ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ

ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ (Hopcroft–Karp algorithm) เป็นขั้นตอนวิธี ที่มีข้อมูลนำเข้าเป็นกราฟสองส่วน และมีผลลัพธ์เป็นจำนวนการจับคู่ที่มากที่สุด นั่นคือเซ็ตของเส้นเชื่อมที่มากที่สุดที่เป็นไปได้โดยที่ไม่มีเส้นเชื่อมสองเส้นที่ต่างกันใด ๆ เชื่อมไปยังจุดเดียวกัน ใช้เวลาในการทำงานเป็น O(m\sqrt n) ในกรณีแย่สุด, โดย O คือ สัญกรณ์โอใหญ่, m คือ จำนวนของเส้นเชื่อมในกราฟ, และ n คือจำนวนจุดในกราฟ สำหรับกราฟซับซ้อน ใช้เวลาในการทำงานเป็น O(n^{\frac{5}{2}}) และสำหรับกราฟแบบสุ่ม ใช้เวลาในการทำงานเป็นเชิงเส้น
ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พคิดค้นโดยจอห์น ฮอปครอฟท์และริชาร์ด คาร์พ เป็นขั้นตอนวิธีสำหรับการจับคู่เช่นเดียวกับขั้นตอนวิธีฮังกาเรียนและ ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พทำโดยการเพิ่มขนาดของการจับคู่ซ้ำ ๆ โดยการหาวิถีแต่งเติม ใช้การวนซ้ำ O(\sqrt n) รอบ โดนหลักการเดียวกันนี้ยังใช้พัฒนาขั้นตอนวิธีที่ซับซ้อนขึ้นสำหรับการจับคู่ในกราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน โดยใช้เวลาในการทำงานเหมือนกับขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ
== วิถีแต่งเติม ==
แนวคิดพื้นฐานของขั้นตอนวิธีนี้ขึ้นอยู่กับวิถีแต่งเติม
จุดอิสระ คือ จุดที่ไม่เชื่อมต่อกับเส้นเชื่อมใด ๆ ในการจับคู่ M
วิถีแต่งเติม คือ วิถีที่เริ่มต้นจากจุดอิสระไปยังจุดอิสระ โดยวิถีนี้ จะผ่านเส้นเชื่อมทั้งที่มีการจับคู่อยู่แล้วและยังไม่มีการจับคู่สลับกันไป
n คือ ขนาดของการจับคู่ M
P คือ วิถีแต่งเติมที่สัมพันธ์กับ M
จะได้ว่า ผลต่างสมมาตรของเซ็ตของเส้นเชื่อม M \oplus P ทำให้เกิดการจับคู่ที่มีขนาด n+1 ดังนั้น จะใช้วิถีแต่งเติมเพื่อขยายขนาดของการจับคู่ได้
ในทางกลับกัน สมมติว่าการจับคู่ M ไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุด ให้ผลต่างสมมาตร P = M \oplus M^* โดย M^* คือการจับคู่ที่ดีที่สุด จะได้ P คือวิถีแต่งเติมหลายๆวิถีที่ไม่ต่อเนื่องกัน และจำนวนวิถีใน P เท่ากับความแตกต่างของขนาดของ M และ M* ดังนั้น จะหยุดขั้นตอนวิธีนี้และจะได้การจับคู่ M ที่ดีที่สุดเมื่อไม่สามารถหาวิถีแต่งเติมได้
วิถีแต่งเติมในปัญหาการจับคู่ มีลักษณะคล้ายกับวิถีแต่งเติมในปัญหาการไหลมากสุด นั่นคือวิถีแต่งเติมจะเพิ่มขนาดของการไหล โดยสามารถเปลี่ยนแปลงปัญหาการจับคู่กราฟสองส่วนเป็นปัญหาการไหลมากสุดได้ เช่น การเปลี่ยนวิถีทดแทนในปัญหาการจับคู่เป็นวิถีแต่งเติมในปัญหาการไหล การนำเทคนิคที่ใช้ในขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ ไปใช้ในข่ายงานการไหล รู้จักกันในชื่อขั้นตอนวิธีของดีนิซ
