Hiperoperación

En matemáticas, a secuencia de hiperoperacións é unha secuencia infinita de operacións aritméticas (chamadas hiperoperacións neste contexto) que comeza cunha operación unitaria (a función sucesora con n
0). A secuencia continúa coas operacións binarias de suma ( n
1), multiplicación ( n
2) e potenciación ( n
3).
Despois diso, a secuencia continúa con operacións binarias que se estenden máis aló da potenciación, tendo en conta que non son asociativas (por exemplo, a tetración que procede da potenciación 33
3 ( 33 )
39 ≠ 93
( 33 ) 3 {\displaystyle {}^{3}3
3^{(3^{3})}
3^{9}\neq 9^{3}
(3^{3})^{3}} ). Para as operacións máis aló da potenciación, o membro n -ésimo desta secuencia é nomeado por Reuben Goodstein despois do prefixo grego de n sufixado con -ación (como tetración ( n
4), pentación ( n
5), hexación ( n
6). ), etc. ) e pódese escribir usando n − 2 frechas na notación de frecha cara arriba de Knuth. Cada hiperoperación pódese entender recursivamente en función da anterior por: a [ n ] b
a [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] ( ⋯ [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] a ) ) ⋯ ) ) ) ⏟ b copies of a, n ≥ 2 {\displaystyle a[n]b
\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots [n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}, \quad n\geq 2} Tamén se pode definir segundo unha regra recursiva parte da definición, como aparece na versión de Knuth con frecha cara arriba da función de Ackermann: a [ n ] b
a [ n − 1 ] ( a [ n ] ( b − 1 ) ), n ≥ 1 {\displaystyle a[n]b a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right), \quad n\geq 1} Isto pódese empregar para mostrar facilmente números moito máis grandes que os que pode facer mediante a notación científica, como o número de Skewes e o googolplexplex (p. ex. 50 [ 50 ] 50 {\displaystyle 5050} é moito maior que o número de Skewes e o googolplex), pero hai algúns números que nin as hiperoperación pódenos mostrar facilmente, como o número de Graham e TREE(3). Esta regra de recursión é común a moitas variantes das hiperoperacións. Definición
Definición (a máis común)
A Secuencia de hiperoperación H n ( a, b ): ( N 0 ) 3 → N 0 {\displaystyle H_{n}(a, b)\colon (\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}} é a secuencia de operacións binarias H n: ( N 0 ) 2 → N 0 {\displaystyle H_{n}\colon (\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}, definido recursivamente como segue: H n ( a, b )
a [ n ] b
{ b + 1 se n
0 a se n
1 e b
00 se n
2 e b
01 se n ≥ 3 e b
0 H n − 1 ( a, H n ( a, b − 1 ) ) senón {\displaystyle H_{n}(a, b)
a[n]b
{\begin{cases}b+1&{\text{se }}n
0\\a&{\text{se }}n
1{\text{ e }}b
0\\0&{\text{se }}n
2{\text{ e }}b
0\\1&{\text{se }}n\geq 3{\text{ e }}b
0\\H_{n-1}(a, H_{n}(a, b-1))&{\text{senón}}\end{cases}}} (Teña en conta que para n 0, a operación binaria redúcese esencialmente a unha operación unitaria ( función sucesora ) ignorando o primeiro argumento. )
Para n
0, 1, 2, 3, esta definición reproduce as operacións aritméticas básicas da sucesión (que é unha operación unitaria), suma, multiplicación e exponenciación, respectivamente, como H 0 ( a, b )
1 + b, H 1 ( a, b )
a + b, H 2 ( a, b )
a × b, H 3 ( a, b )
a ↑ b
a b. {\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(a, b)&
1+b, \\H_{1}(a, b)&
a+b, \\H_{2}(a, b)&
a\times b, \\H_{3}(a, b)&
a\uparrow {b} a^{b}. \end{aligned}}} As H n {\displaystyle H_{n}} operacións para n ≥ 3 pódense escribir na notación de frecha cara arriba de Knuth.
