Número racional

Os números racionais son todos aqueles números que poden representarse como a fracción ou cociente de dous números enteiros ou, máis precisamente, un enteiro e un natural positivo; é dicir, unha fracción común a / b {\displaystyle a/b} con numerador a {\displaystyle a} e denominador b {\displaystyle b} distinto de cero. O termo «racional» alude a unha fracción ou parte dun todo. O conxunto dos números racionais denótase por Q (ou ben Q {\displaystyle \mathbb {Q} }, en letra grosa de encerado) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conxunto de números inclúe aos números enteiros ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ), e é un subconxunto dos números reais ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ).
A escritura decimal dun número racional é, ou ben un número decimal finito, ou ben periódico. Isto é certo non só para números escritos en base 10 sistema decimal, tamén en base binaria, hexadecimal ou calquera outra base enteira. Reciprocamente, todo número que admite un desenvolvemento finito ou periódico é un número racional.
Pode verse un resumo xeral das álxebras numéricas no artigo acerca dos números.
As formas máis frecuentes de representar un número racional son como unha fracción, por exemplo − 83 {\displaystyle {\frac {-8}{3}}} ou como un número con decimais, por exemplo 0, 3578 {\displaystyle 0, 3578}.
Un número real que non é racional é un número irracional, como por exemplo 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}.
Os números racionais poden ser formalmente definidos como clases de equivalencia de pares de números enteiros (p, q) con q ≠ 0, usando a relación de equivalencia definida como segue: ( p 1, q 1 ) ∼ ( p 2, q 2 ) ⟺ p 1 q 2
p 2 q 1. {\displaystyle (p_{1}, q_{1})\sim (p_{2}, q_{2})\iff p_{1}q_{2}
p_{2}q_{1}. } A fracción p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} denota daquela a clase de equivalencia de (p, q). Álxebra abstracta
Os números racionais xunto coa suma e a multiplicación forman un corpo que contén os números enteiross, e está contido en calquera corpo que conteña os enteiros. Un corpo ten característica cero se e só se contén os números racionais como subcorpo. As extensións finitas de Q {\displaystyle \mathbb {Q} } chámanse corpo numérico alxébrico, e o peche alxébrico de Q {\displaystyle \mathbb {Q} } é o corpo de número alxébricos.
Na análise matemática, os números racionais forman un subconxunto denso dos números reais. Os números reais pódense construír a partir dos números racionais mediante completamento, usando secuencias de Cauchy, cortes de Dedekind ou infinitos decimais (ver Construción dos números reais). Mergullo dos números enteiros
Calquera número enteiro n pódese expresar como o número racional n 1, {\displaystyle {\tfrac {n}{1}}, } que é a súa forma canónica como número racional.
Isto pódese expresar como que os números enteiros están incluídos ou mergullados ou embebidos dentro dos números racionais. Aritmética
Fracción irredutíbel
Todo número racional pódese expresar dun xeito único como unha fracción irredutíbel a b, {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}, } onde a e b son enteiros coprimos e b > 0. Esta é a miúdo chamada a forma canónica do número racional.
Partindo dun número racional a b, {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}, } a súa forma canónica pódese obter dividindo a e b polo seu máximo común divisor, e, se b < 0, mudando o signo do numerador e do denominador resultantes.
Igualdade
a b
c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}
{\frac {c}{d}}} se e só se a d
b c {\displaystyle ad
bc} Se ambas as fraccións están en forma canónica, entón: a b
c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}
{\frac {c}{d}}} se e só se a
c {\displaystyle a
c} e b
d {\displaystyle b
d}
Orde
Se ambos os denominadores son positivos (especialmente se ambas as fraccións están en forma canónica): a b < c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}} se e só se a d < b c. {\displaystyle ad<bc. } Por outra banda, se calquera dos denominadores é negativo, entón cada fracción cun denominador negativo debe converterse primeiro nunha forma equivalente cun denominador positivo, mudando os signos do seu numerador e do denominador.
Suma
Engádense dúas fraccións do seguinte xeito: a b + c d
a d + b c b d. {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}
{\frac {ad+bc}{bd}}. } Se ambas as fraccións están en forma canónica, o resultado está en forma canónica se e só se b, d son números enteiros coprimos.
