Suma directa

A suma directa é unha operación entre estruturas na álxebra abstracta, unha rama das matemáticas. Defínese de forma diferente, pero de xeito análogo, para diferentes tipos de estruturas. Como exemplo, a suma directa de dous grupos abelianos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} é outro grupo abeliano A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} constituído polos pares ordenados ( a, b ) {\displaystyle (a, b)} onde a ∈ A {\displaystyle a\in A} e b ∈ B {\displaystyle b\in B}. Para sumar pares ordenados, definimos a suma ( a, b ) + ( c, d ) {\displaystyle (a, b)+(c, d)} como ( a + c, b + d ) {\displaystyle (a+c, b+d)}; noutras palabras, a suma defínese en función das coordenadas. Por exemplo, a suma directa R ⊕ R {\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }, onde R {\displaystyle \mathbb {R} } é o espazo de coordenadas real, é o plano cartesiano, R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}. Pódese usar un proceso similar para formar a suma directa de dous espazos vectoriais ou dous módulos.
Tamén podemos formar sumas directas con calquera número finito de sumandos, por exemplo A ⊕ B ⊕ C {\displaystyle A\oplus B\oplus C}, sempre que A, B, {\displaystyle A, B, } e C {\displaystyle C} son os mesmos tipos de estruturas alxébricas (por exemplo, todos os grupos abelianos ou todos os espazos vectoriais). Isto descansa no feito de que a suma directa é asociativa ata isomorfismo. É dicir, ( A ⊕ B ) ⊕ C ≅ A ⊕ ( B ⊕ C ) {\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)} para calquera estrutura alxébrica A {\displaystyle A}, B {\displaystyle B}, e C {\displaystyle C} do mesmo tipo. A suma directa tamén é conmutativa ata isomorfismo, é dicir A ⊕ B ≅ B ⊕ A {\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A} para calquera estrutura alxébrica A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} do mesmo tipo.
A suma directa dun número finito de grupos abelianos, espazos vectoriais ou módulos pode ser canonicamente isomorfa ao produto directo correspondente. Non obstante, isto é falso para algúns obxectos alxébricos, como os grupos non abelianos.
No caso de que se combinen infinitos obxectos, a suma directa e o produto directo non son isomorfos, mesmo para grupos abelianos, espazos vectoriais ou módulos. Exemplos
O plano xy, un espazo vectorial bidimensional, pódese considerar como a suma directa de dous espazos vectoriais unidimensionais, é dicir, os eixos x e y. Nesta suma directa, os eixos x e y córtanse só na orixe (o vector cero). A adición defínese por coordenadas, é dicir ( x 1, y 1 ) + ( x 2, y 2 )
( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) {\displaystyle (x_{1}, y_{1})+(x_{2}, y_{2})
(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2})}, que é o mesmo que a suma vectorial.
Dadas dúas estruturas A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}, a súa suma directa escríbese como A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B}. Dada unha familia indexada de estruturas A i {\displaystyle A_{i}}, indexados con i ∈ I {\displaystyle i\in I}, pódese escribir a suma directa como A
⨁ i ∈ I A i {\textstyle A
\bigoplus _{i\in I}A_{i}}. Cada Ai chámase sumando directo de A. No caso dos grupos, se a operación de grupo se escribe como + {\displaystyle +} úsase a frase "suma directa", mentres que se se escribe a operación de grupo ∗ {\displaystyle *} utilízase a frase "produto directo". Cando o conxunto de índices é infinito, a suma directa non é o mesmo que o produto directo xa que a suma directa ten o requisito adicional de que todas as coordenadas, menos un número finito, deben ser cero.
Sumas directas internas e externas
Faise unha distinción entre sumas directas internas e externas, aínda que as dúas son isomorfas. Se primeiro se definen os sumandos, e despois a suma directa defínese en termos dos sumandos, temos unha suma directa externa. Por exemplo, se definimos os números reais R {\displaystyle \mathbb {R} } e despois definimos R ⊕ R {\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} } dise que a suma directa é externa.
