OR exclusivo

OR exclusivo, OU exclusivo, disxunción exclusiva, non equivalencia lóxica ou desigualdade lóxica é un operador lóxico cuxa negación é o bicondicional lóxico. Con dúas entradas, XOR é verdadeiro se e só se as entradas difiren (unha é verdadeira, outra é falsa). Con varias entradas, XOR é verdadeiro se e só se o número de entradas verdadeiras é impar.
Simbolízase polos operadores infixos: XOR, ∨ ¯ {\displaystyle {\overline {\vee }}}, ∨ _ {\displaystyle {\underline {\vee }}}, ⩛, ⊕ {\displaystyle \oplus }, ↮ {\displaystyle \nleftrightarrow }, e ≢ {\displaystyle \not \equiv } e polo operador de prefixo J {\displaystyle J}. Definición
A táboa de verdade de A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} mostra que ten resultado verdadeiro sempre que as entradas sexan diferentes: Equivalencias, eliminación e introdución
A disxunción exclusiva significa esencialmente "un, pero non os dous nin ningún". Noutras palabras, a afirmación é verdadeira se e só se unha é verdadeira e a outra é falsa. Por exemplo, se dous cabalos corren, entón un dos dous gañará a carreira, mais non os dous. A disxunción exclusiva p ↮ q {\displaystyle p\nleftrightarrow q}, tamén denotada como p? ⁡ q {\displaystyle p\operatorname {? } q} ou J p q {\displaystyle Jpq}, pódese expresar en termos da conxunción lóxica ("E lóxico", ∧ {\displaystyle \wedge } ), a disxunción ("OU lóxico", ∨ {\displaystyle \lor } ), e a negación ( ¬ {\displaystyle \lnot } ) do seguinte xeito: p ↮ q
( p ∨ q ) ∧ ¬ ( p ∧ q ) {\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&
&(p\lor q)\land \lnot (p\land q)\end{matrix}}} A disxunción exclusiva p ↮ q {\displaystyle p\nleftrightarrow q} tamén se pode expresar do seguinte xeito: p ↮ q
( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ) {\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&
&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}} Esta representación de XOR pode resultar útil á hora de construír un circuíto ou rede, porque só ten unha operación ¬ {\displaystyle \lnot } e un número pequeno de opracións ∧ {\displaystyle \land } e ∨ {\displaystyle \lor }. A proba desta identidade dáse a continuación: p ↮ q
( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q )
( ( p ∧ ¬ q ) ∨ ¬ p ) ∧ ( ( p ∧ ¬ q ) ∨ q )
( ( p ∨ ¬ p ) ∧ ( ¬ q ∨ ¬ p ) ) ∧ ( ( p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ q ) )
( ¬ p ∨ ¬ q ) ∧ ( p ∨ q )
¬ ( p ∧ q ) ∧ ( p ∨ q ) {\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&
&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\[3pt]&
&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\[3pt]&
&((p\lor \lnot p)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\[3pt]&
&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\[3pt]&
&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}} Ás veces é útil escribir p ↮ q {\displaystyle p\nleftrightarrow q} do seguinte xeito: p ↮ q
¬ ( ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q ) ) {\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&
&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}} ou: p ↮ q
( p ∨ q ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ) {\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&
&(p\lor q)\land (\lnot p\lor \lnot q)\end{matrix}}} Esta equivalencia pódese estabelecer aplicando as leis de De Morgan dúas veces á cuarta liña da proba anterior.
O OR exclusivo tamén é equivalente á negación dun bicondicional lóxico, polas regras de implicación material (un condicional material equivale á disxunción da negación do seu antecedente e do seu consecuente) e da equivalencia material.
En resumo, temos, en notación matemática e en enxeñaría: p ↮ q
( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q )
p q ¯ + p ¯ q
( p ∨ q ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q )
( p + q ) ( p ¯ + q ¯ )
( p ∨ q ) ∧ ¬ ( p ∧ q )
( p + q ) ( p q ¯ ) {\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&
&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)&
&p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\[3pt]&
&(p\lor q)&\land &(\lnot p\lor \lnot q)&
&(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\[3pt]&
&(p\lor q)&\land &\lnot (p\land q)&
&(p+q)({\overline {pq}})\end{matrix}}} Negación do operador
Ao aplicar o espírito das leis de De Morgan, obtemos: ¬ ( p ↮ q ) ⇔ ¬ p ↮ q ⇔ p ↮ ¬ q. {\displaystyle \lnot (p\nleftrightarrow q)\Leftrightarrow \lnot p\nleftrightarrow q\Leftrightarrow p\nleftrightarrow \lnot q. } Relación coa álxebra abstracta
Aínda que os operadores ∧ {\displaystyle \wedge } ( conxunción ) e ∨ {\displaystyle \lor } ( disxunción ) son moi útiles en sistemas lóxicos, non serven para unha estrutura máis xeneralizábel pola seguinte razón:
Os sistemas ( { T, F }, ∧ ) {\displaystyle (\{T, F\}, \wedge )} e ( { T, F }, ∨ ) {\displaystyle (\{T, F\}, \lor )} son monoides, mais non son un grupo. Desafortunadamente, isto impide a combinación destes dous sistemas en estruturas máis grandes, como un anel matemático.
