พาย (ค่าคงตัว)

พาย หรือ ไพ (อักษรกรีก:  ภาษาอังกฤษ: pi)เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์ และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละติน มีชื่อว่า "pi" (อ่านว่า พาย ในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่า พี ในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่า ค่าคงตัวของอาร์คิมิดีส (Archimedes' Constant) หรือจำนวนของลูดอล์ฟ (Ludolphine number หรือ Ludolph's Constant)
ในเรขาคณิตแบบยุคลิด π มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังสอง ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น π คือจำนวนบวก x ที่น้อยสุดที่ทำให้ sin (x)&nbsp;=&nbsp;0

ค่า π โดยประมาณ 125 ตำแหน่งคือ
ส่วนมากจะใช้ค่าประมาณ คือ 3.14
แม้ว่าค่านี้มีความละเอียดพอที่จะใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์แล้ว ปัจจุบันมีการคำนวณค่า π ได้หลายตำแหน่ง ซึ่งหาได้ทั่วไปจากอินเทอร์เน็ต คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยทั่วไปสามารถคำนวณค่า π ได้พันล้านหลัก ขณะที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณค่า π ได้เกินล้านล้านหลัก และไม่พบว่ามีรูปแบบที่ซ้ำกันของค่า π ปรากฏอยู่
== สูตรที่เกี่ยวข้องกับ π ==

=== เรขาคณิต ===
π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม
=== การวิเคราะห์ ===
François Viète, 1593:
\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
สูตรของไลบ์นิซ:
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
หรือเขียนอีกแบบได้เป็น:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}
ผลคูณของ Wallis:
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} 
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{\pi}{2}
สูตรปริพันธ์จากแคลคูลัส:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
ปัญหาของBasel, ถูกแก้เป็นครั้งแรกโดย ออยเลอร์ (ดูเพิ่มเติม ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์):
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
ฟังก์ชันแกมมา เมื่อหาค่า 1/2:
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
สูตรของสเตอร์ลิง:
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (เรียกโดย ริชาร์ด ไฟน์แมน):
e^{i \pi} + 1 = 0\;
=== เศษส่วนต่อเนื่อง ===
π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น
\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} 
=== ทฤษฎีจำนวน ===
ความน่าจะเป็นในการสุ่มจำนวนเต็มขึ้นมา 2 จำนวน แล้วเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เท่ากับ 6/π2                    ...
=== ฟิสิกส์ ===
หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก:
\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} 
สมการสนามของไอน์สไตน์ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป:
R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} 
กฎของคูลอมบ์ สำหรับแรงไฟฟ้า:
F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2} 
== สูตรที่นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ ==
=== การอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพ ===
แม้ว่า  จะไม่เป็นค่าคงตัวทางฟิสิกส์ แต่ก็มีปรากฏในสมการที่ใช้อธิบายเกี่ยวกับหลักการพื้นฐานของจักรวาลอยู่บ่อยครั้ง เนื่องจากความสัมพันธ์ของ  กับวงกลม และระบบพิกัดทรงกลม จากสูตรง่าย ๆ จากกลศาสตร์ดั้งเดิม เช่น ให้ระยะเวลาโดยประมาณเป็น   ของลูกตุ้มที่มีความยาว  แกว่งด้วยแอมพลิจูดขนาดเล็ก ( คือ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก)
T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}
หนึ่งในสูตรสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมคือหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนแบร์ก ซึ่งแสดงให้เห็นความไม่แน่นอนในการวัดตำแหน่งของอนุภาค (Δ) และโมเมนตัม (Δ) ซึ่งไม่สามารถมีขนาดเล็กโดยปราศจากเหตุผลในเวลาเดียวกันได้ (เมื่อ  เป็นค่าคงตัวของพลังค์)
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
ความจริงที่ว่า  มีค่าประมาณเท่ากับ 3 นั้น มีบทบาทในอายุการใช้งานที่ยาวนานของออร์โธโพสิโทรเนียม ซึ่งอายุการใช้งานนั้นจะผกผันไปสู่ลำดับต่ำสุดในค่าคงที่โครงสร้างละเอียด  คือ
\frac{1}{\tau} = 2\frac{\pi^2 - 9}{9\pi}m\alpha^{6},
เมื่อ  คือมวลของอิเล็กตรอน
== ดูเพิ่ม ==
แคลคูลัส
เรขาคณิต
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
== อ้างอิง ==
พาย (ค่าคงตัว)
อนุกรม
การวิเคราะห์เชิงซ้อน