Sistema de coordenadas cartesianas

As coordenadas cartesianas ou coordenadas rectangulares (plano cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonais usadas en espazos euclidianos, para a representación gráfica dunha función, en xeometría analítica, ou do movemento ou posición en física, caracterizadas porque emprega como referencia eixes ortogonais entre si que se cortan nun punto orixe. As coordenadas cartesianas defínense así como a distancia á orixe das proxeccións ortogonais dun punto dado sobre cada un dos eixes. A denominación de 'cartesiano' introduciuse en honra de René Descartes, quen o utilizou de maneira formal por primeira vez.
Se o sistema en si é un sistema bidimensional, denomínase plano cartesiano. O punto de corte das rectas faise coincidir co punto cero das rectas e coñécese como orixe do sistema. Ao eixe horizontal ou das abscisas asígnaselle os números enteiros dos xes ("x"); e ao eixe vertical ou das ordenadas asígnanselle os números enteiros dos is gregos ("y"). Ao cortárense as dúas rectas, dividen o plano en catro rexións, que se coñecen co nome de cuadrantes: Primeiro cuadrante "I": Rexión superior dereita
Segundo cuadrante "II": Rexión superior esquerda
Terceiro cuadrante "III": Rexión inferior esquerda
Cuarto cuadrante "IV": Rexión inferior dereita
O plano cartesiano emprégase para asignar unha localización a calquera punto no plano. Na gráfica indícase o punto +2 nas abscisas e +3 nas ordenadas. O conxunto (2, 3) denomínase "par ordenado" e do mesmo xeito pódense situar outros puntos.
As coordenadas cartesianas empréganse por exemplo para definir un sistema cartesiano ou sistema de referencia xa sexa respecto a un só eixe (liña recta), respecto de dous eixes (un plano) ou respecto de tres eixes (no espazo), perpendiculares entre si (plano e espazo), que se cortan nun punto chamado orixe de coordenadas. No plano, as coordenadas cartesianas denomínanse abscisa e ordenada A abscisa é a coordenada horizontal e represéntase habitualmente pola letra x, mentres que a ordenada é a coordenada vertical e represéntase polo y. Historia
Denomínanse "coordenadas cartesianas" en honra a René Descartes (1596-1650), o célebre filósofo e matemático francés que quixo fundamentar o seu pensamento filosófico no método de tomar un «punto de partida» evidente sobre o que edificaría todo o coñecemento.
Como creador da xeometría analítica, Descartes tamén comezou tomando un «punto de partida» nesta disciplina, o sistema de referencia cartesiano, para poder representar a xeometría plana, que usa só dúas rectas perpendiculares entre si que se cortan nun punto denominado «orixe de coordenadas». Recta euclidiana
Un punto calquera dunha recta pode asociarse e representarse cun número real, positivo se está situado á dereita dun punto O, e negativo se está á esquerda. O devandito punto chámase orixe de coordenadas O (letra O) e asóciase ao valor 0 (cero).
Corresponde á dimensión un, que se representa co eixe X, no que se define unha orixe de coordenadas, simbolizado coa letra O (O de orixe) e un vector unitario na dirección positiva das x: i {\displaystyle \mathbf {i} }.
Este sistema de coordenadas é un espazo vectorial de dimensión un, e pódenselle aplicar todas as operacións correspondentes a espazos vectoriales. Tamén se lle chama recta real. Un punto: A
( x A ) {\displaystyle A
({x_{A}})\, } tamén se pode representar: O A →
x A i {\displaystyle {\vec {OA}}
x_{A}\, \mathbf {i} } A distancia entre dous puntos A e B é: d A B
| x A − x B | {\displaystyle d_{AB}
|x_{A}-x_{B}|\, } Plano euclidiano
Cun sistema de referencia conformado por dúas rectas perpendiculares que se cortan na orixe, cada punto do plano pode "nomearse" mediante dous números: (x, y), que son as coordenadas do punto, chamadas abscisa e ordenada, respectivamente, que son as distancias ortogonais do devandito punto respecto dos eixes cartesianos. A ecuación do eixe x {\displaystyle x} é y
0 {\displaystyle y
0}, e a do eixe y {\displaystyle y} é x
0 {\displaystyle x
0}, rectas que se cortan na orixe O {\displaystyle O}, que ten coordenadas ( 0, 0 ) {\displaystyle (0, 0)}.
