Espazo de Banach

En matemáticas, máis concretamente en análise funcional un espazo de Banach é un espazo vectorial normado completo. Polo tanto, un espazo de Banach é un espazo vectorial cunha métrica que permite o cálculo da lonxitude do vector e a distancia entre vectores, e é completo no sentido de que unha secuencia de vectores de Cauchy sempre converxe a un límite ben definido que está dentro do espazo.
Os espazos de Banach reciben o seu nome do matemático polaco Stefan Banach, quen introduciu este concepto e o estudou sistematicamente entre 1920 e 1922 xunto con Hans Hahn e Eduard Helly. Maurice René Fréchet foi o primeiro en empregar o termo "espazo de Banach" e Banach, á súa vez, acuñou o termo "espazo de Fréchet". Os espazos de Banach xurdiron orixinalmente do estudo dos espazo de funcións realizado por Hilbert, Fréchet e Riesz a principios de século. Os espazos de Banach xogan un papel central na análise funcional. Noutras áreas de análise, os espazos en estudo adoitan ser espazos de Banach. Definición
Un Espazo de Banach é un espazo normado completo ( X, ‖ ⋅ ‖ ). {\displaystyle (X, \|{\cdot }\|). } Un espazo normado é un par ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X, \|{\cdot }\|)} que consiste nun espazo vectorial X {\displaystyle X} sobre un corpo escalar K {\displaystyle \mathbb {K} } (onde K {\displaystyle \mathbb {K} } soe ser R {\displaystyle \mathbb {R} } ou C {\displaystyle \mathbb {C} } ) xunto cunha
norma ‖ ⋅ ‖: X → R. {\displaystyle \|{\cdot }\|: X\to \mathbb {R}. } Como todas as normas, esta norma induce unha invariante de translación
función de distancia, chamada métrica canónica ou (norma) métrica inducida, definida para todos os vectores x, y ∈ X {\displaystyle x, y\in X} como d ( x, y ):
‖ y − x ‖
‖ x − y ‖. {\displaystyle d(x, y):
\|y-x\|
\|x-y\|. } Isto converte X {\displaystyle X} nun espazo métrico ( X, d ). {\displaystyle (X, d). } Unha secuencia x 1, x 2, … {\displaystyle x_{1}, x_{2}, \ldots } chámase de Cauchy en ( X, d ) {\displaystyle (X, d)} ou d {\displaystyle d} -Cauchy ou ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|{\cdot }\|} -Cauchy se para todo real r > 0, {\displaystyle r>0, } existe algún índice N {\displaystyle N} tal que d ( x n, x m )
‖ x n − x m ‖ < r {\displaystyle d(x_{n}, x_{m})
\|x_{n}-x_{m}\|<r} sempre que m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} sexan maiores que N. {\displaystyle N. } O espazo normado ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X, \|{\cdot }\|)} chámase espazo de Banach e a métrica canónica d {\displaystyle d} chámase métrica completa se ( X, d ) {\displaystyle (X, d)} é un espazo métrico completo, o que por definición significa que para toda secuencia de Cauchy x 1, x 2, … {\displaystyle x_{1}, x_{2}, \ldots } en ( X, d ), {\displaystyle (X, d), } existe algún x ∈ X {\displaystyle x\in X} tal que lim n → ∞ x n
x en ( X, d ), {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}
x\; {\text{ en }}(X, d), } onde por mor de ‖ x n − x ‖
d ( x n, x ), {\displaystyle \|x_{n}-x\|
d(x_{n}, x), } a converxencia desta secuencia a x {\displaystyle x} pódese expresar de xeito equivalente como lim n → ∞ ‖ x n − x ‖
0 en R. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|
0\; {\text{ en }}\mathbb {R}. }
Caracterización por series
A estrutura do espazo vectorial permite relacionar o comportamento das secuencias de Cauchy co das series converxentes de vectores. Un espazo normado X {\displaystyle X} é un espazo de Banach se e só se cada serie absolutamente converxente en X {\displaystyle X} converxe a un valor que se atopa dentro de X, {\displaystyle X, } simbolicamente ∑ n
1 ∞ ‖ v n ‖ < ∞ ⟹ ∑ n
1 ∞ v n converxe en X. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \implies \sum _{n
1}^{\infty }v_{n}{\text{ converxe en }}X. }
Topoloxía
A métrica canónica d {\displaystyle d} dun espazo normado ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X, \|{\cdot }\|)} induce a topoloxía métrica habitual τ d {\displaystyle \tau _{d}} en X, {\displaystyle X, } que se denomina topoloxía canónica ou inducida por normas. Asúmese automaticamente que todo espazo normado leva esta topoloxía de Hausdorff, a menos que se indique o contrario. Con esta topoloxía, cada espazo de Banach é un espazo de Baire, aínda que existen espazos normados que son de Baire pero non de Banach. A norma ‖ ⋅ ‖: X → R {\displaystyle \|{\cdot }\|: X\to \mathbb {R} } é sempre unha función continua en relación á topoloxía que induce.
