Distribución de Pareto

En estatística a distribución de Pareto, formulada polo sociólogo Vilfredo Pareto, é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros, que ten aplicación en disciplinas como a socioloxía, a xeofísica e a economía. Nalgunhas disciplinas refírense ás veces como a lei de Bradford. O equivalente discreto da distribución de Pareto é a distribución zeta (a lei de Zipf). Probabilidade acumulada
Se X pertence ao dominio da variable da distribución de Pareto, entón a probabilidade de que X sexa maior que un número x vén dada por: P r ( X > x )
{ ( x m x ) α si x ≥ x m, 1 si x < x m. {\displaystyle Pr(X>x)
{\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}x\geq x_{\mathrm {m} }, \\1&{\text{si }}x<x_{\mathrm {m} }. \end{cases}}} onde xm é o valor mínimo posible (positivo) de X, e α é un parámetro. A familia das distribucións de Pareto parametrízanse con dúas cantidades, xm e α. Cando esta distribución se emprega nun modelo sobre a distribución de riqueza, o parámetro α é coñecido como índice de Pareto. Función de densidade
A partir da probabilidade acumulada, pode deducirse mediante unha derivada que a función de densidade de probabilidade é: f X ( x )
{ α x m α x α + 1 si x > x m, 0 si x < x m. {\displaystyle f_{X}(x)
{\begin{cases}\alpha \, {\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{si }}x>x_{\mathrm {m} }, \\[12pt]0&{\text{si }}x<x_{\mathrm {m} }. \end{cases}}} Propiedades
A media ou valor esperado dunha variable aleatoria X, que segue unha distribución de Pareto con parámetro α > 1 é E ( X )
α x m α − 1 {\displaystyle E(X)
{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\, } (se α ≤ 1, o valor esperado non existe).
A varianza é v a r ( X )
( x m α − 1 ) 2 α α − 2. {\displaystyle \mathrm {var} (X)
\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}. } (Si α ≤ 2, a varianza non existe).
Os momentos son μ n ′
α x m n α − n, {\displaystyle \mu _{n}'
{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}, \, } pero o n-ésimo momento existe só para n < α.
A función xeradora de momentos só está definida para valores non positivos de t ≤ 0 segundo: M ( t, α, x m )
E ( e t X )
α ( − x m t ) α Γ ( − α, − x m t ) and M ( 0, α, x m )
1. {\displaystyle M\left(t, \alpha, x_{\mathrm {m} }\right)
E(e^{tX})
\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha, -x_{\mathrm {m} }t){\text{ and }}M\left(0, \alpha, x_{\mathrm {m} }\right)
1. \, }
Caso dexenerado
A función da delta de Dirac é un caso límite da densidade de Pareto: lim α → ∞ f ( x; α, x m )
δ ( x − x m ). {\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }f(x; \alpha, x_{\mathrm {m} })
\delta (x-x_{\mathrm {m} }). \, } Distribución simétrica
Pode definirse unha Distribución de Pareto simétrica segundo: f ( x; α, x m )
{ ( α x m α / 2 ) | x | − α − 1 si | x | > x m 0 resto. {\displaystyle f(x; \alpha, x_{\mathrm {m} })
{\begin{cases}(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }/2)|x|^{-\alpha -1}&{\text{si }}|x|>x_{\mathrm {m} }\\0&{\text{resto}}. \end{cases}}} Distribución xeneralizada de Pareto
A familia de distribucións xeneralizadas de Pareto (GPD) teñen tres parámetros μ, σ {\displaystyle \mu, \sigma \, } e ξ {\displaystyle \xi \, }.
A función de probabilidade acumulada é F ( ξ, μ, σ ) ( x )
{ 1 − ( 1 + ξ ( x − μ ) σ ) − 1 / ξ si ξ ≠ 0, 1 − exp ⁡ ( − x − μ σ ) si ξ
0. {\displaystyle F_{(\xi, \mu, \sigma )}(x)
{\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{si }}\xi \neq 0, \\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{si }}\xi
0. \end{cases}}} Para x ⩾ μ {\displaystyle x\geqslant \mu }, con ξ ⩾ 0 {\displaystyle \xi \geqslant 0\, }, e x ⩽ μ − σ / ξ {\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi } con ξ < 0 {\displaystyle \xi <0\, }, onde μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } é o parámetro localización, σ > 0 {\displaystyle \sigma >0\, } é o parámetro escala e ξ ∈ R {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} } é o parámetro forma. Algunhas referencias toman o parámetro forma como κ
− ξ {\displaystyle \kappa
-\xi \, }.
A función de densidade de probabilidade es: f ( ξ, μ, σ ) ( x )
1 σ ( 1 + ξ ( x − μ ) σ ) ( − 1 ξ − 1 ). {\displaystyle f_{(\xi, \mu, \sigma )}(x)
{\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}. } ou f ( ξ, μ, σ ) ( x )
σ 1 ξ ( σ + ξ ( x − μ ) ) 1 ξ + 1. {\displaystyle f_{(\xi, \mu, \sigma )}(x)
{\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}. } de novo, para x ⩾ μ {\displaystyle x\geqslant \mu }, e x ⩽ μ − σ / ξ {\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi } se ξ < 0 {\displaystyle \xi <0\, }