División (matemáticas)

En matemáticas, especificamente en aritmética elemental, a división é unha operación aritmética que é a inversa da multiplicación e ás veces pode interpretarse como unha resta repetida.
Noutras palabras, consiste en pescudar cantas veces un número (o divisor) está contido noutro número (o dividendo). Na división de números enteiros ademais do dividendo e o divisor interveñen outros números. Así ao resultado enteiro da división denomínaselle cociente e se a división non é exacta, é dicir, o divisor non está contido un número exacto de veces no dividendo, a operación terá un resto ou residuo, onde: Que tamén pode expresarse: D i v i d e n d o
( C o c i e n t e ∗ D i v i s o r ) + R e s t o {\displaystyle Dividendo
(Cociente*Divisor)+Resto\, } Representación e terminoloxía
Sexan a e b elementos do conxunto dos números enteiros, e b diferente de cero. Podemos representar unha división da seguinte forma: Como unha fracción: a b, {\displaystyle {\frac {a}{b}}, } (utilizando unha barra horizontal entre os dous números);
Mediante unha barra inclinada: a / b {\displaystyle {}^{a}\! {/}\! {}_{b}}.
Coa simboloxía usual da división, utilizando dous puntos e unha barra horizontal entre eles: a ÷ b {\displaystyle a\div b};
Utilizando dous puntos entre os dous números en horizontal: a: b {\displaystyle a: b};
Usando a notación do inverso multiplicativo: a b − 1 {\displaystyle ab^{-1}}.
Outros termos relacionados co concepto de división: A razón: resultado da división entre dous números.
A ratio: resultado da división entre dous números.
Unha fracción: representación dunha división.
Un cociente: fórmula que representa dalgunha forma unha división, por exemplo cociente Hare, cociente intelectual. Táboa
O algoritmo constrúese a partir dunhas táboas elementais. A lectura da táboa faise da forma 10: 52, que se le: "Dez entre cinco igual a dous". O algoritmo realízase da forma seguinte:
Consideremos o dividendo 8593, e o divisor 23.
Escríbese o dividendo á esquerda e o divisor na dereita contido nunha escuadra aberta cara á dereita.
Tómase a primeira cifra do dividendo (8); divídese pola primeira do divisor (2). (No caso de que a primeira cifra do dividendo sexa menor que a do divisor tómanse dúas cifras do dividendo.
Agora trátase de atopar o máximo cociente que multiplicado polo divisor sexa menor que as dúas primeiras cifras do dividendo (ou tres na excepción sinalada).
8: 2
4; multiplícase 4x23
92, que excede, 85<92 polo que se toma unha unidade inferior, neste caso 3. En efecto 3x23
69. Este produto réstase das dúas primeiras cifras (ou tres no caso de excepción sinalado), 85-69
16.
A este resto engádeselle a cifra seguinte do dividendo 9. Con devandito número, 169, procédese de igual xeito que coas primeiras cifras, e sucesivamente con todas as cifras do dividendo.
As dúas primeiras neste caso 1<2. 16: 2
8. 8x23
184; 169<184. Polo que consideramos unha unidade menos, 7x23
161, cuxo resto con 169 é 8. Báixase agora a cifra seguinte do dividendo 3, formándose agora o número 83. 8: 2
4; 4x23
92; 83<92. Tómase o 3. 3x23
69; 83-6914.
Ao non haber máis cifras do dividendo este 14, é o resto que sempre ha de ser menor que o divisor.
O resultado é o seguinte: 8593 dividido por 23 dá un cociente de 373 e un resto de 14; onde se ha de verificar que: 373x23148593. Algoritmo da división. Exemplo
Este algoritmo é o que se coñece como división longa.