As bólas abertas e pechadas de raio r > 0 {\displaystyle r>0} centradas nun punto x ∈ X {\displaystyle x\in X} son, respectivamente, os conxuntos B r ( x ):
{ z ∈ X ∣ ‖ z − x ‖ < r } e C r ( x ):
{ z ∈ X ∣ ‖ z − x ‖ ≤ r }. {\displaystyle B_{r}(x):
\{z\in X\mid \|z-x\|<r\}\qquad {\text{ e }}\qquad C_{r}(x):
\{z\in X\mid \|z-x\|\leq r\}. } Calquera bóla deste tipo é un subconxunto limitado e convexo de X {\displaystyle X}, pero existe unha bóla/veciñanza compacta se e só se X {\displaystyle X} é finito-dimensional. En particular, ningún espazo normado de dimensión infinita pode ser localmente compacto nin ter a propiedade de Heine-Borel.
Se x 0 {\displaystyle x_{0}} é un vector e s ≠ 0 {\displaystyle s\neq 0} é un escalar, entón x 0 + s B r ( x )
B | s | r ( x 0 + s x ) e x 0 + s C r ( x )
C | s | r ( x 0 + s x ). {\displaystyle x_{0}+s\, B_{r}(x)
B_{|s|r}(x_{0}+sx)\qquad {\text{ e }}\qquad x_{0}+s\, C_{r}(x)
C_{|s|r}(x_{0}+sx). } O uso de s
1 {\displaystyle s
1} mostra que a topoloxía inducida por normas é invariante de translación, o que significa que para calquera x ∈ X {\displaystyle x\in X} e S ⊆ X, {\displaystyle S\subseteq X, } o subconxunto S {\displaystyle S} é aberto (respectivamente, pechado) en X {\displaystyle X} se e só se a súa translación x + S:
{ x + s ∣ s ∈ S } {\displaystyle x+S:
\{x+s\mid s\in S\}} é aberta (respectivamente, pechada).
En consecuencia, a topoloxía inducida por normas está completamente determinada por calquera base de veciñanza na orixe. Algunhas bases de veciñanza comúns na orixe inclúen { B r ( 0 ) ∣ r > 0 }, { C r ( 0 ) ∣ r > 0 }, { B r n ( 0 ) ∣ n ∈ N }, e { C r n ( 0 ) ∣ n ∈ N }, {\displaystyle \{B_{r}(0)\mid r>0\}, \qquad \{C_{r}(0)\mid r>0\}, \qquad \{B_{r_{n}}(0)\mid n\in \mathbb {N} \}, \qquad {\text{ e }}\{C_{r_{n}}(0)\mid n\in \mathbb {N} \}, } onde r 1, r 2, … {\displaystyle r_{1}, r_{2}, \ldots } poden ser calquera secuencia de números reais positivos que converxa a 0 {\displaystyle 0} en R {\displaystyle \mathbb {R} } (as opcións comúns son r n:
1 n {\displaystyle r_{n}:
{\tfrac {1}{n}}} or r n:
1 / 2 n {\displaystyle r_{n}:
1/2^{n}} ). Así, por exemplo, calquera subconxunto aberto U {\displaystyle U} de X {\displaystyle X} pódese escribir como unha unión U
⋃ x ∈ I B r x ( x )
⋃ x ∈ I x + B r x ( 0 )
⋃ x ∈ I x + r x B 1 ( 0 ) {\displaystyle U
\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)
\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)
\bigcup _{x\in I}x+r_{x}\, B_{1}(0)} indexada por algún subconxunto I ⊆ U, {\displaystyle I\subseteq U, } onde cada r x {\displaystyle r_{x}} pode escollerse da secuencia mencionada iñantes r 1, r 2, .. . {\displaystyle r_{1}, r_{2}, .. .}. (As bólas abertas tamén se poden substituír por bólas pechadas, aínda que o conxunto de indexación I {\displaystyle I} e os raios r x {\displaystyle r_{x}} tamén poden precisar ser substituídos). Alén disto, I {\displaystyle I} sempre pode ser escollido como numerábel se X {\displaystyle X} é un espazo separábel, o que por definición significa que X {\displaystyle X} contén algún numerábel.
