Cadrado perfecto

Un número cadrado perfecto en matemáticas, ou un número cadrado, é un número enteiro que é o cadrado doutro; ou dito doutro xeito, é un número que ten como raíz cadrada un número natural.
Un número é un cadrado perfecto se se pode dispor nunha figura cadrada. Por exemplo, 9 é un número cadrado perfecto xa que pode ser escrito como 3 × 3, e pódese dispor do seguinte xeito: Un número enteiro positivo que non ten divisores cadrados fóra do 1 denomínase número libre de cadrados. En álxebra, o cadrado dun número n exprésase como n², e equivale a n × n. A operación alxébrica de elevar ao cadrado un número n proporciónanos a área dun cadrado xeométrico cun lado que mide n. Por tal razón, esta operación coñécese como elevar ao cadrado.
Un número natural n elevado ao cadrado pódese linearizar por medio da seguinte expresión: n 2
∑ i
1 n ( 2 i − 1 ) {\displaystyle n^{2}
\sum _{i
1}^{n}{(2i-1)}} Así, por exemplo: 32
∑ i
13 ( 2 i − 1 )
1 + 3 + 5
9 {\displaystyle 3^{2}
\sum _{i
1}^{3}{(2i-1)}
1+3+5
9} Que dá o mesmo resultado que a multiplicación: 32
3 × 3
9 {\displaystyle 3^{2}
3\times 3
9} Propiedades
A fórmula xeral para o n-ésimo número cadrado é n2. Esta expresión é igual á suma dos n primeiros números impares, demostrable por indución matemática, rexistrada na seguinte fórmula: n 2
∑ k
1 n ( 2 k − 1 ) {\displaystyle n^{2}
\sum _{k
1}^{n}\; (2k-1)} e. g. 52
∑ k
15 ( 2 k − 1 )
1 + 3 + 5 + 7 + 9
25 {\displaystyle e. g. \ 5^{2}
\sum _{k
1}^{5}\; (2k-1)
1+3+5+7+9
25} Un cadrado par pódese expresar como a suma de dous impares consecutivos. Se cumpre a condición cabe pois P
4 n 2 {\displaystyle P
4n^{2}} e exponse a seguinte ecuación: P
( 2 n 2 + 1 ) + ( 2 n 2 − 1 ) {\displaystyle P
(2n^{2}+1)+(2n^{2}-1)} Un número primo da forma 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} pódese expresar como a suma de dous cadrados: 4 k + 1
m 2 + n 2 {\displaystyle 4k+1
m^{2}+n^{2}} e. g. k
4 → 17
16 + 1
42 + 12; k
9 → 37
62 + 12
36 + 1 {\displaystyle e. g. \ k
4\rightarrow 17
16+1
4^{2}+1^{2}; \quad k
9\rightarrow 37
6^{2}+1^{2}
36+1} Os babilonios usaban táboas de cadrados para a multiplicación aplicando a fórmula: a b
14 [ ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 ] {\displaystyle ab
{\frac {1}{4}}[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}]} e. g. 5 × 2
14 [ ( 5 + 2 ) 2 − ( 5 − 2 ) 2 ]
49 − 94
404
10 {\displaystyle e. g. \ 5\times 2
{\frac {1}{4}}[(5+2)^{2}-(5-2)^{2}]
{\frac {49-9}{4}}
{\frac {40}{4}}
10} O teorema dos catro cadrados de Lagrange establece que calquera número enteiro positivo pode ser escrito como a suma de catro cadrados perfectos. Tres cadrados non son suficientes para ser representados como números da forma 4k(8m + 7). Un número positivo pode ser representado como unha suma de dous cadrados precisamente se a factorización en números primos non contén potencias impares da forma 4k + 3. Esta é unha xeneralización do problema de Waring.
Segundo o último díxito do número n do que se quere calcular o seu cadrado pódese comprobar que este cadrado terá as propiedades seguintes: Se o último díxito é 0, o seu cadrado acaba en 00 e os díxitos precedentes forman un cadrado.
