Grupo multiplicativo de enteiros módulo n

En aritmética modular, os enteiros coprimos (relativamente primos) con n do conxunto { 0, 1, …, n − 1 } {\displaystyle \{0, 1, \dots, n-1\}} dos n primeiros enteiros non negativos forman un grupo baixo a multiplicación módulo n, chamado grupo multiplicativo dos enteiros módulo n. De maneira equivalente, os elementos deste grupo poden interpretarse como as clases de congruencia, tamén chamadas residuos ou restos, módulo n, que son coprimos con n. Por iso, tamén se coñece como o grupo das clases de residuos primitivas módulo n. Na teoría dos aneis, unha rama da álxebra abstracta, este grupo descríbese como o grupo de unidades do anel dos enteiros módulo n. Aquí, as unidades son os elementos que teñen inverso multiplicativo, que neste anel son exactamente aqueles que son coprimos con n. Teoría de grupos
Este grupo, que se denota habitualmente como ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}, é fundamental na teoría dos números. Úsase en criptografía, na factorización de enteiros e nas probas de primalidade. É un grupo abeliano, finito, cuxa orde está dada pola función φ de Euler: | ( Z / n Z ) × |
φ ( n ) {\displaystyle \left|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\right|
\varphi (n)} (secuencia A000010 na OEIS). Se p é primo, entón φ ( p )
p − 1 {\displaystyle \varphi (p)
p-1}.
Se n é primo, o grupo é cíclico; e en xeral, a súa estrutura é doada de describir, aínda que non se coñece unha fórmula sinxela para atopar un conxunto xerador.
Axiomas de grupo
É un exercicio directo demostrar que, baixo a multiplicación, o conxunto das clases de congruencia módulo n que son coprimas con n satisfán os axiomas dun grupo abeliano.
De feito, a é coprimo con n se e só se mcd(a, n)
1. Os enteiros pertencentes á mesma clase de congruencia a ≡ b (mod n) cumpren que mcd(a, n)
mcd(b, n); polo tanto, un é coprimo con n se e só se o outro tamén o é. Así, a noción de clase de congruencia módulo n coprima con n está ben definida.
Como mcd(a, n)
1 e mcd(b, n)
1 implican que mcd(ab, n) 1, o conxunto das clases coprimas con n é pechado baixo a multiplicación.
A multiplicación de enteiros respecta as clases de congruencia; é dicir, a ≡ a' e b ≡ b' (mod n) implican que ab ≡ a'b' (mod n). Isto implica que a multiplicación é asociativa, conmutativa, e que a clase de 1 é a única identidade multiplicativa.
Finalmente, dado un a, o inverso multiplicativo de a módulo n é un enteiro x que satisfai ax ≡ 1 (mod n). Existe precisamente cando a é coprimo con n, pois nese caso mcd(a, n)
1, e segundo o lema de Bézout, existen enteiros x e y que satisfán ax + ny
1. Obsérvese que esta ecuación implica que x é coprimo con n, polo que o inverso multiplicativo pertence ao grupo. Notación
O conxunto das (clases de congruencia de) enteiros módulo n, xunto coas operacións de suma e multiplicación, forma un anel.
Denótase como Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } ou Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}, notación que indica o anel cociente dos enteiros módulo o ideal n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } ou ( n ) {\displaystyle (n)}, formado polos múltiplos de n.
Fóra do contexto da teoría dos números, úsase a miúdo a notación máis sinxela Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}, aínda que pode levar a confusión cos enteiros p-ádicos cando n é un número primo.
O grupo multiplicativo dos enteiros módulo n, que corresponde ao grupo de unidades deste anel, pode atoparse escrito (segundo o autor) como: ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}, ( Z / n Z ) ∗ {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}, U ( Z / n Z ) {\displaystyle \mathrm {U} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}, E ( Z / n Z ) {\displaystyle \mathrm {E} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )} (do alemán Einheit, que significa unidade), Z n ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}, ou notacións similares. Neste artigo empregarase ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}.
A notación C n {\displaystyle \mathrm {C} _{n}} refírese ao grupo cíclico de orde n.
Este grupo é isomorfo ao grupo dos enteiros módulo n con respecto á suma.
Cómpre notar que Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } ou Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} tamén poden facer referencia ao grupo aditivo.
Por exemplo, o grupo multiplicativo ( Z / p Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }} para un número primo p é cíclico e, polo tanto, é isomorfo ao grupo aditivo Z / ( p − 1 ) Z {\displaystyle \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }, aínda que o isomorfismo non é inmediato.