Regra de l'Hôpital

A regra de l'Hôpital ou regra de l'Hôpital-Bernoulli utilízase nas matemáticas, máis especificamente no cálculo infinitesimal, para determinar límites que doutro xeito sería complicado calcular. A regra di que, dadas dúas funcións f(x) e g(x) continuas e derivábeis en x
c, se f(x) e g(x) tenden ambas a cero ou a infinito cando x tende a c, entón o límite cando x tende a c do cociente de f(x) e g(x) é igual ao límite cando x tende a c do cociente das derivadas de f(x) e g(x), sempre que este límite exista (c pode ser finito ou infinito): lim x → c f ( x ) g ( x )
lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)} \lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}} Esta regra recibe o seu nome na honra do matemático francés do século XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quen deu a coñecer a regra na súa obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), considerado o primeiro texto escrito sobre cálculo diferencial, aínda que actualmente se sabe que a regra se lle debe a Johann Bernoulli, que foi quen a desenvolveu e demostrou. Forma xeral
A forma xeral da regra de L'Hôpital abrangue moitos casos. Sexan c e L números reais estendidos: números reais con infinito positivo ou negativo. Sexa I un intervalo aberto que contén c (para un límite polos dous lados) ou un intervalo aberto co punto final c (para un límite por un lado, ou un límite no infinito se c é infinito. En I ∖ { c } {\displaystyle I\smallsetminus \{c\}}, as funcións con valores reais f e g asúmense diferenciábeis con g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0}. Finalmente temos que lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x )
L {\displaystyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}
L} é un límite finito ou infinito.
Tendo en conta o anterior, logo se lim x → c f ( x )
lim x → c g ( x )
0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)
\lim _{x\to c}g(x)
0} ou lim x → c | f ( x ) |
lim x → c | g ( x ) |
∞, {\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|
\lim _{x\to c}|g(x)|
\infty, } entón lim x → c f ( x ) g ( x )
L. {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}
L. } Aínda que escribimos x → c, os límites tamén poden ser límites por un lado (x → c+ ou x → c−), cando c é un punto final finito do intervalo I.
No segundo caso, a hipótese de que f diverxe ao infinito non é necesaria; de feito, é suficiente que lim x → c | g ( x ) |
∞. {\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|
\infty. } A hipótese de que g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} aparece máis comunmente na literatura, mais algúns autores eluden esta hipótese engadindo outras que tamén implican g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0}. Por exemplo, pódese esixir na definición do límite lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x )
L {\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}
L} que a función f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\textstyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}} debe estar definida en todos os valores no intervalo I ∖ { c } {\displaystyle I\smallsetminus \{c\}}. Outro método consiste en esixir que tanto f como g sexan diferenciábeis en tódalas partes nun intervalo que contén c. Exemplos
Nos seguintes cálculos, indicamos cada aplicación da regra de L'Hopital co símbolo
H {\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {H} }{
}}\ }. Aquí temos un exemplo básico que inclúe a función exponencial, que implica a forma indeterminada 0/0 en x
0: lim x → 0 e x − 1 x 2 + x
H lim x → 0 d d x ( e x − 1 ) d d x ( x 2 + x )
lim x → 0 e x 2 x + 1
1. {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{
}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}
\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}
1. } Este é un exemplo máis elaborado que inclúe 0/0. Aplicar a regra de L'Hôpital unha soa vez aínda dá como resultado unha forma indeterminada. Neste caso, o límite pódese avaliar aplicando a regra tres veces: lim x → 02 sin ⁡ ( x ) − sin ⁡ ( 2 x ) x − sin ⁡ ( x )
H lim x → 02 cos ⁡ ( x ) − 2 cos ⁡ ( 2 x ) 1 − cos ⁡ ( x )
H lim x → 0 − 2 sin ⁡ ( x ) + 4 sin ⁡ ( 2 x ) sin ⁡ ( x )
H lim x → 0 − 2 cos ⁡ ( x ) + 8 cos ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( x )
− 2 + 81
6. {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{
}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{
}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{
}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}
{\frac {-2+8}{1}}
6. \end{aligned}}} Aquí temos un exemplo que inclúe ∞/∞: lim x → ∞ x n ⋅ e − x
lim x → ∞ x n e x
H lim x → ∞ n x n − 1 e x
n ⋅ lim x → ∞ x n − 1 e x. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}
\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{
}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}} n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}. } Aplicando repetidamente a regra de L'Hôpital ata que o expoñente sexa cero (se n é un número enteiro) ou negativo (se n é unha fracción) para concluír que o límite é cero.
Aquí temos un exemplo que inclúe a forma indeterminada 0 · ∞, que se reescribe como a forma ∞/∞: lim x → 0 + x ln ⁡ x
lim x → 0 + ln ⁡ x 1 x
H lim x → 0 + 1 x − 1 x 2
lim x → 0 + − x
0. {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x
\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{
}}\ \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}
\lim _{x\to 0^{+}}-x
0. } Aquí temos un exemplo que inclúe o fórmula do xuro composto e 0/0. Sexa P o principal (importe do préstamo), r o tipo de xuro por período e n o número de períodos. Cando r é cero, a cantidade de reembolso por período é P n {\displaystyle {\frac {P}{n}}} (xa que só se paga o principal); isto é consistente coa fórmula para tipos de xuro distintos de cero: lim r → 0 P r ( 1 + r ) n ( 1 + r ) n − 1
H P lim r → 0 ( 1 + r ) n + r n ( 1 + r ) n − 1 n ( 1 + r ) n − 1
P n. {\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{
}}\ P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}
{\frac {P}{n}}. } Tamén se pode usar a regra de L'Hôpital para demostrar o seguinte teorema. Se f é dúas veces diferenciábel nunha veciñanza de x e a súa segunda derivada é continua nesta veciñanza, entón lim h → 0 f ( x + h ) + f ( x − h ) − 2 f ( x ) h 2
lim h → 0 f ′ ( x + h ) − f ′ ( x − h ) 2 h
lim h → 0 f ″ ( x + h ) + f ″ ( x − h ) 2
f ″ ( x ). {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&
\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&
\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&
f''(x). \end{aligned}}} Ás veces invócase a regra de L'Hôpital dun xeito complicado: supoñamos que f ( x ) + f ′ ( x ) {\displaystyle f(x)+f'(x)} converxe cando x → ∞ e que e x ⋅ f ( x ) {\displaystyle e^{x}\cdot f(x)} converxe ao infinito positivo ou negativo. Daquela: lim x → ∞ f ( x )
lim x → ∞ e x ⋅ f ( x ) e x
H lim x → ∞ e x ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) e x
lim x → ∞ ( f ( x ) + f ′ ( x ) ), {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)
\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{
}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}
\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}, } e así, existe lim x → ∞ f ( x ) {\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)} e lim x → ∞ f ′ ( x )
0. {\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)
0. } (Este resultado segue sendo certo sen a hipótese engadida de que e x ⋅ f ( x ) {\displaystyle e^{x}\cdot f(x)} converxe a un infinito positivo ou negativo, mais a xustificación é entón incompleta. )