Converxencia uniforme

No campo matemático da análise, a converxencia uniforme é un modo máis forte de converxencia das funcións que a converxencia punto a punto. Unha secuencia de funcións ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} converxe uniformemente a unha función límite f {\displaystyle f} nun conxunto E {\displaystyle E} como dominio da función se dado calquera número positivo arbitrariamente pequeno ϵ {\displaystyle \epsilon }, pode atoparse un número N {\displaystyle N} tal que cada unha das funcións f N, f N + 1, f N + 2, … {\displaystyle f_{N}, f_{N+1}, f_{N+2}, \ldots } difire de f {\displaystyle f} por non máis de ϵ {\displaystyle \epsilon } en todo punto x {\displaystyle x} de E {\displaystyle E}. Definición
Primeiro definimos a converxencia uniforme para funcións con valores reais, aínda que o concepto se xeneraliza facilmente a funcións que mapean espazos métricos e, de xeito máis xeral, espazos uniformes (ver máis abaixo).
Supoñamos que E {\displaystyle E} é un conxunto e ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} é unha secuencia de funcións con valores reais. Dicimos que a secuencia ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} é uniformemente converxente en E {\displaystyle E} con límite f: E → R {\displaystyle f: E\to \mathbb {R} } se para todo ϵ > 0, {\displaystyle \epsilon >0, } existe un número natural N {\displaystyle N} tal que para todos os n ≥ N {\displaystyle n\geq N} e para todos os x ∈ E {\displaystyle x\in E} | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ. {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon. } A notación para a converxencia uniforme de f n {\displaystyle f_{n}} a f {\displaystyle f} non está moi estandarizado, por exemplo: f n ⇉ f, u n i f l i m n → ∞ f n
f, f n ⟶ u n i f. f, f
u − lim n → ∞ f n. {\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f, \quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}
f, \quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif. } }{\longrightarrow }}f, \quad f
\mathrm {u} \! \! -\! \! \! \lim _{n\to \infty }f_{n}. } Con frecuencia, non se usa ningún símbolo especial e os autores simplemente escriben f n → f u n i f o r m e m e n t e {\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformemente} } Dado que R {\displaystyle \mathbb {R} } é un espazo métrico completo, o criterio de Cauchy pódese usar para dar unha formulación alternativa equivalente para a converxencia uniforme: ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} converxe uniformemente en E {\displaystyle E} (no sentido anterior) se e só se para todo ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}, existe un número natural N {\displaystyle N} tal que x ∈ E, m, n ≥ N ⟹ | f m ( x ) − f n ( x ) | < ϵ {\displaystyle x\in E, m, n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }.
A secuencia ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} dise que é localmente uniformemente converxente co límite f {\displaystyle f} se E {\displaystyle E} é un espazo métrico e para todo x ∈ E {\displaystyle x\in E}, existe un r > 0 {\displaystyle r>0} tal que ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} converxe uniformemente en B ( x, r ) ∩ E. {\displaystyle B(x, r)\cap E. } Está claro que a converxencia uniforme implica a converxencia uniforme local, que implica a converxencia punto a punto.
Xeneralizacións
Pódese estender directamente o concepto ás funcións E → M, onde (M, d) é un espazo métrico, substituíndo | f n ( x ) − f ( x ) | {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|} con d ( f n ( x ), f ( x ) ) {\displaystyle d(f_{n}(x), f(x))}.
A situación máis xeral é a converxencia uniforme das redes de funcións E → X, onde X é un espazo uniforme. Exemplos
Para x ∈ [ 0, 1 ) {\displaystyle x\in [0, 1)}, un exemplo básico de converxencia uniforme pódese ilustrar do seguinte xeito: a secuencia ( 1 / 2 ) x + n {\displaystyle (1/2)^{x+n}} converxe uniformemente, mentres x n {\displaystyle x^{n}} non. En concreto, asumimos ϵ
1 / 4 {\displaystyle \epsilon
1/4}. Toda función ( 1 / 2 ) x + n {\displaystyle (1/2)^{x+n}} é menor ou igual a 1 / 4 {\displaystyle 1/4} cando n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}, independentemente do valor de x {\displaystyle x}. Por outra banda, x n {\displaystyle x^{n}} é só menor ou igual a 1 / 4 {\displaystyle 1/4} en valores cada vez máis elevados de n {\displaystyle n} cando os valores de x {\displaystyle x} son seleccionados cada vez máis preto de 1 (explicado máis en profundidade máis abaixo).
