Ecuación linear

Unha ecuación de primeiro grao ou ecuación linear significa que é unha ecuación que involucra unha ou máis variables elevadas á primeira potencia, que non contén produtos entre as variables, é dicir, que só inclúe sumas e restas de variables á primeira potencia. En todo anel conmutativo poden definirse ecuacións de primeiro grao. Cunha incógnita
Unha ecuación dunha variable m x + n
0 {\displaystyle mx+n
0} definida sobre un corpo K {\displaystyle \mathbb {K} }, é dicir, con { m, n, x } ⊂ K, m ≠ 0 {\displaystyle \{m, n, x\}\subset \mathbb {K}, m\neq 0} onde x é a variable, admite a seguinte solución: x
− n m {\displaystyle x
-{\frac {n}{m}}} Cando tanto a incógnita como os coeficientes son elementos dun anel que non é un corpo, o asunto é máis complicado xa que só existirán solucións cando m divide a n: ∃ k: n
m ⋅ k ⇒ x
− k {\displaystyle \exists k: n
m\cdot k\Rightarrow x
-k} Con dúas incógnitas
No sistema cartesiano representan rectas. Unha forma común das ecuacións lineares de dúas variables é: y
m x + n {\displaystyle y
mx+n}; Onde m {\displaystyle m} representa a pendente e o valor de n {\displaystyle n} determina o punto onde a recta corta o eixe Y (a ordenada na orixe).
Algúns exemplos de ecuacións lineares: 3 x + 2 y
5 {\displaystyle 3x+2y
5} 3 x + y − 5
− 7 x + 4 y + 3 {\displaystyle 3x+y-5
-7x+4y+3} x − y + z
15 {\displaystyle x-y+z
15} 3 x − 2 y + z
20 {\displaystyle 3x-2y+z
20} x + 4 y − 3 z
10 {\displaystyle x+4y-3z
10}
Formas alternativas
Formas complexas como as anteriores poden reescribirse empregando as regras da álxebra elemental en formas máis simples. As letras maiúsculas representan constantes, mentres x e y son variables. Ecuación xeral A x + B y + C
0 {\displaystyle Ax+By+C
0} A e B non son ambos cero. Representa unha liña no plano cartesiano. É posible atopar os valores onde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria ou simétrica x E + y F
1 {\displaystyle {\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}
1} Nin E nin F poden ser cero. O gráfico desta ecuación corta o eixe X e o eixe Y en E e F respectivamente.
Forma paramétrica x
U t + x 0 {\displaystyle x
Ut+x_{0}} y
V t + y 0 {\displaystyle y
Vt+y_{0}} Dúas ecuacións que deben cumprirse de xeito simultáneo, cada unha na variable t. Pode converterse á forma xeral despexando t en ambas as ecuacións e igualando. Nesta representación pode afirmarse que a recta pasa polo punto ( x 0, y 0 ) {\displaystyle (x_{0}, y_{0})} e forma co eixe de abscisas un ángulo con tanxente: tan ⁡ α
V / U {\displaystyle \tan \alpha
V/U} Casos especiales: y
F {\displaystyle y
F} Un caso especial é a forma estándar onde A
0 {\displaystyle A
0} y B
1 {\displaystyle B
1}. O gráfico é unha liña horizontal sen intersección co eixe X ou (si F
0) coincidente con ese eixe. x
E {\displaystyle x
E} Outro caso especial da forma xeral onde A
1 {\displaystyle A
1} e B
0 {\displaystyle B
0}. O gráfico é unha liña vertical que interseca o eixe X en E. 0
0 {\displaystyle 00} Neste caso, todas as variables foron canceladas, deixando unha ecuación que é verdadeira en todos os casos. A forma orixinal (non unha tan trivial como a do exemplo) chámase identidade. O gráfico é todo o plano cartesiano, xa que a satisfai todos os pares de números reais x e y.
Se a manipulación alxébrica leva a unha ecuación como 1
0 entón a orixinal chámase inconsistente, ou sexa que non se cumpre para ningún par de números x e y. Un exemplo podería ser: 3 x + 2
3 x {\displaystyle 3x+23x}.
Adicionalmente podería haber máis de dúas variables, en ecuacións simultáneas. Ecuación linear no espazo n-dimensional
As ecuacións lineares de varias variables admiten tamén interpretacións xeométricas, cando os coeficientes da ecuación pertencen a un corpo. Así, unha función linear de dúas variables da forma f ( x, y )
a 1 x + a 2 y {\displaystyle f(x, y)
a_{1}x+a_{2}y} representa unha recta nun plano. En varias variables asumendo que tanto as variables x i ∈ K {\displaystyle x_{i}\in \mathbb {K} } e os coeficientes x i ∈ K {\displaystyle x_{i}\in \mathbb {K} }, onde K {\displaystyle \mathbb {K} } é un corpo entón unha ecuación linear como f ( x 1, x 2, .. ., x n )
a 1 x 1 + a 2 x 2 +. .. + a n x n {\displaystyle f(x_{1}, x_{2}, .. ., x_{n})
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+. .. +a_{n}x_{n}} representa un hiperplano de n-1 dimensións no espazo vectorial n-dimensional K n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}.
Sistemas de ecuacións lineares
Os sistemas de ecuacións lineares expresan varias ecuacións lineares simultaneamente e admiten un tratamento matricial. Para a súa resolución debe haber tantas ecuacións como incógnitas e o determinante da matriz ha de ser real e non nulo. Xeometricamente corresponden a interseccións de liñas nun único punto (sistema linear de dúas ecuacións con dúas incógnitas), planos nunha recta (dúas ecuacións lineares de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuacións lineares de tres incógnitas). Os casos nos que o determinante da matriz é nulo non posúen solución. { 5 x − 3 y + 4 z
8 − 3 x + 2 y + 6 z
54 x − 5 y + 3 z
3 {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}5\, x&-&3\, y&+&4\, z&
&8\\-3\, x&+&2\, y&+&6\, z&
&5\\4\, x&-&5\, y&+&3\, z&
&3\end{array}}\right. } Se se consideran n ecuacións de primeiro grao linearmente independentes definidas sobre un corpo entón existe solución única para o sistema se se dan as condicións do teorema de Rouché-Frobenius, e pode ser calculada mediante a regra de Cramer que é aplicable a calquera corpo. Se as ecuacións non son linearmente independentes ou non se dan as condicións do teorema a situación é máis complicada. Se o sistema se formula sobre un anel conmutativo que non sexa un corpo, a existencia de solucións é tamén máis complexa. Linearidade
Unha función definida sobre un espazo vectorial é linear se e só se cumpre a seguinte proposición: f ( x + y )
f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)
f(x)+f(y)} f ( α x )
α f ( x ) {\displaystyle f(\alpha x)
\alpha f(x)} onde α é calquera escalar. Tamén se chama a f operador linear