Test M de Weierstrass

En matemáticas, o test M de Weierstrass é un test para determinar se unha serie infinita de funcións converxen de forma uniforme e absoluta. Aplícase a series cuxos termos son funcións limitadas con valores reais ou complexos, e é análogo ao test de comparación para determinar a converxencia de series de números reais ou complexos. Leva o nome do matemático alemán Karl Weierstrass (1815–1897). Enunciado
Test M de Weierstrass. Supoña que (fn) é unha sucesión de funcións de valores reais ou complexos definidas nun conxunto A, e que hai unha sucesión de números non negativos (Mn) que satisfai as condicións | f n ( x ) | ≤ M n {\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}} para todos os n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} e todo x ∈ A {\displaystyle x\in A}. ∑ n
1 ∞ M n {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }M_{n}} converxe.
Daquela a serie ∑ n
1 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }f_{n}(x)} converxe absoluta e uniformemente en A.
Unha serie que satisfai a hipótese chámase normalmente converxente. O resultado úsase a miúdo en combinación co teorema do límite uniforme. Xuntos din que se, a maiores das condicións anteriores, o conxunto A é un espazo topolóxico e as funcións fn son continuas en A, entón a serie converxe a unha función continua. Proba
Considere a sucesión de sumas parciais de funcións S n ( x )
∑ k
1 n f k ( x ). {\displaystyle S_{n}(x)
\sum _{k
1}^{n}f_{k}(x). } Posto que a serie ∑ n
1 ∞ M n {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }M_{n}} converxe e Mn ≥ 0 para todo n, entón polo criterio de Cauchy, ∀ ε > 0: ∃ N: ∀ m > n > N: ∑ k
n + 1 m M k < ε. {\displaystyle \forall \varepsilon >0: \exists N: \forall m>n>N: \sum _{k
n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon. } Para o N escollido, ∀ x ∈ A: ∀ m > n > N {\displaystyle \forall x\in A: \forall m>n>N} | S m ( x ) − S n ( x ) |
| ∑ k
n + 1 m f k ( x ) | ≤ ( 1 ) ∑ k
n + 1 m | f k ( x ) | ≤ ∑ k
n + 1 m M k < ε. {\displaystyle \left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|
\left|\sum _{k
n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k
n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k
n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon. } (A desigualdade (1) dedúcese da desigualdade do triángulo).
A sucesión Sn(x) é así unha secuencia de Cauchy en R ou C, e por completude converxe a algún número S(x) que depende de x. Para n > N podemos escribir | S ( x ) − S n ( x ) |
| lim m → ∞ S m ( x ) − S n ( x ) |
lim m → ∞ | S m ( x ) − S n ( x ) | ≤ ε. {\displaystyle \left|S(x)-S_{n}(x)\right|
\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|
\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon. } Dado que N non depende de x, isto significa que a secuencia Sn de sumas parciais converxe uniformemente á función S. De aí, por definición, a serie ∑ k
1 ∞ f k ( x ) {\displaystyle \sum _{k
1}^{\infty }f_{k}(x)} converxe uniformemente.
De xeito análogo, pódese probar que ∑ k
1 ∞ | f k ( x ) | {\displaystyle \sum _{k
1}^{\infty }|f_{k}(x)|} converxe uniformemente. Exemplo
Sexa 0 < α < 1 {\displaystyle 0<\alpha <1} un número real, entón a función de Weierstrass: f ( x )
∑ n
0 ∞ 2 − n α e i 2 n x {\displaystyle f(x)
\sum _{n
0}^{\infty }2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}}, continua en todas as partes, mais non é diferenciábel en lugar ningún. A continuidade desta función pódese probar co test M de Weierstrass. É certo que: | 2 − n α e i 2 n x |
2 − n α {\displaystyle \left|2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}\right|
2^{-n\alpha }} así como: ∑ n
0 ∞ 2 − n α
∑ n
0 ∞ ( 12 α ) n
11 − 2 − α < ∞ {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }2^{-n\alpha }
\sum _{n
0}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{\alpha }}}\right)^{n}
{\frac {1}{1-2^{-\alpha }}}<\infty } converxe uniformemente segundo o test M de Weierstrass. As sumas parciais individuais forman agora unha secuencia de funcións continuas que converxen uniformemente a f {\displaystyle f}. Así, f {\displaystyle f} é continua como tal límite. Xeneralización
Unha versión máis xeral do test M de Weierstrass cúmprese se o codominio común das funcións (fn) é un espazo de Banach, nese caso a premisa | f n ( x ) | ≤ M n {\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}} debe ser substituído por ‖ f n ( x ) ‖ ≤ M n {\displaystyle \|f_{n}(x)\|\leq M_{n}},
onde ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} é a norma no espazo de Banach. Para un exemplo do uso desta proba nun espazo de Banach, consulte o artigo Derivada de Fréchet.