Acción de grupo

En matemáticas, unha acción de grupo dun grupo G nun conxunto S é un homomorfismo de grupos de G a algún grupo (baixo a composición de funcións) de S. Dise que G actúa en S.
Se un grupo actúa sobre unha estrutura, normalmente tamén actuará sobre obxectos construídos a partir desa estrutura. Por exemplo, o grupo de isometrías euclidianas actúa sobre o espazo euclidiano e tamén sobre as figuras debuxadas nel; en particular, actúa sobre o conxunto de todos os triángulos. Do mesmo xeito, o grupo de simetrías dun poliedro actúa sobre os vértices, as arestas e as caras do poliedro.
Unha acción de grupo nun espazo vectorial chámase representación de grupo. No caso dun espazo vectorial de dimensións finitas, permite identificar moitos grupos con subgrupos do grupo linear xeral GL(n, K) que é o grupo das matrices invertíbeis de dimensión n sobre un corpo.
O grupo simétrico Sn actúa sobre calquera conxunto con n elementos permutando os elementos do conxunto. Aínda que o grupo de todas as permutacións dun conxunto depende formalmente do conxunto, o concepto de acción de grupo permite considerar un só grupo para estudar as permutacións de todos os conxuntos coa mesma cardinalidade. Definición
Acción de grupo
Se G é un grupo con elemento identidade e e X é un conxunto, entón unha acción de grupo (pola esquerda ou esquerda) α de G en X é unha función α: G × X → X, {\displaystyle \alpha \colon G\times X\to X, } que satisfai os dous axiomas seguintes: para todos os g e h en G e todos os x en X.
Dise entón que o grupo G actúa sobre X (pola esquerda). Un conxunto X xunto cunha acción de G chámase G-conxunto (pola esquerda ou esquerdo).
Pode resultar conveniente notacionalmente transformar (currying) a acción α, de xeito que, en cambio, teña unha colección de transformacións αg: X → X, cunha transformación αg para cada elemento de grupo g ∈ G. Así, os axiomas de identidade e compatibilidade móstranse como α e ( x )
x {\displaystyle \alpha _{e}(x)
x} α g ( α h ( x ) )
( α g ∘ α h ) ( x )
α g h ( x ) {\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))
(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)
\alpha _{gh}(x)} sendo ∘ a composición de funcións. O segundo axioma indica logo que a composición da funcións é compatíbel coa multiplicación do grupo; forman un diagrama conmutativo. Este axioma pódese acurtar aínda máis e escribirse como αg ∘ αh αgh.
Co visto anteriormente, é moi común evitar escribir a letra α e substituíla por un punto ou mesmo sen nada. Así, α(g, x) pódese acurtar a g⋅x ou gx, especialmente cando a acción é clara polo contexto. Os axiomas son logo e ⋅ x
x {\displaystyle e{\cdot }x
x} g ⋅ ( h ⋅ x )
( g h ) ⋅ x {\displaystyle g{\cdot }(h{\cdot }x)
(gh){\cdot }x} Destes dous axiomas, despréndese que para calquera g fixo en G, a función de X en si mesmo que mapea x en g⋅x é unha función bixectiva, con bixección inversa para o mapa correspondente para g−1. Polo tanto, pódese definir equivalentemente unha acción de grupo de G en X como un homomorfismo de grupos de G no grupo simétrico Sym(X) de todas as bixeccións de X consigo mesmo.
Acción de grupo pola dereita
Do mesmo xeito existe unha acción de grupo pola dereita que satisfai os axiomas análogos, que na notación breve sería: para todos os g e h en G e todos os x en X.
A diferenza entre as accións esquerda e dereita está na orde na que un produto gh actúa sobre x. Para unha acción esquerda, h actúa primeiro, seguido de g segundo. Para unha acción dereita, g actúa primeiro, seguido de h segundo. A maiores, unha acción pola dereita dun grupo G en X pódese considerar como unha acción pola esquerda do seu grupo oposto Gop en X.
