Conxunto numerable

En matemáticas, un conxunto é contábel ou numerábel se é finito ou se pode facer unha correspondencia un a un co conxunto de números naturais. De forma equivalente, un conxunto é contábel se existe unha función inxectiva a partir dos números naturais; isto significa que cada elemento do conxunto pode estar asociado a un número natural único, ou que os elementos do conxunto poden ser contados un a un, aínda que o reconto pode nunca rematar debido a un número infinito de elementos.
Asumindo o axioma de escolla contábel, un conxunto é contábel se a súa cardinalidade (o número de elementos do conxunto) non é maior que a dos números naturais. Un conxunto numerábel que non é finito dise que é numerabelmente infinito ou contabelmente infinito.
O concepto atribúese a Georg Cantor, quen demostrou a existencia de conxuntos non numerábeis, é dicir, conxuntos que non son contábeis; por exemplo o conxunto dos números reais. Definición
Un conxunto S {\displaystyle S} é contábel se: A súa cardinalidade | S | {\displaystyle |S|} é menor ou igual a ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (aleph-cero, a cardinalidade do conxunto de números naturais N {\displaystyle \mathbb {N} }. Existe unha función inxectiva de S {\displaystyle S} a N {\displaystyle \mathbb {N} }. S {\displaystyle S} é baleiro ou existe unha función sobrexectiva de N {\displaystyle \mathbb {N} } a S {\displaystyle S}. Existe un mapeo bixectivo entre S {\displaystyle S} e un subconxunto de N {\displaystyle \mathbb {N} }. S {\displaystyle S} é finito ( | S | < ℵ 0 {\displaystyle |S|<\aleph _{0}} ) ou contabelmente infinito. Todas estas definicións son equivalentes.
Un conxunto S {\displaystyle S} é contabelmente infinito se: A súa cardinalidade | S | {\displaystyle |S|} é exactamente ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}.
Hai un mapeo inxectivo e sobrexectivo (e polo tanto bixectivo) entre S {\displaystyle S} e N {\displaystyle \mathbb {N} }. S {\displaystyle S} ten unha correspondencia un a un con N {\displaystyle \mathbb {N} }.
Os elementos de S {\displaystyle S} pódense ordenar nunha secuencia infinita a 0, a 1, a 2, … {\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots }, onde a i {\displaystyle a_{i}} é distinto de a j {\displaystyle a_{j}} para i ≠ j {\displaystyle i\neq j} e cada elemento de S {\displaystyle S} é listado.
Un conxunto é non numerábel se non é numerábel, é dicir, a súa cardinalidade é maior que ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}. Introdución
Algúns conxuntos son infinitos; estes conxuntos teñen máis de n {\displaystyle n} elementos onde n {\displaystyle n} é calquera número enteiro que se poida especificar. Por exemplo, o conxunto de números naturais, que serían { 0, 1, 2, 3, 4, 5, … } {\displaystyle \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}}, ten infinitos elementos, e non podemos usar ningún número natural para dar o seu tamaño. Por exemplo, hai infinitos enteiros impares, infinitos enteiros pares e tamén infinitos enteiros en xeral. Podemos considerar que todos estes conxuntos teñen o mesmo "tamaño" porque podemos organizar as cousas de forma que, para cada número enteiro, haxa un número dese conxunto distinto, por exemplo para os pares podemos estabelecer unha función bixectiva: … − 2 → − 4, − 1 → − 2, 0 → 0, 1 → 2, 2 → 4 ⋯ {\displaystyle \ldots \, -\! 2\! \rightarrow \! -\! 4, \, -\! 1\! \rightarrow \! -\! 2, \, 0\! \rightarrow \! 0, \, 1\! \rightarrow \! 2, \, 2\! \rightarrow \! 4\, \cdots } ou, máis xenralmente, n → 2 n {\displaystyle n\rightarrow 2n} (ver imaxe). Esta noción matemática de "tamaño", cardinalidade, é que dous conxuntos son do mesmo tamaño se e só se hai unha bixección entre eles. Chamamos infinitos a todos os conxuntos que están en correspondencia un a un cos números enteiros e dicimos que teñen cardinalidade ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}.