Completude
Normas completas e normas equivalentes
Dúas normas, p {\displaystyle p} e q, {\displaystyle q, } nun espazo vectorial X {\displaystyle X} dise que son equivalentes se inducen a mesma topoloxía; isto ocorre se e só se existen números reais c, C > 0 {\displaystyle c, C>0} de tal xeito que c q ( x ) ≤ p ( x ) ≤ C q ( x ) {\textstyle c\, q(x)\leq p(x)\leq C\, q(x)} para tódolos x ∈ X. {\displaystyle x\in X. } Se p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q} son dúas normas equivalentes nun espazo vectorial X {\displaystyle X} entón ( X, p ) {\displaystyle (X, p)} é un espazo de Banach se e só se ( X, q ) {\displaystyle (X, q)} é un espazo de Banach. Véxase esta nota ao pé para ver un exemplo dunha norma continua nun espazo de Banach que non é equivalente á norma dada dese espazo de Banach. Todas as normas nun espazo vectorial de dimensión finita son equivalentes e todo espazo normado de dimensión finita é un espazo de Banach.
Normas completas fronte a métricas completas
Unha métrica D {\displaystyle D} nun espazo vectorial X {\displaystyle X} é inducida por unha norma en X {\displaystyle X} se e só se D {\displaystyle D} é invariante por translación e absolutamente homoxénea, o que significa que D ( s x, s y )
| s | D ( x, y ) {\displaystyle D(sx, sy)
|s|D(x, y)} para todos os escalares s {\displaystyle s} e todo x, y ∈ X, {\displaystyle x, y\in X, } nese caso a función ‖ x ‖:
D ( x, 0 ) {\displaystyle \|x\|:
D(x, 0)} define unha norma sobre X {\displaystyle X} e a métrica canónica inducida por ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|{\cdot }\|} é igual a D. {\displaystyle D. } Supoñamos que ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X, \|{\cdot }\|)} é un espazo normado e que τ {\displaystyle \tau } é a norma topolóxica inducida en X {\displaystyle X}. Supoñamos que D {\displaystyle D} é calquera métrica en X {\displaystyle X} tal que a topoloxía que D {\displaystyle D} induce en X {\displaystyle X} é igual a τ {\displaystyle \tau }. Se D {\displaystyle D} é invariante por translación, entón ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X, \|{\cdot }\|)} é un espazo de Banach se e só se ( X, D ) {\displaystyle (X, D)} é un espazo métrico completo.
Se D {\displaystyle D} non é invariante por traslación daquela pode ser posíbel que ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X, \|{\cdot }\|)} sexa un espazo de Banach pero que ( X, D ) {\displaystyle (X, D)} non sexa un espazo métrico completo (véxase esta nota ao pé para un exemplo). En contraste, un teorema de Klee, que tamén se aplica a todos os espazos vectoriais topolóxicos metrizábeis, implica que se existe calquera métrica completa D {\displaystyle D} en X {\displaystyle X} que induce a norma topolóxica τ {\displaystyle \tau } en X {\displaystyle X}, entón ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X, \|{\cdot }\|)} é un espazo de Banach.
