Coordenadas esféricas

En matemáticas, un sistema de coordenadas esféricas especifica un punto dado no espazo tridimensional usando unha distancia e dous ángulos como as súas tres coordenadas. Estas son a distancia radial r ao longo da recta que conecta o punto cun punto fixo chamado a orixe;
o ángulo polar θ entre esta recta radial e un eixo polar dado; e
o ángulo acimutal φ, que é o ángulo de rotación da recta radial ao redor do eixo polar.
(Véxase a gráfica sobre a "convención física". )
Unha vez que o raio está fixado, as tres coordenadas (r, θ, φ), coñecidas como unha 3-tupla, proporcionan un sistema de coordenadas sobre unha esfera, normalmente chamado coordenadas polares esféricas.
O plano que pasa pola orixe e é perpendicular ao eixo polar (onde o ángulo polar é un ángulo recto) chámase plano de referencia (ás veces plano fundamental). Terminoloxía
A distancia radial desde o punto fixo da orixe tamén se chama raio, ou recta radial, ou coordenada radial. O ángulo polar pode chamarse ángulo de inclinación, ángulo cenital, ángulo normal ou colatitude. O usuario pode optar por substituír o ángulo de inclinación polo seu complemento, o ángulo de elevación (ou ángulo de altitude), medido cara arriba entre o plano de referencia e a recta radial, é dicir, desde o plano de referencia cara arriba (cara ao eixo z positivo) ata a recta radial. O ángulo de depresión é o negativo do ángulo de elevación. (Véxase a gráfica sobre a "convención física", non a "convención matemática". )
Tanto o uso de símbolos como a orde de nomenclatura das coordenadas da tupla difiren entre as varias fontes e disciplinas. Este artigo usará a convención ISO frecuentemente atopada en física, onde a tupla de nomenclatura dá a orde como: distancia radial, ángulo polar, ángulo acimutal, ou ( r, θ, φ ) {\displaystyle (r, \theta, \varphi )}. (Véxase a gráfica sobre a "convención física". ) En contraste, as convencións en moitos libros e textos de matemáticas dan a orde de nomenclatura de xeito diferente como: distancia radial, "ángulo acimutal", "ángulo polar", e ( ρ, θ, φ ) {\displaystyle (\rho, \theta, \varphi )} ou ( r, θ, φ ) {\displaystyle (r, \theta, \varphi )}, o que troca os usos e significados dos símbolos θ e φ. Outras convencións tamén poden usarse, como r para un raio desde o eixo z que non é desde o punto de orixe. Debe terse especial coidado para comprobar o significado dos símbolos. O sistema de coordenadas esféricas da convención física pode verse como unha xeneralización do sistema de coordenadas polares no espazo tridimensional. Definición
Para definir un sistema de coordenadas esféricas, débese designar un punto de orixe no espazo, O, e dúas direccións ortogonais: a dirección de referencia cenital e a dirección de referencia acimutal. Estas escollas determinan un plano de referencia que normalmente se define como que contén o punto de orixe e os eixos x e y, calquera dos cales pode designarse como a dirección de referencia acimutal. O plano de referencia é perpendicular (ortogonal) á dirección cenital, e normalmente se designa como "horizontal" en relación á dirección cenital, que é "vertical". As coordenadas esféricas dun punto P defínense entón do seguinte xeito: O raio ou distancia radial é a distancia euclidiana desde a orixe O ata P.
A inclinación (ou ángulo polar) é o ángulo con signo desde a dirección de referencia cenital ata o segmento de liña OP. (Elevación pode usarse como o ángulo polar no canto de inclinación; véxase abaixo. )
O acimut (ou ángulo acimutal) é o ángulo con signo medido desde a dirección de referencia acimutal ata a proxección ortogonal do segmento de liña radial OP no plano de referencia.
O signo do acimut determínase designando a rotación que é o sentido positivo de xiro ao redor do cenital. Esta elección é arbitraria e forma parte da definición do sistema de coordenadas.
(Se a inclinación é cero ou 180 graos ( π radiáns), o acimut é arbitrario. Se o raio é cero, tanto o acimut como a inclinación son arbitrarios. )
O ángulo de elevación é o ángulo con signo desde o plano de referencia x-y ata o segmento de recta radial OP, onde os ángulos positivos se designan cara arriba, cara á dirección de referencia cenital. O ángulo de elevación é de 90 graos (
π/2 radiáns) menos a inclinación. Así, se a inclinación é de 60 graos (
π/3 radiáns), entón o ángulo de elevación é de 30 graos ( π/6 radiáns).
