Cálculo sombra

En matemáticas anteriores á década de 1970, o termo cálculo sombra referíase á sorprendente semellanza entre ecuacións polinómicas aparentemente non relacionadas e certas técnicas paralelas utilizadas para "probalas". Estas técnicas foron introducidas por John Blissard e ás veces chámanse método simbólico de Blissard. Moitas veces atribúense a Édouard Lucas (ou James Joseph Sylvester), quen utilizou a técnica de forma extensiva.
Despois do 2000, o cálculo sombra refírese ao estudo das secuencias de Sheffer, incluídas as secuencias polinómicas de tipo binomial e as secuencias de Apell, pero pode abranguer técnicas de correspondencia sistemática do cálculo de diferenzas finitas. O cálculo sombra do século XIX
O método é un procedemento de notación usado para derivar identidades que inclúen secuencias indexadas de números finxindo que os índices son expoñentes. Construído literalmente, é absurdo, mais ten éxito: as identidades derivadas mediante o cálculo sombra tamén se poden derivar correctamente mediante métodos máis complicados que poden estabelecerse literalmente sen dificultade lóxica.
Un exemplo inclúe os polinomios de Bernoulli. Considere, por exemplo, a expansión binomial ordinaria (que contén un coeficiente binomial): ( y + x ) n
∑ k
0 n ( n k ) y n − k x k {\displaystyle (y+x)^{n}
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}} e a relación notablemente semellante nos polinomios de Bernoulli: B n ( y + x )
∑ k
0 n ( n k ) B n − k ( y ) x k. {\displaystyle B_{n}(y+x)
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}. } Na expansión binomial temos os expoñente e nos polinomios de Bernoulli temos as súas sombras que son os subíndices.
Compare tamén a derivada ordinaria d d x x n
n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}
nx^{n-1}} a unha relación moi semellante nos polinomios de Bernoulli: d d x B n ( x )
n B n − 1 ( x ). {\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)
nB_{n-1}(x). } Así, por exemplo, pretendendo que o subíndice n − k é un expoñente: B n ( x )
∑ k
0 n ( n k ) b n − k x k
( b + x ) n, {\displaystyle B_{n}(x)
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}
(b+x)^{n}, } e despois diferenciando, obtense o resultado desexado: B n ′ ( x )
n ( b + x ) n − 1
n B n − 1 ( x ). {\displaystyle B_{n}'(x)
n(b+x)^{n-1}
nB_{n-1}(x). } No anterior, a variable b ten unha "sombra".
Vexa tamén a fórmula de Faulhaber. Serie de Taylor sombra
No cálculo diferencial, a serie de Taylor dunha función é unha suma infinita de termos que se expresan en termos de derivadas da función nun único punto. É dicir, unha función real ou complexa f (x) que é infinitamente derivable en a {\displaystyle a} pódese escribir como: f ( x )
∑ n
0 ∞ f ( n ) ( a ) n! ( x − a ) n {\displaystyle f(x)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n! }}(x-a)^{n}} Tamén temos relacións semellantes na teoría das diferenzas finitas. A versión sombra da serie de Taylor vén dada por unha expresión similar que inclúe as k-ésimas diferenzas Δ k [ f ] {\displaystyle \Delta ^{k}[f]} dunha función polinómica, f ( x )
∑ k
0 ∞ Δ k [ f ] ( a ) k! ( x − a ) k {\displaystyle f(x)
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k! }}(x-a)_{k}} onde ( x − a ) k
( x − a ) ( x − a − 1 ) ( x − a − 2 ) ⋯ ( x − a − k + 1 ) {\displaystyle (x-a)_{k}
(x-a)(x-a-1)(x-a-2)\cdots (x-a-k+1)} é o símbolo de Pochhammer usado aquí para o produto factorial descendente.
Esta serie tamén se coñece como a serie de Newton ou a expansión da diferenzas de Newton. A analoxía coa expansión de Taylor utilízase no cálculo de diferenzas finitas. Bell e Riordan
Nas décadas de 1930 e 1940, Eric Temple Bell intentou sen éxito facer este tipo de argumento loxicamente rigoroso. O combinatorialista John Riordan no seu libro Combinatorial Identities publicado na década de 1960, utilizou este tipo de técnicas amplamente. O cálculo sombra moderno
Outro combinatorialista, Gian-Carlo Rota, sinalou que o misterio desaparece se se considera a función linear L en polinomios en z definidos por L ( z n )
B n ( 0 )
B n. {\displaystyle L(z^{n})
B_{n}(0)
B_{n}. } Daquela, usando a definición dos polinomios de Bernoulli e a definición e linearidade de L, pódese escribir B n ( x )
∑ k
0 n ( n k ) B n − k x k
∑ k
0 n ( n k ) L ( z n − k ) x k
L ( ∑ k
0 n ( n k ) z n − k x k )
L ( ( z + x ) n ) {\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x)&
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}\\&
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}\\&
L\left(\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)\\&
L\left((z+x)^{n}\right)\end{aligned}}} Isto permite substituír ocorrencias de B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} por L ( ( z + x ) n ) {\displaystyle L((z+x)^{n})}, é dicir, mover o n dun subíndice a un superíndice (a operación clave do cálculo sombra). Por exemplo, agora podemos demostrar que: ∑ k
0 n ( n k ) B n − k ( y ) x k
∑ k
0 n ( n k ) L ( ( z + y ) n − k ) x k
L ( ∑ k
0 n ( n k ) ( z + y ) n − k x k )
L ( ( z + x + y ) n )
B n ( x + y ). {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}&
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}\\&
L\left(\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)\\&
L\left((z+x+y)^{n}\right)\\&
B_{n}(x+y). \end{aligned}}} Rota afirmou máis tarde que moita da confusión era debida á falta de distinción entre tres relacións de equivalencia que ocorren con frecuencia neste tema, todas elas indicadas polo mesmo símbolo " ".
Nun artigo publicado en 1964, Rota utilizou métodos sombra para estabelecer a fórmula de recursión satisfeita polos números de Bell, que enumeran particións de conxuntos finitos.
No artigo de Roman e Rota citado a continuación, o cálculo sombra caracterízase como o estudo da álxebra sombra, definida como a álxebra de funcionais lineares no espazo vectorial de polinomios nunha variable x, cun produto L 1 L 2 de funcións lineares definido por ⟨ L 1 L 2 | x n ⟩
∑ k
0 n ( n k ) ⟨ L 1 | x k ⟩ ⟨ L 2 | x n − k ⟩. {\displaystyle \left\langle L_{1}L_{2}|x^{n}\right\rangle
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}\left\langle L_{1}|x^{k}\right\rangle \left\langle L_{2}|x^{n-k}\right\rangle. } Cando as secuencias polinómicas substitúen as secuencias de números como imaxes de yn baixo a correspondencia linear L, entón o método sombra é visto como un compoñente esencial da teoría xeral de polinomios especiais de Rota, e esa teoría é o cálculo sombra nalgunhas definicións máis modernas do termo. Unha pequena mostra desa teoría pódese atopar no artigo sobre secuencias polinómicas de tipo binomial. Outro é o artigo titulado Sheffer sequence.
Rota máis tarde aplicou extensamente o cálculo sombra no seu traballo con Shen para estudar as diversas propiedades combinatorias dos cumulantes.