Función booleana

En matemáticas, unha función booleana é unha función cuxos argumentos e resultado asumen valores dun conxunto de dous elementos (normalmente {verdadeiro, falso}, {V, F}, {V, T], {0, 1} ou {-1, 1}). Os nomes alternativos son función de verdade (ou función lóxica), usado na lóxica. As funcións booleanas son obxecto da álxebra de Boole, usada na informática e nas portas lóxicas.
Unha función booleana toma a forma f: { 0, 1 } k → { 0, 1 } {\displaystyle f: \{0, 1\}^{k}\to \{0, 1\}}, onde { 0, 1 } {\displaystyle \{0, 1\}} coñécese como dominio booleano e k {\displaystyle k} é un enteiro non negativo chamado aridade da función. No caso de k
0 {\displaystyle k
0}, a función é un elemento constante de { 0, 1 } {\displaystyle \{0, 1\}}. Unha función booleana con múltiples saídas, f: { 0, 1 } k → { 0, 1 } m {\displaystyle f: \{0, 1\}^{k}\to \{0, 1\}^{m}} con m > 1 {\displaystyle m>1} é unha función booleana vectorial.
Cada función booleana de dimensión k {\displaystyle k} pode expresarse como unha fórmula proposicional en k {\displaystyle k} variábeis x 1, .. ., x k {\displaystyle x_{1}, .. ., x_{k}}, e dúas fórmulas proposicionais son loxicamente equivalentes se e só se expresan a mesma función booleana. Exemplos
As funcións booleanas simétricas rudimentarias (conectivas lóxicas ou portas lóxicas) son: NOT, negación ou complemento: recibe unha entrada e devolve verdadeiro cando esa entrada é falsa ("non").
AND ou conxunción: verdadeiro cando todas as entradas son verdadeiras ("ambas").
OU ou disxunción: verdadeiro cando calquera entrada é verdadeira ("algunha delas ou ambas as dúas")
XOR ou disxunción exclusiva: verdadeiro cando unha das súas entradas é verdadeira e a outra é falsa ("só algunha delas")
Barra de Sheffer ou NAND: verdadeiro cando non é o caso de que todas as entradas sexan verdadeiras ("non ambas as dúas")
NOR ou non ou lóxico: verdadeiro cando ningunha das entradas é verdadeira ("ningunha das dúas")
XNOR ou igualdade lóxica: verdadeiro cando as dúas entradas son iguais ("iguais") Representación
Unha función booleana pódese especificar de varias maneiras: Táboa de verdade: lista explicitamente o seu valor para todos os posíbeis valores dos argumentos
Diagrama de Marquand: valores da táboa de verdade dispostos nunha cuadrícula bidimensional (usado nun mapa de Karnaugh)
Diagrama de decisión binario, que enumera os valores da táboa de verdade na parte inferior dunha árbore binaria
Diagrama de Venn, que representa os valores da táboa de verdade como unha cor das rexións do plano
Alxebricamente, como fórmula proposicional usando funcións booleanas rudimentarias: Forma normal de negación, unha mestura arbitraria de AND e OR dos argumentos e dos seus complementos
Forma normal disxuntiva, como OU de ANDs dos argumentos e dos seus complementos
Forma normal conxuntiva, como AND de ORs dos argumentos e os seus complementos
Forma normal canónica, unha fórmula estandarizada que identifica de forma única a función:
Forma normal alxébrica ou polinomio de Zhegalkin, como XOR de ANDs dos argumentos (non se admiten complementos)
Forma normal disxuntiva completa (canónica), un OU de ANDs que contén cada argumento ou complemento (mintermos)
Forma normal conxuntiva completa (canónica), un AND de ORs que contén cada argumento ou complemento (maxtermos)
Forma canónica de Blake, o OR de todos os implicantes primos da función
As fórmulas booleanas tamén se poden mostrar como un Grafo.