Grafo regular

En teoría de grafos, un grafo regular é un grafo onde cada vértice ten o mesmo número de veciños; é dicir, cada vértice ten o mesmo grao ou valencia. Un grafo regular orientado tamén debe satisfacer a condición máis forte de que o grao interior e o grao exterior de cada vértice interno sexan iguais entre si. Un grafo regular con vértices de grao k chámase grafo k‑regular ou grafo regular de grao k. Casos especiais
Os grafos regulares de grao 2 como máximo, son fáciles de clasificar: un grafo 0-regular consta de vértices desligados, un grafo 1-regular consta de arestas desligadas e un grafo 2-regular consiste nunha unión disxunta de ciclos e cadeas infinitas.
Un grafo 3-regular coñécese como grafo cúbico.
Un grafo fortemente regular é un grafo regular onde cada par de vértices adxacentes ten o mesmo número l de veciños en común, e cada par de vértices non adxacentes ten o mesmo número n de veciños en común. Os grafos máis pequenos que son regulares pero non fortemente regulares son o grafo cíclico e o grafo circulante en 6 vértices. A grafo completo Km é fortemente regular para calquera m. Existencia
As condicións necesarias e suficientes para un k {\displaystyle k} -grafo regular de orde n {\displaystyle n} existir son iso n ≥ k + 1 {\displaystyle n\geq k+1} e iso n k {\displaystyle nk} é par.
Proba: un grafo completo ten cada par de vértices distintos ligados entre si por unha única aresta. Polo tanto, as arestas son máximas no grafo completo e o número de arestas son ( n 2 )
n ( n − 1 ) 2 {\displaystyle {\binom {n}{2}}
{\dfrac {n(n-1)}{2}}} e o grao aquí é n − 1 {\displaystyle n-1}. Entón k
n − 1, n
k + 1 {\displaystyle k
n-1, n
k+1}. Este é o mínimo n {\displaystyle n} para un k {\displaystyle k} en particular. Teña en conta tamén que se algún grafo regular ten orde n {\displaystyle n} entón o número de arestas son n k 2 {\displaystyle {\dfrac {nk}{2}}} así n k {\displaystyle nk} ten que ser par. Neste caso, é doado construír grafos regulares tendo en conta os parámetros apropiados para os grafos circulantes. Propiedades
A partir do lema do apertón de mans, un grafo k-regular con k impar ten un número par de vértices.
Un teorema de Nash-Williams di que todo grafo k‑regular en 2k + 1 vértices ten un ciclo hamiltoniano.
Sexa A a matriz de adxacencia dun grafo. Entón o grafo é regular se e só se j
( 1, …, 1 ) {\displaystyle {\textbf {j}}
(1, \dots, 1)} é un vector propio de A. O seu autovalor será o grao constante do grafo. Os vectores propios correspondentes a outros valores propios son ortogonais j {\displaystyle {\textbf {j}}}, polo que para eses vectores propios v
( v 1, …, v n ) {\displaystyle v
(v_{1}, \dots, v_{n})}, temos ∑ i
1 n v i
0 {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}v_{i}
0}.
Un grafo regular de grao k está conectado se e só se o autovalor k ten multiplicidade un. A dirección "só se" é unha consecuencia do teorema de Perron-Frobenius.
Tamén hai un criterio para os grafos regulares e conectados: un grafo é conexo e regular se e só se a matriz de uns J, con J i j
1 {\displaystyle J_{ij}
1}, está na álxebra de adxacencia do grafo (o que significa que é unha combinación linear de potencias de A).
Sexa G un grafo k-regular con diámetro D e valores propios da matriz de adxacencia k
λ 0 > λ 1 ≥ ⋯ ≥ λ n − 1 {\displaystyle k
\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}}. Se G non é bipartito, daquela D ≤ log ⁡ ( n − 1 ) log ⁡ ( λ 0 / λ 1 ) + 1. {\displaystyle D\leq {\frac {\log {(n-1)}}{\log(\lambda _{0}/\lambda _{1})}}+1. } Xeración
Existen algoritmos rápidos para xerar, ata isomorfismo, todos os grafos regulares cun grao e número de vértices dados.