Base (álxebra linear)

Na álxebra linear, unha base é un conxunto B {\displaystyle {\mathcal {B}}} do espazo vectorial V {\displaystyle V} se se cumpren as seguintes condicións: Todos os elementos de B {\displaystyle {\mathcal {B}}} pertencen ao espazo vectorial V {\displaystyle V}.
Os elementos de B {\displaystyle {\mathcal {B}}} forman un sistema linearmente independente.
Todo elemento de V {\displaystyle V} pode escribirse como combinación linear dos elementos da base B {\displaystyle {\mathcal {B}}} (é dicir, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} é un sistema xerador de V {\displaystyle V} ). Lema de Zorn
Mediante o uso do lema de Zorn, é posible probar que todo espazo vectorial posúe unha base. A pesar de que é posible que un espazo vectorial non posúa unha única base, cúmprese que todo par de bases dun mesmo espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade. Por ser así, esa cardinalidade chámase dimensión do espazo vectorial.
Outras propiedades, consecuencias do lema de Zorn: Todo sistema xerador dun espazo vectorial contén unha base vectorial (de Hamel).
Todo conxunto linearmente independente nun espazo vectorial, pode ser estendido a unha base. Observacións
As bases son conxuntos ordenados, é dicir que aínda que { a, b, c } {\displaystyle \{a, b, c\}} e { b, a, c } {\displaystyle \{b, a, c\}} xeran o mesmo espazo vectorial, as bases non son iguais.
Dado un vector v {\displaystyle v} e unha base B {\displaystyle {\mathcal {B}}} dun espazo vectorial V {\displaystyle V}, existe unha única maneira de escribir v {\displaystyle v} como combinación linear dos elementos da base B {\displaystyle {\mathcal {B}}}. É dicir, a representación dun vector nunha base é única.
Da observación anterior despréndese que as bases non son únicas. En xeral, hai infinitas bases distintas para un mesmo espazo vectorial. Por exemplo, se V
R 3 {\displaystyle V
\mathbb {R} ^{3}}, unha base moi simple de V {\displaystyle V} é: B
{ ( 1, 0, 0 ); ( 0, 1, 0 ); ( 0, 0, 1 ) } {\displaystyle {\mathcal {B}}
\{(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)\}} que é coñecida como base canónica de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.
Outras bases de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} son: { B ′
{ ( 2, 0, 0 ); ( 0, 1, 0 ); ( 0, 0, 1 ) } B ″
{ ( 1, 1, 1 ); ( 1, 1, 0 ); ( 1, 0, 0 ) } B ‴
{ ( 504, 0, 0 ); ( 0, 7, 0 ); ( 0, 0, 1 / 2 ) } {\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {B}}'
\{(2, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)\}\\{\mathcal {B}}''
\{(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)\}\\{\mathcal {B}}'''
\{(504, 0, 0); (0, 7, 0); (0, 0, 1/2)\}\end{cases}}} En xeral, toda base de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} estará formada por tres vectores linearmente independentes que pertenzan a R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Cando o espazo vectorial en si mesmo é un conxunto finito entón o número de bases distintas é finito. Se V {\displaystyle V} é un espazo vectorial de dimensión finita, entón todas as bases de V {\displaystyle V} serán finitas e terán a mesma cantidade de elementos.
Non todas as bases teñen un número finito de elementos. Por exemplo, as bases do espazo vectorial dos polinomios dunha variable teñen infinitos elementos. Unha base posible é a formada polas potencias de X {\displaystyle X}: B
{ 1, X, X 2, X 3, … } {\displaystyle {\mathcal {B}}
\{1, X, X^{2}, X^{3}, \dots \}} Espazos de dimensión finita
Un espazo de dimesión finita é todo aquel xerado por un conxunto finito de vectores. Neste caso pode definirse a dimensión do espazo como o cardinal do conxunto de vectores que constitúe a base.
Os subespazos dun espazo vectorial de dimensión finita tamén teñen, polo menos, unha base, de dimensión menor á do espazo no que están contidos. Por exemplo, unha recta homoxénea no plano, é dicir que pasa pola orixe determinado neste, ten dimensión un, por ser a súa base un único vector. Evidentemente, esta dimensión é menor cá do plano na que a recta está contida.
