ลิมิตของฟังก์ชัน

ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน (sin&nbsp;x)/x จะไม่นิยามที่ 0 แต่เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 มาก ๆ แล้ว (sin&nbsp;x)/x มีค่าเข้าใกล้ 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ (sin&nbsp;x)/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ &nbsp;1
ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้อกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง
นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน  จะรับค่า  แล้วคืนค่าออกมาคือ  เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน  มีลิมิต  ที่จุด  ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน  จะเข้าใกล้  มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า  ที่เข้าใกล้ค่า  ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ
แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย
แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน ปริภูมิอิงระยะทาง และปริภูมิทอพอโลยี อีกด้วย
== ประวัติ ==
ดูที่ คณิตวิเคราะห์
== นิยามเป็นทางการ ==
=== นิยามแบบ (ε, δ) ของลิมิต ===
กำหนดให้ f\colon (a,b) \to \R เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ p, L \in\R เป็นจำนวนจริงโดยที่ p \in (a,b) เราจะกล่าวว่าลิมิตของ f เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ p คือ L ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่า \varepsilon > 0 จะมีจำนวนจริง \delta > 0 ที่ทำให้สำหรับทุกค่า x ถ้า 0  แล้ว \left\vert f(x) - L \right\vert 
ถ้าลิมิตของ f เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ p คือ L แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
\lim_{x \to p} f(x) = L
หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น
f(x) \to L เมื่อ x \to p (อ่านว่า "f(x) มีค่าเข้าใกล้ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ p")
สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ f ที่จุด p ยิ่งไปกว่านั้น f(p) ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้
== ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ==
กำหนดให้ f : (M,dM) -> (N,dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p &isin;M และ L &isin;N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า: \lim_{x \to p}f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ &epsilon; > 0 จะมี &delta; > 0 ที่ สำหรับทุก ๆ x &isin;M และ dM(x, p) N(f(x), L)  \lim_{x \to p}f(x) = L  เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.
หรือเราจะเขียน
 \lim_{x \to p}f(x) = \infty ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี &delta; > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่  0  R;
หรือจะเขียนว่า
 \lim_{x \to p}f(x) = -\infty ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ R  0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0  \lim_{x \to p^+} และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย : \lim_{x \to p^-}
==== ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์ ====

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
เราจะเขียน
\lim_{x \to \infty}f(x) = L
=== ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน ===
ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น d(x, y) := |x-y| จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน
จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน
==== ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง ====
สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า
\lim_{x \to p}f(x) = L 
ได้ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ &epsilon; > 0 ใด ๆ จะมี &delta; >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ ซึ่ง 0 \lim_{x \to \infty}f(x) = L
ได้ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับ &epsilon; > 0 ใด ๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใด ๆ เราจะได้ |f(x)-L|\lim_{x \to 3}x^2=9
|ลิมิตของ x2 เมื่อ x เข้าใกล้ 3 คือ 9 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง และค่าของมันมีนิยามที่จุดนั้น ค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าฟังก์ชัน
|-
|\lim_{x \to 0^+}x^x=1
|ลิมิตของ xx เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ 1
|-
|\lim_{x \to 0}{1 \over x} = \mbox{Undefined}\lim_{x \to 0^+}{1 \over x} = +\infty
|ลิมิตสองด้านของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีนิยามลิมิตของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ +&infin;
|-
|\lim_{x \to 0^+}{|x| \over x}=1\lim_{x \to 0^-}{|x| \over x}=-1
|ลิมิตด้านเดียวของ &#124;x&#124;/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 1 จากด้านบวกและคือ -1 จากด้านลบ สังเกตว่า &#124;x&#124;/x = -1 เมื่อ x เป็นลบ และ &#124;x&#124;/x = 1 เมื่อ x เป็นบวก
|-
|\lim_{x \to 0}x \sin {1 \over x} = 1
|ลิมิตของ x sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 0
|-
|\lim_{|x| \to \infty}x^{-a} = 0 \mbox{ if } a \in \mathbb{R}; a>0; x \in \mathbb{C}
|ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใด ๆ เข้าใกล้ 0 เมื่อขนาดของ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
|-
|\lim_{x \to \infty}{x^a \over b^x} = 0 \mbox{ if } a,b \in \mathbb{R}; b>0
|ฟังก์ชันยกกำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
|-
|\lim_{x \to \infty}{\log_b x \over x^a} = 0 \mbox{ if } a,b \in \mathbb{R}; a>0; b>0
|ฟังก์ชันลอการิทึมใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันยกกำลังที่เป็นบวกใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
|-
|\lim_{x \to \infty}{a^x \over x!} = 0 \mbox{ if } a \in \mathbb{R}
|ฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันแฟกทอเรียลใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
|}
=== ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ===
ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |z| 2, z3, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)
=== คุณสมบัติ ===
ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ p คือ L" เหมือนกับประโยค
"สำหรับลำดับลู่เข้า (xn) ใน M ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ pลำดับ (f(xn)) ลู่เข้าสู่ลิมิต L"
ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ p คือ L"
คณิตวิเคราะห์
แคลคูลัส
ฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง ที่ p ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ p และค่านั้นเท่ากับ f(p)
หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน f แปลงลำดับใด ๆ ใน M ซึ่งสู่เข้าหา p ไปเป็นลำดับ N ซึ่งลู่เข้าหา f(p)