Identidade de Vandermonde

En combinatoria, a identidade de Vandermonde (ou a convolución de Vandermonde ) é a seguinte identidade para os coeficientes binomiais: ( m + n r )
∑ k
0 r ( m k ) ( n r − k ) {\displaystyle {m+n \choose r}
\sum _{k
0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}} para calquera enteiros non negativos r, m, n. A identidade leva o nome de Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), aínda que xa era coñecida en 1303 polo matemático chinés Zhu Shijie.
Existe un q-análogo a este teorema chamado identidade q-Vandermonde.
A identidade de Vandermonde pódese xeneralizar de moitas maneiras, incluíndo a identidade ( n 1 + ⋯ + n p m )
∑ k 1 + ⋯ + k p
m ( n 1 k 1 ) ( n 2 k 2 ) ⋯ ( n p k p ). {\displaystyle {n_{1}+\dots +n_{p} \choose m}
\sum _{k_{1}+\cdots +k_{p}
m}{n_{1} \choose k_{1}}{n_{2} \choose k_{2}}\cdots {n_{p} \choose k_{p}}. } Probas
Demostración alxébrica
En xeral, o produto de dous polinomios con graos m e n, respectivamente, vén dado por ( ∑ i
0 m a i x i ) ( ∑ j
0 n b j x j )
∑ r
0 m + n ( ∑ k
0 r a k b r − k ) x r, {\displaystyle {\biggl (}\sum _{i
0}^{m}a_{i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j
0}^{n}b_{j}x^{j}{\biggr )}
\sum _{r
0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k
0}^{r}a_{k}b_{r-k}{\biggr )}x^{r}, } onde usamos a convención de que ai
0 para todos os números enteiros i>m e bj
0 para todos os números enteiros j > n. Polo teorema binomial, ( 1 + x ) m + n
∑ r
0 m + n ( m + n r ) x r. {\displaystyle (1+x)^{m+n}
\sum _{r
0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}. } Usando o teorema do binomio para os expoñentes m e n, e despois a fórmula anterior para o produto de polinomios, obtemos ∑ r
0 m + n ( m + n r ) x r
( 1 + x ) m + n
( 1 + x ) m ( 1 + x ) n
( ∑ i
0 m ( m i ) x i ) ( ∑ j
0 n ( n j ) x j )
∑ r
0 m + n ( ∑ k
0 r ( m k ) ( n r − k ) ) x r, {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{r
0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}&
(1+x)^{m+n}\\&
(1+x)^{m}(1+x)^{n}\\&
{\biggl (}\sum _{i
0}^{m}{m \choose i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j
0}^{n}{n \choose j}x^{j}{\biggr )}\\&
\sum _{r
0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k
0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}{\biggr )}x^{r}, \end{aligned}}} Comparando os coeficientes de x r, temos a identidade de Vandermonde para todos os números enteiros r con 0 ≤ r ≤ m + n. Para os enteiros maiores que r, ambos os dous lados da identidade de Vandermonde son cero debido á definición de coeficientes binomiais.
Proba combinatoria
A identidade de Vandermonde tamén admite unha proba combinatoria de duplo reconto, como segue. Supoñamos que un comité está formado por m homes e n mulleres. De cantas formas se pode formar un subcomité de r membros? A resposta é ( m + n r ). {\displaystyle {m+n \choose r}. } A resposta tamén é a suma de todos os valores posibles de k, do número de subcomités formados por k homes e r − k mulleres: ∑ k
0 r ( m k ) ( n r − k ). {\displaystyle \sum _{k
0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k}. } Xeneralizacións
Identidade xeneralizada de Vandermonde
Pódese xeneralizar a identidade de Vandermonde do seguinte xeito: ∑ k 1 + ⋯ + k p
m ( n 1 k 1 ) ( n 2 k 2 ) ⋯ ( n p k p )
( n 1 + ⋯ + n p m ). {\displaystyle \sum _{k_{1}+\cdots +k_{p}
m}{n_{1} \choose k_{1}}{n_{2} \choose k_{2}}\cdots {n_{p} \choose k_{p}}
{n_{1}+\dots +n_{p} \choose m}. } Esta identidade pódese obter mediante a derivación alxébrica anterior cando se usan máis de dous polinomios, ou mediante un simple argumento de conta dupla.
Por unha banda, un elixe k 1 {\displaystyle \textstyle k_{1}} elementos dun primeiro conxunto de n 1 {\displaystyle \textstyle n_{1}} elementos; despois k 2 {\displaystyle \textstyle k_{2}} doutro conxunto de n 2 {\displaystyle \textstyle n_{2}} elementos, e así para p {\displaystyle \textstyle p} deses conxuntos, en total temos m {\displaystyle \textstyle m} elementos escollidos entre os p {\displaystyle \textstyle p} conxuntos. Un, polo tanto, elixe m {\displaystyle \textstyle m} elementos de n 1 + ⋯ + n p {\displaystyle \textstyle n_{1}+\dots +n_{p}} no lado esquerdo, que tamén é exactamente o que se fai no lado dereito.
