Historia das matemáticas

A área do estudo coñecido como a historia de matemáticas é principalmente unha investigación da orixe dos descubrimentos en matemáticas e, a unha extensión menor, unha investigación dos métodos matemáticos e da notation no pasado.
Antes de que a Idade Moderna e a extensión mundial do coñecemento, os exemplos escritos dos descubrimentos matemáticos alumeaban só na zona na que se realizaban. Os textos matemáticos máis antigos dispoñíbeis é Plimpton 322 (babilónico c. 1900 a. C. ), o Papiro de Rhind (exipcio c. 2000–1800 a. C. ) e o Papiro de Moscova (exipcio c. 1890 a. C. ). Todos estes textos recollen o chamado teorema de Pitágoras, que parece para ser o descubrimento matemático máis antigo e estendido tras a aritmética e a xeometría básicas.
O estudo da matemáticas como disciplina demostrativa empeza no século VI a. C. cos pitagóricos, quen cuñaron o vocábulo "matemáticas" do grego antigo μάθημα (mathema), que significa "asunto de instrución". Os matemáticos gregos refinaron moito os métodos (especialmente pola introdución do razoamento dedutivo e o rigor matemático nas probas) e expandiron a materia de estudo das matemáticas. Os matemáticos chineses fixeron contribucións temperás, incluíndo un sistema de valor posicional. O sistema de numeración indoarábigo e as regras para o uso das súas operacións, de uso mundial na actualidade, probabelmente evolucionou sobre o primeiro milenio na India e foi transmitido ao oeste a través das matemáticas islámicas polo traballo de Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Os matemáticos islámicos, á súa vez, desenvolveron e expandiron os coñecementos matemáticos a estas civilizacións. Moitos textos gregos e árabes en matemáticas foron entón traducidos ao latín, o cal liderou o desenvolvemento posterior das matemáticas na Europa medieval.
Desde tempo antigo ata a Idade Media, os períodos de descubrimento matemático foron seguidos por séculos estancamento. Comezando na Italia do Renacemento no século XVI, os novos desenvolvementos matemáticos, interactuando con descubrimentos científicos novos, foron aumentando de xeito crecente ata o presente. Matemáticas prehistórica
As orixes das matemáticas xacen nos conceptos de número, magnitude e forma. Os estudos modernos sobre cognición animal mostraron que estes conceptos non son exclusivos dos seres humanos. Tales conceptos serían parte da vida diaria das sociedades de cazadores-recolectores. A idea do "concepto" de número que evolucionou gradualmente no tempo está apoiado pola existencia de linguas que preservan a distinción entre "un", "dous", e "moitos", mais non dos números maiores que dous.
Os artefactos prehistóricos descubertos en África, dataron en 20000 anos ou máis as tentativas temperás para medir o tempo. O óso de Ishango, atopado preto das fontes do río Nilo (nordeste do Congo), pode ter máis de 20000 anos e consiste nunha serie de marcas realizadas en tres columnas que percorren a lonxitude do óso. As interpretacións comúns son que o óso de pode ser a demostración máis temperá das sucesións de números primos ou un calendario lunar de seis meses. Peter Rudman argumenta que o desenvolvemento do concepto dos números primos só poderían acontecer após o concepto de división, o cal é posterior ao 10000 a. C. , co que os números primos probablemente non se entenderían até o 500 a. C. Tamén escribe que "non se fixo ningunha tentativa para explicar por que unha anotación de algo tería que exhibir múltiplos de dous, números primos entre 10 e 20, e algúns números que son case múltiplos de 10". O óso de Ishango, segundo o erudito Alexander Marshack, puido ter influencia no desenvolvemento máis tardío das matemáticas en Exipto xa que, igual que nalgunhas marcas do óso de Ishango, a aritmética exipcia tamén fai uso da multiplicación por 2; isto, con todo, é disputado.
Os exipcios predinásticos do V milenio a. C. representaban pinturas con deseños xeométricos. Afirmouse que os monumentos megalíticos monumentos de Inglaterra e Escocia, datados no III milenio a. C. , incorporan ideas xeométricas como círculos, elipses, e ternas pitagóricas no seu deseño. Con todo, todo isto está discutido, é os documentos matemáticos máis antigos sen discusión proceden de fontes babilónicas e exipcias. Matemáticas babilónicas
A matemáticas babilónicas refírense a calquera matemática dos pobos de Mesopotamia (actual Iraq) dende os días dos sumerios ata o período helenístico case ao amencer do cristianismo. A maioría do estudo babilónico matemático provén de dous períodos moi separados: os primeiros séculos do milenio II a. C. e algúns séculos finais do milenio I a. C. (período seléucida). Chámanse matemáticas babilónicas debido á función central de Babilonia como lugar de estudo. Máis tarde baixo o Califato, Mesopotamia, especialmente Bagdad, unha vez máis deveu nun centro importante de estudo da matemática islámica.
En contraste coas fontes dispersas exipcias, o coñecemento das matemáticas en Mesopotamia derivan das máis de 400 táboas de arxila desenterradas dende a década de 1850. Escritas en escrita cuneiforme, as táboas foron inscritas mentres a arxila estaba húmida e endurecidas logo nun forno ou pola calor do sol. Algúns dos textos parecen ser deberes escolares.
