วิธีการครอส-เอนโทรปี

วิธีครอส-เอนโทรปี (Cross-Entropy Method) เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้หลักการของ Monte Carlo เพื่อที่จะแก้ปัญหา ถูกนำเสนอโดย R.Y. Rubinstein ซึ่งประเภทของปัญหาที่สามารถใช้วิธีครอส-เอนโทรปีได้นั้นจะมีอยู่สองลักษณะ คือ การประมาณค่า หรือ การหาค่าที่ดีที่สุด โดยวิธีการนี้ถูกประยุกต์ใช้ในปัญหาเชิงวิศวกรรม และวิทยาศาสตร์มากมาย
== ภาพรวมของวิธีครอส-เอนโทรปี ==
วิธีการครอส-เอนโทรปีนั้นถูกพัฒนาขึ้นโดย Reuven Y. Rubinstein ซึ่งเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวอิสราเอลที่ให้ความสนใจทางด้านการพัฒนาขั้นตอนวิธีเชิงสถิติมากมาย เขียนหนังสือหกเล่มและตีพิมพ์ผลงานกว่าร้อยผลงาน ซึ่งแน่นอนว่าวิธีการครอส-เอนโทรปีเป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีเชิงสถิติเหล่านั้นเช่นกัน โดยเป็นขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพตัวหนึ่งที่ใช้สำหรับปัญหาการประมาณค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยาก (rare-event probability) ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดเชิงการจัด (combinatorial optimization)
วิธีการครอสเอนโทรปีนั้นได้ชื่อมาจาก "ระยะห่างครอส-เอนโทรปี" ซึ่งเป็นการหาระยะห่างระหว่าง "ข้อมูล" ที่ใช้กันแพร่หลายในทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมกว่าศตวรรษ
วิธีการครอส-เอนโทรปีนั้นถูกนำไปใช้ในปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดเชิงการจัดมากมาย เช่น ปัญหาการตัดที่มากที่สุด (Maximum Cut Problem) ปัญหาการหาเส้นทางเดินของพนักงานขาย (Traveling Salesman Problem) ปัญหาการหากราฟย่อยบริบูรณ์ที่มีขนาดใหญ่ที่สุดในกราฟ (Clique Problem) และปัญหาต่างๆอีกมากมาย และจุดเด่นพิเศษอีกอย่างหนึ่งสำหรับวิธีการครอส-เอนโทรปีคือ สามารถหาค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาที่มีค่ารบกวน (noisy problem) ได้ เพราะลักษณะขั้นตอนวิธีแก้ปัญหาที่เป็นเชิงสถิตินั่นเอง
วิธีการครอสเอนโทรปีนั้นสามารถแตกขั้นตอนที่สำคัญออกได้เป็นสองส่วน คือ
ขั้นสุ่มตัวอย่าง (Generate) จะสร้างตัวอย่างจากความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่ได้มาจากการคำนวณในขั้นตอนวิธี
ขั้นปรับปรุง (Update) ปรับพารามิเตอร์บางอย่าง เพื่อให้การสุ่มครั้งต่อไป ได้ตัวอย่างที่ดีขึ้นไปอีก
ประเด็นสำคัญสำหรับวิธีการครอส-เอนโทรปี คือ จะนิยามขั้นตอนในเชิงคณิตศาสตร์อย่างไรให้สามารถปรับปรุงค่าพารามิเตอร์เพื่อให้เข้าใกล้ค่าที่เหมาะสมได้อย่างรวดเร็ว
