Produto escalar

En matemática, na álxebra linear, o produto escalar, chamado tamén produto interno, interior ou punto, é unha función binaria definida entre dous vectores que fornece un número real como resultado. O produto vectorial, que é outra operación posíbel para vectores, fornece un novo vector, non só un número.
Alén de para o espazo euclidiano de dúas e tres dimensión, o produto escalar pode definirse tamén nos espazos euclidianos de dimensión maior a tres, e en xeral nos espazos vectoriais reais e complexos. Os espazos vectoriais dotados de produto escalar reciben o nome de espazos prehilbertianos. Definición
Dados dous vectores A → {\displaystyle {\vec {A}}} e B → {\displaystyle {\vec {B}}}. o produto escalar pode ser calculado como: A → ⋅ B →
| A | | B | c o s θ {\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}
|A||B|\ cos\theta } Onde θ {\displaystyle \theta } é o ángulo formado polos vectores A → {\displaystyle {\vec {A}}} e B → {\displaystyle {\vec {B}}}, e | A | {\displaystyle |A|} e | B | {\displaystyle |B|} son as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto | A | c o s θ {\displaystyle |A|\ cos\theta } representa a proxección do vector A → {\displaystyle {\vec {A}}} na dirección do vector B → {\displaystyle {\vec {B}}}. Se A → {\displaystyle {\vec {A}}} fose unha forza, o produto escalar indicaría entón canta da forza A → {\displaystyle {\vec {A}}} se estaría a aplicar na dirección de B → {\displaystyle {\vec {B}}}.
Se o ángulo entre os vectores fose 90º ( A → {\displaystyle {\vec {A}}} e B → {\displaystyle {\vec {B}}} perpendiculares entre si), o produto escalar sería cero, pois cos 90º 0.
Note que non fai falla mencionar ningún Sistema de coordenadas para obter o valor do produto escalar. A fórmula de riba é válida independentemente do sistema de coordenadas.
Nun sistema de coordenadas cartesiano, onde se escriben os vectores en termos de compoñentes como: A →
( A x, A y, A z ) {\displaystyle {\vec {A}}
(A_{x}, A_{y}, A_{z})} B →
( B x, B y, B z ) {\displaystyle {\vec {B}}
(B_{x}, B_{y}, B_{z})} O produto escalar pode escribirse como: A → ⋅ B →
A x B x + A y B y + A z B z {\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}
A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}} Note que a interpretación do produto escalar como a proxección dun vector na dirección doutro, neste caso, está lonxe de ser obvia. Porén a expresión de riba fornécenos unha forma de obter a lonxitude dun vector calquera en termos das súas compoñentes: | A |
A → ⋅ A →
A x 2 + A y 2 + A z 2 {\displaystyle |A|
{\sqrt {{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}}}
{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}} A expresión xeral inicial soamente contén unha definición da lonxitude dun vector como a raíz cadrada do seu produto escalar, mais non fornece medios de calculalo: A → ⋅ A →
| A | | A | c o s 0 o
| A | 2 {\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {A}}
|A||A|\ cos0^{o}
|A|^{2}}
Exemplo de cálculo
O produto escalar dos dous vectores a →
( 123 ) {\displaystyle {\vec {a}}
{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}} e b →
( − 789 ) {\displaystyle {\vec {b}}
{\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}} calcúlase como a → ⋅ b →
1 ⋅ ( − 7 ) + 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 9
36 {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}
1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9
36}.
Definición xeral
O produto escalar de dous vectores nun espazo vectorial é unha forma bilinear, hermítica e definida positiva, polo que se pode considerar unha forma cadrática definida positiva.
