proxectonos/corpus_dominio_cientifico huggingface dataset:
Teorema da incompletude de Gödel

Os dous Teoremas da incompletude foron demostrados por Kurt Gödel en 1931. Primeiro teorema
O primeiro teorema da incompletitude, un dos mais loubados resultados da lóxica matemática, afirma dunha forma simplificada: En calquera formalismo matemático consistente suficientemente robusto para definir os conceptos de números naturais (da aritmética), existirá a posibilidade de formar unha afirmación indecidible, ou sexa, que non poida ser demostrada como verdadeira ou falsa.
Dun xeito mais formal, Gödel postulouno inicialmente como: Para calquera teoría formal na que se poden demostrar uns feitos aritméticos básicos, é posible construír unha afirmación aritmética na que, se a teoría é omega-consistente, é verdade, mais non é demostrable ou refutable nesa teoría.
Aquí, "teoría" significa un conxunto de afirmacións pechadas baixo unhas certas regras de inferencia lóxica. A teoría é consistente se non contén contradicións.
Omega-consistente é un termo técnico, mais estrito do que "consistente" a secas. Segundo teorema
O segundo teorema da incompletude de Gödel, é consecuencia do primeiro, é demostrado por formalización do propio primeiro teorema en si, e enunciase como: Ningún sistema consistente se pode utilizar para demostrar a súa propia consistencia.
Dun xeito mais formal, Gödel demostra que: Para calquera teoría formal T na que os feitos aritméticos básicos son demostrables, T demostra a súa propia consistencia se e soamente se T é inconsistente.
Hai unha sutileza técnica no segundo teorema: ata que punto de exactitude imos expresar a consistencia de T na propia linguaxe T. Hai moitos camiños para facelo, e non todos eles levan ao mesmo resultado. En particular, diferentes formalizacións da afirmación de que T é consistente pode ser inequivalente en T, e algúns poden incluso ser demostrables. Consecuencias
A seguinte reescritura do segundo teorema é perturbadora para os fundamentos das matemáticas: Se para un sistema axiomático se pode demostrar, baseándose nel mesmo, que é consistente e completo, entón é inconsistente.
O resultado xeral dos dous teoremas foi devastador para unha abordaxe filosófica da matemática coñecida como Programa de Hilbert. David Hilbert propuxo que a consistencia dos sistemas máis complexos, como análise real, poderían ser probados en termos de sistemas máis simples. Así, a consistencia de toda a matemática sería reducida á aritmética básica. O segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a aritmética básica non pode ser usada para probar a súa propia consistencia, e polo tanto non pode ser usada para probar a consistencia de nada máis forte.
Interpretacións simples
O teorema de Gödel é quizais o máis sorprendente e comentado resultado matemático do século XX. De seguro, é o máis incomprendido e un dos únicos teoremas que se presta a acaloradas discusións filosóficas. O ser humano nunca poderá chegar a comprenderse a si mesmo por unha vía racional (dedución discutible, proposta polo autor desta páxina).
Unha explicación xamais chega a ser totalmente autoexplicativa.
Teorema das catro cores

O teorema das catro cores é un teorema de formulación e conceptualización simple, mais de demostración extremadamente complexa. A súa formulación é a seguinte: Dado un mapa plano, dividido en rexións, chegan catro cores para colorealo, de forma que rexións veciñas non partillen a mesma cor.
É necesario precisar un pequeno detalle: as rexións que só se tocan nun punto non se consideran veciñas. Sen esta condición, o teorema demostrouse pola primeira vez en 1976 por Appel e Haken, utilizando un computador IBM 360. En 1994 produciuse unha proba simplificada por Paul Seymour, Neil Robertson, Daniel Sanders e Robin Thomas, mais continúa a ser imposíbel demostrar o teorema sen recorrer a un computador.
A aplicación pode ser un mapa político de rexións e/ou países; as rexións pódense colorear, usando non máis de catro cores, sen que fiquen dúas rexións que se topan coa mesma cor. Cada rexión debe ser contigua, é dicir, non debe ter exclaves, tales como países como Angola, Azerbaidján ou os Estados Unidos de América.
Normalmente tres cores non chegan; este é o caso de se poñemos nun mapa unha rexión rodeada por outras tres rexións (aínda que para un número par de países circundantes tres cores cheguen) e tampouco é difícil de probar que abondan con cinco cores para pintar o mapa. Importancia
O teorema das catro cores foi o primeiro teorema importante que se demostrou coa axuda dun computador, o que fixo que a demostración non se aceptase por todos os matemáticos debido a que non é factible para un ser humano verificar a demostración a man. No extremo, para crer nesa demostración, hai que ter fe na corrección do compilador e do hardware que executa o programa informático usado para probalo. Pola mesma razón, esta demostración por computador foi vista como pouco elegante.
En canto ao seu posíbel uso en cartografía, aínda que o teorema foi descuberto no proceso de colorear un mapa real, é moi raramente usado na práctica en cartografía, pois non parece haber tendencia a minimizar o número de cores usadas. A maioría dos mapas usan máis de catro cores. Ademais das rexións políticas con zonas non contiguas, os mares e lagos acostuman pórse nunha cor específica, co cal, se hai varios lagos ou mares, o teorema xa non se aplica como tal.
Teorema de Abel-Ruffini

O teorema de Abel-Ruffini di que no caso de ecuacións polinómicas de grao superior ou igual ao quinto, é dicir, ecuacións da forma: x n + c n − 1 x n − 1 + ⋯ + c 1 x + c 0
0 {\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}
0} onde n ≧ 5 {\displaystyle n\geqq 5}, é imposible atopar unha fórmula xeral que permita calcular as raíces da ecuación a partir dos seus coeficientes cun número finito de operacións aritméticas e radicais (sumas, restas, multiplicacións, divisións e raíces).
O teorema non indica que estas ecuacións non teñan solución. De feito, tal e como establece o teorema fundamental da álxebra, toda ecuación polinómica de grao n ten unha solución para o conxunto de números complexos.
O teorema tampouco indica que non se poidan atopar solucións. Hai métodos que permiten atopalos con infinitas operacións como o método de Newton. Tamén hai métodos que permiten atopar as solucións engadindo outras operacións. Por exemplo, as ecuacións de quinto grao pódense resolver cos radicais de Bring.
Tampouco di que esta imposibilidade se produza en todos os casos. Hai casos particulares de ecuacións de grao igual e superior a 5 que se poden resolver cun número finito de sumas, restas, multiplicacións, divisións e raíces. Por exemplo a ecuación: x n + c 0
0 {\displaystyle x^{n}+c_{0}
0} Acepta como solucións as raíces: x
− c 0 n {\displaystyle x
{\sqrt[{n}]{-c_{0}}}} A teoría de Galois proporciona os medios para determinar en que casos unha ecuación de grao cinco ou superior admite tal solución. Historia
Durante séculos, os matemáticos buscaron unha fórmula xeral para resolver ecuacións polinómicas de grao superior ao cuarto, similar ás fórmulas existentes para as ecuacións cadráticas, cúbicas e de cuarto grao. O teorema de Abel-Ruffini, demostrado independentemente por Paolo Ruffini en 1799 e Niels Henrik Abel en 1824 demostrou que tal fórmula xeral non existe para graos superiores a catro. O teorema de Abel-Ruffini motivou o desenvolvemento de outras áreas da matemática, como a teoría de Galois, que ofrece unha comprensión máis profunda das solucións das ecuacións polinómicas.
Teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether

Na teoría alxébrica de números, o teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether afirma que unha álxebra simple central sobre un corpo numérico alxébrico K que se separa (split) para todo completamento K v é unha álxebra matricial sobre K. O teorema é un exemplo do principio local-global na teoría alxébrica de números e conduce a unha descrición completa das álxebras de división de dimensións finitas sobre corpos numéricos alxébricos en termos das súas invariantes locais. Foi probado independentemente por Richard Brauer, Helmut Hasse e Emmy Noether e por Abraham Adrian Albert. Enunciado do teorema
Sexa A unha álxebra simple central de rango d sobre un corpo numérico alxébrico K. Supoña que para calquera valoración v, A sepárase no corpo local correspondente K v: A ⊗ K K v ≃ M d ( K v ). {\displaystyle A\otimes _{K}K_{v}\simeq M_{d}(K_{v}). } Daquela A é isomorfo á álxebra matricial Md (K). Aplicacións
Usando a teoría do grupo de Brauer, móstrase que dúas álxebras simples centrais A e B sobre un corpo numérico alxébrico K son isomórficas sobre K se e só se os seus completamentos Av e Bv son isomórficos sobre a completamento Kv para cada v.
Xunto co teorema de Grunwald–Wang, o teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether implica que toda álxebra simple central sobre un corpo numérico alxébrico é cíclica, é dicir, pódese obter mediante unha construción explícita a partir dunha extensión de corpo cíclico L / K.
Teorema de Bayes

En probabilidade e estatística, o Teorema de Bayes (tamén coñecido como Regra de Bayes ou Fórmula de Bayes) é un resultado que evidencia a importancia das probabilidades condicionadas. É de interese para a ciencia en todas as súas ramas, xa que permite a comprensión da probabilidade de aspectos causais unha vez observados os seus efectos. Derívase dos axiomas de probabilidade. Formulación
A regra de Bayes relaciona as probabilidades totais P ( A ) {\displaystyle P(A)} e P ( B ) {\displaystyle P(B)} de dous sucesos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} e as probabilidades condicionadas P ( A | B ) {\displaystyle P(A|B)} e P ( B | A ) {\displaystyle P(B|A)} de A {\displaystyle A} dado B {\displaystyle B} e viceversa.
Formalmente, representase como: P ( A | B )
P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) ⋅ {\displaystyle P(A|B)
{\frac {P(B|A)\, P(A)}{P(B)}}\cdot \, } Historia
O teorema de Bayes debe o seu nome ao Reverendo Thomas Bayes (1701–1761), que foi o primeiro en mostrar como usar novas evidencias para modificar crenzas. A formulación moderna débese a Pierre Simon Laplace, que o publicou en 1812 na súa obra Théorie analytique des probabilités.
Teorema de Bombieri-Vinogradov

O teorema de Bombieri-Vinogradov é un resultado importante na teoría analítica dos números, obtido a mediados dos anos 60, relativo á distribución dos números primos en progresións aritméticas, promediadas nun rango de módulos. O primeiro resultado deste tipo foi obtido por Mark Barban en 1961 e o teorema de Bombieri-Vinogradov é un perfeccionamento do resultado de Barban. O teorema de Bombieri-Vinogradov recibe o seu nome de Enrico Bombieri e A. I. Vinogradov, ,
que publicaron nun tema relacionado, a hipótese da densidade, en 1965.
Este resultado é unha aplicación importante do método da criba grande, que se desenvolveu rapidamente a comezos da década de 1960, desde os seus inicios no traballo de Yuri Linnik dúas décadas antes. Ademais de Bombieri, Klaus Roth traballaba nesta área. A finais dos anos 60 e principios dos 70, Patrick X. Gallagher simplificou moitos dos ingredientes e estimacións clave. Enunciado do teorema de Bombieri-Vinogradov
Sexan x {\displaystyle x} e Q {\displaystyle Q} dous números reais positivos calquera tal que x 1 / 2 log − A ⁡ x ≤ Q ≤ x 1 / 2. {\displaystyle x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}. } Daquela ∑ q ≤ Q max y ≤ x max 1 ≤ a ≤ q ( a, q )
1 | ψ ( y; q, a ) − y φ ( q ) |
O ( x 1 / 2 Q ( log ⁡ x ) 5 ). {\displaystyle \sum _{q\leq Q}\max _{y\leq x}\max _{1\leq a\leq q \atop (a, q)
1}\left|\psi (y; q, a)-{y \over \varphi (q)}\right|
O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\! .} Aquí φ ( q ) {\displaystyle \varphi (q)} é a función totiente de Euler, que é o número de sumandos para o módulo q, e ψ ( x; q, a )
∑ n ≤ x n ≡ a mod q Λ ( n ), {\displaystyle \psi (x; q, a)
\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\bmod {q}}}\Lambda (n), } onde Λ {\displaystyle \Lambda } denota a función de von Mangoldt.
Unha descrición verbal deste resultado sería que dá un valor para o termo de erro no teorema dos números primos para progresións aritméticas, promediados sobre os módulos q ata Q. Para un certo rango de Q, que está ao redor de x {\displaystyle {\sqrt {x}}} se non consideramos os factores logarítmicos. O erro promediado é case tan pequeno como x {\displaystyle {\sqrt {x}}}. Isto non é obvio, e sen consedirar o valor mediado sería tan importante como a hipótese de Riemann xeneralizada (GRH).
Teorema de Brun-Titchmarsh

