Fórmula de Euler

A fórmula de Euler ou relación de Euler, atribuída a Leonhard Euler, establece o teorema, no que: e i x
cos ⁡ x + i sen ⁡ x {\displaystyle e^{ix}
\cos x+i\, \operatorname {sen} x} para todo número real x, que representa un ángulo no plano complexo. Nela, e é a base do logaritmo natural, i é a unidade imaxinaria, sen ⁡ x {\displaystyle \operatorname {sen} x} e cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} son as funcións trigonométricas seno e coseno.
Tamén adoita expresarse como: e z
e x + i y
e x ( cos ⁡ y + i sen y ) {\displaystyle e^{z}
e^{x+iy}
e^{x}(\cos y+i\, \operatorname {sen} \, y)} onde z {\displaystyle z} é a variábel complexa definida por z
x + i y {\displaystyle z
x+iy} Demostración
Nótese que esta non é unha demostración baseada nas propiedades dos números complexos e da función exponencial, senón que é necesaria a definición da exponencial complexa como o equivalente á serie de Taylor sobre os números reais para parámetros complexos.
A fórmula pode interpretarse xeometricamente como unha circunferencia unitaria no plano complexo, debuxada pola función eix ao variar x {\displaystyle x} sobre os números reais. Así, x {\displaystyle x} é o ángulo dunha recta que conecta a orixe do plano e un punto sobre a circunferencia unidade, co eixe positivo real, medido no sentido contrario ás agullas do reloxo e en radiáns. A fórmula só é válida se tamén o seno e o coseno teñen os seus argumentos en radianes.
A fórmula de Euler foi formulada por primeira vez por Roger Cotes en 1714, e logo redescuberta e popularizada por Euler en 1748. É interesante notar que ningún dos descubridores viu a interpretación xeométrica sinalada anteriormente: a visión dos números complexos como puntos no plano xurdiu en 1787 por parte do matemático Caspar Wessel no seu único informe para a Real Academia Danesa.
Demostración usando as series de Taylor
Sabendo que: i 0
1, i 1
i, i 2
− 1 i 3
− i, i 4
1, i 5
i, i 6
− 1, i 7
− i, {\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}
1, \quad &i^{1}&{}
i, \quad &i^{2}&{}
-1\quad &i^{3}&{}
-i, \\i^{4}&
{}1, \quad &i^{5}&
{}i, \quad &i^{6}&{}
-1, \quad &i^{7}&{}
-i, \\\end{aligned}}} e así sucesivamente. Ademais disto, as funcións ex, cos(x) e sen(x) (asumindo que x sexa un número real) poden ser expresadas empregando as súas series de Taylor ao redor de cero. e x
x 00! + x 11! + x 22! + x 33! + x 44! + ⋯ cos ⁡ x
x 00! − x 22! + x 44! − x 66! + ⋯ sin ⁡ x
x 11! − x 33! + x 55! − x 77! + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&{}
{\frac {x^{0}}{0! }}+{\frac {x^{1}}{1! }}+{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{3}}{3! }}+{\frac {x^{4}}{4! }}+\cdots \\\cos x&{}
{\frac {x^{0}}{0! }}-{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{4}}{4! }}-{\frac {x^{6}}{6! }}+\cdots \\\sin x&{}
{\frac {x^{1}}{1! }}-{\frac {x^{3}}{3! }}+{\frac {x^{5}}{5! }}-{\frac {x^{7}}{7! }}+\cdots \end{aligned}}} Outra definición que se lle pode dar a e elevado a xe baseándose nas series de Taylor é a seguinte: e x
1 + ( ∑ k
1 ∞ x k k! ) {\displaystyle e^{x}
1+{\biggl (}\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k! }}{\biggr )}} tamén valido para. cos ⁡ x
1 + ( ∑ k
1 ∞ x k k! ) {\displaystyle \cos x
1+{\biggl (}\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k! }}{\biggr )}} sin ⁡ x
1 + ( ∑ k
1 ∞ x k k! ) {\displaystyle \sin x
1+{\biggl (}\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k! }}{\biggr )}} Defínese cada unha destas funcións polas series anteriores, substituíndo x por i·z, onde z é unha variable real e i a unidade imaxinaria. Isto é posible porque o raio de converxencia é infinito en cada serie. Entón atópase que: e i z
( i z ) 00! + ( i z ) 11! + ( i z ) 22! + ( i z ) 33! + ( i z ) 44! + ( i z ) 55! + ( i z ) 66! + ( i z ) 77! + ( i z ) 88! + ⋯
z 00! + i z 11! − z 22! − i z 33! + z 44! + i z 55! − z 66! − i z 77! + z 88! + ⋯
( z 00! − z 22! + z 44! − z 66! + z 88! − ⋯ ) + i ( z 11! − z 33! + z 55! − z 77! + ⋯ )
cos ⁡ ( z ) + i sin ⁡ ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}
{\frac {(iz)^{0}}{0! }}+{\frac {(iz)^{1}}{1! }}+{\frac {(iz)^{2}}{2! }}+{\frac {(iz)^{3}}{3! }}+{\frac {(iz)^{4}}{4! }}+{\frac {(iz)^{5}}{5! }}+{\frac {(iz)^{6}}{6! }}+{\frac {(iz)^{7}}{7! }}+{\frac {(iz)^{8}}{8! }}+\cdots \\&{}
{\frac {z^{0}}{0! }}+i{\frac {z^{1}}{1! }}-{\frac {z^{2}}{2! }}-i{\frac {z^{3}}{3! }}+{\frac {z^{4}}{4! }}+i{\frac {z^{5}}{5! }}-{\frac {z^{6}}{6! }}-i{\frac {z^{7}}{7! }}+{\frac {z^{8}}{8! }}+\cdots \\&{}
\left({\frac {z^{0}}{0! }}-{\frac {z^{2}}{2! }}+{\frac {z^{4}}{4! }}-{\frac {z^{6}}{6! }}+{\frac {z^{8}}{8! }}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1! }}-{\frac {z^{3}}{3! }}+{\frac {z^{5}}{5! }}-{\frac {z^{7}}{7! }}+\cdots \right)\\&{}
\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}} O reordenamento é posible debido a que cada serie é absolutamente converxente. Substituíndo z x como un número real resulta identidade orixinal como a descubriu Euler. Relevancia matemática
A fórmula proporciona unha potente conexión entre a análise matemática e a trigonometría. Utilízase para representar os números complexos en coordenadas polares e permite definir o logaritmo para números negativos e números complexos.
