รูปวงรี

วงรี (ellipse) เป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ซึ่งล้อมรอบจุดโฟกัสสองจุดและทำให้ผลรวมของระยะทางจากจุดบนเส้นโค้งไปหาจุดโฟกัสแต่ละจุดเป็นค่าคงที่ จากนิยามนี้ วงรีถือเป็นนัยทั่วไปของวงกลม นั่นคือ วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีที่มีจุดโฟกัสซ้อนกันเป็นจุดเดียว ความยืดของวงรีแสดงด้วยค่าความเยื้องศูนย์กลาง ซึ่งสำหรับวงรีอาจมีค่าได้ตั้งแต่ 0 (กรณีพิเศษของวงกลม) และมากเข้าใกล้ 1 เท่าใดก็ได้ แต่ไม่ถึง 1 (ซึ่งจะกลายเป็นพาราโบลา) วงรียังสามารถนิยามเป็นเซตของจุด ที่สำหรับแต่ละจุดในเซต อัตราส่วนของระยะทางไปหาจุดที่กำหนด(ซึ่งจะเป็นหนึ่งในจุดโฟกัส)ต่อระยะทางไปหาเส้นที่กำหนด(เรียกว่าเส้นไดเรกทริกซ์) เป็นค่าคงที่ ซึ่งค่าคงที่นี้จะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางข้างต้น
วงรีเป็นภาคตัดกรวย นั่นคือ เกิดจากการตัดกันของทรงกรวยกับระนาบ (ดูภาพขวา) และยังเป็นภาคตัดของทรงกระบอก ยกเว้นเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดขนานกับแกนทรงกระบอก
== นิยาม ==
วงรีมักนิยามเป็นโลกัสของจุดในระนาบสองมิติ โดยจากจุดโฟกัส F_1กับ F_2และระยะทาง 2aจะนิยามวงรีเป็นเซตของจุด Pทั้งหมดที่ทำให้ผลบวกของระยะทาง |PF_1|กับ |PF_2|เป็น 2aหรือเขียนเป็นสัญกรณ์ว่า E = \{P \in \R^2|\ |PF_1| + |PF_2| = 2a \}(กรณีที่ 2a \le |F_1F_2|จะลดรูปเป็นเส้นตรง ดังนั้นเพื่อให้เป็นวงรีจะต้องบังคับ 2a >|F_1F_2|)
จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดโฟกัสทั้งสอง เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงรี เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสทั้งสองเรียกว่าแกนเอก และเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอกเรียกว่าแกนโท แกนเอกตัดกับวงกลมที่จุดยอด ซึ่งห่างจากจุดศูนย์กลาง a หน่วย ระยะทางจากจุดโฟกัสไปจุดศูนย์กลางเรียกว่าระยะโฟกัส c อัตราส่วน \tfrac{c}{a} = e คือความเยื้องศูนย์กลาง
== สมบัติ ==
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h,k) แกนเอกขนานแกน x ยาว 2a แกนโทขนานแกน y ยาว 2b เขียนสมการได้เป็น:
\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเป็นไปตามสูตร
e = \sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}
หากใช้ระบบสมการอิงตัวแปรเสริม จะสามารถเขียนวงรีในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น
x = h + a\cos t,\ y = k + b\sin t,\ 0 \le t 
หากแทน u = tan(t/2) จะได้สมการตัวแปรเสริมอีกรูปคือ
x = h + a\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right),\ y = k + b\left(\frac{2u}{1+u^2}\right),\ -\infty 
ในพิกัดเชิงขั้ว หากใช้จุดศูนย์กลางของวงรีเป็นจุดกำเนิด และวัดมุมเทียบกับแกนเอก จะได้เป็นสมการ
r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{(b \cos \theta)^2 + (a\sin \theta)^2}}=\frac{b}{\sqrt{1 - (e\cos\theta)^2}}
แต่หากใช่จุดโฟกัสเป็นจุดกำเนิด จะได้สมการที่ง่ายกว่า คือ
r(\theta)=\frac{a (1-e^2)}{1 \pm e\cos\theta}
วงรีมีพื้นที่ \pi ab เห็นได้จากการมองวงรีเป็นวงกลมรัศมี bที่ถูกยืดออก a/b เท่า จึงได้พื้นที่เป็น (\pi b^2)(\frac{a}{b}) = \pi a b หรืออาจพิสูจน์จากการอินทิเกรต โดยจัดรูปสมการวงรี \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 เป็น y = b \sqrt{1-x^2/a^2}อินทิเกรตจาก -a ถึง a จะได้พื้นที่ครึ่งบน ดังนั้นได้เป็น
\begin{align}
A &= 2 \int_{-a}^{a} b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\ dx \\
&= \frac{b}{a} \cdot 2 \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-x^2}\ dx \\
&= \frac{b}{a} \cdot \pi a^2 \\
&= \pi ab
\end{align}
ความยาวรอบรูปของวงรีไม่สามารถเขียนเป็นสูตรอย่างง่ายได้ โดยมีค่าเท่ากับอินทิกรัล
C = 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta = 4 a E(e)
เมื่อ E เป็นปริพันธ์วงรีสมบูรณ์ชนิดที่สอง (Complete elliptic integral of the second kind)
E(e) = \int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta
สูตรความยาวรอบรูปสามารถเขียนในรูปอนุกรมอนันต์ได้เป็น
\begin{align} C &= 2\pi a \left[{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2e^2 - \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\frac{e^4}{3} - \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2\frac{e^6}{5} - \cdots}\right] \\
&= 2\pi a \left[1 - \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{e^{2n}}{2n-1}\right] \end{align}
รามานุจันได้ให้สูตรประมาณค่าความยาวรอบรูปว่า
C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]= \pi \left[3(a+b)-\sqrt{10ab+3(a^2+b^2)}\right]
เส้นโค้ง
ภาคตัดกรวย