เคิร์ล

ใน แคลคูลัสเวกเตอร์ เคิร์ล (curl) เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ ที่อธิบาย การหมุนของสนามเวกเตอร์ ในสามมิติ เคิร์ลของแต่ละจุดในสนามแทนด้วยเวกเตอร์ ซึ่งมีคุณลักษณะ (ความยาวและทิศทาง) ที่แสดงถึงลักษณะการหมุนที่จุดนั้น
ทิศทางของเคิร์ลคือแกนของการหมุนตามที่กำหนดโดยกฎมือขวา และขนาดของเคิร์ลคือขนาดของการหมุน เช่น ถ้าสนามเวกเตอร์แทน ความเร็วการไหลของของไหลที่กำลังเคลื่อนที่แล้วเคิร์ลจะเป็นความหนาแน่นของการไหลเวียน ของของไหล สนามเวกเตอร์ที่เคิร์ลเป็นศูนย์ เรียกว่าไร้การหมุน (irrotational)  เคิร์ลเป็นรูปแบบของ อนุพันธ์สำหรับสนามเวกเตอร์ โดยรูปทั่วไปของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสที่ใช้กับเคิร์ล คือ ทฤษฎีบทของสโตกส์ ซึ่งเชื่อมโยงปริพันธ์ตามผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์กับ ปริพันธ์ตามเส้นของสนามเวกเตอร์รอบเส้นโค้งขอบเขตของพื้นผิวนั้น
สัญกรณ์ของเคิร์ล เขียนเป็น  หรือ  ซึ่งใช้ตัวดำเนินการเดลและผลคูณไขว้ บางครั้งอาจเรียกเคิร์ลว่า โรเตชัน (rotation) หรือ โรเตชันนอล (rotational) เขียนเป็นสัญกรณ์ว่า 
เคิร์ลแตกต่างจากตัวดำเนินการเกรเดียนต์และไดเวอร์เจนซ์ เนื่องจากการประยุกต์สู่มิติอื่น ๆ ยากกว่า โดยมีความเป็นไปได้บางวิธี แต่จะมีเพียงในสามมิติเท่านั้นที่เคิร์ลของสนามเวกเตอร์จะเป็นสนามเวกเตอร์เหมือนเดิม ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับ ผลคูณไขว้ ซึ่งนิยามในสามมิติและขยายไปใช้ในมิติอื่นได้ยากเช่นเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้สะท้อนในสัญกรณ์ ∇× สำหรับเคิร์ล
ชื่อ "เคิร์ล" เสนอเป็นครั้งแรกโดย เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ใน ค.ศ. 1871  แต่แนวคิดนี้มีการใช้งานตั้งแต่ ค.ศ. 1839 ในทฤษฎีสนามเชิงแสงของเจมส์ แมกคัลลัค 

== นิยาม ==
เคิร์ลของสนามเวกเตอร์  (แทนด้วย  หรือ  หรือ ) ที่จุดหนึ่ง ๆ นิยามจากภาพฉายของมันลงบนเส้นต่าง ๆ ที่ผ่านจุดนั้น ถ้า  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใด ๆ ภาพฉายของเคิร์ลของ  ไปบน  นิยามโดยลิมิตของปริพันธ์ตามเส้นปิดในระนาบที่ตั้งฉากกับ n̂ หารด้วยพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ เมื่อเส้นทางการหาปริพันธ์ลดขนาดลงสู่จุด
ตัวดำเนินการเคิร์ลนำฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง  ไปสู่ฟังก์ชันต่อเนื่อง  และโดยทั่วไปแล้วจะแปลงฟังก์ชัน &quot;parts&quot;:[{&quot;template&quot;:{&quot;target&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;math&quot;,&quot;href&quot;:&quot;./Template:Math&quot;},&quot;params&quot;:{&quot;1&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;Ck&quot;}},&quot;i&quot;:0}}]}" about="#mwt974625047" class="texhtml" data-ve-no-generated-contents="true">ใน  เป็นฟังก์ชัน  ใน 

โดยปริยาย นิยามของเคิร์ล เขียนเป็นสมการได้เป็น  
(\nabla \times \mathbf{F})(p) \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0}\left( \frac{1}{|A|}\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\right)\mathbf{\hat{n}}
โดยที่  คือ อินทิกรัลตามเส้น ตามขอบเขตของพื้นที่รอบจุดและ  คือขนาดของพื้นที่ ถ้า  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบ  และ  เป็นเวกเตอร์ปกติที่ในระนาบที่ชี้ออกไปด้านนอกพื้นที่ (ดูภาพขวา) แล้ว ทิศทางของ  จะเลือกให้เวกเตอร์สัมผัส  ของ C ทำให้  เป็นชุดเวกเตอร์ที่เป็นไปตามกฎมือขวา
== การใช้งาน ==
ในทางปฏิบัติ นิยามข้างต้นไม่ค่อยได้ใช้เพราะในเกือบทุกกรณี ตัวดำเนินการเคิร์ลสามารถนำมาใช้ในกรอบของระบบพิกัดเชิงเส้นโค้งบางระบบ ที่มีการคำนวณหาสูตรที่ง่ายกว่าเอาไว้แล้ว
สัญกรณ์  มีต้นกำเนิดในความคล้ายคลึงกับผลคูณไขว้สามมิติ และมีประโยชน์ในการช่วยจำสูตรหาเคิร์ลในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดย  แทนตัวดำเนินการเดล สัญกรณ์เช่นนี้ถือเป็นปกติใน ฟิสิกส์ และ พีชคณิต
เมื่อกระจายสูตร  ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ (ดู เดลในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม สำหรับสูตรในระบบพิกัดทรงกลม และทรงกระบอก พิกัด) สำหรับ  ที่มีองก์ประกอบเวกเตอร์เป็น  จะได้เป็น
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[5pt]
{\dfrac{\partial}{\partial x}} & {\dfrac{\partial}{\partial y}} & {\dfrac{\partial}{\partial z}} \\[10pt]
F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}
โดยที่ i, j, และ k เป็น เวกเตอร์หน่วย สำหรับ แกน x y และ z ตามลำดับ สิ่งนี้จะขยายออกดังนี้: 
\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}
แม้ว่าจะแสดงในรูปแบบของพิกัด ผลลัพธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนที่เหมาะสมของแกนพิกัด แต่จะพลิกด้านภายใต้การสะท้อน
== อ้างอิง ==
เรขาคณิตวิเคราะห์
แคลคูลัสเวกเตอร์