Difeomorfismo

En matemáticas, un difeomorfismo é un isomorfismo na categoría habitual de variedades diferenciable: é unha bixección diferenciable dunha variedade a outra, cuxa bixección recíproca tamén é diferenciable. Difeomorfismo entre conxuntos abertos de ℝ n
Sexan: E e F dous espazos vectoriais normados reais de dimensión finita;
U un conxunto aberto de E, V un aberto de F;
f unha aplicación de U en V.
Dicimos que f é un difeomorfismo se se verifican as seguintes tres propiedades: f é bixectiva;
f é diferenciable en U;
a súa inversa é diferenciable en V.
Para 1 ≤ k ≤ ∞, un difeomorfismo C k é unha aplicación de clase Ck, bixectiva, e cuxa función inversa tamén é de clase C k. Difeomorfismo entre variedades
Do mesmo xeito que entre conxuntos abertos de ℝ n, Un difeomorfismo entre dúas variedades é unha bixección bi-diferenciable,
Un difeomorfismo C k é un difeomorfismo que é da clase C k {\displaystyle C^{k}}, así como o seu inverso,
Dúas variedades difeomorfas teñen necesariamente a mesma dimensión. Difeomorfismo local
Definición
Un difeomorfismo local é unha aplicación f: M → N dunha variedade noutra tal que para calquera punto m de M, existe unha veciñanza aberta U de m en M tal que f (U) é un aberto en N e a restrición de f, de U en f ( U ), é un difeomorfismo.
Se f: M → N é un difeomorfismo local, entón, para calquera punto m de M, a aplicación lineal Tmf: Tm M → Tf (m)N (diferencial de f no punto m ) é un isomorfismo (isto implica que M e N teñen a mesma dimensión, e entón equivale, en coordenadas locais, a dicir que o xacobiano de f en m é distinto de cero, ou de novo, que as partes lineares das aproximacións afíns das diferentes compoñentes de f son linealmente independentes. Segundo o Teorema da función inversa, o contrario é certo en canto f é de clase C 1 {\displaystyle C^{1}}.
Pasando do local ao global
Un difeomorfismo local é un difeomorfismo (global) se e só se é bixectivo. No caso de funcións numéricas entre intervalos, o teorema da bixección garante que calquera difeomorfismo local C k dun intervalo real a outro é un difeomorfismo C k (global). Este resultado elemental xeneralízase a dimensións superiores e variedades na seguinte forma: Teorema
Se a variedade M é conexa e a variedade N é conexa e simplemente conexa, entón todo difeomorfismo local propio f: M → N é un difeomorfismo. Exemplos
Todos os intervalos reais abertos non baleiros son difeomorfos.
A aplicación x ↦ x³, de clase C ∞, é un homeomorfismo de ℝ a ℝ pero non é un difeomorfismo, porque a súa derivada en 0 é cero.
Poñamos f ( x, y )
( x 2 + y 3, x 2 − y 3 ) {\displaystyle f(x, y)
(x^{2}+y^{3}, x^{2}-y^{3})} A matriz xacobiana de f {\displaystyle f} en todos os puntos ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} é: J f ( x, y )
( 2 x 3 y 22 x − 3 y 2 ) {\displaystyle J_{f}(x, y)
{\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}}.
O determinante desta matriz é cero se e só se x {\displaystyle x} ou y {\displaystyle y} é cero. Polo tanto, a restrición de f {\displaystyle f} ao plano privado dos dous eixes é un difeomorfismo local. Pero esta restrición non é inxectiva xa que f ( x, y )
f ( − x, y ) {\displaystyle f(x, y)
f(-x, y)}, nin sobrexectiva xa que se ( u, v )
f ( x, y ) {\displaystyle (u, v)
f(x, y)} entón u + v > 0 {\displaystyle u+v>0}. Φ ( x, y ):
( x + y 2, y ), d Φ
[ 12 y 01 ], | d Φ |
1 {\displaystyle \Phi (x, y):
(x+y^{2}, y), d\Phi
{\begin{bmatrix}1&2y\\0&1\end{bmatrix}}, |d\Phi |
1}. Temos Φ − 1 ( x, y )
( x − y 2, y ) {\displaystyle \Phi ^{-1}(x, y)
(x-y^{2}, y)}. Grupo de difeomorfismos
O grupo de difeomorfismos dunha variedade M de clase C k é o grupo de C k -difeomorfismos de M en M. Denotámolo por Diff k (M) ou Diff(M) cando k é implícito. É " groso ", no sentido de que non é localmente compacto (a non ser que M teña dimensión 0).
As compoñentes conexas deste grupo son as difeotopías da variedade (que compoñen o seu mapping class group ).