Condicional material

O condicional material (implicación material ou simplemente implicación) é unha operación que se usa habitualmente en lóxica. Cando o símbolo condicional → {\displaystyle \rightarrow } interprétase como implicación material, unha fórmula P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} é certa en todos os casos menos no caso de que P {\displaystyle P} sexa verdade e Q {\displaystyle Q} falsa. A implicación material tamén se pode caracterizar inferencialmente por modus ponens, modus tollens e proba condicional. A implicación material úsase en todos os sistemas básicos da lóxica clásica, así como nalgunhas lóxicas non clásicas. Asúmese como un modelo de razoamento condicional correcto dentro das matemáticas e serve como base para comandos en moitas linguaxes de programación. No entanto, moitas lóxicas substitúen a implicación material con outros operadores como o condicional estrito. Debido aos paradoxos da implicación material e outros problemas relacionados, a implicación material é cuestionada nas oracións condicionais da linguaxe natural. Notación
No campo da lóxica e outros relacionados, o condicional material adoita denotarse cun operador infixo → {\displaystyle \to }. O condicional material tamén se denota mediante os infixos ⊃ {\displaystyle \supset } e ⇒ {\displaystyle \Rightarrow }. Na notación polaca con prefixo, os condicionais anótanse como C p q {\displaystyle Cpq}. Nunha fórmula condicional p → q {\displaystyle p\to q}, a subfórmula p {\displaystyle p} denomínase antecedente e q {\displaystyle q} chámase o consecuente do condicional. As sentenzas condicionais poden aniñarse de xeito que o antecedente ou o consecuente poden ser eles mesmos sentenzas condicionais, como na fórmula ( p → q ) → ( r → s ) {\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}. Definicións
Semántica
Desde unha perspectiva semántica clásica, a implicación material é o operador binario funcional de verdade que devolve "verdadeiro" a menos que o seu primeiro argumento sexa verdadeiro e o segundo argumento sexa falso. Esta semántica pódese mostrar graficamente nunha táboa de verdade como a que se mostra embaixo. Tamén se pode considerar a equivalencia A → B ≡ ¬ ( A ∧ ¬ B ) ≡ ¬ A ∨ B {\displaystyle A\to B\equiv \neg (A\land \neg B)\equiv \neg A\lor B}.
Táboa de verdade
A táboa de verdade A → B {\displaystyle A\rightarrow B}: Os casos lóxicos nos que o antecedente A é falso e A → B é verdadeiro chámanse "verdades vacuas".
Definición dedutiva
A implicación material tamén se pode caracterizar dedutivamente en termos de regras de inferencia. Por exemplo, na lóxica intuicionista, que rexeita as probas por contraposición como regras válidas de inferencia, ( A → B ) ⇒ ¬ A ∨ B {\displaystyle (A\to B)\Rightarrow \neg A\lor B} non é un teorema proposicional, pero o condicional material úsase para definir a negación. Propiedades formais
Cando a disxunción, a conxunción e a negación son clásicas, a implicación material valida as seguintes equivalencias: Contraposición: P → Q ≡ ¬ Q → ¬ P {\displaystyle P\to Q\equiv \neg Q\to \neg P} Importación-exportación: P → ( Q → R ) ≡ ( P ∧ Q ) → R {\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R} Condicionais negados: ¬ ( P → Q ) ≡ P ∧ ¬ Q {\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q} Ou-e-se: P → Q ≡ ¬ P ∨ Q {\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q} Conmutatividade dos antecedentes: ( P → ( Q → R ) ) ≡ ( Q → ( P → R ) ) {\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}} Distributividade esquerda: ( R → ( P → Q ) ) ≡ ( ( R → P ) → ( R → Q ) ) {\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}} Do mesmo xeito, nas interpretacións clásicas dos outros conectivos, a implicación material valida as seguintes consecuencias lóxicas: Reforzo de antecedentes: P → Q ⊨ ( P ∧ R ) → Q {\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q} Condicional vacuo: ¬ P ⊨ P → Q {\displaystyle \neg P\models P\to Q} Transitividade: ( P → Q ) ∧ ( Q → R ) ⊨ P → R {\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R} Simplificación de antecedentes disxuntivos: ( P ∨ Q ) → R ⊨ ( P → R ) ∧ ( Q → R ) {\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)} As tautoloxías que implican implicacións materiais inclúen: Reflexividade: ⊨ P → P {\displaystyle \models P\to P} Totalidade: ⊨ ( P → Q ) ∨ ( Q → P ) {\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)} Lei do terceiro excluído: ⊨ ( P → Q ) ∨ ( P → ¬ Q ) {\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)} Relación con necesario e suficiente
