Función sobrexectiva

En matemáticas, unha función sobrexectiva (tamén coñecida como sobrexección ou función onto (en inglés) ) é unha función f tal que, para cada elemento y do codominio da función, existe polo menos un elemento x no seu dominio tal que f(x) y. Noutras palabras, para unha función f: X → Y, o codominio Y é a imaxe do dominio X da función. Non é necesario que x sexa único; a función f pode mapear un ou máis elementos de X co mesmo elemento de Y.
O termo sobrexectivo e os termos relacionados inxectivo e bixectivo foron introducidos por Nicolas Bourbaki, un grupo de matemáticos principalmente franceses do século XX que, baixo este pseudónimo, escribiron unha serie de libros que presentaban unha exposición da matemática avanzada moderna, a partir de 1935.
Calquera función induce unha sobrexección ao restrinxir o seu codominio á imaxe do seu dominio. Toda función sobrexectiva ten un inverso pola dereita asumindo o axioma de escolla, e toda función con inverso pola dereita é necesariamente unha sobrexección. A composición das funcións sobrexectivas é sempre sobrexectiva. Calquera función pode descompoñerse nunha sobrexección e unha inxección. Definición
Unha función sobrexectiva é unha función cuxa imaxe é igual ao seu codominio. De forma equivalente, unha función f {\displaystyle f} con dominio X {\displaystyle X} e codominio Y {\displaystyle Y} é sobrexectivo se para cada y {\displaystyle y} en Y {\displaystyle Y} existe polo menos un x {\displaystyle x} en X {\displaystyle X} con f ( x )
y {\displaystyle f(x)
y}. Simbólicamente, Se f: X → Y {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}, entón f {\displaystyle f} dise que é sobrexectiva se ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X, f ( x )
y {\displaystyle \forall y\in Y, \, \exists x\in X, \; \; f(x)
y}. Exemplos
Para calquera conxunto X, a función de identidade idX sobre X é sobrexectiva.
A función f: Z → {0, 1} definida por f(n) n mod 2 (é dicir, os enteiros pares están asignados a 0 e os impares a 1) é sobrexectiva.
A función f: R → R definida por f(x)
2 x + 1 é sobrexectivo (e mesmo bixectiva), porque para cada número real y, temos un x tal que f(x)
y: un x apropiado é (y − 1)/2.
A función f: R → R definido por f (x)
x 3 − 3x é sobrexectiva, porque a preimaxe de calquera número real y é o conxunto solución da ecuación polinómica cúbica x3 − 3x − y
0, e cada polinomio cúbico con coeficientes reais ten polo menos unha raíz real. Non obstante, esta función non é inxectiva (e, polo tanto, non é bixectiva), xa que, por exemplo, a preimaxe de y
2 é { x
−1, x 2}. (De feito, a preimaxe desta función para cada y, −2 ≤ y ≤ 2 ten máis dun elemento. )
A función g: R → R definida por g ( x )
x 2 {\displaystyle g(x)
x^{2}} non é sobrexectiva, xa que non existe un número real x tal que x 2
−1. Porén, a función g: R → R≥0 definido por g(x)
x2 (co codominio restrinxido aos números positivos) é sobrexectiva, xa que para cada y no codominio real non negativo Y, hai polo menos un x no dominio real X tal que x 2
y {\displaystyle x^{2}
y}.
A función de logaritmo natural ln: (0, +∞) → R é sobrexectiva e incluso bixectiva (mapeamento do conxunto de números reais positivos ao conxunto de todos os números reais). A súa inversa, a función exponencial, se se define no conxunto de números reais como dominio e codominio, non é sobrexectiva (xa que o seu rango é o conxunto de números reais positivos).
A exponencial da matriz non é sobrexectiva cando se ve como un mapa dende o espazo de todas as matrices n × n ata si mesma. Porén, normalmente defínese como un mapa dende o espazo de todas as matrices n × n ata o grupo linear xeral de grao n (é dicir, o grupo de todas as matrices invertibles n × n).
A proxección dun produto cartesiano A × B a un dos seus factores é sobrexectiva, a non ser que o outro factor sexa baleiro.
