Lema de Hensel

En matemáticas, o lema de Hensel, tamén coñecido como lema de levantamento de Hensel, chamado así en honor de Kurt Hensel, é un resultado da aritmética modular, que indica que se un polinomio univariado ten unha raíz simple módulo un número primo p, entón esta raíz pode levantarse a unha única raíz módulo calquera potencia de p maior. De forma máis xeral, se un polinomio factoriza módulo p en dous polinomios coprimos, esta factorización pódese levantar a unha factorización módulo calquera potencia de p superior (o caso das raíces corresponde ao caso de grao 1 para un dos factores).
Ao pasar ao "límite" (de feito este é un límite inverso) cando a potencia de p tende ao infinito, dedúcese que unha raíz ou unha factorización módulo p pode levantarse a unha raíz ou unha factorización sobre os enteiros p-ádicos.
Estes resultados foron amplamente xeneralizados, baixo o mesmo nome, ao caso de polinomios sobre un anel conmutativo arbitrario, onde p é substituído por un ideal, e "polinomios coprimos" significa "polinomios que xeran un ideal que contén o 1".
O lema de Hensel é fundamental na análise p-ádica, unha rama da teoría analítica de números.
A demostración do lema de Hensel é construtiva, e leva a un algoritmo eficiente para o levantamento de Hensel, que é fundamental para factorizar polinomios, e dá o algoritmo máis eficiente coñecido para a álxebra linear exacta sobre os números racionais. Redución e levantamento modulares
O lema orixinal de Hensel refírese á relación entre a factorización polinómica sobre os enteiros e sobre os enteiros módulo un número primo p e as súas potencias. Pódese estender directamente ao caso en que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo e p substitúese por calquera ideal máximal (de feito, os ideais maximais de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } teñen a forma p Z, {\displaystyle p\mathbb {Z}, } onde p é un número primo).
Facer isto de xeito preciso require unha xeneralización da aritmética modular habitual, polo que é útil definir con precisión a terminoloxía que se usa habitualmente neste contexto.
O proceso de levantamento é o inverso da redución. É dicir, dados os obxectos que dependen dos elementos de R / I, {\displaystyle R/I, } o proceso de levantamento substitúe estes elementos por elementos de R {\displaystyle R} (ou de R / I k {\displaystyle R/I^{k}} para algún k > 1) que mapea con eles de forma que manteña as propiedades dos obxectos.
Sexa R un anel conmutativo e I un ideal de R. A redución módulo I refírese á substitución de cada elemento de R pola súa imaxe baixo o mapa canónico R → R / I. {\displaystyle R\to R/I. } Por exemplo, se f ∈ R [ X ] {\displaystyle f\in R[X]} é un polinomio con coeficientes en R, a súa redución módulo I, denotada como f mod I, {\displaystyle f{\bmod {I}}, } é o polinomio en ( R / I ) [ X ]
R [ X ] / I R [ X ] {\displaystyle (R/I)[X]
R[X]/IR[X]} obtido substituíndo os coeficientes de f pola súa imaxe en R / I. {\displaystyle R/I. } Dous polinomios f e g en R [ X ] {\displaystyle R[X]} son congruentes módulo I, denotado como f ≡ g ( mod I ) {\textstyle f\equiv g{\pmod {I}}} se teñen os mesmos coeficientes módulo I, é dicir se f − g ∈ I R [ X ]. {\displaystyle f-g\in IR[X]. } Se h ∈ R [ X ], {\displaystyle h\in R[X], } unha factorización de h módulo I consiste en dous (ou máis) polinomios f, g en R [ X ] {\displaystyle R[X]} tal que h ≡ f g ( mod I ). {\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}. } Por exemplo, dado un polinomio h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} e un módulo de factorización I expresado como h ≡ f g ( mod I ), {\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}, } levantar esta factorización módulo I k {\displaystyle I^{k}} consiste en procurar polinomios f ′, g ′ ∈ R [ X ] {\displaystyle f', g'\in R[X]} tal que f ′ ≡ f ( mod I ), {\textstyle f'\equiv f{\pmod {I}}, } g ′ ≡ g ( mod I ), {\textstyle g'\equiv g{\pmod {I}}, } e h ≡ f ′ g ′ ( mod I k ). {\textstyle h\equiv f'g'{\pmod {I^{k}}}. } O lema de Hensel afirma que tal levantamento sempre é posíbel en condicións suaves; ver sección seguinte. Enunciado
Orixinalmente, o lema de Hensel foi enunciado (e demostrado) para levantar unha factorización módulo un número primo p dun polinomio sobre os enteiros a unha factorización módulo calquera potencia de p e a unha factorización sobre os enteiros p-ádicos. Isto pódese xeneralizar facilmente, coa mesma proba, no caso de que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo, o número primo substitúese por un ideal máximal e os enteiros p-ádicos substitúense polo completamento con respecto ao ideal maximal. É esta xeneralización, que tamén é moi utilizada, a que aquí se presenta.
