Descomposición en fraccións simples

O método de descomposición en fraccións simples ou descomposición en fraccións parciais consiste en descompor un cociente de polinomios nunha suma de fraccións de polinomios de menor grao. Utilízase principalmente en cálculo integral. Para aplicar os métodos explicados no artigo o grao do polinomio do denominador g ( x ) {\displaystyle g(x)} debe ser estritamente maior que o do numerador f ( x ) {\displaystyle f(x)}, en caso contrario deberíamos aplicar antes unha división de polinomios para obter un numerador con grao menor: f ( x ) g ( x )
p ( x ) + f 1 ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}
p(x)+{\frac {f_{1}(x)}{g(x)}}},
onde f 1 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)} sería de grao menor a g ( x ) {\displaystyle g(x)}. Características
Para maior claridade, sexa: A ( x ) B ( x )
a m x m + a m − 1 x m − 1 +. .. + a 1 x + a 0 b n x n + b n − 1 x n − 1 +. .. + b 1 x + b 0 {\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}
{\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+. .. +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+. .. +b_{1}x+b_{0}}}} onde m < n {\displaystyle m<n}. Para reducir a expresión a fraccións parciais débese expresar a función B ( x ) {\displaystyle B(x)} da forma: B ( x )
( x + a n ) ( x + a n − 1 ). .. ( x + a 1 ) ( x + a 0 ) {\displaystyle B(x)
(x+a_{n})(x+a_{n-1}). .. (x+a_{1})(x+a_{0})\, } ou B ( x )
( a n x 2 + b n x + c n ) ( a n − 1 x 2 + b n − 1 x + c n − 1 ). .. ( a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) ( a 0 x 2 + b 0 x + c 0 ) {\displaystyle B(x)
(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})(a_{n-1}x^{2}+b_{n-1}x+c_{n-1}). .. (a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})(a_{0}x^{2}+b_{0}x+c_{0})\, } é dicir, como o produto de factores lineares ou cadráticos. Casos
Distínguense 4 casos:
Factores lineares distintos
Onde ningún par de factores é idéntico. A 1 ( x + a 1 ) + A 2 ( x + a 2 ) +. .. + A n ( x + a n ) {\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{2})}}+. .. +{\frac {A_{n}}{(x+a_{n})}}} Onde A 1, A 2, .. ., A n {\displaystyle A_{1}, A_{2}, .. ., A_{n}\, } son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.
Factores lineares repetidos
Onde os pares de factores son idénticos. A 1 ( x + a 1 ) + A 2 ( x + a 1 ) 2 +. .. + A n ( x + a 1 ) n {\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{1})^{2}}}+. .. +{\frac {A_{n}}{(x+a_{1})^{n}}}} Onde A 1, A 2, .. ., A n {\displaystyle A_{1}, A_{2}, .. ., A_{n}\, } son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.
Factores cadráticos distintos
Onde ningún par de factores é igual. A 1 x + B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) + A 2 x + B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) +. .. + A n x + B n ( a n x 2 + b n x + c n ) {\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})}}+. .. +{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})}}} Onde A 1, B 1, A 2, B 2, .. ., A n, B n {\displaystyle A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, .. ., A_{n}, B_{n}\, } son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.
Factores cadráticos repetidos
A 1 x + B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) + A 2 x + B 2 ( a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) 2 +. .. + A n x + B n ( a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) n {\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{2}}}+. .. +{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{n}}}} Onde A 1, B 1, A 2, B 2, .. ., A n, B n {\displaystyle A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, .. ., A_{n}, B_{n}\, } son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase. Cómputo das constantes
Para achar as constantes, no caso de factores lineares distintos pódese utilizar a seguinte fórmula: A k
[ A ( x ) B ( x ) ( x + a k ) ] x
− a k {\displaystyle A_{k}
\left[{\frac {A(x)}{B(x)}}(x+a_{k})\right]_{x
-a_{k}}} onde k
( 1, 2, .. ., n ) {\displaystyle k
(1, 2, .. ., n)}.
Para os outros casos non existe unha formulación específica. Con todo, estes pódense resolver simplificando e formando un sistema de ecuacións con cada unha das A k {\displaystyle A_{k}}.
Exemplo 1
Sexa x + 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) {\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}}.
Pódese descompor en x + 3 ( x + 1 ) ( x + 2 )
a x + 1 + b x + 2 {\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}
{\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{x+2}}}. Necesitamos atopar os valores a e b.
