Funcións trigonométricas inversas

En matemáticas, as funcións trigonométricas inversas (tamén chamadas funcións arco) son as funcións inversas das funcións trigonométricas, baixo dominios debidamente restrinxidos. Concretamente, son as inversas das funcións seno, coseno, tanxente, cotanxente, secante e cosecante, e úsanse para obter un ángulo a partir de calquera das razóns trigonométricas do ángulo. As funcións trigonométricas inversas úsanse amplamente en enxeñaría, navegación, física e xeometría. Notación
Existen varias notacións para as funcións trigonométricas inversas. A convención máis común é nomear as funcións trigonométricas inversas mediante un prefixo de arco (arc): arcsin(x), arccos(x), arctan(x), etc. (Esta convención úsase ao longo deste artigo).
Esta notación xorde das seguintes relacións xeométricas:
ao medir en radiáns, un ángulo de θ radiáns corresponderá a un arco cuxa lonxitude é rθ, onde r é o raio da circunferencia. Así, na función da circunferencia goniométrica, o coseno de x é tanto o arco como o ángulo, porque o arco dunha circunferencia de raio 1 é o mesmo que o ángulo. Ou, "o arco cuxo coseno é x" é o mesmo que "o ángulo cuxo coseno é x", porque a lonxitude do arco da circunferencia en raios é a mesma que a medida do ángulo en radiáns.
Nas linguaxes de programación de ordenadores, as funcións trigonométricas inversas denomínanse frecuentemente polas formas abreviadas asin, acos, atan {\displaystyle \operatorname {asin}, \operatorname {acos}, \operatorname {atan} }.
As notacións sin − 1 ⁡ ( x ), cos − 1 ⁡ ( x ), t a n − 1 ( x ) {\displaystyle \sin ^{-1}(x), \cos ^{-1}(x), tan^{-1}(x)}, etc. , introducidas por John Herschel en 1813, utilízanse a miúdo, que é útil (por exemplo) para definir o multivalor de cada función trigonométrica: tan − 1 ⁡ ( x )
{ arctan ⁡ ( x ) + π k ∣ k ∈ Z }. {\displaystyle \tan ^{-1}(x)
\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}. } Isto pode parecer entrar en conflito loxicamente coa semántica común para expresións como sin2(x) ou sin2 x, que se refiren á potencia numérica e non á composición de funcións e, polo tanto, pode producir confusión entre a notación para o recíproco (inverso multiplicativo) e a función inversa.
Polo tanto, desde 2009, o estándar ISO 80000-2 especificou unicamente o prefixo "arc" para as funcións inversas. Conceptos básicos
Valores principais
Dado que ningunha das seis funcións trigonométricas é un a un, deben estar restrinxidas para ter funcións inversas. Polo tanto, o rango de resultados das funcións inversas son subconxuntos dos dominios das funcións orixinais.
Por exemplo, empregando función no sentido de funcións multivaloradas, do mesmo xeito que a función raíz cadrada y
x {\displaystyle y
{\sqrt {x}}} podería definirse a partir de y 2
x, {\displaystyle y^{2}
x, }, a función y
arcsin ⁡ ( x ) {\displaystyle y
\arcsin(x)} defínese de xeito que sin ⁡ ( y )
x. {\displaystyle \sin(y)
x. } Para un número real dado x, {\displaystyle x, } con − 1 ≤ x ≤ 1, {\displaystyle -1\leq x\leq 1, } hai múltiples (de feito, infinitos numerábeis moitos) números y {\displaystyle y} tal que sin ⁡ ( y )
x {\displaystyle \sin(y)
x}; por exemplo, sin ⁡ ( 0 )
0, {\displaystyle \sin(0)
0, } mais tamén sin ⁡ ( π )
0, {\displaystyle \sin(\pi )
0, } sin ⁡ ( 2 π )
0, {\displaystyle \sin(2\pi )
0, } etc. Cando só se desexa un valor, a función pode restrinxirse á súa rama principal. Con esta restrición, para cada x {\displaystyle x} do dominio, a expresión arcsin ⁡ ( x ) {\displaystyle \arcsin(x)} hase avaliar só a un único valor, chamado valor principal. Estas propiedades aplícanse a todas as funcións trigonométricas inversas.
As principais inversas están listadas na seguinte táboa. Se se permite que x sexa un número complexo, entón o intervalo de y aplícase só á súa parte real.
