Serie alternada

En matemáticas, unha serie alternada (ou alterna) é unha serie infinita de termos que alternan entre signos positivos e negativos. En notación capital-sigma isto exprésase ∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}} ou ∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n + 1 a n {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}} con an > 0 para todos os n.
Como calquera serie, unha serie alterna é unha serie converxente se e só se a secuencia de sumas parciais da serie converxe a un límite. O test de series alternadas garante que unha serie alterna é converxente se os termos an converxen a 0 de forma monótona, esta condición é suficiente mais pode non ser necesaria para a converxencia. Exemplos
A serie xeométrica 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ suma 13 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}.
A serie harmónica alterna ten unha suma finita mais a serie harmónica non. A serie 1 − 13 + 15 − …
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\ldots
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}} converxe a π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}, mais non é absolutamente converxente.
A serie de Mercator proporciona unha expresión en serie de potencias analíticas do logaritmo natural, dada por ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n
ln ⁡ ( 1 + x ), | x | ≤ 1, x ≠ − 1. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}
\ln(1+x), \; \; \; |x|\leq 1, x\neq -1. } As funcións seno e coseno usadas en trigonometría e introducidas na álxebra elemental como a razón de lados dun triángulo rectángulo tamén se poden definir como series alternas no cálculo. sin ⁡ x
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 )! {\displaystyle \sin x
\sum _{n
0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)! }}} e cos ⁡ x
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n )! . {\displaystyle \cos x
\sum _{n
0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)! }}. } Cando se elimina o factor alternante (–1)n destas series obtéñense as funcións hiperbólicas sinh e cosh utilizadas en cálculo e estatística.
Para o índice enteiro ou positivo α a función de Bessel do primeiro tipo pódese definir coa serie alterna J α ( x )
∑ m
0 ∞ ( − 1 ) m m! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle J_{\alpha }(x)
\sum _{m
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m! \, \Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }} onde Γ(z) é a función gamma.
Se s é un número complexo, a función eta de Dirichlet fórmase como unha serie alternada η ( s )
∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n s
11 s − 12 s + 13 s − 14 s + ⋯ {\displaystyle \eta (s)
\sum _{n
1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}
{\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots } que se usa na teoría analítica de números. Test de serie alternada
O teorema coñecido como "Test de Leibniz" ou test de series alternadas afirma que unha serie alternada converxerá se os termos an converxen a 0 de forma monótona.
Proba: supoña que a secuencia a n {\displaystyle a_{n}} converxe a cero e é monótona decrecente. Se m {\displaystyle m} é impar e m < n {\displaystyle m<n}, obtemos a estimación S n − S m ≤ a m {\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}} mediante o seguinte cálculo: S n − S m
∑ k
0 n ( − 1 ) k a k − ∑ k
0 m ( − 1 ) k a k
∑ k
m + 1 n ( − 1 ) k a k
a m + 1 − a m + 2 + a m + 3 − a m + 4 + ⋯ + a n
a m + 1 − ( a m + 2 − a m + 3 ) − ( a m + 4 − a m + 5 ) − ⋯ − a n ≤ a m + 1 ≤ a m. {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&
\sum _{k
0}^{n}(-1)^{k}\, a_{k}\, -\, \sum _{k
0}^{m}\, (-1)^{k}\, a_{k}\
\sum _{k
m+1}^{n}\, (-1)^{k}\, a_{k}\\&
a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&
a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}. \end{aligned}}} Posto que a n {\displaystyle a_{n}} é monótonamente decrecente, os termos − ( a m − a m + 1 ) {\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})} son negativos. Así, temos a desigualdade final: S n − S m ≤ a m {\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}. Do mesmo xeito, pódese demostrar que − a m ≤ S n − S m {\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}. Posto que a m {\displaystyle a_{m}} converxe a 0 {\displaystyle 0}, as sumas parciais S m {\displaystyle S_{m}} forman unha secuencia de Cauchy (é dicir, a serie cumpre o criterio de Cauchy) e polo tanto converxen. O argumento para m {\displaystyle m} par é semellante. Converxencia absoluta
Unha serie ∑ a n {\textstyle \sum a_{n}} converxe absolutamente se a serie ∑ | a n | {\textstyle \sum |a_{n}|} converxe.
Teorema: as series absolutamente converxentes son converxentes. Converxencia condicional
Unha serie é condicionalmente converxente se converxe mais non converxe absolutamente.
Por exemplo, a serie harmónica ∑ n
1 ∞ 1 n, {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n}}, } diverxe, mentres que a versión alterna ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n, {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}, } converxe, que se pode porbar polo test de series alternas. Reordenacións
Para calquera serie, podemos crear unha nova serie reorganizando a orde de suma. Unha serie é converxente incondicionalmente se calquera reordenación crea unha serie coa mesma converxencia que a serie orixinal. As series absolutamente converxentes son incondicionalmente converxentes. Mais o teorema das series de Riemann afirma que as series condicionalmente converxentes poden ser reordenadas para crear unha converxencia arbitraria. O teorema de Agnew describe os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series converxentes. O principio xeral é que a suma de sumas infinitas só é conmutativa para series absolutamente converxentes.
Por exemplo, unha proba falsa de que 10 utiliza o fallo da asociatividade para sumas infinitas.
Outro exemplo: a serie de Mercator: ln ⁡ ( 2 )
∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n
1 − 12 + 13 − 14 + ⋯. {\displaystyle \ln(2)
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}
1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots. } Mais, como a serie non converxe absolutamente, podemos reorganizar os termos para obter unha serie 12 ln ⁡ ( 2 ) {\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}: ( 1 − 12 ) − 14 + ( 13 − 16 ) − 18 + ( 15 − 110 ) − 112 + ⋯
12 − 14 + 16 − 18 + 110 − 112 + ⋯
12 ( 1 − 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + ⋯ )
12 ln ⁡ ( 2 ). {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&
{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&
{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)
{\frac {1}{2}}\ln(2). \end{aligned}}} Aceleración de series
Na práctica, a suma numérica dunha serie alternada pode acelerarse usando calquera das diversas técnicas de aceleración de series. Unha das técnicas máis antigas é a da suma de Euler, e hai moitas técnicas modernas que poden ofrecer unha converxencia aínda máis rápida.