Función gamma inversa

En matemáticas, a función gamma inversa Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} é a función inversa da función gamma. Noutras palabras, y
Γ − 1 ( x ) {\displaystyle y
\Gamma ^{-1}(x)} sempre que Γ ( y )
x {\textstyle \Gamma (y)
x}. Por exemplo, Γ − 1 ( 24 )
5 {\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)
5}. A función gamma inversa refírese normalmente á rama principal con dominio no intervalo real [ β, + ∞ ) {\displaystyle \left[\beta, +\infty \right)} e imaxe sobre o intervalo real [ α, + ∞ ) {\displaystyle \left[\alpha, +\infty \right)}, onde β
0. 8856031 … {\displaystyle \beta
0. 8856031\ldots } é o valor mínimo da función gamma no eixe real positivo e α
Γ − 1 ( β )
1. 4616321 … {\displaystyle \alpha
\Gamma ^{-1}(\beta )
1. 4616321\ldots } é a localización dese mínimo. Definición
Podemos definir a función gamma inversa coa seguinte representación integral Γ − 1 ( x )
a + b x + ∫ − ∞ Γ ( α ) ( 1 x − t − t t 2 − 1 ) d μ ( t ), {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)
a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)\, ,} onde μ ( t ) {\displaystyle \mu (t)} é unha medida de Borel tal que ∫ − ∞ Γ ( α ) ( 1 t 2 + 1 ) d μ ( t ) < ∞, {\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty \, ,} e a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} son números reais con b ≧ 0 {\displaystyle b\geqq 0}. Aproximación
Para calcular as ramas da función gamma inversa pódese calcular primeiro a serie de Taylor de Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} preto de α {\displaystyle \alpha }. A serie pode logo ser truncada e invertida, o que produce sucesivamente mellores aproximacións Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}. Por exemplo, temos a aproximación cadrática: Γ − 1 ( x ) ≈ α + 2 ( x − Γ ( α ) ) Ψ ( 1, α ) Γ ( α ). {\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1, \ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}. } Tamén temos para a función gamma inversa a seguinte fórmula asintótica Γ − 1 ( x ) ∼ 12 + ln ⁡ ( x 2 π ) W 0 ( e − 1 ln ⁡ ( x 2 π ) ), {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}\, ,} onde W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} é a función W de Lambert. Esta fórmula conséguese invertendo a aproximación de Stirling, polo que tamén se pode expandir nunha serie asintótica.
Expansión en serie
Para obter unha expansión en serie da función gamma inversa pódese calcular primeiro a expansión en serie da función gamma recíproca 1 Γ ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}} preto dos polos nos enteiros negativos, e despois inverter a serie.
Pondo z
1 x {\displaystyle z
{\frac {1}{x}}} temos, para a rama n Γ n − 1 ( z ) {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)} da función gamma inversa ( n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} ) Γ n − 1 ( z )
− n + ( − 1 ) n n! z + ψ ( 0 ) ( n + 1 ) ( n! z ) 2 + ( − 1 ) n ( π 2 + 9 ψ ( 0 ) ( n + 1 ) 2 − 3 ψ ( 1 ) ( n + 1 ) ) 6 ( n! z ) 3 + O ( 1 z 4 ), {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)
-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n! z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n! z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n! z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)\, ,} onde ψ ( n ) ( x ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(x)} é a función poligamma.