Gradiente

No cálculo vectorial, o gradiente ∇ f {\displaystyle \nabla f} dun campo escalar f {\displaystyle f} é un campo vectorial. O vector gradiente de f {\displaystyle f} dun punto xenérico x {\displaystyle x} do dominio de f {\displaystyle f}, ∇ f {\displaystyle \nabla f} ( x {\displaystyle x} ), indica a dirección na cal o campo f {\displaystyle f} varía máis rapidamente e o seu módulo representa o ritmo de variación de f {\displaystyle f} na dirección de dito vector gradiente. O gradiente represéntase co operador diferencial nabla ∇ {\displaystyle \nabla } seguido da función (non confundir o gradiente coa diverxencia, pois esta última denótase cun punto de produto escalar entre o operador nabla e o campo). Tamén pode representarse mediante ∇ → f {\displaystyle {\vec {\nabla }}f}, ou usando a notación grad ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {grad} (f)}. A xeneralización do concepto de gradiente a campos f {\displaystyle f} vectoriais é o concepto de matriz xacobiana.
Se se toma como campo escalar un ao que se lle asigna a cada punto do espazo unha presión P (campo escalar de 3 variables), entón o vector gradiente nun punto xenérico do espazo indica a dirección na cal a presión muda máis rapidamente. Outro exemplo é o de considerar un mapa con liñas de nivel como campo escalar ao que lle asigna a cada parella de coordenadas latitude/lonxitude un escalar altitude (campo escalar de 2 variables). Neste caso o vector gradiente nun punto xenérico indica a dirección de máxima inclinación da superficie. Nótese que o vector gradiente será perpendicular ás liñas de contorno (liñas "equiescalares") do mapa. Definición
O gradiente defínese como o campo vectorial cunhas funcións coordenadas que son as derivadas parciais do campo escalar, isto é: ∇ f ( r )
( ∂ f ( r ) ∂ x 1, …, ∂ f ( r ) ∂ x n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {r} )
\left({\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x_{1}}}, \dots, {\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x_{n}}}\right)} Esta definición baséase en que o gradiente permite calcular facilmente as derivadas direccionais. Definindo en primeiro lugar a derivada direccional segundo un vector: ∂ ϕ ∂ n ≡ lim ϵ → 0 ϕ ( r − ϵ n ^ ) − ϕ ( r ) ϵ {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}\equiv \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\phi (\mathbf {r} -\epsilon {\hat {\mathbf {n} }})-\phi (\mathbf {r} )}{\epsilon }}} Unha forma equivalente de definir o gradiente é como o único vector que, multiplicado polo vector unitario, dá a derivada direccional do campo escalar: ∂ ϕ ∂ n
n ⋅ ∇ ϕ {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}
\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\phi } Coa definición anterior, o gradiente está caracterizado de forma unívoca. O gradiente exprésase alternativamente mediante o uso do operador nabla, é dicir: g r a d ϕ
∇ ϕ {\displaystyle {\rm {grad}}\ \phi
\nabla \phi } Interpretación do gradiente
De forma xeométrica o gradiente é un vector normal a unha superficie ou curva do espazo que se está a estudar, nun punto calquera, chámese (x, y), (x, y, z), (tempo, temperatura) etcétera. Algúns exemplos son: Consideramos unha habitación na cal a temperatura defínese a través dun campo escalar, de tal maneira que en calquera punto ( x, y, z ) {\displaystyle (x, y, z)\, \! }, a temperatura é ϕ ( x, y, z ) {\displaystyle \phi (x, y, z)\, \! }. Asumiremos que a temperatura non varía con respecto ao tempo. Sendo isto así, para cada punto da habitación, o gradiente nese punto daranos a dirección na cal a temperatura aumenta máis. A magnitude do gradiente diranos a rapidez coa que se eleva a temperatura nesa dirección.
Consideramos unha montaña na cal a altura nun punto (x, y) se define como H(x, y). O gradiente de H nese punto atópase orientado na dirección cara á que hai un maior grao de inclinación. A magnitude do gradiente diranos o empinada que se encontra a pendente. Propiedades
É ortogonal ás superficies equiescalares, definidas por ϕ {\displaystyle \phi \, \! } cte.
Apunta no sentido en que a derivada direccional é máxima.
O seu módulo é igual a esta derivada direccional máxima.
Anúlase nos puntos estacionarios (máximos, mínimos e puntos cadeira).
