Correlación

En probabilidade e estatística, a correlación indica a forza e a dirección dunha relación linear e proporcionalidade entre dúas variables estatísticas. Considérase que dúas variables cuantitativas están correlacionadas cando os valores dunha delas varían sistematicamente con respecto aos valores homónimos da outra: se se teñen dúas variables (A e B) existe correlación se ao aumentaren os valores de A tamén aumentan (ou diminúen) os de B. A correlación entre dúas variables non implica, por ela mesma, ningunha relación de causalidade (cum hoc ergo propter hoc). Forza, sentido e forma da correlación
A relación entre dúas variables cuantitativas queda representada mediante a liña de mellor axuste, trazada a partir da nube de puntos. Os principais compoñentes elementais dunha liña de axuste e polo tanto dunha correlación, son a forza, o sentido e a forma: a forza extrema segundo o caso, mide o grao no que a liña representa a nube de puntos: se a nube é estreita e alongada represéntase por unha liña recta, o que indica que a relación é forte; se a nube de puntos ten unha tendencia elíptica o circular, a relación é débil.
o sentido mide a variación dos valores de B con respecto a A: se ao creceren os valores de A fano os de B, a relación é directa (pendente positiva); se ao creceren os valores de A diminúen os de B, a relación é inversa (pendente negativa).
a forma establece o tipo de liña que define o mellor axuste: a liña recta, a curva monotónica ou a curva non monotónica Coeficientes de correlación
Existen diversos coeficientes que miden o grao de correlación, adaptados á natureza dos datos. O máis coñecido é o coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidade por Francis Galton), que se obtén dividindo a covarianza de dúas variables entre o produto dos seus desvíos estándar. Outros coeficientes son: Coeficiente de correlación de Spearman
Correlación canónica
Coeficiente de correlación Intraclase
Correlación de Kendall
Correlación de Jaspen
Interpretación xeométrica
Dados os valores da mostra de dúas variables aleatorias X ( x 1, …, x n ) {\displaystyle X(x_{1}, \ldots, x_{n})} e Y ( y 1, …, y n ) {\displaystyle Y(y_{1}, \ldots, y_{n})}, que poden ser consideradas como vectores nun espazo de n dimensións, poden construírse os "vectores centrados" como: X ( x 1 − x ¯, …, x n − x ¯ ) {\displaystyle X(x_{1}-{\bar {x}}, \ldots, x_{n}-{\bar {x}})} e Y ( y 1 − y ¯, …, y n − y ¯ ) {\displaystyle Y(y_{1}-{\bar {y}}, \ldots, y_{n}-{\bar {y}})}. O coseno do ángulo alfa entre estes vectores vén dada pola fórmula seguinte: r
cos ⁡ ( α )
∑ i
1 N ( x i − x ¯ ) ⋅ ( y i − y ¯ ) ∑ i
1 N ( x i − x ¯ ) 2 ⋅ ∑ i
1 N ( y i − y ¯ ) 2 {\displaystyle r
\cos(\alpha )
{\dfrac {\displaystyle \sum _{i
1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum _{i
1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum _{i
1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}} pois cos ⁡ ( α ) {\displaystyle \cos(\alpha )} é o coeficiente de correlación da mostra de Pearson. O coeficiente de correlación é o coseno entre ambos vectores centrados: se r
1, o ángulo α
0 {\displaystyle \alpha 0} °, ambos os vectores son colineares (paralelos).
se r
0, o ángulo α
90 {\displaystyle \alpha 90} °, ambos os vectores son ortogonais.
se r
-1, o ángulo α
180 {\displaystyle \alpha 180} °, ambos os vectores son colineares de dirección oposta.
Máis xeralmente: α
arccos ⁡ ( r ) {\displaystyle \alpha
\arccos(r)}.
Por suposto, dende o punto vista xeométrico, non se fala de correlación linear: o coeficiente de correlación ten sempre un sentido, calquera que sexa o seu valor entre -1 e 1. Informa de modo preciso, non tanto sobre o grao de dependencia entre as variables, senón sobre a súa distancia angular na hiperesfera en n dimensións.
A iconografía das correlacións é un método de análise multidimensional que está baseado nesta idea. A correlación linear dáse cando nunha nube de puntos se atopan ou se distribúen arredor dunha recta.