Así, para estabelecer as propiedades xerais das accións de grupo, abonda con considerar só as accións pola esquerda. No entanto, hai casos nos que isto non é posíbel. Por exemplo, a multiplicación dun grupo induce tanto unha acción pola esquerda como unha acción pola dereita no propio grupo-multiplicación pola esquerda e pola dereita, respectivamente. Propiedades notábeis das accións
Sexa G un grupo que actúa nun conxunto X. A acción chámase fiel ou eficaz se g⋅x
x para todos os x ∈ X implica que g
eG. De forma equivalente, o homomorfismo de G no grupo de bixeccións de X correspondente á acción é inxectivo.
A acción chámase libre (ou semiregular ou punto fixo libre) se a afirmación de que g⋅x
x para algúns x ∈ X implica que g
eG. Noutras palabras, ningún elemento non trivial de G fixa un punto de X. Esta é unha propiedade moito máis forte que a de fidelidade.
O gran matiz entre ambas as defincións está nos termos para todos ou para algúns.
Por exemplo, a acción de calquera grupo sobre si mesmo pola multiplicación pola esquerda é libre. Esta observación implica o teorema de Cayley de que calquera grupo pode mergullarse nun grupo simétrico (que é infinito cando o é o grupo). Un grupo finito pode actuar fielmente nun conxunto de tamaño moito menor que a súa cardinalidade (porén, tal acción non pode ser libre). Por exemplo, o grupo abeliano (Z / 2Z)n (de cardinalidade 2n) actúa fielmente nun conxunto de tamaño 2n. Non sempre é así, por exemplo o grupo cíclico Z / 2nZ non pode actuar fielmente nun conxunto de tamaño inferior a 2n.
En xeral, o conxunto máis pequeno no que se pode definir unha acción fiel pode variar moito para grupos do mesmo tamaño. Por exemplo, tres grupos de tamaño 120 son o grupo simétrico S5, o grupo icosaédrico A5 × Z / 2Z e o grupo cíclico Z / 120Z. Os conxuntos máis pequenos nos que se poden definir accións fieis para estes grupos son de tamaño 5, 7 e 16 respectivamente.
Exemplos
Imos ver dous exemplos tomados dos apuntamentos de Keith Conrad
Exemplo 1
O grupo de transformacións lineares afíns f: R n → R n {\displaystyle f: \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} onde f ( v )
A v + b {\displaystyle f(v)
Av+b} con A ∈ G L n ( R ) {\displaystyle A\in GL_{n}(\mathbb {R} )} (grupo linear xeral de matrices invertíbeis) e b, v ∈ R n {\displaystyle b, v\in \mathbb {R} ^{n}} (vectores de reais de dimensión n) actúa en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} mediante f ⋅ v
f ( v )
A v + b {\displaystyle f\cdot v
f(v)
Av+b}. Se escribimos f {\displaystyle f} como f A, b {\displaystyle f_{A, b}} a identidade sería f I n, 0 {\displaystyle f_{I_{n}, 0}} e a multiplicación f A, b ∘ f A ′, b ′
f A A ′, A b ′ + b {\displaystyle f_{A, b}\circ f_{A', b'}
f_{AA', Ab'+b}} e a inversa f A, b − 1
f A − 1, − A − 1 b {\displaystyle f_{A, b}^{-1}
f_{A^{-1}, -A^{-1}b}}.
Agora comprobamos os axiomas para esta acción: Identidade: f I n, 0 ⋅ v
I n v + 0
v {\displaystyle f_{I_{n}, 0}\cdot v
I_{n}v+0
v}.
