ผิวกำลังสอง

ผิวกำลังสอง หรือ ควอดริก (quadric surface) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ผิว (hypersurface) ใน D มิติ ซึ่งกำหนดโดยคำตอบหรือทางเดินรากของสมการพหุนามกำลังสอง (quadratic polynomial) ถ้าเราพิจารณาพิกัด \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_D\} ผิวกำลังสองถูกกำหนดด้วยสมการพีชคณิตดังต่อไปนี้
\sum_{i,j=0}^D Q_{i,j}  x_i  x_j + \sum_{i=0}^D P_i  x_i + R = 0
โดย Q คือ เมทริกซ์ มิติ D+1 และ P คือ เวกเตอร์ มิติ D+1 และ R คือ ค่าคงที่  ค่าของ Q, P และ R มักกำหนดเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน แต่อาจเป็นค่าฟีลด์ใด ๆ  โดยทั่วไปแล้วคำตอบหรือทางเดินรากของกลุ่มของพหุนามนั้นเรียกว่าประเภทเชิงพีชคณิต (algebraic variety) ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) ควอดริกนั้นเป็นประเภทหนึ่งของประเภทเชิงพีชคณิต และประเภทของภาพฉายนั้นจะสมสัณฐานกับการตัดกันของควอดริก
สมการบรรทัดฐานของผิวกำลังสองใน 3 มิติ และมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ
\pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2}=1
โดยการย้ายตำแหน่งและหมุนรูปผิวกำลังสองทุกรูป สามารถแปลงให้อยู่ในรูปบรรทัดฐานได้ ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผิวกำลังสองนี้จะมีรูปบรรทัดฐาน 16 รูป โดยมีรูปแบบที่น่าสนใจดังต่อไปนี้:
{|
|ทรงรี
| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \,
|-
| ทรงคล้ายทรงกลม (กรณีพิเศษของ ทรงรี) &nbsp;
|  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1 \,
|-
| ทรงกลม (กรณีพิเศษของทรงคล้างทรงกลม)
| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{a^2} = 1 \,
|-
| ทรงพาราโบลาเชิงวงรี
| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - z = 0 \,
|-
| ทรงพาราโบลาเชิงวงกลม
| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} - z = 0  \,
|-
|ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร์โบลา
| \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - z = 0  \,
|-
|ทรงไฮเพอร์โบลาชิ้นเดี่ยว
| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \,
|-
|ทรงไฮเพอร์โบลาสองชิ้น
| \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \,
|-
|ทรงกรวย
| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \,
|-
|ทรงกระบอกเชิงวงรี
| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \,
|-
| ทรงกระบอกเชิงวงกลม
| \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1  \,
|-
|ทรงกระบอกเชิงไฮเพอร์โบลา
| \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \,
|-
|ทรงกระบอกเชิงไฮพาราโบลา
| x^2 + 2y = 0 \,
|}
== ภาคขยายของผิวกำลังสอง ==
นอกเหนือจากรูปแบบผิวกำลังสองมาตรฐานที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว ยังมีการดัดแปลงรูปแบบของสมการพื้นผิวดังกล่าวเพื่อใช้ในการแทนรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนขึ้น เช่น ซุปเปอร์ควอดริก และไฮเปอร์ควอดริก
=== ซุปเปอร์ควอดริก ===
สมการบรรทัดฐานของซุปเปอร์ควอดริกที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ
\left ( { x^2 \over a^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_1} + \left ( {y^2 \over b^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_2} + \left ( {z^2 \over c^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_3}=1
หรือ ในรูป
{|
|-
| \,x (\theta,\phi) = \,
|a\, \operatorname{sign} ( \cos \theta \cos \phi) \, | \cos \theta \cos \phi | ^{\epsilon_1} ) 
|-
| \,y (\theta,\phi) = \,
|b\, \operatorname{sign} ( \sin \theta \cos \phi) \, | \sin \theta \cos \phi | ^{\epsilon_2} ) 
|-
| \,z (\theta,\phi) = \,
|c\, \operatorname{sign} ( \sin \phi) \, | \sin \phi | ^{\epsilon_3} ) 
|}
โดย {-\pi \over 2} \le \phi \le {\pi \over 2} และ -\pi \le \theta 
สิ่งที่ซุปเปอร์ควอดริกแตกต่างไปจากผิวกำลังสองคือ เลขยกกำลัง \, \epsilon_1,\ \epsilon_2,\ \epsilon_3 \,  โดยที่ค่า \, \epsilon_1\, และ \, \epsilon_2\, นั้นมีผลต่อรูปร่างในแนวนอน ส่วน \, \epsilon_3 \, นั้นผลต่อรูปร่างในแนวตั้ง ดังแสดงในรูปด้านล่าง
{|
|-
| \,\epsilon_3 = 4\,
|100px
|100px
|100px
|100px
|-
| \,\epsilon_3 = 2\,
|100px
|100px
|100px
|100px
|-
| \,\epsilon_3 = 1\,
|100px
|100px
|100px
|100px
|-
| \,\epsilon_3 = 0.5\,
|100px
|100px
|100px
|100px
|-
| \,\epsilon_3 = 0.1\,
|100px
|100px
|100px
|100px
|-
| \,\epsilon_3 = 0\,100px
|100px
|100px
|100px
|100px
|-
|\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 0 \,
|\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 0.5 \,
|\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 1 \,
|\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 2 \,
|\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 4 \,
|}
=== ไฮเปอร์ควอดริก ===
ไฮเปอร์ควอดริกเป็นส่วนที่ขยายต่อจากซุปเปอร์ควอดริกให้มีความสามารถในการจำลองผิวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โดยซุปเปอร์ควอดริกนั้นเป็นเพียงกรณีพิเศษของไฮเปอร์ควอดริก ไฮเปอร์ควอดริกนั้นสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้
\sum_{i=1}^{N} {|l_i (x,y,z)|^{1 \over \epsilon_i}} = 1
โดย
\,l_i (x,y,z) = a_i x + b_i y + c_i z + d_i\,
และ  \,N \ge 3\,
{|
|-
|150px
|150px
|150px
|-
|\, \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_3=1\,
|\, \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_3=2\,
|\, \epsilon_1=\epsilon_3=2, \epsilon_2=0.2\,
|}
นอกเหนือจากรูปแบบของไฮเปอร์ควอดริกข้างต้น แล้วก็ยังมีการพัฒนาเพิ่มเติมความซับซ้อนของรูปร่างไฮเปอร์ควอดริก เรียกว่า "คอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก" หรือ "ไฮบริดไฮเปอร์ควอดริก" โดยส่วนที่เพิ่มอาจอยู่ในรูปพหุนามของเลขชี้กำลัง
\sum_{i=1}^{N_p} {|l^{ (pol) }_i (x,y,z)|^{1 \over \epsilon_i}} + \sum_{m=1}^{M} {w_m \cdot e^{-\sum_{j=1}^{N_e}{|l^{ (exp) }_{mj} (x,y,z)|^{1\over\epsilon_{mj}}} }}
= 1
พจน์ที่เพิ่มเข้ามา มีผลในการปรับแต่งรูปทรงของผิวเฉพาะที่ เช่นใช้ในการเพิ่มหลุมหรือรอยบุ๋ม ดังแสดงในภาพด้านล่าง
{|
|-
|150px
|\Rightarrow 
|150px
|150px
|150px
|-
| align = center|ไฮเปอร์ควอดริก
|
| colspan = 3| ภาพคอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก โดยการเพิ่มพจน์ของเลขยกกำลัง 1 พจน์
|}
เรขาคณิต
พื้นผิว