Axiomas de separación

Na topoloxía e campos relacionados de matemáticas, hai varias restricións que se fan a miúdo nos tipos de espazos topolóxicos que se desexa considerar. Algunhas destas restricións veñen dadas polos axiomas de separación. Ás veces chámaselles axiomas de separación de Tychonoff, por causa de Andrey Tychonoff.
Un axioma de separación non é fundamental como o son os da teoría de conxuntos, senón que define certas propiedades que se poden especificar para certos tipos de espazos topolóxicos. Os axiomas de separación denótanse coa letra "T", que ven do alemán Trennungsaxiom ("axioma de separación"), e con uns subíndices que van medrando para denotar propiedades cada vez máis fortes.
As definicións precisas dos axiomas de separación variaron ao longo do tempo. Especialmente na literatura máis antiga, autores diferentes poderían dar definicións diferentes de cada condición. Definicións preliminares
Antes de definir os axiomas de separación, imos dar un significado concreto ao concepto de conxuntos (e puntos) ''separados'' nun espazo topolóxico. (Os conxuntos separados non son o mesmo que os espazos separados, que se definen na seguinte sección)
Os axiomas de separación tratan do uso de medios topolóxicos para distinguir conxuntos disxuntos e puntos distintos. Para os elementos dun espazo topolóxico non chega con ser distintos (isto é, desiguais); podemos necesitar que sexan topolóxicamente distinguibles. De xeito semellante, para os subconxuntos dun espazo topolóxico non chega con ser disxuntos, podemos querer que estean separados (nalgún de varios xeitos posibeis). Todos os axiomas de separación, nun xeito ou noutro, din que aqueles puntos ou conxuntos que son distinguibles ou separados nalgún sentido débil tamén teñen que ser distinguibles ou separados nun sentido máis forte.
Sexa X un espazo topolóxico. Entón dous puntos x e y de X son topolóxicamente distinguibles se non teñen exactamente as mesmas veciñanzas (ou equivalentemente as mesmas veciñanzas abertas); isto é, polo menos un deles ten unha veciñanza que non é veciñanza do outro (ou equivalentemente hai un conxunto aberto ao que pertence un dos puntos pero non o outro). É dicir, polo menos un dos puntos non pertence ao peche do outro.
Dous puntos x e y están separados se cada un deles ten unha veciñanza que non é veciñanza do outro; é dicir, ningún dos dous pertence ao peche do outro. Máis xeralmente, dous subconxuntos A e B de X están separados se cada un é disxunto do peche do outro, aínda que os propios pechamentos non teñen que ser disxuntos. Equivalentemente, cada subconxunto está incluído nun conxunto aberto disxunto do outro subconxunto. Todas as restantes condicións de separación de conxuntos poden ser aplicadas a puntos (ou a un punto e un conxunto), usando conxuntos unitarios. Dous puntos x e y consideraranse separados, por veciñanzas, por veciñanzas pechadas, por unha función continua, precisamente por unha función, se e só se os seus conxuntos unitarios {x} e {y} están separados segundo o criterio correspondente.
Dous subconxuntos A e B están separados por veciñanzas se teñen veciñanzas disxuntas. Son separados por veciñanzas pechadas se teñen veciñanzas pechadas disxuntas. Son separados por unha función continua se existe unha función continua f desde o espazo X á liña real R tal que A é un subconxunto da preimaxe f−1({0}) e B é un subconxunto da preimaxe f−1({1}). Finalmente, están precisamente separados por unha función continua se existe unha función continua f desde X a R tal que A é igual á preimaxe f−1({0}) e B é igual a f−1({1}).
Estas condicións están dadas en orde de forza crecente: Calquera dous puntos topoloxicamente distinguibles teñen que ser distintos, e calquera dous puntos separados teñen que ser topoloxicamente distinguibles. Calquera dous conxuntos separados teñen que ser disxuntos, e calquera dous conxuntos separados por veciñanzas teñen que ser separados, etcétera. Definicións principais
Estas definicións usan esencialmente as definicións preliminares dadas máis arriba.
Moitos destes nomes teñen significados alternativos en parte da literatura matemática; por exemplo, os significados de "normal" e "T4" ás veces intercámbianse, de xeito semellante "regular" e "T3", etc. Moitos dos conceptos tamén teñen varios nomes; con todo, os que listamos antes son os menos probables que sexan ambiguos.
