Produto externo

En álxebra linear, o produto externo de dous vectores de coordenadas é a matriz cuxas entradas son tódolos produtos dun elemento no primeiro vector cun elemento no segundo vector. Se os dous vectores de coordenadas teñen dimensións n e m, entón o seu produto externo é unha matriz n × m. De forma máis xeral, dados dous tensores (matrices multidimensionais de números), o seu produto externo é un tensor. O produto externo dos tensores tamén se refire como o seu produto tensor, e pódese usar para definir a álxebra tensorial.
O produto externo contrasta con: O produto escalar (un caso especial de "produto interno"), que toma un par de vectores de coordenadas como entrada e produce un escalar
O produto Kronecker, que toma un par de matrices como entrada e produce unha matriz de bloques
Multiplicación matricial estándar
O produto exterior con características similares ao produto vectorial Definición
Dados dous vectores de tamaño m × 1 {\displaystyle m\times 1} e n × 1 {\displaystyle n\times 1} respectivamente u
[ u 1 u 2 ⋮ u m ], v
[ v 1 v 2 ⋮ v n ] {\displaystyle \mathbf {u}
{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}}, \quad \mathbf {v}
{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}} o seu produto externo, denotado como u ⊗ v, {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v}, } defínese como a matriz m × n {\displaystyle m\times n} A {\displaystyle \mathbf {A} } obtida multiplicando cada elemento de u {\displaystyle \mathbf {u} } por cada elemento de v {\displaystyle \mathbf {v} }: u ⊗ v
A
[ u 1 v 1 u 1 v 2 … u 1 v n u 2 v 1 u 2 v 2 … u 2 v n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u m v 1 u m v 2 … u m v n ] {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v}
\mathbf {A}
{\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}} Ou en notación de índice: ( u ⊗ v ) i j
u i v j {\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}
u_{i}v_{j}} Indicando o produto puntual por ⋅, {\displaystyle \, \cdot, \, } se se dá un terceiro vector n × 1 {\displaystyle n\times 1} w, {\displaystyle \mathbf {w}, } entón ( u ⊗ v ) w
( v ⋅ w ) u. {\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w}
(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u}. } Se se dá un terceiro vector 1 × m {\displaystyle 1\times m} x, {\displaystyle \mathbf {x}, } entón x ( u ⊗ v )
( x ⋅ u ) v T. {\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )
(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }. } Se u {\displaystyle \mathbf {u} } e v {\displaystyle \mathbf {v} } son vectores da mesma dimensión maiores que 1, entón det ( u ⊗ v )
0 {\displaystyle \det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )
0}.
O produto externo u ⊗ v {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} } é equivalente a unha multiplicación matricial u v T, {\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }, } sempre que u {\displaystyle \mathbf {u} } se represente como un vector columna m × 1 {\displaystyle m\times 1} e v {\displaystyle \mathbf {v} } como un vector columna n × 1 {\displaystyle n\times 1} (que fai v T {\displaystyle \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }} un vector fila). Por exemplo, se m
4 {\displaystyle m
4} e n
3, {\displaystyle n
3, } entón u ⊗ v
u v T
[ u 1 u 2 u 3 u 4 ] [ v 1 v 2 v 3 ]
[ u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 v 3 u 2 v 1 u 2 v 2 u 2 v 3 u 3 v 1 u 3 v 2 u 3 v 3 u 4 v 1 u 4 v 2 u 4 v 3 ]. {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v}
\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}
{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}. } Para vectores complexos, adoita ser útil tomar a transposta conxugada de v, {\displaystyle \mathbf {v}, } denotada como v † {\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }} ou ( v T ) ∗ {\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}: u ⊗ v
u v †
u ( v T ) ∗. {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v}
\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }
\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}. }
Contraste co produto escalar euclidiano
Se m
n, {\displaystyle m
n, } entón pódese tomar o produto da matriz do outro lado, obtendo un escalar (ou matriz 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} ): ⟨ u, v ⟩
u T v {\displaystyle \left\langle \mathbf {u}, \mathbf {v} \right\rangle
\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }
O produto externo de tensores
Dados dous tensores u, v {\displaystyle \mathbf {u}, \mathbf {v} } con dimensións ( k 1, k 2, …, k m ) {\displaystyle (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m})} e ( l 1, l 2, …, l n ) {\displaystyle (l_{1}, l_{2}, \dots, l_{n})}, o seu produto externo u ⊗ v {\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} } é un tensor con dimensións ( k 1, k 2, …, k m, l 1, l 2, …, l n ) {\displaystyle (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}, l_{1}, l_{2}, \dots, l_{n})} e entradas ( u ⊗ v ) i 1, i 2, … i m, j 1, j 2, …, j n
u i 1, i 2, …, i m v j 1, j 2, …, j n {\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1}, i_{2}, \dots i_{m}, j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n}}
u_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{m}}v_{j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n}}} Por exemplo, se A {\displaystyle \mathbf {A} } é de orde 3 con dimensións ( 3, 5, 7 ) {\displaystyle (3, 5, 7)} e B {\displaystyle \mathbf {B} } é de orde 2 con dimensións ( 10, 100 ), {\displaystyle (10, 100), } entón o seu produto externo C {\displaystyle \mathbf {C} } é de orde 5 con dimensións ( 3, 5, 7, 10, 100 ). {\displaystyle (3, 5, 7, 10, 100). } Se A {\displaystyle \mathbf {A} } ten unha compoñente A[2, 2, 4]
11 e B {\displaystyle \mathbf {B} } ten unha compoñente B[8, 88]
13, entón a compoñente de C {\displaystyle \mathbf {C} } formado polo produto externo é C[2, 2, 4, 8, 88] 143.
