Aceleración

A aceleración é unha magnitude física vectorial que mide a variación da velocidade respecto á variación do tempo. Descrito en termos diferenciais, dada unha función da posición dun móbil respecto ó tempo, a aceleración será a segunda derivada desta función respecto á variable temporal.
No contexto da mecánica vectorial newtoniana represéntase normalmente como a → {\displaystyle {\vec {a}}\, } ou a {\displaystyle \mathbf {a} \, } e o seu módulo como a {\displaystyle a\, }. As aceleracións son cantidades vectoriais (no sentido de que teñen magnitude e dirección). As súas dimensións son [ L ⋅ T − 2 ] {\displaystyle \scriptstyle [L\cdot T^{-2}]}. Mídese en m/s2 no Sistema Internacional.
A magnitude da aceleración dun obxecto, tal e como a describe a segunda lei de Newton, é o efecto combinado de dúas causas: o balance neto de todas as forzas externas que actúan sobre ese obxecto - a magnitude é directamente proporcional a esta forza neta resultante;
a masa dese obxecto, dependendo dos materiais dos que está feito, a magnitude é inversamente proporcional á masa do obxecto.
Na mecánica newtoniana, para un corpo con masa constante, a aceleración do corpo é proporcional á forza que actúa sobre o mesmo (segunda lei de Newton): F
m a → a
F m {\displaystyle \mathbf {F}
m\mathbf {a} \quad \to \quad \mathbf {a}
{\cfrac {\mathbf {F} }{m}}} onde F é a forza resultante que actúa sobre o corpo, m é a masa do corpo, e a é a aceleración. A relación anterior é válida en calquera sistema de referencia inercial.
As súas dimensións son [ L ⋅ T − 2 ] {\displaystyle \scriptstyle [L\cdot T^{-2}]}. A súa unidade no Sistema Internacional é m/s².
Por exemplo, cando un vehículo arrinca estando detido (velocidade cero, nun marco de referencia inercial) e viaxa en liña recta a velocidades crecentes, está a acelerar na dirección da marcha. Se o vehículo vira, prodúcese unha aceleración cara á nova dirección e cambia o seu vector de movemento. A aceleración do vehículo na súa dirección actual de movemento chámase aceleración lineal (ou tanxencial durante os movementos circulares), a reacción que experimentan os pasaxeiros a bordo como unha forza que os empuxa cara a atrás nos seus asentos. Ao cambiar de dirección, a aceleración que efectúa chámase aceleración radial (ortogonal durante os movementos circulares), a reacción que experimentan os pasaxeiros como unha forza centrífuga. Se a velocidade do vehículo diminúe, isto é unha aceleración na dirección oposta e matematicamente negativa, ás veces chamada desaceleración, e os pasaxeiros experimentan a reacción á desaceleración como unha forza inercial que os empuxa cara a adiante. Estas aceleracións negativas a miúdo lógranse mediante a combustión de retrocohetes en naves espaciais. Tanto a aceleración como a desaceleración trátanse da mesma maneira, ambos son cambios de velocidade. Os pasaxeiros senten cada unha destas aceleracións (tanxencial, radial, desaceleración) ata que a súa velocidade relativa (diferencial) neutralízase con respecto ao vehículo. Enfoque intuitivo
Así como a velocidade describe a modificación da posición dun obxecto no tempo, a aceleración describe a «modificación da velocidade no tempo» (que as matemáticas formalizan coa noción de derivada). Na vida cotiá, hai tres casos que o físico agrupa baixo o concepto único de aceleración: ir máis rápido (acelerar no sentido común máis restritivo): nun automóbil, o velocímetro mostra que a velocidade está a aumentar;
desde un punto de vista matemático, a aceleración é positiva, é dicir que o vector de aceleración ten un compoñente na dirección da velocidade; ir máis lento (frear, desacelerar ou diminuír a velocidade na linguaxe común): a indicación do velocímetro diminúe;
a aceleración é negativa, ou o vector de aceleración ten un compoñente oposta á dirección da velocidade; cambio de dirección (xirar ou virar na linguaxe común): mesmo se a indicación do velocímetro non cambia, o cambio de dirección implica aceleración;
o vector de aceleración ten un compoñente perpendicular á velocidade; aquí interésanos a variación da dirección do vector velocidade, non a variación da súa norma.
