Polinomios de Bernoulli

En matemáticas os polinomios de Bernoulli B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} son definidos mediante unha función xeradora exponencial, tal como se expón a continuación: e t x t e t − 1
∑ n
0 ∞ B n ( x ) t n n! {\displaystyle {\frac {et^{xt}}{e^{t}-1}}
\sum _{n
0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n! }}}.
Aparecen no estudo de moitas funcións especiais, en particular da función zeta de Riemann e da función zeta de Hurwitz. Os números de Bernoulli b n {\displaystyle b_{n}} (normalmente expresados como B n {\displaystyle B_{n}} e escritos aquí con minúscula para distinguilos dos polinomios) son os termos independentes dos polinomios correspondentes, b n
B n ( 0 ) {\displaystyle b_{n}
B_{n}(0)}.
A identidade B k + 1 ( x + 1 ) − B k + 1 ( x )
( k + 1 ) x k {\displaystyle B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)
(k+1)x^{k}\, } expón unha forma pechada da suma dos n primeiros números enteiros positivos elevados a unha potencia k, ∑ i
1 n i k
1 k + 2 k + ⋯ + n k
B k + 1 ( n + 1 ) − B k + 1 ( 0 ) k + 1 {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}{i^{k}}
1^{k}+2^{k}+\cdots +n^{k}
{\frac {B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}}}.
Un conxunto similar de polinomios, baseado nunha función xeradora, é a familia de polinomios de Euler. Neste artigo mencionaremos propiedades e fórmulas para ambas as dúas familias. Representacións
Funcións xeradoras exponenciais
A funcións xeradora para os polinomios de Bernoulli é t e x t e t − 1
∑ n
0 ∞ B n ( x ) t n n! . {\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}
\sum _{n
0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n! }}. } E para os polinomios de Euler é 2 e x t e t + 1
∑ n
0 ∞ E n ( x ) t n n! . {\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}
\sum _{n
0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n! }}. }
Fórmula explícita
Para os polinomios de Bernoulli B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} e mais Euler E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(x)} respectivamente, temos, B n ( x )
∑ k
0 n ( n k ) B n − k x k, {\displaystyle B_{n}(x)
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}, } E m ( x )
∑ k
0 m ( m k ) E k 2 k ( x − 12 ) m − k. {\displaystyle E_{m}(x)
\sum _{k
0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)^{m-k}. } para n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0}, onde os B k {\displaystyle B_{k}} son os números de Bernoulli, e os E k {\displaystyle E_{k}} son os números de Euler.
Dedúcese logo que B n ( 0 )
B n {\displaystyle B_{n}(0)
B_{n}} (numeradores (secuencia A027641 na OEIS) e denominadores (secuencia A027642 na OEIS))
e E m ( 12 )
12 m E m {\displaystyle E_{m}{\big (}{\tfrac {1}{2}}{\big )}
{\tfrac {1}{2^{m}}}E_{m}} ((secuencia A122045 na OEIS), tendo en conta que hai quen usa outro criterio usando só os números de índice par, ver números de Euler). Expresión de polinomios de menor grao
Os primeiros polinomios de Bernoulli son: B 0 ( x )
1 {\displaystyle B_{0}(x)
1\, } B 1 ( x )
x − 1 / 2 {\displaystyle B_{1}(x)
x-1/2\, } B 2 ( x )
x 2 − x + 1 / 6 {\displaystyle B_{2}(x)
x^{2}-x+1/6\, } B 3 ( x )
x 3 − 32 x 2 + 12 x {\displaystyle B_{3}(x)
x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\, } B 4 ( x )
x 4 − 2 x 3 + x 2 − 130 {\displaystyle B_{4}(x)
x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\, } B 5 ( x )
x 5 − 52 x 4 + 53 x 3 − 16 x {\displaystyle B_{5}(x)
x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\, } B 6 ( x )
x 6 − 3 x 5 + 52 x 4 − 12 x 2 + 142 {\displaystyle B_{6}(x)
x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}\, }.
