Ecuacións da caída libre

A caída libre dos corpos é un dos principais tipos de experimentos realizados por Galileo para estudar a gravidade terrestre e o movemento dos corpos. Constitúe unha das etapas que levaron ao nacemento da ciencia moderna. Lei da aceleración
Galileo Galilei demostrou que todos os corpos materiais caen no baleiro (excluíndo así calquera efecto de fricción do aire) coa mesma aceleración, independentemente da súa masa; este fenómeno é unha consecuencia directa da equivalencia entre masa gravitatoria e masa inercial. Del deduciuse que todo corpo, preto da superficie terrestre, sofre unha aceleración igual a aproximadamente: g ≈ 9, 81 m s 2 {\displaystyle g\approx 9{, }81\, \mathrm {\frac {m}{s^{2}}} } A fórmula exacta para a aceleración pódese atopar a través da lei da forza gravitatoria: F ( r )
− G m g M r 2 r ^ {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )
-{\frac {Gm_{g}M}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}} onde M é a masa da Terra;
G é a constante gravitacional;
m g é a masa (gravitatoria) do obxecto suxeito á forza gravitatoria;
r é a distancia do corpo ao centro da Terra.
Dado que a distancia entre a posición inicial da caída libre e o centro da Terra é aproximadamente igual ao radio terrestre R, esta ecuación aproxímase a F ≈ − G M m g R 2 r ^
− m g g r ^
m g g {\displaystyle \mathbf {F} \approx -{\frac {GMm_{g}}{R^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}
-m_{g}g{\hat {\mathbf {r} }}
m_{g}\mathbf {g} } onde g:
G M R 2 {\displaystyle g:
{\frac {GM}{R^{2}}}} Substituíndo na segunda lei da dinámica temos F
m i a
m g g {\displaystyle \mathbf {F}
m_{i}\mathbf {a}
m_{g}\mathbf {g} } Dado que as masas gravitatoria e inercial son proporcionais, escóllese a mesma unidade de medida para que, simplificando, obteñamos para a aceleración a
g {\displaystyle \mathbf {a}
\mathbf {g} } independentemente da masa do corpo sometido á forza da gravidade. A relación, proxectada ao longo da vertical, pasa a ser: a r ≈ − 9, 81 m s − 2 {\displaystyle a_{r}\approx -9{, }81\, \mathrm {ms^{-2}} } Ecuación do movemento
A ecuación que describe a caída dos corpos é a típica do movemento uniformemente acelerado: x ( t )
x o + v o t + 12 a t 2 {\displaystyle x(t)
x_{o}+v_{o}t+{\frac {1}{2}}at^{2}} onde x (t) é a distancia percorrida polo corpo (expresada en función do tempo), x o {\displaystyle x_{o}} a posición do corpo no instante inicial t o
0 {\displaystyle t_{o}
0}, o tempo necesario, v o {\displaystyle v_{o}} a velocidade e aceleración inicial á que está sometido o corpo. No caso que se analiza, considerando un corpo que está sometido á acción da gravidade con velocidade inicial V o {\displaystyle V_{o}} igual a cero, nun sistema de referencia que ten unha dirección positiva que se afasta do chan, a lei horaria escrita arriba pasa a ser: x ( t )
− 12 g t 2 {\displaystyle x(t)
-{\frac {1}{2}}gt^{2}} onde o signo negativo débese a que o corpo se move en contra da dirección escollida como positiva no sistema de referencia. Porén, a notación usada anteriormente é útil no caso en que se estuda un movemento que se produce en máis dunha dirección (ou posiblemente dirección), como o movemento do proxectil; se o movemento do corpo ocorre só nunha dirección e só nunha dirección, é conveniente asignarlle un valor positivo á aceleración da gravidade. Se imaxinamos deixar caer dous obxectos de diferente masa desde a mesma altura e coa mesma velocidade inicial en ausencia de rozamento v o {\displaystyle v_{o}}, da ecuación despréndese directamente que o tempo de caída será idéntico (nótese que a masa non aparece en ningunha das ecuacións anteriores). Espazo percorrido durante un segundo enésimo
