Ideal (teoría dos aneis)

En matemáticas, e máis concretamente na teoría dos aneis, un ideal dun anel é un subconxunto especial dos seus elementos. Por exemplo no caso dos números enteiros, os ideais xeneralizan certos subconxuntos de enteiros, como os números pares ou os múltiplos de 3. A suma e resta de números pares mantén a paridade, e multiplicar un número par por calquera número enteiro (par ou impar) resulta un número par; estas propiedades de peche e absorción son as propiedades definitorias dun ideal. Pódese usar un ideal para construír un anel cociente dun xeito similar a como, na teoría de grupos, un subgrupo normal pode ser usado para construír un grupo cociente.
Entre os enteiros, os ideais correspóndense un por un cos enteiros non negativos: neste anel, cada ideal é un ideal principal composto polos múltiplos dun único número non negativo. Porén, noutros aneis, os ideais poden non corresponder directamente cos elementos do anel, e certas propiedades dos números enteiros, cando se xeneralizan a aneis, están máis naturalmente relacionadas cos ideais que cos elementos do anel. Por exemplo, os ideais primos dun anel son análogos aos números primos, e o teorema chinés do resto pódese xeneralizar a ideais. Existe unha versión da factorización única en números primos para os ideais dun dominio de Dedekind (un tipo de anel importante na teoría dos números).
Un concepto relacionado, aínda que distinto, é o de ideal na teoría da orde deriva da noción de ideal na teoría de aneis. Un ideal fraccional é unha xeneralización dun ideal baseada no dominio de integridade e o corpo de fraccións, e os ideais habituais ás veces chámanse ideais integrais por motivos de claridade. Historia
Ernst Kummer inventou o concepto de números ideais para servir como os factores "ausentes" nos aneis numéricos nos que falla a factorización única; aquí a palabra "ideal" é no sentido de existir só na imaxinación, en analoxía con obxectos "ideais" en xeometría como puntos no infinito. .
A teoría dos ideais é relativamente recente, posto que foi creada polo matemático alemán, Richard Dedekind, a finais do século XIX. Naquela época, unha parte da comunidade matemática interesouse nos números alxébricos e, máis concretamente, nos enteiros alxébricos.
A cuestión consiste en saber se os enteiros alxébricos se comportan como os números primos entre si, particularmente, no que respecta á súa descomposición en factores primos (Teorema fundamental da aritmética). Parecía claro, desde o comenzo do século XIX que este non era sempre o caso. Por exemplo, o enteiro 6 pode descompor, no anel Z [ i 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}, na forma 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} ou na forma ( 1 + i 5 ) ( 1 − i 5 ) {\displaystyle (1+i{\sqrt {5}})(1-i{\sqrt {5}})}.
Ernst Kummer sinalou daquela que a cuestión anterior ía depender dos números en cuestión, e inventou a noción de complexos ideais.
A idea é facer única a descomposición en factores primos engadindo artificialmente outros números (do mesmo xeito que se engade i aos números reais con i 2
− 1 {\displaystyle i^{2}
-1} (coa finalidade de dispor de números para os cadrados negativos). Para o exemplo de enriba, vanse "inventar" catro números "ideais" a, b, c e d tal que: 2
a ⋅ b {\displaystyle 2
a\cdot b} 3
c ⋅ d {\displaystyle 3
c\cdot d} 1 + i 5
a ⋅ c {\displaystyle 1+i{\sqrt {5}}
a\cdot c} 1 − i 5
b ⋅ d {\displaystyle 1-i{\sqrt {5}}
b\cdot d} Así, 6 descomponse de xeito único en: 6
a ⋅ b ⋅ c ⋅ d {\displaystyle 6
a\cdot b\cdot c\cdot d} Dedekind en 1871 volve a usar a noción de número ideal de Kummer e crea a noción de ideal nun anel. Interésase principalmente polos aneis dos enteiros alxébricos. Neste dominio atópanse os resultados máis interesantes sobre os ideais. Creou o conxunto dos ideais dun anel conmutativo, para operacións semellantes á suma e á multiplicación dos enteiros. O que hoxe chamamos dominio de Dedekind: un dominio de integridade no que cada ideal propio non nulo convértese nun produto de ideais primos. Definicións
Dado un anel R, un ideal pola esquerda é un subconxunto I de R que é un subgrupo do grupo aditivo de R {\displaystyle R} que "absorbe a multiplicación pola esquerda dos elementos de R {\displaystyle R}; é dicir, I {\displaystyle I} é un ideal pola esquerda se cumpre as dúas condicións seguintes: ( I, + ) {\displaystyle (I, +)} é un subgrupo de ( R, + ) {\displaystyle (R, +)} Para cada r ∈ R {\displaystyle r\in R} e cada x ∈ I {\displaystyle x\in I} o produto r x {\displaystyle rx} está en I {\displaystyle I} Noutras palabras, un ideal pola esquerda é un submódulo pola esquerda de R, considerado como un módulo pola esquerda sobre si mesmo.
