Constante de Catalan

En matemáticas, a constante de Catalan G, tamén denominada coa letra K, defínese por G
β ( 2 )
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2
112 − 132 + 152 − 172 + 192 − ⋯, {\displaystyle G
\beta (2)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}
{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots, } onde β é a función beta de Dirichlet. O seu valor numérico é aproximadamente (secuencia A006752 na OEIS) G 0. 915965594177219015054603514932384110774… Non está demostrado que G é irracional, e moito menos transcendental. De G díxose "sen dúbida a constante máis básica cuxa irracionalidade e transcendencia (aínda que se sospeita fortemente) seguen sen probarse".
A constante de Catalan recibiu o nome de Eugène Charles Catalan, quen atopou series de rápida converxencia para o seu cálculo e publicou unha memoria sobre ela en 1865. Usos
En combinatoria e mecánica estatística, xorde en relación coa contaxe de mosaicos de dominó, árbore de extensión, e ciclos hamiltonianos de grafos de retícula.
En teoría de números, a constante de Catalan aparece nunha fórmula conxecturada para o número asintótico de primos da forma n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} segundo a conxectura F de Hardy e Littlewood. Porén, é un problema sen resolver (un dos problemas de Landau) se hai incluso infinitos números primos desta forma. Identidades en forma de integral
A constante de Catalan permite resolver moitas integrais con logaritmos. A maiores móstrase unha lista de integrais con valor G {\displaystyle G}: G
∫ 1 ∞ ln ⁡ t 1 + t 2 d t G
− ∫ 01 ln ⁡ t 1 + t 2 d t G
12 ∫ 0 π 2 t sin ⁡ t d t G
∫ 0 π 4 ln ⁡ cot ⁡ t d t G
12 ∫ 0 π 2 ln ⁡ ( sec ⁡ t + tan ⁡ t ) d t G
∫ 01 arccos ⁡ t 1 + t 2 d t G
∫ 01 arcsinh ⁡ t 1 − t 2 d t G
12 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ t t 1 + t 2 d t G
12 ∫ 01 arctanh ⁡ t 1 − t 2 d t G
∫ 0 ∞ arccot ⁡ e t d t G
14 ∫ 0 π 2 / 4 csc ⁡ t d t G
116 ( π 2 + 4 ∫ 1 ∞ arccsc 2 ⁡ t d t ) G
12 ∫ 0 ∞ t cosh ⁡ t d t G
π 2 ∫ 1 ∞ ( t 4 − 6 t 2 + 1 ) ln ⁡ ln ⁡ t ( 1 + t 2 ) 3 d t G
− 1 π i ∫ 0 π 2 ln ⁡ ln ⁡ tan ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x d x G
∬ [ 0, 1 ] 211 + x 2 y 2 d x d y G
∫ 01 ∫ 01 − x 11 − x 2 − y 2 d y d x G
12 ∫ 0 ∞ arcsin ⁡ ( sin ⁡ t ) t d t G
1 + lim α → 1 − { ∫ 0 α ( 1 + 6 t 2 + t 4 ) arctan ⁡ t t ( 1 − t 2 ) 2 d t + 2 artanh ⁡ α − π α 1 − α 2 } G
1 − 18 ∬ R 2 x sin ⁡ ( 2 x y / π ) ( x 2 + π 2 ) cosh ⁡ x sinh ⁡ y d x d y G
∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ x 4 ( x y − 1 ) ( x + 1 ) 2 y 4 ( y + 1 ) 2 log ⁡ ( x y ) d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}G&
\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\, dt\\[3pt]G&
-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\, dt\\[3pt]G&
{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\, dt\\[3pt]G&
\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\, dt\\[3pt]G&
{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\, dt\\[3pt]G&
\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\, dt\\[3pt]G&
\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\, dt\\[3pt]G&
{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctan} t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\, dt\\[3pt]G&
{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctanh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\, dt\\[3pt]G&
\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\, dt\\[3pt]G&
{\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\, dt\\[3pt]G&
{\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\, dt\right)\\[3pt]G&
{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\, dt\\[3pt]G&
{\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\, dt\\[3pt]G&
-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ln \tan x\, dx\\[3pt]G&
\iint _{[0, 1]^{2}}\! {\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\, dx\, dy\\[3pt]G&
\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\, dy\, dx\\[3pt]G&
{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\, dt\\[3pt]G&
