Serie diverxente

En matemáticas, unha serie diverxente é unha serie infinita que non é converxente, o que significa que a secuencia infinita das sumas parciais da serie non ten un límite finito.
Se unha serie converxe, os termos individuais da serie normalmente deben achegarse a cero. Así, calquera serie na que os termos individuais non se acheguen a cero normalmente diverxe. No entanto, a converxencia é unha condición máis forte: non todas as series cuxos termos se aproximan a cero converxen. Un contraexemplo é a serie harmónica 1 + 12 + 13 + 14 + 15 + ⋯
∑ n
1 ∞ 1 n. {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n}}. } A diverxencia das series harmónicas foi probada polo matemático medieval Nicole Oresme.
En contextos matemáticos especializados, pódense asignar valores obxectivamente a determinadas series cuxas secuencias de sumas parciais diverxen, co fin de dar sentido á diverxencia da serie. Un método de sumabilidade ou método de suma é unha función parcial do conxunto de series a valores. Por exemplo, a suma de Cesàro asigna as series diverxentes de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\displaystyle 1-1+1-1+\cdots } o valor1/2. A suma de Cesàro é un método de media, xa que se basea na media aritmética da secuencia de sumas parciais que van sendo 0 e 1 alternativamente. Outros métodos implican un prolongamento analítico das series relacionadas. En física, hai unha gran variedade de métodos de sumabilidade; estes son tratados con maior detalle no artigo sobre regularización.
Hai que ter en conta que as series diverxentes son, evidentemente, moi diferentes, por tanto asignarlles un valor, áparte de ser útil nalgúns casos, dá información sobre esta diferenza, no caso contrario simplemente dicir que o seu valor é infinito non aporta información diferenciadora. Exemplos
En series alternadas o valor asignado mostra certa relación entre os valores positivos e os negativos 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ “
” 12 {\displaystyle {\text{ “
” }}{\frac {1}{2}}} 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ “
” 14 {\displaystyle {\text{ “
” }}{\frac {1}{4}}} 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ “
” ∫ 0 ∞ e − x 1 + x d x ≈ 0. 596347 … {\displaystyle {\text{ “
” }}\! \! \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\, dx\approx 0. 596\, 347\ldots } 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ “
” 13 {\displaystyle {\text{ “
” }}{\frac {1}{3}}} En series con todos os termos positivos o valor asignado é menos intuitivo e moitas veces ten relación co prolongamento analítico 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ “
” − 1 {\displaystyle {\text{ “
” }}-1} 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ “
” − 12 {\displaystyle {\text{ “
” }}-{\frac {1}{2}}} 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ “
” − 112 {\displaystyle {\text{ “
” }}-{\frac {1}{12}}} Propiedades dos métodos de suma
Un método de suma é unha función que parte dun determinado subconxunto do conxunto de secuencias de sumas parciais de series con termos reais ou complexos (que se identifica naturalmente co conxunto de secuencias con termos reais ou complexos, pero é habitual e polo tanto máis práctico non facer esta identificación cando falamos de series), e con valores no conxunto de números reais ou complexos. Fixemos as seguintes notacións: (an) é unha secuencia de números reais ou complexos, s é a serie do termo xeral an, e as súas sumas parciais denomínanse s n
∑ i
0 n a i {\displaystyle s_{n}
\sum _{i
0}^{n}a_{i}}. As primeiras propiedades a discutir sobre un método M de suma son: regularidade. Un método M de suma dise que é regular se, dado que a secuencia de sumas parciais (sn) converxe cara un límite S, a identidade M(s) S verifícase.
linearidade. O método M dise que é linear se o seu conxunto inicial admite unha estrutura de espazo vectorial (real ou complexo), e define unha aplicación linear deste espazo no conxunto de chegada.
estabilidade. Definimos unha segunda serie s' a partir da serie s por quendas, asumindo que o seu termo xeral é a'n
an+1 (ou que a súa suma parcial é s'n
sn+1-s0). O método M dise que é estábel se a pertenza de s' no conxunto inicial de M é equivalente á de s, e se, neste caso, teñen a identidade: M(s' ) M(s)-a0.
Algúns métodos importantes, como o sumatorio de Borel non son estábeis. Desde o punto de vista numérico, abandonar as propiedades de regularidade e linearidade tamén permite chegar a métodos potentes, como o dos Aproximantes de Padé.
A comparación de dous métodos de suma distintos pódese facer a través das seguintes nocións: dous métodos A e B dise que son compatíbeis (ou consistentes) se lle asignan o mesmo valor a cada serie que suman ambos os dous. Entre dous métodos compatíbeis, se un consegue sumar todas as series que o outro consegue sumar, dise que é máis forte. Teoremas abelianos e tauberianos
Un método de suma M chámase regular se os resultados que proporciona son, para series converxentes, os mesmos que as sumas destas series no sentido clásico. Tal resultado leva o nome xeral de Teorema de Abel.
