Desviación típica

En probabilidade e estatística, a desviación típica ou desvío padrón (tamén desvío ou desviación estándar) é a medida máis común de dispersión. De xeito sinxelo, mide como están de dispersos os valores nunha colección de datos.
A desviación estándar está definida como a raíz cadrada da varianza. Defínese desta maneira para dar unha medida da dispersión que é un número non negativo que ten as mesmas unidades que os datos.
O termo desviación estándar foi introducido en estatística por Karl Pearson en 1894. Interpretación e aplicación
A desviación estándar é unha medida do grao de dispersión dos datos do valor medio. Dito doutra maneira, a desviación estándar é simplemente a "media" ou variación esperada con respecto da media aritmética.
Unha desviación estándar grande indica que os puntos están lonxe da media e unha desviación pequeno indica que os datos están agrupados cerca da media.
Por exemplo, as tres mostras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) e (6, 6, 8, 8) cada unha teñen unha media de 7. As súas desviacións estándar son 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira mostra ten unha desviación moito menor que as outras dúas porque os seus valores están máis próximos a 7.
A desviación estándar pode ser interpretado como unha medida de incerteza. A desviación estándar dun grupo repetido de medidas dá a precisión destas. Cando se vai determinar se un grupo de medidas está de acordo co modelo teórico, a desviación estándar desas medidas é de vital importancia: se a media das medidas está demasiado afastada da predición (coa distancia medida en desviacións estándar), entón considérase que as medidas contradín a teoría. Isto é de esperarse xa que as medicións caen fóra do rango de valores dos cales sería razoable esperar que ocorresen se o modelo teórico fose correcto. Formulación
A desviación estándar (DS/DE) é unha medida de dispersión usada en estatística que indica canto tenden a afastarse os valores puntuais da media nunha distribución. De feito, especificamente a desviación estándar é "a media da distancia de cada punto respecto do valor medio". Adóitase representar por un S ou coa letra sigma, σ {\displaystyle \sigma _{}^{}}. Esta medida é máis estable que o percorrido e toma en consideración o valor de cada dato.
É posible calcular a desviación estándar como a raíz cadrada da integral σ 2
∫ − ∞ ∞ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x {\displaystyle {\sigma }^{2}
\int _{-\infty }^{\infty }{(x-\mu )}^{2}f(x)dx} onde μ
∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x {\displaystyle \mu
\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx} O DS é a raíz cadrada da varianza da distribución σ 2
lim n → ∞ 1 n ∑ i
1 n ( x i − x ¯ ) 2 {\displaystyle \sigma ^{2}
\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i
1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}} Así a varianza é a media dos cadrados das diferenzas entre cada valor da variable e a media aritmética da distribución.
Aínda que esta fórmula é correcta, na práctica interesa realizar inferencias de poboación, polo que no denominador en vez de n, úsase n-1 (Corrección de Bessel) s 2
∑ i
1 n ( x i − x ¯ ) 2 n − 1 {\displaystyle s^{2}
{\frac {\sum _{i
1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{n-1}}} Tamén temos outra función máis sinxela de realizar e con menos risco de ter equivocacións: s 2
∑ i
1 n x i 2 n − 1 − x ¯ 2 {\displaystyle s^{2}
{\frac {\sum _{i
1}^{n}x_{i}^{2}}{n-1}}-{\overline {x}}^{2}} Exemplo
Aquí móstrase como calcular a desviación estándar dun conxunto de datos. Os datos representan a idade dos membros dun grupo de nenos. { 5, 6, 8, 9 }
1. Calcular a media x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}}. x ¯
1 N ∑ i
1 N x i {\displaystyle {\overline {x}}
{\frac {1}{N}}\sum _{i
1}^{N}x_{i}}.
Neste caso, N
4 porque hai catro datos: x 1
5 {\displaystyle x_{1}
5\, \! } x 2
6 {\displaystyle x_{2}
6\, \! } x 3
8 {\displaystyle x_{3}
8\, \! } x 4
9 {\displaystyle x_{4}
9\, \! } x ¯
14 ∑ i
14 x i {\displaystyle {\overline {x}}
{\frac {1}{4}}\sum _{i
1}^{4}x_{i}} Substituíndo N por 4 x ¯
14 ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) {\displaystyle {\overline {x}}
{\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)} x ¯
14 ( 5 + 6 + 8 + 9 ) {\displaystyle {\overline {x}}
{\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)} x ¯
7 {\displaystyle {\overline {x}} 7} Esta é a media.
2. Calcular a desviación estándar σ {\displaystyle \sigma \, \! } σ
1 N ∑ i
1 N ( x i − x ¯ ) 2 {\displaystyle \sigma
{\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i
1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}} σ
14 ∑ i
14 ( x i − x ¯ ) 2 {\displaystyle \sigma
{\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i
1}^{4}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}} Substituíndo N por 4 σ
14 ∑ i
14 ( x i − 7 ) 2 {\displaystyle \sigma
{\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i
1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}} Substituíndo x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} por 7 σ
14 [ ( 5 − 7 ) 2 + ( 6 − 7 ) 2 + ( 8 − 7 ) 2 + ( 9 − 7 ) 2 ] {\displaystyle \sigma
{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}} σ
14 ( ( − 2 ) 2 + ( − 1 ) 2 + 12 + 22 ) {\displaystyle \sigma
{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}} σ
14 ( 4 + 1 + 1 + 4 ) {\displaystyle \sigma
{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}} σ
104 {\displaystyle \sigma
{\sqrt {\frac {10}{4}}}} σ
1. 5811 {\displaystyle \sigma
1. 5811\, \! } Esta é a desviación estándar.