Teoremas do isomorfismo

En matemáticas, en concreto álxebra abstracta, os teoremas do isomorfismo (tamén coñecidos como Teoremas de isomorfismo de Noether) son teoremas que describen a relación entre cocientes, homomorfismos e, subobxectos. Existen versións dos teoremas para grupos, aneis, espazos vectoriais, módulos, Álxebras de Lie, e outras estruturas alxébricas. En álxebra universal, os teoremas de isomorfismo poden ser xeneralizados ao contexto de álxebras e congruencias. Historia
Os teoremas do isomorfismo foron formulados nalgunha xeneralidade para homomorfismos de módulos por Emmy Noether no seu artigo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie en alxébrica Zahl - Und Funktionenkörpern, que foi publicado en 1927 en Mathematische Annalen. As versións menos xerais destes teoremas pódense atopar no traballo de Richard Dedekind e documentos anteriores de Noether.
Tres anos despois, B. l. van der Waerden publicou a súa influente Moderne Algebra, o primeiro libro de texto de álxebra abstracta que levou unha aproximación a este tema en grupos-aneis-corpos. Van der Waerden utilizou as conferencias de Noether sobre teoría de grupos e Emil Artín sobre álxebra, así como un seminario realizado por Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, e o propio van der Waerden sobre ideais como as principais referencias.
Imos ver os teoremas de isomorfismo referidos aos grupos. Os teoremas refírense pola orde ou as veces polas letras A, B e C.
Primeiro teorema do isomorfismo
Sexan G e H grupos, e sexa f: G → H un homomorfismo. Entón: O kernel de f é un subgrupo normal de G.
A imaxe de f é un subgrupo de H.
A imaxe de f é isomorfa ao grupo cociente G / ker(f).
En particular, se f é sobrexectivo entón H é isomorfo a G / ker(f).
Segundo teorema do isomorfismo
Sexa G {\displaystyle G} un grupo. Sexa S {\displaystyle S} un subgrupo de G {\displaystyle G}, e sexa N {\displaystyle N} un subgrupo normal de G {\displaystyle G}. Entón cúmprese o seguinte: O produto S N {\displaystyle SN} é un subgrupo de G {\displaystyle G}.
O subgrupo N {\displaystyle N} é un subgrupo normal de S N {\displaystyle SN}.
A intersección S ∩ N {\displaystyle S\cap N} é un subgrupo normal de S {\displaystyle S}.
Os grupos cocientes ( S N ) / N {\displaystyle (SN)/N} e S / ( S ∩ N ) {\displaystyle S/(S\cap N)} son isomorfos.
Tecnicamente, non é necesario que N {\displaystyle N} sexa un subgrupo normal, sempre que S {\displaystyle S} sexa un subgrupo do normalizador de N {\displaystyle N} en G {\displaystyle G}. Neste caso, N {\displaystyle N} non é un subgrupo normal de G {\displaystyle G} mais N {\displaystyle N} é aínda un subgrupo normal do produto S N {\displaystyle SN}.
Unha aplicación do segundo teorema do isomorfismo é identificar os grupos lineares proxectivos, por exemplo, o grupo sobre a liña proxectiva complexa comeza facendo G
GL 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle G
\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}, o grupo de matrices complexas 2 × 2 invertíbeis, S
SL 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle S
\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}, o subgrupo de matrices de determinante 1, e N {\displaystyle N} o subgrupo normal de matrices escalares C × I
{ ( a 00 a ): a ∈ C × } {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\! I
\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right): a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}, con eses grupos temos S ∩ N
{ ± I } {\displaystyle S\cap N
\{\pm I\}}, onde I {\displaystyle I} é a matriz identidade e, S N
GL 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle SN
\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}. Entón o segundo teorema do isomorfismo afirma que: PGL 2 ⁡ ( C ):
GL 2 ⁡ ( C ) / ( C × I ) ≅ SL 2 ⁡ ( C ) / { ± I }: PSL 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):
\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\! I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}: \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}
Terceiro teorema do isomorfismo
Sexa G {\displaystyle G} un grupo, e N {\displaystyle N} un subgrupo normal de G {\displaystyle G}.
Entón Se K {\displaystyle K} é un subgrupo de G {\displaystyle G} tal que N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}, entón G / N {\displaystyle G/N} ten un subgrupo isomorfo a K / N {\displaystyle K/N}.
