Teorema de Stokes

O teorema de Stokes, tamén coñecido como teorema de Kelvin-Stokes
após Lord Kelvin e George Stokes, teorema fundamental para rotacionais, ou sinxelamente teorema do rotacional, é un teorema do cálculo vectorial en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Dado un campo vectorial, o teorema relaciona a integral do rotacional do campo vectorial sobre unha superficie, coa integral de liña do campo ao redor da fronteira da superficie. O teorema clásico de Stokes pode ser enunciado nunha frase: A integral de liña dun campo vectorial sobre un lazo é igual á integral de superficie do seu rotacional sobre a superficie rodeada.
O teorema de Stokes é un caso especial do teorema de Stokes xeneralizado. En particular, un campo de vectores en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} pode ser considerado como unha 1-forma, deste xeito o seu rotacional é a derivada exterior, unha 2-forma. Teorema
Sexa Σ {\displaystyle \Sigma } unha superficie diferenciable orientada en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} con fronteira ∂ Σ ≡ Γ {\displaystyle \partial \Sigma \equiv \Gamma }. Se un campo vectorial F ( x, y, z )
( F x ( x, y, z ), F y ( x, y, z ), F z ( x, y, z ) ) {\displaystyle \mathbf {F} (x, y, z)
(F_{x}(x, y, z), F_{y}(x, y, z), F_{z}(x, y, z))} está definido e ten derivadas parciais de primeira orde continuas nunha rexión que contén a Σ {\displaystyle \Sigma }, entón ∬ Σ ( ∇ × F ) ⋅ d Σ
∮ ∂ Σ F ⋅ d Γ. {\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma }
\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma }. } Máis explicitamente, a igualdade di que ∬ Σ ( ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) d y d z + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) d z d x + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) d x d y )
∮ ∂ Σ ( F x d x + F y d y + F z d z ). {\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\, \mathrm {d} y\, \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\, \mathrm {d} z\, \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\, \mathrm {d} x\, \mathrm {d} y\right)\\&
\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\, \mathrm {d} x+F_{y}\, \mathrm {d} y+F_{z}\, \mathrm {d} z{\Bigr )}. \end{aligned}}} O principal desafío nun enunciado preciso do teorema de Stokes é definir a noción de fronteira. Superficies como o copo de neve de Koch, por exemplo, sábese que teñen unha fronteira que non é Riemann-integrable, e a noción de medida de superficie na teoría de Lebesgue non se pode definir para unha superficie non Lipschitziana. Unha técnica (avanzada) é pasar a unha formulación débil e aplicar a maquinaria de teoría de medida xeométrica; para esta aproximación ver o fórmula da coárea. Neste artigo, polo contrario, utilizamos unha definición máis elemental, baseada no feito de que os subconxuntos de dimensión máxima de R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} teñen un bordo ben definido.
Daremos un enunciado máis detallado para discusións posteriores. Sexa γ: [ a, b ] → R 2 {\displaystyle \gamma: [a, b]\to \mathbb {R} ^{2}} unha curva de Jordan diferenciable a anacos, é dicir, unha curva plana pechada e simple. O teorema da curva de Jordan implica que γ {\displaystyle \gamma } divide R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} en dous compoñentes, un compoñente compacto e outro que non o é. Denotemos por D {\displaystyle D} a parte compacta; entón D {\displaystyle D} está limitada por γ {\displaystyle \gamma }. Agora abonda con transferir esta noción de bordo ao longo dunha aplicación continua á nosa superficie en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Mais xa temos tal aplicación: a parametrización de Σ {\displaystyle \Sigma }. Sexa ψ: D → R 3 {\displaystyle \psi: D\to \mathbb {R} ^{3}} diferenciable a anacos na veciñanza de D {\displaystyle D}, con Σ
ψ ( D ) {\displaystyle \Sigma
\psi (D)}.
Se Γ {\displaystyle \Gamma } é a curva espacial definida por Γ ( t )
ψ ( γ ( t ) ) {\displaystyle \Gamma (t)
\psi (\gamma (t))}, entón chamamos a Γ {\displaystyle \Gamma } o bordo de Σ {\displaystyle \Sigma }, que escribimos como ∂ Σ {\displaystyle \partial \Sigma }. Coa notación anterior, se F {\displaystyle \mathbf {F} } é calquera campo vectorial suave en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, entón ∮ ∂ Σ F ⋅ d Γ
∬ Σ ∇ × F ⋅ d Σ. {\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \, \cdot \, \mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }\;
\; \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \, \cdot \, \mathrm {d} \mathbf {\Sigma }. } Aquí, o " ⋅ {\displaystyle \cdot } " representa o produto escalar en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.