Función monótona

En matemáticas, unha función monótona é unha función entre conxuntos ordenados que conserva ou inverte a orde. No primeiro caso, fálase dunha función crecente e no outro de función decrecente. Este concepto apareceu por primeira vez na análise real de funcións numéricas e despois xeneralizouse no marco máis abstracto da teoría da orde. Monotonía na análise real
Intuitivamente (ver as figuras ao lado), a representación gráfica dunha función monótona nun intervalo é unha curva que “sobe» constantemente ou «baixa» constantemente. Se este aspecto gráfico é inmediatamente revelador, non é, porén, a única forma na que se revela a propiedade da monotonía: unha función monótona é unha función que sempre ten o mesmo efecto sobre a relación de orde. Para unha función crecente, a orde que existe entre dúas variábeis atópase na orde das súas imaxes, para unha función decrecente, a orde das imaxes invírtese en comparación coa orde dos antecedentes.
Para unha función con derivada nun intervalo, o estudo da monotonía está ligado ao estudo do signo da derivada, que é constante: sempre positivo ou sempre negativo.
Definición
Sexa I {\displaystyle I} un intervalo de R {\displaystyle \mathbb {R} } e f {\displaystyle f} unha función de valores reais, cuxo dominio de definición contén este intervalo I {\displaystyle I}.
Monotonía en sentido amplo. Dise que f {\displaystyle f} é: crecente (ou: crecente en sentido amplo) sobre I {\displaystyle I} se
para todo par ( x, y ) ∈ I 2 {\displaystyle (x, y)\in I^{2}} tal que x < y {\displaystyle x<y}, temos f ( x ) ⩽ f ( y ) {\displaystyle f(x)\leqslant f(y)};
decrecente (ou: decrecente en sentido amplo) sobre I {\displaystyle I} se
para todo par ( x, y ) ∈ I 2 {\displaystyle (x, y)\in I^{2}} tal que x < y {\displaystyle x<y}, temos f ( x ) ⩾ f ( y ) {\displaystyle f(x)\geqslant f(y)};
monótona (ou: monótona no sentido amplo) en I {\displaystyle I} se é crecente en I {\displaystyle I} ou decrecente en I {\displaystyle I}.
Exemplo: para todo real x {\displaystyle x}, denotado E ( x ) {\displaystyle E(x)} a parte enteira de x {\displaystyle x} (é o único enteiro relativo k {\displaystyle k} tal que k ⩽ x < k + 1 {\displaystyle k\leqslant x<k+1} ). A función E: R → R {\displaystyle E: \mathbb {R} \to \mathbb {R} } vai crecendo en R {\displaystyle \mathbb {R} } pero non é estritamente crecente (ver máis abaixo), porque é constante en cada intervalo [ i, i + 1 [ {\displaystyle [i, i+1[} de extremos enteiros.
Estritamente monótona. Dise que f {\displaystyle f} é: estritamente crecente en I {\displaystyle I} se
para todo par ( x, y ) ∈ I 2 {\displaystyle (x, y)\in I^{2}} tal que x < y {\displaystyle x<y}, temos f ( x ) < f ( y ) {\displaystyle f(x)<f(y)};
estritamente decrecente en I {\displaystyle I} se
para todo par ( x, y ) ∈ I 2 {\displaystyle (x, y)\in I^{2}} tal que x < y {\displaystyle x<y}, temos f ( x ) > f ( y ) {\displaystyle f(x)>f(y)};
estritamente monótona sobre I {\displaystyle I} se é estritamente crecente en I {\displaystyle I} ou estritamente decrecente en I {\displaystyle I}.
Exemplos: sexa n {\displaystyle n} un enteiro estritamente positivo. A función f: R + → R: x ↦ x n {\displaystyle f: \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}: x\mapsto x^{n}}, é estritamente crecente en R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}}. En efecto, se a, b, a ′ {\displaystyle a, b, a'} e b ′ {\displaystyle b'} son números reais tal que 0 ⩽ a < b {\displaystyle 0\leqslant a<b} e 0 ⩽ a ′ < b ′ {\displaystyle 0\leqslant a'<b'}, entón a a ′ < b b ′ {\displaystyle aa'<bb'}. Deducimos por indución sobre o número enteiro n {\displaystyle n} que para calquera parella ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} de positivos reais ou ceros tal que x < y {\displaystyle x<y}, temos x n < y n {\displaystyle x^{n}<y^{n}}.
Cando n {\displaystyle n} é impar, a función f: R → R: x ↦ x n {\displaystyle f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}: x\mapsto x^{n}}, é estritamente crecente en R {\displaystyle \mathbb {R} }.
De feito, é estritamente crecente en R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} (ver o exemplo anterior) e impar.
Nota 1: para que unha función f {\displaystyle f} sexa crecente (respectivamente estritamente crecente) en I {\displaystyle I}, é necesario e suficiente que − f {\displaystyle -f} sexa decrecente (resp. estritamente decrecente) en I {\displaystyle I}.