Na teoría analítica de números, o teorema de Brun-Titchmarsh, que recibe o nome de Viggo Brun e Edward Charles Titchmarsh, é un límite superior da distribución dos números primos en progresión aritmética. Enunciado
Sexa π ( x; q, a ) {\displaystyle \pi (x; q, a)} a función que conta o número de primos p congruentes cun módulo q con p ≤ x. Entón π ( x; q, a ) ≤ 2 x φ ( q ) log ⁡ ( x / q ) {\displaystyle \pi (x; q, a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}} para todos os q < x. Historia
O resultado probouse por métodos de cribo por Montgomery e Vaughan; un resultado anterior de Brun e Titchmarsh obtivo unha versión máis feble desta desigualdade cun factor multiplicativo adicional de 1 + o ( 1 ) {\displaystyle 1+o(1)}. Melloras
Se q é relativamente pequeno, por exemplo, q ≤ x 9 / 20 {\displaystyle q\leq x^{9/20}}, daquela existe un límite mellor: π ( x; q, a ) ≤ ( 2 + o ( 1 ) ) x φ ( q ) log ⁡ ( x / q 3 / 8 ) {\displaystyle \pi (x; q, a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}} Este resultado débese a Y. Motohashi (1973). Utilizou unha estrutura bilineal no termo de erro no cribo de Selberg, descuberta por el mesmo. Comparación co teorema de Dirichlet
Pola contra, o teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas dá un resultado asintótico, que pode expresarse na forma π ( x; q, a )
x φ ( q ) log ⁡ ( x ) ( 1 + O ( 1 log ⁡ x ) ) {\displaystyle \pi (x; q, a)
{\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)} pero só se pode demostrar que se cumpre para o rango máis restrinxido q < (log x ) c para a constante c: este é o teorema de Siegel-Walfisz.
Teorema de Cantor

O teorema de Cantor é un resultado formalizable na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel, que afirma o seguinte: Discusión
O teorema de Cantor é obvio para conxuntos finitos: se un conxunto finito ten n elementos entón o conxunto de partes dese conxunto ten 2n elementos. O feito de que sexa válido para todo conxunto infinito non é de todo intuitivo, pero permite establecer varios resultados interesantes: Existe unha infinidade de cardinais transfinitos, o que significa que en realidade existen moitos tipos de infinito (de feito unha infinidade), cada un maior que o anterior. Este resultado a priori é moi pouco intuitivo, pero tremendamente importante na fundamentación das matemáticas.
Non existe ningún xeito de enumerar todos os subconxuntos de N {\displaystyle \mathbb {N} }.
Para ilustrar a validez deste teorema para conxuntos infinitos reprodúcese a continuación unha demostración. Demostración
Considérese unha función calquera f: A → P ( A ) {\displaystyle f: A\to {\mathcal {P}}(A)}; demostrar o teorema de Cantor require probar que f {\displaystyle f} non é sobrexectiva e para probar que f {\displaystyle f} non é sobrexectiva abonda con atopar un subconxunto de A {\displaystyle A} que non sexa a imaxe de ningún elemento de A {\displaystyle A} a través de f {\displaystyle f}.
Cantor considerou un subconxunto particular B {\displaystyle B} definido como: B
{ x ∈ A: x ∉ f ( x ) } {\displaystyle B
\left\{\, x\in A: x\not \in f(x)\, \right\}} e probou que ese subconxunto non pode ser a imaxe de ningún elemento de A {\displaystyle A}.
O argumento que construíu Cantor é por redución ao absurdo presupondo que existe a ∈ A: B
f ( a ) {\displaystyle a\in A: B
f(a)}, posto que B {\displaystyle B} é un subconxunto de A {\displaystyle A}. Entón pódense distinguir dous casos: Se a ∈ B {\displaystyle a\in B}, entón pola definición de B {\displaystyle B} tense que a ∉ B {\displaystyle a\notin B}, o que é contraditorio.
Se a ∉ B {\displaystyle a\notin B}, entón pola definición de B {\displaystyle B} tense que a ∈ B {\displaystyle a\in B}, o que é contraditorio.
En ambos os casos chégase a unha contradición, e polo tanto non existe esa a {\displaystyle a} e entón f {\displaystyle f} (que é unha función calquera) non é sobrexectiva, como se quería demostrar.
Teorema de Carmichael

Na teoría de números, o teorema de Carmichael, nomeado após o matemático americano R. D. Carmichael, establece que, para calquera sucesión de Lucas non dexenerada da primeira clase U n ( P, Q ) {\displaystyle U_{n}(P, Q)}, con parámetros relativamente primos P, Q e discriminante positivo, un elemento U n {\displaystyle U_{n}} con n ≠ 1, 2, 6 {\displaystyle n\neq 1, 2, 6} ten polo menos un divisor primo que non divide ningún anterior, excepto o 12º número de Fibonacci F ( 12 )
U 12 ( 1, − 1 )
144 {\displaystyle F(12)
U_{12}(1, -1)
144} e o seu equivalente F ( 12 )
U 12 ( − 1, − 1 )
144 {\displaystyle F(12)
U_{12}(-1, -1)
144}.
En particular, para n máis grande que 12, o n-ésimo número de Fibonacci F(n) ten polo menos un divisor primo que non divide ningún número de Fibonacci anterior.
Carmichael (1913, Teorema 21) probou este teorema. Recentemente, Yabuta (2001) deu unha proba sinxela. Bilu, Hanrot, Voutier e Mignotte (2001) estendérono ao caso de discriminante negativo (onde é certo para todo n > 30).
Teorema de Ceva

Na xeometría euclidiana, o teorema de Ceva é un resultado sobre os triángulos. Dado un triángulo △ABC, considéranse as rectas AO, BO, CO trazadas desde os vértices ata un punto común O (que non pertence a ningún dos lados de △ABC), de modo que cortan os lados opostos en D, E, F, respectivamente. (Os segmentos AD, BE, CF chámanse cevianas). Entón, empregando lonxitudes con signo dos segmentos: A F ¯ F B ¯ ⋅ B D ¯ D C ¯ ⋅ C E ¯ E A ¯
1. {\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}
1. } (a lonxitude XY considérase positiva ou negativa segundo que X estea á esquerda ou á dereita de Y, segundo unha orientación fixa da recta. Por exemplo, AF / FB é positiva se F está entre A e B, e negativa no caso contrario).
O teorema de Ceva pertence á xeometría afín, no sentido de que pode formularse e demostrarse sen empregar os conceptos de ángulos, áreas ou lonxitudes (agás para cocientes de lonxitudes de segmentos colineais). Por tanto, é válido para triángulos en calquera plano afín sobre calquera corpo.
Tamén é certa unha versión recíproca lixeiramente adaptada: se os puntos D, E, F se escollen sobre BC, AC, AB, respectivamente, de modo que A F ¯ F B ¯ ⋅ B D ¯ D C ¯ ⋅ C E ¯ E A ¯
1, {\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}
1, } entón as rectas AD, BE, CF son concorrentes, ou ben todas son paralelas. Esta recíproca adoita incluírse como parte do teorema.
O teorema atribúese habitualmente a Giovanni Ceva, que o publicou no seu traballo de 1678, De lineis rectis. Porén, xa fora demostrado moito antes por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, rei de Zaragoza no século XI. As figuras asociadas dan lugar a varios termos derivados do nome de Ceva: ceviana (as rectas AD, BE, CF son as cevianas de O), triángulo ceviano (o triángulo △DEF é o triángulo ceviano de O); nacemento de cevianas, triángulo anticeviano, conxugado de Ceva. (Ceva pronúnciase /chéiva/; ceviana pronúnciase /cheviána/).
O teorema é moi semellante ao teorema de Menelao, pois as súas expresións difiren só no signo. Ao reescribilos en termos de razóns cruzadas, vese que son duais proxectivos.
Teorema de Desargues