En álxebra linear, o vector desde a orixe O ata o punto P chámase a miúdo o vector de posición de P.
Convencións
Existen varias convencións diferentes para representar as coordenadas esféricas e prescribir a orde de nomenclatura dos seus símbolos. A tupla ( r, θ, φ ) {\displaystyle (r, \theta, \varphi )} denota a distancia radial, o ángulo polar "inclinación", ou como alternativa, "elevación", e o ángulo acimutal. É a práctica común dentro da convención física, como se especifica no estándar ISO 80000-2: 2019, e anteriormente en ISO 31-11 (1992).
No entanto, algúns autores (incluídos matemáticos) usan o símbolo ρ (rho) para o raio, ou distancia radial, φ para a inclinación (ou elevación) e θ para o acimu, mentres que outros seguen a usar r para o raio; todo o cal "proporciona unha extensión lóxica da notación habitual das coordenadas polares".
Cando o sistema úsase para designar o espazo físico tridimensional, é habitual asignar valores positivos aos ángulos acimutais medidos no sentido contrario ás agullas do reloxo desde a dirección de referencia no plano de referencia (visto desde o lado "cenital" do plano). Esta convención úsase en particular para as coordenadas xeográficas, onde a dirección "cenital" é norte e os ángulos acimutais positivos (lonxitude) mídense cara ao leste desde algún meridiano de referencia. Aplicacións
En xeografía
No canto da inclinación, o sistema de coordenadas xeográficas usa o ángulo de elevación (ou latitude), no intervalo (tamén chamado dominio) −90° ≤ φ ≤ 90° e rotado ao norte desde o plano do ecuador. A latitude (é dicir, o ángulo de latitude) pode ser latitude xeocéntrica, medida (rotada) desde o centro da Terra (}e designada de varias formas por ψ, q, φ′, φc, φg) ou latitude xeodésica, medida (rotada) desde a vertical local do observador, e normalmente designada φ.
O ángulo polar (inclinación), que é de 90° menos a latitude e varía de 0 a 180°, chámase colatitude en xeografía.
O ángulo acimutal (ou lonxitude) dunha posición dada na Terra, comunmente denotado por λ, mídese en graos ao leste ou ao oeste desde algún meridiano de referencia convencional (o máis común é o Meridiano de Referencia IERS); polo tanto, o seu dominio (ou intervalo) é −180° ≤ λ ≤ 180° e unha lectura dada normalmente se designa como "Leste" ou "Oeste". Para posicións na Terra ou noutro corpo celeste sólido, o plano de referencia normalmente tómase como o plano perpendicular ao eixo de rotación. No canto da distancia radial r, os xeógrafos usan habitualmente a altitude por enriba ou por debaixo dalgunha superficie de referencia local (datum vertical), que, por exemplo, pode ser o nivel medio do mar. Cando é necesario, a distancia radial pode calcularse a partir da altitude sumando o raio da Terra, que é aproximadamente 6360 ± 11km.
Porén, os sistemas de coordenadas xeográficas modernos son bastante complexos, e as posicións implicadas por estas fórmulas simples poden ser imprecisas en varios quilómetros. Os significados estándar precisos de latitude, lonxitude e altitude están actualmente definidos polo Sistema Xeodésico Mundial (WGS), e teñen en conta o achatamento da Terra nos polos e moitos outros detalles.
Os sistemas de coordenadas planetarias usan formulacións análogas ao sistema de coordenadas xeográficas.
En astronomía
Unha serie de sistemas de coordenadas astronómicas úsanse para medir o ángulo de elevación desde varios planos fundamentais. Estes planos de referencia inclúen: o horizonte do observador, o ecuador galáctico (definido pola rotación da Vía Láctea), o ecuador celeste (definido pola rotación da Terra), o plano da eclíptica (definido pola órbita da Terra ao redor do Sol), e o plano do terminador terrestre (normal á dirección instantánea ao Sol). Conversións entre sistemas de coordenadas
Como o sistema de coordenadas esféricas é só un dos moitos sistemas de coordenadas tridimensionais, existen ecuacións para converter coordenadas entre o sistema de coordenadas esféricas e outros.
