Lema de Gauss

En álxebra, o lema de Gauss, que recibe o nome de Carl Friedrich Gauss, é un teorema sobre polinomios sobre os enteiros, ou, de xeito máis xeral, sobre un dominio de factorización único (é dicir, un anel que ten unha propiedade de factorización única semellante ao teorema fundamental da aritmética). O lema de Gauss subxace en toda a teoría da factorización e os máximos comúns divisores deses polinomios.
O lema de Gauss afirma que o produto de dous polinomios primitivos é primitivo. (Un polinomio con coeficientes enteiros é primitivo se ten 1 como máximo común divisor dos seus coeficientes. )
Un corolario do lema de Gauss, ás veces tamén chamado lema de Gauss, é que un polinomio primitivo é irredutíbel sobre os números enteiros se e só se é irredutíbel sobre os números racionais. De forma máis xeral, un polinomio primitivo ten a mesma factorización completa sobre os enteiros e sobre os números racionais. No caso de coeficientes nun dominio de factorización único R, os "números racionais" deben substituírse por "corpo de fraccións de R ". Isto implica que, se R é un corpo, o anel de enteiros ou un dominio de factorización único, entón cada anel polinómico (nun ou varios indeterminados) sobre R é un dominio de factorización único. Outra consecuencia é que a factorización e o cálculo do máximo común divisor de polinomios con números enteiros ou coeficientes racionais pode reducirse a cálculos similares en enteiros e polinomios primitivos. Isto úsase sistemáticamente (de forma explícita ou implícita) en todos os algoritmos implementados (ver Máximo común divisor polinómico e Factorización de polinomios). O lema sobre os enteiros
Se F ( X )
a 0 + a 1 X + ⋯ + a n X n {\displaystyle F(X)
a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{n}X^{n}} é un polinomio con coeficientes enteiros, entón F {\displaystyle F} chámase primitivo se é o máximo común divisor de todos os coeficientes a 0, a 1, …, a n {\displaystyle a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}} é 1; noutras palabras, ningún número primo divide todos os coeficientes. Enunciados para dominios de factorización única
O lema de Gauss aplícase de xeito máis xeral sobre dominios de factorización únicos (UFD) arbitrarios. Alí o contido c(P) dun polinomio P pódese definir como o máximo común divisor dos coeficientes de P (como o mcd, o contido é en realidade un conxunto de elementos asociados). Un polinomio P con coeficientes nun UFD R dise logo que é primitivo se os únicos elementos de R que dividen todos os coeficientes de P á vez son os elementos invertíbeis de R; é dicir, o mcd dos coeficientes é un.
Declaración de primitividade: se R é un UFD, entón o conxunto de polinomios primitivos en R[X] está pechado baixo a multiplicación. Máis xeralmente, o contido dun produto f g {\displaystyle fg} dos polinomios é o produto c ( f ) c ( g ) {\displaystyle c(f)c(g)} dos seus contidos individuais.
Declaración de irredutibilidade: Sexa R un dominio de factorización único e F o seu corpo de fraccións. Un polinomio non constante f {\displaystyle f} en R [ x ] {\displaystyle R[x]} é irredutíbel en R [ x ] {\displaystyle R[x]} se e só se é irredutíbel en F [ x ] {\displaystyle F[x]} e primitivo en R [ x ] {\displaystyle R[x]}.
Sexa R {\displaystyle R} un dominio de factorización único con corpo de fraccións F {\displaystyle F}. Se f ∈ F [ x ] {\displaystyle f\in F[x]} é un polinomio sobre F {\displaystyle F} daquela para algúns d {\displaystyle d} en R {\displaystyle R}, d f {\displaystyle df} ten coeficientes en R {\displaystyle R}, e así, para factorizar o mcd q {\displaystyle q} dos coeficientes, podemos escribir d f
q f ′ {\displaystyle df
qf'} para algún polinomio primitivo f ′ ∈ R [ x ] {\displaystyle f'\in R[x]}. Como se pode comprobar, este polinomio f ′ {\displaystyle f'} é único ata a multiplicación por unha unidade e chámase parte primitiva (ou representante primitivo) de f {\displaystyle f} sendo denotado como pp ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {pp} (f)}. O procedemento é compatíbel co produto: pp ⁡ ( f g )
pp ⁡ ( f ) pp ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {pp} (fg)
\operatorname {pp} (f)\operatorname {pp} (g)}.
Isto pódese usar para mostrar a declaración: Un anel polinómico sobre un UFD é un UFD.
