Función continua

En matemáticas, unha función continua é aquela para a que, intuitivamente, para puntos próximos do dominio prodúcense pequenas variacións nos valores da función; aínda que en rigor, nun espazo métrico significa o contrario, que pequenas variacións da función implican que deben estar próximos os puntos. Se a función non é continua, dise que é descontinua. Unha función continua de R {\displaystyle \mathbb {R} } en R {\displaystyle \mathbb {R} } é aquela cunha gráfica que pode debuxarse sen levantar o lapis do papel (máis formalmente a súa gráfica é un conxunto conexo).
A continuidade de funcións é un dos conceptos principais da análise matemática e da topoloxía. Historia
Unha primeira forma da definición (ε, δ) de continuidade foi dada por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definiu a continuidade de y
f ( x ) {\displaystyle y
f(x)} como segue: un incremento infinitamente pequeno α {\displaystyle \alpha } da variable independente x sempre produce un cambio infinitamente pequeno f ( x + α ) − f ( x ) {\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)} da variable dependente y. Cauchy definiu cantitades infinitamente pequenas en termos de cantidades variables, e a súa definición de continuidade é paralela á definición infinitesimal empregada na actualidade. A definición e a distinción entre continuidade nun punto e continuidade uniforme foi dada por primeira vez por Bolzano na década de 1830 mais a súa obra non foi publicada ata cen anos despois. Como Bolzano, Karl Weierstrass negou a continuidade dunha función nun punto c a menos que estivese definida a ambos os lados de c, mais Édouard Goursat permitía que unha función estivese definida só nun lado de c, e Camille Jordan incluso se a función estaba definida só no punto c. Todas estas definicións non equivalentes de continuidade nun punto aínda se empregan.
Eduard Heine achegou a primeira definición de continuidade uniforme en 1872, pero baseou estas ideas en traballos de Peter Gustav Lejeune Dirichlet de 1854. Funcións reais dunha variable real
Informalmente falando, unha función f definida sobre un intervalo I é continua se a curva que a representa, é dicir o conxunto dos puntos (x, f(x)), con x en I, está constituída por un trazo continuo, é dicir un trazo que non está roto, nin ten "ocos" nin "saltos", como na figura da dereita.
O intervalo I de x é o dominio de definición de f, definido como o conxunto dos valores de x para os cales existe f(x).
O intervalo J de y é o rango (tamén coñecido como imaxe) de f, o conxunto dos valores de y, tomados como y
f(x). Escríbese J
f(I). Notar que en xeral, non é igual que o codominio (só é igual se a función é sobrexectiva. )
O maior elemento de J chámase o máximo absoluto de f en I, e o menor valor de J é o seu mínimo absoluto no dominio I.
Continuidade dunha función nun punto
Unha función f é continua nun punto x0 no dominio da función se: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\; } tal que para toda x no dominio da función: | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ε {\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon } Isto pódese escribir en termos de límites da seguinte maneira:
Se x0 é punto de acumulación do dominio da función entón é continua en x0 se e só se lim x → x 0 f ( x )
f ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)
f(x_{0})}. Cando x0 non é de acumulación do dominio, a función é continua nese punto.
