Derivada total

En matemáticas, a derivada total dunha función f nun punto é a mellor aproximación linear preto deste punto da función en relación aos seus argumentos. A diferenza das derivadas parciais, a derivada total aproxima a función en relación a todos os seus argumentos, non só a un. En moitas situacións, isto é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente. Sería a derivada dunha función de varias variábeis en relación a unha delas, sen manter constantes as demais.
O termo "derivada total" úsase principalmente cando f é unha función de varias variábeis, porque cando f é unha función dunha única variábel, a derivada total é a mesma que a derivada ordinaria da función.
A derivada total incorpora estas dependencias indirectas sobre t (é dicir, x(t) e y(t)) para describir a dependencia de f sobre t. A derivada total como unha aplicación linear
Sexa U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} un subconxunto aberto. Entón, dise que unha función f: U → R m {\displaystyle f: U\to \mathbb {R} ^{m}} é diferenciábel (totalmente) nun punto a ∈ U {\displaystyle a\in U} se existe unha aplicación linear d f a: R n → R m {\displaystyle df_{a}: \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} tal que lim x → a ‖ f ( x ) − f ( a ) − d f a ( x − a ) ‖ ‖ x − a ‖
0. {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}
0. } A aplicación linear d f a {\displaystyle df_{a}} chámase derivada (total) ou diferencial (total) de f {\displaystyle f} en a {\displaystyle a}. Outras notacións para a derivada total inclúen D a f {\displaystyle D_{a}f} e D f ( a ) {\displaystyle Df(a)}. Unha función é diferenciábel (totalmente) se a súa derivada total existe en cada punto do seu dominio.
Conceptualmente, a definición da derivada total expresa a idea de que d f a {\displaystyle df_{a}} é a mellor aproximación linear a f {\displaystyle f} no punto a {\displaystyle a}. Isto pódese precisar cuantificando o erro na aproximación linear determinada por d f a {\displaystyle df_{a}}. Para facelo, escríbese f ( a + h )
f ( a ) + d f a ( h ) + ε ( h ), {\displaystyle f(a+h)
f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h), } onde ε ( h ) {\displaystyle \varepsilon (h)} é igual ao erro na aproximación. Dicir que a derivada de f {\displaystyle f} en a {\displaystyle a} é d f a {\displaystyle df_{a}} é equivalente á afirmación ε ( h )
o ( ‖ h ‖ ), {\displaystyle \varepsilon (h)
o(\lVert h\rVert ), } onde o {\displaystyle o} é a notación o pequena e indica que ε ( h ) {\displaystyle \varepsilon (h)} é moito máis pequeno que ‖ h ‖ {\displaystyle \lVert h\rVert } cando h → 0 {\displaystyle h\to 0}. A derivada total d f a {\displaystyle df_{a}} é a única aplicación linear para a cal o termo de erro é tan pequeno, e este é o sentido no que é a mellor aproximación linear a f {\displaystyle f}.