ในด้านของการประมาณค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยากนั้น วิธีการครอส-เอนโทรปีจะใช้ร่วมกับกลวิธีการสุ่มตัวอย่างสำคัญ (Importance Sampling Technique) วิธีการครอส-เอนโทรปีจะปรับค่าของพารามิเตอร์ซ้ำๆ หลายๆรอบเพื่อให้เข้าใกล้ค่าที่เหมาะสมที่สุด ปัญหาที่ประยุกต์วิธีนี้ตัวอย่างเช่นปัญหาการวัดประสิทธิภาพในระบบเครือข่ายทางคมนาคม หรือ ระบบที่ต้องการความน่าเชื่อถือ
== การใช้วิธี ครอส-เอนโทรปี ในปัญหาการประมาณค่า ==
=== แนวคิด ===
ในกรณีที่เราพยายามที่จะใช้วิธีครอส-เอนโทรปีเพื่อประมาณค่านั้น สามารถแปลงปัญหาเป็นสมการคณิตศาสตร์ของการประมาณหาค่าคาดหวังง่ายๆได้ดังสมการที่ (1)
: \ell = \mathbb{E}_f[H(X)] = \int H(x)f(x)\,dx (1)
เมื่อ H คือฟังก์ชันที่เราต้องการประมาณค่า เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันของประสิทธิภาพของตัวอย่างสุ่ม 
และ f คือฟังก์ชันของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X 
ซึ่งสำหรับวิธีการประมาณค่า l ในสมการที่ 1 นั้น ในกรณีที่สามารถสุ่มตัวอย่างสุ่มด้วยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) ได้ยาก จะทำการสร้างฟังก์ชัน f(x) เพื่อที่จะสามารถประมาณค่าได้ง่ายขึ้นตามสมการที่ 2
: \ell = \int H(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)\,dx = \mathbb{E}_g[H(x)\frac{f(x)}{g(x)}] (2)
โดยที่กำหนดให้
:g(x) = 0\, เมื่อ H(x)f(x) = 0\,
เนื่องจาก g เป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่เราเป็นคนสร้างขึ้น ทำให้การสุ่มตัวอย่างเป็นไปได้ง่ายกว่า f ดังนั้น เราจึงสามารถสุ่มตัวอย่างสุ่ม X_1,...,X_N ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ g(x) ได้ง่ายกว่า ทำให้ประมาณค่าของ l ด้วยตัวประมาณค่าที่ไม่ลำเอียงได้ง่ายขึ้นตามสมการที่ (3)
:\widehat{\ell}=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}H(X_k)\frac{f(X_k)}{g(X_k)} (3)
จากปัญหาการประมาณค่า ก็จะเหลือแค่ปัญหาว่าจะสร้างความหนาแน่นของความน่าจะเป็น g ที่ดีที่สุดได้อย่างไรซึ่งค่า g ที่ดีที่สุดในอุดมคตินั้นนิยามด้วย
:g^*(x) \alpha |H(x)|f(x)\,
แต่สิ่งที่เกิดขึ้นก็คือ เราสามารถหาค่า g*(x) ได้ยาก สำหรับวิธีครอส-เอนโทรปีนี้แทนที่จะมุ่งไปที่การหาค่าของ g*(x) จะพยายามหาค่าของ g ที่ทำให้ความแตกต่างระหว่าง g และ g* น้อยที่สุด ซึ่งความแตกต่างนั้นเองที่เรียกว่าครอส-เอนโทรปีตามที่เกริ่นไว้ในช่วงต้น ซึ่งครอส-เอนโทรปีของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของสองฟังก์ชันนั้น นิยามได้ดังสมการที่ (4)
:D(f,g) = \mathbb{E}_f[ln\frac{f(X)}{g(X)}] = \int f(x)ln(f(x))dx - \int f(x)ln(g(x))dx (4)
