Preorde

En matemáticas, especialmente na teoría da orde, unha preorde ou cuasiorde é unha relación binaria que é reflexiva e transitiva. O nome de preorde pretende suxerir que son ordes case parciais, mais non de todo, xa que non son necesariamente antisimétricas.
Un exemplo natural de preorde é a relación de división "x divide y" entre números enteiros, polinomios ou elementos dun anel conmutativo. Por exemplo, a relación de división é reflexiva pois cada número enteiro divídese a si mesmo. Mais a relación de división non é antisimétrica, porque 1 {\displaystyle 1} divide − 1 {\displaystyle -1} e − 1 {\displaystyle -1} divide 1 {\displaystyle 1}. É a esta preorde á que "máximo" e "mínimo" se refiren nas frases "máximo común divisor" e "mínimo común múltiplo" (agás que, para os enteiros, o máximo común divisor tamén é o máximo para a orde natural dos enteiros).
As preordes están estreitamente relacionadas coas relacións de equivalencia e as ordes parciais (non estritas). Ambas as dúas son casos especiais dunha preorde: unha preorde antisimétrica é unha orde parcial e unha simétrica unha relación de equivalencia. A maiores, unha preorde nun conxunto X {\displaystyle X} pódese definir equivalentemente como unha relación de equivalencia sobre X {\displaystyle X}, xunto cunha orde parcial sobre o conxunto da clase de equivalencia. Do mesmo xeito que as ordes parciais e as relacións de equivalencia, as preordes (nun conxunto non baleiro) nunca son asimétricas.
Como relación binaria, unha preorde pódese denotar como ≲ {\displaystyle \, \lesssim \, } ou ≤ {\displaystyle \, \leq \, }. En palabras, cando a ≲ b, {\displaystyle a\lesssim b, } pódese dicir que b cobre a ou que a precede a b, ou que b redúcese en a. En ocasións, tamén se usa a notación ← ou →. Definición
Sexa ≲ {\displaystyle \, \lesssim \, } unha relación binaria nun conxunto P, {\displaystyle P, } polo que, por definición, ≲ {\displaystyle \, \lesssim \, } é algún subconxunto de P × P {\displaystyle P\times P}. Entón ≲ {\displaystyle \, \lesssim \, } chámase preorde ou quasiorde se é reflexiva e transitiva; é dicir, se cumpre: Reflexividade: a ≲ a {\displaystyle a\lesssim a} para todos os a ∈ P, {\displaystyle a\in P, } e
Transitividade: se a ≲ b e b ≲ c then a ≲ c {\displaystyle a\lesssim b{\text{ e }}b\lesssim c{\text{ then }}a\lesssim c} para tódolos a, b, c ∈ P. {\displaystyle a, b, c\in P. } Un conxunto que está equipado cunha preorde chámase conxunto preordenado (ou proset en inglés). Preordes como ordes parciais en particións
Dada unha preorde ≲ {\displaystyle \, \lesssim \, } en S {\displaystyle S} pódese definir unha relación de equivalencia ∼ {\displaystyle \, \sim \, } en S {\displaystyle S} tal que a ∼ b se e só se a ≲ b e b ≲ a. {\displaystyle a\sim b\quad {\text{ se e só se }}\quad a\lesssim b\; {\text{ e }}\; b\lesssim a. } A relación resultante ∼ {\displaystyle \, \sim \, } é reflexiva posto que a preorde ≲ {\displaystyle \, \lesssim \, } é reflexiva; transitiva aplicando a transitividade de ≲ {\displaystyle \, \lesssim \, } dúas veces; e simétrica por definición.
Usando esta relación, é posíbel construír unha orde parcial sobre o conxunto cociente da equivalencia, S / ∼, {\displaystyle S/\sim, } que é o conxunto de todas as clases de equivalencia de ∼. {\displaystyle \, \sim. } Se a preorde está indicada por R +, {\displaystyle R^{+
}, } entón S / ∼ {\displaystyle S/\sim } é o conxunto de R {\displaystyle R} -ciclo clases de equivalencia: x ∈ [ y ] {\displaystyle x\in [y]} se e só se x
y {\displaystyle x
y} ou x {\displaystyle x} está nun R {\displaystyle R} -ciclo con y {\displaystyle y}. En todo caso, en S / ∼ {\displaystyle S/\sim } é posíbel definir [ x ] ≤ [ y ] {\displaystyle [x]\leq [y]} se e só se x ≲ y. {\displaystyle x\lesssim y. } Que este está ben definido, é dicir, que a súa condición definitoria non depende dos representantes [ x ] {\displaystyle [x]} e [ y ] {\displaystyle [y]} que son escollidos, despréndese da definición de ∼. {\displaystyle \, \sim. \, } Verifícase facilmente que isto dá un conxunto parcialmente ordenado.