Un ideal pola dereita defínese de xeito similar, coa condición r x ∈ I {\displaystyle rx\in I} substituída por x r ∈ I {\displaystyle xr\in I}. Un ideal bilateral é un ideal pola esquerda é tamén un ideal pola dereita.
Se o anel é conmutativo, as tres definicións son iguais, e fálase simplemente dun ideal. No caso non conmutativo, a miúdo úsase simplemente "ideal" en lugar de "ideal bilateral".
Se I é un ideal pola esquerda, dereita ou bilateral, a relación x ∼ y {\displaystyle x\sim y} se e só se x − y ∈ I {\displaystyle x-y\in I} é unha relación de equivalencia en R, e o conxunto de clases de equivalencia forma un módulo pola esquerda, dereita ou bilateral denotado R / I {\displaystyle R/I} e chamado o cociente de R por I. (É un exemplo dunha relación de congruencia e é unha xeneralización da aritmética modular).
Se o ideal I é bilateral, R / I {\displaystyle R/I} é un anel, e a función R → R / I {\displaystyle R\to R/I} que asocia a cada elemento de R a súa clase de equivalencia é un homomorfismo de aneis sobrexectivo que ten o ideal como kernel. E viceversa, o kernel dun homomorfismo de aneis é un ideal bilateral. Polo tanto, os ideais bilaterais son exactamente os kernels dos homomorfismos de aneis. Exemplos e propiedades
(Por brevidade, algúns resultados só se indican para os ideais pola esquerda, pero normalmente tamén son certos para os ideais pola dereita con cambios de notación apropiados. ) Nun anel R, o propio conxunto R forma un ideal bilateral de R chamado ideal da unidade. Moitas veces tamén se denota por ( 1 ) {\displaystyle (1)} xa que é precisamente o ideal bilateral xerado (ver máis abaixo) pola unidade 1 R {\displaystyle 1_{R}}. A maiores, o conxunto { 0 R } {\displaystyle \{0_{R}\}} que consiste só na identidade aditiva 0R forma un ideal bilateral chamado ideal cero e denotado por ( 0 ) {\displaystyle (0)}. Todo ideal (esquerda, dereita ou bilateral) contén o ideal cero e está contido no ideal da unidade
Un ideal (esquerda, dereita ou bilateral) que non é o ideal da unidade chámase ideal propio (xa que é un subconxunto propio). Nota: un ideal pola esquerda a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} é propio se e só se non contén unha unidade (elemento invertíbel), xa que se u ∈ a {\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}} é unha unidade (invertíbel), entón r
( r u − 1 ) u ∈ a {\displaystyle r
(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}} para cada r ∈ R {\displaystyle r\in R}. Normalmente hai moitos ideais propios. De feito, se R é un anel de división, entón ( 0 ), ( 1 ) {\displaystyle (0), (1)} son os seus únicos ideais e á inversa: é dicir, un anel distinto de cero R é un anel de división (corpo non conmutativo) se ( 0 ), ( 1 ) {\displaystyle (0), (1)} son os únicos ideais pola esquerda (ou pola dereita). (Proba: se x {\displaystyle x} é un elemento distinto de cero, entón o ideal principal pola esquerda R x {\displaystyle Rx} (ver máis abaixo) é distinto de cero e, polo tanto, R x
( 1 ) {\displaystyle Rx
(1)}; é dicir, y x
1 {\displaystyle yx
1} para algún y {\displaystyle y} distinto de cero. Do mesmo xeito, z y
1 {\displaystyle zy
1} para algún z {\displaystyle z}. Entón z
z ( y x )
( z y ) x
x {\displaystyle z
z(yx)
(zy)x
x}. )
Os enteiros pares forman un ideal no anel Z {\displaystyle \mathbb {Z} } de todos os números enteiros, xa que a suma de dous enteiros pares calquera é par e o produto de calquera enteiro cun enteiro par tamén é par; este ideal adoita denotarse por 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} }. De xeito máis xeral, o conxunto de todos os números enteiros divisíbeis por un enteiro fixo n {\displaystyle n} é un ideal denotado n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} }. De feito, todo ideal distinto de cero do anel Z {\displaystyle \mathbb {Z} } é xerado polo seu elemento positivo máis pequeno, como consecuencia da división euclidiana, polo que Z {\displaystyle \mathbb {Z} } é un dominio de ideais principais.
