Raíz (matemáticas)

En Matemáticas, a raíz enésima dun número x é un número r que elevado á enésima potencia é igual a x r n
x, {\displaystyle r^{n}
x, } onde n é o índice da raíz. Unha raíz de índice 2 chámase raíz cadrada e a de índice 3, raíz cúbica. As raíces de índice superior chámanse empregando o ordinal, como raíz cuarta ou raíz quinta.
Por exemplo: 2 é a raíz cadrada de 4, porque 224.
−2 tamén é raíz cadrada de 4, porque (−2)24.
Na análise matemática, as raíces son tratadas como un caso particular de potenciación, onde o exponente é unha fracción: x n
x 1 / n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}\,
\, x^{1/n}} As raíces adoitan ser escritas empregando o símbolo {\displaystyle {\sqrt {\, \, }}}, con x {\displaystyle {\sqrt {x}}\! \, } indicando unha raíz cadrada, x 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}\! \, } unha raíz cúbica, x 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} unha raíz cuarta e así sucesivamente. Na expresión x n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}, n é o índice e x é o radicando. Calquera expresión que conteña unha raíz é chamada expresión radical. Historia
A orixe do símbolo de raíz √ é dubidosa. Moitos expertos, incluíndo Leonhard Euler, cren que procede da letra "r", inicial da palabra latina "radix", que significa "raíz". O símbolo aparece impreso por vez primeira, sen o trazo horizontal, en 1525 na obra Die Coss do matemático alemán Christoff Rudolff. Propiedades
Todos os números reais positivos teñen raíz real enésima. Se o índice da raíz é impar esta raíz é un único número positivo. Se o índice é par a raíz é dobre (un número e o seu oposto).
Os números reais negativos non teñen raíz real se o índice da raíz é par e teñen como raíz un único número real negativo se o índice da raíz é impar.
A raíz dun número real que non sexa potencia perfecta é un número irracional.
Un número complexo distinto de 0 ten n raíces distintas de índice n.
Os números reais cumpren: a b n
a n b n, {\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}
{\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\, ,} a b n
a n b n. {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}
{\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\, .} a m n
( a m ) 1 n
a m n. {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}
\left(a^{m}\right)^{\frac {1}{n}}
a^{\frac {m}{n}}. } Porén, pode haber problemas no caso dos números complexos. Por exemplo: − 1 × − 1
− 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}
-1} pero − 1 × − 1
1 {\displaystyle {\sqrt {-1\times -1}}
1} se tomamos un certo valor da raíz. Simplificación de expresións radicais
Unha expresión radical está simplificada se Ningún factor do radicando pode ser escrito como potencia de expoñente maior có índice da raíz.
Non hai fraccións baixo o símbolo de raíz.
Non hai expresións radicais no denominador.
Por exemplo, para simplificar a expresión 325 {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}} podemos buscar un cadrado perfecto dentro da raíz e sacalo fóra: 325
16 ⋅ 25
425 {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}
{\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}
4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}} Logo, ao haber unha fracción no radical cambiamos como segue: 425
425 {\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}
{\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}} Finalmente quitamos a raíz do denominador: 425
425 ⋅ 55
4105 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}
{\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}
{\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}} Cando no denominador hai unha suma de raíces pódese atopar un factor polo que multiplicar numerador e denominador para simplificar a expresión, o que se denomina racionalizar: 1 a 3 + b 3
a 23 − a b 3 + b 23 ( a 3 + b 3 ) ( a 23 − a b 3 + b 23 )
a 23 − a b 3 + b 23 a + b. {\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}
{\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}})({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}}
{\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\, .} Serie infinita
A raíz pode ser representada coa serie: ( 1 + x ) s / t
∑ n
0 ∞ ∏ k
0 n − 1 ( s − k t ) n! t n x n {\displaystyle (1+x)^{s/t}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {\prod _{k
0}^{n-1}(s-kt)}{n! t^{n}}}x^{n}} con | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}. Función raíz
Sexa n un número natural non nulo. A aplicación x → xn define unha función, de R {\displaystyle \mathbb {R} } en R {\displaystyle \mathbb {R} } se n é impar, e de R +
[ 0, ∞ ] {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}
[0, \infty ]} se n {\displaystyle n} é par. Chámase raíz enésima, ou raíz de índice n á súa función inversa, e indícase: y
x n
x 1 / n {\displaystyle y
{\sqrt[{n}]{x}}
x^{1/n}}.
No gráfico seguinte, están debuxadas as gráficas das funcións definidas por algunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0; 1]. A recta de ecuación y x é o eixe de simetría entre cada curva e a curva da súa inversa. Cambiando de escala: