Hipérbole unitaria

En xeometría, a hipérbole unitaria é o conxunto de puntos (x, y) no plano cartesiano que satisfán a ecuación implícita x 2 − y 2
1. {\displaystyle x^{2}-y^{2}
1. } No estudo dos grupos ortogonais indefinidos, a hipérbole unidade forma a base para unha lonxitude radial alternativa r
x 2 − y 2. {\displaystyle r
{\sqrt {x^{2}-y^{2}}}. } Mentres que a circunferencia unitaria rodea o seu centro, a hipérbole unitaria require a hipérbole conxugada y 2 − x 2
1 {\displaystyle y^{2}-x^{2}
1} para complementala no plano. Este par de hipérboles comparten as asíntotas y
x e y
−x. Cando se usa a conxugada da hipérbole unidade, a lonxitude radial alternativa é r
y 2 − x 2. {\displaystyle r
{\sqrt {y^{2}-x^{2}}}. } A hipérbole unitaria é un caso especial da hipérbole rectangular, cunha orientación, localización e escala particulares. Como tal, a súa excentricidade é igual a 2. {\displaystyle {\sqrt {2}}. } A hipérbole unitaria atopa aplicacións onde a circunferencia debe ser substituída pola hipérbole para fins de xeometría analítica. Un exemplo destacado é a representación do espazo-tempo como un espazo pseudo-euclidiano. Alí, as asíntotas da hipérbole unitaria forman un cono de luz.
A atención ás áreas dos sectores hiperbólicos por Gregoire de Saint-Vincent levou á función logaritmo e á moderna parametrización da hipérbole por áreas de sectores. Cando se comprenden as nocións de hipérboles conxugadas e ángulos hiperbólicos, entón os números complexos clásicos, que se constrúen arredor da circunferencia unitaria, poden ser substituídos por números construídos arredor da hipérbole unitaria. Asíntotas
Xeralmente, as liñas asintóticas a unha curva dinse que converxen cara á curva. En xeometría alxébrica e na teoría das curvas alxébricas hai un enfoque diferente ás asíntotas. A curva interprétase primeiro no plano proxectivo usando coordenada homoxénea. Entón, as asíntotas son liñas que son tanxentes á curva proxectiva nun punto no infinito, evitando así a necesidade dun concepto de distancia e converxencia. Nun marco común (x, y, z) son coordenadas homoxéneas coa liña no infinito (recta impropia) determinada pola ecuación z
0. Por exemplo, C. G. Gibson escribiu: Para a hipérbole rectangular estándar f
x 2 − y 2 − 1 {\displaystyle f
x^{2}-y^{2}-1} en R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, a curva proxectiva correspondente é F
x 2 − y 2 − z 2, {\displaystyle F
x^{2}-y^{2}-z^{2}, } que se encontra con z
0 nos puntos P
(1: 1: 0) e Q
(1: −1: 0). Tanto P como Q son simples en F, con tanxentes x + y
0, x − y
0; así recuperamos as 'asíntotas' familiares da xeometría elemental. Diagrama de Minkowski
O diagrama de Minkowski está deseñado nun plano de espazo-tempo onde o aspecto espacial foi restrinxido a unha única dimensión. As unidades de distancia e tempo nun plano deste tipo son unidades de 30 centímetros de lonxitude e nanosegundos, ou
unidades astronómicas e intervalos de 8 minutos e 20 segundos, ou
anos luz e anos.
Cada unha destas escalas de coordenadas resulta en conexións de fotóns de eventos ao longo de liñas diagonais de pendente máis ou menos un.
Cinco elementos constitúen o diagrama que Hermann Minkowski usou para describir as transformacións da relatividade: a hipérbole unitaria, a súa hipérbole conxugada, os eixos da hipérbole, un diámetro da hipérbole unitaria e o diámetro conxugado.
O plano cos eixos refírese a un sistema de referencia en repouso. O diámetro da hipérbole unitaria representa un sistema de referencia en movemento con rapidez a {\displaystyle a} onde tanh ⁡ a
y / x {\displaystyle \tanh a
y/x} e ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} é o punto final do diámetro na hipérbole unitaria. O diámetro conxugado representa o hiperplano espacial de simultaneidade correspondente á rapidez a {\displaystyle a}. Parametrización
Un xeito directo de parametrizar a hipérbole unitaria comeza coa hipérbole xy
1 parametrizada coa función exponencial: ( e t, e − t ). {\displaystyle (e^{t}, \ e^{-t}). } Esta hipérbole transfórmase na hipérbole unitaria mediante unha aplicación linear que ten por matriz A
12 ( 111 − 1 ): {\displaystyle A
{\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\: } ( e t, e − t ) A
( e t + e − t 2, e t − e − t 2 )
( cosh ⁡ t, sinh ⁡ t ). {\displaystyle (e^{t}, \ e^{-t})\ A
({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}, \ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}) (\cosh t, \ \sinh t). } Este parámetro t é o ángulo hiperbólico, que é o argumento das funcións hiperbólicas.