Número

Se busca o significado deste termo aplicado nas linguas, v. Número gramatical. Un número, en ciencia, é unha abstracción que representa unha cantidade ou unha magnitude. En matemáticas un número pode representar unha cantidade métrica ou máis xeralmente un elemento dun sistema numérico ou un número ordinal que representará unha posición dentro dunha orde dunha serie determinada. Os números complexos úsanse como unha ferramenta útil para resolver problemas alxébricos e que alxebricamente son un mero engadido aos números reais que á súa vez ampliaron o concepto de número ordinal. Sobre todo, un número real resolve o problema de comparación de dúas medidas: tanto se son conmensurables ou inconmensurables. Exemplo: o lado dun cadrado é conmensurable co seu perímetro, pero o lado do cadrado coa diagonal do mesmo son inconmensurables.
O símbolo dun número recibe o nome de numeral, mentres que cada un dos signos que conforman o numeral recibe o nome de algarismo. Pódese falar así de algarismos arábigos (0, 1, .. ., 9), algarismos romanos (I, V, X, C, D, M) etc.
Os números úsanse con moita frecuencia na vida diaria tamén como etiquetas (números de teléfono, numeración de estradas), como indicadores de orde (números de serie), como códigos (ISBN) etc. Tipos de número
Na Matemática, a definición de número esténdese a partir dos números naturais para incluír abstraccións tales como números negativos, fraccionarios, irracionais, transcendentes e complexos, como se aprecia na seguinte táboa: Os números máis coñecidos son os números naturais. Denotados mediante N {\displaystyle \mathbb {N} }, son conceptualmente os máis simples e os que se usan para contar unidades discretas. Estes, conxuntamente cos números negativos, conforman o conxunto dos enteiros, denotados mediante Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (do alemán Zahlen 'números'). Os números negativos permiten representar formalmente débedas, e permiten xeneralizar a resta de calquera dos números naturais.
Outro tipo de números amplamente usados son números fraccionarios, e tanto cantidades inferiores a unha unidade, como números mixtos (un conxunto de unidades máis unha parte inferior á unidade). Os números fraccionarios poden ser expresados sempre como cocientes de enteiros. O conxunto de todos os números fraccionarios é o conxunto dos números racionais (que usualmente defínese para que inclúa tanto aos racionais positivos, como aos racionais negativos e o cero). Este conxunto de números desígnase como Q {\displaystyle \mathbb {Q} }.
Os números racionais permiten resolver gran cantidade de problemas prácticos, pero desde os antigos gregos coñécese que certas relacións xeométricas (a diagonal dun cadrado de lado unidade) son números non enteiros que tampouco son racionais. Igualmente, a solución numérica dunha ecuación polinómica cuxos coeficientes son números racionais, usualmente é un número non racional. Pode demostrarse que calquera número irracional pode representarse como unha sucesión de Cauchy de números racionais que se aproximan a un límite numérico. O conxunto de todos os números racionais e os irracionais (obtidos como límites de sucesións de Cauchy de números racionais) é o conxunto dos números reais R {\displaystyle \mathbb {R} }. Durante un tempo pensouse que toda magnitude física existente podía ser expresada en termos de números reais exclusivamente. Entre os reais, existen números que non son solucións dunha ecuación polinomial ou alxébrica, que reciben o nome de transcendentais. Exemplos famosos destes números son o número π (Pi) e o número e (esta último base dos logaritmos naturais), os cales están relacionados entre si pola identidade de Euler.
Un dos problemas dos números reais é que non forman un corpo alxebricamente pechado, polo que certos problemas non teñen solución expostos en termos de números reais. Esa é unha das razóns polas cales se introduciron os números complexos C {\displaystyle \mathbb {C} }, que son o mínimo corpo alxebraicamente pechado que contén aos números reais. Ademais algunhas aplicacións prácticas así como nas formulacións estándar da mecánica cuántica considérase útil introducir os números complexos. Ao parecer a estrutura matemática dos números complexos reflicte estruturas existentes en problemas físicos, polo que en física teórica e en diversas aplicacións os números complexos úsanse en pé de igualdade cos números reais, a pesar de que inicialmente foron considerados unicamente como un artificio matemático sen relación coa realidade física. Todos os conxuntos de números N, Z, Q, R, C {\displaystyle \mathbb {N}, \mathbb {Z}, \mathbb {Q}, \mathbb {R}, \mathbb {C} } foron dalgunha maneira "descubertos" ou suxeridos en conexión con problemas expostos en problemas físicos ou no seo da matemática elemental e todos eles parecen ter importantes conexións coa realidade física.
Fóra dos números reais e complexos, claramente conectados con problemas das ciencias naturais, existen outros tipos de números que xeneralizan aínda máis e estenden o concepto de número dunha maneira máis abstracta e responden máis a creacións deliberadas de matemáticos. A maioría destas xeneralizacións do concepto de número úsanse só en matemáticas, aínda que algúns deles atoparon aplicacións para resolver certos problemas físicos.
Alén destes números habitualmente estudados en primaria e secundaria, hai algunhas álxebras que se corresponden con estruturas numéricas nas que se combinan máis dimensións (igual que C {\displaystyle \mathbb {C} } se pode interpretar coma un plano R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} no que se poden multiplicar os seus puntos). Trátase, por exemplo, dos cuaternións ( H {\displaystyle \mathbb {H} } ), os octonións ( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) e os sedenións ( S {\displaystyle \mathbb {S} } ), que terían unha correspondencia cos espazos R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}, R 8 {\displaystyle \mathbb {R} ^{8}} e R 16 {\displaystyle \mathbb {R} ^{16}} dotados cun produto entre os seus elementos. Este tipo de construcións reciben o nome de números hipercomplexos.
