Leis de De Morgan

En lóxica proposicional e álxebra de Boole, as leis de De Morgan, tamén coñecidas como teorema de De Morgan, son un par de regras de transformación que son regras de inferencia válidas. Levan o nome de Augustus De Morgan, un matemático británico do século XIX. As regras permiten a expresión de conxuncións e disxuncións unicamente en termos entre si mediante a negación.
As regras pódense expresar en texto como: A negación de "A e B" é o mesmo que "non A ou non B".
A negación de "A ou B" é o mesmo que "non A e non B".
ou O complementario da unión de dous conxuntos é o mesmo que a intersección dos seus complementos
O complementario da intersección de dous conxuntos é o mesmo que a unión dos seus complementarios
ou non (A ou B) (non A) e (non B)
non (A e B) (non A) ou (non B)
onde "A ou B" é "ou inclusivo" que significa polo menos un de A ou B en lugar de "ou exclusivo" que significa exactamente un de A ou B. Outra forma da lei de De Morgan é a seguinte como se ve a continuación. A − ( B ∪ C )
( A − B ) ∩ ( A − C ), {\displaystyle A-(B\cup C)
(A-B)\cap (A-C), } A − ( B ∩ C )
( A − B ) ∪ ( A − C ). {\displaystyle A-(B\cap C)
(A-B)\cup (A-C). } A aplicación destas regras inclúen a simplificación de expresións lóxicas en programas informáticos e deseños de circuítos dixitais. As leis de De Morgan son un exemplo dun concepto máis xeral de dualidade matemática. Notación formal
A regra de negación da conxunción pódese escribir en notación de consecuentes: ¬ ( P ∧ Q ) ⊢ ( ¬ P ∨ ¬ Q ). ( ¬ P ∨ ¬ Q ) ⊢ ¬ ( P ∧ Q ). {\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\vdash (\neg P\lor \neg Q). \\(\neg P\lor \neg Q)&\vdash \neg (P\land Q). \end{aligned}}} A regra de negación da disxunción pódese escribir como: ¬ ( P ∨ Q ) ⊢ ( ¬ P ∧ ¬ Q ). ( ¬ P ∧ ¬ Q ) ⊢ ¬ ( P ∨ Q ). {\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\lor Q)&\vdash (\neg P\land \neg Q). \\(\neg P\land \neg Q)&\vdash \neg (P\lor Q). \end{aligned}}} En forma de regra: negación da conxuncióne negación da disxuncióne exprésase como tautoloxías ou teoremas de lóxica proposicional de funcións de verdade: ¬ ( P ∧ Q ) ↔ ( ¬ P ∨ ¬ Q ), ¬ ( P ∨ Q ) ↔ ( ¬ P ∧ ¬ Q ). {\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\leftrightarrow (\neg P\lor \neg Q), \\\neg (P\lor Q)&\leftrightarrow (\neg P\land \neg Q). \\\end{aligned}}} onde P {\displaystyle P} e Q {\displaystyle Q} son proposicións expresadas nalgún sistema formal.
As leis xeneralizadas de De Morgan proporcionan unha equivalencia para negar unha conxunción ou disxunción que implica varios termos. Para un conxunto de proposicións P 1, P 2, …, P n {\displaystyle P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}}, as leis de De Morgan xeneralizadas son as seguintes: ¬ ( P 1 ∧ P 2 ∧ ⋯ ∧ P n ) ↔ ¬ P 1 ∨ ¬ P 2 ∨ … ∨ ¬ P n ¬ ( P 1 ∨ P 2 ∨ ⋯ ∨ P n ) ↔ ¬ P 1 ∧ ¬ P 2 ∧ … ∧ ¬ P n {\displaystyle {\begin{aligned}\lnot (P_{1}\land P_{2}\land \dots \land P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\lor \lnot P_{2}\lor \ldots \lor \lnot P_{n}\\\lnot (P_{1}\lor P_{2}\lor \dots \lor P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\land \lnot P_{2}\land \ldots \land \lnot P_{n}\end{aligned}}}
Forma de substitución
As leis de De Morgan móstranse normalmente na forma compacta anterior, coa negación da saída á esquerda e a negación das entradas á dereita. Unha forma máis clara para a substitución pódese indicar como: ( P ∧ Q ) ⟺ ¬ ( ¬ P ∨ ¬ Q ), ( P ∨ Q ) ⟺ ¬ ( ¬ P ∧ ¬ Q ). {\displaystyle {\begin{aligned}(P\land Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\lor \neg Q), \\(P\lor Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\land \neg Q). \end{aligned}}} Isto fai fincapé na necesidade de inverter tanto as entradas como a saída, así como mudar o operador ao facer unha substitución.
Teoría de conxuntos
Na teoría de conxuntos, adoita dicirse como "troco de unión e intersección baixo complementación", que se pode expresar formalmente como: A ∪ B ¯
A ¯ ∩ B ¯, A ∩ B ¯
A ¯ ∪ B ¯, {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&
{\overline {A}}\cap {\overline {B}}, \\{\overline {A\cap B}}&
{\overline {A}}\cup {\overline {B}}, \end{aligned}}} onde: A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} é a negación de A {\displaystyle A}, escribindo a liña superior enriba dos termos que se van negar, ∩ {\displaystyle \cap } é o operador de intersección (AND), ∪ {\displaystyle \cup } é o operador únión (OR).
Álxebra de Boole
Na álxebra de Boole, do mesmo xeito, esta lei pode expresarse formalmente como: A ∧ B ¯
A ¯ ∨ B ¯, A ∨ B ¯
A ¯ ∧ B ¯, {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A\land B}}&
{\overline {A}}\lor {\overline {B}}, \\{\overline {A\lor B}}&
{\overline {A}}\land {\overline {B}}, \end{aligned}}} onde: A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} é a negación de A {\displaystyle A}, escribindo a liña superior enriba dos termos que se van negar, ∧ {\displaystyle \land } é o operador de conxunción lóxica (AND), ∨ {\displaystyle \lor } é o operador de disxunción lóxica (OR).
Enxeñaría
En enxeñaría eléctrica e informática, as leis de De Morgan escríbense habitualmente como: ( A ⋅ B ) ¯ ≡ ( A ¯ + B ¯ ) {\displaystyle {\overline {(A\cdot B)}}\equiv ({\overline {A}}+{\overline {B}})} ( A + B ) ¯ ≡ ( A ¯ ⋅ B ¯ ), {\displaystyle {\overline {(A+B)}}\equiv ({\overline {A}}\cdot {\overline {B}}), } onde: ⋅ {\displaystyle \cdot } é o AND lóxico, + {\displaystyle +} é o OR lóxico,
a liña superior é o NOT lóxico do que hai debaixo da barra superior.
Busca de texto (informática)
As leis de De Morgan adoitan aplicarse á busca de texto mediante operadores booleanos AND, OR e NOT. Considere un conxunto de documentos que conteñan as palabras "gatos" e "cans". As leis de De Morgan sosteñen que estas dúas procuras devolverán o mesmo conxunto de documentos: Busca A: NON (gatos OU cans)
Busca B: (NON gatos) E (NON cans)
Pódese aplicar unha avaliación similar para mostrar que as dúas buscas seguintes: Busca C: NOT (gatos E cans),
Busca D: (NON gatos) OU (NON cans).