Integral múltiple

Unha integral múltiple é un tipo de integral definida aplicada a funcións de máis dunha variable real, por exemplo, f ( x, y ) {\displaystyle f(x, y)} ou f ( x, y, z ) {\displaystyle f(x, y, z)}. As integrais dunha función en dúas variables nunha rexión en R2 chámanse integrais dobres e as integrais de funcións de tres variables sobre unha rexión de R3 chámanse integrais triplas. Introdución
Da mesma maneira en que a integral dunha función positiva f ( x ) {\displaystyle f(x)} dunha variable definida nun intervalo pode interpretarse como a área entre a gráfica da función e o eixe X nese intervalo, a dobre integral dunha función positiva f ( x, y ) {\displaystyle f(x, y)} de dúas variables, definida nunha rexión do plano XY, pódese interpretar como o volume entre a superficie definida pola función e o plano XY nese intervalo. Ao realizar unha integral tripla dunha función f ( x, y, z ) {\displaystyle f(x, y, z)} definida nunha rexión do espazo XYZ, o resultado é un hipervolume; con todo, é bo notar que se f ( x, y, z )
1 {\displaystyle f(x, y, z)
1} o resultado pódese interpretar como o volume da rexión de integración. Para integrais de ordes superiores, o resultado xeométrico corresponde a hipervolumes de dimensións cada vez superiores.
A maneira máis usual de representar unha integral múltiple é aniñando signos de integración na orde inversa á orde de execución (o de máis á esquerda é o último en ser calculado), seguido da función e os diferenciais en orde de execución. O dominio de integración represéntase sobre cada signo de integral, ou a miúdo abréviase por unha letra no signo de integral de máis á dereita: ∬ … ∫ D f ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n {\displaystyle \iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\; f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\; \mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\! \ldots \mathbf {d} x_{n}} É importante salientar que non é posible calcular a función primitiva ou antiderivada dunha función de máis dunha variable polo que as integrais múltiples indefinidas non existen. Definición
Unha forma sinxela de definir as integrais múliples é mediante a súa representación xeométrica como a magnitude do espazo entre o obxecto definido pola ecuación x n + 1
f ( x 1, .. ., x n ) {\displaystyle x_{n+1}
f(x_{1}, .. ., x_{n})} e unha rexión T {\displaystyle T} no espazo definido polos eixes das variables independentes da función f {\displaystyle f} (se T {\displaystyle T} é unha rexión pechada e limitada e f {\displaystyle f} está definida nesta). Por exemplo, se n
2 {\displaystyle n
2}, o volume situado entre a superficie definida por x 3
f ( x 1, x 2 ) {\displaystyle x_{3}
f(x_{1}, x_{2})} e unha rexión T {\displaystyle T} no plano X 1 X 2 {\displaystyle X_{1}X_{2}} é igual a algunha integral dobre, se é que, como se mencionou, f {\displaystyle f} está definida en T {\displaystyle T}. T {\displaystyle T} pode dividirse nunha partición interior Δ {\displaystyle \Delta } formada por m {\displaystyle m} subrexións rectangulares sen solapamento que estean completamente contidas en T {\displaystyle T}. A norma | | Δ | | {\displaystyle ||\Delta ||} desta partición está dada pola diagonal máis longa nas m {\displaystyle m} subrexións.