หลังจากที่ได้รู้หลักการคร่าวๆของวิธีการครอส-เอนโทรปีเพื่อการประมาณค่าในทางทฤษฎีไปแล้วว่าเป็นไปในลักษณะอย่างไร หากพิจารณาในทางปฏิบัติแล้วนั้นฟังก์ชัน f นอกจากจะแปรไปตามตัวแปรต้น x แล้ว ยังถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์ u บางอย่าง ซึ่งสามารถเขียนฟังก์ชัน f ได้เป็น f(x; u) ซึ่งคงเดาได้ไม่ยากว่าบางกรณีนั้น พารามิเตอร์ u นี้หาได้ยากมาก เราจึงพยายามหาค่าของ g ที่ทำให้มี v ที่ทำให้ g(x) = f(x; v) และ v ทำให้ความแตกต่างของ f(x; v) และ f(x; u) น้อยๆ ซึ่งความแตกต่างนี้วัดโดยครอส-เอนโทรปีตามสมการที่ 4 นั่นเอง ก็จะทำให้ปัญหาเล็กลงอีกขั้นหนึ่งคือเป็นปัญหาที่จะพยายามหาค่าของ v ที่ดีที่สุดเท่านั้น ซึ่งนิยาม v ในอุดมคติว่า v* ลองไปแทนค่าของ f(x; v) และ f(x; u) ลงในสมการที่ (4) แล้วจัดรูปสักเล็กน้อยก็จะรู้ว่า v ที่ดีที่สุดจะทำให้ \int H(x)f(x;u)ln(f(x;v))dx\, มีค่ามากที่สุดนั่นเอง ซึ่งการแก้ปัญหานี้ก็สามารถหาได้ตามสมการที่ (5)
:max_{v}(\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}H(X_k)\frac{f(X_k;u)}{f(X_k;w)}ln(f(X_k;v))\, (5)
ซึ่งจากสมการที่ (5) R. Y. Rubinstein ได้นำเสนอวิธีสำหรับแก้ปัญหานี้ไว้แล้ว
ในปัญหาเฉพาะที่ชื่อว่าปัญหาการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยาก(rare event probability) ซึ่งเป็นปัญหาที่ประยุกต์ด้วยวิธีครอส-เอนโทรปีกันอย่างแพร่หลาย โดยเป็นกรณีเฉพาะที่ฟังก์ชัน H เป็นฟังก์ชันตัวชี้ของฟังก์ชัน S(x) วัดที่ระดับ \gamma ตามสมการ H(x)=I_{S(X) \ge \gamma} ซึ่งในการประมาณค่าของ \ell ด้วยวิธีเดิมเพื่อหาความน่าจะเป็นที่ S(x) \ge \gamma นั้นจะยากโดยดูได้จากสมการที่ (5) คือค่าของ H(X_k) ส่วนมากจะมีค่าเป็น 0 ไปมากพอสมควรจะไม่สามารถประมาณหาค่าที่แม่นยำได้ วิธีการแก้ไขคือต้องทำวิธีการ ครอส-เอนโทรปีหลายๆรอบ หลายๆชั้น โดยจะปรับค่าพารามิเตอร์ v และระดับปัจจุบันให้เข้าใกล้ v* และ \gamma ไปเรื่อยๆจนถึงเงื่อนไขยุติที่พอใจ สามารถเขียนขั้นตอนวิธีตามที่ได้อธิบายมาเป็นรหัสเทียมได้ดังนี้
=== รหัสเทียมสำหรับวิธีครอส-เอนโทรปีเพื่อประมาณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยาก ===
1 \widehat{v}_0 = u   และ
2 N^e = \lceil \rho\,N \rceil 
3 t = 0 /*ตัวนับจำนวนรอบ*/
4
5 ทำ
6     t = t + 1
7     สุ่มตัวอย่างสุ่ม X_1,...,X_N\, ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(-:\widehat{v}_{t-1})\,
8     สำหรับทุก i ตั้งแต่ 1 ถึง N
9         S_{(i)} = S(X_i)\,
10     เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก(S)
11      \widehat{\gamma}_t = S_{(N - N^e + 1)}\,
12     \widehat\gamma_t\, = ค่าต่ำสุด(\gamma\,,\widehat\gamma_t)
13     คำนวณ \widehat{v}_t  จากสมการ (5) ด้วย X_1,...,X_N และ w = \widehat{v}_{t-1} 
14 ระหว่างที่  \widehat\gamma_t 
15
16 สุ่มตัวอย่างสุ่ม X_1,...,X_{N_{1}}\, ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(-:\widehat{v}_{t})
