Número irracional

Os números irracionais son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante fraccións usando as operacións internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma a/b sendo a e b enteiros.
Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo, e isto os diferenza dos números racionais. Os máis célebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son: π (pi): relación entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro.
e ((secuencia A001113 na OEIS)
2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995. .. ): e
lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x {\displaystyle e
\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}} Φ {\displaystyle \Phi } (Número áureo):
1 + 52. {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}. } Algúns logaritmos: log 2 ⁡ 3 {\displaystyle \log _{2}{3}} Demostración
Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Para comprobalo podemos partir inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional. 2
m n {\displaystyle {\sqrt {2}}
{\frac {m}{n}}} Iso significaría que m e n non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos 2
m 2 n 2 {\displaystyle 2
{\frac {m^{2}}{n^{2}}}} Aquí podemos deducir que m é un número par, porque dado que n 2 × 2
m 2 {\displaystyle n^{2}\times 2
m^{2}}, m sempre será par ao proceder dun produto de 2.
Polo tanto, se m é par podemos expresalo como m
2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que m 2
4 k 2 {\displaystyle m^{2}
4k^{2}} Ou o que é o mesmo 2 n 2
4 k 2 → n 2
2 k 2 {\displaystyle 2n^{2}
4k^{2}\rightarrow n^{2} 2k^{2}} Co que chegamos á conclusión de que n tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que m e n tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} non pode ser racional. Tipos
Un número irracional pode ser alxébrico, é dicir, unha raíz real dun polinomio con coeficientes enteiros. Os que non son alxébricos son transcendentais.
Alxébrico
Os números alxébricos reais son as solucións reais de ecuacións polinómicas p ( x )
a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0
0, {\displaystyle p(x)
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}
0\; ,} onde os coeficientes a i {\displaystyle a_{i}} son números enteiros e a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0}. Un exemplo de número alxébrico irracional é x 0
( 21 / 2 + 1 ) 1 / 3 {\displaystyle x_{0}
(2^{1/2}+1)^{1/3}}. É claramente alxébrico xa que é a raíz dun polinomio enteiro, ( x 3 − 1 ) 2
2 {\displaystyle (x^{3}-1)^{2}
2}, que é equivalente a x 6 − 2 x 3 − 1
0 {\displaystyle x^{6}-2x^{3}-1
0}. Este polinomio non ten raíces racionais, xa que o teorema das raíces racionais mostra que as únicas posibilidades son ±1, pero x0 é maior que 1. Así que x0 é un número alxébrico irracional.
Transcendental
Os números transcendentais non poden ser solución de ningunha ecuación alxébrica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación x 2 − x − 1
0 {\displaystyle x^{2}-x-1
0}, polo que non é un número transcendente. Pola contra, pi e e si son transcendentes.
Case todos os números irracionais son transcendentais. Exemplos son e r {\displaystyle e^{r}} e mais π r {\displaystyle \pi ^{r}} que son transcendentais para todos os r racionais distintos de cero.
Como os números alxébricos forman un subcorpo dos números reais, pódense construír moitos números reais irracionais combinando números transcendentais e alxébricos. Por exemplo, 3 π + 2, π + 2, e 3 {\displaystyle 3\pi +2, \pi +{\sqrt {2}}, e{\sqrt {3}}}, son irracionais (e mesmo transcendentais).
Os números irracionais non son numerables ou contables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números irracionais. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que inclúen o conxunto dos irracionais. Preguntas abertas
Varias combinacións de e, π e funcións elementais (como e + π, eπ, ee, πe, ππ, ln π) non se sabe se son irracionais, en parte porque non se sabe que e e π sexan alxebricamente independentes. A conxectura de Schanuel implicaría que todos os números anteriores son irracionais e mesmo transcendentes.
A pregunta sobre a irracionalidade da constante de Euler-Mascheroni γ é un problema aberto de longa data na teoría dos números.
Outros números importantes que non se sabe que son irracionais son as constantes zeta impares ζ(5), ζ( 7), ζ(9), .. . para n > 3 e a constante de Catalan β(2).