Subgrupo

Na teoría de grupos, unha rama das matemáticas, dado un grupo G baixo unha operación binaria ∗, un subconxunto H de G chámase subgrupo de G se H tamén forma un grupo baixo a operación ∗. Máis precisamente, H é un subgrupo de G se a restrición de ∗ a H × H é unha operación de grupo en H. Isto denótase tamén como H ≤ G, lido como "H é un subgrupo de G ".
O subgrupo trivial de calquera grupo é o subgrupo {e} que consiste só no elemento identidade.
Un subgrupo propio dun grupo G é un subgrupo H que é un subconxunto propio de G (é dicir, H ≠ G). Isto represéntase por H < G, lido como "H é un subgrupo propio de G". Algúns autores tamén exclúen que o grupo trivial sexa propio (é dicir, H ≠ {e }). Comprobación de subgrupos
Temos que G é un grupo e H é un subconxunto de G e a operación de grupo de G escríbese multiplicativamente. Daquela H é un subgrupo de G se e só se H non é baleiro e é pechado baixo produtos e inversos. Pechado baixo produtos significa que para cada a e b en H, o produto ab está en H. Pechado baixo inversos significa que para cada a en H, o inverso a−1 está en H. Estas dúas condicións pódense combinar nunha soa, que para cada a e b en H, o elemento ab−1 está en H.
Cando H é finito, a proba pódese simplificar: H é un subgrupo se e só se non é baleiro e é pechado baixo produtos. Estas condicións implican que cada elemento a de H xera un subgrupo cíclico finito de H, digamos de orde n, e entón o inverso de a é an−1. Cosets e teorema de Lagrange
Dado un subgrupo H e algún a en G, definimos o coset (ou conxunto lateral, ou coclase) esquerdo aH
{ah: h in H}. Como a é invertible, o mapa φ: H → aH dado por φ(h)
ah é unha bixección. Alén diso, cada elemento de G está contido precisamente nun coset esquerdo de H; as clases secundarias da esquerda son as clases de equivalencia correspondentes á relación de equivalencia a1 ~ a2 se e só se a 1 − 1 a 2 {\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}} está en H. O número de clases esquerdas de H chámase índice de H en G e o denotamos por [G: H].
O teorema de Lagrange afirma que para un grupo finito G e un subgrupo H, [ G: H ]
| G | | H | {\displaystyle [G: H]
{|G| \over |H|}} onde |G| e |H| denotan as ordes (ou cardinalidades, número de elementos) de G e H, respectivamente. En particular, a orde de cada subgrupo de G (e a orde de cada elemento de G) debe ser un divisor de |G|. Os cosets pola dereita defínense de xeito análogo: Ha
{ha: h in H}. Se aH
Ha para cada a en G, entón dise que H é un subgrupo normal. Exemplo: subgrupos de Z8
Sexa G o grupo cíclico Z8 cuxos elementos son G
{ 0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7 } {\displaystyle G
\left\{0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7\right\}} e cuxa operación de grupo é a suma módulo 8. A súa táboa de Cayley é Este grupo ten dous subgrupos non triviais: J
{0, 4} e H
{0, 4, 2, 6}, onde J tamén é un subgrupo de H. O grupo G é cíclico, e tamén o son os seus subgrupos. En xeral, os subgrupos de grupos cíclicos tamén son cíclicos. Exemplo: Subgrupos de S4
S4 é o Grupo simétrico cuxos elementos corresponden ás permutacións de 4 elementos.
A continuación móstranse todos os seus subgrupos, ordenados por cardinalidades.
Cada grupo (agás os de cardinalidade 1 e 2) está representado pola súa Táboa de Cayley.
24 elementos
Como en todos os grupo, S4 é un subgrupo de si mesmo (non é subgrupo propio).
12 elementos
O grupo alternante A4 contén só as permutacións pares. É un dos dous subgrupos normais propios non triviais de S4. (O outro é o seu subgrupo de Klein).
2 elementos
Cada permutación p de orde 2 xera un subgrupo {1, p }. Estas son as permutacións que só teñen 2 ciclos: Hai 6 transposicións cun 2 ciclos. (fondo verde)
E 3 permutacións con dous ciclos. (fondo branco, números en grosa)
1 elemento
O subgrupo trivial é o único subgrupo de orde 1. Outros exemplos
Os enteiros pares forman un subgrupo 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } do anel dos enteiros Z: {\displaystyle \mathbb {Z}: } a suma de dous enteiros pares é par e o negativo dun enteiro par é par.
Un ideal nun anel R é un subgrupo do grupo aditivo de R.
Un subespazo linear dun espazo vectorial é un subgrupo do grupo aditivo de vectores.
Nun grupo abeliano, os elementos de orde finita forman un subgrupo chamado subgrupo de torsión.