สมการชเรอดิงเงอร์ใน 3 มิติ

ปัญหาที่สำคัญหนึ่งในกลศาสตร์ควอนตัม คือ อนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร กล่าวคือ มีศักย์ที่ขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างอนุภาคและจุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าอนุภาคนั้น คือ อิเล็กตรอนและมีศักย์เป็นไปตามกฎของคูลอมบ์ ปัญหานี้จะสามารถใช้อธิบายอะตอมหรือไอออนของไฮโดรเจน
ในกรณีทั่วไป ฮามิลโตเนียนของอนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร เป็นไปตามสมการ
\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m_0} + V(r)
เมื่อ   m_0  คือ มวลของอนุภาค
\hat{p} คือ ตัวดำเนินการโมเมนตัม
 V(r) คือ พลังงานศักย์ ขึ้นอยู่กับ r เท่านั้น
ฟังก์ชันคลื่นที่เป็น Eigen function และพลังงาน (Eigenvalues) สามารถหาได้จากการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ โดยมีรูปทั่วไปใน 3 มิติ เป็น
 -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) \quad (1) 
ปกติที่ใช้กันมากในวิชาฟิสิกส์จะเป็นการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ในพิกัดฉากและพิกัดทรงกลม ซึ่งระบบพิกัดทรงกลมจะใช้ได้เหมาะสมมากกว่า เนื่องจากความเป็นทรงกลมสมมาตรของระบบ (อนุภาค) และวิธีหนึ่งที่จะช่วยในการแก้สมการได้สะดวกขึ้น คือ วิธีการแยกตัวแปร (Separation of variable)
== อนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร ==

พิจารณาพิกัดทรงกลม (r, θ, φ) ตามรูปด้าน
โดยระบุ ทิศทางของเวกเตอร์ r เป็นระยะทาง r จากจุดกำเนิด
มุม θ (เซต้า) มีทิศทำมุมกับแกน Z
มุม φ (ฟี) โปรเจกชั่นของทิศทางบนระนาบ x-y มีทิศทำมุมกับแกน x
ซึ่งมีความสัมพันธ์กับพิกัดฉากตามสมการ
\begin{align} x&=r \, \sin\theta \, \cos\varphi \\ y&=r \, \sin\theta \, \sin\varphi \\ z&=r \, \cos\theta \end{align}
ดังนั้นจากสมการชเรอดิงเงอร์ใน 3 มิติ (1) สามารถเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ในพิกัดทรงกลมได้เป็น
 -\frac{\hbar^2}{2m}[\frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r}\right)
+ \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial\psi }{\partial \theta}\right)
+ \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2\psi }{\partial \phi^2}]
+ V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) \quad (2) 
เมื่อ ตัวดำเนินการลาปราส ( \nabla^2  ) ในพิกัดทรงกลม เป็น
 \nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial }{\partial r}\right)
+ \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta}\right)
+ \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 }{\partial \phi^2} 
ใช้วิธีการแยกตัวแปร โดยกำหนดให้ ฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ r คูณกับฟังก์ชันที่ขึ้นกับ θ และ φ ตามสมการ
\psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y_{lm}(\theta,\phi).\,
หลังจากแก้สมการชเรอดิงเงอร์ตามสมการ (2) จะได้สมการทั้งหมด ดังนี้
\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{2mr^2}{\hbar^2}[E-V(r)]= \lambda \quad (3),\qquad \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\phi^2} = -\lambda. \quad (4)
เมื่อ \lambda=l(l+1)
โดย สมการ (3) เรียกว่า Radial equation
สมการ (4) เป็นส่วนของ Angular equation
=== สมการในส่วนของมุม (Angular equation) ===
พิจารณาส่วนของมุม (Angular) ตามสมการ (4) ซึ่งนักฟิสิกส์พยายามที่จะใช้วิธีการแยกตัวแปร เพื่อแยกตัวแปรเกี่ยวกับมุม ให้อยู่ในรูป Y_{lm}(\theta,\phi) =\Theta(\theta)\Phi(\phi) \,\;แต่ไม่สามารถแยกตัวแปร \theta กับ \phi ให้เป็นอิสระต่อกันได้ และจากสมการ (4) จะได้
\frac{1}{\Phi} \frac{d^2 \Phi}{d\phi^2} = -m^2
\lambda\sin^2\theta + \frac{\sin\theta}{\Theta} \frac{d}{d\theta} \left(\sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta}\right) = m^2
ได้คำตอบในส่วนของมุมเป็น
 Y_\ell^m( \theta , \phi ) = (-1)^m \sqrt  \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \phi } \quad (5) 
โดย l = 0,1,2, ...
