เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์

เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ (Euler's identity) หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า สมการของอ็อยเลอร์ (Euler's equation) คือสมการต่อไปนี้:
e^{i \pi} + 1 = 0
สมการประกอบด้วย:
e\,\! คือ เลขของอ็อยเลอร์ ซึ่งเป็นเลขฐานของลอการิทึมธรรมชาติ
i\,\! คือ หน่วยจินตภาพ: หนึ่งในจำนวนเชิงซ้อนที่ยกกำลังสองแล้วได้ −1 (อีกตัวคือ -i\,\!)
\pi\,\! คือ พาย : อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง ต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม
เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ เป็นเอกลักษณ์ที่ตั้งชื่อตามเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวสวิส ได้ชื่อว่าเป็น สมการคณิตศาสตร์ที่สวยที่สุด (mathematical beauty) เนื่องจากสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ของค่าคงที่ทั้ง 5 ตัว (e\,\!, i\,\!, \pi\,\!, 1, 0) อันเป็นค่าคงที่และตัวเลขที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์
== ความงามทางคณิตศาสตร์ ==
เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์มักถูกอ้างถึงเป็นตัวอย่างของ ความงามทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้ง มีเอกลักษณ์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน 3 อย่างเกิดขึ้นอย่างละหนึ่งครั้ง: การบวก การคูณ และ การยกกำลัง เอกลักษณ์ยังเชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานห้าประการเข้าไว้ด้วยกัน:
หมายเลข 0 เอกลักษณ์การบวก
หมายเลข 1 เอกลักษณ์การคูณ
ค่าคงที่ π (π = 3.141 ... )
จำนวน e (e = 2.718 ... ) หรือรู้จักกันในนามเลขของอ็อยเลอร์ ซึ่งปรากฏเกิดขึ้นอย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
ตัวเลข i, หน่วยจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน
ยิ่งไปกว่านั้นสมการถูกกำหนดในรูปแบบของการแสดงออกมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นเรื่องที่นิยมทำกันในคณิตศาสตร์
Keith Devlin ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด กล่าวว่า "เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์เปรียบเสมือนโคลงของเชกสเปียร์ ที่รวบรวมแก่นแท้ของความรัก หรือ ภาพวาดที่แสดงความงามของร่างมนุษย์ที่อยู่ไกลเกินผิวหนัง ส่วนสมการของอ็อยเลอร์ ได้ดำดิ่งไปดูความเป็นจริงของสรรพสิ่ง"
Paul Nahin ศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัยนิวแฮมป์เชียร์ ผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับสูตรของอ็อยเลอร์และการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์  อธิบายถึงอัตลักษณ์ของอ็อยเลอร์ว่าเป็น "ความงามที่งดงาม"
Constance Reid นักเขียนวิชาคณิตศาสตร์ ได้ให้ความเห็นว่าอัตลักษณ์ของอ็อยเลอร์คือ "สูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด" และ Benjamin Peirce นักปรัชญาชาวอเมริกัน นักคณิตศาสตร์ และ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ในศตวรรษที่ 19 กล่าวไว้หลังจากพิสูจน์เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ ในระหว่างการบรรยาย ระบุว่าอัตลักษณ์ "นั้นขัดแย้งกันจริง ๆ เราไม่เข้าใจและเราไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไร แต่เราได้พิสูจน์มันแล้ว ดังนั้นเราจึงรู้ว่ามันต้องเป็นความจริง"
แบบสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย The Mathematical Intelligencer ในปี ค.ศ.1990 ได้จัดอัตลักษณ์ของอ็อยเลอร์ให้เป็น "ทฤษฎีบทที่สวยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์" ในการสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย Physics World ในปี ค.ศ.2004 มีการพบว่าเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์มีความเชื่อมโยงกับสมการของแม็กเวลล์ (ของแม่เหล็กไฟฟ้า) ในฐานะ "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เคยมีมา"
การศึกษาสมองของนักคณิตศาสตร์สิบหกคนพบว่า "สมองส่วนควบคุมอารมณ์" (โดยเฉพาะคือเยื่อหุ้มสมอง orbitofrontal ซึ่งส่องสว่างขึ้นสำหรับดนตรีบทกวีรูปภาพ ฯลฯ ) สว่างขึ้นเมื่อดูเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์มากกว่าสูตรอื่น ๆ
หนังสืออย่างน้อยสามเล่มที่เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ยอดนิยม ได้ตีพิมพ์เกี่ยวกับเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์:
Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, โดย Paul Nahin (2011)
A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, โดย David Stipp (2017)
Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, โดย Robin Wilson (2018).
== คำอธิบาย ==
=== เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพ ===
โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ แสดงออกว่า e^{i\pi}มีค่าเท่ากับ −1. นิพจน์ e^{i\pi}คือ รูปพิเศษหนึ่งของ e ^ {z} โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว e ^ {z} ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:
e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n.

เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้, (1 + i\pi/n)^nจะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา
เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของอ็อยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:
e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!
สำหรับจำนวนจริง x ถ้าเราให้ x = \pi จะได้
e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!
จากนิยามของ
\cos \pi = -1\,\!
และ
\sin \pi = 0\,\!
เราจะได้
e^{i \pi} = -1 \,\! หรือ e^{i \pi} + 1 = 0
== อ้างอิง ==
การวิเคราะห์เชิงซ้อน
การยกกำลัง
อเอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์
เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
Wzór Eulera#Tożsamość Eulera