Xeometría analítica

A xeometría analítica estuda as figuras xeométricas mediante técnicas básicas da análise matemática e da álxebra nun determinado sistema de coordenadas. O seu desenvolvemento histórico comezou coa xeometría cartesiana, continuou coa aparición da xeometría diferencial de Carl Friedrich Gauss e máis tarde co desenvolvemento da xeometría alxébrica. Actualmente a xeometría analítica ten múltiples aplicacións máis aló das matemáticas e a enxeñaría, pois forma parte do traballo de administradores para a planificación de estratexias e loxística na toma de decisións.
As dúas cuestións fundamentais da xeometría analítica son: Dado o lugar xeométrico dun sistema de coordenadas, obter a súa ecuación.
Dada a ecuación nun sistema de coordenadas, determinar a gráfica ou lugar xeométrico dos puntos que verifican esa ecuación.
O innovador da xeometría analítica é que representa as figuras xeométricas mediante fórmulas do tipo f ( x )
y {\displaystyle f(x)
y}, onde f {\displaystyle f} é unha función ou outro tipo de expresión matemática: as rectas exprésanse como ecuacións polinómicas de grao 1 (por exemplo, 2 x + 6 y
0 {\displaystyle 2x+6y
0} ), as circunferencias e o resto de cónicas como ecuacións polinómicas de grao 2 (a circunferencia x 2 + y 2
4 {\displaystyle x^{2}+y^{2}
4}, a hipérbole x y
1 {\displaystyle xy
1} ) etc. Construcións fundamentais
Nun sistema de coordenadas cartesianas, un punto do plano queda determinado por dous números, chamados abscisa e ordenada do punto. Mediante ese procedemento a todo punto do plano correspóndenlle sempre dous números reais ordenados (abscisa e ordenada), e reciprocamente, a un par ordenado de números correspóndelle un único punto do plano. Consecuentemente o sistema cartesiano establece unha correspondencia biunívoca entre un concepto xeométrico como é o dos puntos do plano e un concepto alxébrico como son os pares ordenados de números. Esta correspondencia constitúe o fundamento da xeometría analítica.
Coa xeometría analítica pódense determinar figuras xeométricas planas por medio de ecuacións e inecuaciones con dúas incógnitas. Este é un método alternativo de resolución de problemas, ou cando menos proporciónanos un novo punto de vista co cal poder atacar o problema.
Localización dun punto no plano cartesiano
Como distancia aos eixos
Nun plano (p. ex. papel milimetrado) trázanse dúas rectas orientadas perpendiculares entre si (eixes) —que por convenio se trazan de xeito que unha delas sexa horizontal e a outra vertical—, e cada punto do plano queda unívocamente determinado polas distancias de devandito punto a cada un dos eixos, a condición de que se dea tamén un criterio para determinar sobre que semiplano determinado por cada unha das rectas hai que tomar esa distancia, criterio que vén dado por un signo. Ese par de números, as coordenadas, quedará representado por un par ordenado ( x, y ) {\displaystyle (x, y)}, sendo x {\displaystyle x} a distancia a un dos eixes (por convenio será a distancia ao eixe vertical) e y {\displaystyle y} a distancia ao outro eixe (o horizontal).
Na coordenada x {\displaystyle x}, o signo positivo (que adoita omitirse) significa que a distancia se toma cara á dereita sobre o eixe horizontal (eixe das abscisas), e o signo negativo (que nunca se omite) indica que a distancia se toma cara á esquerda. Para a coordenada y {\displaystyle y}, o signo positivo (tamén se omite) indica que a distancia se toma cara a arriba sobre o eixe vertical (eixe de ordenadas), tomándose cara a abaixo se o signo é negativo (en ningún caso se omiten os signos negativos).
A coordenada x {\displaystyle x} adoita denominarse abscisa do punto, mentres que y {\displaystyle y} se denomina ordenada do punto.
