Función suave

En análise matemática, a suavidade dunha función é unha propiedade medida polo número de derivadas continuas (clase de diferenciabilidade) que ten sobre o seu dominio.
Unha función de clase C k {\displaystyle C^{k}} é unha función con suavidade de polo menos k; é dicir, unha función de clase C k {\displaystyle C^{k}} é unha función que ten unha k-ésima derivada que é continua no seu dominio.
Unha función de clase C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} ou función C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} (pronunciada función C-infinito) é unha función infinitamente diferenciábel, é dicir, unha función que ten derivadas de todas as ordes (isto implica que todas estas derivadas son continuas).
Xeralmente, o termo función suave refírese a unha función C ∞ {\displaystyle C^{\infty }}. No entanto, tamén pode significar "suficientemente diferenciábel" para o problema baixo consideración. Clases de diferenciabilidade
A clase de diferenciabilidade é unha clasificación de funcións segundo as propiedades das súas derivadas. É unha medida da orde máis alta de derivada que existe e é continua para unha función.
Consideremos un conxunto aberto U {\displaystyle U} na recta real e unha función f {\displaystyle f} definida en U {\displaystyle U} con valores reais. Sexa k un enteiro non negativo. A función f {\displaystyle f} dise que é de clase de diferenciabilidade C k {\displaystyle C^{k}} se as derivadas f ′, f ″, …, f ( k ) {\displaystyle f', f'', \dots, f^{(k)}} existen e son continuas en U. {\displaystyle U. } Se f {\displaystyle f} é k {\displaystyle k} -diferenciábel en U, {\displaystyle U, } entón está polo menos na clase C k − 1 {\displaystyle C^{k-1}} xa que f ′, f ″, …, f ( k − 1 ) {\displaystyle f', f'', \dots, f^{(k-1)}} son continuas en U. {\displaystyle U. } A función f {\displaystyle f} dise que é infinitamente diferenciábel, suave, ou de clase C ∞, {\displaystyle C^{\infty }, } se ten derivadas de todas as ordes en U. {\displaystyle U. } (Así, todas estas derivadas son funcións continuas sobre U. {\displaystyle U. } ) A función f {\displaystyle f} dise que é de clase C ω, {\displaystyle C^{\omega }, } ou analítica, se f {\displaystyle f} é suave (é dicir, f {\displaystyle f} está na clase C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} ) e a súa expansión en serie de Taylor arredor de calquera punto do seu dominio converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Existen funcións que son suaves pero non analíticas; C ω {\displaystyle C^{\omega }} está estritamente contido en C ∞. {\displaystyle C^{\infty }. } As funcións croque son exemplos de funcións con esta propiedade.
Exemplos
Exemplo: continua (C0) mais non diferenciábel
A función f ( x )
{ x se x ≥ 0, 0 se x < 0 {\displaystyle f(x)
{\begin{cases}x&{\mbox{se }}x\geq 0, \\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}} é continua, pero non diferenciábel en x 0, polo que é de clase C0, pero non de clase C1.
Exemplo: finitamente diferenciábel (Ck)
Para cada enteiro par k, a función f ( x )
| x | k + 1 {\displaystyle f(x)
|x|^{k+1}} é continua e k veces diferenciábel en todos os x. En x 0, non obstante, f {\displaystyle f} non é (k + 1) veces diferenciábel, polo que f {\displaystyle f} é de clase Ck, mais non de clase Cj onde j > k.
Exemplo: diferenciábel mais non continuamente diferenciábel (non C1)
A función g ( x )
{ x 2 sin ⁡ ( 1 x ) se x ≠ 0, 0 se x
0 {\displaystyle g(x)
{\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{se }}x\neq 0, \\0&{\text{se }}x
0\end{cases}}} é diferenciábel, con derivada g ′ ( x )
{ − cos ⁡ ( 1 x ) + 2 x sin ⁡ ( 1 x ) se x ≠ 0, 0 se x
0. {\displaystyle g'(x)
{\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{se }}x\neq 0, \\0&{\text{se }}x
0. \end{cases}}} Como cos ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle \cos(1/x)} oscila cando x → 0, g ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)} non é continua en cero. Polo tanto, g ( x ) {\displaystyle g(x)} é diferenciábel mais non de clase C1.
Exemplo: diferenciábel mais non Lipschitz continua
A función h ( x )
{ x 4 / 3 sin ⁡ ( 1 x ) se x ≠ 0, 0 se x
0 {\displaystyle h(x)
{\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{se }}x\neq 0, \\0&{\text{se }}x
0\end{cases}}} é diferenciábel pero a súa derivada non está limitada nun conxunto compacto. Polo tanto, h {\displaystyle h} é un exemplo dunha función que é diferenciábel mais non localmente Lipschitz continua.
