Converxencia absoluta

En matemáticas, dise que unha serie infinita de números converxen absolutamente (ou son absolutamente converxentes) se a suma dos valores absolutos dos sumandos é finita. Máis precisamente, unha serie real ou complexa ∑ n
0 ∞ a n {\displaystyle \textstyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}} dise que converxe absolutamente se ∑ n
0 ∞ | a n |
L {\displaystyle \textstyle \sum _{n
0}^{\infty }\left|a_{n}\right|
L} para algún número real L. {\displaystyle \textstyle L. } Do mesmo xeito, unha integral impropia dunha función, ∫ 0 ∞ f ( x ) d x, {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\, dx, } dise que converxe absolutamente se a integral do valor absoluto do integrando é finita, é dicir, se ∫ 0 ∞ | f ( x ) | d x
L. {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx
L. } Unha serie converxente que non é absolutamente converxente chámase condicionalmente converxente. Contexto
Ao engadir un número finito de termos, a suma é tanto asociativa como conmutativa, o que significa que o agrupamento e a reordenación non alteran a suma final. Por exemplo, ( 1 + 2 ) + 3 {\displaystyle (1+2)+3} é igual a ambos 1 + ( 2 + 3 ) {\displaystyle 1+(2+3)} e ( 3 + 2 ) + 1 {\displaystyle (3+2)+1}. Porén, a asociatividade e a conmutatividade non se cumpren necesariamente para sumas infinitas. Un exemplo é a serie harmónica alterna S
∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n
1 − 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + ⋯ {\displaystyle S
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}
1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots } cuxos termos son fraccións que se alternan en signo. Esta serie é converxente e pódese avaliar usando a serie de Maclaurin para a función ln ⁡ ( 1 + x ) {\displaystyle \ln(1+x)}, que converxe para todos os x {\displaystyle x} que satisfán − 1 < x ≤ 1 {\displaystyle -1<x\leq 1}: ln ⁡ ( 1 + x )
∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n
x − x 22 + x 33 − x 44 + ⋯ {\displaystyle \ln(1+x)
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}
x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots } Substituíndo x
1 {\displaystyle x
1} revela que a suma orixinal é igual a ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2}. Mais resulta que a suma tamén se pode reorganizar do seguinte xeito: S
( 1 − 12 ) − 14 + ( 13 − 16 ) − 18 + ( 15 − 110 ) − 112 + ⋯ {\displaystyle S
\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots } Nesta reordenación, o recíproco de cada número impar agrúpase co recíproco do duplo do seu valor, mentres que os recíprocos de cada múltiplo de 4 avalíanse por separado. Con esta reordenación avaliando os termos entre parénteses temos o resultado S
12 − 14 + 16 − 18 + 110 − 112 + ⋯ {\displaystyle S
{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots } que é a metade da serie orixinal. A violación da asociatividade e da conmutividade deste tipo de sumas revela que a serie harmónica alterna é condicionalmente converxente. A suma dos valores absolutos de cada termo da serie harmónica 1 + 12 + 13 + 14 + ⋯ {\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots } é diverxente. Segundo o teorema de reordenación de Riemann, calquera serie condicionalmente converxente pode ser reordenada de tal modo que a súa suma sexa calquera número real finito ou para que diverxa. Pola contra, cando se reordena unha serie absolutamente converxente, a súa suma sempre se conserva. Definición para números reais e complexos
Unha suma de números reais ou complexos ∑ n
0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}} é absolutamente converxente se a suma dos valores absolutos dos termos ∑ n
0 ∞ | a n | {\textstyle \sum _{n
0}^{\infty }|a_{n}|} converxe. Sumas de elementos máis xerais
A mesma definición pódese usar para as series ∑ n
