Rectángulo dourado

O rectángulo dourado (denominado tamén rectángulo áureo ou rectángulo de ouro) é un rectángulo que posúe unha proporcionalidade entre os seus lados igual á razón áurea. Ao dividir a base deste rectángulo pola súa altura, obtense o número áureo 1. 618. Ao subtraer a imaxe dun cadrado igual ao do seu lado menor, o rectángulo resultante é igualmente un rectángulo dourado. A partir deste rectángulo pódese obter a espiral dourada, que é unha espiral logarítmica. Construción
Na matemática clásica constrúese mediante regra e compás seguindo os pasos: Constrúese un cadrado de lado unidade A B C D {\displaystyle ABCD} Trázase unha liña desde a metade do lado do cadrado ( G {\displaystyle G} ) até un dos vértices do lado oposto, dando un segmento G C {\displaystyle GC} Empregando esta liña G C {\displaystyle GC} como raio, colócase a punta do compás na metade do cadrado e abátese até cortar en E {\displaystyle E}.
Complétase o rectángulo A E D F {\displaystyle AEDF} así como o rectángulo B C E F {\displaystyle BCEF}. Desenvolvementos
De acordo co divulgador científico Mario Greco, desde a publicación do libro de Bruno Miere titulado Divina Proportione en 1509, é cando a razón dourada aparece descrita nos tratados de arte e de arquitectura, facendo que moitos artistas e arquitectos a empregasen a súa cantidade no deseño por consideralo esteticamente agradable.
Alxébrica
Se a lonxitude do lado maior se denomina x {\displaystyle x}, tense por definición: x 1
1 x − 1 {\displaystyle {\frac {x}{1}}
{\frac {1}{x-1}}} Isto leva a resolver a ecuación de segundo grao: x 2 − x − 1
0 {\displaystyle x^{2}-x-1
0} Na que unha das dúas raíces é a proporción dourada.
O rectángulo de Euclides
Trátase dunha das demostracións máis coñecidas desde a antigüidade. O rectángulo cuxos vértices se definen polos puntos A E F D {\displaystyle AEFD} defínese como áureo debido a que o seu lado maior A E {\displaystyle AE} e o seu lado curto A D {\displaystyle AD} presentan a proporción do número áureo. O matemático grego Euclides, na súa obra Os elementos, obtén a súa construción. Sendo o triángulo G B C {\displaystyle GBC} pitagórico, tense que G C {\displaystyle GC} (a hipotenusa) ten como valor: G C
5 {\displaystyle GC
{\sqrt {5}}} Con centro en G {\displaystyle G}, prolongando até a recta A E {\displaystyle AE}, obtense por intersección o punto E {\displaystyle E}, e por tanto: G E
G C
5 {\displaystyle GE
GC
{\sqrt {5}}} con todo iso pódese ver que resulta evidente que os lados: A E
A G + G E
1 + 5 {\displaystyle AE
AG+GE
1+{\sqrt {5}}} de onde: A E A D
1 + 52
φ {\displaystyle {\frac {AE}{AD}}
{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}
\varphi } Por outra banda, os rectángulos A E F D {\displaystyle AEFD} e B E F C {\displaystyle BEFC} son semellantes, de modo que este último é así mesmo un rectángulo áureo. Na arquitectura
O rectángulo áureo foi cualificado polos gregos clásicos como unha das figuras xeométricas máis belamente estruturadas. Por un longo lapso de séculos, os arquitectos utilizaron este cuadrilátero para templos, rañaceos e edificacións de diversa índole, desde o Partenón de Atenas (s. V a. C. ), cuxa fachada dianteira se inscribe nun rectángulo áureo até a sede das Nacións Unidas. O rectángulo dourado na industria
A norma DIN 476 é a que define a medida do DIN A4 e outros tamaños de papel. O DIN A4 e os seus derivados A3, A2. .. non manteñen as proporcións do rectángulo dourado, senón que manteñen a relación 2
1. 4142 {\displaystyle {\sqrt {2}}
1. 4142}, casualmente a proporción que usaba Policleto para o seu canon. Investigacións psicolóxicas
As pescudas e debates sobre o tema naceron no s. XIX cos experimentos de Fechner, que tentou confirmar a superioridade estética do rectángulo dourado a través de investigacións dirixidas a demostrar a súa preferencia polos humanos.
A enquisa realizouse segundo tres metodoloxías complementarias. De elección (Wahl): solicitude aos suxeitos para escolleren os rectángulos que preferían.
De produción (Herstellung): os suxeitos debuxan o rectángulo que consideran máis agradábel.
De uso (Verwendung): medindo obxectos de uso cotián para verificar a presenza da proporción áurea.
Nos resultados publicados en 1879 só a primeira enquisa deu un resultado positivo, segundo as súas conviccións, cunha preferencia do 35% polo rectángulo dourado. Porén, de inmediato xurdiron críticas ao método do experimento. Fechner amosara a 347 persoas unha disposición de 10 rectángulos de igual área coa relación entre os lados en orde crecente (de 1: 1 a 1: 2, 5), na que o rectángulo dourado ocupaba a 7ª posición, preguntando cal era máis agradábel. As críticas xurdiron en tres ordes de observación: Ter desatendido a influencia da orientación vertical ou horizontal na elección das persoas.
A influencia da posición mediana. Os suxeitos puideron estar orientados a indicar o rectángulo dourado xa que representaba a figura coas proporcións medias entre os presentados.
Os suxeitos non foron escollidos ao azar e sobre todo eran conscientes das crenzas do científico, o que supón todos os posibles problemas para os que hoxe se adopta o procedemento de dobre cego.
Os experimentos, aínda que só un deu o resultado esperado, abriron unha liña de investigacións nas que a preferencia pola sección dourada resultou cada vez máis unha quimera, até que finalmente tivo unha conclusión negativa na última década do século XX.