Produto de Cauchy

En matemáticas, defídese o produto de Cauchy, así denominado en honra do matemático francés Augustin Louis Cauchy, como unha convolución discreta de dúas series estritamente formais, que se manipulan sen prestar atención a aspectos de converxencia, xeralmente, de números reais ou complexos, tales como ∑ n
0 ∞ a n, ∑ n
0 ∞ b n, {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}, \qquad \sum _{n
0}^{\infty }b_{n}, } Sendo pois o produto de Cauchy: ( ∑ n
0 ∞ a n ) ⋅ ( ∑ n
0 ∞ b n )
∑ n
0 ∞ c n, o n d e c n
∑ k
0 n a k b n − k {\displaystyle \left(\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n
0}^{\infty }b_{n}\right)
\sum _{n
0}^{\infty }c_{n}, \qquad \mathrm {onde} \ c_{n}
\sum _{k
0}^{n}a_{k}b_{n-k}} para n 0, 1, 2, .. . Non é preciso que as series sexan converxentes. Véxase por exemplo Serie formal de potencias.
É de esperar, que por analoxía coas sumas finitas, no caso en que as dúas series fosen converxentes, a suma da serie infinita ∑ n
0 ∞ c n {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }c_{n}} sexa igual ao produto ( ∑ n
0 ∞ a n ) ( ∑ n
0 ∞ b n ) {\displaystyle \left(\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n
0}^{\infty }b_{n}\right)} do mesmo xeito que isto sería correcto se cada unha das dúas sumas que se multiplican posúe un número finito de termos.
En casos suficientemente ben comportados, cúmprese coa expresión anterior. Pero, e este é un punto importante, o produto de Cauchy de dúas sucesións existe aínda no caso de que unha ou ambas as dúas series infinitas correspondentes non fosen converxentes. Exemplos
Serie finita
x i
0 {\displaystyle x_{i}
0} para todo i > n {\displaystyle i>n} e y i
0 {\displaystyle y_{i}
0} para todo i > m {\displaystyle i>m}. Neste caso o produto de Cauchy de ∑ i
0 ∞ x i {\displaystyle \sum _{i
0}^{\infty }x_{i}} e ∑ i
0 ∞ y i {\displaystyle \sum _{i
0}^{\infty }y_{i}} é ( x 0 + ⋯ + x n ) ( y 0 + ⋯ + y m ) {\displaystyle (x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\dots +y_{m})}. Polo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), a multiplicación de Cauchy é directamente a multiplicación das series.
Serie infinita
Primeiro exemplo. Sexan a, b ∈ R {\displaystyle a, b\in \mathbb {R} }, sexa x n
a n / n! {\displaystyle x_{n}
a^{n}/n! \, } e y n
b n / n! {\displaystyle y_{n}
b^{n}/n! \, }. Entón C ( x, y ) ( n )
∑ i
0 n a i i! b n − i ( n − i )!
( a + b ) n n! {\displaystyle C(x, y)(n)
\sum _{i
0}^{n}{\frac {a^{i}}{i! }}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)! }}
{\frac {(a+b)^{n}}{n! }}} por definición e pola fórmula binomial. Dado que, formalmente, exp ⁡ ( a )
∑ n
0 ∞ x n {\displaystyle \exp(a)
\sum _{n
0}^{\infty }x_{n}} e exp ⁡ ( b )
∑ n
0 ∞ y n {\displaystyle \exp(b)
\sum _{n
0}^{\infty }y_{n}}, demostrouse que exp ⁡ ( a + b )
∑ n
0 ∞ C ( x, y ) ( n ) {\displaystyle \exp(a+b)
\sum _{n
0}^{\infty }C(x, y)(n)}.
Como o límite do produto de Cauchy de dúas series absolutamente converxentes é igual ao produto dos límites desas series (véxase abaixo), demostrouse polo tanto a fórmula exp ⁡ ( a + b )
exp ⁡ ( a ) exp ⁡ ( b ) {\displaystyle \exp(a+b)
\exp(a)\exp(b)} para todo a, b ∈ R {\displaystyle a, b\in \mathbb {R} } a, b ∈ R {\displaystyle a, b\in \mathbb {R} }.
Segundo exemplo. Sexa x n
1 {\displaystyle x_{n}
1} para todo n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, temos c 0
x 0 x 0
1, c 1
x 0 x 1 + x 1 x 0
2, c 2
x 0 x 2 + x 1 x 1 + x 2 x 0
3, … {\displaystyle c_{0}
x_{0}x_{0}
1, c_{1}
x_{0}x_{1}+x_{1}x_{0}
2, c_{2}
x_{0}x_{2}+x_{1}x_{1}+x_{2}x_{0}
3, \ldots } logo C ( x, x ) ( n )
n + 1 {\displaystyle C(x, x)(n)
n+1} para todo n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }.
Entón o produto de Cauchy é ∑ n
0 ∞ C ( x, x ) ( n )
1 + 2 + 3 + 4 + 5 … {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }C(x, x)(n)
1+2+3+4+5\ldots } e así lim n → + ∞ ( 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + n + … ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }(1+2+3+4+\dots +n+\dots )} non é converxente.
