คณิตวิเคราะห์

คณิตวิเคราะห์ (mathematical analysis) เป็นสาขาหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่มีศึกษาการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชัน และรวมไปถึงสิ่งที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องนั้น เช่น ลิมิต, อนุกรมเลข, อนุพันธ์, ปริพันธ์ รวมไปถึงหัวข้อที่ลึกซึ้งมากยิ่งขึ้น เช่น ทฤษฎีเมเชอร์และฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยส่วนมากจะศึกษาในบริบทของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนไปจนถึงฟังก์ชัน คณิตวิเคราะห์พัฒนามาจากแคลคูลัสที่มีการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานรวมอยู่ด้วย
คณิตวิเคราะห์ไม่ใช่เรขาคณิตแต่ทั้งนี้สามารถใช้ในการวิเคราะห์ปริภูมิของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีความใกล้หรือระยะห่างที่จำเพาะระหว่างวัตถุได้
== ประวัติ ==
=== คณิตวิเคราะห์ในยุคโบราณ ===
ผลลัพธ์แรกๆในคณิตวิเคราะห์ปรากฏโดยนัยในคณิตศาสตร์ของชาวกรีกยุคแรกๆ ต่อมา นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เช่นยูโดซัสและอาร์คิมิดีส ได้ใช้หลักการลิมิตและการลู่เข้าที่ชัดแจ้งแต่ไม่เป็นทางการเมื่อเขาใช้ระเบียบวิธีเกษียณในการคำนวณพื้นที่และปริมาตรของขอบเขตหรือของแข็ง ในอินเดีย นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 12 ได้ยกตัวอย่างของอนุพันธ์และได้ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ปัจจุบันนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของโรลล์
=== คณิตวิเคราะห์ในยุคกลาง ===
ในช่วงศตวรรษที่ 14  Madhava of Sangamagrama ได้พัฒนาวิธีการขยายอนุกรม เช่นอนุกรมกำลังและอนุกรมเทเลอร์ของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และแทงเจ็นต์ และฟังก์ชันแทงเจ็นต์ผกผัน นอกจากการพัฒนาอนุกรมเทเลอร์ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว เขายังคาดคะเนความมากน้อยของเทอมผิดพลาดที่เกิดจากการลดทอนอนุกรมหล่าวนี้ได้อีกด้วย อีกทั้งยังสามารถประมาณค่าของอนุกรมอนันต์ในรูปแบบตรรกยะได้ ต่อมามีการพัฒนาต่อยอดไปอีกในช่วงศตวรรษที่ 20
=== คณิตวิเคราะห์สมัยใหม่ ===
ในยุปโรปในช่วงศตวรรษที่ 17 ตอนปลาย นิวตันและไลบ์นิซได้พัฒนาแคลคูลัสกณิกนันต์โดยเอกเทศแต่ได้บทสรุปเหมือนกันที่ได้รับการพัฒนาต่อยอดโดยงานประยุกต์ที่มีต่อๆไปในช่วงศตวรรษที่ 18 เช่นแคลคูลัสของการแปรผัน, สมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไป และสมการเชิงอนุพันธ์แบบย่อย, การวิเคราะห์ฟูเรียร์, และฟังก์ชันก่อกำเนิด ในช่วงเวลานี้ เทคนิกทางแคลคูลัสได้รับการประยุกต์ใช้เพื่อประมาณค่าทางวิยุตคณิตโดยใช้ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในช่วงศตวรรษที่ 18 ออยเลอร์ได้คิดค้นแนวคิดฟังก์ชันคณิตศาสตร์ คณิตวิเคราะห์จำนวนจริงได้เริ่มต้นขึ้นโดยเอกเทศเมื่อเบอร์นาร์ด โบลซาโนคิดค้นคำนิยามของคำว่าความต่อเนื่องในปี 1816 แต่งานของโบลซาโนไม่เป็นที่รู้อย่างกว้างขวางก่อนช่วงปี 1870 ในปี 1821 โคชีได้เริ่มสร้างพื้นทางให้กับแคลคูลัสโดยเลิกคำนึงถึงความทั่วไปของพิชคณิตซึ่งเป็นสิ่งที่ออยเลอร์ให้ความสนใจมากก่อนหน้านี้ โคชีใช้แนวคิดกณิกนันต์และแนวคิดทางเรขาคณิตมาใช้ในแคลคูลัส จนทำให้เกิดคำพูดที่ว่าการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมากๆของค่า x ส่งผลให้ค่า y เปลี่ยนแปลงอย่างน้อยๆเช่นกัน เขาเริ่มใช้แนวคิดอนุกรมโคชีและทฤษฎีใหม่ล่าสุดในตอนนั้นซึ่งคือคณิตวิเคราะห์เชิงซ้อน  ปัวซอง, ลียูวิลล, ฟูร์เยร์ และนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆเริ่มศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์แบบย่อยและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก นั่นส่งผลให้ไวแยร์สตราสส์พัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้(ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง
