Teorema de Størmer

En teoría de números, o teorema de Størmer, que recibe o nome de Carl Størmer, dá un límite finito sobre o número de pares consecutivos de números suaves que existen, para un determinado grao de suavidade, e proporciona un método para atopar todos eses pares utilizando as ecuacións de Pell. Do teorema de Thue-Siegel-Roth despréndese que só hai un número finito de pares deste tipo, mais Størmer deu un procedemento para atopalos todos. Enunciado
Se se escolle un conxunto finito P
{ p 1, p 2, … p k } {\displaystyle P
\{p_{1}, p_{2}, \dots p_{k}\}} de números primos, entón os números P-suaves defínense como o conxunto de números enteiros { p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ p k e k ∣ e i ∈ { 0, 1, 2, … } } {\displaystyle \left\{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}\mid e_{i}\in \{0, 1, 2, \ldots \}\right\}} que poden ser xerados por produtos de números en P. Daquela o teorema de Størmer afirma que, para cada opción de P, só hai un número finito de pares de números P-suaves consecutivos. Ademais, dá un método para atopalos todos usando as ecuacións de Pell. O procedemento
O procedemento orixinal de Størmer implica resolver un conxunto de aproximadamente 3k ecuacións de Pell, atopando en cada unha só a solución máis pequena. A continuación descríbese unha versión simplificada do procedemento, debido a D. H. Lehmer; resolve menos ecuacións mais da atopado máis solucións en cada ecuación.
Sexa P {\displaystyle P} o conxunto dado de primos e definimos un número como P {\displaystyle P} -suave se todos os seus factores primos pertencen a P {\displaystyle P}. Supoñamos que P {\displaystyle P} 1
2; se non, non podería haber números P {\displaystyle P} -suaves consecutivos, porque todos os números P {\displaystyle P} -suaves serían impares. O método de Lehmer implica resolver a ecuación de Pell x 2 − 2 q y 2
1 {\displaystyle x^{2}-2qy^{2} 1} para cada número P {\displaystyle P} -suave libre de cadrados q {\displaystyle q} distinto de 2 {\displaystyle 2}. Cada número q {\displaystyle q} xérase como produto dun subconxunto de P {\displaystyle P}, polo que hai que resolver 2 k − 1 {\displaystyle 2^{k}-1} ecuacións de Pell. Para cada ecuación deste tipo, sexan x i, y i {\displaystyle x_{i}, y_{i}} as solucións xeradas para i {\displaystyle i} no intervalo de 1 {\displaystyle 1} a max ( 3, ( p k + 1 ) / 2 ) {\displaystyle \max(3, (p_{k}+1)/2)} (inclusive), onde p k {\displaystyle p_{k}} é o maior dos primos de P {\displaystyle P}.
Entón, como mostra Lehmer, todos os pares consecutivos de números P {\displaystyle P} -suaves teñen a forma ( x i − 1 ) / 2, ( x i + 1 ) / 2 {\displaystyle (x_{i}-1)/2, (x_{i}+1)/2} e só temos que comprobar a P {\displaystyle P} -suavidade destes pares. Exemplo
Imos atopar os dez pares consecutivos de {2, 3, 5}-números suaves. Hai sete números P-suaves libres de cadrados q (omitindo o oitavo número P-suave sen cadrados: 1, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, e cada un deles leva a unha ecuación de Pell. O número de solucións por ecuación de Pell requirido polo método de Lehmer é max ( 3, ( 5 + 1 ) / 2 )
3 {\displaystyle \max(3, (5+1)/2)
3}, polo que este método xera tres solucións para cada ecuación de Pell, como veremos a continuación. Para q
1, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x 2 − 2 y 2
1 {\displaystyle x^{2}-2y^{2}
1} son (3, 2), (17, 12) e (99, 70). Así, para cada un dos tres valores xi
3, 17 e 99, o método de Lehmer proba o par ( ( x i − 1 ) / 2, ( x i + 1 ) / 2 ) {\displaystyle ((x_{i}-1)/2, (x_{i}+1)/2)}, os tres pares a probar son logo (1, 2), (8, 9) e (49, 50). Tanto (1, 2) como (8, 9) son pares de números P-suaves consecutivos, mais (49, 50) non o é, xa que 49 ten 7 como factor primo.
