ปัญหาการหาคู่ของจุดที่ใกล้กันที่สุด

ปัญหาการหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด (closest pair problem) เป็นหนึ่งในงานวิจัยทางด้านเรขาคณิตคำนวณ (Computational Geometry) จากปัญหานี้ถ้าใช้วิธีการหาระยะทางที่ใกล้ที่สุดกับจุดทุกๆ จุด นั้นจะต้องใช้เวลาเป็น Θ (n2) จากเวลาการทำงานยังเป็นเวลาที่สูง จึงได้ทำการแก้ปัญหานี้ซึ่งใช้ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ โดยที่เวลาการทำงานเป็น O (n \log n) และขั้นตอนวิธีนี้เป็นขั้นตอนวิธีแบบอนุกรมที่ดีที่สุดสำหรับปัญหานี้
== ลักษณะของปัญหา ==
โจทย์ : ให้จุด N จุด ซึ่งอยู่บนระนาบ
คำตอบ : หาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด
โดยมีสูตรการหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด คือ di.j = ((xi-xj)2 + (yi-yj)2)1/2
== ปัญหารูปแบบต่างๆ ==
จุดทั้งหมดเรียงตัวอยู่ในแนว 1 มิติ นั่นคือ จุดทุกๆจุด เรียงตัวกันบนเส้นตรงเส้นเดียวกัน
จุดทั้งหมดเรียงตัวอยู่บนระนาบ 2 มิติ
== วิธีการแก้ปัญหาแบบ 2 มิติ ==
=== 1.	ขั้นตอนวิธีการแบบบรูทฟอร์ซ (Brute force) ===
ทำการตรวจสอบระยะทางในทุกๆจุด และนำมาคำนวณหาระยะทางที่มีค่าน้อยที่สุด
==== รหัสเทียม ====
closetPair ( x[1…n], y[1…n] )
min = infinity
for ( i=1…n)
for ( j= (i+1) …n)
dx = | x[i] – x[j]
| dy = | y[i] – y[j]
| d = sqrt (dx2 + dy2 )
if ( f
=== 2.	ขั้นตอนวิธีการแบบแบ่งแยกและเอาชนะ (Divide and Conquer) ===
การแบ่งแยก คือ การมองปัญหาใหญ่ๆ ออกเป็นปัญหาย่อยๆ ซึ่งในปัญหานี้คือการมองพื้นที่ทั้งหมดออกเป็น 2 ส่วน โดยที่แต่ละส่วนมีจำนวนจุดใกล้เคียงกัน
การเอาชนะ คือ การหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด ในพื้นที่แต่ละด้าน โดยใช้ขั้นตอนวิธีการเรียกซ้ำ (Recursive)
การรวมกัน คือ การหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด ซึ่งจุดทั้ง 2 จุดอยู่บนพื้นที่คนละด้านกัน
==== ลำดับขั้นตอน ====
ให้ x เป็นค่าน้อยที่สุดจากระยะทางที่หาได้จากการเรียกซ้ำ
พิจารณาจากจุดทุกๆจุดซึ่งอยู่บริเวณที่ห่างจากเส้นกั้นกลาง 2 ฝั่ง ด้วยความยาวไม่เกิน x
เรียงลำดับระยะห่างของจุดทุกๆจุดในบริเวณนั้น โดยเก็บข้อมูลเป็นพิกัดทั้งแนวนอนและแนวตั้ง ซึ่งเป็นการทำให้สามารถระบุได้ว่าจุดใดอยู่ทางฝั่งซ้ายหรือฝั่งขวา
สร้างกรอบสี่เหลี่ยม ขนาด x * 2x ขึ้นมาบนพื้นที่นั้น ใช้เลื่อนไปตามจุด n คู่ เพื่อนหาระยะที่ใกล้กันที่สุด
:สี่เหลี่ยมขนาด x * 2x ใช้เพื่อตรวจหาระยะทางระหว่างจุดคู่ที่ใกล้กันที่สุดจากพื้นที่ตรงเส้นกั้นกลาง
