ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (prime-counting function) มีค่าเท่ากับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริง x หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะเป็นฟังก์ชันที่หาว่า x เป็นจำนวนเฉพาะลำดับที่เท่าไร เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ π(x)
==ประวัติศาสตร์==
หัวข้อที่เป็นที่สนใจอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนคืออัตราการเจริญเติบโต ของฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 18 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ และโดย เสนอว่าข้อความคาดการณ์ว่า π(x) จะมีค่าใกล้เคียงกลับ
\frac x {\log(x)} 
เมื่อฟังก์ชันลอการิทึมข้างต้นเป็นฟังก์ชันลอการิทึมฐานธรรมชาติ ในความหมายที่ว่า
\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log(x)}=1 
ข้อความข้างต้นรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (prime number theorem) โดยสมมูลกันกับ
\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1
เมื่อ li(x) คือฟังก์ชันอินทิกรัลลอการิทึม ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะพิสูจน์ได้ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1896 โดย ฌัก อาดามาร์ และโดย ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง อย่างอิสระต่อกัน โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันซีตาของรีมันที่ แบร์นฮาร์ท รีมัน เสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1859 บทพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช้ฟังก์ชันซีตาหรือไม่ใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนมีขึ้นในราวปี ค.ศ. 1948 โดย อัตเลอ เซลแบรก์ และโดย พอล แอร์ดิช (โดยงานเกือบทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน)
ในปี ค.ศ. 1899 ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง ได้พิสูจน์ว่า
\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty
สำหรับค่าคงที่บวก  บางจำนวน โดยที่  คือ สัญกรณ์โอใหญ่
ตอนนี้ทราบค่าประมาณของ \pi(x)\! ที่แม่นยำยิ่งขึ้นแล้ว ตัวอย่างเช่น ในปี ค.ศ. 2002 เควิน ฟอร์ด ได้พิสูจน์ว่า
\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -0.2098(\log x)^\frac35 (\log \log x)^{-\frac 1 5} \right) \right)
จากการพิสูจน์ของ Mossinghoff และ Trudgian ขอบเขตบนชัดแจ้งสำหรับผลต่างระหว่างฟังก์ชัน \pi(x) และ \operatorname{li}(x) เป็นไปตามสมการ
\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2593 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.315} } \right)
สำหรับ x \ge 229
สำหรับค่าส่วนใหญ่ของ x ที่เราสนใจ (เช่น เมื่อ x ไม่มีค่ามากเกินไป) \operatorname{li}(x) จะมีค่ามากกว่า \pi(x) อย่างไรก็ตามฟังก์ชัน  \pi(x) - \operatorname{li}(x) เป็นที่ทราบกันว่ากลับค่าระหว่างบวกและลบเป็นอนันต์ครั้ง สำหรับการพิจารณาในเรื่องนี้ โปรดดูที่ จำนวนสกีว
=== รูปแบบแม่นตรง ===
สำหรับ x>1 ให้ \pi_0 (x)=\pi(x)-1/2 เมื่อ x เป็นจำนวนเฉพาะ มิฉะนั้นแล้ว \pi_0 (x)=\pi(x) บทพิสูจน์ของแบร์นฮาร์ท รีมันที่มีความสำคัญอย่างยิ่งคือการพิสูจน์ค่าสมมูลกับ \pi_0(x)
\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) 
เมื่อ
\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n} )
โดยที่  คือ ฟังก์ชันเมอบิอุส,  คือ ฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม, ρ เป็นดรรชีสำหรับทุกรากของฟังก์ชันซีตาของรีมัน และ  ไม่ได้หาค่าจากการสร้าง branch cut แต่หาค่าจาก  โดยที่  คือฟังก์ชันปริพันธ์เลขชี้กำลัง
ถ้าหากไม่พิจารณารากชัดแจ้งของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และพิจารณาผลรวมจากรากที่ไม่ชัดแจ้ง แล้ว \pi_0(x) สามารถประมาณค่าได้โดย
\pi_0(x) \approx \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac{1}{\log{x}} + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\log{x}}} .
สมมติฐานของรีมันน์เสนอว่าทุกรากที่ไม่ใช่รากชัดแจ้งจะสอดคล้องกับ 
== ตารางของ (x), x / log x และ li(x) ==
ตารางแสดงฟังก์ชัน (x), x / log x และ li(x) เปรียบเทียบที่ตัวแปร x ยกกำลัง 10 ดูเพิ่มเติม และ
== อ้างอิง ==
จำนวนเฉพาะ