A un nivel un pouco máis abstracto tamén se idearon conxuntos de números capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimais como os hiperreais e os transfinitos.
Enumeración dos tipos
A teoría dos números trata basicamente das propiedades dos números naturais e os enteiros, mentres que as operacións do álxebra e o cálculo permiten definir a maior parte dos sistemas numéricos, entre os cales están:
Estrutura
En álxebra abstracta e análise matemática un sistema numérico caracterízase por unha: Estrutura alxébrica, usualmente un anel conmutativo ou corpo matemático (no caso non conmutativo son un álxebra sobre un corpo e no caso dos números naturais só un monoide conmutativo).
Estrutura de orde, usualmente un conxunto ordenado, no caso dos números naturais, enteiros, racionais e reais trátase de conxuntos totalmente ordenados, aínda que os números complexos e hipercomplexos só son conxuntos parcialmente ordenados. Os reais ademais son un conxunto ben ordenado e cun orde densa.
Estrutura topolóxica, os conxuntos numéricos numerables usualmente son conxuntos disconexos, sobre os que se considera a topoloxía discreta, mentres que sobre os conxuntos non numerables considérase unha topoloxía que os fai adecuados para a análise matemática.
Outra propiedade interesante de moitos conxuntos numéricos é que son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler e diagramas de Venn, podéndose tomar unha combinación de ambos nun diagrama de Euler-Venn coa forma característica de cuadrilátero e ademais podéndose representar internamente un diagrama de Hasse (é unha recta). Tanto historicamente como conceptualmente, os diversos conxuntos numéricos, desde o máis simple dos números naturais, ata extensións transcentes dos números reais e complexos, elaboradas mediante a teoría de modelos durante o século XX, constrúense desde unha estrutura máis simple ata outra máis complexa.
Números naturais especiais
O estudo de certas propiedades que cumpren os números produciu unha enorme cantidade de tipos de números, a maioría sen un interese matemático específico. A continuación indícanse algúns: Narcisista: número de n díxitos que resulta ser igual á suma das potencias de orde n dos seus díxitos. Exemplo: 1531³ + 5³ + 3³.
Omirp: número primo que ao inverter os seus díxitos dá outro número primo. Exemplo: 1597 e 7951 son primos.
Vampiro: número que é o produto de dous números obtidos a partir dos seus díxitos. Exemplo: 218727 x 81.
Hamsteriano: A súa estrutura aritmética N
(a×b)2-1, onde a e b son primos os dous, a suma dos seus divisores excede N, e a cantidade dos seus divisores é > a×b/2; vai como exemplo: 1224
(5×7)2-1
Unha vez entendido o problema da natureza e a clasificación dos números, xorde outro, máis práctico, pero que condiciona todo o que se vai a facer con eles: a maneira de escribilos. O sistema que se impuxo universalmente é a numeración posicional, grazas ao invento do cero, cunha base constante.
Máis formalmente, en The concept of number, o matemático Frege realiza unha definición de «número», a cal foi tomada como referencia por moitos matemáticos (entre eles Russell, cocreador de principia mathematica): Véxase tamén que Frege, tanto como calquera outro matemático, ven inhabilitados para definir ao número como a expresión dunha cantidade, porque a simboloxía matemática non fai referencia necesaria á numerabilidade, e o feito de «cantidade» referiría a algo numerable, mentres que números se adoptan para definir a cardinalidade de, por exemplo, os elementos que se atopan no intervalo aberto (0, 1), que contén innumerables elementos (o continuo).
Peano, antes de establecer as súas cinco proposicións sobre os números naturais, explícita que supón sabida unha definición (quizais debido á súa «obviedade») das palabras ou conceptos cero, sucesor e número. Desta maneira postula: 0 é un número
o sucesor de todo número é un número
dous números diferentes non teñen o mesmo sucesor
0 non é o sucesor de ningún número
e a propiedade indutiva
Con todo, se un define o concepto cero como o número 100, e o concepto número como os números maiores a 100, entón as cinco proposicións mencionadas anteriormente aplican, non á idea que Peano querería comunicar, senón á súa formalización.
A definición de número atópase polo tanto non totalmente formalizada, aínda que se atope un acordo maioritario en adoptar a definición enunciada por Frege. Tipos de números enteiros
Os números pares son números enteiros que só se poden dividir de forma exacta por 1 e por 2. Os números impares non poden dividirse por 2 de forma exacto. En ambos os casos, poden ser divisíbeis por outros números chamados divisores. Exemplos: 4, 120 e 44992 son pares. Son divisibles por 2 e dan un resultado exacto: 2, 60 e 22496 respectivamente.
3, 121 e 44991 son impares. Ao dividilos por 2, obtense sempre un resto de 1.
Un número primo é un número enteiro maior que 1 que non pode ser expresado como produto de dous enteiros positivos menores ca el. Estes números veñen sendo estudados dende hai máis de 2000 anos.
