Cuadratura do círculo

A cuadratura do círculo é un problema xeométrico proposto polos matemáticos da Grecia clásica. Consiste en facer a construción con regra e compás dun cadrado coa mesma área que un círculo dado usando só un número finito de pasos. En 1882 demostrouse que o problema era irresoluble, como consecuencia do teorema de Lindemann-Weierstrass que demostra que pi (π) é un número transcendente, no canto de ser un número alxébrico. É dicir, pi (π) non é a raíz de ningún polinomio con coeficientes racionais. Unhas décadas antes de 1882 demostrouse que se π é un número transcendente, sería imposible a construción con regra e compás. Non foi ata este ano que se demostrou que π transcendente. Polo tanto, non se poden facer construcións xeométricas exactas da cuadratura do círculo. Por outra banda, é posible deseñar unha boa aproximación nun número finito de pasos, como consecuencia de que hai números racionais tan preto de π como queiramos. Dun xeito máis abstracto este problema tamén se pode entender do seguinte xeito. Dados certos axiomas da xeometría euclidiana respecto da existencia de liñas e círculos, determinan estes axiomas a existencia deste cadrado? O termo cuadratura do círculo ás veces úsase para referirse á aproximación por métodos numéricos da área dun círculo. Historia
Os matemáticos babilonios xa coñecían diferentes métodos para aproximar a área dun círculo cun cadrado. O papiro exipcio Rhind de 1800 a. C. establece a área dun círculo como (64/81) d 2, onde d é o diámetro do círculo, e π é aproximadamente 256/81, un número que aparece no antigo papiro matemático de Moscova e usa aproximacións por volume (é dicir, hekat). Os matemáticos indios tamén atoparon un método aproximado, aínda que menos preciso, documentado no Sulba Sutra. Arquímedes demostrou que o valor de π está entre 3 + 1/7 (aproximadamente 3. 1429) e 3 + 10/71 (aproximadamente 3. 1408). Anaxágoras foi o primeiro grego en asociarse co problema, que traballou na prisión. Hipócrates de Quios cuadrou algunhas lúas, esperando que isto o levase a unha solución. Antifonte, o sofista, considera que inscribir polígonos regulares dentro dun círculo e duplicar o número de pezas encherá a área do círculo e, dado que un polígono pode ser cadrado, significa que o círculo pode ser cadrado. Con todo houbo escépticos; por exemplo, Eudemo (escritor dunha obra de astronomía) postulou que as magnitudes non se poden dividir indefinidamente, polo que a área do círculo nunca se alcanzará. O problema é mencionado incluso na obra de teatro de Aristofanes As aves. Crese que Oenopides foi o primeiro grego en esixir unha solución usando só unha regra e un compás. James Gregory intentou demostrar a súa imposibilidade na Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (a verdadeira cuadratura do círculo e a hipérbole) en 1667. Aínda que a súa proba é incorrecta, foi o primeiro documento que intentou resolver o problema empregando as propiedades alxébricas de π. Non foi ata 1882 cando Ferdinand von Lindemann demostrou rigorosamente a súa imposibilidade. Imposibilidade
Unha extensión cuadrática dun conxunto A de números son os números que se poden obter coas operacións da extracción de raíces cadradas dos números de A e as operacións de suma, resta, multiplicación e división aplicadas a pares de números que, ou son de A, ou raíces cadradas de números de A. O conxunto de números que se poden construír con regra e compás (os números construíbles ) son os números que se poden obter como un número finito de extensións cuadráticas dos racionais. Unha xeneralización do conxunto de números construíbles son os números definidos por radicais, a definición é a mesma que antes, pero non só se permiten raíces cadradas senón que son raíces de calquera índice racional (de feito coas raíces con índices de números primos chegaría). O conxunto de números construíbles é un subconxunto propio de números definidos por radicais, é dicir, hai números definidos por radicais que non son construíbles, como 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}, pero todos os números construíbles están definidos por radicais. Os números reais que son raíces de polinomios con coeficientes racionais chámanse números alxébricos. O teorema de Abel-Ruffini demostra que hai números alxébricos que non están definidos por radicais, pero todos os números definidos por radicais son alxébricos. Os números que non son alxébricos chámanse transcendentes. A solución do problema de cuadrar o círculo con regra e compás require a construción do número π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}}, e a imposibilidade desta construción dedúcese do feito de que π é un número transcendente ( non alxébrico e, polo tanto, non construíble ). Se o problema de cuadrar o círculo se resolvese