A función f {\displaystyle f} é diferenciábel se e só se cada unha das súas compoñentes f i: U → R {\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} } é diferenciábel, polo que, ao estudar derivadas totais, a miúdo é posíbel traballar unha coordenada de cada vez no codominio. Se todas as derivadas parciais de f {\displaystyle f} en a {\displaystyle a} existen e son continuas nunha veciñanza de a {\displaystyle a}, entón f {\displaystyle f} é diferenciábel en a {\displaystyle a}. Cando isto ocorre, ademais, a derivada total de f {\displaystyle f} é a aplicación linear correspondente á matriz jacobiana de derivadas parciais nese punto. A derivada total como unha forma diferencial
Cando a función en cuestión é de valor real, a derivada total pode reformularse usando formas diferenciais. Por exemplo, supoña que f: R n → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } é unha función diferenciábel de variábeis x 1, …, x n {\displaystyle x_{1}, \ldots, x_{n}}. A derivada total de f {\displaystyle f} en a {\displaystyle a} pódese escribir en termos da súa matriz jacobiana, que neste caso é unha matriz fila: D f a
[ ∂ f ∂ x 1 ( a ) ⋯ ∂ f ∂ x n ( a ) ]. {\displaystyle Df_{a}
{\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}. } A propiedade de aproximación linear da derivada total implica que se Δ x
[ Δ x 1 ⋯ Δ x n ] T {\displaystyle \Delta x
{\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}} é un vector pequeno (onde o T {\displaystyle {\mathsf {T}}} denota a transposta, de xeito que este vector é un vector columna), entón f ( a + Δ x ) − f ( a ) ≈ D f a ⋅ Δ x
∑ i
1 n ∂ f ∂ x i ( a ) ⋅ Δ x i. {\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x
\sum _{i
1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}. } Heuristicamente, isto suxire que se d x 1, …, d x n {\displaystyle dx_{1}, \ldots, dx_{n}} son incrementos infinitesimals nas direccións das coordenadas, entón d f a
∑ i
1 n ∂ f ∂ x i ( a ) ⋅ d x i. {\displaystyle df_{a}
\sum _{i
1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}. } Supoña agora que f {\displaystyle f} é unha función vectorial, é dicir, f: R n → R m {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}. Neste caso, as compoñentes f i {\displaystyle f_{i}} de f {\displaystyle f} son funcións de valor real, polo que teñen formas diferenciais asociadas d f i {\displaystyle df_{i}}. A derivada total d f {\displaystyle df} combina estas formas nun único obxecto e, polo tanto, é un exemplo dunha forma diferencial vectorial. A regra da cadea para derivadas totais
A regra da cadea ten unha formulación particularmente elegante en termos de derivadas totais. Di que, para dúas funcións f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g}, a derivada total da composición de funcións f ∘ g {\displaystyle f\circ g} en a {\displaystyle a} satisfai d ( f ∘ g ) a
d f g ( a ) ⋅ d g a. {\displaystyle d(f\circ g)_{a}
df_{g(a)}\cdot dg_{a}. } Se as derivadas totais de f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} se identifican coas súas matrices xacobianas, entón a composición do lado dereito é simplemente a multiplicación de matrices. Isto é enormemente útil en aplicacións, xa que permite ter en conta dependencias esencialmente arbitrarias entre os argumentos dunha función composta.
Exemplo: Diferenciación con dependencias directas
Supoña que f é unha función de dúas variábeis, x e y. Se estas dúas variábeis son independentes, de xeito que o dominio de f é R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, entón o comportamento de f pódese entender en termos das súas derivadas parciais nas direccións x e y. No entanto, nalgúns casos, x e y poden ser dependentes. Por exemplo, pode ocorrer que f estea restrinxida a unha curva y
y ( x ) {\displaystyle y
y(x)}. Neste caso, estamos realmente interesados no comportamento da función composta f ( x, y ( x ) ) {\displaystyle f(x, y(x))}. A derivada parcial de f en relación a x non dá a verdadeira taxa de cambio de f en relación ao cambio de x, porque mudar x necesariamente muda y. Porén, a regra da cadea para a derivada total ten en conta estas dependencias. Se temos γ ( x )
( x, y ( x ) ) {\displaystyle \gamma (x)
(x, y(x))}. Entón, a regra da cadea di d ( f ∘ γ ) x 0
d f ( x 0, y ( x 0 ) ) ⋅ d γ x 0. {\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}
df_{(x_{0}, y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}. } Expresando a derivada total usando matrices xacobianas, isto convértese en: d f ( x, y ( x ) ) d x ( x 0 )
∂ f ∂ x ( x 0, y ( x 0 ) ) ⋅ d x d x ( x 0 ) + ∂ f ∂ y ( x 0, y ( x 0 ) ) ⋅ d y d x ( x 0 ). {\displaystyle {\frac {df(x, y(x))}{dx}}(x_{0})
{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}, y(x_{0}))\cdot {\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0}, y(x_{0}))\cdot {\frac {dy}{dx}}(x_{0}). } Suprimindo a avaliación en x 0 {\displaystyle x_{0}} para maior claridade, tamén podemos escribir isto como d f ( x, y ( x ) ) d x
∂ f ∂ x d x d x + ∂ f ∂ y d y d x. {\displaystyle {\frac {df(x, y(x))}{dx}}
{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}. } Isto dá unha fórmula directa para a derivada de f ( x, y ( x ) ) {\displaystyle f(x, y(x))} en termos das derivadas parciais de f {\displaystyle f} e da derivada de y ( x ) {\displaystyle y(x)}.
