Multiconxunto

En matemáticas, un multiconxunto ou mset (en inglés: multiset) é unha modificación do concepto de conxunto que, a diferenza deste, permite múltiples instancias para cada un dos seus elementos. O número de aparicións de cada elemento denomínase a súa multiplicidade nese multiconxunto. En consecuencia, existe un número infinito de multiconxuntos que conteñen só os elementos a e b, pero con diferentes multiplicidades. Por exemplo: O multiconxunto {a, b} contén só os elementos a e b, cada un deles cunha multiplicidade de 1.
No multiconxunto {a, a, b}, o elemento a ten unha multiplicidade de 2, namentres a de b é 1.
No multiconxunto {a, a, a, b, b, b}, tanto a como b teñen unha multiplicidade igual a 3.
Malia ser tres multiconxuntos diferentes, de ser considerados como conxuntos serían exactamente o mesmo, posto que teñen os mesmos elementos, a e b. Porén, do mesmo xeito ca nos conxuntos, e en contraste coas tuplas, a orde dos elementos non é relevante. Xa que logo, {a, a, b} e {a, b, a} son dous xeitos diferentes de designar o mesmo multiconxunto. Para distinguir entre conxuntos e multiconxuntos, ás veces emprégase unha notación diferente, con corchetes; é dicir, [a, a, b] no canto de {a, a, b}.
A cardinalidade ou "tamaño" dun multiconxunto é a suma das multiplicidades de todos os seus elementos. Por exemplo, a cardinalidade de {a, a, b, b, b, c} é igual a 6, xa que os seus elementos a, b e c teñen multiplicidades de 2, 3 e 1, respectivamente. Historia
O matemático holandés Nicolaas Govert de Brujin cuñou o termo inglés multiset na década dos 70, segundo Donald Knuth. Porén, o concepto de multiconxunto precede en séculos a aparición desta palabra. O propio Knuth atribúe ao polímata indio Bhāskarāchārya o primeiro estudo coñecido dos multiconxuntos, xa que describiu as permutacións de multiconxuntos cara a 1150. Exemplos
Un dos exemplos máis simples e naturais é o multiconxunto dos factores primos dun número natural n. Aquí o conxunto de elementos subxacente é o conxunto de factores primos de n. Por exemplo, o número 120 ten a descomposición en factores primos 120
233151, {\displaystyle 120
2^{3}3^{1}5^{1}, } que dá o multiconxunto {2, 2, 2, 3, 5}.
Un exemplo relacionado é o multiconxunto de solucións dunha ecuación alxébrica. Unha ecuación cuadrática, por exemplo, ten dúas solucións. No entanto, nalgúns casos ambas as dúas solucións son o mesmo número. Así, o multiconxunto de solucións da ecuación pode ser {3, 5}, ou pode ser {4, 4}. Neste último caso ten unha solución de multiplicidade 2. De xeito máis xeral, o teorema fundamental da álxebra afirma que as solucións complexas dunha ecuación polinómica de grao d sempre forman un multiconxunto de cardinalidade d. Contando multiconxuntos
O número de multiconxuntos de cardinalidade k, con elementos tomados dun conxunto finito de cardinalidade n, ás veces chámase coeficiente multiconxunto ou número multiconxunto. Este número é escrito por algúns autores como ( ( n k ) ) {\displaystyle \textstyle \left(\! \! {n \choose k}\! \! \right)}, unha notación que se quere parecer á dos coeficientes binomiais; utilízase, por exemplo, en (Stanley, 1997), e podería pronunciarse "n sobre múltiple k" para asemellarse a "n sobre k" para ( n k ). {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}. } Do mesmo xeito que na distribución binomial están implicados os coeficientes binomiais existe a distribución binomial negativa na que se producen os coeficientes multiconxunto. Os coeficientes multiconxunto non deben confundirse cos coeficientes multinomiais que aparecen no teorema multinomial e non están relacionados.
