ปัญหาวิถีสั้นสุด

ในทฤษฎีกราฟ ปัญหาวิถีสั้นสุด (shortest path problem) เป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดระหว่างจุดยอด 2 จุดภายในกราฟ กล่าวคือในวิถีสั้นสุดนั้น ผลรวมของน้ำหนักในเส้นเชื่อมแต่ละเส้นรวมกันแล้วน้อยที่สุดในบรรดาวิถีทั้งหมด ตัวอย่างปัญหานี้เช่นการหาวิธีเดินทางจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งในแผนที่ ในกรณีนี้ จุดยอดแทนด้วยสถานที่ต่างๆ ส่วนเส้นเชื่อมแทนด้วยถนนหรือเส้นทาง และน้ำหนักบนเส้นเชื่อมแทนด้วยเวลาในการเดินทางด้วยถนนหรือเส้นทางนั้นๆ
== นิยาม ==
ปัญหาวิถีสั้นสุดอาจแตกต่างกันออกไป ตามแต่ประเภทของกราฟที่กำลังจะดำเนินการ เช่น กราฟระบุทิศทาง/กราฟไม่ระบุทิศทาง/กราฟผสม หรือ กราฟถ่วงน้ำหนัก/กราฟไม่ถ่วงน้ำหนัก เป็นต้น วิถีสั้นสุดจากจุดยอด u ไป v คือวิถีที่มีจุดเริ่มต้นที่ u และจบที่ v โดยที่ผลรวมของน้ำหนักในวิถีนั้นน้อยที่สุดในบรรดาวิถีทั้งหมดจาก u ไป v สำหรับกราฟไม่ถ่วงน้ำหนัก นิยามให้วิถีสั้นสุดคือวิถีที่มีเส้นเชื่อมน้อยที่สุด
โดยทั่วไป ปัญหาวิถีสั้นสุดจะกำหนดจุดยอด u และ v มาให้และให้หาวิถีสั้นสุดระหว่างจุดยอดทั้งคู่ เรียกปัญหานี้ว่าปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียว นอกจากนี้ยังมีปัญหาวิถีสั้นสุดอยู่ด้วยกันอีก 3 รูปแบบ คือ
ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว เป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดจากจุดยอด v ไปจุดยอดอื่นๆทั้งหมดในกราฟ
ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งปลายทางเดียว เป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดจากจุดยอดทั้งหมดมาที่จุดยอด v ปัญหานี้ในกรณีของกราฟไม่ระบุทิศทางสามารถแก้ได้ทันทีโดยมองปลายทางเป็นต้นทาง แล้วแก้ไขปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวแทน ในกรณีกราฟระบุทิศทางก็สามารถลดรูปปัญหามาเป็นปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวได้เช่นกัน โดยกลับเส้นเชื่อมจากจุดยอด a ไป b เป็น b ไป a ก่อน แล้วแก้ไขปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวจาก v แทน
ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบทุกคู่ เป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดจาก u ไป v สำหรับทุกๆจุดยอด u , v ภายในกราฟ
สังเกตว่าปัญหาแต่ละรูปแบบสามารถแก้ได้โดยการแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียวหลายๆครั้ง อย่างไรก็ตาม การแก้ไขปัญหาในแต่ละรูปแบบมีวิธีการที่แตกต่างกันออกไปซึ่งทำให้มีประสิทธิภาพมากกว่าการแก้ปัญหาปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียวหลายๆครั้ง
อันที่จริง ณ ปัจจุบัน ยังไม่มีขั้นตอนวิธีใดที่กรณีเลวร้ายสุดสามารถแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียวโดยที่มีประสิทธิภาพด้านเวลามากกว่าปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวได้ ดังนั้นเมื่อต้องการแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียว โดยทั่วไปก็จะแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวจนได้คำตอบที่ต้องการและจบขั้นตอนวิธี อย่างไรก็ตาม สำหรับกราฟพิเศษบางประเภทสามารถแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียวโดยการคำนวณล่วงหน้าได้ เช่น กราฟต้นไม้ กราฟเส้นตรง กราฟวัฏจักรเดียว เป็นต้น
== ขั้นตอนวิธี ==
ขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาวิถีสั้นสุด จะใช้แนวคิดของการการคลายเส้นเชื่อม (relaxation) นั่นคือขณะเริ่มต้น คำตอบวิถีสั้นสุดจะยังไม่ถูกต้อง เส้นเชื่อม e จะเรียกว่า ตึง (tense) ถ้าสามารถใช้ e แล้วทำให้มีวิถีที่น้ำหนักรวมร้อยกว่าคำตอบที่มีอยู่ ดังนั้นขั้นตอนวิธีแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดก็จะทำการคลายเส้นเชื่อมที่ตึง นั่นคือใช้เส้นเชื่อมที่ตึงเพื่อให้ได้คำตอบของวิถีสั้นสุดที่ดียิ่งขึ้นเรื่อยๆ สุดท้ายเมื่อไม่พบเส้นเชื่อมที่ตึงก็แปลว่าวิถีที่ได้เป็นวิถีสั้นสุดแล้ว
