Progresión xeométrica

En matemáticas, unha progresión xeométrica é unha sucesión de números onde cada termo despois do primeiro atópase multiplicando o anterior por un número fixo diferente de cero denominado razón. Por exemplo, a sucesión 2, 6, 18, 54, .. . é unha progresión xeométrica de razón 3. Analogamente 10, 5, 2. 5, 1. 25, .. . é unha progresión xeométrica de razón 1/2.
Exemplos de sucesións xeométricas son as potencias rk dun número determinado r, como 2k e 3k. A forma xeral dunha sucesión xeométrica é a, a r, a r 2, a r 3, a r 4, … {\displaystyle a, \ ar, \ ar^{2}, \ ar^{3}, \ ar^{4}, \ \ldots } onde r ≠ 0 é a razón e a é o factor de escala, igual ao primeiro valor da sucesión. Propiedades elementais
O termo n-ésimo dunha progresión xeométrica con valor a e razón r vén dado por a n
a r n − 1. {\displaystyle a_{n}
a\, r^{n-1}. } Unha progresión xeométrica segue a relación recursiva a n
r a n − 1 {\displaystyle a_{n}
r\, a_{n-1}} for every integer n ≥ 1. {\displaystyle n\geq 1. } En xeral, para comprobar se unha sucesión é xeométrica, abonda con comprobar se cada un dos termos consecutivos teñen a mesma razón.
A razón dunha progresión xeométrica pode ser negativa, dando lugar a unha sucesión alternada, con números positivos e negativos alternativamente. Por exemplo 1, −3, 9, −27, 81, −243, …
é unha progresión xeométrica de razón −3.
O comportamento dunha progresión xeométrica depende do valor da razón. Se esta é: Positiva, os termos terán o mesmo signo que o inicial.
Negativa, os termos terán signos alternos.
Maior que 1, terá crecemento exponencial cara a máis ou menos infinito, dependendo do signo do primeiro termo.
1, a progresión será unha sucesión constante.
Entre -1 e 1, pero non cero, sufrirá decrecemento exponencial cara ao cero.
−1, a progresión será unha sucesión alternada.
Menor que -1, os valores absolutos dos termos crecerán exponencialmente cara ao infinito.
As progresión xeométricas (con razón diferente a −1, 1 ou 0) amosan crecemento o decrecemento exponencial, en oposición ao crecemento ou decrecemento linear dunha progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48, … (con diferenza 11). Este resultado foi tomado por T. R. Malthus como fundamento matemático da súa obra Principle of Population.
Un resultado interesante das progresións xeométricas é que para cada valor da razón común, tres termos consecutivos a, b e c satisfarán a ecuación b 2
a c {\displaystyle b^{2}
ac} onde b se considera a media xeométrica entre a e c. Series xeométricas
Unha serie xeométrica é a suma dos termos dunha progresión xeométrica. Por exemplo: 2 + 10 + 50 + 250
2 + 2 × 5 + 2 × 52 + 2 × 53. {\displaystyle 2+10+50+250
2+2\times 5+2\times 5^{2}+2\times 5^{3}. \, } Se a é o primeiro termo (neste caso 2), n o número de termos (aquí 4) e r a constante pola que se multiplica cada termo para atopar o seguinte (aquí 5), a suma vén dada por: a ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle {\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} No exemplo anterior, resulta: 2 + 10 + 50 + 250
2 ( 1 − 54 ) 1 − 5
− 1248 − 4
312. {\displaystyle 2+10+50+250
{\frac {2(1-5^{4})}{1-5}}
{\frac {-1248}{-4}}
312. } A fórmula funciona para calquera números reais a e r (agás r
1, que resulta nunha división entre cero). Por exemplo: − 2 π + 4 π 2 − 8 π 3
− 2 π + ( − 2 π ) 2 + ( − 2 π ) 3
− 2 π ( 1 − ( − 2 π ) 3 ) 1 − ( − 2 π )
− 2 π ( 1 + 8 π 3 ) 1 + 2 π ≈ − 214. 855. {\displaystyle -2\pi +4\pi ^{2}-8\pi ^{3}
-2\pi +(-2\pi )^{2}+(-2\pi )^{3}
{\frac {-2\pi (1-(-2\pi )^{3})}{1-(-2\pi )}} {\frac {-2\pi (1+8\pi ^{3})}{1+2\pi }}\approx -214. 855. }
Obtención da fórmula
Para obter a fórmula escríbese primeiro unha serie xeométrica como: ∑ k
1 n a r k − 1
a r 0 + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1. {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}ar^{k-1}
ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}. \, } Pódese atopar unha fórmula máis simple para a suma multiplicando ambos os membros da ecuación superior por 1 − r, e verase que ( 1 − r ) ∑ k
1 n a r k − 1
( 1 − r ) ( a r 0 + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 )
a r 0 + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 − a r 1 − a r 2 − a r 3 − ⋯ − a r n − 1 − a r n
a − a r n {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k
1}^{n}ar^{k-1}&
(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1})\\&
ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n-1}-ar^{n}\\&
a-ar^{n}\end{aligned}}} posto que todos os outros termos se cancelan. Se r ≠ 1, pódese reordenar a expresión superior para conseguir a fórmula conveniente dunha serie xeométrica que calcule a suma de n termos: ∑ k
1 n a r k − 1
a ( 1 − r n ) 1 − r. {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}ar^{k-1}
{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}. }
Fórmulas relacionadas
Se a suma non comezase en k
1, senón nun índice diferente m, entón ∑ k
m n a r k
a ( r m − r n + 1 ) 1 − r. {\displaystyle \sum _{k
m}^{n}ar^{k}
{\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}. } Derivando esta fórmula respecto de r pódese chegar ás fórmulas das dumas da forma ∑ k
0 n k s r k. {\displaystyle \sum _{k
0}^{n}k^{s}r^{k}. } Por exemplo: d d r ∑ k
0 n r k
∑ k
1 n k r k − 1
1 − r n + 1 ( 1 − r ) 2 − ( n + 1 ) r n 1 − r. {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k
0}^{n}r^{k}
\sum _{k
1}^{n}kr^{k-1}
{\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}. } Para series xeométricas que conteñen só potencias de r multiplicadas por 1 − r2: ( 1 − r 2 ) ∑ k
0 n a r 2 k
a − a r 2 n + 2. {\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k
0}^{n}ar^{2k}
a-ar^{2n+2}. } Entón ∑ k
0 n a r 2 k
a ( 1 − r 2 n + 2 ) 1 − r 2. {\displaystyle \sum _{k
0}^{n}ar^{2k} {\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}. } Equivalentemente, tomando r2 como a razón e empregando a formulación estándar.
Para unha serie que só ten potencias impares de r ( 1 − r 2 ) ∑ k
0 n a r 2 k + 1
a r − a r 2 n + 3 {\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k
0}^{n}ar^{2k+1}
ar-ar^{2n+3}} e ∑ k
0 n a r 2 k + 1
a r ( 1 − r 2 n + 2 ) 1 − r 2. {\displaystyle \sum _{k
0}^{n}ar^{2k+1}
{\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}. }
Series xeométricas infinitas
Unha serie xeométrica infinita é unha serie infinita con termos consecutivos que teñen unha razón común. Estas series converxen se e só se o valor absoluto da razón é menor que 1 (|r| < 1). O valor pode ser calculado coas fórmulas ∑ k
0 ∞ a r k
lim n → ∞ ∑ k
0 n a r k
lim n → ∞ a ( 1 − r n + 1 ) 1 − r
a 1 − r − lim n → ∞ a r n + 11 − r {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }ar^{k}
\lim _{n\to \infty }{\sum _{k
0}^{n}ar^{k}}
\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}
{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}} Dado que: r n + 1 → 0 as n → ∞ when | r | < 1. {\displaystyle r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1. } Entón: ∑ k
0 ∞ a r k
a 1 − r − 0
a 1 − r {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }ar^{k}
{\frac {a}{1-r}}-0
{\frac {a}{1-r}}} Para unha serie que contén só potencias pares de r {\displaystyle r}, ∑ k
0 ∞ a r 2 k
a 1 − r 2 {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }ar^{2k}
{\frac {a}{1-r^{2}}}} e se só contén potencias impares, ∑ k
0 ∞ a r 2 k + 1
a r 1 − r 2 {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }ar^{2k+1}
{\frac {ar}{1-r^{2}}}} Nos casos nos que a suma non comeza en k
0, ∑ k
m ∞ a r k
a r m 1 − r {\displaystyle \sum _{k
m}^{\infty }ar^{k} {\frac {ar^{m}}{1-r}}} As fórmulas dadas arriba só son válidas para |r| < 1. A última fórmula é válida en toda álxebra de Banach, cando a norma de r sexa menor ca 1, e tamén no corpo dos números p-ádicos |r|p < 1. No caso dunha suma finita pódese diferenciar para calcular as fórmulas das sumas relativas.
