Dualidade de Pontryagin

En matemáticas, particularmente na análise harmónica e na teoría de grupos topolóxicos, a dualidade de Pontryagin explica as principais propiedades da transformada de Fourier. Sitúa nun marco máis xeral certas observacións sobre funcións definidas en R {\displaystyle \mathbb {R} } ou nun grupo abeliano finito: As funcións periódicas con valores complexos suficientemente regulares teñen unha serie de Fourier e pódense deducir a partir desta serie;
As funcións con valores complexos suficientemente regulares teñen unha transformada de Fourier e, do mesmo xeito que as funcións periódicas, pódense deducir a partir desta transformada. ;
As funcións con valores complexos nun grupo abeliano finito teñen unha transformada discreta de Fourier definida no grupo dual, que non é canonicamente isomorfa ao grupo orixinal. Ademais, calquera función nun grupo abeliano finito pódese deducir a partir da súa transformada discreta de Fourier (agás homomorfismo).
A teoría, introducida por Lev Pontryagin e combinada coa medida de Haar introducida por John von Neumann, André Weil e outros, depende da teoría do grupo dual dun grupo abeliano localmente compacto. Medida de Haar
Un grupo topolóxico G {\displaystyle G} é localmente compacto se e só se o elemento neutro e {\displaystyle e} do grupo admite unha veciñanza compacta, o que é equivalente a e {\displaystyle e} ter unha base de veciñanzas compactas. Un dos feitos máis chamativos sobre os grupos localmente compactos é que poden estar equipados cunha medida natural, única agás un factor multiplicativo: a medida de Haar, que permite medir o “tamaño“ dun subconxunto suficientemente regular de G {\displaystyle G}. Aquí, “suficientemente regular“ significa ser un Boreliano, é dicir, un elemento da tribo xerada polos conxuntos compactos. Máis precisamente, unha medida de Haar pola dereita nun grupo localmente compacto G {\displaystyle G} é unha medida μ {\displaystyle \mu } definida nos borelianos de G {\displaystyle G}, que é invariante por traslacións á dereita, no sentido de que μ ( A x )
μ ( A ) {\displaystyle \mu (Ax)
\mu (A)} se A {\displaystyle A} é un boreliano e x {\displaystyle x} un elemento de G {\displaystyle G}.
A medida de Haar permítenos definir a noción de integral para unha función medible a valores complexos definida no grupo. En particular, podemos considerar os espazos Lpasociados coa medida de Haar. Máis precisamente: L μ p ( G )
{ f: G → C | ∫ G | f ( x ) | p d μ ( x ) < ∞ } {\displaystyle \mathrm {L} _{\mu }^{p}(G)
\left\{f: G\rightarrow \mathbb {C} ~{\Bigg |}~\int _{G}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu (x)<\infty \right\}} Varios exemplos de grupos abelianos localmente compactos están dados por: R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} coa suma como operación de grupo.
Os reais estritamente positivos provistos da multiplicación. Este grupo é claramente isomorfo a ( R, + ) {\displaystyle (\mathbb {R}, +)}, sendo este isomorfismo a función exponencial.
Calquera grupo abeliano finito, provisto da topoloxía discreta. Polo teorema sobre a estrutura destes grupos, son produtos de grupos cíclicos.
O grupo dos enteiros ( Z, + ) {\displaystyle (\mathbb {Z}, +)}, tamén provisto da topoloxía discreta.
O circunferencia unidade U {\displaystyle \mathbb {U} } de C {\displaystyle \mathbb {C} } (é dicir, o grupo dos complexos de módulo 1). U {\displaystyle \mathbb {U} } é isomorfo ao grupo topolóxico cociente R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }.
O corpo Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} dos números p-ádicos provisto da suma, coa topoloxía p-ádica habitual. O grupo dual
Se G é un grupo abeliano localmente compacto,
un carácter de G é un
morfismo de grupos
continuo de G {\displaystyle G} en U {\displaystyle \mathbb {U} }.
Pódese demostrar que o conxunto dos caracteres de G é el mesmo
un grupo abeliano localmente compacto, chamado grupo dual de G,
e denotado por Ĝ. O produto en Ĝ é o produto de dous caracteres
considerados como funcións con valores complexos, e o inverso dun
carácter é o seu conxugado complexo.
