วงรอบอุปราคา

อุปราคาอาจอุบัติขึ้นได้ซ้ำโดยคั่นถูกด้วยช่วงเวลาหนึ่ง ช่วงเวลาเหล่านี้เรียกว่า วงรอบอุปราคา (eclipse cycles) และชุดของอุปราคาที่ถูกคั่นด้วยการอุบัติซ้ำของช่วงเวลาเหล่านี้จะเรียกว่า ชุดอุปราคา (eclipse series)
== ลักษณะของอุปราคา ==

อุปราคาอาจเกิดขึ้นได้เมื่อโลกและดวงจันทร์เรียงตัวในแนวเดียวกันกับดวงอาทิตย์ และเงาจากแสงดวงอาทิตย์ของวัตถุหนึ่งเกิดฉายลงบนพื้นผิวของอีกวัตถุหนึ่งพอดี ดังนั้นในช่วงจันทร์ดับ ดวงจันทร์จะอยู่ในตำแหน่งร่วมทิศกับดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์อาจเคลื่อนผ่านด้านหน้าของดวงอาทิตย์ซึ่งสามารถสังเกตเห็นปรากฏการณ์ดังกล่าวได้ในแนวแคบ ๆ บนพื้นผิวโลกเป็นสุริยุปราคา ในช่วงจันทร์เพ็ญ ดวงจันทร์จะอยู่ในตำแหน่งตรงข้ามกันกับดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์อาจเคลื่อนผ่านเข้าไปในเงาของโลก และเกิดเป็นจันทรุปราคาขึ้น ซึ่งสามารถสังเกตเห็นได้ในซีกกลางคืนของโลก ตำแหน่งร่วมทิศและตรงกันข้ามของดวงจันทร์นี้มีชื่อเรียกเป็นพิเศษ คือ ซิสซีจี (syzygy) มาจากภาษากรีกหมายถึงการพบสบกัน เนื่องด้วยความสำคัญของดิถีจันทร์เหล่านี้
อุปราคานั้นมิได้เกิดขึ้นในทุกจันทร์ดับหรือจันทร์เพ็ญ เนื่องจากระนาบวงโคจรของดวงจันทร์รอบโลกนั้นมีการเอียงทำมุมกับระนาบของวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์ ดังนั้น หากมองจากโลกแล้ว เมื่อดวงจันทร์ปรากฏอยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ในช่วงจันทร์ดับ หรือไกลออกไปจากดวงอาทิตย์ในช่วงจันทร์เพ็ญ นั้นหมายถึงว่าวัตถุทั้งสามนั้นหาได้เรียงตัวในแนวเดียวกันไม่
ความเอียงนี้มีค่าเฉลี่ยประมาณ 5°&thinsp;9′ ซึ่งมากกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางปรากฏเฉลี่ยของดวงอาทิตย์ (32′&thinsp;2″) เมื่อมองจากพื้นผิวโลกโดยตรงไปยังใต้ดวงจันทร์ (31′&thinsp;37″) และเงาของโลกที่ระยะจันทร์เฉลี่ย (1°&thinsp;23′) แล้ว
ดังนั้น ในจันทร์ดับส่วนมาก โลกจะเคลื่อนผ่านเงาของดวงจันทร์ไปทางเหนือหรือใต้เกินไป และจันทร์เพ็ญส่วนมากนั้นก็จะไม่อยู่ใต้เงาของโลก นอกจากนี้ ในสุริยุปราคาส่วนใหญ่ เส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมปรากฏของดวงจันทร์จะไม่เพียงพอที่จะบังดวงอาทิตย์ได้ทั้งดวง เว้นแต่ว่าดวงจันทร์จะอยู่ที่จุดใกล้โลกที่สุดในวงโคจร นั่นคือ อยู่ใกล้โลกและมีขนาดปรากฏใหญ่กว่าค่าเฉลี่ย แต่ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม การเรียงตัวจะต้องอยู่ในแนวสมบูรณ์เพื่อจะเกิดอุปราคาขึ้น
อุปราคาจะสามารถเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ ดวงจันทร์นั้นอยู่บนหรืออยู่ใกล้กับระนาบวงโคจรของโลกเท่านั้นหรือกล่าวคือเมื่อละติจูดสุริยวิถีต่ำ ซึ่งลักษณะนี้จะเกิดขึ้นเมื่อดวงจันทร์อยู่บนรอบหนึ่งจากสองของโหนดบนวงโคจรบนสุริยวิถี ณ เวลาที่เกิดซิสซีจี ดังนั้น ในการเกิดอุปราคา ดวงอาทิตย์จะต้องอยู่รอบโหนดใน ณ ขณะนั้นด้วย โดยจะเป็นโหนดเดียวกันสำหรับสุริยุปราคา หรือโหนดตรงข้ามสำหรับจันทรุปราคา
== การอุบัติซ้ำ ==

อุปราคาอาจเกิดขึ้นได้มากถึงสามเหตุการณ์ในช่วงฤดูอุปราคา ซึ่งเป็นช่วงเวลาหนึ่งหรือสองเดือนที่เกิดขึ้นปีละสองครั้ง ในช่วงเวลาที่ดวงอาทิตย์อยู่ใกล้โหนดบนวงโคจรของดวงจันทร์
