Descenso infinito

En matemáticas, unha proba por descenso infinito, tamén coñecida como método de Fermat dos descensos, é un tipo particular de proba por contradición que se usa para mostrar que unha afirmación non pode cumprirse para ningún número, demostrando que se a afirmación se cumprise para un número, entón o mesmo sería certo para un número menor, o que levaría a unha contradición infinita e, finalmente, a unha contradición. É un método que adoita usarse para mostrar que unha determinada ecuación, como unha ecuación diofantiana, non ten solucións.
Os primeiros usos do método da descenso infinito aparecen nos Elementos de Euclides. Un exemplo típico é a Proposición 31 do Libro 7, na que Euclides demostra que todo número enteiro composto está dividido (na terminoloxía de Euclides "medido") por algún número primo.
O método foi desenvolvido moito máis tarde por Fermat, quen acuñou o termo e utilizouno a miúdo para ecuacións diofantianas. Dous exemplos típicos mostran a non solución da ecuación diofantiana r 2 + s 4
t 4 {\displaystyle r^{2}+s^{4}
t^{4}} e na proba do teorema de Fermat sobre as sumas de dous cadrados, que afirma que un primo impar p pode expresarse como unha suma de dous cadrados cando p ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}} (ver Aritmética modular e proba por descenso infinito). Deste xeito, Fermat puido demostrar a inexistencia de solucións en moitos casos de ecuacións diofánticas de interese clásico (por exemplo, o problema dos catro cadrados perfectos na progresión aritmética ). Teoría de números
Na teoría dos números do século XX, retomouse o método de descenso infinito e levouse a un punto no que se ligaba co ámbito principal da teoría alxébrica de números e co estudo das funcións L. O resultado estrutural de Mordell, que os puntos racionais nunha curva elíptica E forman un grupo abeliano finitamente xerado, utilizou un argumento de descenso infinito baseado en E/2E ao estilo de Fermat.
Para estender isto ao caso dunha variedade abeliana A, André Weil tivo que facer máis explícita a forma de cuantificar o tamaño dunha solución, mediante unha función de altura, concepto que se tornou fundamental. Para demostrar que A (Q)/2A(Q) é finito, que é certamente unha condición necesaria para a xeración finita do grupo A (Q) de puntos racionais de A, hai que facer cálculos no que máis tarde se recoñeceu como cohomoloxía de Galois. Deste xeito, os grupos de cohomoloxía definidos de xeito abstracto na teoría identifícanse con descensos na tradición de Fermat. O teorema de Mordell-Weil foi o comezo do que máis tarde se convertería nunha teoría moi extensa. Exemplos de aplicación
Irracionalidade de √2
A proba de que a raíz cadrada de 2 ( √2 ) é irracional (é dicir, non se pode expresar como unha fracción de dous números enteiros) foi descuberta polos antigos gregos, e quizais sexa o exemplo máis antigo coñecido dunha proba por descenso infinito. Á raíz cadrada de dous chámase ocasionalmente "número de Pitágoras" ou "constante de Pitágoras", por exemplo Conway & Guy (1996).
Os antigos gregos, ao non ter álxebra, elaboraron unha demostración xeométrica por descenso infinito (John Horton Conway presentou outra proba xeométrica por descenso infinito que pode ser máis accesíbel). A seguinte é unha demostración alxébrica en liñas similares:
Supoña que √2 fose racional. Entón podería escribirse como 2
p q {\displaystyle {\sqrt {2}}
{\frac {p}{q}}} para dous números naturais, p e q. Daquela o cadrado daría 2
p 2 q 2, {\displaystyle 2
{\frac {p^{2}}{q^{2}}}, } 2 q 2
p 2, {\displaystyle 2q^{2}
p^{2}, } polo que 2 debe dividir a p2. Como 2 é un número primo, tamén debe dividir a p, polo lema de Euclides. Entón p 2r, para algún número enteiro r.
Mais logo, 2 q 2
( 2 r ) 2
4 r 2, {\displaystyle 2q^{2}
(2r)^{2}
4r^{2}, } q 2
2 r 2, {\displaystyle q^{2}
2r^{2}, } o que demostra que 2 debe dividir tamén a q. Así q 2s para algún número enteiro s.
Isto dá p q
2 r 2 s
r s {\displaystyle {\frac {p}{q}}
{\frac {2r}{2s}}
{\frac {r}{s}}}.
