Toroide

En xeometría o toroide é a superficie de revolución xerada por un polígono ou unha curva plana pechada simple que vira ao redor dunha recta exterior coplanar (o eixo de rotación) coa que non se intercepta. A súa forma correspóndese coa superficie dos obxectos que, na fala cotiá, se denominan argolas, aneis, aros, rosquillas, donas ou donuts. A palabra toroide tamén se usa para referirse a un poliedro toroidal, a superficie de revolución xerada por un polígono que vira ao redor dun eixo. Cando a curva pechada é unha circunferencia, a superficie denomínase toro. En linguaxe cotiá denomínase anel ao corpo cuxa superficie exterior é un toro, o que ilustra a diferenza entre unha superficie e o volume encerrado por ela. Volume
O volume encerrado por un toroide é: V
2 π R A {\displaystyle V
2\pi RA\, } onde R é a distancia do eixo de rotación ao isobaricentro da figura plana xeratriz e A é a área limitada por devandita figura. Diversas ecuacións do toroide
Nun sistema de coordenadas cartesianas de centro O, eixos horizontais x e y e eixo vertical z, a superficie do toro pódese xerar do modo seguinte. Constrúese sobre o plano xz unha circunferencia de raio r con centro no punto C que está sobre o eixo x e a distancia R de O. A superficie do toro xérase cando se fai virar esta circunferencia ao redor do eixo z.
Ecuacións paramétricas
As coordenadas dun punto calquera do toro obtéñense mediante as seguintes expresións, onde interveñen os parámetros: α é a latitude do punto respecto do plano xz, e β o ángulo de rotación da circunferencia xeratriz ao redor do eixo z ou lonxitude. Tense entón que { x
( R + r cos ⁡ α ) cos ⁡ β y
( R + r cos ⁡ α ) sin ⁡ β z
r sin ⁡ α {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x
(R+r\cos \ \alpha )\cos \ \beta \\y
(R+r\cos \ \alpha )\sin \ \beta \\z
r\sin \ \alpha \end{array}}\right. } A calquera par ordenado de valores dos ángulos α e β correspóndelle un punto do toro de coordenadas: x, y, z.
Ecuación cartesiana
Partindo das ecuacións: x
( R + r cos ⁡ α ) cos ⁡ β y
( R + r cos ⁡ α ) sin ⁡ β sin 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ β
1 } ⟶ x 2 + y 2
( R + r cos ⁡ α ) 2 {\displaystyle \left. {\begin{array}{l}x
(R+r\cos \ \alpha )\cos \ \beta \\y
(R+r\cos \ \alpha )\sin \ \beta \\\sin ^{2}\beta +\cos ^{2}\beta
1\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad x^{2}+y^{2}
(R+r\cos \ \alpha )^{2}} pódese eliminar o ángulo β. A partir das seguintes ecuacións, pódese tamén eliminar α: x 2 + y 2
( R + r cos ⁡ α ) 2 z
r sin ⁡ α sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α
1 } ⟶ x 2 + y 2
( R + r 2 − z 2 ) 2 {\displaystyle \left. {\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}
(R+r\cos \ \alpha )^{2}\\z
r\sin \ \alpha \\\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha
1\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad x^{2}+y^{2}
\left(R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\right)^{2}}
Ecuación cartesiana
A ecuación en coordenadas cartesianas dun toro cuxo eixo de xiro é o eixo z, R a distancia do centro do círculo ao eixo e r o raio do círculo, é: ( R − x 2 + y 2 ) 2 + z 2
r 2 {\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}
r^{2}} racionalizando ( x 2 + y 2 + z 2 + R 2 − r 2 ) 2 − 4 R 2 ( x 2 + y 2 )
0 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})
0} onde a expresión da dereita é a ecuación que deben satisfacer as coordenadas x, y, z de calquera punto do toro.