ขั้นตอนวิธีการลบย้อนกลับ

ขั้นตอนวิธีการลบย้อนกลับ (Reverse-delete algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีในทฤษฎีกราฟที่ใช้สำหรับ ต้นไม้แผ่ขยายต่ำสุด (minimum spanning tree) ที่มีเส้นเชื่อม เชื่อมทุกปมต่อกันทั้งกราฟ และเส้นเชื่อมระหว่างคู่ปมแต่ละเส้นมีน้ำหนักเส้น ขั้นตอนวิธีนี้เป็น ขั้นตอนวิธีแบบละโมบ (Greedy algorithm) ซึ่งเป็นการย้อนกลับของ ขั้นตอนวิธีของครูสกาล (Kruskal’s algorithm) ที่ใช้ในการหาต้นไม้แผ่ขยายต่ำสุด ขั้นตอนวิธีของครูสกาลจะเริ่มจากกราฟที่ว่างเปล่า แล้วเพิ่มขึ้นทีละเส้นเชื่อม แต่ขั้นตอนวิธีการลบย้อนกลับนี้เริ่มจากกราฟเดิมที่สมบูรณ์แล้วลบออกทีละเส้นเชื่อมจากกราฟนั้นแทนโดยขั้นตอนวิธีดังกล่าวทำงาน ดังนี้
เริ่มต้นด้วยกราฟ G ซึ่งประกอบด้วยแถวลำดับของเส้นเชื่อม E
ผ่านกราฟ G โดยลดน้ำหนักของเส้นเชื่อมลงทีละลำดับ
สำหรับแต่ละเส้นเชื่อม ตรวจสอบว่าการลบเส้นเชื่อมนั้นออก จะไม่ทำให้กลายเป็นกราฟที่ไม่เชื่อมต่อกัน
ดำเนินการลบโดยไม่นำไปสู่การที่ทำให้การเชื่อมต่อของกราฟขาดออก
ขั้นตอนวิธีการลบย้อนกลับต้องมีการเชื่อมต่อกันในกราฟ และก่อนการลบกราฟบางส่วนออก ต้องมั่นใจว่าจะไม่ทำให้กราฟขาดออกจากกัน(คือเมื่อลบเส้นเชื่อมแล้วกราฟจะยังคงเชื่อมต่อกันไม่แยกออกเป็นส่วนๆ) เส้นเชื่อมต่างๆจะถูกลบโดยขั้นตอนวิธีนี้ทีละเส้นเป็นวงจรไปเรื่อยๆ ขั้นตอนวิธีนี้จะเริ่มจากเส้นเชื่อมที่มีน้ำหนักมากที่สุด และลดลงตามลำดับน้ำหนักไปเรื่อยๆ โดยเส้นเชื่อมที่ถูกลบไปจะเป็นเส้นเชื่อมที่มีค่ามากที่สุดในวงจร ดังนั้นตามความหมายของต้นไม้แผ่ขยายต่ำสุด เส้นเชื่อมที่ถูกลบออกไปโดยขั้นตอนวิธีนี้จะไม่เป็นส่วนของ ต้นไม้แผ่ขยายต่ำสุด
== รหัสเทียม ==
เมธอดรับค่า แถวลำดับของเส้นเชื่อม E(edges[] E)
{
จัดลำดับ E ในแถวลำดับเรียงจากมากไปหาน้อยตามลำดับ
ตั้งค่าเริ่มต้นให้ตัวแปร i=0
ทำการวนซ้ำไปเรื่อยๆขณะที่ค่า i น้อยกว่าขนาดของแถวลำดับ E ทั้งหมด
{
สร้างตัวแปร temp เก็บค่า ในรายการ E ตัวที่ i
ทำการลบค่า ในรายการ E ตัวที่ i
ถ้าปมระหว่างเส้นเชื่อมที่เก็บค่าใน temp ขณะนั้น ไม่เชื่อมต่อกัน ก็นำค่า temp เก็บ
คืนสู่แถวลำดับ E ในช่องที่ i
เพิ่มค่า i ขึ้น 1
}
คืนค่าในแถวลำดับ  E ทั้งหมด
}
== ตัวอย่าง ==
{| border=1 cellspacing=2 cellpadding=5 class="wikitable"
! รูปภาพ !! คำอธิบาย
|-
| 200px
|
จากรูป นี่คือกราฟเริ่มต้น ตัวเลขบนเส้นแสดงถึงค่าน้ำหนักของเส้นเชื่อมเส้นนั้นๆ
ขั้นตอนวิธีนี้จะเริ่มต้นจากเส้นเชื่อมที่มีน้ำหนักมากสุด ในที่นี้คือเส้น DE ขนาด 15 ถัดมาจึงทำการตรวจสอบว่าถ้าลบเส้นเชื่อมนี้ออกจะทำให้กราฟแยกออกจากกันหรือไม่ถ้าไม่ใช่จึงทำการลบเส้นนี้ออก
