Cardinalidade do continuo

Na teoría de conxuntos, a cardinalidade do continuo é a cardinalidade ou "tamaño" do conxunto dos números reais R {\displaystyle \mathbb {R} }, ás veces chamado continuo. É un número cardinal infinito denotado por c {\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}} (en minúscula Fraktur "c") ou | R | {\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}}.
Os números reais R {\displaystyle \mathbb {R} } son máis numerosos que os números naturais N {\displaystyle \mathbb {N} }. Alén disto, R {\displaystyle \mathbb {R} } ten o mesmo número de elementos que o conxunto de partes de N {\displaystyle \mathbb {N} }. Simbólicamente, se a cardinalidade de N {\displaystyle \mathbb {N} } se denota como ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}, a cardinalidade do continuo é Isto foi demostrado por Georg Cantor na súa proba de non numerabilidade de 1874, parte do seu estudo innovador de diferentes infinitos. A desigualdade foi máis tarde afirmada de xeito máis sinxelo no seu argumento diagonal en 1891. Cantor definiu a cardinalidade en termos de funcións bixectivas: dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade se, e só se, existe unha función bixectiva entre eles.
Entre dous números reais calquera a < b, por moi próximos que estean entre si, sempre hai infinitos outros números reais, e Cantor demostrou que son tantos como os contidos en todo o conxunto de números reais. Noutras palabras, o intervalo aberto (a, b) é equipotente con R {\displaystyle \mathbb {R} }, así como con varios outros conxuntos infinitos, como calquera espazo euclidiano n-dimensional R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (ver curva de recheo do espazo). É dicir, O menor número cardinal infinito é ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (aleph-cero). O segundo máis pequeno é ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} (aleph-un). A hipótese do continuo, que afirma que non hai conxuntos cuxa cardinalidade estea estritamente entre ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} e c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}, quere dicir que c
ℵ 1 {\displaystyle {\mathfrak {c}}
\aleph _{1}}. A verdade ou a falsidade desta hipótese é indecidíbel e non se pode probar dentro da amplamente usada teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de escolla (ZFC). Propiedades
Non numerabilidade
Georg Cantor introduciu o concepto de cardinalidade para comparar os tamaños de conxuntos infinitos. Mostrou que o conxunto de números reais é non numerabelmente infinito. É dicir, c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} é estritamente maior que a cardinalidade dos números naturais, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}:
Igualdades cardinais
Pódese usar unha variación do argumento diagonal de Cantor para demostrar o teorema de Cantor, que afirma que a cardinalidade de calquera conxunto é estritamente menor que a do seu conxunto de partes. É dicir, | A | < 2 | A | {\displaystyle |A|<2^{|A|}}. A igualdade cardinal c 2
c {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}
{\mathfrak {c}}} pódese demostrar mediante a aritmética cardinal: Usando as regras da aritmética cardinal, tamén se pode demostrar onde n é calquera cardinal finito ≥ 2 e onde 2 c {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}} é a cardinalidade do conxunto de partes de R, e 2 c > c {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}. Números beth
A secuencia dos números beth defínese pola configuración ℶ 0
ℵ 0 {\displaystyle \beth _{0}
\aleph _{0}} e ℶ k + 1
2 ℶ k {\displaystyle \beth _{k+1}
2^{\beth _{k}}}. Logo c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} é o segundo número beth, beth-un: O terceiro número beth, beth-dous, é a cardinalidade do conxunto de partes de R {\displaystyle \mathbb {R} } (é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos da recta real): A hipótese do continuo
A hipótese do continuo afirma que c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} tamén é o segundo número aleph, ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}}. Noutras palabras, a hipótese do continuo afirma que non hai conxunto A {\displaystyle A} cuxa cardinalidade se sitúe estritamente entre ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} e c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} Conxuntos con cardinalidade do continuo
Un gran número de conxuntos estudados en matemáticas teñen cardinalidade igual a c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}. Algúns exemplos comúns son os seguintes: os números reais R {\displaystyle \mathbb {R} } calquera intervalo pechado ou aberto non dexenerado de R {\displaystyle \mathbb {R} } (como o intervalo unitario [ 0, 1 ] {\displaystyle [0, 1]} )
os números irracionais
os números transcendentais
o conxunto de Cantor
o Espazo euclidiano R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} os números complexoss C {\displaystyle \mathbb {C} } o conxunto potencia dos números naturais P ( N ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} (o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais)
o conxunto de sucesións de enteiros (é dicir, todas as funcións N → Z {\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }, moitas veces denotadas Z N {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }} )
o conxunto de sucesións de números reais, R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} o conxunto de todas as funcións continuas dende R {\displaystyle \mathbb {R} } ata R {\displaystyle \mathbb {R} } a topoloxía euclidiana en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos abertos en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} )
a álxebra σ de Borel en R {\displaystyle \mathbb {R} } (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos de Borel en R {\displaystyle \mathbb {R} } ). Conxuntos con maior cardinalidade
Conxuntos con cardinalidade maior que c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} inclúen: o conxunto de todos os subconxuntos de R {\displaystyle \mathbb {R} } (é dicir, o conxunto de partes P ( R ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )} )
o conxunto 2R de funcións indicadoras definidas en subconxuntos dos reais (o conxunto 2 R {\displaystyle 2^{\mathbb {R} }} é isomorfo a P ( R ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}, a función indicadora escolle elementos de cada subconxunto)
o conxunto R R {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }} de todas as funcións de R {\displaystyle \mathbb {R} } a R {\displaystyle \mathbb {R} } a σ-álxebra de Lebesgue R {\displaystyle \mathbb {R} }, é dicir, o conxunto de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue en R {\displaystyle \mathbb {R} }.
o conxunto de todas as funcións integrábeis de Lebesgue de R {\displaystyle \mathbb {R} } a R {\displaystyle \mathbb {R} } o conxunto de todas as funcións medíbeis de Lebesgue de R {\displaystyle \mathbb {R} } a R {\displaystyle \mathbb {R} } as compactacións de Stone-Čech de N {\displaystyle \mathbb {N} }, Q {\displaystyle \mathbb {Q} }, e R {\displaystyle \mathbb {R} } o conxunto de todos os automorfismos do corpo (discreto) dos números complexos.