การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง (continuous Fourier transform) เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งซึ่งทำการแมพฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง อีกนัยหนึ่งการแปลงฟูรีเยนั้นเป็นการแยกองค์ประกอบของฟังก์ชัน ตามสเปกตรัมของความถี่ที่มีค่าต่อเนื่อง และใช้หมายถึง ค่าสัญญาณใน "โดเมนของความถี่" ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม
(ดูเพิ่มเติมที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย)
== นิยาม ==
สมมุติ f เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง F และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย
{|border="0" cellpaddin="5" cellspacing="10" width = 100%
|- style="background-color: gainsboro"
! การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง
! การแปลงกลับ
|-
| align = center|\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,d t
| align = center|\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega
|}
โดยที่ จำนวนจริง ω คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง F(ω) เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน f(t) ที่แต่ละความถี่
สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor) 1/\sqrt{2\pi} ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ \,1/2\pi\, เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ \,1/2\pi\, (ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง f(t) ไปเป็น F(ω) และแปลงกลับ จะได้ f(t) โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด เรียกคุณสมบัติว่า ยูนิแทรี (unitary)
ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม อาจใช้การแปลงไปเป็นฟังก์ชันของความถี่ แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม ω นิยมใช้สัญลักษณ์ f หรือ \nu แทนความถี่โดยที่ f = 2\pi\omega
ตารางต่อไปนี้สรุปการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องแบบต่างๆ ที่นิยมใช้ เพื่อป้องกันความสับสน ในตารางข้างล่างนี้ f หมายถึงความถึ่ ส่วนฟังก์ชัน ใช้ x(t) แทน f(t) ส่วนเนื้อหาในหัวข้อถัดๆไป จะใช้การแปลงแบบแรกในตารางเป็นหลัก
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="12"
|+ สรุปรูปแบบที่นิยมของการแปลงฟูรีเย
|-
| rowspan = "2" align = "center" style="color: darkred"| ความถี่เชิงมุม  \omega \,  (rad/s)
| align = "center" style="color: darkblue" | ยูนิแทรี
|  X_1(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int _{-\infty}^{\infty} x(t) \ e^{-i \omega t}\, dt \ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} X_2(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} X_3 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right )\, 
 x(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int _{-\infty}^{\infty} X_1(\omega) \ e^{i \omega t}\, d \omega \ 
|-
| align = "center" style="color: darkblue" | ไม่เป็นยูนิแทรี
|  X_2(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int _{-\infty}^{\infty} x(t) \ e^{-i \omega t} \ dt \ = \sqrt{2 \pi}\ X_1(\omega) = X_3 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right ) \, 
 x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int _{-\infty}^{\infty} X_2(\omega) \ e^{i \omega t} \ d \omega \ 
|-
| rowspan = "2" align = "center" style="color: darkred"| ความถี่  f \,   (hertz)
| align = "center" style="color: darkblue" | ยูนิแทรี
|  X_3(f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int _{-\infty}^{\infty} x(t) \ e^{-i 2 \pi f t} \ dt \ = \sqrt{2 \pi}\ X_1(2 \pi f) = X_2(2 \pi f)\,
 x(t) = \int _{-\infty}^{\infty} X_3(f) \ e^{i 2 \pi f t}\, df \ 
|}
=== รูปทั่วไป ===
คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้
{|border="0" cellpaddin="5" cellspacing="10" width = 100%
|-
| align = center|F(\omega) = \sqrt{\frac{|b|}{(2 \pi)^{1-a}}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i b \omega t} \, dt 
| align = center|f(t) = \sqrt{\frac{|b|}{(2 \pi)^{1+a}}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i b \omega t} \, d\omega 
|}
โดยที่ ค่าคงที่ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก (a,b) = (0,1) สำหรับการแปลงไม่เป็นยูนิทารี (a,b) = (1,1)
ค่า a และ b ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ (a,b)=(0,2\pi) ซึ่งในกรณีนี้ \omega จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญญลักษณ์ \nu หรือ f ในกรณีที่ a และ b เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก a มีหน่วยเวลา b จะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที
== การแปลงในมิติที่สูงขึ้น ==
สำหรับฟังก์ชัน f(x) ของ เวกเตอร์ x ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ k (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องจะกำหนดโดย
F(\mathbf{k})=
\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^N
\int_{\mathbb{R}^N} f (\mathbf{x})\,e^{-i\,\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{x}
โดยที่ dx เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน (dot product) และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:
\delta(\mathbf{k})=\left(\frac{1}{2\pi}\right)^N
\int_{\mathbb{R}^N} e^{\pm i\,\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{x}
เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:
f(\mathbf{x})=
\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^N
\int_{\mathbb{R}^N} F (\mathbf{k})\,e^{+i\,\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{k}
== คู่ของการแปลง ==
ตรารางแสดงคู่ของการแปลงที่สำคัญ โดยใช้การแปลงตามนิยามในตอนต้นของบทความ
โดยที่สัญลักษณ์ f(t)\,\iff\,F(\omega) หมายถึง \mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)
{|border="0" cellpaddin="5" cellspacing="10" width = 80%
|- style="background-color: gainsboro"
! คุณสมบัติ
! ฟังก์ชัน
! style="background-color: white"|
! ผลการแปลงฟูรีเย
|- align = center
|
| \,f(t), g(t)\,
| \iff
| \,F(\omega), G(\omega)\,
|- align = center
| align = left|ความเป็นเชิงเส้น
| a f(t) + b g(t)\,
| \iff
| a F(\omega) + b G(\omega)\,
|- align = center
| align = left|การสลับ *
| F(t)\,
| \iff
| f(-\omega)\,
|- align = center
| align = left|การเลื่อน (translation)
| f(t-a)\,
| \iff
| e^{- i\omega a} F(\omega)\,
|- align = center
| align = left|การมอดูเลต (modulation)
| e^{ iat} f(t)\,
| \iff
| F(\omega - a)\,
|- align = center
| align = left|สังยุค (conjugation)
| \overline{f(t)}\,
| \iff
| \overline{F(-\omega)}\,
|- align = center
| align = left|การสเกล
| f \left ( \frac{t}{a} \right ) \,
| \iff
| |a| F ( a \omega )\,
|- align = center
| align = left|การคอนโวลูท (convolution) *
| (f * g)(t)\,
| \iff
| \sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)\,
|- align = center
| align = left|การคูณ *
| f(t) g(t)\,
| \iff
| {1 \over \sqrt{2\pi}}(F * G)(\omega)\,
|- align = center
| align = left|อนุพันธ์ของเวลา
| f^{(n)}(t)\,
| \iff
|  (i\omega)^n F(\omega)\,
|- align = center
| align = left|อนุพันธ์ของความถี่
| (-it)^n f(t)\,
| \iff
| F^{(n)}(\omega)\,
|- align = center
| align = left|ปฏิยานุพันธ์ของเวลา
| \int_{-\infty}^{t} f(\tau)\, d\tau\,
| \iff
| \frac{1}{i\omega}F(\omega)+\pi F(0)\cdot \delta(\omega)\,
|}
หมายเหตุ : * คือ คู่ของการแปลง ที่อาจมีสัมประสิทธิ์ 1, 2\pi, \sqrt{2\pi} แตกต่างไป ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของการปรับขนาดที่ใช้ในนิยามของการแปลง
คณิตศาสตร์