Número transcendente

Un número transcendente, tamén número transcendental, é un tipo de número irracional que non é raíz de ningún polinomio non nulo con coeficientes enteiros.
Neste sentido, número transcendente é antónimo de número alxébrico. A definición non provén dunha simple relación alxébrica, senón que se define como unha propiedade fundamental das matemáticas. Os números transcendentes máis coñecidos son π e e.
En xeral, se temos dous corpos ( K, +, ⋅ ) {\displaystyle \scriptstyle (K, +, \cdot )} e ( L, +, ⋅ ) {\displaystyle \scriptstyle (L, +, \cdot )} de forma que o segundo é extensión do primeiro, diremos que α ∈ L {\displaystyle \scriptstyle \alpha \in L} é transcendente sobre K {\displaystyle \scriptstyle K} se non existe ningún polinomio p ∈ K [ x ] {\displaystyle \scriptstyle p\in K[x]} do que α {\displaystyle \scriptstyle \alpha \, } sexa raíz ( p ( α )
0 {\displaystyle \scriptstyle p(\alpha )
0\, } ).
O conxunto de números alxébricos é numerable, mentres que o conxunto de números reais é non numerable; polo tanto, o conxunto de números transcendentes é tamén non numerable. Non obstante, existen moi poucos números transcendentes coñecidos, e demostrar que un número é transcendente pode ser extremadamente difícil. Por exemplo, aínda non se sabe se a constante de Euler-Mascheroni ( γ {\displaystyle \scriptstyle \gamma \, } ) o é, sendo γ {\displaystyle \textstyle \gamma \, } 1 + 12 + 13 + 14 ⋯ + 1 n − ln ⁡ ( n ) {\displaystyle \textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)},
cando n → + ∞ {\displaystyle \textstyle n\to +\infty \, \! }. De feito, nin sequera se sabe se γ {\displaystyle \scriptstyle \gamma } é racional ou irracional.
A propiedade de normalidade dun número (a súa secuencia infinita de díxitos distribúese uniformemente) pode contribuír a demostrar se é transcendente ou non. Números demostrados como transcendentais
Números demostrados como transcendentais: π (polo teorema de Lindemann-Weierstrass). e a {\displaystyle e^{a}} se a {\displaystyle a} é alxébrico e distinto de cero (polo teorema de Lindemann–Weierstrass), en particular o número e. e π n {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}} onde n {\displaystyle n} é un enteiro positivo; en particular a constante de Gelfond e π {\displaystyle e^{\pi }} (polo teorema de Gelfond-Schneider).
Combinacións alxébricas de π {\displaystyle \pi } e e π n, n ∈ Z + {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}, n\in \mathbb {Z} ^{+}} como π + e π {\displaystyle \pi +e^{\pi }} e π e π {\displaystyle \pi e^{\pi }} (deducido da súa independencia alxébrica). a b {\displaystyle a^{b}} onde a {\displaystyle a} é alxébrica pero non 0 nin 1, e b {\displaystyle b} é alxébrica irracional, en particular a constante de Gelfond–Schneider 22 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}} (polo Teorema de Gelfond-Schneider).
O logaritmo natural ln ⁡ ( a ) {\displaystyle \ln(a)} se a {\displaystyle a} é alxébrica e non é igual a 0 ou 1, para calquera rama da función logarítmica (polo teorema de Lindemann-Weierstrass). log b ⁡ ( a ) {\displaystyle \log _{b}(a)} se a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} son enteiros positivos non as dúas potencias do mesmo número enteiro, e a {\displaystyle a} non é igual a 1 (polo teorema de Gelfond-Schneider).
Todos os números da forma π + β 1 ln ⁡ ( a 1 ) + ⋯ + β n ln ⁡ ( a n ) {\displaystyle \pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})} son transcendentais, onde β j {\displaystyle \beta _{j}} son alxébricos para todos os 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n} e a j {\displaystyle a_{j}} son alxébricos distintos de cero para todos os 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n} (polo teorema de Baker).
