Teorema de Svéd-Vázsonyi

O principio do pombal di que se temos n {\displaystyle n} buratos nun pombal e n + 1 {\displaystyle n+1} pombas daquela nalgún burato hai máis dunha pomba.
O teorema que se atribúe a Márta Svéd e Andrew Vázsonyi usa este principio e trata sobre secuencias aleatorias e divisivilidade.
Dada unha secuencia de n números aleatorios existe unha subsecuencia consecutiva cuxa suma é divisíbel polo número de elementos da secuencia orixinal. Teorema de Svéd-Vázsonyi
Sexan os enteiros a 1, a 2, ⋯, a n {\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}}, que poden mesmo estar repetidos. Daquela hai un subconxunto de elementos consecutivos desa secuencia a k, a k + 1, ⋯, a l {\displaystyle a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{l}} tal que a suma a k + a k + 1 + ⋯, a l {\displaystyle a_{k}+a_{k+1}+\cdots, a_{l}} é un múltiplo de n {\displaystyle n}. Exemplo
Para unha secuencia aleatoria { 3, 7, 1, 4, 1, 1 } {\displaystyle \{3, 7, 1, 4, 1, 1\}} temos n
6 {\displaystyle n
6} se probramos o máis simple, sumas consecutivas desde o primeiro: { 0, 3, 10, 11, 15, 16, 17 } {\displaystyle \{0, 3, 10, 11, 15, 16, 17\}}, non temos ningunha divisíbel por 6 {\displaystyle 6}, mais se sumamos desde o segundo { 0, 7, 8, 12, ⋯ } {\displaystyle \{0, 7, 8, 12, \cdots \}} temos a secuencia con suma 7 + 1 + 4 {\displaystyle 7+1+4} é múltiplo de 6 {\displaystyle 6}. Demostración
Sexa S
{ 0, 1, ⋯, n } {\displaystyle S
\{0, 1, \cdots, n\}} e R
{ 0, 1, ⋯, n − 1 } {\displaystyle R
\{0, 1, \cdots, n-1\}} e consideremos o mapa f: S → R {\displaystyle f: S\rightarrow R} determinado polo residuo de f ( m )
a 1 + ⋯ + a m {\displaystyle f(m)
a_{1}+\cdots +a_{m}} módulo n {\displaystyle n}. Polo principio do pombal temos f ( k )
f ( l ) {\displaystyle f(k)
f(l)} para algún </math>k \lt l</math> en S {\displaystyle S} e por tanto ∑ i
k + 1 l a i
∑ i
1 l a i − ∑ i
1 k a i {\displaystyle \sum _{i
k+1}^{l}a_{i}
\sum _{i
1}^{l}a_{i}-\sum _{i
1}^{k}a_{i}} faise cero módulo n {\displaystyle n}. O subconxunto a k, a k + 1, ⋯ a l {\displaystyle a_{k}, a_{k+1}, \cdots a_{l}} ten a propiedade procurada, a súa suma é múltiplo de n {\displaystyle n}. Exemplo aplicando a demostración
Seguindo a demostración agora é moito simple obter o subconxunto de elementos consecutivos cuxa suma é divisíbel polo número total de elementos.
Para a secuencia aleatoria { 3, 7, 1, 4, 1, 1 } {\displaystyle \{3, 7, 1, 4, 1, 1\}} con sumas parciais { 0, 3, 10, 11, 15, 16, 17 } {\displaystyle \{0, 3, 10, 11, 15, 16, 17\}} os residuos ao dividir entre 6 {\displaystyle 6} son { 0, 3, 4, 5, 3, 4, 5 } {\displaystyle \{0, 3, 4, 5, 3, 4, 5\}}, vemos que hai dous residuos 3 {\displaystyle 3} e dous 4 {\displaystyle 4} e dous 5 {\displaystyle 5}, polo principio do pombal debe haber polo menos 2 {\displaystyle 2} pombas no mesmo burato (dous residuos iguais), pero pode haber máis (se hai outros buratos baleiros).
Así temos: entre os dous 3: 7 + 1 + 4
12 {\displaystyle 3: 7+1+4
12}.
entre os dous 4: 1 + 4 + 1
6 {\displaystyle 4: 1+4+1
6}.
entre os dous 5: 4 + 1 + 1
6 {\displaystyle 5: 4+1+1
6}.
Vexamos outro exemplo ao chou. Para n
9 {\displaystyle n
9} coa secuencia { 2, 8, 4, 1, 19, 17, 2, 3, 12 } {\displaystyle \{2, 8, 4, 1, 19, 17, 2, 3, 12\}}.
Sumas consecutivas { 0, 2, 10, 14, 15, 34, 51, 53, 56, 68 } {\displaystyle \{0, 2, 10, 14, 15, 34, 51, 53, 56, 68\}}.
Residuos módulo 9, { 0, 2, 1, 5, 6, 7, 6, 8, 2, 5 } {\displaystyle 9, \ \{0, 2, 1, 5, 6, 7, 6, 8, 2, 5\}}.
E seguindo a demostración: de residuo 2 a 2 temos 56 − 2
54
9 ⋅ 6 {\displaystyle 56-2
54
9\cdot 6}.
de 6 a 6 temos 19 + 17
36
9 ⋅ 4 {\displaystyle 19+17
36
9\cdot 4}.
de 5 a 5 temos 68 − 14
54
9 ⋅ 6 {\displaystyle 68-14
54
9\cdot 6}.