A secuencia de funcións ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} { f n: [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] f n ( x )
x n {\displaystyle {\begin{cases}f_{n}: [0, 1]\to [0, 1]\\f_{n}(x)
x^{n}\end{cases}}} é un exemplo clásico dunha secuencia de funcións que converxe nunha función f {\displaystyle f} punto a punto pero non uniformemente. Para mostrar isto, primeiro observamos que o límite punto a punto de ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} cando n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } é a función f {\displaystyle f}, dada por f ( x )
lim n → ∞ f n ( x )
{ 0, x ∈ [ 0, 1 ); 1, x
1. {\displaystyle f(x)
\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)
{\begin{cases}0, &x\in [0, 1); \\1, &x
1. \end{cases}}} Converxencia punto a punto: A converxencia é trivial para x
0 {\displaystyle x
0} e x
1 {\displaystyle x
1}, xa que f n ( 0 )
f ( 0 )
0 {\displaystyle f_{n}(0)
f(0)
0} e f n ( 1 )
f ( 1 )
1 {\displaystyle f_{n}(1)
f(1)
1}, para todos os n {\displaystyle n}. Para x ∈ ( 0, 1 ) {\displaystyle x\in (0, 1)} e dado ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}, podemos asegurarnos de que | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon } sempre que n ≥ N {\displaystyle n\geq N} escollendo N
⌈ log ⁡ ϵ / log ⁡ x ⌉ {\displaystyle N
\lceil \log \epsilon /\log x\rceil } que é o mínimo expoñente enteiro de x {\displaystyle x} que lle permite chegar ou baixar por debaixo de ϵ {\displaystyle \epsilon } (aquí os corchetes superiores indican o redondeo cara arriba, consulte función teito). Polo tanto, f n → f {\displaystyle f_{n}\to f} punto a punto para todos os x ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle x\in [0, 1]}. Teña en conta que a elección de N {\displaystyle N} depende do valor de ϵ {\displaystyle \epsilon } e x {\displaystyle x}. Alén diso, para unha escolla fixa de ϵ {\displaystyle \epsilon }, N {\displaystyle N} (que non se pode definir menor) medra sen límite a medida que x {\displaystyle x} se achega a 1. Estas observacións exclúen a posibilidade dunha converxencia uniforme.
Converxencia non uniforme: a converxencia é non uniforme, porque podemos atopar un ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} para o que por grande que escollamos N, {\displaystyle N, } haberá valores de x ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle x\in [0, 1]} e n ≥ N {\displaystyle n\geq N} tal que | f n ( x ) − f ( x ) | ≥ ϵ. {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon. } Para ver isto, primeiro observamos que independentemente do tamaño de n {\displaystyle n}, sempre hai un x 0 ∈ [ 0, 1 ) {\displaystyle x_{0}\in [0, 1)} tal que f n ( x 0 )
1 / 2. {\displaystyle f_{n}(x_{0})
1/2. } Así, se escollemos ϵ
1 / 4, {\displaystyle \epsilon
1/4, } nunca podemos atopar un N {\displaystyle N} tal que | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon } para todos os x ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle x\in [0, 1]} e n ≥ N {\displaystyle n\geq N}. Explicitamente, sexa cal sexa o candidato que escollamos N {\displaystyle N}, consideramos o valor de f N {\displaystyle f_{N}} en x 0
( 1 / 2 ) 1 / N {\displaystyle x_{0}
(1/2)^{1/N}}. Posto que | f N ( x 0 ) − f ( x 0 ) |
| [ ( 12 ) 1 N ] N − 0 |
12 > 14
ϵ, {\displaystyle \left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|
\left|\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|
{\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}
\epsilon, } o candidato falla porque atopamos un exemplo dun x ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle x\in [0, 1]} que "escapou" ao noso intento de "confinar" cada f n ( n ≥ N ) {\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)} dentro dunha distancia ϵ {\displaystyle \epsilon } de f {\displaystyle f} para todos os x ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle x\in [0, 1]}. De feito, é fácil ver que lim n → ∞ ‖ f n − f ‖ ∞
1, {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }
1, } contrariamente ao requisito de que ‖ f n − f ‖ ∞ → 0 {\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0} se f n ⇉ f {\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}.
