Unidade (teoría dos aneis)

En álxebra, unha unidade ou elemento invertíbel dun anel é un elemento invertíbel para a multiplicación do anel. É dicir, un elemento u dun anel R é unha unidade se existe v en R tal que v u
u v
1, {\displaystyle vu
uv
1, } onde 1 é a identidade multiplicativa; o elemento v é único para esta propiedade e chámase inverso multiplicativo de u. O conxunto de unidades de R forma un grupo R× baixo a multiplicación, chamado grupo de unidades ou grupo de unidades de R. Outras notacións para o grupo de unidades son R∗, U(R). Exemplos
A identidade multiplicativa 1 e a súa inversa aditiva −1 son sempre unidades. De xeito máis xeral, calquera raíz da unidade nun anel R é unha unidade: se rn
1, entón rn−1 é un inverso multiplicativo de r. Nun anel distinto de cero, o elemento 0 non é unha unidade, polo que R× non é pechado baixo a suma. Un anel distinto de cero R no que cada elemento distinto de cero é unha unidade (é dicir, R×
R ∖ {0}) chámase anel de división (ou corpo non conmutativo). Un anel de división conmutativo chámase corpo. Por exemplo, o grupo de unidade do corpo dos números reais R é R ∖ {0} (todos os números agás o cero).
Anel de enteiros
No anel de enteiros Z, as únicas unidades son 1 e −1.
No anel Z/nZ de enteiros módulo n, as unidades son as clases de congruencia (mod n) representadas por enteiros coprimos a n. Constitúen o grupo multiplicativo de números enteiros módulo n.
Anel de números enteiros dun corpo numérico
No anel Z[√3] obtido ao estender Z co enteiro cadrático √3, temos (2 + √3)(2 − √3) 1, polo que 2 + √3 é unha unidade, e tamén o son as súas potencias, polo que Z[√3] ten infinitas unidades.
De xeito máis xeral, para o anel de enteiros R nun corpo numérico F, o teorema das unidades de Dirichlet afirma que R× é isomorfo ao grupo Z n × μ R {\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}} onde μ R {\displaystyle \mu _{R}} é o grupo (finito, cíclico) de raíces da unidade en R, e n é o rango do grupo de unidades, con valor n
r 1 + r 2 − 1, {\displaystyle n
r_{1}+r_{2}-1, } onde r 1, r 2 {\displaystyle r_{1}, r_{2}} son o número de mergullos reais e o número de pares de mergullos complexos de F, respectivamente.
Relacionando esta fórmula co exemplo Z[√3]: o grupo de unidades dun (o anel de enteiros dun) corpo cadrático real é infinito de rango 2, xa que r 1
2, r 2
0 {\displaystyle r_{1}
2, r_{2}
0}.
Polinomios e series formais de potencias
Para un anel conmutativo R, as unidades do anel de polinomios R[x] son os polinomios p ( x )
a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n {\displaystyle p(x)
a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}} tal que a0 é unha unidade en R e os restantes coeficientes a 1, …, a n {\displaystyle a_{1}, \dots, a_{n}} son nilpotentes, é dicir, satisfán a i N
0 {\displaystyle a_{i}^{N}
0} para algún N. En particular, se R é un dominio, entón as unidades de R[x] son as unidades de R. As unidades do anel da serie formal de potencias R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} son as series formais de potencias p ( x )
∑ i
0 ∞ a i x i {\displaystyle p(x)
\sum _{i
0}^{\infty }a_{i}x^{i}} tal que a0 é unha unidade en R.
Aneis de matrices
O grupo de unidades do anel Mn(R) de matrices n × n sobre un anel R é o grupo GLn(R) de matrices invertíbeis. Para un anel conmutativo R, un elemento A de Mn(R) é invertíbel se e só se o determinante de A é invertíbel en R. Nese caso, A−1 pódese dar explicitamente en termos da matriz adxunta.
En xeral
Para os elementos x e y nun anel R, se 1 − x y {\displaystyle 1-xy} é invertíbel, entón 1 − y x {\displaystyle 1-yx} ten inverso 1 + y ( 1 − x y ) − 1 x {\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}; esta fórmula pódese intuir, mais non demostrar, mediante o seguinte cálculo nun anel de series formais de potencias non conmutativas: ( 1 − y x ) − 1
∑ n ≥ 0 ( y x ) n
1 + y ( ∑ n ≥ 0 ( x y ) n ) x
1 + y ( 1 − x y ) − 1 x. {\displaystyle (1-yx)^{-1}
\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}
1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x
1+y(1-xy)^{-1}x. } Consulte a identidade de Hua para ver resultados similares. Grupo das unidades
Un anel conmutativo é un anel local se R ∖ R× é un ideal máximal.
Como pode verse, se R ∖ R× é un ideal, entón é necesariamente un ideal máximal e R é local xa que un ideal máximal é disxunto de R×.
Se R é un corpo finito, entón R× é un grupo cíclico de orde |R| − 1.
Todo homomorfismo de aneis f: R → S induce un homomorfismo de grupos R× → S×, xa que f mapea unidades en unidades. De feito, a formación do grupo de unidades define un functor dende a categoría de aneis ata a categoría de grupos. O esquema do grupo GL 1 {\displaystyle \operatorname {GL} _{1}} é isomorfo ao esquema de grupos multiplicativos G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} sobre calquera base, polo que para calquera anel conmutativo R, os grupos GL 1 ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)} e G m ( R ) {\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)} son canonicamente isomorfos a U(R). Teña en conta que o functor G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} (é dicir, R ↦ U(R) ) é representábel no sentido: G m ( R ) ≃ Hom ⁡ ( Z [ t, t − 1 ], R ) {\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t, t^{-1}], R)} para aneis conmutativos R. Explicitamente, isto significa que hai unha bixección natural entre o conxunto dos homomorfismos do anel Z [ t, t − 1 ] → R {\displaystyle \mathbb {Z} [t, t^{-1}]\to R} e o conxunto de elementos unidade de R (en contraste, Z [ t ] {\displaystyle \mathbb {Z} [t]} representa o grupo aditivo G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}}, o functor desmontaxe da categoría de aneis conmutativos á categoría dos grupos abelianos). Elemento asociado
Supoña que R é conmutativo. Os elementos r e s de R chámanse asociados se existe unha unidade u en R tal que r us; escrito r ~ s. En calquera anel, os pares de elementos inversos aditivos x e −x son ou están asociados, xa que calquera anel inclúe a unidade −1. Por exemplo, 6 e −6 están asociados en Z. En xeral, ~ é unha relación de equivalencia en R.
A asociación tamén se pode describir en termos da acción de R× en R mediante multiplicación: Dous elementos de R están asociados se están na mesma R×-órbita.
Nun dominio de integridade, o conxunto de asociados dun determinado elemento distinto de cero ten a mesma cardinalidade que R×.
A relación de equivalencia ~ pódese ver como calquera das Relacións de semigrupo de Green especializada no semigrupo multiplicativo dun anel conmutativo R.