Expansión de Engel

A expansión de Engel dun número real positivo x é a única secuencia non decrecente de números enteiros positivos ( a 1, a 2, a 3, … ) {\displaystyle (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots )} tal que x
1 a 1 + 1 a 1 a 2 + 1 a 1 a 2 a 3 + ⋯
1 a 1 ( 1 + 1 a 2 ( 1 + 1 a 3 ( 1 + ⋯ ) ) ) {\displaystyle x
{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots
{\frac {1}{a_{1}}}\! \left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\! \left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)} Por exemplo, o número e ten unha expansión de Engel 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .. .
correspondente á serie infinita e
11 + 11 + 11 ⋅ 2 + 11 ⋅ 2 ⋅ 3 + 11 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + ⋯ {\displaystyle e
{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots } Os números racionais teñen unha expansión de Engel finita, mentres que os números irracionais teñen unha expansión de Engel infinita. Se x é racional, a súa expansión de Engel proporciona unha representación de x como unha fracción exipcia. As expansións de Engel reciben o nome de Friedrich Engel, quen as estudou en 1913.
Unha expansión análoga a unha expansión de Engel, na que os termos alternos son negativos, chámase expansión de Pierce. Expansións de Engel, fraccións continuas e Fibonacci
Kraaikamp & Wu (2004) observe que unha expansión de Engel tamén se pode escribir coma unha variante ascendetnte dunha fracción continua: x
1 + 1 + 1 + ⋯ a 3 a 2 a 1. {\displaystyle x
{\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}. } Afirman que as fraccións continuas ascendentes como esta foron estudadas xa no Liber Abaci de Fibonacci (1202). Esta afirmación parece referirse á notación de fracción composta de Fibonacci na que unha secuencia de numeradores e denominadores que comparten a mesma barra de fracción representa unha fracción continua ascendente: a b c d e f g h
d + c + b + a e f g h. {\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}
{\dfrac {d+{\cfrac {c+{\cfrac {b+{\cfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}. } Algoritmo para calcular as expansións de Engel
Para atopar a expansión de Engel de x, sexa u 1
x, {\displaystyle u_{1}
x, } a k
⌈ 1 u k ⌉, {\displaystyle a_{k}
\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil \! ,} e u k + 1
u k a k − 1 {\displaystyle u_{k+1}
u_{k}a_{k}-1} onde ⌈ r ⌉ {\displaystyle \left\lceil r\right\rceil } é a función teito (o número enteiro máis pequeno non inferior a r).
Se u i
0 {\displaystyle u_{i}
0} para calquera i, remata o algoritmo. Exemplo
Para atopar a expansión de Engel de 1. 175, realizamos os seguintes pasos. u 1
1. 175, a 1
⌈ 11. 175 ⌉
1; {\displaystyle u_{1}
1. 175, a_{1}
\left\lceil {\frac {1}{1. 175}}\right\rceil
1; } u 2
u 1 a 1 − 1
1. 175 ⋅ 1 − 1
0. 175, a 2
⌈ 10. 175 ⌉
6 {\displaystyle u_{2}
u_{1}a_{1}-1
1. 175\cdot 1-1
0. 175, a_{2}
\left\lceil {\frac {1}{0. 175}}\right\rceil
6} u 3
u 2 a 2 − 1
0. 175 ⋅ 6 − 1
0. 05, a 3
⌈ 10. 05 ⌉
20 {\displaystyle u_{3}
u_{2}a_{2}-1
0. 175\cdot 6-1
0. 05, a_{3}
\left\lceil {\frac {1}{0. 05}}\right\rceil
20} u 4
u 3 a 3 − 1
0. 05 ⋅ 20 − 1
0 {\displaystyle u_{4}
u_{3}a_{3}-1
0. 05\cdot 20-1
0} A serie remata aquí. Así, 1. 175
11 + 11 ⋅ 6 + 11 ⋅ 6 ⋅ 20 {\displaystyle 1. 175
{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}} e a expansión de Engel de 1. 175 é (1, 6, 20). A expansión de Engel para progresións aritméticas
Considere esta suma: ∑ k
1 ∞ 1 ∏ i
0 k − 1 ( α + i β )
1 α + 1 α ( α + β ) + 1 α ( α + β ) ( α + 2 β ) + ⋯, {\displaystyle \sum _{k
1}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i
0}^{k-1}(\alpha +i\beta )}}
{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )}}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )}}+\cdots, } onde α, β ∈ N {\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb {N} } e 0 < α ≤ β {\displaystyle 0<\alpha \leq \beta }. Así, en xeral ( 1 β ) 1 − α β e 1 β γ ( α β, 1 β )
{ α, α ( α + β ), α ( α + β ) ( α + 2 β ), … } {\displaystyle \left({\frac {1}{\beta }}\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}e^{\frac {1}{\beta }}\gamma \left({\frac {\alpha }{\beta }}, {\frac {1}{\beta }}\right)
\{{\alpha }, \alpha (\alpha +\beta ), \alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta ), \dots \}\; },
onde γ {\displaystyle \gamma } representa a función gamma incompleta minúscula.
En concreto, se α
β {\displaystyle \alpha
\beta }, e 1 / β − 1
{ 1 β, 2 β, 3 β, 4 β, 5 β, 6 β, … } {\displaystyle e^{1/\beta }-1
\{1\beta, 2\beta, 3\beta, 4\beta, 5\beta, 6\beta, \dots \}\; }. Expansión de Engel para potencias de q
A identidade de Gauss do q-análogo pódese escribir como: ∏ n
1 ∞ 1 − 1 q 2 n 1 − 1 q 2 n − 1
∑ n
0 ∞ 1 q n ( n + 1 ) 2, q ∈ N. {\displaystyle \prod _{n
1}^{\infty }{\frac {1-{\frac {1}{q^{2n}}}}{1-{\frac {1}{q^{2n-1}}}}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{q^{\frac {n(n+1)}{2}}}}, \quad q\in \mathbb {N}. } Usando esta identidade, podemos expresar a expansión de Engel para potencias de q {\displaystyle q} do seguinte xeito: ∏ n
1 ∞ ( 1 − 1 q n ) ( − 1 ) n
∑ n
0 ∞ 1 ∏ i
1 n q i. {\displaystyle \prod _{n
1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{n}}}\right)^{(-1)^{n}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i
1}^{n}q^{i}}}. } A maiores, esta expresión pódese escribir en forma pechada como: q 1 / 8 ϑ 2 ( 1 q ) 2
{ 1, q, q 3, q 6, q 10, … } {\displaystyle {\frac {q^{1/8}\vartheta _{2}\left({\frac {1}{\sqrt {q}}}\right)}{2}}
\{1, q, q^{3}, q^{6}, q^{10}, \ldots \}} onde ϑ 2 {\displaystyle \vartheta _{2}} é a segunda función theta. Expansións de Engel para algunhas constantes coñecidas
π {\displaystyle \pi }
(1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, .. .) (secuencia A006784 na OEIS) 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
(1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, .. .) (secuencia A028254 na OEIS) e {\displaystyle e} (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, .. .) (secuencia A028310 na OEIS)