== ขั้นตอนวิธี ==
ให้ U และ Vเป็นเซ็ตที่แบ่งกราฟสองส่วน G ออกเป็นสองส่วน และให้เซ็ต M แสดงการจับคู่ใด ๆ จาก U ไปยัง V
ขั้นตอนวิธีนี้แบ่งการทำงานเป็นวัฏภาค โดยทุกๆวัฏภาคมีขั้นตอนดังนี้
ใช้การค้นหาตามแนวกว้างแบ่งจุดในกราฟเป็นชั้น โดยเริ่มต้นค้นหาจากจุดอิสระใน U และถือว่าจุดที่เริ่มค้นหาเป็นชั้นแรก ในระดับแรกของการค้นหาตามแนวกว้างจะมีการท่องไปยังเส้นเชื่อมที่ไม่มีการจับคู่เท่านั้น (นั่นคือ U ไม่มีการเชื่อมต่อกับเส้นเชื่อมที่มีการจับคู่ใดๆ) และในระดับต่อๆไปของการค้นหาตามแนวกว้าง การท่องไปในเส้นเชื่อมจะต้องทำระหว่างเส้นเชื่อมที่มีการจับคู่และเส้นเชื่อมที่ไม่มีการจับคู่ นั่นคือ เมื่อการค้นหาสิ้นสุดลง จากจุดใน U จะท่องไปในเส้นเชื่อมที่ไม่มีการจับคู่เท่านั้น แต่จากจุดใน V จะท่องไปในเส้นเชื่อมที่มีการจับคู่แล้วเท่านั้น การค้นหาจะสิ้นสุดเมื่อพบชั้นแรกที่มีจุดอิสระใน V ที่ถูกเข้าถึงแล้วอย่างน้อยหนึ่งจุด กำหนดให้เป็นชั้น k
นำทุกๆจุดอิสระใน V ที่ระดับชั้น k ใส่ไปในเซ็ต F นั่นคือ จุด v จะถูกใส่ใน F ก็ต่อเมื่อจุดนั้นถูกพบในวิถีแต่งเติมที่สั้นที่สุดซึ่งได้มาจากการค้นหาตามแนวกว้าง
ทำการหาจำนวนวิถีแต่งเติมความยาว k ที่มากที่สุดที่ไม่ติดกัน โดยการค้นหาตามแนวลึกจาก F ไปยังจุดอิสระใน U โดยการใช้ชั้นจากการค้นหาตามแนวกว้างเพื่อเป็นแนวทางการค้นหา การค้นหาตามแนวลึกจะค้นไปยังจุดที่ยังไม่เคยพบในชั้นก่อนหน้า และในต้นไม้ของค้นหาตามแนวลึก จุดเชื่อมต่อใดๆในวิถีที่ได้จะเชื่อมต่อระหว่างเส้นเชื่อมที่ถูกจับคู่แล้วและเส้นเชื่อมที่ยังไม่ได้จับคู่เท่านั้น เมื่อพบวิถีแต่งเติมที่เริ่มจากจุดใน F แล้ว จะทำการค้นหาตามแนวลึกใหม่ โดยทำจากจุดเริ่มต้นถัดไปใน F
ทุกๆวิถีที่ได้มาจะถูกนำไปเพิ่มขนาดของ M
ขั้นตอนวิธีนี้จะสิ้นสุดเมื่อไม่พบวิถีแต่งเติมจากการค้นหาตามแนวกว้างในวัฏภาคใดๆ
== วิเคราะห์การทำงาน ==
แต่ละวัฏภาคประกอบด้วยการค้นหาตามแนวกว้างหนึ่งครั้งและการค้นหาตามแนวลึกหนึ่งครั้ง ดังนั้นในวัฏภาคหนึ่งๆจะใช้เวลาเชิงเส้น เพราะฉะนั้น สำหรับ \sqrt n วัฏภาคแรก ในกราฟที่มี n จุด และm เส้นเชื่อม จะใช้เวลาทั้งหมด O(m \sqrt n)
