Relación transitiva

En matemáticas, unha relación binaria R nun conxunto X é transitiva se, para todos os elementos a, b, c en X, sempre que R relaciona a con b e b con c, entón R tamén relaciona a con c.
Toda orde parcial e toda relación de equivalencia son transitivas. Por exemplo, a desigualdade e a igualdade entre os números reais son ambas as dúas transitivas: Se a < b e b < c entón a < c; e se x
y e y
z entón x z. Definición
Unha relación homoxénea R no conxunto X é unha relación transitiva se, para todo a, b, c ∈ X, se a R b e b R c, entón a R c.
Ou en termos de lóxica de primeira orde: ∀ a, b, c ∈ X: ( a R b ∧ b R c ) ⇒ a R c {\displaystyle \forall a, b, c\in X: (aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc},
onde a R b é a notación infixa para (a, b) ∈ R. Exemplos
Como exemplo non matemático, a relación "é ascendente de" é transitiva. Por exemplo, se Paz é ascendente de Belén e Belén é ascendente de Nuno, daquela Paz tamén é ascendente de Nuno.
"É maior que", "é polo menos tan grande como" e "é igual a" son relacións transitivas en varios conxuntos, por exemplo, o conxunto de números reais ou o conxunto de números naturais: sempre que x > y e y > z, entón tamén x > z,
sempre que x ≥ y e y ≥ z, entón tamén x ≥ z,
sempre que x
y e y
z, entón tamén x z.
Máis exemplos de relacións transitivas: "é un subconxunto de" (inclusión de conxuntos, unha relación entre conxuntos)
"divide" (divisibilidade, unha relación entre números naturais)
"implica" (implicación, simbolizada por "⇒", unha relación entre proposicións)
Exemplos de relacións non transitivas: "é o sucesor de" (unha relación sobre números naturais)
"é perpendicular a" (unha relación en liñas en xeometría euclidiana)
A relación baleira en calquera conxunto X {\displaystyle X} é transitiva porque non hai elementos a, b, c ∈ X {\displaystyle a, b, c\in X} tal que a R b {\displaystyle aRb} e b R c {\displaystyle bRc}, e polo tanto a condición de transitividade é vacuamente verdadeira. Unha relación R que contén só un par ordenado tamén é transitiva: se o par ordenado é da forma ( x, x ) {\displaystyle (x, x)} para algúns x ∈ X {\displaystyle x\in X} os únicos elementos deste tipo a, b, c ∈ X {\displaystyle a, b, c\in X} son a
b
c
x {\displaystyle a
b c x}, e de feito neste caso a R c {\displaystyle aRc}, mentres que se o par ordenado non é da forma ( x, x ) {\displaystyle (x, x)} entón non hai tales elementos a, b, c ∈ X {\displaystyle a, b, c\in X} e polo tanto R {\displaystyle R} é vacuamente transitivo. Propiedades
Propiedades de pechamento
A inversa dunha relación transitiva é sempre transitiva. Por exemplo, sabendo que "é un subconxunto de" é transitiva e que "é un superconxunto de" é a súa inversa, pódese concluír que esta última tamén é transitiva.
A intersección de dúas relacións transitivas é sempre transitiva. Por exemplo, sabendo que "naceu antes" e "ten o mesmo nome que" son transitivas, pódese concluír que "naceu antes e tamén ten o mesmo nome que" tamén é transitiva.
A unión de dúas relacións transitivas non ten por que ser transitiva. Por exemplo, "naceu antes ou ten o mesmo nome que" non é unha relación transitiva.
O complemento dunha relación transitiva non ten por que ser transitiva. Por exemplo, mentres "igual a" é transitiva, "non igual a" só é transitiva en conxuntos cun elemento como máximo.
Outras propiedades
Unha relación transitiva é asimétrica se e só se é irreflexiva.
Unha relación transitiva non ten por que ser reflexiva. Cando o é, chámase preorde. Por exemplo, no conxunto X
{1, 2, 3}: R
{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 2) } é reflexiva, pero non transitiva, xa que o par (1, 2) está ausente,
R { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3) } é reflexiva e transitiva, polo que é unha preorde,
R { (1, 1), (2, 2), (3, 3) } é reflexiva e transitiva, tamén é unha preorde. Tipos de relación que requiren transitividade
Preorde: unha relación reflexiva e transitiva
Orde parcial: unha preorde antisimétrica
Preorde total: unha orde previo conectado (anteriormente chamado total).
Relación de equivalencia: unha preorde simétrica
Orde débil estrita: unha orde parcial estrita na que a incomparabilidade é unha relación de equivalencia
Orde total: relación conexa (total), antisimétrica e transitiva Contando as relacións transitivas
Non se coñece ningunha fórmula xeral que conte o número de relacións transitivas nun conxunto finito (secuencia A006905 na OEIS). No entanto, existe unha fórmula para atopar o número de relacións que son simultaneamente reflexivas, simétricas e transitivas, é dicir, relacións de equivalencia (secuencia A000110 na OEIS), as simétricas e transitivas, as simétricas, transitivas. , e antisimétricas, e as que son totais, transitivas e antisimétricas. Pfeiffer fixo algúns progresos nesta dirección, expresando relacións con combinacións destas propiedades en termos entre si, mais aínda é difícil calcular calquera en si mesma. Véxase tamén Brinkmann e McKay (2005). Propiedades relacionadas
Unha relación R chámase intransitiva se non é transitiva, é dicir, se xRy e yRz, pero non xRz, para algúns x, y, z. Pola contra, unha relación R chámase antitransitiva se xRy e yRz sempre implican que non se cumpre xRz. Por exemplo, a relación definida por xRy se xy é un número par é intransitiva, mais non antitransitiva. A relación definida por xRy se x é par e y é impar é transitiva e antitransitiva. A relación definida por xRy se x é o número sucesor de y é tanto intransitiva como antitransitiva.