Función masa de probabilidade

En probabilidade e estatística, unha función de masa de probabilidade (ás veces chamada función de probabilidade ou función de frecuencia ) é unha función que dá a probabilidade de que unha variable aleatoria discreta sexa exactamente igual a algún valor. Ás veces tamén se coñece como función de densidade de probabilidade discreta. A función de masa de probabilidade adoita ser o medio principal para definir unha distribución de probabilidade discreta, e estas funcións existen para variables aleatorias escalares ou multivariabeis cuxo dominio é discreto.
Unha función de masa de probabilidade difire dunha función de densidade de probabilidade (PDF) en que esta última está asociada a variables aleatorias continuas e non discretas.
O valor da variable aleatoria que ten a maior masa de probabilidade chámase moda. Definición formal
A función de masa de probabilidade é a distribución de probabilidade dunha variable aleatoria discreta e proporciona os valores posibeis e as súas probabilidades asociadas. É a función p: R → [ 0, 1 ] {\displaystyle p: \mathbb {R} \to [0, 1]} definida por Cumpre que ∑ x p X ( x )
1 {\displaystyle \sum _{x}p_{X}(x)
1} e p X ( x ) ≥ 0. {\displaystyle p_{X}(x)\geq 0. } Exemplos
Finito
Hai tres distribucións principais como exemplo, a distribución de Bernoulli, a distribución binomial e a distribución xeométrica. Distribución de Bernoulli: ber(p), úsase para modelar un experimento con só dous resultados posibles. Os dous resultados adoitan codificarse como 1 e 0. p X ( x )
{ p, se x is 11 − p, se x is 0 {\displaystyle p_{X}(x)
{\begin{cases}p, &{\text{se }}x{\text{ is 1}}\\1-p, &{\text{se }}x{\text{ is 0}}\end{cases}}} Un exemplo sería lanzar unha moeda. Se S {\displaystyle S} é o espazo mostral do lanzamento dunha moeda non trucada, e X {\displaystyle X} é unha variable aleatoria definida en S {\displaystyle S} asignamos 0 a "cruz" e 1 a "cara". Dado que a moeda non está trucada, a función masa de probabilidade é p X ( x )
{ 12, x
0, 12, x
1, 0, x ∉ { 0, 1 }. {\displaystyle p_{X}(x)
{\begin{cases}{\frac {1}{2}}, &x
0, \\{\frac {1}{2}}, &x
1, \\0, &x\notin \{0, 1\}. \end{cases}}} Distribución binomial, modela o número de éxitos cando alguén fai n experimentos con substitución. Cada experimento é independente, con dous resultados posibeis. A súa función masa de probabilidade é p ( k )
( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\textstyle p(k)
{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}. Un exemplo da distribución binomial é a probabilidade de obter exactamente un 6 cando alguén lanza un dado 3 veces: P ( X
3 )
( 33 ) ( 1 / 6 ) 3 ( 5 / 6 ) 0
( 1 / 6 ) 3 {\displaystyle P(X
3)
{3 \choose 3}(1/6)^{3}(5/6)^{0}
(1/6)^{3}}.
A distribución xeométrica describe o número de probas necesarias para obter un éxito. A súa función de masa de probabilidade é p X ( k )
( 1 − p ) k − 1 p {\textstyle p_{X}(k)
(1-p)^{k-1}p}. Un exemplo é lanzar unha moeda ata que aparece a primeira "cara". p {\displaystyle p} denota a probabilidade do resultado "cara", e k {\displaystyle k} denota o número de lanzamentos de moedas necesarios.
Un exemplo dunha distribución discreta multivariábel, e da súa función de masa de probabilidade, é o da distribución multinomial. Aquí as variabeis aleatorias múltiples son o número de éxitos en cada unha das categorías despois dun determinado número de probas, e cada masa de probabilidade distinta de cero dá a probabilidade dunha determinada combinación de números de éxitos nas distintas categorías.
Infinito
Sería un caso nada frecuente.
A seguinte distribución exponencialmente decrecente é un exemplo dunha distribución cun número infinito de resultados posibles, todos os enteiros positivos: Pr ( X
i )
12 i for i
1, 2, 3, … {\displaystyle {\text{Pr}}(X
i)
{\frac {1}{2^{i}}}\qquad {\text{for }}i
1, 2, 3, \dots } A pesar do número infinito de resultados posibeis, a masa de probabilidade total é 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ 1, satisfacendo o requisito de probabilidade total unitaria para unha distribución de probabilidade. Caso multivariábel
Dúas ou máis variables aleatorias discretas teñen unha función de masa de probabilidade conxunta, que dá a probabilidade de cada combinación posible de realizacións para as variabeis aleatorias.