กลศาสตร์แฮมิลตัน

ฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันฮามิลตัน (Hamilton function) สำหรับระบบทางกลศาสตร์แบบฉบับ (classical mechanics) คือฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดทั่วไป โมเมนตัมสังยุค และเวลา ที่สามารถใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลา (time evolution) ของระบบนั้นได้ ทั้งนี้เนื่องจากสถานะของระบบในกลศาสตร์แบบฉบับสามารถอธิบายได้โดยการบอกพิกัดและโมเมนตัมเป็นฟังก์ชันของเวลา
== นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน ==
ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตันและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน (Lagrangian)ของระบบ  เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1  เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี พ.ศ. 2376 (ค.ศ. 1833) โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน  ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ
1. การแปลงเลอร์จอง (Legendre Transformation)
2. หลักการแปรผัน (Variational Principle)
เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (generalized coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน
 p(t) \equiv \frac{\partial L \left(q,\dot{q},t\right)}{\partial \dot{q}} 
โดย q(t) คือพิกัดทั่วไป \dot{q}(t) คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ t คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ
เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว \dot{q}(t) ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space
ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) ของลากรางเจียนคือ
H(q(t),p(t),t) = p(t) \dot{q}(q,p,t) - L(q,\dot{q}(q,p,t),t)
โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)
=== ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไป ===
ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด N ตัว
q \equiv \left\{q_1(t), q_2(t),...,q_N(t)\right\}
เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน
L\left(q,\dot{q},t\right) \equiv L\left(q_1,q_2,...q_N, \dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_N, t\right)
เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว p_i(t) ได้โดย
p_i(t) \equiv \frac{\partial L \left(q_1,q_2,...q_N, \dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_N, t\right)}{\partial \dot{q}_i} \qquad\qquad i = 1,2,...,N 
ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม
\dot{q}_i = f_i \left(q_1, q_2,...,q_N,p_1, p_2,...,p_N,t \right)
เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์
H\left(q(t),p(t),t\right) = \sum_i p_i(t) \dot{q}_i(q,p,t) - L\left(q,\dot{q}(q,p,t),t\right)
ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุกๆตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้
=== ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรานเจียน ===
เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2
เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ  \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q,\dot{q},t)  เราจะได้
 \delta\left(\sum_i \dot{q}_i p_i - L\right) = \sum_i \dot{q}_i\delta p_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial L}{\partial t}\delta t + \sum_i\left(p_i - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta \dot{q}_i 
จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ \dot{q}_i ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ \delta q_i เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
 \delta H(q,p,t) = \sum_i \dot{q}_i\delta p_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial L}{\partial t}\delta t 
จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
 \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} 
ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
 \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \Longleftrightarrow  p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} 
ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์
เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ
 \sum_i \dot{q}_i p_i - H(q,p,t) 
จะพบว่า
 \delta\left(\sum_i \dot{q}_i p_i - H(q,p,t)\right) = \sum_i p_i\delta\dot{q}_i - \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial H}{\partial t}\delta t + \sum_i\left(\dot{q}_i - \frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\delta p_i 
