Función totiente de Euler

En teoría de números, a función totiente de Euler conta os enteiros positivos ata un número enteiro dado n que son coprimos con n. Escríbese usando a letra grega fi como φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} ou ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)}, e tamén se pode chamar función fi de Euler. Noutras palabras, é o número de enteiros k no rango 1 ≤ k ≤ n para os que o máximo común divisor gcd(n, k) é igual a 1. Os números enteiros k desta forma denomínanse ás veces como totativos de n.
Por exemplo, os totativos de n
9 son os seis números 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Todos son primos relativos de 9, mais os outros tres números deste rango, 3, 6 e 9 non o son, xa que gcd(9, 3)
gcd(9, 6)
3 e gcd(9, 9)
9. Polo tanto, φ(9)
6. Un exempliño pequeno sería, φ(1)
1 xa que para n
1 o único enteiro no intervalo de 1 a n é o propio 1, e gcd(1, 1)
1.
A función totiente de Euler é unha función multiplicativa, o que significa que se dous números m e n son coprimos, daquela φ(mn) φ(m)φ(n). Esta función dá a orde do grupo multiplicativo de enteiros módulo n (o grupo de unidades do anel Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } ). Tamén se usa para definir o sistema de cifrado RSA. Historia, terminoloxía e notación
Leonhard Euler introduciu a función en 1763. Porén, non escolleu nese momento ningún símbolo específico para denotalo. Nunha publicación de 1784, Euler estudou máis a función, escollendo a letra grega π para denotala: escribiu πD para "a multitude de números inferiores a D, e que non teñen divisor común con ela". A notación agora estándar φ(A) provén do tratado Disquisitiones Arithmeticae de Gauss de 1801, aínda que Gauss non utilizou parénteses ao redor do argumento e escribiu φA. Así, a miúdo chámase función phi de Euler ou simplemente función fi.
En 1879, J. J. Sylvester acuñou o termo "totient" para esta función, polo que tamén se chama función totiente de Euler, totiente de Euler. O cototiente de n defínese como n − φ ( n ) {\displaystyle n-\varphi (n)}. Conta o número de enteiros positivos inferiores ou iguais a n que teñen polo menos un factor primo en común con n. Cálculo da función totiente de Euler
Hai varias fórmulas para calcular φ(n).
Fórmula do produto de Euler
φ ( n )
n ∏ p ∣ n ( 1 − 1 p ), {\displaystyle \varphi (n)
n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right), } onde o produto é sobre os distintos números primos que dividen n. (Para notación, consulte Función aritmética).
Unha formulación equivalente é φ ( n )
p 1 k 1 − 1 ( p 1 − 1 ) p 2 k 2 − 1 ( p 2 − 1 ) ⋯ p r k r − 1 ( p r − 1 ), {\displaystyle \varphi (n)
p_{1}^{k_{1}-1}(p_{1}{-}1)\, p_{2}^{k_{2}-1}(p_{2}{-}1)\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{r}{-}1), } onde n
p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p r k r {\displaystyle n
p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}} é a descomposición en factores primos de n {\displaystyle n} (é dicir, p 1, p 2, …, p r {\displaystyle p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{r}} son números primos distintos).
A proba destas fórmulas depende de dous feitos importantes:
Fi é unha función multiplicativa
Isto significa que se gcd(m, n)
1, daquela φ(m) φ(n)
φ(mn). Esquema de demostración: Sexan A, B, C os conxuntos de enteiros positivos que son coprimos e inferiores a m, n, mn, respectivamente, de xeito que |A| φ(m), etc. Entón hai unha bixección entre A × B e C polo teorema chinés do resto.
