Función simple

No campo matemático da análise real, unha función simple é unha función con valores reais (ou complexos) sobre un subconxunto da liña real, semellante a unha función en escada. As funcións simples son o suficientemente "agradábeis" como para que o seu uso facilite o razoamento matemático, a teoría e a demostración. Por exemplo, as funcións simples alcanzan só un número finito de valores. Algúns autores tamén requiren que as funcións simples sexan medíbeis; como se usa na práctica, xa isto é así.
Un exemplo básico dunha función simple podería ser a función chan sobre o intervalo semiaberto [1, 9), cuxos únicos valores son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un exemplo máis avanzado é a función de Dirichlet sobre a liña real, que toma o valor 1 se x é racional e 0 en caso contrario. (Así, o "simple" de "función simple" ten un significado técnico un pouco contrario á linguaxe común. ) Tódalas funcións en escada son simples. Definición
Formalmente, unha función simple é unha combinación linear finita de funcións indicadoras de conxuntos medíbeis. Máis precisamente, sexa (X, Σ) un espazo medíbel. Sexa A 1, .. ., A n ∈ Σ unha secuencia de conxuntos medíbeis disxuntos, e sexa a1, .. ., an unha secuencia de números reais ou complexos. Unha función simple é unha función f: X → C {\displaystyle f: X\to \mathbb {C} } da forma f ( x )
∑ k
1 n a k 1 A k ( x ), {\displaystyle f(x)
\sum _{k
1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x), } onde 1 A {\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}} é a función indicadora do conxunto A. Propiedades das funcións simples
A suma, a diferenza e o produto de dúas funcións simples son tamén funcións simples, tamén o é a multiplicación por unha constante; de aí dedúcese que o conxunto de todas as funcións simples nun espazo medíbel dado forma unha álxebra conmutativa sobre C {\displaystyle \mathbb {C} }. Integración das funcións simples
Se unha medida μ está definida no espazo (X, Σ), a integral de f en relación a μ é ∑ k
1 n a k μ ( A k ), {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}), } se todos os sumandos son finitos. Relación coa integración de Lebesgue
A integral anterior pódese estender a unha clase máis xeral de funcións, que é como se define a integral de Lebesgue. Esta extensión baséase no seguinte feito. Teorema. Calquera función medíbel non negativa f: X → R + {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}} é o límite por puntos dunha secuencia crecente monótona de funcións simples non negativas.
Está implícito na afirmación que a sigma-álxebra no co-dominio R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} é a restrición da σ-álxebra de Borel, B ( R ) {\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )} en R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}. A proba procede do seguinte xeito:
Sexa f {\displaystyle f} unha función medíbel non negativa definida sobre o espazo de medida ( X, Σ, μ ) {\displaystyle (X, \Sigma, \mu )}. Para cada n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, subdividimos o codominio de f {\displaystyle f} en 22 n + 1 {\displaystyle 2^{2n}+1} intervalos, 22 n {\displaystyle 2^{2n}} deles teñen lonxitude 2 − n {\displaystyle 2^{-n}}. É dicir, para cada n {\displaystyle n}, definimos I n, k
[ k − 12 n, k 2 n ) {\displaystyle I_{n, k}
\left[{\frac {k-1}{2^{n}}}, {\frac {k}{2^{n}}}\right)} para k
1, 2, …, 22 n {\displaystyle k
1, 2, \ldots, 2^{2n}}, e I n, 22 n + 1
[ 2 n, ∞ ) {\displaystyle I_{n, 2^{2n}+1}
[2^{n}, \infty )},
que son disxuntos e cobren a recta real non negativa ( R + ⊆ ∪ k I n, k, ∀ n ∈ N {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\subseteq \cup _{k}I_{n, k}, \forall n\in \mathbb {N} } ).
Agora definimos os conxuntos A n, k
f − 1 ( I n, k ) {\displaystyle A_{n, k}
f^{-1}(I_{n, k})\, } para k
1, 2, …, 22 n + 1, {\displaystyle k
1, 2, \ldots, 2^{2n}+1, } que son medíbeis ( A n, k ∈ Σ {\displaystyle A_{n, k}\in \Sigma } ) porque f {\displaystyle f} suponse que é medíbel.
Daquela, a secuencia crecente de funcións simples f n
∑ k
122 n + 1 k − 12 n 1 A n, k {\displaystyle f_{n}
\sum _{k
1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n, k}}} converxe punto por punto en f {\displaystyle f} cando n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }. Teña en conta que, cando f {\displaystyle f} é limitada, a converxencia é uniforme.