กรุป (คณิตศาสตร์)

กรุป (group) ในพีชคณิตนามธรรม คือ เซตกับการดำเนินการทวิภาค เช่น การคูณหรือการบวก ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ชุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ของกรุป  ตัวอย่างของกรุปที่ง่ายที่สุดคือ เซตของจำนวนเต็มภายใต้การบวกปรกติ ซึ่งเป็นกรุปแบบหนึ่ง สาขาของคณิตที่ศึกษาเกี่ยวกับกรุปโดยเฉพาะเรียกว่า ทฤษฎีกรุป แต่กรุปยังปรากฏในสาขาอื่น ๆ ทั้งในคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ และศาสตร์อื่น ๆ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์
กรุปเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษาสมมาตรของวัตถุในรูปแบบต่าง ๆ หลักการที่ว่า "สมมาตรของวัตถุใด ๆ ก่อให้เกิดกรุป" เป็นหลักพื้นฐานของคณิตศาสตร์มากมาย ตัวอย่างโดยตรงคือกรุปสมมาตรของวัตถุ ซึ่งเป็นเครื่องมือหนึ่งในการอธิบายสมมาตรของวัตถุเชิงเรขาคณิต กรุปสมมาตรมีสมาชิกประกอบไปด้วยการแปลง (การหมุน การพลิกรูป การสะท้อน ฯลฯ) ที่คงรูปทรงของวัตถุนั้น ลีกรุปเป็นกรุปสมมาตรชนิดหนึ่งที่ปรากฏในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค กรุปปวงกาเรเป็นลีกรุปที่มีสมาชิกเป็นสมมาตรของกาลอวกาศในสัมพัทธภาพพิเศษ ในขณะที่กรุปจุดสามารถอธิบายสมมาตรของโมเลกุลเคมีได้
กรุปมีจุดกำเนิดเริ่มแรกจากการศึกษาสมการเชิงพหุนาม ในช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1830 เอวาริสต์ กาลัวเป็นคนแรกที่ใช้คำว่า กรุป (Groupe ในภาษาฝรั่งเศส) เรียกกรุปสมมาตรของรากของพหุนาม ซึ่งปัจจุบันเราเรียกกรุปเหล่านั้นว่า กรุปกาลัว ตั้งแต่นั้นมามีการศึกษากรุปจากสาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีจำนวน และ เรขาคณิต ก่อนที่แนวความคิดเกี่ยวกับกรุปทั่ว ๆ ไปจะได้รับการนิยามในช่วงปีคริสต์ศักราชที่ 1870 ในช่วงเวลาเดียวกันกับที่คณิตศาสตร์พัฒนาไปในทิศทางที่เป็นนามธรรมขึ้นเรื่อย ๆ ทฤษฎีกรุปจึงเป็นสาขาสำคัญของพีชคณิตนามธรรม
ในปัจจุบัน ทฤษฎีกรุปสมัยใหม่ศึกษากรุปในตัวมันเอง ซึ่งนำไปสู่แนวคิดมากมาย เช่น สับกรุป กรุปผลหาร และ กรุปเชิงเดี่ยว นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์ยังศึกษากรุปในมุมมองที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น และสามารถระบุได้อย่างเจาะจง การศึกษานี้นำไปสู่ทฤษฎีตัวแทนและทฤษฎีกรุปเชิงการคำนวณ
== นิยามพื้นฐาน ==
กรุป (G, \ast) ประกอบด้วย เซตไม่ว่าง G กับ การดำเนินการทวิภาค \ast\colon G \to G ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ทุกข้อต่อไปนี้
การเปลี่ยนหมู่: สำหรับทุก a, b และ c ใน G จะได้ว่า (a \ast b)\ast c = a \ast (b \ast c)
การมีสมาชิกเอกลักษณ์: มีสมาชิก e ใน G ที่ทำให้สำหรับทุก a ใน G จะได้ว่า e \ast a = a \ast e = a เรียก e ว่าเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (identity) ของ (G, \ast)