No caso das aplicacións de R {\displaystyle \mathbb {R} } en R {\displaystyle \mathbb {R} }, e dunha maneira máis rigorosa dise que unha función f é continua nun punto x1 se existe f(x1), se existe o límite de f(x) cando x tende a x1 pola dereita, se existe o límite de {\displaystyle } (x) cando x tende a x1 pola esquerda, e ademais ambos coinciden con f(x1). ( 7 ) f ( x 1 )
L ( x 1 ) { ( 5 ) L ( x 1 )
L ( x 1 ) +
L ( x 1 ) − { ( 3 ) ∃ L ( x 1 ) + ∧ ∃ L ( x 1 ) − { ( 1 ) ∃ L ( x 1 ) +
lim x → x 1 + f ( x ) ( 2 ) ∃ L ( x 1 ) −
lim x → x 1 − f ( x ) ( 4 ) L ( x 1 ) +
L ( x 1 ) − ( 6 ) ∃ f ( x 1 ) {\displaystyle {\color {Blue}(7)}\; f(x_{1})
L_{(x_{1})}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(5)}\; L_{(x_{1})}
L_{(x_{1})}^{+}
L_{(x_{1})}^{-}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(3)}\; \exists \; L_{(x_{1})}^{+}\land \exists \; L_{(x_{1})}^{-}\; \left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(1)}\; \exists \; L_{(x_{1})}^{+}
{\displaystyle \lim _{x\to {x_{1}}^{+}}f(x)}\\\\{\color {Blue}(2)}\; \exists \; L_{(x_{1})}^{-}
{\displaystyle \lim _{x\to {x_{1}}^{-}}f(x)}\end{array}}\right. \\{\color {Blue}(4)}\; L_{(x_{1})}^{+}
L_{(x_{1})}^{-}\end{array}}\right. \\{\color {Blue}(6)}\; \exists f(x_{1})\end{array}}\right. } Así pois, unha función f continua no punto x1 implica o seguinte:
1. Existe o límite pola dereita: ∃ lim x → x 1 + f ( x ) ∈ R {\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)\in \mathbb {R} } 2. Existe o límite pola esquerda: ∃ lim x → x 1 − f ( x ) ∈ R {\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)\in \mathbb {R} } 3. A función ten límite pola dereita e pola esquerda do punto x1 ∃ lim x → x 1 + f ( x ) ∈ R ∧ ∃ lim x → x 1 − f ( x ) ∈ R {\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)\in \mathbb {R} \quad \land \quad \exists \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)\in \mathbb {R} } 4. O límite pola dereita e o límite pola esquerda coinciden: lim x → x 1 − f ( x )
lim x → x 1 + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)
\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)} 5. Se existen o límite pola dereita e pola esquerda e os seus valores coinciden, a función ten límite neste punto: lim x → x 1 f ( x )
lim x → x 1 − f ( x )
lim x → x 1 + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{1}}f(x)
\lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)
\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)} 6. Existe f(x1): ∃ f ( x 1 ) {\displaystyle \exists f(x_{1})} 7. O límite e o valor da función coinciden: lim x → x 1 f ( x )
f ( x 1 ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{1}}f(x)
f(x_{1})} A función é continua nese punto. Unha función é continua nun intervalo se é continua en todos os seus puntos. Se f(x1)
y1, a continuidade en x1 exprésase así: lim x → x 1 f ( x )
y 1 {\displaystyle \lim _{x\to x_{1}}f(x) y_{1}} Parafraseando, cando x se aproxima a x1, f(x) aproxímase a y1. Por definición dos límites, isto significa que para todo intervalo aberto J, centrado en y1, existe un intervalo aberto I, centrado en x1, tal que f ( I ) ∈ J {\displaystyle f(I)\in J}.
Se f ten un salto no punto, o teorema non se cumpre. En efecto, non todo intervalo I ao redor de x1 ten a súa imaxe nun intervalo J centrado en y1, cun raio inferior ao salto de f; non importa o pequeno que este intervalo sexa, hai valores de x do intervalo I ao redor de x1 que ten a súa imaxe nun intervalo K centrado en y2, sendo y1 e y2 valores distintos, isto é: x ten imaxes que saen de J.
A vantaxe desta definición é que se xeneraliza a calquera espazo topolóxico.
Continuidade lateral
Unha función f é continua pola esquerda no punto x
x 1 {\displaystyle x
x_{1}} se o límite lateral pola esquerda e o valor da función no punto son iguais. É dicir: lim x → x 1 − f ( x )
f ( x 1 ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)
f(x_{1})} como na figura.
