Ecuación paramétrica

En matemáticas, unha ecuación paramétrica expresa varias cantidades, como as coordenadas dun punto, como funcións dun ou varias variábeis chamaron parámetros. No caso dun único parámetro, as ecuacións paramétricas son xeralmente usadas para expresar a traxectoria dun punto que se move, caso no que o parámetro é a miúdo, mais non necesariamente, o tempo, e o punto describe unha curva, chamada curva paramétrica ou curva parametrizada. No caso de dous parámetros, o punto describe unha superficie, chamada unha superficie paramétrica. En todos os casos, as ecuacións chámanse colectivamente unha representación paramétrica, ou sistema paramétrico, ou parametrización do obxecto.
Por exemplo, as ecuacións x
cos ⁡ t y
sen ⁡ t {\displaystyle {\begin{aligned}x&
\cos t\\y&
\operatorname {sen} t\end{aligned}}} forman unha representación paramétrica da circunferencia unidade, onde t é o parámetro: Un punto (x, y) está na circunferencia unidade se e só se hai un valor de t tal que este dúas ecuacións xeran ese punto. Ás veces as ecuacións paramétricas para as variábeis escalares individuais combínanse nunha única ecuación paramétrica en vectores: ( x, y )
( cos ⁡ t, sen ⁡ t ). {\displaystyle (x, y)
(\cos t, \operatorname {sen} t). } As representacións paramétricas son xeralmente non únicas (ver os "Exemplos en dúas dimensións" na sección máis abaixo), así que as mesmas cantidades poden ser expresadas por un número de diferente parametrizacións.
Alén de curvas e superficies, as ecuacións paramétricas poden describir variedades diferenciables e variedades alxébricas de dimensión superior, cun número dos parámetros igual á dimensión da variedade, e o número de ecuacións igual á dimensión do espazo no cal é considerada a variedade (para curvas a dimensión é un e un parámetro é utilizado, para as superficies a dimemsnión é dous e dous os parámetros, etc. ).
As ecuacións paramétricas son xeralmente utilizadas en cinematica, onde a traxectoria dun obxecto está representado por ecuacións que dependen do tempo como parámetro. Debido a esta aplicación, un parámetro único é a miúdo denotado t; con todo, os parámetros poden representar outras cantidades físicas (como variábeis xeométricas) ou poden ser seleccionado arbitrariamente por comodidade. As parametrizacións non son únicas; máis dun conxunto de ecuacións paramétricas pode especificar a mesma curva. Curvas paramétricas no plano
Parábola
A ecuación máis simple para unha parábola, y
x 2 {\displaystyle y
x^{2}} pódese (trivialmente) parametrizar empregando un parámetro libre t, se definimos x
t, y
t 2 p a r a − ∞ < t < ∞. {\displaystyle x
t, \quad y
t^{2}\quad \mathrm {para} \ -\infty <t<\infty. }
Ecuacións explícitas
De xeito máis xeral, calquera curva dada por unha ecuación explícita y
f ( x ) {\displaystyle y
f(x)} pódese (trivialmente) parametrizar empregando un parámetro libre t, definindo x
t, y
f ( t ) p a r a − ∞ < t < ∞. {\displaystyle x
t, \quad y
f(t)\quad \mathrm {para} \ -\infty <t<\infty. }
Circunferencia
Un exemplo máis elaborado é o seguinte. Considérese a circunferencia unidade descrita pola ecuación cartesiana x 2 + y 2
1. {\displaystyle x^{2}+y^{2}
1. } Esta ecuación pode parametrizarse como: ( x, y )
( cos ⁡ t, sen ⁡ t ) p a r a 0 ≤ t < 2 π. {\displaystyle (x, y)
(\cos t, \; \operatorname {sen} t)\quad \mathrm {para} \ 0\leq t<2\pi. } Coa ecuación cartesiana é máis doado comprobar se un punto pertence ou non á circunferencia. Coa versión paramétrica é máis doado obter puntos para debuxar.
En certos contextos prefírense ecuacións paramétricas que empreguen só funcións racionais (fraccións de dous polinomios), se existen. No caso da circunferencia, unha é x
1 − t 21 + t 2 y
2 t 1 + t 2. {\displaystyle {\begin{aligned}x&
{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&
{\frac {2t}{1+t^{2}}}\, .\end{aligned}}} Con este par de ecuacións paramétricas, o punto (−1, 0) non está representado por ningún valor real de t, senón polo límite de x e y cando t tende a infinito.
