Regresión (xeometría diferencial)

Sexa ϕ: M → N {\displaystyle \phi: M\to N} un mapa suave entre variedades suaves M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N}. Daquela hai unha aplicación linear asociada a partir do espazo das 1-formas N {\displaystyle N} (o espazo linear das seccións do fibrado cotanxente) no espazo das 1-formas en M {\displaystyle M}. Este mapa linear coñécese como regresión ou pullback (mediante ϕ {\displaystyle \phi } ), e denótase frecuentemente por ϕ ∗ {\displaystyle \phi ^{*}}. De forma máis xeral, calquera campo tensor covariante, en particular calquera forma diferencial, en N {\displaystyle N} pode ser retrocedido a M {\displaystyle M} usando ϕ {\displaystyle \phi }. Regresións de funcións suaves e mapas suaves
Sexa ϕ: M → N {\displaystyle \phi: M\to N} un mapa suave entre variedades (suaves), M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N}, e supoñamos que f: N → R {\displaystyle f: N\to \mathbb {R} } é unha función suave en N {\displaystyle N}. Daquela a regresión de f {\displaystyle f} por ϕ {\displaystyle \phi } é a función suave ϕ ∗ f {\displaystyle \phi ^{*}f} en M {\displaystyle M} definida por ( ϕ ∗ f ) ( x )
f ( ϕ ( x ) ) {\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)
f(\phi (x))}. Do mesmo xeito, se f {\displaystyle f} é unha función suave nun conxunto aberto U {\displaystyle U} en N {\displaystyle N}, entón a mesma fórmula define unha función suave no conxunto aberto ϕ − 1 ( U ) {\displaystyle \phi ^{-1}(U)}. (Na linguaxe de feixes, unha regresión define un morfismo a partir do feixe de funcións suaves N {\displaystyle N} na imaxe directa por ϕ {\displaystyle \phi } do feixe de funcións suaves sobre M {\displaystyle M}. )
De xeito máis xeral, se f: N → A {\displaystyle f: N\to A} é un mapa suave de N {\displaystyle N} en calquera outra variedade A {\displaystyle A}, daquela ( ϕ ∗ f ) ( x )
f ( ϕ ( x ) ) {\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)
f(\phi (x))} é un mapa suave de M {\displaystyle M} en A {\displaystyle A}. Regresión de fibrados e seccións
Se E {\displaystyle E} é un fibrado vectorial (ou realmente calquera fibrado) sobre N {\displaystyle N} e ϕ: M → N {\displaystyle \phi: M\to N} é un mapa suave, daquela o fibrado de regresión ϕ ∗ E {\displaystyle \phi ^{*}E} é un fibrado vectorial (ou fibrado) sobre M {\displaystyle M} cuxa fibra sobre x {\displaystyle x} en M {\displaystyle M} está dada por ( ϕ ∗ E ) x
E ϕ ( x ) {\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}
E_{\phi (x)}}. Regresión de formas multilineares
Sexa Φ: V → W unha aplicación linear entre espazos vectoriais V e W (é dicir, Φ é un elemento de L(V, W), tamén denotado Hom(V, W)), e sexa F: W × W × ⋯ × W → R {\displaystyle F: W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R} } unha forma multilinear en W (tamén coñecida como tensor, que non debe confundirse cun campo tensor, de rango (0, s), onde s é o número de factores de W no produto). Entón a regresión Φ∗F de F por Φ é unha forma multilinear en V definida precompoñendo F con Φ. Máis precisamente, dados os vectores v1, v2, .. ., vs en V, Φ∗F defínese pola fórmula ( Φ ∗ F ) ( v 1, v 2, …, v s )
F ( Φ ( v 1 ), Φ ( v 2 ), …, Φ ( v s ) ), {\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{s})
F(\Phi (v_{1}), \Phi (v_{2}), \ldots, \Phi (v_{s})), } que é unha forma multilinear en V. Polo tanto, Φ∗ é un operador (linear) desde formas multilineares en W ata formas multilineares en V. Como caso especial, teña en conta que se F é unha forma linear (ou (0, 1)-tensor) en W, de xeito que F é un elemento de W ∗, o espazo dual de W, entón Φ∗F é un elemento de V∗, polo que a regresión por Φ define un mapa linear entre espazos duais que actúa na dirección oposta ao propio mapa linear Φ: Φ: V → W, Φ ∗: W ∗ → V ∗. {\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W, \qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}. } Desde o punto de vista tensorial, é natural tentar estender a noción de regresión a tensores de rango arbitrario, é dicir, a mapas multilineares en W tomando valores nun produto tensorial de r copias de W, é dicir, W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. Porén, os elementos deste produto tensor non regresan de forma natural. Mais hai unha operación de pulo de V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V a W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W dado por Φ ∗ ( v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v r )
