Límite dunha sucesión

O límite dunha sucesión é un dos conceptos máis antigos da análise matemática. Este concepto está estreitamente ligado ao de converxencia; unha sucesión de elementos dun conxunto é converxente se e só se no mesmo conxunto existe un elemento (que se coñece como límite) ao que a sucesión se aproxima tanto como se desexe a partir dun momento dado. Se unha sucesión ten límite, dise que é unha sucesión converxente, e que a sucesión converxe ou tende ao límite. En caso contrario, a sucesión é diverxente.
A definición significa que eventualmente todos os elementos da sucesión se aproximan tanto como queiramos ao valor límite. A condición que impón que os elementos se atopen arbitrariamente próximos aos elementos subseguintes non implica, en xeral, que a sucesión teña un límite.
A idea de proximidade dá lugar a distintas definicións de límite dependendo do conxunto onde se definiu a sucesión. Límite dunha sucesión de números reais
Definición formal
O termo xeral dunha sucesión { x n } n ≥ 1 {\displaystyle \{\, x_{n}\}_{n\geq 1}} ten límite l {\displaystyle \, l}, cando n {\displaystyle \, n} tende a ∞ {\displaystyle \infty }, se para todo valor ε > 0 {\displaystyle \, \varepsilon >0} por pequeno que sexa, existe un valor n 0 {\displaystyle \, n_{0}} a partir do cal se n > n 0 {\displaystyle \, n>n_{0}} temos que a distancia de l {\displaystyle \, l} a x n {\displaystyle \, x_{n}} é menor que ε {\displaystyle \, \varepsilon }, é dicir: ∀ ε > 0, ∃ n 0 > 0: ∀ n > n 0, d ( x n, l ) < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0, \exists n_{0}>0: \forall n>n_{0}, d(x_{n}, l)<\varepsilon }.
Notación
lim n → ∞ x n
l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}
l} ou x n → n → ∞ l {\displaystyle x_{n}{\xrightarrow[{\; \; n\to \infty \; \; }]{}}l} ou tamén x n ⟶ d x cando n → ∞ {\displaystyle x_{n}\ {\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ x\quad {\mbox{cando}}\quad n\to \infty } ou simplemente x n → x. {\displaystyle x_{n}\to x. }
Exemplos
A sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, .. . converxe ao límite 0.
A sucesión 1, -1, 1, -1, 1, .. . é oscilante.
A sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, .. . converxe ao límite 1.
Se a é un número real con valor absoluto |a| < 1, entón a sucesión an posúe límite 0. se 0 < a ≤ 1, entón a sucesión a1/n posúe límite 1. lim n → ∞ 1 n p
0 se p > 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}
0{\hbox{ se }}p>0} lim n → ∞ n 1 n
1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}
1} lim n → ∞ a 1 n
1 se a > 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}
1{\hbox{ se }}a>0}
Propiedadees
Se unha sucesión { a n } {\displaystyle \, \{a_{n}\}} ten límite positivo, existe un termo a partir do cal todos os termos da sucesión son positivos.
Se unha sucesión { a n } {\displaystyle \, \{a_{n}\}} ten límite negativo, existe un termo a partir do cal os termos da sucesión son negativos.
Se unha sucesión { a n } {\displaystyle \, \{a_{n}\}} converxe a cero, non se pode asegurar nada acerca do signo de cada un dos termos da sucesión.
Se unha sucesión { a n } {\displaystyle \, \{a_{n}\}} tende a menos infinito e { a n } < 0 {\displaystyle \, \{a_{n}\}<0} entón 1 a n {\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}} tende a 0. Límite dunha sucesión complexa
Dise que a sucesión converxe cara a un complexo ℓ {\displaystyle \ell } se e só se ( ∀ ε ∈ R + ∗ ) ( ∃ N ∈ N ) ( ∀ n ∈ N ) ( n ≥ N → | u n − ℓ | < ε ) {\displaystyle (\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*})(\exists N\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )(n\geq N\rightarrow |u_{n}-\ell |<\varepsilon )} É a mesma definición que para R {\displaystyle \mathbb {R} }, con módulo en lugar do valor absoluto.