Georg Cantor demostrou que non todos os conxuntos infinitos son contábeis. Por exemplo, os números reais non se poden poñer en correspondencia un a un cos números naturais (números enteiros non negativos). O conxunto de números reais ten unha cardinalidade maior que o conxunto de números naturais e dise que é non numerábel. Visión xeral formal
Por definición, un conxunto S {\displaystyle S} é contábel se existe unha bixección entre S {\displaystyle S} e un subconxunto dos números naturais N
{ 0, 1, 2, … } {\displaystyle \mathbb {N}
\{0, 1, 2, \dots \}}. No caso dos conxuntos infinitos, un conxunto S {\displaystyle S} é contabelmente infinito se hai unha bixección entre S {\displaystyle S} e todo N {\displaystyle \mathbb {N} }. Como exemplos, considere o conxunto A
{ 1, 2, 3, … } {\displaystyle A
\{1, 2, 3, \dots \}}, o conxunto de enteiros positivos, temos a bixección n ↔ n + 1 {\displaystyle n\leftrightarrow n+1} e para o conxunto B
{ 0, 2, 4, 6, … } {\displaystyle B
\{0, 2, 4, 6, \dots \}}, os enteiros pares, temos a bixección n ↔ 2 n {\displaystyle n\leftrightarrow 2n}. Teorema: Todo subconxunto dun conxunto contábel é contábel. O conxunto de todos os pares ordenados de números naturais, o produto cartesiano de dous conxuntos de números naturais, N × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } é contabelmente infinito, como se pode ver seguindo un camiño como o da imaxe: O mapeo resultante sería do seguinte xeito: 0 ↔ ( 0, 0 ), 1 ↔ ( 1, 0 ), 2 ↔ ( 0, 1 ), 3 ↔ ( 2, 0 ), 4 ↔ ( 1, 1 ), 5 ↔ ( 0, 2 ), 6 ↔ ( 3, 0 ), … {\displaystyle 0\leftrightarrow (0, 0), 1\leftrightarrow (1, 0), 2\leftrightarrow (0, 1), 3\leftrightarrow (2, 0), 4\leftrightarrow (1, 1), 5\leftrightarrow (0, 2), 6\leftrightarrow (3, 0), \ldots } Teorema: O produto cartesiano de finitamente moitos conxuntos contábeis é contábel.
O conxunto de todos os números enteiros Z {\displaystyle \mathbb {Z} } e o conxunto de todos os números racionais Q {\displaystyle \mathbb {Q} } intuitivamente poden parecer moito máis grandes que N {\displaystyle \mathbb {N} }. Mais desde o punto de vista da cardinalidade isto non é así, se un par é tratado como o numerador e o denominador dunha fracción ( a / b {\displaystyle a/b} onde a {\displaystyle a} e b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} son enteiros), entón para cada fracción positiva, podemos chegar a un número natural distinto que lle corresponda. Teorema: Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (conxunto de todos os enteiros) e Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (conxunto de todos os números racionais) son contábeis.
De xeito semellante, o conxunto de números alxébricos é contábel. Teorema: Calquera unión finita de conxuntos countábeis é contábel. Teorema: (asumindo o axioma de escolla contábel) A unión de contabelmente moitos conxuntos contábeis forma un conxunto contábel. Necesitamos o axioma de escolla contábel para indexar todos os conxuntos a, b, c, d, … {\displaystyle {\textbf {a}}, {\textbf {b}}, {\textbf {c}}, {\textbf {d}}, \dots } simultaneamente. Teorema: O conxunto de todas as secuencias de números naturais é contábel.
Teorema: O conxunto de todos os subconxuntos finitos dos números naturais é contábel.
Teorema: Sexan os conxuntos S {\displaystyle S} e T {\displaystyle T}.
Se a función f: S → T {\displaystyle f: S\to T} é inxectiva e T {\displaystyle T} é contábel, daquela S {\displaystyle S} é contábel.
Se a función g: S → T {\displaystyle g: S\to T} é sobrexectiva e S {\displaystyle S} é contábel, daquela T {\displaystyle T} é contábel.
Isto segue das definicións de conxunto contábel como funcións inxectivas/sobrexectivas.
O teorema de Cantor afirma que se A {\displaystyle A} é un conxunto e P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} é o seu conxunto de partes, é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos de A {\displaystyle A}, entón non hai función sobrexectiva de A {\displaystyle A} a P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}. Unha demostración dáse no artigo Teorema de Cantor. Como consecuencia inmediata disto e do teorema básico anterior temos: Proposición: O conxunto P ( N ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} non é contábel; isto é, e non numerábel.
O conxunto dos números reais é non numerábel, e tamén o é o conxunto de todas as secuencias infinitas de números naturais. Orde total
Os conxuntos contábeis pódense ordenar totalmente de varias maneiras, por exemplo: Ben ordenado (ver tamén número ordinal):
A orde habitual dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, .. .)
Os enteiros na orde (0, 1, 2, 3, .. .; −1, −2, −3, .. .)
Outros (non ben ordenados):
A orde habitual dos números enteiros (. .. , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, .. .)
A orde habitual dos números racionais (Non se pode escribir explicitamente como unha lista ordenada! )
Nos dous exemplos de ordes ben ordenadas, calquera subconxunto ten un elemento menor; mais en ambos os dous exemplos de non ben ordenados, algúns subconxuntos non teñen un elemento menor. Esta é a definición clave que determina se unha orde total tamén é unha orde ben ordenada.