Teorema do trisector de Morley

En xeometría plana, o teorema do trisector de Morley afirma que en calquera triángulo, os tres puntos de intersección dos trisectores angulares adxacentes forman un triángulo equilátero, chamado primeiro triángulo de Morley ou simplemente triángulo de Morley. O teorema foi descuberto en 1899 polo matemático angloamericano Frank Morley. Ten varias xeneralizacións; en particular, se se cortan todos os trisectores, obtéñense outros catro triángulos equiláteros. Probas
Hai moitas probas do teorema de Morley, algunhas delas son moi técnicas. Varias das primeiras probas baseáronse en delicados cálculos trigonométricos. As probas recentes inclúen unha demostración alxébrica de Alain Connes (estendendo o teorema a corpos xerais distintos da característica tres), e a demostración de xeometría elemental de John Conway. Este último comeza cun triángulo equilátero e mostra que se pode construír arredor del un triángulo que será semellante a calquera triángulo seleccionado. O teorema de Morley non aplica na xeometría esférica e hiperbólica. Unha proba usa a identidade trigonométrica
na que, empregando a identidade da suma de dous ángulos, pódese demostrar que é igual a sin ⁡ ( 3 θ )
− 4 sin 3 ⁡ θ + 3 sin ⁡ θ. {\displaystyle \sin(3\theta )
-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta. } A última ecuación pódese verificar aplicando dúas veces a identidade da suma de dous ángulos ao lado esquerdo e eliminando o coseno.
Os puntos D, E, F {\displaystyle D, E, F} están construídos sobre B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} como se mostra. Temos 3 α + 3 β + 3 γ
180 ∘ {\displaystyle 3\alpha +3\beta +3\gamma
180^{\circ }}, a suma dos ángulos de calquera triángulo, polo que α + β + γ
60 ∘. {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma
60^{\circ }. } Polo tanto, os ángulos do triángulo X E F {\displaystyle XEF} son α, ( 60 ∘ + β ), {\displaystyle \alpha, (60^{\circ }+\beta ), } e ( 60 ∘ + γ ). {\displaystyle (60^{\circ }+\gamma ). } A partir da figura
e
Tamén da figura ∠ A Y C
180 ∘ − α − γ
120 ∘ + β {\displaystyle \angle {AYC}
180^{\circ }-\alpha -\gamma
120^{\circ }+\beta } e
A lei dos senos aplicada aos triángulos A Y C {\displaystyle AYC} e A Z B {\displaystyle AZB} produce
e Expresamos a altura do triángulo A B C {\displaystyle ABC} de dous xeitos h
A B ¯ sin ⁡ ( 3 β )
A B ¯ ⋅ 4 sin ⁡ β sin ⁡ ( 60 ∘ + β ) sin ⁡ ( 120 ∘ + β ) {\displaystyle h
{\overline {AB}}\sin(3\beta )
{\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )} e h
A C ¯ sin ⁡ ( 3 γ )
A C ¯ ⋅ 4 sin ⁡ γ sin ⁡ ( 60 ∘ + γ ) sin ⁡ ( 120 ∘ + γ ). {\displaystyle h
{\overline {AC}}\sin(3\gamma )
{\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ). } Onde se utilizou a ecuación (1) para substituír sin ⁡ ( 3 β ) {\displaystyle \sin(3\beta )} e sin ⁡ ( 3 γ ) {\displaystyle \sin(3\gamma )} nestas dúas ecuacións. Substituíndo as ecuacións (2) e (5) na ecuación con β {\displaystyle \beta } e as ecuacións (3) e (6) na ecuación con γ {\displaystyle \gamma }, temos: h
4 A B ¯ sin ⁡ β ⋅ D X ¯ X E ¯ ⋅ A C ¯ A Y ¯ sin ⁡ γ {\displaystyle h
4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma } e h
4 A C ¯ sin ⁡ γ ⋅ D X ¯ X F ¯ ⋅ A B ¯ A Z ¯ sin ⁡ β. {\displaystyle h
4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta. } Xa que os numeradores son iguais X E ¯ ⋅ A Y ¯
X F ¯ ⋅ A Z ¯ {\displaystyle {\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}
{\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}} ou X E ¯ X F ¯
A Z ¯ A Y ¯. {\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}
{\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}. } Posto que o ángulo E X F {\displaystyle EXF} e o ángulo Z A Y {\displaystyle ZAY} son iguais e os lados que forman estes ángulos están na mesma proporción, os triángulos X E F {\displaystyle XEF} e A Z Y {\displaystyle AZY} son semellantes.