Logaritmo dun número negativo
Neste caso, a fórmula de Euler avalíase en x
π {\displaystyle x
\pi }, obtendo a identidade de Euler: e i π
cos ⁡ π + i sen ⁡ π
− 1 {\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }
\cos \pi +\mathrm {i} \, \operatorname {sen} \pi
-1} e i π
− 1 {\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }
-1\, \! } Logo, ao aplicar o logaritmo natural obtense: i π
ln ⁡ ( − 1 ) {\displaystyle \mathrm {i} \pi
\ln(-1)\, \! }.
Logaritmo dun número negativo calquera
Como extensión da ecuación anterior, o logaritmo de calquera número negativo defínese como: ln ⁡ ( − a )
ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( − 1 )
ln ⁡ ( a ) + i π {\displaystyle \ln(-a)
\ln(a)+\ln(-1)
\ln(a)+\mathrm {i} \pi \, \! }. Onde a > 0 {\displaystyle a>0}.
Ademais pode definirse o logaritmo dun número negativo en calquera base, a partir do logaritmo natural e a fórmula de cambio de base.
Integración e derivación
Unha propiedade importante da fórmula de Euler é que é a única función matemática que permanece coa mesma forma (excepto pola unidade imaxinaria) coas operacións de integración e derivación do cálculo integral, o que permite que se empregue para converter ecuacións diferenciais en ecuacións con forma alxébrica, simplificando enormemente esas operacións.
Das regras da exponenciación e a + b
e a ⋅ e b {\displaystyle e^{a+b}
e^{a}\cdot e^{b}} e ( e a ) b
e a ⋅ b {\displaystyle (e^{a})^{b}
e^{a\cdot b}} (válidas para todo par de números complexos a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} ), pódense derivar varias identidades trigonométricas, así como a fórmula de De Moivre.
Funcións trigonométricas
A fórmula de Euler tamén permite interpretar as funcións seno e coseno como simples variacións da función exponencial: cos ⁡ x
e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos x
{e^{ix}+e^{-ix} \over 2}} sen ⁡ x
e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \operatorname {sen} x
{e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}} A partir destas igualdades, é posible definir as funcións trigonométricas para os números complexos deste xeito: sen ⁡ z
e z i − e − z i 2 i {\displaystyle \operatorname {sen} z
{\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}} cos ⁡ z
e z i + e − z i 2 {\displaystyle \cos z
{\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}} tan ⁡ z
e z i − e − z i e z i + e − z i ∗ 1 i {\displaystyle \tan z
{\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}*{\cfrac {1}{i}}} sendo z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} }, é dicir, que pertence ao conxunto de números complexos. Estas funcións trigonométricas cumpren as leis das súas similares aplicadas aos números reais. Sexan os números complexos z {\displaystyle z} e w {\displaystyle w}, é dicir z ∧ w ∈ C {\displaystyle z\land w\in \mathbb {C} }, entón son válidas as seguintes igualdades: cos 2 ⁡ z + sen 2 ⁡ z
1 {\displaystyle \cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}
1} cos ⁡ ( − z )
cos ⁡ ( z ) {\displaystyle \cos(-z)
\cos(z)} sen ⁡ ( − z )
− sen ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {sen}(-z)
-\operatorname {sen}(z)} sen ⁡ ( z + w )
sen ⁡ ( z ) cos ⁡ ( w ) + sen ⁡ ( w ) cos ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {sen}(z+w)
\operatorname {sen}(z)\cos(w)+\operatorname {sen}(w)\cos(z)} cos ⁡ ( z + w )
cos ⁡ ( z ) cos ⁡ ( w ) − sen ⁡ ( w ) sen ⁡ ( z ) {\displaystyle \cos(z+w)
\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen}(w)\operatorname {sen}(z)}
Ecuacións diferenciais
Nas ecuacións diferenciais, a expresión e i x {\displaystyle e^{ix}} é utilizada a miúdo para simplificar derivadas, mesmo se a resposta final é unha función real na que aparezan senos ou cosenos. A identidade de Euler é unha consecuencia inmediata da fórmula de Euler.
Análise de sinais
Os sinais que varían periodicamente adoitan describirse como unha combinación de funcións seno e coseno, como ocorre na análise de Fourier, e estas exprésanse máis convenientemente como a parte real dunha función exponencial con expoñente imaxinario, empregando a fórmula de Euler.