Raio de Einstein

O raio de Einstein é o raio dun anel de Einstein, e é unha característica xeral do ángulo dunha lente gravitacional, as distancias típicas entre as imaxes producidas polas lentes gravitacionais son da orde do raio de Einstein. Cálculo
Para o cálculo do raio de Einstein, imos supor que toda a masa M {\displaystyle M} da galaxia L {\displaystyle L} concéntrase no centro da galaxia.
Para un punto de masa a deformación pode ser calculada e é unha das probas clásicas da relatividade xeral. Para ángulos pequenos α {\displaystyle \alpha } a deformación total para un punto de masa M {\displaystyle M} é (ver métrica de Schwarzschild ) α
4 G c 2 M b {\displaystyle \alpha
{\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b}}} onde b {\displaystyle b} é o parámetro de impacto (a distancia de maior aproximación da luz emitida ao centro de masas da lente) G {\displaystyle G} é a constante gravitacional, c {\displaystyle c} é a velocidade da luz.
Tendo en conta que, para ángulos pequenos e co ángulo expresado en radiáns, o punto de maior aproximación b dende un ángulo θ {\displaystyle \theta } para a lente L {\displaystyle L} sobre unha distancia d L {\displaystyle d_{L}} dada por b
θ d L {\displaystyle b
\theta d_{L}}, podemos reformular o ángulo de flexión α {\displaystyle \alpha } como α ( θ )
4 G c 2 M θ 1 d L {\displaystyle \alpha (\theta )
{\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta }}{\frac {1}{d_{L}}}} (eq. 1)
Se colocarmos θ S {\displaystyle \theta _{S}} como o ángulo en que se podería ver a fonte sen a lente (que xeralmente non é observable) e θ {\displaystyle \theta } como o ángulo observado da imaxe da fonte con respecto á lente, entón pódese ver a partir da xeometría das lentes (con distancias no mesmo plano da fonte), que medir a distancia vertical do ángulo θ {\displaystyle \theta } a unha distancia d S {\displaystyle d_{S}} é o mesmo que a suma das dúas distancias verticais θ S d S {\displaystyle \theta _{S}\; d_{S}} máis α d L S {\displaystyle \alpha \; d_{LS}}. Isto dá como ecuación obxectivo, θ d S
θ S d S + α d L S {\displaystyle \theta \; d_{S}
\theta _{S}\; d_{S}+\alpha \; d_{LS}},
que se pode reformular para dar α ( θ )
d S d L S ( θ − θ S ) {\displaystyle \alpha (\theta )
{\frac {d_{S}}{d_{LS}}}(\theta -\theta _{S})} (eq. 2)
Por definición (Eq 1) igual a (Eq 2), e reformulando, obtense θ − θ S
4 G c 2 M θ d L S d S d L {\displaystyle \theta -\theta _{S}
{\frac {4G}{c^{2}}}\; {\frac {M}{\theta }}\; {\frac {d_{LS}}{d_{S}d_{L}}}} Para unha fonte directamente detrás do obxectivo, θ S
0 {\displaystyle \theta _{S}
0}, a ecuación da lente a un punto de masa dá un valor característico para θ {\displaystyle \theta } que se denomina distancia de Einstein, denotada θ E {\displaystyle \theta _{E}}. Poñendo θ S
0 {\displaystyle \theta _{S}
0} e resolvendo a θ {\displaystyle \theta } resulta θ E
( 4 G M c 2 d L S d L d S ) 1 / 2 {\displaystyle \theta _{E}
\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\; {\frac {d_{LS}}{d_{L}d_{S}}}\right)^{1/2}} O raio de Einstein para un punto de masa proporciona unha escala lineal conveniente para facer lentes variables adimensionais. En termos de raios de Einstein, a ecuación da lente a un punto de masa convértese en θ
θ S + θ E 2 θ {\displaystyle \theta
\theta _{S}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta }}} Substituíndo as constantes resulta θ E
( M 1011. 09 M ⨀ ) 1 / 2 ( d L d S / d L S G p c ) − 1 / 2 a r c s e c {\displaystyle \theta _{E}
\left({\frac {M}{10^{11. 09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {d_{L}d_{S}/d_{LS}}{Gpc}}\right)^{-1/2}arcsec} Nesta última forma, a masa é expresada en masas solares é M ⨀ {\displaystyle M_{\bigodot }} e as distancias en Giga parsec (GPC). O raio de Einstein máis destacado é unha lente normalmente a medio camiño entre a fonte e o observador.
Para un cúmulo estelar denso de masa M c ≈ 1015 M ⨀ {\displaystyle M_{c}\approx 10^{15}M_{\bigodot }} a unha distancia de 1 Gigaparsec (1 GPC), este raio pode ser tan grande como 100 segundos de arco (chamado macrolente). Para un evento de microlente gravitacional (con masas da orde ∼ 1 M ⨀ {\displaystyle \sim 1M_{\bigodot }} ), buscado a distancias galácticas (digamos d ∼ 3 k p c {\displaystyle d\sim 3kpc} ), o raio de Einstein típico sería da orde mili-segundos de arco. En consecuencia, en imaxes separadas os eventos de microlente son imposibles de observar coas técnicas actuais.
O argumento anterior pode estenderse para as lentes que teñen unha masa distribuída, en vez de concentrada nun punto de masa, usando unha expresión distinta para a curva do ángulo α {\displaystyle \alpha }. As posicións θ I ( θ S ) {\displaystyle \theta _{I}(\theta _{S})} das imaxes poden ser calculadas. Para pequenas deflexions este mapeado "un a un" (foto a foto) está composto por distorsións das posicións observadas que son invertíveis. Isto chámase lente gravitacional débil. Para grandes deformacións pódese ter varias imaxes e un "mapa" non-inversível: iso chámase lente gravitacional forte. Teña en conta que, para que unha masa distribuída poida producir un anel de Einstein, debe ter simetria axial.