ลำดับเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเรขาคณิตลำดับหนึ่งคือ a1 และมีอัตราส่วนร่วม r ≠ 0 ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ
: a_n = a_1r^{n-1}\,\!
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
: a_n = a_mr^{n-m}\,\!
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด
: a_n = ra_{n-1}\,\!
== สมบัติเบื้องต้น ==
การที่จะทำให้ทราบได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิตหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะมีค่าเท่ากันทั้งลำดับ อัตราส่วนร่วมอาจเป็นค่าติดลบก็ได้ ซึ่งจะทำให้เกิดลำดับสลับเครื่องหมาย หมายความว่าจำนวนจะสลับเครื่องหมายบวกลบตลอดทั้งลำดับ เช่น 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ −3
พฤติกรรมของจำนวนในการลำดับเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนร่วม ดังนี้
ถ้าเป็นจำนวนบวก ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก
ถ้าเป็นจำนวนลบ ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน
ถ้ามากกว่า 1 ลำดับนั้นจะเพิ่มแบบชี้กำลัง (exponential growth) ไปยังอนันต์
ถ้าเท่ากับ 1 ลำดับนั้นจะคงที่ทุกพจน์
ถ้ามีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 แต่ไม่เป็น 0 ลำดับนั้นจะลดแบบชี้กำลัง (exponential decay) ไปยังศูนย์
ถ้าเท่ากับ −1 ลำดับนั้นจะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน แต่ค่าตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง
ถ้าน้อยกว่า −1 ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่างๆ จะเพิ่มแบบชี้กำลังไปยังอนันต์
จะเห็นว่าลำดับเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของลำดับเลขคณิต แต่ลำดับทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของลำดับเลขคณิตก็จะได้ลำดับเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของลำดับเรขาคณิตก็จะได้ลำดับเลขคณิต
== ผลรวม ==
ผลรวมของสมาชิกในลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต (geometric series)
: \sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n\,\!
เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย (1-r) แล้วเราจะได้
: (1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k = a-ar^{n+1}\,\!
ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1
: \sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(r^{n+1}-1)}{r-1}
ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ
: \sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย (1-r^2)
: (1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}
จะได้สูตร
: \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}
ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่
: (1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}
จะได้สูตร
: \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}
=== อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด ===
อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง (|r| ) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด
: \sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} 
ซึ่ง r^k จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์และ |r|  ดังนั้น
: \sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร
: \sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}
ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร
: \sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}
โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ |r|  เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก
== ผลคูณ ==
ผลคูณของลำดับเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้วยกกำลังด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้
: \prod_{i=0}^{n} ar^i = \left( \sqrt{a_1 \cdot a_{n+1}}\right)^{n+1} เมื่อ a, r > 0
พิสูจน์
กำหนดให้ผลคูณของลำดับเลขคณิตแทนด้วย P
: P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}
รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้
: P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+n}
นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ r
: P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}
: P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
: P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}
และในที่สุดก็จะได้
: P^2=(a_1 \cdot a_{n+1})^{n+1}
: P=(a_1 \cdot a_{n+1})^{\frac{n+1}{2}}
== ดูเพิ่ม ==
อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมฮาร์มอนิก
ลำดับเลขคณิต
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
ลำดับและอนุกรม