Transformada de Laplace

En matemáticas, e en particular na análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por: F ( s )
L { f } ( s )
∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d t. {\displaystyle F(s)
{\mathcal {L}}\{f\}(s)
\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\, dt. } As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.
A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace. Notación en Enxeñaría/Física
Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, espreme iso da forma seguinte: F ( s )
L { f ( t ) }
∫ 0 − ∞ e − s t f ( t ) d t. {\displaystyle F(s)
{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}
\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\, dt. } Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue: F B ( s )
{ L f } ( s )
∫ − ∞ ∞ e − s t f ( t ) d t. {\displaystyle F_{B}(s)
\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)
\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\, dt. } A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).
A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en enxeñaría eléctrica.
Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función. Propiedades
Linearidade
L { a f ( t ) + b g ( t ) }
a L { f ( t ) } + b L { g ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}
a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}
Derivada
L { f ′ }
s L { f } − f ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}
s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)} L { f ″ }
s 2 L { f } − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}
s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)} L { f ( n ) }
s n L { f } − s n − 1 f ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}
s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)} L { t f ( t ) }
− F ′ ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}
-F'(s)} L { f ( t ) t }
∫ s ∞ F ( σ ) d σ {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}
\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\, d\sigma }
Integral
L { ∫ 0 t f ( τ ) d τ }
1 s L { f } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \right\}
{1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}}
Composición
L { e a t f ( t ) }
F ( s − a ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}
F(s-a)} Amortización L − 1 { F ( s − a ) }
e a t f ( t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}
e^{at}f(t)} L { f ( t a ) }
e a s F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(ta)\right\}
e^{as}F(s)} Atraso L { f ( t − a ) u ( t − a ) }
e a s F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}
e^{as}F(s)} L − 1 { e a s F ( s ) }
f ( t − a ) u ( t − a ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{as}F(s)\right\}
f(t-a)u(t-a)} Nota: u ( t ) {\displaystyle u(t)} é a función de etapa de Heaviside.
Valor Final
lim t → ∞ f ( t )
lim s → 0 s F ( s ) {\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)
\lim _{s\to 0}sF(s)}
Convolución
L { f ⊗ g }
L { f } L { g } {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\otimes g\}
{\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}}
Transformada de Laplace dunha función de período p
L { f }
11 − e − p s ∫ 0 p e − s t f ( t ) d t {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}
{1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\, dt} Algunhas transformadas usuais
Potencia n
L { t n }
n! s n + 1 {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, t^{n}\}
{\frac {n! }{s^{n+1}}}}
Exponencial
L { e − a t }
1 s + a {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, e^{-at}\}
{\frac {1}{s+a}}}
Seno
L { sin ⁡ ( b t ) }
b s 2 + b 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, \sin(bt)\}
{\frac {b}{s^{2}+b^{2}}}}
Coseno
L { cos ⁡ ( b t ) }
s s 2 + b 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, \cos(bt)\}
{\frac {s}{s^{2}+b^{2}}}}
Seno hiperbólico
L { sinh ⁡ ( b t ) }
b s 2 − b 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, \sinh(bt)\}
{\frac {b}{s^{2}-b^{2}}}}
Coseno hiperbólico
L { cosh ⁡ ( b t ) }
s s 2 − b 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, \cosh(bt)\}
{\frac {s}{s^{2}-b^{2}}}}
Logaritmo natural
L { ln ⁡ ( t ) }
− ln ⁡ ( s ) + γ s {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, \ln(t)\}
-{\frac {\ln(s)+\gamma }{s}}}
Raíz n
L { t n }
s − n + 1 n ⋅ Γ ( 1 + 1 n ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, {\sqrt[{n}]{t}}\}
s^{-{\frac {n+1}{n}}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}
Función de Besel do primeiro tipo
L { X n ( t ) }
( s + 1 + s 2 ) − n 1 + s 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, X_{n}(t)\}
{\frac {\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {1+s^{2}}}}}
Función de Besel modificada do primeiro tipo
L { I n ( t ) }
( s + − 1 + s 2 ) − n − 1 + s 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, I_{n}(t)\}
{\frac {\left(s+{\sqrt {-1+s^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {-1+s^{2}}}}}
Función erro
L { erf ⁡ ( t ) }
e s 2 / 4 erfc ⁡ ( s / 2 ) s {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\, \operatorname {erf} (t)\}
{e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}}
Outras transformadas comúns