Logaritmo natural de 2

O valor decimal do logaritmo natural de 2 (secuencia A002162 na OEIS) é aproximadamente ln ⁡ 2 ≈ 0. 693147180559945309417232121458. {\displaystyle \ln 2\approx 0. 693\, 147\, 180\, 559\, 945\, 309\, 417\, 232\, 121\, 458. } O logaritmo decimal é (secuencia A007524 na OEIS) log 10 ⁡ 2 ≈ 0. 301029995663981195. {\displaystyle \log _{10}2\approx 0. 301\, 029\, 995\, 663\, 981\, 195. } Segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass, o logaritmo natural de calquera número natural que non sexa 0 e 1 (máis xeralmente, de calquera número alxébrico positivo que non sexa 1) é un número transcendental. Representacións en serie
Factorial alternativo ascendente
ln ⁡ 2
∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n
1 − 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + ⋯. {\displaystyle \ln 2
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}
1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots. } Esta é a coñecida "serie harmónica alterna". ln ⁡ 2
12 + 12 ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}. } ln ⁡ 2
58 + 12 ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}. } ln ⁡ 2
23 + 34 ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}. } ln ⁡ 2
131192 + 32 ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}. } ln ⁡ 2
661960 + 154 ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}. } ln ⁡ 2
23. ( 1 + 243 − 4 + 283 − 8 + 2123 − 12 +. .. .. .. .. ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {2}{3}}. (1+{\frac {2}{4^{3}-4}}+{\frac {2}{8^{3}-8}}+{\frac {2}{12^{3}-12}}+. .. .. .. .. ). }
Factorial constante ascendente binario
ln ⁡ 2
∑ n
1 ∞ 12 n n. {\displaystyle \ln 2
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}. } ln ⁡ 2
1 − ∑ n
1 ∞ 12 n n ( n + 1 ). {\displaystyle \ln 2
1-\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}. } ln ⁡ 2
12 + 2 ∑ n
1 ∞ 12 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {1}{2}}+2\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}. } ln ⁡ 2
56 − 6 ∑ n
1 ∞ 12 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {5}{6}}-6\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}. } ln ⁡ 2
712 + 24 ∑ n
1 ∞ 12 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {7}{12}}+24\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}. } ln ⁡ 2
4760 − 120 ∑ n
1 ∞ 12 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {47}{60}}-120\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}. }
Outras representacións en serie
∑ n
0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 )
ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}
\ln 2. } ∑ n
1 ∞ 1 n ( 4 n 2 − 1 )
2 ln ⁡ 2 − 1. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}
2\ln 2-1. } ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n n ( 4 n 2 − 1 )
ln ⁡ 2 − 1. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}
\ln 2-1. } ∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n n ( 9 n 2 − 1 )
2 ln ⁡ 2 − 32. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}
2\ln 2-{\frac {3}{2}}. } ∑ n
1 ∞ 14 n 2 − 2 n
ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}
\ln 2. } ∑ n
1 ∞ 2 ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 1 ) + 18 n 2 − 4 n
ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}
\ln 2. } ∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 1
ln ⁡ 23 + π 33. {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}
{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}. } ∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 2
− ln ⁡ 23 + π 33. {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}
-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}. } ∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 )
2 ln ⁡ 23. {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}
{\frac {2\ln 2}{3}}. } ∑ n
1 ∞ 1 ∑ k
1 n k 2
18 − 24 ln ⁡ 2 {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k
1}^{n}k^{2}}}
18-24\ln 2} usando lim N → ∞ ∑ n
N 2 N 1 n
ln ⁡ 2 {\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n
N}^{2N}{\frac {1}{n}}
\ln 2} ∑ n
1 ∞ 14 n 2 − 3 n
ln ⁡ 2 + π 6 {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-3n}}
\ln 2+{\frac {\pi }{6}}} (sumas dos recíprocos dos números decagonais)
Implicando a función Zeta de Riemann
∑ n
1 ∞ 1 n [ ζ ( 2 n ) − 1 ]
ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n}}[\zeta (2n)-1]
\ln 2. } ∑ n
2 ∞ 12 n [ ζ ( n ) − 1 ]
ln ⁡ 2 − 12. {\displaystyle \sum _{n
2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]
\ln 2-{\frac {1}{2}}. } ∑ n
1 ∞ 12 n + 1 [ ζ ( 2 n + 1 ) − 1 ]
1 − γ − ln ⁡ 22. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (2n+1)-1]
1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}. } ∑ n
1 ∞ 122 n − 1 ( 2 n + 1 ) ζ ( 2 n )
1 − ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)
1-\ln 2. } (γ é a constante de Euler-Mascheroni e ζ a función zeta de Riemann).
