Produto cartesiano

Na Matemática, dados dous conxuntos X e Y, o produto cartesiano (ou produto directo) dos dous conxuntos (escrito como X × Y) é o conxunto de todos os pares ordenados cuxo primeiro elemento pertence a X e o segundo, a Y. X × Y
{ ( x, y ) ∣ x ∈ X ∧ y ∈ Y }. {\displaystyle X\times Y
\{(x, y)\mid x\in X\; \wedge \; y\in Y\}. } O produto cartesiano recibe o seu nome de René Descartes, cuxa formulación da xeometría analítica deu orixe a este concepto.
Por exemplo, se o conxunto X é o dos trece elementos da baralla inglesa X
{ A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } {\displaystyle X
\{\mathrm {A}, \mathrm {K}, \mathrm {Q}, \mathrm {J}, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2\}} e o Y é o dos catro paus: Y {♠, ♥, ♦, ♣}
entón o produto cartesiano deses dous conxuntos será o conxunto coas 52 cartas da baralla: X × Y {(A, ♠), (K, ♠), .. ., (2, ♠), (A, ♥), .. ., (3, ♣), (2, ♣) }. Outro exemplo é o plano bidimensional R × R, onde R é o conxunto de números reais e os pares ordenados teñen a forma de (x, y), onde x e y son números reais (vexa o sistema de coordenadas cartesiano). Subconxuntos do produto cartesiano son chamados relacións binarias, e as funcións, un dos conceptos máis importantes da matemática, son definidas como tipos especiais de relacións. Cardinal
O cardinal do produto cartesiano de dous conxuntos é o produto dos cardinais dos conxuntos individuais: | X × Y |
| X | ⋅ | Y | {\displaystyle |X\times Y|
|X|\cdot |Y|} Xeneralización
O produto cartesiano pode ser xeneralizado para máis de dous conxuntos: X1 ×. .. × Xn { (x1, .. ., xn) | x1 pertence a X1 e. .. e xn pertence a Xn }
ou intuitivamente (X1 ×. .. × Xn-1) × Xn.
Un exemplo é o seguinte. Sexa o conxunto L con tres elementos: {1, 2, 3}
o conxunto M con dous elementos: {a, b},
e o conxunto N con 2 elementos: {$, %},
o produto cartesiano L × M × N é: {(1, a, $), (1, a, %), (2, a, $), (2, a, %), (2, a, $), (2, a, %), (3, a, $), (3, a, %), (1, b, $), (1, b, %), (2, b, $), (2, b, %), (2, b, $), (2, b, %), (3, b, $), (3, b, %) }
Outro exemplo diso é o espazo euclidiano de tres dimensións R × R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }. Notación potencial
Para expresar o produto cartesiano dun conxunto por si mesmo está permitida a notación potencial: X × X × ⋯ × X ⏟
X n n v e c e s {\displaystyle {\begin{matrix}&\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} &
X^{n}\\&n\mathrm {veces} \end{matrix}}} Así, o mencionado espazo euclidiano tridimensional pódese representar como R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Produto infinito
A observación de que a estrutura do produto cartesiano X n {\displaystyle X^{n}\, } ten unha estrutura semellante ao conxunto das funcións de dominio {1, 2, .. ., n} e imaxe X suxire que o produto cartesiano pode ser xeneralizado para infinitas parcelas, como un conxunto de funcións.
Sexa Λ {\displaystyle \Lambda \, } un conxunto (non-baleiro), chamado conxunto de índices. Sexa X λ {\displaystyle X_{\lambda }\, } un conxunto definido para cada índice λ ∈ Λ {\displaystyle \lambda \in \Lambda \, } (poden ser iguais ou non). Entón o produto destes conxuntos é definido por: ∏ λ ∈ Λ X λ
{ f: Λ → ⋃ λ ∈ Λ X λ f ( a ) ∈ X a } {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }
\{f: \Lambda \rightarrow \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\, \ f(a)\in X_{a}\}\, }
Exemplo
Sexa Λ
N ⋆ {\displaystyle \Lambda
\mathbb {N^{\star }} \, }, ou sexa, estamos indexando polos números naturais (sen o cero). Sexa X i
{ 1, 2, …, i } {\displaystyle X_{i}
\{1, 2, \ldots, i\}\, }. Entón ∏ X i {\displaystyle \prod X_{i}\, } é o conxunto das secuencias de números naturais en que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3 etc. Proxección canónica
As funcións máis importantes que teñen como dominio un produto cartesiano son as proxeccións canónicas.
No caso finito, a i-ésima proxeción canónica é a función que retorna a i-ésima coordenada.
Ou sexa: π i ( x 1, …, x i, …, x n )
x i {\displaystyle \pi _{i}(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{n})
x_{i}\, } No caso infinito, como cada elemento de Π λ X λ {\displaystyle \Pi _{\lambda }X_{\lambda }\, } é unha función, temos que: π λ ( f )
f ( λ ) {\displaystyle \pi _{\lambda }(f)
f(\lambda )\, }
Exemplos
En R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\, }, as dúas proxecións canónicas son: π 1 ( x, y )
x {\displaystyle \pi _{1}(x, y)
x\, } π 2 ( x, y )
y {\displaystyle \pi _{2}(x, y)
y\, } No conxunto das secuencias de números reais, que pode ser visto como o produto Π i ∈ N ⋆ R {\displaystyle \Pi _{i\in \mathbb {N^{\star }} }\mathbb {R} \, }, a i-ésima proxeción canónica é a función que retorna o i-ésimo elemento. Por exemplo: π 10 ( 2, 4, 8, 16, … )
1024 {\displaystyle \pi _{10}(2, 4, 8, 16, \ldots )
1024\, } Produtos de Estruturas Matemáticas
Varias estruturas matemáticas son mantidas, dunha forma natural (canónica) ao se pasar para os produtos cartesianos. Por exemplo: o produto cartesiano de grupos é un grupo.
o produto cartesiano de espazos vectoriais sobre o mesmo corpo é un espazo vectorial.
o produto cartesiano de topoloxías é unha topoloxía, a topoloxía produto.