กระดูกนาเปียร์

กระดูกนาเปียร์ (Napier's bones) เป็นเครื่องมือช่วยคำนวณ ประดิษฐ์โดย จอห์น นาเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตแลนด์ ใช้ช่วยคูณและหารตัวเลข ลักษณะเป็นท่อนไม้สลักตัวเลข
== การคูณ ==
สมมติว่าเราต้องการหาผลคูณของ 46785399 กับ 7 ให้นำแท่งไม้เรียงตาม 46785399 ไปวางไว้ในตาราง ตามในรูป และอ่านผลลัพธ์จากแถวที่ 7 โดยอ่านจากขวามาซ้าย ผลคูณจะได้จากการบวกเลขตามแนวทแยง (ถ้าผลบวกเกิน 9 ให้ทดไปบวกหลักต่อไป)Napier-example-1.png
ดังนั้น เราจะได้หลักหน่วย (3), หลักสิบ (6+3=9), หลักร้อย (6+1=7), และอื่นๆ สังเกตว่าในหลักแสนจะได้ 5+9=14 ดังนั้น หลักนี้เท่ากับ 4 และทด 1 ไปหลักต่อไป (เหมือนกับ 4+8=12 ในหลักสิบล้าน)
ตัวอย่างถัดไปเราจะคูณ 46785399 กับ 96431 ศึกษาขั้นตอนจากภาพ
center
== การหาร ==
ต้องการหาร 46785399 ด้วย 96431 เริ่มด้วยให้เราหาผลคูณทุกตัวของ 96431 ดังภาพ ผลคูณของ 96431 เป็นเลข 8 หลัก การหาร 46785399 เริ่มจากทางซ้ายก่อน คือ 467853 ,8 ตัว ส่วนเลข 99 ให้ละเอาไว้ก่อน แล้วหาค่าผลคูณที่ใกล้เคียง 467853 คือ 385724 (ซึ่งเป็นผลคูณของ 96431 กับ 4) จะได้ 4 เป็นผลหารตัวแรก จากนั่นลบกัน จะได้ 82129 (467853- 385724=82129) และดึง 99 ที่ละไว้ลงมาด้วยเป็น 8212999 ทำซ้ำอีกครั้ง ค่าที่ใกล้เคียง 8212999 คือ 771448 จะได้ เลข 5
center
ทำซ้ำแบบนี้เรื่อย ๆ จะได้คำตอบ 485 เศษ 16364 ส่วน 96431หรือ 485\frac{16364}{96431}
ถ้าเราต้องการจะหารต่อไปอีกจะต้องติดอยู่ในรูปทศนิยม โดยหลักการแล้วเหมือนกับที่เราได้เรียนกันมาในสมัยประถม คือ ให้เราใส่จุดที่ 485. และเติมศูนย์ที่ 16364 จะได้เป็น 163640 แล้วก็ทำเหมือนเดิมอีก ดังตัวอย่างรูปด้านล่างนี้
center
เราจะได้ค่าในแถวที่ 1 คือ 96431 ซึ่งน้อยกว่า 163640 ลบกับได้ 67209 ได้คำตอบเป็น 485.1 ในรอบถัดไปก็จะได้แถวที่ 6 มีค่าเป็น 578586 ซึ่งน้อยกว่า 672090 ได้คำตอบเป็น 485.16 เช่นนี้ไปเรื่อย ๆ
== การหารากที่สอง ==
จากภาพเราได้เพิ่มช่องตารางอีกหนึ่งช่อง คือ &radic ซึ่งจะถูกแบ่งเป็น 3 สดมภ์ :
สดมภ์แรกเป็นเลขกำลังสอง คือ 1, 4, 9, ... 64, 81;
สดมภ์ที่สองเป็นเลขคู่ 2 ถึง 18;
สดมภ์สุดท้าย 1 ถึง 9
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
|+ Napier's rods with the square root bone
! &nbsp; || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || √
|- align = right
| 1 || 0/1 || 0/2 || 0/3 || 0/4 || 0/5 || 0/6 || 0/7 || 0/8 || 0/9 || 0/1 &nbsp; &nbsp;&nbsp;2 &nbsp; 1
|- align = right
| 2 || 0/2 || 0/4 || 0/6 || 0/8 || 1/0 || 1/2 || 1/4 || 1/6 || 1/8 || 0/4 &nbsp; &nbsp;&nbsp;4 &nbsp; 2
|- align = right
| 3 || 0/3 || 0/6 || 0/9 || 1/2 || 1/5 || 1/8 || 2/1 || 2/4 || 2/7 || 0/9 &nbsp; &nbsp;&nbsp;6 &nbsp; 3
|- align = right
| 4 || 0/4 || 0/8 || 1/2 || 1/6 || 2/0 || 2/4 || 2/8 || 3/2 || 3/6 || 1/6 &nbsp; &nbsp;&nbsp;8 &nbsp; 4
|- align = right
| 5 || 0/5 || 1/0 || 1/5 || 2/0 || 2/5 || 3/0 || 3/5 || 4/0 || 4/5 || 2/5 &nbsp; 10 &nbsp; 5
|- align = right
| 6 || 0/6 || 1/2 || 1/8 || 2/4 || 3/0 || 3/6 || 4/2 || 4/8 || 5/4 || 3/6 &nbsp; 12 &nbsp; 6
|- align = right
| 7 || 0/7 || 1/4 || 2/1 || 2/8 || 3/5 || 4/2 || 4/9 || 5/6 || 6/3 || 4/9 &nbsp; 14 &nbsp; 7
