Teorema de Hasse-Minkowski

O teorema de Hasse-Minkowski é un resultado fundamental na teoría de números que afirma que dúas formas cadráticas sobre un corpo numérico son equivalentes se e só se son equivalentes localmente en todos os lugares, é dicir, equivalentes en cada completamento do corpo (que pode ser real, complexo ou p-ádico). Un resultado relacionado é que unha forma cadrática sobre un corpo numérico representa a cero de forma non trivial se e só se isto vale para tódolos completamentos do corpo. O teorema foi demostrado no caso do corpo dos números racionais por Hermann Minkowski e xeneralizado aos corpos numéricos por Helmut Hasse. A mesma afirmación é aínda máis xeral para todos os corpos globais. Importancia
A importancia do teorema de Hasse-Minkowski reside no novo paradigma que representa para responder a preguntas aritméticas: para determinar se unha ecuación dun determinado tipo ten unha solución en números racionais, é suficiente probar se ten solucións sobre corpos completos de números reais e p-ádicos, onde se aplican consideracións analíticas, como o método de Newton e o seu análogo p-ádico, o lema de Hensel. Isto está encapsulado na idea dun principio local-global, que é unha das técnicas fundamentais da xeometría aritmética. Enunciado
Sexa f {\displaystyle f} unha forma cadrática sobre Q {\displaystyle \mathbb {Q} } e para p ∈ V sexa f p {\displaystyle p\in V{\text{ sexa }}f_{p}} a forma considerada sobre Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} (o que ten sentido pois Q ⊂ Q p {\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} _{p}} ). Daquela f {\displaystyle f} representa 0 {\displaystyle 0} se e só se f p {\displaystyle f_{p}} representa 0 {\displaystyle 0} para todo p ∈ V {\displaystyle p\in V}. Exemplos
Para demostrar que non existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global Q {\displaystyle \mathbb {Q} } é abondo con probar que non existe solución nun corpo local (por exemplo un corpo p-ádico Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} ). Porén, para demostrar que si existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global Q {\displaystyle \mathbb {Q} } debemos probar que existe solución en todos os corpos locais Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}.
Exemplo de solución existente
Temos f ( x, y, z )
5 x 2 + 7 y 2 − 13 z 2 {\displaystyle f(x, y, z)
5x^{2}+7y^{2}-13z^{2}} e queremos saber se ten solución f ( x 0, y 0, z 0 )
0 ∈ Q 3 {\displaystyle f(x_{0}, y_{0}, z_{0})
0\in \mathbb {Q} ^{3}}.
Desglosamos varios casos: En Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} onde p ⧸ | 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13 {\displaystyle p\not {|}\ 2\cdot 5\cdot 7\cdot 13}.
Sábese que en todo corpo finito existe solución para unha forma cadrática en polo menos 3 variábeis. Polo tanto temos unha solución non trivial de 5 x 2 + 7 y 2 − 13 z 2 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle 5x^{2}+7y^{2}-13z^{2}\equiv 0{\pmod {p}}} onde algún de x 0, y 0, z 0 {\displaystyle x_{0}, y_{0}, z_{0}} é non divisíbel por p {\displaystyle p}, supomos que é x 0 {\displaystyle x_{0}}, así fica f ( x )
5 x 2 + 7 y 02 − 13 z 02 {\displaystyle f(x)
5x^{2}+7y_{0}^{2}-13z_{0}^{2}} con valoración p-ádica v p ( f ( x 0 ) ) ≥ 1 {\displaystyle v_{p}(f(x_{0}))\geq 1}.
Mentres que teríamos f ′ ( x 0 )
10 x 0 ≢ 0 ( mod p ) {\displaystyle f'(x_{0})
10x_{0}\not \equiv 0{\pmod {p}}} posto que p ⧸ | 2 ⋅ 5 ⋅ x 0 {\displaystyle p\not {|}\ 2\cdot 5\cdot x_{0}}.