Solucións de ecuacións trigonométricas elementais
Cada unha das funcións trigonométricas é periódica na parte real do seu argumento, percorrendo todos os seus valores dúas veces en cada intervalo de 2 π {\displaystyle 2\pi }: O seno e a cosecante comezan o seu período en 2 π k − π 2 {\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}} (onde k {\displaystyle k} é un número enteiro), rematan en 2 π k + π 2, {\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}, } e teñen os opostos entre 2 π k + π 2 {\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}} a 2 π k + 3 π 2. {\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}. } O coseno e a secante comezan o seu período en 2 π k, {\displaystyle 2\pi k, } rematan en 2 π k + π. {\displaystyle 2\pi k+\pi. } E teñen os opostos en 2 π k + π {\displaystyle 2\pi k+\pi } ata 2 π k + 2 π. {\displaystyle 2\pi k+2\pi. } A tanxente comeza o seu período en 2 π k − p i 2, {\textstyle 2\pi k-{\frac {pi}{2}}, } remata en 2 π k + p i 2, {\textstyle 2\pi k+{\frac {pi}{2}}, } e despois repíteo entre 2 π k + p i 2 {\textstyle 2\pi k+{\frac {pi}{2}}} ata 2 π k + 3 π 2. {\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}. } A cotanxente comeza o seu período en 2 π k, {\displaystyle 2\pi k, } remata en 2 π k + π, {\displaystyle 2\pi k+\pi, } e despois repíteo entre 2 π k + π {\displaystyle 2\pi k+\pi } e 2 π k + 2 π. {\displaystyle 2\pi k+2\pi. } Esta periodicidade reflítese nos inversos en xeral, onde k {\displaystyle k} é algún número enteiro.
A seguinte táboa mostra como se poden usar as funcións trigonométricas inversas para resolver igualdades que inclúen as seis funcións trigonométricas estándar.
Suponse que os valores dados θ, {\displaystyle \theta, } r, {\displaystyle r, } s, {\displaystyle s, } x, {\displaystyle x, } e y {\displaystyle y} atópanse todos dentro de intervalos apropiados para que as expresións relevantes a continuación estean ben definidas.
Teña en conta que "para algúns k ∈ Z {\displaystyle k\in Z} " é só outra forma de dicir "para algúns números enteiros k {\displaystyle k} ".
O símbolo, ⟺, {\displaystyle, \iff, } é a igualdade lógica e indica que se o lado esquerdo é verdadeiro, entón tamén o é o lado dereito e, pola contra, se o lado dereito é verdadeiro, o lado esquerdo tamén o é. Por exemplo, se cos ⁡ θ
− 1 {\displaystyle \cos \theta
-1} entón θ
π + 2 π k
− π + 2 π ( 1 + k ) {\displaystyle \theta
\pi +2\pi k
-\pi +2\pi (1+k)} para algúns k ∈ Z. {\displaystyle k\in \mathbb {Z}. } Mentres que se sin ⁡ θ
± 1 {\displaystyle \sin \theta
\pm 1} entón
− π 2 + π ( k + 1 )
-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1) para algúns k ∈ Z, {\displaystyle k\in \mathbb {Z}, } onde k {\displaystyle k} será par se sin ⁡ θ
1 {\displaystyle \sin \theta
1} e será impar se sin ⁡ θ
− 1. {\displaystyle \sin \theta
-1. } As ecuacións sec ⁡ θ
− 1 {\displaystyle \sec \theta
-1} e csc ⁡ θ
± 1 {\displaystyle \csc \theta
\pm 1} teñen as mesmas solucións que cos ⁡ θ
− 1 {\displaystyle \cos \theta
-1} e sin ⁡ θ
± 1, {\displaystyle \sin \theta
\pm 1, } respectivamente. En todas as ecuacións anteriores agás as que se acaban de resolver (é dicir, agás sin {\displaystyle \sin } / csc ⁡ θ
± 1 {\displaystyle \csc \theta
\pm 1} e cos {\displaystyle \cos } / sec ⁡ θ
− 1 {\displaystyle \sec \theta
-1} ), o enteiro k {\displaystyle k} na fórmula está unicamente determinado por θ {\displaystyle \theta } (para r, s, x, {\displaystyle r, s, x, } e y {\displaystyle y} fixos).
Transformando ecuacións
As ecuacións anteriores pódense transformar usando as identidades de reflexión e desprazamento: Estas fórmulas implican, en particular, que se cumpre o seguinte: sin ⁡ θ
− sin ⁡ ( − θ )
− sin ⁡ ( π + θ )
− sin ⁡ ( π − θ )
− cos ⁡ ( π 2 + θ )
− cos ⁡ ( π 2 − θ )
− cos ⁡ ( − π 2 − θ )
− cos ⁡ ( − π 2 + θ )
− cos ⁡ ( 3 π 2 − θ )
− cos ⁡ ( − 3 π 2 + θ ) cos ⁡ θ
− cos ⁡ ( − θ )
− cos ⁡ ( π + θ )
− cos ⁡ ( π − θ )
− sin ⁡ ( π 2 + θ )
− sin ⁡ ( π 2 − θ )
− sin ⁡ ( − π 2 − θ )
− sin ⁡ ( − π 2 + θ )
− sin ⁡ ( 3 π 2 − θ )
− sin ⁡ ( − 3 π 2 + θ ) tan ⁡ θ
− tan ⁡ ( − θ )
− tan ⁡ ( π + θ )
− tan ⁡ ( π − θ )
− cot ⁡ ( π 2 + θ )
− cot ⁡ ( π 2 − θ )
− cot ⁡ ( − π 2 − θ )
− cot ⁡ ( − π 2 + θ )
− cot ⁡ ( 3 π 2 − θ )
− cot ⁡ ( − 3 π 2 + θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &
-\sin(-\theta )&&
-\sin(\pi +\theta )&&
{\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&
-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&
{\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&
-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&
{\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&
-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&
-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0. 3ex]\cos \theta &
{\phantom {-}}\cos(-\theta )&&
-\cos(\pi +\theta )&&
-\cos(\pi -\theta )\\&
{\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&
{\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&
-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&
-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&
-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&
{\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0. 3ex]\tan \theta &
-\tan(-\theta )&&
{\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&
-\tan(\pi -\theta )\\&
-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&
{\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&
{\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&
-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&
{\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&
-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0. 3ex]\end{aligned}}} onde trocando sin ↔ csc, {\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc, } trocando cos ↔ sec, {\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec, } e trocando tan ↔ cot {\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot } dá as ecuacións análogas para csc, sec, cot, {\displaystyle \csc, \sec, \cot, } respectivamente.
