Aritmética modular

En matemáticas, e máis concretamente en teoría de números alxébricos, a aritmética modular é un conxunto de métodos que permiten a resolución de problemas sobre os números enteiros. Estes métodos xorden do estudo do residuo obtido por unha división.
A idea de base da aritmética modular é de traballar non sobre os números mesmos, senón sobre os residuos da súa división por algún outro número enteiro. Cando se fai, por exemplo, a proba do nove, efectúase unha operación de aritmética modular sen sabelo: o divisor é o valor 9.
Malia que as súas orixes se remontan á antigüidade, xeralmente, os historiadores asocian o seu nacemento co ano 1801, data da publicación do libro Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). O seu novo enfoque permite elucidar célebres conxecturas e simplifica as demostracións de importantes resultados grazas a unha maior abstracción. Se ben o eido natural destes métodos é a teoría dos números, as consecuencias das ideas de Gauss atópanse tamén noutros campos das matemáticas, como a álxebra ou a xeometría. Congruencia
Dado un número enteiro m ≥ 1, chamado módulo, dise que dous números enteiros a e b son congruentes módulo m, se m é un divisor da súa diferenza; é dicir, se hai un número enteiro k tal que a − b k m.
O módulo de congruencia m é unha relación de congruencia, o que significa que é unha relación de equivalencia que é compatible coas operacións de suma, resta e multiplicación. Denótase módulo de congruencia m a ≡ b (mod m).
As parénteses significan que (mod m) se aplica a toda a ecuación, non só ao lado dereito (aquí, b).
Existe un matiz de distinción coa notación b mod m (sen parénteses), onde o resto de b cando se divide entre m denota o número enteiro único r tal que 0 ≤ r < m e r ≡ b (mod m).
Como exemplo: 2
17 mod 5 {\displaystyle 2
17\mod 5} onde 2 é o único menor residuo de 17 entre 52 ≡ 17 ( mod 5 ) {\displaystyle 2\equiv 17{\pmod {5}}} e tamén 12 ≡ 17 ( mod 5 ) {\displaystyle 12\equiv 17{\pmod {5}}} porque tanto 2, como 12, como 17 dan como residuo 2 cando se dividen entre 5.
A relación de congruencia pódese reescribir como a k m + b,
mostrando explicitamente a súa relación coa división euclidiana. Non obstante, o b aquí non ten por que ser o resto na división de a por m. Máis ben, a ≡ b (mod m) afirma que a e b teñen o mesmo resto cando se divide entre m. É dicir, a p m + r,
b q m + r,
onde 0 ≤ r < m é o resto común.
Como a congruencia módulo m está definida pola divisibilidade por m e como -1 é unha unidade no anel de enteiros, un número é divisible por -m exactamente se é divisible por m.
Isto significa que todo número enteiro distinto de cero m pode tomarse como módulo.
Exemplos
No módulo 12 pódese afirmar que: 38 ≡ 14 (mod 12)
porque a diferenza é 38 − 14
24
2 × 12, un múltiplo de 12. Unha forma simple de entendelo é que 38 e 14 teñen o mesmo resto 2 cando se dividen por 12.
A definición de congruencia tamén se aplica aos valores negativos. Por exemplo: 2 ≡ − 3 ( mod 5 ) − 8 ≡ 7 ( mod 5 ) (o residuo de 7 entre 5 é 2, e o residuo de -8 entre 5 é -3, que ao restar de 5 tamén é 2) − 3 ≡ − 8 ( mod 5 ). {\displaystyle {\begin{aligned}2&\equiv -3{\pmod {5}}\\-8&\equiv 7{\pmod {5}}\\&{\text{ (o residuo de 7 entre 5 é 2, e o residuo de -8 entre 5 é -3, que ao restar de 5 tamén é 2) }}\\-3&\equiv -8{\pmod {5}}. \end{aligned}}} Propiedades básicas
A relación de congruencia satisfai todas as condicións dunha relación de equivalencia: Reflexividade: a ≡ a (mod m)
Simetría: a ≡ b (mod m) se b ≡ a (mod m).
