Fórmula de De Moivre

En matemáticas, a fórmula de De Moivre (tamén coñecida como teorema de De Moivre e identidade de De Moivre) afirma que para calquera número real x e n enteiro cúmprese que: ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n
cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x, {\displaystyle {\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}
\cos nx+i\sin nx, } onde i é a unidade imaxinaria ( i2 −1 ). A fórmula recibe o nome de Abraham de Moivre. A expresión cos x + i sin x ás veces abréviase como cis x.
A fórmula é importante porque conecta números complexos e trigonometría. Ao expandir o lado esquerdo e despois comparar as partes real e imaxinaria baixo o suposto de que x é real, é posíbel derivar expresións útiles para cos nx e sin nx en termos de cos x e sin x.
Tal e como está escrito, a fórmula non é válida para potencias non enteiras n. Porén, hai xeneralizacións desta fórmula válidas para outros expoñentes. Estas poden ser usadas para dar expresións explícitas para as raíces n-ésimas da unidade, é dicir, números complexos z tal que zn 1. Exemplo
Para x
30 ∘ {\displaystyle x
30^{\circ }} e n
2 {\displaystyle n
2}, a fórmula de Moivre afirma que ( cos ⁡ ( 30 ∘ ) + i sin ⁡ ( 30 ∘ ) ) 2
cos ⁡ ( 2 ⋅ 30 ∘ ) + i sin ⁡ ( 2 ⋅ 30 ∘ ), {\displaystyle \left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}
\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }), } ou equivalentemente que ( 32 + i 2 ) 2
12 + i 32. {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}
{\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}. } Neste exemplo, é fácil comprobar a validez da ecuación multiplicando o lado esquerdo. Relación coa fórmula de Euler
A fórmula de De Moivre é un precursor da fórmula de Euler e i x
cos ⁡ x + i sin ⁡ x, {\displaystyle e^{ix}
\cos x+i\sin x, } con x expresado en radiáns en lugar de graos, o que estabelece a relación fundamental entre as funcións trigonométricas e a función exponencial complexa.
Pódese derivar a fórmula de De Moivre usando a fórmula de Euler e a lei exponencial de potencias enteiras. ( e i x ) n
e i n x, {\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}
e^{inx}, } xa que a fórmula de Euler implica que o lado esquerdo é igual a ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}} mentres que o lado dereito é igual a cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x. {\displaystyle \cos nx+i\sin nx. } Fórmulas para coseno e seno individualmente
Para unha igualdade de números complexos, temos necesariamente a igualdade tanto das partes reais como das partes imaxinarias de ambos os membros da ecuación. Se x, e por tanto tamén cos x e sin x, son números reais, entón a identidade destas partes pódese escribir usando coeficientes binomiais. Esta fórmula foi dada polo matemático francés do século XVI François Viète: sin ⁡ n x
∑ k
0 n ( n k ) ( cos ⁡ x ) k ( sin ⁡ x ) n − k sin ⁡ ( n − k ) π 2 cos ⁡ n x
∑ k
0 n ( n k ) ( cos ⁡ x ) k ( sin ⁡ x ) n − k cos ⁡ ( n − k ) π 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\sin nx&
\sum _{k
0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\, (\sin x)^{n-k}\, \sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos nx&
\sum _{k
0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\, (\sin x)^{n-k}\, \cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}. \end{aligned}}} Aquí están as instancias concretas destas ecuacións para n
2 e n
3: cos ⁡ 2 x
( cos ⁡ x ) 2 + ( ( cos ⁡ x ) 2 − 1 )
2 ( cos ⁡ x ) 2 − 1 sin ⁡ 2 x
2 ( sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) cos ⁡ 3 x
( cos ⁡ x ) 3 + 3 cos ⁡ x ( ( cos ⁡ x ) 2 − 1 )
4 ( cos ⁡ x ) 3 − 3 cos ⁡ x sin ⁡ 3 x
3 ( cos ⁡ x ) 2 ( sin ⁡ x ) − ( sin ⁡ x ) 3
3 sin ⁡ x − 4 ( sin ⁡ x ) 3. {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos 2x&
\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}
{}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&
2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&
\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}
{}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&
3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}
{}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}. \end{alignedat}}} O lado dereito da fórmula para cos nx é de feito o valor Tn(cos x) do polinomio de Chebyshev Tn en cos x. Análogos noutros escenarios
Trigonometría hiperbólica
Dado que cosh x + sinh x
ex, un análogo á fórmula de Moivre tamén se aplica á trigonometría hiperbólica. Para todos os números enteiros n, ( cosh ⁡ x + sinh ⁡ x ) n
cosh ⁡ n x + sinh ⁡ n x. {\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n} \cosh nx+\sinh nx. } Se n é un número racional (mais non necesariamente un enteiro), entón cosh nx + sinh nx será un dos valores de (cosh x + sinh x)n.
Extensión a números complexos
Para calquera número enteiro n, a fórmula cúmprese para calquera número complexo z
x + i y {\displaystyle z
x+iy} ( cos ⁡ z + i sin ⁡ z ) n
cos ⁡ n z + i sin ⁡ n z. {\displaystyle (\cos z+i\sin z)^{n}
\cos {nz}+i\sin {nz}. } onde cos ⁡ z
cos ⁡ ( x + i y )
cos ⁡ x cosh ⁡ y − i sin ⁡ x sinh ⁡ y, sin ⁡ z
sin ⁡ ( x + i y )
sin ⁡ x cosh ⁡ y + i cos ⁡ x sinh ⁡ y. {\displaystyle {\begin{aligned}\cos z
\cos(x+iy)&
\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\, ,\\\sin z
\sin(x+iy)&
\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\, .\end{aligned}}}