Densidade natural

Na teoría dos números, a densidade natural, tamén coñecida como densidade asintótica ou densidade aritmética, é un método para medir o "grande" que é un subconxunto do conxunto de números naturais. Depende principalmente da probabilidade de atopar membros do subconxunto desexado ao pasar polo intervalo [1, n] a medida que n aumenta.
Intuitivamente, vemos que hai máis números enteiros positivos que cadrados perfectos. No entanto, o conxunto de enteiros positivos non é de feito maior que o conxunto de cadrados perfectos: ambos os dous conxuntos son infinitos e contables e, polo tanto, pódense poñer en correspondencia un a un. Con todo, se un pasa polos números naturais, os cadrados fanse cada vez máis escasos. Se seleccionamos un número enteiro aleatoriamente do intervalo [1, n], entón a probabilidade de que pertenza a A é a relación entre o número de elementos de A en [1, n] e o número total de elementos en [1, n]. Se esta probabilidade tende a algún límite mentres n tende ao infinito, entón este límite denomínase densidade asintótica de A. Esta noción pódese entender como unha especie de probabilidade de escoller un número do conxunto A. De feito, a densidade asintótica (así como outros tipos de densidades) estúdase na teoría probabilística dos números. Definición
Un subconxunto A de enteiros positivos ten densidade natural α se a proporción de elementos de A entre todos os números naturais de 1 a n converxe a α mentres n tende ao infinito.
Máis explicitamente, se se define para calquera número natural n a función de contaxe a(n) como o número de elementos de A menor ou igual a n, entón a densidade natural de A sendo α significa exactamente que a(n)/n → α as n → ∞. d _ ( A )
lim inf n → ∞ a ( n ) n {\displaystyle {\underline {d}}(A)
\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}} Da definición despréndese que se un conxunto A ten densidade natural α entón 0 ≤ α ≤ 1.
Densidade asintótica superior e inferior
Define a densidade asintótica superior d ¯ ( A ) {\displaystyle {\overline {d}}(A)} de A {\displaystyle A} (tamén chamada "densidade superior") por d _ ( A )
lim inf n → ∞ a ( n ) n {\displaystyle {\underline {d}}(A)
\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}} Do mesmo xeito, define a densidade asintótica máis baixa d _ ( A ) {\displaystyle {\underline {d}}(A)} de A {\displaystyle A} (tamén chamada "densidade inferior") por d ( A )
lim n → ∞ a ( n ) n {\displaystyle d(A)
\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}} Pódese dicir que A {\displaystyle A} ten densidade asintótica d ( A ) {\displaystyle d(A)} se d _ ( A )
d ¯ ( A ) {\displaystyle {\underline {d}}(A)
{\overline {d}}(A)}, nese caso d ( A ) {\displaystyle d(A)} é igual a este valor común se existe este límite. Propiedades e exemplos
Para calquera conxunto finito F de enteiros positivos, d (F) 0.
Se d (A) existe para algún conxunto A e A c denota o seu conxunto complemento con respecto a N {\displaystyle \mathbb {N} }, entón d (A c) 1 − d ( A ).
Corolario: Se F ⊂ N {\displaystyle F\subset \mathbb {N} } é finito (incluíndo o caso F
∅ {\displaystyle F
\emptyset } ), d ( N ∖ F )
1. {\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)
1. } Se d ( A ), d ( B ), {\displaystyle d(A), d(B), } e d ( A ∪ B ) {\displaystyle d(A\cup B)} existen, daquela max { d ( A ), d ( B ) } ≤ d ( A ∪ B ) ≤ min { d ( A ) + d ( B ), 1 }. {\displaystyle \max\{d(A), d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B), 1\}. } Se A
{ n 2: n ∈ N } {\displaystyle A
\{n^{2}: n\in \mathbb {N} \}} é o conxunto de todos os cadrados, entón d (A) 0.
Se A
{ 2 n: n ∈ N } {\displaystyle A
\{2n: n\in \mathbb {N} \}} é o conxunto de todos os números pares, entón d (A)
0, 5. Do mesmo xeito, para calquera progresión aritmética A
{ a n + b: n ∈ N } {\displaystyle A
\{an+b: n\in \mathbb {N} \}} obtemos d ( A )
1 a. {\displaystyle d(A)
{\tfrac {1}{a}}. } Para o conxunto P de todos os primos obtemos do teorema dos números primos que d (P)
0.
O conxunto de todos os enteiros libres de cadrados ten densidade 6 π 2. {\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}. } De forma máis xeral, o conxunto de todos os números libres dunha potencia n para calquera n natural, ten densidade 1 ζ ( n ), {\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}}, } onde ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} é a función zeta de Riemann.
O conxunto de números abundantes ten unha densidade distinta de cero. Marc Deléglise demostrou en 1998 que a densidade do conxunto de números abundantes está entre 0, 2474 e 0, 2480. O conxunto A
⋃ n
0 ∞ { 22 n, …, 22 n + 1 − 1 } {\displaystyle A
\bigcup _{n
0}^{\infty }\left\{2^{2n}, \ldots, 2^{2n+1}-1\right\}} de números cuxa expansión binaria contén un número impar de díxitos é un exemplo dun conxunto que non ten unha densidade asintótica, xa que a densidade superior deste conxunto é d ¯ ( A )
lim m → ∞ 1 + 22 + ⋯ + 22 m 22 m + 1 − 1
lim m → ∞ 22 m + 2 − 13 ( 22 m + 1 − 1 )
23, {\displaystyle {\overline {d}}(A)
\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}
\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}
{\frac {2}{3}}, } mentres que a súa menor densidade é d _ ( A )
lim m → ∞ 1 + 22 + ⋯ + 22 m 22 m + 2 − 1
lim m → ∞ 22 m + 2 − 13 ( 22 m + 2 − 1 )
13. {\displaystyle {\underline {d}}(A)
\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}
\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}
{\frac {1}{3}}. } Considera unha secuencia equidistribuída { α n } n ∈ N {\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} en [ 0, 1 ] {\displaystyle [0, 1]} e define unha familia monótona { A x } x ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0, 1]}} de conxuntos: A x:
{ n ∈ N: α n < x }. {\displaystyle A_{x}:
\{n\in \mathbb {N}: \alpha _{n}<x\}. } Daquela, por definición, d ( A x )
x {\displaystyle d(A_{x})
x} para todos os x {\displaystyle x}.
Se S é un conxunto de densidades superiores positivas, entón o teorema de Szemerédi afirma que S contén progresións aritméticas finitas arbitrariamente grandes, e o teorema de Furstenberg–Sárközy afirma que algúns dous membros de S difiren por un número cadrado.