Autocorrelación

A autocorrelación é unha operación matemática consistente na correlación dunha función con ela mesma. Existen varias definicións dependendo do campo de estudo que se considere, tipicamente o procesamento de sinais por unha banda e a estatística por outra. Definicións
Imos ver a continuación as dúas definicións que se adoitan atopar, a da estatística, para variábeis discretas e as empregadas en procesamento de sinais para variábeis continuas e discretas.
Estatística
Por unha banda en estatística, a autocorrelación é unha medida que informa de canto o valor dunha realización dunha variábel aleatoria é capaz de influenciar os seus veciños. Por exemplo, o canto a existencia de valor máis alto condiciona valores tamén altos dos seus veciños.
Supóndose unha variábel aleatoria Xt discreta estacionaria, dependente do tempo, con media μ, a súa autocorrelación R ( k ) {\displaystyle R(k)} ven definida como: R ( k )
E [ ( X t − μ ) ( X t + k − μ ) ] σ 2 {\displaystyle R(k)
{\frac {E[(X_{t}-\mu )(X_{t+k}-\mu )]}{\sigma ^{2}}}} onde E[ ] é o valor medio, ou valor agardado da expresión, k {\displaystyle k} é o movemento no tempo e σ {\displaystyle \sigma } é a variancia da variábel X t {\displaystyle X_{t}}.
Segundo a definición da estatística, o valor da autocorrelación está entre 1 (correlación perfecta) e -1, o que significa anticorrelación perfecta. O valor 0 significa total ausencia de correlación.
Procesamento de sinais
En procesamento de sinais a autocorrelación continua dun sinal f(t), Rf(τ), defínese como a correlación continua de f(t) con ela mesma mais desprazada por un valor τ R f ( τ )
f ∗ ( − τ ) ∘ f ( τ )
∫ − ∞ ∞ f ( t + τ ) f ∗ ( t ) d t
∫ − ∞ ∞ f ( t ) f ∗ ( t − τ ) d t {\displaystyle R_{f}(\tau )
f^{*}(-\tau )\circ f(\tau )
\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau )f^{*}(t)\, dt
\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\, dt} onde f* represente a complexa conxugada e o círculo representa a convolución. Para unha función real, f* f.
A autocorrelación discreta R a un valor de desprazamento j para o sinal xn é R ( j )
∑ n ( x n − m ) ( x n − j − m ) {\displaystyle R(j)
\sum _{n}(x_{n}-m)(x_{n-j}-m)\, } onde m é o valor medio (valor agardado) de xn. Para sinais centrados no cero (de valor medio nulo) a definición fica en: R ( j )
∑ n x n x n − j. {\displaystyle R(j)
\sum _{n}x_{n}x_{n-j}. \, } A autocorrelación multidimensional defínese de xeito semellante. Así, a autocorrelación en tres dimensións, defínese: R ( j, k, ℓ )
∑ n, q, r ( x n, q, r − m ) ( x n − j, q − k, r − ℓ − m ). {\displaystyle R(j, k, \ell )
\sum _{n, q, r}(x_{n, q, r}-m)(x_{n-j, q-k, r-\ell }-m). } Propiedades
A autocorrelación dunha dada variábel defínese pola distancia, ou atraso con que se desexa medila. Cando esa distancia é cero, tense o valor máximo 1, pois trátase da variábel correlacionada con ela mesma. Outros valores deben calcularse caso a caso.
Caso se retire da fórmula enriba a variancia σ {\displaystyle \sigma } tense a chamada autocovariancia, que describe o canto a variábel X t {\displaystyle X_{t}} varía en conxunto coa súa instancia con atraso k {\displaystyle k}. Aplicacións
O concepto de autocorrelación ten aplicación a moitas áreas, que van da análise dos sinais á óptica, pasando pola economía e pola xeofísica.
Un rechamante exemplo é o autocorrelador, un instrumento óptico de precisión capaz de caracterizar pulsos ópticos de femtosegundos.