Curva de Lorenz

A curva de Lorenz é unha representación gráfica utilizada frecuentemente para plasmar a distribución relativa dunha variable nun dominio determinado. O dominio pode ser o conxunto de fogares ou persoas dunha rexión ou país, por exemplo. A variable cuxa distribución se estuda pode ser o ingreso dos fogares ou as persoas. Utilizando como exemplo estas variables, a curva trazaríase considerando no eixo horizontal a porcentaxe acumulada de persoas ou fogares do dominio en cuestión e no eixo vertical a porcentaxe acumulada do ingreso. A súa autoría é de Max O. Lorenz en 1905.
Cada punto da curva lese como porcentaxe acumulativa dos fogares ou as persoas. A curva parte da orixe (0, 0) e termina no punto (100, 100). Se o ingreso estivese distribuído de maneira perfectamente equitativa, a curva coincidiría coa liña de 45 graos que pasa pola orixe (por exemplo o 30% dos fogares ou da poboación percibe o 30% do ingreso). Se existise desigualdade perfecta, ou sexa, se un fogar ou persoa posuíse todo o ingreso, a curva coincidiría co eixo horizontal até o punto (100, 0) onde saltaría ao punto (100, 100). En xeral a curva atópase nunha situación intermedia entre estes dous extremos. Curva de Lorenz e desigualdade
Se unha curva de Lorenz se atopa sempre por encima doutra (por tanto, está máis preto da liña de 45 graos que a outra), entón pódese dicir, sen ambigüidade, que a primeira exhibe menor desigualdade que a segunda. Esta comparación gráfica entre distribucións de distintos dominios xeográficos ou temporais é o principal emprego das curvas de Lorenz.
O indicador gráfico de benestar máis usado é a Curva de Lorenz Xeneralizada (CLX), que é unha derivación da curva de Lorenz habitual. A CLX só se diferencia da de Lorenz en que na escala vertical non se representan as cantidades relativas acumuladas senón as cantidades acumuladas (non relativas) divididas polo número N de elementos da poboación. A lóxica pretendida é representar que cantidade absoluta corresponde a cada porcentaxe de individuos. Para clarificar este aspecto, supóñase que a curva de Lorenz normal dunha poboación dinos que o 50% dos menos ricos posúen o 25% da riqueza total. Pódese comprender que é moi diferente a situación de benestar deste 50% da poboación segundo se a riqueza total é moi pequena ou moi grande. É obvio que é peor posuír o 50% dunha cantidade pequena que posuír o 25% dunha cantidade moito maior. Entón dividir as cantidades acumuladas polo total de elementos N é necesario para poder comparar riquezas entre poboacións distintas que teñan un número diferente de elementos: non é o mesmo unha riqueza total de 1. 000. 000€ nun conxunto de 10 persoas que esa mesma riqueza total nun conxunto formado por 1. 000 persoas. Ecuación da curva de Lorenz
Se se coñece a distribución da renda como densidade de probabilidade f r ( r ) {\displaystyle \scriptstyle f_{r}(r)} para cada valor de renda, a curva de Lorenz pode calcularse analiticamente en función desta. A proporción de persoas ou unidades familiares cunha renda inferior a un nivel de renda r vén dada por:
(1) P ( r )
∫ 0 r f r ( ρ ) d ρ {\displaystyle P(r)
\int _{0}^{r}f_{r}(\rho )\ d\rho } Mentres que a proporción de renda acumulada polas persoas con rendas iguais ou inferiores a r vén dada por:
(2) R ( r )
∫ 0 r ρ f r ( ρ ) d ρ ∫ 0 ∞ ρ f r ( ρ ) d ρ
1 R m ∫ 0 r ρ f r ( ρ ) d ρ {\displaystyle R(r)
{\frac {\int _{0}^{r}\rho f_{r}(\rho )\ d\rho }{\int _{0}^{\infty }\rho f_{r}(\rho )\ d\rho }}
{\frac {1}{R_{m}}}\int _{0}^{r}\rho f_{r}(\rho )\ d\rho } Onde R m {\displaystyle R_{m}} é a renda media. As ecuacións (1) e (2) constitúen xuntas as ecuacións paramétricas da curva en función do parámetro r.
Propiedades
A curva de Lorenz ten pendente positiva en todos os seus puntos como se deduce da seguinte relación:
(3) ( d R d P ) P 0
P ( r 0 )
d R ( r 0 ) d r d P ( r 0 ) d r
r 0 f r ( r 0 ) / R m f r ( r 0 )
r 0 R m ≥ 0 {\displaystyle \left({\frac {dR}{dP}}\right)_{P_{0}
P(r_{0})}
{\frac {\frac {dR(r_{0})}{dr}}{\frac {dP(r_{0})}{dr}}}
{\frac {r_{0}f_{r}(r_{0})/R_{m}}{f_{r}(r_{0})}}
{\frac {r_{0}}{R_{m}}}\geq 0} No punto inicial r 0
0 {\displaystyle \scriptstyle r_{0}
0} a pendente será nula, aínda que no caso f r ( 0 )
0 {\displaystyle \scriptstyle f_{r}(0)
0} o límite anterior segue sendo válido, pero no resto de puntos será estritamente positiva.