Se se toma un punto ( x 1 i, x 2 i, .. ., x n i ) {\displaystyle (x_{1i}, x_{2i}, .. ., x_{ni})} que estea contido dentro da subrexión con dimensións Δ x 1 i Δ x 2 i. .. Δ x n i {\displaystyle \Delta x_{1i}\Delta x_{2i}. .. \Delta x_{ni}} para cada unha das m {\displaystyle m} subrexións da partición, pódese construír un espazo cunha magnitude aproximada á do espazo entre o obxecto definido por x n + 1
f ( x 1, .. ., x n ) {\displaystyle x_{n+1}
f(x_{1}, .. ., x_{n})} e a subrexión i. Este espazo terá unha magnitude de: f ( x 1 i, x 2 i, …, x n i ) Δ A i
f ( x 1 i, x 2 i, …, x n i ) Δ x 1 i Δ x 2 i … Δ x n i {\displaystyle f(x_{1i}, x_{2i}, \ldots, x_{ni})\Delta A_{i}
f(x_{1i}, x_{2i}, \ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}} Entón pódese aproximar a magnitude do espazo enteiro situado entre o obxecto definido pola ecuación x n + 1
f ( x 1, .. ., x n ) {\displaystyle x_{n+1}
f(x_{1}, .. ., x_{n})} e a rexión T {\displaystyle T} mediante a suma de Riemann das magnitudes dos m {\displaystyle m} espazos correspondentes a cada unha das subrexións: ∑ i
1 m f ( x 1 i, x 2 i, …, x n i ) Δ x 1 i Δ x 2 i … Δ x n i {\displaystyle \sum _{i
1}^{m}f(x_{1i}, x_{2i}, \ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}} Esta aproximación mellora a medida que o número m {\displaystyle m} de subrexións se fai maior. Isto suxire que se podería obter a magnitude exacta tomando o límite. Ao aumentar o número de subrexións diminuirá a norma da partición: lim m → ∞ ∑ i
1 m f ( x 1 i, x 2 i, …, x n i ) Δ x 1 i Δ x 2 i … Δ x n i
lim ‖ Δ ‖ → 0 ∑ i
1 m f ( x 1 i, x 2 i, …, x n i ) Δ x 1 i Δ x 2 i … Δ x n i {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\sum _{i
1}^{m}f(x_{1i}, x_{2i}, \ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}
\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i
1}^{m}f(x_{1i}, x_{2i}, \ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}} O significado rigoroso deste último límite é que o límite é igual a L se e só se para todo ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} existe un δ > 0 {\displaystyle \delta >0} tal que | L − ∑ i
1 m f ( x 1 i, x 2 i, …, x n i ) Δ x 1 i Δ x 2 i … Δ x n i | < ε {\displaystyle \left|L-\sum _{i
1}^{m}f(x_{1i}, x_{2i}, \ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}\right\vert <\varepsilon } para toda partición Δ {\displaystyle \Delta } da rexión T {\displaystyle T} (que satisfaga | | Δ | | < δ {\displaystyle ||\Delta ||<\delta } ), e para todas as eleccións posibles de ( x 1 i, x 2 i, .. ., x n i ) {\displaystyle (x_{1i}, x_{2i}, .. ., x_{ni})} na i-ésima subrexión. Isto conduce á definición formal dunha integral múltiple: Se f {\displaystyle f} está definida nunha rexión pechada e limitada T {\displaystyle T} do definido polos eixes das variables independentes de f {\displaystyle f}, a integral de f {\displaystyle f} sobre T {\displaystyle T} está dada por: ∬ … ∫ T f ( x 1, …, x n ) d x 1 … d x n
lim ‖ Δ ‖ → 0 ∑ i
1 m f ( x 1 i, x 2 i, …, x n i ) Δ x 1 i Δ x 2 i … Δ x n i {\displaystyle \iint \ldots \int _{T}\, f(x_{1}, \ldots, x_{n})dx_{1}\ldots \, dx_{n}
\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i
1}^{m}f(x_{1i}, x_{2i}, \ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}} sempre que o límite exista. Se o límite existe dise que f {\displaystyle f} é integrable con respecto a T {\displaystyle T}. Propiedades
As integrais múltiples comparten moitas das propiedades das integrais simples. Se f e g son funcións continuas nunha rexión pechada e limitada D nun espazo Rn e c unha constante con respecto a todas as variables involucradas entón pódese demostrar que:
1. ∬ … ∫ D c f ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n
c ∬ … ∫ D f ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n {\displaystyle \iint \ldots \int _{D}\; cf(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\; dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}
c\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\; f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\; dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}} 2. ∬ … ∫ D [ f ( x 1, x 2, …, x n ) ± g ( x 1, x 2, …, x n ) ] d x 1 d x 2 … d x n
{\displaystyle \iint \ldots \int _{D}\, [f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\pm g(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})]dx_{1}\, dx_{2}\ldots \, dx_{n}
