Matriz de conferencia

En matemáticas, unha matriz de conferencia (tamén chamada matriz C) é unha matriz cadrada C con 0 na diagonal e +1 e −1 fóra da diagonal, de xeito que CTC é un múltiplo da matriz identidade I. Así, se a matriz ten orde n, CTC (n −1) I. Algúns autores usan unha definición máis xeral, que require que haxa un único 0 en cada fila e columna mais non necesariamente na diagonal.
As matrices de conferencia xurdiron por primeira vez en relación cun problema de telefonía. Foron descritas por primeira vez por Vitold Belevitch, quen tamén lles deu o seu nome.
Para n > 1, hai dous tipos de matriz de conferencia. Normalicemos C, primeiro (se se usa a definición máis xeral), reordenando as filas de xeito que todos os ceros estean na diagonal, e despois negando calquera fila ou columna cuxa primeira entrada sexa negativa. (Estas operacións non mudan se unha matriz é unha matriz de conferencia. ) Así, unha matriz de conferencia normalizada ten todos os 1 na súa primeira fila e columna, agás un 0 na esquina superior esquerda, e é 0 na diagonal. Sexa S a matriz que fica cando se elimina a primeira fila e columna de C. Entón ou n é dupla par (un múltiplo de 4) e S é antisimétrica (igual que a C normalizada se a súa primeira fila é negada), ou n é simple par (congruente con 2 módulo 4) e S é simétrica (igual que a C normalizada). Matrices de conferencia simétricas
Se C é unha matriz de conferencia simétrica de orde n > 1, entón n non só debe ser congruente con 2 mod 4 senón que tamén n − 1 debe ser unha suma de dous cadrados; hai unha proba mediante a teoría de matrices elementais en van Lint e Seidel. n sempre será a suma de dous cadrados se n − 1 é unha potencia prima.
Dada unha matriz de conferencia simétrica, a matriz S pódese ver como a matriz de adxacencia de Seidel dun grafo. O grafo ten n − 1 vértices, correspondentes ás filas e columnas de S, e dous vértices son adxacentes se a entrada correspondente en S é negativa. Este grafo é fortemente regular do tipo chamado (igual que a matriz) grafo de conferencia.
A existencia de matrices de conferencia de orde n permitidas polas restricións anteriores só se coñece para algúns valores de n. Por exemplo, se n
q + 1 onde q é unha potencia prima congruente con 1 mod 4, entón os grafos de Paley proporcionan exemplos de matrices de conferencia simétricas de orde n, tomando S como a matriz de Seidel do grafo de Paley. As primeiras ordes posíbeis dunha matriz de conferencia simétrica son n
2, 6, 10, 14, 18, (non 22, xa que 21 non é unha suma de dous cadrados), 26, 30, (non 34 xa que 33 non é un suma de dous cadrados), 38, 42, 46, 50, 54, (non 58), 62 (secuencia A000952 na OEIS); para cada un destes, sábese que existe unha matriz de conferencia simétrica desa orde. A orde 66 parece ser un problema aberto.
Exemplos
A matriz de conferencia esencialmente única de orde 6 vén dada por ( 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 10 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 + 10 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 10 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 10 + 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 10 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&+1&+1&+1&+1&+1\\+1&0&+1&-1&-1&+1\\+1&+1&0&+1&-1&-1\\+1&-1&+1&0&+1&-1\\+1&-1&-1&+1&0&+1\\+1&+1&-1&-1&+1&0\end{pmatrix}}}.
Todas as demais matrices de conferencia de orde 6 obtéñense desta invirtiendo os signos dalgunha fila e/ou columna (e tomando permutacións de filas e/ou columnas, segundo a definición utilizada).
Unha matriz de conferencia de orde 10 é ( 0 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 − 10 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 10 − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1 − 1 − 10 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 10 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 10 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 10 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 10 + 1 − 1 − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 10 + 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 10 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&-1&+1&-1&-1&-1&+1&-1&-1\\-1&0&-1&-1&-1&+1&+1&-1&-1&-1\\-1&-1&0&-1&+1&-1&+1&+1&+1&-1\\+1&-1&-1&0&+1&+1&+1&+1&-1&+1\\-1&-1&+1&+1&0&-1&+1&-1&-1&+1\\-1&+1&-1&+1&-1&0&+1&+1&+1&+1\\-1&+1&+1&+1&+1&+1&0&+1&-1&-1\\+1&-1&+1&+1&-1&+1&+1&0&+1&-1\\-1&-1&+1&-1&-1&+1&-1&+1&0&+1\\-1&-1&-1&+1&+1&+1&-1&-1&+1&0\end{pmatrix}}}. Matrices de conferencia antisimétricas
Tamén se poden producir matrices antisimétricas coa construción de Paley. Sexa q unha potencia prima co residuo 3 mod 4. Entón hai un digrafo de Paley de orde q que conduce a unha matriz antisimétrica de orde n q + 1. A matriz obtense tomando para S a matriz q × q que ten un +1 en posición (i, j ) e −1 na posición (j, i) se hai unha aresta do digrafo de i a j, e diagonal cero. Entón a matriz C así construída a partir de S, mais coa primeira fila toda negativa, é unha matriz de conferencia antisimétrica. Xeneralizacións
Ás veces, unha matriz de conferencia de orde n só se define como unha matriz ponderada da forma W (n, n −1), onde se di que W (n, w) ten un peso w > 0 e de orde n se é unha matriz cadrada de tamaño n con entradas {−1, 0, +1} que satisfán W WT w I. Usando esta definición, o elemento cero xa non é necesario que estea na diagonal, mais é fácil ver que aínda debe haber exactamente un elemento cero en cada fila e columna. Por exemplo, a matriz ( 10110 − 1 − 111 − 10 − 111 − 10 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&-1&-1&1\\1&-1&0&-1\\1&1&-1&0\end{pmatrix}}} satisfaría esta definición relaxada, mais non a máis estrita que esixe que os elementos cero estean na diagonal.