O conxunto de todos os polinomios con coeficientes reais que son divisíbeis polo polinomio x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} é un ideal no anel de todos os polinomios de coeficientes reais R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]}.
Tomamos un anel R {\displaystyle R} e un enteiro positivo n {\displaystyle n}. Para cada 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n}, o conxunto de todas as matrices n × n {\displaystyle n\times n} con entradas en R {\displaystyle R} cuxa fila i {\displaystyle i} -ésima é cero é un ideal pola dereita no anel M n ( R ) {\displaystyle M_{n}(R)} de todas as matrices n × n {\displaystyle n\times n} con entradas en R {\displaystyle R}. Non é un ideal pola esquerda. Do mesmo xeito, para cada 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n}, o conxunto de todas as matrices n × n {\displaystyle n\times n} cuxa j {\displaystyle j} -ésima columna é cero é un ideal pola esquerda mais non é un ideal pola dereita.
O anel C ( R ) {\displaystyle C(\mathbb {R} )} de todas as funcións continuas f {\displaystyle f} de R {\displaystyle \mathbb {R} } ata R {\displaystyle \mathbb {R} } baixo multiplicación punto a punto contén o ideal de todas as funcións continuas f {\displaystyle f} tal que f ( 1 )
0 {\displaystyle f(1)
0}. Outro ideal en C ( R ) {\displaystyle C(\mathbb {R} )} vén dado por aquelas funcións que desaparecen para argumentos suficientemente grandes, é dicir, aquelas funcións continuas f {\displaystyle f} para as que existe un número L > 0 {\displaystyle L>0} tal que f ( x )
0 {\displaystyle f(x)
0} sempre que | x | > L {\displaystyle \vert x\vert >L}.
Un anel chámase anel simple se é distinto de cero e non ten ideais bilaterais que non sexan ( 0 ), ( 1 ) {\displaystyle (0), (1)}. Así, un corpo non conmutativo é simple e un anel conmutativo simple é un corpo. O anel das matrices sobre un corpo non conmutativo (anel de división) é un anel simple.
Se f: R → S {\displaystyle f: R\to S} é un homomorfismo de aneis, entón o kernel ker ⁡ ( f )
f − 1 ( 0 S ) {\displaystyle \ker(f)
f^{-1}(0_{S})} é un ideal bilateral de R {\displaystyle R}. Por definición, f ( 1 R )
1 S {\displaystyle f(1_{R})
1_{S}}, e polo tanto, se S {\displaystyle S} non é o anel cero (polo que 1 S ≠ 0 S {\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}} ), entón ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ker(f)} é un ideal propio. De xeito máis xeral, para cada ideal pola esquerda I {\displaystyle I} de S {\displaystyle S}, a preimaxe f − 1 ( I ) {\displaystyle f^{-1}(I)} é un ideal pola esquerda. Se I {\displaystyle I} é un ideal pola esquerda de R {\displaystyle R}, entón f ( I ) {\displaystyle f(I)} é un ideal pola esquerda do subanel f ( R ) {\displaystyle f(R)} de S {\displaystyle S}: a non ser que f sexa sobrexectiva f ( I ) {\displaystyle f(I)} non precisa ser un ideal de S {\displaystyle S}.
Continuamos os exemplos e propiedades: Correspondencia de ideais: Dado un homomorfismo sobrexectivo de aneis f: R → S {\displaystyle f: R\to S}, e os correspondentes ideais I, J {\displaystyle I, J}, hai unha correspondencia bixectiva que conserva a orde entre os ideais pola esquerda (resp. dereita, bilateral) de R {\displaystyle R} que conteñen o kernel de f {\displaystyle f} e os ideais pola esquerda (resp. dereita, bilateral) de S {\displaystyle S}: a correspondencia vén dada por I ↦ f ( I ) {\displaystyle I\mapsto f(I)} e a preimaxe J ↦ f − 1 ( J ) {\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}. A maiores, para aneis conmutativos, esta correspondencia bixectiva restrinxe aos ideais primos, ideais máximais e ideais radicais (consulta a sección Tipos de ideais para as definicións destes ideais).