} ∬ … ∫ D f ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n ± ∬ … ∫ D g ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n {\displaystyle \iint \ldots \int _{D}\, f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})dx_{1}\, dx_{2}\ldots \, dx_{n}\pm \iint \ldots \int _{D}\, g(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})dx_{1}\, dx_{2}\ldots \, dx_{n}} 3. Se f ( x 1, x 2, …, x n ) ≥ 0 {\displaystyle \quad f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\geq 0}, entón: ∬ … ∫ D f ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n ≥ 0 {\displaystyle \iint \ldots \int _{D}\, f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})dx_{1}\, dx_{2}\ldots \, dx_{n}\geq 0} 4. Se f ( x 1, x 2, …, x n ) ≥ g ( x 1, x 2, …, x n ) {\displaystyle \quad f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\geq g(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})}, entón: ∬ … ∫ D f ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n ≥ ∬ … ∫ D g ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n {\displaystyle \iint \ldots \int _{D}\, f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})dx_{1}\, dx_{2}\ldots \, dx_{n}\geq \iint \ldots \int _{D}\, g(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})dx_{1}\, dx_{2}\ldots \, dx_{n}} 5. Sexa D a unión entre dúas rexións, D1 e D2, que non solapan entre si, entón: ∬ … ∫ D f ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n
{\displaystyle \iint \ldots \int _{D}\, f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})dx_{1}\, dx_{2}\ldots \, dx_{n}
} ∬ … ∫ D 1 f ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n + ∬ … ∫ D 2 f ( x 1, x 2, …, x n ) d x 1 d x 2 … d x n {\displaystyle \iint \ldots \int _{D_{1}}\, f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})dx_{1}\, dx_{2}\ldots \, dx_{n}+\iint \ldots \int _{D_{2}}\, f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})dx_{1}\, dx_{2}\ldots \, dx_{n}} Integrais múltiples e integrais iteradas
As integrais múltiples están estreitamente relacionadas coas integrais iteradas, as cales son necesarias para resolver as integrais múltiples. A diferenza entre integrais múltiples e iteradas consiste en que unha se refire ao concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) e a outra ao procedemento polo cal se resolve a integral múltiple. Se a expresión ∫ a b ∫ c d f ( x, y ) d y d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x, y)\, dy\, dx} se refire a unha integral iterada, a parte externa ∫ a b ⋯ d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\cdots \, dx} é a integral con respecto a x da función de x: g ( x )
∫ c d f ( x, y ) d y. {\displaystyle g(x)
\int _{c}^{d}f(x, y)\, dy. } Unha integral dobre, en cambio está definida con respecto a unha área no plano XY. A integral dobre existe se e só se as dúas integrais iteradas existen e son iguais. É dicir, se a integral dobre existe, entón é igual á integral iterada, sen importar se a orde de integración é dydx ou dxdy, e polo xeral realízase calculando unha soa destas. Con todo, ás veces as dúas integrais iteradas existen sen ser iguais e neste caso non existe a integral dobre, xa que se ten: ∫ a b ∫ c d f ( x, y ) d y d x ≠ ∫ c d ∫ a b f ( x, y ) d x d y. {\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x, y)\, dy\, dx\neq \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x, y)\, dx\, dy. } Dunha maneira máis formal, o teorema de Fubini afirma que ∫ A × B | f ( x, y ) | d ( x, y ) < ∞, {\displaystyle \int _{A\times B}|f(x, y)|\, d(x, y)<\infty, } Isto é, se a integral é absolutamente converxente, entón a integral dobre é igual á integral iterada. ∫ A × B f ( x, y ) d ( x, y )
∫ A ( ∫ B f ( x, y ) d y ) d x
∫ B ( ∫ A f ( x, y ) d x ) d y. {\displaystyle \int _{A\times B}f(x, y)\, d(x, y)
\int _{A}\left(\int _{B}f(x, y)\, dy\right)\, dx
\int _{B}\left(\int _{A}f(x, y)\, dx\right)\, dy. } Isto ocorre, cando f {\displaystyle f} é unha función limitada e tanto A como B son rexións limitadas tamén. Isto enténdese facilmente pensando que se a función ou a rexión do dominio non están limitadas, a integral múltiple non pode existir.
A notación ∫ [ a, b ] × [ c, d ] f ( x, y ) d x d y {\displaystyle \int _{[a, b]\times [c, d]}f(x, y)\, dx\, dy} pódese empregar se se desexa ser enfático ao referirse a unha integral dobre e non a unha iterada. Métodos de integración
Funcións constantes
No caso das funcións constantes, o resultado é trivial: simplemente multiplícase o valor da función constante c pola medida do dominio de integración. Se c 1, e é integrada a través dunha rexión de R2 isto dá a área da rexión, mentres que se é unha rexión de R3 dá o volume da rexión e así sucesivamente.
Por exemplo: D
{ ( x, y ) | 2 ≤ x ≤ 4; 3 ≤ y ≤ 6 } {\displaystyle D
\{(x, y)|\ 2\leq x\leq 4\; \ 3\leq y\leq 6\}} y f ( x, y )
c {\displaystyle f(x, y)
c\, \! } Integrando f sobre D: ∫ 36 ∫ 24 c d x d y
c ⋅ area ( D )
c ⋅ ( 3 ⋅ 2 )
c ⋅ 6. {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ c\ dx\, dy
c\cdot {\mbox{area}}(D)
c\cdot (3\cdot 2)
c\cdot 6. }
Uso de simetrías
No caso dun dominio no que exista simetría polo menos respecto dun dos eixos, e onde a función para integrar conteña polo menos unha función impar con respecto a esa variable, a integral vólvese nula (xa que a suma de cantidades iguais con signo oposto é cero). Por exemplo Dada f ( x, y )
2 sin ⁡ ( x ) − 3 y 3 + 5 {\displaystyle f(x, y)
2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5} e que T
x 2 + y 2 ≤ 1 {\displaystyle T
x^{2}+y^{2}\leq 1} é o dominio de integración do disco de raio 1 centrado na orixe.
