Función parcial

En matemáticas, unha función parcial f dun conxunto X a un conxunto Y é unha función dun subconxunto S de X a Y. O subconxunto S, é dicir, o dominio de f {\displaystyle f} visto como función, chámase dominio de definición ou dominio natural de f {\displaystyle f}. Se S é igual X, é dicir, se f {\displaystyle f} se define en todos os elementos de X, entón dise que f {\displaystyle f} é unha función total.
Noutras palabras, f {\displaystyle f} é unha relación tal que a restrición de f {\displaystyle f} ao seu domínio é unha función.
A miúdo úsase unha función parcial cando non se coñece o seu dominio exacto de definición ou é difícil de especificar. Non obstante, mesmo cando se coñece o dominio exacto da definición, as funcións parciais adoitan usarse por sinxeleza ou brevidade. Este é o caso do cálculo, onde, por exemplo, o cociente de dúas funcións é unha función parcial cuxo dominio de definición non pode conter os ceros do denominador; neste contexto, unha función parcial é xeralmente chamada simplemente función.
Cando se usa a notación de frecha para funcións, unha función parcial f {\displaystyle f} dende X {\displaystyle X} a Y {\displaystyle Y} ás veces escríbese como f: X ⇀ Y, {\displaystyle f: X\rightharpoonup Y, } f: X ↛ Y {\displaystyle f: X\nrightarrow Y}.
En concreto, para unha función parcial f: X ⇀ Y, {\displaystyle f: X\rightharpoonup Y, } e calquera x ∈ X, {\displaystyle x\in X, } temos: f ( x )
y ∈ Y {\displaystyle f(x)
y\in Y} (é un único elemento en Y ), ou f ( x ) {\displaystyle f(x)} está indefinido.
Por exemplo, se f {\displaystyle f} é a función raíz cadrada restrinxida aos números enteiros f: Z → N, {\displaystyle f: \mathbb {Z} \to \mathbb {N}, } definido por: f ( n )
m {\displaystyle f(n)
m} se, e só se, m 2
n, {\displaystyle m^{2}
n, } m ∈ N, n ∈ Z, {\displaystyle m\in \mathbb {N}, n\in \mathbb {Z}, } logo f ( n ) {\displaystyle f(n)} só se define se n {\displaystyle n} é un cadrado perfecto (é dicir, 0, 1, 4, 9, 16, … {\displaystyle 0, 1, 4, 9, 16, \ldots } ). Entón f ( 25 )
5 {\displaystyle f(25)
5} mais f ( 26 ) {\displaystyle f(26)} está indefinido. Conceptos básicos
Moitas propiedades das funcións pódense ampliar nun sentido apropiado para as funcións parciais. Dise que unha función parcial é inxectiva, sobrexectiva ou bixectiva cando a función dada pola restrición da función parcial ao seu dominio de definición é inxectiva, sobrexectiva e bixectiva, respectivamente.
Como unha función é trivialmente sobrexectiva cando está restrinxida á súa imaxe, o termo bixección parcial denota unha función parcial que é inxectiva. Discusión e exemplos
Logaritmo natural
Considere a función do logaritmo natural que mapea os números reais en si mesmos. O logaritmo dun real non positivo non é un número real, polo que a función do logaritmo natural non asocia ningún número real do codominio con ningún número real non positivo do dominio. Polo tanto, a función de logaritmo natural non é unha función cando se ve como unha función dos reais en si mesmos, senón que é unha función parcial. Se o dominio está restrinxido para incluír só os reais positivos (é dicir, se a función do logaritmo natural é vista como unha función dos reais positivos aos reais), entón o logaritmo natural é unha función.
Na teoría de categorías
Na teoría de categorías, ao considerar a operación de composición de morfismos en categorías concretas, a operación de composición ∘: hom ⁡ ( C ) × hom ⁡ ( C ) → hom ⁡ ( C ) {\displaystyle \circ \; :\; \hom(C)\times \hom(C)\to \hom(C)} é unha función total se e só se ob ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {ob} (C)} ten un elemento. A razón disto é que dous morfismos f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} e g: U → V {\displaystyle g: U\to V} só poden ser compostos como g ∘ f {\displaystyle g\circ f} se Y
U, {\displaystyle Y
U, } é dicir, o codominio de f {\displaystyle f} debe ser igual ao dominio de g. {\displaystyle g. } A categoría de conxuntos e funcións parciais é equivalente pero non isomorfa coa categoría de conxuntos apuntados e mapas de conservación de puntos. Un libro de texto sinala que "Esta realización formal de conxuntos e mapas parciais engadindo elementos "impropios" e "infinitos" reinventouse moitas veces, en particular, na topoloxía (compactación dun punto).
Na álxebra abstracta
A álxebra parcial xeneraliza a noción de álxebra universal ás operacións parciais. Un exemplo sería un corpo, no que a inversión multiplicativa é a única operación parcial adecuada (porque a división por cero non está definida).
Cartas e atlas para variedades e fibrados
As cartas dos atlas que especifican a estrutura das variedades e dos fibrados son funcións parciais. No caso das variedades, o dominio é o conxunto de puntos da variedade. No caso dos fibrados, o dominio é o espazo do fibrado. Nestas aplicacións, a construción máis importante é o mapa de transición, que é a composición dunha carta coa inversa doutra. A clasificación inicial de variedades e fibrados exprésase en gran medida en termos de restricións nestes mapas de transición.
O motivo do uso de funcións parciais en lugar de funcións é permitir que se representen topoloxías globais xerais unindo parches locais para describir a estrutura global. Os "parches" son os dominios onde se definen as cartas.