Suma de matrices

En matemáticas, a suma de matrices é a operación entre matrices que se realiza sumando os elementos que están nas mesmas posicións.
Para un vector, v → {\displaystyle {\vec {v}}\! }, engadir dúas matrices tería o efecto xeométrico de aplicar cada transformación matricial por separado v → {\displaystyle {\vec {v}}\! }, engadindo despois os vectores transformados. A v → + B v →
( A + B ) v → {\displaystyle \mathbf {A} {\vec {v}}+\mathbf {B} {\vec {v}}
(\mathbf {A} +\mathbf {B} ){\vec {v}}\! } No entanto, hai outras operacións que tamén se poden considerar sumas para matrices, como a suma directa e a suma de Kronecker. Suma
Dúas matrices deben ter un número igual de filas e columnas para engadir. Nese caso, a suma de dúas matrices A e B será unha matriz que teña o mesmo número de filas e columnas que A e B. A suma de A e B, denotada A + B, calcúlase sumando os elementos cos mesmos subíndices de A e B: A + B
[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] + [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ]
[ a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ⋯ a m n + b m n ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &
{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&
{\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\, \! } Ou de forma máis concisa, se temos C
A + B: c i j
a i j + b i j {\displaystyle c_{ij}
a_{ij}+b_{ij}} Por exemplo: [ 131012 ] + [ 007521 ]
[ 1 + 03 + 01 + 70 + 51 + 22 + 1 ]
[ 138533 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}} Suma directa
Outra operación, que se usa con menos frecuencia, é a suma directa (indicada por ⊕). A suma de Kronecker tamén se denota ⊕; o contexto debe deixar claro o uso. A suma directa de calquera par de matrices A de tamaño m × n e B de tamaño p × q é unha matriz de tamaño ( m + p ) × ( n + q ) definida como: A ⊕ B
[ A 00 B ]
[ a 11 ⋯ a 1 n 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ⋯ a m n 0 ⋯ 00 ⋯ 0 b 11 ⋯ b 1 q ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 b p 1 ⋯ b p q ] {\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B}
{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}} Por exemplo, [ 132231 ] ⊕ [ 1601 ]
[ 13200231000001600001 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}} A suma directa de matrices é un tipo especial de matriz de bloques. En particular, a suma directa das matrices cadradas é unha matriz diagonal de bloques.
En xeral, a suma directa de n matrices é: ⨁ i
1 n A i
diag ⁡ ( A 1, A 2, A 3, …, A n )
[ A 10 ⋯ 00 A 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 00 ⋯ A n ] {\displaystyle \bigoplus _{i
1}^{n}\mathbf {A} _{i}
\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1}, \mathbf {A} _{2}, \mathbf {A} _{3}, \ldots, \mathbf {A} _{n})
{\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\, \! } onde os ceros son realmente bloques de ceros (é dicir, matrices cero). Suma de Kronecker
A suma de Kronecker é diferente da suma directa, mais tamén se denota por ⊕. Defínese usando o produto de Kronecker ⊗ e a suma matricial normal. Se A é a × a {\displaystyle a\times a}, B é b × b {\displaystyle b\times b} e I n {\displaystyle \mathbf {I} _{n}} denota a matriz de identidade de orde n {\displaystyle n}, entón a suma de Kronecker defínese por: A ⊕ B
A ⊗ I b + I a ⊗ B. {\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B}
\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{b}+\mathbf {I} _{a}\otimes \mathbf {B}. }