Teoremas de Sylow

En matemáticas, especificamente no campo da teoría de grupos finitos, os teoremas de Sylow son unha colección de teoremas chamados así en honra do matemático noruegués Peter Ludwig Sylow que dan información detallada sobre o número de subgrupos dunha orde fixa que contén un grupo finito dado. Os teoremas de Sylow forman unha parte fundamental da teoría de grupos finitos e teñen aplicacións moi importantes na clasificación dos grupos simples finitos.
Para un número primo p {\displaystyle p}, un p {\displaystyle p} -grupo é un grupo cuxa cardinalidade é unha potencia de p {\displaystyle p} ou equivalentemente, a orde de cada elemento do grupo é unha potencia de p {\displaystyle p}. Un p {\displaystyle p} -subgrupo de Sylow (ás veces dise subgrupo p {\displaystyle p} -Sylow ) dun grupo finito é un p {\displaystyle p} -subgrupo maximal de G {\displaystyle G}, é dicir, un subgrupo de G {\displaystyle G} que é un p {\displaystyle p} -grupo e non é subgrupo propio de ningún outro p {\displaystyle p} -subgrupo de G {\displaystyle G}. O conxunto de todos os p {\displaystyle p} -subgrupos de Sylow para un primo dado p {\displaystyle p} denótase ás veces por Syl p ( G ) {\displaystyle {\text{Syl}}_{p}(G)}.
Os teoremas de Sylow establecen un recíproco parcial do teorema de Lagrange. O teorema de Lagrange establece que para calquera grupo finito G {\displaystyle G} a orde (número de elementos) de cada subgrupo de G {\displaystyle G} divide á orde de G {\displaystyle G}. Os teoremas de Sylow afirman que para cada factor primo p {\displaystyle p} da orde dun grupo finito G {\displaystyle G}, existe un p {\displaystyle p} -subgrupo de Sylow de orde p n {\displaystyle p^{n}}, a maior potencia de p {\displaystyle p} que divide á orde de G {\displaystyle G}. Ademais, cada subgrupo de orde p n {\displaystyle p^{n}} é un p {\displaystyle p} -subgrupo de Sylow, e os p {\displaystyle p} -subgrupos de Sylow dun grupo G {\displaystyle G} (para un primo p {\displaystyle p} dado) son conxugados uns de outros. Ademais, o número de p {\displaystyle p} -subgrupos de Sylow dun grupo G {\displaystyle G} para un primo p {\displaystyle p} dado é congruente con 1 (mod p {\displaystyle p} ). Teoremas
Motivación
Os teoremas de Sylow son afirmacións moi fortes sobre a estrutura dos grupos en xeral, e teñen tamén moito alcance nas aplicacións da teoría de grupos finitos. Isto é así porque dan un método para utilizar a descomposición prima da cardinalidade dun grupo finito G {\displaystyle G} para facer afirmacións sobre a estrutura dos seus subgrupos: esencialmente, dan unha técnica para transportar información básica da teoría de números sobre un grupo á súa estrutura de grupo. A partir desta observación, clasificar os grupos finitos convírtese nun xogo para descubrir que construcións/combinacións de grupos de orde máis pequena poden ser aplicadas para construír un grupo. Por exemplo, unha aplicación típica destes teoremas é a clasificación dos grupos finitos dalgunha cardinalidade fixa, por exemplo | G |
60 {\displaystyle |G|
60}.
Enunciado
As coleccións de subgrupos que son cada un maximal nun sentido ou outro son comúns en teoría de grupos. O resultado sorprendente aquí é que no caso de Syl p ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Syl} _{p}(G)}, todos os membros son de feito isomorfos uns aos outros e teñen a orde máis grande posíbel: se | G |
p n m {\displaystyle |G|
p^{n}m} con n > 0 {\displaystyle n>0}, onde p {\displaystyle p} non divide a m, entón cada p-subgrupo de Sylow P ten orde | P |
p n {\displaystyle |P|
p^{n}}. Isto é, P é un p-grupo e mcd ( | G: P |, p )
1 {\displaystyle {\text{mcd}}(|G: P|, p)
1}. Estas propiedades poden ser explotadas para analizar a estrutura de G.
