Xeometría birracional

En matemáticas, a xeometría birracional é un campo da xeometría alxébrica no que o obxectivo é determinar cando dúas variedades alxébricas son isomorfas fóra de subconxuntos de dimensións inferiores. Isto equivale a estudar as correspondencias que están dadas por funcións racionais en vez de equivalencias de polinomios; o mapa pode non estar definido onde as funcións racionais teñen polos. Mapas birracionais
Mapas racionais
Un mapa racional dunha variedade (que se entende como irreducíbel) X {\displaystyle X} a outra variedade Y {\displaystyle Y}, escrito como unha frecha descontinua Y ⇢ X, defínese como un morfismo dun subconxunto aberto non baleiro U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} en Y {\displaystyle Y}. Por definición da topoloxía de Zariski usada en xeometría alxébrica, un subconxunto aberto non baleiro U {\displaystyle U} sempre é denso en X {\displaystyle X}, de feito o complemento dun subconxunto de dimensión inferior. Concretamente, un mapa racional pódese escribir en coordenadas utilizando funcións racionais.
Mapas birracionais
Un mapa birracional de X a Y é un mapa racional f: X ⇢ Y tal que existe un mapa racional Y ⇢ X inverso a f. Un mapa birracional induce un isomorfismo dun subconxunto aberto non baleiro de X a un subconxunto aberto non baleiro de Y, e viceversa: un isomorfismo entre subconxuntos abertos non baleiros de X, Y por definición dá un mapa birracional f: X ⇢ Y. Neste caso, X e Y dise que son birracionais ou equivalentes birracionalmente. En termos alxébricos, dúas variedades sobre un corpo k son birracionais se e só se os seus corpos de función son isomorfos como corpos extensión de k.
Un caso especial é un morfismo birracional f: X → Y, tendo o significado dun morfismo que é birracional. É dicir, f defínese en todas partes, mais a súa inversa pode non o estar. Normalmente, isto ocorre porque un morfismo birracional contrae algunhas subvariedades de X a puntos en Y.
Equivalencia birracional e racionalidade
Unha variedade X dise que é racional se é birracional en relación ao espazo afín (ou equivalentemente ao espazo proxectivo) dalgunha dimensión. A racionalidade é unha propiedade moi natural: significa que X menos algún subconxunto de dimensións inferiores pode identificarse co espazo afín menos algún subconxunto de dimensións inferiores.
Equivalencia birracional dunha cónica plana
Por exemplo, a circunferencia X {\displaystyle X} coa ecuación x 2 + y 2 − 1
0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1
0} no plano afín é unha curva racional, porque hai un mapa racional f: A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} ⇢ X dado por f ( t )
( 2 t 1 + t 2, 1 − t 21 + t 2 ), {\displaystyle f(t)
\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}, {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right), } que ten un inverso racional g: X ⇢ A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} dado por g ( x, y )
1 − y x. {\displaystyle g(x, y)
{\frac {1-y}{x}}. } Aplicando o mapa f con t un número racional dáse unha construción sistemática de ternas pitagóricas.
O mapa racional f {\displaystyle f} non se define no lugar xeométrico onde 1 + t 2
0 {\displaystyle 1+t^{2}
0}. Entón, na liña afín complexa A C 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}, f {\displaystyle f} é un morfismo no subconxunto aberto U
A C 1 − { i, − i } {\displaystyle U
\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i, -i\}}, f: U → X {\displaystyle f: U\to X}. Así mesmo, o mapa racional g: X ⇢ A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} non está definido no punto (0, −1) in X {\displaystyle X}.
