Grafo bipartito

No campo matemático da teoría de grafos, un grafo bipartito (ou bigrafo) é un grafo cuxos vértices se poden dividir en dous conxuntos disxuntos e independentes U {\displaystyle U} e V {\displaystyle V}, é dicir, cada aresta conecta un vértice en U {\displaystyle U} a outro en V {\displaystyle V}. Os conxuntos de vértices U {\displaystyle U} e V {\displaystyle V} adoitan denominarse partes do grafo. De forma equivalente, un grafo bipartito é un grafo que non contén ciclos de lonxitude impar. Escríbese moitas veces G
( U, V, E ) {\displaystyle G
(U, V, E)} para denotar un grafo bipartito cuxa partición ten as partes U {\displaystyle U} e V {\displaystyle V}, con E {\displaystyle E} denotando as arestas do grafo. Se un grafo bipartito non está conectado, pode ter máis dunha bipartición; neste caso, a notación ( U, V, E ) {\displaystyle (U, V, E)} é útil para especificar unha bipartición particular que pode ser de importancia nunha aplicación. Se | U |
| V | {\displaystyle |U|
|V|}, é dicir, se os dous subconxuntos teñen a mesma cardinalidade, entón G {\displaystyle G} chámase grafo bipartito equilibrado. Se todos os vértices do mesmo lado da bipartición teñen o mesmo grao, entón G {\displaystyle G} chámase birregular. Exemplos
O exemplo máis común acontece cando se modelan relacións entre dúas clases diferentes de obxectos. Por exemplo, un grafo de xogadores de equipos de chave, cunha ligazón entre un xogador e un equipo se o xogador xoga nese equipo, é un exemplo natural dunha rede de afiliación, un tipo de grafo bipartito usado na análise de redes sociais.
Exemplos máis abstractos inclúen os seguintes: Toda árbore é bipartita. Os grafos ciclo cun número par de vértices son bipartitos.
Todo grafo plano cuxas caras teñen todas as lonxitudes par é bipartito. O grafo bipartito completo en m e n vértices, indicado como Kn, m é o grafo bipartito G
( U, V, E ) {\displaystyle G
(U, V, E)}, onde U e V son conxuntos disxuntos de tamaño m e n, respectivamente, e E conecta cada vértice en U con todos os vértices en V. Dedúcese que K m, n ten mn arestas. Intimamente relacionados cos grafos bipartitos completos están os grafos de coroa, formados a partir de grafos bipartitos completos eliminando as arestas dunha coincidencia perfecta. Propiedades
Caracterización
Os grafos bipartitos poden caracterizarse de varios xeitos diferentes: Un grafo non dirixido é bipartito se e só se non contén un ciclo impar.
Un grafo é bipartito se e só se é de 2 cores, (é dicir, o seu número cromático é menor ou igual a 2).
Un grafo é bipartito se e só se cada aresta pertence a un número impar de cortes, os subconxuntos mínimos de arestas cuxa eliminación aumenta o número de compoñentes do grafo.
Un grafo é bipartito se e só se o espectro do grafo é simétrico.
Teorema de Kőnig e grafos perfectos
Nos grafos bipartitos, o tamaño da cobertura mínima do vértice é igual ao tamaño da coincidencia máxima; este é o teorema de Kőnig. Outra clase de resultados relacionados refírense aos grafos perfectos: todo grafo bipartito, o complemento de cada grafo bipartito, o grafo de liñas de cada grafo bipartito e o complemento do grafo de liñas de cada grafo bipartito son todos perfectos. A perfección dos grafos bipartitos é fácil de ver (o seu número cromático é dous e o seu tamaño máximo de clique tamén é de dous) mais a perfección dos complementos dos grafos bipartitos é menos trivial, e é outra reformulación do teorema de Kőnig. Este foi un dos resultados que motivou a definición inicial de grafos perfectos.
Grao
Para un vértice, o número de vértices adxacentes chámase grao do vértice e denotase deg ⁡ v {\displaystyle \deg v}. A fórmula de suma de graos para un grafo bipartito indica que ∑ v ∈ V deg ⁡ v
∑ u ∈ U deg ⁡ u
| E |. {\displaystyle \sum _{v\in V}\deg v
\sum _{u\in U}\deg u
|E|\, .} A secuencia de graos dun grafo bipartito é o par de listas que contén cada unha os graos das dúas partes U {\displaystyle U} e V {\displaystyle V}. Por exemplo, o grafo bipartito completo K3, 5 ten unha secuencia de graos ( 5, 5, 5 ), ( 3, 3, 3, 3, 3 ) {\displaystyle (5, 5, 5), (3, 3, 3, 3, 3)}. Os grafos bipartitos isomorfos teñen a mesma secuencia de graos. Porén, a secuencia de graos non identifica, en xeral, de forma única un gráafo bipartito; nalgúns casos, os grafos bipartitos non isomorfos poden ter a mesma secuencia de graos.
Relación con hipergrafos e grafos dirixidos
A matriz de biadxacencia dun grafo bipartito ( U, V, E ) {\displaystyle (U, V, E)} é unha matriz (0, 1) de tamaño | U | × | V | {\displaystyle |U|\times |V|} que ten un un para cada par de vértices adxacentes e un cero para os non adxacentes. As matrices de biadxacencia pódense utilizar para describir equivalencias entre grafos bipartitos, hipergrafos e grafos dirixidos.
Un hipergrafo é unha estrutura combinatoria que, como un grafo non dirixido, ten vértices e arestas, mais na que as arestas poden unir conxuntos arbitrarios de vértices en lugar de ter que ter exactamente dous extremos. Un grafo bipartito ( U, V, E ) {\displaystyle (U, V, E)} pode usarse para modelar un hipergrafo no que U é o conxunto de vértices do hipergrafo, V é o conxunto de hiperarestas e E contén unha aresta desde un vértice de hipergrafo v ata unha aresta do hipergrafo e exactamente cando v é un dos extremos de e. Baixo esta correspondencia, as matrices de biadxacencia dos grafs bipartitos son exactamente as matrices de incidencia dos hipergrafos correspondentes.
Ciclo impar transversal
Un ciclo impar transversal é un problema algorítmico NP-completo que pregunta, dada un grafo G (V, E) e un número k, se existe un conxunto de k vértices cuxa eliminación de G faría que o grafo resultante fose bipartito.
Coincidencia
Unha coincidencia nun grafo é un subconxunto das súas arestas, das que non hai dúas que compartan un punto final. Os algoritmos de tempo polinómico son coñecidos por moitos problemas algorítmicos sobre coincidencias, incluíndo a coincidencia máxima (atopar unha coincidencia que utilice o maior número de arestas posíbel), a coincidencia de peso máximo e o matrimonio estábel.