Álxebra multilinear

Na matemática, a álxebra multilinear é unha área de estudo que xeneraliza os métodos da álxebra linear. Os obxectos de estudo son os produtos tensoriais de espazos vectoriais e as transformacións multilineares entre os espazos. Notación
A álxebra multilinear fai un uso intensivo da notación multiíndice. Unha notación dese tipo representa as combinacións lineares por un conxunto de dous ou máis índices repetidos. No caso elemental (tensores de rango un contravariantes) tense, empregando a convención da suma de Einstein: X
X s e s {\displaystyle \scriptstyle X
X^{s}e_{s}\, }. O que indica que o obxecto X, é a combinación linear: ∑ s
1 n X s e s
X 1 e 1 + X 2 e 2 + ⋯ + X n e n {\displaystyle \sum _{s
1}^{n}X^{s}e_{s}
X^{1}e_{1}+X^{2}e_{2}+\cdots +X^{n}e_{n}} sobre os vectores básicos e s {\displaystyle \scriptstyle e_{s}\, }, e os X s {\displaystyle \scriptstyle X^{s}\, } chamados compoñentes de X. Aquí n {\displaystyle n} é a dimensión alxébrica do espazo ao que pertence X. Por convención chámaselles 1-contra-tensores.
En rango un tamén están os 1-co tensores, é dicir aplicacións lineares dende o espazo escollido ata o corpo dos escalares. Escríbense como combinación linear dos funcionais lineares e s {\displaystyle e^{s}}, transformacións lineares V → K {\displaystyle \scriptstyle V\to \mathbb {K} } que satisfán: e s ( e σ )
δ s σ {\displaystyle \scriptstyle e^{s}(e_{\sigma })
{\delta ^{s}}_{\sigma }}, onde se está empregando o delta de Kronecker. Deste xeito, calquera covector f: V → K {\displaystyle \scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K} } se escribe como f
f s e s {\displaystyle \scriptstyle f
f_{s}e^{s}\, }, notación que se abrevia como f
f 1 e 1 + ⋯ + f n e n {\displaystyle \scriptstyle f
f_{1}e^{1}+\cdots +f_{n}e^{n}\, }.
Tensores de rango dous:
Un tensor de rango dous contravariante é B
B s t e s ⊗ e t {\displaystyle \scriptstyle B
B^{st}e_{s}\otimes e_{t}}.
Un tensor de rango dous covariante é C
C s t e s ⊗ e t {\displaystyle \scriptstyle C
C_{st}e^{s}\otimes e^{t}}.
E un tensor de rango dous mixto é D
D s t e s ⊗ e t {\displaystyle \scriptstyle D
{D^{s}}_{t}e_{s}\otimes e^{t}}. Isto indica unha combinación linear biindexada.
Por exemplo, B
B 11 e 1 ⊗ e 1 + B 12 e 1 ⊗ e 2 + B 21 e 2 ⊗ e 1 + B 22 e 2 ⊗ e 2 {\displaystyle B
B^{11}e_{1}\otimes e_{1}+B^{12}e_{1}\otimes e_{2}+B^{21}e_{2}\otimes e_{1}+B^{22}e_{2}\otimes e_{2}} se a dimensión do espazo é dous.
Xeneralizando o anterior escríbese A i 1 i 2. .. i p j 1 j 2. .. j q {\displaystyle \scriptstyle {A^{i_{1}i_{2}. .. i_{p}}}_{j_{1}j_{2}. .. j_{q}}} para representar os compoñentes dun tensor mixto A, que é p-contravariante e q-covariante. Pero A
A i 1 i 2. .. i p j 1 j 2. .. j q e i 1 ⊗ ⋯ ⊗ e i p ⊗ e j 1 ⊗ ⋯ ⊗ e j q {\displaystyle A
{A^{i_{1}i_{2}. .. i_{p}}}_{j_{1}j_{2}. .. j_{q}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e^{j_{q}}} representa unha combinación linear multiindexada.
