ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม ถูกสร้างขึ้นตามแนวคิดของตัวดำเนินการ กล่าวคือ ปริมาณที่สังเกตหรือที่วัดได้ในทางกายภาพของอนุภาคจากการทดลอง เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัมเชิงเส้น พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม เป็นต้น สามารถแทนได้ด้วยตัวดำเนินการ A ใด ๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม หากต้องการทราบข้อมูลหรือปริมาณดังกล่าวจะต้องใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากระทำกับฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคนั้น ๆ ดังนั้น ผลของการวัดจะทำให้ฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคกลายเป็นฟังก์ชันไอเกนที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการ ตามสมการ
\hat{A} \psi = a \psi 
เมื่อ    \hat{A}   เป็นตัวดำเนินการ
a     เป็นค่าไอเกน (Eigenvalue) ของตัวดำเนินการ
ψ    เป็นฟังก์ชันไอเกน
== ฟังก์ชันคลื่น ==
ให้ ψ เป็นฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบควอนตัม โดยฟังก์ชันคลื่นจะต้องมีสมบัติ square-integrable functions คือวิธีการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสอง เมื่อฟังก์ชันคลื่นคูณแบบสเกลาร์กับตัวมันเองแล้วสามารถหาค่าได้ กล่าวคือ
\iiint_{\mathbb{R}^3} |\psi(\mathbf{r})|^2 {\rm d}^3\mathbf{r} = \iiint_{\mathbb{R}^3} \psi(\mathbf{r})^*\psi(\mathbf{r}){\rm d}^3\mathbf{r} 
ตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ คือ ฟังก์ชันคลื่นแบบกลศาสตร์ควอนตัม :\Psi(\mathbf{r},t)
ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา t ใด ๆ ในปริมาตร ซึ่งอยู่ในช่วง r ถึง r+dr (ช่วงที่จำกัด) หาได้จากสมการ
\rho\left(\mathbf\mathbf{r},t \right ) =  \left | \Psi\left (\mathbf(\mathbf{r},t \right ) \right |^2
ซึ่งโอกาสที่จะพบอนุภาคในระบบมีค่าสูงสุดเท่ากับ 1 นั่นหมายความว่า อนุภาคต้องอยู่ที่ใดที่หนึ่ง
\iiint_{\mathbb{R}^3} |\psi(\mathbf{r})|^2 {\rm d}^3\mathbf{r} = 1 
เราเรียกวิธีการทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นไปตามสมการข้างต้นว่า การแจกแจงแบบปกติ (normalized)
สรุปคือ ฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ฟังก์ชันคลื่นใด ๆ ที่ไม่สามารถยกกำลังสองแล้วหาปริพันธ์ได้จะไม่มีความหมายในกลศาสตร์ควอนตัม
== ตัวดำเนินการกับสถานะทางควอนตัม ==
แบ่งได้เป็น 2 กรณี ได้แก่
=== 1. กรณีสถานะแบบไม่ต่อเนื่อง  ===
ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis |\phi_i\rangle ที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปผลรวม (sum)
|\psi\rangle = \sum_i c_i|\phi_i\rangle
เมื่อ ci = \langle\phi_i |\psi\rangle เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นปริมาณที่เกิดจากการ projection ค่า  |\psi\rangle ลงบน |\phi_i\rangle  ซึ่ง |ci|2 = ci*ci คือ โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะ |\phi_i\rangle
=== 2. กรณีสถานะแบบต่อเนื่อง  ===
ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบต่อเนื่อง (Continuum of eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis |\phi_i\rangle  ที่เป็นแบบต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปปริพันธ์ (Integral)
|\psi\rangle = \int {\rm d}\phi c(\phi) |\phi\rangle 
เมื่อ  c(\phi)   คือ \langle\phi_i |\psi\rangle  และเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่ง | c(\phi)  |2 =  c(\phi)  * c(\phi)   เป็น โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะควอนตัม |\phi_i\rangle
== ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการ สำหรับสถานะ ψ ==
ค่าคาดหวัง คือ ค่าเฉลี่ยของข้อมูลการสังเกตปริมาณ A ใด ๆ สำหรับอนุภาคในปริภูมิ R
ค่าคาดหวัง \langle \hat{A} \rangle  ของตัวดำเนินการ  \hat{A}  จะหาได้จาก
\langle \hat{A} \rangle = \int_R \psi^{*}\left( \mathbf{r} \right ) \hat{A} \psi \left( \mathbf{r} \right ) \mathrm{d}^3\mathbf{r} = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle .
และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน F ใด ๆ ของตัวดำเนินการ ได้เป็น
 \langle F ( \hat{A} ) \rangle = \int_R \psi(\mathbf{r})^{*} \left [ F ( \hat{A} ) \psi(\mathbf{r}) \right ] \mathrm{d}^3 \mathbf{r} = \langle \psi | F ( \hat{A} ) | \psi \rangle , 
ตัวอย่าง ฟังก์ชัน F เป็น 2 เท่าของ A ในสถานะ ψ
\begin{align}
& F(\hat{A}) = \hat{A}^2 \\
& \Rightarrow \langle \hat{A}^2 \rangle = \int_R \psi^{*} \left( \mathbf{r} \right ) \hat{A}^2 \psi \left( \mathbf{r} \right ) \mathrm{d}^3\mathbf{r} = \langle \psi \vert \hat{A}^2 \vert \psi \rangle \\
\end{align}\,\!
== ตัวดำเนินการเอมิตเชียน ==
ตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน เป็นตัวดำเนินการที่มีนิยาม คือ
\hat{A} = \hat{A}^\dagger
เมื่อ  \hat{A}^\dagger เป็น คอนจูเกตและทรานสโพทของตัวดำเนินการ (Conjugate Transpose Operator) ของ  โดยเครื่องหมายที่เพิ่มขึ้นมา “ \dagger” เรียกว่า แด็กเกอร์ (dagger)
จากนิยามตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนข้างต้น สามารถเขียนในรูปของสัญลักษณ์ บรา(bar) - เค็ท(ket) ได้ดังนี้
\langle \phi_i | \hat{A} | \phi_j \rangle = \langle \phi_j | \hat{A} | \phi_i \rangle^*.
=== คุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชันไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน ===
1.      ค่าไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนเป็นจำนวนจริงเสมอ
2.      ฟังก์ชันไอเกน (สถานะไอเกน) ที่มีค่าไอเกนแตกต่างกันจะมีสมบัติ Orthogonality
3.      ฟังก์ชันไอเกน สามารถเป็น Orthonormal basis
ฟิสิกส์ทฤษฎี