Categoría (matemáticas)

En teoría de categorías, unha categoría é unha estrutura alxébrica que consta dunha colección de obxectos, conectados uns con outros mediante frechas tales que se cumpren as seguintes propiedades básicas: as frechas pódense compor unhas con outras de maneira asociativa, e para cada obxecto existe unha frecha que se comporta como un elemento neutro baixo a composición.
Un exemplo clásico é a categoría de conxuntos, no que os obxectos son conxuntos e as frechas son as funcións, e onde a composición de frechas é a composición usual de funcións. En xeral, os obxectos e as frechas poden ser obxectos abstractos de calquera tipo, e a noción de categoría prové dunha maneira abstracta e fundamental para describir entidades matemáticas e as súas relacións. Esta é a idea central da teoría de categorías, unha rama das matemáticas que busca xeneralizar todas as demais teorías matemáticas en termos de obxectos e frechas. Practicamente calquera rama das matemáticas modernas pódese describir en termos de categorías, e mediante esta descrición é común que se revelen propiedades e similitudes moi profundas entre áreas aparentemente distintas.
Dúas categorías son iguais se teñen a mesma colección de obxectos, a mesma colección de frechas, e a mesma forma asociativa de compor frechas. Dúas categorías tamén se poden considerar equivalentes mesmo se non son precisamente a mesma. Moitas categorías moi cotiás denótanse comunmente cunha abreviación do tipo dos seus obxectos, por exemplo: Con refírese á categoría de conxuntos, Top refírese á categoría de espazos topolóxicos, Ab refírese á categoría de grupos abelianos etc. Definición
Hai varias definicións equivalentes dunha categoría. A máis habitual é a seguinte: unha categoría C consta de: unha clase ob(C) de obxectos
para cada par de obxectos A, B en ob(C) un conxunto C(A, B) de frechas ou morfismos de A a B.
para cada terna de obxectos A, B, C de C unha función ∘: C(A, B)×C(B, C)→C(A, C) onde ∘(f, g) se denota g ∘ f.
Ademais, os seguintes axiomas deben ser certos: Asociatividade: para calquera terna de frechas f, g, h cúmprese que h ∘ (g ∘ f) (h ∘ g) ∘ f, se é que estas composicións están definidas.
Identidade: para todo obxecto A en ob(C) existe unha frecha en C(A, A) comunmente denotada 1A tal que para toda frecha f en C(A; B) f
1B ∘ f e f
f ∘ 1A.
Destes axiomas pódese deducir facilmente que existe unha única frecha identidade para cada obxecto. Historia
A noción de categoría, e en xeral, as primeiras nocións de teoría de categorías, apareceron por primeira vez en 1945 nun artigo de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane chamado "General Theory of Natural Equivalences" (Teoría xeral das equivalencias naturais). Exemplos
A categoría Con é aquela que ten como obxectos todos os conxuntos e se A e B son conxuntos, entón Con(A, B) é o conxunto de funcións con dominio A e codominio B. Esta é a categoría máis comunmente empregada nas matemáticas.
Calquera clase pode ser vista como unha categoría que so ten como morfismos os morfismos identidade. Chámanse categorías discretas e son o tipo máis simple de categoría.
Carquer conxunto preordenado (P, ≤) forma unha categoría na que os obxectos son os elementos de P e os morfismos as frechas que van de x a y cando x ≤ y.
Calquera monoide, grupo e grupoide poden considerarse categorías. Un grafo orientado xera unha categoría: os obxectos son os vértices do grafo e os morfismos os camiños do grafo. A composición dos morfismos é a concatenación de camiños. Construción de novas categorías
Categoría dual
Calquera categoría C pode ser considerada unha nova categoría cunha forma diferente: os obxectos son os mesmos que na categoría orixinal pero as frechas son as que estaban na categoría orixinal invertidas. Chámase categoría dual ou oposta e denótase Cop.
Categorías produto
Se C e D son categorías, pódese construír a categoría produto C × D: os obxectos son pares que consisten nun obxecto de C e outro de D, e os morfismos son tamén pares que consisten nun morfismo de C e outro de D. Estes pares poden tamén comporse.