Radical dun ideal

Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, o radical dun ideal I {\displaystyle I} dun anel conmutativo é outro ideal definido pola propiedade de que un elemento x {\displaystyle x} está no radical se e só se algúnha potencia de x {\displaystyle x} está en I {\displaystyle I}. Tomar o radical dun ideal chámase radicalización. Un ideal radical (ou ideal semiprimo) é un ideal que é igual ao seu radical. O radical dun ideal primario é un ideal primo.
Este concepto xeneralízase aos aneis non conmutativos no artigo de anel semiprimo. Definición
O radical dun ideal I {\displaystyle I} nun anel conmutativo R {\displaystyle R}, denotado por rad ⁡ ( I ) {\displaystyle \operatorname {rad} (I)} ou I {\displaystyle {\sqrt {I}}}, defínese como I
{ r ∈ R ∣ r n ∈ I for some n ∈ Z + }, {\displaystyle {\sqrt {I}}
\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\! \right\}, } (nótese que I ⊆ I {\displaystyle I\subseteq {\sqrt {I}}} ). Intuitivamente, I {\displaystyle {\sqrt {I}}} obtense tomando todas as raíces dos elementos de I {\displaystyle I} dentro do anel R {\displaystyle R}. De forma equivalente, I {\displaystyle {\sqrt {I}}} é a preimaxe do ideal dos elementos nilpotentes (o nilradical) do anel cociente R / I {\displaystyle R/I} (vía o mapa natural π: R → R / I {\displaystyle \pi \colon R\to R/I} ). Isto último demostra que I {\displaystyle {\sqrt {I}}} é un ideal. Se o radical de I {\displaystyle I} é finitamente xerado, entón algunha potencia de I {\displaystyle {\sqrt {I}}} está contida en I {\displaystyle I}. En particular, se I {\displaystyle I} e J {\displaystyle J} son ideais dun anel noetheriano, entón I {\displaystyle I} e J {\displaystyle J} teñen o mesmo radical se e só se I {\displaystyle I} contén algunha potencia de J {\displaystyle J} e J {\displaystyle J} contén algunha potencia de I {\displaystyle I}.
Se un ideal I {\displaystyle I} coincide co seu propio radical, daquela I {\displaystyle I} chámase ideal radical ou ideal semiprimo. Exemplos
Considere o anel Z {\displaystyle \mathbb {Z} } de enteiros.
O radical do ideal 4 Z {\displaystyle 4\mathbb {Z} } de múltiplos enteiros de 4 {\displaystyle 4} é 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } (os pares).
O radical de 5 Z {\displaystyle 5\mathbb {Z} } é 5 Z {\displaystyle 5\mathbb {Z} }.
O radical de 12 Z {\displaystyle 12\mathbb {Z} } é 6 Z {\displaystyle 6\mathbb {Z} }.
En xeral, o radical de m Z {\displaystyle m\mathbb {Z} } é r Z {\displaystyle r\mathbb {Z} }, onde r {\displaystyle r} é o produto de todos os factores primos distintos de m {\displaystyle m}, o maior factor libre de cadrados de m {\displaystyle m} (ver Radical dun número enteiro). De feito, isto xeneraliza a un ideal arbitrario (ver o Propiedades sección).
Considere o ideal I
( y 4 ) ⊆ C [ x, y ] {\displaystyle I
\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x, y]}. É trivial mostrar I
( y ) {\displaystyle {\sqrt {I}}
(y)} (usando a propiedade básica I n
I {\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}
{\sqrt {I}}} ), mais damos un métodos alternativo: O radical I {\displaystyle {\sqrt {I}}} corresponde ao nilradical 0 {\displaystyle {\sqrt {0}}} do anel cociente R
C [ x, y ] / ( y 4 ) {\displaystyle R
\mathbb {C} [x, y]/\! \left(y^{4}\right)}, que é a intersección de todos os ideais primos do anel cociente. Está contido no Radical de Jacobson, que é a intersección de tódolos ideais maximais, que son os kernels de homomorfismos de corpos. Calquera homomorfismo de anel R → C {\displaystyle R\to \mathbb {C} } debe ter y {\displaystyle y} no kernel para ter un homomorfismo ben definido (se dixéramos, por exemplo, que o kernel debería ser ( x, y − 1 ) {\displaystyle (x, y-1)} a composición de C [ x, y ] → R → C {\displaystyle \mathbb {C} [x, y]\to R\to \mathbb {C} } sería ( x, y 4, y − 1 ) {\displaystyle \left(x, y^{4}, y-1\right)}, que é o mesmo que tentar forzar 1
0 {\displaystyle 1
0} ). Posto que C {\displaystyle \mathbb {C} } é alxébricamente pechado, cada homomorfismo R → F {\displaystyle R\to \mathbb {F} } debe ser un factor a través C {\displaystyle \mathbb {C} }, así que só temos que calcular a intersección de { ker ⁡ ( Φ ): Φ ∈ Hom ⁡ ( R, C ) } {\displaystyle \{\ker(\Phi ): \Phi \in \operatorname {Hom} (R, \mathbb {C} )\}} para calcular o radical de ( 0 ). {\displaystyle (0). } Entón atopamos que 0
( y ) ⊆ R. {\displaystyle {\sqrt {0}}
(y)\subseteq R. }