Sólido de revolución

En matemáticas, enxeñería e na industria, un sólido de revolución é unha figura sólida que obtida pola rotación dun plano de curva arredor dunha recta (o eixo), que se atopa no mesmo plano.
Supondo que a curva non cruce o eixo, o volume do sólido será igual á lonxitude do círculo descrito polo centroide da figura, multiplicada pola área da figura (segundo o teorema do centroide de Papo-Guldino).
Un disco representativo é un elemento de volume tridimensional dun sólido de revolución. O elemento créase facendo xirar un segmento de liña (de lonxitude w ) arredor dalgún eixe (situado a r unidades de distancia), de xeito que se pecha un volume cilíndrico de πr2w unidades. Achar o volume
Dous métodos comúns para atopar o volume dun sólido de revolución son: o método de disco e o método de integración de capas. Para aplicar estes métodos, é máis doado debuxar a gráfica en cuestión; identificar a zona que se xira arredor do eixo de revolución; determinar o volume dun disco en forma de rebanda dun sólido, con espesor δx, ou unha capa cilíndrica de ancho δx; e despois atopar o límite da suma destes volumes cando δx se achega a 0, un valor que pode ser encontrado escollendo unha integral adecuada.
Método de disco
O método do disco utilízase cando a porción que foi debuxada é perpendicular ao eixe de revolución; é dicir, cando a integración é paralela ao eixe de revolución.
O volume do sólido formado pola rotación da área entre as curvas de f(x) e g(x) e as liñas de x
a e x
b arredor do eixo x vén dado por V
π ∫ a b | f ( x ) 2 − g ( x ) 2 | d x. {\displaystyle V
\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\, dx\, .} Se g(x)
0 (por exemplo, xirando unha área entre a curva e o eixo x), redúcese a: V
π ∫ a b f ( x ) 2 d x. {\displaystyle V
\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\, dx\, .} O método pódese visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado entre y e f(y) na parte superior e g(y) na parte inferior, e tendo no eixe y a forma dun anel (ou disco no caso de que g(y)
0 ), con raio externo f(y) e raio interior g(y). A área dun anel é π(R2 − r2), onde R é o raio exterior no (neste caso, f(y) ) e r é o raio interno (neste caso, g(y) ). O volume de cada disco infinitesimal é polo tanto πf(y)2 dy. O límite de Riemann é a suma dos volumes do disco entre a e b que se fan integral (1).
Método do cilindro
O método da capa cilíndrica utilízase cando a porción que foi debuxada é paralela ao eixo de revolución; é dicir, cando a integración é perpendicular ao eixo de revolución.
O volume do sólido formado ao xirar a área comprendida entre as curvas de f(x) e g(x) e as liñas de x
a e x
b arredor do eixe y vén dado por: V
2 π ∫ a b x | f ( x ) − g ( x ) | d x. {\displaystyle V
2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\, dx\, .} Se g(x)
0 e g xirando unha área entre a curva e o eixo y, redúcese a: V
2 π ∫ a b x | f ( x ) | d x. {\displaystyle V 2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\, dx\, .} O método pódese visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura f(x) − g(x), e tendo no eixe y, a forma dunha capa cilíndrica. A superficie lateral dun cilindro é 2πrh, onde r é o raio (neste caso x) e h é a altura (neste caso f(x) − g(x)). Sumando todas as áreas de superficie ao longo do intervalo dáse o volume total. Forma paramétrica
Cando unha curva se define pola súa forma paramétrica (x(t), y(t)) nalgún intervalo [a, b], os volumes dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dados por: V x
∫ a b π y 2 d x d t d t, {\displaystyle V_{x}
\int _{a}^{b}\pi y^{2}\, {\frac {dx}{dt}}\, dt\, ,} V y
∫ a b π x 2 d y d t d t. {\displaystyle V_{y}
\int _{a}^{b}\pi x^{2}\, {\frac {dy}{dt}}\, dt\, .} Nas mesmas circunstancias, as áreas superficiais dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dadas por A x
∫ a b 2 π y ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t, {\displaystyle A_{x}
\int _{a}^{b}2\pi y\, {\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\, dt\, ,} A y
∫ a b 2 π x ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t. {\displaystyle A_{y}
\int _{a}^{b}2\pi x\, {\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\, dt\, .}