Sucesión (matemáticas)

En matemáticas, unha sucesión ou secuencia é unha colección enumerada de obxectos na que se permiten as repeticións e importa a orde. Como un conxunto, contén membros (tamén chamados elementos ou termos). O número de elementos (posiblemente infinito ) chámase lonxitude da secuencia. A diferenza dun conxunto, os mesmos elementos poden aparecer varias veces en diferentes posicións nunha secuencia e, a diferenza dun conxunto, a orde importa. Formalmente, unha secuencia pódese definir como unha función desde os números naturais (as posicións dos elementos na secuencia) ata os elementos en cada posición. A noción de secuencia pódese xeneralizar a unha familia indexada, definida como unha función a partir dun conxunto de índices arbitrario.
Por exemplo, (M, I, R, E) é unha secuencia de letras coa letra "M" primeiro e "E" por último. Esta secuencia difire de (I, R, M, E). Ademais, a secuencia (1, 1, 2, 3, 5, 8), que contén o número 1 en dúas posicións diferentes, é unha secuencia válida. As secuencias poden ser finitas, como nestes exemplos, ou infinitas, como a secuencia de todos os enteiros pares positivos (2, 4, 6, .. .).
A posición dun elemento nunha secuencia é o seu índice. O primeiro elemento ten un índice 0 ou 1, dependendo do contexto ou dunha convención específica. Na análise matemática, unha secuencia adoita denotarse mediante letras en forma de a n {\displaystyle a_{n}}, b n {\displaystyle b_{n}} e c n {\displaystyle c_{n}}, onde o subíndice n refírese ao n ésimo elemento da secuencia; por exemplo, o n-ésimo elemento da sucesión de Fibonacci F {\displaystyle F} denotase xeralmente como F n {\displaystyle F_{n}}. Notación e exemplos
Existen varias formas de denotar unha secuencia. Unha forma de especificar unha secuencia é enumerar todos os seus elementos. Por exemplo, os catro primeiros números impares forman a secuencia (1, 3, 5, 7). Esta notación úsase tamén para secuencias infinitas. Por exemplo, a secuencia infinita de enteiros positivos impares escríbese como (1, 3, 5, 7, .. .), usando puntos suspensivos.
Exemplos
Os números primos son os números naturais maiores que 1 que non teñen divisores senón 1 e eles mesmos. Tomando estes na súa orde natural dáse a secuencia (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .. .). Os números de Fibonacci comprenden a secuencia enteira cuxos elementos son a suma dos dous elementos anteriores. Os dous primeiros elementos son 0 e 1 ou 1 e 1 polo que temos a secuencia (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .. .).
Outros exemplos de secuencias inclúen aquelas formadas por números racionais, números reais e números complexos. A secuencia (. 9, .99, .999, .9999, .. .), por exemplo, achégase ao número 1. Outro exemplo pode ser π como o límite da secuencia (3, 3. 1, 3. 14, 3. 141, 3. 1415, .. .), que é crecente. Unha secuencia relacionada é a secuencia de díxitos decimais de π, é dicir, (3, 1, 4, 1, 5, 9, .. .). Esta secuencia non ten ningún modelo que sexa facilmente discernible mediante a inspección.
A OEIS comprende unha gran lista de exemplos de secuencias de enteiros.
Indexación
Outras notacións poden ser útiles para secuencias cuxo modelo non se pode adiviñar facilmente ou para secuencias que non teñen un modelo como os díxitos de π. Unha destas notacións é escribir unha fórmula xeral para calcular o n-ésimo termo en función de n, encerrala entre parénteses e incluír un subíndice que indique o conxunto de valores que n pode tomar. Por exemplo, nesta notación a secuencia de números pares podería escribirse como ( 2 n ) n ∈ N {\textstyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}. A secuencia de cadrados podería escribirse como ( n 2 ) n ∈ N {\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}. A variable n chámase índice e o conxunto de valores que pode tomar chámase conxunto de índices.
