พหุนามฟีโบนัชชี

พหุนามฟีโบนัชชี (Fibonacci polynomial) คือลำดับพหุนาม (polynomial sequence) ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบทั่วไปของจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number) และพหุนามที่สร้างจากรูปแบบเดียวกันนี้แต่ด้วยจำนวนลูคัส (Lucas number) นั้นเรียกว่าพหุนามลูคัส (Lucas polynomial)
== นิยาม ==
พหุนามฟีโบนัชชีนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) :
F_n (x) = \begin{cases}
0, & \mbox{if } n = 0\\
1, & \mbox{if } n = 1\\
x F_{n - 1} (x) + F_{n - 2} (x), & \mbox{if } n \geq 2
\end{cases}
โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามฟีโบนัชชีคือ:
F_0 (x) =0 \, 
F_1 (x) =1 \, 
F_2 (x) =x \, 
F_3 (x) =x^2+1 \, 
F_4 (x) =x^3+2x \, 
F_5 (x) =x^4+3x^2+1 \, 
F_6 (x) =x^5+4x^3+3x \, 
พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนัชชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไปดังที่แสดงต่อไปนี้ :
L_n (x) = \begin{cases}
2, & \mbox{if } n = 0 \\
x, & \mbox{if } n = 1 \\
x L_{n - 1} (x) + L_{n - 2} (x), & \mbox{if } n \geq 2.
\end{cases}
โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามลูคัสคือ:
L_0 (x) =2 \, 
L_1 (x) =x \, 
L_2 (x) =x^2+2 \, 
L_3 (x) =x^3+3x \, 
L_4 (x) =x^4+4x^2+2 \, 
L_5 (x) =x^5+5x^3+5x \, 
L_6 (x) =x^6+6x^4+9x^2 + 2. \, 
เราสามารถได้จำนานฟีโบนัชชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้  x = 1  จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์  F_n  ที่  x = 2  โดยที่ ดีกรีของ  F_n  คือ  n-1  และดีกรีของ  L_n  คือ  n 
ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สำหรับลำดับคือ :
\sum_{n=0}^\infty F_n (x) t^n = \frac{t}{1-xt-t^2}.
\sum_{n=0}^\infty L_n (x) t^n = \frac{2-xt}{1-xt-t^2}.
พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)
F_n (x) = U_n (x, -1), \, 
L_n (x) = V_n (x, -1).\, 
== เอกลักษณ์ ==
เนื่องจากพหุนามฟีโบนัชชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนัชชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังต่อไปนี้
ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามให้แก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ  -n  โดยนิยามว่า 
F_{-n} (x) = (-1) ^{n-1}F_{n} (x), \, L_{-n} (x) = (-1) ^nL_{n} (x).
และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:
F_{m+n} (x) =F_{m+1} (x) F_n (x) +F_m (x) F_{n-1} (x) \, 
L_{m+n} (x) =L_m (x) L_n (x) - (-1) ^nL_{m-n} (x) \, 
F_{n+1} (x) F_{n-1} (x) - F_n (x) ^2= (-1) ^n\, 
F_{2n} (x) =F_n (x) L_n (x).\, 
โดยที่รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ  F_n (x)  จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :
F_n (x) =\frac{\alpha (x) ^n-\beta (x) ^n}{\alpha (x) -\beta (x)}, \, L_n (x) =\alpha (x) ^n+\beta (x) ^n, 
เมื่อ
\alpha (x) =\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}, \, \beta (x) =\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}
เป็นผลตอบ  t  ที่ได้จากสมการ
t^2-xt-1=0.\, 
== มุมมองจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด ==

ถ้าให้ F (n, k) คือค่าสัมประสิทธิ์ xk ใน Fn (x) เราจะเขียน  F_n (x)  ใหม่ได้ว่า
F_n (x) =\sum_{k=0}^n F (n, k) x^k, \, 
นั้นก็คือว่า F (n, k) คือจำนวนวิธีที่สีเหลี่ยมขนาด (n−1) × 1 จะถูกเติมเต็มได้โดยสี่เหลี่ยมขนาด 2 × 1 และสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 และโดยมีเงื่อนไขว่าให้ใช้สี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1  จำนวน k อันเท่านั้น  ซึ่งนั้นก็หมายความว่า ประพจน์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สมมูลกันกับการที่มองว่า F (n, k) เป็นจำนวนวิธีในการเขียน n−1 ในรูปของการประกอบของการบวก (Composition) ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกันระหว่างเลข 1 และ 2 โดยที่กำหนดว่าเลข 1 นั้นจะต้องถูกใช้ในการประกอบการบวกเพียงแค่ k ครั้งเท่านั้น
ตัวอย่างเช่น กรณี F (6, 3) = 4 เราจะเห็นได้ว่า 6-1 = 5 สามารถเขียนโดยใช้เลข 2 และ 1 ได้ใน F (6, 3) = 4 วิธี นั้นคือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 (จำนวนครั้งที่การประกอบการบวกที่มีเพียง 1 และ 2 ถูกนำมาใช้ประกอบการบวก และภายใต้เงื่อนไขที่ว่า 1 ถูกนำมาใช้ 3 ตัว นั้นมี 4 วิธี) หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งว่า F (n, k) นั้นก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้
F (n, k) =\binom{\tfrac{n+k-1}{2}}{k}
เมื่อ n และ k คือ ภาวะคู่หรือคี่ที่อยู่ตรงข้ามกัน (opposite parity) และนั้นนำไปสู่การใช้สามเหลี่ยมปาสกาล ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีดังที่แสดงในรูปด้านซ้ายมือ
== อ้างอิง ==
== ดูเพิ่ม ==
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
Triangle of coefficients of polynomials defined by Binet form P (n, x) = (U^n-L^n) /d, where U= (x+d) /2, L= (x-d) /2, d= (4 + x^2) ^ (1/2).
Triangle of numbers {C (n-k, k), n >= 0, 0<=k<=n/2 or triangle of coefficients of (one version of) Fibonacci polynomials.
ฟ
ฟ