Paridade (matemáticas)

En matemáticas, un número par é un número enteiro que se pode escribir da forma: 2k (é dicir, divisible de maneira enteira entre 2), onde k é un enteiro (os números pares son os múltiplos do número 2). Os números enteiros que non son pares chámanse números impares e poden escribirse como 2k+1.
Os números pares son: p a r e s
{. .. , − 4, − 2, 0, 2, 4, 6, 8, .. . } {\displaystyle \mathrm {pares}
\{\; .. ., \; -4, \; -2, \; 0, \; 2, \; 4, \; 6, \; 8, \; .. .\; \}} e os impares: i m p a r e s
{. .. , − 5, − 3, − 1, 1, 3, 5, 7, .. . } {\displaystyle \mathrm {impares}
\{\; .. ., \; -5, \; -3, \; -1, \; 1, \; 3, \; 5, \; 7, \; .. .\; \}} A paridade dun número enteiro refírese ao seu atributo de ser par ou impar. Comparativamente, dous números son «da mesma paridade» se ao dividilos entre 2 o resto é o mesmo; por exemplo, "2" e "4", ou "3" e "7"; son «da mesma paridade». Polo contrario os números "23" e "44" son «de distinta paridade». Recoñecemento
Se a base de numeración utilizada é un número par (por exemplo, base 10 ou base 8), pódese recoñecer un número par se o seu último díxito tamén é par. Por exemplo, o número en base 1035210770610 {\displaystyle {352107706}_{10}} é par porque o seu último díxito (6) tamén é par. O mesmo sucede co número en base 621453013546
2321171810 {\displaystyle {2145301354}_{6}
{23211718}_{10}} Se a base do sistema de numeración é impar, o número será par se o número de díxitos impares é par. Por exemplo, en base 31203
1510 {\displaystyle {120}_{3}
{15}_{10}} é impar porque 1 é a súa única cifra impar, mentres que 3215
8610 {\displaystyle {321}_{5}
{86}_{10}} é par porque 3 e 1 son os dous díxitos impares. Propiedades
Dous números enteiros consecutivos teñen paridade diferente.
Dados tres enteiros consecutivos, dous serán da mesma paridade e un deles será necesariamente de paridade distinta dos outros dous.
Sexan P {\displaystyle P} o conxunto dos números pares e I {\displaystyle I} o conxunto dos números impares. Se tomamos o conxunto dos números enteiros téñense as seguintes propiedades: P ⊂ Z {\displaystyle P\subset \mathbb {Z} } I ⊂ Z {\displaystyle I\subset \mathbb {Z} } P ∩ I
∅ {\displaystyle P\cap I
\emptyset } P ∪ I
Z {\displaystyle P\cup I
\mathbb {Z} } P
I ¯
Z − I {\displaystyle P
{\bar {I}}
\mathbb {Z} -I}, onde o macron denota o complementario do conxunto. I
P ¯
Z − P {\displaystyle I
{\bar {P}}
\mathbb {Z} -P} Sexa p {\displaystyle p} un número par calquera e i {\displaystyle i} un número impar calquera. Cúmprese: A suma ou subtracción de dous números pares resulta un número par: p ± p ′
2 n ± 2 n ′
2 ( n ± n ′ )
p ″ {\displaystyle p\pm p'
2n\pm 2n'
2(n\pm n')
p''\, \! } A suma ou subtracción de dous números impares resulta un número par: i ± i ′
( 2 n − 1 ) ± ( 2 n ′ − 1 )
2 n ± 2 n ′ + c
2 ( n ± n ′ + c )
p {\displaystyle i\pm i'
(2n-1)\pm (2n'-1)
2n\pm 2n'+c
2(n\pm n'+c)
p\, \! } A suma ou subtracción dun número par cun número impar resulta un número impar: p ± i
p ± ( p ′ − 1 )
( p ± p ′ ) ± 1
i ′ {\displaystyle p\pm i
p\pm (p'-1)
(p\pm p')\pm 1
i'\, \! } A multiplicación dun número par por un número par resulta un número par: p × p ′
( 2 n ) ( 2 n ′ )
2 ( 2 n n ′ )
p ″ {\displaystyle p\times p'
(2n)(2n')
2(2nn')
p''\, \! } A multiplicación dun número impar por un número impar resulta un número impar: i × i ′
( 2 n − 1 ) ( 2 n ′ − 1 )
2 n 2 n ′ − 2 n − 2 n ′ + 1
2 ( 2 n n ′ ) − 2 n − 2 n ′ + 1
p − p ′ − p ″ + 1
p ‴ + 1
i ″ {\displaystyle i\times i'
(2n-1)(2n'-1)
2n2n'-2n-2n'+1
2(2nn')-2n-2n'+1
p-p'-p''+1
p'''+1
i''\, \! } A multiplicación dun número par por un número impar resulta un número par: p × i
( 2 n ) ( 2 n ′ − 1 )
2 n 2 n ′ − 2 n
2 ( 2 n n ′ − n )
p ′ {\displaystyle p\times i
(2n)(2n'-1)
2n2n'-2n
2(2nn'-n)
p'\, \! }
Tipos especiais de números pares
Os números perfectos son pares.
Os factoriais dos números naturais diferentes de 1 e 0 son pares.
Os números congruentes de Fibonacci son todos pares. Segundo a definición de Fibonacci que aparece no seu libro Liber Quadratorum (1225), un número congruente é da forma m·n (m² - n²), con m e n enteiros positivos impares e m > n.