Tetración

En matemáticas, a tetración (ou hiper-4) é o seguinte hiperoperador despois da potenciación, e é definida como unha potenciación iterada. A palabra provén de tetra (catro) e ción (de iteración). A tetración é usada para a notación dos números moi grandes. Introdución
Para entender a tetración hai que entender a relación xerárquica que teñen a suma, a multiplicación e a exponenciación: as multiplicacións poden entenderse como sumas repetidas, a potenciación como multiplicacións repetidas e a tetración como potenciacións repetidas. Todas estas operacións repetidas forman unha xerarquía de "hiperoperacións" que consisten en repetir certo número de veces a operación do nivel inferior. Aquí preséntanse exemplos dos primeiros catro operadores, coa tetración como o primeiro hiperoperador. Adición a + n
a + 1 + 1 +. .. + 1 ⏟ n {\displaystyle a+n
a+\! \underbrace {1+1+. .. +1} _{n}} a unidade 1 añadida a "a" n veces.
Multiplicación a × n
a + a + ⋯ + a ⏟ n {\displaystyle a\times n
\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}} a sumado n veces.
Potenciación a n
a × a × ⋯ × a ⏟ n {\displaystyle a^{n}
\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}} a multiplicado n veces.
Tetración n a
a a ⋅ ⋅ a ⏟ n {\displaystyle {^{n}a}
\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}} n copias de a combinadas por exponenciación, de dereita a esquerda.
Teña en conta que os expoñentes aniñados interprétanse convencionalmente de arriba abaixo: a b c {\displaystyle a^{b^{c}}} significa a ( b c ) {\displaystyle a^{\left(b^{c}\right)}} e non ( a b ) c. {\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}. } Na tetración cada operación é definida mediante a iteración da operación previa (a seguinte operación na sucesión é a pentación). A peculiaridade da tetración entre estas operacións é que para as tres primeiras (adición, multiplicación e potenciación) poden ser xeneralizadas para valores complexos de n, mentres que para a tetración, tal xeneralización regular non está actualmente establecida; a tetración non é considerada unha función elemental.
A adición ( a + n ) {\displaystyle (a+n)} é a operación máis básica, a multiplicación ( a n ) {\displaystyle (an)} é tamén unha operación primaria, aínda que para os números naturais pode ser pensada como a adición encadeada que implica n números a, e a potenciación ( a n ) {\displaystyle (a^{n})} pode ser pensada como unha multiplicación encadeada que implica n números a.
Análogamente, a tetración ( n a ) {\displaystyle ({}^{n}a)} pode ser pensada como unha potencia encadeada con n expoñentes a. O parámetro a chámase base, mentres que o parámetro n, altura (que é enteiro na primeira aproximación, pero pódese xeneralizar a alturas fraccionais, reais e complexas) Definición
Para calquera número real positivo a > 0 {\displaystyle a>0} e un número enteiro non negativo n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0}, defínese n a {\displaystyle \, \! {^{n}a}} como: n a:
{ 1 se n
0 a [ ( n − 1 ) a ] se n > 0 {\displaystyle {^{n}a}:
{\begin{cases}1&{\text{se }}n
0\\a^{\left[^{(n-1)}a\right]}&{\text{se }}n>0\end{cases}}}
Exemplos de potencias iteradas contra bases iteradas/potenciación
Como se pode ver da definición, ao avaliar a tetración, esta exprésase como unha "torre de expoñentes", a potenciación realízase no nivel máis alto primeiro para que esta sexa irreducible. Dito doutro modo: 42
2 ( 2 ( 22 ) )
2 ( 24 )
216
65536 {\displaystyle \, \! ^{4}2
2^{(2^{(2^{2})})}
2^{(2^{4})}
2^{16}
65536} Nótese que a potenciación non é asociativa, así que avaliar a expresión noutra orde proporcionará unha resposta diferente ademais de incorrecta: 42
( ( 22 ) 2 ) 2
( 42 ) 2
162
256 {\displaystyle \, \! \ ^{4}2
((2^{2})^{2})^{2}
({4^{2}})^{2}
16^{2}
256} Simplificaríase a 2^(2^(4-1))
2^(2^3)
2^8256, que é unha dobre exponencial.
