Sigma-álxebra

En análise matemática e teoría da probabilidade, unha σ-álxebra sobre un conxunto X é unha colección non baleira Σ de subconxuntos de X pechados baixo a complementación, a unión numerable e a intersección numerable. O par ordenado ( X, Σ ) {\displaystyle (X, \Sigma )} chámase espazo medible. Definición
Dado un conxunto non baleiro X {\displaystyle X}, e P ( X ) {\displaystyle P(X)} o seu conxunto de partes, dicimos que Σ ⊆ P ( X ) {\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)} é unha σ {\displaystyle \sigma } -álxebra en X {\displaystyle X} se se satisfán as seguintes condicións: O conxunto baleiro ∅ {\displaystyle \emptyset } e o conxunto total X {\displaystyle X} son elementos de Σ {\displaystyle \Sigma }.
Dado un elemento E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma }, o seu conxunto complementario E c
X ∖ E {\displaystyle E^{c}
X\setminus E} tamén pertence a Σ {\displaystyle \Sigma }.
( σ {\displaystyle \sigma } -aditividade) Dado un conxunto numerable { E n } n ∈ N ⊂ Σ {\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma }, o conxunto unión E
⋃ n ∈ N E n {\displaystyle E
\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}} tamén pertence a Σ {\displaystyle \Sigma }.
Dado X {\displaystyle X} un conxunto e Σ {\displaystyle \Sigma } unha σ {\displaystyle \sigma } -álxebra en X {\displaystyle X}, chamamos espazo medible ao par formado por ( X, Σ ) {\displaystyle (X, \Sigma )}. Propiedades das
σ {\displaystyle \sigma } -álxebras
Sexa ( X, Σ ) {\displaystyle (X, \Sigma )} un espazo medible. Pódese demostrar que (Aditividade finita) Dado un conxunto finito { E k } k
1 n {\displaystyle \{E_{k}\}_{k
1}^{n}} de elementos de Σ {\displaystyle \Sigma }, o conxunto unión (finita) E
⋃ k
1 n E k {\displaystyle E
\bigcup _{k
1}^{n}E_{k}} tamén é un elemento de Σ {\displaystyle \Sigma }.
Dado un conxunto numerable { E n } n ∈ N {\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} de elementos de Σ {\displaystyle \Sigma }, o conxunto intersección (numerable) E
⋂ n ∈ N E n {\displaystyle E
\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}} tamén pertence a Σ {\displaystyle \Sigma }. Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de Σ {\displaystyle \Sigma }.
Dados dous elementos E, F {\displaystyle E, F} de Σ {\displaystyle \Sigma }, o conxunto E ∖ F {\displaystyle E\setminus F} tamén pertence a Σ {\displaystyle \Sigma }. Exemplos de
σ {\displaystyle \sigma } -álxebras
Chamamos σ {\displaystyle \sigma } -álxebra trivial á σ {\displaystyle \sigma } -álxebra formada polo conxunto baleiro e o total: Σ
{ ∅, X } {\displaystyle \Sigma
\{\emptyset, X\}}. Trátase da σ {\displaystyle \sigma } -álxebra máis pequena sobre X {\displaystyle X}.
A maior σ {\displaystyle \sigma } -álxebra posible sobre X {\displaystyle X} é o conxunto P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}. Calquera σ {\displaystyle \sigma } -álxebra Σ {\displaystyle \Sigma } sobre X {\displaystyle X} satisfai que { ∅, X } ⊂ Σ ⊂ P ( X ) {\displaystyle \{\emptyset, X\}\subset \Sigma \subset {\mathcal {P}}(X)}.
Dadas dúas σ {\displaystyle \sigma } -álxebras Σ 1 {\displaystyle \Sigma _{1}} e Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{2}}, a súa intersección Σ 1 ∪ Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{1}\cup \Sigma _{2}} é tamén unha σ {\displaystyle \sigma } -álxebra en X {\displaystyle X}.
Dado un subconxunto A ⊂ X {\displaystyle A\subset X}, a menor σ {\displaystyle \sigma } -álxebra sobre X {\displaystyle X} que contén a A {\displaystyle A} é Σ
{ ∅, A, A c, X } {\displaystyle \Sigma
\{\emptyset, A, A^{c}, X\}}.
Dado S ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {P}}(X)}, a menor σ {\displaystyle \sigma } -álxebra sobre X {\displaystyle X} que contén a S {\displaystyle {\mathcal {S}}} é a intersección de todas as σ {\displaystyle \sigma } -álxebras que conteñen a S {\displaystyle {\mathcal {S}}}. Denominámola σ {\displaystyle \sigma } -álxebra xerada por S {\displaystyle {\mathcal {S}}}.
Dado un conxunto A ⊂ X {\displaystyle A\subset X}, denominamos σ {\displaystyle \sigma } -álxebra inducida a Σ A
{ A ∩ E: E ∈ Σ } {\displaystyle \Sigma _{A}
\{A\cap E\colon \ E\in \Sigma \}}. Esta é unha σ {\displaystyle \sigma } -álxebra sobre o conxunto A {\displaystyle A}. Funcións medibles e
σ {\displaystyle \sigma } -álxebras
Dicimos que unha función f: ( X 1, Σ 1 ) → ( X 2, Σ 2 ) {\displaystyle f: (X_{1}, \Sigma _{1})\to (X_{2}, \Sigma _{2})} é medible se a preimaxe dun conxunto medible en ( X 2, Σ 2 ) {\displaystyle (X_{2}, \Sigma _{2})} é medible en ( X 1, Σ 1 ) {\displaystyle (X_{1}, \Sigma _{1})}, isto é, se para cada X ∈ Σ 2 {\displaystyle X\in \Sigma _{2}} tense que f − 1 ( X ) ∈ Σ 1 {\displaystyle f^{-1}(X)\in \Sigma _{1}}.
A noción de función medible motiva a definición das seguintes σ {\displaystyle \sigma } -álxebras:
σ-álxebra mínima
Por construción, esta é a mínima σ {\displaystyle \sigma } -álxebra (no sentido da inclusión) sobre Σ 1 {\displaystyle \Sigma _{1}} tal que a función f: ( X 1, Σ 1 ) → ( X 2, Σ 2 ) {\displaystyle f: (X_{1}, \Sigma _{1})\to (X_{2}, \Sigma _{2})} é medíbel.
σ-álxebra máxima
Trátase da máxima σ {\displaystyle \sigma } -álxebra (no sentido da inclusión) sobre Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{2}} tal que a función f: ( X 1, Σ 1 ) → ( X 2, Σ 2 ) {\displaystyle f: (X_{1}, \Sigma _{1})\to (X_{2}, \Sigma _{2})} é medíbel. σ-álxebras de Borel e Lebesgue
Un exemplo importante é a álxebra de Borel sobre calquera espazo topolóxico: a σ-álxebra xerada polos conxuntos abertos (ou, equivalentemente, polos conxuntos pechados). Esta σ-álxebra non é, en xeral, o conxunto de partes completo. Para un exemplo non trivial que non é un conxunto de Borel, véxase o conxunto de Vitali ou o Conxuntos non borelianos.
No espazo euclidiano R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, outra σ-álxebra é importante: a de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue. Esta σ-álxebra contén máis conxuntos que a σ-álxebra de Borel en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e é a preferida na teoría de integración, xa que dá un espazo de medida completo.