Para un corpo en caída libre cunha velocidade inicial igual a cero, sometido só á forza do peso, a distancia percorrida (expresada en metros) durante ' segundo enésimo é igual a: g ( n − 12 ) {\displaystyle g\left(n-{\frac {1}{2}}\right)} De feito, calcular este espazo significa calcular a diferenza entre o espazo percorrido despois n {\displaystyle n} segundos e o espazo percorrido despois ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} segundos, é dicir: x ( n ) − x ( n − 1 )
12 g n 2 − [ 12 g ( n − 1 ) 2 ] {\displaystyle x(n)-x(n-1)
{\frac {1}{2}}gn^{2}-\left[{\frac {1}{2}}g(n-1)^{2}\right]} do que se segue desenvolvendo os cadrados e simplificando o resultado. O signo positivo na aceleración g {\displaystyle g} suponse que determina un espazo positivo, independentemente de calquera sistema de referencia. Teña en conta que, dada a xeneralidade da fórmula, o resultado obtido é o mesmo para todos os intervalos de 1 segundo de ancho. Velocidade de impacto
Para un corpo en caída libre, a máxima velocidade v f {\displaystyle v_{f}} impacto co chan é igual a: v f
2 g h {\displaystyle v_{f}
{\sqrt {2gh}}} onde h é a altura inicial (expresada en metros) do corpo desde o chan. As ecuacións necesarias para o cálculo de v f {\displaystyle v_{f}} son as da velocidade v (t) e a lei horaria que caracterizan o movemento uniformemente acelerado, é dicir (nas respectivas formas compactas): { x ( t )
12 g t 2 v ( t )
g t {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)
{\frac {1}{2}}gt^{2}\\v(t)
gt\\\end{matrix}}\right. } Ao introducir os datos do problema, o sistema pasa a ser: { h
12 g t f 2 v f
g t f {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}h
{\frac {1}{2}}gt_{f}^{2}\\v_{f}
gt_{f}\\\end{matrix}}\right. } onde está t f {\displaystyle t_{f}} é o instante no que o corpo impacta co chan. Da primeira ecuación obtemos: t f
2 h g {\displaystyle t_{f}
{\sqrt {\frac {2h}{g}}}} polo tanto, substituíndo na ecuación da velocidade: v f
g 2 h g
g 22 h g
2 g h {\displaystyle v_{f}
g{\sqrt {\frac {2h}{g}}}
{\sqrt {g^{2}{\frac {2h}{g}}}}
{\sqrt {2gh}}} O mesmo resultado poderíase conseguir usando a lei de conservación da enerxía mecánica; de feito, se chamamos E 0 {\displaystyle E_{0}} a enerxía inicial e E 1 {\displaystyle E_{1}} a final terá: { E 0
U
m g h E 1
T
12 m v f 2 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}E_{0} U
mgh\\E_{1}
T
{\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}\\\end{matrix}}\right. } onde está v f {\displaystyle v_{f}} é a velocidade final. Da lei de conservación da enerxía dedúcese que: m g h
12 m v f 2 {\displaystyle mgh
{\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}} polo tanto: g h
12 v f 2 {\displaystyle gh
{\frac {1}{2}}v_{f}^{2}}; 2 g h
v f 2 {\displaystyle 2gh
v_{f}^{2}}; v f
2 g h {\displaystyle v_{f}
{\sqrt {2gh}}} A relación que vincula a velocidade co tempo é: v f
v 0 + g t {\displaystyle v_{f} v_{0}+gt} onde está v 0 {\displaystyle v_{0}} é a velocidade inicial coa que cae o corpo. Velocidade límite
Se examinamos o caso dun corpo en caída libre sometido á resistencia viscosa dun fluído (p. ex. aire), a partir da segunda lei de Newton é posible expresar a velocidade deste corpo en función do tempo. v ( t )
m g β ( 1 − e − β m t ) {\displaystyle v(t)
{\frac {mg}{\beta }}(1-e^{-{{\frac {\beta }{m}}t}})} onde β é un coeficiente que varía segundo a forma do corpo e o fluído no que se move; dimensionalmente: [ M ] [ L T − 2 ]
[ β ] [ L T − 1 ] ⟺ [ β ]
[ M T − 1 ]
[ K g s ] {\displaystyle [M][LT^{-2}]
[\beta ][LT^{-1}]\iff [\beta ]
[MT^{-1}]
