Centroide (Baricentro)

En matemáticas e física, o centroide, tamén coñecido como centro xeométrico, dunha figura plana ou sólida é a posición media aritmética de todos os puntos da superficie da figura. A mesma definición esténdese a calquera obxecto nun espazo euclidiano n-dimensional. Outra definición de centroide dun plano ou domínio espacial é a de ser un punto de equilíbrio para unha determinada medida nese domínio. Corresponde ao centro de simetría cando o domínio ten dito centro de simetría. A súa existéncia e exclusividade son garantidas cando o dominio for de medida finita. .
En xeometría, adóitase asumir unha densidade de masa uniforme, nese caso o baricentro e o centro de masas coinciden co centroide. Informalmente, pódese entender como o punto no que un obxecto (con masa uniformemente distribuída) podería estar perfectamente equilibrado na punta dun alfinete.
En xeografía, o centroide dunha proxección radial dunha rexión da superficie terrestre ata o nivel do mar é o centro xeográfico da rexión. Propiedades
O centroide xeométrico dun obxecto convexo sempre reside no obxecto. Un obxecto non convexo pode ter un centroide que estea fóra da propia figura. O centroide dun anel ou dunha cunca, por exemplo, atópase no oco central do obxecto.
Se o centroide está definido, é un punto fixo de todas as isometrías do seu grupo de simetría. En particular, o centroide xeométrico dun obxecto atópase na intersección de todos os seus hiperplanos de simetría. O centroide de moitas figuras (polígono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rombo, círculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc. ) pódese determinar só por este principio.
En particular, o centroide dun paralelogramo é o punto de encontro das súas dúas diagonais. Isto non é certo para outros cuadriláteros.
Polo mesmo motivo, o centroide dun obxecto con simetría de translación non está definido (ou está fóra do espazo circundante), porque unha translación non ten punto fixo. Exemplos
O baricentro dun triángulo é a intersección das tres medianas do triángulo (cada mediana conecta un vértice co punto medio do lado oposto). Determinación
Dun conxunto finito de puntos
O centroide dun conxunto finito de k {\displaystyle k} puntos x 1, x 2, …, x k {\displaystyle \mathbf {x} _{1}, \mathbf {x} _{2}, \ldots, \mathbf {x} _{k}} en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é C
x 1 + x 2 + ⋯ + x k k. {\displaystyle \mathbf {C}
{\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}. } Este punto minimiza a suma das distancias euclidianas ao cadrado entre el mesmo e cada punto do conxunto.
Por descomposición xeométrica
O centroide dunha figura plana X {\displaystyle X} pódese calcular dividíndoo nun número finito de figuriñas máis sinxelas X 1, X 2, …, X n, {\displaystyle X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, } calculando o centroide C i {\displaystyle C_{i}} e zona A i {\displaystyle A_{i}} de cada parte, e despois calculando para as coordenadas x e y C x
∑ i C i x A i ∑ i A i, C y
∑ i C i y A i ∑ i A i. {\displaystyle C_{x}
{\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}, \quad C_{y}
{\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}. } Por exemplo, a figura seguinte (a) divídese facilmente nun cadrado e nun triángulo, ambos con área positiva; e un buraquiño circular, con área negativa (b). O centroide de cada parte pódese atopar nunha lista de centroides de formas simples (c). Logo, o centroide da figura é a media ponderada dos tres puntos. A posición horizontal do centroide, dende o bordo esquerdo da figura é x
5 × 102 + 13. 33 × 12102 − 3 × π 2. 52102 + 12102 − π 2. 52 ≈ 8. 5 unidades. {\displaystyle x
{\frac {5\times 10^{2}+13. 33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi 2. 5^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2. 5^{2}}}\approx 8. 5{\text{ unidades}}. } A posición vertical do centroide atópase do mesmo xeito.
A mesma fórmula vale para calquera subconxunto de R d, {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}, } para calquera dimensión d, {\displaystyle d, } coas áreas substituídas polas d {\displaystyle d} -medidas dimensionais das pezas.
Por fórmula integral
O centroide dun subconxunto X {\displaystyle X} de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} tamén se pode calcular mediante a fórmula C
∫ x g ( x ) d x ∫ g ( x ) d x {\displaystyle C
{\frac {\int xg(x)\ dx}{\int g(x)\ dx}}} onde as integrais son tomadas sobre todo o espazo R n, {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}, } e g {\displaystyle g} é a función indicadora do subconxunto X {\displaystyle X} de R n: g ( x )
1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\! :\ g(x)
1} se x ∈ X {\displaystyle x\in X} e g ( x )
0 {\displaystyle g(x)
0} en caso contrario. Teña en conta que o denominador é simplemente a medida do conxunto X. {\displaystyle X. } Esta fórmula non se pode aplicar se o conxunto X {\displaystyle X} ten medida cero, ou se calquera das integrais diverxe.
Dunha rexión delimitada
O centroide ( x ¯, y ¯ ) {\displaystyle ({\bar {x}}, \; {\bar {y}})} dunha rexión limitada polas gráficas das funcións continuas f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} tal que f ( x ) ≥ g ( x ) {\displaystyle f(x)\geq g(x)} no intervalo [ a, b ], {\displaystyle [a, b], } a ≤ x ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq b} está dada por x ¯
1 A ∫ a b x ( f ( x ) − g ( x ) ) d x, y ¯
1 A ∫ a b 12 ( f ( x ) + g ( x ) ) ( f ( x ) − g ( x ) ) d x, {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&
{\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\, dx, \\[5mu]{\bar {y}}&
{\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\, dx, \end{aligned}}} onde A {\displaystyle A} é a área da rexión (dada por ∫ a b ( f ( x ) − g ( x ) ) d x {\textstyle \int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx} ).