Así, por exemplo, usando a igualdade sin ⁡ ( π 2 − θ )
cos ⁡ θ, {\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)
\cos \theta, } a ecuación cos ⁡ θ
x {\displaystyle \cos \theta
x} pódese transformar en sin ⁡ ( π 2 − θ )
x, {\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)
x, } o que permite usar a solución da ecuación; sin ⁡ φ
x; {\displaystyle; \sin \varphi
x; } (onde φ:
π 2 − θ {\textstyle \varphi:
{\frac {\pi }{2}}-\theta } ); esa solución é: φ
( − 1 ) k arcsin ⁡ ( x ) + π k; para algún k ∈ Z, {\displaystyle \varphi
(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k; {\text{ para algún }}k\in Z, } que pasa a ser: π 2 − θ
( − 1 ) k arcsin ⁡ ( x ) + π k para algún k ∈ Z {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta
(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ para algún }}k\in Z} onde úsase o feito de que ( − 1 ) k
( − 1 ) − k {\displaystyle (-1)^{k}
(-1)^{-k}} e substituíndo h:
− k {\displaystyle h:
-k} demostra que outra solución a; cos ⁡ θ
x; {\displaystyle; \cos \theta
x; } é: θ
( − 1 ) h + 1 arcsin ⁡ ( x ) + π h + π 2 para algún h ∈ Z. {\displaystyle \theta
(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ para algún }}h\in Z. } A substitución arcsin ⁡ x
π 2 − arccos ⁡ x; {\displaystyle \arcsin x
{\frac {\pi }{2}}-\arccos x; } pódese usar expresando o lado dereito da fórmula anterior en termos de arccos ⁡ x; {\displaystyle \arccos x; } en lugar de arcsin ⁡ x. {\displaystyle \arcsin x. }
Relacións entre funcións trigonométricas e funcións trigonométricas inversas
As funcións trigonométricas das funcións trigonométricas inversas están tabuladas a continuación. Unha forma rápida de derivalas é considerando a xeometría dun triángulo rectángulo, cun lado de lonxitude 1 e outro lado de lonxitude x {\displaystyle x}, despois aplicando o Teorema de Pitágoras e as definicións das razóns trigonométricas. Paga a pena notar que para arco secante e arco cosecante, o diagrama asume que x {\displaystyle x} é positivo e, polo tanto, o resultado ten que ser corrixido mediante o uso de valor absoluto e a operación signo (sgn).