Coordenadas cartesianas
As coordenadas esféricas dun punto na convención ISO (é dicir, para a física: raio r, inclinación θ, acimut φ) pódense obter a partir das súas Coordenadas cartesianas (x, y, z) polas fórmulas r
x 2 + y 2 + z 2 θ
arccos ⁡ z x 2 + y 2 + z 2
arccos ⁡ z r
{ arctan ⁡ x 2 + y 2 z se z > 0 π + arctan ⁡ x 2 + y 2 z se z < 0 + π 2 se z
0 e x 2 + y 2 ≠ 0 non definido se x
y
z
0 φ
sgn ⁡ ( y ) arccos ⁡ x x 2 + y 2
{ arctan ⁡ ( y x ) se x > 0, arctan ⁡ ( y x ) + π se x < 0 e y ≥ 0, arctan ⁡ ( y x ) − π se x < 0 e y < 0, + π 2 se x
0 e y > 0, − π 2 se x
0 e y < 0, non definido se x
0 e y
0. {\displaystyle {\begin{aligned}r&
{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &
\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
\arccos {\frac {z}{r}}
{\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{se }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{se }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{se }}z
0{\text{ e }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\neq 0\\{\text{non definido}}&{\text{se }}x
y z
0\\\end{cases}}\\\varphi &
\operatorname {sgn}(y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
{\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{se }}x>0, \\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{se }}x<0{\text{ e }}y\geq 0, \\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{se }}x<0{\text{ e }}y<0, \\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{se }}x
0{\text{ e }}y>0, \\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{se }}x
0{\text{ e }}y<0, \\{\text{non definido}}&{\text{se }}x
0{\text{ e }}y
0. \end{cases}}\end{aligned}}} A inversa da tanxente denotada como φ
arctan y/x debe definirse adecuadamente, tendo en conta o cuadrante correcto de (x, y), como se fixo nas ecuacións anteriores. Vexa o artigo sobre atan2.
Alternativamente, a conversión pódese considerar como dúas conversións de rectangulares a polares: a primeira no plano cartesiano xy desde (x, y) ata (R, φ) onde R é a proxección de r no plano xy, e a segunda no plano cartesiano zR desde (z, R) ata (r, θ). Os cuadrantes correctos para φ e θ están implicados pola corrección das conversións rectangulares a polares planas.
Estas fórmulas asumen que os dous sistemas teñen a mesma orixe, que o plano de referencia esférico é o plano cartesiano xy, que θ é a inclinación desde a dirección z e que os ángulos acimutais miden a partir do eixo cartesiano x (de xeito que o eixo y ten φ +90°). Se θ mide a elevación desde o plano de referencia en lugar da inclinación desde o cénit, os arcos de arriba convértense nun arcosin, e os cos θ e sin θ de abaixo mudan.
Pola contra, as coordenadas cartesianas poden ser recuperadas das coordenadas esféricas (raio r, inclinación θ, acimut φ), onde r ∈ [ 0, ∞ ), θ ∈ [ 0, π ], φ ∈ [ 0, 2 π ) {\displaystyle r\in [0, \infty ), \theta \in [0, \pi ], \varphi \in [0, 2\pi )}, por x
r sin ⁡ θ cos ⁡ φ, y
r sin ⁡ θ sin ⁡ φ, z
r cos ⁡ θ. {\displaystyle {\begin{aligned}x&
r\sin \theta \, \cos \varphi, \\y&
r\sin \theta \, \sin \varphi, \\z&
r\cos \theta. \end{aligned}}}
Coordenadas cilíndricas
As coordenadas cilíndricas (raio axial ρ, azimut φ, elevación z) poden converterse en coordenadas esféricas (raio central r, inclinación θ, azimut φ), mediante as fórmulas r
ρ 2 + z 2, θ
arctan ⁡ ρ z
arccos ⁡ z ρ 2 + z 2, φ
φ. {\displaystyle {\begin{aligned}r&
{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}, \\\theta &
\arctan {\frac {\rho }{z}}
\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}, \\\varphi &
\varphi. \end{aligned}}} Inversamente, as coordenadas esféricas poden converterse en coordenadas cilíndricas mediante as fórmulas ρ
r sin ⁡ θ, φ
φ, z
r cos ⁡ θ. {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &
r\sin \theta, \\\varphi &
\varphi, \\z&
r\cos \theta. \end{aligned}}} Estas fórmulas asumen que os dous sistemas teñen a mesma orixe e o mesmo plano de referencia, miden o ángulo azimutal φ nos mesmos sentidos desde o mesmo eixo, e que o ángulo esférico θ é a inclinación desde o eixo cilíndrico z. Integración e diferenciación en coordenadas esféricas
As seguintes ecuacións (Iyanaga 1977) asumen que a colatitude θ é a inclinación desde o eixo z positivo, como na convención física.
