Comparación asintótica

En matemáticas, máis precisamente na análise, a comparación asintótica é un método para estudar a velocidade de crecemento dunha función.
Por exemplo, a función exponencial medra máis rápido que unha función linear.
A comparación asintótica tamén nos permite estudar a velocidade de calquera función en relación a unha función considerada máis "sinxela". Esta é a miúdo escollida nunha escala de referencia, xeralmente contén polo menos algunhas das chamadas funcións elementais, en particular as sumas e produtos de polinomios, exponenciais e logaritmos. A comparación faise no infinito ou nas proximidades dun punto.
O concepto de comparación asintótica úsase en física e tamén en informática, por exemplo para describir a complexidade de certos algoritmos. De feito, a comparación asintótica é interesante no infinito, porque nos interesa o comportamento dun algoritmo en datos arbitrariamente grandes. Este método de comparación tamén se usa na teoría analítica de números para avaliar finamente o erro cometido ao substituír unha función irregular, como a de contar números primos, por unha función da escala escollida.
O método foi introducido polo traballo de Paul du Bois-Reymond a partir de 1872; para facilitar os cálculos e a presentación dos resultados, desenvolvéronse varias notacións, en particular por Bachmann (1894), Landau (1909), Hardy (1910), Hardy e Littlewood (1914 e 1916) e Vinogradov ( c. 1930). Exemplos de comparación
Preponderancia. Notación o pequeno.
Exemplo
Sexan f e g as funcións reais definidas polas fórmulas f ( x )
cos ⁡ ( x ) + 2 e g ( x )
x. {\displaystyle f(x)
\cos(x)+2{\text{ e }}g(x)
x. } Ao estudar as dúas funcións, sabemos que g toma valores tan grandes como queremos preto do infinito, mentres que f só pode tomar valores entre 1 e 3. O cociente g dividido por f preto do infinito segue a aumentar e non está limitado. Neste contexto, podemos dicir que f é desprezábel en comparación con g, ou que g é preponderante en comparación con f, nas proximidades do infinito, escribimos (en notación de Landau, notación o pequeno): f ( x )
o ( g ( x ) ) ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)
o(g(x))\ (x\rightarrow \infty )} ou (notación de Hardy, obsoleta) f ( x ) ≺ g ( x ) ( x → ∞ ). {\displaystyle f(x)\prec g(x)\ (x\rightarrow \infty ). }
Definición formal cando a función g non desaparece
Para definir formalmente esta propiedade consideramos o comportamento do cociente f g {\displaystyle {\frac {f}{g}}}.
Sexa a ∈ R ∪ { + ∞; − ∞ }. {\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \left\{+\infty; -\infty \right\}. } Sexan f e g dúas funcións da variábel real x. Supoñemos que g non desaparece nunha veciñanza de a. Dicimos que f é desprezábel en comparación con g, ou que g é preponderante en comparación con f en a, e denotamos como f ( x )
o x → a ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
{\underset {\overset {x\rightarrow a}{}}{o}}(g(x))}, cando f ( x ) g ( x ) ⟶ x → a 0. {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}{\underset {\overset {x\rightarrow a}{}}{\longrightarrow }}0. } Se o contexto está claro, non especificamos o ámbito de estudo e denotamos como: f ( x )
o ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
o(g(x))}, ou mesmo f
o ( g ) {\displaystyle f
o(g)}. Porén, a notación sempre está asociada a un lugar a e á veciñanza deste lugar: ser desprezábel é un concepto local.
Nesta notación de Landau f ( x )
o ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
o(g(x))} (ás veces tamén f ( x ) ∈ o ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)\in o(g(x))} ), o símbolo o {\displaystyle o} lese como o pequeno. A notación de Hardy equivalente é f ( x ) ≺ g ( x ) {\displaystyle f(x)\prec g(x)}. Hoxe, usamos exclusivamente a notación de Landau.
Propiedades
Polo que pode parecer un abuso da linguaxe, realizamos operacións sobre o «o pequeno». De feito, podemos escribir: o ( f ) + o ( f )
o ( f ) {\displaystyle o(f)+o(f)
o(f)}; o ( f ) − o ( f )
o ( f ) {\displaystyle o(f)-o(f)
o(f)}.