Polo tanto, as torres exponenciais deben ser avaliadas de arriba abaixo (ou de dereita a esquerda), xa que a tetración é unha función exponencial iterada. Propiedades
A tetración ten varias propiedades que son similares á potenciación, así como propiedades que son específicas da operación e que se perden ou gañan coa potenciación. Debido a que a potenciación non é conmutativa, as regras do produto e da potencia non teñen un análogo coa tetración; as afirmacións a ( b x )
( a b x ) {\textstyle {}^{a}\left({}^{b}x\right)
\left({}^{ab}x\right)} e a ( x y )
a x a y {\textstyle {}^{a}\left(xy\right)
{}^{a}x{}^{a}y} non son certas para a maioría dos casos.
Pola contra, a tetración segue unha propiedade diferente, onde a x
x ( a − 1 x ) {\textstyle {}^{a}x
x^{\left({}^{a-1}x\right)}}. Este feito vese máis claramente usando unha definición recursiva. Desta propiedade séguese que ( b a ) ( c a )
( c + 1 a ) ( b − 1 a ) {\displaystyle \left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}
\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}}, o que permite intercambiar b e c en determinadas ecuacións. A demostración desta propiedade é a seguinte: ( b a ) ( c a )
( a b − 1 a ) ( c a )
a ( b − 1 a ) ( c a )
a ( c a ) ( b − 1 a )
( c + 1 a ) ( b − 1 a ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\
{}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\
{}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\
{}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\
{}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}} Cando un número x e 10 son coprimos, entón pódense computar as últimas m cifras decimais de a x {\displaystyle \, \! \ ^{a}x} empregando o teorema de Euler, para calquera enteiro m. Isto é certo tamén noutras bases: por exemplo, as últimas m cifras octais de a x {\displaystyle \, \! \ ^{a}x} pódense calcular cando x e 8 son coprimos. Xeneralizacións
A tetración pódese xeneralizar de dúas maneiras diferentes; na ecuación n a! {\displaystyle ^{n}a! }, tanto a base a como a súa altura n pódense xeneralizar empregando a definición e as propiedades da tetración. Aínda que a base e a altura pódense xeneralizar máis alá dos enteiros non negativos a diferentes dominios, incluíndo n 0 {\displaystyle {^{n}0}}, funcións complexas como n i {\displaystyle {}^{n}i}, e alturas de infinito n, as propiedades máis limitadas da tetración reducen a capacidade de xeneralizala.
Base cero ou complexa
Base cero
A potencia 00 {\displaystyle 0^{0}} non está definida de forma consistente. Polo tanto, as tetracións n 0 {\displaystyle \, {^{n}0}} tampouco están claramente definidas pola fórmula dada anteriormente. Pola contra, lim x → 0 n x {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x} está ben definida, e existe: lim x → 0 n x
{ 1, n par 0, n impar {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x
{\begin{cases}1, &n{\text{ par}}\\0, &n{\text{ impar}}\end{cases}}} Por ende, poderíamos definir consistentemente n 0
lim x → 0 n x {\displaystyle {}^{n}0
\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}. Isto é análogo a definir 00
1 {\displaystyle 0^{0}
1}.
Baixo esta xeneralización, 00
1 {\displaystyle {}^{0}0
1}, polo que a regra 0 a
1 {\displaystyle {{0}a}
1} da definición orixinal segue vixente.