คำตอบที่ถูกต้อง คือ ระยะที่น้อยที่สุดจากการระยะทางที่ได้จากจุด 2 จุดที่ได้มาจากการคำนวณจากพื้นที่ 2 ฝั่งและพื้นที่ตรงกลาง
:ระยะทางระหว่างจุดคู่ที่ใกล้กันที่สุด 3 ระยะ ที่ได้มาจากการคำนวณจากพื้นที่ 2 ฝั่งและพื้นที่ตรงกลาง
==== รหัสเทียม ====
ClosestPair (ptsByX, ptsByY, n)
if (n = 1) return ∞
if (n = 2) return distance (ptsByX[0], ptsByX[1])
// มองลักษณะเป็นปัญหาย่อย (การแบ่งแยก)
mid ← dn/2e − 1
คัดลอกค่าจาก ptsByX[0 . . . mid] ไปไว้ที่อาเรย์ XL ตำแหน่งที่ x
คัดลอกค่าจาก ptsByX[mid+1 . . . n − 1] ไปไว้ที่อาเรย์ XR ตำแหน่งที่ x
คัดลอกค่าจาก ptsByY ไปไว้ที่อาเรย์ Y L และ Y R ตำแหน่งที่ y , s.t
XL และ Y L อ้างถึงจุดๆเดียวกัน เช่นเดียวกันกับ XR และ Y R
// ขั้นตอนวิธีการเรียกซ้ำเพื่อหาระยะทางที่ใกล้กันที่สุด (การเอาชนะ)
distL ← ClosestPair (XL, Y L, dn/2e)
distR ← ClosestPair (XR, Y R, bn/2c)
// นำมารวมกัน
midPoint ← ptsByX[mid]
lrDist ← min (distL, distR)
สร้างอาเรย์ yStrip ในลำดับที่ y (เพิ่มขึ้น)
สำหรับจุด p ใดๆ ใน ptsByY s.t. |p.x − midPoint.x| 
== ประสิทธิภาพการทำงาน ==
ขั้นตอนวิธีการแบบบรูทฟอร์ซ
เป็นวิธีที่ธรรมดาที่สุด โดยทำการตรวจสอบทั้งหมด n (n-1)/2 คู่ และใช้เวลาการทำงานเป็น Θ (n2)
วิธีการแบบแบ่งแยกและเอาชนะ
มีการมองปัญหาใหญ่เป็นปัญหาย่อยๆ ทำให้เป็นวิธีที่ใช้เวลาน้อยที่สุด นั่นคือใช้เวลาการทำงานเป็น Θ (nlogn) มาจาก t (n) = 2t (n/2) + Θ (n)  = Θ (nlogn) โดย 2t (n/2) มาจากการเรียกซ้ำใน 2 รอบ ในพื้นสี่ฝั่งซ้ายและฝั่งขวา และ Θ (n) มาจากการเอาสี่เหลี่ยมเทียบกับจุดจำนวน n คู่
== การนำไปใช้งาน ==
ปัญหาการหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในงานหลากหลายด้าน หลากหลายแอปพลิเคชัน (Application) เช่น นำไปใช้ในระบบควบคุมการจราจรทางอากาศหรือทางทะเลซึ่งในการควบคุมนั้นจำเป็นต้องรู้ว่ามียานพาหนะ 2 ลำไหนที่อยู่ใกล้กันที่สุดเพื่อที่จะป้องกันการชนกันได้ เป็นต้น
== อ้างอิง ==
Jeremy Buhler (2011), Fast Closest-Pair Algorithm, Faculty of Engineering of Washington University in St.Louis, http://classes.cec.wustl.edu/~cse241/handouts/closestpair.pdf 
Robert Sedgewick, Kevin Wayne (2007), Geometric Algorithms, Department of Computer Science,Princeton University, http://www.cs.princeton.edu/~rs/AlgsDS07/16Geometric.pdf
ปัญหาการหาคู่ของจุดที่ใกล้กันที่สุด