Teorema fundamental da álxebra

O teorema fundamental da álxebra establece que todo polinomio con números complexos por coeficientes e grao distinto de cero ten polo menos unha raíz (que será, en xeral, un número complexo). Enunciado e equivalencias
O enunciado máis utilizado do teorema é o seguinte: Por exemplo, 1 + i {\displaystyle 1+i} é unha raíz do polinomio X 4 + 4 {\displaystyle X^{4}+4}. Nesta forma, o teorema afirma a existencia dunha raíz do polinomio P ( X ) {\displaystyle P(X)} pero non explica como atopar esta raíz explicitamente. Esta afirmación existencial describe máis unha propiedade do corpo dos números complexos. Un corpo dise que é alxebricamente pechado se todo polinomio de grao estritamente positivo e con coeficientes neste corpo admite polo menos unha raíz neste corpo.
En ocasións emprégase tamén o seguinte enunciado: Un polinomio nunha variable, non constante e con coeficientes complexos, ten tantas raíces como indica o seu grao (contando as súas multiplicidades.
Son equivalentes as afirmacións: O corpo dos números complexos é alxébricamente pechado para as operacións alxébricas
Todo polinomio complexo de grao n ≥ 1 é expresable como produto de polinomios de grao 1 p ( z )
∑ k
0 n a k z k
a n ∏ i
1 n ( z − b i ). {\displaystyle p(z)
\sum _{k
0}^{n}a_{k}\, z^{k}
a_{n}\, \prod _{i
1}^{n}(z-b_{i}). } Estes resultados, extendendo o sumatorio anterior, indican que un polinomio con coeficientes complexos de grao n, que se pode escribir a n X n + … + a 1 X + a 0 {\displaystyle a_{n}X^{n}+\ldots +a_{1}X+a_{0}} tamén se pode escribir a n ( X − α 1 ) … ( X − α n ) {\displaystyle a_{n}(X-\alpha _{1})\ldots (X-\alpha _{n})}. Aquí, a familia ( α k ) {\displaystyle (\alpha _{k})}, para k {\displaystyle k} que varía de 1 {\displaystyle 1} a n {\displaystyle n}, é a das raíces. Algúns números α k {\displaystyle \alpha _{k}} poden ser iguais; entón falamos de raíces múltiples. Usos
Análise
Ás veces é necesario calcular unha función primitiva dunha función racional (función cociente de dúas funcións polinómicas). Podemos considerar a función f {\displaystyle f} definida por: f ( x )
5 x 2 − 3 x − 11 x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6. {\displaystyle f(x)
{\frac {5x^{2}-3x-11}{x^{3}-2x^{2}-5x+6}}. } Un corolario do teorema fundamental indica que o denominador factorízase en elementos de primeiro grao; aquí atopamos: x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6
( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ). {\displaystyle x^{3}-2x^{2}-5x+6
(x-1)(x+2)(x-3). } Unha descomposición destes factores da función mostra a existencia de tres valores a, b {\displaystyle a, b} e c {\displaystyle c} tal que: f ( x )
a x − 1 + b x + 2 + c x − 3. {\displaystyle f(x)
{\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{x+2}}+{\frac {c}{x-3}}. } Un cálculo rápido mostra que a
32, b
1 {\displaystyle a
{\dfrac {3}{2}}, b
1} e c
52 {\displaystyle c
{\dfrac {5}{2}}}; o cálculo da primitiva faise logo facilmente.
Álxebra linear
A redución do endomorfismo utiliza polinomios. Podemos escoller como caso especial un endomorfismo autoadxunto a {\displaystyle a} dun espazo euclidiano E {\displaystyle E} para ilustrar o uso do teorema. A súa matriz nunha base ortonormal é, polo tanto, simétrica e todos os seus valores propios son reais. O polinomio característico de a {\displaystyle a} admite, segundo o teorema fundamental da álxebra, unha raíz λ {\displaystyle \lambda }. Este é un valor propio de a {\displaystyle a}. Observando que o espazo ortogonal F {\displaystyle F} ao espazo propio con valor propio λ {\displaystyle \lambda } é estábel por a {\displaystyle a}, entendemos que o endomorfismo é diagonalizábel. De feito, agora é suficiente aplicar a mesma redución á restrición de a {\displaystyle a} en F {\displaystyle F}, que tamén é autoadxunto. Paso a paso o endomorfismo a {\displaystyle a} vaise diagonalizando.
A diagonalización dun endomorfismo aparece a miúdo como consecuencia da existencia dunha raíz do polinomio característico ou mínimo.
Aritmética
Un dos obxectos da teoría alxébrica de números tradicional é o estudo dos corpos numéricos, é dicir, das extensións finitas do corpo Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dos racionais. Todos estes corpos son alxébricos sobre Q {\displaystyle \mathbb {Q} } polo que se mergullan no seu peche alxébrico, o corpo Q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} de números alxébricos. Segundo o teorema fundamental da álxebra, Q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} mergúllase en C {\displaystyle \mathbb {C} }.