Funcións chan e teito

En matemáticas, a función chan (ou parte enteira cando son positivos) é a función que toma como entrada un número real x, e dá como saída o maior enteiro menor ou igual a x, denotado ⌊x⌋. Do mesmo xeito, a función teito mapea x co número enteiro máis pequeno maior ou igual que x, denotado ⌈x⌉. Por exemplo, para o chan: ⌊2. 4⌋
2, ⌊−2. 4⌋
−3, e para o teito: ⌈4. 4⌉
5 e ⌈−4. 4⌉
−4. Notación
A parte enteira ou parte enteira dun número (partie entière no orixinal) foi definido por primeira vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre na súa proba da fórmula de Legendre.
A parte fracciónal denótase por {x} para x real e definida pola fórmula {x} x − ⌊x⌋
Para todo x, 0 ≤ {x} < 1.
No sistema LaTeX, estes símbolos pódense especificar coas palabras \lceil, \rceil, \lfloor e \rfloor. Definición e propiedades
Dados os números reais x e y, os enteiros m e n e o conxunto de números enteiros Z {\displaystyle \mathbb {Z} }, chan e teito poden ser definidos polas ecuacións ⌊ x ⌋
max { m ∈ Z ∣ m ≤ x }, {\displaystyle \lfloor x\rfloor
\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\}, } ⌈ x ⌉
min { n ∈ Z ∣ n ≥ x }. {\displaystyle \lceil x\rceil
\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}. }
Equivalencias
Estas fórmulas pódense usar para simplificar expresións que inclúen chan e teito. ⌊ x ⌋
m se e só se m ≤ x < m + 1, ⌈ x ⌉
n se e só se n − 1 < x ≤ n, ⌊ x ⌋
m se e só se x − 1 < m ≤ x, ⌈ x ⌉
n se e só se x ≤ n < x + 1. {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &
m\ \ &&{\mbox{ se e só se }}&m&\leq x<m+1, \\\lceil x\rceil &
n&&{\mbox{ se e só se }}&\ \ n-1&<x\leq n, \\\lfloor x\rfloor &
m&&{\mbox{ se e só se }}&x-1&<m\leq x, \\\lceil x\rceil &
n&&{\mbox{ se e só se }}&x&\leq n<x+1. \end{alignedat}}} Para enteiros n temos: ⌊ x + n ⌋
⌊ x ⌋ + n, ⌈ x + n ⌉
⌈ x ⌉ + n, { x + n }
{ x }. {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &
\lfloor x\rfloor +n, \\\lceil x+n\rceil &
\lceil x\rceil +n, \\\{x+n\}&
\{x\}. \end{aligned}}} Para x e y reais temos as seguintes desigualdades: ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ ≤ ⌊ x + y ⌋ ≤ ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + 1, ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ − 1 ≤ ⌈ x + y ⌉ ≤ ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉. {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1, \\[3mu]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil. \end{aligned}}}
Monótonas
Tanto as funcións chan como teito son funcións monótonamente non decrecentes: x 1 ≤ x 2 ⇒ ⌊ x 1 ⌋ ≤ ⌊ x 2 ⌋, x 1 ≤ x 2 ⇒ ⌈ x 1 ⌉ ≤ ⌈ x 2 ⌉. {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor, \\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil. \end{aligned}}}
Relacións entre as funcións
⌊ x ⌋ ≤ ⌈ x ⌉, {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil, } con igualdade se e só se x é un número enteiro, é dicir ⌈ x ⌉ − ⌊ x ⌋
{ 0 if x ∈ Z 1 if x ∉ Z {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor
{\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} Ao negar o argumento muda o chan e o teito e mudao signo: ⌊ x ⌋ + ⌈ − x ⌉
0 − ⌊ x ⌋
⌈ − x ⌉ − ⌈ x ⌉
⌊ − x ⌋ {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &
0\\-\lfloor x\rfloor &
\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &
\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}} e: ⌊ x ⌋ + ⌊ − x ⌋
{ 0 if x ∈ Z − 1 if x ∉ Z, {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor
{\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z}, \end{cases}}} ⌈ x ⌉ + ⌈ − x ⌉
{ 0 if x ∈ Z 1 if x ∉ Z. {\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil
{\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z}. \end{cases}}} A negación do argumento complementa a parte fraccional: { x } + { − x }
{ 0 if x ∈ Z 1 if x ∉ Z. {\displaystyle \{x\}+\{-x\}
{\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z}. \end{cases}}} As funcións chan, teito e parte fraccional son idempotentes: ⌊ ⌊ x ⌋ ⌋
⌊ x ⌋, ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉
⌈ x ⌉, { { x } }
{ x }. {\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&
\lfloor x\rfloor, \\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&
\lceil x\rceil, \\{\big \{}\{x\}{\big \}}&
\{x\}. \end{aligned}}} O resultado das funcións aniñadas chan ou teito é a función máis interna: ⌊ ⌈ x ⌉ ⌋
⌈ x ⌉, ⌈ ⌊ x ⌋ ⌉
⌊ x ⌋. {\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&
\lceil x\rceil, \\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&
\lfloor x\rfloor. \end{aligned}}}
constante de Euler gamma (
γ {\displaystyle \gamma } )
Existen fórmulas para a constante de Euler γ {\displaystyle \gamma }
0, 5772156649. .. que inclúen o chan e o teito, por exemplo γ
∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x. {\displaystyle \gamma
\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\, dx. } γ
lim n → ∞ 1 n ∑ k
1 n ( ⌈ n k ⌉ − n k ). {\displaystyle \gamma
\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k 1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right). }
Fórmulas para números primos
A función chan aparece en varias fórmulas que caracterizan os números primos. Por exemplo, xa que ⌊ n m ⌋ − ⌊ n − 1 m ⌋ {\textstyle {\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }} é igual a 1 se m divide n, e a 0 en caso contrario, dedúcese que un enteiro positivo n é primo se e só se ∑ m
1 ∞ ( ⌊ n m ⌋ − ⌊ n − 1 m ⌋ )
2. {\displaystyle \sum _{m
1}^{\infty }\left({\biggl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\biggr \rfloor }-{\biggl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\biggr \rfloor }\right)
2. }
Problemas resolvidos
Ramanujan presentou estes problemas ao Journal of the Indian Mathematical Society. Se n é un número enteiro positivo, proba que ⌊ n 3 ⌋ + ⌊ n + 26 ⌋ + ⌊ n + 46 ⌋
⌊ n 2 ⌋ + ⌊ n + 36 ⌋, {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor
\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor, } ⌊ 12 + n + 12 ⌋
⌊ 12 + n + 14 ⌋, {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor
\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor, } ⌊ n + n + 1 ⌋
⌊ 4 n + 2 ⌋. {\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor
\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor. } Probáronse tamén algunhas xeneralizacións das fórmulas anteriores.
Problema sen resolver
O estudo do problema de Waring levou a un problema sen resolver:
Existe algún número enteiro positivo k ≥ 6 tal que 3 k − 2 k ⌊ ( 32 ) k ⌋ > 2 k − ⌊ ( 32 ) k ⌋ − 2? {\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\? } Mahler demostrou que só pode haber un número finito deses k. De momento non se coñece ningún.