Dominio de factorización única

En matemáticas, un dominio de factorización única (UFD en inglés) (tamén ás veces chamado anel factorial seguindo a terminoloxía de Bourbaki) é un anel no que se mantén un enunciado análogo ao teorema fundamental da aritmética. Especificamente, un UFD é un dominio de integridade (un anel conmutativo non trivial no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero) no que cada elemento non unitario distinto de cero pode escribirse como produto de elementos irredutíbeis, de forma única ata orde e unidades.
Exemplos importantes de UFD son os enteiros e os aneis polinómicos nunha ou máis variábeis con coeficientes procedentes dos números enteiros ou dun corpo.
Os dominios de factorización única aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases: rngs ⊃ aneis ⊃ aneis conmutativos ⊃ dominios de integridade ⊃ dominios de integridade pechados ⊃ dominios GCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideais principais ⊃ dominios euclidianos ⊃ corpos ⊃ corpos alxebricamente pechados Definición
Formalmente, un dominio de factorización única defínese como un dominio de integridade R no que todo elemento x de R distinto de cero que non sexa unha unidade pode escribirse como un produto finito de elementos irredutíbeis pi de R: x p1 p2 ⋅⋅⋅ pn con n ≥ 1
e esta representación é única no seguinte sentido: Se q1, .. ., qm son elementos irredutíbeis de R tal que x q1 q2 ⋅⋅⋅ qm con m ≥ 1,
entón m n, e existe un mapa bixectivo φ: {1, .. ., n} → {1, .. ., m} tal que pi está asociado a qφ(i) para i ∈ {1, .. ., n}. Exemplos
A maioría dos aneis familiares das matemáticas elementais son UFD: Todos os dominios de ideais principais, polo tanto, todos os dominios euclidianos, son UFD. En particular, os enteiros (ver tamén Teorema Fundamental da aritmética), os Enteiros gaussianos e os Enteiros de Eisenstein son UFD.
Se R é un UFD, entón tamén o é R[X], o anel de polinomios con coeficientes en R. A menos que R sexa un corpo, R[X] non é un dominio de ideais principais. Por indución, un anel polinómico en calquera número de variábeis sobre calquera UFD (e en particular sobre un corpo ou sobre os enteiros) é un UFD.
O anel de series formais de potencias K[[X1, .. ., Xn]] sobre un corpo K é un UFD. Por outra banda, o anel de series formais de potencias sobre un UFD non precisa ser un UFD, aínda que o UFD sexa local. Por exemplo, se R é a localización de k[x, y, z]/(x2 + y3 + z7) no ideal primo (x, y, z) entón R é un anel local que é un UFD, pero o anel da serie formal de potencias R[[X]] sobre R non é un UFD.
O Teorema de Auslander-Buchsbaum afirma que todo anel local regular é un UFD. Z [ e 2 π i n ] {\displaystyle \mathbb {Z} \left[e^{\frac {2\pi i}{n}}\right]} é UN UFD para todos os enteiros 1 ≤ n ≤ 22, pero non para n 23.
Mori demostrou que se a completude dun anel de Zariski como un anel local noetheriano é un UFD, entón o anel é un UFD. O contrario disto non é certo: hai aneis locais de Noether que son UFDs pero cuxas completudes non o son. A cuestión de cando isto ocorre é bastante sutil: por exemplo, para o localización de k[x, y, z]/(x2 + y3 + z5) no ideal principal (x, y, z), tanto o anel local como a súa completude son UFD, mais no exemplo aparentemente similar da localización de k[x, y, z]/(x2 + y3 + z7) no ideal principal (x, y, z) o anel local é un UFD mais a súa completude non o é.
O anel Q[x, y]/(x2 + 2y2 + 1) é un UFD, pero o anel en complexos Q(i)[x, y]/(x2 + 2y2 + 1) non o é. Por outra banda, o anel Q[x, y]/(x2 + y2 − 1) non é un UFD, mais o anel en complexos Q(i)[x, y]/(x2 + y2 − 1) si que o é.
Non exemplos
O anel de enteiros cadráticos Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} de todos os números complexos da forma a + b − 5 {\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}, onde a e b son números enteiros, non é un UFD porque o número 6 factoriza tanto en 2×3 como en ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle \left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}. Estas son factorizacións diferentes, porque as únicas unidades deste anel son 1 e − 1; así, ningún dos números 2, 3, 1 + − 5 {\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}, e 1 − − 5 {\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}} son asociados. Non é difícil demostrar que os catro factores tamén son irredutíbeis, aínda que isto non sexa obvio. Vexa tamén Enteiro alxébrico.
Para un enteiro positivo libre de cadrados d, o anel de enteiros de Q [ − d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]} non será un UFD a menos que d sexa un número de Heegner.
O anel das series formais de potencias sobre os números complexos é un UFD, mais o subanel das que converxen en todas partes, é dicir, o anel de funcións enteiras nunha única variábel complexa, non é un UFD, xa que existen funcións enteiras cun número infinito de ceros, e polo tanto unha infinidade de factores irredutíbeis, mentres que unha factorización UFD debe ser finita, por exemplo: sin ⁡ π z
π z ∏ n
1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ). {\displaystyle \sin \pi z
\pi z\prod _{n
1}^{\infty }\left(1-{{z^{2}} \over {n^{2}}}\right). } Propiedades
Algúns conceptos definidos para números enteiros pódense xeneralizar a UFD: Nos UFD, cada elemento irredutíbel é primo. (En calquera dominio de integridade, todo elemento primo é irredutíbel, pero a inversa non sempre se cumpre. Por exemplo, o elemento z ∈ K[x, y, z]/(z2 − xy) é irredutíbel, pero non primo).
Dous elementos calquera dunha UFD teñen un máximo común divisor e un mínimo común múltiplo. Aquí, un máximo común divisor de a e b é un elemento d que divide tanto a como b, e tal que todos os outros divisores comúns de a e b dividen d. Todos os máximos comúns divisores de a e b son asociados.
Calquera UFD son dominios de integridade pechados. Noutras palabras, se R é un UFD con corpo cociente K, e se un elemento k en K é unha raíz dun polinomio mónico con coeficientes en R, entón k é un elemento de R.
Sexa S un subconxunto multiplicativamente pechado dun UFD A. Entón a localización S−1A é un UFD. Condicións equivalentes para que un anel sexa un UFD
Un dominio de integridade de Noether é un UFD se e só se todo ideal primo de altura 1 é principal. A maiores, un dominio de Dedekind é un UFD se e só se o seu grupo de clase de ideais é trivial. Neste caso, é de feito un dominio de ideais principais.
En xeral, para un dominio de integridade A, as seguintes condicións son equivalentes: A é un UFD.
Todo ideal primo distinto de cero de A contén un elemento primo.
A satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais (ACCP), e a localización S−1A é un UFD, onde S é un subconxunto multiplicativamente pechado de A xerado por elementos primos (criterio de Nagata).