Función hiperbólica

As funcións hiperbólicas son unhas funcións con definicións baseadas na función exponencial, ligada mediante operacións racionais e son análogas ás funcións trigonométricas. Estas son: O seno hiperbólico sinh ⁡ ( x )
e x − e − x 2 {\displaystyle \sinh(x)
{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} O coseno hiperbólico cosh ⁡ ( x )
e x + e − x 2 {\displaystyle \cosh(x)
{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} A tanxente hiperbólica tanh ⁡ ( x )
sinh ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle \tanh(x)
{\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}} e outras derivadas: coth ⁡ ( x )
cosh ⁡ ( x ) sinh ⁡ ( x ) {\displaystyle \coth(x)
{\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}} (cotanxente hiperbólica) sech ( x )
1 cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle {\mbox{sech}}(x)
{\frac {1}{\cosh(x)}}} (secante hiperbólica) csch ( x )
1 sinh ⁡ ( x ) {\displaystyle {\mbox{csch}}(x)
{\frac {1}{\sinh(x)}}} (cosecante hiperbólica) Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circulares
As funcións trigonométricas s e n ( t ) {\displaystyle sen(t)} e c o s ( t ) {\displaystyle cos(t)} poden ser as coordenadas cartesianas ( x, e ) {\displaystyle (x, e)} dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde t é o ángulo, medido en radiáns, comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades: { x ( t )
cos ⁡ t y ( t )
sin ⁡ t {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)
\cos t\\y(t)
\sin t\end{matrix}}\right. } Tamén pode interpretarse o parámetro t como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto ( 1, 0 ) {\displaystyle (1, 0)} e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria. De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas ( x, e ) {\displaystyle (x, e)} dun punto P da hipérbole equilátera, centrada na orixe, cuxa ecuación é x 2 − y 2
1 {\displaystyle \ x^{2}-y^{2}
1} onde t é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo X, e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades: { x ( t )
cosh ⁡ t y ( t )
sinh ⁡ t {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)
\cosh t\\y(t)
\sinh t\end{matrix}}\right. } Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbole: x ( t )
e t + e − t 2 {\displaystyle \ x(t)
{\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}} y ( t )
e t − e − t 2 {\displaystyle \ y(t)
{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}} dado que ( e t + e − t 2 ) 2 − ( e t − e − t 2 ) 2
1 {\displaystyle \ \left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}
1} De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real: cosh ⁡ ( t )
e t + e − t 2 {\displaystyle \ \cosh(t)
{\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}} sinh ⁡ ( t )
e t − e − t 2 {\displaystyle \ \sinh(t)
{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}}
Relacións trigonométricas con argumentos complexos
As funcións hiperbólicas tamén se poden deducir das función trigonométricas con argumentos complexos: Seno Hiperbólico: sinh ⁡ x
− i sin ⁡ ( i x ). {\displaystyle \sinh x
-i\sin(ix). } Coseno Hiperbólico: cosh ⁡ x
cos ⁡ ( i x ). {\displaystyle \cosh x
\cos(ix). } Tanxente Hiperbólica: tanh ⁡ x
− i tan ⁡ ( i x ). {\displaystyle \tanh x
-i\tan(ix). } Cotanxente Hiperbólica: coth ⁡ x
i cot ⁡ ( i x ). {\displaystyle \coth x
i\cot(ix). } Secante Hiperbólica: sech ⁡ x
sec ⁡ ( i x ). {\displaystyle \operatorname {sech} x
\sec(ix). } Cosecante Hiperbólica: csch ⁡ x
i csc ⁡ ( i x ). {\displaystyle \operatorname {csch} x
i\csc(ix). } onde i é a unidade imaxinaria con i2 −1.
As definicións anteriores están relacionadas coas definicións exponenciais vía Fórmula de Euler Relacións
Ecuación fundamental
cosh 2 ⁡ ( x ) − s i n h 2 ( x )
1 {\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\, \mathrm {sinh} ^{2}(x)
1\, }
Duplicación do argumento
Téñense as seguintes fórmulas moi semellantes ás súas correspondentes trigonométricas cosh ⁡ ( x + y )
cosh ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( y ) + sinh ⁡ ( x ) sinh ⁡ ( y ) {\displaystyle \cosh(x+y)
\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)} o que leva á seguinte relación: cosh ⁡ ( 2 x )
cosh 2 ⁡ ( x ) + s i n h 2 ( x ) {\displaystyle \cosh(2x)
\cosh ^{2}(x)+\, \mathrm {sinh} ^{2}(x)} e por outra banda s i n h ( x + y )
s i n h ( x ) cosh ⁡ ( y ) + s i n h ( y ) cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle \mathrm {sinh} (x+y)
\mathrm {sinh} (x)\cosh(y)+\mathrm {sinh} (y)\cosh(x)} que leva a: s i n h ( 2 x )
2 s i n h ( x ) cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle \mathrm {sinh} (2x)
2\, \mathrm {sinh} (x)\cosh(x)} tense estoutra relación tanh ⁡ ( x + y )
tanh ⁡ ( x ) + tanh ⁡ ( y ) 1 + tanh ⁡ ( x ) tanh ⁡ ( y ) {\displaystyle \tanh(x+y)
{\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}} que permite ter tanh ⁡ ( 2 x )
2 tanh ⁡ x 1 + tanh 2 ⁡ x {\displaystyle \tanh(2x)
{\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}}
Derivación e integración
d d x ( cosh ⁡ ( x ) )
s i n h ( x ) {\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\cosh(x))
\, \mathrm {sinh} \, (x)} d d x ( s i n h ( x ) )
cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\, \mathrm {sinh} \, (x))
\cosh(x)} d d x ( tanh ⁡ ( x ) )
s e c h 2 ( x ) {\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\, \tanh(x))
\mathrm {sech} ^{2}(x)} d d x ( c o t h ( x ) )
− c s c h 2 ( x ) {\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {coth} (x))
-\mathrm {csch} ^{2}(x)} d d x ( s e c h ( x ) )
− s e c h ( x ) tanh ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {sech} (x))
-\mathrm {sech} (x)\tanh(x)} d d x ( c s c h ( x ) )
− c s c h ( x ) c o t h ( x ) {\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {csch} (x))
-\mathrm {csch} (x)\mathrm {coth} (x)} Ademais a integración ao ser a operación inversa da derivación é trivial neste caso.
A derivada de s i n h ( x ) {\displaystyle sinh(x)} está dada por c o s h ( x ) {\displaystyle cosh(x)} e a derivada de c o s h ( x ) {\displaystyle cosh(x)} é s i n h ( x ) {\displaystyle sinh(x)}. O gráfico da función c o s h ( x ) {\displaystyle cosh(x)} denomínase catenaria. Inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas
As funcións inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son: arg sinh ( x )
ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) d d x ( arg sinh ( x ) )
1 x 2 + 1 arg cosh ( x )
ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ); x ≥ 1 d d x ( arg cosh(x) )
1 x 2 − 1; x > 1 arg tanh ( x )
12 ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ); | x | < 1 d d x ( arg tanh(x) )
11 − x 2; | x | < 1 arg coth ( x )
12 ln ⁡ ( x + 1 x − 1 ); | x | > 1 d d x ( arg coth(x) )
11 − x 2; | x | > 1 arg sech ( x )
ln ⁡ ( 1 x + 1 − x 2 x ); 0 < x ≤ 1 d d x ( arg sech(x) )
− 1 x 1 − x 2; 0 < x < 1 arg csch ( x )
ln ⁡ ( 1 x + 1 + x 2 | x | ); x ≠ 0 d d x ( arg csch(x) )
− 1 | x | 1 + x 2; x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{arg sinh}}(x)&
\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg sinh}}(x))&
{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\mbox{arg cosh}}(x)&
\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right); x\geq 1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg cosh(x)}})&
{\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}; x>1\\{\mbox{arg tanh}}(x)&
{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right); \left|x\right|<1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg tanh(x)}})&
{\frac {1}{1-x^{2}}}; \left|x\right|<1\\{\mbox{arg coth}}(x)&
{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right); \left|x\right|>1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg coth(x)}})&
