รูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, และ C เขียนแทนด้วย 
ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุด 3 จุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)
== ประเภทของรูปสามเหลี่ยม ==
=== แบ่งตามความยาวของด้าน ===
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ 
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน (ตามความหมายเริ่มแรกโดยยุคลิด ถึงแม้ว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะสามารถจัดว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ด้วย เพราะมีด้านที่ยาวเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน) และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง 
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย 
{| align="center"
|- align="center"
| width = "185" | รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
| width = "185" | รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
| width = "185" | รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า
|- align="center"
| รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
| รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
| รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า
|}
=== แบ่งตามมุมภายใน ===
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a, b เขียนอย่างย่อเป็น a^2 + b^2 = c^2 ดูเพิ่มเติมที่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ
รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
* รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
* รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
{| align="center"
|- align="center"
| width = "185" | รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
| width = "185" | รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน
| width = "185" | รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
|- align="center"
| รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
| รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน
| รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
|- align="center"
| &nbsp;
| colspan = "2" | \underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (ไม่มีมุมฉาก)
|}
== ข้อเท็จจริงพื้นฐาน ==
ข้อเท็จจริงเบื้องต้นเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมได้แสดงไว้ในหนังสือชื่อ Elements เล่ม 1-4 เมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่ง และเป็น 2-ซิมเพล็กซ์ (2-simplex) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปสองมิติ

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิดจะรวมได้ 180° เสมอ ด้วยข้อเท็จจริงนี้ทำให้เราสามารถหาขนาดของมุมที่สาม เมื่อเราทราบขนาดของมุมแล้วสองมุม มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม (คือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายใน โดยต่อความยาวด้านหนึ่งออกไป) จะมีขนาดเท่ากับมุมภายในที่ไม่ได้อยู่ติดกับมุมภายนอกรวมกัน สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทมุมภายนอก มุมภายนอกทั้งสามจะรวมกันได้ 360° เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมนูนอื่นๆ
ผลบวกของความยาวของสองด้านใดๆ ในรูปสามเหลี่ยม จะมากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ สิ่งนี้เรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม (กรณีพิเศษของการเท่ากันคือ มุมสองมุมถูกยุบให้มีขนาดเป็นศูนย์ รูปสามเหลี่ยมจะลดตัวลงเป็นเพียงส่วนของเส้นตรง)
รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่า คล้ายกัน ก็ต่อเมื่อทุกมุมของรูปหนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปหนึ่ง ซึ่งในกรณีนี้ ด้านที่สมนัยกันจะเป็นสัดส่วน (proportional) ต่อกัน ตัวอย่างกรณีนี้เช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านตรงข้ามมุมนั้นขนานกัน เป็นต้น
นอกจากนี้ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้
รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกัน ถ้ามีมุมที่สมนัยกันอย่างน้อยสองมุมเท่ากัน
ถ้าด้านที่สมนัยกันสองด้านเป็นสัดส่วนต่อกัน และมุมที่ด้านทั้งสองประกอบอยู่สมภาค (congruent) ต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน
ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นสัดส่วนต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน
สำหรับรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สมภาคต่อกัน (หรือเรียกได้ว่า เท่ากันทุกประการ) ซึ่งหมายความว่ามุมและด้านมีขนาดเท่ากันทั้งหมด ก็ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรื่องนี้
สัจพจน์ ด้าน-มุม-ด้าน: ถ้าด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
สัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม: ถ้ามุมสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
สัจพจน์ ด้าน-ด้าน-ด้าน: ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
ทฤษฎีบท มุม-มุม-ด้าน: ถ้ามุมสองมุมและด้านที่ไม่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
ทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก (ฉาก-ด้าน-ด้าน): ถ้าด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งและด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
ทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามมุมฉาก-มุม (ฉาก-มุม-ด้าน): ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
เงื่อนไข ด้าน-ด้าน-มุม (มุม-ด้าน-ด้าน): ถ้าด้านสองด้านและมุมที่ไม่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน และถ้าหากมุมนั้นเป็นมุมป้าน นั่นคือด้านตรงข้ามยาวกว่าด้านประชิดมุม หรือด้านตรงข้ามเท่ากับไซน์ของมุมคูณด้วยด้านประชิดมุม ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
ถึงแม้ว่ามุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน (มุม-มุม-มุม) เรายังไม่สามารถสรุปได้ว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองสมภาคต่อกัน เพียงแค่คล้ายกัน
โปรดสังเกตต่อไปอีกว่า
เงื่อนไข ด้าน-ด้าน-มุม รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกันเสมอ
สำหรับทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมจะต้องเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หากไม่เช่นนั้นก็จะถูกจัดเป็นเงื่อนไข ด้าน-ด้าน-มุม ซึ่งก็รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน
การใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากและแนวคิดเรื่องความคล้าย ฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างไซน์และโคไซน์จึงถูกนิยามขึ้น ซึ่งเป็นฟังก์ชันของมุมที่ใช้ในการตรวจสอบเรื่องตรีโกณมิติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) เป็นอีกทฤษฎีบทหนึ่งที่สำคัญ กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของทั้งสองด้านที่เหลือ ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หน่วย และด้านประกอบมุมฉากยาว a และ b หน่วย ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงให้ความหมายว่า
a^2 + b^2 = c^2\,\!
บทกลับของทฤษฎีบทนี้ก็ยังคงเป็นจริง นั่นคือถ้าความยาวของด้านทั้งสามตรงตามเงื่อนไขในสมการข้างต้น ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ข้อเท็จจริงอย่างอื่นที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีดังนี้
มุมแหลมสองมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุมประกอบมุมฉาก (complementary angles)
a + b + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies a + b = 90^{\circ} \implies a = 90^{\circ} - b
ถ้าหากด้านประกอบมุมฉากมีขนาดเท่ากัน มุมแหลมสองมุมก็จะมีขนาดเท่ากันด้วยคือ 45° และจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น √2 เท่าของด้านประกอบมุมฉาก
ถ้าหากมุมแหลมสองมุมมีขนาด 30° และ 60° ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น 2 เท่าของด้านประกอบมุมฉากที่สั้นกว่า
สำหรับรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ขนาดของด้านและมุมมีความสัมพันธ์กันตามกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
== จุด เส้นตรง และรูปวงกลมที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม ==

