Teorema multinomial

En matemáticas, o teorema multinomial describe como expandir unha potencia dunha suma en termos de potencias dos termos desa suma. É a xeneralización do teorema binomial de binomios a multinomios. Teorema
Para calquera enteiro positivo m e calquera enteiro non negativo n, o teorema multinomial describe como se expande unha suma con m termos cando se eleva á potencia n-ésima: ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n
∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m
n k 1, k 2, ⋯, k m ≥ 0 ( n k 1, k 2, …, k m ) x 1 k 1 ⋅ x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}
\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}
n\\k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}\geq 0\end{array}}{n \choose k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}} onde ( n k 1, k 2, …, k m )
n! k 1! k 2! ⋯ k m! {\displaystyle {n \choose k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}}
{\frac {n! }{k_{1}! \, k_{2}! \cdots k_{m}! }}} é un coeficiente multinomial. A suma tómase sobre todas as combinacións de índices enteiros non negativos k1 a km de tal forma que a suma de todos os ki é n. É dicir, para cada termo da expansión, os expoñentes dos xi deben sumar n. No caso m 2, esta afirmación redúcese á do teorema binomial.
Exemplo
A terceira potencia do trinomio a + b + c vén dada por ( a + b + c ) 3
a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 b + 3 a 2 c + 3 b 2 a + 3 b 2 c + 3 c 2 a + 3 c 2 b + 6 a b c. {\displaystyle (a+b+c)^{3}
a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc. } Isto pódese calcular a man usando a propiedade distributiva da multiplicación sobre a suma e combinando termos similares, mais tamén se pode facer (quizais máis facilmente) co teorema multinomial. É posíbel "ler" os coeficientes multinomiais dos termos usando a fórmula do coeficiente multinomial. Por exemplo, o termo a 2 b 0 c 1 {\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}} ten por coeficiente ( 32, 0, 1 )
3! 2! ⋅ 0! ⋅ 1!
62 ⋅ 1 ⋅ 1
3 {\displaystyle {3 \choose 2, 0, 1}
{\frac {3! }{2! \cdot 0! \cdot 1! }}
{\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}
3}, o termo a 1 b 1 c 1 {\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}} ten por coeficiente ( 31, 1, 1 )
3! 1! ⋅ 1! ⋅ 1!
61 ⋅ 1 ⋅ 1
6 {\displaystyle {3 \choose 1, 1, 1}
{\frac {3! }{1! \cdot 1! \cdot 1! }}
{\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}
6}, e do mesmo xeito para o resto.
Expresión alternativa
O enunciado do teorema pódese escribir concisamente usando multiíndices: ( x 1 + ⋯ + x m ) n
∑ | α |
n ( n α ) x α {\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}
\sum _{|\alpha |
n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }} onde α
( α 1, α 2, …, α m ) {\displaystyle \alpha
(\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots, \alpha _{m})} e x α
x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x m α m {\displaystyle x^{\alpha }
x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}} Coeficientes multinomiais
Os números ( n k 1, k 2, …, k m ) {\displaystyle {n \choose k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}}} que aparecen no teorema son os coeficientes multinomiais. Pódense expresar de moitas maneiras, incluíndo como produto de coeficientes binomiais ou de factoriais: ( n k 1, k 2, …, k m )
n! k 1! k 2! ⋯ k m!
( k 1 k 1 ) ( k 1 + k 2 k 2 ) ⋯ ( k 1 + k 2 + ⋯ + k m k m ) {\displaystyle {n \choose k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}}
{\frac {n! }{k_{1}! \, k_{2}! \cdots k_{m}! }}
{k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}} Interpretacións
Formas de poñer obxectos en caixas
Os coeficientes multinomiais teñen unha interpretación combinatoria directa, como o número de formas de depositar n obxectos distintos en m caixas distintas, con k1 obxectos na primeira caixa, k2 obxectos na segunda caixa, etc.
Número de permutacións únicas de palabras
O coeficiente multinomial ( n k 1, …, k m ) {\displaystyle {\binom {n}{k_{1}, \ldots, k_{m}}}} é tamén o número de formas distintas de permutar un multiconxunto de n elementos, onde ki é a multiplicidade de cada un dos i-ésimo elementos. Por exemplo, o número de permutacións distintas das letras da palabra MISSISSIPPI, que ten 1 M, 4 Is, 4 Ss e 2 Ps, é ( 111, 4, 4, 2 )
11! 1! 4! 4! 2!
34650. {\displaystyle {11 \choose 1, 4, 4, 2}
{\frac {11! }{1! \, 4! \, 4! \, 2! }}
34650. }
Triángulo de Pascal xeneralizado
Pódese usar o teorema multinomial para xeneralizar o triángulo de Pascal ou a pirámide de Pascal no simplex de Pascal. Isto proporciona un xeito rápido de xerar unha táboa de bprocura de coeficientes multinomiais.