 และเรียก l ว่า Orbital angular momentum quantum number
m=-l,-l+1,...,-1,0,1,...,l-1,l  และเรียก m ว่า Magnetic quantum number
และเรียก  Y_\ell^m( \theta , \phi )   ว่า Spherical harmonics  ซึ่งจะมีสมบัติ Orthonormal ตามสมการ
\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, {}^*Y_{\ell'}^{m'} \, {\sin\theta}{d\theta}d\phi=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}
=== สมการในส่วนของรัศมี (Radial equation) ===
จากสมการ (3) เราจะสามารถแก้สมการได้ง่ายขึ้น ถ้าทำการเปลี่ยนตัวแปร โดยกำหนดให้ u(r)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   rR(r)
จัดรูปใหม่จะได้  - {\hbar^2 \over 2m_0 r} {d^2 \over dr^2}\left(r R(r)\right) +{\hbar^2 l(l+1)\over 2m_0r^2}R(r)+V(r) R(r)=ER(r)  \quad (5)
จะพบว่ามีรูปแบบเหมือนกับสมการชเรอดิงเงอร์ใน 1 มิติ ยกเว้นจะมีเทอมของศักย์ยังผล (Effective potential) เพิ่มเข้ามา
 V_{\mathrm{eff}}(r) = V(r) + {\hbar^2l(l+1) \over 2m_0r^2}
=== Orbital angular momentum ===
ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม L หาค่าได้จากผลคูณเชิงเวกเตอร์ของตัวดำเนินการตำแหน่งของฟังก์ชันคลื่น r กับ ตัวดำเนินการโมเมนตัม p  ตามสมการ \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} ซึ่งจะคล้ายคลึงกับการนิยาม โมเมนตัมเชิงมุมในกลศาสตร์ดั้งเดิม
เนื่องจาก \mathbf{L}^2 = L_x^2+L_y^2+L_z^2
ดังนั้น จะได้
\begin{align}
\mathbf{L}^2 &= -r^2\nabla^2 + \left(r\frac{\partial}{\partial r}+1\right)r\frac{\partial}{\partial r}\\
&= -\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}.
\end{align}
เมื่อ  \hbar=1
ถ้านำ \mathbf{L}^2  ไป operate กับ  Y_\ell^m( \theta , \phi )   จะได้
\hat{L}^2 Y_{lm}(\theta,\phi)= \left\{ -\frac{1}{\sin^2\theta} \left[
\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \Big(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Big)
+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\right\} Y_{lm}(\theta,\phi)
.   \quad (6)
จะพบว่าในวงเล็บ  ของสมการ (6) จะตรงกับสมการ (4) โดยมี -\lambda เป็น eigenvalue เขียนสมการใหม่เป็น
\hat{L}^2 Y_{lm}(\theta,\phi)=  l(l+1)Y_{lm}(\theta,\phi).   \quad (7)
และถ้าพิจารณา L ในแนวแกน Z จะได้
{L}_{z} Y_{lm}(\theta,\phi)=  mY_{lm}(\theta,\phi).   \quad (8)
ฟิสิกส์คณิตศาสตร์