Pentación

En matemáticas, a pentación é a hiperoperación que lle segue á tetración e é anterior á hexación. Defínese como a iteración (repetición) de tetracións, tal e como a tetración é a iteración da potenciación. É unha operación binaria definida con dous números a e b, onde a é «tetrado» a si mesmo b veces. Por exemplo, empregando a notación de hiperoperación para a pentación e tetración, 2 [ 5 ] 3 {\displaystyle 23} quere dicir «tetrar» 2 a si mesmo 3 veces, ou 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) {\displaystyle 2(22)}. Isto pódese reducir a 2 [ 4 ] ( 22 )
2 [ 4 ] 4
2222
224
216
65536. {\displaystyle 2(2^{2})
24
2^{2^{2^{2}}}
2^{2^{4}}
2^{16}
65536. } Etimoloxía
A palabra «pentación» foi acuñada por Reuben Goodstein en 1947 das raíces penta- (cinco) e iteración. É parte do esquema xeral para nomear as hiperoperacións. Notación
Non existe un consenso xeral para a notación da pentación; polo tanto existen varias maneiras de escribir a operación. Unhas úsanse máis que outras e existen distintas vantaxes entre unha e outra forma de uso. A pentación pódese escribir como unha hiperoperación como a [ 5 ] b {\displaystyle ab}. Neste formato, a [ 3 ] b {\displaystyle ab} pode ser interpretado como o resultado de aplicar repetidamente a función x ↦ a [ 2 ] x {\displaystyle x\mapsto ax}, por b {\displaystyle b} repeticións, comezando co número 1. De forma análoga, a [ 4 ] b {\displaystyle ab}, a tetración, representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función x ↦ a [ 3 ] x {\displaystyle x\mapsto ax}, por b {\displaystyle b} repeticións, comezando co número 1, e a pentación a [ 5 ] b {\displaystyle ab} representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función x ↦ a [ 4 ] x {\displaystyle x\mapsto ax}, por b {\displaystyle b} repeticións, comezando co número 1. Esta será a notación usada no resto do artigo
Na notación frecha de Knuth, a [ 5 ] b {\displaystyle ab} represéntase como a ↑↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b} ou a ↑ 3 b {\displaystyle a\uparrow ^{3}b}. Nesta notación, a ↑ b {\displaystyle a\uparrow b} representa á función potenciación a b {\displaystyle a^{b}} e a ↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow b} representa á tetración. A operación pódese adaptar facilmente a hexación engadindo outra frecha.
Na notación de cadea de Conway, a [ 5 ] b
a → b → 3 {\displaystyle ab
a\rightarrow b\rightarrow 3}.
Outra notación proposta é b a {\displaystyle {_{b}a}}, aínda que esta non é extensible a hiperoperacións de maior orde. Exemplos
Os valores da función de pentación tamén poden ser obtidos dos valores na cuarta fila de valores nunha variante da función de Ackermann: se A ( n, m ) {\displaystyle A(n, m)} defínese como a recorrencia de Ackermann A ( m − 1, A ( m, n − 1 ) ) {\displaystyle A(m-1, A(m, n-1))} coas condicións iniciais A ( 1, n )
a n {\displaystyle A(1, n)
an} e A ( m, 1 )
a {\displaystyle A(m, 1)
a}, entón a [ 5 ] b
A ( 4, b ) {\displaystyle ab
A(4, b)}.
