Fórmula de Leibniz para π

En matemáticas, a fórmula de Leibniz para π (tamén serie de Leibniz), que recibe o nome de Gottfried Wilhelm Leibniz, da o valor de pi cuartos como serie alternada π 4
1 − 13 + 15 − 17 + 19 − ⋯
∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k 2 k + 1. {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}
1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}. } Ás veces chámase a serie Madhava-Leibniz xa que foi descuberta por primeira vez polo matemático indio Madhava de Sangamagrama ou os seus seguidores entre os séculos XIV e XV, e posteriormente foi redescuberta independentemente por James Gregory en 1671 e Leibniz en 1673. A serie de Taylor para a función da tanxente inversa, a miúdo chamada serie de Gregory, é arctan ⁡ x
x − x 33 + x 55 − x 77 + ⋯
∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k + 12 k + 1. {\displaystyle \arctan x
x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}. } A fórmula de Leibniz é o caso especial arctan ⁡ 1
14 π. {\textstyle \arctan 1
{\tfrac {1}{4}}\pi. } Tamén é a serie L de Dirichlet do carácter de Dirichlet non principal módulo 4 avaliado en s
1, {\displaystyle s
1, } e polo tanto o valor β(1) da función beta de Dirichlet. Probas
Proba 1
Consideramos a seguinte descomposición: 11 + x 2
1 − x 2 + x 4 − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + ( − 1 ) n + 1 x 2 n + 21 + x 2. {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;
\; 1\, -\, x^{2}\, +\, x^{4}\, -\, \cdots \, +\, (-1)^{n}x^{2n}\; +\; {\frac {(-1)^{n+1}\, x^{2n+2}}{1+x^{2}}}. \! } Para |x| < 1, a fracción da dereita é a suma dos termos restantes da serie xeométrica.
Agora aplicaremos esa descomposición á integral do arcotanxente. π 4
arctan ⁡ ( 1 )
∫ 0111 + x 2 d x
∫ 01 ( ∑ k
0 n ( − 1 ) k x 2 k + ( − 1 ) n + 1 x 2 n + 21 + x 2 ) d x
( ∑ k
0 n ( − 1 ) k 2 k + 1 ) + ( − 1 ) n + 1 ( ∫ 01 x 2 n + 21 + x 2 d x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&
\arctan(1)\\&
\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\, dx\\[8pt]&
\int _{0}^{1}\left(\sum _{k
0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\, x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\, dx\\[8pt]&
\left(\sum _{k
0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\, dx\right)\end{aligned}}} Considerando só a integral do último termo, temos: 0 ≤ ∫ 01 x 2 n + 21 + x 2 d x ≤ ∫ 01 x 2 n + 2 d x
12 n + 3 → 0 cando n → ∞. {\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\, dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\, dx
{\frac {1}{2n+3}}\; \rightarrow 0{\text{ cando }}n\rightarrow \infty. } Polo tanto, cando n → ∞, ficamos coa serie de Leibniz: π 4
∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k 2 k + 1 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}
Proba 2
Sexa f ( z )
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 z 2 n + 1 {\displaystyle f(z)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}}, cando | z | < 1 {\displaystyle |z|<1}, a serie ∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}} converxe uniformemente, entón arctan ⁡ ( z )
∫ 0 z 11 + t 2 d t
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 z 2 n + 1
f ( z ) ( | z | < 1 ). {\displaystyle \arctan(z)
\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}
f(z)\ (|z|<1). } Polo tanto, se f ( z ) {\displaystyle f(z)} aproxima f ( 1 ) {\displaystyle f(1)} de tal xeito que é continua e converxe uniformemente, a demostración é completa, onde, a serie ∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}} converxe polo test de Leibniz. Converxencia
A fórmula de Leibniz converxe moi lentamente: presenta converxencia sublinear. Calcular π a 10 decimais correctos mediante a suma directa da serie require precisamente cinco mil millóns de termos porque
4/2k + 1 < 10−10 para k > 2 × 1010 − 1/2.
Para obter 4 cifras decimais correctas (erro de 0. 00005) necesítanse 5000 termos.
No entanto, a fórmula de Leibniz pódese usar para calcular π con alta precisión (centos de díxitos ou máis) utilizando varias técnicas aceleración da converxencia. Por exemplo, pódense aplicar efizcamente a transformación de Shanks, a transformación de Euler ou a transformación de Van Wijngaarden, que son métodos xerais para series alternadas. A maiores, a combinación de termos por parellas dá a serie non alternada π 4
∑ n
0 ∞ ( 14 n + 1 − 14 n + 3 )
∑ n
0 ∞ 2 ( 4 n + 1 ) ( 4 n + 3 ). {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}
\sum _{n
0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}. } Produto de Euler
A fórmula de Leibniz pódese interpretar como unha serie de Dirichlet usando o único carácter de Dirichlet non principal módulo 4. Como con outras series de Dirichlet, isto permite converter a suma infinita nun produto infinito cun termo para cada número primo. Este produto chámase produto de Euler: π 4
( ∏ p ≡ 1 ( mod 4 ) p p − 1 ) ( ∏ p ≡ 3 ( mod 4 ) p p + 1 )
34 ⋅ 54 ⋅ 78 ⋅ 1112 ⋅ 1312 ⋅ 1716 ⋅ 1920 ⋅ 2324 ⋅ 2928 ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&
{\biggl (}\prod _{p\, \equiv \, 1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}{\biggl (}\prod _{p\, \equiv \, 3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}{\biggr )}\\[7mu]&
{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}} Neste produto, cada termo é unha razón superparticular, cada numerador é un número primo impar e cada denominador é o múltiplo de 4 máis próximo ao numerador. O produto é condicionalmente converxente; os seus termos deben tomarse por orde crecente de p.