Resta
a b − c d
a d − b c b d. {\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}
{\frac {ad-bc}{bd}}. } Se ambas as fraccións están en forma canónica, o resultado está en forma canónica se e só se b, d son enteiros coprimos.
Multiplicación
A regra da multiplicación é: a b ⋅ c d
a c b d. {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}
{\frac {ac}{bd}}. } Onde o resultado pode ser unha fracción reducíbel, aínda que ambas as dúas fraccións orixinais estean en forma canónica.
Inversas
Todo número racional a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} ten un inverso aditivo, a miúdo chamado o seu oposto, − ( a b )
− a b. {\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)
{\frac {-a}{b}}. } Un número racional distinto de cero a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} ten un inverso multiplicativo, tamén chamado recíproco, ( a b ) − 1
b a. {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}
{\frac {b}{a}}. } Se a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} están en forma canónica, entón a forma canónica do seu recíproco é b a {\displaystyle {\tfrac {b}{a}}} ou − b − a, {\displaystyle {\tfrac {-b}{-a}}, } dependendo do signo de a.
División
Se b, c, d son distintos de cero, a regra de división é a b c d
a d b c. {\displaystyle {\frac {\, {\dfrac {a}{b}}\, }{\dfrac {c}{d}}}
{\frac {ad}{bc}}. } Así, dividir a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} por c d {\displaystyle {\tfrac {c}{d}}} equivale a multiplicar a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} polo recíproco de c d: {\displaystyle {\tfrac {c}{d}}: } a d b c
a b ⋅ d c. {\displaystyle {\frac {ad}{bc}}
{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}. }
Exponenciación a potencia enteira
Se n é un número enteiro non negativo, entón ( a b ) n
a n b n. {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}
{\frac {a^{n}}{b^{n}}}. } O resultado estará en forma canónica se tamén o está a b. {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}. } En particular, ( a b ) 0
1. {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}
1. } Se a ≠ 0, entón ( a b ) − n
b n a n. {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}
{\frac {b^{n}}{a^{n}}}. } Formas de representación
fracción normal: 83 {\displaystyle {\tfrac {8}{3}}} Número mixto: 223 {\displaystyle 2{\tfrac {2}{3}}} Decimal periódico usando sobreliñado: 2. 6 ¯ {\displaystyle 2. {\overline {6}}} Decimal periódico usando paréntese: 2. ( 6 ) {\displaystyle 2. (6)} Fracción continua con escritura tradicional: 2 + 11 + 12 {\displaystyle 2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}} Fracción continua abreviada: [ 2; 1, 2 ] {\displaystyle [2; 1, 2]} Fracción exipcia: 2 + 12 + 16 {\displaystyle 2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}} Descomposición de potencias: 23 × 3 − 1 {\displaystyle 2^{3}\times 3^{-1}} Con coma superior (truncado): 2 ′ 6 {\displaystyle 2'6} Con coma inferior (truncado): 2, 6 {\displaystyle 2, 6} Todas estas formas de escribir representan o mesmo número racional (coa salvedade de que as dúas últimas truncan o valor a un único decimal). Números p-ádicos
A maiores da métrica de valor absoluto habitual ( d ( x, y )
| x − y | {\displaystyle d(x, y)
|x-y|} ), hai outras métricas que tamén converten Q {\displaystyle \mathbb {Q} } nun corpo topolóxico:
Sexa p un número primo e para calquera número enteiro distinto de cero a, sexa | a | p
p − n, {\displaystyle |a|_{p}
p^{-n}, } onde pn é a potencia máis alta de p que divide a.
A maiores estabelecemos | 0 | p
0 {\displaystyle |0|_{p}
0} e para calquera número racional a b, {\displaystyle {\frac {a}{b}}, } estabelecemos | a b | p
| a | p | b | p. {\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}
{\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}. } Entón d p ( x, y )
| x − y | p {\displaystyle d_{p}(x, y)
|x-y|_{p}} define unha métrica en Q. {\displaystyle \mathbb {Q}. } O espazo métrico ( Q, d p ) {\displaystyle (\mathbb {Q}, d_{p})} non está completo, e o seu completamento é o corpo de números p-ádicos Q p. {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}. } O Teorema de Ostrowski afirma que calquera valor absoluto non trivial sobre os números racionais Q {\displaystyle \mathbb {Q} } é equivalente ao valor absoluto real usual ou a un valor absoluto p-ádico.