Identidade de Bézout

En teoría de números, a identidade de Bézout (tamén coñecido como lema de Bézout) é un teorema que se enuncia como: Os enteiros x e y son coñecidos como os coeficientes de Bézout para (a, b). Esta parella de enteiros non é única e pode calcularse usando o algoritmo de Euclides estendido. De ser ámbolos dous non nulos, o algoritmo de Euclides estendido produce unha das dúas parellas tales que | x | ≤ | b c | {\displaystyle |x|\leq \left|{\frac {b}{c}}\right|} e | y | ≤ | a c | {\displaystyle |y|\leq \left|{\frac {a}{c}}\right|} (a igualdade só pode ocorrer se a é múltiplo de b ou, ao revés, se b é múltiplo de a).
Moitos outros teoremas elementais de teoría de números son consecuencias da identidade de Bézout, como o lema de Euclides ou o teorema chinés do resto.
Un dominio de Bézout é un dominio de integridade no que se cumpre a identidade de Bézout. En particular, a identidade de Bézout cúmprese nos dominios de ideais principais. Deste xeito, todo resultado que sexa demostrado a partir da identidade de Bézout, tamén será certa en todos estes dominios.
Un caso particular importante do lema de Bézout é: Estrutura das solucións
Ao calcular un par de coeficientes de Bézout (x, y) (por exemplo, utilizando o algoritmo de Euclides estendido), todos estes pares pódense representar da forma ( x + k b gcd ( a, b ), y − k a gcd ( a, b ) ), {\displaystyle \left(x+k{\frac {b}{\gcd(a, b)}}, \ y-k{\frac {a}{\gcd(a, b)}}\right), } onde k é certo número enteiro, e as fraccións simplifican a enteiros.
Entre estes pares de coeficientes de Bézout, hai exactamente dous deles que satisfán | x | ≤ | b gcd ( a, b ) | e | y | ≤ | a gcd ( a, b ) |, {\displaystyle |x|\leq \left|{\frac {b}{\gcd(a, b)}}\right|\quad {\text{e}}\quad |y|\leq \left|{\frac {a}{\gcd(a, b)}}\right|, } e estes dous pares serán iguais de dividir a ou b ao outro.
Isto baséase nunha propiedade de división euclidiana: dado dous enteiros c e d, se d non divide c, entón hai exactamente unha parella (q, r) tal que c
dq + r e 0 < r < |d|, e outra tal que c
dq + r e -|d| < r < 0.
Estes dous pares de coeficientes de Bézout son obtidos do par (x, y) inicial, ao escoller o k na fórmula de riba algún dos dous enteiros próximos a x b / gcd ( a, b ) {\displaystyle {\frac {x}{b/\gcd(a, b)}}}.
O algoritmo de Euclides estendido sempre produce un destes dous pares.
Exemplo
Sexa a
12 e b
42, gcd (12, 42)
6. Entón temos as seguintes identidades de Bézout, cos coeficientes de Bézout escritos en vermello, no caso dos pares mínimos, e en azul tódolos demais. ⋮ 12 × ( − 10 ) + 42 × 3
612 × ( − 3 ) + 42 × 1
612 × 4 + 42 × ( − 1 )
612 × 11 + 42 × ( − 3 )
612 × 18 + 42 × ( − 5 )
6 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}\vdots \\12&\times ({\color {blue}{-10}})&+\; \; 42&\times \color {blue}{3}&
6\\12&\times ({\color {red}{-3}})&+\; \; 42&\times \color {red}{1}&
6\\12&\times \color {red}{4}&+\; \; 42&\times ({\color {red}{-1}})&
6\\12&\times \color {blue}{11}&+\; \; 42&\times ({\color {blue}{-3}})&
6\\12&\times \color {blue}{18}&+\; \; 42&\times ({\color {blue}{-5}})&
6\\\vdots \end{aligned}}} Se (x, y)
(18, -5) é o par orixinal de coeficientes de Bézout, entón 1842 / 6
187 ∈ [ 3, 2 ] {\displaystyle {\frac {18}{42/6}}
{\frac {18}{7}}\in [3, 2]} produce os pares mínimos con k
3 e k
2, respectivamente: (18-3⋅7, -5+3⋅2)
(-3, 1) e (18-2⋅7, -5+2⋅2)
(4, -1). Proba
Sexan a e b dous enteiros non nulos calquera. Definimos a partir deles o conxunto S
{ a x + b y ∣ x, y ∈ Z e a x + b y > 0 } {\displaystyle S
\{ax+by\mid x, y\in \mathbb {Z} \ {\text{ e }}\ ax+by>0\}}, que trivialmente non é baleiro, xa que ten que conter aos enteiros a e –a (con x
±1 e y
0). Como S é un conxunto de enteiros positivo non baleiro, ten un elemento mínimo d
a s + b t {\displaystyle d
as+bt}, polo principio da boa ordenación. Para probar que d é o máximo común divisor de a e b, temos que probar dúas cousasː que d é un divisor común de a e b, e que para calquera outro común divisor c cumpre que c < d.