Pódese escribir lim n → + ∞ u n
ℓ {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}
\ell } ou máis simplemente, se non hai ambigüidade lim u
ℓ {\displaystyle \lim u
\ell } As sucesións complexas converxentes posúen as mesmas propiedades que as sucesións reais, agás as de relación de orde: o límite é único, unha sucesión converxente ten módulo limitado, toda sucesión de Cauchy converxe (en efecto, C {\displaystyle \mathbb {C} } é tamén completo). Exemplos
Sucesións en R {\displaystyle \mathbb {R} } ou C {\displaystyle \mathbb {C} } Sucesións en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Sucesións no espazo ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} Sucesións no espazo L 2 ( R n ) {\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }^{n})} Sucesións no espazo das funcións continuas C [ a, b ] {\displaystyle C[a, b]\, } Tipos de converxencia
Converxencia puntual
O concepto de converxencia puntual é un dos varios sentidos nos que unha sucesión de funcións pode converxer a unha función particular.
Unha sucesión de funcións f n: S → M {\displaystyle f_{n}: S\to M} definidas nun conxunto non baleiro S {\displaystyle S\, } con valores nun espazo métrico ( M, d ) {\displaystyle (M, d\, )} converxe puntualmente a unha función f: S → M {\displaystyle f: S\to M} se lim n → ∞ f n ( x )
f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)
f(x)} para cada x ∈ S {\displaystyle x\in S} fixo. Isto significa que (5) ∀ x ∈ S ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N | n ≥ N ⟹ d ( f n ( x ), f ( x ) ) < ε. {\displaystyle \forall x\in S\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \, N\in \mathbb {N} \quad |\quad n\geq N\ \Longrightarrow \ d(f_{n}(x), f(x))<\varepsilon. } A sucesión de funcións f n ( x ):
x / n {\displaystyle f_{n}(x):
x/n\, } con x ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle x\in [0, 1]} converxe puntualmente á función f ( x ):
0 {\displaystyle f(x):
0\, } posto que | x n | ≤ 1 n → 0 {\displaystyle \left\vert {\frac {x}{n}}\right\vert \leq {\frac {1}{n}}\to 0} para cada x ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle x\in [0, 1]} fixo.
Converxencia uniforme
Unha sucesión de funcións f n: S → M {\displaystyle f_{n}: S\to M} definidas nun conxunto non baleiro S {\displaystyle S\, } con valores nun espazo métrico ( M, d ) {\displaystyle (M, d\, )} converxe uniformemente a unha función f: S → M {\displaystyle f: S\to M} se para todo ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} existe un enteiro N {\displaystyle N\, } (que depende de ε {\displaystyle \varepsilon } ) tal que d ( f n ( x ), f ( x ) ) < ε {\displaystyle d(f_{n}(x), f(x))<\varepsilon } para todo x ∈ S {\displaystyle x\in S} e todo n ≥ N {\displaystyle n\geq N}. É dicir, (6) ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N | d ( f n ( x ), f ( x ) ) < ε ∀ x ∈ S ∀ n ≥ N. {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \, N\in \mathbb {N} \quad |\quad d(f_{n}(x), f(x))<\varepsilon \quad \forall x\in S\quad \forall n\geq N. } O concepto de converxencia uniforme é un concepto máis forte que o de converxencia puntual. En (5), N {\displaystyle N\, } pode depender de ε {\displaystyle \varepsilon } e de x {\displaystyle x\, } mentres que en (6), N {\displaystyle N\, } só pode depender de ε {\displaystyle \varepsilon }. Así, toda sucesión que converxe uniformemente, converxe puntualmente. O enunciado recíproco é falso, e un contraexemplo clásico constitúeno as sucesión de funcións f n: [ 0, 1 ] → R {\displaystyle f_{n}: [0, 1]\to \mathbb {R} } definidas por f n ( x )
x n {\displaystyle f_{n}(x)
x^{n}\, }. Esta sucesión converxe puntualmente á función f ( x )
{ 0, si 0 ≤ x < 11, si x
1 {\displaystyle f(x)
{\begin{cases}0, &{\mbox{si}}\quad 0\leq x<1\\1, &{\mbox{si}}\quad x
1\end{cases}}} xa que | f n ( x ) − f ( x ) |
| x n | → 0 se 0 ≤ x < 1 {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|
|x^{n}|\to 0\quad {\mbox{se}}\quad 0\leq x<1} mentres que | f n ( 1 ) − f ( 1 ) |
0. {\displaystyle \vert f_{n}(1)-f(1)\vert
0. } Non obstante esta sucesión non converxe uniformemente, pois para ε
1 / 4, {\displaystyle \varepsilon
1/4, } non existe un N {\displaystyle N\, } que satisfaga (6).
