Cuantificador (lóxica)

En lóxica formal, un cuantificador é unha expresión que indica o número de veces que se cumpre un predicado ou propiedade P dentro dunha determinada clase (por exemplo, pertenza, equivalencia ou orde). Existen moitos tipos de cuantificadores, entre os máis utilizados están: Cuantificador universal ∀ x, y … {\displaystyle \forall \, x, y\ldots } Para todo x, y. ..
Cuantificador existencial ∃ x, y … {\displaystyle \exists \, x, y\ldots } Existe polo menos un x, y. ..
Cuantificador existencial único ∃! x, y … {\displaystyle \exists! \, x, y\ldots } Existe exactamente un x, y. ..
Negación do cuantificador existencial ∄ x, y … {\displaystyle \nexists \, x, y\ldots } Non existe ningún x, y. .. Declaracións cuantificadas
As declaracións cuantificadas escríbense na forma: ∀ x ∈ R, 2 x ∈ R {\displaystyle \forall \, x\in \mathbb {R} \; ,\quad 2x\in \mathbb {R} } Para todo x que pertence a R, é certo que 2x pertence a R. ∀ a ∈ R, ∃ x ∈ R: a < x < ( a + 1 ) {\displaystyle \forall \, a\in \mathbb {R}, \quad \exists \, x\in \mathbb {R} \; :\quad a<x<(a+1)} Para todo a que pertence a R, existe algún ou varios x que pertencen a R, que está entre a e a+1. ∀ a ∈ R − { 0 }, ∃! x ∈ R: a ⋅ x
1 {\displaystyle \forall \, a\in \mathbb {R} -\left\{{0}\right\}, \quad \exists! \, x\in \mathbb {R} \; :\quad a\cdot x
1} Para todo a pertencente a R que é diferente de cero, existe un único x que pertence a R, que satisfai que a por x é igual a 1. Proposicións
Cuantificación universal
O cuantificador universal úsase para afirmar que todos os elementos dun conxunto satisfán unha determinada propiedade. Por exemplo: ∀ x ∈ A: P ( x ) {\displaystyle \forall x\in A\; :\quad P(x)} Para todo x pertencente a A, cúmprese P(x).
Esta afirmación úsase a miúdo como o equivalente da seguinte proposición: A
{ x ∈ U: P ( x ) } {\displaystyle A
\{x\in U\; :\quad P(x)\}} O conxunto A defínese como o conxunto de elementos x de U que satisfán P(x).
Cuantificación existencial
O cuantificador existencial úsase para indicar que hai un ou máis elementos no conxunto A {\displaystyle ~A} (non necesariamente únicos) que cumpren unha determinada propiedade. Por exemplo: ∃ x ∈ A: P ( x ) {\displaystyle \exists \, x\in A\; :\quad P(x)} Existe polo menos un x en A que satisfai P(x).
Esta proposición adoita interpretarse como o equivalente á seguinte proposición: { x ∈ A: P ( x ) } ≠ ∅ {\displaystyle \{x\in A\; :\quad P(x)\}\neq \emptyset } O conxunto de elementos x de A, que satisfán P(x) é diferente do conxunto baleiro.
Cuantificación existencial única
O cuantificador existencial marcado pola unicidade utilízase para indicar que existe un único elemento dun conxunto A que satisfai unha determinada propiedade. Escríbese como: ∃! x ∈ A: P ( x ) {\displaystyle \exists! \, x\in A\; :\quad P(x)} Lese:
Existe un único elemento x de A, que satisfai P(x). Equivalencias
Existen as seguintes relacións universais: ∀ x ∈ A: P ( x ) ⟷ ¬ ∃ x ∈ A: ¬ P ( x ) {\displaystyle \forall x\in A: \ P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \exists x\in A\: \neg P(x)} Para todo x en A, cúmprese P(x) se e só se non existe ningún x en A que non satisfaga P(x). ∃ x ∈ A: P ( x ) ⟷ ¬ ∀ x ∈ A: ¬ P ( x ) {\displaystyle \exists x\in A\: P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \forall x\in A\: \neg P(x)} Existe polo menos un x en A que satisfai P(x) se e só se non é certo que para todo x en A, P(x) non se cumpre. Leis de De Morgan
As leis de De Morgan para os cuantificadores son as seguintes: ¬ ∀ x P ( x ) ≡ ∃ x ¬ P ( x ) {\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)} A negación é falsa se para todo x {\displaystyle x} o predicado é verdade. Pola contra, é certo se existe un x {\displaystyle x} para o cal P ( x ) {\displaystyle P(x)} é falsa. ¬ ∃ x P ( x ) ≡ ∀ x ¬ P ( x ) {\displaystyle \neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)} A negación é verdadeira se para todo x {\displaystyle x} a función proposicional P {\displaystyle P} de x {\displaystyle x} é falsa e é falsa se existe un x {\displaystyle x} para o cal P ( x ) {\displaystyle P(x)} é verdadeira. Precedencia dos cuantificadores
A orde de prioridade (precedencia) dos cuantificadores ∀ {\displaystyle \forall } e ∃ {\displaystyle \exists } é de maior grao de preferencia que os outros operadores lóxicos.
