Axiomas de Hilbert

Os axiomas de Hilbert son un conxunto de 20 (orixinalmente 21) hipóteses propostas por David Hilbert en 1899 como o fundamento para un tratamento moderno da xeometría euclidiana. Outras axiomatizacións modernas ben coñecidas da xeometría euclídea son as debidas a Alfred Tarski e a George Birkhoff. Os axiomas
O sistema axiomático de Hilbert componse de nove nocións primitivas:
Tres termos primitivos: punto;
liña recta;
plano;
e seis relacións primitivas: Orde, unha relación ternaria entre puntos;
Pertenza, tres relacións binarias, unha delas entre puntos e rectas, outra entre puntos e planos, e outra entre rectas e planos;
Congruencia, dúas relacións binarias, unha entre segmentos e outra entre ángulos, denotadas por ≅ {\displaystyle \cong } Nótese que os segmentos e os ángulos (así como tamén os triángulos) non son nocións primitivas, senón que se definen en termos de puntos e rectas utilizando as relacións de orde e pertenza. Todos os puntos, rectas e planos nos subsecuentes axiomas son distintos agás que se indique o contrario.
I. Combinación
Dous puntos distintos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} determinan unha única recta a {\displaystyle a}. Denótase A B
a {\displaystyle AB
a} ou B A
a {\displaystyle BA
a}. No canto de "determinan", pode dicirse: " A {\displaystyle A} está en a {\displaystyle a} ", " A {\displaystyle A} é un punto de a {\displaystyle a} ", " a {\displaystyle a} pasa por A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} ", " a {\displaystyle a} une A {\displaystyle A} con B {\displaystyle B} " etc. Se A {\displaystyle A} está en a {\displaystyle a} e ao mesmo tempo noutra recta b {\displaystyle b}, dise tamén "as rectas a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} teñen o punto A {\displaystyle A} en común".
Dous puntos calquera dunha recta determínana por completo; é dicir, se A B
a {\displaystyle AB
a} e A C
a {\displaystyle AC
a}, onde en xeral B ≠ C {\displaystyle \scriptstyle B\neq C} entón tamén se verifica que B C
a {\displaystyle BC
a} Tres puntos A {\displaystyle A}, B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} non situados nunha mesma recta determinan un plano α {\displaystyle \alpha }. Denótase A B C
α {\displaystyle ABC
\alpha }, e dise " A {\displaystyle A}, B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} xacen en α {\displaystyle \alpha } " etc.
Tres puntos calquera A {\displaystyle A}, B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} do plano α {\displaystyle \alpha } non situados nunha mesma recta determinan por completo α {\displaystyle \alpha }.
Se dous puntos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} da recta a {\displaystyle a} xacen no plano α {\displaystyle \alpha }, entón todo punto de a {\displaystyle a} xace en α {\displaystyle \alpha }. En tal caso dise "a recta a {\displaystyle a} xace no plano α {\displaystyle \alpha } " etc.
Se dous planos α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } teñen un punto A {\displaystyle A} en común, entón teñen polo menos outro punto B {\displaystyle B} en común.
En cada recta hai polo menos dous puntos; en cada plano hai polo menos tres puntos non situados na mesma recta; e existen polo menos catro puntos non situados nun mesmo plano.
II. Orde
Se un punto B {\displaystyle B} está entre os puntos A {\displaystyle A} e C {\displaystyle C}, tamén está entón entre C {\displaystyle C} e A {\displaystyle A}, e existe unha recta que contén os tres.
Se A {\displaystyle A} e C {\displaystyle C} son dous puntos dunha recta, existe polo menos outro punto B {\displaystyle B} entre A {\displaystyle A} e C {\displaystyle C}, e polo menos un punto D {\displaystyle D} de tal maneira que C {\displaystyle C} está entre A {\displaystyle A} e D {\displaystyle D}.
Dados tres puntos nunha recta, só un deles está entre os outros dous.
Dada unha parella de puntos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}, pode falarse entón do segmento A B {\displaystyle AB}. Os puntos do segmento B {\displaystyle B} son todos aqueles que están entre A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}. Estes dous son os extremos do segmento. Axioma de Pasch: Sexan A {\displaystyle A}, B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} tres puntos non situados na mesma recta e sexa a {\displaystyle a} unha recta contida no plano A B C {\displaystyle ABC}, que non pasa por ningún dos tres puntos mencionados. Entón, se a {\displaystyle a} pasa por algún punto do segmento A B {\displaystyle AB}, entón pasa tamén por algún punto, ou ben do segmento B C {\displaystyle BC} ou ben do segmento A C {\displaystyle AC}.
