E (ค่าคงตัว)

e เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828 สามารถนิยามได้หลายวิธี เช่น e เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน e^x มีค่าเท่ากับความชัน (derivative) ของตัวเองสำหรับทุกจำนวนจริง x หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะอยู่ในรูป ke^x เมื่อ k เป็นค่าคงตัวใด ๆ  นอกจากนี้ e ยังมีค่าเท่ากับ\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) นอกจากนี้ e สามารถคำนวณได้โดยสูตรอนุกรมอนันต์ (Infinite series) นี้:
e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{1\cdot2\cdot3} + ...
ค่าคงที่ e สามารถทำให้อยู่ในรูปสมการได้หลายรูปแบบ ยกตัวอย่างเช่น ฟังชั่นต์ f(x) = e^x เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์ (Derivative) ของตัวเอง มีเอกลักษณ์แตกต่างจากฟังก์ชันอื่น
ส่วนลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือ ฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชันเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1)  สามารถหาได้โดยตรงจากพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน f(x)=1/x ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 1 และ e จะเท่ากับ ln(e) (ลอการิทึมธรรมชาติของ e) หรือ 1e มักแรียกกันว่า จำนวนของออยเลอร์ (Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ, ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่า คือค่าคงตัวเนเปียร์ ตามจอห์น เนเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบลอการิทึม อนึ่งค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดย ยาค็อบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น
e เป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ โดย e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ จำนวนอดิศัย เหมือนกับค่า \pi โดยค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และ i มีบทบาทที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ และ มักปรากฏตัวในสมหารทางคณิตศาสตร์ โดยมีสมการหนึ่งที่รวมค่าคงตัวทั้งห้านี้เอาไว้ในสมการเดียว เรียกว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ อันได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิดศาสตร์
ค่า e ที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...(ลำดับ A001113 ใน OEIS).
== การประยุกต์ใช้ e ==
=== การคิดดอกเบี้ยทบต้น ===
ยาค็อบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli)ค้นพบค่า eในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:
หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้  1.52 = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.254 = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)12 = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น nครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ 100\%/nและเมื่อจบปีก็จะมีเงิน (1+1/n)^nบาท
แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่า e นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน Nบาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา R ต่อปี จะมีเงินจำนวน Ne^{Rt}เมื่อเวลาผ่านไป t ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)
=== การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (สถิติศาสตร์) ===
การแจกแจงปรกติ (Normal distribution) ที่มีค่า μ = 0 และ σ 2 = 1 จะถูกเรียกว่า การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (Probability density function):
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
เมื่อ \sigma เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ \mu  เป็นค่าเฉลี่ย
=== ความน่าจะเป็น ===
ในวิชาความน่าจะเป็น พบ e ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n ใบ โดยหมวกและกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น
p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + ... = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k}
ซึ่งเมื่อจำนวนแขก nเพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา 1/e
=== การประมาณของสเตอร์ลิง ===
e ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
ซึ่งแปลว่า
e = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
== แคลคูลัส ==

หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า e คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = a^x จากนิยามของอนุพันธ์
\begin{align}
\frac{d}{dx}a^x
&= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{a^x a^h - a^x}{h} \\
&= a^x \cdot \left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right).
\end{align}
จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับ x แต่ขึ้นกับฐาน a เพียงอย่างเดียว โดยที่ e คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า
\frac{d}{dx}e^x = e^x
e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์
ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = \log_{a}xจะได้
\begin{align}
\frac{d}{dx}\log_a x
&= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x + h) - \log_a(x)}{h} \\
&= \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(1 + h/x)}{x\cdot h/x} \\
&= \frac{1}{x}\log_a\left(\lim_{n\to 0}(1 + \frac{1}{n})^n\right) \\
&= \frac{1}{x}\log_a e,
\end{align}
โดย n = x/h
ดังนั้นถ้าแทน aเป็น eจะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น
\frac{d}{dx}\log_{e}x=\frac{1}{x}
ลอการิทึมฐาน e นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วย \lnดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่า eเป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส
จากคุณสมบัติที่ \ln xมี 1/xเป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยาม eอีกวิธีคือ
\int_0^e \frac{dt}{t} = 1
=== ทฤษฎีจำนวน ===
eเป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัย นั่นแปลว่า eไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า eเป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่า eเขียนเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ได้ สำหรับการที่ eเป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่า eเป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต
=== จำนวนเชิงซ้อน ===
ในระบบจำนวนจริง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล e^xสามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...
ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของ e^xไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชัน e^xสำหรับจำนวนเชิงซ่อนใด ๆ
จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ \sin xและ \cos xนำไปสู่สูตรของออยเลอร์ e^{ix} = \cos x + i\sin x(ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์ e^{i\pi}+1=0เป็นกรณีพิเศษที่ x = \pi) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์ (\cos x + i\sin x)^n = (e^{ix})^n = e^{inx} = \cos{nx} + i\sin{nx}
== ดูเพิ่ม ==
การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ
== อ้างอิง ==
ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์
จำนวนอตรรกยะ