Ecuación diofantiana

Chámase ecuación diofantiana a calquera ecuación alxébrica, xeralmente de varias variábeis, formulada sobre o conxunto dos números enteiros Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ou dos números naturais N {\displaystyle \mathbb {N} }, é dicir, trátase de ecuacións cuxas solucións son números enteiros e con menos ecuacións que variábeis.
Ás veces poden considerarse solucións nos racionais. O termo diofantiana fai referencia a Diofanto de Alexandría (século III), matemático grego do período helenístico, que estudou tales ecuacións e foi un dos primeiros matemáticos que introduciu o simbolismo en álxebra. Exemplo ilustrativo
Un exemplo de ecuación diofantiana é: x + y
5 {\displaystyle x+y
5\, } nos números enteiros positivos só ten as solucións ( x, y )
( 1, 4 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ), ( 4, 1 ) {\displaystyle (x, y)
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}.
Esta ecuación ten infinitas solucións nos números reais.
Un problema matemático moi famoso que se resolve por medio de ecuacións diofantianas é o do mono e os cocos.
Nas seguintes ecuacións diofantianas, w, x, y e z son as incógnitas e as outras letras serían constantes: Ecuacións diofantianas lineares
Unha ecuación
A ecuación diofantiana linear máis sinxela toma a forma a x + b y
c, {\displaystyle ax+by
c, } onde a, b e c son números enteiros. As solucións descríbense co seguinte teorema: Esta ecuación diofantiana ten unha solución (onde x e y son números enteiros) se e só se c é un múltiplo do máximo común divisor de a e b. Alén diso, se (x, y) é unha solución, entón as outras solucións teñen a forma (x + kv, y − ku), onde k é un enteiro arbitrario e u, v son os cocientes de a e b (respectivamente) polo máximo común divisor de a e b.
Teorema chinés do resto
O Teorema chinés do resto describe unha importante clase de sistemas lineares de ecuacións diofantianas: sexan n 1, …, n k {\displaystyle n_{1}, \dots, n_{k}}, k números coprimos por pares enteiros maiores que 1, tamén a 1, …, a k {\displaystyle a_{1}, \dots, a_{k}} son k números enteiros arbitrarios e N é o produto n 1 ⋯ n k. {\displaystyle n_{1}\cdots n_{k}. } x
a 1 + n 1 x 1 ⋮ x
a k + n k x k. {\displaystyle {\begin{aligned}x&
a_{1}+n_{1}\, x_{1}\\&\; \; \vdots \\x&
a_{k}+n_{k}\, x_{k}. \end{aligned}}} Que en forma de aritmética modular sería x ≡ a 1 ( mod n 1 ) ⋮ x ≡ a k ( mod n k ). {\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv a_{1}{\pmod {n_{1}}}\\&\, \, \, \vdots \\x&\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}. \end{aligned}}} O teorema chinés do resto afirma que se coñecemos os restos da división euclidiana dun enteiro n por varios enteiros, daquela podemos determinar o resto da división de n polo produto destes enteiros, baixo a condición de que os divisores sexan coprimos por pares (ningunha parella de divisores comparte un factor común á parte do 1).
O sistema diofantiano linear ten exactamente unha solución ( x, x 1, …, x k ) {\displaystyle (x, x_{1}, \dots, x_{k})} de tal forma que 0 ≤ x ≤ N e as outras solucións obtéñense sumando a x un múltiplo de N.
Por exemplo, se sabemos que o resto de n {\displaystyle n} dividido por 3 {\displaystyle 3} é 2 {\displaystyle 2}, o resto de n {\displaystyle n} dividido por 5 {\displaystyle 5} é 3 {\displaystyle 3}, e o resto de n {\displaystyle n} dividido por 7 {\displaystyle 7} é 2 {\displaystyle 2}, daquela sen saber o valor de n {\displaystyle n}, podemos determinar que o resto de n {\displaystyle n} dividido por 105 {\displaystyle 105} (produto de 3, 5, 7 {\displaystyle 3, 5, 7} ) é 23 {\displaystyle 23}. Importante: isto dinos que se n {\displaystyle n} é un número natural menor de 105 {\displaystyle 105}, entón 23 {\displaystyle 23} é o único valor posíbel de n {\displaystyle n}. Ecuacións homoxéneas
Unha ecuación diofantiana homoxénea é unha ecuación diofantiana que está definida por un polinomio homoxéneo. Unha ecuación típica deste tipo é a ecuación do Último Teorema de Fermat x d + y d − z d
0. {\displaystyle x^{d}+y^{d}-z^{d}
0. } Resolver unha ecuación diofantiana homoxénea é xeralmente un problema moi difícil, mesmo no caso non trivial máis sinxelo de tres indeterminadas (no caso de dúas indeterminadas o problema equivale a probar se un número racional é a d-ésima potencia doutro número racional). Un exemplo da dificultade do problema é o Último Teorema de Fermat (para d > 2, non hai solución enteira da ecuación anterior), que precisou máis de tres séculos de esforzos dos matemáticos antes de ser resolvido.