Valor de fi para un argumento que sexa potencia dun primo
Se p é primo e k ≥ 1, daquela φ ( p k )
p k − p k − 1
p k − 1 ( p − 1 )
p k ( 1 − 1 p ). {\displaystyle \varphi \left(p^{k}\right)
p^{k}-p^{k-1}
p^{k-1}(p-1)
p^{k}\left(1-{\tfrac {1}{p}}\right). }
Proba da fórmula do produto de Euler
O teorema fundamental da aritmética estabelece que se n > 1 hai unha expresión única n
p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p r k r, {\displaystyle n
p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}, } onde p1 < p2 <. .. < pr son números primos e cada ki ≥ 1. (O caso n
1 corresponde ao produto baleiro) Usando repetidamente a propiedade multiplicativa de φ e a fórmula para φ(pk) dá φ ( n )
φ ( p 1 k 1 ) φ ( p 2 k 2 ) ⋯ φ ( p r k r )
p 1 k 1 ( 1 − 1 p 1 ) p 2 k 2 ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ p r k r ( 1 − 1 p r )
p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p r k r ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p r )
n ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p r ). {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\varphi (n)&
&\varphi (p_{1}^{k_{1}})\, \varphi (p_{2}^{k_{2}})\cdots \varphi (p_{r}^{k_{r}})\\[. 1em]&
&p_{1}^{k_{1}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)p_{2}^{k_{2}}\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\[. 1em]&
&p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\[. 1em]& &n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right). \end{array}}} Isto dá ambas as versións da fórmula do produto de Euler.
Exemplo
φ ( 20 )
φ ( 225 )
20 ( 1 − 12 ) ( 1 − 15 )
20 ⋅ 12 ⋅ 45
8. {\displaystyle \varphi (20)
\varphi (2^{2}5)
20\, (1-{\tfrac {1}{2}})\, (1-{\tfrac {1}{5}})
20\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {4}{5}}
8. } A fórmula alternativa usa só números enteiros, φ ( 20 )
φ ( 2251 )
22 − 1 ( 2 − 1 ) 51 − 1 ( 5 − 1 )
2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 4
8. {\displaystyle \varphi (20)
\varphi (2^{2}5^{1})
2^{2-1}(2{-}1)\, 5^{1-1}(5{-}1)
2\cdot 1\cdot 1\cdot 4
8. }
Transformada de Fourier
O totiente é a transformada discreta de Fourier do mcd, avaliada en 1. Sexa F { x } [ m ]
∑ k
1 n x k ⋅ e − 2 π i m k n {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\mathbf {x} \}[m]
\sum \limits _{k
1}^{n}x_{k}\cdot e^{{-2\pi i}{\frac {mk}{n}}}} onde xk
gcd(k, n) para k ∈ {1, .. ., n}. Daquela φ ( n )
F { x } [ 1 ]
∑ k
1 n gcd ( k, n ) e − 2 π i k n. {\displaystyle \varphi (n)
{\mathcal {F}}\{\mathbf {x} \}
\sum \limits _{k
1}^{n}\gcd(k, n)e^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}. } A parte real desta fórmula é φ ( n )
∑ k
1 n gcd ( k, n ) cos ⁡ 2 π k n. {\displaystyle \varphi (n)
\sum \limits _{k
1}^{n}\gcd(k, n)\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}. } Por exemplo, usando cos ⁡ π 5
5 + 14 {\displaystyle \cos {\tfrac {\pi }{5}}
{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} e cos ⁡ 2 π 5
5 − 14 {\displaystyle \cos {\tfrac {2\pi }{5}}
{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}: φ ( 10 )
gcd ( 1, 10 ) cos ⁡ 2 π 10 + gcd ( 2, 10 ) cos ⁡ 4 π 10 + gcd ( 3, 10 ) cos ⁡ 6 π 10 + ⋯ + gcd ( 10, 10 ) cos ⁡ 20 π 10
1 ⋅ ( 5 + 14 ) + 2 ⋅ ( 5 − 14 ) + 1 ⋅ ( − 5 − 14 ) + 2 ⋅ ( − 5 + 14 ) + 5 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ ( − 5 + 14 ) + 1 ⋅ ( − 5 − 14 ) + 2 ⋅ ( 5 − 14 ) + 1 ⋅ ( 5 + 14 ) + 10 ⋅ ( 1 )
4. {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\varphi (10)&
&\gcd(1, 10)\cos {\tfrac {2\pi }{10}}+\gcd(2, 10)\cos {\tfrac {4\pi }{10}}+\gcd(3, 10)\cos {\tfrac {6\pi }{10}}+\cdots +\gcd(10, 10)\cos {\tfrac {20\pi }{10}}\\&
&1\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+2\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+1\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+2\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+5\cdot (-1)\\&&+\ 2\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+1\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+2\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+1\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+10\cdot (1)\\& &4. \end{array}}} A diferenza do produto de Euler e da fórmula da suma dos divisores esta fórmula non require coñecer os factores de n. Porén, implica o cálculo do máximo común divisor de n e de cada número enteiro positivo menor que n, o que é abondo para proporcionar a factorización e por tanto estamos nun grao de dificultade similar para calcular o valor da función.
