Conxunto

O concepto de conxunto na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.
Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.
Dous conxuntos A e B son iguais cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é un elemento de B e cada elemento de B é un elemento de A. Notación
Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se A {\displaystyle A} é un conxunto e a, b, c, d, e {\displaystyle a, b, c, d, e} todos os seus elementos, é frecuente escribir: A
{ a, b, c, d, e } {\displaystyle A
\{a, b, c, d, e\}} (1)
para definir tal conxunto A {\displaystyle A}. A notación empregada en (1) para definir o conxunto A {\displaystyle A} chámase notación por extensión.
Para representar que un elemento x {\displaystyle ~x} pertence a un conxunto A {\displaystyle A}, escríbese x ∈ A {\displaystyle x\in A} (léase ben x {\displaystyle x} no A {\displaystyle A}, ben x {\displaystyle ~x} pertence ao A {\displaystyle A} ). A negación de x ∈ A {\displaystyle x\in A} escríbese x ∉ A {\displaystyle x\notin A} (léase x {\displaystyle x} non pertence ao A {\displaystyle A} ).
Se todos os elementos x {\displaystyle x} dun conxunto A {\displaystyle A} satisfán algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición p ( x ) {\displaystyle p\left(x\right)} coa indeterminada x {\displaystyle ~x} —, usamos a notación por comprensión, e pode definirse: A
{ x: p ( x ) } {\displaystyle A
\{x: p\left(x\right)\}} A é o conxunto de elementos x, que cumpren p(x), onde o símbolo: lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra ∣ {\displaystyle \mid } "tal que".
Por exemplo, o conxunto A
{ 1, 2, 3, 4 } {\displaystyle ~A
\{1, 2, 3, 4\}} pode definirse por: A
{ n: 1 ≤ n ≤ 4, n ∈ N } {\displaystyle A
\{n: 1\leq n\leq 4, n\in \mathbb {N} \}}.
O símbolo N {\displaystyle \mathbb {N} } representa o conxunto dos números naturais.
Subconxuntos e superconxuntos
Un conxunto A {\displaystyle A} dise subconxunto doutro B {\displaystyle B}, se todos os elementos do A {\displaystyle ~A} son tamén elementos do B {\displaystyle B}; matematicamente: x ∈ A ⇒ x ∈ B {\displaystyle x\in A\qquad \Rightarrow \qquad x\in B},
sexa cal for o elemento x {\displaystyle x}. Así, escríbese A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B}.
Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B}, cumprirse A
B {\displaystyle A
B}. Se o B {\displaystyle B} ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto A {\displaystyle A}, mais se todos os elementos do A {\displaystyle ~A} son elementos do B {\displaystyle B}, entón dicimos que A {\displaystyle ~A} é un subconxunto propio do B {\displaystyle ~B}, o que se representa como A ⊂ B {\displaystyle A\subset B}.
Se o A {\displaystyle A} é un subconxunto do B {\displaystyle B}, dicimos tamén que o B {\displaystyle B} é un superconxunto do A {\displaystyle A}, o que se escribe B ⊇ A {\displaystyle B\supseteq A}. Logo B ⊇ A ⇔ A ⊆ B {\displaystyle B\supseteq A\quad \Leftrightarrow \quad A\subseteq B},
e tamén: B ⊃ A ⇔ A ⊂ B {\displaystyle B\supset A\quad \Leftrightarrow \quad A\subset B},
significando B ⊃ A {\displaystyle B\supset A} que o B {\displaystyle B} é superconxunto propio do A {\displaystyle A}.
Polo principio de indentidade, é sempre certo x ∈ A ⇒ x ∈ A {\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in A}, para todos os elementos x {\displaystyle x}, polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mesmo.
Vemos que ⊆ {\displaystyle \subseteq } é unha relación de orde sobre un conxunto S {\displaystyle S} de conxuntos, pois
Conxunto baleiro
O conxunto baleiro ou conxunto vacío é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por { } {\displaystyle \{\}} ou ∅ {\displaystyle \emptyset }.
Todo conxunto posúe como subconxunto o conxunto baleiro. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos. Operacións cos conxuntos
Sexan A {\displaystyle ~A} e B {\displaystyle ~B} dous conxuntos.