Exemplo: analítica (Cω)
A función exponencial e x {\displaystyle e^{x}} é analítica, e polo tanto cae na clase Cω (onde ω é o menor ordinal transfinito). As funcións trigonométricas tamén son analíticas onde estean definidas, xa que son combinacións lineares de funcións exponenciais complexas e i x {\displaystyle e^{ix}} e e − i x {\displaystyle e^{-ix}}.
Exemplo: suave (C∞) mais non analítica (Cω)
A función croque f ( x )
{ e − 11 − x 2 se | x | < 1, 0 en caso contrario {\displaystyle f(x)
{\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ se }}|x|<1, \\0&{\text{ en caso contrario }}\end{cases}}} é suave, polo que é de clase C∞, pero non é analítica en x ±1, e polo tanto non é de clase Cω. A función f é un exemplo dunha función suave con soporte compacto.
Clases de diferenciabilidade multivariábel
Unha función f: U ⊂ R n → R {\displaystyle f: U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } definida nun conxunto aberto U {\displaystyle U} de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} dise que é de clase C k {\displaystyle C^{k}} en U {\displaystyle U}, para un enteiro positivo k {\displaystyle k}, se todas as derivadas parciais ∂ α f ∂ x 1 α 1 ∂ x 2 α 2 ⋯ ∂ x n α n ( y 1, y 2, …, y n ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\, \partial x_{2}^{\alpha _{2}}\, \cdots \, \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n})} existen e son continuas, para cada α 1, α 2, …, α n {\displaystyle \alpha _{1}, \alpha _{2}, \ldots, \alpha _{n}} enteiros non negativos, tal que α
α 1 + α 2 + ⋯ + α n ≤ k {\displaystyle \alpha
\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}, e cada ( y 1, y 2, …, y n ) ∈ U {\displaystyle (y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n})\in U}. Equivalentemente, f {\displaystyle f} é de clase C k {\displaystyle C^{k}} en U {\displaystyle U} se a derivada de Fréchet de orde k {\displaystyle k} de f {\displaystyle f} existe e é continua en cada punto de U {\displaystyle U}. A función f {\displaystyle f} dise que é de clase C {\displaystyle C} ou C 0 {\displaystyle C^{0}} se é continua en U {\displaystyle U}. As funcións de clase C 1 {\displaystyle C^{1}} tamén se din continuamente diferenciábeis.
Unha función f: U ⊂ R n → R m {\displaystyle f: U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}, definida nun conxunto aberto U {\displaystyle U} de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, dise que é de clase C k {\displaystyle C^{k}} en U {\displaystyle U}, para un enteiro positivo k {\displaystyle k}, se todas as súas compoñentes f i ( x 1, x 2, …, x n )
( π i ∘ f ) ( x 1, x 2, …, x n )
π i ( f ( x 1, x 2, …, x n ) ) para i
1, 2, 3, …, m {\displaystyle f_{i}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})
(\pi _{i}\circ f)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})
\pi _{i}(f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})){\text{ para }}i
1, 2, 3, \ldots, m} son de clase C k {\displaystyle C^{k}}, onde π i {\displaystyle \pi _{i}} son as proxeccións naturais π i: R m → R {\displaystyle \pi _{i}: \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} } definidas por π i ( x 1, x 2, …, x m )
x i {\displaystyle \pi _{i}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m})
x_{i}}. Dise que é de clase C {\displaystyle C} ou C 0 {\displaystyle C^{0}} se é continua, ou equivalentemente, se todas as compoñentes f i {\displaystyle f_{i}} son continuas, en U {\displaystyle U}.
O espazo das funcións Ck
Sexa D {\displaystyle D} un subconxunto aberto da recta real. O conxunto de todas as funcións reais de clase C k {\displaystyle C^{k}} definidas en D {\displaystyle D} é un espazo vectorial de Fréchet, coa familia contábel de seminormas p K, m
sup x ∈ K | f ( m ) ( x ) | {\displaystyle p_{K, m}
\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|} onde K {\displaystyle K} varía sobre unha secuencia crecente de conxuntos compactos cuxa unión é D {\displaystyle D}, e m
0, 1, …, k {\displaystyle m
0, 1, \dots, k}.
O conxunto das funcións C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} sobre D {\displaystyle D} tamén forma un espazo de Fréchet. Úsanse as mesmas seminormas que antes, excepto que m {\displaystyle m} pode variar sobre todos os valores enteiros non negativos.
Os espazos anteriores ocorren naturalmente en aplicacións onde se requiren funcións con derivadas de certas ordes; no entanto, especialmente no estudo de ecuacións diferenciais parciais, ás veces pode ser máis produtivo traballar con espazos de Sobolev.