Denomínanse tamén eixe das abscisas ao eixe x {\displaystyle x}, e eixe das ordenadas ao eixe y {\displaystyle y}. Os eixes dividen o espazo en catro cuadrantes I, II, III e IV, nos que os signos das coordenadas alternan de positivo a negativo (por exemplo, as dúas coordenadas do punto A serán positivas, mentres que as do punto B serán ambas as dúas negativas).
As coordenadas dun punto calquera virán dadas polas proxeccións do segmento entre a orixe e o punto sobre cada un dos eixes.
Sobre cada un dos eixes defínense vectores unitarios (i e j) como aqueles paralelos aos eixes e de módulo (lonxitude) a unidade. En forma vectorial, a posición do punto A defínese respecto da orixe coas compoñentes do vector OA. O A ¯
x A i + y A j {\displaystyle {\overline {OA}}
x_{A}\, \mathbf {i} +y_{A}\, \mathbf {j} } A posición do punto A será: A
( x A, y A ) {\displaystyle A
(x_{A}, \, y_{A})} Cómpre salientar que a lista de coordenadas pode expresar tanto a posición dun punto como as compoñentes dun vector en notación matricial.
A distancia entre dous puntos calquera virá dada pola expresión: d A B ¯
( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 {\displaystyle d_{\overline {AB}}
{\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}\, } Aplicación do teorema de Pitágoras ao triángulo rectángulo ABC.
Un vector calquera AB definirase restando, coordenada a coordenada, as do punto de orixe das do punto de destino: A B ¯
( x B − x A ) i + ( y B − y A ) j {\displaystyle {\overline {AB}}
(x_{B}-x_{A})\, \mathbf {i} +(y_{B}-y_{A})\, \mathbf {j} } Evidentemente, o módulo do vector AB será a distancia dAB entre os puntos A e B antes calculada. Espazo euclidiano
De ter un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre si (X, Y, Z), que se cortan na orixe (0, 0, 0), cada punto do espazo pode nomearse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas do punto, que son as distancias ortogonales aos tres planos principais: os que conteñen as parellas de eixes YZ, XZ e YX, respectivamente. Os planos de referencia XY (z
0); XZ (y
0); e YZ (x 0) dividen o espazo en oito cuadrantes nos que, como no caso anterior, os signos das coordenadas poden ser positivos ou negativos.
A xeneralización das relacións anteriores ao caso espacial é inmediata considerando que agora é necesaria unha terceira coordenada (z) para definir a posición do punto. O A ¯
x A i + y A j + z A k {\displaystyle {\overline {OA}}
x_{A}\, \mathbf {i} +y_{A}\, \mathbf {j} +z_{A}\, \mathbf {k} } As coordenadas do punto A serán: A
( x A, y A, z A ) {\displaystyle A
(x_{A}, \, y_{A}, \, z_{A})} e o B: B
( x B, y B, z B ) {\displaystyle B
(x_{B}, \, y_{B}, \, z_{B})} A distancia entre os puntos A e B será: d A B ¯
( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 {\displaystyle d_{\overline {AB}}
{\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}\, } O segmento AB será: A B ¯
( x B − x A ) i + ( y B − y A ) j + ( z B − z A ) k {\displaystyle {\overline {AB}}
(x_{B}-x_{A})\, \mathbf {i} +(y_{B}-y_{A})\, \mathbf {j} +(z_{B}-z_{A})\, \mathbf {k} } Cambio do sistema de coordenadas
Tanto no caso plano como no caso espacial poden considerarse tres transformacións elementais: translación da orixe, rotación ao redor dun eixe e cambio de escala.
