Complementario (conxuntos)

Modelo: Testcases other Na teoría de conxuntos, o complementario ou complemento dun conxunto A, denotado usualamente por A ∁ {\displaystyle A^{\complement }} (ou A′), é o conxunto de elementos que non están en A.
Cando todos os elementos do universo, é dicir, todos os elementos en consideración, considéranse membros dun conxunto dado U, o complemento absoluto de A é o conxunto de elementos en U que non están en A.
O complemento relativo de A en relación a un conxunto B, tamén denominado diferenza de conxuntos de B e A, escrito B ∖ A, {\displaystyle B\setminus A, } é o conxunto de elementos en B que non están en A. Complemento absoluto
Se A é un conxunto, entón o complemento absoluto de A (ou simplemente o complemento de A) é o conxunto de elementos que non están en A (dentro dun conxunto maior que está implicitamente definido): A ∁
U ∖ A
{ x ∈ U: x ∉ A }. {\displaystyle A^{\complement }
U\setminus A
\{x\in U: x\notin A\}. } Adoita denotarse por A ∁ {\displaystyle A^{\complement }}. Outras notacións son A ¯, A ′, {\displaystyle {\overline {A}}, A', } ∁ U A, and ∁ A. {\displaystyle \complement _{U}A, {\text{ and }}\complement A. }
Exemplos
Supoña que o universo é o conxunto de números enteiros. Se A é o conxunto de números impares, entón o complemento de A é o conxunto de números pares. Se B é o conxunto de múltiplos de 3, entón o complemento de B é o conxunto de números congruentes con 1 ou 2 módulo 3 (ou, en termos máis sinxelos, os enteiros que non son múltiplos de 3).
Supoña que o universo é a baralla de tute de 40 cartas. Se o conxunto A é o pau dos ouros, entón o complemento de A é a unión dos paus de espadas, bastos e copas.
Cando o universo é o universo de conxuntos descrito na teoría de conxuntos, o complemento absoluto dun conxunto xeralmente non é un conxunto, senón unha clase propia. Para obter máis información, consulte conxunto universal.
Propiedades
Sexan A e B dous conxuntos nun universo U. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos absolutos:
Leis de De Morgan: ( A ∪ B ) ∁
A ∁ ∩ B ∁. {\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }
A^{\complement }\cap B^{\complement }. } ( A ∩ B ) ∁
A ∁ ∪ B ∁. {\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }
A^{\complement }\cup B^{\complement }. } Leis do complementario: A ∪ A ∁
U. {\displaystyle A\cup A^{\complement }
U. } A ∩ A ∁
∅. {\displaystyle A\cap A^{\complement }
\emptyset. } ∅ ∁
U. {\displaystyle \emptyset ^{\complement }
U. } U ∁
∅. {\displaystyle U^{\complement }
\emptyset. } Se A ⊆ B, entón B ∁ ⊆ A ∁. {\displaystyle {\text{Se }}A\subseteq B{\text{, entón }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }. } (isto despréndese da equivalencia dun condicional co seu contrapositivo).
Lei da involución ou do dobre complemento: ( A ∁ ) ∁
A. {\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }
A. } Relacións entre complementos relativos e absolutos: A ∖ B
A ∩ B ∁. {\displaystyle A\setminus B
A\cap B^{\complement }. } ( A ∖ B ) ∁
A ∁ ∪ B
A ∁ ∪ ( B ∩ A ). {\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }
A^{\complement }\cup B
A^{\complement }\cup (B\cap A). } Relación coa diferenza: A ∁ ∖ B ∁
B ∖ A. {\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }
B\setminus A. } As dúas primeiras leis do complementario anteriores mostran que se A é un subconxunto propio non baleiro de U, entón {A, A∁} é unha partición de U. Complemento relativo
Definición
Se A e B son conxuntos, entón o complemento relativo de A en B (expresado B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} ), tamén denominado diferenza de conxuntos de B e A (por iso ás veces tamén se expresa como B − A, {\displaystyle B-A, } ), é o conxunto de elementos que están en B pero non están en A.
Formalmente: B ∖ A
{ x ∈ B: x ∉ A }. {\displaystyle B\setminus A
\{x\in B: x\notin A\}. }
Exemplos
{ 1, 2, 3 } ∖ { 2, 3, 4 }
{ 1 }. {\displaystyle \{1, 2, 3\}\setminus \{2, 3, 4\}
\{1\}. } { 2, 3, 4 } ∖ { 1, 2, 3 }
{ 4 }. {\displaystyle \{2, 3, 4\}\setminus \{1, 2, 3\}
\{4\}. } Se R {\displaystyle \mathbb {R} } é o conxunto dos números reais e Q {\displaystyle \mathbb {Q} } é o conxunto de números racionais, entón R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } é o conxunto de números irracionais.
Propiedades
Sexan A, B e C tres conxuntos. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos relativos: C ∖ ( A ∩ B )
( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ). {\displaystyle C\setminus (A\cap B)
(C\setminus A)\cup (C\setminus B). } C ∖ ( A ∪ B )
( C ∖ A ) ∩ ( C ∖ B ). {\displaystyle C\setminus (A\cup B)
(C\setminus A)\cap (C\setminus B). } C ∖ ( B ∖ A )
( C ∩ A ) ∪ ( C ∖ B ), {\displaystyle C\setminus (B\setminus A)
(C\cap A)\cup (C\setminus B), } co caso especial importante C ∖ ( C ∖ A )
( C ∩ A ) {\displaystyle C\setminus (C\setminus A)
(C\cap A)} demostrando que a intersección pode expresarse usando só a operación do complemento relativo. ( B ∖ A ) ∩ C
( B ∩ C ) ∖ A
B ∩ ( C ∖ A ). {\displaystyle (B\setminus A)\cap C
(B\cap C)\setminus A
B\cap (C\setminus A). } ( B ∖ A ) ∪ C
( B ∪ C ) ∖ ( A ∖ C ). {\displaystyle (B\setminus A)\cup C
(B\cup C)\setminus (A\setminus C). } A ∖ A
∅. {\displaystyle A\setminus A
\emptyset. } ∅ ∖ A
∅. {\displaystyle \emptyset \setminus A
\emptyset. } A ∖ ∅
A. {\displaystyle A\setminus \emptyset
A. } A ∖ U
∅. {\displaystyle A\setminus U
\emptyset. } Se A ⊂ B {\displaystyle A\subset B}, entón C ∖ A ⊃ C ∖ B {\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}. A ⊇ B ∖ C {\displaystyle A\supseteq B\setminus C} é equivalente a C ⊇ B ∖ A {\displaystyle C\supseteq B\setminus A}. Relación complementaria
Unha relación binaria R {\displaystyle R} defínese como un subconxunto dun produto de conxuntos X × Y. {\displaystyle X\times Y. } A relación complementaria R ¯ {\displaystyle {\bar {R}}} é o complemento do conxunto de R {\displaystyle R} en X × Y. {\displaystyle X\times Y. } O complemento de relación R {\displaystyle R} pódese escribir R ¯
( X × Y ) ∖ R. {\displaystyle {\bar {R}}\
\ (X\times Y)\setminus R. } Xunto coa composición de relacións e as relacións inversas, as relacións complementarias e a álxebra de conxuntos son as operacións elementais do cálculo de relacións.