Multiplicación

A multiplicación é unha operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica outro número. Así, 4×3 (léase "catro multiplicado por tres" ou, simplemente, "catro por tres") é igual a sumar tres veces o valor 4 por si mesmo (4+4+4).
A multiplicación está asociada ao concepto de área xeométrica.
O resultado da multiplicación de varios números chámase produto. Os números que se multiplican chámanse factores ou coeficientes e individualmente, multiplicando (número que se suma ou número que se está multiplicando) e multiplicador (veces que se suma o multiplicando).
Esta diferenciación entre "multiplicando" e "multiplicador" pode ser superfluo nalgúns contextos, por exemplo, cando o conxunto onde está definido o produto verifica a propiedade conmutativa da multiplicación (por exemplo, no conxunto dos números reais); pero pode ser útil cando nos referimos ao multiplicador dunha expresión alxébrica (por exemplo, en "a2b + a2b + a2b" ou "3a2b", 3 é o multiplicador, mentres que "a2b" é o multiplicando).
En álxebra moderna adóitase usar a denominación cociente ou multiplicación, coa súa notación habitual ("·") para designar a operación externa nun módulo, para designar tamén a segunda operación que se define nun anel (aquela para a que non está definido o elemento inverso do 0), ou para designar a operación que dota a un conxunto de estrutura de grupo.
A operación inversa da multiplicación de números é a división. Notación
A multiplicación indícase cunha "aspa" (×) ou cun punto medio (·). En ausencia destes caracteres adoita usarse o asterisco (*), sobre todo en computación (este uso ten a súa orixe no FORTRAN), pero está desaconsellado noutros contextos e só se debe empregar cando non hai outra alternativa.
Ás veces utilízase a letra xe (x), pero isto tamén é desaconsellable porque crea unha confusión innecesaria coa letra, que adoita representar unha incógnita nunha ecuación.
Tamén adoitan utilizarse signos de agrupación, como parénteses ( ), corchetes [ ] ou chaves { }. Estes, as máis das veces, utilízanse para multiplicar números negativos entre si ou por números positivos.
Se os factores non se escriben de forma individual pero pertencen a unha lista de elementos con certa regularidade, pódese escribir o produto mediante unha elipse, é dicir, escribir explicitamente os primeiros termos e os últimos, (ou en caso dun produto de infinitos termos só os primeiros), e substituír os demais por puntos suspensivos. Isto é análogo ao que se fai con outras operacións aplicadas a infinitos números (como as sumas). O produto de infinitos termos defínese como o límite do produto dos n primeiros termos cando n crece indefinidamente.
Así, o produto de todos os números naturais desde o 1 até o 100 pódese escribir: 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 99 ⋅ 100 {\displaystyle 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100} mentres que o produto dos números pares entre o 1 e o 100 escribiríase: 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 100 {\displaystyle 2\cdot 4\cdot 6\cdots 100}.
Isto tamén pode denotarse escribindo os puntos suspensivos na parte media da liña de texto: 1 ⋅ 2 ⋅ ⋯ ⋅ 99 ⋅ 100 {\displaystyle 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100} En calquera caso, deben estar claros cales son os termos omitidos.
Por último, pódese denotar o produto mediante o símbolo productorio, que provén da letra grega Π (Pi maiúscula).
Isto defínese así: ∏ i
m n x i
x m ⋅ x m + 1 ⋅ x m + 2 ⋅ ⋯ ⋅ x n − 1 ⋅ x n. {\displaystyle \prod _{i
m}^{n}x_{i}
x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}. } O subíndice i {\displaystyle i\, } indica unha variábel que toma como valores os números enteiros desde un valor mínimo ( m {\displaystyle m\, }, indicado no subíndice) a un valor máximo ( n {\displaystyle n\, }, indicado no superíndice).
Finalmente, pódese omitir o signo de multiplicación, a menos que se multipliquen números ou que se poida xerar confusión sobre os nomes das incógnitas, constantes ou funcións, por exemplo, cando o nome dalgunha incógnita ten máis dunha letra e podería confundirse co produto doutras dúas. Definición
A multiplicación de dous números enteiros n e m exprésase como: ∑ k
1 n m
m n {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}m
mn} Isto non é máis que unha forma de simbolizar a expresión "sumar m a si mesmo n veces". Pode facilitar a comprensión ao expandirse a expresión anterior: m·n m + m + m +. .. + m
tal que hai n sumandos. Así, por exemplo: 5×2
5 + 5
10
2×5
2 + 2 + 2 + 2 + 2
10
4×3
4 + 4 + 4
12
m·6
m + m + m + m + m + m
6m
m·5
m + m + m + m + m
5m Propiedades
As seguintes propiedades son válidas no conxunto dos números reais e dos complexos.
Propiedade conmutativa
Utilizando esta definición, é fácil demostrar algunhas propiedades interesantes da multiplicación. Como indican os dous primeiros exemplos, a orde en que se multiplican dous números é irrelevante, o que se coñece como propiedade conmutativa, que se cumpre en xeral para dous números calquera x e y: x·y y·x
Propiedade asociativa
A multiplicación tamén verifica a propiedade asociativa, que consiste en que, para tres números calquera x, y, z, tense que: (x·y)z x(y·z)
Na notación alxébrica, as parénteses indican que as operacións dentro dos mesmos deben ser realizadas con preferencia a calquera outra operación.
Por exemplo: (8×3)×28×(3×2)
24×28×6
4848
Propiedade distributiva
A multiplicación tamén verifica a propiedade distributiva coa suma, porque: x. (y + z) x. y + x. z
Así mesmo: (x + t). (y + z)
x(y + z) + t(y + z)
xy + xz + ty + tz
9×(3+5)
(9×3)+(9×5)
27+4572
Elemento neutro
Calquera número multiplicado pola unidade (1) é igual a si mesmo.
Exemplo: 1·x
x 1 x 4
4
é dicir, a multiplicación ten un elemento neutro que é o 1.
Cero
Todo número multiplicado por cero dá cero. Conexión coa xeometría
Desde un punto de vista puramente xeométrico, a multiplicación entre dous valores determina unha área que é representable. Do mesmo xeito, o produto de tres valores determina un volume igualmente representable.
En xeral, o produto de calquera cantidade maior que cero de números produce un resultado xeométrico representable, sexa este máis ou menos intuitivo e máis ou menos fácil de representar. Produto de números negativos
Para definir o produto de números negativos considérase o número -1. Para calquera enteiro positivo m: (-1)m
(-1) + (-1) +. .. + (-1)
-m
Este é un resultado interesante que mostra que calquera número negativo non é máis que un número positivo multiplicado por -1. Polo que a multiplicación de enteiros se pode representar pola multiplicación de enteiros positivos e factores -1. O único que queda por definir é o produto de (-1)(-1):
(-1)(-1)
-(-1)
1 Desde números enteiros a números complexos
Desta forma, defínese a multiplicación de dous enteiros. As definicións poden ampliarse a conxuntos cada vez maiores de números: primeiro ao conxunto das fraccións ou números racionais, despois a todos os números reais e finalmente aos números complexos e outras extensións dos números reais. Definición recursiva
Unha definición recursiva da multiplicación pode darse segundo estas regras: x·00
x·y x + x·(y-1)
onde x é unha cantidade arbitraria, e y é un número natural. Unha vez que o produto está definido para os números naturais, pódese ampliar a conxuntos máis grandes, como xa se indicou anteriormente.