O elemento de liña para un desprazamento infinitesimal desde (r, θ, φ) a (r + dr, θ + dθ, φ + dφ) é d r
d r r ^ + r d θ θ ^ + r sin ⁡ θ d φ φ ^, {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r}
\mathrm {d} r\, {\hat {\mathbf {r} }}+r\, \mathrm {d} \theta \, {\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\, \mathrm {d} \varphi \, \mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}, } onde r ^
sin ⁡ θ cos ⁡ φ x ^ + sin ⁡ θ sin ⁡ φ y ^ + cos ⁡ θ z ^, θ ^
cos ⁡ θ cos ⁡ φ x ^ + cos ⁡ θ sin ⁡ φ y ^ − sin ⁡ θ z ^, φ ^
− sin ⁡ φ x ^ + cos ⁡ φ y ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&
\sin \theta \cos \varphi \, {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \, {\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \, {\hat {\mathbf {z} }}, \\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&
\cos \theta \cos \varphi \, {\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \, {\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \, {\hat {\mathbf {z} }}, \\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&
-\sin \varphi \, {\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \, {\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}} son os vectores unitarios locais ortogonais nas direccións de aumento de r, θ, e φ, respectivamente,
e x̂, ŷ, e ẑ son os vectores unitarios en coordenadas cartesianas. A transformación lineal a este triplete de coordenadas destróxiras é unha matriz de rotación, R
( sin ⁡ θ cos ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ − cos ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ φ cos ⁡ θ sin ⁡ φ − sin ⁡ θ − sin ⁡ φ cos ⁡ φ − 0 ). {\displaystyle R
{\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}. } Isto dá a transformación desde as coordenadas cartesianas ás esféricas.
Nota: a matriz é unha matriz ortogonal, é dicir, a súa inversa é simplemente a súa transposta.
Os vectores unitarios cartesianos están así relacionados cos vectores unitarios esféricos por: [ x ^ y ^ z ^ ]
[ sin ⁡ θ cos ⁡ φ cos ⁡ θ cos ⁡ φ − sin ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ cos ⁡ θ sin ⁡ φ − cos ⁡ φ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ − 0 ] [ r ^ θ ^ φ ^ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}} A forma xeral da fórmula para demostrar o elemento de liña diferencial é d r
∑ i ∂ r ∂ x i d x i
∑ i | ∂ r ∂ x i | ∂ r ∂ x i | ∂ r ∂ x i | d x i
∑ i | ∂ r ∂ x i | d x i x ^ i, {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r}
\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\, \mathrm {d} x_{i}
\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\, \mathrm {d} x_{i}
\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\, \mathrm {d} x_{i}\, {\hat {\boldsymbol {x}}}_{i}, } é dicir, o cambio en r {\displaystyle \mathbf {r} } descomponse en cambios individuais correspondentes a cambios nas coordenadas individuais.
