ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด

ในวิชาคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด (Euclidean Algorithm) หรือขั้นตอนวิธีของยุคลิด เป็นวิธีคำนวณตัวหารร่วมมาก (หรม.) ของจำนวนเต็มสองจำนวน ตั้งชื่อตามยุคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้อธิบายทฤษฎีนี้ในอิลิเมนต์ของยุคลิดเล่ม VII และ X 
ตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวนคือจำนวนเต็มมากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนนั้นได้โดยไม่เหลือเศษ
ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดเริ่มต้นด้วยจำนวนเต็มบวกคู่หนึ่ง แล้วสร้างจำนวนคู่ใหม่ประกอบด้วยจำนวนที่น้อยกว่าและผลต่างระหว่างจำนวนทั้งสอง จากนั้นทำซ้ำจนจำนวนทั้งสองเท่ากัน จำนวนในขั้นตอนสุดท้ายเป็นตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มบวกเริ่มต้น
หลักการสำคัญคือ หรม. ไม่เปลี่ยนค่าถ้านำจำนวนที่น้อยกว่าลบจำนวนที่มากกว่า เช่น หรม. ของ 252 และ 105 เท่ากับ หรม. ของ 147 (=&nbsp;252&nbsp;−&nbsp;105) และ 105 จำนวนที่มากกว่าถูกลดลดค่าลงเสมอ ทำให้การทำวิธีนี้ซ้ำได้จำนวนที่เล็กลง การซ้ำนี้จึงจบอย่างแน่นอนเมื่อทั้งสองจำนวนมีค่าเท่ากัน (ถ้าทำอีกหนึ่งครั้ง จำนวนใดจำนวนหนึ่งจะเป็น 0)
หลักฐานเกี่ยวกับขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดพบในหนังสือ Elements ของยุคลิด (ในช่วงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล) ทำให้เป็นขั้นตอนวิธีเก่าแก่ที่สุดเกี่ยวกับจำนวนที่ยังใช้โดยทั่วไป ขั้นตอนวิธีฉบับดังเดิมใช้สำหรับจำนวนธรรมชาติและความยาวเชิงเรขาคณิต (จำนวนจริง) แต่นักคณิตศาสตร์ได้ขยายการใช้งานไปยังจำนวนชนิดอื่น เช่น จำนวนเต็มเกาส์เซียนและพหุนามหนึ่งตัวแปร อันนำไปสู่แนวคิดเชิงพีชคณิตนามธรรมสมัยใหม่ เช่นโดเมนแบบยุคลิด ซึ่งเป็นริงที่สามารถทำขั้นตอนวิธีของยุคลิดได้
ขั้นตอนวิธีของยุคลิดมีการประยุกต์ใช้ในทางทฤษฎีและปฏิบัติ อาจใช้ก่อกำเนิดจังหวะดนตรีที่สำคัญหลายรูปแบบที่พบในวัฒนธรรมต่างๆ ทั่วโลก  ขั้นตอนวิธีนี้เป็นส่วนประกอบสำคัญของการเข้ารหัสอาร์เอสเอ (การเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตรที่ใช้ทั่วไปในการพาณิชย์อิเล็กทรอนิกส์) ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดใช้แก้สมการไดโอแฟนไทน์แบบรูปแบบ เช่นการหาจำนวนที่สอดคล้องกับสมภาคหลายชุด (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) หรือตัวผกผันการคูณในฟิลด์จำกัด, ใช้สร้างเศษส่วนต่อเนื่อง, ใช้หาจำนวนรากจริงของพหุนามโดยวิธีโซ่ของสเติร์ม และในขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มสมัยใหม่ และที่สำคัญ ขั้นตอนวิธีของยุคลิดเป็นเครื่องมือสำหรับพิสูจน์ทฤษฎีบทในทฤษฎีจำนวน เช่น ทฤษฎีบทผลรวมกำลังสองของลากรองจ์และทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต
ถ้าปรับปรุงขั้นตอนวิธีให้ใช้เศษหารจากวิธีหารแบบยุคลิดแทนที่จะเป็นการลบ ขั้นตอนวิธีของยุคลิดคำนวณค่าตัวหารร่วมมากของจำนวนขนาดใหญ่อย่างมีประสิทธิภาพ โดยใช้ขั้นตอนวิธีการหารเป็นจำนวนครั้งไม่เกินห้าเท่าของจำนวนหลักของจำนวนขนาดเล็กกว่า (ในฐานสิบ) ขั้นตอนวิธีแบบปรับปรุงนี้พิสูจน์ได้โดย  เมื่อปี ค.ศ. 1844 นับเป็นจุดริเริ่มการศึกษาทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ และในคริสต์ศตวรรษที่ 20 มีการพัฒนาวิธีเพิ่มประสิทธิภาพในรูปแบบอื่นเพิ่มขึ้นมา
เมื่อย้อนขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด ตัวหารร่วมมากสามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของสองจำนวนที่นำมาดำเนินการ โดยที่แต่ละจำนวนคูณกับจำนวนเต็ม เช่น ตัวหารร่วมมากของ 252 และ 105 คือ 21 และ  สมบัตินี้เรียกว่าเอกลักษณ์ของเบซู
== พื้นฐาน — ตัวหารร่วมมาก ==
ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดคำนวณค่าตัวหารร่วมมาก (หรม.) ของจำนวนธรรมชาติสองจำนวน a และ b ค่าตัวหารร่วมมาก g เป็นจำนวนธรรมชาติค่ามากสุดที่หารทั้ง a และ b ลงตัว คำที่มีความหมายเหมือนกับ หรม. ได้แก่ ตัวประกอบร่วมค่ามากสุด (greatest common factor, GCF), ตัวประกอบร่วมค่ามากสุด (highest common factor, HCF) และ greatest common measure (GCM) ตัวหารร่วมมากมักเขียนแทนด้วย gcd(a,&nbsp;b) หรือ (a,&nbsp;b), แม้ว่าสัญลักษณ์แบบหลังใช้สำหรับความคิดรวบยอดทางคณิตศาสตร์อีกหลายอย่าง เช่น เวกเตอร์พิกัดสองมิติ
ถ้า gcd(a,&nbsp;b)&nbsp;=&nbsp;1 แล้ว a กับ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ความเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ไม่ได้บ่งบอกว่า a หรือ b เป็นจำนวนเฉพาะเองแต่อย่างใด เช่น 6 และ 35 ต่างไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เพราะต่างมีตัวประกอบเฉพาะจำนวนละสองตัว: 6&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;×&nbsp;3 and 35&nbsp;=&nbsp;5&nbsp;×&nbsp;7 อย่างไรก็ตาม 6 และ 35 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ไม่มีจำนวนธรรมชาตินอกเหนือจาก 1 หารทั้ง 6 และ 35 ลงตัว เพราะไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกัน
ให้ g = gcd(a, b) จากการที่ a และ b เป็นพหุคูณของ g สามารถเขียนในรูป a = mg และ b = ng และไม่มีจำนวนเต็ม G ที่มากกว่า g ที่ทำให้ข้อความดังกล่าวเป็นจริง m และ n ต้องเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะหากมีตัวประกอบร่วมของ m และ n จะทำให้ g มีค่ามากขึ้น ดังนั้นจำนวนเต็ม c ใด ๆ ที่หาร a และ b ลงตัว จะต้องหาร g ลงตัวด้วย ตัวหารร่วมมาก g ของ a และ b คือตัวหารร่วมบวกเพียงหนึ่งตัวของ a และ b ที่หารด้วยตัวหารร่วมอื่น c ลงตัว
ตัวหารร่วมมากสามารถอธิบายได้ด้วยการสมมติสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง a ยาว b และตัวหารร่วม c ที่หาร a และ b ลงตัว ด้านของสี่เหลี่ยมสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยยาว c ซึ่งแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสย่อยยาวด้านละ c โดยตัวหารร่วมมาก g คือค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ c ตัวอย่างดังภาพคือสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 24 ยาว 60 สามารถแบ่งได้เป็นตารางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 \times 1, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 \times 2, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 \times 3, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 4 \times 4, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 6\times6 หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส 12 \times 12 ดังนั้น 12 คือตัวหารร่วมมากของ 24 และ 60 โดยสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 24 ยาว 60 สามารถแบ่งเป็นตารางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 12 ที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปติดด้านกว้าง (24/12 = 2) และสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5 รูปติดด้านยาว (60/12 = 5)
ตัวหารร่วมมากของสองจำนวน a และ b คือผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่สองจำนวนนี้มีร่วมกัน โดยตัวประกอบเฉพาะหนึ่งค่าสามารถนำมาคูณได้หลายรอบ ตราบที่ผลคูณของตัวประกอบเหล่านี้หาร a และ b ลงตัว ตัวอย่างเช่น 1386 แยกตัวประกอบได้เป็น 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 11 และ 3213 แยกตัวประกอบได้เป็น 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 17 ตัวหารร่วมมากของ 1386 และ 3213 จึงเท่ากับ 63 = 3 \times 3 \times 7 ซึ่งก็คือผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วม ถ้าสองจำนวนไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกัน ตัวหารร่วมมากคือ 1 (เท่ากับค่าผลคูณว่าง) หรือก็คือทั้งสองจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ข้อได้เปรียบของขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดคือสามารถหาค่าตัวหารร่วมมากโดยไม่ต้องหาตัวประกอบเฉพาะร่วม
หรม. ของสามจำนวนขึ้นไปมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเหล่านั้น แต่ก็สามารถหาได้จากการหา หรม. ของแต่ละคู่จำนวน
ดังนั้นขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดที่หาหรม.ของสองจำนวนจะสามารถหาหรม.ของหลายจำนวนได้ด้วยเช่นกัน
== คำอธิบาย ==
=== กระบวนการ===
ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดดำเนินเป็นขั้นตอน โดยผลลัพธ์ในแต่ละขั้นตอนจะถูกใช้ในขั้นตอนต่อไป ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่นับจำนวนขั้นตอนในวิธีการยูคลิด เริ่มจากศูนย์ ดังนั้นในขั้นตอนที่หนึ่งมีค่า k&nbsp;=&nbsp;0 ขั้นตอนที่สองมีค่า k&nbsp;=&nbsp;1 เป็นแบบนี้ไปเรื่อย ๆ
แต่ละขั้นตอนเริ่มด้วยเศษสองจำนวนที่มีค่าไม่เป็นลบ rk&minus;1 และ rk&minus;2 เนื่องจากวิธีการนี้จะทำให้เศษมีค่าลดลงในทุกขั้นตอนเสมอ rk&minus;1 มีค่าน้อยกว่าเศษตัวก่อน rk&minus;2 เป้าหมายของขั้นตอนที่ k คือหาผลหาร qk และเศษ rk ที่สอดคล้องกับสมการ
r_{k-2} = q_k r_{k-1} + r_k
จะได้ว่า 0 ≤ rk&nbsp;k&minus;1 กล่าวได้ว่า จำนวนที่มากกว่า rk&minus;2 ถูกลบด้วยพหุคูณของจำนวนที่น้อยกว่า rk&minus;1 จนกว่าเศษ rk จะมีค่าน้อยกว่า rk&minus;1
