ควอเทอร์เนียน

ในคณิตศาสตร์ ควอเทอร์เนียน (Quaternion) เป็นระบบจำนวนที่เพิ่มเติมออกมาจากจำนวนเชิงซ้อน เป็นจำนวนที่เขียนได้ในรูป w+ix+jy+kz โดยที่ w, x, y และ z เป็นจำนวนจริง และ i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = k = -ji ซึ่งแสดงว่าควอเทอร์เนียนไม่มีสมบัติการสลับที่
ควอเทอร์เนียนมีบทบาททั้งในคณิตศาสตร์ทฤษฎีและคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการคำนวณที่มีการหมุนในสามมิติ เช่น คอมพิวเตอร์กราฟฟิกสามมิติ ในการใช้ประโยชน์เชิงปฏิบัติ ควอเทอร์เนียนสามารถใช้ควบคู่กับวิธีอื่นๆ เช่น มุมออยเลอร์ และเมทริกซ์การหมุน หรือใช้แทนไปเลยโดยขึ้นอยู่กับการใช้ประโยชน์
พีชคณิตควอเทอร์เนียนมักใช้ตัวอักษร H (จากชื่อ Hamilton) หรือ ℍ (Unicode U+210D)
== ความเป็นมา ==
ควอเทอร์เนียน ถูกสร้างขึ้นโดย วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (Sir William Rowan Hamilton) ซึ่งมีชีวิตอยู่ในปี ค.ศ. 1805-1865 นักคณิตศาสตร์ชาวไอร์แลนด์ มีผลงานในด้านพีชคณิต ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์
วันที่ 16 ตุลาคม ปี ค.ศ. 1843 แฮมิลตันได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน ระหว่างทางที่เขากำลังเดินทางไปยัง Royal Irish Academy แฮมิลตันตื่นเต้นมากจนถึงขั้นสลักสมการต่อไปนี้ของควอเทอร์เนียนเอาไว้
\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i\,j\,k} = -1
== นิยาม ==
ควอเทอร์เนียน H คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง (R4) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ R4 และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน R4 ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ R4 ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, i, j และ k ดังนั้นสมาชิกใดๆก็ตามใน H ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน a1 + bi + cj + dk เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง และมี 1, i, j และ k เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใดๆ มักเขียนในรูป a + bi + cj + dk ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฎการแจกแจง
=== การคูณระหว่างฐานหลัก ===
ฐานหลักของควอเทอร์เนียนมีสมบัติ คือ i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1\  โดย i, j และ k เป็นจำนวนจินตภาพ เราสามารถหาผลคูณระหว่างฐานหลักแต่ละคู่ได้ ยกตัวอย่างเช่น หากต้องการแสดงว่า k = i j \  สามารถทำได้โดยเริ่มจากพิจารณาสมการ
-1 = i j k \ 
จากนั้นคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย k จะได้
\begin{align}
-k & = i j k k \\
-k & = i j (-1) \\
k & = i j
\end{align}
สำหรับผลคูณระหว่างฐานหลักคู่อื่นๆสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการเดียวกัน ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ ดังนี้
\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j
\end{alignat}
=== ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product) ===
สำหรับจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวน a1 + b1i + c1j + d1k และ a2 + b2i + c2j + d2k ผลคูณฮามิลตัน (a1 + b1i + c1j + d1k)(a2 + b2i + c2j + d2k) สามารถหาได้โดยการใช้สมบัติการแจกแจง จากนั้นหาผลรวมระหว่างผลคูณของฐานหลักแต่ละคู่ ดังต่อไปนี้
a_1a_2 + a_1b_2i + a_1c_2j + a_1d_2k + b_1a_2i + b_1b_2i^2 + b_1c_2ij + b_1d_2ik + c_1a_2j + c_1b_2ji + c_1c_2j^2 + c_1d_2jk + d_1a_2k + d_1b_2ki + d_1c_2kj + d_1d_2k^2
เมื่อจัดหมู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ
(a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i + (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j + (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k
คณิตศาสตร์