Sexa m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} un ideal máximal dun anel conmutativo R, e sexa h
α 0 X n + ⋯ + α n − 1 X + α n {\displaystyle h
\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}} un polinomio en R [ X ] {\displaystyle R[X]} cun coeficiente principal α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} non en m. {\displaystyle {\mathfrak {m}}. } Posto que m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} é un ideal maximal, o anel cociente R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} é un corpo, e ( R / m ) [ X ] {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]} é un dominio de ideais principais (PID) e, en particular, un dominio de factorización única, o que significa que todo polinomio distinto de cero en ( R / m ) [ X ] {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]} pódese factorizar dun xeito único como o produto dun elemento distinto de cero de ( R / m ) {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})} e polinomios irredutíbeis que son mónicos (é dicir, os seus coeficientes principais son 1).
O lema de Hensel afirma que toda factorización de h módulo m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} en polinomios coprimos pódese levantar dun xeito único a un módulo de factorización m k {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}} para todo k.
Máis precisamente, coas hipóteses anteriores, se h ≡ α 0 f g ( mod m ), {\textstyle h\equiv \alpha _{0}fg{\pmod {\mathfrak {m}}}, } onde f e g son mónicos e coprimos módulo m, {\displaystyle {\mathfrak {m}}, } entón, para cada número enteiro positivo k hai polinomios mónicos f k {\displaystyle f_{k}} e g k {\displaystyle g_{k}} tal que h ≡ α 0 f k g k ( mod m k ), f k ≡ f ( mod m ), g k ≡ g ( mod m ), {\displaystyle {\begin{aligned}h&\equiv \alpha _{0}f_{k}g_{k}{\pmod {{\mathfrak {m}}^{k}}}, \\f_{k}&\equiv f{\pmod {\mathfrak {m}}}, \\g_{k}&\equiv g{\pmod {\mathfrak {m}}}, \end{aligned}}} e f k {\displaystyle f_{k}} e g k {\displaystyle g_{k}} son únicos (con estas propiedades) módulo m k. {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}. }
Levantar raíces simples
Un caso especial importante é cando f
X − r. {\displaystyle f
X-r. } Neste caso, a hipótese da coprimalidade significa que r é unha raíz simple de h mod m. {\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}. } Isto dá o seguinte caso especial do lema de Hensel.
Coas hipóteses e notacións anteriores, se r é unha raíz simple de h mod m, {\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}, } entón r pódese levantar dun xeito único a unha raíz simple de h mod m n {\displaystyle h{\bmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}} para cada número enteiro positivo n. Explicitamente, para cada enteiro positivo n, hai un único r n ∈ R / m n {\displaystyle r_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}} tal que r n ≡ r ( mod m ) {\textstyle r_{n}\equiv r{\pmod {\mathfrak {m}}}} e r n {\displaystyle r_{n}} é unha raíz simple de h mod m n. {\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}^{n}. }
Levantar ata o completamento ádico
O feito de que se poida levantar a R / m n {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}} para todo número enteiro positivo n suxire "pasar ao límite" cando n tende ao infinito. Esta foi unha das principais motivacións para introducir os enteiros p-ádicos.
Dado un ideal máximal m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} dun anel conmutativo R, as potencias de m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} forman unha base de veciñanzas abertas para unha topoloxía en R, que se chama topoloxía m-ádica. O completamento desta topoloxía pódese identificar co completamento do anel local R m, {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}, } e co límite inverso lim ← R / m n. {\displaystyle \lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}. } Este completamento é un anel local completo, xeralmente denotado R ^ m. {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}. } Cando R é o anel dos enteiros, e m
p Z, {\displaystyle {\mathfrak {m}}
p\mathbb {Z}, } onde p é un número primo, este completamento é o anel dos enteiros p-ádicos Z p. {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}. } A definición do completamento como un límite inverso e a afirmación anterior do lema de Hensel implican que toda factorización en polinomios coprimos por pares módulo m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} dun polinomio h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} pódese levantar de forma única a unha factorización da imaxe de h en R ^ m [ X ]. {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X]. } Do mesmo xeito, toda raíz simple de h módulo m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} pódese levantar a unha raíz simple da imaxe de h en R ^ m [ X ]. {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X]. } Proba
O lema de Hensel demóstrase xeralmente de forma incremental elevando unha factorización sobre R / m n {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}} a unha factorización sobre R / m n + 1 {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n+1}} (Levantamento linear), ou unha factorización sobre R / m 2 n {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{2n}} (Levantamento cadrático).