Nota 2: para que unha función monótona f: I → R {\displaystyle f: I\to \mathbb {R} } non o sexa estritamente, é necesario (e desde logo é suficiente) que I {\displaystyle I} conteña un intervalo non trivial (é dicir, non baleiro e non reducido a un punto) no que f {\displaystyle f} é constante.
Propiedades elementais
Operacións alxébricas
Sexan dúas funcións crecentes I {\displaystyle I}. Temos: a súa suma é crecente;
se teñen valores positivos, o seu produto é crecente.
Existe a propiedade análoga para funcións estritamente crecentes.
Composición
Sexan dúas funcións f: I → R {\displaystyle f: I\to \mathbb {R} } e g: J → R {\displaystyle g: J\to \mathbb {R} }, onde I {\displaystyle I} e J {\displaystyle J} son dous intervalos reais tal que f ( I ) ⊂ J {\displaystyle f(I)\subset J}; podemos definir a función composta g ∘ f: I → R {\displaystyle g\circ f: I\to \mathbb {R} }.
Se f {\displaystyle f} é monótona en I {\displaystyle I} e g {\displaystyle g} é monótona en J {\displaystyle J}, daquela g ∘ f {\displaystyle g\circ f} é monótona en I {\displaystyle I}. Máis precisamente: se f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} ambos as dúas son crecentes ou decrecentes, entón g ∘ f {\displaystyle g\circ f} é crecente;
se unha das dúas funcións f {\displaystyle f} ou g {\displaystyle g} é crecente e a outra decrecente, entón g ∘ f {\displaystyle g\circ f} é decrecente.
Exste a propiedade análoga para as funcións estritamente monótonas.
Inxectividade
Unha función estritamente monótona nun intervalo I {\displaystyle I} é inxectiva, é dicir que dous elementos de I {\displaystyle I} distintos teñen imaxes distintas. Esta propiedade, combinada co teorema do valor intermedio, é útil para atopar o número de ceros nunha función.
Propiedades relativas á continuidade e límites
Teorema do límite monótono para unha función
Sexa ] a, b [ {\displaystyle ]a, b[} un intervalo aberto (limitado ou non) e unha función crecente f: ] a, b [ → R {\displaystyle f: ]a, b[\to \mathbb {R} }. Así: f {\displaystyle f} admite en todos os puntos x {\displaystyle x} de ] a, b [ {\displaystyle ]a, b[} un límite pola esquerda e un límite pola dereita, finitos, que denotamos respectivamente f ( x − ) {\displaystyle f(x^{-})} e f ( x + ) {\displaystyle f(x^{+})}; verifican a dobre desigualdade f ( x − ) ⩽ f ( x ) ⩽ f ( x + ) {\displaystyle f(x^{-})\leqslant f(x)\leqslant f(x^{+})}; f {\displaystyle f} admite un límite pola esquerda b {\displaystyle b}, finito ou igual a + ∞ {\displaystyle +\infty }; este límite é finito se e só se f {\displaystyle f} é maior. f {\displaystyle f} admite un límite pola dereita en a {\displaystyle a}, finito ou igual a − ∞ {\displaystyle -\infty }; este límite é finito se e só se f {\displaystyle f} é menor.
Un teorema análogo para funcións decrecentes dedúcese inmediatamente substituíndo f {\displaystyle f} por − f {\displaystyle -f}.
Un corolario deste teorema é a continuidade de calquera sobrexección monótona dun intervalo sobre un intervalo.
Puntos de descontinuidade
Teorema de Froda (1929): o conxunto D {\displaystyle D} de puntos de descontinuidade dunha función monótona é finito ou numerábel (dicimos que é numerábel como máximo ). Efectivamente, denotando ε x
f ( x + ) − f ( x − ) {\displaystyle \varepsilon _{x}
f(x^{+})-f(x^{-})}, a familia ( ε x ) x ∈ D ∩ [ c, d ] {\displaystyle \left(\varepsilon _{x}\right)_{x\in D\cap [c, d]}} de reais estritamente positivos é sumábel e, polo tanto, como moito numerábel para todos os [ c, d ] {\displaystyle [c, d]} incluídos no intervalo de monotonía. Froda demostrou de feito que para calquera función real, o conxunto de puntos de descontinuidade do primeiro tipo é como moito numerábel. Ou para unha función monótona, o teorema do límite monótono di exactamente que este tipo de descontinuidade é a única posíbel.
Monotonía e signo da derivada
Un uso clásico e importante do cálculo diferencial é a caracterización, entre as funcións diferenciábeis (dunha variábel real, e con valores reais), das que son monótonas (en sentido amplo ou en sentido estrito) nun intervalo.
Teorema: Observacións Dedúcese que unha condición suficiente para que unha función derivábel f: I → R {\displaystyle f: I\to \mathbb {R} } sexa estritamente crecente en I {\displaystyle I} é que para todo x ∈ I, f ′ ( x ) > 0 {\displaystyle x\in I, f'(x)>0}. Pero esta condición non é de ningún xeito necesaria, como mostra o enunciado do teorema e os dous exemplos seguintes.
Este teorema xeneralízase a funcións continuas nun intervalo mais derivábeis só no complemento dun subconxunto numerábel: cf. Teorema do valor medio.