Usando a propiedade linear das integrais, a integral descomponse en tres partes: ∬ T ( 2 sin ⁡ ( x ) − 3 y 3 + 5 ) d x d y
∬ T 2 sin ⁡ ( x ) d x d y − ∬ T 3 y 3 d x d y + ∬ T 5 d x d y {\displaystyle \iint _{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\, dy
\iint _{T}2\ \sin(x)\ dx\, dy-\iint _{T}3\ y^{3}\ dx\ dy+\iint _{T}5\ dx\ dy} Xa que tanto 2 sen(x) como 3y3 son funcións impares, e existe simetría tanto con respecto ao eixe X como con respecto ao eixe Y, as primeiras dúas integrais fanse nulas, de tal xeito que a integral orixinal é igual unicamente á terceira. ∬ T ( 2 sin ⁡ ( x ) − 3 y 3 + 5 ) d x d y
∬ T 5 d x d y
5 π {\displaystyle \iint _{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\, dy
\iint _{T}5\ dx\, dy
5\pi }
Cambio de variables
En moitas ocasións, é útil para reducir a complexidade da integral cambiar unha variable por outra que resulte máis cómoda; con todo isto esixe o cambio da rexión de integración, ademais de engadir un factor de corrección ao diferencial coñecido como determinante jacobiano (en valor absoluto ou módulo). O cambio dunha variable por outra é nun sentido xeométrico, unha transformación dende un espazo até outro, e é esta transformación a que esixe estes axustes.
Se se emprega unha transformación que siga a relación: f ( y 1, …, y n ) → f ( x 1 ( y 1, y 2, …, y n ), …, x n ( y 1, y 2, …, y n ) ) {\displaystyle f(y_{1}, \ldots, y_{n})\rightarrow f(x_{1}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}), \ldots, x_{n}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}))} Entón pódese utilizar o jacobiano da transformación para simplificar a integral J
D ( y 1, …, y n ) D ( x 1, …, x n )
| ∂ y 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ y 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y n ∂ x 1 ⋯ ∂ y n ∂ x n | {\displaystyle J
{\frac {D(y_{1}, \ldots, y_{n})}{D(x_{1}, \ldots, x_{n})}}
{\begin{vmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}} Integrando a función transformada no dominio de integración correspondente ás variables x, y multiplicando polo valor absoluto do determinante jacobiano e pola serie de diferenciais, obtense unha integral múltiple que é igual á integral orixinal, se é que esta existe. ∬ … ∫ D f ( y 1, …, y n ) d y 1 … d y n
∬ … ∫ T f ( x 1, …, x n ) | J | d x 1 … d x n {\displaystyle \iint \ldots \int _{D}\, f(y_{1}, \ldots, y_{n})dy_{1}\ldots \, dy_{n}
\iint \ldots \int _{T}\, f(x_{1}, \ldots, x_{n})|J|dx_{1}\ldots \, dx_{n}} A continuación danse algúns exemplos destas transformacións.
Coordenadas polares
Nun espazo R2, un dominio de integración que teña unha simetría circular é moitas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, o que significa que cada punto P (x, y) do dominio dunha integral dobre tomará o seu valor correspondente en coordenadas polares mediante a seguinte transformación: f ( x, y ) → f ( ρ cos ⁡ θ, ρ sin ⁡ θ ) {\displaystyle f(x, y)\rightarrow f(\rho \ \cos \theta, \rho \ \sin \theta )} Por exemplo: Se a función é f ( x, y )
x + y {\displaystyle f(x, y)
x+y\, \! } aplicando a transformación obtense a función facilmente integrable con respecto a ϕ {\displaystyle \phi } e a ρ {\displaystyle \rho } f ( ρ, ϕ )
ρ cos ⁡ ϕ + ρ sin ⁡ ϕ
ρ ( cos ⁡ ϕ + sin ⁡ ϕ ). {\displaystyle f(\rho, \phi )
\rho \cos \phi +\rho \sin \phi
\rho \ (\cos \phi +\sin \phi ). } Pódense obter funcións mesmo máis simples: Se a función é f ( x, y )
x 2 + y 2 {\displaystyle f(x, y)
x^{2}+y^{2}\, \! } Tense: f ( ρ, θ )
ρ 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )
ρ 2 {\displaystyle f(\rho, \theta )
\rho ^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )
\rho ^{2}\, \! } se se aplica a identidade trigonométrica pitagórica de senos e cosenos.
