Raíz da unidade

En matemáticas, unha raíz da unidade, ocasionalmente chamada número de Moivre, é calquera número complexo que dá 1 cando se eleva a unha potencia enteira positiva n. As raíces da unidade utilízanse en moitas ramas das matemáticas, e son especialmente importantes na teoría dos números, na teoría dos caracteres de grupos e na transformada discreta de Fourier. Definición xeral
Unha raíz n-ésima da unidade, onde n é un número enteiro positivo, é un número z que satisfai a ecuación z n
1. {\displaystyle z^{n}
1. } A menos que se especifique o contrario, as raíces da unidade pódense considerar números complexos (incluíndo o número 1 e o número −1 se n é par, que son complexos cunha parte imaxinaria cero), e neste caso, as raíces n-ésimas da unidade son exp ⁡ ( 2 k π i n )
cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n, k
0, 1, …, n − 1. {\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)
\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}, \qquad k
0, 1, \dots, n-1. } No entanto, a ecuación definitoria das raíces da unidade é significativa sobre calquera corpo (e mesmo sobre calquera anel) F, e isto permite considerar as raíces da unidade en F. Sexa cal sexa o corpo F, as raíces da unidade en F son números complexos, se a característica de F é 0, ou, en caso contrario, pertencen a un corpo finito. Pola contra, cada elemento distinto de cero nun corpo finito é unha raíz da unidade nese corpo. Consulte raíz da unidade módulo n e Corpo finito para obter máis detalles.
Dise que é unha raíz n-ésima da unidade é primitiva se non é unha raíz m-éisma da unidade para algún m máis pequeno, é dicir se z n
1 e z m ≠ 1 for m
1, 2, 3, …, n − 1. {\displaystyle z^{n}
1\quad {\text{e}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ for }}m
1, 2, 3, \ldots, n-1. } Se n é un número primo, entón todas as raíces n-ésimas da unidade, agás o 1, son primitivas. Na fórmula anterior en termos de funcións exponenciais e trigonométricas, as raíces n-ésimas primitivas da unidade son aquelas para as que k e n son números enteiros primos. Propiedades elementais
Cada n-ésima raíz da unidade z é unha raíz primitiva a-ésima da unidade para algún a ≤ n, que é o menor enteiro positivo tal que za 1.
Calquera potencia enteira dunha raíz n-ésima da unidade é tamén unha raíz n-ésima da unidade, pois ( z k ) n
z k n
( z n ) k
1 k
1. {\displaystyle (z^{k})^{n}
z^{kn}
(z^{n})^{k}
1^{k}
1. } Isto tamén é certo para os expoñentes negativos. En particular, o recíproco dunha raíz n-ésima da unidade é o seu complexo conxugado, e tamén é unha raíz n-ésima da unidade: 1 z
z − 1
z n − 1
z ¯. {\displaystyle {\frac {1}{z}}
z^{-1}
z^{n-1}
{\bar {z}}. } Se z é unha raíz n-ésima da unidade e a ≡ b (mod n) entón za
zb. De feito, pola definición de congruencia módulo n, a
b + kn para algún número enteiro k, e polo tanto z a
z b + k n
z b z k n
z b ( z n ) k
z b 1 k
z b. {\displaystyle z^{a}
z^{b+kn}
z^{b}z^{kn}
z^{b}(z^{n})^{k}
z^{b}1^{k}
z^{b}. } Polo tanto, dada unha potencia za de z, temos za zr, onde 0 ≤ r < n é o resto da división euclidiana de a por n. Propiedades do grupo
Grupo de todas as raíces da unidade
O produto e a inversa multiplicativa de dúas raíces da unidade tamén son raíces da unidade. De feito, se xm
1 e yn
1, entón (x−1)m
1 e (xy)k
1, onde k é o mínimo común múltiplo de m e n.
Polo tanto, as raíces da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación. Este grupo é o subgrupo de torsión do grupo circular.
Grupo das raíces n-ésimas da unidade
Para un número enteiro n, o produto e o inverso multiplicativo de dúas raíces n-ésimas da unidade tamén son raíces n-ésimas da unidade. Polo tanto, as raíces n-ésimas da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación.
