Logaritmo natural

O logaritmo natural ou logaritmo neperiano dun número é o seu logaritmo con base a constante matemática e, que é un número irracional e transcendental aproximadamente igual a 2. 718281828459. O logaritmo natural de x escríbese xeralmente como ln x, loge x, ou ás veces, se a base e está implícita, simplemente log x. Ás veces engádense parénteses para claridade, dando ln(x), loge(x) ou log(x). Isto faise especialmente cando o argumento do logaritmo non é un só símbolo, para evitar ambigüidades.
O logaritmo natural de x é a potencia á que habería que elevar e para igualar x. Por exemplo, ln 7. 5 é 2. 0149. .. , porque e2. 0149. ..
7. 5. O logaritmo natural de e, ln e, é 1, porque e1
e, mentres que o logaritmo natural de 1 é 0, xa que e01.
O logaritmo natural pódese definir para calquera número real positivo a como a área baixo a curva y 1/x de 1 a a (sendo a área negativa cando 0 < a < 1 ). A definición do logaritmo natural pódese ampliar daquela para dar valores de logaritmo para números negativos e para todos os números complexos distintos de cero, aínda que isto leva a unha función multivalor: ver logaritmo complexo para máis información.
A función logaritmo natural, se se considera como unha función con valores reais dunha variable real positiva, é a función inversa da función exponencial, dando lugar ás identidades: e ln ⁡ x
x if x ∈ R + ln ⁡ e x
x if x ∈ R {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&
x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&
x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}} Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapea a multiplicación de números positivos en suma: ln ⁡ ( x ⋅ y )
ln ⁡ x + ln ⁡ y. {\displaystyle \ln(x\cdot y)
\ln x+\ln y~. } Pódense definir logaritmos para calquera base positiva que non sexa 1, non só e. No entanto, os logaritmos noutras bases difiren só por un multiplicador constante do logaritmo natural, e pódense definir en termos deste último, log b ⁡ x
ln ⁡ x / ln ⁡ b
ln ⁡ x ⋅ log b ⁡ e {\displaystyle \log _{b}x
\ln x/\ln b
\ln x\cdot \log _{b}e}.
Os logaritmos son útiles para resolver ecuacións nas que a incógnita aparece como o expoñente dalgunha outra cantidade. Por exemplo, os logaritmos utilízanse para resolver a vida media, a constante de desintegración ou o tempo descoñecido en problemas de desintegración exponencial. Son importantes en moitas ramas das matemáticas e das disciplinas científicas, e úsanse para resolver problemas que impliquen xuro composto. Definicións
O logaritmo natural pódese definir de varias maneiras equivalentes.
Inversa de exponencial
A definición máis xeral é como a función inversa de e x {\displaystyle e^{x}}, para que e ln ⁡ ( x )
x {\displaystyle e^{\ln(x)}
x}. Para os números complexos, e z {\displaystyle e^{z}} non é invertíbel, polo tanto ln ⁡ ( z ) {\displaystyle \ln(z)} é unha función multivalor. Para facer ln ⁡ ( z ) {\displaystyle \ln(z)} unha función propia de saída única, polo tanto, necesitamos restrinxila a unha rama principal particular, a miúdo denotada por Ln ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}.
Para os números complexos o logaritmo natural pode ter unha continuación analítica como ln ⁡ ( z )
l n | z | + i arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \ln(z)
ln|z|+i\arg(z)} onde | z | {\displaystyle |z|} é o módulo do complexo e arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \arg(z)} é o argumento do complexo, por exemplo ln ⁡ ( 3 + 4 i )
1. 6094 + 0. 9273 i {\displaystyle \ln(3+4i)
1. 6094+0. 9273i}.
Definición como integral
O logaritmo natural dun número real positivo a pódese definir como a área baixo a gráfica da hipérbole coa ecuación y
1/x entre x
1 e x
a. Esta é a integral ln ⁡ a
∫ 1 a 1 x d x. {\displaystyle \ln a \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\, dx. } Se a está dentro do intervalo ( 0, 1 ) {\displaystyle (0, 1)}, entón a rexión ten área negativa e o logaritmo é negativo.
