Función lacunaria

Na análise, unha función lacunaria, tamén coñecida como serie lacunaria, é unha función analítica que non se pode continuar analiticamente en ningún lugar fóra do raio de converxencia dentro do cal está definida por unha serie de potencias.
Os primeiros exemplos coñecidos de funcións lacunarias eran series de Taylor con grandes lagoas entre os coeficientes distintos de cero das súas expansións. Investigacións máis recentes tamén centraron a atención nas series de Fourier con lagoas similares entre coeficientes distintos de cero. Un exemplo sinxelo
Escollemos un número enteiro a ≥ 2 {\displaystyle a\geq 2}. Consideramos a seguinte función definida por unha serie de potencias simple: f ( z )
∑ n
0 ∞ z a n
z + z a + z a 2 + z a 3 + z a 4 + ⋯ {\displaystyle f(z)
\sum _{n
0}^{\infty }z^{a^{n}}
z+z^{a}+z^{a^{2}}+z^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \, } A serie de potencias converxe localmente uniforme en calquera dominio aberto |z| < 1. Isto pódese demostrar comparando f coa serie xeométrica, que é absolutamente converxente cando |z| < 1. Polo tanto, f é analítica no disco unitario aberto. Porén, f ten unha singularidade en todo punto da circunferencia unitaria e non se pode continuar analiticamente fóra do disco unitario aberto, como demostra o seguinte argumento.
Claramente f ten unha singularidade en z
1, porque f ( 1 )
1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle f(1)
1+1+1+\cdots \, } é unha serie diverxente. Mais se se permite que z non sexa real, xorden problemas, xa que f ( z a )
f ( z ) − z f ( z a 2 )
f ( z a ) − z a f ( z a 3 )
f ( z a 2 ) − z a 2 ⋯ f ( z a n + 1 )
f ( z a n ) − z a n {\displaystyle f\left(z^{a}\right)
f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)
f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)
f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)
f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}} podemos ver que f ten unha singularidade nun punto z cando za
1, e tamén cando za21. Pola indución suxerida polas ecuacións anteriores, f debe ter unha singularidade en cada unha das raíces an-ésimas da unidade para todos os números naturais n. O conxunto de todos estes puntos é denso na circunferencia unitaria, polo que, por extensión continua, todo punto do circunferencia unitaria debe ser unha singularidade de f. Serie trigonométrica lacunaria
Os matemáticos tamén investigaron as propiedades das series trigonométricas lacunarias S ( ( λ k ) k, θ )
∑ k
1 ∞ a k cos ⁡ ( λ k θ ) S ( ( λ k ) k, θ, ω )
∑ k
1 ∞ a k cos ⁡ ( λ k θ + ω ) {\displaystyle S((\lambda _{k})_{k}, \theta )
\sum _{k
1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k}, \theta, \omega )
\sum _{k
1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\, } para os que os λk están afastados. Aquí os coeficientes ak son números reais. Neste contexto, a atención concentrouse en criterios suficientes para garantir a converxencia das series trigonométricas en case todas as partes (é dicir, para case todos os valores do ángulo θ e do factor de distorsión ω). Kolmogorov demostrou que se a secuencia {λk} contén ocos de Hadamard, entón a serie S(λk, θ, ω) converxe (diverxe) case en todas as partes cando ∑ k
1 ∞ a k 2 {\displaystyle \sum _{k
1}^{\infty }a_{k}^{2}} converxe (diverxe).
Zygmund demostrou baixo a mesma condición que S( λk, θ, ω) non é unha serie de Fourier que representa unha función integrábel cando esta suma de cadrados dos ak é unha serie diverxente.