Teorema integral de Cauchy

Na matemática, o Teorema Integral de Cauchy (tamén coñecido como Teorema de Cauchy-Goursat) en análise complexa, nomeado logo de Augustin-Louis Cauchy, é unha igualdade notable acerca das integrais dun camiño para funcións holomorfas no plano complexo. De xeito sinxelo, a igualdade di que se dúas funcións son holomorfas en todo punto dos seus camiños de integración, e se estes camiños conectan dous puntos comúns, entón o resultado das integrais das funcións é o mesmo indo por calquera dos dous camiños. Formulación
O teorema é polo común formulado para camiños pechados: Sexa A {\displaystyle A} un subconxunto aberto e simplemente conexo do plano complexo C {\displaystyle \mathbb {C} }. Sexa f: A → C {\displaystyle f: A\rightarrow \mathbb {C} } unha función holomorfa e sexa γ {\displaystyle \gamma } un camiño rectificable no subconxunto A {\displaystyle A} no que o punto inicial e final son coincidentes. Entón: ∮ γ f ( z ) d z
0 {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz
0} A condición de camiño rectificábel pódese expresar como, sexa γ: [ a, b ] → A {\displaystyle \gamma: [a, b]\to A} unha curva pechada suave e γ {\displaystyle \gamma } é homotópico a unha curva constante.
Tamén se poden expresar as condicións do seguinte xeito: Sexa A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq \mathbb {C} } un conxunto aberto simplemente conexo, e sexa f: A → C {\displaystyle f: A\to \mathbb {C} } unha función holomorfa e sexa γ: [ a, b ] → A {\displaystyle \gamma: [a, b]\to A} unha curva pechada suave.
Teorema fundamental para integrais de liña no plano complexo
Se f(z) é unha función holomorfa nunha rexión A aberta e g a m m a {\displaystyle \ gamma} é unha curva en A de z 0 {\displaystyle z_{0}} a z 1 {\displaystyle z_{1}}, entón, ∫ γ f ′ ( z ) d z
f ( z 1 ) − f ( z 0 ). {\displaystyle \int _{\gamma }f'(z)\, dz
f(z_{1})-f(z_{0}). } A maiores, cando f(z) ten unha antiderivada dun só valor nunha rexión aberta A, entón a integral de camiño ∫ γ f ′ ( z ) d z {\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\, dz} é independente do camiño para tódolos camiños en A.
Unha consecuencia importante do teorema é que as integrais de camiño das funcións holomorfas en dominios simplemente conexos poden calcularse dun xeito igual ao do teorema fundamental do cálculo. Se temos na curva un punto inicial a e outro final b, sería a fórmula coñecida de integral definida consistente en calcular a antiderivada e restar os valores no punto inicial e no final: ∫ γ f ( z ) d z
F ( b ) − F ( a ). {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\, dz
F(b)-F(a). } Caso no que non aplica
Como demostrou Édouard Goursat, o teorema integral de Cauchy pódese probar asumindo só que a derivada complexa f ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)} existe en todas as partes en A {\displaystyle A}. Isto é significativo porque entón pódese probar a fórmula integral de Cauchy para estas funcións, e a partir diso deducir que estas funcións son infinitamente diferenciábeis ou suaves.
A condición de que A {\displaystyle A} sexa simplemente conexo significa que A {\displaystyle A} non ten "buratos". A condición é crucial; consideremos γ ( t )
e i t t ∈ [ 0, 2 π ] {\displaystyle \gamma (t)
e^{it}\quad t\in \left[0, 2\pi \right]} que traza o círculo unidade, e agora a integral de liña ∮ γ 1 z d z
∫ 02 π 1 e i t ( i e i t d t )
∫ 02 π i d t
2 π i {\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\, dz
\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\, dt)
\int _{0}^{2\pi }i\, dt
2\pi i} é distinto de cero; o teorema integral de Cauchy non aplica aquí xa que f ( z )
1 / z {\displaystyle f(z)
1/z} non está definida (e certamente non é holomorfa) en z
0 {\displaystyle z
0}.
O teorema integral de Cauchy é válido cunha hipótese máis feble que a dada anteriormente, por exemplo, dado A {\displaystyle A}, un subconxunto aberto simplemente conexo de C {\displaystyle \mathbb {C} }, podemos debilitar as suposicións de que f {\displaystyle f} é holomorfa en A {\displaystyle A} e continua en A ¯ {\textstyle {\overline {A}}} para que γ {\displaystyle \gamma } sexa un bucle sinxelo rectificábel en A ¯ {\textstyle {\overline {A}}}.
O teorema integral de Cauchy conduce á fórmula integral de Cauchy e ao teorema dos residuos. Proba
Se se asume que as derivadas parciais dunha función holomorfa son continuas, o teorema integral de Cauchy pódese probar como consecuencia directa do teorema de Green e do feito de que as partes real e imaxinaria de f
u + i v {\displaystyle f
u+iv} debe satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann na rexión limitada por γ {\displaystyle \gamma }, e a maiores na veciñanza aberta A desta rexión. Cauchy proporcionou esta proba, pero máis tarde foi probada por Goursat sen requirir técnicas de cálculo vectorial ou a continuidade das derivadas parciais.
Podemos dividir o integrando f {\displaystyle f}, así como o diferencial d z {\displaystyle dz} nas súas compoñentes reais e imaxinarias: f
u + i v {\displaystyle f
u+iv}. d z
d x + i d y {\displaystyle dz
dx+i\, dy}.
Neste caso temos ∮ γ f ( z ) d z
∮ γ ( u + i v ) ( d x + i d y )
∮ γ ( u d x − v d y ) + i ∮ γ ( v d x + u d y ) {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\, dz
\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\, dy)
\oint _{\gamma }(u\, dx-v\, dy)+i\oint _{\gamma }(v\, dx+u\, dy)}.
Polo teorema de Green, podemos entón substituír as integrais arredor do contorno pechado γ {\displaystyle \gamma } cunha área integral en todo o dominio D {\displaystyle D} que está choída por γ {\displaystyle \gamma } do seguinte xeito: ∮ γ ( u d x − v d y )
∬ D ( − ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) d x d y {\displaystyle \oint _{\gamma }(u\, dx-v\, dy)
\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\, dx\, dy}. ∮ γ ( v d x + u d y )
∬ D ( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) d x d y {\displaystyle \oint _{\gamma }(v\, dx+u\, dy)
\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\, dx\, dy}.
Mais como as partes real e imaxinaria dunha función holomorfa no dominio D {\displaystyle D}, u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} deben satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann logo: ∂ u ∂ x
∂ v ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}
{\frac {\partial v}{\partial y}}}. ∂ u ∂ y
− ∂ v ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}
-{\frac {\partial v}{\partial x}}}.
Polo tanto, atopamos que ambos os integrandos (e, polo tanto, as súas integrais) son cero ∬ D ( − ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) d x d y
∬ D ( ∂ u ∂ y − ∂ u ∂ y ) d x d y
0 {\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\, dx\, dy
\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\, dx\, dy
0}. ∬ D ( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) d x d y
∬ D ( ∂ u ∂ x − ∂ u ∂ x ) d x d y
0 {\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\, dx\, dy
\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\, dx\, dy
0}.
Isto dá o resultado desexado ∮ γ f ( z ) d z
0 {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\, dz
0}.