Condición necesaria e suficiente

En lóxica e matemáticas, necesario e suficiente son termos usados para describir unha relación condicional ou implicacional entre dous enunciados. Por exemplo, no enunciado condicional: "Se P entón Q", P é suficiente para Q, porque que P sexa verdadeiro sempre implica que Q é verdadeira, mais que P non sexa verdadeira non sempre implica que Q non sexa verdade, pode haber outras condicións que tamén impliquen Q. Por outra parte, é máis complicado de ver que Q é necesario para P pois é imposíbel ter P sen Q, ou a falsidade de Q asegura a falsidade de P.
En xeral, unha condición necesaria é aquela (posiblemente unha de varias condicións) que debe estar presente para que se produza outra condición, mentres que unha condición suficiente é aquela que por si mesma produce a dita condición. A afirmación de que unha afirmación é unha condición "necesaria e suficiente" significa que a primeira afirmación é verdadeira se e só se a segunda é certa. É dicir, as dúas afirmacións deben ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. Definicións
No enunciado condicional, "se S, entón N ", a expresión representada por S chámase antecedente e a expresión representada por N denomínase consecuente. Esta declaración condicional pódese escribir de varias maneiras equivalentes, como "N se S ", "S só se N ", "S implica N ", "N está implicado por S ", S → N, S ⇒ N e "N sempre que S". Necesario
A afirmación de que Q é necesaria para P é coloquialmente equivalente a "P non pode ser verdadeira a menos que Q sexa verdadeira" ou "se Q é falsa, entón P é falsa". Por contraposición, isto é o mesmo que "sempre que P é verdadeira, tamén o é Q ".
A relación lóxica entre P e Q exprésase como "se P, entón Q" e denotase "P ⇒ Q" ( P implica Q ). Tamén se pode expresar como "P só se Q", " Q, se P ", "Q sempre que P " e "Q cando P ". A miúdo atópanse, na prosa matemática, por exemplo, varias condicións necesarias que, tomadas en conxunto, constitúen unha condición suficiente (é dicir, necesarias individualmente e suficientes conxuntamente ). Suficiente
Se P é suficiente para Q, entón saber que P é verdadeira é un motivo adecuado para concluír que Q é verdadeira; porén, saber que P é falsa non satisfai unha necesidade mínima de concluír que Q é falsa.
A relación lóxica exprésase, como antes, como "se P, entón Q" ou "P ⇒ Q". Isto tamén se pode expresar como "P só se Q", "P implica Q" ou varias outras variantes. Pode darse o caso de que varias condicións suficientes, tomadas en conxunto, constitúan unha única condición necesaria (é dicir, suficiente individual e necesariamente conxuntamente) Relación entre necesario e suficiente
Unha condición pode ser necesaria ou suficiente sen ser a outra. Por exemplo, ser un mamífero (N) é necesario mais non suficiente para ser humano (S), tamén un número x {\displaystyle x} é racional (S) é suficiente mais non necesario para que x {\displaystyle x} sexa un número real (N) (xa que hai números reais que non son racionais).
Unha condición pode ser necesaria e suficiente. Por exemplo, "hoxe é o 25 de xullo" é unha condición necesaria e suficiente para "hoxe é o Día da Galicia". Do mesmo xeito, unha condición necesaria e suficiente para a invertibilidade dunha matriz M é que M teña un determinante distinto de cero. Necesario e suficiente simultáneas
Dicir que P é necesario e suficiente para Q é dicir dúas cousas: que P é necesario para Q, P ⇐ Q {\displaystyle P\Leftarrow Q}, e que P é suficiente para Q, P ⇒ Q {\displaystyle P\Rightarrow Q}.
equivalentemente, pódese entender que P e Q son necesarios para o outro, P ⇒ Q ∧ Q ⇒ P {\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}, que tamén se pode afirmar como cada un é suficiente para ou implica o outro.
Pódese resumir calquera, e polo tanto todos, estes casos coa afirmación "P se e só se Q", que se denota por P ⇔ Q {\displaystyle P\Leftrightarrow Q}, mentres que os casos dinnos iso P ⇔ Q {\displaystyle P\Leftrightarrow Q} é idéntico a P ⇒ Q ∧ Q ⇒ P {\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}.
En matemáticas, os teoremas adoitan expresarse na forma "P é verdadeira se e só se Q é verdade".
Podemos escribir P ⇔ Q ≡ Q ⇔ P {\displaystyle P\Leftrightarrow Q\equiv Q\Leftrightarrow P} porque as afirmacións "P é verdadeira se e só se Q é verdadeira" e "Q é verdadeira se e só se P é verdadeira" son equivalentes.