O campo formado polo gradiente en cada punto é sempre irrotacional, isto é, ∇ × ( ∇ ϕ ) ≡ 0 → {\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )\equiv {\vec {0}}} Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
A partir da súa definición pode calcularse a súa expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, a súa expresión é simplemente ∇ ϕ
∂ ϕ ∂ x x ^ + ∂ ϕ ∂ y y ^ + ∂ ϕ ∂ z z ^ {\displaystyle \nabla \phi
{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}} Nun sistema de coordenadas ortogonais, o gradiente require os factores de escala, mediante a expresión ∇ ϕ
1 h 1 ∂ ϕ ∂ q 1 q ^ 1 + 1 h 2 ∂ ϕ ∂ q 2 q ^ 2 + 1 h 3 ∂ ϕ ∂ q 3 q ^ 3 {\displaystyle \nabla \phi
{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{1}}}{\hat {q}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{2}}}{\hat {q}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{3}}}{\hat {q}}_{3}} Para coordenadas cilíndricas ( h ρ
h z
1 {\displaystyle h_{\rho }
h_{z}
1}, h φ
ρ {\displaystyle h_{\varphi }
\rho } ) resulta ∇ ϕ
∂ ϕ ∂ ρ ρ ^ + 1 ρ ∂ ϕ ∂ φ φ ^ + ∂ ϕ ∂ z z ^ {\displaystyle \nabla \phi
{\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}} e para coordenadas esféricas ( h r
1 {\displaystyle h_{r}
1}, h θ
r {\displaystyle h_{\theta }
r}, h φ
r s e n θ {\displaystyle h_{\varphi }
r{\rm {sen}}\theta } ) ∇ ϕ
∂ ϕ ∂ r r ^ + 1 r ∂ ϕ ∂ θ θ ^ + 1 r s e n θ ∂ ϕ ∂ φ φ ^ {\displaystyle \nabla \phi
{\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\, {\rm {sen}}\, \theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}} Nun sistema de coordenadas curvilíneo xeral o gradiente ten a forma: ∇ ϕ
g i j ∂ ϕ ∂ x i e ^ j {\displaystyle \nabla \phi
g^{ij}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{i}}}{\hat {e}}_{j}} onde na expresión anterior se usou o convenio de sumación de Einstein. Gradiente dun campo vectorial
Nun espazo euclídeo tridimensional, o concepto de gradiente tamén pode estenderse ao caso dun campo vectorial, sendo o gradiente de F {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} } un tensor que dá o diferencial do campo ao realizar un desprazamento: d F d r ( v ):
lim v → 0 F ( r + v ) − F ( r ) ‖ v ‖
( ∇ F ) ⋅ v {\displaystyle {\frac {d\mathbf {F} }{d\mathbf {r} }}(\mathbf {v} ):
\lim _{\mathbf {v} \to 0}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} +\mathbf {v} )-\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{\|\mathbf {v} \|}}
(\nabla \mathbf {F} )\cdot \mathbf {v} } Fixada unha base vectorial, este tensor poderá ser representado por unha matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada polas tres derivadas parciais das tres compoñentes do campo vectorial. O gradiente de deformación estará ben definido só se o límite anterior existe para todo v {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} } e é unha función continua de dito vector.
Tecnicamente o gradiente de deformación non é outra cousa que a aplicación linear da que a matriz xacobiana é a súa expresión explícita en coordenadas. Exemplo
Dada a función f ( x, y, z )
2 x + 3 y 2 − sin ⁡ ( z ) {\displaystyle f(x, y, z)
2x+3y^{2}-\sin(z)}, o seu vector gradiente é: ∇ f
( ∂ f ∂ x, ∂ f ∂ y, ∂ f ∂ z )
( 2, 6 y, − cos ⁡ ( z ) ). {\displaystyle \nabla f
{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}, {\frac {\partial f}{\partial y}}, {\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}{2}, {6y}, {-\cos(z)}\end{pmatrix}}. } Aplicacións
Aproximación linear dunha función
O gradiente dunha función f {\displaystyle f} definida de Rn → R caracteriza a mellor aproximación linear da función nun punto particular x 0 {\displaystyle x_{0}} en Rn.
Exprésase así: g ( x )
f ( x 0 ) + ( ∇ x f ( x 0 ) ) T ( x − x 0 ) {\displaystyle g(x)
f(x_{0})+(\nabla _{x}f(x_{0}))^{T}(x-x_{0})} onde ∇ x f ( x 0 ) {\displaystyle \nabla _{x}f(x_{0})} é o gradiente fixado en x 0 {\displaystyle x_{0}}
Aplicacións en física
A interpretación física do gradiente é a comentada: mide a rapidez de variación dunha magnitude física ao desprazarse unha certa distancia. Un gradiente alto significa que dun punto a outro próximo, a magnitude pode presentar variacións importantes (aquí enténdese por gradiente alto un cun módulo elevado). Un gradiente dunha magnitude pequeno ou nulo implica que dita magnitude apenas varía dun punto a outro.
O gradiente dunha magnitude física posúe innumerables aplicacións en física, especialmente en electromagnetismo e mecánica de fluídos. En particular, existen moitos campos vectoriais que poden escribirse como o gradiente dun potencial escalar. Un deles é o campo electrostático, que deriva do potencial eléctrico: E
− ∇ ϕ {\displaystyle \mathbf {E}
-{\boldsymbol {\nabla }}\phi } Todo campo que poida escribirse como o gradiente dun campo escalar, denomínase potencial, conservativo ou irrotacional. Así, unha forza conservativa deriva da enerxía potencial como: F
− ∇ V {\displaystyle \mathbf {F}
-{\boldsymbol {\nabla }}V} Os gradientes tamén aparecen nos procesos de difusión que verifican a lei de Fick ou a lei de Fourier para a temperatura. Así, por exemplo, o fluxo de calor nun material é directamente proporcional ao gradiente de temperaturas q
− k ∇ T {\displaystyle \mathbf {q}
-k{\boldsymbol {\nabla }}T} sendo k {\displaystyle \scriptstyle k} a condutividade térmica.