Función exponencial

A función exponencial é unha función matemática denotada por f ( x )
exp ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)
\exp(x)} ou e x {\displaystyle e^{x}} (onde o argumento x escríbese coma un expoñente). A menos que se especifique o contrario, o termo refírese xeralmente á función con valores positivos dunha variábel real, aínda que se pode estender aos números complexos ou xeneralizarse a outros obxectos matemáticos como matrices ou álxebras de Lie. A función exponencial orixinouse da operación de tomar potencias dun número (multiplicación repetida), mais varias definicións modernas permiten estendela rigorosamente a todos os argumentos reais x {\displaystyle x}, incluíndo os números irracionais. As funcións f ( x )
b x {\displaystyle f(x)
b^{x}} para números reais positivos b {\displaystyle b} tamén se coñecen como funcións exponenciais e satisfán a identidade de exponenciación: b x + y
b x b y {\displaystyle b^{x+y}
b^{x}b^{y}} para tódolos x, y ∈ R. {\displaystyle x, y\in \mathbb {R}. } Isto implica que para os números enteiros positivos n {\displaystyle n} temos b n
b × ⋯ × b {\displaystyle b^{n}
b\times \cdots \times b} (con n {\displaystyle n} factores), onde b
b 1 {\displaystyle b
b^{1}}, relacionando as funcións exponenciais coa noción elemental de potenciación. A base natural e
exp ⁡ ( 1 )
2. 71828 … {\displaystyle e
\exp(1)
2. 71828\ldots } é unha constante matemática ubicua chamada número de Euler. Para distinguilo, exp ⁡ ( x )
e x {\displaystyle \exp(x)
e^{x}} chámase función exponencial ou función exponencial natural: é a única función con valor real dunha variábel real cuxa derivada é ela mesma e cuxo valor en 0 é 1: exp ′ ⁡ ( x )
exp ⁡ ( x ) {\displaystyle \exp '(x)
\exp(x)} para todos os x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }, e exp ⁡ ( 0 )
1. {\displaystyle \exp(0)
1. } A relación b x
e x ln ⁡ b {\displaystyle b^{x}
e^{x\ln b}} para b > 0 {\displaystyle b>0} e x {\displaystyle x} real ou complexa, permite expresar funcións exponenciais xerais en termos da exponencial natural.
De xeito máis xeral, calquera función f: R → R {\displaystyle f: \mathbb {R} \to \mathbb {R} } definida por f ( x )
c e a x
c b k x, con k
a / ln ⁡ b, a ≠ 0, b, c > 0 {\displaystyle f(x)
ce^{ax}
cb^{kx}, {\text{ con }}k
a/\ln b, \ a\neq 0, \ b, c>0} tamén se coñece como función exponencial, xa que resolve o problema do valor inicial f ′
a f, f ( 0 )
c {\displaystyle f'
af, \ f(0)
c}, é dicir, a súa taxa de cambio en cada punto é proporcional ao valor da función nese punto. Este comportamento modela diversos fenómenos nas ciencias biolóxicas, físicas e sociais, por exemplo, o crecemento sen restricións dunha poboación que se reproduce por si mesmo, a desintegración dun elemento radioactivo, o interese composto que se acumula nun fondo financeiro ou a lei de Moore. A función exponencial tamén se pode definir como unha serie de potencias, que se aplica facilmente a números reais, números complexos e mesmo matrices. A función exponencial complexa exp: C → C {\displaystyle \exp: \mathbb {C} \to \mathbb {C} } toma todos os valores complexos agás 0 e está estreitamente relacionado coas funcións trigonométricas complexas pola fórmula de Euler: e x + i y
e x cos ⁡ ( y ) + i e x sin ⁡ ( y ). {\displaystyle e^{x+iy}
e^{x}\cos(y)\, +\, i\, e^{x}\sin(y). } A función exponencial dos números reais é unha bixección de R {\displaystyle \mathbb {R} } no intervalo ( 0, ∞ ) {\displaystyle (0, \infty )}. A súa función inversa é o logaritmo natural, denotado ln {\displaystyle \ln }, log {\displaystyle \log } ou log e {\displaystyle \log _{e}}. Gráfica
A gráfica de y
e x {\displaystyle y
e^{x}} ten pendente ascendente e aumenta máis rápido a medida que x aumenta. A gráfica atópase sempre por riba do eixo x, mais atópase arbitrariamente preto del para un x negativo grande; así, o eixo x é unha asíntota horizontal. A ecuación d d x e x
e x {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}e^{x}
e^{x}} significa que a pendente da tanxente á gráfica en cada punto é igual á súa coordenada y nese punto. Definición formal
A función exponencial exp {\displaystyle \exp } pode caracterizarse de diversas formas equivalentes. Normalmente defínese pola seguinte serie de potencias: exp ⁡ x:
∑ k
0 ∞ x k k!
