กฎลูกโซ่

ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่ (Chain rule) คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต
เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร y เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร u ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร x แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ u คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ u เทียบกับ x
สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6&nbsp;°F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6&nbsp;°F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3&nbsp;°F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่
ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือเราจะได้ f \circ g = f(g(x)) ดังนั้น
\frac {df} {dx} = \frac {d} {dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:
\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \frac {dg}{dx}
เมื่อ \frac {df} {dg} ระบุว่า f เปลี่ยนแปลงตาม g เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง.
ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
== The general power rule ==
กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้
=== Example I ===
พิจารณา  f(x) = (x^2 + 1)^3 .  f(x)  เทียบได้กับ  h(g(x))  โดยที่  g(x) = x^2 + 1  และ  h(x) = x^3  ดังนั้น
{|
|-
 \frac dd{\frac  xy }  
 = f'(x). g'(x) 
|-
| f'(x) 
| = 3(x^2 + 1)^2(2x) 
|-
|
| = 6x(x^2 + 1)^2
|}
=== Example II ===
ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
f(x) = \sin(x^2),
เราสามารถเขียน f(x) = h(g(x)) ด้วย h(x) = \sin x และ g(x) = x^2 จากกฎลูกโซ่ จะได้
f'(x) = 2x \cos(x^2)
เนื่องจาก h'(g(x)) = \cos (x^2) และ g'(x) = 2x
== กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร ==
กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน f(u(x, y), v(x, y)) โดยที่
u(x, y) = 3x + y^2  และ  v(x, y) = \sin(xy) 
ดังนั้น
{\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3 + \cos(xy)y 
== บทพิสูจน์กฎลูกโซ่ ==
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้
g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \, ซึ่ง  \frac{\epsilon(\delta)}{\delta} \to 0 \, ขณะที่ \delta\to 0.
ในทำนองเดียวกัน
f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha) \, ซึ่ง \frac{\eta(\alpha)}{\alpha} \to 0 \, ขณะที่ \alpha\to 0. \,
จะได้
{|
|-
|  f(g(x+\delta))-f(g(x))\, 
| = f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)) - f(g(x)) \,
|-
|
|  = \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta) \,
|}
ซึ่ง \alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \,
จะเห็นว่าขณะที่ \delta\to 0 นั้น \frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x) และ \frac{\eta(\alpha_\delta)}{\delta}\to 0 ดังนั้น
\frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x)) ขณะที่ \delta \to 0
== กฎลูกโซ่พื้นฐาน ==
กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า E F และ G เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ f : E &rarr; F และ g : F &rarr; G เป็นฟังก์ชัน และถ้า x เป็นสมาชิกของ E ซึ่ง f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต g o f ที่ x จะเป็นดังนี้
\mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \circ \mbox{D}_x\left(f\right).
สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์
การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ M N และ P เป็นแมนิโฟลด์ Ck (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้
f : M &rarr; N และ g : N &rarr; P
เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ f แทนด้วย df จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ M ไปยังปมสัมผัสของ N และสามารถเขียนแทนด้วย
\mbox{d}\left(g \circ f\right) = \mbox{d}g \circ \mbox{d}f.
ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ C&infin; โดยมีการแปลง C&infin; เป็นสัณฐาน
== เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่ ==
ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์