Relacións entre as funcións trigonométricas inversas
Ángulos complementarios: arccos ⁡ ( x )
π 2 − arcsin ⁡ ( x ) arccot ⁡ ( x )
π 2 − arctan ⁡ ( x ) arccsc ⁡ ( x )
π 2 − arcsec ⁡ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&
{\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0. 5em]\operatorname {arccot}(x)&
{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0. 5em]\operatorname {arccsc}(x)&
{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}} Argumentos negativos: arcsin ⁡ ( − x )
− arcsin ⁡ ( x ) arccsc ⁡ ( − x )
− arccsc ⁡ ( x ) arccos ⁡ ( − x )
π − arccos ⁡ ( x ) arcsec ⁡ ( − x )
π − arcsec ⁡ ( x ) arctan ⁡ ( − x )
− arctan ⁡ ( x ) arccot ⁡ ( − x )
π − arccot ⁡ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&
-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&
-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&
\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&
\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&
-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&
\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}} Argumentos recíprocos: arcsin ⁡ ( 1 x )
arccsc ⁡ ( x ) arccsc ⁡ ( 1 x )
arcsin ⁡ ( x ) arccos ⁡ ( 1 x )
arcsec ⁡ ( x ) arcsec ⁡ ( 1 x )
arccos ⁡ ( x ) arctan ⁡ ( 1 x )
arccot ⁡ ( x )
π 2 − arctan ⁡ ( x ), se x > 0 arctan ⁡ ( 1 x )
arccot ⁡ ( x ) − π
− π 2 − arctan ⁡ ( x ), se x < 0 arccot ⁡ ( 1 x )
arctan ⁡ ( x )
π 2 − arccot ⁡ ( x ), se x > 0 arccot ⁡ ( 1 x )
arctan ⁡ ( x ) + π
3 π 2 − arccot ⁡ ( x ), se x < 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&
\operatorname {arccsc}(x)&\\[0. 3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&
\arcsin(x)&\\[0. 3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&
\operatorname {arcsec}(x)&\\[0. 3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&
\arccos(x)&\\[0. 3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&
\operatorname {arccot}(x)&
{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\, ,{\text{ se }}x>0\\[0. 3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&
\operatorname {arccot}(x)-\pi &
-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\, ,{\text{ se }}x<0\\[0. 3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&
\arctan(x)&
{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\, ,{\text{ se }}x>0\\[0. 3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&
\arctan(x)+\pi &
{\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\, ,{\text{ se }}x<0\end{aligned}}} As identidades anteriores pódense usar polo feito de sin {\displaystyle \sin } e csc {\displaystyle \csc } seren recíprocas (é dicir, csc
1 s i n {\displaystyle \csc
{\tfrac {1}{sin}}} ), como o son cos {\displaystyle \cos } e sec, {\displaystyle \sec, } e tan {\displaystyle \tan } e cot {\displaystyle \cot }.
Identidades útiles se só se ten un fragmento dunha táboa seno: arcsin ⁡ ( x )
12 arccos ⁡ ( 1 − 2 x 2 ), if 0 ≤ x ≤ 1 arcsin ⁡ ( x )
arctan ⁡ ( x 1 − x 2 ) arccos ⁡ ( x )
12 arccos ⁡ ( 2 x 2 − 1 ), if 0 ≤ x ≤ 1 arccos ⁡ ( x )
arctan ⁡ ( 1 − x 2 x ) arccos ⁡ ( x )
arcsin ⁡ ( 1 − x 2 ), se 0 ≤ x ≤ 1, do que obtemos arccos ( 1 − x 21 + x 2 )
arcsin ⁡ ( 2 x 1 + x 2 ), se 0 ≤ x ≤ 1 arcsin ( 1 − x 2 )
π 2 − sgn ⁡ ( x ) arcsin ⁡ ( x ) arctan ⁡ ( x )
arcsin ⁡ ( x 1 + x 2 ) arccot ⁡ ( x )
arccos ⁡ ( x 1 + x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&
{\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\, ,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&
\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&
{\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\, ,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&
\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&
\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\, ,{\text{ se }}0\leq x\leq 1{\text{, do que obtemos}}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)
\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\, ,{\text{ se }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)
{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&
\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&
\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}} Sempre que aquí se usa a raíz cadrada dun número complexo, escollemos a raíz coa parte real positiva (ou a parte imaxinaria positiva se o cadrado fose real negativo).
Unha forma útil que se desprende directamente da táboa anterior é arctan ⁡ ( x )
arccos ⁡ ( 11 + x 2 ), if x ≥ 0 {\displaystyle \arctan(x)
\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\, ,{\text{ if }}x\geq 0}.
Obtense ao recoñecer que cos ⁡ ( arctan ⁡ ( x ) )
11 + x 2
cos ⁡ ( arccos ⁡ ( 11 + x 2 ) ) {\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)
{\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}
\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}. Da fórmula do ángulo metade, tan ⁡ ( θ 2 )
sin ⁡ ( θ ) 1 + cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)
{\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}, obtemos: arcsin ⁡ ( x )
2 arctan ⁡ ( x 1 + 1 − x 2 ) arccos ⁡ ( x )
2 arctan ⁡ ( 1 − x 21 + x ), if − 1 < x ≤ 1 arctan ⁡ ( x )
2 arctan ⁡ ( x 1 + 1 + x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&
2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0. 5em]\arccos(x)&
2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\, ,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0. 5em]\arctan(x)&
2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}.