Os seguintes teoremas foron propostos e probados por primeira vez por Ludwig Sylow en 1872, e publicados nos Mathematische Annalen. A seguinte versión máis feble do teorema (1) foi demostrada por primeira vez por Augustin-Louis Cauchy, e é coñecida como o teorema de Cauchy.
Consecuencias
Os teoremas de Sylow implican que, para un número primo p {\displaystyle p}, todo p-subgrupo de Sylow ten a mesma orde, p n {\displaystyle p^{n}}. De maneira recíproca, se un subgrupo ten orde p n {\displaystyle p^{n}}, entón é un p-subgrupo de Sylow, e polo tanto é conxugado con todos os demais p-subgrupos de Sylow. Pola condición de maximalidade, se H {\displaystyle H} é calquera p-subgrupo de G, entón H {\displaystyle H} está contido nun p-subgrupo de orde p n {\displaystyle p^{n}}.
Unha consecuencia importante do Teorema (2) é que a condición n p
1 {\displaystyle n_{p}
1} é equivalente a que o p-subgrupo de Sylow de G sexa un subgrupo normal (o Teorema (3) pode a miúdo demostrar que n p
1 {\displaystyle n_{p}
1} ). Porén, existen grupos que teñen subgrupos normais propios non triviais pero ningún subgrupo de Sylow normal, como S 4 {\displaystyle S_{4}}. Os grupos de orde potencia dun primo non teñen subgrupos de Sylow propios.
O terceiro punto do Teorema (3) ten como consecuencia inmediata que n p {\displaystyle n_{p}} divide a | G | {\displaystyle |G|}.
Teoremas de Sylow para grupos infinitos
Existe un análogo dos teoremas de Sylow para grupos infinitos. Defínese un p-subgrupo de Sylow nun grupo infinito como un p-subgrupo (é dicir, todo elemento ten orde potencia de p) que é maximal por inclusión entre todos os p-subgrupos do grupo. Sexa Cl ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {Cl} (K)} o conxunto dos conxugados dun subgrupo K ⊂ G {\displaystyle K\subset G}. Exemplos
Unha ilustración simple dos subgrupos de Sylow e dos teoremas de Sylow é o grupo diedral do n-gono, D2n. Para n impar, 221 é a maior potencia de 2 que divide a orde, e polo tanto os subgrupos de orde 2 son subgrupos de Sylow. Estes son os grupos xerados por unha reflexión, dos cales hai n, e todos eles son conxugados por rotacións; xeometricamente os eixes de simetría pasan por un vértice e por un lado.
Pola contra, se n é par, entón 4 divide a orde do grupo, e os subgrupos de orde 2 xa non son subgrupos de Sylow; de feito divídense en dúas clases de conxugación, xeometricamente segundo se pasan por dous vértices ou por dúas caras. Estas están relacionadas por un automorfismo externo, que pode representarse por unha rotación de π/n, a metade da rotación mínima no grupo diedral. Outro exemplo son os p-subgrupos de Sylow de GL2(Fq), onde p e q son números primos ≥ 3 e p ≡ 1 (mod q), que son todos abelianos. A orde de GL2(Fq) é (q2 − 1)(q2 − q)
(q)(q + 1)(q − 1)2. Como q
pnm + 1, a orde de GL2(Fq) p2n m′. Polo Teorema 1, a orde dos p-subgrupos de Sylow é p2n.
