Cálculo de variacións

O cálculo de variacións é un problema matemático consistente en buscar máximos e mínimos (ou máis xeralmente extremos relativos) de funcionais continuos definidos sobre algún espazo funcional.
Constitúen unha xeneralización do cálculo elemental de máximos e mínimos de funcións reais dunha variable Historia
O cálculo de variacións desenvolveuse a partir do problema da curva braquistócrona, exposto inicialmente por Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captou a atención de Jakob Bernoulli e o marqués de L'Hôpital, aínda que foi Leonhard Euler o primeiro que elaborou unha teoría do cálculo variacional. As contribucións de Euler iniciáronse en 1733 coa súa Elementa Calculi Variationum ("Elementos do cálculo de variacións") que deu nome á disciplina.
Lagrange contribuíu cumpridamente á teoría e Legendre (1786) asentou un método, non enteiramente satisfactorio para distinguir entre máximos e mínimos. Isaac Newton e Gottfried Leibniz tamén prestaron atención a este asunto. Outros traballos destacados foron os de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradski (1834) e Carl Jacobi (1837). Un traballo xeral particularmente importante é o de Sarrus (1842) que foi resumido por Cauchy (1844). Outros traballos destacados posteriores son os de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) e Carll (1885), aínda que quizais o máis importante dos traballos durante o século XIX é o de Weierstrass. Este importante traballo foi unha referencia estándar e é o primeiro que trata o cálculo de variacións sobre unha base firme e rigorosa. Os problemas 20 e 23 de Hilbert expostos en 1900 estimularon algúns desenvolvementos posteriores. Durante o século XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue e Jacques Hadamard, entre outros, fixeron contribucións notables. Marston Morse aplicou o cálculo de variacións ao que actualmente se coñece como teoría de Morse. Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar e Clarke desenvolveron novas ferramentas matemáticas dentro da teoría do control óptimo, xeneralizando o cálculo de variacións.
Problema isoperimétrico
Cal é a área máxima A que pode rodearse cunha curva de lonxitude L dada? De non existiren restricións adicionais, a solución é: A
L 24 π {\displaystyle A
{\frac {L^{2}}{4\pi }}} que é o valor que se obtén para un círculo de raio R
L / 2 π {\displaystyle R
L/2\pi }.
Se se impoñen restricións adicionais a solución é diferente. Un exemplo é se se supón que L se considera sobre unha función f ( x ) {\displaystyle f(x)} e os extremos da curva están sobre os puntos A
( a, 0 ), B
( b, 0 ) {\displaystyle A
(a, 0), B
(b, 0)} onde a distancia entre eles está dada. É dicir A B
L {\displaystyle AB
L\, }. O problema de achar unha curva que maximice a área entre ela e o eixe X sería atopar unha función f ( x ) {\displaystyle f(x)} de modo que: max f: [ a, b ] → R I [ f ]
∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \max _{f: [a, b]\to \mathbb {R} }I[f]
\int _{a}^{b}f(x)dx} coas restricións: { G [ f ]
∫ a b 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x
L longitud de arco f ( a )
f ( b )
0 {\displaystyle {\begin{cases}G[f]
\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx
L&{\mbox{longitud de arco}}\\f(a)
f(b)
0\end{cases}}}
Braquistócrona
O problema da curva braquistócrona remóntase a Jakob Bernoulli (1696). Refírese a atopar unha curva no plano cartesiano que vaia do punto P
( x 0, y 0 ) {\displaystyle P
(x_{0}, y_{0})} á orixe de modo que un punto material que se desliza sen fricción sobre ela tarda o menor tempo posible en ir de P {\displaystyle P} á orixe. Usando principios de mecánica clásica o problema pode formularse como, min f T [ f ]
∫ 0 x 01 + ( f ′ ( x ) ) 22 g ( y 0 − y ) d x {\displaystyle \min _{f}T[f]