Compatibilidade: f A, b ⋅ ( f A ′, b ′ ⋅ v )
( f A, b ∘ f A ′, b ′ ) ⋅ v {\displaystyle f_{A, b}{\cdot }(f_{A', b'}{\cdot }v)
(f_{A, b}\circ f_{A', b'}){\cdot }v}. f A, b ⋅ ( f A ′, b ′ ⋅ v )
f A, b ( A ′ v + b ′ )
A A ′ v + A b ′ + b {\displaystyle f_{A, b}{\cdot }(f_{A', b'}{\cdot }v)
f_{A, b}(A'v+b')
AA'v+Ab'+b}. Isto é debido a que a multiplicación dunha matriz n × n {\displaystyle n\times n} por un vector columna de dimensión n {\displaystyle n} é un vector de dimensión n {\displaystyle n} e por tanto A ′ v + b ′ {\displaystyle A'v+b'} é un vector. ( f A, b ∘ f A ′, b ′ ) ⋅ v
f A A ′, A b ′ + b ( v )
A A ′ v + A b ′ + b {\displaystyle (f_{A, b}\circ f_{A', b'}){\cdot }v
f_{AA', Ab'+b}(v)
AA'v+Ab'+b}. Co mesmo resultado que a parte anterior.
Exemplo 2
Para n ≥ 3, D n {\displaystyle n\geq 3, D_{n}} actúa nun n-gono regular como movementos ríxidos. Tamén o podemos ver como actuando sobre os n vértices. Se etiquetamos os vértices de 1 a n facemos que D n {\displaystyle D_{n}} actúe en 1, ⋯ n {\displaystyle 1, \cdots n}. Por exemplo para D 4 {\displaystyle D_{4}} unha rotación r {\displaystyle r} sería o ciclo ( 1234 ) {\displaystyle (1234)} e unha reflexión s {\displaystyle s} sería a transposición ( 24 ) {\displaystyle (24)}. Así podemos transformar o grupo D 4 {\displaystyle D_{4}} (diédrico de dimensión 4) no S 4 {\displaystyle S_{4}} (Permutacións de 4 elementos). Todas as correspondencias son: 1
( 1 ), r
( 1234 ), r 2
( 13 ) ( 24 ), r 3
( 1432 ), s
( 2, 4 ), r s
( 12 ) ( 34 ), r 2 s
( 13 ), r 3 s
( 14 ) ( 23 ) {\displaystyle 1
(1), r
(1234), r^{2}
(13)(24), r^{3}
(1432), s
(2, 4), rs
(12)(34), r^{2}s
(13), r^{3}s
(14)(23)}.
Propiedades de transitividade
A acción de G en X chámase transitiva se para dous puntos calquera x, y ∈ X existe un g ∈ G para o que g ⋅ x y.
A acción é simplemente transitiva (ou regular) se é á vez transitiva e libre. Isto significa que dados x, y ∈ X entón o elemento g na definición de transitividade é único. Se un grupo G actúa sobre X simplemente transitivamente, entón chámase espazo homoxéneo principal para G ou G-torsor.
Unha acción é n-transitiva para un conxunto de n elementos se é transitiva en todos os pares de elementos diferentes.
Exemplos
A acción do grupo simétrico de X é transitiva, de feito n-transitiva para calquera n até a cardinalidade de X. Se X ten cardinalidade n, a acción do grupo alternante é (n − 2)-transitiva mais non (n − 1)-transitiva.
Accións primitivas
A acción de G en X chámase primitiva se non hai ningunha partición de X preservada por todos os elementos de G a maiores das particións triviais (todo o conxunto ou a partición en conxuntos unitarios).
Accións de grupos topolóxicos
Supoña agora que G é un grupo topolóxico e X un espazo topolóxico no que actúa por homeomorfismos. Dise que a acción é continua se o mapa G × X → X é continuo para a topoloxía do produto.
A acción dise que é propia se o mapa G × X → X × X definido por (g, x) ↦ (x, g⋅x) é propio. Isto significa que dados os conxuntos compactos K, K′ o conxunto de g ∈ G tal que g⋅K ∩ K′ ≠ ∅ é compacto. En particular, isto é equivalente a que G con descontinuidade propia é un grupo discreto.
