Enteiro cadrático

En teoría de números, enteiro cadrático é unha xeneralización dos enteiros habituais aos corpos cadráticos. Un número complexo é chamado un enteiro cadrático se é raíz dalgún polinomio mónico (un polinomio cuxo coeficiente principal é 1) de grao con coeficientes enteiros; é dicir, os enteiros cadráticos son enteiros alxébricos de grao dous. Así, os enteiros cadráticos son aqueles números complexos que son solucións de ecuacións da forma x2 + bx + c 0,
con b e c enteiros (habituais). Cando se consideran enteiros alxébricos, ós enteiros habituais chamáselles enteiros racionais.
Exemplos comúns de enteiros cadráticos son as raíces cadradas de enteiros racionais, como 2 {\textstyle {\sqrt {2}}}, e o número complexo i
− 1 {\textstyle i
{\sqrt {-1}}}, que xera os enteiros de Gauss. Outro exemplo habitual é a raíz cúbica da unidade (non real) − 1 + − 32 {\textstyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}, que xera os enteiros de Eisenstein.
Os enteiros cadráticos aparecen nas solucións de moitas ecuacións diofantianas, como as ecuacións de Pell, e noutros problemas relacionados con formas cadráticas con coeficientes enteiros. O estudo dos aneis de enteiros cadráticos é fundamental para moitas cuestións da teoría dos números alxébricos. Definición
Un enteiro cadrático é un enteiro alxébrico de grao dous. Máis explicitamente, é un número complexo x
− b ± b 2 − 4 c 2 {\displaystyle x
{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}},
solución dunha ecuación da forma x2 + bx + c
0, onde b e c son números enteiros. Cada enteiro cadrático que non sexa un enteiro ordinario tampouco é racional: é un número irracional real se b2 − 4c > 0, e non real (complexo con parte imaxinaria non nula) se b2 − 4c < 0. En calquera caso, pertence a un corpo cadrático unívocamente determinado Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}, que é a extensión de Q {\displaystyle \mathbb {Q} } xerada pola raíz cadrada do único enteiro libre de cadrados D tal que b2 − 4c
De2 para algún enteiro e. Se D é positivo, o enteiro cadrático é real; se D < 0, é imaxinario (isto é, complexo non real).
Os enteiros cadráticos (incluídos os enteiros ordinarios) que pertencen a un corpo cadrático Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})} forman un dominio de integridade chamado anel de enteiros de Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}.
Aínda que os enteiros cadráticos dun corpo cadrático determinado forman un anel, o conxunto de todos os enteiros cadráticos non o fai, xa que non está pechado para a suma nin para o produto. Por exemplo, 1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}} e 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} son enteiros cadráticos, pero 1 + 2 + 3 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} e ( 1 + 2 ) ⋅ 3 {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}} non o son, pois os seus polinomios mínimos teñen grao catro. Representación explícita
Aquí e no que segue, considéranse enteiros cadráticos que pertencen a un corpo cadrático Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}, onde D é un enteiro libre de cadrados. Isto non supón ningunha perda de xeneralidade, pois a igualdade a 2 D
a D {\textstyle {\sqrt {a^{2}D}}
a{\sqrt {D}}} (para calquera enteiro positivo a) implica que Q ( D )
Q ( a 2 D ) {\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})
\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}})}.
Un elemento x de Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})} é un enteiro cadrático se e só se existen dous enteiros a e b tales que se verifica unha das seguintes expresións: x
a + b D, {\displaystyle x
a+b{\sqrt {D}}, } ou, se D − 1 é múltiplo de 4, entón x
a 2 + b 2 D, {\displaystyle x
{\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}}, } onde a e b son ambos impares.
Noutras palabras, todo enteiro cadrático pode escribirse como a + ωb, onde a e b son enteiros, e ω vén dado por: ω
D {\displaystyle \omega
{\sqrt {D}}}, se D ≡ 2, 3 ( mod 4 ) {\displaystyle D\equiv 2, 3{\pmod {4}}} ω
1 + D 2 {\displaystyle \omega
{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}, se D ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle D\equiv 1{\pmod {4}}} (Dado que se supuxo que D é libre de cadrados, o caso D ≡ 0 ( mod 4 ) {\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}} é imposible, pois implicaría que D é divisible polo cadrado 4). Norma e conxugación
Un enteiro cadrático en Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )} pode escribirse como a + b D {\displaystyle a+b{\sqrt {D}}},
onde a e b son ambos enteiros ou, unicamente no caso de que D ≡ 1 (mod 4), ambos metades de enteiros impares. A norma dun enteiro cadrático deste tipo é N ( a + b D )
a 2 − D b 2 {\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}})
a^{2}-Db^{2}}.