Os teoremas tauberianos son resultados recíprocos, que aseguran que un método de suma M sendo fixo, calquera serie sumada por este método que satisfaga unha determinada condición adicional (dependendo do método) é de feito unha serie converxente. Requirir unha condición adicional é importante, xa que un método que verifique un teorema tauberiano sen tal condición, de feito, non sería capaz de sumar series distintas ás converxentes e, polo tanto, carecería de interese para o estudo de series diverxentes.
O operador que asigna a súa suma a unha serie converxente é linear; a maiores, segundo o teorema de Hahn-Banach, pódese estender a un operador linear no espazo de series cuxa secuencia de sumas parciais está limitada. Porén, esta forma de atacar o problema resulta pouco fértil: por unha banda, a demostración así obtida baséase no lema de Zorn, polo que non é construtiva; por outra banda, non hai un resultado de unicidade, e os diferentes métodos de suma obtidos son dificilmente compatíbeis.
O problema da suma de series diverxentes céntrase así na procura de métodos explícitos, como o Sumatorio de Abel, o lema de Cesàro ou o sumatorio de Borel, e as súas relacións. Os teoremas tauberianos tamén forman un tema importante; notabelmente a través do teorema tauberiano de Wiener que dá luz sobre vínculos inesperados entre a análise de Fourier e os métodos resultantes do estudo da álxebra de Banach.
A suma de series diverxentes tamén está ligada aos métodos de extrapolación e aos métodos de transformación de secuencias, como os aproximantes de Padé. Media de Nørlund
Supoña que pn é unha secuencia de termos positivos, a partir de p0. Supoñamos tamén que p n p 0 + p 1 + ⋯ + p n → 0. {\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0. } Se agora transformamos unha secuencia s usando p para dar medias ponderadas, estabelecendo t m
p m s 0 + p m − 1 s 1 + ⋯ + p 0 s m p 0 + p 1 + ⋯ + p m {\displaystyle t_{m}
{\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}} entón o límite de tn cando n vai ao infinito é unha media chamada media de Nørlund Np(s).
A media de Nørlund é regular, linear e estábel. Alén diso, calquera das medias de Nørlund son consistentes.
Sumatorio de Cesàro
A máis significativa das medias de Nørlund son as sumas de Cesàro. Aquí, se definimos a secuencia pk por p n k
( n + k − 1 k − 1 ) {\displaystyle p_{n}^{k}
{n+k-1 \choose k-1}} entón a suma de Cesàro Ck defínese por Ck(s) N(pk)(s). As sumas de Cesàro son as medias de Nørlund se k ≥ 0 e, polo tanto, son regulares, lineares, estábeis e consistentes. C0 é a suma ordinaria e C1 é a suma ordinaria de Cesàro. As sumas de Cesàro teñen a propiedade de que se h > k, entón Ch é máis forte que Ck. Medias de Abel
Supoñamos que λ
{λ0, λ1, λ2, .. . } é unha secuencia estritamente crecente que tende cara ao infinito, e que λ0 ≥ 0. Supoñamos que f ( x )
∑ n
0 ∞ a n e − λ n x {\displaystyle f(x)
\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}} converxe para todos os números reais x > 0. Entón a media abeliana Aλ defínese como A λ ( s )
lim x → 0 + f ( x ). {\displaystyle A_{\lambda }(s) \lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x). } Unha serie deste tipo coñécese como unha serie de Dirichlet xeneralizada.
As medias abelianas son regulares e lineares, mais non son estábeis e non sempre son consistentes entre as diferentes opcións de λ. No entanto, algúns casos especiais son métodos de suma moi importantes.
Sumatorio de Abel
Se λn
n, obtemos o método do sumatorio de Abel. Aquí f ( x )
∑ n
0 ∞ a n e − n x
∑ n
0 ∞ a n z n, {\displaystyle f(x)
\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}
\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}z^{n}, } onde z
exp(−x). Entón, o límite de f(x) cando x se achega a 0 a través dos reais positivos é o límite da serie de potencias para f(z) cando z se achega a 1 por abaixo a través dos reais positivos, e a suma de Abel A(s) defínese como A ( s )
lim z → 1 − ∑ n
0 ∞ a n z n. {\displaystyle A(s)
\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}z^{n}. } O sumatorio de Abel é interesante en parte porque é consistente co sumatorio de Cesàro, aínda que máis poderosa: A(s) Ck(s) sempre que estea definida esta última. O sumatorio de Abel é, polo tanto, regular, linear, estábel e coherente co sumatorio de Cesàro.
Sumatorio de Lindelöf
Se λn
n log(n), entón (indexando a partir de 1) temos f ( x )
a 1 + a 22 − 2 x + a 33 − 3 x + ⋯. {\displaystyle f(x) a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots. } Entón L(s), a suma de Lindelöf, é o límite de f(x) cando x vai ata cero positivo. Prolongamento analítico
Varios métodos de suma implican tomar o valor dun prolongamento analítico dunha función.
