สมการชเรอดิงเงอร์

ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม สมการชเรอดิงเงอร์ เป็นสมการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายระบบทางฟิสิกส์ ที่เป็นผลจากปรากฏการณ์ควอนตัม เช่น ทวิภาคของคลื่นและอนุภาค สมการชเรอดิงเงอร์เป็นสมการที่สำคัญในการศึกษาระบบทางกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ นักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย ได้ค้นพบ "สมการชเรอดิงเงอร์" ในปี พ.ศ. 2468 และถูกตีพิมพ์ในปีต่อมา จากการค้นพบสมการชเรอดิงเงอร์ ทำให้ชเรอดิงเงอร์ได้รับรางวัลโนเบล สาขาฟิสิกส์ ในปี พ.ศ. 2476 สมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหรือที่รู้จักกันว่าสมการคลื่น โดยสามารถแก้สมการชเรอดิงเงอร์เพื่อหาพฤติกรรมการเคลื่อนที่ของคลื่นได้
ในกลศาสตร์ดั้งเดิม กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันโดยเฉพาะกฎข้อที่สอง จะสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคโดยแสดงให้เห็นถึงตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของอนุภาคที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยใช้สมการการเคลื่อนที่ในการทำนายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในระบบ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พฤติกรรมของอนุภาคจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น ดังนั้นเราจึงสามารถแก้สมการชเรอดิงเงอร์เพื่อหาผลเฉลยออกมาเป็นฟังก์ชันคลื่น โดยสมการชเรอดิงเงอร์นี้เป็นการอธิบายธรรมชาติในระดับจุลภาค
สมการชเรอดิงเงอร์แบ่งออกได้เป็นสมการชเรอดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา  และสมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา
== สมการ ==
=== สมการชเรอดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา ===
โดยที่
 คือ หน่วยจินตภาพ
 คือ ค่าคงตัวของพลังค์แบบลดค่า
สัญลักษณ์  แสดงถึง อนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลา 
 (อักษรกรีกพไซ) คือ ฟังก์ชันคลื่นในระบบควอนตัม
 และ  คือ เวกเตอร์บอกตำแหน่งและเวลาตามลำดับ
 คือ ตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน
=== สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ===
สมการนี้เป็นการเขียนให้อยู่ในรูปตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน ซึ่งจะเรียกสมการนี้ว่าสมการEigenvalue ที่มีค่าคงตัว  เป็น Eigenvalue และมี  เป็น Eigen function
ซึ่งสมการชเรอดิงเงอร์จะใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบ 1 มิติ เช่น ศักย์แบบขั้นบันได กำแพงศักย์ บ่อศักย์แบบอนันต์ บ่อศักย์แบบลึกจำกัด เป็นต้น ซึ่งจะพบว่ามีบางส่วนที่แตกต่างจากการใช้วิธีการทางกลศาสตร์ดั้งเดิมแก้ปัญหาอย่างชัดเจน
=== สมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมไฮโดรเจน ===
ผลเฉลยของสมการชโรดิงเจอร์ ออร์บิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนเป็นไอเกนฟังก์ชันของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน 1 ตัว ในแกน z (Lz) ออบิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน(hydrogen-like atom) สามารถหาได้จากเลขควอนตัมหลัก n เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม l และเลขควอนตัมแม่เหล็ก m พลังงานเฉพาะของอะตอมมีค่าขึ้นกับค่า n เท่านั้น เราจึงต้องบวกเลขควอนตัมการหมุน ms = ±½ สำหรับในออร์บิทัลที่มีระดับพลังงานเท่ากันของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน ค่า n, l, m and s  จะมีค่าเฉพาะที่เปลี่ยนไปตามระดับพลังงาน
การวิเคราะห์สมการชโรดิงเจอร์ของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวนั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากมีแรงคูลอมบ์ระหว่างอิเล็กตรอนเข้ามาเกี่ยวข้องกับการคำนวณ เราจึงต้องใช้วิธีเชิงตัวเลข (Numerical method) มาช่วยคำนวณ เพื่อหาฟังก์ชันคลื่นหรือสมบัติทางควอนตัมอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงใช้แบบจำลองของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนในการแก้ปัญหา
จากกฎของคูลอมบ์ ศักย์ไฟฟ้าเป็นดังสมการ
V(r) = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}
เมื่อ
ε0 คือ ค่าสภาพยอมของสุญญากาศ,
Z คือ เลขอะตอม (จำนวนโปรตอนในนิวเคลียส),
e คือ ประจุของอิเล็กตรอน,
r คือ ระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนและนิวเคลียส
ดังนั้นจะได้สมการคลื่น (ในพิกัดทรงกลม) เป็น
\psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)\,
โดย Y_{lm} คือ ฮาร์มอนิกส์ทรงกลม
จะได้สมการชเรอดิงเงอร์
\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \left({1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial R(r)\over \partial r}\right) - {l(l+1)R(r)\over r^2} \right) + V(r)R(r) \right]= E R(r),
โดย \mu คือ มวลลดทอน
== อ้างอิง ==
กลศาสตร์คลื่น