Se o último díxito é 1 ou 9, o seu cadrado termina en 1 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
Se o último díxito é 2 ou 8, o seu cadrado termina en 4 e os díxitos precedentes forman un número par.
Se o último díxito é 3 ou 7, o seu cadrado termina en 9 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
Se o último díxito é 4 ou 6, o seu cadrado termina en 6 e os díxitos precedentes forman un número impar.
Se o último díxito é 5, o seu cadrado termina en 25 e os díxitos precedentes forman un número par.
Polo tanto, ningún cadrado perfecto enteiro acaba en 2, 3, 7 nin 8. Exemplos
A cantidade de factores (divisores) dun número cadrado perfecto é sempre impar. Ou dito doutro xeito, cúmprese que para todo número natural que non é cadrado perfecto, a cantidade dos seus factores é un número par. Todo número natural pódese descompor en factores primos e os seus correspondentes expoñentes: N
p 1 a. p 2 b. p 3 c. .. {\displaystyle N
p_{1}^{a}. p_{2}^{b}. p_{3}^{c}. .. }, onde N é un número natural, p 1, p 2, .. . {\displaystyle p_{1}, p_{2}, .. .} son números primos e a, b, c, .. . os seus correspondentes expoñentes. Dado que todos os posibles divisores de N son unha combinación deste produto desde a
0, 1, 2, .. a, b
0, 1, 2, .. .b e c
0, 1, 2, .. .c, a cantidade de divisores de N é: n
(a+1). (b+1). (c+1). .. onde n é a cantidade de factores ou divisores de calquera número natural. Posto que nun número cadrado perfecto os expoñentes a, b, c, .. . son números pares, todos os factores de n serán impares e polo tanto o produto tamén é un número impar. Isto pode comprobarse revisando unha táboa de divisores. Os primeiros 50 cadrados perfectos son:
020 ((sucesión )) (REVISAR ISTO) Cadrados seguintes e anteriores a outro
Pode calcularse un cadrado a partir do anterior ou do anterior cadrado par/impar respecto doutro coñecido. A distancia entre un cadrado e o seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado do seguinte e restarlle 1: Se para 42
16, para 52
42 + (2 * 5) - 1
16 + 10 - 1
25.
Exemplos: Outra maneira de calcular a distancia é tendo en conta a seguinte propiedade:
A diferenza entre un número cadrado e o consecutivo (se se comeza co 0) son todos os números impares, en orde ascendente:
0 + 11
1 + 34
4 + 59
9 + 7
16 A distancia entre un cadrado e o seguinte do seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 4 veces o lado desexado -1: Se para 42
16, para 62
42 + (4 * (6-1))
16 + 2036
Exemplos: Estes casos resultan de interese con números moi grandes, para achar en bucles o seguinte cadrado ou o seguinte cadrado de lado par/impar, especialmente en computación onde as sumas son moito menos custosas que as multiplicacións e as multiplicacións por potencias de 2 poden ser realizadas con instrucións de desprazamento de bits. Á súa vez as multiplicacións ('2 * x' ou por '4 * x' segundo o caso), dentro dun bucle pode manterse como unha suma se se garda o valor previo de suma. Nótese como en ambos os casos á dereita do todo, o seguinte cadrado, para ambos os casos resólvense con sumas.
A operación á inversa é facilmente deducible, é dicir, achar o cadrado anterior a outro dado. A distancia entre un cadrado e o anterior, resulta de restar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado actual e sumarlle 1: Se para 62
36, para 52
62 - (2 * 6) + 1
36 - 12 + 1
25
A distancia entre un cadrado e o anterior do anterior, resulta de restar ao cadrado 4 veces o lado actual -1: Se para 62
36, para 42
62 - (4 * (6-1))
36 - 20
16 Cadrados como sumas
O n-ésimo número cadrado pode ser calculado do resultado obtido nas dúas anteriores posicións e ao que se lle engade o (n − 1)-ésimo cadrado de si mesmo, subtraendo o (n − 2)-enésimo cadrado, e engadindo 2 ( n 2
2 ( n − 1 ) 2 − ( n − 2 ) 2 + 2 {\displaystyle n^{2}
2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2} ). Por exemplo,
2×52 − 42 + 2
2×25 − 16 + 2
50 − 16 + 2
36
62.
