Arco (xeometría)

Na xeometría, arco é calquera curva continua que une dous puntos. Existen arco de circunferencia, de elipse, de parábola e outras figuras xeométricas.
O arco circunferencia fica definido por tres puntos, ou dous puntos extremos e o raio ou a corda da circunferencia. A corda une os dous extremos do arco, estando a frecha unindo os puntos medios. Cálculo da lonxitude dun arco (rectificación dunha curva)
Métodos históricos
Antigüidade
No longo da historia das matemáticas moitos grandes pensadores consideraron imposible calcular a lonxitude dun arco irregular. Arquimedes ideou un método por aproximación de rectángulos para calcular a área dun polígono curvilíneo mediante o método de exhaustión, aínda que poucos creron que era posible que unha curva tivese unha lonxitude medible como as da liñas rectas.
As primeiras medicións fixéronse a través de métodos de aproximación. Os matemáticos da época empezaron a trazar polígonos dentro da curva, e calculando a lonxitude dos lados destes, obtendo así a lonxitude aproximada da curva. Cantos máis segmentos se usasen, máis diminuía a lonxitude de cada segmento, e obtíñase unha aproximación cada vez mellor.
Século XVII
Nesta época, o método de esgotamento levou á rectificación por métodos xeométricos de moitas curvas transcendentais: a espiral logarítmica por Torricelli en 1645 (algúns pensan que foi John Wallis en 1650); o cicloide por Christopher Wren en 1658, e a catenaria por Gottfried Leibniz en 1691.
Determinar a lonxitude dun arco dun segmento irregular, facer a rectificación dunha curva, historicamente foi difícil. Aínda que foron utilizados varios métodos para curvas específicas, a chegada do cálculo trouxo consigo fórmulas xerais que daban solucións concretas para algúns casos.
A lonxitude dun arco de circunferencia de radio r e ángulo θ (medido en radiáns), con centro na orixe, é igual a θr. Para un ángulo α, medido en graos, a lonxitude en radiáns é α/180° × π, sendo a lonxitude de arco igual a (α/180°)πr.
Métodos modernos
Ao considerar unha función f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} e a súa respectiva derivada f ′ ( x ) {\displaystyle f'\left(x\right)}, que son continuas nun intervalo [a, b], a lonxitude do arco delimitado por a e b vén dada pola fórmula: s
∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x {\displaystyle s
\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[f'\left(x\right)\right]^{2}}}\, dx} Se a función está definida parametricamente, onde x
f ( t ) {\displaystyle x
f\left(t\right)} e y
g ( t ) {\displaystyle y
g\left(t\right)}: s
∫ a b [ f ′ ( t ) ] 2 + [ g ′ ( t ) ] 2 d t {\displaystyle s
\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[f'\left(t\right)\right]^{2}+\left[g'\left(t\right)\right]^{2}}}\, dt} Se a función está en coordenadas polares, onde a coordenada radial e o ángulo están relacionados r
f ( θ ) {\displaystyle r
f(\theta )}, a lonxitude dunha curva redúcese a: s
∫ a b r 2 + [ d r d θ ] 2 d θ {\displaystyle s
\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left[{\frac {dr}{d\theta \ }}\right]^{2}}}\, d\theta \ } Na maioría dos casos non hai unha solución dispoñible e será necesario usar métodos de integración. Por exemplo, aplicar esta fórmula a unha elipse levaría a unha integral elíptica de segunda orde.
Entre as curvas con solucións coñecidas están a circunferencia, catenaria, cicloide, espiral logarítmica e parábola.
Lonxitude de arco
A lonxitude de arco é unha medida da lonxitude dun arco dunha curva calquera, se vén dada en coordenadas cartesianas, a lonxitude de arco pode calcularse como: L a
∫ x 1 x 21 + f ′ ( x ) 2 d x {\displaystyle L_{a}
\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\ dx} Se a curva vén especificada en coordenadas polares, a lonxitude entre o ángulo ϕ 1 {\displaystyle \phi _{1}} e ϕ 2 {\displaystyle \phi _{2}} vén dada por: L a
∫ ϕ 1 ϕ 2 ρ ′ ( ϕ ) 2 + ρ ( ϕ ) 2 d ϕ {\displaystyle L_{a}
\int _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\sqrt {\rho '(\phi )^{2}+\rho (\phi )^{2}}}\ d\phi } Desta última dedúcese que para unha circunferencia, dado que ρ ( ϕ )
R {\displaystyle \scriptstyle \rho (\phi )
R} e ρ ′ ( ϕ )
0 {\displaystyle \scriptstyle \rho '(\phi )
0}, a lonxitude de arco pode expresarse simplemente como: L a
R ( ϕ 2 − ϕ 1 ) {\displaystyle L_{a}
R(\phi _{2}-\phi _{1})\, }