Teorema do número primo

En teoría de números o teorema do número primo é un enunciado que describe a distribución asintótica dos números primos. Este teorema achega unha descrición xeral de como están distribuídos os números primos no conxunto dos números naturais. Isto formaliza a idea intuitiva de que os primos son menos comúns canto máis grandes son. É un dos teoremas máis importantes da historia das matemáticas, non só pola súa beleza senón pola súa influencia no desenvolvemento posterior da investigación dos números primos. Expresión do teorema
Sexa π ( x ) {\displaystyle \pi (x)\, } a función de contaxe de números primos, que denota a cantidade de primos que non exceden a x {\displaystyle x\, }. O teorema establece que: Esta expresión non implica que a diferenza das dúas partes da mesma para valores de x {\displaystyle x} moi grandes sexa cero; só implica que o cociente destas para valores de x {\displaystyle x\, } moi grandes é case igual a 1.
Unha mellor aproximación que a anterior vén dada pola integral logarítmica desprazada: Historia
En 1792 ou 1793, estando aínda no Collegium Carolinum, e sempre segundo o propio Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»), este anotou no seu caderno de notas: «Números primos menores que a ( ∞) a/la» que na linguaxe moderna quere dicir que π(a) para valores cada vez maiores se achega ao cociente a/lna) e considérase como "a primeira conxectura do teorema dos números primos". Ademais a función π(x) que indica a cantidade de números primos que non superan x foi definida por Gauss.
O teorema dos números primos tamén foi conxecturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, indicando que π(x) parecía ter a forma a/(A ln(a) + B), onde A e B son constantes non especificadas. Na segunda edición do seu libro de teoría de números (1808) fixo unha conxectura máis precisa, indicando que A
1 e B
−1. 08366. a conxectura foi posteriormente refinada por Gauss coa expresión que se asocia máis frecuentemente ao teorema. Prestaron contribucións significativas sobre esta proposición Legendre, Gauss, Dirichlet, Chebyshev e Riemann.
A demostración formal do teorema fixérona de forma independente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean da Vallée Poussin no ano 1896. Ambas as demostracións baseábanse no resultado de que a función zeta de Riemann ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)\, } non ten ceros da forma 1 + it con t > 0. En realidade a demostración fíxose sobre unha expresión algo máis estrita do que se indica na definición anterior do teorema, sendo a expresión demostrada por Hadamard e Poussin a seguinte: π ( x ) ≈ Li ( x ) {\displaystyle \pi (x)\approx {\mbox{Li}}(x)} onde Li ( x )
∫ 2 x d y ln ⁡ ( y ) {\displaystyle {\mbox{Li}}(x)
\int _{2}^{x}{\frac {dy}{\ln(y)}}}. Dende 1896 a expresión asociada ao teorema dos números primos foi mellorada sucesivamente, sendo a mellor aproximación actual a dada por: π ( x )
L i ( x ) + O ( x exp ⁡ ( − A ( ln ⁡ x ) 3 / 5 ( ln ⁡ ln ⁡ x ) 1 / 5 ) ) {\displaystyle \pi (x)
{\rm {Li}}(x)+O\left(x\, \exp \left(-{\frac {A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}}}\right)\right)} onde O ( f ( x ) ) {\displaystyle O(f(x))\, } defínese como a función asintótica a f ( x ) {\displaystyle f(x)\, } e A {\displaystyle A\, } é unha constante indeterminada.
Para valores de x {\displaystyle x\, } pequenos demostrárase que π ( x ) < Li ( x ) {\displaystyle \pi (x)<{\mbox{Li}}(x)\, }, o que levou a conxecturar a varios matemáticos da época de Gauss que Li ( x ) {\displaystyle {\mbox{Li}}(x)\, } era unha cota superior estrita de π ( x ) {\displaystyle \pi (x)\, } (isto é que a ecuación π ( x ) − Li ( x )
0 {\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)
0\, } non ten solucións reais). Non obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostrou que esa cota é cruzada para valores de x {\displaystyle x\, } suficientemente grandes. O primeiro deles coñécese como primeiro número de Skewes, e sábese que é inferior a 10317 {\displaystyle \scriptstyle 10^{317}\, }, aínda que se pensa que pode ser inferior incluso a 10176 {\displaystyle \scriptstyle 10^{176}\, }. En 1914 Littlewood ampliou a súa demostración coa inclusión de múltiples solucións á ecuación π ( x ) − Li ( x )
0 {\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)
0\, }. Moitos destes valores e descubrimentos están asociados á validez da hipótese de Riemann. Relación coa hipótese de Riemann
Dada a conexión que hai entre a función zeta de Riemann ζ(s) e π(x), a hipótese de Riemann é moi importante na teoría de números, e por suposto, no teorema dos números primos.
Se a hipótese de Riemann se cumpre, entón o termo erro que aparece no teorema dos números primos pode limitarse do mellor xeito posible. Concretamente, Helge von Koch demostrou en 1901 que π ( x )
L i ( x ) + O ( x ln ⁡ x ). {\displaystyle \pi (x)
{\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right). } se e só se a hipótese de Riemann se cumpre.
Unha variante refinada do resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que a hipótese de Riemann é equivalente ao resultado: | π ( x ) − Li ⁡ ( x ) | < 18 π x ln ⁡ ( x ), para todo x ≥ 2657. {\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\, \ln(x), \qquad {\text{para todo }}x\geq 2657. } Aproximacións para o n-ésimo número primo
Como consecuencia do teorema dos números primos, obtense unha expresión asintótica para o n-ésimo número primo, denotado por pn: p n ≈ n ln ⁡ n. {\displaystyle p_{n}\approx n\ln n. } Unha aproximación mellor é: p n
n ln ⁡ n + n ln ⁡ ln ⁡ n + n ln ⁡ n ( ln ⁡ ln ⁡ n − ln ⁡ n − 2 ) + O ( n ( ln ⁡ ln ⁡ n ) 2 ( ln ⁡ n ) 2 ). {\displaystyle p_{n}
n\ln n+n\ln \ln n+{\frac {n}{\ln n}}{\big (}\ln \ln n-\ln n-2{\big )}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right). } Teorema dos números primos para progresións aritméticas
Sexa π n, a ( x ) {\displaystyle \pi _{n, a}(x)} a función que denota o número de primos nunha progresión aritmética a, a + n, a + 2n, a + 3n, … menor que x. Dirichlet e Legendre conxecturaron, e Vallée-Poussin demostrou, que, se a e n son coprimos, entón π n, a ( x ) ∼ 1 φ ( n ) L i ( x ), {\displaystyle \pi _{n, a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (n)}}\mathrm {Li} (x), } onde φ(•) é a función totiente de Euler. Noutras palabras, os números primos distribúense uniformemente entre os residuos de clases [a] módulo n con mcd(a, n) 1. Isto pode demostrarse empregando métodos similares utilizados por Newman na súa demostración do teorema dos números primos.
O teorema de Siegel–Walfisz dá unha boa estimación da distribución dos números primos nos residuos de clases.