Plano complexo

En matemáticas, o plano complexo é unha forma de visualizar o espazo dos números complexos. Pódese entender como un plano cartesiano modificado, no que a parte real está representada no eixo x e a parte imaxinaria no eixo y. O eixo x tamén se denomina eixo real e o eixo y eixo imaxinario. O plano complexo tamén se denomina plano de Argand, xa que se usa nos diagramas de Argand. Estes levan o nome de Jean-Robert Argand (1768-1822). Os diagramas de Argand úsanse a miúdo para representar as posicións dos polos e ceros dunha función no plano complexo.
O concepto de plano complexo permite unha interpretación xeométrica dos números complexos. A adición de números complexos pódese relacionar coa suma de vectores e a multiplicación de dous números complexos pódese expresar máis facilmente en coordenadas polares: a magnitude ou módulo do produto é o produto dos dous valores absolutos, ou módulos, e o ángulo ou argumento do produto é a suma dos dous ángulos, ou argumentos. En particular, a multiplicación por un número complexo de módulo 1 actúa como unha rotación.
A teoría das funcións complexas é unha das áreas máis ricas das matemáticas, que atopa aplicación en moitas outras áreas das matemáticas e tamén na física, a electrónica e moitos outros campos. Convencións de notación
Números complexos
Na análise complexa, os números complexos son normalmente representados polo símbolo z, que se pode separar nas súas partes reais (x) e imaxinarias (y): z
x + i y
| z | ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ )
| z | e i θ {\displaystyle z
x+iy
|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)
|z|e^{i\theta }} No plano cartesiano o punto (x, y) tamén se pode representar en coordenadas polares como | z |
x 2 + y 2; θ
arg ⁡ ( z )
1 i ln ⁡ z | z |
− i ln ⁡ z | z |. {\displaystyle |z|
{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}; \quad \theta
\arg(z)
{\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}
-i\ln {\frac {z}{|z|}}. } No plano cartesiano pódese supoñer que a arcotanxente toma valores de − π /2 a π /2 (en radiáns), e hai que ter coidado de definir a función arcotanxente máis completa para os puntos (x, y) cando x ≤ 0. No plano complexo estas coordenadas polares adoptan a forma z
x + i y; f ( z )
w
u + i v {\displaystyle z
x+iy; \qquad f(z) w
u+iv} z
x + i y {\displaystyle z
x+iy} Aquí |z| é o valor absoluto ou módulo do número complexo z; θ é o argumento de z, adoita tomarse no intervalo 0 ≤ θ < 2π; e a última igualdade (z
|z|eiθ ) tómase da fórmula de Euler. Sen a restrición de rango de θ, o argumento de z é multivalor, porque a función exponencial complexa é periódica, con período 2πi. Así, se θ é un valor de arg(z), os demais valores veñen dados por arg(z) θ + 2nπ, onde n é calquera número enteiro distinto de cero.
Case toda a análise complexa ten que ver con funcións complexas, é dicir, con funcións que mapean algún subconxunto do plano complexo noutro subconxunto (posíbelmente superposto, ou mesmo idéntico) do plano complexo. Aquí é costume falar do dominio de f (z) como situado no plano z, mentres se refire ao rango de f (z) como un conxunto de puntos no plano w. Escribimos con símbolos z
x + i y; f ( z )
w
u + i v {\displaystyle z
x+iy; \qquad f(z) w u+iv} e moitas veces pensas na función f como unha transformación do plano z (con coordenadas (x, y)) ao plano w (con coordenadas (u, v)).
O plano complexo denotase como C {\displaystyle \mathbb {C} }. Proxección estereográfica
Pode ser útil pensar que o plano complexo ocupa a superficie dunha esfera. Dada unha esfera de raio unidade, coloque o seu centro na orixe do plano complexo, orientado de xeito que o ecuador da esfera coincida co círculo unitario do plano, e o polo norte estea "por enriba" do plano.
Podemos estabelecer unha correspondencia un a un entre os puntos da superficie da esfera menos o polo norte e os puntos do plano complexo do seguinte xeito. Dado un punto no plano, traze unha liña recta que o conecte co polo norte da esfera. Esta liña corta a superficie da esfera exactamente noutro punto. O punto z
0 proxéctase sobre o polo sur da esfera. Desde o interior do círculo unitario dentro da esfera, toda a rexión (|z| <1) mapearase no hemisferio sur. O propio círculo unitario (|z|
1) proxéctase sobre o ecuador e o exterior do círculo unitario (|z|> 1) mapearase ao hemisferio norte, menos o polo norte. Claramente, este procedemento é reversíbel: tendo en conta calquera punto da superficie da esfera que non sexa o polo norte, podemos trazar unha liña recta que une ese punto co polo norte e corta o plano exactamente nun punto. Esfera de Riemann. Falamos dun único punto no infinito cando falamos de análise complexa. Hai dous puntos no infinito (positivo e negativo) na recta numérica real, mais só hai un punto no infinito (o polo norte) no plano complexo estendido. Diagrama de Argand
O diagrama de Argand refírese a unha trama xeométrica de números complexos como puntos z x + iy, como falado na introdución, úsanse a miúdo para representar as posicións dos ceros e polos dunha función no plano complexo.