Media (estatística)

En matemáticas e estatística unha media é unha medida de tendencia central. Existen distintos tipos de medias, tales como a media xeométrica, a media ponderada e a media harmónica aínda que na linguaxe común, o termo refírese xeralmente á media aritmética. Exemplos de medias
Existen numerosos exemplos de medias x ¯
m i ( x 1, …, x n ) {\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}
m_{i}(x_{1}, \dots, x_{n})}. Unha das poucas propiedades compartidas por todas as medias é que calquera media está comprendida entre o valor máximo e o valor mínimo do conxunto de variables: min { x 1, x 2, … x n } ≤ x ¯ ≤ max { x 1, x 2, … x n } {\displaystyle \min\{x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}\}\leq {\bar {x}}\leq \max\{x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}\}} Ademais debe cumprirse que: x ¯
x 1, si x 1
x 2
⋯
x n {\displaystyle {\bar {x}}
x_{1}, \quad {\mbox{si}}\ x_{1}
x_{2}
\dots
x_{n}}
Media aritmética
A media aritmética é unha media estándar que a miúdo se denomina simplemente "media". x ¯
1 n ∑ i
1 n x i {\displaystyle {\bar {x}}
{\frac {1}{n}}\sum _{i
1}^{n}{x_{i}}} A media confúndese ás veces coa mediana ou a moda. A media aritmética é a media dun conxunto de valores, ou a súa distribución; con todo, para as distribucións con nesgo, a media non é necesariamente o mesmo valor que a mediana ou que a moda. A media, moda e mediana son parámetros característicos dunha distribución de probabilidade. É ás veces unha forma de medir o nesgo dunha distribución tal e como se pode facer nas distribucións exponencial e de Poisson.
Por exemplo, a media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é 34 + 27 + 45 + 55 + 22 + 346
2176 ≈ 36, 167 {\displaystyle {\tfrac {34+27+45+55+22+34}{6}}\
{\tfrac {217}{6}}\approx 36, 167}
Media aritmética ponderada
Ás veces pode ser útil outorgar pesos ou valores aos datos dependendo da súa relevancia para determinado estudo. Neses casos pódese utilizar unha media ponderada. Se X 1, X 2, .. ., X n {\displaystyle X_{1}, X_{2}, .. ., X_{n}} é un conxunto de datos ou media muestral e w 1, w 2, .. ., w n {\displaystyle w_{1}, w_{2}, .. ., w_{n}} son números reais positivos, chamados "pesos" ou factores de ponderación, defínese a media ponderada relativa a eses pesos como: X ¯ w
X 1 ⋅ w 1 + X 2 ⋅ w 2 +. .. + X n ⋅ w n w 1 + w 2 +. .. + w n
∑ i
1 n X i ⋅ w i ∑ i
1 n w i {\displaystyle {\bar {X}}_{w}
{\frac {X_{1}\cdot w_{1}+X_{2}\cdot w_{2}+. .. +X_{n}\cdot w_{n}}{w_{1}+w_{2}+. .. +w_{n}}}
{\frac {\sum _{i
1}^{n}X_{i}\cdot w_{i}}{\sum _{i
1}^{n}w_{i}}}} A media é invariante fronte a transformacións lineares, cambio de orixe e escala, das variables, é dicir se X é unha variable aleatoria e Y é outra variable aleatoria que depende linearmente de X, é dicir, Y
a·X + b (onde a representa a magnitude do cambio de escala e b a do cambio de orixe) tense que: Y ¯
a X ¯ + b {\displaystyle {\bar {Y}} a{\bar {X}}+b}
Media xeométrica
A media xeométrica é unha media moi útil en conxuntos de números que son interpretados en orde do seu produto, non da súa suma (tal e como ocorre coa media aritmética). Por exemplo, as velocidades de crecemento. x ¯
( ∏ i
1 n x i ) 1 / n {\displaystyle {\bar {x}}
\left(\prod _{i
1}^{n}{x_{i}}\right)^{1/n}} Por exemplo, a media xeométrica da serie de números 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é ( 34 ⋅ 27 ⋅ 45 ⋅ 55 ⋅ 22 ⋅ 34 ) 1 / 6
16994934001 / 6 ≈ 34, 545 {\displaystyle (34\cdot 27\cdot 45\cdot 55\cdot 22\cdot 34)^{1/6}
1699493400^{1/6}\approx 34, 545}
Media harmónica
A media harmónica é unha media moi útil en conxuntos de números que se definen en relación con algunha unidade, por exemplo a velocidade (distancia por unidade de tempo). x ¯
n ⋅ ( ∑ i
1 n 1 x i ) − 1 {\displaystyle {\bar {x}}
n\cdot \left(\sum _{i
1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}} Por exemplo, a media harmónica dos números: 34, 27, 45, 55, 22, e 34 é 6134 + 127 + 145 + 155 + 122 + 134 ≈ 33, 018 {\displaystyle {\frac {6}{{\frac {1}{34}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{55}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{34}}}}\approx 33, 018}
Xeneralizacións da media
Existen diversas xeneralizacións das medias anteriores.