Dise que é localmente libre se existe unha viciñanza U de eG tal que g⋅x ≠ x para todos os x ∈ X e g ∈ U ∖ {eG}.
Dise que a acción é fortemente continua se o mapa orbital g ↦ g⋅x é continuo para cada x ∈ X. Se G é un grupo de Lie e X unha variedade diferenciábel, entón o subespazo de puntos suaves para a acción é o conxunto de puntos x ∈ X de tal xeito que o mapa g ↦ g⋅x é suave.
Accións lineares
Se g actúa mediante transformacións lineares nun módulo sobre un anel conmutativo, dise que a acción é irredutíbel se non hai submódulos propios g-invariantes distintos de cero. Dise que é semisimple se se descompón como unha suma directa de accións irredutíbeis. Órbitas e estabilizadores
Considere un grupo G que actúa nun conxunto X. Para cada elemento x en X A súa órbita é Orb x
g ⋅ x: g ∈ G ⊂ X {\displaystyle \operatorname {Orb} _{x}
{g\cdot x: g\in G}\subset X} O seu estabilizador é G x
Stab x
g ∈ G: g ⋅ x
x ⊂ G {\displaystyle G_{x}
\operatorname {Stab} _{x}
{g\in G: g\cdot x
x}\subset G} Vemos que as órbitas pertencen a X {\displaystyle X} e os estabilizadores a G {\displaystyle G}.
Dicimos que x é un punto fixo da acción se g ⋅ x
x {\displaystyle g\cdot x
x} para todo g ∈ G {\displaystyle g\in G}, que pode verse como Orb x
x {\displaystyle \operatorname {Orb} _{x}
{x}} ou Stab x
G {\displaystyle \operatorname {Stab} _{x}
G}.
Exemplos
Exemplo 1
Cando G L 2 ( R ) {\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )} actúa no modo usual sobre R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} a órbita de ( 10 ) {\textstyle {\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}} é R 2 − 0 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-{0}} pois todo vector menos o vector cero pode ser obtido con ( 10 ) {\textstyle {\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}} aplicando a correspondente matriz invertíbel. ( a b )
( a 1 b 0 ) ( 10 ) {\textstyle {\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}a&1\\b&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}} ou ( a b )
( a 0 b 1 ) ( 10 ) {\textstyle {\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}a&0\\b&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}} sendo unha das dúas matrices cadradas invertíbel (dado a ou b distinto de cero).
O estabilizador de ( 10 ) {\textstyle {\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}} é ( 1 x 0 y ): y ≠ 0 ⊂ G L 2 ( R ) {\textstyle {{\begin{pmatrix}1&x\\0&y\end{pmatrix}}: y\neq 0}\subset GL_{2}(\mathbb {R} )}.
Exemplo 2
Cando G L 2 ( R ) {\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )} actúa no modo usual sobre Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} (vectores de enteiros en lugar de reais) a órbita de ( 10 ) {\textstyle {\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}} non é Z 2 − 0 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}-{0}} pois en Z {\displaystyle \mathbb {Z} } as matrices cadradas de dimensión 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} só son invertíbeis se o determinante a d − b c {\displaystyle ad-bc} é ± 1 {\displaystyle \pm 1}. Por tanto as órbitas neste caso son os vectores cuxas coordenadas teñen un máximo común divisor d {\displaystyle d} fixo.
Por tanto cada órbita contén un vector da forma ( d 0 ) {\textstyle {\begin{pmatrix}d\\0\\\end{pmatrix}}} e o estabilizador de ( d 0 ) {\textstyle {\begin{pmatrix}d\\0\\\end{pmatrix}}} é ( 1 x 0 y ): y ± 1 ⊂ G L 2 ( R ) {\textstyle {{\begin{pmatrix}1&x\\0&y\end{pmatrix}}: y\pm 1}\subset GL_{2}(\mathbb {R} )}.
