Función analítica

En matemáticas, unha función analítica é unha función que está dada localmente por unha serie de potencias converxente. Existen funcións analíticas reais e funcións analíticas complexas. As funcións de cada tipo son infinitamente diferenciábeis, mais as funcións analíticas complexas presentan propiedades que xeralmente non se cumpren para as funcións analíticas reais.
Unha función é analítica se e só se para cada x 0 {\displaystyle x_{0}} no seu dominio, a súa serie de Taylor en x 0 {\displaystyle x_{0}} converxe á función nalgunha veciñanza de x 0 {\displaystyle x_{0}}. Isto é máis forte que simplemente ser infinitamente diferenciábel en x 0 {\displaystyle x_{0}}, e polo tanto ter unha serie de Taylor ben definida; a función de Fabius ofrece un exemplo dunha función que é infinitamente diferenciábel mais non analítica. Definicións
Formalmente, unha función f {\displaystyle f} é unha función analítica real nun conxunto aberto D {\displaystyle D} na liña real se para algún x 0 ∈ D {\displaystyle x_{0}\in D} podemos escribir f ( x )
∑ n
0 ∞ a n ( x − x 0 ) n
a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + ⋯ {\displaystyle f(x)
\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}
a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots } no que os coeficientes a 0, a 1, … {\displaystyle a_{0}, a_{1}, \dots } son números reais e a serie é converxente a f ( x ) {\displaystyle f(x)} para x {\displaystyle x} nunha veciñanza de x 0 {\displaystyle x_{0}}.
Alternativamente, unha función analítica real é unha función infinitamente diferenciable tal que a serie de Taylor en calquera punto x 0 {\displaystyle x_{0}} no seu dominio T ( x )
∑ n
0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n! ( x − x 0 ) n {\displaystyle T(x)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n! }}(x-x_{0})^{n}} converxe a f ( x ) {\displaystyle f(x)} para x {\displaystyle x} nunha veciñanza punto por punto de x 0 {\displaystyle x_{0}}. O conxunto de todas as funcións analíticas reais nun conxunto dado D {\displaystyle D} adoita denotarse por C ω ( D ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\, \omega }(D)}, ou só por C ω {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\, \omega }} se se sobreentende o dominio.
A definición dunha función analítica complexa obtense substituíndo, nas definicións anteriores, "real" por "complexo" e "recta real" por "plano complexo". Unha función é analítica complexa se e só se é holomorfa, é dicir, é derivábel complexa. Por esta razón, os termos "holomorfo" e "analítica" adoitan usarse indistintamente para esas funcións. Exemplos
Exemplos típicos de funcións analíticas son As seguintes funcións elementais:
Todos os polinomios: se un polinomio ten grao n, calquera termo de grao maior que n na súa expansión da serie de Taylor debe desaparecer inmediatamente a 0, polo que esta serie será trivialmente converxente. A maiores, todo polinomio é a súa propia serie de Maclaurin.
A función exponencial é analítica. Calquera serie de Taylor para esta función converxe non só para x o suficientemente próximo a x0 (como na definición) senón para todos os valores de x (real ou complexo).
As funcións trigonométricas, o logaritmo e as funcións de potencias son analíticas en calquera conxunto aberto do seu dominio.
A maioría das funcións especiais (polo menos nalgún rango do plano complexo):
Funcións hiperxeométricas
Funcións de Bessel
Funcións gamma
Exemplos típicos de funcións que non son analíticas son A función de valor absoluto cando se define no conxunto de números reais ou complexos non é analítica en todas as partes porque non é diferenciábel en 0.
As funcións definidas por intervalos (funcións dadas por diferentes fórmulas en diferentes rexións) normalmente non son analíticas onde se atopan os intervalos.
A función conxugada complexa z → z * non é analítica complexa, aínda que a súa restrición á liña real é a función de identidade e, polo tanto, analítica real, e é analítica real como función de R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} a R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.
Outras funcións suaves non analíticas e, en particular, calquera función suave f {\displaystyle f} con soporte compacto, é dicir f ∈ C 0 ∞ ( R n ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}, non pode ser analítica en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Caracterizacións alternativas
As seguintes condicións son equivalentes: f {\displaystyle f} é analítica real nun conxunto aberto D {\displaystyle D}.
Hai unha extensión analítica complexa de f {\displaystyle f} a un conxunto aberto G ⊂ C {\displaystyle G\subset \mathbb {C} } que contén D {\displaystyle D}. f {\displaystyle f} é suave e para todo conxunto compacto K ⊂ D {\displaystyle K\subset D} existe unha constante C {\displaystyle C} tal que para cada x ∈ K {\displaystyle x\in K} e todo número enteiro non negativo k {\displaystyle k} o seguinte límite cúmprese | d k f d x k ( x ) | ≤ C k + 1 k! {\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k! } As funcións analíticas complexas son exactamente equivalentes ás funcións holomorfas e, polo tanto, caracterízanse moito máis facilmente. Propiedades das funcións analíticas
As sumas, produtos e composicións das funcións analíticas son analíticas.
O recíproco dunha función analítica que non é cero en ningún lugar é analítica, así como a inversa dunha función analítica invertíbel cuxa derivada non é cero. (Véxase tamén o teorema de inversión de Lagrange).
Calquera función analítica é suave, é dicir, infinitamente diferenciábel. O inverso non é certo para as funcións reais; de feito, en certo sentido, as funcións analíticas reais son escasas en comparación con todas as funcións reais infinitamente diferenciábeis. Para os números complexos, a inversa vale, e de feito calquera función diferenciábel unha vez nun conxunto aberto é analítica nese conxunto.
Para todo conxunto aberto Ω ⊆ C {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }, o conxunto A(Ω) de todas as funcións analíticas u: Ω → C {\displaystyle u: \Omega \to \mathbb {C} } é un espazo de Fréchet en relación á converxencia uniforme en conxuntos compactos. O feito de que os límites uniformes dos conxuntos compactos de funcións analíticas sexan analíticos é unha consecuencia sinxela do teorema de Morera. O conxunto A ∞ ( Ω ) {\displaystyle A_{\infty }(\Omega )} de todas as funcións analíticas limitadas coa norma suprema é un espazo de Banach. Analítica e diferenciábel
Existen funcións reais suaves que non son analíticas, de feito, hai moitas funcións deste tipo.
A situación é ben diferente cando se consideran funcións analíticas complexas e derivadas complexas. Pódese probar que calquera función complexa diferenciábel (no sentido complexo) nun conxunto aberto é analítica. En consecuencia, na análise complexa, o termo función analítica é sinónimo de función holomorfa.