Criterio de Eisenstein

En matemáticas, o criterio de Eisenstein fornece unha condición suficiente para que un polinomio con coeficientes enteiros sexa irredutíbel sobre os números racionais, isto é, para que sexa imposíbel factorizalo como o produto de polinomios non constantes con coeficientes racionais.
Este criterio non é aplicábel a tódolos polinomios con coeficientes enteiros que son irredutíbeis sobre os números racionais, mais permite demostrar a irredutibilidade en certos casos importantes, con moi pouco esforzo. Pode ser aplicado directamente ou após unha transformación do polinomio orixinal.
Este criterio recibe o nome de Gotthold Eisenstein. No inicio do século XX, tamén era coñecido como teorema de Schönemann–Eisenstein porque Theodor Schönemann foi o primeiro a publicalo. Criterio
Supoña que se teña o seguinte polinomio con coeficientes enteiros. Q ( x )
a n x n + a n 1 x n 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle Q(x)
a_{n}x^{n}+a_{n1}x^{n1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} Se existe un número primo p tal que as tres condicións seguintes se cumpren: p divide cada ai para i ≠ n,
p non divide an, e
p2 non divide a0,
entón Q é irredutíbel sobre os números racionais. Tamén será irredutíbel sobre os enteiros, a menos que tódolos seus coeficientes teñan un factor non trivial en común (neste caso, Q como un polinomio en números enteiros terá algún número primo, necesariamente distinto de p, como un factor irredutíbel). Esa última posibilidade pode ser evitada facendo, primeiramente, con que Q sexa primitivo, dividíndoo polo maior divisor común dos seus coeficientes (o contido de Q). Esta división non se altera se Q é redutíbel ou non sobre os números racionais (ver factoración polinomial para máis detalles), e non invalida as hipóteses do criterio para p (pola contra podería facer o criterio ser válido para algún primo, mesmo se non o fose antes da división). Exemplos
Pódese aplicar o criterio de Eisenstein tanto directamente (por exemplo, usando o polinomio orixinal) ou após unha transformación do polinomio orixinal.
Directo (sen transformación)
Consíderese o polinomio Q(x)
3x4 + 15x2 + 10. Para que o criterio de Eisenstein se aplique para un número primo p este debe dividir ambos os coeficientes non dominantes, 15 e 10, o que significa que só p
5 podería funcionar, e de feito iso ocorre, pois 5 non divide o coeficiente dominante 3, e o seu cadrado é 25, que non divide o coeficiente constante 10. Pódese por tanto concluír que Q é irredutíbel sobre Q (e como é primitivo, tamén é irredutíbel sobre Z). Nótese que como Q é de grao 4, esa conclusión non podería ser estabelecida verificando apenas que Q non posúe raíces racionais (que elimina a posibilidade de factores de grao 1), pois tamén sería posíbel unha descomposición en dous factores cadráticos.
Indirecto (despois dunha transformación)
Moitas veces o criterio de Eisenstein non se aplica a ningún número primo. No entanto, pode ser que si que aplique (para algún número primo) ao polinomio obtido após a substitución de x por x + a (para algún enteiro a). O feito de o polinomio obtido despois da substitución ser irredutíbel, permite entón concluír que o polinomio orixinal tamén o é. Este procedemento é coñecido como a aplicación dun deslocamento ou translación.
Por exemplo, considerando H x2 + x + 2, en que o coeficiente 1 do termo x non é divisíbel por ningún primo, o criterio de Eisenstein non se aplica a H. Mais se cada x en H for substituído por x + 3, obtense o polinomio x2 + 7x + 14, que satisfai o criterio de Eisenstein para o número primo 7. Como a substitución é un automorfismo do anel Q[x], o feito de obterse un polinomio irredutíbel despois da substitución implica que se tiña un polinomio irredutíbel orixinalmente. Neste exemplo en particular, sería máis simple argumentar que H (sendo mónico de grao 2) só podería ser redutíbel se tivese unha raíz enteira, o que, obviamente, non posúe; no entanto, o principio xeral de tentar substitucións para facer que o criterio de Eisenstein sexa aplicábel é unha maneira útil de ampliar o seu ámbito de aplicación.