Teorema órbita-estabilizador
As órbitas e os estabilizadores están intimamente relacionados. Para un x fixo en X, considere o mapa f: G → X dado por g ↦ g⋅x. Por definición, a imaxe f(G) deste mapa é a órbita G⋅x. A condición para que dous elementos teñan a mesma imaxe é f ( g )
f ( h ) ⟺ g ⋅ x
h ⋅ x ⟺ g − 1 h ⋅ x
x ⟺ g − 1 h ∈ G x ⟺ h ∈ g G x. {\displaystyle f(g)
f(h)\iff g{\cdot }x
h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x
x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}. } Noutras palabras, f(g) f(h) se e só se g e h atópanse no mesmo coset para o subgrupo estabilizador Gx. Así, a fibra f − 1 ( { y } ) {\displaystyle f^{-1}(\{y\})} de f sobre calquera y en G⋅x está contida nun conxunto dese tipo, e cada un destes cosets tamén está como fibra. Polo tanto, f induce unha bixección entre o conxunto G / Gx de clases secundarias para o subgrupo estabilizador e a órbita G⋅x, que envía gGx ↦ g⋅x. Este resultado coñécese como o teorema órbita-estabilizador.
Se G é finito, o teorema órbita-estabilizador, xunto co teorema de Lagrange, dá | G ⋅ x |
[ G: G x ]
| G | / | G x |, {\displaystyle |G\cdot x|
[G\, :\, G_{x}]
|G|/|G_{x}|, } noutras palabras, a lonxitude da órbita de x veces a orde do seu estabilizador é a orde do grupo. En particular, iso implica que a lonxitude da órbita é un divisor da orde do grupo. Exemplo: Sexa G un grupo de orde prima p que actúa sobre un conxunto X con elementos k. Dado que cada órbita ten 1 ou p elementos, hai polo menos k mod p órbitas de lonxitude 1 que son elementos G-invariantes. Máis concretamente, k e o número de elementos G-invariantes que son congruentes módulo p. Exemplo: Podemos usar o teorema órbita-estabilizador para contar os automorfismos dun grafo. Considere o grafo cúbico como se mostra na imaxe, e denotamos como G o seu grupo de automorfismos. Entón G actúa sobre o conxunto de vértices {1, 2, .. ., 8}, e esta acción é transitiva como se pode ver compoñendo rotacións arredor do centro do cubo. Así, polo teorema órbita-estabilizador, |G|
|G ⋅ 1| |G1|
8 |G1|. Aplicando agora o teorema ao estabilizador G1, podemos obter |G1| |(G1) ⋅ 2| |(G1)2|.
Calquera elemento de G que fixe o 1 debe enviar 2 a 2, 4 ou 5. Como exemplo deste tipo de automorfismos, considere a rotación ao redor do eixo diagonal a través de 1 e 7 por 2π/3, que permuta 2, 4, 5 e 3, 6, 8 e fixa 1 e 7. Así |(G1) ⋅ 2|
3. Aplicando o teorema por terceira vez dáse |(G1)2|
|((G1)2) ⋅ 3| |((G1)2)3|. Calquera elemento de G que fixe 1 e 2 debe enviar 3 a 3 ou 6. Reflictir o cubo no plano a través de 1, 2, 7 e 8 é un automorfismo que envía 3 a 6, polo que |((G1)2) ⋅ 3|
2. Tamén se ve que ((G1)2)3 consiste só no automorfismo de identidade, xa que calquera elemento de G que fixa 1, 2 e 3 tamén debe fixar todos os demais vértices, xa que están determinados pola súa adxacencia a 1, 2 e 3. Combinando os cálculos anteriores, agora podemos obter |G|
8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 148.
