Complexo conxugado

En matemáticas, o complexo conxugado dun número complexo é o número cunha parte real igual e unha parte imaxinaria igual en magnitude mais oposto en signo. É dicir, se a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} son números reais entón o complexo conxugado de a + b i {\displaystyle a+bi} é a − b i. {\displaystyle a-bi. } O complexo conxugado de z {\displaystyle z} adoita denotarse como z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} ou z ∗ {\displaystyle z^{*}}.
En forma polar, se r {\displaystyle r} e φ {\displaystyle \varphi } son números reais daquela o conxugado de r e i φ {\displaystyle re^{i\varphi }} é r e − i φ. {\displaystyle re^{-i\varphi }. } Isto pódese mostrar usando a fórmula de Euler.
O produto dun número complexo e o seu conxugado é un número real: a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} (ou r 2 {\displaystyle r^{2}} en coordenadas polares).
Se unha raíz dun polinomio univariado con coeficientes reais é complexa, daquela o súa conxugada complexa tamén é unha raíz. Propiedades
Para dous números complexos calquera, a conxugación é distributiva sobre a suma, resta, multiplicación e división: z + w ¯
z ¯ + w ¯, z − w ¯
z ¯ − w ¯, z w ¯
z ¯ w ¯, and ( z w ) ¯
z ¯ w ¯, if w ≠ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&
{\overline {z}}+{\overline {w}}, \\{\overline {z-w}}&
{\overline {z}}-{\overline {w}}, \\{\overline {zw}}&
{\overline {z}}\; {\overline {w}}, \quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&
{\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}, \quad {\text{if }}w\neq 0. \end{aligned}}} Un número complexo é igual ao seu complexo conxugado se a súa parte imaxinaria é cero, é dicir, se o número é real. Noutras palabras, os números reais son os únicos puntos fixos de conxugación.
A conxugación non muda o módulo dun número complexo: | z ¯ |
| z |. {\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|
|z|. } A conxugación é unha involución, é dicir, o conxugado do conxugado dun número complexo z {\displaystyle z} é z. {\displaystyle z. } En símbolos, z ¯ ¯
z. {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}
z. } O produto dun número complexo co seu conxugado é igual ao cadrado do módulo do número: z z ¯
| z | 2. {\displaystyle z{\overline {z}}
{\left|z\right|}^{2}. } Isto permite o cálculo doado do inverso multiplicativo dun número complexo dado en coordenadas rectangulares: z − 1
z ¯ | z | 2, para todo z ≠ 0. {\displaystyle z^{-1}
{\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}, \quad {\text{ para todo }}z\neq 0. } A conxugación é conmutativa baixo composición con exponenciación a potencias enteiras, coa función exponencial e co logaritmo natural para argumentos distintos de cero: z n ¯
( z ¯ ) n, para todos os n ∈ Z {\displaystyle {\overline {z^{n}}}
\left({\overline {z}}\right)^{n}, \quad {\text{ para todos os }}n\in \mathbb {Z} } exp ⁡ ( z ¯ )
exp ⁡ ( z ) ¯ {\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)
{\overline {\exp(z)}}} ln ⁡ ( z ¯ )
ln ⁡ ( z ) ¯ se z é distinto de cero e real negativo {\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)
{\overline {\ln(z)}}{\text{ se }}z{\text{ é distinto de cero e real negativo }}} Se p {\displaystyle p} é un polinomio con coeficientes reais e p ( z )
0, {\displaystyle p(z)
0, } entón p ( z ¯ )
0 {\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)
0} tamén o sería. Así, as raíces non reais de polinomios reais ocorren en pares conxugados complexos (ver Teorema da raíz conxugada complexa).
En xeral, se φ {\displaystyle \varphi } é unha función holomorfa cuxa restrición aos números reais ten valores reais, e φ ( z ) {\displaystyle \varphi (z)} e φ ( z ¯ ) {\displaystyle \varphi ({\overline {z}})} están definidos, daquela φ ( z ¯ )
φ ( z ) ¯. {\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)
{\overline {\varphi (z)}}. \, \! } Usar como variábel
Unha vez dado un número complexo z
x + y i {\displaystyle z
x+yi} ou z
r e i θ {\displaystyle z
re^{i\theta }}, o seu conxugado é suficiente para reproducir as partes da variábel z: Parte real: x
Re ⁡ ( z )
z + z ¯ 2 {\displaystyle x
\operatorname {Re} (z)
{\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}} Parte imaxinaria: y
Im ⁡ ( z )
z − z ¯ 2 i {\displaystyle y
\operatorname {Im} (z)
{\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}} Módulo (ou valor absoluto): r
| z |
z z ¯ {\displaystyle r
\left|z\right|
{\sqrt {z{\overline {z}}}}} Argumento: e i θ
e i arg ⁡ z
z z ¯, {\displaystyle e^{i\theta }
e^{i\arg z}
{\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}}, } por tanto θ
arg ⁡ z
1 i ln ⁡ z z ¯
ln ⁡ z − ln ⁡ z ¯ 2 i {\displaystyle \theta
\arg z
{\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}
{\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}} Conxugado dun hipercomplexo
A noción de número conxugado pódese estender a números hipercomplexos. Por exemplo, para un hipercomplexo (cuaternión ) temos: a + b i + c j + d k ↦ a − b i − c j − d k {\displaystyle a+bi+cj+dk\mapsto a-bi-cj-dk} Pódese ver que a operación unitaria de conxugación hipercomplexa é o único automorfismo que deixinvariante a o subconxunto dos números reais diferenteade identidade. As mesmas propiedades que scumprenapara n á conxugación de números complexos cúmprense para a conxugación de números hipercomplexos.