ทฤษฎีกราฟ

ทฤษฎีกราฟ (graph theory) เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ที่ศึกษาถึงคุณสมบัติต่าง ๆ ของกราฟ
== ประวัติ ==
ทฤษฎีกราฟนั้น มีจุดเริ่มจากผลงานตีพิมพ์ของ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ภายใต้ชื่อ Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis ในปี ค.ศ. 1736 (พ.ศ. 2279) หรือที่รู้จักกันในนาม ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองโคนิกส์เบิร์ก (Seven Bridges of Königsberg) เขาสนใจวิธีที่จะข้ามสะพานทั้ง 7 แห่งนี้ โดยข้ามแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวเท่านั้น  ผลงานนี้ยังถือว่าเป็นงานแนวทอพอโลยีชิ้นแรกในเรขาคณิต กล่าวคือเป็นงานที่สนใจเฉพาะโครงสร้างของรูปเรขาคณิตที่ไม่ขึ้นกับขนาด ระยะ หรือการวัดใดๆ งานชิ้นสำคัญนี้ยังได้แสดงความเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้งระหว่างทฤษฎีกราฟและทอพอโลยี
ในปี ค.ศ. 1845 (พ.ศ. 2388) กุสตาฟ คีร์คฮอฟฟ์ ได้เผยแพร่ผลงานที่รู้จักกันภายใต้ชื่อกฎวงจรไฟฟ้าของคีร์คฮอฟฟ์ ที่แสดงความสัมพันธ์ของกระแสและความต่างศักย์ บนกราฟที่แทนวงจรไฟฟ้า
ต่อมาในปี ค.ศ. 1852 (พ.ศ. 2395) ฟรานซิส กัทธรี ได้ตั้งปัญหาสี่สี (Four color problem) เพื่อศึกษาถึงความเป็นไปได้ที่จะใช้สีเพียง 4 สี เพื่อระบายให้กับประเทศต่าง ๆ บนแผนที่ใด ๆ โดยที่ประเทศเพื่อนบ้านจะไม่มีสีเดียวกัน.  ปัญหานี้ได้ถูกแก้ในอีกมากกว่า 100 ปีถัดมา ในปี ค.ศ. 1976 (พ.ศ. 2519) โดย เคนเนธ แอปเพล และวูล์ฟกัง ฮาเคน ซึ่งใช้คอมพิวเตอร์เข้าช่วยในการพิสูจน์ ซึ่งทำให้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างกว้างขวาง. อย่างไรก็ตามจากความพยายามในการแก้ปัญหา 4 สีนี้ ทำให้มีการสร้างแนวคิดและนิยามพื้นฐานในทฤษฎีกราฟขึ้นอย่างมากมาย  จนอาจจะกล่าวได้ว่าจุดเริ่มต้นของทฤษฎีกราฟเกิดจากปัญหาสี่สีนี้เอง
กราฟมักถูกนำเสนอในลักษณะของรูปภาพ โดยใช้จุดแทนจุดยอดแต่ละจุด และลากเส้นระหว่างจุดยอดถ้าจุดยอดทั้งสองนั้นมีเส้นเชื่อมถึงกัน  ถ้ากราฟมีทิศทาง ทิศทางของเส้นเชื่อมจะถูกระบุโดยใช้ลูกศร
เราไม่ควรจะสับสนระหว่างกราฟที่วาดออกมากับกราฟ (ที่เป็นโครงสร้างนามธรรม) เนื่องจากกราฟหนึ่ง ๆ สามารถเขียนออกมาได้หลายแบบ   และสาระหลักของกราฟนั้นมีแค่ว่าจุดยอดใด เชื่อมต่อกับจุดยอดใด ด้วยเส้นเชื่อมกี่เส้น ไม่ใช่วิธีการที่วาดมันออกมา    ในทางปฏิบัติแล้ว การจะตัดสินว่ากราฟที่วาดออกมาสองกราฟนั้น มาจากกราฟเดียวกัน    ในบางกรณี การวาดกราฟบางแบบอาจมีความเหมาะสมและทำให้เข้าใจได้ง่ายกว่าแบบอื่น
== โครงสร้างข้อมูลกราฟ ==
