Centralizador e normalizador

En matemáticas, especialmente na teoría de grupos, o centralizador (tamén chamado conmutador) dun subconxunto S nun grupo G é o conxunto C G ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {C} _{G}(S)} de elementos de G que conmutan con cada elemento de S, ou equivalentemente, tal que a conxugación por g {\displaystyle g} deixa fixo cada elemento de S. O normalizador de S en G é o conxunto de elementos N G ( S ) {\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)} de G que satisfán a condición máis feble de deixar o conxunto S ⊆ G {\displaystyle S\subseteq G} fixo baixo a conxugación. O centralizador e o normalizador de S son subgrupos de G. Moitas técnicas da teoría de grupos baséanse no estudo dos centralizadores e normalizadores de subconxuntos adecuados S.
Na teoría de aneis, o centralizador dun subconxunto dun anel defínese en relación á operación de semigrupo (multiplicación) do anel. O centralizador dun subconxunto dun anel R é un subanel de R. Este artigo tamén trata sobre centralizadores e normalizadores nunha álxebra de Lie.
O idealizador nun semigrupo ou anel é outra construción que vai na mesma liña que o centralizador e normalizador. Definicións
Grupo e semigrupo
O centralizador dun subconxunto S do grupo (ou semigrupo) G defínese como C G ( S )
{ g ∈ G ∣ g s
s g para todo s ∈ S }
{ g ∈ G ∣ g s g − 1
s para todo s ∈ S }, {\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)
\left\{g\in G\mid gs
sg{\text{ para todo }}s\in S\right\}
\left\{g\in G\mid gsg^{-1}
s{\text{ para todo }}s\in S\right\}, } onde só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se non hai ambigüidade sobre o grupo en cuestión, o G pódese suprimir da notación. Cando S { a } é un conxunto unitario, escribimos CG (a) en lugar de CG ({a}). Outra notación menos común para o centralizador é Z(a), que é paralela á notación para o centro. Con esta última notación, hai que ter coidado de evitar a confusión entre o centro dun grupo G, Z(G), e o centralizador dun elemento g en G, Z(g).
O normalizador de S no grupo (ou semigrupo) G defínese como N G ( S )
{ g ∈ G ∣ g S
S g }
{ g ∈ G ∣ g S g − 1
S }, {\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)
\left\{g\in G\mid gS
Sg\right\}
\left\{g\in G\mid gSg^{-1}
S\right\}, } onde de novo só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se o conxunto S {\displaystyle S} é un subgrupo de G {\displaystyle G}, entón o normalizador N G ( S ) {\displaystyle N_{G}(S)} é o subgrupo máis grande G ′ ⊆ G {\displaystyle G'\subseteq G} onde S {\displaystyle S} é un subgrupo normal de G ′ {\displaystyle G'}. As definicións de centralizador e normalizador son similares mais non idénticas. Se g está no centralizador de S e s está en S, entón debe ser que gs
sg, mais se g está no normalizador, entón gs
tg para algún t en S, con t posibelmente diferente de s. É dicir, os elementos do centralizador de S deben conmutar punto por punto con S, pero os elementos do normalizador de S só precisan conmutar con S como un conxunto. As mesmas convencións de notación mencionadas anteriormente para os centralizadores tamén se aplican aos normalizadores. Non se debe confundir o normalizador co pechamento normal.
Claramente C G ( S ) ⊆ N G ( S ) {\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)} e ambos os dous son subgrupos de G {\displaystyle G}.
Anel, álxebra sobre un corpo, anel de Lie e álxebra de Lie
Se R é un anel ou unha álxebra sobre un corpo, e S é un subconxunto de R, entón o centralizador de S é exactamente o mesmo que se definiu para os grupos, con R no lugar de G.
Se L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} é unha álxebra de Lie (ou un anel de Lie) con produto de Lie [x, y], dqquela o centralizador dun subconxunto S de L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} defínese como C L ( S )
{ x ∈ L ∣ [ x, s ]
0 para todo s ∈ S }. {\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)
\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x, s]
0{\text{ para todo }}s\in S\}. } A definición de centralizadores para aneis de Lie está ligada á definición de aneis do seguinte xeito. Se R é un anel asociativo, entón R pode dar o produto de corchetes de Lie [x, y]
xy − yx. Por suposto, entón xy
yx se e só se [x, y] 0. Se denotamos o conxunto R co produto corchete como LR, entón claramente o centralizador do anel de S en R é igual ao centralizador do anel de Lie de S en LR.
