Primorial

En matemáticas, e máis particularmente en teoría de números, o primorial, denotado por "#", é unha función de números naturais a números naturais semellante á función factorial, mais en lugar de multiplicar sucesivamente números enteiros positivos, a función só multiplica os números primos.
O nome "primorial", acuñado por Harvey Dubner, fai unha analoxía cos primos semellante á forma en que o nome "factorial" se relaciona cos factores. Definición con números primos
Para o n-ésimo número primo pn, o primorial pn# defínese como o produto dos n primeiros primos: p n #
∏ k
1 n p k {\displaystyle p_{n}\#
\prod _{k
1}^{n}p_{k}},
onde pk é o k-ésimo número primo. Por exemplo, p5# significa o produto dos 5 primeiros primos: p 5 #
2 × 3 × 5 × 7 × 11
2310. {\displaystyle p_{5}\#
2\times 3\times 5\times 7\times 11
2310. } Os cinco primeiros primoriais pn# son: 2, 6, 30, 210, 2310 (secuencia A002110 na OEIS).
A secuencia tamén inclúe p0#
1 como produto baleiro. Asintoticamente, os primoriais pn# medran segundo: p n #
e ( 1 + o ( 1 ) ) n log ⁡ n, {\displaystyle p_{n}\# e^{(1+o(1))n\log n}, } onde o( ) é a notación O pequeno. Definición con números naturais
En xeral, para un enteiro positivo n, o seu primorial, n#, é o produto dos primos que non son maiores que n; é dicir, n #
∏ p ≤ n p prime p
∏ i
1 π ( n ) p i
p π ( n ) # {\displaystyle n\#
\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p
\prod _{i
1}^{\pi (n)}p_{i}
p_{\pi (n)}\#}, onde π(n) é a función de contaxe de números primos (secuencia A000720 na OEIS), que dá o número de primos ≤ n.
Por exemplo, 12# representa o produto deses números primos ≤ 12: 12 #
2 × 3 × 5 × 7 × 11
2310. {\displaystyle 12\#
2\times 3\times 5\times 7\times 11
2310. } Por tanto coas dúas nomenclaturas temos: 12 #
p π ( 12 ) #
p 5 #
2310. {\displaystyle 12\#
p_{\pi (12)}\#
p_{5}\#
2310. } Datos relacionados
Os primoriais están relacionados coa primeira función de Chebyshev, escrita ϑ (n) segundo: ln ⁡ ( n # )
ϑ ( n ). {\displaystyle \ln(n\#)
\vartheta (n). } Dado que ϑ ( n ) {\displaystyle \vartheta (n)} achégase asintóticamente a n para valores grandes de n, os primoriais crecen segundo: n #
e ( 1 + o ( 1 ) ) n. {\displaystyle n\#
e^{(1+o(1))n}. } Para o Primorial, coñécese a seguinte aproximación: n # ≤ 4 n {\displaystyle n\#\leq 4^{n}}.
A maiores: lim n → ∞ n # n
e {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}
e}. Para n < 1011 {\displaystyle n<10^{11}}, os valores son máis pequenos que e, pero para n maior, os valores da función superan o límite e e oscilan infinitamente arredor de e máis adiante. Sexa p k {\displaystyle p_{k}} o k-ésimo primo, entón p k # {\displaystyle p_{k}\#} ten exactamente 2 k {\displaystyle 2^{k}} divisores. Por exemplo, 2 # {\displaystyle 2\#} ten 2 divisores, 3 # {\displaystyle 3\#} ten 4 divisores, 5 # {\displaystyle 5\#} ten 8 divisores e 97 # {\displaystyle 97\#} xa ten 225 {\displaystyle 2^{25}} divisores, xa que 97 é o 25º primo.
A suma dos valores recíprocos do primorial converxe cara a unha constante ∑ p ∈ P 1 p #
12 + 16 + 130 + …
0. 7052301717918 … {\displaystyle \sum _{p\, \in \, \mathbb {P} }{1 \over p\#}
{1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots
0{. }7052301717918\ldots } A expansión de Engel deste número dá como resultado a secuencia dos números primos (Ver (secuencia A064648 na OEIS))