Desigualdade AM-GM

En matemáticas, a desigualdade das medias aritmética e xeométrica, ou máis brevemente a desigualdade AM-GM, afirma que a media aritmética dunha lista de números reais non negativos é maior ou igual á media xeométrica da mesma lista; e a maiores, que as dúas medias son iguais se e só se todos os números da lista son iguais (neste caso o resultado é precisamente ese número).
O caso non trivial máis sinxelo é para dous números non negativos x e y, é dicir, x + y 2 ≥ x y {\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}} con igualdade se e só se x
y. Isto débese ao feito de que o cadrado dun número real é sempre non negativo (maior ou igual a cero) e da identidade (a ± b)2
a2 ± 2ab + b2: 0 ≤ ( x − y ) 2
x 2 − 2 x y + y 2
x 2 + 2 x y + y 2 − 4 x y
( x + y ) 2 − 4 x y. {\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq (x-y)^{2}\\&
x^{2}-2xy+y^{2}\\&
x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&
(x+y)^{2}-4xy. \end{aligned}}} Polo tanto (x + y)2 ≥ 4xy, con igualdade cando (x − y)2
0, é dicir, x
y. A desigualdade AM-GM dedúcese logo de tomar a raíz cadrada positiva de ambos os dous lados e despois dividir os dous lados por 2.
O caso máis sinxelo está implícito nos Elementos de Euclides, Libro 5, Proposición 25.
As extensións da desigualdade AM-GM tratan as medias ponderadas e as medias xeneralizadas. Fundamentos
A media aritmética, ou menos precisamente a media, dunha lista de n números x1, x2, .. ., xn é a suma dos números divididos entre n: x 1 + x 2 + ⋯ + x n n. {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}. } A media xeométrica é similar, agás que só se define para unha lista de números reais non negativos, e usa multiplicación e raíz en lugar de suma e división: x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n. {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}. } Se x1, x2, .. ., xn > 0 x1, x2, .. ., xn > 0, isto é igual á exponencial da media aritmética dos logaritmos naturais dos números: exp ⁡ ( ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 + ⋯ + ln ⁡ x n n ). {\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right). } A desigualdade
Reformulando a desigualdade usando notación matemática, temos que para calquera lista de n números reais non negativos x1, x2, .. ., xn, x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n, {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\, ,} e o caso da igualdade cúmprese se e só se x1
x2
· · · xn. Interpretación xeométrica
En dúas dimensións, 2 x 1 + 2 x 2 {\displaystyle 2x_{1}+2x_{2}} é o perímetro dun rectángulo con lados de lonxitude x1 e x2. Podemos ver que, 4 x 1 x 2 {\displaystyle 4{\sqrt {x_{1}x_{2}}}} é o perímetro dun cadrado coa mesma área x 1 x 2 {\displaystyle x_{1}x_{2}} que ese rectángulo. Así, para n 2 a desigualdade AM-GM indica que un rectángulo dunha área determinada ten o perímetro máis pequeno se ese rectángulo tamén é un cadrado. Exemplos
Exemplo 1
Se a, b, c > 0 {\displaystyle a, b, c>0}, entón a desigualdade AM-GM dinos que ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ≥ 21 ⋅ a ⋅ 21 ⋅ b ⋅ 21 ⋅ c
8 a b c {\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)\geq 2{\sqrt {1\cdot {a}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {b}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {c}}}
8{\sqrt {abc}}}
Exemplo 2
Pódes atopar un límite superior simple para o factorial n! {\displaystyle n! }. AM-GM dinos 1 + 2 + ⋯ + n ≥ n n! n {\displaystyle 1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n! }}} n ( n + 1 ) 2 ≥ n n! n {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n! }}} e así ( n + 12 ) n ≥ n! {\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n! } con igualdade en n
1 {\displaystyle n
1}.
De forma equivalente, ( n + 1 ) n ≥ 2 n n! {\displaystyle (n+1)^{n}\geq 2^{n}n! }
Exemplo 3
Considere a función f ( x, y, z )
x y + y z + z x 3 {\displaystyle f(x, y, z)
{\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}} para todos os números reais positivos x, y e z. Supoñamos que queremos atopar o valor mínimo desta función. Pódese reescribir como: f ( x, y, z )
6 ⋅ x y + 12 y z + 12 y z + 13 z x 3 + 13 z x 3 + 13 z x 36
6 ⋅ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 66 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x, y, z)&
6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&
6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}} con x 1
x y, x 2
x 3
12 y z, x 4
x 5
x 6
13 z x 3. {\displaystyle x_{1}
{\frac {x}{y}}, \qquad x_{2}
x_{3}
{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}, \qquad x_{4}
x_{5}
x_{6}
{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}. } Aplicando a desigualdade AM-GM para n
6, obtemos f ( x, y, z ) ≥ 6 ⋅ x y ⋅ 12 y z ⋅ 12 y z ⋅ 13 z x 3 ⋅ 13 z x 3 ⋅ 13 z x 36
6 ⋅ 12 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 x y y z z x 6
22 / 3 ⋅ 31 / 2. {\displaystyle {\begin{aligned}f(x, y, z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&
6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&
2^{2/3}\cdot 3^{1/2}. \end{aligned}}} A maiores, sabemos que os dous lados son iguais exactamente cando todos os termos da media son iguais: f ( x, y, z )
22 / 3 ⋅ 31 / 2 cando x y
12 y z
13 z x 3. {\displaystyle f(x, y, z)
2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{cando}}\quad {\frac {x}{y}}
{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}
{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}. } Todos os puntos (x, y, z) que cumpren estas condicións atópanse nunha media recta que comeza na orixe e están dados por ( x, y, z )
( t, 233 t, 332 t ) con t > 0. {\displaystyle (x, y, z) {\biggr (}t, {\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\, t, {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\, t{\biggr )}\quad {\mbox{con}}\quad t>0. } Aplicacións
Rendibilidades anualizadas
En matemáticas financeiras, a desigualdade AM-GM mostra que o rendemento anualizado, a media xeométrica, é menor que o rendemento anual medio, a media aritmética.
Polinomios non negativos
O polinomio de Motzkin x 4 y 2 + x 2 y 4 − 3 x 2 y 2 + 1 {\displaystyle x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1} é un polinomio non negativo que non é unha suma de polinomios cadrados. Pódese demostrar que é non negativo usando a desigualdade AM-GM con x 1
x 4 y 2 {\displaystyle x_{1}
x^{4}y^{2}}, x 2
x 2 y 4 {\displaystyle x_{2}
x^{2}y^{4}}, e x 3
1 {\displaystyle x_{3}
1}, é dicir, ( x 4 y 2 ) ⋅ ( x 2 y 4 ) ⋅ ( 1 ) 3 ≤ ( x 4 y 2 ) + ( x 2 y 4 ) + ( 1 ) 3. {\displaystyle {\sqrt[{3}]{(x^{4}y^{2})\cdot (x^{2}y^{4})\cdot (1)}}\leq {{(x^{4}y^{2})+(x^{2}y^{4})+(1)} \over {3}}. } Simplificando e multiplicando ambos os lados por 3 dá: 3 x 2 y 2 ≤ x 4 y 2 + x 2 y 4 + 1, {\displaystyle {3x^{2}y^{2}}\leq {x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+1}, } así 0 ≤ x 4 y 2 + x 2 y 4 − 3 x 2 y 2 + 1. {\displaystyle {0\leq x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}. }