Teorema de Euler

En teoría de números, o teorema de Euler (tamén coñecido como teorema de Fermat-Euler ou teorema totiente de Euler ) afirma que, se n e a son números enteiros positivos coprimos, entón a φ ( n ) {\displaystyle a^{\varphi (n)}} é congruente con 1 {\displaystyle 1} módulo n, onde φ {\displaystyle \varphi } denota a función totiente de Euler; é dicir a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ). {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}. } O recíproco do teorema de Euler tamén é certo: se a congruencia anterior é certa, entón a {\displaystyle a} e n {\displaystyle n} deben ser coprimos.
O teorema está máis xeneralizado por algúns dos teoremas de Carmichael.
O teorema pódese usar para reducir facilmente grandes potencias módulo n {\displaystyle n}. Por exemplo, considere atopar os valores 7222 ( mod 10 ) {\displaystyle 7^{222}{\pmod {10}}}. Os enteiros 7 e 10 son coprimos e φ ( 10 )
4 {\displaystyle \varphi (10)
4}. Polo tanto, o teorema de Euler resulta 74 ≡ 1 ( mod 10 ) {\displaystyle 7^{4}\equiv 1{\pmod {10}}}, e conseguimos 7222 ≡ 74 × 55 + 2 ≡ ( 74 ) 55 × 72 ≡ 155 × 72 ≡ 49 ≡ 9 ( mod 10 ) {\displaystyle 7^{222}\equiv 7^{4\times 55+2}\equiv (7^{4})^{55}\times 7^{2}\equiv 1^{55}\times 7^{2}\equiv 49\equiv 9{\pmod {10}}}.
En xeral, ao reducir unha potencia de a {\displaystyle a} módulo n {\displaystyle n} (onde a {\displaystyle a} e n {\displaystyle n} son coprimos), hai que traballar módulo φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} no expoñente de a {\displaystyle a}: se x ≡ y ( mod φ ( n ) ) {\displaystyle x\equiv y{\pmod {\varphi (n)}}}, entón a x ≡ a y ( mod n ) {\displaystyle a^{x}\equiv a^{y}{\pmod {n}}}. Probas
1. O teorema de Euler pódese probar utilizando conceptos da teoría de grupos: As clases de residuos módulo n que son coprimos con n forman un grupo baixo a multiplicación (ver o artigo Grupo multiplicativo de enteiros módulo n para máis detalles). A orde dese grupo é φ(n). O teorema de Lagrange afirma que a orde de calquera subgrupo dun grupo finito divide a orde de todo o grupo, neste caso φ(n). Se a é calquera número coprimo con n entón a está nunha destas clases de residuos, e as súas potencias a, a2, .. ., ak módulo n forma un subgrupo do grupo de clases de residuos, con ak ≡ 1 (mod n). O teorema de Lagrange di que k debe dividir φ(n), é dicir, hai un enteiro M tal que kM
φ(n). Isto implica logo, a φ ( n )
a k M
( a k ) M ≡ 1 M
1 ( mod n ). {\displaystyle a^{\varphi (n)}
a^{kM}
(a^{k})^{M}\equiv 1^{M}
1{\pmod {n}}. } 2. Tamén hai unha demostración directa: Sexa R
{x1, x2, .. ., xφ(n)} un sistema reducido de residuos (mod n) e sexa a calquera enteiro coprimo con n. A demostración depende do feito fundamental de que a multiplicación por a permuta o xi: noutras palabras, se axj ≡ axk (mod n) entón j
k. (Esta lei de cancelación demóstrase no artigo Grupo multiplicativo de números enteiros módulo n. ) É dicir, os conxuntos R e aR
{ax1, ax2, .. ., axφ(n)}, considerados como os conxuntos de clases de congruencia (mod n), son idénticos (como conxuntos, poden estar listados en diferentes ordes), polo que o produto de todos os números en R é congruente (mod n) co produto de todos os números en aR: ∏ i
1 φ ( n ) x i ≡ ∏ i
1 φ ( n ) a x i
a φ ( n ) ∏ i
1 φ ( n ) x i ( mod n ), {\displaystyle \prod _{i
1}^{\varphi (n)}x_{i}\equiv \prod _{i
1}^{\varphi (n)}ax_{i}
a^{\varphi (n)}\prod _{i
1}^{\varphi (n)}x_{i}{\pmod {n}}, } e usando a lei de cancelación para cancelar cada xi dá o teorema de Euler: a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ). {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}. }