Monomorfismo

No contexto da álxebra abstracta, un monomorfismo é un homomorfismo inxectivo. Un monomorfismo de X a Y adoita denotarse coa notación X ↪ Y {\displaystyle X\hookrightarrow Y}.
No marco máis xeral da teoría de categorías, un monomorfismo (tamén chamado morfismo mónico ou mono) é un morfismo cancelativo pola esquerda. É dicir, unha frecha f: X → Y tal que para todos os obxectos Z e todos os morfismos g1, g2: Z → X, f ∘ g 1
f ∘ g 2 ⟹ g 1
g 2. {\displaystyle f\circ g_{1}
f\circ g_{2}\implies g_{1}
g_{2}. } Os monomorfismos son unha xeneralización categórica das funcións inxectivas; nalgunhas categorías as nocións coinciden, mais os monomorfismos son máis xerais, como os mostrados na sección de exemplos.
No escenario dos posets, as interseccións son idempotentes: a intersección de calquera cousa consigo mesma é ela mesma. Os monomorfismos xeneralizan esta propiedade a categorías arbitrarias. Un morfismo é un monomorfismo se é idempotente con respecto aos produtos fibrados (pullbacks).
O dual nas categorías dun monomorfismo é un epimorfismo, é dicir, un monomorfismo dunha categoría C é un epimorfismo da categoría dual Cop. Cada sección é un monomorfismo e toda retracción é un epimorfismo. Exemplos
Todo morfismo nunha categoría concreta cuxa función subxacente é inxectiva é un monomorfismo. Na categoría de conxuntos os monomorfismos son exactamente os morfismos inxectivos. Tamén se aplica na maioría das categorías de álxebras que se producen na natureza debido á existencia dun obxecto libre nun xerador. En particular, é certo nas categorías de todos os grupos, de todos os aneis e en calquera categoría abeliana.
Non é certo en xeral, porén, que todos os monomorfismos deban ser inxectivos noutras categorías; pódese ter unha función que non sexa inxectiva e ser un monomorfismo no sentido categórico. Por exemplo, na categoría Div de grupos divisibles (abelianos) e homomorfismos de grupos entre eles hai monomorfismos que non son inxectivos: considere, por exemplo, o mapa cociente q: Q → Q/Z, onde Q son os racionais baixo adición, Z os números enteiros (tamén considerado un grupo baixo adición) e Q/Z é o grupo cociente correspondente. Este non é un mapa inxectivo, xa que, por exemplo, cada número enteiro está asignado a 0. Non obstante, é un monomorfismo nesta categoría. Isto segue da implicación q ∘ h
0 ⇒ h
0, que agora demostraremos. Se h: G → Q, onde G é algún grupo divisible, e q ∘ h
0, entón h(x) ∈ Z, ∀ x ∈ G. Agora fixamos algún x ∈ G. Sen perda de xeneralidade, podemos supoñer que h(x) ≥ 0 (en caso contrario escollemos −x). Entón, sendo n
h(x) + 1, e posto que G é un grupo divisible, existe algún y ∈ G tal que x
ny, polo que h(x)
n h(y). A partir disto, e 0 ≤ h(x) < h(x) + 1
n, despréndese que 0 ≤ h ( x ) h ( x ) + 1
h ( y ) < 1 {\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}
h(y)<1} Dado que h(y) ∈ Z, temos que h(y)
0, e polo tanto h(x)
0
h(−x), ∀ x ∈ G. Isto di que h 0, como desexábamos.
Para pasar desa implicación ao feito de que q é un monomorfismo, subpoña que q ∘ f
q ∘ g para algúns morfismos f, g: G → Q, onde G é algún grupo divisible. Entón q ∘ (f − g)
0, onde (f − g): x ↦ f(x) − g(x). (Posto que (f − g)(0)
0 e (f − g)(x + y)
(f − g)(x) + (f − g)(y), segue que (f − g) ∈ Hom(G, Q)). Da implicación que se acaba de demostrar, q ∘ (f − g)
0 ⇒ f − g
0 ⇔ ∀ x ∈ G, f(x)
g(x) ⇔ f
g. Polo tanto, q é un monomorfismo, como se afirmaba. Propiedades
Nun topos, cada monomorfismo é un igualador, e calquera mapa que sexa tanto monomorfismo como epimorfismo é un isomorfismo.
Todo isomorfismo é mónico.