A fórmula de correlación para dúas series distintas con certo desfase "k", está dada pola fórmula: r k
∑ i
1 N − k ( x i − x ¯ ) ⋅ ( y i + k − y ¯ ) ∑ i
1 N − k ( x i − x ¯ ) 2 ⋅ ∑ i
k + 1 N ( y i − y ¯ ) 2 {\displaystyle r_{k}
{\dfrac {\displaystyle \sum _{i
1}^{N-k}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i+k}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum _{i
1}^{N-k}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum _{i
k+1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}
Distribución do coeficiente de correlación
O coeficiente de correlación dunha mostra é unha variable aleatoria, o que significa que se repetimos un experimento ou consideramos diferentes mostras se obterán valores diferentes e polo tanto o coeficiente de correlación da mostra calculado a partir delas terá valores lixeiramente diferentes. Para mostras grandes a variación nese coeficiente será menor que para mostras pequenas. R. A. Fisher foi o primeiro en determinar a distribución de probabilidade para o coeficiente de correlación.
Se as dúas variables aleatorias que se trata de relacionar proceden dunha distribución gaussiana bivariante entón o coeficiente de correlación r segue unha distribución de probabilidade dada por: f ( r )
( n − 2 ) Γ ( n − 1 ) ( 1 − ρ 2 ) n − 12 ( 1 − r 2 ) n − 422 π Γ ( n − 12 ) ( 1 − ρ r ) n − 322 F 1 ( 12, 12; 2 n − 12; ρ r + 12 ) {\displaystyle f\left(r\right)
{\frac {\left(n-2\right)\, \mathbf {\Gamma } \left(n-1\right)\left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {n-1}{2}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}\, \mathbf {\Gamma } \left(n-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-\rho r\right)^{n-{\frac {3}{2}}}}}\, \mathbf {_{2}F_{1}} \left({\frac {1}{2}}, {\frac {1}{2}}; {\frac {2n-1}{2}}; {\frac {\rho r+1}{2}}\right)} onde: Γ {\displaystyle \mathbf {\Gamma } } é a distribución gamma 2 F 1 ( a, b; c; z ) {\displaystyle \, \mathbf {_{2}F_{1}} (a, b; c; z)} é a función gaussiana hiperxeométrica.
O valor esperado do coeficiente de correlación da mostra r es: E ( r )
ρ − ρ ( 1 − ρ 2 ) 2 ( n − 1 ) + ⋯ {\displaystyle \mathbb {E} \left(r\right)
\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2\left(n-1\right)}}+\cdots } polo tanto, r é un estimador nesgado de ρ {\displaystyle \, \rho }. Pode obterse un estimador aproximado non nesgado resolvendo a ecuación: r ¯
E ( r )
ρ − ρ ( 1 − ρ 2 ) 2 ( n − 1 ) {\displaystyle {\bar {r}}
\mathbb {E} \left(r\right)
\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2\left(n-1\right)}}} para ρ {\displaystyle \, \rho } Aínda que a solución: ρ
r [ 1 + 1 − r 22 ( n − 1 ) ] {\displaystyle {\rho }
r\left[1+{\frac {1-r^{2}}{2\left(n-1\right)}}\right]} é subóptima. Pode obterse un estimador nesgado con mínima varianza para grandes valores de n, con nesgo de orde 1 n − 1 {\displaystyle {\frac {1}{n-1}}} buscando o máximo da expresión: log ⁡ f ( r ) {\displaystyle \log {f\left(r\right)}}, i. e. ρ ^
r [ 1 − 1 − r 22 ( n − 1 ) ] {\displaystyle {\hat {\rho }}
r\left[1-{\frac {1-r^{2}}{2\left(n-1\right)}}\right]} No caso especial de que ρ
0 {\displaystyle \, \rho
0}, a distribución orixinal pode ser reescrita como: f ( r )
( 1 − r 2 ) n − 42 B ( 12, n − 22 ) {\displaystyle f\left(r\right)
{\frac {\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{\mathbf {B} \left({\frac {1}{2}}, {\frac {n-2}{2}}\right)}}} onde B {\displaystyle \mathbf {B} } é a función beta.