No lado esquerdo de cada fórmula os dous símbolos o ( f ) {\displaystyle o(f)} representan a priori diferentes funcións. A primeira fórmula lese como: "a suma de dúas funcións de orde o ( f ) {\displaystyle o(f)} tamén é unha función de orde o ( f ) {\displaystyle o(f)} ".
Exemplos
x 2 + 10000
o x → ∞ ( x 3 ) {\displaystyle x^{2}+10000
{\underset {\overset {x\rightarrow \infty }{}}{o}}(x^{3})} x n
o x → + ∞ ( e x ) {\displaystyle x^{n}
{\underset {\overset {x\rightarrow +\infty }{}}{o}}(e^{x})} Para calquera función ε {\displaystyle \varepsilon }, tal que ε ( x ) ⟶ x → a 0 {\displaystyle \varepsilon (x){\underset {\overset {x\rightarrow a}{}}{\longrightarrow }}0}, temos que: ε ( x )
o x → a ( 1 ) {\displaystyle \varepsilon (x)
{\underset {\overset {x\rightarrow a}{}}{o}}(1)}
Equivalencia
Definición formal
Sexa a ∈ R ∪ { + ∞; − ∞ } {\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \left\{+\infty; -\infty \right\}}.
Sexan f e g dúas funcións da variábel real x. Supomos que g non desaparece nunha proximidade de a. Dicimos que f é equivalente a g en a, ou que g é equivalente a f en a, e denotámolo como f ( x ) ∼ x → a g ( x ) {\displaystyle f(x){\underset {\overset {x\rightarrow a}{}}{\sim }}g(x)}, cando f ( x ) − g ( x )
o x → a ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)-g(x)
{\underset {\overset {x\rightarrow a}{}}{o}}(g(x))}.
Exemplo
cos ⁡ x + x 20 + exp ⁡ ( x ) ∼ x → ∞ exp ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos x+x^{20}+\exp(x){\underset {\overset {x\rightarrow \infty }{}}{\sim }}\exp(x)}
Dominación. Notación O grande.
A notación O grande de Landau denota o carácter dominado dunha función en relación a outra. Xeralmente, como Paul Bachmann que introduciu este símbolo en 1894, úsase a letra maiúscula O (do alemán Ordnung, "orde").
Definición formal
Sexan f e g dúas funcións da variábel real x. Dicimos que f está dominado por g en +∞, ou que g domina f en +∞, e denotámolo como (notación de Bachmann, 1894, ou de Landau, 1909) f ( x )
O ( g ( x ) ) ( x → ∞ ), {\displaystyle f(x)
O(g(x))\ (x\rightarrow \infty ), } ou (a notación de Hardy, 1910, obsoleta) f ≼ g, {\displaystyle \ f\preccurlyeq g, } ou (notación de Vinogradov, década de 1930) f ( x ) ≪ g ( x ) ( x → ∞ ), {\displaystyle f(x)\ll g(x)\ (x\rightarrow \infty ), } cando hai constantes N e C tal que ∀ x > N | f ( x ) | ≤ C | g ( x ) |. {\displaystyle \forall x>N\qquad \left|f(x)\right|\leq C\left|g(x)\right|. } Intuitivamente, isto significa que f non medra máis rápido que g.
Do mesmo xeito, se a é un número real, escribimos f ( x )
O x → a ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
{\underset {x\to a}{O}}(g(x))} se existen constantes d > 0 e C tal que ∀ x | x − a | < d ⇒ | f ( x ) | ≤ C | g ( x ) |. {\displaystyle \forall x\qquad \left|x-a\right|<d\Rightarrow \left|f(x)\right|\leq C\left|g(x)\right|. } Isto é equivalente, cando g non desaparece, a lim sup x → a | f ( x ) g ( x ) | < ∞. {\displaystyle \limsup _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\infty. }
Exemplos
4 x 3 + 10000 x 2
O x → ∞ ( x 3 ). {\displaystyle 4x^{3}+10000x^{2}
{\underset {x\to \infty }{O}}(x^{3}). } x 3
O x → ∞ ( 4 x 3 + 10000 x 2 ). {\displaystyle x^{3}
{\underset {x\to \infty }{O}}(4x^{3}+10000x^{2}). } Nun punto a, se f é desprezábel en comparación con g ou equivalente a g, entón está dominado por g.