Exemplo 1
A función f: R → R: x ↦ x 3 {\displaystyle f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}: x\mapsto x^{3}}, é estritamente crecente en R {\displaystyle \mathbb {R} }. O criterio anterior permítenos volver demostralo:
é derivábel, e para todo real x, f ′ ( x )
3 x 2 {\displaystyle x, f'(x)
3x^{2}};
a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é { 0 } {\displaystyle \{0\}}; é de interior baleiro.
Exemplo 2
A función f: R → R: x ↦ cos ⁡ x + x {\displaystyle f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}: x\mapsto \cos x+x}, é estritamente crecente en R {\displaystyle \mathbb {R} }. De feito:
é derivábel, e para calquera real x, f ′ ( x )
1 − sin ⁡ x ⩾ 0 {\displaystyle x, \; f'(x)
1-\sin x\geqslant 0};
a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é ( π 2 ) + 2 π Z
{ x ∈ R ∣ ∃ k ∈ Z, x
( π 2 ) + 2 k π } {\displaystyle \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)+2\pi \mathbb {Z}
\left\{x\in \mathbb {R} \mid \exists k\in \mathbb {Z}, x
\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)+2k\pi \right\}}, que é internamente baleiro (mesmo é contábel).
Exemplo 3
A función f: [ − 1, 1 ] → R: x ↦ arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x {\displaystyle f: [-1, 1]\to \mathbb {R}: x\mapsto \arccos x+\arcsin x} é constante. En efecto, as derivadas de arccos {\displaystyle \arccos } e arcsin {\displaystyle \arcsin }, definidas en ] − 1, 1 [ {\displaystyle ]-1, 1[}, son opostas entre si e en ] − 1, 1 [, f ′ {\displaystyle ]-1, 1[, f'} é cero e f {\displaystyle f} é constante. Así, para todo x {\displaystyle x} En ] − 1, 1 [ {\displaystyle ]-1, 1[} (e mesmo en [ − 1, 1 ] {\displaystyle [-1, 1]}, por continuidade), f ( x )
f ( 0 )
π 2 {\displaystyle f(x)
f(0)
{\dfrac {\pi }{2}}}. Monotonía na topoloxía
Unha aplicación f: X → Y {\displaystyle f: X\rightarrow Y} entre dous espazos topolóxicos dise que é monótona se cada unha das súas fibras é conexa, é dicir que para todos os y {\displaystyle y} en Y {\displaystyle Y} o conxunto f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} (que pode estar baleiro) é conexo. Monotonía na análise funcional
En análise funcional, un operador T: X → X ∗ {\displaystyle T: X\rightarrow X^{*}} nun espazo vectorial topolóxico X {\displaystyle X} (que pode ser non linear) chámase operador monótono se ( T u − T v, u − v ) ≥ 0 ∀ u, v ∈ X. {\displaystyle (Tu-Tv, u-v)\geq 0\quad \forall u, v\in X. } O teorema de Kachurovskii mostra que as derivadas das funcións convexas nos espazos de Banach son operadores monótonos. A monotonía na teoría da orde
A teoría da orde trata de conxuntos parcialmente ordenados e conxuntos preordenados en xeral, ademais dos intervalos reais. A definición anterior de monotonía tamén é relevante nestes casos. Por exemplo, considere unha aplicación f {\displaystyle f} dun conxunto ordenado ( A, ⩽ A ) {\displaystyle (A, \leqslant _{A})} nun conxunto ordenado ( B, ⩽ B ) {\displaystyle (B, \leqslant _{B})}. f {\displaystyle f} chámase aplicación crecente (respectivamente, aplicación estritamente crecente) se conserva a orde (respectivamente, a orde estritamente), é dicir, se dous elementos x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} de A {\displaystyle A} verifican x ⩽ A y {\displaystyle x\leqslant _{A}y} (resp. x < A y {\displaystyle x<_{A}y} ), e as súas respectivas imaxes por f {\displaystyle f} verifican f ( x ) ⩽ B f ( y ) {\displaystyle f(x)\leqslant _{B}f(y)} (respectivamente, f ( x ) < B f ( y ) {\displaystyle f(x)<_{B}f(y)} ). f {\displaystyle f} chámase aplicación decrecente (resp. aplicación estritamente decrecente ) se inverte a orde (resp. a orde estritamente), é dicir, se dous elementos x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} de A {\displaystyle A} verifican x ⩽ A y {\displaystyle x\leqslant _{A}y} (resp. x < A y {\displaystyle x<_{A}y} ), e as súas respectivas imaxes por f {\displaystyle f} verifican f ( x ) ⩾ B f ( y ) {\displaystyle f(x)\geqslant _{B}f(y)} (resp. f ( x ) > B f ( y ) {\displaystyle f(x)>_{B}f(y)} )
As aplicacións monótonas son fundamentais na teoría da orde. Algunhas aplicacións monótonas notábeis son os mergullos de ordes (aplicacións para as que x ⩽ y {\displaystyle x\leqslant y} se e só se f ( x ) ⩽ f ( y ) {\displaystyle f(x)\leqslant f(y)} e os isomorfismos de orde (os mergullos de orde que son sobrexectivos).