Para q
3, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x 2 − 6 y 2
1 {\displaystyle x^{2}-6y^{2}
1} son (5, 2), (49, 20) e (485, 198). A partir dos tres valores xi
5, 49 e 485 os tres pares candidatos de números consecutivos son: (2, 3), (24, 25) e (242, 243). Deles, (2, 3) e (24, 25) son pares de números P-suaves consecutivos pero (242, 243) non o é.
Para q
5, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x 2 − 10 y 2
1 {\displaystyle x^{2}-10y^{2} 1} son (19, 6), (721, 228) e (27379, 8658). A solución de Pell (19, 6) leva ao par de números P-suaves consecutivos (9, 10); as outras dúas solucións da ecuación de Pell non dan lugar a pares P-suaves.
Para q
6, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x 2 − 12 y 2
1 {\displaystyle x^{2}-12y^{2} 1} son (7, 2), (97, 28) e (1351, 390). A solución de Pell (7, 2) leva ao par de números P-suaves consecutivos (3, 4).
Para q
10, temos x 2 − 20 y 2
1 {\displaystyle x^{2}-20y^{2} 1} con solucións (9, 2), (161, 36) e (2889, 646). Aquí (9, 2) conduce ao par de números P-suaves consecutivos (4, 5) e (161, 36) a (80, 81).
Para q
15, temos x 2 − 30 y 2
1 {\displaystyle x^{2}-30y^{2} 1} con solucións (11, 2), (241, 44) e (5291, 966). Aquí para (11, 2) temos os P-suaves consecutivos (5, 6).
Para q
30, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x 2 − 60 y 2
1 {\displaystyle x^{2}-60y^{2} 1} son (31, 4), (1921, 248) e (119071, 15372). A solución de Pell (31, 4) conduce ao par de números P-suaves consecutivos (15, 16). Contaxe de solucións
O resultado orixinal de Størmer pódese usar para mostrar que o número de pares consecutivos de números enteiros que son suaves en relación a un conxunto de k primos é como máximo 3 k − 2 k {\displaystyle 3^{k}-2^{k}}. O resultado de Lehmer produce un límite máis axustado para conxuntos de números primos pequenos: 2 k − 1 ⋅ max ( 3, ( p k + 1 ) / 2 ) {\displaystyle 2^{k-1}\cdot \max(3, (p_{k}+1)/2)}.
O número de pares consecutivos de números enteiros que son suaves en relación aos primeiros k primos son 1, 4, 10, 23, 40, 68, 108, 167, 241, 345, .. . (secuencia A002071 na OEIS).
O maior número enteiro de todos estes pares, para cada k, é 2, 9, 81, 4375, 9801, 123201, 336141, 11859211, .. . (secuencia A117581 na OEIS). Xeneralizacións e aplicacións
Louis Mordell escribiu sobre este resultado, dicindo que "é moi feituco, e hai moitas aplicacións del". Chein (1976) utilizou o método de Størmer para demostrar a conxectura de Catalan sobre a inexistencia de potencias perfectas consecutivas (diferentes a 8, 9) no caso de que unha das dúas potencias sexa un cadrado.
Mabkhout (1993) demostrou que todo número x 4 + 1 {\displaystyle x^{4}+1}, para x > 3 {\displaystyle x>3}, ten un factor primo maior ou igual a 137. O teorema de Størmer é unha parte importante da súa demostración, na que reduce o problema á solución de 128 ecuacións de Pell.
Varios autores ampliaron o traballo de Størmer proporcionando métodos para enumerar as solucións de ecuacións diofántianas máis xerais, ou proporcionando criterios de divisibilidade máis xerais para as solucións das ecuacións de Pell.
Conrey, Holmstrom e McLaughlin (2013) describen un procedemento computacional que, empíricamente, atopa moitos mais non todos os pares consecutivos de números suaves descritos polo teorema de Størmer, e é moito máis rápido que usar a ecuación de Pell para atopar todas as solucións.