เซต (คณิตศาสตร์)

ในทางคณิตศาสตร์ เซต (set) เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสมาชิก  สมาชิกในเซตอาจเป็นวัตถุในคณิตศาสตร์ใดก็ได้ เช่น จำนวน สัญลักษณ์ จุดในปริภูมิ เส้นตรง หรือแม้กระทั่งเซตอื่น ๆ เราสามารถดำเนินการกับเซตได้  เช่น ยูเนียนเป็นการรวมสมาชิกของเซตสองเซตเข้าด้วยกัน อินเตอร์เซกชันเลือกเอาเฉพาะสมาชิกที่ปรากฏในเซตสองเซต และยังมีความสัมพันธ์ระหว่างเซตอื่น เช่น การเป็นสับเซต เป็นพื้นฐานสำคัญของเซตทั้งสิ้น
เซตถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกในศตวรรษที่ 19 พร้อมกับทฤษฎีเซตซึ่งเป็นการศึกษาเซตโดยใช้ระบบสัจพจน์ที่รัดกุม แนวคิดเกี่ยวกับเซตนั้นมีความสามารถพอจนทำให้วัตถุในคณิตศาสตร์สามารถนิยามผ่านเซตได้แทบทั้งหมด และบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนให้อยู่ในภาษาของเซตได้อย่างรัดกุม ดังนั้นเซตจึงพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลซึ่งเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์แทบทุกสาขา
== ต้นกำเนิดของเซต ==
แนวความคิดเกี่ยวกับเซตปรากฏเริ่มต้นในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโนใช้คำว่าเซต (Menge) ในภาษาเยอรมันเป็นคนแรกในงานชื่อ Paradoxien des Unendlichen (ปฏิทรรศน์ของอนันต์)
ในส่วนเริ่มแรกของ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre โดย เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ผู้สร้างทฤษฎีเซตคนสำคัญ ให้นิยามของเซตเซตหนึ่งดังต่อไปนี้
=== ทฤษฎีเซตอย่างง่าย ===
แนวความคิดพื้นฐานคือ เซตเป็นสิ่งที่มีสมาชิก (elements หรือ members) เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเดียวกัน หรืออีกนัยหนึ่ง เซต A และ B จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เรียกคุณสมบัติของเซตนี้ว่า extensionality นอกจากนี้เราอาจกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกที่จะอยู่ในเซตได้
แนวคิดอย่างง่ายของเซตนี้ถึงแม้จะมีประโยชน์มากในคณิตศาสตร์ แต่นำไปสู่ปฏิทรรศน์ทางตรรกศาสตร์หากไม่กำหนดขอบเขตของการระบุเงื่อนไข เช่น
ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ กล่าวว่า เซตของเซตทุกเซตที่ไม่บรรจุตัวมันเอง จะมีไม่ได้
ปฏิทรรศน์ของคันทอร์ กล่าวว่า เซตของเซตทุกเซต จะมีไม่ได้
ทฤษฎีเซตอย่างง่าย (naïve set theory) แก้ปัญหาด้วยการนิยามเซตให้เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสมาชิกที่นิยามดี แต่คำว่า นิยามดี นั้นขอบเขตกว้างจนเกินไป
=== ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ ===
เพื่อแก้ไขปฏิทรรศน์ข้างต้น จึงมีความพยายามนิยามเซตให้รัดกุมโดยใช้สัจพจน์ ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ถือว่าเซตเป็น อนิยาม (primitive notion)
== การเขียนอธิบายเซต ==
ในคณิตศาสตร์นิยมแทนเซตด้วยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่แบบตัวเอียง เช่น A, B, C นอกจากนี้แล้วอาจใช้คำว่า คอลเลกชัน วงศ์ หรือ แฟมิลี แทนเซตที่มีสมาชิกเป็นเซต
=== การเขียนระบุสมาชิก ===
วิธีการระบุเซตโดยการกำหนดสมาชิกของมันโดยเจาะจง ด้วยการใช้กฎหรือการอธิบายด้วย ภาษาทางคณิตศาสตร์ เช่น
A เป็นเซตซึ่งสมาชิกของมันเป็น เลขจำนวนเต็มบวกสี่ตัวแรก
B เป็นเซตของสีของธงชาติฝรั่งเศส
=== การแจกแจงสมาชิก ===
วิธีที่สองคือโดย การแจกแจง นั่นคือ การแจกแจกสมาชิกแต่ละตัวของเซต การนิยามเซตด้วยการแจกแจง สมาชิกจะถูกเขียนแทนด้วยการแจกแจงสมาชิกของเซตภายในวงเล็บปีกกา:
C = {4, 2, 1, 3}
D = {น้ำเงิน, ขาว, แดง}
ในตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า A = C และ B = D
ลำดับที่สมาชิกของเซตถูกเรียงในการนิยามแบบแจกแจกสมาชิกไม่มีความสำคัญ เช่นเดียวกันกับจำนวนสมาชิกที่ซ้ำกันในรายการแจกแจง ตัวอย่างเช่น
{6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}
เป็นเซตที่เหมือนกันทุกประการ เพราะว่าการแจกแจงสมาชิกเซตมีความหมายเพียงว่าองค์ประกอบแต่ละตัวในรายการแจกแจงเป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตนั้นแค่นั้นเอง
สำหรับเซตที่มีสมาชิกจำนวนมาก การระบุของสมาชิกสามารถเขียนอย่างย่อได้ ตัวอย่างเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มบวกหนึ่งพันตัวแรกสามารถเขียนแบบแจกแจงได้เป็น:
{1, 2, 3, ..., 1000}
ที่ซึ่ง การเว้นถ้อยคำไว้ให้เข้าใจเอาเอง (อิลิปซิส, "...") ระบุว่ารายการแจกแจงดำเนินต่อไปในทางที่เห็นได้ชัด อิลิปซิสอาจถูกใช้ในที่ซึ่งเซตมีสมาชิกไม่จำกัด ดังเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มคู่บวก เขียนแทนได้ว่า {2, 4, 6, 8, ... }
=== การใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต ===
เราอาจใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต (set-builder notation) เพื่อระบุสมาชิกในเซตได้  ตัวอย่างเช่น
E = {x | x เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่}
เครื่องหมายขีดคั่นหมายถึง “โดยที่” และมีเงื่อนไขเขียนด้านหลัง ดังนั้นสัญลักษณ์ข้างต้นจึงหมายถึง “เซตของ x ทั้งหมดโดยที่ x เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่” ดังนั้น E คือเซตซึ่งสมาชิกสี่ตัวของมันคือ ♠, ♦, ♥, และ ♣ ผู้เขียนบางคนอาจใช้สัญลักษณ์โคลอน (:) แทนเครื่องหมายขีดคั่น
เราสามารถเปลี่ยนสมการด้านหน้าเครื่องหมายขีดคั่นได้ เพื่อให้ได้เซตที่เกิดจากการดำเนินการกับสมาชิกที่กำหนดโดยเงื่อนไขที่ตามหลัง ตัวอย่างเช่น เซต F ของจำนวนที่ได้จากการยกกำลังสองแล้วลบด้วยสี่ ของจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดยี่สิบตัวแรกสามารถเขียนได้เป็น:
F = {n² - 4 : n เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ n ≤ 19}
ซึ่งมีสมาชิกเป็น -4, -3, 0, 5, …, 357
== คำศัพท์และสัญลักษณ์ของเซต ==
เซตที่เท่ากัน เซตจะแตกต่างกันหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกต่างกันหรือไม่ โดยเซตสองเซตจะเท่ากันเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน
เซตจำกัดและเซตอนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่เราสามารถระบุได้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว เซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด
เซตว่างคือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย
เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งที่กำลังพิจารณา แทนด้วย U
เซตของจำนวนบางชนิด เช่น \mathbb{N} = เซตของจำนวนนับ, \mathbb{Z} = เซตของจำนวนเต็ม, \mathbb{Q} = เซตของจำนวนตรรกยะ, \mathbb{R} = เซตของจำนวนจริง, \mathbb{C} = เซตของจำนวนเชิงซ้อน
สับเซต A เป็นสับเซตของ B หมายความว่าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
เพาเวอร์เซต ของ A คือเซตที่ประกอบด้วยสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนโดย P(A)
== การดำเนินการของเซต ==
ยูเนียน ของ A และ B คือเซตที่เกิดจากการรวบรวมสมาชิกของ A และ B เข้าไว้ด้วยกัน
อินเตอร์เซกชัน ของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันของ A และ B
ผลต่าง A – B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่สมาชิกของ B
คอมพลีเมนต์ ของ A เขียนแทนด้วย A' คือสับเซตของ U ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่อยู่ ใน A
== การนับจำนวนสมาชิกของเซต ==
ถ้า A เป็นเซตจำกัด เราใช้สัญลักษณ์ n(A) หรือ |A| แทนจำนวนสมาชิกของ A
===สูตรการนับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด===
n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)
n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)
n(A \cup B)' = n(U) - n(A \cup B)
n(A)' = n(U) - n(A)
== สมบัติของเซตที่ควรทราบ ==
ให้ A, B, C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U สมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง
กฎการสลับที่
* A \cup B = B \cup A
* A \cap B = B \cap A
กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
* (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
* (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
กฎการแจกแจง
* A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
* A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
กฎการเอกลักษณ์
* \emptyset \cup A = A
* \emptyset \cap A = \emptyset
== หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก ==
หลักการเพิ่มเข้าและตัดออกเป็นหลักการนับที่สามารถใช้หาจำนวนสมาชิกของยูเนียนของเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไปได้ หากรู้จำนวนสมาชิกในอินเตอร์เซคชั่น สำหรับเซตสองเซต จะได้สมการเป็น
\left\vert A \cup B \right\vert = \left\vert A \right\vert + \left\vert B \right\vert - \left\vert A \cap B \right\vert
และสำหรับรูปแบบทั่วไปของเซตมากกว่าสามตัวจะได้ว่า
\begin{align}
\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup\ldots\cup A_{n}\right|=& \left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n}\right|\right) \\
&{} - \left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right) \\
&{} + \ldots \\
&{} + \left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap\ldots\cap A_{n}\right|\right)
\end{align}
== อ้างอิง ==
== บรรณานุกรม ==
วัตถุทางคณิตศาสตร์
เซต
มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์