Normal (xeometría)

En xeometría, unha normal é un obxecto (por exemplo, unha liña, un raio ou un vector) que é perpendicular a outro obxecto dado. Por exemplo, a recta normal a unha curva plana nun punto dado é a recta perpendicular á tanxente á curva no punto.
Un vector normal de lonxitude un chámase vector normal unitario. Un vector de curvatura é un vector normal cuxa lonxitude é a curvatura do obxecto. Multiplicando un vector normal por −1 resulta o vector oposto, que se pode usar para indicar os lados (por exemplo, interior ou exterior).
No espazo tridimensional, unha superficie normal, ou simplemente unha normal, a unha superficie no punto P é un vector perpendicular ao plano tanxente da superficie en P. A palabra normal tamén se usa como adxectivo: unha liña normal a un plano, a compoñente normal dunha forza, o vector normal, etc. O concepto de normalidade xeneralízase á ortogonalidade (ángulos rectos ).
O concepto foi xeneralizado a variedades diferenciábeis de dimensión arbitraria mergulladas nun espazo euclidiano. O espazo vectorial normal ou espazo normal dunha variedade nun punto P {\displaystyle P} é o conxunto de vectores ortogonais ao espazo tanxente en P. {\displaystyle P. } Os vectores normais son de especial interese no caso de curvas suaves e superficies suaves.
O pé dunha normal nun punto de interese Q (análogo ao pé dunha perpendicular) pódese definir no punto P da superficie onde o vector normal contén Q. A distancia normal dun punto Q a unha curva ou a unha superficie é a distancia euclidiana entre Q e o seu pé P. Normal de curvas no espazo
A dirección normal dunha curva espacial é: N
R d T d s {\displaystyle \mathbf {N}
R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}} onde R
κ − 1 {\displaystyle R
\kappa ^{-1}} é o raio de curvatura (curvatura recíproca); T {\displaystyle \mathbf {T} } é o vector tanxente, en termos da posición da curva r {\displaystyle \mathbf {r} } e a lonxitude do arco s {\displaystyle s}: T
d r d s {\displaystyle \mathbf {T}
{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}} Normal a planos e polígonos
Para un polígono convexo (como un triángulo), unha normal de superficie pódese calcular como o produto vectorial de dúas arestas (non paralelas) do polígono.
Para un plano dado pola ecuación do plano de forma xeral a x + b y + c z + d
0, {\displaystyle ax+by+cz+d
0, } o vector n
( a, b, c ) {\displaystyle \mathbf {n}
(a, b, c)} é a normal do plano.
Para un plano cuxa ecuación está dada en forma paramétrica r ( s, t )
r 0 + s p + t q, {\displaystyle \mathbf {r} (s, t)
\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q}, } onde r 0 {\displaystyle \mathbf {r} _{0}} é un punto do plano e p, q {\displaystyle \mathbf {p}, \mathbf {q} } son vectores non paralelos que apuntan ao longo do plano, unha normal ao plano é un vector normal a ámbolos dous p {\displaystyle \mathbf {p} } e q, {\displaystyle \mathbf {q}, } que se pode atopar como o produto vectorial n
p × q. {\displaystyle \mathbf {n}
\mathbf {p} \times \mathbf {q}. } Normal a superficies xerais no espazo 3D
Se unha superficie (posiblemente non plana) S {\displaystyle S} no espazo 3D R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas r ( s, t )
( x ( s, t ), y ( s, t ), z ( s, t ) ), {\displaystyle \mathbf {r} (s, t)
(x(s, t), y(s, t), z(s, t)), } con s {\displaystyle s} e t {\displaystyle t} variables reais, entón unha normal a S é, por definición, unha normal a un plano tanxente, dada polo produto vectorial das derivadas parciais. n
∂ r ∂ s × ∂ r ∂ t. {\displaystyle \mathbf {n}
{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}. } Se unha superficie S {\displaystyle S} dáse implícitamente como o conxunto de puntos ( x, y, z ) {\displaystyle (x, y, z)} que satisfán F ( x, y, z )
0, {\displaystyle F(x, y, z)
0, } entón unha normal nun punto ( x, y, z ) {\displaystyle (x, y, z)} na superficie vén dada polo gradiente n
∇ F ( x, y, z ). {\displaystyle \mathbf {n}