Exemplos de cálculo
Indícase a continuación, a través de exemplos, o procedemento de cálculo da base dun subespazo vectorial dado. Tómese a recta r
{ ( x, y ) ∈ R 2: y
x } {\displaystyle r
\left\{(x, y)\in \mathbb {R} ^{2}: y
x\right\}} no plano cartesiano. Sexa ( a, b ) {\displaystyle (a, b)} un dos seus puntos, cumpre b
a {\displaystyle b
a} por pertencer ao conxunto r {\displaystyle r}. Polo tanto, pode escribirse ( a, b )
( a, a )
a ( 1, 1 ) {\displaystyle (a, b)
(a, a)
a(1, 1)}. Tomando calquera a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } obtéñense todos os puntos da recta, logo r
g e n { ( 1, 1 ) } {\displaystyle r
\mathrm {gen} \{(1, 1)\}}. A recta ten como base o segmento orientado (1, 1), que a «dirixe» a 45° dos eixos cartesianos, caracterizados polos vectores da base canónica. Agora calcúlase a base do plano homoxéneo α
{ ( x, y, z ) ∈ R 3: x + y + z
0 } {\displaystyle \alpha
\left\{(x, y, z)\in \mathbb {R} ^{3}: x+y+z
0\right\}}. Despéxase unha das variables da ecuación do plano en función das outras dúas. z
− x − y {\displaystyle z
-x-y}. Sexa ( a, b, c ) ∈ α ⇒ ( a, b, c )
( a, b, − a − b )
a ( 1, 0, − 1 ) + b ( 0, 1, − 1 ) {\displaystyle (a, b, c)\in \alpha \Rightarrow (a, b, c)
(a, b, -a-b)
a(1, 0, -1)+b(0, 1, -1)} e polo tanto, o conxunto { ( 1, 0, − 1 ), ( 0, 1, − 1 ) } {\displaystyle \left\{(1, 0, -1), (0, 1, -1)\right\}} é unha base deste plano. O procedemento anterior é válido para calquera dimensión. Supóñase dado o subespazo S
{ ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) ∈ R 4: x 1 − x 2
0 ∧ x 1 − x 4
0 ∧ 5 x 1 − 6 x 3 − 5 x 4
0 } {\displaystyle S
\left\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}\: \ x_{1}-x_{2}
0\ \land \ x_{1}-x_{4}
0\ \land \ 5x_{1}-6x_{3}-5x_{4}
0\right\}} neste caso trátase de varias ecuacións, e todo punto pertencente a el debe satisfacelas simultaneamente. Así, obterase a base reducindo as ecuacións a expresións máis simples. A solución do sistema é ( x 1, x 2, x 3, x 4 )
( 1, 1, 0, 1 ) t {\displaystyle (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})
(1, 1, 0, 1)t} e, polo tanto, o conxunto que contén o único vector (1, 1, 0, 1) é a base de S {\displaystyle S}. Aplícase o mesmo a outro tipo de espazos, por exemplo, polinomios de grao 3. Considérese o subespazo P
{ a x 3 + b x 2 + c x + d: a − b
0 ∧ 3 c + d
0 } {\displaystyle P
\{ax^{3}+bx^{2}+cx+d: a-b
0\land 3c+d
0\}}. Exprésanse as ecuacións así { b
a d
− 3 c {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}b&
&a\\d&
&-3c\end{array}}\right. } o que implica que o subespazo está conformado polos polinomios da forma p ( x )
a x 3 + a x 2 + c x − 3 c
a ( x 3 + x 2 ) + c ( x − 3 ) {\displaystyle p(x)
ax^{3}+ax^{2}+cx-3c
a(x^{3}+x^{2})+c(x-3)}. Polo tanto, { x 3 + x 2, x − 3 } {\displaystyle \{x^{3}+x^{2}, x-3\}} é unha base do espazo P {\displaystyle P}. Considérese agora o problema inverso: dada unha base, búscase o espazo que xera. Se por exemplo B
{ ( 1, − 1, 1 ) } {\displaystyle B
\left\{(1, -1, 1)\right\}} é a base dalgún subespazo de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, o obxectivo entón é atopar o conxunto de combinacións lineares g e n ( B )
{ ( 1, − 1, 1 ) t: t ∈ R } {\displaystyle \mathrm {gen} (B)
\{(1, -1, 1)t: t\in \mathbb {R} \}} en forma implícita. Para isto, tómese unha terna ordenada ( x, y, z ) ∈ g e n ( B ) {\displaystyle (x, y, z)\in \mathrm {gen} (B)}. Cúmprese que ( x, y, z )
( 1, − 1, 1 ) t {\displaystyle (x, y, z)
(1, -1, 1)t} o cal é un sistema de ecuacións lineares. Pode eliminarse o parámetro t {\displaystyle t}, para obter g e n ( B )
{ ( x, y, z ) ∈ R 3: x + y
y + z
0 } {\displaystyle \mathrm {gen} (B)
\{(x, y, z)\in \mathbb {R} ^{3}: x+y
y+z
0\}}. Espazos de dimensión infinita
No caso de espazos vectoriais de dimensión infinita, como os que aparecen na análise funcional compre sinalar algunhas distincións.