Suma de divisores
A propiedade estabelecida por Gauss para os divisores d dun número n di ∑ d ∣ n φ ( d )
n {\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)
n}.
A inversión de Möbius aplicada á fórmula da suma de divisores dá φ ( n )
∑ d ∣ n μ ( d ) ⋅ n d
n ∑ d ∣ n μ ( d ) d, {\displaystyle \varphi (n)
\sum _{d\mid n}\mu \left(d\right)\cdot {\frac {n}{d}}
n\sum _{d\mid n}{\frac {\mu (d)}{d}}, } onde μ é a función de Möbius, función multiplicativa definida por μ ( p )
− 1 {\displaystyle \mu (p)
-1} e μ ( p k )
0 {\displaystyle \mu (p^{k})
0} para cada primo p e k ≥ 2. Esta fórmula tamén se pode derivar da fórmula do produto realizando ese produto ∏ p ∣ n ( 1 − 1 p ) {\textstyle \prod _{p\mid n}(1-{\frac {1}{p}})} para conseguir ∑ d ∣ n μ ( d ) d. {\textstyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu (d)}{d}}. } Un exemplo: φ ( 20 )
μ ( 1 ) ⋅ 20 + μ ( 2 ) ⋅ 10 + μ ( 4 ) ⋅ 5 + μ ( 5 ) ⋅ 4 + μ ( 10 ) ⋅ 2 + μ ( 20 ) ⋅ 1
1 ⋅ 20 − 1 ⋅ 10 + 0 ⋅ 5 − 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1
8. {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (20)&
\mu (1)\cdot 20+\mu (2)\cdot 10+\mu (4)\cdot 5+\mu (5)\cdot 4+\mu (10)\cdot 2+\mu (20)\cdot 1\\[. 5em]&
1\cdot 20-1\cdot 10+0\cdot 5-1\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 1
8. \end{aligned}}} Algúns valores
Os primeiros 100 valores (secuencia A000010 na OEIS) móstranse na táboa e no gráfico a continuación: Na gráfica da dereita, a liña superior y n − 1 é un límite superior válido para tódolos n distintos de 1, e acadado se e só se n é un número primo. Un límite inferior simple é φ ( n ) ≥ n / 2 {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n/2}}}, que ten bastante marxe. Teorema de Euler
O teorema de Euler indica que se a e n son primos relativos, daquela a φ ( n ) ≡ 1 mod n. {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n. } O caso especial onde n é primo coñécese como pequeno teorema de Fermat.