Fórmula de adición arctanxente
arctan ⁡ ( u ) ± arctan ⁡ ( v )
arctan ⁡ ( u ± v 1 ∓ u v ) ( mod π ), u v ≠ 1. {\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)
\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\, ,\quad uv\neq 1\, .} Isto derívase da fórmula da suma de ángulos da tanxente tan ⁡ ( α ± β )
tan ⁡ ( α ) ± tan ⁡ ( β ) 1 ∓ tan ⁡ ( α ) tan ⁡ ( β ), {\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )
{\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\, ,} sendo α
arctan ⁡ ( u ), β
arctan ⁡ ( v ). {\displaystyle \alpha
\arctan(u)\, ,\quad \beta
\arctan(v)\, .} En cálculo
Derivadas de funcións trigonométricas inversas
As derivadas para valores complexos de z son as seguintes: d d z arcsin ⁡ ( z )
11 − z 2; z ≠ − 1, + 1 d d z arccos ⁡ ( z )
− 11 − z 2; z ≠ − 1, + 1 d d z arctan ⁡ ( z )
11 + z 2; z ≠ − i, + i d d z arccot ⁡ ( z )
− 11 + z 2; z ≠ − i, + i d d z arcsec ⁡ ( z )
1 z 21 − 1 z 2; z ≠ − 1, 0, + 1 d d z arccsc ⁡ ( z )
− 1 z 21 − 1 z 2; z ≠ − 1, 0, + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}
{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\; ;&z&{}\neq -1, +1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}
-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\; ;&z&{}\neq -1, +1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}
{\frac {1}{1+z^{2}}}\; ;&z&{}\neq -i, +i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}
-{\frac {1}{1+z^{2}}}\; ;&z&{}\neq -i, +i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}
{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\; ;&z&{}\neq -1, 0, +1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}
-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\; ;&z&{}\neq -1, 0, +1\end{aligned}}} Só para valores reais de x: d d x arcsec ⁡ ( x )
1 | x | x 2 − 1; | x | > 1 d d x arccsc ⁡ ( x )
− 1 | x | x 2 − 1; | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}
{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\; ;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}
-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\; ;&|x|>1\end{aligned}}} Só para valores reais de x:
Estas fórmulas pódense obter en función das derivadas das funcións trigonométricas. Por exemplo, se x
sin ⁡ θ {\displaystyle x
\sin \theta }, logo d x / d θ
cos ⁡ θ
1 − x 2, {\textstyle dx/d\theta
\cos \theta
{\sqrt {1-x^{2}}}, } e por tanto d d x arcsin ⁡ ( x )
d θ d x
1 d x / d θ
11 − x 2. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)
{\frac {d\theta }{dx}}
{\frac {1}{dx/d\theta }}
{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}. }
Expresión como integrais definidas
Integrando a derivada e fixando o valor nun punto dáse unha expresión para a función trigonométrica inversa como unha integral definida: arcsin ⁡ ( x )
∫ 0 x 11 − z 2 d z, | x | ≤ 1 arccos ⁡ ( x )
∫ x 111 − z 2 d z, | x | ≤ 1 arctan ⁡ ( x )
∫ 0 x 1 z 2 + 1 d z, arccot ⁡ ( x )
∫ x ∞ 1 z 2 + 1 d z, arcsec ⁡ ( x )
∫ 1 x 1 z z 2 − 1 d z
π + ∫ − x − 11 z z 2 − 1 d z, x ≥ 1 arccsc ⁡ ( x )
∫ x ∞ 1 z z 2 − 1 d z
∫ − ∞ − x 1 z z 2 − 1 d z, x ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}
\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\, dz\; ,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}
\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\, dz\; ,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}
\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\, dz\; ,\\\operatorname {arccot}(x)&{}
\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\, dz\; ,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}
\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\, dz
\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\, dz\; ,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}
\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\, dz
\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\, dz\; ,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}} Cando x é igual a 1, as integrais con dominios non limitados son integrais impropias, mais aínda así están ben definidas.
Serie infinita
Similar ás funcións seno e coseno, as funcións trigonométricas inversas tamén se poden calcular usando series de potencias, como se indica a continuación. Para o arcoseno, a serie pódese obter expandindo a súa derivada, 11 − z 2 {\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}, como serie binomial, e integrando termo por termo (usando a definición integral como se indica arriba). A serie para arcotanxente pódese obter de xeito similar expandindo a súa derivada 11 + z 2 {\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}} nunha serie xeométrica, e aplicando a definición integral anterior (ver series de Leibniz). arcsin ⁡ ( z )
z + ( 12 ) z 33 + ( 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ) z 55 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 77 + ⋯
∑ n
0 ∞ ( 2 n − 1 )! ! ( 2 n )! ! z 2 n + 12 n + 1
∑ n
0 ∞ ( 2 n )! ( 2 n n! ) 2 z 2 n + 12 n + 1; | z | ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&
z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(2n-1)! !}{(2n)! !}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(2n)! }{(2^{n}n! )^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\, ;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}} arctan ⁡ ( z )
z − z 33 + z 55 − z 77 + ⋯
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 12 n + 1; | z | ≤ 1 z ≠ i, − i {\displaystyle \arctan(z)
z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\, ;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i, -i} As series para as outras funcións trigonométricas inversas pódense dar en función destas segundo as relacións indicadas anteriormente. Por exemplo, arccos ⁡ ( x )
π / 2 − arcsin ⁡ ( x ) {\displaystyle \arccos(x)
\pi /2-\arcsin(x)}, arccsc ⁡ ( x )
arcsin ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)
\arcsin(1/x)}, etc. Outra serie vén dada por: 2 ( arcsin ⁡ ( x 2 ) ) 2
∑ n
1 ∞ x 2 n n 2 ( 2 n n ). {\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}. } Leonhard Euler atopou unha serie para o arcotanxente que converxe máis rápido que a súa Serie de Taylor: arctan ⁡ ( z )
z 1 + z 2 ∑ n
0 ∞ ∏ k
1 n 2 k z 2 ( 2 k + 1 ) ( 1 + z 2 ). {\displaystyle \arctan(z)
{\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n
0}^{\infty }\prod _{k
1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}. } (O termo da suma para n 0 é o produto baleiro, polo que é 1).
