Límite superior e límite inferior

En matemática defínese límite superior e límite inferior dunha sucesión (xn) como o maior e menor límite converxente das subsucesións de (xn). Analogamente a este, o límite superior e límite inferior para funcións reais defínese do mesmo xeito. O límite superior e o límite inferior son un substituto parcial para o límite, se é que este non existe. Definición formal
Formalmente o límite inferior dunha sucesión ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} defínese como sup n ≥ 0 inf k ≥ n x k
sup { inf { x k: k ≥ n }: n ≥ 0 } {\displaystyle \sup _{n\geq 0}\, \inf _{k\geq n}x_{k}
\sup\{\inf\{x_{k}: k\geq n\}: n\geq 0\}} ou tamén como lim n → ∞ ( inf k ≥ n x k ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{k\geq n}x_{k}\right)} e denótase como lim inf n → ∞ x n {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}} ou como lim _ n → ∞ ⁡ x n {\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}}. Analogamente defínese lim sup n → ∞ x n
lim ¯ n → ∞ ⁡ x n
inf n ≥ 0 sup k ≥ n x k
lim n → ∞ ( sup k ≥ n x k ) {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}
\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}
\inf _{n\geq 0}\, \sup _{k\geq n}x_{k}
\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{k\geq n}x_{k}\right)}.
Estas definicións son útiles nun conxunto parcialmente ordenado nun sentido cuantitativo, e proporcionan que o supremo e o ínfimo existan. Nunha rede reticular completa sempre existen estes valores, polo que nese caso, cada sucesión ten un límite inferior e límite superior asociado.
Se existe o límite inferior e o límite superior dunha sucesión ( x n ) {\displaystyle (x_{n})}, entón cúmprese que lim inf n → ∞ x n ≤ lim sup n → ∞ x n. {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}\; .} Propiedades
Sexan { a n } n
1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n
1}^{\infty }\, } e { b n } n
1 ∞ {\displaystyle \{b_{n}\}_{n
1}^{\infty }\, } sucesións de números reais, entón cúmprense as seguintes afirmacións: lim inf n → ∞ a n ≤ lim sup n → ∞ a n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}\, } lim inf n → ∞ − a n
− lim sup n → ∞ a n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }-a_{n}
-\limsup _{n\to \infty }a_{n}\, } lim sup n → ∞ ( a n + b n ) ≤ lim sup n → ∞ a n + lim sup n → ∞ b n {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\limsup _{n\to \infty }b_{n}\, } lim inf n → ∞ ( a n + b n ) ≥ lim inf n → ∞ a n + lim inf n → ∞ b n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\liminf _{n\to \infty }b_{n}\, } Límites superior e inferior dunha sucesión de conxuntos
Nalgunhas situacións, sobre todo na teoría da medida, é conveniente definir os conceptos de límite superior e inferior para unha secuencia de conxuntos.
Se E n {\displaystyle E_{n}\, } é unha sucesión de conxuntos, entón defínese: O límite superior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a unha infinidade de conxuntos E n {\displaystyle E_{n}\, }.
O límite inferior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a cada un dos E n {\displaystyle E_{n}\, } excepto por un número finito deles.
Dito dun xeito formal: lim sup n → ∞ E n
lim n → ∞ ¯ E n
⋂ n
1 ∞ ⋃ k
n ∞ E k {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}
{\overline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}
\bigcap _{n
1}^{\infty }\bigcup _{k
n}^{\infty }E_{k}\, } lim inf n → ∞ E n
lim n → ∞ _ E n
⋃ n
1 ∞ ⋂ k
n ∞ E k {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }E_{n}
{\underline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}
\bigcup _{n
1}^{\infty }\bigcap _{k
n}^{\infty }E_{k}\, } Cúmprese sempre que lim inf n → ∞ E n ⊆ lim sup n → ∞ E n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }E_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }E_{n}\, }. Cando estes conxuntos coinciden, dicimos que o límite existe: lim n → ∞ E n
lim inf n → ∞ E n
lim sup n → ∞ E n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }E_{n}
\liminf _{n\to \infty }E_{n}
\limsup _{n\to \infty }E_{n}\, }