Produto directo

En matemáticas, pódese definir a miúdo un produto directo de obxectos xa coñecidos, dando un novo. Isto induce unha estrutura sobre o produto cartesiano dos conxuntos subxacentes a partir dos obxectos contribuíntes. De forma máis abstracta, fálase do produto na teoría de categorías, que formaliza estas nocións.
Exemplos son o produto de conxuntos, grupos, aneis e outras estruturas alxébricas. tamén temos o produto dos espazos topolóxicos. Exemplos
Se pensamos R {\displaystyle \mathbb {R} } como o conxunto de números reais sen máis estrutura, entón o produto directo R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } é só o produto cartesiano { ( x, y ): x, y ∈ R }. {\displaystyle \{(x, y): x, y\in \mathbb {R} \}. } Se pensamos R {\displaystyle \mathbb {R} } como o grupo de números reais baixo adición, entón o produto directo R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } aínda ten { ( x, y ): x, y ∈ R } {\displaystyle \{(x, y): x, y\in \mathbb {R} \}} como o seu conxunto subxacente. A diferenza entre este e o exemplo anterior é que R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } agora é un grupo, polo que tamén temos que dicir como engadir os seus elementos. Isto faise definindo ( a, b ) + ( c, d )
( a + c, b + d ). {\displaystyle (a, b)+(c, d)
(a+c, b+d). } Se pensamos R {\displaystyle \mathbb {R} } como o anel dos números reais, daquela o produto directo R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } de novo ten { ( x, y ): x, y ∈ R } {\displaystyle \{(x, y): x, y\in \mathbb {R} \}} como o seu conxunto subxacente. A estrutura do anel consiste na suma definida por ( a, b ) + ( c, d )
( a + c, b + d ) {\displaystyle (a, b)+(c, d)
(a+c, b+d)} e na multiplicación definida por ( a, b ) ( c, d )
( a c, b d ). {\displaystyle (a, b)(c, d)
(ac, bd). } Aínda que o anel R {\displaystyle \mathbb {R} } é un corpo, R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} } non o é, porque o elemento distinto de cero ( 1, 0 ) {\displaystyle (1, 0)} non ten inverso multiplicativo.
De xeito semellante, podemos falar do produto directo dun número finito de estruturas alxébricas, por exemplo, R × R × R × R. {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}. } Isto é posíbel debido a que o produto directo é asociativo ata isomorfismo. É dicir, ( A × B ) × C ≅ A × ( B × C ) {\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)} para calquera estruturas alxébricas A, {\displaystyle A, } B, {\displaystyle B, } e C {\displaystyle C} do mesmo tipo. O produto directo tamén é conmutativo ata isomorfismo, é dicir, A × B ≅ B × A {\displaystyle A\times B\cong B\times A} para calquera estrutura alxébrica A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} do mesmo tipo. Mesmo podemos falar do produto directo de infinitas estruturas alxébricas; por exemplo podemos tomar o produto directo de moitas copias contables de R, {\displaystyle \mathbb {R}, } que escribimos como R × R × R × ⋯. {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb. } Produto directo de grupos
Na teoría de grupos pódese definir o produto directo de dous grupos ( G, ∘ ) {\displaystyle (G, \circ )} e ( H, ⋅ ), {\displaystyle (H, \cdot ), } denotado por G × H. {\displaystyle G\times H. } Para os grupos abelianos que se escriben aditivamente, tamén se pode denominar suma directa de dous grupos, denotada por G ⊕ H. {\displaystyle G\oplus H. } Defínese do seguinte xeito: o conxunto dos elementos do novo grupo é o produto cartesiano dos conxuntos de elementos de G e H, {\displaystyle G{\text{ e }}H, } é dicir { ( g, h ): g ∈ G, h ∈ H }; {\displaystyle \{(g, h): g\in G, h\in H\}; } sobre estes elementos ponse unha operación, definida a nivel de elementos: ( g, h ) × ( g ′, h ′ )
( g ∘ g ′, h ⋅ h ′ ) {\displaystyle (g, h)\times \left(g', h'\right)
\left(g\circ g', h\cdot h'\right)} Teña en conta que ( G, ∘ ) {\displaystyle (G, \circ )} pode coincidir con ( H, ⋅ ). {\displaystyle (H, \cdot ). } Esta construción dá un novo grupo. Ten un subgrupo normal isomorfo a G {\displaystyle G} (dado polos elementos da forma ( g, 1 ) {\displaystyle (g, 1)} ), e outro isomorfo a H {\displaystyle H} (que comprende os elementos ( 1, h ) {\displaystyle (1, h)} ).
