Regra de Ruffini

En matemáticas, a regra de Ruffini facilita o cálculo rápido da división de calquera polinomio entre un binomio da forma ( x − r ) {\displaystyle (x-r)\ }. Descrita por Paolo Ruffini en 1809, é un caso especial de división sintética (unha división de polinomios en que o divisor é un factor linear). O algoritmo de Horner para a división de polinomios emprega a regra de Ruffini. A regra de Ruffini permite ademais localizar as raíces dun polinomio e factorizalo en binomios da forma ( x − r ) {\displaystyle (x-r)\ } (sendo r un número enteiro) se é coherente. Historia
O método de Ruffini-Horner para a procura dun valor aproximado da raíz dun polinomio foi publicado con algúns anos de diferenza por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) e por William George Horner (1819-1845, postumamente); seica Horner non tiña coñecementos dos traballos de Ruffini.
O método de Ruffini-Horner é dificilmente explotable se o polinomio posúe dúas raíces moi próximas. Ruffini non considera este problema, mais Horner propuxo un procedemento especial para estes casos. O método de Horner foi empregado polos matemáticos De Morgan e J. R. Young.
En tanto que técnica de cambio de variable, historicamente atópanse algoritmos semellantes, por exemplo na China, para a extracción da raíz n-ésima ou na obra de Al Samaw'al (século XII). O matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (século XII) foi un dos primeiros en aplicalo ao caso xeral dunha ecuación de terceiro grao. Algoritmo
A regra de Ruffini establece un método para a división do polinomio P ( x )
a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} entre o binomio Q ( x )
x − r {\displaystyle Q(x)
x-r\, \! } para obter o cociente R ( x )
b n − 1 x n − 1 + b n − 2 x n − 2 + ⋯ + b 1 x + b 0 {\displaystyle R(x)
b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}} e o resto: s. {\displaystyle s. \! } 1. Trázanse dúas liñas como eixes e escríbense os coeficientes de P(x), ordenados e sen omitir termos nulos. Escríbese a raíz r do lado esquerdo e o primeiro coeficiente na ringleira inferior (an): a n a n − 1 … a 1 a 0 r a n
b n − 1 {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&
b_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}} 2. Multiplícase (an) por r e escríbese debaixo de an-1: a n a n − 1 … a 1 a 0 r b n − 1 r a n
b n − 1 {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\, r&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&
b_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}} 3. Súmanse os dous valores obtidos na mesma columna: a n a n − 1 … a 1 a 0 r b n − 1 r a n a n − 1 + b n − 1 r
b n − 1
b n − 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\, r&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}\, r&{}&{}&{}\\{}&
b_{n-1}&
b_{n-2}&{}&{}&{}\\\end{array}}} 4. Repítese o proceso: a n a n − 1 … a 1 a 0 r b n − 1 r … b 1 r b 0 r a n a n − 1 + b n − 1 r … a 1 + b 1 r a 0 + b 0 r
b n − 1
b n − 2 …
b 0
s {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\, r&\dots &b_{1}\, r&b_{0}\, r\\\hline {}&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}\, r&\dots &a_{1}+b_{1}\, r&a_{0}+b_{0}\, r\\{}&
b_{n-1}&
b_{n-2}&\dots &
b_{0}&
s\\\end{array}}} Os valores b son os coeficientes do polinomio resultante R ( x ) {\displaystyle R(x)\! } de grao un menos que o grao de P ( x ) {\displaystyle P(x)\! }. O valor final obtido, s {\displaystyle s}, é o resto, que como amosa o teorema do resto, é igual a P ( r ) {\displaystyle P(r)\! }. Usos da regra
Atopar raíces
Se P ( x )
a n x n + a n − 1 x n − 1 +. .. + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+. .. +a_{1}x+a_{0}} é un polinomio con coeficientes enteiros e con a0 e an distintos de cero, entón polo teorema das raíces racionais, todas as raíces racionais reais serán da forma p/q, onde p é un enteiro divisor de a0 e q é un enteiro divisor de an. Así por exemplo, se o polinomio é P ( x )
x 3 + 2 x 2 − x − 2
0, {\displaystyle P(x)
x^{3}+2x^{2}-x-2
0\, \! ,} entón as posibles raíces racionais son todos os enteiros divisores de a0 (−2): Posibles raíces: { + 1, − 1, + 2, − 2 }. {\displaystyle {\text{Posibles raíces: }}\left\{+1, -1, +2, -2\right\}. } Isto resulta útil para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteiros, empregando os divisores do termo independente. Exemplos
Exemplo 1
División de P ( x )
2 x 3 + 3 x 2 − 4 {\displaystyle P(x)
2x^{3}+3x^{2}-4\, \! } entre Q ( x )
x + 1. {\displaystyle Q(x)
x+1. \, \! } empregando a regra de Ruffini.
1. Escríbese Q ( x )
x + 1
x − ( − 1 ) {\displaystyle Q(x)
x+1
x-(-1)\, \! } e o primeiro coeficiente (2) na primeira ringleira: 230 − 4 − 12 {\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}} 2. Multiplícase pola raíz r
(-1): 230 − 4 − 1 − 22 {\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}} 3. Sumase a columna: 230 − 4 − 1 − 221 {\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{1}&{}&{}\\\end{array}}} 4. O procedemento repítese ata obter o resto: 230 − 4 − 1 − 2 − 1121 − 1 − 3 C o e f. R e s t o {\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{-1}&{1}\\\hline {}&2&{1}&{-1}&{-3}\\{}&\mathrm {Coef. } &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}} Se o polinomio orixinal
divisor×cociente+resto, entón P ( x )
Q ( x ) R ( x ) + s {\displaystyle P(x)
Q(x)R(x)+s\, \! }, onde R ( x )
2 x 2 + x − 1 {\displaystyle R(x)
2x^{2}+x-1\, \! } e s
− 3. {\displaystyle s
-3. \, \! }
Exemplo 2
Cando o resto é igual a 0; permite factorizar, como no seguinte exemplo: F ( x )
x 3 + x 2 − x − 1 {\displaystyle F(x)
x^{3}+x^{2}-x-1} Tomando G ( x )
x + 1 {\displaystyle G(x)
x+1} Emprégase o método, e queda: 11 − 1 − 1 − 1 − 10110 − 10 C o e f. R e s t o {\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-1&-1\\-1&{}&{-1}&{0}&{1}\\\hline {}&1&{0}&{-1}&{0}\\{}&\mathrm {Coef. } &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}} Entón F(x) factoriza como ( x 2 − 1 ) ( x + 1 ) {\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)}