Outros números enteiros son os números de Fibonacci ou os números perfectos. Tipos de números complexos
Os números alxébricos son os que son solución dunha ecuación polinómica con coeficientes enteiros. Os números complexos non alxébricos chámanse números transcendentes. Historia do concepto de número
Cognitivamente o concepto de número está asociado á habilidade de contar e comparar cal de dous conxuntos de entidades similares ten maior cantidade de elementos. As primeiras sociedades humanas topáronse moi pronto co problema de determinar cal de dous conxuntos era "maior" que outro, ou de coñecer con precisión cantos elementos formaban unha colección de cousas. Eses problemas podían ser resoltos simplemente contando. A habilidade de contar do ser humano, non é un fenómeno simple, aínda que a maioría de culturas teñen sistemas de conta que chegan como mínimo a centenares, algúns pobos cunha cultura material simple, só dispoñen de termos para os números 1, 2 e 3 e usualmente usan o termo "moitos" para cantidades maiores, aínda que cando é necesario usan de forma recursiva expresións traducibles como "3 máis 3 e outros 3" cando é necesario.
O cálculo debeuse iniciar mediante o uso de obxectos físicos (tales como montóns de pedras) e de marcas de conta, como as atopadas en ósos de reconto: o de Lebombo, con 29 marcas gravadas nun óso de babuíno, ten uns 37. 000 anos de antigüidade e outro óso de lobo atopado na antiga Checoslovaquia, con 57 marcas dispostas en cinco grupos de 11 e dúas soltas, estimouse nuns 30. 000 anos de antigüidade. Ambos os casos constitúen unha das máis antigas marcas de conta coñecidas suxeríndose que puidesen estar relacionadas con rexistros de fases lunares. En canto á orixe ordinal algunhas teorías sitúano en rituais relixiosos. Os sistemas numerais da maioría de familias lingüísticas reflicten que a operación de contar estivo asociado ao cálculo de dedos (razón pola cal os sistemas de base decimal e vixesimal son os máis abundantes), aínda que están testemuñado o emprego doutras bases numéricas ademais de 10 e 20.
O paso cara aos símbolos numerais, do mesmo xeito que a escritura, asociouse á aparición de sociedades complexas con institucións centralizadas constituíndo artificios burocráticos de contabilidade en rexistros impositivos e de propiedades. A súa orixe estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para o reconto de diferentes tipos de bens como os que se atoparon en Mesopotamia inscritos en táboas de arxila que á súa vez viñeran a substituír progresivamente o cálculo de diferentes bens mediante fichas de arxila (constatadas polo menos desde o 8000 a. C. ) Os símbolos numerais máis antigos atopados sitúanse nas civilizacións mesopotámicas usándose como sistema de numeración xa non só para a contabilidade ou o comercio senón tamén para a agrimensura ou a astronomía como, por exemplo, rexistros de movementos planetarios.
En conxunto, desde hai 5000 anos a maioría das civilizacións contaron como se segue a facer, se ben a forma de escribir os números (aínda que todos representan con exactitude os naturais) foi moi diversa. Basicamente pódese clasificar en tres categorías: Sistemas de notación aditiva. Acumulan os símbolos de todas as unidades, decenas, centenas. .. necesarios ata completar o número. Aínda que os símbolos poden ir en calquera orde, adoptaron sempre unha determinada posición (de máis a menos). Deste tipo son os sistemas de numeración exipcio, hitita, cretense, romano, grego, armenio e xudeu.
Sistemas de notación híbrida. Combinan o principio aditivo co multiplicativo. Nos anteriores 500 represéntase con 5 símbolos de 100, nestes utilízase a combinación do 5 e o 100. A orde das cifras é agora fundamental (a un paso do sistema posicional). Deste tipo son os sistemas de numeración chinés clásico, asirio, armenio, etíope e maia. Este último utilizaba símbolos para o "1", o "5" e o "0". Sendo este o primeiro uso documentado do cero tal como coñecémolo hoxe (Ano 36 a. C. ) xa que o dos babilonios só se utilizaba entre outros díxitos.
Sistemas de notación posicional. A posición das cifras indícanos se son unidades, decenas, centenas. .. ou en xeral a potencia da base. Só tres culturas ademais da india lograron desenvolver un sistema deste tipo: O sistema chinés (300 a. C. ) que non dispoñía de 0, o sistema babilónico (2000 a. C. ) con dous símbolos, de base 10 aditivo ata o 60 e posicional (de base 60) en diante, sen "0" ata o 300 a. C.
As fraccións unitarias exipcias (Papiro Ahmes/Rhind)
No papiro de Rhind adquirido polo anticuario Alexander Henry Rhind en 1858 cuxo contido data do 2000 ao 1800 a. C. ademais do sistema de numeración antes descrito atopámonos co seu tratamento das fraccións. Non consideran as fraccións en xeral, só as fraccións unitarias (inversas dos naturais 1/20) que se representan cun signo oval encima do número, a fracción 2/3 que se representa cun signo especial e nalgúns casos fraccións do tipo n / n + 1 {\displaystyle n/n+1}. Hai táboas de descomposición de 2 / n {\displaystyle 2/n} desde n
1 ata n
101, como por exemplo 2 / 5
1 / 3 + 1 / 15 {\displaystyle 2/5
1/3+1/15} ou 2 / 7
1 / 4 + 1 / 28 {\displaystyle 2/7
1/4+1/28}, non se sabe por que non utilizaban 2 / n
1 / n + 1 / n {\displaystyle 2/n
1/n+1/n} pero parece que trataban de utilizar fraccións unitarias menores que 1 / n {\displaystyle 1/n}.
