Raíz cadrada de dous

A raíz cadrada de dous, denotada como 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}, é o único número real positivo cuxo cadrado (é dicir, o resultado da súa multiplicación por si mesmo) é dous: 2 × 2
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}
2}.
A raíz cadrada de dous é un número irracional, é dicir, non é posíbel atopar dous enteiros a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} tal que a b
2. {\displaystyle {\frac {a}{b}}
{\sqrt {2}}. } Crese que 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} foi o primeiro número irracional recoñecido como tal. Este importante descubrimento atribúeselle a Hippaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. Segundo a lenda, a demostración custoulle a vida ao seu descubridor, xa que contradí as ideas predominantes entre os pitagóricos de que todo era un número (enteiro).
Un triángulo rectángulo cuxos catetos miden 1 ten unha hipotenusa de lonxitude 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}.
A fracción 99/70 (≈ 1, 4142857) úsase ás veces como unha boa aproximación racional cun denominador razoábelmente pequeno.
A secuencia A002193 na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras está formada polos díxitos da expansión decimal da raíz cadrada de 2, aquí truncadas a 65 cifras decimais: 1. 41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799 Notación
A raíz cadrada de dous pódese escribir como: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}, lea "raíz cadrada de dous" ou "raíz de dous". 212 {\displaystyle 2^{\frac {1}{2}}} ou 21 / 2 {\displaystyle 2^{1/2}}, lese como "dous elevado a un medio". Secuencia converxente á raíz cadrada de dous
Pódese construír facilmente unha secuencia de números racionais que se achegan (converxen) a 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}: { x 0
1 x n + 1
x n 2 + 1 x n {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{0}
1\\x_{n+1}
{\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}\end{array}}\right. } Esta relación de recorrencia produce a secuencia: 1; 32; 1712; 577408; 665857470832; 886731088897627013566048 {\displaystyle 1; ~~{\frac {3}{2}}; ~~{\frac {17}{12}}; ~~{\frac {577}{408}}; ~~{\frac {665857}{470832}}; ~~{\frac {886731088897}{627013566048}}} Ou, aproximadamente: 1; 1, 5; 1. 416666667; 1. 414215686; 1. 414213562; 1. 414213562 {\displaystyle 1; ~~1, 5; ~~1. 416666667; ~~1. 414215686; ~~1. 414213562; ~~1. 414213562} Teña en conta que o método estabiliza o noveno decimal despois de só cinco pasos. Recíproco
O inverso multiplicativo (recíproco) da raíz cadrada de dous é unha constante amplamente utilizada, co valor decimal: 0. 70710678118654752440084436210484903928483593768847. ..
Atópase a miúdo en xeometría e trigonometría porque o vector unitario, que forma un ángulo de 45° cos eixos nun plano, ten coordenadas ( 22, 22 ). {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}, {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\! .} Cada coordenada cumpre 22
12
12
sin ⁡ 45 ∘
cos ⁡ 45 ∘. {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}
{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}
{\frac {1}{\sqrt {2}}}
\sin 45^{\circ }
\cos 45^{\circ }. } Representacións
Serie e produto
A identidade cos π/4
sen π/4
1/√2, xunto coas representacións infinitas do produto para seno e coseno, leva a produtos como 12
∏ k
0 ∞ ( 1 − 1 ( 4 k + 2 ) 2 )
( 1 − 14 ) ( 1 − 136 ) ( 1 − 1100 ) ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}
\prod _{k
0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)
\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\! \left(1-{\frac {1}{36}}\right)\! \left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots } 2
∏ k
0 ∞ ( 4 k + 2 ) 2 ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 3 )
( 2 ⋅ 21 ⋅ 3 ) ( 6 ⋅ 65 ⋅ 7 ) ( 10 ⋅ 109 ⋅ 11 ) ( 14 ⋅ 1413 ⋅ 15 ) ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}
\prod _{k
0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}
\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots } ou equivalentemente, 2
∏ k
0 ∞ ( 1 + 14 k + 1 ) ( 1 − 14 k + 3 )
( 1 + 11 ) ( 1 − 13 ) ( 1 + 15 ) ( 1 − 17 ) ⋯. {\displaystyle {\sqrt {2}}
\prod _{k
0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)
\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\! \left(1-{\frac {1}{3}}\right)\! \left(1+{\frac {1}{5}}\right)\! \left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots. } O número tamén se pode expresar tomando a serie de Taylor dunha función trigonométrica. Por exemplo, a serie para cos π/4 dá 12
∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k ( π 4 ) 2 k ( 2 k )! . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)! }}. } A serie de Taylor de √1 + x con x
1 e usando o duplo factorial n! ! dá 2
∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( 2 k − 3 )! ! ( 2 k )! !
