Espazo vectorial

Un dos conceptos básicos en álxebra linear é o de espazo vectorial ou espazo linear.
A noción común de vectores como obxectos con tamaño, dirección e sentido, xuntamente coas operacións de adición e multiplicación por números reais forma a idea básica dun espazo vectorial. Deste punto de partida entón, para definirmos un espazo vectorial, precisamos dun conxunto de elementos e dúas operacións definidas sobre os elementos deste conxunto, adición e multiplicación por números reais. A multiplicación por reais pode ser trocada aínda por algo máis xeral como se mostra a continuación.
Non é necesario que os vectores teñan interpretación xeométrica, senón poden ser calquera obxecto que satisfaga os axiomas de baixo. Os Polinomios de grao n forman un espazo vectorial, por exemplo, así como grupos de matrices NxM e o espazo de todas as funcións dun conxunto noutro (con algunhas condicións adicionais). Definición
Un espazo vectorial é unha entidade formada polos seguintes elementos: Un corpo F, é dicir, un conxunto dotado de dúas operacións internas con propiedades distributivas, elemento inverso etc. na cal os seus elementos farán o papel dos escalares. Os números reais son un exemplo de corpo.
Un conxunto V dotado dunha operación binaria (representada aquí polo sinal +) de V × V → V {\displaystyle V\times V\rightarrow V}. Os elementos de V chámanse vectores.
Unha operación. de F × V → V {\displaystyle F\times V\rightarrow V}.
As seguintes regras deben valer para que os elementos mencionados constitúan un espazo vectorial: (u+v)+w u+(v+w) \forall u, v, w en V
u+v v+u \forall u, v en V
Hai un elemento O de V, tal que u+O u \forall u en V
Para todo elemento v de V hai un elemento u tal que v+u O
a. (b. u) (a. b). u para a, b en F e u en V
Se 1 é a unidade de F, 1. u u para u en V
a. (u+v) a. u+a. v para a en F u, v en V
(a+b). u a. u+b. u para a, b en F e u en V
As definicións de 1 a 4 mostran que, en canto á operación de adición, un espazo vectorial é un grupo abeliano.
O concepto de espazo vectorial (e os vectores como os seus elementos) é enteiramente abstracto, como os conceptos de grupos, aneis, corpos etc. Para determinar se un conxunto V é un espazo vectorial, temos simplemente que especificar o conxunto, o corpo F, e definir adición e multiplicación por escalar en V. Entón, se V satisfixese as condicións mencionadas, será un espazo vectorial sobre o corpo F.
Terminoloxía
Un espazo vectorial sobre R {\displaystyle \mathbb {R} }, o conxuntos dos números reais, chámase espazo vectorial real.
Un espazo vectorial sobre C {\displaystyle \mathbb {C} }, o conxuntos dos números complexos, chámase espazo vectorial complexo.
Un espazo vectorial cun concepto definido de lonxitude, isto é unha norma definida, chámase espazo vectorial normado. Conxunto de xeradores e bases
Un subconxunto S dun F-espazo vectorial V dise un conxunto de xeradores de V se todo vector de V pode expresarse como combinación lineal finita dos vectores de S, isto é, ∀ v ∈ V, ∃ λ 1, .. ., λ n ∈ F, v 1, .. . v n ∈ V {\displaystyle \forall v\in V, \exists \lambda _{1}, .. ., \lambda _{n}\in F, v_{1}, .. .v_{n}\in V} de xeito que v
λ 1 v 1 +. .. + λ n v n {\displaystyle v
\lambda _{1}v_{1}+. .. +\lambda _{n}v_{n}} Se alén disto S fose un conxunto linearmente independente, entón diremos que S é unha base para o espazo vectorial V. Se un espazo vectorial posúe un conxunto finito de xeradores, entón tódalas bases do mesmo teñen o mesmo número de elementos. A este número coñéceselle como dimensión. Exemplos
Son exemplos de espazo vectorial (sobre os números reais):
O propio corpo dos números reais.
O espazo euclidiano R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} de calquera dimensión
O conxunto das matrices de tamaño mxn (onde m e n son enteiros arbitrarios), coas operacións suma e produto por escalar.
O conxunto de polinomios de grao menor ou igual que n (onde n é un número enteiro arbitrario)
O corpo complexo C {\displaystyle \mathbb {C} } O conxunto de funcións reais de variable real.
O conxunto de funcións reais de variable real continuas.