Función inversa

En matemáticas, a función inversa dunha función f (ou simplemente inversa de f ) é unha función que desfai a operación de f. A inversa de f existe se e só se f é bixectiva, e se existe, denotase por f − 1. {\displaystyle f^{-1}. } Para unha función f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y}, a súa inversa f − 1: Y → X {\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X} admite unha descrición explícita: envía cada elemento y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} ao elemento único x ∈ X {\displaystyle x\in X} tal que f(x) y.
Como exemplo, considere a función con valores reais dunha variable real dada por f(x)
5x − 7. Para desfacer isto, temos a inversa de f, que sería a función f − 1: R → R {\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } definida por f − 1 ( y )
y + 75. {\displaystyle f^{-1}(y) {\frac {y+7}{5}}. } Definicións
Sexa f unha función cuxo dominio é o conxunto X e cuxo codominio é o conxunto Y Entón f é invertible se existe unha función g de Y a X tal que g ( f ( x ) )
x {\displaystyle g(f(x))
x} para todos os x ∈ X {\displaystyle x\in X} e f ( g ( y ) )
y {\displaystyle f(g(y))
y} para todos os y ∈ Y {\displaystyle y\in Y}.
Se f é invertible, entón hai exactamente unha función g que satisfai esta propiedade.
A función f é invertible se e só se é bixectiva. Isto é porque a condición g ( f ( x ) )
x {\displaystyle g(f(x))
x} para todos os x ∈ X {\displaystyle x\in X} implica que f é Inxectiva e a condición f ( g ( y ) )
y {\displaystyle f(g(y))
y} para todos os y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} implica que f é sobrexectiva.
Inversas e composición
Lembre que se f é unha función invertible con dominio X e codominio Y, entón f − 1 ( f ( x ) )
x {\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)
x}, para cada x ∈ X {\displaystyle x\in X} e f ( f − 1 ( y ) )
y {\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)
y} para cada y ∈ Y {\displaystyle y\in Y}.
Usando a composición de funcións, esta afirmación pódese reescribir coas seguintes ecuacións entre funcións: f − 1 ∘ f
id X {\displaystyle f^{-1}\circ f
\operatorname {id} _{X}} e f ∘ f − 1
id Y, {\displaystyle f\circ f^{-1}
\operatorname {id} _{Y}, } onde idX é a función de identidade no conxunto X; é dicir, a función que deixa o seu argumento sen mudar. Na teoría de categorías, esta afirmación úsase como definición dun morfismo inverso.
Notación
Hai que ter coidado coa confusión na notación entre a función inversa e o inverso multiplicativo. Moitas veces o recíproco ou inverso multiplicativo usa a mesma nomenclatura e temos que prestar atención á notación.
Un exemplo típico é sin−1(x) que denota a función inversa do seno que sería o arco cuxo seno é x que denotamos tamén como arcsin(x). Isto sería diferente ao recíproco do seno ( sin ⁡ x ) − 1
1 sin ⁡ ( x ). {\displaystyle (\sin {x})^{-1}
{\dfrac {1}{\sin(x)}}. } Para outras funcións debemos ter o mesmo coidado, como no exemplo da introdución temos f ( x )
5 x + 7, por exemplo f ( 3 )
5 ⋅ 3 + 7
22. f − 1 ( x )
x − 75, aquí f ( 22 )
( 22 − 7 ) / 5
3. ( f ( x ) ) − 1
15 x + 7, o recíproco ou multiplicativo inverso ( f ( 3 ) ) − 1
122 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)
5x+7, {\text{ por exemplo }}f(3)
5\cdot 3+7
22. \\f^{-1}(x)
{\dfrac {x-7}{5}}, {\text{ aquí }}f(22)
(22-7)/5
3. \\(f(x))^{-1}
{\dfrac {1}{5x+7}}, {\text{ o recíproco ou multiplicativo inverso }}(f(3))^{-1}
{\dfrac {1}{22}}\end{aligned}}}. Exemplos
Funcións do cadrado e da raíz cadrada
A función f: R → [0, ∞) dada por f(x)
x2 non é inxectiva porque ( − x ) 2
x 2 {\displaystyle (-x)^{2} x^{2}} para tódolos x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }. Polo tanto, f non é invertible se consideramos o dominio completo.
Se o dominio da función restrinxímolo aos reais non negativos, é dicir, tomamos a función f: [ 0, ∞ ) → [ 0, ∞ ); x ↦ x 2 {\displaystyle f\colon [0, \infty )\to [0, \infty ); \ x\mapsto x^{2}} coa mesma regra que antes, entón a función é bixectiva e, polo tanto, invertible. A función inversa aquí denomínase función raíz cadrada (positiva) e denotase por x ↦ x {\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}.
Funcións inversas estándar
A seguinte táboa mostra varias funcións estándar e as súas inversas: Propiedades
Unicidade
Se existe unha función inversa para unha función f dada, entón é única.
Simetría
Hai unha simetría entre unha función e a súa inversa. En concreto, se f é unha función invertible con dominio X e codominio Y, entón a súa inversa f −1 ten dominio Y e imaxe X, e a inversa de f −1 é a función orixinal f.
Esta afirmación é consecuencia da implicación de que para que f sexa invertible debe ser bixectiva. ( f − 1 ) − 1
f. {\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}
f. } A inversa dunha composición de funcións vén dada por ( g ∘ f ) − 1
f − 1 ∘ g − 1. {\displaystyle (g\circ f)^{-1}
f^{-1}\circ g^{-1}. } Observe que a orde de g e f foron invertidas; para desfacer f seguido de g, primeiro debemos desfacer g, e despois desfacer f.
Por exemplo, sexa f(x)
3x e sexa g(x)
x + 5. Entón a composición g ∘ f é a función que primeiro multiplica por tres e despois suma cinco, ( g ∘ f ) ( x )
3 x + 5. {\displaystyle (g\circ f)(x)
3x+5. } Para inverter este proceso, primeiro debemos restar cinco e despois dividir entre tres, ( g ∘ f ) − 1 ( x )
13 ( x − 5 ). {\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)
{\tfrac {1}{3}}(x-5). } Esta é a composición (f −1 ∘ g −1)(x).
Autoinversas
Se X é un conxunto, entón a función de identidade en X é a súa propia inversa: id X − 1
id X. {\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}
\operatorname {id} _{X}. } Máis xeralmente, unha función f: X → X é igual á súa propia inversa, se e só se a composición f ∘ f é igual a idX. Tal función chámase involución.
Gráfica da inversa
Se f é invertible, entón a gráfica da función y
f − 1 ( x ) {\displaystyle y
f^{-1}(x)} é a mesma que a gráfica da ecuación x
f ( y ). {\displaystyle x
f(y). }
Inversas e derivadas
O teorema da función inversa afirma que unha función continua f é invertible no seu rango (imaxe) se e só se é estritamente crecente ou decrecente (sen máximos ou mínimos locais). Por exemplo, a función f ( x )
x 3 + x {\displaystyle f(x)
x^{3}+x} é invertible, xa que a derivada f′(x) 3x2 + 1 é sempre positiva.
Se a función f é derivable nun intervalo I e f′(x) ≠ 0 para cada x ∈ I, entón a inversa f −1 é derivable en f(I). Se y
f(x), a derivada da inversa vén dada polo teorema da función inversa, ( f − 1 ) ′ ( y )
1 f ′ ( x ). {\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)
{\frac {1}{f'\left(x\right)}}. } Usando a notación de Leibniz a fórmula anterior pódese escribir como d x d y
1 d y / d x. {\displaystyle {\frac {dx}{dy}} {\frac {1}{dy/dx}}. } Este resultado despréndese da regra da cadea da diferenciación.
O teorema da función inversa pódese xeneralizar a funcións de varias variables. En concreto, unha función multivariable diferenciable f: Rn → Rn é invertible nunha veciñanza dun punto p sempre que a matriz xacobiana de f en p sexa invertible. Neste caso, o xacobiano de f −1 en f(p) é a matriz inversa do xacobiano de f en p. Xeneralizacións
Inversas parciais
Aínda que unha función f non sexa un a un (inxectiva), pode ser posíbel definir unha inversa parcial de f mediante unha restricción do dominio. Por exemplo, a función f ( x )
x 2 {\displaystyle f(x)
x^{2}} non é un a un, xa que x2
(−x)2. No entanto, a función pasa a ser un a un se restrinximos ao dominio x ≥ 0, nese caso f − 1 ( y )
y. {\displaystyle f^{-1}(y)
{\sqrt {y}}. } (Se en troques restrinximos ao dominio x ≤ 0, entón o inverso é o negativo da raíz cadrada de y). Alternativamente, non hai que restrinxir o dominio se nos conformamos con que a inversa sexa unha función multivalor: f − 1 ( y )
± y. {\displaystyle f^{-1}(y) \pm {\sqrt {y}}. } Ás veces, este inverso multivalor chámase inverso completo de f, e as porcións (como √x e −√ x) chámanse ramas. A rama máis importante dunha función multivalor (por exemplo, a raíz cadrada positiva) chámase rama principal, e o seu valor en y chámase valor principal de f −1(y).
Para unha función continua na liña real, é necesaria unha rama entre cada par de extremos locais. Por exemplo, a inversa dunha función cúbica cun máximo local e un mínimo local ten tres ramas (ver a imaxe adxacente). Estas consideracións son particularmente importantes para definir as inversas das funcións trigonométricas. Por exemplo, a función seno non é un a un, xa que sin ⁡ ( x + 2 π )
sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x+2\pi )
\sin(x)} para cada x real (e máis xeralmente sin(x + 2πn) sin(x) para cada número enteiro n). Non obstante, o seno é un a un no intervalo
[π/2, π/2], e a inversa parcial correspondente chámase arcoseno. Esta é considerada a rama principal do seno inverso, polo que o valor principal do seno inverso está sempre entre −π/2 e π/2. A seguinte táboa describe a rama principal de cada función trigonométrica inversa:
Inversos pola esquerda e pola dereita
A composición de funcións pola esquerda e pola dereita poden non coincidir. En xeral, as condicións "Existe g tal que g(f(x)) x" e
"Existe g tal que f(g(x)) x"
implica propiedades diferentes de f. Por exemplo, denotamos f: R → [0, ∞) o mapa de cadrados, de tal xeito que f ( x )
x 2 {\displaystyle f(x)
x^{2}} para todos os x en R, e denotamos g: [0, ∞) → R como o mapa da raíz cadrada, tal que g ( x )
x {\displaystyle g(x)
{\sqrt {x}}} para todos os x ≥ 0. Entón f(g(x))
x para todos os x en [ 0, ∞); é dicir, g é unha inversa pola dereita de f. No entanto, g non é unha inversa pola esquerda de f, xa que, por exemplo, g(f(−1))
1 ≠ −1.
