Operador de Laplace

En cálculo vectorial, o operador laplaciano é un operador diferencial elíptico de segunda orde, denotado como Δ, relacionado con certos problemas de minimización de certas magnitudes sobre un certo dominio. O operador ten ese nome en recoñecemento a Pierre Simon Laplace que estudou solucións de ecuacións diferenciais en derivadas parciais nas que aparecía dito operador.
Expresado en coordenadas cartesianas é igual á suma de todas as segundas derivadas parciais non mixtas dependentes dunha variable. Corresponde á div (grad φ), de onde sae o uso do símbolo delta (Δ) ou nabla cadrado ( ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} ) para representalo. Se ϕ {\displaystyle \phi } e A {\displaystyle \mathbf {A} } son un campo escalar e un campo vectorial respectivamente, o laplaciano de ambos pode escribirse en termos do operador nabla como: Δ ϕ
( ∇ ⋅ ∇ ) ϕ
∇ 2 ϕ Δ A
∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A )
( ∇ ⋅ ∇ ) A {\displaystyle \Delta \phi
(\nabla \cdot \nabla )\phi
\nabla ^{2}\phi \qquad \qquad \Delta \mathbf {A}
\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )
(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} } Problemas relacionados co operador laplaciano
En física, o laplaciano aparece en múltiples contextos como a teoría do potencial, a propagación de ondas, a condución da calor, a distribución de tensións nun sólido deformable etc. Pero de todas estas situacións ocupa un lugar destacado na electrostática e na mecánica cuántica. Na electrostática, o operador laplaciano aparece na ecuación de Laplace e na ecuación de Poisson. Mentres que na mecánica cuántica o laplaciano da función de onda dunha partícula da enerxía cinética da mesma.
En matemáticas, as funcións tales que o seu laplaciano se anula nun determinado dominio, chámanse funcións harmónicas sobre o dominio. Estas funcións teñen unha excepcional importancia na teoría de funcións de variable complexa. Ademais o operador laplaciano é o ingrediente básico da teoría de Hodge e os resultados da cohomoloxía de Rham. Motivación da ubicuidade do operador laplaciano
Unha das motivacións polas cales o laplaciano aparece en numerosas áreas da física é que as solucións da ecuación Δ f
0 {\displaystyle \Delta f
0} nunha rexión U son funcións que minimizan o funcional de enerxía: E ( f )
12 ∫ U ‖ ∇ f ‖ 2 d x {\displaystyle E(f)
{\frac {1}{2}}\int _{U}\Vert \nabla f\Vert ^{2}\mathrm {d} x} Para ver isto, supóñase que f: U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } é unha función, e u: U → R {\displaystyle u\colon U\to \mathbb {R} } é unha función que se anula sobre a fronteira de U. Entón, d d ε | ε
0 E ( f + ε u )
∫ U ∇ f ⋅ ∇ u d x
− ∫ U u Δ f d x {\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}{\Big |}_{\varepsilon
0}E(f+\varepsilon u)
\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\mathrm {d} x
-\int _{U}u\Delta f\mathrm {d} x} onde a última igualdade séguese usando a primeira identidade de Green. Este cálculo mostra que se Δ f
0 {\displaystyle \Delta f
0}, entón o funcional de enerxía E é estacionario arredor de f. Reciprocamente, se E é estacionario arredor de f, entón Δ f
0 {\displaystyle \Delta f
0} polo teorema fundamental do cálculo integral.
