Integración por partes

En cálculo, e máis xeralmente na análise matemática, a integración por partes é un proceso que atopa a integral dun produto de funcións en termos da integral do produto da súa derivada e antiderivada. A regra pódese pensar como unha versión para unha integral da regra de diferenciación do produto.
A fórmula de integración por partes di: ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x
[ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x
u ( b ) v ( b ) − u ( a ) v ( a ) − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\, dx&
{\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\, dx\\&
u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\, dx. \end{aligned}}} Ou, sendo u
u ( x ) {\displaystyle u
u(x)} e d u
u ′ ( x ) d x {\displaystyle du
u'(x)\, dx} mentres que v
v ( x ) {\displaystyle v
v(x)} e d v
v ′ ( x ) d x, {\displaystyle dv
v'(x)\, dx, } a fórmula pódese escribir de forma máis compacta: ∫ u d v
u v − ∫ v d u. {\displaystyle \int u\, dv\
\ uv-\int v\, du. } A primeira expresión escríbese como unha integral definida e a segunda escríbese como unha integral indefinida. O matemático Brook Taylor descubriu a integración por partes, publicando a idea por primeira vez en 1715. Existen formulacións máis xerais de integración por partes para as integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. O análogo discreto para secuencias chámase sumatorio por partes. Teorema
Produto de dúas funcións
O teorema pódese derivar do seguinte xeito. Para dúas funcións continuamente diferenciábeis u ( x ) {\displaystyle u(x)} e v ( x ) {\displaystyle v(x)}, a regra do produto estabelece: ( u ( x ) v ( x ) ) ′
u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ). {\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'
u'(x)v(x)+u(x)v'(x). } Integrando ámbolos dous lados con respecto a x {\displaystyle x}, ∫ ( u ( x ) v ( x ) ) ′ d x
∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x, {\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\, dx
\int u'(x)v(x)\, dx+\int u(x)v'(x)\, dx, } e observando que unha integral indefinida é unha antiderivada dá u ( x ) v ( x )
∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x, {\displaystyle u(x)v(x)
\int u'(x)v(x)\, dx+\int u(x)v'(x)\, dx, } onde prescindimos de escribir a constante de integración. Isto dá a fórmula da integración por partes: ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x
u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x, {\displaystyle \int u(x)v'(x)\, dx
u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\, dx, } ou en termos de diferenciais d u
u ′ ( x ) d x {\displaystyle du
u'(x)\, dx}, d v
v ′ ( x ) d x, {\displaystyle dv
v'(x)\, dx, \quad } ∫ u ( x ) d v
u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) d u. {\displaystyle \int u(x)\, dv
u(x)v(x)-\int v(x)\, du. } Aplicacións
Calcular antiderivadas
A integración por partes é unha heurística máis que un proceso puramente mecánico para resolver integrais; dada unha única función para integrar, a estratexia típica é separar coidadosamente esta única función nun produto de dúas funcións u(x) v(x) de forma que a integral residual da fórmula de integración por partes sexa máis fácil de avaliar que a función unida. Como exemplo sinxelo, consideremos: ∫ ln ⁡ ( x ) x 2 d x. {\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\, dx\, .} Xa que a derivada de ln(x) é1/x, tomamos (ln(x)) como parte u; xa que a antiderivada de 1/x2 é −1/x tomamos 1/x2 como part v. A fórmula agora dá: ∫ ln ⁡ ( x ) x 2 d x
− ln ⁡ ( x ) x − ∫ ( 1 x ) ( − 1 x ) d x
− ln ⁡ ( x ) x − 1 x + C. {\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\, dx
-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\, dx
-{\frac {\ln(x)}{x}}-{\frac {1}{x}}+C. } A antiderivada de −1/x2 atópase coa regra da potencia.
