Linearidade

En matemáticas, o termo linear ou lineal úsase en dous sentidos distintos para dúas propiedades diferentes: linearidade dunha función (ou mapa);
linearidade dun polinomio.
Informalmente pode ser visto como unha función que só consta de sumas e multiplicacións por un escalar.
Un exemplo de función linear é a función definida por f ( x )
( a x, b x ) {\displaystyle f(x)
(ax, bx)} que mapea a recta real cunha recta no plano euclidiano R2 que pasa pola orixe. Un exemplo de polinomio linear nas variábeis X, {\displaystyle X, } Y {\displaystyle Y} e Z {\displaystyle Z} é a X + b Y + c Z + d. {\displaystyle aX+bY+cZ+d. } A linearidade dun mapa está intimamente relacionada coa proporcionalidade. Exemplos en física inclúen a relación linear de tensión e corrente nun condutor eléctrico (lei de Ohm) e a relación de masa e peso. Pola contra, as relacións máis complicadas, como entre velocidade e enerxía cinética, son non lineares.
Xeneralizada para funcións en máis dunha dimensión, a linearidade significa a propiedade dunha función de ser compatíbel coa suma e a escala, tamén coñecida como principio de superposición.
A linearidade dun polinomio significa que o seu grao é inferior a dous. O uso do termo para polinomios deriva do feito de que a gráfica dun polinomio nunha variábel é unha liña recta. No termo "ecuación linear", a palabra refírese á linearidade dos polinomios implicados.
Como unha función como f ( x )
a x + b {\displaystyle f(x)
ax+b} defínese por un polinomio linear no seu argumento, ás veces tamén se refire como unha "función linear", e a relación entre o argumento e o valor da función pódese denominar "relación linear". Isto é potencialmente confuso, pero normalmente o significado desexado fica claro a partir do contexto. En matemáticas
Mapas lineares
En matemáticas, un mapa linear ou función linear f(x) é unha función que satisfai as dúas propiedades: Aditividade: f ( x + y )
f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)
f(x)+f(y)}.
Homoxeneidade de grao 1: f ( α x )
α f ( x ) {\displaystyle f(\alpha x)
\alpha f(x)} para todo α {\displaystyle \alpha }.
Estas propiedades coñécense como principio de superposición. Nesta definición, x non é necesariamente un número real, en xeral pode ser un elemento de calquera espazo vectorial. Unha definición máis especial de función linear, que non coincide coa definición de mapa linear, úsase nas matemáticas elementais (ver máis abaixo).
Só a aditividade implica homoxeneidade para α racional, xa que f ( x + x )
f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)
f(x)+f(x)} implica f ( n x )
n f ( x ) {\displaystyle f(nx)
nf(x)} para calquera número natural n por indución matemática, e daquela n f ( x )
f ( n x )
f ( m n m x )
m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)
f(nx)
f(m{\tfrac {n}{m}}x)
mf({\tfrac {n}{m}}x)} implica f ( n m x )
n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)
{\tfrac {n}{m}}f(x)}. A densidade dos números racionais nos reais implica que calquera función continua aditiva é homoxénea para calquera número real α é linear.
O concepto de linearidade pódese estender aos operadores lineares. Exemplos importantes de operadores lineares inclúen a derivada considerada como un operador diferencial e outros operadores construídos a partir dela, como del e o laplaciano.
Cando unha ecuación diferencial se pode expresar en forma linear, xeralmente pódese resolver dividindo a ecuación en anacos máis pequenos, resolvendo cada unha desas pezas e sumando as solucións.
Polinomios lineares
Nun uso diferente á definición anterior, dise que un polinomio de grao 1 é linear, porque a gráfica dunha función desa forma é unha liña recta. Sobre os reais, un exemplo sinxelo dunha ecuación linear vén dado por: y
m x + b {\displaystyle y
mx+b\ } onde m adoita chamarse pendente ou gradiente, e b é o punto de intersección entre a gráfica da función e o eixo y.
Note que este uso do termo linear non é o mesmo que na sección anterior, porque os polinomios lineares sobre os números reais non satisfán, en xeral, nin a aditividade nin a homoxeneidade. De feito, fano se e só se o termo constante, b no exemplo, é igual a 0. Se b ≠ 0, a función chámase función afín (ver en maior xeneralidade a transformación afín).
A álxebra linear é a rama das matemáticas que se ocupa dos sistemas de ecuacións lineares. Física
En física, a linearidade é unha propiedade das ecuacións diferenciais que rexen moitos sistemas; por exemplo, as ecuacións de Maxwell ou a ecuación de difusión.
A linearidade dunha ecuación diferencial homoxénea significa que se dúas funcións f e g son solucións da ecuación, entón calquera combinación linear af + bg tamén o é.