Por exemplo, d d r ∑ k
0 ∞ r k
∑ k
1 ∞ k r k − 1
1 ( 1 − r ) 2 {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k
0}^{\infty }r^{k}
\sum _{k
1}^{\infty }kr^{k-1}
{\frac {1}{(1-r)^{2}}}} Esta fórmula só funciona para |r| < 1. De aquí séguese que, para |r| < 1, ∑ k
0 ∞ k r k
r ( 1 − r ) 2; ∑ k
0 ∞ k 2 r k
r ( 1 + r ) ( 1 − r ) 3; ∑ k
0 ∞ k 3 r k
r ( 1 + 4 r + r 2 ) ( 1 − r ) 4 {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }kr^{k}
{\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\, ;\, \sum _{k
0}^{\infty }k^{2}r^{k}
{\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\, ;\, \sum _{k
0}^{\infty }k^{3}r^{k}
{\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}} Tamén a serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ é un exemplo elemental dunha serie que converxe absolutamente.
É unha serie xeométrica con primeiro termo igual a 1/2 e razón 1/2, logo a súa suma é 12 + 14 + 18 + 116 + ⋯
1 / 21 − ( + 1 / 2 )
1. {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots
{\frac {1/2}{1-(+1/2)}}
1. } A serie 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ é un exemplo sinxelo dunha serie alternada que converxe absolutamente.
É unha serie xeométrica con primeiro termo e razón −1/2, polo que a súa suma é 12 − 14 + 18 − 116 + ⋯
1 / 21 − ( − 1 / 2 )
13. {\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots
{\frac {1/2}{1-(-1/2)}}
{\frac {1}{3}}. }
Número complexos
A fórmula da suma de series xeométricas é válida mesmo cando a razón é un número complexo. Neste caso a condición de que o valor absoluto de r sexa menor que 1 convértese en que o módulo de r sexa menor que 1. É posible calcular as sumas dalgunhas series xeométricas non obvias. Por exemplo, considérese a proposición ∑ k
0 ∞ sin ⁡ ( k x ) r k
r sin ⁡ ( x ) 1 + r 2 − 2 r cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}
{\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}} A demostración procede do feito de que sin ⁡ ( k x )
e i k x − e − i k x 2 i, {\displaystyle \sin(kx)
{\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}}, } que é consecuencia da fórmula de Euler. Substituíndo na serie orixinal ∑ k
0 ∞ sin ⁡ ( k x ) r k
12 i [ ∑ k
0 ∞ ( e i x r ) k − ∑ k
0 ∞ ( e − i x r ) k ] {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}
{\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k
0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k
0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}.
Esta é a diferenza entre dúas series xeométricas, e é unha aplicación directa da fórmula das series infinitas xeométricas que completa a demostración. Produto
O produto dunha progresión xeométrica é o produto dos seus termos. Se todos os termos son positivos entón pode calcularse rapidamente tomando a media xeométrica do primeiro e do último termo da progresión e elevando o valor á potencia dada polo número de termos: ∏ i
0 n a r i
( a 0 ⋅ a n ) n + 1 {\displaystyle \prod _{i
0}^{n}ar^{i}
\left({\sqrt {a_{0}\cdot a_{n}}}\right)^{n+1}} (if a, r > 0 {\displaystyle a, r>0} ).
Demostración:
Sexa P o produto: P
a ⋅ a r ⋅ a r 2 ⋯ a r n − 1 ⋅ a r n {\displaystyle P
a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}.
Realizando as multiplicacións, conclúese que P
a n + 1 r 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( n − 1 ) + ( n ) {\displaystyle P
a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+(n)}}.
Aplicando a suma dunha serie aritmética, a expresión resultará P
a n + 1 r n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle P
a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}. P
( a r n 2 ) n + 1 {\displaystyle P
(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}}.
Elevando ao cadrado ambos os membros: P 2
( a 2 r n ) n + 1
( a ⋅ a r n ) n + 1 {\displaystyle P^{2}
(a^{2}r^{n})^{n+1}
(a\cdot ar^{n})^{n+1}}.
Consecuentemente, P 2
( a 0 ⋅ a n ) n + 1 {\displaystyle P^{2}
(a_{0}\cdot a_{n})^{n+1}}, e por tanto, P
( a 0 ⋅ a n ) n + 12 {\displaystyle P
(a_{0}\cdot a_{n})^{\frac {n+1}{2}}},
que conclúe a demostración. Relación entre as progresións xeométricas e a obra de Euclides
Os libros VIII e IX dos Elementos de Euclides analizan as progresións xeométricas e dan varios exemplos das súas propiedades.