หลักรังนกพิราบ

ในสาขาคณิตศาสตร์ หลักรังนกพิราบ (pigeonhole principle) กล่าวว่าหากมีนกพิราบอยู่ n ตัว แล้วต้องการนำนกพิราบเหล่านี้ไปใส่ในรังนกพิราบ m รัง โดยที่ n > m แล้ว จะได้ว่าจะมีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกพิราบอยู่มากกว่าหนึ่งตัว ทฤษฏีนี้ปูทางให้เราสามารถกล่าวได้ว่า "จะต้องมีถุงมือข้างซ้ายอย่างน้อย 2 ข้าง ไม่ก็ถุงมือขวาข้างอย่างน้อย 2 ข้าง ทุก ๆ ถุงมือ 3 ข้าง"  หรือแม้แต่คำพูดที่ดูแล้วน่าทึ่งเช่น "รับประกันได้เลย ในกรุงเทพมหานครมีอย่างน้อยสองคนที่มีจำนวนเส้นผมบนหัวเท่ากัน" ก็สามารถพิสูจน์ให้เห็นจริงได้ด้วยหลักรังนกพิราบได้เช่นกัน (ซึ่งแสดงไว้ด้านล่าง)
== ตัวอย่าง ==
=== หยิบถุงเท้า ===
สมมติว่าในกล่องใบหนึ่งมีถุงเท้าสีขาวอยู่ 12 ข้าง และสีดำอยู่ 10 ข้าง จงหาจำนวนครั้งในการหยิบน้อยที่สุดที่รับประกันได้เลยว่าจะได้ถุงเท้าสีเดียวกันหนึ่งคู่ เราจะกล่าวได้ว่ารังนกพิราบก็คือ รังของนกสีขาวและรังของนกสีดำนั่นคือมีสองรังเท่านั้น  (m = 2)  ต้องหาจำนวนนกพิราบที่จะรับประกันได้ว่าจะมีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกสองตัว จากหลักรังนกพิราบจะได้ว่าต้องหา n > m ที่น้อยที่สุดนั่นก็คือ n = 3 จะเห็นว่าถ้าเราหยิบถุงเท้ามาแล้วสองข้าง  (n=2)  อย่างแย่ที่สุดเราจะก็มีถุงเท้าสีขาวและสีดำอย่างละข้างเมื่อหยิบอีกหนึ่งข้างก็ต้องได้ครบคู่
=== นับเส้นผม ===
เราสามารถกล่าวได้ว่ามีคนอย่างน้อยสองคนในกรุงเทพมหานครที่มีจำนวนเส้นผมบนหัวเท่ากันพอดี เนื่องจากโดยปกติแล้วเส้นผมของมนุษย์จะมีประมาณ 150,000 เส้น ดังนั้นการสมมติว่าไม่มีใครที่มีเส้นผมเกินล้านเส้นก็สมเหตุสมผล  (m = 1,000,000)  ประกอบกับมีคนมากกว่าล้านคนในกรุงเทพมหานคร  (n > 1,000,000 = m)  สามารถเปรียบเทียบได้กับมีนกพิราบมากกว่าหนึ่งล้านตัว แต่มีรังนกพิราบเพียงหนึ่งล้านรัง จากหลักของรังนกพิราบเพราะ n > m จะได้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกพิราบอาศัยอยู่อย่างน้อยสองตัว นั่นคือมีอย่างน้อยสองคนในกรุงเทพมหานครที่มีจำนวนเส้นผมบนหัวเท่ากัน แต่หากประชาการในกรุงเทพมหานครไม่ถึงหนึ่งล้านคนก็มิได้หมายความว่าจะไม่มีใครที่มีเส้นผมเท่ากันเลย อาจจะมีอยู่ก็ได้ แต่หลักรังนกพิราบไม่ได้รับประกัน
=== ปัญหาวันเกิด ===
ปัญหาวันเกิดถามว่าในกลุ่มคนกลุ่มหนึ่งจะมีโอกาสเท่าไหร่ที่จะมีคนที่มีวันเกิดซ้ำกัน แต่สำหรับหลักรังนกพิราบนั้นหากมี 367 คน ก็จะรับประกันได้ว่ามีคนที่มีวันเกิดซ้ำกันแน่นอน เพราะว่าจำนวนคน (n = 367) จะมากกว่ารูปแบบของวันที่เป็นไปได้ในหนึ่งปี (m = 366 รวมวันที่ 29 กุมภาพันธ์)
=== ทีมฟุตบอล ===
สมมุติมีคน 11 คนที่ต้องการเล่นฟุตบอล โดยมีทีมให้เลือกลงเล่น 6 ทีม โดยหลักรังนกพิราบเราสามารถแสดงได้ว่า 11 คนนี้ไม่สามารถเล่นทีมแตกต่างกันได้ทุกคน และต้องมีอย่างน้อยทีมหนึ่งที่มี 2 คนจาก 6 คนนี้ในทีมนั้น ซึ่งแสดงได้จาก
\left\lfloor \frac{n-1}{m} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \frac{11-1}{6} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \frac{10}{6} \right\rfloor + 1 = 1 + 1 = 2
== ประโยชน์ ==
== รูปทั่วไป ==
ให้ q1, q2, ..., qn เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้านำนกพิราบจำนวน q1 + q2 + ... + qn - n + 1 ตัวใส่ใน n รัง แล้ว รังที่หนึ่งมีนกอย่างน้อย q1 ตัว หรือ รังที่สองมีนกอย่างน้อย q2 ตัว หรือ ... หรือ รังที่ n มีนกอย่่างน้อย qn ตัว
กรณี q1 = q2 = ... = qn = 2 จะได้นก n + 1 ตัว ตรงกับหลักรังนกพิราบธรรมดา
กรณี q1 = q2 = ... = qn = r จะได้เป็นหลักว่า "เมื่อนำนก n(r - 1) + 1 ตัวไปใส่ในรัง n รัง แล้วอย่างน้อย 1 รังจะมีนกอย่างน้อย r ตัว" หรือสามารถเขียนได้อีกแบบว่า "หากนำนก k ตัวใส่ในรัง n รัง  อย่างน้อย 1 รังจะมีนกอย่างน้อย \lceil{k/n}\rceilตัว (\lceil x \rceilเป็นฟังก์ชันเพดาน)"
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
"The strange case of The Pigeon-hole Principle"; Edsger Dijkstra investigates interpretations and reformulations of the principle.
"The Pigeon Hole Principle"; Elementary examples of the principle in use by Larry Cusick.
"Pigeonhole Principle from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles"; basic Pigeonhole Principle analysis and examples by Alexander Bogomolny.
"The Puzzlers' Pigeonhole "; Alexander Bogomolny on the importance of the principle in the field of puzzle solving and analysis.
"16 fun applications of the pigeonhole principle"; Interesting facts derived by the principle.
หลักการทางคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์เชิงการจัด