Outra posibilidade para transformar un polinomio de modo a satisfacer o criterio, que pode ser combinada coa aplicación dun deslocamento, é inverter a orde dos seus coeficientes, con tanto que o seu termo constante sexa diferente de cero (en suma, se non fose o polinomio xa sería divisíbel por x). Iso pode ser feito porque eses polinomios son redutíbeis en R[x] se, e soamente se, eles son redutíbeis en R[x, x−1] (para calquera dominio de integridade R), e neste anel a substitución de x por x−1 inverte a orde dos coeficientes (de forma simétrica en relación ao coeficiente constante, mais unha subsecuente mudanza no expoñente corresponde á multiplicación por unha unidade). Como por exemplo, 2x5 − 4x2 − 3 satisfai o criterio para p 2, despois de inverter os seus coeficientes e (sendo primitivo) é, por tanto, irredutíbel en Z[x].
Polinomios ciclotómicos
Unha clase importante de polinomios cuxa irredutibilidade pode ser estabelecida usando o criterio de Eisenstein é a dos polinomios ciclotómicos para números primos p. Un polinomio deste tipo é obtido ao dividir o polinomio xp − 1 polo factor x − 1, correspondente á súa raíz obvia 1 (que, se p > 2, é a súa única raíz racional): x p − 1 x − 1
x p − 1 + x p − 2 + ⋯ + x + 1. {\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{x-1}}
x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1. } Que, tal como no exemplo anterior de H, os coeficientes iguais a 1 impiden que o criterio de Eisenstein sexa aplicado directamente. No entanto, o polinomio satisfará o criterio para p após a substitución de x por x + 1: iso resulta en: ( x + 1 ) p − 1 x
x p − 1 + ( p p − 1 ) x p − 2 + ⋯ + ( p 2 ) x + ( p 1 ), {\displaystyle {\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}
x^{p-1}+{\binom {p}{p-1}}x^{p-2}+\cdots +{\binom {p}{2}}x+{\binom {p}{1}}, } en que tódolos coeficientes non dominantes son divisíbeis por p, por propiedades dos coeficientes binomiais, e cuxo coeficiente constante é igual a p, e, por tanto, non divisíbel por p2. Unha forma alternativa de chegar a esta conclusión usa a identidade (a + b)p
ap + bp, que é válida en característica p (e que está baseada nas mesmas propiedades dos coeficientes binomiais, e dá orixe ao endomorfismo de Frobenius), para calcular a redución módulo p do cociente de polinomios: ( x + 1 ) p − 1 x ≡ x p + 1 p − 1 x
x p x
x p − 1 ( mod p ), {\displaystyle {\frac {(x+1)^{p-1}}{x}}\equiv {\frac {x^{p}+1^{p}-1}{x}}
{\frac {x^{p}}{x}} x^{p-1}{\pmod {p}}, } o que significa que os coeficientes non dominantes do cociente son todos divisíbeis por p; a verificación que falta, de que o termo constante do cociente é p, pode ser feita substituíndose x por 1 (en vez de x + 1) na forma expandida xp−1 +. .. + x + 1. Historia
O primeiro a publicar unha versión do criterio foi Theodor Schönemann, en 1846, no Jornal de Crelle, onde consta (en tradución libre)Que (x − a)n + pF(x) será irredutíbel módulo p2 cando F(x) módulo p non contén un factor x−a. Esta formulación xa incorpora unha mudanza para a en vez de 0; a condición sobre F(x) significa que F(a) non é divisíbel por p, e así pF(a) é divisíbel por p, mais non por p2. Da forma como está, a afirmación non é enteiramente correcta, no sentido de que non fai suposicións sobre o grao do polinomio F(x), de modo que o polinomio considerado non precisa ter o grao n que a súa expresión suxire; o exemplo x2 + p(x3 + 1) ≡ (x2 + p)(px + 1) mod p2, mostra que a conclusión non é válida sen tal hipótese. Asumindo que o grao de F(x) non exceda n, o criterio é correcto, no entanto, e un pouco máis forte do que a formulación dada enriba, pois se (x − a)n + pF(x) é irredutíbel módulo p2, certamente non pode ser descomposto en Z[x] en factores non constantes.
Posteriormente, Eisenstein publicou unha versión un pouco diferente, en 1850, tamén no Jornal de Crelle. Nesta versión, traducida para o galego, lese: Cando nun polinomio F(x) en x de grao arbitrario, o coeficiente do maior termo é 1, e tódolos coeficientes seguintes son números enteiros (reais ou complexos), os cales son divisíbeis por un certo número primo (real resp. complexo) m, e cando, alén diso, o último coeficiente é igual a εm, onde ε denota un número non divisíbel por m: entón é imposíbel escribir F(x) na forma ( x μ + a 1 x μ − 1 + ⋯ + a μ ) ( x ν + b 1 x ν − 1 + ⋯ + b ν ) {\displaystyle \left(x^{\mu }+a_{1}x^{\mu -1}+\cdots +a_{\mu }\right)\left(x^{\nu }+b_{1}x^{\nu -1}+\cdots +b_{\nu }\right)} onde μ, ν ≥ 1, μ + ν
deg(F(x)), e tódolos a e b son números enteiros (respectivamente reais ou complexos); a ecuación F(x)
0, por tanto, é irredutíbel.
