Expresión matemática

En matemáticas, unha expresión é unha disposición escrita de símbolos seguindo as convencións sintácticas dependentes do contexto da notación matemática. Os símbolos poden indicar números, variábeis, operacións e funcións. Outros símbolos inclúen signos de puntuación e corchetes, usados para agrupar onde non hai unha orde de operacións ben definida.
As expresións son comunmente distinguidas das fórmulas: as expresións son unha especie de obxecto matemático, mentres que as fórmulas son enunciados sobre obxectos matemáticos. Isto é análogo á linguaxe natural, onde unha frase nominal refírese a un obxecto e unha oración enteira refírese a un feito. Por exemplo, 8 x − 5 {\displaystyle 8x-5} é unha expresión, mentres que a desigualdade 8 x − 5 ≥ 3 {\displaystyle 8x-5\geq 3} é unha fórmula.
Avaliar unha expresión significa atopar un valor numérico equivalente á expresión. As expresións pódense avaliar ou simplificar substituíndo as operacións que aparecen nelas polo seu resultado. Por exemplo, a expresión 8 × 2 − 5 {\displaystyle 8\times 2-5} simplifica a 16 − 5 {\displaystyle 16-5}, e avalía 11. {\displaystyle 11. } Unha expresión utilízase a miúdo para definir unha función, tomando as variábeis como argumentos ou entradas da función, e asignando a saída como a avaliación da expresión resultante. Por exemplo, x ↦ x 2 + 1 {\displaystyle x\mapsto x^{2}+1} e f ( x )
x 2 + 1 {\displaystyle f(x)
x^{2}+1} define a función que asocia a cada número o seu cadrado máis un. Unha expresión sen variábeis definiría unha función constante. Normalmente, dúas expresións considéranse iguais ou equivalentes se definen a mesma función. A tal igualdade chámase "igualdade semántica", é dicir, ambas as expresións "significan o mesmo". Variábeis e avaliación
En álxebra elemental, unha variábel nunha expresión é unha letra que representa un número cuxo valor pode mudar. Avaliar unha expresión cunha variábel significa atopar o valor da expresión cando á variable se lle asigna un número determinado. As expresións pódense avaliar ou simplificar substituíndo as operacións que aparecen nelas polo seu resultado, ou combinando termos semellantes.
Por exemplo, tome a expresión 4 x 2 + 8 {\displaystyle 4x^{2}+8}; pódese avaliar en x 3 nos seguintes pasos: 4 ( 3 ) 2 + 3 {\textstyle 4(3)^{2}+3}, (substitúe x por 3) 4 ⋅ ( 3 ⋅ 3 ) + 8 {\displaystyle 4\cdot (3\cdot 3)+8} (use a definición de expoñente) 4 ⋅ 9 + 8 {\displaystyle 4\cdot 9+8} (simplificar) 36 + 8 {\displaystyle 36+8} 44 {\displaystyle 44}
Equivalencia
A miúdo úsase unha expresión para definir unha función ou denotar composicións de funcións, tomando as variábeis como argumentos ou entradas da función e asignando a saída como a avaliación da expresión resultante. Por exemplo, x ↦ x 2 + 1 {\displaystyle x\mapsto x^{2}+1} e f ( x )
x 2 + 1 {\displaystyle f(x)
x^{2}+1} define a función que asocia a cada número o seu cadrado máis un. Unha expresión sen variábeis definiría unha función constante. Deste xeito, dise que dúas expresións son equivalentes se, para toda combinación de valores das variábeis libres, teñen a mesma saída, é dicir, representan a mesma función. A equivalencia entre dúas expresións chámase identidade e ás veces denotase con ≡. {\displaystyle \equiv. } Por exemplo, na expresión ∑ n
13 ( 2 n x ), {\textstyle \sum _{n
1}^{3}(2nx), } a variábel n está ligada e a variábel x é libre. Esta expresión é equivalente á expresión máis simple 12 x; é dicir ∑ n
13 ( 2 n x ) ≡ 12 x. {\displaystyle \sum _{n
1}^{3}(2nx)\equiv 12x. } O valor de x
3 é 36, que se pode denotar como ∑ n
13 ( 2 n x ) | x
3
36. {\displaystyle \sum _{n
1}^{3}(2nx){\Big |}_{x
3} 36. } Expresións ben definidas
A linguaxe das matemáticas presenta unha especie de gramática (chamada gramática formal) sobre como se poden escribir as expresións. Hai dúas consideracións para unha boa definición das expresións matemáticas, a sintaxe e a semántica. A sintaxe refírese ás regras utilizadas para construír ou transformar os símbolos dunha expresión sen ter en conta ningunha interpretación ou significado que se lles dea. As expresións sintácticamente correctas chámanse ben formadas. A semántica preocúpase do significado destas expresións ben formadas. As expresións que son semanticamente correctas chámanse ben definidas.
Por exemplo, en aritmética, a expresión 1 + 2 × 3 está ben formada, pero × 4 ) x +, / y {\displaystyle \times 4)x+, /y}.
non o está.
Porén, estar ben formado non é suficiente para ser considerado ben definido. Por exemplo en aritmética, a expresión 10 {\textstyle {\frac {1}{0}}} está ben formado, pero non está ben definido. (Ver División por cero). Esas expresións chámanse indefinidas.