Os ángulos semellantes A Y Z {\displaystyle AYZ} e X F E {\displaystyle XFE} igualan ( 60 ∘ + γ ) {\displaystyle (60^{\circ }+\gamma )}, e os ángulos semellantes A Z Y {\displaystyle AZY} e X E F {\displaystyle XEF} igualan ( 60 ∘ + β ). {\displaystyle (60^{\circ }+\beta ). } Con argumentos similares temos os ángulos base dos triángulos B X Z {\displaystyle BXZ} e C Y X. {\displaystyle CYX. } En particular o ángulo B Z X {\displaystyle BZX} ven sendo ( 60 ∘ + α ) {\displaystyle (60^{\circ }+\alpha )} e pola figura vemos que ∠ A Z Y + ∠ A Z B + ∠ B Z X + ∠ X Z Y
360 ∘. {\displaystyle \angle {AZY}+\angle {AZB}+\angle {BZX}+\angle {XZY}
360^{\circ }. } Substituindo temos ( 60 ∘ + β ) + ( 120 ∘ + γ ) + ( 60 ∘ + α ) + ∠ X Z Y
360 ∘ {\displaystyle (60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+\angle {XZY}
360^{\circ }} onde se utilizou a ecuación (4) para o ángulo A Z B {\displaystyle AZB} e, por conseguinte ∠ X Z Y
60 ∘. {\displaystyle \angle {XZY}
60^{\circ }. } Facendo do mesmo xeitoc os outros ángulos do triángulo X Y Z {\displaystyle XYZ} vemos que son de 60 ∘. {\displaystyle 60^{\circ }. } Lado e área
O primeiro triángulo de Morley ten lonxitude de lado a ′
b ′
c ′
8 R sin ⁡ 13 A sin ⁡ 13 B sin ⁡ 13 C, {\displaystyle a^{\prime }
b^{\prime }
c^{\prime }
8R\, \sin {\tfrac {1}{3}}A\, \sin {\tfrac {1}{3}}B\, \sin {\tfrac {1}{3}}C, } onde R é o radio circundante do triángulo orixinal e A, B e C son os ángulos do triángulo orixinal. Xa que a área dun triángulo equilátero é 34 a ′ 2, {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2}, } a área do triángulo de Morley pódese expresar como Área
163 R 2 sin 213 A sin 213 B sin 213 C. {\displaystyle {\text{Área}}
16{\sqrt {3}}R^{2}\, \sin ^{2}\! {\tfrac {1}{3}}A\, \sin ^{2}\! {\tfrac {1}{3}}B\, \sin ^{2}\! {\tfrac {1}{3}}C. } Triángulos de Morley
O teorema de Morley implica 18 triángulos equiláteros. O triángulo descrito no teorema do trisector anterior, chamado primeiro triángulo de Morley, ten como vértices, dados en coordenadas trilineares en relación a un triángulo ABC, do seguinte xeito: vértice A
1: 2 cos ⁡ 13 C: 2 cos ⁡ 13 B vértice B
2 cos ⁡ 13 C: 1: 2 cos ⁡ 13 A vértice C
2 cos ⁡ 13 B: 2 cos ⁡ 13 A: 1 {\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\text{vértice }}A&
&1&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}C&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}B\\[5mu]{\text{vértice }}B&
&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&: &1&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}A\\[5mu]{\text{vértice }}C&
&2\cos {\tfrac {1}{3}}B&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}A&: &1\end{array}}} Outro dos triángulos equiláteros de Morley que tamén é un triángulo central chámase segundo triángulo de Morley e vén dado polos seguintes vértices: vértice A
1: 2 cos ⁡ 13 ( C − 2 π ): 2 cos ⁡ 13 ( B − 2 π ) vértice B
2 cos ⁡ 13 ( C − 2 π ): 1: 2 cos ⁡ 13 ( A − 2 π ) vértice C
2 cos ⁡ 13 ( B − 2 π ): 2 cos ⁡ 13 ( A − 2 π ): 1 {\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\text{vértice }}A&
&1&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )\\[5mu]{\text{vértice }}B&
&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&: &1&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )\\[5mu]{\text{vértice }}C&
&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )&: &1\end{array}}} O terceiro dos 18 triángulos equiláteros de Morley que tamén é un triángulo central chámase terceiro triángulo de Morley e vén dado polos seguintes vértices: vértice A
1: 2 cos ⁡ 13 ( C + 2 π ): 2 cos ⁡ 13 ( B + 2 π ) vértice B
2 cos ⁡ 13 ( C + 2 π ): 1: 2 cos ⁡ 13 ( A + 2 π ) vértice C
2 cos ⁡ 13 ( B + 2 π ): 2 cos ⁡ 13 ( A + 2 π ): 1 {\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\text{vértice }}A&
&1&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )\\[5mu]{\text{vértice }}B&