O primeiro paso é desfacernos do denominador, o que nos leva a: x + 3 ( x + 1 ) ( x + 2 )
a ( x + 2 ) + b ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) {\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}
{\frac {a(x+2)+b(x+1)}{(x+1)(x+2)}}} Simplificando x + 3
a ( x + 2 ) + b ( x + 1 ) {\displaystyle x+3
a(x+2)+b(x+1)}.
O seguinte paso é asignar valores a x, para obter un sistema de ecuacións, e deste xeito
calcular os valores a e b.
Porén, podemos facer algunhas simplificacións asignando x
− 2 o que produce − 2 + 3
a ( − 2 + 2 ) + b ( − 2 + 1 ) c a l c u l a n d o 1
− b é decir b
− 1 {\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&
-2&\; {\mbox{o que produce}}\\-2+3&
a(-2+2)+b(-2+1)&\; calculando\\1&
-b&\; {\mbox{ é decir}}\\b&
-1\end{array}}}.
Para o caso de a observamos que x
− 1 {\displaystyle x
-1} facilita o proceso x
− 1 − 1 + 3
a ( − 1 + 2 ) + b ( − 1 + 1 ) 2
a a
2 {\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&
-1&{}\\-1+3&
a(-1+2)+b(-1+1)&{}\\2&
a&{}\\a&
2&{}\end{array}}} Sendo o resultado x + 3 ( x + 1 ) ( x + 2 )
2 x + 1 + − 1 x + 2 {\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}
{\frac {2}{x+1}}+{\frac {-1}{x+2}}}.
Exemplo 2
Sexa x 2 + 3 x + 1 ( x + 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}}.
Pódese descompor desta maneira a x + 1 + b ( x + 1 ) 2 + c ( x + 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c}{(x+1)^{3}}}} multiplicando por ( x + 1 ) 3 {\displaystyle (x+1)^{3}}, temos: ( x 2 + 3 x + 1 ) ( x + 1 ) 3 ( x + 1 ) 3
a ( x + 1 ) 3 x + 1 + b ( x + 1 ) 3 ( x + 1 ) 2 + c ( x + 1 ) 3 ( x + 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {(x^{2}+3x+1)(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}
{\frac {a(x+1)^{3}}{x+1}}+{\frac {b(x+1)^{3}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}}.
Simplificando x 2 + 3 x + 1
a ( x + 1 ) 2 + b ( x + 1 ) + c {\displaystyle x^{2}+3x+1
a(x+1)^{2}+b(x+1)+c}.
Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuacións. Sexa x
0 resulta en 1
a + b + c Sexa x
15
4 a + 2 b + c Sexa x
− 1 − 1
0 + 0 + c {\displaystyle {\begin{array}{lrclr}{\text{Sexa}}&x&
&0&{\mbox{resulta en}}\\{}&1&
&a+b+c&{}\\{\text{Sexa}}&x&
&1&{}\\{}&5&
&4a+2b+c&{}\\{\text{Sexa}}&x&
&-1&{}\\{}&-1&
&0+0+c&{}\end{array}}} Resolvendo o sistema de ecuacións, temos finalmente x 2 + 3 x + 1 ( x + 1 ) 3
1 x + 1 + 1 ( x + 1 ) 2 + − 1 ( x + 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}
{\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {-1}{(x+1)^{3}}}}.
Exemplo 3
Temos 1 x ( x 2 + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}} que se pode converter en a x + b x + c x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {a}{x}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+1}}}.
Multiplicamos por x ( x 2 + 1 ) {\displaystyle x(x^{2}+1)} temos: x ( x 2 + 1 ) x ( x 2 + 1 )
a x ( x 2 + 1 ) x + ( b x + c ) x ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {x(x^{2}+1)}{x(x^{2}+1)}}
{\frac {ax(x^{2}+1)}{x}}+{\frac {(bx+c)x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}}.
Simplificando, 1
a ( x 2 + 1 ) + ( b x + c ) x {\displaystyle 1
a(x^{2}+1)+(bx+c)x}.
