Función de distribución

En teoría da probabilidade, a función de distribución ou función de distribución acumulada, é a función que describe completamente a distribución da probabilidade dunha variable aleatoria de valor real X. Para cada número real x, a función de distribución vén dada por: F ( x )
P ⁡ ( X ≤ x ), {\displaystyle F(x)
\operatorname {P} (X\leq x), } é dicir, a función de nome "F" é igual á probabilidade de que a variable aleatoria X tome un valor inferior ou igual a un determinado x. Segundo esta definición, para cada x, a función F asumirá un valor diferente.
A probabilidade de que X se sitúe nun intervalo ]a, b] (aberto en a e pechado en b) é F(b) − F(a) se a ≤ b. Por convención emprégase un F maiúsculo para a función de distribución, en contraste co f minúsculo empregado para a función de densidade e a función masa de probabilidade.
A función de distribución pode ser facilmente obtida a partir da función de probabilidade respectiva. No caso dunha variable aleatoria discreta: F ( x )
∑ x i ≤ x f ( x i ) {\displaystyle F(x)
\sum _{x_{i}\leq x}^{}f(x_{i})} Para unha variable aleatoria continua: F ( x )
∫ − ∞ x f ( x i ) d x {\displaystyle F(x)
\int _{-\infty }^{x}f(x_{i})\, dx} Na definición, o signo "menor ou igual", '≤' podería ser substituído por "menor" '<'. Isto produciría unha función diferente, mais calquera das funcións pode ser deducida facilmente a partir da outra. Tamén se podería substituír por un sinal "maior" '>' e deducir as propiedades desta nova función. Porén, cómpre axustar a definición ao sinal pretendido. Exemplos
Como exemplo, se a variable X é distribuída uniformemente no intervalo [0, 1] a función de distribución vén dada por: F(x) 0, se x < 0;
F(x) x, se 0 ≤ x ≤ 1;
F(x) 1, se x > 1.
Se X toma só os valores 0 e 1, con igual probabilidade, é dicir, se X segue a distribución de Bernoulli con p
1/2, entón a función de distribución vén dada por: F(x)
0, se x < 0;
F(x) 1/2, se 0 ≤ x < 1;
F(x) 1, se x ≥ 1. Propiedades
Se X é unha variable aleatoria discreta, entón toma os valores x1, x2, .. . con probabilidade p1, p2 etc. , a función de distribución de X é descontinua nos puntos xi e constante entre eles.
Se a función de distribución F de X é continua, entón X é unha variable aleatoria continua; se alén diso F é absolutamente continua, entón existe unha función integral de Lebesgue f(x) tal que F ( b ) − F ( a )
P ⁡ ( a ≤ X ≤ b )
∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle F(b)-F(a)
\operatorname {P} (a\leq X\leq b)
\int _{a}^{b}f(x)\, dx} para todos os números reais a e b. A primeira das dúas igualdades non sería xeral se a distribución non fose continua. A continuidade da distribución implica que P(X
a)
P(X
b)
0, de modo que a diferenza entre "<" e "≤" deixa de ser importante neste contexto. A función f é igual á derivada de F (en case todos os puntos), e chámase función de densidade de probabilidade da distribución de X.
Para calquera función de distribución F {\displaystyle F}, tense: 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1} F {\displaystyle F} é non decrecente (crecente ou constante): x 1 < x 2 ⇒ F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) {\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow F(x_{1})\leq F(x_{2})} F ( − ∞ )
lim x → − ∞ F ( x )
0 {\displaystyle F(-\infty )
\lim _{x\to -\infty }F(x)
0} F ( + ∞ )
lim x → + ∞ F ( x )
1 {\displaystyle F(+\infty )
\lim _{x\to +\infty }F(x)
1} F {\displaystyle F} é continua pola dereita: F ( a + )
lim x → a + F ( x )
F ( a ) {\displaystyle F(a^{+})
\lim _{x\to a^{+}}F(x)
F(a)} P ⁡ ( x
a )
F ( a ) − F ( a − ) {\displaystyle \operatorname {P} (x
a)
F(a)-F(a^{-})} P ⁡ ( a < x ≤ b )
F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \operatorname {P} (a<x\leq b)
F(b)-F(a)}, con a, b ∈ R {\displaystyle a, b\in \mathbb {R} }, e a < b {\displaystyle a<b} As seguintes propiedades permiten ligar os diferentes tipos de desigualdades, e que se aplican as funcións de distribución de variables aleatorias discretas: P ⁡ ( X < b )
F ( b − ) {\displaystyle \operatorname {P} (X<b)
F(b^{-})} P ⁡ ( X > a )
1 − F ( a ) {\displaystyle \operatorname {P} (X>a)
1-F(a)} P ⁡ ( X ≥ a )
1 − F ( a − ) {\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)
1-F(a^{-})} P ⁡ ( a < X < b )
F ( b − ) − F ( a ) {\displaystyle \operatorname {P} (a<X<b)
F(b^{-})-F(a)} P ⁡ ( a ≤ X < b )
F ( b − ) − F ( a − ) {\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X<b)
F(b^{-})-F(a^{-})} P ⁡ ( a ≤ X ≤ b )
F ( b ) − F ( a − ) {\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)
F(b)-F(a^{-})} No caso das variables aleatorias continuas, cúmprense as seguintes propiedades: F {\displaystyle F} é continua en todos os puntos (no caso das v. a. discretas era só continua pola dereita) P ⁡ ( x
a )
∫ a a f ( x ) d x
0 {\displaystyle \operatorname {P} (x
a)
\int _{a}^{a}f(x)\, dx
0} P ⁡ ( a ≤ X ≤ b )
P ⁡ ( a ≤ X < b )
P ⁡ ( a < X ≤ b )
P ⁡ ( a < X < b )
∫ a b f ( x ) d x
F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)
\operatorname {P} (a\leq X<b)
\operatorname {P} (a<X\leq b)
\operatorname {P} (a<X<b)
\int _{a}^{b}f(x)\, dx
F(b)-F(a)} O test de Kolmogorov-Smirnov baséase en funcións de distribución acumulada e pode empregarse para ver se dúas distribucións empíricas son diferentes ou se unha distribución empírica é diferente dunha distribución ideal. Relacionado con este está o test de Kuiper, que é útil se o dominio da distribución é cíclico como por exemplo nos días da semana. Por exemplo podemos usar o test de Kuiper para ver se o número de tornados varía durante o ano ou se as vendas dun produto varían día a día ou por día do mes.