Cálculo multivariábel

O cálculo multivariábel (ou cálculo en varias variábeis) é máis a extensión do cálculo infinitesimal a funcións escalares e vectoriais de varias variábeis. Cálculo diferencial en campos escalares e vectoriais
Funcións de Rn en Rm. Campos escalares e vectoriales
Formularanse as definicións para campos vectoriais, que tamén son válidas para campos escalares. Sexa f: V ⟶ W {\displaystyle \mathbf {f}: V\longrightarrow W} un campo vectorial que fai corresponder a todo punto P definido biunivocamente polo seu vector posición un vector f ( O P ) {\displaystyle \mathbf {f} {\big (}\mathbf {OP} {\big )}} onde o punto O é a orixe de coordenadas. V ⊆ R n, W ⊆ R m, {\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}, W\subseteq \mathbb {R} ^{m}, } con n > 1 {\displaystyle n>1} e m ⩾ 1 {\displaystyle m\geqslant 1}. Cando m
1 {\displaystyle m
1} tense un campo escalar. Para m > 1 {\displaystyle m>1} tense un campo vectorial. Utilizarase a norma euclidiana para achar a magnitude dos vectores.
Límites e continuidade
Sexan a ∈ R n {\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}} e b ∈ R m {\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{m}}. Escríbese: lim x → a f ( x )
b {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}
\mathbf {b} },
ou ben, f ( x ) → b {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rightarrow \mathbf {b} } cando x → a {\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} } para expresar o seguinte: lim ‖ x − a ‖ → 0 ‖ f ( x ) − b ‖
0 {\displaystyle \lim _{{\big \|}\mathbf {x-a} {\big \|}\to 0}{\big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\big \|}
0} onde ‖ x ‖ {\displaystyle {\big \|}\mathbf {x} {\big \|}} é a norma euclidiana de x {\displaystyle \mathbf {x} }.
Expresándoo en función das compoñentes de x
( x 1, …, x n ), a
( a 1, …, a n ), {\displaystyle \mathbf {x}
{\big (}x_{1}, \ldots, x_{n}{\big )}, \mathbf {a}
{\big (}a_{1}, \ldots, a_{n}{\big )}, } lim ( x 1, …, x n ) → ( a 1, …, a n ) f ( x 1, …, x n )
b {\displaystyle \lim _{{\big (}x_{1}, \ldots, x_{n}{\big )}\to {\big (}a_{1}, \ldots, a_{n}{\big )}}\mathbf {f} {\big (}x_{1}, \ldots, x_{n}{\big )}
\mathbf {b} } ou, de forma equivalente, lim x → a f ( x )
b {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}
\mathbf {b} }
Derivadas direccionais
Derivada dun campo escalar respecto dun vector
Sexa f: S ⊆ R n ⟶ R {\displaystyle f: S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }. Sexa x {\displaystyle \mathbf {x} } un vector con orixe na orixe de coordenadas e con extremo ∈ S, {\displaystyle \in S, } e y {\displaystyle \mathbf {y} } un vector arbitrario de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Defínese a derivada de f en x {\displaystyle \mathbf {x} } respecto a y {\displaystyle \mathbf {y} } como f ′ ( x; y )
lim h → 0 f ( x + h y ) − f ( x ) h {\displaystyle f'{\big (}\mathbf {x}; \mathbf {y} {\big )}
\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}}
Derivadas parciais
∂ f ∂ x k
lim h → 0 f ( x 1, …, x k + h, …, x n ) − f ( x 1, …, x k, …, x n ) h {\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}
\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}x_{1}, \ldots, x_{k}+h, \ldots, x_{n}{\big )}-f{\big (}x_{1}, \ldots, x_{k}, \ldots, x_{n}{\big )}}{h}}} Se se deriva a expresión anterior respecto dunha segunda variábel, x j {\displaystyle x_{j}}, tense ∂ 2 f ∂ x j ∂ x k {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}}. Na práctica, calcularase ∂ f ∂ x k {\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}} derivando respecto a x k {\displaystyle x_{k}} e supondo x j, ∀ j ≠ k {\displaystyle x_{j}, \quad \forall j\neq k} constante.
A diferencial
Definición de campo escalar diferenciábel
Dise que f é diferenciábel en a ⇔ {\displaystyle \mathbf {a} \Leftrightarrow } ∃ f L: R n ⟶ R | lim ‖ v ‖ → 0 f ( a + v )
f ( a ) + f L ( v ) {\displaystyle \exists f_{L}: \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} {\Big |}\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}
f{\big (}\mathbf {a} {\big )}+f_{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}}. f L {\displaystyle f_{L}} ten que ser unha aplicación linear, que se define como a diferencial de f en a.
A anterior ecuación é a {\displaystyle } fórmula de Taylor de primeira orde para f ( a + v ) {\displaystyle f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}}.