Unha notaciónn máis pode ser ( a n ) n ∈ N {\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}, que denota unha secuencia cuxo n-ésimo elemento vén dado pola variable a n {\displaystyle a_{n}}. Por exemplo: a 1
1 º elemento de ( a n ) n ∈ N a 2
2 º elemento a 3
3 º elemento ⋮ a n − 1
( n − 1 ) -ésimo elemento a n
n -ésimo elemento a n + 1
( n + 1 ) -ésimo elemento ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&
1{\text{º elemento de }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&
2{\text{º elemento }}\\a_{3}&
3{\text{º elemento }}\\&\; \; \vdots \\a_{n-1}&
(n-1){\text{-ésimo elemento}}\\a_{n}&
n{\text{-ésimo elemento}}\\a_{n+1}&
(n+1){\text{-ésimo elemento}}\\&\; \; \vdots \end{aligned}}} Pódense considerar varias secuencias ao mesmo tempo empregando diferentes variables; p. ex ( b n ) n ∈ N {\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} podería ser unha secuencia diferente á ( a n ) n ∈ N {\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}. A secuencia ( a n ) n
− ∞ ∞ {\textstyle {(a_{n})}_{n
-\infty }^{\infty }} é unha secuencia bi-infinita, e tamén se pode escribir como ( …, a − 1, a 0, a 1, a 2, … ) {\textstyle (\ldots, a_{-1}, a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots )}.
Nalgúns casos, os elementos da secuencia están relacionados naturalmente cunha secuencia de enteiros cuxa fórmula pode ser facilmente deducida. Nestes casos, o conxunto de índices pode estar implicado por unha lista dos primeiros elementos abstractos. Por exemplo, a secuencia de cadrados de números impares pódese denotar de calquera das seguintes formas. ( 1, 9, 25, … ) {\displaystyle (1, 9, 25, \ldots )} ( a 1, a 3, a 5, … ), a k
k 2 {\displaystyle (a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots ), \qquad a_{k}
k^{2}} ( a 2 k − 1 ) k
1 ∞, a k
k 2 {\displaystyle {(a_{2k-1})}_{k
1}^{\infty }, \qquad a_{k}
k^{2}} ( a k ) k
1 ∞, a k
( 2 k − 1 ) 2 {\displaystyle {(a_{k})}_{k
1}^{\infty }, \qquad a_{k}
(2k-1)^{2}} ( ( 2 k − 1 ) 2 ) k
1 ∞ {\displaystyle {\bigl (}(2k-1)^{2}{\bigr )}_{k
1}^{\infty }}
Definición dunha secuencia por recursividade
As secuencias cuxos elementos están relacionados cos elementos anteriores dun xeito sinxelo adoitan definirse mediante recursividade. Isto contrasta coa definición de secuencias de elementos en función das súas posicións.
A secuencia de Fibonacci é un exemplo clásico sinxelo, definido pola relación de recorrencia a n
a n − 1 + a n − 2, {\displaystyle a_{n}
a_{n-1}+a_{n-2}, } con termos iniciais a 0
0 {\displaystyle a_{0}
0} e a 1
1 {\displaystyle a_{1}
1}. A partir disto, un simple cálculo mostra que os dez primeiros termos desta secuencia son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e 34.
Unha recorrencia linear con coeficientes constantes é unha relación de recorrencia da forma a n
c 0 + c 1 a n − 1 + ⋯ + c k a n − k, {\displaystyle a_{n}
c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k}, } onde c 0, …, c k {\displaystyle c_{0}, \dots, c_{k}} son constantes. Existe un método xeral para expresar o termo xeral a n {\displaystyle a_{n}} de tal secuencia en función de n. No caso da secuencia de Fibonacci, temos c 0
0, c 1
c 2
1, {\displaystyle c_{0}
0, c_{1}
c_{2}
1, } e a función resultante de n vén dada pola fórmula de Binet. Definición formal e propiedades básicas
Definición
Unha sucesión é unha función definida sobre o conxunto dos números naturais agás o cero. É frecuente o uso das letras u, v, w. .. para designalas, no canto de f, g, h. .. que serven para as funcións. Do mesmo xeito, a variable denótase normalmente n (por natural) no canto de x, habitual para as variables reais.
Por convención, escríbese u n {\displaystyle u_{n}} no canto de u(n): u: N ∗ → R {\displaystyle u: \mathbb {N} *\rightarrow \mathbb {R} } n → u n {\displaystyle n\rightarrow u_{n}}
Finita e infinita
A lonxitude dunha secuencia defínese como o número de termos da secuencia.
As secuencias finitas inclúen a secuencia baleira ( ) que non ten elementos.
Unha secuencia que é infinita en ambas direccións, é dicir, que non ten nin un primeiro nin un elemento final, chámase secuencia bi-infinita ou secuencia infinita bidireccional Unha función do conxunto Z de todos os enteiros nun conxunto, como por exemplo a secuencia de todos os enteiros pares (. .. , −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, .. . ), é bi-infinito. Esta secuencia podería ser denotada ( 2 n ) n
− ∞ ∞ {\textstyle {(2n)}_{n
-\infty }^{\infty }}.