O principal ingrediente da demostración é que os polinomios primos sobre un corpo satisfán a identidade de Bézout. É dicir, se f e g son polinomios univariados coprimos sobre un corpo (aquí R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} ), hai polinomios a e b tal que deg ⁡ a < deg ⁡ g, {\displaystyle \deg a<\deg g, } deg ⁡ b < deg ⁡ f, {\displaystyle \deg b<\deg f, } e a f + b g
1. {\displaystyle af+bg
1. } A identidade de Bézout permite definir polinomios coprimos e demostrar o lema de Hensel, aínda que o ideal m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} non sexa maximal. Polo tanto, nas seguintes demostracións, pártese dun anel conmutativo R, un ideal I, un polinomio h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} que ten un coeficiente principal que é invertíbel módulo I (é a súa imaxe en R / I {\displaystyle R/I} é unha unidade en R / I {\displaystyle R/I} ), e a factorización de h módulo I ou módulo unha potencia de I, tal que os factores satisfagan a identidade de Bézout módulo I. Nestas probas, A ≡ B ( mod I ) {\textstyle A\equiv B{\pmod {I}}} significa A − B ∈ I R [ X ]. {\displaystyle A-B\in IR[X]. }
Levantamento linear
Sexa I un ideal dun anel conmutativo R, e h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} un polinomio univariado con coeficientes en R que ten un coeficiente principal α {\displaystyle \alpha } que é invertíbel módulo I (é dicir, a imaxe de α {\displaystyle \alpha } en R / I {\displaystyle R/I} é unha unidade en R / I {\displaystyle R/I} ).
Supoña que para algún enteiro positivo k hai unha factorización h ≡ α f g ( mod I k ), {\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}}, } tal que f e g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I, no sentido de que existen a, b i n R [ X ], {\displaystyle a, b\ inR[X], } tal que a f + b g ≡ 1 ( mod I ). {\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I}}. } Entón, hai polinomios δ f, δ g ∈ I k R [ X ], {\displaystyle \delta _{f}, \delta _{g}\in I^{k}R[X], } tal que deg ⁡ δ f < deg ⁡ f, {\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f, } deg ⁡ δ g < deg ⁡ g, {\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g, } e h ≡ α ( f + δ f ) ( g + δ g ) ( mod I k + 1 ). {\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{k+1}}}. } Nestas condicións, δ f {\displaystyle \delta _{f}} e δ g {\displaystyle \delta _{g}} son únicos módulo I k + 1 R [ X ]. {\displaystyle I^{k+1}R[X]. } A maiores, f + δ f {\displaystyle f+\delta _{f}} e g + δ g {\displaystyle g+\delta _{g}} satisfán a mesma identidade de Bézout que f e g, é dicir, a ( f + δ f ) + b ( g + δ g ) ≡ 1 ( mod I ). {\displaystyle a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I}}. } Isto dedúcese inmediatamente das afirmacións anteriores, mais é necesario para aplicar de forma iterativa o resultado con valores crecentes de k.
Unicidade
Sexa R, I, h e α {\displaystyle \alpha } como no apartado anterior. Sexa h ≡ α f g ( mod I k ), {\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}}, } unha factorización en polinomios coprimos (no sentido anterior), tal que deg ⁡ f 0 + deg ⁡ g 0
deg ⁡ h. {\displaystyle \deg f_{0}+\deg g_{0}
\deg h. } A aplicación de levantamento linear para k
1, 2, …, n − 1 …, {\displaystyle k
1, 2, \ldots, n-1\ldots, } mostra a existencia de δ f {\displaystyle \delta _{f}} e δ g {\displaystyle \delta _{g}} tal que deg ⁡ δ f < deg ⁡ f, {\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f, } deg ⁡ δ g < deg ⁡ g, {\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g, } e h ≡ α ( f + δ f ) ( g + δ g ) ( mod I n ). {\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{n}}}. } Os polinomios δ f {\displaystyle \delta _{f}} e δ g {\displaystyle \delta _{g}} están definidos de forma única módulo I n. {\displaystyle I^{n}. } Isto significa que, se outro par ( δ f ′, δ g ′ ) {\displaystyle (\delta '_{f}, \delta '_{g})} cumpre as mesmas condicións, entón temos δ f ′ ≡ δ f ( mod I n ) e δ g ′ ≡ δ g ( mod I n ). {\displaystyle \delta '_{f}\equiv \delta _{f}{\pmod {I^{n}}}\qquad {\text{e}}\qquad \delta '_{g}\equiv \delta _{g}{\pmod {I^{n}}}. }
Levantamento cadrático
O levantamento linear permite levantar unha factorización módulo I n {\displaystyle I^{n}} a unha factorización módulo I n + 1. {\displaystyle I^{n+1}. } O levantamento cadrático permite levantar directamente a unha factorización módulo I 2 n, {\displaystyle I^{2n}, } a costa de levantar tamén a identidade de Bézout e de computar módulo I n {\displaystyle I^{n}} en lugar de módulo I (se se utiliza a descrición anterior de levantamento linear).
O levantamento cadrático baséase na seguinte propiedade.