ในขั้นแรก (k&nbsp;=&nbsp;0) เศษ r−2 และ r−1 มีค่าเท่ากับ a และ b ตามลำดับ ในขั้นต่อมา (k&nbsp;=&nbsp;1) เศษมีค่าเท่ากับ b และเศษ r0 ของขั้นแรก ทำแบบนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ขั้นตอนวิธีดังกล่าวเขียนออกมาในรูปแบบลำดับของสมการได้ว่า
\begin{align}
a &= q_0  b + r_0 \\
b &= q_1 r_0 + r_1 \\
r_0 &= q_2 r_1 + r_2 \\
r_1 &=q_3 r_2 + r_3 \\
&\,\,\,\vdots
\end{align}
ถ้า a มีค่าน้อยกว่า b ให้สลับตัวเลขในขั้นแรก ตัวอย่างคือ ถ้า a&nbsp;0 จะมีค่าเท่ากับศูนย์ และเศษ r0 มีค่าเท่ากับ a ดังนั้น rk จะมีค่าน้อยกว่า rk−1 สำหรับทุก k&nbsp;≥&nbsp;0
เพราะเศษมีค่าลดลงในทุกขั้นตอน แต่ไม่สามารถเป็นมีค่าเป็นลบ เศษ rN จึงจะต้องเท่ากับศูนย์ในสักขั้นตอน
===การพิสูจน์ความถูกต้อง===
ความถูกต้องของขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดสามารถพิสูจน์ได้โดยสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เห็นได้ว่าเศษตัวสุดท้ายที่ไม่เท่ากับศูนย์ rN−1 จะหารทั้ง a และ b ลงตัว เพราะมันเป็นตัวหารร่วม จึงมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวหารร่วมมาก g และในขั้นตอนที่สอง เห็นได้ว่าตัวหารร่วมใด ๆ ของ a และ b (รวมถึงตัวหารร่วมมาก g ด้วย) ต้องหาร rN−1 ลงตัว ดังนั้น g ต้องมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ rN−1 ข้อสรุปสองอันนี้ไม่แน่นอน เว้นแต่ rN−1&nbsp;=&nbsp;g
เพื่อแสดงให้เห็นว่า rN−1 หารทั้ง a และ b ลงตัว (ขั้นแรก) และ rN−1 หาร rN−2 ลงตัว
เพราะเศษตัวสุดท้าย rN คือศูนย์ ทำให้ rN−1 หาร rN−3 ลงตัวด้วย
===ตัวอย่างการใช้งาน===
เพื่อให้เห็นภาพ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดสามารถนำมาใช้หาตัวหารร่วมมากของ a&nbsp;=&nbsp;1071 และ b&nbsp;=&nbsp;462 ได้ เริ่มต้นด้วย นำ 1071 เป็นตัวตั้ง ลบกับตัวคูณของ 462 จนกว่าเศษจะน้อยกว่า 462 ซึ่งเมื่อพิจารณาแล้ว การคูณด้วย 2 นั้นสามารถนำมาใช้ในการลบออกได้ (q0&nbsp;=&nbsp;2) โดยมีเศษคือ 147
ต่อมา ตัวคูณของ 147 จะถูกลบออกจาก 462 จนกว่าเศษจะมีค่าน้อยกว่า 147 เมื่อพิจารณาแล้ว การคูณด้วย 3 นั้นสามารถนำมาใช้ในการลบออกได้
ต่อมา ตัวคูณของ 21 จะถูกลบออกจาก 147 จนกว่าเศษจะมีค่าน้อยกว่า 21 ซึ่งการคูณด้วย 7 นั้นสามารถนำมาใช้ในการลบออกได้ (q2&nbsp;=&nbsp;7) ไม่เหลือเศษแล้ว
===การอธิบายเป็นภาพ===
เราสามารถทำขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดให้เห็นภาพได้ โดยใช้วิธีคล้ายกับการปูกระเบื้องในการหาตัวหารร่วมมาก สมมุติว่าเราต้องการปูพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด a \times b โดยใช้กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยที่ a เป็นค่าที่มีค่ามากกว่าอีกจำนวน เริ่มแรก เราจะปูโดยใช้กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด b \times b แต่ว่า กลับเหลือพื้นที่ที่ปูไม่ได้ มีขนาดเป็น r_0 \times b โดยที่ r_0  เราก็เลยเปลี่ยนไปใช้กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด r_0 \times r_0 แทน แต่ก็ยังปูพื้นที่ได้ไม่ครบอีก เหลือพื้นที่เป็น r_1 \times r_0 เราก็เลยเปลี่ยนไปใช้กระเบื้องขนาด r_1 \times r_1 แทน ทำแบบนี้ซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งไม่เหลือพื้นที่ที่ยังไม่ได้ปู นั่นคือ เมื่อกระเบื้องสี่เหลียมจัตุรัสสามารถปูพื้นที่ที่ยังไม่ได้ปูในขั้นที่แล้วได้ทั้งหมด โดยความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กที่สุดก็คือตัว ห.