1 + x + x 22! + x 33! + x 44! + ⋯ {\displaystyle \exp x:
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k! }}
1+x+{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{3}}{3! }}+{\frac {x^{4}}{4! }}+\cdots } Dado que o raio de converxencia desta serie de potencias é infinito, esta definición é aplicábel a todos os números complexos; ver plano complexo.
Resolvendo a ecuación diferencial ordinaria y ′ ( x )
y ( x ) {\displaystyle y'(x)
y(x)} coa condición inicial y ′ ( 0 )
1 {\displaystyle y'(0)
1} usando o método de Euler dá outra caracterización común, a fórmula do límite do produto: exp ⁡ x
lim n → ∞ ( 1 + x n ) n. {\displaystyle \exp x
\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}. } Pódese demostrar que toda solución continua e distinta de cero da ecuación funcional f ( x + y )
f ( x ) f ( y ) {\displaystyle f(x+y)
f(x)f(y)} para f: C → C {\displaystyle f: \mathbb {C} \to \mathbb {C} } é unha función exponencial no sentido máis xeral, f ( x )
exp ⁡ ( k x ) {\displaystyle f(x)
\exp(kx)} con k ∈ C. {\displaystyle k\in \mathbb {C}. } Derivadas e ecuacións diferenciais
A importancia da función exponencial en matemáticas e ciencias deriva principalmente da súa propiedade como función única que é igual á súa derivada e é igual a 1 cando x
0. É dicir, d d x e x
e x, e 0
1. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}
e^{x}, \quad e^{0}
1. } As funcións da forma cex para a constante c son as únicas funcións que son iguais á súa derivada (polo teorema de Picard-Lindelöf). Tamén, para calquera función diferenciábel f, atopamos, pola regra da cadea: d d x e f ( x )
f ′ ( x ) e f ( x ). {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{f(x)} f'(x)e^{f(x)}. } Fraccións continuas para ex
Unha fracción continua para ex pódese obter mediante unha identidade de Euler: e x
1 + x 1 − x x + 2 − 2 x x + 3 − 3 x x + 4 − ⋱ {\displaystyle e^{x}
1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}} A seguinte fracción continua xeneralizada para ez converxe máis rapidamente: e z
1 + 2 z 2 − z + z 26 + z 210 + z 214 + ⋱ {\displaystyle e^{z}
1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}} Plano complexo
Como no caso real, a función exponencial pódese definir no plano complexo de varios xeitos equivalentes.
A definición máis común da función exponencial complexa é paralela á definición da serie de potencias para argumentos reais, onde a variábel real é substituída por outra complexa: exp ⁡ z:
∑ k
0 ∞ z k k! {\displaystyle \exp z:
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k! }}} O mesmo pasa coa definición baseada no límite: exp ⁡ z:
lim n → ∞ ( 1 + z n ) n {\displaystyle \exp z:
\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}} Para a definición en serie de potencias, a multiplicación por termos de dúas copias desta serie de potencias no sentido de Cauchy, permitida polo teorema de Mertens, mostra que a propiedade multiplicativa definitoria das funcións exponenciais segue a ser válida para todos os argumentos complexos: exp ⁡ ( w + z )
exp ⁡ w exp ⁡ z para todos os w, z ∈ C {\displaystyle \exp(w+z)
\exp w\exp z{\text{ para todos os }}w, z\in \mathbb {C} } A definición da función exponencial complexa leva á súa vez ás definicións adecuadas que estenden as funcións trigonométricas a argumentos complexos.
En particular, cando z
it ( t real), a definición da serie produce a expansión exp ⁡ ( i t )
( 1 − t 22! + t 44! − t 66! + ⋯ ) + i ( t − t 33! + t 55! − t 77! + ⋯ ). {\displaystyle \exp(it) \left(1-{\frac {t^{2}}{2! }}+{\frac {t^{4}}{4! }}-{\frac {t^{6}}{6! }}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3! }}+{\frac {t^{5}}{5! }}-{\frac {t^{7}}{7! }}+\cdots \right). } Nesta expansión, a reordenación dos termos en partes reais e imaxinarias está xustificada pola converxencia absoluta da serie. As partes real e imaxinaria da expresión anterior corresponden de feito ás expansións en serie de cos t e sin t, respectivamente.