Isto dedúcese do teorema de Lagrange e do feito de que φ(n) é a orde do grupo multiplicativo de enteiros módulo n. Outras fórmulas
a ∣ b ⟹ φ ( a ) ∣ φ ( b ) {\displaystyle a\mid b\implies \varphi (a)\mid \varphi (b)} m ∣ φ ( a m − 1 ) {\displaystyle m\mid \varphi (a^{m}-1)} φ ( m n )
φ ( m ) φ ( n ) ⋅ d φ ( d ) onde d
gcd ⁡ ( m, n ) {\displaystyle \varphi (mn)
\varphi (m)\varphi (n)\cdot {\frac {d}{\varphi (d)}}\quad {\text{onde }}d
\operatorname {gcd} (m, n)} En particular: φ ( 2 m )
{ 2 φ ( m ) if m é par φ ( m ) if m é impar {\displaystyle \varphi (2m)
{\begin{cases}2\varphi (m)&{\text{ if }}m{\text{ é par}}\\\varphi (m)&{\text{ if }}m{\text{ é impar}}\end{cases}}} φ ( n m )
n m − 1 φ ( n ) {\displaystyle \varphi \left(n^{m}\right)
n^{m-1}\varphi (n)} φ ( lcm ⁡ ( m, n ) ) ⋅ φ ( gcd ⁡ ( m, n ) )
φ ( m ) ⋅ φ ( n ) {\displaystyle \varphi (\operatorname {lcm} (m, n))\cdot \varphi (\operatorname {gcd} (m, n))
\varphi (m)\cdot \varphi (n)} Comparar isto coa fórmula lcm ⁡ ( m, n ) ⋅ gcd ⁡ ( m, n )
m ⋅ n {\textstyle \operatorname {lcm} (m, n)\cdot \operatorname {gcd} (m, n)
m\cdot n} (ver Mínimo común múltiplo).
φ(n) é par para n ≥ 3. A maiores, se n ten r factores primos impares distintos, 2r | φ(n).
Para todo a > 1 e n > 6 tal que 4 ∤ n existe un l ≥ 2n tal que l | φ(an − 1). φ ( n ) n
φ ( rad ⁡ ( n ) ) rad ⁡ ( n ) {\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}
{\frac {\varphi (\operatorname {rad} (n))}{\operatorname {rad} (n)}}}. Onde rad(n) é o radical de n. (O produto de todos os números primos distintos que dividen n). ∑ d ∣ n μ 2 ( d ) φ ( d )
n φ ( n ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}
{\frac {n}{\varphi (n)}}} ∑ 1 ≤ k ≤ n − 1 g c d ( k, n )
1 k
12 n φ ( n ) para n > 1 {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n-1 \atop gcd(k, n)
1}\! \! k
{\tfrac {1}{2}}n\varphi (n)\quad {\text{para }}n>1} ∑ k
1 n φ ( k )
12 ( 1 + ∑ k
1 n μ ( k ) ⌊ n k ⌋ 2 )
3 π 2 n 2 + O ( n ( log ⁡ n ) 23 ( log ⁡ log ⁡ n ) 43 ) {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}\varphi (k)
{\tfrac {1}{2}}\left(1+\sum _{k
1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)
{\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)} ( citado en) ∑ k
1 n φ ( k )
3 π 2 n 2 + O ( n ( log ⁡ n ) 23 ( log ⁡ log ⁡ n ) 13 ) {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}\varphi (k)
{\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {1}{3}}\right)} [Liu (2016)] ∑ k
1 n φ ( k ) k
∑ k
1 n μ ( k ) k ⌊ n k ⌋
6 π 2 n + O ( ( log ⁡ n ) 23 ( log ⁡ log ⁡ n ) 43 ) {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}
\sum _{k
1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor
{\frac {6}{\pi ^{2}}}n+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)} ∑ k
1 n k φ ( k )
315 ζ ( 3 ) 2 π 4 n − log ⁡ n 2 + O ( ( log ⁡ n ) 23 ) {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}
{\frac {315\, \zeta (3)}{2\pi ^{4}}}n-{\frac {\log n}{2}}+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}\right)}; ∑ k
1 n 1 φ ( k )
315 ζ ( 3 ) 2 π 4 ( log ⁡ n + γ − ∑ p prime log ⁡ p p 2 − p + 1 ) + O ( ( log ⁡ n ) 23 n ) {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}
{\frac {315\, \zeta (3)}{2\pi ^{4}}}\left(\log n+\gamma -\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right)+O\left({\frac {(\log n)^{\frac {2}{3}}}{n}}\right)}; (onde γ é a constante de Euler–Mascheroni).
