Punto singular dunha variedade alxébrica

No campo matemático da xeometría alxébrica, un punto singular dunha variedade alxébrica V é un punto P que é "especial" (así, singular), no sentido xeométrico de que neste punto o espazo tanxente na variedade pode non estar definido regularmente. No caso de variedades definidas sobre os reais, esta noción xeneraliza a noción de non ser plano localmente. Un punto dunha variedade alxébrica que non é singular dise que é regular. Unha variedade alxébrica que non ten punto singular dise que non é singular ou que é suave. O concepto xeneralízase a esquemas suaves na linguaxe moderna da teoría de esquemas. Definición
Unha curva plana definida por unha ecuación implícita F ( x, y )
0 {\displaystyle F(x, y)
0},
onde F é unha función suave dise que é singular nun punto se a serie de Taylor de F ten orde polo menos 2 neste punto.
A razón disto é que, no cálculo diferencial, a tanxente no punto (x0, y0) de tal curva está definida pola ecuación ( x − x 0 ) F x ′ ( x 0, y 0 ) + ( y − y 0 ) F y ′ ( x 0, y 0 )
0, {\displaystyle (x-x_{0})F'_{x}(x_{0}, y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0}, y_{0})
0, } cuxo lado esquerdo é o termo de grao un da expansión de Taylor. Así, se este termo é cero, a tanxente pode non estar definida da forma estándar, xa sexa porque non existe ou se debe proporcionar unha definición especial.
En xeral para unha hipersuperficie F ( x, y, z, … )
0 {\displaystyle F(x, y, z, \ldots )
0} os puntos singulares son aqueles nos que todas as derivadas parciais desaparecen simultaneamente. Estando definida unha variedade alxébrica xeral V como os ceros comúns de varios polinomios, a condición de que un punto P de V sexa un punto singular é que a matriz jacobiana das derivadas parciais de primeira orde dos polinomios teña un rango en P inferior ao rango noutros puntos da variedade.
Os puntos de V que non son singulares chámanse non singulares ou regulares. Sempre é certo que case todos os puntos son non singulares, no sentido de que os puntos non singulares forman un conxunto que é á vez aberto e denso na variedade (para a topoloxía de Zariski, así como para a topoloxía habitual, no caso das variedades definidas sobre os números complexos ).
No caso dunha variedade real (é dicir, o conxunto dos puntos con coordenadas reais dunha variedade definida por polinomios con coeficientes reais), a variedade é unha variedade preto de cada punto regular. É importante ter en conta que unha variedade real pode ser unha variedade e ter puntos singulares. Por exemplo, a ecuación y3 + 2x2y − x40 define unha variedade analítica real mais ten un punto singular na orixe. Isto pódese explicar dicindo que a curva ten dúas ramas conxugadas complexas que cortan a rama real na orixe. Puntos singulares de mapas suaves
Como a noción de puntos singulares é unha propiedade puramente local, a definición anterior pódese estender para abranguer a clase máis ampla de mapas suaves (funcións de M en Rn onde existen todas as derivadas). A análise destes puntos singulares pódese reducir ao caso da variedade alxébrica tendo en conta os chorros do mapa. O chorro k é a serie de Taylor do mapa truncada no grao k e eliminando o termo constante. Nós
Na xeometría alxébrica clásica, certos puntos singulares especiais tamén foron chamados nós. Un nó é un punto singular onde a matriz de Hesse non é singular; isto implica que o punto singular ten multiplicidade dous e o cono tanxente non é singular fóra do seu vértice.