Triángulo de Pascal

O triángulo de Pascal, tamén coñecido como triángulo de Tartaglia, é un triángulo de números enteiros, infinito e simétrico. Fundamentos
Constrúese do seguinte xeito: Empézase polo «1» do cume. Dunha liña á seguinte convén escribir os números cun desfasamento de media casa. Así, as casas (que non se debuxan) terán cada unha dúas casas xusto encima, na liña anterior. O valor que se escribe nunha casa é a suma dos valores das dúas casas enriba dela. O valor cero non se escribe. Por exemplo, na última liña debuxada, o cuarto valor é 8428 + 56, suma do terceiro e cuarto valor da liña anterior.
Obsérvase, e non é difícil demostralo, que a diagonal exterior está formada de uns, a segunda diagonal dos naturais en orde crecente, que os números non fan máis que aumentar dunha liña á seguinte e que existe un eixo de simetría vertical que pasa polo vértice.
Con todo, o interese deste triángulo non radica nestas propiedades, senón no vínculo que ten coa álxebra elemental. En efecto, as cifras 1; 2; 1 e 1; 3; 3; 1 recordan as identidades: ( a + b ) 2
a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}
a^{2}+2ab+b^{2}} ( a + b ) 3
a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 {\displaystyle (a+b)^{3}
a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}} pois son os coeficientes dos seus monomios. Este parecido non é casual e xeneralízase a calquera potencia do binomio a + b. Fórmula
Na n {\displaystyle n} -ésima fila do triángulo de Pascal, a entrada na posición k {\displaystyle k} denótase como ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}, e pronúnciase como n sobre k. Por exemplo, a entrada máis alta é ( 00 )
1 {\displaystyle {\tbinom {0}{0}}
1}. Con esta notación, a construción do parágrafo da introdución pode escribirse como ( n k )
( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}
{n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}} para calquera número enteiro positivo n {\displaystyle n} e calquera número enteiro 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n}. Esta recorrencia para os coeficientes binomiais coñécese como Regra de Pascal. Relación entre o triángulo de Pascal e o binomio de Newton
A fórmula que dá o desenvolvemento de ( a + b ) n {\displaystyle (a+b)^{n}} segundo as potencias crecentes de a (e decrecentes de b) chámase binomio de Newton. Nesta expresión, o único que se descoñece son os coeficientes dos monomios a k b n − k {\displaystyle a^{k}b^{n-k}}.
Teorema Os coeficientes da forma desenvolvida de (a + b)n son dados pola liña número n+1 do triángulo de Pascal (a que empeza por 1 e n). Proba
Xa está visto que é certo para n
2 e n
3. Tamén o é para n 0.
Para establecer o resultado para calquera valor de n ∈ ℕ, o máis natural é proceder por indución.
Supondo que é certo para un valor de n, hai que deducir que o é tamén para n+1. No canto de facelo no caso xeral (sería pouco claro) miremos que sucede ao pasar da liña n
3 á liña n
4. Como mostra a figura, o desenvolvemento de (a + b)4 consiste en dúas copias do desenvolvemento de (a + b)3. Están desfasadas (unha corresponde a a⋅(a + b)3 e a outra a b⋅(a + b)3) e cando se suman, un mesmo coeficiente aparece nunha posición dada e outra vez un paso á dereita.
Se se consideran só os coeficientes, inscritos en sendas casas, obtemos a suma seguinte: e obviamente non fai falta escribir dúas veces as mesmas cifras: a suma consiste en engadir a un coeficiente o coeficiente inmediatamente á súa dereita (o 1 co 3, o 3 co segundo 3 etc) e isto é xustamente o que se fai no triángulo de Pascal. Noutras palabras, o triángulo simula a multiplicación de (a + b), dunha liña á seguinte. Coeficientes do binomio de Newton
Inscríbese o triángulo de Pascal nunha táboa para poder nomear a cada coeficiente do mesmo. O número na liña n e a columna k (que na figura aparecen como as antidiagonais con letra p) denótase: ( n k ) {\displaystyle n \choose k} ou máis raramente C n k {\displaystyle C_{n}^{k}} ou C ( n, k ). {\displaystyle C(n, k). } ("C" por "combinación") (por exemplo en calculadoras de peto, como a TI-86 e familia), e dise "n sobre k", "combinación de n en k" moito máis curto que "coeficiente binomial n, k". As casas baleiras corresponden a valores nulos. Por definición mesma, temos, (para todo n natural): para calquera valor de a e b. De feito, é unha igualdade de polinomios en Z [ a, b ] {\displaystyle \mathbb {Z} [a, b]}. Sen perder en xeneralidade, resulta ás veces máis práctica a "definición": ( x + 1 ) n
∑ k
0 n ( n k ) x k {\displaystyle (x+1)^{n}
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}x^{k}} vista como unha igualdade de polinomios en Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]}. Desta fórmula dedúcense dúas consecuencias: Tomando x
1 {\displaystyle x
1} obtense: ∑ k
0 n ( n k )
2 n {\displaystyle \sum _{k
0}^{n}{n \choose k}
2^{n}} A suma dos coeficientes dunha mesma liña vale 2n. En efecto: 1
20, 1 + 1
2
2¹, 1 + 2 + 1
4
2², 1 + 3 + 3 + 1
8
2³, 1 + 4 + 6 + 4 + 1
1624. .. ·
Tomando x
− 1 {\displaystyle x
-1} obtense, (para n > 0): ∑ k
0 n ( n k ) ( − 1 ) k
0 {\displaystyle \sum _{k
0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}
0} a suma alterna dos números dunha mesma liña vale 0.
