Álxebra de Lie

En matemáticas, unha álxebra de Lie é a estrutura alxébrica definida sobre un espazo vectorial, asociada habitualmente aos grupos de Lie e empregadas no estudo xeométrico deses propios grupos e doutras variedades diferenciábeis. O vocábulo "álxebra de Lie" (referido a Sophus Lie) foi creado por Hermann Weyl na década de 1930, para o que se denominaba "grupo infinitesimal".
Se un grupo de Lie pode interpretarse en física como un grupo de transformacións sobre unha variedade diferenciábel, a álxebra de Lie fisicamente pode concibirse como un conxunto de transformacións infinitesimais. Definición
Unha álxebra de Lie a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} é un espazo vectorial sobre un certo corpo F {\displaystyle \mathbb {F} } xunto cunha operación binaria [•, •]: a × a → a {\displaystyle {\mathfrak {a}}\times {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}}, chamada corchete de Lie, que satisfai as propiedades seguintes: é bilinear, é dicir, [a x + b y, z]
a [x, z] + b [y, z] e [z, a x + b y]
a [z, x] + b [z, y] para todo a, b en F {\displaystyle \mathbb {F} } e todo x, y, z en a {\displaystyle {\mathfrak {a}}}.
satisfai a identidade de Jacobi, é dicir, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] 0 para todo x, y, z en a {\displaystyle {\mathfrak {a}}}.
[x, x] 0 para todo x en a {\displaystyle {\mathfrak {a}}}.
Obsérvese que a primeira propiedade e a terceira xuntas implican [x, y] − [y, x] para todo x, y en a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} ("anti-simetría") se o corpo F {\displaystyle \mathbb {F} } é de característica diferente de dous. Obsérvese tamén que a multiplicación representada polo corchete de Lie non é, en xeral, asociativa, é dicir, [[x, y], z] non é igual necesariamente a [x, [y, z]]. Exemplos
Cada espazo vectorial convértese nunha álxebra de Lie abeliana trivial se se define o corchete de Lie como identicamente a cero.
O espazo euclidiano R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} convértese nunha álxebra de Lie co corchete de Lie dado polo produto vectorial.
Se se dá unha álxebra asociativa A coa multiplicación *, pódese dar unha álxebra de Lie definindo [x, y] x * y − y * x. Esta expresión chámase conmutador de x e y.
Inversamente, pode demostrarse que cada álxebra de Lie pódese mergullar noutra que xurda dunha álxebra asociativa dese xeito.
Outro exemplo importante vén da topoloxía diferencial: os campos vectoriais nunha variedade diferenciábel forman unha álxebra de Lie de dimensión infinita. Estes campos vectoriais actúan como operadores diferenciais sobre as funcións diferenciábeis sobre a variedade. Dados dous campos vectoriais X e Y, o corchete de Lie [ X, Y ] {\displaystyle \scriptstyle [X, Y]} defínese como: [ X, Y ] f
( X Y − Y X ) f {\displaystyle \left[X, Y\right]f
(XY-YX)f\, } e pode comprobarse que este operador corresponde a un campo vectorial. As xeneralizacións axeitadas da teoría de variedades ao caso de dimensión infinita mostran que esta álxebra de Lie é a asociada ao grupo de Lie dos difeomorfismos da variedade. No caso dunha variedade que sexa un grupo de Lie G {\displaystyle G} á súa vez, un subespazo dos campos vectoriais queda inalterado polas transformacións dadas polo propio grupo, no sentido de que en cada punto g {\displaystyle g} do mesmo, o campo non é máis que: X ( g )
d l g ( X ( e ) ) {\displaystyle X(g)
dl_{g}(X(e))\, } Este subespazo é de dimensión finita (e igual á do grupo), dado que se corresponde co espazo tanxente na identidade. Ademais herda a estrutura de álxebra de Lie definida no punto anterior e denomínase a álxebra de Lie asociada ao grupo G {\displaystyle G}. Como exemplo concreto, considérese o grupo de Lie SL(n, R) de todas as matrices n × n {\displaystyle n\times n} con valores reais e determinante 1. O espazo tanxente na matriz identidade pode identificarse co espazo de todas as matrices reais n × n {\displaystyle n\times n} con traza 0 e a estrutura de álxebra de Lie que vén do grupo de Lie coincide co que xorde do conmutador da multiplicación de matrices. Homomorfismos, subálxebras e ideais
Un homomorfismo φ: a → b {\displaystyle \varphi: {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {b}}} entre as álxebras de Lie a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} e b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} sobre o mesmo corpo de base F {\displaystyle \mathbb {F} } é unha función F {\displaystyle \mathbb {F} } -linear tal que [ φ ( x ), φ ( y ) ]
φ ( [ x, y ] ) {\displaystyle [\varphi (x), \varphi (y)]
\varphi ([x, y])} para todo x e y en a {\displaystyle {\mathfrak {a}}}. A composición deses homomorfismos é outra vez un homomorfismo, e as álxebras de Lie sobre o corpo F {\displaystyle \mathbb {F} }, xunto con estes morfismos, forman unha categoría. Se ese homomorfismo é bixectivo, chámase isomorfismo, e as dúas álxebras de Lie a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} e b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} chámanse isomorfas. Para todos os efectos prácticos, as álxebras de Lie isomorfas son idénticas.