usando só regra e compás chegariamos a un valor alxébrico de π, un absurdo. Johann Heinrich Lambert conxectura en 1768 que π é transcendente no mesmo documento que demostrou a súa irracionalidade. Non foi ata 1882 cando Ferdinand von Lindemann demostrou a súa transcendencia (como corolario do teorema de Lindemann-Weierstrass ). É posible construír un cadrado cunha área arbitrariamente próxima á dun círculo dado. Se se usa un número racional como aproximación a π, é posible obter o cadrado do círculo en función dos valores escollidos. No entanto, isto só é unha aproximación e non cumpre as limitacións das antigas normas para resolver o problema. Varios matemáticos demostraron procedementos factibles baseados nunha variedade de enfoques. Ao flexibilizar as normas permitindo un número infinito de operacións con regra e compás ou realizando operacións en determinados espazos non euclidianos, tamén é posible cuadrar o círculo. Por exemplo, aínda que o círculo non pode ser cadrado no espazo euclídiano, é posible facelo no espazo Gauss-Bolyai-Lobachevsky (espazo da xeometría hiperbólica). Nótese que a transcendencia de π implica tanto a incapacidade de "redondear" exactamente o cadrado como a imposibilidade de cuadrar exactamente o círculo. Construcións aproximadas
Aínda que a cuadratura do círculo é un problema imposible empregando só regra e compás, poden realizarse aproximacións á cuadratura mediante aproximacións a π. Só fai falta un mínimo de coñecemento da xeometría elemental para converter calquera aproximación racional de π nunha construción con regra e compás. A pesar disto, as construcións realizadas deste xeito adoitan ser moi longas en comparación coa precisión que se pode conseguir. Frei Martín Sarmiento achou dúas cuadraturas moi aproximadas. Para comprobarmos a súa precisión basta indicar que unha delas era equivalente a dar o número π con 6 cifras decimais exactas e a outra con 10. Despois de que se demostrou a irresolubilidade do problema, algúns matemáticos aplicaron o seu enxeño para atopar aproximacións elegantes á cuadratura do círculo. Entre as construcións aproximadas modernas, Ernest William Hobson en 1913 (ver o seu libro ). Esta foi unha construción moi precisa que está baseada na construción do valor aproximado de 3. 14164079. .. , que ten unha precisión de 4 decimais. O matemático indio Srinivasa Ramanujan en 1913, CD Olds en 1963, Martin Gardner en 1966 e Benjamin Bold en 1982 deron construcións xeométricas de 355113
3. 1415929203539823008 … {\displaystyle {\tfrac {355}{113}}
3. 1415929203539823008\dots } que coincide en 6 decimais con π. Srinivasa Ramanujan en 1914 atopou unha construción de regra e compás que equivalía a tomar a seguinte aproximación de π ( 92 + 19222 ) 1 / 4
2143224
3. 1415926525826461252 … {\displaystyle \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}
{\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}
3. 1415926525826461252\dots } dando a notable aproximación de 8 díxitos decimais correctos de π. En 1991, Robert Dixon presentou construcións para 65 ( 1 + φ ) {\displaystyle {\frac {6}{5}}(1+\varphi )} e 403 − 23 {\displaystyle {\sqrt {{40 \over 3}-2{\sqrt {3}}\ }}} (Aproximación de Kochański), pero estas foron boas aproximacións ata o cuarto decimal de π. O cuadratura ou integración
O problema de atopar a área baixo unha curva, coñecida como integración no cálculo ou cuadratura de análise numérica, coñécese como cuadratura antes da invención do cálculo. Antes de que apareza o cálculo infinitesimal, suponse que unha cuadratura debe facerse mediante construcións xeométricas, é dicir, con regra e compás. Por exemplo, Newton escribiulle a Oldenberg en 1676 "Creo que ao señor Leibniz non lle gustará o teorema ao comezo da miña páxina páxina 4 para cuadrar xeométricamente liñas curvas ". (énfase engadido) Despois de que Newton e Leibniz inventasen o cálculo, aínda se fai referencia aos problemas de integración como cuadratura ou rectificación dunha curva. A cuadratura do círculo como metáfora
A imposibilidade de resolver a cuadratura do círculo empregouse metaforicamente para describir a esperanza de resolver un problema que é ou semella imposible. Ver tamén
Os outros dous problemas xeométricos clásicos foron a duplicación do cubo e a " trisección do ángulo ", descritos no artigo "construcións con regra e compás". Ao contrario de cadrar o círculo, estes dous problemas pódense resolver empregando métodos de construción máis potentes como o origami, como se describe no artigo "Matemáticas da papiroflexia".
Para atopar problemas relacionados máis modernos, visite o problema de cadrar o círculo de Tarski.
O Proxecto de lei de Indiana sobre pi, en 1897, intentou nunha lexislatura estatal de Indiana fortalecer a procura dunha solución ao problema por decreto.