Pode probarse entón que dadas unha recta a {\displaystyle a} e un punto A {\displaystyle A} nela, pode dividirse a recta en dúas semirectas, disxuntas entre si, que emanan de A {\displaystyle A}, tales que a súa unión constitúe toda a recta agás A {\displaystyle A}. Do mesmo xeito, dados un plano α {\displaystyle \alpha } e unha recta a {\displaystyle a} nel, poden distinguirse nel dúas partes disxuntas, os semiplanos de α {\displaystyle \alpha } respecto de a {\displaystyle a}, onde de novo a súa unión constitúe todo o plano agás a {\displaystyle a}.
III. Paralelas
Nun plano α {\displaystyle \alpha } pode atoparse unha única recta b {\displaystyle b} que pase por un punto dado A {\displaystyle A}, que non pertenza a unha recta dada a {\displaystyle a}, de forma que a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} non teñan ningún punto en común. Está recta chámase a paralela a a {\displaystyle a} que pasa por A {\displaystyle A}.
IV. Congruencia
Defínese un ángulo como unha parella de semirectas ∠ ( h, k ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h, k)} que xacen nun plano α {\displaystyle \alpha } que parten do mesmo punto O {\displaystyle O}. Demóstrase que pode dividirse entón o plano en dúas rexións: o interior e o exterior de ∠ ( h, k ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h, k)}, onde h {\displaystyle h} e k {\displaystyle k} son os lados do ángulo e O {\displaystyle O} o seu vértice. O segmento entre dous puntos calquera do interior está contido por completo nesa rexión. Isto non se cumpre para unha parella de puntos calquera no exterior.
Un triángulo queda definido por tres segmentos da forma A B {\displaystyle AB}, B C {\displaystyle BC} e C A {\displaystyle CA}. Eses segmentos son os lados do triángulo, e os tres puntos A {\displaystyle A}, B {\displaystyle B} e C {\textstyle C} son os seus vértices. O triángulo divide o plano definido polos seus tres vértices en interior e exterior, coas mesmas propiedades que no caso dos ángulos. Ao ángulo definido polas dúas semirrectas que saen de A {\textstyle A} e que pasan por B {\textstyle B} e C {\textstyle C} respectivamente, denótase por ∠ B A C {\displaystyle \scriptstyle \angle BAC} e o seu interior contén todos os puntos do interior do triángulo A B C {\textstyle ABC}. Se A {\textstyle A} e B {\textstyle B} son dous puntos da recta a {\displaystyle a}, e A ′ {\displaystyle A'} é un punto sobre a recta a ′ {\displaystyle a'} (sexa esta igual a ou non), tense que, dun lado calquera de A ′ {\displaystyle A'} na recta a ′ {\displaystyle a'}, existe un único B ′ {\displaystyle B'} tal que o segmento A ′ B ′ {\displaystyle A'B'} é congruente co segmento A B {\displaystyle AB}, e denotámolo por A B ≅ A ′ B ′ {\displaystyle \scriptstyle AB\cong A'B'} Todo segmento é congruente consigo mesmo.
Se un segmento A B {\displaystyle AB} é congruente co segmento A ′ B ′ {\displaystyle A'B'} e tamén co segmento A ″ B ″ {\displaystyle A''B''} entón estes dous últimos son congruentes entre si (a congruencia entre segmentos é transitiva).
Sexan A B {\displaystyle AB} e B C {\displaystyle BC} dous segmentos da mesma recta sen puntos en común agás B {\displaystyle B}, e sexan ademais A ′ B ′ {\displaystyle A'B'} e B ′ C ′ {\displaystyle B'C'} dous segmentos da recta a ′ {\displaystyle a'} (sexa esta igual ou non a a {\displaystyle a} ) sen máis puntos en común que B ′ {\displaystyle B'}. Entón, se A B ≅ A ′ B ′ {\displaystyle \scriptstyle AB\cong A'B'} e B C ≅ B ′ C ′ {\displaystyle \scriptstyle BC\cong B'C'}, tense que A C ≅ A ′ C ′ {\displaystyle \scriptstyle AC\cong A'C'}.