Logo, polo lema de Hensel podemos levantar a unha solución f ( x 0 ¯, y 0, z 0 )
0 ∈ Q p 3 {\displaystyle f({\overline {x_{0}}}, y_{0}, z_{0})
0\in \mathbb {Q_{p}} ^{3}}. En Q 2 {\displaystyle \mathbb {Q} _{2}} Para y 0
0, z 0
1 {\displaystyle y_{0}
0, z_{0}
1} temos f ( x )
5 x 2 − 13 {\displaystyle f(x)
5x^{2}-13} e f ′ ( x 0 )
10 x 0 {\displaystyle f'(x_{0})
10x_{0}}.
Así x 0
1 {\displaystyle x_{0}
1} é unha solución de f {\displaystyle f} con v 2 ( f ( 1 ) )
3 {\displaystyle v_{2}(f(1))
3} e v 2 ( f ′ ( 1 ) )
1 {\displaystyle v_{2}(f'(1))
1}, por tanto polo lema de Hensel podemos levantar a solución a f ( x 0 ¯, y 0, z 0 )
0 ∈ Q 23 {\displaystyle f({\overline {x_{0}}}, y_{0}, z_{0})
0\in \mathbb {Q_{2}} ^{3}}. Repetimos o proceso para Q 5, Q 7 e Q 13 {\displaystyle \mathbb {Q} _{5}, \mathbb {Q} _{7}{\text{ e }}\mathbb {Q} _{13}} procurando solucións simples con valoracións maiores que 0 en 5, 7 e 13 (solución con eses valores como factor) e onde a derivada teña valoración 0: Q 5 {\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}, x 0
0, y 0
2, f ( z 0 )
28 − 13 z 02 {\displaystyle x_{0}
0, y_{0}
2, f(z_{0})
28-13z_{0}^{2}}, que para z 0
1 {\displaystyle z_{0}
1} ten diferenza 15
3 ⋅ 5 {\displaystyle 15
3\cdot 5} e por tanto valoración 1. Q 7 {\displaystyle \mathbb {Q} _{7}}, x 0
2, y 0
0, f ( z 0 )
20 − 13 z 02 {\displaystyle x_{0}
2, y_{0}
0, f(z_{0})
20-13z_{0}^{2}}, que para z 0
1 {\displaystyle z_{0}
1} ten diferenza 7 {\displaystyle 7} e por tanto valoración 1. Q 13 {\displaystyle \mathbb {Q} _{13}}, x 0
3, z 0
1, f ( y 0 )
45 + 7 y 02 {\displaystyle x_{0}
3, z_{0}
1, f(y_{0})
45+7y_{0}^{2}}, que para y 0
1 {\displaystyle y_{0}
1} ten suma 52
13 ⋅ 4 {\displaystyle 52
13\cdot 4} e por tanto valoración 1.
Por todo isto temos solución en todos os Q p 3 {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{3}} e ten solucións evidentes en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} e por tanto existe solución en Q {\displaystyle \mathbb {Q} }. Aplicación na clasificación de formas cadráticas
O teorema de Hasse-Minkowski reduce o problema de clasificar formas cadráticas sobre un corpo numérico K até a equivalencia, a resolver as mesmas cuestións dun modo moito máis simple sobre corpos locais. As invariantes básicas dunha forma cadrática non singular son a súa dimensión, que é un número enteiro positivo, e o seu discriminante módulo os cadrados en K, que é un elemento do grupo multiplicativo K* / K*2. Alén diso, para cada lugar v de K, hai unha invariante procedente do completamento de K v. Dependendo da elección de v, este completamento poden ser os números reais R, os números complexos C, ou un corpo de números p-ádicos, cada un deles ten diferentes tipos de invariantes: Caso de R. Pola lei de inercia de Sylvester, a sinatura (ou, alternativamente, o índice negativo de inercia) é unha invariante completa.
Caso de C. Todas as formas cadráticas non singulares da mesma dimensión son equivalentes.
Caso de Q p e as súas extensións alxébricas. As formas da mesma dimensión clasifícanse até a equivalencia pola súa invariante de Hasse.
Estas invariantes deben satisfacer algunhas condicións de compatibilidade: unha relación de paridade (o signo do discriminante debe coincidir co índice negativo de inercia) e unha fórmula do produto (unha relación local-global). Pola contra, para cada conxunto de invariantes que satisfán estas relacións, hai unha forma cadrática sobre K con estas invariantes.