O valor dos coeficientes multiconxunto pódese dar explicitamente como ( ( n k ) )
( n + k − 1 k )
( n + k − 1 )! k! ( n − 1 )!
n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( n + k − 1 ) k! , {\displaystyle \left(\! \! {n \choose k}\! \! \right)
{n+k-1 \choose k}
{\frac {(n+k-1)! }{k! \, (n-1)! }}
{n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \over k! }, } onde a segunda expresión é un coeficiente binomial; de feito, moitos autores evitan a notación separada e simplemente escriben coeficientes binomiais. Así, o número de eses multiconxuntos é o mesmo que o número de subconxuntos de cardinalidade k dun conxunto de cardinalidade n + k − 1. A analoxía cos coeficientes binomiais pódese realzar escribindo o numerador na expresión anterior como factorial ascendente ( ( n k ) )
n k ¯ k! , {\displaystyle \left(\! \! {n \choose k}\! \! \right)
{n^{\overline {k}} \over k! }, } e con iso temos unha expresión similar á dos coeficientes binomiais que usan un factorial descendente: ( n k )
n k _ k! . {\displaystyle {n \choose k}
{n^{\underline {k}} \over k! }. }
Exemplos
Co conxunto {1, 2} que ten cardinalidade 2 podemos formar 4 multiconxuntos de cardinalidade 3. Para comprobolo temos ( n
2, k
3 {\displaystyle (n
2, k
3} ), e os conxuntos posíbeis son, {1, 1, 1}, {1, 1, 2}, {1, 2, 2}, {2, 2, 2}.
Botando contas co anterior n + k − 1
3 + 2 − 1
4 {\displaystyle n+k-1
3+2-1
4} podemos comparar o resultado co coeficiente binomial. Serían os subconxuntos de 4 elementos tomados de 3 en 3, por exemplo para o conxunto {1, 2, 3, 4} temos {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} que tamén son 4 elementos.
Unha forma sinxela de probar a igualdade dos coeficientes multiconxuntos e dos coeficientes binomiais indicados anteriormente implica representar os multiconxuntos do seguinte xeito.
Primeiro, considere a notación para multiconxuntos que representarían {a, a, a, a, a, a, b, b, c, c, c, d, d, d, d, d, d, d} (6 as, 2 bes, 3 ces, 7 des) nesta forma (notación bóla trazo): • • • • • • | • • | • • • | • • • • • • • Este é un multiconxunto de k
18 elementos feito de elementos de 4 conxuntos n
4. O número de caracteres que inclúe tanto puntos como liñas verticais usado nesta notación é 18 + 4 − 1. O número de liñas verticais é 4 − 1. O número de multiconxuntos de cardinalidade 18 é entón o número de formas de organizar as liñas verticais 4 − 1 entre os 18 + 4 − 1 caracteres. De forma equivalente, é o número de formas de ordenar os 18 puntos entre os caracteres 18 + 4 − 1. Isto é ( 4 + 18 − 14 − 1 )
( 4 + 18 − 118 )
1330, {\displaystyle {4+18-1 \choose 4-1}
{4+18-1 \choose 18}
1330, } así podemos ver o valor do coeficiente multiconxunto e as súas equivalencias: ( ( 418 ) )
( 2118 )
21! 18! 3!