Grao dous
As ecuacións diofantianas homoxéneas de grao dous son máis fáciles de resolver. O método de resolución estándar procede en dous pasos. Primeiro hai que atopar unha solución, ou demostrar que non hai solución. Cando se atopa unha solución, dedúcense todas as solucións.
Para demostrar que non hai solución, pódese reducir a ecuación módulo p. Por exemplo, a ecuación diofantiana x 2 + y 2
3 z 2, {\displaystyle x^{2}+y^{2}
3z^{2}, } non ten outra solución que a solución trivial (0, 0, 0). De feito, ao dividir x, y e z polo seu máximo común divisor, pódese supoñer que son coprimos. Os cadrados módulo 4 son congruentes con 0 e 1. Así, o lado esquerdo da ecuación é congruente con 0, 1 ou 2, e o lado dereito é congruente con 0 ou 3. Así, a igualdade só se pode obter se x, y e z non son todos pares e, polo tanto, non son todos coprimos. Así temos que a única solución é a solución trivial (0, 0, 0). Isto mostra que non hai un punto racional nunha circunferencia de raio 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}, centrado na orixe.
Máis xeralmente, o principio de Hasse permite decidir se unha ecuación diofantiana homoxénea de grao dous ten unha solución enteira, e calcular unha solución se a existe.
Exemplo con ternas pitagóricas
A ecuación x 2 + y 2 − z 2
0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}
0} é probabelmente a primeira ecuación diofantiana homoxénea de grao dous estudada. As súas solucións son as ternas pitagóricas. Esta é tamén a ecuación homoxénea da circunferencia unitaria. Esta sección permite visualizar a fórmula de Euclides para xerar ternas pitagóricas.
Para ver exactamente a fórmula de Euclides, partimos da solución (−1, 0, 1), correspondente ao punto (−1, 0) da circunferencia unitaria. Unha recta que pasa por este punto pódese parametrizar pola súa pendente: y
t ( x + 1 ). {\displaystyle y
t(x+1). } Poñendo isto na ecuación da circunferencia x 2 + y 2 − 1
0, {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1
0, } conseguimos x 2 − 1 + t 2 ( x + 1 ) 2
0. {\displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}
0. } Dividindo entre x + 1, resulta x − 1 + t 2 ( x + 1 )
0, {\displaystyle x-1+t^{2}(x+1)
0, } que é fácil de resolver en x: x
1 − t 21 + t 2. {\displaystyle x
{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}. } Así temos y
t ( x + 1 )
2 t 1 + t 2. {\displaystyle y
t(x+1)
{\frac {2t}{1+t^{2}}}. } Homoxeneizando obtemos todas as solucións como x
k s 2 − t 2 d y
k 2 s t d z
k s 2 + t 2 d, {\displaystyle {\begin{aligned}x&
k\, {\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&
k\, {\frac {2st}{d}}\\z&
k\, {\frac {s^{2}+t^{2}}{d}}, \end{aligned}}} onde k é calquera número enteiro, s e t son enteiros primos e d é o máximo común divisor dos tres numeradores. De feito, d
2 se s e t son ambos os dous impares, e d
1 se un é impar e o outro é par.
As ternas primitivas son as solucións onde k 1 e s > t > 0.
Esta descrición das solucións difire lixeiramente da fórmula de Euclides porque a fórmula de Euclides considera só as solucións tal que x, y e z son todas positivas, e non distingue entre dúas ternas que se diferencian polo troco de x e y. Ecuacións diofantianas exponenciais
Se unha ecuación diofantiana ten variábeis que aparecen como expoñentes, é unha ecuación diofantiana exponencial. Os exemplos inclúen: a ecuación de Ramanujan-Nagell, 2n − 7 x2,
a ecuación da Conxectura de Fermat–Catalan e a Conxectura de Beal, am + bn ck con restricións de desigualdade nos expoñentes,
a ecuación de Erdős-Moser, 1k + 2k + ⋯ + (m – 1)k mk
Non se dispón dunha teoría xeral para estas ecuacións. Abordáronse casos particulares como a Conxectura de Catalan e o Último Teorema de Fermat. Porén, a maioría resólvense mediante métodos ad-hoc como o teorema de Størmer ou mesmo ensaio e erro.