Progresión aritmética

En matemáticas, unha progresión aritmética é unha sucesión de números que cumpre que a diferenza entre dous termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15. .. é unha progresión aritmética con diferenza 2.
Se o termo inicial dunha progresión aritmética é a 1 {\displaystyle a_{1}} e a diferenza é d, entón o termo n-ésimo da sucesión ( a n {\displaystyle a_{n}} ) vén dado por: a n
a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle \ a_{n}
a_{1}+(n-1)d},
e en xeral a n
a m + ( n − m ) d {\displaystyle \ a_{n}
a_{m}+(n-m)d}.
O comportamento dunha progresión aritmética depende da diferenza d: Se é positiva os termos crecerán ata máis infinito.
Se é negativa, os termos irán cara ao menos infinito. Suma
A suma dos membros dunha progresión aritmética chámase serie aritmética. Por exemplo, considera a suma: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 {\displaystyle 2+5+8+11+14} Esta suma pode atoparse rapidamente tomando o número de termos que se queren sumar (no exemplo, 5), multiplicándoos pola suma do primeiro e do último número da progresión (aquí 2 + 14
16) e dividindo entre 2: n ( a 1 + a n ) 2 {\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}} No caso superior dá a ecuación: 2 + 5 + 8 + 11 + 14
5 ( 2 + 14 ) 2
5 × 162
40. {\displaystyle 2+5+8+11+14
{\frac {5(2+14)}{2}}
{\frac {5\times 16}{2}}
40. } Esta fórmula funciona para calquera números reais a 1 {\displaystyle a_{1}} e a n {\displaystyle a_{n}}. Por exemplo: ( − 32 ) + ( − 12 ) + 12
3 ( − 32 + 12 ) 2
− 32. {\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}
{\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}} -{\frac {3}{2}}. }
Obtención da fórmula
Para obter a fórmula superior, comeza por expresar a serie aritmética de dúas formas diferentes: S n
a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2 d ) + ⋯ + ( a 1 + ( n − 2 ) d ) + ( a 1 + ( n − 1 ) d ) {\displaystyle S_{n}
a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)} S n
( a n − ( n − 1 ) d ) + ( a n − ( n − 2 ) d ) + ⋯ + ( a n − 2 d ) + ( a n − d ) + a n. {\displaystyle S_{n}
(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}. } Engadindo en ambos os membros as dúas ecuacións desaparecen todos os termos con d: 2 S n
n ( a 1 + a n ). {\displaystyle \ 2S_{n}
n(a_{1}+a_{n}). } Dividindo ambos os membros entre 2 aparece a ecuación: S n
n 2 ( a 1 + a n ). {\displaystyle S_{n}
{\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}). } Unha forma alternativa aparece volvendo substituír: a n
a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}
a_{1}+(n-1)d}: S n
n 2 [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ]. {\displaystyle S_{n}
{\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d]. } Ademais, o valor medio da serie pode calcularse como: S n / n {\displaystyle S_{n}/n}: n ¯
a 1 + a n 2. {\displaystyle {\overline {n}}
{\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}. } No ano 499 o matemático e astrónomo indio Aryabhata publicou este método no Aryabhatiya (sección 2. 18). Produto
O produto dos termos dunha progresión aritmética finita que comeza con a1, ten diferenza d, e n elementos está determinado pola expresión a 1 a 2 ⋯ a n
d a 1 d d ( a 1 d + 1 ) d ( a 1 d + 2 ) ⋯ d ( a 1 d + n − 1 )
d n ( a 1 d ) n ¯
d n Γ ( a 1 / d + n ) Γ ( a 1 / d ), {\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}
d{\frac {a_{1}}{d}}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+n-1\right)
d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}
d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}}, } onde x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}} denota o factorial crecente e Γ {\displaystyle \Gamma } a función gamma. Porén, a fórmula non é válida se a 1 / d {\displaystyle a_{1}/d} é un enteiro negativo ou cero.
Isto é unha xeneralización do feito de que o produto da progresión 1 × 2 × ⋯ × n {\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n} vén dado polo factorial n! {\displaystyle n! } e que o produto m × ( m + 1 ) × ( m + 2 ) × ⋯ × ( n − 2 ) × ( n − 1 ) × n {\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\, \! } para enteiros positivos m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} vén dado por n! ( m − 1 )! . {\displaystyle {\frac {n! }{(m-1)! }}. } No exemplo superior, o produto dos 50 primeiros termos da progresión aritmética dada por an
3 + (n-1)(5) é P 50
550 ⋅ Γ ( 3 / 5 + 50 ) Γ ( 3 / 5 ) ≈ 3. 78438 × 1098. {\displaystyle P_{50} 5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3. 78438\times 10^{98}. } Desviación típica
A desviación típica dalgunha parte das progresións aritméticas pode calcularse mediante: σ
| d | ( n − 1 ) ( n + 1 ) 12 {\displaystyle \sigma
|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}} onde n {\displaystyle n} é o número de termos da progresión e d {\displaystyle d} a diferenza entre os termos.