Se M é un R-módulo esquerdo e S ⊂ M {\displaystyle S\subset M} un subconxunto, entón o anulador Ann R ⁡ ( S )
{ r ∈ R ∣ r s
0, s ∈ S } {\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)
\{r\in R\mid rs
0, s\in S\}} de S é un ideal pola esquerda. Dados os ideais a, b {\displaystyle {\mathfrak {a}}, {\mathfrak {b}}} dun anel conmutativo R, o R-anulador de ( b + a ) / a {\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}} é un ideal de R chamado ideal cociente de a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} por b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} e denotado como ( a: b ) {\displaystyle ({\mathfrak {a}}: {\mathfrak {b}})}; é unha instancia do idealizador (subsemigrupo maior no que é ideal outro semigrupo) en álxebra conmutativa.
Sexa a i, i ∈ S {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}, i\in S} unha cadea ascendente de ideais pola esquerda nun anel R; é dicir, S {\displaystyle S} é un conxunto totalmente ordenado e a i ⊂ a j {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}} para cada i < j {\displaystyle i<j}. Entón a unión ⋃ i ∈ S a i {\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}} é un ideal pola esquerda de R.
O feito anterior xunto co lema de Zorn demostra o seguinte: se E ⊂ R {\displaystyle E\subset R} é un subconxunto posíbelmente baleiro e a 0 ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R} é un ideal esquerdo que está disxunto de E, entón hai un ideal que é máximal entre os ideais que conteñen a 0 {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}} e disxunto de E. Cando R ≠ 0 {\displaystyle R\neq 0}, tomando a 0
( 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}
(0)} e E
{ 1 } {\displaystyle E
\{1\}}, en particular, existe un ideal pola esquerda que é máximal entre os ideais propios pola esquerda (moitas veces chamado simplemente ideal maximal pola esquerda); ver teorema de Krull para máis información.
Unha unión arbitraria de ideais non ten por que ser un ideal, mais segue a ser certo o seguinte: dado un subconxunto posíbelmente baleiro X de R, existe o ideal máis pequeno pola esquerdo que contén X, chamado o ideal pola esquerda xerado por X e denotado por R X {\displaystyle RX}. Tal ideal existe xa que é a intersección de todos os ideais pola esquerda que conteñen X. Equivalentemente, R X {\displaystyle RX} é o conxunto de todas as combinacións lineares pola esquerda (finitas) dos elementos de X sobre R: R X
{ r 1 x 1 + ⋯ + r n x n ∣ n ∈ N, r i ∈ R, x i ∈ X }. {\displaystyle RX
\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N}, r_{i}\in R, x_{i}\in X\}. } (xa que tal tramo é o ideal máis pequeno que fica que contén X. ) Un ideal pola dereita (resp. bilateral) xerado por X defínese de xeito similar. Para "bilateral", hai que usar combinacións lineares bilaterais; é dicir, R X R
{ r 1 x 1 s 1 + ⋯ + r n x n s n ∣ n ∈ N, r i ∈ R, s i ∈ R, x i ∈ X }. {\displaystyle RXR
\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N}, r_{i}\in R, s_{i}\in R, x_{i}\in X\}. \, } Un ideal pola esquerda (resp. dereita, bilateral) xerado por un único elemento x chámase ideal principal pola esquerda (resp. dereita, bilateral) xerado por x e denotado por R x {\displaystyle Rx} (resp. x R, R x R {\displaystyle xR, RxR} ). O ideal principal bilateral R x R {\displaystyle RxR} adoita denotarse tamén por ( x ) {\displaystyle (x)}. Se X
{ x 1, …, x n } {\displaystyle X
\{x_{1}, \dots, x_{n}\}} é un conxunto finito, entón R X R {\displaystyle RXR} tamén se escribe como ( x 1, …, x n ) {\displaystyle (x_{1}, \dots, x_{n})}.