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน และตั้งฉากกับด้านนั้น นั่นคือ ทำมุมฉากกับด้านนั้น เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียว คือ ศูนย์กลางวงล้อม (circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อม (circumcircle) ซึ่งเป็นวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสาม
ทฤษฎีบทของธาลีส (Thales' theorem) กล่าวว่า ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้ว มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน

ส่วนสูง (altitude) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก (ทำมุมฉาก) กับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่าฐาน (base) ของส่วนสูง และจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ขยายออกมา) นั้นเรียกว่า  เท้า (foot) ของส่วนสูง ความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอด ส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว เรียกจุดนั้นว่า จุดออร์โทเซนเตอร์(orthocenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดออร์โทเซนเตอร์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก (orthocentric system)

เส้นแบ่งครึ่งมุม (angle bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน (incircle) ของรูปสามเหลี่ยม วงกลมแนบในคือวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม และสัมผัสด้านทั้งสาม มีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือ วงกลมแนบนอก (excircle) คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสอง จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก

เส้นมัธยฐาน (median) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากัน เส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ เซนทรอยด์ (centroid) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้จะเป็นศูนย์ถ่วง (center of gravity) ของรูปสามเหลี่ยมด้วย ถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยด์ของมันหรือเส้นใดๆที่ลากผ่านเซนทรอยด์ เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วน 2:1 นั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์ จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม และเท้าของส่วนสูงทั้งสาม จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน คือ วงกลมเก้าจุด (nine point circle) ของรูปสามเหลี่ยม อีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับจุดออร์โทเซนเตอร์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนสูง รัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อม มันจะสัมผัสวงกลมแนบใน (ที่จุด Feuerbach) และสัมผัสวงกลมแนบนอก

เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (จุดสีแดง) ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกัน ที่เรียกว่า เส้นออยเลอร์ (Euler's line) (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับศูนย์กลางวงล้อม ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์
จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์
ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกัน เรียกว่า symmedian symmedianทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุด symmedian (symmedian point) ของรูปสามเหลี่ยม
== การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ==

การคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่มักจะพบในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน สูตรที่ง่ายและเป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ
S=\frac{1}{2}bh
เมื่อ S หมายถึงพื้นที่ b คือความยาวของฐาน และ h คือความสูงหรือส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม คำว่าฐานในที่นี้สามารถหมายถึงด้านในด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และส่วนสูงคือระยะที่วัดจากมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้นตั้งฉากไปยังฐาน
ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะง่าย แต่ก็ใช้ประโยชน์ได้เฉพาะเมื่อสามารถหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมได้โดยง่าย ตัวอย่างเช่นการรังวัดที่ดินที่มีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม จะวัดความยาวของด้านทั้งสามแล้วสามารถคำนวณหาพื้นที่ได้โดยไม่ต้องวัดส่วนสูงเป็นต้น วิธีการที่หลากหลายถูกใช้ในทางปฏิบัติ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมบ้าง วิธีต่อไปนี้เป็นสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใช้กันบ่อยๆ 
=== ใช้เวกเตอร์ ===
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้ด้วยเวกเตอร์ กำหนดให้ AB และ AC เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จาก A ไป B และ A ไป C ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD คือ |{AB}\times{AC}| ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AB กับ AC และ |{AB}\times{AC}| มีค่าเท่ากับ |{h}\times{AC}| เมื่อ h แทนส่วนสูงที่เป็นเวกเตอร์
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปนี้ หรือ S = \frac{1}{2}|{AB}\times{AC}|
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC ก็ยังสามารถเขียนได้ด้วยรูปแบบของผลคูณจุดดังนี้
\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2}\,

=== ใช้ตรีโกณมิติ ===
ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วยตรีโกณมิติ จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ h&nbsp;=&nbsp;a&nbsp;sin&nbsp;γ นำไปแทนในสูตร S&nbsp;=&nbsp;&frac12;bh ที่ได้จากข้างต้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจึงแสดงได้เป็น
S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}ca\sin \beta
นอกจากนั้น เมื่อ sin α = sin (π - α) = sin (β + γ) และเป็นเช่นนี้เหมือนกันกับอีกสองมุมที่เหลือ จะได้สูตร
S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha)
=== ใช้พิกัด ===
ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และกำหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ {B = (x_B, y_B) , C = (x_C, y_C)} แล้วพื้นที่ S จะคำนวณได้จาก ½ เท่าของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์
S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|
สำหรับจุดยอดสามจุดใดๆ สมการคือ 121.12-74258/4561*754120+54851
S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big| 
S=\frac{1}{2} \big| (x_C - x_A) (y_B - y_A) - (x_B - x_A) (y_C - y_A) \big|
ในสามมิติ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม {A = (x_A, y_A, z_A) , B = (x_B, y_B, z_B) , C = (x_C, y_C, z_C)} คือผลบวกพีทาโกรัสของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ฉายไปบนระนาบพื้นฐาน (x = 0, y = 0, z = 0)
S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left ( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right) ^2 +
\left ( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right) ^2 +
\left ( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right) ^2 } 
=== ใช้สูตรของเฮรอน ===
อีกวิธีที่ใช้คำนวณ S ได้คือใช้สูตรของเฮรอน
S = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}
เมื่อ s = (a+b+c)/2 คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม
นอกจากนี้ก็มีสูตรอื่นที่เทียบเคียงกับสูตรของเฮรอน
S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2) ^2-2 (a^4+b^4+c^4)}
S = \frac{1}{4} \sqrt{2 (a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) - (a^4+b^4+c^4)}
S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}
== การคำนวณด้านและมุม ==
โดยทั่วไปแล้ว มีวิธีการที่ได้รับการยอมรับหลากหลายวิธีเพื่อคำนวณความยาวของด้านหรือขนาดของมุม ในขณะที่วิธีการเฉพาะอย่างสามารถใช้ได้ดีกับค่าต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งวิธีอื่นอาจต้องอยู่ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนมากกว่า
=== อัตราส่วนตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ===

