Función indicadora

En matemáticas, unha función indicadora ou función característica dun subconxunto dun conxunto é unha función que asigna o valor 1 aos elementos do subconxunto e o valor 0 ao resto de elementos. É dicir, se A é un subconxunto dalgún conxunto X, entón 1 A ( x )
1 {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)
1} se x ∈ A, {\displaystyle x\in A, } e 1 A ( x )
0 {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)
0} se x ∉ A {\displaystyle x\notin A}. A notación 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} é común para a función indicadora. Outras notacións comúns son I A, {\displaystyle I_{A}, } e χ A. {\displaystyle \chi _{A}. } A función indicadora de A tamén a podemos representar mediante o corchete de Iverson da propiedade de pertencer a A; é dicir, 1 A ( x )
[ x ∈ A ]. {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)
[x\in A]. } Por exemplo, a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais. Definición
A función indicadora dun subconxunto A dun conxunto X é unha función 1 A: X → { 0, 1 } {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0, 1\}} definida como 1 A ( x ):
{ 1 if x ∈ A, 0 if x ∉ A. {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):
{\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~, \\0~&{\text{ if }}~x\notin A~. \end{cases}}} O corchete de Iverson proporciona outra notación equivalente, [ x ∈ A ] {\displaystyle [x\in A]} en lugar de 1 A ( x ). {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x). } A función 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} ás veces denótase IA, χA, KA. Propiedades básicas
A función indicador dun subconxunto A dalgún conxunto X asigna elementos de X no rango { 0, 1 } {\displaystyle \{0, 1\}}.
Este mapa é sobrexectivo só cando A é un subconxunto propio non baleiro de X. Se A ≡ X, {\displaystyle A\equiv X, } entón 1 A
1. {\displaystyle \mathbf {1} _{A}
1. } Por un argumento semellante, se A ≡ ∅ {\displaystyle A\equiv \emptyset } entón 1 A
0. {\displaystyle \mathbf {1} _{A}
0. } Se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} son dous subconxuntos de X, {\displaystyle X, } daquela 1 A ∩ B
min { 1 A, 1 B }
1 A ⋅ 1 B, 1 A ∪ B
max { 1 A, 1 B }
1 A + 1 B − 1 A ⋅ 1 B, {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&
\min\{\mathbf {1} _{A}, \mathbf {1} _{B}\}
\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}, \\\mathbf {1} _{A\cup B}&
\max\{{\mathbf {1} _{A}, \mathbf {1} _{B}}\}
\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}, \end{aligned}}} e a función indicadora do complemento de A {\displaystyle A} é dicir A C {\displaystyle A^{C}} é: 1 A ∁
1 − 1 A. {\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}
1-\mathbf {1} _{A}. } De xeito máis xeral, supoña que A 1, …, A n {\displaystyle A_{1}, \dotsc, A_{n}} son unha colección de subconxuntos de X. Para calquera x ∈ X: {\displaystyle x\in X: } ∏ k ∈ I ( 1 − 1 A k ( x ) ) {\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))} é claramente un produto de 0s e 1s. Este produto ten o valor 1 precisamente neses x ∈ X {\displaystyle x\in X} que non pertencen a ningún dos conxuntos A k {\displaystyle A_{k}} e é 0 en caso contrario. É dicir ∏ k ∈ I ( 1 − 1 A k )
1 X − ⋃ k A k
1 − 1 ⋃ k A k. {\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})
\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}
1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}. } Expandendo o produto no lado esquerdo, 1 ⋃ k A k
1 − ∑ F ⊆ { 1, 2, …, n } ( − 1 ) | F | 1 ⋂ F A k
∑ ∅ ≠ F ⊆ { 1, 2, …, n } ( − 1 ) | F | + 11 ⋂ F A k {\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}
1-\sum _{F\subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}
\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}} onde | F | {\displaystyle |F|} é a cardinalidade de F. Esta é unha das formas do principio de inclusión-exclusión.
A función indicadoar é unha notación útil en combinatoria. A notación úsase tamén por exemplo na teoría da probabilidade: se X é un espazo de probabilidade con medida de probabilidade P {\displaystyle \operatorname {P} } e A é un conxunto medible, entón 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} convértese nunha variable aleatoria cuxo valor esperado é igual á probabilidade de A: E ⁡ ( 1 A )
∫ X 1 A ( x ) d P
∫ A d P
P ⁡ ( A ). {\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})
\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\, d\operatorname {P}
\int _{A}d\operatorname {P}
\operatorname {P} (A). } Esta identidade úsase nunha proba simple da desigualdade de Markov.