Bases complejas
Dado que os números complexos pódense elevar a potencias, a tetración pódese aplicar a bases da forma z
a + bi (onde a e b son reais). Por exemplo, en nz con z
i, a tetrización obtense empregando a rama principal do logaritmo natural; utilizando a fórmula de Euler obtemos a relación: i a + b i
e 12 π i ( a + b i )
e − 12 π b ( cos ⁡ π a 2 + i sin ⁡ π a 2 ) {\displaystyle i^{a+bi}
e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}
e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)} Isto suxire unha definición recursiva para n + 1 i
a ′ + b ′ i {\displaystyle {}^{n+1}i
a'+b'i} dado calquera n i
a + b i {\displaystyle {}^{n}i
a+bi}: a ′
e − 12 π b cos ⁡ π a 2 b ′
e − 12 π b sin ⁡ π a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a'&
e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&
e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}} Isto permite encontrar os seguintes valores aproximados:
Xeneralizacións para diferentes alturas
Alturas infinitas
A tetración pódese estender ás alturas infinitas; é dicir, para certos valores de a e n en n a {\displaystyle {}^{n}a}, existe un resultado ben definido para un n infinito. Isto débese a que para bases dentro dun certo intervalo, a tetrización converxe a un valor finito a medida que a altura tende ao infinito. Por exemplo, 222 ⋅ ⋅ {\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{}}}}}} converxe a 2, e por tanto pódese dicir que é igual a 2. A tendencia a 2 pódese ver avaliando unha pequena torre finita: 222221. 414 ≈ 22221. 63 ≈ 2221. 76 ≈ 221. 84 ≈ 21. 89 ≈ 1. 93 {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1. 414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1. 63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1. 76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1. 84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1. 89}\\&\approx 1. 93\end{aligned}}} En xeral, a pontencial infinitamente iterada x x ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\! \! }, definida como o límite de n x {\displaystyle {}^{n}x} a medida que n crece a infinito, converxe para e − e ≤ x ≤ e 1 / e {\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}}, aproximadamente o intervalo de 0. 066 a 1. 44, resultado demostrado por Leonhard Euler. O límite, se existe, é unha solución real positiva da ecuación 1
y
xy. Así, 1
x
y1/y. O límite que define a exponencial infinita de x non existe cando x > e1/e porque o máximo de y1/y é e1/e. O límite tampouco existe cando 0 < x < e-e.
Isto pódese estender aos números complexos z coa definición: i n f t y z
z z ⋅ ⋅ ⋅
W ( − ln ⁡ z ) − ln ⁡ z, {\displaystyle {}^{infty}z
z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}
{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~, } onde W {\displaystyle W} representa a función W de Lambert.
Como o límite 1
y
∞x (se existe na recta real positiva, é dicir para e-e ≤ x ≤ e1/e) debe satisfacer 1
xy
y vemos que 1
x ↦ y
∞x é (a rama inferior de) a función inversa de 1
y ↦ x
y1/y.
Alturas negativas
Podemos utilizar a regra recursiva da tetración, k + 1 a
a ( k a ), {\displaystyle {^{k+1}a}
a^{\left({^{k}a}\right)}, } para demostrar que − 1 a {\displaystyle {}^{-1}a}: k a
log a ⁡ ( k + 1 a ); {\displaystyle ^{k}a
\log _{a}\left(^{k+1}a\right); } Substituíndo -1 por k obtense − 1 a
log a ⁡ ( 0 a )
log a ⁡ 1
0 {\displaystyle {}^{-1}a
\log _{a}\left({}^{0}a\right)
\log _{a}1
0}.
Os valores negativos máis pequenos non poden ser ben definidos desta maneira. Substituíndo -2 por k na mesma ecuación obténse − 2 a
log a ⁡ ( − 1 a )
log a ⁡ 0
− ∞ {\displaystyle {}^{-2}a
\log _{a}\left({}^{-1}a\right)
\log _{a}0
-\infty } que non está ben definida. Mais, ás veces pódense considerar conxuntos.
Para n
1 {\displaystyle n
1}, calquera definición de − 11 {\displaystyle \, \! {^{-1}1}} é consistente coa regra porque 01
1
1 n {\displaystyle {^{0}1} 1
1^{n}} para calquera, n
− 11 {\displaystyle, \! n {^{-1}1}}.
Alturas reais
Neste momento non existe unha solución comunmente aceptada para o problema xeral de estender a tetración aos valores reais ou complexos de n. Aínda así, existen múltiples enfoques cara esa cuestión, e a continuación esbózanse diferentes enfoques.
En xeral, o problema é encontrar, para calquera real a > 0, unha función superexponencial, f ( x )
x a {\displaystyle, f(x)
{}^{x}a} sobre reais x > -2 que satisfaga − 1 a
0 {\displaystyle \, {}^{-1}a
0} 0 a
1 {\displaystyle \, {}^{0}a
1} x a
a ( x − 1 a ) {\displaystyle \, {}^{x}a
a^{\left({}^{x-1}a\right)}} para todo número real x > − 1. {\displaystyle x>-1. }