Alternativamente, isto pódese expresar como arctan ⁡ ( z )
∑ n
0 ∞ 22 n ( n! ) 2 ( 2 n + 1 )! z 2 n + 1 ( 1 + z 2 ) n + 1. {\displaystyle \arctan(z)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n! )^{2}}{(2n+1)! }}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}. } Outra serie para a función arcotanxente vén dada por arctan ⁡ ( z )
i ∑ n
1 ∞ 12 n − 1 ( 1 ( 1 + 2 i / z ) 2 n − 1 − 1 ( 1 − 2 i / z ) 2 n − 1 ), {\displaystyle \arctan(z)
i\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right), } onde i
− 1 {\displaystyle i
{\sqrt {-1}}} é a unidade imaxinaria.
Fraccións continuadas para arcotanxente
Dúas alternativas á serie de potencias para arcotanxente son estas fraccións continuas xeneralizadas: arctan ⁡ ( z )
z 1 + ( 1 z ) 23 − 1 z 2 + ( 3 z ) 25 − 3 z 2 + ( 5 z ) 27 − 5 z 2 + ( 7 z ) 29 − 7 z 2 + ⋱
z 1 + ( 1 z ) 23 + ( 2 z ) 25 + ( 3 z ) 27 + ( 4 z ) 29 + ⋱ {\displaystyle \arctan(z)
{\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}
{\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}} A segunda delas é válida no corte do plano complexo. Hai dous cortes, de −i ata o punto do infinito, baixando polo eixo imaxinario, e desde i ata o punto do infinito, subindo no mesmo eixo. Funciona mellor para números reais que van de −1 a 1. Os denominadores parciais son os números naturais impares e os numeradores parciais (despois do primeiro) son só (nz)2, e cada cadrado perfecto aparece unha vez. A primeira foi desenvolvida por Leonhard Euler; a segunda por Carl Friedrich Gauss utilizando a serie hiperxeométrica de Gauss.
Integrais indefinidas de funcións trigonométricas inversas
Para valores reais e complexos de z: ∫ arcsin ⁡ ( z ) d z
z arcsin ⁡ ( z ) + 1 − z 2 + C ∫ arccos ⁡ ( z ) d z
z arccos ⁡ ( z ) − 1 − z 2 + C ∫ arctan ⁡ ( z ) d z
z arctan ⁡ ( z ) − 12 ln ⁡ ( 1 + z 2 ) + C ∫ arccot ⁡ ( z ) d z
z arccot ⁡ ( z ) + 12 ln ⁡ ( 1 + z 2 ) + C ∫ arcsec ⁡ ( z ) d z
z arcsec ⁡ ( z ) − ln ⁡ [ z ( 1 + z 2 − 1 z 2 ) ] + C ∫ arccsc ⁡ ( z ) d z
z arccsc ⁡ ( z ) + ln ⁡ [ z ( 1 + z 2 − 1 z 2 ) ] + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\, dz&{}
z\, \arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\, dz&{}
z\, \arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\, dz&{}
z\, \arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\, dz&{}
z\, \operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\, dz&{}
z\, \operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\, dz&{}
z\, \operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}} Para x real ≥ 1: ∫ arcsec ⁡ ( x ) d x
x arcsec ⁡ ( x ) − ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) + C ∫ arccsc ⁡ ( x ) d x
x arccsc ⁡ ( x ) + ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\, dx&{}
x\, \operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\, dx&{}
x\, \operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}} Para todos os x reais non comprendidos entre -1 e 1: ∫ arcsec ⁡ ( x ) d x
x arcsec ⁡ ( x ) − sgn ⁡ ( x ) ln ⁡ | x + x 2 − 1 | + C ∫ arccsc ⁡ ( x ) d x
x arccsc ⁡ ( x ) + sgn ⁡ ( x ) ln ⁡ | x + x 2 − 1 | + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\, dx&{}
x\, \operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\, dx&{}
x\, \operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}} O valor absoluto é necesario para compensar os valores tanto negativos como positivos das funcións arcosecante e arcocosecante. A función signo tamén é necesaria debido aos valores absolutos nas derivadas das dúas funcións, que crean dúas solucións diferentes para valores positivos e negativos de x. Estas poden simplificarse aínda máis usando as definicións logarítmicas das funcións hiperbólicas inversas: ∫ arcsec ⁡ ( x ) d x
x arcsec ⁡ ( x ) − arcosh ⁡ ( | x | ) + C ∫ arccsc ⁡ ( x ) d x
x arccsc ⁡ ( x ) + arcosh ⁡ ( | x | ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\, dx&{}
x\, \operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\, dx&{}
x\, \operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}} O valor absoluto no argumento da función arcosh crea unha metade negativa da súa gráfica, facéndoa idéntica á función logarítmica con signo mostrada anteriormente.
