Media metálica

As medias metálicas (ou ratios ou constantes) dos sucesivos números naturais son as fraccións continuas con coeficientes constantes: n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 n + ⋱
[ n; n, n, n, n, … ]
n + n 2 + 42. {\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \, }}}}}}}}
[n; n, n, n, n, \dots ]
{\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}. } A proporción áurea (1. 618. .. ) é a media metálica situada entre 1 e 2, mentres que a proporción de prata (2. 414. .. ) é a media metálica situada entre 2 e 3. O termo "proporción de bronce" (3. 303. .. ), e outros nomes de metais (como cobre ou níquel), empréganse ocasionalmente para denominar as medias metálicas posteriores. Os valores das dez primeiras medias metálicas móstranse na táboa da dereita. Observe que cada media metálica é unha raíz da ecuación cadrática simple: x 2 − n x
1 {\displaystyle x^{2}-nx
1}, onde n {\displaystyle n} é calquera número natural positivo.
A proporción áurea está conectada co pentágono (primeira diagonal/lado), a proporción de prata está conectada co octógono (segunda diagonal/lado). A proporción áurea está conectada aos números de Fibonacci, a proporción de prata está conectada aos números de Pell, e a proporción de bronce está conectada a (secuencia A006190 na OEIS).
Así para cada n {\displaystyle n} temos as recorrencias lineais de segunda orde: a i
n a i − 1 + a i − 2, con a 0
0, a 1
1. {\displaystyle a_{i}
na_{i-1}+a_{i-2}, {\text{ con }}a_{0}
0, a_{1}
1. } Fibonacci (ouro): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. ..
Pell (prata): 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70. ..
(secuencia A006190 na OEIS) (bronce): 0, 1, 3, 10, 33, 109. .. Propiedades
Estas propiedades só son válidas para números enteiros. Para os non enteiros as propiedades son lixeiramente diferentes.
Chamamos S n {\displaystyle S_{n}} á media metálica relacionada coa constante n.
Sendo p i q i {\displaystyle {\dfrac {p_{i}}{q_{i}}}} os converxentes da fracción continua [ n; n, n, n, n, … ] {\displaystyle [n; n, n, n, n, \dots ]} temos que S n
lim i → ∞ p i q i {\displaystyle {S_{n}}
\lim _{i\to \infty }{\dfrac {p_{i}}{q_{i}}}} A recorrencia asociada a cada S n {\displaystyle S_{n}} son os denominadores q i {\displaystyle q_{i}} (ou os numeradores p i {\displaystyle p_{i}} excluído o cero) dos converxentes da fracción continua [ n; n, n, n, n, … ] {\displaystyle [n; n, n, n, n, \dots ]}.
Sendo a i
n a i − 1 + a i − 2, con a 0
0, a 1
1. {\displaystyle a_{i}
na_{i-1}+a_{i-2}, {\text{ con }}a_{0}
0, a_{1}
1. } a recorrencia asociada a S n {\displaystyle S_{n}} temos que S n
lim i → ∞ a i a i − 1 {\displaystyle {S_{n}}
\lim _{i\to \infty }{\dfrac {a_{i}}{a_{i-1}}}} Unha relación para a inversa da media metálica S n {\displaystyle S_{n}} 1 S n
S n − n {\displaystyle {\frac {1}{S_{n}}}
S_{n}-n} por tanto os inversos das medias metálicas son a parte decimal do número correspondente.
Se descompomos S n {\displaystyle S_{n}} en para enteira a e parte fraccional b, temos: S n
a + b {\displaystyle S_{n}
a+b}, e resulta S n 2
a 2 + n b + 1. {\displaystyle S_{n}^{2}
a^{2}+nb+1. } As medias metálicas de n en forma de integral, S n
∫ 0 n ( x 2 x 2 + 4 + n + 22 n ) d x. {\displaystyle S_{n}
\int _{0}^{n}{\left({\dfrac {x}{2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{\dfrac {n+2}{2n}}\right)}\, dx. } En relación a funcións hiperbólicas, n + n 2 + 42
e a r s i n h ( n / 2 ) {\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}
e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }} Construción xeométrica
A media metálica S n {\displaystyle S_{n}} para calquera número enteiro dado n {\displaystyle n} pódese construír xeométricamente do seguinte xeito. Defínese un triángulo rectángulo con lados A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} tendo lonxitudes 1 {\displaystyle 1} e n / 2 {\displaystyle n/2}, respectivamente. A media metálica S n {\displaystyle S_{n}} é simplemente a suma da lonxitude de B {\displaystyle B} e a hipotenusa H {\displaystyle H}. Para n
1 {\displaystyle n
1}, H
( n / 2 ) 2 + 12
5 / 4
1. 1180339. .. {\displaystyle H
{\sqrt {(n/2)^{2}+1^{2}}}
{\sqrt {5/4}}
1. 1180339. .. } e logo S 1
B + H
1 / 2 + 1. 1180339. ..
1. 6180339. ..
{\displaystyle S_{1}
B+H
1/2+1. 1180339. ..
1. 6180339. ..
} φ.
Con n
2 {\displaystyle n
2} dá a proporción de prata. H
( 2 / 2 ) 2 + 12
2
1. 4142135. .. {\displaystyle H
{\sqrt {(2/2)^{2}+1^{2}}}
{\sqrt {2}}
1. 4142135. .. } S 2
B + H
2 / 2 + 1. 4142135. ..
2. 4142135. .. {\displaystyle S_{2}
B+H
2/2+1. 4142135. ..
2. 4142135. .. } A proporción de bronce con n
3 {\displaystyle n
3}, H
( 3 / 2 ) 2 + 12
13 / 4
1. 8027756. .. {\displaystyle H
{\sqrt {(3/2)^{2}+1^{2}}}
{\sqrt {13/4}}
1. 8027756. .. } S 3
B + H
3 / 2 + 1. 8027756. ..
3. 3027756. .. {\displaystyle S_{3}
B+H
3/2+1. 8027756. ..
3. 3027756. .. } Os argumentos non enteiros ás veces producen triángulos cunha media que é un número enteiro. Un exemplo con n
1. 5 {\displaystyle n
1. 5}, temos H
( 1. 5 / 2 ) 2 + 12
1. 5625
1. 25 {\displaystyle H
{\sqrt {(1. 5/2)^{2}+1^{2}}}
{\sqrt {1. 5625}}
1. 25} S 1. 5
B + H
1. 5 / 2 + 1. 25
2 {\displaystyle S_{1. 5}
B+H
1. 5/2+1. 25
2} que é simplemente unha versión reducida do triángulo pitagórico 3–4–5.