En efecto: 1 - 1
0, 1 - 2 + 1
0, 1 - 3 + 3 - 1
0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1
0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 10. ..
As propiedades que observamos no triángulo pódense agora escribir con todo rigor (ter en conta de novo que usualmente úsase a letra k para a columna que aparece na figura como p): E claro, a regra de construción do triángulo dá a relación fundamental dos coeficientes binomiais (escrita comezando cos sumandos no índice da fila inferior, mentres que no apartado da fórmula escríbese comezando co resultado do índice da fila superior): ( n k ) + ( n k + 1 )
( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle {n \choose k}+{n \choose {k+1}}
{{n+1} \choose {k+1}}} Diagonais
As diagonais do triángulo de Pascal conteñen os números figurados dos simplex: As diagonais que van polos lados esquerdo e dereito só conteñen 1.
As seguintes diagonais ás laterais conteñen os números naturais en orde.
Movéndose cara a dentro, o seguinte par de diagonais conteñen os números triangulares en orde.
O seguinte par de diagonais contéñen os números tetraédricos en orde, e o seguinte par dá os números do pentatopo.
En xeral P 0 ( n )
P d ( 0 )
1, P d ( n )
P d ( n − 1 ) + P d − 1 ( n )
∑ i
0 n P d − 1 ( i )
∑ i
0 d P i ( n − 1 ). {\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(n)&
P_{d}(0)
1, \\P_{d}(n)&
P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&
\sum _{i
0}^{n}P_{d-1}(i)
\sum _{i
0}^{d}P_{i}(n-1). \end{aligned}}} Unha fórmula alternativa que non implica recursión é P d ( n )
1 d! ∏ k
0 d − 1 ( n + k )
n ( d ) d!
( n + d − 1 d ), {\displaystyle P_{d}(n)
{\frac {1}{d! }}\prod _{k
0}^{d-1}(n+k)
{n^{(d)} \over d! }
{\binom {n+d-1}{d}}, } onde n(d) é o factorial ascendente. Interpretación en combinatoria
Os coeficientes binomiais son a base mesma da combinatoria. Vexamos o porqué:
Tomemos de novo un binomio, por exemplo ( a + b ) 3 {\displaystyle (a+b)^{3}}, e desenvolvémolo, pero dun xeito distinto do parágrafo anterior: ( a + b ) 3
( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b ) {\displaystyle (a+b)^{3}
(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)} agora quitemos o paréntese, pero sen mudar a orde nos produtos, é dicir sen aplicar a conmutatividade: ( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + b )
( a a + a b + b a + b b ) ⋅ ( a + b ) {\displaystyle (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)
(aa+ab+ba+bb)\cdot (a+b)}
a a a + a a b + a b a + a b b + b a a + b a b + b b a + b b b {\displaystyle
aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb\quad } E agrupemos os termos que conteñen o mesmo número de a, (e de b):
a a a + ( a a b + a b a + b a a ) + ( a b b + b a b + b b a ) + b b b {\displaystyle
aaa+(aab+aba+baa)+(abb+bab+bba)+bbb\quad } A primeira paréntese contén todas as palabras constituídas dun b e dous a. Neste caso, é fácil ver que hai exactamente tres. No caso xeral, para contar as palabras, hai que aplicar a conmutatividade, pois as palabras que conteñen o mesmo número de a e de b darán o mesmo termo:
1 ⋅ a 3 + 3 ⋅ a 2 b + 3 ⋅ a b 2 + 1 ⋅ b 3 {\displaystyle
1\cdot a^{3}+3\cdot a^{2}b+3\cdot ab^{2}+1\cdot b^{3}} Obviamente, só hai unha palabra de tres letras constituídas de a soamente, e isto corresponde ao monomio 1·a³, con 1 ( 30 ) {\displaystyle {3 \choose 0}} («0» por ningunha b).
