Grupo de automorfismos

En matemáticas, o grupo de automorfismos dun obxecto X é o grupo formado polos automorfismos de X baixo composición de morfismos. Por exemplo, se X é un espazo vectorial de dimensións finitas, entón o grupo de automorfismos de X é o grupo de transformacións lineares invertíbeis de X en si mesmo (o grupo linear xeral de X). Se X é un grupo, entón o seu grupo de automorfismos Aut ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (X)} é o grupo formado por todos os automorfismos de grupo de X.
Especialmente en contextos xeométricos, un grupo de automorfismos tamén se denomina grupo de simetría. Un subgrupo dun grupo de automorfismos ás veces chámase grupo de transformación.
Os grupos de automorfismos estúdanse de forma xeral no campo da teoría de categorías. Exemplos
Se X é un conxunto sen estrutura adicional, entón calquera bixección de X en si mesmo é un automorfismo e, polo tanto, o grupo de automorfismos de X neste caso é precisamente o grupo simétrico de X. Se o conxunto X ten estrutura adicional, entón pode darse o caso de que non todas as bixeccións do conxunto conserven esta estrutura, nese caso o grupo de automorfismos será un subgrupo do grupo simétrico de X. Algúns exemplos disto son: O grupo de automorfismos dunha extensión dun corpo L / K {\displaystyle L/K} é o grupo formado polos automorfismos do corpo de L que fixan K. Se a extensión do corpo é Galois, o grupo de automorfismo chámase grupo de Galois da extensión do corpo.
O grupo de automorfismos do n-espazo proxectivo sobre un corpo k é o grupo linear proxectivo PGL n ⁡ ( k ). {\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k). } O grupo do automorfismos G {\displaystyle G} dun grupo cíclico finito de orde n é isomorfo a ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}, o grupo multiplicativo dos números enteiros módulo n, co isomorfismo dado por a ¯ ↦ σ a ∈ G, σ a ( x )
x a {\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G, \, \sigma _{a}(x)
x^{a}}. En particular, G {\displaystyle G} é un grupo abeliano.
O grupo de automorfismos dunha álxebra de Lie real de dimensión finita g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ten a estrutura dun grupo de Lie (real) (de feito, mesmo é un grupo alxébrico linear: ver máis abaixo). Se G é un grupo de Lie con álxebra de Lie g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}, entón o grupo de automorfismos de G ten unha estrutura dun grupo de Lie inducida a partir do grupo de automorfismos de g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}. Se G é un grupo que actúa sobre un conxunto X, a acción equivale a un homomorfismo de grupos de G no grupo de automorfismos de X e viceversa. De feito, cada acción G pola esquerda nun conxunto X determina G → Aut ⁡ ( X ), g ↦ σ g, σ g ( x )
g ⋅ x {\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X), \, g\mapsto \sigma _{g}, \, \sigma _{g}(x)
g\cdot x}, e viceversa, cada homomorfismo φ: G → Aut ⁡ ( X ) {\displaystyle \varphi: G\to \operatorname {Aut} (X)} define unha acción por g ⋅ x
φ ( g ) x {\displaystyle g\cdot x
\varphi (g)x}. Isto esténdese ao caso en que o conxunto X ten máis estrutura que só un conxunto. Por exemplo, se X é un espazo vectorial, entón unha acción de grupo de G sobre X é unha representación de grupo do grupo G, representando a G como un grupo de transformacións lineares (automorfismos) de X; estas representacións son o principal obxecto de estudo no campo da teoría da representación.
Aquí temos outros datos sobre o grupo de automorfismos: Sexan A, B {\displaystyle A, B} dous conxuntos finitos da mesma cardinalidade e Iso ⁡ ( A, B ) {\displaystyle \operatorname {Iso} (A, B)} o conxunto de todas as bixeccións A → ∼ B {\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}. Entón Aut ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}, que é un grupo simétrico (ver arriba), actúa sobre Iso ⁡ ( A, B ) {\displaystyle \operatorname {Iso} (A, B)} dende a esquerda libre e transitivamente; é dicir, Iso ⁡ ( A, B ) {\displaystyle \operatorname {Iso} (A, B)} é un torsor para Aut ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}.
