Automorfismo interno

En álxebra abstracta, un automorfismo interno é un automorfismo dun grupo, anel ou álxebra dado pola acción de conxugación dun elemento fixo, chamado elemento conxugado. Pódense realizar mediante operacións desde o propio grupo, de aí o adxectivo "interno". Estes automorfismos internos forman un subgrupo do grupo de automorfismos, e o cociente do grupo de automorfismos por este subgrupo defínese como o grupo de automorfismos externos. Definición
Se G é un gruop e g é un elemento de G (alternativamente, se G é un anel, e g é unha unidade), entón a función φ g: G → G φ g ( x ):
g − 1 x g {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:
g^{-1}xg\end{aligned}}} chámase conxugación por g (pola derita) (ver tamén clase de conxugación). Esta función é un endomorfismo de G: para todos x 1, x 2 ∈ G, {\displaystyle x_{1}, x_{2}\in G, } φ g ( x 1 x 2 )
g − 1 x 1 x 2 g
g − 1 x 1 ( g g − 1 ) x 2 g
( g − 1 x 1 g ) ( g − 1 x 2 g )
φ g ( x 1 ) φ g ( x 2 ), {\displaystyle \varphi _{g}(x_{1}x_{2})
g^{-1}x_{1}x_{2}g
g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g
\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)
\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}), } onde a segunda igualdade vén dada pola inserción da identidade entre x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2. {\displaystyle x_{2}. } Alén diso, ten unha inversa pola esquerda e pola dereita, a saber φ g − 1. {\displaystyle \varphi _{g^{-1}}. } Así, φ g {\displaystyle \varphi _{g}} é tanto un monomorfismo como un epimorfismo, polo que é un isomorfismo de G consigo mesmo, é dicir, un automorfismo. Un automorfismo interno é calquera automorfismo que xorde da conxugación. Cando se fala da conxugación pola dereita, a expresión g − 1 x g {\displaystyle g^{-1}xg} adoita denotarse exponencialmente por x g. {\displaystyle x^{g}. } Esta notación úsase porque a composición das conxugacións satisfai a identidade: ( x g 1 ) g 2
x g 1 g 2 {\displaystyle \left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}
x^{g_{1}g_{2}}} para tódolos g 1, g 2 ∈ G. {\displaystyle g_{1}, g_{2}\in G. } Isto mostra que a conxugación pola dereita dá unha acción pola dereita de G sobre si mesmo.
Un exemplo común é o seguinte: Descríbese un homomorfismo Φ {\displaystyle \Phi } para o que a imaxe, Im ( Φ ) {\displaystyle {\text{Im}}(\Phi )}, é un subgrupo normal de automorfismos internos dun grupo G {\displaystyle G}; alternativamente, descríbese un homomorfismo natural do que o núcleo de Φ {\displaystyle \Phi } é o centro de G {\displaystyle G} (todos os g ∈ G {\displaystyle g\in G} para os que conxugando por eles devolve o automorfismo trivial), noutras palabras, Ker ( Φ )
Z ( G ) {\displaystyle {\text{Ker}}(\Phi )
{\text{Z}}(G)}. Sempre hai un homomorfismo natural Φ: G → Aut ( G ) {\displaystyle \Phi: G\to {\text{Aut}}(G)}, que asocia a cada g ∈ G {\displaystyle g\in G} un automorfismo (interno) φ g {\displaystyle \varphi _{g}} en Aut ( G ) {\displaystyle {\text{Aut}}(G)}. Poñamos de xeito idéntico, Φ: g ↦ φ g {\displaystyle \Phi: g\mapsto \varphi _{g}}.
Sexa φ g ( x ):
g x g − 1 {\displaystyle \varphi _{g}(x):
gxg^{-1}} como se definiu anteriormente. Isto require demostrar que (1) φ g {\displaystyle \varphi _{g}} é un homomorfismo, (2) φ g {\displaystyle \varphi _{g}} tamén é unha bixección, (3) Φ {\displaystyle \Phi } é un homomorfismo. φ g ( x x ′ )
g x x ′ g − 1
g x ( g − 1 g ) x ′ g − 1
( g x g − 1 ) ( g x ′ g − 1 )
φ g ( x ) φ g ( x ′ ) {\displaystyle \varphi _{g}(xx')
gxx'g^{-1}
gx(g^{-1}g)x'g^{-1}
(gxg^{-1})(gx'g^{-1})
\varphi _{g}(x)\varphi _{g}(x')} A condición de bixectividade pódese verificar simplemente presentando unha inversa coa que podemos volver a x {\displaystyle x} dende g x g − 1 {\displaystyle gxg^{-1}}. Neste caso é a conxugación por g − 1 {\displaystyle g^{-1}} denotado como φ g − 1 {\displaystyle \varphi _{g^{-1}}}. Φ ( g g ′ ) ( x )
( g g ′ ) x ( g g ′ ) − 1 {\displaystyle \Phi (gg')(x)
(gg')x(gg')^{-1}} e Φ ( g ) ∘ Φ ( g ′ ) ( x )
Φ ( g ) ∘ ( g ′ h g ′ − 1 )
g g ′ h g ′ − 1 g − 1
( g g ′ ) h ( g g ′ ) − 1 {\displaystyle \Phi (g)\circ \Phi (g')(x)
\Phi (g)\circ (g'hg'^{-1})
gg'hg'^{-1}g^{-1}
(gg')h(gg')^{-1}} Grupos de automorfismos internos e externos
A composición de dous automorfismos internos é de novo un automorfismo interno, e con esta operación, a colección de todos os automorfismos internos de G é un grupo, o grupo de automorfismos interno de G denotado Inn(G).
Inn(G) é un subgrupo normal do grupo de automorfismos completo Aut(G) de G. O grupo de automorfismos externo, é o grupo cociente Out ⁡ ( G )
Aut ⁡ ( G ) / Inn ⁡ ( G ). {\displaystyle \operatorname {Out} (G)
\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G). } O grupo de automorfismos externos mide, en certo sentido, cantos automorfismos de G non son internos. Todo automorfismo non interno produce un elemento non trivial de Out(G), pero diferentes automorfismos non internos poden producir o mesmo elemento de Out(G).
Dicir que a conxugación de x por a deixa x sen cambios equivale a dicir que a e x conmutan: a − 1 x a
x ⟺ x a
a x. {\displaystyle a^{-1}xa
x\iff xa
ax. } Polo tanto, a existencia e o número de automorfismos internos que non son o mapa de identidade é unha especie de medida do fallo da lei conmutativa no grupo (ou anel).
Ao asociar o elemento a ∈ G co automorfismo interno f(x) xa en Inn(G) como anteriormente, obtense un isomorfismo entre o grupo cociente G / Z(G) (onde Z(G) é o centro de G) e o grupo de automorfismos internos: G / Z ( G ) ≅ Inn ⁡ ( G ). {\displaystyle G\, /\, \mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G). } Esta é unha consecuencia do primeiro teorema de isomorfismo, porque Z(G) é precisamente o conxunto daqueles elementos de G que dan a correspondencia de identidade como automorfismo interno correspondente (a conxugación non muda nada).