Número euleriano

En combinatoria, o número euleriano A ( n, k ) {\textstyle A(n, k)} é o número de permutacións dos números 1 a n {\textstyle n} no que exactamente k {\textstyle k} elementos son maiores que o elemento anterior (permutacións con k {\textstyle k} "ascendentes").
Leonhard Euler investigounos e tamén os seus polinomios asociados no seu libro de 1755 Institutiones calculi differentialis. Outras notacións para A ( n, k ) {\textstyle A(n, k)} son E ( n, k ) {\textstyle E(n, k)} e ⟨ n k ⟩ {\displaystyle \textstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }. Definición
Os polinomios eulerianos A n ( t ) {\displaystyle A_{n}(t)} están definidos pola función xeradora exponencial ∑ n
0 ∞ A n ( t ) x n n!
t − 1 t − e ( t − 1 ) x. {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }A_{n}(t)\, {\frac {x^{n}}{n! }}
{\frac {t-1}{t-e^{(t-1)\, x}}}. } Os números eulerianos A ( n, k ) {\displaystyle A(n, k)} pódense definir como os coeficientes dos polinomios eulerianos: A n ( t )
∑ k
0 n A ( n, k ) t k. {\displaystyle A_{n}(t)
\sum _{k
0}^{n}A(n, k)\, t^{k}. } Unha fórmula explícita para A ( n, k ) {\textstyle A(n, k)} é A ( n, k )
∑ i
0 k ( − 1 ) i ( n + 1 i ) ( k + 1 − i ) n. {\displaystyle A(n, k)
\sum _{i
0}^{k}(-1)^{i}{\binom {n+1}{i}}(k+1-i)^{n}. } Propiedades básicas
Para un n {\textstyle n} fixo hai unha única permutación que ten 0 ascendentes: ( n, n − 1, n − 2, …, 1 ) {\textstyle (n, n-1, n-2, \dots, 1)}. De feito, como ( n 0 )
1 {\displaystyle {\tbinom {n}{0}}
1} para todos os n {\displaystyle n}, A ( n, 0 )
1 {\textstyle A(n, 0)
1}. Isto inclúe formalmente o conxunto baleiro de números, n
0 {\textstyle n
0}. E A 0 ( t )
A 1 ( t )
1 {\textstyle A_{0}(t)
A_{1}(t)
1}.
Para k
1 {\textstyle k
1}, a fórmula explícita implica que A ( n, 1 )
2 n − ( n + 1 ) {\textstyle A(n, 1)
2^{n}-(n+1)}, unha sucesión en n {\displaystyle n} que consiste nos números 0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, … {\textstyle 0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, \dots }.
Inverter completamente unha permutación con k {\textstyle k} ascendentes crea outra permutación na que hai n − k − 1 {\textstyle n-k-1} ascendentes. Polo tanto A ( n, k )
A ( n, n − k − 1 ) {\textstyle A(n, k)
A(n, n-k-1)}. Así que tamén hai unha única permutación que ten n − 1 {\textstyle n-1} ascendentes, esta é a permutación ascendente ( 1, 2, …, n ) {\textstyle (1, 2, \ldots, n)}. Así, tamén A ( n, n − 1 ) {\textstyle A(n, n-1)} é igual a 1 {\displaystyle 1}.
Para k ≥ n > 0 {\textstyle k\geq n>0}, os valores son formalmente cero, o que significa que moitas sumas sobre k {\textstyle k} pódense escribir cun índice superior só ata n − 1 {\textstyle n-1}. Tamén significa que os polinomios A n ( t ) {\displaystyle A_{n}(t)} son realmente de grao n − 1 {\textstyle n-1} para n > 0 {\textstyle n>0}.
A tabulación dos números nunha matriz triangular chámase triángulo de Euler. Comparte algunhas características comúns co triángulo de Pascal. Valores de A ( n, k ) {\textstyle A(n, k)} (secuencia A008292 na OEIS) para 0 ≤ n ≤ 9 {\textstyle 0\leq n\leq 9} son: Cálculo
Para valores maiores de n {\textstyle n}, A ( n, k ) {\textstyle A(n, k)} tamén se pode calcular usando a fórmula recursiva A ( n, k )
( n − k ) A ( n − 1, k − 1 ) + ( k + 1 ) A ( n − 1, k ). {\displaystyle A(n, k)
(n-k)\, A(n-1, k-1)+(k+1)\, A(n-1, k). } Esta fórmula pode ser motivada a partir da definición combinatoria e, polo tanto, serve como punto de partida natural para a teoría.