O logaritmo natural tamén ten unha representación integral impropia, que se pode derivar co teorema de Fubini do seguinte xeito: ln ⁡ ( x )
∫ 1 x 1 u d u
∫ 1 x ∫ 0 ∞ e − t u d t d u
∫ 0 ∞ ∫ 1 x e − t u d u d t
∫ 0 ∞ e − t − e − t x t d t {\displaystyle \ln \left(x\right)
\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du
\int _{1}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-tu}\ dt\ du
\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{x}e^{-tu}\ du\ dt
\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt} Propiedades
O logaritmo natural ten as seguintes propiedades matemáticas: ln ⁡ 1
0 {\displaystyle \ln 1
0} ln ⁡ e
1 {\displaystyle \ln e
1} ln ⁡ ( x y )
ln ⁡ x + ln ⁡ y para x > 0 e y > 0 {\displaystyle \ln(xy)
\ln x+\ln y\quad {\text{para }}\; x>0\; {\text{e }}\; y>0} ln ⁡ ( x / y )
ln ⁡ x − ln ⁡ y para x > 0 e y > 0 {\displaystyle \ln(x/y)
\ln x-\ln y\quad {\text{para }}\; x>0\; {\text{e }}\; y>0} ln ⁡ ( x y )
y ln ⁡ x para x > 0 {\displaystyle \ln(x^{y})
y\ln x\quad {\text{para }}\; x>0} ln ⁡ ( x y )
( ln ⁡ x ) / y para x > 0 e y ≠ 0 {\displaystyle \ln({\sqrt[{y}]{x}})
(\ln x)/y\quad {\text{para }}\; x>0\; {\text{e }}\; y\neq 0} ln ⁡ x < ln ⁡ y para 0 < x < y {\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{para }}\; 0<x<y} lim x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) x
1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}
1} lim α → 0 x α − 1 α
ln ⁡ x para x > 0 {\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}
\ln x\quad {\text{para }}\; x>0} x − 1 x ≤ ln ⁡ x ≤ x − 1 para x > 0 {\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{para }}\quad x>0} ln ⁡ ( 1 + x α ) ≤ α x para x ≥ 0 e α ≥ 1 {\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{para }}\quad x\geq 0\; {\text{e }}\; \alpha \geq 1} Derivada
A derivada do logaritmo natural como función con valores reais sobre os reais positivos vén dada por d d x ln ⁡ x
1 x. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x
{\frac {1}{x}}. } A maiores temos: d d x ln ⁡ a x
d d x ( ln ⁡ a + ln ⁡ x )
d d x ln ⁡ a + d d x ln ⁡ x
1 x. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax
{\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)
{\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x
{\frac {1}{x}}. } polo tanto, a diferenza da súa función inversa e a x {\displaystyle e^{ax}}, unha constante na función logaritmo non altera o diferencial. Serie
Como o logaritmo natural non está definido en 0, ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} en si non ten unha serie de Maclaurin, a diferenza de moitas outras funcións elementais. Mais temos expansións de Taylor arredor doutros puntos. Por exemplo, se | x − 1 | ≤ 1 and x ≠ 0, {\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0, } entón ln ⁡ x
∫ 1 x 1 t d t
∫ 0 x − 111 + u d u
∫ 0 x − 1 ( 1 − u + u 2 − u 3 + ⋯ ) d u
( x − 1 ) − ( x − 1 ) 22 + ( x − 1 ) 33 − ( x − 1 ) 44 + ⋯
∑ k
1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( x − 1 ) k k. {\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&
\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\, dt
\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\, du\\&
\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\, du\\&
(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&
\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}. \end{aligned}}} Esta é a serie Taylor para ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} arredor de 1. Un cambio de variábeis produce a serie de Mercator: ln ⁡ ( 1 + x )
∑ k
1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k x k
x − x 22 + x 33 − ⋯, {\displaystyle \ln(1+x)
\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}
x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots, } válido para | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1} e x ≠ − 1. {\displaystyle x\neq -1. } Un caso especial útil para números enteiros positivos n, tomando x
1 n {\displaystyle x
{\tfrac {1}{n}}}, é: ln ⁡ ( n + 1 n )
∑ k
1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k n k
1 n − 12 n 2 + 13 n 3 − 14 n 4 + ⋯ {\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)
\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}
{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots } O logaritmo natural tamén se pode expresar como un produto infinito: ln ⁡ ( x )
( x − 1 ) ∏ k
1 ∞ ( 21 + x 2 k ) {\displaystyle \ln(x)
(x-1)\prod _{k
1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)} Dous exemplos poden ser: ln ⁡ ( 2 )
( 21 + 2 ) ( 21 + 24 ) ( 21 + 28 ) ( 21 + 216 ). .. {\displaystyle \ln(2)
\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right). .. } O logaritmo natural na integración
O logaritmo natural permite a integración sinxela de funcións da forma g ( x )
f ′ ( x ) f ( x ) {\displaystyle g(x)
{\frac {f'(x)}{f(x)}}}; unha antiderivada de g(x) vén dada por ln ⁡ ( | f ( x ) | ) {\displaystyle \ln(|f(x)|)}. Este solución é debida á regra da cadea xunto coa derivada da función elemental ln ⁡ | x | {\displaystyle \ln |x|}: d d x ln ⁡ | x |
1 x, x ≠ 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|
{\frac {1}{x}}, \ \ x\neq 0. } Noutras palabras, ao integrar sobre un intervalo da liña real que non inclúe x
0 {\displaystyle x
0} temos ∫ 1 x d x
ln ⁡ | x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\, dx
\ln |x|+C} onde C é unha constante arbitraria de integración.