En xeometría proxectiva, o teorema de Desargues, chamado así en honra ao xeómetra e arquitecto francés Gérard Desargues (1591-1661) que o enunciou en 1638, expón: Considere os triángulos ABC e DEF. Que os triángulos sexan proxectivos desde un punto significa que as rectas AD, BE e CF concorren nun mesmo punto O. De modo parecido, que os triángulos sexan proxectivos desde unha recta significa que os pares de lados (AB, DE), (BC, EF) e (AC, DF) se cortan respectivamente sobre unha mesma recta r.
Ao punto O chámaselle centro de perspectiva e á recta r, eixo de perspectiva.
Teorema de Fermat

Os traballos do matemático do século XVII Pierre de Fermat xeraron moitos teoremas. O teorema de Fermat pode referirse a un dos seguintes teoremas: Último teorema de Fermat, sobre as solucións enteiras de an + bn cn
O pequeno teorema de Fermat, unha propiedade dos números primos.
Teorema de Fermat sobre as sumas de dous cadrados, sobre números primos expresábeis como suma de cadrados.
Teorema de Fermat sobre os puntos estacionarios, sobre os máximos e mínimos locais de funcións diferenciábeis.
Principio de Fermat, sobre o camiño que fai un raio de luz.
Teorema dos números poligonais de Fermat, sobre a expresión de números enteiros como unha suma de números poligonais.
Teorema do triángulo rectángulo de Fermat, sobre os cadrados que non poden expresarse como a diferenza de dúas cuartas potencias. Outros artigos
Pierre de Fermat.
Teorema de Green

En física e matemáticas, o teorema de Green dá a relación entre unha integral de liña sobre unha curva pechada simple C e unha integral dobre sobre a rexión plana D limitada por C. O teorema de Green chámase así polo científico británico George Green e é un caso especial do máis xeral teorema de Stokes. O teorema afirma: Sexa C unha curva pechada simple positivamente orientada, diferenciable a cachos, no plano e sexa D a rexión limitada por C. Se L e M teñen derivadas parciais continuas nunha rexión aberta que contén D, ∫ C + ( L d x + M d y )
∫ ∫ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d A {\displaystyle \int _{C^{+}}(L\, dx+M\, dy)
\int \! \! \! \int _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\, dA} Ás veces, a notación ∮ C + ( L d x + M d y ) {\displaystyle \oint _{C^{+}}(L\, dx+M\, dy)} utilízase para establecer que a integral de liña está calculada usando a orientación positiva (antihoraria) da curva pechada C. Relación co teorema da diverxencia
O teorema de Green é equivalente á seguinte analoxía bidimensional do teorema de Stokes: ∬ D ( ∇ ⋅ F ) d A
∫ C F ⋅ n ^ d s, {\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA
\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} ds, } onde n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } é o vector normal saínte na fronteira. Para ver isto, considere a unidade normal na parte dereita da ecuación. Como d r
⟨ d x, d y ⟩ {\displaystyle d\mathbf {r}
\langle dx, dy\rangle } é un vector apuntando tanxencialmente a través dunha curva, e a curva C está orientada de maneira positiva (é dicir, en contra do sentido das agullas do reloxo) a través da fronteira, un vector normal saínte sería aquel que apunta en 90º cara a dereita, o cal podería ser ⟨ d y, − d x ⟩ {\displaystyle \langle dy, -dx\rangle }. O módulo deste vector é d x 2 + d y 2
d s {\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}
ds}. Polo tanto n ^ d s
⟨ d y, − d x ⟩ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ds
\langle dy, -dx\rangle }.
Tomando as compoñentes de F
⟨ P, Q ⟩ {\displaystyle \mathbf {F}
\langle P, Q\rangle }, o lado dereito convértese en ∫ C F ⋅ n d s
∫ C ( P d y − Q d x ) {\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ds
\int _{C}(Pdy-Qdx)} que por medio do teorema de Green resulta: ∫ C ( − Q d x + P d y )
∬ D ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y ) d A
∬ D ( ∇ ⋅ F ) d A {\displaystyle \int _{C}(-Qdx+Pdy)
\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\, dA
\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA}
Teorema de Krull

En matemáticas, e máis concretamente na teoría de aneis, o teorema de Krull, que recibe o nome de Wolfgang Krull, afirma que un anel distinto de cero ten polo menos un ideal maximal. O teorema foi probado en 1929 por Krull, quen utilizou a indución transfinita. O teorema admite unha demostración sinxela usando o lema de Zorn, e de feito é equivalente ao lema de Zorn, que á súa vez é equivalente ao axioma de escolla. Variantes
Para aneis non conmutativos, tamén se cumpre para os análogos ideais maximais pola esquerda e ideais maximais pola dereita.
Para pseudo-aneis, o teorema vale para ideais regulares.
Un resultado aparentemente un pouco máis forte (mais equivalente), que se pode demostrar de forma similar, é o seguinte:
Sexa R un anel, e sexa I un ideal propio de R. Entón hai un ideal maximal de R que contén a I.
Teorema de Kummer