Completamentos
Todo espazo normado pode ser mergullado isometricamente nun subespazo vectorial denso dun espazo de Banach, onde este espazo de Banach se denomina un completamento do espazo normado. Este completamento de Hausdorff é único ata o isomorfismo isométrico. Teoría xeral
Operadores lineares, isomorfismos
Se X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} son espazos normados sobre o mesmo corpo base K, {\displaystyle \mathbb {K}, } o conxunto de todos os K {\displaystyle \mathbb {K} } -mapas lineares continuos T: X → Y {\displaystyle T: X\to Y} denótanse por B ( X, Y ). {\displaystyle B(X, Y). } En espazos de dimensión infinita, non todas as aplicacións lineares son continuas. Unha aplicación linear a partir dun espazo normado X {\displaystyle X} a outro espazo normado é continuo se e só se está limitado na bóla unitaria pechada de X. {\displaystyle X. } Así, ao espazo vectorial B ( X, Y ) {\displaystyle B(X, Y)} pódeselle dar a norma de operador ‖ T ‖
sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X, ‖ x ‖ X ≤ 1 }. {\displaystyle \|T\|
\sup\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X, \ \|x\|_{X}\leq 1\}. } Para Y {\displaystyle Y} un espazo de Banach, o espazo B ( X, Y ) {\displaystyle B(X, Y)} é un espazo de Banach en relación a esta norma. En contextos categóricos, ás veces é conveniente restrinxir o espazo de funcións entre dous espazos de Banach só aos mapas métricos; nese caso, o espazo B ( X, Y ) {\displaystyle B(X, Y)} reaparece como un bifunctor natural.
Se X {\displaystyle X} é un espazo de Banach, o espazo B ( X )
B ( X, X ) {\displaystyle B(X)
B(X, X)} forma unha álxebra de Banach unitaria; a operación de multiplicación vén dada pola composición de aplicacións lineares.
Se X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} son espazos normados, son espazos normados isomorfos se existe unha bixección linear T: X → Y {\displaystyle T: X\to Y} de tal xeito que T {\displaystyle T} e o seu inverso T − 1 {\displaystyle T^{-1}} son continuos. Se un dos dous espazos X {\displaystyle X} ou Y {\displaystyle Y} é completo (ou reflexivo, separábel, etc. ), entón tamén o é o outro espazo. Dous espazos normados X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} son isométricamente isomorfos se a maiores, T {\displaystyle T} é unha isometría, é dicir, ‖ T ( x ) ‖
‖ x ‖ {\displaystyle \|T(x)\|
\|x\|} para todo x {\displaystyle x} en X. {\displaystyle X. } A distancia de Banach-Mazur d ( X, Y ) {\displaystyle d(X, Y)} entre dous espazos isomorfos mais non isométricos X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} dá unha medida de canto os dous espazos X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} difiren.
Nocións básicas
O produto cartesiano X × Y {\displaystyle X\times Y} de dous espazos normados non está canonicamente equipado cunha norma. No entanto, úsanse habitualmente varias normas equivalentes, como ‖ ( x, y ) ‖ 1
‖ x ‖ + ‖ y ‖, ‖ ( x, y ) ‖ ∞
max ( ‖ x ‖, ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|(x, y)\|_{1}
\|x\|+\|y\|, \qquad \|(x, y)\|_{\infty }
\max(\|x\|, \|y\|)} que corresponden (respectivamente) ao coproduto e ao produto na categoría de espazos de Banach e espazos métricos (comentados iñantes). Para (co)produtos finitos, estas normas dan lugar a espazos normados isomorfos, e o produto X × Y {\displaystyle X\times Y} (ou a suma directa X ⊕ Y {\displaystyle X\oplus Y} ) é completa se e só se os dous factores son completos.
Se M {\displaystyle M} é un subespazo linear pechado dun espazo normado X, {\displaystyle X, } existe unha norma natural no espazo cociente X / M, {\displaystyle X/M, } ‖ x + M ‖
inf m ∈ M ‖ x + m ‖. {\displaystyle \|x+M\|
\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|. } O cociente X / M {\displaystyle X/M} é un espazo de Banach cando X {\displaystyle X} é completo. O mapa cociente de X {\displaystyle X} en X / M, {\displaystyle X/M, } enviando x ∈ X {\displaystyle x\in X} á súa clase x + M, {\displaystyle x+M, } é linear, sobrexectivo e de norma 1, {\displaystyle 1, } agás cando M
X, {\displaystyle M
X, } nese caso o cociente é o espazo nulo.
