Número p-ádico

En teoría de números, dado un número primo p, os números p-ádicos forman unha extensión dos números racionais que é distinta dos números reais, aínda que con algunhas propiedades similares; os números p-ádicos poden escribirse nunha forma similar aos números usuais (unha tira de números en base 10 posibelmente infinita), pero con díxitos baseados nun número primo p en lugar do número dez, e estendéndose cara á esquerda e non cara á dereita.
Formalmente, dado un número primo p, un número p-ádico pódese definir como unha serie formal de potencias s
∑ i
k ∞ a i p i
a k p k + a k + 1 p k + 1 + a k + 2 p k + 2 + ⋯ {\displaystyle s
\sum _{i
k}^{\infty }a_{i}p^{i}
a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots } onde k é un número enteiro (que pode ser negativo), e cada a i {\displaystyle a_{i}} é un número enteiro tal que 0 ≤ a i < p. {\displaystyle 0\leq a_{i}<p. } Os enteiros p-ádicos ( Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} ) son as series só con potencias positivas k ≥ 0. {\displaystyle k\geq 0. } Cando as series que representan os números p-ádicos teñen termos negativos entón temos os racionais p-ádicos ( Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} ).
Todo número racional pode expresarse de forma única como a suma dunha serie, como se indica arriba, con respecto ao valor absoluto p-ádico. Isto permite considerar os números racionais como números p-ádicos especiais e, alternativamente, definir os números p-ádicos como o completamento dos números racionais para o valor absoluto p-ádico, exactamente como os números reais son o completamento dos números racionais para o valor absoluto habitual. Motivación
En liñas xerais, a aritmética modular módulo un número enteiro positivo n consiste en "aproximar" cada número enteiro polo resto da súa división por n, chamado o seu residuo módulo n. A principal propiedade da aritmética modular é que o residuo módulo n do resultado dunha sucesión de operacións sobre números enteiros é o mesmo que o resultado da mesma sucesión de operacións sobre residuos módulo n. Un método antigo, aínda de uso común, consiste en utilizar varios módulos pequenos que son coprimos por pares e aplicar o teorema chinés do resto para recuperar o resultado módulo o produto dos módulos.
Outro método descuberto por Kurt Hensel consiste en utilizar un módulo primo p, e aplicar o lema de Hensel para recuperar de forma iterativa o módulo resultado das potencias de p, p 2, p 3, …, p n, … {\displaystyle p^{2}, p^{3}, \ldots, p^{n}, \ldots } Se o proceso continúa infinitamente, isto proporciona finalmente un resultado que é un número p-ádico. Notación e exemplos
Existen varios xeitos de escribir un número p-ádico, as tres máis frecuentes son: Como unha serie de potencias de p.
Posicional: como unha tira de números que son os coeficientes da serie de potencias
Como unha secuencia de números que representan o número módulo as potencias de p.
Como se comentou na introdución os enteiros p-ádicos son os que teñen na serie só potencias positivas ( Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} ) e poden representar números usuais que son enteiros, racionais, irracionais e mesmo complexos. Por outra parte os racionais p-ádicos ( Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} ) ao ter potencias negativas, como se verá máis adiante, serían fraccións de Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}.
