Número cardinal

Os números cardinais indican a cantidade de elementos dun conxunto e reflíctense nos conceptos de números naturais e de números enteiros. Por exemplo, considerando o conxunto de extremidades do corpo humano e chamándolle a este conxunto E, E
{brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda}, o cardinal do conxunto é 4. Pódese dicir, xa que logo, que: |E|
4
card(E) 4
#E 4
4 é un número natural e un número enteiro positivo. Concepción gramatical
Definición
O númeral cardinal é a categoría gramatical que indica o número de elementos dun conxunto. O numeral cardinal diferénciase do ordinal, do múltiplo e do partitivo.
Lista
Os principais numerais cardinais son: cero, un/unha, dous/dúas, tres, catro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, once, doce, trece, catorce, quince, dezaseis, dezasete, dezaoito, dezanove, vinte, vinte e un/unha, vinte e dous/dúas, trinta, trinta e un/unha, corenta, cincuenta, sesenta, setenta, oitenta, noventa, cen, cento un/unha, douscentos/duascentas, trescentos/as, catrocentos/as, cincocentos/as, quiñentos/as, seiscentos/as, setecentos/as, oitocentos/as, novecentos/as, mil.
Función sintáctica
O numeral cardinal adoita incluírse entre os determinantes. Pode ter función adxectiva ou pronominal: se acompaña a un nome (cinco libros)
Función pronominal: suple (devolvín dúas).
Riscos morfolóxicos
En galego, o numeral cardinal tén marca de xénero en: un/unha, dous/dúas, os centos (trescentas) e os seus derivados. Exemplos: un boi, unha vaca;
dous cuxos, dúas becerras;
trescentos libros, trescentas follas;
Diferénciese "tres centos de libros" de "trescentos libros".
Substantivos equivalentes
Existen algúns substantivos que equivalen a certos números cardinais e que algúns autores denominan colectivos (Carballo Calero, 1979, p. 202 e Álvarez e Xove, 2002, p. 526): un ≡ unidade
dous ≡ par, parella
tres ≡ trío, terna
dez ≡ decena
doce ≡ ducia
cen ≡ centena
Nalgúns casos, son períodos de tempo: cinco anos ≡ lustro
dez anos ≡ década
cen anos ≡ século
Noutros casos, poden ter significados connotativos, por exemplo, do campo da música: un músico ≡ solo (non confundir con "só")
dous músicos ≡ dúo
tres músicos ≡ trío
catro músicos ≡ cuarteto
Tamén sucede o mesmo en poesía cos nomes de estrofas e noutros campos. Concepción matemática
Historia
O concepto de número cardinal foi proposto por Georg Cantor en 1874. A partir do concepto de cardinalidade, chegamos ao cardinal. A cardinalidade é a característica que define o número de elementos dun conxunto. Os seguintes conxuntos son diferentes pero ten a mesma cardinalidade:
E {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda}
C {norte, sur, leste, oeste}
Por tanto, |E| |C|
Definindo unha correspondencia biunívoca entre dous conxuntos finitos, Cantor demostraba facilmente se tiñan a mesma cardinalidade cando había unha relación bixectiva entre os seus elementos. Esta correspondencia un a un tamén lle serviu para crear o concepto de conxunto infinito: todos os seus elementos están relacionados de forma bixectiva co conxunto de números naturais.
Cardinais para particionar e ordenar os conxuntos
Os conxuntos poden dividirse en clases de equivalencia definidas en función da relación de equivalencia que inclúa a un par de conxuntos se e só se entre estes existe unha bixección.
A cardinalidade dun conxunto sería a clase de equivalencia á que este pertence. Dous conxuntos A, B {\displaystyle A, B} coa mesma cardinalidade (que pertencen ao mesmo cardinal) denótase: | A |
| B |, ou ben # A
# B {\displaystyle \left|A\right|
\left|B\right|{\text{, ou ben }}\#A
\#B} A existencia dunha función inxectiva entre dous conxuntos tamén define unha relación de orde entre os seus cardinais; é dicir: | A | ≤ # | B | ⇔ ∃ f: A → B, inxectiva {\displaystyle \left|A\right|\leq _{\#}\left|B\right|\Leftrightarrow \exists f: A\rightarrow B{\text{, inxectiva}}} A relación < # {\displaystyle <_{\#}} exclúe a posibilidade de que os cardinais sexan iguais. É posíbel demostrar que si | A | ≤ # | B | {\displaystyle \left|A\right|\leq _{\#}\left|B\right|} e | B | ≤ # | A | {\displaystyle \left|B\right|\leq _{\#}\left|A\right|} isto implica que | A |
| B | {\displaystyle \left|A\right|
\left|B\right|} O cardinal do conxunto baleiro denótase convencionalmente como 0 (cero) e contén ao único conxunto baleiro. E o coxunto baleiro desígnase ∅.
Cardinais transfinitos
Os números cardinais dalgúns conxuntos represéntanse con símbolos especiais: O cardinal dos números reais: card ( R )
c {\displaystyle {\mbox{card}}(\mathbb {R} )
c};
O cardinal dos números naturais: card ( N )
ℵ 0 {\displaystyle {\mbox{card}}(\mathbb {N} )
\aleph _{0}} (Alef-0).
O cardinal inmediatamente superior a ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}: ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} Usando os axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) pode comprobarse que os tres cardinais anteriores cumpren ℵ 0 < ℵ 1 ≤ c {\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}\leq c}. A hipótese do continuo afirma que de feito c
ℵ 1 {\displaystyle c
\aleph _{1}}. Gödel probou en 1938 que esta hipótese é consistente cos axiomas ZF e, por tanto, pode ser tomado como un axioma novo para a teoría de conxuntos. Porén, en 1963, Paul Cohen probou que a negación da hipótese do continuo tamén é consistente cos axiomas ZF, o que proba que esta hipótese é totalmente independente dos axiomas ZF. É dicir, poden construírse tanto "teorías de conxuntos cantorianas" nas que a hipótese do continuo é unha afirmación certa coma "teorías de conxuntos non cantorianas" nas que a hipótese do continuo sexa falsa. Esta situación é similar á das xeometrías non euclídeas.