1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\! \left\{\int _{0}^{\alpha }\! {\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\, dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&
1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\! \! {\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\, \left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\, }}\, dx\, dy\\[3pt]G&
\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt[{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}} Se K(k) é a integral elíptica completa do primeiro tipo, en función do módulo elíptico k, daquela G
12 ∫ 01 K ( k ) d k {\displaystyle G
{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\, dk} Se E(k) é a integral elíptica completa do segundo tipo, en función do módulo elíptico k, daquela G
− 12 + ∫ 01 E ( k ) d k {\displaystyle G
-{\tfrac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\, dk} Coa función gamma Γ(x + 1)
x! G
π 4 ∫ 01 Γ ( 1 + x 2 ) Γ ( 1 − x 2 ) d x
π 2 ∫ 012 Γ ( 1 + y ) Γ ( 1 − y ) d y {\displaystyle {\begin{aligned}G&
{\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\, dx\\&
{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\, dy\end{aligned}}} A integral G
Ti 2 ⁡ ( 1 )
∫ 01 arctan ⁡ t t d t {\displaystyle G
\operatorname {Ti} _{2}(1) \int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\, dt} é unha función especial coñecida, chamada integral tanxente inversa, e foi estudada amplamente por Srinivasa Ramanujan. Relación con outras funcións especiais
G aparece en valores da segunda función poligamma, tamén chamada función trigamma, con argumentos con fraccións: ψ 1 ( 14 )
π 2 + 8 G ψ 1 ( 34 )
π 2 − 8 G. {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&
\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&
\pi ^{2}-8G. \end{aligned}}} A constante de Catalan ocorre con frecuencia en relación coa función de Clausen, a integral tanxente inversa, a integral do seno inverso, a función G de Barnes, así como as integrais e series sumables en función das funcións mencionadas anteriormente.
Se se define o trascendente de Lerch Φ(z, s, α) (relacionado coa función zeta de Lerch) por Φ ( z, s, α )
∑ n
0 ∞ z n ( n + α ) s, {\displaystyle \Phi (z, s, \alpha )
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}, } daquela G
14 Φ ( − 1, 2, 12 ). {\displaystyle G
{\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1, 2, {\tfrac {1}{2}}\right). } Series de converxencia rápida
As dúas fórmulas seguintes implican series de converxencia rápida e, polo tanto, son apropiadas para o cálculo numérico: G
3 ∑ n
0 ∞ 124 n ( − 12 ( 8 n + 2 ) 2 + 122 ( 8 n + 3 ) 2 − 123 ( 8 n + 5 ) 2 + 123 ( 8 n + 6 ) 2 − 124 ( 8 n + 7 ) 2 + 12 ( 8 n + 1 ) 2 ) − − 2 ∑ n
0 ∞ 1212 n ( 124 ( 8 n + 2 ) 2 + 126 ( 8 n + 3 ) 2 − 129 ( 8 n + 5 ) 2 − 1210 ( 8 n + 6 ) 2 − 1212 ( 8 n + 7 ) 2 + 123 ( 8 n + 1 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}G&
3\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-\\&\qquad -2\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}} e G
π 8 log ⁡ ( 2 + 3 ) + 38 ∑ n
0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) 2 ( 2 n n ). {\displaystyle G
{\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}. } Os fundamentos teóricos destas series son dados por Broadhurst, para a primeira fórmula, e Ramanujan, para a segunda fórmula. Os algoritmos para a avaliación rápida da constante de Catalan foron construídos por E. Karatsuba. Usando estas series, calcular a constante de Catalan é case tan rápido como calcular a constante de Apery ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)}. Fracción continua
G pode expresarse do seguinte xeito G
11 + 148 + 3416 + 5424 + 7432 + 9440 + ⋱ {\displaystyle G
{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}} A fracción continua simple vén dada por G
11 + 110 + 11 + 18 + 11 + 188 + ⋱ {\displaystyle G
{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}} Esta fracción continua tería infinitos termos se e só se G {\displaystyle G} é irracional, que aínda está sen resolver.