Translación da orixe
Supondo un sistema de coordenadas inicial S1 con orixe en O e eixes x e y S 1
{ O; x, y } {\displaystyle S1
\{O; \; x, y\}} e as coordenadas dun punto A dado, sexan no sistema S1: A
( x A, y A ) {\displaystyle A
(x_{A}, \; y_{A})} dado un segundo sistema de referencia S2 S 2
{ O ′; x ′, y ′ } {\displaystyle S2
\{O^{\prime }; \; x^{\prime }, y^{\prime }\}} Sendo os centros de coordenadas dos sistemas 0 e 0´, puntos distintos, e os eixes x, x´; e y, y´ paralelos dous a dous, e as coordenadas de O´, respecto de S1: O ′
( x O ′, y O ′ ) {\displaystyle O^{\prime }
(x_{O^{\prime }}, \; y_{O^{\prime }})} Chámase translación da orixe a calcular as coordenadas de A en S2, segundo os datos anteriores, que se chamarán: A ′
( x A ′, y A ′ ) {\displaystyle A^{\prime }
(x_{A}^{\prime }, \; y_{A}^{\prime })} Dados os puntos O, O´ e A, tense a suma de vectores: O A ¯
O O ′ ¯ + O ′ A ¯ {\displaystyle {\overline {OA}}
{\overline {OO^{\prime }}}+{\overline {O^{\prime }A}}} despexando O ′ A ¯
O A ¯ − O O ′ ¯ {\displaystyle {\overline {O^{\prime }A}}
{\overline {OA}}-{\overline {OO^{\prime }}}} O que é o mesmo que: ( x A ′, y A ′ )
( x A, y A ) − ( x O ′, y O ′ ) {\displaystyle (x_{A}^{\prime }, \; y_{A}^{\prime })
(x_{A}, \; y_{A})-(x_{O^{\prime }}, \; y_{O^{\prime }})} Separando os vectores por coordenadas: x A ′
x A − x O ′ {\displaystyle x_{A}^{\prime }
x_{A}-x_{O^{\prime }}} y A ′
y A − y O ′ {\displaystyle y_{A}^{\prime }
y_{A}-y_{O^{\prime }}} e ampliándoo a tres dimensións: z A ′
z A − z O ′ {\displaystyle z_{A}^{\prime }
z_{A}-z_{O^{\prime }}}
Rotación ao redor da orixe
Dado un sistema de coordenadas no plano S1 con orixe en O e eixes x e y: S 1
{ O; x, y } {\displaystyle S_{1}
\{O; \; x, y\}} e unha base ortonormal deste sistema: B 1
{ i, j } {\displaystyle B_{1}
\{\mathbf {i}, \mathbf {j} \}} Un punto A do plano representarase neste sistema segundo as súas coordenadas: A
x A i + y A j {\displaystyle \mathbf {A}
x_{A}\, \mathbf {i} +y_{A}\, \mathbf {j} } Para un segundo sistema S2 de referencia xirado un ángulo α {\displaystyle \alpha \, }, respecto ao primeiro: {\displaystyle } S 2
{ O; x ′, y ′ } {\displaystyle S_{2}
\{O; \; x^{\prime }, y^{\prime }\}} e cunha base ortonormal: B 2
{ i ′, j ′ } {\displaystyle \mathbf {B} _{2}
\{\mathbf {i^{\prime }}, \mathbf {j^{\prime }} \}} Ao cálculo das coordenadas do punto A, respecto deste segundo sistema de referencia, xirado respecto ao primeiro, chámase rotación ao redor da orixe, sendo a súa representación: A ′
x A ′ i ′ + y A ′ j ′ {\displaystyle {\mathbf {A} ^{\prime }}
x_{A}^{\prime }\, \mathbf {i^{\prime }} +y_{A}^{\prime }\, \mathbf {j^{\prime }} } Hai que ter en conta que o punto A {\displaystyle \mathbf {A} \, } e A ′ {\displaystyle \mathbf {A} ^{\prime }\, } son o mesmo punto, A ≡ A ′ {\displaystyle \mathbf {A} \equiv \mathbf {A} ^{\prime }}; emprégase unha denominación ou outra para indicar o sistema de referencia empregado. O valor das coordenadas respecto dun ou doutro sistema, si son diferentes, e é o que se pretende calcular.