No canto de falar de palabras formadas con a e b, é equivalente imaxinar unha fileira de n caixóns inicialmente baleiros, e p bólas intercambiables que se teñen que repartir, en cada caixón non cabendo máis dunha. Trátase en todos os casos de repartir p obxectos entre n sitios posibles, ou de escoller un grupo de p obxectos/sitios entre n obxectos/sitios. De aí a apelación p entre n.
Todo o anterior leva ao teorema: En matemática formal, prefírese falar de conxuntos: Este punto de vista permite achar a fórmula para os coeficientes binomiais. En efecto, para elixir o «primeiro» elemento, hai n posibilidades, logo para escoller o segundo quedan n-1 posibilidades e así sucesivamente ata o elemento número p, que ten n-p+1. A orde no que se escolleron estes p elementos non importa, podíase obter o mesmo subconxunto de p elementos noutra orde. Hai p! permutacións posibles destes p elementos, é dicir p! xeitos de obter o mesmo conxunto. En conclusión: ( n p )
n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n − 2 ). .. ( n − p + 1 ) p ⋅ ( p − 1 ) ⋅ ( p − 2 ). .. 2 ⋅ 1
n! p! ⋅ ( n − p )! {\displaystyle {n \choose p}
{\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2). .. (n-p+1)}{p\cdot (p-1)\cdot (p-2). .. 2\cdot 1}}
{\frac {n! }{p! \cdot (n-p)! }}} No triángulo, o valor na quinta liña e segunda columna é 10. Para rematar, listemos as palabras de cinco letras formadas de 2 a e 5-23 b (na orde alfabética, ou na orde crecente considerando que a é a cifra 0 e b a cifra 1):
aabbb, ababb, abbab, abbba, baabb, babab, babba, bbaab, bbaba, bbbaa.
A fórmula permite verificar todas as propiedades do parágrafo anterior, con todo pódese prescindir dos cálculos na maioría dos casos, con tal de manipular os conceptos idóneos.
Un subconxunto A de E define unha partición de E en dúas partes E
A ∪ B, con A ∩ B
{}
∅ (conxunto baleiro). Aquí B
A ¯ {\displaystyle B {\overline {A}}} é o complementario de A en E.
Dá o mesmo escoller os p elementos de A que os n-p elementos de A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}}. hai tantos xeitos de escoller subconxuntos de tamaño 1 que de elementos de E, e no segundo caso, só existe un conxunto con cero elementos: o conxunto baleiro.
A regra fundamental tamén ten explicación gráfica:
Proba: escóllese un elemento e calquera de E, que contén n+1 elementos: E E' ∪ {e}. Logo considéranse os subconxuntos A de E de cardinal p+1. Son de dous tipos: ou conteñen e, ou non. Sumando os dous casos, obtense todas as partes de p+1 elementos de E, constituído de n+1 elementos. Un exemplo: Aquí vai unha propiedade aritmética, sen interpretación xeométrica: cando n é primo, os coeficientes binomiais na liña n son divisibles por n, excepto os dous bordos da mesma (que valen 1).
Escrito formalmente: Na figura, os exemplos están en verde, e os contraexemplos (cando n non é primo e p divide n) en amarelo. n aparece unha vez no numerador e xamais no denominador.
(O denominador é un produto de números entre 1 e n-1). Xa que logo a fracción é divisible por n. Xeneralización
No canto de considerar as potencias de a + b, pódese mirar as do trinomio a + b + c.
(a + b + c)n é unha suma de monomios da forma λp, q, r
·a p·bq·cr, con p, q e r positivos, p + q + r n, e λp, q, r un natural que se tería que chamar coeficiente trinomial.
Os cálculos son similares aos do coeficiente binomial, e dan a expresión seguinte: λ p, q, r
n! p! q! r! {\displaystyle \lambda _{p, q, r}
{\frac {n! }{p! q! r! }}} Corresponde ao número de partición en tres dun conxunto de n elementos, en subconxuntos de p, q e r elementos. Un exemplo: Estes coeficientes pódense achar na analoxía tridimensional do triángulo de Pascal: Poderíase chamar a pirámide de Pascal, é tamén infinita, con seccións triangulares, e o valor en cada casa é a suma dos valores das tres casas encima dela.
Debuxáronse as primeiras seccións a partir do cume.
Obsérvase unha invariante por rotación de 120 graos ao redor dun eixo vertical que pasa polo vértice.
O triángulo de Pascal aparece nas tres caras da pirámide.
Está claro que todo isto pódese xeneralizar a calquera dimensión finita, pero sen a posibilidade de facer debuxos explicativos.