อุปราคาไม่ได้เกิดขึ้นในทุกเดือน เนื่องจากหลังจากเกิดอุปราคาหนึ่งเดือน เรขาคณิตสัมพัทธ์ของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และโลกจะเปลี่ยนไป
เมื่อมองจากโลก ช่วงเวลาที่ดวงจันทร์ใช้ในการกลับมายังโหนด เรียกว่า เดือนดราโคนิก นั้นจะน้อยกว่าเวลาที่ดวงจันทร์ใช้ในการกลับสู่ลองจิจูดสุริยวิถีเดียวกับดวงอาทิตย์ที่เรียกว่า เดือนไซนอดิก เหตุผลหลัก คือ ช่วงเวลาที่ดวงจันทร์โคจรรอบโลกครบรอบ โลก (และดวงจันทร์) จะโคจรรอบดวงอาทิตย์ไปเป็นระยะ  ของวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์จึงต้องชดเชยระยะที่ขาดไปนี้เพื่อกลับมายังตำแหน่งร่วมทิศหรือตรงข้ามกับดวงอาทิตย์อีกครั้ง ประการต่อมา คือ โหนดบนวงโคจรของดวงจันทร์ที่หมุนควงไปทางด้านตะวันตกในลองจิจูดสุริยวิถี จะใช้เวลาในการครบรอบประมาณ 18.60 ปี ฉะนั้นแล้ว เดือนดราโคนิกจึงสั้นกว่าเดือนไซดีเรียล โดยรวมแล้ว ความแตกต่างของระยะเวลาระหว่างเดือนไซนอดิกและเดือนดราโคนิกจึงอยู่ที่ประมาณ  วัน ในทำนองเดียวกัน เมื่อมองจากโลก ดวงอาทิตย์จะเคลื่อนผ่านโหนดทั้งสองขณะที่เคลื่อนที่ไปบนสุริยวิถี ระยะเวลาที่ดวงอาทิตย์ใช้ในการกลับสู่โหนดจะเรียกว่า ปีอุปราคาหรือดราโคนิก หรือประมาณ 346.6201 วัน ซึ่งสั้นกว่าปีดาราคติประมาณ  ปี เนื่องจากการหมุนควง (precession) ของโหนด
หากสุริยุปราคาเกิดขึ้น ณ จันทร์ดับหนึ่ง ซึ่งจะต้องอยู่ใกล้กับโหนด ดังนั้นในจันทร์เพ็ญครั้งถัดไป ดวงจันทร์จะผ่านโหนดตรงข้ามไปแล้วมากกว่าหนึ่งวัด และอาจพลาดหรือไม่พลาดเงาของโลกก็ได้ ในจันทร์ดับครั้งถัดมา โหนดก็จะอยู่ไกลออกไปอีก ดังนั้นโอกาสในการเกิดอุปราคา ณ บริเวณใดบนพื้นผิวโลกจึงน้อย ดังนั้นภายในเดือนถัดมาจึงไม่มีอุปราคาอย่างแน่นอน
อย่างไรก็ตาม หลังจากนั้นประมาณ 5 หรือ 6 เดือนจันทรคติ จันทร์ดับจะเข้าใกล้กับโหนดตรงกันข้ามอีกครั้ง ณ เวลานั้น (ครึ่งปีอุปราคา) ดวงอาทิตย์จะเคลื่อนไปยังโหนดตรงกันข้ามเช่นกัน ดังนั้น สถานการณ์จึงเหมาะสมอีกครั้งสำหรับการเกิดอุปราคาครั้งหรือหลายครั้งได้อีก
== การปรากฏเป็นคาบ ==
การปรากฏเป็นคาบของสุริยุปราคา คือ ช่วงเวลาระหว่างการเกิดสุริยุปราคาสองครั้งติดต่อกัน ซึ่งจะเป็น 1, 5 หรือ 6 เดือนไซนอดิก มีการคำนวณว่าโลกจะประสบกับสุริยุปราคาทั้งสิ้น 11,898 ครั้งในระหว่างก่อนคริสตศักราช 2000 จนถึงคริสตศักราช 3000 ซึ่งสุริยุปราคาจะเกิดขึ้นซ้ำในทุก 18 ปี 11 วัน 8 ชั่วโมง (6,585.32 วัน) แต่มิได้เกิดขึ้นในบริเวณทางภูมิศาสตร์เดียวกัน
โดยบริเวณทางภูมิศาสตร์เดียวกันหนึ่ง ๆ จะเกิดสุริยุปราคาขึ้นในทุก 54 ปี 34 วัน ส่วนสุริยุปราคาเต็มดวงนั้นถือเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ยาก แม้ว่าจะเกิดขึ้นบนพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่งบนโลกโดยเฉลี่ยในทุก 18 เดือน
===การอุบัติซ้ำของสุริยุปราคา===
สำหรับการอุบัติซ้ำของสุริยุปราคา การจัดเรียงเชิงเรขาคณิตของโลก ดวงจันทร์ และดวงอาทิตย์ รวมไปถึงลักษณะบางประการของวงโคจรดวงจันทร์นั้นควรจะเกิดขึ้นซ้ำด้วย โดยมีเกณฑ์และคุณลักษณะในการอุบัติซ้ำของสุริยุปราคาดังต่อไปนี้
ดิถีจันทร์จะต้องเป็นจันทร์ดับ
