Factorial descendente e ascendente

En matemáticas, o factorial descendente, defínese como o polinomio, ( x ) n
x n _
x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) ⏞ n factores
∏ k
1 n ( x − k + 1 )
∏ k
0 n − 1 ( x − k ). {\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}
x^{\underline {n}}&
\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&
\prod _{k
1}^{n}(x-k+1)
\prod _{k
0}^{n-1}(x-k). \end{aligned}}} O factorial ascendente (ás veces chamado función de Pochhammer ) defínese como x ( n )
x n ¯
x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) ⏞ n factores
∏ k
1 n ( x + k − 1 )
∏ k
0 n − 1 ( x + k ). {\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}
x^{\overline {n}}&
\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&
\prod _{k
1}^{n}(x+k-1)
\prod _{k
0}^{n-1}(x+k). \end{aligned}}} En ambos os casos o valor é 1 cando n 0. Estes símbolos chámanse colectivamente potencias factoriais.
O símbolo de Pochhammer, introducido por Leo August Pochhammer, é a notación (x)n, onde n é un número enteiro non negativo. Pode representar o factorial ascendente ou descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente (x)n con outro significado, a saber, para denotar o coeficiente binomial ( x n ). {\displaystyle {\tbinom {x}{n}}. } Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo (x)n úsase para representar o factorial descendente e o símbolo x(n) para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en combinatoria, aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de Knuth x n _ {\displaystyle x^{\underline {n}}} e x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}} son cada vez máis populares. Son moi usados na función hiperxeométrica. Exemplos e interpretación combinatoria
Os primeiros factoriais descendentes son os seguintes: ( x ) 0
1 ( x ) 1
x ( x ) 2
x ( x − 1 )
x 2 − x ( x ) 3
x ( x − 1 ) ( x − 2 )
x 3 − 3 x 2 + 2 x ( x ) 4
x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 )
x 4 − 6 x 3 + 11 x 2 − 6 x {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&
1\\(x)_{1}&&&
x\\(x)_{2}&
x(x-1)&&
x^{2}-x\\(x)_{3}&
x(x-1)(x-2)&&
x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&
x(x-1)(x-2)(x-3)&&
x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}} Os primeiros factoriais ascendentes son os seguintes: x ( 0 )
1 x ( 1 )
x x ( 2 )
x ( x + 1 )
x 2 + x x ( 3 )
x ( x + 1 ) ( x + 2 )
x 3 + 3 x 2 + 2 x x ( 4 )
x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )
x 4 + 6 x 3 + 11 x 2 + 6 x {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&
1\\x^{(1)}&&&
x\\x^{(2)}&
x(x+1)&&
x^{2}+x\\x^{(3)}&
x(x+1)(x+2)&&
x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&
x(x+1)(x+2)(x+3)&&
x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}} Os coeficientes que aparecen nas expansións son os números de Stirling do primeiro tipo. Propiedades
Os factoriais ascendentes e descendentes están relacionados entre si de xeito simple: ( x ) n
( x − n + 1 ) ( n )
( − 1 ) n ( − x ) ( n ), x ( n )
( x + n − 1 ) n
( − 1 ) n ( − x ) n. {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&
{(x-n+1)}^{(n)}&&
(-1)^{n}(-x)^{(n)}, \\x^{(n)}&
{(x+n-1)}_{n}&&
(-1)^{n}(-x)_{n}. \end{alignedat}}} Os factoriais descendentes e ascendentes de números enteiros están directamente relacionados co factorial ordinario: n!
1 ( n )
( n ) n, ( m ) n
m! ( m − n )! , m ( n )
( m + n − 1 )! ( m − 1 )! . {\displaystyle {\begin{aligned}n! &
1^{(n)}
(n)_{n}, \\[6pt](m)_{n}&
{\frac {m! }{(m-n)! }}, \\[6pt]m^{(n)}&
{\frac {(m+n-1)! }{(m-1)! }}. \end{aligned}}} Os factoriais descendentes e ascendentes pódense usar para expresar un coeficiente binomial: ( x ) n n!
( x n ), x ( n ) n!
( x + n − 1 n ). {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n! }}&
{\binom {x}{n}}, \\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n! }}&
{\binom {x+n-1}{n}}. \end{aligned}}} O factorial descendente pódese estender a valores reais de x usando a función gamma sempre que x e x + n sexan números reais que non son enteiros negativos: ( x ) n
Γ ( x + 1 ) Γ ( x − n + 1 ), {\displaystyle (x)_{n}
{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\, } e tamén pode o factorial ascendente: x ( n )
Γ ( x + n ) Γ ( x ). {\displaystyle x^{(n)}
{\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\. } O factorial ascendente tamén está na definición da función hiperxeométrica: A función hiperxeométrica defínese para |z| < 1 pola serie de potencias 2 F 1 ( a, b; c; z )
∑ n
0 ∞ a ( n ) b ( n ) c ( n ) z n n! {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a, b; c; z)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n! }}} sempre que c ≠ 0, −1, −2, .. .. Teña en conta, porén, que a literatura sobre funcións hiperxeométricas normalmente usa a notación (a)n para factoriais ascendentes. Notacións alternativas
Unha notación alternativa para o factorial ascendente x m ¯ ≡ ( x ) + m ≡ ( x ) m
x ( x + 1 ) … ( x + m − 1 ) ⏞ m factores para enteiros m ≥ 0 {\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}
\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factores}}}\quad {\text{para enteiros }}m\geq 0} e para o factorial descendente x m _ ≡ ( x ) − m
x ( x − 1 ) … ( x − m + 1 ) ⏞ m factores para enteiros m ≥ 0 {\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}
\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factores}}}\quad {\text{para enteiros }}m\geq 0}