Identidade de Menon
En 1965 P. Kesava Menon demostrou que ∑ gcd ( k, n )
11 ≤ k ≤ n gcd ( k − 1, n )
φ ( n ) d ( n ), {\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k, n)
1}}\! \! \! \! \gcd(k-1, n)
\varphi (n)d(n), } onde d(n) σ0(n) é o número de divisores de n. Funcións xeradoras
A serie de Dirichlet para φ(n) pódese escribir en termos da función zeta de Riemann como: ∑ n
1 ∞ φ ( n ) n s
ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}
{\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}} onde o lado esquerdo converxe para ℜ ( s ) > 2 {\displaystyle \Re (s)>2}.
A función xeradora da serie de Lambert é ∑ n
1 ∞ φ ( n ) q n 1 − q n
q ( 1 − q ) 2 {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}
{\frac {q}{(1-q)^{2}}}} que converxe para |q| < 1. Taxa de crecemento
Segundo as palabras de Hardy e Wright, a orde de φ(n) é "sempre case n".
Primeiro lim sup φ ( n ) n
1, {\displaystyle \lim \sup {\frac {\varphi (n)}{n}}
1, } mais cando n vai ao infinito, para todo δ > 0 φ ( n ) n 1 − δ → ∞. {\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n^{1-\delta }}}\rightarrow \infty. } Estas dúas fórmulas pódense probar usando pouco máis que as fórmulas para φ(n) e a función suma de divisores σ(n).
De feito, durante a proba da segunda fórmula, próbase a desigualdade 6 π 2 < φ ( n ) σ ( n ) n 2 < 1 {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\varphi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1}.
Tamén temos que lim inf φ ( n ) n log ⁡ log ⁡ n
e − γ. {\displaystyle \lim \inf {\frac {\varphi (n)}{n}}\log \log n
e^{-\gamma }. } Aquí γ é a constante de Euler-Mascheroni, γ
0. 577215665. .. , polo que eγ
1. 7810724. .. e e−γ 0. 56145948. .. .
Para a orde media, temos φ ( 1 ) + φ ( 2 ) + ⋯ + φ ( n )
3 n 2 π 2 + O ( n ( log ⁡ n ) 23 ( log ⁡ log ⁡ n ) 43 ) cando n → ∞, {\displaystyle \varphi (1)+\varphi (2)+\cdots +\varphi (n)
{\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)\quad {\text{cando }}n\rightarrow \infty, } debido a Arnold Walfisz, a súa proba aproveita estimacións sobre sumas exponenciais debidas a I. M. Vinogradov e N. M. Korobov. Por unha combinación dos métodos de van der Corput e Vinogradov, H. -Q. Liu (Sobre a función de Euler. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 146 (2016), no 4, 769–775) mellorou o termo de erro a O ( n ( log ⁡ n ) 23 ( log ⁡ log ⁡ n ) 13 ) {\displaystyle O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {1}{3}}\right)} (esta é ata 2024 a mellor estimación coñecida deste tipo). A notación "O grande" representa unha cantidade que está limitada por unha constante multiplicada pola función de n dentro dos parénteses (que é pequena en comparación con n2).
Este resultado pódese usar para demostrar que a probabilidade de que dous números escollidos aleatoriamente sexan coprimos é 6/π2, que é a recíproca da zeta de Riemann de 2, igual a 1 / ζ ( 2 ) {\displaystyle 1/\zeta (2)}. Ratio de valores consecutivos
En 1950 Somayajulu demostrou lim inf φ ( n + 1 ) φ ( n )
0 e lim sup φ ( n + 1 ) φ ( n )
∞. {\displaystyle {\begin{aligned}\lim \inf {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}&
0\quad {\text{e}}\\[5px]\lim \sup {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}&
\infty. \end{aligned}}} En 1954 Schinzel e Sierpiński reforzaron isto, demostrando que o conxunto { φ ( n + 1 ) φ ( n ), n
1, 2, … } {\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}, \; \; n
1, 2, \ldots \right\}} é denso nos números reais positivos. Tamén demostraron que o conxunto { φ ( n ) n, n
1, 2, … } {\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n)}{n}}, \; \; n
1, 2, \ldots \right\}} é denso no intervalo (0, 1). Números totientes
