ขั้นตอนวิธีของควิน-แม็กคลัสกีย์

ขั้นตอนวิธีของควิน-แม็กคลัสกีย์  (Quine-McCluskey algorithm) เป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีที่ใช้สำหรับการลดรูปนิพจน์ตรรกศาสตร์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่มีประสิทธิภาพสูง พัฒนาโดย ดับเบิลยู.วี. ควิน (W.V.Quine) และเอ็ดเวิด เจ. แมกคลัสกีย์ (Edward J. McCluskey)
ขั้นตอนวิธีของควิน-แม็กคลัสกีย์เป็นขั้นตอนวิธีที่ช่วยในการลดรูปนิพจน์ตรรกะได้เมื่อข้อมูลขาเข้าที่มีปริมาณตัวแปรจำนวนมาก แต่ในการทำงานยังมีข้อจำกัดในเรื่องของเวลาอยู่ จึงควรดูขนาดของข้อมูลขาเข้า ว่ามีขนาดเท่าไหร่ และสมควรที่จะใช้วิธีการนี้หรือไม่ หากไม่สมควรควรจะเลือกใช้วิธีการอื่นที่สามารถลดนิพจน์ตรรกะได้ เช่น วิธีการเอกเพรซโซ่ ซึ่งเป็นวิธีการที่จะใช้ผ่านโปรแกรม
== วิธีการทำงาน ==
วิธีการนี้มีขั้นตอนการทำงานเหมือนกับการทำแผนผังคาร์โนห์ (Karnaugh map หรือ K-map) แต่มีความยืดหยุ่นมากกว่า ในด้านการนำไปประยุกต์เพื่อสร้างโปรแกรมคอมพิวเตอร์อย่างมีประสิทธิภาพ และด้านการใช้งานกับนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนมาก 
ขั้นตอนการทำงาน แบ่งออกเป็นสองขั้นตอน ดังนี้:
รวมเทอมเข้าด้วยกันเพื่อลดจำนวนเทอม
สร้างตารางเพื่อหานิพจน์ตรรกศาสตร์ในรูปอย่างง่าย
== รหัสเทียม ==
=== ตัวอย่างรหัสเทียม ===
ตัวอย่างรหัสเทียมสำหรับการทำงานของขั้นตอนวิธีควิน-แมกคลัสกีย์
Function QM1 ( levels ) returns primes
put { } (empty set) into primes
for each level level do
irredundant level (remove duplicates from level)
put { } (empty set) into nonprimes
for every term term in level from 1 to the size of level –1 do
for every term compterm in level from term + 1 to the size of level do
put –1 into differentLiteral as a flag
for every literal literal from 1 to NUMINPUTS do
if literal literal of term  ?  literal literal of compterm then
if differentLiteral = –1 then
(there was no previous difference)
put literal into differentLiteral
else (there was a previous difference)
put –1 into differentLiteral as a flag
break (get out of this comparison loop)
end if
end if
end for of literal
if differentLiteral  ?  –1 then (there was exactly one difference)
add term to nonprimes
add compterm to nonprimes
add term with 2 in literal differentLiteral to level level + 1
