Anel (álxebra)

Na álxebra, un anel é unha estrutura alxébrica formada por un conxunto ( A {\displaystyle A} ) e dúas operacións: chamadas habitualmente suma e produto: ( A, +, ⋅ ) {\displaystyle (A, +, \cdot )}; de tal xeito que ( A, + ) {\displaystyle (A, +)} é un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0 {\displaystyle 0} ), e o produto ⋅ {\displaystyle \cdot } é asociativo, ten un elemento neutro (que designamos 1 {\displaystyle 1} ) e ten a propiedade distributiva respecto da suma. Se o produto é conmutativo falaremos dun anel conmutativo.
Se o anel non posúe un elemento neutro para o produto, chamarase rng.
Ao anel aquí definido algúns autores o denominan anel unitario (ou anel con unidade). Definición formal
Sexa A {\displaystyle A} un conxunto non baleiro, e sexan + {\displaystyle +} e ⋅ {\displaystyle \cdot } dúas operacións binarias en A {\displaystyle A}, dise que o conxunto ( A, +, ⋅ ) {\displaystyle (A, +, \cdot )\, } é un anel se se cumpren as seguintes propiedades: Estas catro condicións definen un grupo. Unha quinta condición define un grupo abeliano: Para definir un anel, é necesario agregar catro condicións máis que falan acerca da segunda operación binaria: E agregando unha décima condición, defínese un anel conmutativo:
Variacións na definición
Na terminoloxía deste artigo, defínese que un anel ten unha identidade multiplicativa, mentres que unha estrutura coa mesma definición axiomática mais sen o requisito dunha identidade multiplicativa chámase, pola contra, rng (non é un erro, sería ring sen o "i"). Por exemplo, o conxunto de enteiros pares cos usuais + e ⋅ {\displaystyle \cdot } é un rng, mais non un anel. Moitos autores aplican o termo anel sen esixir unha identidade multiplicativa e falan de anel con unidade ou anel unitario cando consideran que inclúe a identidade multiplicativa.
Incídese neste aspecto da nomenclatura xa comentado na introdución porque nas diversas páxinas da Galipedia poderá aparecer con ambos os nomes segundo as fontes do autor.
Definición sintética
Un anel A {\displaystyle A} é un conxunto con dúas leis de composición, chamadas adición e multiplicación, cumprindo as seguintes condicións: A {\displaystyle A} é grupo abeliano para a adición; o elemento neutro nesta adición noméase cero do anel, e denótase usualmente 0. A {\displaystyle A} é un monoide para a multiplicación.
A multiplicación é distributiva (polos dous lados) en relación á adición. Exemplos
O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos números enteiros: .. . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .. .
xunto coas operacións binarias da suma e a multiplicación. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades: Os números enteiros están pechados baixo a suma: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b é un número enteiro.
A suma é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a + b) + c a + (b + c).
Existe un elemento neutro para a suma: para todo número enteiro a, a + 0
0 + a
a.
Existe un elemento inverso para a suma (inverso aditivo): para todo número enteiro a, sempre existe algún número enteiro b, tal que a + b 0.
A suma é conmutativa: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b b + a.
Os números enteiros están pechados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a × b é un número enteiro.
A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a × b) × c a × (b × c).
Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro a, a × 1 a.
A multiplicación é distributiva respecto da suma: a × (b + c) (a × b) + (a × c).
Outros exemplos O conxunto dos enteiros gaussianos Z [ i ]
{ a + b i ∣ a, b ∈ Z }, onde i 2
− 1. {\displaystyle \mathbf {Z} [i]
\{a+bi\mid a, b\in \mathbf {Z} \}, \quad {\text{ onde }}i^{2}
-1. }, Z [ i ] {\displaystyle \mathbf {Z} [i]} é un subconxunto do conxunto C dos complexos, coa adición e multiplicación usuais.
O conxunto das matrices cadradas 2-por-2 con coeficientes nun corpo F M 2 ⁡ ( F )
{ ( a b c d ) | a, b, c, d ∈ F } {\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)
\left\{\left. {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a, b, c, d\in F\right\}}, coa suma de matrices e multiplicación de matrices é un anel non conmutativo.
O conxunto Z / 6 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} } dos restos módulo 6; coa adición e multiplicación de restos; é un anel finito con divisores de 0.