Inversos pola esquerda
Se f: X → Y, temos que unha inversa pola esquerda para f (ou retracción de f ) é unha función g: Y → X de tal xeito que compoñer f con g desde a esquerda dá a función identidade: g ∘ f
id X. {\displaystyle g\circ f
\operatorname {id} _{X}. } Isto é, a función g cumpre a regra Se f(x)
y, entón g(y)
x.
A función g debe ser igual á inversa de f na imaxe de f, mais pode tomar calquera valor para elementos de Y que non sexan a imaxe.
Unha función f con dominio non baleiro é inxectiva se e só se ten unha inversa pola esquerda.
En matemáticas clásicas, toda función inxectiva f cun dominio non baleiro ten necesariamente unha inversa pola esquerda; porén, isto pode fallar nas matemáticas construtivas.
Inversas pola dereita
Unha inversa pola dereita para f (ou sección de f ) é unha función h: Y → X tal que f ∘ h
id Y. {\displaystyle f\circ h
\operatorname {id} _{Y}. } É dicir, a función h cumpre a regra Se h ( y )
x {\displaystyle \displaystyle h(y)
x}, entón f ( x )
y. {\displaystyle \displaystyle f(x)
y. } Así, h(y) pode ser calquera dos elementos de X que se asigna a y baixo f.
Unha función f ten unha inversa pola dereita se e só se é sobrexectiva (aínda que construír tal inversa en xeral require o axioma da escolla). Se h é a inversa pola dereita de f, entón f é sobrexectiva. Para todo y ∈ Y {\displaystyle y\in Y}, hai x
h ( y ) {\displaystyle x
h(y)} tal que f ( x )
f ( h ( y ) )
y {\displaystyle f(x)
f(h(y))
y}.
Se f é sobrexectiva, f ten unha inversa pola dereita h, que se pode construír do seguinte xeito: para todo y ∈ Y {\displaystyle y\in Y}, hai polo menos un x ∈ X {\displaystyle x\in X} tal que f ( x )
y {\displaystyle f(x)
y} (porque f é sobrexectiva), polo que escollemos un deles para ser o valor de h(y).
Inversas bilaterais
Unha inversa que sexa á vez pola esquerda e pola dereita (unha inversa bilateral), se existe, debe ser única. De feito, se unha función ten unha inversa pola esquerda e outra pola dereita, ambas son a mesma inversa a dúas caras, polo que se pod chamar simplemente inversa. Se g {\displaystyle g} é unha inversa pola esquerda e h {\displaystyle h} unha inversa pola dereita de f {\displaystyle f}, para todo y ∈ Y {\displaystyle y\in Y}, g ( y )
g ( f ( h ( y ) )
h ( y ) {\displaystyle g(y)
g(f(h(y))
h(y)}.
Unha función ten unha inversabilateral se e só se é bixectiva.
Preimaxes
Se f: X → Y é calquera función (non necesariamente invertíbel), a preimaxe (ou a imaxe inversa) dun elemento y ∈ Y defínese como o conxunto de todos os elementos de X que se asignan a y: f − 1 ( { y } )
{ x ∈ X: f ( x )
y }. {\displaystyle f^{-1}(\{y\})
\left\{x\in X: f(x)
y\right\}. } A preimaxe de y pódese pensar como a imaxe de y baixo o inverso completo (multivalor) da función f.
Do mesmo xeito, se S é calquera subconxunto de Y, a preimaxe de S, denotada como f − 1 ( S ) {\displaystyle f^{-1}(S)}, é o conxunto de todos os elementos de X que se asignan a S: f − 1 ( S )
{ x ∈ X: f ( x ) ∈ S }. {\displaystyle f^{-1}(S)
\left\{x\in X: f(x)\in S\right\}. } Por exemplo, tome a función f: R → R; x ↦ x2. Esta función non é invertíbel xa que non é bixectiva, mais pódense definir preimaxes para subconxuntos do codominio, por exemplo. f − 1 ( { 1, 4, 9, 16 } )
{ − 4, − 3, − 2, − 1, 1, 2, 3, 4 } {\displaystyle f^{-1}(\left\{1, 4, 9, 16\right\})
\left\{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\right\}}.
A preimaxe dun só elemento y ∈ Y (un conxunto unitario {y} ), ás veces chámase fibra de y. Cando Y é o conxunto de números reais, é común referirse a f −1({y}) como un conxunto de nivel.