Ao ser un sistema sumativo a notación é: 1+1/2+1/4. A operación fundamental é a suma e as nosas multiplicacións e divisións facíanse por "duplicacións" e "mediacións", por exemplo 69x1969x(16+2+1), onde 16 representa 4 duplicacións e 2 unha duplicación.
Fraccións sexaxesimais babilónicas (documentos cuneiformes)
Nas tabliñas cuneiformes da dinastía Hammurabi (1800-1600 a. C. ) aparece o sistema posicional, antes referido, estendido ás fraccións, pero XXX vale para 2 × 60 + 2 {\displaystyle 2\times 60+2}, 2 + 2 × 60 − 1 {\displaystyle 2+2\times 60-1} ou 2 × 60 − 1 + 2 × 60 − 2 {\displaystyle 2\times 60-1+2\times 60-2} cunha representación baseada na interpretación do problema.
Para calcular recorrían, como nós antes de dispoñer de máquinas, ás numerosas táboas das que dispoñían: De multiplicar, de inversos, de cadrados e cubos, de raíces cadradas e cúbicas, de potencias sucesivas dun número dado non fixo etc. Por exemplo para calcular a {\displaystyle a}, tomaban a súa mellor aproximación enteira a 1 {\displaystyle a_{1}}, e calculaban b 1
a / a 1 {\displaystyle b_{1}
a/a_{1}} (unha maior e outra menor) e entón a 2
( a 1 + b 1 ) / 2 {\displaystyle a_{2}
(a_{1}+b_{1})/2} é mellor aproximación, procedendo igual obtense b 2
a / a 2 {\displaystyle b_{2}
a/a_{2}} e a 3
( a 2 + b 2 ) / 2 {\displaystyle a_{3}
(a_{2}+b_{2})/2} obtendo na tabliña Yale-72892
1; 24, 51, 10 (en base decimal 1, 414222) como valor de a 3 {\displaystyle a_{3}} partindo de a 1
1; 30 {\displaystyle a_{1} 1; 30} (véxase algoritmo babilónico).
Realizaban as operacións de forma parecida a hoxe, a división multiplicando polo inverso (para o que utilizan as súas táboas de inversos). Na táboa de inversos faltan os de 7 e 11 que teñen unha expresión sexaxesimal infinitamente longa. Si están 1/59; 1, 1, 1 (os nosos 1/9
0, 111. .. ) e 1/61; 0, 59, 0, 59 (os nosos 1/11
0, 0909. .. ) pero non se decataron do desenvolvemento periódico.
Descubrimento dos inconmensurables
As circunstancias e a data deste descubrimento son incertas, aínda que se atribúe á escola pitagórica (utilízase o Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona unha demostración da inconmensurabilidade da diagonal dun cadrado con respecto ao seu lado baseada na distinción entre o par e o impar. A reconstrución que realiza C. B. Boyer é:
Son d: diagonal, s: lado e d/ s racional que se pode escribilo como p / q {\displaystyle p/q} con p e q primos entre si. Polo teorema de Pitágoras d 2
s 2 + s 2 {\displaystyle d^{2}
s^{2}+s^{2}}, ( d / s ) 2
p 2 / q 2
2 {\displaystyle (d/s)^{2}
p^{2}/q^{2}
2}, entón p 2
2 q 2 {\displaystyle p^{2}
2q^{2}} e polo tanto p 2 {\displaystyle p^{2}} debe ser par e tamén p, e polo tanto q impar. Ao ser p par p
2 r {\displaystyle p
2r}, entón 4 r 2
2 q 2 {\displaystyle 4r^{2}
2q^{2}} e 2 r 2
q 2 {\displaystyle 2r^{2}
q^{2}}, entón q 2 {\displaystyle q^{2}} é par e q tamén, entón q é par e impar co que hai unha contradición.
A teoría pitagórica de todo é número quedou seriamente danada.
O problema resolveríao Eudoxo de Cnido (408-355 a. C. ) tal como indícanos Euclides no libro V de Os elementos. Para iso estableceu o Axioma de Arquímedes: Dúas magnitudes teñen unha razón se se pode atopar un múltiplo dunha delas que supere á outra (exclúe o 0). Despois na Definición-5 dá a famosa formulación de Eudoxo: Dúas magnitudes están na mesma razón a / b
c / d {\displaystyle a/b
c/d} se dados dous números naturais calquera m e n, se m a
n b {\displaystyle ma
nb} entón m c
n d {\displaystyle mc
nd} (definición que intercambiando o 2º e 3º termos equivale ao procedemento actual).
No libro de J. P. Colette faise a observación de que esta definición está moi próxima á de número real que dará Dedekind no século XIX, divide as fraccións nas m / n {\displaystyle m/n} tales que m a
n b {\displaystyle ma
nb} e as que non.
Creación do cero
En calquera sistema de numeración posicional xorde o problema da falta de unidades de determinada orde. Por exemplo, no sistema babilónico o número 32 {\displaystyle 32} escrito en base 60 pode ser 3 × 60 + 2 {\displaystyle 3\times 60+2} ou 3 × 602 + 0 × 60 + 2 {\displaystyle 3\times 60^{2}+0\times 60+2}. Ás veces, utilizábase a posición baleira para evitar este problema 3 _ 2; pero os escribas debían ter moito coidado para non equivocarse.