A implicación lóxica pódese ver como unha relación, dúas proposicións están relacionadas se o resultado do operador de implicación lóxica é VERDADEIRO, este aspecto é particularmente evidente na linguaxe común onde a implicación se expresa na forma "se A entón B", polo que por exemplo, é natural que entendamos: "se chove entón hai nubes no ceo'
e a única posibilidade de que esta afirmación sexa falsa é comprobar que nun momento dado chove mais NON hai nubes no ceo. Asumindo que A → B {\displaystyle {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}} é certo, isto tamén se pode expresar das seguintes formas: A {\displaystyle {\mathcal {A}}} é condición suficiente para B {\displaystyle {\mathcal {B}}}; B {\displaystyle {\mathcal {B}}} é condición necesaria para A {\displaystyle {\mathcal {A}}};
aplicando estes métodos ao exemplo anterior en relación á linguaxe común podemos afirmar que: unha condición suficiente para que haxa nubes no ceo é que chova,
así como condición necesaria para que chova é que haxa nubes no ceo.
Tamén é frecuente ler "é necesario pero non suficiente", isto en relación ao exemplo anterior sería: é necesario que haxa nubes para chover pero non é suficiente porque, a maiores, para haber chuvia as pingas das nubes deben ter un diámetro superior aos 0. 5 milímetros (e con certeza algunha condición máis, ver necesario e suficiente). Discrepancias coa linguaxe natural
A implicación material non coincide moito co uso das oracións condicionais na linguaxe natural. Por exemplo, aínda que os condicionais materiais con antecedentes falsos sexan vacuamente verdadeiros, a afirmación da linguaxe natural "Se 8 é impar, entón 3 é primo" adoita considerarse falsa. Do mesmo xeito, calquera material condicional cun consecuente verdadeiro é verdadeiro en si, pero os falantes normalmente rexeitan frases como "Se teño un peso no peto, entón Noia está na Galiza". Estes problemas clásicos foron chamados os paradoxos da implicación material. A maiores dos paradoxos, presentáronse outros argumentos contra unha análise da implicación material. Por exemplo, os condicionais contrafactuais serían, deste modo, todos vacuamente verdadeiros. Discrepancias entre wikipedias
Na Wikipedia en inglés en: Material conditional, non fai distinción entre Condicional material e Implicación, literalmente pon: "The material conditional (also known as material implication) is an operation commonly used in logic". Na Wikipedia en español es: Condicional material, distingue entre Condicional material e Implicación material, literalmente pon: "conocido como condicional, condicional funcional de verdad, o imprecisamente confundido con la implicación material" e na aclaración "El condicional material es una afirmación hipotética que no habla de la realidad. .. la implicación lógica es una afirmación no hipotética sino con contenido de verdad".
Na Wikipedia en francés fr: Implication (logique), non fai distinción pero fala de dous enfoques, literalmente pon: "Classiquement, le connecteur d'implication est formalisé de deux façons, soit en fonction de valeurs de vérité, soit en termes de déduction. " E detallando máis adiante "Ces deux approches sont compatibles et sont reliées par des théorèmes comme le théorème de complétude pour la logique classique, ou le théorème de complétude du calcul des propositions pour le calcul des propositions, à titre d'exemple"
Na Wikipedia en portugués pt: Condicional material, non fai distinición, literalmente pon: "O condicional material, também conhecido como implicação material, condicional funcional de verdade ou simplesmente condicional, é uma operação lógica"
Na Wikipedia en italiano it: Implica, fai distinción entre unha implicación material e unha implicación semántica, literalmente "È necessario distinguere tra implicazione logica "materiale", che riguarda la definizione formale delle due proposizioni, a prescindere dalla relazione di causa-effetto tra la prima e la seconda, e implicazione logica "semantica", che appunto tiene conto del significato della prima proposizione che, solo se vera, impone la verità della seconda proposizione. "
En tódolos casos a táboa de verdade é a mesma.