Coseno

En trigonometría o coseno dun ángulo (abreviado cos) é a función dun ángulo que relaciona o valor do cateto contiguo ó ángulo co da hipotenusa. Expresado a través dun triángulo rectángulo, o coseno é a razón entre o cateto contiguo e a hipotenusa dese triángulo: cos ⁡ ( α )
b c {\displaystyle \cos(\alpha )
{\frac {b}{c}}} Ou tamén como a ordenada correspondente a un punto que pertence a unha circunferencia unitaria centrada na orixe (c
1): cos ⁡ ( α )
b {\displaystyle \cos(\alpha )
b\, } O coseno é unha función par, é dicir: cos ⁡ ( − x )
cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(-x) \cos(x)}.
O coseno é unha función periódica de período 2 π {\displaystyle 2\pi }, cos ⁡ α
cos ( α + 2 k π ), k ∈ Z {\displaystyle \cos \alpha
\cos \; (\alpha +2k\pi ), \; \; k\in \mathbb {Z} } Fórmulas con utilidade
Lei dos cosenos
A lei dos cosenos é útil para calcular a lonxitude dun lado descoñecido se se coñecen outros dous lados e un ángulo.
Dado un triángulo A B C {\displaystyle ABC} con lados a {\displaystyle a}, b {\displaystyle b} e c {\displaystyle c}, e os ángulos opostos a eses lados α {\displaystyle \alpha }, β {\displaystyle \beta } e γ {\displaystyle \gamma }, a lei estabelece que: a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ )
c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )
c^{2}}.
No caso en que γ
π / 2 {\displaystyle \gamma
\pi /2} e por tanto cos ⁡ ( γ )
0 {\displaystyle \cos(\gamma )
0}, a ecuación resultante convértese no teorema de Pitágoras.
Produto escalar
O produto escalar é unha ​​operación sobre dous vectores no espazo euclidiano. A función coseno pódese definir en termos do produto escalar. Se a {\displaystyle \mathbb {a} } e b {\displaystyle \mathbb {b} } son vectores e θ {\displaystyle \theta } é o ángulo entre a {\displaystyle \mathbb {a} } e b {\displaystyle \mathbb {b} }, entón o coseno pódese definir como: cos ⁡ ( θ )
a ⋅ b | a | | b | {\displaystyle \cos(\theta )
{\frac {\mathbb {a} \cdot \mathbb {b} }{|a||b|}}}. Función inversa
A función inversa do coseno é arcocoseno ou coseno inverso, denotada como "arccos", "acos" ou cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}}, onde o superíndice de −1 en cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} denota a inversa dunha función, en lugar da exponenciación. Como a función coseno non é inxectiva, a súa inversa non é unha función inversa exacta, senón unha función inversa parcial. Por exemplo, cos ⁡ ( 0 )
1 {\displaystyle \cos(0)
1}, pero tamén cos ⁡ ( 2 π )
1 {\displaystyle \cos(2\pi )
1}, cos ⁡ ( 4 π )
1 {\displaystyle \cos(4\pi )
1}, etc. De aquí dedúcese que a función arcocoseno ten varios valores: arccos ⁡ ( 1 )
0 {\displaystyle \arccos(1)
0}, pero tamén arccos ⁡ ( 1 )
2 π {\displaystyle \arccos(1)
2\pi }, arccos ⁡ ( 1 )
4 π {\displaystyle \arccos(1)
4\pi }, etc. Cando só se desexa un valor, a función pode restrinxirse á súa rama principal. Con esta restrición, para cada x {\displaystyle x} do dominio, a expresión arccos ⁡ ( x ) {\displaystyle \arccos(x)} avaliarase só a un único valor, chamado o seu valor principal. O intervalo estándar de valores principais para arccos é de 0 {\textstyle 0} ata π {\textstyle \pi }. Identidades importantes relacionadas co coseno
Segundo o teorema de Pitágoras, a hipotenusa ao cadrado é a suma de dous catetos cadrados dun triángulo rectángulo.
