ยูเนียน

ยูเนียน (union) หรือ ส่วนรวม คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการรวมสมาชิกทั้งหมดของเซตต้นแบบเข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U)
== นิยาม ==

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A หรือ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ
:A \cup B = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \in A \lor x \in B \}
หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต A จะไม่ปรากฏในเซต B และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น
:
\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\
B &= \{ 5, 6, 7, 8 \} \\
A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \\
\end{align}
ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้
:
\begin{align}
A &= \{ 1, 2, 3 \} \\
B &= \{ 2, 3, 4 \} \\
A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\
\end{align}
== สมบัติ ==
ยูเนียนมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้
ยูเนียนมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการยูเนียนเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
* A \cup B = B \cup A
ยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
* (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A \cup B \cup C
สมาชิกเอกลักษณ์ของการยูเนียนคือเซตว่าง
* \varnothing \cup A = A \cup \varnothing = A
เซตใดๆ ที่ยูเนียนกับเอกภพสัมพัทธ์ จะได้เอกภพสัมพัทธ์
* \mathbf{U} \cup A = A \cup \mathbf{U} = \mathbf{U}
ยูเนียนกับอินเตอร์เซกชัน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
* A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \Longleftrightarrow (B \cap C) \cup A = (B \cup A) \cap (C \cup A)
* A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \Longleftrightarrow (B \cup C) \cap A = (B \cap A) \cup (C \cap A)
ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
* (A \cup B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cap B^\mathrm{C}
* (A \cap B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cup B^\mathrm{C}
== รูปแบบ ==
=== ยูเนียนจำกัด ===
โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต A, B, และ C จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ A, สมาชิกทั้งหมดของ B, และสมาชิกทั้งหมดของ C โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า x จะเป็นสมาชิกของเซต  ก็ต่อเมื่อ x เป็นสมาชิกของ A หรือ x เป็นสมาชิกของ B หรือ x เป็นสมาชิกของ C
เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน ยูเนียนจำกัด จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด
=== ยูเนียนไม่จำกัด ===
อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) x จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ M ก็ต่อเมื่อ มีเซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M อย่างน้อยหนึ่งตัว และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย \bigcup \mathbf{M} หรือ \bigcup_{A\in\mathbf{M}} A ดังนี้
:x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A
การยูเนียนของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด
สัญกรณ์ \bigcup_{i \in I} A_{i} หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต Ai ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ ยูเนียนไม่จำกัด (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้
:\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots
อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด
:A \cap \bigcup_{i \in I} B_{i} = \bigcup_{i \in I} (A \cap B_{i})
และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา
:\bigcup_{i \in I} \left( \bigcap_{j \in J} A_{i,j} \right) \subseteq \bigcap_{j \in J} \left( \bigcup_{i \in I} A_{i,j} \right)
== อ้างอิง ==
วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9
== ดูเพิ่ม ==
ผลต่างสมมาตร
อินเตอร์เซกชัน
ส่วนเติมเต็ม
การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ
== แหล่งข้อมูลอื่น ==
Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.
พีชคณิตนามธรรม
พีชคณิต
ทฤษฎีเซต
การดำเนินการทวิภาค