end for of compterm
end for of term
if the size of nonprimes > 0 then
add all terms not in nonprimes to primes
else
break (get out of loop for levels)
end if
end for of level
return primes
== ข้อจำกัด ==
ถึงแม้วิธีการนี้จะได้ผลดีกว่ากว่าแผนผังคาร์โนห์เมื่อใช้ลดนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่มีตัวแปรมากกว่าสี่ตัวก็ตาม แต่เวลาที่ใช้ในการทำงานจะเพิ่มมากขึ้นอย่างรวดเร็วตามจำนวนของตัวแปร (เพิ่มขึ้นในอัตราส่วนแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) โดยสามารถแสดงในรูปแบบของฟังก์ชันขอบเขตสูงสุดของตัวแปร n ตัว ได้เป็น \frac{3^{n}}{n} ซึ่งหากนิพจน์ตรรกศาสตร์มีจำนวนตัวแปรเท่ากับ 32 ตัว หรือ n=32 อาจจะมีเทอมที่ไม่สามารถจับคู่ได้มากกว่า 6.5\times1015 เทอม ดังนั้นหากต้องการลดนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่มีจำนวนตัวแปรมากๆ ควรใช้วิธีการอื่นแทน เช่น การใช้โปรแกรมเอสเปรสโซ่ เป็นต้น
ขั้นตอนวิธีนี้ เป็นขั้นตอนวิธีปัญหา เอ็นพี-แบบยาก เพราะมีอัตราการทำงานเติบโตในรูปของฟังก์ชันเอกซ์โพเน็นเชียล
== ปัญหาที่เกี่ยวข้อง ==
วิธีการของแพททริก
== ตัวอย่างขั้นตอนการทำงาน ==
ลดรูปนิพจน์ตรรกศาสตร์ต่อไปนี้:
f (A,B,C,D) =\sum m (4,5,6,8,9,10,13) + d (0,7,15) \,
=== รวมเทอมเข้าด้วยกันเพื่อลดจำนวนเทอม ===
เนื่องจากนิพจน์ตรรกศาสตร์ดังกล่าว มีตัวแปรจำนวน 4 ตัว ได้แก่ A, B, C และ D ดังนั้นจึงสามารถสร้างตารางค่าความจริงได้ทั้งหมด 16 กรณี ดังนี้
 
ในการรวมเทอมเข้าด้วยกันเพื่อลดจำนวนเทอมนั้น จะพิจารณาจากเทอมที่มีค่าของ A,B,C และ D ต่างกันเพียง 1 บิต ตัวอย่างเช่น 0000 กับ 0100 (ต่างกันที่บิตที่สอง) หรือ 0000 กับ 1000 (ต่างกันที่บิตที่หนึ่ง) เป็นต้น ดังนั้นเพื่อให้ง่ายต่อการพิจารณา จะทำการแบ่งกลุ่มที่มีค่าของ A,B,C และ D ต่างกันเพียง 1 บิตโดยแบ่งตามจำนวนของเลข 1 ในค่า A,B,C และ D ดังนี้
จากตารางด้านบน จะเห็นว่าเราสามารถแบ่งกลุ่มที่มีค่าของ A,B,C,D ต่างกันเพียง 1 บิทได้เป็น 5 กลุ่ม ดังนั้นในการรวมเทอมที่มีรูปแบบคล้ายกัน เราจะพิจารณาแต่ละกลุ่มเทียบกันโดยใช้วิธีการเขียนตาราง ดังนี้
เขียนค่าของ ABCD ที่ต้องการพิจารณาลงในคอลัมน์เริ่มต้นของตาราง (คอลัมน์ที่ 1)
เปรียบเทียบค่า ABCD ที่ต่างกันเพียง 1 บิต (ค่าของกลุ่มติดกันที่แบ่งไว้ข้างต้น) เพื่อยุบรวมเป็นตัวเดียว โดยแทนตัวที่ต่างกันด้วย "-" และแทนตัวที่เหมือนกันด้วยตัวเลขนั้นๆ เขียนผลลัพธ์ลงในคอลัมน์ถัดไป (คอลัมน์ที่ 2) ตัวอย่างเช่น เปรียบเทียบ 0000 กับ 0100 แล้วรวมเป็น 0-00, เปรียบเทียบ 0000 กับ 1000 แล้วรวมเป็น -000 เป็นต้น