Todas estas antiderivadas pódense derivar usando integración por partes e as formas derivadas simples mostradas arriba.
Exemplo
Usando ∫ u d v
u v − ∫ v d u {\displaystyle \int u\, dv
uv-\int v\, du} (é dicir, integración por partes), facemos u
arcsin ⁡ ( x ) d v
d x d u
d x 1 − x 2 v
x {\displaystyle {\begin{aligned}u&
\arcsin(x)&dv&
dx\\du&
{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&
x\end{aligned}}} Daquela ∫ arcsin ⁡ ( x ) d x
x arcsin ⁡ ( x ) − ∫ x 1 − x 2 d x, {\displaystyle \int \arcsin(x)\, dx
x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\, dx, } que pola simple substitución w
1 − x 2, d w
− 2 x d x {\displaystyle w
1-x^{2}, \ dw
-2x\, dx} dá o resultado final: ∫ arcsin ⁡ ( x ) d x
x arcsin ⁡ ( x ) + 1 − x 2 + C {\displaystyle \int \arcsin(x)\, dx
x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}. Extensión ao plano complexo
Dado que as funcións trigonométricas inversas son funcións analíticas, pódense estender desde a recta real ata o plano complexo. Isto resulta en funcións con varias follas e puntos de ramificación. Unha forma posíbel de definir a extensión é: arctan ⁡ ( z )
∫ 0 z d x 1 + x 2 z ≠ − i, + i {\displaystyle \arctan(z)
\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i, +i} onde a parte do eixo imaxinario que non se atopa estritamente entre os puntos de ramificación (−i e +i) é o corte de rama entre a folla principal e outras follas. O camiño da integral non debe cruzar un corte de rama. Para un z que non está nun corte de rama, un camiño en liña recta de 0 a z é ese camiño. Para un z que esta nun corte de rama, o camiño debe achegarse desde Re[x] > 0 para o corte da rama superior e desde Re[x] < 0 para o corte da rama inferior.
A función arcoseno pódese definir como: arcsin ⁡ ( z )
arctan ⁡ ( z 1 − z 2 ) z ≠ − 1, + 1 {\displaystyle \arcsin(z)
\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1, +1} onde (a función de raíz cadrada ten o seu corte ao longo do eixo real negativo e) a parte do eixo real que non se atopa estritamente entre −1 e +1 é a rama de corte entre a folla principal de arcsin {\displaystyle \arcsin } e outras follas; arccos ⁡ ( z )
p i 2 − arcsin ⁡ ( z ) z ≠ − 1, + 1 {\displaystyle \arccos(z)
{\frac {pi}{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1, +1} que ten o mesmo corte que arcsin {\displaystyle \arcsin }; arccot ⁡ ( z )
π 2 − arctan ⁡ ( z ) z ≠ − i, i {\displaystyle \operatorname {arccot}(z)
{\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i, i} que ten o mesmo corte que arctan {\displaystyle \arctan }; arcsec ⁡ ( z )
arccos ⁡ ( 1 z ) z ≠ − 1, 0, + 1 {\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)
\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1, 0, +1} onde a parte do eixo real entre −1 e +1 inclusive é o corte entre a folla principal de arcsec {\displaystyle \operatorname {arcsec} } e outras follas; arccsc ⁡ ( z )
arcsin ⁡ ( 1 z ) z ≠ − 1, 0, + 1 {\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)
\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1, 0, +1} que ten o mesmo corte que arcsec {\displaystyle \operatorname {arcsec} }.
