Raíz da unidade módulo n

En teoría de números, e particularmente en aritmética modular, unha raíz k-ésima da unidade módulo n para os enteiros positivos k, n ≥ 2, é unha raíz da unidade no anel de enteiros módulo n; é dicir, unha solución x da ecuación (ou congruencia) x k ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle x^{k}\equiv 1{\pmod {n}}}. Se k é o expoñente máis pequeno deste tipo para x, entón x chámase raíz primitiva k-ésima da unidade módulo n.
As raíces da unidade módulo n son exactamente os números enteiros que son coprimos con n. De feito, estes enteiros son raíces da unidade módulo n polo teorema de Euler, e os outros enteiros non poden ser raíces da unidade módulo n, porque son divisores de cero módulo n.
Unha raíz primitiva módulo n, é un xerador do grupo de unidades do anel de enteiros módulo n. Existen raíces primitivas módulo n se e só se λ ( n )
φ ( n ), {\displaystyle \lambda (n)
\varphi (n), } onde λ {\displaystyle \lambda } e φ {\displaystyle \varphi } son respectivamente a función de Carmichael e a función totiente de Euler.
Unha raíz de unidade módulo n é unha raíz primitiva k da unidade módulo n para algún divisor k de λ ( n ), {\displaystyle \lambda (n), } e, pola contra, hai raíces primitivas k-ésimas da unidade módulo n se e só se k é un divisor de λ ( n ). {\displaystyle \lambda (n). } Raíces da unidade
Propiedades
Se x é unha raíz k-ésima da unidade módulo n, entón x é unha unidade (número invertíbel) cuxa inversa é x k − 1 {\displaystyle x^{k-1}}. É dicir, x e n son coprimos.
Se x é unha unidade, entón é unha raíz (primitiva) k-ésima da unidade módulo n, onde k é a orde multiplicativa de x módulo n.
Se x é unha raíz k-ésima da unidade e x − 1 {\displaystyle x-1} non é un divisor de cero, entón ∑ j
0 k − 1 x j ≡ 0 ( mod n ) {\displaystyle \sum _{j
0}^{k-1}x^{j}\equiv 0{\pmod {n}}}, porque ( x − 1 ) ⋅ ∑ j
0 k − 1 x j ≡ x k − 1 ≡ 0 ( mod n ). {\displaystyle (x-1)\cdot \sum _{j
0}^{k-1}x^{j}\equiv x^{k}-1\equiv 0{\pmod {n}}. } A falta dun símbolo amplamente aceptado, denotamos o número de k-ésimas raíces da unidade módulo n como f ( n, k ) {\displaystyle f(n, k)}.
Exemplos
Sexa n
7 {\displaystyle n
7} e k
3 {\displaystyle k
3}. Neste caso, hai tres raíces cúbicas da unidade (1, 2 e 4). Temos que 13
1 ≡ 1 ( mod 7 ) {\displaystyle 1^{3}
1\equiv 1{\pmod {7}}}, 23
8 ≡ 1 ( mod 7 ) {\displaystyle 2^{3}
8\equiv 1{\pmod {7}}}, 43
64
9 ⋅ 7 + 1 ≡ 1 ( mod 7 ) {\displaystyle 4^{3}
64
9\cdot 7+1\equiv 1{\pmod {7}}}.
Cando n
11 {\displaystyle n
11} porén, só hai unha raíz cúbica da unidade, a propia unidade 1. Este comportamento é bastante diferente do corpo dos números complexos onde cada número distinto de cero ten raíces k-ésimas. Raíces primitivas da unidade
Propiedades
O máximo expoñente base posíbel para raíces primitivas módulo n {\displaystyle n} é λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)}, onde λ denota a función de Carmichael.
Un expoñente base para unha raíz primitiva da unidade é un divisor de λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)}.
Cada divisor k {\displaystyle k} de λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} dá unha raíz primitiva k {\displaystyle k} -ésima da unidade. Pódese obter tal raíz escollendo unha λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} -ésima raíz primitiva da unidade (que debe existir por definición de λ), denominada x {\displaystyle x} e calcular a potencia x λ ( n ) / k {\displaystyle x^{\lambda (n)/k}}.
Se x é unha raíz primitiva k-ésima da unidade e tamén unha (non necesariamente primitiva) raíz ℓ da unidade, daquela k é un divisor de ℓ. Isto é certo, porque a identidade de Bézout produce unha combinación linealr enteira de k e ℓ igual a gcd ( k, ℓ ) {\displaystyle \gcd(k, \ell )}. Como k é mínimo, debe ser k
gcd ( k, ℓ ) {\displaystyle k
\gcd(k, \ell )} e gcd ( k, ℓ ) {\displaystyle \gcd(k, \ell )} é un divisor de ℓ.
Comprobando se x é unha raíz k-ésima primitiva da unidade módulo n
Por exponenciación rápida, pódese comprobar se x k ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle x^{k}\equiv 1{\pmod {n}}}. Se isto é certo, x é unha raíz k-ésima da unidade módulo n mais non necesariamente primitiva. Se non é unha raíz primitiva, entón ha de haber algún divisor ℓ de k, con x ℓ ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle x^{\ell }\equiv 1{\pmod {n}}}. É dicir, x é unha raíz primitiva k-ésima da unidade módulo n se e só se x k ≡ 1 ( mod n ) {\textstyle x^{k}\equiv 1{\pmod {n}}} e x k / p ≢ 1 ( mod n ) {\displaystyle x^{k/p}\not \equiv 1{\pmod {n}}} para cada divisor primo p de n.
Por exemplo, se n
17, {\displaystyle n
17, } todo número enteiro positivo menor que 17 é unha raíz 16 da unidade módulo 17, e os enteiros que son raíces primitivas 16-ésimas da unidade módulo 17 son exactamente aqueles tal que x 16 / 2 ≢ 1 ( mod 17 ). {\displaystyle x^{16/2}\not \equiv 1{\pmod {17}}. }
Atopando unha raíz primitiva k-ésima da unidade módulo n
Entre as raíces primitivas k-ésimas da unidade, as raíces primitiva λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} -ésimas son as máis frecuentes. Así, recoméndase probar algúns enteiros para ver se son unha raíz primitiva λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} -ésima, o que terá éxito rapidamente. Para unha raíz primitiva λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} -ésima x, o número x λ ( n ) / k {\displaystyle x^{\lambda (n)/k}} é unha raíz primitiva k {\displaystyle k} -ésima da unidade. Se k non divide λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)}, entón non haberá raíces k-ésimas da unidade, en absoluto.