A norma dun enteiro cadrático é sempre un número enteiro. Se D < 0, a norma dun enteiro cadrático coincide co cadrado do seu valor absoluto como número complexo (isto non é certo se D > 0 {\displaystyle D>0} ). A norma é unha función completamente multiplicativa, o que significa que a norma dun produto de enteiros cadráticos é igual ao produto das súas normas.
Todo enteiro cadrático a + b D {\displaystyle a+b{\sqrt {D}}} ten un conxugado a + b D ¯
a − b D {\displaystyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}
a-b{\sqrt {D}}}.
Un enteiro cadrático ten a mesma norma que o seu conxugado, e esta norma é o produto do enteiro cadrático polo seu conxugado. O conxugado dunha suma ou dun produto de enteiros cadráticos é, respectivamente, a suma ou o produto dos seus conxugados. Isto significa que a conxugación é un automorfismo do anel dos enteiros cadráticos de Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )}; véxase a sección Anel dos enteiros cadráticos máis abaixo. Anel dos enteiros cadráticos
Todo número enteiro sen cadrados (distinto de 0 e 1), denotado por D, define un anel de enteiros cadráticos, que é o dominio de integridade formado polos enteiros alxébricos contidos en Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )}. Este conxunto é Z [ ω ]
{ a + ω b: a, b ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]
\{a+\omega b: a, b\in \mathbb {Z} \}},
onde ω
1 + D 2 {\displaystyle \omega
{\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}} se D
4k + 1, e ω
D {\displaystyle \omega {\sqrt {D}}} noutro caso. Adoita denotarse por O Q ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )}}, pois é o anel de enteiros de Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )}, é dicir, o peche integral de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } en Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )}.
O anel Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} contén todas as raíces das ecuacións da forma x2 + Bx + C
0 cuxo discriminante B2 − 4C é igual ao produto de D polo cadrado dun número enteiro. En particular, D {\displaystyle {\sqrt {D}}} pertence a Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}, pois é raíz da ecuación x2 − D
0, que ten discriminante igual a 4D.
A raíz cadrada de calquera número enteiro é un enteiro cadrático, xa que todo enteiro pode escribirse como n
m2D, onde D é un número libre de cadrados, e a súa raíz cadrada é raíz de x2 − m2D
0.
O teorema fundamental da aritmética non é válido en moitos aneis de enteiros cadráticos. Porén, si existe unha factorización única para os ideais, o que se expresa dicindo que todo anel de enteiros alxébricos é un anel de Dedekind. Sendo os exemplos máis sinxelos de enteiros alxébricoss, os enteiros cadráticos son normalmente o punto de partida na maioría dos estudos de teoría dos números alxébricos.
Os aneis de enteiros cadráticos clasifícanse en dous tipos segundo o signo de D. Se D > 0, todos os elementos de O Q ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )}} son reais, e o anel chámase anel de enteiros cadráticos reais. Se D < 0, os únicos elementos reais de O Q ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )}} son os enteiros ordinarios, e o anel chámase anel de enteiros cadráticos complexos.
No caso dos aneis de enteiros cadráticos reais, o número de clase —que mide o fallo da factorización única— está recollido en OEIS A003649; no caso imaxinario, en OEIS A000924.
Unidades
Un enteiro cadrático é unha unidade no anel dos enteiros de Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )} se e só se a súa norma é 1 ou −1. No primeiro caso, o seu inverso multiplicativo é o seu conxugado; no segundo caso, é o oposto do seu conxugado.
Se D < 0, o anel dos enteiros de Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )} ten como moito seis unidades. No caso dos enteiros gaussianos (D
−1), as catro unidades son 1, − 1, − 1, − − 1 {\displaystyle 1, -1, {\sqrt {-1}}, -{\sqrt {-1}}}. No caso dos enteiros de Eisenstein (D
−3), as seis unidades son ± 1, ± 1 ± − 32 {\displaystyle \pm 1, {\frac {\pm 1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}. Para todos os demais D negativos, só hai dúas unidades: 1 e −1.
