Medida de Lebesgue

Na teoría da medida, unha rama das matemáticas, a medida de Lebesgue, chamada así polo matemático francés Henri Lebesgue, é a forma estándar de asignar unha medida a subconxuntos de n-espazos de dimensión superior. Para as dimensións baixas n 1, 2, ou 3, coincide coa medida estándar de lonxitude, área ou volume. En xeral, tamén se lle chama volume n-dimensional, n-volume, hipervolume ou simplemente volume. Úsase en toda a análise real, en particular para definir a integración de Lebesgue. Os conxuntos aos que se lles pode asignar unha medida de Lebesgue chámanse Lebesgue-medíbeis; a medida do conxunto Lebesgue-medíbel A {\displaystyle A} denótase aquí como λ ( A ) {\displaystyle \lambda (A)}.
Henri Lebesgue describiu esta medida no ano 1901, á que seguiu un ano despois a súa descrición da integral de Lebesgue. Ambas as dúas foron publicadas como parte da súa disertación en 1902. Definición
Para calquera intervalo I
[ a, b ] {\displaystyle I
[a, b]}, ou I
( a, b ) {\displaystyle I
(a, b)}, no conxunto R {\displaystyle \mathbb {R} } de números reais, denote ℓ ( I )
b − a {\displaystyle \ell (I)
b-a} a súa lonxitude. Para calquera subconxunto E ⊆ R {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }, a medida exterior de Lebesgue λ ∗ ( E ) {\displaystyle \lambda ^{\! *\! }(E)} defínese como un ínfimo λ ∗ ( E )
inf { ∑ k
1 ∞ ℓ ( I k ): ( I k ) k ∈ N é unha secuencia de intervalos abertos con E ⊂ ⋃ k
1 ∞ I k }. {\displaystyle \lambda ^{\! *\! }(E)
\inf \left\{\sum _{k
1}^{\infty }\ell (I_{k}): {(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ é unha secuencia de intervalos abertos con }}E\subset \bigcup _{k
1}^{\infty }I_{k}\right\}. } A definición anterior pódese xeneralizar a dimensións superiores do seguinte xeito. Para calquera cuboide rectangular C {\displaystyle C} que é un produto cartesiano C
I 1 × ⋯ × I n {\displaystyle C
I_{1}\times \cdots \times I_{n}} de intervalos abertos, denotamos vol ⁡ ( C )
ℓ ( I 1 ) × ⋯ × ℓ ( I n ) {\displaystyle \operatorname {vol} (C)
\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})} (un produto de números reais) como o seu volume. Para calquera subconxunto E ⊆ R n {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R^{n}} }, λ ∗ ( E )
inf { ∑ k
1 ∞ vol ⁡ ( C k ): ( C k ) k ∈ N é unha secuencia de intervalos abertos con E ⊂ ⋃ k
1 ∞ C k }. {\displaystyle \lambda ^{\! *\! }(E)
\inf \left\{\sum _{k
1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}): {(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ é unha secuencia de intervalos abertos con }}E\subset \bigcup _{k
1}^{\infty }C_{k}\right\}. } Algúns conxuntos E {\displaystyle E} satisfán o criterio de Carathéodory, que require que para todo A ⊆ R n {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R^{n}} }, λ ∗ ( A )
λ ∗ ( A ∩ E ) + λ ∗ ( A ∩ E c ). {\displaystyle \lambda ^{\! *\! }(A)
\lambda ^{\! *\! }(A\cap E)+\lambda ^{\! *\! }(A\cap E^{c}). } Aquí E c {\displaystyle E^{c}} denota o conxunto complemento. Os conxuntos E {\displaystyle E} que satisfán o criterio de Carathéodory dise que son medíbeis por Lebesgue, sendo a súa medida de Lebesgue definida como a súa medida exterior de Lebesgue: λ ( E )
λ ∗ ( E ) {\displaystyle \lambda (E)
\lambda ^{\! *\! }(E)}. O conxunto de todos estes E {\displaystyle E} forma unha σ-álxebra.
Un conxunto E {\displaystyle E} que non cumpre o criterio de Carathéodory non é medíble por Lebesgue. ZFC demostra que existen conxuntos non medíbeis; exemplos diso son os conxuntos de Vitali.