Un deses subgrupos, P, é o conxunto de matrices diagonais [ x i m 00 x j m ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}}, onde x é unha raíz primitiva de Fq. Como a orde de Fq é q − 1, as súas raíces primitivas teñen orde q − 1, o que implica que x(q − 1)/pn ou xm e todas as súas potencias teñen orde que é unha potencia de p. Así, P é un subgrupo no que todos os seus elementos teñen orde potencia de p. Hai pn eleccións posibles para a e b, o que dá |P| p2n. Isto significa que P é un p-subgrupo de Sylow, que é abeliano porque todas as matrices diagonais conmutan, e como o Teorema (2) afirma que todos os p-subgrupos de Sylow son conxugados entre si, os p-subgrupos de Sylow de GL2(Fq) son todos abelianos. Exemplos de aplicación
Como o teorema de Sylow garante a existencia de p-subgrupos dun grupo finito, resulta útil estudar con máis detalle os grupos de orde potencia dun primo. A maioría dos exemplos empregan o teorema de Sylow para demostrar que un grupo dunha orde particular non é simple. Para grupos de orde pequena, a condición de congruencia do teorema de Sylow é a miúdo suficiente para forzar a existencia dun subgrupo normal. Exemplo-1
Grupos de orde pq, con p e q primos e p < q.
Exemplo-2
Grupo de orde 30, grupos de orde 20, grupos de orde p2q, con p e q primos distintos, son algunhas das aplicacións.
Exemplo-3
(Grupos de orde 60): Se a orde |G| 60 e G ten máis dun 5-subgrupo de Sylow, entón G é simple.
Ordes de grupos cíclicos
Algúns números non primos n teñen a propiedade de que todo grupo de orde n é cíclico. Pode demostrarse que n
15 é un destes números empregando os teoremas de Sylow: sexa G un grupo de orde 15
3 · 5 e sexa n3 o número de 3-subgrupos de Sylow. Entón n3 ∣ {\displaystyle \mid } 5 e n3 ≡ 1 (mod 3). O único valor que satisfai estas condicións é 1; polo tanto, só hai un subgrupo de orde 3, e debe ser normal (xa que non ten conxugados distintos). Do mesmo xeito, n5 debe dividir 3, e n5 ≡ 1 (mod 5); así que tamén debe haber un único subgrupo normal de orde 5. Como 3 e 5 son coprimos, a intersección destes dous subgrupos é trivial, e polo tanto G debe ser o produto directo interno de grupos de orde 3 e 5, é dicir, o grupo cíclico de orde 15. Así, só existe un grupo de orde 15 (agás isomorfismo).
Os grupos pequenos non son simples
Un exemplo máis complexo implica a orde do grupo simple máis pequeno que non é cíclico. O teorema de Burnside sobre grupos p^a q^b establece que se a orde dun grupo é o produto dunha ou dúas potencias primas, entón o grupo é resoluble, e polo tanto o grupo non é simple, ou ben é de orde prima e cíclico. Isto descarta todos os grupos de orde ata 30 ( 2 · 3 · 5).
Se G é simple, e |G|
30, entón n3 debe ser divisor de 10 (
2 · 5), e n3 ≡ 1 (mod 3). Polo tanto, n3
10, xa que nin 4 nin 7 dividen a 10, e se n3
1, como antes, G tería un subgrupo normal de orde 3 e non podería ser simple. G ten daquela 10 subgrupos cíclicos distintos de orde 3, cada un con 2 elementos de orde 3 (máis a identidade). Isto significa que G ten polo menos 20 elementos distintos de orde 3.
Así mesmo, n5
6, xa que n5 debe dividir a 6 (
2 · 3), e n5 ≡ 1 (mod 5). Polo tanto, G ten tamén 24 elementos distintos de orde 5. Mais a orde de G é só 30, de xeito que non pode existir un grupo simple de orde 30.
Pola súa parte, se |G|
42
2 · 3 · 7, entón n7 debe dividir a 6 (
2 · 3) e n7 ≡ 1 (mod 7), o que forza n7
1. Polo tanto, como antes, G non pode ser simple.
En cambio, para |G|
60
22 · 3 · 5, é perfectamente posíbel que n3
10 e n5
6. E de feito, o grupo simple máis pequeno non cíclico é A5, o grupo alternante sobre 5 elementos. Ten orde 60, e posúe 24 permutacións cíclicas de orde 5, e 20 de orde 3.