\nabla F(x, y, z). } xa que o gradiente en calquera punto é perpendicular ao conxunto de niveis S. {\displaystyle S. } Para unha superficie S {\displaystyle S} en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} dada como gráfica dunha función z
f ( x, y ), {\displaystyle z
f(x, y), } pódese atopar unha normal cara arriba a partir da parametrización r ( x, y )
( x, y, f ( x, y ) ), {\displaystyle \mathbf {r} (x, y)
(x, y, f(x, y)), } obtendo n
∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y
( 1, 0, ∂ f ∂ x ) × ( 0, 1, ∂ f ∂ y )
( − ∂ f ∂ x, − ∂ f ∂ y, 1 ); {\displaystyle \mathbf {n}
{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}
\left(1, 0, {\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0, 1, {\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)
\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}}, -{\tfrac {\partial f}{\partial y}}, 1\right); } ou máis simplemente desde a súa forma implícita F ( x, y, z )
z − f ( x, y )
0, {\displaystyle F(x, y, z)
z-f(x, y)
0, } obtendo n
∇ F ( x, y, z )
( − ∂ f ∂ x, − ∂ f ∂ y, 1 ). {\displaystyle \mathbf {n}
\nabla F(x, y, z)
\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}}, -{\tfrac {\partial f}{\partial y}}, 1\right). } Dado que unha superficie non ten un plano tanxente nun punto singular, non ten unha normal ben definida nese punto: por exemplo, o vértice dun cono. En xeral, é posible definir unha normal en case todas as partes para unha superficie que é unha función continua de Lipschitz.
Orientación
A normal a unha (hiper)superficie adoita escalarse para ter unha lonxitude unidade, mais non ten unha dirección única, xa que o seu oposto tamén é unha unidade normal. Para unha superficie que é o fronteira topolóxica dun conxunto en tres dimensións, pódese distinguir entre dúas orientacións normais, a normal que apunta cara a dentro e a normal que apunta caara ao exterior. Para unha superficie orientada, a normal adoita estar determinada pola regra da man dereita ou o seu análogo en dimensións superiores. Variedades definidas por ecuacións implícitas no espazo n-dimensional
Unha variedade diferencial definida por ecuacións implícitas no n {\displaystyle n} -espazo dimensional R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é o conxunto dos ceros comúns dun conxunto finito de funcións diferenciables en n {\displaystyle n} variables f 1 ( x 1, …, x n ), …, f k ( x 1, …, x n ). {\displaystyle f_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, f_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right). } A matriz jacobiana da variedade é a matriz k × n {\displaystyle k\times n} cuxa i {\displaystyle i} -ésima fila é o gradiente de f i. {\displaystyle f_{i}. } Polo teorema da función implícita, a variedade é unha variedade na proximidade dun punto onde a matriz jacobiana ten rango k. {\displaystyle k. } En tal punto P, {\displaystyle P, } o espazo vectorial normal é o espazo vectorial xerado polos valores en P {\displaystyle P} dos vectores de gradiente do f i. {\displaystyle f_{i}. } O espazo normal (afín) nun punto P {\displaystyle P} da variedade é o subespazo afín que pasa por P {\displaystyle P} e xerado polo espazo vectorial normal en P. {\displaystyle P. }
Exemplo
Sexa V a variedade definida no espazo tridimensional polas ecuacións x y
0, z
0. {\displaystyle x\, y
0, \quad z
0. } Esta variedade é a unión do eixo x {\displaystyle x} e o eixo y {\displaystyle y}.
Nun punto ( a, 0, 0 ), {\displaystyle (a, 0, 0), } onde a ≠ 0, {\displaystyle a\neq 0, } as filas da matriz jacobiana son ( 0, 0, 1 ) {\displaystyle (0, 0, 1)} e ( 0, a, 0 ). {\displaystyle (0, a, 0). } Así, o espazo afín normal é o plano de ecuación x
a. {\displaystyle x
a. } Do mesmo xeito, se b ≠ 0, {\displaystyle b\neq 0, } o plano normal en ( 0, b, 0 ) {\displaystyle (0, b, 0)} é o plano da ecuación y
b. {\displaystyle y
b. } No punto ( 0, 0, 0 ) {\displaystyle (0, 0, 0)} as filas da matriz jacobiana son ( 0, 0, 1 ) {\displaystyle (0, 0, 1)} e ( 0, 0, 0 ). {\displaystyle (0, 0, 0). } Así, o espazo vectorial normal e o espazo afín normal teñen dimensión 1 e o espazo afín normal é o eixo z {\displaystyle z}.