Supoña que para algún número enteiro positivo k hai unha factorización h ≡ α f g ( mod I k ), {\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}}, } tal que f e g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I, no sentido de que existen a, b ∈ R [ X ], {\displaystyle a, b\in R[X], } tal que a f + b g ≡ 1 ( mod I k ). {\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I^{k}}}. } Daquela, hai polinomios δ f, δ g ∈ I k R [ X ], {\displaystyle \delta _{f}, \delta _{g}\in I^{k}R[X], } tal que deg ⁡ δ f < deg ⁡ f, {\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f, } deg ⁡ δ g < deg ⁡ g, {\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g, } e h ≡ α ( f + δ f ) ( g + δ g ) ( mod I 2 k ). {\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{2k}}}. } A maiores, f + δ f {\displaystyle f+\delta _{f}} e g + δ g {\displaystyle g+\delta _{g}} satisfai a identidade de Bézout do seguinte xeito ( a + δ a ) ( f + δ f ) + ( b + δ b ) ( g + δ g ) ≡ 1 ( mod I 2 k ). {\displaystyle (a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I^{2k}}}. } (Isto é necesario para permitir iteracións de levantameno cadrático. ) Exemplo explícito
Sexa f ( X )
X 6 − 2 ∈ Q [ X ]. {\displaystyle f(X)
X^{6}-2\in \mathbb {Q} [X]. } Módulo 2, o lema de Hensel non se pode aplicar xa que a redución de f ( X ) {\displaystyle f(X)} módulo 2 é simplementepáxs 15-16 f ¯ ( X )
X 6 − 2 ¯
X 6 {\displaystyle {\bar {f}}(X)
X^{6}-{\overline {2}}
X^{6}} con 6 factores X {\displaystyle X} non sendo relativamente primos entre si. Polo criterio de Eisenstein, con todo, pódese concluír que o polinomio f ( X ) {\displaystyle f(X)} é irredutíbel en Q 2 [ X ]. {\displaystyle \mathbb {Q} _{2}[X]. } Sobre k
F 7 {\displaystyle k
\mathbb {F} _{7}}, por outra parte, temos f ¯ ( X )
X 6 − 2 ¯
X 6 − 16 ¯
( X 3 − 4 ¯ ) ( X 3 + 4 ¯ ) {\displaystyle {\bar {f}}(X)
X^{6}-{\overline {2}}
X^{6}-{\overline {16}}
(X^{3}-{\overline {4}})\; (X^{3}+{\overline {4}})} onde 4 {\displaystyle 4} é a raíz cadrada de 2 en F 7 {\displaystyle \mathbb {F} _{7}}. Como 4 non é un cubo en F 7, {\displaystyle \mathbb {F} _{7}, } estes dous factores son irredutíbeis en F 7 {\displaystyle \mathbb {F} _{7}}. De aí a factorización completa de X 6 − 2 {\displaystyle X^{6}-2} en Z 7 [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{7}[X]} e Q 7 [ X ] {\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]} é f ( X )
X 6 − 2
( X 3 − α ) ( X 3 + α ), {\displaystyle f(X)
X^{6}-2
(X^{3}-\alpha )\; (X^{3}+\alpha ), } onde α
… 4504547 {\displaystyle \alpha
\ldots 450\, 454_{7}} é unha raíz cadrada de 2 en Z 7 {\displaystyle \mathbb {Z} _{7}} que se pode obter levantando a factorización anterior. A outra raíz sería o complemeto a 7 da anterior α
… 2162137 {\displaystyle \alpha
\ldots 216213_{7}} (ver exemplo de Número p-ádico).
Finalmente, en F 727 [ X ] {\displaystyle \mathbb {F} _{727}[X]} o polinomio divídese en f ¯ ( X )
X 6 − 2 ¯
( X − 3 ¯ ) ( X − 116 ¯ ) ( X − 119 ¯ ) ( X − 608 ¯ ) ( X − 611 ¯ ) ( X − 724 ¯ ) {\displaystyle {\bar {f}}(X)
X^{6}-{\overline {2}}
(X-{\overline {3}})\; (X-{\overline {116}})\; (X-{\overline {119}})\; (X-{\overline {608}})\; (X-{\overline {611}})\; (X-{\overline {724}})} con todos os factores relativamente primos entre si, de xeito que en Z 727 [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{727}[X]} e Q 727 [ X ] {\displaystyle \mathbb {Q} _{727}[X]} hai 6 factores X − β {\displaystyle X-\beta } cos enteiros 727-ádicos (non racionais). β
{ 3 + 545 ⋅ 727 + 537 ⋅ 7272 + 161 ⋅ 7273 + … 116 + 48 ⋅ 727 + 130 ⋅ 7272 + 498 ⋅ 7273 + … 119 + 593 ⋅ 727 + 667 ⋅ 7272 + 659 ⋅ 7273 + … 608 + 133 ⋅ 727 + 59 ⋅ 7272 + 67 ⋅ 7273 + … 611 + 678 ⋅ 727 + 596 ⋅ 7272 + 228 ⋅ 7273 + … 724 + 181 ⋅ 727 + 189 ⋅ 7272 + 565 ⋅ 7273 + … {\displaystyle \beta
