Igualdade (matemáticas)

En matemáticas, a igualdade é unha relación entre dúas cantidades ou, de xeito máis xeral, dúas expresións matemáticas, afirmando que as cantidades teñen o mesmo valor ou que as expresións representan o mesmo obxecto matemático. A igualdade entre A e B escríbese A B, e pronúnciase "A é igual B". Nesta igualdade, A e B son os membros da igualdade e distínguense chamándoos lado esquerdo ou membro esquerdo (en inglés LHS), e o lado dereito ou membro dereito (en inglés RHS). Dous obxectos que non son iguais dise que son distintos.
Unha fórmula como x
y, {\displaystyle x
y, } onde x e y son calquera expresións, significa que x e y denotan ou representan o mesmo obxecto. Por exemplo, 1. 5
3 / 2, {\displaystyle 1. 5
3/2, } son dúas notacións para o mesmo número. Do mesmo xeito, un exemplo con conxuntos, { x ∣ x ∈ Z and 0 < x ≤ 3 }
{ 1, 2, 3 }, {\displaystyle \{x\mid x\in \mathbb {Z} {\text{ and }}0<x\leq 3\}
\{1, 2, 3\}, } xa que os dous conxuntos teñen os mesmos elementos. Unha identidade, como ( x + 1 ) 2
x 2 + 2 x + 1, {\displaystyle (x+1)^{2}
x^{2}+2x+1, } significa que se x se substitúe por calquera número, daquela as dúas expresións toman o mesmo valor. Propiedades básicas
Reflexividade: para cada a, temos a a.
Simetría: para cada a e b, se a
b, logo b
a.
Transitividade: para cada a, b e c, se a
b e b
c, daquela a
c. Substitución (lóxica): informalmente, isto só significa que se a
b, logo a pode substituír b en calquera fórmula matemática.
Aplicación de operación: para a e b, con algunha operación f ( x ) {\displaystyle f(x)}, se a
b, daquela f ( a )
f ( b ) {\displaystyle f(a) f(b)}. Por exemplo:
Dados os números reais a, e b, se a
b, daquela 2 a − 5
2 b − 5 {\displaystyle 2a-5
2b-5}. (Aquí, f ( x )
2 x − 5 {\displaystyle f(x) 2x-5} )
Dados os números reais a, e b, se a 2
2 b 2 {\displaystyle a^{2}
2b^{2}}, daquela a 2 / b 2
2 {\displaystyle a^{2}/b^{2}
2}. (Aquí, f ( x )
x / b 2 {\displaystyle f(x)
x/b^{2}} )
Se se restrinxe aos elementos dun conxunto dado, esas tres primeiras propiedades fan da igualdade unha relación de equivalencia, a única cuxas clases de equivalencia son conxuntos unitarios. Identidades
Cando A e B poden verse como funcións dalgunhas variables, daquela A
B significa que A e B definen a mesma función. Tal igualdade de funcións ás veces chámase identidade. Un exemplo é ( x + 1 ) ( x + 1 )
x 2 + 2 x + 1. {\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right) x^{2}+2x+1. } Ás veces, mais non sempre, unha identidade escríbese cunha barra tripla: ( x + 1 ) ( x + 1 ) ≡ x 2 + 2 x + 1. {\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1. } Ecuacións
Unha ecuación é o problema de atopar valores dalgunha variábel, chamada incógnita, para a cal a igualdade especificada é certa. Cada valor da incógnita para o cal se cumpre a ecuación chámase solución da ecuación; tamén se di que satisfai a ecuación dada. Por exemplo, a ecuación x 2 − 6 x + 5 {\displaystyle x^{2}-6x+5} ten os valores x
1 {\displaystyle x
1} e x
5 {\displaystyle x
5} como as súas únicas solucións. A terminoloxía úsase de xeito similar para ecuacións con varias incógnitas. Relación con equivalencia, congruencia e isomorfismo
Vista como unha relación, a igualdade é o arquetipo do concepto máis xeral dunha relación de equivalencia nun conxunto: aquelas relacións binarias que son reflexivas, simétricas e transitivas. A relación de identidade é unha relación de equivalencia. No outro sentido, sexa R unha relación de equivalencia, e denotemos por xR a clase de equivalencia de x, constituída por todos os elementos z tal que x R z, daquela a relación x R y é equivalente á igualdade xR yR. De aquí temos que a igualdade é a relación de equivalencia máis fina de calquera conxunto S no sentido de que é a relación que ten as clases de equivalencia máis pequenas (cada clase redúcese a un só elemento).