Bases de Hamel e de Hilbert
Nun espazo vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de estender o concepto de combinación linear finita. Dun lado se se consideran unicamente combinacións lineares finitas chégase ao concepto de base de Hamel ou base linear. Pode probarse que todas as bases de Hamel teñen o mesmo número de elementos; este número ou cardinal chámase dimensión linear ou dimensión de Hamel. Un conxunto constitúe unha base de Hamel se e só se: B H a m: base de Hamel ⇒ {\displaystyle B_{\rm {Ham}}: {\mbox{base de Hamel}}\Rightarrow } ∃ λ i ∈ K ∧ ∃ x i ∈ B H a m: x
∑ i
1 N λ i x i {\displaystyle \exists \lambda _{i}\in \mathbb {K} \quad \land \quad \exists x_{i}\in B_{\rm {Ham}}: \quad x
\sum _{i
1}^{N}\lambda _{i}x_{i}} Nun espazo de dimensión de Hamel finita, pode atoparse só un número finito de vectores ortogonais dous a dous; en cambio, cando a dimensión de Hamel é infinita, poden introducirse nos espazos de Hilbert certas "combinaciones lineares infinitas" en termos de vectores ortogonais. Nun espazo de Hilbert de dimensión infinita dise que un conxunto é unha base de Hilbert ou base ortogonal, se e só se: B H i l: base de Hilbert ⇒ {\displaystyle B_{\rm {Hil}}: {\mbox{base de Hilbert}}\Rightarrow } ∃ λ i ∈ K ∧ ∃ x i ∈ B H i l ∧ ⟨ x i, x j ⟩
0 ( i ≠ j ): x
∑ i
1 ∞ λ i x i {\displaystyle \exists \lambda _{i}\in \mathbb {K} \quad \land \quad \exists x_{i}\in B_{Hil}\quad \land \quad \langle x_{i}, x_{j}\rangle
0(i\neq j): \quad x
\sum _{i
1}^{\infty }\lambda _{i}x_{i}} Novamente sucede que todas as bases ortogonais teñen o mesmo cardinal, polo que se define o concepto de dimensión de Hilbert como o cardinal de calquera base de Hilbert.
Dimensión vectorial
A dimensión dun espazo vectorial defínese como o número de elementos ou cardinal dunha base dese espazo. Dado que para todo espazo de Hilbert de dimensión infinita pode distinguirse entre bases de Hilbert e de Hamel, pódese definir a dimensión vectorial ordinaria e a dimensión vectorial de Hilbert. Tense que para calquera espazo vectorial V {\displaystyle V}, a relación entre dimensión de Hammel e dimensión de Hilbert é: (1) dim H a m ⁡ V ≥ dim H i l ⁡ V {\displaystyle \dim _{\rm {Ham}}V\geq \dim _{\rm {Hil}}V} En espazos de dimensión finita tamén se poden definir as bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonais. De feito, para un espazo de dimensión finita, a dimensión de Hilbert é igual á dimensión de Hamel. En dimensión finita toda base de Hamel é base de Hilbert e viceversa, polo que para un espazo de dimensión finita en (1) dáse sempre a igualdade.