Teorema de Wilson
Parte do teorema de Wilson afirma que ( p − 1 )! ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle (p-1)! \equiv -1{\pmod {p}}} para todo número primo p. Pode demostrarse facilmente este teorema a partir do terceiro teorema de Sylow. En efecto, o número np de p-subgrupos de Sylow no grupo simétrico Sp é 1/p − 1 veces o número de p-ciclos en Sp, é dicir, (p − 2)! . Por outra banda, np ≡ 1 (mod p). Polo tanto, (p − 2)! ≡ 1 (mod p). Así, (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Resultados de fusión
O argumento de Frattini mostra que un subgrupo de Sylow dun subgrupo normal fornece unha factorización dun grupo finito. Unha pequena xeneralización coñecida como o teorema de fusión de Burnside establece que se G é un grupo finito cun p-subgrupo de Sylow P e dous subconxuntos A e B normalizados por P, entón A e B son conxugados en G se e só se son conxugados en NG(P). A demostración é unha aplicación sinxela do teorema de Sylow: se B
Ag, entón o normalizador de B contén non só a P senón tamén a Pg (pois Pg está contido no normalizador de Ag). Polo teorema de Sylow P e Pg son conxugados non só en G, senón tamén no normalizador de B. Así, gh−1 normaliza a P para algún h que normaliza a B, e daquela Agh−1
Bh−1
B, polo que A e B son conxugados en NG(P). O teorema de fusión de Burnside pode empregarse para obter unha factorización máis potente chamada produto semidirecto: se G é un grupo finito cuxo p-subgrupo de Sylow P está contido no centro do seu normalizador, entón G ten un subgrupo normal K de orde coprima con P, con G
PK e P∩K {1}, é dicir, G é p-nilpotente.
As aplicacións menos triviais dos teoremas de Sylow inclúen o teorema do subgrupo focal, que estuda o control que un p-subgrupo de Sylow do subgrupo derivado exerce sobre a estrutura de todo o grupo. Este control explótase en varias etapas da clasificación dos grupos simples finitos, e por exemplo define as divisións de casos empregadas no teorema de Alperin–Brauer–Gorenstein, que clasifica os grupos simples finitos cuxo 2-subgrupo de Sylow é un grupo cuasi-diedral. Estes resultados dependen do reforzo feito por J. L. Alperin da parte de conxugación do teorema de Sylow, para controlar que tipos de elementos se empregan na conxugación. Algoritmos
O problema de atopar un subgrupo de Sylow dun grupo dado é un problema importante na teoría computacional de grupos.
Unha das demostracións da existencia de p-subgrupos de Sylow é construtiva: se H é un p-subgrupo de G e o índice [G: H] é divisíbel por p, entón o normalizador N NG(H) de H en G tamén cumpre que [N: H] é divisíbel por p. Noutras palabras, pódese atopar un sistema de xeradores policíclico dun p-subgrupo de Sylow a partir de calquera p-subgrupo H (incluída a identidade) tomando elementos de orde potencia de p contidos no normalizador de H pero non en H mesmo. A versión algorítmica disto (e moitas melloras) descríbese en forma de manual en Butler, incluíndo o algoritmo descrito en Cannon. Estas versións seguen empregándose no sistema de álxebra computacional GAP.
En grupos de permutacións, está demostrado, en Kantor e Kantor e Taylor, , que un p-subgrupo de Sylow e o seu normalizador poden atoparse en tempo polinómico respecto á entrada (o grao do grupo multiplicado polo número de xeradores). Estes algoritmos descríbense en forma de manual en Seress, e están a facerse prácticos a medida que o recoñecemento construtivo de grupos simples finitos se converte nunha realidade. En particular, versións deste algoritmo úsanse no sistema de álxebra computacional Magma.