Método numérico

Na análise numérica, un método numérico é unha ferramenta matemática deseñada para resolver problemas numéricos. A implementación dun método numérico cunha comprobación de converxencia adecuada nunha linguaxe de programación chámase algoritmo numérico.
Os métodos numéricos son técnicas para aproximar procesos matemáticos como por exemplo integrais, ecuacións diferenciais, ecuacións non lineares.
Estes métodos son necesarios cando non hai solución analítica ou cando o método de solución coñecida é inasumíbel en tempo ou espazo. Definición matemática
Sexa F ( x, y )
0 {\displaystyle F(x, y)
0} un problema ben formulado, é dicir F: X × Y → R {\displaystyle F: X\times Y\rightarrow \mathbb {R} } é unha relación funcional real ou complexa, definida no produto vectorial dun conxunto de datos de entrada X {\displaystyle X} e un conxunto de datos de saída Y {\displaystyle Y}, tal que existe unha función localmente lipschitziana g: X → Y {\displaystyle g: X\rightarrow Y} chamada resolvente, que ten a propiedade que para cada raíz ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} de F {\displaystyle F}, y
g ( x ) {\displaystyle y
g(x)}. Definimos como método numérico para a aproximación de F ( x, y )
0 {\displaystyle F(x, y)
0}, a secuencia de problemas { M n } n ∈ N
{ F n ( x n, y n )
0 } n ∈ N, {\displaystyle \left\{M_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }
\left\{F_{n}(x_{n}, y_{n})
0\right\}_{n\in \mathbb {N} }, } con F n: X n × Y n → R {\displaystyle F_{n}: X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R} }, x n ∈ X n {\displaystyle x_{n}\in X_{n}} e y n ∈ Y n {\displaystyle y_{n}\in Y_{n}} para todo n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Os problemas dos que consiste o método non teñen por qué estar ben formulados. Se o son, dise que o método é estábel ou ben formulado Consistencia
As condicións necesarias para que un método numérico se aproxime eficazmente a F ( x, y )
0 {\displaystyle F(x, y)
0} son que x n → x {\displaystyle x_{n}\rightarrow x} e que F n {\displaystyle F_{n}} se comporte como F {\displaystyle F} cando n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty }. Así, un método numérico chámase consistente se e só se a secuencia de funcións { F n } n ∈ N {\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }} converxe puntualmente a F {\displaystyle F} no conxunto S {\displaystyle S} das súas solucións: lim F n ( x, y + t )
F ( x, y, t )
0, ∀ ( x, y, t ) ∈ S. {\displaystyle \lim F_{n}(x, y+t)
F(x, y, t)
0, \quad \quad \forall (x, y, t)\in S. } Cando F n
F, ∀ n ∈ N {\displaystyle F_{n}
F, \forall n\in \mathbb {N} } en S {\displaystyle S} dise que o método é estritamente consistente. Converxencia
Denotamos por ℓ n {\displaystyle \ell _{n}} unha secuencia de perturbacións admisíbeis de x ∈ X {\displaystyle x\in X} para algún método numérico M {\displaystyle M} (isto é, x + ℓ n ∈ X n ∀ n ∈ N {\displaystyle x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N} } ) e con y n ( x + ℓ n ) ∈ Y n {\displaystyle y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}} o valor tal que F n ( x + ℓ n, y n ( x + ℓ n ) )
0 {\displaystyle F_{n}(x+\ell _{n}, y_{n}(x+\ell _{n}))
0}. Unha condición que o método ten que satisfacer para ser unha ferramenta significativa para resolver o problema F ( x, y )
0 {\displaystyle F(x, y)
0} é a converxencia: ∀ ε > 0, ∃ n 0 ( ε ) > 0, ∃ δ ε, n 0 tal que ∀ n > n 0, ∀ ℓ n: ‖ ℓ n ‖ < δ ε, n 0 ⇒ ‖ y n ( x + ℓ n ) − y ‖ ≤ ε. {\displaystyle {\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0, \exists n_{0}(\varepsilon )>0, \exists \delta _{\varepsilon, n_{0}}{\text{ tal que}}\\&\forall n>n_{0}, \forall \ell _{n}: \|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon, n_{0}}\Rightarrow \|y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\leq \varepsilon. \end{aligned}}} Pódese probar facilmente que a converxencia por puntos de { y n } n ∈ N {\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} cara a y {\displaystyle y} implica a converxencia do método asociado é unha función.