Dun triángulo
O centroide ou baricentro dun triángulo é o punto de intersección das súas medianas (as liñas que unen cada vértice co punto medio do lado oposto). O centroide divide cada unha das medianas na relación 2: 1, {\displaystyle 2: 1, } é dicir está situado 13 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} da distancia de cada lado ao vértice oposto (ver as figuras laterais). As súas coordenadas cartesianas son as medias das coordenadas dos tres vértices. É dicir, se os tres vértices o son L
( x L, y L ), {\displaystyle L
(x_{L}, y_{L}), } M
( x M, y M ), {\displaystyle M
(x_{M}, y_{M}), } e N
( x N, y N ), {\displaystyle N
(x_{N}, y_{N}), } a continuación, o centroide (indicado C {\displaystyle C} aquí pero denotado máis habitualmente G {\displaystyle G} en xeometría do triángulo ) é C
13 ( L + M + N )
( 13 ( x L + x M + x N ), 13 ( y L + y M + y N ) ). {\displaystyle C
{\tfrac {1}{3}}(L+M+N)
{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}), {\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}. } O centroide está polo tanto en 13: 13: 13 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}: {\tfrac {1}{3}}: {\tfrac {1}{3}}} en coordenadas baricéntricas.
En coordenadas triliniares o centroide pódese expresar de calquera destes xeitos equivalentes en termos de lonxitudes dos lados a, b, c {\displaystyle a, b, c} e ángulos vértices L, M, N {\displaystyle L, M, N}: C
1 a: 1 b: 1 c
b c: c a: a b
csc ⁡ L: csc ⁡ M: csc ⁡ N
cos ⁡ L + cos ⁡ M ⋅ cos ⁡ N: cos ⁡ M + cos ⁡ N ⋅ cos ⁡ L: cos ⁡ N + cos ⁡ L ⋅ cos ⁡ M
sec ⁡ L + sec ⁡ M ⋅ sec ⁡ N: sec ⁡ M + sec ⁡ N ⋅ sec ⁡ L: sec ⁡ N + sec ⁡ L ⋅ sec ⁡ M. {\displaystyle {\begin{aligned}C&
{\frac {1}{a}}: {\frac {1}{b}}: {\frac {1}{c}}
bc: ca: ab
\csc L: \csc M: \csc N\\[6pt]&
\cos L+\cos M\cdot \cos N: \cos M+\cos N\cdot \cos L: \cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&
\sec L+\sec M\cdot \sec N: \sec M+\sec N\cdot \sec L: \sec N+\sec L\cdot \sec M. \end{aligned}}} O centroide tamén é o centro físico de masas se o triángulo está feito dunha folla uniforme de material.
O conxugado isogonal do centroide dun triángulo é o seu punto simediano.
Dun polígono
O centroide dun polígono pechado non autointersecante definido por n {\displaystyle n} vértices ( x 0, y 0 ), {\displaystyle (x_{0}, y_{0}), \; } ( x 1, y 1 ), …, {\displaystyle (x_{1}, y_{1}), \; \ldots, \; } ( x n − 1, y n − 1 ), {\displaystyle (x_{n-1}, y_{n-1}), } é o punto ( C x, C y ), {\displaystyle (C_{x}, C_{y}), } C x
16 A ∑ i
0 n − 1 ( x i + x i + 1 ) ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ), {\displaystyle C_{\mathrm {x} }
{\frac {1}{6A}}\sum _{i
0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}), } C y
16 A ∑ i
0 n − 1 ( y i + y i + 1 ) ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ), {\displaystyle C_{\mathrm {y} }
{\frac {1}{6A}}\sum _{i
0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}), } e onde A {\displaystyle A} é a área con signo do polígono, como se describe pola fórmula da área de Gauss: A
12 ∑ i
0 n − 1 ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ). {\displaystyle A
{\frac {1}{2}}\sum _{i
0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}). } Nestas fórmulas, suponse que os vértices están numerados por orde de aparición ao longo do perímetro do polígono; ademais, o vértice ( x n, y n ) {\displaystyle (x_{n}, y_{n})} suponse que é o mesmo que ( x 0, y 0 ), {\displaystyle (x_{0}, y_{0}), } pechando o polígono.
Dun tetraedro e un simplex n-dimensional
Un tetraedro é un obxecto no espazo tridimensional que ten como caras catro triángulos. Un segmento de liña que une un vértice dun tetraedro co centroide da cara oposta chámase mediana, e un segmento de liña que une os puntos medios de dúas arestas opostas chámase bimediana. Polo tanto, hai catro medianas e tres bimedianas. Estes sete segmentos de liña reúnense no centroide do tetraedro. As medianas divídense polo centroide na relación 3: 1. {\displaystyle 3: 1. } O centroide dun tetraedro é o punto medio entre o seu punto de Monge e o circuncentro (centro da esfera circunscrita). Estes tres puntos definen a recta de Euler do tetraedro que é análoga á recta de Euler dun triángulo.
Estes resultados xeneralízanse a calquera simplex n {\displaystyle n} -dimensional do seguinte xeito. Se o conxunto de vértices dun simplex é v 0, …, v n, {\displaystyle {v_{0}, \ldots, v_{n}}, } entón considerando os vértices como vectores, o centroide é C
1 n + 1 ∑ i
0 n v i. {\displaystyle C
{\frac {1}{n+1}}\sum _{i
0}^{n}v_{i}. } O centroide xeométrico coincide co centro de masas se a masa se distribúe uniformemente por todo o simplex ou se concentra nos vértices como n + 1 {\displaystyle n+1} masas iguais.