Límite matemático

Nas matemáticas, o límite é un concepto que describe a tendencia dunha sucesión ou unha función, cando os parámetros desa sucesión ou función se acercan a determinado valor. No cálculo (especialmente en análise real e matemática) este concepto utilízase para definir a converxencia, continuidade, derivación, integración etc. Límite dunha función
Definición
Informalmente, dise que o límite da función f(x) é L cando x tende a p, e escríbese: lim x → p f ( x )
L {\displaystyle \lim _{x\to p}\, \, f(x)
L} se se pode encontrar para cada ocasión un x suficientemente próximo de p tal que o valor de f(x) sexa tan próximo a L como se desexe. Formalmente, utilizando termos lóxico-matemáticos: lim x → p f ( x )
L ⟺ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀ x ( 0 < | x − p | < δ ⟶ | f ( x ) − L | < ϵ ) {\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to p}{\lim }}\, \, f(x)
L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0: \\\forall x(0<|x-p|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon )\end{array}}} Esta definición denomínase frecuentemente definición épsilon-delta de límite, e lese como segue: Límites dunha función de dúas ou máis variables
Nas funcións de dúas ou máis variables a definición de límite é a mesma que en todas as funcións numéricas, mais nestas non sempre é fácil de calcular e moitas veces é mesmo difícil afirmar que exista ou non un límite.
Unha función de dúas variables sería: R 2 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } ( x, y ) ⟼ f ( x, y )
z {\displaystyle \ (x, y)\longmapsto f(x, y)
z} A función de dúas variables ten dous graos de liberdade (nas funcións dunha variable só existe verdadeiramente un grao de liberdade que é a recta real, onde os valores poden ir cara a dereita, no sentido de maiores números reais, ou cara a esquerda, no sentido de menores números reais) por consecuencia é difícil achar o límite.
Ora, para que exista un valor de límite, é necesario que o independa do camiño tomado para que o(s) valor(es) da(s) variable(s) independentes sexan alcanzados. Iso pasa no caso unidimensional, cando os dous límites laterais coinciden. No caso contrario, o límite non existe.
De forma parecida, cando se ten unha función bidimensional como: R 2 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } ( x, y ) ⟼ f ( x, y )
x y {\displaystyle \ (x, y)\longmapsto f(x, y)
xy} o límite pode comprobarse a través de varios camiños. Supoñamos que queremos verificar o límite L desta función cando tende a (0, 0): lim ( x, y ) → ( 0, 0 ) f ( x, y )
L {\displaystyle \lim _{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)
L} Podemos aproximarnos ao valor (0, 0) a través de varias posibilidades: lim x → 0 f ( x, 0 )
L {\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x, 0)
L} Neste caso, o límite L é cero lim y → 0 f ( 0, y )
L {\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0, y)
L} Neste caso, o límite L é tamén cero Poderíase ficar enumerando todas as posibilidades, mais sería ocioso. No caso desta función, o límite neste punto é sempre cero. Límite dunha sucesión
A definición do límite matemático no caso dunha sucesión é moi semellante á definición do límite dunha función cando x {\displaystyle x} tende a ∞ {\displaystyle \infty }. Dicimos que a sucesión a n {\displaystyle a_{n}} tende até o seu límite a {\displaystyle a}, ou que converxe ou é converxente (a a {\displaystyle a} ), o que denotamos como: lim n → ∞ a n
a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}
a} se podemos achar un número N {\displaystyle N} tal que todos os termos da sucesión tenden a a {\displaystyle a} cando n {\displaystyle n} crece ilimitadamente. Formalmente: a n → a ⇔ {\displaystyle a_{n}\to a\Leftrightarrow } ∀ ϵ > 0, ∃ N > 0: ∀ n ≥ N, | a n − a | < ϵ {\displaystyle \forall \epsilon >0, \exists N>0: \forall n\geq N, |a_{n}-a|<\epsilon } Propiedades dos límites
Os límites cumpren as seguintes propiedades xerais, que son usadas moitas veces para simplificar o cálculo dos mesmos. lim x → a x
a {\displaystyle \lim _{x\to a}x
\, a\, } Límite por escalar. lim x → a k f ( x )
k lim x → a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}kf(x)
\, k\lim _{x\to a}f(x)\, } onde k é un multiplicador escalar.
Límite dunha suma. lim x → a ( f ( x ) + g ( x ) )
lim x → a f ( x ) + lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)+g(x))
\, \lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)\, } Límite dunha resta. lim x → a ( f ( x ) − g ( x ) )
lim x → a f ( x ) − lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)-g(x))
\, \lim _{x\to a}f(x)-\lim _{x\to a}g(x)\, } Límite dunha multiplicación. lim x → a ( f ( x ) ⋅ g ( x ) )
lim x → a f ( x ) ⋅ lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))
\, \lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)\, } Límite dunha división. lim x → a f ( x ) g ( x )
lim x → a f ( x ) lim x → a g ( x ) s i lim x → a g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle {\underset {x\to a}{\lim }}\; {\frac {f(x)}{g(x)}}
{\frac {{\underset {x\to a}{\lim }}\; f(x)}{{\underset {x\to a}{\lim }}\; g(x)}}\quad \mathrm {si} \ \lim _{x\to a}g(x)\neq 0}
Indeterminacións
Hai límites que calculándoos directamente se obtén algunha das seguintes expresións: ∞ − ∞, ∞ ∞, ∞ ⋅ 0, 00, ∞ 0, 1 ∞, 00 {\displaystyle \infty -\infty, \; {\frac {\infty }{\infty }}, \; \infty \cdot 0, \; {\frac {0}{0}}, \; \infty ^{0}, \; 1^{\infty }, 0^{0}\, } Denomínanse indeterminacións a estas expresións, xa que non teñen solución coñecible. Nalgúns casos, simplificando as expresións iniciais ou obtendo expresións equivalentes ás iniciais pódese resolver a indeterminación e calcular o límite. Outros casos requiren do uso doutras ferramentas como poden ser desigualdades ou a regra de l'Hopital.
Un exemplo de indeterminación do tipo 00 {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} é o que se dá nestes tres casos: lim t → 0 t t 2
00 → s i m p l i f i c a n d o lim t → 01 t
∞ {\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}
{\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}
\infty } lim t → 0 t t
00 → s i m p l i f i c a n d o lim t → 01
1 {\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}
{\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}1
1} lim t → 0 t 2 t
00 → s i m p l i f i c a n d o lim t → 0 t
0 {\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}
{\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}{t}
0}