División euclidiana

En aritmética, a división euclidiana (ou división con resto) é o proceso de dividir un número enteiro (o dividendo) por outro (o divisor), de forma que se produce un cociente enteiro e un resto natural estritamente menor que o valor absoluto do divisor. Unha propiedade fundamental é que o cociente e o resto existen e son únicos, baixo algunhas condicións. Os métodos de cálculo chámanse algoritmos de división enteira, sendo o máis coñecido a división longa. Teorema da división
A división euclidiana baséase no resultado, ás veces chamado lema de división de Euclides, que mostramos a conyinuación.
Dados dous números enteiros a e b, con b ≠ 0, existen números enteiros únicos q e r tal que a bq + r
e 0 ≤ r < |b|,
onde |b| denota o valor absoluto de b.
No teorema anterior, cada un dos catro enteiros ten un nome propio: a chámase dividendo, b chámase divisor, q chámase cociente e r chámase resto.
Xeneralización
Aínda que orixinalmente foi pensada para números enteiros, a división euclidiana e o teorema da división poden xeneralizarse a polinomios univariados sobre un corpo e a dominios euclidianos.
No caso dos polinomios, temos que a principal diferenza é que as desigualdades 0 ≤ r < | b | {\displaystyle 0\leq r<|b|} substitúense por deg ⁡ r < deg ⁡ b, {\displaystyle \deg r<\deg b, } onde deg {\displaystyle \deg } denota o grao do polinomio.
Na xeneralización a dominios euclidianos, a desigualdade descríbese como f ( r ) < f ( b ), {\displaystyle f(r)<f(b), } onde f {\displaystyle f} denota unha función específica do dominio aos números naturais chamada "función euclidiana". Exemplos
Se a
7 e b
3, entón q
2 e r
1, xa que 73 × 2 + 1.
Se a
7 e b
−3, entón q
−2 e r
1, xa que 7 −3 × (−2) + 1.
Se a
−7 e b
3, entón q
−3 e r
2, xa que −73 × (−3) + 2.
Se a
−7 e b
−3, entón q
3 e r
2, xa que −7 −3 × 3 + 2.
En termos de notación decimal, a división longa proporciona un algoritmo eficiente para resolver divisións euclidianas. A súa xeneralización á notación binaria e hexadecimal proporciona máis flexibilidade e posibilidades de implementación en aplicacións informáticas. No entanto, para números grandes, adoitan preferirse os algoritmos que reducen a división á multiplicación, como o método de Newton-Raphson, porque só necesitan un tempo proporcional ao tempo da multiplicación necesario para verificar o resultado, independentemente do algoritmo de multiplicación que use. Variantes
A división euclidiana admite unha serie de variantes, algunhas delas enuméranse a continuación.
Outros intervalos para o resto
Na división euclidiana con d como divisor, o resto pertence ao intervalo [0, d) de lonxitude |d|. Poderase utilizar calquera outro intervalo da mesma lonxitude. Por exemplo, dados os enteiros m {\displaystyle m}, a {\displaystyle a}, d {\displaystyle d} con m > 0 {\displaystyle m>0}, existen números enteiros únicos q {\displaystyle q} e r {\displaystyle r} con d ≤ r < m + d {\displaystyle d\leq r<m+d} tal que a
m q + r {\displaystyle a
mq+r}.
En particular, se d
− ⌊ m 2 ⌋ {\displaystyle d
-\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor } entón − ⌊ m 2 ⌋ ≤ r < m − ⌊ m 2 ⌋ {\displaystyle -\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \leq r<m-\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }. Esta división chámase división centrada e o seu resto r {\displaystyle r} chámase resto centrado ou resto mínimo absoluto.
Isto úsase para aproximar números reais: a división euclidiana define o truncamento, e a división centrada define o redondeo.
División de Montgomery
Dados os números enteiros a {\displaystyle a}, m {\displaystyle m} e R, {\displaystyle R, } con m > 0 {\displaystyle m>0} e gcd ( R, m )
1, {\displaystyle \gcd(R, m)
1, } sexa R − 1 {\displaystyle R^{-1}} o inverso multiplicativo modular de R {\displaystyle R} (é dicir, 0 < R − 1 < m {\displaystyle 0<R^{-1}<m} con R − 1 R − 1 {\displaystyle R^{-1}R-1} sendo múltiplo de m {\displaystyle m} ), entón existen números enteiros únicos q {\displaystyle q} e r {\displaystyle r} con 0 ≤ r < m {\displaystyle 0\leq r<m} tal que a
m q + R − 1 ⋅ r {\displaystyle a
mq+R^{-1}\cdot r}. Este resultado xeneraliza a división impar de Hensel (1900).
O valor r {\displaystyle r} é o N-residuo definido na redución de Montgomery. En dominios euclidianos
Os dominios euclidianos (tamén coñecidos como aneis euclidianos) defínense como dominios de integridade que admiten a seguinte xeneralización da división euclidiana: Dados un elemento a e un elemento distinto de cero b nun dominio euclidiano R equipado cunha función euclidiana d (tamén coñecida como valoración euclidiana ou función de grao ), existen q e r en R tal que a
bq + r e a maiores r
0 ou d(r) < d(b).
Non se require a unicidade de q e r. Ocorre só en casos excepcionais, normalmente para polinomios univariados, e para números enteiros, se se engade a condición adicional r ≥ 0.
Exemplos de dominios euclidianos inclúen os corpos, os aneis polinómicos nunha variable sobre un corpo e tamén os enteiros gaussiano. A división euclidiana de polinomios ten sido obxecto de desenvolvementos específicos.