Entón, cal será a seguinte operación despois da exponenciación? Definimos a multiplicación para que H 2 ( a, 3 )
a [ 2 ] 3
a × 3
a + a + a, {\displaystyle H_{2}(a, 3)
a3
a\times 3
a+a+a, } e definiuse a potenciación para que H 3 ( a, 3 )
a [ 3 ] 3
a ↑ 3
a 3
a × a × a, {\displaystyle H_{3}(a, 3)
a3
a\uparrow 3
a^{3}
a\times a\times a, } polo que parece lóxico definir a seguinte operación, a tetración, para que H 4 ( a, 3 )
a [ 4 ] 3
a ↑↑ 3
tetración ( a, 3 )
a a a {\displaystyle H_{4}(a, 3)
a3
a\uparrow \uparrow 3
{\text{tetración}}(a, 3)
a^{a^{a}}} cunha torre de tres 'a'. De xeito análogo, a pentación de (a, 3) será tetración(a, tetración(a, a)), con tres "a" nela. H 4 ( a, b )
a ↑↑ b, H 5 ( a, b )
a ↑↑↑ b, … H n ( a, b )
a ↑ n − 2 b para n ≥ 3, … {\displaystyle {\begin{aligned}H_{4}(a, b)&
a\uparrow \uparrow {b}, \\H_{5}(a, b)&
a\uparrow \uparrow \uparrow {b}, \\\ldots &\\H_{n}(a, b)&
a\uparrow ^{n-2}b{\text{ para }}n\geq 3, \\\ldots &\\\end{aligned}}} A notación de Knuth podería estenderse a índices negativos ≥ −2 de tal xeito que concorde con toda a secuencia de hiperoperacións, excepto para o atraso na indexación: H n ( a, b )
a ↑ n − 2 b para n ≥ 0. {\displaystyle H_{n}(a, b)
a\uparrow ^{n-2}b{\text{ para }}n\geq 0. } Así, as hiperoperacións pódense ver como unha resposta á pregunta "que segue" na secuencia: sucesor, suma, multiplicación, potenciación, etc. Observando iso a + b
1 + ( a + ( b − 1 ) ) a ⋅ b
a + ( a ⋅ ( b − 1 ) ) a b
a ⋅ ( a ( b − 1 ) ) a [ 4 ] b
a a [ 4 ] ( b − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}a+b&
1+(a+(b-1))\\a\cdot b&
a+(a\cdot (b-1))\\a^{b}&
a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)\\ab&
a^{a(b-1)}\end{aligned}}} a relación entre as operacións aritméticas básicas está ilustrada, permitindo que as operacións superiores se definan de forma natural como se realizou anteriormente. Os parámetros da xerarquía de hiperoperación son ás veces referidos polo seu termo de exponenciación análogo; polo que a é a base, b é o expoñente (ou hiperexpoñente ), e n é o rango (ou grao ), e ademais, H n ( a, b ) {\displaystyle H_{n}(a, b)} léase como "a b- ésimo n -ación de a ", p. ex H 4 ( 7, 9 ) {\displaystyle H_{4}(7, 9)} lese como "a novena tetración de 7", e H 123 ( 456, 789 ) {\displaystyle H_{123}(456, 789)} lese como "a 789a 123-ación de 456".
En termos comúns, as hiperoperacións son formas de combinar números que aumentan o crecemento en función da iteración da hiperoperación anterior. Os conceptos de sucesor, suma, multiplicación e potenciación son hiperoperacións; a operación sucesora (producindo x + 1 a partir de x ) é a máis primitiva, o operador de suma especifica o número de veces que 1 se debe engadir a si mesmo para producir un valor final, a multiplicación especifica o número de veces que se lle debe engadir un número a si mesmo, e a exponenciación refírese ao número de veces que se debe multiplicar un número por si mesmo.
Definición, mediante iteración
Defínese a iteración dunha función f de dúas variables como f x ( a, b )
{ f ( a, b ) if x
1 f ( a, f x − 1 ( a, b ) ) if x > 1 {\displaystyle f^{x}(a, b)
{\begin{cases}f(a, b)&{\text{if }}x
1\\f(a, f^{x-1}(a, b))&{\text{if }}x>1\end{cases}}} A secuencia de hiperoperación pódese definir en termos de iteración, como segue. Para todos os números enteiros x, n, a, b ≥ 0, {\displaystyle x, n, a, b\geq 0, } definir H 0 ( a, b )
b + 1 H 1 ( a, 0 )
a H 2 ( a, 0 )
0 H n + 3 ( a, 0 )
1 H n + 1 ( a, b + 1 )
H n b + 1 ( a, H n + 1 ( a, 0 ) ) H n x + 2 ( a, b )
H n ( a, H n x + 1 ( a, b ) ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}H_{0}(a, b)&
&b+1\\H_{1}(a, 0)&
&a\\H_{2}(a, 0)&
&0\\H_{n+3}(a, 0)&
&1\\H_{n+1}(a, b+1)&
&H_{n}^{b+1}(a, H_{n+1}(a, 0))\\H_{n}^{x+2}(a, b)&
&H_{n}(a, H_{n}^{x+1}(a, b))\end{array}}} Como a iteración é asociativa, a última liña pódese substituír por H n x + 2 ( a, b )
H n x + 1 ( a, H n ( a, b ) ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}H_{n}^{x+2}(a, b)&
&H_{n}^{x+1}(a, H_{n}(a, b))\end{array}}} Exemplos
A continuación móstrase unha lista das sete primeiras hiperoperacións (da 0 á 6) ( ou 0⁰ defínese como 1). Casos especiais
H n (0, b )
b + 1, cando n
0
b, cando n 1
0, cando n 2
1, cando n
3 e b
00, cando n 3 e b > 01, cando n > 3 e b é par (incluíndo 0)
0, cando n > 3 e b é impar
H n (1, b )
b, cando n
2
1, cando n ≥ 3
H n ( a, 1)
0, cando n
2
1, cando n 0, ou n ≥ 3
a, cando n 1
H n ( a, a ) a, cando n ≥ 2
H n ( a, a ) H n+1 ( a, 2), cando n ≥ 1
H n ( a, −1)
0, cando n
0, ou n ≥ 4
a - 1, cando n 1
− a, cando n
21 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}}, cando n
3
H n (2, 2)
3, cando n
0
4, cando n ≥ 1, facilmente demostrable recursivamente. Notacións
Esta é unha lista de notacións que se utilizaron para hiperoperacións.