Fórmulas de Viète

En matemáticas, as fórmulas de Viète (frecuentemente escrito Vieta) relacionan os coeficientes dun polinomio coas sumas e produtos das súas raíces. Levan o nome de François Viète. Fórmulas básicas
Calquera polinomio xeral de grao n: P ( x )
a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} (sendo os coeficientes números reais ou complexos e an ≠ 0) ten n raíces complexas (non necesariamente distintas) r1, r2, .. ., rn polo teorema fundamental da álxebra. As fórmulas de Viète relacionan os coeficientes polinómicos con sumas con signo de produtos das raíces r1, r2, .. ., rn do seguinte xeito: As fórmulas de Viète pódense escribir equivalentemente como ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n ( ∏ j
1 k r i j )
( − 1 ) k a n − k a n {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j
1}^{k}r_{i_{j}}\right)
(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}} para k 1, 2, .. ., n
(os índices ik ordénanse en orde crecente para garantir que cada produto de k raíces se use exactamente unha vez).
Os lados esquerdos das fórmulas de Viète son os polinomios simétricos elementais das raíces.
O sistema de Viète (*) pódese resolver polo método de Newton mediante unha fórmula explícita iterativa sinxela, o método Durand-Kerner. Xeneralización a aneis
As fórmulas de Viète úsanse con frecuencia con polinomios con coeficientes en calquera dominio integridade R. Daquela, os cocientes a i / a n {\displaystyle a_{i}/a_{n}} pertencen ao corpo de fraccións de R (e posibelmente estean no propio R se a n {\displaystyle a_{n}} é invertíbel en R) e as raíces r i {\displaystyle r_{i}} tómanse nunha extensión alxebricamente pechada. Normalmente, R é o anel dos enteiros, o corpo das fraccións é o corpo dos números racionais e o corpo alxebricamente pechado é o dos números complexos.
As fórmulas de Viète son entón útiles porque proporcionan relacións entre as raíces sen ter que calculalas.
Para polinomios sobre un anel conmutativo que non é un dominio de integridade, as fórmulas de Viète só son válidas cando a n {\displaystyle a_{n}} non é un divisor de cero e P ( x ) {\displaystyle P(x)} factores como a n ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) … ( x − r n ) {\displaystyle a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})}.
Por exemplo, no anel dos enteiros módulo 8, o polinomio cadrático P ( x )
x 2 − 1 {\displaystyle P(x)
x^{2}-1} ten catro raíces: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète non son certas se, por exemplo, r 1
1 {\displaystyle r_{1}
1} e r 2
3 {\displaystyle r_{2}
3}, porque P ( x ) ≠ ( x − 1 ) ( x − 3 ) {\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}. No entanto, P ( x ) {\displaystyle P(x)} factoriza tamén como ( x − 1 ) ( x − 7 ) {\displaystyle (x-1)(x-7)} e tamén como ( x − 3 ) ( x − 5 ) {\displaystyle (x-3)(x-5)}, e as fórmulas de Vieta cúmprense se estabelecemos calquera das dúas r 1
1 {\displaystyle r_{1}
1} e r 2
7 {\displaystyle r_{2}
7} ou r 1
3 {\displaystyle r_{1}
3} e r 2
5 {\displaystyle r_{2}
5}. Exemplo
As fórmulas de Viète aplicadas a polinomios cadráticos e cúbicos:
As raíces r 1, r 2 {\displaystyle r_{1}, r_{2}} do polinomio cadrático P ( x )
a x 2 + b x + c {\displaystyle P(x)
ax^{2}+bx+c} satisfán r 1 + r 2
− b a, r 1 r 2
c a. {\displaystyle r_{1}+r_{2}
-{\frac {b}{a}}, \quad r_{1}r_{2}
{\frac {c}{a}}. } A primeira destas ecuacións pódese usar para atopar o mínimo (ou máximo) de P.
As raíces r 1, r 2, r 3 {\displaystyle r_{1}, r_{2}, r_{3}} do polinomio cúbico P ( x )
a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle P(x)
ax^{3}+bx^{2}+cx+d} satisfán r 1 + r 2 + r 3
− b a, r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3
c a, r 1 r 2 r 3
− d a. {\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}
-{\frac {b}{a}}, \quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}
{\frac {c}{a}}, \quad r_{1}r_{2}r_{3}
-{\frac {d}{a}}. }