Teorema de Sard

En matemáticas, o teorema de Sard, tamén coñecido como lema de Sard ou teorema de Morse-Sard, é un resultado da análise matemática que afirma que o conxunto de valores críticos (é dicir, a imaxe do conxunto de puntos críticos) dunha función suave f dun espazo ou variedade euclidiana a outro é un conxunto nulo, é dicir, ten unha medida de Lebesgue 0. Isto fai que o conxunto de valores críticos sexa "pequeno" no sentido dunha propiedade xenérica. O teorema recibe o nome de Anthony Morse e Arthur Sard. Enunciado
Sexa, f: R n → R m {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} C k {\displaystyle C^{k}}, (é dicir, k {\displaystyle k} veces continuamente diferenciable), onde k ≥ max { n − m + 1, 1 } {\displaystyle k\geq \max\{n-m+1, 1\}}. Se X ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}} denota o conxunto crítico de f, {\displaystyle f, } que é o conxunto de puntos x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} no que a matriz xacobiana de f {\displaystyle f} ten rango < m {\displaystyle <m}, daquela a imaxe f ( X ) {\displaystyle f(X)} ten unha medida de Lebesgue 0 en R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}.
Falando intuitivamente, isto significa que aínda que X {\displaystyle X} pode ser grande, a súa imaxe debe ser pequena no sentido da medida de Lebesgue: mentres f {\displaystyle f} pode ter moitos puntos críticos no dominio R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, debe ter poucos valores críticos na imaxe R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}.
De forma máis xeral, o resultado tamén vale para os mapas entre variedades diferenciábeis M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N} de dimensións m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n}, respectivamente. O conxunto crítico X {\displaystyle X} dunha función C k {\displaystyle C^{k}} f: N → M {\displaystyle f: N\rightarrow M} consiste naqueles puntos nos que o diferencial nos fibrados tanxentes d f: T N → T M {\displaystyle df: TN\rightarrow TM} ten rango inferior a m {\displaystyle m} como transformación lineal. Se k ≥ max { n − m + 1, 1 } {\displaystyle k\geq \max\{n-m+1, 1\}}, entón o teorema de Sard afirma que a imaxe de X {\displaystyle X} ten medida de Lebesgue cero como subconxunto de M {\displaystyle M}. Esta formulación do resultado segue a partir da versión para espazos euclidianos tomando un conxunto numerábel de zonas de coordenadas. A conclusión do teorema é unha enunciado local, xa que unha unión numerábel de conxuntos de medida cero é un conxunto de medida cero, e a propiedade dun subconxunto dunha zona de coordenadas que ten medida cero é invariante baixo un difeomorfismo. Variantes
Existen moitas variantes deste lema, que xoga un papel básico na teoría da singularidade entre outros campos. O caso m
1 {\displaystyle m
1} foi probado por Anthony P. Morse en 1939, e o caso xeral por Arthur Sard en 1942.
Stephen Smale probou unha versión para variedades de Banach de dimensións infinitas.
A afirmación é bastante potente e a proba implica análise. En topoloxía cítase a miúdo (como no teorema do punto fixo de Brouwer e algunhas aplicacións na teoría de Morse) para demostrar o corolario máis débil de que “un mapa suave non constante ten polo menos un valor regular”.
En 1965 Sard xeneralizou aínda máis o seu teorema para afirmar que se f: N → M {\displaystyle f: N\rightarrow M} é C k {\displaystyle C^{k}} para k ≥ max { n − m + 1, 1 } {\displaystyle k\geq \max\{n-m+1, 1\}} e se A r ⊆ N {\displaystyle A_{r}\subseteq N} é o conxunto de puntos x ∈ N {\displaystyle x\in N} tal que d f x {\displaystyle df_{x}} ten un rango estritamente inferior a r {\displaystyle r}, entón a medida de Hausdorff r-dimensional de f ( A r ) {\displaystyle f(A_{r})} é cero. En particular, a dimensión de Hausdorff f ( A r ) {\displaystyle f(A_{r})} é como máximo r. Advertencia: a dimensión de Hausdorff f ( A r ) {\displaystyle f(A_{r})} pode estar arbitrariamente próxima a r.