Disxunción lóxica

En lóxica, a disxunción, tamén coñecida como disxunción lóxica, é unha conectiva lóxica que normalmente denótase como ∨ {\displaystyle \lor } e lese como "ou". Por exemplo, a frase en galego "fai sol ou está quente" pódese representar na lóxica usando a fórmula disxuntiva S ∨ Q {\displaystyle S\lor Q}, supoñendo que S {\displaystyle S} abrevia "fai sol" e Q {\displaystyle Q} abrevia "está quente". (Comúnmete enténdese máis por unha cousa ou outra, máis en lóxica tamén é válido cando acontecen as dúas xuntas). Notación
Na lóxica e outros campos relacionados, a disxunción adoita anotarse cun operador infixo ∨ {\displaystyle \lor }. As notacións alternativas inclúen +, usado principalmente en electrónica, así como | e || en moitas linguaxes de programación. Disxunción clásica
Semántica
A disxunción clásica é unha operación funcional de verdade que devolve o valor de verdade verdadeiro a menos que ambos os seus argumentos sexan falsos. A súa entrada semántica dáse normalmente do seguinte xeito: ⊨ ϕ ∨ ψ {\displaystyle \models \phi \lor \psi } se ⊨ ϕ {\displaystyle \models \phi } ou ⊨ ψ {\displaystyle \models \psi } ou ambos os dous
Esta semántica correspóndese coa seguinte táboa de verdade:
Definida por outros operadores
Nos sistemas lóxicos clásicos onde a disxunción lóxica non é unha primitiva, pódese definir en termos das primitivas AND ( ∧ {\displaystyle \land } ) e NOT ( ¬ {\displaystyle \lnot } ) como: A ∨ B
¬ ( ( ¬ A ) ∧ ( ¬ B ) ) {\displaystyle A\lor B
\neg ((\neg A)\land (\neg B))}.
Alternativamente, pódese definir en termos da implicación ( → {\displaystyle \to } ) e da negación (lóxica) como: A ∨ B
( ¬ A ) → B {\displaystyle A\lor B
(\lnot A)\to B}.
Esta última pódese comprobar coa seguinte táboa de verdade: Tamén se pode definir unicamente en termos de → {\displaystyle \to }: A ∨ B
( A → B ) → B {\displaystyle A\lor B
(A\to B)\to B}.
Pódese comprobar coa seguinte táboa de verdade:
Propiedades
As seguintes propiedades aplícanse á disxunción: Asociatividade: a ∨ ( b ∨ c ) ≡ ( a ∨ b ) ∨ c {\displaystyle a\lor (b\lor c)\equiv (a\lor b)\lor c} Conmutatividade: a ∨ b ≡ b ∨ a {\displaystyle a\lor b\equiv b\lor a} Distributividade: ( a ∧ ( b ∨ c ) ) ≡ ( ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) ) {\displaystyle (a\land (b\lor c))\equiv ((a\land b)\lor (a\land c))} ( a ∨ ( b ∧ c ) ) ≡ ( ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c ) ) {\displaystyle (a\lor (b\land c))\equiv ((a\lor b)\land (a\lor c))} ( a ∨ ( b ∨ c ) ) ≡ ( ( a ∨ b ) ∨ ( a ∨ c ) ) {\displaystyle (a\lor (b\lor c))\equiv ((a\lor b)\lor (a\lor c))} ( a ∨ ( b ≡ c ) ) ≡ ( ( a ∨ b ) ≡ ( a ∨ c ) ) {\displaystyle (a\lor (b\equiv c))\equiv ((a\lor b)\equiv (a\lor c))} Idempotencia: a ∨ a ≡ a {\displaystyle a\lor a\equiv a} Monotonía: ( a → b ) → ( ( c ∨ a ) → ( c ∨ b ) ) {\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((c\lor a)\rightarrow (c\lor b))} ( a → b ) → ( ( a ∨ c ) → ( b ∨ c ) ) {\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((a\lor c)\rightarrow (b\lor c))} Aplicacións en informática
Os operadores correspondentes á disxunción lóxica existen na maioría das linguaxes de programación.
Operación bit a bit
A disxunción úsase a miúdo para operacións bit a bit. Exemplos: 0 ou 00
0 ou 11
1 ou 01
1 ou 11
1010 ou 11001110
Operación lóxica
Moitas linguaxes de programación distinguen entre a disxunción bit a bit e a disxunción lóxica proporcionando dous operadores distintos; nas linguaxes que seguen a C, a disxunción bit a bit realízase co operador de barra única (|) e a disxunción lóxica co operador de barra dupla (||). Teoría de conxuntos
A pertenza dun elemento dun conxunto unión na teoría de conxuntos defínese en termos dunha disxunción lóxica: x ∈ A ∪ B ⇔ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) {\displaystyle x\in A\cup B\Leftrightarrow (x\in A)\vee (x\in B)}. Por iso, a disxunción lóxica satisfai moitas das mesmas identidades que a unión na teoría de conxuntos, como a asociatividade, a conmutividade, a distributividade e as leis de Morgan, identificando a conxunción lóxica coa intersección de conxuntos, e a negación lóxica co complemento de conxuntos. Linguaxe natural
A disxunción nas linguas naturais non coincide normalmente coa interpretación de ∨ {\displaystyle \lor } na lóxica clásica. Como se comentou na introdución na fala común a disxunción non inclúe a condición de certa para ambas as condicións. Por exemplo é habitual facer perguntas con "ou" con intención de escoller entre as dúas: queres carne ou peixe? .
Esta interpretación correspóndese coa conectiva XOR (ou exclusivo).