อินเตอร์เซกชัน

อินเตอร์เซกชัน (intersection) หรือ ส่วนร่วม คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการหาสมาชิกทั้งหมดที่เหมือนกันในเซตต้นแบบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U กลับหัว)
== นิยาม ==

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การอินเตอร์เซกชันจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A และ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ
:A \cap B = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \in A \land x \in B \}
ตัวอย่างเช่น กรณีที่มีสมาชิกบางส่วนเหมือนกัน ดังนั้นผลของการอินเตอร์เซกชันจึงเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันเหล่านั้น
:
\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3 \} \\
B &= \{ 2, 3, 4 \} \\
A \cap B &= \{ 2, 3 \} \\
\end{align}
หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน คือไม่มีสมาชิกตัวใดเหมือนกันเลย ผลของการอินเตอร์เซกชันจะได้เซตว่าง เราจะกล่าวว่าทั้งสองเซตนั้น ไม่มีส่วนร่วม (disjoint) ต่อกัน
:
\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\
B &= \{ 5, 6, 7, 8 \} \\
A \cap B &= \varnothing \\
\end{align}
== สมบัติ ==
อินเตอร์เซกชันมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้
อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการอินเตอร์เซกชันเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
* A \cap B = B \cap A
อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
* (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C
สมาชิกเอกลักษณ์ของการอินเตอร์เซกชันคือเอกภพสัมพัทธ์ (หรือเซตของเซตทั้งหมด)
* \mathbf{U} \cap A = A \cap \mathbf{U} = A
เซตใดๆ ที่อินเตอร์เซกชันกับเซตว่าง จะได้เซตว่าง
* \varnothing \cap A = A \cap \varnothing = \varnothing
อินเตอร์เซกชันกับยูเนียน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
* A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \Longleftrightarrow (B \cup C) \cap A = (B \cap A) \cup (C \cap A)
* A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \Longleftrightarrow (B \cap C) \cup A = (B \cup A) \cap (C \cup A)
อินเตอร์เซกชัน ยูเนียน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
* (A \cap B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cup B^\mathrm{C}
* (A \cup B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cap B^\mathrm{C}
== รูปแบบ ==
=== อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดทั่วไป ===
หากเราพิจารณาแนวคิดว่าอินเตอร์เซกชันกระทำบนกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) และไม่เป็นเซตว่าง x จะเป็นสมาชิกของการอินเตอร์เซกชันของ M ก็ต่อเมื่อ ทุกๆ เซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย \bigcap \mathbf{M} หรือ \bigcap_{A\in\mathbf{M}} A ดังนี้
:x \in \bigcap\mathbf{M} \iff \forall A \in \mathbf{M},\ x \in A
การอินเตอร์เซกชันของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด
สัญกรณ์ \bigcap_{i \in I} A_{i} หมายถึงการอินเตอร์เซกชันของกลุ่มเซต Ai ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ อินเตอร์เซกชันไม่จำกัด (หรืออินเตอร์เซกชันอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้
:\bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i} = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \dots
=== อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดซึ่งกลุ่มของเซตนั้นว่าง ===
ในหัวข้อก่อนหน้านี้ได้ยกเว้นไว้ในกรณีที่ M เป็นเซตว่าง ซึ่งจะได้อธิบายเหตุผลต่อไป ถ้าให้อินเตอร์เซกชันของกลุ่มของเซต M ได้ถูกนิยามไว้แล้วดังนี้
:\bigcap \mathbf{M} = \{x : x \in A\; \mbox{ for all } A \in \mathbf{M}\}
ในกรณีที่ M เป็นเซตว่าง นั่นหมายความว่าไม่มีเซต A ใดๆ อยู่ใน M เลย จึงทำให้เกิดคำถามขึ้นว่า "จะมี x ค่าไหนที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุบ้าง" คำตอบจึงดูเหมือนว่าเป็น "ทุกค่าของ x ใดๆ ก็ได้" เพราะว่าเมื่อ M เป็นเซตว่าง เงื่อนไขข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของความจริงว่างเปล่า (vacuous truth) ซึ่งจะเป็นจริงเสมอ ดังนั้นการอินเตอร์เซกชันเช่นนี้จึงควรมีคำตอบเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งไม่มีในทฤษฎีเซตมาตรฐาน (ZFC)
การแก้ปัญหานี้คือการยอมรับว่าเซตทุกเซตเป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วปรับแต่งการนิยามเพื่อให้สามารถใช้กับ M ที่เป็นเซตว่าง
:\bigcap \mathbf{M} = \{x \in \mathbf{U} : x \in A\; \mbox{ for all } A \in \mathbf{M}\}
แล้วคำตอบของการอินเตอร์เซกชันจึงจะเป็นเอกภพสัมพัทธ์ U
== อ้างอิง ==
วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9
== ดูเพิ่ม ==
ผลต่างสมมาตร
ยูเนียน
ส่วนเติมเต็ม
การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
พีชคณิตนามธรรม
พีชคณิต
ทฤษฎีเซต
การดำเนินการทวิภาค