Unha función f está limitada nunha veciñanza de a se e só se f ( x )
O x → a ( 1 ) {\displaystyle f(x)
{\underset {x\to a}{O}}(1)}. Ausencia de preponderancia e oscilacións
Notación Ω de Hardy e Littlewood (teoría dos números)
En 1914, Hardy e Littlewood presentaron o novo símbolo Ω definido como: f ( x )
Ω ( g ( x ) ) ( x → ∞ ) ⇔ lim sup x → ∞ | f ( x ) g ( x ) | > 0 {\displaystyle f(x)
\Omega (g(x))\ (x\rightarrow \infty )\; \Leftrightarrow \; \limsup _{x\to \infty }\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|>0}.
Suponse que as funcións f e g están definidas, e g é positiva, nun contorno do infinito. Entón f ( x )
Ω ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
\Omega (g(x))} é a negación de f ( x )
o ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
o(g(x))}.
En 1916, os mesmos autores presentaron os dous novos símbolos ΩR e ΩL, definidos como segue: f ( x )
Ω R ( g ( x ) ) ( x → ∞ ) ⇔ lim sup x → ∞ f ( x ) g ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)
\Omega _{R}(g(x))\ (x\rightarrow \infty )\; \Leftrightarrow \; \limsup _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}>0}; f ( x )
Ω L ( g ( x ) ) ( x → ∞ ) ⇔ lim inf x → ∞ f ( x ) g ( x ) < 0 {\displaystyle f(x)
\Omega _{L}(g(x))\ (x\rightarrow \infty )\; \Leftrightarrow \; \liminf _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}<0}.
Como antes, as funcións f e g suponse que están definidas, e g é positiva, nun contorno do infinito. Entón, f ( x )
Ω R ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
\Omega _{R}(g(x))} é a negación de f ( x ) < o ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)<o(g(x))}, e f ( x )
Ω L ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
\Omega _{L}(g(x))} é a negación de f ( x ) > o ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)>o(g(x))}. Estes tres símbolos, a saber Ω {\displaystyle \Omega }, Ω + {\displaystyle \Omega _{+}} E Ω − {\displaystyle \Omega _{-}}, utilízanse agora habitualmente na teoría analítica de números, como o son f ( x )
Ω ± ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
\Omega _{\pm }(g(x))} para significar que se satisfán as dúas condicións f ( x )
Ω + ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
\Omega _{+}(g(x))} e f ( x )
Ω − ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)
\Omega _{-}(g(x))}.
Está claro que en cada unha destas definicións podemos substituír ∞ por –∞ ou por un número real.
Exemplos
Temos sin ⁡ x
Ω ( 1 ) ( x → ∞ ) {\displaystyle \sin x
\Omega (1)\ (x\rightarrow \infty )} e máis precisamente, sin ⁡ x
Ω ± ( 1 ) ( x → ∞ ). {\displaystyle \sin x
\Omega _{\pm }(1)\ (x\rightarrow \infty ). } Temos sin ⁡ x + 1
Ω ( 1 ) ( x → ∞ ) {\displaystyle \sin x+1
\Omega (1)\ (x\rightarrow \infty )} e máis precisamente, sin ⁡ x + 1
Ω + ( 1 ) ( x → ∞ ); {\displaystyle \sin x+1
\Omega _{+}(1)\ (x\rightarrow \infty )~; } porén, sin ⁡ x + 1 ≠ Ω − ( 1 ) ( x → ∞ ). {\displaystyle \sin x+1\not \Omega _{-}(1)\ (x\rightarrow \infty ). }
Dúas definicións incompatíbeis
É importante subliñar o feito de escribir f ( x )
Ω ( g ( x ) ) ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)
\Omega (g(x))\ (x\rightarrow \infty )} ten dúas definicións incompatíbeis en matemáticas, ambas as dúas moi estendidas, unha na teoría analítica de números, que acabamos de presentar, a outra na teoría da complexidade dos algoritmos. Cando estas dúas disciplinas se atopan, é probábel que esta situación cree unha grande confusión. Usando comparacións
Expansións limitadas
En matemáticas, moitas veces é importante botar un ollo no termo de erro dunha aproximación. Esta notación úsase especialmente cando se trata de expansións limitadas e cálculos equivalentes. Por exemplo, a expansión da función exponencial de orde 2 tamén se pode escribir como: e x
1 + x + 12 x 2 + o ( x 2 ) cando x → 0 {\displaystyle e^{x}
1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+o(x^{2}){\text{ cando }}x\rightarrow 0} para expresar o feito de que o erro, a diferenza e x − ( 1 + x + x 22 ) {\displaystyle e^{x}-\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2}}\right)}, é insignificante para x 2 {\displaystyle x^{2}} Cando x {\displaystyle x} tende cara a 0.
