Módulo libre

En álxebra, un módulo libre é un módulo M que ten unha base B, é dicir, un subconxunto de M tal que cada elemento de M escríbese de forma única como unha combinación linear (finita) de elementos de B. Definicións
Unha base de M é unha parte B de M que cumpre as dúas seguintes condicións: xerador para M, é dicir que cada elemento de M é unha combinación linear de elementos de B;
libre, é dicir, que para todas as familias finitas (ei)1≤i≤n de elementos de B dous a dous distintos e (ai)1≤i≤n de elementos do anel subxacente tal que a1e1 +. .. + anen
0, temos que: a1. ..
an
0.
Un módulo libre é un módulo que ten unha base. Exemplos e contraexemplos
Dado un anel A, o exemplo máis inmediato dun módulo libre de A é An. Recíprocamente, calquera módulo A libre básico con n elementos é isomorfo a An.
Cada grupo abeliano admite unha estrutura única de ℤ-módulo. Os grupos abelianos libres son exactamente ℤ-módulos libres.
A diferenza dos espazos vectoriais, casos particulares de módulos nun corpo, un módulo non sempre é libre. Por exemplo, os ℤ-módulos ℤ/2ℤ e ℚ non son libres. Por outra banda, calquera módulo é o cociente dun módulo libre.
Un submódulo dun módulo libre xeralmente non é libre. Por exemplo, cada ideal (pola esquerda) de A é un A-módulo (pola esquerda), mais só é libre se é xerado por un só elemento.
O teorema para construír bases partindo dunha parte libre ou xeradora non é válido para módulos. Así, a parte non libre {2, 3} xera ℤ como un ℤ-módulo (porque xera 1 por 3 - 21). Por outra banda, nin o singleton {2} nin o {3} xeran ℤ eles soiños. Do mesmo xeito a parte libre {2} non se pode completar nunha base de ℤ. Propiedades xerais
Se ( M i ) i {\displaystyle (M_{i})_{i}} é unha familia de módulos libres en A, entón a súa suma directa ⊕ i M i {\displaystyle \oplus _{i}M_{i}} é libre en A.
Supoña que M e N son módulos libres en A. O seu produto tensorial M ⊗ N é libre.
O conxunto HomA (M, N) de mapas lineares A, que ten unha estrutura de módulo A natural, é libre. En particular, o dual HomA (M, A) é libre.
Se C é unha A-álxebra, entón M ⊕ A C {\displaystyle M\oplus _{A}C} é libre en C.
Nun anel principal, calquera submódulo dun módulo libre F é libre e de rango inferior ou igual ao de F.
Calquera módulo libre é proxectivo e, en xeral, plano. Estas últimas propiedades son máis flexibles que ser módulo libre: por exemplo, se 0 → M → N → L → 0 é unha secuencia exacta de módulos con N e L libres, isto non implica en xeral que M sexa libre. Por outra banda, esta propiedade é certa para os módulos proxectivos e para os módulos planos. Rango dun módulo libre nun anel conmutativo ou noetheriano
Unha cuestión natural é se, como acontece nos espazos vectoriais, todas as bases dun módulo libre teñen a mesma cardinalidade. A resposta é negativa en xeral, pero afirmativa con condicións adicionais febles no anel subxacente. Por exemplo, é suficiente que o anel sexa conmutativo, ou noetheriano, para que o resultado se manteña; neste caso podemos falar da dimensión, tamén chamada rango, do módulo libre.
Supoñamos no que segue que A é conmutativo e non cero. O rango dunha suma directa súmase, dun produto tensor multiplícase e permanece inalterado por extensión dos escalares.
Se P é un ideal máximal de A, entón M/PM é un espazo vectorial no corpo A/P, de dimensión igual ao rango de M.
Se M → N é un mapa linear inxectivo entre dous módulos libres con N de rango finito, entón M é de rango finito e menor ou igual ao de N.
Se M → N é un mapa linear surxectivo entre dous módulos libres, entón o rango de M é maior ou igual que o de N (de feito temos entón un mapa linear sobrexectivo de espazos vectoriais M/PM → N/PN).
Se M → N é un mapa linear sobrexectivo entre módulos libres do mesmo rango finito, entón é un isomorfismo (o seu determinante é invertible).
As propiedades anteriores tamén se traducen do seguinte xeito: nun módulo libre de rango α {\displaystyle \alpha } (finito ou non), calquera parte xeradora ten unha cardinalidade maior ou igual a α {\displaystyle \alpha }; nun módulo libre de rango finito n, calquera parte libre ten como máximo n elementos e calquera parte xeradora con n elementos é unha base. Calquera secuencia exacta curta 0 → M → N → L → 0 de módulos libres divídese (xa que L é proxectivo) e N é isomorfo a M ⊕ L, noutras palabras: o rango de N é a suma dos rangos de M e L. Isto pódese ver como a xeneralización do teorema do rango, que se refire aos espazos vectoriais.
Supoña que B é un anel conmutativo que contén A, e tamén un módulo libre de A para o produto, con base { b i } {\displaystyle \{b_{i}\}}. Se C é un módulo libre de B con base { c j } {\displaystyle \{c_{j}\}}, entón C é un módulo libre de A con base { b i c j } {\displaystyle \{b_{i}c_{j}\}}. En particular, o rango de C sobre A é o produto dos rangos de B sobre A e de C sobre B (finito ou infinito).