โดยแสดงได้ว่า ในทุกๆวัฏภาค ความยาวของวิถีแต่งเติมที่สั้นที่สุดจะมีการเพิ่มความยาวขึ้นเสมอ นั่นคือ ในแต่ละวัฏภาค วิถีแต่งเติมอื่นๆที่เหลืออยู่ต้องมีความยาวมากกว่าความยาวปัจจุบันเสมอ เพราะฉะนั้นเมื่อ \sqrt n วัฏภาคแรกในขั้นตอนวิธีสิ้นสุดลง วิถีแต่งเติมที่สั้นที่สุดจะมีเส้นเชื่อมอย่างน้อย \sqrt n เส้นเชื่อม อย่างไรก็ตามผลต่างสมมาตรระหว่างการจับคู่ที่ดีที่สุดและการจับคู่ M ที่ได้มาจากแต่ละวัฏภาค จะก่อให้เกิดวิถีแต่งเติมหลายๆวิถีที่ไม่ต่อเนื่องกัน นั่นคือ ถ้าแต่ละวิถีในเซ็ตมีความยาวอย่างน้อยเท่ากับ \sqrt n แล้ว จะมีวิถีได้อย่างมากที่สุดจำนวน \sqrt n วิถี และขนาดของการจับคู่ที่ดีที่สุดจะมีความแตกต่างจากขนาดของ M ได้อย่างมากเท่ากับ \sqrt n เส้นเชื่อม และเนื่องจากว่าทุกวัฏภาคของขั้นตอนวิธีนี้จะมีการเพิ่มขนาดของการจับคู่เสมอ ดังนั้นก่อนที่ขั้นตอนวิธีจะสิ้นสุด จะมีวัฏภาคเพิ่มได้อย่างมากที่สุดอีกจำนวน \sqrt n วัฏภาค
จะได้ว่า ขั้นตอนวิธีนี้มีการทำงานอย่างมากที่สุด 2\sqrt n วัฏภาค ดังนั้น จะได้เวลาทั้งหมดในการทำงานคือ O(m\sqrt n) สำหรับกรณีแย่สุด
อย่างไรก็ตาม ในหลายๆกรณี เวลาที่ใช้โดยขั้นตอนวิธีนี้อาจจะเร็วกว่าในการวิเคราะห์กรณีแย่สุด เช่น ในกรณีเฉลี่ยสำหรับกราฟกระจายสองส่วนแบบกราฟสุ่ม  ได้แสดงว่า ในการจับคู่ที่ไม่ใช่การจับคู่ที่ดีที่สุด วิถีแต่งเติมที่ได้มีโอกาสสูงที่จะมีความยาวเป็นลอการิทึม (พัตนาจากผลของ ) ดังนั้น สำหรับกราฟเหล่านี้ ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ จะมี O(\log(n)) วัฏภาคและจะมีเวลาในการทำงานเท่ากับ O(m\log(n))
== เปรียบเทียบกับขั้นตอนวิธีจับคู่กราฟสองส่วนอื่นๆ ==
สำหรับกราฟกระจายขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ เป็นขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพดีที่สุดในกรณีแย่สุด แต่สำหรับกราฟซับซ้อนขั้นตอนวิธีโดย  สามารถทำงานได้ดีกว่าเล็กน้อย คือ O(n^{1.5}(\frac{m}{\log(n)})^{0.5}) โดยเป็นขั้นตอนวิธีที่มีพื้นฐานจากขั้นตอนวิธีการไหลมากสุดดัน-ติดป้ายซ้ำซึ่งหลังจากการจับคู่โดยขั้นตอนวิธีนี้แล้วจะสลับมาใช้วิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ
มีผู้ทดลองเปรียบเทียบขั้นตอนวิธีจับคู่กราฟสองส่วน ผลลัพธ์ที่ได้ปรากฏว่าขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พไม่ดีเหมือนกับในทฤษฎี เมื่อเทียบกับแผนการทางกว้างและแผนการทางลึกเพื่อหาวิถีแต่งเติม และเทคนิกดัน-ติดป้ายซ้ำ
== กราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน ==