Un produto escalar pódese expresar como unha aplicación ⟨ ⋅, ⋅ ⟩: V × V ⟶ K {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle: V\times V\longrightarrow \mathbb {K} } onde V é un espazo vectorial e K {\displaystyle \mathbb {K} } é o corpo sobre o que está definido V. ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle } debe satisfacer as seguintes condicións: Linearidade pola esquerda: ⟨ a x + b y, z ⟩
a ⟨ x, z ⟩ + b ⟨ y, z ⟩ {\displaystyle \langle ax+by, z\rangle
a\langle x, z\rangle +b\langle y, z\rangle }, e linearidade conxugada pola dereita: ⟨ x, a y + b z ⟩
a ¯ ⟨ x, y ⟩ + b ¯ ⟨ x, z ⟩ {\displaystyle \langle x, ay+bz\rangle
{\overline {a}}\langle x, y\rangle +{\overline {b}}\langle x, z\rangle } Hermiticidade: ⟨ x, y ⟩
⟨ y, x ⟩ ¯ {\displaystyle \langle x, y\rangle
{\overline {\langle y, x\rangle }}},
Definida positiva: ⟨ x, x ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle x, x\rangle \geq 0\, }, y ⟨ x, x ⟩
0 {\displaystyle \langle x, x\rangle
0\, } se e só se x 0,
onde x, y, z ∈ V {\displaystyle x, y, z\in V} son vectores de V, a, b ∈ K {\displaystyle a, b\in \mathbb {K} } representan escalares do corpo K {\displaystyle \mathbb {K} } e c ¯ {\displaystyle {\overline {c}}} é o conxugado do complexo c.
Se o corpo ten parte imaxinaria nula (v. g. , R {\displaystyle \mathbb {R} } ), a propiedade de ser sesquilinear convértese en ser bilinear e o ser hermítica convértese en ser simétrica.
Tamén adoita representarse por ( ⋅ | ⋅ ) {\displaystyle (\cdot |\cdot )} ou por ∙ {\displaystyle \bullet }.
Un espazo vectorial sobre o corpo R {\displaystyle \mathbb {R} } ou C {\displaystyle \mathbb {C} } dotado dun produto escalar denomínase espazo prehilbert ou espazo prehilbertiano. Se ademais é completo, dise que é un espazo de Hilbert, e se a dimensión é finita, dirase que é un espazo euclidiano.
Todo produto escalar induce unha norma sobre o espazo no que está definido, da seguinte maneira: ‖ x ‖:
⟨ x, x ⟩ {\displaystyle \|x\|:
{\sqrt {\langle x, x\rangle }}}.
Definición xeométrica do produto escalar nun espazo euclidiano real
O produto escalar de dous vectores nun espazo euclidiano defínese como o produto dos seus módulos polo coseno do ángulo θ {\displaystyle \theta } que forman. A ⋅ B
| A | | B | cos ⁡ θ
A B cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta
A\, B\, \cos \theta } Nos espazos euclídeos, a notación usual de produto escalar é u ⋅ v {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} } Esta definición de carácter xeométrico é independente do sistema de coordenadas elixido e polo tanto da base do espazo vectorial escollida.
Proxección dun vector sobre outro
Posto que |A| cos θ representa o módulo da proxección do vector A sobre a dirección do vector B, isto é |A| cos θ
proy AB, será A ⋅ B
| B | ( proy A B ) {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} |B|\left({\text{proy}}A_{B}\right)} de modo que o produto escalar de dois vectores tamén pode definirse como o produto do módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.
Ángulos entre dous vectores
A expresión xeométrica do produto escalar permite calcular o coseno do ángulo existente entre os vectores: cos ⁡ θ
A ⋅ B | A | | B | {\displaystyle \cos \theta
{\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \over |A|\, |B|}\, }
Vectores ortogonais
Dous vectores son ortogonais ou perpendiculares cando forman ángulo recto entre si. Se o produto escalar de dous vectores é cero, ambos vectores son ortogonais. A ⋅ B
0 ⇒ A ⊥ B {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
0\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {A} \bot \mathbf {B} } xa que o cos ⁡ π 2
0 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}
0}.
Vectores paralelos ou nunha mesma dirección
Dous vectores son paralelos ou levan a mesma dirección se o ángulo que forman é de 0 radiáns (0 graos) ou de π radiáns (180 graos).
