Potenciación

A potenciación é unha operación matemática escrita como an, na que interveñen dous números: a base a e o expoñente n. Cando n é un número natural maior que 1, a potencia an indica a multiplicación da base a por ela mesma tantas veces como indica o expoñente n, isto é, a n
a × ⋯ × a ⏟ n, {\displaystyle {{a^{n}
} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n}, } da mesma forma que a multiplicación de n por a pode ser vista como unha suma de n sumandos iguais a a, ou sexa, a × n
a + ⋯ + a ⏟ n. {\displaystyle a\times n
\underbrace {a+\cdots +a} _{n}. } O expoñente é indicado á dereita da base, sobrescrito ou separado da base por un circunflexo. Pódese ler an como a elevado á n-ésima potencia, ou simplemente a elevado a n. Algúns expoñentes posúen nomes específicos: a2 acostuma ser lido como a elevado ao cadrado e a3 como a elevado ao cubo.
A potencia an tamén pode ser definida cando n é un enteiro negativo, se a é diferente de cero. Non existe unha extensión natural para todos os valores reais de a e n, a pesar de que cando a base é un número real positivo é posible definir an para todo número real n, e mesmo para números complexos a través da función exponencial ez. As funcións trigonométricas poden ser representadas en termos da potenciación complexa.
A potenciación tamén é usada noutras áreas, incluíndo economía, bioloxía, física e informática, con aplicacións como xuros compostos, crecemento da poboación, cinética química, comportamento de ondas e criptografía. Definición
As potencias son explicadas nunha serie de pasos matemática básica. Todos eses pasos baséanse na xeneralización das seguintes leis, que poden ser probadas facilmente para n e m enteiros positivos: a ( n + m )
a n a m {\displaystyle a^{(n+m)}
a^{n}\ a^{m}} a ( n m )
( a n ) m {\displaystyle a^{(n\ m)}
(a^{n})^{m}}
Expoñente zero
Para que a n a m
a ( n + m ), {\displaystyle a^{n}\ a^{m}\
a^{(n+m)}, } continúe valendo para n
0, debemos ter: a 0
1 {\displaystyle a^{0} 1}
Expoñentes enteiros negativos
Para que a n a m {\displaystyle a^{n}\ a^{m}}
a ( n + m ) {\displaystyle a^{(n+m)}} sexa válido para n + m
0, é necesario que elevar un número (distinto de cero) á potencia -1 produza o seu inverso. a − 1
( 1 a ) {\displaystyle a^{-1}
\left({\frac {1}{a}}\right)} Entón ese cálculo resulta: a − n
a − 1. n
( a − 1 ) n
( 1 a ) n
1 n a n
1 a n {\displaystyle a^{-n}
a^{-1. n}
{(a^{-1})}^{n}
{\left({\frac {1}{a}}\right)}^{n}
{\frac {1^{n}}{a^{n}}}
{\frac {1}{a^{n}}}} Elevar 0 a unha potencia negativa implicaría unha división por 0, quedando indefinida.
Un expoñente enteiro negativo tamén pode ser visto como unha división pola base. Logo: 3 − 5
13 ⋅ 13 ⋅ 13 ⋅ 13 ⋅ 13
( 13 ) 5
135 {\displaystyle 3^{-5}
{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}
\left({\frac {1}{3}}\right)^{5}
{\frac {1}{3^{5}}}} Pódese probar que con esta definición a ( n + m )
a n a m {\displaystyle a^{(n+m)}
a^{n}\ a^{m}} continúa verificándose para n, m ∈ Z. {\displaystyle n, m\in \mathbb {Z}. }
Expoñentes un e cero
Calquera número elevado a "un" é igual a el mesmo. n 1
n {\displaystyle n^{1}
n} Calquera número (excepto o 0) elevado a 0 é igual a 1. n 0
n 1 ⋅ n − 1
n ⋅ 1 n
1 {\displaystyle n^{0}
n^{1}\cdot n^{-1}
n\cdot {\frac {1}{n}}
1}
Indeterminacións
Na potenciación, é posible chegar ás formas de indeterminación seguintes: 00 {\displaystyle 0^{0}} 0 n, {\displaystyle 0^{n}, } cando n < 0 {\displaystyle n<0} ∞ 0 {\displaystyle \infty ^{0}} 1 ∞ {\displaystyle 1^{\infty }}
Potencias cun expoñente que non altera o resultado
As potencias de 0 son as potencias de base 0, dadas por 0 n {\displaystyle 0^{n}} n>0. A matemática considera indeterminado o valor da potencia: 00, {\displaystyle 0^{0}, } mais as outras potencias de base 0 con expoñente positivo teñen como resultado cero.
As potencias de 1 son as potencias de base 1, dadas por 1 n, {\displaystyle 1^{n}, } sendo n pertencente aos reais. Sen importar o valor de "n", 1 n {\displaystyle 1^{n}} será sempre 1.
Expoñentes fraccionarios
Para que a expresión x n ⋅ x m {\displaystyle x^{n}\cdot x^{m}}
x ( n + m ) {\displaystyle x^{(n+m)}} sexa válida para números racionais, debemos ter: x n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}
x 1 n {\displaystyle x^{\frac {1}{n}}} Ou, de forma xenérica, para calquera expoñente fraccionario, o denominador do expoñente é o índice da raíz e o numerados é o expoñente do radicando: x a b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}} x a b {\displaystyle x^{\frac {a}{b}}} Para que iso sexa válido independentemente da fracción usada no expoñente débese impor que x sexa un número positivo.
Expoñentes decimais
No caso de expoñente decimal, debemos transformalo en fracción e despois en raíz: x 1, 5
x 1510
x 1510 {\displaystyle x^{1, 5}
x^{\frac {15}{10}}
{\sqrt[{10}]{x^{15}}}}
Expoñentes irracionais
Como a potenciación ten a propiedade de que expoñentes próximos xeran resultados próximos, pódese definir a potenciación con expoñentes irracionais como: x π ≈ x 3. 14159 {\displaystyle x^{\pi }\approx x^{3. 14159}}
Expoñentes imaxinarios e complexos
Euler divulgou a fórmula e i. x
c o s ( x ) + i ⋅ s e n ( x ) {\displaystyle e^{i. x}
cos(x)+i\cdot sen(x)} que, coa forma equivalente log e ⁡ ( cos ⁡ x + i s e n x )
i x {\displaystyle \log _{e}(\cos x+i\mathrm {sen} \, x)
ix} xa era coñecida por Roger Cotes.
Así, usándose logaritmos, pódese definir para calquera a real e z complexo, z
x + i y: a z
( e log ⁡ a ) z
e ( z ⋅ log ⁡ a )
a x ( c o s ( y log ⁡ a ) + i ⋅ s e n ( y log ⁡ a ) ) {\displaystyle a^{z}
(e^{\log a})^{z}
e^{(z\cdot \log a)} a^{x}\ (cos(y\ \log a)+i\cdot sen(y\ \log a))}