Teorema das raíces racionais

En álxebra, o teorema das raíces racionais (ou test das raíces racionais, teorema dos ceros racionais, test dos ceros racionais ou teorema p/q) estabelece unha condición sobre as solucións racionais dunha ecuación polinomial a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0
0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}
0} con coeficientes enteiros. As solucións da ecuación son as raíces (equivalentemente, os ceros) do polinomio do lado esquerdo da ecuación.
O teorema estabelece que se a0 e an son diferentes de cero, entón, cada solución racional x, cando é escrita como unha fracción irredutíbel x p/q (isto é, en que o máximo común divisor de p e q é 1), satisfai: p é un factor enteiro do termo constante a0, e
q é un factor enteiro do coeficiente dominante an.
O teorema das raíces racionais é un caso especial (para un único factor linear) do lema de Gauss sobre a factorización de polinomios. O teorema das raíces enteiras é un caso especial do teorema das raíces racionais se o coeficiente dominante an 1. Aplicación
O teorema é usado para determinar se un polinomio ten algunha raíz racional e, en caso afirmativo, encontralas. Unha vez que o teorema impón que o numerador e o denominador de raíces racionais irredutíbeis sexan divisores de certos números, tódalas combinacións posíbeis de divisores poden ser verificadas e as raíces racionais serán atopadas, ou será determinado que non existen raíces racionais. Se unha ou máis raíces fosen atopadas, pódese factorizar ao polinomio, obtendo un polinomio de menor grao cuxas raíces tamén son raíces do polinomio orixinal.
Ecuación cúbica
A ecuación cúbica xeral a x 3 + b x 2 + c x + d
0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d
0} con coeficientes enteiros ten tres solucións no plano complexo. Se fose concluído por medio do test das raíces racionais que non existen solucións racionais, entón a única forma de expresar as solucións alxebricamente é usando raíces cúbicas. Mais se o test encontra tres solucións racionais entón xa non precisamos usar raíces cúbicas. E de existir exactamente unha solución racional r, entón (x – r) pode factorizar o polinomio cúbico usando a división longa de polinomios ou coa axuda da regra de Ruffini, deixando un polinomio cadrático cuxas dúas raíces son as outras dúas raíces da ecuación cúbica; e estas poden ser atopadas resolvendo a ecuación cadrática, e novamente evitando o uso de raíces cúbicas. Demostracións
Primeira demostración
Sexa P ( x )
a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0, a 0, … a n ∈ Z. {\displaystyle P(x)
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}, \ a_{0}, \ldots a_{n}\in \mathbf {Z}. } Supoña que P ( p / q )
0 {\displaystyle P(p/q)
0} para certos números primos entre si p, q ∈ Z {\displaystyle p, q\in \mathbb {Z} }: P ( p q )
a n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( p q ) + a 0
0. {\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)
a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}
0. } Multiplicamos ámbolos por q n {\displaystyle q^{n}}, movemos o termo constante para o lado dereito, e evidente a existencia dun factor p {\displaystyle p} común no membro esquerdo: p ( a n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + ⋯ + a 1 q n − 1 )
− a 0 q n. {\displaystyle p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})
-a_{0}q^{n}. } Obsérvase que p {\displaystyle p} divide a 0 q n {\displaystyle a_{0}q^{n}}. Mais p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q} son primos entre si e por tanto p {\displaystyle p} e q n {\displaystyle q^{n}} tamén o son, entón polo lema de Euclides (na súa forma xeneralizada) debe dividir o factor restante a 0 {\displaystyle a_{0}} do produto.
Se en vez diso, o termo dominante fose movido para a dereita e sacárase o factor q no lado esquerdo, obteríase q ( a n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + a 0 q n − 1 )
− a n p n. {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)
-a_{n}p^{n}. } E por razóns semellantes, pódese concluír que q divide an.