Como a tetración, a súa operación base, non se estende a alturas non enteiras, a pentación a [ 5 ] b {\displaystyle ab} actualmente só está ben definida para valores enteiros de a e b onde a > 0 {\displaystyle a>0} e b ≥ − 1 {\displaystyle b\geq -1}, e uns poucos valores enteiros adicionais que poderían estar unicamente definidos. Como todas as hiperoperacións de orde 3 e maior, a pentación ten os seguintes casos triviais (identidades) que son verdadeiros para todos os valores de a e b no seu dominio: 1 [ 5 ] b
1 {\displaystyle 1b
1} a [ 5 ] 1
a {\displaystyle a1
a} Adicionalmente, pódense definir: a [ 5 ] 0
1 {\displaystyle a0
1} a [ 5 ] ( − 1 )
0 {\displaystyle a(-1)
0} Ademais dos casos triviais arriba expostos, a pentación xera números extremadamente grandes moi rápidamente tal que só hai uns poucos casos non-triviais que producen números que poden ser escritos na notación convencional, como se mostra a continuación: 1 [ 5 ] 1
1 {\displaystyle 11
1} 1 [ 5 ] 2
1 [ 4 ] 1
1 {\displaystyle 12
11
1} 1 [ 5 ] 3
1 [ 4 ] ( 1 [ 5 ] 2 )
1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] 1 )
1 [ 4 ] 1
1 {\displaystyle 13
1(12)
1(11)
11
1} 1 [ 5 ] 4
1 [ 4 ] ( 1 [ 5 ] 3 )
1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] 1 ) )
1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] 1 )
1 [ 4 ] 1
1 {\displaystyle 14
1(13)
1(1(11))
1(11)
11
1} 1 [ 5 ] 5
1 [ 4 ] ( 1 [ 5 ] 4 )
1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] 1 ) ) )
1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] 1 ) )
1 [ 4 ] ( 1 [ 4 ] 1 )
1 [ 4 ] 1
1 {\displaystyle 15
1(14)
1(1(1(11)))
1(1(11))
1(11)
11
1} 2 [ 5 ] 1
2 {\displaystyle 21
2} 2 [ 5 ] 2
2 [ 4 ] 2
22
4 {\displaystyle 22
22
2^{2}
4} 2 [ 5 ] 3
2 [ 4 ] ( 2 [ 5 ] 2 )
2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 )
2 [ 4 ] 4
2222
224
216
65, 536 {\displaystyle 23
2(22)
2(22)
24
2^{2^{2^{2}}}
2^{2^{4}}
2^{16}
65, 536} 2 [ 5 ] 4
2 [ 4 ] ( 2 [ 5 ] 3 )
2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) )
2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 4 )
2 [ 4 ] 65. 536
222 ⋅ ⋅ ⋅ 2 (unha torre de 65. 536 exponentes de altura) ≈ exp 1065. 533 ⁡ ( 4. 29508 ) {\displaystyle 24
2(23)
2(2(22))
2(24)
265. 536
2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 65. 536 exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{65. 533}(4. 29508)} 2 [ 5 ] 5
2 [ 4 ] ( 2 [ 5 ] 4 )
2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) ) )
2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 4 ) )
2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 65. 536 )
222 ⋅ ⋅ ⋅ 2 (unha torre de 265. 536 exponentes de altura) ≈ exp 102 [ 4 ] 65. 536 − 3 ⁡ ( 4. 29508 ) {\displaystyle 25
2(24)
2(2(2(22)))
2(2(24))
2(265. 536)
2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 265. 536 exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{265. 536-3}(4. 29508)} 3 [ 5 ] 1
3 {\displaystyle 31
3} 3 [ 5 ] 2
3 [ 4 ] 3
333
327
7, 625, 597, 484, 987 {\displaystyle 32
33
3^{3^{3}}
3^{27}
7, 625, 597, 484, 987} 3 [ 5 ] 3
3 [ 4 ] ( 3 [ 5 ] 2 )
3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 3 )
3 [ 4 ] 7. 625. 597. 484. 987
333 ⋅ ⋅ ⋅ 3 (unha torre de 7. 625. 597. 484. 987 exponentes de altura) ≈ exp 107. 625. 597. 484. 986 ⁡ ( 1, 09902 ) {\displaystyle 33
3(32)
3(33)
37. 625. 597. 484. 987
3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 7. 625. 597. 484. 987 exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{7. 625. 597. 484. 986}(1{, }09902)} 3 [ 5 ] 4
3 [ 4 ] ( 3 [ 5 ] 3 )
3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 3 ) )
3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 7. 625. 597. 484. 987 )
333 ⋅ ⋅ ⋅ 3 (unha torre de 37. 625. 597. 484. 987 exponentes de altura) ≈ exp 103 [ 4 ] 7. 625. 597. 484. 987 − 1 ⁡ ( 1, 09902 ) {\displaystyle 34
