Problema do círculo de Gauss

En matemáticas, o problema do círculo de Gauss é o problema de determinar cantos puntos da retícula de enteiros hai nun círculo centrado na orixe e con raio r {\displaystyle r}. Este número aproxímase coa área do círculo, polo que o verdadeiro problema é limitar con precisión o termo de erro que describa como o número de puntos difire da área. O primeiro avance nunha solución realizouno Carl Friedrich Gauss, de aí o seu nome. O problema
Considere un círculo en R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} con centro na orixe e raio r ≥ 0 {\displaystyle r\geq 0}. O problema do círculo de Gauss pregunta cantos puntos hai dentro deste círculo da forma ( m, n ) {\displaystyle (m, n)} onde m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} son ambos os dous enteiros. Dado que a ecuación deste círculo está dada en coordenadas cartesianas por x 2 + y 2
r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}
r^{2}}, a pregunta é equivalente a preguntar cantos pares de enteiros m e n hai tal que m 2 + n 2 ≤ r 2. {\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}. } Se denotamos a resposta para un r {\displaystyle r} dado como N ( r ) {\displaystyle N(r)} entón a seguinte lista mostra os primeiros valores de N ( r ) {\displaystyle N(r)} para un r {\displaystyle r} enteiro entre 0 e 12 seguido da lista de valores π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} redondeado ao número enteiro máis próximo: 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441, … {\displaystyle 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441, \ldots } (secuencia A000328 na OEIS) 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452, … {\displaystyle 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452, \ldots } (secuencia A075726 na OEIS)
Se eliminamos o centro e dividimos por cuadrantes temos a secuencia 0, 1, 3, 7, 12, 20, 28, 37, 49, … {\displaystyle 0, 1, 3, 7, 12, 20, 28, 37, 49, \ldots } (secuencia A036698 na OEIS) Límites dunha solución e conxectura
N ( r ) {\displaystyle N(r)} é aproximadamente π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}}, a área dun círculo de raio r {\displaystyle r}. Isto débese a que, de media, cada cadrado unidade contén un punto da retícula. Así, o número real de puntos da retícula no círculo é aproximadamente igual á súa área, π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}}. Así que hai que esperar que N ( r )
π r 2 + E ( r ) {\displaystyle N(r)
\pi r^{2}+E(r)\, } para algún termo de erro E ( r ) {\displaystyle E(r)} de valor absoluto relativamente pequeno. Atopar un límite superior correcto para ∣ E ( r ) ∣ {\displaystyle \mid E(r)\mid } é a forma que tomou o problema. Teña en conta que r {\displaystyle r} non ten que ser un número enteiro. Despois de N ( 4 )
49 {\displaystyle N(4)
49} temos N ( 17 )
57, N ( 18 )
61, N ( 20 )
69, N ( 5 )
81. {\displaystyle N({\sqrt {17}})
57, N({\sqrt {18}})
61, N({\sqrt {20}})
69, N(5)
81. } Nestes lugares E ( r ) {\displaystyle E(r)} aumenta en 8, 4, 8, 12 {\displaystyle 8, 4, 8, 12} despois do cal diminúe (a unha taxa de 2 π r {\displaystyle 2\pi r} ) ata a próxima vez que aumenta.