ลองจิจูดของจุดไกลโลกที่สุดหรือจุดใกล้โลกที่สุดในวงโคจรของดวงจันทร์จะต้องเหมือนกัน
ลองจิจูดของโหนดขึ้นหรือโหนดลงจะต้องเหมือนกัน
โลกจะต้องอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ในระยะทางเกือบเท่าเดิม และเอียงทำมุมกับดวงอาทิตย์ในแนวเกือบเท่าเดิม
ลักษณะเหล่านี้สัมพันธ์กับสามช่วงเวลาในการเคลื่อนที่ไปตามวงโคจรของดวงจันทร์ ได้แก่ เดือนไซนอดิก เดือนอะนอมาลิสติก และเดือนดราโคนิก อีกนัยหนึ่งคือ อุปราคานั้นจะอุบัติซ้ำก็ต่อเมื่อดวงจันทร์ครบรอบคาบไซนอดิก ดราโคนิก และอะนอมาลิสติก (223, 242 และ 239) และลักษณะทางเรขาคณิตระหว่างโลก-ดวงอาทิตย์-ดวงจันทร์จำต้องเกือบเหมือนกันทุกประการจึงจะเกิดอุปราคาขึ้น ดวงจันทร์จะต้องอยู่ในโหนดเดียวกันและห่างจากโลกเท่ากัน โดยการเปลี่ยนแปลงแกมมาแบบทางเดียวจะเกิดไปตลอดชุดแซรอสใด ๆ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงของแกมมานั้นจะมากขณะที่โลกอยู่ไกลดวงอาทิตย์ที่สุด (มิถุนายนถึงกรกฎาคม) ซึ่งมากกว่าในขณะที่โลกอยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (ธันวาคมถึงมกราคม) และเมื่อโลกอยู่ในช่วงที่มีระยะห่างโดยเฉลี่ย (มีนาคมถึงเมษายนหรือกันยายนถึงตุลาคม) การเปลี่ยนแปลงของแกมมาก็จะอยู่เป็นค่าเฉลี่ยด้วยเช่นกัน
===การอุบัติซ้ำของจันทรุปราคา===
สำหรับการอุบัติซ้ำของจันทรุปราคา การจัดเรียงเชิงเรขาคณิตของโลก ดวงจันทร์ และดวงอาทิตย์ รวมไปถึงลักษณะบางประการของวงโคจรดวงจันทร์นั้นควรจะเกิดขึ้นซ้ำด้วย โดยมีเกณฑ์และคุณลักษณะในการอุบัติซ้ำของจันทรุปราคาดังต่อไปนี้
ดิถีจันทร์จะต้องเป็นจันทร์เพ็ญ
ลองจิจูดของจุดไกลโลกที่สุดหรือจุดใกล้โลกที่สุดในวงโคจรของดวงจันทร์จะต้องเหมือนกัน
ลองจิจูดของโหนดขึ้นหรือโหนดลงจะต้องเหมือนกัน
โลกจะต้องอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ในระยะทางเกือบเท่าเดิม และเอียงทำมุมกับดวงอาทิตย์ในแนวเกือบเท่าเดิม
ลักษณะเหล่านี้สัมพันธ์กับสามช่วงเวลาในการเคลื่อนที่ไปตามวงโคจรของดวงจันทร์ ได้แก่ เดือนไซนอดิก เดือนอะนอมาลิสติก และเดือนดราโคนิก อีกนัยหนึ่งคือ อุปราคานั้นจะอุบัติซ้ำก็ต่อเมื่อดวงจันทร์ครบรอบคาบไซนอดิก ดราโคนิก และอะนอมาลิสติก (223, 242 และ 239) และลักษณะทางเรขาคณิตระหว่างโลก-ดวงอาทิตย์-ดวงจันทร์จำต้องเกือบเหมือนกันทุกประการจึงจะเกิดอุปราคาขึ้น ดวงจันทร์จะต้องอยู่ในโหนดเดียวกันและห่างจากโลกเท่ากัน โดยการเปลี่ยนแปลงแกมมาแบบทางเดียวจะเกิดไปตลอดชุดแซรอสใด ๆ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงของแกมมานั้นจะมากขณะที่โลกอยู่ไกลดวงอาทิตย์ที่สุด (มิถุนายนถึงกรกฎาคม) ซึ่งมากกว่าในขณะที่โลกอยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (ธันวาคมถึงมกราคม) และเมื่อโลกอยู่ในช่วงที่มีระยะห่างโดยเฉลี่ย (มีนาคมถึงเมษายนหรือกันยายนถึงตุลาคม) การเปลี่ยนแปลงของแกมมาก็จะอยู่เป็นค่าเฉลี่ยด้วยเช่นกัน
===อุปราคามิได้เกิดขึ้นทุกเดือน===
