Pulo (diferencial)

En xeometría diferencial, o pulo (ou pushforward) é unha aproximación linear de mapas suaves en espazos tanxentes. Supoñamos que φ: M → N {\displaystyle \varphi \colon M\to N} é un mapa suave entre variedades suaves; daquela diferencial de φ {\displaystyle \varphi } nun punto x {\displaystyle x}, denotado d φ x {\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}}, é, nalgún sentido, a mellor aproximación linear de φ {\displaystyle \varphi } preto de x {\displaystyle x}. Pódese ver como unha xeneralización da derivada total do cálculo ordinario. Explicitamente, a diferencial é un mapa linear do espazo tanxente de M {\displaystyle M} en x {\displaystyle x} ao espazo tanxente de N {\displaystyle N} en φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)}; expresado d φ x: T x M → T φ ( x ) N {\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}. Polo tanto, pódese usar para impulsar vectores tanxentes M {\displaystyle M} cara adiante ata os vectores tanxentes en N {\displaystyle N}. O diferencial dun mapa φ {\displaystyle \varphi } tamén se denomina, por diversos autores, a derivada ou derivada total de φ {\displaystyle \varphi }. Motivación
Sexa φ: U → V {\displaystyle \varphi: U\to V} un mapa suave dun subconxunto aberto U {\displaystyle U} de R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} a un subconxunto aberto V {\displaystyle V} de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Para calquera punto x {\displaystyle x} en U {\displaystyle U}, o jacobiano de φ {\displaystyle \varphi } en x {\displaystyle x} (en relación ás coordenadas estándar) é a representación matricial da derivada total de φ {\displaystyle \varphi } en x {\displaystyle x}, que é un mapa linear d φ x: T x R m → T φ ( x ) R n {\displaystyle d\varphi _{x}: T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}} entre os seus espazos tanxentes. Observe que os espazos tanxentes T x R m, T φ ( x ) R n {\displaystyle T_{x}\mathbb {R} ^{m}, T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}} son isomorfos a R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} e R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, respectivamente. O pulo xeneraliza esta construción para o caso no que φ {\displaystyle \varphi } é unha función suave entre calquera variedades suaves M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N}.
Se os vectores tanxentes se definen como clases de equivalencia das curvas γ {\displaystyle \gamma } para as que γ ( 0 )
x, {\displaystyle \gamma (0)
x, } daquela o diferencial vén dado por d φ x ( γ ′ ( 0 ) )
( φ ∘ γ ) ′ ( 0 ). {\displaystyle d\varphi _{x}(\gamma '(0))
(\varphi \circ \gamma )'(0). } Aquí, γ {\displaystyle \gamma } é unha curva en M {\displaystyle M} con γ ( 0 )
x, {\displaystyle \gamma (0)
x, } e γ ′ ( 0 ) {\displaystyle \gamma '(0)} é un vector tanxente á curva γ {\displaystyle \gamma } en 0. {\displaystyle 0. } Noutras palabras, o pulo do vector tanxente cara a curva γ {\displaystyle \gamma } en 0 {\displaystyle 0} é o vector tanxente á curva φ ∘ γ {\displaystyle \varphi \circ \gamma } en 0. {\displaystyle 0. } Alternativamente, se os vectores tanxentes se definen como derivacións que actúan sobre funcións suaves de valores reais, entón a diferencial vén dada por d φ x ( X ) ( f )
X ( f ∘ φ ), {\displaystyle d\varphi _{x}(X)(f)
X(f\circ \varphi ), } para unha función arbitraria f ∈ C ∞ ( N ) {\displaystyle f\in C^{\infty }(N)} e unha derivación arbitraria X ∈ T x M {\displaystyle X\in T_{x}M} nun punto x ∈ M {\displaystyle x\in M} (Unha derivación defínese como un mapa linear X: C ∞ ( M ) → R {\displaystyle X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} } que satisfaga a regra de Leibniz, véxase: espazo tanxente). Por definición, o pulo de X {\displaystyle X} está dentro de T φ ( x ) N {\displaystyle T_{\varphi (x)}N} e polo tanto é unha derivación, d φ x ( X ): C ∞ ( N ) → R {\displaystyle d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R} }. A diferencial no fibrado tanxente
O diferencial dun mapa suave φ {\displaystyle \varphi } induce, de forma obvia, un mapa de fibrados (de feito un homomorfismo de fibrado vectorial) a partir do fibrado tanxente de M {\displaystyle M} cara ao fibrado tanxente de N {\displaystyle N}, denotado por d φ {\displaystyle d\varphi }, que encaixa no seguinte diagrama conmutativo: onde π M {\displaystyle \pi _{M}} e π N {\displaystyle \pi _{N}} denotan as proxeccións do fibrado dos fibrados tanxentes de M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N} respectivamente. d φ {\displaystyle \operatorname {d} \! \varphi } induce un mapa de fibrados de T M {\displaystyle TM} cara ao fibrado de regresión φ∗TN sobre M {\displaystyle M} vía ( m, v m ) ↦ ( φ ( m ), d φ ( m, v m ) ), {\displaystyle (m, v_{m})\mapsto (\varphi (m), \operatorname {d} \! \varphi (m, v_{m})), } onde m ∈ M {\displaystyle m\in M} e v m ∈ T m M. {\displaystyle v_{m}\in T_{m}M. } O mapa de fibrados d φ {\displaystyle \operatorname {d} \! \varphi } tamén se denota por T φ {\displaystyle T\varphi } e chámase mapa tanxente. Deste xeito, T {\displaystyle T} é un functor. Pulos de campos vectoriais
Dado un mapa suave φ: M → N e un campo vectorial X sobre M, normalmente non é posible obter un pulo de X mediante φ con algún campo vectorial Y sobre N. Por exemplo, se o mapa φ non é sobrexectivo, non hai unha forma natural de definir tal pulo fóra da imaxe de φ. Alén diso, se φ non é inxectivo, pode haber máis dunha opción de pulo nun punto dado. No entanto, pódese precisar esta dificultade, utilizando a noción de campo vectorial ao longo dun mapa.