Elipse
Unha elipse en posición canónica (centro na orixe, eixe maior ao longo do eixe x), con semieixes a e b, pódese representar parametricamente como x
a cos ⁡ t y
b sen ⁡ t. {\displaystyle {\begin{aligned}x&
a\, \cos t\\y&
b\, \operatorname {sen} t\, .\end{aligned}}} Unha elipse en posición xeral pode expresarse como x
X c + a cos ⁡ t cos ⁡ φ − b sen ⁡ t sen ⁡ φ y
Y c + a cos ⁡ t sen ⁡ φ + b sen ⁡ t cos ⁡ φ {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x
{}&&X_{\mathrm {c} }&+a\, \cos t\, \cos \varphi {}&&-b\, \operatorname {sen} t\, \operatorname {sen} \varphi \\y
{}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\, \cos t\, \operatorname {sen} \varphi {}&&+b\, \operatorname {sen} t\, \cos \varphi \end{alignedat}}} co parámetro t variando de 0 {\displaystyle 0} a 2 π {\displaystyle 2\pi }. Aquí (Xc, Yc)
é o centro da elipse e φ o ángulo
entre o eixe x e o eixe maior.
Ambas parametrizacións poden facerse
racionais
usando a fórmula do ángulo metade
e definindo tan ⁡ t 2
u. {\textstyle \tan {\frac {t}{2}}
u\, .}
Curva de Lissajous
Unha curva de Lissajous é semellante a unha elipse,
pero as ondas sinusoidais x e y
non están en fase.
En posición canónica, unha curva de Lissajous defínese por x
a cos ⁡ ( k x t ) y
b sen ⁡ ( k y t ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&
a\, \cos(k_{x}t)\\y&
b\, \operatorname {sen}(k_{y}t)\end{aligned}}} onde kx e ky
son constantes que describen
o número de lóbulos da figura.
Hipérbole
Unha hipérbole de apertura leste-oeste
pódese representar parametricamente por x
a sec ⁡ t + h y
b tan ⁡ t + k, {\displaystyle {\begin{aligned}x&
a\sec t+h\\y&
b\tan t+k\, ,\end{aligned}}} ou, racionalmente: x
a 1 + t 21 − t 2 + h y
b 2 t 1 − t 2 + k. {\displaystyle {\begin{aligned}x&
a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&
b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\, .\end{aligned}}} Unha hipérbole de apertura norte-sur
pódese representar parametricamente como x
b tan ⁡ t + h y
a sec ⁡ t + k, {\displaystyle {\begin{aligned}x&
b\tan t+h\\y&
a\sec t+k\, ,\end{aligned}}} ou, racionalmente: x
b 2 t 1 − t 2 + h y
a 1 + t 21 − t 2 + k. {\displaystyle {\begin{aligned}x&
b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&
a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\, .\end{aligned}}} En todas estas fórmulas,
(h, k) son as coordenadas
do centro da hipérbole,
a é a lonxitude do semieixe maior
e b a do semieixe menor.
Obsérvese que nas formas racionais
os puntos (−a, 0) e (0, −a)
respectivamente non están representados
por valores reais de t,
senón polo límite de x e y
cando t tende a infinito.
Hipotrocoide
Unha hipotrocoide é a curva trazada
por un punto fixo nun círculo de raio r
que roda polo interior dun círculo fixo
de raio R,
situado a unha distancia d
do centro do círculo interior. As ecuacións paramétricas da hipotrocoide son: x ( θ )
( R − r ) cos ⁡ θ + d cos ⁡ ( R − r r θ ) y ( θ )
( R − r ) sen ⁡ θ − d sen ⁡ ( R − r r θ ). {\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&
(R-r)\cos \theta +d\cos \left({\frac {R-r}{r}}\, \theta \right)\\y(\theta )&
(R-r)\operatorname {sen} \theta -d\operatorname {sen} \left({\frac {R-r}{r}}\, \theta \right)\, .\end{aligned}}} Algúns exemplos: Curvas paramétricas no espazo
Hélice
As ecuacións paramétricas son útiles para describir curvas en espazos de dimensión superior. Por exemplo: x
a cos ⁡ t y
a sen ⁡ t z
b t {\displaystyle {\begin{aligned}x&
a\cos t\\y&
a\operatorname {sen} t\\z&
bt\, \end{aligned}}} describe unha curva tridimensional, a hélice, cun radio a e que sobe 2 π b {\displaystyle 2\pi b} unidades por volta. As ecuacións da parte ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} son idénticas ás dunha circunferencia no plano. Expresións como a anterior adoitan escribirse como r ( t )
( x ( t ), y ( t ), z ( t ) )
( a cos ⁡ t, a sen ⁡ t, b t ), {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&
(x(t), y(t), z(t))\\&
(a\cos t, \; a\operatorname {sen} t, \; bt)\, ,\end{aligned}}} onde r é un vector tridimensional.