Identidade Chu-Vandermonde
Esta identidade xeneralízase a argumentos non enteiros. Neste caso, coñécese como a identidade Chu-Vandermonde e pode tomar distintas formas:
Como convolución de binomiais
( s + t n )
∑ k
0 n ( s k ) ( t n − k ) {\displaystyle {s+t \choose n}
\sum _{k
0}^{n}{s \choose k}{t \choose n-k}} para s e t sendo valores complexos en xeral e calquera número enteiro non negativo n. Pódese demostrar igual que a proba alxébrica anterior multiplicando as series de ( 1 + x ) s {\displaystyle (1+x)^{s}} e ( 1 + x ) t {\displaystyle (1+x)^{t}} e comparando termos coa serie binomial para ( 1 + x ) s + t {\displaystyle (1+x)^{s+t}}.
Exemplo
( e + π 2 )
( e + π ) ( e + π − 1 ) 2 ⋅ 1
e 2 + 2 e π + π 2 − e − π 2. {\displaystyle {\binom {e+\pi }{2}}
{\dfrac {(e+\pi )(e+\pi -1)}{2\cdot 1}}
{\dfrac {e^{2}+2e\pi +\pi ^{2}-e-\pi }{2}}. } ∑ k
02 ( e 2 ) ( π 2 − k )
( e 0 ) ( π 2 ) + ( e 1 ) ( π 1 ) + ( e 2 ) ( π 0 )
π ( π − 1 ) 2 + e π + e ( e − 1 ) 2
π 2 − π + 2 e π + e 2 − e 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k
0}^{2}{\binom {e}{2}}{\binom {\pi }{2-k}}&
{\binom {e}{0}}{\binom {\pi }{2}}+{\binom {e}{1}}{\binom {\pi }{1}}+{\binom {e}{2}}{\binom {\pi }{0}}\\&
{\dfrac {\pi (\pi -1)}{2}}+e\pi +{\dfrac {e(e-1)}{2}}\\&
{\dfrac {\pi ^{2}-\pi +2e\pi +e^{2}-e}{2}}. \end{aligned}}}
Con factoriais descendentes
( s + t ) n _
∑ k
0 n ( n k ) s k _ t n − k _ {\displaystyle (s+t)^{\underline {n}}
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}s^{\underline {k}}t^{\underline {n-k}}} Nesta forma é claramente recoñecible como unha variante sombra do teorema binomial.
Exemplo
( e + π ) 2 ¯
( e + π ) ( e + π − 1 )
e 2 + 2 e π + π 2 − e − π. {\displaystyle (e+\pi )^{\overline {2}}
(e+\pi )(e+\pi -1)
e^{2}+2e\pi +\pi ^{2}-e-\pi. } ∑ k
02 ( 2 k ) e 2 ¯ π 2 − k ¯
( 20 ) 1 ⋅ e ( e − 1 ) + ( 21 ) π e + ( 22 )
π ( π − 1 ) + e π + e ( e − 1 )
π 2 − π + 2 e π + e 2 − e. {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k
0}^{2}{\binom {2}{k}}e^{\overline {2}}\pi ^{\overline {2-k}}&
{\binom {2}{0}}1\cdot e(e-1)+{\binom {2}{1}}\pi e+{\binom {2}{2}}\\&
\pi (\pi -1)+e\pi +e(e-1)\\&
\pi ^{2}-\pi +2e\pi +e^{2}-e. \end{aligned}}}
Como variante do teorema hiperxeométrico de Gauss
A identidade Chu-Vandermonde tamén se pode ver como un caso especial do teorema hiperxeométrico de Gauss, usando a función hiperxeométrica con z
1 e a
− n. 2 F 1 ( − n, b; c; 1 )
Γ ( c ) Γ ( c − b + n ) Γ ( c + n ) Γ ( c − b )
( c − b ) n ¯ c n ¯ {\displaystyle \; _{2}F_{1}(-n, b; c; 1)
{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-b+n)}{\Gamma (c+n)\Gamma (c-b)}}
{\dfrac {(c-b)^{\overline {n}}}{c^{\overline {n}}}}} onde 2 F 1 {\displaystyle \; _{2}F_{1}} é a función hiperxeométrica e Γ ( n + 1 )
n! {\displaystyle \Gamma (n+1)
n! } é a función gamma. 1 c n ¯ ∑ k
⁡ 0 n ( n k ) ( 1 − b − k ) k ¯ ( c + k ) n − k ¯
( c − b ) n ¯ c n ¯ {\displaystyle {\dfrac {1}{c^{\overline {n}}}}\sum _{k\mathop {
} 0}^{n}{\dbinom {n}{k}}({1-b-k})^{\overline {k}}({c+k})^{\overline {n-k}}
{\dfrac {({c-b})^{\overline {n}}}{c^{\overline {n}}}}}.
Xeneralización
A identidade Rothe-Hagen é unha xeneralización adicional desta identidade: ∑ k
0 n x x + k z ( x + k z k ) y y + ( n − k ) z ( y + ( n − k ) z n − k )
x + y x + y + n z ( x + y + n z n ). {\displaystyle \sum _{k
0}^{n}{\frac {x}{x+kz}}{x+kz \choose k}{\frac {y}{y+(n-k)z}}{y+(n-k)z \choose n-k}
{\frac {x+y}{x+y+nz}}{x+y+nz \choose n}. } Distribución de probabilidade hiperxeométrica
Se dividimos os dous lados pola expresión da esquerda, de xeito que a suma sexa 1, entón os termos da suma poden interpretarse como probabilidades. A distribución de probabilidade resultante é a distribución hiperxeométrica. Esa é a distribución de probabilidade do número de bólas vermellas en r escollas sen substitución dunha urna que contén n bólas vermellas e m azuis.