Relación reflexiva

En matemáticas, unha relación binaria R {\displaystyle R} nun conxunto X {\displaystyle X} é reflexiva se relaciona cada elemento de X {\displaystyle X} consigo mesmo. Un exemplo de relación reflexiva é a relación "é igual a" no conxunto de números reais, xa que cada número real é igual a si mesmo. Xunto coa simetría e a transitividade, a reflexividade é unha das tres propiedades que definen as relacións de equivalencia. Definición
Sexa R {\displaystyle R} unha relación binaria nun conxunto X, {\displaystyle X, } que por definición é só un subconxunto de X × X. {\displaystyle X\times X. } Para calquera x, y ∈ X, {\displaystyle x, y\in X, } a notación x R y {\displaystyle xRy} significa que ( x, y ) ∈ R {\displaystyle (x, y)\in R} mentres "non x R y {\displaystyle xRy} " significa que ( x, y ) ∉ R. {\displaystyle (x, y)\not \in R. } A relación R {\displaystyle R} chámase reflexiva se x R x {\displaystyle xRx} para todo x ∈ X {\displaystyle x\in X}.
De forma equivalente, se I X:
{ ( x, x ): x ∈ X } {\displaystyle \operatorname {I} _{X}:
\{(x, x)~: ~x\in X\}} denota a relación de identidade en X {\displaystyle X}, a relación R {\displaystyle R} é reflexiva se I X ⊆ R {\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}.
O peche reflexivo de R {\displaystyle R} é a unión R ∪ I X, {\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X}, } que se pode definir equivalentemente como a menor (con respecto a ⊆ {\displaystyle \subseteq } ) relación reflexiva en X {\displaystyle X} que é un superconxunto de R. {\displaystyle R. } Unha relación R {\displaystyle R} é reflexiva se e só se é igual ao seu peche reflexivo.
A redución reflexiva ou kernel irreflexivo de R {\displaystyle R} é a relación máis pequena (con respecto a ⊆ {\displaystyle \subseteq } ) en X {\displaystyle X} que ten o mesmo peche reflexivo que R. {\displaystyle R. } É igual a R ∖ I X
{ ( x, y ) ∈ R: x ≠ y }. {\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}
\{(x, y)\in R~: ~x\neq y\}. } A redución reflexiva de R {\displaystyle R} pode, en certo sentido, ser vista como unha construción que é o "oposto" ao peche reflexivo de R. {\displaystyle R. } Por exemplo, o peche reflexivo da desigualdade estrita canónica < {\displaystyle <} nos reais R {\displaystyle \mathbb {R} } é a desigualdade non estrita habitual ≤ {\displaystyle \leq } mentres que a redución reflexiva de ≤ {\displaystyle \leq } é <. {\displaystyle <. }
Definicións relacionadas
Hai varias definicións relacionadas coa propiedade reflexiva. A relación R {\displaystyle R} chámase: irreflexiva, antireflexiva
se non relaciona ningún elemento consigo mesmo; é dicir, se x R x {\displaystyle xRx} non vale para ningún x ∈ X. {\displaystyle x\in X. } Unha relación é irreflexiva se e só se é o seu complemento en X × X {\displaystyle X\times X} é reflexivo. Unha relación asimétrica é necesariamente irreflexiva. Unha relación transitiva e irreflexiva é necesariamente asimétrica.
case reflexiva pola esquerda
se sempre que x, y ∈ X {\displaystyle x, y\in X} son tal que x R y, {\displaystyle xRy, } entón necesariamente x R x. {\displaystyle xRx. } case reflexiva pola dereita
se sempre que x, y ∈ X {\displaystyle x, y\in X} son tal que x R y, {\displaystyle xRy, } entón necesariamente y R y. {\displaystyle yRy. } case reflexiva
se cada elemento que forma parte dalgunha relación está relacionado consigo mesmo. Explicitamente, isto significa que sempre que x, y ∈ X {\displaystyle x, y\in X} sexan tal que x R y, {\displaystyle xRy, } entón necesariamente x R x {\displaystyle xRx} e y R y. {\displaystyle yRy. } De forma equivalente, unha relación binaria é case-reflexiva se e só se é case reflexiva pola esquerda e quase-reflexiva pola dereita. Unha relación R {\displaystyle R} é case- reflexiva se e só se o seu peche simétrico R ∪ R T {\displaystyle R\cup R^{\operatorname {T} }} é pola esquerda (ou pola dereita) case reflexivo.
antisimétrica
se sempre que x, y ∈ X {\displaystyle x, y\in X} son tal que x R y e y R x, {\displaystyle xRy{\text{ e }}yRx, } entón necesariamente x
y. {\displaystyle x
y. } coreflexiva
se sempre que x, y ∈ X {\displaystyle x, y\in X} son tal que x R y {\displaystyle xRy} entón necesariamente x
y. {\displaystyle x
y. } Unha relación R {\displaystyle R} é coreflexiva se e só se o seu peche simétrico é simétrica.
Unha relación reflexiva nun conxunto non baleiro X {\displaystyle X} non pode ser irreflexiva, nin asimétrica ( R {\displaystyle R} chámase asimétrica se x R y {\displaystyle xRy} non implica y R x {\displaystyle yRx} ), nin antitransitiva ( R {\displaystyle R} é antitransitiva se x R y e y R z {\displaystyle xRy{\text{ e }}yRz} implica non x R z {\displaystyle xRz} ). Representación
Sexa R {\displaystyle R} unha relación reflexiva ou antirreflexiva aplicada sobre un conxunto A, entón R ten unha representación particular para cada forma de describir unha relación binaria. Exemplos
Exemplos de relacións reflexivas inclúen: "é igual a" (igualdade)
"é un subconxunto de"
"divide a" (divisibilidade)
"é maior ou igual a"
"é menor ou igual a"
Exemplos de relacións irreflexivas inclúen: "non é igual a"
"é coprimo a" nos enteiros maiores que 1
"é un subconxunto propio de"
"é maior que"
"é menor que"