Teorema de unicidade da diferencial
f {\displaystyle f} é diferenciábel en x {\displaystyle \mathbf {x} } con diferencial f L ( y ) ⇒ {\displaystyle f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow } a) ∃ f ′ ( x; y ) ∀ y ∈ R n {\displaystyle \exists f'{\big (}\mathbf {x}; \mathbf {y} {\big )}\quad \forall \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}} b) f ′ ( x; y )
∑ k
1 n y k ∂ f ∂ x k {\displaystyle f'{\big (}\mathbf {x}; \mathbf {y} {\big )}
\sum _{k
1}^{n}y_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}}
Regra da cadea
Sexa f: S ⊂ R n ⟶ R {\displaystyle f: S\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} } un campo escalar e x: J ∈ R ⟶ S {\displaystyle \mathbf {x}: J\in \mathbb {R} \longrightarrow S}. Defínese a función composta g
f ∘ x {\displaystyle g
f\circ \mathbf {x} } como g ( t )
f [ x ( t ) ] {\displaystyle g(t)
f{\Big [}\mathbf {x} {\big (}t{\big )}{\Big ]}}, entón g ′ ( t )
∑ k
1 n ∂ f ∂ x k ⋅ d x k d t {\displaystyle \quad g'{\big (}t{\big )}
\sum _{k
1}^{n}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}\cdot {\cfrac {dx_{k}}{dt}}}
Diferencial dun campo vectorial
Sexa f: S ⊆ R n ⟶ R m {\displaystyle \mathbf {f}: S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}} un campo vectorial. Sexa x ∈ S {\displaystyle \mathbf {x} \in S} e y {\displaystyle \mathbf {y} } un vector calquera. Defínese a derivada f ′ ( x; y )
lim h → 0 f ( x + h y ) − f ( x ) h {\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x}; \mathbf {y} {\big )}
\lim _{h\to 0}{\cfrac {\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}} }}
Expresando f ′ ( x; y ) {\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x}; \mathbf {y} {\big )}} en función das súas compoñentes, tense f ′ ( x; y )
[ f 1 ′ ( x; y ), …, f m ′ ( x; y ) ] {\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x}; \mathbf {y} {\big )}
{\Big [}f'_{1}{\big (}\mathbf {x}; \mathbf {y} {\big )}, \ldots, f'_{m}{\big (}\mathbf {x}; \mathbf {y} {\big )}{\Big ]}} Dise que f {\displaystyle \mathbf {f} } é diferenciábel ⇔ ∃ f L: R n ⟶ R m {\displaystyle \Leftrightarrow \exists \mathbf {f} _{L}: \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}, aplicación linear que verifica: lim ‖ v ‖ → 0 f ( x + v )
f ( x ) + f L ( v ) {\displaystyle \lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to 0}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}
\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}+\mathbf {f} _{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}}. }}
Esta é a fórmula de Taylor de primeira orde para f. f L ( v )
f ′ ( x; v ) {\displaystyle \mathbf {f}. \quad \mathbf {f} _{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}
\mathbf {f} '{\big (}\mathbf {x}; \mathbf {v} {\big )}}.
A matriz de f ′ {\displaystyle \mathbf {f} '} é a súa matriz jacobiana.
Diferenciabilidade implica continuidade
Se un campo vectorial f {\displaystyle \mathbf {f} } é diferenciábel en x ⇒ {\displaystyle \mathbf {x} \Rightarrow } é continuo en x {\displaystyle \mathbf {x} }.
Dedúcese facilmente da fórmula de Taylor de primeira orde xa vista.
Regra da cadea para diferenciais de campos vectoriais
Sexa h ( x )
( f ∘ g ) ( x ) {\displaystyle \mathbf {h} {\big (}\mathbf {x} {\big )}
{\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}} un campo vectorial definido e diferenciábel en x {\displaystyle \mathbf {x} }. A súa diferencial h ′ ( x ) {\displaystyle \mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}} é h ′ ( x )
f ′ [ g ( x ) ] ∘ g ′ ( x ) {\displaystyle \mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}
\mathbf {f} '{\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\circ \mathbf {g} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}} }}
Condición suficiente para a igualdade das derivadas parciais mixtas
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j
∂ 2 f ∂ x j ∂ x i ∀ i ≠ j ⇔ {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}
{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}\quad \forall i\neq j\Leftrightarrow } ambas as derivadas parciais existen e son continuas en x {\displaystyle \mathbf {x} }. Aplicacións do cálculo diferencial
Cálculo de máximos, mínimos e puntos de sela para campos escalares
Defínense os seguintes conceptos: Un campo escalar ten un máximo en x
a ⇔ {\displaystyle \mathbf {x}
\mathbf {a} \Leftrightarrow } existe unha n-bola B ( a ) | ∀ x ∈ B ( a ) f ( x ) ⩽ f ( a ) {\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}} Un campo escalar ten un mínimo en x
a ⇔ {\displaystyle \mathbf {x}
\mathbf {a} \Leftrightarrow } existe unha n-bola B ( a ) | ∀ x ∈ B ( a ) f ( x ) ⩾ f ( a ) {\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}} Un campo escalar ten un punto de sela ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } ∀ B ( a ) ∃ x | f ( x ) ⩽ f ( a ) ∧ ∃ x | f ( x ) ⩾ f ( a ) {\displaystyle \forall B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}\land \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}} Para saber se é un dos casos anteriores: Obtense x | ∂ f ∂ x k
0 ∀ k | 1 ⩽ k ⩽ n {\displaystyle \mathbf {x} {\Big |}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}
0\qquad \forall k{\Big |}1\leqslant k\leqslant n} Obtense a matriz hessiana de f. Sexa esta F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}. F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} é definida positiva ⇒ f {\displaystyle \Rightarrow f} ten un mínimo relativo en x {\displaystyle \mathbf {x} }. F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} é definida negativa ⇒ f {\displaystyle \Rightarrow f} ten un máximo relativo en x {\displaystyle \mathbf {x} }. F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} é indefinida ⇒ f {\displaystyle \Rightarrow f} ten un punto de sela en x {\displaystyle \mathbf {x} }.
No anterior supúxose que ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}} é continua ∀ i, j | 1 ⩽ i ⩽ n, 1 ⩽ j ⩽ n {\displaystyle \forall i, j{\big |}1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n}