Número natural

Un número natural é un número enteiro non negativo (0, 1, 2, .. .). Ás veces exclúese o 0.
Os números naturais son os primeiros que descubriu o home, xa que se corresponden coa necesidade de contar basicamente os obxectos. Neste contexto, un número natural é definido como un número enteiro positivo, i. e. , sen incluír o cero. Entre outros contextos nos que se exclúen o 0 está o da ordenación ("esta é a 2ª maior cidade do país"). Propiedades dos números naturais como, por exemplo, a divisibilidade e a distribución dos números primos, son estudadas na Teoría dos números. As propiedades relativas a contaxes e combinacións son estudadas na combinatoria.
Dentro desta visión dos números naturais, o 0 non pode estar neste conxunto (xa que foi un concepto relativamente recente, comparado co descubrimento dos anteriores números). Notación
Os matemáticos usan N {\displaystyle \mathbb {N} } para se referir ao conxunto de todos os números naturais. Este conxunto é infinito e contábel por definición. Para ser explícito, cando o cero non se inclúe no conxunto, úsase unha notación específica: N* ou N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} Z* ou Z ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}} Historia
Antes de que xurdisen os números para a representación de cantidades, o home usou outros métodos para contar, utilizando para iso obxectos como pedras, pauiños de madeira, nós de cordas, ou simplemente os dedos (ver sistema de numeración unario). Máis adiante comezaron a aparecer os símbolos gráficos como sinais para contar, por exemplo marcas nunha vara ou simplemente trazos específicos sobre a area (Véxase óso de Ishango).
Pero foi en Mesopotamia ao redor do ano 4. 000 a. C. onde aparecen os primeiros vestixios dos números que consistiron en gravados de sinais en formas de cuñas sobre pequenos taboleiros de arxila empregando para iso un pauiño aguzado. De aquí o nome de escritura cuneiforme.
Este sistema de numeración foi adoptado máis tarde, aínda que con símbolos gráficos diferentes, na Grecia Antiga e na Antiga Roma. Na Grecia antiga empregábanse simplemente as letras do seu alfabeto, mentres que na antiga Roma ademais das letras, utilizáronse algúns símbolos.
Quen colocou ao conxunto dos números naturais sobre o que comezaba a ser unha base sólida, foi Richard Dedekind no século XIX. Este derivounos dunha serie de postulados (o que implicaba que a existencia do conxunto de números naturais dábase por certa), que despois precisou Peano dentro dunha lóxica de segunda orde, resultando así o famosos cinco postulados que levan o seu nome. Frege foi superior a ambos, demostrando a existencia do sistema de números naturais partindo de principios máis fortes. Lamentablemente a teoría de Frege perdeu, por así dicilo, a súa credibilidade e houbo que buscar un novo método. Foi Zermelo quen demostrou a existencia do conxunto de números naturais, dentro da súa teoría de conxuntos e principalmente mediante o uso do axioma de infinitude que, cunha modificación deste feita por Adolf Fraenkel, permite construír o conxunto de números naturais como ordinais segundo von Neumann.
Algunhas características dos números naturais son: Todo número maior que 1 (ou maior que 0 en caso de considerar o 0 como natural) vai despois doutro número natural.
Entre dous números naturais sempre hai un número finito de naturais. (Interpretación de conxunto non denso)
Dado un número natural calquera, sempre existe outro natural maior que este. (Interpretación de conxunto infinito).
Entre o número natural a {\displaystyle a} e o seu sucesor a + 1 {\displaystyle a+1} non existe ningún número natural.