Corpo de números alxébricos

En matemáticas, un corpo de números alxébricos (ou simplemente corpo numérico) F é unha extensión de corpos finita (e tamén alxébrica) dos números racionais ℚ. Así pois, F é un corpo que contén ℚ e ten dimensión finita cando se considera como un espazo vectorial sobre ℚ.
O estudo dos corpos de números alxébricos, e, máis xeralmente, das extensións alxébricas dos números racionais, é o tema central da teoría de números alxébricos. Definición
Cuestións previas
A noción de corpo dos números alxébricos baséase no concepto de corpo. Un exemplo moi común de corpo é o conxunto dos números racionais, comunmente denotados por ℚ, xunto coas súas operacións usuais.
Outra noción necesaria para definir os corpos de números alxébricos é o de espazo vectorial. Na medida necesaria, os espazos vectoriais poden ser considerados como secuencias (ou tuplas) (x1, x2, .. .)
coas súas partes constituíntes que son elementos dun corpo fixado, como pode ser o corpo ℚ. Calquera par destas secuencias pode ser sumada mediante a suma das partes constituíntes unha a unha. Ademais, calquera destas secuencias pode ser multiplicada por un elemento c dun corpo fixado. Estas dúas operacións son coñecidas como suma de vectores e multiplicación escalar satisfacendo un número de propiedades que serven para definir os espazos vectoriais abstractamente. Os espazos vectoriais tamén poden ser de «dimensión infinita», ou o que é o mesmo, que as secuencias constituíntes destes espazos vectoriais teñen lonxitude infinita. Con todo, se o espazo vectorial consiste nun grupo de secuencias finitas (x1, x2, .. ., xn),
o espazo vectorial dise que ten dimensión finita n.
Definición
Un corpo de números alxébricos é por definición un grao finito de extensión de corpos do corpo dos números racionais. Este grao de extensión de ℚ chámase simplemente grao. Exemplos
O menor e máis básico corpo numérico é o corpo Q dos números racionais. Moitas propiedades dos corpos numéricos xerais, como a factorización única, modélanse con base nas propiedades de Q.
Os racionais Gaussianos, denotados por Q(i) (lida como "Q adxunto i"), forman o primeiro exemplo non trivial dun corpo numérico. Os seus elementos son expresións da forma
a+bi
en que a e b son ambos números racionais e i é a unidade imaxinaria. Estas expresións poden ser sumadas, subtraídas e multiplicadas de acordo coas regras usuais da aritmética e simplificadas usando a identidade
i2 -1.
Explicitamente,
(a + bi) + (c + di) (a + c) + (b + d)i,
(a + bi) (c + di) (ac − bd) + (ad + bc)i.
Os racionais Gaussianos non nulos son invertibles, o que pode ser visto a partir da identidade ( a + b i ) ( a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i )
( a + b i ) ( a − b i ) a 2 + b 2
1. {\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)
{\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}
1. } Séguese que os racionais Gaussianos forman un corpo numérico que é bidimensional como espazo vectorial sobre Q.
Os números reais, R, e os números complexos, C, son corpos que teñen dimensión infinita como Q-espazos vectoriais, polo tanto, non son corpos numéricos. Iso provén da non numerabilidade de R e C como conxuntos, xa que todo corpo numérico é necesariamente contable.
O conxunto Q2 de pares ordenados de números racionais, coa adición e a multiplicación coordenada a coordenada é unha álxebra conmutativa bidimensional sobre Q. No entanto, non é un corpo, pois posúe divisores de cero:
(1, 0) · (0, 1)
(1 · 0, 0 · 1)
(0, 0).