Segmento

Un segmento, na xeometría, é un fragmento de recta que está comprendido entre dous puntos.
Así, dados dous puntos A e B, chámase segmento AB á intersección da semirrecta de orixe A que contén ao punto B, e a semirrecta de orixe B que contén o punto A. Os puntos A e B denomínanse extremos do segmento, e os puntos da recta á que pertence o segmento (recta sostén), serán interiores ou exteriores ao segmento segundo pertenzan ou non a este, e dicir, sexan coñecibles ou non. A lonxitude dun segmento no plano euclideano se temos que as coordenadas dos puntos extremos son A
( x a, y a ), B
( x b, y b ) {\displaystyle A
(x_{a}, y_{a}), B
(x_{b}, y_{b})} sería: L
( x b − x a ) 2 + ( y b − y a ) 2 {\displaystyle L
{\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}},
que se deduce facilmente do teorema de Pitágoras.
Por exemplo, para un segemento que vaia desde a orixe ( x
0, y
0 ) {\displaystyle (x
0, y
0)} do plano ata o punto: ( x
3, y
4 ) {\displaystyle (x
3, y
4)} temos: L
( 3 − 0 ) 2 + ( 4 − 0 ) 2
9 + 16
5 {\displaystyle L
{\sqrt {(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}}
{\sqrt {9+16}}
5}. En espazos vectoriais reais ou complexos
Se V é un espazo vectorial sobre R {\displaystyle \mathbb {R} } ou C, {\displaystyle \mathbb {C}, } e L é un subconxunto de V, entón L é un segmento de recta se L pode parametrizarse como L
{ u + t v ∣ t ∈ [ 0, 1 ] } {\displaystyle L
\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0, 1]\}} para algúns vectores u, v ∈ V {\displaystyle \mathbf {u}, \mathbf {v} \in V} onde v é distinto de cero. Os extremos de L son entón os vectores u e u + v.
Ás veces, é necesario distinguir entre segmentos de recta "abertos" e "pechados". Neste caso, definiríase un segmento de liña pechado como se indicou anteriormente e un segmento de liña aberto como un subconxunto L que se pode parametrizar como L
{ u + t v ∣ t ∈ ( 0, 1 ) } {\displaystyle L
\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0, 1)\}} (aquí o intervalo (0, 1) está aberto).
para algúns vectores u, v ∈ V. {\displaystyle \mathbf {u}, \mathbf {v} \in V. } De xeito equivalente, un segmento de liña é a envolvente convexa de dous puntos. Polo tanto, o segmento de recta pódese expresar como unha combinación convexa dos dous puntos extremos do segmento.
En xeometría, poderíase definir o punto B como situado entre outros dous puntos A e C, se a distancia |AB| engadida á distancia |BC| é igual á distancia |AC|. Así, en R 2, {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}, } o segmento de recta con extremos A
( a x, a y ) {\displaystyle A
(a_{x}, a_{y})} e C
( c x, c y ) {\displaystyle C
(c_{x}, c_{y})} é a seguinte colección de puntos: { ( x, y ) ∣ ( x − c x ) 2 + ( y − c y ) 2 + ( x − a x ) 2 + ( y − a y ) 2
( c x − a x ) 2 + ( c y − a y ) 2 }. {\displaystyle {\Biggl \{}(x, y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}
{\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}{\Biggr \}}. }
Casos especiais
Un segmento chámase Lado se os dous extremos son os vértices adxacentes dun polígono;
Aresta se os dous extremos son vértices adxacentes dun poliedro;
Diagonal se os dous extremos son os vértices non adxacentes dun polígono;
Corda se os dous extremos dunha curva, como por exemplo nunha circunferencia. Propiedades
Un segmento de recta é un conxunto conexo e non baleiro.
Se V é un espazo vectorial topolóxico, entón un segmento de recta pechado é un conxunto pechado en V. No entant, un segmento de recta aberto é un conxunto aberto en V se e só se V é unidimensional.
De forma máis xeral que a anterior, o concepto de segmento de recta pódese definir nunha xeometría ordenada.
Nun plano os segmentos de recta poden ser: intersecantes, paralelos, oblicuos non secantes. A última posibilidade é unha forma en que os segmentos de recta difiren das rectas: se dúas rectas non paralelas están no mesmo plano euclidiano, entón deben cruzarse, pero iso non ten por que ser certo para os segmentos.