Transitividade: se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m), entón a ≡ c (mod m)
Se a1 ≡ b1 (mod m) e a 2 ≡ b2 (mod m), ou se a ≡ b (mod m), entón: a + k ≡ b + k (mod m) para calquera número enteiro k (compatibilidade coa translación)
k a ≡ k b (mod m) para calquera número enteiro k (compatibilidade coa escala)
k a ≡ k b (mod k m) para calquera número enteiro k
a1 + a2 ≡ b1 + b 2 (mod m) (compatibilidade coa adición)
a1 − a2 ≡ b1 − b 2 (mod m) (compatibilidade coa resta)
a1 a2 ≡ b1 b 2 (mod m) (compatibilidade coa multiplicación)
ak ≡ bk (mod m) para calquera número enteiro non negativo k (compatibilidade coa exponenciación)
p(a) ≡ p(b) (mod m), para calquera polinomio p(x) con coeficientes enteiros (compatibilidade coa avaliación polinómica)
Se a ≡ b (mod m), entón é xeralmente falso que ka ≡ kb (mod m). Non obstante, o seguinte é certo: Se c ≡ d (mod φ(m)), onde φ é a función totiente de Euler, daquela ac ≡ ad (mod m) (sempre que a sexa coprimo con m).
Para a cancelación de condicións comúns, temos as seguintes regras: Se a + k ≡ b + k (mod m), onde k é calquera número enteiro, entón a ≡ b (mod m).
Se k a ≡ k b (mod m) e k é coprimo con m, daquela a ≡ b (mod m).
Se k a ≡ k b (mod k m) e k ≠ 0, entón a ≡ b (mod m).
A última regra pódese usar para trasladar a aritmética modular á división. Se b divide a, entón (a/b) mod m (a mod b m) / b.
O inverso multiplicativo modular defínese polas seguintes regras: Existencia: existe un número enteiro denotado a−1 tal que aa−1 ≡ 1 (mod m) se e só se a é coprimo con m. Este número enteiro a−1 chámase inverso multiplicativo modular de a módulo m.
Se existen a ≡ b (mod m) e a−1, entón a−1 ≡ b−1 (mod m) (compatibilidade co inverso multiplicativo, e, se a b, unicidade módulo m).
Se ax ≡ b (mod m) e a é coprimo a m, entón a solución a esta congruencia linear vén dada por x ≡ a−1b (mod m).
O inverso multiplicativo x ≡ a−1 (mod m) pódese calcular eficientemente resolvendo a ecuación de Bézout a x + m y 1 para x, y, mediante o algoritmo de Euclides estendido.
En particular, se p é un número primo, entón a é coprimo con p para cada a tal que 0 < a < p; polo tanto, existe un inverso multiplicativo para todos os a que non son congruentes con cero módulo p. Propiedades avanzadas
Pequeno teorema de Fermat: se p é primo e non divide a, entón a p−1 ≡ 1 (mod p).
Teorema de Euler: se a e m son primos primos, entón a φ(m) ≡ 1 (mod m), onde φ é función totiente de Euler.
Unha simple consecuencia do pequeno teorema de Fermat é que se p é primo, entón a−1 ≡ ap−2 (mod p) é a inversa multiplicativa de 0 < a < p. De xeito máis xeral, a partir do teorema de Euler, se a e m son coprimos, entón a− 1 ≡ aφ(m)−1 (mod m).
Outra simple consecuencia é que se a ≡ b (mod φ(m)), onde φ é a función totiente de Euler, entón ka ≡ kb (mod m) sempre que k sexa coprimo con m.
Teorema de Wilson: p é primo se e só se (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Teorema chinés do resto: para calquera a, b e m, n coprimos, existe un único x (mod m n) tal que x ≡ a (mod m) e x ≡ b (mod n). De feito, x ≡ b mn−1 m + a n m−1 n (mod mn) onde mn−1 é a inversa de m módulo n e nm−1 é a inversa de n módulo m.
Teorema de Lagrange: a congruencia f (x) ≡ 0 (mod p), onde p é primo e f (x) a0 xm +. .. + am é un polinomio con coeficientes enteiros tal que a0 ≠ 0 (mod p), ten como máximo m raíces.
Raíz primitiva módulo m: un número g é unha raíz primitiva módulo m se, para cada número enteiro a coprimo con m, hai un enteiro k tal que gk ≡ a (mod m). Existe unha raíz primitiva módulo m se e só se m é igual a 2, 4, p k ou 2pk, onde p é un número primo impar e k é un número enteiro positivo. Se existe unha raíz primitiva módulo m, entón hai exactamente φ(φ(m)) desas raíces primitivas, onde φ é a función totiente de Euler.
Residuo cadrático: un enteiro a é un residuo cadrático módulo m, se existe un número enteiro x tal que x2 ≡ a (mod m). O criterio de Euler afirma que, se p é un primo impar, e a non é múltiplo de p, entón a é un residuo cadrático módulo p se e só se
a(p−1)/2 ≡ 1 (mod p). Clases de congruencia
A relación de congruencia é unha relación de equivalencia. A clase de equivalencia módulo m dun número enteiro a é o conxunto de todos os números enteiros da forma a + k m, onde k é calquera número enteiro. Chámase clase de congruencia ou clase de residuos de a módulo m, e pode ser denotado como (a mod m), ou como a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} ou [a] cando se coñece o módulo m polo contexto.