É a miúdo útil notar que o cadrado de calquera número pode ser representado como a suma 1 + 1 + 2 + 2 +. .. + n − 1 + n − 1 + n. Por exemplo, o cadrado de 4 ou 42 é igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4
16. Este é o resultado de engadir unha columna de grosor un ao grafo cadrado de lado tres (como nun taboleiro de tres en raia). Pódese engadir tamén tres lados e catro á parte superior para obter un cadrado. Isto pode ser tamén útil para atopar o cadrado dun número grande de forma inmediata. Por exemplo, o cadrado de 52
502 + 50 + 51 + 51 + 52
2500 + 204
2704. É máis fácil así: 1572
1502 + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151
301. É o primeiro sumando e os demais son máis fáciles de atopar, 303, 305, 307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 31324649
Un número cadrado pode ser considerado tamén como a suma de dous números triangulares consecutivos. A suma de dous números cadrados consecutivos é un número cadrado centrado. Cada cadrado impar é ademais un número octogonal centrado. Números cadrados pares e impares
O cadrado dun número par sempre é par (de feito é divisible por 4), xa que (2n)24n2.
O cadrado dun número impar é sempre impar, xa que (2n + 1)24(n2 + n) + 1.
Disto séguese que a raíz cadrada dun cadrado perfecto par sempre é par, e a raíz cadrada dun cadrado perfecto impar sempre é impar. Este feito emprégase moito nas demostracións (véxase raíz cadrada de 2). Suma dos primeiros n cadrados
Para o primeiros cinco cadrados perfectos ∑ k
15 k 2
1 + 4 + 9 + 16 + 25
5 ( 5 + 1 ) ( 2 × 5 + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{k
1}^{5}\; k^{2}
1+4+9+16+25
{\frac {5(5+1)(2\times 5+1)}{6}}} Xeneralizando para os primeiros n cadrados perfectos resulta a suma S 2
n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle S_{2}
{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} Construción de cadrados perfectos
O produto de dous pares consecutivos sumánolle 1 é un cadrado perfecto ( 2 n ) ( 2 n + 2 ) + 1
4 n 2 + 4 n + 1
( 2 n + 1 ) 2 {\displaystyle (2n)(2n+2)+1
4n^{2}+4n+1
(2n+1)^{2}} Exemplo: 52·54 + 12809, cadrado de 53.
O produto de dous impares consecutivos máis 1 é un cadrado perfecto. ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) + 1
4 n 2 − 1 + 1
4 n 2 {\displaystyle (2n-1)(2n+1)+1
4n^{2}-1+1
4n^{2}} Por exemplo, 95·97 + 19216. Nos dous casos achamos o cadrado da media aritmética dos factores.
O produto de catro enteiros consecutivos aumentado en 1 é un cadrado perfecto. ( n − 1 ) ( n ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) + 1
( n 2 + n − 1 ) 2 {\displaystyle (n-1)(n)(n+1)(n+2)+1
(n^{2}+n-1)^{2}} Por exemplo 13·14·15·16 + 1
43681, cadrado de 209. O produto dun múltiplo dun número polo múltiplo transconsecutivo do mesmo máis o cadrado do xerador é cadrado perfecto. k n [ ( k + 2 ) n ] + n 2
n 2 ( k + 1 ) 2 {\displaystyle kn[(k+2)n]+n^{2}
n^{2}(k+1)^{2}} Por exemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Logo 21·35 + 49
784, cadrado de 28.