Función en escada

En matemáticas, unha función sobre os números reais chámase función en escada se se pode escribir como unha combinación lineal finita de funcións indicadoras de intervalos. Falando informalmente, unha función en escada é unha función constante por tramos que ten só un número finito de pezas. Definición e primeiras consecuencias
Unha función f: R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } chámase función en escada se se pode escribir como f ( x )
∑ i
0 n α i χ A i ( x ) {\displaystyle f(x)
\sum \limits _{i
0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}, para todos os números reais x {\displaystyle x} onde n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0}, α i {\displaystyle \alpha _{i}} son números reais, A i {\displaystyle A_{i}} son intervalos, e χ A {\displaystyle \chi _{A}} é a función indicadora de A {\displaystyle A}: χ A ( x )
{ 1 if x ∈ A 0 if x ∉ A {\displaystyle \chi _{A}(x)
{\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\\\end{cases}}} Nesta definición, os intervalos A i {\displaystyle A_{i}} pódese ausmir que teñen as dúas propiedades seguintes: Os intervalos son disxuntos por pares: A i ∩ A j
∅ {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}
\emptyset } para i ≠ j {\displaystyle i\neq j} A unión dos intervalos é a recta real enteira: ⋃ i
0 n A i
R. {\displaystyle \bigcup _{i
0}^{n}A_{i}
\mathbb {R}. } De feito, se ese non é o caso inicial, pódese escoller un conxunto diferente de intervalos para os que se manteñan estas premisas. Por exemplo, a función en escada f
4 χ [ − 5, 1 ) + 3 χ ( 0, 6 ) {\displaystyle f
4\chi _{[-5, 1)}+3\chi _{(0, 6)}} pódese escribir como f
0 χ ( − ∞, − 5 ) + 4 χ [ − 5, 0 ] + 7 χ ( 0, 1 ) + 3 χ [ 1, 6 ) + 0 χ [ 6, ∞ ). {\displaystyle f
0\chi _{(-\infty, -5)}+4\chi _{[-5, 0]}+7\chi _{(0, 1)}+3\chi _{[1, 6)}+0\chi _{[6, \infty )}. }
Variacións na definición
Ás veces requírese que os intervalos sexan abertos pola dereita ou permítese que sexan unitarios. A condición de que a colección de intervalos debe ser finita adóitase eliminar, especialmente nas matemáticas escolares, aínda que debe ser localmente finita, mais sendo así corresponderíase coa definición de función por tramos. Exemplos
Unha función constante é un exemplo trivial dunha función en cascada. Nese caso só hai un intervalo, A 0
R. {\displaystyle A_{0}
\mathbb {R}. } A función de signo sgn(x), que é −1 para números negativos e +1 para números positivos, e é a función en escada non constante máis sinxela.
A función de Heaviside H(x), que é 0 para números negativos e 1 para números positivos, é equivalente á función de signo, cun desprazamento e escala de rango ( H
( sgn + 1 ) / 2 {\displaystyle H
(\operatorname {sgn} +1)/2} ). É o concepto matemático detrás dalgúns sinais de proba, como os que se usan para determinar a resposta en escada dun sistema dinámico. A función rectangular, úsase para modelar un pulso unitario.
Non exemplo
A función parte enteira non é unha función en escada segundo a definición deste artigo, xa que ten un número infinito de intervalos. Non obstante, algúns autores tamén definen funcións en escada cun número infinito de intervalos. Propiedades
A suma e o produto de dúas funcións en escada é de novo unha función en escada. O produto dunha función en escada cun número tamén é unha función en escada. Como tal, as funcións en escada forman unha álxebra sobre os números reais.
Unha función en escada só toma un número finito de valores. Se os intervalos A i, {\displaystyle A_{i}, } para i
0, 1, …, n {\displaystyle i
0, 1, \dots, n} na definición anterior da función en escada son disxuntos e a súa unión é a liña real, daquela f ( x )
α i {\displaystyle f(x)
\alpha _{i}} para todos os x ∈ A i. {\displaystyle x\in A_{i}. } A integral definida dunha función en escada é unha función linear por tramos.
A integral de Lebesgue dunha función en escada f
∑ i
0 n α i χ A i {\displaystyle \textstyle f
\sum _{i
0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}} é ∫ f d x
∑ i
0 n α i ℓ ( A i ), {\displaystyle \textstyle \int f\, dx
\sum _{i
0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}), } onde ℓ ( A ) {\displaystyle \ell (A)} é a lonxitude do intervalo A {\displaystyle A}, e asúmese aquí que todos os intervalos A i {\displaystyle A_{i}} teñen lonxitude finita. De feito, esta igualdade (vista como unha definición) pode ser o primeiro paso para construír a integral de Lebesgue.
Unha variable aleatoria discreta ás veces defínese como unha variable aleatoria cuxa función de distribución acumulada é constante por tramos. Neste caso, é localmente unha función en escada (a nivel global, pode ter un número infinito de chanzos). Porén, normalmente, calquera variábel aleatoria con só un número de valores posíbeis denomínase variábel aleatoria discreta, neste caso a súa función de distribución acumulada non é necesariamente localmente unha función en escada, xa que se poden acumular infinitos intervalos nunha rexión finita.