O conxunto F [ x ] {\displaystyle F[x]} dos polinomios con coeficientes en Z {\displaystyle \mathbb {Z} }, conxunto dos enteiros, coa adición e multiplicación. Véxase: anel de polinomios. Elementos destacables dun anel
Elemento cero: denotado por 0 {\displaystyle 0}. É o neutro para a suma. Sexa A un anel arbitrario. 0 x
0 ∀ x ∈ A {\displaystyle 0x
0\; \forall x\in A} A súa demostración sería: 0 x
( 0 + 0 ) x
0 x + 0 x {\displaystyle 0x
(0+0)x
0x+0x}. Logo 0 x
0 x + 0 x {\displaystyle 0x
0x+0x}. Restando o inverso aditivo de 0 x {\displaystyle 0x}, que existe dado que A é un grupo para a suma, 0 x − 0 x
0 x {\displaystyle 0x-0x
0x} Pero 0 x − 0 x
0 {\displaystyle 0x-0x
0}. Finalmente 0
0 x ∀ x ∈ A {\displaystyle 0
0x\forall x\in A} Elemento unitario ou identidade: se un elemento, que denotamos 1, cumpre 1 ⋅ a
a ⋅ 1
a {\displaystyle 1\cdot a
a\cdot 1
a} para todo elemento a do anel, denomínase elemento unitario ou identidade. Úsase identidade cando se quere evitar a confusión entre elemento unitario e unidade (unit en inglés, elementos con inverso multiplicativo).
O elemento cero e o elemento unitario só coinciden no caso de que o anel sexa trivial ( {0} ):
Demostración: Sexa a ∈ A a
a 1
a 0
0 {\displaystyle a\in Aa
a1
a0
0} Logo, ∀ a ∈ A, a
0 {\displaystyle \forall a\in A, a
0} Inverso multiplicativo: b {\displaystyle b} é inverso multiplicativo pola esquerda (ou simplemente inverso pola esquerda) de a {\displaystyle a} se b ⋅ a
1 {\displaystyle b\cdot a
1}. Así mesmo, c {\displaystyle c} é inverso multiplicativo pola dereita (ou simplemente inverso pola dereita) de a {\displaystyle a} se a ⋅ c
1 {\displaystyle a\cdot c
1}. Un elemento a − 1 {\displaystyle a^{-1}} dise que é inverso multiplicativo (ou simplemente inverso) de a {\displaystyle a} se a − 1 {\displaystyle a^{-1}} é inverso pola esquerda de a {\displaystyle a} e inverso pola dereita de a {\displaystyle a}, é dicir, a ⋅ a − 1
a − 1 ⋅ a
1 {\displaystyle a\cdot a^{-1}
a^{-1}\cdot a
1}. Se existe o inverso dun elemento, entón este é único (pois se existise outro, "este deixaría de ser inverso").
Elemento inversible, ou elemento invertible ou unidade: é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.
Divisor de cero: un elemento a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} é divisor do cero pola esquerda, se existe algún b distinto de 0, tal que a·b
0. Éo pola dereita se existe un c distinto de 0 tal que c·a
0. Dirase que a é divisor de cero se o é tanto pola dereita como pola esquerda.
Elemento regular: un elemento a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} dun anel é regular se non é divisor de cero. Todo elemento invertible é regular.
Elemento idempotente: é calquera elemento e {\displaystyle e} do anel que ao multiplicarse por si mesmo non varía, é dicir, tal que e ⋅ e
e {\displaystyle e\cdot e
e} (isto adóitase escribir como e 2
e {\displaystyle e^{2}
e} ). O cero é sempre idempotente nun anel, e tamén o 1 é idempotente.
Elemento nilpotente (ou nihilpotente): é calquera elemento x {\displaystyle x} do anel para o que existe un número natural n {\displaystyle n} de forma que x n
0 {\displaystyle x^{n}
0} (onde x n {\displaystyle x^{n}} se define por recorrencia: x 0
1 {\displaystyle x^{0}
1}, x n
x ⋅ x n − 1 {\displaystyle x^{n}
x\cdot x^{n-1}} ). O 0 é sempre un nilpotente de calquera anel. Todo elemento nilpotente é divisor de cero. Tipos de aneis
Algúns tipos destacables de aneis son: Anel conmutativo: aquel no que o produto é conmutativo, isto é, a·b b·a para todo a e b (non debe confundirse con anel abeliano).
Anel unitario (definido neste artigo): aquel que posúe un elemento unitario e ademais, este é distinto do neutro da suma.
Rng: anel sen identidade multiplicativa.
Anel de división: é o anel no cal todo elemento, a excepción do 0, ten inverso.
Anel con leis de simplificación: aquel no que se cumpren as leis de simplificación. Se un anel non ten divisores do cero, cúmprense as leis de simplificación, e o recíproco tamén é certo.
Dominio de integridade: se un anel non posúe divisores do cero, é un dominio de integridade (tamén se adoita esixirlle que se trate dun anel conmutativo e unitario, mais esta esixencia non é aceptada por todos os autores).
Corpo: trátase dun anel de división conmutativo.
Anel abeliano: é un anel no que todo elemento idempotente pertence ao centro do anel, é dicir, todo elemento idempotente conmuta con calquera elemento do anel.