Un número totiente é un valor da función totiente de Euler: é dicir, un m para o cal hai polo menos un n para o cal φ(n)
m. A valencia ou multiplicidade dun número totiente m é o número de solucións desa ecuación. Un número non totiente é un número natural que non é un número totiente. Todo número enteiro impar que exceda 1 é trivialmente un non totiente. Tamén hai infinitos non totientes pares, e de feito cada número enteiro positivo ten un múltiplo que é un non totiente par. O número de números totientes ata un límite dado x é x log ⁡ x e ( C + o ( 1 ) ) ( log ⁡ log ⁡ log ⁡ x ) 2 {\displaystyle {\frac {x}{\log x}}e^{{\big (}C+o(1){\big )}(\log \log \log x)^{2}}} para unha constante C
0. 8178146. .. . Se se conta segundo a multiplicidade, o número de números totientes ata un determinado límite x é | { n: φ ( n ) ≤ x } |
ζ ( 2 ) ζ ( 3 ) ζ ( 6 ) ⋅ x + R ( x ) {\displaystyle {\Big \vert }\{n: \varphi (n)\leq x\}{\Big \vert }
{\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}\cdot x+R(x)} onde o termo de erro R é de orde como máximo x ( log ⁡ x ) k {\displaystyle {\frac {x}{(\log {x})^{k}}}}. Aplicacións
Ciclotomía
Na última sección das Disquisitiones Gauss demostra que un n-gono regular pode construírse con regra e compás se φ(n) é unha potencia de 2. Se n é unha potencia dun número primo impar, a fórmula para o totiente di que o seu totiente pode ser unha potencia de dous só se n é unha primeira potencia e n − 1 é unha potencia de 2. Os primos que son un máis que unha potencia de 2 chámanse primos de Fermat e só se coñecen cinco: 3, 5, 17, 257 e 65537. Fermat e Gauss sabían destes. Ninguén puido demostrar se hai máis.
Así, un n-gono regular ten unha construción con escadro e compás se n é un produto de distintos números primos de Fermat e calquera potencia de 2. Os primeiros n son 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, .. . (secuencia A003401 na OEIS).
O criptosistema RSA
Configurar un sistema RSA implica escoller grandes números primos p e q, calcular n
pq e k
φ(n) e atopar dous números e e d tal que ed ≡ 1 (mod k). Os números n e e (a "chave de cifrado") son liberados ao público, e d (a "chave de descifrado") mantense en privado.
Unha mensaxe, representada por un número enteiro m, onde 0 < m < n, encriptase calculando S me (mod n).
Descífrase calculando t
Sd (mod n). O teorema de Euler pódese usar para demostrar que se 0 < t < n, daquela t
m.
A seguridade dun sistema RSA veríase comprometida se o número n puidese factorizarse eficientemente ou se φ(n) puidese calcularse eficientemente sen factorizar n. Problemas sen resolver
Conxectura de Lehmer
Se p é primo, daquela φ(p) p − 1. En 1932 D. H. Lehmer preguntou se hai números compostos n tal que φ(n) divide a n − 1. Non se coñece ningún. En 1933 demostrou que se existe algún n dese tipo, debe ser impar, libre de cadrados e divisíbel por polo menos sete números primos (é dicir, ω(n) ≥ 7 ). En 1980 Cohen e Hagis demostraron que n > 1020 e que ω(n) ≥ 14. Alén diso, Hagis demostrou que se 3 divide n logo n > 101937042 e ω(n) ≥ 298848.
A conxectura de Carmichael
Di que non hai un número n coa propiedade de que para todos os demais números m, m ≠ n, φ(m) ≠ φ(n). Como se indica no artigo principal, se hai un único contraexemplo para esta conxectura, debe haber infinitos contraexemplos, e o máis pequeno ten polo menos dez mil millóns de díxitos en base 10.
Hipótese de Riemann
A hipótese de Riemann é certa se e só se a desigualdade n φ ( n ) < e γ log ⁡ log ⁡ n + e γ ( 4 + γ − log ⁡ 4 π ) log ⁡ n {\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}} é certa para todos os n ≥ p120569# onde γ é a constante de Euler-Macheroni e p120569# é o produto dos primeiros 120569 primos.