A maioría destes axiomas teñen definicións alternativas co mesmo significado; as definicións dadas aquí seguen un patrón consistente que relaciona as diferentes nocións de separación definidas na sección anterior. Outras definicións posíbeis poden ser atopadas nos artigos individuais.
En todo das definicións seguintes, X é outra vez un espazo topolóxico. X é T0, ou Kolmogorov, se calquera dous puntos distintos de X son topoloxicamete distinguibeis. (Será un tema común nos axiomas de separación ter unha versión dun axioma que require ser T0 e outra versión que non. )
X é R0, ou simétrico, se calquera dous puntos de X topolóxicamente distinguibeis están separados.
X é T1, ou accesíbel ou Fréchet, se calquera dous puntos distintos de X están separados. Equivalentemente, cada conxunto unitario é un conxunto pechado. Así, X é T1 se e só se é tanto T0 como R0. (A pesar de que un pode dicir cousas como "espazo T1", "topoloxía Fréchet", e "supoñamos que o espazo topolóxico X é Fréchet", deberíase evitar dicir "espazo Fréchet" neste contexto, xa que hai outra noción enteiramente diferente de espazo de Fréchet en Análise funcional. )
X é [[espazo R1|R1]], ou prerregular, se calquera dous puntos topolóxicamente distinguibeis en X están separados por veciñanzas. Todo espazo R1 é tamén R0.
X é Hausdorff, ou T2 ou separado, se calquera dous puntos distintos de X están separados por veciñanzas. Así, X é Hausdorff se e só se é ao mesmo tempo T0 e R1. Todo espazo Hausdorff é tamén T1.
X é T2½, ou Urysohn, se calquera dous puntos distintos de X están separados por veciñanzas pechadas. Todo espazo T2½ é tamén Hausdorff.
X é completamente Hausdorff, ou completamente T2, se calquera dous puntos distintos de X están separados por unha función continua. Cada espazo completamente Hausdorff é tamén T2½.
X é regular se, dado calquera punto x e calquera conxunto pechado F en X tal que x non pertence a F, o x e o F están separados por veciñanzas. (De feito, nun espazo regular, os tales x e F tamén estarán separados por veciñanzas pechadas. ) Todo espazo regular é tamén R1.
X é regular Hausdorff ou T3, se é tanto T0 como regular. Schechter 1997, p. 441 Todo espazo regular Hausdorff é tamén T2½.
X é completamente regular se, dado calquera punto x e un pechado F en X tal que x non pertence a F, están separados por unha función continua. Schechter 1997, 16. 16, p. 442 Todo espazo completamente regular é tamén regular.
X é Tychonoff, ou T3½, completamente T3, ou completamente regular Hausdorff, se é T0 e completamente regular. Schechter 1997, 16. 17, p. 443 Todo espazo Tychonoff é tanto regular Hausdorff como completamente Hausdorff.
X é normal se calquera dous subconxuntos pechados disxuntos de X están separados por veciñanzas. (De feito, un espazo é normal se e só se calquera dous conxuntos pechados disxuntos poden ser separados por unha función continua; isto é o Lema de Urysohn)
X é normal regular se é R0 e normal. Todo espazo regular normal é completamente regular.
X é normal Hausdorff, ou T4, se é T1 e normal. Todo espazo normal Hausdorff é tanto Tychonoff como normal regular.
X é completamente normal se calquera dous conxuntos separados están separados por veciñanzas. Todo espazo completamente normal é normal.
X é completamente normal Hausdorff, ou T5 ou completamente T4, se é normal e T1. Todo espazo completamente normal Hausdorff é normal Hausdorff.
X é perfectamente normal se calquera dous conxuntos pechados disxuntos están precisamente separados por unha función continua. Todo espazo perfectamente normal é completamente normal e completamente regular.
X é perfectamente normal Hausdorff, ou T6 ou perfectamente T4, se é perfectamente normal e T0. Todoespazo perfectamente normal Hausdorff o espazo é completamente normal Hausdorff.
A seguinte táboa resume os axiomas de separación así como as implicacións entre eles: as celas que están fusionadas representan propiedades equivalentes; cada axioma implica os das celas á súa esquerda; e se supomos o axioma T1, entón cada axioma tamén implica os das celas que están por riba del (por exemplo, todo espazo normal T1 é completamente regular).