Se D > 0, o anel dos enteiros de Q ( D ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\, )} ten infinitas unidades, todas da forma ± u i {\displaystyle \pm u^{i}}, onde i é un enteiro calquera, e u é unha unidade particular chamada unidade fundamental. Dada unha unidade fundamental u, hai outras tres: o seu conxugado u ¯ {\displaystyle {\overline {u}}}, e tamén − u {\displaystyle -u} e − u ¯ {\displaystyle -{\overline {u}}}. Normalmente, chámase a unidade fundamental á única con valor absoluto maior ca 1 (como número real). É tamén a única unidade fundamental que pode escribirse como a + b D {\displaystyle a+b{\sqrt {D}}}, con a e b positivos (enteiros ou medios de enteiros).
As unidades fundamentais para os dez valores positivos máis pequenos de D sen cadrados son: 1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}, 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}, 1 + 52 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} (a proporción áurea), 5 + 26 {\displaystyle 5+2{\sqrt {6}}}, 8 + 37 {\displaystyle 8+3{\sqrt {7}}}, 3 + 10 {\displaystyle 3+{\sqrt {10}}}, 10 + 311 {\displaystyle 10+3{\sqrt {11}}}, 3 + 132 {\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}, 15 + 414 {\displaystyle 15+4{\sqrt {14}}}, 4 + 15 {\displaystyle 4+{\sqrt {15}}}.
Para valores máis grandes de D, os coeficientes da unidade fundamental poden ser moi grandes. Por exemplo, para D 19, 31, 43, as unidades fundamentais son, respectivamente: 170 + 3919 {\displaystyle 170+39{\sqrt {19}}}, 1520 + 27331 {\displaystyle 1520+273{\sqrt {31}}} e 3482 + 53143 {\displaystyle 3482+531{\sqrt {43}}}.
Exemplos de aneis de enteiros cadráticos complexos
Cando D < 0, o número ω é un número complexo (imaxinario ou, en xeral, non real). Polo tanto, é natural tratar un anel de enteiros cadráticos como un subconxunto de números complexos alxébricos. Un exemplo clásico é Z [ − 1 ] {\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\, ]}, os enteiros gaussianos, introducidos por Carl Friedrich Gauss cara ao ano 1800 para formular a súa lei de reciprocidade biquadrática.
Os elementos de O Q ( − 3 )
Z [ 12 ( 1 + − 3 ) ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\, )}
\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-3}}~\! {\bigr )}\right]} chámanse enteiros de Eisenstein.
Os elementos de O Q ( − 7 )
Z [ 12 ( 1 + − 7 ) ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-7}}\, )}
\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-7}}~\! {\bigr )}\right]} chámanse enteiros kleinianos.
Os dous primeiros aneis mencionados son aneis de enteiros de corpos ciclotómicos: respectivamente, Q(ζ4) e Q(ζ3). En cambio, o anel Z [ − 3 ] {\displaystyle \mathbf {Z} {\bigl [}{\sqrt {-3}}~\! {\bigr ]}} nin sequera é un anel de Dedekind.
Todos os exemplos anteriores son aneis de ideais principais e tamén dominios euclideanos para a norma. Non ocorre o mesmo con O Q ( − 5 )
Z [ − 5 ], {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\, )}
\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\, \right], } que nin sequera é un dominio de factorización única.
Isto pode demostrarse do seguinte xeito. En O Q ( − 5 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\, )}} temos: 9
3 ⋅ 3
( 2 + − 5 ) ( 2 − − 5 ). {\displaystyle 9
3\cdot 3
(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}). } Os factores 3 {\displaystyle 3}, 2 + − 5 {\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}} e 2 − − 5 {\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}} son irredutibles, xa que todos teñen norma igual a 9; e se non fosen irredutibles, deberían ter un divisor de norma 3, o cal é imposible, pois a norma de calquera elemento distinto de ±1 é polo menos 4. Así, a factorización de 9 en elementos irredutibles non é única.
Os ideais ⟨ 3, 1 + − 5 ⟩ {\displaystyle \langle 3, 1+{\sqrt {-5}}\, \rangle } e ⟨ 3, 1 − − 5 ⟩ {\displaystyle \langle 3, 1-{\sqrt {-5}}\, \rangle } non son principais, como se pode comprobar sinxelamente observando que o seu produto é o ideal xerado por 3. Se fosen principais, iso implicaría que 3 non sería irredutible.