\left\{{\begin{array}{rrr}3\; +&\! \! \! 545\cdot 727\; +&\! \! \! 537\cdot 727^{2}\, +&\! \! \! 161\cdot 727^{3}+\ldots \\116\; +&\! \! \! 48\cdot 727\; +&\! \! \! 130\cdot 727^{2}\, +&\! \! \! 498\cdot 727^{3}+\ldots \\119\; +&\! \! \! 593\cdot 727\; +&\! \! \! 667\cdot 727^{2}\, +&\! \! \! 659\cdot 727^{3}+\ldots \\608\; +&\! \! \! 133\cdot 727\; +&\! \! \! 59\cdot 727^{2}\, +&\! \! \! 67\cdot 727^{3}+\ldots \\611\; +&\! \! \! 678\cdot 727\; +&\! \! \! 596\cdot 727^{2}\, +&\! \! \! 228\cdot 727^{3}+\ldots \\724\; +&\! \! \! 181\cdot 727\; +&\! \! \! 189\cdot 727^{2}\, +&\! \! \! 565\cdot 727^{3}+\ldots \end{array}}\right. } Usando derivadas para levantar raíces
Sexa f ( x ) {\displaystyle f(x)} un polinomio con coeficientes enteiros (ou enteiros p-ádicos) e sexan m, k enteiros positivos tal que m ≤ k. Se r é un número enteiro tal que f ( r ) ≡ 0 mod p k e f ′ ( r ) ≢ 0 mod p {\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{e}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}} daquela, para todo m > 0 {\displaystyle m>0} existe un enteiro s tal que f ( s ) ≡ 0 mod p k + m e r ≡ s mod p k. {\displaystyle f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\quad {\text{e}}\quad r\equiv s{\bmod {p}}^{k}. } A maiores, este s é único módulo pk+m, e pódese calcular explicitamente como o número enteiro tal que s
r − f ( r ) ⋅ a, {\displaystyle s
r-f(r)\cdot a, } onde a {\displaystyle a} é un número enteiro que satisfai a ≡ [ f ′ ( r ) ] − 1 mod p m. {\displaystyle a\equiv [f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}. } (onde [ f ′ ( r ) ] − 1 {\displaystyle [f'(r)]^{-1}} é o inverso multiplicativo de f ′ ( r ) {\displaystyle f'(r)} módulo p m {\displaystyle p^{m}} ).
Teña en conta que f ( r ) ≡ 0 mod p k {\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}} e así temos que a condición s ≡ r mod p k {\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}} cúmprese. Por outra parte, se f ′ ( r ) ≡ 0 mod p {\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}}, entón poden existir 0, 1 ou varios s (ver levantamento de Hensel a continuación). Levantamento de Hensel
Usando o lema, pódese "levantar" unha raíz r do polinomio f módulo pk a unha nova raíz s módulo p k +1 tal que r ≡ s mod pk (asumindo m 1; tomando m maior dedúcese por indución). De feito, unha raíz módulo pk+1 tamén é unha raíz módulo p k, polo que as raíces módulo pk+1 son precisamente os levantamentos de raíces módulo pk. A nova raíz s é congruente con r módulo p, polo que a nova raíz tamén satisfai f ′ ( s ) ≡ f ′ ( r ) ≢ 0 mod p. {\displaystyle f'(s)\equiv f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}. } Polo que o levantamento pódese repetir, e partindo dunha solución rk de f ( x ) ≡ 0 mod p k {\displaystyle f(x)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}} podemos derivar unha secuencia de solucións rk+1, rk+2, .. . da mesma congruencia para potencias sucesivamente superiores de p, sempre que f ′ ( r k ) ≢ 0 mod p {\displaystyle f'(r_{k})\not \equiv 0{\bmod {p}}} para a raíz inicial rk. Isto tamén mostra que f ten o mesmo número de raíces mod pk que mod pk +1, mod pk +2 ou calquera outra potencia superior de p, sempre que as raíces de f mod p k sexan todas simples.
Que pasa con este proceso se r non é unha raíz simple mod p? Supoñamos que f ( r ) ≡ 0 mod p k and f ′ ( r ) ≡ 0 mod p. {\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}. } Entón s ≡ r mod p k {\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}} implica f ( s ) ≡ f ( r ) mod p k + 1. {\displaystyle f(s)\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}. } É dicir, f ( r + t p k ) ≡ f ( r ) mod p k + 1 {\displaystyle f(r+tp^{k})\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}} para todos os números enteiros t. Polo tanto, temos dous casos: Se f ( r ) ≢ 0 mod p k + 1 {\displaystyle f(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}} entón non hai levantamento de r a unha raíz de f (x) módulo p k +1.
Se f ( r ) ≡ 0 mod p k + 1 {\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}} entón cada levantamento de r módulo pk+1 é unha raíz de f (x) módulo pk +1.
