การแยกแบบโชเลสกี

ในเรื่องเมทริกซ์ การแยกแบบโชเลสกี (Cholesky decomposition) ซึ่งตั้งชื่อตาม หลุยส์ อ็องเดร โชเลสกี นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เป็นวิธีการแยกเมทริกซ์ของเมทริกซ์สมมาตรที่เป็นบวกแน่นอน (Symmetric positive-definite matrix) ไปเป็น เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (Lower triangular matrix) และ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง
เมทริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) ใด ๆ A สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของ เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง L และ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (Upper triangular matrix) U หรือเรียกว่า การแยกแบบแอลยู (LU decomposition) ซึ่งหาก A เป็นเมทริกซ์สมมาตรที่เป็นบวกแน่นอนแล้ว เราสามารถหาเมทริกซ์ U ที่เป็นเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ L ได้ เรียกวิธีนี้ว่า การแยกแบบโชเลสกี
ทั้งวิธีการแยกแบบแอลยู และ แบบโชเลสกี ใช้ในการแก้ปัญหาเรื่องสมการเชิงเส้น โดยวิธีการแยกแบบโชเลสกีจะมีประสิทธิภาพมากกว่า
== นิยาม ==
ให้ A เป็นเมทริกซ์สมมาตรที่เป็นบวกแน่นอนของจำนวนจริง ดังนั้น A สามารถแยกเป็น
\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{L}^{\top}
โดยที่ L คือ เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่สมาชิกแนวทแยงมุมมีค่าเป็นบวก และ LT คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ L
== ส่วนขยายจำนวนเชิงซ้อน ==
จากนิยามข้างบนสามารถขยายไปยังเมทริกซ์ของจำนวนเชิงซ้อนได้โดย ถ้า A เป็นเมทริกซ์ผูกพันในตัว (Self-adjoint matix หรือ Hermitian matrix) และเป็นบวกแน่นอนแล้ว A สามารถแยกได้เป็น
\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{L}^{*}
โดยที่ L* คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (Conjugate transpose) ของ L
การแยกแบบโชเลสกีมีคุณสมบัติความเป็นหนึ่งเดียวกล่าวคือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ผูกพันในตัวและเป็นบวกแน่นอนแล้ว จะมีเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มีสมาชิกแนวทแยงมุมเป็นบวก L เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ A = LL* ในทางกลับกัน ถ้า A สามารถแยกได้เป็น LL* โดยที่ L เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มีสมาชิกแนวทแยงมุมเป็นบวกแล้ว A จะเป็นเมทริกซ์ผูกพันในตัวและเป็นบวกแน่นอน
== การประยุกต์ใช้ ==
การแยกแบบโชเลสกีส่วนใหญ่ใช้ในการแก้ปัญหาสมการเชิงเส้น Ax = b ถ้าเมทริกซ์ A สมมาตรและเป็นบวกแน่นอน เราสามารถแก้ปัญหา Ax = b โดยเริ่มแรกการคำนวณการแยกแบบโชเลสกี A = LLT จากนั้นหา y ที่ทำให้ Ly = b และสุดท้ายหา x ที่ทำให้ LTx = y
ระบบที่มีรูปแบบ Ax = b โดยที่ A สมมาตรและเป็นบวกแน่นอน เกิดขึ้นบ่อยครั้งในการประยุกต์ใช้ ยกตัวอย่างเช่น สมการทั่วไปในเรื่องกำลังสองน้อยสุดเชิงเส้น (linear least square) หรืออาจพบในเรื่องเกี่ยวกับฟังก์ชันพลังงานซึ่งต้องเป็นบวกในทางฟิสิกส์ และเกิดขึ้นบ่อยครั้งในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (Partial differential equation)
การแยกแบบโชเลสกียังใช้ในเรื่อง วิธีมอนติคาร์โล (Monte Carlo method) ในการจำลองระบบที่มีหลายตัวแปรสัมพันธ์กัน โดยเมทริกซ์สหสัมพันธ์ (Correlation) ระหว่างตัวแปรจะถูกแยกเพื่อหาเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง L เพื่อใช้กับเวกเตอร์ของช็อกจำลองที่ไม่สัมพันธ์กัน (Uncorrelated simulated shock) u ทำให้ได้ช็อกเวกเตอร์ (Shock vector) Lu มี่มีคุณสมบัติความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (Covariance) ของระบบที่เรากำลังจำลองอยู่
== วิธีการคำนวณ ==
การแยกแบบโชเลสกีมีวิธีคำนวณหลายแบบ ขั้นตอนวิธีที่อธิบายข้างล่างทั้งหมดนั้นใช้ n3/3 ฟล็อปส์ (FLOPS) โดยที่ n คือขนาดของเมทริกซ์ A ดังนั้นการแยกแบบอจึงมีประสิทธิภาพมากกว่าถึงสองเท่าเทียบกับการแยกแบบแอลยูซึ่งใช้ 2n3/3 ฟล็อปส์
=== ขั้นตอนวิธีอ ===
ขั้นตอนวิธีโชเลสกี (Cholesky algorithm) เป็นวิธีการหาเมทริกซ์ L โดยปรับปรุงมาจากขั้นตอนวิธีเกาส์
ขั้นตอนวิธีเรียกซ้ำเริ่มต้นโดยให้ i := 1 และ
\mathbf{A}^{(1)} := \mathbf{A}.
ที่ขั้นตอน i, เมทริกซ์ A (i)  มีรูปแบบดังนี้:
\mathbf{A}^{(i)}
=
\begin{pmatrix}
\mathbf{I}_{i-1} & 0 & 0 \\
0 & a_{i,i} & \mathbf{b}_{i}^{*} \\
0 & \mathbf{b}_{i} & \mathbf{B}^{(i)}
\end{pmatrix},
โดยที่ Ii−1 คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ที่มีขนาด i − 1.
ถ้าเรากำหนดให้เมทริกซ์ Li โดยที่
\mathbf{L}_{i}
=
\begin{pmatrix}
\mathbf{I}_{i-1} & 0 & 0 \\
0 & \sqrt{a_{i,i}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{a_{i,i}}} \mathbf{b}_{i} & \mathbf{I}_{n-i}
\end{pmatrix},
แล้วเราสามารถเขียน A (i)  เป็น
\mathbf{A}^{(i)} = \mathbf{L}_{i} \mathbf{A}^{(i+1)} \mathbf{L}_{i}^{*}
โดยที่
\mathbf{A}^{(i+1)}
=
\begin{pmatrix}
\mathbf{I}_{i-1} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \mathbf{B}^{(i)} - \frac{1}{a_{i,i}} \mathbf{b}_{i} \mathbf{b}_{i}^{*}
\end{pmatrix}.
สังเกตว่า bi bi* คือ ผลคูณภายนอก ดังนั้นเราจึงเรียกวิธีนี้ว่า รูปแบบผลคูณภายนอก (Outer product version)
เราทำซ้ำตามวิธีการนี้ตั้งแต่ i เท่ากับ 1 จนถึง n โดยหลังจากจบขั้นตอนที่ n จะได้ A (n+1)  = I ดังนั้น เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง L ที่ต้องการคำนวณได้จาก
\mathbf{L} := \mathbf{L}_{1} \mathbf{L}_{2} \dots \mathbf{L}_{n}.
== ดูเพิ่ม ==
วิธีการคำนวณเชิงตัวเลข (Numerical method)
คณิตศาสตร์