Os primeiros polinomios de Euler son: E 0 ( x )
1, E 4 ( x )
x 4 − 2 x 3 + x, E 1 ( x )
x − 12, E 5 ( x )
x 5 − 52 x 4 + 52 x 2 − 12, E 2 ( x )
x 2 − x, E 6 ( x )
x 6 − 3 x 5 + 5 x 3 − 3 x, E 3 ( x )
x 3 − 32 x 2 + 14, ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&
1, &E_{4}(x)&
x^{4}-2x^{3}+x, \\[4mu]E_{1}(x)&
x-{\tfrac {1}{2}}, &E_{5}(x)&
x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}, \\[4mu]E_{2}(x)&
x^{2}-x, &E_{6}(x)&
x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x, \\[-1mu]E_{3}(x)&
x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}}, \qquad \ \ &&\ \, \, \vdots \end{aligned}}} Propiedades dos polinomios de Bernoulli
Diferenzas
Os polinomios de Bernoulli e Euler obedecen a moitas relacións do cálculo sombra usado por Édouard Lucas, por exemplo. B n ( x + 1 ) − B n ( x )
n x n − 1 {\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)
nx^{n-1}\, } E n ( x + 1 ) + E n ( x )
2 x n {\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)
2x^{n}\, }
Derivadas
B n ′ ( x )
n B n − 1 ( x ) {\displaystyle B_{n}'(x)
nB_{n-1}(x)\, } E n ′ ( x )
n E n − 1 ( x ) {\displaystyle E_{n}'(x)
nE_{n-1}(x)\, }
Translacións
B n ( x + y )
∑ k
0 n ( n k ) B k ( x ) y n − k {\displaystyle B_{n}(x+y)
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}} E n ( x + y )
∑ k
0 n ( n k ) E k ( x ) y n − k {\displaystyle E_{n}(x+y)
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}}
Simetrías
B n ( 1 − x )
( − 1 ) n B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(1-x)
(-1)^{n}B_{n}(x)} E n ( 1 − x )
( − 1 ) n E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(1-x)
(-1)^{n}E_{n}(x)} ( − 1 ) n B n ( − x )
B n ( x ) + n x n − 1 {\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)
B_{n}(x)+nx^{n-1}} ( − 1 ) n E n ( − x )
− E n ( x ) + 2 x n {\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)
-E_{n}(x)+2x^{n}}
Outras propiedades
∀ n ∈ N, B n ( x )
2 n − 1 ( B n ( x 2 ) + B n ( x + 12 ) ) {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N}, B_{n}(x)
2^{n-1}\left(B_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)+B_{n}\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right)} ∀ p ∈ N, ∀ n ∈ N, ∑ k
0 n k p
B p + 1 ( n + 1 ) − B p + 1 ( 0 ) p + 1 {\displaystyle \forall p\in \mathbb {N}, \forall n\in \mathbb {N}, \sum _{k
0}^{n}k^{p}
{\frac {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}} Esta última igualdade, deducida da fórmula de Faulhaber, provén da igualdade: ∫ x x + 1 B n ( t ) d t
x n {\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(t)\, \mathrm {d} t
x^{n}} ou, máis sinxelamente, a serie telescópica ∑ k
0 n ( B m ( k + 1 ) − B m ( k ) )
B m ( n + 1 ) − B m ( 0 ) {\displaystyle \sum _{k
0}^{n}\left(B_{m}(k+1)-B_{m}(k)\right)
B_{m}(n+1)-B_{m}(0)}. Serie de Fourier
A serie de Fourier dos polinomios de Bernoulli tamén é unha serie de Dirichlet, dada polo desenvolvemento: B n ( x )
− n! ( 2 π i ) n ∑ k ∈ Z k ≠ 0 e 2 π i k x k n
− n! ∑ k
1 ∞ e 2 π i k x + ( − 1 ) n e − 2 π i k x ( 2 π i k ) n
− 2 n! ∑ k
1 ∞ cos ⁡ ( 2 k π x − n π 2 ) ( 2 k π ) n {\displaystyle B_{n}(x)
-{\frac {n! }{(2\pi \mathrm {i} )^{n}}}\sum _{k\in \mathbb {Z} \atop k\neq 0}{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}}{k^{n}}}
-n! \sum _{k
1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}+(-1)^{n}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}}{(2\pi \mathrm {i} k)^{n}}}
-2\, n! \sum _{k
1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}},
válido só para 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} cando n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} e para 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x<1} cando n
1 {\displaystyle n
1}.
Este é un caso especial da fórmula de Hurwitz. Integrais e relacións coa función zeta de Riemann
Dúas integrais definidas que relacionan os polinomios de Bernoulli e Euler cos números de Bernoulli e Euler son: ∫ 01 B n ( t ) B m ( t ) d t
( − 1 ) n − 1 m! n! ( m + n )! B n + m for m, n ≥ 1 {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\, dt
(-1)^{n-1}{\frac {m! \, n! }{(m+n)! }}B_{n+m}\quad {\text{for }}m, n\geq 1} ∫ 01 E n ( t ) E m ( t ) d t
( − 1 ) n 4 ( 2 m + n + 2 − 1 ) m! n! ( m + n + 2 )! B n + m + 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\, dt
(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m! \, n! }{(m+n+2)! }}B_{n+m+2}} Outra integral dános ∫ 01 E n ( x + y ) log ⁡ ( tan ⁡ π 2 x ) d x
n! ∑ k
1 ⌊ n + 12 ⌋ ( − 1 ) k − 1 π 2 k ( 2 − 2 − 2 k ) ζ ( 2 k + 1 ) y n + 1 − 2 k ( n + 1 − 2 k )! {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\, dx
n! \sum _{k
1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)! }}} e casos particulares sen a variábel y {\displaystyle y} onde aparecen a función zeta de Riemann ∫ 01 E 2 n − 1 ( x ) log ⁡ ( tan ⁡ π 2 x ) d x
( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 )! π 2 n ( 2 − 2 − 2 n ) ζ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\, dx
{\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)! }{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)} ∫ 01 B 2 n − 1 ( x ) log ⁡ ( tan ⁡ π 2 x ) d x
( − 1 ) n − 1 π 2 n 22 n − 2 ( 2 n − 1 )! ∑ k
1 n ( 22 k + 1 − 1 ) ζ ( 2 k + 1 ) ζ ( 2 n − 2 k ) {\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\, dx
{\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)! }}\sum _{k
1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)} ∫ 01 E 2 n ( x ) log ⁡ ( tan ⁡ π 2 x ) d x
∫ 01 B 2 n ( x ) log ⁡ ( tan ⁡ π 2 x ) d x
0 {\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\, dx
\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\, dx
0} ∫ 01 B 2 n − 1 ( x ) cot ⁡ ( π x ) d x
2 ( 2 n − 1 )! ( − 1 ) n − 1 ( 2 π ) 2 n − 1 ζ ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}
{\frac {2\left(2n-1\right)! }{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}.