Número hiperreal

En matemáticas, os números hiperreais son unha extensión dos números reais para incluír certas clases de números infinitos e infinitesimais. Un número hiperreal x {\displaystyle x} dise que é finito se, e só se, | x | < n {\displaystyle |x|<n} para algún número enteiro n {\displaystyle n}. x {\displaystyle x} dise que é infinitesimal se, e só se, | x | < 1 / n {\displaystyle |x|<1/n} para todos os números enteiros positivos n {\displaystyle n}. O termo "hiperreal" foi introducido por Edwin Hewitt en 1948.
Os números hiperreais satisfán o principio de transferencia, unha versión rigorosa da lei heurística de continuidade de Leibniz. O principio de transferencia afirma que as afirmacións verdadeiras de primeira orde sobre R tamén son válidas en *R. Por exemplo, a lei conmutativa da suma, x + y
y + x, vale para os hiperreais igual que para os reais; xa que R é un corpo pechado real, tamén o é *R. Posto que sin ⁡ ( π n )
0 {\displaystyle \sin({\pi n})
0} para todos os números enteiros n, tamén se ten sin ⁡ ( π H )
0 {\displaystyle \sin({\pi H}) 0} para todos os hiperenteiros H {\displaystyle H}. O principio de transferencia das ultrapotencias é unha consecuencia do teorema de Łoś de 1955.
A aplicación dos números hiperreais e en particular o principio de transferencia a problemas de análise chámase análise non estándar. Unha aplicación inmediata é a definición dos conceptos básicos da análise como a derivada e a integral de forma directa, sen pasar por complicacións lóxicas de múltiples cuantificadores. Así, a derivada de f(x) pasa a ser f ′ ( x )
st ⁡ ( f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ) {\displaystyle f'(x)
\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)} por un infinitesimal Δ x {\displaystyle \Delta x}, onde st(⋅) denota a función parte estándar, que "redondea" cada hiperreal finito ao real máis próximo. Do mesmo xeito, a integral defínese como a parte estándar dunha suma infinita adecuada. Principio de transferencia
A idea do sistema hiperreal é estender os números reais R para formar un sistema *R que inclúa números infinitesimais e infinitos, mais sen mudar ningún dos axiomas elementais da álxebra. Calquera declaración da forma "para calquera número x. .. " que é certo para os reais tamén é certa para os hiperreais. Por exemplo, o axioma que indica "para calquera número x, x + 0
x " aplica para ambos os sistemas. O mesmo é certo para a cuantificación de varios números, por exemplo, "para calquera número x e y, xy
yx. " Esta capacidade de trasladar enunciados dos reais aos hiperreais chámase principio de transferencia. Non obstante, as declaracións da forma "para calquera conxunto de números S. .. " non poden transferirse. As únicas propiedades que difiren entre os reais e os hiperreais son aquelas que dependen da cuantificación sobre conxuntos ou outras estruturas de nivel superior, como funcións e relacións, que normalmente se constrúen a partir de conxuntos. Cada conxunto, función e relación real ten a súa extensión hiperreal natural, satisfacendo as mesmas propiedades de primeira orde. Os tipos de oracións lóxicas que obedecen a esta restrición na cuantificación denomínanse enunciados na lóxica de primeira orde.
O principio de transferencia, porén, non significa que R e *R teñan un comportamento idéntico. Por exemplo, en *R existe un elemento ω tal que 1 < ω, 1 + 1 < ω, 1 + 1 + 1 < ω, 1 + 1 + 1 + 1 < ω, …. {\displaystyle 1<\omega, \quad 1+1<\omega, \quad 1+1+1<\omega, \quad 1+1+1+1<\omega, \ldots. } mais non hai tal número en R. (Noutras palabras, *R non é Arquimediano. ) Isto é posíbel porque a inexistencia de ω non se pode expresar como un enunciado de primeira orde. Uso na análise
Diferenciación
Un dos usos fundamentais do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao operador diferencial d como o emprega Leibniz para definir a derivada e a integral.
Para calquera función de valor real f, {\displaystyle f, } o diferencial d f {\displaystyle df} defínese como un mapa que envía cada par ordenado ( x, d x ) {\displaystyle (x, dx)} (onde x {\displaystyle x} é real e d x {\displaystyle dx} é infinitesimal distinto de cero) a un infinitesimal d f ( x, d x ):
st ⁡ ( f ( x + d x ) − f ( x ) d x ) d x. {\displaystyle df(x, dx):
\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx. } Teña en conta que a propia notación " d x {\displaystyle dx} " usada para denotar calquera infinitesimal é consistente coa definición anterior do operador d, {\displaystyle d, } pois se interpretamos x {\displaystyle x} (como se fai habitualmente) como a función f ( x )
x, {\displaystyle f(x)
x, } entón para cada ( x, d x ) {\displaystyle (x, dx)} o diferencial d ( x ) {\displaystyle d(x)} será igual ao infinitesimal d x {\displaystyle dx}.
Unha función con valor real f {\displaystyle f} dise que é diferenciábel nun punto x {\displaystyle x} se o cociente d f ( x, d x ) d x
st ⁡ ( f ( x + d x ) − f ( x ) d x ) {\displaystyle {\frac {df(x, dx)}{dx}}
\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)} é o mesmo para todos os infinitesimais distintos de cero d x. {\displaystyle dx. } Se é así, este cociente chámase derivada de f {\displaystyle f} en x {\displaystyle x}.
