Derivada parcial

En matemáticas, unha derivada parcial dunha función de diversas variables, é a súa derivada respecto a unha desas variables mantendo as outras como constantes. As derivadas parciais son útiles no cálculo vectorial e na xeometría diferencial.
A derivada parcial dunha función f respecto á variable x represéntase con calquera das seguintes notacións equivalentes: ∂ f ∂ x
∂ x f
f x ′ {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}
\partial _{x}f
f'_{x}} Onde ∂ {\displaystyle \scriptstyle \partial } é a letra 'd' redondeada, coñecida como o 'd de Jacobi'.
Cando unha magnitude A {\displaystyle A} é función de diversas variables ( x {\displaystyle x}, y {\displaystyle y}, z {\displaystyle z}, .. . {\displaystyle. .. } ), é dicir: A
f ( x, y, z, .. . ) {\displaystyle A
f\left(x, y, z, .. .\right)} Ao realizar esta derivada obtemos a expresión que nos permite obter a pendente da recta tanxente a dita función A {\displaystyle A} nun punto dado. Esta recta é paralela ao plano formado polo eixe da incógnita respecto á cal se fixo a derivada e o eixe z.
Analiticamente o gradiente dunha función é a máxima pendente de dita función na dirección que se elixa. Visto desde a álxebra linear, a dirección do gradiente indícanos cara a onde hai maior variación na función. Introdución
Supoñamos que f {\displaystyle \scriptstyle f} é unha función de máis dunha variable, é dicir, unha función real de variable vectorial. Para o caso, f ( x, y )
x 2 + x y + y 2 {\displaystyle f(x, y)
x^{2}+xy+y^{2}\, } É difícil describir a derivada de tal función, xa que existe un número infinito de liñas tanxentes en cada punto da súa superficie. A derivación parcial é o acto de elixir unha desas liñas e encontrar a súa pendente. Xeralmente, as liñas que máis interesan son aquelas que son paralelas ao eixe x, e aquelas que son paralelas ao eixe y. Unha boa maneira de encontrar os valores para esas liñas paralelas é a de tratar as outras variables como constantes mentres se deixa a variar só unha. Por exemplo, para encontrar a liña tanxente da función de arriba en (1, 1, 3) que é paralela o eixe x, tratamos a variable y como constante. O gráfico da función e o plano y
1 móstranse á dereita. Á esquerda, vemos como se ve a función, no plano y
1. Encontrando a liña tanxente neste gráfico, descubrimos que a pendente da liña tanxente de ƒ en (1, 1, 3) que é paralela ao eixe x é tres. Que escribimos: ∂ z ∂ x
3 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}
3} no punto (1, 1, 3),
ou como "a derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) é 3. " Exemplos
Considera o volume V dun cono, este depende da altura h do cono e o seu radio r de acordo coa fórmula V ( r, h )
r 2 h π 3 {\displaystyle V(r, h)
{\frac {r^{2}h\pi }{3}}} As derivadas parciais de V respecto a r e h son: ∂ V ∂ r ( r, h )
2 r h π 3, ∂ V ∂ h ( r, h )
r 2 π 3 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}(r, h)
{\frac {2rh\pi }{3}}, \qquad {\frac {\partial V}{\partial h}}(r, h)
{\frac {r^{2}\pi }{3}}} Outro exemplo, dada a función F: R 2 → R {\displaystyle F: \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } tal que: F ( x, y )
3 x 3 y + 2 x 2 y 2 − 7 y {\displaystyle F(x, y)
3x^{3}y+2x^{2}y^{2}-7y\, } a derivada parcial de F {\displaystyle F} respecto de x {\displaystyle x} é: ∂ F ∂ x ( x, y )
9 x 2 y + 4 x y 2 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x, y)
9x^{2}y+4xy^{2}} mentres que con respecto de y {\displaystyle y} é: ∂ F ∂ y ( x, y )
3 x 3 + 2 x 22 y − 7
3 x 3 + 4 x 2 y − 7 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x, y)
3x^{3}+2x^{2}2y-7
3x^{3}+4x^{2}y-7} Definición formal
Como as derivadas nunha variable, as derivadas parciais están definidas como o límite. Onde U é un subconxunto aberto de Rn e f: U → R unha función. Definimos derivada parcial de f no punto a
(a1, .. ., an) ∈ U con respecto á i-ésima variable xi como: ∂ ∂ x i f ( a )
lim h → 0 f ( a 1, …, a i − 1, a i + h, a i + 1, …, a n ) − f ( a 1, …, a n ) h {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )
\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1}, \dots, a_{i-1}, a_{i}+h, a_{i+1}, \dots, a_{n})-f(a_{1}, \dots, a_{n}) \over h}} Ou visto respecto á derivada direccional: ∂ ∂ x i f ( x → 0 )
D v → f ( x → 0 )
lim t → 0 f ( x 0 → + t v → ) − f ( x → 0 ) t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f({\vec {x}}_{0})
D_{\vec {v}}f\left({\vec {x}}_{0}\right) {\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {f\left({\overrightarrow {x_{0}}}+t{\vec {v}}\right)-f\left({\vec {x}}_{0}\right)}{t}}} onde v → {\displaystyle {\vec {v}}} é o vector unitario do eixe respecto ao que se deriva ( x i {\displaystyle {x_{i}}} ).
