Ángulo inscrito

En xeometría, un ángulo inscrito é o ángulo formado no interior dun círculo cando dúas rectas secantes (ou, no caso límite, cando unha recta secante e unha recta tanxente á circunferencia) intersecta na circunferencia. Tamén pódese definir como o ángulo subtendido nun punto da circunferencia por dous puntos dados da circunferencia. Ao fixar estes puntos, todos os ángulos da mesma amplitude que subtenden a corda definida polos puntos están nun mesmo arco de circunferencia, que é o arco capaz.
Outra definición equivalente é a de que un ángulo inscrito está definido por dúas cordas que cordas do círculo que comparten un extremo.
O teorema do ángulo inscrito relaciona a amplitude dun ángulo inscrito á do ángulo central subtendido polo mesmo arco. Teorema
Enunciado
O teorema do ángulo inscrito expón que un ángulo θ inscrito nunha circunferencia ten a metade de amplitude que o ángulo central 2θ que é subtendido polo mesmo arco. Polo tanto, os ángulo non mudan cando o seu vértice é movido a diferentes posicións na circunferencia.
Proba
Ángulos inscritos onde unha corda é un diámetro
Sexa O o centro da circunferencia, ao xeito do debuxo. Escollemos dous puntos na circunferencia, que serán V e A. Estendemos a recta VO de xeito que intersecta a circunferencia no punto B, que é diametralmente oposto ao punto V. Debuxamos un ángulo cuxo vértice é o punto V e cuxos costados pasan polos puntos A e B.
Debuxamos a recta OA. O ángulo BOA é un ángulo central e chamarémolo θ. As rectas OV e OA son dous raios do círculo, así que logo teñen a mesma lonxitude. Por tanto, o triángulo VOA é isóscele, de aí que o ángulo BVA (o ángulo inscrito) e o ángulo VAO son iguais; denotaremos ámbolos ángulos como ψ.
Os ángulos BOA e AOV son suplementarios, xa que suman 180° porque a recta VB que atravesa O é unha liña recta. Daquela, o ángulo AOV mide 180° − θ.
É un resultado coñecido que os tres ángulos dun triángulo suman 180°, e os tres ángulos do triángulo VOA son: 180° − θ
ψ
ψ.
Daquela, 2 ψ + 180 ∘ − θ
180 ∘. {\displaystyle 2\psi +180^{\circ }-\theta
180^{\circ }. } Restando 180° a ámbolos dous lados, 2 ψ
θ, {\displaystyle 2\psi
\theta, } onde θ é o ángulo central subtendido polo arco AB e ψ é o ángulo inscrito subtendido polo arco AB.
Ángulos inscritos co centro do círculo no seu interior
Dado unha circunferencia cuxo centro é o punto O, escollemos tres puntos V, C, e D da circunferencia. Trazamos as rectas VC e VD, formando o ángulo inscrito DVC. Logo trazamos a recta VO estendéndoa pasando polo punto O e intersectando o circunferencia no punto E. O ángulo DVC está subtendido polo arco DC da circunferencia.
Supoñemos que este arco inclúe o punto E dentro del. O punto E é diametralmente oposto ao punto V. Os ángulos DVE e EVC son tamén ángulos inscritos, mais estes ángulos teñen un costado que pasa polo centro do círculo, polo que podémoslle aplicar o teorema anterior.
Daquela, ∠ D V C
∠ D V E + ∠ E V C. {\displaystyle \angle DVC
\angle DVE+\angle EVC. } logo sexan ψ 0
∠ D V C, {\displaystyle \psi _{0}
\angle DVC, } ψ 1
∠ D V E, {\displaystyle \psi _{1}
\angle DVE, } ψ 2
∠ E V C, {\displaystyle \psi _{2}
\angle EVC, } conque ψ 0
ψ 1 + ψ 2. ( 1 ) {\displaystyle \psi _{0}
\psi _{1}+\psi _{2}. \qquad \qquad (1)} Debuxamos as rectas OC e OD. O ángulo DOC é un ángulo central, mais tamén os ángulos DOE e EOC, e ∠ D O C
∠ D O E + ∠ E O C. {\displaystyle \angle DOC
\angle DOE+\angle EOC. } Sexa θ 0
∠ D O C, {\displaystyle \theta _{0}
\angle DOC, } θ 1
∠ D O E, {\displaystyle \theta _{1}
\angle DOE, } θ 2
∠ E O C, {\displaystyle \theta _{2}
\angle EOC, } De modo que θ 0
θ 1 + θ 2. ( 2 ) {\displaystyle \theta _{0}
\theta _{1}+\theta _{2}. \qquad \qquad (2)} Temos que θ 1
2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{1}
2\psi _{1}} e θ 1
2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{1}
2\psi _{1}}, que ámbolos dous combinados coa ecuación (2), obtemos θ 0
2 ψ 1 + 2 ψ 2 {\displaystyle \theta _{0}
2\psi _{1}+2\psi _{2}} Daquela, pola ecuación (1), θ 0
2 ψ 0. {\displaystyle \theta _{0}
2\psi _{0}. }
Ángulos inscritos co centro do círculo no seu exterior
O caso anterior pode ser estendido para cubrir o caso onde a amplitude do ángulo inscrito é a diferenza entre dous ángulos inscritos, como se verá na primeira parte desta proba.