Intuición
A primeira parte da definición afirma que o subconxunto E {\displaystyle E} dos números reais redúcese á súa medida externa mediante a súa cobertura por conxuntos de intervalos abertos. Cada un destes conxuntos de intervalos I {\displaystyle I} cobre E {\displaystyle E} nun sentido, xa que a unión destes intervalos contén E {\displaystyle E}. A lonxitude total de calquera conxunto de intervalos de cobertura pode sobreestimar a medida de E, {\displaystyle E, } porque E {\displaystyle E} é un subconxunto da unión dos intervalos, polo que os intervalos poden incluír puntos que non están en E {\displaystyle E}. A medida externa de Lebesgue emerxe como o límite inferior máximo (ínfimo) das lonxitudes de entre todos os conxuntos posibles. Intuitivamente, é a lonxitude total deses conxuntos de intervalos que se axustan a E {\displaystyle E} o máis axustados posíbel e sen se solaperen.
Iso caracteriza a medida externa de Lebesgue. Que esta medida externa se traduza á medida de Lebesgue propiamente dita depende dunha condición adicional. Esta condición compróbase tomando subconxuntos A {\displaystyle A} dos números reais usando E {\displaystyle E} como instrumento para dividir A {\displaystyle A} en dúas particións: a parte de A {\displaystyle A} que se interseca con E {\displaystyle E} e a parte restante de A {\displaystyle A} que non está en E {\displaystyle E}: a diferenza de conxuntos de A {\displaystyle A} e E {\displaystyle E}. Estas particións de A {\displaystyle A} están suxeitas á medida externa. Se para todos os posíbeis subconxuntos deste tipo A {\displaystyle A} dos números reais, as particións de A {\displaystyle A} cortadas por E {\displaystyle E} teñen medidas externas cuxa suma é a medida externa de A {\displaystyle A}, entón a medida de Lebesgue exterior de E {\displaystyle E} dá a súa medida de Lebesgue. Intuitivamente, esta condición significa que o conxunto E {\displaystyle E} non debe ter algunhas propiedades curiosas que causen unha discrepancia na medida doutro conxunto cando E {\displaystyle E} se usa como unha "máscara" para "recortar" ese conxunto, o que suxire a existencia de conxuntos para os que a medida externa de Lebesgue non dá a medida de Lebesgue. (De feito, estes conxuntos non son medíbeis segundo o criterio de Lebesgue). Exemplos
Calquera intervalo pechado [ a, b ] {\textstyle [a, b]} de números reais é medíbel por Lebesgue, e a súa medida de Lebesgue é a lonxitude b − a {\textstyle b-a}. O intervalo aberto ( a, b ) {\textstyle (a, b)} ten a mesma medida, xa que a diferenza entre os dous conxuntos consiste só nos puntos extremos a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b}, que teñen cada un medida cero.
Calquera produto cartesiano de intervalos [ a, b ] {\textstyle [a, b]} e [ c, d ] {\textstyle [c, d]} é medíbel de Lebesgue, e a súa medida de Lebesgue é ( b − a ) ( c − d ) {\textstyle (b-a)(c-d)}, a área do rectángulo correspondente.
A maiores, todo conxunto de Borel é medíbel segundo Lebesgue. No entanto, hai conxuntos medíbeis segundo Lebesgue que non son conxuntos de Borel.
Calquera conxunto numerábel de números reais ten a medida de Lebesgue 0. En particular, a medida de Lebesgue do conxunto de números alxébricos é 0, mesmo se o conxunto é denso en R {\displaystyle \mathbb {R} }.
O conxunto de Cantor e o conxunto de números de Liouville son ​​exemplos de conxuntos non numerábeis que teñen a medida de Lebesgue 0.
Se o axioma de determinación se cumpre, entón todos os conxuntos de reais son medíbeis de Lebesgue. No entanto, a determinación non é compatébel co axioma de escolla.
Os conxuntos de Vitali son ​​exemplos de conxuntos que son non medíbeis en relación á medida de Lebesgue. A súa existencia baséase no axioma de escolla.
As curvas de Osgood son ​​curvas planas simples con medida de Lebesgue positiva (pódese obter cunha pequena variación da construción da curva de Peano). A curva do dragón é outro exemplo infrecuente.
Calquera recta en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, para n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}, ten unha medida de Lebesgue cero. En xeral, todo hiperplano propio ten unha medida de Lebesgue cero no seu espazo ambiente.
