Circunferencia goniométrica

A circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria, é unha circunferencia de raio 1 {\displaystyle 1}, normalmente co seu centro na orixe ( 0, 0 ) {\displaystyle (0, 0)} dun sistema de coordenadas, dun plano euclidiano ou complexo. Devandita circunferencia utilízase co fin de poder estudar facilmente as razóns trigonométricas e funcións trigonométricas, mediante a representación de triángulos rectángulos auxiliares. Se ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} é un punto da circunferencia unidade do primeiro cuadrante, entón x e y son as lonxitudes dos catetos dun triángulo rectángulo cuxa hipotenusa ten lonxitude 1 {\displaystyle 1}. Aplicando o Teorema de Pitágoras, a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} satisfán a seguinte ecuación: x 2 + y 2
1
r a i o
h i p o t e n u s a {\displaystyle x^{2}+y^{2}
1
raio
hipotenusa}. Funcións trigonométricas na circunferencia unitaria
Se ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} é un punto da circunferencia unidade, e o raio que ten a orixe en ( 0, 0 ) {\displaystyle (0, 0)} forma un ángulo α {\displaystyle \alpha \, } co eixo X {\displaystyle X}, as principais funcións trigonométricas pódense representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, da seguinte maneira:
O seno é a razón entre o cateto oposto ( a {\displaystyle a} ) e a hipotenusa ( c {\displaystyle c} ) sin ⁡ ( α )
a c {\displaystyle \sin(\alpha )
{\frac {a}{c}}} e dado que a hipotenusa é igual ao raio, que ten valor 1 {\displaystyle 1}, dedúcese: sin ⁡ ( α )
a {\displaystyle \sin(\alpha )
a\, } O coseno é a razón entre o cateto adxacente ( b {\displaystyle b} ) e a hipotenusa ( c {\displaystyle c} ) cos ⁡ ( α )
b c {\displaystyle \cos(\alpha )
{\frac {b}{c}}} e como a hipotenusa ten valor 1 {\displaystyle 1}, dedúcese: cos ⁡ ( α )
b {\displaystyle \cos(\alpha )
b\, } A tanxente é a razón entre o cateto oposto e o adxacente tan ⁡ ( α )
a b {\displaystyle \tan(\alpha )
{\frac {a}{b}}} Por semellanza de triángulos: A E A C
O A O C {\displaystyle {\frac {AE}{AC}}
{\frac {OA}{OC}}} e como O A
1, {\displaystyle OA
1, } dedúcese que A E
A C O C {\displaystyle AE
{\frac {AC}{OC}}} e, por tanto, tan ⁡ ( α )
A E ¯ {\displaystyle \tan(\alpha )
{\overline {AE}}\, }.
Funcións trigonométricas recíprocas
A cosecante, a secante e a cotanxente, son as razóns trigonométricas recíprocas do seno, coseno e tanxente: csc ⁡ ( α )
1 sin ⁡ ( α )
O F ¯ {\displaystyle \csc(\alpha )
{\frac {1}{\sin(\alpha )}}
{\overline {OF}}} sec ⁡ ( α )
1 cos ⁡ ( α )
O E ¯ {\displaystyle \sec(\alpha )
{\frac {1}{\cos(\alpha )}}
{\overline {OE}}} cot ⁡ ( α )
1 tan ⁡ ( α )
A F ¯ {\displaystyle \cot(\alpha )
{\frac {1}{\tan(\alpha )}}
{\overline {AF}}} Os valores da cotanxente, a secante e a cosecante obtéñense, analogamente, mediante semellanza de triángulos. Topoloxía
En topoloxía, a circunferencia unitaria (tamén denominada disco unidade) clasifícase como S 1 {\displaystyle S^{1}}; a xeneralización para unha dimensión máis é a esfera unidade S 2 {\displaystyle S^{2}}. Grupo circular
Os números complexos pódense identificar con puntos do plano euclidiano, é dicir, o número a + b i {\displaystyle a+bi} identifícase co punto ( a, b ) {\displaystyle (a, b)}. Baixo esta identificación, a circunferencia goniométrica trátase dun grupo coa operación de multiplicación, denominado grupo circular e usualmente denotado como 𝕋. Este grupo ten aplicacións moi importantes nas matemáticas e na ciencia.