Para aplicar isto ao caso presente, cómpre calcular como muda r {\displaystyle \mathbf {r} } con cada unha das coordenadas. Nas convencións usadas, r
[ r sin ⁡ θ cos ⁡ φ r sin ⁡ θ sin ⁡ φ r cos ⁡ θ ], x 1
r, x 2
θ, x 3
φ. {\displaystyle \mathbf {r}
{\begin{bmatrix}r\sin \theta \, \cos \varphi \\r\sin \theta \, \sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}, x_{1}
r, x_{2}
\theta, x_{3}
\varphi. } Así, ∂ r ∂ r
[ sin ⁡ θ cos ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ cos ⁡ θ ]
r ^, ∂ r ∂ θ
[ r cos ⁡ θ cos ⁡ φ r cos ⁡ θ sin ⁡ φ − r sin ⁡ θ ]
r θ ^, ∂ r ∂ φ
[ − r sin ⁡ θ sin ⁡ φ − r sin ⁡ θ cos ⁡ φ 0 ]
r sin ⁡ θ φ ^. {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}
{\begin{bmatrix}\sin \theta \, \cos \varphi \\\sin \theta \, \sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}
\mathbf {\hat {r}}, \quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}
{\begin{bmatrix}r\cos \theta \, \cos \varphi \\r\cos \theta \, \sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}
r\, {\hat {\boldsymbol {\theta }}}, \quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}
{\begin{bmatrix}-r\sin \theta \, \sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \, \cos \varphi \\0\end{bmatrix}}
r\sin \theta \, \mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}. } Os coeficientes desexados son as magnitudes destes vectores: | ∂ r ∂ r |
1, | ∂ r ∂ θ |
r, | ∂ r ∂ φ |
r sin ⁡ θ. {\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|
1, \quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|
r, \quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|
r\sin \theta. } O elemento de superficie que abrangue desde θ a θ + dθ e φ a φ + dφ nunha superficie esférica de raio r constante é logo d S r
‖ ∂ r ∂ θ × ∂ r ∂ φ ‖ d θ d φ
| r θ ^ × r sin ⁡ θ φ ^ | d θ d φ
r 2 sin ⁡ θ d θ d φ. {\displaystyle \mathrm {d} S_{r}
\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi
\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi
r^{2}\sin \theta \, \mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi ~. } Así, o ángulo sólido diferencial é d Ω
d S r r 2
sin ⁡ θ d θ d φ. {\displaystyle \mathrm {d} \Omega
{\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}
\sin \theta \, \mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi. } O elemento de superficie nunha superficie de ángulo polar θ constante (un cono con vértice na orixe) é d S θ
r sin ⁡ θ d φ d r. {\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }
r\sin \theta \, \mathrm {d} \varphi \, \mathrm {d} r. } O elemento de superficie nunha superficie de acimut φ constante (un semiplano vertical) é d S φ
r d r d θ. {\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }
r\, \mathrm {d} r\, \mathrm {d} \theta. } O elemento de volume que abrangue desde r a r + dr, θ a θ + dθ, e φ a φ + dφ está especificado polo determinante da matriz jacobiana de derivadas parciais, J
∂ ( x, y, z ) ∂ ( r, θ, φ )
( sin ⁡ θ cos ⁡ φ r cos ⁡ θ cos ⁡ φ − r sin ⁡ θ sin ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ r cos ⁡ θ sin ⁡ φ − r sin ⁡ θ cos ⁡ φ cos ⁡ θ − r sin ⁡ θ − 0 ), {\displaystyle J
{\frac {\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \varphi )}}
{\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}, } é dicir d V
| ∂ ( x, y, z ) ∂ ( r, θ, φ ) | d r d θ d φ
r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ
r 2 d r d Ω. {\displaystyle \mathrm {d} V
\left|{\frac {\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \varphi )}}\right|\, \mathrm {d} r\, \mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi
r^{2}\sin \theta \, \mathrm {d} r\, \mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi
r^{2}\, \mathrm {d} r\, \mathrm {d} \Omega ~. } Así, por exemplo, unha función f(r, θ, φ) pode integrarse sobre cada punto en R3 mediante a integral tripla ∫ 02 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ f ( r, θ, φ ) r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ. {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r, \theta, \varphi )r^{2}\sin \theta \, \mathrm {d} r\, \mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi ~. } O operador nabla neste sistema leva ás seguintes expresións para o gradiente e o laplaciano para campos escalares, ∇ f
∂ f ∂ r r ^ + 1 r ∂ f ∂ θ θ ^ + 1 r sin ⁡ θ ∂ f ∂ φ φ ^, ∇ 2 f
1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2
( ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r ) f + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) f + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ φ 2 f, {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&
