Electromagnetismo

O electromagnetismo é unha disciplina da física que estuda os campos e forzas eléctricos e magnéticos asociados á existencia de cargas e correntes eléctricas.
Toda a teoría do electromagnetismo pode construírse a partir das ecuacións de Maxwell, as leis que rexen o comportamento dos campos eléctricos e dos campos magnéticos. A formulación consiste en catro ecuacións diferenciais vectoriais que relacionan o campo eléctrico, o campo magnético e as súas respectivas fontes materiais (corrente eléctrica, polarización eléctrica e polarización magnética). A súa forma rigorosa é a que se ten no marco da teoría da relatividade e máis da física cuántica.
O electromagnetismo é unha teoría de campos; é dicir, as explicacións e predicións que prové baséanse en magnitudes físicas vectoriais ou tensoriais dependentes da posición no espazo e do tempo. O electromagnetismo describe os fenómenos físicos macroscópicos nos cales interveñen cargas eléctricas en repouso e en movemento, usando para isto campos eléctricos e magnéticos e os seus efectos sobre as substancias sólidas, líquidas e gasosas. Por ser unha teoría macroscópica, é dicir, aplicable só a un número moi grande de partículas e/ou a distancias grandes respecto das dimensións destas, o electromagnetismo non describe os fenómenos atómicos e moleculares, para os que é necesario usar a mecánica cuántica.
O electromagnetismo adoita ser dividido en diferentes campos de coñecemento, segundo as condicións ou restricións que se impoñan no seu desenvolvemento. Así, se se consideraren cargas fixas, estase a facer Electrostática, se en troques se consideran correntes estacionarias estase a facer Magnetostática; e cando se consideran situacións diferentes, con correntes eléctricas non estacionarias e daquela situacións nas que se producen radiacións -guiadas ou en propagación libre- ou resonancias en cavidades, entón estase a facer Electrodinámica. Se esta se fai no marco da versión clásica das ecuacións de Maxwell, trátase da Electrodinámica clásica, se porén se considera o marco da física cuántica, estaremos a falar de Electrodinámica cuántica.
A forza como consecuencia do campo electromagnético é unha das catro forzas fundamentais do universo actualmente coñecido. Historia
Desde a antiga Grecia coñécense os fenómenos magnéticos e eléctricos, mais non é até inicios do século XVII cando se empezan a facer experimentos e a chegar a conclusións científicas destes fenómenos. Durante estes dous séculos, XVII e XVIII, grandes homes da ciencia como William Gilbert, Otto von Guericke, Stephen Gray, Benjamin Franklin, Alessandro Volta, entre outros, estiveron investigando estes dous fenómenos de maneira separada e chegando a conclusións coherentes cos seus experimentos. A principios do século XIX Hans Christian Ørsted encontrou evidencia empírica de que os fenómenos magnéticos e eléctricos estaban relacionados. Logo, os traballos de físicos como André-Marie Ampère, William Sturgeon, Joseph Henry, Georg Simon Ohm, Michael Faraday nese século, son unificados por James Clerk Maxwell en 1861 nun conxunto de ecuacións que describen ambos fenómenos como un só, como un fenómeno electromagnético. As agora chamadas ecuacións de Maxwell demostraron que os campos eléctricos e os campos magnéticos eran manifestacións dun só campo electromagnético. Ademais describían a natureza ondulatoria da luz, mostrándoa como unha onda electromagnética. Cunha soa teoría consistente que describía estes dous fenómenos antes separados, os físicos puideron realizar varios experimentos prodixiosos e inventos moi útiles como a bombilla eléctrica (Thomas Alva Edison) ou o xerador de corrente alterna (Nikola Tesla). O éxito predicitivo da teoría de Maxwell e a procura dunha interpretación coherente das súas implicacións, foi o que levou a Albert Einstein a formular a súa teoría da relatividade que se apoiaba nalgúns resultados previos de Hendrik Antoon Lorentz e Henri Poincaré.
Na primeira metade do século XX, coa aparición da mecánica cuántica, o electromagnetismo tiña que mellorar a súa formulación co obxectivo de que fora coherente coa nova teoría. Isto logrouse na década de 1940 cando se completou unha teoría cuántica electromagnética, alicerzando así a electrodinámica cuántica. Electrostática
Cando falamos de electrostática referímonos aos fenómenos que ocorren debido a unha propiedade intrínseca e discreta da materia, a carga, cando é estacionaria ou non depende do tempo. A unidade de carga elemental, é dicir, a máis pequena observable, é a carga que ten o electrón. Dise que un corpo está cargado electricamente cando ten exceso ou falta de electróns nos átomos que o compoñen. Por definición, o defecto de electróns denomínase carga positiva e o exceso carga negativa. A relación entre os dous tipos de carga é de atracción cando son diferentes e de repulsión cando son iguais.
