เศษส่วนต่อเนื่อง

ในคณิตศาสตร์ เศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction) คือนิพจน์ที่อยู่ในรูป
x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\cdots}}} 
เมื่อ a_0 เป็นจำนวนเต็มใดๆ และเลข a_i ตัวอื่นๆ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเศษของเศษส่วนต่อเนื่องแต่ละชั้นสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่หนึ่งได้ เราจะเรียกนิพจน์เหล่านั้นว่าเศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป (generalized continued fraction) เพื่อป้องกันความสับสน เราอาจเรียกเศษส่วนต่อเนื่องธรรมดา (ที่ "ไม่ใช่" เศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป) ว่า เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย
== สัญลักษณ์ ==
เราสามารถเขียนย่อเศษส่วนต่อเนื่องในรูป
x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3}}} 
ด้วยสัญลักษณ์
x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;
หรือด้วยสัญลักษณ์ของพริงส์ไฮม์
x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3} 
หรือ
x = a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +} 
(สัญลักษณ์ข้างบนนี้ไม่ค่อยเป็นที่นิยมใช้เท่าใดนัก) หรือ
x = \left \langle a_0; a_1, a_2, a_3 \right \rangle \;
โดยอาจใช้จุลภาคแทนเซมิโคลอนก็ได้
นอกจากนี้เรายังสามารถนิยม เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ (infinite continued fraction) เป็นลิมิต
[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \,\ldots, a_{n}]. 
โดยลิมิตนี้สามารถหาค่าได้เสมอไม่ว่าจำนวนเต็ม a_1, a_2, a_3, ... จะมีค่าเท่าไหร่ก็ตาม
== การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง ==
การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง r ทำได้ดังต่อไปนี้ เริ่มต้นจากเขียนภาคจำนวนเต็มของ r แล้วลบภาคจำนวนเต็มออกจาก r การหาเศษส่วนต่อเนื่องจะเสร็จสิ้นเมื่อผลลัพธ์ที่ได้เป็นศูนย์ หากไม่เป็นศูนย์ ให้หาส่วนกลับของผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์เป็นศูนย์ (อย่างไรก็ดี ขั้นตอนวิธีนี้จะเสร็จสิ้นก็ต่อเมื่อ r เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น) เสร็จแล้วให้นำภาคจำนวนเต็มทั้งหมดมาเขียนเรียงกันจากตัวแรกถึงตัวสุดท้าย ก็จะได้เศษส่วนต่อเนื่องของ r
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="none"
|-
! colspan="5" |การหาเศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245
|-
|3\,
|3.245 - 3\,
|= 0.245\,
|1 / 0.245\,
|= 4.082\,
|-
|4\,
|4.082 - 4\,
|= 0.082\,
|1 / 0.082\,
|= 12.250\,
|-
|12\,
|12.250 - 12\,
|= 0.250\,
|1 / 0.250\,
|= 4.000\,
|-
|4\,
|4.000 - 4\,
|= 0.000\,
|หยุด
|
|-
! colspan="5" | เศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245 คือ [3; 4, 12, 4]
|-
! colspan="5" | 3.245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}} 
|}
นอกจากนี้ 3.245 ยังสามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่อง [3; 4, 12, 3, 1] อีกด้วย
ขั้นตอนวิธีข้างต้นนี้สามารถใช้ได้กับจำนวนจริงทุกจำนวน อย่างไรก็ดี เวลานำไปเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ พึงระวังว่าการใช้จำนวนทศนิยมเลื่อน (floating point number) แทนจำนวนเต็มจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องได้ แต่เนื่องจำนวนทศนิยมเลื่อนทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงสามารถดัดแปลงขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดมาใช้หาเศษส่วนต่อเนื่องได้
== เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด ==
สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ
[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots, a_{n} + 1]. \;
ดังนั้น เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ จะมีเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอีกตัวหนึ่งที่มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น
[2; 3, 1] = [2; 4] = 9/4 = 2.25. \;
เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนต่อเนื่องได้สองแบบเท่านั้น ในแบบหนึ่ง เลขตัวสุดท้ายคือ 1 ในอีกแบบหนึ่งเลขตัวสุดท้ายจะมีค่ามากกว่า 1 เว้นแต่ว่าจำนวนตรรกยะที่กล่าวถึงคือ 1
== เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ ==
เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ทุกตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเพียงหนึ่งแบบเท่านั้น
การเขียนแทนจำนวนตรรกยะด้วยเศษส่วนต่อเนื่องมีประโยชน์มาก เนื่องจากส่วนต้นของเศษส่วนต่อเนื่องจะให้จำนวนตรรกยะที่เป็นค่าประมาณที่ดีของจำนวนอตรรกยะนั้น จำนวนตรรกยะเหล่านี้ เรียกว่า คอนเวอร์เจนท์ ของเศษส่วนต่อเนื่อง คอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 2, 4, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิม และคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 1, 3, 5, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิมเสมอ
คอนเวอร์เจนท์สี่ตัวแรกของเศษส่วนต่อเนื่อง [a_0;a_1,a_2,\ldots] (ตัวที่ 0 ถึงตัวที่ 3) ได้แก่
\frac{a_0}{1},\qquad
\frac{a_0a_1+1}{a_1},\qquad
\frac{    a_2(a_0a_1+1) +a_0}{a_2a_1+1},\qquad
\frac{a_3(a_2(a_0a_1+1) +a_0) +(a_0a_1+1) }{a_3(a_2a_1+1) +a_1}.