A evidencia escrita máis temperá data dos antigos sumerios, quen construíron a civilización máis temperá en Mesopotamia. Desenvolveron un sistema complexo de metroloxía dende o 3000 a. C. A partir do 2500 a. C. os sumerios escribiron táboas de multiplicar en táboas de arxila e tratados con exercicios xeométricos e problemas de división. Os rastros máis temperáns dos números babilónicos tamén datan deste período. A matemática babilónica empregaba un sistema numeral sexaxesimal (base-60). Probabelmente se escolleu o sistema sexagesimal porque 60 pode ser dividido por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30. Ao contrario dos exipcios, os gregos e os romanos, os babilonios tiñan un sistema de numeración posicional, no que os díxitos escritos na columna esquerda representan valores máis grandes, como no sistema decimal. O poder da notación babilónica reside en que podía empregarse para representar fraccións tan facilmente como os números enteiros; así, multiplicando dous números que contivesen fraccións non era diferente que multiplicar enteiros, como no sistema moderno. O sistema de notación babilonio era o mellor de calquera civilización até o Renacemento, e o seu poder permitiu conseguir valores salientables pola súa exactitude, como a táboa YBC 7289, que dá unha aproximación de √2 con cinco cifras decimais. Porén, faltaba un equivalente do punto decimal, co que o valor posicional dun símbolo a miúdo tiña que ser inferido dende o contexto. Polo período seléucida, os babilonios desenvolveron o símbolo do cero para as posicións baleiras, mais só se empregaba en posicións intermedias. Este sinal de cero non aparece en posicións terminais, polo que os babilonios non chegaron a construír un verdadeiro sistema de numeración posicional.
Outros temas que foron estudados polos babilonios foron as fraccións, a álxebra e o cálculo de pares recíprocos regulares. Os textos tamén inclúen táboas de multiplicar e métodos para solucionar ecuacións lineares, cuadráticas e cúbicas, unha consecución notábel para ese tempo. Táboas do período antigo tamén confirman que coñecían o teorema de Pitágoras. Con todo, igual que as matemáticas exipcias, as babilónicas non mostran conciencia da diferenza entre solucións exactas e aproximadas, a resolubilidade dun problema ou a afirmación explícita da necesidade de probas ou principios lóxicos. Matemáticas exipcias
As matemáticas exipcias refírense ás matemáticas escritas na lingua exipcia. A partir do período helenístico, o grego substituíu o exipcio como a lingua escrita dos eruditos. Os estudos matemáticos continuaron máis tarde baixo o Imperio árabe como parte das matemáticas islámicas, cando o árabe se converteu na lingua escrita da ciencia.
O texto matemático exipcio máis extenso é o papiro de Rhind (ás veces tamén chamado papiro Ahmes polo seu autor), datado arredor do 1650 a. C. , pero que probablemente é unha copia dun documento máis vello do Imperio Medio, de entre 2000 ou 1800 a. C. É un manual para estudantes sobre aritmética e xeometría. Alén de dar fórmulas da área e métodos para multiplicar, dividir e traballar con fraccións da unidade, tamén contén evidencias doutros coñecementos matemáticos, incluíndo números primos e compostos; media aritmética, xeométrica e harmónico; e fundamentos básicos da criba de Eratóstenes e teoría do número perfecto (en particular do número 6). Tamén explica como solucionar ecuacións lineares, así como sucesións aritméticas e xeométricas.
Outro texto matemático exipcio significativo é o papiro de Moscova, tamén do período medio, datado no 1890 a. C. Consiste en problemas con enunciados, aparentemente creados como diversión. Un dos problemas é particularmente importante porque dá un método para calcular o volume dunha pirámide truncada.
Finalmente, o papiro de Berlín 6619 (c. 1800 a. C. ) mostra que os antigos exipcios sabían resolver ecuacións de segundo grao. Matemáticas gregas
As matemáticas gregas refírense ás matemáticas escritas en lingua grega dende o tempo de Tales de Mileto ata o peche da Academia de Atenas en 529. Os matemáticos gregos viviron nas cidades colonizadas sobre todo o Mediterráneo oriental, dende Italia a África do norte. As matemáticas do período que segue a Alexandre o Grande adoita chamarse matemáticas helenísticas.
As matemáticas gregas eran moito máis sofisticadas que as que desenvolveron culturas anteriores. Todos os documentos sobreviventes das matemáticas pre-gregas mostran o uso de razoamento indutivo, é dicir, observacións repetidas adoitaban establecer regras. Os gregos, pola contra, empregaban razoamento dedutivo. Os gregos empregaban a lóxica para derivar conclusións a partir de definicións e axiomas, e utilizaban rigor matemático para probalas.
Adoita pensarse que a matemática grega comezou con Tales de Mileto e Pitágoras de Samos, no século VI a. C. A pesar de que a extensión da influencia é disputada, probabelmente estaban inspirados polos matemáticos exipcios e babilonios. Segundo a lenda, Pitágoras viaxou a Exipto para aprender matemáticas, xeometría, e astronomía dos sacerdotes exipcios.
Tales empregou a xeometría para solucionar problemas como calcular a altura das pirámides e a distancia de barcos dende a beira. Está acreditado como o primeiro que usou o razoamento dedutivo aplicado á xeometría, por derivar catro corolarios do teorema de Tales. Como resultado, foi considerado como o primeiro matemático auténtico e o primeiro ao que se lle recoñece un descubrimento individual. Pitágoras estableceu a escola pitagórica, cuxa doutrina era que as matemáticas gobernaban o universo e que tiña como lema "todo é número". Os pitagóricos cuñaron o vocábulo "matemáticas" e comezaron o seu estudo. Probaron ademais por primeira vez o teorema de Pitágoras, que xa se coñecía e demostraron a existencia dos números irracionais. A pesar de que foron precedidas polas babilonias e as chinesas, o neopitagórico Nicómaco (60–120) proporcionou unha das primeiras táboas de multiplicar grecorromanas. A asociación dos neopitagóricos coa invención occidental da táboa de multiplicar é evidente no seu nome medieval máis tardío: mensa Pythagorica. Platón é importante na historia das matemáticas por inspirar e guiar outros. A súa Academia, en Atenas, converteuse no centro matemático do mundo no século IV a. C. , e deste escola saíron os principais matemáticos da época, como Eudoxo de Cnido. Platón tamén discutiu sobre as fundacións das matemáticas, aclarou algunhas definicións e reorganizou as suposicións. O método analítico adscríbese tamén a Platón, mentres que unha fórmula para obter ternas pitagóricas leva o seu nome.