และเมื่อใช้นิยามของ  \dot{q}_i = \partial H/\partial p_i  จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง
  \delta L(q,\dot{q},t) = \sum_i p_i\delta\dot{q}_i - \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial H}{\partial t}\delta t
นอกจากนั้นเราพบว่า
 \frac{\partial L}{\partial q_i} = - \frac{\partial H}{\partial q_i}
และ
 \frac{\partial L}{\partial t} = - \frac{\partial H}{\partial t}
ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร q_i และ t ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์
ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์
===การแปลงแบบคาโนนิคัล===
การแปลงแบบคาโนนิคัลอาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากระบบพิกัดที่เป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน หรือที่เรียกกันว่า ระบบพิกัดคาโนนิคัล เนื่องจากการแก้ไขปัญหาทางกลศาสตร์บางครั้งทำได้ยาก แต่ถ้าเราแปลงระบบพิกัดหรือโมเมนตัมให้เหมาะสมก็อาจทำให้การแก้ปัญหาทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลยังคงอยู่ในรูปของคาโนนิคัลเดิมของสมการแฮมิลตัน เป็นการแปลงกลุ่มของพิกัด q_i ไปเป็นกลุ่มพิกัดใหม่ Q_i ซึ่งการแปลงมีรูปแบบเป็น Q_i=Q_i และ P_i=P_i
กล่าวได้ว่า การที่จะทราบระบบพิกัดใหม่ได้ จำเป็นที่จะต้องทราบระบบพิกัดเดิมและโมเมนตัมเดิม การแปลงนี้ที่จะต้องพิจารณา คือ การแปลงที่ทำให้ทั้ง Q และ P ใหม่ที่จะได้ต่างก็เป็นพิกัดคาโนนิคัล ซึ่งหมายความว่า ระบบพิกัดใหม่ที่ได้ต้องเป็นไปตามสมการแฮมิลตัน นั่น คือ จะต้องมีฟังก์ชัน K ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
\begin{align}
\dot{\mathbf{Q_i}} &= \frac{\partial K}{\partial \mathbf{P_i}} \\
\dot{\mathbf{P_i}} &= -\frac{\partial K}{\partial \mathbf{Q_i}}
\end{align}
จะเห็นได้ว่าฟังก์ชัน K ก็คือ ฮามิลโทเนียนในระบบพิกัดใหม่นั่นเอง เรียกการแปลงที่ทำให้สมการข้างต้นทั้งสองเป็นจริงว่า การแปลงแบบคาโนนิคัล
การจะแปลงจากพิกัดและโมเมนตัมเก่าไปเป็นระบบพิกัดและโมเมนตัมใหม่นั้น จะต้องมีฟังก์ชันกำเนิด (Generating Function) เป็นฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเดิม   กับตัวแปรอิสระใหม่   จะแบ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลออกเป็น 4 รูปแบบตามปริภูมิเฟสที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งการกำหนดฟังก์ชันจะอาศัยหลักการของการแปลงเลอจองด์
1. G \equiv G_{1}(\mathbf{q}, \mathbf{Q}, t)
2. G \equiv -\mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{2}(\mathbf{q}, \mathbf{P}, t)
3. G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)
4. G \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)
== ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน ==
=== การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ ===
ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน
L(x,\dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2}k x^2
โดย x(t) คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ k คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด x(t) คือ
p = \frac{\partial L(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}
ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด x(t) ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้
\dot{x} = \frac{p}{m}
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
 H (x,p) = p \dot{x}(p) - L (x,\dot{x}(p)) = p \frac{p}{m} - \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2 
สังเกตว่า
 H (x,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2 = T(p) + V(x)
เมื่อ T(p) คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ V(x) คือพลังงานศักย์ของระบบ
=== การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential) ===
แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)
 V = V(r) 
ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า
 q_1(t) = r(t), \qquad q_2(t) = \theta(t),\qquad q_3(t) = \phi(t) 
การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน(รอบแกนใดๆก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้นๆไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ  ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ
 L\left(r,\phi\right) = \frac{1}{2}m \left(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - V(r) 
ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ
 p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r} 
และ
 p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = mr^2 \dot{\phi} 
โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ
 \dot{r} = \frac{p_r}{m} 
 \dot{\phi} = \frac{p_\phi}{m r^2} 
สังเกตว่าอัตราเร็ว \dot{\phi} เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด \phi เองและฟังก์ชันของพิกัด r ด้วย
ในกรณีนี้จะได้
H(r,\phi,p_r,p_\phi) = \frac{p_r^2}{2 m} +\frac{p_\phi^2}{2 m r^2} + V(r)
ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน
=== อนุภาคในสนามไฟฟ้า ===
สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ (v ) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ
 L\left(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}\right) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2 - e\phi(r)
โดยที่ e คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค \phi = \phi(r) คือศักย์สเกลาร์
ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
 \mathbf{p}_r = m \dot\mathbf{r} 
ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum m \dot{r} ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
 H(\mathbf{r},\mathbf{p}) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2  + e\phi(r) = \frac{\mathbf{p}_r^2}{2m} + e\phi(r) 
ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์(เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้
=== อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก ===
เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ (v ) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
 L\left(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}\right) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2 - e\phi(r) + \frac{e}{c}\mathbf{A}\cdot\dot{\mathbf{r}}
โดยที่ \mathbf{A}=\mathbf{A}(r) คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)
ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
 \mathbf{p}_r = m \dot\mathbf{r} + \frac{e}{c}\mathbf{A} 
ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum m \dot{r}
ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
 H(\mathbf{r},\mathbf{p}) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2  + e\phi(r) = \frac{1}{2m} \left(\mathbf p - \frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + e\phi(r) 
ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม"พลังงาน"ในรูป  \frac{e}{c}\mathbf{A}\cdot\dot{\mathbf{r}}(\mathbf{p}_r)  ซึ่งจริงๆแล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา(interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
== เมื่อใดที่ H = T + V ==
ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน  H = T + V  เมื่อ T คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ V คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก
=== กรณีทั่วไป ===
เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใดๆอยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
 L(q,p) = T(\dot{q}^2) - V(q)
และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น
T(\dot{q}) = \frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}\dot{q}_i\dot{q}_k 
โดยที่ a_{ik}=a_{ik}(q) อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ
 p_i(q,p) = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} = \sum_{k}a_{ik}\dot{q}_k  
ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้
 q_i(q,p) = f_i(q,p,t) 
เมื่อ f_i(q,p) คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า
\sum_{i} \dot{q}_i p_i = \sum_{i,k}\dot{q}_i a_{ik}\dot{q}_k = 2 T
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น
 H(q,p) = \sum_{i} \dot{q}_i p_i - L = 2T - (T-V) = T(p) + V(q) 
โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง(และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)
สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป
 L(q,\dot{q},t) = \frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}\dot{q}_i\dot{q}_k + \sum_i b_i \dot{q}_i - V(q)
โดยที่ a_{ik} และ b_i อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า
 p_i = \sum_{k} a_{ik}\dot{q}_k + b_i  
ดังนั้น
 H(q,p,t)= \sum{p_i \dot{q}_i} - L = 2T + \sum_i b_i\dot{q}_i - L = \frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}\dot{q}_i(q,p,t)\dot{q}_k(q,p,t) + V(q)  
สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น(linear)ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้"วิธีลัด" H=T+V
=== ตัวอย่าง ===
ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน
 L\left(r,\phi\right) = \frac{1}{2}m \left(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - V(r) 
เป็นฟังก์ชันของ  \dot{r}^2, \dot{\phi}^2, r โดย  a_{rr} = m  และ  a_{\phi\phi} = m r^2  ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้
ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม \frac{e}{c}\mathbf{A}\cdot\dot{\mathbf{r}} ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์
== เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์ ==
สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา
=== ตัวอย่าง ===
เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว (Homogeneous function)
 L(q,\lambda \dot{q}) = \lambda L(q,\dot{q}) 
เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า
 p\dot{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} = L 
ดังนั้น
 H(q,p) = p \dot{q}-L(q,p) = L - L = 0 
=== อนุภาค relativistic ===
 ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา t เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์  \tau ใดๆในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ
 x^\mu = x^\mu(\tau) = \left(t(\tau),\mathbf{x}(\tau)\right)\qquad\qquad \mu=0,1,2,3 
สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ (natural units) คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์ (Planck constant) มีค่าเป็นหนึ่ง
ในกรณีที่เราเลือก \tau ที่ทำให้
 \sum_\mu \dot{x}^\mu \dot{x}_{\mu} \equiv \sum_{\mu}\frac{d x^\mu}{d \tau}\frac{d x_\mu}{d \tau} = 1 
เราจะสามารถใช้ \tau เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร  \dot{x}^\mu = \frac{d x^\mu}{d \tau} 
ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ
 L(\dot{x}) = m\sqrt{ \sum_\mu  \dot{x}^\mu \dot{x}_{\mu}}  
เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว
 L(\lambda\dot{x}) = m\sqrt{ \sum_\mu  \lambda\dot{x}^\mu \lambda\dot{x}_{\mu}  }  = \lambda m\sqrt{ \sum_\mu  \dot{x}^\mu \dot{x}_{\mu}} = \lambda L(\dot{x})
โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime (\dot{x}^\mu) คือ
 p_\mu(\tau) = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu} = \frac{m \dot{x}_\mu} {\sqrt{\sum_\nu \dot{x}^\nu\dot{x}_\nu}} 
เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
 H(x,p) = \sum_\mu \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu} \dot{x}^\mu - L = L-L = 0 
สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ
 p_\mu(\lambda \dot{x}) = \frac{m \lambda \dot{x}_\mu} {\sqrt{\sum_\nu \lambda^2\dot{x}^\nu\dot{x}_\nu}} = p_\mu(\dot{x})
ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ \dot{x}^\mu ที่ลากระหว่างจุด \dot{x}^\mu ใดๆกับจุด \lambda\dot{x}^\mu จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุดๆเดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค
 p^2 \equiv \sum_\mu p_\mu p^\mu = \frac{m \dot{x}_\mu} {\sqrt{\sum_\nu \dot{x}^\nu\dot{x}_\nu}} \frac{m \dot{x}^\mu} {\sqrt{\sum_\sigma \dot{x}^\sigma\dot{x}_\sigma}} = m^2 
ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า
 p^2 = E^2 - \mathbf{p}^2 = m^2 
ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface
ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค)ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน
=== วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่ ===
ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์ (determinant) ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่ i และหลักที่ j คือ
 \frac{\partial{p_i}}{\partial\dot{q}_j} = \frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_j \partial \dot{q}_i} \qquad\qquad i,j = 1,2,3,...N 
โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้
 \dot{q}_i = \dot{q}_i(q,p,t) \qquad\qquad i=1,2,...,N 
ก็ต่อเมื่อ
 \text{det}\left(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_j \partial \dot{q}_i}\right) \neq 0 
ส่วนในกรณีที่
 \text{det}\left(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_j \partial \dot{q}_i}\right) = 0 
เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง
== ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบี==
การแปลงระบบพิกัดแบบคาโนนิคัลเป็นวิธีอันหนึ่งที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ โดยหากแฮมิลโทเนียนของระบบเป็นปริมาณอนุรักษ์ ก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้ด้วยการแปลงระบบพิกัดนั้นไปยังระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่ที่มีระบบพิกัดเป็นไซคลิก การแก้ปัญหาด้วยวิธีการแปลงแบบคาโนนิคัลที่เหมาะสม จนทำให้ระบบพิกัดและโมเมนตัม  ที่เวลาใดๆ เป็นปริมาณคงตัว ซึ่งปริมาณที่คงตัวนี้อาจจะเป็นค่าของพิกัดและโมเมนตัมที่เวลาเริ่มต้น  การแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดชุดของสมการของการแปลงที่มีรูปแบบเป็น
q=q         -----1
p=p         -----2
สมการที่ 1 และ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัมที่เวลา t ใดๆ กับพิกัดและโมเมนตัมขณะเริ่มต้นซึ่งคงตัว แสดงให้เห็นว่าทั้งพิกัดและโมเมนตัมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น สมการ 1 และ 2 จะเป็นคำตอบของปัญหา หากแฮมิลโทเนียนในระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่มีค่าเป้นศูนย์ จะทำให้ตัวแปรใหม่มีค่าคงตัว นั่นคือ
\begin{align}
\dot{\mathbf{Q_i}} &= \frac{\partial K}{\partial \mathbf{P_i}} &= 0 \\
\dot{\mathbf{P_i}} &= -\frac{\partial K}{\partial \mathbf{Q_i}} &= 0
\end{align}
เมื่อ K เป็นแฮมิลโทเนียนใหม่ และ เป็นกลุ่มของตัวแปรใหม่ที่ได้จากการแปลง และเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแฮมิลโทเนียนเก่า(H) และแฮมินโทเนียนใหม่(K) ได้ดังสมการ
:
K = H + {\partial F \over \partial t}
โดย F เป็น Generating function หรือฟังก์ชันกำเนิด ดังนั้น ถ้า K = 0 ฟังก์ชัน Fจะเป็นไปตามสมการ
:H(q,p,t) + {\partial F \over \partial t }=0
ซึ่งมีแนวคิดทฤษฎีมาจากการแปลงคาโนนิคัลที่ใช้ฟังก์ชันกำเนิดชนิดที่ 2  คือเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปเดิมและโมเมนตัมทั่วไปใหม่ จะเขียนความสัมพันธ์ได้เป็น
โดยที่ S = S(q_1,q_2,\ldots, q_N, t) เป็นฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน (Hamilton's principal function)
สมการแฮมิลตัน – จาโคบีสามารถแก้ปัญหาการเคลื่อนที่การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ  การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วงได้
==วงเล็บปัวส์ซอง==
เนื่องจากสมการการเคลื่อนที่ของสมการของแฮลมิลตันสามารถให้หาการขึ้นกับเวลาของ  (q_i,\, p_i) ในปริภูมิเฟส จากความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถหาสมการการเคลื่อนที่ของฟังก์ชัน  ใดๆ ได้โดยใช้วงเล็บปัวส์ซอง (Poisson bracket) เสนอโดย Siméon Denis Poisson (1781–1840)
สำหรับฟังก์ชัน  f(p_i,\, q_i, t) และ  g(p_i,\, q_i, t) ใดที่ขึ้นกับตัวแปรคาโนนิคัล (q, p) เขียนนิยามของวงเล็บปัวส์ซองได้เป็น
\{f, g\} = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}\right).
สมบัติของสมการวงเล็บปัวส์ซองที่เป็นพื้นฐานและถูกใช้บ่อย คือ
\begin{align}
\{q_i,q_j\} &= 0 \\
\{p_i,p_j\} &= 0 \\
\{q_i,p_j\} &= \delta_{ij}
\end{align}
โดยที่ δ คือ Kronecker delta.
==สมบัติของวงเล็บปัวส์ซอง==
1)  \{f, f\} = 0
2)  \{f, g\} = -\{g, f\}
3)  \{f + g, h\} = \{f, h\} + \{g, h\}
4) \{fg, h\} = \{f, h\}g + f\{g, h\}
5) \{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} +  \{h, \{f, g\}\} = 0
พี.เอ.เอ็ม.ดิเรก (P.A.M.Direc) พบว่าวงเล็บปัวส์ซองในแบบกลศาสตร์คลาสสิคมีความเชื่อมโยงกันกับวงเล็บการสลับที่ของกลศาสตร์ควอนตัม โดย พี.เอ.เอ็ม.ดิเรกสามารถที่จะกำหนดค่าวงเล็บปัวส์ซองในกลศาสตร์คลาสสิคได้จากการสลับที่ของตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแสดงความหมายว่ากลศาสตร์คลาสสิคอยู่ในขอบเขตที่ค่าคงที่แพลงค์เป็นศูนย์
==สมบัติของค่าคงที่ของการเคลื่อนที่==
วงเล็บปัวส์ซองไม่สามารถหาคำตอบของที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ได้ แต่มีประโยชน์มากในการใช้อธิบายและหาสมบัติของการเป็น Constant of motion ของการเคลื่อนที่ โดยค่าคงที่ดังกล่าวนี้จะเปลี่ยนไปกับแฮมิลโทเนียนภายใต้วงเล็บปัวส์ซอง สมมติว่าฟังก์ชัน f(p, q) เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ หมายความว่า ถ้า  p(t), q(t) เป็นวิธีการแก้สมการแฮมิลโทเนียนของการเคลื่อนที่ ดังนั้น
0 = \frac{\text{d}f}{\text{d}t}
ตลอดการเคลื่อนที่ จากนั้น
0 = \frac{\text{d}}{\text{d}t} f(p,q) = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}
== อ้างอิง ==
หลักการสำคัญของฟิสิกส์
กลศาสตร์ดั้งเดิม