Aquí, "números enteiros reais" son os números enteiros usuais e "números enteiros complexos" son os enteiros de Gauss; a interpretación de "números primos reais e complexos" debe ser análoga. A aplicación para a cal Eisenstein desenvolveu seu criterio, foi o estabelecemento da irredutibilidade de certos polinomios con coeficientes nos enteiros de Gauss que xorden no estudo da división da lemniscata en pedazos de mesma lonxitude de arco.
Notabelmente tanto Schönemann canto Eisenstein, despois de teren formulado os seus respectivos criterios para a irredutibilidade, aplicáronos inmediatamente para dar unha proba elemental da irredutibilidade dos polinomios ciclotómicos para números primos, un resultado que Gauss obtivera no seu traballo Disquisitiones Arithmeticae cunha proba moito máis complicada. Na verdade, Eisenstein acrecenta nunha nota de rodapé que a única proba desa irredutibilidade que el coñece, alén da de Gauss, é unha dada por Kronecker, en 1845. Iso mostra que el non tiña coñececemento das dúas probas diferentes desa afirmación que Schönemann dera no seu artigo de 1846, en que a segunda proba foi baseada no criterio mencionado anteriormente. Isto é aínda máis sorprendente se for considerado o feito de que dúas páxinas adiante, Eisenstein, na verdade, refírese (para un asunto diferente) á primeira parte do artigo de Schönemann. Nunha nota ("Notiz"), que apareceu no número seguinte da revista, Schönemann apunta iso para Eisenstein, e indica que o último método non é esencialmente diferente do que el usou na segunda demostración. Proba básica
Para probar a validade do criterio, supoña que Q satisfaga o criterio para o número primo p, mais que, no entanto, sexa redutíbel en Q[x], co obxectivo de obter unha contradición. A partir do lema de Gauss concluíse que Q tamén é irredutíbel en Z[x], e na verdade pode ser escrito como o produto Q
GH de dous polinomios non constantes G, H (no caso de Q non ser primitivo, aplicase o lema ao polinomio primitivo Q/c (onde o enteiro c é o contido de Q, isto é, o máximo común divisor dos coeficientes de Q) para obter unha descomposición para el, e multiplícase un dos factores por c para obter unha descomposición de Q). Agora reduza Q
GH módulo p para obter unha descomposición en (Z/pZ)[x]. Mais por hipótese esa redución de Q deixa o seu termo de maior grao, da forma axn para algunha constante non nula a en Z/pZ, como o único termo non nulo. Mais entón as reducións módulo p de G e H necesariamente fan desaparecer tódolos termos de menor grao (e non poden facer desaparecer os seus termos de maior grao), pois non é posíbel ningunha outra descomposición de axn en (Z/pZ)[x], que é un dominio de factorización única. En particular os termos constantes de G e H desaparecen após a redución, e como tal son divisíbeis por p, e entón o termo constante de Q, que é o produto deles, é divisíbel por p2, contradicindo a hipótese, e tense unha contradición.
Unha segunda proba do criterio de Eisenstein tamén comeza coa suposición de que o polinomio Q(x) sexa irredutíbel e remata mostrando que esa suposición implica unha contradición.
A suposición de que Q ( x )
a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle Q\left(x\right)
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} sexa redutíbel implica que hai dous polinomios G(x) e H(x) que Q ( x )
G ( x ) ⋅ H ( x ) {\displaystyle Q(x)
G(x)\cdot H(x)}.
Cada un dos polinomios G(x) e H(x) ten coeficientes c0. .. cr e d0. .. ds G ( x )
c r x r + c r − 1 x r − 1 + ⋯ + c 0 {\displaystyle G(x)
c_{r}x^{r}+c_{r-1}x^{r-1}+\cdots +c_{0}} H ( x )
d s x s + d s − 1 x s − 1 + ⋯ + d 0 {\displaystyle H(x)
d_{s}x^{s}+d_{s-1}x^{s-1}+\cdots +d_{0}} tales que r ≥ 1, s ≥ 1 e r + s
n. O coeficiente a0 do polinomio Q(x) pode ser dividido polo primo p, mais non por p2. Como a0
c0⋅d0, é posíbel dividir c0 ou d0 por p, mais non ambos. Pódese supoñer, sen perda de xeneralidade, que: o coeficiente c0 pode ser dividido por p e
o coeficiente d0 non pode ser dividido por p.
