Función meromorfa

No campo matemático da análise complexa, unha función meromorfa nun subconxunto aberto D do plano complexo é unha función que é holomorfa en todo D agás nun conxunto de puntos illados, que son polos da función. O termo provén do grego meros ( μέρος ), que significa "parte". Toda función meromorfa en D pódese expresar como a razón entre dúas funcións holomorfas (co denominador distinto da constante 0) definidas en D: calquera polo debe coincidir cun cero do denominador. Descrición intuitiva
Intuitivamente, unha función meromorfa é unha relación de dúas funcións que se comportan ben (holomorfas). A función meromorfa aínda terá un bo comportamento en case todos os puntos, agás posibelmente nos puntos onde o denominador da fracción sexa cero. Se o denominador ten un cero en z e o numerador non, entón o valor da función achegarase ao infinito; se numerador e denominador teñen un cero en z, entón hai que comparar a multiplicidade destes ceros.
Desde un punto de vista alxébrico, se o dominio da función está conectado, entón o conxunto de funcións meromorfas é o corpo de fraccións do dominio de integridade do conxunto de funcións holomorfas. Isto é análogo á relación entre os números racionais e os enteiros. Propiedades
Dado que os polos están illados, unha función meromorfa so pode ter numerabelmente moitos polos. O conxunto de polos pode ser infinito, como exemplifica a función f ( z )
csc ⁡ z
1 sin ⁡ z. {\displaystyle f(z)
\csc z
{\frac {1}{\sin z}}. } Usando a continuación analítica para eliminar as singularidades eliminábeis, pódense engadir, restar, multiplicar funcións meromorfas, tamén se pode formar o cociente f / g {\displaystyle f/g} a non ser que g ( z )
0 {\displaystyle g(z)
0} nun conxunto conexo de D. Así, se D é conexo, as funcións meromorfas forman un corpo, de feito unha extensión do corpo dos números complexos. Exemplos
Todas as funcións racionais, por exemplo f ( z )
z 3 − 2 z + 10 z 5 + 3 z − 1, {\displaystyle f(z)
{\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}}, } son meromorfas en todo o plano complexo. A maiores, son as únicas funcións meromorfas no plano complexo estendido.
As funcións f ( z )
e z z and f ( z )
sin ⁡ z ( z − 1 ) 2 {\displaystyle f(z)
{\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)
{\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}} así como a función gamma e a función zeta de Riemann son meromorfas en todo o plano complexo.
A función f ( z )
e 1 z {\displaystyle f(z)
e^{\frac {1}{z}}} está definida en todo o plano complexo agás na orixe, 0. Porén, 0 non é un polo desta función, senón unha singularidade esencial. Así, esta función non é meromorfa en todo o plano complexo. No entanto, se sacamos o 0 do dominio, C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}, daquela a función é meromorfa e mesmo holomorfa no resto do dominio.
Función logarítmica complexa f ( z )
ln ⁡ ( z ) {\displaystyle f(z)
\ln(z)} non é meromorfa en todo o plano complexo, xa que non se pode definir en todo o plano complexo simplemente excluíndo un conxunto de puntos illados.
A función f ( z )
csc ⁡ 1 z
1 sin ⁡ ( 1 z ) {\displaystyle f(z)
\csc {\frac {1}{z}}
{\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}} non é meromorfa en todo o plano, xa que o punto z
0 {\displaystyle z
0} é un punto de acumulación de polos e, polo tanto, non é unha singularidade illada. A función f ( z )
sin ⁡ 1 z {\displaystyle f(z)
\sin {\frac {1}{z}}} tampouco non é meromorfa, xa que ten unha singularidade esencial en 0. Sobre superficies de Riemann
Nunha superficie de Riemann, cada punto admite unha veciñanza aberta que é biholomorfa nun subconxunto aberto do plano complexo. Deste xeito, a noción de función meromorfa pódese definir para cada superficie de Riemann.
Cando D é a esfera de Riemann completa, o corpo das funcións meromorfas é simplemente o corpo das funcións racionais nunha variábel sobre o corpo complexo, xa que se pode probar que calquera función meromorfa na esfera é racional. (Este é un caso especial do chamado principio GAGA).
Para toda superficie de Riemann, unha función meromorfa é o mesmo que unha función holomorfa que se corresponde coa esfera de Riemann e que non é a función constante igual a ∞ {\displaystyle \infty }. Os polos corresponden a aqueles números complexos que están asignados a ∞ {\displaystyle \infty }.
Nunha superficie de Riemann non compacta, cada función meromorfa pódese realizar como un cociente de dúas funcións holomorfas (definidas globalmente). Pola contra, nunha superficie de Riemann compacta, toda función holomorfa é constante, mentres que sempre existen funcións meromorfas non constantes.