Ecuación en derivadas parciais

En matemáticas unha ecuación en derivadas parciais (ás veces abreviado como EDP) é aquela ecuación diferencial con incógnitas que son funcións de diversas variables independentes, coa peculiaridade de que en devandita ecuación figuran non só as propias funcións senón tamén as súas derivadas. Teñen que existir funcións de polo menos dúas variables independentes. Ou ben unha ecuación que involucre unha función matemática u {\displaystyle u} de varias variables independentes x, y, z, t, .. . {\displaystyle x, y, z, t, .. .} e as derivadas parciais de u {\displaystyle u} respecto desas variables. As ecuacións en derivadas parciais empréganse na formulación matemática de procesos da física e outras ciencias que adoitan estar distribuídos no espazo e o tempo. Problemas típicos son a propagación do son ou da calor, a electrostática, a electrodinámica, a dinámica de fluídos, a elasticidade, a mecánica cuántica e moitos outros. Participaron no seu estudo os franceses d'Alembert e Fourier, matemáticos da época napoleónica. Introdución
Unha ecuación diferencial en derivadas parciais (EDP) para a función u ( x 1, .. . x n ) {\displaystyle u(x_{1}, .. .x_{n})\, } ten a seguinte forma: F ( x 1, ⋯ x n, u, ∂ ∂ x 1 u, ⋯ ∂ ∂ x n u, ∂ 2 ∂ x 1 ∂ x 1 u, ∂ 2 ∂ x 1 ∂ x 2 u, ⋯ )
0 {\displaystyle F(x_{1}, \cdots x_{n}, u, {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}u, \cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}u, {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}u, {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}u, \cdots )
0\, } onde F {\displaystyle \scriptstyle F} é unha función linear de u {\displaystyle u\, } e as súas derivadas se: {\displaystyle } F ( λ u + μ w )
λ F ( u ) + μ F ( w ), {\displaystyle F(\lambda u+\mu w)
\lambda F(u)+\mu F(w), } Se F {\displaystyle F\, } é unha función linear de u {\displaystyle u\, } e as súas derivadas, entón a EDP é linear. {\displaystyle } Exemplos comúns de EDPs son a ecuación da calor, a ecuación de onda e a ecuación de Laplace. Unha ecuación diferencial en derivadas parciais simple pode ser: ∂ u ∂ x ( x, y )
0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x, y)
0\, } onde u é unha función de x e y. Esta relación implica que os valores de u(x, y) son completamente independentes de x. Polo tanto a solución xeral desta ecuación diferencial é: u ( x, y )
f ( y ), {\displaystyle u(x, y)
f(y), \, } onde f é unha función arbitraria de y. A ecuación diferencial ordinaria (similar á EDP, pero con funcións dunha variable) análoga é d u d x
0, {\displaystyle {\frac {du}{dx}}
0, \, } que ten como solución u ( x )
c, {\displaystyle u(x)
c, \, } Onde c é calquera valor constante (independente de x). Estes dous exemplos ilustran que as solucións xerais das ecuacións diferenciais ordinarias se manteñen con constantes, pero as solucións das ecuacións diferenciais en derivadas parciais xeran funcións arbitrarias. Unha solución dunha ecuación en derivadas parciais xeralmente non é única; de tal forma que se teñen que proporcionar condicións adicionais de contorna capaces de definir a solución de forma única. Por exemplo, no caso sinxelo anterior, a función f ( y ) {\displaystyle \scriptstyle f(y)\, } pode determinarse se u {\displaystyle \scriptstyle u\, } se especifica sobre a liña x
0 {\displaystyle \scriptstyle x
0\, }.
Notación e exemplos
Nas ecuacións diferenciais en derivadas parciais é moi común denotar as derivadas parciais empregando subíndices (notación tensorial). Isto é: u x ′
∂ u ∂ x, u x y ″
∂ 2 u ∂ y ∂ x
∂ ∂ y ( ∂ u ∂ x ) {\displaystyle u'_{x}
{\partial u \over \partial x}, \qquad u''_{xy}
{\partial ^{2}u \over \partial y\, \partial x}
{\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right)} Especialmente na física matemática, adóitase preferir o operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como ∇
( ∂ x, ∂ y, ∂ z ) {\displaystyle \nabla
(\partial _{x}, \partial _{y}, \partial _{z})} para as derivadas espaciais e un punto ( u ˙ {\displaystyle {\dot {u}}} ) para as derivadas que involucran o tempo, por exemplo para escribir a ecuación de onda como u ¨
c 2 Δ u {\displaystyle {\ddot {u}}
c^{2}\Delta u\, } (notación matemática) u ¨
c 2 ∇ 2 u {\displaystyle {\ddot {u}}
c^{2}\nabla ^{2}u\, } (notación física)
Solución xeral e solución completa
Toda ecuación diferencial en derivadas parciais de primeira orde posúe unha solución dependente dunha función arbitraria, que se denomina usualmente solución xeral da EDP. En moitas aplicacións físicas esta solución xeral é menos importante que as chamadas solucións completas, que frecuentemente poden obterse polo método de separación de variables.
