Teorema de inversión de Lagrange

En análise matemática, o teorema de inversión de Lagrange, tamén coñecido como a fórmula de Lagrange–Bürmann, fornece o desenvolvemento en serie de Taylor da función inversa dunha función analítica. A inversión de Lagrange é un caso particular do teorema da función inversa. Enunciado
Sexa z unha función de w dada por unha ecuación da forma z
f ( w ) {\displaystyle z
f(w)} onde f é analítica nun punto a e f ′ ( a ) ≠ 0. {\displaystyle f'(a)\neq 0. } Entón é posible inverter ou resolver
a ecuación para w, expresándoa na forma w
g ( z ) {\displaystyle w
g(z)} dada por unha serie de potencias g ( z )
a + ∑ n
1 ∞ g n ( z − f ( a ) ) n n! , {\displaystyle g(z)
a+\sum _{n
1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n! }}, } onde g n
lim w → a d n − 1 d w n − 1 [ ( w − a f ( w ) − f ( a ) ) n ]. {\displaystyle g_{n}
\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right]. } O teorema afirma ademais que esta serie ten un raio de converxencia non nulo, é dicir, g ( z ) {\displaystyle g(z)} representa unha función analítica de z nunha veciñanza de z
f ( a ). {\displaystyle z
f(a). } Isto tamén se chama reversión de series.
Se se omiten as condicións de analiticidade, a fórmula tamén é válida para series formais
e pode xeneralizarse de varias maneiras: pódese formular para funcións de varias variables; esténdese para dar unha fórmula directa para F(g(z)) para calquera función analítica F; e pode xeneralizarse ao caso f ′ ( a )
0, {\displaystyle f'(a)
0, } onde o inverso g é unha función multivalorada.
O teorema foi probado por Lagrange
e xeneralizado por Hans Heinrich Bürmann,
a finais do século XVIII.
Existe unha dedución sinxela empregando análise complexa
e integración de contorno;
a versión formal complexa é consecuencia
da fórmula para polinomios,
aplicando a teoría de función analítica.
En realidade, a maquinaria da análise complexa
intervén de forma só formal nesta proba,
pois o que se precisa é unha propiedade
do residuo formal,
e existe unha proba máis directa e puramente formal.
O teorema de inversión de Lagrange ten, de feito,
moitas outras probas distintas,
incluíndo argumentos de contaxe de árbores
ou probas por indución.
Se f é unha serie formal,
a fórmula anterior non dá directamente
os coeficientes da serie inversa g
en termos dos coeficientes de f.
Se se expresan f e g
como series formais f ( w )
∑ k
0 ∞ f k w k k! e g ( z )
∑ k
0 ∞ g k z k k! {\displaystyle f(w)
\sum _{k
0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k! }}\qquad {\text{e}}\qquad g(z)
\sum _{k
0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k! }}} con f00 e f1 ≠ 0,
entón pode darse unha forma explícita dos coeficientes inversos
en termos dos polinomios de Bell: g n
1 f 1 n ∑ k
1 n − 1 ( − 1 ) k n k ¯ B n − 1, k ( f ^ 1, f ^ 2, …, f ^ n − k ), n ≥ 2, {\displaystyle g_{n}
{\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k
1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\overline {k}}B_{n-1, k}({\hat {f}}_{1}, {\hat {f}}_{2}, \ldots, {\hat {f}}_{n-k}), \quad n\geq 2, } onde f ^ k
f k + 1 ( k + 1 ) f 1, g 1
1 f 1, e n k ¯
n ( n + 1 ) ⋯ ( n + k − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&
{\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}}, \\g_{1}&
{\frac {1}{f_{1}}}, {\text{ e}}\\n^{\overline {k}}&
n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}} é o factorial ascendente.
Cando f11,
a última fórmula pode interpretarse
en termos das caras dos asociaedros g n
∑ F cara de K n ( − 1 ) n − dim ⁡ F f F, n ≥ 2, {\displaystyle g_{n}
\sum _{F{\text{ cara de }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F}, \quad n\geq 2, } onde f F
f i 1 ⋯ f i m {\displaystyle f_{F}
f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}} para cada cara F
K i 1 × ⋯ × K i m {\displaystyle F
K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}} do asociaedro K n. {\displaystyle K_{n}. } Exemplo
Por exemplo, a ecuación alxébrica de grao p x p − x + z
0 {\displaystyle x^{p}-x+z
0} pódese resolver para x
mediante a fórmula de inversión de Lagrange
para a función f(x) x − xp,
obtendo así unha solución en serie formal x
∑ k
0 ∞ ( p k k ) z ( p − 1 ) k + 1 ( p − 1 ) k + 1. {\displaystyle x
\sum _{k
0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}. } Mediante as probas de converxencia,
esta serie é, de feito, converxente para | z | ≤ ( p − 1 ) p − p / ( p − 1 ), {\displaystyle |z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)}, } que é tamén o maior disco no que se pode definir
un inverso local de f.