O volume dunha n-bóla pódese calcular en termos da función gamma de Euler. Propiedades
A medida de Lebesgue R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ten as seguintes propiedades: Se A {\textstyle A} é un produto cartesiano de intervalos I 1 × I 2 ×. .. × I n {\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times. .. \times I_{n}}, entón A é medíbel por Lebesgue e λ ( A )
| I 1 | ⋅ | I 2 | ⋯ | I n |. {\displaystyle \lambda (A)
|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|. } Se A {\textstyle A} é unha unión de conxuntos numerabelmente moitos conxuntos medíbeis de Lebesgue disxuntos por pares, entón A {\textstyle A} é en si mesmo medíbel de Lebesgue e λ ( A ) {\textstyle \lambda (A)} é igual á suma (ou serie infinita) das medidas dos conxuntos medíbeis implicados.
Se A {\textstyle A} é medíbel segundo Lebesgue, entón tamén o é o seu complemento. λ ( A ) ≥ 0 {\textstyle \lambda (A)\geq 0} para todo conxunto medíbel segundo Lebesgue A {\textstyle A}.
Se A {\textstyle A} e B {\textstyle B} son medíbeis segundo Lebesgue e A {\textstyle A} é un subconxunto de B {\textstyle B}, entón λ ( A ) ≤ λ ( B ) {\textstyle \lambda (A)\leq \lambda (B)}. (Unha consecuencia de 2).
As unións e as interseccións numerábeis de conxuntos medíbeis de Lebesgue son medíbeis de Lebesgue. (Non é unha consecuencia de 2 e 3, porque unha familia de conxuntos que está pechada baixo complementarios e unións numerábeis disxuntas non necesita estar pechada baixo unións numerábeis: { ∅, { 1, 2, 3, 4 }, { 1, 2 }, { 3, 4 }, { 1, 3 }, { 2, 4 } } {\displaystyle \{\emptyset, \{1, 2, 3, 4\}, \{1, 2\}, \{3, 4\}, \{1, 3\}, \{2, 4\}\}} ).
Se A {\textstyle A} é un subconxunto aberto ou pechado de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (ou mesmo un conxunto de Borel, véxase espazo métrico), entón A {\textstyle A} é medíbel por Lebesgue.
Se A {\textstyle A} é un conxunto medíbel segundo Lebesgue, entón é "aproximadamente aberto" e "aproximadamente pechado" no sentido da medida de Lebesgue.
Un conxunto medíbel segundo Lebesgue pode ser "comprimido" entre un conxunto aberto contedor e un conxunto pechado contido. Esta propiedade utilizouse como unha definición alternativa da medida de Lebesgue. Máis precisamente, E ⊂ R {\displaystyle E\subset \mathbb {R} } é medíbel segundo Lebesgue se e só se para cada ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} existe un conxunto aberto G {\displaystyle G} e un conxunto pechado F {\displaystyle F} tal que F ⊂ E ⊂ G {\displaystyle F\subset E\subset G} e λ ( G ∖ F ) < ε {\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }.
A medida de Lebesgue é tanto localmente finita como regular interna, e polo tanto é unha Medida de Radon.
A medida de Lebesgue é estritamente positiva en conxuntos abertos non baleiros, e polo tanto o seu soporte é a totalidade de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.
Se A {\textstyle A} é un conxunto medíbel de Lebesgue con λ ( A )
0 {\textstyle \lambda (A)
0} (un conxunto nulo), entón cada subconxunto de A {\textstyle A} tamén é un conxunto nulo. Con máis forza, cada subconxunto de A é medíbel.
Se A {\textstyle A} é medíbel de Lebesgue e x é un elemento de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, entón a translación de A {\textstyle A} por x {\textstyle x}, definida por A + x:
{ a + x: a ∈ A } {\displaystyle A+x:
\{a+x: a\in A\}}, tamén é medíbel de Lebesgue e ten a mesma medida que A {\textstyle A}.
Se A {\textstyle A} é medíbel por Lebesgue e δ > 0 {\displaystyle \delta >0}, entón a dilatación de A {\displaystyle A} por δ {\displaystyle \delta } definida por δ A
{ δ x: x ∈ A } {\displaystyle \delta A
\{\delta x: x\in A\}} tamén é medíbel por Lebesgue e ten medida δ n λ ( A ). {\displaystyle \delta ^{n}\lambda \, (A). } De xeito máis xeral, se T {\textstyle T} é unha transformación linear e A {\textstyle A} é un subconxunto medíbel de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, entón T ( A ) {\textstyle T(A)} tamén é medíbel de Lebesgue e ten a medida | det ( T ) | λ ( A ) {\displaystyle \left|\det(T)\right|\lambda (A)}.