Crecente e decrecente
Dise que unha secuencia é monótonamente crecente se cada termo é maior ou igual que o anterior. Por exemplo, a secuencia ( a n ) n
1 ∞ {\textstyle {(a_{n})}_{n
1}^{\infty }} aumenta monótonamente se e só se a n + 1 ≥ a n {\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}} para todos n ∈ N. {\displaystyle n\in \mathbf {N}. } Se cada termo consecutivo é estritamente maior que (>) o termo anterior, entón a secuencia chámase estritamente crecente monótonamente. Unha secuencia é decrecente monótonamente se cada termo consecutivo é menor ou igual ao anterior, e é decrecente monótonamente se cada un é estritamente menor que o anterior. Se unha secuencia é crecente ou decrecente chámase secuencia monótona. Este é un caso especial da noción máis xeral dunha función monótona.
Os termos non decrecente e non crecente úsanse a miúdo en lugar de crecente e decrecente para evitar calquera posible confusión con estritamente crecente e estritamente decrecente, respectivamente.
Limitada
Se a secuencia de números reais (an) é tal que todos os termos son menores que algún número real M, entón dise que a secuencia está limitada superiormente. Noutras palabras, isto significa que existe M tal que para todo n, a n ≤ M. Calquera tal M denomínase límite superior. Do mesmo xeito, se, para algún m real, un n ≥ m para todo n maior que algún N, daquela a secuencia está limitada inferiormente e calquera tal m denomínase límite inferior. Se unha secuencia está limitada superiormente e inferiormente, entón dise que a secuencia está limitada.
Subsecuencias
Unha subsecuencia dunha secuencia dada é unha secuencia formada a partir da secuencia dada eliminando algúns dos elementos sen perturbar as posicións relativas dos elementos restantes. Por exemplo, a secuencia de enteiros pares positivos (2, 4, 6, .. .) é unha subsecuencia dos enteiros positivos (1, 2, 3, .. .). As posicións dalgúns elementos mudan cando se eliminan outros. Non obstante, consérvanse as posicións relativas.
Formalmente, unha subsecuencia da secuencia ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} é calquera secuencia da forma ( a n k ) k ∈ N {\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}, onde ( n k ) k ∈ N {\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }} é unha secuencia estritamente crecente de enteiros positivos.
Outros tipos de secuencias
Unha secuencia de enteiros é unha secuencia cuxos termos son enteiros.
Unha sucesión polinómica é unha sucesión cuxos termos son polinomios.
Unha secuencia enteira positiva ás veces chámase multiplicativa, se anm
anam para todos os pares n, m tal que n e m son coprimos. Noutros casos, as secuencias adoitan chamarse multiplicativas, se an
na1 para todo n.
Unha secuencia binaria é unha secuencia cuxos termos teñen un de entre dous valores discretos, por exemplo, valores en base 2 (0, 1, 1, 0, .. .), unha serie de lanzamentos de moedas (cara/cruz) C, X, C, C, X, .. ., as respostas a un conxunto de preguntas Verdadeiro ou Falso (V, F, V, V, .. .), etc. Límites e converxencia
Se unha secuencia converxe, converxe a un valor particular coñecido como límite. Se unha secuencia converxe a algún límite, entón é converxente. Unha secuencia que non converxe é diverxente (poderían ser mesmo dous límites).
Por exemplo, a secuencia a n
n + 12 n 2 {\textstyle a_{n}
{\frac {n+1}{2n^{2}}}} mostrada na dereita converxe ao valor 0. Por outra banda, as secuencias b n
n 3 {\textstyle b_{n}
n^{3}} (que comeza 1, 8, 27, .. .) e c n
( − 1 ) n {\displaystyle c_{n}
(-1)^{n}} (que comeza −1, 1, −1, 1, .. .) ambas as dúas son diverxentes.
Se unha secuencia converxe, entón o valor ao que converxe é único. Este valor chámase límite da secuencia. O límite dunha sucesión converxente ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} normalmente denótase lim n → ∞ a n {\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}. Se ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} é unha secuencia diverxente, daquela a expresión lim n → ∞ a n {\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}} carece de sentido.