No entanto, usando o sistema con OR exclusivo ( { T, F }, ⊕ ) {\displaystyle (\{T, F\}, \oplus )} temos un grupo abeliano. A combinación de operadores ∧ {\displaystyle \wedge } e ⊕ {\displaystyle \oplus } sobre elementos { T, F } {\displaystyle \{T, F\}} producen o coñecido corpo de dous elementos F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}. Este corpo pode representar calquera lóxica obtida co sistema ( ∧, ∨ ) {\displaystyle (\land, \lor )} e ten a vantaxe adicional do arsenal de ferramentas de análise alxébrica para corpos.
Máis concretamente, se se asocia F {\displaystyle F} con 0 e T {\displaystyle T} con 1, pódese interpretar a operación lóxica "AND" como multiplicación en F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} e a operación "XOR" como suma en F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}: r
p ∧ q ⇔ r
p ⋅ q ( mod 2 ) r
p ⊕ q ⇔ r
p + q ( mod 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}r
p\land q&\Leftrightarrow &r
p\cdot q{\pmod {2}}\\[3pt]r
p\oplus q&\Leftrightarrow &r
p+q{\pmod {2}}\\\end{matrix}}} A descrición dunha función booleana como polinomio en F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}, usando esta base, chámase forma normal alxébrica da función. OU exclusivo en linguaxe natural
A disxunción enténdese a miúdo exclusivamente nas linguas naturais. En galego, a palabra "ou" adoita entenderse exclusivamente, precisamente como é no caso do XOR. Por exemplo: "Temos partida o sábado ou o domingo", que se interpreta como que temos partida un deses dous días mais non os dous. Símbolos alternativos
A maiores da abreviatura "XOR", tamén se pode ver calquera dos seguintes símbolos: + {\displaystyle +} foi usado por George Boole in 1847. ∨ ¯ {\displaystyle {\overline {\vee }}} usouse por Christine Ladd-Franklin en 1883. ≠ {\displaystyle \not }, denotando a negación da equivalencia, foi usado por Ernst Schröder en 1890, ∘ {\displaystyle \circ } foi usado por Giuseppe Peano in 1894. ⊕ {\displaystyle \oplus } foi usado por Claude Shannon en 1938. ≢ {\displaystyle \not \equiv }, denotanto tamén a negación da equivalencia, foi usado por Alonzo Church en 1944. J {\displaystyle J} (como un operador prefixo, J ϕ ψ {\displaystyle J\phi \psi } ) usouse por Józef Maria Bocheński en 1949. Propiedades
Conmutatividade: si Asociatividade: si Distributividade O OR exclusivo non ten a propiedade distributiva sobre ningunha función binaria (nin sequera en si mesma), mais a conxunción lóxica distribúese sobre o OR exclusivo. C ∧ ( A ⊕ B )
( C ∧ A ) ⊕ ( C ∧ B ) {\displaystyle C\land (A\oplus B)
(C\land A)\oplus (C\land B)} (Conxunción e OR exclusiva forman as operacións de multiplicación e suma dun corpo GF(2), e como en calquera corpo obedecen á lei distributiva.
Idempotencia: non Monótona: non Preserva a verdade: non Cando todas as entradas son verdadeiras a saída non é verdadeira. Preserva a falsidade: si Cando todas as entradas son falsas a saída é falsa. Espectro de Walsh: (2, 0, 0, −2)}}
Linear: si. A función é linear.
Involución: o OR exclusivo cunha entrada especificada en función da outra entrada, é unha involución ou función autoinversa; aplicando dúas veces deixa a entrada sen cambios. Ao usar os valores binarios true (1) e false (0) entón o OR exclusivo funciona exactamente iguaol que a suma módulo 2. Informática
Operación bit a bit
A disxunción exclusiva úsase a miúdo para operacións bit a bit. Exemplos: 1 XOR 10
1 XOR 01
0 XOR 11
0 XOR 00
11102 XOR 1001201112 (isto é equivalente á suma sen acarreo)
Como se indicou anteriormente, dado que a disxunción exclusiva é idéntica á suma módulo 2, a disxunción exclusiva bit a bit de dúas cadeas de n bits é idéntica ao vector estándar de suma no espazo vectorial ( Z / 2 Z ) n {\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}.