Espazo vectorial normado

En matemáticas, un espazo vectorial normado ou espazo normado é un espazo vectorial sobre os números reais ou complexos nos que se define unha norma. Unha norma é unha xeneralización da noción intuitiva de "lonxitude" no mundo físico. Se V {\displaystyle V} é un espazo vectorial sobre K {\displaystyle K}, onde K {\displaystyle K} é un corpo igual a R {\displaystyle \mathbb {R} } ou a C {\displaystyle \mathbb {C} }, entón unha norma en V {\displaystyle V} é un mapa V → R {\displaystyle V\to \mathbb {R} }, normalmente denotado como ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert }, cumprindo os seguintes catro axiomas: Non negatividade: para todo x ∈ V {\displaystyle x\in V}, ‖ x ‖ ≥ 0 {\displaystyle \; \lVert x\rVert \geq 0}.
Definición positiva: para todo x ∈ V {\displaystyle x\in V}, ‖ x ‖
0 {\displaystyle \; \lVert x\rVert
0} se e só se x {\displaystyle x} é o vector cero.
Homoxeneidade absoluta: para todo λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in K} e x ∈ V {\displaystyle x\in V}, ‖ λ x ‖
| λ | ‖ x ‖ {\displaystyle \lVert \lambda x\rVert
|\lambda |\, \lVert x\rVert } Desigualdade triangular: para todo x ∈ V {\displaystyle x\in V} e y ∈ V {\displaystyle y\in V}, ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖. {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|. } Se V {\displaystyle V} é un espazo vectorial real ou complexo como o anterior, e ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert } é unha norma en V {\displaystyle V}, entón o par ordenado ( V, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V, \lVert \cdot \rVert )} chámase espazo vectorial normado. Se polo contexto fica claro cal é a norma que se pretende usar, entón é común denotar o espazo vectorial normado simplemente por V {\displaystyle V}.
Unha norma induce unha distancia, chamada a súa métrica inducida pola norma, mediante a fórmula d ( x, y )
‖ y − x ‖ {\displaystyle d(x, y)
\|y-x\|},
o que converte calquera espazo vectorial normado nun espazo métrico e nun espazo vectorial topolóxico. Se o espazo é real e de dimensión finita, entón é un espazo de Minkowski. Se este espazo métrico é completo, entón o espazo normado é un espazo de Banach. Todo espazo vectorial normado pode ser "estendido de forma única" a un espazo de Banach, o que fai que os espazos normados estean intimamente relacionados cos espazos de Banach. Todo espazo de Banach é un espazo normado, pero o contrario non é certo. Por exemplo, o conxunto das secuencias finitas de números reais pode ser normado coa norma euclidiana, pero non é completo para esta norma.
Un espazo de produto interno é un espazo vectorial normado cuxa norma é a raíz cadrada do produto interno dun vector consigo mesmo. A norma euclidiana dun espazo vectorial euclidiano é un caso especial que permite definir a distancia euclidiana mediante a fórmula d ( A, B )
‖ A B → ‖. {\displaystyle d(A, B)
\|{\overrightarrow {AB}}\|. } O estudo dos espazos normados e os espazos de Banach é unha parte fundamental da análise funcional, un subcampo importante das matemáticas. Definición
Un espazo vectorial normado é un espazo vectorial equipado cunha norma. Un espazo vectorial seminormado é un espazo vectorial equipado cunha seminorma.
Unha variación útil da desigualdade triangular é ‖ x − y ‖ ≥ | ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | {\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||} para calquera vector x {\displaystyle x} e y. {\displaystyle y. } Isto tamén demostra que unha norma vectorial é unha función (uniformemente) continua.
A propiedade 3 depende da escolla dunha norma | α | {\displaystyle |\alpha |} no corpo dos escalares. Cando o corpo escalar é R {\displaystyle \mathbb {R} } (ou máis xeralmente un subconxunto de C {\displaystyle \mathbb {C} } ), soe considerarse o valor absoluto ordinario, mais son posíbeis outras opcións. Por exemplo, para un espazo vectorial sobre Q {\displaystyle \mathbb {Q} } poderíamos facer que | α | {\displaystyle |\alpha |} fose o valor absoluto p {\displaystyle p} -ádico. Estrutura topolóxica
Se ( V, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V, \|\, \cdot \, \|)} é un espazo vectorial normado, a norma ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\, \cdot \, \|} induce unha métrica (unha noción de distancia) e, polo tanto, unha topoloxía en V. {\displaystyle V. } Esta métrica defínese de xeito natural: a distancia entre dous vectores u {\displaystyle \mathbf {u} } e v {\displaystyle \mathbf {v} } está dado por ‖ u − v ‖. {\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|. } Esta topoloxía é precisamente a topoloxía máis débil que fai que ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\, \cdot \, \|} sexa continuo e compatíbel coa estrutura linear de V {\displaystyle V} no seguinte sentido: A suma vectorial +: V × V → V {\displaystyle \, +\, :V\times V\to V} é conxuntamente continua en relación a esta topoloxía. Isto dedúcese directamente da desigualdade triangular.
