Forma cadrática

En matemáticas, unha forma cadrática é un polinomio con termos todos de grao dous (un polinomio homoxéneo de grao 2). Por exemplo, 4 x 2 + 2 x y − 3 y 2 {\displaystyle 4x^{2}+2xy-3y^{2}} é unha forma cadrática nas variábeis x e y. Os coeficientes adoitan pertencer a un corpo fixo K, como os números reais ou complexos, e fálase dunha forma cadrática sobre K. Se K R, e a forma cadrática é igual a cero só cando todas as variábeis son simultaneamente cero, entón é unha forma cadrática definida; se non é unha forma cadrática isotrópica.
As formas cadráticas non se deben confundir cunha ecuación cadrática, que só ten unha variábel e inclúe termos de grao dous ou menos. Unha forma cadrática é un caso do concepto máis xeral de polinomios homoxéneos. Introdución
As formas cadráticas son polinomios cadráticos homoxéneos en n variábeis. Nos casos dunha, dúas e tres variábeis chámanse unarias, binarias e ternarias e teñen a seguinte forma explícita: q ( x )
a x 2 (unaria) q ( x, y )
a x 2 + b x y + c y 2 (binaria) q ( x, y, z )
a x 2 + b x y + c y 2 + d y z + e z 2 + f x z (ternaria) {\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&
ax^{2}&&{\textrm {(unaria)}}\\q(x, y)&
ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binaria)}}\\q(x, y, z)&
ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternaria)}}\end{aligned}}} onde a, .. ., f son os coeficientes.
Usando coordenadas homoxéneas, unha forma cadrática distinta de cero en n variábeis define unha cádrica (n − 2) dimensional no espazo proxectivo (n − 1) dimensional. Esta é unha construción básica en xeometría proxectiva. Deste xeito pódense visualizar formas cadráticas reais tridimensionais como seccións cónicas. Un exemplo é o espazo euclidiano tridimensional e o cadrado da norma euclidiana que expresa a distancia entre un punto con coordenadas (x, y, z) e a orixe: q ( x, y, z )
d ( ( x, y, z ), ( 0, 0, 0 ) ) 2
‖ ( x, y, z ) ‖ 2
x 2 + y 2 + z 2. {\displaystyle q(x, y, z)
d((x, y, z), (0, 0, 0))^{2}
\left\|(x, y, z)\right\|^{2}
x^{2}+y^{2}+z^{2}. } Matriz simétrica asociada
Calquera matriz n × n denotada por A determina unha forma cadrática qA en n variábeis por q A ( x 1, …, x n )
∑ i
1 n ∑ j
1 n a i j x i x j
x T A x, {\displaystyle q_{A}(x_{1}, \ldots, x_{n})
\sum _{i
1}^{n}\sum _{j
1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}
\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x}, } onde A (aij).
Exemplo
Considere o caso das formas cadráticas en tres variábeis x, y, z. A matriz A ten a forma A
[ a b c d e f g h k ]. {\displaystyle A
{\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}. } A fórmula anterior dá q A ( x, y, z )
a x 2 + e y 2 + k z 2 + ( b + d ) x y + ( c + g ) x z + ( f + h ) y z. {\displaystyle q_{A}(x, y, z)
ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz. } Así, dúas matrices diferentes definen a mesma forma cadrática se e só se teñen os mesmos elementos na diagonal e os mesmos valores para as sumas b + d, c + g e máis f + h. En particular, a forma cadrática qA está definida por unha matriz simétrica única A
[ a b + d 2 c + g 2 b + d 2 e f + h 2 c + g 2 f + h 2 k ]. {\displaystyle A
{\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}. } Isto xeneralízase a calquera número de variábeis do seguinte xeito.
Caso xeral
Dada unha forma cadrática qA, definida pola matriz A
(aij), a matriz B
( a i j + a j i 2 ) {\displaystyle B \left({\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}\right)} é simétrica, define a mesma forma cadrática que A, e é a única matriz simétrica que define qA.
Así, sobre os números reais (e, máis xeralmente, sobre un corpo de característica diferente de dous), hai unha correspondencia un a un entre as formas cadráticas e as matrices simétricas que as determinan. Formas cadráticas reais
Un problema fundamental é a clasificación de formas cadráticas reais baixo un cambio linear de variábeis.
