Implicación recíproca

En lóxica e matemáticas, a implicación recíproca ou inversa dun enunciado categórico ou implicacional é o resultado de inverter os seus dous enunciados constituíntes. Para a implicación P → Q, a recíproca é Q → P. Para a proposición categórica Todos os S son P, a recíproca é Todos os P son S. De calquera xeito, a verdade do recíproco é xeralmente independente da afirmación orixinal. Implicación recíproca
Sexa S un enunciado da forma P implica Q (P → Q). Entón a recíproca de S é a afirmación Q implica P (Q → P). En xeral, a verdade de S non di nada sobre a verdade da súa recíproca, a non ser que o antecedente P e o consecuente Q sexan loxicamente equivalentes.
Por exemplo, considere a afirmación verdadeira "Se son humano, entón son mortal". A inversa desa afirmación é "Se son mortal, entón son un humano", o que non é necesariamente certo (mortal tamén pode ser unha cobra ou un paporrubio).
No entanto, a recíproca dun enunciado con termos mutuamente inclusivos segue sendo certa, dada a verdade da proposición orixinal. Isto equivale a dicir que a recíproca dunha definición é verdade. Así, a afirmación "Se son un triángulo, entón son un polígono de tres lados" é loxicamente equivalente a "Se son un polígono de tres lados, entón son un triángulo", porque a definición de "triángulo" é " polígono de tres lados".
Unha táboa de verdade deixa claro que S e a recíproca de S non son loxicamente equivalentes, a non ser que ambos os termos se impliquen entre si: Pasar dunha afirmación á súa recíproca é a falacia de afirmar o consecuente. Porén, se o enunciado S e o seu recíproco son equivalentes (é dicir, P é verdadeiro se e só se Q tamén é verdade), entón será válido afirmar a conclusión (lóxica).
A implicación recíproca é loxicamente equivalente á disxunción de P {\displaystyle P} e ¬ Q {\displaystyle \neg Q}
Recíproca dun teorema
A recíproca dun teorema pode ser verdadeira ou non, e aínda que sexa verdade, a proba pode ser difícil. Por exemplo, o teorema dos catro vértices demostrouse en 1912, mais a súa recíproca só se demostrou en 1997. A inversa de "Dado P, se Q entón R " será "Dado P, se R entón Q". Por exemplo, o teorema de Pitágoras pódese enunciar como: Dado un triángulo con lados de lonxitude a {\displaystyle a}, b {\displaystyle b}, e c {\displaystyle c}, se o ángulo oposto ao lado da lonxitude c {\displaystyle c} é un ángulo recto, entón a 2 + b 2
c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}
c^{2}}. A recíproca, que tamén aparece nos Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48), pódese afirmar como: Dado un triángulo con lados de lonxitude a {\displaystyle a}, b {\displaystyle b}, e c {\displaystyle c}, se a 2 + b 2
c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}
c^{2}}, entón o ángulo oposto ao lado da lonxitude c {\displaystyle c} é un ángulo recto.
Recíproca dunha relación
Se R {\displaystyle R} é unha relación binaria con R ⊆ A × B, {\displaystyle R\subseteq A\times B, } entón a relación inversa R T
{ ( b, a ): ( a, b ) ∈ R } {\displaystyle R^{T}
\{(b, a): (a, b)\in R\}} tamén se chama transposta. Notación
A recíproca da implicación P → Q pódese escribir Q → P, P ← Q {\displaystyle P\leftarrow Q}, e tamén se pode denotar P ⊂ Q {\displaystyle P\subset Q}.