Demostración usando o lema de Gauss
No caso de existir un factor non trivial dividindo tódolos coeficientes do polinomio, pódese dividir polo maior divisor común dos coeficientes, de modo a obter un polinomio primitivo no sentido do lema de Gauss; notamos que isto non altera o conxunto das raíces racionais e só reforza as condicións de divisibilidade. O lema di que se o polinomio é factorizábel en Q[X] entón tamén é factorizábel en Z[X] como un produto de polinomios primitivos. Agora, calquera raíz racional p/q corresponde a un factor de grao 1 en Q[X] do polinomio, e o seu representante primitivo é qx − p, supondo que p e q son primos entre si. Mais calquera múltiplo de qx − p en Z[X] ten o termo dominante divisíbel por q e o termo constante divisíbel por p, o que comproba a afirmación. Este argumento mostra que, mais xeralmente, pode suporse que calquera factor irredutíbel de P ten coeficientes enteiros, e os coeficientes dominante e constante dividen os coeficientes correspondentes de P. Exemplos
Primeiro
No polinomio 2 x 3 + x − 1, {\displaystyle 2x^{3}+x-1, } calquera raíz racional totalmente reducida debería ter un numerador que divide exactamente a 1 e un denominador que divide exactamente a 2. Así, as únicas raíces racionais posíbeis son ±1/2 e ±1; como ningunha destas cantidades anula o polinomio, non posúe raíces racionais.
Segundo
No polinomio x 3 − 7 x + 6 {\displaystyle x^{3}-7x+6} as únicas raíces racionais posíbeis deberían ter un numerador que divide 6 e un denominador que divide 1, limitando as posibilidades a ±1, ±2, ±3, ±6. Destes, 1, 2 e -3 anulan o polinomio e, por tanto, son as súas raíces racionais. (Na verdade, esas son as súas únicas raíces pois unha ecuación cúbica ten apenas tres raíces; en xeral, un polinomio podería ter algunhas raíces racionais e algunhas irracionais. )
Terceira
Tódalas raíces racionais do polinomio 3 x 3 − 5 x 2 + 5 x − 2 {\displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2} deben estar entre os números indicados simbolicamente por ± 1, 21, 3, {\displaystyle \pm {\frac {1, 2}{1, 3}}\, ,} o que resulta nunha lista coas 8 posíbeis respostas: ± { 1, 2, 13, 23 }. {\displaystyle \pm \left\{1, 2, {\frac {1}{3}}, {\frac {2}{3}}\right\}. } Estes candidatos a raíz poden ser avaliados utilizando o método de Horner (por exemplo). Neste caso en particular hai exactamente unha raíz racional. Se un candidato a raíz non anula o polinomio, ele pode ser usado para reducir a lista de candidatos remanentes.
Por exemplo, x
1 non funciona, xa que neste caso o valor do polinomio é igual a 1. Isto significa que a substitución x
1 + t producen un polinomio en t con termo constante 1, en canto que o coeficiente de t3 continua a ser o mesmo que o coeficiente de x3. A aplicación do teorema das raíces racionais producen entón as seguintes posibilidades para as raíces en t: t
± 11, 3. {\displaystyle t
\pm {\frac {1}{1, 3}}. } Por tanto, x
1 + t
2, 0, 43, 23. {\displaystyle x
1+t
2, 0, {\frac {4}{3}}, {\frac {2}{3}}. } Os candidatos a raíz que non ocorren en ámbalas listas son descartadas. A lista de candidatos a raíces racionais fica entón reducida a apenas x
2 e x
2/3.
Se se atopan k raíces racionais (k ≥ 1), o método de Horner tamén producirá un polinomio de grao n − k cuxas raíces, xuntamente coas raíces racionais, son exactamente as raíces do polinomio orixinal. Tamén pode ocorrer de ningún dos candidatos sexa unha solución; neste caso, a ecuación que iguala o polinomio a 0 non ten solución racional. Se a ecuación non posúe un termo constante a0, entón 0 é unha das solucións racionais da ecuación.