Problemas de Hilbert

Os problemas de Hilbert conforman unha listaxe de 23 problemas matemáticos compilados polo matemático alemán David Hilbert para a conferencia en París do Congreso Internacional de Matemáticos de 1900. Os problemas estaban todos por resolver naquel momento, e varios resultarían ser moi influentes na matemática do século XX. Hilbert presentou dez dos problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 e 22) na conferencia, nun acto o 8 de agosto na Sorbona. A listaxe completa publicouse máis adiante. Natureza e influencia dos problemas
Aínda que se produciron intentos de repetir o éxito da listaxe de Hilbert, ningún outro conxunto tan variado de problemas ou conxecturas tivo un efecto comparable no desenvolvemento da materia nin obtivo unha celebridade tal. Por exemplo, as conxecturas de André Weil son famosas pero foron pouco publicitadas. Quizais o seu propio temperamento evitou que intentase poñerse en posición de competir con Hilbert. John von Neumann produciu unha listaxe, pero non obtivo recoñecemento universal.
A primeira vista, este éxito podería atribuírse á eminencia do autor dos problemas. Hilbert estaba na cúspide do seu poder e reputación naquel momento e continuou a dirixir a sobresaliente escola de matemática na Universidade de Göttingen. Un exame máis coidadoso revela que o asunto non é tan simple.
A matemática daquel tempo era aínda discursiva: a tendencia a substituír palabras por símbolos e apelacións á intuición e conceptos mediante axiomática pura seguía subxugada, aínda que se volvería forte durante a seguinte xeración. En 1900, Hilbert non puido acudir á teoría axiomática de conxuntos, á integral de Lebesgue, aos espazos topolóxicos ou á tese de Church, que cambiarían os seus respectivos campos de forma permanente. A análise funcional, fundada en certo modo polo propio Hilbert como noción central dos testemuños do espazo de Hilbert, non se diferenciara aínda do cálculo de variacións; hai na listaxe de problemas de matemática de variacións, pero nada, como podería asumirse inocentemente, sobre teoría espectral (o problema 19 ten unha conexión coa hipoelipticidade).
A listaxe non foi profética nese sentido: non conseguiu plasmar ou anticipar o fulgurante ascenso que experimentarían a topoloxía, a teoría de grupos e a teoría da medida no século XX, así como non previu o xeito en que ía a avanzar a lóxica matemática. Polo tanto, o seu valor documental é o de ensaio: unha visión parcial, persoal. Suxire algúns programas de investigación e algunhas direccións por seguir sen finalidade concreta.
De feito, moitas das preguntas daban unha falsa idea do matemático profesional do século XIX, ou incluso de 1950, no que a forma dunha solución a unha boa pregunta tomaría a forma dun artigo nunha publicación matemática. Se este fose o caso de todos os vinte e tres problemas, simplificaríase o comentario ata o punto de poder dar unha referencia a unha revista, ou considera a pregunta como aberta aínda. Nalgúns casos a linguaxe empregada por Hilbert continúa a considerarse un tanto "negociable", en canto ao significado real da formulación do problema (en ausencia de fundamentos axiomáticos, baseados en matemática pura, comezando co propio traballo de Hilbert sobre xeometría euclidiana, pasando polo Principia Mathematica, e rematando co grupo Bourbaki e o "terrorismo intelectual" para terminar o traballo). Os problemas Primeiro e Quinto atópanse, quizais sorprendentemente, nun estado de formulación dunha claridade menos que total. En casos como o Vixésimo, o problema podería lerse de forma razoable nunha versión "interna", relativamente accesible, na que se pode saber a que estaba apuntando Hilbert; ou como unha penumbra "externa" e especulativa.
A razón máis importante é a gran rapidez coa que aceptou a listaxe de Hilbert a comunidade matemática daquel momento (o que é unha fórmula menos convencional que agora, xa que por entón había poucos líderes investigadores, que xeralmente se atopaban nuns poucos países europeos e se coñecían todos entre eles). Os problemas estudáronse con grande atención; resolver un estableceu reputacións.
O estilo foi polo menos tan influente como o contido dos problemas. Hilbert solicitaba clarificacións. Pediu solucións en principio a preguntas algorítmicas, non a algoritmos prácticos. Pediu un fortalecemento dos alicerces de partes da matemática nas que os non practicantes aínda se antollaban guiadas por intuicións opacas (o cálculo de Schubert e a xeometría enumerativa).
Estas actitudes foron adoptadas por moitos seguidores, aínda que tamén foron discutidas, e continúan a sela. Trinta anos despois, Hilbert endurecera a súa postura. Resumo
Dos problemas de Hilbert claramente formulados, os problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 e 20 teñen unha solución aceptada por consenso. Por outra banda, os problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18*, 21 e 22 teñen solucións de aceptación parcial, pero existe certa controversia ao respecto de se a solución resolve realmente o problema.
O * no 18 indica que a solución á ecuación de Kepler é unha demostración asistida por computadora, unha noción anacrónica para un problema de Hilbert e controvertida ata certo punto debido a que un lector humano non pode verificala en tempo razoable.
Isto deixa sen resolver o 8 (a hipótese de Riemann) e o 12, ambos dentro da teoría dos números. Nesta clasificación os 4, 6 e 16 son demasiado vagos como para que algún día se poidan declarar resoltos. O problema 24 retirado tamén estaría nesta clase. Información tabulada
Os vinte e tres problemas de Hilbert son os seguintes: O problema vinte e catro
Orixinariamente Hilbert incluíu 24 problemas na súa listaxe, pero decidiu excluír un deles da publicada. O "problema vixésimo cuarto" (na teoría da demostración, sobre un criterio de simplicidade e métodos xerais) descubriuno no ano 2000 o historiador alemán Rüdiger Thiele, dentro das notas manuscritas orixinais de Hilbert. Tradución ao galego
En 2019 traduciunos ao galego o profesor da Universidade de Vigo Nicanor Alonso no libro A Lista de Hilbert.