1-forma

En xeometría diferencial, unha 1-forma (ou campo covector ou forma-un) nunha variedade diferenciábel é unha forma diferencial de grao un, é dicir, unha sección suave do fibrado cotanxente. De forma equivalente, unha 1-forma dunha variedade M {\displaystyle M} é un mapeamento suave do espazo total do fibrado tanxente de M {\displaystyle M} en R {\displaystyle \mathbb {R} } cuxa restrición a cada fibra é un funcional linear no espazo tanxente. Sexa ω {\displaystyle \omega } unha 1-forma. Daquela ω: U → ⋃ p ∈ U T p ∗ ( R n ) p ↦ ω p ∈ T p ∗ ( R n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\omega: U&\rightarrow \bigcup _{p\in U}T_{p}^{*}(\mathbb {R} ^{n})\\p&\mapsto \omega _{p}\in T_{p}^{*}(\mathbb {R} ^{n})\end{aligned}}} Moitas veces, as 1-formas descríbense localmente, especialmente en coordenadas locais. Nun sistema de coordenadas local, unha 1-forma é unha combinación linear das diferenciais das coordenadas: α x
f 1 ( x ) d x 1 + f 2 ( x ) d x 2 + ⋯ + f n ( x ) d x n, {\displaystyle \alpha _{x}
f_{1}(x)\, dx_{1}+f_{2}(x)\, dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\, dx_{n}, } onde os f i {\displaystyle f_{i}} son funcións suaves. Desde esta perspectiva, unha 1-forma ten unha lei de transformación covariante ao pasar dun sistema de coordenadas a outro. Así, unha 1-forma única é un campo tensorial covariante de orde 1. Exemplos
A 1-forma diferencial non trivial máis básica é a 1-forma de "mudanza de ángulo" d θ. {\displaystyle d\theta. } Esta defínese como a derivada da "función" ángulo θ ( x, y ) {\displaystyle \theta (x, y)} (que só se define ata unha constante aditiva), que se pode definir explicitamente en termos da función atan2 ( atan2 ⁡ ( y, x )
arg ⁡ ( x + i y )
Im ⁡ log ⁡ ( x + i y ). {\displaystyle \operatorname {atan2} (y, x)
\operatorname {arg} (x+iy)
\operatorname {Im} \operatorname {log} (x+iy). } ) Tomando a derivada obtense a seguinte fórmula para a derivada total: d θ
∂ x ( atan2 ⁡ ( y, x ) ) d x + ∂ y ( atan2 ⁡ ( y, x ) ) d y
− y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y. {\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &
\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y, x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y, x)\right)dy\\&
-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy. \end{aligned}}} Aínda que o ángulo "función" non se pode definir continuamente, a función atan2 é descontinua ao longo do eixo y {\displaystyle y} negativo, o que reflicte o feito de que o ángulo non se pode definir continuamente, esta derivada defínese continuamente excepto na orixe, o que reflicte o feito de que mudanzas infinitesimais (e de feito locais) no ángulo poden definirse en tódalas partes excepto na orixe. Integrar esta derivada ao longo dun camiño dá o cambio total de ángulo sobre o camiño, e integrar nun bucle pechado dá o número de enrolamentos por 2 π. {\displaystyle 2\pi. } Na linguaxe da xeometría diferencial, esta derivada é unha 1-forma no plano furado. Está pechado (a súa derivada exterior é cero) mais non exacta, o que significa que non é a derivada dunha 0-forma (é dicir, unha función): o ángulo θ {\displaystyle \theta } non é unha función suave definida globalmente en todo o plano furado. De feito, esta forma xera a primeira cohomoloxía de Rham do plano furado. Este é o exemplo máis básico de tal forma, e é fundamental na xeometría diferencial. Diferencial dunha función
Sexa U ⊆ R {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} } un aberto (por exemplo, un intervalo ( a, b ) {\displaystyle (a, b)} ), e considere unha función diferenciábel f: U → R, {\displaystyle f: U\to \mathbb {R}, } con derivada f ′. {\displaystyle f'. } O diferencial d f {\displaystyle df} asigna a cada punto x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} un mapa linear do espazo tanxente T x 0 U {\displaystyle T_{x_{0}}U} nos números reais.
Neste caso, cada espazo tanxente é naturalmente identificábel coa recta numérica real e o mapa linear R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } en cuestión vén dado escalando por f ′ ( x 0 ). {\displaystyle f'(x_{0}). } Este é o exemplo máis sinxelo dunha 1-forma diferencial.