สิ่งที่ต้องพิจารณาอีกประการหนึ่ง คือ การเคลื่อนที่ของดวงจันทร์นั้นมิใช่วงกลมโดยสมบูรณ์ วงโคจรของดวงจันทร์นั้นเป็นวงรีอย่างชัดเจน ดังนั้น ระยะห่างของดวงจันทร์จากโลกจึงมีการแปรผันไปตลอดวงรอบของดวงจันทร์ ระยะห่างที่ต่างกันนี้ทำให้เส้นผ่านศูนย์กลางปรากฏของดวงจันทร์เปลี่ยนแปลงไป และจึงมีอิทธิพลต่อทั้งโอกาส ระยะเวลา และชนิด (บางส่วน วงแหวน เต็มดวง หรือผสม) ของอุปราคา คาบการโคจรนี้เรียกว่า เดือนไซนอดิก (synodic month) เนื่องจากเป็นสิ่งที่ทำให้เกิด "วัฏจักรจันทร์เพ็ญ" ของดวงจันทร์ในการปรากฏของจันทร์เพ็ญ (และจันทร์ดับ) ในช่วงประมาณ 14 เดือนจันทรคติขึ้น ดวงจันทร์จะเคลื่อนที่เร็วขึ้นเมื่อเข้าใกล้โลก (ใกล้จุดใกล้โลกที่สุดในวงโคจร) และช้าลงเมื่ออยู่ใกล้จุดไกลโลกที่สุดในวงโคจร จึงทำให้ระยะเวลาในการเปลี่ยนแปลงซิสซีจีรายคาบนั้นใช้เวลานานถึง 14 ชั่วโมงในทั้งสองฝั่ง (เทียบกับระยะเวลาเฉลี่ย) และจึงทำให้เส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมปรากฏของดวงจันทร์นั้นเพิ่มหรือลดประมาณร้อยละ 6 วงรอบอุปราคาจึงต้องประกอบด้วยจำนวนเกือบเต็มของเดือนอะนอมาลิสติก เพื่อที่จะพยากรณ์อุปราคาได้ดี
ถ้าโลกมีวงโคจรเป็นวงกลมอย่างสมบูรณ์รอบดวงอาทิตย์ และวงโคจรของดวงจันทร์ก็เป็นวงกลมอย่างสมบูรณ์รอบโลกด้วยเช่นกัน และวงโคจรของทั้งสองก็อยู่บนระนาบเดียวกันอีก จะเกิดอุปราคาจำนวนสองครั้งขึ้นในทุกเดือนจันทรคติ (29.53 วัน) จันทรุปราคาจะเกิดขึ้นในทุกคืนจันทร์เพ็ญ สุริยุปราคาจะเกิดขึ้นในทุกวันจันทร์ดับ และสุริยุปราคาทั้งหมดจะเป็นชนิดเดียวกัน อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริงแล้ว ระยะห่างระหว่างโลกกับดวงจันทร์และโลกกับดวงอาทิตย์นั้นแตกต่างกัน เนื่องจากทั้งโลกและดวงจันทร์มีวงโคจรเป็นวงรี ยิ่งไปกว่านั้น วงโคจรของทั้งสองวัตถุก็ไม่ได้ตั้งอยู่ในระนาบเดียวกันด้วย โดยที่วงโคจรของดวงจันทร์เอียงทำมุมประมาณ 5.14° กับวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์ ดังนั้น วงโคจรของดวงจันทร์จึงตัดกับสุริยวิถีที่จุดหรือโหนดสองแห่ง หากจันทร์ดับเกิดขึ้นภายในประมาณ 17° ของโหนดแล้ว ก็จะสามารถสังเกตเห็นสุริยุปราคาได้จากตำแหน่งในตำแหน่งหนึ่งบนโลก
ที่ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยที่ 0.99° ต่อวัน ทำให้ดวงอาทิตย์ใช้เวลา 34.5 วันในการข้ามเขตอุปราคา (eclipse zone) ที่มีความกว้าง 34° โดยมีแต่ละจุดโหนดเป็นจุดศูนย์กลาง เนื่องจากเมื่อเทียบวงโคจรของดวงจันทร์กับดวงอาทิตย์แล้วจะมีระยะเวลาเฉลี่ย 29.53 วัน จึงทำให้จะเกิดสุริยุปราคาจำนวนหนึ่งถึงสองครั้งในระหว่างแต่ละช่วง 34.5 วันเมื่อดวงอาทิตย์นั้นเคลื่อนผ่านเขตอุปราคาของโหนด โดยที่ช่วงเวลาเหล่านั้นถูกเรียกว่า ฤดูอุปราคา (eclipse seasons) ในแต่ละฤดูอุปราคาจะมีอุปราคาเกิดขึ้นสองถึงสามครั้ง ในระหว่างฤดูอุปราคา ความเอียงของวงโคจรดวงจันทร์จะต่ำ ดังนั้น ดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และโลกจะสามารถเรียงตัวเป็นเส้นตรงได้พอดี จึงทำให้เกิดอุปราคาขึ้นได้
== ค่าตัวเลข ==
ข้อมูลด้านล่างเหล่านี้คือความยาวของเดือนประเภทต่าง ๆ ที่ได้กล่าวไปแล้วในข้างต้น (ตามปฏิทินดาราศาสตร์ของจันทรา ELP2000-85 สำหรับสมัย J2000.0 จาก ("เช่น") Meeus (1991)) ได้แก่
เดือนไซนอดิก (Synodic month หรือ SM)         =  29.530588853 วัน
เดือนดราโคนิก (Draconic month หรือ DM)        =  27.212220817 วัน
เดือนอะนอมาลิสติก (Anomalistic month หรือ AM) =  27.55454988 วัน
ปีอุปราคา (Eclipse year หรือ EY)               = 346.620076 วัน