Existe unha correspondencia bixectiva entre os ideais e as relación de congruencia (relacións de equivalencia que respectan a estrutura do anel) no anel: Dado un ideal I {\displaystyle I} dun anel R {\displaystyle R}, sexa x ∼ y {\displaystyle x\sim y} se x − y ∈ I {\displaystyle x-y\in I}. Entón ∼ {\displaystyle \sim } é unha relación de congruencia en R {\displaystyle R}. E viceversa, dada unha relación de congruencia ∼ {\displaystyle \sim } en R {\displaystyle R}, sexa I
{ x ∈ R: x ∼ 0 } {\displaystyle I
\{x\in R: x\sim 0\}}, daquela I {\displaystyle I} é un ideal de R {\displaystyle R}. Tipos de ideais
Para simplificar a descrición suponse que todos os aneis son conmutativos. O caso non conmutativo é discutido en detalle nos artigos respectivos.
Os ideais son importantes porque aparecen como kernels de homomorfismos de aneis e permiten definir aneis cocientes. Estúdanse diferentes tipos de ideais porque se poden usar para construír distintos tipos de aneis cocientes. Ideal cero: o ideal { 0 } {\displaystyle \{0\}}.
Ideal da unidade: todo o anel (sendo o ideal xerado por 1 {\displaystyle 1} ).
Ideal trivial. Sexa R un anel de neutro 0, os ideais triviais de A son: { 0 } {\displaystyle \{0\}} e R (isto é, o ideal cero e o ideal da unidade).
Ideal propio: un ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilateral) que non é o ideal da unidade chámase ideal propio (xa que é un subconxunto propio).
Ideal maximal: Un ideal propio I chámase ideal máximal se non existe outro ideal propio J que teña a I como subconxunto propio de J. O anel factor (anel cociente) dun ideal máximal é, en xeral, un anel simple e, en particular, é un corpo para aneis conmutativos.
Ideal mínimal: Un ideal non cero chámase mínimal se non contén outro ideal non cero.
Ideal primo: un ideal propio I {\displaystyle I} chámase ideal primo se para calquera a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} en R {\displaystyle R}, se a b {\displaystyle ab} está en I {\displaystyle I}, entón polo menos un de entre a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} está en I {\displaystyle I}. O anel factor (cociente) dun ideal primo é un anel primo en xeral e, en particular, é un dominio de integridade para aneis conmutativos.
Ideal radical ou ideal semiprimo: un ideal propio I chámase radical ou semiprimo se para calquera a en R, se an está en I para algún n, entón a está en I. O anel cociente dun ideal radical é un anel semiprimo para aneis en xeral, e en particular, é un anel reducido para aneis conmutativos.
Ideal primario: un ideal I chámase ideal primario se para todos os a e b en R, se ab está en I, polo menos un de entre a e bn está en I para algún número natural n. Todo ideal primo é primario, mais non ao revés. Un ideal primario semiprimo é primo.
Ideal principal: un ideal xerado por un elemento.
Ideal xerado finitamente: este tipo de ideal é un módulo xerado finitamente.
Ideal primitivo: un ideal primitivo pola esquerda é o anulador dun módulo simple pola esquerda.
Ideal irredutíbel: Dise que un ideal é irredutíbel se non se pode escribir como unha intersección de ideais propios que o conteñen.
Ideais comaximais: dous ideais I, J dise que son comaximais se x + y
1 {\displaystyle x+y
1} para algún x ∈ I {\displaystyle x\in I} e y ∈ J {\displaystyle y\in J}.
Ideal regular: este termo ten múltiples usos. Consulta o artigo para ver unha lista.
Ideal nil ou nulo: Un ideal é un ideal nulo se cada un dos seus elementos é nilpotente.
Ideal nilpotente: Algunha potencia do mesmo é cero.
Ideal de parámetros: un ideal xerado por un sistema de parámetros.
Ideal perfecto: un ideal propio I nun anel noetheriano R {\displaystyle R} chámase ideal perfecto se o seu grao é igual á dimensión proxectiva do anel cociente asociado, grade ( I )
proj dim ⁡ ( R / I ) {\displaystyle {\textrm {grade}}(I)
{\textrm {proj}}\dim(R/I)}. Un ideal perfecto é un Ideal non mesturado.
Ideal non mesturado: un ideal propio I nun anel noetheriano R {\displaystyle R} chámase ideal non mesturado (en altura) se a altura de I é igual á altura de cada primo asociado P de R/I. (Isto é máis forte que dicir que R/I é equidimensional. Consulte tamén anel equidimensional.