Todo o anterior só foi considerando que o espazo vectorial é de dimensión finita igual a n. Produto tensorial
Tendo dous espazos vectoriais V, W, con bases respectivas { b 1, .. ., b n } {\displaystyle \{b_{1}, .. ., b_{n}\}}, { c 1, .. ., c m } {\displaystyle \{c_{1}, .. ., c_{m}\}} defínese o seu produto tensorial V ⊗ W:
⟨ { b i ⊗ c j } ⟩ {\displaystyle V\otimes W:
\langle \{b_{i}\otimes c_{j}\}\rangle } é dicir o espazo vectorial xerado polos novos símbolos { b 1 ⊗ c 1, b 1 ⊗ c 2, .. ., b n ⊗ c m − 1, b n ⊗ c m } {\displaystyle \{b_{1}\otimes c_{1}, b_{1}\otimes c_{2}, .. ., b_{n}\otimes c_{m-1}, b_{n}\otimes c_{m}\}} Polo tanto se un obxecto X que pertence a V ⊗ W {\displaystyle \scriptstyle V\otimes W} pode representarse como unha combinación linear X
X 11 b 1 ⊗ c 1 + X 12 b 1 ⊗ c 2 + ⋯ + X i j b i ⊗ c j + ⋯ + X n m b n ⊗ c m {\displaystyle X
X^{11}b_{1}\otimes c_{1}+X^{12}b_{1}\otimes c_{2}+\cdots +X^{ij}b_{i}\otimes c_{j}+\cdots +X^{nm}b_{n}\otimes c_{m}} e que se abrevia como X
X s t b s ⊗ c t {\displaystyle X
X^{st}b_{s}\otimes c_{t}} os índices repetidos s ou t, indican, cada un, a suma.
Esta definición é absolutamente abstracta, pero dende o punto de vista alxébrico non hai ningún problema en explorar todas as posibilidades do produto tensorial. Xorde unha gran cantidade de espazos simplemente ao considerar un espazo vectorial V e o seu dual V ∗ {\displaystyle V^{*}}, obténdose os espazos: V ⊗ V ⊗ V
V 3 ⊗ {\displaystyle V\otimes V\otimes V
V^{3\otimes }} V ⊗ V ∗
H o m ( V ) {\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}
{\rm {Hom}}(V)} V ∗
Λ 1 ( V ) {\displaystyle \scriptstyle V^{*}
\Lambda ^{1}(V)\, } V ∧ V {\displaystyle \scriptstyle V\wedge V} Λ k ( V ) {\displaystyle \scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\, } Todos eles de uso cotián en xeometría diferencial, xeometría alxébrica, relatividade e outros campos. Tensores e formas
Sexa V {\displaystyle V} xerado polos b i {\displaystyle b_{i}}. Simbolizando con β μ {\displaystyle \beta ^{\mu }} a base do dual V ∗ {\displaystyle \scriptstyle V^{*}} calquera elemento de V ∗ ⊗ V ∗ {\displaystyle \scriptstyle V^{*}\otimes V^{*}} escríbese da forma B μ ν β μ ⊗ β ν {\displaystyle \scriptstyle B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}. Esta mesma expresión pode ser vista como unha función bilinear V × V ⟶ B μ ν β μ ⊗ β ν R {\displaystyle \scriptstyle V\times V{\stackrel {B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}\mathbb {R} } ( b i, b j ) ↦ B μ ν β μ ⊗ β ν ( b i, b j )
B i j {\displaystyle \scriptstyle (b_{i}, b_{j})\mapsto B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i}, b_{j})
B_{ij}} sabiendo que β μ ⊗ β ν ( b i, b j )
δ μ i δ ν j {\displaystyle \scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i}, b_{j})
{\delta ^{\mu }}_{i}{\delta ^{\nu }}_{j}} - kronecker.
Outro de rango dous é V ⊗ V ∗ {\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}}. Os elementos de aquí vense como combinacións lineares biindexadas B μ ν b μ ⊗ β ν {\displaystyle \scriptstyle {B^{\mu }}_{\nu }b_{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}.