Unha función f é continua pola dereita no punto x
x 1 {\displaystyle x
x_{1}} se o seu límite lateral pola dereita e o valor da función no punto son iguais. É dicir: lim x → x 1 + f ( x )
f ( x 1 ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)
f(x_{1})} Unha función f é continua nun punto se é continua pola esquerda e é continua pola dereita. Isto é: lim x → x 1 − f ( x )
lim x → x 1 + f ( x )
f ( x 1 ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)
\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)
f(x_{1})}
Continuidade dunha función nun intervalo aberto: (a, b)
Un valor c pertence a un intervalo aberto I, de extremo esquerdo a e extremo dereito b, representado I
(a, b) se: a < c < b {\displaystyle a<c<b\; } Unha función f é continua nun intervalo aberto I
(a, b), se e só se a función é continua en todos os puntos do intervalo, é dicir: ∀ c ∈ I
( a, b ): lim x → c f ( x )
f ( c ) {\displaystyle \forall c\in I
(a, b): \quad \lim _{x\to c}f(x)
f(c)}
Continuidade dunha función nun intervalo pechado: [a, b]
Un valor c pertence a un intervalo pechado I, de extremo esquerdo a e extremo dereito b, representado I
[a, b] se: a ≤ c ≤ b {\displaystyle a\leq c\leq b\; } Unha función f é continua nun intervalo pechado [a, b] se a función é continua no intervalo aberto (a, b) e é continua pola dereita da e continua pola esquerda de b: ∀ c ∈ I
[ a, b ]: lim x → c f ( x )
f ( c ) ∧ lim x → a + f ( x )
f ( a ) ∧ lim x → b − f ( x )
f ( b ) {\displaystyle \forall c\in I
[a, b]: \quad \lim _{x\to c}f(x)
f(c)\quad \land \quad \lim _{x\to a^{+}}f(x)
f(a)\quad \land \quad \lim _{x\to b^{-}}f(x) f(b)} Algunhas funcións continuas importantes
As funcións polinómicas, trigonométricas: seno e coseno, as exponenciais e as logarítmicas son continuas nos seus respectivos dominios de definición.
A parábola, como función polinómica, é un exemplo de función continua ao longo de todo o dominio real.
Na gráfica vese a función seno que é periódica, limitada e continua en todo o domino real. Dado o seu carácter periódico, con ver un só dos ciclos é suficiente para comprobar a continuidade, porque o resto dos ciclos son exactamente iguais.
Funcións definidas por intervalos
As funcións definidas para distintos intervalos de x poden ser descontinuas nos puntos de cambio de intervalo, por exemplo: A función parte enteira de x, E(x), onde E(x) é o maior número enteiro inferior ou igual a x, tal que:
E(x) ≤ x < E(x) + 1.
A súa gráfica é unha sucesión de segmentos horizontais a distintas alturas. Esta función non é continua nos enteiros, pois os límites á esquerda e á dereita difiren dun, pero é continua nos segmentos abertos (n, n+1) onde é constante. Outra función definida por intervalo é a función signo.
Función racional
As funcións racionais son continuas nun intervalo axeitado. Un exemplo disto é a función inverso de x: f ( x )
1 x {\displaystyle f(x)
{\frac {1}{x}}} Esta función é unha hipérbole composta por dous tramos. x < 0 e x > 0. Como se ve, efectivamente é continua en todo o dominio ( − ∞, 0 ) ∪ ( 0, + ∞ ) {\displaystyle \left(-\infty, 0\right)\cup \left(0, +\infty \right)} porque non está definida en x 0. Se se estende o dominio da función a ℝ (dándolle un valor arbitrario a f(0)) a función será descontinua. ) Teoremas sobre funcións continuas
Estes son algúns dos teoremas máis importantes sobre funcións continuas. Teorema de Weierstrass: Se f é continua en [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} entón presenta máximos e mínimos absolutos.
Teorema de Bolzano: Se f é continua en [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} e f ( a ) f ( b ) < 0 {\displaystyle f(a)f(b)<0}, entón ∃ c ∈ ( a, b ) {\displaystyle \exists c\in (a, b)} tal que f ( c )
0 {\displaystyle f(c)
0}.
Teorema do valor intermedio: Se f é continua en [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} e f ( a ) < k < f ( b ) {\displaystyle f(a)<k<f(b)} entón ∃ c ∈ ( a, b ) {\displaystyle \exists c\in (a, b)} tal que f ( c )
k {\displaystyle f(c)
k}.
Anotación: Se f é unha función sobre un conxunto compacto entón, a función ten un máximo ou un mínimo. Sobre un conxunto aberto tense o seguinte contraexemplo: a función f ( x )
1 / x {\displaystyle f(x)
1/x} é continua sobre ( 0, 1 ) {\displaystyle (0, 1)} pero non é limitada.
Derivabilidade e continuidade
As funcións derivables son continuas. Se unha función é derivable en x
a entón é continua en x
a. De modo que a continuidade é unha condición necesaria para a derivabilidade. É dicir, o conxunto das funcións derivables é parte das funcións continuas.
