Fórmula cadrática

En álxebra elemental, a fórmula cadrática é unha expresión en forma pechada que describe as solucións dunha ecuación cadrática. Outras formas de resolver ecuacións de segundo grao, como completar o cadrado, dan as mesmas solucións.
Dada unha ecuación cadrática xeral da forma a x 2 + b x + c
0 {\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c
0}, sendo x {\displaystyle x} unha incógnita, e coeficientes a {\displaystyle a}, b {\displaystyle b}, c {\displaystyle c} números reais ou complexos coñecidos con a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}. Os valores x {\displaystyle x} que satisfán a ecuación, chamadas raíces ou ceros, pódense atopar usando a fórmula cadrática, x
− b ± b 2 − 4 a c 2 a, {\displaystyle x
{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}, } onde o símbolo máis–menos " ± {\displaystyle \pm } " indica que a ecuación ten dúas raíces. Escritos por separado, son: x 1
− b + b 2 − 4 a c 2 a, x 2
− b − b 2 − 4 a c 2 a. {\displaystyle x_{1}
{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}, \qquad x_{2}
{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}. } A cantidade Δ
b 2 − 4 a c {\displaystyle \textstyle \Delta
b^{2}-4ac} coñécese como o discriminante da ecuación de segundo grao. Se os coeficientes a {\displaystyle a}, b {\displaystyle b}, c {\displaystyle c}, son números reais daquela Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0}, a ecuación ten dúas raíces reais distintas; se Δ
0 {\displaystyle \Delta
0}, a ecuación ten unha raíz real repetida; e se Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0}, a ecuación non ten raíces reais mais ten dúas raíces complexas distintas, que son complexas conxugadas entre si.
Xeométricamente, as raíces representan os valores de x {\displaystyle x} nos que a gráfica da función cadrática y
a x 2 + b x + c {\displaystyle \textstyle y
ax^{2}+bx+c}, unha parábola, cruza o eixe x {\displaystyle x}. A fórmula cadrática tamén se pode usar para identificar o eixe de simetría da parábola. Obtención completando o cadrado
A forma estándar de obter a fórmula cadrática é aplicar o método de completar o cadrado á ecuación cadrática xenérica a x 2 + b x + c
0 {\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c
0} A idea é manipular a ecuación na forma ( x + k ) 2
s {\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}
s} para expresións k {\displaystyle k} e s {\displaystyle s} en termos dos coeficientes; tomar a raíz cadrada de ambos os dous lados; e despois resolver x {\displaystyle x}.
Comezamos dividindo a ecuación polo coeficiente cadrático a {\displaystyle a}. Despois, restamos o termo constante c / a {\displaystyle c/a} e pasalo para o lado dereito: a x 2 | + b x + c
0 x 2 + b a x + c a
0 x 2 + b a x
− c a. {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2{\vphantom {|}}}+bx+c&
0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&
0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x&
-{\frac {c}{a}}. \end{aligned}}} O lado esquerdo agora ten a forma x 2 + 2 k x {\displaystyle x^{2}+2kx} e podemos "completar o cadrado" engadindo unha constante k 2 {\displaystyle \textstyle k^{2}} e obter un cadrado x 2 + 2 k x + k 2
x 2 + 2 k x + k 2
{\displaystyle x^{2}+2kx+k^{2}
x^{2}+2kx+k^{2}
} ( x + k ) 2 {\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}}. Neste exemplo se corresponde con engadirmos ( b / 2 a ) 2 {\displaystyle \textstyle (b/2a)^{2}} a ambos os dous lados para que o lado esquerdo se poida poñer como un binomio: x 2 + 2 ( b 2 a ) x + ( b 2 a ) 2
− c a + ( b 2 a ) 2 ( x + b 2 a ) 2
b 2 − 4 a c 4 a 2. {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&
-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\[5mu]\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&
{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}. \end{aligned}}} Como o lado esquerdo agora é un cadrado perfecto, podemos tomar facilmente a raíz cadrada de ambos os dous lados: x + b 2 a
± b 2 − 4 a c 2 a. {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}
\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}. } Finalmente x
− b ± b 2 − 4 a c 2 a. {\displaystyle x
{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}. } Significado xeométrico
En termos de xeometría de coordenadas, unha parábola é unha curva cuxos ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} son a gráfica dun polinomio de segundo grao, da forma y
a x 2 + b x + c {\displaystyle \textstyle y
ax^{2}+bx+c}, onde a {\displaystyle a}, b {\displaystyle b}, c {\displaystyle c} son coeficientes constantes de valor real con a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}.
Xeométricamente, a fórmula cadrática define os puntos ( x, 0 ) {\displaystyle (x, 0)} na gráfica, onde a parábola cruza o eixo x {\displaystyle x}. Ademais, pódese dividir en dous termos, x
− b ± b 2 − 4 a c 2 a
− b 2 a ± b 2 − 4 a c 2 a. {\displaystyle x
{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}
-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}. } O primeiro termo x
− b 2 a {\displaystyle x
-{\tfrac {b}{2a}}} describe o eixe de simetría, o segundo termo, b 2 − 4 a c / 2 a {\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}/2a}, dá a distancia que están as raíces do eixe de simetría.
Se o vértice da parábola está no eixo x {\displaystyle x}, entón a ecuación correspondente ten unha única raíz repetida na liña de simetría e este termo de distancia é cero; alxebricamente, o discriminante b 2 − 4 a c
0 {\displaystyle b^{2}-4ac
0}.
Se o discriminante é positivo, entón o vértice non está exactamente sobre o eixo x {\displaystyle x} mais a parábola ábrese na dirección do eixo x {\displaystyle x}, cruzándoo dúas veces, polo que a ecuación correspondente ten dúas raíces reais. Se o discriminante é negativo, a parábola ábrese na dirección oposta, sen cruzar nunca o eixo x {\displaystyle x}, e a ecuación non ten raíces reais; neste caso, as dúas raíces con valores complexos serán conxugados complexos cuxa parte real é o x {\displaystyle x} do eixe de simetría.