Teorema do coseno

O teorema do coseno é unha xeneralización do teorema de Pitágoras para triángulos non rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
O teorema relaciona un lado dun triángulo cos outros dous e co coseno do ángulo formado por estes dous lados: Dado un triángulo ABC, sendo α, β, γ, os ángulos, e a, b, c, os lados respectivamente opostos a estes ángulos, entón: c 2
a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle c^{2}
a^{2}+b^{2}-2ab\, \cos(\gamma )} Na maioría dos idiomas, este teorema é coñecido co nome de teorema ou lei dos cosenos, denominación non obstante relativamente tardía. En francés leva o nome do matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificou os resultados dos seus predecesores. Historia
Os Elementos de Euclides, que data do século III a. C. , contén xa unha aproximación xeométrica da xeneralización do teorema de Pitágoras: as proposicións 12 e 13 do libro II, tratan separadamente o caso dun triángulo obtusángulo e o dun triángulo acutángulo.
A formulación da época é arcaica xa que a ausencia de funcións trigonométricas e da álxebra obrigou a razoar en termos de diferenzas de áreas. Por iso, a proposición 12 utiliza estes termos: Sendo ABC o triángulo, co ángulo obtuso en C, e BH a altura respecto do vértice B (cf. Fig. 2 contigua), a notación moderna permite formular o enunciado así: A B 2
C A 2 + C B 2 + 2 C A C H {\displaystyle AB^{2}
CA^{2}+CB^{2}+2\ CA\ CH} Faltaba esperar a trigonometría árabe-musulmá da Idade Media para ver o teorema evolucionar: o astrónomo e matemático al-Battani xeneralizou o resultado de Euclides na xeometría esférica a principios do século X, o que permitiu efectuar os cálculos da distancia angular entre o Sol e a Terra. Foi durante o mesmo período cando se estableceron as primeiras táboas trigonométricas, para as funcións seno e coseno. Iso permitiulle a Ghiyath al-Kashi, matemático da escola de Samarcanda, de poñer o teorema baixo unha forma utilizable para a triangulación durante o século XV. A propiedade foi popularizada en occidente por François Viète quen, ao parecer, redescubriuno independentemente.
Foi a finais do século XVII cando a notación alxébrica moderna, canda a notación moderna das funcións trigonométricas introducida por Euler no seu libro Introductio in analysin infinitorum, permitiron escribir o teorema baixo a súa forma actual, estendéndose o nome de teorema (ou lei) do coseno. O teorema e as súas aplicacións
O teorema do coseno é tamén coñecido polo nome de teorema de Pitágoras xeneralizado, xa que o teorema de Pitágoras é un caso particular: cando o ángulo γ {\displaystyle \gamma \, } é recto ou, dito doutro xeito, cando cos ⁡ γ
0 {\displaystyle \cos \gamma
0\, }, o teorema do coseno redúcese a: c 2
a 2 + b 2 {\displaystyle \, c^{2}
a^{2}+b^{2}} que é precisamente a formulación do teorema de Pitágoras. O teorema emprégase en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, e saber determinar o terceiro lado dun triángulo cando coñecemos un ángulo e os lados adxacentes: c
a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle c
{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}. os ángulos dun triángulo cando coñecemos os tres lados: γ
arccos ⁡ a 2 + b 2 − c 22 a b {\displaystyle \gamma
\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}. Estas fórmulas son difíciles de aplicar no caso de medicións de triángulos moi agudos utilizando métodos simples, é dicir, cando o lado c é moi pequeno respecto os lados a e b —ou o seu equivalente, cando o ángulo γ é moi pequeno.
Existe un corolario do teorema do coseno para o caso de dous triángulos semellantes ABC e A'B'C' c c ′
a a ′ + b b ′ − ( a b ′ + a ′ b ) cos ⁡ γ {\displaystyle \, cc'
aa'+bb'-(ab'+a'b)\cos \gamma }. Demostracións
Por repartición de áreas
Un certo número das demostracións do teorema fan intervir un cálculo de áreas. Convén en efecto remarcar que a², b², c² son as áreas dos cadrados de lados respectivos a, b, c.
ab cos(γ) é a área dun paralelogramo de lados a e b que forman un ángulo de 90°-γ.