Sexa un ángulo ∠ ( h, k ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h, k)} no plano α {\displaystyle \alpha } e sexa unha recta a ′ {\displaystyle a'} no plano α ′ {\displaystyle \alpha '}. Supóñase que no plano α ′ {\displaystyle \alpha '} se escolle un dos lados respecto de a ′ {\displaystyle a'}. Sexa unha semirecta h ′ {\displaystyle h'} de a ′ {\displaystyle a'} que parte dun punto O ′ {\displaystyle O'} desa recta. Entón, no plano α ′ {\displaystyle \alpha '} existe unha única semirecta k ′ {\displaystyle k'} que parte de O ′ {\displaystyle O'} de forma que ∠ ( h, k ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h, k)} é congruente con ∠ ( h ′, k ′ ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h', k')}, e de forma que todos os puntos do interior de ∠ ( h ′, k ′ ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h', k')} están no lado escollido de α ′ {\displaystyle \alpha '}. Denótase por ∠ ( h, k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′ ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h, k)\cong \angle (h', k')}. Todo ángulo é congruente consigo mesmo.
Se o ángulo ∠ ( h, k ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h, k)} é congruente co ángulo ∠ ( h ′, k ′ ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h', k')} e co ángulo ∠ ( h ″, k ″ ) {\displaystyle \scriptstyle \angle (h'', k'')}, entón estes dous son congruentes entre si.
Se dados dous triángulos A B C {\displaystyle ABC} e A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A'B'C'} se ten A B ≅ A ′ B ′ {\displaystyle \scriptstyle AB\cong A'B'}, A C ≅ A ′ C ′ {\displaystyle \scriptstyle AC\cong A'C'}, ∠ B A C ≅ ∠ B ′ A ′ C ′ {\displaystyle \scriptstyle \angle BAC\cong \angle B'A'C'}, entón tense tamén que ∠ A B C ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \scriptstyle \angle ABC\cong \angle A'B'C'} e ∠ A C B ≅ ∠ A ′ C ′ B ′ {\displaystyle \scriptstyle \angle ACB\cong \angle A'C'B'}.
V. Continuidade
Axioma de Arquímedes. Sexa A 1 {\displaystyle A_{1}} un punto calquera dunha recta, situado entre os puntos arbitrarios A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} da mesma. Tómense os puntos A 2 {\displaystyle A_{2}}, A 3 {\displaystyle A_{3}}, .. . de tal maneira que A 1 {\displaystyle A_{1}} estea entre e A {\displaystyle A} e A 2 {\displaystyle A_{2}}, A 2 {\displaystyle A_{2}} estea entre A 1 {\displaystyle A_{1}} e A 3 {\displaystyle A_{3}}, etc. Supóñase ademais que os segmentos A A 1 {\displaystyle AA_{1}} A 1 A 2 {\displaystyle A_{1}A_{2}}, A 2 A 3 {\displaystyle A_{2}A_{3}} son todos congruentes entre si. Entón, nesta serie existe sempre un certo A n {\displaystyle A_{n}} tal que B {\displaystyle B} está entre A {\displaystyle A} e A n {\displaystyle A_{n}}.
Axioma de completitude
Ao sistema de puntos, rectas e planos, non poden engadirselle outros elementos de maneira que o sistema resultante forme unha xeometría nova, obedecendo todos os axiomas dos cinco grupos. Noutras palabras, os elementos da xeometría forman un sistema que non é susceptible de extensión, tomando os cinco grupos de axiomas como válidos. Axioma 21
Hilbert introduciu un axioma máis que reza: II. 4. Teorema de Pasch. Poden escollerse catro puntos calquera A {\displaystyle A}, B {\displaystyle B}, C {\displaystyle C} e D {\displaystyle D} dunha recta de forma que B {\displaystyle B} estea entre A {\displaystyle A} e C {\displaystyle C} e entre A {\displaystyle A} e D {\displaystyle D}, e que C {\displaystyle C} estea entre A {\displaystyle A} e D {\displaystyle D} e entre B {\displaystyle B} e D {\displaystyle D}. Esta proposición cualificada como teorema foi considerada como axioma na primeira edición, pero E. H Moore en Transactions of the American Mathematical Society (1902) deduciunha como consecuencia dos axiomas de combinación e orde establecidos. R. L. Moore no 1902 demostrou que este axioma é redundante.