Jacobi demostrou que, para cada forma cadrática real, hai unha diagonalización ortogonal; é dicir, un cambio ortogonal de variábeis que pon a forma cadrática nunha "forma diagonal" λ 1 x ~ 12 + λ 2 x ~ 22 + ⋯ + λ n x ~ n 2, {\displaystyle \lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2}, } onde a matriz simétrica asociada é diagonal. A maiores, os coeficientes λ1, λ2, .. ., λn determínanse unicamente ata unha permutación.
Se o cambio de variábeis vén dado por unha matriz invertíbel que non é necesariamente ortogonal, pódese supoñer que todos os coeficientes λi son 0, 1 ou −1. A lei de inercia de Sylvester estabelece que as cantidades de cada 0, 1 e −1 son invariantes da forma cadrática, no sentido de que calquera outra diagonalización conterá as mesmo cantidades. A sinatura da forma cadrática é a terna (n0, n+, n−), onde se contan o número de 0s, o número de 1s e o número de −1s, respectivamente. A lei de inercia de Sylvester mostra que esta é unha cantidade ben definida unida á forma cadrática.
O caso no que todos λi teñen o mesmo signo é especialmente importante: neste caso a forma cadrática chámase definida positiva (todo 1) ou definida negativa (todo -1). Se ningún dos termos é 0, entón chámase forma non dexenerada; isto inclúe as formas cadráticas definidas positivas, definidas negativas e isotrópicas (unha mestura de 1 e −1); de xeito equivalente, unha forma cadrática non dexenerada é aquela cuxa forma simétrica asociada é unha forma bilinear non dexenerada. Un espazo vectorial real cunha forma cadrática indefinida non dexenerada de índice (p, q) (onde p denota o número de 1s e q denota o número de −1s) é a miúdo escrito como Rp, q particularmente na teoría física do espazo-tempo.
Tamén se pode definir o discriminante dunha forma cadrática, concretamente a clase do determinante dunha matriz representativa en K / (K×)2 (ata cadrados distintos de cero) e para unha forma cadrática real, resulta ser unha invariante máis forte que a sinatura, tomando valores de só "positivo, cero ou negativo". O cero corresponde a dexenerada, mentres que para unha forma non dexenerada é a paridade do número de coeficientes negativos, (−1)n−.
Estes resultados reformúlanse a continuación dun xeito diferente.
Sexa q unha forma cadrática definida nun espazo vectorial real n-dimensional. Sexa A a matriz da forma cadrática q nunha base dada. Isto significa que A é unha matriz n × n simétrica tal que q ( v )
x T A x, {\displaystyle q(v)
x^{\mathsf {T}}Ax, } onde x é o vector columna de coordenadas de v na base escollida. Baixo un cambio de base, a columna x multiplícase pola esquerda por unha matriz invertíbel S, n × n, e a matriz cadrada simétrica A transfórmase noutra matriz cadrada simétrica B do mesmo tamaño segundo a fórmula A → B
S T A S. {\displaystyle A\to B
S^{\mathsf {T}}AS. } Calquera matriz simétrica A pode transformarse nunha matriz diagonal B
( λ 10 ⋯ 00 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ 000 ⋯ λ n ) {\displaystyle B
{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}} mediante unha elección axeitada dunha matriz ortogonal S, e as entradas diagonais de B determínanse de forma única: este é o teorema de Jacobi. Se se permite que S sexa calquera matriz invertíbel, pódese facer que B teña só 0, 1 e -1 na diagonal, e o número de entradas de cada tipo (n0 para 0, n+ para 1 e n− para −1) depende só de A. Esta é unha das formulacións da lei de inercia de Sylvester e os números n+ e n− chámanse índices de inercia positivo e negativo. Aínda que a súa definición implicaba unha elección dunha base e a consideración da correspondente matriz simétrica real A, a lei de inercia de Sylvester significa que son invariantes da forma cadrática q. Definicións
Unha forma cadrática sobre un corpo K é un mapa q: V → K dun espazo vectorial de dimensión finita en K tal que q(av) a2q(v) para todo a ∈ K, v ∈ V e a función q(u + v) − q(u) − q(v) é bilinear.
Máis concretamente, unha forma cadrática n-aria sobre un corpo K é un polinomio homoxéneo de grao 2 en n variábeis con coeficientes en K: q ( x 1, …, x n )
∑ i
1 n ∑ j
1 n a i j x i x j, a i j ∈ K. {\displaystyle q(x_{1}, \ldots, x_{n})
\sum _{i
1}^{n}\sum _{j
1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}, \quad a_{ij}\in K. } Esta fórmula pódese reescribir usando matrices: sexa x o vector columna con compoñentes x1, .. ., xn e sexa A
(aij) a matriz n × n sobre K cuxas entradas son os coeficientes de q. Entón q ( x )
x T A x. {\displaystyle q(x)
x^{\mathsf {T}}Ax. } Un vector v
(x1, .. ., xn) é un vector nulo se q(v) 0.