Dado que cos(γ) cambia de signo dependendo de se γ é maior ou menor a 90°, faise necesario dividir a proba en 2 casos
A figura 4a (contigua) divide un heptágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo agudo. A división é a seguinte: En verde, as áreas a², b² á esquerda, e a área, c² á dereita.
En vermello, o triángulo ABC en ambos diagramas e en amarelo triángulos congruentes ao ABC.
En azul, paralelogramos de lados a e b con ángulo 90°-γ.
Igualando as áreas e cancelando as figuras iguais obtense que a 2 + b 2
c 2 + 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle a^{2}+b^{2}
c^{2}+2ab\, \cos \gamma }, equivalente ao Teorema do coseno. A figura 4b (contigua) divide un hexágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo obtuso. A figura mostra En verde a², b² á esquerda e c² á dereita.
En azul -2ab cos(γ), recordando que ao ser cos(γ) negativo, a expresión completa é positiva.
En vermello, dúas veces o triángulo ABC para ambos lados da figura.
Igualando áreas e cancelando as zonas vermellas dá a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ
c 2 {\displaystyle \, a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma
c^{2}}, como queríamos demostrar.
Polo teorema de Pitágoras
Notemos que o Teorema de Cosenos é equivalente ao Teorema de Pitágoras cando o ángulo γ {\displaystyle \gamma } é recto. Polo tanto só é necesario considerar os casos cando c é adxacente a dous ángulos agudos e cando c é adxacente a un ángulo agudo e un obtuso. Primeiro caso: c é adxacente a dous ángulos agudos. Consideremos a figura adxunta. Polo teorema de Pitágoras, a lonxitude c é calculada así: (left) c 2
h 2 + u 2 {\displaystyle c^{2}
h^{2}+u^{2}\, } Pero, a lonxitude h tamén se calcula así: (left) h 2
a 2 − ( b − u ) 2 {\displaystyle h^{2}
a^{2}-(b-u)^{2}\, } Sumando ambas ecuacións e logo simplificando obtemos: c 2
a 2 − b 2 + 2 b u {\displaystyle c^{2}
a^{2}-b^{2}+2bu\, } Pola definición de coseno, tense: c o s γ
b − u a {\displaystyle cos\gamma \,
{\frac {b-u}{a}}} e polo tanto: u
b − a cos ⁡ γ {\displaystyle u
b-a\, \cos \gamma \, } Substituímos o valor de u na ecuación para c 2 {\displaystyle c^{2}}, concluíndo que: c 2
a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle c^{2}
a^{2}+b^{2}-2ab\, \cos \gamma } co que conclúe a proba do primeiro caso. Segundo caso: c é adxacente a un ángulo obtuso. Consideremos a figura adxunta. O teorema de Pitágoras establece novamente c 2
h 2 + u 2 {\displaystyle c^{2}
h^{2}+u^{2}} pero neste caso h 2
a 2 − ( b + u ) 2 {\displaystyle h^{2}
a^{2}-(b+u)^{2}}. Combinando ambas ecuacións obtemos c 2
u 2 + a 2 − b 2 − 2 b u − u 2 {\displaystyle c^{2}
u^{2}+a^{2}-b^{2}-2bu-u^{2}} e deste xeito: c 2
a 2 − b 2 − 2 b u {\displaystyle c^{2}
a^{2}-b^{2}-2bu\, }. Da definición de coseno, tense c o s γ
b + u a {\displaystyle cos\gamma \,
{\frac {b+u}{a}}} e polo tanto: u
a cos ⁡ γ − b {\displaystyle u
a\, \cos \gamma -b\, }. Substituímos na expresión para c² e simplificamos c²
a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluíndo novamente c 2
a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle c^{2} a^{2}+b^{2}-2ab\, \cos \gamma \, }. Isto conclúe a demostración.
É importante notar, que se se considera a u como un segmento dirixido, entón só hai un caso e as dúas demostracións convértense na mesma.
