Espazo ba

En matemáticas, o espazo ba b a ( Σ ) {\displaystyle ba(\Sigma )} dunha álxebra de conxuntos Σ {\displaystyle \Sigma } é o espazo de Banach que consiste en todas as medidas con signo finitamente aditivas e limitadas en Σ {\displaystyle \Sigma }. A norma defínese como a variación, é dicir ‖ ν ‖
| ν | ( X ). {\displaystyle \|\nu \|
|\nu |(X). } Se Σ é unha sigma-álxebra, entón o espazo c a ( Σ ) {\displaystyle ca(\Sigma )} defínese como o subconxunto de b a ( Σ ) {\displaystyle ba(\Sigma )} que consiste en medidas numerabelmente aditivas. A notación ba é unha abreviatura de bounded additive (aditivo limitado) e ca é a abreviatura de countably additive (aditivo numerábel).
Se X é un espazo topolóxico e Σ é a sigma-álxebra dos conxuntos de Borel en X, entón r c a ( X ) {\displaystyle rca(X)} é o subespazo de c a ( Σ ) {\displaystyle ca(\Sigma )} que consiste en todas as medidas regulares de Borel en X. Propiedades
Os tres espazos son completos (son espazos de Banach) en relación á mesma norma definida pola variación total, e polo tanto c a ( Σ ) {\displaystyle ca(\Sigma )} é un subconxunto pechado de b a ( Σ ) {\displaystyle ba(\Sigma )}, e r c a ( X ) {\displaystyle rca(X)} é un conxunto pechado de c a ( Σ ) {\displaystyle ca(\Sigma )} para Σ a álxebra dos conxuntos de Borel en X. O espazo de funcións simples en Σ {\displaystyle \Sigma } é denso en b a ( Σ ) {\displaystyle ba(\Sigma )}.
O espazo ba do conxunto de partes dos números naturais, ba (2N), denótase a miúdo simplemente como b a {\displaystyle ba} e é isomorfo ao espazo dual do espazo ℓ∞.
Dual de B(Σ)
Sexa B(Σ) o espazo de funcións Σ-medíbeis limitadas, equipadas coa norma uniforme. Entón ba (Σ) B(Σ)* é o espazo dual continuo de B(Σ). Isto débese a Hildebrandt e Fichtenholtz e Kantorovich. Este é un tipo de teorema da representación de Riesz que permite representar unha medida como un funcional linear en funcións medíbeis. En particular, este isomorfismo permite definir a integral en relación a unha medida aditiva finitamente (téñase en conta que a integral de Lebesgue habitual require aditividade numerábel). Isto débese a Dunford e Schwartz e úsase a miúdo para definir a integral en relación ás medidas vectoriais e, especialmente, ás medidas de Radon con valores vectoriais.
A dualidade topolóxica ba (Σ)
B(Σ)* é doada de ver. Existe unha dualidade alxébrica evidente entre o espazo vectorial de todas as medidas finitamente aditivas σ en Σ e o espazo vectorial de funcións simples ( μ ( A )
ζ ( 1 A ) {\displaystyle \mu (A) \zeta \left(1_{A}\right)} ). É doado comprobar que a forma linear inducida por σ é continua na norma superior se σ está limitada, e o resultado dedúcese por mor de que unha forma linear no subespazo denso de funcións simples esténdese a un elemento de B(Σ)* se é continua na norma superior.
Dual de L∞(μ)
Se Σ é unha sigma-álxebra e μ é unha medida positiva sigma-aditiva en Σ, entón o Lp-espazo L∞(μ) dotado da norma suprema esencial é por definición o espazo cociente de B(Σ) polo subespazo pechado de funcións μ-nulas limitadas: N μ:
{ f ∈ B ( Σ ): f
0 μ -case en todas as partes }. {\displaystyle N_{\mu }:
\{f\in B(\Sigma ): f
0\ \mu {\text{-case en todas as partes}}\}. } Polo tanto, o espazo dual de Banach L∞(μ)* é isomorfo a N μ ⊥
{ σ ∈ b a ( Σ ): μ ( A )
0 ⇒ σ ( A )
0 para calquera A ∈ Σ }, {\displaystyle N_{\mu }^{\perp }
\{\sigma \in ba(\Sigma ): \mu (A)
0\Rightarrow \sigma (A)
0{\text{ para calquera }}A\in \Sigma \}, } é dicir, o espazo de medidas con signo finitamente aditivas en Σ que son absolutamente continuas en relación a μ ( μ-ac para abreviar).
Cando o espazo de medidas é tamén sigma-finito, entón L∞(μ) é á súa vez dual de L1(μ), que polo teorema de Radon-Nikodym identifícase co conxunto de todas as medidas μ-ac numerabelmente aditivas. Noutras palabras, a inclusión no bidual L 1 ( μ ) ⊂ L 1 ( μ ) ∗ ∗
L ∞ ( μ ) ∗ {\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}
L^{\infty }(\mu )^{*}} é isomorfo á inclusión do espazo de medidas μ-ac numerabelmente aditivas limitadas dentro do espazo de todas as medidas μ-ac finitamente aditivas limitadas.