Se, pola contra, definimos primeiro algunha estrutura alxébrica S {\displaystyle S} e despois escribimos S {\displaystyle S} como suma directa de dúas subestruturas V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W}, entón dise que a suma directa é interna. Neste caso, cada elemento de S {\displaystyle S} é expresábel unicamente como combinación alxébrica dun elemento de V {\displaystyle V} e un elemento de W {\displaystyle W}. Para un exemplo de suma directa interna, considere Z 6 {\displaystyle \mathbb {Z} _{6}} (os enteiros módulo seis), cuxos elementos son { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } {\displaystyle \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}}. Isto é expresábel como unha suma directa interna Z 6
{ 0, 2, 4 } ⊕ { 0, 3 } {\displaystyle \mathbb {Z} _{6}
\{0, 2, 4\}\oplus \{0, 3\}}. Tipos de suma directa
Suma directa de grupos abelianos
A suma directa de grupos abelianos é un exemplo prototípico de suma directa. Dados dous grupos deste tipo ( A, ∘ ) {\displaystyle (A, \circ )} e ( B, ∙ ), {\displaystyle (B, \bullet ), } a súa suma directa A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} é o mesmo que o seu produto directo. É dicir, o conxunto subxacente é o produto cartesiano A × B {\displaystyle A\times B} e a operación do grupo ⋅ {\displaystyle \, \cdot \, } defínese por compoñentes: ( a 1, b 1 ) ⋅ ( a 2, b 2 )
( a 1 ∘ a 2, b 1 ∙ b 2 ). {\displaystyle \left(a_{1}, b_{1}\right)\cdot \left(a_{2}, b_{2}\right)
\left(a_{1}\circ a_{2}, b_{1}\bullet b_{2}\right). } Esta definición xeneralízase a sumas directas dun número finito de grupos abelianos.
Suma directa de módulos
A suma directa de módulos é unha construción que combina varios módulos nun novo módulo.
Os exemplos máis familiares desta construción ocorren cando se consideran espazos vectoriais, que son módulos sobre un corpo. A construción tamén se pode estender aos espazos de Banach e aos espazos de Hilbert.
Suma directa en categorías
Unha categoría aditiva é unha abstracción das propiedades da categoría de módulos. Nesta categoría coinciden os produtos finitos e os coprodutos e a suma directa é calquera deles.
Caso xeral: En teoría de categorías a suma directa é moitas veces, pero non sempre, o coproduto na categoría dos obxectos matemáticos en cuestión. Por exemplo, na categoría de grupos abelianos, a suma directa é un coproduto. Isto tamén é certo na categoría de módulos.
Sumas directas versus coprodutos en categoría de grupos
Porén, a suma directa S 3 ⊕ Z 2 {\displaystyle S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}} (definida de forma idéntica á suma directa de grupos abelianos) non é un coproduto dos grupos S 3 {\displaystyle S_{3}} e Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} na categoría de grupos. Polo tanto, para esta categoría, unha suma directa categórica adoita chamarse simplemente coproduto para evitar calquera posible confusión.
Suma directa de aneis
Algúns autores falan da suma directa R ⊕ S {\displaystyle R\oplus S} de dous aneis cando queren dicir o produto directo R × S {\displaystyle R\times S}, pero isto debería evitarse xa que R × S {\displaystyle R\times S} non recibe homomorfismos de aneis naturais de R {\displaystyle R} e S {\displaystyle S}: en particular, o mapa R → R × S {\displaystyle R\to R\times S} enviando r {\displaystyle r} a ( r, 0 ) {\displaystyle (r, 0)} non é un homomorfismo de anel xa que non pode enviar 1 a ( 1, 1 ) {\displaystyle (1, 1)} (asumindo que 0 ≠ 1 {\displaystyle 0\neq 1} en S {\displaystyle S} ). Así R × S {\displaystyle R\times S} non é un coproduto na categoría de aneis e non debe escribirse como unha suma directa. (O coproduto na categoría de aneis conmutativos é o produto tensor de aneis. Na categoría de aneis, o coproduto vén dado por unha construción similar ao produto libre de grupos. )
Suma directa de matrices
Para calquera matrices arbitrarias A {\displaystyle \mathbf {A} } e B {\displaystyle \mathbf {B} }, a suma directa A ⊕ B {\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} } defínese como a matriz diagonal de bloques de A {\displaystyle \mathbf {A} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } se ambas as dúas son matrices cadradas. A ⊕ B
[ A 00 B ]. {\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B}
{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}. }