Multiplicación por un escalar

En matemáticas, a multiplicación por un escalar é unha das operacións básicas que definen un espazo vectorial en álxebra linealr (ou máis xeralmente, un módulo en álxebra abstracta). En contextos xeométricos comúns, a multiplicación escalar dun vector euclidiano real por un número real positivo multiplica a magnitude do vector sen mudar a súa dirección. A multiplicación escalar é a multiplicación dun vector por un escalar (onde o produto é un vector), e debe distinguirse do produto escalar ou produto interno de dous vectores (onde o produto é un escalar). Definición
En xeral, se K é un corpo e V é un espazo vectorial sobre K, entón a multiplicación escalar é unha función de K × V en V. O resultado de aplicar esta función a k en K e v en V denotase k v.
Propiedades
A multiplicación escalar obedece ás seguintes regras (vector en grosa): Aditividade no escalar: (c + d)v cv + dv;
Aditividade no vector: c(v + w) cv + cw;
Compatibilidade do produto de escalares coa multiplicación escalar: (cd) v c(dv);
Multiplicando por 1 non muda un vector: 1 v v;
Multiplicando por 0 dáse o vector cero: 0v 0;
Multiplicando por −1 dáse a inversa aditiva: (−1) v − v. Multiplicación escalar de matrices
A multiplicación escalar pola esquerda dunha matriz A cun escalar λ dá outra matriz do mesmo tamaño que A. Desígnase por λA, cuxas entradas de λA están definidas por ( λ A ) i j
λ ( A ) i j, {\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )_{ij}
\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\, ,} explicitamente: λ A
λ ( A 11 A 12 ⋯ A 1 m A 21 A 22 ⋯ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n m )
( λ A 11 λ A 12 ⋯ λ A 1 m λ A 21 λ A 22 ⋯ λ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ λ A n 1 λ A n 2 ⋯ λ A n m ). {\displaystyle \lambda \mathbf {A}
\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\, .} Do mesmo xeito, aínda que non hai unha definición amplamente aceptada, a multiplicación escalar pola dereita dunha matriz A cun escalar λ podería definirse como ( A λ ) i j
( A ) i j λ, {\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}
\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \, ,} Cando as entradas da matriz e dos escalares son do mesmo corpo conmutativo, por exemplo, o corpo numérico real ou o corpo numérico complexo, estas dúas multiplicacións son iguais e pódense denominar simplemente multiplicación escalar. Para matrices sobre un corpo máis xeral que non é conmutativo, poden non ser iguais.
Para un escalar e unha matriz real: λ
2, A
( a b c d ) {\displaystyle \lambda
2, \quad \mathbf {A}
{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}} 2 A
2 ( a b c d )
( 2 ⋅ a 2 ⋅ b 2 ⋅ c 2 ⋅ d )
( a ⋅ 2 b ⋅ 2 c ⋅ 2 d ⋅ 2 )
( a b c d ) 2
A 2. {\displaystyle 2\mathbf {A}
2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}2\! \cdot \! a&2\! \cdot \! b\\2\! \cdot \! c&2\! \cdot \! d\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}a\! \cdot \! 2&b\! \cdot \! 2\\c\! \cdot \! 2&d\! \cdot \! 2\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2
\mathbf {A} 2. } Para matrices e escalares de cuaternións: λ
i, A
( i 00 j ) {\displaystyle \lambda
i, \quad \mathbf {A}
{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}} i ( i 00 j )
( i 200 i j )
( − 100 k ) ≠ ( − 100 − k )
( i 200 j i )
( i 00 j ) i, {\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\, ,} onde i, j, k son as unidades de cuaternións. A non conmutatividade da multiplicación de cuaternións impide mudar ij
+k a ji
−k.