En matemáticas, o teorema de Kummer é unha fórmula para calcular o expoñente da maior potencia dun número primo p que divide un coeficiente binomial dado. Noutras palabras, dá a valoración p-ádica dun coeficiente binomial. O teorema recibe o nome de Ernst Kummer, quen o demostrou nun artigo (Kummer 1852). Teorema
O teorema de Kummer afirma que para os números enteiros dados n ≥ m ≥ 0 e un número primo p, a valoración p-ádica ν p ( n m ) {\displaystyle \nu _{p}\! {\tbinom {n}{m}}} do coeficiente binomial ( n m ) {\displaystyle {\tbinom {n}{m}}} é igual ao número de carrexos cando se suma m {\displaystyle m} a m − n {\displaystyle m-n} en base p.
Unha forma equivalente do teorema é a seguinte:
Escribamos a expansión en base p {\displaystyle p} do número enteiro n {\displaystyle n} como n
n 0 + n 1 p + n 2 p 2 + ⋯ + n r p r {\displaystyle n
n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}, e definamos S p ( n ):
n 0 + n 1 + ⋯ + n r {\displaystyle S_{p}(n):
n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}} como a suma dos díxitos en base p {\displaystyle p}, entón ν p ( n m )
S p ( m ) + S p ( n − m ) − S p ( n ) p − 1. {\displaystyle \nu _{p}\! {\binom {n}{m}}
{\dfrac {S_{p}(m)+S_{p}(n-m)-S_{p}(n)}{p-1}}. } O teorema pódese demostrar escribindo ( n m ) {\displaystyle {\tbinom {n}{m}}} como n! m! ( n − m )! {\displaystyle {\tfrac {n! }{m! (n-m)! }}} e usando a fórmula de Legendre.
Exemplos
Para calcular a maior potencia de 2 que divide o coeficiente binomial ( 103 ) {\displaystyle {\tbinom {10}{3}}} escribimos m
3 e n − m
7 na base p
2 como 3
112 e 7
1112. Realizamos a suma 112 + 1112
10102 na base 2 require tres acarreos: Polo tanto a maior potencia de 2 que divide ( 103 )
120
23 ⋅ 15 {\displaystyle {\tbinom {10}{3}}
120
2^{3}\cdot 15} é 3.
Alternativamente, pódese usar a forma que inclúe sumas de díxitos. As sumas dos díxitos de 3, 7 e 10 na base 2 son S 2 ( 3 )
1 + 1
2 {\displaystyle S_{2}(3)
1+1
2}, S 2 ( 7 )
1 + 1 + 1
3 {\displaystyle S_{2}(7)
1+1+1
3}, e S 2 ( 10 )
1 + 0 + 1 + 0
2 {\displaystyle S_{2}(10)
1+0+1+0
2} respectivamente, daquela ν 2 ( 103 )
S 2 ( 3 ) + S 2 ( 7 ) − S 2 ( 10 ) 2 − 1
2 + 3 − 22 − 1
3. {\displaystyle \nu _{2}\! {\binom {10}{3}}
{\dfrac {S_{2}(3)+S_{2}(7)-S_{2}(10)}{2-1}}
{\dfrac {2+3-2}{2-1}}
3. } Xeneralización para coeficientes multinomiais
O teorema de Kummer pódese xeneralizar a coeficientes multinomiais ( n m 1, …, m k )
n! m 1! ⋯ m k! {\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1}, \ldots, m_{k}}}
{\tfrac {n! }{m_{1}! \cdots m_{k}! }}} como segue: ν p ( n m 1, …, m k )
1 p − 1 ( − S p ( n ) + ∑ i
1 k S p ( m i ) ). {\displaystyle \nu _{p}\! {\binom {n}{m_{1}, \ldots, m_{k}}}
{\dfrac {1}{p-1}}\left(-S_{p}(n)+\sum _{i
1}^{k}S_{p}(m_{i})\right). }
Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

No campo matemático da teoría de grupos, o teorema de Lagrange afirma que se H é un subgrupo de calquera grupo finito G, entón | H | {\displaystyle |H|} é un divisor de | G | {\displaystyle |G|}, é dicir, a orde (número de elementos) de cada subgrupo H divide a orde do grupo G.
O teorema recibe o nome de Joseph-Louis Lagrange. A seguinte variante indica que para un subgrupo H {\displaystyle H} dun grupo finito G {\displaystyle G}, non só é | G | / | H | {\displaystyle |G|/|H|} un enteiro, tamén o seu valor é o índice [ G: H ] {\displaystyle [G: H]}, definido como o número de coclases esquerdas de H {\displaystyle H} en G {\displaystyle G}. Esta variante cúmprese aínda que G {\displaystyle G} sexa infinito, sempre que se interpreten | G | {\displaystyle |G|}, | H | {\displaystyle |H|}, e [ G: H ] {\displaystyle [G: H]} como números cardinais. Proba
As coclases esquerdas de H en G son as clases de equivalencia dunha determinada relación de equivalencia en G: concretamente, chamemos a x e y en G como equivalentes se existe h en H tal que x
yh. Polo tanto, o conxunto de coclases esquerdas forma unha partición de G. Cada clase esquerda aH ten a mesma cardinalidade que H porque x ↦ a x {\displaystyle x\mapsto ax} define unha bixección H → a H {\displaystyle H\to aH} (o inverso é y ↦ a − 1 y {\displaystyle y\mapsto a^{-1}y} ). O número de coclases esquerdas é o índice [G: H]. Polas tres relacións anteriores temos, | G |
[ G: H ] ⋅ | H |. {\displaystyle \left|G\right| \left[G: H\right]\cdot \left|H\right|. } Aplicacións
Unha consecuencia do teorema é que a orde de calquera elemento a dun grupo finito (é dicir, o menor número enteiro positivo k con ak
e, onde e é o elemento identidade do grupo) divide a orde dese grupo, xa que a orde de a é igual á orde do subgrupo cíclico xerado por a Se o grupo ten n elementos, dedúcese que a n
e. {\displaystyle \displaystyle a^{n} e{\mbox{. }}} O teorema tamén mostra que calquera grupo de orde primo é cíclico e simple, xa que o subgrupo xerado por calquera elemento non identidade debe ser o propio grupo enteiro. Existencia de subgrupos de orde dada
O teorema de Lagrange suscita a pregunta inversa de se cada divisor da orde dun grupo é a orde dalgún subgrupo. Isto en xeral non se cumpre: dado un grupo finito G e un divisor d de | G |, non necesariamente existe un subgrupo de G con orde d. O exemplo máis pequeno é A4 (o grupo alternante de grao 4), que ten 12 elementos mais ningún subgrupo de orde 6.
Hai recíprocos parciais do teorema de Lagrange. Para os grupos xerais, o teorema de Cauchy garante a existencia dun elemento, e polo tanto dun subgrupo cíclico, de orde calquera primo que divide a orde do grupo. O teorema de Sylow estende isto á existencia dun subgrupo de orde igual á potencia máxima de calquera primo que divide a orde do grupo. Para os grupos resolúbeis, os teoremas de Hall afirman a existencia dun subgrupo de orde igual a calquera divisor unitario da orde do grupo (é dicir, un divisor coprimo do seu cofactor).
Teorema de Lucas

