Análise de sensibilidade baseado na varianza

O Análise de sensibilidade baseado na varianza (a miúdo referido coma método de Sobol, referido ao matemático ruso Ilya M. Sobol) é unha forma de análise de sensibilidade global. Traballando dentro dun marco probabilistico, o método descompón a varianza da saída do modelo nun conxunto de farccións que poden ser atribuídas aos diferentes conxuntos de entradas do modelo. Por exemplo, dado un modelo con dúas entradas e unha saída, un podería descubrir que o 60% da varianza na variable de saída débese a varianza da primeira entrada, o 20% débese á varianza da segunda entrada e o 20% restante débese a interaccións entre ambas entradas. Estas porcentaxes permiten avaliar qué entradas do modelo son máis sensibles e tamén como de relevantes son as súas influencias individuais e conxuntas. Ao ser un método global, permite tratar respostas non-lineais e poden medir o efecto de interaccións en sistemas non aditivos. Descomposición da varianza
Dende unha perspectiva de caixa negra, calquera modelo matemático pode ser visto coma unha función Y
f ( X ) {\displaystyle Y
f(X)}, onde X {\displaystyle X} é un vector coas d {\displaystyle d} entradas do modelo { X 1, X 2, ⋯ X d } {\displaystyle \{X_{1}, X_{2}, \cdots X_{d}\}}, e Y {\displaystyle Y} representa a saída escalar do modelo (se o modelo matemático consta de saídas vectoriais; bastaría con estudar cada saída por separado). Ademais, imos supor que as entradas do modelo son independentes entre si e uniformemente distribuídas dentro do hipercubo unitario, i. e. X i ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle X_{i}\in [0, 1]} para. i
1, 2, .. ., d {\displaystyle i
1, 2, .. ., d}. Esta última hipótese non implica perda de xeralidade pois calquera espazo de entradas pode ser transformado no hipercubo unitario. Entón, existe a descomposición Y
f 0 + ∑ i
1 d f i ( X i ) + ∑ i < j d f i j ( X i, X j ) + ⋯ + f 1, 2, …, d ( X 1, X 2, …, X d ) {\displaystyle Y
f_{0}+\sum _{i
1}^{d}f_{i}(X_{i})+\sum _{i<j}^{d}f_{ij}(X_{i}, X_{j})+\cdots +f_{1, 2, \dots, d}(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{d})},
onde f 0 {\displaystyle f_{0}} é un constante e f i {\displaystyle f_{i}} é unha función de X i {\displaystyle X_{i}}, f i j {\displaystyle f_{ij}} unha función de X i {\displaystyle X_{i}} e X j {\displaystyle X_{j}}, etc. Unha condición desta descomposición é que, ∫ 01 f i 1 i 2 … i s ( X i 1, X i 2, …, X i s ) d X k
0, k
i 1, .. ., i s {\displaystyle \int _{0}^{1}f_{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}(X_{i_{1}}, X_{i_{2}}, \dots, X_{i_{s}})dX_{k}
0, \quad k
i_{1}, .. ., i_{s}},
é dicir, que tódolos termos da descomposición funcional son ortogonais. Isto permite definir os termos da descomposición previa en función das esperanzas condicionais: f 0
E ( Y ) {\displaystyle f_{0}
E(Y)}, f i j ( X i, X j )
E ( Y | X i, X j ) − f 0 − f i − f j, i, j
1 …, d {\displaystyle f_{ij}(X_{i}, X_{j})
E(Y|X_{i}, X_{j})-f_{0}-f_{i}-f_{j}, \quad i, j
1\dots, d}, f i ( X i )
E ( Y | X i ) − f 0, i
1, …, d {\displaystyle f_{i}(X_{i})
E(Y|X_{i})-f_{0}, \quad i
1, \dots, d}.
Das expresións previas extráese que f i {\displaystyle f_{i}} representa o efecto individual da variábel X i {\displaystyle X_{i}} (tamén coñecido coma efecto principal de X i {\displaystyle X_{i}} ) e que f i j {\displaystyle f_{ij}} representa os efectos das variábeis X i {\displaystyle X_{i}} e X i {\displaystyle X_{i}} simultaneamente, adicional ao efecto das súas variacións individuais. Este tipo de interaccións coñecense coma interaccións de segunda orde. Análogamente podemos definir as interaccións de orde superior.
Se ademais asumimos que f ( X ) {\displaystyle f(X)} é cadrado-integrable, a descomposición funcional pode elevarse ao cadrado e integrarse para obter ∫ f 2 ( X ) d X − f 02
∑ s
1 d ∑ i 1 < ⋯ < i s d ∫ f i 1 … i s 2 d X i 1 … d X i s {\displaystyle \int f^{2}(X)dX-f_{0}^{2}
\sum _{s
1}^{d}\sum _{i_{1}<\dots <i_{s}}^{d}\int f_{i_{1}\dots i_{s}}^{2}dX_{i_{1}}\dots dX_{i_{s}}}.