Sexa a división do dividendo 948 polo divisor 32. A disposición e algoritmo descríbense abaixo, sendo o resultado cociente 29, e o resto 20. Onde a primeira cifra do cociente, "2", é o número que multiplicado polo divisor aproxímase máis por defecto ás dúas primeiras cifras, como número, do dividendo; as cifras "30" que se sitúan debaixo é o resto que representa a diferenza entre devandita multiplicación "64" e as dúas primeiras cifras do dividendo "94"; (se fose necesario para poder realizar a multiplicación por defecto, poderíanse tomar unha cifra máis do dividendo). A devanditas cifras "30" engádeselle a cifra posterior dereita de do dividendo "8", que, tomado como número 308, constitúese en novo dividendo ao que se lle aplica o mesmo procedemento, dando un novo cociente como cifra "9" e un resto de 20. O resultado cociente é o número formado polas dúas cifras 29.
Comprobación: 29 ∗ 32 + 20
928 + 20
948 {\displaystyle 29*32+20
928+20
948} esta é o xeito en que se realiza a verificación para ver se esta ben a conta. Álxebra: división de monomios
Regra:
Para dividir dous monomios divídense os seus coeficientes e réstanse os expoñentes da parte literal.
Se unha división de coeficientes non é exacta, represéntase como fracción. Tamén se deixa indicado o cociente de calquera letra que ao restar expoñentes dea expoñente negativo.
Deste xeito, ao dividir, por exemplo, a / ab a resposta non é b senón 1 / b.
O cociente de dous monomios será outro monomio só cando a parte literal do dividendo sexa múltiplo da parte literal do divisor. Exemplos 7 x 2 y 2 x y
72 x. {\displaystyle {\frac {7x^{2}y}{2xy}}
{\frac {7}{2}}x. } Si é un monomio porque: x 2 y {\displaystyle x^{2}y\, } é un múltiplo de x y {\displaystyle xy\, }; 7 x 2 y 2 x y z
7 x 2 z
72 x z
72 x 1 z
72 x z − 1. {\displaystyle {\frac {7x^{2}y}{2xyz}}
{\frac {7x}{2z}}
{\frac {7}{2}}\; {\frac {x}{z}}
{\frac {7}{2}}x\; {\frac {1}{z}}
{\frac {7}{2}}xz^{-1}. } Non é un monomio porque: x 2 y {\displaystyle x^{2}y\, } non é un múltiplo de x y z {\displaystyle xyz\, } e o expoñente do factor z {\displaystyle z\, } (de cociente) non é un número natural. Dividir dous polinomios
Regra para a división de dous polinomios:
1. Ordénanse os polinomios dados en relación a unha letra. Se falta algún termo para ordenar o dividendo, déixase o espazo ou se pon cero.
2. Divídese o primeiro termo do dividendo entre o primeiro termo do divisor.
3. Multiplícase este cociente por cada termo do divisor e este produto réstase do dividendo.
4. Á diferenza obtida agrégaselle o seguinte termo do dividendo e repítese a operación ata que se dividiron todos os termos do dividendo.
5. Para desenvolvelo con máis rapidez debemos utilizar os métodos Horner; Ruffini; Teorema do resto, estes tres métodos resolven o problema con máis eficacia.
Exemplo
Encontre o cociente e o resto da división de x 3 − 2 x 2 − 4 {\displaystyle x^{3}-2x^{2}-4} (dividendo) polo divisor x − 3 {\displaystyle x-3}.