As funcións trigonométricas sin ⁡ ( x ), cos ⁡ ( x ), .. . {\displaystyle \sin(x), \cos(x), .. .} e os seus homólogos hiperbólicos, para calquera número alxébrico distinto de cero x {\displaystyle x}, expresado en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
Resultados distintos de cero das funcións trigonométricas inversas arcsin ⁡ ( x ), arccos ⁡ ( x ), .. . {\displaystyle \arcsin(x), \arccos(x), .. .} e as súas contrapartes hiperbólicas, para calquera número alxébrico x {\displaystyle x} (polo teorema de Lindemann-Weierstrass). π − 1 arctan ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi ^{-1}{\arctan(x)}}, para x {\displaystyle x} racional tal que x ∉ { 0, ± 1 } {\displaystyle x\notin \{0, \pm {1}\}}.
O punto fixo da función coseno (tamén coñecido como número de Dottie d {\displaystyle d} ), solución real única da ecuación cos ⁡ ( x )
x {\displaystyle \cos(x)
x}, onde x {\displaystyle x} está en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass). W ( a ) {\displaystyle W(a)} se a {\displaystyle a} é alxébrica e distinta de cero, para calquera rama da función W de Lambert (polo teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular a constante omega Ω. W ( r, a ) {\displaystyle W(r, a)} se tanto a {\displaystyle a} como a orde r {\displaystyle r} son alxébricas tal que a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}, para calquera rama da función W xeneralizada de Lambert x s {\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}, a super-raíz cadrada de calquera número natural é un número enteiro ou transcendental (polo Gelfond-Teorema de Schneider).
Valores da función gamma dos números racionais que teñen a forma Γ ( n / 2 ), Γ ( n / 3 ), Γ ( n / 4 ) {\displaystyle \Gamma (n/2), \Gamma (n/3), \Gamma (n/4)} ou Γ ( n / 6 ) {\displaystyle \Gamma (n/6)}. .
Combinacións alxébricas de π {\displaystyle \pi } e Γ ( 1 / 3 ) {\displaystyle \Gamma (1/3)} ou de p i {\displaystyle \ pi} e Γ ( 1 / 4 ) {\displaystyle \Gamma (1/4)} como a constante lemniscata ϖ {\displaystyle \varpi } (deducido a partir das súas respectivas independencias alxébricas).
Os valores da función beta B ( a, b ) {\displaystyle \mathrm {B} (a, b)} se a, b {\displaystyle a, b} e a + b {\displaystyle a+b} son números racionais non enteiros.
A función de Bessel do primeiro tipo J ν ( x ) {\displaystyle J_{\nu }(x)}, a súa primeira derivada e o cociente J ν ′ ( x ) J ν ( x ) {\displaystyle {\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}} son transcendentais cando ν {\displaystyle \nu } é racional e x {\displaystyle x} é alxébrica e distinta de cero, e todas as raíces distintas de cero de J ν ( x ) {\displaystyle J_{\nu }(x)} e J ν ′ ( x ) {\displaystyle J'_{\nu }(x)} son transcendentais cando ν {\displaystyle \nu } é racional.
O número π 2 Y 0 ( 2 ) J 0 ( 2 ) − γ {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }, onde Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} e J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} son funcións de Bessel e γ {\displaystyle \gamma } é o Constante de Euler-Mascheroni.
Calquera número de Liouville, en particular: a constante de Liouville.
Números cunha medida de irracionalidade grande, como a constante de Champernowne C 10 {\displaystyle C_{10}} (polo teorema de Roth).
Números construídos artificialmente para non ser períodicos alxébricos.
Calquera número non computábel, en particular: a constante de Chaitin.
Números irracionais construídos que non son simplemente normal en ningunha base.
Calquera número para o cal os díxitos con respecto a algunha base fixa formen unha palabra de Sturmian.
A Constante de Prouhet-Thue-Morse.
A constante de Komornik-Loreti.
Os valores da serie infinita cunha taxa de converxencia rápida, segundo a definición de Y. Gao e J. Gao, como ∑ n
1 ∞ 3 n 23 n {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}}.
Os valores da Fracción continua de Rogers-Ramanujan R ( q ) {\displaystyle R(q)} onde q ∈ C {\displaystyle {q}\in \mathbb {C} } é alxébrica e 0 < | q | < 1 {\displaystyle 0<|q|<1}. Os valores da lemniscáta da función theta ∑ n
− ∞ ∞ q n 2 {\displaystyle \sum _{n
-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}} (nas mesmas condicións para q {\displaystyle {q}} ) tamén son transcendentais