Se todas as derivadas parciais existen no punto a, a función non necesariamente é continua nese punto. Mais, se todas as derivadas parciais existen arredor de a e son continuas, entón a función non só é continua senón ademais diferenciable onda a. Neste caso, f é unha función C1. Notación
Para o seguinte exemplo, f será unha función de x e y. Derivadas parciais de primeira orde: ∂ f ∂ x
f x ′
∂ x f {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}
f'_{x}
\partial _{x}f} Derivadas parciais (dobres) de segunda orde: ∂ 2 f ∂ x 2
f x x ″
∂ x x f, ∂ 2 f ∂ y 2
f y y ″
∂ y y f, {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}
f''_{xx}
\partial _{xx}f, \qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}
f''_{yy}
\partial _{yy}f, } Derivadas cruzadas de segunda orde: ∂ 2 f ∂ x ∂ y
f y x ″
∂ x y f, ∂ 2 f ∂ y ∂ x
f x y ″
∂ y x f, {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}
f''_{yx}
\partial _{xy}f, \qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}
f''_{xy}
\partial _{yx}f, }
Termodinámica
En termodinámica e outras áreas da física emprégase a seguinte notación: ( ∂ Y ∂ X ) Z {\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}} Que significa que ∃ f X Z ( ⋅ ): Y
f X Z ( X, Z ) {\displaystyle \exists f_{XZ}(\cdot ): \ Y
f_{XZ}(X, Z)\, } e entón: ( ∂ Y ∂ X ) Z:
∂ f X Z ( X, Z ) ∂ X {\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}:
{\frac {\partial f_{XZ}(X, Z)}{\partial X}}} Esta notación úsase pois frecuentemente unha magnitude pode expresarse como función de diferentes variables polo que en xeral: ( ∂ Y ∂ X ) Z 1 ≠ ( ∂ Y ∂ X ) Z 2 {\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{1}}\neq \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{2}}} Xa que a forma precisa das funcións f X Z 1 ( ⋅, ⋅ ) {\displaystyle f_{XZ_{1}}(\cdot, \cdot )} e f X Z 2 ( ⋅, ⋅ ) {\displaystyle f_{XZ_{2}}(\cdot, \cdot )} é diferente, é dicir, trátanse de funcións diferentes. Derivadas parciais de orde superior
Á súa vez, a derivada parcial ∂ x i f {\displaystyle \partial _{x_{i}}f} pode verse como outra función definida en U e derivarse parcialmente. Se todas as súas derivadas parciais existen e son continuas, chamamos a f unha función C2; neste caso, as derivadas parciais poden ser intercambiadas polo teorema de Clairaut tamén coñecido como teorema de Schwartz. ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j
∂ 2 f ∂ x j ∂ x i. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\, \partial x_{j}}}
{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\, \partial x_{i}}}. } En R2, se se cumpre o xa dito, asegúrase que: ∂ 2 f ∂ x ∂ y
∂ 2 f ∂ y ∂ x
f x y
f y x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\, \partial y}}
{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\, \partial x}}
f_{xy}
f_{yx}}