Os puntos do eixe de abscisas teñen polo tanto ordenada igual a 0 {\displaystyle 0}, así que serán da forma ( x, 0 ) {\displaystyle (x, 0)}, mentres que os do eixe de ordenadas terán abscisa igual a 0 {\displaystyle 0}, polo que serán da forma ( 0, y ) {\displaystyle (0, y)}.
O punto onde ambos os eixes se cortan terá polo tanto distancia 0 {\displaystyle 0} a cada un dos eixes, logo a súa abscisa será 0 {\displaystyle 0} e a súa ordenada tamén será 0 {\displaystyle 0}. Este punto —o ( 0, 0 ) {\displaystyle (0, 0)} — denomínase orixe de coordenadas.
Como proxección sobre os eixes
Considéranse dúas rectas orientadas (eixes) perpendiculares entre si, "x" e "y", cunha orixe común, o punto O de intersección de ambas as rectas.
Tendo un punto a, do cal se desexa determinar as coordenadas, procédese da seguinte forma:
Polo punto P trázanse rectas perpendiculares aos eies; estas determinan na intersección cos mesmos dous puntos, P' (o punto situado sobre o eixe x) e o punto P'' ( o punto situado sobre o eixe y).
Eses puntos son as proxeccións ortogonales sobre os eixes x e y do punto P.
Aos puntos P' e P'' correspóndenlle por número a distancia dende eles á orixe, tendo en conta que se o punto P' se atopa á esquerda de O, ese número será negativo, e se o punto P'' se atopa cara a abaixo do punto O, ese número será negativo.
Os números relacionados con P' e P'', nesa orde son os valores das coordenadas do punto P.
Exemplo 1: P' atópase á dereita de O unha distancia igual a 2 unidades. P'' atópase cara arriba de O, unha distancia igual a 3 unidades. Polo que as coordenadas de P son (2, 3).
Exemplo 2: P' atópase á dereita de O unha distancia igual a 4 unidades. P'' atópase cara abaixo de O, unha distancia igual a 5 unidades. Polo que as coordenadas de P son (4, -5).
Exemplo 3: P' atópase á esquerda de O unha distancia igual a 3 unidades. P'' atópase cara abaixo de O, unha distancia igual a 2 unidades. Polo que as coordenadas de P son (-3, -2).
Exemplo 4: P' atópase á esquerda de O unha distancia igual a 6 unidades. P'' atópase cara arriba de O, unha distancia igual a 4 unidades. Polo que as coordenadas de P son (-6, 4).
Ecuacións da recta no plano
Unha recta é o lugar xeométrico de todos os puntos no plano tales que, tomados dous calquera deles, o cálculo da pendente resulta sempre igual a unha constante.
A ecuación xeral da recta é da forma: A x + B y + C
0 {\displaystyle Ax+By+C
0\, } na que a pendente é m
-A/B e a ordenada na orixe é b
-C/B.
Unha recta no plano represéntase coa función linear da forma: y
m x + b {\displaystyle y
mx+b\, } Como expresión xeral, coñécese co nome de ecuación pendente-ordenada na orixe e podemos distinguir dous casos particulares. Se unha recta non corta un dos eixes, será porque é paralela a el. Como os dous eixes son perpendiculares, se non corta un deles forzosamente ten que cortar o outro (a condición de que a función sexa continua para todos os reais). Temos pois tres casos: As rectas verticais non cortan o eixe de ordenadas e son paralelas a devandito eixe. O punto de corte co eixe de abscisas é o punto ( x 0, 0 ) {\displaystyle (x_{0}, 0)}. A ecuación destas rectas é: x
x 0 {\displaystyle x
x_{0}\, } As rectas horizontais non cortan o eixo das abscisas e, polo tanto, son paralelas a devandito eixe. O punto de corte co eixe de ordenadas é o punto ( 0, y 0 ) {\displaystyle (0, y_{0})}. A ecuación destas rectas é: y
y 0 {\displaystyle y
y_{0}\, } Calquera outro tipo de recta recibe o nome de recta oblicua. Nelas hai un punto de corte co eixe de abscisas ( a, 0 ) {\displaystyle (a, 0)} e outro punto de corte co eixe de ordenadas ( 0, b ) {\displaystyle (0, b)}. O valor a {\displaystyle a} recibe o nome de abscisa na orixe, mentres que o b {\displaystyle b} se denomina ordenada na orixe.