Eudoxo (século IV a. C) desenvolveu o método de exhausción, un precursor de integración moderna e unha teoría de proporcións que evitaron o problema das magnitudes inconmensurables. O primeiro permitiu os cálculos de áreas e volumes de figuras curvilíneas, mentres o segundo permitiu aos xeómetras posteriores facer avances significativos nesa área. Aínda que non fixo descubrimentos matemáticos técnicos específicos, Aristóteles (século IV a. C. ) contribuíu significativamente ao desenvolvemento das matemáticas por establecer as bases da lóxica.
No século III a. C. o principal centro de educación e investigación matemática era o Museo de Alexandría. Foi alí onde Euclides ensinou e escribiu os Elementos, amplamente considerado o libro de texto de máis éxito e influencia de todos os tempos. Os Elementos presentaron o rigor matemático polo método axiomático e é o exemplo máis temperán do formato aínda utilizado en matemáticas de definición, axioma, teorema e proba. A pesar de que a maioría dos contidos dos Elementos eran xa coñecidos, Euclides reuniunos nunha única obra coherente. Os Elementos eran coñecidos por todas as persoas educadas en occidente até mediados do século XX e os seus contidos aínda se ensinan nas clases de xeometría. Alén dos teoremas da xeometría euclidiana, os Elementos tamén supoñen un libro de texto de introdución a outras materias matemáticas, como a teoría de números, a álxebra e a xeometría no espazo, incluíndo a demostración de que a raíz cadrada de dous é irracional e que existen infinitos números primos. Euclides tamén escribiu sobre outros temas como seccións cónicas, óptica, xeometría esférica e mecánica, mais só se conserva a metade dos seus escritos. Arquímedes (c. 287–212 a. C. ) de Siracusa, considerado o matemático máis grande da antigüidade, utilizou o método de exhausción para calcular a área baixo o arco dunha parabola coa suma dunha serie infinita, nun xeito non demasiado diferente do cálculo moderno. Tamén mostrou que se podía empregar o método de exhausción para calcular o valor de π con tanta precisión como se desexar, e obtivo o valor máis preciso de π entón coñecido, 310/71 < π < 310/70. Tamén estudou a espiral que leva o seu nome, obtivo fórmulas para os volumes das superficies de revolución (paraboloide, elipsoide, hiperboloide) e un método de exponenciación para expresar números moi grandes. Aínda que tamén se coñecen as súas contribucións á física e á técnica, Arquímedes consideraba máis valiosos os principios da matemática xeral. Considerou como a súa consecución máis grande o seu descubrimento da superficie e do volume dunha esfera, o cal obtivo por probar que son 2/3 da superficie e do volume dun cilindro que circunscribe a esfera.
Apolonio de Perga (c. 262–190 a. C. ) fixo avances significativos no estudo das seccións cónicas, demostrando que se poden obter todas as variedades variando o ángulo do plano que corta un cono. Tamén cuñou a terminoloxía actual: parábola ("sitio xunto a" ou "comparación"), "elipse" ("deficiencia"), e "hipérbole" ("lanzamento máis aló"). A súa obra Cónicas é un dos máis coñecidos traballos matemáticos conservados dende a antigüidade, e del derivan moitos teoremas sobre seccións cónicas que resultarían moi valiosos nos astrónomos e matemáticos posteriores que estudaron o movemento planetario, como Isaac Newton. Mentres que nin Apolonio nin algúns outros matemáticos gregos fixeron o salto para coordinar xeometría, o tratamento das curvas de Apolonio é nalgún xeito similar ao tratamento moderno, e algúns dos seus traballos parecen anticipar o desenvolvemento da xeometría analítica por Descartes 1800 anos máis tarde. Arredor do mesmo tempo, Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 a. C. ) construíu a criba do seu nome para atopar números primos. O século III a. C. está considerado xeralmente como a "Idade De ouro" da matemática grega, con avances en matemática pura que comezaría declinar. Mesmo así, nos séculos que seguiron fixéronse avances significativos en matemáticas aplicadas, especialmente en trigonometría, en gran parte polas necesidades dos astrónomos. Hiparco de Nicea (c. 190–120 a. C. ) é considerado o fundador da trigonometría por compilar a primeira táboa trigonométrica coñecida e tamén se lle debe o uso do círculo de 360 graos. Herón de Alexandría (c. 10–70) é coñecido pola fórmula homónima para atopar a área dun triángulo escaleno e con ser o primeiro en recoñecer a posibilidade dos números negativos que posúen raíces cadradas. Menelao de Alexandría (c. 100) iniciou a trigonometría esférica co teorema de Menelao. O máis completo e influente traballo trigonométrico da antigüidade é o Almaxesto de Ptolomeo (c. 90–168), un tratado astronómico con táboas trigonométricas que foron empregadas nos seguintes milenios. O teorema de Ptolomeo serve para derivar cantidades trigonométricas e tamén fixo o cálculo máis parecido de π fóra da China até o período medieval, 3, 1416.
Tras un período de estancamento os anos entre 250 e 350 son coñecidos como a "Idade de Prata" da matemática grega. Durante este período, Diofanto fixo avances significativos en álxebra, particularmente en análise indeterminada, tamén coñecida como "análise diofantiana". O estudo das ecuacións e aproximacións diofantianas é unha área significativa. O seu traballo principal foi Arithmetica, unha colección de 150 problemas alxébricos que tratan sobre solucións exactas e ecuacións determinadas e indeterminadas. Arithmetica tivo unha influencia significativa en matemáticos máis tardíos, como Pierre de Fermat, quen chegou ao seu famoso último teorema despois de tentar xeneralizar un problema que lía no Arithmetica. Diofanto tamén fixo avances significativos en notación, sendo o primeiro caso de simbolismo alxébrico.