Cando unha persoa está sometida a unha aceleración, sente un esforzo: forza que preme contra o asento cando o coche acelera (vai máis rápido), forza que empuxa cara ao parabrisas cando o coche frea, forza que empuxa ao carón cando o coche frea ou está a virar (forza centrífuga). sente esta tensión de maneira similar ao peso. A relación entre aceleración e esforzo é o dominio da dinámica; pero a aceleración é unha noción de cinemática, é dicir que se define só a partir do movemento, sen involucrar as forzas. Aceleración en mecánica newtoniana
En conformidade coa mecánica newtoniana, unha partícula non pode seguir unha traxectoria curva a menos que sobre ela actúe unha certa aceleración, como consecuencia da acción dunha forza, xa que se esta non existise, o seu movemento sería rectilíneo. Así mesmo, unha partícula en movemento rectilíneo só pode cambiar a súa velocidade baixo a acción dunha aceleración na mesma dirección da súa velocidade (dirixida no mesmo sentido se acelera; ou en sentido contrario se desacelera). a
d V d t {\displaystyle \mathbf {a}
{\cfrac {d\, \mathbf {V} }{d\, t}}} Na mecánica newtoniana, para un corpo con masa constante, a aceleración do corpo medida por un observador inercial é proporcional á forza que actúa sobre o mesmo (segunda lei de Newton): F
m a → a
F m {\displaystyle \mathbf {F}
m\mathbf {a} \quad \to \quad \mathbf {a}
{\cfrac {\mathbf {F} }{m}}} onde F é a forza resultante que actúa sobre o corpo, m é a masa do corpo, e a é a aceleración. A relación anterior é válida en calquera sistema de referencia inercial.
Algúns exemplos do concepto de aceleración serían: A chamada aceleración da gravidade na Terra é a aceleración que produce a forza gravitatoria terrestre. O seu valor na superficie da Terra é, aproximadamente, de 9, 8 m/s2. Isto quere dicir que se se deixara caer libremente un obxecto, aumentaría a súa velocidade de caída a razón de 9, 8 m/s por cada segundo (sempre que omitamos a resistencia aerodinámica do aire). O obxecto caería, polo tanto, cada vez máis rápido, respondendo dita velocidade a ecuación: v
a t
g t
9, 8 t {\displaystyle v
at
gt
9, 8\, t} Unha manobra de freado dun vehículo, que se correspondería cunha aceleración de signo negativo, ou desaceleración, ao opoñerse á velocidade que xa tiña o vehículo. Se o vehículo adquirise máis velocidade, dito efecto chamaríase aceleración e, neste caso, sería de signo positivo. Aceleración en cinemática puntual
O caso máis común
Aceleración e cantidades relacionadas
O vector de aceleración dun punto material en calquera momento atópase mediante unha diferenciación temporal única do vector velocidade dun punto material (ou diferenciación dobre do vector radio) a →
d v → d t
d 2 r → d t 2. {\displaystyle {\vec {a}}
{d{\vec {v}} \over dt}
{d^{2}{\vec {r}} \over dt^{2}}. } Se se coñecen as coordenadas do punto na traxectoria r → ( t 0 )
r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}(t_{0})
{\vec {r}}_{0}} e o vector de velocidade v → ( t 0 )
v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}(t_{0})
{\vec {v}}_{0}} en calquera momento do tempo t0, así como a dependencia da aceleración no tempo a → ( t ), {\displaystyle {\vec {a}}(t), } ao integrar esta ecuación, pódense obter as coordenadas e a velocidade do punto en calquera momento do tempo t (tanto antes como despois do momento t0) v → ( t )
v → 0 + ∫ t 0 t a → ( τ ) d τ, {\displaystyle {\vec {v}}(t)
{\vec {v}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t}{\vec {a}}(\tau )d\tau, } r → ( t )
r → 0 + ( t − t 0 ) v → 0 + ∫ t 0 t ∫ t 0 ξ a → ( τ ) d τ d ξ. {\displaystyle {\vec {r}}(t)
{\vec {r}}_{0}+(t-t_{0}){\vec {v}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{\xi }{\vec {a}}(\tau )d\tau d\xi. } A derivada temporal da aceleración, é dicir, o valor que caracteriza a taxa de cambio na aceleración, chámase arrancada: j →
d a → d t, {\displaystyle {\vec {j}}
{\frac {\mathrm {d} {\vec {a}}}{\mathrm {d} t}}, } onde j → {\displaystyle {\vec {j}}} — é o vector da arrancada. Aceleración media e instantánea