Dúas formas cadráticas n-arias φ e ψ sobre K son equivalentes se existe unha transformación linear non singular C ∈ GL(n, K) tal que ψ ( x )
φ ( C x ). {\displaystyle \psi (x)
\varphi (Cx). } Sexa a característica de K diferente de 2. A matriz de coeficientes A de q pode substituírse pola matriz simétrica (A + AT)/2 coa mesma forma cadrática, polo que se pode asumir desde o principio que A é simétrica. A maiores, unha matriz simétrica A está determinada de forma única pola forma cadrática correspondente. Baixo unha equivalencia C, a matriz simétrica A de φ e a matriz simétrica B de ψ están relacionadas do seguinte xeito: B
C T A C. {\displaystyle B
C^{\mathsf {T}}AC. } A forma bilinear asociada dunha forma cadrática q defínese por b q ( x, y )
12 ( q ( x + y ) − q ( x ) − q ( y ) )
x T A y
y T A x. {\displaystyle b_{q}(x, y)
{\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))
x^{\mathsf {T}}Ay
y^{\mathsf {T}}Ax. } Así, bq é unha forma bilinear simétrica sobre K con matriz A. Pola contra, calquera forma bilinear simétrica b define unha forma cadrática q ( x )
b ( x, x ), {\displaystyle q(x)
b(x, x), } e estes dous procesos son inversos entre si. Como consecuencia, sobre un corpo de característica non igual a 2, as teorías das formas bilineares simétricas e das formas cadráticas en n variábeis son esencialmente as mesmas.
Espazo cadrático
Dado un espazo vectorial n-dimensional V sobre un corpo K, unha forma cadrática en V é unha función Q: V → K que ten a seguinte propiedade: para algunha base, a función q que mapea as coordenadas de v ∈ V en Q(v) é unha forma cadrática. En particular, se V
Kn coa súa base estándar, temos q ( v 1, …, v n )
Q ( [ v 1, …, v n ] ) para [ v 1, …, v n ] ∈ K n. {\displaystyle q(v_{1}, \ldots, v_{n}) Q([v_{1}, \ldots, v_{n}])\quad {\text{para}}\quad [v_{1}, \ldots, v_{n}]\in K^{n}. } As fórmulas de cambio de base mostran que a propiedade de ser unha forma cadrática non depende da elección dunha base específica en V, aínda que a forma cadrática q depende da elección da base.
Un espazo vectorial de dimensión finita cunha forma cadrática chámase espazo cadrático.
O mapa Q é unha función homoxénea de grao 2, o que significa que ten a propiedade de que, para todo a en K e v en V: Q ( a v )
a 2 Q ( v ). {\displaystyle Q(av)
a^{2}Q(v). } Cando a característica de K non é 2, o mapa bilinear B: V × V → K sobre K defínese: B ( v, w )
12 ( Q ( v + w ) − Q ( v ) − Q ( w ) ). {\displaystyle B(v, w)
{\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)). } Esta forma bilinear B é simétrica. É dicir, B(x, y)
B(y, x) para todo x, y en V, e determina Q: Q(x)
B(x, x) para todo x en V.
O par (V, Q) formado por un espazo vectorial de dimensión finita V sobre K e un mapa cadrático Q de V en K chámase espazo cadrático, e B tal como se define aquí é a forma bilinear simétrica asociada a Q. A noción de espazo cadrático é unha versión sen coordenadas da noción de forma cadrática. Ás veces, Q tamén se denomina forma cadrática.
Dous espazos cadráticos de dimensión n (V, Q) e (V′, Q′) son isométricos se existe unha transformación linear invertíbel T: V → V′ (isometría) tal que Q ( v )
Q ′ ( T v ) para todo v ∈ V. {\displaystyle Q(v)
Q'(Tv){\text{ para todo }}v\in V. } As clases de isometría de espazos cadráticos n-dimensionais sobre K corresponden ás clases de equivalencia de formas cadráticas n-arias sobre K.