Unión
Os elementos que pertencen ao A {\displaystyle ~A} ou ao B {\displaystyle ~B} ou a ambos os dous A {\displaystyle ~A} e B {\displaystyle ~B}, forman outro conxunto, chamado unión de A {\displaystyle ~A} e B {\displaystyle ~B}, escrito A ∪ B {\displaystyle A\cup B}. Matematicamente: A ∪ B
{ x: x ∈ A ∨ x ∈ B } {\displaystyle A\cup B
\{x: x\in A\quad \vee \quad x\in B\}}.
Intersección
Os elementos comúns de A {\displaystyle ~A} e mais de B {\displaystyle ~B} forman un conxunto denominado intersección de A {\displaystyle ~A} e B {\displaystyle ~B}, representado por A ∩ B {\displaystyle A\cap B}: A ∩ B
{ x: x ∈ A ∧ x ∈ B } {\displaystyle A\cap B
\{x: x\in A\quad \wedge \quad x\in B\}}.
Se dous conxuntos A {\displaystyle ~A} e B {\displaystyle ~B} son tales que A ∩ B
∅ {\displaystyle A\cap B
\emptyset }, entón A {\displaystyle ~A} e B {\displaystyle ~B} dinse conxuntos disxuntos.
Diferenza
Os elementos dun conxunto A {\displaystyle ~A} que non se atopan noutro conxunto B {\displaystyle ~B}, forman outro conxunto chamado diferenza de A {\displaystyle ~A} e B {\displaystyle ~B}, representado por, A ∖ B {\displaystyle A\setminus B}: A ∖ B
{ x: x ∈ A ∧ x ∉ B } {\displaystyle A\setminus B
\{x: x\in A\quad \wedge \quad x\notin B\}}. Operacións externas
En operacións básicas, todos os elementos de conxuntos producidos por operacións de conxunto pertencen a conxuntos previamente definidos. Neste apartado considéranse outras operacións de conxuntos, que producen conxuntos cuxos elementos poden estar fóra de todos os conxuntos considerados anteriormente. Estas operacións son o produto cartesiano, a unión disxunta e o conxunto potencia.
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dous conxuntos xa se utilizou para definir funcións.
Dados dous conxuntos A 1 {\displaystyle A_{1}} e A 2 {\displaystyle A_{2}}, o seu produto cartesiano, denotado A 1 × A 2 {\displaystyle A_{1}\times A_{2}} é o conxunto formado por todos os pares ordenados ( a 1, a 2 ) {\displaystyle (a_{1}, a_{2})} tal que a 1 ∈ A 1 {\displaystyle a_{1}\in A_{1}} e a i ∈ A 1 {\displaystyle a_{i}\in A_{1}}; é dicir, A 1 × A 2
{ ( a 1, a 2 ) ∣ a 1 ∈ A 1 ∧ a 2 ∈ A 2 }. {\displaystyle A_{1}\times A_{2}
\{(a_{1}, a_{2})\mid a_{1}\in A_{1}\land a_{2}\in A_{2}\}. } Esta definición non presupón que os dous conxuntos sexan diferentes. En particular, A × A
{ ( a 1, a 2 ) ∣ a 1 ∈ A ∧ a 2 ∈ A }. {\displaystyle A\times A
\{(a_{1}, a_{2})\mid a_{1}\in A\land a_{2}\in A\}. } Dado que esta definición implica un par de índices (1, 2), xeneralízase directamente ao produto cartesiano ou produto directo de calquera familia indexada de conxuntos: ∏ i ∈ I A i
{ ( a i ) i ∈ I ∣ ( ∀ i ∈ I ) a i ∈ A i }. {\displaystyle \prod _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}
\{(a_{i})_{i\in {\mathcal {I}}}\mid (\forall i\in {\mathcal {I}})\; a_{i}\in A_{i}\}. } É dicir, os elementos do produto cartesiano dunha familia de conxuntos son todas as familias de elementos tal que cada un pertence ao conxunto do mesmo índice. O feito de que, para cada familia indexada de conxuntos non baleiros, o produto cartesiano sexa un conxunto non baleiro está asegurado polo axioma da escolla.
Conxunto potencia
O conxunto de potencias dun conxunto E {\displaystyle E} é o conxunto que ten todos os subconxuntos de E {\displaystyle E} como elementos, incluído o conxunto baleiro e o propio E {\displaystyle E}.
Adoita denotase P ( E ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}. Por exemplo, P ( { 1, 2, 3 } )
{ ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 } }. {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1, 2, 3\})
\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}. }
Unión disxunta
A unión disxunta de dous ou máis conxuntos é semellante á unión, mais, se dous conxuntos teñen elementos en común, estes elementos considéranse distintos na unión disxunta. Isto obtense etiquetando os elementos polos índices do conxunto do que proceden.
