Sistema de veciñanzas

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, o sistema de veciñanzas, ou sistema completo de veciñanzas ou filtro de veciñanzas N ( x ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)} por un punto x {\displaystyle x} nun espazo topolóxico é a colección de tódalas veciñanzas de x. {\displaystyle x. } Definicións
Veciñanza dun punto ou conxunto
Unha veciñanza aberta dun punto (ou subconxunto) x {\displaystyle x} nun espazo topolóxico X {\displaystyle X} é calquera subconxunto aberto U {\displaystyle U} de X {\displaystyle X} que contén x. {\displaystyle x. } Unha veciñanza de x {\displaystyle x} en X {\displaystyle X} é calquera subconxunto N ⊆ X {\displaystyle N\subseteq X} que conteña algunha veciñanza aberta de x {\displaystyle x};
explicitamente, N {\displaystyle N} é unha veciñanza de x {\displaystyle x} en X {\displaystyle X} se e só se existe algún subconxunto aberto U {\displaystyle U} con x ∈ U ⊆ N {\displaystyle x\in U\subseteq N}.
De forma equivalente, unha veciñanza de x {\displaystyle x} é calquera conxunto que conteña x {\displaystyle x} no seu interior topolóxico.
Filtro de veciñanzas
O sistema de veciñanzas para un punto (ou subconxunto non baleiro) x {\displaystyle x} é un filtro chamado filtro de veciñanzas para x. {\displaystyle x. } O filtro de veciñanzas para un punto x ∈ X {\displaystyle x\in X} é o mesmo que o filtro de veciñanzas do conxunto unitario { x }. {\displaystyle \{x\}. }
Base de veciñanzas
Unha base de veciñanzas ou base local para un punto x {\displaystyle x} é un filtro base do filtro de veciñanzas; isto significa que é un subconxunto B ⊆ N ( x ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)} tal que para todo V ∈ N ( x ), {\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(x), } existe algunha B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} tal que B ⊆ V. {\displaystyle B\subseteq V. } É dicir, para calquera veciñanza V {\displaystyle V} podemos atopar unha veciñanza B {\displaystyle B} na base de veciñanzas que está contida en V {\displaystyle V}.
De forma equivalente, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} é unha base local en x {\displaystyle x} se e só se o filtro de veciñanzas N {\displaystyle {\mathcal {N}}} pode ser recuperado de B {\displaystyle {\mathcal {B}}} no sentido de que se cumpre a seguinte igualdade: N ( x )
{ V ⊆ X: B ⊆ V para algún B ∈ B }. {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)
\left\{V\subseteq X~: ~B\subseteq V{\text{ para algún }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\! \! \; .} Unha familia B ⊆ N ( x ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)} é unha base de veciñanzas para x {\displaystyle x} se e só se B {\displaystyle {\mathcal {B}}} é un subconxunto cofinal de ( N ( x ), ⊇ ) {\displaystyle \left({\mathcal {N}}(x), \supseteq \right)} respecto da orde parcial ⊇ {\displaystyle \supseteq } (importante, esta orde parcial é a relación de superconxunto e non a relación de subconxunto).
Subbase de veciñanzas
Unha subbase de veciñanzas en x {\displaystyle x} é unha familia S {\displaystyle {\mathcal {S}}} de subconxuntos de X, {\displaystyle X, } onde cada un deles contén x, {\displaystyle x, } de xeito que a colección de todos as interseccións de elementos de S {\displaystyle {\mathcal {S}}} forma unha base de veciñanzas en x. {\displaystyle x. } Exemplos
Se R {\displaystyle \mathbb {R} } ten a súa topoloxía euclidiana habitual entón as veciñanzas de 0 {\displaystyle 0} son todos eses subconxuntos N ⊆ R {\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} } para o que existe algún número real r > 0 {\displaystyle r>0} tal que ( − r, r ) ⊆ N. {\displaystyle (-r, r)\subseteq N. } Por exemplo, todos os seguintes conxuntos son veciñanzas de 0 {\displaystyle 0} en R {\displaystyle \mathbb {R} }: ( − 2, 2 ), [ − 2, 2 ], [ − 2, ∞ ), [ − 2, 2 ) ∪ { 10 }, [ − 2, 2 ] ∪ Q, R {\displaystyle (-2, 2), \; [-2, 2], \; [-2, \infty ), \; [-2, 2)\cup \{10\}, \; [-2, 2]\cup \mathbb {Q}, \; \mathbb {R} } pero ningún dos seguintes conxuntos son veciñanzas de 0 {\displaystyle 0}: { 0 }, Q, ( 0, 2 ), [ 0, 2 ), [ 0, 2 ) ∪ Q, ( − 2, 2 ) ∖ { 1, 12, 13, 14, … } {\displaystyle \{0\}, \; \mathbb {Q}, \; (0, 2), \; [0, 2), \; [0, 2)\cup \mathbb {Q}, \; (-2, 2)\setminus \left\{1, {\tfrac {1}{2}}, {\tfrac {1}{3}}, {\tfrac {1}{4}}, \ldots \right\}} onde Q {\displaystyle \mathbb {Q} } denota os números racionais.
