Números de Stirling de primeira especie

En matemáticas, especialmente en combinatoria, os números de Stirling de primeira especie xorden no estudo das permutacións. En particular, os números de Stirling sen signo de primeira especie contan permutacións segundo o seu número de ciclos (contando os pontos fixos como ciclos de lonxitude un).
Os números de Stirling de primeira e segunda especie poden ser entendidos como inversos un do outro, cando son vistos como matrices triangulares. Este artigo está dedicado especificamente aos números de Stirling de primeira especie. As identidades que vinculan as dúas clases aparecen no artigo sobre números de Stirling. Definicións
Definición por álxebra
Os números de Stirling de primeira especie son os coeficientes s ( n, k ) {\displaystyle s(n, k)} na expansión do factorial descendente ( x ) n
x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) {\displaystyle (x)_{n}
x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} en potencias da variable x {\displaystyle x} ( x ) n
∑ k
0 n s ( n, k ) x k. {\displaystyle (x)_{n}
\sum _{k
0}^{n}s(n, k)x^{k}. } Por exemplo, ( x ) 3
x ( x − 1 ) ( x − 2 )
x 3 − 3 x 2 + 2 x {\displaystyle (x)_{3}
x(x-1)(x-2)
x^{3}-3x^{2}+2x},
o que leva aos valores s ( 3, 3 )
1 {\displaystyle s(3, 3)
1}, s ( 3, 2 )
− 3 {\displaystyle s(3, 2)
-3}, e s ( 3, 1 )
2 {\displaystyle s(3, 1)
2}.
Os números de Stirling sen signo tamén poden ser definidos alxebricamente como os coeficientes do factorial ascendente: x n ¯
x ( x + 1 ) ⋯ ( x + n − 1 )
∑ k
0 n [ n k ] x k {\displaystyle x^{\overline {n}}
x(x+1)\cdots (x+n-1)
\sum _{k
0}^{n}\left[{n \atop k}\right]x^{k}}.
As notacións usadas nesta páxina para os números de Stirling non son universais, e poden entrar en conflito coas notacións noutras fontes; a notación [ n k ] {\displaystyle \left[{n \atop k}\right]} do corchete cadrado é tamén unha notación común para os coeficientes Gaussianos.
Definición por permutacións
Posteriormente, descubriuse que os valores absolutos | s ( n, k ) | {\displaystyle |s(n, k)|} destes números son iguais ao número de certos tipos de permutacións. Estes valores absolutos, coñecidos como números de Stirling de primeira especie sen signo, denótanse a miúdo por c ( n, k ) {\displaystyle c(n, k)} ou [ n k ] {\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}. Poden ser definidos directamente por ser o número de permutacións de n {\displaystyle n} elementos con k {\displaystyle k} ciclos disxuntos. Por exemplo, das 3!
6 {\displaystyle 3!
6} permutacións de tres elementos, hai unha permutación con tres ciclos (a permutación identidade, denotada 123 {\displaystyle 123} en notación dunha liña, ou por ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) {\displaystyle (1)(2)(3)} en notación cíclica), tres permutacións con dous ciclos ( 132
( 1 ) ( 23 ) {\displaystyle 132
(1)(23)}, 213
( 12 ) ( 3 ) {\displaystyle 213
(12)(3)}, e 321
( 13 ) ( 2 ) {\displaystyle 321
(13)(2)} ) e dúas permutacións con un ciclo ( 312
( 132 ) {\displaystyle 312
(132)} e 231
( 123 ) {\displaystyle 231
(123)} ). Así, [ 33 ]
1 {\displaystyle \left[{3 \atop 3}\right]
1}, [ 32 ]
3, {\displaystyle \left[{3 \atop 2}\right]
3, } e [ 31 ]
2 {\displaystyle \left[{3 \atop 1}\right]
2}. Estes números pódese ver que coinciden cos cálculos alxébricos previos para s ( n, k ) {\displaystyle s(n, k)} con n
3 {\displaystyle n
3}. Para outro exemplo, a imaxe da dereita mostra que [ 42 ]
11; {\displaystyle \left[{4 \atop 2}\right]
11; } o grupo simétrico con 4 obxectos ten 3 permutacións da forma ( ∙ ∙ ) ( ∙ ∙ ) {\displaystyle (\bullet \bullet )(\bullet \bullet )} (que teñen 2 órbitas, cada unha de tamaño 2),
e 8 permutacións da forma ( ∙ ∙ ∙ ) ( ∙ ) {\displaystyle (\bullet \bullet \bullet )(\bullet )} (que teñen 1 órbita de tamaño 3 e 1 órbita de tamaño 1).
Estes números poden ser calculados considerando as órbitas como clases de conxugación. Alfred Rényi observou que o número [ n k ] {\displaystyle \left[{n \atop k}\right]} de Stirling de primeira especie sen signo tamén conta o número de permutacións de tamaño n {\displaystyle n} con k {\displaystyle k} máximos de esquerda a dereita.
Signos
Os signos dos números de Stirling de primeira especie con signo dependen só da paridade de n − k: s ( n, k )
( − 1 ) n − k [ n k ]. {\displaystyle s(n, k)
(-1)^{n-k}\left[{n \atop k}\right]. } Relación de recorrencia
Os números de Stirling de primeira especie sen signo seguen a relación de recorrencia [ n + 1 k ]
n [ n k ] + [ n k − 1 ] {\displaystyle \left[{n+1 \atop k}\right]
n\left[{n \atop k}\right]+\left[{n \atop k-1}\right]} para k > 0 {\displaystyle k>0}, coas condicións de fronteira [ 00 ]
1 e [ n 0 ]
[ 0 n ]
0 {\displaystyle \left[{0 \atop 0}\right]
1\quad {\mbox{e}}\quad \left[{n \atop 0}\right]
\left[{0 \atop n}\right]
0} para n > 0 {\displaystyle n>0}.
Séguese inmediatamente que os números de Stirling de primeira especie con signo satisfán a recorrencia s ( n + 1, k )
− n ⋅ s ( n, k ) + s ( n, k − 1 ) {\displaystyle s(n+1, k)
-n\cdot s(n, k)+s(n, k-1)}. Táboa de valores
Abaixo móstrase unha táboa triangular de valores sen signo para os números de Stirling de primeira especie, similar en forma ao triángulo de Pascal. Estes valores son fáciles de xerar utilizando a relación de recorrencia da sección anterior.