โปรดทราบว่าจุดที่ขยับหลักนั้นมีสามจุด ได้แก่ ดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และโหนด (ขึ้น) และมีคาบหลักทั้งหมดสามคาบ โดยเมื่ออย่างใดอย่างหนึ่งจากทั้งสามจุดขยับสามารถเข้าคู่กันกับคาบหนึ่งได้ หรือกล่าวคือ เป็นเดือนไซนอดิกเมื่อดวงจันทร์กลับสู่ดวงอาทิตย์ เป็นเดือนดราโคนิกเมื่อดวงจันทร์กลับสู่โหนด และเป็นปีสุริยวิถีเมื่อดวงอาทิตย์กลับสู่โหนด ความสัมพันธ์แบบสองทางทั้งสามแบบนี้นั้นไม่เป็นอิสระต่อกัน (เช่น ทั้งเดือนไซนอดิกและปีอุปราคาจะขึ้นกับการเคลื่อนที่ปรากฏของดวงอาทิตย์ หรือทั้งเดือนดราโคนิกและปีอุปราคาจะขึ้นกับการเคลื่อนที่ของโหนด) และแท้จริงแล้ว ปีอุปราคาสามารถอธิบายได้ว่าเป็นคาบบีต (beat period) ของเดือนไซนอดิกและเดือนดราโคนิก (กล่าวคือ เป็นคาบของความแตกต่างระหว่างเดือนไซนอดิกและเดือนดราโคนิก) ดังสูตร
\mbox{EY} = \frac{\mbox{SM} \times \mbox{DM}}{\mbox{SM}-\mbox{DM}}
โดยสามารถพิสูจน์ได้จากการแทนค่าตัวเลขที่ให้ไว้ในข้างต้นนั้น
วงรอบอุปราคามีคาบหนึ่งที่มีเดือนไซนอดิกที่ใกล้จำนวนเต็มหรือเป็นจำนวนเต็มครึ่งหนึ่งของเดือนดราโคนิก หรือกล่าวคือ เป็นคาบหลังจากอุปราคา โดยที่ซิสซีจี (จันทร์ดับหรือจันทร์เพ็ญ) นั้นเกิดขึ้นอีกครั้งใกล้กับโหนดของดวงจันทร์บนสุริยวิถี และจึงเกิดอุปราคาขึ้นได้อีกครั้ง แต่อย่างไรก็ตาม เดือนไซนอดิกและเดือนดราโคนิกนั้นเปรียบเทียบกันไม่ได้ เพราะอัตราส่วนของเดือนทั้งสองนั้นไม่ใช่จำนวนเต็ม เราจึงจำเป็นต้องประมาณอัตราส่วนนี้โดยใช้เศษส่วนสามัญ กล่าวคือ ตั้งตัวเศษและตัวส่วนขึ้น จากนั้นให้คูณทั้งสองคาบ นั่นคือ เดือนดราโคนิกและเดือนไซนอดิกเข้าไป โดยจะได้ที่ครอบคลุมระยะเวลาที่เท่ากัน (โดยประมาณ) ซึ่งแสดงถึงวงรอบอุปราคา
เศษส่วนเหล่านี้สามารถหาได้จากวิธีเศษส่วนต่อเนื่อง ซึ่งเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ให้ชุดของค่าประมาณที่ดีขึ้นแบบก้าวหน้าของค่าจำนวนจริงใด ๆ จากเศษส่วนแท้
เนื่องจากอาจเกิดอุปราคาได้ทุกครึ่งเดือนดราโคนิก เราจึงจำเป็นต้องหาค่าประมาณของครึ่งเดือนดราโคนิกต่อเดือนไซนอดิก ดังนั้น เป้าหมายอัตราส่วนต่อการประมาณ คือ SM / (DM/2) = 29.530588853 / (27.212220817/2) = 2.17039168
การขยายของเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับอัตราส่วนนี้ คือ
2.170391682 = [2;5,1,6,1,1,1,1,1,11,1,...]:
ผลหาร    Convergents
half DM/SM     ฐานสิบ        ชื่อวงรอบ (ถ้ามี)
2;           2/1    = 2
5           11/5    = 2.2
1           13/6    = 2.166666667  เทอม (semester)
6           89/41   = 2.170731707  เฮปตอน (hepton)
1          102/47   = 2.170212766  อ็อกตอน (octon)
1          191/88   = 2.170454545  โซลคีเนกซ์ (tzolkinex)
1          293/135  = 2.170370370  ตริโตส (tritos)
1          484/223  = 2.170403587  แซรอส (saros)
1          777/358  = 2.170391061  อีเนกซ์ (inex)
11         9031/4161 = 2.170391732  เซเลบิต (selebit)
1         9808/4519 = 2.170391679  สแควร์เยียร์ (square year)
...
อัตราส่วนของเดือนไซนอดิกต่อครึ่งปีอุปราคาในชุดเดียวกัน คือ
5.868831091 = [5;1,6,1,1,1,1,1,11,1,...]
