Número pentagonal

Un número pentagonal é un número figurado que estende o concepto de cadrados perfectos e números triangulares ao pentágono. Está extensión non é total, o modelo para a construción dos números pentagonais non ten simetrías. O n-ésimo número pentagonal pn é o número de puntos distintos nun modelo de puntos que consiste nos contornos de pentágonos regulares que comparten un vértide de lados de 1 punto ata de lados de n puntos. Por exemplo, o terceiro está formado a partir de contornos que comprenden 1, 5 e 10 puntos, pero o 1 e o 3 dos 5 coinciden con 3 dos 10, deixando 12 puntos distintos, 10 en forma de pentágono e 2 dentro.
pn vén dado pola fórmula: p n
3 n 2 − n 2
( n 1 ) + 3 ( n 2 ) {\displaystyle p_{n}
{\frac {3n^{2}-n}{2}}
{\binom {n}{1}}+3{\binom {n}{2}}} para n ≥ 1. Os primeiros números pentagonais son:
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247. .. (secuencia A000326 na OEIS).
O n-ésimo número pentagonal pódese escribir como a suma dos enteirtos dende n ata 2n-1. Tamén se verifican as seguintes relacións: p n
p n − 1 + 3 n − 2
2 p n − 1 − p n − 2 + 3 {\displaystyle p_{n}
p_{n-1}+3n-2
2p_{n-1}-p_{n-2}+3} Os números pentagonais relaciónanse cos números triangulares, xa que o n-ésimo número pentagonal é un terzo do (3n − 1) número triangular. Ademais, se Tn é o n-ésimo número triangular: p n
T n − 1 + n 2
T n + 2 T n − 1
T 2 n − 1 − T n − 1 {\displaystyle p_{n}
T_{n-1}+n^{2}
T_{n}+2T_{n-1}
T_{2n-1}-T_{n-1}} Os números pentagonais xeneralizados obtéñense da fórmula anterior, cando n toma os valores da seguinte secuencia 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4. .. , producindo a secuencia:
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 22, 21247, 260, 287, 301, 330, 345. .. (secuencia A001318 na OEIS).
Os números pentagonais xeneralizados son de importantancia para a teoría das particións enteiras de Euler, como se expresa no seu teorema dos números pentagonais.
Outra forma de ver os números pentagonais xeneralizados, (cando é -n (valor negativo)) é coller a construción do número pentagonal n+2 e restarlle os puntos do pentágono máis externo. Outras propiedades
p n {\displaystyle p_{n}} para n>0 é o número de combinacións diferentes de n + 8 {\displaystyle n+8} en n partes que non inclúen 2 ou 3. p n {\displaystyle p_{n}} é a suma dos n primeiros números naturais congruentes con 1 mod 3. p 8 n − p 8 n − 1
p 2 n + 2 − p 2 n − 2 {\displaystyle p_{8n}-p_{8n-1}
p_{2n+2}-p_{2n-2}} Probas de números pentagonais
Dado un número enteiro positivo x, para probar se é un número pentagonal (non xeneralizado) podemos calcular n
24 x + 1 + 16. {\displaystyle n
{\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}. } O número x é pentagonal se e só se n é un número natural. Nese caso x é o n-ésimo número pentagonal.
Para os números pentagonais xeneralizados, basta con comprobar se 24x + 1 é un cadrado perfecto.
Para os números pentagonais non xeneralizados, ademais da proba do cadrado perfecto, tamén se require comprobar se 24 x + 1 ≡ 5 mod 6 {\displaystyle {\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6} As propiedades matemáticas dos números pentagonais aseguran que estas probas sexan suficientes para demostrar ou refutar a pentagonalidade dun número. Gnomon
O Gnomon do n-ésimo número pentagonal é: p n + 1 − p n
3 n + 1 {\displaystyle p_{n+1}-p_{n}
3n+1} Números pentagonais cadrados
Un número pentagonal cadrado é un número pentagonal que tamén é un cadrado perfecto. Os primeiros son:
0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 79998122948412869718181861818181834354401, 73756990988431941623299373152801. .. (secuencia A036353 na OEIS).