A representación de B1 en B2 é: i
cos ⁡ α i ′ − sin ⁡ α j ′ {\displaystyle \mathbf {i}
\cos {\alpha }\, \mathbf {i^{\prime }} -\sin {\alpha }\, \mathbf {j^{\prime }} } j
sin ⁡ α i ′ + cos ⁡ α j ′ {\displaystyle \mathbf {j}
\sin {\alpha }\, \mathbf {i^{\prime }} +\cos {\alpha }\, \mathbf {j^{\prime }} } Dado que o punto A en B1 é: A
x A i + y A j {\displaystyle \mathbf {A}
x_{A}\, \mathbf {i} +y_{A}\, \mathbf {j} } coa transformación anterior tense: A
x A ( cos ⁡ α i ′ − sin ⁡ α j ′ ) + y A ( sin ⁡ α i ′ + cos ⁡ α j ′ ) {\displaystyle \mathbf {A}
x_{A}\, (\cos {\alpha }\, \mathbf {i^{\prime }} -\sin {\alpha }\, \mathbf {j^{\prime }} )+y_{A}\, (\sin {\alpha }\, \mathbf {i^{\prime }} +\cos {\alpha }\, \mathbf {j^{\prime }} )} E, quitando as parénteses: A
x A cos ⁡ α i ′ − x A sin ⁡ α j ′ + y A sin ⁡ α i ′ + y A cos ⁡ α j ′ {\displaystyle \mathbf {A}
x_{A}\, \cos {\alpha }\, \mathbf {i^{\prime }} -x_{A}\, \sin {\alpha }\, \mathbf {j^{\prime }} +y_{A}\, \sin {\alpha }\, \mathbf {i^{\prime }} +y_{A}\, \cos {\alpha }\, \mathbf {j^{\prime }} } reordenando: A
( x A cos ⁡ α + y A sin ⁡ α ) i ′ + ( − x A sin ⁡ α + y A cos ⁡ α ) j ′ {\displaystyle \mathbf {A}
(x_{A}\, \cos {\alpha }+y_{A}\, \sin {\alpha })\, \mathbf {i^{\prime }} +(-x_{A}\, \sin {\alpha }+y_{A}\, \cos {\alpha })\, \mathbf {j^{\prime }} } Como: A ≡ A ′ {\displaystyle \mathbf {A} \equiv A^{\prime }};
Tense que: A ′
( x A cos ⁡ α + y A sin ⁡ α ) i ′ + ( − x A sin ⁡ α + y A cos ⁡ α ) j ′ {\displaystyle \mathbf {A^{\prime }}
(x_{A}\, \cos {\alpha }+y_{A}\, \sin {\alpha })\, \mathbf {i^{\prime }} +(-x_{A}\, \sin {\alpha }+y_{A}\, \cos {\alpha })\, \mathbf {j^{\prime }} } Como se sabía: A ′
x A ′ i ′ + y A ′ j ′ {\displaystyle \mathbf {A^{\prime }}
x_{A}^{\prime }\, \mathbf {i^{\prime }} +y_{A}^{\prime }\, \mathbf {j^{\prime }} } Por identificación de termos: x A ′
x A cos ⁡ α + y A sin ⁡ α {\displaystyle x_{A}^{\prime }
\; x_{A}\, \cos {\alpha }+y_{A}\, \sin {\alpha }} y A ′
− x A sin ⁡ α + y A cos ⁡ α {\displaystyle y_{A}^{\prime }
-x_{A}\, \sin {\alpha }+y_{A}\, \cos {\alpha }} Que son as coordenadas de A en B2, en función das coordenadas da en B1 e de α {\displaystyle {\alpha }\, }.
Cambio de escala
Sexa un punto con coordenadas (x, y) no plano. Se se cambiase a escala de ambos os eixes nun factor λ, as coordenadas do devandito punto no novo sistema de coordenadas pasarán a ser: ( x ′, y ′ )
( λ x, λ y ) {\displaystyle (x', y')
(\lambda x, \lambda y)\, } O factor de escala λ non ten que ser necesariamente o mesmo para ambos os eixes. Cálculo matricial
Se [T] é a matriz de transformación e con filas que son igualmente as compoñentes dos vectores unitarios i' e j' respecto dos orixinais i e j, ou se se prefire, con columnas que son as compoñentes dos vectores unitarios orixinais no sistema de referencia rotado. Nota: As magnitudes vectoriales están en grosa.