Ademais a curva de Lorenz é convexa xa que a súa derivada segunda sempre é positiva:
(4) ( d 2 P d R 2 ) P 0
P ( r 0 )
d d r ( d R d P ) d r d P
1 R m d r ( P 0 ) d P
1 R m 1 f r ( r 0 ) ≥ 0 {\displaystyle \left({\frac {d^{2}P}{dR^{2}}}\right)_{P_{0}
P(r_{0})}
{\frac {d}{dr}}\left({\frac {dR}{dP}}\right){\frac {dr}{dP}}
{\frac {1}{R_{m}}}{\frac {dr(P_{0})}{dP}}
{\frac {1}{R_{m}}}{\frac {1}{f_{r}(r_{0})}}\geq 0}
Exemplo 1
Nesta sección calculamos a curva de Lorenz e o índice de Gini para unha distribución de renda exponencial. Aínda que esta non parece unha distribución adecuada para a renda nacional de ningún país, a sinxeleza das expresións obtidas permite entender de modo sinxelo a aplicación das ecuacións (1) a (4). Para un país cunha renda nacional media R m {\displaystyle \scriptstyle R_{m}} cunha distribución exponencial a densidade de probabilidade da distribución será: f r ( ρ )
1 R m e − ρ R m {\displaystyle f_{r}(\rho )
{\frac {1}{R_{m}}}e^{-{\frac {\rho }{R_{m}}}}} Esta expresión permite calcular a proporción de persoas por baixo dunha certa renda e a renda acumulada dese grupo de persoas facilmente: { P
P ( r )
∫ 0 r e − ρ R m R m d ρ
1 − e − r R m R
R ( r )
∫ 0 r ρ R m e − ρ R m d ρ
( 1 − e − r R m ) r R m e − r R m {\displaystyle {\begin{cases}P
P(r)
\int _{0}^{r}{\frac {e^{-{\frac {\rho }{R_{m}}}}}{R_{m}}}d\rho
1-e^{-{\frac {r}{R_{m}}}}\\R
R(r)
\int _{0}^{r}{\frac {\rho }{R_{m}}}e^{-{\frac {\rho }{R_{m}}}}d\rho
\left(1-e^{-{\frac {r}{R_{m}}}}\right){\cfrac {r}{R_{m}}}e^{-{\frac {r}{R_{m}}}}\end{cases}}} Despexando r {\displaystyle \scriptstyle r} da primeira ecuación e substituíndo o resultado na segunda obtense a curva de Lorenz explicitamente: R
R ( P )
P + ( 1 − P ) ln ⁡ ( 1 − P ) {\displaystyle R
R(P)
P+(1-P)\ln(1-P)\, } O índice de Gini pódese calcular simplemente como: I G
1 − 2 ∫ 01 R ( P ) d P
0. 5 {\displaystyle IG
1-2\int _{0}^{1}R(P)\ dP
0. 5} Este é o valor exacto. Cando para calcular este valor en lugar dunha distribución continua úsase un cálculo aproximado por decís en cambio resulta só I G ≈ 0, 4911 {\displaystyle \scriptstyle IG\ \approx 0, 4911}.
Exemplo 2
Unha aproximación máis verosímil para a renda nacional é usar en lugar dunha simple distribución exponencial, unha distribución gamma: f r ( ρ )
λ n Γ ( n ) ρ n − 1 e − λ ρ {\displaystyle f_{r}(\rho )
{\frac {\lambda ^{n}}{\Gamma (n)}}\rho ^{n-1}e^{-\lambda \rho }} Onde o parámetro λ {\displaystyle \scriptstyle \lambda } está relacionado coa renda media mediante λ
n / R m {\displaystyle \scriptstyle \lambda
n/R_{m}}. Despois dunha certa cantidade de álxebra trivial pero dificultosa pode atoparse que a proporción de persoas por baixo dunha certa renda e a renda acumulada dese grupo de persoas veñen dadas por: { P
P ( r )
∫ 0 r f r ( ρ ) d ρ
1 − e − λ r P n − 1 ( λ r ) R
R ( r )
∫ 0 r ρ f r ( ρ ) d ρ
1 − e − λ r P n ( λ r ) {\displaystyle {\begin{cases}P
P(r)
\int _{0}^{r}f_{r}(\rho )d\rho
1-e^{-\lambda r}P_{n-1}(\lambda r)\\R
R(r)
\int _{0}^{r}\rho f_{r}(\rho )d\rho
1-e^{-\lambda r}P_{n}(\lambda r)\end{cases}}} Onde: P n ( x )
∑ k
1 n x k k!
1 + x + x 22 + ⋯ + x n n! {\displaystyle P_{n}(x)
\sum _{k
1}^{n}{\frac {x^{k}}{k! }}
1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n! }}} Neste caso non é posible despexar explicitamente r {\displaystyle \scriptstyle r} da primeira ecuación. Aínda que pode calcularse o índice de Gini mediante a expresión (para n {\displaystyle \scriptstyle n} enteiro): I G
1 − 2 ∫ 01 R d P
1 − 2 ∫ 0 ∞ R ( r ) d P ( r ) d r d r
{ ∏ i
1 n 2 k − 12 k n ∈ N Γ ( n + 1 / 2 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( 1 / 2 ) n ∉ N {\displaystyle IG
1-2\int _{0}^{1}R\ dP
1-2\int _{0}^{\infty }R(r){\frac {dP(r)}{dr}}\ dr
{\begin{cases}\prod _{i
1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}&n\in \mathbb {N} \\{\frac {\Gamma (n+1/2)}{\Gamma (n+1)\Gamma (1/2)}}&n\notin \mathbb {N} \end{cases}}} Neste caso o coeficiente de Gini tampouco depende da renda media. Dado que o índice de Gini da maior parte de países está entre 0, 50 e 0, 25 a distribución gamma anterior pode usarse de maneira aproximada para reproducir a distribución real da renda.