17 คำนวณ \ell จากสมการ (3) ด้วย X_1,...,X_{N_{1}}\,
18 คืนค่า \ell
จะเห็นว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนวิธีนี้ต้องทำการปรับค่า \widehat{v}_0, N, \rho ให้เหมาะสมกับความต้องการ ซึ่งโดยปกติ \rho จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0.01 และ 0.1 และค่าของ N จะน้อยว่า N_1 มากๆ เช่น N = 10000 ในขณะที่ N_1 = 100000 และขั้นตอนวิธีนี้จะรับประกันว่าสามารถทำงานจนจบได้แน่นอนหากค่าของ \rho มีค่าเล็กมากพอ
== การใช้วิธี ครอส-เอนโทรปี ในปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด ==
=== แนวคิด ===
ให้ \chi เป็นเซตของสถานะ และ S เป็นฟังก์ชันจริงซึ่ง S(x) จะให้ค่าความเหมาะสมของ x โดยที่ x เป็นสมาชิกของ \chi โดยค่า x ที่เหมาะสมที่สุดคือ x* ซึ่งจะทำให้ค่าของ S(x*) มีค่าสูงที่สุด สามารถเขียนเป็นปัญหาในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังสมการที่ (6)
:S(x^*) = \gamma^* = max_{x}S(x)\, (6)
หาพิจารณาปัญหานี้เทียบกับปัญหาการประมาณค่าของ H(x)=I_{S(X) \ge \gamma} เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x;u) และให้ \gamma เป็นค่าระดับชั้น จะสังเกตว่าถ้าค่า \gamma มีค่าใกล้เคียงกับ \gamma^* (ค่าสูงสุดของ S) แล้ว จะทำให้ค่าของ H(x)=I_{S(X) \ge \gamma} เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ๊ที่พบเจอได้ยาก ซึ่งปัญหานี้เราจะต้องการสร้างตัวอย่างสุ่มจำนวนหนึ่งที่มีค่าใกล้เคียงกับ x* โดยเป็นเรื่องที่ดีที่วิธีครอส-เอนโทรปี สามารถทำเรื่องนี้ได้
หากเปรียบเทียบความแตกต่างของปัญหาระหว่างการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด กับ การประมาณค่า ความแตกต่างก็คือการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด เราจะไม่รู้ค่าของระดับชั้น \gamma = \gamma^* ล่วงหน้าเหมือนในการประมาณค่า แต่อย่างไรก็ตามขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาก็ไ่ม่ค่อยแตกต่างกันมากคือเราจะสร้างลำดับของ \gamma_t และ \widehat{v}_t ไปเรื่อยๆ โดยจะพยายามให้ทั้งสองค่าเข้าใกล้ \gamma^* และ v^* ตามลำดับ ซึ่งค่าของ v^* จะสอดคล้องกับค่าของ x^* ที่ต้องการหาเช่นกัน
===รหัสเทียมสำหรับวิธีครอส-เอนโทรปีเพื่อใช้ในปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด ===
1 \widehat{v}_0 = u   และ
2 N^e = \lceil \rho\,N \rceil 
3 t = 0 /*ตัวนับจำนวนรอบ*/
4
5 ทำ
6     t = t + 1
7     สุ่มตัวอย่างสุ่ม X_1,...,X_N\, ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(-:\widehat{v}_{t-1})\,
8     สำหรับทุก i ตั้งแต่ 1 ถึง N
9         S_{(i)} = S(X_i)\,
10     เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก(S)
