Ecuación funcional

En matemáticas, unha ecuación funcional é, no sentido máis amplo, unha ecuación na que unha ou varias funcións aparecen como descoñecidas. No entanto, adoita empregarse un significado máis restrinxido, onde unha ecuación funcional é unha ecuación que relaciona varios valores da mesma función. Por exemplo, as funcións logarítmicas caracterízanse esencialmente pola ecuación funcional logarítmica log ⁡ ( x y )
log ⁡ ( x ) + log ⁡ ( y ). {\displaystyle \log(xy)
\log(x)+\log(y). } Se se supón que o dominio da función descoñecida son os números naturais, a función é xeralmente vista como unha secuencia, e, neste caso, unha ecuación funcional (no significado máis estreito) chámase relación de recorrencia. O termo ecuación funcional úsase principalmente para funcións reais e funcións complexas. Ademais, moitas veces asúmese unha condición de suavidade para as solucións, xa que sen tal condición, a maioría das ecuacións funcionais teñen solucións moi irregulares. Por exemplo, a función gamma é unha función que satisfai a ecuación funcional f ( x + 1 )
x f ( x ) {\displaystyle f(x+1)
xf(x)} e o valor inicial f ( 1 )
1. {\displaystyle f(1)
1. } Hai moitas funcións que satisfán estas condicións, mais a función gamma é a única que é meromorfa en todo o plano complexo, e logarítmicamente convexa para x real e positivo (teorema de Bohr-Mollerup). Exemplos
As relacións de recorrencia pódense ver como ecuacións funcionais en funcións sobre enteiros ou números naturais, nas que as diferenzas entre os índices dos termos poden verse como unha aplicación do operador de desprazamento. Por exemplo, a relación de recorrencia que define os números de Fibonacci, F n
F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle F_{n}
F_{n-1}+F_{n-2}}, onde F 0
0 {\displaystyle F_{0}
0} e F 1
1 {\displaystyle F_{1}
1}. f ( x + P )
f ( x ) {\displaystyle f(x+P)
f(x)}, que caracteriza as funcións periódicas. f ( x )
f ( − x ) {\displaystyle f(x)
f(-x)}, que caracteriza as funcións pares, e así mesmo f ( x )
− f ( − x ) {\displaystyle f(x)
-f(-x)}, que caracteriza as funcións impares. f ( f ( x ) )
g ( x ) {\displaystyle f(f(x))
g(x)}, que caracteriza as raíces cadradas funcionais da función g (que non coinciden coa función raíz cadrada). f ( x + y )
f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)
f(x)+f(y)\, } (ecuación funcional de Cauchy), satisfeita polos mapas lineares. A ecuación pode, en función do axioma de escolla, ter tamén outras solucións patolóxicas non lineares, cuxa existencia pode demostrarse cunha base de Hamel para os números reais. f ( x + y )
f ( x ) f ( y ), {\displaystyle f(x+y)
f(x)f(y), } satisfeita por todas as funcións exponenciais. Como a ecuación funcional aditiva de Cauchy, esta tamén pode ter solucións patolóxicas e descontinuas. f ( x y )
f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(xy)
f(x)+f(y)}, satisfeita por todas as funcións logarítmicas e, sobre os argumentos de enteiros primos, as funcións aditivas. f ( x y )
f ( x ) f ( y ) {\displaystyle f(xy)
f(x)f(y)\, }, satisfeita por todas as funcións de potencias e, sobre os argumentos de enteiros coprimos, as funcións multiplicativas f ( x + y ) + f ( x − y )
2 [ f ( x ) + f ( y ) ] {\displaystyle f(x+y)+f(x-y)
2[f(x)+f(y)]\, } (ecuación cadrática ou lei do paralelogramo) f ( ( x + y ) / 2 )
( f ( x ) + f ( y ) ) / 2 {\displaystyle f((x+y)/2)
(f(x)+f(y))/2\, } (ecuación funcional de Jensen) g ( x + y ) + g ( x − y )
2 [ g ( x ) g ( y ) ] {\displaystyle g(x+y)+g(x-y)
2[g(x)g(y)]\, } (ecuación funcional de d'Alembert) f ( h ( x ) )
h ( x + 1 ) {\displaystyle f(h(x))
h(x+1)\, } (ecuación de Abel) f ( h ( x ) )
c f ( x ) {\displaystyle f(h(x))
cf(x)\, } (ecuación de Schröder). f ( h ( x ) )
( f ( x ) ) c {\displaystyle f(h(x))
(f(x))^{c}\, } (ecuación de Böttcher). f ( h ( x ) )
h ′ ( x ) f ( x ) {\displaystyle f(h(x))
h'(x)f(x)\, } (Ecuación de Julia). f ( x y )
∑ g l ( x ) h l ( y ) {\displaystyle f(xy)
\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\, } (Levi-Civita), f ( x + y )
f ( x ) g ( y ) + f ( y ) g ( x ) {\displaystyle f(x+y)
f(x)g(y)+f(y)g(x)\, } ( fórmula de adición do seno e fórmula de adición do seno hiperbólico), g ( x + y )
g ( x ) g ( y ) − f ( y ) f ( x ) {\displaystyle g(x+y)
g(x)g(y)-f(y)f(x)\, } (fórmula de adición do coseno), g ( x + y )
g ( x ) g ( y ) + f ( y ) f ( x ) {\displaystyle g(x+y)
g(x)g(y)+f(y)f(x)\, } (fórmula do adición de coseno hiperbólico).