Alternativamente, pódese escoller u e v de tal forma que o produto u ′ (∫v dx) simplifica debido á cancelación. Por exemplo, supoñamos que se quere integrar: ∫ sec 2 ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | ) d x. {\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\, dx. } Se escollemos u(x)
ln(|sin( x )|) e v (x)
sec2x, entón u diferénciase como 1 tan ⁡ x {\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}} usando a regra da cadea e v intégrase como tan x; polo que a fórmula dá: ∫ sec 2 ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | ) d x
tan ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | ) − ∫ tan ⁡ ( x ) ⋅ 1 tan ⁡ ( x ) d x
tan ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | ) − x + C. {\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\, dx
\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\, dx\
\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-x+C. }
Polinomios e funcións trigonométricas
Para calcular I
∫ x cos ⁡ ( x ) d x, {\displaystyle I
\int x\cos(x)\, dx\, ,} facemos: u
x ⇒ d u
d x d v
cos ⁡ ( x ) d x ⇒ v
∫ cos ⁡ ( x ) d x
sin ⁡ ( x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&
x\ &\Rightarrow \ &&du&
dx\\dv&
\cos(x)\, dx\ &\Rightarrow \ &&v&
\int \cos(x)\, dx
\sin(x)\end{alignedat}}} daquela: ∫ x cos ⁡ ( x ) d x
∫ u d v
u ⋅ v − ∫ v d u
x sin ⁡ ( x ) − ∫ sin ⁡ ( x ) d x
x sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) + C, {\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\, dx&
\int u\ dv\\&
u\cdot v-\int v\, du\\&
x\sin(x)-\int \sin(x)\, dx\\&
x\sin(x)+\cos(x)+C, \end{aligned}}} onde C, coma sempre é unha constante de integración.
Funcións exponenciais e trigonométricas
Un exemplo que se usa habitualmente para entender o funcionamento da integración por partes é I
∫ e x cos ⁡ ( x ) d x. {\displaystyle I
\int e^{x}\cos(x)\, dx. } Aquí, a integración por partes realízase dúas veces. Primeiro facemos u
cos ⁡ ( x ) ⇒ d u
− sin ⁡ ( x ) d x d v
e x d x ⇒ v
∫ e x d x
e x {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&
\cos(x)\ &\Rightarrow \ &&du&
-\sin(x)\, dx\\dv&
e^{x}\, dx\ &\Rightarrow \ &&v&
\int e^{x}\, dx
e^{x}\end{alignedat}}} daquela: ∫ e x cos ⁡ ( x ) d x
e x cos ⁡ ( x ) + ∫ e x sin ⁡ ( x ) d x. {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\, dx
e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\, dx. } Agora, para avaliar a integral restante, usamos de novo a integración por partes, con: u
sin ⁡ ( x ) ⇒ d u
cos ⁡ ( x ) d x d v
e x d x ⇒ v
∫ e x d x
e x. {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&
\sin(x)\ &\Rightarrow \ &&du&
\cos(x)\, dx\\dv&
e^{x}\, dx\, &\Rightarrow \ &&v&
\int e^{x}\, dx
e^{x}. \end{alignedat}}} Entón: ∫ e x sin ⁡ ( x ) d x
e x sin ⁡ ( x ) − ∫ e x cos ⁡ ( x ) d x. {\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\, dx
e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\, dx. } Xuntando as dúas, ∫ e x cos ⁡ ( x ) d x
e x cos ⁡ ( x ) + e x sin ⁡ ( x ) − ∫ e x cos ⁡ ( x ) d x. {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\, dx
e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\, dx. } A mesma integral aparece a ambos os dous lados desta ecuación. A integral pódese engadir simplemente a ambos os dous lados para obter 2 ∫ e x cos ⁡ ( x ) d x
e x [ sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) ] + C, {\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\, dx
e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C, } que reordenamos como ∫ e x cos ⁡ ( x ) d x
12 e x [ sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) ] + C ′ {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\, dx
{\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'} onde outra vez C {\displaystyle C} (e C ′
C 2 {\displaystyle C'
{\frac {C}{2}}} ) é unha constante de integración.
Funcións multiplicadas pola unidade
Outros dous exemplos coñecidos son cando a integración por partes se aplica a unha función expresada como produto de 1 e de si mesma. Isto funciona se se coñece a derivada da función e tamén a integral desta derivada multiplicada por x {\displaystyle x}.