Φ ( v 1 ) ⊗ Φ ( v 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ Φ ( v r ). {\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})
\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}). } No entanto, disto dedúcese que se Φ é invertíbel, a regresión pódese definir usando un pulo mediante a función inversa Φ−1. A combinación destas dúas construcións produce unha operación de pulo, ao longo dun mapa linear invertíbel, para tensores de calquera rango (r, s). Regresión de vectores cotanxentes e 1-formas
Sexa ϕ: M → N {\displaystyle \phi: M\to N} un mapa suave entre variedades suaves. Entón o diferencial de ϕ {\displaystyle \phi }, escrito ϕ ∗ {\displaystyle \phi _{*}}, d ϕ {\displaystyle d\phi } ou D ϕ {\displaystyle D\phi }, é un morfismo de fibrado vectorial (sobre M {\displaystyle M} ) do fibrado tanxente T M {\displaystyle TM} de M {\displaystyle M} na regresión do fibrado ϕ ∗ T N {\displaystyle \phi ^{*}TN}. A transposición de ϕ ∗ {\displaystyle \phi _{*}} é polo tanto un mapa de fibrados de ϕ ∗ T ∗ N {\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N} en T ∗ M {\displaystyle T^{*}M}, o fibrado cotanxente de M {\displaystyle M}.
Supoña agora que α {\displaystyle \alpha } é unha sección de T ∗ N {\displaystyle T^{*}N} (unha 1-forma en N {\displaystyle N} ), e precompón α {\displaystyle \alpha } con ϕ {\displaystyle \phi } para obter unha sección de regresión de ϕ ∗ T ∗ N {\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}. Ao aplicar o mapa do fibrado anterior (por puntos) a esta sección obtemos a regresión de α {\displaystyle \alpha } por ϕ {\displaystyle \phi }, que é a 1-forma ϕ ∗ α {\displaystyle \phi ^{*}\alpha } en M {\displaystyle M} definida por ( ϕ ∗ α ) x ( X )
α ϕ ( x ) ( d ϕ x ( X ) ) {\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)
\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))} para x {\displaystyle x} en M {\displaystyle M} e X {\displaystyle X} en T x M {\displaystyle T_{x}M}. Regresión de campos tensoriais (covariantes).
A construción da sección anterior xeneralízase inmediatamente para un fibrado de tensores de rango ( 0, s ) {\displaystyle (0, s)}, para calquera número natural s {\displaystyle s}: a ( 0, s ) {\displaystyle (0, s)} campo tensorial nunha variedade N {\displaystyle N} é unha sección do fibrado tensor en N {\displaystyle N} cuxa fibra en y {\displaystyle y} en N {\displaystyle N} é o espazo das s {\displaystyle s} -formas multilineares F: T y N × ⋯ × T y N → R. {\displaystyle F: T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R}. } Tomando ϕ {\displaystyle \phi } igual ao diferencial dun mapa suave ϕ {\displaystyle \phi } de M {\displaystyle M} en N {\displaystyle N}, a regresión de formas multilineares pódese combinar coa regresión de seccións para producir un campo tensorial ( 0, s ) {\displaystyle (0, s)} en M {\displaystyle M}. Máis precisamente, se S {\displaystyle S} é un campo tensorial ( 0, s ) {\displaystyle (0, s)} en N {\displaystyle N}, daquela o pullback de S {\displaystyle S} mediante ϕ {\displaystyle \phi } é o ( 0, s ) {\displaystyle (0, s)} -campo tensorial ϕ ∗ S {\displaystyle \phi ^{*}S} en M {\displaystyle M} definido por ( ϕ ∗ S ) x ( X 1, …, X s )
S ϕ ( x ) ( d ϕ x ( X 1 ), …, d ϕ x ( X s ) ) {\displaystyle (\phi ^{*}S)_{x}(X_{1}, \ldots, X_{s})
S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}), \ldots, d\phi _{x}(X_{s}))} para x {\displaystyle x} en M {\displaystyle M} e X j {\displaystyle X_{j}} en T x M {\displaystyle T_{x}M}. Regresión de formas diferenciais
Un caso particular e importante da regresión de campos tensoriais covariantes é a regresión de formas diferenciais. Se α {\displaystyle \alpha } é unha k {\displaystyle k} -forma diferencial, é dicir, unha sección do fibrado exterior Λ k ( T ∗ N ) {\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}N)} de formas k {\displaystyle k} alternadas (en fibras) en T N {\displaystyle TN}, entón o retroceso de α {\displaystyle \alpha } é a k {\displaystyle k} -forma diferencial en M {\displaystyle M} definida pola mesma fórmula que na sección anterior: ( ϕ ∗ α ) x ( X 1, …, X k )
α ϕ ( x ) ( d ϕ x ( X 1 ), …, d ϕ x ( X k ) ) {\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1}, \ldots, X_{k})
\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}), \ldots, d\phi _{x}(X_{k}))} para x {\displaystyle x} en M {\displaystyle M} e X j {\displaystyle X_{j}} en T x M {\displaystyle T_{x}M}.
