ฟังก์ชันบ่งชี้

ฟังก์ชันบ่งชี้ (indicator function) หรือบางครั้งเรียกว่า ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (Caracteristic function) คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต X ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย A ใน X หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต A หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต A แต่ยังคงอยู่ในเซต X
== นิยาม ==
ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย A ของเซต X คือฟังก์ชัน
:\mathbf{1}_A : X \to \{ 0,1 \}
นิยามโดย
:\mathbf{1}_A(x) =
\begin{cases}
1 &\mbox{if}\ x \in A \\
0 &\mbox{if}\ x \notin A
\end{cases}
สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น
[x ∈ A] เป็นสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอิเวอร์สัน
χA (x) อักษรกรีก ไค (χ) เป็นอักษรตัวแรกจากรากศัพท์ภาษากรีกของคำว่า characteristic (ลักษณะเฉพาะ) แต่การใช้สัญกรณ์นี้อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในการวิเคราะห์คอนเวกซ์
IA (x) อักษรละติน ไอ (I) ใช้แทนความหมายของ indicator (ตัวบ่งชี้) แต่การใช้สัญกรณ์นี้หรือ 1A (x) อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันเอกลักษณ์ (โปรดสังเกตว่าเป็นตัวหนา)
หรือแม้แต่เขียนเพียงแค่ A (x)
== สมบัติพื้นฐาน ==
การจับคู่ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อย A ของ X ไปยังฟังก์ชันบ่งชี้ของมัน 1A มีลักษณะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งเรนจ์คือเซตของฟังก์ชัน f : X → {0, 1}
ถ้า A และ B ต่างก็เป็นเซตย่อยของ X จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)
:\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B
:\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\ = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B
ส่วนเติมเต็มของฟังก์ชันบ่งชี้ของ A ซึ่งก็คือ AC จะได้ว่า
:\mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A
ในกรณีทั่วไป ถ้าหาก A1, …, An เป็นการรวบรวมเซตย่อยของ X สำหรับค่า x ∈ X ดังนั้น
:\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x) )
จะเป็นผลคูณระหว่าง 0 และ/หรือ 1 หลายตัว ผลคูณนี้จะมีค่าเท่ากับ 1 ถ้าหาก x ไม่อยู่ในเซตย่อย Ak ใด ๆ เลย เพราะตัวคูณทุกตัวเป็น 1 ทั้งหมด หรือมิเช่นนั้นแล้วก็จะเป็น 0 เพราะมีตัวคูณอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็น 0 จึงสรุปได้ว่า
:\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k} ) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}
กระจายผลคูณทางด้านซ้าย
:\mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}
เมื่อ | F | คือภาวะเชิงการนับของ F สูตรนี้คือรูปแบบหนึ่งของหลักการการเพิ่มเข้า-ตัดออก
ฟังก์ชันบ่งชี้เป็นเครื่องมือสำคัญอย่างหนึ่งที่มีประโยชน์ในเรื่องคณิตศาสตร์เชิงการจัด ดังที่ให้ตัวอย่างไว้แล้วก่อนหน้านี้ สัญกรณ์นี้ถูกใช้ในแขนงวิชาอื่นเช่นกัน ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีความน่าจะเป็น ถ้าให้ X เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นที่มีเมเชอร์ความน่าจะเป็น P และ A เป็นเซตหาเมเชอร์ได้แล้ว 1A จะกลายเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งมีค่าคาดหมายเท่ากับความน่าจะเป็นของ A ดังนี้
:\operatorname{E}(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbb{P} = \int_{A} d\mathbb{P} = \operatorname{P}(A)
เอกลักษณ์นี้ใช้ในการพิสูจน์อย่างง่ายในอสมการของมาร์คอฟ
ในกรณีอื่นเช่นทฤษฎีอันดับ ตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้อาจมีการนิยามขึ้นได้ สิ่งนี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันโมเบียสทั่วไป ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้ในทฤษฎีจำนวนมูลฐาน (ฟังก์ชันโมเบียส)
== มัชฌิม ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมเกี่ยว ==
กำหนดให้ปริภูมิความน่าจะเป็น (Ω, \mathcal F, P) ซึ่ง A ∈ \mathcal F และกำหนดตัวแปรสุ่มบ่งชี้ 1A : Ω → R ซึ่งนิยามโดย 1A (ω) = 1 เมื่อ ω ∈ A สำหรับกรณีอื่น 1A (ω) = 0
== ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในทฤษฎีเซตวิภัชนัย ==
ตามคณิตศาสตร์แบบฉบับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตให้ค่าเป็น 1 (เป็นสมาชิก) หรือ 0 (ไม่เป็นสมาชิก) เพียงเท่านั้น แต่ในทฤษฎีเซตวิภัชนัย ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกทำให้เป็นการวางนัยทั่วไป โดยให้ค่าเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0, 1] หรือยิ่งไปกว่านั้นในพีชคณิตหรือโครงสร้างบางชนิด ฟังก์ชันเช่นนี้มักจะเรียกว่า ฟังก์ชันภาวะสมาชิก (membership function) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตวิภัชนัย (fuzzy set) เซตวิภัชนัยเป็นการจำลองการเปลี่ยนแปลงเป็นระดับชั้นของดีกรีความเป็นสมาชิกในภาคแสดงซึ่งพบเห็นได้ในชีวิตจริงเช่น สูง-กลาง-ต่ำ ร้อน-อุ่น-เย็น-หนาว เป็นต้น
== อ้างอิง ==
Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.
Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.
Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Computability and Logic, Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.
Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [http://www-bisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/Fuzzy%20Sets-1965.pdf] 
Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174
ทฤษฎีเมเชอร์
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์
การวิเคราะห์เชิงจริง
วิยุตคณิต
คณิตตรรกศาสตร์
ทฤษฎีเซต
ทฤษฎีความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันและการจับคู่