Número tetraédrico

Un número tetraédrico, ou número piramidal triangular, é un número figurado que representa un tetraedro, unha pirámide triangular que ten triángulos equiláteros nas catro caras. O n ésimo número tetraédrico, Ten, é a suma dos n primeiros números triangulares, é dicir, T e n
∑ k
1 n T k
∑ k
1 n k ( k + 1 ) 2
∑ k
1 n ( ∑ i
1 k i ) {\displaystyle Te_{n}
\sum _{k
1}^{n}T_{k}
\sum _{k
1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}
\sum _{k
1}^{n}\left(\sum _{i
1}^{k}i\right)} Os números tetraédricos son: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, .. . (secuencia A000292 na OEIS) Fórmula
A fórmula para o n ésimo número tetraédrico está representada polo 3º factorial ascendente de n dividido polo factorial de 3: T e n
∑ k
1 n T k
∑ k
1 n k ( k + 1 ) 2
∑ k
1 n ( ∑ i
1 k i )
n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6
n 3 ¯ 3! {\displaystyle Te_{n}
\sum _{k
1}^{n}T_{k}
\sum _{k
1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}
\sum _{k
1}^{n}\left(\sum _{i
1}^{k}i\right)
{\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}
{\frac {n^{\overline {3}}}{3! }}} Os números tetraédricos tamén se poden representar como coeficientes binomiais: T e n
( n + 23 ). {\displaystyle Te_{n}
{\binom {n+2}{3}}. } Ao representarse desta maneira, é fácil ver que os números tetraédricos pódense atopar na cuarta posición dende a esquerda (ou a dereita, por simetría) no triángulo de Pascal.
Probas da fórmula
Sabemos que o n-ésimo número triangular vén dado por: T n
n ( n + 1 ) 2. {\displaystyle T_{n}
{\frac {n(n+1)}{2}}. } Empregando indución: Caso para n
1 {\displaystyle n
1} T e 1
1
1 ⋅ 2 ⋅ 36. {\displaystyle Te_{1} 1
{\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}. } Supoñendo que sexa certo para n
k {\displaystyle n
k}, facemos o paso indutivo para n
k + 1 {\displaystyle n
k+1} T e k + 1
T e k + T k + 1
k ( k + 1 ) ( k + 2 ) 6 + ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2
( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k 6 + 12 )
( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) 6. {\displaystyle {\begin{aligned}Te_{k+1}\quad &
Te_{k}+T_{k+1}\\&
{\frac {k(k+1)(k+2)}{6}}+{\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&
(k+1)(k+2)\left({\frac {k}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\& {\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{6}}. \end{aligned}}} Esta proba pode facerse de forma alternativa co algoritmo de Gosper.
Relación recursiva
Como comentamos anteriormente, os números tetraédricos derivan directamente dos triangulares, polo que nace esta relación entre estes: T e n
T e n − 1 + T n ( 1 ) T n
T n − 1 + n ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}
Te_{n-1}+T_{n}&(1)\\&T_{n}
T_{n-1}+n&(2)\end{aligned}}} A ecuación ( 1 ) {\displaystyle (1)} convértese en T e n
T e n − 1 + T n − 1 + n {\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}
Te_{n-1}+T_{n-1}+n\end{aligned}}} Substituíndo n − 1 {\displaystyle n-1} por n {\displaystyle n} na ecuación ( 1 ) {\displaystyle (1)} T e n − 1
T e n − 2 + T n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n-1}
Te_{n-2}+T_{n-1}\end{aligned}}} Por ende, o n {\displaystyle n} o número tetraédrico cumpre que: T e n
2 T e n − 1 − T e n − 2 + n {\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}
2Te_{n-1}-Te_{n-2}+n\end{aligned}}} Xeneralización
O patrón atopado para os números triangulares ∑ n 1
1 n 2 n 1
( n 2 + 12 ) {\displaystyle \sum _{n_{1}
1}^{n_{2}}n_{1}
{\binom {n_{2}+1}{2}}} e para números tetraédricos ∑ n 2
1 n 3 ∑ n 1
1 n 2 n 1
( n 3 + 23 ) {\displaystyle \sum _{n_{2}
1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}
1}^{n_{2}}n_{1}
{\binom {n_{3}+2}{3}}} pódese xeneralizar. Isto leva á fórmula: ∑ n k − 1
1 n k ∑ n k − 2
1 n k − 1 … ∑ n 2
1 n 3 ∑ n 1
1 n 2 n 1
( n k + k − 1 k ) {\displaystyle \sum _{n_{k-1}
1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}
1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}
1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}
1}^{n_{2}}n_{1}
{\binom {n_{k}+k-1}{k}}} Interpretación xeométrica
A interpretación xeométrica vén de representar tetraedros mediante o uso de esferas ou calquera outro obxecto. Por exemplo, podemos comezar a partir do triángulo das bólas de billar coas que se comeza o xogo, son 15 bólas, o quinto número triangular, se imos amoreando máis bólas ata completar o tetraedro, en total empregaremos 35 bólas o quinto número tetraédrico. Propiedades
Ten + Ten−112 + 22 + 32. .. + n2, o número n-ésimo número piramidal cadrado.
Te2n+112 + 32. .. + (2n+1)2, suma dos cadrados dos impares.
Te2n 22 + 42. .. + (2n)2, suma dos cadrados dos pares.
A. J. Meyl provou en 1878 que solo 3 números tetraédricos son tamén cadrados perfectos:
Te1
12
1
Te2
22
4
Te48
1402
19600.
Sir Frederick Pollock fixo unha conxectura de que todo número enteiro positivo, pódese escribir como suma de 5 números tetraédricos.
O único número tetraédrico que tamén é número triangular cadrado é 1 (Beukers, 1988), é o único que tamén é un cubo perfecto é 1.
A suma infinita dos recíprocos dos números tetraédricos é 3/2, pódese calcular empregando series telescópicas: ∑ n
1 ∞ 6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
32. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}
{\frac {3}{2}}. } A paridade dos números tetraédricos segue a secuencia, impar-par-par-par.
Unha observación:
Te5 Te4 + Te3 + Te2 + Te1
Os números que son á vez tetraédricos e triangulares, cumplen a ecuación: T n
( n + 12 )
( m + 23 )
T e m {\displaystyle T_{n}
{\binom {n+1}{2}}
{\binom {m+2}{3}}
T_{em}} Os únicos números que son tanto tetraédricos como triangulares son:
Te1
T1
1
Te3
T4
10
Te8
T15
120
Te20
T55
1540
Te34
T119
7140
Ten é a suma dos produtos p × q cando (p, q) son pares ordenados e p + q n + 1
O número tetraédrico máis grande da forma 2 a + 3 b + 1 {\displaystyle 2^{a}+3^{b}+1} para enteiros a e b é 8436.