A unión disxunta de dous conxuntos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} denomínase comunmente A ⊔ B {\displaystyle A\sqcup B} e así defínese como A ⊔ B
{ ( a, i ) ∣ ( i
1 ∧ a ∈ A ) ∨ ( i
2 ∧ a ∈ B }. {\displaystyle A\sqcup B
\{(a, i)\mid (i
1\land a\in A)\lor (i
2\land a\in B\}. } Se A
B {\displaystyle A
B} é un conxunto con n {\displaystyle n} elementos, entón A ∪ A
A {\displaystyle A\cup A
A} ten n {\displaystyle n} elementos, mentres que A ⊔ A {\displaystyle A\sqcup A} ten 2 n {\displaystyle 2n} elementos.
A unión disxunta de dous conxuntos é un caso particular da unión disxunta dunha familia indexada de conxuntos, que se define como ⨆ i ∈ I
{ ( a, i ) ∣ i ∈ I ∧ a ∈ A i }. {\displaystyle \bigsqcup _{i\in {\mathcal {I}}}
\{(a, i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}. } A unión disxunta é o coproduto na categoría de conxuntos. Polo tanto a notación ∐ i ∈ I
{ ( a, i ) ∣ i ∈ I ∧ a ∈ A i } {\displaystyle \coprod _{i\in {\mathcal {I}}}
\{(a, i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}} úsase habitualmente. Cardinalidade
Informalmente, a cardinalidade dun conxunto S, a miúdo denotada |S|, é o número dos seus membros. Este número é o número natural n {\displaystyle n} cando hai unha bixección entre o conxunto que se considera e o conxunto { 1, 2, …, n } {\displaystyle \{1, 2, \ldots, n\}} dos n {\displaystyle n} primeiros números naturais. A cardinalidade do conxunto baleiro é 0 {\displaystyle 0}. En ambos os casos, dise que o conxunto é un conxunto finito. En caso contrario, temos un conxunto infinito.
Conxuntos infinitos e cardinalidade infinita
Algunhas cardinalidades infinitas son maiores que outras. Sen dúbida, un dos resultados máis significativos da teoría de conxuntos é que o conxunto de números reais ten maior cardinalidade que o conxunto de números naturais.
Os conxuntos con cardinalidade menor ou igual á de N {\displaystyle \mathbb {N} } chámanse conxuntos numerábeis. Os conxuntos cunha cardinalidade estritamente maior que a de N {\displaystyle \mathbb {N} } chámanse conxuntos non numerábeis.
A hipótese do continuo
A hipótese do continuo, formulada por Georg Cantor en 1878, é a afirmación de que non existe un conxunto con cardinalidade estritamente entre a cardinalidade dos números naturais e a cardinalidade dunha recta. Funcións
Unha función dun conxunto A, o dominio, a un conxunto B, o codominio, é unha regra que asigna a cada elemento de A un elemento único de B. Por exemplo, a función elevar ao cadrado asigna a cada número real x a x2. As funcións pódense definir formalmente en termos de conxuntos por medio da súa gráfica, que son subconxuntos do produto cartesiano do dominio e do codominio. Álxebra de conxuntos
Sexan A, B, e C conxuntos calquera, logo: A ∩ A A
A ∪ A A
A - A Ø
A ∩ B B ∩ A
A ∪ B B ∪ A
(A ∩ B) ∩ C A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C A ∪ (B ∪ C)
C - (A ∩ B) (C - A) ∪ (C - B)
C - (A ∪ B) (C - A) ∩ (C - B)
C - (B - A) (A ∩ C) ∪ (C - B)
(B - A) ∩ C
(B ∩ C) - A
B ∩ (C - A)
(B - A) ∪ C (B ∪ C) - (A - C)
A ⊆ B ↔ A ∩ B A
A ⊆ B ↔ A ∪ B B
A ⊆ B ↔ A - B Ø
A ∩ B
Ø ↔ B - A
B
A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
A ∩ Ø Ø
A ∪ Ø A
Ø - A Ø
A - Ø A
Sexa U un conxunto tal que A, B, e C son subconxuntos do U (utilízase a notación A':
U - A). Entón: A''
A
B - A A' ∩ B
(B - A)' A ∪ B'
A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
A ∩ U A
A ∪ U U
U - A A'
A - U Ø