Ideal principal

En matemáticas, especificamente na teoría de aneis, un ideal principal é un ideal I {\displaystyle I} nun anel R {\displaystyle R} que é xerado por un só elemento a {\displaystyle a} de R {\displaystyle R} mediante a multiplicación por cada elemento de R. {\displaystyle R. } O termo tamén ten outro significado semellante en teoría da orde, onde se refire a un ideal (orde) nun poset P {\displaystyle P} xerado por un único elemento x ∈ P, {\displaystyle x\in P, } é dicir o conxunto de todos os elementos menores ou iguais a x {\displaystyle x} en P. {\displaystyle P. } O resto deste artigo só aborda o concepto da teoría de aneis. Definicións
un ideal principal pola esquerda R {\displaystyle R} é un subconxunto de R {\displaystyle R} dado por R a
{ r a: r ∈ R } {\displaystyle Ra
\{ra: r\in R\}} para algún elemento a, {\displaystyle a, } un ideal principal pola dereita de R {\displaystyle R} é un subconxunto de R {\displaystyle R} dado por a R
{ a r: r ∈ R } {\displaystyle aR
\{ar: r\in R\}} para algún elemento a, {\displaystyle a, } un ideal principal bilateral R {\displaystyle R} é un subconxunto de R {\displaystyle R} dado por R a R
{ r 1 a s 1 + … + r n a s n: r 1, s 1, …, r n, s n ∈ R } {\displaystyle RaR
\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}: r_{1}, s_{1}, \ldots, r_{n}, s_{n}\in R\}} para algún elemento a, {\displaystyle a, } é dicir, o conxunto de todas as sumas finitas de elementos da forma r a s. {\displaystyle ras. } Se R {\displaystyle R} é un anel conmutativo con identidade, entón as tres nocións anteriores son todas iguais. Nese caso, é habitual escribir o ideal xerado por a {\displaystyle a} como ⟨ a ⟩ {\displaystyle \langle a\rangle } ou ( a ). {\displaystyle (a). } Exemplos de ideal non principal
Non todos os ideais son principais. Por exemplo, considere o anel conmutativo C [ x, y ] {\displaystyle \mathbb {C} [x, y]} de todos os polinomios en dúas variabeis x {\displaystyle x} e y, {\displaystyle y, } con coeficientes complexos. O ideal ⟨ x, y ⟩ {\displaystyle \langle x, y\rangle } xerado por x {\displaystyle x} e y, {\displaystyle y, } que consta de todos os polinomios en C [ x, y ] {\displaystyle \mathbb {C} [x, y]} que teñen cero como termo constante, non é principal. Para ver isto, supoña que p {\displaystyle p} foron un xerador de ⟨ x, y ⟩. {\displaystyle \langle x, y\rangle. } Entón x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} ambos os dous serían divisíbeis por p, {\displaystyle p, } que é imposíbel a non ser que p {\displaystyle p} sexa unha constante distinta de cero. Pero cero é a única constante en ⟨ x, y ⟩, {\displaystyle \langle x, y\rangle, } así que temos unha contradición.
No anel Z [ − 3 ]
{ a + b − 3: a, b ∈ Z }, {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]
\{a+b{\sqrt {-3}}: a, b\in \mathbb {Z} \}, } os números onde a + b {\displaystyle a+b} son pares é un ideal non principal. Este ideal forma unha retícula hexagonal regular no plano complexo. Considere ( a, b )
( 2, 0 ) {\displaystyle (a, b)
(2, 0)} e ( 1, 1 ). {\displaystyle (1, 1). } Estes números son elementos deste ideal coa mesma norma (dous), mais pola mor de seren 1 {\displaystyle 1} e − 1 {\displaystyle -1} as únicas unidades do anel, non son asociados. Definicións relacionadas
Un anel no que cada ideal é principal chámase principal, ou un anel ideal principal. Un dominio de ideais principais (PID) é un dominio de integridade no que cada ideal é principal. Calquera PID é un dominio de factorización única; a demostración normal da factorización única nos números enteiros (o chamado teorema fundamental da aritmética) cúmprese en calquera PID. Exemplos de ideal principal
Os ideais principais en Z {\displaystyle \mathbb {Z} } son da forma ⟨ n ⟩
n Z. {\displaystyle \langle n\rangle
n\mathbb {Z}. } De feito, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } é un dominio ideal principal, e pódese mostrar como segue. Supoñamos I
⟨ n 1, n 2, … ⟩ {\displaystyle I
\langle n_{1}, n_{2}, \ldots \rangle } onde n 1 ≠ 0, {\displaystyle n_{1}\neq 0, } e considere os homomorfismos sobrexectivos Z / ⟨ n 1 ⟩ → Z / ⟨ n 1, n 2 ⟩ → Z / ⟨ n 1, n 2, n 3 ⟩ → ⋯. {\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1}, n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1}, n_{2}, n_{3}\rangle \rightarrow \cdots. } Posto que Z / ⟨ n 1 ⟩ {\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle } é finito, para k {\displaystyle k} suficientemente grande temos Z / ⟨ n 1, n 2, …, n k ⟩
Z / ⟨ n 1, n 2, …, n k + 1 ⟩
⋯. {\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}\rangle
\mathbb {Z} /\langle n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k+1}\rangle
\cdots. } Así I
⟨ n 1, n 2, …, n k ⟩, {\displaystyle I
\langle n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}\rangle, } o que implica que I {\displaystyle I} sempre se xera de forma finita. Posto que o ideal ⟨ a, b ⟩ {\displaystyle \langle a, b\rangle } xerado por calquera número enteiro a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} é exactamente ⟨ g c d ⁡ ( a, b ) ⟩, {\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a, b)\rangle, } por indución sobre o número de xeradores dedúcese que I {\displaystyle I} é principal.
No entanto, todos os aneis teñen ideais principais, calquera ideal xerado por exactamente un elemento. Por exemplo, o ideal ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle x\rangle } é un ideal principal de C [ x, y ], {\displaystyle \mathbb {C} [x, y], } e ⟨ − 3 ⟩ {\displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle } é un ideal principal de Z [ − 3 ]. {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]. } De feito, { 0 }
⟨ 0 ⟩ {\displaystyle \{0\}
\langle 0\rangle } e R
⟨ 1 ⟩ {\displaystyle R
\langle 1\rangle } son os ideais principais de calquera anel R. {\displaystyle R. }