Grupo fundamental

En topoloxía, pódese asociar a cada punto p dun espazo topolóxico X un grupo que informa sobre a estrutura 1-dimensional da porción do espazo que rodea este punto. Os elementos deste grupo, chamado grupo fundamental de X relativo ao punto base p, son clases de equivalencia de lazos (curvas pechadas) con orixe no punto p.
Existen xeneralizacións a dimensións superiores deste grupo, que reciben o nome de grupos de homotopía. O grupo fundamental recibe tamén o nome de primeiro grupo de homotopía. De aí a forma común de notalo sexa π 1 ( X, p ) {\displaystyle \pi _{1}(X, p)\, }. Definicións
Lazo
Sexa X {\displaystyle X} un espazo topolóxico, e p {\displaystyle p} un punto fixo de X {\displaystyle X}. Un lazo con base en p {\displaystyle p} é unha aplicación continua γ: [ 0, 1 ] → X {\displaystyle \gamma: [0, 1]\to X} que verifica γ ( 0 )
γ ( 1 )
p {\displaystyle \gamma (0)
\gamma (1)
p}.
O produto α ∗ β {\displaystyle \alpha *\beta } de dous lazos α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } defínese como ( α ∗ β ) ( t )
{ α ( 2 t ) 0 ≤ t ≤ 12 β ( 2 t − 1 ) 12 ≤ t ≤ 1 {\displaystyle (\alpha *\beta )(t)
{\begin{cases}\alpha (2t)&0\leq t\leq {\frac {1}{2}}\\\beta (2t-1)&{\frac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}} Isto é, o lazo α ∗ β {\displaystyle \alpha *\beta } primeiro percorre o camiño de α {\displaystyle \alpha }, pero a "dobre velocidade" e despois o de β {\displaystyle \beta }, tamén a dobre velocidade.
Clases de homotopía
As clases de homotopía son as clases de equivalencia debidas á relación de ser homotópico. Dous lazos α, β: [ 0, 1 ] → X {\displaystyle \alpha, \beta: [0, 1]\to X\, } con base nun punto común p son homotópicos se existe unha aplicación continua H: [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] → X {\displaystyle H: [0, 1]\times [0, 1]\to X\, } tal que H ( s, 0 )
α ( s ) {\displaystyle H(s, 0)
\alpha (s)\, } H ( s, 1 )
β ( s ) {\displaystyle H(s, 1)
\beta (s)\, } H ( 0, t )
p {\displaystyle H(0, t)
p\, } H ( 1, t )
p {\displaystyle H(1, t)
p\, }.
Intuitivamente unha clase de homotopía representa un conxunto de curvas que son deformables entre si.
Grupo fundamental
O produto de dúas clases de homotopía de lazos [f] e [g] defínese como [f∗g]. Pode demostrarse que este produto está ben definido ao ser independente da elección de representantes. Este produto permite obter unha estrutura de grupo: o elemento neutro será a clase [γ] do lazo trivial definido como γ(t)
p para todo t; o inverso da clase dun lazo [f] será a clase do mesmo lazo percorrido en sentido contrario (é dicir, f−1(t)
f(1-t))
O grupo fundamental dun espazo topolóxico X {\displaystyle X}, baseado nun punto p ∈ X {\displaystyle p\in X}, notado como π 1 ( X, p ) {\displaystyle \pi _{1}(X, p)}, é o conxunto de clases de homotopía de curvas pechadas coa operación xustapor clases. Propiedades
Se o espazo é arcoconexo, os diferentes grupos π 1 ( X, p ) {\displaystyle \pi _{1}(X, p)\, } e π 1 ( X, q ) {\displaystyle \pi _{1}(X, q)\, } para dous puntos p, q ∈ X {\displaystyle p, q\in X} son isomorfos. Sendo posible falar do grupo fundamental do espazo: π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)\, }. Este isomorfismo non é natural en xeral.
Unha aplicación continua f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} entre dous espazos topolóxicos induce unha aplicación do conxunto de lazos de X sobre o de lazos de Y. Esta aplicación indúcese tamén sobre as clases respectivas e convértese nun homomorfismo f ∗ {\displaystyle f_{*}} entre os grupos fundamentais definido deste xeito: f ∗ [ α ]
[ f ∘ α ] {\displaystyle f_{*}[\alpha ]
[f\circ \alpha ]}.
A asignación dada por X → π 1 ( X ) {\displaystyle X\to \pi _{1}(X)\, } que vai da categoría de espazos topolóxicos á categoría de grupos é un functor. Este invariante pode ser calculado mediante a técnica de grafo de grupos coñecida como o teorema de Seifert-van Kampen. Con este resultado basta descompor o espazo en 2 espazos máis simples onde o grupo fundamental sexa coñecido. Exemplos
En moitos espazos só existe unha clase de homotopía de lazos, e en consecuencia o grupo fundamental é trivial. Un espazo topolóxico con grupo fundamental trivial chámase simplemente conexo. ℝn, ou calquera subconxunto convexo de ℝn sono. A esfera de dimensión n con n maior ou igual que 2 tamén o é.
O espazo topolóxico máis simple non simplemente conexo é a circunferencia: o seu grupo fundamental é isomorfo ao grupo aditivo dos números enteiros ℤ. O número enteiro asociado a cada lazo de S 1 {\displaystyle S^{1}} é o número de voltas que ese lazo dá ao redor dela.
Se X e Y son dous espazos topolóxicos arcoconexos, o grupo fundamental do produto X×Y é isomorfo ao produto dos grupos de ambos os espazos. Por exemplo, se para a circunferencia, π 1 ( S 1 )
Z {\displaystyle \pi _{1}(S^{1})
\mathbb {Z} }. Para o toro, homeomorfo a un produto de circunferencias, π 1 ( T 2 )
Z ⊕ Z {\displaystyle \pi _{1}(T^{2})
\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }.
O grupo fundamental non ten por que ser conmutativo. Por exemplo, o grupo fundamental do plano privado de dous puntos R 2 − { a; b } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{a; b\}} é isomorfo ao grupo libre con dous xeradores F 2 {\displaystyle F_{2}}. Estes dous xeradores son as clases dos lazos que pasando por un punto p rodean cada un dos puntos eliminados. Nalgunhas clases particulares de espazos topolóxicos, por exemplo na dos grupos topolóxicos, o grupo fundamental si resulta ser sempre abeliano.