Agregación limitada por difusión

A agregación limitada por difusión (en inglés Diffusion-limited aggregation, DLA) é un proceso estocástico no que as partículas encadenadas aleatorias, liberadas debido ao movemento browniano, agloméranse para formar agregados, aferrándose unhas ás outras. Esta teoría, proposta por Thomas Witten e Leonard Sander en 1981, é aplicable á agregación de calquera sistema onde a difusión é o principal medio de transporte. Deste xeito obtéñense estruturas moi ramificadas e a súa complexidade pódese analizar mediante xeometría fractal.
O DLA pódese usar para modelar algúns patróns naturais, e pódese observar en sistemas como a electrodeposición, o fluxo de Hele-Shaw, os depósitos minerais e a descomposición dieléctrica.
DLA ten algunhas propiedades compartidas cos fractais; ten unha estrutura ben definida a escalas moi pequenas e a súa dimensión de Haussdorff é maior que a dimensión topolóxica. Descrición
O algoritmo de Witten e Sander baséase no modelo de crecemento aleatorio da agregación de partículas. Dado un grupo de n partículas, un camiñante aleatorio tenderá a unirse para formar un grupo de n + 1 partículas. Canto maior sexa o clúster, máis puntos de unión coas partículas non unidas haberá, acelerando así o proceso de ramificación da estrutura. Este é un proceso estocástico, debido á natureza probabilística do camiñante aleatorio.
As estruturas construídas por este algoritmo son moi ramificadas e a súa dimensión fractal pódese calcular a partir do número de partículas e do seu raio medio. Para calquera dimensión topolóxica d {\displaystyle d}, a dimensión fractal D f {\displaystyle D_{f}} ten un valor enteiro que tende a d − 1 {\displaystyle d-1}. Non obstante, a natureza fractal do DLA é débil polo que non está lonxe d {\displaystyle d}, especialmente en dúas dimensións. Ademais, isto varía moito dependendo da estrutura da rede e da xeometría da simulación. Hai que ter en conta que calcular a dimensión nunha soa mostra non é suficiente, xa que hai moitas estruturas posibles e a dimensión fractal entre elas varía moito (por exemplo, se se formase unha liña recta de partículas a dimensión sería 1, pero o probabilidade de que ocorra é moi baixa). Polo tanto, para facer un cálculo máis fiable da dimensión fractal da estrutura, hai que facer moitas réplicas, utilizando un modelo de Monte Carlo. Fluxo Hele-Shaw
A velocidade dun fluído nun ambiente poroso é proporcional ao gradiente de presión dun fluído: v →
− k μ ∇ p {\displaystyle {\vec {v}}
-{\frac {k}{\mu }}\nabla p} on k {\displaystyle k} é a permeabilidade do medio poroso e μ {\displaystyle \mu } a viscosidade do fluído.
Se se considera un fluído non compresible, a ecuación anterior leva á ecuación de Laplace. Ao introducir un segundo fluído cunha viscosidade moito menor, obtense un fluxo Hele-Shaw. A presión deste novo fluído pódese considerar constante, debido á súa baixa viscosidade, polo que segue sendo aplicable a ecuación de Laplace. O proceso DLA é similar, se estes parámetros se usan para definir a probabilidade de adhesión aleatoria do andador. Aínda que o fluxo de Hele-Shaw é de natureza determinista (mentres que o DLA é estocástico), en ambos os casos o crecemento da interface é o suficientemente lento como para usar a ecuación de Laplace en lugar da ecuación de difusión. Polo tanto, o modelo de Laplace é útil para explicar patróns formados no DLA. Do mesmo xeito, o DLA ou as súas variantes utilizáronse para modelar procesos como a electrodeposición ou a fractura dieléctrica. Método de Hastings-Levitov
Dado que as funcións analíticas bidimensionais satisfán a ecuación de Laplace para calquera punto non singular, a teoría do mapeo conforme proporciona outro mecanismo para construír formas. Así, pódese crear un DLA bidimensional aplicando repetidamente iteracións estocásticas de mapeo conforme. O mapeo conforme defínese como a función f ( z ) {\displaystyle f(z)} dende o plano complexo ata a rexión conectada a D, onde a súa derivada d f / d z {\displaystyle df/dz} nunca é cero para D. Como resultado, un proporciona unha asignación a outra rexión que simplemente está conectada internamente por D, mapeando os límites dunha rexión cos límites da outra. Riemann demostrou que para rexións finitas o mapa é único. A función inversa tamén é única, g ( f ( z ) )
z {\displaystyle g(f(z))
z}.
Se definimos un mapa de raio circular r {\displaystyle r} onde se forman picos de radio a {\displaystyle a}, o método de Hastings-Levitov pódese usar para definir a función de mapeo: w
f a ( z )
( z − a + r 2 z − a ) / 2 {\displaystyle w
f_{a}(z)
(z-a+{\frac {r^{2}}{z-a}})/2} Por este método, obtense un DLA cando estes picos se aplican aleatoriamente e todos teñen o mesmo tamaño. O número de picos é igual ao tamaño dos grupos.
Este método é análogo ao fluxo de Hele-Shaw descrito anteriormente: a probabilidade de que unha partícula atope a estrutura satisfai a ecuación de Laplace ∇ 2 ψ ( z )
0 {\displaystyle \nabla ^{2}\psi (z)
0}, coas condicións: A probabilidade será cero no bordo do cúmulo (xa que a partícula se pega cando toca unha partícula do cúmulo): ψ ( z )
0, z ∈ ∂ C {\displaystyle \psi (z)
0, z\in \partial C} A función ψ ( z ) {\displaystyle \psi (z)} debe ser independente do enderezo: ψ ( z )
12 π ln ⁡ | z |, | z | → ∞ {\displaystyle \psi (z)
{\frac {1}{2\pi }}\ln {\vert z\vert }, \vert z\vert \rightarrow \infty } A probabilidade de crecemento acumulada no punto z {\displaystyle z} é d P ( z )
| ∇ ψ ( z ) | d l {\displaystyle dP(z)
\vert \nabla \psi (z)\vert dl}. Segundo a teoría do mapeo de Riemann, existe un mapeo conforme que sinala o exterior do círculo unitario cara ao exterior do cluster. Esta propiedade tamén permite calcular a dimensión fractal, pola relación entre o raio e o número de picos. Nos cúmulos isótropos, a densidade de correlación depende só da distancia r {\displaystyle r}. Multifractalidade
Os clústeres dun DLA teñen multifractalidade, é dicir, teñen diferentes tipos de fractais en diferentes rexións do DLA. A probabilidade de que unha nova partícula se insira no cúmulo por contacto cunha partícula concreta p i {\displaystyle p_{i}} do cúmulo non é uniforme entre todas as partículas do cúmulo. É máis fácil que se poña en contacto cos de fóra que cos de dentro, xa que para chegar aos de dentro ten que esquivar aos demais. Como a distribución das partículas é multifractal, pódese definir unha función para calcular estas diferenzas e obter a dimensión fractal en cada partícula. A dimensión fractal conxunta calculada será a máxima obtida con este método.
A multifractalidade é especialmente interesante neste caso porque as características multifractais son leis de escala que se relacionan coas probabilidades da dimensión fractal. Outras técnicas
A autosemellanza do DLA pódese analizar mediante a teoría da renormalización e os resultados obtidos. Outro enfoque para examinar o problema é considerar que as ramas se solapan ao mesmo tempo nun sistema dinámico. Deste xeito tamén se pode obter información sobre a multifractalidade do sistema.