Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier, bautizada en homenaxe a Jean-Baptiste Joseph Fourier, é unha transformada integral que expresa unha función en termos de funcións de base sinusoidal, i. e. , como suma ou integral de funcións sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existen diversas variacións directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de función a transformar.
Na análise, a transformada de Fourier é unha extensión, para funcións non periódicas, da expansión en serie de Fourier de funcións periódicas. A transformada de Fourier asóciase con calquera función integrábel definida en ℝ e con valores reais ou complexos, outra función en ℝ chamada transformada de Fourier cuxa variábel independente pode interpretarse en física como a frecuencia ou a pulsación. Aplicacións
As transformadas de Fourier teñen moitas aplicacións en disciplinas científicas — en Física, Teoría dos números, Análise combinatoria, Procesamento de sinal, Teoría das probabilidades, Estatística, Criptografía, Acústica, Oceanografía, Óptica, Xeometría e outras áreas. Nos campos relacionados co procesamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor un sinal nas súas compoñentes en frecuencia e as súas amplitudes. As transformadas son operadores lineares e, coa debida normalización, son tamén unarios (unha propiedade coñecida como o teorema de Parseval ou, máis xeralmente, como o teorema de Plancherel, e máis xeral aínda, a dualidade de Pontryagin).
As transformadas son invertíbeis, e a transformada inversa ten case a mesma forma que a transformada.
As funcións de base sinusoidal son funcións de diferenciación, o que implica que esta representación transforma ecuacións diferenciais lineares con coeficientes constantes en ecuacións alxebricas ordinarias. (Por exemplo, nun sistema lineal invariante no tempo, a frecuencia é unha cantidade conservada, logo o comportamento en cada frecuencia pode ser resolvido independentemente. )
A través do teorema de convolución, as transformadas tornan a complicada operación de convolución en multiplicacións simple, o que as torna nun método eficiente de calcular operacións baseadas en convolución, como a multiplicación polinomial e multiplicación de números grandes.
A versión discreta da transformada de Fourier pode calcularse axiña por computadores, utilizando algoritmos baseados na transformada rápida de Fourier. Definición
A transformada de Fourier F {\displaystyle {\mathcal {F}}} é unha operación que transforma unha función integrábel en ℝ noutra función, describindo o espectro de frecuencias desta última. Se f é unha función integrábel en ℝ, a súa transformada de Fourier é a función F ( f )
f ^ {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)
{\hat {f}}} dada pola fórmula: F ( f ): ξ ↦ f ^ ( ξ )
∫ − ∞ + ∞ f ( x ) e − i ξ x d x {\displaystyle {\mathcal {F}}(f): \xi \mapsto {\hat {f}}(\xi )
\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\, \mathrm {e} ^{-{\rm {i}}\xi x}\, \mathrm {d} x}.
Convencións alternativas
É posíbel escoller unha definición alternativa para a transformada de Fourier. Esta escolla é unha cuestión de convención cuxas consecuencias se manifestan (en xeral) só mediante factores multiplicativos constantes. Por exemplo, algúns científicos usan[Cómpre referencia] o seguinte xeito: F ( f ): ν ↦ f ^ ( ν )
∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i 2 π ν t d t {\displaystyle {\mathcal {F}}(f): \nu \mapsto {\hat {f}}(\nu )
\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\, \mathrm {e} ^{-{\rm {i}}2\pi \nu t}\, \mathrm {d} t} con t en segundos e ν a frecuencia (en hercios).
Algúns empregan (por razóns de simetría coa transformada inversa de Fourier) a seguinte transformación: F ( f ): ω ↦ f ^ ( ω )
12 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i ω t d t {\displaystyle {\mathcal {F}}(f): \omega \mapsto {\hat {f}}(\omega )
{1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\, \mathrm {e} ^{-{\rm {i}}\omega t}\, \mathrm {d} t} con t en segundos e ω a pulsación (en radiáns por segundo).
No entanto, esta definición non é axeitada para o tratamento de produtos de convolución: debido ao factor 12 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}, temos F ( f ∗ g ) ≠ F ( f ) ⋅ F ( g ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)\neq {\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)}, a menos que se introduza tal factor na definición do produto de convolución. Transformada continua de Fourier
Xeralmente, a denominación "Transformada de Fourier" reférese á Transformada de Fourier para funcións continuas.
A transformada de Fourier dunha función integrábel (de Lebesgue) de valores complexos f ( x ) {\displaystyle f(x)} na recta real é a función de valores complexos f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}, definida pola integral A avaliación da transformada de Fourier para todos os valores de ξ {\displaystyle \xi } produce a función no "dominio da frecuencia", e esta converxe en todas as frecuencias a unha función continua que tende a cero no infinito. Se f ( x ) {\displaystyle f(x)} decae con todas as derivadas, é dicir, lim | x | → ∞ f ( n ) ( x )
0, ∀ n ∈ N, {\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }f^{(n)}(x)
0, \quad \forall n\in \mathbb {N}, } entón f ^ {\displaystyle {\widehat {f}}} converxe para todas as frecuencias e, polo lema de Riemann-Lebesgue, f ^ {\displaystyle {\widehat {f}}} tamén decae con todas as derivadas.
