Combinacións

As combinacións son un concepto en matemáticas, máis concretamente en combinatoria, que describe as diferentes formas de escoller un determinado número de obxectos a partir dun conxunto dun determinado tamaño, cando os obxectos son discerníbeis e non importa a orde na que se colocan ou listan os obxectos. O nome completo, aínda que pouco empregado, é combinación sen repetición de n elementos tomados de k en k. Noutras palabras, as combinacións de tamaño k dun conxunto E de cardinal n son os subconxuntos de E que teñen tamaño k.
A diferenza das permutacións, as combinacións só se refiren aos elementos elixidos do conxunto, non á orde na que se escollen. Un exemplo é a man obtida sacando simultaneamente k cartas dunha baralla de n cartas. Neste caso, a orde das cartas non é importante para que o xogador desenvolva a súa estratexia.
As combinacións utilízanse, entre outras cousas, na probabilidade. Definición
Sexa E un conxunto finito de cardinal n e k un número natural. As combinacións deste conxunto son os seus subconxuntos (ou as súas partes). Denotamos P k ( E ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{k}(E)} o conxunto de k-combinacións de E. Número de combinacións
O conxunto P k ( E ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{k}(E)} é finito e a súa cardinalidade é o coeficiente binomial ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}}, denotado tamén como C n k {\displaystyle C_{n}^{k}}. Temos: C n k
( n k )
A n k k! {\displaystyle C_{n}^{k}
{n \choose k}
{\frac {A_{n}^{k}}{k! }}}, Onde A n k {\displaystyle A_{n}^{k}} é o número de k-permutacións de E e k! é o factorial de k.
Coa fórmula para A n k
n! ( n − k )! {\displaystyle A_{n}^{k}
{\frac {n! }{(n-k)! }}}, conseguimos ( n k )
n ( n − 1 ) … ( n − k + 1 ) k! {\displaystyle {n \choose k}
{\frac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k! }}}, que para k ≤ n tamén se pode escribir: ( n k )
n! k! ( n − k )! {\displaystyle {n \choose k}
{\frac {n! }{k! (n-k)! }}}. Cálculo do número de combinacións
Un algoritmo eficiente para calcular o número ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} de combinacións de k elementos entre n, utiliza as seguintes identidades (0 ≤ k ≤ n ): ( n k )
( n n − k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}
{\binom {n}{n-k}}}, ( n + 1 k + 1 )
n + 1 k + 1 ( n k ) {\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}
{\frac {n+1}{k+1}}{\binom {n}{k}}} e ( n 0 )
1 {\displaystyle {\binom {n}{0}}
1}. A primeira permite reducir o número de operacións a realizar reducíndoo a k ≤ n/2. Os dous seguintes permiten demostrar: ( n k )
( n − k + 1 ) 1 ⋅ ( n − k + 2 ) 2 ⋅ ⋯ ⋅ n k {\displaystyle {\binom {n}{k}}
{\frac {(n-k+1)}{1}}\cdot {\frac {(n-k+2)}{2}}\cdot \cdots \cdot {\frac {n}{k}}} O cálculo pódese realizar mediante un simple bucle iterativo (bucle for).
Exemplo ( 107 )? 10 − 7
3 < 7, ( 70 )
1 ⇒ ( 81 )
81 × 1
8 ⇒ ( 92 )
92 × 8
36 ⇒ ( 103 )
103 × 36
120 ⇒ ( 107 )
120. {\displaystyle {\binom {10}{7}}? \quad 10-7
3<7, \quad {\binom {7}{0}}
1\Rightarrow {\binom {8}{1}}
{\frac {8}{1}}\times 1
8\Rightarrow {\binom {9}{2}}
{\frac {9}{2}}\times 8
36\Rightarrow {\binom {10}{3}}
{\frac {10}{3}}\times 36
120\Rightarrow {\binom {10}{7}}
120. } Por outra parte ( 107 )
10 ⋅ 9 ⋅ 83 ⋅ 2 ⋅ 1
120. {\displaystyle {\binom {10}{7}}
{\dfrac {10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}}
120. } Para valores grandes de n e k, adoita ser máis práctico utilizar as seguintes fórmulas aproximadas (atopamos as xustificacións e outras máis detalladas no artigo coeficiente binomial): ( n k ) ∼ n k / k! {\displaystyle {n \choose k}\sim n^{k}/k! } (para k fixo e n tendendo ao infinito) e (se n e k tenden ao infinito con k / n → α ∈ ] 0; 1 [ {\displaystyle k/n\rightarrow \alpha \in ]0; 1[} ) ( n k ) ∼ 12 π α ( 1 − α ) n ( 1 α α ( 1 − α ) 1 − α ) n {\displaystyle {\binom {n}{k}}{\sim }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha (1-\alpha )n}}}\left({\frac {1}{\alpha ^{\alpha }(1-\alpha )^{1-\alpha }}}\right)^{n}}. Enumeración de combinacións
Sexa A un conxunto con n elementos, a un obxecto que non está en A e k un número natural. Entón para formar as partes de A ∪ { a } {\displaystyle A\cup \{a\}} tendo k + 1 elementos, formamos as partes de k + 1 elementos de A, así como as partes de k elementos de A ás que engadimos {a}. Noutras palabras: P k + 1 ( A ∪ { a } )
P k + 1 ( A ) ∪ { X ∪ { a } ∣ X ∈ P k ( A ) } {\displaystyle {\mathcal {P}}_{k+1}(A\cup \{a\})
{\mathcal {P}}_{k+1}(A)\cup \left\{X\cup \{a\}\mid X\in {\mathcal {P}}_{k}(A)\right\}} ( P k ( A )
∅ {\displaystyle {\mathcal {P}}_{k}(A)
\varnothing } se k > n ) (esta identidade ten como consecuencia directa a fórmula de recorrencia que permite a construción do triángulo de Pascal: ( n + 1 k + 1 )
( n k + 1 ) + ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n+1}{k+1}}
{\tbinom {n}{k+1}}+{\tbinom {n}{k}}} ). Esta identidade pode ser explotada para un algoritmo que enumera combinacións, por exemplo dos n primeiros números enteiros.