O primeiro exemplo é ∫ ln ⁡ ( x ) d x {\displaystyle \int \ln(x)dx}. Escribimos isto como: I
∫ ln ⁡ ( x ) ⋅ 1 d x. {\displaystyle I
\int \ln(x)\cdot 1\, dx\, .} Sexa: u
ln ⁡ ( x ) ⇒ d u
d x x {\displaystyle u
\ln(x)\ \Rightarrow \ du
{\frac {dx}{x}}} d v
d x ⇒ v
x {\displaystyle dv
dx\ \Rightarrow \ v
x} logo: ∫ ln ⁡ ( x ) d x
x ln ⁡ ( x ) − ∫ x x d x
x ln ⁡ ( x ) − ∫ 1 d x
x ln ⁡ ( x ) − x + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\, dx&
x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\, dx\\&
x\ln(x)-\int 1\, dx\\&
x\ln(x)-x+C\end{aligned}}} O segundo exemplo é a función inversa da tanxente arctan ⁡ ( x ) {\displaystyle \arctan(x)}: I
∫ arctan ⁡ ( x ) d x. {\displaystyle I
\int \arctan(x)\, dx. } Reescribe isto como ∫ arctan ⁡ ( x ) ⋅ 1 d x. {\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\, dx. } Agora temos: u
arctan ⁡ ( x ) ⇒ d u
d x 1 + x 2 {\displaystyle u
\arctan(x)\ \Rightarrow \ du
{\frac {dx}{1+x^{2}}}} d v
d x ⇒ v
x {\displaystyle dv
dx\ \Rightarrow \ v
x} entón ∫ arctan ⁡ ( x ) d x
x arctan ⁡ ( x ) − ∫ x 1 + x 2 d x
x arctan ⁡ ( x ) − ln ⁡ ( 1 + x 2 ) 2 + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\, dx&
x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\, dx\\[8pt]&
x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}} utilizando unha combinación do método da regra da cadea inversa e a integral do logaritmo natural.
regra LÍATE
A regra LÍATE é unha regra mnemotécnica para a integración por partes. Implica escoller como u a función que aparece primeiro na seguinte lista: L - funcións logarítmicas: ln ⁡ ( x ), log b ⁡ ( x ), {\displaystyle \ln(x), \ \log _{b}(x), } etc.
I – funcións trigonométricas inversas (incluíndo as súas análogas hiperbólicas): arctan ⁡ ( x ), arcsec ⁡ ( x ), arsinh ⁡ ( x ), {\displaystyle \arctan(x), \ \operatorname {arcsec}(x), \ \operatorname {arsinh} (x), } etc.
A – funcións alxébricas (como polinomios): x 2, 3 x 50, {\displaystyle x^{2}, \ 3x^{50}, } etc.
T - funcións trigonométricas (incluíndo análogas hiperbólicas ): sin ⁡ ( x ), tan ⁡ ( x ), sech ⁡ ( x ), {\displaystyle \sin(x), \ \tan(x), \ \operatorname {sech} (x), } etc.
E - funcións exponenciais: e x, 19 x, {\displaystyle e^{x}, \ 19^{x}, } etc.