การหาจำนวนสมาชิกจับคู่มากสุดในกราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน สามารถใช้แนวคิดเดียวกับการหาจำนวนมากสุดของวิถีแต่งเติมที่สั้นที่สุดได้ ดังนั้นจะได้ขั้นตอนวิธีที่มี O(\sqrt n) วัฏภาค อย่างไรก็ตาม สำหรับกราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน การหาวิถีแต่งเติมในแต่ละวัฏภาคทำได้ยากและช้ากว่า  ได้แสดงถึงขั้นตอนวิธีในแต่ละวัฏภาคโดยใช้เวลาเชิงเส้นในกราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน ซึ่งใช้เวลาเท่ากับขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ แต่เทคนิกที่ไมคาไล-วาซิรานีใช้นั้นมีความซับซ้อนและยังไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ นอกจากนี้ยังมีขั้นตอนวิธีที่อื่น ๆ อีก 
== รหัสเทียม ==
1 /*
2   G = G1 ∪ G2 ∪ {จุดว่าง}
3   G1 และ G2 คือส่วนย่อยในกราฟสองส่วน และ จุดว่าง เป็นจุดพิเศษ
4 */
5
6 ฟังก์ชัน ค้นหาตามแนวกว้าง
7     สำหรับทุกๆจุด v ใน G1
8         ถ้า คู่ของ v เท่ากับ จุดว่าง
9             กำหนด ระยะทางของ v เป็น 0
10             เพิ่ม v ลงในแถวคอย
11         ไม่เช่นนั้น
12             กำหนด ระยะทางของ v เป็น ∞
13     กำหนด ระยะทางของ จุดว่าง เป็น ∞
14     ในขณะที่ แถวคอยไม่ว่าง
15         กำหนด v เป็น จุดหน้าสุดของแถวคอย และนำจุดหน้าสุดของแถวคอยออกไป
16         สำหรับทุกๆจุด u ที่มีเส้นเชื่อมกับ v
17             ถ้า ระยะทางของคู่ของ u เท่ากับ ∞
18                 กำหนด ระยะทางของคู่ของ u เป็น ระยะทางของ v + 1
29                 เพิ่ม คู่ของ u ลงในแถวคอย
20     คืนค่า ระยะทางของจุดว่างเท่ากับ ∞ ใช่หรือไม่
21
22 ฟังก์ชัน ค้นหาตามแนวลึก (v)
23     ถ้า v ไม่เท่ากับ จุดว่าง
24         สำหรับทุกๆจุด u ที่มีเส้นเชื่อมกับ v
25             ถ้า ระยะทางของคู่ของ u เท่ากับ ระยะทางของ v + 1
26                 ถ้า ค้นหาตามแนวลึก(คู่ของ u) เป็นจริง
27                     กำหนด คู่ของ u เป็น v
28                     กำหนด คู่ของ v เป็น u
39                     คืนค่า จริง
30         กำหนด ระยะทางของ v เป็น ∞
31         คืนค่า เท็จ
32     คืนค่า จริง
33
34 ฟังก์ชัน ฮอปครอฟท์-คาร์พ
35     สำหรับทุกๆจุด v ใน G
36         กำหนด คู่ของ v เป็น จุดว่าง
37     กำหนด จำนวนการจับคู่ เป็น 0
38     ในขณะที่ ค้นหาตามแนวกว้าง เป็นจริง
49         สำหรับทุกๆจุด v ใน G1
40             ถ้า คู่ของ v เท่ากับ จุดว่าง
41                 ถ้า ค้นหาตามแนวลึก(v) เป็นจริง
42                     กำหนด จำนวนการจับคู่ เป็น จำนวนการจับคู่ + 1
44     คืนค่า จำนวนการจับคู่
== ดูเพิ่ม ==
ทฤษฎีกราฟ
อภิธานศัพท์ทฤษฎีกราฟ
กราฟสองส่วน
ปัญหาการไหลมากสุด
การค้นหาตามแนวกว้าง
ขั้นตอนวิธีฮังกาเรียน
ขั้นตอนวิธีของดีนิซ
== อ้างอิง ==
ขั้นตอนวิธีกราฟ
การจับคู่