Infinitesimal

Nas matemáticas, un infinitesimal é un número maior que cero en valor absoluto mais menor que calquera número real positivo. Un número x ≠ 0 é un infinitesimal se toda suma |x| +. .. + |x| cunha cantidade finita de termos é menor que 1, independente da cantidade de termos. Neste caso, 1/x é maior que calquera número real positivo.
Un infinitesimal é apenas unha cantidade notacional - non hai ningún número real que sexa un infinitesimal. Isto pode demostrarse recorrendo ao axioma do menor maiorante no contexto dos números reais: considerar se o menor maiorante c do conxunto de todos os infinitesimais é ou non un infinitesimal. Se for, entón 2c tamén é, contradicindo así o feito de que c é un maiorante do referido conxunto. Se non for, entón c/2 tamén non é, contradicindo o feito de que c é o menor dos maiorantes. Definición
Un infinitesimal ou infinitésimo é unha cantidade infinitamente pequena. Pódese definir matematicamente como: lim x → a f ( x )
0 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)
0} dise que f é un infinitésimo en x a
Algunhas funcións son infinitésimos en determinados puntos, por exemplo: f(x)
x-1 é un infinitésimo en x
1
g(x) sen(x) é un infinitésimo en 0 + k π {\displaystyle 0+k\pi } con k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } Propedades dos infinitésimos
A suma de dous infinitésimos é un infinitésimo.
O produto de dous infinitésimos é un infinitésimo.
O produto dun infinitésimo por unha función acoutada é un infinitésimo.
O produto dunha constante por un infinitésimo é un infinitésimo. Comparación de infinitésimos
Dadas lim x → a f ( x )
0 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)
0} e lim x → a g ( x )
0 {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)
0} Se lim x → a f ( x ) g ( x )
∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}
\infty } f e g son infinitésimos comparábeis en x
a e f é un infinitésimo de orde inferior a g en x
a
Se lim x → a f ( x ) g ( x )
l {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}
l} con l pertencente a R {\displaystyle \mathbb {R} } f e g son infinitésimos comparábeis en x a
Se lim x → a f ( x ) g ( x )
l {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}
l} con l pertencente a R − { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} -\left\{0\right\}} f e g son infinitésimos da mesma orde en x a
En particular, se lim x → a f ( x ) g ( x )
1 {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}
1} f é un infinitésimo equivalente en x a Uso ao longo da historia
O primeiro matemático en usar infinitesimais foi Arquimedes.
Máis tarde, Newton e Leibniz desenvolveron o cálculo facendo uso de infinitesimais. Velaquí un argumento típico: Achando a derivada f '(x) da función f(x)
x², sexa dx un infinitesimal. Logo, f '(x)
(f(x+dx)-f(x))/dx
(x²+2x*dx+dx²-x²)/dx
2x+dx 2x, pois dx é infinitamente pequeno.
Este argumento, aínda que sexa intuitivamente atraente, e produza o resultado correcto, non é matematicamente rigoroso. Atacouse uso de infinitesimais, como incorrecto, por George Berkeley na súa obra The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. O problema fundamental reside no feito de que dx é, primeiro, tratado como non-cero (pois é utilizado como divisor), mais descártase despois como se fose cero.
Foi na segunda metade do século XIX cando obtivo o cálculo infinitesimal unha fundamentación matemática formal, grazas a Karl Weierstrass e outros, utilizando a noción de límite, que eliminou a necesidade do uso de infinitesimais.
O uso de infinitesimais continúa a ser conveniente para simplificar notacións e cálculos.
Os infinitesimais son cantidades lexítimas na análise non-padrón de Abraham Robinson. Nesta teoría, o cálculo enriba mencionado da derivada f(x) x² pode ser xustificado cunha pequena modificación: hai que se referir á parte padrón do cociente da diferenza, e a parte padrón de x +dx é x.
De forma alternativa, pódese ter a xeometría diferencial sintética.