Negación (lóxica)

En lóxica, a negación, tamén chamada non lóxico ou complemento lóxico, é unha operación que leva unha proposición P {\displaystyle P} a outra proposición "non P {\displaystyle P} ", que representa " P {\displaystyle P} non é verdade", escríbese ¬ P {\displaystyle \neg P}, ∼ P {\displaystyle {\mathord {\sim }}P} ou P ¯ {\displaystyle {\overline {P}}}. Interprétase intuitivamente como verdadeiro cando P {\displaystyle P} é falso, e falso cando P {\displaystyle P} é verdadeiro. A negación é polo tanto unha conexión lóxica unaria. Pódese aplicar como unha operación sobre nocións, proposicións, valores de verdade ou valores semánticos en xeral. Na lóxica clásica, a negación identifícase normalmente coa función de verdade que leva a verdade á falsidade (e viceversa). Definición
A negación é unha operación sobre un valor lóxico, normalmente o valor dunha proposición, que produce un valor de verdadeiro cando o seu operando é falso e un valor de falso cando o seu operando é verdadeiro. Así se a declaración P {\displaystyle P} é verdadeira, daquela ¬ P {\displaystyle \neg P} (pronunciado "non P") sería logo falso; e pola contra, se ¬ P {\displaystyle \neg P} é verdadeira, daquela P {\displaystyle P} sería falso.
A táboa de verdade ¬ P {\displaystyle \neg P} é a seguinte: A negación pódese definir en termos doutras operacións lóxicas. Por exemplo, ¬ P {\displaystyle \neg P} pódese definir como P → ⊥ {\displaystyle P\rightarrow \bot } (onde → {\displaystyle \rightarrow } é consecuencia lóxica e ⊥ {\displaystyle \bot } é falsidade absoluta). Tamén, pódese definir ⊥ {\displaystyle \bot } como Q ∧ ¬ Q {\displaystyle Q\land \neg Q} para calquera proposición Q (onde ∧ {\displaystyle \land } é a conxunción). A idea aquí é que calquera contradición é falsa, e aínda que estas ideas funcionan tanto na lóxica clásica como na lóxica intuicionista, non funcionan na lóxica paraconsistente, onde as contradicións non son necesariamente falsas. Na lóxica clásica, tamén obtemos unha identidade adicional, P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} pódese definir como ¬ P ∨ Q {\displaystyle \neg P\lor Q}, onde ∨ {\displaystyle \lor } é a disxunción.
Alxébricamente, a negación clásica corresponde ao complementario nunha álxebra_de_Boole, e a negación intuicionista á pseudocomplementación nunha álxebra de Heyting. Estas álxebras proporcionan unha semántica para a lóxica clásica e intuicionista. Notación
A negación dunha proposición p denótase de diferentes xeitos, en diversos contextos de discusión e campos de aplicación. A seguinte táboa documenta algunhas destas variantes: A notación N p {\displaystyle Np} é a notación polaca.
Na teoría de conxuntos, ∖ {\displaystyle \setminus } tamén se usa para indicar "non está no conxunto de": U ∖ A {\displaystyle U\setminus A} é o conxunto de todos os membros de U que non son membros de A.
Precedencia
Como forma de reducir o número de parénteses necesarios, pódense introducir regras de precedencia: ¬ ten unha precedencia maior que ∧, ∧ maior que ∨ e ∨ maior que →. Así, por exemplo, P ∨ Q ∧ ¬ R → S {\displaystyle P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S} é a escritura curta que representa ( P ∨ ( Q ∧ ( ¬ R ) ) ) → S. {\displaystyle (P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S. } Aquí temos unha táboa que mostra unha precedencia de uso habitual dos operadores lóxicos Propiedades
Dupla negación
Dentro dun sistema de lóxica clásica, a dupla negación, é dicir, a negación da negación dunha proposición. P {\displaystyle P}, é loxicamente equivalente a P {\displaystyle P}. Expresado en termos simbólicos, ¬ ¬ P ≡ P {\displaystyle \neg \neg P\equiv P}. Na lóxica intuicionista, unha proposición implica a súa dobre negación, pero non á inversa. Isto marca unha diferenza importante entre a negación clásica e a intuicionista. Alxébricamente, a negación clásica chámase involución do período dous.