No dividendo, todos os termos con expoñentes inferiores ao maior deben ser escritos explicitamente, mesmo que os seus coeficientes sexan cero: x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4. {\displaystyle x^{3}-2x^{2}+0x-4. } O cociente e o resto poden ser determinados como segue:
1. Divídese o primeiro termo do dividendo pelo termo de maior grao do divisor (aquel coa maior potencia de x {\displaystyle x} ) e insírese o resultado ( x 3 ÷ x
x 2 {\displaystyle x^{3}\div x
x^{2}} ) abaixo do divisor: x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 | x − 3 _ x 2. {\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right. }}\\\, &x^{2}\end{matrix}}. } 2. Multiplícase o divisor polo resultado obtido (o primeiro termo de eventual cociente) e escríbese o resultado ( x 2 ( x − 3 )
x 3 − 3 x 2 {\displaystyle x^{2}(x-3)
x^{3}-3x^{2}} ) baixo o dividendo: x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 | x − 3 _ x 3 − 3 x 2 x 2 {\displaystyle {\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right. }}\\x^{3}-3x^{2}&x^{2}\end{array}}} 3. Réstase o produto acabado de obter do dividendo e escríbese o resultado ( x 3 − 2 x 2 − 4 − ( x 3 − 3 x 2 )
x 2 − 4 {\displaystyle x^{3}-2x^{2}-4-(x^{3}-3x^{2})
x^{2}-4} ) embaixo: x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 | x − 3 _ x 3 − 3 x 200000000 _ x 200000 x 2 + 0 x − 4 {\displaystyle {\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right. }}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{00000000}}}}&x^{2}\\{\color {White}{00000}}x^{2}+0x-4&\, \end{array}}} 4. Repítense as tres etapas anteriores, coa observación que desta vez o polinomio que acaba de ser escrito é usado como dividendo: x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 | x − 3 _ x 3 − 3 x 200000000 _ x 2 + x 00000 x 2 + 0 x − 400000 x 2 − 3 x 0000 _ 00000000 − 3 x − 4 {\displaystyle {\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right. }}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{00000000}}}}&x^{2}+x\\{\color {White}{00000}}x^{2}+0x-4&\, \\{\color {White}{00000}}{\underline {x^{2}-3x{\color {White}{0000}}}}&\, \\{\color {White}{00000000-}}3x-4&\, \end{array}}} 5. Repítense a etapa 4 até que o polinomio resultado da resta fique con grao menor do que o grao do divisor. Tal polinomio é o resto da división, sendo neste exemplo obtido no paso seguinte: x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 | x − 3 _ x 3 − 3 x 200000000 _ x 2 + x + 300000 x 2 + 0 x − 400000 x 2 − 3 x 0000 _ 00000000 − 3 x − 400000000 − 3 x − 9 _ 000000000000005 {\displaystyle {\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right. }}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{00000000}}}}&x^{2}+x+3\\{\color {White}{00000}}x^{2}+0x-4&\, \\{\color {White}{00000}}{\underline {x^{2}-3x{\color {White}{0000}}}}&\, \\{\color {White}{00000000-}}3x-4&\, \\{\color {White}{00000000-}}{\underline {3x-9}}&\, \\{\color {White}{00000000000000}}5&\, \end{array}}} Finalizado o proceso, pódese escribir: x 3 − 2 x 2 − 4
( x − 3 ) ( x 2 + x + 3 ) ⏟ q ( x ) + 5 ⏟ r ( x ) {\displaystyle {x^{3}-2x^{2}-4}
(x-3)\, \underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}}.
Dividir un polinomio entre un monomio
É un caso particular do método anterior.
Divídese cada termo do polinomio polo monomio separando os coeficientes parciais cos seus propios signos. División de números complexos
Dividir dous número complexos (cando o divisor é distinto de cero) dá como resultado outro número complexo, que se atopa usando o conxugado do denominador: p + i q r + i s
( p + i q ) ( r − i s ) ( r + i s ) ( r − i s )
p r + q s + i ( q r − p s ) r 2 + s 2
p r + q s r 2 + s 2 + i q r − p s r 2 + s 2. {\displaystyle {p+iq \over r+is}
{(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}
{pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}
{pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}. } Este proceso de multiplicación e división por r − i s {\displaystyle r-is} chámase por analoxía racionalización. As catro cantidades p, q, r, s son números reais e r e s poden non ser ambas as dúas 0.
A división de números complexos expresados ​​en forma polar é máis sinxela que a definición anterior: p e i q r e i s
p e i q e − i s r e i s e − i s
p r e i ( q − s ). {\displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}}
{pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}
{p \over r}e^{i(q-s)}. } De novo, as catro cantidades p, q, r, s son números reais e r non pode ser 0.