Desigualdade triangular

En xeometría, a desigualdade triangular é o feito de que, nun triángulo, a lonxitude dun lado é menor que a suma das lonxitudes dos outros dous lados. Esta desigualdade é relativamente intuitiva. Na vida ordinaria, como na xeometría euclidiana, isto tradúcese no feito de que a liña recta é o camiño máis curto: o camiño máis curto do punto A ao punto B é ir recto alí, sen pasar por un terceiro punto C que non estea na recta. Enunciados
En xeometría
Nun plano euclidiano, sexa un triángulo ABC. Entón, as lonxitudes AB, AC e BC satisfán as seguintes tres desigualdades: A B ⩽ A C + C B {\displaystyle AB\leqslant AC+CB}; A C ⩽ A B + B C {\displaystyle AC\leqslant AB+BC}; B C ⩽ B A + A C {\displaystyle BC\leqslant BA+AC}.
A conxunción destas tres desigualdades é equivalente á dupla desigualdade: | A C − C B | ⩽ A B ⩽ A C + C B {\displaystyle |AC-CB|\leqslant AB\leqslant AC+CB}.
A primeira destas últimas desigualdades reflicte que nun triángulo, a lonxitude dun lado é maior que a diferenza das lonxitudes dos outros dous.
O caso da igualdade na segunda desigualdade sería: A B
A C + C B ⇔ C ∈ [ A B ] {\displaystyle AB
AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]}.
Para os números complexos
Usando unha representación complexa do plano euclidiano, podemos observar x
afixo de A C → {\displaystyle x
{\text{afixo de }}{\overrightarrow {AC}}} y
afixo de C B → {\displaystyle y
{\text{afixo de }}{\overrightarrow {CB}}} Obtemos esta formulación equivalente.
Para ( x, y ) ∈ C 2 {\displaystyle (x, y)\in \mathbb {C} ^{2}}, temos: | x + y | ⩽ | x | + | y | {\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|}; | x + y |
| x | + | y | ⟺ ∃ ( λ, μ ) ∈ R + 2 ∖ { ( 0, 0 ) }, λ y
μ x {\displaystyle |x+y|
|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda, \mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0, 0)\}, \ \lambda y
\mu x}.
Xeneralización a espazos prehilbertianos
Sexa ( E, ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (E, \langle \cdot |\cdot \rangle )} un espazo prehilbertiano real. Denotamos ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} como a norma asociada ao produto escalar. Para ( x, y ) ∈ E 2 {\displaystyle (x, y)\in E^{2}}, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o seu caso de igualdade, entón demostramos a desigualdade de Minkowski: ‖ x + y ‖ ⩽ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}; ‖ x + y ‖
‖ x ‖ + ‖ y ‖ ⟺ ∃ ( λ, μ ) ∈ R + 2 ∖ { ( 0, 0 ) }, λ y
μ x {\displaystyle \|x+y\|
\|x\|+\|y\|\Longleftrightarrow \exists (\lambda, \mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0, 0)\}, \ \lambda y
\mu x} ( x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} relacionados positivamente).
(Todo espazo pre-hilbertiano complexo ( E, ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ ′ ) {\displaystyle (E, \langle \cdot |\cdot \rangle ')} é un espazo real pre-hilbertiano, para o produto escalar ⟨ x | y ⟩:
R e ( ⟨ x | y ⟩ ′ ) {\displaystyle \langle x|y\rangle:
\mathrm {Re} (\langle x|y\rangle ')}, que induce a mesma norma que o produto hermitiano ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ ′ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle '}. )
Punto de vista axiomático
Sexa E un conxunto e d: E × E → R + {\displaystyle d: E\times E\to \mathbb {R} ^{+}}. Dicimos que d é unha distancia en E se: ∀ ( x, y ) ∈ E 2, d ( x, y )
d ( y, x ) {\displaystyle \forall (x, y)\in E^{2}, \ d(x, y)
d(y, x)} ∀ ( x, y ) ∈ E 2, d ( x, y )
0 ⟺ x
y {\displaystyle \forall (x, y)\in E^{2}, \ d(x, y)
0\Longleftrightarrow x
y} ∀ ( x, y, z ) ∈ E 3, d ( x, z ) ⩽ d ( x, y ) + d ( y, z ) {\displaystyle \forall (x, y, z)\in E^{3}, \ d(x, z)\leqslant d(x, y)+d(y, z)} A terceira propiedade require que para que d {\displaystyle d} sexa unha distancia debe verificar a desigualdade triangular. Xunto coa primeira, implica: ∀ ( x, y, z ) ∈ E 3, | d ( x, z ) − d ( y, z ) | ⩽ d ( x, y ) {\displaystyle \forall (x, y, z)\in E^{3}, \ |d(x, z)-d(y, z)|\leqslant d(x, y)} e máis xeralmente, para calquera parte A non baleira de E, | d ( x, A ) − d ( y, A ) | ⩽ d ( x, y ) {\displaystyle |d(x, A)-d(y, A)|\leqslant d(x, y)} (ver " Distancia").