Lema de Burnside
Un resultado moi relacionado co teorema órbita-estabilizador é o lema de Burnside: | X / G |
1 | G | ∑ g ∈ G | X g |, {\displaystyle |X/G|
{\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|, } onde Xg é o conxunto de puntos fixados por g. Este resultado é útil principalmente cando G e X son finitos, cando se pode interpretar do seguinte xeito: o número de órbitas é igual ao número medio de puntos fixados por elemento de grupo.
Fixando un grupo G, o conxunto de diferenzas formais dos conxuntos finitos G forma un anel chamado anel de Burnside de G, onde a suma corresponde á unión disxunta, e a multiplicación ao produto cartesiano. Exemplos
A acción trivial de calquera grupo G en calquera conxunto X está definida por g⋅x x para todos os g en G e todos os x en X; é dicir, cada elemento de grupo induce a permutación de identidade en X.
En todos os grupos G, a multiplicación pola esquerda é unha acción de G en G: g⋅x gx para todos os g, x en G. Esta acción é libre e transitiva (regular), e constitúe a base dunha demostración rápida do teorema de Cayley: cada grupo é isomorfo a un subgrupo do grupo simétrico de permutacións do conxunto G.
En todos os grupos G con subgrupo H, a multiplicación pola esquerda é unha acción de G no conxunto de clases G / H: g⋅aH gaH para todos os g, a en G. En particular, se H non contén subgrupos normais non triviais de G isto induce un isomorfismo de G a un subgrupo do grupo de permutación de grao [G: H].
En todos os grupos G, a conxugación é unha acción de G en G: g⋅x
gxg−1. Úsase habitualmente unha notación exponencial para a acción pola dereita: xg
g−1xg; satisfai (xg)h xgh.
En todos os grupos G co subgrupo H, a conxugación é unha acción de G nos conxugados de H: g⋅K gKg−1 para todos os g en H e K conxugados de H.
O grupo simétrico Sn e os seus subgrupos actúan sobre o conxunto {1, .. ., n} permutando os seus elementos.
O grupo de simetría dun poliedro actúa sobre o conxunto de vértices dese poliedro. Tamén actúa sobre o conxunto de caras ou o conxunto de arestas do poliedro.
O grupo de simetría de calquera obxecto xeométrico actúa sobre o conxunto de puntos dese obxecto.
Para un espazo de coordenadas V sobre un corpo F cun grupo de unidades F*, o mapa F* × V → V dado por a × (x1, x2, .. ., xn) ↦ (ax1, ax2, .. ., axn) é unha acción de grupo chamada multiplicación escalar.
O grupo linear xeral GL(n, K) e os seus subgrupos, particularmente os seus subgrupos de Lie (incluíndo o grupo linear especial SL(n, K), grupo ortogonal O(n, K), o grupo ortogonal especial SO(n, K) e o grupo simpléctico Sp(n, K)) son grupos de Lie que actúan sobre o espazo vectorial Kn. As operacións de grupo danse multiplicando as matrices dos grupos cos vectores de Kn.
O grupo linear xeral GL(n, Z) actúa sobre Zn por acción da matriz natural. As órbitas da súa acción clasifícanse polo máximo común divisor de coordenadas do vector en Zn.
O grupo afín actúa transitivamente nos puntos dun espazo afín, e o subgrupo V do grupo afín (é dicir, un espazo vectorial) ten acción transitiva e libre (é dicir, regular) sobre estes puntos; , de feito, esta definición pódese utilizar na definición dun espazo afín.
O grupo linear proxectivo PGL(n + 1, K) e os seus subgrupos, particularmente os seus subgrupos de Lie, que son grupos de Lie que actúan no espazo proxectivo Pn(K). Este é un cociente da acción do grupo linear xeral sobre o espazo proxectivo. Particularmente notábel é PGL(2, K), as simetrías da liña proxectiva, que é marcadamente 3-transitiva, conservando a razón anarmónica; o grupo de Möbius PGL(2, C) ten un interese particular.