Por tanto, cando a integral está definida sobre un intervalo onde f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} temos ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x
ln ⁡ | f ( x ) | + C. {\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\, dx}
\ln |f(x)|+C. } Por exemplo, considere a integral de tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(x)} nun intervalo que non inclúe puntos onde tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(x)} é infinito: ∫ tan ⁡ x d x
∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x
− ∫ d d x cos ⁡ x cos ⁡ x d x
− ln ⁡ | cos ⁡ x | + C
ln ⁡ | sec ⁡ x | + C. {\displaystyle \int \tan x\, dx
\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\, dx
-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\, dx
-\ln \left|\cos x\right|+C
\ln \left|\sec x\right|+C. } O logaritmo natural pódese integrar mediante integración por partes: ∫ ln ⁡ x d x
x ln ⁡ x − x + C. {\displaystyle \int \ln x\, dx
x\ln x-x+C. } Sexa: u
ln ⁡ x ⇒ d u
d x x {\displaystyle u
\ln x\Rightarrow du
{\frac {dx}{x}}} d v
d x ⇒ v
x {\displaystyle dv
dx\Rightarrow v
x} daquela: ∫ ln ⁡ x d x
x ln ⁡ x − ∫ x x d x
x ln ⁡ x − ∫ 1 d x
x ln ⁡ x − x + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\, dx&
x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\, dx\\&
x\ln x-\int 1\, dx\\&
x\ln x-x+C\end{aligned}}}
Logaritmo natural de 10
O logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a 2. 30258509, xoga un papel importante, por exemplo, no cálculo de logaritmos naturais de números representados en notación científica, como unha mantisa multiplicada por unha potencia de 10: ln ⁡ ( a ⋅ 10 n )
ln ⁡ a + n ln ⁡ 10. {\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})
\ln a+n\ln 10. } Isto significa que se poden calcular eficazmente os logaritmos de números con magnitude moi grande ou moi pequena usando os logaritmos dun conxunto relativamente pequeno de decimais no intervalo [1, 10). Fraccións continuas
Aínda que non hai fraccións continuas simples dispoñíbeis, existen varias fraccións continuas xeneralizadas, incluíndo: ln ⁡ ( 1 + x )
x 11 − x 22 + x 33 − x 44 + x 55 − ⋯
x 1 − 0 x + 12 x 2 − 1 x + 22 x 3 − 2 x + 32 x 4 − 3 x + 42 x 5 − 4 x + ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&
{\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&
{\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}} ln ⁡ ( 1 + x y )
x y + 1 x 2 + 1 x 3 y + 2 x 2 + 2 x 5 y + 3 x 2 + ⋱
2 x 2 y + x − ( 1 x ) 23 ( 2 y + x ) − ( 2 x ) 25 ( 2 y + x ) − ( 3 x ) 27 ( 2 y + x ) − ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&
{\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&
{\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}} Estas fraccións continuas, especialmente a última, converxen rapidamente para valores próximos a 1. Porén, os logaritmos naturais de números moito maiores pódense calcular facilmente, sumando repetidamente os de números máis pequenos, cunha converxencia igualmente rápida. Logaritmos complexos
A función exponencial pódese estender a unha función que dá un número complexo como ez para calquera número complexo arbitrario z; simplemente úsase a serie infinita con x
z complexo. Esta función exponencial pódese inverter para formar un logaritmo complexo que presenta a maioría das propiedades do logaritmo ordinario. Hai dúas dificultades implicadas: ningún x ten ex
0;
resulta que e2πi
1
e0 e dado que a propiedade multiplicativa aínda funciona para a función exponencial complexa, ez ez+2kiπ, temos o mesmo valor para múltiples expoñentes, calquera complexo z cos múltiples enteiros k.
Polo tanto temos dúas consecuencias: o logaritmo non se pode definir para todo o plano complexo, e por outra parte aínda así é multivaluada, isto é, calquera logaritmo complexo pode mudarse a un logaritmo "equivalente" engadindo calquera múltiplo enteiro de 2iπ. O logaritmo complexo só se pode valorar nun plano de corte, que normalmente corresponde con k
0 {\displaystyle k
0}. Por exemplo, ln ⁡ ( i )
π i 2. {\displaystyle \ln(i)
{\frac {\pi i}{2}}. }