Enteiros p-ádicos
Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} 11 en 2-ádico: 112
1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 21 + 0 ⋅ 22 + 1 ⋅ 23 {\displaystyle 11_{2}
1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}} 112
… 1011 {\displaystyle 11_{2}
\ldots 1011} (coincide con base 2) 112
( 11 mod ⁡ 2, 11 mod ⁡ 22, 11 mod ⁡ 23, … )
( 1, 3, 3, 11, 11, … ) {\displaystyle 11_{2}
(11\operatorname {mod} 2, 11\operatorname {mod} 2^{2}, 11\operatorname {mod} 2^{3}, \ldots )
(1, 3, 3, 11, 11, \ldots )} 1/15 en 7-ádico: 1 / 157
1 ⋅ 70 + 5 ⋅ 71 + 3 ⋅ 22 + 6 ⋅ 23 + 0 ⋅ 24 + 5 ⋅ 25 + 6 ⋅ 26 + … {\displaystyle 1/15_{7}
1\cdot 7^{0}+5\cdot 7^{1}+3\cdot 2^{2}+6\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+5\cdot 2^{5}+6\cdot 2^{6}+\ldots } 1 / 157
… 0635 ¯ 1 {\displaystyle 1/15_{7}
\ldots {\overline {0635}}1} (neste caso a similitude base 7, 0. 0316 ¯ {\displaystyle 0. {\overline {0316}}}, é máis complicada pois sería o complemento en base 7 e temos que -1/15
6130 ¯ 7 {\displaystyle {\overline {6130}}_{7}} en 7-ádico. A maiores como en p-ádico non ten potencias negativas o número esténdese cara a esquerda mentres que nos racionais usuais esténdese en potencias negativas cara a dereita). 1 / 157
( 15 x ≡ 1 ( mod 7 ), 15 x ≡ 1 ( mod 72 ), 15 x ≡ 1 ( mod 73 ), … )
( 1, 36, 183, 2241, … ) {\displaystyle 1/15_{7}
(15x\equiv 1{\pmod {7}}, 15x\equiv 1{\pmod {7^{2}}}, 15x\equiv 1{\pmod {7^{3}}}, \ldots ) (1, 36, 183, 2241, \ldots )}.
Imos ver un cálculo de 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} en 7-ádico: Primeiro termo x 0 {\displaystyle x_{0}}:
Queremos que x 02 ≡ 2 ( mod 7 ) {\displaystyle x_{0}^{2}\equiv 2{\pmod {7}}}.
Atopamos que x 0
3 {\displaystyle x_{0}
3} cumpre porque 32
9 ≡ 2 ( mod 7 ) {\displaystyle 3^{2}
9\equiv 2{\pmod {7}}}.
Segundo termo x 1 {\displaystyle x_{1}}:
Agora, procuramos x 1
3 + u ⋅ 7 {\displaystyle x_{1}
3+u\cdot 7} tal que ( 3 + u ⋅ 7 ) 2 ≡ 2 ( mod 72 ) {\displaystyle (3+u\cdot 7)^{2}\equiv 2{\pmod {7^{2}}}}. ( 3 + u ⋅ 7 ) 2
9 + 6 ⋅ u ⋅ 7 + ( x 1 ⋅ 7 ) 2 ≡ 2 ( mod 72 ), u
1 {\displaystyle (3+u\cdot 7)^{2}
9+6\cdot u\cdot 7+(x_{1}\cdot 7)^{2}\equiv 2{\pmod {7^{2}}}, \quad u
1} por tanto temos x 1
10 {\displaystyle x_{1}
10} Terceiro termo x 2 {\displaystyle x_{2}}:
Repetimos o proceso para x 2
72 u + x 1 {\displaystyle x_{2}
7^{2}u+x_{1}} que satisfaga ( 72 u + x 1 ) 2 ≡ 2 ( mod 73 ) {\displaystyle (7^{2}u+x_{1})^{2}\equiv 2{\pmod {7^{3}}}}, lévanos a u
2, x 2
108 {\displaystyle u
2, x_{2}
108}.
