Lei de Biot–Savart

A lei de Biot-Savart indica o campo magnético creado por correntes eléctricas estacionarias.
No caso das correntes que circulan por circuítos filiformes (ou pechados), a contribución dun elemento infinitesimal de lonxitude d l → {\displaystyle d{\vec {l}}} do circuíto percorrido por unha corrente I {\displaystyle I\, } crea unha contribución elemental de campo magnético, d B → {\displaystyle d{\vec {B}}}, no punto situado na posición que apunta o vector U → r {\displaystyle {\vec {U}}r} a unha distancia r {\displaystyle r} respecto de d l → {\displaystyle d{\vec {l}}}, que apunta en dirección á corrente I: d B →
μ 04 π I d l → × r ^ r 2 {\displaystyle d{\vec {B}}
{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Id{\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}}} onde μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} é a permeabilidade magnética do baleiro, e r ^ {\displaystyle {\hat {r}}} é un vector unitario.
No caso de correntes distribuídas en volumes, a contribución de cada elemento de volume da distribución vén dado por: d B →
μ 04 π J → × R → r 3 d v {\displaystyle d{\vec {B}}
{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\vec {J}}\times {\vec {R}}}{r^{3}}}dv} onde J → {\displaystyle {\vec {J}}} é a densidade de corrente no elemento de volume d v {\displaystyle dv\, } e R → {\displaystyle {\vec {R}}} é a posición relativa do punto no que queremos calcular o campo, respecto do elemento de volume en cuestión.
En ambos casos, o campo final resulta de aplicar o principio de superposición
a través da expresión B →
∫ d B → {\displaystyle {\vec {B}}
\int d{\vec {B}}} Na que a integral se estende a todo o recinto que contén as fontes do campo.
A lei de Biot-Savart é fundamental en magnetostática tanto como a lei de Coulomb o é en electrostática. Lei de Biot-Savart xeneralizada
Nunha aproximación magnetostática, o campo magnético pode ser determinado se se coñece a densidade de corrente j: B
K m ∫ j × r ^ r 2 d V {\displaystyle \mathbf {B}
K_{m}\int {{\frac {\mathbf {j} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dV}} onde: d V {\displaystyle \ dV} é o elemento diferencial de volume. K m
μ 04 π {\displaystyle K_{m}
{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}} é a constante magnética. Diverxencia e rotacional de
B → {\displaystyle {\vec {B}}} a partir da lei de Biot e Savart
A diverxencia e rotacional dun campo magnético estacionario pode calcularse por simple aplicación de tales operadores á lei de Biot e Savart.
Diverxencia
Aplicando o operador gradiente á expresión temos: ∇ ⋅ B →
μ 04 π ∫ V ∇ ⋅ ( J → × r ^ r 2 ) d V ′ {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}
{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}\nabla \cdot ({\vec {J}}\times {\frac {\hat {r}}{r^{2}}})dV'} Dado que a diverxencia se aplica nun punto de avaliación do campo independente da integración de J → {\displaystyle {\vec {J}}} en todo o volume, o operador non afecta a J → {\displaystyle {\vec {J}}}. Aplicando a correspondente identidade vectorial: ∇ ⋅ B →
− μ 04 π ∫ V J → ⋅ ( ∇ × ( ∇ ⋅ 1 r ) ) d V ′ {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}
-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\vec {J}}\cdot (\nabla \times (\nabla \cdot {\frac {1}{r}}))dV'} Dado que: ( ∇ × ( ∇ ⋅ 1 r ) )
0 {\displaystyle (\nabla \times (\nabla \cdot {\frac {1}{r}}))
0} Temos: ∇ ⋅ B →
0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}
0}
Rotacional
Aplicando o operador rotacional temos: ∇ × B →
μ 04 π ∫ V ∇ × ( J → × r ^ r 2 ) d V ′ {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}
{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}\nabla \times ({\vec {J}}\times {\frac {\hat {r}}{r^{2}}})dV'} Ao igual que ocorría na diverxencia, o operador non afecta a J → {\displaystyle {\vec {J}}} xa que as súas coordenadas son as do dominio de integración e non as do punto de avaliación do rotacional. Aplicando a correspondente identidade vectorial e coñecendo que ∇ ⋅ r ^ r 2
4 π ⋅ δ ( r ) {\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}
4\pi \cdot \delta (r)} ∇ × B →
μ 04 π ∫ V J → ⋅ ( ∇ ⋅ r ^ r 2 ) d V ′
μ 0 ∫ V J → ⋅ δ ( r ) ⋅ d V ′ {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}
{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\vec {J}}\cdot (\nabla \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}})dV'
\mu _{0}\int _{V}{\vec {J}}\cdot \delta (r)\cdot dV'} Realizando a integración obtemos finalmente: ∇ × B →
μ 0 ⋅ J → {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}
\mu _{0}\cdot {\vec {J}}} Nótese que o resultado anterior só é válido para campos magnéticos estacionarios. Se o campo magnético non fose estacionario aparecería á parte o termo debido á corrente de desprazamento. Motivación histórica
Xa no século XVII había, dentro da comunidade científica, a sospeita de que fenómenos eléctricos e magnéticos puidesen estar relacionados. Iso motivou o físico Hans Christian Oersted a facer experimentos para observar o efecto da electricidade nunha agulla magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao pór un fío condutor dun circuíto eléctrico fechado paralelamente a unha agulla, esta sufría unha deflexión significativa en relación á súa dirección inicial. Oersted publicou os resultados do seu experimento en xullo de 1820, limitándose a unha descrición cualitativa do fenómeno.
O descubrimento de Oersted foi divulgado en setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudosos de Francia a repetir e estender os seus experimentos. A primeira análise precisa do fenómeno foi publicada polos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os cales conseguiron formular unha lei que describía matematicamente o campo magnético producido por unha distribución de corrente eléctrica.