Fracción continua xeneralizada

Na análise complexa, unha rama das matemáticas, unha fracción continua xeneralizada é unha xeneralización das fraccións continuas regulares, na que os numeradores parciais e os denominadores parciais poden asumir valores complexos arbitrarios.
Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma x
b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 + ⋱ {\displaystyle x
b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \, }}}}}}}}} onde an (n > 0) son os numeradores parciais, os bn os denominadores parciais e o termo principal b0 chámase parte enteira da fracción continua.
Os sucesivos converxentes da fracción continua fórmanse aplicando as fórmulas de recorrencia: A n
b n A n − 1 + a n A n − 2, B n
b n B n − 1 + a n B n − 2 para n ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&
b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}, \\B_{n}&
b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad {\text{para }}n\geq 1\end{aligned}}} con valores iniciais A − 1
1, A 0
b 0, B − 1
0, B 0
1. {\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&
1, &A_{0}&
b_{0}, \\B_{-1}&
0, &B_{0}&
1. \end{aligned}}} onde An é o numerador e Bn o denominador, chamados continuantes, do n-ésimo converxente. Historia
Bombelli (1579) ideou unha técnica para aproximar as raíces das ecuacións cadráticas con fraccións continuas a mediados do século XVI. Só 24 anos despois, en 1613, Pietro Cataldi introduciu a primeira notación formal para a fracción continua xeneralizada. Cataldi representou unha fracción continua como a 0 ⋅ & n 1 d 1 ⋅ & n 2 d 2 ⋅ & n 3 d 3 {\displaystyle {a_{0}\cdot }\, \&\, {\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}\, \&\, {\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}\, \&\, {\frac {n_{3}}{d_{3}}}} cos puntos que indican onde vai a seguinte fracción e cada & representando un signo máis moderno.
A finais do século XVII John Wallis introduciu o termo "fracción continua" na literatura matemática. Recentemente entraran en escena novas técnicas de análise matemática (o cálculo de Newton e Leibniz), e unha xeración de contemporáneos de Wallis puxeron en uso a novo termo.
En 1748 Euler publicou un teorema que mostra que un tipo particular de fracción continua é equivalente a unha determinada serie infinita moi xeral. A fórmula da fracción continua de Euler aínda é a base de moitas probas modernas de converxencia de fraccións continuas.
En 1761, Johann Heinrich Lambert deu a primeira proba de que π é irracional, usando a seguinte fracción continua para tan x: tan ⁡ ( x )
x 1 + − x 23 + − x 25 + − x 27 + ⋱ {\displaystyle \tan(x)
{\cfrac {x}{1+{\cfrac {-x^{2}}{3+{\cfrac {-x^{2}}{5+{\cfrac {-x^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}} As fraccións continuas tamén se poden aplicar a problemas de teoría de números, e son especialmente útiles no estudo das ecuacións diofántianas. A finais do século XVIII Lagrange utilizou as fraccións continuas para construír a solución xeral da ecuación de Pell, respondendo así a unha pregunta que fascinaba aos matemáticos durante máis de mil anos. O descubrimento de Lagrange implica que a expansión de fracción continua regular da raíz cadrada de todo número enteiro non cadrado é periódica e que, se o período é de lonxitude p > 1, contén unha cadea palindrómica de lonxitude p − 1.
En 1813 Gauss derivou a partir de funcións hiperxeométricas de valores complexos o que agora se chama fraccións continuas de Gauss. Pódense usar para expresar moitas funcións elementais e algunhas funcións máis avanzadas (como as funcións de Bessel), como fraccións continuas que converxen rapidamente en case todas partes do plano complexo. Notación
A expresión de fracción continua longa que aparece na introdución é fácil de interpretar para un lector non familiar coas fraccións continuas. Máis hai notacións máis curtas: x
b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ {\displaystyle x
b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}{{} \atop +}{\frac {a_{2}}{b_{2}}}{{} \atop +}{\frac {a_{3}}{b_{3}}}{{} \atop +\cdots }} Carl Friedrich Gauss elaborou esta notación: x
b 0 + K ∞ i
1 a i b i. {\displaystyle x
b_{0}+{\underset {i
1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}. \, } Aquí a "K" significa Kettenbruch, a palabra alemá para "fracción continua". Algunhas consideracións elementais
Numeradores e denominadores parciais
Se un dos numeradores parciais an + 1 é cero, a fracción continua infinita b 0 + K ∞ i
1 a i b i {\displaystyle b_{0}+{\underset {i
1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\, } é realmente só unha fracción continua finita con n termos fraccionarios e, polo tanto, unha función racional de a1 a an e b0 a bn + 1.
