Problema de Monty Hall

O problema de Monty Hall ou paradoxo de Monty Hall é un problema matemático de probabilidade baseado no concurso televisivo estadounidense Trato feito (Let's Make a Deal). O problema foi exposto e resolto polo matématico Steve Selvin, na revista American Statistician en 1975. O problema foi bautizado co nome do presentador de devandito concurso, Monty Hall. En España o mesmo tipo de problema aparecía no concurso televisivo Un, dos, tres. .. responda otra vez. A premisa
O concursante debe escoller unha porta entre tres (todas pechas); o premio consiste en levarse o que se atopa detrás da escollida. Sábese con certeza que tras unha delas ocúltase un automóbil, e tras as outras dúas hai cabras. Unha vez que o concursante elixa unha porta e comunicado a súa elección aos presentes, o presentador, que sabe o que hai detrás de cada porta, abrirá unha das outras dúas, na que haberá unha cabra. A continuación, dálle a opción ao concursante de mudar, se o desexa, de porta (ten dúas opcións). Debe o concursante manter a súa elección orixinal ou escoller a outra porta? Hai algunha diferenza?
Esa pregunta xerou un intenso debate. Como a resposta correcta parece contradicir a intuición, é un paradoxo. No concurso "un, dos, tres. .. responda otra vez", unha porta tiña un coche, outra unha cabaza e outra un regalo ruín.
A premisa concreta
A mecánica do concurso é a seguinte: Ao concursante ofréceselle a posibilidade de escoller unha entre tres portas. Tras unha delas atópase un coche, e tras as outras dúas hai senllas cabras. O concursante gaña o premio que se oculta detrás da porta que escolla.
Despois de que o concursante escolla unha porta, o presentador abre unha das outras dúas portas, mostrando unha cabra. Sempre pode facelo, xa que mesmo se o concursante escolleu unha cabra, fica outra entre as portas que descartou e o presentador coñece o que hai detrás de cada porta.
Entón, ofrece ao concursante a posibilidade de cambiar a súa elección inicial e escoller a outra porta que descartou orixinalmente, que continúa pechada.
A pregunta oportuna é: debe facelo ou non? A solución
Un estudo probabilístico
A probabilidade de que o concursante escolla na súa primeira oportunidade a porta que oculta o coche é de 1/3, polo que a probabilidade de que o coche se atope nunha das portas que non escolleu é de 2/3. Que muda cando o presentador mostra unha cabra tras unha das outras dúas portas?
Unha suposición errónea é que, unha vez só fiquen dúas portas, ambas teñen a mesma probabilidade (é 1/2) de conter o coche. É errónea xa que o presentador abre a porta despois da elección do xogador. Isto é, a elección do xogador afecta á porta que abre o presentador. Non é un suceso aleatorio nin inconexo.
Se o xogador escolle na súa primeira opción a porta que contén o coche (cunha probabilidade de 1/3), entón o presentador pode abrir calquera das outras dúas portas. Ademais, o xogador perde o coche se cambia cando se lle ofrece a oportunidade, posto que acertara na primeira escolla.
Mais, se o xogador escolle unha cabra na súa primeira opción (cunha probabilidade de 2/3), o presentador só ten a opción de abrir unha porta, e esta é a única porta restante que contén unha cabra. Nese caso, a porta restante ten que conter o coche, polo que mudando gaña o coche con seguridade, posto que escollera unha cabra na primeira opción.
En resumo, se mantén a súa elección orixinal gaña se escolleu orixinalmente o coche (con probabilidade de 1/3), mentres que se muda, gaña se escolleu orixinalmente unha das dúas cabras (con probabilidade de 2/3). Por tanto, o concursante debe cambiar a súa elección se quere maximizar a probabilidade de gañar o coche. Fórmula matemática
A solución cunha ecuación matemática para un problema xenérico cun total de t portas totais, n portas escollidas ao principio e l portas que se abren nas que non está o coche. P [ A ]
100 × n + l t % {\displaystyle P[A]
100\times {\frac {n+l}{t}}\%}