11      \widehat{\gamma}_t = S_{(N - N^e + 1)}\,
12     \widehat\gamma_t\, = ค่าต่ำสุด(\gamma\,,\widehat\gamma_t)
13     คำนวณ v = \widehat{v}_t\, ที่ทำให้ \frac{I_{S(X_k) \ge \widehat{\gamma}_t}ln(f(X_k;v))}{N} สูงที่สุด
14 ระหว่างที่ ยังไม่ถึงเงื่อนไขยุติ
15
16 คืนค่า \widehat{v}_t\,
จะเห็นว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนวิธีนี้ต้องทำการปรับค่า \widehat{v}_0, N, \rho และเงื่อนไขยุติให้เหมาะสม
== ตัวอย่างปัญหาที่สามารถประยุกต์ใช้วิธีการครอสเอนโทรปีได้ ==
=== ปัญหาการหาเส้นทางเดินของพนักงานขาย (Traveling Salesman Problem) ===
==== นิยามปัญหา ====
ปัญหาการเดินของพนักงานขายคือปัญหาที่มีผู้ที่ให้ความสนใจพอสมควรในวงการคอมพิวเตอร์ ปัญหาจะกำหนดด้วยกราฟเชื่อมโยงประกอบด้วยปม n ชื่อว่า 1,2,...,n ปมซึ่งเชื่อมกันด้วยเส้นเชื่อมที่มีน้ำหนัก เส้นเชื่อมจากปม i ไปยังปม j จะมีน้ำหนัก c_{ij} > 0\,ให้ทำการหาเส้นทางซึ่งเป็นวงที่สั้นที่สุดซึ่งผ่านทุกปมและกลับมาที่จุดเดิม
==== แนวทางการแก้ปัญหา ====
โดยไม่เสียนัยสำคัญทั่วไป ให้กราฟเป็นกราฟบริบูรณ์ ซึ่งจะมีบางเส้นเชื่อมที่มีน้ำหนักเป็น +∞ ให้ \chi\, เป็นเซตของวงจรที่ผ่านทุกปม และให้ S(x)\, เป็นความยาวของวงจร x \in \chi\,  ปมละหนึ่งครั้งตามเงื่อนไข เราสามารถแทนแต่ละวงจรใน Χ ได้ด้วยการเรียงสับเปลี่ยน(permutation) ของปม 1,2,...,n ซึ่งจริงๆแล้วเราสามารถให้วงจร x = x_1, x_2, x_3, ..., x_n\, โดยที่ x_1 = 1 ได้โดยไม่เสียนัยสำคัญทั่วไป เราสามารถแปลงปัญหาทางเดินของพนักงานขายได้เป็นสมการที่ (7)
:min_x(S(x)) = min_x(\sum_{i=1}^{n-1}c_{x_i,x_{i+1}} + c_{x_n,1}) (7)
สังเกตว่าขนาดของสมาชิกใน \chi\, มีขนาดใหญ่มาก |\chi| = (n-1)!\,
จากสมการที่ (7) จะเห็นว่าปัญหาเป็นลักษณะของการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการครอส-เอนโทรปี แต่แทนที่จะเป็นลักษณะของการหาค่าที่มากที่สุดจะต้องเปลี่ยนเป็นปัญหาการหาค่าที่น้อยที่สุด โดยหากจะแก้ปัญหาด้วยวิธีการครอส-เอนโทรปีนั้นเราจะต้องกำหนด
จะสร้างเส้นทางแบบสุ่มอย่างไร?
จะทำการปรับปรุงพารามิเตอร์ในแต่ละรอบการทำงานอย่างไร?
ก่อนที่จะหาวิธีการสร้างและปรับปรุงดังกล่าว จะขอนิยามเซตใหม่ขึ้นมาก่อน ให้
:\widehat{\chi} = {(x_1,x_2,...,x_n) : x_1 = 1, x_i \in {1,2,...,n}, i = 2,3,...,n}
จะเห็นว่าการหาเส้นทางเดินตามเงื่อนไขบนเซตของเส้นทางเดินใน \widehat{\chi}\, จะสมมูลกับปัญหาเส้นทางเดินของพนักงานขายเดิม และเพิ่มนิยาม \widehat{S}(x) = S(x) เมื่อ x \in \widehat{\chi} มิฉะนั้น \widehat{S}(x) = \infty
ก็จะสามารถเปลี่ยนปัญหาทางเดินของพนักงานขายได้เป็นหาค่าที่ต่ำที่สุดของ {\widehat{S}(x)}\, บน x \in \widehat{\chi}\,