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์สามารถใช้คำนวณหามุมที่ไม่ทราบขนาด หรือความยาวของด้านที่ไม่ทราบได้ ด้านต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมมีดังต่อไปนี้
ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก หรือนิยามเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากก็ได้ ตามรูปคือด้าน h
ด้านตรงข้ามมุม คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เราสนใจ ตามรูปคือ a
ด้านประชิดมุม คือด้านที่อยู่ติดต่อกันบนมุมฉากกับมุมที่เราสนใจ ตามรูปคือ b
==== ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ====
ไซน์ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}
โปรดสังเกตว่าอัตราส่วนนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเฉพาะรูปใดรูปหนึ่ง แค่เรามีมุมที่สนใจ A บนรูปสามเหลี่ยมนั้นก็เพียงพอ
โคไซน์ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านประชิดมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
\cos A = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {b} {h}
แทนเจนต์ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านประชิดมุม
\tan A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{adjacent}} = \frac {a} {b}
เราสามารถท่องว่า "ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด" สำหรับการจำอัตราส่วนเหล่านี้อย่างย่อ
==== ฟังก์ชันผกผัน ====
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันสามารถใช้คำนวณมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเราทราบความยาวของด้านสองด้านใดๆ
อาร์กไซน์ ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right)
อาร์กโคไซน์ ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านประชิดมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
\theta = \arccos \left( \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \right)
อาร์กแทนเจนต์ ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านประชิดมุม
\theta = \arctan \left( \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \right)
=== กฎของไซน์และโคไซน์ ===

กฎของไซน์ (law of sine) หรือกฎไซน์ (sine rule)  ระบุไว้ว่าอัตราส่วนของความยาวของด้าน a ที่สมนัยกับมุม α (มุมตรงข้าม) จะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้าน b ที่สมนัยกับมุม β ดังนี้
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
กฎของโคไซน์ (law of cosine) หรือกฎโคไซน์ (cosine rule) เป็นการเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ทราบความยาว ไปยังด้านที่เหลือและมุมที่อยู่ตรงข้าม จากรูปทางซ้ายมือ สมมติว่าเราทราบความยาวของด้าน a และ b และทราบขนาดของมุมตรงข้าม γ ความยาวของด้าน c สามารถคำนวณจากสูตรต่อไปนี้
c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) \implies b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta) \implies a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)
== รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ ==
รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ หมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้ถูกวาดขึ้นบนพื้นผิวที่แบนราบ ตัวอย่างรูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบเช่น รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมในเรขาคณิตทรงกลม และรูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลาในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา ซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิด
ในขณะที่รูปสามเหลี่ยมธรรมดา (สองมิติ) มุมภายในรูปสามเหลี่ยมจะรวมกันได้ 180° แต่รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบมุมภายในอาจรวมกันได้มากกว่าหรือน้อยกว่านั้น บนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบ (บุ๋มลงไป) จะบวกกันได้น้อยกว่า 180° และบนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นบวก (นูนขึ้นมา) จะบวกกันได้มากกว่า 180° นั่นหมายความว่า ถ้าเราวาดรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่มากบนพื้นผิวโลก มุมภายในจะรวมกันได้มากกว่า 180°
== อ้างอิง ==
== ดูเพิ่ม ==
สมภาค (congruence)
จุดแฟร์มาต์ (Fermat point)
เทนเซอร์ความเฉื่อยของรูปสามเหลี่ยม (inertia tensor of triangle)
กฎของไซน์, กฎของโคไซน์, กฎของแทนเจนต์
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
จำนวนสามเหลี่ยม (triangular number)
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
Area of a triangle - 7 different ways
Animated demonstrations of triangle constructions using compass and straightedge.
Basic Overview & Explanation of Triangles
Deko Dekov: Computer-Generated Encyclopedia of Euclidean Geometry . Contains a few thousands theorems discovered by a computer about interesting points associated with any triangle.
Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 3200 interesting points associated with any triangle.
Christian Obrecht: Eukleides. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
Proof that the sum of the angles in a triangle is 180 degrees
The Triangles Web, by Quim Castellsaguer
Triangle Calculator - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
Triangle definition pages with interactive applets that are also useful in a classroom setting.
Triangles: Theorems and Problems. Interactive illustrations at Geometry from the Land of the Incas.
Triangles at Mathworld
3