ผลคูณอนันต์

ในคณิตศาสตร์ ผลคูณอนันต์ของลำดับของจำนวนเชิงซ้อน a1, a2, a3, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย
\prod_{n=1}^\infty a_n = a_1a_2a_3...
นิยามเป็นลิมิตของผลคูณย่อย a1a2...an เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่าลู่เข้า เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้ลู่ออก  โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับอนุกรมอนันต์ มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ an เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง
ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า &#x3C0; เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ:
\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}...
\frac{\pi}{2}
= \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}...
= \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)
== เกณฑ์ในการลู่เข้า ==
ผลคูณของจำนวนจริงบวก
\prod_{n=1}^\infty a_n
จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม
\sum_{n=1}^\infty \log(a_n)
ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี an เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้
สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ a_n \ge 1หรือเขียนเป็น a_n = 1 + p_n,\ p_n \ge 0จะได้อสมการ
1 + \sum_{n=1}^N p_n
\le \prod_{n=1}^N (1+p_n)
\le \exp\left(\sum_{n=1}^N p_n\right)
ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ pn ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า p_n \to 0 แล้ว
\lim_{n\to\infty} \frac{\log(1+p_n)}{p_n}
= \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}
= 1
ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ
\sum_{n=1}^\infty \log(1+p_n)และ \sum_{n=1}^\infty p_n
เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ
บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก a_n = 1 - q_n,\ 0\le q_n แล้ว \prod_{n=1}^\infty (1-q_n)ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม \sum_{n=1}^\infty q_n ลู่เข้า
หากอนุกรม \sum_{n=1}^\infty \log(a_n)ลู่ออกไปสู่ - \inftyแล้วลำดับของผลคูณย่อยของ an จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่าลู่ออกไปสู่ศูนย์ 
สำหรับ p_n \ ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ\sum_{n=1}^\infty p_nไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ \prod_{n=1}^\infty (1+p_n)ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก\sum_{n=1}^\infty |p_n|ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม(ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์)กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก\sum_{n=1}^\infty|p_n|^2ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน
== รูปผลคูณของฟังก์ชัน ==
ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) f(z) ทุกฟังก์ชัน(นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า f มีรากอันดับ m ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ u1, u2, u3, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว
f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{u_n}\right)
\exp\left\{\frac{z}{u_n} + \frac{1}{2} \left(\frac{z}{u_n}\right)^2 + ... + \frac{1}{\lambda_n} \left(\frac{z}{u_n}\right)^{\lambda_n} \right\}
เมื่อ λn เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ φ(z) เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ λn อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด p ที่เมื่อ 'λ' n = p แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) p นี้เรียกว่าอันดับ (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ p = 0 จะได้เป็น
f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{u_n}\right)
ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ φ (z) เป็นค่าคงที่
นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น:
{| cellspacing="15"
|ขั้วอย่างง่าย (simple pole)
|\frac{c}{c- z}=\prod_{n=1}^\infty e^{\frac{1}{n}\,\left( \frac{z}{c}\right)^n}
|
|- valign="top"
|
|\frac{1}{1- z}=\prod_{n=0}^\infty \left(1+z^{2^n}\right)
|
|- valign="top"
|ฟังก์ชัน sinc
|\textrm{sinc}(\pi z) =\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)
|มาจากออยเลอร์  มีสูตรค่าพายของ Wallis เป็นกรณีพิเศษ
|- valign="top"
|ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ
|\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}} =   z \prod_{n=1}^\infty \frac{1+\frac{z}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}
|
|- valign="top"
|ฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์ชตราส
|\sigma(z) = z\prod_{\omega \in \Lambda_{*}} \left(1-\frac{z}{\omega}\right)e^{\frac{z^2}{2\omega^2}+\frac{z}{\omega}}
|\Lambda_{*}หมายถึงแลตทิซที่ไม่มีจุดกำเนิด
|- valign="top"
|เครื่องหมาย q-Pochhammer
|(z;q)_\infty = \prod_{n=0}^\infty (1-zq^n)
|ใช้ใน q-analog theory มีฟังก์ชันออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษ
|- valign="top"
|ฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน
|\begin{align}
f(a,b) &=\sum_{n=-\infty}^\infty a^{\frac{n(n+1)}{2}} b^{\frac{n(n-1)}{2}} \\
&= \prod_{n=0}^\infty (1+a^{n+1}b^n)(1+a^nb^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})
\end{align}
|แสดงผลคูณสามชั้นของจาโคบี  ใช้ในการเขียนฟังก์ชันทีตาของจาโคบี
|- valign="top"
|ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
|\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 - p_n^{-z}}
|pn หมายถึงลำดับของจำนวนเฉพาะ เป็นกรณีพิเศษของผลคูณออยเลอร์
|}
โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก ζ ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ ζ (z) ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (z) &#x3E; 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า ζ (z)) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด z = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย
== ดูเพิ่ม ==
อนุกรมอนันต์
เศษส่วนต่อเนื่อง
การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ
== อ้างอิง ==
การคูณ
คณิตวิเคราะห์
ลำดับและอนุกรม