ตัวหาร

ในคณิตศาสตร์ ตัวหาร (divisor) ของจำนวนเต็ม n หรือเรียกว่า ตัวประกอบ (factor) ของ n คือจำนวนเต็มที่หาร n ได้โดยไม่มีเศษเหลือ
== คำอธิบาย ==
ตัวอย่างเช่น 7 เป็นตัวหารของ 42 เพราะว่า 42 ÷ 7 = 6 เราจะเรียกว่า 42 หารด้วย 7 ลงตัว หรือ 42 เป็นพหุคูณของ 7 หรือ 7 หาร 42 ลงตัว และเราจะเขียนว่า 7 | 42 ตัวหารสามารถเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบได้ ตัวหารที่เป็นบวกของ 42 คือ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
ในกรณีทั่วไป เรากล่าวว่า m | n (อ่านว่า m หาร n ลงตัว) สำหรับจำนวนเต็ม m และ n ที่ไม่เท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ n = km
กรณีพิเศษ: 1 และ −1 เป็นตัวหารของจำนวนเต็มทุกจำนวน และจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นตัวหารของ 0 จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัวเรียกว่า จำนวนคู่ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนคู่เรียกว่าจำนวนคี่
สำหรับชื่อของการหารในเลขคณิต ถ้า a ÷ b = c แล้ว a คือตัวตั้งหาร, b คือตัวหาร และ c คือผลหาร
== หลักเกณฑ์ของตัวหารที่มีค่าน้อย ==
มีหลักเกณฑ์ที่ช่วยให้หาตัวหารที่มีค่าน้อยๆของจำนวน โดยดูจากเลขโดดได้
หลักเกณฑ์การหารคือหลักที่ช่วยในการหาว่าจำนวนนี้หารด้วยจำนวนอื่นๆลงตัวหรือไม่ ในเลขฐานสิบ มีหลักเกณฑ์การหารคือ:
จำนวนหารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้าย หารด้วย 2 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 3 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 3 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 4 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 2 หลักสุดท้าย หารด้วย 4 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 5 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0 หรือ 5
จำนวนหารด้วย 6 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 7 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลลัพธ์ของการนำ 2 เท่าของเลขโดดหลักสุดท้าย ไปลบจำนวนที่นำหลักสุดท้ายทิ้งไป หารด้วย 7 ลงตัว (เช่น 364 หารด้วย 7 ลงตัว เพราะ 36-2×4 = 28 หารด้วย 7 ลงตัว)
จำนวนหารด้วย 8 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 3 หลักสุดท้าย หารด้วย 8 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 9 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 9 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 10 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0
จำนวนหารด้วย 11 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกสลับของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 11 ลงตัว (เช่น 182919 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ 1-8+2-9+1-9 = -22 หารด้วย 11 ลงตัว)
จำนวนหารด้วย 12 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 3 และ 4 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 13 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลลัพธ์ของการนำ 9 เท่าของเลขโดดหลักสุดท้าย ไปลบจำนวนที่ลบหลักสุดท้ายทิ้งไป หารด้วย 13 ลงตัว (เช่น 858 หารด้วย 13 ลงตัว เพราะ 85-9×8 = 13 หารด้วย 13 ลงตัว)
จำนวนหารด้วย 14 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 2 และ 7 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 15 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 3 และ 5 ลงตัว
== ข้อเท็จจริง ==
หลักพื้นฐาน:
ถ้า a | b และ a | c แล้ว a | (b + c)
ถ้า a | b และ b | c แล้ว a | c
ถ้า a | b และ b | a แล้ว a = ±b
ถ้า a | bc และ ห.ร.ม. ของ a กับ b = 1 แล้ว a | c
เราเรียกจำนวนที่หาร n ลงตัวและมีค่าไม่เท่ากับ n ว่า "ตัวหารแท้" (proper divisor) ของ n
เราเรียกจำนวนที่มีค่ามากกว่า 1 และมี 1 เป็นตัวหารแท้เพียงตัวเดียวว่า "จำนวนเฉพาะ"
จากทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต จำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของกำลังของจำนวนเฉพาะได้
เราเรียกจำนวนใด ๆ ว่าเป็น "จำนวนสมบูรณ์" (perfect number) เมื่อจำนวนนั้นมีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหารแท้ทั้งหมดของมัน จำนวนใด ๆ ที่ไม่สมบูรณ์มีความเป็นไปได้คือ "ขาด" (deficient) ไม่ก็ "เกิน" (abundant)
ฟังก์ชันหลายฟังก์ชันเกี่ยวกับการการหารจำนวนเต็มเป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ (multiplicative function) ยกตัวอย่างเช่น
ฟังก์ชัน d:N \rightarrow N กำหนดโดย d (n) = จำนวนของตัวหารบวกทั้งหมดของ n
ฟังก์ชัน \sigma: N \rightarrow N กำหนดโดย \sigma (n) = ผลบวกของตัวหารบวกทั้งหมดของ n
== ดูเพิ่ม ==
ตารางตัวประกอบเฉพาะ — ตารางของตัวประกอบเฉพาะตั้งแต่ 1-1000
ตารางตัวหาร — ตารางของตัวหารที่เป็นจำนวนเฉพาะและไม่เป็นจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1-1000
ทฤษฎีจำนวนมูลฐาน
เลขคณิตมูลฐาน