เมเชอร์ (คณิตศาสตร์)

ในคณิตศาสตร์ เมเชอร์ (measure) บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร   ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง  จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น   ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก
จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก
== นิยามพื้นฐานเกี่ยวกับเมเชอร์ ==

=== คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ ===
ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้
ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง
จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้
=== นิยามอย่างเป็นทางการ ===
ให้ X เป็นเซต และ \Sigma เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต X นั้น จะเรียกฟังก์ชัน \mu ที่ส่งค่าจาก \Sigma  ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย [0,\infty] ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ μ มีสมบัติต่อไปนี้
ความไม่เป็นลบ: ทุกค่า E ใน Σ จะต้องได้ว่า \mu(E)\geq 0
เซตว่างมีเมเชอร์เท่ากับศูนย์:  \mu (\varnothing) = 0 
\mu มีสภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity):  ถ้ากำหนดให้ \left \{ E_k \right \}_{k = 1}^\infty เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆ ใน \Sigma แล้ว \mu\left (\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu (E_i)
เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ (X, \Sigma, \mu) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน \Sigma  จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่ (X, \Sigma) เท่านั้น
=== ปริภูมิความน่าจะเป็น ===
ปริภูมิความน่าจะเป็น (Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ  \mu (X) = 1  ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็นเมเชอร์ความน่าจะเป็น (probability measure)
นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์  (\Omega,\mathfrak{F},P)  แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X, \Sigma, \mu) เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ \mu แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น
=== ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้ ===
ให้ (X, \Sigma_X) และ (Y, \Sigma_Y) เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน f\colon X \to Y ว่าเป็นฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้ (measurable function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพของเซตหาเมเชอร์ได้ใน Y เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน X ด้วย หรือก็คือ f^{-1} (A) \in \Sigma_X สำหรับทุกเซต A \in \Sigma_Y
== สมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม ==
ให้ \mu เป็นเมเชอร์
=== ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว ===
\mu มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว: กำหนดให้ E_1 และ E_2 เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ E_1 \subseteq E_2 แล้วจะได้ว่า \mu(E_1) \leq \mu (E_2)
=== เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต ===
กำหนดให้   E_1, E_2, E_3, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน \Sigma จะได้ว่า
\mu\left ( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu (E_i) 
นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้  E_1, E_2, E_3, ... เป็นเซตใน Σ และ   E_n \subseteq E_{n+1} ,\forall n \in \mathbb{N} , แล้วจะได้ว่า  \bigcup_{n=1}^\infty E_n  อยู่ใน \Sigma ด้วย และ
\mu\left (\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu (E_i) 
=== เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต ===
กำหนดให้  E_1, E_2, E_3, ... เป็นเซตใน \Sigma และ   E_{n+1} \subseteq E_n ,\forall n \in \mathbb{N} , แล้วจะได้ว่า  \bigcap_{n=1}^\infty E_n  อยู่ใน \Sigma ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก E_n อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด (\mu(E_n) ) เราจะได้ว่า
\mu\left (\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu (E_i) 
คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก E_n ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น  ถ้าให้  E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}  สำหรับแต่ละ n \in \N แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ  E_n มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์
== ตัวอย่างของเมเชอร์ ==
เมเชอร์การนับ นิยามให้ \mu(S) เท่ากับจำนวนสมาชิกใน S
เลอเบ็กเมเชอร์ หรือ เมเชอร์ของเลอเบ็ก เป็นหนึ่งในเมเชอร์ที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต [0,5] คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตตรรกยะในช่วง [0,1] สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์.
เมเชอร์ความน่าจะเป็น คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือเมเชอร์ธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต X (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง
โบเรลเมเชอร์
จอร์แดนเมเชอร์
==  สมบัติเพิ่มเติม ==
=== เมเชอร์ซิกมาจำกัด ===
ปริภูมิเมเชอร์  (X, \Sigma, \mu)  จะเป็นปริภูมิเมเชอร์จำกัด (finite measure) ก็ต่อเมื่อ  \mu (X)  เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า  \mu  เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น  \frac{1}{\mu(X)}\mu 
นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์  (X, \Sigma, \mu)  จะเป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง  X  ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก  \mu  ว่าเป็น เมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง  \R  ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง  \R  ออกเป็นช่วงย่อย  [k, k+1)  ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม  k  ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1
ในทำนองกลับกัน เซต  \R  ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม  \R 
ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับสมบัติลินเดอเลิฟของปริภูมิเชิงทอพอโลยี
=== เมเชอร์บริบูรณ์ ===
ในปริภูมิเมเชอร์  (X, \Sigma, \mu)  เซต  N \subseteq X  จะเป็นเซตนัลล์ (null set) ก็เมื่อ  \mu(N) = 0  สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต  M\subseteq N   ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว  \mu(M) = 0  โดยอัตโนมัติ จะเรียก  (X, \Sigma, \mu)  ว่าเป็นเมเชอร์บริบูรณ์ (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้
หากมีปริภูมิเมเชอร์  (X, \Sigma, \mu)  ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ
== เซตหาเมเชอร์ไม่ได้ ==
หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ  \R^n  ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าวเช่น เซตวีตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเฮาส์ดอร์ฟฟ์และปฏิทรรศน์ของบานาค-ทาร์สกี
== ดูเพิ่ม ==
เมเชอร์ภายนอก
ปริพันธ์ของเลอเบ็ก
เมเชอร์ของเลอเบ็ก
เมเชอร์ผลคูณ
== อ้างอิง ==
P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
Kopp and Capinski, Measure, Integration and Probability, 2nd Edition, Springer, 2000.
D. H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm 
F. Jones, Lebesgue Integration in Euclidean Spaces, Jones and Barlett Publisher, 1999.
 
เมเชอร์
คณิตวิเคราะห์