Regra da cadea

En cálculo, a regra da cadea é unha fórmula que expresa a derivada da composición de dúas funcións diferenciábeis f e g en termos das derivadas de f e de g. Máis precisamente, se h
f ∘ g {\displaystyle h
f\circ g} é a función tal que h ( x )
f ( g ( x ) ) {\displaystyle h(x)
f(g(x))} para cada x, entón a regra da cadea é, na notación de Lagrange, h ′ ( x )
f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ). {\displaystyle h'(x)
f'(g(x))g'(x). } ou equivalentemente, h ′
( f ∘ g ) ′
( f ′ ∘ g ) ⋅ g ′. {\displaystyle h'
(f\circ g)'
(f'\circ g)\cdot g'. } A regra da cadea tamén se pode expresar na notación de Leibniz. Se unha variábel z depende da variábel y, que a si mesmo depende da variábel x (é dicir, y e z son variábeis dependentes), entón z depende tamén de x, a través da variábel intermedia y. Neste caso, a regra da cadea exprésase como d z d x
d z d y ⋅ d y d x, {\displaystyle {\frac {dz}{dx}}
{\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}, } e d z d x | x
d z d y | y ( x ) ⋅ d y d x | x, {\displaystyle \left. {\frac {dz}{dx}}\right|_{x}
\left. {\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left. {\frac {dy}{dx}}\right|_{x}, } para indicar en que puntos se teñen que avaliar as derivadas.
Na integración, a contrapartida da regra da cadea é o cambio de variábel. Enunciado
A forma máis sinxela da regra da cadea é para funcións con valores reais dunha variábel real. Afirma que se g é unha función que é derivábel nun punto c (isto é, a derivada g′(c) existe) e f é unha función que é derivábel en g(c), entón a función composta f ∘ g {\displaystyle f\circ g} é diferenciábel en c, e a derivada é ( f ∘ g ) ′ ( c )
f ′ ( g ( c ) ) ⋅ g ′ ( c ). {\displaystyle (f\circ g)'(c)
f'(g(c))\cdot g'(c). } A regra ás veces abreviase como ( f ∘ g ) ′
( f ′ ∘ g ) ⋅ g ′. {\displaystyle (f\circ g)'
(f'\circ g)\cdot g'. } Continuando o mesmo razoamento, dadas n funcións f 1, …, f n {\displaystyle f_{1}, \ldots, f_{n}\! } coa función composta f 1 ∘ ( f 2 ∘ ⋯ ( f n − 1 ∘ f n ) ) {\displaystyle f_{1}\circ (f_{2}\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_{n}))\! }, se cada función f i {\displaystyle f_{i}\! } é diferenciábel na súa entrada inmediata, entón a función composta tamén é diferenciábel pola aplicación repetida da regra da cadea, onde a derivada é (en notación de Leibniz): d f 1 d x
d f 1 d f 2 d f 2 d f 3 ⋯ d f n d x. {\displaystyle {\frac {df_{1}}{dx}}
{\frac {df_{1}}{df_{2}}}{\frac {df_{2}}{df_{3}}}\cdots {\frac {df_{n}}{dx}}. } Aplicacións
Composición de máis de dúas funcións
A regra da cadea pódese aplicar a compostos de máis de dúas funcións. Podemos velo cun exemplo:
Consideremos a función y
e sin ⁡ ( x 2 ). {\displaystyle y
e^{\sin(x^{2})}. } Isto pódese descompoñer como a composición de tres funcións: y
f ( u )
e u, u
g ( v )
sin ⁡ v, v
h ( x )
x 2. {\displaystyle {\begin{aligned}y&
f(u)
e^{u}, \\u&
g(v)
\sin v, \\v&
h(x)
x^{2}. \end{aligned}}} Así que y
f ( g ( h ( x ) ) ) {\displaystyle y
f(g(h(x)))}.