Cómpre notar que o recíproco non é válido; é dicir que nada se pode afirmar sobre a derivabilidade dunha función continua. Un exemplo claro desta situación é a función valor absoluto f(x)
|x| que aínda que é continua en todo o seu dominio non é derivable en x
0. Mesmo hai funcións continuas en todo ℝ pero non derivables en ningún punto (as funcións do movemento browniano verifican isto con probabilidade 1).
Clase de continuidade
Unha función f: Ω ⊂ R ⟶ R {\displaystyle f: \Omega \subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }, dise que: é de clase C 0 ( Ω ) {\displaystyle C^{0}(\Omega )\, } cando é continua en todo o dominio Ω {\displaystyle \Omega } é de clase C k ( Ω ) {\displaystyle C^{k}(\Omega )\, } se está definida en todo o dominio Ω {\displaystyle \Omega } xunto coas súas derivadas até orde k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} e todas elas son continuas.
é de clase C ∞ ( Ω ) {\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\, } se ten derivadas continuas de calquera orde. As funcións deste tipo non son nercesariamente analíticas.
é de clase C − 1 ( Ω ) {\displaystyle C^{-1}(\Omega )\, } se é a derivada no sentido das distribucións dunha función de clase C 0 ( Ω ) {\displaystyle C^{0}(\Omega )\, }.
Unha función xeneralizada dise de clase C − k ( Ω ) {\displaystyle C^{-k}(\Omega )\, } se é a derivada k-ésima no sentido das distribucións dunha función de clase C 0 ( Ω ) {\displaystyle C^{0}(\Omega )\, }.
Calquera función polinómica dunha variable é unha función de clase C ∞ ( R ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}. A función xeneralizada denominada delta de Dirac é unha función de clase C − 2 ( R ) {\displaystyle C^{-2}(\mathbb {R} )\, } xa que é a derivada segunda da función rampla que é continua, e a derivada primeira da función en esqueira de Heaviside que é de clase C − 1 {\displaystyle C^{-1}} Pódense dar exemplos que mostran que hai funcións de clase C k ( Ω ) {\displaystyle C^{k}(\Omega )\, } que non son de clase C k + 1 ( Ω ) {\displaystyle C^{k+1}(\Omega )\, }. Os exemplos clásicos son f k ( x )
x k sen ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle f_{k}(x)
x^{k}\operatorname {sen}(1/x)}. Funcións continuas en espazos topolóxicos
Sexan ( X, T X ) {\displaystyle (X, T_{X})} e ( Y, T Y ) {\displaystyle (Y, T_{Y})} dous espazos topolóxicos. Unha aplicación f: X ⟶ Y {\displaystyle f: X\longrightarrow Y} dise que é continua se f − 1 ( G ) {\displaystyle f^{-1}(G)} é un aberto de X {\displaystyle X}, calquera que sexa o aberto G {\displaystyle G} de Y {\displaystyle Y}. Esta é a continudade vista globalmente, a que segue é a continuidade nun punto do dominio.
Esta definición redúcese á definición ordinaria de continuidade dunha función f: R n → R m {\displaystyle f: \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} se sobre R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} se considera a topoloxía inducida pola distancia euclidiana.
Coa mesma notación anterior, se x ∈ X {\displaystyle x\in X}, dise que f {\displaystyle f} é continua en x {\displaystyle x} cando se obtén que f − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)} é unha veciñanza de x {\displaystyle x}, calquera que sexa a veciñanza V {\displaystyle V} de f ( x ) {\displaystyle f(x)}.
É inmediato entón comprobar que f {\displaystyle f} é continua se e só se é continua en x ∈ X {\displaystyle x\in X}, calquera que sexa este, é dicir, cando sexa continua en cada un dos puntos do seu dominio. Funcións continuas sobre os números ordinais
O termo función continua na parte da teoría de conxuntos que se refire aos números ordinais ten un sentido diferente ao referido ás funcións sobre espazos topolóxicos. Concretamente unha función F definida sobre a clase dos números ordinais O n {\displaystyle \mathrm {On} } é continua se para cada ordinal límite γ se cumpre a seguinte propiedade: F ( γ )
⋃ { F ( σ ) | σ < γ, σ ∈ O n } {\displaystyle F(\gamma )
\bigcup \{F(\sigma )|\ \sigma <\gamma, \ \sigma \in \mathrm {On} \}}