Fracción irredutible

Unha fracción irredutible é unha fracción en que tanto o numerador como o denominador son números enteiros que non teñen divisores comúns fóra do 1 (e do -1 se se consideran os números negativos). Noutras palabras, unha fracción a⁄b é irredutible se e só se a e b son coprimos, é dicir, se a e b teñen como máximo común divisor o 1. En matemáticas avanzadas, fracción irredutible pode referirse a fracción alxébricas en que o numerador e o denominador son polinomios coprimos Todos os números racionais positivos poden representarse mediante unha fracción irredutible de xeito único.
En ocasións pode ser útil unha fracción equivalente: se a, b son enteiros, entón a fracción a⁄b é irredutible se e só se non hai outra fracción c⁄d equivalente tal que |c| < |a| ou |d| < |b|, onde |a| significa o valor absoluto de a. (Dúas fraccións a⁄b e c⁄d son equivalente se e só se ad bc. )
Por exemplo, 1⁄4, 5⁄6, e −101⁄100 son fraccións irredutibles. Por outra banda, 2⁄4 non é irredutible xa que é equivalente a 1⁄2, e o numerador de 1⁄2 é menor que o numerador de 2⁄4.
Unha fracción pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador entre un factor común. Pode ser obtida a fracción irredutible se se dividen ambos os termos entre o máximo común divisor. Para achar o máximo común divisor, pódense usar o algoritmo de Euclides ou a factorización en primos, mais o primeiro algoritmo adoita ser preferible ao non precisar factorizar números grandes para calculalo. Exemplos
12090
129
43. {\displaystyle {\frac {120}{90}}
{\frac {12}{9}}
{\frac {4}{3}}\, .} No primeiro paso dividíronse ambos os números entre 10, factor común de 120 e 90. No segundo paso, dividíronse entre 3. A solución final, 4/3, é unha fracción irredutible porque o único factor común de 4 e 3 é 1.
A fracción orixinal pode simplificarse nun só paso empregando o máximo común divisor de 90 e 120, que é 30 (i. e. , mcd(90, 120)
30): 12090
43. {\displaystyle {\frac {120}{90}} {\frac {4}{3}}\, .} Unicidade
Todo número racional ten unha representación única como fracción irredutible con denominador positivo (non obstante, 23
− 2 − 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}
{\tfrac {-2}{-3}}} aínda que ambas son irredutibles). A unicidade é consecuencia do descomposición única en factores primos dos enteiros, xa que a b
c d {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}
{\tfrac {c}{d}}} implica que ad
bc e polo tanto ambos membros da igualdade deben compartir a mesma factorización, e entón a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} non comparten factores primos, e o conxunto de factores primos de a {\displaystyle a} (coa súa multiplicidade) é un subconxunto dos de c {\displaystyle c} e viceversa, así que a
c {\displaystyle a
c} e b
d {\displaystyle b d}. Aplicacións
O feito de que calquera número racional ten unha representación única como fracción irredutible emprégase en varias probas da irracionalidade da raíz de 2 e doutros números irracionais. Por exemplo, unha proba indica que se a raíz cadrada de 2 puidese representarse como razón de enteiros, entón tería en particular unha representación simplificada a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} onde a e b son os menores posibles; pero xa que a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} é igual á raíz cadrada de 2, entón 2 b − a a − b {\displaystyle {\tfrac {2b-a}{a-b}}}. Dado que a primeira é a fracción irredutible, existe unha contradición, que procede da inexistencia de razón de dous enteiros. Xeneralización
A noción de fracción irredutible xeneralízase no corpo de fraccións de calquera dominio de factorización única: calquera elemento deste corpo pode ser descrito como unha fracción na que o denominador e numerador son coprimos, dividíndose ambos polo seu máximo común divisor.
A fracción irredutible dun elemento dado é única agás a multiplicación do denominador e numerador polo mesmo elemento invertible. No caso dos números racionais, isto significa que calquera número ten dúas fraccións irredutíbeis, relacionadas por un cambio de signo do numerador e do denominador. Para evitar a ambigüidade, esta pódese eliminar fixando o denominador como positivo. No caso das funcións racionais, a ambigüidade elúdese se o denominador é sempre un polinomio mónico, é dicir, que o coeficiente do termo de maior grao é 1.