Siméon Denis Poisson

Siméon Denis Poisson, nado en Pithiviers o 21 de xuño de 1781 e finado en París o 25 de abril de 1840, foi un matemático e físico francés. Traxectoria
Siméon Denis Poisson naceu en Pithiviers, Loiret, fillo do soldado Siméon Poisson.
En 1798 entrou na École Polytechnique de París como primeiro colocado da súa clase, atraendo inmediatamente a atención dos profesores da escola, que o deixaron libre para escoller o que estudar. En 1800, menos de dous anos despois de seu ingreso, publicou dous traballos, un sobre o método de eliminación de Étienne Bézout, e outro sobre o número de integrais dunha ecuación en diferenzas finitas. Este último foi examinado por Sylvestre François Lacroix e Adrien-Marie Legendre, que recomendaron a súa publicación no Recueil des savants étrangers, unha honra sen precedentes para un mozo de dezaoito anos.
Poisson desenvolveu o expoñente de Poisson, usado na transformación adiabática dun gas. Este expoñente é a razón entre a capacidade térmica molar dun gas a presión constante e a capacidade térmica molar dun gas a volume constante. A lei de transformación adiabática dun gas di que o produto entre a presión dun gas e o seu volume elevado ao expoñente de Poisson é constante. Contribucións
Teoría do potencial
É coñecida a corrección de Poisson da ecuación diferencial de segunda orde de Laplace para o potencial: ∇ 2 ϕ
− 4 π ρ {\displaystyle \nabla ^{2}\phi
-4\pi \rho \; } que leva o seu nome (ecuación de Poisson) ou o de ecuación da teoría do potencial, publicada por primeira vez no boletín da Société Philomatique de Paris (1813). Se a función nun punto dado é ρ
0, entón obtense a ecuación de Laplace: ∇ 2 ϕ
0. {\displaystyle \nabla ^{2}\phi
0\; .} En 1812 Poisson descubriu que a ecuación de Laplace é válida unicamente fóra dun sólido. Unha proba rigorosa de masas con densidade variable deuna por primeira vez Carl Friedrich Gauss en 1839. Ambas as ecuacións teñen os seus equivalentes no cálculo vectorial. A ecuación de Poisson para o operador laplaciano dun campo escalar; φ no espazo tridimensional é: ∇ 2 ϕ
ρ ( x, y, z ). {\displaystyle \nabla ^{2}\phi
\rho (x, y, z)\; .} Considerando por exemplo a ecuación de Poisson para o potencial eléctrico nunha superficie; Ψ como unha función da densidade de carga eléctrica; ρe coñecido nun punto particular: ∇ 2 Ψ
∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2
− ρ e ε ε 0. {\displaystyle \nabla ^{2}\Psi
{\partial ^{2}\Psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Psi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\Psi \over \partial z^{2}}
-{\rho _{e} \over \varepsilon \varepsilon _{0}}\; .} A distribución da carga nun fluído é descoñecida e debe empregarse a ecuación de Poisson-Boltzmann: ∇ 2 Ψ
n 0 e ε ε 0 ( e e Ψ ( x, y, z ) / k B T − e − e Ψ ( x, y, z ) / k B T ), {\displaystyle \nabla ^{2}\Psi
{n_{0}e \over \varepsilon \varepsilon _{0}}\left(e^{e\Psi (x, y, z)/k_{B}T}-e^{-e\Psi (x, y, z)/k_{B}T}\right), \; } que na mioría dos casos non se pode resolver analiticamente. En coordenadas polares a ecuación de Poisson-Boltzmann ten a forma: 1 r 2 d d r ( r 2 d Ψ d r )
n 0 e ε ε 0 ( e e Ψ ( r ) / k B T − e − e Ψ ( r ) / k B T ) {\displaystyle {1 \over r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d\Psi \over dr}\right)
{n_{0}e \over \varepsilon \varepsilon _{0}}\left(e^{e\Psi (r)/k_{B}T}-e^{-e\Psi (r)/k_{B}T}\right)\; } que tampouco se pode resolver analiticamente. Se un campo φ non é escalar, a ecuación de Poisson é válida, como pode ser por exemplo no espazo de Minkowski 4-dimensional: ϕ i k
ρ ( x, y, z, c t ). {\displaystyle {\sqrt {\phi }}_{ik}
\rho (x, y, z, ct)\; .} Se ρ(x, y, z) é unha función continua e se cando r→∞ (ou se un punto se move cara ao infinito) a función φ tende a 0 suficientemente rápido, unha solución da ecuación de Poisson é a do potencial newtoniano dunha función ρ(x, y, z): ϕ M
− 14 π ∫ ρ ( x, y, z ) d v r {\displaystyle \phi _{M} -{1 \over 4\pi }\int {\rho (x, y, z)\, dv \over r}\; } onde r é a distancia entre un elemento de volume dv e un punto M. A integración execútase en todo o espazo.
