Matriz transposta conxugada

En matemáticas, a matriz transposta conxugada, tamén coñecida como transposición hermitiana, dun matriz complexa A {\displaystyle \mathbf {A} } m × n {\displaystyle m\times n} é unha matriz n × m {\displaystyle n\times m} obtida por transposición de A {\displaystyle \mathbf {A} } e aplicando a conxugación complexa a cada entrada (sendo a − i b {\displaystyle a-ib} o conxugado complexo de a + i b {\displaystyle a+ib} sendo, con números reais a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} ). Hai varias notacións, como A H {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }} ou A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}, A ′ {\displaystyle \mathbf {A} '}, ou (a miúdo en física) A † {\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}.
Para matrices reais, a transposición conxugada é só a transposición, A H
A T {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }
\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}.
Nalgúns contextos, A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}} denota a matriz con só entradas conxugadas complexas e sen transposición. Definición
A conxugada transposta dunha matriz A {\displaystyle \mathbf {A} } m × n {\displaystyle m\times n} defínese formalmente poronde o subíndice i j {\displaystyle ij} denota a ( i, j ) {\displaystyle (i, j)} -ésima entrada (elemento da matriz), para 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} e 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m}, e a barra superior denota un conxugado complexo escalar.
Esta definición tamén se pode escribir como A H
( A ¯ ) T
A T ¯ {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }
\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }
{\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}} onde A T {\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }} denota a transposta e A ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}} denota a matriz con entradas complexas conxugadas. Exemplo
Supoñamos que queremos calcular a transposición conxugada da seguinte matriz A {\displaystyle \mathbf {A} }, A
[ 1 − 2 − i 51 + i i 4 − 2 i ] {\displaystyle \mathbf {A}
{\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}} Primeiro transpoñemos a matriz: A T
[ 11 + i − 2 − i i 54 − 2 i ] {\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }
{\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}} Entón conxugamos cada entrada da matriz: A H
[ 11 − i − 2 + i − i 54 + 2 i ] {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }
{\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}} Observacións básicas
Unha matriz cadrada A {\displaystyle \mathbf {A} } con entradas a i j {\displaystyle a_{ij}} chámase Hermitiana ou autoadxunta se A
A H {\displaystyle \mathbf {A}
\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}; é dicir, a i j
a j i ¯ {\displaystyle a_{ij}
{\overline {a_{ji}}}}.
Matriz antihermitiana se A
− A H {\displaystyle \mathbf {A}
-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}; é dicir, a i j
− a j i ¯ {\displaystyle a_{ij}
-{\overline {a_{ji}}}}.
Normal se A H A
A A H {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A}
\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}.
Unitaria se A H
A − 1 {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }
\mathbf {A} ^{-1}}, de forma equivalente A A H
I {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }
{\boldsymbol {I}}}, de forma equivalente A H A
I {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A}
{\boldsymbol {I}}}.
Aínda se A {\displaystyle \mathbf {A} } non é cadrada, as dúas matrices A H A {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} } e A A H {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }} son matrices hermitianas e, de feito, semidefinidas positivas.
A matriz "adxunta" transposta conxugada A H {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }} non debe confundirse coa matriz adxunta, adj ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}.
A transposta conxugada dunha matriz A {\displaystyle \mathbf {A} } con entradas reais redúcese á transposición de A {\displaystyle \mathbf {A} }, xa que o conxugado dun número real é o propio número.
A transposta conxugada pódese motivar observando que os números complexos poden ser representados útilmente por matrices reais 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2}, obedecendo á suma e á multiplicación matricial: a + i b ≡ [ a − b b a ]. {\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}. } Para unha explicación desta notación para os complexos, comezamos representando números complexos e i θ {\displaystyle e^{i\theta }} como a matriz de rotación, é dicir, e i θ
( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ )
cos ⁡ θ ( 1001 ) + sin ⁡ θ ( 0 − 110 ). {\displaystyle e^{i\theta }
{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}
\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}. } Posto que e i θ
cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle e^{i\theta }
\cos \theta +i\sin \theta }, lévanos ás representacións matriciais dos números unitarios como 1
( 1001 ), i
( 0 − 110 ). {\displaystyle 1
{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}, \quad i
{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}. } Un número complexo en xeral z
x + i y {\displaystyle z
x+iy} represéntase logo como z
( x − y y x ). {\displaystyle z
{\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}. } A operación complexo conxugado (que envía a + b i {\displaystyle a+bi} a a − b i {\displaystyle a-bi} para números reais a, b {\displaystyle a, b} ) está recollida como a matriz transposta.