( 213 ),
4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ 12 ⋅ 13 ⋅ 14 ⋅ 15 ⋅ 16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 ⋅ 211 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ 12 ⋅ 13 ⋅ 14 ⋅ 15 ⋅ 16 ⋅ 17 ⋅ 18,
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋯ 16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 ⋅ 211 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋯ 16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3,
19 ⋅ 20 ⋅ 211 ⋅ 2 ⋅ 3. {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\! \! {4 \choose 18}\! \! \right)&
{21 \choose 18}
{\frac {21! }{18! \, 3! }}
{21 \choose 3}, \\[1ex]&
{\frac {{\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}\cdot \mathbf {19\cdot 20\cdot 21} }{\mathbf {1\cdot 2\cdot 3} \cdot {\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}}}, \\[1ex]&
{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\; \mathbf {\cdot \; 19\cdot 20\cdot 21} }{\, 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\; \mathbf {\cdot \; 1\cdot 2\cdot 3\quad } }}, \\[1ex]&
{\frac {19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3}}. \end{aligned}}} Da relación entre coeficientes binomiais e coeficientes multiconxuntos, despréndese que o número de multiconxuntos de cardinalidade k nun conxunto de cardinalidade n pódese escribir ( ( n k ) )
( − 1 ) k ( − n k ). {\displaystyle \left(\! \! {n \choose k}\! \! \right)
(-1)^{k}{-n \choose k}. } e tamén, ( ( n k ) )
( ( k + 1 n − 1 ) ). {\displaystyle \left(\! \! {n \choose k}\! \! \right)
\left(\! \! {k+1 \choose n-1}\! \! \right). }
Relación de recorrencia
Unha relación de recorrencia para os coeficientes multiconxunto pódese dar como ( ( n k ) )
( ( n k − 1 ) ) + ( ( n − 1 k ) ) para n, k > 0 {\displaystyle \left(\! \! {n \choose k}\! \! \right)
\left(\! \! {n \choose k-1}\! \! \right)+\left(\! \! {n-1 \choose k}\! \! \right)\quad {\mbox{para }}n, k>0} con ( ( n 0 ) )
1, n ∈ N, e ( ( 0 k ) )
0, k > 0. {\displaystyle \left(\! \! {n \choose 0}\! \! \right)
1, \quad n\in \mathbb {N}, \quad {\mbox{e}}\quad \left(\! \! {0 \choose k}\! \! \right)
0, \quad k>0. }
Xeneralización e conexión coa serie binomial negativa
A fórmula multiplicativa permite ampliar a definición de coeficientes multiconxuntos substituíndo n por un número arbitrario α (negativo, real ou complexo): ( ( α k ) )
α k ¯ k!
α ( α + 1 ) ( α + 2 ) ⋯ ( α + k − 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 1 para k ∈ N, α arbitrario. {\displaystyle \left(\! \! {\alpha \choose k}\! \! \right)
{\frac {\alpha ^{\overline {k}}}{k! }}
{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{para }}k\in \mathbb {N}, \alpha {\text{ arbitrario}}. } Con esta definición temos unha xeneralización da fórmula binomial negativa (cunha das variábeis con valor 1), o que xustifica chamar aos coeficientes ( ( α k ) ) {\displaystyle \left(\! \! {\alpha \choose k}\! \! \right)} coeficientes binomiais negativos: ( 1 − X ) − α
∑ k
0 ∞ ( ( α k ) ) X k. {\displaystyle (1-X)^{-\alpha }
\sum _{k
0}^{\infty }\left(\! \! {\alpha \choose k}\! \! \right)X^{k}. } Esta fórmula da serie de Taylor é válida para todos os números complexos α {\displaystyle \alpha } e X {\displaystyle X} con |X| < 1. Tamén se pode interpretar como unha identidade de serie formal de potencias en X {\displaystyle X}, onde en realidade pode servir como definición de potencias arbitrarias de series cun coeficiente constante igual a 1.
A utilidade desta definición é que todas as identidades cumpren o que se espera para a exponenciación, en particular ( 1 − X ) − α ( 1 − X ) − β
( 1 − X ) − ( α + β ) {\displaystyle (1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }
(1-X)^{-(\alpha +\beta )}}, ( ( 1 − X ) − α ) − β
( 1 − X ) − ( − α β ), {\displaystyle ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }
(1-X)^{-(-\alpha \beta )}, } e fórmulas como estas pódense usar para probar identidades para o coeficiente multiconxuntos.
Se α é un número enteiro non positivo n, entón todos os termos con k > −n son cero e a serie infinita convértese nunha suma finita. No entanto, para outros valores de α, incluídos os enteiros positivos e os números racionais, a serie é infinita.