กฎผลคูณ

ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส หรือเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ เป็นสูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันหรือมากกว่า ซึ่งอาจเขียนในสัญกรณ์ของลากร็องฌ์ได้ดังนี้
\,\! (fg) '=f'g+fg'
หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้
{d\over dx} (uv) =u{dv\over dx}+v{du\over dx}
กฎผลคูณสามารถขยายไปยังผลคูณของฟังก์ชันสามจัวหรือมากกว่าก็ได้ หรือในกรณีอื่น ๆ ที่ไม่ใช่การหาอนุพันธ์โดยตรง
== การค้นพบโดยไลบ์นิซ ==
ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล แต่ J. M. Child ผู้แปลผลงานของไลบ์นิซ์เสนอว่า ไอแซค บาร์โรว์ เป็นผู้ค้นพบกฎผลคูณก่อน การพิสูจน์ของไลบ์นิซ์เริ่มต้นโดยสมมติให้ u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ
{|
|-
| d (uv) \, 
|  = (u + du) (v + dv) - uv\, 
|-
|
|  = u (dv) + v (du) + (du) (dv) \,
|}
แต่เนื่องจากเทอม (du) (dv) มีค่าน้อย ไลบ์นิซสรุปว่า
d (uv) = (du) v + u (dv) \,
และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้
\frac{d}{dx} (uv) = \left ( \frac{du}{dx} \right) v + u \left ( \frac{dv}{dx} \right) 
ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น
(uv) ' = u' v + u v' \,
== ตัวอย่าง ==
สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f(x) = x2sin(x) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f'(x) = 2x sin(x) + x2cos(x) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x2 คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin(x) คือ cos(x)).
กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f (x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf (x) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f)' (x) = c × f'(x). (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหารแบบ"อ่อน" (เพราะกฎผลคูณไม่ได้พิสูจน์ว่าผลหารของฟังก์ชันสองฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ แต่พิสูจน์ว่าหากอนุพันธ์หาได้ จะมีค่าเท่าใดเท่านั้น)
== การพิสูจน์กฎผลคูณ ==
กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต นิยามของอนุพันธ์ และทฤษฎีบทที่ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง:
== นัยทั่วไป ==
=== ผลคูณมากกว่าสองฟังก์ชัน ===
กฏผลคูณสามารถวางนัยทั่วไปให้กับกรณีที่มีตัวประกอบคูณกันมากกว่าสองตัวได้ อย่างเช่น หากมีตัวประกอบสามตัวจะได้
\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}
และสำหรับเซตของฟังก์ชัน f_1, \dots, f_k จะได้ว่า
\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ]
= \sum_{i=1}^k \left(\left(\frac{d}{dx} f_i(x) \right) \prod_{j=1,j\ne i}^k f_j(x) \right)
= \left(  \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right)
=== พีชคณิตนามธรรม ===
ในพีชคณิตนามธรรม กฎผลคูณใช้เป็นนิยามของการดำเนินการอนุพันธ์
=== แคลคูลัสเวกเตอร์ ===
กฎผลคูณขยายไปยังการคูณด้วยสเกลาร์ ผลคูณจุด และผลคูณไขว้ของฟังก์ชันเวกเตอร์ดังต่อไปนี้
สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์: (f \cdot \mathbf g)' = f'\cdot \mathbf g + f \cdot \mathbf g' 
สำหรับผลคูณจุด: (\mathbf f \cdot \mathbf g)' = \mathbf f' \cdot \mathbf g + \mathbf f \cdot \mathbf g' 
สำหรับผลคูณไขว้: (\mathbf f \times \mathbf g)' = \mathbf f' \times \mathbf g + \mathbf f \times \mathbf g' 
นอกจากนี้ยังมีกฎผลคูณสำหรับกระบวนการอื่นที่คล้ายคลึงกับการหาอนุพันธ์: ถ้า f และ g เป็นฟีลด์สเกลาร์แล้วเกรเดียนต์จะสอดคล้องกับกฎผลคูณ
\nabla (f \cdot g) = \nabla f \cdot g + f \cdot \nabla g 
== อ้างอิง ==
== ดูเพิ่ม ==
กฎผลหาร
การหาปริพันธ์เป็นส่วน
ดิฟเฟอเรนเชียล
แคลคูลัส