Ortogonalidade (matemáticas)

En matemáticas, a ortogonalidade é a xeneralización da noción xeométrica de perpendicularidade á álxebra linear das formas bilineares.
Dous elementos u e v dun espazo vectorial con forma bilinear B {\displaystyle B} son ortogonais cando B ( u, v )
0 {\displaystyle B(\mathbf {u}, \mathbf {v} )
0}. Dependendo da forma bilinear, o espazo vectorial pode conter vectores nulos, vectores autoortogonais distintos de cero, nese caso a perpendicularidade substitúese pola ortogonalidade hiperbólica.
No caso dos espazos de funcións, as familias de funcións utilízanse para formar unha base ortogonal, como nos contextos de polinomios ortogonais, funcións ortogonais e combinatorias. Definicións
En xeometría, dous vectores euclidianos son ​​ortogonais se son perpendiculares, é dicir forman un ángulo recto.
Dous vectores u' e v nun espazo de produto interno V {\displaystyle V} son ortogonais se o seu produto interno ⟨ u, v ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {u}, \mathbf {v} \rangle } é cero. Esta relación denomínase u ⊥ v {\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {v} }.
Un conxunto de vectores no espazo de produto interno chámanse ortogonais por pares se cada parella deles é ortogonal entre si. Tal conxunto chámase conxunto ortogonal (ou sistema ortogonal). Se os vectores están normalizados, forman un sistema ortonormal.
Unha matriz ortogonal é unha matriz cuxos vectores columna son ortonormais entre si.
Unha base ortonormal é unha base cuxos vectores son á vez ortogonais e normalizados (son vectores unitarios).
Unha transformación linear conforme conserva ángulos e relacións de distancia, o que significa que transformar vectores ortogonais pola mesma transformación linear conforme manterá eses vectores ortogonais.
Dous subespazos vectoriais A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} dun espazo produto interno V {\displaystyle V} chámanse subespazos ortogonais se cada vector de A {\displaystyle A} é ortogonal a cada vector de B {\displaystyle B}. O subespazo máis grande de V {\displaystyle V} que é ortogonal a un subespazo dado é o seu complemento ortogonal.
Dado un módulo M {\displaystyle M} e o seu dual M ∗ {\displaystyle M^{*}}, un elemento m ′ {\displaystyle m'} de M ∗ {\displaystyle M^{*}} e un elemento m {\displaystyle m} de M {\displaystyle M} son cero se o seu emparellamento natural é cero. ⟨ m ′, m ⟩
0 {\displaystyle \langle m', m\rangle
0}. Dous conxuntos S ′ ⊆ M ∗ {\displaystyle S'\subseteq M^{*}} e S ⊆ M {\displaystyle S\subseteq M} son ortogonais se cada elemento de S ′ {\displaystyle S'} é ortogonal a cada elemento de S {\displaystyle S}. .
Nalgúns casos, a palabra normal úsase para significar ortogonal, particularmente no sentido xeométrico como normal a unha superficie. Por exemplo, o eixo y é normal á curva y
x 2 {\displaystyle y
x^{2}} na orixe. No entanto, normal tamén pode referirse á magnitude dun vector. En particular, un conxunto chámase ortonormal (ortogonal e tamén normal) se é un conxunto ortogonal de vectores unitarios. Como resultado, adoita evitarse o uso do termo normal para significar "ortogonal". A palabra "normal" tamén ten un significado diferente en probabilidade e estatística.
Un espazo vectorial cunha forma bilinear xeneraliza o caso dun produto escalar. Cando a forma bilinear aplicada a dous vectores resulta en cero, entón son ortogonais. O caso dun plano pseudo-euclidiano usa o termo ortogonalidade hiperbólica. Na figura, os eixos x′ e t′ son hiperbólico-ortogonais para calquera ϕ {\displaystyle \phi } dado. Espazos vectoriais euclidianos
No espazo euclidiano, dous vectores son ortogonais se e só se o seu produto escalar é cero, é dicir, forman un ángulo de 90° ( π 2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}} radiáns ), ou un dos vectores é cero. Polo tanto, a ortogonalidade dos vectores é unha extensión do concepto de vectores perpendiculares a espazos de calquera dimensión.
O complemento ortogonal dun subespazo é o espazo de todos os vectores que son ortogonais a todos os vectores do subespazo. Nun espazo vectorial euclidiano tridimensional, o complemento ortogonal dunha recta que pasa pola orixe é o plano que pasa pola orixe perpendicular a ela, e viceversa. Funcións ortogonais
Usando o cálculo integral, é común usar o seguinte para definir o produto interno de dúas funcións f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} en relación a unha función peso non negativa w {\displaystyle w} nun intervalo [ a, b ] {\displaystyle [a, b]}: ⟨ f, g ⟩ w
∫ a b f ( x ) g ( x ) w ( x ) d x. {\displaystyle \langle f, g\rangle _{w}
\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\, dx. } En casos simples, w ( x )
1 {\displaystyle w(x)
1}.
