Veciñanza (matemáticas)

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, unha veciñanza é un dos conceptos básicos nun espazo topolóxico. Está moi relacionado cos conceptos de conxunto aberto e interior. Falando intuitivamente, unha veciñanza dun punto é un conxunto de puntos que contén ese punto e a partir do que nos podemos mover algunha cantidade en calquera dirección sen saír do conxunto. Definicións
Veciñanza dun punto
Se X {\displaystyle X} é un espazo topolóxico e p {\displaystyle p} é un punto X, {\displaystyle X, } entón unha veciñanza de p {\displaystyle p} é un subconxunto V {\displaystyle V} de X {\displaystyle X} que inclúe un conxunto aberto U {\displaystyle U} que contén p {\displaystyle p}, p ∈ U ⊆ V ⊆ X. {\displaystyle p\in U\subseteq V\subseteq X. } Isto é equivalente a que o punto p ∈ X {\displaystyle p\in X} pertence ao interior topolóxico de V {\displaystyle V} en X. {\displaystyle X. } A veciñanza V {\displaystyle V} non ten que ser un subconxunto aberto de X. {\displaystyle X. } Cando V {\displaystyle V} é aberto (resp. pechado, compacto, etc. ) en X, {\displaystyle X, } chámase unha veciñanza aberta (resp. veciñanza pechada, veciñanza compacta, etc. ). Algúns autores requiren que a veciñanza sexa aberta, polo que é importante ter en conta as súas convencións. Un conxunto que é unha veciñanza de cada un dos seus puntos é aberto xa que se pode expresar como a unión de conxuntos abertos que contén cada un dos seus puntos. Un rectángulo pechado, como se ilustra na figura, non é unha veciñanza de todos os seus puntos; os puntos dos lados e os das esquinas do rectángulo non están contidos en ningún conxunto aberto que estea contido dentro do rectángulo.
A colección de todos as veciñanzas dun punto chámase base de veciñanza no punto.
Veciñanza dun conxunto
Se S {\displaystyle S} é un subconxunto dun espazo topolóxico X {\displaystyle X}, entón unha veciñanza de S {\displaystyle S} é un conxunto V {\displaystyle V} que inclúe un conxunto aberto U {\displaystyle U} que contén S {\displaystyle S}, S ⊆ U ⊆ V ⊆ X. {\displaystyle S\subseteq U\subseteq V\subseteq X. } Deducimos que un conxunto V {\displaystyle V} é unha veciñanza de S {\displaystyle S} se e só se é unha veciñanza de todos os puntos en S. {\displaystyle S. } A maiores, V {\displaystyle V} é unha veciñanza de S {\displaystyle S} se e só se S {\displaystyle S} é un subconxunto do interior de V. {\displaystyle V. } Unha veciñanza de S {\displaystyle S} que tamén é un subconxunto aberto de X {\displaystyle X} chámase unha veciñanza aberta de S. {\displaystyle S. } A veciñanza dun punto é só un caso especial desta definición. Nun espazo métrico
Nun espazo métrico M
( X, d ), {\displaystyle M
(X, d), } un conxunto V {\displaystyle V} é unha veciñanza dun punto p {\displaystyle p} se existe unha bóla aberta con centro p {\displaystyle p} e raio r > 0, {\displaystyle r>0, } tal que B r ( p )
B ( p; r )
{ x ∈ X: d ( x, p ) < r } {\displaystyle B_{r}(p)
B(p; r)
\{x\in X: d(x, p)<r\}} está contido en V. {\displaystyle V. } V {\displaystyle V} chámase veciñanza uniforme dun conxunto S {\displaystyle S} se existe un número positivo r {\displaystyle r} tal que para todos os elementos p {\displaystyle p} de S, {\displaystyle S, } B r ( p )
{ x ∈ X: d ( x, p ) < r } {\displaystyle B_{r}(p)
