Función aditiva

En teoría de números, unha función aditiva é unha función aritmética f(n) da variábel enteira positiva n tal que sempre que a e b son coprimos, a función aplicada ao produto ab é a suma dos valores da función aplicada a a e b: f ( a b )
f ( a ) + f ( b ). {\displaystyle f(ab)
f(a)+f(b). } Completamente aditiva
Unha función aditiva f(n) dise que é completamente aditiva sen se verifica f ( a b )
f ( a ) + f ( b ) {\displaystyle f(ab)
f(a)+f(b)} para todos os enteiros positivos a e b, aínda que non sexan coprimos. Completamente aditiva tamén se usa neste sentido por analoxía coas funcións completamente multiplicativas. Se f é unha función completamente aditiva, entón f(1) 0.
Toda función completamente aditiva é aditiva, mais non viceversa. Exemplos
Exemplos de funcións aritméticas que son completamente aditivas: A restrición da función logarítmica a N. {\displaystyle \mathbb {N}. } A multiplicidade dun factor primo p en n, que é o maior expoñente m para o que pm divide n.
a0(n), a suma de números primos que divide n contando a súa multiplicidade, ás veces chamada sopfr(n), a potencia de n ou o logaritmo enteiro de n (secuencia A001414 na OEIS). Por exemplo:
a0 (4)
2 + 2
4.
a0 (20)
a0(22 · 5)
2 + 2 + 59.
a0 (27)
3 + 3 + 3
9.
a0 (144)
a0 (24 · 32 )
a0 (24) + a0 (32)
8 + 6
14.
a0 (2000)
a0 (24 · 53 )
a0 (24 ) + a0 (53 )
8 + 15
23.
a0 (2003) 2003. A función Ω(n), definida como o número total de factores primos de n, contando múltiples factores múltiples veces, ás veces chamada "función Omega maiúsculo" (secuencia A001222 na OEIS). Por exemplo;
Ω(1) 0, xa que 1 non ten factores primos.
Ω(4) 2.
Ω(16)
Ω(2·2·2·2)
4.
Ω(20)
Ω(2·2·5)
3.
Ω(27)
Ω(3·3·3)
3.
Ω(144)
Ω(24 · 32)
Ω(24) + Ω(32)
4 + 2
6.
Ω(2000)
Ω(24 · 53 )
Ω(24 ) + Ω(53 )
4 + 3
7.
Ω(2001)
Ω(3·23·29)
3.
Ω(2002)
Ω(2·7·11·13)
3.
Ω(2003) 1. Exemplos de funcións aritméticas que son aditivas mais non completamente aditivas son: ω(n), definido como o número total de distintos factores primos de n (secuencia A001221 na OEIS). Por exemplo:
ω(4) 1.
ω(16)
ω(24 )
1.
ω(20)
ω(22 · 5)
2.
ω(27)
ω(33 )
1.
ω(144)
ω(24 · 32 )
ω(24 ) + ω(32 )
1 + 1
2.
ω(2000)
ω(24 · 53)
ω(24 ) + ω(53 )
1 + 1
2.
ω(2001) 3.
ω(2002) 4.
ω(2003) 1. a1(n), a suma dos distintos números primos que dividen a n, ás veces chamado sopf(n) (secuencia A008472 na OEIS). Por exemplo:
a1(1) 0.
a1(4) 2.
a1(20)
2 + 5
7.
a1(27) 3.
a1 (144)
a1(24 · 32)
a1(24) + a1(32)
2 + 3
5.
a1 (2000)
a1(24 · 53 )
a1(24) + a1(53)
2 + 5
7.
a1(2001) 55.
a1(2002) 33.
a1(2003) 2003. Funcións multiplicativas
A partir de calquera función aditiva f ( n ) {\displaystyle f(n)} é posíbel crear unha función multiplicativa relacionada g ( n ), {\displaystyle g(n), } que é unha función coa propiedade que sempre que a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} son coprimos daquela: g ( a b )
g ( a ) × g ( b ). {\displaystyle g(ab)
g(a)\times g(b). } Un destes exemplos é g ( n )
2 f ( n ). {\displaystyle g(n)
2^{f(n)}. } Así mesmo se f ( n ) {\displaystyle f(n)} é completamente aditiva, daquela g ( n )
2 f ( n ) {\displaystyle g(n)
2^{f(n)}} é completamente multiplicativa. De forma máis xeral, poderiamos considerar a función g ( n )
c f ( n ) {\displaystyle g(n)
c^{f(n)}}, onde c {\displaystyle c} é unha constante real distinta de cero.