Exemplos
Sexa A o conxunto de 5 elementos A { a, b, c, d, e }.
As combinacións de 2 elementos entre os 5 son:
as que conteñen dous elementos distintos de a: { b, c }, { b, d }, { b, e }, { c, d }, { c, e }, { d, e },
as que conteñen a e outro elemento: { a, b }, { a, c }, { a, d }, { a, e }, ( 52 )
( 42 ) + ( 41 )
6 + 4
10. {\displaystyle {5 \choose 2}
{4 \choose 2}+{4 \choose 1}
6+4
10. } As combinacións de 3 elementos escollidos entre os 5 elementos de A son:
as que conteñen a e outros dous elementos: { a, b, c }, { a, b, d }, { a, b, e }, { a, c, d }, { a, c, e }, { a, d, e },
as que conteñen tres elementos distintos de a: { b, c, d }, { b, c, e }, { b, d, e }, { c, d, e }, ( 53 )
( 42 ) + ( 43 )
6 + 4
10. {\displaystyle {5 \choose 3}
{4 \choose 2}+{4 \choose 3}
6+4
10. } Estas son de feito os complementos das combinacións anteriores. Número de combinacións con repetición
Unha k-combinación con repeticións, ou k-multicombinación, ou multisubconjunto de tamaño k dun conxunto S de tamaño n vén dada por un conxunto de k elementos non necesariamente distintos de S, onde non se ten en conta a orde: dúas secuencias definen o mesmo multiconxunto se se pode obter un do outro permutando os termos. Noutras palabras, é unha mostra k elementos dun conxunto de n elementos que permiten duplicados (é dicir, con substitución) mais sen ter en conta as diferentes ordes (por exemplo, {2, 1, 2}
{1). ,2, 2}). Asociamos un índice a cada elemento de S e pensamos nos elementos de S como tipos de obxectos, entón temos que x i {\displaystyle x_{i}} denota o número de elementos de tipo i nun multisubconxunto. O número de multisubconxuntos de tamaño k é daquela o número de solucións enteiras non negativas da ecuación diofántica: x 1 + x 2 + … + x n
k. {\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}
k. } Se S ten n elementos, o número de eses k-multisubconxuntos denotarase mediante ( ( n k ) ), {\displaystyle \left(\! \! {\binom {n}{k}}\! \! \right), } unha notación análoga ao coeficiente binomial que conta k-subconxuntos. Esta expresión, n de selección múltiple k, tamén se pode dar en termos de coeficientes binomiais: ( ( n k ) )
( n + k − 1 k ). {\displaystyle \left(\! \! {\binom {n}{k}}\! \! \right)
{\binom {n+k-1}{k}}. } Do mesmo xeito que cos coeficientes binomiais, hai varias relacións entre estas expresións de selección múltiple. Por exemplo, para n ≥ 1, k ≥ 0 {\displaystyle n\geq 1, k\geq 0}, ( ( n k ) )
( ( k + 1 n − 1 ) ). {\displaystyle \left(\! \! {\binom {n}{k}}\! \! \right) \left(\! \! {\binom {k+1}{n-1}}\! \! \right). }
Exemplo de contaxe de multisubconxuntos
Por exemplo, se tes catro tipos de filloas (n
4) nun menú para escoller e queres tres filloas (k
3), o número de formas de escoller as filloas con repetición pódese calcular como ( ( 43 ) )
( 4 + 3 − 13 )
( 63 )
6 × 5 × 43 × 2 × 1
20. {\displaystyle \left(\! \! {\binom {4}{3}}\! \! \right)
{\binom {4+3-1}{3}}
{\binom {6}{3}}
{\frac {6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}}
20. } Este resultado pódese verificar enumerando todos os 3-multisubconxuntos do conxunto S
{1, 2, 3, 4}. Isto móstrase na seguinte táboa. A segunda columna mostra as filloas que realmente escolliches, a terceira columna mostra as solucións enteiras non negativas [ x 1, x 2, x 3, x 4 ] {\displaystyle [x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}]} da ecuación x 1 + x 2 + x 3 + x 4
3 {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} 3}.