Número aleph

En matemáticas, particularmente na teoría de conxuntos, os números aleph (ou alef) son unha secuencia de números que se usa para representar a cardinalidade (ou tamaño) de conxuntos infinitos. Foron introducidos polo matemático Georg Cantor e reciben o nome do símbolo que utilizaba para denotalos, a letra do hebreo aleph (ℵ).
A cardinalidade máis pequena dun conxunto infinito é a dos números naturais, denotado por ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (léase alef-cero ou aleph-nulo); a seguinte cardinalidade maior dun conxunto ben ordenado é ℵ 1, {\displaystyle \aleph _{1}, } despois ℵ 2, {\displaystyle \aleph _{2}, } despois ℵ 3, {\displaystyle \aleph _{3}, } e así seguido. Continuando deste xeito, é posíbel definir un número cardinal infinito ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} para cada número ordinal α {\displaystyle \alpha }.
O concepto e a notación débense a Georg Cantor, que definiu a noción de cardinalidade e deuse conta de que os conxuntos infinitos poden ter cardinalidades diferentes.
Os números aleph difiren do infinito ( ∞ {\displaystyle \infty } ) que adoita atoparse en álxebra e cálculo, xa que os alefs miden o tamaño dos conxuntos, mentres que o infinito defínese habitualmente como un límite extremo da recta numérica real (aplicado a unha función ou secuencia que "diverxe ata o infinito" ou "aumenta sen límite"), ou como un punto extremo da recta numérica real estendida. Aleph-cero
ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (aleph-cero) é a cardinalidade do conxunto de todos os números naturais, e é un cardinal infinito. O conxunto de todos os ordinais finitos, chamado ω {\displaystyle \omega } ou ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} (onde ω {\displaystyle \omega } é a letra grega minúscula omega), tamén ten cardinalidade ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}. Un conxunto ten cardinalidade ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} se e só se é numerabelmente infinito, é dicir, hai unha bixección (correspondencia un a un) entre el e os números naturais. Exemplos destes conxuntos son o conxunto de números naturais,
o conxunto de todos os números enteiros,
calquera subconxunto infinito de números enteiros, como o conxunto de todos os números cadrados ou o conxunto de todos os números primos,
o conxunto de todos os números racionais,
o conxunto de todos os números construíbeis (no sentido xeométrico),
o conxunto de todos os números alxébricos,
o conxunto de todas as funcións computábeis,
o conxunto de todas as cadeas binarias de lonxitude finita
o conxunto de todos os subconxuntos finitos de calquera conxunto numerábel infinito dado.
Entre os conxuntos numerábeis infinitos atópanse certos ordinais infinitos, incluíndo por exemplo ω {\displaystyle \omega }, ω + 1 {\displaystyle \omega +1}, ω ⋅ 2 {\displaystyle \omega \cdot 2}, ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}}, ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }}, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} Por exemplo, a secuencia (con tipo de orde ω ⋅ 2 {\displaystyle \omega \cdot 2} ) de todos os enteiros impares positivos seguidos de todos os enteiros pares positivos { 1, 3, 5, 7, 9, ⋯; 2, 4, 6, 8, 10, ⋯ } {\displaystyle \{1, 3, 5, 7, 9, \cdots; 2, 4, 6, 8, 10, \cdots \}} é unha ordenación (con cardinalidade ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ) do conxunto de enteiros positivos. Aleph-un
ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} é a cardinalidade do conxunto de todos os números ordinais numerábeis. Este conxunto é denotado como ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} (ou ás veces Ω). O conxunto ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} é en si un número ordinal maior que todos os numerábeis, polo que é un conxunto non numerábel. Polo tanto, ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} é a cardinalidade máis pequena que é maior que ℵ 0, {\displaystyle \aleph _{0}, } a menor cardinalidade infinita.