ร.ม. ของขนาดของสี่เหลี่ยมรูปต้นแบบนั่นเอง เช่น กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กที่สุดในรูปคือ 21 \times 21 (ในรูปแสดงโดยใช้สีแดง) และ 21 เป็นตัวหารร่วมมากของ 1071 และ 462 ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมต้นฉบับ (แสดงโดยใช้สีเขียว)
===การหารแบบยูคลิด===
ในทุกขั้นตอน k ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดคำนวณผลหาร qk และเศษ rk จากตัวเลขสองตัว rk−1 และ rk−2
โดยที่ rk เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และมีค่าน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของ rk−1 โดยมีทฤษฏีที่รับรองว่าขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดจะมีผลหารและเศษเสมอ
ในขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดแบบดั้งเดิม ผลหารและเศษหาได้จากการลบซ้ำ ๆ นั่นคือ
===การนำไปใช้งาน===
การนำไปใช้งานของขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดจะถูกเขียนในรูปแบบโค้ดเทียม
function gcd(a, b)
while b ≠ 0
t := b
b := a mod b
a := t
return a
function gcd(a, b)
while a ≠ b
if a > b
a := a − b
else
b := b − a
return a
ในรูปแบบเรียกซ้ำ  จะขึ้นอยู่กับความเท่ากันของตัวหารร่วมมากของเศษเหลือต่อเนื่อง โดยมีเงื่อนไขการหยุดคือ gcd(rN−1,&nbsp;0)&nbsp;=&nbsp;rN−1
function gcd(a, b)
if b = 0
return a
else
return gcd(b, a mod b)
(หากค่าที่รับมาเป็นลบ หรือฟังก์ชัน mod อาจให้ค่าที่ติดลบ ต้องเปลี่ยน "return a" เป็น "return max(a, −a)")
==พัฒนาการทางประวัติศาสตร์==
ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดเป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีที่เก่าแก่ที่สุดที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งปรากฏใน (300&nbsp;ปีก่อนคริสต์ศักราช) โดยเฉพาะในหนังสือเล่มที่ 7 (ประพจน์ที่ 1-2) และในหนังสือเล่มที่ 10 (ประพจน์ที่ 2-3) ในหนังสือเล่มที่ 7 ขั้นตอนวิธีถูกสร้างขึ้นเพื่อใช้กับจำนวนเต็ม แต่ในหนังสือเล่มที่ 10 ได้นำไปใช้กับความยาวส่วนของเส้นตรง (ในการใช้สมัยใหม่นี้ อาจพูดได้ว่ามันถูกสร้างขึ้นเพื่อใช้กับจำนวนจริง แต่ในอดีต ความยาว พื้นที่ และปริมาตร ซึ่งนับว่าเป็นจำนวนจริงในปัจจุบัน ไม่ได้ถูกวัดด้วยหน่วยเดียวกันและไม่ได้มีหน่วยธรรมชาติเป็นของตนเอง อาจกล่าวได้ว่าแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนจริงไม่เป็นที่รู้จักในขณะนั้น) ขั้นตอนวิธีถัดมานั้นเกี่ยวกับเรขาคณิต ห. ร. ม. ของความยาว a และ b สอดคล้องกับความยาวที่มากที่สุด g ซึ่งวัด a และ b กล่าวคือ ความยาว a และ b ทั้งคู่ต่างก็เป็นพหุคูณของความยาว g
