ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป

ในด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ และ ทฤษฎีกราฟ ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป (Edmonds-Karp algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาการไหลมากสุด ( Maximum flow) ใน ระบบเครือข่ายการไหล ( Flow network) โดยการนำเอาวิธีการของฟอร์ด-ฟูเกอร์สัน ( Ford-Fulkerson method) มาใช้ โดยทำงานได้ในระยะเวลา O(V E^2) หากเปรียบเทียบกันในเชิงเส้นแล้วจะช้ากว่า (Relabel-to-front algorithm) ซึ่งทำงานในเวลา O (V^3) แต่ในความเป็นจริงจะพบว่า ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป จะทำงานได้ดีกว่าหากเป็น กราฟไม่หนาแน่น ( sparse graphs) ขั้นตอนวิธีแก้ปัญหานี้ถูกเปิดเผยครั้งแรกในปี ค.ศ. 1970 โดยนายดีนิทซ์ (Yefim Dinitz) นักวิทยาศาสตร์ชาวยิว (อดีตเป็นชาวรัสเซีย) โดยมีชื่อว่าขั้นตอนวิธีของดีนิซ (Dinic's algorithm) ซึ่งทำงานได้ในเวลา O (V^2 E) 2 ปีต่อมา คือปี ค.ศ. 1972 แจ๊ค เอ็ดมอนด์ (Jack Edmonds) กับริชาร์ด คาป (Richard Karp) ได้เสนอวิธีแก้ปัญหานี้ในรูปแบบที่แตกต่างกันออกไปซึ่งถูกเรียกว่า ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป
== ขั้นตอนวิธี ==
ขั้นตอนวิธีนี้เหมือนขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-ฟูเกอร์สัน ยกเว้นในส่วนของการค้นหาวิถีเพิ่มพูน (Augmenting path) การค้นหาวิถีเพิ่มพูนในขั้นตอนวิธีนี้นั้น เราจะหาจากวิถีสั่นสุดที่ยังเหลือที่ว่างให้ไหลไปได้ด้วยการค้นทางกว้าง โดยให้แต่ละวิถีมีน้ำหนักของมันเอง โดยจะใช้เวลาทั้งหมดประมาณ O(V E^2) ซึ่งคำนวณจากการที่สามารถหาวิถีเพิ่มพูนในแต่ละครั้งได้ในเวลา O(E) ซึ่งในการทำงานแต่ละรอบนั้นจะต้องมีวิถีที่อิ่มตัว (Saturated edge) เกิดขึ้นอีกอย่างน้อย 1 วิถี จากขั้นตอนวิธีดังกล่าวจะส่งผลให้ระยะทางจากต้นกำเนิดถึงวิถีอิ่มตัวล่าสุดจะต้องมากกว่าเดิมเสมอ จากขั้นตอนวิธีดังกล่าวเราพบว่าระยะทางของวิถีเพิ่มพูนสั้นสุดนั้นเติบโตขึ้นเป็นลำดับทางเดียว โดยอ้างอิงจากบทพิสูจน์ดังนี้
== รหัสเทียม ==
สามารถดูรายละเอียดเชิงลึกได้ที่ขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-ฟูเกอร์สัน
algorithm EdmondsKarp
ข้อมูลนำเข้า:
C[1..n, 1..n]  (เมตริกความจุ) 
E[1..n, 1..?]  (รายการผมเพื่อนบ้าน) 
s              (ก๊อก) 
t              (อ่าง) 
ข้อมูลนำออก:
f              (ค่าอัตราการไหลสูงสุด) 
F              (เมตริกซึ่งแสดงค่าอัตราการไหลสูงสุดในแต่ละวิถึ) 
f := 0  (กำหนดค่าเริ่มต้นให้อัตราการไหล) 
F := array (1..n, 1..n)  (ค่าความจุที่เหลือ จาก u ไป v หรือ C[u,v] - F[u,v]) 
forever
m, P := BreadthFirstSearch (C, E, s, t)
if m = 0
break
f := f + m
 (การค้นแบบBacktrack และ สร้างวิถีการไหล) 
v := t
while v ≠ s
u := P[v]
F[u,v] := F[u,v] + m
F[v,u] := F[v,u] - m
v := u
return (f, F)
ขั้นตอนวิธี ค้นทางกว้าง (BreadthFirstSearch)
ข้อมูลนำเข้า:
C, E, s, t
ข้อมูลนำออก:
M[t]           (ความจุของวิถีที่พบ) 
P              (ตารางบรรพบุรุษ) 
P := array (1..n)
for u in 1..n
P[u] := -1
P[s] := -2  (ตรวจสอบว่าก๊อกนี้ไม่ถูกค้นพบซ้ำ) 
M := array (1..n)  (ค่าความจุระหว่างวิถีที่ถูกค้นพบกับปม) 
M[s] := ∞
Q := queue 
Q.push (s)
while Q.size  > 0
u := Q.pop 
for v in E[u]
 (ถ้ายังมีความจุให้ไหลได้ และ v ยังไม่เคยถูกค้นพบมาก่อน) 
if C[u,v] - F[u,v] > 0 and P[v] = -1
P[v] := u
M[v] := min (M[u], C[u,v] - F[u,v])
if v ≠ t
Q.push (v)
else
return M[t], P
return' 0, P
== ตัวอย่าง ==
กำหนดให้เครือข่ายมี 7 ปม โดยมีจุดเริ่มต้นก๊อก A และ จบที่อ่าง G และ ความจุ ดังแสดงตามภาพด้านล่าง
300px
ในทุกคู่  f/c ที่ถูกเขียนบนวิถี f และ c คือ อัตราการไหลในปัจจุบัน และ ความจุของวิถีนั้น ตามลำดับ ค่าความจุที่เหลืออยู่จาก u ไป v คือ c_f (u,v) =c (u,v) -f (u,v)  ส่วนต่างของค่าความจุของวิถีนั้นและอัตราการไหลที่ไหลผ่านวิถีดังกล่าว
== อ้างอิง ==
E. A. Dinic (1970). "Algorithm for solution of a problem of maximum flow in a network with power estimation". Soviet Math. Doklady (Doklady) 11: 1277–1280.
Jack Edmonds and Richard M. Karp (1972). "Theoretical improvements in algorithmic efficiency for network flow problems". Journal of the ACM 19 (2) : 248–264. doi:10.1145/321694.321699.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford Stein (2001). "26.2". Introduction to Algorithms (second ed.). MIT Press and McGraw–Hill. pp. 660–663. ISBN 0-262-53196-8.
Algorithms and Complexity (see pages 63-69). http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AlgComp3.html 
ขั้นตอนวิธีกราฟ
การไหลในเครือข่าย