Mergullo (matemáticas)

En matemáticas, un mergullo é unha instancia dalgunha estrutura matemática contida dentro doutra instancia, como por exemplo un subgrupo que como índica o nome está incluído nun grupo.
Cando algún obxecto X {\displaystyle X} se di que está mergullado noutro obxecto Y {\displaystyle Y}, o mergullo vén dado por algún mapa inxectivo e preservador da estrutura f: X → Y {\displaystyle f: X\rightarrow Y}. O significado preciso de "preservar a estrutura" depende do tipo de estrutura matemática da cal X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} son instancias. Na terminoloxía da teoría de categorías, un mapa que preserva a estrutura chámase morfismo.
O feito de que un mapa f: X → Y {\displaystyle f: X\rightarrow Y} é un mergullo adoita indicarse mediante o uso dunha "frecha con gancho" f: X ↪ Y. {\displaystyle f: X\hookrightarrow Y. }. (por outra parte, esta notación ás veces resérvase para as inxeccións canónicas (función inclusión).
Dados X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y}, poden darse varios mergullos diferentes de X {\displaystyle X} en Y {\displaystyle Y}. En moitos casos de interese existe un mergullo estándar (ou "canónico"), como o dos números naturais nos números enteiros, os enteiros nos números racionais, os números racionais nos números reais e os números reais nos números complexos. Nestes casos é habitual identificar o dominio X {\displaystyle X} coa súa imaxe f ( X ) {\displaystyle f(X)} contida en Y {\displaystyle Y}, así que X ⊆ Y {\displaystyle X\subseteq Y}. Topoloxía e xeometría
Topoloxía xeral
En topoloxía xeral, un mergullo é un homeomorfismo na súa imaxe. Máis explicitamente, un mapa continuo inxectivo f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} entre espazos topolóxicos X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} é un mergullo topolóxico se f {\displaystyle f} produce un homeomorfismo entre X {\displaystyle X} e f ( X ) {\displaystyle f(X)} (onde f ( X ) {\displaystyle f(X)} leva a topoloxía relativa herdada de Y {\displaystyle Y} ). Intuitivamente logo, o mergullo f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} permítenos tratar X {\displaystyle X} como subespazo de Y {\displaystyle Y}. Todo mergullo é inxectivo e continuo. Todo mapa que é inxectivo, continuo e aberto ou pechado é un mergullo; porén tamén hai mergullos que non están nin abertos nin pechados. Isto último ocorre se a imaxe f ( X ) {\displaystyle f(X)} non é un conxunto aberto nin un conxunto pechado Y {\displaystyle Y}.
Para un espazo determinado Y {\displaystyle Y}, a existencia dun mergulo X → Y {\displaystyle X\to Y} é unha invariante topolóxica de X {\displaystyle X}. Isto permite distinguir dous espazos se un é capaz de mergullarse nun espazo mentres que o outro non.
Definicións relacionadas
Se o dominio dunha función f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} é un espazo topolóxico, entón dise que é unha función localmente inxectiva nun punto se existe algunha veciñanza U {\displaystyle U} deste punto tal que a restrición f | U: U → Y {\displaystyle f{\big \vert }_{U}: U\to Y} é inxectiva. Chámase localmente inxectiva se é localmente inxectiva en cada punto do seu dominio. Do mesmo xeito, un mergullo local topolóxico é unha función para a cal cada punto do seu dominio ten algunha veciñanza na que a súa restrición é un mergullo (topolóxico, resp. suave).