วิธีง่ายๆวิธีหนึ่งที่จะสร้างทางเดินสุ่ม X = (X_1,X_2,...,X_n) \in \widehat{\chi} คือการสร้างลูกโซ่มาร์คอฟ(Markov Chain) ของกราฟ G เริ่มต้นที่ปม 1 และหยุดหลังจากขั้นที่ n ให้ P = (p_{ij}) คือเมตริกซ์ nxn เพื่อเปลี่ยนสถานะไปหนึ่งขั้นสำหรับลูกโซ่มาร์คอฟนี้ หรือจะพูดให้เข้าใจง่ายขึ้นเป็นภาษาทั่วไปก็คือเมตริกซ์ P จะเป็นส่วนที่ใช้เก็บเส้นทางเดินนั่นเอง กำหนดให้ในสมาชิกตามแนวเส้นทแยงมุมของ P เป็น 0 และสมาชิกอื่นๆใน P เป็นจำนวนจริงบวก ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(-;P) ของ X ที่ถูกจำกัดด้วยพารามิเตอร์เป็นเมตริกส์ P นิยามโดย
ln f(x;P) = \sum_{r=1}^{n}\sum_{i,j}I_{x \in \widehat{\chi}_{ij}(r)}ln(p_{ij})(8)
เมื่อ \widehat{\chi}_{ij}(r) เป็นเซตของเส้นทางทั้งหมดที่ "จำนวนครั้ง" ที่ต้องเดินระหว่างปม i ไปปม j เป็น r ครั้ง
หลังจากนี้จะเริ่มเป็นการคำนวณเชิงคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนหากผู้สนใจสามารถไปศึกษาเพิ่มเติมได้ตามแหล่งอ้างอิง
หากจะสรุปเฉพาะใจความสำคัญให้เข้าใจอย่างสั้นๆสามารถสรุปได้ว่าในขณะนี้เราจะแทนการเปลี่ยนสถานะจากปมปัจจุบันไปยังปมใดๆไ้ด้ด้วยเมตริกซ์ซึ่งก็คือ P = (p_{ij}) นั่นเอง โดยเมตริกซ์นี้จะได้มาในแต่ละรอบที่ทำการสุ่มตัวอย่างและปรับปรุงพารามิเตอร์ ซึ่งทั้งสองขั้นตอนนี้สามารถทำได้โดย
ขั้นสุ่มตัวอย่าง สามารถสุ่มตัวอย่างให้ได้ x ต่างๆได้ตามสมการที่ 8
ขั้นปรับปรุง ปรับปรุงพารามิเตอร์ p_{ij} ของสมการที่ 8 ได้ด้วยตัวประมาณค่าของ p_{ij} ตามสมการที่ (9)
:\widehat{p}_{ij} = \frac{\sum_{k=1}^{N}I_{\widehat{S}(X_k) \le \gamma}\sum_{r=1}^{n}I_{X_k \in \widehat{\chi}_{ij}(r)}}{\sum_{k=1}^{N}I_{\widehat{S}(X_k) \le \gamma}\sum_{r=1}^{n}I_{X_k \in \widehat{\chi}_{i}(r)}} (9)
ซึ่งรายละเอียดการได้มาซึ่งสมการที่ 10 นั้นผู้สนใจสามารถไปค้นคว้าได้ตามแหล่งอ้่างอิงที่ได้ระบุไว้ข้างต้น
เมื่อเราสามารถนิยามว่าจะสุ่มตัวอย่างและปรับปรุงได้อย่างไรแล้วนั้น เราก็จะสามารถสร้างขั้นตอนวิธีเพื่อที่จะแก้ปัญหานี้ได้ดังรหัสเทียมด้านล่าง
==== รหัสเทียมสำหรับปัญหา ====
1  ตั้งค่า P^{(1)} = P\, และ X_{1} = 1\,
2  t = 0 /*ตัวนับจำนวนรอบ*/
3  ทำ
4        t = t + 1
5        ตั้งค่าในในหลักที่ X_{t}\, ของ P^{(t)} เป็น 0
6        ทำการทำค่าในแต่ละแถวของ P^{(t)}\, ให้เป็นมาตรฐาน(normalize) //เฉลี่ยค่าในแต่ละแถวให้รวมกันได้ 1
7        ใช้สมการที่ (8) สร้าง X_{t+1}\, ด้วยพารามิเตอร์ P_t\,
8        ทำการปรับปรุงค่าให้ได้ P^{(t+1)}\, ในแต่ละแถว i และหลักที่ j ตามสมการที่ (9)
9  ระหว่างที่ t P^{(t)}\,
== ดูเพิ่ม ==
โปรแกรมภาษา C++ ของ Shark Machine Learning Library 
== อ้างอิง ==
วิธีการมอนติคาร์โล
การเรียนรู้ของเครื่อง
ขั้นตอนวิธี