Fórmula do determinante
Cando o n-ésimo converxente dunha fracción continua x n
b 0 + K n i
1 a i b i {\displaystyle x_{n}
b_{0}+{\underset {i
1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\, } exprésase como unha fracción simple xn An/Bn podemos usar a fórmula do determinante
para relacionar os numeradores e denominadores de converxentes sucesivos xn e xn − 1 entre si. A proba disto pódese ver facilmente por indución.
Transformación de equivalencia
Se {ci}
{c1, c2, c3, .. .} é calquera sucesión infinita de números complexos distintos de cero podemos demostrar, por indución, que b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 + ⋱
b 0 + c 1 a 1 c 1 b 1 + c 1 c 2 a 2 c 2 b 2 + c 2 c 3 a 3 c 3 b 3 + c 3 c 4 a 4 c 4 b 4 + ⋱ {\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \, }}}}}}}}
b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \, }}}}}}}}} A transformación de equivalencia é perfectamente xeral, pero dous casos particulares merecen unha mención especial. En primeiro lugar, se ningún dos ai é cero pódese escoller unha secuencia {ci} para que cada numerador parcial sexa 1: b 0 + K ∞ i
1 a i b i
b 0 + K ∞ i
11 c i b i {\displaystyle b_{0}+{\underset {i
1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}
b_{0}+{\underset {i
1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\, } onde c1
1/a1, c2
a1/a2, c3
a2/a1a3, e en xeral cn + 11/an + 1cn.
En segundo lugar, se ningún dos denominadores parciais bi é cero, podemos usar un procedemento similar para escoller outra secuencia {di} para que cada denominador parcial sexa un 1: b 0 + K ∞ i
1 a i b i
b 0 + K ∞ i
1 d i a i 1 {\displaystyle b_{0}+{\underset {i
1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}
b_{0}+{\underset {i
1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\, } onde d1
1/b1 e tamén dn + 1
1/bnbn + 1.
Estes dous casos especiais da transformación de equivalencia son de enorme utilidade cando se analiza o problema xeral de converxencia.
Nocións de converxencia
A fracción continua x
b 0 + K ∞ i
1 a i b i {\displaystyle x
b_{0}+{\underset {i
1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\, } converxe se a secuencia de converxentes {xn} tende a un límite finito. Esta noción de converxencia é moi natural. É útil introducir a noción de converxencia xeral dunha fracción continua. En liñas xerais, isto consiste en substituír a parte da fracción posterior a n, K i
n ∞ ⁡ a i b i {\displaystyle \operatorname {K} _{i
n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}} por wn, en lugar de por 0, para calcular os converxentes. Os converxentes así obtidos chámanse converxentes modificados. Dicimos que a fracción continua converxe xeralmente se existe unha secuencia { w n ∗ } {\displaystyle \{w_{n}^{*}\}} tal que a secuencia de converxentes modificados converxe para todos os { w n } {\displaystyle \{w_{n}\}} suficientemente distinto de { w n ∗ } {\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}. A secuencia { w n ∗ } {\displaystyle \{w_{n}^{*}\}} chámase entón unha secuencia excepcional para a fracción continua. Vexa o capítulo 2 de Lorentzen & Waadeland (1992) para unha definición rigorosa.
Tamén existe unha noción de converxencia absoluta para fraccións continuas, baseada na noción de converxencia absoluta dunha serie: dise que unha fracción continua é absolutamente converxente cando a serie f
∑ n ( f n − f n − 1 ), {\displaystyle f
\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right), } onde f n
K i
1 n ⁡ a i b i {\displaystyle f_{n}
\operatorname {K} _{i
1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}} son os converxentes da fracción continua, converxe absolutamente. O teorema de Śleszyński–Pringsheim proporciona unha condición suficiente para a converxencia absoluta.
Finalmente, unha fracción continua dunha ou máis variables complexas é uniformemente converxente nunha veciñanza aberta Ω cando os seus converxentes converxen uniformemente en Ω; é dicir, cando para cada ε > 0 existe M tal que para todo n > M, para todos z ∈ Ω {\displaystyle z\in \Omega }, | f ( z ) − f n ( z ) | < ε. {\displaystyle |f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon. }
Condicións para a irracionalidade
Se a1, a2, .. . e b1, b2, .. . son enteiros positivos con ak ≤ bk para todos os k suficientemente grandes, daquela x
b 0 + K ∞ i
1 a i b i {\displaystyle x
b_{0}+{\underset {i
1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\, } converxe a un límite irracional.
