เกรแฮมสแกน

เกรแฮมสแกน (อังกฤษ:Graham Scan) เป็นขั้นตอนวิธีสำหรับคำนวณหา เปลือกนูน ของเซตจุดบนระนาบ โดยมีความซับซ้อนด้านเวลา (time complexity) เป็น O(n log n) ชื่อของชั้นตอนวิธีมาจากผู้เผยเพร่ขั้นตอนวิธีต้นฉบับในปี ค.ศ. 1972
==ขั้นตอนวิธี==

ขั้นตอนวิธีเริ่มจากจุดที่มีพิกัด y ต่ำสุด หากพบจุดที่มีคู่อันดับ y ต่ำสุดมากกว่าหนึ่งจุด ให้เลือกจุดที่มีคู่อันดับ x ต่ำสุดในกลุ่มนั้น เรียกจุดนี้ว่าจุด P ขั้นตอนนี้ใช้เวลา O(n) โดยที่ n คือจำนวนของจุดทั้งหมด
ถัดมา เรียงลำดับจุดที่เหลือตามมุมที่จุด P และจุดนั้นๆกระทำกับแกน x โดยเรียงจากน้อยไปหามาก การเรียงลำดับสามารถใช้ขั้นตอนวิธีแบบใดก็ได้ เช่น การเรียงลำดับโดยใช้ฮีป (ใช้เวลา O(n log n)) เพื่อความรวดเร็วในการคำนวณ ไม่จำเป็นต้องหาค่าองศาของมุมระหว่างแกน x และเส้นจากจุด P ไปยังจุดหนึ่งๆ เพื่อนำมาเรียงลำดับ สามารถใช้ค่า โคไซน์ ของมุม ซึ่งในปัญหา convex hull จะเป็นฟังก์ชันลดทางเดียว (monotonically decresing funcion) มีค่าระหว่าง 0 ถึง 180 องศา ซึ่งสามารถคำนวณได้จากคณิตศาสตร์อย่างง่าย
จากนั้น พิจารณาแต่ละจุดตามลำดับที่เรียงไว้ โดยพิจารณาจากจุดนั้นๆร่วมกับก่อนหน้าสองจุด ว่าการเลือกจุดถัดไปนั้นเป็นการ "เลี้ยวขวา" หรือ "เลี้ยวซ้าย" หากเป็นการ "เลี้ยวขวา" หมายความว่าจุดตรงกลางไม่เป็นส่วนหนึ่งของผนัง convex hull และจะไม่นำมาพิจารณาอีก พิจารณาในขั้นตอนนี้ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งพบการ "เลี้ยวซ้าย" ซึ่งหมายความว่า จุดตรงกลางคือส่วนหนึ่งของผนัง convex hull จึงพิจารณาจุดถัดไป (หากระหว่างการพิจารณาพบเส้นทางตรงซึ่งไม่มีการเลี้ยว อาจรวม หรือ ไม่รวม จุดนั้นในเซตคำตอบ ขึ้นกับปัญหา เนื่องจากการนำไปใช้บางสถานการณ์จำเป็นต้องรวมทุกจุดบนผนัง convex hull ลงไปในคำตอบ)
เช่นเดียวกับการเรียงลำดับจุดตามมุมในขั้นตอนที่สอง การพิจารณาจุดสามจุดว่าเป็นการ "เลี้ยวขวา" หรือ "เลี้ยวซ้าย" ไม่จำเป็นต้องคำนวณองศาของระหว่างเส้นสองเส้น แต่สามารถคำนวณจากคณิตศาสตร์อย่างง่าย สำหรับจุดสามจุด (x_1,y_1), (x_2,y_2) และ (x_3,y_3) นั้น สามารถคำนวณหาทิศทางของผลลัพธ์จากการครอสส์เวกเตอร์ ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) และ ((x_1,y_1),(x_3,y_3)) ซึ่งคำนวณได้จากเครื่องหมายของนิพจน์ (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_1) หากผลลัพธ์เป็น 0 แสดงว่าจุดสามจุดเรียงกันเป็นเส้นตรง หากผลลัพธ์เป็นบวก แสดงจุดทั้งสามทำให้เกิดการ "เลี้ยวซ้าย" และหากผลลัพธ์เป็นลบ แสดงว่าเกิดการ "เลี้ยวขวา"
