บ่อศักย์แบบลึกจำกัด

บ่อศักย์แบบลึกจำกัด หรือ บ่อศักย์แบบความกว้างจำกัด เป็นแนวคิดจากกลศาสตร์ควอนตัม โดยเป็นส่วนขยายของบ่อศักย์แบบอนันต์ซึ่งเป็นอนุภาคที่ถูกกักขังอยู่ในกล่องแต่ในที่นี้เป็นแบบที่มีความลึกจำกัด และแตกต่างจากแบบลึกอนันต์ตรงที่มีโอกาสที่จะพบอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่อง การตีความแบบกลควอนตัมจะแตกต่างจากการตีความแบบคลาสสิก คือ ถ้าพลังงานทั้งหมดของอนุภาคน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง อนุภาคจะไม่สามารถพบอยู่ภายนอกกล่องได้ แต่ในการตีความแบบควอนตัม จะมีความน่าจะเป็นของอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่องที่ไม่เป็นศูนย์ ถึงแม้พลังงานของอนุภาคจะน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง
== อนุภาคในกล่อง 1 มิติ ==
สำหรับกรณี 1 มิติในแนวแกน x สามารถเขียนสมการชเรอชิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ได้ดังนี้
-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi \quad (1)
เมื่อ      \hbar = \frac{h}{2 \pi},
h \,       คือ ค่าคงที่ของพลังค์
m \,      คือ มวขของอนุภาค
\psi\,       คือ ฟังก์ชันคลื่นจินตภาพ (ที่ต้องการหา)
V\left(x\right)\,  คือ ฟังก์ชันของพลังงานศักย์ในแต่ละค่า x
E\,       คือ พลังงาน ซึ่งเป็นจำนวนจริง
เมื่อพิจารณาอนุภาคมวล m เคลื่อนที่ในบ่อศักย์แบบลึกจำกัด จะเขียนเป็นฟังก์ชันของพลังงานศักย์ได้ดังนี้
V(x) = \begin{cases} V_0, & \mbox{if }xL/2 \end{cases}
ตามทฤษฎีของกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคจะถูกกักและสะท้อนกลับไปกลับมาระหว่างขอบเขต -L/2\psi = \begin{cases} \psi_1, & \mbox{if }xL/2\mbox{  (the region outside the box)} ; R_3 \end{cases}
=== ขอบเขตภายในกล่อง ===
กรณีขอบเขตอยู่ภายในกล่อง (บริเวณที่ 2) จะได้ V(x) = 0 และเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น
-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = E \psi_2 .  \quad (2)
เมื่อ      k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},
ได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เป็น   \frac{d^2 \psi_2}{d x^2} = -k^2 \psi_2 .
=== ขอบเขตภายนอกกล่อง ===
เมื่อพิจารณาบริเวณนอกกล่อง ซึ่งมี 2 บริเวณ คือ บริเวณที่ 1 และ 3 โดย V(x)= V0  เขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น
-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = ( E - V_o) \psi_1 \quad (3) 
การพิจารณาแบ่งเป็น 2 กรณี คือ
1.  เมื่ออนุภาคมีพลังงานมากกว่าพลังงานศักย์ (E>V0) จะไม่ถูกกักไว้ในบ่อ แต่จะถูกกระเจิงออกไปโดยพลังงานศักย์ของบ่อ เรียกว่า การกระเจิง (The Scattering)
2.  เมื่ออนุภาคมีพลังงานน้อยกว่าพลังงานศักย์ (E0) จะถูกกักไว้ในบ่อศักย์ เรียกกรณีนี้ว่า สถานะจำกัดขอบเขต (Bound state)
ในกรณีนี้จะพิจารณา กรณีที่ 2 Bound state (E0) ดังนั้นเขียนสมการใหม่ได้เป็น
\frac{d^2 \psi_1}{d x^2} = \alpha^2 \psi_1  \quad (4) 
เมื่อ     \alpha = \frac{\sqrt{2m(V_o - E)}}{\hbar}
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (4) คือ  \psi_1 = Fe^{- \alpha x}+ Ge^{ \alpha x} \,\!
และคล้ายกันในบริเวณที่ 3 จะได้                \psi_3 = He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} \,\!
=== การหาฟังก์ชันคลื่นสำหรับกรณี bound state ===
โดยในส่วนก่อนหน้า เราหาฟังก์ชันคลื่นแต่ละบริเวณได้เป็น
\psi_1 = Fe^{- \alpha x}+ Ge^{ \alpha x} \,\!
\psi_2 = A \sin(k x) + B \cos(k x)\quad
\psi_3 = He^{- \alpha x}+ Ie^{ \alpha x} \,\!
เมื่อพิจารณาที่ x\rightarrow -\infty จะเห็นว่าเทอม  Fe^{- \alpha x} มีค่าไม่จำกัด
และเช่นเดียวกัน เมื่อพิจารณาที่ x\rightarrow +\infty  เทอม  Ie^{ \alpha x} \,\! จะมีจำกัด
ซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะต้องลู่เข้าสู่ศูนย์ นั่นคือต้องให้ F = I = 0 เขียนฟังก์ชันคลื่นใหม่ได้ว่า
{| cellpadding="4"
|\psi_1 = Ge^{ \alpha x} \,\!
|and
|\psi_3 = He^{- \alpha x} \,\!
|}
ในการคำนวณหา eigenvalue นั้น คำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์หรือฟังก์ชันคลื่นทั้ง 3 บริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับ 1 ที่บริเวณรอยต่อที่ x= -L/2 และ L/2
ตามสมการ
{| cellpadding="4"
|\psi_1(-L/2) = \psi_2(-L/2) \,\!
|
|\psi_2(L/2) = \psi_3(L/2) \,\!
|-
|\frac{d\psi_1}{dx}(-L/2) = \frac{d\psi_2}{dx}(-L/2) \,\!
|
|\frac{d\psi_2}{dx}(L/2) = \frac{d\psi_3}{dx}(L/2) \,\!
|}
คำตอบของสมการเหล่านี้จะเป็นจริงได้ 2 กรณี
1.     กรณีสมมาตร (symmetric case)           เมื่อ A = 0 และ G = H    เป็นคำตอบฟังก์ชันคี่ (Odd function)
2.     กรณีปฏิสมมาตร (antisymmetric case)  เมื่อ B = 0 และ G = -H    เป็นคำตอบฟังก์ชันคู่ (Even function)
ในกรณีเป็นแบบสมมาตร (ฟังก์ชันคี่) (A = 0 , B \neq  0) บริเวณรอยต่อที่ x = L/2 จะได้
He^{- \alpha L/2}  = B \cos(k L/2)  \quad (5)
- \alpha He^{- \alpha L/2}  =  - k B \sin(k L/2)  \quad (6)
แก้สมการ โดย (6)/(5) จะได้                                                 \alpha=k \tan(k L/2)  \quad (7).
และเช่นเดียวกันในกรณีไม่สมมาตร (ฟังก์ชันคู่)  จะได้             \alpha=-k \cot(k L/2)  \quad (8).
จากสมการ (7) และ (8) Eigenvalue ไม่สามารถหาค่าได้โดยตรง เนื่องจากทำได้ยาก ต้องหาค่าโดยใช้กราฟหรือตัวเลข
== อ้างอิง ==
กลศาสตร์ควอนตัม