Cara ao século III a. C. , en Grecia, comezouse a representar o nada mediante un "o" que significa oudos 'baleiro', e que non deu orixe ao concepto de cero como existe hoxe en día. A idea do cero como concepto matemático parece xurdir na India moito antes que en ningún outro lugar. A única notación ordinal do vello mundo foi a sumeria, onde o cero representábase por un baleiro.
En América, a primeira expresión coñecida do sistema de numeración vixesimal prehispánico data do século III a. C. Trátase dunha estela olmeca tardía, a cal xa contaba tanto co concepto de "orde" como o de "cero". Os maias inventaron catro signos para o cero; os principais eran: o corte dun caracol para o cero matemático, e unha flor para o cero calendárico (que implicaba non a ausencia de cantidade, senón o cumprimento dun ciclo).
Números negativos
Brahmagupta, no 628 da nosa era, considera as dúas raíces das ecuacións cuadráticas, aínda que unha delas sexa negativa ou irracional. De feito na súa obra é a primeira vez que aparece sistematizada a aritmética (+, -, *, /, potencias e raíces) dos números positivos, negativos e o cero, que el chamaba os bens, as débedas e a nada. Así, por exemplo, para o cociente, establece:
Positivo dividido por positivo, ou negativo dividido por negativo, é afirmativo. Cifra dividido por cifra é nada (0/0
0). Positivo dividido por negativo é negativo. Negativo dividido por afirmativo é negativo. Positivo ou negativo dividido por cifra é unha fracción que a ten por denominador (a/0
¿? )
Non só utilizou os negativos nos cálculos, senón que os considerou como entidades illadas, sen facer referencia á xeometría. Todo isto conseguiuse grazas á súa despreocupación polo rigor e a fundamentación lóxica, e a súa mestura do práctico co formal.
Con todo o tratamento que fixeron dos negativos caeu no baleiro, e foi necesario que transcorresen varios séculos (ata o Renacemento) para que fose recuperado.
Ao parecer os chineses tamén posuían a idea de número negativo, e estaban afeitos calcular con eles utilizando varas negras para os negativos e vermellas para os positivos.
Transmisión do sistema indo-arábigo a Occidente
Varios autores do século XIII contribuíron a esta difusión, destacan Alexandre de Villedieu (1225), Sacrobosco (circa 1195, ou 1200-1256) e sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, coñecido como Fibonacci, viaxou por Oriente e aprendeu dos árabes o sistema posicional hindú. Escribiu un libro, O Liber abaci, que trata no capítulo I a numeración posicional, nos catro seguintes as operacións elementais, nos capítulos VI e VII as fraccións: comúns, sesaxesimais e unitarias (non usa os decimais, principal vantaxe do sistema), e no capítulo XIV os radicais cadrados e cúbicos. Tamén contén o problema dos coellos que dá a serie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, .. ., u n {\displaystyle 1, 1, 2, 3, 5, 8, .. ., u_{n}} con u n
u n − 1 + u n − 2 {\displaystyle u_{n}
u_{n-1}+u_{n-2}}.
Non aparecen os números negativos, que tampouco consideraron os árabes, debido á identificación de número con magnitude (obstáculo que duraría séculos! ). A pesar da vantaxe dos seus algoritmos de cálculo, desataríase por diversas causas unha loita encarnizada entre abacistas e algoristas, ata o triunfo final destes últimos.
As fraccións continuas
Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), aínda que con exemplos numéricos, desenvolve unha raíz cadrada en fraccións continuas como hoxe: para calcular N {\displaystyle N}, sendo a {\displaystyle a} o maior número cuxo cadrado é menor que N {\displaystyle N} e b
N 2 − a 2 {\displaystyle b
N^{2}-a^{2}}, dáse: N − a
( N 2 − a 2 ) / ( N + a )
b / ( 2 a + N − a )
b / ( 2 a + ( b / 2 a +. .. ) ) {\displaystyle N-a
(N^{2}-a^{2})/(N+a)
b/(2a+N-a)
b/(2a+(b/2a+. .. ))} que coa súa notación escribía: n
a& b/2. a. & b/2. a. .. Así 18
4&2/8. &2/8, que dá as aproximacións 4+(1/4), 4+(8/33). ..
Sendo así os números irracionais aceptados con toda normalidade, pois se lles podía aproximar facilmente mediante números racionais.
Primeira formulación dos números complexos
Os números complexos eran en poucos casos aceptados como raíces ou solucións de ecuacións (M. Stifel (1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) e por case ningún como coeficientes). Estes números chamáronse inicialmente ficticii 'ficticios' (o termo "imaxinario" usado actualmente é reminiscente destas reticencias para consideralos números respectables). A pesar disto G. Cardano (1501-1576) coñece a regra dos signos e R. Bombelli (1526-1573) as regras aditivas a través de haberes e débitos, pero considéranse manipulacións formais para resolver ecuacións, sen entidade ao non provir da medida ou o cálculo.
Cardano na resolución do problema dividir 10 en dúas partes tales que o seu produto valla 40 obtén como solucións 5 + − 15 {\displaystyle 5+{\sqrt {-15}}} (na súa notación 5p: Rm: 15) e 5 − − 15 {\displaystyle 5-{\sqrt {-15}}} (na súa notación 5m: Rm: 15), solucións que considerou meras manipulacións "sutís, pero inútiles".
