Imaxe (matemáticas)

En matemáticas, para unha función f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y}, a imaxe dun valor de entrada x {\displaystyle x} é o valor de saída producido por f {\displaystyle f} cando se aplica a x {\displaystyle x}. A preimaxe dun valor de saída y {\displaystyle y} é o conxunto de valores do dominio que producen y {\displaystyle y}.
Xeneralizando, avaliar f {\displaystyle f} para cada elemento dun subconxunto dado A {\displaystyle A} do seu dominio X {\displaystyle X} produce un conxunto chamado "imaxe de A {\displaystyle A} baixo f {\displaystyle f} ". De xeito semellante, a imaxe inversa (ou preimaxe) dun subconxunto dado B {\displaystyle B} do codominio Y {\displaystyle Y} é o conxunto de todos os elementos de X {\displaystyle X} que producen un elemento de B. {\displaystyle B. } A imaxe da función f {\displaystyle f} é o conxunto de todos os valores de saída que pode producir, é dicir, a imaxe de X {\displaystyle X}. A preimaxe de f {\displaystyle f}, é dicir, a preimaxe de Y {\displaystyle Y} baixo f {\displaystyle f}, é igual a X {\displaystyle X} (o dominio de f {\displaystyle f} ); por iso, este último concepto apenas se emprega.
A imaxe e a imaxe inversa poden definirse tamén para relacións binarias, non só para funcións. Definición
A palabra "imaxe" úsase de tres formas relacionadas. Nestas definicións, f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} é unha función do conxunto X {\displaystyle X} no conxunto Y {\displaystyle Y}.
Imaxe dun elemento
Se x {\displaystyle x} é membro de X, {\displaystyle X, } entón a imaxe de x {\displaystyle x} baixo f, {\displaystyle f, } denotado como f ( x ), {\displaystyle f(x), } é o valor de f {\displaystyle f} cando se aplica a x. {\displaystyle x. } f ( x ) {\displaystyle f(x)} coñécese alternativamente como a saída de f {\displaystyle f} para o argumento x {\displaystyle x}.
Dado y, {\displaystyle y, } a función f {\displaystyle f} dise que toma o valor y se existe algún x {\displaystyle x} no dominio da función tal que f ( x )
y {\displaystyle f(x)
y}.
Imaxe dun subconxunto
Sexa f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} unha función. A imaxe baixo f {\displaystyle f} dun subconxunto A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} é o conxunto de tódolos f ( a ) {\displaystyle f(a)} para a ∈ A. {\displaystyle a\in A. } Desígnase por f [ A ], {\displaystyle f[A], } ou por f ( A ), {\displaystyle f(A), } cando non hai risco de confusión. Esta definición pódese escribir como f [ A ]
{ f ( a ): a ∈ A }. {\displaystyle f[A]
\{f(a): a\in A\}. }
Imaxe dunha función
A imaxe dunha función é a imaxe de todo o seu dominio, tamén coñecida como o rango da función. Este último uso debería evitarse porque a palabra "rango" tamén se usa habitualmente para significar o codominio de f {\displaystyle f}.