Seccións cónicas
O resultado da intersección da superficie dun cono cun plano, dá lugar ao que se denominan seccións cónicas, que son: a parábola, a elipse (a circunferencia é un caso particular de elipse) e a hipérbole.
En coordenadas cartesianas, as cónicas exprésanse en forma alxébrica mediante funcións cadráticas de dúas variables (x, y) da forma: a x 2 + 2 h x y + b y 2 + 2 g x + 2 f y + c
0 {\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c
0\, } na que, en función dos valores dos parámetros, se terá: h 2 > a b {\displaystyle h^{2}>ab}: hipérbole. h 2
a b {\displaystyle h^{2}
ab}: parábola. h 2 < a b {\displaystyle h^{2}<ab}: elipse. a
b {\displaystyle a
b} y h
0 {\displaystyle h
0}: circunferencia. Clasificación da xeometría analítica dentro da xeometría
Dende o punto de vista da clasificación de Klein das xeometrías (o Programa de Erlangen), a xeometría analítica non é unha xeometría propiamente dita.
Desde o punto de vista didáctico, a xeometría analítica resulta unha ponte indispensable entre a xeometría euclidiana e outras ramas da matemática e da propia xeometría, como son a propia análise matemática, a álxebra lineal, a xeometría afín, a xeometría diferencial ou a xeometría alxébrica.
En física empréganse os sistemas de coordenadas para a representación de movementos e vectores entre outras magnitudes. Historia da xeometría analítica
Existe unha certa controversia sobre a verdadeira paternidade deste método. O único certo é que se publicou por primeira vez en 1637 como "Xeometría analítica", apéndice ao Discurso do método, de Descartes, aínda que se sabe que Pierre de Fermat coñecía e empregaba o método antes da súa publicación por Descartes. Aínda que Omar Khayyam xa no século XI utilizase un método moi parecido para determinar certas interseccións entre curvas, é imposible que algún dos citados matemáticos franceses tivesen acceso á súa obra.
O nome de xeometría analítica correu parello ao de xeometría cartesiana, e ambos son indistinguibles. Hoxe en día, paradoxalmente, prefírese denominar xeometría cartesiana ao apéndice do Discurso do método, mentres que se entende que xeometría analítica comprende non só á xeometría cartesiana (no sentido que acabamos de citar, é dicir, ao texto apéndice do Discurso do método), senón tamén todo o desenvolvemento posterior da xeometría que se basee na construción de eixes coordenados e a descrición das figuras mediante funcións —alxébricas ou non— até a aparición da xeometría diferencial de Gauss (dise "paradoxalmente" porque se emprega precisamente o vocábulo "xeometría cartesiana" para aquilo que o propio Descartes bautizou como "xeometría analítica"). O problema é que durante ese período non existe unha diferenza clara entre xeometría analítica e análise matemática —esta falta de diferenza débese precisamente á identificación feita na época entre os conceptos de función e curva—, polo que resulta ás veces moi difícil tentar determinar se o estudo que se está a realizar corresponde a unha ou outra rama.
A xeometría diferencial de curvas si que permite un estudo mediante un sistema de coordenadas, xa sexa no plano ou no espazo tridimensional. Pero no estudo das superficies, en xeral, aparecen serios obstáculos. Gauss salva estes obstáculos creando a xeometría diferencial, e marcando con iso o fin da xeometría analítica como disciplina. É co desenvolvemento da xeometría alxébrica cando se pode certificar totalmente a superación da xeometría analítica.
A denominación de analítica dada a esta forma de estudar a xeometría provocou que a anterior maneira de estudala (é dicir, a maneira axiomático-dedutiva, sen a intervención de coordenadas) terminase denominándose, por oposición, xeometría sintética, debido á dualidade análise-síntese.