Cando dous vectores forman un ángulo cero, o valor do coseno é a unidade, polo tanto o produto dos módulos vale o mesmo que o produto escalar. A ⋅ B
A B cos ⁡ θ ↔ | cos ⁡ θ |
1 ↔ A | | B ⇒ | A ⋅ B |
| A | | B | {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
A\, B\, \cos \theta \leftrightarrow |\cos \theta |
1\leftrightarrow A||B\Rightarrow |\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} |
|A|\, |B|}
Observación
Unha importante variante do produto escalar estándar utilízase no espazo-tempo de Minkowski, é dicir, R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} dotado do produto escalar: ⟨ x, y ⟩
x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 {\displaystyle \langle x, y\rangle
x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}\, }.
Exemplo de cálculo do ángulo entre dous vectores
Os vectores a →
( 123 ) {\displaystyle {\vec {a}}
{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}} e b →
( − 789 ) {\displaystyle {\vec {b}}
{\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}} teñen a lonxitude | a → |
12 + 22 + 32
14 ≈ 3, 74 {\displaystyle |{\vec {a}}|
{\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}}}
{\sqrt {14}}\approx 3{, }74} e | b → |
( − 7 ) 2 + 82 + 92
194 ≈ 13, 93. {\displaystyle |{\vec {b}}|
{\sqrt {(-7)^{2}+8^{2}+9^{2}}}
{\sqrt {194}}\approx 13{, }93. } O coseno do ángulo comprendido entre os dous vectores calcúlase como: cos ⁡ ∢ ( a →, b → )
3614 ⋅ 194 ≈ 0, 691. {\displaystyle \cos \sphericalangle ({\vec {a}}, {\vec {b}})
{\frac {36}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {194}}}}\approx 0{, }691. } Así temos, ∢ ( a →, b → )
arccos ⁡ ( 3614 ⋅ 194 ) ≈ 46, 3 ∘. {\displaystyle \sphericalangle ({\vec {a}}, {\vec {b}})
\arccos \left({\frac {36}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {194}}}}\right)\approx 46{, }3^{\circ }. } Propiedades do produto escalar
1. Conmutativa: A ⋅ B
B ⋅ A {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} } 2. Distributiva respecto á suma vectorial: A ⋅ ( B + C )
A ⋅ B + A ⋅ C {\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )
\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} } 3. Asociativa respecto ao produto por un escalar m: m ( A ⋅ B )
( m A ) ⋅ B
A ⋅ ( m B ) {\displaystyle m(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )
(m\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B}
\mathbf {A} \cdot (m\mathbf {B} )} 4. Obsérvese que en xeral ( A ⋅ B ) C ≠ A ( B ⋅ C ) {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} \neq \mathbf {A} (\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )\, } 5. Se os vectores son ortogonais, o seu produto escalar é nulo (cos 90º
0), e viceversa A ⋅ B
0 {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} 0\, } Nótese que o produto escalar de dous vectores pode ser nulo sen que o sexan os dous correspondentes vectores. Expresión analítica do produto escalar
Se os vectores A e B se expresan en función das súas compoñentes cartesianas rectangulares, tomando a base canónica en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} formada polos vectores unitarios {i, j, k} temos: A
A x i + A y j + A z k {\displaystyle \mathbf {A}
A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \, } B
B x i + B y j + B z k {\displaystyle \mathbf {B}
B_{x}\mathbf {i} +B_{y}\mathbf {j} +B_{z}\mathbf {k} \, } O produto escalar realízase como un produto matricial da seguinte forma: A ⋅ B
[ A x A y A z ] [ B x B y B z ]
A x B x + A y B y + A z B z {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
{\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\\\end{bmatrix}}
A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\, }
Exemplo
Un produto escalar é unha operación alxébrica que obedece á seguinte regra:
Sexan os vectores u e mais v, de tres dimensións, con compoñentes: u(a1, a2, a3) e v(b1, b2, b3). O produto escalar de u por v (u escalar v) é o número real:
uv a1b1 + a2b2 + a3b3. Norma ou Módulo dun vector
Defínese como a lonxitude do segmento orientado (vector) no espazo métrico considerado.
