Función gamma

En matemáticas, a función gamma (denotada como Γ ( z ) {\displaystyle \scriptstyle \Gamma (z)\, \! }, onde Γ {\displaystyle \scriptstyle \Gamma } é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral Γ ( z )
∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)
\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\, dt} converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se n é un enteiro positivo, entón Γ ( n )
( n − 1 )! {\displaystyle \Gamma (n)
(n-1)! \, } o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de z. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria. Definición clásica
Se a parte real do número complexo z é positiva (Re(z) > 0), entón a integral Γ ( z )
∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)
\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\, dt\, \! } converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade: Γ ( z + 1 )
z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)
z\, \Gamma (z)} Esta ecuación funcional xeneraliza a relación n!
n ( n − 1 )! {\displaystyle n!
n(n-1)! } do factorial. Pódese avaliar Γ ( 1 ) {\displaystyle \Gamma (1)} analiticamente: Γ ( 1 )
∫ 0 ∞ e − t d t
lim k → ∞ − e − t | 0 k
− 0 − ( − 1 )
1. {\displaystyle \Gamma (1)
\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt
\lim _{k\rightarrow \infty }\left. -e^{-t}\right|_{0}^{k}
-0-(-1)
1. } Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma: Γ ( n + 1 )
n Γ ( n )
⋯
n! Γ ( 1 )
n! {\displaystyle \Gamma (n+1)
n\, \Gamma (n)
\cdots
n! \, \Gamma (1)
n! \, } para os enteiros non negativos n.
A función gamma é unha función meromorfa de z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } con polos simples en z
− n ( n
0, 1, 2, 3, … ) {\displaystyle z
-n\, \, (n
0, \, 1, \, 2, \, 3, \, \dots )} e residuos Res ⁡ ( Γ ( z ), − n )
( − 1 ) n n! {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma (z), -n)
{\frac {(-1)^{n}}{n! }}}. Estas propiedades poden ser empregadas para estender Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica. Definicións alternativas
As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo z, agás para valores enteiros negativos: Γ ( z )
lim n → ∞ n! n z z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n )
1 z ∏ n
1 ∞ ( 1 + 1 n ) z 1 + z n {\displaystyle \Gamma (z)
\lim _{n\to \infty }{\frac {n! \; n^{z}}{z\, (z+1)\cdots (z+n)}}
{\frac {1}{z}}\prod _{n
1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}} Γ ( z )
e − γ z z ∏ n
1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z / n {\displaystyle \Gamma (z)
{\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n
1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}} onde γ {\displaystyle \gamma } é a constante de Euler-Mascheroni.
É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa z ≠ 0, − 1, − 2, − 3, … {\displaystyle z\neq 0, \, -1, \, -2, \, -3, \, \dots } Γ ( z + 1 )
lim n → ∞ n! n z + 1 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + 1 + n )
lim n → ∞ ( z n! n z z ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + n ) n ( z + 1 + n ) )
z Γ ( z ) lim n → ∞ n ( z + 1 + n )
z Γ ( z ). {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&
\lim _{n\to \infty }{\frac {n! \; n^{z+1}}{(z+1)\; (z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&
\lim _{n\to \infty }\left(z\; {\frac {n! \; n^{z}}{z\; (z+1)\; (z+2)\cdots (z+n)}}\; {\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&
z\; \Gamma (z)\; \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&
z\; \Gamma (z). \\\end{aligned}}} Tamén se pode a seguinte representación integral: Γ ( z + 1 )
∫ 0 ∞ e − t 1 / z d t. {\displaystyle \Gamma (z+1)
\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\, dt. \, \! } Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes
Atopar Γ ( 1 ) {\displaystyle \Gamma (1)} é sinxelo: Γ ( 1 )
∫ 0 ∞ e − x x 1 − 1 d x
∫ 0 ∞ e − x d x
− e − ∞ − ( − e 0 )
0 − ( − 1 )
1 {\displaystyle \Gamma (1)
\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{1-1}dx
\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx
-e^{-\infty }-(-e^{0})
0-(-1)
1} Obtense logo unha fórmula para Γ ( n + 1 ) {\displaystyle \Gamma (n+1)} como unha función de Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)}: Γ ( n + 1 )
∫ 0 ∞ e − x x n + 1 − 1 d x
∫ 0 ∞ e − x x n d x {\displaystyle \Gamma (n+1)
\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx
\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx} Empregando integración por partes para resolver a integral ∫ 0 ∞ e − x x n d x
[ − x n e x ] 0 ∞ + n ∫ 0 ∞ e − x x n − 1 d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx
\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx} No límite inferior obtense directamente − 0 n e 0
01
0 {\displaystyle {\frac {-0^{n}}{e^{0}}}
{\frac {0}{1}}
0}. No infinito, empregando a regra de L'Hôpital: lim x → ∞ − x n e x
lim x → ∞ − n! ⋅ 1 e x
0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}
\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n! \cdot 1}{e^{x}}}
0}.
