Conxunto non numerábel

En matemáticas, un conxunto non numerábel, informalmente, é un conxunto infinito que contén demasiados elementos para poder ser numerábeis. A non numerabilidade dun conxunto está intimamente relacionada co seu número cardinal: un conxunto é non numerábel se o seu número cardinal é maior que aleph-cero, a cardinalidade dos números naturais.
Exemplos de conxuntos non numerábeis inclúen o conxunto R {\displaystyle \mathbb {R} } de todos os números reais e o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais. Caracterizacións
Hai moitas caracterizacións equivalentes da non numerabilidade. Un conxunto X é non numerábel se e só se cumpre algunha das seguintes condicións: Non hai unha función inxectiva (polo tanto, non hai bixección) desde X ata o conxunto de números naturais.
X non está baleiro e para cada ω-sucesión de elementos de X, existe polo menos un elemento de X non incluído nela. É dicir, X non está baleiro e non hai función sobrexectiva desde os números naturais a X.
A cardinalidade de X non é nin finita nin igual a ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (aleph-cero).
O conxunto X ten cardinalidade estritamente maior que ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}.
As tres primeiras destas caracterizacións pódense probar equivalentes na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel sen o axioma de escolla, pero a equivalencia da terceira e da cuarta non se pode demostrar sen principios de escolla adicionais. Propiedades
Se un conxunto non numerábel X é un subconxunto do conxunto Y, entón Y é non numerábel. Exemplos
O exemplo máis coñecido dun conxunto non numerábel é o conxunto R {\displaystyle \mathbb {R} } de todos os números reais R {\displaystyle \mathbb {R} }.
O argumento de diagonalización de Cantor mostra que este conxunto é non numerábel. A técnica de proba de diagonalización tamén se pode usar para demostrar que outros conxuntos son non numerábeis, como o conxunto de todas as secuencias infinitas de números naturais N {\displaystyle \mathbb {N} } (ver: (secuencia A102288 na OEIS), e o conxunto de todos os subconxuntos do conxunto de números naturais. A cardinalidade R {\displaystyle \mathbb {R} } chámase a miúdo cardinalidade do continuo e denótase por c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}, ou 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}, ou ℶ 1 {\displaystyle \beth _{1}} (beth-un).
Outro exemplo dun conxunto non numerábel é o conxunto de todas as funcións de R {\displaystyle \mathbb {R} } en R {\displaystyle \mathbb {R} }. Este conxunto é aínda "máis non numerábel" que R {\displaystyle \mathbb {R} } no sentido de que a cardinalidade deste conxunto é ℶ 2 {\displaystyle \beth _{2}} (beth-dous), que é maior que ℶ 1 {\displaystyle \beth _{1}}. Sen o axioma da escolla
Sen o axioma da escolla, poderían existir cardinalidades incomparábeis con ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (é dicir, as cardinalidades dos conxuntos infinitos Dedekind-finitos ). Os conxuntos destas cardinalidades satisfán as tres primeiras caracterizacións anteriores, mais non a cuarta caracterización. Dado que estes conxuntos non son máis grandes que os números naturais no sentido de cardinalidade, algúns autores poden non querer chamalos non numerábeis.
Se se cumpre o axioma de escolla, as seguintes condicións nun cardinal κ {\displaystyle \kappa } son equivalentes: κ ≰ ℵ 0; {\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0}; } κ > ℵ 0; {\displaystyle \kappa >\aleph _{0}; } e κ ≥ ℵ 1 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}, onde ℵ 1
| ω 1 | {\displaystyle \aleph _{1}
|\omega _{1}|} e ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} é o menor ordinal inicial maior que ω. {\displaystyle \omega. } No entanto, todos poden ser diferentes se o axioma da escolla falta. Polo tanto, non é obvio cal é a xeralización adecuada de "non numerabilidade" cando o axioma falta. Se cadra sexa mellor evitar usar a palabra neste caso e especificar cal destes significa.