Fórmulas fundamentais de recorrencia
Os numeradores e denominadores parciais dos converxentes sucesivos da fracción están relacionados mediante as fórmulas fundamentais de recorrencia: A − 1
1 B − 1
0 A 0
b 0 B 0
1 A n + 1
b n + 1 A n + a n + 1 A n − 1 B n + 1
b n + 1 B n + a n + 1 B n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&
1&B_{-1}&
0\\A_{0}&
b_{0}&B_{0}&
1\\A_{n+1}&
b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&
b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\, \end{aligned}}} Os converxentes sucesivos da fracción continua son logo x n
A n B n. {\displaystyle x_{n}
{\frac {A_{n}}{B_{n}}}. \, } Estas relacións de recorrencia débense a John Wallis (1616–1703) e Leonhard Euler (1707–1783). Estas relacións de recorrencia son simplemente unha notación diferente para as relacións obtidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626). Fórmula de fracción continua de Euler
Euler demostrou a seguinte identidade: a 0 + a 0 a 1 + a 0 a 1 a 2 + ⋯ + a 0 a 1 a 2 ⋯ a n
a 01 − a 11 + a 1 − a 21 + a 2 − ⋯ a n 1 + a n. {\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}
{\frac {a_{0}}{1-{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}. \, } Disto pódense derivar moitos outros resultados, como 1 u 1 + 1 u 2 + 1 u 3 + ⋯ + 1 u n
1 u 1 − u 12 u 1 + u 2 − u 22 u 2 + u 3 − ⋯ u n − 12 u n − 1 + u n, {\displaystyle {\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}
{\frac {1}{u_{1}-{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}}}}}}}}, \, } e 1 a 0 + x a 0 a 1 + x 2 a 0 a 1 a 2 + ⋯ + x n a 0 a 1 a 2 … a n
1 a 0 − a 0 x a 1 + x − a 1 x a 2 + x − ⋯ a n − 1 x a n + x. {\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}
{\frac {1}{a_{0}-{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}}}}}}}. \, } Exemplos
Funcións e números transcendentais
Aquí temos dúas fraccións continuas que se poden construír mediante a identidade de Euler. e x
x 00! + x 11! + x 22! + x 33! + x 44! + ⋯
1 + x 1 − 1 x 2 + x − 2 x 3 + x − 3 x 4 + x − ⋱ {\displaystyle e^{x}
{\frac {x^{0}}{0! }}+{\frac {x^{1}}{1! }}+{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{3}}{3! }}+{\frac {x^{4}}{4! }}+\cdots
1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}} log ⁡ ( 1 + x )
x 11 − x 22 + x 33 − x 44 + ⋯
x 1 − 0 x + 12 x 2 − 1 x + 22 x 3 − 2 x + 32 x 4 − 3 x + ⋱ {\displaystyle \log(1+x)
{\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots
{\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}} Aquí temos fraccións continuas xeneralizadas adicionais: arctan ⁡ x y
x y 1 y 2 + ( 1 x y ) 23 y 2 − 1 x 2 + ( 3 x y ) 25 y 2 − 3 x 2 + ( 5 x y ) 27 y 2 − 5 x 2 + ⋱
x 1 y + ( 1 x ) 23 y + ( 2 x ) 25 y + ( 3 x ) 27 y + ⋱ {\displaystyle \arctan {\cfrac {x}{y}}
{\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}
{\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}} e x y
1 + 2 x 2 y − x + x 26 y + x 210 y + x 214 y + x 218 y + ⋱ ⇒ e 2
7 + 25 + 17 + 19 + 111 + ⋱ {\displaystyle e^{\frac {x}{y}}
1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}
7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}} log ⁡ ( 1 + x y )
x y + 1 x 2 + 1 x 3 y + 2 x 2 + 2 x 5 y + 3 x 2 + ⋱
2 x 2 y + x − ( 1 x ) 23 ( 2 y + x ) − ( 2 x ) 25 ( 2 y + x ) − ( 3 x ) 27 ( 2 y + x ) − ⋱ {\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)
{\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}
{\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}} Esta último baséase nun algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky na década de 1970. Exemplo: o logaritmo neperiano de 2 (
[0; 1, 2, 3, 1, 5, 2/3, 7, 1/2, 9, 2/5, .. ., 2k − 1, 2/k, .. .] log ⁡ 2
log ⁡ ( 1 + 1 )
11 + 12 + 13 + 22 + 25 + 32 + ⋱
23 − 129 − 2215 − 3221 − ⋱ {\displaystyle \log 2
\log(1+1)
{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}} {\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}