A carga elemental é unha unidade moi pequena para cálculos prácticos, é por iso que no sistema internacional a unidade de carga eléctrica, o culombio, defínese como a cantidade de carga de 6, 25 x 1018 electróns. O movemento de electróns por un condutor denomínase corrente eléctrica e a cantidade de carga eléctrica que pasa por unidade de tempo defínese como intensidade de corrente. Pódense introducir máis conceptos como o de diferenza de potencial ou o de resistencia, que nos conduciría ineludiblemente á área de circuítos eléctricos.
O nome da unidade de carga débese a Coulomb, quen en 1785 chegou a unha relación matemática da forza eléctrica entre cargas puntuais, que agora se coñece como lei de Coulomb: F →
14 π ε 0 q 1 q 2 r 2 e r → {\displaystyle {\vec {F}}
{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\vec {e_{r}}}} Entre dúas cargas puntuais q 1 {\displaystyle \ q_{1}} e q 2 {\displaystyle \ q_{2}} existe unha forza de atracción ou repulsión F → {\displaystyle {\vec {F}}} que varía de acordo ao cadrado da distancia r 2 {\displaystyle \ r^{2}} entre elas e de dirección radial e r → {\displaystyle {\vec {e_{r}}}}; e ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} é unha constante coñecida como permisividade eléctrica.
As cargas elementais ao non encontrarse soas débense tratar como unha distribución delas. É por iso que debe implementarse o concepto de campo, definido como unha rexión do espazo onde existe unha magnitude escalar ou vectorial dependente ou independente do tempo. Así o campo eléctrico E → {\displaystyle {\vec {E}}} está definido como a rexión do espazo onde actúan as forzas eléctricas. A súa intensidade defínese como o límite ao que tende a forza dunha distribución de carga sobre unha carga positiva que tende a cero, así: E →
lim Δ q → 0 F → Δ q Δ q {\displaystyle {\vec {E}}
\lim _{\Delta q\to 0}{\frac {{\vec {F}}_{\Delta q}}{\Delta q}}} E así finalmente chegamos á expresión matemática que define o campo eléctrico: E →
q 4 π ε 0 r 2 e r → {\displaystyle {\vec {E}}
{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {e_{r}}}} É importante coñecer o alcance deste concepto de campo eléctrico. Este bríndanos a oportunidade de coñecer cal é a súa intensidade e que ocorre cunha carga en calquera parte de dito campo sen importar o descoñecemento de que o provoca.
Unha forma de obter a cantidade de forza eléctrica que pasa por certo punto ou superficie do campo eléctrico é empregando o concepto de fluxo eléctrico. Este fluxo eléctrico Φ {\displaystyle \Phi } defínese como a suma da cantidade de campo que atravesa unha área determinada, así: Φ
∑ E → ⋅ Δ S →
∮ s E → ⋅ d S → {\displaystyle \Phi
\sum {\vec {E}}\cdot \Delta {\vec {S}}
\oint _{s}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}} O matemático e físico Carl Friedrich Gauss demostrou que a cantidade de fluxo eléctrico nun campo é igual ao cociente da carga contida pola superficie na que se calcula o fluxo, q e n c {\displaystyle \ q_{enc}}, e a permisividade eléctrica, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}}. Esta relación coñécese como lei de Gauss: (1) Φ
∮ s E → ⋅ d S →
q e n c ε 0 {\displaystyle \Phi
\oint _{s}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}
{\frac {q_{enc}}{\varepsilon _{0}}}} Magnetostática
Non foi senón até o ano de 1820, cando Hans Christian Ørsted descubriu que o fenómeno magnético estaba ligado ao eléctrico, cando se obtivo unha teoría científica para o magnetismo. A presenza dunha corrente eléctrica, ou sexa, dun fluxo de carga debido a unha diferenza de potencial, xera unha forza magnética que non varía no tempo. Se temos unha carga a unha velocidade v → {\displaystyle \ {\vec {v}}}, esta xerará un campo magnético B → {\displaystyle \ {\vec {B}}} que é perpendicular á forza magnética inducida polo movemento nesta corrente, así: F →
q v → × B → {\displaystyle {\vec {F}}
q{\vec {v}}\times {\vec {B}}} Para determinar o valor dese campo magnético, Jean Baptiste Biot en 1820, deduciu unha relación para correntes estacionarias, agora coñecida como lei de Biot-Savart: B →
μ 0 I 4 π ∮ c d l → × r → r 3 {\displaystyle {\vec {B}}
