Teorema de Löwenheim-Skolem

En lóxica matemática, o teorema de Löwenheim-Skolem ou teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski é un teorema que establece que se unha teoría de primeira orde é consistente, entón ten polo menos un modelo con dominio finito ou contable. Máis precisamente: sexa T un subconxunto consistente dunha linguaxe de primeira orde ℒ (con identidade): se T é finito ou contable, entón ten polo menos un modelo con dominio finito ou contable. Isto significa que as teorías de primeira orde non poden controlar a cardinalidade dos seus modelos: ningunha teoría consistente pode ter só modelos isomórficos. A primeira versión do teorema débese a Leopold Löwenheim en 1915, aínda que a súa demostración tiña unha pequena lagoa. Thoralf Skolem demostrou unha segunda versión do teorema en 1919. Desde entón apareceron outras versións.
Skolem comprendeu que este teorema podería aplicarse ás formalizacións de primeira orde da teoría de conxuntos, sendo dita formalización contable, existiría un modelo contable para dita teoría aínda cando a teoría afirma que existen conxuntos non contables. Este resultado contraintuitivo é o coñecido paradoxo de Skolem.
En xeral o teorema de Löwenheim-Skolem non se sostén en lóxicas máis fortes, como as da lóxica de segunda orde. O teorema de Löwenheim-Skolem descendente
Sexa ℒ unha linguaxe de primeira orde de cardinalidade K, onde K é un cardinal infinito. O teorema de Löwenheim-Skolem descendente establece que se ℒ ten un modelo de cardinalidade K, entón tamén ten polo menos un modelo de cardinalidade menor ou igual a K. A demostración do teorema emprega o teorema da existencia de modelos dentro da demostración de completitude para a lóxica de primeira orde.
O teorema establece unha conexión entre a cardinalidade da linguaxe e a cardinalidade dos seus modelos, e impón serias restricións sobre a representación de estruturas infinitas. Se E é unha estrutura para unha linguaxe ℒ de cardinalidade maior que a cardinalidade de ℒ, ningún conxunto de oracións de ℒ poderá representar a E xa que, segundo o teorema, calquera conxunto de proposición de ℒ que teña modelos, terá algún modelo de cardinalidade menor que a cardinalidade de E; e este modelo non pode ser isomorfo con E.
O teorema de Löwenheim-Skolem descendente é un resultando esencial, xunto co teorema de compacidade, para caracterizar á lóxica de primeira orde. O teorema de Löwenheim-Skolem ascendente
De novo, sexa ℒ unha linguaxe de primeira orde de cardinalidad K, onde K é un cardinal infinito. O teorema de Löwenheim-Skolem ascendente establece que se ℒ ten un modelo de cardinalidade K, entón tamén ten polo menos un modelo de cardinalidade maior ou igual a K. A demostración emprega o teorema de compacidade para linguaxes de primeira orde.
Este segundo teorema elimina calquera esperanza de representar calquera estrutura infinita. Pois se un conxunto de fórmulas dunha linguaxe de primeira orde ℒ ten un modelo infinito, entón terá outros de cardinalidade maior e, por tanto, non isomorfos. O teorema de Löwenheim, Skolem e Tarski
Se un conxunto de fórmulas dunha linguaxe de primeira orde ℒ ten un modelo infinito, entón ten un modelo de cada cardinalidade infinita maior ou igual que a cardinalidade de ℒ. Este teorema é un resultado reforzado do teorema de Löwenheim-Skolem, que se pode obter combinando os outros dous resultados.