คู่อันดับ

ในราฟาเอลเรเอา นักเตะเอซีมิลาน (a, b) เป็นคู่ของชิรูด์ โดย a เรียกว่า สมาชิกกองหน้า และ b เรียกว่า สมาชิกกองหลัง คู่เอซนเตอร์อาจจะมองเป็นโทโมริก็ได้ สำหรับคู่อันดับนั้น อันดับมีความสำคัญ นั่นคือคู่อันดับ (a, b) แตกต่างจากคู่อันดับ (b, a) ยกเว้นกรณีที่ a = b ลักษณะนี้ไม่เหมือนกับคู่ไม่อันดับ ซึ่งคู่ไม่อันดับ {a, b} เท่ากับคู่ไม่อันดับ {b, a}
คู่อันดับยังอาจมองเป็น ทูเพิล, เวกเตอร์ 2 มิติ หรือ ลำดับความยาว 2 ก็ได้ เนื่องจากคู่อันดับสามารถมีสมาชิกเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็ตาม สมาชิกของคู่อันดับก็อาจจะเป็นคู่อันดับด้วยเช่นกัน ทำให้สามารถนิยาม n สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดได้ ตัวอย่างเช่น สามสิ่งอันดับ (a,b,c) สามารถนิยามโดย (a, (b,c)) หรือก็คือการนำคู่อันดับซ้อนกันไปเรื่อยๆ
ผลคูณคาร์ทีเซียน และ ความสัมพันธ์ทวิภาค (ซึ่งรวมถึงฟังก์ชัน) สามารถนิยามด้วยคู่อันดับได้ด้วยเช่นเดียวกัน
== หลักโดยทั่วไป ==
กำหนดคู่อันดับ (a_1, b_1) และ (a_2, b_2) เป็นคู่อันดับใด ๆ คุณสมบัติของคู่อันดับคือ
(a_1, b_1) = (a_2, b_2) ก็ต่อเมื่อ a_1 = a_2 และ b_1 = b_2.\!
เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต X และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต Y เรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของ X และ Y หรืออาจเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า X×Y ซึ่งความสัมพันธ์ทวิภาคจากเซต X ไปเซต Y ใด ๆ จะเป็นเซตย่อยของ X×Y
ในกรณีที่วงเล็บได้นำมาใช้เพื่อจุดประสงค์อื่นแล้ว เช่นใช้แทนช่วงเปิดบนเส้นจำนวน ก็อาจใช้สัญลักษณ์วงเล็บ \left \langle a,b\right \rangle แทน (a, b) ตามปกติได้
== การนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซต ==
เนื่องจากทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่าเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็จะต้องสามารถนิยามภายใต้เซตได้ รวมถึงคู่อันดับด้วย โดยได้มีนิยามหลากหลายรูปแบบในการนิยามคู่อันดับขึ้นมาจากเซต
=== นิยามของ Wiener ===
Norbert Wiener ได้เสนอนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซตเป็นคนแรกในปี 1914
\left( a, b \right) :=
\left\{\left\{ \left\{a\right\},\, \emptyset \right\},\,  \left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.
เขายังสังเกตว่าด้วยนิยามนี้สามารถนำไปใช้กับการนิยามประเภทให้อยู่ในรูปของเซตได้อีกด้วย 
Wiener ใช้  แทนที่ {b} เพื่อให้นิยามนี้เข้ากันได้กับทฤษฎีประเภท ซึ่งมีข้อกำหนดว่าสมาชิกทุกตัวในคลาสต้องเป็น "ประเภท" เดียวกัน หรือนั่นก็คือเพื่อทำให้ \{\{b\}\} เป็นประเภทเดียวกันกับ \{\{a\}, \emptyset\}
=== นิยามของ Hausdorff ===
ในเวลาใกล้เคียงกันกับการเสนอนิยามคู่อันดับของ Wiener ในปี 1914 Felix Hausdorff ก็ได้นำเสนอนิยามด้วยเช่นกัน
(a, b) := \left\{ \{a, 1\}, \{b, 2\} \right\}
โดยที่ 1 และ 2 ต้องแตกต่างจาก a และ b
=== นิยามของ Kuratowski ===
ในปี 1921 Kazimierz Kuratowski ได้เสนอนิยามคู่อันดับซึ่งปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันอย่างแพร่หลาย ว่า
(a, \ b)_K \ := \  \{ \{ a \}, \ \{ a, \ b \} \}.
มีการใช้นิยามนี้แม้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังเหมือนกัน
(x,\ x)_K = \{\{x\},\{x, \ x\}\} = \{\{x\},\ \{x\}\} = \{\{x\}\}
เมื่อกำหนดคู่อันดับ p การทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหน้าของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ
\forall{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y}.
ในกรณีที่ต้องการทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหลังของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ
(\exist{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y})\land(\forall{Y_{1},Y_{2}}{\in}{p}:Y_{1}\ne Y_{2}\rarr ({x}{\notin}{Y_{1}}\lor{x}{\notin}{Y_{2}})).
สังเกตว่าเงื่อนไขนี้สามารถใช้ได้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังเหมือนกันด้วย เพราะประพจน์เชื่อม (conjunct) (\forall{Y_{1},Y_{2}}{\in}{p}:Y_{1}\ne Y_{2}\rarr ({x}{\notin}{Y_{1}}\lor{x}{\notin}{Y_{2}})) จะเป็นจริงเสมอจากการที่ Y1 ≠ Y2 ให้ค่าความจริงเป็นเท็จ ส่งผลให้เหลือแต่การทดสอบว่ามีสมาชิกตัวหลังในสมาชิกของเซตหรือไม่
หากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหน้าออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก
\pi_1(p) = \bigcup\bigcap p
และหากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหลังออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก
\pi_2(p) = \bigcup\{x \in \bigcup p \mid \bigcup p \not= \bigcap p \rarr x \notin \bigcap p \}
== อ้างอิง ==
มโนทัศน์เบื้องต้นในทฤษฎีเซต
ทฤษฎีอันดับ
ทฤษฎีแบบชนิด