1 + 12 − 12 ⋅ 4 + 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ⋅ 6 − 1 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 + ⋯
1 + 12 − 18 + 116 − 5128 + 7256 + ⋯. {\displaystyle {\sqrt {2}}
\sum _{k
0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)! !}{(2k)! !}}
1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots
1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots. } A converxencia desta serie pódese acelerar cunha transformada de Euler, producindo 2
∑ k
0 ∞ ( 2 k + 1 )! 23 k + 1 ( k! ) 2
12 + 38 + 1564 + 35256 + 3154096 + 69316384 + ⋯. {\displaystyle {\sqrt {2}}
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {(2k+1)! }{2^{3k+1}(k! )^{2}}} {\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots. } Non se sabe se 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} se póode representar cunha fórmula de tipo BBP. No entanto, coñécense fórmulas de tipo BBP para π√2 e √2 ln(1+√2).
O número pódese representar mediante unha serie infinita de fraccións exipcias, con denominadores definidos por termos 2n-ésimos dunha relación de recorrencia de tipo Fibonacci a ( n )
34 a ( n − 1 ) − a ( n − 2 ), a ( 0 )
0, a ( 1 )
6. {\displaystyle a(n)
34a(n-1)-a(n-2), a(0)
0, a(1)
6. } 2
32 − 12 ∑ n
0 ∞ 1 a ( 2 n )
32 − 12 ( 16 + 1204 + 1235416 + … ) {\displaystyle {\sqrt {2}}
{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}
{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right)}
Fracción continua
A raíz cadrada de dous ten a seguinte representación como fracción continua regular: 2
1 + 12 + 12 + 12 + 1 ⋱. {\displaystyle {\sqrt {2}}
1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}. } en forma abreviada [ 1, 2, 2, 2, … ] {\displaystyle [1, 2, 2, 2, \ldots ]} Os converxentes p/q formados ao truncar esta representación forman unha secuencia de fraccións que aproximan a raíz cadrada de dous con precisión crecente e que se describen polos número de Pell (é dicir, p2 − 2q2
±1). Os primeiros converxentes son: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408 e o converxente seguinte a p/q é p + 2q/p + q. A función converxente p/q difire de 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} en case exactamente 1/2√2}q2, o que se deduce de: | 2 − p q |
| 2 q 2 − p 2 | q 2 ( 2 + p q )
1 q 2 ( 2 + p q ) ≈ 122 q 2 {\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|
{\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\! \left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}} {\frac {1}{q^{2}\! \left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}
Cadrado aniñado
As seguintes expresións con cadrados aniñadas converxen a 2 {\textstyle {\sqrt {2}}}: 2
32 − 2 ( 14 − ( 14 − ( 14 − ⋯ ) 2 ) 2 ) 2
32 − 4 ( 18 + ( 18 + ( 18 + ⋯ ) 2 ) 2 ) 2. {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&
{\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&
{\tfrac {3}{2}}-4\left({\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{8}}+{\bigl (}{\frac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}. \end{aligned}}} Aplicacións
Tamaño do papel
En 1786, o profesor alemán de física Georg Christoph Lichtenberg descubriu que calquera folla de papel cuxo bordo longo sexa 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} veces máis grande que o seu bordo curto podíase dobrar pola metade e aliñarse co seu lado curto para producir unha folla coas mesmas proporcións que a orixinal. Esta relación entre as lonxitudes do lado máis longo sobre o lado máis curto garante que cortar unha folla pola metade ao longo dunha liña dá como resultado que as follas máis pequenas teñan a mesma relación de aspecto (aproximada) que a folla orixinal. Cando Alemaña estandarizou os tamaños de papel a principios do século XX, utilizaron a proporción de Lichtenberg para crear a serie "A" de tamaños de papel. Hoxe, a relación (aproximada) de tamaños de papel en ISO 216 (A4, A0, etc. ) é 1: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
Ciencias físicas
Existen algunhas propiedades interesantes que inclúen a raíz cadrada de 2 nas ciencias físicas: A raíz cadrada de dous é a relación de frecuencias dun intervalo de trítonos na música de doce tons de temperamento igual.
A raíz cadrada de dous forma a relación de f-paradas en lentes fotográficas, o que á súa vez significa que a relación das áreas entre dúas aberturas sucesivas é 2.
A latitude celeste (declinación) do Sol durante os puntos astronómicos dun cuarto de día cruzado é igual á inclinación do eixo do planeta dividida por 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}