Exemplo. Para ver ambos os casos examinamos dous polinomios diferentes con p
2: f ( x )
x 2 + 1 {\displaystyle f(x)
x^{2}+1} e r
1. Entón f ( 1 ) ≡ 0 mod 2 {\displaystyle f(1)\equiv 0{\bmod {2}}} e f ′ ( 1 ) ≡ 0 mod 2. {\displaystyle f'(1)\equiv 0{\bmod {2}}. } Temos f ( 1 ) ≢ 0 mod 4 {\displaystyle f(1)\not \equiv 0{\bmod {4}}} o que significa que ningún levantamento de 1 módulo 4 é unha raíz de f (x) módulo 4. g ( x )
x 2 − 17 {\displaystyle g(x)
x^{2}-17} e r
1. Entón g ( 1 ) ≡ 0 mod 2 {\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {2}}} e g ′ ( 1 ) ≡ 0 mod 2. {\displaystyle g'(1)\equiv 0{\bmod {2}}. } Porén, xa que g ( 1 ) ≡ 0 mod 4, {\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {4}}, } podemos levantar a nosa solución ao módulo 4 e os dous levantamentos (é dicir, 1, 3) son solucións. A derivada aínda é 0 módulo 2, polo que a priori non sabemos se podemos levantalas módulo 8, pero de feito podemos, xa que g(1) é 0 mod 8 e g (3) é 0 mod 8, dando solucións en 1, 3, 5 e 7 mod 8. Dado que deles só g(1) e g (7) son 0 mod 16, podemos levantar só 1 e 7 módulo 16, dando 1, 7, 9 e 15 mod 16. Deles, só 7 e 9 dan g(x)
0 mod 32, polo que estes poden levantarse dando 7, 9, 23 e 25 mod 32. Resulta que para cada número enteiro k ≥ 3, hai catro levantamentos de 1 mod 2 a unha raíz de g(x) mod 2k. Lema de Hensel para números p-ádicos
Nos números p-ádicos, onde podemos dar sentido aos números racionais módulo potencias de p sempre que o denominador non sexa un múltiplo de p, a recursividade de rk (raíces mod pk) a rk +1 (raíces mod pk +1) pódese expresar dun xeito moito máis intuitivo. En lugar de escoller t para ser calquera enteiro que resolve a congruencia t f ′ ( r k ) ≡ − ( f ( r k ) / p k ) mod p m, {\displaystyle tf'(r_{k})\equiv -(f(r_{k})/p^{k}){\bmod {p}}^{m}, } sexa t o número racional (o pk aquí non é realmente un denominador xa que f(rk) é divisíbel por pk): − ( f ( r k ) / p k ) / f ′ ( r k ). {\displaystyle -(f(r_{k})/p^{k})/f'(r_{k}). } Entón temos r k + 1
r k + t p k
r k − f ( r k ) f ′ ( r k ). {\displaystyle r_{k+1}
r_{k}+tp^{k}
r_{k}-{\frac {f(r_{k})}{f'(r_{k})}}. } Esta fracción pode non ser un número enteiro, mais é un enteiro p-ádico, e a secuencia de números rk converxe nos enteiros p -ádicos a unha raíz de f(x) 0. A maiores, a fórmula recursiva mostrada para o (novo) número rk+1 en termos de rk é precisamente o método de Newton para atopar raíces de ecuacións nos números reais.
Traballando directamente nos p-ádicos e usando o valor absoluto p-ádico, hai unha versión do lema de Hensel que se pode aplicar aínda que comecemos cunha solución de f(a) ≡ 0 mod p tal que f ′ ( a ) ≡ 0 mod p. {\displaystyle f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}. } Só temos que asegurarnos de que f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} é distinto de 0. Esta versión máis xeral é a seguinte: se hai un número enteiro a que satisfaga: | f ( a ) | p < | f ′ ( a ) | p 2, {\displaystyle |f(a)|_{p}<|f'(a)|_{p}^{2}, } entón hai un único enteiro p-ádico b tal f(b) 0 e | b − a | p < | f ′ ( a ) | p. {\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}. } A construción de b equivale a mostrar que a recursión do método de Newton co valor inicial a converxe nos p-ádicos e b é o límite. A singularidade de b como raíz que se axusta á condición | b − a | p < | f ′ ( a ) | p {\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}} precisa traballo adicional.