ผลหาร    Convergents
SM/half EY  ฐานสิบ         SM/full EY  ชื่อวงรอบ
5;      5/1      = 5
1       6/1      = 6              12/1        เทอม (semester)
6      41/7      = 5.857142857                เฮปตอน (hepton)
1      47/8      = 5.875          47/4        อ็อกตอน (octon)
1      88/15     = 5.866666667                โซลคีเนกซ์ (tzolkinex)
1     135/23     = 5.869565217                ตริโตส (tritos)
1     223/38     = 5.868421053   223/19       แซรอส (saros)
1     358/61     = 5.868852459   716/61       อีเนกซ์ (inex)
11    4161/709    = 5.868829337
1    4519/770    = 5.868831169  4519/385
...
แต่ละรอบอุปราคาเหล่านี้ การผสานของข้อมูลเหล่านี้อาจทำให้วงรอบมีความแม่นยำน้อยลงได้
== วงรอบอุปราคา ==
นี่คือตารางสรุปลักษณะของวงรอบอุปราคาแบบต่าง ๆ และสามารถคำนวณได้จากผลลัพธ์จากส่วนก่อนหน้าได้ สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดูที่ 'cf. Meeus (1997) Ch.9. และความเห็นด้านล่าง และวงรอบหลายแบบที่โดดเด่นในหน้าของผู้คำนวณ
วงรอบอุปราคาใด ๆ และช่วงเวลาระหว่างอุปราคาสองครั้งใด ๆ สามารถแสดงได้เป็นการรวมกันของช่วงแซรอส (s) และอีเนกซ์ (i) โดยรายการเหล่านี้อยู่ในคอลัมน์ "สูตร"
===หมายเหตุ===
รายปักษ์ (Fortnight): ครึ่งหนึ่งของเดือนไซนอดิก (29.53 วัน) เมื่อมีอุปราคาเกิดขึ้น โดยมีโอกาสพอสมควรที่ในซิสซีจีถัดไปจะเกิดอุปราคาขึ้นอีกครั้ง ซึ่งดวงอาทิตย์และดวงจันทร์จะเคลื่อนไปประมาณ 15 องศาเมื่อเทียบกับโหนด (ดวงจันทร์อยู่ตรงกันข้ามกับครั้งก่อน) แต่ยังอยู่ในขอบเขตที่จะเกิดอุปราคาได้ ตัวอย่างเช่น สุริยุปราคาบางส่วน 1 มิถุนายน พ.ศ. 2554จะตามด้วยจันทรุปราคา 15 มิถุนายน พ.ศ. 2554 และสุริยุปราคาบางส่วน 1 กรกฎาคม พ.ศ. 2554
ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่ ฤดูอุปราคา
เดือนไซนอดิก (Synodic month): ในทำนองเดียวกัน กล่าวคือ อุปราคาสองเหตุการณ์ห่างกันหนึ่งเดือนไซนอดิก โดยมีดวงอาทิตย์และดวงจันทร์อยู่ในตำแหน่งสองตำแหน่งในแต่ละด้านของโหนดห่างกัน 29 องศา โดยทั้งสองอุปราคาจะเป็นอุปราคาแบบบางส่วน ถ้าเป็นจันทรุปราคาจะเป็นแบบเงามัว
เพนตะลูเนกซ์ (Pentalunex): 5 เดือนไซนอดิก โดยสุริยุปราคาหรือจันทรุปราคาที่ต่อเนื่องกันอาจเกิดขึ้นห่างกัน 1, 5 หรือ 6 เดือนไซนอดิก
เทอม (Semester): ครึ่งปีจันทรคติ อุปราครจะเกิดขึ้นซ้ำห่างกันหนึ่งเทอมที่โหนดสลับกันในวงรอบที่กินเวลา 8 เหตุการณ์อุปราคา เนื่องจากมีความใกล้กับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มเดือนอะนอมาลิสติก เดือนดราโคนิก และปีสุริยคติ ดังนั้นแต่ละสุริยุปราคาจะเกิดสลับกันในซีกโลกทั้งสองในแต่ละเทอม ตลอดจนสลับกันระหว่างชนิดเต็มดวงและวงแหวน ดังนั้น อาจมีสุริยุปราคาเต็มดวงหรือวงแหวนได้สูงสุดหนึ่งครั้งในหนึ่งปี (สำหรับจันทรุปราคา อุปราคานั้นจะเกิดขึ้นซ้ำในหนึ่งเทอมที่โหนดสลับกันในวงรอบที่กินเวลา 8 เหตุการณ์อุปราคา เนื่องจากมีความใกล้กับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มเดือนอะนอมาลิสติก เดือนดราโคนิก และปีสุริยคติ ดังนั้นแต่ละจันทรุปราคาแต่ละครั้งจะเกิดขึ้นสลับกันระหว่างขอบของเงาของโลกในแต่ละเทอม ตลอดจนจุดใกล้และไกลที่สุดบนวงโคจรดวงจันทร์ด้วย ดังนั้นจึงมีจุดใกล้หรือจุดไกลที่สุดของดวงจันทร์ได้สูงสุดหนึ่งครั้งในหนึ่งปี)
