Posición (xeometría)

En xeometría, unha posición ou vector de posición, é un vector euclidiano que representa un punto P no espazo. A súa lonxitude representa a distancia en relación a unha orixe de referencia arbitraria O, e a súa dirección representa a orientación angular con respecto a eixes de referencia dados. Normalmente denotado por x, r ou s, corresponde ao segmento de recta de O a P. Noutras palabras, é o desprazamento que asigna a orixe a P: r
O P →. {\displaystyle \mathbf {r}
{\overrightarrow {OP}}. } O termo vector de posición úsase principalmente nos campos da xeometría diferencial, mecánica e ocasionalmente cálculo vectorial. Posición relativa
A posición relativa dun punto Q con respecto ao punto P é o vector euclidiano resultante da resta dos dous vectores de posición absoluta (cada un respecto á orixe): Δ r
s − r
P Q →, {\displaystyle \Delta \mathbf {r}
\mathbf {s} -\mathbf {r}
{\overrightarrow {PQ}}, } onde s
O Q → {\displaystyle \mathbf {s}
{\overrightarrow {OQ}}}.
A dirección relativa entre dous puntos é a súa posición relativa normalizada como un vector unitario: Δ r ^
Δ r / ‖ Δ r ‖, {\displaystyle \Delta \mathbf {\hat {r}}
\Delta \mathbf {r} /\|\Delta \mathbf {r} \|, } onde o denominador é a distancia entre os dous puntos, ‖ Δ r ‖ {\displaystyle \|\Delta \mathbf {r} \|}. Unha dirección relativa é un vector ligado, en contraste cunha dirección ordinaria, que é un vector libre. Definición e representación
En tres dimensións
En tres dimensións, pódese usar calquera conxunto de coordenadas tridimensionais e os seus correspondentes vectores de base para definir a localización dun punto no espazo; pódese utilizar o que sexa o máis sinxelo para a tarefa que se está a realizar.
Comunmente, úsase o sistema de coordenadas cartesiano, ou ás veces coordenadas polares esféricas ou coordenadas cilíndricas: r ( t ) ≡ r ( x, y, z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r, θ, ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ), ϕ ( t ) ) ≡ r ( r, ϕ, z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( ϕ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z, {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x, y, z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r, \theta, \phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t), \phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r, \phi, z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}, \\\end{aligned}}} onde t é un parámetro, debido á súa simetría rectangular ou circular. Estas diferentes coordenadas e os correspondentes vectores de base representan o mesmo vector de posición. No seu lugar pódense usar coordenadas curvilíneas máis xerais e están en contextos como a mecánica de continuos e a relatividade xeral (neste último caso necesítase unha coordenada temporal adicional).
n dimensións
A álxebra linear permite a abstracción dun vector de posición n-dimensional. Un vector de posición pódese expresar como unha combinación linear de vectores dunha base: r
∑ i
1 n x i e i
x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n. {\displaystyle \mathbf {r}
\sum _{i
1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}
x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}. } Derivadas
Para un vector de posición r que é función do tempo t, podemos calcular as derivadas en relación ao tempo t. Estas derivadas teñen unha utilidade común no estudo da cinemática, a teoría do control, enxeñaría e outras ciencias. Velocidade v
d r d t, {\displaystyle \mathbf {v}
{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}, } onde d r é un desprazamento infinitesimalmente pequeno.
Aceleración a
d v d t
d 2 r d t 2. {\displaystyle \mathbf {a}
{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}
{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}. } Sobreaceleración ou arrincada j
d a d t
d 2 v d t 2
d 3 r d t 3. {\displaystyle \mathbf {j}
{\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}
{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}
{\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}. } Estes nomes para as derivadas primeira, segunda e terceira de posición úsanse habitualmente na cinemática básica.