{\frac {1}{1-x^{2}}}; \left|x\right|>1\\{\mbox{arg sech}}(x)&
\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right); 0<x\leq 1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg sech(x)}})&
{\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}; 0<x<1\\{\mbox{arg csch}}(x)&
\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right); x\neq 0&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg csch(x)}})&
{\frac {-1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}; x\neq 0\end{aligned}}} Series de Taylor
As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por: arg sinh ( x )
x − ( 12 ) x 33 + ( 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ) x 55 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 77 + ⋯
{\displaystyle {\mbox{arg sinh}}(x)
x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots
} arg sinh ( x )
∑ n
0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n )! 22 n ( n! ) 2 ) x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ), | x | < 1 {\displaystyle {\mbox{arg sinh}}(x)
\sum _{n
0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)! }{2^{2n}(n! )^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}}, \left|x\right|<1} arg cosh ( x )
ln ⁡ 2 x − ( ( 12 ) x − 22 + ( 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ) x − 44 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 66 + ⋯ )
{\displaystyle {\mbox{arg cosh}}(x)
\ln 2x-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots )
} arg cosh ( x )
ln ⁡ 2 x − ∑ n
1 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n )! 22 n ( n! ) 2 ) x − 2 n ( 2 n ), x > 1 {\displaystyle {\mbox{arg cosh}}(x)
\ln 2x-\sum _{n
1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)! }{2^{2n}(n! )^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}}, x>1} arg tanh ( x )
x + x 33 + x 55 + x 77 + ⋯
{\displaystyle {\mbox{arg tanh}}(x)
x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots
} arg tanh ( x )
∑ n
0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ), | x | < 1 {\displaystyle {\mbox{arg tanh}}(x)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}}, \left|x\right|<1} arg csch ( x )
arg sinh ( x − 1 )
x − 1 − ( 12 ) x − 33 + ( 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ) x − 55 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 77 + ⋯
{\displaystyle {\mbox{arg csch}}(x)
{\mbox{arg sinh}}(x^{-1})
x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots
} arg csch ( x )
∑ n
0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n )! 22 n ( n! ) 2 ) x − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ), | x | > 1 {\displaystyle {\mbox{arg csch}}(x)
\sum _{n
0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)! }{2^{2n}(n! )^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}, \left|x\right|>1} arg sech ( x )
arg cosh ( x − 1 )
ln ⁡ 2 − ( ( 12 ) x 22 + ( 1 ⋅ 32 ⋅ 4 ) x 44 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 66 + ⋯ )
{\displaystyle {\mbox{arg sech}}(x)
{\mbox{arg cosh}}(x^{-1})
\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots )
} arg sech ( x )
ln ⁡ 2 − ∑ n
1 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n )! 22 n ( n! ) 2 ) x 2 n ( 2 n ), 0 < x ≤ 1 {\displaystyle {\mbox{arg sech}}(x)
\ln 2-\sum _{n
1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)! }{2^{2n}(n! )^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{(2n)}}, 0<x\leq 1} arg coth ( x )
arg tanh ( x − 1 )
x − 1 + x − 33 + x − 55 + x − 77 + ⋯
{\displaystyle {\mbox{arg coth}}(x)
{\mbox{arg tanh}}(x^{-1})
x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots
} arg coth ( x )
∑ n
0 ∞ x − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ), | x | > 1 {\displaystyle {\mbox{arg coth}}(x)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}, \left|x\right|>1} Relación coa función exponencial
Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións: e x
cosh ⁡ x + sinh ⁡ x {\displaystyle e^{x}
\cosh x+\sinh x\! } e e − x
cosh ⁡ x − sinh ⁡ x. {\displaystyle e^{-x}
\cosh x-\sinh x. \! } Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.