Translación (xeometría)

Na xeometría euclidiana, unha translación é unha transformación xeométrica que move cada punto dunha figura, forma ou espazo na mesma distancia nunha dirección determinada. Unha translación tamén se pode interpretar como a adición dun vector constante a cada punto, ou como un desprazamento da orixe do sistema de coordenadas. Nun espazo euclidiano, calquera tradución é unha isometría. Como función
Se v {\displaystyle \mathbf {v} } é un vector fixo, coñecido como vector de translación, e p {\displaystyle \mathbf {p} } é a posición inicial dalgún obxecto, a función de translación T v {\displaystyle T_{\mathbf {v} }} será T v ( p )
p + v {\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )
\mathbf {p} +\mathbf {v} }.
Aplicación na física clásica
Na física clásica, o movemento de translación é un movemento que muda a posición dun obxecto con desprazamento linear, e se complementa coa rotación que dá un desprazamento angular. Para trasladar un obxecto séguese a fórmula ( x, y, z ) → ( x + Δ x, y + Δ y, z + Δ z ) {\displaystyle (x, y, z)\to (x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)} onde ( Δ x, Δ y, Δ z ) {\displaystyle (\Delta x, \ \Delta y, \ \Delta z)} é o mesmo vector para cada punto do obxecto. Como grupo
O conxunto de todas as translacións forma o grupo de translación T {\displaystyle \mathbb {T} }, que é isomorfo ao propio espazo, e un subgrupo normal do grupo euclidiano E ( n ) {\displaystyle E(n)}. O grupo cociente de E ( n ) {\displaystyle E(n)} por T {\displaystyle \mathbb {T} } é isomorfo ao grupo de movementos ríxidos que fixan un punto de orixe particular, o grupo ortogonal O ( n ) {\displaystyle O(n)}: E ( n ) / T ≅ O ( n ) {\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)} Como a translación é conmutativa, o grupo de translación é abeliano. Hai un número infinito de translacións posibles, polo que o grupo de translación é un grupo infinito.
Na teoría da relatividade, debido ao tratamento do espazo e do tempo como un espazo-tempo único, as translacións tamén poden afectar a coordenada do tempo. Por exemplo, o grupo galileano e o grupo de Poincaré inclúen translacións en relación ao tempo.
Grupos de retículas
Un tipo de subgrupo do grupo de translación tridimensional son os retículas, que son grupos infinitos, pero a diferenza dos grupos de translación, xéranse de forma finita. É dicir, un conxunto xerador finito xera todo o grupo. Representación matricial
Unha translación é unha transformación afín sen puntos fixos. As multiplicacións matriciais teñen sempre a orixe como punto fixo. Podemos usar coordenadas homoxéneas para representar a translación dun espazo vectorial coa multiplicación matricial: escríbese o vector tridimensional v
( v x, v y, v z ) {\displaystyle \mathbf {v}
(v_{x}, v_{y}, v_{z})} utilizando 4 coordenadas homoxéneas como v
( v x, v y, v z, 1 ) {\displaystyle \mathbf {v}
(v_{x}, v_{y}, v_{z}, 1)}. Para mover un obxecto por un vector v {\displaystyle \mathbf {v} }, cada vector homoxéneo p {\displaystyle \mathbf {p} } pódese multiplicar por esta matriz de translación: T v
[ 100 v x 010 v y 001 v z 0001 ] {\displaystyle T_{\mathbf {v} }
{\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}} E a multiplicación dará o resultado esperado: T v p
[ 100 v x 010 v y 001 v z 0001 ] [ p x p y p z 1 ]
[ p x + v x p y + v y p z + v z 1 ]
p + v {\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p}
{\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}
\mathbf {p} +\mathbf {v} } A inversa dunha matriz de translación pódese obter invertendo a dirección do vector: T v − 1
T − v. {\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}
T_{-\mathbf {v} }. \! } Do mesmo xeito, o produto das matrices de translación dáse sumando os vectores: T v T w
T v + w. {\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }
T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }. \! } Como a suma de vectores é conmutativa, a multiplicación de matrices de translación tamén é conmutativa (a diferenza da multiplicación de matrices arbitrarias). Translación de eixes
Aínda que a translación xeométrica adoita ser vista como un proceso activo que muda a posición dun obxecto xeométrico, pódese conseguir un resultado similar mediante unha transformación pasiva que move o propio sistema de coordenadas pero deixa o obxecto fixo. A versión pasiva dunha tradución xeométrica activa coñécese como translación de eixes. Simetría de translación
Dise que un obxecto que ten o mesmo aspecto antes e despois da translación ten simetría de translación. Un exemplo común é unha función periódica, que é unha función propia dun operador de translación. Translacións dunha gráfica
Partindo da gráfica de f, unha translación horizontal significa compoñer f cunha función x ↦ x ± a {\displaystyle x\mapsto x\pm a}, para algún número constante a, o que resulta nunha gráfica formada por puntos ( x, f ( x ± a ) ) {\displaystyle (x, f(x\pm a))}. Cada ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} da gráfica orixinal corresponde ao punto ( x ∓ a, y ) {\displaystyle (x\mp a, y)} no novo gráfico, o que representa gráficamente un desprazamento horizontal.
Igualmente temos unha translación vertical para a variábel y, coa función y ↦ y ± b {\displaystyle y\mapsto y\pm b}. Por exemplo, tomando a función cadrática y
x 2 {\displaystyle y
x^{2}}, cuxa gráfica é unha parábola cun vértice en ( 0, 0 ) {\displaystyle (0, 0)}, unha translación horizontal de 5 unidades á dereita sería a nova función y
( x − 5 ) 2
x 2 − 10 x + 25 {\displaystyle y
(x-5)^{2}
x^{2}-10x+25} cuxo vértice está en ( 5, 0 ) {\displaystyle (5, 0)}. Unha translación vertical de 3 unidades cara arriba sería a nova función y
x 2 + 3 {\displaystyle y
x^{2}+3} con vértice en ( 0, 3 ) {\displaystyle (0, 3)}.