Serie telescópica

En matemáticas, unha serie telescópica é unha serie cuxo termo xeral t n {\displaystyle t_{n}} é da forma t n
a n + 1 − a n {\displaystyle t_{n}
a_{n+1}-a_{n}}, é dicir, a diferenza de dous termos consecutivos dunha secuencia ( a n ) {\displaystyle (a_{n})}. Como consecuencia, as sumas parciais da serie só consisten en dous termos de ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} despois da cancelación. A técnica de cancelación, con parte de cada termo cancelándose con parte do seguinte, coñécese como método das diferenzas. Definición
As sumas telescópicas cando son finitas os pares de termos consecutivos cancélanse en parte, deixando só os termos iniciais e finais. Sexa a n {\displaystyle a_{n}} os elementos dunha secuencia de números. Entón ∑ n
1 N ( a n − a n − 1 )
a N − a 0. {\displaystyle \sum _{n
1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)
a_{N}-a_{0}. } Se a n {\displaystyle a_{n}} converxe a un límite L {\displaystyle L}, a serie telescópica, que é infinita, dá: ∑ n
1 ∞ ( a n − a n − 1 )
L − a 0. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)
L-a_{0}. } Exemplos
Usando a propiedade de que o cadrado do número enteiro A é a suma dos primeiros números enteiros A impares: A 2
∑ i
1 A 2 i − 1 {\displaystyle A^{2}
\sum _{i
1}^{A}2i-1} E así sumando os termos un a un comezando polo último temos unha suma telescópica: ∑ i
1 a ( 2 i − 1 )
a 2 − ( a − 1 ) 2 + ( a − 1 ) 2 − ( a − 2 ) 2 + ( a − 2 ) 2 −. .. + 1 − 1
a 2 {\displaystyle \sum _{i
1}^{a}{(2i-1)}
a^{2}-{\cancel {(a-1)^{2}}}+{\cancel {(a-1)^{2}}}-{\cancel {(a-2)^{2}}}+{\cancel {(a-2)^{2}}}-. .. +{\cancel {1}}-{\cancel {1}}
a^{2}} Así, por exemplo a
5 {\displaystyle a
5}; a 2
1 + 3 + 5 + 7 + 9
25 {\displaystyle a^{2}
1+3+5+7+9
25} A serie ∑ n
1 ∞ 1 n ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}} é a serie de recíprocos dos números oblongos, e é recoñecíbel como unha serie telescópica unha vez reescrita en forma de fracción parcial ∑ n
1 ∞ 1 n ( n + 1 )
∑ n
1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 )
lim N → ∞ ∑ n
1 N ( 1 n − 1 n + 1 )
lim N → ∞ [ ( 1 − 12 ) + ( 12 − 13 ) + ⋯ + ( 1 N − 1 N + 1 ) ]
lim N → ∞ [ 1 + ( − 12 + 12 ) + ( − 13 + 13 ) + ⋯ + ( − 1 N + 1 N ) − 1 N + 1 ]
lim N → ∞ [ 1 − 1 N + 1 ]
1. {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}
\sum _{n
1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}
\lim _{N\to \infty }\sum _{n
1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}
\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}
\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}
\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack
1. \end{aligned}}} Moitas funcións trigonométricas tamén admiten representación como diferenzas, o que pode revelar cancelación telescópica entre os termos consecutivos. Usando a identidade de adición de ángulos para un produto de senos, ∑ n
1 N sin ⁡ ( n )
∑ n
1 N 12 csc ⁡ ( 12 ) ( 2 sin ⁡ ( 12 ) sin ⁡ ( n ) )
12 csc ⁡ ( 12 ) ∑ n
1 N ( cos ⁡ ( 2 n − 12 ) − cos ⁡ ( 2 n + 12 ) )
12 csc ⁡ ( 12 ) ( cos ⁡ ( 12 ) − cos ⁡ ( 2 N + 12 ) ), {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n
1}^{N}\sin \left(n\right)&{}
\sum _{n
1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}
{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n
1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}
{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right), \end{aligned}}} que non converxe cando N → ∞. {\textstyle N\rightarrow \infty. } Aplicacións