Cada instante, ou sexa, en cada punto da traxectoria, queda definido un vector velocidade que, en xeral, cambia tanto en módulo como en dirección ao pasar dun punto a outro da traxectoria. A dirección da velocidade cambiará debido a que a velocidade é tanxente á traxectoria e esta, polo xeral, non é rectilínea. Na Figura represéntanse os vectores velocidade correspondentes aos instantes t e t+Δt, cando a partícula pasa polos puntos P e Q, respectivamente. O cambio vectorial na velocidade da partícula durante ese intervalo de tempo está indicado por Δv, no triángulo vectorial ao pé da figura. Defínese a aceleración media da partícula, no intervalo de tempo Δt, como o cociente: < a >
a ¯
Δ v Δ t {\displaystyle <\mathbf {a} >
\mathbf {\bar {a}}
{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}} que é un vector paralelo a Δv e dependerá da duración do intervalo de tempo Δt considerado. A aceleración instantánea defínese como o límite ao que tende o cociente incremental Δv/Δt cando Δt→0; isto é, a derivada do vector velocidade con respecto ao tempo: a
lim Δ t → 0 Δ v Δ t
d v d t {\displaystyle \mathbf {a}
\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}
{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}} Posto que a velocidade instantánea v á súa vez é a derivada do vector posición r respecto ao tempo, a aceleración é a derivada segunda da posición con respecto do tempo: a
d 2 r d t 2 {\displaystyle \mathbf {a}
{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}} De igual forma pódese definir a velocidade instantánea a partir da aceleración como: v − v 0
∫ t 0 t ( d v d t ) d t {\displaystyle \mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}
\int _{t_{0}}^{t}\left({\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\right)\, \mathrm {d} t} Pódese obter a velocidade a partir da aceleración mediante integración: v
∫ 0 t a d t + v 0 {\displaystyle \mathbf {v}
\int _{0}^{t}\mathbf {a} dt+\mathbf {v} _{0}}
Medición da aceleración
A medida da aceleración pode facerse cun sistema de adquisición de datos e un simple acelerómetro. Os acelerómetros electrónicos son fabricados para medir a aceleración nunha, dúas ou tres direccións. Contan con dous elementos condutivos, separados por un material que varía a súa condutividade en función das medidas, que á súa vez serán relativas á aceleración do conxunto.
Unidades
As unidades da aceleración son: Sistema Internacional
1 m/s2
Sistema Ceguesimal
1 cm/s21 Gal
Valores de aceleración nalgúns casos
Valores das aceleracións de varios movementos: Nota: aquí g ≈ 10 m/s². Compoñentes intrínsecos da aceleración: aceleración tanxencial e aceleración normal
En tanto que o vector velocidade v é tanxente á traxectoria, o vector aceleración a pode descompoñerse en dous compoñentes (chamados compoñentes intrínsecos) mutuamente perpendiculares: un compoñente tanxencial at (na dirección da tanxente á traxectoria), chamado aceleración tanxencial, e un compoñente normal an (na dirección da normal principal á traxectoria), chamado aceleración normal ou centrípeta (este último nome en razón a que sempre está dirixida cara ao centro de curvatura).
Derivando a velocidade con respecto ao tempo, tendo en conta que o vector tanxente cambia de dirección ao pasar dun punto a outro da traxectoria (isto é, non é constante) obtemos a
d v d t
d d t ( v e ^ t )
d v d t e ^ t + v d e ^ t d t
a t e ^ t + v ( ω × e ^ t ) {\displaystyle \mathbf {a}
{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}
{\frac {d}{dt}}(v\, \mathbf {\hat {e}} _{t})
{\frac {dv}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+v{\frac {d\mathbf {\hat {e}} _{t}}{dt}}
a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+v({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {e}} _{\text{t}})} sendo e ^ t {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{t}} o vector unitario tanxente á traxectoria na mesma dirección que a velocidade e ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} a velocidade angular. Resulta conveniente escribir a expresión anterior na forma a
d v d t
a t e ^ t + v 2 ρ e ^ n
a t e ^ t + a n e ^ n {\displaystyle \mathbf {a}
{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}
a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {\hat {e}} _{n}
a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+a_{n}\mathbf {\hat {e}} _{\text{n}}} sendo e ^ n {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}} o vector unitario normal á traxectoria, isto é, dirixido cara ao centro de curvatura da mesma, ρ {\displaystyle \rho \, } o raio de curvatura da traxectoria, isto é, o raio da circunferencia osculatriz á traxectoria.