สมาชิกผกผัน: สำหรับทุก a ใน G, จะมีสมาชิก b ใน G ที่ทำให้ a \ast b = b \ast a = e เมื่อ e คือสมาชิกเอกลักษณ์ และเรียก b ดังกล่าวว่าเป็นสมาชิกผกผันของ a สามารถพิสูจน์ได้ว่า สมาชิกผกผันในกรุปจะมีได้เพียงตัวเดียว และนิยมเขียนสมาชิกผกผันของ a ด้วย a^{-1}
บางครั้งผู้เขียนอาจกำหนดสัจพจน์ที่กรุปต้องสอดคล้องเพิ่มเติม เพื่อเน้นย้ำความเป็นการดำเนินการทวิภาคของ \ast
สมบัติปิด: สำหรับทุก a, b ใน G จะได้ว่า a \ast b \in G ด้วย
เมื่อเป็นที่เข้าใจ อาจละการเขียนตัวดำเนินการ และเรียกกรุป (G, \ast) แทนด้วย G แทน
== ความคิดพื้นฐานในทฤษฎีกรุป ==
=== ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป ===
ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป หรือ โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกรุป (group homomorphism) คือฟังก์ชันที่รักษาโครงสร้างการเป็นกรุป ฟังก์ชัน f\colon (G, \ast) \to (H, \cdot) ระหว่างกรุป (G,\ast) และ (H,\cdot) จะเป็นฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป ก็ต่อเมื่อ
f(a \ast b) = f(a)\cdot f(b)สำหรับทุก a, b \in G
สมบัติที่ได้จากนิยามข้างต้นคือ
f รักษาเอกลักษณ์ของกรุป: f(e_G) = e_H เมื่อ e_G, e_H เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุป G และกรุป H ตามลำดับ
f รักษาการหาผกผัน: f(a^{-1}) = (f(a))^{-1} ทุกสมาชิก a \in G
สมบัติข้างต้นเน้นย้ำว่าฟังก์ชันสาทิสสัณฐานรักษาโครงสร้างของกรุป G
=== อันดับของกรุปและอันดับของสมาชิก ===
อันดับ (order) ของกรุป G (นิยมเขียนแทนด้วย \left\vert G \right\vert, \operatorname{ord}(G)หรือ o(G)) จะหมายถึงจำนวนสมาชิกของกรุป G ในกรณีที่ G เป็นเซตจำกัด และจะเรียก G ว่าเป็นกรุปจำกัด (Finite group) ในขณะที่ G เป็นเซตอนันต์ จะเรียกว่ากรุปนั้นเป็นกรุปอนันต์ นิยมเขียนด้วย \left\vert G \right\vert = \infty
อันดับของสมาชิก a ในกรุป G คือจำนวนเต็ม n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ an&nbsp;=&nbsp;e โดยที่ an คือ a คูณตัวมันเอง n ครั้ง (หรือองค์ประกอบที่เหมาะสมอื่นๆ ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการของกรุป) ถ้าไม่มีจำนวนนับ n ดังกล่าว จะเรียกว่า a มีอันดับเป็นอนันต์
=== อาบีเลียนกรุป ===
กรุป G จะเป็น อาบีเลียนกรุป หรือ กรุปสลับที่ ถ้าการดำเนินการของกรุปมีสมบัติสลับที่ได้ นั่นคือสำหรับทุกๆ a,b ใน G จะได้ว่า a * b = b * a
คำว่า อาบีเลียน (Abelian) ตั้งขึ้นตามชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ นีลส์ อะเบล นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์
=== กรุปวัฏจักร ===
กรุปวัฏจักร คือกรุปซึ่งสมาชิกของมันอาจถูกก่อกำเนิดโดยการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปจะถูกใช้กับสมาชิกเดี่ยวของ
กรุปนั้น สมาชิกเดี่ยวนี้เรียกว่า ตัวก่อกำเนิดหรือสมาชิกปฐมฐานของกรุปนั้น
กรุปวัฏจักรการคูณซึ่ง G เป็นกรุป และ a เป็นตัวก่อกำเนิด