Representacións tipo BBP
ln ⁡ 2
23 + 12 ∑ k
1 ∞ ( 12 k + 14 k + 1 + 18 k + 4 + 116 k + 12 ) 116 k. {\displaystyle \ln 2
{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k
1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}. } (Consulte máis información sobre as representacións de tipo Bailey–Borwein–Plouffe (BBP). )
Aplicando as tres series xerais para o logaritmo natural a 2 directamente dá: ln ⁡ 2
∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n. {\displaystyle \ln 2
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}. } ln ⁡ 2
∑ n
1 ∞ 12 n n. {\displaystyle \ln 2
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}. } ln ⁡ 2
23 ∑ k
0 ∞ 19 k ( 2 k + 1 ). {\displaystyle \ln 2
{\frac {2}{3}}\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}. } Representación como integrais
O logaritmo natural de 2 ocorre con frecuencia como resultado da integración. Algunhas fórmulas explícitas para iso inclúen: ∫ 01 d x 1 + x
∫ 12 d x x
ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}
\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}
\ln 2} ∫ 0 ∞ e − x 1 − e − x x d x
ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\, dx
\ln 2} ∫ 0 ∞ 2 − x d x
1 ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }2^{-x}dx
{\frac {1}{\ln 2}}} ∫ 0 π 3 tan ⁡ x d x
2 ∫ 0 π 4 tan ⁡ x d x
ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\, dx
2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\, dx
\ln 2} − 1 π i ∫ 0 ∞ ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x ( x + 1 ) 2 d x
ln ⁡ 2 {\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\, dx
\ln 2} Outras representacións
A expansión de Pierce é (secuencia A091846 na OEIS) ln ⁡ 2
1 − 11 ⋅ 3 + 11 ⋅ 3 ⋅ 12 − ⋯. {\displaystyle \ln 2
1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots. } A expansión de Engel é (secuencia A059180 na OEIS) ln ⁡ 2
12 + 12 ⋅ 3 + 12 ⋅ 3 ⋅ 7 + 12 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 9 + ⋯. {\displaystyle \ln 2
{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots. } A expansión cotanxente é (secuencia A081785 na OEIS) ln ⁡ 2
cot ⁡ ( arccot ⁡ ( 0 ) − arccot ⁡ ( 1 ) + arccot ⁡ ( 5 ) − arccot ⁡ ( 55 ) + arccot ⁡ ( 14187 ) − ⋯ ). {\displaystyle \ln 2
\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots }). } A expansión como fracción continua simple é (secuencia A016730 na OEIS) ln ⁡ 2
[ 0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 3, 1, .. . ] {\displaystyle \ln 2
\left[0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 3, 1, .. .\right]},
que produce aproximacións racionais, as primeiras das cales son 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 e 61/88.
Esta fracción continua xeneralizada: ln ⁡ 2
[ 0; 1, 2, 3, 1, 5, 23, 7, 12, 9, 25, .. ., 2 k − 1, 2 k, .. . ] {\displaystyle \ln 2
\left[0; 1, 2, 3, 1, 5, {\tfrac {2}{3}}, 7, {\tfrac {1}{2}}, 9, {\tfrac {2}{5}}, .. ., 2k-1, {\frac {2}{k}}, .. .\right]}, tamén expresábel como ln ⁡ 2
11 + 12 + 13 + 22 + 25 + 32 + 37 + 42 + ⋱
23 − 129 − 2215 − 3221 − ⋱ {\displaystyle \ln 2
{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}
{\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}} Díxitos coñecidos
Esta é unha táboa de rexistros recentes no cálculo de díxitos de ln 2. Desde decembro de 2018, calculáronse máis díxitos que os de calquera outro logaritmo neperiano dun número natural, agás o de 1.