Grao dun polinomio

O grao dun termo dunha variábel nun polinomio é o expoñente desa variábel nese termo. E o grao dun polinomio e o grao do termo de maior grao. Por exemplo, en 2 x 3 + 4 x 2 + x + 7 {\displaystyle 2x^{3}+4x^{2}+x+7}, o termo de maior grao é 2 x 3 {\displaystyle 2x^{3}}; dise que este termo e, polo tanto, todo o polinomio, é de grao 3.
Nos polinomios de dúas ou máis variábeis, o grao dun termo é a suma dos expoñentes das variábeis nese termo; o grao do polinomio, de novo, é o grao maior. Por exemplo, o polinomio x 2 y 2 + 3 x 3 + 4 y {\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y} ten grao 4, o mesmo grao que o termo x 2 y 2 {\displaystyle x^{2}y^{2}}. Comportamento baixo operacións con polinomios
Comportamento baixo a suma
O grao da suma (ou diferenza) de dous polinomios é menor ou igual ao maior dos dous graos: deg ⁡ ( P + Q ) ≤ max ( deg ⁡ ( P ), deg ⁡ ( Q ) ). {\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max(\deg(P), \deg(Q)). } deg ⁡ ( P − Q ) ≤ max ( deg ⁡ ( P ), deg ⁡ ( Q ) ). {\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max(\deg(P), \deg(Q)). } Por exemplo, O grao de ( x 3 + x ) + ( x 2 + 1 )
x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)
x^{3}+x^{2}+x+1} é 3. Teña en conta que 3 ≤ máximo (3, 2).
O grao de ( x 3 + x ) − ( x 3 + x 2 )
− x 2 + x {\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})
-x^{2}+x} é 2. Teña en conta que 2 ≤ máximo (3, 3).
Comportamento baixo a multiplicación
O grao do produto dun polinomio por un escalar distinto de cero é igual ao grao do polinomio; é dicir, deg ⁡ ( c P )
deg ⁡ ( P ) {\displaystyle \deg(cP)
\deg(P)}.
Por exemplo, o grao de 2 ( x 2 + 3 x − 2 )
2 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)
2x^{2}+6x-4} é 2, que é igual ao grao de x 2 + 3 x − 2 {\displaystyle x^{2}+3x-2}.
Así, o conxunto de polinomios (con coeficientes dun corpo dado F) cuxos graos son menores ou iguais a un número dado n forma un espazo vectorial.
Máis xeralmente, o grao do produto de dous polinomios sobre un corpo ou un dominio de integridade é a suma dos seus graos: deg ⁡ ( P Q )
deg ⁡ ( P ) + deg ⁡ ( Q ) {\displaystyle \deg(PQ)
\deg(P)+\deg(Q)}.
Por exemplo, o grao de ( x 3 + x ) ( x 2 + 1 )
x 5 + 2 x 3 + x {\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)
x^{5}+2x^{3}+x} é 53 + 2.
Para polinomios sobre un anel arbitrario, as regras anteriores poden non ser válidas, debido á cancelación que pode ocorrer ao multiplicar dúas constantes distintas de cero. Por exemplo, no anel Z / 4 Z {\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} } de números enteiros módulo 4, temos deg ⁡ ( 2 x )
deg ⁡ ( 1 + 2 x )
1 {\displaystyle \deg(2x)
\deg(1+2x)
1}, maos deg ⁡ ( 2 x ( 1 + 2 x ) )
deg ⁡ ( 2 x )
1 {\displaystyle \deg(2x(1+2x))
\deg(2x)
1}, que non é igual á suma dos graos dos factores.
Comportamento baixo a composición de funcións
O grao da composición de dous polinomios non constantes P {\displaystyle P} e Q {\displaystyle Q} nun corpo ou dominio de integridade é o produto dos seus graos: deg ⁡ ( P ∘ Q )
deg ⁡ ( P ) deg ⁡ ( Q ). {\displaystyle \deg(P\circ Q)
\deg(P)\deg(Q). } Por exemplo, se P
x 3 + x {\displaystyle P
x^{3}+x} ten o grao 3 e Q
x 2 − 1 {\displaystyle Q
x^{2}-1} ten o grao 2, daquela a súa composición é P ∘ Q
P ∘ ( x 2 − 1 )
( x 2 − 1 ) 3 + ( x 2 − 1 )
x 6 − 3 x 4 + 4 x 2 − 2, {\displaystyle P\circ Q
P\circ (x^{2}-1)
(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)
x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2, } que ten o grao 6.