As magnitudes destes dous compoñentes da aceleración son: a t
d v d t a n
v 2 ρ {\displaystyle a_{t}
{\frac {dv}{dt}}\qquad \qquad \qquad a_{n}
{\frac {v^{2}}{\rho }}} Cada un destes dous compoñentes da aceleración ten un significado físico ben definido. Cando unha partícula se move, a súa velocidade pode cambiar e este cambio mídeo a aceleración tanxencial. Pero se a traxectoria é curva tamén cambia a dirección da velocidade e este cambio mídeo a aceleración normal. Se no movemento curvilíneo a velocidade é constante (v cte), a aceleración tanxencial será nula, pero haberá unha certa aceleración normal, de modo que nun movemento curvilíneo sempre haberá aceleración.
Se o movemento é circular, entón o raio de curvatura é o raio R da circunferencia e a aceleración normal escríbese como an v2/R.
Se a traxectoria é rectilínea, entón o raio de curvatura é infinito (ρ→∞) de modo que an 0 (non hai cambio na dirección da velocidade) e a aceleración tanxencial at será nula ou non segundo a velocidade sexa ou non constante.
Os vectores que aparecen nas expresións anteriores son os vectores do triedro de Frênet que aparece na xeometría diferencial de curvas do seguinte xeito: e ^ t {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{t}} é o vector unitario tanxente á curva. e ^ n {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}} é o vector unitario normal á curva. ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} é o vector velocidade angular que é paralelo ao vector binormal á curva.
Movemento circular uniforme
Un movemento circular uniforme é aquel no que a partícula percorre unha traxectoria circular de raio R con velocidade constante, é dicir, que a distancia percorrida en cada intervalo de tempo igual é a mesma. Para ese tipo de movemento o vector de velocidade mantén o seu módulo e vai variando a dirección seguindo unha traxectoria circular. Se se aplican as fórmulas anteriores, tense que a aceleración tanxencial é nula e a aceleración normal é constante: esta aceleración normal chámase "aceleración centrípeta". Neste tipo de movemento a aceleración simplemente modifica a traxectoria do obxecto e non a súa velocidade. a
d v d t
d v d t e ^ t + v 2 R e ^ n
0 ⋅ e ^ t + v 2 R e ^ n
ω 2 R e ^ n {\displaystyle \mathbf {a}
{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}
{\frac {dv}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {\hat {e}} _{n}
0\cdot \mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {v^{2}}{R}}{\hat {\mathbf {e} }}_{n}
\omega ^{2}R\ {\hat {\mathbf {e} }}_{n}}
Movemento rectilíneo acelerado
Se se aplican as fórmulas anteriores ao movemento rectilíneo, no que só existe aceleración tanxencial, ao estar todos os vectores contidos na traxectoria, podemos prescindir da notación vectorial e escribir simplemente: a
d v d t {\displaystyle a
{\frac {dv}{dt}}} Xa que nese tipo de movemento os vectores a {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {a} } e v {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} } son paralelos, satisfacendo tamén a relación: v ( t )
v 0 + ∫ 0 t a ( τ ) d τ {\displaystyle v(t)
v_{0}+\int _{0}^{t}a(\tau )\ d\tau } As coordenadas de posición veñen dada neste caso por: x ( t )
x 0 + v 0 t + ∫ 0 t ( t − τ ) a ( τ ) d τ {\displaystyle x(t)
x_{0}+v_{0}t+\int _{0}^{t}(t-\tau )a(\tau )\ d\tau } Un caso particular de movemento rectilíneo acelerado é o movemento rectilíneo uniformemente acelerado, onde a aceleración é ademais constante e polo tanto, a velocidade e as coordenadas de posición veñen dadas por: v ( t )
v 0 + a t, x ( t )
x 0 + v 0 t + a t 22 {\displaystyle v(t)
v_{0}+at, \qquad x(t)
x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}} Aceleración en mecánica relativista
Relatividade especial
O análogo da aceleración en mecánica relativista chámase cuadriaceleración e é un cuadrivector cuns tres compoñentes espaciais que para pequenas velocidades coinciden cos da aceleración newtoniana (o compoñente temporal para pequenas velocidades resulta proporcional á potencia da forza divida pola velocidade da luz e a masa da partícula).