Xeneralización a relacións binarias
Se R {\displaystyle R} é unha relación binaria arbitraria en X × Y, {\displaystyle X\times Y, } entón o conxunto { y ∈ Y: x R y {\displaystyle \{y\in Y: xRy} para algún x ∈ X } {\displaystyle x\in X\}} chámase imaxe ou rango de R. {\displaystyle R. } Dualmente, o conxunto { x ∈ X: x R y {\displaystyle \{x\in X: xRy} para algún y ∈ Y } {\displaystyle y\in Y\}} chámase dominio de R. {\displaystyle R. } Preimaxe ou imaxe inversa
Sexa f {\displaystyle f} unha función de X {\displaystyle X} en Y. {\displaystyle Y. } A preimaxe ou imaxe inversa dun conxunto B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} baixo f, {\displaystyle f, } denotado como f − 1 [ B ], {\displaystyle f^{-1}[B], } é o subconxunto de X {\displaystyle X} definido por f − 1 [ B ]
{ x ∈ X: f ( x ) ∈ B }. {\displaystyle f^{-1}[B]
\{x\in X\, :\, f(x)\in B\}. } Por exemplo, para a función f ( x )
x 2, {\displaystyle f(x)
x^{2}, } a preimaxe de { 4 } {\displaystyle \{4\}} sería { − 2, 2 }. {\displaystyle \{-2, 2\}. } Se non hai risco de confusión, f − 1 [ B ] {\displaystyle f^{-1}[B]} pode denotarse por f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)}. A notación f − 1 {\displaystyle f^{-1}} non se debe confundir coa de función inversa, aínda que coincide coa habitual das bixeccións en que a imaxe inversa de B {\displaystyle B} baixo f {\displaystyle f} é a imaxe de B {\displaystyle B} baixo f − 1. {\displaystyle f^{-1}. } Exemplos
f: { 1, 2, 3 } → { a, b, c, d } {\displaystyle f: \{1, 2, 3\}\to \{a, b, c, d\}} definido por { 1 ↦ a, 2 ↦ a, 3 ↦ c. {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a, \\2\mapsto a, \\3\mapsto c. \end{matrix}}\right. } A imaxe do conxunto { 2, 3 } {\displaystyle \{2, 3\}} baixo f {\displaystyle f} é f ( { 2, 3 } )
{ a, c }. {\displaystyle f(\{2, 3\})
\{a, c\}. } A imaxe da función f {\displaystyle f} é { a, c }. {\displaystyle \{a, c\}. } A preimaxe de a {\displaystyle a} é f − 1 ( { a } )
{ 1, 2 }. {\displaystyle f^{-1}(\{a\})
\{1, 2\}. } A preimaxe de { a, b } {\displaystyle \{a, b\}} é tamén f − 1 ( { a, b } )
{ 1, 2 }. {\displaystyle f^{-1}(\{a, b\})
\{1, 2\}. } A preimaxe de { b, d } {\displaystyle \{b, d\}} baixo f {\displaystyle f} é o conxunto baleiro { }
∅. {\displaystyle \{\ \}
\emptyset. } f: R → R {\displaystyle f: \mathbb {R} \to \mathbb {R} } definido por f ( x )
x 2. {\displaystyle f(x)
x^{2}. } A imaxe of { − 2, 3 } {\displaystyle \{-2, 3\}} baixo f {\displaystyle f} é f ( { − 2, 3 } )
{ 4, 9 }, {\displaystyle f(\{-2, 3\})
\{4, 9\}, } e a imaxe de f {\displaystyle f} é R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} (o conxunto de todos os números reais positivos e cero). A preimaxe de { 4, 9 } {\displaystyle \{4, 9\}} baixo f {\displaystyle f} é f − 1 ( { 4, 9 } )
{ − 3, − 2, 2, 3 }. {\displaystyle f^{-1}(\{4, 9\})
\{-3, -2, 2, 3\}. } A preimaxe do conxunto N
{ n ∈ R: n < 0 } {\displaystyle N
\{n\in \mathbb {R}: n<0\}} baixo f {\displaystyle f} é o conxunto baleiro, porque os números negativos non teñen raíz cadrada nos reais. f: R 2 → R {\displaystyle f: \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } definido por f ( x, y )
x 2 + y 2. {\displaystyle f(x, y)
x^{2}+y^{2}. } As fibras f − 1 ( { a } ) {\displaystyle f^{-1}(\{a\})} son circunferencias concéntricas aorredor da orixe, a propia orixe e o conxunto baleiro, dependdendo do valor de a, se a > 0, a
0, or a < 0 {\displaystyle a>0, \ a
0, {\text{ or }}\ a<0} (respectively). (No caso de a ≥ 0, {\displaystyle a\geq 0, } daquela a fibra f − 1 ( { a } ) {\displaystyle f^{-1}(\{a\})} é o conxunto de todos os ( x, y ) ∈ R 2 {\displaystyle (x, y)\in \mathbb {R} ^{2}} que satisfán a ecuación x 2 + y 2
a, {\displaystyle x^{2}+y^{2}
a, } isto é, as circunferencias centradas na orixe con raio a. {\displaystyle {\sqrt {a}}. } ) Se M {\displaystyle M} é unha variedade e π: T M → M {\displaystyle \pi: TM\to M} e a proxección canónica desde fibrado tanxente T M {\displaystyle TM} en M, {\displaystyle M, } entón as fibras de π {\displaystyle \pi } son os espazos tanxentes T x ( M ) para x ∈ M. {\displaystyle T_{x}(M){\text{ para }}x\in M. } isto é tamén un exemplo de fibrado tanxente.
Un grupo cociente é unha imaxe homomorfa.