A condición de que "R é un dominio de factorización único" non é superflua porque implica que todo elemento irredutíbel deste anel é tamén un elemento primo, o que á súa vez implica que todo elemento distinto de cero de R ten como máximo unha factorización nun produto de elementos irredutíbeis e unha unidade de orde e relación asociada. Nun anel onde a factorización non é única, digamos que pa
qb con p e q elementos irredutíbeis que non dividen ningún dos factores do outro lado, o produto (p + qX)(a + qX)
pa + (p+a)qX + q2X2
q(b + (p+a)X + qX2) mostra o fallo da afirmación de primitividade. Como exemplo concreto pódese tomar R
Z[i√5], p
1 + i√5, a
1 − i√5, q
2, b
3. Neste exemplo, o polinomio 3 + 2X + 2X2 (obtido dividindo o lado dereito entre q
2 ) ofrece un exemplo do fallo da declaración de irredutibilidade (é irredutíbel sobre R, pero reducíbel sobre o seu corpo de fraccións Q[i√5] ). Outro exemplo coñecido é o polinomio X2 − X − 1, cuxas raíces son a razón áurea φ
(1 + √5)/2 e o seu conxugado (1 − √5)/2 que amosa que é reducíbel sobre o corpo Q[√5], aínda que é irredutíbel sobre o corpo non-UFD Z[√5] que ten Q[√5] como corpo de fraccións. Neste último exemplo, o anel pódese converter nun UFD tomando o seu pechamento integral Z[φ] en Q[√5] (o anel dos enteiros de Dirichlet), sobre o cal X2 − X − 1 se fai reducíbel, pero no primeiro exemplo R xa está pechado nos enteiros. Versión xenérica
Sexa R {\displaystyle R} un anel conmutativo. Se f {\displaystyle f} é un polinomio en R [ x 1, …, x n ] {\displaystyle R[x_{1}, \dots, x_{n}]}, entón escribimos cont ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {cont} (f)} para o ideal de R {\displaystyle R} xerado por todos os coeficientes de f {\displaystyle f}; chámase contido de f {\displaystyle f}. Teña en conta que cont ⁡ ( a f )
a cont ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {cont} (af)
a\operatorname {cont} (f)} para todo a {\displaystyle a} en R {\displaystyle R}. A seguinte proposición indica unha propiedade máis substancial. Un polinomio f {\displaystyle f} dise que é primitivo se cont ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {cont} (f)} é a unidade ideal ( 1 ) {\displaystyle (1)}. Cando R
Z {\displaystyle R
\mathbb {Z} } (ou máis xeralmente cando R {\displaystyle R} é un dominio de Bézout), isto concorda coa definición habitual dun polinomio primitivo. (Pero se R {\displaystyle R} é só un UFD, esta definición é incoherente coa definición de primitividade en Enunciados para dominios de factorización única. ) Aplicacións
Do lema de Gauss despréndese que para todo dominio de factorización única R {\displaystyle R}, o anel polinómico R [ X 1, X 2, .. ., X n ] {\displaystyle R[X_{1}, X_{2}, .. ., X_{n}]} tamén é un dominio de factorización única. O lema de Gauss tamén se pode usar para mostrar o criterio de irredutibilidade de Eisenstein. Finalmente, pódese utilizar para demostrar que os polinomios ciclotómicos (unidades unitarias con coeficientes enteiros) son irredutíbeis.
O lema de Gauss implica a seguinte afirmación: Se f ( x ) {\displaystyle f(x)} é un polinomio mónico nunha variábel con coeficientes nun dominio de factorización única R {\displaystyle R} (ou máis xeralmente un dominio GCD), entón unha raíz de f {\displaystyle f} que está no corpo das fraccións F {\displaystyle F} de R {\displaystyle R} está en R {\displaystyle R}.
Se R
Z {\displaystyle R
\mathbb {Z} }, entón afirma que unha raíz racional dun polinomio mónico sobre enteiros é un número enteiro (cf. o teorema da raíz racional). Para ver o enunciado, sexa a / b {\displaystyle a/b} unha raíz de f {\displaystyle f} en F {\displaystyle F} e asumimos que a, b {\displaystyle a, b} son relativamente primos. En F [ x ] {\displaystyle F[x]} podemos escribir f
( x − a / b ) g {\displaystyle f
(x-a/b)g} con c g ∈ R [ x ] {\displaystyle cg\in R[x]} para algúns c ∈ R {\displaystyle c\in R}. Entón c b f
( b x − a ) c g {\displaystyle cbf
(bx-a)cg} é unha factorización en R [ x ] {\displaystyle R[x]}. Mais b x − a {\displaystyle bx-a} é primitivo (no sentido UFD) e por tanto c b {\displaystyle cb} divide os coeficientes de c g {\displaystyle cg} polo lema de Gauss, e logo f
( b x − a ) h {\displaystyle f
(bx-a)h} con h {\displaystyle h} en R [ x ] {\displaystyle R[x]}. Posto que f {\displaystyle f} é mónico, isto só é posíbel cando b {\displaystyle b} é unha unidade.
Un argumento similar mostra que: Sexa R {\displaystyle R} ser un dominio GCD co corpo de fraccións F {\displaystyle F} e f ∈ R [ x ] {\displaystyle f\in R[x]}. Se f
g h {\displaystyle f
gh} para algún polinomio g ∈ R [ x ] {\displaystyle g\in R[x]} que é primitivo no sentido UFD e h ∈ F [ x ] {\displaystyle h\in F[x]}, entón h ∈ R [ x ] {\displaystyle h\in R[x]}.
A afirmación de irredutibilidade tamén implica que o polinomio mínimo sobre os números racionais dun enteiro alxébrico ten coeficientes enteiros.