O subespazo linear pechado M {\displaystyle M} de X {\displaystyle X} dise que é un subespazo complementado de X {\displaystyle X} se M {\displaystyle M} é o rango dunha proxección linear sobrexectiva limitada P: X → M. {\displaystyle P: X\to M. } Neste caso, o espazo X {\displaystyle X} é isomorfo á suma directa de M {\displaystyle M} e ker ⁡ P, {\displaystyle \ker P, } o kernel da proxección P. {\displaystyle P. } Supoñamos que X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} son espazos de Banach e que T ∈ B ( X, Y ). {\displaystyle T\in B(X, Y). } Existe unha factorización canónica de T {\displaystyle T} como T
T 1 ∘ π, T: X ⟶ π X / ker ⁡ T ⟶ T 1 Y {\displaystyle T
T_{1}\circ \pi, \quad T: X{\overset {\pi }{{}\longrightarrow {}}}X/\ker T{\overset {T_{1}}{{}\longrightarrow {}}}Y} onde o primeiro mapa π {\displaystyle \pi } é o mapa cociente e o segundo mapa T 1 {\displaystyle T_{1}} envía cada clase x + ker ⁡ T {\displaystyle x+\ker T} no cociente cara a imaxe T ( x ) {\displaystyle T(x)} en Y. {\displaystyle Y. } Isto está ben definido porque todos os elementos da mesma clase teñen a mesma imaxe. O mapeo T 1 {\displaystyle T_{1}} é unha bixección linear de X / ker ⁡ T {\displaystyle X/\ker T} sobrexectimante no rango T ( X ), {\displaystyle T(X), } cuxa inversa non precisa ser limitada.
Espazos clásicos
Exemplos básicos de espazos de Banach inclúen: os espazos Lp L p {\displaystyle L^{p}} e os seus casos especiais, os espazos de secuencias ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} que consisten en secuencias escalares indexadas por números naturais N {\displaystyle \mathbb {N} }; entre eles, o espazo ℓ 1 {\displaystyle \ell ^{1}} de secuencias absolutamente sumábeis e o espazo ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} de secuencias cadradas sumábeis; o espazo c 0 {\displaystyle c_{0}} de secuencias tendentes a cero e o espazo ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} de secuencias limitadas; o espazo C ( K ) {\displaystyle C(K)} de funcións escalares continuas nun espazo compacto de Hausdorff K, {\displaystyle K, } equipado coa norma máxima, ‖ f ‖ C ( K )
max { | f ( x ) | ∣ x ∈ K }, f ∈ C ( K ). {\displaystyle \|f\|_{C(K)}
\max\{|f(x)|\mid x\in K\}, \quad f\in C(K). } Segundo o teorema de Banach-Mazur, todo espazo de Banach é isometricamente isomorfo a un subespazo dalgún C ( K ). {\displaystyle C(K). } Para todo espazo de Banach separábel X, {\displaystyle X, } existe un subespazo pechado M {\displaystyle M} de ℓ 1 {\displaystyle \ell ^{1}} de tal xeito que X:
ℓ 1 / M. {\displaystyle X:
\ell ^{1}/M. } Calquera espazo de Hilbert serve como exemplo de espazo de Banach. Un espazo de Hilbert H {\displaystyle H} en K
R, C {\displaystyle \mathbb {K}
\mathbb {R}, \mathbb {C} } está completo para unha norma da forma ‖ x ‖ H
⟨ x, x ⟩, {\displaystyle \|x\|_{H}
{\sqrt {\langle x, x\rangle }}, } onde ⟨ ⋅, ⋅ ⟩: H × H → K {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle: H\times H\to \mathbb {K} } é o produto interno, linear no seu primeiro argumento, que cumpre o seguinte: ⟨ y, x ⟩
⟨ x, y ⟩ ¯, para todos os x, y ∈ H ⟨ x, x ⟩ ≥ 0, para todo x ∈ H ⟨ x, x ⟩
0 se e só se x
0. {\displaystyle {\begin{aligned}\langle y, x\rangle &
{\overline {\langle x, y\rangle }}, \quad {\text{ para todos os }}x, y\in H\\\langle x, x\rangle &\geq 0, \quad {\text{ para todo }}x\in H\\\langle x, x\rangle &
0\quad {\text{ se e só se }}x
0. \end{aligned}}} Por exemplo, o espazo L 2 {\displaystyle L^{2}} é un espazo de Hilbert.