Os conxuntos sobre os que actúa un grupo G comprenden a categoría de G-conxuntos nos que os obxectos son G-conxuntos e os morfismos son homomorfismos de G-conxuntos: funcións f: X → Y tal que g⋅(f(x)) f(g⋅x) para todo g en G.
O grupo de Galois dunha extensión de corpo L / K actúa no corpo L mais só ten unha acción trivial sobre os elementos do subcorpo K. Os subgrupos de Gal(L / K) corresponden a subcorpos de L que conteñen K, é dicir, extensións de corpo intermedio entre L e K.
O grupo aditivo dos números reais (R, +) actúa sobre o conxunto de funcións reais dunha variábel real de varias maneiras, sendo (t⋅f)(x) igual a, por exemplo, f(x + t), f(x) + t, f(xet), f(x)et, f(x + t)et, ou f(xet) + t, mais non f(xet + t).
Dada unha acción de grupo de G en X, podemos definir unha acción inducida de G no conxunto de partes de X, estabelecendo g⋅U {g⋅u: u ∈ U} para cada subconxunto U de X e cada g en G. Isto é útil, por exemplo, para estudar a acción do grande grupo de Mathieu nun 24-conxunto e para estudar a simetría en certos modelos de xeometrías finitas.
Tendo en conta os G-conxuntos X, Y, hai un G-conxunto esquerdo Y X cuxos elementos son mapas G-equivariantes α: X × G → Y, e con unha G-acción esquerda dada por g⋅α α ∘ (idX × –g) (onde "–g" indica a multiplicación pola dereita por g). Este G-conxunto ten a propiedade de que os seus puntos fixos corresponden a mapas equivariantes X → Y; máis xeralmente, é un obxecto exponencial na categoría de G-conxuntos. Accións de grupo e grupoides
A noción de acción de grupo pódese codificar coa acción groupoide G′ G ⋉ X asociada á acción de grupo. Os estabilizadores da acción son os grupos de vértices do grupoide e as órbitas da acción son os seus compoñentes. Morfismos e isomorfismos entre conxuntos G
Se X e Y son dous conxuntos G, un morfismo de X a Y é unha función f: X → Y tal que <cnt>488</c>nt> para todo</cnt>488</c>nt> G e todos os x en X. Os morfismos dos conxuntos G tamén se chaman mapas equivalente ou G-mapas.
A composición de dous morfismos é de novo un morfismo. Se un morfismo f é bixectivo, entón o seu inverso tamén é un morfismo. Neste caso, f chámase isomorfismo, e os dous G-conxuntos X e Y chámanse isomorfos; para todos os efectos prácticos, os conxuntos isomorfos G son indistinguíbeis. Con esta noción de morfismo, a colección de todos os G-conxuntos forma unha categoría; esta categoría é un topos de Grotendieck (de feito, asumindo unha clase metalóxica, este topos será mesmo booleano). Variantes e xeneralizacións
Tamén podemos considerar accións de monoides sobre conxuntos, usando os mesmos dous axiomas vistos neste artigo. No entanto, isto non define mapas bixectivos nin relacións de equivalencia. Ver acción de semigrupo.
En lugar de accións sobre conxuntos, podemos definir accións de grupos e monoides sobre obxectos dunha categoría arbitraria: comeza cun obxecto X dalgunha categoría, e despois define unha acción en X como un homomorfismo monoide no monoide de endomorfismos de X. Se X ten un conxunto subxacente, entón todas as definicións e feitos indicados anteriormente pódense transferir. Por exemplo, se tomamos a categoría de espazos vectoriais, obtemos deste xeito representacións de grupo.
A maiores das accións continuas de grupos topolóxicos en espazos topolóxicos, tamén se poden considerar accións suaves de grupos de Lie en variedades suaves, accións regulares de grupos alxébricos en variedades alxébricas de grupos, accións de grupos de esquemas en esquemas. Todos estes son exemplos de obxectos de grupos que actúan sobre obxectos da súa categoría respectiva.