Por exemplo, para atopar a derivada da función f ( x )
x 2 {\displaystyle f(x)
x^{2}}, sendo d x {\displaystyle dx} un infinitesimal distinto de cero. Entón,
Integración
Outro uso clave do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao signo integral ∫ usado por Leibniz para definir a integral definida.
Para calquera función infinitesimal ε ( x ), {\displaystyle \ \varepsilon (x), \ } pódese definir a integral ∫ ( ε ) {\displaystyle \int (\varepsilon )\ } como un mapa enviando calquera triplo ordenado ( a, b, d x ) {\displaystyle (a, b, dx)} (onde a {\displaystyle \ a\ } e b {\displaystyle \ b\ } son reais, e d x {\displaystyle \ dx\ } é infinitesimal do mesmo signo que b − a {\displaystyle \, b-a} ) ao valor ∫ a b ( ε, d x ):
st ⁡ ( ∑ n
0 N ε ( a + n d x ) ), {\displaystyle \int _{a}^{b}(\varepsilon, dx):
\operatorname {st} \left(\sum _{n
0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right), } onde N {\displaystyle \ N\ } satisfai calquera número hiperenteiro st ⁡ ( N d x )
b − a. {\displaystyle \ \operatorname {st} (N\ dx)
b-a. } Unha función con valor real f {\displaystyle f} dise entón que é integrábel nun intervalo pechado [ a, b ] {\displaystyle \ [a, b]\ } se para calquera infinitesimal distinto de cero d x, {\displaystyle \ dx, \ } a integral ∫ a b ( f d x, d x ) {\displaystyle \int _{a}^{b}(f\ dx, dx)} é independente da escolla de d x. {\displaystyle \ dx. } Se é así, esta integral chámase integral definida (ou antiderivada) de f {\displaystyle f} en [ a, b ]. {\displaystyle \ [a, b]. } Isto mostra que usando números hiperreais, a notación de Leibniz para a integral definida pode ser interpretada realmente como unha expresión alxébrica significativa (do mesmo xeito que a derivada pode ser interpretada como un cociente significativo). Propiedades
Os hiperreais * R forman un corpo ordenado que contén os reais R como subcorpo. A diferenza dos reais, os hiperreais non forman un espazo métrico estándar, mais en virtude da súa orde levan unha topoloxía de orde.
A condición de ser un corpo hiperreal é máis forte que a de ser un corpo pechado real que contén estritamente R. Tamén é máis forte que o de ser un corpo superreal no sentido de Dales e Woodin. Propiedades dos números infinitesimais e infinitos
Os elementos finitos F de *R forman un anel local, e de feito son un anel de valoración, sendo o único ideal máximo S os infinitesimais; o cociente F/S é isomorfo aos reais. Polo tanto, temos unha correspondencia homomorfa, st(x), de F a R cuxo kernel está formado polos infinitesimais e que envía cada elemento x de F a un único número real cuxa diferenza de x está en S; é dicir, é infinitesimal. Dito doutro xeito, todo número real finito non estándar está "moi preto" dun número real único, no sentido de que se x é un real finito non estándar, entón existe un e só un número real st(x) tal que x – st(x) é infinitesimal. Este número st(x) chámase parte estándar de x, conceptualmente igual que x ao número real máis próximo. Esta operación é un homomorfismo que preserva a orde e, polo tanto, ten un bo comportamento tanto alxébricamente como teoricamente. É conservador da orde aínda que non isotónico; é dicir x ≤ y {\displaystyle x\leq y} implica st ⁡ ( x ) ≤ st ⁡ ( y ) {\displaystyle \operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)}, mais x < y {\displaystyle x<y} non implica st ⁡ ( x ) < st ⁡ ( y ) {\displaystyle \operatorname {st} (x)<\operatorname {st} (y)}. Temos, se x e y son finitos, st ⁡ ( x + y )
st ⁡ ( x ) + st ⁡ ( y ) {\displaystyle \operatorname {st} (x+y)
\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)}. st ⁡ ( x y )
st ⁡ ( x ) st ⁡ ( y ) {\displaystyle \operatorname {st} (xy)
\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)}.
Se x é finito e non infinitesimal, st ⁡ ( 1 / x )
1 / st ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {st} (1/x)
1/\operatorname {st} (x)}.
x é real se e só se st ⁡ ( x )
x {\displaystyle \operatorname {st} (x)
x}.
O mapa st é continuo con respecto á topoloxía de orde nos hiperreais finitos; de feito é localmente constante. Corpos hiperreais
Supoñamos que X é un espazo de Tychonoff, tamén chamado espazo T3. 5, e que C(X) é a álxebra das funcións continuas de valores reais en X. Supoña que M é un ideal máximal en C(X). Entón a álxebra cociente A C(X)/M é un corpo F totalmente ordenado que contén os reais. Se F contén estritamente R, entón M chámase ideal hiperreal (terminoloxía debida a Heitt (1948)) e F un corpo hiperreal. Teña en conta que non se está a supoñer que a cardinalidade de F sexa maior que R; de feito pode ter a mesma cardinalidade.