E viceversa, desde calquera orde parcial nunha partición dun conxunto S, {\displaystyle S, } é posíbel construír unha preorde en S {\displaystyle S}. Hai unha correspondencia un a un entre as preordes e os pares (partición, orde parcial).
Exemplo: Sexa S {\displaystyle S} unha teoría lóxica formal, que é un conxunto de proposicións con certas propiedades (os detalles pódense atopar no artigo sobre o tema). Por exemplo, S {\displaystyle S} podería ser unha Teoría de primeira orde (como a Teoría de conxuntos de Zermelo–Fraenkel) ou unha teoría máis sinxela como a teoría de orde cero. Unha das moitas propiedades de S {\displaystyle S} é que está pechada baixo conectivas lóxicas, polo que, por exemplo, se unha proposición A ∈ S {\displaystyle A\in S} implica loxicamente algunha proposición B, {\displaystyle B, } que se escribirá como A ⇒ B {\displaystyle A\Rightarrow B} e tamén como B ⇐ A {\displaystyle B\Leftarrow A}, entón necesariamente B ∈ S {\displaystyle B\in S} (por modus ponens).
A relación ⇐ {\displaystyle \, \Leftarrow \, } é unha preorde en S {\displaystyle S} porque A ⇐ A {\displaystyle A\Leftarrow A} sempre se cumpre e sempre que A ⇐ B {\displaystyle A\Leftarrow B} e B ⇐ C {\displaystyle B\Leftarrow C} mantéñense, entón tamén o fai A ⇐ C. {\displaystyle A\Leftarrow C. } Alén diso, para calquera A, B ∈ S, {\displaystyle A, B\in S, } A ∼ B {\displaystyle A\sim B} se e só se A ⇐ B e B ⇐ A {\displaystyle A\Leftarrow B{\text{ e }}B\Leftarrow A}; é dicir, dúas proposcións son equivalentes con respecto a ⇐ {\displaystyle \, \Leftarrow \, } se e só se son loxicamente equivalentes. Esta relación de equivalencia particular A ∼ B {\displaystyle A\sim B} denótase habitualmente co seu propio símbolo especial A ⟺ B, {\displaystyle A\iff B, }, polo que este símbolo ⟺ {\displaystyle \iff } pódese usar en lugar de ∼. {\displaystyle \sim. } A clase de equivalencia dunha proposición A, {\displaystyle A, } denotada por [ A ], {\displaystyle [A], } consta de todas as proposicións B ∈ S {\displaystyle B\in S} que son loxicamente equivalentes a A {\displaystyle A} (é dicir, todas B ∈ S {\displaystyle B\in S} tal que A ⟺ B {\displaystyle A\iff B} ).
A orde parcial en S / ∼ {\displaystyle S/\sim } inducida por ⇐, {\displaystyle \, \Leftarrow, \, } que tamén se denotará co mesmo símbolo ⇐, {\displaystyle \, \Leftarrow, \, } caracterízase por [ A ] ⇐ [ B ] {\displaystyle [A]\Leftarrow [B]} se e só se A ⇐ B, {\displaystyle A\Leftarrow B, } onde a condición do lado dereito é independente da elección de representantes A ∈ [ A ] {\displaystyle A\in [A]} e B ∈ [ B ] {\displaystyle B\in [B]} das clases de equivalencia.
Todo o que se dixo de ⇐ {\displaystyle \, \Leftarrow \, } ata agora tamén se pode dicir da súa relación inversa ⇒. {\displaystyle \, \Rightarrow. \, } O conxunto preordenado ( S, ⇐ ) {\displaystyle (S, \Leftarrow )} é un conxunto dirixido porque se A, B ∈ S {\displaystyle A, B\in S} e se C:
A ∧ B {\displaystyle C:
A\wedge B} denota a proposición formada pola conxunción lóxica ∧, {\displaystyle \wedge, } entón A ⇐ C {\displaystyle A\Leftarrow C} e B ⇐ C {\displaystyle B\Leftarrow C} onde C ∈ S. {\displaystyle C\in S. } O conxunto parcialmente ordenado ( S / ∼, ⇐ ) {\displaystyle \left(S/\sim, \Leftarrow \right)} é, en consecuencia, tamén un conxunto dirixido.
