Comparación de topoloxías

En topoloxía, o conxunto de todas as posíbeis topoloxías dun conxunto dado forma un conxunto parcialmente ordenado. Esta relación de orde pódese usar para a comparación das topoloxías. Definición
Unha topoloxía nun conxunto pódese definir como a colección de subconxuntos que se consideran "abertos". (Unha definición alternativa é a de colección de subconxuntos que se consideran "pechados". Estas dúas formas de definir a topoloxía son esencialmente equivalentes porque o complemento dun conxunto aberto é pechado e viceversa. A continuación, non importa a definición que se use).
O lector debería pensar nunha topoloxía como a familia de conxuntos abertos dun espazo topolóxico, xa que ese é o significado estándar da palabra "topoloxía".
Sexan τ1 e τ2 dúas topoloxías nun conxunto X tal que τ1 está contida en τ2: τ 1 ⊆ τ 2 {\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}.
É dicir, todo elemento de τ1 é tamén un elemento de τ2. Entón dise que a topoloxía τ1 é unha topoloxía máis grosa (máis débil ou menor) que τ2, e que τ2 é unha topoloxía máis fina (máis forte ou maior) que τ1.
Se a maiores τ 1 ≠ τ 2 {\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}} dicimos que τ1 é estritamente máis grosa que τ2 e τ2 é estritamente máis fina que τ1. A relación binaria ⊆ define unha relación de ordenación parcial no conxunto de todas as posíbeis topoloxías en X. Exemplos
A topoloxía máis fina en X é a topoloxía discreta; esta topoloxía fai que todos os subconxuntos sexan abertos. A topoloxía máis grosa en X é a topoloxía trivial; esta topoloxía só admite o conxunto baleiro e todo o espazo como conxuntos abertos.
Nos espazos de funcións e espazos de medidas hai moitas veces unha serie de posíbeis topoloxías. Vexa as topoloxías do conxunto de operadores nun espazo de Hilbert para ver algunhas relacións intricadas.
Todas as posíbeis topoloxías polares nun par dual son máis finas que a topoloxía débil e máis grosas que a topoloxía forte.
O espazo vectorial complexo Cn pode estar equipado coa súa topoloxía usual (euclidiana) ou coa súa topoloxía de Zariski. Nesta última, un subconxunto V de Cn está pechado se e só se consta de todas as solucións dalgún sistema de ecuacións polinómicas. Dado que calquera tal V tamén é un conxunto pechado no sentido ordinario, mais non viceversa, a topoloxía de Zariski é estritamente máis débil que a ordinaria.
A topología máis fina sobre un conxunto dado é a topoloxía discreta e a topoloxía máis grosa é a trivial.
Sobre os reais, a topoloxía usual é máis débil que a topoloxía de Sorgenfrey.
Sobre R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, as topoloxías inducidas pola distancia euclidiana, distancia do máximo e distancia de Manhattan son ​​equivalentes.
Sobre R {\displaystyle \mathbb {R} }, a topoloxía cofinita é máis débil que a usual. Propiedades
Sexan τ1 e τ2 dúas topoloxías nun conxunto X. Entón as seguintes afirmacións son equivalentes: τ1 ⊆ τ2
o mapa de identidade idX: (X, τ2) → (X, τ1) é un mapa continuo.
o mapa de identidade idX: (X, τ1) → (X, τ2) é un mapa fortemente/relativamente aberto.
(O mapa de identidade idX é sobrexectivo e, polo tanto, está fortemente aberto se e só se é relativamente aberto. )
Dous corolarios inmediatos das afirmacións equivalentes anteriores son Un mapa continuo f: X → Y permanece continuo se a topoloxía en Y se fai máis grosa ou a topoloxía en X máis fina.
Un mapa aberto (resp. pechado) f: X → Y permanece aberto (resp. pechado) se a topoloxía en Y se fai máis fina ou a topoloxía en X máis grosa.
Tamén se poden comparar topoloxías usando bases de veciñanzas. Sexan τ1 e τ2 dúas topoloxías nun conxunto X e sexa Bi (x) unha base local para a topoloxía τi en x ∈ X para i 1, 2. Entón τ1 ⊆ τ2 se e só se para todo x ∈ X, cada conxunto aberto U 1 en B 1 (x) contén algún conxunto aberto U2 en B2 (x ). Intuitivamente, isto ten sentido: unha topoloxía máis fina debería ter veciñanzas máis pequenas. Reticulas de topoloxías
O conxunto de todas as topoloxías dun conxunto X xunto coa relación de ordenación parcial ⊆ forma unha retícula completa que tamén está pechada baixo interseccións arbitrarias. É dicir, calquera colección de topoloxías en X ten un meet (ou infimum) e un join (ou supremum). O meet dunha colección de topoloxías é a intersección desas topoloxías. Porén, a unión non é xeralmente a unión desas topoloxías (a unión de dúas topoloxías non ten por que ser unha topoloxía) senón a topoloxía xerada pola unión.
Toda retícula completa é tamén unha rede limitada, é dicir, ten un elemento maior e menor. No caso das topoloxías, o elemento máis grande é a topoloxía discreta e o menor é a topoloxía trivial.
A retícula de topoloxías nun conxunto X {\displaystyle X} é un retícula complementada; é dicir, dada unha topoloxía τ {\displaystyle \tau } en X {\displaystyle X} existe unha topoloxía τ ′ {\displaystyle \tau '} en X {\displaystyle X} tal que a intersección τ ∩ τ ′ {\displaystyle \tau \cap \tau '} é a topoloxía trivial e a topoloxía xerada pola unión τ ∪ τ ′ {\displaystyle \tau \cup \tau '} é a topoloxía discreta. Se o conxunto X {\displaystyle X} ten polo menos tres elementos, a retícula de topoloxías X {\displaystyle X} non é modular, e, polo tanto, tampouco non é distributiva.