En teoría de números, o teorema de Lucas expresa o resto da división do coeficiente binomial ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}} por un número primo p en función da expansión en base p dos enteiros m e n. Teorema
Para os enteiros non negativos m e n e un primo p, cúmprese a seguinte relación de congruencia: ( m n ) ≡ ∏ i
0 k ( m i n i ) ( mod p ), {\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i
0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}}, } onde m
m k p k + m k − 1 p k − 1 + ⋯ + m 1 p + m 0, {\displaystyle m
m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0}, } n
n k p k + n k − 1 p k − 1 + ⋯ + n 1 p + n 0 {\displaystyle n
n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}} son as expansións en base p de m e n respectivamente. Utilizando a convención ( m n )
0 {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}
0} se m < n. Consecuencias
Un coeficiente binomial ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}} é divisible por un primo p se e só se polo menos un dos díxitos en base p de n é maior que o correspondente de m.
En particular, ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}} é impar se e só se os díxitos binarios (bits) na expansión binaria de n son un subconxunto dos bits de m. Variacións e xeneralizacións
O teorema de Kummer afirma que o maior enteiro k tal que pk divide o coeficiente binomial ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}} (ou noutras palabras, a valoración do coeficiente binomial con respecto ao primo p) é igual ao número de carrexos que se producen cando sumamos n e m − n en base p.
Davis e Webb (1990) e Granville (1997) ofrecen xeneralizacións do teorema de Lucas para o caso de que p sexa unha potencia prima.
O teorema de q-Lucas é unha xeneralización para os coeficientes q-binomiais, probado por primeira vez por J. Désarménien.
Teorema de Ostrowski

En matemáticas, o teorema de Ostrowski é un teorema da teoría de números demostrado en 1916 por Alexander Ostrowski, segundo o cal calquera valor absoluto non trivial no corpo ℚ dos racionais é equivalente ao valor absoluto habitual ou ao dos valores absolutos p-ádicos. De forma máis precisa e máis xeral, o teorema de Ostrowski afirma que os únicos valores absolutos non ultramétricos nun corpo K son (se os hai) as aplicacións da forma x ↦ |f (x)| c, onde f é un mergullo de K no corpo dos complexos, e 0 < c ≤ 1. Daquela os valores absolutos ultramétricos en K son os inducidos por unha valoración real, e para K ℚ as valoracións reais son as valoracións p-ádicas. Valor absoluto
Sexa K un corpo. Un valor absoluto en K é unha aplicación | ∙ | de K no conxunto dos números reais positivos, que verifica: ∀ x ∈ K, | x |
0 ⟺ x
0; {\displaystyle \forall x\in K, \ |x|
0\Longleftrightarrow x
0~; } ∀ ( x, y ) ∈ K 2, | x × y |
| x | × | y |; {\displaystyle \forall (x, y)\in K^{2}, \ |x\times y|
|x|\times |y|~; } ∀ ( x, y ) ∈ K 2, | x + y | ≤ | x | + | y |. {\displaystyle \forall (x, y)\in K^{2}, \ |x+y|\leq |x|+|y|. } A aplicación (x, y) ↦ |y – x| é entón unha distancia en K.
Se o valor absoluto cumpre a condición ∀ ( x, y ) ∈ K 2, | x + y | ≤ max ( | x |, | y | ), {\displaystyle \forall (x, y)\in K^{2}, \ |x+y|\leq \max(|x|, |y|), } máis forte que a condición 3, entón o valor absoluto chámase ultramétrico.
Valor absoluto trivial
O valor absoluto trivial | ∙ |0 nun corpo defínese por | x | 0
{ 0 si x
01 se x ≠ 0. {\displaystyle |x|_{0}
{\begin{cases}0&{\text{si }}x
0\\1&{\text{se }}x\neq 0. \end{cases}}}
Valor absoluto habitual
O valor absoluto habitual | ∙ | ∞ en ℚ defínese por | x | ∞
{ x si x ≥ 0 − x si x < 0. {\displaystyle |x|_{\infty }
{\begin{cases}x&{\text{si }}x\geq 0\\-x&{\text{si }}x<0. \end{cases}}}
Valor absoluto p-ádico
Para un número primo fixo p, calquera x racional distinto de cero pode escribirse de forma única na forma x
p n a b {\displaystyle x
p^{n}{\frac {a}{b}}} onde n {\displaystyle n}, a {\displaystyle a} son enteiros, b {\displaystyle b} é un enteiro estritamente positivo tal que a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} son primos entre si, e p {\displaystyle p} non divide a {\displaystyle a} nin b {\displaystyle b}.
O enteiro n é a valoración p-ádica de x. O valor absoluto p-ádico |∙|p en ℚ defínese entón por: | x | p
{ 0 si x
0 p − n si x ≠ 0. {\displaystyle |x|_{p}
{\begin{cases}0&{\text{si }}x
0\\p^{-n}&{\text{si }}x\neq 0. \end{cases}}}.
Este valor absoluto é ultramétrico ultramétrico.
Valores absolutos equivalentes
Dous valores absolutos nun corpo K dise que son equivalentes cando as distancias asociadas son topoloxicamente equivalentes. Son logo potencias uns dos outros cun expoñente estritamente positivo. Completamentos do corpo dos números racionais
O teorema de Ostrowski mostra que só hai dous tipos de complementos do corpo ℚ. Se tomamos un valor absoluto equivalente ao valor absoluto habitual, construiremos un corpo isomorfo a ℝ. Se completamos o corpo ℚ cun valor absoluto p-ádico, obtemos corpos completos moi diferentes ao dos reais: corpos p-ádicos. Isto abre as portas á análise p-ádica.
Teorema de Pappus-Guldin

Teorema do centroide de Pappus, tamén coñecido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin ou teorema de Pappus, é o nome de dous teoremas que relacionan superficies e volumes de sólidos de revolución.
Os teoremas atribúenselles a Pappus de Alexandría e a Paul Guldin. Primeiro teorema
A
s d {\displaystyle A
sd\, } Segundo teorema
V
A d {\displaystyle V
Ad\, }
Teorema de Pascal

