Serie harmónica

En matemáticas, a serie harmónica é a serie infinita formada pola suma de todas as fraccións unitarias positivas: ∑ n
1 ∞ 1 n
1 + 12 + 13 + 14 + 15 + ⋯. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n}}
1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots. } Os primeiros n {\displaystyle n} termos da serie suman aproximadamente ln ⁡ n + γ {\displaystyle \ln n+\gamma }, onde ln {\displaystyle \ln } é o logaritmo natural e γ ≈ 0. 577 {\displaystyle \gamma \approx 0. 577} é a constante de Euler-Mascheroni. Como o logaritmo ten valores arbitrariamente grandes, a serie harmónica non ten un límite finito: é unha serie diverxente. A súa diverxencia foi probada no século XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor da proba de condensación de Cauchy para a converxencia de series infinitas. Tamén se pode demostrar que diverxe comparando a suma cunha integral, segundo a proba de converxencia da integral. Definición e diverxencia
A serie harmónica é a serie infinita ∑ n
1 ∞ 1 n
1 + 12 + 13 + 14 + 15 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n}}
1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots } na que os termos son todas as fraccións unitarias positivas. É unha serie diverxente: a medida que se inclúen máis termos da serie nas sumas parciais da serie, os valores destas sumas parciais medran arbitrariamente, máis aló de calquera límite finito. Debido a que é unha serie diverxente, debería interpretarse como unha suma formal, unha expresión matemática abstracta que combina as fraccións unitarias, máis que como algo que se pode avaliar a un valor numérico. Hai moitas probas diferentes da diverxencia da serie harmónica, analizadas nun artigo de 2006 por SJ Kifowit e TA Stamps. Dúas das máis coñecidas están listadas a continuación.
Proba por comparación
Unha forma de probar a diverxencia é comparar a serie harmónica con outra serie diverxente, onde cada denominador é substituído pola seguinte potencia de dous: 1 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + ⋯ ≥ 1 + 12 + 14 + 14 + 18 + 18 + 18 + 18 + 116 + ⋯ {\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}} A agrupación de termos iguais mostra que a segunda serie diverxe (porque é unha suma infinita de cantidades 1/2): 1 + ( 12 ) + ( 14 + 14 ) + ( 18 + 18 + 18 + 18 ) + ( 116 + ⋯ + 116 ) + ⋯
1 + 12 + 12 + 12 + 12 + ⋯. {\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}
{}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots. \end{aligned}}} Debido a que cada termo da serie harmónica é maior ou igual ao termo correspondente da segunda serie (e os termos son todos positivos), e dado que a segunda serie diverxe, dedúcese (polo test de comparación) que a serie harmónica tamén diverxe. O mesmo argumento demostra con máis forza que, para todo enteiro positivo k {\displaystyle k}, ∑ n
12 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\displaystyle \sum _{n
1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}} Esta é a proba orixinal dada por Nicole Oresme en torno a 1350. A proba de condensación de Cauchy é unha xeneralización deste argumento.
Proba por comparación cunha integral
É posíbel demostrar que a serie harmónica diverxe comparando a súa suma cunha integral impropia. Concretamente, considere a disposición dos rectángulos que se mostra na figura da dereita. Cada rectángulo ten 1 unidade de ancho e 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} unidades altas, polo que se a serie harmónica converxe, a área total dos rectángulos sería a suma das series harmónicas. A curva y
1 x {\displaystyle y
{\tfrac {1}{x}}} permanece totalmente por debaixo do límite superior dos rectángulos, polo que a área baixo a curva (no rango de x {\displaystyle x} do un ao infinito que está cuberto por rectángulos) sería menor que a área de unión dos rectángulos. No entanto, a área baixo a curva vén dada por unha integral impropia diverxente, ∫ 1 ∞ 1 x d x
ln ⁡ ( x ) ] 1 ∞
∞. {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\, dx
\ln(x)]_{1}^{\infty }
\infty. } Como esta integral non converxe, a suma tampouco non pode converxer. Sumas parciais
Sumando os primeiros n {\displaystyle n} termos da serie harmónica temos unha suma parcial chamada número harmónico e denotado como H n {\displaystyle H_{n}}: H n
∑ k
1 n 1 k. {\displaystyle H_{n}
\sum _{k
1}^{n}{\frac {1}{k}}. } De feito, a serie harmónica diverxe, as súas sumas parciais tenden cara a +∞.
Taxa de crecemento
Estes números medran moi lentamente, cun crecemento logarítmico, como se pode ver na proba da integral. Máis precisamente, pola fórmula de Euler-Maclaurin, H n
ln ⁡ n + γ + 12 n − ε n {\displaystyle H_{n}
\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}} onde γ ≈ 0. 5772 {\displaystyle \gamma \approx 0. 5772} é a constante de Euler-Mascheroni e 0 ≤ ε n ≤ 1 / 8 n 2 {\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/8n^{2}} que se achega a 0 cando n {\displaystyle n} vai ao infinito.
Interpolación
A función digamma defínese como a derivada logarítmica da función gamma ψ ( x )
d d x ln ⁡ ( Γ ( x ) )
Γ ′ ( x ) Γ ( x ). {\displaystyle \psi (x)
{\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}
{\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}. } Así como a función gamma proporciona unha interpolación continua dos factoriais, a función digamma proporciona unha interpolación continua dos números harmónicos, no sentido de que ψ ( n )
H n − 1 − γ {\displaystyle \psi (n)
H_{n-1}-\gamma }. Esta ecuación pódese usar para estender a definición a números harmónicos con índices racionais. Series relacionadas
Serie harmónica alternada
A serie ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n
1 − 12 + 13 − 14 + 15 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}
1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots } coñécese como serie harmónica alternada. É condicionalmente converxente polo test de serie alternada, pero non é absolutamente converxente. A súa suma é o logaritmo neperiano de 2.
A expansión asintótica da serie comeza como 11 − 12 + ⋯ + 12 n − 1 − 12 n
H 2 n − H n
ln ⁡ 2 − 14 n + O ( n − 2 ). {\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}
H_{2n}-H_{n}
\ln 2-{\frac {1}{4n}}+O(n^{-2}). } Isto resulta da igualdade H n
2 ∑ k
1 n 12 k {\textstyle H_{n}
2\sum _{k
1}^{n}{\frac {1}{2k}}} e a fórmula de Euler-Maclaurin.
Función zeta de Riemann
A función zeta de Riemann defínese para x > 1 {\displaystyle x>1} real pola serie converxente ζ ( x )
∑ n
1 ∞ 1 n x
11 x + 12 x + 13 x + ⋯, {\displaystyle \zeta (x)
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}
{\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots, } que para x
1 {\displaystyle x
1} sería a serie harmónica. Pódese estender mediante o prolongamento analítico a unha función holomorfa en todos os números complexos agás x
1 {\displaystyle x
1}, onde a función estendida ten un polo simple. Outros valores importantes da función zeta inclúen ζ ( 2 )
π 2 / 6 {\displaystyle \zeta (2)
\pi ^{2}/6}, que é a solución ao problema de Basilea, a constante de Apéry ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)}, que Roger Apéry demostrou que é un número irracional, e a "liña crítica" dos números complexos con parte real 12 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}, conxecturado pola hipótese de Riemann como os únicos valores distintos dos enteiros negativos onde a función pode ser cero.