Calcúlase a través do produto interno do vector consigo mesmo. | A | 2
A ⋅ A → | A |
A ⋅ A {\displaystyle |A|^{2}
\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \quad \rightarrow \quad |A|
{\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}} Efectuado o produto escalar, temos: | A | 2
A ⋅ A
( A 1, A 2, .. ., A n ) 2
A 12 + A 22 +. .. + A n 2
∑ A i 2 {\displaystyle |A|^{2}
\mathbf {A} \cdot \mathbf {A}
(A_{1}, A_{2}, .. ., A_{n})^{2}
A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+. .. +A_{n}^{2}
\sum A_{i}^{2}} de modo que | A |
∑ A i 2
A 12 + A 22 +. .. + A n 2 {\displaystyle |A|
{\sqrt {\sum A_{i}^{2}}}
{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+. .. +A_{n}^{2}}}} Por compoñentes, tomando a base canónica en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} formada polos vectores unitarios {i, j, k} A
A x i + A y j + A z k {\displaystyle \mathbf {A}
A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \, } | A | 2
A ⋅ A
[ A x A y A z ] [ A x A y A z ]
A x 2 + A y 2 + A z 2 {\displaystyle |A|^{2}
\mathbf {A} \cdot \mathbf {A}
{\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\\\end{bmatrix}}
A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}\, } de modo que | A |
A x 2 + A y 2 + A z 2 {\displaystyle |A|
{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}\, } Produtos interiores definidos en espazos vectoriais usuais
No espazo vectorial R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} adóitase definir o produto interior (chamado, neste caso en concreto, produto punto) por: A ⋅ B
( a 1, a 2, a 3, .. ., a n ) ⋅ ( b 1, b 2, b 3, .. ., b n )
a 1 b 1 + a 2 b 2 +. .. a n b n
∑ a i ⋅ b i {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
(a_{1}, a_{2}, a_{3}, .. ., a_{n})\cdot (b_{1}, b_{2}, b_{3}, .. ., b_{n})
a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+. .. a_{n}b_{n}
\sum a_{i}\cdot b_{i}} No espazo vectorial C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} adóitase definir o produto interior por: A ⋅ B
( a 1, a 2, a 3, .. ., a n ) ⋅ ( b 1, b 2, b 3, .. ., b n )
a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ +. .. a n ⋅ b n ¯
∑ a i ⋅ b i ¯ {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
(a_{1}, a_{2}, a_{3}, .. ., a_{n})\cdot (b_{1}, b_{2}, b_{3}, .. ., b_{n})
a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+. .. a_{n}\cdot {\overline {b_{n}}}
\sum a_{i}\cdot {\overline {b_{i}}}} Sendo b n ¯ {\displaystyle {\overline {b_{n}}}} o número complexo conxugado de b n {\displaystyle \mathbf {b_{n}} } No espazo vectorial das matrices de m x n, con elementos reais A ⋅ B
tr ⁡ ( A T ⋅ B ) {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
\operatorname {tr} (A^{T}\cdot B)} onde tr(A) é a traza da matriz B e A T {\displaystyle A^{T}} é a matriz trasposta de A. No espazo vectorial das matrices de m x n, con elementos complexos A ⋅ B
tr ⁡ ( A ∗ ⋅ B ) {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
\operatorname {tr} (A^{*}\cdot B)} onde tr(A) é a traza da matriz B e A ∗ {\displaystyle A^{*}} é a matriz trasposta conxugada de A. No espazo vectorial das funcións continuas sobre o intervalo C[a, b], acoutado por a e b: f ⋅ g
∫ a b f ( x ) g ( x ) ¯ d x {\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {g}
\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x} No espazo vectorial dos polinomios de grao menor ou igual a n:
