Xerador (matemáticas)

En matemáticas e física, o termo xerador ou conxunto xerador pode referirse a varios conceptos relacionados. O concepto subxacente en cada caso é o dun conxunto máis pequeno de obxectos, xunto cun conxunto de operacións que se lle poden aplicar, que dan como resultado a creación dunha colección maior de obxectos, chamada conxunto xerado. Dise entón que o conxunto maior é xerado polo conxunto menor. Normalmente é o caso de que o conxunto xerador teña un conxunto de propiedades máis sinxelo que o conxunto xerado, polo que é máis doado de discutir e examinar. Adoita darse o caso de que as propiedades do conxunto xerador consérvanse dalgún xeito polo acto de xeración; así mesmo, as propiedades do conxunto xerado adoitan reflectirse no conxunto xerador. Lista de exemplo de xeradores
A continuación unha lista de exemplos de grupos xeradores. Grupo xerador ou conxunto de expansión dun espazo vectorial: un conxunto que expande o espazo vectorial
Grupo xerador dun grupo: un subconxunto do grupo tal que cada elemento do grupo pode expresarse como unha combinación (baixo a operación de grupo) dun número finito de elementos do subconxunto e os seus inversos.
Grupo xerador dun anel: un subconxunto S dun anel A xera A se o único subanel de A que contén S é A
Grupo xerador dun ideal nun anel
Grupo xerador dun módulo
Un xerador, en teoría de categorías, é un obxecto que se pode usar para distinguir morfismos
En topoloxía, unha colección de conxuntos que xeran a topoloxía chámase subbase
Grupo xerador dunha álxebra topolóxica: S é un conxunto xerador dunha álxebra topolóxica A se a subálxebra pechada máis pequena de A que contén S é A
Xerando unha σ-álxebra por unha colección de subconxuntos Ecuacións diferenciais
No estudo das ecuacións diferenciais, e habitualmente as que ocorren en física, tense a idea dun conxunto de desprazamentos infinitesimais que se poden estender para obter unha variedade, ou polo menos, unha parte local dela, por medio da integración. O concepto xeral é usar o mapa exponencial para tomar os vectores no espazo tanxente e estendelos, como xeodésicas, a un conxunto aberto que arrodea o punto tanxente. Neste caso, non é raro chamar aos elementos do espazo tanxente os xeradores da variedade. Cando a variedade posúe algún tipo de simetría, tamén existe a noción relacionada de carga ou corrente, que ás veces tamén se chama xerador, aínda que, en rigor, as cargas non son elementos do espazo tanxente. Os elementos da álxebra de Lie a un grupo de Lie ás veces son denominados "xeradores do grupo", especialmente polos físicos. A álxebra de Lie pódese pensar como os vectores infinitesimais que xeran o grupo, polo menos localmente, mediante o mapa exponencial, mais a álxebra de Lie non forma un conxunto xerador en sentido estrito.
Na análise estocástica, unha difusión Itō ten un xerador infinitesimal.
O xerador de calquera simetría continua implicado polo teorema de Noether, sendo un caso especial os xeradores dun grupo de Lie. Neste caso, un xerador ás veces chámase carga ou carga de Noether, os exemplos inclúen:
momento angular como xerador de rotacións,
momento linear como xerador de translacións, A carga eléctrica é o xerador do grupo de simetría U(1) do electromagnetismo,
as cargas de cor dos quarks son os xeradores da simetría de cor SU(3) en cromodinámica cuántica,
Máis precisamente, a "carga" debería aplicarse só ao sistema raíz dun grupo de Lie.