รูปหลายเหลี่ยม

ในทางเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยม (อังกฤษ: polygon) ตามความหมายดั้งเดิม หมายถึงรูปร่างอย่างหนึ่งที่เป็นรูปปิดหรือรูปครบวงจรบนระนาบ ซึ่งประกอบขึ้นจากลำดับของส่วนของเส้นตรงที่มีจำนวนจำกัด ส่วนของเส้นตรงเหล่านั้นเรียกว่า ขอบ หรือ ด้าน และจุดที่ขอบสองข้างบรรจบกันเรียกว่า จุดยอด หรือ เหลี่ยม (corner) ภายในรูปหลายเหลี่ยมบางครั้งก็เรียกว่า เนื้อที่ (body) รูปหลายเหลี่ยมเป็นวัตถุในสองมิติ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของพอลิโทป (polytope) ที่อยู่ใน n มิติ
ด้านสองด้านที่บรรจบกันเป็นเหลี่ยม เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเกิดมุมที่ไม่เป็นมุมตรง (180°) ถ้าไม่เช่นนั้นแล้ว ส่วนของเส้นตรงทั้งสองจะถูกพิจารณาว่าเป็นด้านเดียวกันเชกเช่นวงกลม มีหลายเหลี่ยมไม่สิ้นสุดตามจำนวนองศา
ความคิดทางเรขาคณิตพื้นฐานได้ถูกดัดแปลงไปในหลากหลายทาง เพื่อที่จะทำให้เข้ากับจุดประสงค์เฉพาะ ตัวอย่างเช่นในสาขาวิชาคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ คำว่า รูปหลายเหลี่ยม ถูกนำไปใช้และมีการเปลี่ยนแปลงความหมายไปโดยเล็กน้อย ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการบันทึกและจัดการรูปร่างภายในคอมพิวเตอร์มากขึ้น

== การจัดแบ่งประเภท ==
=== แบ่งตามจำนวนด้าน ===
โดยหลักแล้วรูปหลายเหลี่ยมสามารถจัดแบ่งได้โดยจำนวนด้านที่มี ดูได้จากการตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมด้านล่าง
=== ภาวะนูนเว้า ===
รูปหลายเหลี่ยมอาจแบ่งได้ตามองศาของภาวะนูนเว้า
รูปหลายเหลี่ยมนูน (convex) เส้นตรงที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ (โดยไม่สัมผัสกับขอบหรือจุดยอด) จะตัดผ่านเส้นรอบรูปแค่สองครั้ง
รูปหลายเหลี่ยมไม่นูน (non-convex) เส้นตรงที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะผ่านเส้นรอบรูปมากกว่าสองครั้ง
รูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว (simple) เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะไม่เดินทางตัดกันเอง รูปหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว
รูปหลายเหลี่ยมเว้า (concave) เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมไม่นูนและเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว
รูปหลายเหลี่ยมคล้ายดาว (star-shaped) เนื้อที่ทั้งหมดสามารถมองเห็นได้จากจุดภายในจุดเดียว รูปนี้จะต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว อาจเป็นได้ทั้งรูปหลายเหลี่ยมนูนหรือเว้า
รูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง (self-intersecting) เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะเดินทางตัดกันเอง Branko Grünbaum เรียกรูปนี้ว่า คอปติก (coptic)  ถึงแม้ว่าจะไม่ค่อยมีการใช้ชื่อนี้กันอย่างกว้างขวางนัก และบางครั้งคำว่า เชิงซ้อน (complex) ก็ถูกใช้แทนความหมายที่ตรงข้ามกับ เชิงเดียว แต่ก็อาจก่อให้เกิดความสับสนกับแนวความคิดของ รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน ที่มีอยู่แล้วในระนาบฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน ซึ่งประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนสองมิติ
รูปดาวหลายแฉก (star) เป็นรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเองด้วยวิธีการตัดอย่างสม่ำเสมอ
=== แบ่งตามความสมมาตร ===
รูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า (equiangular) มุมทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน
รูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic) จุดยอดทั้งหมดเรียงตัวอยู่บนรูปวงกลมรูปเดียว
isogonal หรือ vertex-transitive จุดยอดทั้งหมดเรียงตัวอยู่ภายในทางโคจรสมมาตร รูปนี้เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่าด้วย
รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) ด้านทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน (รูปหลายเหลี่ยมที่มีตั้งแต่ห้าด้านขึ้นไป สามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าได้ โดยไม่ต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน) 
isotoxal หรือ edge-transitive ด้านทั้งหมดเรียงตัวอยู่ภายในทางโคจรสมมาตร รูปนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าด้วย
รูปหลายเหลี่ยมปรกติ (regular) เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า ส่วนรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่ไม่นูน จะเรียกว่า รูปดาวหลายแฉกปรกติ (regular star polygon)
=== อื่น ๆ ===
รูปหลายเหลี่ยมเชิงเส้นตรง (rectilinear) ด้านสองด้านบรรจบกันเป็นมุมฉาก นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเป็น 90° หรือไม่ก็ 270°
รูปหลายเหลี่ยมทางเดียว (monotone) กำหนดเส้นตรง L ขึ้นมาเส้นหนึ่ง ทุกเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ L จะตัดกับเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ไม่เกินสองครั้ง
== สมบัติ ==
สมมติว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำลังจะกล่าวถึงต่อไปนี้ เป็นรูปในเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยตลอด
=== มุม ===
รูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ไม่ว่าจะปรกติหรือไม่ ตัดตัวเองหรือไม่ จะมีจำนวนเหลี่ยมเท่ากับจำนวนจุดยอด แต่ละเหลี่ยมก็มีมุมอยู่หลายมุม แต่มุมที่สำคัญที่สุดสองชนิดได้แก่
มุมภายใน - ผลบวกของมุมภายในของรูปเชิงเดียว n เหลี่ยม จะรวมเท่ากับ (n − 2) π เรเดียน หรือ (n − 2) 180 องศา ที่เป็นเช่นนี้เพราะรูปเชิงเดียว n เหลี่ยมจะถูกพิจารณาว่าสร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมจำนวน (n − 2) รูป ซึ่งแต่ละรูปมีผลรวมของมุมภายใน π เรเดียน หรือ 180 องศา ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมของรูป n เหลี่ยมปรกติที่เป็นรูปนูน จะมีขนาดเท่ากับ (n − 2) π / n เรเดียน หรือ (n − 2) 180 / n องศา มุมภายในของรูปดาวหลายแฉกปรกติมีการศึกษาเป็นครั้งแรกโดยปัวโซ (Poinsot) ในงานเขียนเรื่องเดียวกันกับที่เขาอธิบายทรงหลายหน้าดาวปรกติ
มุมภายนอก - ลองจินตนาการว่ากำลังเดินอยู่รอบรูปเชิงเดียว n เหลี่ยมที่เขียนอยู่บนพื้น ปริมาณ "การเลี้ยว" ที่จุดยอดก็คือมุมภายนอกที่กวาดไป และเมื่อเดินครบรอบ ก็หมายความว่าได้เดินหมุนรอบตัวครบหนึ่งรอบ ดังนั้นผลรวมของมุมภายนอกจะต้องเป็น 360° แต่สำหรับการเดินรอบรูป n เหลี่ยมโดยทั่วไป ผลรวมของมุมภายนอกสามารถเป็นพหุคูณจำนวนเต็ม d ของ 360° เช่น 720° สำหรับรูปดาวห้าแฉก (pentagram) และ 0° สำหรับรูปวนคล้ายเลขแปด ซึ่ง d นี้เป็นความหนาแน่นหรือความเป็นแฉกของรูปหลายเหลี่ยม ดูเพิ่มที่ ทางโคจร (orbit)
มุมภายนอกเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (supplementary angles) ของมุมภายใน สิ่งนี้ก็ยังเป็นจริงถ้าหากมุมภายในมีขนาดมากกว่า 180° เพราะมุมภายนอกจะมีขนาดเป็นลบ นั่นคือ สมมติให้การเลี้ยวตามเข็มนาฬิกาเป็นบวก และอาจมีบางครั้งที่จะต้องเลี้ยวซ้ายแทนเลี้ยวขวา ซึ่งจะทำให้มุมของการเลี้ยวเป็นปริมาณติดลบ
=== พื้นที่และเซนทรอยด์ ===

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือเมเชอร์ในบริเวณสองมิติที่ปิดล้อมโดยเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยม สำหรับรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว (ที่ไม่ตัดตัวเอง) ที่มีจุดยอด n จุด พื้นที่และเซนทรอยด์ของรูปนี้สามารถหาได้จาก 
A = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) 
C_x = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) 
C_y = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) 
เพื่อที่จะทำให้รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปปิด จุดยอดแรกและจุดยอดสุดท้ายจะต้องเป็นจุดเดียวกัน นั่นคือ x_n, y_n = x_0, y_0 จุดยอดจะต้องเรียงลำดับกันไปตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา ถ้าหากเรียงตามเข็มนาฬิกา พื้นที่จะเป็นจำนวนลบแต่ก็แก้ไขได้ด้วยค่าสัมบูรณ์ สูตรนี้มักจะเรียกกันว่า Surveyor's Formula
สูตรดังกล่าวได้อธิบายไว้โดยไมชเตอร์ (Meister) เมื่อ พ.ศ. 2312 และโดยเกาส์ (Guass) เมื่อ พ.ศ. 2338 ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลาย ๆ รูป หรืออาจจะมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของกรีน (Green's theorem)
เราสามารถคำนวณพื้นที่ A ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว ถ้าเราทราบความยาวของด้าน a_1, a_2, ..., a_n และมุมภายนอก \theta_1, \theta_2, ..., \theta_n โดยใช้สูตรดังนี้ ซึ่งอธิบายไว้โดย Lopshits เมื่อ พ.ศ. 2506 
\begin{align}
A = \frac12 (a_1[a_2 \sin (\theta_1) + a_3 \sin (\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin (\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + a_2[a_3 \sin (\theta_2) + a_4 \sin (\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin (\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin (\theta_{n-2})])
\end{align}
ถ้าหากรูปหลายเหลี่ยมถูกวาดขึ้นบนกริดหรือช่องตารางที่มีระยะเท่ากัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวจุดยอดจะอยู่บนจุดตัดของกริด ทฤษฎีบทของพิก (Pick's theorem) ได้ให้สูตรอย่างง่ายสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม โดยคิดจากจำนวนจุดตัดของกริดที่อยู่ภายในและบนเส้นขอบของรูป
ถ้ารูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียวสองรูปมีพื้นที่เท่ากันแล้ว รูปที่หนึ่งจะสามารถตัดแบ่งออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมชิ้นเล็ก ๆ ซึ่งสามารถประกอบใหม่ให้เป็นรูปที่สองได้ ดังที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทโบลไย-แกร์วีน (Bolyai-Gerwien theorem)
==== รูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง ====
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเองสามารถนิยามด้วยสองแนวทางที่แตกต่างกัน ซึ่งแต่ละแนวทางก็ให้ผลลัพธ์ต่างกันด้วย