Na dirección contraria tamén se cumpre. Se un grupo K {\displaystyle K} contén dous subgrupos normais G and H, {\displaystyle G{\text{ and }}H, } tal que K
G H {\displaystyle K
GH} e a intersección de G and H {\displaystyle G{\text{ and }}H} contén só a identidade, daquela K {\displaystyle K} é isomorfo a G × H. {\displaystyle G\times H. } Unha relaxación desta condición, de modo que só necesitásemos que un subgrupo fose normal, entón temos un produto semidirecto.
Como exemplo, tome como G e H {\displaystyle G{\text{ e }}H} dúas copias do único grupo (ata isomorfismos) de orde 2, C 2: {\displaystyle C^{2}: } digamos { 1, a } e { 1, b }. {\displaystyle \{1, a\}{\text{ e }}\{1, b\}. } Entón C 2 × C 2
{ ( 1, 1 ), ( 1, b ), ( a, 1 ), ( a, b ) }, {\displaystyle C_{2}\times C_{2}
\{(1, 1), (1, b), (a, 1), (a, b)\}, } coa operación realizada elemento por elemento. Por exemplo, ( 1, b ) ∗ ( a, 1 )
( 1 ∗ a, b ∗ 1 )
( a, b ), {\displaystyle (1, b)^{*}(a, 1)
\left(1^{*}a, b^{*}1\right)
(a, b), } e ( 1, b ) ∗ ( 1, b )
( 1, b 2 )
( 1, 1 ). {\displaystyle (1, b)^{*}(1, b)
\left(1, b^{2}\right)
(1, 1). } Cun produto directo, obtemos a maiores algúns homomorfismos de grupos naturais: os mapas de proxección definidos por π 1: G × H → G, π 1 ( g, h )
g π 2: G × H → H, π 2 ( g, h )
h {\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}: G\times H\to G, \ \ \pi _{1}(g, h)&
g\\\pi _{2}: G\times H\to H, \ \ \pi _{2}(g, h)&
h\end{aligned}}} e chámanse funcións de coordenadas.
Para calquera grupo ( G, ∘ ) {\displaystyle (G, \circ )} e calquera número enteiro n > 0, {\displaystyle n>0, } a aplicación repetida do produto directo dá o grupo de todas as n {\displaystyle n} -tuplas G n {\displaystyle G^{n}} por exemplo Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} e R n. {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}. } Produto directo de módulos
O produto directo para módulos (que non debe confundirse co produto tensorial) é moi semellante ao definido para os grupos anteriormente, utilizando o produto cartesiano coa operación de adición por compoñentes, e a multiplicación escalar distribuíndose por todos os compoñentes. A partir de R {\displaystyle \mathbb {R} } obtemos o espazo euclidiano R n, {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}, } o exemplo prototípico dun espazo vectorial real n {\displaystyle n} -dimensional. O produto directo de R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} e R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é R m + n. {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}. } Teña en conta que un produto directo para un índice finito ∏ i
1 n X i {\textstyle \prod _{i
1}^{n}X_{i}} é canonicamente isomorfo á suma directa ⨁ i
1 n X i. {\textstyle \bigoplus _{i
1}^{n}X_{i}. } A suma directa e o produto directo non son isomorfos para índices infinitos. Produto directo de espazos topolóxicos
O produto directo para unha colección de espazos topolóxicos X i {\displaystyle X_{i}} para i {\displaystyle i} en I, {\displaystyle I, } algún conxunto de índices, unha vez máis fai uso do produto cartesiano ∏ i ∈ I X i. {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}. } Defínese a topoloxía para finitamente moitos factores: simplemente tomamos como base de conxuntos abertos a colección de todos os produtos cartesianos de subconxuntos abertos de cada factor: B
{ U 1 × ⋯ × U n: U i a b e r t o ∈ X i }. {\displaystyle {\mathcal {B}}
\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\: \ U_{i}\ \mathrm {aberto\in } \ X_{i}\right\}. } Esta topoloxía chámase topoloxía do produto. Por exemplo, para definir directamente a topoloxía do produto R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} polos conxuntos abertos de R {\displaystyle \mathbb {R} } (unións disxuntas de intervalos abertos), a base desta topoloxía consistiría en todas as unións disxuntas de rectángulos abertos no plano (como se ve, coincide coa topoloxía métrica habitual).