Exemplos de aneis de enteiros cadráticos reais
Se D > 0, o número ω é un número real irracional positivo, e o correspondente anel de enteiros cadráticos é un subconxunto de números reais alxébricos. As solucións da ecuación de Pell X 2 − D Y 2
1 {\displaystyle X^{2}-DY^{2}
1},
unha ecuación diofantina amplamente estudada, son precisamente as unidades destes aneis cando temos D ≡ 2, 3 ( mod 4 ) {\displaystyle D\equiv 2, \, 3{\pmod {4}}}. Para D
5, temos ω
12 ( 1 + 5 ) {\displaystyle \omega {\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}, que é a proporción áurea. Este anel, ás veces chamado de enteiros áureos, foi estudado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet. As súas unidades son da forma ± ω n {\displaystyle \pm \omega ^{n}}, onde n é un número enteiro calquera. Este anel tamén aparece no estudo da simetría de rotación de orde 5 no plano euclidiano, por exemplo, nos empotramentos de Penrose.
O matemático indio Brahmagupta estudou a ecuación de Pell X 2 − 61 Y 2
1 {\displaystyle X^{2}-61Y^{2}
1},
correspondente ao anel Z [ 61 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {61}}]}.
Aneis principais de enteiros cadráticos
A propiedade de factorización única non sempre se verifica nos aneis de enteiros cadráticos, como se viu máis arriba no caso de Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}. Porén, como ocorre en todo anel de Dedekind, un anel de enteiros cadráticos é un dominio de factorización única se e só se é un anel de ideais principais. Isto sucede se e só se o número de clase do correspondente corpo cadrático é igual a un.
Os aneis imaxinarios de enteiros cadráticos que son aneis de ideais principais foron completamente determinados. Son os aneis O Q ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\, )}} cos seguintes valores de D: D
− 1, − 2, − 3, − 7, − 11, − 19, − 43, − 67, − 163. {\displaystyle D
-1, \ -2, \ -3, \ -7, \ -11, \ -19, \ -43, \ -67, \ -163. } Este resultado foi conxecturado por Carl Friedrich Gauss e posteriormente demostrado por Kurt Heegner, aínda que a súa demostración non foi aceptada ata que Harold Stark presentou outra proba en 1967 (vexa Teorema de Stark–Heegner). Este resultado constitúe un caso particular do famoso problema do número de clase.
Existen moitos enteiros positivos D > 0 para os que o anel de enteiros cadráticos é un anel de ideais principais. Porén, a lista completa destes valores non se coñece; nin sequera se sabe se o número de tales aneis principais é finito ou infinito.
Aneis euclídeos de enteiros cadráticos
Cando un anel de enteiros cadráticos é un anel de ideais principais, é natural preguntarse se tamén é un dominio euclidiano. Este problema foi completamente resolto do seguinte xeito.
Dotado da norma N ( a + b D )
| a 2 − D b 2 | {\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}})
|a^{2}-Db^{2}|} como función euclídea, o anel O Q ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}} é un dominio euclidiano para os valores negativos de D: D
− 1, − 2, − 3, − 7, − 11 {\displaystyle D
-1, \ -2, \ -3, \ -7, \ -11},
e para os valores positivos de D: D
2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 {\displaystyle D
2, \ 3, \ 5, \ 6, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 21, \ 29, \ 33, \ 37, \ 41, \ 57, \ 73} (secuencia A048981 na OEIS).
Non existe ningún outro anel de enteiros cadráticos que sexa euclídeo usando a norma como función euclídea.
Para D < 0, un anel de enteiros cadráticos é euclídeo se e só se a norma é unha función euclídea para ese anel. En particular, para os valores D
− 19, − 43, − 67, − 163 {\displaystyle D
-19, \ -43, \ -67, \ -163},
os correspondentes aneis son aneis de ideais principais que non son dominios euclídeos: trátase de casos raros coñecidos onde a factorización única non implica a propiedade euclídea.
Por outra banda, a hipótese de Riemann xeneralizada implica que todo anel de enteiros cadráticos *reais* que sexa un anel de ideais principais tamén é un dominio euclidiano para algunha función euclídea, que pode ser distinta da norma habitual.
Os valores D 14, 69, foron os primeiros casos nos que se demostrou que o anel de enteiros cadráticos é euclídeo, pero non normeuclídeo.