Distributividade
As leis de De Morgan proporcionan unha forma de aplicar a propiedade distributiva á negación sobre a disxunción e a conxunción: ¬ ( P ∨ Q ) ≡ ( ¬ P ∧ ¬ Q ) {\displaystyle \neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)}. ¬ ( P ∧ Q ) ≡ ( ¬ P ∨ ¬ Q ) {\displaystyle \neg (P\land Q)\equiv (\neg P\lor \neg Q)}.
Linearidade
Sexa ⊕ {\displaystyle \oplus } a operación xor lóxica (ou exclusivo). En álxebra de Boole, unha función linear é unha que cumpre:
Se existe a 0, a 1, …, a n ∈ { 0, 1 } {\displaystyle a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}\in \{0, 1\}}, f ( b 1, b 2, …, b n )
a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\displaystyle f(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})
a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \dots \oplus (a_{n}\land b_{n})}, para todos os b 1, b 2, …, b n ∈ { 0, 1 } {\displaystyle b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}\in \{0, 1\}}.
A negación é un operador lóxico linear.
Auto dual
Na álxebra de Boole, unha función auto-dual é unha función tal que: f ( a 1, …, a n )
¬ f ( ¬ a 1, …, ¬ a n ) {\displaystyle f(a_{1}, \dots, a_{n})
\neg f(\neg a_{1}, \dots, \neg a_{n})} para todos os a 1, …, a n ∈ { 0, 1 } {\displaystyle a_{1}, \dots, a_{n}\in \{0, 1\}}. A negación é un operador lóxico auto-dual.
Negación dos cuantificadores
Na lóxica de primeira orde, hai dous cuantificadores, un é o cuantificador universal ∀ {\displaystyle \forall } (significa "para todos") e o outro é o cuantificador existencial ∃ {\displaystyle \exists } (significa "existe"). A negación dun cuantificador é o outro cuantificador: ¬ ∀ x P ( x ) ≡ ∃ x ¬ P ( x ) {\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)} e ¬ ∃ x P ( x ) ≡ ∀ x ¬ P ( x ) {\displaystyle \neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)}. Por exemplo, co predicado P como "x é mortal" e o dominio de x como o conxunto de tódolos humanos, ∀ x P ( x ) {\displaystyle \forall xP(x)} significa "todos os humanos son mortais". A negación do mesmo é ¬ ∀ x P ( x ) ≡ ∃ x ¬ P ( x ) {\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}, que significa "non acontece que todos os humanos son mortais" que é equivalente a "existe unha persoa x no conxunto de todos os humanos que non é mortal". Regras de inferencia
Hai unha serie de formas equivalentes de formular regras para a negación. Unha forma habitual de formular a negación clásica nun contexto de dedución natural é tomar como regras primitivas de inferencia as seguintes: Introdución da negación: Se p implica a q e ¬q, inferimos ¬p; esta regra tamén se chama redución ao absurdo ou proba por contradición,
Eliminación da negación: Dado p e ¬p inferimos q; esta regra tamén se chama "ex falso quodlibet" ou principio de explosión, Eliminación da dupla negación: Dado ¬¬p inferimos p. Linguaxe de programación e linguaxe común
Como nas matemáticas, a negación utilízase en informática para construír enunciados lóxicos. O signo de exclamación "! " significa NON lóxico nas linguaxes de programación C, B e linguaxes cunha sintaxe inspirada en C como C++, Java, JavaScript, Perl e PHP. "NOT" é o operador usado en ALGOL 60, BASIC e linguaxes cunha sintaxe inspirada en ALGOL ou BASIC como Pascal, Ada, Eiffel e Seed7. Algunhas linguaxes (C++, Perl, etc. ) proporcionan máis dun operador para a negación. Algunhas linguas como PL/I e Ratfor usan ¬ para a negación. A maioría das linguas modernas permiten que a afirmación anterior se acurte de if (! (r
t)) a if (r!
t).