Os espazos de Hardy e os espazos de Sobolev son exemplos de espazos de Banach relacionados cos L p {\displaystyle L^{p}} -espazos e teñen unha estrutura adicional. Son importantes en diferentes ramas da análise, análise harmónica e ecuacións diferenciais parciais, entre outras.
Álxebras de Banach
Unha álxebra de Banach é un espazo de Banach A {\displaystyle A} sobre K
R {\displaystyle \mathbb {K}
\mathbb {R} } ou C, {\displaystyle \mathbb {C}, } xunto cunha estrutura de álxebra sobre K {\displaystyle \mathbb {K} }, de xeito que o mapa do produto A × A ∋ ( a, b ) ↦ a b ∈ A {\displaystyle A\times A\ni (a, b)\mapsto ab\in A} é continuo. Unha norma equivalente en A {\displaystyle A} pódese atopar para que ‖ a b ‖ ≤ ‖ a ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \|ab\|\leq \|a\|\|b\|} para tódolos a, b ∈ A. {\displaystyle a, b\in A. }
Exemplos
O espazo de Banach C ( K ) {\displaystyle C(K)} co produto punto por punto é unha álxebra de Banach.
A álxebra de disco A ( D ) {\displaystyle A(\mathbf {D} )} consiste en funcións holomorfas no disco unitario aberto D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } e continuas no seu peche: D ¯. {\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}. } Equipada en D ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}} coa norma do máximo, a álxebra de disco A ( D ) {\displaystyle A(\mathbf {D} )} é unha subálxebra pechada de C ( D ¯ ). {\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right). } A álxebra de Wiener A ( T ) {\displaystyle A(\mathbf {T} )} é a álxebra de funcións na círculo unitario T {\displaystyle \mathbf {T} } con series de Fourier absolutamente converxentes. Mediante o mapa que asocia unha función en T {\displaystyle \mathbf {T} } á secuencia dos seus coeficientes de Fourier, esta álxebra é isomorfa á álxebra de Banach ℓ 1 ( Z ), {\displaystyle \ell ^{1}(Z), } onde o produto é a convolución de secuencias.
Para todo espazo de Banach X, {\displaystyle X, } o espazo B ( X ) {\displaystyle B(X)} de operadores lineares limitados en X, {\displaystyle X, } coa composición de mapas como produto, é unha álxebra de Banach.
Unha C*-álxebra é unha álxebra de Banach complexa A {\displaystyle A} cunha involución antilinear a ↦ a ∗ {\displaystyle a\mapsto a^{*}} tal que ‖ a ∗ a ‖
‖ a ‖ 2. {\displaystyle \|a^{*}a\|
\|a\|^{2}. } O espazo B ( H ) {\displaystyle B(H)} de operadores lineares limitados nun espazo de Hilbert H {\displaystyle H} é un exemplo fundamental de C*-álxebra. O teorema de Gelfand-Naimark afirma que toda C*-álxebra é isometricamente isomorfa a unha C*-subálxebra dalgún B ( H ). {\displaystyle B(H). } O espazo C ( K ) {\displaystyle C(K)} de funcións continuas complexas nun espazo compacto de Hausdorff K {\displaystyle K} é un exemplo de C*-álxebra conmutativa, onde a involución asocia a cada función f {\displaystyle f} o seu complexo conxugado f ¯. {\displaystyle {\overline {f}}. }
Espazo dual
Se X {\displaystyle X} é un espazo normado e K {\displaystyle \mathbb {K} } o corpo subxacente (os números reais ou os números complexos), o espazo dual continuo é o espazo das aplicacións lineares continuas de X {\displaystyle X} en K, {\displaystyle \mathbb {K}, } ou funcionais lineares continuos. A notación para o dual continuo é X ′
B ( X, K ) {\displaystyle X'
B(X, \mathbb {K} )} neste artigo. Dado que K {\displaystyle \mathbb {K} } é un espazo de Banach (usando o valor absoluto como norma), o dual X ′ {\displaystyle X'} é un espazo de Banach para todo espazo normado X. {\displaystyle X. } O teorema de Dixmier-Ng caracteriza os espazos duais dos espazos de Banach.
