Operación binaria

Unha operación binaria defínese como aquela operación matemática que precisa dun operador e de dous operandos (argumentos) para que se poida calcular un valor.
Dados tres conxuntos A, B e C, unha operación binaria é unha aplicación que asigna a cada par de valores a de A e b de B un só valor c de C, que podemos representar: f: A × B → C {\displaystyle f: \; A\times B\to C} Representando a operación polo signo ⊚ {\displaystyle \circledcirc } podemos expresar a operación: a ⊚ b
c, ⊚ ( a, b )
c, ( a, b ) → ⊚ c {\displaystyle a\circledcirc b
c\; ,\quad \circledcirc (a, b)
c\; ,\quad (a, b){\xrightarrow {\circledcirc }}c} Por exemplo, o operador de suma «+» de números naturais é un operador binario, porque require dous argumentos: +: N × N → N ( a, b ) → c
a + b {\displaystyle {\begin{array}{rcl}+: \; N\times N&\to &N\\(a, b)&\to &c
a+b\end{array}}} e temos que: 2 + 3
5, + ( 2, 3 )
5, ( 2, 3 ) → + 5 {\displaystyle 2+3
5\; ,\quad +(2, 3)
5\; ,\quad (2, 3){\xrightarrow {+}}5} O número de argumentos dunha función denomínase aridade. Clase de operación binaria
Segundo os conxuntos A, B e C podemos diferenciar dous tipos de operacións, as internas nas que A
B
C, e as externas que son tódalas demais.
Operación interna
Se a cada par de valores (a, b) de A 2 {\displaystyle A^{2}} a operación lle corresponde un valor c de A: f: A × A → A {\displaystyle f: \; A\times A\to A} dise que esta operación é interna, e así, por exemplo, dado o conxunto de vectores de tres dimensións V 3 {\displaystyle V^{3}}, e a suma de vectores, temos: +: V 3 × V 3 → V 3 {\displaystyle +: \; V^{3}\times V^{3}\to V^{3}} que a suma de dous vectores de V 3 {\displaystyle V^{3}} é outro vector de V 3 {\displaystyle V^{3}}. Por exemplo, dados os vectores: a
a x i + a y j + a z k {\displaystyle \mathbf {a}
a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} } b
b x i + b y j + b z k {\displaystyle \mathbf {b}
b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} } a súa suma é: c
a + b, c
( a x i + a y j + a z k ) + ( b x i + b y j + b z k ), c
( a x + b x ) i + ( a y + b y ) j + ( a z + b z ) k {\displaystyle \mathbf {c}
\mathbf {a} +\mathbf {b} \; ,\quad \mathbf {c}
(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )+(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\; ,\quad \mathbf {c}
(a_{x}+b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}+b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}+b_{z})\mathbf {k} }
Operación externa
Se a operación non é interna, entón é externa, podéndose presentar os seguintes casos: Se a cada par de valores a de A e b de B, asígnaselle un valor c de A, f: A × B → A {\displaystyle f: \; A\times B\to A} a esta operación tamén se lle denomina lei de composición externa. Un exemplo sinxelo desta operación é o produto dun vector por un escalar: ⋅: V 3 × R → V 3 {\displaystyle \cdot: \; V^{3}\times R\to V^{3}} así, dado o vector: a
a x i + a y j + a z k {\displaystyle \mathbf {a}
a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} } o resultado de multiplicalo por un escalar b, será: c
a ⋅ b, c
( a x i + a y j + a z k ) ⋅ b, c
( a x ⋅ b ) i + ( a y ⋅ b ) j + ( a z ⋅ b ) k {\displaystyle \mathbf {c}
\mathbf {a} \cdot b\; ,\quad \mathbf {c}
(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\cdot b\; ,\quad \mathbf {c}
(a_{x}\cdot b)\mathbf {i} +(a_{y}\cdot b)\mathbf {j} +(a_{z}\cdot b)\mathbf {k} } Se a operación é da forma: f: A × A → B {\displaystyle f: \; A\times A\to B} na que a cada par de valores a, b de A se lle asigna un c de B, esta operación non se denomina lei de composición. Como exemplo podemos poñer o produto escalar de dous vectores, que da como resultado un número real: ∘: V 3 × V 3 → R {\displaystyle \circ: \; V^{3}\times V^{3}\to R} así pois, dados os vectores: a
a x i + a y j + a z k {\displaystyle \mathbf {a}
a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} } b
b x i + b y j + b z k {\displaystyle \mathbf {b}
b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} } o seu produto escalar será: c
a ∘ b, c
( a x i + a y j + a z k ) ∘ ( b x i + b y j + b z k ), c
a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ b z {\displaystyle \mathbf {c}
\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \; ,\quad \mathbf {c}
(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\circ (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\; ,\quad \mathbf {c}
a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}} Se a operación lle asigna a cada par de valores a de A e b de B un c de C, sendo A, B e C conxuntos distintos: f: A × B → C {\displaystyle f: \; A\times B\to C} é o caso máis xeral, e tampouco se denomina lei de composición. Podemos ver o exemplo da división dun número enteiro entre un número natural para dar como resultado un número racional /: Z × N → Q ( a, b ) → c
a / b {\displaystyle {\begin{array}{rcl}/: \; Z\times N&\to &Q\\(a, b)&\to &c
a/b\end{array}}}