O determinante jacobiano da transformación é: ∂ ( x, y ) ∂ ( ρ, θ )
| cos ⁡ θ − ρ sin ⁡ θ sin ⁡ θ ρ cos ⁡ θ |
ρ {\displaystyle {\frac {\partial (x, y)}{\partial (\rho, \theta )}}
{\begin{vmatrix}\cos \theta &-\rho \sin \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{vmatrix}}
\rho } que se obtén inserindo as derivadas parciais de x
ρ cos(θ), e
ρ sen(θ) na primeira columna con respecto a ρ e na segunda con respecto a θ.
Polo tanto, unha vez transformada a función, e multiplicada polo seu determinante jacobiano, esta é igual á integral orixinal: ∬ D f ( x, y ) d x d y
∬ T f ( ρ cos ⁡ θ, ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ d θ. {\displaystyle \iint _{D}f(x, y)\ dx\, dy
\iint _{T}f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta )\rho \, d\rho \, d\theta. }
Coordenadas esféricas
Cando existe simetría esférica nun dominio en R3, é posible empregar unha transformación en coordenadas esféricas para simplificar unha integral tripla. A función é transformada pola relación: f ( x, y, z ) ⟶ f ( ρ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ, ρ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ, ρ cos ⁡ ϕ ) {\displaystyle f(x, y, z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi )\, \! } O determinante jacobiano da transformación é: ∂ ( x, y, z ) ∂ ( ρ, θ, ϕ )
| ∂ ( x ) ∂ ( ρ ) ∂ ( x ) ∂ ( θ ) ∂ ( x ) ∂ ( ϕ ) ∂ ( y ) ∂ ( ρ ) ∂ ( y ) ∂ ( θ ) ∂ ( y ) ∂ ( ϕ ) ∂ ( z ) ∂ ( ρ ) ∂ ( z ) ∂ ( θ ) ∂ ( z ) ∂ ( ϕ ) |
| cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ − ρ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ ρ sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 − ρ sin ⁡ ϕ |
− ρ 2 sin ⁡ ϕ {\displaystyle {\frac {\partial (x, y, z)}{\partial (\rho, \theta, \phi )}}
{\begin{vmatrix}{\frac {\partial (x)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (x)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (x)}{\partial (\phi )}}\\{\frac {\partial (y)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (y)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (y)}{\partial (\phi )}}\\{\frac {\partial (z)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (z)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (z)}{\partial (\phi )}}\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{vmatrix}}
-\rho ^{2}\sin \phi } Tomando o valor absoluto do determinante obtense o factor que se debe engadir á integral.
Por tanto os diferenciais dx dy dz transfórmanse en ρ2 sen(φ) dρ dθ dφ.
Finalmente obtense a fórmula de integración: ∭ D f ( x, y, z ) d x d y d z
∭ T f ( ρ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ, ρ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ, ρ cos ⁡ ϕ ) ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ. {\displaystyle \iiint _{D}f(x, y, z)\, dx\, dy\, dz
\iiint _{T}f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi )\rho ^{2}\sin \phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi. }
Coordenadas cilíndricas
O uso de coordenadas cilíndricas para transformar unha integral tripla, é conveniente especialmente cando o dominio de integración presenta simetría ao redor do eixe Z. A función transfórmase mediante a relación: f ( x, y, z ) → f ( ρ cos ⁡ θ, ρ sin ⁡ θ, z ) {\displaystyle f(x, y, z)\rightarrow f(\rho \ \cos \theta, \rho \ \sin \theta, z)} O determinate jacobiano da transformación é: ∂ ( x, y, z ) ∂ ( ρ, θ, z )
| cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 − ρ sin ⁡ θ ρ cos ⁡ θ 0001 |
ρ {\displaystyle {\frac {\partial (x, y, z)}{\partial (\rho, \theta, z)}}
{\begin{vmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\rho \sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\end{vmatrix}}
\rho } Polo tanto, pódese derivar a fórmula de integración ∭ D f ( x, y, z ) d x d y d z
∭ T f ( ρ cos ⁡ θ, ρ sin ⁡ θ, z ) ρ d ρ d θ d z. {\displaystyle \iiint _{D}f(x, y, z)\, dx\, dy\, dz
\iiint _{T}f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, z)\rho \, d\rho \, d\theta \, dz. }