Teorema fundamental da aritmética

En matemáticas, e particularmente na teoría dos números, o teorema fundamental da aritmética ou teorema de factorización única afirma que todo número enteiro positivo maior que 1 é un número primo ou ben un único produto de números primos. Por exemplo, 6936
23 ⋅ 3 ⋅ 172 {\displaystyle 6936
2^{3}\cdot 3\cdot 17^{2}\, } 1200
24 ⋅ 3 ⋅ 52 {\displaystyle 1200
2^{4}\cdot 3\cdot 5^{2}\, } Non existe ningunha outra factorización de 6936 e 1200 en números primos. Como a multiplicación é conmutativa, a orde dos factores é irrelevante; por esta razón, o teorema adoita enunciarse como factorización única agás na orde dos factores. Aplicacións
Representación canónica dun enteiro positivo
Todo enteiro positivo n > 1 pode ser representado “exactamente dun único xeito” como un produto de potencias de números primos: n
p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p k α k
∏ i
1 k p i α i {\displaystyle n
p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}
\prod _{i
1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}} onde p1 < p2 <. .. < pk son primos e αi son enteiros positivos.
Esta representación chámase representación canónica de n, ou forma estándar de n. Por exemplo 999
33•37, 1000
23•53, 10017•11•13
Os factores p0
1 poden inserirse sen cambiar o valor de n (por exemplo, 1000
23•30•53). En efecto, calquera número positivo pode ser representado unicamente como un produto infinito tomado sobre todo o conxunto dos números primos, n
2 α 23 α 35 α 57 α 7 ⋯
∏ P p α p {\displaystyle n
2^{\alpha _{2}}3^{\alpha _{3}}5^{\alpha _{5}}7^{\alpha _{7}}\cdots
\prod _{\mathbb {P} }p^{\alpha _{p}}} onde un número finito de αp son enteiros positivos, e o resto son cero. Permitindo expoñentes negativos proporciónase unha forma canónica para os números racionais.
Importancia
O teorema establece a importancia dos números primos. Estes son as “pezas básicas” coas que se “constrúen” os enteiros positivos, no sentido de que todo enteiro positivo pode construírse como produto de números primos dun único xeito.
Coñecer a factorización en primos dun número permite atopar todos os seus divisores, primos ou compostos. Por exemplo, a factorización anteriormente dada de 6936 amosa que calquera divisor positivo 6936 debe ter a forma: 2 a ⋅ 3 b ⋅ 17 c {\displaystyle 2^{a}\cdot 3^{b}\cdot {17}^{c}}, onde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), e 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando o número de opcións independentes obtense un total de 4 ⋅ 2 ⋅ 3
24 {\displaystyle 4\cdot 2\cdot 3
24} divisores positivos
Unha vez que se coñece a factorización en primos de dous números, pódense atopar facilmente o seu máximo común divisor e mínimo común múltiplo. Por exemplo, das factorizacións anteriores de 6936 e 1200 pódese deducir que o seu máximo común divisor é 2³ • 324. Porén, se non se coñece a factorización en primos, usar o algoritmo de Euclides en xeral require moitos menos cálculos que factorizar os dous números.
O teorema fundamental implica que as funcións aritméticas aditivas e multiplicativas están completamente determinadas polos seus valores nas potencias dos números primos.
Calquera número enteiro n maior que 1 pode escribirse de xeito únic, agás na orde, como un produto de números primos. Demostración
O teorema foi demostrado por primeira vez por Euclides, aínda que a primeira demostración completa apareceu nas Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.
Aínda que a primeira vista o teorema pareza obvio, non se cumpre en numéricos máis xerais, entre eles moitos aneis de enteiros alxébricos. Ernst Kummer foi o primeiro en decatarse disto en 1843, no seu traballo sobre o último teorema de Fermat. O recoñecemento deste fallo é un dos primeiros avances da teoría dos números alxébricos.
Demostración de Euclides
A demostración faise en dous pasos. No primeiro demóstrase que todo número é un produto de primos (incluído o produto baleiro); no segundo demóstrase que calquera das representacións son iguais.
Descomposición en primos
Suponse que existe algún enteiro positivo que non pode representarse como produto de primos. Entón debe haber un mínimo número n con esa propiedade. Este número n non pode ser 1, pola convención anterior. Tampouco pode ser un primo, porque todo primo é o produto dun único número primo: el mesmo.
