Mecánica lagranxiana

A mecánica lagranxiana é unha reformulación da mecánica clásica introducida por Lagrange en 1788. Na mecánica lagranxiana, a traxectoria dun obxecto é derivada atopando a traxectoria que reduce ó mínimo a acción, que é a suma do lagranxiano ó longo do tempo; e este é a enerxía cinética menos a enerxía potencial.
A formulación lagranxiana simplifica moitos problemas físicos. Por exemplo, os sistemas de referencia inerciais son tratados en pé de igualdade e a diferenza das leis de Newton, a forma das ecuacións do movemento non depende do sistema de referencia elixido. Motivación
A utilidade da formulación lagranxiana apréciase ata en exemplos sinxelos. Por exemplo, considérese unha conta nun aro. Se se calculara o movemento da conta usando a mecánica newtoniana, teríamos un sistema complicado de ecuacións que considerarían as forzas que o aro exerce na conta en cada momento. Ollaríamos todos os movementos posibles que a conta podería tomar no aro e atoparíamos matematicamente o que reduce ó mínimo a acción. Hai moi poucas ecuacións posto que non estamos calculando directamente a influencia do aro na conta nun momento dado.
Outro exemplo é o caso do estudo do movemento nun sistema que vira, por exemplo o planeta Terra: na formulación newtoniana é necesario introducir a man as forzas ficticias ou forzas de inercia como a forza centrípeta ou a forza de Coriolis mentres que na formulación lagranxiana estas aparecen de modo natural.
Estes dous problemas considerados anteriormente son moito máis sinxelos de resolver empregando a formulación lagranxiana. Ecuacións de Lagrange
As ecuacións do movemento en mecánica lagranxiana son as ecuacións de Lagrange, tamén coñecidas como as ecuacións de Euler-Lagrange. A continuación bosquexamos a derivación da ecuación de Lagrange das leis de Newton do movemento. (Ver as referencias para derivacións máis detalladas e máis xerais).
Considere unha soa partícula con masa m e o vector de posición r. A forza aplicada, F, se é unha forza conservativa pode ser expresada como o gradiente dunha función potencial escalar V(r, t): F
− ∇ V {\displaystyle \mathbf {F}
-\nabla V} tal forza é independente das terceiras (ou de orde superior) derivadas de r, xa que logo a segunda lei de Newton forma un sistema de 3 ecuacións diferenciables ordinarias de segunda orde. Polo tanto, o movemento da partícula pódese describir totalmente por 6 variables independentes, ou graos de liberdade. Un sistema obvio de variables é {rj, r′j|j 1, 2, 3}, as compoñentes cartesianos de r e as súas derivadas temporais, nun instante dado do tempo.
Máis xeralmente, podemos traballar cun sistema de coordenadas xeneralizadas e das súas derivadas temporais, as velocidades xeneralizadas: {qj, q′j}. r está relacionado coas coordenadas xeneralizadas por unha ecuación de transformación: r
r ( q 1, q 2, q 3, t ) {\displaystyle \mathbf {r}
\mathbf {r} (q_{1}, q_{2}, q_{3}, t)} Considere un desprazamento arbitrario δr da partícula. O traballo feito pola forza aplicada F é δW F · δr.
Usando a segunda lei de Newton, obtemos: F ⋅ δ r
m r ″ ⋅ δ r {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &
&m\mathbf {r} ''\cdot \delta \mathbf {r} \end{matrix}}} xa que o traballo é unha cantidade escalar física, debemos poder poñer esta ecuación en termos das coordenadas e das velocidades xeneralizadas. No lado esquerdo, F ⋅ δ r
− ∇ V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i
− ∑ i, j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i
− ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &
&-\nabla V\cdot \sum _{i}{\partial r \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&
&-\sum _{i, j}{\partial V \over \partial r_{j}}{\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&
&-\sum _{i}{\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\end{matrix}}} O dereito é máis difícil, pero logo temos: m r ″ ⋅ δ r
∑ i [ d d t ∂ T ∂ q i ′ − ∂ T ∂ q i ] δ q i {\displaystyle m\mathbf {r''} \cdot \delta \mathbf {r}
\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_{i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}} onde T
1/2m r′ 2 é a enerxía cinética da partícula. A nosa ecuación para o traballo realizado convértese así en ∑ i [ d d t ∂ T ∂ q i ′ − ∂ ( T − V ) ∂ q i ] δ q i
0 {\displaystyle \sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}
0} porén, esta debe ser verdade para calquera conxunto de desprazamentos xeneralizados δqi, polo que [ d d t ∂ T ∂ q i ′ − ∂ ( T − V ) ∂ q i ]
0 {\displaystyle \left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]
0} para cada coordenada xeneralizada δqi. Podemos simplificar aínda máis observando que V é unha función só de r e t, e r das coordenadas xeneralizadas e t. Polo tanto, V é independente das velocidades xeneralizadas: d d t ∂ V ∂ q i ′
0 {\displaystyle {d \over dt}{\partial {V} \over \partial {q'_{i}}}
0} Inserindo isto na ecuación anterior e substituíndo L
T - V, obtemos as ecuacións de Lagrange: ∂ L ∂ q i
d d t ∂ L ∂ q i ′ {\displaystyle {\partial {L} \over \partial q_{i}}
{d \over dt}{\partial {L} \over \partial {q'_{i}}}} Hai unha ecuación de Lagrange para cada coordenada xeneralizada qi. Cando qi ri (é dicir, as coordenadas xeneralizadas son sinxelamente as coordenadas cartesianas), é inmediato comprobar que as ecuacións de Lagrange redúcense á segunda lei de Newton.