Por exemplo, supoña f ( x, y )
x y. {\displaystyle f(x, y)
xy. } A taxa de cambio de f en relación a x é normalmente a derivada parcial de f en relación a x; neste caso, ∂ f ∂ x
y. {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}
y. } No entanto, se y depende de x, a derivada parcial non dá a verdadeira taxa de cambio de f a medida que x cambia, porque a derivada parcial asume que y é fixo. Supoña que estamos restrinxidos á liña y
x. {\displaystyle y
x. } Entón f ( x, y )
f ( x, x )
x 2, {\displaystyle f(x, y)
f(x, x)
x^{2}, } e a derivada total de f respecto a x {\displaystyle x} é d f d x
2 x, {\displaystyle {\frac {df}{dx}}
2x, } que vemos que non é igual á derivada parcial ∂ f / ∂ x {\displaystyle \partial f/\partial x} que era y {\displaystyle y}. En vez de substituír inmediatamente y {\displaystyle y} en termos de x {\displaystyle x}, tamén podemos usar a regra da cadea como antes: d f d x
∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y d y d x
y + x ⋅ 1
x + y
2 x. {\displaystyle {\frac {df}{dx}}
{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}
y+x\cdot 1
x+y
2x. }
Exemplo: Diferenciación con dependencias indirectas
Aínda que a miúdo se poden realizar substitucións para eliminar dependencias indirectas, a regra da cadea proporciona unha técnica máis eficiente e xeral. Supoña que L ( t, x 1, …, x n ) {\displaystyle L(t, x_{1}, \dots, x_{n})} é unha función do tempo t {\displaystyle t} e n {\displaystyle n} variábeis x i {\displaystyle x_{i}} que dependen do tempo. Entón, a derivada temporal de L {\displaystyle L} é d L d t
d d t L ( t, x 1 ( t ), …, x n ( t ) ). {\displaystyle {\frac {dL}{dt}}
{\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t, x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t){\bigr )}. } A regra da cadea expresa esta derivada en termos das derivadas parciais de L {\displaystyle L} e as derivadas temporais das funcións x i {\displaystyle x_{i}}: d L d t
∂ L ∂ t + ∑ i
1 n ∂ L ∂ x i d x i d t
( ∂ ∂ t + ∑ i
1 n d x i d t ∂ ∂ x i ) ( L ). {\displaystyle {\frac {dL}{dt}}
{\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i
1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}
{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i
1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L). } Esta expresión úsase a miúdo en física para unha transformación de escala do lagrangiano, xa que dous lagrangianos que difiren só pola derivada temporal total dunha función do tempo e as n {\displaystyle n} coordenadas xeneralizadas levan ás mesmas ecuacións de movemento. Un exemplo interesante refírese á resolución da causalidade na teoría simétrica no tempo de Wheeler-Feynman. O operador entre parénteses (na expresión final anterior) tamén se chama operador de derivada total (en relación a t {\displaystyle t} ).
Por exemplo, a derivada total de f ( x ( t ), y ( t ) ) {\displaystyle f(x(t), y(t))} é d f d t
∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t. {\displaystyle {\frac {df}{dt}}
{\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}. } Aquí non hai un termo ∂ f / ∂ t {\displaystyle \partial f/\partial t} xa que f {\displaystyle f} non depende directamente de t. {\displaystyle t. }