Unha solución completa é unha solución particular da EDP que contén tantas constantes arbitrarias independentes como variables independentes interveñen na ecuación. Por exemplo a integración das ecuacións do movemento dun sistema mecánico mediante o método baseado na ecuación de Hamilton-Jacobi require unha integral completa, mentres que a solución xeral resulta menos interesante desde o punto de vista físico.
Existencia e unicidade
Aínda que o asunto da existencia e unicidade das solucións das ecuacións diferenciais ordinarias ten unha resposta moi satisfactoria resumida no teorema de Picard-Lindelöf, o mesmo asunto para as ecuacións en derivadas parciais está lonxe de estar satisfactoriamente resolto. Aínda que existe un teorema xeral, o teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para unha EDP, que é analítica na función incógnita e as súas derivadas, ten unha única solución analítica. Aínda que este resultado parece establecer a existencia e unicidade das solucións, aparecen exemplos de EDP de primeira orde con coeficientes con derivadas de calquera orde (aínda que sen ser analíticas) pero que non teñen solución. Mesmo se a solución dunha EDP existe e é única, esta pode ter propiedades indesexables.
Un exemplo de comportamento patolóxico é a secuencia de problemas de Cauchy dependentes do parámetro n para a ecuación de Laplace: ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2
0, {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}
0, \, } con condicións iniciais u ( x, 0 )
0, ∂ u ∂ y ( x, 0 )
sin ⁡ n x n, {\displaystyle u(x, 0)
0, \qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}(x, 0)
{\frac {\sin nx}{n}}, \, } Onde n é un enteiro. A derivada de u con respecto a y aproxímase a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero a solución é: u ( x, y )
( sinh ⁡ n y ) ( sin ⁡ n x ) n 2. {\displaystyle u(x, y)
{\frac {(\sinh ny)(\sin nx)}{n^{2}}}. \, } Esta solución aproxímase a infinito se nx non é un enteiro múltiplo de π para calquera valor de y. O problema de Cauchy para a ecuación de Laplace denomínase mal proposto ou mal definido, posto que a solución non depende continuamente dos datos do problema. Estes problemas mal definidos non son usualmente satisfactorios para as aplicacións físicas. Clasificación das EDP de segunda orde
As EDP de segunda orde clasifícanse habitualmente dentro de catro tipos de EDP que son de interese fundamental; a continuación danse exemplos deste catro tipos: Con maior xeneralidade, se se ten unha ecuación de segunda orde do tipo: (*) A u x x + 2 B u x y + C u y y + D u x + E u y + F
0 {\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F
0\quad } Con estes coeficientes constrúese a seguinte matriz: Z
[ A B B C ] {\displaystyle Z
{\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}} En función do determinante a ecuación (*): dise que é elíptica se a matriz Z ten un determinante maior a 0.
dise que é parabólica se a matriz Z ten un determinante igual a 0.
dise que é hiperbólica ei a matriz Z ten un determinante menor a 0. EDP de orde superior
Aínda que as EDP de segunda orde se aplican a unha inmensa cantidade de fenómenos físicos; outra cantidade menor de procesos físicos achan solución en EDP de ordes superiores; como exemplos pódense citar: Flexión mecánica dunha placa elástica: ∂ 4 w ∂ x 4 + 2 ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4
q ( x, y ) D {\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}
{\frac {q(x, y)}{D}}} Vibración flexional dunha viga: ∂ 2 ∂ x 2 [ E I ∂ 2 y ∂ x 2 ] + ρ A ∂ 2 y ∂ t 2
p ( x, t ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[EI{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\right]+\rho A{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}
p(x, t)} Ecuación de Korteweg-de Vries, que ten solucións de tipo solitón, ∂ v ∂ t + v ∂ v ∂ x + μ ∂ 3 v ∂ x 3
0 {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{3}v}{\partial x^{3}}}
0}