Entre os últimos grandes matemáticos gregos está Pappus de Alexandría (século IV). É coñecido polo teorema do hexágono e o teorema do centroide, así como a configuración e o grafo de Pappus. A súa Colección é unha fonte importante de coñecemento das matemáticas gregas. Pappus considérase o último innovador importante nas matemáticas gregas e as obras posteriores consisten maioritariamente en comentarios sobre traballos anteriores. A primeira matemática coñecida foi Hipatia de Alexandría (350–415), que sucedeu o seu pai como bibliotecaria na Gran Biblioteca e que escribiu moitos traballos sobre matemáticas aplicadas. Debido a unha disputa política, a comunidade cristiá de Alexandría espiuna publicamente e executouna. A súa morte é ás veces tomada como o fin da era das matemáticas gregas en Alexandría, a pesar de que o traballo continuou en Atenas outro século con figuras como Proclo, Simplicio e Eutocio. A pesar de que Proclo e Simplicio eran máis filósofos que matemáticos, os seus comentarios sobre obras anteriores son fontes valiosas. O peche da Academia neoplatónica polo emperador Xustiniano en 529 marca o fin da era matemática grega, a pesar de que a tradición continuou no Imperio Bizantino con matemáticos como Antemio de Trales e Isidoro de Mileto, os arquitectos do Haghia Sophia. Non obstante, a matemática bizantina consistiu maioritariamente en comentarios, con pouca innovación, e os centros de investigación pasaron a outros lugares. Matemáticas chinesas
Unha análise das matemáticas chinesas iniciais demostran que o seu enorme desenvolvemento comparado con outras partes do mundo, os estudosos supoñen que este desenvolvemento tivo lugar de xeito independente. O máis vello texto matemático da China é o Zhoubi suanjing, datado entre o 1200 a. C. e 100 a. C. , aínda que unha data de arredor do 300 a. C. parece razoábel. Con todo, o bambú Tsinghua, contén a táboa de multiplicar decimal máis antiga coñecida, datada arredor de 305 a. C. e é quizais o texto matemático sobrevivente máis vello da China.
É salientable o uso na China do punto decimal, sistema chamado "barras numerais", con cifras distintas para os números entre o 1 e o 10, e cifras adicionais para potencias de dez. Así, o número 123 sería escrito utilizando o símbolo para "1", seguido do símbolo para "100", entón o símbolo para "2" seguido do símbolo para "10" e a continuación o símbolo para "3". Foi o sistema de numeración máis avanzado no mundo nese tempo, aparentemente en uso varios séculos antes da era común e ben antes do desenvolvemento do sistema numeral indio. As barras numerais permitían a representación de números tan grandes como se desexar e tamén cálculos levando como no suan pan, ábaco chinés. A data da invención do suan pan non é segura, mais as datas de mención escritas máis antigas son de 190, en Notas Suplementarias na Arte dos Números, de Xu Yue
O traballo existente máis vello en xeometría na China aparece no canon filosófico mohista (c. 330 a. C. ), recompilado polos seguidores de Mozi (470–390 a. C. ). O Mo Jing describía varios aspectos de moitos campos asociados coa ciencia física, e tamén proporcionaron un número pequeno de teoremas xeométricos.
En 212 a. C. , o Emperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) mandou que todos os libros do imperio Qin que non fosen sancionados oficialmente fosen queimados. Este decreto non foi universalmente obedecido, mais como consecuencia deste encargo pouco se sabe sobre as matemáticas chinesas anteriores. Despois da queima, a dinastía Han (202 a. C. – 220) produciron obras que probabelmente expandiran en traballos agora perdidos. A máis importante é Os Nove Capítulos na Arte Matemática, que apareceu en 179. Consiste en 246 problemas que tratan sobre agricultura, negocio, emprego da xeometría para representar alturas e proporcións das torres de pagodes, enxeñaría e cálculos de triángulos e de valores de π. Creou unha demostración para o teorema de Pitágoras, e unha fórmula matemática para a eliminación de Gauss. Liu Hui comentou o traballo no século III, e deu un valor de π con 5 cifras decimais. No século V Zu Chongzhi computou o valor de π con sete cifras decimais, valor máis preciso durante 1000 anos. Tamén estableceu un método que máis tarde sería chamado principio de Cavalieri para atopar o volume dunha esfera.
A principal etapa das matemáticas chinesas ocorreron no século XIII, última parte do período Song), co desenvolvemento da álxebra chinesa. O texto máis importante daquel período é Espello precioso dos Catro Elementos por Chu Shih-chieh, que discutían as solucións de ecuacións alxébricas de orde superior empregando un método semellando ao de Horner. Contén tamén un esquema do triángulo de Pascal cos coeficientes da binomial ata a oitava potencia, aínda que ambos aparecen noutros traballos chineses xa en 1100. O uso dos diagramas da combinatoria como os cadrados e os círculos máxicos, foron descritos anteriormente e perfeccionados por Yang Hui (1238–1298).
Mesmo despois de que comezase o florencemento do Renacemento, as matemáticas europeas e chinesas eran tradicións separadas, coa produción matemática chinesa declinando a partir do século XIII. Misioneiros xesuítas como Matteo Ricci conectaron as ideas matemáticas entre as dúas culturas entre os séculos XVI e XVIII; porén, entraban na China máis ideas matemáticas das que saían. Matemáticas indias
A civilización máis temperá no subcontinente indio foi a do val do Indo (2600 a 1900 a. C. ) que prosperou na cunca do río Indo. As súas cidades foron creadas con regularidade xeométrica, mais non se conserva ningún documento matemático desta civilización. Os textos máis vellos sobre matemáticas na India son os Sulba Sutras (datado entre o século VIII a. C. e o século II), apéndices a textos relixiosos que dan regras sinxelas para construír altares de varias formas, como cadrados, rectángulos ou paralelogramos. Igual que en Exipto, a preocupación coas funcións do templo sinalan a unha orixe das matemáticas en rituais relixiosos. Os Sulba Sutras dan métodos para construír un círculo con aproximadamente a mesma área dun cadrado dado, os cales implican varias aproximacións diferentes do valor de π. Ademais, computan a raíz cadrada de 2 con varias cifras decimais, lista ternas pitagóricas e dan unha afirmación do teorema de Pitágoras. Todos estes resultados aparecen nas matemáticas babilonias, indicando unha influencia mesopotámica. Non se coñece canto influíron os Sulba Sutras nos matemáticos indios. Como na China, falla a continuidade nas matemáticas indias; os avances significativos están separados por longos períodos de inactividade.