A ferramenta principal para demostrar a existencia de funcionais lineares continuos é o teorema de Hahn-Banach.
Exemplos de espazos duais
O dual de c 0 {\displaystyle c_{0}} é isometricamente isomorfo a ℓ 1 {\displaystyle \ell ^{1}}: para todo funcional linear limitado f {\displaystyle f} en c 0, {\displaystyle c_{0}, } hai un elemento único y
{ y n } ∈ ℓ 1 {\displaystyle y
\{y_{n}\}\in \ell ^{1}} de tal xeito que f ( x )
∑ n ∈ N x n y n, x
{ x n } ∈ c 0, e ‖ f ‖ ( c 0 ) ′
‖ y ‖ ℓ 1. {\displaystyle f(x)
\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n}, \quad x
\{x_{n}\}\in c_{0}, \ \ {\text{e}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}
\|y\|_{\ell _{1}}. } O dual de ℓ 1 {\displaystyle \ell ^{1}} é isometricamente isomorfo a ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }}. O dual do espazo de Lebesgue L p ( [ 0, 1 ] ) {\displaystyle L^{p}([0, 1])} é isometricamente isomorfo a L q ( [ 0, 1 ] ) {\displaystyle L^{q}([0, 1])} cando 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } e 1 p + 1 q
1. {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}
1. } Para todo vector y {\displaystyle y} nun espazo de Hilbert H, {\displaystyle H, } o mapa x ∈ H → f y ( x )
⟨ x, y ⟩ {\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)
\langle x, y\rangle } define un funcional linear continuo f y {\displaystyle f_{y}} en H. {\displaystyle H. } O teorema da representación de Riesz afirma que todo funcional linear continuo en H {\displaystyle H} é da forma f y {\displaystyle f_{y}} para un vector definido de forma única y {\displaystyle y} en H. {\displaystyle H. } O mapa y ∈ H → f y {\displaystyle y\in H\to f_{y}} é unha bixección isométrica antilinear de H {\displaystyle H} no seu dual H ′. {\displaystyle H'. } Cando os escalares son reais, este mapa é un isomorfismo isométrico.
Teoremas de Banach
Os principais resultados xerais sobre os espazos de Banach que se remontan á época do libro de Banach ( Banach (1932) ) están relacionados co teorema da categoría de Baire. Segundo ese teorema, un espazo métrico completo (como un espazo de Banach, un espazo de Fréchet ou un espazo F) non pode ser igual a unha unión de subconxuntos pechados con un número numerábel de elementos con interiores baleiros. Polo tanto, un espazo de Banach non pode ser a unión dun número numerábel de subespazos pechados, a menos que xa sexa igual a un deles; un espazo de Banach cunha base de Hamel numerábel é de dimensión finita.
Reflexividade
O espazo normado X {\displaystyle X} chámase reflexivo cando o mapa natural { F X: X → X ″ F X ( x ) ( f )
f ( x ) para todo x ∈ X, e para todo f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}: X\to X''\\F_{X}(x)(f)
f(x)&{\text{ para todo }}x\in X, {\text{ e para todo }}f\in X'\end{cases}}} é sobrexectivo.
Os espazos normados reflexivos son espazos de Banach. Produto tensorial
Sexan X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} dous K {\displaystyle \mathbb {K} } -espazos vectoriais. O produto tensorial X ⊗ Y {\displaystyle X\otimes Y} de X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} é un K {\displaystyle \mathbb {K} } -espazo vectorial Z {\displaystyle Z} cunha aplicación bilinear T: X × Y → Z {\displaystyle T: X\times Y\to Z} que ten a seguinte propiedade universal: Se T 1: X × Y → Z 1 {\displaystyle T_{1}: X\times Y\to Z_{1}} é calquera aplicación bilinear nun K {\displaystyle \mathbb {K} } -espazo vectorial Z 1, {\displaystyle Z_{1}, } entón existe unha aplicación linear única f: Z → Z 1 {\displaystyle f: Z\to Z_{1}} de tal xeito que T 1
f ∘ T. {\displaystyle T_{1}
f\circ T. } A imaxe baixo T {\displaystyle T} dunha parella ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} en X × Y {\displaystyle X\times Y} denótase por x ⊗ y, {\displaystyle x\otimes y, } e chámase tensor simple. Todo elemento z {\displaystyle z} en X ⊗ Y {\displaystyle X\otimes Y} é unha suma finita deses tensores simples.