As leis conmutativa e asociativa son ​​ecuacións funcionais. Na súa forma familiar, a lei asociativa exprésase escribindo a operación binaria en notación infixa, ( a ∘ b ) ∘ c
a ∘ ( b ∘ c ), {\displaystyle (a\circ b)\circ c
a\circ (b\circ c)~, } mais se escribimos f ( a, b ) {\displaystyle f(a, b)} en lugar de ( a ∘ b ) {\displaystyle (a\circ b)} entón a lei asociativa parece máis unha ecuación funcional convencional, f ( f ( a, b ), c )
f ( a, f ( b, c ) ). {\displaystyle f(f(a, b), c)
f(a, f(b, c)). } A ecuación funcional f ( s )
2 s π s − 1 sin ⁡ ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) f ( 1 − s ) {\displaystyle f(s)
2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)} é satisfeita pola función zeta de Riemann, como se demostrou na mencionada páxina. A maiúscula Γ denota a función gamma.
A función gamma é a única solución do seguinte sistema de tres ecuacións: f ( x )
f ( x + 1 ) x {\displaystyle f(x)
{f(x+1) \over x}} f ( y ) f ( y + 12 )
π 22 y − 1 f ( 2 y ) {\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)
{\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)} f ( z ) f ( 1 − z )
π sin ⁡ ( π z ) {\displaystyle f(z)f(1-z)
{\pi \over \sin(\pi z)}} (fórmula de reflexión de Euler)
A ecuación funcional f ( a z + b c z + d )
( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)
(cz+d)^{k}f(z)} onde a, b, c, d son enteiros que satisfán a d − b c
1 {\displaystyle ad-bc
1}, é dicir, | a b c d | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}} 1, define f como unha forma modular de orde k.
Á hora de pedir todas as solucións, pode darse o caso de que se apliquen condicións da análise matemática; por exemplo, no caso da ecuación de Cauchy mencionada anteriormente, as solucións que son funcións continuas son as "razoables", mentres que se poden construír outras solucións que probablemente non teñan aplicación práctica (utilizando unha base de Hamel para os números reais como espazo vectorial sobre os números racionais). O teorema de Bohr-Mollerup é outro exemplo coñecido.
Involucións
As involucións caracterízanse pola ecuación funcional f ( f ( x ) )
x {\displaystyle f(f(x))
x}. Estas aparecen na ecuación funcional de Babbage (1820), f ( f ( x ) )
1 − ( 1 − x )
x. {\displaystyle f(f(x))
1-(1-x)
x\, .} Solución
Un método para resolver ecuacións funcionais elementais é a substitución. Algunhas solucións de ecuacións funcionais aproveitaron seren funcións sobrexectivas ou inxectivas, ou funcións pares ou impares.
Algunhas ecuacións funcionais foron resolvidas co uso de ansatzes, e tamén con indución matemática.
Na programación dinámica utilízanse unha variedade de métodos de aproximación sucesivas para resolver a ecuación funcional de Bellman, incluíndo métodos baseados en iteracións de punto fixo.
Exemplo de solución
Solucionar f ( x + y )
f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)
f(x)+f(y)} sobre Q. {\displaystyle \mathbb {Q}. } Probando f ( x )
k x + c {\displaystyle f(x)
kx+c}, atopamos k ( x + y ) + c
k x + c + k y + c {\displaystyle k(x+y)+c
kx+c+ky+c}, o que implica c
0 {\displaystyle c
0}, mais k pode ser calquera cousa. Entón a nosa suposición é que a resposta é f ( x )
k x {\displaystyle f(x)
kx}.
Agora comezamos con x
y
0 {\displaystyle x y
0} e obtemos f ( 0 )
0 {\displaystyle f(0) 0}.
Con x
y
1 {\displaystyle x y
1} obtemos f ( 2 )
f ( 1 ) + f ( 1 )
2 k {\displaystyle f(2)
f(1)+f(1) 2k}.
Con ( x, y )
( 2, 1 ) {\displaystyle (x, y)
(2, 1)} obtemos f ( 3 )
f ( 2 ) + f ( 1 )
3 k {\displaystyle f(3)
f(2)+f(1)
3k}.
E así en xeral chegamos a f ( n )
n k {\displaystyle f(n)
nk}.
Para os enteiros negativos, con x
− y {\displaystyle x
-y} obtemos f ( x ) + f ( − x )
0 {\displaystyle f(x)+f(-x)
0}, e así, f é impar, por tanto o resultado f ( n )
k n {\displaystyle f(n)
kn} cúmprese para os enteiros negativos.
Para o resto de Q {\displaystyle \mathbb {Q} } facemos f ( 12 ) + f ( 12 )
f ( 1 )
k {\displaystyle f({\frac {1}{2}})+f({\frac {1}{2}})
f(1)
k}, de aí obtemos f ( 12 )
12 k {\displaystyle f({\frac {1}{2}})
{\frac {1}{2}}k}.
E para p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} facemos igual q veces f ( p q ) + ⋯ + f ( p q )
f ( p )
k p {\displaystyle f({\frac {p}{q}})+\cdots +f({\frac {p}{q}})
f(p)
kp}, e por tanto f ( p q )
f ( p ) / q
k p q {\displaystyle f({\frac {p}{q}})
f(p)/q
k{\dfrac {p}{q}}}. Desigualdades funcionais
Do mesmo modo que podemos expresar unha ecuación funcional podemos expresar unha desigualdade funcional que terá os seus métodos característicos de resolución.
Por exemplo: Non existe ningunha función limitada f: R → R {\displaystyle f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } con f ( 1 ) > 0 {\displaystyle f(1)>0} que cumpra a desigualdade f ( x + y ) 2 ≥ f ( x ) 2 + 2 f ( x y ) + f ( y ) 2 {\displaystyle f(x+y)^{2}\geq f(x)^{2}+2f(xy)+f(y)^{2}}.