สังเกตว่า เศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามเกิดจากการคูณเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สองด้วยภาคจำนวนเต็ม (จากอัลกอริทึมข้างบน ในที่นี้คือ a_3) ตัวที่สาม แล้วบวกด้วยเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สอง ส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามก็สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน
หากเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 1, 2, ... คือ h_0,h_1, h2,\ldots และส่วนคือ k_0,k_1, k_2,\ldots เราจะได้ว่า h_0 = a_0, k_0 = 1, h_1 = a_0 a_1 + 1, และ k_1 = a_1 เศษและส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวอื่นๆ สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดต่อไปนี้
h_n=a_nh_{n-1}+h_{n-2},\qquad
k_n=a_nk_{n-1}+k_{n-2}.
ดังนั้น
\frac{h_n}{k_n}=
\frac{a_nh_{n-1}+h_{n-2}}{a_nk_{n-1}+k_{n-2}}.
== ทฤษฎีบทที่สำคัญ ==
=== ทฤษฎีบท 1 ===
สำหรับจำนวนจริงบวก x ใดๆ
\left[a_0, a_1, \,\dots, a_{n-1}, x \right]=
\frac{x h_{n-1}+h_{n-2}}
{x k_{n-1}+k_{n-2}}.
=== ทฤษฎีบท 2 ===
คอนเวอร์เจนท์ของ [a0, a1, a2, ...] อยู่ในรูป
\left[a_0, a_1, \,\dots, a_n\right]=
\frac{h_n}
{k_n}.
=== ทฤษฎีบท 3 ===
ถ้าคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ n ของเศษส่วนต่อเนื่องตัวหนึ่งคือ h_n/k_n แล้ว
k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1) ^n.
บทเสริมที่ 1: คอนเวอร์เจนท์ทุกตัวเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เนื่องจากตัวประกอบร่วมของ h_n และ k_n จะต้องหาร k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n ลงตัว)
บทเสริม 2: ผลต่างของคอนเวอร์เจนท์สองตัวที่ติดกันเป็นเศษส่วนที่ค่าสัมบูรณ์ของเศษคือ 1
\left|\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} \right|=
\left|\frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}}\right|=
\frac{1}{k_nk_{n-1}}.
บทเสริม 3: ลำดับของคอนเวอร์เจนท์สมมูลกับอนุกรมต่อไปนี้
a_0 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1) ^{n}}{k_{n+1}k_{n}}.
บทเสริม 4: แมทริกซ์
\begin{bmatrix}
h_n & h_{n-1} \\
k_n & k_{n-1}
\end{bmatrix}
มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 หรือ -1 ดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของกรุปของแมทริกซ์ยูนิมอดูลาร์ S^*L(2,\mathbb{Z}) 
=== ทฤษฎีบท 4 ===
คอนเวอร์เจนท์ตัวหนึ่งๆ จะมีค่าใกล้กลับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องมากกว่าคอนเวอร์เจนท์ที่มาก่อนมันเสมอ โดยเราสามารถเขียนข้อความนี้เป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้ ให้ x เป็นค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง [a_0; a_1, a_2, \ldots] และให้ r และ s เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ โดยที่ r > s
\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_r]-x\right|>
\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_s]-x\right|
บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคู่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ แต่ไม่มีทางเกิน x
บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคี่จะมีค่าลดลงเสมอ แต่ไม่มีทางต่ำกว่า x
=== ทฤษฎีบท 5 ===
\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n) }
บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ใดๆ จะมีค่าใกล้กับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องกว่าจำนวนตรรกยะใดๆ ที่มีส่วนไม่เกินส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวนั้น
บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ที่นำหน้าภาคจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่จะเป็นค่าประมาณที่ดีของค่าของเศษส่วนเชิงซ้อน
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง 
เศษส่วนต่อเนื่องบนต้นไม้ สเติร์น-โบรคอท 
cfc - โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง  สำหรับ POSIX และ Cygwin 
เศษส่วนต่อเนื่องและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ 
เศษส่วนต่อเนื่องพื้นฐาน 
== อ้างอิง ==
A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992.
ศเศษส่วนต่อเนื่อง
ศเศษส่วนต่อเนื่อง
คณิตวิเคราะห์