Se U {\displaystyle U} é un subconxunto aberto dun espazo topolóxico X {\displaystyle X}, entón para cada u ∈ U, {\displaystyle u\in U, } U {\displaystyle U} é unha veciñanza de u {\displaystyle u} en X. {\displaystyle X. } De xeito máis xeral, se N ⊆ X {\displaystyle N\subseteq X} é calquera conxunto e int X ⁡ N {\displaystyle \operatorname {int} _{X}N} denota o interior topolóxico de N {\displaystyle N} en X, {\displaystyle X, } entón N {\displaystyle N} é unha veciñanza (en X {\displaystyle X} ) de cada punto x ∈ int X ⁡ N {\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N} e a maiores N {\displaystyle N} non é unha veciñanza de ningún outro punto. Dito doutro xeito, N {\displaystyle N} é unha veciñanza dun punto x ∈ X {\displaystyle x\in X} se e só se x ∈ int X ⁡ N. {\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N. } Bases de veciñanzas
En calquera espazo topolóxico, o sistema de veciñanzas para un punto tamén é unha base de veciñanzas para o punto. O conxunto de todas as veciñanzas abertas nun punto forma unha base de veciñanzas nese punto. Para calquera punto x {\displaystyle x} nun espazo métrico, a secuencia de bólas abertas ao redor de x {\displaystyle x} con raio 1 / n {\displaystyle 1/n} forma unha base de veciñanzas numerábel B
{ B 1 / n: n
1, 2, 3, … } {\displaystyle {\mathcal {B}}
\left\{B_{1/n}: n
1, 2, 3, \dots \right\}}. Isto significa que todo espazo métrico é primeiro numerábel.
Dado un espazo X {\displaystyle X} coa topoloxía non discreta o sistema de veciñanzas para calquera punto x {\displaystyle x} só contén todo o espazo, N ( x )
{ X } {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)
\{X\}}.
Na topoloxía débil sobre o espazo de medidas sobre un espazo E, {\displaystyle E, } unha base de veciñanzas sobre ν {\displaystyle \nu } está dada por { μ ∈ M ( E ): | μ f i − ν f i | < r i, i
1, …, n } {\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E): \left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i}, \, i
1, \dots, n\right\}} onde as f i {\displaystyle f_{i}} son funcións limitadas continuas de E {\displaystyle E} aos números reais e r 1, …, r n {\displaystyle r_{1}, \dots, r_{n}} son números reais positivos.
Espazos seminormados e grupos topolóxicos
Nun espazo seminormado, é dicir, un espazo vectorial coa topoloxía inducida por un seminorma, todos os sistemas de veciñanzas poden construírse mediante a translación do sistema de veciñanzas da orixe, N ( x )
N ( 0 ) + x. {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)
{\mathcal {N}}(0)+x. } Isto débese a que, por suposto, a adición de vectores é separadamente continua na topoloxía inducida. Polo tanto, a topoloxía está determinada polo seu sistema de veciñanzas na orixe. De forma máis xeral, isto segue a ser certo sempre que o espazo sexa un grupo topolóxico ou a topoloxía estea definida por unha pseudométrica. Propiedades
Supoñamos que u ∈ U ⊆ X {\displaystyle u\in U\subseteq X} e sexa N {\displaystyle {\mathcal {N}}} unha base de veciñanzas para u {\displaystyle u} en X. {\displaystyle X. } Facemos N {\displaystyle {\mathcal {N}}} un conxunto dirixido ordenándoo parcialmente por inclusión de superconxuntos ⊇. {\displaystyle \, \supseteq. } Entón U {\displaystyle U} non é unha veciñanza de u {\displaystyle u} en X {\displaystyle X} se e só se existe unha rede N {\displaystyle {\mathcal {N}}} -indexada ( x N ) N ∈ N {\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}} en X ∖ U {\displaystyle X\setminus U} tal que x N ∈ N ∖ U {\displaystyle x_{N}\in N\setminus U} para todo N ∈ N {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}} (o que implica que ( x N ) N ∈ N → u {\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u} en X {\displaystyle X} ).