Teoría da representación

A teoría da representación é unha rama das matemáticas que estudas as estruturas alxébricas abstractas representando os seus elementos como transformación lineares de espazos vectoriais e estuda os módulos sobre esas estruturas. En esencia, unha representación converte un obxecto alxébrico abstracto nun ente máis concreto describindo os seus elementos mediante matrices e as súas operacións en termos de suma e produto de matrices. Os obxectos alxébricos que poden ter estas descricións inclúen os grupos, as álxebras asociativas e a álxebra de Lie. O primeiro e máis destacado destes obxectos é a teoría de representación de grupo, na que os elementos dun grupo se representan mediante matrices invertibles de xeito que a operación do grupo é a multiplicación de matrices.
A teoría da representación é un método útil porque reduce problemas da álxebra abstracta a problemas da álxebra linear, materia ben coñecida. Ademais, o espazo vectorial no que un grupo se representa pode ser infinito-dimensional, permitindo por exemplo que for un espazo de Hilbert, e poden aplicarse logo métodos da análise matemática. A teoría da representación tamén é importante na Física porque por exemplo describe como un grupo de simetría dun sistema físico afecta as solucións das ecuacións que describen o sistema.
A teoría da representación aparece en varios campos das matemáticas por dúas razóns. Primeiro, as aplicacións da teoría son variadas: Ademais do seu impacto na álxebra a teoría da representación: aclara e xeneraliza a análise de Fourier a través da análise harmónica,
conecta coa xeometría mediante a teoría dos invariantes e o programa Erlangen,
ten impacto na teoría de números a través das formas automórficas e o programa Langlands.
En segundo lugar, hai diferentes aproximacións á teoría da representación. Os mesmos obxectos poden estudarse empregando métodos da xeometría alxébrica, a teoría de módulos, a teoría de módulos analítica, a xeometría diferencial, a teoría dos operadores, a combinatoria alxébrica e a topoloxía.
O éxito da teoría da representación deu lugar a numerosas xeneralizacións. Unha das máis xerais é a teoría das categorías Os obxectos alxébricos sobre os que se aplica a teoría poden ser vistos como tipos particulares de categoría e as representacións como functores da categoría dos obxectos á categoría dos espazos vectoriais. Isto apunta a dúas xeneralizacións obvias: primeiro, os obxectos alxébricos poden substituírse por categorías máis xerais; segundo, a categoría obxectivo dos espazos vectoriais pode substituírse por outras categorías máis coñecidas. Definicións e conceptos
Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. Por exemplo, supóñase que V é Rn ou Cn, espazo n-dimensional estándar de vectores columna sobre os números reais ou os complexos respectivamente. Neste caso, a idea da teoría da representación é facer álxebra abstracta empregando matrices n×n de números reais ou complexos.
Hai tres principais tipos de obxectos alxébricos para os que pode facerse isto: grupos, álxebras asociativas e álxebras de Lie. O conxunto de todas as matrices invertibles n×n é un grupo co produto de matrices e a teoría de representación de grupo analiza un grupo describindo ("representando") os seus elementos en termos de matrices invertibles.
A suma e multiplicación de matrices fai que o conxunto de todas as matrices n×n sexa unha álxebra asociativa e polo tanto correspóndese coa teoría de representación de álxebras asociativas.
Se substituímos a multiplicación de matrices polo conmutador de matrices MN − NM, entón as matrices n×n convértese nunha álxebra de Lie, pasando á teoría de representación de álxebras de Lie.
Isto xeneralízase para calquera corpo K e calquera espazo vectorial V sobre F con aplicacións lineares substituíndo as matrices e a composición substituíndo á multiplicación de matrices: hai un grupo GL(V, F) de automorfismos de V, unha álxebra asociativa EndF(V) de todos os endomorfismos de V e a álxebra de Lie correspondente gl(V, F).