Polo tanto, n
ab, onde a e b son enteiros positivos menores que n. Como n é o mínimo enteiro positivo para o que falla o teorema, tanto a como b poden escribirse como produto de primos. Pero entón n
ab tamén pode escribirse como produto de primos, o que é contraditorio.
Unicidade
A demostración da unicidade apóiase no seguinte feito: se un número primo p divide un produto ab, entón divide a a ou divide a b (lema de Euclides). Para demostrar este lema, suponse que p non divide a, entón p e a son primos entre eles e pola identidade de Bézout existen x e y enteiros tales que px + ay
1. Multiplicando por b obtense pbx + aby
b, e posto que os dous sumandos do lado esquerdo son divisibles por p, o termo da dereita tamén é divisible por p.
Dados dous produtos de primos que teñan igual resultado, tómase un primo p do primeiro produto. Divide o primeiro produto, e polo tanto tamén o segundo. Polo feito anterior, p debe dividir polo menos un factor do segundo produto; pero os factores son todos primos, logo p debe ser igual a un dos factores do segundo produto. Pódese entón cancelar p de ambos os produtos. Seguindo desta forma cancelaranse todos os factores de ambos os produtos, co que estes deben coincidir exactamente.
Demostración por descenso infinito
Outra proba da unicidade das factorizacións en primos dun enteiro dado utiliza o método do descenso infinito.
Suponse que certo número enteiro se pode escribir como produto de factores primos de polo menos dous xeitos distintos. Entón, debe existir un mínimo enteiro s con esa propiedade. Sexan p1•. .. •pm e q1•. .. •qn dúas factorizacións distintas de s. Ningún pi (con 1 ≤ i ≤ m) pode ser igual a algún qj (con 1 ≤ j ≤ n), pois do contrario habería un número menor que s que se podería factorizar de dous xeitos (obtido ao quitar factores comúns a ambos os produtos) contradicindo a suposición anterior. Pódese entón supoñer sen perda de xeneralidade que p1 é un factor primo menor que todos os qj (con 1 ≤ j ≤ n). Considerando en particular q1, entón existen enteiros d e r tales que q 1 p 1
d + r p 1 {\displaystyle {q_{1} \over p_{1}}
d+{r \over p_{1}}} e 0 < r < p1 < q1 (r non pode ser 0, posto que en tal caso q1 sería un múltiplo de p1 e polo tanto composto). Ao multiplicar ambos lados por s / q1, resulta p 2 … p m
( d + r p 1 ) q 2 … q n
d ⋅ q 2 … q n + r ⋅ q 2 … q n p 1. {\displaystyle p_{2}\ldots p_{m}
\left(d+{r \over p_{1}}\right)q_{2}\ldots q_{n}
d\cdot q_{2}\ldots q_{n}+{r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}}. } O segundo termo da última expresión debe ser igual a un enteiro (pois tamén o son os outros termos), ao que se chamará k; isto é, k
r ⋅ q 2 … q n p 1, {\displaystyle k
{r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}}, } de onde se obtén, p 1 ⋅ k
r ⋅ q 2 … q n. {\displaystyle p_{1}\cdot k
r\cdot q_{2}\ldots q_{n}. } O valor dos dous membros da ecuación é obviamente menor que s, mais continúa a ser grande abondo como para ser factorizable. Como r é menor que p1, as dúas factorizacións obtidas en ambos os lados despois de escribri k e r como produto de primos deben ser diferentes. Isto contradí a suposición de que s é o enteiro máis pequeno que se pode factorizar en máis dunha forma. Polo tanto, a suposición inicial debe ser falsa.
Demostración por álxebra abstracta
Sexa n un enteiro. Zn é un grupo finito, polo que ten unha serie de composición. Por definición, os factores nunha serie de composición son simples; polo tanto, na serie de Zn estes deben de ser da forma Zp para algún primo p. Como a orde de Zn é o produto das ordes dos factores da súa serie de composición, isto dá unha factorización de n en números primos. Pero o teorema de Jordan-Hölder afirma que unha serie de composición é única, e polo tanto a factorización de n debe de ser única.