Hipótese do continuo

A hipótese do continuo é unha conxectura proposta por Georg Cantor. Esta conxectura consiste no seguinte: Non existe ningún conxunto cun cardinalidade maior que a do conxunto dos números enteiros e menor que a do conxunto dos números reais.
Aquí máis elementos e menos elementos teñen un significado moi preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número un dos 23 problemas de Hilbert presentados na conferencia do Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, o que levou a que fose estudada en profundidade durante o século XX. Nin verdadeira nin falsa
Cantor achaba que a conxectura era certa. No entanto: En 1938, Kurt Gödel demostrou que a negación da hipótese do continuo non se podía probar a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel máis a escolla, se son consistentes.
en 1963, Paul Cohen demostrou que a hipótese do continuo tampouco non poderia ser probada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, se son consistentes.
Polo tanto, a hipótese do continuo é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independencia leva a algúns matemáticos a considerar que os axiomas de Zermelo-Fraenkel xa non son suficientes para resolver problemas significativos na teoría de conxuntos e que deberían considerarse axiomas adicionais para facer verdadeira ou falsa esta hipótese. En particular, Gödel, malia de demostrar a súa coherencia, considerou a posibilidade de que novos axiomas permitisen refutar a Hipótese do Continuo. Hipótese do continuo xeneralizada
Aleph (א) é unha letra que se usa para representar infinitos cardinais. A cardinalidade do conxunto de enteiros é ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}, o seguinte cardinal é ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}}, etc. Usando os números cardinais ℵ {\displaystyle \aleph }, a hipótese do continuo pódese escribir como: ℵ 1
2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{1}
2^{\aleph _{0}}} A xeneralización desta hipótese (que non se pode demostrar a partir dela) é que para calquera ordinal α {\displaystyle \alpha }: ℵ α + 1
2 ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}
2^{\aleph _{\alpha }}} Debemos ter unha precaución na fórmula anterior: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal mentres que o tratamento de 2 ℵ α {\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}\, } usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definición, un número cardinal, mais a inversa non é verdade. Cardinalidade do continuo
En ZFC, a teoría de conxuntos cos axiomas de Zermelo–Fraenkel máis o axioma de escolla, a cardinalidade do continuo é moi indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demostrado por König, respecto dos valores que o continuo non pode tomar, como mostra o chamado teorema de König: Z F C ⊢ 2 ℵ 0 ≠ ℵ ω {\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }\, } O mesmo sucede con outros cardonais da cofinalidade ω {\displaystyle \omega ^{\, }}: Z F C ⊢ 2 ℵ 0 ≠ ℵ ω + ω {\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega +\omega }\, } Z F C ⊢ 2 ℵ 0 ≠ ℵ ω ω {\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega _{\omega }}\, } Sexa Con ( T ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(T\right)} a declaración " T {\displaystyle T^{\, }} é consistente". Como se dixo anteriormente, Gödel demostrou: Con ( Z F C ) ⇒ Con ( Z F C + 2 ℵ 0
ℵ 1 ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}
\aleph _{1}\right)} Usando forzamento pódense demostrar os seguintes resultados: Con ( Z F C ) ⇒ Con ( Z F C + 2 ℵ 0
ℵ n ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}
\aleph _{n}\right)} para calquera n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}. De forma máis xeral, o continuo pode ser calquera cardinal regular non contábel. Por exemplo: Con ( Z F C ) ⇒ Con ( Z F C + 2 ℵ 0
ℵ ω + 42 ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}
\aleph _{\omega +42}\right)} Con ( Z F C ) ⇒ Con ( Z F C + 2 ℵ 0
ℵ ω 1 ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}
\aleph _{\omega _{1}}\right)} Se chamamos WI á afirmación "existe un cardinal debilmente inaccesíbel", entón vale: Con ( Z F C + W I ) ⇒ Con ( Z F C + `` 2 ℵ 0 é feblemente inaccesíbel'' ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC+WI} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +{\mbox{``}}2^{\aleph _{0}}\; \; {\mbox{é feblemente inaccesíbel''}}\right)}