Sistema LTI

A teoría lineal invariante no tempo, comunmente coñecida como teoría do sistema LTI, investiga a resposta dun sistema lineal e invariante no tempo a un sinal de entrada arbitrario. As traxectorias destes sistemas mídense e rastrexan comunmente a medida que avanzan no tempo (por exemplo, unha forma de onda acústica), pero en aplicacións como o procesamento de imaxes e a teoría de campo, os sistemas LTI tamén teñen traxectorias en dimensións espaciais. Por tanto, estes sistemas tamén se chaman linealmente invariantes na translación para dar á teoría o alcance máis xeral. No caso de sistemas xenéricos de tempo discreto (é dicir, mostreados), linealmente invariante no desprazamento é o termo correspondente. Un bo exemplo dos sistemas LTI son os circuítos eléctricos que poden estar formados por resistencias, condensadores e inductores. Utilizouse en matemáticas aplicadas e ten aplicacións directas en espectroscopia RMN, sismoloxía, circuítos, procesamento de sinais, teoría de control e outras áreas técnicas. Propiedades
As propiedades definitorias de calquera sistema LTI son a linearidade e a invariancia no tempo. A linearidade significa que a relación entre a entrada e a saída do sistema é unha Aplicación linear: Se a entrada x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)\, } produce a resposta y 1 ( t ) {\displaystyle y_{1}(t)\, }, e a entrada x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)\, } produce a resposta y 2 ( t ) {\displaystyle y_{2}(t)\, }, entón a entrada escalada e sumada a 1 x 1 ( t ) + a 2 x 2 ( t ) {\displaystyle a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)\, } produce a resposta escalada e sumada a 1 y 1 ( t ) + a 2 y 2 ( t ) {\displaystyle a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t)\, } onde a 1 {\displaystyle a_{1}} e a 2 {\displaystyle a_{2}} son escalares reais. Dedúcese que isto pode estenderse a un número arbitrario de termos, e así para os números reais c 1, c 2, …, c k {\displaystyle c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}}:
A entrada ∑ k c k x k ( t ) {\displaystyle \sum _{k}c_{k}\, x_{k}(t)} produce a saída ∑ k c k y k ( t ). {\displaystyle \sum _{k}c_{k}\, y_{k}(t). \, } En particular,
A entrada ∫ − ∞ ∞ c ω x ω ( t ) d ⁡ ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\, x_{\omega }(t)\, \operatorname {d} \omega } produce a saída ∫ − ∞ ∞ c ω y ω ( t ) d ⁡ ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\, y_{\omega }(t)\, \operatorname {d} \omega \, } onde c ω {\displaystyle c_{\omega }} e x ω {\displaystyle x_{\omega }} son escalares e entradas que varían nun continuo indexado por ω {\displaystyle \omega }. Por tanto, se unha función de entrada pode representarse mediante un continuo de funcións de entrada, combinadas "linealmente", como se mostra, entón a función de saída correspondente pode representarse mediante o continuo correspondente de funcións de saída, escaladas e sumadas da mesma maneira.
A invariancia de tempo significa que se aplicamos unha entrada ao sistema agora ou T segundos a partir de agora, a saída será idéntica, excepto por un atraso de T segundos. É dicir, se a saída debida á entrada x ( t ) {\displaystyle x(t)} é y ( t ) {\displaystyle y(t)}, entón a saída debida á entrada x ( t − T ) {\displaystyle x(t-T)} é y ( t − T ) {\displaystyle y(t-T)}. Por tanto, o sistema é invariante no tempo porque a saída non depende do tempo particular en que se aplica a entrada.