{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{c}{\frac {d{\vec {l}}\times {\vec {r}}}{r^{3}}}} Onde μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\, } é un coeficiente de proporcionalidade coñecido como permeabilidade magnética, I {\displaystyle I\, } é a intensidade de corrente, o d l → {\displaystyle d{\vec {l}}} é o diferencial de lonxitude da corrente e r → {\displaystyle {\vec {r}}} é a dirección da corrente. De maneira máis estrita, B → {\displaystyle {\vec {B}}} é a indución magnética, dito noutras palabras, é o fluxo magnético por unidade de área. Experimentalmente chegouse á conclusión de que as liñas de forza de campos magnéticos eran pechadas, eliminando a posibilidade dun monopolo magnético. A relación matemática coñécese como lei de Gauss para o campo magnético: (2) ∮ S B → ⋅ d S →
0 {\displaystyle \oint _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}
0} Ademais na magnetostática existe unha lei comparable á de Gauss na electrostática, a lei de Ampère. Esta lei dinos que a circulación nun campo magnético é igual á densidade de corrente que existe nunha superficie pechada: ∮ c B → ⋅ d l →
μ 0 I {\displaystyle \oint _{c}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}
\mu _{0}I} Cabe indicar que esta lei de Gauss é unha xeneralización da lei de Biot-Savart. Amais, as fórmulas expresadas aquí son para cargas no baleiro. Electrodinámica clásica
Describíronse os campos eléctricos e magnéticos que non varían co tempo, mais os físicos a finais do século XIX descubriron que ambos campos estaban ligados e así un campo eléctrico en movemento, unha corrente eléctrica que varíe, xera un campo magnético que de por si implica a presenza dun campo eléctrico. Entón, o primeiro que debemos definir é a forza que tería unha partícula cargada que se mova nun campo magnético e así chegamos á unión das dúas forzas anteriores, o que hoxe coñecemos como a forza de Lorentz: (3) F →
q ( E → + v → × B → ) {\displaystyle {\vec {F}}
q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})} Entre 1890 e 1900, Liénard e Wiechert calcularon o campo electromagnético asociado a cargas en movemento arbitrario, resultado que se coñece como potenciais de Liénard-Wiechert.
Por outra banda, para xerar unha corrente eléctrica nun circuíto pechado debe existir unha diferenza de potencial entre dous puntos do circuíto, a esta diferenza de potencial coñécese como forza electromotriz ou fem. Esta forza electromotriz é proporcional á rapidez co que o fluxo magnético varía no tempo. Esta lei foi encontrada por Michael Faraday e é a interpretación da indución electromagnética. Así, un campo magnético que varía no tempo induce un campo eléctrico, unha forza electromotriz. Matematicamente represéntase como: (4) ∮ C E → ⋅ d l →
− d d t ∫ S B → ⋅ d S → {\displaystyle \oint _{C}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}
-{\frac {d}{dt}}\int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}} O físico James Clerk Maxwell en 1861 reuniu nun traballo as tres ecuacións anteriormente citadas (1), (2) e (4) e introduciu o concepto dunha corrente de desprazamento como unha densidade de corrente efectiva e chegou á última das ecuacións, a lei de Ampère xeneralizada (5), agora coñecidas como ecuacións de Maxwell: (5) ∮ C B → ⋅ d l →
μ 0 ∫ S j → ⋅ d S → + μ 0 ϵ 0 d d t ∫ S E → ⋅ d S → {\displaystyle \oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}
\mu _{0}\int _{S}{\vec {j}}\cdot d{\vec {S}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\int _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}} As catro ecuacións, tanto na súa forma diferencial como na integral aquí descritas, foron as revisións feitas por Oliver Heaviside. Pero o verdadeiro poder destas ecuacións, máis a forza de Lorentz (3), céntrase en que xuntas son capaces de describir calquera fenómeno electromagnético, ademais das súas consecuencias físicas. A xenialidade do traballo de Maxwell é que os súas ecuacións describen un campo eléctrico que vai ligado inequivocamente a un campo magnético perpendicular a este e á dirección da súa propagación, este campo é agora chamado campo electromagnético. Ademais, a solución destas ecuacións permitía a existencia dunha onda que se propagaba á velocidade da luz, co que ademais de unificar os fenómenos eléctricos e magnéticos, a teoría formulada por Maxwell predicía con absoluta certeza os fenómenos ópticos.