Logo temos 27
( 3, 10, 108 … ) {\displaystyle {\sqrt {2}}_{7}
(3, 10, 108\ldots )} Se escribimos este resultado como serie formal de potencias temos (con máis termos): 27
3 + 1 ⋅ 7 + 2 ⋅ 72 + 6 ⋅ 73 + 1 ⋅ 74 + … {\displaystyle {\sqrt {2}}_{7}
3+1\cdot 7+2\cdot 7^{2}+6\cdot 7^{3}+1\cdot 7^{4}+\ldots } Que posicionalmente sería: 27
… 16213 {\displaystyle {\sqrt {2}}_{7}
\ldots 16213} esta secuencia é infinita non periódica e como a raíz ten dúas solucións con signo cambiado a outra solución será o complemento a 7 da anterior: 27
… 50454 {\displaystyle {\sqrt {2}}_{7}
\ldots 50454} − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} en 5-ádico, pódese calcular do mesmo modo que o exemplo anterior: Temos x 02 ≡ − 1 ( mod 5 ) {\displaystyle x_{0}^{2}\equiv -1{\pmod {5}}} implica x 0
2 ou x 0
3 {\displaystyle x_{0}
2{\text{ ou }}x_{0}
3} e podemos seguir ambos os dous camiños. − 15
… 43212 {\displaystyle {\sqrt {-1}}_{5}
\ldots 43212} ou − 15
… 13233 {\displaystyle {\sqrt {-1}}_{5}
\ldots 13233} (con dous valores igual que acontece nas raíces dos números usuais, e vemos que módulo 5 suman cero).
Para -1 non existe a raíz cadrada en 7-ádico pois non existe x 02 ≡ − 1 ( mod 7 ) {\displaystyle x_{0}^{2}\equiv -1{\pmod {7}}}.
Racionais p-ádicos
Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 2285 {\displaystyle {\frac {22}{85}}} en 5-ádico: 225
2 ⋅ 50 + 4 ⋅ 51 {\displaystyle 22_{5}
2\cdot 5^{0}+4\cdot 5^{1}} e 855
2 ⋅ 51 + 3 ⋅ 52 {\displaystyle 85_{5}
2\cdot 5^{1}+3\cdot 5^{2}} Como veremos máis adiante a valoración da fracción é − 1 {\displaystyle -1}, por tanto procuramos 2 ⋅ 50 + 4 ⋅ 51
( 2 ⋅ 51 + 3 ⋅ 52 ) ( a − 15 − 1 + a 050 + a 151 + ⋯ ) {\displaystyle 2\cdot 5^{0}+4\cdot 5^{1}
(2\cdot 5^{1}+3\cdot 5^{2})(a_{-1}5^{-1}+a_{0}5^{0}+a_{1}5^{1}+\cdots )}.
E agora resolvemos esa ecuación módulo 5 para obter a − 1
1 {\displaystyle a_{-1}
1}, módulo 52 {\displaystyle 5^{2}} para obter a 0
3 {\displaystyle a_{0}
3}, etc.
Así temos 22 / 855
… 1213403. 1
1 ⋅ 5 − 1 + 3 ⋅ 50 + 4 ⋅ 52 + ⋯ {\displaystyle 22/85_{5}
\ldots 1213403. 1
1\cdot 5^{-1}+3\cdot 5^{0}+4\cdot 5^{2}+\cdots } Valoración e valor absoluto
Valoración: Todo número racional distinto de cero pódese escribir p v m n, {\textstyle p^{v}{\frac {m}{n}}, } onde v, m e n son números enteiros e nin m nin n son divisíbeis por p. O expoñente v está determinado unicamente polo número racional e chámase a súa valoración valoración p-ádica. A demostración do lema resulta directamente do teorema fundamental da aritmética. Dunha forma simple: obtemos a descomposición en factores primos do numerador e ten unha valoración que ven dada polo expoñente do factor p, facemos igual para o denominador e restamos os dous valores (por ese motivo no exemplo 22 / 85 {\displaystyle 22/85} tiña unha valoración -1, pois 22 non ten ningún factor 5 e 85 ten un factor 51).
