Teorema fundamental dos homomorfismos

En álxebra abstracta, o teorema fundamental dos homomorfismos, tamén coñecido como primeiro teorema do isomorfismo, relaciona a estrutura de dous obxectos entre os que se dá un homomorfismo, e do núcleo e a imaxe do homomorfismo.
Este teorema utilízase para demostrar os teoremas do isomorfismo. Versión para grupos
Dados dous grupos G e H e un homomorfismo de grupos f: G → H, sexa N un subgrupo normal en G e φ o homomorfismo sobrectivo natural G → G / N (onde G / N é o grupo cociente de G por N). Se N é un subconxunto de ker(f) entón existe un único homomorfismo h: G / N → H tal que f h ∘ φ.
Noutras palabras, a proxección natural φ é universal entre os homomorfismos en G que mapean N no elemento identidade.
A situación descríbese no seguinte diagrama conmutativo: h é inxectiva se e só se N
ker(f). Polo tanto, estabelecendo N
ker(f), obtemos inmediatamente o primeiro teorema do isomorfismo.
Podemos escribir o enunciado do teorema fundamental dos homomorfismos de grupos como "toda imaxe homomorfa dun grupo é isomorfa a un grupo cociente". Proba
A demostración dedúcese a partir de dous feitos básicos sobre homomorfismos, a saber, a súa conservación da operación de grupo e a súa correspondencia entre os elementos identidade. Temos que demostrar que se ϕ: G → H {\displaystyle \phi: G\to H} é un homomorfismo de grupos, entón: im ( ϕ ) {\displaystyle {\text{im}}(\phi )} é un subgrupo H {\displaystyle H} G / ker ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle G/\ker(\phi )} é isomorfo a im ( ϕ ) {\displaystyle {\text{im}}(\phi )}
Proba de 1
A operación que se conserva por ϕ {\displaystyle \phi } é a operación do grupo. Se a, b ∈ im ( ϕ ) {\displaystyle a, b\in {\text{im}}(\phi )}, entón existen elementos a ′, b ′ ∈ G {\displaystyle a', b'\in G} tal que ϕ ( a ′ )
a {\displaystyle \phi (a')
a} e ϕ ( b ′ )
b {\displaystyle \phi (b')
b}. Para estes a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} temos a b
ϕ ( a ′ ) ϕ ( b ′ )
ϕ ( a ′ b ′ ) ∈ im ( ϕ ) {\displaystyle ab
\phi (a')\phi (b')
\phi (a'b')\in {\text{im}}(\phi )} (posto que ϕ {\displaystyle \phi } preserva a operación do grupo), e así, a propiedade de peche está satisfeita en im ( ϕ ) {\displaystyle {\text{im}}(\phi )}. O elemento identidade e ∈ H {\displaystyle e\in H} tamén está en im ( ϕ ) {\displaystyle {\text{im}}(\phi )} porque ϕ {\displaystyle \phi } mapea o elemento de identidade de G {\displaystyle G} no identidade de H {\displaystyle H}. Posto que cada elemento a ′ {\displaystyle a'} en G {\displaystyle G} ten un inverso ( a ′ ) − 1 {\displaystyle (a')^{-1}} tal que ϕ ( ( a ′ ) − 1 )
( ϕ ( a ′ ) ) − 1 {\displaystyle \phi ((a')^{-1})
(\phi (a'))^{-1}} (porque ϕ {\displaystyle \phi } preserva a propiedade inversa tamén), temos un inverso para cada elemento ϕ ( a ′ )
a {\displaystyle \phi (a')
a} en im ( ϕ ) {\displaystyle {\text{im}}(\phi )}, polo tanto, im ( ϕ ) {\displaystyle {\text{im}}(\phi )} é un subgrupo de H {\displaystyle H}.
