Medida (matemáticas)

En matemáticas, o concepto de medida é a xeneralización e formalización das medidas xeométricas e outras nocións como a probabilidade dos sucesos aleatorios. A medida é un concepto fundamental en teoría da medida e teoría da probabilidade.
Intuitivamente, a medida dun conxunto ou subconxunto é similar á noción de tamaño. Neste sentido, a medición é unha xeneralización dos conceptos de lonxitude, área e volume en espazos de dimensión 1, 2 ou 3 respectivamente.
O estudo de espazos con medidas é o tema da teoría da medida. Definición
Sexa X {\displaystyle X} un conxunto e Σ {\displaystyle \Sigma } unha σ {\displaystyle \sigma } -álxebra de conxuntos de X {\displaystyle X}. Dada unha aplicación μ: Σ → [ 0, ∞ ] {\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0, \infty ]} (ver: recta real estendida), diremos que é unha medida en Σ {\displaystyle \Sigma } se satisfai as seguintes propiedades: μ ( ∅ )
0. {\displaystyle \mu (\emptyset )
0. } Dado un conxunto numerable { E n } n ∈ N ⊂ Σ {\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma } con elementos disxuntos dous a dous, isto é, con E i ∩ E j
∅ {\displaystyle E_{i}\cap E_{j}
\emptyset } para i ≠ j {\displaystyle i\neq j}, entón a medida da unión coincide coa suma das medidas, é dicir, μ ( ⋃ n ∈ N E n )
∑ n
1 ∞ μ ( E n ). {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)
\sum _{n
1}^{\infty }\mu (E_{n}). } Chamamos espazo de medida á terna ( X, Σ, μ ) {\displaystyle (X, \Sigma, \mu )}. Propiedades das medidas
Dado un espazo de medida ( X, Σ, μ ) {\displaystyle (X, \Sigma, \mu )} temos que Dados E, F ∈ Σ {\displaystyle E, F\in \Sigma } con E ⊂ F {\displaystyle E\subset F}, temos que a medida respeta a orde de contidos, isto é, μ ( E ) ≤ μ ( F ) {\displaystyle \mu (E)\leq \mu (F)}. Se, ademais, μ ( E ) < + ∞ {\displaystyle \mu (E)<+\infty }, temos que μ ( F ∖ E )
μ ( F ) − μ ( E ) {\displaystyle \mu (F\setminus E)
\mu (F)-\mu (E)}.
Dados E, F ∈ Σ {\displaystyle E, F\in \Sigma }, temos que μ ( E ∪ F ) ≤ μ ( E ) + μ ( F ) {\displaystyle \mu (E\cup F)\leq \mu (E)+\mu (F)}.
Dada { E k } k
1 n ⊂ Σ {\displaystyle \{E_{k}\}_{k
1}^{n}\subset \Sigma } unha colección finita de conxuntos, temos que μ ( ⋃ k
1 n E k ) ≤ ∑ k
1 n μ ( E k ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{k
1}^{n}E_{k}\right)\leq \sum _{k
1}^{n}\mu \left(E_{k}\right)} (Subaditividade finita).
Dada { E n } n ∈ N ⊂ Σ {\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma } unha colección numerable de conxuntos non necesariamente disxuntos, temos que μ ( ⋃ n ∈ N E n ) ≤ ∑ n ∈ N μ ( E n ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu \left(E_{n}\right)} (Subaditividade numerable). Exemplos de medidas
Se X
N {\displaystyle X
\mathbb {N} } e consideramos a σ {\displaystyle \sigma } -álxebra Σ
P ( X ) {\displaystyle \Sigma
{\mathcal {P}}(X)}, podemos definir a medida dun conxunto E ⊂ N {\displaystyle E\subset \mathbb {N} } como o cardinal deste conxunto μ ( E )
| E | {\displaystyle \mu (E)
|E|}, isto é, o número de elementos de E {\displaystyle E} se este é finito ou infinito en caso contrario.
Chamamos medida exterior dun subconxunto E ⊂ R N {\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{N}} como m ∗ ( E )
inf { ∑ k
1 + ∞ long ( I k ): E ⊂ ⋃ k
1 ∞ I k, con I k cela de R N ∀ k ∈ N }. {\displaystyle m^{*}(E)
\inf \left\{\sum _{k
1}^{+\infty }{\text{long}}(I_{k})\colon \ E\subset \bigcup _{k
1}^{\infty }I_{k}, \ {\text{con }}I_{k}{\text{ cela de }}\mathbb {R} ^{N}\ \forall k\in \mathbb {N} \right\}. } A esta medida chamámola medida de Lebesgue en R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} cando a definimos sobre o espazo medible ( R N, L ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{N}, {\mathcal {L}}\right)}, onde L {\displaystyle {\mathcal {L}}} é a σ {\displaystyle \sigma } -álxebra de Lebesgue.