[{\frac {Kg}{s}}]} resultado obtido da ecuación que expresa a forza de resistencia do medio: f
− β v {\displaystyle f
-\beta v} Para identificar a función de velocidade indicada anteriormente, é necesario partir da segunda lei da dinámica newtoniana: f
m a
m d v d t {\displaystyle f
ma
m{\frac {dv}{dt}}} que é unha ecuación diferencial con variables separables: m g − β v
m d v d t ⇒ d v d t
g − β m v ⇒ d v g − β m v
d t {\displaystyle mg-\beta v
m{\frac {dv}{dt}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {dv}{dt}}
g-{\frac {\beta }{m}}v\quad \Rightarrow \quad {\frac {dv}{g-{\frac {\beta }{m}}v}}
{dt}} Ao integrar cada membro: ∫ v ( 0 ) v ( t ) d v g − β m v
∫ 0 t d t {\displaystyle \ \int _{v(0)}^{v(t)}{\frac {dv}{g-{\frac {\beta }{m}}v}}\,
\int _{0}^{t}dt} obtense: [ ln ⁡ ( g − β v m ) ] v 0 v
− β m t ⇒ ln ⁡ ( β v − m g β v 0 − m g )
− β m t ⇒ β v − m g β v 0 − m g
e − β m t ⇒ v ( t )
m g β + ( v 0 − m g β ) e − β m t {\displaystyle {\left[\ln \left(g-{\frac {{\beta }v}{m}}\right)\right]}_{v_{0}}^{v}
-{\frac {\beta }{m}}t\quad \Rightarrow \quad \ln \left({\frac {{\beta }v-mg}{{\beta }{v_{0}}-mg}}\right)
-{\frac {\beta }{m}}t\quad \Rightarrow \quad {\frac {{\beta }v-mg}{{\beta }{v_{0}}-mg}}
e^{-{{\frac {\beta }{m}}t}}\quad \Rightarrow \quad v\left(t\right)
{\frac {mg}{\beta }}+\left({v_{0}-{\frac {mg}{\beta }}}\right)e^{-{{\frac {\beta }{m}}t}}} A fórmula anterior describe o caso particular v 0
0 {\displaystyle v_{0}
0} lim t → + ∞ [ m g β + ( v 0 − m g β ) e − β m t ]
m g β {\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\left[{\frac {mg}{\beta }}+\left({v_{0}-{\frac {mg}{\beta }}}\right)e^{-{{\frac {\beta }{m}}t}}\right]
{\frac {mg}{\beta }}} que é o valor constante cara ao que tende a velocidade do corpo en caída, a medida que aumenta o tempo (velocidade límite). Este resultado mostra como a velocidade límite depende, ademais de g, da relación entre a masa do corpo e o coeficiente β: m fixo, a velocidade límite diminúe a medida que aumenta β, é dicir, a medida que se dirixe o obxecto. aumenta á dirección do movemento. Tamén hai que ter en conta outra característica, se o corpo comeza verticalmente cunha velocidade v y 0 {\displaystyle v_{y_{0}}} podes escribir: v ( t )
v y 0 e − β m t + m g β ( 1 − e − β m t ) {\displaystyle v(t)
v_{y_{0}}{\mathit {e}}^{-{\frac {\beta }{m}}t}+{\frac {mg}{\beta }}\left(1-{\mathit {e}}^{-{\frac {\beta }{m}}t}\right)} Aplicando o límite para m → ∞ {\displaystyle m\to \infty } temos: lim m → ∞ [ v y 0 e − β m t + m g β ( 1 − e − β m t ) ]
v y 0 + g t {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left[v_{y_{0}}{\mathit {e}}^{-{\frac {\beta }{m}}t}+{\frac {mg}{\beta }}\left(1-{\mathit {e}}^{-{\frac {\beta }{m}}t}\right)\right]
v_{y_{0}}+gt} É dicir, a velocidade é a mesma que sería sen resistencia do aire, isto significa que canto maior sexa a masa, máis semella a súa traxectoria a unha parábola e o movemento é parabólico. En particular isto infórmanos de que se tomamos dous corpos cun coeficiente β {\displaystyle \beta } igual pero con masa diferente, o de maior masa terá maior alcance que o de menor masa. De feito, a propia resistencia do aire permite reducir o rango en comparación co parabólico. Ecuacións do movemento coa resistencia do aire
Coa resistencia do aire o movemento do corpo en caída é diferente do parabólico ideal, isto débese a que durante a fase de voo o corpo sofre un rozamento que ralentiza o seu camiño, polo tanto hai unha forza que se opón ao movemento que é a resistencia do aire. De feito, o corpo móvese dentro dun fluído que é o aire e, polo tanto, está sometido a fricción viscosa. A forza de rozamento que se opón ao movemento pódese expresar como: D