Serie infinita como convolución discreta
Podemos organizar cada sumando do produto en forma de matriz cos coeficientes da combinación de elementos todos por todos: A
( a 0 b 0 a 0 b 1 a 0 b 2 a 0 b 3 ⋯ a 1 b 0 a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 ⋯ a 2 b 0 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 ⋯ a 3 b 0 a 3 b 1 ⋯ ⋯ ⋯ a 4 b 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ) {\displaystyle A
{\begin{pmatrix}a_{0}b_{0}&a_{0}b_{1}&a_{0}b_{2}&a_{0}b_{3}&\cdots \\a_{1}b_{0}&a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}&\cdots \\a_{2}b_{0}&a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}&\cdots \\a_{3}b_{0}&a_{3}b_{1}&\cdots &\cdots &\cdots \\a_{4}b_{0}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\end{pmatrix}}},
desde o punto de vista desta matriz o produto de Cauchy é unha convolución discreta formada pola suma das antidiagonais: ( ∑ n
0 ∞ a n ) ⋅ ( ∑ n
0 ∞ b n )
∑ n
0 ∞ antidiagonais
∑ n
0 ∞ ∑ k
0 n a k b n − k. {\displaystyle \left(\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n
0}^{\infty }b_{n}\right)
\sum _{n
0}^{\infty }{\text{antidiagonais}}
\sum _{n
0}^{\infty }\sum _{k
0}^{n}a_{k}b_{n-k}. } ( ∑ n
0 ∞ a n ) ⋅ ( ∑ n
0 ∞ b n )
( a 0 b 0 ) + ( a 0 b 1 + a 1 b 0 ) + ( a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 ) + ⋯ {\displaystyle \left(\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n
0}^{\infty }b_{n}\right)
(a_{0}b_{0})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})+\cdots } Converxencia e teorema de Mertens
Sexan x, y sucesións reais, Franz Mertens demostrou que se a serie ∑ y {\displaystyle \sum y} converxe a Y e a serie ∑ x {\displaystyle \sum x} converxe absolutamente a X entón o produto de Cauchy delas ∑ C ( x, y ) {\displaystyle \sum C(x, y)} converxe a XY. Non é suficiente con que ambas as series sexan condicionalmente converxentes. Por exemplo, a sucesión x n
( − 1 ) n / n + 1 {\displaystyle x_{n}
(-1)^{n}/{\sqrt {n+1}}} xera unha serie condicionalmente converxente pero a sucesión C ( x, x ) {\displaystyle C(x, x)} non converxe a 0.
Demostración do teorema de Mertens
Sexa X n
∑ i
0 n x i {\displaystyle X_{n}
\sum _{i
0}^{n}x_{i}}, Y n
∑ i
0 n y i {\displaystyle Y_{n}
\sum _{i
0}^{n}y_{i}} e. C n
∑ i
0 n C ( x, y ) ( i ) {\displaystyle C_{n}
\sum _{i
0}^{n}C(x, y)(i)}. Entón C n
∑ i
0 n ∑ k
0 i x k y i − k
∑ i
0 n Y i x n − i {\displaystyle C_{n}
\sum _{i
0}^{n}\sum _{k
0}^{i}x_{k}y_{i-k}
\sum _{i
0}^{n}Y_{i}x_{n-i}} se se reordena. Polo tanto C n
∑ i
0 n ( Y i − Y ) x n − i + Y X n {\displaystyle C_{n}
\sum _{i
0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}}. Fixando un ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}. Dado que ∑ x {\displaystyle \sum x} é absolutamente converxente e ∑ y {\displaystyle \sum y} é converxente entón existe un enteiro N tal que para todo n ≥ N {\displaystyle n\geq N} | Y n − Y | < ϵ / 4 ∑ n
0 ∞ | x n | + 1 {\displaystyle |Y_{n}-Y|<{\frac {\epsilon /4}{\sum _{n
0}^{\infty }|x_{n}|+1}}} e un enteiro M tal que para todo n ≥ M {\displaystyle n\geq M} | x n − N | < ϵ 4 N sup | Y n − Y | + 1 {\displaystyle |x_{n-N}|<{\frac {\epsilon }{4N\sup |Y_{n}-Y|+1}}} (dado que a serie converxe, a sucesión debe converxer a 0). Tamén, existe un enteiro L tal que se n ≥ L {\displaystyle n\geq L} entón | X n − X | < ϵ / 2 | Y | + 1 {\displaystyle |X_{n}-X|<{\frac {\epsilon /2}{|Y|+1}}}. Polo tanto, | C n − X Y |
| ∑ i
0 n ( Y i − Y ) x n − i + Y ( X n − X ) | ≤ ∑ i
0 N − 1 | Y i − Y | | x n − i | + ∑ i
N n | Y i − Y | | x n − i | + | Y | | X n − X | < ϵ {\displaystyle |C_{n}-XY|
|\sum _{i
0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i
0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i
N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\epsilon } para todos os enteiros n maiores que N, M e L. Pola definición de converxencia dunha serie ∑ C ( x, y ) → X Y {\displaystyle \sum C(x, y)\to XY}. Teorema de Cesàro
Se x e y son sucesións reais e ∑ x → A {\displaystyle \sum x\to A} e ∑ y → B {\displaystyle \sum y\to B} entón 1 n ( ∑ i
0 n C ( x, y ) n ) → A B {\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i
0}^{n}C(x, y)_{n}\right)\to AB} Xeneralizacións
Todo o enunciado nas seccións precedentes é aplicable ás sucesións de números complexos C {\displaystyle \mathbb {C} }. Pódese definir tamén o produto de Cauchy para series en espazos euclidianos R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} onde a multiplicación é o produto interno. Neste caso, verifícase que se dúas series converxen en forma absoluta entón o seu produto de Cauchy converxe en forma absoluta ao produto interno dos límites.