Dada unha raíz primitiva n-ésima da unidade ω, as outras raíces n-ésimas son potencias de ω. Isto significa que o grupo das raíces n-ésimas da unidade é un grupo cíclico. Cabe sinalar que o termo de grupo cíclico orixinouse de que este grupo é un subgrupo do grupo circular.
Grupo de Galois das raíces n-ésimas da unidade primitivas
Sexa Q ( ω ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )} a extensión de corpo dos números racionais xerados sobre Q {\displaystyle \mathbb {Q} } por unha raíz n ésima primitiva da unidade ω. Como cada raíz n-ésima da unidade é unha potencia de ω, o corpo Q ( ω ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )} contén todas as raíces n-ésimas da unidade, e Q ( ω ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )} é unha extensión de Galois de Q. {\displaystyle \mathbb {Q}. } Se k é un número enteiro, ωk é unha raíz n-ésima primitiva da unidade se e só se k e n son coprimos. Neste caso, o mapa ω ↦ ω k {\displaystyle \omega \mapsto \omega ^{k}} induce un automorfismo de Q ( ω ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}, que mapea cada raíz n-ésima da unidade coa súa k-ésima potencia. Todo automorfismo de Q ( ω ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )} obtense deste xeito, e estes automorfismos forman o grupo de Galois Q ( ω ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )} sobre o corpo dos racionais.
As regras de exponenciación implican que a composición de dous destes automorfismos se obtén multiplicando os expoñentes. Dedúces que o mapa k ↦ ( ω ↦ ω k ) {\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)} define un isomorfismo de grupos entre as unidades do anel de enteiros módulo n e o grupo de Galois de Q ( ω ). {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ). } Isto mostra que este grupo de Galois é abeliano, e implica así que as raíces primitivas da unidade poden expresarse en termos de radicais. Expresión trigonométrica
A fórmula de De Moivre, que é válida para todos os x reais e os enteiros n, é ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n
cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x. {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}
\cos nx+i\sin nx. } Facendo x
2π/n dá unha raíz primitiva da unidade, temos ( cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n ) n
cos ⁡ 2 π + i sin ⁡ 2 π
1, {\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\! n}
\cos 2\pi +i\sin 2\pi
1, } mais ( cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n ) k
cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n ≠ 1 {\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\! k}
\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1} para k
1, 2, …, n − 1. Noutras palabras, cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}} é unha raíz primitiva n-ésima da unidade.
A fórmula de Euler e i x
cos ⁡ x + i sin ⁡ x, {\displaystyle e^{ix}
\cos x+i\sin x, } que é válida para todos os x reais, pódese usar para poñer a fórmula das raíces n-ésimas da unidade na forma e 2 π i k n, 0 ≤ k < n. {\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}, \quad 0\leq k<n. } Da discusión na sección anterior despréndese que esta é unha raíz primitiva n-enéisma da unidade se e só se a fracción k n {\displaystyle {\tfrac {k}{n}}} está nos seus termos máis pequenos. Expresión alxébrica
As raíces n-ésimas da unidade son, por definición, as raíces do polinomio xn − 1 e, polo tanto, son números alxébricos. Como este polinomio non é irredutíbel (agás n 1), as raíces n-ésimas primitivas da unidade son raíces dun polinomio irredutíbel (sobre os enteiros) de grao inferior, chamado polinomio ciclotómico n-ésimo, e que moitas veces se denota Φn. O grao de Φn vén dado pola función totiente de Euler, que conta (entre outras cousas) o número de raíces n-ésimas primitivas da unidade. As raíces de Φn son exactamente as raíces primitivas n-ésimas raíces da unidade. Polinomios ciclotómicos
Os ceros do polinomio p ( z )
z n − 1 {\displaystyle p(z)
z^{n}-1} son precisamente as raíces n-ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1. O polinomio ciclotómico n-ésimo defínese polo feito de que os seus ceros son precisamente as raíces primitivas n-ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1. Φ n ( z )
∏ k
1 φ ( n ) ( z − z k ) {\displaystyle \Phi _{n}(z)
\prod _{k
1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})} onde z1, z2, z3, …, zφ(n) son as raíces primitivas n-ésimas primitivas da unidade, e φ(n) é a función totiente de Euler. O polinomio Φn(z) ten coeficientes enteiros e é un polinomio irredutíbel sobre os números racionais (é dicir, non se pode escribir como o produto de dous polinomios de grao positivo con coeficientes racionais). O caso de n primo, que é máis doado que a afirmación xeral, dedúcese aplicando o criterio de Eisenstein ao polinomio ( z + 1 ) n − 1 ( z + 1 ) − 1, {\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}}, } e expandindo mediante o teorema binomial.