Nalgúns contextos, a igualdade distínguese da equivalencia ou o isomorfismo. Esta distinción dá lugar á noción de conxunto cociente.
Os conxuntos { A, B, C } {\displaystyle \{{\text{A}}, {\text{B}}, {\text{C}}\}} e { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{1, 2, 3\}} non son conxuntos iguais (o primeiro está formado por letras, mentres que o segundo está formado por números), mais ambos os dous son conxuntos de tres elementos e, polo tanto, isomórficos, o que significa que hai unha bixección entre eles. Por exemplo A ↦ 1, B ↦ 2, C ↦ 3. {\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1, {\text{B}}\mapsto 2, {\text{C}}\mapsto 3. } No entanto, hai outras opcións de isomorfismo, como A ↦ 3, B ↦ 2, C ↦ 1, {\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3, {\text{B}}\mapsto 2, {\text{C}}\mapsto 1, } e estes conxuntos non se poden identificar como equivalentes sen facer esa escolla previa: calquera afirmación que os identifique "depende da escolla de identificación". Esta distinción, entre igualdade e isomorfismo, é de importancia fundamental na teoría de categorías e é unha motivación para o desenvolvemento da teoría de categorías.
Nalgúns casos, pódense considerar iguais dous obxectos matemáticos que só son equivalentes para as propiedades e estrutura que se están considerando. A palabra congruencia (e o símbolo asociado ≅ {\displaystyle \cong } ) úsase con frecuencia para este tipo de igualdade, e defínese como o conxunto cociente das clases de isomorfismo entre os obxectos. En xeometría, por exemplo, dise que dúas formas xeométricas son iguais ou congruentes cando unha se pode mover para que coincida coa outra, e a relación igualdade/congruencia son as clases de isomorfismo das isometrías entre as formas. Do mesmo xeito que os isomorfismos de conxuntos, a diferenza entre isomorfismos e igualdade/congruencia entre eses obxectos matemáticos con propiedades e estrutura foi unha motivación para o desenvolvemento da teoría de categorías. Igualdade na teoría de conxuntos
A igualdade de conxuntos axiomatízase na teoría de conxuntos de dúas formas diferentes, dependendo de se os axiomas están baseados nunha linguaxe de primeira orde con ou sen igualdade.
Igualdade baseándose na lóxica de primeira orde coa igualdade
Na lóxica de primeira orde con igualdade, o axioma de extensionalidade afirma que dous conxuntos que conteñen os mesmos elementos son o mesmo conxunto. Axioma lóxico: x
y ⟹ ∀ z, ( z ∈ x ⟺ z ∈ y ) {\displaystyle x
y\implies \forall z, (z\in x\iff z\in y)} Axioma lóxico: x
y ⟹ ∀ z, ( x ∈ z ⟺ y ∈ z ) {\displaystyle x
y\implies \forall z, (x\in z\iff y\in z)} Axioma da teoría de conxuntos: ( ∀ z, ( z ∈ x ⟺ z ∈ y ) ) ⟹ x
y {\displaystyle (\forall z, (z\in x\iff z\in y))\implies x
y} "A razón pola que asumimos o cálculo de predicados de primeira orde coa igualdade é unha cuestión de conveniencia; con isto aforramos o traballo de definir a igualdade e probar todas as súas propiedades; esta carga é agora asumida pola lóxica".
Igualdade baseándose na lóxica de primeira orde sen igualdade
Na lóxica de primeira orde sen igualdade, defínese que dous conxuntos son iguais se conteñen os mesmos elementos. Entón o axioma de extensionalidade afirma que dous conxuntos iguais están contidos nos mesmos conxuntos. Definición da teoría de conxuntos: ( x
y ):
∀ z, ( z ∈ x ⟺ z ∈ y ) {\displaystyle (x
y)\:
\ \forall z, (z\in x\iff z\in y)} Axioma da teoría de conxuntos: x
y ⟹ ∀ z, ( x ∈ z ⟺ y ∈ z ) {\displaystyle x
y\implies \forall z, (x\in z\iff y\in z)}