Serie converxente

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha secuencia infinita de números. Máis precisamente, unha secuencia infinita ( a 1, a 2, a 3, … ) {\displaystyle (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots )} define unha serie S que se denota S
a 1 + a 2 + a 3 + ⋯
∑ k
1 ∞ a k. {\displaystyle S
a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots
\sum _{k
1}^{\infty }a_{k}. } A n-ésima suma parcial Sn é a suma dos n primeiros termos da secuencia; é dicir, S n
a 1 + a 2 + ⋯ + a n
∑ k
1 n a k. {\displaystyle S_{n}
a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}
\sum _{k
1}^{n}a_{k}. } Unha serie é converxente (ou converxe) se e só se a secuencia ( S 1, S 2, S 3, … ) {\displaystyle (S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots )} das súas sumas parciais tende a un límite; iso significa que, ao engadir un a k {\displaystyle a_{k}} despois do outro, na orde dada polos índices, un obtén sumas parciais que se achegan cada vez máis a un número determinado. Máis precisamente, unha serie converxe, se e só se existe un número ℓ {\displaystyle \ell } tal que para cada número positivo arbitrariamente pequeno ε {\displaystyle \varepsilon }, hai un enteiro (suficientemente grande). N {\displaystyle N} tal que para todos os n ≥ N {\displaystyle n\geq N}, | S n − ℓ | < ε. {\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon. } Se a serie é converxente, o número (necesariamente único) ℓ {\displaystyle \ell } chámase suma da serie.
A mesma notación ∑ k
1 ∞ a k {\displaystyle \sum _{k
1}^{\infty }a_{k}} úsase para a serie e, se é converxente, para a súa suma. Esta convención é semellante á que se usa para a suma: a + b que denota a operación de sumar a e b, así como o resultado desta suma, que se chama suma de a e b.
Calquera serie que non sexa converxente dise que é diverxente ou diverxe. Exemplos de series converxentes e diverxentes
Os inversos dos enteiros positivos producen unha serie diverxente (serie harmónica): 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + ⋯ → ∞. {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty. } Alternar os signos dos inversos dos enteiros positivos produce unha serie converxente: 11 − 12 + 13 − 14 + 15 − ⋯
ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots
\ln(2)} Os recíprocos dos números primos producen unha serie diverxente: 12 + 13 + 15 + 17 + 111 + 113 + ⋯ → ∞. {\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty. } Os recíprocos dos números triangulares producen unha serie converxente: 11 + 13 + 16 + 110 + 115 + 121 + ⋯
2. {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots
2. } Os recíprocos dos factoriais producen unha serie converxente (ver número e): 11 + 11 + 12 + 16 + 124 + 1120 + ⋯
e. {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots
e. } Os recíprocos dos números cadrados producen unha serie converxente (problema de Basilea): 11 + 14 + 19 + 116 + 125 + 136 + ⋯
π 26. {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots
{\pi ^{2} \over 6}. } Os recíprocos das potencias de 2 dan unha serie converxente: 11 + 12 + 14 + 18 + 116 + 132 + ⋯
2. {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots
2. } Os recíprocos dos potencias de calquera n>1 producen unha serie converxente: 11 + 1 n + 1 n 2 + 1 n 3 + 1 n 4 + 1 n 5 + ⋯
n n − 1. {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots
{n \over n-1}. } Alternar os signos dos recíprocos das potencias de 2 tamén produce unha serie converxente: 11 − 12 + 14 − 18 + 116 − 132 + ⋯
23. {\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots
{2 \over 3}. } Alternar os signos dos recíprocos das potencias de calquera n>1 fai unha serie converxente: 11 − 1 n + 1 n 2 − 1 n 3 + 1 n 4 − 1 n 5 + ⋯
n n + 1. {\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots
{n \over n+1}. } Os recíprocos dos números de Fibonacci produce unha serie converxente (ver número áureo): 11 + 11 + 12 + 13 + 15 + 18 + ⋯
ψ. {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots
\psi. } Tests de converxencia
Existen varios métodos para determinar se unha serie converxe ou diverxe. Se unha serie ∑ n
0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}} é converxente entón lim a n → ∞
0 {\displaystyle \lim _{a_{n}\to \infty }
0}. Esta é unha condición necesaria mais non suficiente pois, por exemplo, a serie harmónica ten o termo enésimo con valor cero cando tende a infinito e porén é unha serie diverxente. Test de comparación. Os termos da secuencia { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} compáranse cos doutra secuencia { b n } {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}. Se, para todo n, 0 ≤ a n ≤ b n {\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}, e ∑ n
1 ∞ b n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }b_{n}} converxe, entón tamén o fai ∑ n
1 ∞ a n. {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}. } No entanto, se, para todo n, 0 ≤ b n ≤ a n {\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}, e ∑ n
1 ∞ b n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }b_{n}} diverxe, entón tamén o fai ∑ n
1 ∞ a n. {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}. } Test da razón (ou ratio). Supón que para todo n, a n {\displaystyle a_{n}} non é cero. Supoñamos que existe r {\displaystyle r} tal que lim n → ∞ | a n + 1 a n |
r. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|
r. } Se r < 1, entón a serie é absolutamente converxente. Se r > 1, a serie diverxe. Se r 1, a proba da razón non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.