O normalizador dun subconxunto S dunha álxebra de Lie (ou anel de Lie) L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} está dado por N L ( S )
{ x ∈ L ∣ [ x, s ] ∈ S for all s ∈ S }. {\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)
\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x, s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}. } Aínda que este é o uso estándar do termo "normalizador" na álxebra de Lie, esta construción é en realidade o idealizador do conxunto S en L {\displaystyle {\mathfrak {L}}}. Se S é un subgrupo aditivo de L {\displaystyle {\mathfrak {L}}}, entón N L ( S ) {\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)} é o subanel de Lie máis grande (ou subálxebra de Lie, segundo o caso) no que S é un ideal de Lie. Exemplo
Considere o grupo G
S 3
{ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3, 2 ], [ 2, 1, 3 ], [ 2, 3, 1 ], [ 3, 1, 2 ], [ 3, 2, 1 ] } {\displaystyle G
S_{3}
\{[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]\}} (o grupo simétrico de permutacións de 3 elementos).
Tome un subconxunto H do grupo G: H
{ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3, 2 ] }. {\displaystyle H
\{[1, 2, 3], [1, 3, 2]\}. } Teña en conta que [1, 2, 3] é a permutación identidade en G e mantén a orde de cada elemento e [1, 3, 2] é a permutación que fixa o primeiro elemento e troca o segundo e o terceiro elemento.
O normalizador de H en relación ao grupo G son todos os elementos de G que dan o conxunto H (potencialmente permutado) cando se aplica a operación de grupo. Traballando o exemplo para cada elemento de G: [ 1, 2, 3 ] {\displaystyle [1, 2, 3]} cando se aplica a H
> { [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3, 2 ] }
H {\displaystyle \{[1, 2, 3], [1, 3, 2]\}
H}; polo tanto [1, 2, 3] está no Normalizador(H) con respecto a G. [ 1, 3, 2 ] {\displaystyle [1, 3, 2]} cando se aplica a H
> { [ 1, 3, 2 ], [ 1, 2, 3 ] }
H {\displaystyle \{[1, 3, 2], [1, 2, 3]\}
H}; polo tanto [1, 3, 2] está no Normalizador(H) con respecto a G. [ 2, 1, 3 ] {\displaystyle [2, 1, 3]} cando se aplica a H
> { [ 2, 1, 3 ], [ 3, 1, 2 ] } ≠ H {\displaystyle \{[2, 1, 3], [3, 1, 2]\}\neq H}; polo tanto [2, 1, 3] non está no Normalizer(H) con respecto a G. [ 2, 3, 1 ] {\displaystyle [2, 3, 1]} cando se aplica a H
> { [ 2, 3, 1 ], [ 3, 2, 1 ] } ≠ H {\displaystyle \{[2, 3, 1], [3, 2, 1]\}\neq H}; polo tanto [2, 3, 1] non está no Normalizer(H) con respecto a G. [ 3, 1, 2 ] {\displaystyle [3, 1, 2]} cando se aplica a H
> { [ 3, 1, 2 ], [ 2, 1, 3 ] } ≠ H {\displaystyle \{[3, 1, 2], [2, 1, 3]\}\neq H}; polo tanto [3, 1, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G. [ 3, 2, 1 ] {\displaystyle [3, 2, 1]} cando se aplica a H
> { [ 3, 2, 1 ], [ 2, 3, 1 ] } ≠ H {\displaystyle \{[3, 2, 1], [2, 3, 1]\}\neq H}; polo tanto [3, 2, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G.
Polo tanto, o Normalizador(H) en relación a G é { [ 1, 2, 3 ], [ 1, 3, 2 ] } {\displaystyle \{[1, 2, 3], [1, 3, 2]\}} xa que os dous elementos do grupo conservan o conxunto H.
Un grupo considérase simple se o normalizador en relación a un subconxunto é sempre a identidade e el mesmo. Aquí, está claro que S3 non é un grupo simple.
O centralizador do grupo G é o conxunto de elementos que deixan cada elemento de H sen cambios. Está claro que o único elemento deste tipo en S3 é o elemento identidade [1, 2, 3].