Formas logarítmicas
Estas funcións tamén se poden expresar usando o logaritmo complexo. Isto estende o seu dominios ata o plano complexo dun xeito natural. As seguintes identidades para os valores principais das funcións cúmprense en todas as partes que se definen, mesmo nos seus cortes de rama. arcsin ⁡ ( z )
− i ln ⁡ ( 1 − z 2 + i z )
i ln ⁡ ( 1 − z 2 − i z )
arccsc ⁡ ( 1 z ) arccos ⁡ ( z )
− i ln ⁡ ( i 1 − z 2 + z )
π 2 − arcsin ⁡ ( z )
arcsec ⁡ ( 1 z ) arctan ⁡ ( z )
− i 2 ln ⁡ ( i − z i + z )
− i 2 ln ⁡ ( 1 + i z 1 − i z )
arccot ⁡ ( 1 z ) arccot ⁡ ( z )
− i 2 ln ⁡ ( z + i z − i )
− i 2 ln ⁡ ( i z − 1 i z + 1 )
arctan ⁡ ( 1 z ) arcsec ⁡ ( z )
− i ln ⁡ ( i 1 − 1 z 2 + 1 z )
π 2 − arccsc ⁡ ( z )
arccos ⁡ ( 1 z ) arccsc ⁡ ( z )
− i ln ⁡ ( 1 − 1 z 2 + i z )
i ln ⁡ ( 1 − 1 z 2 − i z )
arcsin ⁡ ( 1 z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}
-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)
i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}
\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}
-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)
{\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}
\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}
-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)
-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}
\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}
-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)
-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}
\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}
-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)
{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}
\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}
-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)
i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}
\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}
Xeneralización
Dado que todas as funcións trigonométricas inversas producen un ángulo dun triángulo rectángulo, pódense xeneralizar usando a fórmula de Euler para formar un triángulo rectángulo no plano complexo. Alxebricamente, isto dános: c e i θ
c cos ⁡ ( θ ) + i c sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle ce^{i\theta }
c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )} ou c e i θ
a + i b {\displaystyle ce^{i\theta }
a+ib} onde a {\displaystyle a} é o lado adxacente, b {\displaystyle b} é o lado oposto e c {\displaystyle c} é a hipotenusa. A partir de aquí, podemos resolver para θ {\displaystyle \theta }. e ln ⁡ ( c ) + i θ
a + i b ln ⁡ c + i θ
ln ⁡ ( a + i b ) θ
Im ⁡ ( ln ⁡ ( a + i b ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&
a+ib\\\ln c+i\theta &
\ln(a+ib)\\\theta &
\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}} ou θ
− i ln ⁡ ( a + i b c ) {\displaystyle \theta
-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)}
Proba exemplo
sin ⁡ ( ϕ )
z ϕ
arcsin ⁡ ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi )&
z\\\phi &
\arcsin(z)\end{aligned}}} Usando a definición exponencial de seno e sendo ξ
e i ϕ, {\displaystyle \xi
e^{i\phi }, } z
e i ϕ − e − i ϕ 2 i 2 i z
ξ − 1 ξ 0
ξ 2 − 2 i z ξ − 1 ξ
i z ± 1 − z 2 ϕ
− i ln ⁡ ( i z ± 1 − z 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}z&
{\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&
\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&
\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &
iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &
-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}} (escóllese a rama positiva) ϕ
arcsin ⁡ ( z )
− i ln ⁡ ( i z + 1 − z 2 ) {\displaystyle \phi
\arcsin(z)
-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)} Aplicacións
Atopar o ángulo dun triángulo rectángulo
As funcións trigonométricas inversas son útiles cando se intenta determinar os dous ángulos restantes dun triángulo rectángulo cando se coñecen as lonxitudes dos lados do triángulo. Lembrando as definicións de triángulo rectángulo de seno e coseno, despréndese que θ
arcsin ⁡ ( oposto hipotenusa )
arccos ⁡ ( contiguo hipotenusa ). {\displaystyle \theta
\arcsin \left({\frac {\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}}\right)
\arccos \left({\frac {\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}}\right). } Moitas veces, a hipotenusa é descoñecida e habería que calculala antes de usar o arcoseno ou arcocoseno usando o teorema de Pitágoras: a 2 + b 2
h 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}
h^{2}} onde h {\displaystyle h} é a lonxitude da hipotenusa. O arcotanxente é útil nesta situación, xa que non se precisa a lonxitude da hipotenusa. θ
arctan ⁡ ( oposto contiguo ) {\displaystyle \theta
\arctan \left({\frac {\text{oposto}}{\text{contiguo}}}\right)}.
Por exemplo, supoña que un tellado baixa 8 metros mentres avanza 20 metros. O tellado forma un ángulo θ coa horizontal, onde θ pódese calcular do seguinte xeito: θ
arctan ⁡ ( oposto contiguo )
arctan ⁡ ( baixa avanza )
arctan ⁡ ( 820 ) ≈ 21. 8 ∘. {\displaystyle \theta
\arctan \left({\frac {\text{oposto}}{\text{contiguo}}}\right)
\arctan \left({\frac {\text{baixa}}{\text{avanza}}}\right)
\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21. 8^{\circ }\, .}
Función arcotanxente con parámetro de localización
En moitas aplicacións a solución y {\displaystyle y} da ecuación x
t a n ( y ) {\displaystyle x
tan(y)} é aproximarse o máis posíbel a un valor dado − ∞ < η < ∞ {\displaystyle -\infty <\eta <\infty }. A solución adecuada prodúcese pola función arcotanxente modificada por un parámetro y
arctan η ⁡ ( x ):
arctan ⁡ ( x ) + π rni ⁡ ( η − arctan ⁡ ( x ) π ). {\displaystyle y
\arctan _{\eta }(x):
\arctan(x)+\pi \, \operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\, .} A función rni {\displaystyle \operatorname {rni} } redondea ao enteiro máis próximo.