เมื่อใช้วิธีของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว เราจะพบว่ามีบริเวณบางส่วนภายในรูปหลายเหลี่ยมที่อาจมีการทับซ้อนมากกว่าหนึ่งครั้ง พื้นที่ของบริเวณนี้จะเพิ่มขึ้นเป็นเท่าตัวตามการทับซ้อน จำนวนการทับซ้อนนี้เรียกว่าความหนาแน่นของบริเวณ ตัวอย่างเช่น บริเวณตรงกลางของรูปดาวห้าแฉกเป็นรูปห้าเหลี่ยมและมีความหนาแน่นเท่ากับ 2 หรือบริเวณรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดจากรูปสี่เหลี่ยมไขว้ (คล้ายเลข 8) จะมีความหนาแน่นเป็นเครื่องหมายตรงข้ามกัน ซึ่งอาจทำให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมโดยรวมทั้งหมดเป็นศูนย์ก็ได้
เมื่อพิจารณาบริเวณที่ถูกปิดเป็นเซตของจุด เราสามารถหาพื้นที่ของบริเวณเหล่านี้ได้ ซึ่งจะสมนัยกับพื้นที่บนระนาบที่ถูกล้อมรอบโดยรูปหลายเหลี่ยม หรือสมนัยกับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียวที่มีขอบเขตเดียวกันกับรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง ในกรณีเช่นนี้ รูปสี่เหลี่ยมไขว้ก็เป็นเพียงแค่รูปสามเหลี่ยมธรรมดาสองรูป
=== องศาเสรี ===
รูป n เหลี่ยมมีองศาเสรี (degree of freedom) เท่ากับ 2n ซึ่งรวมทั้ง 2 สำหรับตำแหน่ง 1 สำหรับแนวการหมุน และ 1 สำหรับขนาดทุกขนาด ดังนั้นรูปร่างทั่วไปจะมีองศาเสรีเท่ากับ 2n − 4 ในกรณีของสมมาตรการสะท้อน จำนวนหลังจะลดลงเหลือ n − 2
กำหนดให้ k ≥ 2 สำหรับรูป nk เหลี่ยมที่มีสมมาตรแบบหมุน k ทบ (C_k) รูปนี้จะมีองศาเสรีเท่ากับ 2n − 2 ถ้ารวมสมมาตรการสะท้อน (D_k) เข้าไปอีก จะเท่ากับ n − 1
== การวางนัยทั่วไป ==
โดยความรู้สึกทั่วไป รูปหลายเหลี่ยมหมายถึงลำดับหรือวงจรที่สลับไปมาโดยไม่สิ้นสุดระหว่างส่วนของเส้นตรง (ด้าน) กับมุม (เหลี่ยม) เหตุผลที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมไม่สิ้นสุดก็เพราะลำดับโครงสร้างนั้นวนรอบกลับมาหาจุดเดิมตลอดเวลา ในขณะที่รูปอนันต์เหลี่ยม (apeirogon) ไม่มีขอบเขต เพราะลำดับโครงสร้างของมันเดินทางต่อไปเรื่อย ๆ โดยไม่มีจุดปลาย การทำความเข้าใจในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ได้อธิบายลำดับโครงสร้างนี้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบ "นามธรรม" ซึ่งเป็นเซตอันดับบางส่วนของสมาชิก เนื้อที่ภายในของรูปหลายเหลี่ยมก็คือสมาชิกอันหนึ่ง พอลิโทปว่าง (null polytope) ก็เป็นสมาชิกอันหนึ่งเช่นเดียวกัน (ด้วยเหตุผลทางเทคนิค)
รูปหลายเหลี่ยมทางเรขาคณิตจึงทำให้เข้าใจว่า เป็นการทำรูปหลายเหลี่ยมนามธรรมให้เป็น "รูปธรรม" ซึ่งสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการจับคู่ของสมาชิกจากนามธรรมไปยังเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยมเช่นนี้จึงไม่จำเป็นว่าจะต้องวางอยู่บนระนาบ หรือมีด้านที่ตรง หรือเป็นพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ และสมาชิกที่ต่างกันก็อาจซ้อนเกยกันหรือแม้แต่ทับกันจนสนิท ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่ถูกวาดขึ้นบนพื้นผิวของทรงกลม ซึ่งด้านของมันเป็นส่วนโค้งของเส้นวงกลมใหญ่ ดังนั้นเมื่อเราพูดถึงเรื่องรูปหลายเหลี่ยม เราจะต้องอธิบายอย่างระมัดระวังว่าเรากำลังพูดถึงชนิดใดอยู่
รูปสองเหลี่ยม เป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดที่มีสองด้านและสองมุม เราสามารถกำหนดจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกันบนทรงกลม (คล้ายขั้วเหนือกับขั้วใต้) เชื่อมถึงกันด้วยครึ่งหนึ่งของเส้นวงกลมใหญ่ และเพิ่มอีกเส้นหนึ่งด้วยมุมที่ต่างกันก็จะได้รูปสองเหลี่ยม การเติมเต็มพื้นผิวทรงกลมด้วยรูปสองเหลี่ยมจะทำให้เกิดทรงหลายหน้าที่เรียกว่า [แต่ถ้าหากเดินทางรอบเส้นวงกลมใหญ่จนครบรอบ ซึ่งจะเหลือจุดยอดเพียงจุดเดียวและมีด้านเดียว กลายเป็น