Neste exemplo pódese ver facilmente que a converxencia punto a punto non preserva a diferenciabilidade nin a continuidade. Mentres que cada función da secuencia é suave. Iso é como dicir que para todo n, f n ∈ C ∞ ( [ 0, 1 ] ) {\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0, 1])}, o límite lim n → ∞ f n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}} non é continuo.
Función exponencial
Pódese demostrar que a expansión en serie da función exponencial é uniformemente converxente en calquera subconxunto limitado S ⊂ C {\displaystyle S\subset \mathbb {C} } utilizando o test M de Weierstrass.
Teorema (test M de Weierstrass). Sexa ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} unha secuencia de funcións f n: E → C {\displaystyle f_{n}: E\to \mathbb {C} } e sexa M n {\displaystyle M_{n}} unha secuencia de números reais positivos tal que | f n ( x ) | ≤ M n {\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}} para tódolos x ∈ E {\displaystyle x\in E} e n
1, 2, 3, … {\displaystyle n
1, 2, 3, \ldots } Se ∑ n M n {\textstyle \sum _{n}M_{n}} converxe, entón ∑ n f n {\textstyle \sum _{n}f_{n}} converxe absoluta e uniformemente en E {\displaystyle E}.
A función exponencial complexa pódese expresar como a serie: ∑ n
0 ∞ z n n! . {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n! }}. } Calquera subconxunto limitado é un subconxunto dalgún disco D R {\displaystyle D_{R}} de raio R, {\displaystyle R, } centrado na orixe no plano complexo. O test M de Weierstrass esixe que atopemos un límite superior M n {\displaystyle M_{n}} nos termos da serie, con M n {\displaystyle M_{n}} independentemente da posición no disco: | z n n! | ≤ M n, ∀ z ∈ D R. {\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n! }}\right|\leq M_{n}, \forall z\in D_{R}. } Para iso, decatámonos de que | z n n! | ≤ | z | n n! ≤ R n n! {\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n! }}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n! }}\leq {\frac {R^{n}}{n! }}} e tomamos M n
R n n! . {\displaystyle M_{n}
{\tfrac {R^{n}}{n! }}. } Se ∑ n
0 ∞ M n {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }M_{n}} é converxente, entón o test M afirma que a serie orixinal é uniformemente converxente.
Agora podemos usar o test da razón para a sucesión de cantidades M n {\displaystyle M_{n}}: lim n → ∞ M n + 1 M n
lim n → ∞ R n + 1 R n n! ( n + 1 )!
lim n → ∞ R n + 1
0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}
\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n! }{(n+1)! }}
\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}
0} o que significa que a serie dos M n {\displaystyle M_{n}} é converxente. Así, a serie orixinal converxe uniformemente para todos os z ∈ D R, {\displaystyle z\in D_{R}, } e posto que S ⊂ D R {\displaystyle S\subset D_{R}}, a serie tamén é uniformemente converxente en S. {\displaystyle S. } Propiedades
Toda sucesión uniformemente converxente é localmente uniformemente converxente.
Toda secuencia localmente uniformemente converxente é compacta converxente.
Para espazos localmente compactos coinciden a converxencia uniforme local e a converxencia compacta.
Unha secuencia de funcións continuas en espazos métricos, sendo o espazo métrico da imaxe completo, é uniformemente converxente se e só se é unha sucesión uniforme de Cauchy.
Se S {\displaystyle S} é un intervalo compacto (ou en xeral un espazo topolóxico compacto), e ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} é unha secuencia monótona crecente (significando que f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)} para todas as n e x) de funcións continuas cun límite punto a punto f {\displaystyle f} que tamén é continua, entón a converxencia é necesariamente uniforme (teorema de Dini). Tamén se garante a converxencia uniforme se S {\displaystyle S} é un intervalo compacto e ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} é unha sucesión equicontinua que converxe punto a punto.