พีชคณิตแบบบูล

ในคณิตศาสตร์และคณิตตรรกศาสตร์ พีชคณิตแบบบูล (หรือเรียกชื่ออื่นว่า พีชคณิตบูลเลียน หรือ แลตทิซแบบบูล) (Boolean algebra) คือโครงสร้างเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นการรวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต
โดยชื่อพีชคณิตแบบบูลนั้นตั้งตามจอร์จ บูล ผู้พัฒนาพีชคณิตแบบนี้
พีชคณิตบูลีนเป็นสาขาของพีชคณิตซึ่งค่าของตัวแปรคือค่าความจริง จริงและเท็จ โดยปกติจะแสดงเป็น 1 และ 0 ตามลำดับ แต่ต่างจากพีชคณิตขั้นพื้นฐาน ที่ค่าของตัวแปรเป็นตัวเลขและการดำเนินการเฉพาะคือการบวกและการคูณ การดำเนินการหลักของพีชคณิตบูลีน (ตัวดำเนินการตรรกะ) คือ การรวม (และ) แสดงเป็น ∧ การไม่แยก (หรือ) แสดงเป็น ∨ และการปฏิเสธ (ไม่) แสดงเป็น ¬ เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับอธิบายการดำเนินการเชิงตรรกะ ในลักษณะเดียวกับที่พีชคณิตขั้นพื้นฐานที่ใช้อธิบายการดำเนินการเชิงตัวเลข
พีชคณิตแบบบูล คิดค้นขึ้นโดย จอร์จ บูล (George Boole) ในหนังสือเล่มแรกของเขาเรื่อง The Mathematical Analysis of Logic (ค.ศ.1847) และมีเนื้อหาครบถ้วนมากขึ้นใน An Investigation of the Laws of Thought (ค.ศ.1854) พีชคณิตบูลีนเป็นหลักคณิตศาสตร์พื้นฐานในการพัฒนาอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล และ ใช้ประยุกต์ในการเขียนภาษาโปรแกรมสมัยใหม่ทั้งหมด นอกจากนี้ยังมีการใช้พีชคณิตแบบบูลในทฤษฎีเซตและสถิติศาสตร์
== ประวัติ ==
จอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่มหาวิทยาลัย College Cork ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19  พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์  ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์  ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอน นักวิทยาศาสตร์แห่งห้องทดลองเบลล์ (Bell Laboratory) ในคริสต์ศตวรรษที่ 20  โดยนำมาใช้ในการวิเคราะห์วงจรเน็ตเวิร์กที่ทำงานต่อกันหลาย ๆ ภาค เช่น วงจรของโทรศัพท์ เป็นต้น เมื่อมีการพัฒนาวงจร
คอมพิวเตอร์ขึ้นก็ได้มีการนำเอาพีชคณิตบูลีนมาใช้ในการคำนวณ  ออกแบบ  และอธิบายสภาวะการทำงานของสถานะวงจรภายในระบบคอมพิวเตอร์ โดยพีชคณิตบูลีนเป็นพื้นฐานสำคัญในการออกแบบวงจรตรรกของระบบดิจิตอล
== นิยาม ==
พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ \land (AND) กับ \lor (OR) , การดำเนินการเอกภาค คือ \lnot / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE)
ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้
{|class=wikitable
!สมบัติของ \lor!!สมบัติของ \land!!ชื่อเรียก
|-
|  a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c 
|  a \land (b \land c) = (a \land b) \land c 
| การเปลี่ยนหมู่
|-
|  a \lor b = b \lor a 
|  a \land  b = b \land a 
| การสลับที่
|-
|  a  \lor (a \land b) = a 
|  a  \land (a \lor b) = a 
| absorption
|-
|  a \lor  (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) 
|  a \land  (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) 
| การแจกแจง
|-
|  a \lor  \lnot a = 1 
|  a \land \lnot a = 0 
| ส่วนเติมเต็ม
|}
สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้
{|class=wikitable
!สมบัติของ \lor!!สมบัติของ \land!!ชื่อเรียก
|-
|  a \lor a = a
|  a \land a = a 
| นิจพล (idempotency)
|-
|  a \lor 0 = a 
|  a \land 1 = a 
| rowspan = 2 | มีขอบเขต (boundedness)
|-
|  a \lor 1 = 1 
|  a \land 0 = 0 
|-
|  \lnot 0 = 1 
|  \lnot 1 = 0 
| 0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
|-
|  \lnot (a \lor b) = \lnot a  \land \lnot b
|  \lnot (a \land b) = \lnot a  \lor \lnot b
| กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
|-
|  \lnot \lnot a = a 
|
| อวัตนาการ (involution)
|}
== ตัวดำเนินการของบูลในรูปแบบต่างๆ ==

{|class=wikitable
!ตรรกศาสตร์!!ทฤษฏีเซต!!วงจรดิจิตอล
|-
| true
| U (เอกภพสัมพัทธ์)
| 1
|-
| false
| \emptyset (เซตว่าง)
| 0
|-
| \lor
| \cup
| +
|-
| \land
| \cap
| \cdot
|}
== การนำไปใช้ ==
เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, &and; แทนคำว่า และ, &or; แทนคำว่า หรือ, และ &not; แทนคำว่า ไม่
พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ
== อ้างอิง ==
 
ทฤษฎีอันดับ
วงจรดิจิทัล