Cada subgrupo de G / N {\displaystyle G/N} é da forma K / N {\displaystyle K/N} para algún subgrupo K {\displaystyle K} de G {\displaystyle G} tal que N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}.
Se K {\displaystyle K} é un subgrupo normal de G {\displaystyle G} tal que N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}, entón G / N {\displaystyle G/N} ten un subgrupo normal isomorfo a K / N {\displaystyle K/N}.
Cada subgrupo normal de G / N {\displaystyle G/N} é da forma K / N {\displaystyle K/N} para algún subgrupo normal K {\displaystyle K} de G {\displaystyle G} tal que N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}.
Se K {\displaystyle K} é un subgrupo normal de G {\displaystyle G} tal que N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}, entón o grupo cociente ( G / N ) / ( K / N ) {\displaystyle (G/N)/(K/N)} é isomorfo a G / K {\displaystyle G/K}.
As catro primeiras afirmacións adoitan subsumirse baixo o Cuarto teorema do isomorfismo que mostramos a continuación.
Cuarto teorema do isomorfismo
Sexa G {\displaystyle G} un grupo, e N {\displaystyle N} un subgrupo normal de G {\displaystyle G}.
O homomorfismo da proxección canónica G → G / N {\displaystyle G\rightarrow G/N} define unha correspondencia bixectiva
entre o conxunto de subgrupos de G {\displaystyle G} contendo N {\displaystyle N} e o conxunto dos (todos) subgrupos de G / N {\displaystyle G/N}. Baixo esta correspondencia, os subgrupos normais correspóndense con subgrupos normais.
Este teorema denomínanse tamén como o teorema da retícula, teorema de correspondencia.
Comentarios
O primeiro teorema do isomorfismo pode ser expresado en teoría das categoría coomo que a categoría de grupos é (epi normal, mono) factorizábel; noutras palabras, os epimorfismos normais e os monomorfismos forman un sistema de factorización para a categoría. Isto está capturado no diagrama conmutativo na marxe, que mostra os obxectos e morfismos cuxa existencia pode deducirse do morfismo f: G → H {\displaystyle f: G\rightarrow H}. O diagrama mostra que cada morfismo na categoría de grupos ten un kernel no sentido da teoría das categorías; o morfismo arbitrario f factoriza en ι ∘ π {\displaystyle \iota \circ \pi }, onde ι {\displaystyle \iota } é un monomorfismo e π {\displaystyle \pi } é un epimorfismo (na categoría conormal, todos os epimorfismos son normais). Isto está representado no diagrama por un obxecto ker ⁡ f {\displaystyle \ker f} e un monomorfismo κ: ker ⁡ f → G {\displaystyle \kappa: \ker f\rightarrow G} (os kernels son sempre monomorfismos), que completan a secuencia exacta curta que vai desde a parte inferior esquerda ata a parte superior dereita do diagrama. O uso da convención da secuencia exacta sálvanos de ter que debuxar os morfismos cero de ker ⁡ f {\displaystyle \ker f} cara a H {\displaystyle H} e cara a G / ker ⁡ f {\displaystyle G/\ker f}.
No segundo teorema do isomorfismo, o produto SN é o join de S e N na rede de subgrupos de G, mentres que a intersección S ∩ N é o meet.
O terceiro teorema do isomorfismo é xeneralizado polo lema nove para categorías abelianas e máis en xeral mapas entre obxectos. Álxebra Universal
Para xeneralizar o visto anteriormente para grupos na álxebra universal, os subgrupos normais deben ser substituídos por relacións de congruencia.
Imos mostra un exemplo para o teorema fundamental do isomorfismo.
Primeiro teorema do isomorfismo na álxebra universal
Sexa f: A → B {\displaystyle f: A\rightarrow B} unha álxebra homomorfismo. Entón a imaxe de f {\displaystyle f} é unha subalxebra de B {\displaystyle B}, a relación dada por Φ: f ( x )
f ( y ) {\displaystyle \Phi: f(x)
f(y)} (é dicir, o kernel de f {\displaystyle f} ) é unha congruencia sobre A {\displaystyle A}, e as álxebras A / Φ {\displaystyle A/\Phi } e im ⁡ f {\displaystyle \operatorname {im} f} son isomorfas. (Note que no caso dun grupo, f ( x )
f ( y ) {\displaystyle f(x)
f(y)} se e só se f ( x y − 1 )
1 {\displaystyle f(xy^{-1})
1}, así cubrimos a noción de kernel usado na teoría de grupos neste caso. )