Hai que ter en conta que o número de operandos neste tipo de escritura debe estar limitado por unha constante que non dependa da variábele: por exemplo a afirmación o ( x ) + o ( x ) + ⋯ + o ( x )
o ( x ) {\displaystyle o(x)+o(x)+\dots +o(x)
o(x)} é obviamente falso se as elipses ocultan un número de termos que non está limitado cando x varía.
Escala de comparación
Aquí temo unha lista de categorías de funcións que se usan habitualmente na análise. A variábel (denotada aquí como n) tende cara +∞ e c é unha constante real arbitraria. Cando c é unha constante maior que 1, as funcións aparecen nesta lista en orde de magnitude ascendente. O( n c {\displaystyle n^{c}} ) e O( c n {\displaystyle c^{n}} ) son moi diferentes. Este último permite un crecemento moito máis rápido, para calquera constante c > 1. Dise que unha función que medra máis rápido que calquera polinomio é superpolinomial. Unha función que medra máis lentamente que calquera exponencial dise que é subexponencial. Hai funcións que son superpolinomiais e subexponenciais, como a función nlog(n).
Teña en conta tamén que O(log n) é exactamente o mesmo que O(log(nc)), xa que estes dous logaritmos son múltiplos entre si por un factor constante e a notación O grande "ignora» constantes multiplicativas. Do mesmo xeito, os logaritmos en diferentes bases constantes son equivalentes.
A lista anterior é útil debido á seguinte propiedade: se unha función f é unha suma de funcións, e se unha das funcións da suma medra máis rápido que as outras, entón determina a orde de crecemento de f(n).
Exemplo: se f ( n )
10 log ⁡ ( n ) + 5 ( l o g ( n ) ) 3 + 7 n + 3 n 2 + 6 n 3 {\displaystyle f(n)
10\log(n)+5(log(n))^{3}+7n+3n^{2}+6n^{3}} entón f ( n )
O ( n 3 ) {\displaystyle f(n)
O(n^{3})}.
Que podemos ler como "efe de n é da orde de n ao cubo".
Función de varias variábeis
Esta notación tamén se pode usar con funcións de varias variábeis: Para algúns, esta notación abusa do símbolo da igualdade, xa que parece violar o axioma da igualdade: "cousas iguais á mesma cousa son iguais entre si» (noutras palabras, con esta notación, a igualdade xa non é unha relación de equivalencia). Mais tamén podemos considerar que na escrita f ( n, m ) − n 2 − m 3
O ( n + m ), {\displaystyle f(n, m)-n^{2}-m^{3}
O(n+m), } a notación "
O" designa un único operador, en cuxa escritura o signo "
" non ten existencia propia independente (e en particular non designa unha relación de equivalencia). Neste caso xa non hai ningún abuso de notación, pero obviamente aínda existe o risco de confusión. A familia de notacións Landau O, o, Ω, ω, Θ, ~
Despois da notación O grande, as notacións Θ e Ω son as máis usadas en computación; a notación o pequeno é común en matemáticas pero máis rara en informática. O ω é pouco usado.