π {\displaystyle \pi } Fórmula de Leibniz para π {\displaystyle \pi }: π
41 + 122 + 322 + 522 + ⋱
∑ n
0 ∞ 4 ( − 1 ) n 2 n + 1
41 − 43 + 45 − 47 + − ⋯ {\displaystyle \pi
{\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}
{\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots } converxe demasiado lentamente, requirindo aproximadamente 3 × 10n termos para conseguir n cifras decimais correctas. A serie derivada por Nilakantha Somayaji: π
3 + 126 + 326 + 526 + ⋱
3 − ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
3 + 11 ⋅ 2 ⋅ 3 − 12 ⋅ 3 ⋅ 5 + 13 ⋅ 4 ⋅ 7 − + ⋯ {\displaystyle \pi
3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}
3-\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}
3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots } aínda converxe bastante lentamente. Por outra banda: π
41 + 123 + 225 + 327 + ⋱
4 − 1 + 16 − 134 + 163145 − 44551 + 16601 − 138341 + − ⋯ {\displaystyle \pi
{\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}
4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots } converxe linearmente a π {\displaystyle \pi }, engadindo polo menos tres díxitos de precisión por catro termos.
Raíces dos números positivos
A raíz n-ésima de calquera número positivo zm pódese expresar reformulando z
xn + y, dando como resultado z m n
( x n + y ) m n
x m + m y n x n − m + ( n − m ) y 2 x m + ( n + m ) y 3 n x n − m + ( 2 n − m ) y 2 x m + ( 2 n + m ) y 5 n x n − m + ( 3 n − m ) y 2 x m + ⋱ {\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}
{\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}
x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}} que se pode simplificar, dobrando cada par de fraccións nunha fracción, a z m n
x m + 2 x m ⋅ m y n ( 2 x n + y ) − m y − ( 12 n 2 − m 2 ) y 23 n ( 2 x n + y ) − ( 22 n 2 − m 2 ) y 25 n ( 2 x n + y ) − ( 32 n 2 − m 2 ) y 27 n ( 2 x n + y ) − ( 42 n 2 − m 2 ) y 29 n ( 2 x n + y ) − ⋱. {\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}
x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}. } A raíz cadrada de z é un caso especial con m
1 e n
2: z
x 2 + y
x + y 2 x + y 2 x + 3 y 6 x + 3 y 2 x + ⋱
x + 2 x ⋅ y 2 ( 2 x 2 + y ) − y − 1 ⋅ 3 y 26 ( 2 x 2 + y ) − 3 ⋅ 5 y 210 ( 2 x 2 + y ) − ⋱ {\displaystyle {\sqrt {z}}
{\sqrt {x^{2}+y}}
x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}
x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}} que se pode simplificar observando que 5/10
3/6
1/2: z
x 2 + y
x + y 2 x + y 2 x + y 2 x + y 2 x + ⋱
x + 2 x ⋅ y 2 ( 2 x 2 + y ) − y − y 22 ( 2 x 2 + y ) − y 22 ( 2 x 2 + y ) − ⋱. {\displaystyle {\sqrt {z}}
{\sqrt {x^{2}+y}}
x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}} x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}. } A raíz cadrada tamén se pode expresar mediante unha fracción continua periódica, pero a forma anterior converxe máis rapidamente cos apropiados x e y.
Exemplo 1
A raíz cúbica de dous (21/3 ou 33√2 ≈ 1, 259921. .. ) pódese calcular de dúas formas:
En primeiro lugar, a "notación estándar" de x
1, y
1 e 2z − y
3: 23
1 + 13 + 22 + 49 + 52 + 715 + 82 + 1021 + 112 + ⋱
1 + 2 ⋅ 19 − 1 − 2 ⋅ 427 − 5 ⋅ 745 − 8 ⋅ 1063 − 11 ⋅ 1381 − ⋱. {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}
1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}
1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}. } En segundo lugar, unha converxencia rápida con x
5, y
3 e 2z − y
253: 23
54 + 0. 550 + 25 + 4150 + 55 + 7250 + 85 + 10350 + 115 + ⋱
54 + 2. 5 ⋅ 1253 − 1 − 2 ⋅ 4759 − 5 ⋅ 71265 − 8 ⋅ 101771 − ⋱. {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}
{\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0. 5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}
{\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2. 5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}. }