Mediana (cálculo)

Na estatística, a mediana é unha medida de posición que representa o valor central da variable nun conxunto de datos ordenados. Cálculo
Existen dous métodos para o cálculo da mediana, considerando os datos en forma individual, sen agrupalos ou empregando o datos agrupados en intervalos de clase.
Datos sen agrupar
Sexan x 1, x 2, x 3, …, x n {\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}} os datos dunha mostra ordenada en orde creciente e designando a mediana como M e {\displaystyle M_{e}}, distínguense dous casos: Se n é impar, a mediana é o valor que ocupa a posición ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle (n+1)/2} porque este é o valor central. É dicir: M e
x ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle M_{e}
x_{(n+1)/2}}.
Por exemplo, se temos cinco datos que ordenados son x 1
3 {\displaystyle x_{1}
3}, x 2
6 {\displaystyle x_{2}
6}, x 3
7 {\displaystyle x_{3}
7}, x 4
8 {\displaystyle x_{4}
8}, x 5
9 {\displaystyle x_{5}
9}, o valor central é o terceiro, x ( 5 + 1 ) / 2
x 3
7 {\displaystyle x_{(5+1)/2}
x_{3}
7}. Este valor deixa dous datos por baixo del ( x 1 {\displaystyle x_{1}}, x 2 {\displaystyle x_{2}} ) e outros dous por riba ( x 4 {\displaystyle x_{4}}, x 5 {\displaystyle x_{5}} ). Se n é par, a mediana é a media aritmética dos dous valores centrais. Cando n {\displaystyle n} é par, os dous datos que están no centro da mostral ocupan as posicións n / 2 {\displaystyle n/2} e n / 2 + 1 {\displaystyle n/2+1}. É dicir: M e
( x n 2 + x n 2 + 1 ) / 2 {\displaystyle M_{e}
(x_{\frac {n}{2}}+x_{{\frac {n}{2}}+1})/2}.
Por exemplo, se temos seis datos que ordenados son x 1
3 {\displaystyle x_{1}
3}, x 2
6 {\displaystyle x_{2}
6}, x 3
7 {\displaystyle x_{3}
7}, x 4
8 {\displaystyle x_{4}
8}, x 5
9 {\displaystyle x_{5}
9}, x 6
10 {\displaystyle x_{6}
10}
> Hai dous valores que están por baixo do x 62
x 3
7 {\displaystyle x_{\frac {6}{2}}
x_{3}
7} e outros dous que quedan por riba do seguinte dato x 62 + 1
x 4
8 {\displaystyle x_{{\frac {6}{2}}+1}
x_{4}
8}. Polo tanto, a mediana deste grupo de datos é a media aritmética destes dous datos: M e
x 3 + x 42
7 + 82
7, 5 {\displaystyle M_{e}
{\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}
{\frac {7+8}{2}} 7, 5}.
Datos agrupados
Ao tratar con datos agrupados, se n 2 {\displaystyle {\frac {n}{2}}} coincide co valor dunha frecuencia acumulada o valor da mediana coincidirá coa abscisa correspondente.
Se non coincide co valor de ningunha abscisa calcúlase a través da semellanza de triángulos no histograma ou no polígono de frecuencias acumuladas, utilizando a seguinte equivalencia: N i − N i − 1 a i − a i − 1
n 2 − N i − 1 p ⇒ p
n 2 − N i − 1 N i − N i − 1 ( a i − a i − 1 ) {\displaystyle {\frac {N_{i}-N_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}
{\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{p}}\Rightarrow p
{\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{N_{i}-N_{i-1}}}(a_{i}-a_{i-1})} onde N i {\displaystyle N_{i}} y N i − 1 {\displaystyle N_{i-1}} son as frecuencias absolutas acumuladas tales que N i − 1 < n 2 < N i {\displaystyle N_{i-1}<{\frac {n}{2}}<N_{i}}, a i − 1 {\displaystyle a_{i-1}} y a i {\displaystyle a_{i}} son os extremos, interior e exterior, do intervalo onde se alcanza a mediana e M e
a i − 1 + p {\displaystyle M_{e}
a_{i-1}+p} é a abscisa que hai que calcular, a mediana.
Obsérvase que a i − a i − 1 {\displaystyle a_{i}-a_{i-1}} é a lonxitude dos intervalos seleccionados para o diagrama.
Exemplo para datos agrupados
Entre 1. 50 e 1. 60 hai 2 estudantes.
Entre 1. 60 e 1. 70 hai 5 estudantes.
Entre 1. 70 e 1. 80 hai 3 estudantes. M e d i a n a
1. 60 + ( ( 10 / 2 ) − 25 ) 0. 1
1. 66 {\displaystyle Mediana
1. 60+\left({\frac {(10/2)-2}{5}}\right)0. 1
1. 66} Método de cálculo xeral
Entón: M e d i a n a
x i 1 + ( ( N M / 2 ) − N i − 1 f i ). ( x i 2 − x i 1 ) {\displaystyle Mediana
x_{i1}+\left({\cfrac {(N_{M}/2)-N_{i-1}}{f_{i}}}\right). (x_{i2}-x_{i1})}