Test de raíz ou proba de raíz enésima. Supoña que os termos da secuencia en cuestión non son negativos. Definimos r do seguinte xeito: r
lim sup n → ∞ | a n | n, {\displaystyle r
\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}, } onde "lim sup" denota o límite superior.
Se r < 1, a serie converxe. Se r > 1, a serie diverxe. Se r 1, a proba da raíz non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.
Test da integral. A serie pódese comparar cunha integral para estabelecer a converxencia ou a diverxencia. Sexa f ( n )
a n {\displaystyle f(n)
a_{n}} unha función positiva e monótonamente decrecente. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x
lim t → ∞ ∫ 1 t f ( x ) d x < ∞, {\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\, dx
\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\, dx<\infty, } entón a serie converxe. Mais se a integral diverxe, entón a serie tamén o fai.
Test de comparación de límites. Se { a n }, { b n } > 0 {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, \left\{b_{n}\right\}>0}, e o límite lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} existe e non é cero, entón ∑ n
1 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}} converxe se e só se ∑ n
1 ∞ b n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }b_{n}} converxe.
Test de serie alternada. Tamén coñecido como criterio de Leibniz. A tes de series alternadas indica que para unha serie alternada da forma ∑ n
1 ∞ a n ( − 1 ) n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}, se { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} é monótonamente decrecente, e ten un límite de 0 no infinito, entón a serie converxe.
Test de condensación de Cauchy. Se { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} é unha secuencia decrecente monótona positiva, entón ∑ n
1 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}} converxe se e só se ∑ k
1 ∞ 2 k a 2 k {\textstyle \sum _{k
1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}} converxe.
Test de Dirichlet. O test indica que se ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} é unha secuencia monótona de números reais con lim n → ∞ a n
0 {\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}
0} e ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} é unha secuencia de números reais ou números complexos con sumas parciais limitadas, entón a serie ∑ n
1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}b_{n}} converxe.
Test de Abel. Supoña que as seguintes afirmacións son verdadeiras: ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} é unha serie converxente, b n {\displaystyle b_{n}} é unha secuencia monótona e b n {\displaystyle b_{n}} está limitada.
Daquela ∑ a n b n {\displaystyle \sum a_{n}b_{n}} tamén é converxente. Converxencia condicional e absoluta
Se a serie ∑ n
1 ∞ | a n | {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }\left|a_{n}\right|} converxe daquela a serie ∑ n
1 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}} é absolutamente converxente. Toda serie absolutamente converxente é converxente, pero a inversa non é verdade. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función exponencial é absolutamente converxente para cada valor complexo da variabel.
Se a serie ∑ n
1 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}} converxe pero a serie ∑ n
1 ∞ | a n | {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }\left|a_{n}\right|} diverxe, entón a serie ∑ n
1 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}} é condicionalmente converxente. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función logaritmo ln ⁡ ( 1 + x ) {\displaystyle \ln(1+x)} é condicionalmente converxente para x 1.
O teorema de Riemann das series afirma que se unha serie converxe condicionalmente, é posíbel reorganizar os termos da serie de tal xeito que a serie converxa a calquera valor, ou mesmo diverxa. O teorema de Agnew caracteriza os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series. Converxencia uniforme
Sexa { f 1, f 2, f 3, … } {\displaystyle \left\{f_{1}, \ f_{2}, \ f_{3}, \dots \right\}} unha secuencia de funcións. A serie ∑ n
1 ∞ f n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }f_{n}} dise que converxe uniformemente a f se a secuencia { s n } {\displaystyle \{s_{n}\}} de sumas parciais definidas por s n ( x )
∑ k
1 n f k ( x ) {\displaystyle s_{n}(x)
\sum _{k
1}^{n}f_{k}(x)} converxe uniformemente a f.
Hai un análogo do test de comparación para series infinitas de funcións chamada test M de Weierstrass. Criterio de converxencia de Cauchy
O criterio de converxencia de Cauchy estabelece que unha serie ∑ n
1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}} converxe se e só se a secuencia de sumas parciais é unha secuencia de Cauchy. Isto significa que para cada ε > 0, {\displaystyle \varepsilon >0, } hai un número enteiro positivo N {\displaystyle N} tal que para todos os n ≥ m ≥ N {\displaystyle n\geq m\geq N} temos que | ∑ k
m n a k | < ε. {\displaystyle \left|\sum _{k
m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon. } Isto é equivalente a lim m → ∞ ( sup n > m | ∑ k
m n a k | )
0. {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k
m}^{n}a_{k}\right|\right)
0. }