Conceptos relacionados
Dous elementos v e w de V chámanse ortogonais se B(v, w)
0. O kernel dunha forma bilinear B está formado polos elementos que son ortogonais a todo elemento de V. Q é non singular se o kernel da súa forma bilinear asociada é {0}. Se existe un v distinto de cero en V tal que Q(v)
0, a forma cadrática Q é isotrópica, doutro modo é definida. Esta terminoloxía tamén se aplica aos vectores e subespazos dun espazo cadrático. Se a restrición de Q a un subespazo U de V é idéntico a cero, entón U é totalmente singular.
O grupo ortogonal dunha forma cadrática non singular Q é o grupo dos automorfismos lineares de V que conservan Q: é dicir, o grupo de isometrías de (V, Q) en si mesmo.
Se un espazo cadrático (A, Q) ten un produto polo que A é unha álxebra sobre un corpo e cumpre ∀ x, y ∈ A Q ( x y )
Q ( x ) Q ( y ), {\displaystyle \forall x, y\in A\quad Q(xy)
Q(x)Q(y), } entón é unha álxebra de composición. Equivalencia de formas
Toda forma cadrática q en n variábeis sobre un corpo de característica non igual a 2 é equivalente a unha forma diagonal q ( x )
a 1 x 12 + a 2 x 22 + ⋯ + a n x n 2. {\displaystyle q(x)
a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}. } Tal forma diagonal é a miúdo denotada como ⟨a1, .. ., an⟩. A clasificación de todas as formas cadráticas ata equivalencia pódese reducir así ao caso das formas diagonais. Significado xeométrico
Usando coordenadas cartesianas en tres dimensións, sexa x
(x, y, z)T, e sexa A unha matriz simétrica de 3 por 3. Entón, a natureza xeométrica do conxunto solución da ecuación xTAx + bTx
1 depende dos eigenvalores da matriz A.
Se todos os eigenvalores de A son distintos de cero, entón o conxunto de solucións é un elipsoide ou un hiperboloide. Se todos os valores propios son positivos, entón é un elipsoide; se todos os eigenvalores son negativos, entón é un elipsoide imaxinario (obtemos a ecuación dun elipsoide mais con raios imaxinarios); se algúns valores propios son positivos e outros son negativos, entón é un hiperboloide.
Se existen un ou máis valores propios λi
0, entón a forma depende do bi correspondente. Se o correspondente bi ≠ 0, entón o conxunto solución é un paraboloide (xa sexa elíptico ou hiperbólico); se o correspondente bi
0, entón a dimensión i dexenera e non entra en xogo, e o significado xeométrico estará determinado por outros valores propios e outros compoñentes de b. Cando o conxunto solución é un paraboloide, se é elíptico ou hiperbólico está determinado por se todos os demais valores propios distintos de cero son do mesmo signo: se o son, entón é elíptico; no caso contrario, é hiperbólico. Formas cadráticas integrais
As formas cadráticas sobre o anel de enteiros chámanse formas cadráticas integrais, mentres que os módulos correspondentes son retículas cadráticas. Xogan un papel importante na teoría de números e na topoloxía.
Unha forma cadrática integral ten coeficientes enteiros, como x2 + xy + y2; de forma equivalente, dada unha retícula Λ nun espazo vectorial V (sobre un corpo con característica 0, como Q ou R), unha forma cadrática Q é integral en relación a Λ se e só se ten un valor enteiro en Λ, o que significa Q(x, y) ∈ Z se x, y ∈ Λ.
Este é o uso actual do termo; no pasado ás veces utilizábase de forma diferente.
Formas cadráticas universais
Unha forma cadrática integral cuxa imaxe consta de todos os enteiros positivos chámase ás veces universal. O teorema dos catro cadrados de Lagrange mostra que w2 + x2 + y2 + z2 é universal. Ramanujan xeneralizou este aw2 + bx2 + cy2 + dz2 e atopou 54 multiconxuntos {a, b, c, d} que poden xerar todos os números enteiros positivos, propiamente, Tamén hai formas cuxa imaxe está formada por todos os enteiros positivos menos un. Por exemplo, {1, 2, 5, 5} ten o 15 como excepción. Recentemente, os teoremas 15 e 290 caracterizaron completamente as formas cadráticas integrais universais: se todos os coeficientes son enteiros, entón representa a todos os enteiros positivos se e só se representa todos os enteiros ata 290; se ten unha matriz de enteiros, representa todos os enteiros positivos se e só se representa todos os números enteiros ata 15.