Logaritmo integral

En matemáticas, a función integral logarítmica ou logaritmo integral li( x ) é unha función especial. É relevante en problemas de física e ten importancia na teoría de números. En particular, segundo o teorema dos números primos, é unha moi boa aproximación á función de contaxe de primos, que se define como o número de números primos menores ou iguais a un determinado valor x. Representación como integral
O logaritmo integral ten unha representación enteira definida para todos os números reais positivos x ≠ 1 pola integral definida li ⁡ ( x )
∫ 0 x d t ln ⁡ t. {\displaystyle \operatorname {li} (x)
\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}. } Aquí, ln denota o logaritmo natural. A función 1/(ln t) ten unha singularidade en t
1, e a integral para x > 1 interprétase como un valor principal de Cauchy, li ⁡ ( x )
lim ε → 0 + ( ∫ 01 − ε d t ln ⁡ t + ∫ 1 + ε x d t ln ⁡ t ). {\displaystyle \operatorname {li} (x) \lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right). } Logaritmo integral desprazado
O logaritmo integral desprazado ou integral logarítmica euleriana defínese como Li ⁡ ( x )
∫ 2 x d t ln ⁡ t
li ⁡ ( x ) − li ⁡ ( 2 ). {\displaystyle \operatorname {Li} (x)
\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}
\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2). } Como tal, a representación integral ten a vantaxe de evitar a singularidade no dominio da integración.
De forma equivalente, li ⁡ ( x )
∫ 0 x d t ln ⁡ t
Li ⁡ ( x ) + li ⁡ ( 2 ). {\displaystyle \operatorname {li} (x)
\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}
\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2). } Valores especiais
A función li(x) ten un único cero positivo; ocorre en x ≈ 1, 4513692348833810502839684858920274494930. .. (secuencia A070769 na OEIS); este número coñécese como constante de Ramanujan-Soldner. li ⁡ ( Li − 1 ( 0 ) )
li ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {li} ({\text{Li}}^{-1}(0))
{\text{li}}(2)} ≈ 1, 045163780117492784844588889194613136522615578151. .. (secuencia A069284 na OEIS)
Isto é − ( Γ ( 0, − ln ⁡ 2 ) + i π ) {\displaystyle -(\Gamma (0, -\ln 2)+i\, \pi )} onde Γ ( a, x ) {\displaystyle \Gamma (a, x)} é a función gamma incompleta. Debe entenderse como o valor principal de Cauchy da función. Representación en serie
A función li(x) está relacionada coa integral exponencial Ei(x) mediante a ecuación li ⁡ ( x )
Ei ( ln ⁡ x ), {\displaystyle \operatorname {li} (x)
{\hbox{Ei}}(\ln x), } que é válido para x > 0. Esta identidade proporciona unha representación en serie de li(x) como li ⁡ ( e u )
Ei ( u )
γ + ln ⁡ | u | + ∑ n
1 ∞ u n n ⋅ n! para u ≠ 0, {\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})
{\hbox{Ei}}(u)
\gamma +\ln |u|+\sum _{n
1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n! }\quad {\text{ para }}u\neq 0\, ,} onde γ ≈ 0, 577215664901532. .. (secuencia A001620 na OEIS) é a constante de Euler-Mascheroni. Unha serie máis rapidamente converxente de Ramanujan é li ⁡ ( x )
γ + ln ⁡ | ln ⁡ x | + x ∑ n
1 ∞ ( ( − 1 ) n − 1 ( ln ⁡ x ) n n! 2 n − 1 ∑ k
0 ⌊ ( n − 1 ) / 2 ⌋ 12 k + 1 ). {\displaystyle \operatorname {li} (x)
\gamma +\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n
1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n! \, 2^{n-1}}}\sum _{k
0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right). } Expansión asintótica
O comportamento asintótico para x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } é li ⁡ ( x )
O ( x ln ⁡ x ). {\displaystyle \operatorname {li} (x)
O\left({\frac {x}{\ln x}}\right). } onde O {\displaystyle O} é a notación O grande. A expansión asintótica completa é li ⁡ ( x ) ∼ x ln ⁡ x ∑ k
0 ∞ k! ( ln ⁡ x ) k {\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {k! }{(\ln x)^{k}}}} ou li ⁡ ( x ) x / ln ⁡ x ∼ 1 + 1 ln ⁡ x + 2 ( ln ⁡ x ) 2 + 6 ( ln ⁡ x ) 3 + ⋯. {\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots. } Isto dá o seguinte comportamento asintótico máis preciso: li ⁡ ( x ) − x ln ⁡ x
O ( x ( ln ⁡ x ) 2 ). {\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}
O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right). } Como expansión asintótica, esta serie non é converxente: é unha aproximación razoábel só se a serie se trunca nun número finito de termos e só se empregan valores grandes de x. Esta expansión segue directamente da expansión asintótica para a integral exponencial.
Isto implica, por exemplo, que podemos a podemos limitar por ambos lados como: 1 + 1 ln ⁡ x < li ⁡ ( x ) ln ⁡ x x < 1 + 1 ln ⁡ x + 3 ( ln ⁡ x ) 2 {\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}} para todo ln ⁡ x ≥ 11 {\displaystyle \ln x\geq 11}. Importancia en teoría de números
A integral logarítmica é importante na teoría de números, xa que aparece nas estimacións do número de números primos inferiores a un valor dado. Por exemplo, o teorema dos números primos indica que: π ( x ) ∼ li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)} onde π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} indica o número de primos menores ou iguais a x {\displaystyle x}.
Asumindo a hipótese de Riemann, temos unha relación aínda máis forte: | li ⁡ ( x ) − π ( x ) |
O ( x log ⁡ x ) {\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|
O({\sqrt {x}}\log x)} De feito, a hipótese de Riemann é equivalente á afirmación de que: | li ⁡ ( x ) − π ( x ) |
O ( x 1 / 2 + a ) {\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|
O(x^{1/2+a})} para calquera a > 0 {\displaystyle a>0}.
Para pequenos x {\displaystyle x}, li ⁡ ( x ) > π ( x ) {\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)} mais a diferenza muda de signo un número infinito de veces cando x {\displaystyle x} aumenta, e a primeira vez que isto ocorre é entre 1019 e 1. 4×10316.