ดีเทอร์มิแนนต์

ในสาขาพีชคณิต ดีเทอร์มิแนนต์ (determinant) คือฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของ n ในมิติ n×n ของเมทริกซ์จัตุรัส A  ส่วนความหมายทางเรขาคณิตเบื้องต้น ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวประกอบมาตราส่วน (scale factor) ของปริมาตร เมื่อ A ถูกใช้เป็นการแปลงเชิงเส้น ดีเทอร์มิแนนต์ถูกใช้ประโยชน์ในเรื่องพีชคณิตเชิงหลายเส้น (multilinear algebra) และแคลคูลัส ซึ่งใช้สำหรับกฎการแทนที่ (substitution rule) ในตัวแปรบางกลุ่ม
สำหรับจำนวนเต็มบวก n ที่กำหนดขึ้น ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์จะมีเพียงหนึ่งเดียวบนเมทริกซ์มิติ n×n เหนือริงสลับที่ใดๆ (commutative ring) โดยเฉพาะเมื่อฟังก์ชันนี้นิยามไว้บนริงสลับที่ที่เป็นฟีลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A สามารถเขียนแทนได้ด้วย det (A) หรือ |A| ซึ่งสัญกรณ์แบบขีดตั้งอาจเกิดความกำกวม เนื่องจากมีการใช้สัญกรณ์เดียวกันนี้สำหรับค่าประจำเมทริกซ์ (matrix norm) และค่าสัมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ค่าประจำเมทริกซ์มักจะเขียนด้วยสัญกรณ์แบบขีดตั้งสองขีด (เช่น ‖A‖) เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับดีเทอร์มิแนนต์
ตัวอย่างการใช้งาน กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ดังนี้
:A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix}
ดีเทอร์มิแนนต์ของ A สามารถเขียนเป็น
:\det (A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}
ซึ่งวงเล็บเหลี่ยมนอกเมทริกซ์จะถูกแทนที่ด้วยเส้นตั้งเพียงอย่างเดียว
== เมทริกซ์มิติ 2×2 ==

กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 2×2
:A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}
จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ
:\det (A) = ad-bc \,
ซึ่งแปลความหมายได้ว่า เป็นการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0), (a, b), (a+c, b+d), และ (c, d) เมื่อเมทริกซ์นั้นมีสมาชิกเป็นจำนวนจริง พื้นที่ที่คำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนต์เหมือนกับพื้นที่ในเรขาคณิต แต่ต่างกันตรงที่ผลลัพธ์จากดีเทอร์มิแนนต์สามารถเป็นค่าติดลบได้ ถ้าจุดยอดดังกล่าวเรียงลำดับตามเข็มนาฬิกา
== เมทริกซ์มิติ 3×3 ==
กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 3×3
:A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
ด้วยการกระจายลาปลัส (หรือการกระจายโคแฟกเตอร์) บนแถวแรกของเมทริกซ์ เราจะได้
:\begin{align}
\det (A) &= a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}
-b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}
+c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix} \\
&= aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg \\
&= (aei+bfg+cdh) - (gec+hfa+idb)
\end{align}
ซึ่งสูตรนี้สามารถจำได้จากผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงลง ลบด้วยผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงขึ้น (ลงบวก ขึ้นลบ) โดยคัดลอกสองหลักแรกไปต่อท้ายเมทริกซ์เดิม ดังที่แสดงไว้ดังนี้
:
\begin{matrix}
\color{blue}a & \color{blue}b & \color{blue}c & a & b \\
d & \color{blue}e & \color{blue}f & \color{blue}d & e \\
g & h & \color{blue}i & \color{blue}g & \color{blue}h
\end{matrix}
\quad - \quad
\begin{matrix}
a & b & \color{red}c & \color{red}a & \color{red}b \\
d & \color{red}e & \color{red}f & \color{red}d & e \\
\color{red}g & \color{red}h & \color{red}i & g & h
\end{matrix}
โปรดทราบว่าวิธีลัดนี้ไม่สามารถใช้กับเมทริกซ์ที่มีมิติสูงกว่านี้ได้
== เมทริกซ์จัตุรัสทั่วไป ==
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสทั่วไปสามารถคำนวณได้จากการกระจายลาปลัสบนแถวหรือคอลัมน์หนึ่งๆ ซึ่งมีประสิทธิภาพสำหรับเมทริกซ์มิติน้อย ดีเทอร์มิแนนต์จากสูตรของลาปลัสโดยพิจารณาบนแถวที่ i คำนวณได้จาก
:\det (A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1) ^{i+j} M_{i,j}
เมื่อ M_{i,j} คือไมเนอร์ (minor) บนแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A นั่นคือค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่ตัดสมาชิกแถวที่ i หลักที่ j ออกไปทั้งหมด ส่วน C_{i,j} คือโคแฟกเตอร์ (cofactor) บนแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A ซึ่งมีค่าเท่ากับ  (-1) ^{i+j} คูณด้วยไมเนอร์ ดังเช่นที่ปรากฏอยู่ในสูตร
== คุณสมบัติ ==
คุณสมบัติทั่วไปของดีเทอร์มิแนนต์มีดังนี้
\det (AB) = \det (A) \det (B) \,
\det (rI_n) = r^n \,
\det (rA) = \det (rI_n \cdot A) = r^n \det (A) \,
\det (A^{-1}) = \det (A) ^{-1} \, เมื่อเมทริกซ์ A มีเมทริกซ์ผกผัน
\det (A^\mathrm{T}) = \det (A) \, เมื่อ AT แทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยน ของ A
\det (A^*) = \det (A) ^* \, เมื่อ A* แทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค ของ A
 
ทฤษฎีเมทริกซ์
พีชคณิตเชิงเส้น
พหุนามเอกพันธุ์
พีชคณิต