Existen varias normas que se poden aplicar ao produto tensorial dos espazos vectoriais subxacentes, entre outras a norma cruzada proxectiva e a norma cruzada inxectiva introducidas por A. Grothendieck en 1955.
En xeral, o produto tensorial de espazos completos non volve ser completo. Ao traballar con espazos de Banach, é costume dicir que o produto tensorial proxectivo de dous espazos de Banach X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} é o completamento X ⊗ ^ π Y {\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y} do produto tensorial alxébrico X ⊗ Y {\displaystyle X\otimes Y} equipado coa norma tensorial proxectiva e, de xeito similar, para o produto tensorial inxectivo X ⊗ ^ ε Y. {\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y. } Grothendieck demostrou en particular que C ( K ) ⊗ ^ ε Y ≃ C ( K, Y ), L 1 ( [ 0, 1 ] ) ⊗ ^ π Y ≃ L 1 ( [ 0, 1 ], Y ), {\displaystyle {\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K, Y), \\L^{1}([0, 1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0, 1], Y), \end{aligned}}} onde K {\displaystyle K} é un espazo compacto de Hausdorff, C ( K, Y ) {\displaystyle C(K, Y)} o espazo de Banach de funcións continuas de K {\displaystyle K} a Y {\displaystyle Y} e L 1 ( [ 0, 1 ], Y ) {\displaystyle L^{1}([0, 1], Y)} o espazo de funcións medíbeis e integrábeis por Bochner de [ 0, 1 ] {\displaystyle [0, 1]} a Y, {\displaystyle Y, } e onde os isomorfismos son isométricos. Os dous isomorfismos anteriores son as respectivas extensións da aplicación que envía o tensor f ⊗ y {\displaystyle f\otimes y} á función vectorial s ∈ K → f ( s ) y ∈ Y. {\displaystyle s\in K\to f(s)y\in Y. } Exemplos
Glosario de símbolos para a táboa embaixo: F {\displaystyle \mathbb {F} } denota o corpo dos [[números reais] R {\displaystyle \mathbb {R} } ou números complexos C. {\displaystyle \mathbb {C}. } K {\displaystyle K} é un espazo de Hausdorff compacto. p, q ∈ R {\displaystyle p, q\in \mathbb {R} } son os números reais con 1 < p, q < ∞ {\displaystyle 1<p, q<\infty } que son conxugados de Hölder, querendo dicir que satisfán 1 q + 1 p
1 {\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}
1} e así tamén q
p p − 1. {\displaystyle q
{\frac {p}{p-1}}. } Σ {\displaystyle \Sigma } é unha σ {\displaystyle \sigma } -álxebra de conxuntos. Ξ {\displaystyle \Xi } é unha álxebra de conxuntos (para espazos que só requiren aditividade finita, como o espazo ba). μ {\displaystyle \mu } é unha medida con variación | μ |. {\displaystyle |\mu |. } Unha medida positiva é unha función de conxuntos positiva con valores reais definida nunha σ {\displaystyle \sigma } -álxebra que é numerabelmente aditiva. Derivadas
Pódense definir varios conceptos de derivada nun espazo de Banach. Consulte os artigos sobre a derivada de Fréchet e a derivada de Gateaux para obter máis detalles. A derivada de Fréchet permite unha extensión do concepto de derivada total aos espazos de Banach. A derivada de Gateaux permite unha extensión dunha derivada direccional a espazos vectoriais topolóxicos localmente convexos. A diferenciabilidade de Fréchet é unha condición máis forte que a diferenciabilidade de Gateaux. A cuasiderivada é outra xeneralización da derivada direccional que implica unha condición máis forte que a diferenciabilidade de Gateaux, pero unha condición máis feble que a diferenciabilidade de Fréchet.