Proba de 2
Construír un mapa ψ: G / ker ⁡ ( ϕ ) → im ( ϕ ) {\displaystyle \psi: G/\ker(\phi )\to {\text{im}}(\phi )} por ψ ( a ker ⁡ ( ϕ ) )
ϕ ( a ) {\displaystyle \psi (a\ker(\phi ))
\phi (a)}. Este mapa está ben definido, pois se a ker ⁡ ( ϕ )
b ker ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle a\ker(\phi )
b\ker(\phi )}, entón b − 1 a ∈ ker ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle b^{-1}a\in \ker(\phi )} e así ϕ ( b − 1 a )
e ⇒ ϕ ( b − 1 ) ϕ ( a )
e {\displaystyle \phi (b^{-1}a)
e\Rightarrow \phi (b^{-1})\phi (a)
e} que dá ϕ ( a )
ϕ ( b ) {\displaystyle \phi (a)
\phi (b)}. Este mapa é un isomorfismo. ψ {\displaystyle \psi } é sobrexectivo sobre im ( ϕ ) {\displaystyle {\text{im}}(\phi )} por definición. Para mostrar a inxectividade, se ψ ( a ker ⁡ ( ϕ ) )
ψ ( b ker ⁡ ( ϕ ) ) {\displaystyle \psi (a\ker(\phi ))
\psi (b\ker(\phi ))}, entón ϕ ( a )
ϕ ( b ) {\displaystyle \phi (a)
\phi (b)}, o que implica b − 1 a ∈ ker ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle b^{-1}a\in \ker(\phi )} así que a ker ⁡ ( ϕ )
b ker ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle a\ker(\phi )
b\ker(\phi )}. Finalmente, ψ ( ( a ker ⁡ ( ϕ ) ) ( b ker ⁡ ( ϕ ) ) )
ψ ( a b ker ⁡ ( ϕ ) )
ϕ ( a b )
ϕ ( a ) ϕ ( b )
ψ ( a ker ⁡ ( ϕ ) ) ψ ( b ker ⁡ ( ϕ ) ), {\displaystyle \psi ((a\ker(\phi ))(b\ker(\phi )))
\psi (ab\ker(\phi ))
\phi (ab)
\phi (a)\phi (b)
\psi (a\ker(\phi ))\psi (b\ker(\phi )), } por tanto ψ {\displaystyle \psi } preserva a operación do grupo. Por tanto ψ {\displaystyle \psi } é un isomorfismo entre G / ker ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle G/\ker(\phi )} e im ( ϕ ) {\displaystyle {\text{im}}(\phi )}, o que completa a proba. Aplicacións
A versión de grupos do teorema fundamental dos homomorfismos pode ser usada para mostrar que dous grupos son isomorfos. A continuación móstranse dous exemplos.
Enteiros módulo n
Para cada n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, considere os grupos Z {\displaystyle \mathbb {Z} } e Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} e un homomorfismo de grupo f: Z → Z n {\displaystyle f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{n}} definido por m ↦ m mod n {\displaystyle m\mapsto m{\text{ mod }}n} (ver aritmética modular). A continuación, considere o kernel de f {\displaystyle f}, ker ( f )
n Z {\displaystyle {\text{ker}}(f)
n\mathbb {Z} }, que é un subgrupo normal en Z {\displaystyle \mathbb {Z} }. Existe un homomorfismo sobrexectivo natural φ: Z → Z / n Z {\displaystyle \varphi: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } definido por m ↦ m + n Z {\displaystyle m\mapsto m+n\mathbb {Z} }. O teorema afirma que existe un isomorfismo h {\displaystyle h} entre Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} e Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }, ou noutras palabras Z n ≅ Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }. O diagrama conmutativo está ilustrado a continuación.
Teorema N/C
Sexa G {\displaystyle G} un grupo con subgrupo H {\displaystyle H}. Sexan C G ( H ) {\displaystyle C_{G}(H)}, N G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)} e Aut ( H ) {\displaystyle {\text{Aut}}(H)} o centralizador, o normalizador e o grupo de automorfismos de H {\displaystyle H} en G {\displaystyle G}, respectivamente. Daquela, o teorema N/C afirma que N G ( H ) / C G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)} é isomorfo a un subgrupo de Aut ( H ) {\displaystyle {\text{Aut}}(H)}.
A proba
Podemos atopar un homomorfismo de grupos f: N G ( H ) → Aut ( H ) {\displaystyle f: N_{G}(H)\rightarrow {\text{Aut}}(H)} definido por g ↦ g h g − 1 {\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}, para todo h ∈ H {\displaystyle h\in H}. Claramente, o kernel de f {\displaystyle f} é C G ( H ) {\displaystyle C_{G}(H)}. Por tanto, temos un homomorfismo sobrexectivo natural φ: N G ( H ) → N G ( H ) / C G ( H ) {\displaystyle \varphi: N_{G}(H)\rightarrow N_{G}(H)/C_{G}(H)} definido por g ↦ g C ( H ) {\displaystyle g\mapsto gC(H)}. O teorema fundamental dos homomorfismos afirma entón que existe un isomorfismo entre N G ( H ) / C G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)} e φ ( N G ( H ) ) {\displaystyle \varphi (N_{G}(H))}, que é un subgrupo de Aut ( H ) {\displaystyle {\text{Aut}}(H)}. Outras versións
Teoremas similares son válidos para monoides, espazos vectoriais, módulos e, aneis.