Ideal primo

En álxebra, un ideal primo é un subconxunto dun anel que comparte moitas propiedades importantes dun número primo do anel de enteiros. Os ideais primos para os enteiros son os conxuntos que conteñen todos os múltiplos dun número primo dado, xunto co ideal cero.
Os ideais primitivos son primos e os ideais primos son tanto primarios como semiprimos. Ideais primos para aneis conmutativos
Definición
Un ideal P dun anel conmutativo R é primo se ten as dúas propiedades seguintes: Se a e b son dous elementos de R tal que o seu produto ab é un elemento de P, entón a está en P ou b está en P,
P non é todo o anel R.
Isto xeneraliza a seguinte propiedade dos números primos, coñecida como lema de Euclides: se p é un número primo e se p divide un produto ab de dous enteiros, entón p divide a ou p divide b. Por iso podemos dicir Un enteiro positivo n é un número primo se e só se n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } é un ideal primo en Z. {\displaystyle \mathbb {Z}. }
Exemplos
Un exemplo sinxelo: No anel R
Z, {\displaystyle R
\mathbb {Z}, } o subconxunto dos números pares son un ideal primo.
Dado un dominio de integridade R {\displaystyle R}, calquera elemento primo p ∈ R {\displaystyle p\in R} xera un ideal primo principal ( p ) {\displaystyle (p)}. Por exemplo, tomemos un polinomio irredutíbel f ( x 1, …, x n ) {\displaystyle f(x_{1}, \ldots, x_{n})} nun anel polinómico F [ x 1, …, x n ] {\displaystyle \mathbb {F} [x_{1}, \ldots, x_{n}]} sobre algún corpo F {\displaystyle \mathbb {F} }. O criterio de Eisenstein para dominios de integridade (de aí UFD) pode ser eficaz para determinar se un elemento nun anel polinómico é irredutíbel.
Se R denota o anel C [ X, Y ] {\displaystyle \mathbb {C} [X, Y]} de polinomios en dúas variables con coeficientes complexos, entón o ideal xerado polo polinomio Y 2 − X 3 − X − 1 é un ideal primo (ver curva elíptica).
No anel Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} de todos os polinomios con coeficientes enteiros, o ideal xerado por 2 e X é un ideal primo. O ideal consiste en todos os polinomios construídos tomando 2 veces un elemento de Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} e engadilo a outro polinomio X veces en Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} (que converte o coeficiente constante no último polinomio nun coeficiente linear). Polo tanto, o ideal resultante consiste en todos aqueles polinomios cuxo coeficiente constante é par.
En calquera anel R, un ideal maximal é un ideal M que é maximal no conxunto de todos os ideais propios de R, é dicir, M está contido en dous ideais de R, a saber M mesmo e todo o anel R. Todos os ideais maximais son primos. En un dominio de ideais principais cada ideal primo diferente de cero é maximal, pero isto non é certo en xeral. Para o UFD (dominio de factorización única) C [ x 1, …, x n ] {\displaystyle \mathbb {C} [x_{1}, \ldots, x_{n}]}, teorema nullstellensatz de Hilbert afirma que cada ideal maximal é da forma ( x 1 − α 1, …, x n − α n ). {\displaystyle (x_{1}-\alpha _{1}, \ldots, x_{n}-\alpha _{n}). } Se M é un variedade suave, R é o anel de funcións reais suaves en M e, x é un punto en M, entón o conxunto de todas as funciónssuaves f con f (x) 0 forma un ideal primo (mesmo un ideal maximal) en R.
Non exemplos
Considere a composición dos dous cocientes seguintes C [ x, y ] → C [ x, y ] ( x 2 + y 2 − 1 ) → C [ x, y ] ( x 2 + y 2 − 1, x ) {\displaystyle \mathbb {C} [x, y]\to {\frac {\mathbb {C} [x, y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x, y]}{(x^{2}+y^{2}-1, x)}}} Aínda que os dous primeiros aneis son dominios de integridade (de feito o primeiro é un UFD) o último non é un dominio de integridade xa que é isomorfo a C [ x, y ] ( x 2 + y 2 − 1, x ) ≅ C [ y ] ( y 2 − 1 ) ≅ C × C {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x, y]}{(x^{2}+y^{2}-1, x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C} } posto que ( y 2 − 1 ) {\displaystyle (y^{2}-1)} factoriza en ( y − 1 ) ( y + 1 ) {\displaystyle (y-1)(y+1)}, o que implica a existencia de divisores de cero no anel cociente, evitando que sexa isomorfo a C {\displaystyle \mathbb {C} } e en cambio ao dominio non de integridade C × C {\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} } (polo teorema chinés do resto ).