Esta correspondencia proporciona un motivo para definir o coseno e o seno para todos os argumentos complexos en termos de exp ⁡ ( ± i z ) {\displaystyle \exp(\pm iz)} e a serie de potencias equivalentes: cos ⁡ z:
exp ⁡ ( i z ) + exp ⁡ ( − i z ) 2
∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k ( 2 k )! , e sin ⁡ z:
exp ⁡ ( i z ) − exp ⁡ ( − i z ) 2 i
∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 )! {\displaystyle {\begin{aligned}&\cos z:
{\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}
\sum _{k
0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)! }}, \\[5pt]{\text{ e }}\quad &\sin z:
{\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}
\sum _{k
0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)! }}\end{aligned}}} para todo z ∈ C. {\textstyle z\in \mathbb {C}. } Estas definicións para as funcións exponenciais e trigonométricas conducen trivialmente á fórmula de Euler: : exp ⁡ ( i z )
cos ⁡ z + i sin ⁡ z, para todo z ∈ C. {\displaystyle \exp(iz)
\cos z+i\sin z, {\text{ para todo }}z\in \mathbb {C}. } A función exponencial complexa é periódica con período 2πi e exp ⁡ ( z + 2 π i k )
exp ⁡ z {\displaystyle \exp(z+2\pi ik)
\exp z} cúmprese para todo z ∈ C, k ∈ Z {\displaystyle z\in \mathbb {C}, k\in \mathbb {Z} }.
Cando o seu dominio se estende desde a recta real ata o plano complexo, a función exponencial conserva as seguintes propiedades: e z + w
e z e w, e 0
1, e z ≠ 0, d d z e z
e z, ( e z ) n
e n z, n ∈ Z, {\displaystyle {\begin{aligned}&e^{z+w}
e^{z}e^{w}, \\[5pt]&e^{0}
1, \\[5pt]&e^{z}\neq 0, \\[5pt]&{\frac {d}{dz}}e^{z}
e^{z}, \\[5pt]&\left(e^{z}\right)^{n}
e^{nz}, n\in \mathbb {Z}, \end{aligned}}} para todos os w, z ∈ C. {\textstyle w, z\in \mathbb {C}. } A extensión do logaritmo natural a argumentos complexos obtemos o logaritmo complexo log z, que é unha función multivalorada.
Cálculo de ab onde tanto a como b son complexos
A exponenciación complexa ab pódese definir convertendo a en coordenadas polares e utilizando a identidade (eln a)b
ab a b
( r e θ i ) b
( e ( ln ⁡ r ) + θ i ) b
e ( ( ln ⁡ r ) + θ i ) b {\displaystyle a^{b}
\left(re^{\theta i}\right)^{b}
\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b} e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}} Cando b non é un número enteiro, esta función ten varios valores, porque θ non é único. Álxebras de Lie
Dado un grupo de Lie G e a súa álxebra de Lie asociada g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}, o mapa exponencial é un mapa g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ↦ G que satisfai propiedades similares. De feito, dado que R é a álxebra de Lie do grupo de Lie de todos os números reais positivos baixo multiplicación, a función exponencial ordinaria para argumentos reais é un caso especial da álxebra de Lie. Do mesmo xeito, dado que o grupo de Lie GL(n, R) das matrices invertíbeis n × n ten como álxebra de Lie M(n, R), o espazo de todas as matrices n × n, a función exponencial para matrices cadradas é un caso especial do Mapa exponencial da álxebra de Lie.
A identidade exp ⁡ ( x + y )
exp ⁡ ( x ) exp ⁡ ( y ) {\displaystyle \exp(x+y)
\exp(x)\exp(y)} pode fallar para os elementos da álxebra de Lie x e y que non conmuten; a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff proporciona os termos de corrección necesarios. Transcendencia
A función ez non está no anel das funcións racionais C ( z ) {\displaystyle \mathbb {C} (z)}: non é o cociente de dous polinomios con coeficientes complexos.
Se a1, .. ., an son números complexos distintos, entón ea1z, .. ., eanz son linearmente independentes sobre C ( z ) {\displaystyle \mathbb {C} (z)}, e polo tanto ez é transcendental en C ( z ) {\displaystyle \mathbb {C} (z)}.