Anel euclidiano (nome dado por A. I. Kostrikin). Un dominio de integridade R dise que é un anel euclidiano se para calquera elemento x distinto de 0 en R está determinado un enteiro n(x) maior ou igual que 0 e cumpre:
i)Para x e y elementos calquera de R, ningún nulo, n(x) menor ou igual que n(xy).
ii)Para x, y calquera, dous elementos non nulos á vez de R, existen q e r en R, de modo que x
qy+r, sendo r
0 o n(r) menor que n(y). n(x) é unha aplicación de R* en Z≥0, onde R* é o anel sen o seu 0.
Son aneis euclidianos o anel dos enteiros, o dos enteiros gaussianos e os aneis de polinomios.
Fraleigh denomínao dominio euclidiano. Subsistemas notables
Subaneis e ideais
Un subanel S {\displaystyle S} dun anel R {\displaystyle R} (A, +, ·) é un subconxunto S ⊂ R {\displaystyle S\subset R} que cumpre que é cerrado para a suma e a multiplicación no anel, isto é, se a, b ∈ S {\displaystyle a, b\in S}, entón a + b ∈ S {\displaystyle a+b\in S} e a ⋅ b ∈ S {\displaystyle a\cdot b\in S}. Se 1 ∈ R {\displaystyle 1\in R} (é dicir, se o anel é unitario), entón esixirase ademais que 1 ∈ S {\displaystyle 1\in S}. Nótese que neste caso, cando o anel é unitario, {0} non será subanel de R {\displaystyle R}, e so o será se R {\displaystyle R} non é unitario.
Un subanel S {\displaystyle S} é propio cando non coincide con todo o anel, é dicir, se R ≠ S {\displaystyle R\neq S}.
Resulta pois que un subanel é un anel dentro doutro anel (para as mesmas operacións). En particular, ( S, + ) {\displaystyle (S, +)} é un subgrupo de ( R, + ) {\displaystyle (R, +)}.
Pero na Teoría de aneis hai un tipo de subconxunto máis notable que o de subanel, o de ideal.
Un subconxunto I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} é un ideal pola esquerda dun anel (A, +, ·) se ( I, + ) {\displaystyle (I, +)} é un subgrupo de ( R, + ) {\displaystyle (R, +)} e dados calquera r ∈ R {\displaystyle r\in R} e x ∈ I {\displaystyle x\in I} tense que r ⋅ x ∈ I {\displaystyle r\cdot x\in I}.
Un subconxunto I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} é un ideal pola dereita dun anel (A, +, ·) se ( I, + ) {\displaystyle (I, +)} é un subgrupo de ( R, + ) {\displaystyle (R, +)} e dados calquera r ∈ R {\displaystyle r\in R} e x ∈ I {\displaystyle x\in I} se ten que x ⋅ r ∈ I {\displaystyle x\cdot r\in I}.
Cando un subconxunto I {\displaystyle I} é ideal pola dereita e ideal pola esquerda dise que é un ideal bilátero (do anel), ou simplemente que é un ideal (do anel).
A propiedade conmutativa asegúranos que en todo anel conmutativo todo ideal pola esquerda é ideal pola dereita, e todo ideal pola dereita é ideal pola esquerda, isto é, todos os ideais (pola esquerda ou pola dereita) dun anel conmutativo son ideais biláteros.
Un ideal I {\displaystyle I} (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) dise que é propio se é distinto de todo o anel, isto é, I ≠ R {\displaystyle I\neq R}.
Unidades
O conxunto de elementos invertibles dun anel unitario ( R, +, ⋅, 1 R ) {\displaystyle (R, +, \cdot, 1_{R})} denomínase conxunto de unidades (do anel), e denótase por U ( R ) {\displaystyle U(R)}.
Se I {\displaystyle I} é ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio dun anel unitario R {\displaystyle R} e U ( R ) {\displaystyle U(R)} son as súas unidades ou elementos invertibles, entón I ∩ U ( R )
∅ {\displaystyle I\cap U(R)
\varnothing }, isto é, ningún ideal propio ten elementos invertibles. En particular, ningún ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio ten por elemento a 1, o que impide aos ideais ser subaneis de aneis unitarios.
Centro
O centro dun anel ( R, +, ⋅ ) {\displaystyle (R, +, \cdot )} (denotado por Z ( R ) {\displaystyle Z(R)} ) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir Z ( R ):
{ r ∈ R: r ⋅ s
s ⋅ r, ∀ s ∈ R } {\displaystyle Z(R):
\{r\in R: r\cdot s
s\cdot r, \forall s\in R\}}. O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que 0 ∈ Z ( R ) {\displaystyle 0\in Z(R)}. Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i. e. , R
Z ( R ) {\displaystyle R
Z(R)}. O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.