A regresión das formas diferenciais ten dúas propiedades que a fan moi útil. É compatíbel co produto exterior no sentido de que para as formas diferenciais α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } en N {\displaystyle N}, ϕ ∗ ( α ∧ β )
ϕ ∗ α ∧ ϕ ∗ β, {\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )
\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta, } É compatible coa derivada exterior d {\displaystyle d}: se α {\displaystyle \alpha } é unha forma diferencial en N {\displaystyle N} entón ϕ ∗ ( d α )
d ( ϕ ∗ α ). {\displaystyle \phi ^{*}(d\alpha )
d(\phi ^{*}\alpha ). } Regresión por difeomorfismos
Cando o mapa ϕ {\displaystyle \phi } entre variedades é un difeomorfismo, é dicir, ten unha inversa suave, entón pódese definir a regresión para os campos vectoriais así como para 1-formas, e así, por extensión, para un campo tensor mixto arbitrario na variedade. O mapa linear Φ
d ϕ x ∈ GL ⁡ ( T x M, T ϕ ( x ) N ) {\displaystyle \Phi
d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M, T_{\phi (x)}N\right)} pódese inverter para dar Φ − 1
( d ϕ x ) − 1 ∈ GL ⁡ ( T ϕ ( x ) N, T x M ). {\displaystyle \Phi ^{-1}
\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N, T_{x}M\right). } Un campo tensor mixto xeral transformarase usando Φ {\displaystyle \Phi } e Φ − 1 {\displaystyle \Phi ^{-1}} segundo o produto tensorial descomposición do fibrado tensor en copias de T N {\displaystyle TN} e T ∗ N {\displaystyle T^{*}N}. Cando M
N {\displaystyle M
N}, entón o pullback e o pushforward describen as propiedades de transformación dun tensor na variedade M {\displaystyle M}. En termos tradicionais, a regresión describe as propiedades de transformación dos índices covariantes dun tensor; pola contra, a transformación dos índices contravariantes vén dada por un pulo. Regresión por automorfismos
A construción da sección anterior ten unha interpretación teórica da representación cando ϕ {\displaystyle \phi } é un difeomorfismo dunha variedade M {\displaystyle M} en si mesma. Nese caso, a derivada d ϕ {\displaystyle d\phi } é unha sección de GM ⁡ ( T M, ϕ ∗ T M ) {\displaystyle \operatorname {GM} (TM, \phi ^{*}TM)}. Isto induce unha acción de regresión en seccións de calquera fibrado asociado ao fibrado de marcas GM ⁡ ( m ) {\displaystyle \operatorname {GM} (m)} de M {\displaystyle M} mediante unha representación do grupo linear xeral GM ⁡ ( m ) {\displaystyle \operatorname {GM} (m)} (onde m
dim ⁡ M {\displaystyle m
\dim M} ). Regresión e derivada de Lie
Ver derivada de Lie. Aplicando as ideas anteriores ao grupo local difeomorfismos de 1-parámetro definido por un campo vectorial en
M, e diferenciando con respecto ao parámetro, obtense unha noción de derivada de Lie en calquera feixe asociado. Regresión de conexións (derivadas covariantes)
Se ∇ {\displaystyle \nabla } é unha conexión (ou derivada covariante) nun fibrado vectorial E {\displaystyle E} sobre N {\displaystyle N} e ϕ {\displaystyle \phi } é un mapa suave de M {\displaystyle M} en N {\displaystyle N}, daquela hai unha conexión de regresión ϕ ∗ ∇ {\displaystyle \phi ^{*}\nabla } en ϕ ∗ E {\displaystyle \phi ^{*}E} sobre M {\displaystyle M}, determinado exclusivamente pola condición de que ( ϕ ∗ ∇ ) X ( ϕ ∗ s )
ϕ ∗ ( ∇ d ϕ ( X ) s ). {\displaystyle \left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)
\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right). }