Pāṇini (século V a. C. ) formulou as regras para a gramática sánscrita. A súa notaciónn era similar á moderna notación matemática, e emprega metarregras, transformacións e recursividade. Pingala (séculos III ou I a. C. ), no seu tratado sobre prosodia utiliza un dispositivo que corresponde a un sistema numeral binario. O seu estudo da combinatoria de metros corresponde a unha versión elemental do teorema binomial. O seu traballo tamén contén as ideas básicas da sucesión de Fibonacci (chamada mātrāmeru).
Os seguintes documentos matemáticos indios significativos despois dos Sulba Sutras son os Siddhantas, tratados astronómicos dos séculos IV e V (período Gupta) que mostran unha forte influencia helenística. Son significativos porque conteñen o primeiro caso das relacións trigonométricas baseadas en media corda, como na trigonometría moderna, en lugar da corda completa, como na trigonometría tolemaica. Por unha serie de erros de tradución, as palabras "seno" e "coseno" derivan do sánscrito "jiya" e "kojiya".
No século V Âryabhata escribiu o Aryabhatiya, volume en verso, que pretendía complementar as regras do cálculo empregado nas medidas astronómicas e matemáticas, aínda que sen metodoloxía lóxica ou dedutiva. A pesar de que a metade das entradas son erróneas, no Aryabhatiya inclúe a primeira aparición do sistema decimal posicional. Varios séculos máis tarde, o matemático Abu Rayhan Biruni describiu o Aryabhatiya como "mestura de coios comúns e custosos cristais". No século VII, Brahmagupta identificou o teorema, a identidade e a fórmula que levan o seu nome, e por primeira vez, en Brahma-sphuta-siddhanta, explicou o uso de cero como marcador de posición e como díxito decimal, e explicou o sistema de numeración indoarábigo. Foi a partir dunha tradución deste texto indio (c. 770) que os matemáticos islámicos coñeceron este sistema, que adaptaron nos numerais árabes. Os varios conxuntos de símbolos que se empregan para representar números neste sistema numeral evolucionaron dende os numerais Brahmi.
No século XII, Bhaskara II, no sur da India, escribiu sobre todas as ramas coñecidas das matemáticas. O seu traballo contén obxectos matemáticos equivalentes ou aproximadamente equivalentes a infinitesimais, derivadas, o teorema do valor medio e a derivada da función seno. Entre os historiadores das matemáticas existe controversia sobre canto anticipou a invención do cálculo.
No século XIV, Madhava de Sangamagrama, fundador da escola de matemáticas de Kerala, descubriu a serie de Madhava–Leibniz e calculou o valor de π como 3, 14159265359. Madhava tamén descubriu a serie de Madhava-Gregory para determinar a arcotanxente, a serie de potencias de Madhava-Newton para determinar os senos e os cosenos e a aproximación de Taylor para esas funcións. No século XVI, Jyesthadeva consolidou moitos dos desenvolvementos e teoremas da escola de Kerala no Yukti-bhāṣā. Con todo, a escola non formulou unha teoría sistemática de diferenciación e integración, nin hai evidencia directa de que os seus resultados se transmitisen fóra de Kerala. Matemáticas islámicas
O Imperio islámico estableceuse a través de Persia, o Oriente Medio, Asia Central, África do norte, a Península Ibérica, e parte da India no século VIII e fixo contribucións significativas nas matemáticas. A pesar de que a maioría de textos foron escritos en árabe, a maioría deles non foron escritos por árabes, xa que o árabe era utilizado como a lingua escrita de eruditos non árabes durante o mundo nese tempo. Os persas contribuíron ao mundo de matemáticas xunto cos árabes.
No século IX, o matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī escribiu varios libros importantes sobre os numerais indoarábigos e en métodos para solucionar ecuacións. O seu libro Sobre o cálculo con numerais indios, escrito arredor de 825, xunto co traballo de Al-Kindi, foron fundamentais na extensión das matemáticas e os numerais indios en occidente. A palabra algoritmo deriva da latinización do seu nome, Algoritmi, e a palabra álxebra do título dun dos seus traballos, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala ("Compendios sobre o Cálculo por Compleción e Equilibrado"). Deu unha explicación exhaustiva para a solución alxébrica de ecuacións cuadráticas con raíces positivas, e foi o primeiro en ensinar álxebra nunha forma elemental e para o seu propio interese. Tamén falou do método fundamental de "redución" e "equilibrio", referíndose á transposición de termos ao outro lado dunha ecuación. Esta operación denominouna orixinariamente al-Khwārizmī como al-jabr. A súa álxebra non se preocupaba "dunha serie de problemas para ser resoltos, senón nunha exposición que comeza con termos primitivos nos que as combinacións deben dar todos os tipos posibles de prototipos para ecuacións, que constitúe o verdadeiro obxecto de estudo". Tamén estudou unha ecuación polo seu propio interese.
En Exipto, Abu Kamil estendeu a álxebra ao conxunto de números irracionais, aceptando raíces cadradas e cuartas como solucións e como coeficientes de ecuacións. Desenvolveu tamén técnicas para resolver sistemas con tres ecuacións non lineares de tres incógnitas. Destaca na súa obra o intento de atopar todas as posibles solucións dos seus problemas, incluíndo un do que atopou 2676. Os seus traballos influíron a matemáticos posteriores como Al-Karaji e Fibonacci.