As súas derivadas son: d y d u
f ′ ( u )
e u, d u d v
g ′ ( v )
cos ⁡ v, d v d x
h ′ ( x )
2 x. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&
f'(u)
e^{u}, \\{\frac {du}{dv}}&
g'(v)
\cos v, \\{\frac {dv}{dx}}&
h'(x)
2x. \end{aligned}}} A regra da cadea estabelece que a derivada da súa composición no punto x
a é: ( f ∘ g ∘ h ) ′ ( a )
f ′ ( ( g ∘ h ) ( a ) ) ⋅ ( g ∘ h ) ′ ( a )
f ′ ( ( g ∘ h ) ( a ) ) ⋅ g ′ ( h ( a ) ) ⋅ h ′ ( a )
( f ′ ∘ g ∘ h ) ( a ) ⋅ ( g ′ ∘ h ) ( a ) ⋅ h ′ ( a ). {\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g\circ h)'(a)&
f'((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h)'(a)\\&
f'((g\circ h)(a))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a)\\&
(f'\circ g\circ h)(a)\cdot (g'\circ h)(a)\cdot h'(a). \end{aligned}}} En notación de Leibniz, isto é: d y d x
d y d u | u
g ( h ( a ) ) ⋅ d u d v | v
h ( a ) ⋅ d v d x | x
a, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}
\left. {\frac {dy}{du}}\right|_{u
g(h(a))}\cdot \left. {\frac {du}{dv}}\right|_{v
h(a)}\cdot \left. {\frac {dv}{dx}}\right|_{x
a}, } ou para abreviar, d y d x
d y d u ⋅ d u d v ⋅ d v d x. {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}
{\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}. } Polo tanto, a función derivada é: d y d x
e sin ⁡ ( x 2 ) ⋅ cos ⁡ ( x 2 ) ⋅ 2 x. {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}
e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x. } Outra forma de calcular esta derivada é ver a función composta f ∘ g ∘ h como a composición de f ∘ g e h. Aplicando a regra da cadea deste xeito obterase: ( f ∘ g ∘ h ) ′ ( a )
( f ∘ g ) ′ ( h ( a ) ) ⋅ h ′ ( a )
f ′ ( g ( h ( a ) ) ) ⋅ g ′ ( h ( a ) ) ⋅ h ′ ( a ). {\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)
(f\circ g)'(h(a))\cdot h'(a)
f'(g(h(a)))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a). } Isto é o mesmo que o calculado anteriormente. Isto debería esperarse porque (f ∘ g) ∘ h
f ∘ (g ∘ h).
Regra do cociente
A regra da cadea pódese usar para derivar algunhas regras de diferenciación coñecidas. Por exemplo, a regra do cociente é unha consecuencia da regra da cadea e da regra do produto. Para ver isto, escribimos a función f(x)/g(x) como o produto f(x) · 1/g(x). Primeiro aplicamos a regra do produto: d d x ( f ( x ) g ( x ) )
d d x ( f ( x ) ⋅ 1 g ( x ) )
f ′ ( x ) ⋅ 1 g ( x ) + f ( x ) ⋅ d d x ( 1 g ( x ) ). {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&
{\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&
f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right). \end{aligned}}} Para calcular a derivada de 1/g(x), observamos que é a composición de g coa función recíproca, é dicir, a función que envía x a 1/x. A derivada da función recíproca é − 1 / x 2 {\displaystyle -1/x^{2}\! }. Ao aplicar a regra da cadea, a última expresión pasa a ser: f ′ ( x ) ⋅ 1 g ( x ) + f ( x ) ⋅ ( − 1 g ( x ) 2 ⋅ g ′ ( x ) )
f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2, {\displaystyle f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)
{\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}, } que é a fórmula habitual da regra do cociente.
Derivadas de funcións inversas
Supoñamos que y
g(x) ten unha función inversa. Chamamos á súa función inversa f para que teñamos x
f(y). Hai unha fórmula para a derivada de f en termos da derivada de g. Para ver isto, temos en conta que f e g satisfán a fórmula f ( g ( x ) )
x. {\displaystyle f(g(x))
x. } E como as funcións f ( g ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))} e x son iguais, as súas derivadas deben ser iguais. A derivada de x é a función constante con valor 1, e a derivada de f ( g ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))} está determinada pola regra da cadea. Polo tanto, temos que: f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x )
1. {\displaystyle f'(g(x))g'(x)
1. } Para expresar f ′ {\displaystyle f'} como función dunha variábel independente y {\displaystyle y}, substituímos f ( y ) {\displaystyle f(y)} por x {\displaystyle x} onde queira que apareza. Entón podemos resolver para f ′ {\displaystyle f'}. f ′ ( g ( f ( y ) ) ) g ′ ( f ( y ) )
1 f ′ ( y ) g ′ ( f ( y ) )
1 f ′ ( y )
1 g ′ ( f ( y ) ). {\displaystyle {\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&
1\\f'(y)g'(f(y))&
1\\f'(y)
{\frac {1}{g'(f(y))}}. \end{aligned}}} Por exemplo, consideremos a función g ( x )
e x {\displaystyle g(x)
e^{x}}. Ten unha inversa f ( y )
ln ⁡ y {\displaystyle f(y)
\ln {y}}. Dado que para a función exponencial a derivada é igual á función temos que g ′ ( x )
e x {\displaystyle g'(x)
e^{x}}, e por tanto a fórmula anterior ficaría como d d y ln ⁡ y
1 e ln ⁡ y
1 y. {\displaystyle {\frac {d}{dy}}\ln y
{\frac {1}{e^{\ln y}}}
{\frac {1}{y}}. } Esta fórmula é certa sempre que g é diferenciábel e a súa inversa f tamén é diferenciábel.