1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

A serie infinita cuxos termos son os números naturais 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ é unha serie diverxente. A n- ésima suma parcial da serie é o número triangular ∑ k
1 n k
n ( n + 1 ) 2, {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}k
{\frac {n(n+1)}{2}}, } que aumenta sen límite cando n vai ao infinito. Debido a que a secuencia de sumas parciais non consegue converxer a un límite finito, a serie non ten unha suma.
En matemáticas úsanse moitos métodos de suma para asignar valores numéricos mesmo a unha serie diverxente. En particular, os métodos de regularización da función zeta e a suma de Ramanujan asignan á serie un valor de− 1/12 que se expresa mediante unha famosa fórmula: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
− 112, {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots
-{\frac {1}{12}}, } onde o valor obtido debe ser interpretado como o valor obtido mediante un dos métodos de suma mencionados anteriormente e non como a suma dunha serie infinita no seu significado habitual. Estes métodos teñen aplicacións noutros campos como a análise complexa, a teoría cuántica de campos e a teoría de cordas. Sumas parciais
As sumas parciais da serie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ son 1, 3, 6, 10, 15, etc. A n-ésima suma parcial vén dada por unha fórmula sinxela: ∑ k
1 n k
n ( n + 1 ) 2. {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}k
{\frac {n(n+1)}{2}}. } Esta ecuación era coñecida polos pitagóricos xa no século VI a. C. Os números desta forma chámanse números triangulares, porque poden ordenarse como un triángulo equilátero. Sumabilidade
Srinivasa Ramanujan presentou dúas deducións de " 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ − 1/12 no capítulo 8 do seu primeiro caderno.
Baseado na serie alternada
A primeira idea clave é que a serie de números positivos 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ parécese moito á serie alternada 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯. Esta última serie tamén é diverxente, mais é moito máis doado de traballar; existen varios métodos clásicos que lle atribúen un valor, que se exploran dende o século XVIII. c
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ 4 c
4 + 8 + 12 + ⋯ c − 4 c
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ⋯ {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}c
{}&&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\4c
{}&&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\c-4c
{}&&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \end{alignedat}}} A segunda idea clave é que a serie alternada 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ é a expansión formal da serie de potencias (para x no punto 0) da función 11 + x {\displaystyle {\dfrac {1}{1+x}}} que é 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + … {\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\ldots } avaliada para x
1 {\displaystyle x
1}. En consecuencia, Ramanujan escribe − 3 c
1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
1 ( 1 + 1 ) 2
14. {\displaystyle -3c
1-2+3-4+\cdots
{\frac {1}{(1+1)^{2}}}
{\frac {1}{4}}. } Dividindo ambos os dous lados por −3, obtense − 112 {\displaystyle -{\frac {1}{12}}}.
Regularización da función zeta
Na regularización da función zeta, a serie ∑ n
1 ∞ n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }n} substitúese pola serie ∑ n
1 ∞ n − s. {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }n^{-s}. } Esta última serie é un exemplo dunha serie de Dirichlet. Cando a parte real de s é maior que 1, a serie de Dirichlet converxe, e a súa suma é a función zeta de Riemann ζ(s). Por outra banda, a serie de Dirichlet diverxe cando a parte real de s é menor ou igual a 1, polo que, en particular, a serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ que resulta de estabelecer s −1 non converxe. O beneficio de introducir a función zeta de Riemann é que se pode definir para outros valores de s mediante a continuación analítica. Pódese entón definir a suma zeta-regularizada de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ como ζ (−1).
A partir deste punto, hai algunhas formas de demostrar que ζ(−1)
− 1/12. ζ ( s )
1 − s + 2 − s + 3 − s + 4 − s + 5 − s + 6 − s + ⋯ 2 × 2 − s ζ ( s )
2 × 2 − s + 2 × 4 − s + 2 × 6 − s + ⋯ ( 1 − 21 − s ) ζ ( s )
1 − s − 2 − s + 3 − s − 4 − s + 5 − s − 6 − s + ⋯
η ( s ). {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}\zeta (s)&{}
{}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots &\\2\times 2^{-s}\zeta (s)&{}
{}&2\times 2^{-s}&&{}+2\times 4^{-s}&&{}+2\times 6^{-s}+\cdots &\\\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)&{}
{}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &
\eta (s). \end{alignedat}}} A identidade ( 1 − 21 − s ) ζ ( s )
η ( s ) {\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta (s)
\eta (s)} séguese cumprindo cando ambas as funcións se estenden mediante o prolongamento analítico para incluír valores de s para os que diverxen as series anteriores. Substituíndo s
−1, obtense −3ζ(−1)
η(−1). Agora, calcular η(−1) é unha tarefa máis sinxela, xa que a función eta é igual á suma de Abel da serie que a define, que é un límite unilateral: − 3 ζ ( − 1 )
η ( − 1 )
lim x → 1 − ( 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ )
lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2
14. {\displaystyle -3\zeta (-1)
\eta (-1)
\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)
\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}
{\frac {1}{4}}. } Dividindo ambos os dous lados por −3, obtense ζ ( − 1 )
− 112 {\displaystyle \zeta (-1) -{\frac {1}{12}}}
Sumatorio de Ramanujan
A suma Ramanujan de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ tamén é − 1/12. Está recollido nunha carta que envía a G. H. Hardy, no 27 de febreiro de 1913.
A suma de Ramanujan é un método para illar o termo constante na fórmula de Euler-Maclaurin para as sumas parciais dunha serie. Para unha función f, a suma clásica de Ramanujan da serie ∑ k
1 ∞ f ( k ) {\displaystyle \textstyle \sum _{k
1}^{\infty }f(k)} defínese como c
− 12 f ( 0 ) − ∑ k
1 ∞ B 2 k ( 2 k )! f ( 2 k − 1 ) ( 0 ), {\displaystyle c
-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)! }}f^{(2k-1)}(0), } onde f(2k−1) é a (2k − 1)-ésima derivada de f e B2k é o (2k)-ésimo número de Bernoulli: B2
1/6, B4
− 1/30, etc. Facendo f(x)
x, a primeira derivada de f é 1, e todos os demais termos desaparecen, polo que c
− 16 × 12!
− 112. {\displaystyle c
-{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{2! }} -{\frac {1}{12}}. } Para evitar inconsistencias, a teoría moderna do sumatorio de Ramanujan require que f sexa "regular" no sentido de que as derivadas de orde superior de f decaen o suficientemente rápido como para que os termos restantes na fórmula de Euler-Maclaurin tenden a 0. Ramanujan asumiu tácitamente esta propiedade. O requisito de regularidade impide o uso da suma Ramanujan en series espazadas como 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯, porque ningunha función regular toma eses valores. Pola contra, tal serie debe interpretarse mediante a regularización da función zeta. Por este motivo, Hardy recomenda "gran precaución" ao aplicar as sumas Ramanujan das series coñecidas para atopar as sumas das series relacionadas.