Aplicando a recorrencia a un exemplo, podemos atopar A ( 4, 1 )
( 4 − 1 ) A ( 3, 0 ) + ( 1 + 1 ) A ( 3, 1 )
3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 4
11. {\displaystyle A(4, 1)
(4-1)\, A(3, 0)+(1+1)\, A(3, 1)
3\cdot 1+2\cdot 4
11. } Así mesmo, os polinomios eulerianos pódense calcular pola recorrencia A 0 ( t )
1, {\displaystyle A_{0}(t)
1, } A n ( t )
A n − 1 ′ ( t ) ⋅ t ( 1 − t ) + A n − 1 ( t ) ⋅ ( 1 + ( n − 1 ) t ), for n > 1. {\displaystyle A_{n}(t)
A_{n-1}'(t)\cdot t\, (1-t)+A_{n-1}(t)\cdot (1+(n-1)\, t), {\text{ for }}n>1. } A segunda fórmula pódese transformar nunha forma con sumatorio, A n ( t )
∑ k
0 n − 1 ( n k ) A k ( t ) ⋅ ( t − 1 ) n − 1 − k, for n > 1. {\displaystyle A_{n}(t)
\sum _{k
0}^{n-1}{\binom {n}{k}}A_{k}(t)\cdot (t-1)^{n-1-k}, {\text{ for }}n>1. } Identidades
Os números eulerianos dividen as permutacións de n {\displaystyle n} elementos, polo que a súa suma é igual ao factorial n! {\displaystyle n! }. Así temos ∑ k
0 n − 1 A ( n, k )
n! , for n > 0. {\displaystyle \sum _{k
0}^{n-1}A(n, k)
n! ,{\text{ for }}n>0. } con A ( 0, 0 )
0! {\displaystyle A(0, 0)
0! }. Para evitar conflitos coa convención de suma baleira, é conveniente simplemente indicar os teoremas só para n > 0 {\displaystyle n>0}.
Moito máis xeralmente, para unha función fixada f: R → C {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} } integrábel no intervalo ( 0, n ) {\displaystyle (0, n)} ∑ k
0 n − 1 A ( n, k ) f ( k )
n! ∫ 01 ⋯ ∫ 01 f ( ⌊ x 1 + ⋯ + x n ⌋ ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \sum _{k
0}^{n-1}A(n, k)\, f(k)
n! \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(\left\lfloor x_{1}+\cdots +x_{n}\right\rfloor \right){\mathrm {d} }x_{1}\cdots {\mathrm {d} }x_{n}} A identidade de Worpitzky expresa x n {\textstyle x^{n}} como a combinación linear de números eulerianos con coeficientes binomiais: ∑ k
0 n − 1 A ( n, k ) ( x + k n )
x n. {\displaystyle \sum _{k
0}^{n-1}A(n, k){\binom {x+k}{n}}
x^{n}. } Dela, despréndese que ∑ k
1 m k n
∑ k
0 n − 1 A ( n, k ) ( m + k + 1 n + 1 ). {\displaystyle \sum _{k
1}^{m}k^{n}
\sum _{k
0}^{n-1}A(n, k){\binom {m+k+1}{n+1}}. }
Fórmulas que implican sumas alternadas
A suma alternada dos números eulerianos para un valor fixo de n {\textstyle n} está relacionado co número de Bernoulli B n + 1 {\textstyle B_{n+1}} do seguinte xeito ∑ k
0 n − 1 ( − 1 ) k A ( n, k )
2 n + 1 ( 2 n + 1 − 1 ) B n + 1 n + 1, para n > 0. {\displaystyle \sum _{k
0}^{n-1}(-1)^{k}A(n, k)
2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}}, {\text{ para }}n>0. }
Fórmulas que implican polinomios
A propiedade de simetría implica: A n ( t )
t n − 1 A n ( t − 1 ) {\displaystyle A_{n}(t)
t^{n-1}A_{n}(t^{-1})} Os números eulerianos están implicados na función xeradora da secuencia das potencias n-ésimas: ∑ i
1 ∞ i n x i
1 ( 1 − x ) n + 1 ∑ k
0 n A ( n, k ) x k + 1
x ( 1 − x ) n + 1 A n ( x ) {\displaystyle \sum _{i
1}^{\infty }i^{n}x^{i}
{\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}\sum _{k
0}^{n}A(n, k)\, x^{k+1}
{\frac {x}{(1-x)^{n+1}}}A_{n}(x)} Unha expresión explícita para os polinomios eulerianos é A n ( t )
∑ k
0 n { n k } k! ( t − 1 ) n − k {\displaystyle A_{n}(t)
\sum _{k
0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}k! (t-1)^{n-k}} onde { n k } {\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}} son os números de Stirling do segundo tipo.