Teorema de Bolzano-Weierstrass

Na análise real, o teorema de Bolzano–Weierstrass é un importante teorema que caracteriza os conxuntos secuencialmente compactos. Enunciado
Na análise real, o teorema de Bolzano-Weierstrass é un resultado fundamental referente á converxencia nun espazo euclidiano dimensionalmente finito Rn. O teorema establece que cada sucesión limitada en Rn ten unha subsucesión converxente. Unha formulación equivalente é que un subconxunto de Rn é secuencialmente compacto se e só se é pechado e limitado. Demostración
Primeiro demostramos o teorema para R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} (conxunto de todos os números reais), nese caso podemos aproveitar a orde en R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}. Así, temos o seguinte resultado:
Lema: Toda sucesión infinita ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} en R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} ten unha subsucesión monótona infinita (unha subsucesión que é non decrecente ou non crecente).
Proba: Chamemos "pico" da sucesión a un índice de valores enteiros positivos n {\displaystyle n} dunha sucesión cando x m ≤ x n {\displaystyle x_{m}\leq x_{n}} para todo m > n {\displaystyle m>n}. Supoña primeiro que a sucesión ten infinitos picos, o que significa que hai unha subsucesión cos seguintes índices n 1 < n 2 < n 3 < ⋯ < n j < … {\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots } e os seguintes termos x n 1 ≥ x n 2 ≥ x n 3 ≥ ⋯ ≥ x n j ≥ … {\displaystyle x_{n_{1}}\geq x_{n_{2}}\geq x_{n_{3}}\geq \dots \geq x_{n_{j}}\geq \dots }. Entón, a sucesión infinita ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} en R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} ten unha subsucesión monótona (non crecente), que é ( x n j ) {\displaystyle (x_{n_{j}})}. Mais supoñamos agora que só hai un número finito de picos, sexa N {\displaystyle N} o pico final se o existe (se non N
0 {\displaystyle N
0} ) e coloquemos en n 1
N + 1 {\displaystyle n_{1}
N+1} o primeiro índice dunha nova subsucesión ( x n j ) {\displaystyle (x_{n_{j}})}. Daquela n 1 {\displaystyle n_{1}} non é un pico, xa que n 1 {\displaystyle n_{1}} vén despois do pico final, o que implica a existencia de n 2 {\displaystyle n_{2}} con n 1 < n 2 {\displaystyle n_{1}<n_{2}} e x n 1 < x n 2 {\displaystyle x_{n_{1}}<x_{n_{2}}}. De novo, n 2 {\displaystyle n_{2}} vén despois do pico final, polo que hai un n 3 {\displaystyle n_{3}} onde n 2 < n 3 {\displaystyle n_{2}<n_{3}} con x n 2 ≤ x n 3 {\displaystyle x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}}. A repetición deste proceso leva a unha subsucesión infinita non decrecente x n 1 ≤ x n 2 ≤ x n 3 ≤ … {\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots }, demostrando así que toda sucesión infinita ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} en R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} ten unha subsucesión monótona infinita.
Supoñamos agora que se ten unha sucesión limitada en R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}; polo lema demostrado anteriormente existe unha subsucesión monótona, igualmente tamén limitada. Do teorema da converxencia monótona despréndese que esta subsucesión converxe.
Finalmente, o caso xeral ( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ), pódese reducir ao caso de R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} como segue: dada unha sucesión limitada en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, a sucesión das primeiras coordenadas é unha sucesión de números reais limitada, polo que ten unha subsucesión converxente. Pódese entón extraer unha sub-subsucesión na que converxen as segundas coordenadas, e así sucesivamente, ata que ao final pasamos da sucesión orixinal a unha subsucesión n {\displaystyle n} veces, que segue a ser unha subsucesión do sucesión orixinal, na que converxe cada sucesión de coordenadas, polo que a propia subsucesión é converxente. Compactidade secuencial en espazos euclidianos
Definición: Un conxunto A ⊆ R n {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}} é secuencialmente compacto se toda sucesión { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} en A {\displaystyle A} ten unha subsucesión converxente que converxe a un elemento de A {\displaystyle A}.
Teorema: A ⊆ R n {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}} é secuencialmente compacto se e só se A {\displaystyle A} é pechado e limitado.
Proba: (A compactidade secuencial implica pechado e limitado)
Supoña que A {\displaystyle A} é un subconxunto de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} coa propiedade de que cada sucesión en A {\displaystyle A} ten unha subsucesión converxendo nun elemento de A {\displaystyle A}. daquela, A {\displaystyle A} debe estar limitado, xa que, no caso contrario, pódese construír a sucesión sen límites { x n } ∈ A {\displaystyle \{x_{n}\}\in A}, do seguinte modo. Para cada n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, defina x n {\displaystyle x_{n}} como un punto arbitrario tal que | | x n | | ≥ n {\displaystyle ||x_{n}||\geq n}. Entón, cada subsucesión de { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} é ilimitada e, polo tanto, non é converxente. Ademais, A {\displaystyle A} debe estar pechado, xa que calquera punto límite de A {\displaystyle A}, que ten unha sucesión de puntos en A {\displaystyle A} que converxe a si mesmo, tamén debe estar en A {\displaystyle A}.
Proba: (pechado e limitado implica compactidade secuencial)
Dado que A {\displaystyle A} está limitada, calquera sucesión { x n } ∈ A {\displaystyle \{x_{n}\}\in A} tamén está limitada. Do teorema de Bolzano-Weierstrass, { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} contén unha subsucesión que converxe nalgún punto x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}. Xa que x {\displaystyle x} é un punto límite de A {\displaystyle A} e A {\displaystyle A} é un conxunto pechado, x {\displaystyle x} debe ser un elemento de A {\displaystyle A}.
Así, os subconxuntos A {\displaystyle A} de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} para os que cada sucesión en A ten unha subsucesión que converxe a un elemento de A {\displaystyle A}, é dicir, os subconxuntos que son secuencialmente compactos na topoloxía subespacial, son precisamente os subconxuntos pechados e limitados.
Esta forma do teorema deixa especialmente clara a analoxía co teorema de Heine–Borel, que afirma que un subconxunto de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é compacto se e só se está pechado e limitado. De feito, a topoloxía xeral dinos que un espazo metrizable é compacto se e só se é secuencialmente compacto, polo que os teoremas de Bolzano–Weierstrass e Heine–Borel son esencialmente iguais. Historia
O teorema de Bolzano-Weierstrass leva o nome de matemáticos Bernard Bolzano e Karl Weierstrass. En realidade, foi demostrado por primeira vez por Bolzano en 1817 como un lema na demostración do teorema de valor intermedio. Uns cincuenta anos máis tarde, o resultado foi identificado como significativo por dereito propio, e demostrado unha vez máis por Weierstrass. Desde entón converteuse nun teorema fundamental da análise.