Función de Euler

En matemáticas, a función de Euler vén dada por ϕ ( q )
∏ k
1 ∞ ( 1 − q k ), | q | < 1. {\displaystyle \phi (q)
\prod _{k
1}^{\infty }(1-q^{k}), \quad |q|<1. } O nome fai referencia a Leonhard Euler, é un exemplo modelo dunha q-serie e proporciona o exemplo prototípico dunha relación entre a combinatoria e a análise complexa. Propiedades
O coeficiente p ( k ) {\displaystyle p(k)} na expansión en serie de potencias formal para 1 / ϕ ( q ) {\displaystyle 1/\phi (q)} dá o número de particións de k. É dicir, 1 ϕ ( q )
∑ k
0 ∞ p ( k ) q k {\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}
\sum _{k
0}^{\infty }p(k)q^{k}} onde p {\displaystyle p} é a función de partición.
A identidade de Euler, tamén coñecida como teorema dos números pentagonais, é ϕ ( q )
∑ n
− ∞ ∞ ( − 1 ) n q ( 3 n 2 − n ) / 2. {\displaystyle \phi (q)
\sum _{n
-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}. } onde ( 3 n 2 − n ) / 2 {\displaystyle (3n^{2}-n)/2} é un número pentagonal.
A función de Euler está relacionada coa función eta de Dedekind como ϕ ( e 2 π i τ )
e − π i τ / 12 η ( τ ). {\displaystyle \phi (e^{2\pi i\tau })
e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ). } A función de Euler pódese expresar como un q-símbolo de Pochhammer: ϕ ( q )
( q; q ) ∞. {\displaystyle \phi (q)
(q; q)_{\infty }. } O logaritmo da función de Euler é a suma dos logaritmos da expresión do produto, e teñen cadansúa expansión arredor de q
0, producindo ln ⁡ ( ϕ ( q ) )
− ∑ n
1 ∞ 1 n q n 1 − q n, {\displaystyle \ln(\phi (q))
-\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\, {\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}, } que é unha serie de Lambert con coeficientes -1/n. Polo tanto, o logaritmo da función de Euler pódese expresar como ln ⁡ ( ϕ ( q ) )
∑ n
1 ∞ b n q n {\displaystyle \ln(\phi (q))
\sum _{n
1}^{\infty }b_{n}q^{n}} onde b n
− ∑ d | n 1 d
{\displaystyle b_{n}
-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}} } -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, .. .] (ver OEIS A000203 )
Pola mor da identidade σ ( n )
∑ d | n d
∑ d | n n d {\displaystyle \sigma (n)
\sum _{d|n}d
\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}}, onde σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} é a función de suma de divisores, esta tamén se pode escribir como ln ⁡ ( ϕ ( q ) )
− ∑ n
1 ∞ σ ( n ) n q n {\displaystyle \ln(\phi (q))
-\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}}. Valores especiais
As seguintes identidades veñen dos Cadernos de Ramanujan: ϕ ( e − π )
e π / 24 Γ ( 14 ) 27 / 8 π 3 / 4 {\displaystyle \phi (e^{-\pi })
{\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}} ϕ ( e − 2 π )
e π / 12 Γ ( 14 ) 2 π 3 / 4 {\displaystyle \phi (e^{-2\pi })
{\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}} ϕ ( e − 4 π )
e π / 6 Γ ( 14 ) 211 / 8 π 3 / 4 {\displaystyle \phi (e^{-4\pi })
{\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}} ϕ ( e − 8 π )
e π / 3 Γ ( 14 ) 229 / 16 π 3 / 4 ( 2 − 1 ) 1 / 4 {\displaystyle \phi (e^{-8\pi })
{\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}} Usando o teorema dos números pentagonais, trocando suma por integral, e despois invocando métodos analíticos de complexos, derívase ∫ 01 ϕ ( q ) d q
8323 π sinh ⁡ ( 23 π 6 ) 2 cosh ⁡ ( 23 π 3 ) − 1. {\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q)\, \mathrm {d} q
{\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}. }