Forzas xeneralizadas

En mecánica analítica (particularmente a mecánica lagranxiana), as forzas xeneralizadas son conxugadas das coordenadas xeneralizadas. Son obtidas das forzas aplicadas Fi; i 1, .. ., n, actuando sobre un sistema que ten a súa configuración definida en función de coordenadas xeneralizadas. Na formulación de traballo virtual, cada forza xeneralizada é o coeficiente da variación dunha coordenada xeneralizada. Traballo virtual
As forzas xeneralizadas poden ser obtidas do cálculo do traballo virtual, δW, das forzas aplicadas.
O traballo virtual das forzas, Fi, actuando nas partículas Pi, i
1, .. ., n, vén dado por δ W
∑ i
1 n F i ⋅ δ r i {\displaystyle \delta W
\sum _{i 1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}} Onde δri é o desprazamento virtual da partícula Pi.
Coordenadas xeneralizadas
Sendo os vectores de posición de cada unha das partículas, ri, unha función das coordenadas xeneralizadas, qj, j
1, .. ., m, j
1, .. ., Entón os desprazamentos virtuais δri veñen dados por δ r i
∑ j
1 m ∂ r i ∂ q j δ q j, i
1, …, n, {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}
\sum _{j
1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}, \quad i
1, \ldots, n, } Onde δqj é o desprazamento virtual da coordenada xeneralizada qj. O traballo virtual para o sistema de partículas devén δ W
F 1 ⋅ ∑ j
1 m ∂ r 1 ∂ q j δ q j + … + F n ⋅ ∑ j
1 m ∂ r n ∂ q j δ q j. {\displaystyle \delta W
\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j
1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j
1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}. } Lembrando os coeficientes de δqj obtemos δ W
∑ i
1 n F i ⋅ ∂ r i ∂ q 1 δ q 1 + … + ∑ i
1 n F i ⋅ ∂ r i ∂ q m δ q m. {\displaystyle \delta W
\sum _{i
1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i
1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}. }
Forzas xeneralizadas
O traballo virtual dun sistema de partículas pode ser escrito na forma δ W
Q 1 δ q 1 + … + Q m δ q m, {\displaystyle \delta W
Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m}, } Onde Q j
∑ i
1 n F i ⋅ ∂ r i ∂ q j, j
1, …, m, {\displaystyle Q_{j}
\sum _{i
1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}, \quad j
1, \ldots, m, } son chamadas forzas xeneralizadas asociadas coas coordenadas xeneralizadas qj, j 1, .. ., m,
Formulación da velocidade
Na aplicación do principio de traballo virtual é a miúdo conveniente obter desprazamentos virtuais desde as velocidades do sistema. Para a partícula n do sistema, notando a velocidade de cada partícula Pi ser Vi, entón o desprazamento virtual δri tamén pode ser escrito na forma δ r i
∑ j
1 m ∂ V i ∂ q ˙ j δ q j, i
1, …, n. {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}
\sum _{j
1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}, \quad i
1, \ldots, n. } Isto significa que a forza xeneralizada, Qj, tamén pode ser determinado cando Q j
∑ i
1 n F i ⋅ ∂ V i ∂ q ˙ j, j
1, …, m. {\displaystyle Q_{j}
\sum _{i
1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}, \quad j
1, \ldots, m. } Principio de D'Alembert
D'Alembert formulou a dinámica dunha partícula como o equilibrio das forzas aplicadas cunha forza de inercia (forza aparente), o chamado Principio de D'Alembert. A forza de inercia dunha partícula, Pi, de masa mi é F i ∗
− m i A i, i
1, …, n, {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{*}
-m_{i}\mathbf {A} _{i}, \quad i
1, \ldots, n, } Onde Ai é a aceleración da partícula.
Se a configuración do sistema de partículas depende das coordenadas xeneralizadas qj, j
1, .. ., m, entón a forza de inercia xeneralizada vén dada por Q j ∗
∑ i
1 n F i ∗ ⋅ ∂ V i ∂ q ˙ j, j
1, …, m. {\displaystyle Q_{j}^{*}
\sum _{i
1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}, \quad j
1, \ldots, m. } Forma de D'Alembert do principio de observación de traballo virtual δ W
( Q 1 + Q 1 ∗ ) δ q 1 + … + ( Q m + Q m ∗ ) δ q m. {\displaystyle \delta W (Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}. }