Dividindo a fórmula en ambos os lados coa hipotenusa ao cadrado resulta na identidade trigonométrica pitagórica, a suma dun seno ao cadrado e un coseno cadrado é igual a 1: sin 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ )
1. {\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )
1. } Ambas as funcións seno e coseno son similares, sendo a súa diferenza desprazada por π 2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}}. Isto exprésase do seguinte xeito, sin ⁡ ( θ )
cos ⁡ ( π 2 − θ ), cos ⁡ ( θ )
sin ⁡ ( π 2 − θ ). {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&
\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right), \\\cos(\theta )&
\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right). \end{aligned}}} O seno e o coseno satisfán as seguintes fórmulas de ángulo duplo sin ⁡ ( 2 θ )
2 sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ), cos ⁡ ( 2 θ )
cos 2 ⁡ ( θ ) − sin 2 ⁡ ( θ )
2 cos 2 ⁡ ( θ ) − 1
1 − 2 sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&
2\sin(\theta )\cos(\theta ), \\\cos(2\theta )&
\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&
2\cos ^{2}(\theta )-1\\&
1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}} Tanto o seno como o coseno pódense estender aínda máis mediante os números complexos. Para o número real θ {\displaystyle \theta }, a definición das funcións seno e coseno pódese ampliar nun plano complexo en termos dunha función exponencial do seguinte xeito: sin ⁡ ( θ )
e i θ − e − i θ 2 i, cos ⁡ ( θ )
e i θ + e − i θ 2, {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&
{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}, \\\cos(\theta )&
{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}, \end{aligned}}}.
Alternativamente, ambas as funcións pódense definir en termos da fórmula de Euler: e i θ
cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ), e − i θ
cos ⁡ ( θ ) − i sin ⁡ ( θ ). {\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&
\cos(\theta )+i\sin(\theta ), \\e^{-i\theta }&
\cos(\theta )-i\sin(\theta ). \end{aligned}}} Isto tamén se coñece como a función cis.
A función tanxente está dada por tan ⁡ ( x )
sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(x)
{\dfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}}.
O seno e o coseno úsanse para conectar as partes real e imaxinaria dun número complexo coas súas coordenadas polares ( r, θ ) {\displaystyle (r, \theta )}: z
r ( cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) ), {\displaystyle z
r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )), }.
As funcións seno e coseno son infinitamente diferenciábeis. A derivada do seno é o coseno, e a derivada do coseno é menos o seno: d d x sin ⁡ ( x )
cos ⁡ ( x ), d d x cos ⁡ ( x )
− sin ⁡ ( x ). {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)
\cos(x), \qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)
-\sin(x). } A súa área baixo unha curva pódese obter usando a integral cun determinado intervalo limitado. As súas antiderivadas son: ∫ cos ⁡ ( x ) d x
sin ⁡ ( x ) + C, ∫ sin ⁡ ( x ) d x
− cos ⁡ ( x ) + C. {\displaystyle \int \cos(x)\, dx
\sin(x)+C, \qquad \int \sin(x)\, dx
-\cos(x)+C. } Series
Pódese empregar a teoría da serie de Taylor para mostrar que as seguintes identidades cúmprense para todos os números reais x {\displaystyle x}, onde x {\displaystyle x} é o ángulo en radiáns. cos ⁡ ( x )
1 − x 22! + x 44! − x 66! + ⋯
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n )! x 2 n. {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&
1-{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{4}}{4! }}-{\frac {x^{6}}{6! }}+\cdots \\&
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)! }}x^{2n}. \end{aligned}}} As funcións seno e coseno con múltiples ángulos poden aparecer como unha combinación linear, dando como resultado un polinomio. Este polinomio coñécese como polinomio trigonométrico. As amplas aplicacións do polinomio trigonométrico pódense ver por exemplo na serie de Fourier. Sexan a n {\displaystyle a_{n}} e b n {\displaystyle b_{n}} calquera coeficiente, entón o polinomio trigonométrico de grao N {\displaystyle N}, denotado como T ( x ) {\displaystyle T(x)}, é definido como: T ( x )
a 0 + ∑ n
1 N a n cos ⁡ ( n x ) + ∑ n
1 N b n sin ⁡ ( n x ). {\displaystyle T(x)
a_{0}+\sum _{n
1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n
1}^{N}b_{n}\sin(nx). }