Na resolución de ecuacións cúbicas coa fórmula de Cardano-Tartaglia, aínda que as raíces sexan reais, aparecen nos pasos intermedios raíces de números negativos. Nesta situación Bombelli di na súa Álxebra que tivo o que chamou "unha idea tola", esta era que os radicais podían ter a mesma relación que os radicandos e operar con eles, tratando de eliminalos despois. Nun texto posterior en 20 anos utiliza p. d. m. ( + i ) {\displaystyle (+\mathrm {i} )} para + − 1 {\displaystyle +{\sqrt {-1}}} e m. d. m. ( − m a t h r m i ) {\displaystyle (-\ mathrmi)} para ( − i ) {\displaystyle (-\mathrm {i} )} dando as regras para operar con estes símbolos engadindo que sempre que aparece unha destas expresións aparece tamén a súa conxugada, como nas ecuacións de 2º grao que resolve correctamente. Dá un método para calcular a + b i {\displaystyle a+b\mathrm {i} }.
Xeneralización das fraccións decimais
Aínda que se atopa un uso máis que casual das fraccións decimais na Arabia medieval e na Europa Renacentista, e xa en 1579 Viète (1540-1603) proclamaba o seu apoio a estas fronte ás sexaxesimais, e aceptábanas os matemáticos que se dedicaban á investigación, o seu uso xeneralizouse coa obra que Simon Stevin publicou en 1585 La Theinde (O décimo). Na súa definición 1ª di que O décimo é un especie de aritmética que permite efectuar todas as contas e medidas utilizando unicamente números naturais. Nas seguintes define a nosa parte enteira: calquera número que vaia o primeiro dise comezo e o seu signo é (0), (1ª posición decimal 1/10). O seguinte dise primeira e o seu signo é (1) (segunda posición decimal 1/100). O seguinte dise segunda (2). É dicir, os números decimais que escribe: 0, 375 como 3(1)7(2)5(3), ó 372, 43 como 372(0)4(1)3(2). Engade que non se utiliza ningún número roto (fraccións), e o número dos signos, exceptuando o 0, non excede nunca a 9.
Esta notación simplificouna Jost Burgüi (1552-1632) eliminando a mención á orde das cifras e substituíndoo por un ". " na parte superior das unidades 372·43, pouco despois Magín (1555-1617) usou o ". " entre as unidades e as décimas: 372. 43, uso que se xeneralizaría ao aparecer na Constructio de Napier(1550-1617) de 1619. A ", " tamén foi usada a comezos do século XVII polo holandés Willerbrod Snellius: 372, 43.
O principio de indución matemática
O seu antecedente é un método de demostración, chamado indución completa, por aplicación reiterada dun mesmo siloxismo que se estende indefinidamente e que usou Maurolyco (1494-1575) para demostrar que a suma dos primeiros n {\displaystyle n} números naturais impares é o cadrado do n {\displaystyle n} -ésimo termo, é dicir 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + ( 2 n − 1 )
n 2 {\displaystyle 1+3+5+7+\dots +(2n-1)
n^{2}}. Pascal (1623-1662) usou o método de indución matemática, na súa formulación abstracta, tal e como o coñecemos hoxe para probar propiedades relativas ao triángulo numérico que leva o seu nome. A demostración por indución consta sempre de dúas partes: o paso base e o paso indutivo, os cales se describen a continuación en notación moderna:
Se S {\displaystyle S} é un subconxunto dos números naturais (denotado por N {\displaystyle \mathbb {N} } ) onde cada elemento n {\displaystyle n} cumpre a propiedade P ( n ) {\displaystyle P(n)} tense que: 0 {\displaystyle 0} pertence a S {\displaystyle S}.
O feito de que n {\displaystyle n} sexa un membro de S {\displaystyle S} implica que n + 1 {\displaystyle n+1} tamén o é.
Entón S
N {\displaystyle S
\mathbb {N} }, é dicir que todos os números naturais n {\displaystyle n} teñen a propiedade P ( n ) {\displaystyle P(n)}.
De maneira intuitiva enténdese a indución como un efecto dominó. Supoñendo que se ten unha fila infinita de fichas de dominó, o paso base equivale a tirar a primeira ficha; doutra banda, o paso indutivo equivale a demostrar que se algunha ficha cae, entón a ficha seguinte tamén caerá. A conclusión é que se poden tirar todas as fichas desa fila.
A interpretación xeométrica dos números complexos
Esta interpretación adoita ser atribuída a Gauss (1777-1855) que fixo a súa tese doutoral sobre o teorema fundamental do álxebra, enunciado por primeira vez por Harriot e Girard en 1631, con intentos de demostración realizados por D’Alembert, Euler e Lagrange, demostrando que as probas anteriores eran falsas e dando unha demostración correcta primeiro para o caso de coeficientes, e despois de complexos. Tamén traballou cos números enteiros complexos que adoptan a forma a + b i {\displaystyle a+bi}, con a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} enteiros. Este símbolo i {\displaystyle i} para − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} foi introducido por primeira vez por Euler en 1777 e difundido por Gauss na súa obra “Disquisitiones arithmeticae” de 1801.
A representación gráfica dos números complexos fora descuberta xa por Caspar Wessel (1745-1818) pero pasou desapercibida, e así o plano dos números complexos chámase “plano de Gauss” a pesar de non publicar as súas ideas ata 30 anos despois.
Desde a época de Girard (metade século XVII) coñecíase que os números reais pódense representar en correspondencia cos puntos dunha recta. Ao identificar agora os complexos cos puntos do plano os matemáticos sentiranse cómodos con estes números, ver é crer.