Por hipótese, p {\displaystyle p} non divide a n {\displaystyle a_{n}}. Considerando que an
cr⋅ds, nin cr e nin ds poden ser divididos por p. Así, se a r {\displaystyle a_{r}} é o r-ésimo coeficiente do polinomio redutíbel Q {\displaystyle Q}, entón (posibelmente con d t
0 {\displaystyle d_{t}
0} no caso de t > s {\displaystyle t>s} ) a r
c r d 0 + c r − 1 d 1 + ⋯ + c 0 d r {\displaystyle a_{r} c_{r}d_{0}+c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}} en que c r d 0 {\displaystyle c_{r}d_{0}} non pode ser dividido por p {\displaystyle p}, porque nin d 0 {\displaystyle d_{0}} nin c r {\displaystyle c_{r}} poden ser divididos por p {\displaystyle p}.
Probarase que c 0, c 1, …, c r 1 {\displaystyle c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{r1}} son todos divisíbeis por p. Como a r {\displaystyle a_{r}} tamén é divisíbel por p (pola hipótese do criterio), iso implica que c r d 0
a r ( c r − 1 d 1 + ⋯ + c 0 d r ) {\displaystyle c_{r}d_{0}
a_{r}(c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r})} é divisíbel por p, unha contradición que comproba o criterio.
É posíbel dividir c 0 d r {\displaystyle c_{0}d_{r}} por p {\displaystyle p}, porque c 0 {\displaystyle c_{0}} pode ser dividido por p {\displaystyle p}.
Pola suposición inicial, é posíbel dividir o coeficiente a1 do polinomio Q(x) por p. Como a 1
c 0 d 1 + c 1 d 0 {\displaystyle a_{1}
c_{0}d_{1}+c_{1}d_{0}} e como d0 non é un múltiplo de p debe ser posíbel dividir c1 por p. Analogamente, por indución, c i {\displaystyle c_{i}} é un múltiplo de p {\displaystyle p} para todo i < r {\displaystyle i<r}, o que termina a proba. Xeneralización
Criterio xeneralizado
Dado un dominio de integridade D, sexa Q
∑ i
0 n a i x i {\displaystyle Q
\sum _{i
0}^{n}a_{i}x^{i}} un elemento de D[x], o anel de polinomios con coeficientes en D.
Supoña que existe un ideal primo p de D tal que ai ∈ p para cada i ≠ n,
an ∉ p, e
a0 ∉ p2, onde p2 é o produto de ideais de p con si mesmo.
Entón Q non pode ser escrito como un produto de dous polinomios non constantes en D[x]. Se, alén diso, Q é primitivo (isto é, non ten divisores non triviais constantes), entón é irredutíbel en D[x]. Se D é un dominio de factorización única con corpo de fraccións F, entón polo lema de Gauss Q é irredutíbel en F[x], sexa primitivo ou non (pois factores constantes son inservíbeis en F[x]); neste caso, unha posíbel escolla de ideal primo é o ideal principal xerado por calquera elemento irredutíbel de D. A última afirmación resulta no teorema orixinal para D
Z ou (na formulación de Eisenstein) para D
Z[i].
Proba
A proba desta xeneralización é semellante aquela da formulación orixinal, considerándose a redución dos coeficientes módulo p; o punto esencial é que un polinomio de termo único sobre o dominio de integridade D/p non pode ser descomposto como un produto en que polo menos un dos factores ten máis dun termo (porque nun tal produto non pode haber cancelamento do coeficiente nin de maior nin de menor grao posíbel).
Exemplo
Despois de Z, un dos exemplos básicos dun dominio de integridade é o anel de polinomios D
k[u] na variábel u sobre o corpo k. Neste caso, o ideal principal xerado por u é un ideal primo. O criterio de Eisenstein pode entón ser utilizado para probar a irredutibilidade dun polinomio tal como Q(x)
x3 + ux + u en D[x]. De feito, u non divide a3, u2 non divide a0, e u divide a0, a1 e a2. Iso mostra que este polinomio satisfai as hipóteses da xeneralización do criterio de Eisenstein para o ideal primo p (u) pois, para un ideal principal (u), ser un elemento de (u) é equivalente a ser divisíbel por u.