Cada raíz n-ésima da unidade é unha raíz primitiva d-ésima da unidade para exactamente un divisor positivo d de n. Isto implica que z n − 1
∏ d | n Φ d ( z ). {\displaystyle z^{n}-1
\prod _{d\, |\, n}\Phi _{d}(z). } Esta fórmula representa a factorización do polinomio zn − 1 en factores irredutíbeis: z 1 − 1
z − 1 z 2 − 1
( z − 1 ) ( z + 1 ) z 3 − 1
( z − 1 ) ( z 2 + z + 1 ) z 4 − 1
( z − 1 ) ( z + 1 ) ( z 2 + 1 ) z 5 − 1
( z − 1 ) ( z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 ) z 6 − 1
( z − 1 ) ( z + 1 ) ( z 2 + z + 1 ) ( z 2 − z + 1 ) z 7 − 1
( z − 1 ) ( z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 ) z 8 − 1
( z − 1 ) ( z + 1 ) ( z 2 + 1 ) ( z 4 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&
z-1\\z^{2}-1&
(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&
(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&
(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&
(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&
(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&
(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&
(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}} Aplicando a inversión de Möbius á fórmula temos Φ n ( z )
∏ d | n ( z n d − 1 ) μ ( d )
∏ d | n ( z d − 1 ) μ ( n d ), {\displaystyle \Phi _{n}(z)
\prod _{d\, |\, n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}
\prod _{d\, |\, n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}, } onde μ é a función de Möbius. Polo tanto, os primeiros polinomios ciclotómicos son Φ1(z) z − 1
Φ2(z)
(z2 − 1)⋅(z − 1)−1
z + 1
Φ3(z)
(z3 − 1)⋅(z − 1)−1
z2 + z + 1
Φ4(z)
(z4 − 1)⋅(z2 − 1)−1
z2 + 1
Φ5(z)
(z5 − 1)⋅(z − 1)−1
z4 + z3 + z2 + z + 1
Φ6(z)
(z6 − 1)⋅(z3 − 1)−1⋅(z2 − 1)−1⋅(z − 1)
z2 − z + 1
Φ7(z)
(z7 − 1)⋅(z − 1)−1
z6 + z5 + z4 + z3 + z2 +z + 1
Φ8(z)
(z8 − 1)⋅(z4 − 1)−1
z4 + 1 Grupos cíclicos
As raíces n-ésimas da unidade forman baixo a multiplicación un grupo cíclico de orde n, e de feito estes grupos comprenden todos os subgrupos finitos do grupo multiplicativo do corpo de números complexos. Un xerador para este grupo cíclico é unha raíz n-ésima primitiva da unidade.
As raíces n-ésimas da unidade forman unha representación irredutíbel de calquera grupo cíclico de orde n. A relación de ortogonalidade tamén se deduce a partir dos principios da teoría de grupos tal como se describe en carácter dun grupo. Corpos ciclotómicos
Ao achegar a unha raíz primitiva n-ésima da unidade a Q, {\displaystyle \mathbb {Q}, } obtense o n-ésimo corpo ciclotómico Q ( exp ⁡ ( 2 π i / n ) ). {\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)). } Este corpo contén todas as raíces n-ésimas da unidade e é o corpo de descomposición do n-ésimo polinomio ciclotómico sobre Q. {\displaystyle \mathbb {Q}. } A extensión de corpo Q ( exp ⁡ ( 2 π i / n ) ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} } ten grao φ(n) e o seu grupo de Galois é isomorfo naturalmente ao grupo multiplicativo de unidades do anel Z / n Z. {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}. }