Bixección, inxección e sobrexección

En matemáticas, as inxeccións, as sobrexeccións e as bixeccións son clases de funcións que se distinguen pola forma en que os argumentos (expresións de entrada do dominio) e as imaxes (expresións de saída do codominio) están relacionados ou mapeadas entre si.
Unha función mapea elementos do seu dominio a elementos do seu codominio. Dada unha función f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y}: A función é inxectiva, ou un a un, se cada elemento do codominio está asignado como moito a un elemento do dominio, ou de forma equivalente, se distintos elementos do dominio se asignan a distintos elementos do codominio. Unha función inxectiva tamén se denomina inxección. Notacionalmente: ∀ x, x ′ ∈ X, f ( x )
f ( x ′ ) ⟹ x
x ′, {\displaystyle \forall x, x'\in X, f(x)
f(x')\implies x
x', } A función é sobrexectiva, ou onto, se cada elemento do codominio está asignado a polo menos un elemento do dominio. É dicir, a imaxe e o codominio da función son iguais. Unha función surxectiva é unha sobrexección. . Notacionalmente: ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X such that y
f ( x ). {\displaystyle \forall y\in Y, \exists x\in X{\text{ such that }}y
f(x). } A función é bixectiva (un-a-un e onto ou invertible ) se cada elemento do codominio está mapeado por exactamente un elemento do dominio. É dicir, a función é tanto inxectiva como sobrexectiva. Unha función bixectiva tamén se denomina bixección. . É dicir, combinando as definicións de inxectiva e sobrexectiva temos ∀ y ∈ Y, ∃! x ∈ X such that y
f ( x ), {\displaystyle \forall y\in Y, \exists! x\in X{\text{ such that }}y
f(x), } onde ∃! x {\displaystyle \exists! x} significa " existe exactamente unha x".
En calquera caso (para calquera función), vale o seguinte: ∀ x ∈ X, ∃! y ∈ Y such that y
f ( x ). {\displaystyle \forall x\in X, \exists! y\in Y{\text{ such that }}y
f(x). } As catro combinacións posibles de características inxectivas e sobrexectivas están ilustradas nos diagramas superiores. Inxección
Os seguintes son algúns feitos relacionados coas inxeccións: Unha función f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} é inxectiva se e só se X {\displaystyle X} está baleiro ou f {\displaystyle f} é invertible pola esquerda; é dicir, hai unha función g: f ( X ) → X {\displaystyle g\colon f(X)\to X} tal que g ∘ f
{\displaystyle g\circ f
} función de identidade en X. Aquí, f ( X ) {\displaystyle f(X)} é a imaxe de f {\displaystyle f}.
Dado que toda función é sobrexectiva cando o seu codominio está restrinxido á súa imaxe, cada inxección induce unha bixección na súa imaxe. Máis precisamente, cada inxección f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} pódese factorizar como unha bixección seguida dunha inclusión do seguinte modo: sexa f R: X → f ( X ) {\displaystyle f_{R}\colon X\rightarrow f(X)} unha f {\displaystyle f} con codominio restrinxido á súa imaxe, e sexa i: f ( X ) → Y {\displaystyle i\colon f(X)\to Y} o mapa de inclusión de f ( X ) {\displaystyle f(X)} en Y {\displaystyle Y}. Daquela f
i ∘ f R {\displaystyle f
i\circ f_{R}}. Dáse a continuación unha factorización dual para as sobrexeccións.
A composición de dúas inxeccións é de novo unha inxección, mais se g ∘ f {\displaystyle g\circ f} é inxectiva, entón só se pode concluír que f {\displaystyle f} é inxectiva (ver figura).
Toda inserción é inxectiva. Sobrexección
Os seguintes son algúns feitos relacionados coas sobrexeccións: Unha función f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} é sobrexectiva se e só se é inversible pola dereita, é dicir, se e só se existe unha función g: Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} tal que f ∘ g
{\displaystyle f\circ g
} función de identidade en Y {\displaystyle Y}.
Ao contraer todos os argumentos que se mapean cunha imaxe dada, cada sobrexección induce unha bixección dun conxunto cociente do seu dominio ao seu codominio. Máis precisamente, as preimaxes baixo f dos elementos da imaxe de f {\displaystyle f} son as clases de equivalencia dunha relación de equivalencia no dominio de f {\displaystyle f}, tal que x e y son equivalentes se e só teñen a mesma imaxe baixo f {\displaystyle f}. Como todos os elementos de calquera destas clases de equivalencia están mapeados por f {\displaystyle f} sobre o mesmo elemento do codominio, isto induce unha bixección entre o conxunto cociente por esta relación de equivalencia (o conxunto das clases de equivalencia) e a imaxe de f {\displaystyle f} (que é o seu codominio cando f {\displaystyle f} é sobrexectiva). A maiores, f é a composición da proxección canónica de f ao conxunto cociente, e a bixección entre o conxunto cociente e o codominio de f {\displaystyle f}.
