จำนวนฟีโบนัชชี

จำนวนจำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number) คือจำนวนต่าง ๆ ที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... 
โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci sequence)
หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ Fn ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามขึ้นด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้
F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\!
โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้ 
F_0 = 0;\; F_1 = 1
ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13
== รูปปิด(Closed figure) ==
เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า สูตรของบิเนต์ มีดังต่อไปนี้
F\left(n\right) = 
โดย \varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1.618 เป็นตัวตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทอง
พิจารณาสมการพหุนาม x^2=x+1 เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย x^{n-1} เราได้ว่า
x^{n+1} = x^n + x^{n-1}\,
ผลเฉลยของสมการ x^2=x+1 ได้แก่ \varphi และ 1-\varphi ดังนั้น
{|
|\varphi^{n+1}    \, || = \varphi^n + \varphi^{n-1}\, และ
|-
|(1-\varphi)^{n+1}\, || = (1-\varphi)^n + (1-\varphi)^{n-1}\,
|}
พิจารณาฟังก์ชัน
F_{a,b}(n) = a\varphi^n+b(1-\varphi)^n เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ
เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี
{|
|F_{a,b}(n+1)\,|| = a\varphi^{n+1}+b(1-\varphi)^{n+1}
|-
| ||=a(\varphi^{n}+\varphi^{n-1})+b((1-\varphi)^{n}+(1-\varphi)^{n-1})
|-
| ||=a{\varphi^{n}+b(1-\varphi)^{n}}+a{\varphi^{n-1}+b(1-\varphi)^{n-1}}
|-
| ||=F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,
|}
เลือก a=1/\sqrt 5 and b=-1/\sqrt 5 เราได้ว่า
F_{a,b}(0)=\frac{1}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}=0=F(0)\,\!
และ
F_{a,b}(1)=\frac{\varphi}{\sqrt 5}-\frac{(1-\varphi)}{\sqrt 5}=\frac{-1+2\varphi}{\sqrt 5}=\frac{-1+(1+\sqrt 5)}{\sqrt 5}=1=F(1)
เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ F_{a,b}(n) = F(n) และใช้เอกลักษณ์ของ F_{a,b} พิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า
F(n)= สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ n ทุกตัว
เนื่องจาก |1-\varphi|^n/\sqrt 5  สำหรับทุกๆ n>0\,\! เราจึงได้ว่า F_n\,\! จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ \varphi^n/\sqrt 5 ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า
F(n)=\bigg\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\bigg\rfloor
== ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทอง ==
โยฮันเนส เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง กล่าวคือ
\frac{F(n+1)}{F(n)} ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง \varphi
การพิสูจน์:
สำหรับจำนวนจริง a \ne 0, b \ne 0 เราได้ว่า
{|
|-
|\lim_{n\to\infty}\frac{F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}
|=\lim_{n\to\infty}\frac{a\varphi^{n+1}-b(1-\varphi)^{n+1}}{a\varphi^n-b(1-\varphi)^n}
|-
| ||=\lim_{n\to\infty}\frac{a\varphi-b(1-\varphi)(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n}{a-b(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n}
|-
| ||  = \varphi,
|}
เนื่องจาก \left |{\frac{1-\varphi}{\varphi}}\right |  ดังนั้น \lim_{n\to\infty}(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n=0
เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ F_{a,b} เมื่อ a = 1/\sqrt{5} และ b = -1/\sqrt{5} ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย
== รูปเมทริกซ์(Matrix) ==
ระบบสมการความแตกต่างเชิงเส้นที่อธิบายลำดับฟีโบนัชชีได้คือ
\begin{align}
{F_{k+2} \choose F_{k+1}} &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} {F_{k+1} \choose F_{k}} \\
\vec F_{k+1} &= A \vec F_{k}
\end{align}
และมีรูปปิดคือ
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.
ด้วยรูปปิดดังกล่าว การคำนวณค่าฟีโบนัชชีจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวนการดำเนินการเลขคณิต O(log n) หรือใช้เวลา O(M(n)&nbsp;log(n)) โดยที่ M(n) คือเวลาในการคูณเลข n หลัก 2 ตัว โดยใช้วิธียกกำลังโดยการยกกำลังสอง กล่าวคือ
x^n=
\begin{cases}
x \, ( x^{2})^{\frac{n - 1}{2}}, & \mbox{if } n \mbox{ is odd} \\
(x^{2})^{\frac{n}{2}} , & \mbox{if } n \mbox{ is even}.
\end{cases}
เมื่อให้ x เป็นเมทริกซ์ จึงสามารถหาค่า Fn ได้ในเวลาที่กล่าวไว้แล้ว
==ลำดับฟีโบนัชชีในธรรมชาติ==
สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก
นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย
ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34  ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี
== การนำไปใช้ ==
จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน
ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท
จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ
ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม
จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")
== อ้างอิง ==
Arakelian, Hrant (2014), Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)
ฟ