เส้นถัดมาที่มีขนาดใหญ่รองลงมา คือเส้น FG ดังนั้นขั้นตอนวิธีนี้จึงตรวจสอบว่าถ้าลบเส้นเชื่อม FG ออกแล้ว จะไม่ทำให้กราฟนี้แยกออกจากกัน
เส้นเชื่อมที่ขนาดใหญ่ถัดมาคือเส้น BD ซึ่งขั้นตอนวิธีนี้ก็ตรวจสอบเส้นเชื่อมนี้เหมือนเดิมและลบออก
ถัดมาคือตรวจสอบเส้น EG ซึ่งปรากฏว่าถ้าลบเส้นเชื่อมนี้ออกจะทำให้กราฟนี้ขาดออกคือมีปม G ที่หลุดออก ทำให้กราฟไม่เชื่อมต่อกัน ดังนั้นจึงข้ามไปยังเส้นเชื่อม BC ต่อไป
เส้นถัดมาคือ เส้น EF ขั้นตอนวิธีนี้จึงตรวจสอบเส้นเชื่อมนี้และทำการลบออก
|-
| 200px
|
ขั้นตอนวิธีนี้จะค้นหาเส้นเชื่อมไปเรื่อยๆจนไม่พบเส้นเชื่อมที่ลบต่อไปได้แล้ว หลังจากนั้นก็จะได้กราฟที่เป็น ต้นไม้แผ่ขยายต่ำสุดแล้วคืนค่ากลับไป ดังรูปเส้นเชื่อมสีแดงแสดงถึงเส้นที่ถูกลบไปแล้วและเส้นเชื่อมที่เหลือจะถูกแสดงเป็นสีเขียว
|
|}
== ประสิทธิภาพการทำงาน ==
ขั้นตอนวิธีนี้สามารถทำงานได้ในเวลา O(E log E (log log E)3) ซึ่ง E คือจำนวนเส้นเชื่อม และ V คือจำนวนปม โดยอธิบายการทำงานของเวลาได้ดังนี้
การจัดเรียงข้อมูลโดยเปรียบเทียบน้ำหนักของเส้นเชื่อมทั้งหมดใช้เวลา O(E log E)
การลบแต่ละครั้งใช้เวลา O(1)
การตรวจสอบว่ากราฟเชื่อมต่อกันทุกปมหรือไม่ ใช้เวลา O(logV (log log V)3)
ดังนั้นจึงใช้เวลาทั้งสิ้นของขั้นตอนวิธีนี้ O(E log V (log log V)3)
== ขั้นตอนวิธีที่เกี่ยวข้อง ==
Kruskal's algorithm
Prim's algorithm
Borůvka's algorithm
Dijkstra's algorithm
== อ้างอิง ==
Kleinberg, Jon; Algorithm Design, New York: Pearson Education, Inc..
.
Reverse-Delete Algorithm (Paperback) by Lambert M. Surhone and Mariam T. Tennoe and Susan F. Henssonow
== เพิ่มเติม ==
เป็นขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาที่คิดแบบง่าย ๆ และตรงไปตรงมา โดยพิจารณาว่าข้อมูลที่มีอยู่ในขณะนั้นมีทางเลือกใดที่ ให้ผลตอบแทนคุ้มที่สุด ขั้นตอนวิธีจะหาทางเลือกที่ดูดีที่สุดในขณะนั้นซึ่งถ้าข้อมูลนั้นพอเพียงที่จะทำให้สรุปคำตอบที่ดีที่สุด เราจะได้ขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพ โดยทั่วไปการนำไปใช้กับ Optimization problem เพราะว่า เราต้องการการตัดสินใจว่าทางเลือกในปัจจุบันมีค่าตอบแทนมากที่สุดหรือน้อยที่สุดหรือไม่
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
http://code.google.com/p/mst-algorithms/source/browse/trunk/MSTAlgorithms/src/cz/cvut/fel/minimalSpanningTree/algorithm/implementation/ReverseDeleteMST.java?spec=svn41&r=41
http://en.vionto.com/show/me/Kruskal's+algorithm
http://courses.cs.vt.edu/~cs5114/spring2009/lectures/lecture05-greedy-graph-algorithms.pdf
ขั้นตอนวิธีกราฟ
ต้นไม้ทอดข้าม