A composición de dúas sobrexeccións volve ser unha sobrexección, mais se g ∘ f {\displaystyle g\circ f} é sobrexectiva, entón só se pode concluír que g {\displaystyle g} é sobrexectiva (ver figura). Bixección
Os seguintes son algúns feitos relacionados coas bixeccións: Unha función f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} é bixectiva se e só se é invertible, é dicir, hai unha función g: Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} tal que g ∘ f
{\displaystyle g\circ f
} función de identidade en X e f ∘ g
{\displaystyle f\circ g
} función de identidade en Y {\displaystyle Y}. Esta función asigna cada imaxe á súa preimaxe única.
A composición de dúas bixeccións volve ser unha bixección, mais se g ∘ f {\displaystyle g\circ f} é unha bixección, entón só se pode concluír que f {\displaystyle f} é inxectiva e g {\displaystyle g} é sobrexectiva (ver a figura anterior e as observacións anteriores sobre inxeccións e sobrexeccións).
As bixeccións dun conxunto en si mesmo forman un grupo baixo composición, chamado grupo simétrico.
Cardinalidade
Pódese definir que dous conxuntos "teñen o mesmo número de elementos" se hai unha bixección entre eles. Neste caso, dise que os dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade. Exemplos
É importante especificar o dominio e o codominio de cada función, xa que ao mudar estes, as funcións que parecen ser iguais poden ter propiedades diferentes. Inxectiva e sobrexectiva (bixectiva)
A función de identidade idX para cada conxunto non baleiro X, e polo tanto especificamente R → R: x ↦ x. {\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R}: x\mapsto x. } Para dominios positivos R + {\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}: R + → R +: x ↦ x 2 {\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}: x\mapsto x^{2}}, e así tamén a súa inversa R + → R +: x ↦ x. {\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}: x\mapsto {\sqrt {x}}. } A función exponencial exp: R → R +: x ↦ e x {\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}: x\mapsto \mathrm {e} ^{x}} (é dicir, a función exponencial co seu codominio restrinxido á súa imaxe), e así tamén o seu inverso o logaritmo natural ou neperiano ln: R + → R: x ↦ ln ⁡ x. {\displaystyle \ln \colon \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R}: x\mapsto \ln {x}. } Inxectiva e non sobrexectiva
A función exponencial exp: R → R: x ↦ e x. {\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}: x\mapsto \mathrm {e} ^{x}. } Non inxectiva e si sobrexectiva R → R: x ↦ ( x − 1 ) x ( x + 1 )
x 3 − x. {\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R}: x\mapsto (x-1)x(x+1)
x^{3}-x. } R → [ − 1, 1 ]: x ↦ sin ⁡ ( x ). {\displaystyle \mathbf {R} \to [-1, 1]: x\mapsto \sin(x). } Non inxectiva e non sobrexectiva R → R: x ↦ sin ⁡ ( x ). {\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R}: x\mapsto \sin(x). } R → R: x ↦ x 2 {\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R}: x\mapsto x^{2}} Propiedades
Para cada función f, sexa X un subconxunto do dominio e Y un subconxunto do codominio. Tense sempre X ⊆ f−1(f(X)) e f(f−1(Y)) ⊆ Y, onde f(X) é a imaxe de X e f−1(Y) é a preimaxe de Y baixo f. Se f é inxectiva, entón X
f−1(f(X)), e se f é surxectiva, entón f(f−1(Y))
Y.
Para cada función h: X → Y, pódese definir unha sobrexección H: X → h(X): x → h(x) e unha inxección I: h(X) → Y: y → y. Segue que h
I ∘ H {\displaystyle h
I\circ H}. Esta descomposición como a composición dunha sobrexección e dunha inxección é única ata un isomorfismo, no sentido de que, dada tal descomposición, hai unha bixección única φ: h ( X ) → H ( X ) {\displaystyle \varphi: h(X)\to H(X)} tal que H ( x )
φ ( h ( x ) ) {\displaystyle H(x)
\varphi (h(x))} e I ( φ ( h ( x ) ) )
h ( x ) {\displaystyle I(\varphi (h(x)))
h(x)} para cada x ∈ X. {\displaystyle x\in X. } Teoría de categorías
Na categoría de conxuntos, inxeccións, sobrexeccións e bixeccións corresponden precisamente a monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos, respectivamente. Historia
Cando o grupo francés Bourbaki acuñou a terminoloxía inxectiva, sobrexectiva e bixectiva (como substantivos e como adxectivos) foi o momento no que acadou unha ampla adopción.