Valor absoluto: O valor absoluto p-ádico dun número p-ádico distinto de cero x, é | x | p
p − v ( x ); {\displaystyle |x|_{p}
p^{-v(x)}; } para o número p-ádico cero, temos | 0 | p
0. {\displaystyle |0|_{p}
0. } Así temos que o valor absoluto p-ádico dun número é o recíproco do primo p elevado á súa valoración. Por tanto canto maior sexa na súa descomposición o valor da potencia de p máis pequeno é o seu valor absoluto. Definición
Existen varias definicións equivalentes de números p-ádicos. Por exemplo como o completamento dun anel de valoración discreta (ver § Enteiros p-ádicos), ou o completamento dun espazo métrico (ver § Propiedades topolóxicas), ou como o límites inversos (ver § Propiedades modulares). Enteiros p-ádicos
Os enteiros p-ádicos son os números p-ádicos cunha valoración non negativa.
Un enteiro p-ádico pódese representar como unha secuencia x
( x 1 mod ⁡ p, x 2 mod ⁡ p 2, x 3 mod ⁡ p 3, … ) {\displaystyle x
(x_{1}\operatorname {mod} p, ~x_{2}\operatorname {mod} p^{2}, ~x_{3}\operatorname {mod} p^{3}, ~\ldots )} de residuos xe mod pe para cada enteiro e, satisfacendo as relacións de congruencia x i ≡ x j ( mod ⁡ p i ) {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})} para i < j.
Todo número enteiro é un enteiro p-ádico. Os números racionais da forma n d p k {\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}} con d coprimos con p e k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} tamén son enteiros p-ádicos (pola razón de que d ten un inverso multiplicativo módulo pe para cada e).
Os números p-ádicos con expoñentes negativos na súa expansión non son enteiros p-ádicos.
Os enteiros p-ádicos forman un anel conmutativo, denotado Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} ou Z p {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}, que ten as seguintes propiedades. É un dominio de integridade, xa que é un subanel dun corpo, ou xa que o primeiro termo da representación en serie do produto de dúas series p-ádicas non nulas é o produto dos seus primeiros termos.
As unidades (elementos invertibles) de Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} son os números p-ádicos de valoración cero.
É un dominio de ideal principal (PID), de xeito que cada ideal é xerado por unha potencia de p.
É un anel local de dimensión un de Krull, xa que os seus únicos ideais primos son o ideal cero e o ideal xerado por p, o ideal máximo único.
É un anel de valoración discreto, xa que isto resulta das propiedades anteriores.
É o completamento do anel local Z ( p )
{ n d ∣ n, d ∈ Z, d ∉ p Z }, {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}
\{{\tfrac {n}{d}}\mid n, d\in \mathbb {Z}, \, d\not \in p\mathbb {Z} \}, } que é a localización de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } no ideal primo p Z. {\displaystyle p\mathbb {Z}. } A última propiedade proporciona unha definición dos números p-ádicos: o corpo dos números p-ádicos é o corpo das fraccións do completamento da localización dos enteiros no ideal primo xerado por p. Propiedades topolóxicas
A valoración p-ádica permite definir un valor absoluto en números p-ádicos: o valor absoluto p-ádico dun número p-ádico distinto de cero x é | x | p
p − v p ( x ), {\displaystyle |x|_{p}
p^{-v_{p}(x)}, } onde v p ( x ) {\displaystyle v_{p}(x)} é a valoración p-ádica de x. O valor absoluto p-ádico de 0 {\displaystyle 0} é | 0 | p
