Espazo topolóxico

Un espazo topolóxico é unha estrutura matemática que permite a definición formal de conceptos como converxencia, conectividade e continuidade. A rama das matemáticas que estuda os espazos topolóxicos é a topoloxía. Definición
Un espazo topolóxico é un conxunto E de elementos, que xunto con T, unha colección de subconxuntos de E, chamados abertos de E, satisfán as seguintes propiedades:
1. O conxunto baleiro e E están en T. ∅ ∈ T, E ∈ T {\displaystyle \quad \varnothing \in T, E\in T} 2. A intersección de calquera colección finita de conxuntos de T está tamén en T. ( O 1 ∈ T, O 2 ∈ T ) ⇒ ( O 1 ∩ O 2 ∈ T ) {\displaystyle \quad (O_{1}\in T, O_{2}\in T)\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in T)} 3. A unión de toda colección de conxuntos de T está tamén en T. ( ∀ i ∈ I, O i ∈ T ) ⇒ ( ∪ i ∈ I O i ∈ T ) {\displaystyle \quad (\forall i\in I, O_{i}\in T)\Rightarrow (\cup _{i\in I}O_{i}\in T)} Esta condición tamén pode escribir: ∀ S ⊂ T, ∪ O ∈ S O ∈ T {\displaystyle \quad \forall S\subset T, \cup _{O\in S}O\in T} Os conxuntos en T son os conxuntos abertos, e os seus complementos en E, son chamados conxuntos cerrados.
A colección T é chamada topoloxía en E. Os elementos de E acostúmase chamarlles puntos, aínda que poden ser calquera obxecto matemático. Un espazo topolóxico no cal os puntos son funcións denomínase espazo funcional.
Ao conxunto E denomínase substrato do espazo topolóxico.
Un espazo topolóxico é un par ( E, τ ) {\displaystyle (E, \tau )\, \! } onde E {\displaystyle E\, \! } é un conxunto e τ {\displaystyle \tau \, \! } é unha topoloxía en E {\displaystyle E\, \! }. Exemplos
Topoloxía trivial ou indiscreta: é a formada por ∅ {\displaystyle \varnothing } e E {\displaystyle \quad E}.
Topoloxía discreta: é a formada polo conxunto das partes de E {\displaystyle \quad E}.
Topoloxía dos complementos finitos: é a formada por ∅ {\displaystyle \varnothing } e os conxuntos de E {\displaystyle \quad E}, cuxos complementarios son finitos.
Topoloxía dos complementos numerables: é a formada por ∅ {\displaystyle \varnothing } e os conxuntos de E {\displaystyle \quad E}, cuxos complementarios son numerables.
R, conxunto dos reais, e T, o conxunto dos intervalos abertos no sentido usual, e das reunións de intervalos abertos.
Recta de Sorgenfrey, a recta real, xunto coa topoloxía do límite inferior. Topoloxía usual
Dise que R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} está dotado coa topoloxía usual τ u {\displaystyle \tau _{u}} se ( R n, τ u ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n}, \tau _{u})} é o espazo topolóxico xerado polas bólas abertas en ( R n, τ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n}, \tau )}, é dicir, pola unión de subconxuntos da forma B ( c, r )
{ ( x 1, …, x n ): ∑ i
1 n ( x i − c i ) 2 < r 2 } {\displaystyle B(c, r)
\{(x_{1}, \dots, x_{n}): \sum _{i
1}^{n}(x_{i}-c_{i})^{2}<r^{2}\}}, onde c
( c 1, …, c n ) ∈ R n {\displaystyle c
(c_{1}, \dots, c_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} e r {\displaystyle r} é un real positivo. Ademais, esta topoloxía coincide coa topoloxía métrica inducida en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} pola distancia usual d {\displaystyle d} dada por d ( x, y )
∑ i
1 n ( x i − y i ) 2 {\displaystyle d(x, y)
{\sqrt {\sum _{i
1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}, sendo x
( x 1, …, x n ) {\displaystyle x
(x_{1}, \dots, x_{n})} e y
( y 1, …, y n ) {\displaystyle y
(y_{1}, \dots, y_{n})} elementos de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.