Prolongamento analítico da serie de potencias
Se Σanxn converxe para un complexo pequeno x e pódese estender analiticamente por algún camiño dende x
0 ata o punto x
1, entón a suma da serie pódese definir como o valor en x
1. Este valor pode depender da escolla do camiño. Un dos primeiros exemplos de sumas potencialmente diferentes para unha serie diverxente, usando o prolongamento analítico, foi dado por Callet, quen observou que se 1 ≤ m < n {\displaystyle 1\leq m<n} entón 1 − x m 1 − x n
1 + x + ⋯ + x m − 11 + x + … x n − 1
1 − x m + x n − x n + m + x 2 n − … {\displaystyle {\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}
{\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots x^{n-1}}}
1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots } Avaliando en x
1 {\displaystyle x
1}, obtemos 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
m n. {\displaystyle 1-1+1-1+\dots
{\frac {m}{n}}. } No entanto, os ocos na serie son fundamentais. Para m
1, n
3 {\displaystyle m
1, n
3} por exemplo, en realidade conseguiriamos 1 − 1 + 0 + 1 − 1 + 0 + 1 − 1 + ⋯
13 {\displaystyle 1-1+0+1-1+0+1-1+\dots {\frac {1}{3}}}, polo que diferentes sumas corresponden a diferentes colocacións dos 0 {\displaystyle 0} 's.
Outro exemplo de prolongamento analítico é a serie alternada diverxente ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k + 112 k − 1 ( 2 k k )
1 + 2 − 2 + 4 − 10 + 28 − 84 + 264 − 858 + 2860 − 9724 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}
1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots } que é unha suma sobre produtos de funcións gamma e símbolos de Pochhammer. Usando a fórmula de duplicación da función Γ {\displaystyle \Gamma }, redúcese a unha serie hiperxeométrica xeneralizada …
∑ k ≥ 0 ( − 4 ) k ( − 1 / 2 ) k k!
1 F 0 ( − 1 / 2; ; − 4 )
5. {\displaystyle \ldots
\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k! }}
{}_{1}F_{0}(-1/2; ;-4)
{\sqrt {5}}. }
Sumatorio de Euler
O sumatorio de Euler é esencialmente unha forma explícita de prolongamento analítico. Se unha serie de potencias converxe para un complexo pequeno z e pódese prolongar analiticamente ata o disco aberto cun diámetro de −1/q + 1 a 1 e é continuo en 1, entón o seu valor en q chámase a suma de Euler ou suma (E, q) da serie Σan. Euler utilizouno antes de que se definise o prolongamento analítico en xeral, e deu fórmulas explícitas para a serie de potencias do prolongamento analítico.
A operación do sumatorio de Euler pode repetirse varias veces, e isto é esencialmente equivalente a levar un prolongamento analítico dunha serie de potencias ata o punto z 1.
Prolongamento analítico da serie de Dirichlet
Este método define a suma dunha serie como o valor do prolongamento analítico da serie de Dirichlet f ( s )
a 11 s + a 22 s + a 33 s + ⋯ {\displaystyle f(s)
{\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots } en s 0, se existe e é único. Este método ás veces confúndese coa regularización da función zeta.
Se s 0 é unha singularidade illada, a suma defínese polo termo constante da expansión da serie de Laurent.
Regularización da función zeta
Se a serie f ( s )
1 a 1 s + 1 a 2 s + 1 a 3 s + ⋯ {\displaystyle f(s)
{\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots } (para valores positivos da an) converxe para valores de s reais grandes e pódese prolongar analiticamente pola liña real ata s
−1, entón o seu valor en s
−1 chámase suma da función zeta regularizada da serie a1 + a 2 +. .. A regularización da función zeta é non linear. Nalgunhas aplicacións, os números ai son ás veces os valores propios dun operador autoadxunto A con resolutivo compacto, e f (s) é daquela a traza de A-s. Por exemplo, se A ten valores propios 1, 2, 3, .. . entón f(s) é a función zeta de Riemann, ζ(s), cuxo valor en s
−1 é −1/12, asignando un valor á serie diverxente 1 + 2 + 3 + 4 +. .. . Tamén se poden usar outros valores de s para asignar valores ás sumas diverxentes ζ(0)
1 + 1 + 1 +. ..
−1/2 ζ(0)
1 + 1 + 1 +. ..
−1/2 ζ ( − s )
∑ n
1 ∞ n s
1 s + 2 s + 3 s + ⋯
− B s + 1 s + 1, {\displaystyle \zeta (-s)
\sum _{n
1}^{\infty }n^{s}
1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots -{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\, ,} onde Bk é un número de Bernoulli.