Isometría

En matemáticas, unha isometría (ou congruencia ou transformación congruente) é unha transformación que preserva a distancia entre espazos métricos, normalmente se supón que é bixectiva. |name CoxeterIsometryDef}} A palabra isometría deriva do grego antigo: ἴσος isos que significa "igual", e μέτρον metron que significa "medida". Se a transformación é dun espazo métrico a si mesmo, é unha especie de transformación xeométrica coñecida como movemento. Introdución
Dado un espazo métrico (vagamente, un conxunto e un esquema para asignar distancias entre os elementos do conxunto), unha isometría é unha transformación que mapea elementos ao mesmo ou a outro espazo métrico de forma que a distancia entre os elementos da imaxe no novo espazo métrico é igual á distancia entre os elementos no espazo métrico orixinal. Nun espazo euclidiano bidimensional ou tridimensional, dúas figuras xeométricas son congruentes se están relacionadas por unha isometría; a isometría que os relaciona é ou ben un movemento ríxido (translación ou rotación) ou unha composición dun movemento ríxido e unha reflexión. Definición
Sexan X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} espazos métricos con métricas (por exemplo, distancias) d X {\textstyle d_{X}} e d Y. {\textstyle d_{Y}. } Un mapa f: X → Y {\textstyle f\colon X\to Y} chámase isometría ou mapa de preservación da distancia, se para todos os a, b ∈ X {\displaystyle a, b\in X}, d X ( a, b )
d Y ( f ( a ), f ( b ) ). {\displaystyle d_{X}(a, b)
d_{Y}\! \left(f(a), f(b)\right). } Unha isometría é automaticamente inxectiva; se non, dous puntos distintos, a e b, poderían ser mapeados no mesmo punto, contradicindo así o axioma de coincidencia da métrica d, é dicir, d ( a, b )
0 {\displaystyle d(a, b)
0} se e só se a
b {\displaystyle a
b}. Unha isometría global, isomorfismo isométrico ou mapeo de congruencia é unha isometría bixectiva. Como calquera outra bixección, unha isometría global ten unha función inversa. A inversa dunha isometría global é tamén unha isometría global.
Dous espazos métricos X e Y chámanse isométricos se hai unha isometría bixectiva de X a Y. O conxunto de isometrías bixectivas desde un espazo métrico ata si mesmo forma un grupo con respecto á composición da función, chamado grupo de isometría.
Unha isometría de camiño ou isometría de arco é un mapa que conserva as lonxitudes das curvas; tal mapa non é necesariamente unha isometría no sentido de preservación da distancia, e non ten por que ser necesariamente bixectivo, nin sequera inxectivo. Este termo adoita abreviarse simplemente a isometría, polo que hai que ter coidado de determinar a partir do contexto que tipo se pretende. Exemplos
Calquera reflexión, translación e rotación é unha isometría global sobre espazos euclidianos.
O mapa x ↦ | x | {\displaystyle x\mapsto |x|} en R {\displaystyle \mathbb {R} } é unha isometría de camiño pero non unha isometría (xeral). Teña en conta que a diferenza dunha isometría, esta isometría de camiño non precisa ser inxectiva. Grupo de isometría
O conxunto de todos os mapas que son isometrías dun conxunto contido nun espazo métrico forma un grupo coñecido como grupo de isometría do conxunto. Nun espazo euclidiano de dimensión n o grupo de isometría G i s o {\displaystyle G_{iso}\, } de calquera conxunto é un subgrupo do grupo de produtos formado a partir do grupo ortogonal e o grupo de translaciones: G i s o ⊂ O ( n ) × R n {\displaystyle G_{iso}\subset O(n)\times \mathbb {R} ^{n}} Isometrías entre espazos normados
Isometría linear
Dados dous espazos vectoriais normados V e W, unha isometría linear é unha aplicación linear f: V → W {\displaystyle f\colon V\rightarrow W} que conserva a norma: ‖ f ( v ) ‖
‖ v ‖ {\displaystyle \|f(v)\|
\|v\|} para todas as v ∈ V {\displaystyle v\in V}. Neste sentido, unha isometría conserva a distancia inducida pola norma do espazo vectorial. Unha isometría chámase global se é unha función sobrexectiva.
Nun espazo pre-hilbertiano (un espazo vectorial dotado de produto escalar), a definición anterior equivale a que ⟨ f ( v ), f ( v ) ⟩
⟨ v, v ⟩ ∀ v ∈ V {\displaystyle \langle f(v), f(v)\rangle
\langle v, v\rangle \quad \forall v\in V} e isto é equivalente a que se conserve o produto escalar: ⟨ f ( u ), f ( v ) ⟩
⟨ u, v ⟩ ∀ u, v ∈ V {\displaystyle \langle f(u), f(v)\rangle
\langle u, v\rangle \quad \forall u, v\in V}.
En efecto, que esta igualdade implique a anterior é trivial; o recíproco dedúcese do feito de que o produto escalar está determinado pola norma segundo a identidade do paralelogramo: ⟨ u, v ⟩
‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 24. {\displaystyle \langle u, v\rangle
{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2} \over 4}. } Se se conserva a norma, tamén se conserva o produto escalar, dado por esta identidade.
Segundo o teorema de Mazur-Ulam, calquera isometría dun espazo vectorial normado no corpo do números reais é afín.
Debido a como se definen ángulos nun espazo vectorial, toda isometría linear conserva os ángulos, é dicir, unha isometría linear é unha aplicación conforme linear.