Media xeneralizada
As medias xeneralizadas, tamén coñecidas como medias de Hölder, son unha abstracción das medias cuadráticas, aritméticas, xeométricas e harmónicas. Defínense e agrúpanse a través da seguinte expresión: x ¯ ( m )
( 1 n ⋅ ∑ i
1 n x i m ) 1 / m {\displaystyle {\bar {x}}(m)
\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i
1}^{n}{x_{i}^{m}}\right)^{1/m}} Escollendo un valor apropiado do parámetro m, tense: m → ∞ {\displaystyle m\rightarrow \infty } - máximo, m
2 {\displaystyle m
2\, } - media cuadrática, m
1 {\displaystyle m
1\, } - media aritmética, m → 0 {\displaystyle m\rightarrow 0} - media xeométrica, m
− 1 {\displaystyle m
-1\, } - media harmónica, m → − ∞ {\displaystyle m\rightarrow -\infty } - mínimo.
Media-f xeneralizada
Esta media pode xeneralizarse para unha función monótona como a media-f xeneralizada: x ¯
f − 1 ( 1 n ⋅ ∑ i
1 n f ( x i ) ) {\displaystyle {\bar {x}}
f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i
1}^{n}{f(x_{i})}}\right)} onde f: I → I {\displaystyle f: I\to I} é unha función inxectiva e I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } un intervalo. Escollendo formas particulares para f {\displaystyle f} obtéñense algunhas das medias máis coñecidas: f ( x )
x {\displaystyle f(x)
x\, } - media aritmética, I
R {\displaystyle I
\mathbb {R} } f ( x )
1 x {\displaystyle f(x)
{\frac {1}{x}}} - media harmónica, I
( 0, ∞ ) {\displaystyle I
(0, \infty )} f ( x )
x m {\displaystyle f(x)
x^{m}\, } - media xeneralizada, I
( 0, ∞ ) {\displaystyle I
(0, \infty )} f ( x )
ln ⁡ x {\displaystyle f(x)
\ln x\, } - media xeométrica, I
( 0, ∞ ) {\displaystyle I
(0, \infty )}.
Media dunha función
Para unha función continua f {\displaystyle f} sobre un intervalo [a, b], pódese calcular o valor medio da función f {\displaystyle f} sobre [a, b] como: f ¯
1 b − a ∫ a b f ( t ) d t {\displaystyle {\bar {f}}
{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(t)dt} De feito a definición anterior cúmprese tamén para unha función limitada aínda que non sexa continua, coa condición de que sexa medible. Media estatística
A media estatística emprégase en estatística para dous conceptos diferentes aínda que numericamente similares: A media da mostra, que é un estatístico que se calcula a partir da media aritmética dun conxunto de valores dunha variable aleatoria.
A media da poboación, valor esperado ou esperanza matemática dunha variable aleatoria.
Na práctica dada unha mostra estatística suficientemente grande o valor da media muestral da mesma é numericamente moi próximo á esperanza matemática da variable aleatoria medida nesa mostra. O devandito valor esperado, só é calculable se se coñece con toda exactitude a distribución de probabilidade, cousa que raramente sucede na realidade, e por esa razón, a efectos prácticos a chamada media refírese normalmente á media da mostra.
Media da mostra
A media da mostra é unha variable aleatoria, xa que depende da mostra, aínda que é unha variable aleatoria en xeral cunha varianza menor que as variables orixinarias empregadas no seu cálculo. Se a mostra é grande e está ben escollida, pode tratarse a media da mostra como un valor numérico que aproxima con precisión a media de poboación, que caracteriza unha propiedade obxectiva da poboación. Defínese como segue: se se ten unha mostra estatística de valores ( X 1, X 2, .. ., X n ) {\displaystyle (X_{1}, X_{2}, .. ., X_{n})} de valores para unha variable aleatoria X con distribución de probabilidade F(x, θ) [onde θ é un conxunto de parámetros da distribución] defínese a media da mostra n-ésima como: X ¯ n
T ( X 1, X 2, .. ., X n )
1 n ∑ i
1 n X i
X 1 + X 2 +. .. + X n n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}
T(X_{1}, X_{2}, .. ., X_{n})
{\frac {1}{n}}\sum _{i
1}^{n}X_{i}
{\frac {X_{1}+X_{2}+. .. +X_{n}}{n}}}
Media da poboación
A media da poboación tecnicamente non é unha media senón un parámetro fixo que coincide coa esperanza matemática dunha variable aleatoria. O nome "media da poboación" emprégase para indicar que valor numérico dunha media muestral é numericamente próximo ao parámetro media da poboación, para unha mostra adecuada e suficientemente grande.