Consulte Álxebra Lindenbaum–Tarski para obter un exemplo relacionado. Relación con ordes parciais estritas
Se a reflexividade substitúese pola irreflexividade (mentres se mantén a transitividade), obtemos a definición dunha orde parcial estrita sobre P {\displaystyle P}. Por este motivo, o termo preorde estrita úsase ás veces para unha orde parcial estrita. É dicir, esta é unha relación binaria < {\displaystyle \, <\, } sobre P {\displaystyle P} que satisfai: Irreflexividade ou antireflexividade: not a < a {\displaystyle a<a} para todos os a ∈ P; {\displaystyle a\in P; } é dicir, a < a {\displaystyle \, a<a} é falsa para todos os a ∈ P, {\displaystyle a\in P, } e
Transitividade: se a < b e b < c daquela a < c {\displaystyle a<b{\text{ e }}b<c{\text{ daquela }}a<c} para todos os a, b, c ∈ P. {\displaystyle a, b, c\in P. }
Orde parcial estrita inducida por unha orde previa
Calquera preorde ≲ {\displaystyle \, \lesssim \, } dá lugar a unha orde parcial estrita definida por a < b {\displaystyle a<b} se e só se a ≲ b {\displaystyle a\lesssim b} e non b ≲ a {\displaystyle b\lesssim a}.
Usando a relación de equivalencia ∼ {\displaystyle \, \sim \, } introducida anteriormente, a < b {\displaystyle a<b} se e só se a ≲ b e non a ∼ b; {\displaystyle a\lesssim b{\text{ e non }}a\sim b; } e así cúmprese o seguinte a ≲ b se e só se a < b ou a ∼ b. {\displaystyle a\lesssim b\quad {\text{ se e só se }}\quad a<b\; {\text{ ou }}\; a\sim b. }
Preordes inducidas por unha orde parcial estrita
Usando a construción anterior, varios preordes non estritas poden producir a mesma preorde estrita <, {\displaystyle \, <, \, } así que sen máis información sobre como < {\displaystyle \, <\, } foi construída (tal coñecemento da relación de equivalencia ∼ {\displaystyle \, \sim \, } por exemplo), quizais non sexa posíbel reconstruír a preorde orixinal non estrita a partir de <. {\displaystyle \, <. \, } Exemplos
Teoría de grafos
A relación de accesibilidade en calquera grafo dirixido (que pode conter ciclos) dá lugar a unha preorde, onde x ≲ y {\displaystyle x\lesssim y} na preorde se e só se existe un camiño de x a y no grafo dirixido. Viceversa, cada preorde é a relación de accesibilidade dun grafo dirixido (por exemplo, o grafo que ten unha aresta de x a y para cada par (x, y) con x ≲ y {\displaystyle x\lesssim y} ). Non obstante, moitos grafos diferentes poden ter a mesma orde de accesibilidade entre si. Do mesmo xeito, a accesibilidade dos grafos acíclicos dirixidos, grafos dirixidos sen ciclos, dá lugar a conxuntos parcialmente ordenados (preordes que satisfán unha propiedade de antisimetría adicional).
A relación grafo menor tamén é unha orde previa.
Teoría de categorías
Unha categoría con como máximo un morfismo desde calquera obxecto x a calquera outro obxecto y é unha preorde. Esas categorías chámanse delgadas. Aquí os obxectos corresponden aos elementos de P, {\displaystyle P, } e hai un morfismo para os obxectos que están relacionados, cero en caso contrario. Neste sentido, as categorías "xeneralizan" as preordes permitindo máis dunha relación entre obxectos: cada morfismo é unha relación de preorde distinta.