Todo o anterior pódese resumir sucintamente do seguinte xeito (aínda que as dúas últimas afirmacións non están trivialmente ligadas ao seguinte): Os conxuntos medíbeis de Lebesgue forman unha σ-álxebra que contén todos os produtos de intervalos, e λ {\displaystyle \lambda } é a única medida completa invariante na translación nesa σ-álxebra con λ ( [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] × ⋯ × [ 0, 1 ] )
1. {\displaystyle \lambda ([0, 1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])
1. } A medida de Lebesgue tamén ten a propiedade de ser σ-finita. Construción da medida de Lebesgue
A construción moderna da medida de Lebesgue é unha aplicación do teorema de extensión de Carathéodory. Procede do seguinte xeito.
Fixamos n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Unha caixa en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é un conxunto da forma B
∏ i
1 n [ a i, b i ], {\displaystyle B
\prod _{i
1}^{n}[a_{i}, b_{i}]\, ,} onde b i ≥ a i {\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}, onde o símbolo do produto aquí representa un produto cartesiano. O volume desta caixa defínese como vol ⁡ ( B )
∏ i
1 n ( b i − a i ). {\displaystyle \operatorname {vol} (B)
\prod _{i
1}^{n}(b_{i}-a_{i})\, .} Para calquera subconxunto A {\displaystyle A} de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, podemos definir a súa medida externa λ ∗ ( A ) {\displaystyle \lambda ^{\! *\! }(A)} por: λ ∗ ( A )
inf { ∑ B ∈ C vol ⁡ ( B ): C é unha colección numerábel de caixas cuxa unión cobre A }. {\displaystyle \lambda ^{*}(A)
\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B): {\mathcal {C}}{\text{ é unha colección numerábel de caixas cuxa unión cobre }}A\right\}. } Despois definimos o conxunto A {\displaystyle A} como Lebesgue-medíbel se para todo subconxunto S {\displaystyle S} de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, λ ∗ ( S )
λ ∗ ( S ∩ A ) + λ ∗ ( S ∖ A ). {\displaystyle \lambda ^{*}(S)
\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\, .} Estes conxuntos medíbeis de Lebesgue forman unha σ- álxebra, e a medida de Lebesgue defínese por λ ( A )
λ ∗ ( A ) {\displaystyle \lambda (A)
\lambda ^{\! *\! }(A)} para calquera conxunto medíbel de Lebesgue A {\displaystyle A}.
A existencia de conxuntos que non son medíbeis segundo Lebesgue é unha consecuencia do axioma da escolla da teoría de conxuntos, que é independente de moitos dos sistemas convencionais de axiomas da teoría de conxuntos. O teorema de Vitali, que se deduce do axioma, afirma que existen subconxuntos de R {\displaystyle \mathbb {R} } que non son medíbeis de Lebesgue. Asumindo o axioma da escolla, demostráronse conxuntos non medíbeis con moitas propiedades sorprendentes, como os do paradoxo de Banach-Tarski. Relación con outras medidas
A medida de Borel coincide coa medida de Lebesgue nos conxuntos para os que está definida; no entanto, hai moitos máis conxuntos medíbeis de Lebesgue que conxuntos medíbeis de Borel. Mentres que a medida de Lebesgue R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é automaticamente unha medida de Borel localmente finita, non todas as medidas de Borel localmente finitas en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} son necesariamente unha medida de Lebesgue. A medida de Borel é invariante na translación, mais non é completa.
A medida de Haar pódese definir en calquera grupo localmente compacto e é unha xeneralización da medida de Lebesgue ( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} coa adición é un grupo localmente compacto).
A medida de Hausdorff é unha xeneralización da medida de Lebesgue que resulta útil para medir os subconxuntos de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} de dimensións inferiores a n, como subvariedades, por exemplo, superficies ou curvas en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} e conxuntos fractais. A medida de Hausdorff non se debe confundir coa noción de dimensión de Hausdorff.
Pódese demostrar que non existe un análogo de dimensión infinita da medida de Lebesgue.