Cada clase de residuos módulo m contén exactamente un número enteiro no intervalo 0, .. ., | m | − 1 {\displaystyle 0, .. ., |m|-1}. Así, estes | m | {\displaystyle |m|} enteiros son representativos das súas respectivas clases de residuos.
Xeralmente é máis doado traballar con números enteiros que con conxuntos de números enteiros; é dicir, os representantes máis frecuentemente considerados, máis que as súas clases de residuos.
Por exemplo: 3 ¯
{ 3, 10, 17, 24, … } ∈ ( 3 mod 7 ) {\displaystyle {\overline {3}}
\{3, 10, 17, 24, \ldots \}\in (3{\text{ mod }}7)} porque todos son igual a 3 ( mod 7 ) {\displaystyle 3{\pmod {7}}}, e pódense escribir como 3 + 7 k {\displaystyle 3+7k}. Normalmente escóllese como representante da clase o número r {\displaystyle r} que cumpre 0 ≤ r < m {\displaystyle 0\leq r<m}, que no exemplo sería o 3 {\displaystyle 3}. Enteiros módulo m
Observación: no contexto desta sección, o módulo m tómase case sempre como positivo.
O conxunto de todas as clases de congruencia módulo m chámase anel de enteiros módulo m, e denótase Z / m Z {\textstyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }, Z / m {\displaystyle \mathbb {Z} /m}, ou Z m {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}. .
A notación Z m {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}} non se recomenda porque se pode confundir co conxunto de enteiros m-ádicos. O anel Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } é fundamental en varias ramas das matemáticas.
Para m > 0 temos Z / m Z
{ a ¯ m ∣ a ∈ Z }
{ 0 ¯ m, 1 ¯ m, 2 ¯ m, …, m − 1 ¯ m }, {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z}
\left\{{\overline {a}}_{m}\mid a\in \mathbb {Z} \right\}
\left\{{\overline {0}}_{m}, {\overline {1}}_{m}, {\overline {2}}_{m}, \ldots, {\overline {m{-}1}}_{m}\right\}, } onde o trazo sobre o número ven a indicar os elementos da súa clase (todos os que teñen o mesmo residuo).
Se m
1, Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } é o anel cero; cando m
0, Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } non é un conxunto baleiro; máis ben, é isomorfo a Z {\displaystyle \mathbb {Z} }, xa que a0 {a}.
A suma, a resta e a multiplicación defínense en Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } polas seguintes regras: a ¯ m + b ¯ m
( a + b ) ¯ m {\displaystyle {\overline {a}}_{m}+{\overline {b}}_{m}
{\overline {(a+b)}}_{m}} a ¯ m − b ¯ m
( a − b ) ¯ m {\displaystyle {\overline {a}}_{m}-{\overline {b}}_{m}
{\overline {(a-b)}}_{m}} a ¯ m b ¯ m
( a b ) ¯ m. {\displaystyle {\overline {a}}_{m}{\overline {b}}_{m}
{\overline {(ab)}}_{m}. } As propiedades indicadas anteriormente implican que, con estas operacións, Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } é un anel conmutativo. Por exemplo, no anel Z / 24 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /24\mathbb {Z} }, un ten 12 ¯ 24 + 21 ¯ 24
33 ¯ 24
9 ¯ 24 {\displaystyle {\overline {12}}_{24}+{\overline {21}}_{24}
{\overline {33}}_{24}
{\overline {9}}_{24}} como na aritmética para o reloxo de 24 horas.
Emprégase a notación Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } porque este anel é o anel cociente de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } polo ideal m Z {\displaystyle m\mathbb {Z} }, o conxunto formado por todos os km con k ∈ Z. {\displaystyle k\in \mathbb {Z}. } Considerado como un grupo baixo adición, Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } é un grupo cíclico, e todos os grupos cíclicos son isomórfos con Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } para algún m.
O anel de enteiros módulo m é un corpo se e só se m é un primo (isto garante que cada elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo). Se m > 1, ( Z / m Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }} denota o grupo multiplicativo dos números enteiros módulo m que son invertibles. Consta das clases de congruencia am, onde a é coprimo a m; estas son precisamente as clases que posúen un inverso multiplicativo. Forman un grupo abeliano baixo multiplicación; a súa orde é φ(m), onde φ é a función totiente de Euler.