ปีจันทรคติ (Lunar year): สิบสองเดือนไซนอดิก ซึ่งนานกว่าปีอุปราคาเล็กน้อย โดยดวงอาทิตย์จะกลับมายังโหนด จึงอาจเกิดอุปราคาชึ้นได้อีกครั้ง
เฮปตอน (Hepton): 7 ฤดูอุปราคาและหนึ่งวงรอบอุปราคาที่มีความโดดเด่นน้อย อุปราคาแต่ละครั้งในเฮปตอนจะตามมาด้วยอุปราคาหนึ่งครั้งจาก 3 ชุดแซรอสก่อนหน้า โดยจะเกิดสลับโหนดกันเสมอ สำหรับสุริยุปราคา (หรือจันทรุปราคา) จะตรงกับระยะ 41 เดือนไซนอดิก (1,211 วันสุริยคติ)
อ็อกตอน (Octon):  ของวัฏจักรเมตอน แต่ละอ็อกตอนในชุดจะห่างกัน 2 แซรอส โดยจะเกิดขึ้นที่โหนดเดียวกันเสมอ สำหรับสุริยุปราคา (หรือจันทรุปราคา) จะตรงกับระยะ 47 เดือนไซนอดิก (1,388 วันสุริยคติ)
โซลคีเนกซ์ (Tzolkinex): ประกอบด้วยครึ่งเดือนดราโคนิก จึงเกิดอุปราคาขึ้นที่โหนดสลับและสลับซีกโลกที่เกิดด้วย แต่ละอุปราคาที่เกิดต่อเนื่องกันนั้นจะเป็นสมาชิกของชุดแซรอสก่อนหน้าจากครั้งก่อน โดยมีค่าเท่ากับสิบโซลคิน และทุกสามโซลคีเนกซ์ในชุดอุปราคานั้นเดือนอะนอมาลิสติกจะเข้าใกล้จำนวนเต็ม และจึงจะทำให้มีลักษณะที่คล้ายกันอีกครั้ง
แซร์ (ครึ่งแซรอส) (Sar): ประกอบด้วยรายปักษ์ที่เป็นเลขคี่ (223) เป็นผลให้อุปราคาเกิดขึ้นสลับกันระหว่างสุริยุปราคาและจันทรุปราคาในแต่ละวงรอบ โดยเกิดขึ้นที่โหนดเดียวกันและมีลักษณะคล้ายกัน สุริยุปราคาที่มีแกมมาเล็กจะตามด้วยจันทรุปราคาเต็มดวงที่อยู่ใกล้ศูนย์กลางเงาโลกมาก ส่วนสุริยุปราคาที่เงามัวของดวงจันทร์แตะขอบด้านใต้ของโลกเพียงเล็กน้อย จะตามด้วยครึ่งแซรอสหลังซึ่งเป็นจันทรุปราคาที่ดวงจันทร์เฉียดด้านใต้ของเงามัวของโลก
ตริโตส (Tritos): วัฏจักรเมดิโอเคอร์ สัมพันธ์กับแซรอส เช่น อีเนกซ์ โดยสามตริโตสจะใกล้เคียงกับจำนวนเต็มของเดือนอะนอมาลิสติก ดังนั้นจึงมีคุณสมบัติที่คล้ายกัน
แซรอส (Saros): วงรอบอุปราคาที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดและเป็นหนึ่งในวงรอบที่ดีที่สุดในการใช้ทำนายอุปราคา โดย 223 เดือนไซนอดิกจะเท่ากับ 242 เดือนดราโคนิกมีความคลาดเคลื่อนเพียง 51 นาที นอกจากนี้ยังใกล้กับ 239 เดือนอะนอมาลิสติก ซึ่งทำให้พฤติการณ์ระหว่างอุปราคาสองครั้งที่ต่างกันหนึ่งแซรอสนั้นคล้ายกันอย่างมาก
วัฏจักรเมตอน (Metonic cycle) หรือ เอนเนียดเคเทอริส (enneadecaeteris): เท่ากับ 19 ปีสุริยคติ หรืออาจนับเป็น 5 คาบ"อ็อกตอน" ซึ่งใกล้กับ 20 ปีอุปราคาด้วย จึงทำให้เกิดอุปราคาเป็นชุดสั้น ๆ ในวันบนปฏิทินเดียวกัน ประกอบด้วย 110 เดือนว่าง (hollow) และ 125 เดือนเต็ม (full) หรือราว 6,940 วัน และเท่ากับ 235 เดือนจันทรคคิ (235 เดือนไซนอดิก) โดยคลาดเคลื่อนไปประมาณ 7.5 ชั่วโมงเท่านั้น
อีเนกซ์ (Inex): เป็นวงรอบที่สะดวกในการนำมาใช้จำแนกวงรอบอุปราคา ชุดอีเนกซ์นั้นหลังจากเกิดขึ้นแล้วจะดำเนินไปเป็นระยะเวลาหลายพันปี มีอุปราคาเกิดขึ้นทุก 29 ปีหรือมากกว่านั้น หนึ่งอีเนกซ์หลังจากอุปราคาแล้ว อุปราคาอีกชุดจะเกิดขึ้นที่เกือบลองจิจูดเดียวกัน แต่จะอยู่ในละติจูดตรงข้าม