Agora podemos asignar valores a x Se x
01
a Se x
11
2 a + ( b + c ) ⋅ 11
2 ⋅ 1 + b + c − 1
b + c Se x
− 11
2 a + ( − b + c ) ⋅ − 1 − 1
b − c {\displaystyle {\begin{array}{lrcl}{\text{Se}}&x&
&0\\{}&1&
&a\\{\text{Se}}&x&
&1\\{}&1&
&2a+(b+c)\cdot 1\\{}&1&
&2\cdot 1+b+c\\{}&-1&
&b+c\\{\text{Se}}&x&
&-1\\{}&1&
&2a+(-b+c)\cdot -1\\{}&-1&
&b-c\end{array}}} Resolvendo o sistema, resulta a
1 b
− 1 c
0 {\displaystyle a
1\; b
-1\; c
0} E o problema resólvese desta maneira 1 x ( x 2 + 1 )
1 x + − x x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}
{\frac {1}{x}}+{\frac {-x}{x^{2}+1}}}. Integración de fraccións simples
Para atopar as antiderivadas de fraccións simples pódense distinguir seis casos, dependendo de se o grao do numerador é 0 ou 1, se os polos, é dicir, os ceros do denominador, son reais ou non e se son únicos ou múltiples.
Fraccións simples con polos reais
Hai dous casos para fraccións simples con polos reais, xa que o numerador só pode ter grao 0.
Para polos reais e simples temos ( 1 ) ∫ A x − a d x
A ⋅ ln ⁡ | x − a | + c {\displaystyle (1)\qquad \int {\frac {A}{x-a}}dx
A\cdot \ln |x-a|+c} e para polos reais e múltiples ( n ≠ 1 {\displaystyle n\neq 1} ), temos ( 2 ) ∫ A ( x − a ) n d x
− A ⋅ ( x − a ) − ( n − 1 ) n − 1 + c {\displaystyle (2)\qquad \int {\frac {A}{{(x-a)}^{n}}}dx
{\frac {-A\cdot (x-a)^{-(n-1)}}{n-1}}+c}.
Fraccións simples con polos complexos
Hai catro casos para fraccións simples con polos complexos, xa que o grao do numerador pode ser tanto 0 como 1.
No caso de polos complexos e simples e grao de numerador 0, temos ( 3 ) ∫ B x 2 + p x + q d x
2 B 4 q − p 2 ⋅ arctan ⁡ ( 2 x + p 4 q − p 2 ) + c {\displaystyle (3)\qquad \int {\frac {B}{x^{2}+px+q}}dx
{\frac {2B}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\cdot \arctan \left({\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\right)+c}.
No caso con polos complexos e simples e o grao de numerador 1 pódese reducir a expresión a outras na forma de (3): ( 4 ) ∫ B x + C x 2 + p x + q d x
B 2 ⋅ ln ⁡ ( x 2 + p x + q ) + ( C − p B 2 ) ⋅ ∫ 1 x 2 + p x + q d x + c {\displaystyle (4)\qquad \int {\frac {Bx+C}{x^{2}+px+q}}dx
{\frac {B}{2}}\cdot \ln(x^{2}+px+q)+\left(C-{\frac {pB}{2}}\right)\cdot \int {\frac {1}{x^{2}+px+q}}dx+c} Para os dous casos con múltiples polos, as funcións antiderivadas non se poden determinar directamente, mais pódense atopar regras de recursión.
No caso de polos complexos e múltiples ( n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} ) e grao de numerador 0. temos ( 5 ) ∫ B ( x 2 + p x + q ) n + 1 d x
B ( 4 q − p 2 ) ⋅ n ⋅ 2 x + p ( x 2 + p x + q ) n + 24 q − p 2 ⋅ 2 n − 1 n ⋅ ∫ B ( x 2 + p x + q ) n d x + c. {\displaystyle (5)\qquad \int {\frac {B}{(x^{2}+px+q)^{n+1}}}dx
{\frac {B}{(4q-p^{2})\cdot n}}\cdot {\frac {2x+p}{(x^{2}+px+q)^{n}}}+{\frac {2}{4q-p^{2}}}\cdot {\frac {2n-1}{n}}\cdot \int {\frac {B}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx+c. } O caso con polos complexos e múltiples e o grao de reconto 1 pódese reducrir a expresión a outras do tipo (5) ( n ≠ 1 {\displaystyle n\neq 1} ) ( 6 ) ∫ B x + C ( x 2 + p x + q ) n d x
− B 2 ( n − 1 ) ⋅ 1 ( x 2 + p x + q ) n − 1 + ( C − p B 2 ) ⋅ ∫ 1 ( x 2 + p x + q ) n d x + c. {\displaystyle (6)\qquad \int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx
-{\frac {B}{2(n-1)}}\cdot {\frac {1}{{(x^{2}+px+q)}^{n-1}}}+\left(C-{\frac {pB}{2}}\right)\cdot \int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx+c. }