{\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}, \\[8pt]\nabla ^{2}f&
{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&
\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~, \\[8pt]\end{aligned}}} E leva ás seguintes expresións para a diverxencia e o rotacional de campos vectoriais, ∇ ⋅ A
1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 A r ) + 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ A θ ) + 1 r sin ⁡ θ ∂ A φ ∂ φ, {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A}
{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }, } ∇ × A
1 r sin ⁡ θ [ ∂ ∂ θ ( A φ sin ⁡ θ ) − ∂ A θ ∂ φ ] r ^ + 1 r [ 1 sin ⁡ θ ∂ A r ∂ φ − ∂ ∂ r ( r A φ ) ] θ ^ + 1 r [ ∂ ∂ r ( r A θ ) − ∂ A r ∂ θ ] φ ^, {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A}
{}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}, \end{aligned}}} A maiores, o jacobiano inverso en coordenadas cartesianas é J − 1
( x r y r z r x z r 2 x 2 + y 2 y z r 2 x 2 + y 2 − ( x 2 + y 2 ) r 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 20 ). {\displaystyle J^{-1}
{\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}. } O tensor métrico no sistema de coordenadas esféricas é g
J T J {\displaystyle g
J^{T}J}. Distancia en coordenadas esféricas
En coordenadas esféricas, dados dous puntos con φ sendo as coordenadas acimutais r
( r, θ, φ ), r ′
( r ′, θ ′, φ ′ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&
(r, \theta, \varphi ), \\{\mathbf {r} '}&
(r', \theta ', \varphi ')\end{aligned}}} A distancia entre os dous puntos pode expresarse como D
r 2 + r ′ 2 − 2 r r ′ ( sin ⁡ θ sin ⁡ θ ′ cos ⁡ ( φ − φ ′ ) + cos ⁡ θ cos ⁡ θ ′ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {D} }&
{\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}} Cinemática
En coordenadas esféricas, a posición dun punto ou partícula (aínda que mellor escrita como unha tripla ( r, θ, φ ) {\displaystyle (r, \theta, \varphi )} ) pode escribirse como r
r r ^. {\displaystyle \mathbf {r}
r\mathbf {\hat {r}}. } A súa velocidade é logo v
d r d t
r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ + r φ ˙ sin ⁡ θ φ ^ {\displaystyle \mathbf {v}
{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}
{\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\, {\dot {\theta }}\, {\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\, {\dot {\varphi }}\sin \theta \, \mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} } e a súa aceleración é a
d v d t
+ ( r ¨ − r θ ˙ 2 − r φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ − r φ ˙ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) θ ^ + ( r φ ¨ sin ⁡ θ + 2 r ˙ φ ˙ sin ⁡ θ + 2 r θ ˙ φ ˙ cos ⁡ θ ) φ ^ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a}
{}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]
{}&{\hphantom {+}}\; \left({\ddot {r}}-r\, {\dot {\theta }}^{2}-r\, {\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\, {\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\, {\dot {\theta }}-r\, {\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\, \sin \theta +2{\dot {r}}\, {\dot {\varphi }}\, \sin \theta +2r\, {\dot {\theta }}\, {\dot {\varphi }}\, \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}} O momento angular é L
r × p
r × m v
m r 2 ( − φ ˙ sin ⁡ θ θ ^ + θ ˙ φ ^ ) {\displaystyle \mathbf {L}
\mathbf {r} \times \mathbf {p}
\mathbf {r} \times m\mathbf {v}
mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \, \mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\, {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)} Onde m {\displaystyle m} é a masa. No caso dunha constante φ ou ben θ π/2, isto redúcese a cálculo vectorial en coordenadas polares.
O correspondente operador de momento angular dedúcese despois da reformulación do espazo de fases do anterior, L
− i ℏ r × ∇
i ℏ ( θ ^ sin ⁡ ( θ ) ∂ ∂ ϕ − ϕ ^ ∂ ∂ θ ). {\displaystyle \mathbf {L}
-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla
i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right). } O torque dáse como τ
d L d t
r × F
− m ( 2 r r ˙ φ ˙ sin ⁡ θ + r 2 φ ¨ sin ⁡ θ + 2 r 2 θ ˙ φ ˙ cos ⁡ θ ) θ ^ + m ( r 2 θ ¨ + 2 r r ˙ θ ˙ − r 2 φ ˙ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) φ ^ {\displaystyle \mathbf {\tau }
{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}
\mathbf {r} \times \mathbf {F}
-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}} A enerxía cinética dáse como E k
12 m [ ( r ˙ ) 2 + ( r θ ˙ ) 2 + ( r φ ˙ sin ⁡ θ ) 2 ] {\displaystyle E_{k}
{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}