เอกซ์เซลิกมอส (Exeligmos): สามชุดแซรอส มีข้อได้เปรียบคือจำนวนวันนั้นเกือบเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นอุปราคาครั้งถัดไปจะสามารถมองเห็นได้ในตำแหน่งใกลักับอุปราคาที่เกิดขึ้นในเอกซ์เซลิกมอสก่อนหน้า ซึ่งตรงกันข้ามกับแซรอส โดยอุปราคาจะเกิดขึ้นอีกในประมาณ 8 ชั่วโมงต่อมาหรือประมาณ 120 องศาไปทางตะวันตกของอุปราคาที่เกิดขึ้นก่อนหน้า
วัฏจักรแคลลิปปิก (Callippic cycle): 441 เดือนว่างและ 499 เดือนเต็ม หรือเท่ากับ 4 วัฏจักรเมตอนลบหนึ่งวันหรือ 76 ปีของ  วันอย่างแม่นยำ โดยเท่ากับ 940 เดือนจันทรคติและคลาดเคลื่อนเพียง 5.9 ชั่วโมงเท่านั้น
ไทรแอด (Triad): สามอีเนกซ์ มีข้อดีตรงที่มีจำนวนเดือนอะนอมาลิสติกเกือบเป็นจำนวนเต็ม ทำให้พฤติการณ์ระหว่างอุปราคาสองครั้งที่ห่างกันหนึ่งไทรแอดนั้นคล้ายมาก แต่จะเกิดในละติจูดตรงข้ามกัน โดยมีระยะเกือบเท่า 87 ปีปฏิทินลบ 2 เดือน ไทรแอดหมายความว่าทุกสามชุดแซรอสนั้นจะมีความคล้ายคลึงกัน (ส่วนใหญ่จะเป็นสุริยุปราคาเต็มดวงหรือวงแหวนโดยดวงจันทร์บังที่กลางดวงอาทิตย์พอดี เป็นต้น) เช่น แซรอสที่ 130 133 136 139 142 และ 145 เป็นต้น ซึ่งทั้งหมดนี้จะมีอุปราคาที่ส่วนใหญ่แล้วดวงจันทร์บังที่กลางดวงอาทิตย์พอดี
วัฏจักรฮิปพาคิก (Hipparchic cycle): สร้างขึ้นโดยฮิปปาร์คอสเพื่อให้ตรงกับจำนวนเต็มของเดือน ปี (345) และวันไซนอดิกและอะนอมาลิสติก โดยการเทียบเปรียบเทียบการสังเกตสุริยุปราคาของตัวเขาเองกับการบันทึกของชาวบาบิโลนเมื่อ 345 ปีก่อน
บาบีโลเนียน (Babylonian): สัดส่วน 5923 ต่อละติจูดใน 5,458 เดือนที่ชาวแคลเดียใข้ในการคำนวณทางดาราศาสตร์
เตตราเดีย (Tetradia): บางครั้งจันทรุปราคาเต็มดวง 4 ครั้งจะเกิดขึ้นติดต่อกัน โดยมีช่วง 6 เดือนจันทรคติ (เทอม) และลักษณะนี้เรียกว่า เตตระ โจวันนี สเกียพาเรลลีสังเกตพบว่ามีหลายยุคที่เกิดเตตระขึ้นได้บ่อยและถูกขัดด้วยยุคที่พบได้ยาก การแปรผันนี้ใข้เวลาประมาณ 6 ศตวรรษ อองโตนี ปันเนอกูก (1951) เสนอคำอธิบายปรากฏการณ์นี้และพบว่ามีระยะเวลา 591 ปี วอน เดน เบิร์จ (1954) จาก Canon der Finsternisse ของทีโอดอร์ ฟอน ออปพอลเซร์ พบว่ามีคาบ 586 ปี
==อ้างอิง==
S. Newcomb (1882): On the recurrence of solar eclipses.  Astron.Pap.Am.Eph. vol. I pt. I .  Bureau of Navigation, Navy Dept., Washington 1882
J.N. Stockwell (1901): Eclips-cycles.  Astron.J. 504 [vol.xx1(24)], 14-Aug-1901
A.C.D. Crommelin (1901): The 29-year eclipse cycle.  Observatory xxiv nr.310, 379, Oct-1901
A. Pannekoek (1951): Periodicities in Lunar Eclipses.  Proc. Kon. Ned. Acad. Wetensch. Ser.B vol.54 pp.&nbsp;30..41 (1951)
G. van den Bergh (1954): Eclipses in the second millennium B.C.  Tjeenk Willink & Zn NV, Haarlem 1954
G. van den Bergh (1955): Periodicity and Variation of Solar (and Lunar) Eclipses, 2 vols.  Tjeenk Willink & Zn NV, Haarlem 1955
Jean Meeus (1991): Astronomical Algorithms (1st ed.).  Willmann-Bell, Richmond VA 1991; 
Jean Meeus (1997): Mathematical Astronomy Morsels [I], Ch.9 Solar Eclipses: Some Periodicities (pp.&nbsp;49..55). Willmann-Bell, Richmond VA 1997; 
Jean Meeus (2004): Mathematical Astronomy Morsels III, Ch.21 Lunar Tetrads'' (pp.&nbsp;123..140). Willmann-Bell, Richmond VA 2004; 
อุปราคา
ดาราศาสตร์