No ámbito da xeometría proxectiva, o teorema de Pascal (tamén denominado Hexagrammum Mysticum) establece que: Na súa configuración máis clásica, o teorema adóitase visualizar sobre un hexágono cíclico inscrito nunha elipse (é dicir, cos seus vértices unidos correlativamente na orde en que aparecen ao percorrer a cónica). Con todo, o teorema tamén se cumpre sexa cal for a orde na que se conecten os seis puntos (de acordo co concepto de hexágono arbitrario que se inclúe no enunciado do teorema). De igual forma, verifícase para calquera cónica (como é ben sabido, recta, circunferencia, elipse, parábola ou hipérbole).
Por exemplo, na segunda imaxe represéntase a materialización do teorema nun hexágono auto-intersecante inscrito nunha elipse, no que os puntos da recta de Pascal resultan do corte dos propios lados do polígono, sen necesidade de prolongalos.
Así mesmo, tamén se cumpre no caso de "hexágonos dexenerados", nos que varios vértices poden ser coincidentes entre si (é dicir, con lados de lonxitude cero), na práctica polígonos de 5, 4 ou 3 lados. Nestes casos, os lados substitúense por tanxentes á cónica nos puntos dados. Este teorema é unha xeneralización do teorema do hexágono de Pappus, e é o dual proxectivo do teorema de Brianchon. Foi descuberto por Blaise Pascal en 1639 cando só tiña dezaseis anos. Na figura (Teoremas de Pascal-Brianchon) pode verse unha demostración do teorema utilizando o concepto de inversión e a propiedade de que unha figura é unha recta se e só se a súa inversa é unha circunferencia que pasa polo centro de inversión.
O teorema foi xeneralizado por Möbius en 1847, na seguinte forma: se un polígono con 4n + 2 lados está inscrito nunha sección cónica, e prolongamos os pares de lados opostos ata que se intersecan en 2n + 1 puntos, entón se 2n puntos se achan sobre unha liña común, o punto remanente tamén se atopará situado sobre devandita liña.
Teorema de Pick

Dado un polígono simple construído sobre unha cuadrícula de puntos equidistantes (é dicir, puntos con coordenadas enteiras) de tal xeito que todos os vértices do polígono son puntos da cuadrícula, o teorema de Pick proporciona unha fórmula sinxela para calcular a área A dese polígono en termos do número i de puntos interiores situados no polígono e o número b de puntos límite situados no perímetro do polígono: A
i + b 2 − 1. {\displaystyle A
i+{\frac {b}{2}}-1. } O teorema só é válido para polígonos simples, é dicir, aqueles que consisten nunha única "peza" e non conteñen "buratos".
Foi descrito en alemán a primeira vez polo austríaco Georg Alexander Pick en 1899, e popularizado en inglés por Hugo Steinhaus na edición de 1950 do seu libro Mathematical Snapshots. Ten múltiples demostracións, e pódese xeneralizar a fórmulas para certos tipos de polígonos non simples. Exemplo
O exemplo mostrado na figura superior na introdución, ten i
7 {\displaystyle i
7} puntos interiores e b
8 {\displaystyle b
8} puntos de fronteira, polo que a súa área é A
7 + 82 − 1
10 {\displaystyle A
7+{\tfrac {8}{2}}-1
10} unidades cadradas.
Pódese comprobar con facilidade descompoñendo en 3 triángulos metidos en 3 rectangulos, o que vai desde o punto superior arriba-esquerda estendendo cara a dereita e cara abaixo (ocupa 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} cadrados e por tanto ten por área 92 {\displaystyle {\tfrac {9}{2}}} ), o situado enriba deste estendido unha liña máis pola esquerda (ocupa 4 × 2 {\displaystyle 4\times 2} cadrados e por tanto ten por área 82
4 {\displaystyle {\tfrac {8}{2}}
4} ), o que está na esquerda (ocupa 3 × 1 {\displaystyle 3\times 1} cadrados e por tanto ten por área 32 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}} ), isto fai un total de 92 + 4 + 32
10 {\displaystyle {\frac {9}{2}}+4+{\frac {3}{2}}
10}.
Teorema de Rolle

En matemáticas, o teorema de Rolle, afirma que dada unha función continua f {\displaystyle f} nun intervalo fechado [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} e que sexa diferenciábel en ( a, b ) {\displaystyle (a, b)}, se f ( a )
f ( b ) {\displaystyle f(a)
f(b)} entón existe algún punto c {\displaystyle c} en ( a, b ) {\displaystyle (a, b)} tal que f ′ ( c )
0. {\displaystyle f'(c)
0. \, } Noutras palabras, se unha curva ten un punto inicial e outro final á mesma altura, nalgún punto ten que existir unha tanxente horizontal. Nótese tamén que c {\displaystyle c} será un máximo ou un mínimo e non ten porque ser único. Historia
Atribúese ao matemático indio Bhāskara II (1114–1185) o coñecemento deste teorema. En 1691, Michel Rolle publicou a primeira demostración formal coñecida. En 1834, o alemán Moritz Wilhelm Drobisch e o italiano Giusto Bellavitis en 1846 foron os primeiros en usar o nome de «teorema de Rolle».
Teorema de Roth

En matemáticas, o teorema de Roth ou teorema de Thue-Siegel-Roth é un resultado fundamental na aproximación diofántiana a números alxébricos. É de tipo cualitativo, afirmando que os números alxébricos non poden ter moitas aproximacións racionais que sexan "moi boas". Durante medio século, o significado de moi bo escrito aquí foi refinado por varios matemáticos, comezando por Joseph Liouville en 1844 e continuando co traballo de Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947) e Klaus Roth (1955). Enunciado
O teorema de Roth afirma que todo número alxébrico irracional α {\displaystyle \alpha } ten un expoñente de aproximación igual a 2. Isto significa que, para cada ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}, a desigualdade | α − p q | < 1 q 2 + ε {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}} pode ter só un número finito de solucións en números enteiros primos p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q}. A proba de Roth deste feito resolveu unha conxectura de Siegel. Dedúcese que todo número alxébrico irracional α satisfai | α − p q | > C ( α, ε ) q 2 + ε {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C(\alpha, \varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}} sendo C ( α, ε ) {\displaystyle C(\alpha, \varepsilon )} un número positivo dependendo só de ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} e α {\displaystyle \alpha }.
Teorema de Thévenin