Exemplos:
Cando poñemos ∀ x P ( x ) ∧ M ( x ) {\displaystyle \forall xP(x)\land M(x)}, a orde de prioridade obríganos a realizar primeiro o cuantificador universal aplicado a P ( x ) {\displaystyle P(x)} (indicado cun paréntese a maiores) e a ese resultado aplicar o and lóxico ( ∧ {\displaystyle \land } ) con M ( x ) {\displaystyle M(x)}, isto é: ( ∀ x P ( x ) ) ∧ M ( x ) {\displaystyle (\forall xP(x))\land M(x)}. Este exemplo pódese ver para os diferentes cuantificadores.
No caso de querer dar prioridade ao operador lóxico ( ∧ {\displaystyle \land } ) teremos que poñer parénteses para forzar a prioridade desa operación ∀ x ( P ( x ) ∧ M ( x ) ). {\displaystyle \forall x(P(x)\land M(x)). } Un erro moi común é considerar que ∀ x P ( x ) ∧ M ( x ) {\displaystyle \forall xP(x)\land M(x)} É o mesmo que ∀ x ( P ( x ) ∧ M ( x ) ) {\displaystyle \forall x(P(x)\land M(x))} que non é o caso, xa que non se respecta a orde de prioridade, polo que o correcto sería ( ∀ x P ( x ) ) ∧ M ( x ) {\displaystyle (\forall xP(x))\land M(x)}. Regras de troco
Primeira regra:
Un cuantificador universal ( ∀ {\displaystyle \forall } ) afirmativo equivale á negación dun cuantificador existencial. ( ∀ x P ( x ) ) ↔ ( ¬ ∃ x ¬ P ( x ) ) {\displaystyle (\forall xP(x))\leftrightarrow (\neg \exists x\neg P(x))} Para todo x {\displaystyle x}, P {\displaystyle P} é certo, equivale a que sexa falso que algúns x {\displaystyle x} non cumpran P {\displaystyle P}.
Segunda regra:
Un cuantificador existencial ( ∃ {\displaystyle \exists } ) afirmativo equivale á negación do cuantificador universal negación ( ¬ ∀ {\displaystyle \neg \forall } ) xunto á negación do predicado. ( ∃ x P ( x ) ) ↔ ( ¬ ∀ x ¬ P ( x ) ) {\displaystyle (\exists xP(x))\leftrightarrow (\neg \forall x\neg P(x))} Que exista algún x {\displaystyle x} para o que P {\displaystyle P} é certo, equivale a dicir que non acontece que para todo x {\displaystyle x} non cumpre P {\displaystyle P}.
Terceira regra:
A negación dun cuantificador universal ( ¬ ∀ {\displaystyle \neg \forall } ) equivale a un cuantificador existencial ( ∃ {\displaystyle \exists } ) co predicado negado. ( ¬ ∀ x P ( x ) ) ↔ ( ∃ x ¬ P ( x ) ) {\displaystyle (\neg \forall xP(x))\leftrightarrow (\exists x\neg P(x))} É falso que todos os x {\displaystyle x} cumpren P {\displaystyle P}, é equivalente a algúns x {\displaystyle x} non cumpren P {\displaystyle P}.
Cuarta regra:
A negación dun cuantificador existencial ( ¬ ∃ {\displaystyle \neg \exists } ) equivale a un cuantificador universal ( ∀ {\displaystyle \forall } ) co predicado negado. ( ¬ ∃ x P ( x ) ) ↔ ( ∀ x ¬ P ( x ) ) {\displaystyle (\neg \exists xP(x))\leftrightarrow (\forall x\neg P(x))} É falso que algún x {\displaystyle x} cumpra P {\displaystyle P}, é equivalente a todos os x {\displaystyle x} non cumpren P {\displaystyle P}.