A definición do lema de Hensel dada anteriormente (tomando m
1 {\displaystyle m
1} ) é un caso especial desta versión máis xeral, xa que as condicións de que f (a) ≡ 0 mod p e f ′ ( a ) ≢ 0 mod p {\displaystyle f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}} quere dicir que | f ( a ) | p < 1 {\displaystyle |f(a)|_{p}<1} e | f ′ ( a ) | p
1. {\displaystyle |f'(a)|_{p}
1. } Exemplos
Supoñamos que p é un primo impar e a é un residuo cadrático distinto de cero módulo p. Entón o lema de Hensel implica que a ten unha raíz cadrada no anel de enteiros p-ádicos Z p. {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}. } De feito, sexa f ( x )
x 2 − a. {\displaystyle f(x)
x^{2}-a. } Se r é unha raíz cadrada de a módulo p, entón: f ( r )
r 2 − a ≡ 0 mod p e f ′ ( r )
2 r ≢ 0 mod p, {\displaystyle f(r)
r^{2}-a\equiv 0{\bmod {p}}\quad {\text{e}}\quad f'(r)
2r\not \equiv 0{\bmod {p}}, } onde a segunda condición depende do feito de que p é impar. A versión básica do lema de Hensel dinos que partindo de r1
r podemos construír recursivamente unha secuencia de números enteiros { r k } {\displaystyle \{r_{k}\}} tal que: r k + 1 ≡ r k mod p k, r k 2 ≡ a mod p k. {\displaystyle r_{k+1}\equiv r_{k}{\bmod {p}}^{k}, \quad r_{k}^{2}\equiv a{\bmod {p}}^{k}. } Esta secuencia converxe a algún enteiro p-ádico b que satisfaga b2
a. De feito, b é a única raíz cadrada de a en Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} congruente con r1 módulo p. No outro sentido, se a é un cadrado perfecto en Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} e non é divisíbel por p, entón é un residuo cadrático distinto de cero mod p. Teña en conta que a lei de reciprocidade cadrática permite probar facilmente se a é un residuo cadrático distinto de cero mod p, polo que obtemos un xeito práctico de determinar que números p-ádicos (para p impar) teñen unha raíz cadrada p-ádica, e pode ampliarse para cubrir o caso p 2 usando a versión máis xeral do lema de Hensel (máis adiante dáse un exemplo con raíces cadradas 2-ádicas de 17).
Exemplo s q r t ( 2 ) {\displaystyle sqrt(2)} 7-ádica.
Procuremos unha "raíz cadrada de 2" (a solución para x 2 − 2
0 {\displaystyle x^{2}-2
0} ) nos enteiros 7-ádicos. Módulo 7 unha solución é 3 (tamén poderíamos tomar 4), así que establecemos r 1
3 {\displaystyle r_{1}
3}. O lema de Hensel permítenos entón atopar r 2 {\displaystyle r_{2}} do seguinte xeito: f ( r 1 )
32 − 2
7 f ( r 1 ) / p 1
7 / 7
1 f ′ ( r 1 )
2 r 1
6 {\displaystyle {\begin{aligned}f(r_{1})&
3^{2}-2
7\\f(r_{1})/p^{1}&
7/7
1\\f'(r_{1})&
2r_{1}
6\end{aligned}}} En base a cal a expresión t f ′ ( r 1 ) ≡ − ( f ( r 1 ) / p k ) mod p, {\displaystyle tf'(r_{1})\equiv -(f(r_{1})/p^{k}){\bmod {p}}, } convértese en: t ⋅ 6 ≡ − 1 mod 7 {\displaystyle t\cdot 6\equiv -1{\bmod {7}}} o que implica t
1. {\displaystyle t
1. } Agora: r 2
r 1 + t p 1
3 + 1 ⋅ 7
10
137. {\displaystyle r_{2}
r_{1}+tp^{1}
3+1\cdot 7
10
13_{7}. } E, por suposto, 102 ≡ 2 mod 72. {\displaystyle 10^{2}\equiv 2{\bmod {7}}^{2}. } (Se usáramos o método de Newton a recursión directamente nos 7-ádicos, entón r 2
r 1 − f ( r 1 ) / f ′ ( r 1 )
3 − 7 / 6
11 / 6, {\displaystyle r_{2}
r_{1}-f(r_{1})/f'(r_{1})
3-7/6
11/6, } e 11 / 6 ≡ 10 mod 72. {\displaystyle 11/6\equiv 10{\bmod {7}}^{2}. } )
Podemos continuar e atopar r 3
108
3 + 7 + 2 ⋅ 72
2137 {\displaystyle r_{3}
108
3+7+2\cdot 7^{2}
213_{7}}. Cada vez que realizamos o cálculo (é dicir, para cada valor sucesivo de k), engádese un díxito máis en base 7 para a potencia maior de 7 seguinte. Nos enteiros 7-ádicos esta secuencia converxe, e o límite é unha raíz cadrada de 2 en Z 7 {\displaystyle \mathbb {Z} _{7}} que ten unha expansión inicial en 7-ádicos 3 + 7 + 2 ⋅ 72 + 6 ⋅ 73 + 74 + 2 ⋅ 75 + 76 + 2 ⋅ 77 + 4 ⋅ 78 + ⋯. {\displaystyle 3+7+2\cdot 7^{2}+6\cdot 7^{3}+7^{4}+2\cdot 7^{5}+7^{6}+2\cdot 7^{7}+4\cdot 7^{8}+\cdots. } Se comezamos coa opción inicial r 1
4 {\displaystyle r_{1}
4}, entón o lema de Hensel produciría unha raíz cadrada de 2 en Z 7 {\displaystyle \mathbb {Z} _{7}} que é congruente con 4 (mod 7) en lugar de 3 (mod 7) e de feito esta segunda raíz cadrada sería o negativo da primeira raíz cadrada (que é consistente con 4 −3 mod 7).