|- align = right
| 8 || 0/8 || 1/6 || 2/4 || 3/2 || 4/0 || 4/8 || 5/6 || 6/4 || 7/2 || 6/4 &nbsp; 16 &nbsp; 8
|- align = right
| 9 || 0/9 || 1/8 || 2/7 || 3/6 || 4/5 || 5/4 || 6/3 || 7/2 || 8/1 || 8/1 &nbsp; 18 &nbsp; 9
|}
ต้องการหารากที่สองของ 46785399
ขั้นแรก ให้เราแบ่งตัวเลขออกมาเป็นชุด ชุดละ 2 ตัว จากทางขวาไปซ้าย
46 78 53 99
Note: ถ้าเป็น 85399 จะแบ่งได้เป็น 8 53 99
เริ่มจากทางซ้ายสุดก่อน 46 ให้หาเลขกำลังสองที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 46 ซึ่งก็คือ 36 ในแถวที่ 6 จะเป็นคำตอบตัวแรก
ลบกันจะได้ 10 แล้วให้เราดึงเลขชุดที่สอง 78 ลงมาเป็น 1078 ดังที่ได้แสดงไว้ด้านล่าง :
{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign = "top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
! &nbsp; || 1 || 2 || √
|- align = right
| 1 || 0/1 || 0/2 || 0/1 &nbsp; &nbsp;&nbsp;2 &nbsp; 1
|- align = right
| 2 || 0/2 || 0/4 || 0/4 &nbsp; &nbsp;&nbsp;4 &nbsp; 2
|- align = right
| 3 || 0/3 || 0/6 || 0/9 &nbsp; &nbsp;&nbsp;6 &nbsp; 3
|- align = right
| 4 || 0/4 || 0/8 || 1/6 &nbsp; &nbsp;&nbsp;8 &nbsp; 4
|- align = right
| 5 || 0/5 || 1/0 || 2/5 &nbsp; 10 &nbsp; 5
|- align = right
| 6 || 0/6 || 1/2 || 3/6 &nbsp; 12 &nbsp; 6
|- align = right
| 7 || 0/7 || 1/4 || 4/9 &nbsp; 14 &nbsp; 7
|- align = right
| 8 || 0/8 || 1/6 || 6/4 &nbsp; 16 &nbsp; 8
|- align = right
| 9 || 0/9 || 1/8 || 8/1 &nbsp; 18 &nbsp; 9
|}
|
_____________
√46 78 53 99    =    6
36
--
10 78
|}
ทำซ้ำเหมือนเดิม คือ เราต้องหาค่าของตัวเลขที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 1078 แต่ต้องไม่เกิน 1078 ซึ่งถ้าเราดูจากกระดูกนาเปียร์แล้วมีค่าไม่ถึง 1078 จะทำอย่างไร
ขั้นที่สอง จากคำตอบตัวแรกที่เราได้คือ 6(จากแถวที่ 6)ใน column ที่ 2 ของตารางช่อง root เป็นเลข 12 ให้เรา set Napier's bones ท่อนที่ 1 และ 2 ดังตารางด้านบน
ต่อไปให้เราสร้างช่องตารางเพิ่มอีกหนึ่งช่อง value เป็นช่องแสดงค่า ตัวอย่าง อ่านค่าในแถวที่ 6 จะได้
0/6 1/2 3/6 → 756
ต่อไป เราต้องหาค่าของตัวเลขที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 1078 แต่ต้องไม่เกิน 1078 ซึ่งถ้าเราดูในช่อง value
จะได้ 1024 ในแถวที่ 8 ดังตารางด้านล่าง และทำตามขั้นตอนเดิม
{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign = "top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
! &nbsp; || 1 || 2 || √ || (value)
|- align = right
| 1 || 0/1 || 0/2 || 0/1 &nbsp; &nbsp;&nbsp;2 &nbsp; 1 || 121
|- align = right
| 2 || 0/2 || 0/4 || 0/4 &nbsp; &nbsp;&nbsp;4 &nbsp; 2 || 244
|- align = right
| 3 || 0/3 || 0/6 || 0/9 &nbsp; &nbsp;&nbsp;6 &nbsp; 3 || 369
|- align = right
| 4 || 0/4 || 0/8 || 1/6 &nbsp; &nbsp;&nbsp;8 &nbsp; 4 || 496
|- align = right
| 5 || 0/5 || 1/0 || 2/5 &nbsp; 10 &nbsp; 5 || 625
|- align = right
| 6 || 0/6 || 1/2 || 3/6 &nbsp; 12 &nbsp; 6 || 756
|- align = right
| 7 || 0/7 || 1/4 || 4/9 &nbsp; 14 &nbsp; 7 || 889
|- align = right style="background:#ffefbd;"
| 8 || 0/8 || 1/6 || 6/4 &nbsp; 16 &nbsp; 8 || 1024
|- align = right