De especial interese é o espazo das funcións continuas C ( Ω ) {\displaystyle C(\Omega )\, } definidas sobre un compacto Ω ⊂ R n. {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}. } Neste caso, unha sucesión de funcións f n ∈ C ( Ω ), {\displaystyle f_{n}\in C(\Omega ), \, } converxe uniformemente a unha función f ∈ C ( Ω ), {\displaystyle f\in C(\Omega ), \, } se, e só se, converxe na norma do sup, é dicir, f n ⟶ u f ⟺ f n ⟶ ‖ ⋅ ‖ f {\displaystyle f_{n}{\stackrel {u}{\longrightarrow }}\ f\quad \Longleftrightarrow \quad f_{n}{\stackrel {\Vert \cdot \Vert }{\longrightarrow }}\ f} Sucesións noutros espazos matemáticos
Unha sucesión de elementos { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}\, } dun espazo métrico ( M, d ) {\displaystyle (M, d\, )} converxe a un elemento x ∈ M {\displaystyle x\in M} se para todo número ε > 0, {\displaystyle \varepsilon >0, } existe un enteiro positivo N {\displaystyle N\, } (que depende de ε {\displaystyle \varepsilon } ) tal que (1) n ≥ N ⟹ d ( x n, x ) < ε. {\displaystyle n\geq N\quad \Longrightarrow \quad d(x_{n}, x)<\varepsilon. } Intuitivamente, isto significa que os elementos x n {\displaystyle x_{n}\, } da sucesión se poden facer arbitrariamente próximos a x {\displaystyle x\, } se n {\displaystyle n\, } é suficientemente grande, xa que d ( x n, x ) {\displaystyle d(x_{n}, x\, )} determina a distancia entre x n {\displaystyle x_{n}\, } e x {\displaystyle x\, }. A partir da definición é posible demostrar que se unha sucesión converxe, o fai cara a un único límite.
A definición aplícase en particular aos espazos vectoriais normados e aos espazos con produto interno. No caso dun espazo normado ( E, ‖ ⋅ ‖ ), {\displaystyle (E, \Vert \cdot \Vert ), } a norma ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \Vert \cdot \Vert } induce a métrica d ( x, y ):
‖ e − x ‖ {\displaystyle d(x, y):
\Vert e-x\Vert } para cada x, y ∈ E {\displaystyle x, y\in E}; no caso dun espazo con produto interno ( E, ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ ), {\displaystyle (E, \langle \cdot, \cdot \rangle ), } o produto interno ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle } induce a norma ‖ x ‖
⟨ x, x ⟩ {\displaystyle \Vert x\Vert
{\sqrt {\langle x, x\rangle }}} para cada x ∈ E. {\displaystyle x\in E. }
Converxencia uniforme sobre compactos
Converxencia débil
Unha sucesión dise que converxe debilmente a x ou en sentido débil se para toda función linear f, f(Xn) converxe a f(X).
Por exemplo a serie 1/n dende n 1 ata infinito converxe debilmente a cero porque:
lim f(1/n)
lim n/n*f(1/n)
lim 1/n*f(n/n)
lim 1/n*f(1)
0
por ser f linear.
Límite nun espazo topolóxico
Unha xeneralización desta relación, para unha sucesión de puntos { x n | n ∈ N } {\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\; } nun espazo topolóxico T: Se L ∈ T {\displaystyle L\in T\; } dise que L é un límite desta sucesión e escríbese L
lim n → ∞ x n {\displaystyle L
\lim _{n\to \infty }x_{n}} se e só se para todo veciñanza S de L existe un número natural N tal que x n ∈ S {\displaystyle x_{n}\in S\; } para todo n > N. {\displaystyle n>N. \; } De forma intuitiva, supoñendo que se ten unha sucesión de puntos (por exemplo un conxunto infinito de puntos numerados utilizando os números naturais) nalgún tipo de obxecto matemático (por exemplo os números reais ou un espazo vectorial) que admite o concepto de veciñanza (no sentido de "todos os puntos dentro dunha certa distancia dun dado punto fixo"). Un punto L é o límite da sucesión se para toda veciñanza que se defina, todos os puntos da sucesión (coa posible excepción dun número finito de puntos) están próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houbese un conxunto de esferas de tamaños decrecentes ata cero, todas centradas en L, e para calquera destas esferas, só existise un número finito de números fóra dela.
Unha sucesión converxente posúe un único límite se T é un espazo de Hausdorff; por exemplo a recta real estendida, o plano complexo, os seus subconxuntos (ℝ, ℚ, ℤ. .. ) e produtos cartesianos (ℝn. .. ). Teoría da probabilidade
En teoría da probabilidade existen diferentes nocións de converxencia: converxencia de funcións medibles, converxencia en distribución e límites de variables aleatorias.