Definición formal de converxencia
Unha secuencia de números reais ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} converxe a un número real L {\displaystyle L} se, para todos ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}, existe un número natural N {\displaystyle N} tal que para todos n ≥ N {\displaystyle n\geq N} temos | a n − L | < ε. {\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon. }
Aplicacións e resultados importantes
Se ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} e ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} son secuencias converxentes, entón existen os seguintes límites e pódense calcular do seguinte xeito: lim n → ∞ ( a n ± b n )
lim n → ∞ a n ± lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})
\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}} lim n → ∞ c a n
c lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}
c\lim _{n\to \infty }a_{n}} para todos os números reais c {\displaystyle c} lim n → ∞ ( a n b n )
( lim n → ∞ a n ) ( lim n → ∞ b n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})
{\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}} lim n → ∞ a n b n
( lim n → ∞ a n ) / ( lim n → ∞ b n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}
{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}, sempre que lim n → ∞ b n ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0} lim n → ∞ a n p
( lim n → ∞ a n ) p {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}
{\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}} para todos p > 0 {\displaystyle p>0} e a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} Se a n ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n}} para todos os n {\displaystyle n} maiores que algún N {\displaystyle N}, daquela lim n → ∞ a n ≤ lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}.
( Teorema de compresión )Se ( c n ) {\displaystyle (c_{n})} é unha secuencia tal que a n ≤ c n ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}} para todos os n > N {\displaystyle n>N} e lim n → ∞ a n
lim n → ∞ b n
L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}
\lim _{n\to \infty }b_{n}
L}, daquela ( c n ) {\displaystyle (c_{n})} é converxente, e lim n → ∞ c n
L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}
L}.
Se unha secuencia é limitada e monótona, daquela é converxente.
Unha secuencia é converxente se e só se todas as súas subsecuencias son converxentes.
Secuencias de Cauchy
Unha sucesión de Cauchy é unha secuencia cuxos termos se achegan arbitrariamente cando n se fai moi grande. A noción de secuencia de Cauchy é importante no estudo de secuencias en espazos métricos e, en particular, na análise real. Un resultado particularmente importante na análise real é a caracterización de Cauchy da converxencia para secuencias: Unha secuencia de números reais é converxente (nos reais) se e só se é Cauchy.
En cambio, hai secuencias de Cauchy de números racionais que non son converxentes nos racionais, por exemplo, a secuencia definida por x 1
1 {\displaystyle x_{1}
1} e x n + 1
12 ( x n + 2 x n ) {\displaystyle x_{n+1}
{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}} é Cauchy, pero non ten límite racional. De forma máis xeral, calquera secuencia de números racionais que converxe a un número irracional é Cauchy, mais non converxente cando se interpreta como unha secuencia do conxunto de números racionais.
Os espazos métricos que satisfán a caracterización de converxencia de Cauchy para secuencias chámanse espazos métricos completos e son particularmente apropiados para a análise.
Límites infinitos
En cálculo, é común definir a notación para secuencias que non converxen no sentido comentado anteriormente, senón que se fan e permanecen arbitrariamente grandes, ou se fan e permanecen arbitrariamente negativas. Se a n {\displaystyle a_{n}} faise arbitrariamente grande como n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }, escribimos lim n → ∞ a n
∞. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}
\infty. } Neste caso dicimos que a secuencia diverxe. Un exemplo desta secuencia é an n.
Se a n {\displaystyle a_{n}} vólvese arbitrariamente negativo (é dicir, negativo e grande en magnitude) como n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }, escribimos lim n → ∞ a n
− ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}
-\infty } e dicimos que a secuencia diverxe cara ao infinito negativo. Serie
Unha serie é, falando informalmente, a suma dos termos dunha secuencia. É dicir, é unha expresión da forma ∑ n
1 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}} ou a 1 + a 2 + ⋯ {\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots }, onde ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} é unha secuencia de números reais ou complexos. As sumas parciais dunha serie son as expresións resultantes de substituír o símbolo do infinito por un número finito, é dicir, a N-ésima suma parcial da serie. ∑ n
1 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}} é o número S N
∑ n
1 N a n
a 1 + a 2 + ⋯ + a N. {\displaystyle S_{N}
\sum _{n
1}^{N}a_{n}
a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}. } As propias sumas parciais forman unha secuencia ( S N ) N ∈ N {\displaystyle (S_{N})_{N\in \mathbb {N} }}, que se denomina secuencia de sumas parciais da serie ∑ n
1 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}}. Se a secuencia de sumas parciais converxe, dicimos que a serie ∑ n
1 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}} é converxente, e o límite lim N → ∞ S N {\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}} chámase valor da serie. A mesma notación úsase para indicar unha serie e o seu valor, é dicir, escribimos ∑ n
1 ∞ a n
lim N → ∞ S N {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }a_{n}
\lim _{N\to \infty }S_{N}}.