เพนดูลัมผกผัน

เพนดูลัมผกผัน  (Inverted pendulum) เป็นปัญหาพื้นฐานที่ใช้ในการเรียนการสอนและในการสาธิตการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม เพนดูลัมผกผันเป็นระบบที่มีจุดสมดุลอยู่รอบแกนหมุนด้วยกันสองจุด ได้แก่จุดที่เพนดูลัมตั้งตรงอยู่ในแนวดิ่ง และจุดที่เพนดูลัมอยู่ทิ้งตัวลงในดิ่ง แต่จุดที่มีเสถียรภาพเมื่อไม่มีตัวควบคุมนั้นจะมีจุดเดียวคือ จุดที่แกนทิ้งตัวลงเท่านั้น ไม่ว่าเราจะปล่อยเพนดูลัมที่จุดใดก็ตาม เพนดูลัมจะตกลงสู่จุดนี้เสมอ การที่จะทำให้เพนดูลัมนี้สามารถตั้งตรงในแนวดิ่งได้นั้นขึ้นกับการใส่ตัวควบคุมที่เหมาะสมเข้าไปในระบบซึ่งมีได้หลากหลายวิธี และอีกทั้งยังสามารถออกแบบตัวควบคุมให้เป็นเชิงเส้น หรือแบบไม่เชิงเส้นก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ออกแบบและความเหมะสม 
==แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผัน==
ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากรางจ์  (Lagrange's equations) และตั้งสมุมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน x - y ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่างๆเราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ \theta(t) คือ มุมที่แท่งเพนดูลัมทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งเพนดูลัมมีความยาว l ให้แรงจากภายนอกเป็น F กระทำในทิศ  x ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน y และกำหนดให้ x(t) เป็นระยะของรถในแกน x ที่แปรผันตามเวลา และสมการลากรางจ์ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้ L = T - V  โดย T คือพลังงานจลน์ของระบบ และ V คือพลังงานศักย์ของระบบ

L = \frac{1}{2} M v_1^2  + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta
โดย v_1 เป็นความเร็วของของตัวรถ v_2 เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล m ของมวลบนแท่งเพนดูลัม.
ทั้งนี้ v_1 และ v_2 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ x และ \theta ดังต่อไปนี้
v_1^2=\dot x^2
v_2^2=\left({\frac{d}{dt}}{\left(x- \ell\sin\theta\right)}\right)^2 + \left({\frac{d}{dt}}{\left( \ell\cos\theta \right)}\right)^2
ทำการลดรูป v_2 ได้ผลเป็น
v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2
แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากรางจ์ ได้ว่า:
L = \frac{1}{2} \left(M+m \right ) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta
และสมการการเคลื่อนที่:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0
แทนที่ L ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของเพนดูลัมแบบผกผันดังนี้
\left ( M + m \right ) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F
\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta
จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็ก ๆ ซึ่งประมาณเป็น 0 ได้ (\theta \approx 0) ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ
== ดูเพิ่ม ==
ทฤษฎีระบบควบคุม
Segway
เพนดูลัมผกผันแบบฟูรุตะ (Furuta pendulum)
==อ้างอิง==
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม มีตัวอย่างเป็นเพนดูลัมแบบผกผัน ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน] 
Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition	5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
Norman S. Nise, Control Systems Engineering (Edition	6), John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470547561, 9780470547564
เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ,  ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล  คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)
ทฤษฎีระบบควบคุม
วิศวกรรมศาสตร์
เทคโนโลยี
สิ่งประดิษฐ์และการประดิษฐ์