A división euclidiana de a por d pode ser escrita como a
d q + r con 0 ≤ r < d. {\displaystyle a
dq+r\quad {\text{con}}\quad 0\leq r<d. } O resto r pertence ao conxunto S ∪ { 0 } {\displaystyle S\cup \{0\}}, porque r
a − q d
a − q ( a s + b t )
a ( 1 − q s ) − b q t. {\displaystyle {\begin{aligned}r&
a-qd\\&
a-q(as+bt)\\&
a(1-qs)-bqt. \end{aligned}}} Como d é o menor enteiro positivo en S, o resto r é necesariamente 0, e isto implica que d é un divisor de a. Analogamente, próbase que d é tamén un divisor de b, e, en conclusión, d é un divisor común de a e b.
Agora, sexa c ser calquera divisor común de a e b. Isto implica que teñen que existir u e v tal que a
cu e b
cv. Así tense que d
a s + b t
c u s + c v t
c ( u s + v t ). {\displaystyle {\begin{aligned}d&
as+bt\\&
cus+cvt\\&
c(us+vt). \end{aligned}}} Ao ser c é un divisor de d, e, por tanto, c ≤ d Xeneralizacións
Para tres ou máis enteiros
A identidade de Bézout pódese estender a máis de dous enteiros: se gcd ( a 1, a 2, …, a n )
d {\displaystyle \gcd(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})
d} entón existen enteiros x 1, …, x n {\displaystyle x_{1}, \ldots, x_{n}} tales que d
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle d
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}} ten as propiedades seguintes: d é o menor enteiro positivo desta forma
todo número desta forma é un múltiplo de d
Para polinomios
A identidade de Bézout funciona para polinomios dunha variábel sobre un corpo exactamente do mesmo xeitos que cos enteiros. En particular os coeficientes de Bézout e o máximo común divisor pode ser computado co algoritmo de Euclides estendido.
Ao ser as raíces comúns de dous polinomios o máximo común divisor deles, da identidade de Bézout xunto co teorema fundamental da álxebra, dedúcese que: Para polinomios dunha variábel f e g con coeficientes nun corpo, existir polinomios a e b tal que af + bg 1 se e só se f e g non teñen raíces comúns en calquera corpo alxebricamente pechado (xeralmente o corpo de números complexos).
A xeneralización deste resultado a calquera número de polinomios e indeterminates é o teorema dos ceros de Hilbert.
Para dominios ideais principais
A identidade de Bézout pode ser escrita non soamente no anel de enteiros relativos, mais tamén en calquera outro dominio de ideais principais (DIP). (Nótese que, neste caso, o máximo común divisor enténdese no sentido da relación de preorde fornecida pola divisibilidade no anel, e a unicidade deste preservase baixo un factor invertíbel do anel) Isto é que, se R é un DIP, e a e b pertencen a R, entón existe un máximo común divisor d de a e b e existen elementos x e y en R tal aquel ax + py d.
A razón disto é que o ideal xerado por Ra+Rb é principal. De feito, ao pertencer a R, todo xerador d de Ra+Rb é un divisor común de a e b, e é o máximo no sentido de divisibilidade, isto é, para dicir que todo divisor común divide d (xa que c divide todo elemento de Ra+Rb).
Un dominio de integridade no que para toda parella de elementos temos un máximo común divisor dirase que é un dominio Bézout. Historia
O matemático francés Étienne Bézout (1730–1783) probou esta identidade para polinomios. Con todo, esta afirmación para enteiros xa se atopa no traballo doutro matemático francés, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).