Espazo vectorial xerado

En matemáticas, o espazo vectorial xerado por un conxunto S {\displaystyle S} (sistema xerador, en inglés span) dalgúns elementos dun espazo vectorial V {\displaystyle V} é o subespazo linear máis pequeno de V {\displaystyle V} que contén S. {\displaystyle S. } É o conxunto de todas as combinacións lineares finitas dos elementos de S, e tamén se pode ver como a intersección de todos os subespazos lineares que conteñen S. {\displaystyle S. } Moitas veces denotado como span(S) ou ⟨ S ⟩. {\displaystyle \langle S\rangle. } Por exemplo, en xeometría, dous vectores linearmente independentes xeran un plano. Definición
Dado un espazo vectorial V sobre un corpo K, o espazo vectorial xerado por un conxunto S de vectores (non necesariamente finito) defínese como a intersección W de todos os subespazos de V que conteñen a S. É polo tanto o subespazo máis pequeno (na inclusión de conxuntos) que contén W. Denomínase subespazo xerado por S, ou polos vectores en S. Se trocamos a orde da frase, S é o sistema xerador de W, e dicimos que S xera W.
Desta definición despréndese que o espazo vectorial xerado por S é o conxunto de tódalas combinacións lineares finitas de elementos (vectores) de S, e pódese definir como tal. É dicir, span ⁡ ( S )
{ λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + ⋯ + λ n v n ∣ n ∈ N, v 1, .. . v n ∈ S, λ 1, .. . λ n ∈ K } {\displaystyle \operatorname {span} (S)
{\biggl \{}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid n\in \mathbb {N}, \; \mathbf {v} _{1}, .. .\mathbf {v} _{n}\in S, \; \lambda _{1}, .. .\lambda _{n}\in K{\biggr \}}} Exemplos
O espazo vectorial real R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ten {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como sistema xerador. Este conxunto tamén é unha base. Se (−1, 0, 0) fose substituído por (1, 0, 0), tamén formaría unha base denominada base canónica de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.
Outro sistema xerador para o mesmo espazo vén dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1⁄2, 3), (1, 1, 1)}, mais este conxunto non é unha base, porque é linearmente dependente.
O conxunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } non é un conxunto xerador de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, porque o que xera ese conxunto é un espazo con todos os vectores en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} cuxo último compoñente é cero. Ese espazo tamén se pode xerar polo conxunto de só dous vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, xa que o terceiro (1, 1, 0) é unha combinación linear de (1, 0, 0) e (0, 1, 0). Por tanto, o espazo xerado non é R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, senón un plano de dúas dimensións dentro de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.
O conxunto de monomios xn, onde n é un número enteiro non negativo, xera o espazo dos polinomios. Teoremas
Equivalencia de definicións
O conxunto de todas as combinacións lineares dun subconxunto S de V, un espazo vectorial sobre K, é o subespazo linear máis pequeno de V que contén a S.
O tamaño do sistema xerados é polo menos o tamaño do conxunto linearmente independente
Todo sistema xerador S dun espazo vectorial xerado V debe conter polo menos tantos elementos como calquera conxunto linearmente independente de vectores de V.
O sistema xerador pódese reducir a unha base
Sexa V un espazo vectorial de dimensión finita. Calquera conxunto de vectores que xera V pódese reducir a unha base de V, descartando algúns vectores se é necesario (é dicir, se hai vectores linearmente dependentes no conxunto). Se o axioma de escolla é válido, isto é certo tamén para dimensión infinita. Isto tamén indica que unha base é un sistema xerador mínimo cando V é de dimensión finita. Espazo vectorial xerado pechado (análise funcional)
Na análise funcional, unha espazo vectorial pechado xerado por un conxunto de vectores é o conxunto pechado mínimo que contén o sistema xerador dese conxunto.
Supoña que X é un espazo vectorial normado e sexa E calquera subconxunto non baleiro de X. O espazo vectorial pechado xerado por E, denotado como Sp ¯ ( E ) {\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)} ou Span ¯ ( E ) {\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}, é a intersección de todos os subespazos lineares pechados de X que conteñen E.
Unha formulación matemática disto é Sp ¯ ( E )
{ u ∈ X | ∀ ε > 0 ∃ x ∈ Sp ⁡ ( E ): ‖ x − u ‖ < ε }. {\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)
\{u\in X|\forall \varepsilon >0\, \exists x\in \operatorname {Sp} (E): \|x-u\|<\varepsilon \}. }
Un lema útil
Sexa X un espazo normado e sexa E calquera subconxunto non baleiro de X. DaquelModelo: Ordered list(Por tanto, a forma habitual de atopar o espazo vectorial pechado xerado é atopar primeiro o espazo vectorial xerado e despois o peche dese espazo vectorial).