Conxectura de Poincaré

A conxectura de Poincaré, hoxe xa Teorema de Poincaré, é un dos sete problemas do milenio propostos polo Instituto Clay de Matemáticas a finais do século XX para se resolveren no século entrante. A idea imitaba á de David Hilbert no Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de París en 1900, cando propuxo 23 problemas para seren resoltos no século que comezaba.
É o único problema do milenio que foi resolto ata o momento. O mérito débese ao matemático ruso Grigori Perelman, quen renunciou en 2010 ao millón de dólares con que o Instituto Clay premia a resolución de cada problema. Este non foi o único galardón que rexeitou Perelman. En 2006, no Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Madrid, foi galardoado coa medalla Fields, a máis alta distinción para mozos no campo das matemáticas, que tamén rexeitou. Enunciado
A conxectura foi enunciada por Henri Poincaré en 1904 e di:
Calquera variedade compacta simplemente conexa e sen fronteira de dimensión 3 é homeomorfa á 3-esfera.
Para entender o enunciado é preciso explicar os distintos conceptos topolóxicos que aparecen nel. Non se dan definicións formais senón unha idea delas para unha máis fácil comprensión. Homeomorfismos
En topoloxía, un homeomorfismo é toda transformación continua que é continuamente reversible. Por exemplo, unha cunca de café e un donut son homeomorfos pois hai unha transformación continua, sen cortes nin esmagamentos, que pasa dunha a outra. Pola contra, unha cunca de café é unha pelota non son homeomorfas pois por moito que se deforme a cunca, non deixará de ter un asa, cousa que a pelota non ten. Unha pelota é homeomorfa a calquera obxecto compacto sen buratos como, por exemplo, un cubo. Bólas e variedades
A bóla unitaria (pechada) de dimensión n é o subconxunto de Rn cuxos elementos distan da orixe menos ou igual cá unidade. Así, a bóla de dimensión 1 é o intervalo pechado [-1, 1] da recta real; a bóla de dimensión 2 é o disco, centrado na orixe, de raio 1; e a bóla de dimensión 3 corresponde á bóla física de raio 1.
Unha variedade de dimensión n é o espazo obtido mediante a deformación e pegado de bólas de dimensión n. As variedades máis sinxelas son as esferas e así, unha 1-esfera é unha circunferencia que se obtén arqueando e pegando dous intervalos da recta, isto é, dúas bólas de dimensión 1; unha 2-esfera é unha superficie esférica, obtida aboiando e pegando polo canto dous discos, é dicir, dúas bólas de dimensión 2.
En xeral, a n-esfera obténse deformando e pegando dúas bólas de dimensión n. A 3-esfera, á que se fai referencia no enunciado da conxectura, obtense, xa que logo, mediante a deformación e pegado de dúas bólas tridimensionais. Obsérvese que a 3-esfera é unha hipersuperficie no espazo 4-dimensional R4, inaprensíbel polos nosos sentidos. Variedades compactas, simplemente conexas e sen fronteira
Unha variedade é compacta cando resulta da unión dun número finito de bólas. A idea dunha variedade compacta en Rn é de que non é ilimitada.
A idea de sen fronteira é moi sinxela, significa que non ten picos nin bordos estraños. As formas redondeadas son as permitidas.
Coloquialmente falando, unha variedade simplemente conexa é aquela que non ten buratos. Dun xeito máis rigoroso díse que unha superficie é simplemente conexa se, escollido calquera punto P da superficie, calquera curva pechada que pase por P e estea na superficie, pode deformarse ata converterse nun punto. Adoitase poñer como exemplo de superficie simplemente conexa á 2-esfera, e á superficie toroidal (un donut sen o interior) como superficie que non o é: se se traza unha curva pechada ao longo da parte superior do donut, é imposíbel deformala a un punto sen saír da superficie; o mesmo ocorre se collemos unha curva transversalmente como se fose un anel que abraza ao donut, é imposíbel deformala a un punto sen cortar o donut. Enunciado informal
En definitiva, o que afirma a conxectura de Poincaré é que en dimensión tres, salvo homeomorfismos, a 3-esfera é a única superficie limitada, redondeada, sen bordos nin buratos, tal que todo lazo sobre ela se contrae a un punto (as ideas de limitada, redondeada, bordo e burato son ditas con todas as reservas pois, como xa se dixo, non podemos visualizar eses conceptos; menciónanse só por comparación coa 2-esfera)
A chamada conxectura de Poincaré xeneralizada estende o resultado a calquera dimensión:
Calquera variedade compacta simplemente conexa e sen fronteira de dimensión n é homeomorfa á n-esfera
O resultado é evidente en dimensión un, a circunferencia é a única variedade que cumpre a condición, e en dimensión dous, como se aprecia cos exemplos anteriores da 2-esfera e a superficie toroidal de dimensión dous.
Tamén estaba demostrada para dimensións maiores ou iguais ca catro. En 1960 Stephen Smale demostrouna para n maior ou igual ca cinco. Michael Freedman demostrouna para n 4 en 1982, recibindo, en gran parte por esta demostración, a medalla Fields en 1986. A demostración
Parece un paradoxo que a demostración para dimensión cinco e maiores se conseguise moito antes que para dimensións catro e tres. Isto é debido a que para aquelas úsouse o teorema de Whitney, que só se aplica en dimensións superiores ou iguais a seis. Os topólogos dicían ironicamente que se sentían claustrofóbicos nas dimensións tres e catro porque non podían aplicar o teorema de Whitney.
Para superar a claustrofobia en dimensión catro, Freedman botou man das chamadas ansas de Casson.
Quedaba pendente a demostración para n 3. Na década dos setenta, o medallista Fields William Thurston estableceu uns criterios en forma de conxectura que, se se probaban, levaban consigo a demostración da conxectura de Poincaré; o problema foi que non conseguiu demostralos. Nese momento intervén Richard Hamilton quen propuxo unha estratexia para atacar o problema baseándose nun concepto con connotacións físicas que el mesmo ideara, o fluxo de Ricci. Dito fluxo é unha deformación da métrica dunha variedade, moi parecido á difusión da calor.
Perelman seguiu o camiño iniciado por Hamilton, e mesmo refinou o seu concepto ideando o fluxo de Ricci con cirurxía. Finalmente, usando unhas matemáticas moi avanzadas, conseguiu demostrar un resultado aínda máis xeral que os propostos por Thurston e, xa que logo, a conxectura de Poincaré, que se deducía daqueles.
Na súa renuncia ao premio do millón de dólares argumentou, entre outras cousas, que Hamilton era tamén merecedor do galardón pois el só seguiu o camiño que iniciara Hamilton.