Lei de Ampère

En física do magnetismo, a lei de Ampère, modelada polo francés André-Marie Ampère en 1831, relaciona un campo magnético estático coa causa, é dicir, unha corrente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell corrixiuna posteriormente e agora é unha das ecuacións de Maxwell, formando parte do electromagnetismo da física clásica.
A lei de Ampère explica que a circulación da intensidade do campo magnético nunha contorna pechada é proporcional á corrente que percorre nesa contorna.
O campo magnético é un campo angular con forma circular, cunhas liñas que encerran a corrente. A dirección do campo nun punto é tanxento ao círculo que encerra a corrente.
O campo magnético diminúe inversamente coa distancia ao condutor. Ampliación da lei orixinal: lei de Ampère-Maxwell
A lei de Ampère-Maxwell ou lei de Ampère xeneralizada é a mesma lei corrixida por James Clerk Maxwell que introduciu a corrente de desprazamento, creando unha versión xeneralizada da lei e incorporándola ás ecuacións de Maxwell.
Forma integral
∮ C H → ⋅ d l →
∬ S J → ⋅ d S → + d d t ∬ S D → ⋅ d S → {\displaystyle \oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}
\iint _{S}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}+{d \over dt}\iint _{S}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}} sendo o último termo a corrente de desprazamento, sempre e cando a corrente sexa constante e directamente proporcional ao campo magnético, a á súa integral (E) pola súa masa relativa.
Forma diferencial
Esta lei tamén se pode expresar de forma diferencial, para o baleiro: ∇ → × B →
μ 0 J → + μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}
\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} ou para medios materiais ∇ → × H →
J → + ∂ D → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}
{\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}} Exemplo de aplicación
Fío condutor infinito
Campo magnético creado por un fío condutor de lonxitude infinita polo que circula unha corrente I 0 {\displaystyle I_{0}\, }, no baleiro.
O obxectivo é determinar o valor dos campos H → {\displaystyle {\vec {H}}}, B → {\displaystyle {\vec {B}}} e M → {\displaystyle {\vec {M}}} en todo o espezo.
Escríbese a lei de Ampère: ∮ C H → ⋅ d l →
I e n c {\displaystyle \oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}
I_{enc}}.
Empréganse coordenadas cilíndricas polas características de simetría do sistema.
Defínese unha curva arredor do condutor. É conveniente tomar unha circunferencia de raio ρ {\displaystyle \rho }.
O diferencial de lonxitude da curva será entón d l →
d l ϕ ^
r d ϕ ϕ ^ {\displaystyle d{\vec {l}}
dl{\hat {\phi }}
rd\phi {\hat {\phi }}} Para este caso, a corrente encerrada pola curva é a corrente do condutor: I {\displaystyle I\, } ∮ C i r c H → ⋅ ρ ⋅ d ϕ ϕ ^
I 0 {\displaystyle \oint _{Circ}{\vec {H}}\cdot \rho \cdot d\phi {\hat {\phi }}
I_{0}}.
Como o sistema posúe simetría radial (é indistinguible un punto calquera da circunferencia C {\displaystyle C\, } doutro que estea noutro ángulo sobre a mesma curva), pódese dicir que o campo H → {\displaystyle {\vec {H}}} e o raio ρ {\displaystyle \rho } son independentes da coordenada ϕ {\displaystyle \phi \, }. Polo tanto poden saír fóra da integral. Intégrase para toda a circunferencia, dende 0 a 2 π {\displaystyle 2\pi }. H → ⋅ ρ ⋅ ∫ 02 π d ϕ →
I 0 {\displaystyle {\vec {H}}\cdot \rho \cdot \int _{0}^{2\pi }d{\vec {\phi }}
I_{0}}.
A integral que queda non é máis que o perímetro da circunferencia: 2 π ρ {\displaystyle 2\pi \rho \, }.
Despexamos H → {\displaystyle {\vec {H}}} e queda en función de ρ {\displaystyle \rho }. A dirección é en ϕ ^ {\displaystyle {\hat {\phi }}}, pola regra da man dereita: Como se está a traballar no baleiro, μ
μ 0 {\displaystyle \mu
\mu _{0}}, polo tanto: E pola mesma razón, en ausencia de materiais magnéticos: Forma do ángulo sólido
Se c é un lazo pechado polo que circula unha corrente i, e Ω é o ángulo sólido formado polo circuíto e o punto en que se calcula o campo, entón a intensidade de campo magnético vén dada por: H →
i ∇ → Ω {\displaystyle {\vec {H}}
i\, {\vec {\nabla }}\, \Omega }