Determinante (matemáticas)

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.
Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades, axiomas que se resumen coa expresión «forma n-lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén se pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante. Significado xeométrico
Se temos un paralelogramo que ten vértices en (0, 0), (x, y), (x + x', y + y') e (x', y'), como se mostra no diagrama que se acompaña, podémolo expresar matematicamente en forma de matriz e calcular o seu determinante, que dará por valor a súa área: det ( X, X ′ )
| x x ′ y y ′ |
x y ′ − y x ′ {\displaystyle \det(X, X')
{\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}
xy'-yx'} A expresión xeométrica equivalente: det ( X, X ′ )
‖ X ‖ ⋅ ‖ X ′ ‖ ⋅ sen ⁡ θ {\displaystyle \det(X, X')
\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \operatorname {sen} \theta } onde θ {\displaystyle \theta } é o ángulo formado polos vectores X {\displaystyle X} e X ′ {\displaystyle X'}.
O determinante dá o volume n-dimensional correspondente do paralelótopo (paralelepípedo de n dimensións) con signo, det ( A )
± vol ( P ). {\displaystyle \det(A)
\pm {\text{vol}}(P). } Definición
Sexa A unha matriz cadrada con n filas e n columnas A
[ a 1, 1 a 1, 2 ⋯ a 1, n a 2, 1 a 2, 2 ⋯ a 2, n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n, 1 a n, 2 ⋯ a n, n ]. {\displaystyle A
{\begin{bmatrix}a_{1, 1}&a_{1, 2}&\cdots &a_{1, n}\\a_{2, 1}&a_{2, 2}&\cdots &a_{2, n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n, 1}&a_{n, 2}&\cdots &a_{n, n}\end{bmatrix}}. } As entradas a 1, 1 {\displaystyle a_{1, 1}} etc. son, para moitos propósitos, números reais ou complexos. O determinante tamén se define para matrices cuxas entradas están nun anel conmutativo.
O determinante de A {\displaystyle A} denotado como det ( A ) {\displaystyle \det(A)}, ou pódese denotar directamente en termos de entradas da matriz escribindo barras en lugar de corchetes: | a 1, 1 a 1, 2 ⋯ a 1, n a 2, 1 a 2, 2 ⋯ a 2, n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n, 1 a n, 2 ⋯ a n, n |. {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1, 1}&a_{1, 2}&\cdots &a_{1, n}\\a_{2, 1}&a_{2, 2}&\cdots &a_{2, n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n, 1}&a_{n, 2}&\cdots &a_{n, n}\end{vmatrix}}. }
Fórmula de Leibniz
O determinante dunha matriz 3 × 3 é | a b c d e f g h i |
a e i + b f g + c d h − c e g − b d i − a f h. {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}
aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh. } Por exemplo: det ( 371 − 4 )
| 371 − 4 |
( 3 ⋅ ( − 4 ) ) − ( 7 ⋅ 1 )
− 19. {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}3&7\\1&-4\end{pmatrix}}
{\begin{vmatrix}3&7\\1&{-4}\end{vmatrix}}
(3\cdot (-4))-(7\cdot 1)
-19. } A
det ( − 2 − 12214 − 33 − 1 )
| − 2 − 12214 − 33 − 1 |
{\displaystyle A
\det {\begin{pmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{pmatrix}}
{\begin{vmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{vmatrix}}
}
( − 2 ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) ) + ( − 1 ⋅ 4 ⋅ ( − 3 ) ) + ( 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ) − ( 2 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) ) − ( − 1 ⋅ 2 ⋅ ( − 1 ) ) − ( 4 ⋅ 3 ⋅ ( − 2 ) )
54. {\displaystyle
(-2\cdot 1\cdot (-1))+(-1\cdot 4\cdot (-3))+(2\cdot 2\cdot 3)-(2\cdot 1\cdot (-3))-(-1\cdot 2\cdot (-1))-(4\cdot 3\cdot (-2))
54. } Propiedades
Os determinantes tamén se poden definir por algunhas das súas propiedades. É dicir, o determinante é a función única definida nas matrices n × n que ten as catro propiedades seguintes: O determinante da matriz identidade é 1. | I n |
1 {\displaystyle \left|I_{n}\right|
1};
O troco de dúas filas multiplica o determinante por −1.
Ao multiplicar unha fila por un número multiplica o determinante por ese número (podemos comprobar para dimensión 2x2): | r ⋅ a b r ⋅ c d |
r a d − b r c
r ( a d − b c )
r ⋅ | a b c d |. {\displaystyle {\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}
rad-brc
r(ad-bc)
r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}. } Engadir un múltiplo dunha fila a outra fila non modifica o determinante.
Outras propiedades básicas
O determinante ten varias propiedades clave que se poden probar mediante a avaliación directa da definición de matrices 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2}, e que seguen válido para os determinantes de matrices máis grandes. o determinante é cero se dúas filas son iguais: | a b a b |
a b − b a
0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}
ab-ba
0. } tamén para dúas columnas.
Se descompoñemos unha columna en sumas podemos descompoñer en suma de determinantes: | a b + b ′ c d + d ′ |
a ( d + d ′ ) − ( b + b ′ ) c
| a b c d | + | a b ′ c d ′ |. {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}
a(d+d')-(b+b')c
{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}. } O determinante dunha matriz é igual ao determinante da súa transposta: | A |
| A T | {\displaystyle \left|A\right|
\left|A^{T}\right|};
Se unha matriz cadrada é invertíbel entón, o determinante da súa inversa é o inverso do seu determinante: | A − 1 |
1 | A |. {\displaystyle \left|A^{-1}\right|
{\frac {1}{\left|A\right|}}. } Resulta desta propiedade que para matrices invertíbeis o determinante non pode ser nulo;
O determinante do produto de matrices cadradas de mesma orde é o produto dos determinantes (teorema de Binet): | A B |
| A | | B | {\displaystyle \left|AB\right|
\left|A\right|\left|B\right|} O determinante da multiplicación dun escalar por unha matriz cadrada de orde n {\displaystyle n} é igual a ese escalar, elevado a n {\displaystyle n}, multiplicado polo determinante da matriz: | λ A |
λ n | A |, {\displaystyle \left|\lambda A\right|
\lambda ^{n}\left|A\right|, } onde n {\displaystyle n} é a orde da matriz A {\displaystyle A} Se A {\displaystyle A} é ortogonal, entón | A |
± 1 {\displaystyle \left|A\right|
\pm 1};
Se a matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Sexa A {\displaystyle A} unha matriz triangular de orde n, {\displaystyle n, } logo | A |
a 1, 1 a 2, 2 ⋯ a n, n
∏ i
1 n a i, i {\displaystyle \left|A\right|
a_{1, 1}a_{2, 2}\cdots a_{n, n}
\prod _{i
1}^{n}a_{i, i}};
Se unha fila ou columna da matriz A {\displaystyle A} son todo ceros, daquela | A |
0 {\displaystyle \left|A\right|
0};
Se for sumado, a unha fila (ou columna) de A {\displaystyle A}, un múltiplo doutra fila (ou columna), o determinante da nova matriz é igual ao de A {\displaystyle A} (esta propiedade tamén é coñecida como Teorema de Jacobi).