O teorema de Thévenin indica que se unha parte dun circuíto eléctrico está comprendida entre dúas terminais A e B, esta parte en cuestión pode substituírse por un circuíto equivalente constituído unicamente por un xerador de tensión en serie cunha impedancia, de forma que ó conectar un elemento entre os dous terminais A e B, a tensión que cae nel e a intensidade que pasa por el son as mesmas tanto no circuíto real coma no equivalente.
O teorema de Thévenin é o dual do teorema de Norton. Tensión de Thévenin
Ao desconectar a resistencia de carga do circuíto, entre os seus terminais aparece unha diferenza de potencial, sendo esta a tensión de Thévenin. Resistencia (impedancia) de Thévenin
A resistencia de Thévenin é a resistencia que se "ve" dende os terminais A e B da carga cando esta se atopa desconectada do circuíto e tódolos xeradores están anulados. Para anular un xerador, substituímolo por un circuíto cerrado. Se o xerador é de corrente, substitúese por un circuíto aberto.
Para calcular a resistencia Thévenin, temos que observa-lo circuíto, diferenciando dous casos: circuíto só con xeradores independentes (non dependen dos compoñentes do circuíto), ou circuíto con xeradores dependentes.
Para o primeiro caso anulamos os xeradores do sistema, substituíndo os de tensión por un curtocircuíto, e os de corrente por un circuíto aberto. Calculamos a impedancia equivalente debida á asociación de tódalas impedancias do circuíto, sendo esta a resistencia de Thévenin.
Para o segundo caso, anulamos todos os xeradores independentes, pero non os dependentes. Introducimos un xerador de tensión de proba Vproba entre os terminais A e B. Resolvemos o circuíto, e calculamos a intensidade de corrente que circula polo xerador de proba. Teremos que a resistencia Thévenin será: R T H
V p r o b a I p r o b a Ω {\displaystyle R_{TH}
{\frac {V_{\mathrm {proba} }}{I_{\mathrm {proba} }}}\, \, \, \, \Omega }
Teorema de Tolomeo

O teorema de Tolomeo é unha relación en xeometría euclidiana entre os catro lados e as dúas diagonais dun cuadrilátero cíclico. Recibe o seu nome do astrónomo e matemático grego Claudio Tolomeo.
Se un cuadrilátero está dado polos seus catro vértices A, B, C, D, o teorema afirma que: A C ¯ ⋅ B D ¯
A B ¯ ⋅ C D ¯ + B C ¯ ⋅ A D ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}
{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}} Onde a liña sobre as Letras indica a lonxitude dos segmentos entre os vértices correspondentes.
Esta relación pode ser con palabras do seguinte xeito: En todo cuadrilátero inscribible nunha circunferencia, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das súas diagonais. Demostración xeométrica
Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico.
Nótese que no segmento BC, hai os ángulos inscritos ∠BAC
∠BDC, e en AB, ∠ADB
∠ACB.
Agora, por ángulos comúns △ABK é semellante a △DBC, e △ABD ∼ △KBC
Polo tanto AK/AB
CD/BD, e CK/BC
DA/BD,
Polo tanto AK·BD
AB·CD, e CK·BD
BC·DA;
O que implica AK·BD + CK·BD AB·CD +BC·DA
É dicir, (AK+CK)·BD AB·CD + BC·DA;
Como AK+CK
AC, polo tanto AC·BD
AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.
Nótese que a demostración é válida só para cuadriláteros concíclicos simples. Se o cuadrilátero é complexo entón K encontrarase fóra do segmento AC, e polo tanto AK-CK ±AC, tal como se esperaba.
Existe unha xeneralización deste teorema chamado teorema de Casey, que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta.
O teorema de Tolomeo pódese demostrar con métodos de inversión xeométrica con respecto a calquera vértice dun cuadrilátero. Exemplo
Considérese un pentágono regular e a circunferencia circunscrita ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Tolomeo dá neste caso, b 2
a b + a 2. {\displaystyle b^{2}
ab+a^{2}. \ } Dividindo entre a 2 {\displaystyle a^{2}} tense b 2 a 2
1 + b a. {\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}
1+{\frac {b}{a}}. \ } Denotando con φ {\displaystyle \varphi } a razón b/a obtense φ 2
1 + φ {\displaystyle \varphi ^{2}
1+\varphi }, ecuación que coincide coa definición do número áureo. φ
1 + 52 {\displaystyle \varphi
{{1+{\sqrt {5}}} \over 2}}.
Teorema de Weierstrass

En cálculo, o teorema de Weierstrass ou teorema do valor extremo indica que se unha función f {\displaystyle f} é continua no intervalo pechado e limitado [ a, b ] {\displaystyle [a, b]}, entón f {\displaystyle f} debe acadar un máximo e un mínimo, cada un deles polo menos unha vez. É dicir, existen números c {\displaystyle c} e d {\displaystyle d} en [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} tal que: f ( c ) ≥ f ( x ) ≥ f ( d ) ∀ x ∈ [ a, b ] {\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a, b]} O teorema do valor extremo úsase para demostrar o teorema de Rolle. Nunha formulación debida a Karl Weierstrass, este teorema afirma que unha función continua desde un espazo compacto non baleiro ata un subconxunto dos números reais alcanza un máximo e un mínimo. Comparación co teorema da limitación
O teorema de Weierstrass é máis específico que o teorema da limitación, co que está relacionado, este último só indica que unha función continua f {\displaystyle f} no intervalo pechado [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} está limitada nese intervalo; é dicir, existen números reais m {\displaystyle m} e M {\displaystyle M} tal que: m ≤ f ( x ) ≤ M ∀ x ∈ [ a, b ]. {\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a, b]. } Isto non di que M {\displaystyle M} e m {\displaystyle m} sexan necesariamente os valores máximos e mínimos de f {\displaystyle f} no intervalo [ a, b ], {\displaystyle [a, b], } que é o que estipula o teorema de Weierstrass. Historia
O teorema do valor extremo foi probado orixinalmente por Bernard Bolzano na década de 1830 nun traballo Teoría da función, pero o traballo permaneceu inédito ata 1930. A demostración de Bolzano consistiu en mostrar que unha función continua nun intervalo pechado estaba acotada, e despois mostrando que a función alcanzou un valor máximo e un valor mínimo. Ambas as dúas probas implicaron o que hoxe se coñece como Teorema de Bolzano-Weierstrass. Funcións ás que non se aplica o teorema
Os seguintes exemplos mostran por que o dominio da función debe estar pechado e limitado para que se aplique o teorema. Cada un dos exemplos non alcanza un máximo no intervalo indicado. f ( x )
x {\displaystyle f(x)
x} definido sobre [ 0, ∞ ) {\displaystyle [0, \infty )} non está limitado superiormente. f ( x )
x 1 + x {\displaystyle f(x)
{\frac {x}{1+x}}} definido sobre [ 0, ∞ ) {\displaystyle [0, \infty )} está limitado mais non alcanza o seu límite superior mínimo 1 {\displaystyle 1}. f ( x )
1 x {\displaystyle f(x)
{\frac {1}{x}}} definido sobre ( 0, 1 ] {\displaystyle (0, 1]} non está limitado superiormente. f ( x )
1 − x {\displaystyle f(x)
1-x} definido sobre ( 0, 1 ] {\displaystyle (0, 1]} está limitado mais nunca alcanza o seu límite superior mínimo 1 {\displaystyle 1}.
Definir f ( 0 )
0 {\displaystyle f(0)
0} nos dous últimos exemplos mostra que ambos os teoremas requiren continuidade en [ a, b ] {\displaystyle [a, b]}.