เมื่อยุบรวมพจน์เรียบร้อยแล้ว ให้ทำการเขียนเครื่องหมายถูก "/" หากยุบไม่ได้ก็ใส่เครื่องหมายดอกจัน "*" ไว้ด้านหลังพจน์ที่ถูกยุบรวมแล้ว
ทำการเปรียบเทียบค่า ABCD ไปเรื่อยๆ เพื่อยุบรวมพจน์จนกระทั่งไม่สามารถยุบรวมได้อีก
จากตารางด้านบน แสดงให้เห็นว่าพจน์ที่ไม่สามารถยุบรวมได้อีก มีทั้งหมด 7 พจน์ ได้แก่ 0-00, -000, 100-, 10-0, 1-01, 01-- และ -1-1
=== สร้างตารางเพื่อหานิพจน์ตรรกศาสตร์ในรูปอย่างง่าย ===
==== การสร้างตาราง ====
การสร้างตารางในเบื้องต้น มีขั้นตอนดังนี้
สำหรับแต่ละแถว คือ พจน์ที่ไม่สามารถยุบรวมได้อีก ที่ได้หามาแล้วในขั้นตอนที่ 1
สำหรับแต่ละคอลัมน์ คือ พจน์ที่มีค่าฟังก์ชันเป็น 1
ทำเครื่องหมายกากบาท "X" ในตารางตามช่องที่มีตัวเลขในแถวและคอลัมน์เหมือนกัน
==== การหารูปอย่างง่ายของนิพจน์ตรรกศาสตร์ ====
หลังจากสร้างตารางเสร็จเรียบร้อยแล้ว หลักการในการหารูปอย่างง่ายของนิพจน์ตรรกศาสตร์ คือการเลือกแถวให้น้อยที่สุด โดยเลือกให้ครอบคลุมทุกคอลัมน์
ในการเลือกแถวเบื้องต้นนั้น จะทำการตรวจสอบคอลัมน์ที่มีเครื่องหมาย "X" เพียงแถวเดียว แล้วทำการเลือกแถวนั้นๆ เนื่องจากเป็นแถวที่จำเป็นต้องเลือก หากไม่เลือกจะทำให้ไม่ครอบคลุมครบทุกคอลัมน์
ทำเครื่องหมายทั้งในแนวแถวและคอลัมน์ที่เลือก
จากนั้นให้ทำเครื่องหมายให้กับ "X" ที่อยู่ในคอลัมน์เดียวกันทั้งหมด เพื่อแสดงว่าคอลัมน์นั้นๆ ได้ถูกครอบคลุมโดยแถวที่เลือกไปแล้ว
เลือกแถวที่ครอบคลุม "X" ในคอลัมน์ที่เหลืออยู่ แล้วทำเครื่องหมายสำหรับแถวนั้น (หากมีหลายแถวจะต้องเลือกแถวที่ครอบคลุมคอลัมน์ได้มากที่สุด)
ผลที่ได้จะมีจำนวนแถวที่เลือกน้อยที่สุด และครอบคลุมส่วนที่เหลือทั้งหมดได้
ดังนั้น นิพจน์ตรรกศาสตร์ในรูปอย่างง่าย คือ : f_{A,B,C,D} = AB'D' + AC'D + A'B 
== ดูเพิ่ม ==
นิพจน์
ตรรกศาสตร์
แผนผังคาร์โนห์
พีชคณิตแบบบูล
POS และ SOP
วงจรเชิงผสม
ตารางค่าความจริง
== อ้างอิง ==
85-89.http://www.freebookzone.com/fetch.php?bkcls=hw_logic&bkidx=7 Contemporary Logic Design
== เชื่อมต่อภายนอก ==
การลดทอนฟังก์ชัน
การลดรูปสมการบูลลีน
Quine-McCluskey Algorithm 
Minimization
ตัวอย่างขั้นตอนวิธีของควินและแมกคลัสกีย์ 
รหัสเทียมของขั้นตอนวิธีควินและแมกคลัสกีย์ 
เกี่ยวกับควิน-แม็กคลัสกีย์
โปรแกรมลดรูปแบบควิน-แม็กคลัสกีย์แบบออนไลน์ 
ตัวอย่างโปรแกรมภาษาซี
ตัวอย่างโปรแกรมออนไลน์ 
ขั้นตอนวิธี
พีชคณิตแบบบูล