มีหลายวิธีในการจัดเก็บกราฟในระบบคอมพิวเตอร์ โดยโครงสร้างข้อมูลที่ใช้ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของกราฟ และขั้นตอนวิธีสำหรับประมวลผลกราฟนั้น ในทางทฤษฎีเราอาจแยกแยะโครงสร้างที่เป็นแบบรายการกับที่เป็นเมทริกซ์ได้ แต่ในทางปฏิบัติมักพบว่าโครงสร้างที่ดีมักเป็นลูกผสมของโครงสร้างทั้งสองแบบ โครงสร้างแบบรายการนั้นมักใช้ในกรณีของกราฟเบาบาง (sparse graph) เนื่องจากมีการใช้หน่วยความจำที่น้อยกว่า ในทางกลับกันโครงสร้างแบบเมทริกซ์นั้น มีการเข้าถึงที่รวดเร็วกว่า แต่ก็ใช้หน่วยความจำขนาดใหญ่ถ้าจำนวนจุดยอดของกราฟมีมาก
=== โครงสร้างแบบรายการ ===
รายการตกกระทบ (incidence list)
รายการประชิด (adjacency list)
=== โครงสร้างแบบเมทริกซ์ ===
เมทริกซ์ตกกระทบ (incidence matrix) - เป็นการจัดเก็บกราฟในเมทริกซ์ขนาด E (จำนวนเส้นเชื่อม) คูณ V (จำนวนจุดยอด) ซึ่ง [เส้นเชื่อม, จุดยอด] จะบรรจุข้อมูลของเส้นเชื่อมนั้น (เช่น 1 คือ เชื่อมต่อกัน, 0 คือ ไม่เชื่อมต่อกัน)
เมตริกซ์ประชิด (adjacency matrix) - เป็นการจัดเก็บกราฟในเมทริกซ์ขนาด N คูณ N เมื่อ N คือจำนวนของจุดยอดในกราฟ ถ้ามีเส้นเชื่อมจากจุดยอด x ไปจุดยอด y แล้ว สมาชิก M_{x, y} จะเป็น 1 ไม่เช่นนั้น จะเป็น 0 ซึ่งทำให้ง่ายต่อการหากราฟย่อย และกราฟย้อนกลับ
เมตริกซ์แบบลาปลัส (Laplacian matrix หรือ admittance matrix)
== การจำแนกชนิดของกราฟ ==
ตามลักษณะข้อมูลที่เก็บ
กราฟแบบมีทิศทาง (directed graph) และ กราฟแบบไม่มีทิศทาง (undirected graph)
กราฟแบบมีน้ำหนัก (weighted graph) และ กราฟแบบไม่มีน้ำหนัก (unweighted graph)
ตามการเชื่อมโยง
กราฟสมบูรณ์ (complete graph)
กราฟต่อเนื่อง (connected graph)
กราฟไม่ต่อเนื่อง (unconnected graph)
ต้นไม้ (โครงสร้างข้อมูล) (tree)
== ทฤษฎีบทและปัญหาบนกราฟ ==
=== การค้นหากราฟย่อย ===
ปัญหากลุ่มพรรคพวก - การค้นหากราฟย่อยที่เป็นกราฟบริบูรณ์ที่มีขนาดใหญ่ที่สุด  กราฟย่อยดังกล่าวเรียกว่ากลุ่มพรรคพวก (clique)
ปัญหาเซตอิสระ - การค้นหาเซตอิสระที่ใหญ่ที่สุด
=== การระบายสีกราฟ ===
ทฤษฎีบทสี่สี
=== ปัญหาเส้นทาง ===
ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองโคนิกส์เบิร์ก (Euler circuit)
ปัญหาวิถีสั้นสุด (Shortest path problem)
การวิเคราะห์เส้นทางวิกฤต (Critical path analysis)
=== การไหลในเครือข่าย ===
การไหลในเครือข่าย
=== ปัญหากราฟการมองเห็น ===
ปัญหายามเฝ้าพิพิธภัณฑ์
== ดูเพิ่ม ==
อภิธานศัพท์ทฤษฎีกราฟ
== ดูเพิ่ม ==
J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications [http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.html] 
Reinhard Diestel, Graph Theory Third Edition Lawler E.L., Combinatorial optimization.. networks and matroids [http://lib.org.by/_djvu/M_Mathematics/MA_Algebra/MAc_Combinatorics/Lawler%20E.L.%20Combinatorial%20optimization..%20networks%20and%20matroids%20(1976)(384s).pdf 
Einführung in Graphen und Algorithmen [http://www.informatik.hu-berlin.de/Institut/struktur/algorithmen/ga/] 
 
วิยุตคณิต