En mecánica relativista a cuadrivelocidade e a cuadriaceleración son sempre ortogonais, iso vén de que a cuadrivelocidade ten un (pseudo)módulo constante: U ⋅ U
c 2 ⇒ 2 U ⋅ d U d τ
0 ⇒ 2 U ⋅ A
0 {\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U}
c^{2}\ \Rightarrow \ 2\mathbf {U} \cdot {\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}
0\ \Rightarrow \ 2\mathbf {U} \cdot \mathbf {A}
0} onde c é a velocidade da luz e o produto anterior é o produto asociado á métrica de Minkowski: V ⋅ W:
η ( V, W )
η μ ν V μ V ν {\displaystyle V\cdot W:
\eta (V, W)
\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }}
Relatividade xeral
Na teoría xeral da relatividade o caso da aceleración é máis complicado, xa que debido a que o propio espazo-tempo é curvo (ver curvatura do espazo-tempo), unha partícula sobre a que non actúa ningunha forza pode seguir unha traxectoria curva, de feito a liña curva que segue unha partícula sobre a que non actúa ningunha forza exterior é unha liña xeodésica, de feito en relatividade xeral a forza gravitatoria non se interpreta como unha forza senón como un efecto da curvatura do espazo-tempo que fai que as partículas non sigan traxectorias rectas senón liñas xeodésicas. Neste contexto a aceleración non xeodésica dunha partícula é un vector cuxos catro compoñentes se calulan como: A α
d U α d τ + ∑ β, γ Γ β γ α U β U γ {\displaystyle A^{\alpha }
{\frac {dU^{\alpha }}{d\tau }}+\sum _{\beta, \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }U^{\beta }U^{\gamma }} Aquí α
0, 1, 2, 3 {\displaystyle \scriptstyle \alpha
0, 1, 2, 3} (compoñente temporal e tres compoñentes espaciais). Apréciase que cando os símbolos de Christoffel Γ β γ α {\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }} unha partícula pode ter aceleración cero aínda que o seu cuadrivelocidade non sexa constante, iso sucede cando a partícula segue unha liña xeodésica dun espazo-tempo de curvatura non nula. Importancia da aceleración na enxeñería mecánica
A enxeñería mecánica é o deseño e fabricación de máquinas, é dicir, sistemas que realizan movementos. Unha parte importante é o dimensionamento, é dicir a elección de actuadores (gatos, motores) e pezas que soportan as forzas. Se as masas postas en movemento e/ou as aceleracións son grandes, os efectos dinámicos -as forzas necesarias para crear as aceleracións, ou as forzas resultantes das aceleracións- non son desprezables. Xa que logo, determinar a aceleración instantánea durante un movemento é fundamental para que as pezas resistan e para determinar o consumo enerxético do sistema. En moitos casos, a especificación é "levar un obxecto do punto A ao momento B nun tempo t, co tempo t ás veces expresado como unha taxa (realizando o movemento n veces por hora). O deseño consiste en: Elixir unha solución tecnolóxica para guiar o movemento, xa sexa nos casos simples:
Traslado rectilíneo guiado por un elo deslizante ou equivalente (sistema de raís/rodetes), o máis sinxelo de imaxinar, pero potencialmente suxeito o arrastre;
movemento circular de translación (se o obxecto debe manter a mesma orientación, tipicamente cun paralelogramo deformable) ou movemento de rotación, simple de imaxinar, e xeralmente máis interesante (elo pivotante son xeralmente máis baratos e máis robustos que os elos deslizantes), pero cunha traxectoria máis grande (polo tanto require unha maior velocidade, e máis espazo libre);
Traslado pseudo rectilíneo, por exemplo co paralelogramo de Watt, combinando a vantaxe de ambos os (ligazóns pivotantes robustos e baratos, traxectoria curta e compacta);
Traxectoria máis complexa, segundo requírase (guiado por carril ou leva, brazo robótico).
Elixe unha solución tecnolóxica para crear o movemento ( actuador), controlalo (automatismo, leva) e transmitilo (transmisión).
En función da traxectoria (polo tanto a solución tecnolóxica de guiado), determinar as leis do movemento para cumprir as especificacións (duración do movemento admisible) aforrando as pezas (limitación dos esforzos e, xa que logo, da aceleración) e o consumo de enerxía (limitación das aceleracións e da velocidade, ver os artigos Traballo dunha forza e Fricción).
Segundo as leis do movemento, determinar a poder necesaria, e as forzas ás que están sometidas as partes.
Dimensionar o sistema: elixir as pezas dos catálogos do provedor, ou deseñalas (elixir os materiais, as dimensións, debuxalas).