Dicimos que as funcións f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} son ortogonais se o seu produto interno (equivalentemente, o valor desta integral) é cero: ⟨ f, g ⟩ w
0. {\displaystyle \langle f, g\rangle _{w}
0. } A ortogonalidade de dúas funcións en relación a un produto interno non implica a ortogonalidade en relación a outro produto interno.
Escribimos a norma en relación a este produto interno como ‖ f ‖ w
⟨ f, f ⟩ w {\displaystyle \|f\|_{w}
{\sqrt {\langle f, f\rangle _{w}}}} Os membros dun conxunto de funcións f i ∣ i ∈ N {\displaystyle {f_{i}\mid i\in \mathbb {N} }} son ortogonais en relación a w {\displaystyle w} no intervalo [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} se ⟨ f i, f j ⟩ w
0 ∣ i ≠ j. {\displaystyle \langle f_{i}, f_{j}\rangle _{w}
0\mid i\neq j. } Os membros de tal conxunto de funcións son ortonormais en relación a w {\displaystyle w} no intervalo [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} se ⟨ f i, f j ⟩ w
δ i j, {\displaystyle \langle f_{i}, f_{j}\rangle _{w}
\delta _{ij}, } onde δ i j
{ 1, i
j 0, i ≠ j {\displaystyle \delta _{ij}
\left\{{\begin{matrix}1, &&i
j\\0, &&i\neq j\end{matrix}}\right. } é o delta de Kronecker.
Noutras palabras, cada par deles (excluíndo o emparellamento dunha función consigo mesma) é ortogonal e a norma de cada un é 1. Véxase en particular os polinomios ortogonais. Exemplos
Os vectores ( 1, 3, 2 ) T, ( 3, − 1, 0 ) T, ( 1, 3, − 5 ) T {\displaystyle (1, 3, 2)^{\text{T}}, (3, -1, 0)^{\text{T}}, (1, 3, -5)^{\text{T}}} son ortogonais entre si, posto que ( 1 ) ( 3 ) + ( 3 ) ( − 1 ) + ( 2 ) ( 0 )
0, {\displaystyle (1)(3)+(3)(-1)+(2)(0)
0\, } ( 3 ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( 3 ) + ( 0 ) ( − 5 )
0, {\displaystyle \ (3)(1)+(-1)(3)+(0)(-5)
0\, } and ( 1 ) ( 1 ) + ( 3 ) ( 3 ) + ( 2 ) ( − 5 )
0 {\displaystyle (1)(1)+(3)(3)+(2)(-5)
0}.
Os vectores ( 1, 0, 1, 0, … ) T {\displaystyle (1, 0, 1, 0, \ldots )^{\text{T}}} e ( 0, 1, 0, 1, … ) T {\displaystyle (0, 1, 0, 1, \ldots )^{\text{T}}} son ortogonais. O produto escalar deles é cero.
As funcións 2 t + 3 {\displaystyle 2t+3} e 45 t 2 + 9 t − 17 {\displaystyle 45t^{2}+9t-17} son ortogonais en relación a un peso unidade no intervalo de −1 a 1: ∫ − 11 ( 2 t + 3 ) ( 45 t 2 + 9 t − 17 ) d t
0 {\displaystyle \int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\, dt
0} As funcións 1, sin ⁡ ( n x ), cos ⁡ ( n x ) ∣ n ∈ N {\displaystyle 1, \sin {(nx)}, \cos {(nx)}\mid n\in \mathbb {N} } son ortogonais en relación a integración de Riemann nos intervalos [ 0, 2 π ], [ − π, π ] {\displaystyle [0, 2\pi ], [-\pi, \pi ]}, ou calquera outro intervalo pechado de lonxitude 2 π {\displaystyle 2\pi }. Este feito é central nas series de Fourier.
Polinomios ortogonais
Varias secuencias polinómicas nomeadas con nomes de matemáticos do pasado son secuencias de polinomios ortogonais. En particular: Os polinomios de Hermite son ortogonais en relación á distribución gaussiana cun valor medio cero.
Os polinomios de Legendre son ortogonais en relación á distribución uniforme no intervalo [ − 1, 1 ] {\displaystyle [-1, 1]}.
Os polinomios de Laguerre son ortogonaisen relación á distribución exponencial. As secuencias polinómicas de Laguerre algo máis xerais son ortogonais en relación ás distribucións gamma.
Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son ortogonais en relación á medida 11 − x 2. {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}. } Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo son ortogonais en relación á distribución semicírculo de Wigner. Combinatoria
En combinatoria, dous cadrados latinos n × n {\displaystyle n\times n} son ortogonais se a súa superposición dá todas posíbeis combinacións de entradas n 2 {\displaystyle n^{2}}. Completamente ortogonal
Dous planos planos (non curvos) A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} dun espazo euclidiano de catro dimensións chámanse completamente ortogonais se e só se cada recta que está en A {\displaystyle A} é ortogonal a cada recta en B {\displaystyle B}. Nese caso os planos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} cortaránse nun único punto O {\displaystyle O}, de xeito que se unha recta en A {\displaystyle A} corta cunha recta en B {\displaystyle B}, crúzanse en O {\displaystyle O}. A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} son perpendiculares e paralelas de Clifford.