Al-Karaji fixo máis desenvolvementos na álxebra no seu tratado al-Fakhri, no que estendeu a metodoloxía para incorporar potencias e raíces de enteiros de cantidades descoñecidas. Algo semellante a unha proba por indución aparece nunha obra súa de arredor do ano 1000 para probar o terorema binomial, o triángulo de Pascal, e a suma de cubos integrais. O historiador das matemáticas, F. Woepcke, considérao "o primeiro que presentou a teoría do cálculo". Tamén no século X, Abul Wafa traduciu ao árabe os traballos de Diofanto. Ibn al-Haytham foi o primeiro matemático que probou a fórmula para a suma de potencias cuartas empregando un método xeneralizable para determinar a fórmula xeral para a suma de calquera potencia. Formulou unha integración para atopar o volume dun paraboloide, e foi capaz de xeneralizar o seu resultado para as integrais de polinomios de até o cuarto grao. Así estivo preto de atopar unha fórmula xeral para as integrais dos polinomios, mais non se interesou en expresións de grao maior que catro.
A finais do século XI, Omar Khayyam escribiu Discusións das Dificultades en Euclides, un libro no que percibiu problemas nos Elementos de Euclides, especialmente no postulado das paralelas. Foi tamén o primeiro en atopar a solución xeométrica xeral ás ecuacións cúbicas.
No século XIII, Násir al-Din al-Tusí fixo avances en trigonometría esférica. Tamén escribiu traballos influentes sobre o quinto postulado de Euclides. No século XV, Ghiyath al-Kashi calculou o valor de π ata a 16ª cifra decimal. Kashi tamén tivo un algoritmo para calcular raíces n-ésimas, o cal era un caso especial dos métodos dados moitos séculos máis tarde por Ruffini e Horner.
Durante os imperios otomán e safávida a partir do século XV, o desenvolvemento da matemática islámica estancouse. Matemáticas europeas medievais
O interese europeo medieval polas matemáticas foi guiado por preocupacións bastante diferentes das modernas. Un elemento motor foi a crenza que as matemáticas proporcionaban como chave para entender a orde da natureza, frecuentemente xustificada polo Timeo de Platón e unha pasaxe bíblica (no Libro da Sabedoría) na que Deus ordenaba todas as cousas en medida, número e peso.
Boecio proporcionou un lugar para as matemáticas no currículo século VI cando acuñou o vocábulo quadrivium para describir o estudo da aritmética, a xeometría, a astronomía e a música. Escribiu De institutione arithmetica, unha tradución libre dende o grego dunha obra de Nicomaco, De institutione musica, tamén derivado de fontes gregas e unha serie de textos dos Elementos de Euclides. Os seus traballos eran teóricos, máis que prácticos, e foron o fundamento do estudo matemático até a recuperación das obras gregas e árabes.
No século XII, eruditos europeos viaxaron a España e Sicilia na busca de textos árabes científicos, incluíndo o de al-Khwārizmī, que foi traducido ao latín por Robert de Chester, e o texto completo dos Elementos de Euclides, traducido en varias versións por Adelard de Bath, Herman de Carinthia e Gerard de Cremona. Estas e outras fontes provocaron a renovación das matemáticas.
Leonardo de Pisa, agora coñecido como Fibonacci, aprendeu casualmente sobre os números indoarábigos nunha viaxe a Béjaïa, Alxeria co seu pai, que era mercador. Alí, observou que o sistema de aritmética baseado na notación posicional era moito máis eficiente e fácil para o comercio. Leonardo escribiu Liber Abaci en 1202 (actualizado en 1254) presentando a técnica a Europa e comezando a súa popularidade. O libro tamén trouxo a Europa a coñecida como sucesión de Fibonacci.
O século XIV viu o desenvolvemento de conceptos matemáticos novos para investigar unha ampla gama de problemas.
Thomas Bradwardine expresou a relación entre a velocidade (V), a forza (F) a resistencia (R) cunha serie de exemplos específicos, mais a pesar de que os logaritmos aínda non foran concibidos, pódese expresar a súa conclusión de xeito anacrónico como:
V log (F/R). A análise de Bradwardine é un exemplo sobre a transferencia dunha técnica matemática empregada por al-Kindi e Arnald de Villanova para cuantificar a natureza dos compostos nun problema físico diferente.
Un dos calculistas de Oxford do século XIV, William Heytesbury, carecendo do cálculo diferencial e o concepto de límites, propuxo a medida da velocidade instantánea "do xeito que sería descrito por [un corpo] se. .. se movese uniformemente no mesmo grao de velocidade co cal se move naquel instante".
Heytesbury e outros determinaron matematicamente a distancia cuberta por un corpo que experimenta movemento acelerado uniformemente (hoxe solucionado por integración), expondo que "un corpo que se move uniformemente adquirindo ou perdendo incrementos [de velocidade] atravesará nalgún momento unha [distancia] completamente igual a aquela que tiña se se movese continuamente o mesmo tempo co grao medio [de velocidade]".
Nicole Oresme na universidade de París e o italiano Giovanni di Casali proporcionaron independentemente demostracións gráficas desta relación, afirmando que a área baixo a liña que describe a aceleración constante representaba a distancia total percorrida. Nun comentario matemático máis tardío nos Elementos de Euclides, Oresme fixo unha análise xeral máis detallada na cal demostrou que un corpo adquirirá en cada sucesivo incremento de tempo un incremento de calquera natureza que aumenta cos números impares. Xa que Euclides demostrara que as sumas dos números primos son os cadrados perfectos, a calidade total adquirida polo corpo aumenta co cadrado do tempo. Matemáticas do renacemento
Durante o Renacemento, o desenvolvemento de matemáticas e da contabilidade estivo interrelacionado. Como non existía relación directa entre a álxebra e a contabilidade, o ensino das materias e os libros publicados a miúdo estaban destinados aos fillos dos mercadores enviados as escolas (en Flandres e Alemaña) ou as escolas do ábaco, onde aprendían habilidades para o comercio. Operacións básicas como o cálculo do xuro composto e aritmética básica era fundamental.
Piero della Francesca (c. 1415–1492) escribiu libros de xeometría sólida e perspectiva linear, incluíndo De Prospectiva Pingendi (Sobre a perspectiva para pintura), Trattato d'Abaco (Tratado do ábaco) e De corporibus regularibus (Sólidos regulares).
Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità, de Luca Pacioli foi publicado por primeira vez en Venecia en 1494. Incluía o tratado de 27 páxinas "Particularis de Computis et Scripturis" (italiano: "Detalles de Cálculo e Rexistro"). Foi escrito e vendido principalmente para mercadores e empregouse como libro de texto e como fonte para xogos matemáticos. En Summa Arithmetica, Pacioli presentou por primeira vez os símbolos para máis e menos impresos, símbolos que se converteron en estándar durante o Renacemento italiano. Pacioli tomou moitas das súas ideas de Piero Della Francesca.
En Italia, durante a primeira metade do século XVI, Scipione del Ferro e Niccolò Fontana Tartaglia descubriron solucións para as ecuacións cúbicas. Gerolamo Cardano publicoullenas no seu libro Ars Magna (1545) xunto cunha solución para as ecuacións cuárticas descuberta polo seu alumno Lodovico Ferrari. En 1572 Rafael Bombelli publicou L'Algebra no que mostrou como tratar as cantidades imaxinarias que poderían aparecer nas fórmulas de Cardano.
O libro de Simon Stevin De Thiende (A arte dos décimos), publicado en neerlandés en 1585, incluíu o primeiro tratamento sistemático da notación decimal, que influíu en todo o traballo posterior sobre o sistema dos número reais.
Debido ás esixencias da navegación e á necesidade de mapas precisos de áreas grandes, a trigonometría medrou para converterse nunha rama importante das matemáticas. Bartholomaeus Pitiscus foi o primeiro para utilizar a palabra, publicando Trigonometria en 1595. A táboa de senos e cosenos de Regiomontanus fora publicada en 1533.
Durante o Renacemento o desexo de artistas para representar o mundo natural de xeito realista, xunto co redescubrimento da filosofía grega, levou aos artistas a estudar matemáticas. A arte de pintar en perspectiva, e os desenvolvementos en xeometría que implicou, foi estudado intensamente. Matemáticas durante a Revolución Científica
Século XVII
O século XVII viu un aumento inédito das ideas matemáticas e científicas a través en Europa. Galileo observou as lúas de Xúpiter empregando un telescopio baseado nun xoguete importado desde Holanda. Tycho Brahe reunira unha cantidade enorme de datos matemáticos que describían as posicións dos planetas no ceo. Pola súa posición como axudante de Brahe, Johannes Kepler expuxo o tema do movemento dos planetas. Os seus cálculos foron máis sinxelos pola invención dos logaritmos por John Napier e Jost Bürgi. Kepler tivo éxito na formulación das leis matemáticas do movemento planetario. A xeometría analítica desenvolvida por René Descartes (1596–1650) permitiu representar aquelas órbitas nunha gráfica, en coordenadas cartesianas.
A partir de traballos de moitos predecesores, Isaac Newton descubriu as leis da física que explican as leis de Kepler e reuniu os conceptos coñecidos como cálculo infinitesimal. Independentemente, Gottfried Wilhelm Leibniz, desenvolveu o cálculo e a súa notación aínda en uso. A ciencia e as matemáticas convertéranse nun traballo internacional.
Alén da aplicación de matemáticas aos estudos do ceo, a matemática aplicada empezou a expandirse a áreas novas, coa correspondencia entre Pierre de Fermat e Blaise Pascal, que puxeron as bases para a teoría da probabilidade e a combinatoria nas súas discusións sobre os xogos de azar. Pascal, coa súa aposta, empregou a probabilidade para xustificar unha vida dedicada a relixión na terra, xa que mesmo se a probabilidade de éxito era pequena, as recompensas eran infinitas.
Século XVIII
O matemático máis influente do século XVIII foi Leonhard Euler. As súas contribucións serviron para fundar a teoría de grafos co problema das sete pontes de Königsberg a estandarizar moitos vocábulos e notación matemáticos. Por exemplo, nomeou a raíz cadrada de menos 1 co símbolo i, e popularizou o uso da letra grega π {\displaystyle \pi } para a proporción dunha circunferencia co seu diámetro. Fixo contribucións numerosas na topoloxía, o cálculo, a combinatoria e a análise complexa, como indican a multitude de teoremas e notacións co seu nome.
Outros matemáticos europeos importantes do século foron Joseph Louis Lagrange, pioneiro na teoría de números, álxebra, cálculo diferencial e cálculo de variacións, e Laplace que traballou na fundación da mecánica celeste e a estatística. Matemáticas modernas
Século XIX
Durante o século XIX as matemáticas volvéronse máis abstractas. Carl Friedrich Gauss (1777–1855) define esta tendencia. Realizou un revolucionario traballo en funcións de variábeis complexas, en xeometría e na converxencia de series, deixando á parte as súas moitas contribucións á ciencia. Tamén deu as primeiras probas satisfactorias do teorema fundamental da álxebra e da lei cuadrática da reciprocidade. Este século viu o desenvolvemento das dúas formas de xeometría non euclidiana, nas que non se mantén o postulado das paralelas da xeometría euclidiana.
O matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski e o húngaro János Bolyai, independentemente definiron e estudaron a xeometría hiperbólica, na que non se observa a unicidade das paralelas. Nesta xeometría a suma dos ángulos nun triángulo engaden até menosé menor que 180°. A xeometría elíptica foi desenvolvida máis tarde no mesmo século polo matemático alemán Bernhard Riemann; aquí non se ten ningunha paralela e os ángulos nun triángulo suman máis de 180°. Riemann tamén desenvolveu a xeometría que leva o seu nome, que unifica e xeneraliza os tres tipos de xeometría, e definiu o concepto dun variedade, que xeneraliza as ideas de curvas e superficies.