Así a teoría dicía que unha onda, en contra das ideas da época, non precisaba dun medio de propagación; a onda electromagnética podíase propagar no baleiro debido á xeración mutua dos campos magnéticos e eléctricos. Esta onda a pesar de ter unha velocidade constante, a velocidade da luz c, pode ter diferente lonxitude de onda e consecuentemente dita onda transporta enerxía. A radiación electromagnética recibe diferentes nomes ao variar a súa lonxitude de onda, como raios gamma, raios X, espectro visible etc. ; pero no seu conxunto recibe o nome de espectro electromagnético.
Formulación covariante
Clasicamente, ao fixar un sistema de referencia, pódense descompoñer os campos eléctricos e magnéticos do campo electromagnético. Pero, ao ter un observador con movemento relativo respecto ao sistema de referencia, este medirá efectos eléctricos e magnéticos diferentes dun mesmo fenómeno electromagnético. O campo eléctrico e a indución magnética a pesar de ser elementos vectoriais non se comportan como magnitudes físicas vectoriais e, a unión de ambos constitúe outro ente físico chamado tensor, concretamente neste caso, tensor de campo electromagnético.
Así, a expresión para o campo electromagnético é: F
F μ ν
( 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 − B z B y − E y / c B z 0 − B x − E z / c − B y B x 0 ) {\displaystyle \mathbf {F}
F_{\mu \nu }
{\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}} E as expresións covariantes para as ecuacións de Maxwell (7) e a forza de Lorentz (6) redúcense a: (6) f α
∑ β e F α β u β {\displaystyle \ f_{\alpha }
\sum _{\beta }e\ F_{\alpha \beta }\ u^{\beta }\, } (7) ∂ μ F μ ν
μ 0 J ν {\displaystyle \ \partial _{\mu }F^{\mu \nu }
\mu _{0}J^{\nu }} ∂ μ ⋅ F μ ν
0 {\displaystyle \partial _{\mu }\cdot F^{\mu \nu }
0} Electrodinámica cuántica
Posteriormente á revolución cuántica de inicios do século XX, os físicos víronse forzados a buscar unha teoría cuántica da interacción electromagnética. O traballo de Einstein co efecto fotoeléctrico e a posterior formulación da mecánica cuántica suxerían que a interacción electromagnética producíase mediante o intercambio de partículas elementais chamadas fotóns. A nova formulación cuántica lograda na década dos anos 40 do século XX describía a interacción deste fotón portador de forza e as outras partículas portadoras de materia.
A electrodinámica cuántica é principalmente unha teoría cuántica de campos renormalizada. O seu desenvolvemento foi obra de Sinitiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard Feynman e Freeman Dyson entre os anos 1947 a 1949. Na electrodinámica cuántica, a interacción entre partículas vén descrita por unha lagranxiana que posúe simetría local, concretamente simetría de gauge. Para a electrodinámica cuántica, o campo de gauge onde as partículas interactúan é o campo electromagnético e esas partículas son os fotóns.
Matematicamente, o lagranxiano para a interacción entre fermións mediante intercambio de fotóns vén dado por: L
ψ ¯ ( i γ μ D μ − m ) ψ − 14 F μ ν F μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}
{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\, } Onde o significado dos termos son: γ μ {\displaystyle \gamma _{\mu }\, \! } as matrices de Dirac. ψ {\displaystyle \ \psi } e ψ ¯ {\displaystyle {\bar {\psi }}} os campos ou espinores de Dirac que representan as partículas cargadas electricamente. D μ
∂ μ + i e A μ {\displaystyle D_{\mu }
\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\, \! } a derivada covariante asociada á simetría gauge. A μ {\displaystyle \ A_{\mu }} o operador asociado ao potencial vector covariante do campo electromagnético. F μ ν
∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }
\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\, \! } o operador de campo asociado ao tensor de campo electromagnético.