A multiplicación escalar ⋅: K × V → V, {\displaystyle \, \cdot \, :\mathbb {K} \times V\to V, } onde K {\displaystyle \mathbb {K} } é o corpo escalar subxacente de V, {\displaystyle V, } é conxuntamente continua. Isto dedúcese da desigualdade triangular e da homoxeneidade da norma.
De especial interese son os espazos normados completos, coñecidos como espazos de Banach. Todo espazo vectorial normado V {\displaystyle V} atópase como un subespazo denso dentro dalgún espazo de Banach; este espazo de Banach está esencialmente definido de forma única por V {\displaystyle V} e chámase a completamento de V. {\displaystyle V. } Un espazo vectorial normado V {\displaystyle V} é localmente compacto se e só se a bóla unitaria B
{ x: ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle B
\{x: \|x\|\leq 1\}} é compacta, o que ocorre se e só se V {\displaystyle V} é de dimensión finita; isto é unha consecuencia do lema de Riesz. (De feito, un resultado máis xenérico é certo: un espazo vectorial topolóxico é localmente compacto se e só se é de dimensión finita. A cuestión aquí é que non asumimos que a topoloxía provén dunha norma).
A topoloxía dun espazo vectorial seminormado ten moitas propiedades interesantes. Dado un sistema de veciñanza N ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0)} arredor de 0 podemos construír todos os demais sistemas de veciñanza como N ( x )
x + N ( 0 ):
{ x + N: N ∈ N ( 0 ) } {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)
x+{\mathcal {N}}(0):
\{x+N: N\in {\mathcal {N}}(0)\}} con x + N:
{ x + n: n ∈ N }. {\displaystyle x+N:
\{x+n: n\in N\}. } A maiores, existe unha base de veciñanzas para a orixe que consiste en conxuntos absorbentes e convexos. Como esta propiedade é moi útil na análise funcional, as xeneralizacións de espazos vectoriais normados con esta propiedade estúdanse baixo o nome de espazos localmente convexos.
Unha norma (ou seminorma) ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} nun espazo vectorial topolóxico ( X, τ ) {\displaystyle (X, \tau )} é continua se e só se a topoloxía τ ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}} que ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} induce en X {\displaystyle X} é máis grosa que τ {\displaystyle \tau } (é dicir, τ ‖ ⋅ ‖ ⊆ τ {\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau } ), o que ocorre se e só se existe algunha bóla aberta B {\displaystyle B} en ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X, \|\cdot \|)} (como se cadra { x ∈ X: ‖ x ‖ < 1 } {\displaystyle \{x\in X: \|x\|<1\}} por exemplo) que está aberto en ( X, τ ) {\displaystyle (X, \tau )} (dito de xeito diferente, de tal xeito que B ∈ τ {\displaystyle B\in \tau } ). Espazo normábel
Un espazo vectorial topolóxico ( X, τ ) {\displaystyle (X, \tau )} chámase normábel se existe unha norma ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} en X {\displaystyle X} de tal xeito que a métrica canónica ( x, y ) ↦ ‖ y − x ‖ {\displaystyle (x, y)\mapsto \|y-x\|} induce a topoloxía τ {\displaystyle \tau } en X. {\displaystyle X. } O seguinte teorema débese a Kolmogorov: Criterio de normabilidade de Kolmogorov: un espazo vectorial topolóxico de Hausdorff é normábel se e só se existe unha veciñanza convexa e limitada de von Neumann de 0 ∈ X. {\displaystyle 0\in X. } Mapas lineares e espazos duais
Os mapas máis importantes entre dous espazos vectoriais normados son as aplicacións lineares continuas. Xunto con estes mapas, os espazos vectoriais normados forman unha categoría.
A norma é unha función continua no seu espazo vectorial. Todas as aplicacións lineares entre espazos vectoriais de dimensión finita tamén son continuas.
Unha isometría entre dous espazos vectoriais normados é unha aplicación linear f {\displaystyle f} que preserva a norma (é dicir, ‖ f ( v ) ‖
‖ v ‖ {\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|
\|\mathbf {v} \|} para todos os vectores v {\displaystyle \mathbf {v} } ). As isometrías son sempre continuas e inxectivas. Unha isometría sobrexectiva entre os espazos vectoriais normados V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} chámase isomorfismo isométrico e V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} chámanse isométricamente isomóorfos. Os espazos vectoriais normados isometricamente isomorfos son idénticos para todos os fins prácticos.
Ao falar de espazos vectoriais normados, ampliamos a noción de espazo dual para ter en conta a norma. O dual V ′ {\displaystyle V^{\prime }} dun espazo vectorial normado V {\displaystyle V} é o espazo de todas as aplicacións lineares continuas desde V {\displaystyle V} ao corpo base (os complexos ou os reais): estas aplicacións lineares chámanse "funcionais". A norma dun funcional φ {\displaystyle \varphi } defínese como o supremo de | φ ( v ) | {\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|} onde v {\displaystyle \mathbf {v} } ten o seu rango sobre todos os vectores unitarios (é dicir, vectores de norma 1 {\displaystyle 1} ) en V. {\displaystyle V. } Isto fai de V ′ {\displaystyle V^{\prime }} tamén un espazo vectorial normado. Un teorema importante sobre os funcionais lineares continuos en espazos vectoriais normados é o teorema de Hahn-Banach.