Plano (xeometría)

En xeometría, un plano é un obxecto ideal que só posúe dúas dimensións, e contén infinitos puntos e rectas; é un concepto fundamental da xeometría xunto co punto e a recta.
Cando se fala dun plano, está a falarse do obxecto xeométrico que non posúe volume, é dicir é bidimensional, e que contén un número infinito de rectas e puntos. Con todo, cando o termo se emprega en plural, está a falarse daquel material que se constrúe como unha representación gráfica de superficies en diferentes posicións. Os planos son especialmente empregados en enxeñaría, arquitectura e deseño xa que serven para diagramar nunha superficie plana ou noutras superficies que son regularmente tridimensionais.
Un plano queda definido polos seguintes elementos xeométricos: Tres puntos non aliñados.
Unha recta e un punto exterior a ela.
Dúas rectas paralelas ou dúas rectas que se cortan.
Os planos adoitan nomearse cunha letra do alfabeto grego.
Adoita representarse graficamente, para a súa mellor visualización, como unha figura delimitada por bordos irregulares (para indicar que o debuxo é unha parte dunha superficie infinita).
Nun sistema de coordenadas cartesianas, un punto do plano queda determinado por un par ordenado, chamados abscisa e ordenada do punto. Mediante ese procedemento a todo punto do plano correspóndenlle sempre dous números reais ordenados (abscisa e ordenada), e reciprocamente, a un par ordenado de números correspóndelle un único punto do plano. Consecuentemente o sistema cartesiano establece unha correspondencia biunívoca entre un concepto xeométrico como é o dos puntos do plano e un concepto alxébrico como son os pares ordenados de números. En coordenadas polares por un ángulo e unha distancia. Esta correspondencia constitúe o fundamento da xeometría analítica.
A área é unha medida de extensión dunha superficie, ou dunha figura xeométrica plana expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. Para superficies planas o concepto é máis intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos, por exemplo un polígono, pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma das áreas deses triángulos. Ocasionalmente emprégase o vocábulo "área" como sinónimo de superficie, cando non existe confusión entre o concepto xeométrico en si mesmo (superficie) e a magnitude métrica asociada ao concepto xeométrico (área). Propiedades do plano ℝ3
Nun espazo euclidiano tridimensional ℝ3, podemos achar os seguintes feitos, que non son necesariamente válidos para dimensións maiores. Dous planos ou son paralelos ou intersécanse nunha liña.
Unha liña é paralela a un plano ou intersecta ao mesmo nun punto ou é contida polo plano mesmo.
Dúas liñas perpendiculares a un mesmo plano son necesariamente paralelas entre si.
Dous planos perpendiculares a unha mesma liña son necesariamente paralelos entre si.
Entre un plano Π calquera e unha liña non perpendicular ao mesmo existe só un plano que contén a liña e é perpendicular ao plano Π.
Entre un plano Π calquera e unha liña perpendicular ao mesmo existe un número infinito de planos tal que conteñen a liña e son perpendiculares ao plano Π.
Ecuación do plano
Un plano queda definido polos seguintes elementos xeométricos: un punto e dous vectores:
Punto P (x1, y1, z1)
Vector u (ux, uy, uz)
Vector v
(a2, b2, c2) Esta é a forma vectorial do plano; con todo a forma máis utilizada é a reducida, resultado de igualar a cero o determinante formado polos dous vectores e o punto xenérico X
(x, y, z) co punto dado. Deste xeito a ecuación do plano é: | ( X − P ) u v |
0
> | x − P x y − P y z − P z u x u y u z v x v y v z |
0
> A x + B y + C z + D
0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )\\\mathbf {u} \\\mathbf {v} \end{vmatrix}}
0
>{\begin{vmatrix}x-P_{x}&y-P_{y}&z-P_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}
0
>Ax+By+Cz+D
0} Onde (A, B, C) é un vector perpendicular ao plano, coincide co produto vectorial dos vectores ou e v.
A fórmula para determinar a ecuación cando non está na orixe é: a ( x − h ) + b ( y − k ) + c ( z − j )
0 {\displaystyle a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)
0\, }
Posición relativa entre dous planos
Se temos un plano 1 cun punto A e un vector normal 1, e tamén temos un plano 2 cun punto B e un vector normal 2.
As súas posicións relativas poden ser: Planos coincidentes: a mesma dirección dos vectores normais e o punto A pertence ao plano 2.
Planos paralelos: se teñen a mesma dirección os vectores normais e o punto A non pertence ao plano 2.
Planos secantes: se os vectores normais non teñen a mesma dirección.
Distancia dun punto a un plano
Para un plano calquera Π: a x + b y + c z + d
0 {\displaystyle \Pi: ax+by+cz+d
0\, } e un punto calquera p 1
( x 1, y 1, z 1 ) {\displaystyle \mathbf {p} _{1}
(x_{1}, y_{1}, z_{1})} non necesariamente contido no plano Π, a menor distancia entre P1 e o plano Π é: D
| a x 1 + b y 1 + c z 1 + d | a 2 + b 2 + c 2. {\displaystyle D
{\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}. } Do anterior dedúcese que o punto P1 pertencerá ao plano Π se e só se D 0.
Se os coeficientes a, b e c da ecuación canónica dun plano calquera están normalizados, é dicir cando a 2 + b 2 + c 2
1 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}
1}, entón a fórmula anterior de distáncia D redúcese a: D
| a x 1 + b y 1 + c z 1 + d |. {\displaystyle D
\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|. } Semiplano
Chámase semiplano, en xeometría, a cada unha das dúas partes nas que un plano queda dividido por unha recta.
Postulados da división dun plano
En cada par de semiplanos que unha recta r determina sobre un plano, existen infinitos puntos tales que: Todo punto do plano pertence a un dos dous semiplanos, ou á recta que os determina.
Dous puntos do mesmo semiplano, determinan un segmento que non corta a recta r.
Dous puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a recta r.