b v {\displaystyle \mathbf {D}
b\mathbf {v} } Onde b é unha constante que depende estritamente das características do corpo. Así que a forza total que actúa sobre o corpo será F
P − D {\displaystyle \mathbf {F}
\mathbf {P} -\mathbf {D} } Descompoñendo en compoñentes cartesianos e considerando a forza gravitatoria constante (polo tanto a aceleración gravitatoria será igual a g ), recollendo pódese escribir m a x u x ^ + m a y u y ^
− b v x u x ^ − ( m g + b v y ) u y ^ {\displaystyle ma_{x}{\hat {u_{x}}}+ma_{y}{\hat {u_{y}}}
-bv_{x}{\hat {u_{x}}}-(mg+bv_{y}){\hat {u_{y}}}} Obtense o sistema { m a x
− b v x m a y
− m g − b v y {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lc}ma_{x}
-bv_{x}\\ma_{y}
-mg-bv_{y}\end{array}}\right. } Levamos todo ao primeiro membro e dividimos todo pola masa do corpo m, neste punto podemos substituír a aceleración pola segunda derivada do espazo con respecto ao tempo e a velocidade pola primeira derivada con respecto ao tempo, obtemos { x ¨ + b m x ˙
0 y ¨ + b m y ˙ + g
0 {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lc}{\ddot {x}}+{\frac {b}{m}}{\dot {x}}
0\\{\ddot {y}}+{\frac {b}{m}}{\dot {y}}+g
0\end{array}}\right. } Por simplicidade substituímos ε
b m {\displaystyle \varepsilon
{\frac {b}{m}}} obtemos así: { x ¨ + ε x ˙
0 y ¨ + ε y ˙ + g
0 ε
b m {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lc}{\ddot {x}}+\varepsilon {\dot {x}}
0\\{\ddot {y}}+\varepsilon {\dot {y}}+g
0\\\varepsilon
{\frac {b}{m}}\end{array}}\right. } Estas son dúas ecuacións diferenciais, unha solución da segunda do sistema é u ( x )
− g t ε {\displaystyle u(x)
-{\frac {gt}{\varepsilon }}} Ademais tamén consideramos as condicións iniciais x ( 0 )
x 0, x ( 0 ) ˙
v x 0 {\displaystyle x(0)
x_{0}, {\dot {x(0)}}
v_{x_{0}}} e y ( 0 )
y 0, y ( 0 ) ˙
v y 0 {\displaystyle y(0)
y_{0}, {\dot {y(0)}}
v_{y_{0}}}. Todos estes datos permítennos resolver as ecuacións diferenciais obtendo as ecuacións do movemento en forma paramétrica { x ( t )
x 0 + v x 0 ε ⋅ ( 1 − e − ε t ) y ( t )
y 0 − g t ε + v y 0 ε + g ε 2 ⋅ ( 1 − e − ε t ) ε
b m {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lc}x(t)
x_{0}+{\frac {v_{x_{0}}}{\varepsilon }}\cdot \left(1-{\mathit {e}}^{-\varepsilon t}\right)\\y(t)
y_{0}-{\frac {gt}{\varepsilon }}+{\frac {v_{y_{0}}\varepsilon +g}{\varepsilon ^{2}}}\cdot \left(1-{\mathit {e}}^{-\varepsilon t}\right)\\\varepsilon
{\frac {b}{m}}\end{array}}\right. } E, mediante substitucións, a ecuación explícita de y en función de x: y
y 0 + ln ⁡ ( 1 − ε v x 0 ⋅ ( x − x 0 ) ) ε 2 g + v y 0 ε + g v x 0 ε ⋅ ( x − x 0 ) {\displaystyle y
y_{0}+{\frac {\ln \left(1-{\frac {\varepsilon }{v_{x_{0}}}}\cdot (x-x_{0})\right)}{\varepsilon ^{2}}}g+{\frac {v_{y_{0}}\varepsilon +g}{v_{x_{0}}\varepsilon }}\cdot (x-x_{0})} Fondo
A teoría anterior trata só de corpos que caen verticalmente. Ademais, suponse que o campo gravitatorio é constante, o que na Terra en condicións normais é unha excelente aproximación, (de feito dá erros incomparablemente máis baixos que os dados por descoidar a resistencia do aire).
Newton é o responsable da teoría gravitacional exacta e completa (non relativista), e de ter demostrado que un corpo (unha mazá ou unha pedra) que cae segue exactamente as mesmas ecuacións que fan que a Terra xire arredor do Sol. Unha pedra lanzada ao aire percorre unha elipse, caendo cara ao chan (descoidando sempre a resistencia do aire). A traxectoria que vemos é unha parte moi pequena desta elipse, tan pequena que non se pode distinguir dun segmento dunha parábola (que sería a traxectoria seguida se a gravidade fose constante).