Suma de Euler

Nas matemáticas de series converxentes e diverxentes, a suma de Euler é un método de suma. É dicir, é un método para asignar un valor a unha serie, diferente do método convencional de tomar límites de sumas parciais. Dada unha serie Σan, se a súa transformada de Euler converxe nunha suma, entón esa suma chámase suma de Euler da serie orixinal. A maiores de utilizarse para definir valores para series diverxentes, a suma de Euler pódese usar para acelerar a converxencia das series.
A suma de Euler pódese xeneralizar nunha familia de métodos indicados como (E, q), onde q ≥ 0. A suma (E, 1) é a suma ordinaria de Euler. Todos estes métodos son estritamente máis débiles que a suma de Borel; para q > 0 son incomparábeis coa suma de Abel. Definición
Para algún valor y podemos definir a suma de Euler (se converxe para ese valor de y) correspondente a unha suma formal particular como: E y ∑ j
0 ∞ a j:
∑ i
0 ∞ 1 ( 1 + y ) i + 1 ∑ j
0 i ( i j ) y j + 1 a j. {\displaystyle _{E_{y}}\, \sum _{j
0}^{\infty }a_{j}:
\sum _{i
0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j
0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}a_{j}. } Se todas as sumas formais converxen, a suma de Euler será igual ao lado esquerdo. Porén, usar a suma de Euler pode acelerar a converxencia (isto é especialmente útil para alternar series); ás veces tamén pode dar un significado útil ás sumas diverxentes.
Para xustificar o enfoque, observe que para a suma trocada, a suma de Euler redúcese á serie inicial, porque y j + 1 ∑ i
j ∞ ( i j ) 1 ( 1 + y ) i + 1
1. {\displaystyle y^{j+1}\sum _{i
j}^{\infty }{\binom {i}{j}}{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}
1. } Este método en si non se pode mellorar mediante unha aplicación iterativa, xa que E y 1 E y 2 ∑
E y 1 y 21 + y 1 + y 2 ∑. {\displaystyle _{E_{y_{1}}}{}_{E_{y_{2}}}\sum
\, _{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum. } Exemplos
Usando y
1 para a suma formal ∑ j
0 ∞ ( − 1 ) j P k ( j ) {\displaystyle \sum _{j
0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)} conseguimos ∑ i
0 k 12 i + 1 ∑ j
0 i ( i j ) ( − 1 ) j P k ( j ), {\displaystyle \sum _{i
0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j 0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}P_{k}(j), } se Pk é un polinomio de grao k. Teña en conta que a suma interna sería cero para i > k, polo que neste caso a suma de Euler reduce unha serie infinita a unha suma finita.
A elección particular P k ( j ):
( j + 1 ) k {\displaystyle P_{k}(j):
(j+1)^{k}} proporciona unha representación explícita dos números de Bernoulli, xa que B k + 1 k + 1
− ζ ( − k ) {\displaystyle {\frac {B_{k+1}}{k+1}}
-\zeta (-k)} (función zeta de Riemann ). De feito, a suma formal neste caso diverxe xa que k é positiva, mais aplicando a suma de Euler á función zeta (ou mellor dito, á función eta de Dirichlet relacionada) produce (cf. Serie globalmente converxente) 11 − 2 k + 1 ∑ i
0 k 12 i + 1 ∑ j
0 i ( i j ) ( − 1 ) j ( j + 1 ) k {\displaystyle {\frac {1}{1-2^{k+1}}}\sum _{i
0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j
0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{k}} que é unha forma pechada. ∑ j
0 ∞ z j
∑ i
0 ∞ 1 ( 1 + y ) i + 1 ∑ j
0 i ( i j ) y j + 1 z j
y 1 + y ∑ i
0 ∞ ( 1 + y z 1 + y ) i {\displaystyle \sum _{j
0}^{\infty }z^{j}
\sum _{i
0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j
0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}z^{j}
{\frac {y}{1+y}}\sum _{i
0}^{\infty }\left({\frac {1+yz}{1+y}}\right)^{i}} Cunha escolla adecuada de y (é dicir, igual ou próximo a −1/z ) esta serie converxe a 1/1 − z