Alternativamente, un conxunto preordenado pódese entender como unha categoría enriquecida, enriquecida sobre a categoría 2
( 0 → 1 ). {\displaystyle 2
(0\to 1). }
Outros
Todo espazo topolóxico finito dá lugar a unha preorde nos seus puntos mediante a definición x ≲ y {\displaystyle x\lesssim y} se e só se x pertence a todas as veciñanzas de y. Toda preorde finita pódese formar deste xeito como a preorde de especialización dun espazo topolóxico. É dicir, hai unha correspondencia un a un entre topoloxías finitas e preordes finitas. No entanto, a relación entre espazos topolóxicos infinitos e as súas preordes de especialización non é un a un.
Unha rede é unha preorde dirixida, é dicir, cada par de elementos ten un límite superior. A definición de converxencia a través de redes é importante na topoloxía, onde as preordes non se poden substituír por conxuntos parcialmente ordenados sen perder características importantes.
A relación definida por x ≲ y {\displaystyle x\lesssim y} se f ( x ) ≲ f ( y ), {\displaystyle f(x)\lesssim f(y), } onde f é unha función nalgunha preorde.
A relación definida por x ≲ y {\displaystyle x\lesssim y} se existe algunha inxección de x a y. A inxección pode substituírse por sobrexección ou por calquera tipo de función de conservación da estrutura, como un homomorfismo de anel ou unha permutación.
A relación de mergullo para ordes totais contábeis.
Exemplo de preorde total: Preferencia, segundo modelos comúns. Construcións
Toda relación binaria R {\displaystyle R} nun conxunto S {\displaystyle S} pódese ampliar a unha preorde en S {\displaystyle S} tomando o peche transitivo e o peche reflexivo, R +. {\displaystyle R^{+
}. } O peche transitivo indica a conexión do camiño R: x R + y {\displaystyle R: xR^{+}y} se e só se hai un R {\displaystyle R} -camiño dende x {\displaystyle x} a y. {\displaystyle y. } Preorde residual pola esquerda inducida por unha relación binaria
Dada unha relación binaria R, {\displaystyle R, } a composición complementada R ∖ R
R T ∘ R ¯ ¯ {\displaystyle R\backslash R
{\overline {R^{\textsf {T}}\circ {\overline {R}}}}} forma unha preorde chamada residual pola esquerda, (onde a barra " ∖ {\displaystyle \backslash } " non significa o "conxunto diferenza"), onde R T {\displaystyle R^{\textsf {T}}} denota a relación inversa de R, {\displaystyle R, } e R ¯ {\displaystyle {\overline {R}}} denota a relación complementaria de R, {\displaystyle R, } mentres ∘ {\displaystyle \circ } denota composición de relacións. Definicións relacionadas
Se unha preorde tamén é antisimétrica, é dicir, a ≲ b {\displaystyle a\lesssim b} e b ≲ a {\displaystyle b\lesssim a} implica a
b, {\displaystyle a
b, } entón é unha orde parcial.
Por outra banda, se é simétrica, é dicir, se a ≲ b {\displaystyle a\lesssim b} implica b ≲ a, {\displaystyle b\lesssim a, } entón é unha relación de equivalencia.
Unha preorde é total se a ≲ b {\displaystyle a\lesssim b} ou b ≲ a {\displaystyle b\lesssim a} para todos os a, b ∈ P. {\displaystyle a, b\in P. } Unha clase reservada é unha clase equipada cunha preorde. Todo conxunto é unha clase e, polo tanto, todo conxunto preordenado é unha clase preordenada. Intervalo
Para a ≲ b, {\displaystyle a\lesssim b, } o intervalo [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} é o conxunto de puntos x que satisfán a ≲ x {\displaystyle a\lesssim x} e x ≲ b, {\displaystyle x\lesssim b, } tamén escrito a ≲ x ≲ b. {\displaystyle a\lesssim x\lesssim b. } Contén polo menos os puntos a e b. Pódese optar por estender a definición a todos os pares ( a, b ) {\displaystyle (a, b)}. Os intervalos adicionais están todos baleiros.
Usando a relación estrita correspondente " < {\displaystyle <} ", tamén se pode definir o intervalo ( a, b ) {\displaystyle (a, b)} como o conxunto de puntos x que satisfán a < x {\displaystyle a<x} e x < b, {\displaystyle x<b, } tamén escrito a < x < b. {\displaystyle a<x<b. } Un intervalo aberto pode estar baleiro aínda que a < b. {\displaystyle a<b. } Tamén [ a, b ) {\displaystyle [a, b)} e ( a, b ] {\displaystyle (a, b]} poden definirse de xeito similar.