G = \{ a^n \mid n \in \Z \} 
กรุปวัฏจักรการบวก ตัวก่อกำเนิดเป็น a
G' = \{ n * a \mid n \in \Z \}
ถ้าการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปถูกใช้กับสมาชิกไม่ปฐมฐานของกรุป กรุปย่อยวัฏจักรจะถูกก่อกำเนิด อันดับของ
กรุปย่อยวัฏจักรแบ่งอันดับของกรุปนั้น ดังนั้นถ้าอันดับของกรุปเป็นจำนวนเฉพาะ สมาชิกทุกตัวยกเว้นสมาชิกเอกลักษณ์จะเป็นสามชิกปฐมฐานของกรุป
ควรระลึกไว้ด้วยว่า กรุปประกอบด้วยกรุปย่อยวัฏจักรซึ่งถูกก่อกำเนิดโดยสมาชิกแต่ละตัวในกรุป อย่างไรก็ตามกรุปซึ่งประกอบขึ้นจากกรุปย่อยวัฏจักรนั้น ตัวมันเองไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นกรุปวัฏจักรเสมอไป ตัวอย่างเช่น กรุปไคลน์ไม่เป็นกรุปวัฏจักรแม้ว่าจะประกอบขึ้นมาจากกรุปวัฏจักรที่มีอันดับเป็น 2 ที่เหมือนกันสองกรุปก็ตามที
== สัญกรณ์สำหรับกรุป ==
กรุปสามารถใช้สัญกรณ์ต่างๆ กันขึ้นอยู่กับบริบทและการดำเนินการ
กรุปการบวก ใช้ + เพื่อแสดงถึงการบวก และเครื่องหมายลบ - แสดงถึงสมาชิกผกผัน เช่น a + (-a) = 0 ใน Z
กรุปการคูณ ใช้ *,. หรือสัญลักษณ์ทั่วไป \circ เพื่อแสดงถึงการคูณ และตัวยก -1 เพื่อแสดงสมาชิกผกผัน เช่น a*a-1 = 1 เป็นเรื่องธรรมดาที่จะไม่เขียน * และเขียนเป็น aa-1 แทน
กรุปแบบฟังก์ชัน ใช้ • เพื่อแสดงการประกอบฟังก์ชัน และตัวยก -1 เพื่อแสดงสมาชิกผกผัน เช่น g • g-1 = e เป็นเรื่องทั่วไปที่จะไม่เขียน • และเขียนเป็นgg-1 แทน
การละเลยตัวดำเนินการเป็นเรื่องทั่วไปที่ยอมรับได้ และทิ้งให้ผู้อ่านรู้บริบทและการดำเนินการเอาเอง
เมื่อจะนิยามกรุป มีสัญกรณ์มาตรฐานที่ใช้วงเล็บในการนิยามกรุปและการดำเนินการของมัน ตัวอย่างเช่น (H, +) แสดงว่าเซต H เป็น
กรุปภายใต้การบวก
สมาชิกเอกลักษณ์ e หรือบางครั้งก็เรียกว่า สมาขิกกลาง และบางครั้งก็ถูกแสดงโดยใช้สัญลักษณ์อืนๆ ขึ้นอยู่กับกรุปนั้นๆ :
ในกรุปการคูณ สมาชิกเอกลักษณ์คือ 1
ในกรุปเมทริกซ์หาตัวผกผันได้ สมาชิกเอกลักษณ์มักแทนด้วย I
ในกรุปการบวก สมาชิกเอกลักษณ์อาจเขียนเป็น 0
ในกรุปแบบฟังก์ชัน สมาชิกเอกลักษณ์มักใช้เป็น f0
== ตัวอย่างของกรุป ==
=== อาบีเลียนกรุป : จำนวนเต็มภายใต้การบวก ===
กรุปที่คุ้นเคยกันก็คือกรุปของจำนวนเต็มภายใต้การบวก ให้ Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} และให้สัญลักษณ์ + แสดงการดำเนินการบวก แล้ว (Z,+) เป็นกรุป
พิสูจน์ :
สมบัติการปิด ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a+b ก็เป็นจำนวนเต็ม
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ ถ้า a b และ c เป็นจำนวนเต็มแล้ว (a + b) + c = a + (b + c)
สมาชิกเอกลักษณ์ 0 เป็นจำนวนเต็ม สำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ 0 + a = a + 0 = a
สมาชิกผกผัน ถ้า a เป็นจำนวนเต็มแล้ว -a สอดคล้องกับกฎการผกผัน a + (−a) = (−a) + a = 0
กรุปนี้เป็นอาบีเลียนกรุปด้วยเพราะ a + b = b + a
== อ้างอิง ==
==  ดูเพิ่ม ==
พีชคณิตนามธรรม
ทฤษฎีกรุป