Produto de Kronecker

O produto de Kronecker, denotado con ( ⊗ {\displaystyle \otimes } ) é unha operación entre dúas matrices dun tamaño arbitrario que da como resultado unha matriz bloque. É un caso especial do produto tensorial. O produto de Kronecker non debe ser confundido co produto de matrices común, que é unha operación totalmente diferente. Definición
Se A é unha matriz de dimensións m × {\displaystyle \times } n e B é unha matriz de dimensións p × {\displaystyle \times } q, entón o produto de Kronecker A ⊗ {\displaystyle \otimes } B é a matriz bloque mp × {\displaystyle \times } nq A ⊗ B
( a 11 B ⋯ a 1 n B ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 B ⋯ a m n B ) {\displaystyle A\otimes B
{\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}} Máis explicitamente, A ⊗ B
( a 11 b 11 a 11 b 12 ⋯ a 11 b 1 q ⋯ ⋯ a 1 n b 11 a 1 n b 12 ⋯ a 1 n b 1 q a 11 b 21 a 11 b 22 ⋯ a 11 b 2 q ⋯ ⋯ a 1 n b 21 a 1 n b 22 ⋯ a 1 n b 2 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 11 b p 1 a 11 b p 2 ⋯ a 11 b p q ⋯ ⋯ a 1 n b p 1 a 1 n b p 2 ⋯ a 1 n b p q ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 b 11 a m 1 b 12 ⋯ a m 1 b 1 q ⋯ ⋯ a m n b 11 a m n b 12 ⋯ a m n b 1 q a m 1 b 21 a m 1 b 22 ⋯ a m 1 b 2 q ⋯ ⋯ a m n b 21 a m n b 22 ⋯ a m n b 2 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 b p 1 a m 1 b p 2 ⋯ a m 1 b p q ⋯ ⋯ a m n b p 1 a m n b p 2 ⋯ a m n b p q ) {\displaystyle A\otimes B
{\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{pmatrix}}}
Exemplos
( 132100122 ) ⊗ ( 055011 )
( 1 ⋅ ( 055011 ) 3 ⋅ ( 055011 ) 2 ⋅ ( 055011 ) 1 ⋅ ( 055011 ) 0 ⋅ ( 055011 ) 0 ⋅ ( 055011 ) 1 ⋅ ( 055011 ) 2 ⋅ ( 055011 ) 2 ⋅ ( 055011 ) )
( 05015010501501001133220500005000001100000501001050100100112222 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&3\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{pmatrix}}} Propiedades
Bilinearidade e asociatividade
O produto de Kronecker é un caso especial do produto tensorial, e polo tanto, é bilinear e asociativo: A ⊗ ( B + C )
A ⊗ B + A ⊗ C {\displaystyle A\otimes (B+C)
A\otimes B+A\otimes C} se B e C teñen as mesmas dimensións, ( A + B ) ⊗ C
A ⊗ C + B ⊗ C {\displaystyle (A+B)\otimes C
A\otimes C+B\otimes C} se A e B teñen as mesmas dimensións, ( k A ) ⊗ B
A ⊗ ( k B )
k ( A ⊗ B ), {\displaystyle (kA)\otimes B
A\otimes (kB)
k(A\otimes B), } ( A ⊗ B ) ⊗ C
A ⊗ ( B ⊗ C ), {\displaystyle (A\otimes B)\otimes C
A\otimes (B\otimes C), } onde A, B e C son matrices e onde k é un escalar.
O produto de Kronecker non é commutativo: En xeral, A ⊗ {\displaystyle \otimes } B e B ⊗ {\displaystyle \otimes } A son matrices diferentes. Porén, A ⊗ {\displaystyle \otimes } B e B ⊗ {\displaystyle \otimes } A son intercambios equivalentes, o que quere dicir que hai matrices de permutación P e Q tales que A ⊗ B
P ( B ⊗ A ) Q. {\displaystyle A\otimes B
P\, (B\otimes A)\, Q. }