Trigonometría

A trigonometría estuda as relacións entre os lados e os ángulos dun triángulo e, por extensión, as propiedades dos puntos (baricentro, circuncentro, incentro e ortocentro) e rectas (mediana, altura, mediatriz e bisectriz) notábeis dun triángulo.
A palabra deriva do grego trigonon (tri', tres e gonia ángulos), triángulo, e metron, medida; é dicir, etimoloxicamente trigonometría é a medida de tres ángulos ou medida de triángulos. Funcións directas principais
En concreto, a trigonometría establece varias funcións trigonométricas para un ángulo, definibles graficamente segundo unha circunferencia de raio unidade de tal xeito que o devandito ángulo ten o seu vértice no centro do círculo (na figura, o ángulo abrangue a zona gris): a función chamada seno dun ángulo (abreviada sen ou sin en LaTeX) relaciona o valor do cateto oposto ó ángulo co da hipotenusa. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se a hipotenusa ten valor 1 (o do raio), o seno será o segmento vermello, é dicir, o seno terá o valor do cateto oposto cando a hipotenusa vale a unidade; sin ⁡ α
cateto oposto hipotenusa {\displaystyle \sin \alpha
{\frac {{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {oposto}}}{\textrm {hipotenusa}}}} a función chamada coseno dun ángulo (abreviada cos, inda que en portugués se escriba con dobre s) relaciona o valor do cateto contiguo (ou adxacente) co da hipotenusa. Na figura, para unha hipotenusa unitaria (o raio), o coseno será o segmento verde, é dicir, o coseno terá o valor do cateto contiguo cando a hipotenusa vale a unidade; cos ⁡ α
cateto adxacente hipotenusa {\displaystyle \cos \alpha
{\frac {{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {adxacente}}}{\textrm {hipotenusa}}}} a función chamada tanxente (abreviada tan, inda que exista unha tendencia a notala como tg, seguindo e segundo a súa grafía en latín, castelán e inglés) relaciona as dúas anteriores: é dicir, é a relación entre o seno e o coseno. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a tanxente terá o valor do cateto oposto cando o cateto contiguo vale a unidade: tan ⁡ α
sin ⁡ α cos ⁡ α
cateto oposto hipotenusa cateto adxacente hipotenusa
cateto oposto cateto adxacente {\displaystyle \tan \alpha
{\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}
{\frac {\frac {{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {oposto}}}{\textrm {hipotenusa}}}{\frac {{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {adxacente}}}{\textrm {hipotenusa}}}}
{\frac {{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {oposto}}}{{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {adxacente}}}}} O nome destas funcións procede de que estes segmentos marcados están no interior (no seo, para seno e coseno) ou na tanxente á circunferencia de raio unidade. Funcións directas secundarias (recíprocas ou inversas multiplicativas)
Existen outras tres funcións trigonométricas que teñen o valor inversamente proporcional ás tres anteriores. Os seus nomes son secante, cosecante e cotanxente. Os seus nomes tamén proceden da posición do segmento en relación á circunferencia unidade. Estas inversas son (na figura, o ángulo abrangue tamén a mesma zona gris): a función chamada secante dun ángulo (abreviada sec) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto continuo ó angulo. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se o cateto contiguo ten valor 1 (o do raio), a secante será o segmento en trazos verdes, é dicir, a secante terá o valor da hipotenusa cando o cateto contiguo vale a unidade; sec ⁡ α
hipotenusa cateto adxacente
1 cos ⁡ α {\displaystyle \sec {\alpha }
{\frac {\textrm {hipotenusa}}{{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {adxacente}}}}
{1 \over \cos {\alpha }}} a función chamada cosecante dun ángulo (abreviada cosec ou csc nas fórmulas LaTeX) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto oposto. Na figura, para un cateto unitario de valor igual ó raio, a cosecante será o segmento en trazos vermellos, é dicir, a cosecante terá o valor da hipotenusa cando o cateto oposto vale a unidade; csc ⁡ α
hipotenusa cateto oposto
1 sin ⁡ α {\displaystyle \csc {\alpha }
{\frac {\textrm {hipotenusa}}{{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {oposto}}}}
{1 \over \sin {\alpha }}} a función chamada cotanxente (abreviada cotan, inda que tamén se pode ver como cotg en outros idiomas, e cot nas fórmulas LaTeX) relaciona as dúas anteriores e é inversa da tanxente: é dicir, é a relación entre o coseno e o seno ou entre a secante e a cosecante. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a cotanxente terá o valor do cateto contiguo cando o cateto oposto vale a unidade: cot ⁡ α