Unha subálxebra da álxebra de Lie a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} é un subespazo vectorial b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} de a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} tal que [ x, y ] ∈ b {\displaystyle [x, y]\in {\mathfrak {b}}} para todo x, y ∈ b {\displaystyle x, y\in {\mathfrak {b}}}. É dicir, [ b, b ] ⊂ b {\displaystyle [{\mathfrak {b}}, {\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}}. A subálxebra é entón unha álxebra de Lie.
Un ideal da álxebra de Lie A é un subespazo vectorial I de A tales que [a, y]∈I para todo a∈A y∈I. i. e. [A, I] ⊆ I. Todos os ideais son subálxebras. Se I é un ideal de A, entón o espazo cociente A/I convértese nunha álxebra de Lie definindo [x + I, y + I] [x, y] + I para todo x, y ∈ A. Os ideais son precisamente os núcleos de homomorfismos, e o teorema fundamental de homomorfismos é válido para as álxebras de Lie. Clasificación das álxebras de Lie
As álxebras de Lie reais e complexas poden clasificarse ata un certo grao, e esta clasificación é un paso importante cara a clasificación dos grupos de Lie. Cada álxebra de Lie real ou complexa finito-dimensional preséntase como a álxebra de Lie dun único grupo de Lie simplemente conexo real ou complexo (teorema de Ado), mais pode haber máis dun grupo, aínda máis dun grupo conexo, dando lugar á mesma álxebra. Por exemplo, os grupos SO(3) (matrices ortogonais 3×3 de determinante 1) e SU(2) (matrices unitarias 2×2 de determinante 1), dan lugar á mesma álxebra de Lie, que resulta R³ co produto vectorial. Unha álxebra de Lie é abeliana se o corchete de Lie se anula, é dicir [x, y] 0 para todo x e y. Máis xeralmente, unha álxebra de Lie A é nilpotente se a serie central é descendente A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], A] ⊇ [[[A, A]], A], A] ⊇. ..
acaba facéndose cero. Polo teorema de Engel, unha álxebra de Lie é nilpotente se e só se para cada x en A, a función ad(x): A -> A definida por ad(x)(y) [x, y]
é nilpotente. Máis xeralmente aínda, unha álxebra de Lie A é solúbel se a serie derivada A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], [[A, A]] ⊇ [[[A, A]], [[A, A]], [[A, A]], [A, A]]] ⊇. ..
acaba facéndose cero. Unha subálxebra solúbel maximal denomínase subálxebra de Borel.
Unha álxebra de Lie A denomínase semisimple se o único ideal solúbel de A é trivial. Equivalentemente, A é semisimple se e só se a forma de Killing K(x, y) tr(ad(x)ad(y)) é non-dexenerada; aquí tr denota o operador de traza. Cando o corpo F é de característica cero, A é semisimple se e só se cada representación é totalmente reducíbel, é dicir, que para cada subespazo invariante da representación hai un complemento invariante (teorema de Weyl).
Unha álxebra de Lie é simple se non ten ningún ideal non trivial. En particular, unha álxebra de Lie simple é semisimple, e máis xeralmente, as álxebras de Lie semisimples son suma directa de simples. As álxebras de Lie complexas semi-simples clasifícanse a través dos seus sistemas de raíz.