Descubrimento dos números transcendentes
A distinción entre números irracionais alxébricos e transcendentes data do século XVIII, na época en que Euler demostrou que e {\displaystyle e} e e 2 {\displaystyle e^{2}} son irracionais e Lambert que o é π. Os traballos de Legendre sobre a hipótese de que π podía non ser raíz dunha ecuación alxébrica con coeficientes racionais, sinalaron o camiño para distinguir distintos tipos de irracionais. Euler xa facía esta distinción en 1744 pero habería que esperar case un século para que se establecese claramente a existencia dos irracionais transcendentes nos traballos de Liouville, Hermite e Lindeman.
Liouville (1809-1882) demostrou en 1844 que todos os números da forma a 1 / 10 + a 2 / 102! + a 3 / 103! +. .. {\displaystyle a_{1}/10+a_{2}/10^{2! }+a_{3}/10^{3! }+. .. } (p. e. 0, 101001. .. .. ) son transcendentes.
Hermite (1822-1901) nunha memoria “Sobre a función exponencial” de 1873 demostrou a transcendencia de e {\displaystyle e} probando dunha forma moi sofisticada que a ecuación: c 0 + c 1 e +. .. .. . + c n e n
0 {\displaystyle c_{0}+c_{1}e+. .. .. .+c_{n}e^{n}
0} non pode existir.
Lindeman (1852-1939) na memoria “Sobre o número e {\displaystyle e} ” de 1882 proba que o número e non pode satisfacer a ecuación: c 1 e x + c 2 e x +. .. .. .. .. .. . + c n e x
0 {\displaystyle c_{1}e^{x}+c_{2}e^{x}+. .. .. .. .. .. .+c_{n}e^{x}
0} con x {\displaystyle x} e c i {\displaystyle c_{i}} alxébricos, polo tanto a ecuación e i x + 1
0 {\displaystyle e^{ix}+1
0} non ten solución para x algebraico, pero facendo x
π {\displaystyle x
\pi } temos e π i + 1
0 {\displaystyle e^{\pi i}+1
0}, entón x
π i {\displaystyle x
\pi i} non pode ser alxébrico e como i o é entón π é transcendente.
O problema 7 de Hilbert (1862-1943) que expón se a b {\displaystyle a^{b}}, co alxébrico distinto de cero e de un, e b irracional alxébrico, é transcendente resolveuno afirmativamente Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero non se sabe se son transcendentes ou non: e e {\displaystyle e^{e}}, e e e {\displaystyle e^{e^{e}}}, e e e e {\displaystyle e^{e^{e^{e}}}}, .. . Con todo e e 1/e si que son transcendentes.
Teorías dos irracionais
Ata mediados do século XIX os matemáticos contentábanse cunha comprensión intuitiva dos números e as súas sinxelas propiedades non son establecidas loxicamente ata o século XIX. A introdución do rigor na análise puxo de manifesto a falta de claridade e a imprecisión do sistema dos números reais, e esixía a súa estruturación lóxica sobre bases aritméticas.
Bolzano fixera un intento de construír os números reais baseándose en sucesións de números racionais, pero a súa teoría pasou desapercibida e non se publicou ata 1962. Hamilton fixo un intento, facendo referencia á magnitude tempo, a partir de particións de números racionais: se a
n 1 m 1 {\displaystyle a
{\cfrac {n_{1}}{m_{1}}}},
cando b
n 12 m 12 {\displaystyle b
{\cfrac {n_{1}^{2}}{m_{1}^{2}}}} e se a
n 2 m 2 {\displaystyle a
{\cfrac {n_{2}}{m_{2}}}} cando b
n 22 m 22 ⟶ a
b {\displaystyle b
{\cfrac {n_{2}^{2}}{m_{2}^{2}}}\quad \longrightarrow \quad a
{\sqrt {b}}} pero non desenvolveu máis a súa teoría.
Pero no mesmo ano 1872 cinco matemáticos, un francés e catro alemáns, publicaron os seus traballos sobre a aritmetización dos números reais: Charles Meray (1835-1911) na súa obra “Noveau preçis d’analyse infinitesimale” define o número irracional como un límite de sucesións de números racionais, sen ter en conta que a existencia mesma do límite presupón unha definición do número real.
Hermann Heine (1821-1881) publicou, no Journal de Crelle en 1872, o seu artigo "Os elementos da teoría de funcións", onde propoñía ideas similares ás de Cantor, teoría que en conxunto chámase actualmente "teorema de Heine-Cantor".
Richard Dedekind (1831-1916) publica o seu “Stetigkeit und irrationale zahlen”. A súa idea baséase na continuidade da recta real e nos “buracos” que hai se só consideramos os números racionais. Na sección dedicada ao “dominio R” enuncia un axioma polo que se establece a continuidade da recta: “cada punto da recta divide os puntos desta en dúas clases tales que cada punto da primeira atópase á esquerda de cada punto da segunda clase, entón existe un único punto que produce esta división”. Esta mesma idea utilízaa na sección “creación dos números irracionais” para introducir o seu concepto de “ cortadura”. Bertrand Russell apuntaría despois que é suficiente cunha clase, pois esta define á outra.
Georg Cantor (1845-1918). Define os conceptos de: sucesión fundamental, sucesión elemental, e límite dunha sucesión fundamental, e partindo deles define o número real.
