Unión (conxuntos)

Na teoría de conxuntos, a unión dunha colección de conxuntos (denotada por ∪) é o conxunto de todos os elementos da colección. É unha das operacións fundamentais mediante as que se poden combinar e relacionar conxuntos entre si. Unha unión nula refírese a unha unión de cero ( 0 {\displaystyle 0} ) conxuntos e é por definición igual ao conxunto baleiro.
Para a explicación dos símbolos utilizados neste artigo, consulte a táboa de símbolos matemáticos. Unión de dous conxuntos
A unión de dous conxuntos A e B é o conxunto de elementos que están en A, en B ou en A e B. A ∪ B
{ x: x ∈ A ou x ∈ B } {\displaystyle A\cup B
\{x: x\in A{\text{ ou }}x\in B\}}.
Vemos un exemplo, se A
{1, 3, 5, 7} e B
{1, 2, 4, 6, 7} entón A ∪ B
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un exemplo con dous conxuntos infinitos pode ser: A
{x é un enteiro par máis grande que 1}
B
{x é un enteiro impar máis grande que 1} A ∪ B
{ 2, 3, 4, 5, 6, … } {\displaystyle A\cup B \{2, 3, 4, 5, 6, \dots \}} Un exemplo dun elemento non incluído na unión, o número 9 non está contido na unión do conxunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, .. .} e do conxunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10, .. .}, porque 9 non é nin primo nin par.
Os conxuntos non poden ter elementos duplicados, polo tanto a unión dos conxuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é {1, 2, 3, 4}. As aparicións múltiples de elementos idénticos non teñen ningún efecto sobre a cardinalidade dun conxunto ou o seu contido. Propiedades alxébricas
A unión binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto A, B, and C {\displaystyle A, B, {\text{ and }}C}, A ∪ ( B ∪ C )
( A ∪ B ) ∪ C. {\displaystyle A\cup (B\cup C)
(A\cup B)\cup C. } Así, as parénteses pódense omitir sen ambigüidades: calquera das anteriores pódese escribir como A ∪ B ∪ C {\displaystyle A\cup B\cup C}. Ademais, a unión é conmutativa, polo que os conxuntos poden escribirse en calquera orde. O conxunto baleiro é un elemento identidade para o funcionamento da unión. É dicir, A ∪ ∅
A {\displaystyle A\cup \varnothing
A}, para calquera conxunto A {\displaystyle A}. Ademais, a operación de unión é idempotente: A ∪ A
A {\displaystyle A\cup A
A}. A intersección é distributiva coa unión A ∩ ( B ∪ C )
( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)
(A\cap B)\cup (A\cap C)} a unión é distributiva coa intersección A ∪ ( B ∩ C )
( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ). {\displaystyle A\cup (B\cap C)
(A\cup B)\cap (A\cup C). } O conxunto de partes dun conxunto U {\displaystyle U}, xunto coas operacións dadas pola unión, intersección e complemento, é unha álxebra de Boole. Nesta álxebra de Boole, a unión pódese expresar en termos de intersección e complementario pola fórmula A ∪ B
( A ∁ ∩ B ∁ ) ∁, {\displaystyle A\cup B
(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement }, } onde o superíndice ∁ {\displaystyle {}^{\complement }} significa o complemento no conxunto universal U {\displaystyle U}. Unións finitas
Unha unión finita é a unión dun número finito de conxuntos; a frase non implica que o conxunto de unión sexa un conxunto finito. Unións arbitrarias
A noción máis xeral é a unión dunha colección arbitraria de conxuntos. Se M é un conxunto ou clase cuxos elementos son conxuntos, entón x é un elemento da unión de M se e só se hai polo menos un elemento A de M tal que x é un elemento de A. En símbolos: x ∈ ⋃ M ⟺ ∃ A ∈ M, x ∈ A. {\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M}, \ x\in A. }
Notacións
A notación para o concepto xeral pode variar considerablemente. Para unha unión finita de conxuntos S 1, S 2, S 3, …, S n {\displaystyle S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots, S_{n}} pódese escribir como S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 ∪ ⋯ ∪ S n {\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}} ou ⋃ i
1 n S i {\textstyle \bigcup _{i
1}^{n}S_{i}}. As unións arbitrarias teñen varias notacións similares: ⋃ M {\textstyle \bigcup \mathbf {M} }, ⋃ A ∈ M A {\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}, e ⋃ i ∈ I A i {\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}. A última destas notacións refírese á unión da colección { A i: i ∈ I } {\displaystyle \left\{A_{i}: i\in I\right\}}, onde I é un conxunto de índices e A i {\displaystyle A_{i}} é un conxunto para todos eses índices i ∈ I {\displaystyle i\in I}. No caso de que o conxunto índice I sexa o conxunto de números naturais, utilízase a notación ⋃ i
1 ∞ A i {\textstyle \bigcup _{i
1}^{\infty }A_{i}}, que é análogo ao das sumas infinitas en serie.