Tanxente

En matemáticas, a palabra tanxente fai referencia a dous significados diferentes, pero etimoloxicamente relacionados: recta tanxente e tanxente dun ángulo. En xeometría, unha recta tanxente é aquela que só ten un punto en común cunha curva, é dicir, que se tocan nun so punto, ese punto chámase punto de tanxencia. A recta tanxente indica a pendente da curva no punto de tanxencia.
En trigonometría, a tanxente dun ángulo é a relación entre os catetos dun triángulo rectángulo: é o valor numérico resultante de dividir a lonxitude do cateto oposto entre a do cateto adxacente a dito ángulo. Xeometría
A recta tanxente (ou simplemente tanxente) é a posición límite da recta ou o límite do cono métrico (M) (chamada corda da curva), cando A é un punto de C que se aproxima indefinidamente ó punto M (A desprázase sucesivamente por M1, M2, M3, M4. .. ) Se C representa unha función f ou ben h que representa a cotanxente de A. (non é o caso no gráfico precedente), entón a recta (AM) terá como coeficiente director (ou pendente) f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}, onde a {\displaystyle a} é a abscisa de A {\displaystyle A} e x {\displaystyle x} é a abscisa de M {\displaystyle M}.
Polo tanto, a pendente da tanxente T A {\displaystyle T_{A}} será: lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}} É, por definición: f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)}, o número derivado de f en a.
A ecuación da tanxente é T A: y
f ′ ( a ) ⋅ ( x − a ) + f ( a ) {\displaystyle T_{A}: y
f'(a)\cdot (x-a)+f(a)}.
A recta ortogonal á tanxente T A {\displaystyle T_{A}} que pasa polo punto ( a, f ( a ) ) {\displaystyle (a, f(a))} denomínase recta normal e a súa pendente, nun sistema de coordenadas cartesianas, vén dada por − 1 f ′ ( a ) {\displaystyle {\frac {-1}{f'(a)}}}.
A súa ecuación é: y
− ( x − a ) / f ′ ( a ) + f ( a ) {\displaystyle y
-(x-a)/f'(a)+f(a)}, sempre que f ′ ( a ) ≠ 0 {\displaystyle f'(a)\neq 0}. Esta recta non intervén no estudo xeral das funcións pero si nos problemas xeométricos relacionados coas seccións cónicas, como por exemplo: para determinar o foco dunha parábola. Plano tanxente
En xeometría diferencial, espazo tanxente é o conxunto asociado a cada punto dunha variedade diferenciable formado por tódolos vectores tanxentes a ese punto. É un espazo vectorial da mesma dimensión que a dimensión da variedade.
Hai varias formas de entender este concepto. Primeiro explicarémolo usando a gráfica do lado. Empezamos supoñendo que temos unha curva γ {\displaystyle \gamma } na variedade M que pasa por algunha posición elixida calquera: x ∈ M {\displaystyle x\in M}. É dicir un mapeo γ: ] − ε, ε [ → M {\displaystyle \gamma \: \ ]-\varepsilon, \varepsilon [\to M} diferenciable que satisfai γ ( 0 )
x {\displaystyle \gamma (0)
x} e γ ′ ( 0 )
v {\displaystyle \gamma '(0)
v}. Resulta que o conxunto de todos estes vectores forman o espazo tanxente T x M {\displaystyle T_{x}M} de x en M. Trigonometría
En trigonometría a tanxente dun ángulo nun triángulo rectángulo defínese como a razón entre o cateto oposto e o adxacente: tan ⁡ ( α )
a b {\displaystyle \tan(\alpha )
{\frac {a}{b}}} sendo a o cateto oposto, e b o cateto adxacente. Equivale tamén ó valor: tan ⁡ ( α )
sen ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) {\displaystyle \tan(\alpha )
{\frac {\, \operatorname {sen} (\alpha )}{\, \cos(\alpha )}}}