Segundo axioma de numerabilidade

En topoloxía, un segundo espazo numerábel, tamén chamado espazo completamente separábel, é un espazo topolóxico cuxa topoloxía ten unha base numerábel. Máis explicitamente, un espazo topolóxico T {\displaystyle T} é segundo numerábel se existe algunha colección numerábel U
{ U i } i
1 ∞ {\displaystyle {\mathcal {U}}
\{U_{i}\}_{i
1}^{\infty }} de subconxuntos abertos de T {\displaystyle T} tal que calquera subconxunto aberto de T {\displaystyle T} pódese escribir como unha unión de elementos dalgunha subfamilia de U {\displaystyle {\mathcal {U}}}. Dise que un segundo espazo numerábel satisfai o segundo axioma de numerabilidade. Como outros axiomas de numerabilidade, a propiedade de ser segundo numerábel restrinxe o número de conxuntos abertos que pode ter un espazo.
Moitos espazos con "bo comportamento" en matemáticas son segundos numerábeis. Por exemplo, o espazo euclidiano (Rn) coa súa topoloxía habitual é segundo numerábel. Aínda que a base habitual das bólas abertas é non numerábel, pódese limitar á colección de todas as bólas abertas con raios racionais e cuxos centros teñen coordenadas racionais. Este conxunto restrinxido é numerábel e aínda forma unha base. Propiedades
A segunda numerabilidade é unha noción máis forte que a primeira numerabilidade. Un espazo é primeiro numerábel se cada punto ten unha base local numerábel. Dada unha base para unha topoloxía e un punto x, o conxunto de todos os conxuntos de bases que conteñen x forma unha base local en x. Así, se temos unha base numerábel para unha topoloxía, entón ten unha base local numerábel en cada punto e, polo tanto, cada espazo segundo numerábel é tamén un espazo primeiro numerábel. No entanto, calquera espazo discreto non numerábel é primeiro numerábel mais non segundo numerábel.
A segunda numerabelidade implica outras propiedades topolóxicas. En concreto, cada espazo segundo numerábel é separábel (contén un subconxunto denso numerábel) e Lindelöf (toda cuberta aberta ten unha subcuberta contábel). As implicacións inversas non valen. Por exemplo, a topoloxía de límite inferior na liña real é primeiro numerábel, separábel e Lindelöf, mais non segundo numerábel. Porén, para os espazos métricos, as propiedades de ser segundo numerábeis, separábeis e Lindelöf son todas equivalentes. Polo tanto, a topoloxía de límite inferior na liña real non é metrizábel.
Nos espazos segundo numerábeis, como nos espazos métricos, a compacidade, a compacidade secuencial e a compacidade numerábel son propiedades equivalentes.
O teorema de metrización de Urysohn afirma que todo espazo regular de Hausdorff segundo numerábel é metrizábel. Polo tanto, cada un destes espazos é completamente normal e tamén paracompacto. Ser segundo numerábel é, polo tanto, unha propiedade bastante restritiva nun espazo topolóxico, que require só un axioma de separación para implicar metrizabilidade.
Outras propiedades
Unha imaxe continua e aberta dun espazo segundo segundo numerábel é segundo numerábel.
Cada subespazo dun espazo segundo numerábel é segundo numerábel.
Os cocientes dos espazos segundos numerábeis non teñen por que ser segundo numerábeis; con todo, os cocientes abertos sempre o son.
Calquera produto numerábel dun segundo espazo numerábel é segundo numerábel. Os produtos non numerábeis non teñen por que ser numerábeis.
A topoloxía dun espazo segundo numerábel T1 ten cardinalidade menor ou igual a c (a cardinalidade do continuo).
Calquera base para un espazo segundo numerábel ten unha subfamilia numerábel que aínda é unha base.
Cada colección de conxuntos abertos disxuntos nun espazo segundo numerábel é numerábel. Exemplos
Considere a unión numerábel disxunta X
[ 0, 1 ] ∪ [ 2, 3 ] ∪ [ 4, 5 ] ∪ ⋯ ∪ [ 2 k, 2 k + 1 ] ∪ ⋯ {\displaystyle X
[0, 1]\cup [2, 3]\cup [4, 5]\cup \dots \cup [2k, 2k+1]\cup \dotsb }. Definamos unha relación de equivalencia e unha topoloxía cociente identificando os extremos esquerdos dos intervalos, é dicir, identifique 0 ~ 2 ~ 4 ~. .. ~ 2k, etc. X é segundo numerábel, como unha unión numerábel de espazos segundo numerábeis. Porén, X /~ non é primeiro numerábel na clase dos puntos identificados e, polo tanto, tampouco non é o segundo numerábel.
O espazo anterior non é homeomórfico ao mesmo conxunto de clases de equivalencia dotadas da métrica obvia: é dicir, a distancia euclidiana regular para dous puntos no mesmo intervalo, e a suma das distancias ao punto da esquerda para os puntos que non están no mesmo intervalo; dando unha topoloxía estritamente máis grosa que o espazo anterior. É un espazo métrico separábel (considere o conxunto de puntos racionais) e, polo tanto, é segundo numerábel.
A liña longa non é segundo numerábel, senón que é primeiro numerábel.