ในช่วงกลางศตวรรษ รีมันน์ได้คิดค้นทฤษฎีของการหาปริพันธ์ ต่อมาในศตวรรษที่ 19 ช่วงปลายได้มีการทำให้การวิเคราะห์มีความเป็นเลขคณิตมากขึ้นโดยไวแยร์สตราสส์ผู้ซึ่งเชื่อว่าการวิเคราะห์แบบเรขาคณิตทำให้การวิเคราะห์สับสนง่ายและพัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้(ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง
จากนั้น นักคณิตศาสตร์เริ่มมีความกังวลเกี่ยวกับสมมติฐานที่ว่าจำนวนจริงอยู่บนเส้นจำนวนจริงที่ต่อเนื่องเพราะว่าไม่มีการพิสูจน์ เดเดคินด์จึงได้สร้างจำนวนจริงขึ้นโดยใช้ส่วนตัดเดเดคินด์ซึ่งทำให้สามารถนิยามจำนวนอตรรยะได้เป็นอย่างดี ซึ่งส่งผลให้เซตตัวเลขสมบูรณ์ ต่อมามีความพยายามที่จะพัฒนาต่อยอดงานของรีมันน์โดยการศึกษาขนาดของเซตที่ไม่ต่อเนื่องในฟังก์ชันจำนวนจริง
หลังจากนั่นเริ่มมีการพัฒนาการวัดของจอร์ดันและทฤษฎีเซตสามัญรวมไปถึงทฤษฎีบทการแยกประเภทของแบร์ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แคลคูลัสได้พัฒนาขึ้นภายใต้สัจพจน์ที่เป็นทฤษฎีเซต เลอเบกแก้ไขปัญหาทฤษฎีเมเชอร์และฮิลแบร์ทได้คิดค้นปริภูมิฮิลแบร์ทเพื่อแก้สมการเชิงปริพันธ์ ปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานได้เป็นพื้นฐานให้กับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันในเวลาต่อมาในช่วง 1920 ผ่านงานของ สเตฟาน บานาค
== สาขาย่อย ==
คณิตวิเคราะห์มีสาขาย่อยหลัก ๆ ดังต่อไปนี้
=== การวิเคราะห์เชิงจริง ===
=== การวิเคราะห์เชิงซ้อน ===
=== สมการเชิงอนุพันธ์ ===
=== การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ===
=== ทฤษฎีเมเชอร์ ===
=== การวิเคราะห์เชิงตัวเลข ===
นอกจากนี้ยังมีหัวข้ออื่น ๆ ที่เป็นสาขาย่อยของคณิตวิเคราะห์ลงไปอีก ได้แก่
แคลคูลัสของการแปรผัน
การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
การวิเคราะห์เรขาคณิต
การวิเคราะห์คลิฟฟอร์ด
การวิเคราะห์พี-เอดิก
การวิเคราะห์เชิงไม่มาตรฐาน
การวิเคราะห์เชิงคำนวณ
แคลคูลัสสโทแคสติก
Set-valued analysis
การวิเคราะห์คอนเวกซ์
Tropical analysis
== หมายเหตุ ==
==อ้างอิง==
Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984. Mathematics, its Content, Methods, and Meaning. 2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
Apostol, Tom M. 1974. Mathematical Analysis. 2nd ed. Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
Binmore, K.G. 1980–1981. The foundations of analysis: a straightforward introduction. 2 volumes. Cambridge University Press.
Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981. Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
Nikol'skii, S. M. 2002. "Mathematical analysis". In Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel (editor).  Springer-Verlag. ISBN 1-4020-0609-8.
Rombaldi, Jean-Étienne. 2004. Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques. EDP Sciences. ISBN 2-86883-681-X.
Rudin, Walter. 1976. Principles of Mathematical Analysis. McGraw–Hill Publishing Co.; 3rd revised edition (September 1, 1976), ISBN 978-0-07-085613-4.
Smith, David E. 1958. History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.
Whittaker, E. T. and Watson, G. N.. 1927. A Course of Modern Analysis. 4th edition. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.
http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/114/07/html/home/course/course.pdf
==ดูเพิ่ม==
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)
 
สาขาของคณิตศาสตร์