Cambio de variábel

En matemáticas, un cambio de variábeis é unha técnica básica usada para simplificar problemas no cal as variábeis orixinais son substituídas con funcións doutras variábeis. A intención é que cando se expresa en variábeis novas, o problema pode chegar a ser máis sinxelo ou equivalente a un problema que se entende mellor. Exemplo
Un exemplo moi sinxelo dun cambio de variábel útil pode verse no problema de atopar as raíces do polinomio de sexto grao: x 6 − 9 x 3 + 8
0. {\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8
0. } As ecuacións polinómicas de sexto grao son imposíbeis de solucionar xeralmente en termos de radicais (ver o teorema de Abel-Ruffini). Esta ecuación particular, con todo, pode ser escrita ( x 3 ) 2 − 9 ( x 3 ) + 8
0 {\displaystyle (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8
0}.
Por isto a ecuación pode ser simplificada definindo unha variábel nova u
x 3 {\displaystyle u
x^{3}} e substituíndo no polinomio queda u 2 − 9 u + 8
0, {\displaystyle u^{2}-9u+8
0, } que é só unha ecuación cadrática coas dúas solucións: u
1 e u
8. {\displaystyle u
1\quad {\text{e}}\quad u
8. } As solucións en termos da variábel orixinal son obtidas ao substituír x 3 {\displaystyle x^{3}} por u, o cal dá x 3
1 e x 3
8. {\displaystyle x^{3}
1\quad {\text{e}}\quad x^{3}
8. } Entón, supondo que temos interese só en solucións reais, as solucións da ecuación orixinal son x
( 1 ) 1 / 3
1 e x
( 8 ) 1 / 3
2. {\displaystyle x
(1)^{1/3}
1\quad {\text{e}}\quad x
(8)^{1/3}
2. }
Diferenciación
A regra da cadea úsase para simplificar unha diferenciación complicada. Por exemplo, considere o problema de calcular a derivada d d x sin ⁡ ( x 2 ). {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}). } Sexa y
sin ⁡ u {\displaystyle y
\sin u} con u
x 2. {\displaystyle u
x^{2}. } Logo: d d x sin ⁡ ( x 2 )
d y d x
d y d u d u d x (Esta parte é a regra da cadea)
( d d u sin ⁡ u ) ( d d x x 2 )
( cos ⁡ u ) ( 2 x )
( cos ⁡ ( x 2 ) ) ( 2 x )
2 x cos ⁡ ( x 2 ). {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&
{\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&
{\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}\quad {\text{ (Esta parte é a regra da cadea)}}\\&
\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&
(\cos u)(2x)\\&
\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&
2x\cos(x^{2}). \end{aligned}}}
Integración
As integrais difíciles poden avaliarse a miúdo cambiando as variábeis; isto permítese coa regra de substitución sendo análoga ao uso da regra da cadea da diferenciación. As integrais difíciles tamén poden resolverse simplificando a integral usando un cambio de variábeis dado pola matriz e determinante jacobianos correspondentes.
Por exemplo, a función tanxente pódese integrar mediante a substitución expresándoa en termos de seno e coseno: tan ⁡ x
sin ⁡ x cos ⁡ x {\displaystyle \tan x
{\tfrac {\sin x}{\cos x}}}.
Usando a substitución u
cos ⁡ x {\displaystyle u
\cos x} dá d u
− sin ⁡ x d x {\displaystyle du
-\sin x\, dx} e ∫ tan ⁡ x d x
∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x
∫ − d u u
− ln ⁡ | u | + C
− ln ⁡ | cos ⁡ x | + C
ln ⁡ | sec ⁡ x | + C. {\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\, dx&
\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\, dx\\&
\int -{\frac {du}{u}}\\&
-\ln \left|u\right|+C\\&
-\ln \left|\cos x\right|+C\\&
\ln \left|\sec x\right|+C. \end{aligned}}}