0. {\displaystyle |0|_{p}
0. } Este é un valor absoluto que satisfai a desigualdade forte do triángulo xa que, para cada x e y temos | x | p
0 {\displaystyle |x|_{p}
0} se e só se x
0; {\displaystyle x
0; } | x | p ⋅ | y | p
| x y | p {\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}
|xy|_{p}} | x + y | p ≤ max ( | x | p, | y | p ) ≤ | x | p + | y | p. {\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p}, |y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}. } Máis aínda, se | x | p ≠ | y | p, {\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p}, } temos | x + y | p
max ( | x | p, | y | p ). {\displaystyle |x+y|_{p}
\max(|x|_{p}, |y|_{p}). } Isto fai que os números p-ádicos sexan un espazo métrico, e mesmo un espazo ultramétrico, coa distancia p-ádica definida por d p ( x, y )
| x − y | p. {\displaystyle d_{p}(x, y)
|x-y|_{p}. } Como a métrica se define a partir dunha valoración discreta, cada bóla aberta tamén está pechada. Máis precisamente, a bóla aberta B r ( x )
{ y ∣ d p ( x, y ) < r } {\displaystyle B_{r}(x)
\{y\mid d_{p}(x, y)<r\}} é igual á bóla pechada B p − v [ x ]
{ y ∣ d p ( x, y ) ≤ p − v }, {\displaystyle B_{p^{-v}}[x]
\{y\mid d_{p}(x, y)\leq p^{-v}\}, } onde v é o menor enteiro tal que p − v < r. {\displaystyle p^{-v}<r. } Do mesmo xeito, B r [ x ]
B p − w ( x ), {\displaystyle B_{r}[x]
B_{p^{-w}}(x), } onde w é o maior enteiro tal que p − w > r. {\displaystyle p^{-w}>r. } Isto implica que os números p-ádicos forman un espazo localmente compacto e os enteiros p-ádicos, é dicir, a bóla B 1 [ 0 ]
B p ( 0 ) {\displaystyle B_{1}
B_{p}(0)}, forma un espazo compacto. Expansión p-ádica dos números racionais
A expansión decimal dun número racional positivo r {\displaystyle r} é a súa representación como serie r
∑ i
k ∞ a i p i {\displaystyle r
\sum _{i
k}^{\infty }a_{i}p^{i}} A expansión p-ádica dun número racional defínese de xeito similar, pero cun paso de división diferente. Máis precisamente, dado un número primo fixo p {\displaystyle p}, todo número racional distinto de cero r {\displaystyle r} pódese escribir unicamente como r
p k n d, {\displaystyle r
p^{k}{\tfrac {n}{d}}, } onde k {\displaystyle k} é un número enteiro (posiblemente negativo), n {\displaystyle n} e d {\displaystyle d} son enteiros coprimos con p {\displaystyle p}, e d {\displaystyle d} é positivo. O número enteiro k {\displaystyle k} é a valoración p-ádica de r {\displaystyle r}, denotado v p ( r ), {\displaystyle v_{p}(r), } e p − k {\displaystyle p^{-k}} é o seu valor absoluto p-ádico, denotado | r | p {\displaystyle |r|_{p}} (o valor absoluto é pequeno cando a valoración é grande). O paso da división consiste en
onde k é un número enteiro (posiblemente negativo), e cada a i {\displaystyle a_{i}} é un número enteiro tal que 0 ≤ a i < p. {\displaystyle 0\leq a_{i}<p. } Un enteiro p-ádico é un número p-ádico tal que k ≥ 0. {\displaystyle k\geq 0. } A expansión p {\displaystyle p} -ádica de r {\displaystyle r} é a serie formal de potencias
Se r
p k n 1 {\displaystyle r
p^{k}{\tfrac {n}{1}}} con n > 0 {\displaystyle n>0}, o proceso detense eventualmente cun resto cero; neste caso, a serie complétase con termos finais cun coeficiente cero, e daquela a representación de r {\displaystyle r} coincide coa representación en base-p.