Dado [ x 1, x 2, x 3, .. ., x n, x n + 1 ] ⊆ R {\displaystyle \textstyle [x_{1}, x_{2}, x_{3}, .. ., x_{n}, x_{n+1}]\subseteq \mathbb {R} } tal que x 1 < x 2 < x 3 <. .. < x n < x n + 1 {\displaystyle \textstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<. .. <x_{n}<x_{n}+1\, }: p ⋅ q
p ( x 1 ) q ( x 1 ) + p ( x 2 ) q ( x 2 ) +. .. + p ( x n ) q ( x n ) + p ( x n + 1 ) q ( x n + 1 )
∑ p ( x i ) ⋅ q ( x i ) {\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q}
p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+. .. +p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n}+1)q(x_{n}+1)
\sum p(x_{i})\cdot q(x_{i})} Xeneralizacións
Formas cuadráticas
Dada unha forma bilinear simétrica B ( ⋅, ⋅ ) {\displaystyle \scriptstyle B(\cdot, \cdot )} definida sobre un espazo vectorial V
R n {\displaystyle \scriptstyle V
\mathbb {R} ^{n}} pode definirse un produto escalar diferente do produto escalar euclídeo mediante a fórmula: ( u, v ) B
[ u 1 … u n ] [ B 11 … B 1 n … … … B n 1 … B n n ] [ v 1 … v n ]
∑ i
1 n ∑ j
1 n B i j u i v j {\displaystyle (\mathbf {u}, \mathbf {v} )_{B}
{\begin{bmatrix}u_{1}&\dots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{11}&\dots &B_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\B_{n1}&\dots &B_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\dots \\v_{n}\end{bmatrix}}
\sum _{i
1}^{n}\sum _{j
1}^{n}B_{ij}u_{i}v_{j}} Onde: B i j:
B ( e i, e j ) {\displaystyle B_{ij}:
B(\mathbf {e} _{i}, \mathbf {e} _{j})} { e 1, …, e n } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}, \dots, \mathbf {e} _{n}\}} é unha base do espazo vectorial V {\displaystyle \scriptstyle V} Pode comprobarse que a operación anterior ( ⋅, ⋅ ) B: V × V → R {\displaystyle \scriptstyle (\cdot, \cdot )_{B}: V\times V\to \mathbb {R} } satisfai todas as propiedades que debe satisfacer un produto escalar.
Tensores métricos
Pódense definir e manexar espazos non-euclídeos ou máis exactamente variedades de Riemann, é dicir, espazos non-planos cun tensor de curvatura diferente de cero, nos que tamén podemos definir lonxitudes, ángulos e volumes. Nestes espazos máis xerais adóptase o concepto de xeodésica en lugar do de segmento para definir as distancias máis curtas entre puntos e, tamén, se modifica lixeiramente a definición operativa do produto escalar habitual introducindo un tensor métrico g: M × T M × T M → R {\displaystyle \scriptstyle g: {\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\to \mathbb {R} }, tal que a restrición do tensor a un punto da variedade de Riemann é unha forma bilinear g x ( ⋅, ⋅ )
g ( x; ⋅, ⋅ ) {\displaystyle \scriptstyle g_{x}(\cdot, \cdot )
g(x; \cdot, \cdot )}.
Así, dados dous vectores campos vectoriais u {\displaystyle \mathbf {u} } e v {\displaystyle \mathbf {v} } do espazo tanxente á variedade de Riemann defínese o seu produto interno ou escalar como: ⟨ u, v ⟩
g x ( u, v )
∑ i ∑ j g i j ( x ) u i u j {\displaystyle \langle \mathbf {u}, \mathbf {v} \rangle
g_{x}(\mathbf {u}, \mathbf {v} )
\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}(x)u_{i}u_{j}} A lonxitude dunha curva rectificable C entre dous puntos A e B pódese definir a partir do seu vector tanxente T {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {T} } do seguinte xeito: L C
∫ s a s b g ( x, T, T ) d s
∫ s a s b g i j d x i d s d x i d s d s {\displaystyle L_{C}
\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g(\mathbf {x}, \mathbf {T}, \mathbf {T} )}}\ ds
\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g_{ij}{\frac {dx^{i}}{ds}}{\frac {dx^{i}}{ds}}}}\ ds}