Outros dous termos importantes que usan "ideal" non sempre son ideais do seu anel: Ideal fraccionario: adoita definirse cando R é un dominio conmutativo con corpo cociente K. Mália os seus nomes, os ideais fraccionarios son submódulos R de K cunha propiedade especial. Se o ideal fraccional está contido enteiramente en R, entón é verdadeiramente un ideal de R.
Ideal invertíbel: Normalmente un ideal invertíbel A defínese como un ideal fraccionario para o cal hai outro ideal fraccionario B tal que AB
BA
R. Algúns autores tamén poden aplicar o "ideal invertíbel" aos ideais de aneis ordinarios A e B con AB
BA
R en aneis que non son dominios. Operacións con ideais
A suma e o produto dos ideais defínense do seguinte xeito. Para os ideais a {\displaystyle {\mathfrak {a}}}, b {\displaystyle {\mathfrak {b}}}, pola esquerda (resp. dereita) dun anel R, a súa suma é a + b:
{ a + b ∣ a ∈ a e b ∈ b } {\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:
\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ e }}b\in {\mathfrak {b}}\}},
que é un ideal pola esquerda (resp. dereita) e, o produto é, se a, b {\displaystyle {\mathfrak {a}}, {\mathfrak {b}}} son bilaterais, a b:
{ a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ∣ a i ∈ a e b i ∈ b, i
1, 2, …, n; para n
1, 2, … }, {\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:
\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ e }}b_{i}\in {\mathfrak {b}}, i
1, 2, \dots, n; {\mbox{ para }}n
1, 2, \dots \}, } é dicir, o produto é o ideal xerado por todos os produtos da forma ab con a en a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} e b en b {\displaystyle {\mathfrak {b}}}.
A lei distributiva cúmprese para ideais bilaterais a, b, c {\displaystyle {\mathfrak {a}}, {\mathfrak {b}}, {\mathfrak {c}}}, a ( b + c )
a b + a c {\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})
{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}, ( a + b ) c
a c + b c {\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}
{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}.
Se o produto é substituído por unha intersección, temos unha lei distributiva parcial: a ∩ ( b + c ) ⊃ a ∩ b + a ∩ c {\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}} onde se cumpre a igualdade se a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} contén b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} ou c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}.
Un dominio de integridade chámase dominio de Dedekind se para cada par de ideais a ⊂ b {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}, hai un ideal c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} tal a
b c {\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}
{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}} (un ideal incluído noutro pódese descompor no produto de dous ideais). Pódese entón demostrar que todo ideal distinto de cero dun dominio de Dedekind pode escribirse de forma única como un produto de ideais máximais, isto é unha xeneralización do teorema fundamental da aritmética. Exemplos de operacións con ideais
En Z {\displaystyle \mathbb {Z} } temos ( n ) ∩ ( m )
lcm ⁡ ( n, m ) Z {\displaystyle (n)\cap (m)
\operatorname {lcm} (n, m)\mathbb {Z} } xa que ( n ) ∩ ( m ) {\displaystyle (n)\cap (m)} é o conxunto de números enteiros que son divisíbeis tanto por n {\displaystyle n} como por m {\displaystyle m}.
Sexa R
C [ x, y, z, w ] {\displaystyle R
\mathbb {C} [x, y, z, w]} e a
( z, w ), b
( x + z, y + w ), c
( x + z, w ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}
(z, w), {\mathfrak {b}}
(x+z, y+w), {\mathfrak {c}}
(x+z, w)}. Daquela, a + b
( z, w, x + z, y + w )
( x, y, z, w ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}
(z, w, x+z, y+w)
(x, y, z, w)} e a + c
( z, w, x ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}
(z, w, x)} a b
( z ( x + z ), z ( y + w ), w ( x + z ), w ( y + w ) )
( z 2 + x z, z y + w z, w x + w z, w y + w 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}
(z(x+z), z(y+w), w(x+z), w(y+w))
(z^{2}+xz, zy+wz, wx+wz, wy+w^{2})} a c
( x z + z 2, z w, x w + z w, w 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}
(xz+z^{2}, zw, xw+zw, w^{2})} a ∩ b
a b {\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}
{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}} mentres que a ∩ c
( w, x z + z 2 ) ≠ a c {\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}
(w, xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}} No primeiro cálculo, vemos o modelo xeral para tomar a suma de dous ideais finitamente xerados, é o ideal xerado pola unión dos seus xeradores. Nos tres últimos observamos que os produtos e as interseccións coinciden sempre que os dous ideais intersecan no ideal cero. Estes cálculos pódense comprobar usando Macaulay2 (sistema de computación alxébrica en liña). Radical dun anel
Os ideais aparecen con naturalidade no estudo dos módulos, especialmente en forma de radical. Para simplificar, traballamos con aneis conmutativos mais, con algunha modificación, os resultados tamén son certos para aneis non conmutativos.