A topoloxía en Ĝ é a da
converxencia uniforme en todo
compacto. Non é metrizable
en xeral. Porén, se o grupo G é ademais
separable, entón a topoloxía definida en Ĝ
é metrizable.
Teorema. G ^ ^ {\displaystyle {\widehat {\hat {G}}}} é canonicamente isomorfo a G {\displaystyle G}, é dicir, G {\displaystyle G} é canonicamente isomorfo ao
dual do seu dual.
Canónico significa que o isomorfismo está
dado por unha aplicación «natural» de G {\displaystyle G} en G ^ ^ {\displaystyle {\widehat {\hat {G}}}}. Este termo achega un matiz importante:
por exemplo, calquera grupo abeliano finito é isomorfo ao seu dual,
pero o isomorfismo non é canónico. O isomorfismo canónico defínese así: x ↦ ( χ ↦ χ ( x ) ) {\displaystyle x\mapsto (\chi \mapsto \chi (x))} É dicir, cada elemento x {\displaystyle x} de G {\displaystyle G} identifícase
coa súa avaliación polos caracteres do dual. Exemplos
Un carácter do
grupo cíclico infinito dos
enteiros ( Z, + ) {\displaystyle (\mathbb {Z}, +)} está determinado polo seu valor en 1, xerador de Z {\displaystyle \mathbb {Z} }.
En efecto, para todo carácter χ {\displaystyle \chi } de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } tense χ ( n )
χ ( 1 ) n {\displaystyle \chi (n)
\chi (1)^{n}} pois χ {\displaystyle \chi } é un
morfismo de grupos, e esta fórmula mostra que
se define de maneira única un carácter polo seu valor en 1.
Así, o dual de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } é alxebraicamente isomorfo ao
circunferencia unidade U {\displaystyle \mathbb {U} }.
A topoloxía de converxencia
sobre os compactos é daquela a topoloxía da
converxencia simple.
Pódese mostrar facilmente que é a
topoloxía inducida polo plano complexo.
O grupo dual de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } é, pois, canonicamente isomorfo a U {\displaystyle \mathbb {U} }.
Reciprocamente, un carácter de U {\displaystyle \mathbb {U} } é da forma z ↦ z n {\displaystyle z\mapsto z^{n}}, con n enteiro. Como U {\displaystyle \mathbb {U} } é compacto,
a topoloxía no grupo dual é a da converxencia
uniforme, que neste caso é a topoloxía discreta.
Así, o dual de U {\displaystyle \mathbb {U} } é canonicamente isomorfo a Z {\displaystyle \mathbb {Z} }.
O grupo dos reais é isomorfo ao seu dual, sendo os
caracteres de R {\displaystyle \mathbb {R} } da forma x ↦ e i x θ {\displaystyle x\mapsto e^{ix\theta }}, con θ {\displaystyle \theta } real.
Con estas dualidades, a nova versión da transformada
de Fourier presentada a continuación coincide coa transformada de
Fourier clásica en R {\displaystyle \mathbb {R} }. Transformada de Fourier
O grupo dual dun grupo abeliano localmente compacto
serve como espazo base dunha versión máis abstracta da
transformada de Fourier.
Se f {\displaystyle f} pertence a L 1 ( G ) {\displaystyle L^{1}(G)},
entón a súa transformada de Fourier é a función definida en Ĝ por: f ^ ( χ )
∫ G f ( x ) χ ( x ) ¯ d μ ( x ) {\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )
\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}~\mathrm {d} \mu (x)} onde a integral se toma respecto da medida de Haar μ {\displaystyle \mu } sobre G. Non é demasiado difícil demostrar que
a transformada de Fourier dunha función L 1 {\displaystyle L^{1}} sobre G
é unha función continua acoutada sobre Ĝ. Do mesmo xeito, a
transformada de Fourier inversa dunha función L 1 {\displaystyle L^{1}} sobre Ĝ vén dada por: g ˇ ( x )
∫ G ^ g ( χ ) χ ( x ) d ν ( χ ) {\displaystyle {\check {g}}(x)
\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)~\mathrm {d} \nu (\chi )} onde a integral é relativa á medida de Haar ν {\displaystyle \nu } sobre o grupo dual Ĝ.