C*-álxebra

As C*-álgebras estúdanse en análise funcional e utilízanse nalgunhas formulacións da mecánica cuántica. Unha C*-álgebra é unha álxebra de Banach sobre o corpo dos números complexos, xunto cunha función *: A → A chamada involución que ten as propiedades seguintes: ( x + y ) ∗
x ∗ + y ∗ {\displaystyle (x+y)_{}^{*}
x_{}^{*}+y_{}^{*}} para todo x, y en A ( λ x ) ∗
λ ¯ x ∗ {\displaystyle (\lambda x)_{}^{*}
{\bar {\lambda }}x_{}^{*}} para cada λ en C e cada x en A; aquí, λ* significa a conxugación complexa de λ. ( x y ) ∗
y ∗ x ∗ {\displaystyle (xy)_{}^{*}
y_{}^{*}x_{}^{*}} para todo x, y en 'A x ∗ ∗
( x ∗ ) ∗
x {\displaystyle x^{**}
(x^{*})^{*}
x} para todo x en A (involución).
a C* identidade: ‖ x x ∗ ‖
‖ x ‖ ‖ x ∗ ‖, {\displaystyle \|xx^{*}\|
\|x\|\|x^{*}\|, } que equivale a ‖ x x ∗ ‖
‖ x ‖ 2 {\displaystyle \|xx_{}^{*}\|
\|x\|_{}^{2}} para todo x en A.
As álxebras C* son tamén *-álxebras, simplemente cumprindo as catro primeiras propiedades.
Nalgún tempo faláase de B*-álxebras, mais o termo xa foi abandonado.
Polo teorema de Gelfand-Naimark, as C*-álgebras son (módulo un isomorfismo) exactamente aquelas álxebras de operadores limitados nos espazos de Hilbert que son pechadas na topoloxía da norma e baixo tomar adxuntos, coa función de involución dada polo tomar adxunto. *-Homomorfismos e *-Isomorfismos
A función f: A → B entre B*-álxebras A e B chámase un *-homomorfismo se: f é C*-lineal
f(xy) f(x)f(y) para x e y en A
f(x*) f(x)* para x en A.
Tal función f é automaticamente continua. Se f é bixectiva, entón a súa inversa é tamén un *-homorfismo e f chámase un *-isomorfismo e A e B dinse *-isomorfos. Nese caso, A e B son para todos os propósitos practicamente iguais; diferéncianse soamente na notación dos seus elementos. A estrutura dunha C*-álxebra forza calquera *-homomorfismos a ser contractivos; e un homomorfismo é inxectivo se e soamente se é isométrico.
Exemplos de C*-álxebras
A álxebra das matrices n-por-n sobre C convértese nunha C*-álxebra se utilizamos a norma da matriz ||. ||2 que xorde como a norma de operador da norma euclidiana en Cn. A involución vén dada pola trasposta conxugada. O exemplo motivante dunha C*-álxebra é a álxebra dos operadores lineais continuos definidos nun espazo de Hilbert complexo H; aquí x* denota o operador adxunto do operador x: H → H. De feito, cada C*-álxebra é *-isomorfa a unha subálxebra pechada de tal álxebra de operadores para un espazo de Hilbert H conveniente; este é o contido do teorema de Gelfand-Naimark.
Un exemplo dunha C*-álxebra conmutativa é a álxebra C(X) de todas as funcións continuas complexo-valoradas definidas nun compacto de Hausdorff X. Aquí a norma dunha función é o supremo do seu valor absoluto, e a operación estrela é a conxugación complexa. Cada C*-álxebra conmutativa con elemento unidade é *-isomorfa a unha tal álxebra C(X) usando a representación de Gelfand.
Se patimos dun espazo localmente compacto de Hausdorff X e consideramos as funcións continuas complexo-valoradas en X que se anulan no infinito (definido no artigo sobre a compacidade local), entón estas forman unha C*-álxebra conmutativa C0(X); se X non é compacto, entón C0(X) non ten elemento unidade. Unha vez máis a representación de Gelfand demostra que cada C*-álxebra conmutativa é *-isomorfa a unha álxebra da forma C0(X).
Álxebras de von Neumann
As álxebras de von Neumann, coñecidas como W*-álxebras antes dos anos 60, son unha clase especial de C*-álxebras. Requíreselles ser pechadas nunha topoloxía que é máis débil que a topoloxía da norma. O seu estudo é unha rama en si mesma das matemáticas, á parte das C-álxebras.
C*-álxebras e a teoría cuántica de campos
En teoría cuántica de campos, descríbese tipicamente un conxunto físico cunha C*-álxebra A con elemento unidade; os elementos auto-adxuntos de A (elementos x con x*
x) interprétanse como observables, as cantidades medibles, do sistema. Un estado do sistema defínese como unha funcional positiva en A, unha función C-lineal φ: A → C con φ(u, u*) > 0 para todo u ∈ A, tal que φ(1)
1. O valor esperado do observable x, se o sistema está no estado φ, é entón φ(x).