\int _{0}^{x_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\ dx} onde g é a gravidade e as restricións son, f ( 0 )
0 {\displaystyle f(0)
0}, f ( x 0 )
y 0 {\displaystyle f(x_{0})
y_{0}}. Hai que notar que en x
x 0 {\displaystyle x
x_{0}} existe unha singularidade. Formulación xeral
Un dos problemas típicos en cálculo diferencial é o de atopar o valor de x {\displaystyle x\, } para o cal a función f ( x ) {\displaystyle f(x)\, } alcanza un valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variacións o problema é atopar unha función f ( x ) {\displaystyle f(x)} para a cal un funcional J [ f ] {\displaystyle J[f]\, } alcance un valor extremo. O funcional J [ f ] {\displaystyle J[f]} está composto por unha integral que depende de x {\displaystyle x}, da función f ( x ) {\displaystyle f(x)} e algunhas das súas derivadas. (1a) max f / min f { I [ f ]
∫ a b L ( x, f ( x ), f ′ ( x ), f ″ ( x ), …, f ( n ( x ) ) d x } {\displaystyle \max _{f}/\min _{f}\left\{I[f]
\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(x, f(x), f'(x), f''(x), \dots, f^{(n}(x))\, dx\right\}} Onde a función f ( x ) {\displaystyle f(x)} pertence a algún espazo de funcións (espazo de Banach, espazo de Hilbert), e tanto ela como as súas derivadas poden ter restricións. Esta fórmula integral pode ser máis complicada permitindo a x {\displaystyle x} ser un vector, e polo tanto incluíndo derivadas parciais para f {\displaystyle f}: (1b) max f / min f { J [ f ]
∫ D ⊂ R n L ( x, f ( x ), D f ( x ), …, D n f ( x ) ) d n x } {\displaystyle \max _{\mathbf {f} }/\min _{\mathbf {f} }\left\{J[\mathbf {f} ]
\int _{{\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x}, \mathbf {f} (\mathbf {x} ), D\mathbf {f} (\mathbf {x} ), \dots, D^{n}\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\, d^{n}\mathbf {x} \right\}}
Espazos funcionais
A fundamentación rigorosa do cálculo de variacións require considerar variedades diferenciais lineares de dimensión infinita. De feito o punto de partida do cálculo de variacións é un teorema da análise funcional que proba que é posible considerar unha curva nun espazo funcional (p. ex. traxectoria no espazo fásico) simplemente como unha función cunha variable adicional, concretamente: O teorema anterior pode aplicarse por exemplo ao principio de mínima acción onde trata de atoparse a traxectoria posible no espazo de fases que fai mínima a integral de acción. Dita traxectoria é unha curva suave no espazo de traxectorias E, considerando agora: E
C ∞ ( R, R n ), F
G
R {\displaystyle E
C^{\infty }(\mathbb {R}, \mathbb {R} ^{n}), \quad F G
\mathbb {R} } Tense que o problema de minimización pode reducirse a minimizar unha certa función real f de variable real: f q 0 ( ε ):
S [ q 0 + ε δ q ], S: C ∞ ( R n ) → R, S [ q ]:
∫ t 1 t 2 L ( q ( t ), q ˙ ( t ), t ) d t, q ( t ) ∈ R n {\displaystyle f_{q_{0}}(\varepsilon ):
S[q_{0}+\varepsilon \delta q], \qquad S: \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R}, \ S[q]: \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q(t), {\dot {q}}(t), t)\ dt, \ q(t)\in \mathbb {R} ^{n}}
Extremos relativos débiles e fortes
Un problema variacional require que o funcional J ( f ) {\displaystyle \scriptstyle J(f)} estea definido sobre un espazo de Banach ( V, ‖ ⋅ ‖ V ) {\displaystyle \scriptstyle (V, \|\cdot \|_{V})} adecuado. A norma vectorial de devandito espazo é o que permite definir rigorosamente se unha solución é un mínimo ou un máximo relativo. Por exemplo unha función f 0 {\displaystyle \scriptstyle f_{0}} é un mínimo relativo se existe un certo δ > 0 {\displaystyle \scriptstyle \delta >0} tal que, para toda función f {\displaystyle \scriptstyle f} se cumpre que: ‖ f − f 0 ‖ < δ ⇒ J ( f 0 ) ≤ J ( f ) {\displaystyle \|f-f_{0}\|<\delta \quad \Rightarrow \quad J(f_{0})\leq J(f)}