Elipse (xeometría)

Unha elipse é o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos chamados focos é unha constante positiva e igual á distancia entre os vértices.
Unha elipse é a curva cerrada que resulta de cortar a superficie dun cono por un plano oblicuo ao seu eixo de simetría –cun ángulo maior que o da xeratriz respecto do eixo de revolución. Unha elipse que xira arredor do seu eixo menor xera un esferoide achatado, mentres que unha elipse que xira arredor do seu eixo principal xera un esferoide alargado. Historia
A elipse, como curva xeométrica, foi estudada por Menaechmus, investigada por Euclides, e o seu nome atribúeselle a Apolonio de Perge. O foco e a directriz da sección cónica dunha elipse foron estudadas por Pappus. En 1602, Johannes Kepler cría que a órbita de Marte era ovalada, pero máis tarde descubriu que se trataba dunha elipse, co Sol como foco. De feito, Kepler foi quen introduciu a verba «focus» e publicou o seu descubrimento en 1609. Edmond Halley, en 1705, demostrou que o cometa que agora leva o seu nome trazaba unha órbita elíptica arredor do Sol. Elementos dunha elipse
A elipse posúe un «eixo maior», trazo AB (que equivale a 2 a {\displaystyle \, {2a}} ), e un «eixo menor», trazo CD; a metade de cada un deses eixos recibe o nome de «semieixo» («semieixo maior» e «semieixo menor»).
Sobre o eixe maior existen dous puntos F 1 {\displaystyle \, {F_{1}}} e F 2 {\displaystyle \, {F_{2}}} que se lles chaman «focos».
O punto Q {\displaystyle \, {Q}} pode estar localizado en calquera lugar do perímetro da elipse.
Puntos dunha elipse
Se ′ F 1 ′ {\displaystyle 'F_{1}'} e ′ F 2 ′ {\displaystyle 'F_{2}'} son dous puntos do plano e d é unha constante maior que a distancia F 1 F 2 {\displaystyle F_{1}F_{2}}, un punto Q pertencerá á elipse, se: F 1 Q + F 2 Q
d
2 a {\displaystyle F_{1}Q+F_{2}Q d 2a\, } onde a {\displaystyle a\; } é o semieixo maior da elipse.
Excentricidade dunha elipse
A excentricidade dunha elipse é a razón entre a súa semidistancia focal (segmento F 1 D {\displaystyle F_{1}D} ou F 2 D {\displaystyle F_{2}D} ), denominada pola letra 'c', e o seu semieixo maior. O seu valor atópase entre cero e un. e
c a {\displaystyle e
{\frac {c}{a}}}, con (0 < e < 1)
Dado que c
a 2 − b 2 {\displaystyle c
{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}, tamén vale a relación: e
a 2 − b 2 a 2
1 − ( b a ) 2 {\displaystyle e
{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}
{\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}} A excentricidade indica a forma duna elipse; unha elipse será máis redondeada canto máis se aproxime a súa excentricidade ao valor cero.
Constante da elipse
Unha elipse, por definición, a suma da lonxitude de ambos segmentos (azul + vermello) é unha cantidade constante, a cal sempre é igual á lonxitude do eixo maior.
Na elipse da dereita, a constante é 10. Equivale á lonxitude medida dende o foco F 1 {\displaystyle \, {F_{1}}} ao punto Q {\displaystyle \, {Q}} (localizado en calquera lugar da elipse) sumada á lonxitude dende o foco F 2 {\displaystyle \, {F_{2}}} até ese mesmo punto Q {\displaystyle \, {Q}}. (O segmento de cor azul sumado ao de cor vermella).
O segmento correspondente, tanto trazo Q F 1 {\displaystyle \, {QF_{1}}} (cor azul), como ao Q F 2 {\displaystyle \, {QF_{2}}} (cor vermella), chámase «radio vector». Os dous «focos» equidistan do centro 0 {\displaystyle \, {0}}. Na animación, o punto Q {\displaystyle \, Q} percorre a elipse, e nel converxen ambos segmentos (azul e vermello).