Pola potencia dun punto con respecto a un círculo
Consideremos un círculo con centro en B e radio BC, como na figura 6. Se AC é tanxente ao círculo, novamente tense o Teorema de Pitágoras. Cando AC non é tanxente, existe outro punto K de corte co círculo. A potencia do punto A con respecto a dito círculo é A P ⋅ A L
A C ⋅ A K
A C ( A C + C K ) {\displaystyle AP\cdot AL
AC\cdot AK
AC(AC+CK)}. Por outro lado, AL
c+a e AP
c-a de modo que A P ⋅ A L
( c + a ) ( c − a )
c 2 − a 2 {\displaystyle AP\cdot AL
(c+a)(c-a)
c^{2}-a^{2}}. Ademais, CK
-2a cos(γ) polo que A C ( A C + C K )
b ( b − 2 a c o s ( γ ) ) {\displaystyle AC(AC+CK)
b(b-2a\, cos(\gamma ))}. Igualando as expresións obtidas chégase finalmente a: c 2
a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle c^{2} a^{2}+b^{2}-2a\; b\, \cos(\gamma )} Contrariamente ás precedentes, para esta demostración, non é necesario recorrer a un estudo por caso pois as relacións alxébricas son as mesmas para o caso do ángulo agudo.
Polo cálculo vectorial
Utilizando o cálculo vectorial, máis precisamente o produto escalar, é posible encontrar o teorema do coseno nalgunhas liñas: Xeneralización en xeometrías non euclidianas
Para unha superficie non euclidiana de curvatura K, sinalamos con R o radio de curvatura. Este verifica R
1 / | K | {\displaystyle \, R
1/{\sqrt {|K|}}}.
Definimos entón as dimensións reducidas do triángulo: a
B C / R {\displaystyle \, a
BC/R}, b
A C / R {\displaystyle \, b
AC/R}, c
A B / R {\displaystyle \, c
AB/R}.
No caso dun triángulo esférico, a, b e c corresponden á medida angular dos segmentos de circunferencia maximal [BC], [AC] e [AB] (ver Fig. 7).
Xeometría esférica
Cando o radio de curvatura é moi grande comparado coas dimensións do triángulo, é dicir cando a < < 1 {\displaystyle \, a<\! \! <1},
esta expresión simplifícase para dar a versión euclidiana do teorema do coseno. Para facelo, : cos ⁡ a
1 − a 2 / 2 + O ( a 3 ) {\displaystyle \, \cos a
1-a^{2}/2+O(a^{3})} etc.
Existe unha identidade similar que relaciona os tres ángulos: cos ⁡ γ
− cos ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ c {\displaystyle \cos \gamma
-\cos \alpha \, \cos \beta +\sin \alpha \, \sin \beta \, \cos c}
Xeometría hiperbólica
Nun triángulo hiperbólico ABC, o teorema do coseno escríbese cosh ⁡ c
cosh ⁡ a cosh ⁡ b − sinh ⁡ a sinh ⁡ b cos ⁡ γ {\displaystyle \cosh c
\cosh a\, \cosh b-\sinh a\, \sinh b\, \cos \gamma }.
Cando o radio de curvatura se volve moi grande fronte ás dimensións do triángulo, encontramos o teorema do coseno euclidiano a partir dos desenvolvementos limitados sinh ⁡ a
a + O ( a 3 ) {\displaystyle \, \sinh a
a+O(a^{3})} etc. , cosh ⁡ a
1 + a 2 / 2 + O ( a 3 ) {\displaystyle \, \cosh a
1+a^{2}/2+O(a^{3})} etc. Xeneralización no espazo euclidiano
Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 do espazo euclidiano, sendo: S k {\displaystyle \, \mathrm {S} _{k}} a cara oposta ao vértice A k {\displaystyle \mathrm {A} _{k}\ }; s k {\displaystyle \, s_{k}} a superficie de S k {\displaystyle \mathrm {S} _{k}\ }; Δ k {\displaystyle \, \Delta _{k}} o plano que contén a cara S k {\displaystyle \mathrm {S} _{k}\ }; θ i j {\displaystyle \, \theta _{ij}} o ángulo diedral ( Δ i, Δ j ) ^ {\displaystyle {\widehat {(\Delta _{i}, \Delta _{j})}}}.
(A figura 8, contigua, presenta a notación dos vértices, caras e ángulos do tetraedro).
Entón, as superficies e ángulos verifican: s 42
s 12 + s 22 + s 32 − 2 s 1 s 2 cos ⁡ θ 12 {\displaystyle \, s_{4}^{2}
s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}-2s_{1}s_{2}\cos \theta _{12}\, } − 2 s 1 s 3 cos ⁡ θ 13 − 2 s 2 s 3 cos ⁡ θ 23 {\displaystyle -2s_{1}s_{3}\cos \theta _{13}-2s_{2}s_{3}\cos \theta _{23}\, }.