\{x\in X: d(x, p)<r\}} está contido en V. {\displaystyle V. } Baixo a mesma condición, para r > 0, {\displaystyle r>0, } a r {\displaystyle r} -veciñanza S r {\displaystyle S_{r}} dun conxunto S {\displaystyle S} é o conxunto de todos os puntos en X {\displaystyle X} que están a menos distancia r {\displaystyle r} dende S {\displaystyle S} (ou equivalente, S r {\displaystyle S_{r}} é a unión de todas as bólas abertas de raio r {\displaystyle r} que están centradas nun punto S {\displaystyle S} ): S r
⋃ p ∈ S B r ( p ). {\displaystyle S_{r}
\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p). } Dedúcese directamente que unha r {\displaystyle r} -veciñanza é unha veciñanza uniforme, e que un conxunto é unha veciñanza uniforme se e só se contén unha r {\displaystyle r} -veciñanza para algún valor de r. {\displaystyle r. } Exemplos
Dado o conxunto de números reais R {\displaystyle \mathbb {R} } coa métrica euclidiana habitual e un subconxunto V {\displaystyle V} definido como V:
⋃ n ∈ N B ( n; 1 / n ), {\displaystyle V:
\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\, ;\, 1/n\right), } entón V {\displaystyle V} é unha veciñanza para o conxunto N {\displaystyle \mathbb {N} } de números naturais, pero non é unha veciñanza uniforme deste conxunto. Topoloxía das veciñanzas
A definición anterior é útil se a noción de conxunto aberto xa está definida. Hai unha forma alternativa de definir unha topoloxía, definindo primeiro a base de veciñanzas e despois os conxuntos abertos como aqueles conxuntos que conteñen unha veciñanza de cada un dos seus puntos.
Unha base de veciñanzas en X {\displaystyle X} é a asignación dun filtro N ( x ) {\displaystyle N(x)} de subconxuntos de X {\displaystyle X} a cada x {\displaystyle x} en X, {\displaystyle X, } tal que o punto x {\displaystyle x} é un elemento de cada U {\displaystyle U} en N ( x ) {\displaystyle N(x)} cada U {\displaystyle U} en N ( x ) {\displaystyle N(x)} contén algún V {\displaystyle V} en N ( x ) {\displaystyle N(x)} tal que para cada y {\displaystyle y} en V, {\displaystyle V, } U {\displaystyle U} está en N ( y ). {\displaystyle N(y). } Pódese demostrar que ambas as definicións son compatíbeis. Veciñanzas uniformes
Nun espazo uniforme S
( X, Φ ), {\displaystyle S
(X, \Phi ), } V {\displaystyle V} chámase un veciñanza uniforme de P {\displaystyle P} se existe un acompañamento (entourage) U ∈ Φ {\displaystyle U\in \Phi } tal que V {\displaystyle V} contén todos os puntos de X {\displaystyle X} que son U {\displaystyle U} -próximos dalgún punto de P; {\displaystyle P; } é dicir, U [ x ] ⊆ V {\displaystyle U[x]\subseteq V} para todos os x ∈ P. {\displaystyle x\in P. } Veciñanza eliminada
Unha veciñanza eliminada dun punto p {\displaystyle p} (ás veces chamada veciñanza perforada) é unha veciñanza de p, {\displaystyle p, } sen { p }. {\displaystyle \{p\}. } Por exemplo, o intervalo ( − 1, 1 )
{ y: − 1 < y < 1 } {\displaystyle (-1, 1)
\{y: -1<y<1\}} é unha veciñanza de p
0 {\displaystyle p
0} na liña real, polo que o conxunto ( − 1, 0 ) ∪ ( 0, 1 )
( − 1, 1 ) ∖ { 0 } {\displaystyle (-1, 0)\cup (0, 1)
(-1, 1)\setminus \{0\}} é unha veciñanza eliminada de 0. {\displaystyle 0. } Unha veciñanza eliminada dun punto dado non é en realidade unha veciñanza do punto. O concepto de veciñanza eliminada dáse na definición do límite dunha función e na definición dos puntos límite (entre outras cousas).