cos ⁡ α sin ⁡ α
cateto adxacente hipotenusa cateto oposto hipotenusa
sec ⁡ α csc ⁡ α
cateto adxacente cateto oposto {\displaystyle \cot \alpha
{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}
{\frac {\frac {{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {adxacente}}}{\textrm {hipotenusa}}}{\frac {{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {oposto}}}{\textrm {hipotenusa}}}}
{\frac {\sec \alpha }{\csc \alpha }}
{\frac {{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {adxacente}}}{{\textrm {cateto}}\, \, {\textrm {oposto}}}}} Funcións inversas para a composición de funcións (funcións arco)
O concepto de inversión nestas funcións opostas non consiste no valor matematicamente inversamente proporcional segundo a matemática (inverso multiplicativo), senón no concepto contrario ou función inversa. O seu argumento son números reais e o seu resultado son os ángulos ou arcos (en radiáns). Debido a isto as funcións teñen por nome a denominación da función directa antecedido do prefixo arco-. Así, existen seis funcións inversas: arcoseno ( arcsin {\displaystyle \arcsin } ), arcocoseno ( arccos {\displaystyle \arccos } ), arcotanxente ( arctan {\displaystyle \arctan } ), arcosecante ( arcsec {\displaystyle \operatorname {arcsec} } ), arcocosecante ( arccsc {\displaystyle \operatorname {arccsc} } ) e arcocotanxente ( arccot {\displaystyle \operatorname {arccot} } ). Así, cando nunha fómula matemática lemos sin − 1 ⁡ x {\displaystyle \sin ^{-1}{x}}, débese interpretar como arcsin ⁡ x {\displaystyle \arcsin {x}}. Para o inverso multiplicativo 1 sin ⁡ x {\displaystyle \scriptstyle {\dfrac {1}{\sin {x}}}} usaríase ( sin ⁡ x ) − 1 {\displaystyle (\sin {x})^{-1}}. Teorema fundamental dos triángulos
Enúnciase como: a suma dos ángulos dun triángulo suma 180º, medida que equivale a π radiáns. Para outros polígonos regulares se pode calcular (e tamén o ángulo interior de cada un dos seus vértices) mediante o seguinte construto baseado neste teorema (as cores son referidas ás da figura): Se un polígono ten n lados e se busca o centro de simetría radial, se pode unir os n vértices mediante n segmentos (en azul);
Isto produce n triángulos interiores que terán n 180 ∘ {\displaystyle n\, 180^{\circ }} Tendo en conta que a suma dos ángulos que rodean ó centro de simetría é 360º (en vermello), o resto dos ángulos miden en conxunto: n 180 ∘ − 360 ∘
( n − 2 ) 180 ∘ {\displaystyle n\, 180^{\circ }-360^{\circ }
(n-2)\, 180^{\circ }} Como o polígono ten n vértices, a cada un corresponderalle: ( n − 2 ) 180 ∘ n
n − 2 n 180 ∘
( 1 − 2 n ) 180 ∘ {\displaystyle {\frac {(n-2)\, 180^{\circ }}{n}}
{\frac {n-2}{n}}180^{\circ }
\left(1-{\frac {2}{n}}\right)180^{\circ }} (en verde) Este valor a medida que se vai aumentando (o seu límite cando n tende a infinito) equivale a 180º, que é o valor da tanxente da circunferencia (o polígono de infinitos lados). Teorema fundamental da trigonometría
Este teorema baséase no teorema de Pitágoras e relaciona o seno dun ángulo co seu coseno. A súa demostración é moi doada partindo do dito por Pitágoras e dividíndoo entre o cadrado da hipotenusa ( c a t e t o O {\displaystyle cateto_{O}\, } é o cateto oposto e c a t e t o C {\displaystyle cateto_{C}\, } é o cateto contiguo): cateto O 2 + cateto C 2
hipotenusa 2 ⇒ cateto O 2 hipotenusa 2 + cateto C 2 hipotenusa 2
hipotenusa 2 hipotenusa 2 ⇒ ( cateto O hipotenusa ) 2 + ( cateto C hipotenusa ) 2
1 ⇒ cos 2 ⁡ α + sin 2 ⁡ α
1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{cateto}}_{O}^{2}+{\mbox{cateto}}_{C}^{2}&
&{\mbox{hipotenusa}}^{2}&\Rightarrow \\{\frac {{\mbox{cateto}}_{O}^{2}}{{\mbox{hipotenusa}}^{2}}}+{\frac {{\mbox{cateto}}_{C}^{2}}{{\mbox{hipotenusa}}^{2}}}&
&{\frac {{\mbox{hipotenusa}}^{2}}{{\mbox{hipotenusa}}^{2}}}&\Rightarrow \\\left({\frac {{\mbox{cateto}}_{O}}{\mbox{hipotenusa}}}\right)^{2}+\left({\frac {{\mbox{cateto}}_{C}}{\mbox{hipotenusa}}}\right)^{2}&
&1&\Rightarrow \\\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha &
&1\end{matrix}}} Relacións trigonométricas
Existe unha relación entre as funcións trigonométricas de varios ángulos (restados ou sumados) e as funcións de cada un dos sumandos ou restandos individualmente. Disto dedúcese a relación entre as funcións dun ángulo e o do seu dobre (facendo a suma de si mesmo). Tamén hai unha equivalencia entre a función dun ángulo e o da súa metade. Para coñecer o valor da derivada das funcións trigonométricas (directas, inversas e opostas) v. derivada.