Exemplos
Pulo mediante a multiplicación en grupos de Lie
Dado un Grupo de Lie G {\displaystyle G}, podemos usar o mapa do operador multiplicación m ( −, − ): G × G → G {\displaystyle m(-, -): G\times G\to G} para obter os mapas de multiplicación pola esquerda L g
m ( g, − ) {\displaystyle L_{g}
m(g, -)} e a multiplicación pola dereita R g
m ( −, g ) {\displaystyle R_{g}
m(-, g)} de G → G {\displaystyle G\to G}. Estes mapas pódense usar para construír campos vectoriais invariantes pola esquerda ou pola dereita en G {\displaystyle G} dende o seu espazo tanxente na orixe g
T e G {\displaystyle {\mathfrak {g}}
T_{e}G} (que é a súa álxebra de Lie asociada). Por exemplo, dado X ∈ g {\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} obtemos un campo vectorial asociado X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} on G {\displaystyle G} definido por X g
( L g ) ∗ ( X ) ∈ T g G {\displaystyle {\mathfrak {X}}_{g}
(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G} para cada g ∈ G {\displaystyle g\in G}. Isto pódese calcular facilmente usando a definición de curvas dos mapas de pulos diferenciais. Se temos unha curva γ: ( − 1, 1 ) → G {\displaystyle \gamma: (-1, 1)\to G} onde γ ( 0 )
e, γ ′ ( 0 )
X {\displaystyle \gamma (0)
e\, ,\quad \gamma '(0)
X} obtemos ( L g ) ∗ ( X )
( L g ∘ γ ) ′ ( 0 )
( g ⋅ γ ( t ) ) ′ ( 0 )
d g d γ γ ( 0 ) + g ⋅ d γ d t ( 0 )
g ⋅ γ ′ ( 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&
(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&
(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&
{\frac {dg}{d\gamma }}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&
g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}} posto que L g {\displaystyle L_{g}} é constante con respecto a γ {\displaystyle \gamma }. Isto implica que podemos interpretar os espazos tanxentes T g G {\displaystyle T_{g}G} como T g G
g ⋅ T e G
g ⋅ g {\displaystyle T_{g}G
g\cdot T_{e}G
g\cdot {\mathfrak {g}}}.
Pulos para algúns grupos de Lie
Por exemplo, se G {\displaystyle G} é o grupo de Heisenberg dado polas matrices H
{ [ 1 a b 01 c 001 ]: a, b, c ∈ R } {\displaystyle H
\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}: a, b, c\in \mathbb {R} \right\}} ten álxebra de Lie dada polo conxunto de matrices h
{ [ 0 a b 00 c 000 ]: a, b, c ∈ R } {\displaystyle {\mathfrak {h}}
\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}: a, b, c\in \mathbb {R} \right\}} xa que podemos atopar un camiño γ: ( − 1, 1 ) → H {\displaystyle \gamma: (-1, 1)\to H} dando calquera número real nunha das entradas da matriz superior con i < j {\displaystyle i<j} (i-ésima fila e j-ésima columna). Daquela, para g
[ 123014001 ] {\displaystyle g
{\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}} temos T g H
g ⋅ h
{ [ 0 a b + 2 c 00 c 000 ]: a, b, c ∈ R } {\displaystyle T_{g}H
g\cdot {\mathfrak {h}}
\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b+2c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}: a, b, c\in \mathbb {R} \right\}} que é igual ao conxunto orixinal de matrices. Isto non sempre é así, por exemplo, no grupo G
{ [ a b 01 / a ]: a, b ∈ R, a ≠ 0 } {\displaystyle G
\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}: a, b\in \mathbb {R}, a\neq 0\right\}} temos a súa álxebra de Lie como o conxunto de matrices g
{ [ a b 0 − a ]: a, b ∈ R } {\displaystyle {\mathfrak {g}}
\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}: a, b\in \mathbb {R} \right\}} polo tanto para algunha matriz g
[ 2301 / 2 ] {\displaystyle g
{\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}} temos T g G
{ [ 2 a 2 b − 3 a 0 − a / 2 ]: a, b ∈ R } {\displaystyle T_{g}G
\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-3a\\0&-a/2\end{bmatrix}}: a, b\in \mathbb {R} \right\}} que non é o mesmo conxunto de matrices.