Polo que se anula o primeiro termo, [ − x n e x ] 0 ∞ {\displaystyle \left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}, o que nos dá o seguinte resultado: Γ ( n + 1 )
n ∫ 0 ∞ e − x x n − 1 d x {\displaystyle \Gamma (n+1)
n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx} A parte dereita da ecuación é exactamente n Γ ( n ) {\displaystyle n\Gamma (n)}, co que se obtén unha relación de recorrencia: Γ ( n + 1 )
n Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n+1)
n\Gamma (n)}.
Aplicando a fórmula a uns poucos valores: Γ ( 2 )
Γ ( 1 + 1 )
1 Γ ( 1 )
1!
1 {\displaystyle \Gamma (2)
\Gamma (1+1)
1\Gamma (1)
1!
1\, } Γ ( 3 )
Γ ( 2 + 1 )
2 Γ ( 2 )
2 ⋅ 1!
2!
2 {\displaystyle \Gamma (3)
\Gamma (2+1)
2\Gamma (2)
2\cdot 1!
2!
2\, } Γ ( 4 )
Γ ( 3 + 1 )
3 Γ ( 3 )
3 ⋅ 2!
3!
6 {\displaystyle \Gamma (4)
\Gamma (3+1)
3\Gamma (3)
3\cdot 2!
3!
6\, } Γ ( n + 1 )
n Γ ( n )
n ⋅ ( n − 1 )!
n! {\displaystyle \Gamma (n+1)
n\Gamma (n)
n\cdot (n-1)!
n! } Propiedades
Da representación integral obtense: lim z → 0 + Γ ( z )
lim z → 0 + Γ ( z + 1 ) z
∞ {\displaystyle \lim _{z\to 0^{+}}\Gamma (z)
\lim _{z\to 0^{+}}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}
\infty }. Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler Γ ( 1 − z ) Γ ( z )
π sin ⁡ ( π z ) {\displaystyle \Gamma (1-z)\; \Gamma (z)
{\pi \over \sin {(\pi z)}}\, \! } e a fórmula de duplicación Γ ( z ) Γ ( z + 12 )
21 − 2 z π Γ ( 2 z ). {\displaystyle \Gamma (z)\; \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)
2^{1-2z}\; {\sqrt {\pi }}\; \Gamma (2z). \, \! } A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m )
( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ). {\displaystyle \Gamma (z)\; \Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\; \Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)
(2\pi )^{(m-1)/2}\; m^{1/2-mz}\; \Gamma (mz). \, \! } Unha propiedade básica e moi útil da función gamma, que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é: Γ ( z ) ¯
Γ ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}
\Gamma ({\overline {z}})\, \! } Varios límites útiles para aproximacións asintóticas: lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α
1, lim n → ∞ Γ ( n − α ) Γ ( n + α ) Γ ( n − β ) Γ ( n + β )
1; α, β ∈ R {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}
1, \quad \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n-\alpha )\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n-\beta )\Gamma (n+\beta )}}
1; \qquad \alpha, \beta \in \mathbb {R} } O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é: Γ ( 12 )
π, {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)
{\sqrt {\pi }}, \, \! } que se pode obter facendo z
1 / 2 {\displaystyle z
1/2} na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con x
e
1 / 2 {\displaystyle x e
1/2} ou facendo a substitución u
t {\displaystyle u
{\sqrt {t}}} na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de n tense: Γ ( n 2 + 1 )
π n! ! 2 ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)
{\sqrt {\pi }}\, {\frac {n! !}{2^{(n+1)/2}}}} (n impar) onde n! ! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo: Γ ′ ( z )
Γ ( z ) ψ 0 ( z ). {\displaystyle \Gamma '(z)
\Gamma (z)\psi _{0}(z). \, \! } A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada n-ésima é: d n ( d x ) n Γ ( x )
∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ln n ⁡ t d t. {\displaystyle {d^{n} \over (dx)^{n}}\, \Gamma (x)
\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\, dt. } A función gamma ten un polo de orde 1 en z
− n {\displaystyle z
-n} para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é: Res ⁡ ( Γ, − n )
( − 1 ) n n! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma, -n) {\frac {(-1)^{n}}{n! }}. \, \! } O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.