Nun videoxogo 3D, os vectores proxéctanse nunha pantalla plana 2D mediante unha función sobrexectiva. Propiedades
Unha función é bixectiva se e só se é á vez sobrexectiva e inxectiva.
As sobrexeccións como funcións invertíbeis pola dereita
A función g: Y → X dise que é inversa pola dereita da función f: X → Y se f(g(y)) y para cada y en Y (g pódese desfacer mediante f). Noutras palabras, g é unha inversa pola dereita de f se a composición f o g de g e f nesa orde é a función de identidade no dominio Y de g. A función g non precisa ser unha inversa completa de f porque a composición na outra orde, g o f, pode non ser a función de identidade no dominio X de f. Noutras palabras, f pode desfacer ou "reverter" g, mais non necesariamente pode ser invertido por el.
Se f: X → Y é sobrexectivo e B é un subconxunto de Y, entón f ( f −1(B)) B. Así, B pódese recuperar da súa preimaxe f −1(B).
Por exemplo, na primeira ilustración da galería, hai algunha función g tal que g(C)
4. Tamén hai algunha función f tal que f (4)
C. Non importa que g non sexa único (tamén funcionaría se g(C) é igual a 3); só importa que f "reverte" g.
As sobrexeccións como epimorfismos
unha función f: X → Y é sobrexectiva se e só se é cancelativa pola dereita: dadas as funcións g, h: Y → Z, sempre que g o f
h o f, daquela g
h. Esta propiedade formúlase en función das funcións e da súa composición e pódese xeneralizar á noción máis xeral dos morfismos dunha categoría e da súa composición. Os morfismos de cancelación pola dereita chámanse epimorfismos. En concreto, as funcións sobrexectivas son precisamente os epimorfismos da categoría de conxuntos. Calquera morfismo cunha inversa pola dereita é un epimorfismo, mais o contrario non é certo en xeral. Unha g inverso pola dereita dun morfismo f chámase sección de f. Un morfismo con inverso pola dereita chámase retracción ou epimorfismo dividido.
As sobrexeccións como relacións binarias
Unha función sobrexectiva con dominio X e codominio Y é unha relación binaria entre X e Y que é única pola dereita e total pola esquerda e pola dereita.
Cardinalidade do dominio dunha sobrexección
A cardinalidade do dominio dunha función sobrexectiva é maior ou igual á cardinalidade do seu codominio: se f: X → Y é unha función sobrexectiva, entón X ten polo menos tantos elementos como Y, no sentido de números cardinais. (A demostración apela ao axioma de escolla para mostrar que unha función g: Y → X satisfai f(g(y)) y para todo y en Y existe. Vese doadamente que g é inxectiva, polo que a definición formal de |Y| ≤ |X| está satisfeita. )
Composición e descomposición
A composición das funcións sobrexectivas é sempre sobrexectiva: se f e g son ambas as dúas sobrexectivas, e o codominio de g é igual ao dominio de f, entón f o g é sobrexectiva. Viceversa, se f o g é sobrexectiva, entón f é sobrexectiva (mais g, a función aplicada primeiro, non ten por que sela). Estas propiedades xeneralízanse desde sobrexeccións na categoría de conxuntos ata calquera epimorfismo de calquera categoría.
Sobrexección inducida e bixección inducida
Calquera función induce unha sobrexección ao restrinxir o seu codominio ao seu rango. Calquera función sobrexectiva induce unha bixección definida nun cociente do seu dominio ao contraer todos os argumentos que se asignan a unha imaxe fixa determinada. Máis precisamente, toda sobrexección f: A → B pódese factorizar como unha proxección seguida dunha bixección do seguinte xeito. Sexan A /~ as clases de equivalencia de A baixo a seguinte relación de equivalencia: x ~ y se e só se f(x)
f (y). De forma equivalente, A /~ é o conxunto de todas as preimaxes baixo f. Sexa P(~): A → A /~ o mapa de proxección que envía cada x en A á súa clase de equivalencia [x] ~, e sexa fP: A /~ → B a función ben definida dada por fP ([ x ] ~ )
f ( x ). Daquela f fP o P (~).