ปัญหาวิถีสั้นสุดมองแต่เพียงการไปถึงได้ของจุดยอดต่างๆเท่านั้น ดังนั้นสำหรับกราฟไม่ระบุทิศทางจึงสามารถแปลงเป็นกราฟระบุทิศทางได้ โดยการเปลี่ยนเส้นเชื่อมไม่มีทิศทาง เป็นเส้นเชื่อมมีทิศทาง 2 เส้นที่มีทิศทั้งไปและกลับ
สำหรับกราฟไม่ถ่วงน้ำหนัก จากนิยามที่กำหนดให้วิถีสั้นสุดคือมีจำนวนเส้นเชื่อมในวิถีน้อยที่สุด ดังนั้นจึงอาจกล่าวได้ว่าเส้นเชื่อมทุกเส้นมีความสำคัญเท่ากัน กล่าวคือกราฟไม่ถ่วงน้ำหนักจะเทียบเท่ากับกราฟถ่วงน้ำหนักที่เส้นเชื่อมทุกเส้นมีน้ำหนักเท่ากันและไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่นกราฟถ่วงน้ำหนักหนึ่งหน่วย (unit-weight graph) เป็นต้น
ขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาที่ได้รับความนิยมและสำคัญมีดังนี้
ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว โดยที่น้ำหนักของเส้นเชื่อมต้องไม่เป็นลบ
ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว โดยที่น้ำหนักของเส้นเชื่อมอาจเป็นลบได้
ขั้นตอนวิธีเอสตาร์ ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว โดยใช้ศึกษาสำนึกเพื่อเพิ่มความเร็วในการแก้ปัญหา
ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบทุกคู่
ขั้นตอนวิธีของจอห์นสัน ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบทุกคู่ ซึ่งจะเร็วกว่าขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลในกรณีของกราฟไม่หนาแน่น
ขั้นตอนวิธีอื่นๆและการนำมาใช้งานในรูปแบบต่างๆอาจหาได้ที่ Cherkassky et al
=== ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว ===
ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวเป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดจากจุดยอด v ไปจุดยอดอื่นๆทั้งหมดในกราฟ ได้ต้นไม้วิถีสั้นสุดออกมาเป็นผลลัพธ์
==== กราฟถ่วงน้ำหนักหนึ่งหน่วย ====
ทำการค้นตามแนวกว้าง ใช้เวลา O(V + E)
==== กราฟอวัฏจักรระบุทิศทางสำหรับเส้นเชื่อมน้ำหนักใดๆ ====
ทำการเรียงเชิงทอพอโลยีและกำหนดการพลวัต ใช้เวลา O(V + E)
==== กราฟที่ไม่มีเส้นเชื่อมน้ำหนักติดลบ ====
==== กราฟเชิงระนาบที่ไม่มีเส้นเชื่อมน้ำหนักติดลบ ====
==== กราฟสำหรับเส้นเชื่อมน้ำหนักใดๆ ====
ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด
==== กราฟเชิงระนาบสำหรับเส้นเชื่อมน้ำหนักใดๆ ====
=== ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบทุกคู่ ===
==== กราฟสำหรับเส้นเชื่อมน้ำหนักใดๆ ====
ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล ใช้เวลา O(V3) เหมาะสำหรับกราฟหนาแน่นและนำมาใช้งานได้ง่ายมาก
ขั้นตอนวิธีของจอห์นสัน ใช้เวลา O(V2log V + VE) เหมาะสำหรับกราฟไม่หนาแน่นซึ่งเวลาการทำงานจะดีกว่าการใช้ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลเป็นอย่างมาก
== การนำไปใช้งาน ==
== ปัญหาที่เกี่ยวข้อง ==
ปัญหาวิถีสั้นสุดบนระนาบแบบยุคลิด
== การมองด้วยกำหนดการเชิงเส้น ==
== เนื้อหาที่เกี่ยวข้อง ==
การไหลในเครือข่าย
ต้นไม้วิถีสั้นสุด
ปัญหาวิถีสั้นสุดบนระนาบแบบยุคลิด
การค้นแบบสองทิศทาง ขั้นตอนวิธีหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียว
== อ้างอิง ==
=== หมายเหตุ ===
=== บรรณานุกรม ===
Attributes Dijkstra's algorithm to Minty ("private communication") on p.&nbsp;225.
Here: vol.A, sect.7.5b, p.&nbsp;103
== อ่านเพิ่ม ==
DTIC AD-661265.
ปัญหาฟังก์ชันพหุนาม
ขั้นตอนวิธีกราฟ
ทฤษฎีเครือข่าย
ปัญหาการคำนวณในทฤษฎีกราฟ