Sexa P un módulo proxectivo finitamente xerado sobre un anel R. Daquela hai un mergullo Aut ⁡ ( P ) ↪ GL n ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}, único ata os automorfismos internos. En teoría de categorías
Os grupos de automorfismos aparecen moi naturalmente na teoría de categorías.
Se X é un obxecto nunha categoría, entón o grupo de automorfismos de X é o grupo formado por todos os morfismos invertibles de X en si mesmo. É o grupo unitario do monoide do endomorfismo de X. (Para algúns exemplos, consulte PROP. )
Se A, B {\displaystyle A, B} son obxectos nalgunha categoría, entón o conxunto Iso ⁡ ( A, B ) {\displaystyle \operatorname {Iso} (A, B)} de tódolos A → ∼ B {\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B} é torsor pola esquerda Aut ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}. En termos prácticos, isto di que unha escolla diferente dun punto base de Iso ⁡ ( A, B ) {\displaystyle \operatorname {Iso} (A, B)} difire sen ambigüidades por un elemento de Aut ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}, ou que cada escolla dun punto base é precisamente unha escolla dunha trivialización do torsor.
Se X 1 {\displaystyle X_{1}} e X 2 {\displaystyle X_{2}} son obxectos en categorías C 1 {\displaystyle C_{1}} e C 2 {\displaystyle C_{2}}, e se F: C 1 → C 2 {\displaystyle F: C_{1}\to C_{2}} é un mapeo de funtores X 1 {\displaystyle X_{1}} a X 2 {\displaystyle X_{2}}, entón F {\displaystyle F} induce un homomorfismo de grupos Aut ⁡ ( X 1 ) → Aut ⁡ ( X 2 ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}, xa que mapea morfismos invertibles a morfismos invertibles.
En particular, se G é un grupo visto como unha categoría cun único obxecto * ou, de xeito máis xeral, se G é un grupoide, entón cada funtor F: G → C {\displaystyle F: G\to C}, C unha categoría, chámase acción ou representación de G sobre o obxecto F ( ∗ ) {\displaystyle F(*)}, ou os obxectos F ( Obj ⁡ ( G ) ) {\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}. Dise logo que eses obxectos son G {\displaystyle G} -obxectos (pois son actuados por G {\displaystyle G} ); cf. S {\displaystyle \mathbb {S} } -obxecto. Se C {\displaystyle C} é unha categoría de módulo como a categoría de espazos vectoriais de dimensión finita, entón os G {\displaystyle G} -obxectos tamén se chaman G {\displaystyle G} -módulos. Functor do grupo de automorfismos
Sexa M {\displaystyle M} un espazo vectorial de dimensións finitas sobre un corpo k que está equipado con algunha estrutura alxébrica (é dicir, M é unha álxebra de dimensións finitas sobre k). Pode ser, por exemplo, unha álxebra asociativa ou unha álxebra de Lie.
Agora, considere os mapas k-lineares M → M {\displaystyle M\to M} que conservan a estrutura alxébrica: forman un subespazo vectorial End alg ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)} de End ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {End} (M)}. O grupo unitario de End alg ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)} é o grupo do automorfismo Aut ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}. Cando se escolle unha base en M, End ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {End} (M)} é o espazo das matrices cadradas e End alg ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)} é o conxunto cero dalgunhas ecuacións polinómicas, e a invertibilidade descríbese de novo mediante polinomios. Polo tanto, Aut ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (M)} é un grupo alxébrico linear sobre k.
Agora as extensións de base aplicadas á discusión anterior determinan un functor: é dicir, para cada anel conmutativo R sobre k, considere os mapas R-lineares M ⊗ R → M ⊗ R {\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R} preservando a estrutura alxébrica, que denotamos como End alg ⁡ ( M ⊗ R ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}. A continuación, o grupo unitario do anel matricial End alg ⁡ ( M ⊗ R ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)} sobre R é o grupo de automorfismos Aut ⁡ ( M ⊗ R ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)} e R ↦ Aut ⁡ ( M ⊗ R ) {\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)} é un functor de grupo: un functor da categoría de aneis conmutativos sobre k ata a categoría de grupos. Aínda mellor, está representado por un esquema (xa que os grupos de automorfismos están definidos por polinomios): este esquema denomínase esquema de grupo de automorfismos e denótase por Aut ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}.
En xeral, porén, un functor de grupo de automorfismos pode non estar representado por un esquema.