Regra do produto (cálculo)

Na análise matemática, a regra do produto ou regra de Leibniz para a derivación dun produto, establece como derivar o produto de funcións derivables.
Pode declararse informalmente como: "A derivada dun produto de funcións é a derivada da primeira pola segunda sen derivar máis a derivada da segundo pola primeira sen derivar". Matematicamente: ( f ⋅ g ) ′
f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ {\displaystyle (f\cdot g)'
f'\cdot g+f\cdot g'\, } Ou usando a notación de Leibniz: d d x ( u ⋅ v )
u d v d x + v d u d x {\displaystyle {d \over dx}(u\cdot v)
u{dv \over dx}+v{du \over dx}} Na resolución final de suma de produtos, a orde é indiferente, o importante é non confundir f(x), g(x), f'(x) e g'(x). Demostración
Pode chegarse á regra usando as características do límite e a definición da derivada como o límite do cociente da diferenza.
Entón, temos: f ( x )
g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f(x)
g(x)h(x)\, } supoñendo que g e h son diferenciables na variable x. Logo f ′ ( x )
lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x
lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) h ( x + Δ x ) − g ( x ) h ( x ) Δ x {\displaystyle f'(x)
\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}
\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}} Como g ( x + Δ x ) h ( x + Δ x ) − g ( x ) h ( x )
g ( x ) ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) ) + h ( x + Δ x ) ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) ), {\displaystyle g\left(x+\Delta x\right)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)
g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x)), } tense que f ′ ( x )
lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) h ( x + Δ x ) − g ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ( x + Δ x ) − g ( x ) h ( x + Δ x ) Δ x {\displaystyle f'(x)
\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}}
lim Δ x → 0 g ( x ) ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) ) + h ( x + Δ x ) ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) ) Δ x {\displaystyle
\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}}
lim Δ x → 0 [ g ( x ) ( ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) ) Δ x ) + h ( x + Δ x ) ( ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) ) Δ x ) ] {\displaystyle
\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]} Como h é continua en x, tense que lim Δ x → 0 h ( x + Δ x )
h ( x ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)
h(x)} e pola definición de derivada, e a diferenciabilidade de h e g en x, tense tamén que [ lim Δ x → 0 ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) ) Δ x ]
h ′ ( x ) {\displaystyle \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]
h'(x)} e [ lim Δ x → 0 ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) ) Δ x ]
g ′ ( x ) {\displaystyle \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]
g'(x)} Así, xustifícase a descomposición dos produtos dentro do límite, e reorganizando todo chégase á regra do produto. f ′ ( x )
lim Δ x → 0 [ g ( x ) ( ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) ) Δ x ) + h ( x + Δ x ) ( ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) ) Δ x ) ] {\displaystyle f'(x)
\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}
[ lim Δ x → 0 g ( x ) ] [ lim Δ x → 0 ( h ( x + Δ x ) − h ( x ) ) Δ x ] + [ lim Δ x → 0 h ( x + Δ x ) ] [ lim Δ x → 0 ( g ( x + Δ x ) − g ( x ) ) Δ x ] {\displaystyle
\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]}
g ( x ) h ′ ( x ) + h ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle
g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\, } Exemplo
Supoñendo que se quere derivar: f ( x )
x 2 sin ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)
x^{2}\, \sin(x)} Usando a regra do produto, obtense a derivada: f ′ ( x )
2 x sin ⁡ ( x ) + x 2 cos ⁡ ( x ) {\displaystyle f^{\prime }(x)
2x\, \sin(x)+x^{2}\, \cos(x)} xa que a derivada de x 2 {\displaystyle x^{2}\, } é 2 x {\displaystyle 2x\, } e a derivada de sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)\, } é cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)\, }. Regra xeneralizada do produto
Esta regra pode ser xeneralizada para a obtención do termo dunha derivación sucesiva de produto.
Sexan f e g funcións n-veces diferenciables. A derivada enésima do produto f ⋅ g {\displaystyle f\cdot g} vén dada por: ( f ⋅ g ) ( n )
∑ k
0 n ( n k ) f ( k ) g ( n − k ) {\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}} onde ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} é chamado coeficiente binomial.
Isto próbase a través da regra do produto e a indución.