ขั้นตอนวิธีนี้อาจไม่ได้ถูกคิดค้นโดยยุคลิด ผู้ซึ่งรวบรวมผลลัพธ์จากนักคณิตศาสตร์ในหนังสือ เอเลเมนส์ ของเขา นักคณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์  ได้เสนอแนะว่า เนื้อหาในหนังสือเล่มที่ 7 ได้รับมาจากตำราเรียนเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน ซึ่งเขียนโดยนักคณิตศาสตร์ในโรงเรียนของพีทาโกรัส ขั้นตอนวิธีอาจเป็นที่รู้จักจาก  (ราว 375 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ขั้นตอนวิธีนี้อาจเกิดขึ้นก่อน Eudoxus พิจารณาจากการใช้ศัพท์เฉพาะ ἀνθυφαίρεσις (anthyphairesis หรือการลบส่วนกลับ) ในงานของยุคลิดและแอริสตอเติล
หลายศตวรรษต่อมา ขั้นตอนวิธีของยุคลิดถูกค้นพบทั้งในประเทศอินเดียและจีน โดยแรกเริ่มเพื่อแก้ปัญหา ซึ่งเกิดขึ้นในดาราศาสตร์และทำให้สามารถสร้างปฏิทินที่แม่นยำ ในช่วงท้ายศตวรรษที่ 5 นักคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัฏ ได้อธิบายขั้นตอนวิธีว่าเป็น "เครื่องบด" ซึ่งอาจมาจากประสิทธิภาพของมันในการแก้ปัญหาสมการไดโอแฟนไทน์ ถึงแม้ว่ากรณีพิเศษของ จะถูกอธิบายในหนังสือจีนชื่อ  โดยผลเฉลยทั่วไปถูกเผยแพร่โดย  ในหนังสือของเขาชื่อ Shushu Jiuzhang (數書九章 ) ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดถูกอธิบายในเชิงตัวเลขครั้งแรกและเป็นที่รู้จักอย่างมากในยุโรปในหนังสือ Problèmes plaisants et délectables ฉบับที่ 2 ของ  (Pleasant and enjoyable problems, 1624) ในยุโรป ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาสมการไดโอแฟนไทน์และใช้เพื่อพัฒนาเศษส่วนต่อเนื่อง  ถูกตีพิมพ์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อ  ซึ่งเชื่อว่ามันเกิดมาจาก  เพื่อเป็นวิธีสำหรับคำนวณเศษส่วนต่อเนื่องอย่างมีประสิทธิภาพ
ในศตวรรษที่ 19 ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดนำไปสู่การพัฒนาระบบจำนวนแบบใหม่ เช่น  และ ในปี 1815 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ได้ใช้ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดในการสาธิตการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียวใน ถึงแม้ผลงานของเขาจะได้ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1832 ก็ตาม เกาส์ได้พูดถึงขั้นตอนวิธีในหนังสือ  ของเขา (ถูกตีพิมพ์ในปี 1801) แต่ใช้เป็นเพียงวิธีสำหรับเศษส่วนต่อเนื่อง  เป็นคนแรกที่อธิบายขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดเพื่อเป็นพื้นฐานสำหรับทฤษฏีจำนวนอื่น ๆ Lejeune Dirichlet ได้ระบุว่าผลลัพธ์ของทฤษฎีจำนวนหลายอัน เช่น การแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว (Unique factorization) จะเป็นจริงสำหรับระบบจำนวนใด ๆ ที่สามารถใช้ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดได้ การบรรยายของ Lejeune Dirichlet ในหัวข้อทฤษฎีจำนวนถูกแก้ไขและต่อเติมโดย  ผู้ใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดในการศึกษาจำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งเป็นรูปแบบจำนวนแบบใหม่ ตัวอย่างเช่น Dedekind เป็นคนแรกที่พิสูจน์  โดยใช้การแยกตัวประกอบได้อย่างเดียวของจำนวนเต็มเกาส์เซียน Dedekind ยังนิยามแนวคิดของ หรือระบบจำนวนซึ่งสามารถนิยามขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดฉบับทั่วไป (ดังที่อธิบายด้านล่าง) ในทศวรรษปลายของศตวรรษที่ 19 ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดค่อย ๆ ถูกลดความสำคัญลงโดยทฤษฎี  ของ dedekind ซึ่งมีความทั่วไปมากขึ้น