O anel cociente Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} pode identificarse co anel Z / p n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } dos números enteiros módulo p n. {\displaystyle p^{n}. } Isto pódese demostrar observando que todo enteiro p-ádico, representado pola súa serie p-ádica normalizada, é congruente módulo p n {\displaystyle p^{n}} coa súa suma parcial ∑ i
0 n − 1 a i p i, {\textstyle \sum _{i
0}^{n-1}a_{i}p^{i}, } cuxo valor é un número enteiro no intervalo [ 0, p n − 1 ]. {\displaystyle [0, p^{n}-1]. } Unha verificación sinxela mostra que isto define un isomorfismo de aneis de Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} en Z / p n Z. {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}. } 15
… 1210121023. {\displaystyle {\frac {1}{5}}
\dots 121012102_{3}. } 15
0. 01210121 … ( base 3 )
0 ⋅ 30 + 0 ⋅ 3 − 1 + 1 ⋅ 3 − 2 + 2 ⋅ 3 − 3 + ⋯ 15
… 121012102 ( 3-ádica )
⋯ + 2 ⋅ 33 + 1 ⋅ 32 + 0 ⋅ 31 + 2 ⋅ 30. {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}
0. 01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}
0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}
\dots 121012102\ \ ({\text{3-ádica}})&&{}
\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}. \end{alignedat}}} Os números p-ádicos forman un corpo chamado corpo de números p-ádicos e denotado Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}. Hai un único homomorfismo de corpos dos números racionais nos números p-ádicos, que mapea un número racional coa súa expansión p-ádica. A imaxe deste homomorfismo identifícase habitualmente co corpo dos números racionais. Isto permite considerar os números p-ádicos como unha extensión do corpo dos números racionais, e os números racionais como un subcorpo dos números p-ádicos.
O límite inverso dos aneis Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} defínese como o anel formado polas secuencias a 0, a 1, … {\displaystyle a_{0}, a_{1}, \ldots } tal que a i ∈ Z / p i Z {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} } e a i ≡ a i + 1 ( mod p i ) {\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}} para cada i.
Cando se realiza a aritmética nesta notación, os díxitos lévanse á esquerda. Tamén é posible escribir expansións p-ádicas para que as potencias de p aumenten de esquerda a dereita e os díxitos sexan levados cara á dereita. Con esta notación de esquerda a dereita a expansión 3-ádica de 15 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}} é Propiedades modulares
O anel cociente Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} pódese identificar co anel Z / p n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } dos enteiros [[aritmética modula número enteiro p-ádico, representado pola súa serie p-ádica normalizada, é congruente módulo p n {\displaystyle p^{n}} coa súa suma parcial ∑ i
0 n − 1 a i p i, {\textstyle \sum _{i
0}^{n-1}a_{i}p^{i}, } cuxo valor é un número enteiro no intervalo [ 0, p n − 1 ]. {\displaystyle [0, p^{n}-1]. } Unha verificación sinxela mostra que isto define un isomorfismo de aneis desde Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} ata Z / p n Z. {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}. } O límite inverso dos aneis Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} defínese como o anel formado polas secuencias a 0, a 1, … {\displaystyle a_{0}, a_{1}, \ldots } tal que a i ∈ Z / p i Z {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} } e a i ≡ a i + 1 ( mod p i ) {\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}} para todo i.
A correspondencia que mapea unha serie p-ádica normalizada coa secuencia das súas sumas parciais é un isomorfismo de aneis de Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} no límite inverso de Z p / p n Z p. {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}. } Isto proporciona outra forma de definir os números enteiros p-ádicos (ata un isomorfismo).
Esta definición de enteiros p-ádicos é especialmente útil para cálculos prácticos, xa que permite construír enteiros p-ádicos mediante aproximacións sucesivas.
Por exemplo, para calcular o inverso p-ádico (multiplicativo) dun número enteiro, pódese usar o método de Newton, comezando polo inverso módulo p; entón, cada paso de Newton calcula o inverso módulo p n 2 {\textstyle p^{n^{2}}} a partir do inverso módulo p n. {\textstyle p^{n}. } O mesmo método pódese usar para calcular a raíz cadradap-ádica dun número enteiro que é un residuo cadrático módulo p. Este parece ser o método máis rápido coñecido para comprobar se un enteiro grande é un cadrado: abonda con comprobar se o enteiro dado é o cadrado do valor atopado en Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}. Aplicar o método de Newton para atopar a raíz cadrada require que p n {\textstyle p^{n}} sexa maior que o duplo do número enteiro dado, o que se satisfai rapidamente.