Isto demostra que o ideal ( x 2 + y 2 − 1, x ) ⊂ C [ x, y ] {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1, x)\subset \mathbb {C} [x, y]} non é primo. (Consulte a primeira propiedade que aparece a continuación).
Outro non exemplo é o ideal ( 2, x 2 + 5 ) ⊂ Z [ x ] {\displaystyle (2, x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]} xa que temos x 2 + 5 − 2 ⋅ 3
( x − 1 ) ( x + 1 ) ∈ ( 2, x 2 + 5 ) {\displaystyle x^{2}+5-2\cdot 3
(x-1)(x+1)\in (2, x^{2}+5)} mais ningún de x − 1 {\displaystyle x-1} e x + 1 {\displaystyle x+1} son elementos do ideal.
Propiedades
Un ideal I no anel R (con unidade) é primo se e só se o anel cociente R/I é un dominio de integridade. En particular, un anel conmutativo (con unidade) é un dominio de integridade se e só se (0) é un ideal primo. (Note que o anel cero non ten ideais primos, porque o ideal (0) é todo o anel).
Un ideal I é primo se e só se o seu conxunto complemento é multiplicativamente pechado.
Cada anel diferente de cero contén polo menos un ideal primo (de feito contén polo menos un ideal maximal), que é unha consecuencia directa do Teorema de Krull.
Máis en xeral, se S é calquera conxunto multiplicativamente pechado en R, entón un lema esencialmente debido a Krull mostra que existe un ideal de R maximal respecto ao ser disxunto de S, e a maiores o ideal debe ser primo. Isto pode ser xeneralizado a aneis non comutativos. No caso {S} {1}, temos o Teorema de Krull, e isto cobre os ideais maximais de R. Outro m-sistema prototipo é o conxunto, {x, x2, x3, x4, .. .}, de todos as potencias positivas dun elemento non-nilpotente.
A preimaxe dun ideal primo baixo un homomorfismo de aneis é un ideal primo. O feito análogo non sempre é certo para ideais maximais, que é unha das razóns polas que os xeómetras alxébricos definen o espectro dun anel como o seu conxunto de ideais primos en vez de maximais; preténdese que un homomorfismo de aneis dea un mapa entre os seus espectros.
O conxunto de todos os ideais primos (chamado o espectro dun anel) contén elementos minimais (chamados ideais primos minimais). Xeometricamente, estes corresponden a compoñentes irreductíbeis do espectro.
A suma de dous ideais primos non é necesariamente primo. Por exemplo, considere o anel C [ x, y ] {\displaystyle \mathbb {C} [x, y]} con ideais primos P
(x2 + y2 − 1) e Q
(x) (os ideais xerados por x2 + y2 − 1 e x respectivamente). A súa suma P + Q
(x2 + y2 − 1, x)
(y2 − 1, x), porén, non é primo: y2 − 1 (y − 1)(y + 1) ∈ P + Q pero os seus dous factores non o son. Alternativamente, o anel cociente ten divisores de cero así que non é un dominio de integridade e, polo tanto, P + Q non pode ser primo.
Non todos os ideais que non poden ser factorizados en dous ideais son un ideal primo; por exemplo, ( x, y 2 ) ⊂ R [ x, y ] {\displaystyle (x, y^{2})\subset \mathbb {R} [x, y]} non se pode factorizar, mais non é primo.
Nun anel conmutativo R con polo menos dous elementos, se cada ideal propio é primo, entón o anel é un corpo. (Se o ideal (0) é primo, entón o anel R é un dominio de integridade. Se q é calquera elemento non cero de R e o ideal (q2) é primo, entón contén q e por tanto q é invertíbel).
Un ideal principal diferente de cero é primo se e só se é xerado por un elemento primo. Nun UFD, cada ideal primo diferente de cero contén un elemento primo.