Función croque

En matemáticas, unha función croque (tamén chamada función vulto ou función de test, en inglés: Bump function) é unha función f: R n → R {\displaystyle f: \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } nun espazo euclidiano R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} que é suave (no sentido de ter derivadas continuas de todas as ordes) e con soporte compacto. O conxunto de todas as funcións croque con dominio R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} forma un espazo vectorial, denotado C 0 ∞ ( R n ) {\displaystyle \mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} ou C c ∞ ( R n ). {\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}). } O espazo dual deste espazo dotado dunha topoloxía adecuada é o espazo de distribucións. Exemplos
A función Ψ: R → R {\displaystyle \Psi: \mathbb {R} \to \mathbb {R} } dada por Ψ ( x )
{ exp ⁡ ( 1 x 2 − 1 ), se | x | < 1, 0, se | x | ≥ 1, {\displaystyle \Psi (x)
{\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right), &{\text{ se }}|x|<1, \\0, &{\text{ se }}|x|\geq 1, \end{cases}}} é un exemplo dunha función croque nunha dimensión. Note que o soporte desta función é o intervalo pechado [ − 1, 1 ] {\displaystyle [-1, 1]}. De feito, por definición de soporte, temos que supp ⁡ ( Ψ ):
{ x ∈ R: Ψ ( x ) ≠ 0 } ¯
( − 1, 1 ) ¯ {\displaystyle \operatorname {supp} (\Psi ):
{\overline {\{x\in \mathbb {R}: \Psi (x)\neq 0\}}}
{\overline {(-1, 1)}}}, onde o pechamento tómase en relación á topoloxía euclidiana da recta real. A demostración da suavidade segue as mesmas liñas que para a función relacionada discutida no artigo Función suave non analítica. Esta función pode interpretarse como a función gaussiana exp ⁡ ( − y 2 ) {\displaystyle \exp \left(-y^{2}\right)} escalada para caber no disco unidade: a substitución y 2
1 / ( 1 − x 2 ) {\displaystyle y^{2}
{1}/{\left(1-x^{2}\right)}} corresponde a enviar x
± 1 {\displaystyle x
\pm 1} a y
∞. {\displaystyle y
\infty. } Un exemplo simple dunha función croque en n {\displaystyle n} variábeis obtense tomando o produto de n {\displaystyle n} copias da función croque anterior nunha variábel, así Φ ( x 1, x 2, …, x n )
Ψ ( x 1 ) Ψ ( x 2 ) ⋯ Ψ ( x n ). {\displaystyle \Phi (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})
\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}). } Unha función croque radialmente simétrica en n {\displaystyle n} variábeis pode formarse tomando a función Ψ n: R n → R {\displaystyle \Psi _{n}: \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } definida por Ψ n ( x )
Ψ ( | x | ) {\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {x} )
\Psi (|\mathbf {x} |)}. Esta función está soportada na bola unidade centrada na orixe.
Para outro exemplo, tome unha función h {\displaystyle h} que é positiva en ( c, d ) {\displaystyle (c, d)} e cero noutro caso, por exemplo h ( x )
{ exp ⁡ ( − 1 ( x − c ) ( d − x ) ), c < x < d 0, en caso contrario {\displaystyle h(x)
{\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(x-c)(d-x)}}\right), &c<x<d\\0, &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}.
Funcións de transición suave Considere a función f ( x )
{ e − 1 x se x > 0, 0 se x ≤ 0, {\displaystyle f(x)
{\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{se }}x>0, \\0&{\text{se }}x\leq 0, \end{cases}}} definida para todo número real x. A función g ( x )
f ( x ) f ( x ) + f ( 1 − x ), x ∈ R, {\displaystyle g(x)
{\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}}, \qquad x\in \mathbb {R}, } ten un denominador estritamente positivo en toda a recta real, polo que g tamén é suave. A maiores, g(x)
0 para x ≤ 0 e g(x)
1 para x ≥ 1, polo que proporciona unha transición suave do nivel 0 ao nivel 1 no intervalo unidade [0, 1]. Para ter a transición suave no intervalo real [a, b] con a < b, considere a función R ∋ x ↦ g ( x − a b − a ). {\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}. } Para números reais a < b < c < d, a función suave R ∋ x ↦ g ( x − a b − a ) g ( d − x d − c ) {\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\, g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}} é igual a 1 no intervalo pechado [b, c] e desaparece fóra do intervalo aberto (a, d), polo que pode servir como unha función croque.
Debe terse coidado xa que, por exemplo, tomando { a
− 1 } < { b
c
0 } < { d
1 } {\displaystyle \{a
-1\}<\{b
c
0\}<\{d
1\}}, obtense: q ( x )
11 + e 1 − 2 | x | x 2 − | x | {\displaystyle q(x)
{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}} que non é unha función infinitamente diferenciábel (polo tanto, non é "suave"), polo que as restricións a < b < c < d deben cumprirse estritamente.
Algúns feitos interesantes sobre a función: q ( x, a )
11 + e a ( 1 − 2 | x | ) x 2 − | x | {\displaystyle q(x, a)
{\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}} son que q ( x, 32 ) {\displaystyle q\left(x, {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} produce curvas de transición suave con beiras de pendente "case" constante (unha función croque con pendentes rectas verdadeiras represéntase neste outro exemplo: Ecuación diferencial con retardo).
Un exemplo adecuado dunha función croque suave sería: u ( x )
{ 1, se x
0, 0, se | x | ≥ 1, 11 + e 1 − 2 | x | x 2 − | x |, en caso contrario, {\displaystyle u(x)
{\begin{cases}1, {\text{se }}x
0, \\0, {\text{se }}|x|\geq 1, \\{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}, {\text{en caso contrario}}, \end{cases}}} Un exemplo adecuado dunha función de transición suave sería: w ( x )
{ 11 + e 2 x − 1 x 2 − x se 0 < x < 1, 0 se x ≤ 0, 1 se x ≥ 1, {\displaystyle w(x)
{\begin{cases}{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}&{\text{se }}0<x<1, \\0&{\text{se }}x\leq 0, \\1&{\text{se }}x\geq 1, \end{cases}}} onde se pode notar que tamén se pode representar mediante funcións hiperbólicas: 11 + e 2 x − 1 x 2 − x
12 ( 1 − tanh ⁡ ( 2 x − 12 ( x 2 − x ) ) ) {\displaystyle {\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}
{\frac {1}{2}}\left(1-\tanh \left({\frac {2x-1}{2(x^{2}-x)}}\right)\right)} Existencia de funcións croque
É posíbel construír funcións croque "a medida". Formalmente, se K {\displaystyle K} é un conxunto compacto arbitrario en n {\displaystyle n} dimensións e U {\displaystyle U} é un conxunto aberto que contén a K, {\displaystyle K, } existe unha función croque ϕ {\displaystyle \phi } que é 1 {\displaystyle 1} en K {\displaystyle K} e 0 {\displaystyle 0} fóra de U. {\displaystyle U. } Dado que U {\displaystyle U} pode tomarse como unha veciñanza moi pequena de K, {\displaystyle K, } isto equivale a ser capaz de construír unha función que é 1 {\displaystyle 1} en K {\displaystyle K} e decae rapidamente a 0 {\displaystyle 0} fóra de K, {\displaystyle K, } mentres segue a ser suave.