3(33)
3(3(33))
3(37. 625. 597. 484. 987)
3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 37. 625. 597. 484. 987 exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{37. 625. 597. 484. 987-1}(1{, }09902)} 3 [ 5 ] 5
3 [ 4 ] ( 3 [ 5 ] 4 )
3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 3 ) ) )
3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 7. 625. 597. 484. 987 ) )
333 ⋅ ⋅ ⋅ 3 (unha torre de 3(37. 625. 597. 484. 987) exponentes de altura) ≈ exp 103 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 7. 625. 597. 484. 987 ) − 1 ⁡ ( 1, 09902 ) {\displaystyle 35
3(34)
3(3(3(33)))
3(3(37. 625. 597. 484. 987))
3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 3(37. 625. 597. 484. 987) exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{3(37. 625. 597. 484. 987)-1}(1{, }09902)} 4 [ 5 ] 1
4 {\displaystyle 41
4} 4 [ 5 ] 2
4 [ 4 ] 4
4444
44256 ≈ exp 103 ⁡ ( 2. 19 ) {\displaystyle 42
44
4^{4^{4^{4}}}
4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2. 19)} (un número con máis de 10153 {\displaystyle 10^{153}} díxitos) 4 [ 5 ] 3
4 [ 4 ] ( 4 [ 5 ] 2 )
4 [ 4 ] ( 4 [ 4 ] 4 )
444 ⋅ ⋅ ⋅ 4 (unha torre de 44 exponentes de altura) ≈ exp 104 [ 4 ] 4 − 1 ⁡ ( 2, 18726 ) {\displaystyle 43
4(42)
4(44)
4^{4^{4^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{4}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 44 exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{44-1}(2{, }18726)} 4 [ 5 ] 4
4 [ 4 ] ( 4 [ 5 ] 3 )
4 [ 4 ] ( 4 [ 4 ] ( 4 [ 4 ] 4 ) )
444 ⋅ ⋅ ⋅ 4 (unha torre de 4(44) exponentes de altura) ≈ exp 104 [ 4 ] ( 4 [ 4 ] 4 ) − 1 ⁡ ( 2, 18726 ) {\displaystyle 44
4(43)
4(4(44))
4^{4^{4^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{4}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 4(44) exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{4(44)-1}(2{, }18726)} 4 [ 5 ] 5
4 [ 4 ] ( 4 [ 5 ] 4 )
4 [ 4 ] ( 4 [ 4 ] ( 4 [ 4 ] ( 4 [ 4 ] 4 ) ) )
444 ⋅ ⋅ ⋅ 4 (unha torre de 4(4(44)) exponentes de altura) ≈ exp 104 [ 4 ] ( 4 [ 4 ] ( 4 [ 4 ] 4 ) ) − 1 ⁡ ( 2, 18726 ) {\displaystyle 45
4(44)
4(4(4(44)))
4^{4^{4^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{4}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 4(4(44)) exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{4(4(44))-1}(2{, }18726)} 5 [ 5 ] 1
5 {\displaystyle 51
5} 5 [ 5 ] 2
5 [ 4 ] 5
55555
5553125 ≈ exp 104 ⁡ ( 3. 33928 ) {\displaystyle 52
55
5^{5^{5^{5^{5}}}}
5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3. 33928)} (un número con máis de 10102184 {\displaystyle 10^{10^{2184}}} díxitos) 5 [ 5 ] 3
5 [ 4 ] ( 5 [ 5 ] 2 )
5 [ 4 ] ( 5 [ 4 ] 5 )
555 ⋅ ⋅ ⋅ 5 (unha torre de 55 exponentes de altura) ≈ exp 105 [ 4 ] 5 − 1 ⁡ ( 3, 33928 ) {\displaystyle 53
5(52)
5(55)
5^{5^{5^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{5}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 55 exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{55-1}(3{, }33928)} 5 [ 5 ] 4
5 [ 4 ] ( 5 [ 5 ] 3 )
5 [ 4 ] ( 5 [ 4 ] ( 5 [ 4 ] 5 ) )
555 ⋅ ⋅ ⋅ 5 (unha torre de 5(55) exponentes de altura) ≈ exp 105 [ 4 ] ( 5 [ 4 ] 5 ) − 1 ⁡ ( 3, 33928 ) {\displaystyle 54
5(53)
5(5(55))
5^{5^{5^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{5}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 5(55) exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{5(55)-1}(3{, }33928)} 5 [ 5 ] 5
5 [ 4 ] ( 5 [ 5 ] 4 )
5 [ 4 ] ( 5 [ 4 ] ( 5 [ 4 ] ( 5 [ 4 ] 5 ) ) )
555 ⋅ ⋅ ⋅ 5 (unha torre de 5(5(55)) exponentes de altura) ≈ exp 105 [ 4 ] ( 5 [ 4 ] ( 5 [ 4 ] 5 ) ) − 1 ⁡ ( 3, 33928 ) {\displaystyle 55
5(54)
5(5(5(55)))
5^{5^{5^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{5}}}}}}{\mbox{ (unha torre de 5(5(55)) exponentes de altura) }}\approx \exp _{10}^{5(5(55))-1}(3{, }33928)}