Outra razón da súa ubicuidade é que cando un escribe a ecuación de Laplace en forma diferenzas finitas apréciase que o laplaciano nun punto é a diferenza entre o valor da función no punto e o valor da función arredor do mesmo. É dicir, calquera magnitude que pode expresarse como unha magnitude fluxo que se conserva e satisfai a ecuación de Laplace. Propiedades do operador laplaciano
O laplaciano é linear: ∇ 2 ( λ f + μ g )
λ ∇ 2 f + μ ∇ 2 g {\displaystyle \nabla ^{2}(\lambda f+\mu g)
\lambda \nabla ^{2}f+\mu \nabla ^{2}g} A seguinte afirmación tamén é certa: ∇ 2 ( f g )
( ∇ 2 f ) g + 2 ( ∇ f ) ⋅ ( ∇ g ) + f ( ∇ 2 g ) {\displaystyle \nabla ^{2}(fg)
(\nabla ^{2}f)g+2(\nabla f)\cdot (\nabla g)+f(\nabla ^{2}g)} Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas
En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionais, o laplaciano dunha función f é: Δ f
∇ 2 f
∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f
\nabla ^{2}f
{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}} En coordenadas cartesianas tridimensionais: Δ f
∇ 2 f
∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle \Delta f
\nabla ^{2}f
{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}} En coordenadas cartesianas en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}: Δ f ( x 1, .. ., x n )
∑ k
1 n ∂ 2 f ∂ x k 2 ( x 1, .. ., x n ) {\displaystyle \Delta f(x_{1}, .. ., x_{n})
\sum _{k
1}^{n}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}^{2}}(x_{1}, .. ., x_{n})}
Coordenadas cilíndricas
En coordenadas cilíndricas ( ρ, φ, z ) {\displaystyle (\rho, \varphi, z)\, }: Δ f
∇ 2 f
1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2
1 ρ ∂ f ∂ ρ + ∂ 2 f ∂ ρ 2 + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2. {\displaystyle \Delta f
\nabla ^{2}f
{1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}
{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \rho }+{\partial ^{2}f \over \partial \rho ^{2}}+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}. }
Coordenadas esféricas
En coordenadas esféricas ( r, θ, ϕ ) {\displaystyle (r, \theta, \phi )\, }: Δ f
∇ 2 f
1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ ϕ 2 {\displaystyle \Delta f
\nabla ^{2}f
{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}}
Coordenadas curvilíneas ortogonais
En coordenadas ortogonais xerais ( u 1, u 2, u 3 ) {\displaystyle (u_{1}, u_{2}, u_{3})\, }: Δ f
∇ 2 f
1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ u 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ f ∂ u 1 ) + ∂ ∂ u 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ f ∂ u 2 ) + ∂ ∂ u 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ f ∂ u 3 ) ] {\displaystyle \Delta f
\nabla ^{2}f
{\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial u_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial u_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial u_{3}}}\right)\right]} Onde ( h 1, h 2, h 3 ) {\displaystyle (h_{1}, h_{2}, h_{3})\, } son os factores de escala do sistema de coordenadas, que en xeral serán tres funcións dependentes das tres coordenadas curvilíneas. Función harmónica
Unha función f: E ⊂ R n → R {\displaystyle f: E\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } dise que é harmónica en E se: ∀ x ∈ E, Δ f ( x )
0 {\displaystyle \forall x\in E, \, \, \Delta f(x)
0} Exemplos de funcións harmónicas: f ( x, y )
l o g ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle f(x, y)
log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})} sobre o plano euclídeo.
O potencial gravitatorio dado por ϕ ( x, y, z )
G M / ( x 2 + y 2 + z 2 ) {\displaystyle \phi (x, y, z)
GM/({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})} é harmónico sobre o espazo euclídeo tridimensional.
os harmónicos esféricos son funcións harmónicas sobre un dominio finito ou infinito, que aparecen na resolución de problemas con simetría esférica. Xeneralizacións do Laplaciano
O laplaciano pode ser estendido a funcións definidas sobre superficies, ou en forma máis xeral, en variedades de Riemann e variedades seudoriemannianas.
Operador de Laplace-Beltrami
Unha extensión do laplaciano a funcións reais definidas sobre unha variedade é o operador de Laplace-Beltrami (denotado ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} ). Defínese, en forma similar ao laplaciano, como a diverxencia do gradiente, onde o gradiente unha función f definida nunha variedade (seudo)riemaniana e a diverxencia dun campo vectorial X sobre a mesma veñen dados en compoñentes por: ( grad f ) i
g i j ∂ f ∂ x j div X
1 | g | ∂ ∂ x j ( | g | X i ) {\displaystyle ({\mbox{grad}}\ f)^{i}
g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}\qquad {\mbox{div}}\ X
{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)} Onde: g i j {\displaystyle g^{ij}}, é tensor 2-contravariante asociado ao tensor métrico. | g | {\displaystyle {\sqrt {|g|}}}, é a raíz cadrada do valor absoluto do determinante do tensor métrico.
O operador de Laplace-Beltrami dunha función escalar obtense como a diverxencia e o gradiente definidos como anteriormente, é dicir: ∇ 2 f
1 | g | ∂ ∂ x k ( | g | g i k ∂ f ∂ x i ) {\displaystyle \nabla ^{2}f
{\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\sqrt {|g|}}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\right)}
Operador de Laplace-deRham
En variedades riemannianas e seudoriemanninas existe outra xeneralización do laplaciano que o estende a k-formas, que é a base da cohomoloxía de Hodge-deRham. Esta extensión chamada operador de Laplace-deRham, e denotado como Δ {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}}, defínese en termos da diferencial exterior (d) e a codiferencial exterior (δ) de k-formas ou alternativamente en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge. Este operador de Laplace-deRham defínese como: Δ α
( d δ + δ d ) α
( d + δ ) 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\alpha
(d\delta +\delta d)\alpha
(d+\delta )^{2}\alpha } Onde a codiferencial pode reescribirse en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge: δ
( − 1 ) n ( k + 1 ) + 1 ∗ d ∗ {\displaystyle \delta
(-1)^{n(k+1)+1}*d*\; } Onde n é a dimensión da variedade (seudo)riemanniana e k é a orde da k-forma α.