Recta
A ecuación paramétrica da recta que pasa polo punto ( x 0, y 0, z 0 ) {\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} e é paralela ao vector a i ^ + b j ^ + c k ^ {\displaystyle a\, {\hat {\mathbf {i} }}+b\, {\hat {\mathbf {j} }}+c\, {\hat {\mathbf {k} }}} é x
x 0 + a t y
y 0 + b t z
z 0 + c t {\displaystyle {\begin{aligned}x&
x_{0}+at\\y&
y_{0}+bt\\z&
z_{0}+ct\end{aligned}}} Superficies paramétricas
Un toro con radio maior R e radio menor r pódese definir parametricamente como x
cos ⁡ t ( R + r cos ⁡ u ), y
sen ⁡ t ( R + r cos ⁡ u ), z
r sen ⁡ u. {\displaystyle {\begin{aligned}x&
\cos t\left(R+r\cos u\right), \\y&
\operatorname {sen} t\left(R+r\cos u\right), \\z&
r\operatorname {sen} u\, .\end{aligned}}} onde os dous parámetros t e u varían entre 0 {\displaystyle 0} e 2 π {\displaystyle 2\pi }. Cando u varía de 0 {\displaystyle 0} a 2 π {\displaystyle 2\pi }, o punto na superficie percorre unha circunferencia pequena que pasa polo oco do toro. Cando t varía de 0 {\displaystyle 0} a 2 π {\displaystyle 2\pi },
o punto percorre unha circunferencia grande ao redor do oco do toro. Paso á forma implícita
Converter un conxunto de ecuacións paramétricas nunha única ecuación implícita implica eliminar a variable t das ecuacións simultáneas x
f ( t ), y
g ( t ). {\displaystyle x
f(t), \ y
g(t). } Este proceso chámase paso á forma implícita. No paso á forma implícita cómpre ter presente que esta representa o conxunto de puntos percorridos pola parametrización, mentres que as ecuacións paramétricas orixinais describen unha maneira concreta de percorrelo; por tanto, ambos conceptos non son equivalentes. Se unha destas ecuacións pode resolverse para t, a expresión obtida pode substituírse na outra ecuación para obter unha ecuación que só involucra x e y: resolvendo y
g ( t ) {\displaystyle y
g(t)} para obter t
g − 1 ( y ) {\displaystyle t
g^{-1}(y)} e usando isto en x
f ( t ) {\displaystyle x
f(t)} obténse a ecuación explícita x
f ( g − 1 ( y ) ), {\displaystyle x
f(g^{-1}(y)), } mentres que casos máis complicados darán unha ecuación implícita da forma h ( x, y )
0. {\displaystyle h(x, y)
0. } Se a parametrización está dada por funcións racionais x
p ( t ) r ( t ), y
q ( t ) r ( t ), {\displaystyle x
{\frac {p(t)}{r(t)}}, \qquad y
{\frac {q(t)}{r(t)}}, } onde p, q e r son polinomios coprimos de dous en dous, un cálculo da resultante permite pasar á forma implícita. Máis precisamente, a ecuación implícita é a resultante respecto de t de xr(t) – p(t) e yr(t) – q(t).
En dimensións superiores (tanto máis de dúas coordenadas como máis dun parámetro), o paso á forma implícita de ecuacións paramétricas racionais pódese facer mediante o cálculo dunha base de Gröbner.
Exemplo
No exemplo da circunferencia de radio a, as ecuacións paramétricas x
a cos ⁡ t y
a sen ⁡ t {\displaystyle {\begin{aligned}x&
a\cos t\\y&
a\operatorname {sen} t\end{aligned}}} pódense pasar a forma implícita en termos de x e y
empregando a identidade trigonométrica pitagórica. Con x a
cos ⁡ t y a
sen ⁡ t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{a}}&
\cos t\\{\frac {y}{a}}&
\operatorname {sen} t\end{aligned}}} e cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t
1, {\displaystyle \cos ^{2}t+\operatorname {sen} ^{2}t
1, } obténse ( x a ) 2 + ( y a ) 2
1, {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}
1, } e, por tanto, x 2 + y 2
a 2, {\displaystyle x^{2}+y^{2}
a^{2}, } que é a ecuación estándar dunha circunferencia centrada na orixe.