Espazo compacto

En topoloxía, un espazo compacto é un espazo que ten propiedades similares a un conxunto finito, en canto a que as sucesións contidas nun conxunto finito sempre conteñen unha subsucesión converxente. A noción de compacidade é unha versión máis xeral desta propiedade.
Un conxunto compacto é un subconxunto dun espazo topolóxico, que como subespazo topolóxico (coa topoloxía inducida) é en si mesmo un espazo topolóxico compacto. Definición
A definición moderna de compacidade require primeiro especificar a noción de cobertura aberta: Dada unha cobertura C dun conxunto A, unha subcobertura D é unha subfamilia de C, D ⊆ C que segue a ser unha cobertura de A, é dicir, unha subcolección de conxuntos de C que aínda cobre A.
A definición de compacidade é entón:
Exemplos
O conxunto K {1, 1/2, 1/3, 1/4, .. ., 0} ⊆ ℝ coa topoloxía hedada da estándar de ℝ é compacto. Dada unha veciñanza de 0, esta inclúe todos os 1/n agás un número finito, posto que a sucesión {1/n}n ∈ ℕ converxe a 0. Polo tanto, dado unha cobertura aberta de K, tomando un aberto O que conteña a 0 e un aberto que conteña cada punto 1/n non contido en O, esta subcolección finita cobre K.
O intervalo aberto (0, 1) ⊆ ℝ non é compacto (coa topoloxía usual herdada de ℝ). A familia { (0, 1 − 1/n) }n> 1 é unha cobertura aberta do intervalo, pero dada calquera subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/k) nela que contén os demais —buscando aquel con k máximo—. Como 1 − 1/p non está en (0, 1 − 1/k) se p ≥ k, ningunha subfamilia finita cobre (0, 1).
Caracterizacións equivalentes
A compacidade dun espazo topolóxico X admite varias formulacións alternativas. As seguintes afirmacións son equivalentes: X es compacto.
Se {Fi}i ∈ I é unha familia de subconxuntos pechados en X coa propiedade da intersección finita, entón ∩IFi ≠ ∅.
Toda rede en X admite unha subrede converxente.
A función ao punto X → ∗ {\displaystyle X\to \ast } é propia.
Compacidade en espazos métricos
Un subconxunto A dun espazo métrico e, en particular, do espazo euclidiano R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é compacto se cumpre algunha das catro condicións da definición xeral. Non obstante, a terceira delas admite a seguinte reescritura neste contexto: toda sucesión en A admite unha subsucesión converxente. Exemplos
O exemplo máis sinxelo dun subconxunto compacto da recta euclidiana é un intervalo pechado [a, b] da mesma (Teorema de Heine-Borel).
Máis xeralmente, tamén o é calquera conxunto pechado e limitado do espazo euclidiano. Por exemplo, calquera círculo no plano euclidiano.
Todo espazo X cofinito é compacto.
Un exemplo de espazo non compacto é a recta real, pois non é limitada e contén sucesións que tenden a infinito. Ademais ningunha subfamilia finita da cobertura de abertos {(-n, n): n∈ℕ} recobre a recta real.
Tampouco é compacto o conxunto dos números racionais. En efecto, unha sucesión de racionais que converxe a un irracional (ao ser vista como sucesión nos reais) non ten ningunha subsucesión converxente a un racional. Teoremas asociados á compacidade
Teorema de Heine-Borel: un espazo métrico é compacto se e só se é completo e totalmente limitado. Para subconxuntos do espazo euclidiano, abonda con que este sexa pechado e limitado, que é unha caracterización útil. Con todo en dimensión infinita isto non é verdade e, de feito, neste contexto a bóla unitaria pechada xamais será precompacta; polo mesmo, é moito máis difícil verificar a compacidade.
Teorema de Arzelà-Ascoli