| 9 || 0/9 || 1/8 || 8/1 &nbsp; 18 &nbsp; 9 || 1161
|}
|
_____________
√46 78 53 99    =    68
36
--
10 78
10 24
-----
54
|}
เราจะได้ 8 เป็นคำตอบตัวถัดมา เราลบ 1024 กับ 1078 ได้ 54 จากนั้นเราอ่านค่าใน column ที่ 2 ของแถวที่ 8 ในช่องของ root มีค่าเป็น 16 เราจะต้องเรียงตัวเลขในกระดานใหม่(ไม่ใช่ ท่อนที่ 1 กับ 6)เป็น 136 ซึ่งมาจากเดิมในกระดานเรามี 1 กับ 2 อยู่ก่อนแล้ว เลข 16 ที่เราได้ ต้องทำการเพิ่มโดย เลข 1 ในหลักสิบของเลข 16 ไปบวก 12 เป็น 12+1 = 13 เพราะฉะนั้นเราได้เป็นเลข 136 ให้เราเรียงให้กระดานเป็นเลข 136
12 + 1 = 13 → append 6 → 136
Note: ถ้าใน column ที่ 2 ของช่อง root เป็นเลขตัวเดียว ให้เราใช้เลขตัวนั้นต่อไปเลย
เราจะได้ลักษณะดังตารางด้านล่าง
{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign = "top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
! &nbsp; || 1 || 3 || 6 || √
|- align = right
| 1 || 0/1 || 0/3 || 0/6 || 0/1 &nbsp; &nbsp;&nbsp;2 &nbsp; 1
|- align = right
| 2 || 0/2 || 0/6 || 1/2 || 0/4 &nbsp; &nbsp;&nbsp;4 &nbsp; 2
|- align = right
| 3 || 0/3 || 0/9 || 1/8 || 0/9 &nbsp; &nbsp;&nbsp;6 &nbsp; 3
|- align = right
| 4 || 0/4 || 1/2 || 2/4 || 1/6 &nbsp; &nbsp;&nbsp;8 &nbsp; 4
|- align = right
| 5 || 0/5 || 1/5 || 3/0 || 2/5 &nbsp; 10 &nbsp; 5
|- align = right
| 6 || 0/6 || 1/8 || 3/6 || 3/6 &nbsp; 12 &nbsp; 6
|- align = right
| 7 || 0/7 || 2/1 || 4/2 || 4/9 &nbsp; 14 &nbsp; 7
|- align = right
| 8 || 0/8 || 2/4 || 4/8 || 6/4 &nbsp; 16 &nbsp; 8
|- align = right
| 9 || 0/9 || 2/7 || 5/4 || 8/1 &nbsp; 18 &nbsp; 9
|}
|
_____________
√46 78 53 99    =    68
36
--
10 78
10 24
-----
54 53
|}
ทำซ้ำอีกครั้ง โดยหาเลขผลรวมที่มีค่าใกล้เคียงกับ 5453 ซึ่งก็คือ 4089 ในแถวที่ 3
{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"
|- valign = "top"
|
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:#ffd78c;border:thick double #ffc731;"
! &nbsp; || 1 || 3 || 6 || √ || &nbsp;
|- align = right
| 1 || 0/1 || 0/3 || 0/6 || 0/1 &nbsp; &nbsp;&nbsp;2 &nbsp; 1 || 1361
|- align = right
| 2 || 0/2 || 0/6 || 1/2 || 0/4 &nbsp; &nbsp;&nbsp;4 &nbsp; 2 || 2724
|- align = right style="background:#ffefbd;"
| 3 || 0/3 || 0/9 || 1/8 || 0/9 &nbsp; &nbsp;&nbsp;6 &nbsp; 3 || 4089
|- align = right
| 4 || 0/4 || 1/2 || 2/4 || 1/6 &nbsp; &nbsp;&nbsp;8 &nbsp; 4 || 5456
|- align = right
| 5 || 0/5 || 1/5 || 3/0 || 2/5 &nbsp; 10 &nbsp; 5 || 6825
|- align = right
| 6 || 0/6 || 1/8 || 3/6 || 3/6 &nbsp; 12 &nbsp; 6 || 8196
|- align = right
| 7 || 0/7 || 2/1 || 4/2 || 4/9 &nbsp; 14 &nbsp; 7 || 9569
|- align = right
| 8 || 0/8 || 2/4 || 4/8 || 6/4 &nbsp; 16 &nbsp; 8 || 10944
|- align = right
| 9 || 0/9 || 2/7 || 5/4 || 8/1 &nbsp; 18 &nbsp; 9 || 12321
|}
|
_____________
√46 78 53 99    =    683
36
--
10 78
10 24
-----
54 53
40 89
-----
13 64
|}
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
กระดูกนาเปียร์ในระบบตัวเลขต่าง ๆ (ใช้จาวา)
Large PDF scan of Rabdologiæ 
เครื่องมือคณิตศาสตร์
เครื่องคิดเลขเชิงกล
การคูณ