O levantamento de Hensel é un método similar que permite "elevar" o módulo de factorización p dun polinomio con coeficientes enteiros a un módulo de factorización p n {\textstyle p^{n}} para valores grandes de n. Isto úsase habitualmente nos algoritmos de factorización polinómica. Cardinalidade
Tanto Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} como Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} son non numerábeis e teñen a cardinalidade do continuo. Para Z p, {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}, } isto resulta da representación p-ádica, que define unha bixección de Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} no conxunto de partes { 0, …, p − 1 } N. {\displaystyle \{0, \ldots, p-1\}^{\mathbb {N} }. } Para Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} isto resulta da súa expresión como unha unión numerabelmente infinita de copias de Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}: Q p
⋃ i
0 ∞ 1 p i Z p. {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}
\bigcup _{i
0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}. } Principio local-global
O principio local-global de Helmut Hasse, é a idea de que se pode atopar unha solución en enteiros dunha ecuación utilizando o teorema chinés dos restos para unir solucións módulo potencias de cada número primo diferente. Isto faise examinando a ecuación no completamento dos números racionais: os números reais e os números p-ádicos. Este principio vale, por exemplo, para ecuacións dadas por formas cadráticas, pero falla para polinomios superiores en varias indeterminadas. Completamento dos racionais
Os reais e os números p-ádicos son os completamentos dos racionais; tamén é posíbel completar outros corpos, por exemplo os corpos numéricos alxébricos en xeral, dun xeito análogo, como imos ver.
Supoña que D é un dominio de Dedekind e que E é o seu corpo de fraccións. Escollemos un ideal principal distinto de cero P de D. Se x é un elemento distinto de cero de E, entón xD é un ideal fraccional e pódese factorizar de forma única como un produto de potencias positivas e negativas de potencias distintas de cero de ideais principais de D. Escribimos ordP(x) para denotar o expoñente de P nesta factorización, e para calquera opción de número c maior que 1 podemos definir | x | P
c − ord P ⁡ ( x ). {\displaystyle |x|_{P}
c^{-\! \operatorname {ord} _{P}(x)}. } O completamento con respecto a este valor absoluto |⋅|P é un corpo EP, esta é a xeneralización natural do corpo dos números p-ádicos para esta definición. A elección de c non muda o completamento (diferentes opcións producen o mesmo concepto de secuencia de Cauchy, polo tanto o mesmo completamento). É conveniente, cando o corpo de residuos D/P é finito, tomar como c o tamaño de D/P.
Por exemplo, cando E é un corpo numérico, o teorema de Ostrowski di que todo valor absoluto non arquimediano non trivial en E' ' xorde como algúns |⋅|P. Os restantes valores absolutos non triviais en E xorden dos diferentes metgullos de E nos números reais ou complexos. (De feito, os valores absolutos non arquimedianos poden considerarse simplemente como os diferentes mergullos de E nos corpos Cp, poñendo así o descrición de todos
os valores absolutos non triviais dun corpo numérico nunha base común. )
Moitas veces, hai que facer un seguimento simultáneo de todos os completamentos arriba mencionados cando E é un corpo numérico (ou máis xeralmente un corpo global), que se ven como unha especie de codificación de información "local". Isto conséguese mediante os aneis adélicos e os grupos de ideles.
Os enteiros p-ádicos pódense estender a solenoides p-ádicos T p {\displaystyle \mathbb {T} _{p}}. Hai un mapa desde T p {\displaystyle \mathbb {T} _{p}} ata o grupo de círculos cuxas fibras son os enteiros p-ádicos Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}, en analoxía a como hai un mapa desde R {\displaystyle \mathbb {R} } ata o círculo cuxas fibras son Z {\displaystyle \mathbb {Z} }.