Gauss conseguiu demostrar que | E ( r ) | ≤ 22 π r. {\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r. } Hardy e, independentemente, Landau atoparon un límite inferior mostrando que | E ( r ) | ≠ o ( r 1 / 2 ( log ⁡ r ) 1 / 4 ), {\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right), } usando a notación o pequeno. Suponse que o límite correcto é | E ( r ) |
O ( r 1 / 2 + ε ). {\displaystyle |E(r)|
O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right). } Escribindo E ( r ) ≤ C r t {\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}, os límites actuais t {\displaystyle t} son 12 < t ≤ 131208
0. 6298 …, {\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}
0. 6298\ldots, } co límite inferior de Hardy e Landau en 1915, e o límite superior probado por Martin Huxley en 2000. Formas exactas
O valor de N ( r ) {\displaystyle N(r)} pode ser dado por varias series. En termos dunha suma que implica a función chan pódese expresar como: N ( r )
1 + 4 ⌊ r ⌋ + 4 ∑ i
0 ⌊ r ⌋ ( ⌊ r 2 − i 2 ⌋ ) {\displaystyle N(r)
1+4\lfloor r\rfloor +4\sum _{i
0}^{\lfloor r\rfloor }\left(\left\lfloor {\sqrt {r^{2}-i^{2}}}\right\rfloor \right)}
1 + 4 ∑ i
0 r 2 ( − 1 ) i − 1 ( ⌊ r 22 i − 1 ⌋ ) {\displaystyle
1+4\sum _{i
0}^{r^{2}}(-1)^{i-1}\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{2i-1}}\right\rfloor \right)}
1 + 4 ∑ i
0 ∞ ( ⌊ r 24 i + 1 ⌋ − ⌊ r 24 i + 3 ⌋ ). {\displaystyle
1+4\sum _{i
0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right). } Esta é unha consecuencia do teorema dos dous cadrados de Jacobi, que se deduce case inmediatamente do produto triplo de Jacobi.
Aparece unha suma moito máis sinxela se a función suma de cadrados r 2 ( n ) {\displaystyle r_{2}(n)} defínese como o número de formas de escribir o número n {\displaystyle n} como a suma de dous cadrados. Entón N ( r )
∑ n
0 r 2 r 2 ( n ). {\displaystyle N(r)
\sum _{n
0}^{r^{2}}r_{2}(n). } O progreso máis recente baséase na seguinte identidade, que foi descuberta por primeira vez por Hardy: N ( x ) − r 2 ( x 2 ) 2
π x 2 + x ∑ n
1 ∞ r 2 ( n ) n J 1 ( 2 π x n ), {\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}
\pi x^{2}+x\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}), } onde J 1 {\displaystyle J_{1}} denota a función de Bessel do primeiro tipo con orde 1. Xeneralizacións
Aínda que o problema orixinal pide puntos de retícula enteiros nun círculo, non hai razón para non considerar outras formas, por exemplo as cónicas; de feito, o problema do divisor de Dirichlet é o problema equivalente onde o círculo é substituído pola hipérbola rectangular. Do mesmo xeito pódese estender a pregunta de dúas dimensións a dimensións máis altas e pedir puntos enteiros dentro dunha esfera ou doutros obxectos. Existe unha ampla literatura sobre estes problemas. Se ignoramos a xeometría e só consideramos o problema como un problema alxébrico de desigualdades diofantianas, entón poderíase aumentar os expoñentes que aparecen no problema de cadrados a cubos, ou máis.
O problema primitivo do círculo
Outra xeneralización é calcular o número de solucións enteiras de coprimos m, n {\displaystyle m, n} para a desigualdade m 2 + n 2 ≤ r 2. {\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}. \, } Este problema coñécese como problema primitivo do círculo, xa que implica buscar solucións primitivas ao problema orixinal do círculo. Pódese entender intuitivamente como a pregunta de cantas árbores a unha distancia de r son visíbes no pomar de Euclides, situado na orixe. Se se denota o número desas solucións como V ( r ) {\displaystyle V(r)} entón os valores de V ( r ) {\displaystyle V(r)} para r {\displaystyle r} tomando valores enteiros pequenos son 0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192, … {\displaystyle 0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192, \ldots } (secuencia A175341 na OEIS).
Usando as mesmas ideas que o problema habitual do círculo de Gauss e o feito de que a probabilidade de que dous enteiros sexan coprimos é 6 / π 2 {\displaystyle 6/\pi ^{2}}, é relativamente sinxelo demostrar que V ( r )
6 π r 2 + O ( r 1 + ε ). {\displaystyle V(r)
{\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }). }