Outra "integral de Poisson" é a solución para a función de Green para a ecuación de Laplace coa condición de Dirichlet sobre un disco circular: ϕ ( ξ η )
14 π ∫ 02 π R 2 − ρ 2 R 2 + ρ 2 − 2 R ρ cos ⁡ ( ψ − χ ) ϕ ( χ ) d χ {\displaystyle \phi (\xi \eta )
{1 \over 4\pi }\int _{0}^{2\pi }{R^{2}-\rho ^{2} \over R^{2}+\rho ^{2}-2R\rho \cos(\psi -\chi )}\phi (\chi )\, d\chi \; } onde ξ
ρ cos ⁡ ψ, {\displaystyle \xi
\rho \cos \psi, \; } η
ρ sin ⁡ ψ, {\displaystyle \quad \eta
\rho \sin \psi, \; } φ é unha condición de veciñanza imposta na veciñanza do disco.
Do mesmo xeito, defínese a función de Green para a ecuación de Laplace coa condición de Dirichlet, ∇²φ
0 sobre unha esfera de raio R. Neste caso, a función de Green é: G ( x, y, z; ξ, η, ζ )
1 r − R r 1 ρ, {\displaystyle G(x, y, z; \xi, \eta, \zeta )
{1 \over r}-{R \over r_{1}\rho }\; ,} onde ρ
ξ 2 + η 2 + ζ 2 {\displaystyle \rho {\sqrt {\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}} é a distancia dun punto (ξ, η, ζ) dende o centro da esfera, r é a distancia entre os puntos (x, y, z) e (ξ, η, ζ), e r1 é a distancia entre o punto (x, y, z) e o punto (Rξ/ρ, Rη/ρ, Rζ/ρ), simétrico do punto (ξ, η, ζ).
A integral de Poisson ten agora a forma: ϕ ( ξ, η, ζ )
14 π ∬ S R 2 − ρ 2 R r 3 ϕ d s. {\displaystyle \phi (\xi, \eta, \zeta )
{1 \over 4\pi }\iint _{S}{R^{2}-\rho ^{2} \over Rr^{3}}\phi \, ds\; .}
Matemáticas
Nas matemáticas puras, os seus traballos máis importantes foron a súa serie de estudos sobre integrais definidas e a súa discusión sobre as series de Fourier; o primeiro supuxo crear un camiño para os estudos clásicos de Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Bernhard Riemann sobre o mesmo tema. Localízanse no Journal da École Polytechnique dende 1813 a 1823, e nas Memoirs de l'Académie de 1823. Estudou tamén a integral de Fourier. Cómpre sinalar tamén o seu ensaio sobre o cálculo de variacións (Mem. de l'acad. , 1833), e os seus traballos sobre a probabilidade da media (Connaiss. d. temps, 1827, &c). A distribución de Poisson en teoría da probabilidade recibe o seu nome.
Outros traballos
En 1815 Poisson estudou as integrais no plano complexo, e en 1831 obtivo as ecuacións de Navier-Stokes independentemente de Claude-Louis Navier.