สุดท้าย กระบวนการจะวนกลับมายังจุดเริ่มต้น ทำให้เสร็จสิ้นขั้นตอนวิธี ได้ผลลัพธ์เป็นจุดที่อยู่บนผนัง convex hull เรียงตามลำดับทวนเข็มนาฬิกาจากจุด P
==ความซับซ้อนด้านเวลา==
การเรียงลำดับจุดทั้งหมดมีความซับซ้อนด้านเวลาเป็น O(n log n) ส่วนการทำงานในวงวนตรวจสอบว่าการเลือกจุดถัดไปเป็นการ "เลี้ยวขวา" หรือ "เลี้ยวซ้าย" ใช้เวลาเพียง O(n) เนื่องจากจุดใดๆจะนำมาตรวจสอบเพียงสองครั้ง หากตรวจสอบแล้วพบว่าเป็นจุด (x_2,y_2) ในการ "เลี้ยวซ้าย" ขั้นตอนวิธีจะดำเนินต่อไปยังจุด (x_3,y_3) และถ้าหากพบว่าเป็นจุด (x_2,y_2) ในการเลี้ยวขวา จุดนั้นก็จะไม่ถูกนำมาพิจารณาอีก ดังนั้น เกรแฮมสแกน มีความซับซ้อนทางเวลาเป็น O(n log n) ตามการเรียงลำดับจุด ซึ่งใช้เวลามากที่สุดในขั้นตอนวิธี
==รหัสเทียม==
อันดับแรก กำหนดฟังก์ชันคำนวณการ "เลี้ยวขวา" และ "เลี้ยวซ้าย" โดย จุดสามจุดก่อให้เกิดการ "เลี้ยวซ้าย" เมื่อ ccw > 0, "เลี้ยวขวา" เมื่อ ccw  points 
ให้ N = จำนวนจุดทั้งหมด
ให้ points[N+1] = ตารางของจุดทั้งหมด
สลับ points[1] กับจุดที่มีตำแหน่งบนแกน y ต่าที่สุด
เรียง points จากมุมที่จุดต่างๆกระทำกับจุด points[1] จากน้อยไปหามาก
ต้องการให้ points[0] เป็นจุดสุดท้ายซึ่งจะจบการทำงานในวงวน ดังนั้น
ให้ points[0] = points[N]
ค่า M จะแสดงถึงจำนวนจุดบนผนัง convex hull
ให้ M = 2
for i = 3 to N:
หาจุดบนผนัง convex hull จุดถัดไป
while ccw(points[M-1], points[M], points[i]) <= 0:
หากจุดทั้งสามเรียงตัวกันเป็นเส้นตรง จะไม่สนใจจุดนั้น
if M == 2:
สลับ points[M] กับ points[i]
i += 1
else
M -= 1
เพิ่มค่า M ให้ถูกต้อง และสลับจุด points[i] มายังส่วนคำตอบ
M += 1
สลับ points[M] กับ points[i]
รหัสเทียมนี้ปรับปรุงจากตำรา Algorithms, 4th edition โดย Sedgewick and Wayne
==ดูเพิ่ม==
เกรแฮมสแกนในภาษา C++ และ Object Pascal 
เกรแฮมสแกนในภาษา Python 
ตัวอย่างการทำงานของเกรแฮมสแกน
เหตุใดเกรแฮมสแกนต้องเรียงลำดับปมก่อนค้นหา
==อ้างอิง==
Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E., Rivest, Ronald L., Stein, Clifford (2001) [1990]. "33.3: Finding the convex hull". Introduction to Algorithms (2nd ed.). MIT Press และ McGraw-Hill. หน้า 949–955. ISBN 0-262-03293-7.
ขั้นตอนวิธี
ขั้นตอนวิธีแก้ปัญหาเปลือกนูน
เรขาคณิตเชิงคำนวณ