Introducido por primeira vez na "Teoría analítica da calor" de Joseph Fourier, a fórmula de inversión correspondente para as funcións "suficientemente agradábeis" vén dada polo Teorema de inversión de Fourier, é dicir, As funcións f {\displaystyle f} e f ^ {\displaystyle {\widehat {f}}} denomínanse par de transformadas de Fourier. Unha notación común para designar pares de transformacións é: f ( x ) ⟷ F f ^ ( ξ ), {\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ), } por exemplo rect ⁡ ( x ) ⟷ F sinc ⁡ ( ξ ). {\displaystyle \operatorname {rect} (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \operatorname {sinc} (\xi ). } Transformada discreta de Fourier
Para uso en computadores, sexa para aplicacións científicas ou en procesamento dixital de sinais, é preciso ter valores x k {\displaystyle x_{k}} discretos. A transformada discreta de Fourier (DFT) transforma unha secuencia de N números complexos { x n }:
x 0, x 1, …, x N − 1 {\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{n}\right\}:
x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{N-1}} noutra secuencia de números complexos, { X k }:
X 0, X 1, …, X N − 1, {\displaystyle \left\{\mathbf {X} _{k}\right\}:
X_{0}, X_{1}, \ldots, X_{N-1}, } que se define por: A transformación ás veces denótase co símbolo F {\displaystyle {\mathcal {F}}}, como en X
F { x } {\displaystyle \mathbf {X}
{\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x} \right\}} ou F ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} \right)} ou F x {\displaystyle {\mathcal {F}}\mathbf {x} }. A Eq. 1 pódese interpretar ou derivar de varias maneiras, por exemplo:
A Eq. 1 tamén se pode avaliar fóra do dominio k ∈ [ 0, N − 1 ] {\displaystyle k\in [0, N-1]}, e esa secuencia estendida é N {\displaystyle N} -periódica. En consecuencia, ás veces utilízanse outras secuencias de índices N {\displaystyle N}, como [ − N 2, N 2 − 1 ] {\textstyle \left[-{\frac {N}{2}}, {\frac {N}{2}}-1\right]} (se N {\displaystyle N} é par) e [ − N − 12, N − 12 ] {\textstyle \left[-{\frac {N-1}{2}}, {\frac {N-1}{2}}\right]} (se N {\displaystyle N} é impar), o que equivale a trocar as metades esquerda e dereita do resultado da transformación.
A transformación inversa (IDFT) vén dada por: A Eq. 2. tamén é N {\displaystyle N} -periódica (no índice n). Na Eq. 2, todo X k {\displaystyle X_{k}} é un número complexo cuxas coordenadas polares son a amplitude e a fase dun compoñente sinusoidal complexo ( e i 2 π k N n ) {\displaystyle \left(e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\right)} da función x n. {\displaystyle x_{n}. } (véxase Serie discreta de Fourier) A frecuencia da sinusoide é de k {\displaystyle k} ciclos por N {\displaystyle N} mostras.
O factor de normalización que multiplica a DFT e a IDFT (aquí 1 e 1 N {\displaystyle {\tfrac {1}{N}}} ) e os signos dos expoñentes son as convencións máis comúns. Os únicos requisitos reais destas convencións son que a DFT e a IDFT teñan expoñentes de signo oposto e que o produto dos seus factores de normalización sexa 1 N. {\displaystyle {\tfrac {1}{N}}. } Un método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versión é o algoritmo FFT (fast Fourier transform), cuxo desempeño é O(n log n) contra O(n2) para o mesmo cálculo usando a definición. Exemplo de transformada discreta
Este exemplo demostra como aplicar a DFT a unha secuencia de lonxitude N
4 {\displaystyle N
4} e o vector de entrada x
( x 0 x 1 x 2 x 3 )
( 12 − i − i − 1 + 2 i ). {\displaystyle \mathbf {x}
{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}1\\2-i\\-i\\-1+2i\end{pmatrix}}. } Calculando a DFT de x {\displaystyle \mathbf {x} } usando a Eq. 1 X 0
e − i 2 π 0 ⋅ 0 / 4 ⋅ 1 + e − i 2 π 0 ⋅ 1 / 4 ⋅ ( 2 − i ) + e − i 2 π 0 ⋅ 2 / 4 ⋅ ( − i ) + e − i 2 π 0 ⋅ 3 / 4 ⋅ ( − 1 + 2 i )
2 X 1
e − i 2 π 1 ⋅ 0 / 4 ⋅ 1 + e − i 2 π 1 ⋅ 1 / 4 ⋅ ( 2 − i ) + e − i 2 π 1 ⋅ 2 / 4 ⋅ ( − i ) + e − i 2 π 1 ⋅ 3 / 4 ⋅ ( − 1 + 2 i )
− 2 − 2 i X 2
e − i 2 π 2 ⋅ 0 / 4 ⋅ 1 + e − i 2 π 2 ⋅ 1 / 4 ⋅ ( 2 − i ) + e − i 2 π 2 ⋅ 2 / 4 ⋅ ( − i ) + e − i 2 π 2 ⋅ 3 / 4 ⋅ ( − 1 + 2 i )
− 2 i X 3
e − i 2 π 3 ⋅ 0 / 4 ⋅ 1 + e − i 2 π 3 ⋅ 1 / 4 ⋅ ( 2 − i ) + e − i 2 π 3 ⋅ 2 / 4 ⋅ ( − i ) + e − i 2 π 3 ⋅ 3 / 4 ⋅ ( − 1 + 2 i )
4 + 4 i {\displaystyle {\begin{aligned}X_{0}&
e^{-i2\pi 0\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 0\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 0\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 0\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)
2\\X_{1}&
e^{-i2\pi 1\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 1\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 1\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 1\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)
-2-2i\\X_{2}&
e^{-i2\pi 2\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 2\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 2\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 2\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)
-2i\\X_{3}&
e^{-i2\pi 3\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 3\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 3\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 3\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)
4+4i\end{aligned}}} con resultado X
( X 0 X 1 X 2 X 3 )
( 2 − 2 − 2 i − 2 i 4 + 4 i ). {\displaystyle \mathbf {X}
{\begin{pmatrix}X_{0}\\X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}2\\-2-2i\\-2i\\4+4i\end{pmatrix}}. }