Equivalencia birracional de cádricas suaves e Pn
De forma máis xeral, unha hipersuperficie cádrica X suave (grao 2) de calquera dimensión n é racional, por proxección estereográfica. (Para X unha cádrica sobre un corpo k, débese asumir que X ten un punto k-racional; isto é automático se k está pechado alxebricamente. ) Para definir a proxección estereográfica, sexa p un punto en X. Daquela un mapa birracional dende X ata o espazo proxectivo P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} de liñas que pasan por p dáse enviando un punto q en X á recta que pasa por p e q. Esta é unha equivalencia birracional mais non un isomorfismo de variedades, porque non se define onde q p (e o mapa inverso non se define naquelas liñas que pasan por p que están contidas en X).
Equivalencia birracional da superficie cádrica
O mergullo de Segre dá un mergullo P 1 × P 1 → P 3 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}} dado por ( [ x, y ], [ z, w ] ) ↦ [ x z, x w, y z, y w ]. {\displaystyle ([x, y], [z, w])\mapsto [xz, xw, yz, yw]. } A imaxe é a superficie cádrica x 0 x 3
x 1 x 2 {\displaystyle x_{0}x_{3}
x_{1}x_{2}} en P 3 {\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}. Iso dá outra proba de que esta superficie cádrica é racional, xa que P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}} é obviamente racional, tendo un subconxunto aberto isomorfo a A 2 {\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}. Modelos mínimos e resolución de singularidades
Toda variedade alxébrica é birracional a unha variedade proxectiva (lema de Chow). Entón, para os efectos da clasificación birracional, abonda con traballar só con variedades proxectivas, e esta adoita ser a configuración máis conveniente.
Moito máis profundo é o teorema de Hironaka de 1964 sobre a resolución de singularidades: sobre un corpo de característica 0 (como os números complexos), cada variedade é birracional a unha variedade proxectiva suave. Dado iso, abonda con clasificar as variedades proxectivas suaves ata a equivalencia birracional.
Na dimensión 1, se dúas curvas proxectivas suaves son birracionais, entón son isomorfas. Pero iso falla na dimensión polo menos 2, pola construción de explosión. Coa explosión, cada variedade proxectiva suave de dimensións polo menos 2 é birracional para infinitas variedades "maiores", por exemplo con números de Betti máis grandes.
Isto leva á idea de modelos mínimos: existe unha variedade única máis simple en cada clase de equivalencia birracional? A definición moderna é que unha variedade proxectiva X é mínima se o fibrado canónico KX ten un grao non negativo en cada curva en X; noutras palabras, KX é nef. É doado comprobar que as variedades de tipo explosión nunca son mínimas.
Esta noción funciona perfectamente para superficies alxébricas (variedades de dimensión 2). En termos modernos, un resultado central da escola italiana de xeometría alxébrica de 1890 a 1910, que forma parte da clasificación das superficies, é que cada superficie X é birracional a un produto P 1 × C {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times C} para algunha curva C ou para unha superficie mínima Y. Os dous casos son mutuamente excluíntes e Y é único se existe. Cando existe Y, denomínase modelo mínimo de X. Invariantes birracionais
Unha invariante birracional é calquera tipo de número, anel, etc. que é o mesmo, ou isomorfo, para todas as variedades que son birracionalmente equivalentes.
Plurixénera
Un conxunto útil de invariantes birracionais son os plurixénera. O fibrado canónico dunha variedade suave X de dimensión n significa o fibrado de liñas de n-formas KX Ωn, que é a n-ésima potencia exterior do fibrado cotanxente de X. Para un número enteiro d, a potencia tensor d-ésima de KX é de novo un fibrado de liñas. Para d ≥ 0, o espazo vectorial das seccións globais H0(X, KXd) ten a notable propiedade de que un mapa birracional f: X ⇢ Y entre variedades proxectivas suaves induce un isomorfismo H0(X, KXd) ≅ H0(Y, KYd).
Para d ≥ 0, definimos o d-ésimo plurixénero Pd como a dimensión do espazo vectorial H0(X, KXd); entón os plurixéneros son invariantes birracionais para variedades proxectivas suaves. En particular, se algún plurixénero Pd con d > 0 non é cero, entón X non é racional.
