Sedenión

Na álxebra abstracta, os sedenións forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula, S ou S {\displaystyle \mathbb {S} }.
Os sedenións obtéñense aplicando a construción de Cayley-Dickson aos octonións, que se poden expresar matematicamente como S
C D ( O, 1 ) {\displaystyle \mathbb {S}
{\mathcal {CD}}(\mathbb {O}, 1)}. Polo tanto, os octonións son isomorfos a unha subálxebra dos sedenións. A diferenza dos octonions, os sedenions non son unha álxebra alternativa. Aritmética
Cada sedenión é unha combinación linear dos sedenións unitarios e 0 {\displaystyle e_{0}}, e 1 {\displaystyle e_{1}}, e 2 {\displaystyle e_{2}}, e 3 {\displaystyle e_{3}}, .. ., e 15 {\displaystyle e_{15}}, que forman unha base do espazo vectorial dos sedenións. Cada sedenión pódese representar na forma x
x 0 e 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x 14 e 14 + x 15 e 15. {\displaystyle x
x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}. } A suma e a resta defínense pola suma e resta dos coeficientes correspondentes e a multiplicación é distributiva sobre a suma.
Multiplicación
Do mesmo xeito que os octonións, a multiplicación de sedenións non é nin conmutativa nin asociativa. No entanto, a diferenza dos octonións, os sedenións nin sequera teñen a propiedade de ser alternativos. No entanto, teñen a propiedade da asociatividade da potencia, que se pode definir así, para calquera elemento x {\displaystyle x} de S {\displaystyle \mathbb {S} }, a potencia x n {\displaystyle x^{n}} está ben definida. Tamén son unha álxebra flexíbel.
Os sedenións teñen un elemento de identidade multiplicativo e 0 {\displaystyle e_{0}} e inversos multiplicativos, mais non son unha álxebra de división porque teñen divisores de cero: pódense multiplicar dous sedenións distintos de cero para obter cero, por exemplo ( e 3 + e 10 ) ( e 6 − e 15 ) {\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})}. Todos os sistemas numéricos hipercomplexos despois dos sedenións que se basean na construción de Cayley-Dickson tamén conteñen divisores de cero.
A táboa de multiplicación dos sedenións móstrase a continuación:
Propiedades dos sedenións
Na táboa anterior podemos ver que: e 0 e i
e i e 0
e i for all i, {\displaystyle e_{0}e_{i}
e_{i}e_{0}
e_{i}\, {\text{for all}}\, i, } e i e i
− e 0 for i ≠ 0, {\displaystyle e_{i}e_{i}
-e_{0}\, \, {\text{for}}\, \, i\neq 0, } e e i e j
− e j e i for i ≠ j with i, j ≠ 0. {\displaystyle e_{i}e_{j}
-e_{j}e_{i}\, \, {\text{for}}\, \, i\neq j\, \, {\text{with}}\, \, i, j\neq 0. }
Antiasociativa
Os sedenións non son totalmente antiasociativos. Escollemos catro xeradores calquera, i, j, k {\displaystyle i, j, k} e l {\displaystyle l}. O seguinte ciclo de 5 mostra que estas cinco relacións non poden ser todas antiasociativas. ( i j ) ( k l )
− ( ( i j ) k ) l
( i ( j k ) ) l
− i ( ( j k ) l )
i ( j ( k l ) )
− ( i j ) ( k l )
0 {\displaystyle (ij)(kl)
-((ij)k)l
(i(jk))l
-i((jk)l)
i(j(kl))
-(ij)(kl)
0} En particular, na táboa anterior, usando e 1, e 2, e 4 {\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{4}} e e 8 {\displaystyle e_{8}} a última expresión asocia. ( e 1 e 2 ) e 12
e 1 ( e 2 e 12 )
− e 15 {\displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}
e_{1}(e_{2}e_{12})
-e_{15}} Aplicacións
Moreno (1998) mostrou que o espazo de pares de sedenións norma un que se multiplican dando cero é homeomorfo á forma compacta do Grupo de Lie excepcional G2. (Teña en conta que no seu artigo, un "divisor de cero" significa un "par" de elementos que se multiplican dando cero. )
Guillard & Gresnigt (2019) demostraron que as tres xeracións de leptóns e quarks que están asociados coa simetría de gauge ininterrompida S U ( 3 ) c × U ( 1 ) e m {\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} } pódese representar usando a álxebra dos sedenións complexos C ⊗ S {\displaystyle \mathbb {C\otimes S} }.