Variedade alxébrica

En xeometría alxébrica, unha variedade alxébrica é esencialmente un conxunto de puntos (finito ou infinito) nos cales un polinomio (dunha ou máis variables) toma un valor cero, ou no cal un conxunto de tales polinomios toma un valor cero. As variedades alxébricas son un dos obxectos centrais de estudo da xeometría alxébrica clásica. As definicións xeneralizan este concepto de formas diferentes, mentres intentan preservar a idea xeométrica intuitiva tras da definición orixinal.
Dende un punto de vista histórico, o teorema fundamental da álxebra estableceu a relación entre a álxebra e a xeometría ao indicar que un polinomio dunha variable nos números complexos queda determinado polo seu conxunto de raíces, que é un obxecto xeométrico inherente. Construíndo sobre este resultado, o Nullstellensatz de Hilbert establece unha correspondencia fundamental entre os ideais dos aneis de polinomios e os subconxuntos do espazo afín. Utilizando o Nullstellensatz e os seus resultados asociados, é posible capturar a noción xeométrica dunha variedade en termos alxébricos como tamén facer que a xeometría entenda sobre temas da teoría de aneis. Definición
Sexa K {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} } un corpo. Sexa K [ x 1, .. ., x n ] {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} [x_{1}, .. ., x_{n}]} o anel de polinomios nas variables x 1, .. ., x n {\displaystyle \scriptstyle x_{1}, .. ., x_{n}} e coeficientes no corpo K {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} }. Sexa S ⊂ K [ x 1, .. ., x n ] {\displaystyle \scriptstyle S\subset \mathbb {K} [x_{1}, .. ., x_{n}]}. Defínese a variedade afín determinada por S {\displaystyle \scriptstyle S} (denotada por V ( S ) {\displaystyle \scriptstyle V(S)} ) como o conxunto: V ( S ):
{ a ∈ K n: f ( a )
0, f ∈ S } {\displaystyle V(S):
\{a\in \mathbb {K} ^{n}: f(a)
0, f\in S\}}. É dicir, V(S) representa o conxunto de puntos do espazo afín K n {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} ^{n}} nos que se anulan todos os polinomios de S {\displaystyle \scriptstyle S}. Variedades afíns
Dado o corpo alxebricamente pechado K {\displaystyle K} e un espazo afín A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} de dimensión n {\displaystyle n} sobre K, {\displaystyle K, } os polinomios do anel K [ x 1, x 2, …, x n ] {\displaystyle K[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}]} son funcións con valores en K {\displaystyle K} definidas sobre A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}.
Tomada uma familia de polinomios S ⊆ K [ x 1, x 2, …, x n ], {\displaystyle S\subseteq K[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}], } o conxunto dos puntos de A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} polos que as funcións de S {\displaystyle S} son todas nulas: Z ( S )
{ x ∈ A n ∣ f ( x )
0 ∀ f ∈ S } {\displaystyle Z(S)
\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)
0\, \forall f\in S\}} chámase conxunto alxébrico afín. Se Z ( S ) {\displaystyle Z(S)} non pode ser escrito como unión propia de dous conxuntos alxébricos semellantes, chámase variedade afín.
Propiedades
Sobre as variedades afíns é posible definir unha topoloxía natural definindo como conxuntos pechados todos os conxuntos alxébricos (topoloxía de Zariski).
Dado V ⊆ A n, {\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}, } I ( V ) {\displaystyle I(V)} é o ideal formado por todas as funcións que se anulan sobre V: {\displaystyle V: } I ( V )
{ f ∈ K [ x 1, x 2, ⋯, x n ] ∣ f ( x )
0 ∀ x ∈ V }. {\displaystyle I(V)
\{f\in K[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}]\mid f(x)
0\, \forall x\in V\}. } Defínese anel das coordenadas K [ V ] {\displaystyle K[V]} de V {\displaystyle V} o anel cociente K [ x 1, x 2, ⋯, x n ] I ( V ) {\displaystyle {\frac {K[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}]}{I(V)}}}. O grao de transcendencia do campo das fraccións de K [ V ] {\displaystyle K[V]} sobre K {\displaystyle K} chámase dimensión de V {\displaystyle V}.
Un conxunto alxébrico afín V {\displaystyle V} é unha variedade se e só se I ( V ) {\displaystyle I(V)} é un ideal primo, ou se e só se o anel das coordenadas de V {\displaystyle V} é un dominio de integridade.
Todo conxunto alxébrico afín pode ser escrito de maneira única como unión de variedades alxébricas. Variedade proxectiva
É posible modificar lixeiramente a definición de variedade afín para estendela ao caso dun espazo proxectivo P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} sobre o corpo K: {\displaystyle K: } neste caso considérase un conxunto S ⊆ K [ x 1, x 2, ⋯, x n ], {\displaystyle S\subseteq K[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}], } formado de polinomios homoxéneos (ou dos cales os monomios ten mesmo todos os graos). Coas mesmas notacións obtéñense entón as definicións do conxutno alxébrico proxectivo, variedade proxectiva, topoloxía de Zariski e anel das coordenadas dunha variedade. Isomorfismos de variedades alxébricas
Un isomorfismo entre dúas variedades alxébricas V 1 {\displaystyle V_{1}} e V 2 {\displaystyle V_{2}} é un morfismo de variedade alxébrica que é tamén unha correspondencia biunívoca: ϕ: V 1 → V 2. {\displaystyle \phi \colon V_{1}\to V_{2}. } V 1 {\displaystyle V_{1}} e V 2 {\displaystyle V_{2}} disen isomorfas e escríbese V 1 ≅ V 2 {\displaystyle V_{1}\cong V_{2}}.
O isomorfismo entre variedades alxébricas é unha relación de equivalencia: toda a variedade alxébrica isomorfa entre elas pode considerarse como substancialmente equivalentes e agrúpanse nunha única clase de equivalencia chamada variedade alxébrica abstracta.