&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&: &1&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )\\[5mu]{\text{vértice }}C&
&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )&: &2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )&: &1\end{array}}} O primeiro, segundo e terceiro triángulos de Morley son homotéticos por pares. Outro triángulo homotético está formado polos tres puntos X da circunferencia circunscrita do triángulo ABC no que a recta XX − 1 é tanxente á circunferencia, onde X − 1 denota o conxugado isogonal de X. Este triángulo equilátero, chamado triángulo circumtanxente, ten estes vértices: vértice A
− csc ⁡ 13 ( C − B ): − csc ⁡ 13 ( 2 C + B ): − csc ⁡ 13 ( C + 2 B ) vértice B
− csc ⁡ 13 ( A + 2 C ): − csc ⁡ 13 ( A − C ): − csc ⁡ 13 ( 2 A + C ) vértice C
− csc ⁡ 13 ( 2 B + A ): − csc ⁡ 13 ( B + 2 A ): − csc ⁡ 13 ( B − A ) {\displaystyle {\begin{array}{lllllll}{\text{vértice }}A&
&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(C-B)&: &{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&: &-\csc {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]{\text{vértice }}B&
&-\csc {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&: &{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(A-C)&: &{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]{\text{vértice }}C&
&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&: &-\csc {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&: &{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}} Un quinto triángulo equilátero, tamén homotético cos outros, obtense facendo xirar o triángulo circumtanxente π/6 arredor do seu centro. Chamado triángulo circunnormal, os seus vértices son os seguintes: vértice A
− sec ⁡ 13 ( C − B ): − sec ⁡ 13 ( 2 C + B ): − sec ⁡ 13 ( C + 2 B ) vértice B
− sec ⁡ 13 ( A + 2 C ): − sec ⁡ 13 ( A − C ): − sec ⁡ 13 ( 2 A + C ) vértice C
− sec ⁡ 13 ( 2 B + A ): − sec ⁡ 13 ( B + 2 A ): − sec ⁡ 13 ( B − A ) {\displaystyle {\begin{array}{lllllll}{\text{vértice }}A&
&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(C-B)&: &-\sec {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&: &-\sec {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]{\text{vértice }}B&
&-\sec {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&: &{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(A-C)&: &-\sec {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]{\text{vértice }}C&
&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&: &-\sec {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&: &{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}} Unha operación chamada "extraversión" pódese utilizar para obter un dos 18 triángulos de Morley a partir doutro. Cada triángulo pode ser extravertido de tres formas diferentes; os 18 triángulos de Morley e os 27 pares extravertidos de triángulos forman os 18 vértices e as 27 arestas da grafo de Pappus (debido a Pappus de Alexandría). Centros triangulares relacionados
Usando os números da Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) temos:
O centro de Morley, X(356), centroide do primeiro triángulo de Morley, vén dado en coordenadas trilineares por cos ⁡ 13 A + 2 cos ⁡ 13 B cos ⁡ 13 C: cos ⁡ 13 B + 2 cos ⁡ 13 C cos ⁡ 13 A: cos ⁡ 13 C + 2 cos ⁡ 13 A cos ⁡ 13 B {\displaystyle \cos {\tfrac {1}{3}}A+2\cos {\tfrac {1}{3}}B\, \cos {\tfrac {1}{3}}C\, :\, \cos {\tfrac {1}{3}}B+2\cos {\tfrac {1}{3}}C\, \cos {\tfrac {1}{3}}A\, :\, \cos {\tfrac {1}{3}}C+2\cos {\tfrac {1}{3}}A\, \cos {\tfrac {1}{3}}B} O 1º centro de Morley–Taylor–Marr, X(357): O primeiro triángulo de Morley é homólogo ao triángulo △ A B C {\displaystyle \triangle ABC}: As liñas que conectan cada unha un vértice do triángulo orixinal con cadanseu vértice oposto do triángulo de Morley coinciden no punto sec ⁡ 13 A: sec ⁡ 13 B: sec ⁡ 13 C {\displaystyle \sec {\tfrac {1}{3}}A\, :\, \sec {\tfrac {1}{3}}B\, :\, \sec {\tfrac {1}{3}}C}