0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}} cuxos termos a n {\displaystyle a_{n}} non son números senón elementos dun grupo topolóxico abeliano arbitrario. Nese caso, en lugar de usar o valor absoluto, a definición require que o grupo teña unha norma, que é unha función positiva con valor real ‖ ⋅ ‖: G → R + {\textstyle \|\cdot \|: G\to \mathbb {R} _{+}} nun grupo abeliano G {\displaystyle G} (escrito aditivo, co elemento de identidade 0) tal que: A norma do elemento identidade de G {\displaystyle G} é cero: ‖ 0 ‖
0. {\displaystyle \|0\|
0. } Para todo x ∈ G, {\displaystyle x\in G, } ‖ x ‖
0 {\displaystyle \|x\|
0} implica x
0. {\displaystyle x
0. } Para todo x ∈ G, {\displaystyle x\in G, } ‖ − x ‖
‖ x ‖. {\displaystyle \|-x\|
\|x\|. } Para todo x, y ∈ G, {\displaystyle x, y\in G, } ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖. {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|. } Neste caso, a función d ( x, y )
‖ x − y ‖ {\displaystyle d(x, y)
\|x-y\|} induce a estrutura dun espazo métrico (un tipo de topoloxía) sobre G. {\displaystyle G. } Entón, unba serie don valores en G {\displaystyle G} é absolutamente converxente se ∑ n
0 ∞ ‖ a n ‖ < ∞. {\textstyle \sum _{n
0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty. } Converxencia absoluta de integrais
A integral ∫ A f ( x ) d x {\textstyle \int _{A}f(x)\, dx} dunha función real ou de valores complexos dise que converxe absolutamente se ∫ A | f ( x ) | d x < ∞. {\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\, dx<\infty. } Tamén se di que f {\displaystyle f} é absolutamente integrábele. A cuestión da integrabilidade absoluta é complicada e depende de se se considera a integral de Riemann, Lebesgue ou Kurzweil-Henstock.
Para a integral de Riemann, tamén depende de se só consideramos a integrabilidade no seu sentido propio ( f {\displaystyle f} e A {\displaystyle A} ambos os dous limitados) ou permiten o caso máis xeral de integrais impropias.
Como propiedade estándar da integral de Riemann, cando A
[ a, b ] {\displaystyle A
[a, b]} é un intervalo limitado, toda función continua é limitada e (Riemann) integrábel, e xa que f {\displaystyle f} continua implica | f | {\displaystyle |f|} continua, toda función continua é absolutamente integrábel. De feito, xa que g ∘ f {\displaystyle g\circ f} é Riemann integrábel en [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} se f {\displaystyle f} é (propiamente) integrábel e g {\displaystyle g} é continua, dedúcese que | f |
| ⋅ | ∘ f {\displaystyle |f|
|\cdot |\circ f} é propiamente Riemann integrábel se o é f {\displaystyle f}. No entanto, esta implicación non se aplica no caso das integrais impropias. Por exemplo, a función f: [ 1, ∞ ) → R: x ↦ sin ⁡ x x {\textstyle f: [1, \infty )\to \mathbb {R}: x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}} é unha integral impropia de Riemann con dominio ilimitado (infinito na parte superior), mais non é absolutamente integrable: ∫ 1 ∞ sin ⁡ x x d x
12 [ π − 2 S i ( 1 ) ] ≈ 0. 62, mais ∫ 1 ∞ | sin ⁡ x x | d x
∞. {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\, dx
{\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\, \mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0. 62, {\text{ mais }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx
\infty. } De feito, de xeito máis xeral, dada calquera serie ∑ n
0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}} pódese considerar a función en escada asociada f a: [ 0, ∞ ) → R {\displaystyle f_{a}: [0, \infty )\to \mathbb {R} } definida por f a ( [ n, n + 1 ) )
a n. {\displaystyle f_{a}([n, n+1))
a_{n}. } Así ∫ 0 ∞ f a d x {\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\, dx} converxe absolutamente, converxe condicionalmente ou diverxe segundo o comportamento correspondente de ∑ n
0 ∞ a n. {\textstyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}. }