Medida con signo

En matemáticas, unha medida con signo é unha xeneralización do concepto de medida (positiva) que permite que a función do conxunto tome valores negativos, é dicir, que adquira signo. Definición
Hai dous conceptos lixeiramente diferentes da medida con signo, dependendo de se se permite ou non que tome valores infinitos. As medidas con signo normalmente só poden tomar valores reais finitos, mentres que algúns libros de texto permiten que tomen valores infinitos. Para evitar confusións, este artigo chamará a estes dous casos "medidas finitas con signo" e "medidas estendidas con signo".
Dado un espazo medíbel ( X, Σ ) {\displaystyle (X, \Sigma )} (é dicir, un conxunto X {\displaystyle X} cunha σ-álxebra Σ {\displaystyle \Sigma } nel), unha medida con signo estendida é unha función de conxuntos μ: Σ → R ∪ { ∞, − ∞ } {\displaystyle \mu: \Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty, -\infty \}} de tal xeito que μ ( ∅ )
0 {\displaystyle \mu (\varnothing )
0} e μ {\displaystyle \mu } é σ-aditiva, é dicir, cumpre a igualdade μ ( ⋃ n
1 ∞ A n )
∑ n
1 ∞ μ ( A n ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n
1}^{\infty }A_{n}\right)
\sum _{n
1}^{\infty }\mu (A_{n})} para calquera secuencia A 1, A 2, …, A n, … {\displaystyle A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, \ldots } de conxuntos disxuntos en Σ. {\displaystyle \Sigma. } A serie da dereita debe converxer absolutamente cando o valor do lado esquerdo é finito. Unha consecuencia é que unha medida con signo estendida pode levar + ∞ {\displaystyle +\infty } ou − ∞ {\displaystyle -\infty } como valor, mais non ambos os dous. A expresión ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty } é indefinida e debe evitarse.
Unha medida finita con signo (tamén coñecida como medida real) defínese do mesmo xeito, agás que só pode tomar valores reais. É dicir, non pode tomar os valores + ∞ {\displaystyle +\infty } ou − ∞. {\displaystyle -\infty. } As medidas finitas con signo forman un espazo vectorial real, mentres que as medidas estendidas con signo non o fan porque non están pechadas baixo a suma. Por outra banda, as medidas son medidas con signo estendidas, mais en xeral non son medidas con signo finitas. Exemplos
Considere unha medida non negativa ν {\displaystyle \nu } no espazo (X, Σ) e unha función medíbel f: X → R tal que ∫ X | f ( x ) | d ν ( x ) < ∞. {\displaystyle \int _{X}\! |f(x)|\, d\nu (x)<\infty. } Daquela, unha medida finita con signo vén dada por μ ( A )
∫ A f ( x ) d ν ( x ) {\displaystyle \mu (A)
\int _{A}\! f(x)\, d\nu (x)} para todo A en Σ.
Esta medida con signo só toma valores finitos. Para permitir que tome +∞ como valor, cómpre substituír a suposición de que f é absolutamente integrábel pola condición máis relaxada ∫ X f − ( x ) d ν ( x ) < ∞, {\displaystyle \int _{X}\! f^{-}(x)\, d\nu (x)<\infty, } onde f −(x) max(−f(x), 0) é a parte negativa de f. Propiedades
O que segue son dous resultados que implicarán que unha medida con signo estendida é a diferenza de dúas medidas non negativas, por outro lado unha medida con signo finita é a diferenza de dúas medidas finitas non negativas.
O teorema da descomposición de Hahn afirma que, dada unha medida con signo μ, existen dous conxuntos medíbeis P e N tal que: P ∪ N
X e P ∩ N
∅;
μ(E) ≥ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ P, noutras palabras, P é un conxunto positivo;
μ ( E ) ≤ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ N, é dicir, N é un conxunto negativo.
Alén disto, esta descomposición é única ata sumar/restar μ-conxuntos nulos de P e N.
Consideremos entón dúas medidas non negativas μ+ e μ− definidas por μ + ( E )
μ ( P ∩ E ) {\displaystyle \mu ^{+}(E)
\mu (P\cap E)} e μ − ( E )
− μ ( N ∩ E ) {\displaystyle \mu ^{-}(E)
-\mu (N\cap E)} para todos os conxuntos medíbeis E, é dicir, E en Σ.
Pódese comprobar que tanto μ+ como μ− son medidas non negativas, e unha delas toma só valores finitos, e denomínanse parte positiva e parte negativa de μ, respectivamente. Temos que μ
μ+ − μ−. A medida | μ |
μ + + μ − chámase variación de μ, e o seu valor máximo posíbel, ||μ|| |μ|(X), chámase variación total de μ.
Esta consecuencia do teorema da descomposición de Hahn chámase descomposición de Jordan. As medidas μ+, μ− e |μ| son independentes da escolla de P e N no teorema de descomposición de Hahn. O espazo das medidas con signo
A suma de dúas medidas finitas con signo é unha medida finita con signo, do mesmo xeito que o é o produto dunha medida finita con signo por un número real; é dicir, están pechadas baixo combinacións lineares. Diso dedúcese que o conxunto de medidas finitas con signo nun espazo medíbel (X, Σ) é un espazo vectorial real; isto contrasta coas medidas positivas, que só están pechadas baixo combinacións cónicas e, polo tanto, forman un cono convexo mais non un espazo vectorial.
A maiores, a variación total define unha norma en relación á cal o espazo de medidas finitas con signo convértese nun espazo de Banach. Este espazo ten aínda máis estrutura, xa que se pode demostrar que é unha retícula de Banach completa de Dedekind e, ao facelo, pódese demostrar que o teorema de Radon-Nikodym é un caso especial do teorema espectral de Freudenthal.
Se X é un espazo compacto separábel, entón o espazo de medidas de Baire con signo finitas é o dual do espazo real de Banach de todas as funcións continuas con valores reais en X, polo teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani.