Atlas (topoloxía)

En matemáticas, particularmente en topoloxía, un atlas é un concepto usado para describir unha variedade. Un atlas está formado por cartas individuais que, grosso modo, describen rexións individuais da variedade. En xeral, a noción de atlas subxace na definición formal dunha variedade e outras estruturas relacionadas, tal como fibrados de vectores e outros fibrados. Cartas
A definición dun atlas depende da noción de carta. Unha carta para un espazo topolóxico M é un homeomorfismo φ {\displaystyle \varphi } dun subconxunto aberto U de M cara a un subconxunto aberto dun espazo euclidiano. Tradicionalmente, a carta escríbese como o par ordenado ( U, φ ) {\displaystyle (U, \varphi )}.
Cando se escolle un sistema de coordenadas no espazo euclidiano, este define as coordenadas U {\displaystyle U}: as coordenadas dun punto P {\displaystyle P} de U {\displaystyle U} defínense como as coordenadas de φ ( P ). {\displaystyle \varphi (P). } A parella formada por unha carta e un tal sistema de coordenadas chámase sistema de coordenadas local, carta de coordenadas, parche de coordenadas, mapa de coordenadas ou marco local. Definición formal de atlas
Un atlas para un espazo topolóxico M {\displaystyle M} é unha familia indexada { ( U α, φ α ): α ∈ I } {\displaystyle \{(U_{\alpha }, \varphi _{\alpha }): \alpha \in I\}} de cartas sobre M {\displaystyle M} que é unha cobertura de M {\displaystyle M} (é dicir, ⋃ α ∈ I U α
M {\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }
M} ). Se para algún n fixo, a imaxe de cada carta é un subconxunto aberto do espazo euclidiano n-dimensional, entón M {\displaystyle M} dise que é unha variedade n -dimensional. Un atlas ( U i, φ i ) i ∈ I {\displaystyle \left(U_{i}, \varphi _{i}\right)_{i\in I}} nunha variedade n {\displaystyle n} -dimensional M {\displaystyle M} chámase atlas adecuado se se cumpren as seguintes condicións: A imaxe de cada carta é un de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ou R + n {\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}, onde R + n {\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}} é o semiespazo pechado, ( U i ) i ∈ I {\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}} é unha cobertura aberta localmente finita de M {\displaystyle M}, e M
⋃ i ∈ I φ i − 1 ( B 1 ) {\textstyle M
\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}, onde B 1 {\displaystyle B_{1}} é a bóla aberta de raio 1 centrada na orixe.
Toda variedade segundo numerábel admite un atlas adecuado. A maiores, se V
( V j ) j ∈ J {\displaystyle {\mathcal {V}}
\left(V_{j}\right)_{j\in J}} é unha cobertura aberta da variedade segundo contábel M {\displaystyle M}, entón hai un atlas adecuado ( U i, φ i ) i ∈ I {\displaystyle \left(U_{i}, \varphi _{i}\right)_{i\in I}} en M {\displaystyle M}, tal que ( U i ) i ∈ I {\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}} é un refinamento de V {\displaystyle {\mathcal {V}}}. Mapas de transición
Un mapa de transición proporciona unha forma de comparar dúas cartas dun atlas. Para facer esta comparación, consideramos a composición dunha carta coa inversa da outra. Esta composición non está ben definida a non ser que restrinximos ambas as cartas á intersección dos seus dominios de definición. Supoña que ( U α, φ α ) {\displaystyle (U_{\alpha }, \varphi _{\alpha })} e ( U β, φ β ) {\displaystyle (U_{\beta }, \varphi _{\beta })} son dúas cartas para unha variedade M tal que U α ∩ U β {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }} non está baleira. O mapa de transición τ α, β: φ α ( U α ∩ U β ) → φ β ( U α ∩ U β ) {\displaystyle \tau _{\alpha, \beta }: \varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })} é o mapa definido por τ α, β
φ β ∘ φ α − 1. {\displaystyle \tau _{\alpha, \beta }
\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}. } Teña en conta que dado que φ α {\displaystyle \varphi _{\alpha }} e φ β {\displaystyle \varphi _{\beta }} ambos os dous son homeomorfismos, o mapa de transición τ α, β {\displaystyle \tau _{\alpha, \beta }} é tamén un homeomorfismo. Máis estrutura
A miúdo desexamos máis estrutura nunha variedade que simplemente a estrutura topolóxica. Por exemplo, se queremos unha noción inequívoca de diferenciación de funcións nunha variedade, entón é necesario construír un atlas cuxas funcións de transición sexan diferenciábeis. Tal variedade chámase diferenciábel. Dada unha variedade diferenciábel, pódese definir sen ambigüidades a noción de vectores tanxentes e logo derivadas direccionais.
Se cada función de transición é un mapa suave, entón o atlas chámase atlas suave, e a variedade en si denomínase suave. Alternativamente, pódese esixir que os mapas de transición teñan só k derivadas continuas, en cuxo caso dise que o atlas é C k {\displaystyle C^{k}}.
Moi xeralmente, se cada función de transición pertence a un pseudogrupo G {\displaystyle {\mathcal {G}}} dos homeomorfismos do espazo euclidiano, entón o atlas chámase a G {\displaystyle {\mathcal {G}}} -atlas. Se os mapas de transición entre as cartas dun atlas conservan unha trivialización local, daquela o atlas define a estrutura dun fibrado.