O século XIX viu o comezo da álxebra abstracta. Hermann Grassmann en Alemaña deu unha primeira versión de espazos vectoriais, William Rowan Hamilton en Irlanda desenvolveu a álxebra non comutativa e o matemático británico George Boole iniciou unha álxebra que evolucionou ao que agora se chama álxebra de Boole, na que os únicos números eran 0 e 1. A álxebra de Bool é o punto de partida da lóxica matemática e ten aplicacións importantes na informática.
Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass reformularon o cálculo dun xeito máis rigoroso.
Tamén se exploraron por primeira vez os límites de matemáticas. O noruegués Niels Henrik Abel e o francés Évariste Galois demostraron que non existe un método alxébrico xeral para resolver ecuacións polinómicas de grao maior que catro (teorema de Abel–Ruffini). Outros matemáticos do século empregaron o resultado para demostrar que non é posible usar só regra e compás para trisecar un ángulo arbitrario, duplicar o volume dun cubo ou cuadrar o círculo, problemas que se tentaran solucionar dende os tempos dos antigos gregos. Doutra banda, a limitación das tres dimensións en xeometría foi superada ao considerárense os espazos de parámetros e os números hipercomplexos.
As investigacións de Abel e Galois nas solucións de ecuacións polinómicas sentaron as bases de desenvolvementos posteriores da teoría de grupos, e campos asociados da álxebra abstracta. No século XX os físicos e outros científicos viron na teoría de grupos o xeito ideal de estudar simetría.
A finais do século, Georg Cantor estabeleceu os fundamentos da teoría de conxuntos, que permitiu un tratamento rigoroso da noción de infinito e se converteu en notación común de case todas as matemáticas. A teoría de Cantor e a lóxica matemática, estudada por Peano, L. E. J. Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell e A. N. Whitehead, iniciou o longo debate dos fundamentos das matemáticas.
No século XIX fundáronse ademais numerosas sociedades matemáticas nacionais. A primeira sociedade internacional de especial interese, a Quaternion Society, fundouse en 1899.
Século XX
Nun discurso de 1900 no Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert indicou unha listaxe de 23 problemas sen resolver nas matemáticas. Estes problemas formaron un foco central de moitas das matemáticas do século XX. Foron resoltos totalmente 10 e parcialmente 7. Hai dous abertos e catro cunha formulación demasiado vaga.
Probáronse algunha conxecturas históricas notábeis. En 1976, Wolfgang Haken e Kenneth Appel utilizaron un computador para probar o teorema das catro cores. Andrew Wiles, a partir doutros traballos, probou o último teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen e Kurt Gödel probaron que a hipótese do continuum é independente dos axiomas estándares da teoría de conxuntos.
Tiveron lugar enormes colaboracións matemáticas. Un exemplo é a clasificación de grupos sinxelos finitos, cunha proba realizada entre 1955 e 1983 que requiriu 500 artigos de 100 autores, e encheu decenas de miles de páxinas. Un grupo de matemáticos franceses, incluíndo Jean Dieudonné e André Weil, publicando baixo o pseudónimo "Nicolas Bourbaki", tentaron expoñer todas as matemáticas coñecidas de xeito rigoroso e coherente. As ducias de volumes resultantes tiveron unha influencia polémica na educación matemática. A análise non estándar, presentada por Abraham Robinson, rehabillitou o cálculo infinitesimal, que decaera en favor da teoría de límites, estendendo o campo de números reais aos números hiperreais. Un sistema numérico máis grande, os números surreais, foron descubertos por John Horton Conway en relación cos xogos combinatorios.
O desenvolvemento das computadoras, primeiro analóxicas e logo dixitais, permitiron o desenvolvemento de novas áreas das matemáticas: a teoría da computabilidade de Alan Turing; a teoría da complexidade; a teoría da información de Claude Shannon; procesamento de sinal; análise de dato; optimization e outras áreas da investigación operativa. O aumento da informática deu importancia a áreas como a matemática discreta e a expansión da combinatoria ou a teoría de grafos. Algúns importantes algoritmos desenvolvidos son o algoritmo do símplex, a transformada rápida de Fourier, o filtro de Kalman na teoría de control e o algoritmo de RSA da criptografía da clave pública.
Á vez, estudáronse ideas sobre as limitacións das matemáticas. En 1929 e 1930, probouse que a a verdade ou a falsidade de todas as afirmacións formuladas sobre os números naturais coa suma ou a multiplicación era decidible, é dicir, podería ser determinado por algún algoritmo. En 1931, Kurt Gödel comprobou que isto non era así para os números naturais con ambas as operacións; este sistema, coñecido como aritmética de Peano, era de feito incompletable. Unha consecuencia dos dous teoremas de incompletude de Gödel é que en calquera sistema matemático que inclúa a aritmética de Peano hai afirmacións verdadeiras que non poden ser probadas dentro do sistema. Por iso as matemáticas non poden ser reducidas á lóxica matemática, e o soño de David Hilbert de facer toda a matemática completa e consistente ten que ser reformulado. Unha das máis interesantes figuras das matemáticas do século XX foi Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887–1920), autodidacta indio que conxecturou ou probou uns 3000 teoremas. Tamén realizou investigacións importantes nas áreas das funcións gamma, as series diverxentes e os números primos.
Paul Erdős publicou máis artigos que ningún outro matemático na historia, traballando con centos de colaboradores.
Emmy Noether é considerada como a muller máis importante na historia de matemáticas. Estudou as teorías de aneis, campos, e álxebras.
Como na maioría das áreas de estudo, a explosión do coñecemento na idade científica levou á especialización: na fin do século existían centos de áreas na clasificación das matemáticas. Cada vez se publicaban máis revistas matemáticas e o desenvolvemento da World Wide Web levou á publicación en liña.
Século XXI
En 2000, o Instituto Clay de Matemáticas anunciou os sete premios para os Problemas do Milenio, e en 2003 Grigori Perelman resolveu a conxectura de Poincaré, mais declinou o premio como crítica ás institucións matemáticas.
A maioría das revistas matemáticas teñen versións en liña ademais das impresas, e moitas só se lanzan en Internet. Hai un aumento da publicación aberta, popularizada polo arXiv.