Na teoría da probabilidade, un proceso de Poisson é un proceso estocástico no que o caso máis sinxelo implica "ocurrencias" en momentos aleatorios, o tempo de espera ata a seguinte ocorrencia ten unha distribución exponencial sen memoria e o número de "ocurrencias" en calquera intervalo de tempo ten unha distribución distribución de Poisson cuxo valor esperado é proporcional á lonxitude do intervalo de tempo. Sexa Xt o número de "ocurrencias" antes do tempo t, e sexa Tx o tempo de espera ata a x-ésima "ocurrencia". Procuramos a función de densidade de probabilidade da variábel aleatoria Tx. Usamos a función masa de probabilidade para a distribución de Poisson, que nos indica que Pr ( X t
x )
( λ t ) x e − λ t x! , {\displaystyle \Pr(X_{t}
x)
{\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x! }}, } onde λ é o número medio de ocorrencias en calquera intervalo de tempo de lonxitude 1. Observe que o evento {Xt ≥ x} é o mesmo que o evento {Tx ≤ t } e, polo tanto, teñen a mesma probabilidade. Intuitivamente, se algo ocorre polo menos x {\displaystyle x} veces antes do tempo t {\displaystyle t}, temos que esperar como moito t {\displaystyle t} para a ocorrencia x {\displaystyle x} -ava. A función de densidade que procuramos é polo tanto f ( t )
d d t Pr ( T x ≤ t )
d d t Pr ( X t ≥ x )
d d t ( 1 − Pr ( X t ≤ x − 1 ) )
d d t ( 1 − ∑ u
0 x − 1 Pr ( X t
u ) )
d d t ( 1 − ∑ u
0 x − 1 ( λ t ) u e − λ t u! )
λ e − λ t − e − λ t ∑ u
1 x − 1 ( λ u t u − 1 ( u − 1 )! − λ u + 1 t u u! ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}
{\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)
{\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)
{\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}
{\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u
0}^{x-1}\Pr(X_{t}
u)\right)
{\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u
0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u! }}\right)\\\\&{}
\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u
1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)! }}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u! }}\right)\end{aligned}}} A suma é telescópica, con resultado f ( t )
λ x t x − 1 e − λ t ( x − 1 )! . {\displaystyle f(t)
{\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)! }}. } Conceptos relacionados
Un produto telescópico é un produto finito (ou o produto parcial dun produto infinito) que pode ser cancelado polo método dos cocientes para deixar finalmente só un número finito de factores. Son os produtos finitos nos que os termos consecutivos cancelan denominador con numerador, ficando só os termos iniciais e finais. Sexa a n {\displaystyle a_{n}} unha secuencia de números. Entón, ∏ n
1 N a n − 1 a n
a 0 a N. {\displaystyle \prod _{n
1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}
{\frac {a_{0}}{a_{N}}}. } Se a n {\displaystyle a_{n}} converxe a 1, o produto resultante dá: ∏ n
1 ∞ a n − 1 a n
a 0 {\displaystyle \prod _{n
1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}
a_{0}} Por exemplo, o produto infinito ∏ n
2 ∞ ( 1 − 1 n 2 ) {\displaystyle \prod _{n
2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)} simplifica como ∏ n
2 ∞ ( 1 − 1 n 2 )
∏ n
2 ∞ ( n − 1 ) ( n + 1 ) n 2
lim N → ∞ ∏ n
2 N n − 1 n × ∏ n
2 N n + 1 n
lim N → ∞ [ 12 × 23 × 34 × ⋯ × N − 1 N ] × [ 32 × 43 × 54 × ⋯ × N N − 1 × N + 1 N ]
lim N → ∞ [ 12 ] × [ N + 1 N ]
12 × lim N → ∞ [ N + 1 N ]
12. {\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n
2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&
\prod _{n
2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&
\lim _{N\to \infty }\prod _{n
2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n
2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&
\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&
\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&
{\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&
{\frac {1}{2}}. \end{aligned}}}