การประยุกต์ใช้อื่น ๆ ของขั้นตอนวิธีของยุคลิดถูกพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ 19 ในปี 1829  ได้แสดงว่าขั้นตอนวิธีนั้นเป็นประโยชน์ในวิธี  ซึ่งใช้สำหรับการนับรากที่แท้จริงของพหุนามในช่วงที่สนใจ
ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดเป็น ซึ่งคือวิธีที่ใช้ในการหาความสัมพันธ์ของจำนวนเต็มในจำนวนจริงเทียบเท่า  ใหม่หลายอันได้ถูกพัฒนาขึ้น เช่น ขั้นตอนวิธีของ  และ R.W. Forcade (1979) และ 
ในปี 1969 Cole และ Davie ได้พัฒนาเกมผู้เล่นสองคนโดยมีพื้นฐานจากขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด ชื่อว่า The Game of Euclid  ซึ่งมีกลยุทธ์ที่ดีที่สุด ผู้เล่นจะเริ่มต้นจากกองหินซึ่งมี a และ b ก้อน เมื่อถึงตาของผู้เล่นแล้วจะทำการนำหินออกจากกองที่มีจำนวนมากกว่าเป็นจำนวนเท่ากับพหุคูณ m ของจำนวนหินในกองที่น้อยกว่า ดังนั้น ถ้าทั้งสองกองมีหิน x และ y ก้อนตามลำดับ เมื่อ x มากกว่า y ผู้เล่นคนต่อไปสามารถนำหินออกจากกองที่มีจำนวนหินมากกว่า ทำให้จำนวนหินลดจาก x ก้อนเหลือ x - my ก้อน ตราบเท่าที่ยังคงเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ ผู้ชนะคือผู้เล่นคนแรกที่ทำให้กองใดกองหนึ่งของตนเองเหลือหินเท่ากับ 0
== การประยุกต์ใช้ทางคณิตศาสตร์ ==
=== เอกลักษณ์ของเบซู ===
เอกลักษณ์ของเบซูระบุว่าตัวหารร่วมมาก g ของจำนวนนับสองจำนวน a และ b สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของจำนวนนับ a และ b ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ สามารถหาจำนวนนับ s และ t ที่ทำให้ g&nbsp;=&nbsp;sa&nbsp;+&nbsp;tb ได้เสมอ
จำนวนนับ s และ t สามารถคำนวณได้จากผลหาร q0, q1, ... โดยการย้อนกลับลำดับของสมการในอัลกอริธึมของยุคลิด โดยเริ่มต้นจากสมการรองสุดท้าย ซึ่งสามารถเขียน g ในรูปของผลหาร qN−1 และเศษที่เหลือสองตัวก่อนหน้า rN−2 และ rN−3 ได้ดังนี้
เศษที่เหลือทั้งสองนั้นสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของผลหารและเศษที่เหลือก่อนหน้าได้เช่นกัน
และ
เมื่อแทนค่า rN−2 และ rN−3 ลงในสมการแรก จะได้ g เป็นผลรวมเชิงเส้นของเศษเหลือ rN−4 และ rN−5 การแทนที่สมการที่เหลือด้วยเศษที่เหลือก่อนหน้าสามารถทำต่อไปได้เรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงจำนวนนับเดิม a และ b
หลังจากแทนที่ส่วนที่เหลือทั้งหมด r0, r1, ... สมการสุดท้ายจะแสดงให้เห็นว่า g เป็นผลรวมเชิงเส้นของ a และ b คือ g&nbsp;=&nbsp;sa&nbsp;+&nbsp;tb จากเอกลักษณ์ของเบซู อัลกอริธึมข้างต้นจึงสามารถเขียนในรูปทั่วไปของได้
== หมายเหตุ ==
ก.  ตำราบางเล่มที่ใช้โดยทั่วไป เช่น Topics in Algebra ของ I. N. Herstein และ Algebra ของ Serge Langใช้คำว่า "Euclidean algorithm" หมายถึงวิธีหารแบบยุคลิด
== อ้างอิง ==
== บรรณานุกรม ==
. See also Vorlesungen über Zahlentheorie
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
ทฤษฎีจำนวน