Toda función inxectiva é localmente inxectiva mais non á inversa. Os difeomorfismos locais, os homeomorfismos locais e as inmersións suaves son todas funcións localmente inxectivas que non son necesariamente inxectivas. O teorema da función inversa dá unha condición suficiente para que unha función continuamente derivable sexa (entre outras cousas) localmente inxectiva. Cada fibra dunha función localmente inxectiva f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} é necesariamente un subespazo discreto do seu dominio X. {\displaystyle X. }
Topoloxía diferencial
En topoloxía diferencial: Sexan M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N} variedades suaves e f: M → N {\displaystyle f: M\to N} un mapa suave. Daquela f {\displaystyle f} chámase inmersión se a súa derivada (ou pulo diferencial) é inxectiva en tódalas partes. Un mergullo, ou un mergullo suave, defínese como unha inmersión que é un mergullo no sentido topolóxico mencionado anteriormente (é dicir, homeomorfismo na súa imaxe). Noutras palabras, o dominio dun mergullo é difeomorfo á súa imaxe e, en particular, a imaxe dun mergullo debe ser unha subvariedade. Un mergullo é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto x ∈ M {\displaystyle x\in M} hai unha veciñanza x ∈ U ⊂ M {\displaystyle x\in U\subset M} tal que f: U → N {\displaystyle f: U\to N} é un mergullo.
Cando a variedade de dominio é compacta, a noción de mergullo suave é equivalente á de inmersión inxectiva.
Un caso importante é N
R n {\displaystyle N
\mathbb {R} ^{n}}. O interese aquí está en saber como debe ser o tamaño n {\displaystyle n} para unha mergullo, en canto á dimensión m {\displaystyle m} de M {\displaystyle M}. O teorema do mergullo de Whitney afirma que n
2 m {\displaystyle n
2m} é suficiente e é o mellor límite linear posible. Por exemplo, o espazo proxectivo real R P m {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{m}} de dimensión m {\displaystyle m}, onde m {\displaystyle m} é unha potencia de dous, esixe que sexa n
2 m {\displaystyle n
2m} para ter un mergullo. No entanto, isto non se aplica ás inmersións; por exemplo, R P 2 {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} pode estar inmerso en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} como mostra explicitamente a superficie de Boy (que ten autointerseccións).
Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana
Nas xeometría de Riemann e xeometría pseudoriemanniana: Sexan ( M, g ) {\displaystyle (M, g)} e ( N, h ) {\displaystyle (N, h)} variedades riemannianas ou máis xeralmente variedades pseudoriemannianas. Un mergullo isométrico é un mergullo suave f: M → N {\displaystyle f: M\rightarrow N} que conserva a (pseudo-) métrica no sentido de que g {\displaystyle g} é igual á regresión de h {\displaystyle h} por f {\displaystyle f}, é dicir g
f ∗ h {\displaystyle g
f^{*}h}. Explicitamente, para dous vectores tanxentes calquera v, w ∈ T x ( M ) {\displaystyle v, w\in T_{x}(M)} temos g ( v, w )
h ( d f ( v ), d f ( w ) ). {\displaystyle g(v, w)
h(df(v), df(w)). } Na xeometría de Riemann, un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a lonxitude das curvas (Teorema de mergullo de Nash). Álxebra
En xeral, para unha categoría alxébrica C {\displaystyle C}, un mergullo entre dúas C {\displaystyle C} -estruturas alxébricas X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} é un C {\displaystyle C} -morfismo e: X → Y {\displaystyle e: X\rightarrow Y} que é inxectivo.
Teoría de corpos
Na teoría de corpos, un mergullo dun corpo E {\displaystyle E} nun corpo F {\displaystyle F} é un homomorfismo de anéis σ: E → F {\displaystyle \sigma: E\rightarrow F}.
O kernel de σ {\displaystyle \sigma } é un Ideal de E {\displaystyle E}, que non pode ser todo o corpo E {\displaystyle E}, por mor da condición 1
σ ( 1 )
1 {\displaystyle 1
\sigma (1)
1}. Alén diso, calquera corpo ten como ideais só o ideal cero e o propio corpo (porque se hai algún elemento do corpo distinto de cero nun ideal, é invertíbel, mostrando que o ideal é todo o corpo). Polo tanto, o kernel é 0 {\displaystyle 0}, polo que calquera mergullo de corpos é un monomorfismo. Polo tanto, E {\displaystyle E} é isomorfo ao subcorpo σ ( E ) {\displaystyle \sigma (E)} de F {\displaystyle F}. Isto xustifica o nome de mergullo para un homomorfismo arbitrario de corpos.
