Estatística de Bose-Einstein

A estatística de Bose-Einstein é un tipo de mecánica estatística aplicable á determinación das propiedades estatísticas de grandes conxuntos de partículas indistinguibles capaces de coexistir no mesmo estado cuántico (bosóns) en equilibrio térmico. A baixas temperaturas, os bosóns tenden a ter un comportamento cuántico similar que pode chegar a ser idéntico a temperaturas próximas ao cero absoluto nun estado da materia coñecido como condensado de Bose-Einstein, producido por primeira vez en laboratorio no ano 1995. O condensador Bose-Einstein funciona a temperaturas próximas do cero absoluto, -273, 16 °C (0 Kelvin).
A estatística de Bose-Einstein foi introducida para estudar as propiedades estatísticas dos fotóns en 1920 polo físico hindú Satyendra Nath Bose e xeneralizada para átomos e outros bosóns por Albert Einstein en 1924. Este tipo de estatística está intimamente relacionada coa estatística de Maxwell-Boltzmann (derivada inicialmente para gases) e as estadísticas de Fermi-Dirac (aplicables a partículas denominadas fermións sobre as que rexe o principio de exclusión de Pauli que impide que dous fermións compartan o mesmo estado cuántico).
A estatística de Bose-Einstein redúcese á estatística de Maxwell-Boltzmann para enerxías suficientemente elevadas. Formulación matemática
O número de partículas nun estado de enerxía i é: n i ( ε i, T )
g i e ( ε i − μ ) / k B T − 1 {\displaystyle n_{i}\left(\varepsilon _{i}{\text{, }}T\right)
{\frac {g_{i}}{e^{{\left(\varepsilon _{i}-\mu \right)}/{k_{B}T}\; }-1}}} onde: n i {\displaystyle n_{i}\, } é o número de partículas nun estado i. g i {\displaystyle g_{i}\, } é a dexeneración cuántica do estado i ou número de funcións de onda diferentes que posúen dita enerxía. ϵ i {\displaystyle \epsilon _{i}\, } é a enerxía do estado i. μ {\displaystyle \mu \, } é o potencial químico. k B {\displaystyle k_{B}\, } é a constante de Boltzmann. T {\displaystyle T\, } é a temperatura.
A estatística de Bose-Einstein redúcese á estadística de Maxwell-Boltzmann para enerxías: ( ϵ i − μ ) >> k T {\displaystyle (\epsilon _{i}-\mu )>>kT} Derivación
Dado que os sistemas bosónicos son sistemas de partículas indistinguibles, os estados cuxa única diferenza é a permutación de estados de dúas partículas son idénticos. Deste xeito, un estado do sistema estará univocamente definido polo número de partículas que se encontren nun determinado estado enerxético. Denotarase por ϵ r {\displaystyle \epsilon _{r}} o estado enerxético r-ésimo, por n r {\displaystyle n_{r}} o número de partículas no estado r-ésimo e R cada unha das posibles combinacións de números de ocupación. A función de partición resulta: Z
∑ l e − β ( E l − μ n l )
∑ R e − β ∑ r ( ϵ r n r − μ n r )
∑ R ∏ r e − β ( ϵ r n r − μ n r ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}
\sum _{l}e^{-\beta (E_{l}-\mu n_{l})}
\sum _{R}e^{-\beta \sum _{r}(\epsilon _{r}n_{r}-\mu n_{r})}
\sum _{R}\prod _{r}e^{-\beta (\epsilon _{r}n_{r}-\mu n_{r})}} A anterior expresión contén todas as combinacións posibles de n r {\displaystyle n_{r}} entre 0 e ∞ {\displaystyle \infty } (posto que nun sistema bosónico o número de partículas por estado cuántico non está limitado) de forma que pode ser reescrita do seguinte xeito: Z
∏ r ∑ n r
0 ∞ e − β ( ϵ r n r − μ n r )
∏ r 11 − e − β ( ϵ r − μ ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}
\prod _{r}\sum _{n_{r}
0}^{\infty }e^{-\beta (\epsilon _{r}n_{r}-\mu n_{r})}
\prod _{r}{\frac {1}{1-e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )}}}} Aplicando que: Φ
k B T l n Z y ∂ Φ ∂ μ
− N {\displaystyle \Phi
k_{B}Tln{\mathcal {Z}}\quad y\quad {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}
-N} Tense que: Φ
k B T l n Z
− k B T ∑ r l n ( 1 − e − β ( ϵ r − μ ) ) ⇒ ∂ Φ ∂ μ
− N
− ∑ r n r
− ∑ r e − β ( ϵ r − μ ) 1 − e − β ( ϵ r − μ ) {\displaystyle \Phi
k_{B}Tln{\mathcal {Z}}
-k_{B}T\sum _{r}ln(1-e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )})\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}
-N
-\sum _{r}n_{r}
-\sum _{r}{\frac {e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )}}{1-e^{-\beta (\epsilon _{r}-\mu )}}}} De modo que: n r
1 e β ( ϵ r − μ ) − 1 {\displaystyle n_{r}
{\frac {1}{e^{\beta (\epsilon _{r}-\mu )}-1}}} Debido a que poden existir diferentes estados cuánticos cunha mesma enerxía, o número de partículas cunha determinada enerxía virá dado por: n ϵ
g ϵ e β ( ϵ − μ ) − 1 {\displaystyle n_{\epsilon }
{\frac {g_{\epsilon }}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}} sendo g E {\displaystyle g_{E}} a dexeneración de tal enerxía.
Na anterior expresión obsérvase que o potencial químico será menor que todas as enerxías, do contrario o número medio de partículas nun estado podería ser negativo. Aplicacións
A distribución de enerxía da radiación do corpo negro dedúcese da aplicación da estatística de Bose-Einstein aos fotóns que compoñen a radiación electromagnética.
A capacidade calorífica dos sólidos tanto a altas como a baixas temperaturas pode ser deducida a partir da estatística de Bose-Einstein aplicada aos fonóns, cuasipartículas que dan conta das excitacións da rede cristalina. En particular a lei de Dulong-Petit pode ser deducida da estatística de Bose-Einstein.