Polo tanto, se √2 puidese escribirse como un número racional, entón sempre podería escribirse como un número racional con partes máis pequenas, que se podería escribir con partes aínda máis pequenas, ata o infinito. Mais isto é imposíbel no conxunto dos números naturais. Dado que √2 é un número real, que pode ser racional ou irracional, a única opción que falta é que √2 sexa irracional.
A non solución de r 2 + s 4 t 4 e as súas permutacións
A non solución de r 2 + s 4
t 4 {\displaystyle r^{2}+s^{4}
t^{4}} en enteiros é suficiente para mostrar a non solución de q 4 + s 4
t 4 {\displaystyle q^{4}+s^{4}
t^{4}} en enteiros, que é un caso especial do Último Teorema de Fermat, e as probas históricas do segundo procederon demostrando de xeito máis amplo o primeiro usando descenso infinito. A seguinte demostración máis recente demostra estas dúas imposibilidades demostrando aínda máis amplamente que un triángulo pitagórico non pode ter ningún dos seus lados nin un cadrado nin dúas veces un cadrado, xa que non existe o menor triángulo deste tipo:
Supoñamos que existe tal triángulo pitagórico. Daquela pódese reducir a escala para dar un triángulo pitagórico primitivo (é dicir, sen factores comúns máis que 1) coa mesma propiedade. Os lados dos triángulos pitagóricos primitivos pódense escribir como x
2 a b, {\displaystyle x
2ab, } y
a 2 − b 2, {\displaystyle y
a^{2}-b^{2}, } z
a 2 + b 2 {\displaystyle z
a^{2}+b^{2}}, con a e b relativamente primos e con a+b impar e, polo tanto, y e z ambos os dous impares. A propiedade de que y e z son cada un impar significa que nin y nin z poden ser dúas veces un cadrado. A maiores, se x é un cadrado ou dúas veces un cadrado, entón cada un de a e b é un cadrado ou dúas veces un cadrado. Hai tres casos, dependendo de que dous lados se postulen para que cada un sexa un cadrado ou dúas veces un cadrado: y e z: Neste caso, y e z son ambos os dous cadrados. Mais logo o triángulo rectángulo con catetos y z {\displaystyle {\sqrt {yz}}} e b 2 {\displaystyle b^{2}} e a hipotenusa a 2 {\displaystyle a^{2}} tamén tería lados enteiros incluíndo un cateto cadrado ( b 2 {\displaystyle b^{2}} ) e unha hipotenusa cadrada ( a 2 {\displaystyle a^{2}} ) e esta sería unha hipotenusa máis pequena en comparación con z
a 2 + b 2 {\displaystyle z
a^{2}+b^{2}} ).
z e x: z é un cadrado. O triángulo rectángulo enteiro con catetos a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} e a hipotenusa z {\displaystyle {\sqrt {z}}} tamén tería dous lados ( a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} ) cada un dos cales é un cadrado ou dúas veces un cadrado, e unha hipotenusa menor ( z {\displaystyle {\sqrt {z}}} comparada con z {\displaystyle z} ).
y e x: y é un cadrado. O triángulo rectángulo enteiro con catetos b {\displaystyle b} e y {\displaystyle {\sqrt {y}}} e hipotenusa a {\displaystyle a} tería dous lados (b e a) cada un dos cales é un cadrado ou dúas veces un cadrado, cunha hipotenusa menor que o triángulo orixinal ( a {\displaystyle a} comparada con z
a 2 + b 2 {\displaystyle z
a^{2}+b^{2}} ).
En calquera destes casos, un triángulo pitagórico de dous lados cada un dos cales é un cadrado ou dúas veces cadrado deu lugar a un máis pequeno, que á súa vez daría lugar a outro máis pequeno, etc. ; xa que tal secuencia non pode continuar infinitamente, a premisa orixinal de que existe tal triángulo debe ser errónea.
Isto implica que as ecuacións r 2 + s 4
t 4, {\displaystyle r^{2}+s^{4}
t^{4}, } r 4 + s 2
t 4, {\displaystyle r^{4}+s^{2}
t^{4}, } e r 4 + s 4
t 2 {\displaystyle r^{4}+s^{4}
t^{2}} non poden ter solucións non triviais, xa que as solucións non triviais darían triángulos pitagóricos con dous lados cadrados.
Para outras demostracións similares por descenso infinito para o caso n 4 do teorema de Fermat, consulte os artigos de Grant e Perella e Barbara.