O desenvolvemento en Serie de Laurent de Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} para valores 0 < z < 1 é: Γ ( z ) ≈ 1 z − γ + [ γ 22! + ζ ( 2 ) 2 ] z + [ γ 33! + ζ ( 2 ) 2 γ + ζ ( 3 ) 3 ] z 2 + … {\displaystyle \Gamma (z)\approx {\frac {1}{z}}-\gamma +\left[{\frac {\gamma ^{2}}{2! }}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\right]z+\left[{\frac {\gamma ^{3}}{3! }}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\gamma +{\frac {\zeta (3)}{3}}\right]z^{2}+\dots } Onde ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} é a función zeta de Riemann. Función pi
Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada función pi, que en termos da función gamma é: Π ( z )
Γ ( z + 1 )
z Γ ( z ), {\displaystyle \Pi (z)
\Gamma (z+1)
z\; \Gamma (z), \, \! } Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma: Π ( n )
n! . {\displaystyle \Pi (n)
n! .\! } A fórmula da reflexión toma a seguinte forma: Π ( z ) Π ( − z )
π z sin ⁡ ( π z )
1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\; \Pi (-z)
{\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}
{\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\, \! } Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así: Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m )
( ( 2 π ) m 2 π m ) 1 / 2 m − z Π ( z ). {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\, \Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)
\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\, m^{-z}\, \Pi (z). \, \! } Ás veces atópase a seguinte definición π ( z )
1 Π ( z ), {\displaystyle \pi (z)
{\frac {1}{\Pi (z)}}, \, \! } onde π ( z ) {\displaystyle \pi (z)} é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros. Relación con outras funcións
Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior γ ( a, x ) {\displaystyle \gamma (a, x)} e inferior Γ ( a, x ) {\displaystyle \Gamma (a, x)} obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente. Γ ( a, x )
∫ x ∞ t a − 1 e − t d t. {\displaystyle \Gamma (a, x)
\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\, e^{-t}\, dt. \, \! } γ ( a, x )
∫ 0 x t a − 1 e − t d t. {\displaystyle \gamma (a, x)
\int _{0}^{x}t^{a-1}\, e^{-t}\, dt. \, \! } A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula B ( x, y )
Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ). {\displaystyle \mathrm {B} (x, y)
{\frac {\Gamma (x)\; \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}. \, \! } A derivada logarítmica da función gamma é a función digamma ψ ( 0 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}. As derivadas de maior orde son as funcións poligamma ψ ( n ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)}. ψ ( z )
ψ 0 ( z )
d d z ln ⁡ Γ ( z )
Γ ′ ( z ) Γ ( z ) {\displaystyle \psi (z)
\psi ^{0}(z)
{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)
{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}} ψ ( n ) ( z )
( d d z ) n ψ ( z )
( d d z ) n + 1 log ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)
\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n}\psi (z)
\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n+1}\log \Gamma (z)} O análogo da función gamma sobre un corpo finito ou un anel finito son as sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
A función gamma inversa é a inversa da función gamma, que é unha función enteira.
A función gamma aparece na definición integral da función zeta de Riemann ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)}: ζ ( z )
1 Γ ( z ) ∫ 0 ∞ u z − 1 e u − 1 d u. {\displaystyle \zeta (z)
{\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\; \mathrm {d} u\, \! .} Fórmula válida só se Re ⁡ ( z ) > 1 {\displaystyle \operatorname {Re} (z)>1}. Tamén aparece na ecuación funcional de ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)}: π − z / 2 Γ ( z 2 ) ζ ( z )
π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ). {\displaystyle \pi ^{-z/2}\; \Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)
\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\; \Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\; \zeta (1-z). } Valores da función gamma
Γ ( − 3 / 2 )
4 π 3 ≈ 2, 363 Γ ( − 1 / 2 )
− 2 π ≈ − 3, 545 Γ ( 1 / 2 )
π ≈ 1, 772 Γ ( 1 )
0!
1 Γ ( 3 / 2 )
π 2 ≈ 0, 886 Γ ( 2 )
1!
1 Γ ( 5 / 2 )
3 π 4 ≈ 1, 329 Γ ( 3 )
2!
2 Γ ( 7 / 2 )
15 π 8 ≈ 3, 323 Γ ( 4 )
3!
6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&
{\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2, 363\\\Gamma (-1/2)&
-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3, 545\\\Gamma (1/2)&
{\sqrt {\pi }}&\approx 1, 772\\\Gamma (1)&
0! &
1\\\Gamma (3/2)&
{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0, 886\\\Gamma (2)&
1! &
1\\\Gamma (5/2)&
{\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1, 329\\\Gamma (3)&
2! &
2\\\Gamma (7/2)&
{\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3, 323\\\Gamma (4)&
3! &
6\\\end{array}}} Aproximacións
A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.
Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.
Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos. Aplicacións da función gamma
Cálculo fraccionario
A n-ésima derivada de a x b {\displaystyle ax^{b}} (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito: d n d x n ( a x b )
( b − n + 1 ) ⋯ ( b − 2 ) ( b − 1 ) b a x b − n
b! ( b − n )! a x b − n {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)
\left(b-n+1\right)\cdots \left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}
{\frac {b! }{\left(b-n\right)! }}ax^{b-n}} como n!
Γ ( n + 1 ) {\displaystyle n!
\Gamma (n+1)} entón d n d x n ( a x b )
Γ ( b + 1 ) Γ ( b − n + 1 ) a x b − n {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)
{\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-n+1\right)}}ax^{b-n}} onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.
Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de x {\displaystyle x}, de x 2 {\displaystyle x^{2}} e inclusive dunha constante c
c x 0 {\displaystyle c
cx^{0}}: d 12 d x 12 ( x )
2 x π {\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x\right)
{\frac {2{\sqrt {x}}}{\sqrt {\pi }}}} d 12 d x 12 ( x 2 )
8 x 33 π {\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x^{2}\right)
{\frac {8{\sqrt {x^{3}}}}{3{\sqrt {\pi }}}}} d 12 d x 12 ( c )
c π x {\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(c\right)
{\frac {c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {x}}}}}