Para obter máis propiedades e formulacións equivalentes, consulte a topoloxía produto. Produto directo de relacións binarias
Sobre o produto cartesiano de dous conxuntos con relacións binarias R e S, {\displaystyle R{\text{ e }}S, } definimos ( a, b ) T ( c, d ) {\displaystyle (a, b)T(c, d)} como a R c e b S d. {\displaystyle aRc{\text{ e }}bSd. } Se R and S {\displaystyle R{\text{ and }}S} son ambos os dous reflexivos, irreflexivos, transitivos, simétricos ou antisimétricos, entón T {\displaystyle T} tamén o será. Do mesmo xeito, a totalidade de T {\displaystyle T} é herdada de R and S. {\displaystyle R{\text{ and }}S. } Ao combinar propiedades despréndese que isto tamén se aplica ao ser unha preorde e unha relación de equivalencia. Porén, se R and S {\displaystyle R{\text{ and }}S} son relacións conectadas, T {\displaystyle T} non precisa estar conectado; por exemplo, o produto directo de ≤ {\displaystyle \, \leq \, } sobre N {\displaystyle \mathbb {N} } consigo mesmo non relaciona ( 1, 2 ) con ( 2, 1 ). {\displaystyle (1, 2){\text{ con }}(2, 1). } Produto directo en álxebra universal
Se Σ {\displaystyle \Sigma } é unha sinatura fixada, I {\displaystyle I} é un conxunto de índices arbitrario (posiblemente infinito) e ( A i ) i ∈ I {\displaystyle \left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}} é unha familia indexada de Σ {\displaystyle \Sigma } álxebras, o produto directo A
∏ i ∈ I A i {\textstyle \mathbf {A}
\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}} é unha Σ {\displaystyle \Sigma } álxebra definida como segue: O conxunto universo A {\displaystyle A} de A {\displaystyle \mathbf {A} } é o produto cartesiano dos conxuntos universo A i {\displaystyle A_{i}} de A i, {\displaystyle \mathbf {A} _{i}, } formalmente: A
∏ i ∈ I A i. {\textstyle A
\prod _{i\in I}A_{i}. } Para cada n {\displaystyle n} e cada n {\displaystyle n} -aria operación de símbolo f ∈ Σ, {\displaystyle f\in \Sigma, } a súa interpretación f A {\displaystyle f^{\mathbf {A} }} en A {\displaystyle \mathbf {A} } defínese por compoñentes, formalmente: para todos os a 1, …, a n ∈ A {\displaystyle a_{1}, \dotsc, a_{n}\in A} e cada i ∈ I, {\displaystyle i\in I, } o i {\displaystyle i} -ésimo compoñente de f A ( a 1, …, a n ) {\displaystyle f^{\mathbf {A} }\! \left(a_{1}, \dotsc, a_{n}\right)} defínese como f A i ( a 1 ( i ), …, a n ( i ) ). {\displaystyle f^{\mathbf {A} _{i}}\! \left(a_{1}(i), \dotsc, a_{n}(i)\right). } Produto directo interno e externo
Algúns autores fan unha distinción entre un produto directo interno e un produto directo externo. Por exemplo, se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} son subgrupos dun grupo abeliano aditivo G {\displaystyle G}, tal que A + B
G {\displaystyle A+B
G} e A ∩ B
{ 0 } {\displaystyle A\cap B
\{0\}}, entón A × B ≅ G, {\displaystyle A\times B\cong G, } e dicimos que G {\displaystyle G} é o produto directo interno de A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}. Para evitar ambigüidades, podemos referirnos ao conxunto { ( a, b ) ∣ a ∈ A, b ∈ B } {\displaystyle \{\, (a, b)\mid a\in A, \, b\in B\, \}} como produto directo externo de A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}.