Sistema de numeración decimal

O sistema de numeración decimal ou sistema decimal é un sistema de numeración posicional no que as cantidades se representan utilizando como base o número dez polo que se compón de dez cifras diferentes: cero (0); un (1); dous (2); tres (3); catro (4); cinco (5); seis (6); sete (7); oito (8) e nove (9). Este conxunto de símbolos denomínase números árabes, e é de orixe hindú.
Como sistema posicional, o valor destes símbolos depende da súa posición dentro do número, polo que serven para indicar unidades, decenas, centenas, etc. , de dereita a esquerda.
Así, por exemplo: 347
3 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + 7 ⋅ 1
3 ⋅ 102 + 4 ⋅ 101 + 7 ⋅ 100 {\displaystyle 347
3\cdot 100+4\cdot 10+7\cdot 1
3\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+7\cdot 10^{0}},
que expresa a cantidade de 7 {\displaystyle 7} unidades, 4 {\displaystyle 4} decenas e 3 {\displaystyle 3} centenas.
Polo tanto, e contrariamente á numeración romana, a cifra árabe ten un valor diferente segundo a súa posición no número: así, en 111, a primeira cifra significa 100, a segunda 10 e a terceira 1, mentres que en VIII (oito en numeración romana) os tres I significan todos 1.
Excepto en certas culturas, este sistema de posición úsase habitualmente en todo o mundo e en todas as áreas que requiren dun sistema de numeración. Non obstante hai certas técnicas, como por exemplo na informática, onde se utilizan sistemas de numeración adaptados ao método de traballo como o binario ou o hexadecimal. Tamén poden existir nalgúns idiomas vestixios do uso doutros sistemas de numeración, como o quinario, o duodecimal e o vixesimal. Por exemplo, cando se contan cousas por ducias, ou cando se empregan palabras especiais para designar certos números; en francés, por exemplo, o número 80 exprésase "quatre-vingt", "catro vintenas", en galego.
No sistema decimal o símbolo 0 (cero) situado á esquerda do número escrito non altera o seu valor representativo. Así: 1; 01; 001 ou 0001 representan a mesma magnitude, neste caso a unidade. O símbolo cero posto á dereita implica multiplicar a magnitude pola base, ou sexa, por 10 (dez). Historia
Algúns antropólogos e historiadores supoñen que o sistema foi adoptado polo ser humano primitivo por compatibilidade co número de dedos das mans, artificio usado en principio para contar as cousas do mundo, como os seus bens, rabaño e diñeiro.
O sistema de base 10 competiu, para chegar a ser o sistema patrón, durante unha longa fase da historia da humanidade co sistema de numeración de base 60, do que aínda algunhas físgoas se manteñen no sistema de división do tempo: 1 minuto de sesenta segundos, e 1 hora de sesenta minutos, e na trigonometría, onde o círculo se divide en 360 graos (6 × {\displaystyle \times } 60).
O sistema do patronum (sistema sexaxesimal) é interesante porque 60 é divisíbel por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30, mentres que 10 é divisíbel só por 2 e 5. O maior número de divisores fai ao sistema en base 60 moito máis práctico para a división de magnitudes (pesos, medidas etc).
Nesta figura podemos ver o formato e secuencia correctas da grafía manuscrita medieval dos números ou cifras árabes do sistema decimal que aparecen no título do libro Libro Intitulado Arithmetica Practica por Juan de Yciar, matemático e calígrafo vasco (impreso en Zaragoza en 1549).
No inicio dos anos 1600, ocorreu unha importante modificación no formato da grafía do décimo número ou do cero, que inicialmente tiña o formato pequeno e circular "o". Posteriormente, evolucionou para o formato oval actual "0", e desta forma foi posíbel a súa distinción da letra "o" do noso alfabeto. Notación decimal
Como se viu na introdución para escribir números, o sistema decimal usa dez díxitos decimais, un separador decimal, e para os números negativos un sinal de menos "-". Os díxitos decimais son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; o separador decimal é o punto ". " ou a vírgula ", " dependendo dos países, , sendo o separador en matemáticas avanzadas o punto (debido, sobre todo, á gran cantidade de artigos escritos en inglés).
a) Para representar un número enteiro, como vimos na introdución, temos unha secuencia de díxitos
que lidos da dereita para a esquerda están multiplicados por unha potência de 10, comezando pola potencia 0, por exemplo: 18021
1 ⋅ 104 + 8 ⋅ 103 + 0 ⋅ 102 + 2 ⋅ 101 + 1 ⋅ 100 {\displaystyle 18021
1\cdot 10^{4}+8\cdot 10^{3}+0\cdot 10^{2}+2\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}} A expresión xeral é descrita como: a m a m − 1 ⋯ a 0 {\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}} representa o número a m 10 m + a m − 110 m − 1 + … + a 0100 {\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\ldots +a_{0}10^{0}}.
Onde o índice m representa a posición decimal de cada díxito, sendo o m
0 {\displaystyle m
0} a casa das unidades, o m
1 {\displaystyle m
1} das decenas, etc.
b) para representar un número decimal agregamos un marcador decimal separando a parte enteira da decimal (como 20. 70828
2070828100000 {\displaystyle 20. 70828
{\dfrac {2070828}{100000}}} ). Neste caso os expoñentes na dereita do punto son negativos. 20. 70828
2 ⋅ 101 + 0 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 − 1 + 0 ⋅ 10 − 2 + 8 ⋅ 10 − 3 + 2 ⋅ 10 − 4 + 8 ⋅ 10 − 5 {\displaystyle 20. 70828
2\cdot 10^{1}+0\cdot 10^{0}+7\cdot 10^{-1}+0\cdot 10^{-2}+8\cdot 10^{-3}+2\cdot 10^{-4}+8\cdot 10^{-5}} ou 20. 70828
2 ⋅ 101 + 0 ⋅ 100 + 7 ⋅ 1101 + 0 ⋅ 1102 + 8 ⋅ 1103 + 2 ⋅ 1104 + 8 ⋅ 1105 {\displaystyle 20. 70828
2\cdot 10^{1}+0\cdot 10^{0}+7\cdot {\frac {1}{10^{1}}}+0\cdot {\frac {1}{10^{2}}}+8\cdot {\frac {1}{10^{3}}}+2\cdot {\frac {1}{10^{4}}}+8\cdot {\frac {1}{10^{5}}}} De forma xeral o número a m a m − 1 ⋯ a 0. b 1 b 2 ⋯ b n {\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}. b_{1}b_{2}\cdots b_{n}} representa o número: a m 10 m + a m − 110 m − 1 + … + a 0100 + b 1101 + b 2102 + … + b n 10 n {\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\ldots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\ldots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}} A parte enteira dun numeral decimal consiste nos díxitos escritos à esquerda do separador decimal (consulte tamén truncamento). Na dereita do separador decimal está a parte fraccional, que é igual á diferenza entre o úmero completo e a súa parte enteira, por exemplo 2. 71845 − 2
0. 71845 {\displaystyle 2. 71845-2
0. 71845}.
Escrito co separador de coma escribiríase 2, 71845 − 2
0, 71845 {\displaystyle 2, 71845-2
0, 71845}.
En resumo, a contribuición de cada díxito para o valor dun número depende da súa posición no número. Ou sexa, o sistema decimal é un sistema numeral posicional con dez símbolos.