Espazo ultramétrico

En matemáticas, un espazo ultramétrico é un espazo métrico no que a desigualdade do triángulo faise máis forte sendo d ( x, z ) ≤ max { d ( x, y ), d ( y, z ) } {\displaystyle d(x, z)\leq \max \left\{d(x, y), d(y, z)\right\}} para todos os x {\displaystyle x}, y {\displaystyle y}, e z {\displaystyle z}. Ás veces, a métrica asociada tamén se denomina métrica non arquimediana ou supermétrica. Definición formal
Unha ultramétrica nun conxunto M é unha función con valores reais d: M × M → R {\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} } (onde ℝ denota os números reais), tal que para todo x, y, z ∈ M: d(x, y) ≥ 0;
d(x, y) d(y, x) (simetría);
d(x, x) 0;
se d(x, y)
0 entón x
y;
d(x, z) ≤ max {d(x, y), d(y, z)} (desigualdade forte do triángulo ou desigualdade ultramétrica).
Un espazo ultramétrico é un par (M, d) formado por un conxunto M xunto cunha distancia d ultramétrica en M, que se denomina función de distancia asociada ao espazo (tamén chamada métrica).
Se d satisfai todas as condicións excepto posíbelmente a condición 4, entón d chámase ultrapseudométrica en M. Un espazo ultrapseudométrico é un par (M, d) formado por un conxunto M e un ultrapseudométrico d sobre M. No caso de que M sexa un grupo abeliano (escrito aditivamente) e d é xerada por unha función de lonxitude ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} (para que d ( x, y )
‖ x − y ‖ {\displaystyle d(x, y)
\|x-y\|} ), a última propiedade pódese fortalecer usando a Krull, temos: ‖ x + y ‖ ≤ max { ‖ x ‖, ‖ y ‖ } {\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|, \|y\|\right\}} con igualdade se ‖ x ‖ ≠ ‖ y ‖ {\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}. Propiedades
Da definición anterior, pódese concluír varias propiedades típicas da ultramétrica. Por exemplo, para todos os x, y, z ∈ M {\displaystyle x, y, z\in M}, cúmprese polo menos unha das tres igualdades d ( x, y )
d ( y, z ) {\displaystyle d(x, y)
d(y, z)} ou d ( x, z )
d ( y, z ) {\displaystyle d(x, z)
d(y, z)} ou d ( x, y )
d ( z, x ) {\displaystyle d(x, y)
d(z, x)}. É dicir, cada tripla de puntos do espazo forma un triángulo isósceles.
Definimos a bóla (aberta) de raio r > 0 {\displaystyle r>0} centrado en x ∈ M {\displaystyle x\in M} como B ( x; r ):
{ y ∈ M ∣ d ( x, y ) < r } {\displaystyle B(x; r):
\{y\in M\mid d(x, y)<r\}}, temos as seguintes propiedades: Todo punto dentro dunha bóla é o seu centro, é dicir, se d ( x, y ) < r {\displaystyle d(x, y)<r} entón B ( x; r )
B ( y; r ) {\displaystyle B(x; r)
B(y; r)}.
As bólas que se cruzan están contidas entre si, é dicir, se B ( x; r ) ∩ B ( y; s ) {\displaystyle B(x; r)\cap B(y; s)} entón tampouco está baleiro B ( x; r ) ⊆ B ( y; s ) {\displaystyle B(x; r)\subseteq B(y; s)} ou B ( y; s ) ⊆ B ( x; r ) {\displaystyle B(y; s)\subseteq B(x; r)}.
Todas as bólas de raio estritamente positivo son conxuntos abertos e pechados na topoloxía inducida. É dicir, as bólas abertas tamén están pechadas e as bólas pechadas (substitúe < {\displaystyle <} con ≤ {\displaystyle \leq } ) tamén están abertas.
O conxunto de todas as bólas abertas con raio r {\displaystyle r} e centro nunha bóla pechada de raio r > 0 {\displaystyle r>0} forma unha partición deste último, e a distancia mutua de dúas bólas abertas distintas é (maior ou) igual a r {\displaystyle r}. Exemplos
A métrica discreta é unha ultramétrica.
Os números p-ádicos forman un espazo ultramétrico completo.
Considere o conxunto de palabras de lonxitude arbitraria (finita ou infinita), Σ*, sobre algún alfabeto Σ. Definimos a distancia entre dúas palabras diferentes como 2−n, onde n é o primeiro lugar no que difiren as palabras. A métrica resultante é unha ultramétrica. Se r
(rn) é unha secuencia de números reais que decrecen a cero, entón |x|r:
lim sup n →∞ | xn |rn induce unha ultramétrica no espazo de todas as secuencias complexas para as que é finita.
Se G é un grafo non dirixido ponderado por arestas, todos os pesos das arestas son positivos, e d(u, v) é o peso do camiño mínimo entre u e v (é dicir, o maior peso dunha aresta, nun camiño escollido para minimizar este maior peso), entón os vértices do grafo, coa distancia medida por d, forman un espazo ultramétrico, e todos os espazos ultramétricos finitos poden representarse deste xeito.