A derivación anterior pódese xeneralizar a un sistema de N partículas. Haberá 6N coordenadas xeneralizadas, relacionadas ás coordenadas de posición por 3N ecuacións de transformación. En cada unha das 3N ecuacións de Lagrange, T é a enerxía cinética total do sistema, e V a enerxía potencial total.
Na práctica, é a miúdo máis fácil solucionar un problema usando as ecuacións de Euler-Lagrange que as leis de Newton. Isto é porque as coordenadas xeneralizadas apropiadas qi pódense elixir para aproveitar as simetrías no sistema.
Principio de Hamilton
A acción, denotada por S, é a integral temporal do lagranxiano: S
∫ L d t {\displaystyle S
\int L\, dt} Sexan q0 e q1 as coordenadas nos instantes inicial e final, t0 e t1 respectivamente. Usando o cálculo de variacións, pódese amosar que as ecuacións de Lagrange son equivalentes ó Principio de Hamilton: o sistema experimenta aquela traxectoria entre t0 e t1 cuxa acción ten un valor estacionario.
Por estacionario, entendemos que a acción non varía na primeira orde para as deformacións infinitesimais da traxectoria, cos puntos límites (q0, t0) e (q1, t1) fixados. O principio de Hamilton pódese escribir como: δS 0
Así, no canto de pensar en partículas que aceleran en resposta a forzas aplicadas, un pode pensar nelas seleccionando a traxectoria cunha acción estacionaria.
O principio de Hamilton é coñecido, ás veces, como principio de mínima acción. Con todo, isto non é apropiado: a acción só necesita ser estacionaria, e a traxectoria correcta poderíase producir por un máximo, punto de ensilladura, ou mínimo na acción.
Extensións da mecánica lagranxiana
O hamiltoniano, denotado por H, é obtido executando unha transformación de Legendre no lagranxiano. O hamiltoniano é a base para unha formulación alternativa da mecánica clásica coñecida como mecánica hamiltoniana. É unha cantidade particularmente ubicua na mecánica cuántica.
No 1948, Feynman descubriu a formulación por integral de traxectorias estendendo o principio de menor acción á mecánica cuántica. Nesta formulación, as partículas percorren cada traxectoria posible entre os estados iniciais e finais; a probabilidade dun estado final específico é obtida sumando sobre todas as traxectorias posibles que conduce a el. No réxime clásico, a formulación por integral de traxectorias reproduce o principio de Hamilton. Mecánica lagranxiana en variedades diferenciables
A formulación máis moderna da mecánica lagranxiana realízase con toda xeneralidade sobre unha variedade diferenciable chamada espazo fásico (ou espazo das fases) Γ (gamma) que se constrúe como o fibrado tanxente do chamado espazo de configuración.
Sobre o espazo fásico de dimensión 2N, , sendo N o número de graos de liberdade, defínese unha función lagranxiana, que pode expresarse termos dunha carta local de coordenadas sobre ℝ2N: L: Γ → R L ( p; v )
L ( q 1, .. ., q N; q ˙ 1, .. ., q ˙ N ) {\displaystyle {\mathcal {L}}: \Gamma \to \mathbb {R} \qquad {\mathcal {L}}(p; \mathbf {v} )
L(q_{1}, .. ., q_{N}; {\dot {q}}_{1}, .. ., {\dot {q}}_{N})\, }