ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน Rn  โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rn  จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ Rn จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ
ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส
== ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ ==
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์
== ข้อความ ==
== พิสูจน์ ==
ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ \mathbb{R}^1 (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน \mathbb{R} ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้
เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า (x_n) เป็นลำดับมีขอบเขต ใน \mathbb{R} โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า
สำหรับกรณีทั่วไป (\mathbb{R}^n) จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน \mathbb{R}^n ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด n ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า
== บทพิสูจน์แบบอื่น ==
ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง  เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต (x_n) :
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 1.svg|เพราะ (x_n)_{n\in\N} มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง s และขอบเขตบน S .
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 2.svg|เราใช้ I_1=[s,S] เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 3.svg|จากนั้นแบ่ง I_1 ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลาง
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 4.svg|เนื่องจากลำดับ (x_n)_{n\in\N} เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง I_2
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 5.svg|จากนั้นเราก็แบ่ง I_2 อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วง
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 6.svg|เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ (x_n)_{n\in\N} อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม I_3
ไฟล์:Bolzano–Weierstrass theorem - step 7.svg|เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ  จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ (I_1 \supset I_2 \supset I_3 \dotsb)
เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า (I_n)_{n\in\N} = ([a_n, b_n])_{n\in\N} เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่ a_n \leq b_n) แล้วอินเตอร์เซคชัน \bigcap_{n\in\N} I_n จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า x \in  \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n} เป็นจุดเกาะกลุ่มของ (x_n)
กำหนดย่านใกล้เคียง U ของ x ใด ๆ มา  เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วงI_N ที่เป็นสับเซตแท้ของ U  เนื่องจาก I_N บรรจุสมาชิกของ (x_n) เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ I_N\subseteq U, ดังนั้น U บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ (x_n)ทำให้ได้ว่า x เป็นจุดเกาะกลุ่มของ (x_n) ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ (x_n) ที่ลู่เข้า x
== ดูเพิ่ม ==
ปริภูมิกระชับเชิงลำดับ
ทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรล
ความบริบูรณ์ของจำนวนจริง
หลักการแปรผันของเอเคอลองด์
== อ้างอิง ==
== บรรณานุกรม ==
ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์
การวิเคราะห์เชิงจริง