Dimensión de Kodaira
Unha invariante birracional fundamental é a dimensión de Kodaira, que mide o crecemento do plurixénero Pd a medida que d vai ao infinito. A dimensión de Kodaira divide todas as variedades de dimensión n en n + 2 tipos, coa dimensión de Kodaira −∞, 0, 1, .. ., ou n. Esta é unha medida da complexidade dunha variedade, cun espazo proxectivo que ten dimensión de Kodaira −∞. As variedades máis complicadas son as de dimensión de Kodaira igual á súa dimensión n, chamadas variedades de tipo xeral.
Grupo fundamental de variedades proxectivas suaves
O grupo fundamental π1 (X) é unha invariante birracional para variedades proxectivas complexas suaves.
O "teorema da factorización débil", probado por Abramovich, Karu, Matsuki e Włodarczyk (2002), di que calquera mapa birracional entre dúas variedades proxectivas complexas suaves pode descompoñerse nun número finito de explosións ou derrubamentos de subvariedades suaves. Modelos mínimos en dimensións superiores
Unha variedade proxectiva X chámase mínima se o fibrado canónico KX é nef. Para X de dimensión 2, abonda con considerar variedades suaves nesta definición. En dimensións polo menos 3, débese permitir que as variedades mínimas teñan certas singularidades leves, para as que KX aínda se comporta ben; estas denomínanse singularidades terminais.
Dito isto, a conxectura do modelo mínimo implicaría que cada variedade X está ou ben cuberta por curvas racionais ou birracional a unha variedade mínima Y. Cando existe, Y chámase modelo mínimo de X. Variedades unirregradas
En xeometría alxébrica, unha variedade sobre un corpo k {\displaystyle k} é regrada se é birracional ao produto da liña proxectiva con algunha variedade sobre k {\displaystyle k}. Unha variedade é unirregrada se está cuberta por unha familia de curvas racionais. Unha variedade unirregrada non ten un modelo mínimo, mais hai un bo substituto: Birkar, Cascini, Hacon e McKernan demostraron que toda variedade unirregrada sobre un corpo de característica cero é birracional a un espazo fibrado de Fano. Isto leva ao problema da clasificación birracional dos espazos fibrados de Fano e (como o caso especial máis interesante) das variedades Fano. Por definición, unha variedade proxectiva X é de Fano se o fibrado anticanónico K X ∗ {\displaystyle K_{X}^{*}} é amplo. As variedades de Fano pódense considerar as variedades alxébricas máis semellantes ao espazo proxectivo. Grupos de automorfismo birracional
As variedades alxébricas difiren moito en cantos automorfismos birracionais teñen. Toda variedade de tipo xeral é extremadamente ríxida, no sentido de que o seu grupo de automorfismos biracionais é finito. No outro extremo, o grupo do automorfismo birracional do espazo proxectivo P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} sobre un corpo k, coñecido como o grupo de Cremona Crn(k), é grande (en certo sentido, de dimensión infinita) para n ≥ 2. Para n 2, o grupo complexo de Cremona C r 2 ( C ) {\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )} é xerado pola "transformación cadrática" [ x, y, z ] ↦ [1/ x, 1/ y, 1/ z ]
xunto co grupo P G L ( 3, C ) {\displaystyle PGL(3, \mathbb {C} )} de automorfismos de P 2, {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}, } por Max Noether e Castelnuovo. Pola contra, o grupo de Cremona en dimensións n ≥ 3 é un misterio: non se coñece un conxunto explícito de xeradores. Aplicacións
A xeometría birracional atopou aplicacións noutras áreas da xeometría, mais especialmente en problemas tradicionais da xeometría alxébrica.
Famosamente, o programa de modelos mínimos foi usado para construír espazos de módulos de variedades de tipo xeral por János Kollár e Nicholas Shepherd-Barron, agora coñecidos como espazos de módulos KSB.