ช่องว่างจำนวนเฉพาะ

ช่องว่างจำนวนเฉพาะ (prime gap) หมายถึงผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่อยู่ติดกัน ช่องว่างจำนวนเฉพาะในตำแหน่งที่ n เขียนแทนด้วย gn คือผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะตัวที่ n+1 กับ n ดังนี้
g_n = p_{n + 1} - p_n.\ 
ดังนั้นเราจะได้ g1 = 1, g2 = g3 = 2, และ g4 = 4 เป็นต้น
ลำดับของช่องว่างจำนวนเฉพาะ 30 ตัวแรกมีดังนี้
:1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, ... 
== ข้อสังเกตเบื้องต้น ==
สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใดๆ เราสามารถเขียน P# แทนความหมายของไพรมอเรียลของ P ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า P และกำหนดให้ Q เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดจาก P ดังนั้น ลำดับนี้
:P\# + 2, P\# + 3, ..., P\# + (Q - 1)
คือลำดับของจำนวนประกอบที่อยู่ติดกัน Q−2 จำนวน ซึ่งหมายความว่ามีช่องว่างจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่เท่ากับ Q−1 ดังนั้น เราสามารถสร้างช่องว่างจำนวนเฉพาะให้มีขนาดใหญ่เท่าใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใดๆ จะมีจำนวนเต็ม n ซึ่ง gn > P (เลือก n ที่ทำให้ pn มีค่ามากที่สุด และน้อยกว่า P# + 2)
ในความเป็นจริง ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่เท่ากับ n อาจปรากฏเป็นค่าที่น้อยกว่า n# อย่างมาก ตัวอย่างเช่น ลำดับจำนวนประกอบที่เล็กที่สุด มี 71 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 31398 และ 31468 ในขณะที่ 71# มีค่ามากถึง 27 หลัก นั่นคือ 557940830126698960967415390
ถึงแม้ว่าช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะจะเฉลี่ยเพิ่มขึ้นแบบลอการิทึมธรรมชาติบนจำนวนเต็ม อัตราของ ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด ก็จะแปรผันเพิ่มขึ้นไปตามความมหาศาลของจำนวนด้วย
ในทางตรงข้าม ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี n ที่ทำให้ gn = 2 อยู่ไม่จำกัด
== ผลลัพธ์เชิงตัวเลข ==
กระทั่งถึง พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่มีการค้นพบ มีขนาด 2,254,930 หลัก ระบุจากจำนวนเฉพาะน่าจะเป็น (probable prime) ขนาด 86,853 หลักสองจำนวน ค้นพบโดย H. Rosenthal และ J. K. Andersen  ส่วนช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว มีขนาด 337,446 หลัก จากจำนวนเฉพาะขนาด 7,996 หลักที่ค้นพบโดย T. Alm, J. K. Andersen และ François Morain 
เราจะกล่าวว่า gn เป็น ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด (maximal prime gap) ถ้าหาก gm n สำหรับทุกค่าของ m n) / ln(pn) เรียกว่าเป็นอัตรา merit ของ gn ซึ่งมีค่าขึ้นลงไม่เท่ากัน มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 1442 / log(804212830686677669) = 34.98 
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"
|+ ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด 74 ตัวแรก (ไม่แสดงค่า n)
|
|
|
|}
== ผลลัพธ์ต่อๆ ไป ==
ผลลัพธ์ของช่องว่างจำนวนเฉพาะต่อๆ ไป เป็นไปตามสัจพจน์ของเบอร์แทรนด์ ซึ่ง gn n
ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า "ความยาวเฉลี่ย" ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p กับจำนวนเฉพาะถัดไป มีค่าเท่ากับ ln p ซึ่งความยาวจริงของช่องว่างอาจมากกว่าหรือน้อยกว่านี้ก็ได้ อย่างไรก็ตาม จากทฤษฎีบทดังกล่าวเราสามารถคาดคะเนขอบเขตบนสำหรับความยาวของช่องว่างนั้น นั่นคือ ทุกค่าของ ε > 0 จะมีจำนวน N ที่ทำให้ gn n สำหรับทุกค่าของ n > N
Guido Hoheisel ได้แสดงเป็นครั้งแรก  ว่ามีค่าคงตัว θ \pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim x^\theta / \log(x)\,\!
เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้อนันต์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่า
:g_n 
สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดมากเพียงพอ เราสามารถคาดคะเนว่าช่วงว่างจะดูเล็กลงเมื่อเทียบกับขนาดของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ gn / pn จะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์
Hoheisel เลือกค่าที่เป็นไปได้คือ 32999/33000 สำหรับแทนค่าของ θ ต่อมาก็ได้พัฒนาเป็น 249/250 โดย Hans Heilbronn  และเปลี่ยนเป็น 3/4 + ε สำหรับค่าใดๆ ของ ε > 0 โดย Čudakov 
การพัฒนาครั้งหนึ่งที่สำคัญโดย Albert Ingham  ผู้ซึ่งกล่าวว่า ถ้าหาก
:\zeta(1/2 + \mathbf{i} t) = O(t^c)
จะมีค่าคงตัว c ที่เป็นจำนวนบวก ที่ทำให้
:\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim x^\theta / \log(x)\,\!
สำหรับค่าใดๆ ของ θ > (1 + 4c)/(2 + 4c) เมื่อ ζ คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และ π คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ในเมื่อเราทราบว่าค่าของ c > 1/6 เป็นค่าที่ยอมรับได้ ดังนั้น θ จึงสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ที่มากกว่า 5/8
จากความรู้ของ Ingham ส่งผลให้สามารถทราบได้ว่า จะมีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n3 และ (n + 1)3 เสมอ ถ้า n มีขนาดใหญ่เพียงพอ ไม่เว้นแม้แต่สมมติฐานของ Lindelöf ซึ่งกล่าวว่าเราสามารถให้ค่า c เป็นจำนวนบวกใดๆ แล้วทำให้มีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n2 กับ (n + 1)2 ด้วยเงื่อนไขเดียวกัน (ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเลอช็องดร์) และเพื่อที่จะยืนยันคำกล่าวนี้ ผลลัพธ์ที่มีน้ำหนักอย่างเช่นข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์อาจเป็นที่ต้องการ
Martin Huxley กล่าวว่าเราอาจสามารถใช้ค่า θ = 7/12 ก็ได้ และจากผลลัพธ์เมื่อเร็วๆ นี้ Baker, Harman และ Pintz ได้แสดงให้เห็นว่า θ สามารถเท่ากับ 0.525 ก็ได้
== ข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ ==
ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่ดีกว่าจะสามารถเป็นไปได้ ถ้าหากให้สมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง Harald Cramér ได้พิสูจน์แล้วว่า ช่องว่างจำนวนเฉพาะ g(p)
:g(p) = O(\sqrt{p} \ln p)
ตรงตามเงื่อนไขภายใต้สมมติฐานนี้ อย่างไรก็ตาม เขาได้คาดการณ์ว่าอาจจะมีช่องว่างที่มีขนาดเล็กกว่านี้อีก โดยคาดการณ์อย่างหยาบๆ ว่า
:g(p) = O\left((\ln p)^2\right)
และปัจจุบันดูเหมือนว่าแนวโน้มของตัวเลขจะเข้าสู่แนวทางนี้ ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์
ข้อความคาดการณ์ของแอนดริกาได้ระบุว่า
:g(p) 
== อ้างอิง ==
== อ่านเพิ่ม ==
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture, does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
Chris Caldwell, Gaps Between Primes; an elementary introduction
Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.
จำนวนเฉพาะ