Número hexagonal

Un número hexagonal é un número figurado que estende o concepto de cadrados perfectos e números triangulares ao hexágono. Está extensión non é total, o modelo para a construción dos números hexagonais non ten simetrías. O n-ésimo número hexagonal hn é o número de puntos distintos nun modelo de puntos que consiste nos contornos de hexágonos regulares que comparten un vértide de lados de 1 punto ata de lados de n puntos. A fórmula do n- ésimo número hexagonal h n
2 n 2 − n
n ( 2 n − 1 )
2 n ( 2 n − 1 ) 2. {\displaystyle h_{n}
2n^{2}-n
n(2n-1)
{\frac {2n(2n-1)}{2}}. } Os primeiros números hexagonais (secuencia A000384 na OEIS) son: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946. ..
Todo número hexagonal é un número triangular, pero só os números triangulares que ocupan unha posición impar (o 1º, 3º, 5º, 7º, etc. ) son números hexagonais.
Todo número perfecto par é hexagonal, dado pola fórmula M p 2 p − 1
M p M p + 12
h ( M p + 1 ) / 2
h 2 p − 1 {\displaystyle M_{p}2^{p-1}
M_{p}{\frac {M_{p}+1}{2}}
h_{(M_{p}+1)/2}
h_{2^{p-1}}} onde M p é un primo de Mersenne. Non se coñecen números perfectos impares, polo que todos os números perfectos coñecidos son hexagonais. Por exemplo, o segundo número hexagonal é 2×3
6; o 4º é 4×7
28; o 16 é 16×31
496; e o número 64 é 64×127
8128.
Adrien-Marie Legendre demostrou en 1830 que calquera número enteiro maior que 1791 pode expresarse como suma de catro números hexagonais. O maior número que non se pode escribir desta maneira é o 130.
Ademais, se buscamos expresar todos os enteiros positivos empregando cinco números hexagonais, só dous números non se poden expresar así, sendo os 11 e 26.
Non debemos confundir os números hexagonais, cos números hexagonais centrados, que se difiren pola construción da malla de puntos. Proba de números hexagonais
Pódese probar que número enteiro positivo x é un número hexagonal empregando a fórmula: n
8 x + 1 + 14. {\displaystyle n
{\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}. } Se n é un número enteiro, entón x é o n- ésimo número hexagonal. Se n non é un número enteiro, entón x non é hexagonal. Relacións de congruencia
h n ≡ n ( mod 4 ) {\displaystyle h_{n}\equiv n{\pmod {4}}} h 3 n + h 2 n + h n ≡ 0 ( mod 2 ) {\displaystyle h_{3n}+h_{2n}+h_{n}\equiv 0{\pmod {2}}} Outras propiedades
Expresión mediante sumatorio
O n- ésimo número da secuencia hexagonal tamén se pode expresar usando un sumatorio como h n
∑ k
0 n − 1 ( 4 k + 1 ) {\displaystyle h_{n}
\sum _{k
0}^{n-1}{(4k+1)}}
Suma dos recíprocos dos números hexagonais
A suma dos recíprocos dos números hexagonais é 2ln(2), onde ln denota logaritmo natural. ∑ k
1 ∞ 1 k ( 2 k − 1 )
lim n → ∞ 2 ∑ k
1 n ( 12 k − 1 − 12 k )
lim n → ∞ 2 ∑ k
1 n ( 12 k − 1 + 12 k − 1 k )
2 lim n → ∞ ( ∑ k
12 n 1 k − ∑ k
1 n 1 k )
2 lim n → ∞ ∑ k
1 n 1 n + k
2 lim n → ∞ 1 n ∑ k
1 n 11 + k n
2 ∫ 0111 + x d x
2 [ ln ⁡ ( 1 + x ) ] 01
2 ln ⁡ 2 ≈ 1. 386294 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&
\lim _{n\to \infty }2\sum _{k
1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&
\lim _{n\to \infty }2\sum _{k
1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&
2\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k
1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k
1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&
2\lim _{n\to \infty }\sum _{k
1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&
2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k
1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&
2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&
2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\\&
2\ln {2}\\&\approx {1. 386294}\end{aligned}}}
Multiplicando o índice
Usando a reordenación, dáse o seguinte conxunto de fórmulas: h 2 n
4 h n + 2 n {\displaystyle h_{2n}
4h_{n}+2n} h 3 n
9 h n + 6 n {\displaystyle h_{3n}
9h_{n}+6n}. .. {\displaystyle. .. } h m ∗ n
m 2 h n + ( m 2 − m ) n {\displaystyle h_{m*n}
m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n}
Relación de proporción
Empregnado a fórmula anterior con respecto a m e despois n, e logo reducindo e movendo, pódese chegar á seguinte ecuación: h m + m h n + n
( m n ) 2 {\displaystyle {\frac {h_{m}+m}{h_{n}+n}}
\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}} Números cadrados hexagonais
A secuencia de números que son á vez hexagonais e cadrados perfectos comeza por 1, 1225, 1413721, .. . (secuencia A046177 na OEIS)