A función que debe ser dv é a que aparece en último lugar da lista. O motivo é que as funcións inferiores na lista xeralmente teñen antiderivadas máis simples que as funcións anteriores. A regra ás veces escríbese como "DETAIL", onde D significa dv e a parte superior da lista é a función escollida para ser dv. Para demostrar a regra LÍATE, considere a integral ∫ x ⋅ cos ⁡ ( x ) d x. {\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\, dx. } Seguindo a regra LÍATE, u
x, e dv
cos(x) dx, polo tanto du
dx, e v
sin(x), o que fai que a integral se converta en x ⋅ sin ⁡ ( x ) − ∫ 1 sin ⁡ ( x ) d x, {\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\, dx, } que é igual a x ⋅ sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) + C. {\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C. }
Identidade da función gamma
A función gamma é un exemplo dunha función especial, definida como unha integral impropia para z > 0 {\displaystyle z>0}. A integración por partes ilustra que é unha extensión da función factorial: Γ ( z )
∫ 0 ∞ e − x x z − 1 d x
− ∫ 0 ∞ x z − 1 d ( e − x )
− [ e − x x z − 1 ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ e − x d ( x z − 1 )
0 + ∫ 0 ∞ ( z − 1 ) x z − 2 e − x d x
( z − 1 ) Γ ( z − 1 ). {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&
\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&
-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\, d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&
-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&
0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&
(z-1)\Gamma (z-1). \end{aligned}}} Posto que Γ ( 1 )
∫ 0 ∞ e − x d x
1, {\displaystyle \Gamma (1)
\int _{0}^{\infty }e^{-x}\, dx
1, } cando z {\displaystyle z} é un número natural, é dicir, z
n ∈ N {\displaystyle z
n\in \mathbb {N} }, aplicando esta fórmula repetidamente dá o factorial: Γ ( n + 1 )
n! {\displaystyle \Gamma (n+1)
n! }
Uso na análise harmónica
A integración por partes utilízase a miúdo na análise harmónica, particularmente na análise de Fourier, para mostrar que as integrais que oscilan rapidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rapidamente. O exemplo máis común disto é o seu uso para mostrar que a decadencia da transformada de Fourier da función depende da suavidade desa función, como se describe a continuación.
Transformada de Fourier da derivada
Se f {\displaystyle f} é unha k {\displaystyle k} -veces función continuamente diferenciábel e todas as derivadas ata k {\displaystyle k} decaen a cero no infinito, entón a súa transformada de Fourier satisfai ( F f ( k ) ) ( ξ )
( 2 π i ξ ) k F f ( ξ ), {\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )
(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ), } onde f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}} é a k {\displaystyle k} -ésima derivada de f {\displaystyle f}. (A constante exacta da dereita depende da convención da transformada de Fourier usada. ) Isto móstrase observando que d d y e − 2 π i y ξ
− 2 π i ξ e − 2 π i y ξ, {\displaystyle {\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }
-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi }, } polo que empregando a integración por partes na transformada de Fourier da derivada obtemos ( F f ′ ) ( ξ )
∫ − ∞ ∞ e − 2 π i y ξ f ′ ( y ) d y
[ e − 2 π i y ξ f ( y ) ] − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ ( − 2 π i ξ e − 2 π i y ξ ) f ( y ) d y
2 π i ξ ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i y ξ f ( y ) d y
2 π i ξ F f ( ξ ). {\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&
\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\, dy\\&
\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\, dy\\[5pt]&
2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\, dy\\[5pt]&
2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ). \end{aligned}}} Aplicando isto de forma indutiva dá o resultado para un k {\displaystyle k} en xeral. Pódese usar un método similar para atopar a transformada de Laplace dunha derivada dunha función.
Decadencia da transformada de Fourier
O resultado anterior fálanos sobre a decadencia da transformada de Fourier, xa que se segue que se f {\displaystyle f} e f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}} son integrábeis entón | F f ( ξ ) | ≤ I ( f ) 1 + | 2 π ξ | k, onde I ( f )
∫ − ∞ ∞ ( | f ( y ) | + | f ( k ) ( y ) | ) d y. {\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}}, {\text{ onde }}I(f)
\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\, dy. } Noutras palabras, se f {\displaystyle f} satisfai estas condicións, entón a súa transformada de Fourier decae no infinito polo menos tan rápido como 1/|ξ|k. En particular, se k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} entón a transformada de Fourier é integrábel.
A proba usa o feito, que é inmediato pola definición da transformada de Fourier, de que | F f ( ξ ) | ≤ ∫ − ∞ ∞ | f ( y ) | d y. {\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \, dy. } Usando a mesma idea sobre a igualdade indicada ao comezo deste subapartado dáse | ( 2 π i ξ ) k F f ( ξ ) | ≤ ∫ − ∞ ∞ | f ( k ) ( y ) | d y. {\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \, dy. } Sumando estas dúas desigualdades e dividindo despois entre 1 + |2πξk| dá a desigualdade declarada.