Nótese que o lado de man esquerda representa a varianza total da saida Y {\displaystyle Y}, o que permite expresar Var ⁡ ( Y )
∑ i
1 d V i + ∑ i < j d V i j + ⋯ + V 12 … d {\displaystyle \operatorname {Var} (Y)
\sum _{i
1}^{d}V_{i}+\sum _{i<j}^{d}V_{ij}+\cdots +V_{12\dots d}},
sendo V i
Var X i ⁡ ( E X ∼ i ( Y ∣ X i ) ), i
1, …, d {\displaystyle V_{i}
\operatorname {Var} _{X_{i}}\left(E_{X_{\sim i}}(Y\mid X_{i})\right), \quad i
1, \dots, d}, V i j
Var X i j ⁡ ( E X ∼ i j ( Y ∣ X i, X j ) ) − V i − V j, i, j
1, …, d {\displaystyle V_{ij}
\operatorname {Var} _{X_{ij}}\left(E_{X_{\sim ij}}\left(Y\mid X_{i}, X_{j}\right)\right)-V_{i}-V_{j}, \quad i, j
1, \dots, d}.
A notación X ∼ i {\displaystyle X_{\sim i}} indica o conxunto de todas as variábeis excepto X i {\displaystyle X_{i}}. A descomposición da varianza previa amosa como a varianza na saída do modelo pódese descompoñer en termos atribuíbeis a cada entradas, así coma aos efectos de interacción entre entradas. Sumando tódolos termos obtemos a varianza total na saída do modelo. Índices de sensibilidade de primeira orde
Podemos calcula o índice de sensibilidade de primeira orde, tamén coñecido coma índice de Sobol de primeira orde ou índice de efecto principal, S i
V i Var ⁡ ( Y ), i
1, …, d {\displaystyle S_{i}
{\frac {V_{i}}{\operatorname {Var} (Y)}}, \quad i
1, \dots, d}.
Este termo representa a contribución na varianza de sáida do efecto principal de X i {\displaystyle X_{i}}, polo que mide o efecto de variar X i {\displaystyle X_{i}} individualmente, pero promedidado sobre a variación no resto de variábeis de entrada. Definindo de xeito análogo os índices de sensibilidade de orde superior obtemos: ∑ i
1 d S i + ∑ i < j d S i j + ⋯ + S 12 … d
1 {\displaystyle \sum _{i
1}^{d}S_{i}+\sum _{i<j}^{d}S_{ij}+\cdots +S_{12\dots d}
1}. Índices de sensibilidade totais
Outra medida de sensibilidade é a sensibilidade total asociada a unha variábel, definida como: S T i
E X ∼ i ( Var X i ⁡ ( Y ∣ X ∼ i ) ) Var ⁡ ( Y )
1 − Var X ∼ i ⁡ ( E X i ( Y ∣ X ∼ i ) ) Var ⁡ ( Y ), i
1, …, d {\displaystyle S_{Ti}
{\frac {E_{X_{\sim i}}\left(\operatorname {Var} _{X_{i}}(Y\mid X_{\sim i})\right)}{\operatorname {Var} (Y)}}
1-{\frac {\operatorname {Var} _{X_{\sim i}}\left(E_{X_{i}}(Y\mid X_{\sim i})\right)}{\operatorname {Var} (Y)}}, \quad i
1, \dots, d} Notése que, a diferenza de S i {\displaystyle S_{i}}, ∑ i
1 d S T i ≥ 1 {\displaystyle \sum _{i
1}^{d}S_{Ti}\geq 1} debido a que o efecto de interacción entre X i {\displaystyle X_{i}} e X j {\displaystyle X_{j}} tense en conta tanto en S T i {\displaystyle S_{T_{i}}} coma en S T i {\displaystyle S_{T_{i}}}. De feito, a suma previa só será igual a 1 cando o modelo sexa puramente aditivo. Cálculo dos índices de sensibilidade
En certos casos é posíbel calcular de xeito analítico os índices previos resolvendo as integrais multidimensionais asociadas, máis na maior parte dos casos recórrese a técnicas de integración numérica. Debido a maldición da dimensionalidade, as técnicas clásicas de integración numérica non soen ser apropiadas polo que soe recurrirse ao método de Monte Carlo e variantes, moito máis indicadas para o cálculo de integrais de alta dimensión. Vexase tamén
Análise de sensibilidade
Método de Monte Carlo
Método de Quasi-Monte Carlo
Secuencia de Sobol
Mostraxe de hipercubo latino