Sexa R un anel conmutativo. Por definición, un ideal primitivo de R é o anulador dun R-módulo simple (non cero). O radical de Jacobson J
Jac ⁡ ( R ) {\displaystyle J
\operatorname {Jac} (R)} de R é a intersección de todos os ideais primitivos. De forma equivalente, J
⋂ m ideais maximais m. {\displaystyle J
\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ ideais maximais }}}{\mathfrak {m}}. } En efecto, se M {\displaystyle M} é un módulo simple e x é un elemento distinto de cero en M, entón R x
M {\displaystyle Rx
M} e R / Ann ⁡ ( M )
R / Ann ⁡ ( x ) ≃ M {\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)
R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}, sendo que Ann ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Ann} (M)} é un ideal máximal. E viceversa, se m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} é un ideal máximal, entón m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} é o anulador do R-módulo simple R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}. Tamén hai outra caracterización (a proba non é difícil): J
{ x ∈ R ∣ 1 − y x é unha unidade para cada y ∈ R }. {\displaystyle J
\{x\in R\mid 1-yx\, {\text{ é unha unidade para cada }}y\in R\}. } Para un anel non necesariamente conmutativo, é un feito xeral que 1 − y x {\displaystyle 1-yx} é unha unidade se e só se 1 − x y {\displaystyle 1-xy} tamén o é. Así esta última caracterización mostra que o radical pode definirse tanto en termos de ideais primitivos pola esquerda como pola dereita.
O seguinte feito sinxelo máis importante (lema de Nakayama) está incorporado na definición dun radical de Jacobson: se M é un módulo tal que J M
M {\displaystyle JM
M}, entón M non admite un submódulo maximal, xa que se hai un submódulo máximal L ⊊ M {\displaystyle L\subsetneq M}, J ⋅ ( M / L )
0 {\displaystyle J\cdot (M/L)
0} entón M
J M ⊂ L ⊊ M {\displaystyle M
JM\subset L\subsetneq M}, dá unha contradición. Dado que un módulo finitamente xerado non nulo admite un submódulo máximal, en particular temos: Se J M
M {\displaystyle JM
M} e M xérase finitamente, entón M
0 {\displaystyle M
0}.
Un ideal máximal é un ideal primo e así temos nil ⁡ ( R )
⋂ p ideais primos p ⊂ Jac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {nil} (R)
\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ ideais primos }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}.
Se R é un anel artiniano, entón Jac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Jac} (R)} é nilpotente e nil ⁡ ( R )
Jac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {nil} (R)
\operatorname {Jac} (R)}. Extensión e contracción dun ideal
Sexan A e B dous aneis conmutativos, e sexa f: A → B un homomorfismo de aneis. Se a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} é un ideal en A, entón f ( a ) {\displaystyle f({\mathfrak {a}})} non ten por que ser un ideal en B (por exemplo, tome f como a inclusión do anel de enteiros Z no corpo dos racionais Q). A extensión a e {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}} de a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} en B defínese como o ideal en B xerado por f ( a ) {\displaystyle f({\mathfrak {a}})}. Explicitamente, a e
{ ∑ y i f ( x i ): x i ∈ a, y i ∈ B } {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}
{\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}): x_{i}\in {\mathfrak {a}}, y_{i}\in B{\Big \}}} Se b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} é un ideal de B, daquela f − 1 ( b ) {\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})} é sempre un ideal de A, chamado a contracción b c {\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}} de b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} en A.
Asumindo que f: A → B é un homomorfismo de aneis, que a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} é un ideal en A, e que b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} é un ideal en B, temos: b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} é primo en B ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } b c {\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}} é primo en A. a e c ⊇ a {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}}. b c e ⊆ b {\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}}.