Karl Weierstrass (1815-1897). Non chegou a publicar o seu traballo, continuación dos de Bolzano, Abel e Cauchy, pero foi coñecido polos seus ensinos na Universidade de Berlín. A súa caracterización baseada nos “intervalos encaixados”, que poden contraerse a un número racional pero non necesariamente o fan, non é tan xeneralizable como as anteriores, pero proporciona fácil acceso á representación decimal dos números reais.
Álxebras hipercomplexas
A construción de obtención dos números complexos a partir dos números reais, e a súa conexión co grupo de transformacións afíns no plano suxeriu a algúns matemáticos outras xeneralizacións similares coñecidas como números hipercomplexos. En todas estas xeneralizacións os números complexos son un subconxunto destes novos sistemas numéricos, aínda que estas xeneralizacións teñen a estrutura matemática de álxebra sobre un corpo, pero neles a operación de multiplicación non é conmutativa.
Teoría de conxuntos
A teoría de conxuntos suxeriu moitas e variadas formas de estender os números naturais e os números reais de formas diferentes a como os números complexos estendían ao conxunto dos números reais. O intento de capturar a idea de conxunto cun número non finito de elementos levou á aritmética de números transfinitos que xeneralizan aos naturais, pero non aos números enteiros. Os números transfinitos foron introducidos por Georg Cantor cara a 1873.
Os números hiperreais usados na análise non estándar xeneralizan ao reais pero non aos números complexos (aínda que admiten unha complexificación que xeneralizaría tamén aos números complexos). Aínda que parece, os números hiperreais non proporcionan resultados matemáticos interesantes que vaian máis aló dos obtenibles na análise real, algunhas demostracións e probas matemáticas parecen máis simples no formalismo dos números hiperreais, polo que non están exentos de importancia práctica.
Socialmente
Os número naturais pola necesidade de contar
Os números fraccionarios pola necesidade de medir partes dun todo, e compartir
Os enteiros negativos por fenómenos de dobre sentido: esquerda-dereita, arriba-abaixo, perda- ganancia
Os números reais pola necesidade de medir segmentos
Os números complexos por esixencias de resolver ecuacións alxébricas, como o caso das cúbicas ou de x2 + 10 Sistemas de representación dos números
Cifra, díxito e numeral
Unha das formas máis frecuentes de representar números por escrito consiste nun "conxunto finito de símbolos" ou díxitos, que adecuadamente combinados permiten formar cifras que funcionan como representacións de números (cando unha secuencia específica de signos emprégase para representar un número chámaselle numeral, aínda que unha cifra tamén pode representar simplemente un código identificativo).
Base numérica
Tanto as linguas naturais como a maior parte de sistemas de representación de números mediante cifras, usan un inventario finito de unidades para expresar unha cantidade moito maior de números. Unha maneira importante de lograr iso é o uso dunha base aritmética neses sistemas un número exprésase en xeral mediante suma ou multiplicación de números. Os sistemas puramente aritméticos recorren a bases onde cada signo recibe unha interpretación diferente segundo a súa posición. Así no seguinte numeral arábigo (base 10): 13568 {\displaystyle 13568\, } O <8> por estar en última posición representa unidades, o <6> representa decenas, o <5> centenas, o <3> milleiros e o <1> decenas de milleiros. É dicir, ese numeral representara o número: n ⟨ 13568 ⟩
1 ⋅ 104 + 3 ⋅ 103 + 5 ⋅ 102 + 6 ⋅ 101 + 8 ⋅ 100
13568 {\displaystyle n_{\langle 13568\rangle }
1\cdot 10^{4}+3\cdot 10^{3}+5\cdot 10^{2}+6\cdot 10^{1}+8\cdot 10^{0}
13568} Moitas linguas do mundo usan unha base decimal, igual que o sistema arábigo, aínda que tamén é frecuente que as linguas usen sistemas vixesimais (base 20). De feito a idea de usar un número finito de díxitos ou signos para representar números arbitrariamente grandes funciona para calquera base b, onde b é un número enteiro maior ou igual que 2. Os computadores frecuentemente usan para as súas operacións a base binaria (b
2), e para certos usos tamén se emprega a base octal (b
8 ) ou hexadecimal (b
16). A base coincide co número de signos primarios, se un sistema posicional ten b símbolos primarios que designaremos por { 0, 1, 2 …, b − 1 } {\displaystyle \{0, 1, 2\dots, b-1\}}, o numeral: S n S n − 1 … S 2 S 1 S 0 S i ∈ { 0, 1, 2 …, b − 1 } {\displaystyle S_{n}S_{n-1}\dots S_{2}S_{1}S_{0}\qquad S_{i}\in \{0, 1, 2\dots, b-1\}} Designará o número: n ⟨ S n S n − 1 … S 2 S 1 S 0 ⟩
S n ⋅ b n + ⋯ + S 2 ⋅ b 2 + S 1 ⋅ b 1 + S 0 ⋅ b 0
∑ k
0 n S k b k {\displaystyle n_{\langle S_{n}S_{n-1}\dots S_{2}S_{1}S_{0}\rangle }
S_{n}\cdot b^{n}+\dots +S_{2}\cdot b^{2}+S_{1}\cdot b^{1}+S_{0}\cdot b^{0}
\sum _{k 0}^{n}S_{k}b^{k}}
Números nas linguas naturais
As linguas naturais usan nomes ou numerais para os números frecuentemente baseados na contaxe mediante dedos, razón pola cal a maioría das linguas usan sistemas de numeración en base 10 (dedos das mans) ou base 20 (dedos de mans e pés), aínda que tamén existen algúns sistemas exóticos que empregan outras bases.