A definición de ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} implica (en ZF, teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel sen o axioma de escolla) que ningún número cardinal está entre ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} e ℵ 1. {\displaystyle \aleph _{1}. } Se se usa o axioma da escolla, pódese probar a maiores que a clase de números cardinais está totalmente ordenada e, polo tanto, ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} é o segundo número cardinal infinito máis pequeno. Pódese demostrar unha das propiedades máis útiles do conxunto ω 1 {\displaystyle \omega _{1}}: Calquera subconxunto numerábel de ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} ten un límite superior dentro de ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} (Isto dedúcese do feito de que a unión dun número numerábel de conxuntos numerábeis é en si mesmo numerábel). Este feito é análogo á situación en ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}: Todo conxunto finito de números naturais ten un máximo que tamén é un número natural, e as unións finitas de conxuntos finitos son finitas.
Un exemplo de aplicación do ordinal ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} consiste en "pechar" en relación ás operacións numerábeis; por exemplo, tentando describir explicitamente a σ-álxebra xerada por unha colección arbitraria de subconxuntos (ver por exemplo a xerarquía de Borel). Isto é máis difícil que a maioría das descricións explícitas de "xeración" en álxebra (espazos vectoriais, grupos, etc. ) porque neses casos só temos que pechar en relación a operacións finitas, como sumas, produtos, etc. O proceso implica definir, para cada ordinal numerábel, mediante indución transfinita, un conxunto considerando todas as unións posíbeis e os complementos e tomando de todas elas sobre todas as de ω 1. {\displaystyle \omega _{1}. } Hipótese do continuo
A cardinalidade do conxunto de números reais ( cardinalidade do continuo) é 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}. Non se pode determinar a partir de ZFC (Teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada co axioma de escolla) onde este número encaixa exactamente na xerarquía de números aleph, mais de ZFC despréndese que a hipótese do continuo (CH) é equivalente á identidade 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}}. Aleph-omega
Aleph-omega é ℵ ω
sup { ℵ n | n ∈ ω }
sup { ℵ n | n ∈ { 0, 1, 2, ⋯ } } {\displaystyle \aleph _{\omega }
\sup\{\aleph _{n}|n\in \omega \}
\sup\{\aleph _{n}|n\in \{0, 1, 2, \cdots \}\}} onde o menor ordinal infinito denotase como ω {\displaystyle \omega }. É dicir, o número cardinal ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} é o límite superior mínimo de sup { ℵ n | n ∈ { 0, 1, 2, ⋯ } } {\displaystyle \sup\{\aleph _{n}|n\in \{0, 1, 2, \cdots \}\}}.
Notabelmente, ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} é o primeiro número cardinal non numerábel que se pode demostrar dentro da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel que non é igual á cardinalidade do conxunto de todos os números reais 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}: Para calquera número natural n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}, podemos asumir coherentemente que 2 ℵ 0
ℵ n {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}
\aleph _{n}}, e a maiores é posíbel supor que 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} é tan grande como calquera número cardinal que nos guste. Aleph-α para un α en xeral
Para definir ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} para un número ordinal arbitrario α {\displaystyle \alpha }, debemos definir a operación cardinal sucesora, que asigna a calquera número cardinal ρ {\displaystyle \rho } o seguinte cardinal máis grande e ben ordenado ρ + {\displaystyle \rho ^{+}} (se se cumpre o axioma de escolla, este é o cardinal máis grande (único) seguinte).
Entón podemos definir os números aleph do seguinte xeito: ℵ 0
ω {\displaystyle \aleph _{0}
\omega } ℵ α + 1
( ℵ α ) + {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}
(\aleph _{\alpha })^{+}} ℵ λ
⋃ { ℵ α | α < λ } {\displaystyle \aleph _{\lambda }
\bigcup \{\aleph _{\alpha }|\alpha <\lambda \}} para λ {\displaystyle \lambda } un ordinal límite infinito.
O α {\displaystyle \alpha } -ésimo ordinal inicial infinito escríbese ω α {\displaystyle \omega _{\alpha }}. A súa cardinalidade escríbese ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }}.