Nó de trevo

O nó trevo, nó de trevo ou nó trifolio é o exemplo máis sinxelo dun nó non trivial. Pódese obter unindo os dous extremos, dando como resultado un lazo anoado. Do mesmo xeito que o nó simple, o nó trevo é fundamental para o estudo da teoría matemática de nós, onde ten diversas aplicacións en topoloxía e xeometría.
O nó chámase así polo seu parecido coas follas do trevo. Descrición
O nó de trevo pódese definir coas seguintes ecuacións paramétricas: · x
sin ⁡ t + 2 sin ⁡ 2 t {\displaystyle x
\sin t+2\sin 2t} y
cos ⁡ t − 2 cos ⁡ 2 t {\displaystyle \qquad y
\cos t-2\cos 2t} z
− sin ⁡ 3 t {\displaystyle \qquad z
-\sin 3t} Calquera deformación continua da curva anterior tamén é considerada un nó de trevo. En concreto, calquera curva isotópica nun nodo de trevo tamén se considera un nodo de trevo. Ademais, a imaxe especular (ou espellada) dun nó de trevo tamén se considera un trevo. En topoloxía e teoría de nós, o trevo normalmente defínese usando un diagrama de nós en lugar dunha ecuación paramétrica explícita.
Na xeometria alxébrica, o trevo tamén pode ser obtido como a intersección en C2 da esfera tridimensional unitaria S3 coa curva plana complexa de ceros do polinomio complexo z2 + w3 (unha parábola semicúbica).
Se un extremo dunha cinta ou faixa se xira tres veces e despois se pega ao outro, o bordo do papel forma un nó de folla de trevo. Simetría
O nó de trevo é quiral, no sentido de que se pode distinguir da súa propia imaxe especular. As dúas variantes resultantes coñécense como trevo zurdo e trevo destro. Non é posíbel deformar continuamente un trevo zurdo nun trevo destro, ou viceversa. (É dicir, os dous trevos non son isotópicos). Aínda que o nó trevo é quiral, tamén é invertíbel, o que significa que non hai distinción entre un trevo orientado no sentido antihorario e un trevo orientado no sentido horario. É dicir, a quiralidade dun trevo depende só da forma en que se producen os cruces, non da orientación da curva. Non trivialidade
O nó de trevo non é trivial, o que significa que non é posible "desatar" un nó de trevo en tres dimensións sen cortalo. Desde un punto de vista matemático, isto significa que un nó trevo non é isotópico a un círculo, que é o nó trivial. En particular, non hai unha secuencia de movementos de Reidemeister que desata un trevo.
Probar isto require construír un nodo invariante que distinga o trevo do nodo trivial. O invariante máis sinxelo que fai isto é a propiedade de ser tricolorizábel ou non: o trevo é tricolorizábel, pero o nó trivial non. Ademais, practicamente todos os invariantes de nós polinómicos distinguen o trevo dun nodo trivial, como a maioría dos invariantes de nodos relevantes. Clasificación
Na teoría dos nós, o nó de trevo é o primeiro nó non trivial, e é o único nó con tres cruces. É un nodo primo, e aparece como 3_1 en notación de Alexander-Briggs. A notación de Dowker para o trevo é 462, e a notación de Conway para o trevo é.
O trevo pódese describir como o nó toral (2, 3). Tamén é o nó que se obtén ao pechar a trenza σ13.
O trevo é un nó alternado. Non obstante, non é un nó de corte, o que significa que non restrinxe un disco bidimensional suave á bola de catro dimensións; unha forma de probalo é notar que a súa sinatura non é cero. Outra proba é que o teu polinomio de Alexander non cumpre a condición de Fox-Milnor.
O trevo é un nó fibrado, o que significa que o seu complemento S 3 {\displaystyle S^{3}} é un feixe de fibras no círculo S 1 {\displaystyle S^{1}}. No modelo trevo como o conxunto de pares ( z, w ) {\displaystyle (z, w)} de números complexos tales que | z | 2 + | w | 2
1 {\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}
1} e z 2 + w 3
0 {\displaystyle z^{2}+w^{3}
0}, este paquete de fibras ten o mapa de Milnor ϕ ( z, w )
( z 2 + w 3 ) / | z 2 + w 3 | {\displaystyle \phi (z, w)
(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|} como a súa fibración, e un toro cun burato como superficie da fibra. invariantes
O polinomio de Alexander do nó de trevo éː Δ ( t )
t − 1 + t − 1, {\displaystyle \Delta (t)
t-1+t^{-1}, \, } e o polinomio de Conway éː ∇ ( z )
z 2 + 1. {\displaystyle \nabla (z)
z^{2}+1. } O polinomio de Jones é ː V ( q )
q − 1 + q − 3 − q − 4, {\displaystyle V(q)
q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}, \, } e o polinomio de Kauffman do trevo éː L ( a, z )
z a 5 + z 2 a 4 − a 4 + z a 3 + z 2 a 2 − 2 a 2. {\displaystyle L(a, z)
za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}. \, } O grupo do nó do trevo vén dado pola presentación ⟨ x, y ∣ x 2
y 3 ⟩ {\displaystyle \langle x, y\mid x^{2}
y^{3}\rangle \, } ou, equivalentemente, ⟨ x, y ∣ x y x
y x y ⟩. {\displaystyle \langle x, y\mid xyx
yxy\rangle. \, } Este grupo é isomorfo ao grupo de trenzas de tres cordas. Na relixión e na cultura
Como o nó non trivial máis sinxelo, o nó trevo é un motivo común en iconografía e artes visuais. Por exemplo, a forma común do símbolo triquetra é un trevo, como algunhas versións do Valknut. Tamén é un símbolo usado empregado por San Patricio como metáfora da Trindade, debido a que xa era unha planta e un número (o tres) significativo para os nativos da illa.