Dado unha circunferencia con centro no punto O, escollemos tres puntos V, C, e D da circunferencia. Trazamos as rectas VC e VD, definindo o ángulo inscrito DVC. Despois estendemos a recta VO a fin de que atravese o punto O e intersectando a circunferencia no punto E. Así, o arco DC subtende o ángulo DVC.
Supoñemos que este arco non inclúe o punto E nel. Sabemos que o punto E é diametralmente oposto a V. Os ángulos EVD e EVC son ángulos inscritos, mais ámbolos dous teñen un costado que pasa polo centro O, polo que se lles pode aplicar o teorema anterior
Daquela, ∠ D V C
∠ E V C − ∠ E V D {\displaystyle \angle DVC
\angle EVC-\angle EVD} entón sexan ψ 0
∠ D V C, {\displaystyle \psi _{0}
\angle DVC, } ψ 1
∠ E V D, {\displaystyle \psi _{1}
\angle EVD, } ψ 2
∠ E V C, {\displaystyle \psi _{2}
\angle EVC, } deste xeito ψ 0
ψ 2 − ψ 1. ( 3 ) {\displaystyle \psi _{0}
\psi _{2}-\psi _{1}. \qquad \qquad (3)} Trazamos as rectas OC e OD e formamos o ángulo DOC, que é un ángulo central, como tamén o son EOD e EOC, e ∠ D O C
∠ E O C − ∠ E O D {\displaystyle \angle DOC
\angle EOC-\angle EOD} Sexa θ 0
∠ D O C, {\displaystyle \theta _{0}
\angle DOC, } θ 1
∠ E O D, {\displaystyle \theta _{1}
\angle EOD, } θ 2
∠ E O C, {\displaystyle \theta _{2}
\angle EOC, } entón θ 0
θ 2 − θ 1. ( 4 ) {\displaystyle \theta _{0}
\theta _{2}-\theta _{1}. \qquad \qquad (4)} Temos que θ 1
2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{1}
2\psi _{1}} e θ 2
2 ψ 2 {\displaystyle \theta _{2}
2\psi _{2}}, que combinas ámbolos dous resultados coa ecuación (2) obtemos θ 0
2 ψ 2 − 2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{0}
2\psi _{2}-2\psi _{1}} Por tanto, pola ecuación (3), θ 0
2 ψ 0. {\displaystyle \theta _{0}
2\psi _{0}. }
Corolarios
Por un argumento similar, o ángulo entre unha corda e a recta tanxente a unha dos puntos de intersección é igual a metade do ángulo central subtendido pola corda.
Dous resultados directos do teorema sería: Dous ángulos inscritos que subtenden o mesmo arco teñen a mesma amplitude.
Dous ángulos inscritos que subtenden arcos complementarios (que xuntos forman a circunferencia toda) son suplementarios. Aplicacións
O teorema do ángulo inscrito é utilizado en moitas probas de xeometría euclidiana no plano. Un caso especial é o do teorema de Tales, que expón que o ángulo subtendido polo diámetro é sempre un ángulo recto, 90º.
Outra consecuencia é que os ángulos de oposto de cuadrilátero cíclico suman 180° e ao revés, calquera cuadrilátero para o cal isto é certo é inscribíbel nunha circunferencia.
Outro exemplo, o teorema do ángulo inscrito é parte da base de varios teoremas relacionados coa potencia dun punto respecto á circunferencia. Entre eles, permite demostrar que cando dúas cordas intersectan dentro da circunferencia, os produtos das lonxitudes das súas partes son iguais. Par de arcos capaces
Debido para dous puntos fixos A e B, o conxunto de puntos M do plano para os cales o ángulo AMB é igual a α é o arco dunha circunferencia, é razoábel pensar definir o lugar xeométrico dos puntos que enxergan un segmento AB nun determinado ángulo α, que se chama par de arcos capaces, por estar formado por dos arcos, que son simétricos polo segmento AB.
Pódese observar que os puntos A e B non comparten das propiedades do lugar xeométrico. Por exemplo, a circunferencia ten como unha das súas características ser un par de arcos capaces dos puntos que enxergan o seu diámetro AB a 90º, exceptuando-se os puntos A e B do propio diámetro.
Proceso de construción
Arcos menores do que 90º
Os pasos para a construción do par de arcos capaces dun ángulo α e un segmento AB son os seguintes: Deseñar un ángulo α (α 60º na figura), tal que B sexa o vértice e AB un dos segmentos que o forma.
No lado oposto, trazar o ángulo complementario, é dicir, 90º-α (neste caso, o de 30º).
Determinar o punto O mediante a intersección da mediatriz de AB co costado do ángulo de 90º-α. Este é o centro dun dos arcos capaces de α°.
A fin de achar o outro arco, este pode ser obtido por simetría en relación ao segmento AB.
Arcos maiores do que 90º
O arco de circunferencia desprezado na construción do arco capaz de α, o cal completaría a circunferencia, é o arco capaz do ángulo de 180º-α, ou sexa, na figura sería o 120º.