Conexión co produto de Kronecker
O produto externo e o produto de Kronecker están intimamente relacionados; de feito o mesmo símbolo utilízase habitualmente para designar ambas as operacións.
Se u
[ 123 ] T {\displaystyle \mathbf {u}
{\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} e v
[ 45 ] T {\displaystyle \mathbf {v}
{\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}, temos: u ⊗ Kron v
[ 458101215 ], u ⊗ outer v
[ 458101215 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &
{\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}}, &\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &
{\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}} No caso dos vectores columna, o produto de Kronecker pódese ver como unha forma de vectorización (ou aplanamento) do produto externo. En particular, para vectores de dúas columnas u {\displaystyle \mathbf {u} } e v {\displaystyle \mathbf {v} }, podemos escribir: u ⊗ Kron v
vec ⁡ ( v ⊗ outer u ) {\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v}
\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )} Outra identidade semellante que destaca aínda máis a semellanza entre as operacións é u ⊗ Kron v T
u v T
u ⊗ outer v {\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}
\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}
\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} } onde non é necesario inverter a orde dos vectores. A expresión do medio usa a multiplicación matricial, onde os vectores son considerados como matrices columna/fila.
Conexión co produto matricial
Dado un par de matrices A {\displaystyle \mathbf {A} } de tamaño m × p {\displaystyle m\times p} e B {\displaystyle \mathbf {B} } de tamaño p × n {\displaystyle p\times n}, considere o produto matricial C
A B {\displaystyle \mathbf {C}
\mathbf {A} \, \mathbf {B} } definido como é habitual como unha matriz de tamaño m × n {\displaystyle m\times n}.
Agora sexa a k col {\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{\text{col}}} o k {\displaystyle k} -ésimo vector columna de A {\displaystyle \mathbf {A} } e sexa b k row {\displaystyle \mathbf {b} _{k}^{\text{row}}} o k {\displaystyle k} -ésimo vector fila de B {\displaystyle \mathbf {B} }. Daquela C {\displaystyle \mathbf {C} } pódese expresar como unha suma de produtos externos columna por fila: C
A B
( ∑ k
1 p A i k B k j ) 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n
[ a 1 col ⋯ a p col ] [ b 1 row ⋮ b p row ]
∑ k
1 p a k col b k row {\displaystyle \mathbf {C}
\mathbf {A} \, \mathbf {B}
\left(\sum _{k
1}^{p}{A}_{ik}\, {B}_{kj}\right)_{\begin{matrix}1\leq i\leq m\\[-20pt]1\leq j\leq n\end{matrix}}
{\begin{bmatrix}&&\\\mathbf {a} _{1}^{\text{col}}&\cdots &\mathbf {a} _{p}^{\text{col}}\\&&\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}&\mathbf {b} _{1}^{\text{row}}&\\&\vdots &\\&\mathbf {b} _{p}^{\text{row}}&\end{bmatrix}}
\sum _{k
1}^{p}\mathbf {a} _{k}^{\text{col}}\mathbf {b} _{k}^{\text{row}}} Propiedades
O produto externo dos vectores cumpre as seguintes propiedades: ( u ⊗ v ) T
( v ⊗ u ) ( v + w ) ⊗ u
v ⊗ u + w ⊗ u u ⊗ ( v + w )
u ⊗ v + u ⊗ w c ( v ⊗ u )
( c v ) ⊗ u
v ⊗ ( c u ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&
(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &
\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&
\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&
(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u}
\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}} O produto externo dos tensores satisfai a propiedade de asociatividade adicional: ( u ⊗ v ) ⊗ w
u ⊗ ( v ⊗ w ) {\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w}
\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )} Aplicacións
Como o produto externo está moi relacionado co produto Kronecker, algunhas das aplicacións do produto Kronecker usan produtos externos. Estas aplicacións atópanse na teoría cuántica, procesamento de sinais e compresión de imaxes.
Espinores (Spinors)
Supoña s, t, w, z ∈ C de xeito que (s, t) e (w, z) estean en C2. Entón o produto externo destes 2 vectores complexos é un elemento de M(2, C), como matrices complexas 2 × 2: ( s w t w s z t z ). {\displaystyle {\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}. } O determinante desta matriz é swtz − sztw 0 debido á propiedade conmutativa de C.
Na teoría dos espinores en tres dimensións, estas matrices están asociadas con vectores isótropos debido a esta propiedade nula. Élie Cartan describiu esta construción en 1937, mais foi introducida por Wolfgang Pauli en 1927 polo que M(2, C) pasou a chamarse álxebra de Pauli.