Epimorfismo

Na teoría das categorías, un epimorfismo é un morfismo f: X → Y que é cancelativo pola dereita no sentido de que, para todos os obxectos Z e todos os morfismos g1, g2: Y → Z, g 1 ∘ f
g 2 ∘ f ⟹ g 1
g 2. {\displaystyle g_{1}\circ f
g_{2}\circ f\implies g_{1}
g_{2}. } Os epimorfismos son análogos categóricos das funcións sobrexectivas (e na categoría de conxuntos o concepto ten unha correspondencia exacta ás funcións sobrexectivas), mais poden non coincidir exactamente en todos os contextos; por exemplo, a inclusión Z → Q {\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} } é un epimorfismo de anel. O dual dun epimorfismo é un monomorfismo (é dicir, un epimorfismo dunha categoría C é un monomorfismo da categorías dual Cop). Exemplos
Todo morfismo nunha categoría concreta cuxa función subxacente é sobrexectiva é un epimorfismo. Por exemplo, nas seguintes categorías, os epimorfismos son exactamente aqueles morfismos que son sobrexectivos sobre os conxuntos subxacentes: Conxunto: conxuntos e funcións. Para probar que cada epimorfismo f: X → Y en Conxunto é sobrexectivo, compomos con ambos os función indicadora g1: Y → {0, 1} da imaxe f(X) e o mapa g2: Y → {0, 1} que é a constante 1.
Rel: conxuntos con relacións binarias e funcións con preservación de relacións. Aquí podemos usar a mesma proba que para Conxunto, equipando {0, 1} coa relación completa {0, 1}×{0, 1}.
Pos: conxuntos parcialmente ordenados e funcións monótonas. Se f: (X, ≤) → (Y, ≤ ) non é sobrexectivo, elixe y0 en Y \ f(X) e sendo g1: Y → {0, 1} a función característica de {y | y0 ≤ y} e g2: Y → {0, 1} a función indicadora de {y | y0 < y}. Estes mapas son monótonos se {0, 1} ten a orde estándar 0 < 1.
Grp: grupos e homomorfismos de grupo. O resultado de que cada epimorfismo en Grp é sobrexectivo é debido a Otto Schreier (de feito, demostrou máis, mostrando que cada subgrupo é un igualador usando o produto libre con un subgrupo amalgamado); unha proba elemental pódese atopar en (Linderholm 1970).
Ab: grupos abelianos e homomorfismos de grupo.
K-Vectores: espazos vectoriais sobre un corpo K e K-transformacións lineais.
Mod-R: módulos pola dereita sobre un anel R e os homomorfismos de módulo. Isto xeneraliza os dous exemplos anteriores; para probar que cada epimorfismo f: X → Y en Mod-R é sobrexectivo, compóñemos con ambos os mapas de módulos cociente g1: Y → Y/f(X) e o mapa cero g2: Y → Y/f(X).
Top: espazos topolóxicos e funcións continuas. Para probar que cada epimorfismo en Top é sobrexectivo, procedemos exactamente como en Conxunto, dando a {0, 1} a topoloxía trivial, que asegura que todos os mapas considerados sexan continuos.
Porén, tamén hai moitas categorías concretas de interese onde os epimorfismos fallan como sobrexectivos. Algúns exemplos son: Na categoría de monoides, Mon, o mapa de inclusión N → Z é un epimorfismo non sobrexectivo. Para ver isto, supoña que g1 e g2 son dous mapas distintos de Z a algún monoide M. Entón, para algúns n en Z, g1(n) ≠ g2 (n), polo que g1(−n) ≠ g2(−n). Ou n ou −n está en N, polo que as restricións de g1 e g2 a N son desiguais.
Na categoría de álxebras sobre un anel conmutativo R, tomamos R[N] → R [Z], onde R[G] é o anel do grupo G e o morfismo indúcese pola inclusión N → Z como no exemplo anterior. Isto segue da observación de que 1 xera a álxebra R[Z] (nótese que a unidade en R[Z] vén dada por 0 de Z), e a inversa do elemento representado por n en Z é só o elemento representado por −n. Así, calquera homomorfismo de R[Z] está determinado unicamente polo seu valor no elemento representado por 1 de Z.
Na categoría de aneis, Anel, o mapa de inclusión Z → Q é un epimorfismo non sobrxectivo; para ver isto, teña en conta que calquera homomorfismo de anel en Q está determinado enteiramente pola súa acción sobre Z, semellante ao exemplo anterior. Un argumento similar mostra que o homomorfismo de anel natural de calquera anel conmutativo R a calquera das súas localizacións é un epimorfismo.
Na categoría de aneis conmutativos, un homomorfismo finitamente xerado de aneis f: R → S é un epimorfismo se e só se para todos os ideais primos P de R, o ideal Q xerado por f (P) é S ou é primo, e se Q non é S, o mapa inducido (do corpo das fraccións) Frac(R/P) → Frac(S/Q) é un isomorfismo (EGA IV 17. 2. 6).
Na categoría de espazos de Hausdorff, Haus, os epimorfismos son precisamente as funcións continuas con imaxes densas. Por exemplo, o mapa de inclusión Q → R, é un epimorfismo non sobrexectivo. Propiedades
Todo isomorfismo é un epimorfismo; de feito só se necesita un inverso pola dereita: se existe un morfismo j: Y → X tal que fj idY, entón f: X → Y é un epimorfismo. Un mapa con tal inverso á dereita chámase epimorfismo dividido. Nun topos, un mapa que é á vez un monomorfismo (ou morfismo mónico) e un epimorfismo é un isomorfismo.
A composición de dous epimorfismos é de novo un epimorfismo. Se a composición fg de dous morfismos é un epimorfismo, entón f debe ser un epimorfismo.
A definición de epimorfismo pódese reformular para afirmar que f: X → Y é un epimorfismo se e só se os mapas inducidos Hom ⁡ ( Y, Z ) → Hom ⁡ ( X, Z ) g ↦ g f {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y, Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X, Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}} son inxectivos para cada escolla de Z. Isto á súa vez é equivalente á transformación natural inducida Hom ⁡ ( Y, − ) → Hom ⁡ ( X, − ) {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y, -)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X, -)\end{matrix}}} sendo un monomorfismo na categoría de functores SetC.
Todo coigualador é un epimorfismo. Dedúcese en particular que todo cokernel é un epimorfismo. O contrario, é dicir, que todo epimorfismo sexa un coigualador, non é certo en todas as categorías. Terminoloxía
Os termos complementarios de epimorfismo e monomorfismo foron introducidos por primeira vez por Bourbaki. Bourbaki usa o epimorfismo como abreviatura dunha función sobrexectiva. Os primeiros teóricos de categorías crían que os epimorfismos eran o análogo correcto das sobrexeccións nunha categoría arbitraria, de xeito similar a como os monomorfismos son case un análogo exacto das inxeccións. Desafortunadamente, isto é incorrecto; os epimorfismos fortes ou regulares compórtanse moito máis preto das sobrexeccións que os epimorfismos ordinarios.