Reciprocamente, | d ( x, z ) − d ( y, z ) | ⩽ d ( x, y ) ⟹ d ( x, z ) ⩽ d ( x, y ) + d ( y, z ) {\displaystyle |d(x, z)-d(y, z)|\leqslant d(x, y)\Longrightarrow d(x, z)\leqslant d(x, y)+d(y, z)}.
Todo espazo vectorial normado ( E, ‖ ‖ ) {\displaystyle (E, \|~\|)}, especialmente ( C, | | ) {\displaystyle (\mathbb {C}, |~|)}, está naturalmente provisto dunha distancia d {\displaystyle d}, definido por d ( x, y )
‖ x − y ‖ {\displaystyle d(x, y)
\|x-y\|}, para o que o incremento | d ( x, 0 ) − d ( y, 0 ) | ⩽ d ( x, y ) {\displaystyle |d(x, 0)-d(y, 0)|\leqslant d(x, y)} reescríbese: | ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | ⩽ ‖ x − y ‖ {\displaystyle {\Big |}\|x\|-\|y\|{\Big |}\leqslant \|x-y\|}. Desigualdade triangular xeneralizada
Podemos iterar a desigualdade triangular para un número finito de elementos.
En xeometría, isto dá: A 1 A n ⩽ A 1 A 2 + ⋯ A n − 1 A n {\displaystyle A_{1}A_{n}\leqslant A_{1}A_{2}+\cdots A_{n-1}A_{n}}, sendo o caso de igualdade para A 1, A 2, ⋯, A n {\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}} na mesma recta nesta orde.
Para complexos, isto dá: | z 1 + z 2 + ⋯ + z n | ⩽ | z 1 | + | z 2 | + ⋯ + | z n | {\displaystyle |z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|+\cdots +|z_{n}|}, sendo o caso de igualdade se z 1 ≠ 0 {\displaystyle z_{1}\neq 0}: z k / z 1 {\displaystyle z_{k}/z_{1}} é un real estritamente positivo para k
1 ⋯ n {\displaystyle k
1\cdots n}.
Para un espazo vectorial normado: ‖ x 1 + x 2 + ⋯ + x n ‖ ⩽ ‖ x 1 ‖ + ‖ x 2 ‖ + ⋯ + ‖ x n ‖ {\displaystyle \|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\|\leqslant \|x_{1}\|+\|x_{2}\|+\cdots +\|x_{n}\|}.
Sendo o caso de igualdade no caso prehilbertiano: Os x k {\displaystyle x_{k}} vinculados positivamente de dous en dous. Desigualdade triangular para integrais
Se f {\displaystyle f} é unha función integrábel no sentido de Riemann (en particular se é continua por intervalos) nun intervalo [ a, b ], a < b {\displaystyle [a, b], a<b}, con valores nun espazo vectorial estandarizado, entón: ‖ ∫ a b f ( x ) d x ‖ ⩽ ∫ a b ‖ f ( x ) ‖ d x {\displaystyle \left\Vert \int _{a}^{b}f(x)dx\right\Vert \leqslant \int _{a}^{b}\left\Vert f(x)\right\Vert dx} Sendo o caso de igualdade se f {\displaystyle f} é continua con valores complexos: hai unha constante k {\displaystyle k} de módulo 1 tal que f
k | f | {\displaystyle f
k|f|} en [ a, b ] {\displaystyle [a, b]}.
No caso real, isto é equivalente a que f {\displaystyle f} sexa de signo constante en [ a, b ] {\displaystyle [a, b]}.