Polinomio característico

Na álxebra linear, o polinomio característico dunha matriz cadrada é un polinomio que é invariante baixo a semellanza de matrices e ten os eigenvalores como raíces. Ten o determinante e a traza da matriz entre os seus coeficientes. O polinomio característico dun endomorfismo dun espazo vectorial de dimensión finita é o polinomio característico da matriz dese endomorfismo sobre calquera base (é dicir, o polinomio característico non depende da elección dunha base). A ecuación característica, tamén coñecida como ecuación determinante, é a ecuación obtida ao igualar o polinomio característico a cero.
Na teoría de grafos espectral, o polinomio característico dun grafo é o polinomio característico da súa matriz de adxacencia. Definición formal
Considere unha matriz A {\displaystyle A} n × n {\displaystyle n\times n}. O polinomio característico de A, {\displaystyle A, } denotado como p A ( t ), {\displaystyle p_{A}(t), } é o polinomio definido por p A ( t )
det ( t I − A ) {\displaystyle p_{A}(t)
\det(tI-A)} onde I {\displaystyle I} denota a matriz de identidade n × n {\displaystyle n\times n}.
Algúns autores definen o polinomio característico ser det ( A − t I ). {\displaystyle \det(A-tI). } Exemplos
Para calcular o polinomio característico da matriz A
( 21 − 10 ), {\displaystyle A
{\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}, } calcúlase o determinante da seguinte matriz: t I − A
( t − 2 − 11 t − 0 ) {\displaystyle tI-A
{\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}} e atopamos que o polinomio característico de A {\displaystyle A} ven sendo ( t − 2 ) t − 1 ( − 1 )
t 2 − 2 t + 1. {\displaystyle (t-2)t-1(-1)
t^{2}-2t+1\, \! .} Segundo exemplo, esta vez usando funcións hiperbólicas dun ángulo hiperbólico φ como coeficientes da matriz. Para a matriz A
( cosh ⁡ ( φ ) sinh ⁡ ( φ ) sinh ⁡ ( φ ) cosh ⁡ ( φ ) ), {\displaystyle A
{\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}, } o seu polinomio característico é det ( t I − A )
( t − cosh ⁡ ( φ ) ) 2 − sinh 2 ⁡ ( φ )
t 2 − 2 t cosh ⁡ ( φ ) + 1
( t − e φ ) ( t − e − φ ). {\displaystyle \det(tI-A)
(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )
t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1
(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }). } Propiedades
O feito máis importante sobre o polinomio característico xa se mencionou no parágrafo inicial os autovalores de A {\displaystyle A} son precisamente as raíces de p A ( t ) {\displaystyle p_{A}(t)}.
Para as matrices A {\displaystyle A} de dimensión 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} o polinomio característico vén dado por t 2 − tr ⁡ ( A ) t + det ( A ). {\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A). } O teorema de Cayley-Hamilton estabelece que substituíndo t {\displaystyle t} por A {\displaystyle A} no polinomio característico (interpretando as potencias resultantes como potencias matriciais e o termo constante c {\displaystyle c} como c {\displaystyle c} veces a matriz identidade) dá a matriz cero. Informalmente falando, cada matriz satisfai a súa propia ecuación característica.
Dúas matrices semellantes teñen o mesmo polinomio característico. Porén, a inversa non é verdade en xeral: dúas matrices co mesmo polinomio característico poden non ser semellantes.
A matriz A {\displaystyle A} e a súa transposta teñen o mesmo polinomio característico. A {\displaystyle A} é semellante a unha matriz triangular se e só se o seu polinomio característico pode factorizarse completamente en factores lineares sobre K {\displaystyle K} (o mesmo ocorre co polinomio mínimo en lugar do polinomio característico). Neste caso A {\displaystyle A} é semellante a unha matriz na forma normal de Jordan. Polinomio característico de Ak
Se λ {\displaystyle \lambda } é un eigenvalor dunha matriz cadrada A {\displaystyle A} con eigenvector v, {\displaystyle \mathbf {v}, } entón λ k {\displaystyle \lambda ^{k}} é un eigenvalor de A k {\displaystyle A^{k}} porque A k v
A k − 1 A v
λ A k − 1 v
⋯
λ k v. {\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}
A^{k-1}A{\textbf {v}}
\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}
\dots
\lambda ^{k}{\textbf {v}}. } Tamén se pode demostrar que as multiplicidades coinciden, e isto xeneralízase a calquera polinomio en lugar de x k {\displaystyle x^{k}}: O teorema aplícase a matrices e polinomios sobre calquera caorpo ou anel conmutativo. Porén, a suposición de que p A ( t ) {\displaystyle p_{A}(t)} ten unha factorización en factores lineares non sempre é verdade, a non ser que a matriz estea sobre un corpo alxebricamente pechado como os números complexos.