Álxebra universal e teoría de modelos
Se σ {\displaystyle \sigma } é unha sinatura e A, B {\displaystyle A, B} son σ {\displaystyle \sigma } -estruturas (tamén chamadas σ {\displaystyle \sigma } -álxebras en álxebra universal ou modelos en teoría dos modelos), daquela un mapa h: A → B {\displaystyle h: A\to B} é un σ {\displaystyle \sigma } -mergullo exactamente se todo o seguinte se cumpre: h {\displaystyle h} é inxectivo,
para cada símbolo de n {\displaystyle n} argumentos f ∈ σ {\displaystyle f\in \sigma } e a 1, …, a n ∈ A n, {\displaystyle a_{1}, \ldots, a_{n}\in A^{n}, } temos h ( f A ( a 1, …, a n ) )
f B ( h ( a 1 ), …, h ( a n ) ) {\displaystyle h(f^{A}(a_{1}, \ldots, a_{n}))
f^{B}(h(a_{1}), \ldots, h(a_{n}))},
para cada símbolo de relación de n {\displaystyle n} argumentos R ∈ σ {\displaystyle R\in \sigma } e a 1, …, a n ∈ A n, {\displaystyle a_{1}, \ldots, a_{n}\in A^{n}, } temos A ⊨ R ( a 1, …, a n ) {\displaystyle A\models R(a_{1}, \ldots, a_{n})} se B ⊨ R ( h ( a 1 ), …, h ( a n ) ). {\displaystyle B\models R(h(a_{1}), \ldots, h(a_{n})). } Aquí A ⊨ R ( a 1, …, a n ) {\displaystyle A\models R(a_{1}, \ldots, a_{n})} é unha notación de teoría de modelos equivalente a ( a 1, …, a n ) ∈ R A {\displaystyle (a_{1}, \ldots, a_{n})\in R^{A}}. Na teoría de modelos tamén hai unha noción máis forte que sería o mergullo elemental. Teoría da orde e teoría do dominio
Na teoría da orde, un mergullo de conxuntos parcialmente ordenados é unha función F {\displaystyle F} entre conxuntos parcialmente ordenados X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} tal que ∀ x 1, x 2 ∈ X: x 1 ≤ x 2 ⟺ F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ). {\displaystyle \forall x_{1}, x_{2}\in X: x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}). } A inxectividade de F {\displaystyle F} obtense rapidamente desta definición. Na teoría dos dominios, un requisito adicional é que ∀ y ∈ Y: { x ∣ F ( x ) ≤ y } {\displaystyle \forall y\in Y: \{x\mid F(x)\leq y\}} é un conxunto dirixido. Espazos métricos
Un mapa ϕ: X → Y {\displaystyle \phi: X\to Y} de espazos métricos denomínase mergullo (con distorsión C > 0 {\displaystyle C>0} ) se L d X ( x, y ) ≤ d Y ( ϕ ( x ), ϕ ( y ) ) ≤ C L d X ( x, y ) {\displaystyle Ld_{X}(x, y)\leq d_{Y}(\phi (x), \phi (y))\leq CLd_{X}(x, y)} para todo x, y ∈ X {\displaystyle x, y\in X} e algunha constante L > 0 {\displaystyle L>0}.
Espazos normados
Un caso especial importante é o dos espazos normados; neste caso é natural considerar mergullos lineares.
Unha das preguntas básicas que se poden facer sobre un espazo normado de dimensión finita ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X, \|\cdot \|)} é, cal é a dimensión máxima k {\displaystyle k} tal que o espazo de Hilbert ℓ 2 k {\displaystyle \ell _{2}^{k}} pódese mergullar linearmente en X {\displaystyle X} con distorsión constante?
A resposta vén dada polo teorema de Dvoretzky. Teoría de categorías
Na teoría de categorías, non existe unha definición satisfactoria e xeralmente aceptada de mergullo que sexa aplicable en todas as categorías. Cabería esperar que todos os isomorfismos e todas as composicións de mergullos sexan mergullos, e que todos os mergullos sexan monomorfismos. Outros requisitos típicos son: calquera monomorfismo extremo é un mergullo e os mergullos son estables baixo regresións (pullbacks).