Exemplo s q r t ( 17 ) {\displaystyle sqrt(17)} 2-ádica. Neste exemplo a versión orixinal do lema de Hensel non é válida pero a máis xeral si que o é, sexa f ( x )
x 2 − 17 {\displaystyle f(x)
x^{2}-17} e a
1. {\displaystyle a
1. } Entón f ( a )
− 16 {\displaystyle f(a)
-16} e f ′ ( a )
2, {\displaystyle f'(a)
2, } polo que | f ( a ) | 2 < | f ′ ( a ) | 22, {\displaystyle |f(a)|_{2}<|f'(a)|_{2}^{2}, } o que implica que hai un único enteiro 2-ádico b satisfactorio b 2
17 e | b − a | 2 < | f ′ ( a ) | 2
12, {\displaystyle b^{2}
17\quad {\text{e}}\quad |b-a|_{2}<|f'(a)|_{2}
{\frac {1}{2}}, } é dicir, b ≡ 1 mod 4. Hai dúas raíces cadradas de 17 nos enteiros 2- ádicos, que se diferencian por un signo, e aínda que son congruentes mod 2 non son congruentes mod 4. Isto é consistente coa versión xeral do lema de Hensel só nos dá unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que é congruente con 1 mod 4 en lugar de mod 2. Se comezaramos coa raíz aproximada inicial a 3, entón poderiamos aplicar de novo o lema de Hensel máis xeral para atopar unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que sexa congruente co 3 mod 4. Este é o outro 2. - Raíz cadrada ádica de 17.
En termos de levantar as raíces de x 2 − 17 {\displaystyle x^{2}-17} en módulo 2k a 2k+1, os levantamentos que comezan coa raíz 1 mod 2 son os seguintes: 1 mod 2 → 1, 3 mod 4
1 mod 4 → 1, 5 mod 8 e 3 mod 4 → 3, 7 mod 8
1 mod 8 → 1, 9 mod 16 e 7 mod 8 → 7, 15 mod 16, mentres que 3 mod 8 e 5 mod 8 non levantan a raíces mod 16
9 mod 16 → 9, 25 mod 32 e 7 mod 16 → 7, 23 mod 16, mentres que 1 mod 16 e 15 mod 16 non se levantan a raíces mod 32.
Por cada k maior ou igual a 3, hai catro raíces de x2 − 17 mod 2k, mais se observamos as súas expansións 2-ádicas podemos ver que en parellas están converxendo a só dous límites 2-ádicos. Por exemplo, as catro raíces mod 32 divídense en dous pares de raíces coa mesma aparencia mod 16: 9
1 + 23 e 25
1 + 23 + 24.
7
1 + 2 + 22 e 23
1 + 2 + 22 + 24.
As raíces cadradas 2-ádicas de 17 teñen expansións 1 + 23 + 25 + 26 + 27 + 29 + 210 + ⋯ {\displaystyle 1+2^{3}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{9}+2^{10}+\cdots } 1 + 2 + 22 + 24 + 28 + 211 + ⋯ {\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{4}+2^{8}+2^{11}+\cdots } Exemplo x 3 − c {\displaystyle x^{3}-c}.
Outro exemplo onde podemos usar a versión máis xeral do lema de Hensel mais non a versión básica é unha proba de que calquera enteiro en 3-ádicos c ≡ 1 mod 9 é un cubo en Z 3. {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}. } Sexa f ( x )
x 3 − c {\displaystyle f(x)
x^{3}-c} e tome a aproximación inicial a
1. O lema básico de Hensel non se pode usar para atopar raíces de f(x) xa que f ′ ( r ) ≡ 0 mod 3 {\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {3}}} para cada r. Para aplicar a versión xeral do lema de Hensel queremos | f ( 1 ) | 3 < | f ′ ( 1 ) | 32, {\displaystyle |f(1)|_{3}<|f'(1)|_{3}^{2}, } que significa c ≡ 1 mod 27. {\displaystyle c\equiv 1{\bmod {2}}7. } É dicir, se c ≡ 1 mod 27 entón o lema xeral de Hensel dinos que f(x) ten unha raíz 3-ádica, polo que c é un cubo en 3-ádicos. No entanto, quereríamos ter este resultado baixo a condición máis débil de que c ≡ 1 mod 9. Se c ≡ 1 mod 9 entón c ≡ 1, 10 ou 19 mod 27. Podemos aplicar o lema xeral de Hensel tres veces dependendo do valor de c mod 27: se c ≡ 1 mod 27 entón usamos a
1, se c ≡ 10 mod 27 entón usamos a
4 (xa que 4 é unha raíz de f(x) mod 27), e se c ≡ 19 mod 27 entón usamos a
7. (Non é certo que cada c ≡ 1 mod 3 sexa un cubo 3-ádico, por exemplo, 4 non é un cubo 3- ádico xa que non é un cubo módulo 9. )
De xeito similar, despois dun traballo preliminar, o lema de Hensel pódese usar para mostrar que para calquera número primo impar p, calquera enteiro p-ádico c congruente a 1 módulo p2 é unha potencia p-ésima en Z p. {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}. } (Isto é falso para p 2. )