &= \frac{\sqrt[3]4}{3} \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right) \\[4pt]
g_3' &= \frac{1}{27} (\lambda + 1)\left(2\lambda^2 - 5\lambda + 2\right)
\end{align}
และ
j(\tau) = 1728\frac = 256\frac{ \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right)^3}{\lambda^2\left(\lambda - 1\right)^2}
โดยที่ j(\tau) เป็น -invariant และ \lambda(\tau) เรียกว่าฟังก์ชันแลมบ์ดามอดุลาร์ (modular lambda function) ตัวอย่างเช่น ให้ \tau = 2i แล้ว \lambda(2i) = (-1 + \sqrt{2})^4 ซึ่งส่งผลให้ g'_2, g'_3 และ {g'}_2^3 - 27{g'}_3^2 ในสมการข้างต้นเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดหาก \tau เกี่ยวข้องกับฟีลด์ควอดราติกเชิงซ้อน (imaginary quadratic field) ในกรณีนี้เราได้จำนวนเต็ม  ด้วยซ้ำ
ในทางกลับกัน ค่าดิสคริมิแนนท์มอดุลาร์ (modular discriminant)
\Delta(\tau) = g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2 = (2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)
มักจะเป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของฟังก์ชันอีตาดิริชเลต์ (Dedekind eta function)  คือ
\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac14\right)}{2^\frac{11}{8} \pi^\frac34}
สังเกตว่าทฤษฎีบทยูนิฟอร์มไมเซชัน (uniformization theorem) บ่งว่าทุกพื้นผิวรีมันน์ที่กระชับ (compact Riemann surface) ที่มีจีนัส 1 จะสามารถเขียนแทนได้ด้วยทอรัส นี่ทำให้เราสามารถเข้าใจจุดทอร์ชันบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ง่ายขึ้น: ถ้าแลตทิซ  ถูกสแปนโดยคาบพื้นฐาน  and  แล้วจุด -ทอร์ชัน (-torsion points) จะเป็นชั้นสมมูลของจุดในรูป
\frac{a}{n} \omega_1 + \frac{b}{n} \omega_2
สำหรับจำนวนเต็ม  และ  ในช่วง 
ถ้า
E : y^2=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)
เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเฉพาะ และ
a_0=\sqrt{e_1-e_3}, \qquad b_0=\sqrt{e_1-e_2}, \qquad c_0=\sqrt{e_2-e_3},
แล้วคู่ของคาบพื้นฐานของ  สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วจาก
\omega_1=\frac{\pi}{\operatorname{M}(a_0,b_0)}, \qquad \omega_2=\frac{\pi}{\operatorname{M}(c_0,ib_0)}
เมื่อ  คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต (Arithmetic-geometric mean) ของ  และ  ในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต เครื่องหมายของ  ที่เกิดจากความกำกวมในการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะถูกเลือกให้  เมื่อ  และ  คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตในขั้นที่  ของ  และ  ตามลำดับ โดยเมื่อ  แล้วเรากำหนดเพิ่มเติมอีกว่า 
เหนือจำนวนเชิงซ้อน ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีมีจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) เก้าจุด  เส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านจุดเปลี่ยนเว้าสองจุดจะผ่านจุดเปลี่ยนเว้าอีกจุดเสมอ จุด 9 จุดและเส้นตรง 12 เส้นที่เกิดขึ้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของ Hesse configuration
== ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรี ==
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีการประยุกต์ใช้ในการเข้ารหัสและการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม ไอเดียสำคัญที่สามารถพบได้ในการประยุกต์ใช้เหล่านี้ คือเปลี่ยนขั้นตอนวิธีเดิมที่ใช้กรุปจำกัดบางตัว ให้ใช้กรุปของจำนวนตรรกยะบนเส้นโค้งเชิงวงรี
ระบบเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic curve cryptography)
การแลกเปลี่ยนกุญแจ Diffie–Hellman โดยใช้เส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic-curve Diffie–Hellman key exchange)
Supersingular isogeny key exchange
ขั้นตอนวิธี elliptic curve digital signature
ขั้นตอนวิธี EdDSA digital signature
ระบบสุ่มตัวเลข Dual EC DRBG
การแยกตัวประกอบโดยเส้นโค้งเชิงวงรีของเลนสตรา (Lenstra elliptic-curve factorization)
การตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic curve primality proving)
== ตัวแทนแบบอื่น ๆ ของเส้นโค้งเชิงวงรี ==
รูปแบบเฮสเซียนของเส้นโค้งเชิงวงรี (Hessian curve)
เส้นโค้งเอ็ดเวิร์ดส์ (Edwards curve)
Twisted curve
Twisted Hessian curve
Twisted Edwards curve
Doubling-oriented Doche–Icart–Kohel curve
Tripling-oriented Doche–Icart–Kohel curve
เส้นโค้งจาโคเบียน
เส้นโค้งมอนต์โกเมอรี
== ดูเพิ่ม ==
ระบบพลวัติเชิงจำนวน
พีชคณิตเชิงวงรี
พื้นผิวเชิงวงรี
การเปรียบเทียบระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์
Isogeny
j-line
Level structure (algebraic geometry)
ทฤษฎีบทมอดุลาริตี
Moduli stack of elliptic curves
Nagell–Lutz theorem
สูตรรีมันน์-ฮูร์วิตซ์
บทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาของไวลส์
== อ้างอิง ==
== บรรณานุกรม ==
เซอร์เก ลาง เคยเขียนในบทนำของหนังสือที่ได้อ้างอิงด้านล่างนี้ว่า "เป็นไปได้ที่จะเขียนเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีโดยไม่จบสิ้น (นี่ไม่ใช่คำขู่)" ("It is possible to write endlessly on elliptic curves. (This is not a threat.)") รายการด้านล่างนี้จึงเป็นเพียงรายการแนะนำไปยังวรรณกรรมเกี่ยวกับเส้นโค้งเชิงวงรีที่มีอยู่ดาษดื่น ทั้งในทางทฤษฎี ทางขั้นตอนวิธี และในทางวิทยาการเข้ารหัสลับของเส้นโค้งเชิงวงรี
, winner of the MAA writing prize the George Pólya Award
Chapter XXV
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
LMFDB: Database of Elliptic Curves over Q
The Arithmetic of elliptic curves จาก PlanetMath
Interactive elliptic curve over R and over Zp – web application that requires HTML5 capable browser
เส้นโค้งเชิงวงรี
ทฤษฎีจำนวนเชิงการวิเคราะห์
ทฤษฎีกรุป