Automorfismo

En matemáticas, un automorfismo é un isomorfismo dun obxecto matemático en si mesmo. É, en certo sentido, unha simetría do obxecto e unha forma de mapear o obxecto en si mesmo conservando toda a súa estrutura. O conxunto de todos os automorfismos dun obxecto forma un grupo, chamado grupo de automorfismos. Definición
Nunha estrutura alxébrica como un grupo, un anel ou espazo vectorial, un automorfismo é simplemente un homomorfismo bixectivo dun obxecto en si mesmo.
Para un obxecto dalgunha categoría, un automorfismo é un morfismo do obxecto en si mesmo que ten un morfismo inverso; é dicir, un morfismo f: X → X {\displaystyle f: X\to X} é un automorfismo se hai un morfismo g: X → X {\displaystyle g: X\to X} tal que g ∘ f
f ∘ g
id X, {\displaystyle g\circ f
f\circ g
\operatorname {id} _{X}, } onde id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}} é o morfismo de identidade de X. Grupo de automorfismos
Os automorfismos dun obxecto X forman un grupo baixo composición de morfismos, que se chama grupo de automorfismos de X.
O grupo de automorfismos dun obxecto X nunha categoría C denomínase a miúdo AutC(X), ou simplemente Aut (X) se a categoría esta clara no contexto. Exemplos
En teoría de conxuntos, unha permutación arbitraria dos elementos dun conxunto X é un automorfismo. O grupo de automorfismos de X tamén se chama o grupo simétrico en X.
En aritmética elemental, o conxunto de enteiros, Z, considerado como un grupo baixo adición, ten un automorfismo non trivial único: a negación. Porén, considerado como un anel, só ten o automorfismo trivial. En xeral, a negación é un automorfismo de calquera grupo abeliano, pero non dun anel ou dun corpo.
Un automorfismo de grupo é un isomorfismo de grupos dun grupo en si mesmo. Informalmente, é unha permutación dos elementos do grupo de tal xeito que a estrutura permanece inalterada. Para cada grupo G hai un homomorfismo de grupo natural G → Aut(G) cuxa imaxe é o grupo Inn(G) de automorfismos internos e cuxo kernel é o centro de G Así, se G ten un centro trivial pode ser inserido no seu propio grupo de automorfismos.
En álxebra linear, un endomorfismo dun espazo vectorial V é un operador lineal V → V. Un automorfismo é un operador linear invertible en V. Cando o espazo vectorial é de dimensión finita, o grupo de automorfismos de V é o mesmo que o grupo linear xeral GL(V).
Un automorfismo de corpos é un homomorfismo de anel bixectivo dun corpo en si mesmo.
O corpo Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dos números racionais non ten outro automorfismo que a identidade, xa que un automorfismo debe fixar a identidade aditiva 0 e a identidade multiplicativa 1.
O corpo R {\displaystyle \mathbb {R} } dos números reais non ten outro automorfismo que a identidade.
O corpo C {\displaystyle \mathbb {C} } dos números complexos, ten un único automorfismo non trivial, que envía R {\displaystyle \mathbb {R} } a R, {\displaystyle \mathbb {R}, } a conxugación complexa. Por outro lado, hai infinitamente moitos (incontables) automorfismos, se asumimos o axioma de escolla.
O estudo dos automorfismos das extensións de campo alxébrico é o punto de partida e o principal obxecto da Teoría de Galois.
O grupo de automorfismos dos cuaternións (H) como un anel son os automorfismos internos, polo teorema de Skolem-Noether son os mapas da forma a ↦ bab−1. Este grupo é isomorfo a SO (3), o grupo de rotacións no espazo tridimensional.
O grupo de automorfismos dos octonións (O) é o grupo de Lie G2.
En teoría de grafos un automorfismo dun grafo é unha permutación dos nodos que conserva arestas e non arestas. En particular, se dous nodos están unidos por unha aresta, tamén o están as súas imaxes baixo a permutación.
En xeometría, un automorfismo pode ser chamado un movemento no espazo. Tamén se usa terminoloxía especializada:
En espazo métrico un automorfismo é unha auto-isometría. O grupo de automorfismos tamén se chama o grupo de isometrías.
Na categoría dsa superficies de Riemann, un automorfismo é un mapa biholomorfo (tamén chamado a mapa conforme), dunha superficie en si mesma. Por exemplo, os automorfismos da esfera de Riemann son transformacións de Möbius.
Un automorfismo dunha variedade M é un difeomorfismo de M en si mesmo. O grupo de automorfismos denótase Diff(M).
En topoloxía, os morfísmos entre espazos topolóxicos son chamados mapas continuos, e un automorfismo dun espazo topolóxico é un homeomorfismo do espazo en si mesmo, ou auto-homeomorfismo (ver grupo de homeomorfismos). Neste exemplo non é abondo que un morfismo sexa bixectivo para ser un isomorfismo. Automorfismos internos e externos
Nalgunhas categorías, en particular grupos, aneis e álxebras de Lie, é posible separar os automorfismos en dous tipos, chamados automorfismos "interiores" e "exteriores". Nalgunhas categorías, en particular grupos, aneis e álxebras de Lie, é posible separar os automorfismos en dous tipos, chamados automorfismos "interiores" e "exteriores".
No caso dos grupos, os automorfismos internos son as conxugacións polos elementos do propio grupo. Para cada elemento a dun grupo G, a conxugación por a é a operación φa: G → G dada por φa(g) aga−1 (ou a−1 ga). Pódese comprobar facilmente que a conxugación por a é un automorfismo de grupo. Os automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut( G ), denotado por Inn(G); isto chámase lema de Goursat.
Os outros automorfismos chámanse automorfismos externos. O grupo cociente Aut(G) / Inn(G) adoita denotarse por Out(G); os elementos non triviais son as coclases (cosets) que conteñen os automorfismos exteriores.
A mesma definición vale para calquera anel ou álxebra onde a é calquera elemento invertible. Para as álxebras de Lie a definición é lixeiramente diferente.