Relación ben fundada

En matemáticas, unha relación binaria R chámase ben fundada nun conxunto ou, máis xeralmente, nunha clase X se todo subconxunto non baleiro S ⊆ X ten un elemento mínimal con respecto a R; é dicir, existe un m ∈ S tal que, para todo s ∈ S, non se ten s R m. Noutras palabras, unha relación está ben fundada se: ( ∀ S ⊆ X ) [ S ≠ ∅ ⟹ ( ∃ m ∈ S ) ( ∀ s ∈ S ) ¬ ( s R m ) ]. {\displaystyle (\forall S\subseteq X)\; [S\neq \varnothing \implies (\exists m\in S)(\forall s\in S)\lnot (s\mathrel {R} m)]. } Algúns autores inclúen unha condición adicional de que R sexa tipo conxunto, é dicir, que os elementos menores que calquera elemento dado formen un conxunto.
De forma equivalente, asumindo o axioma de escolla dependente, unha relación está ben fundamentada cando non contén cadeas descendentes infinitas, o que se pode demostrar cando non hai unha secuencia infinita x0, x1, x2, .. . de elementos de X tales que xn+1 R xn para todo número natural n.
Na teoría da orde, unha orde parcial chámase ben fundada se a orde estrita correspondente é unha relación ben fundada. Se a orde é unha orde total, denomínase ben ordenada.
Na teoría de conxuntos, un conxunto x chámase conxunto ben fundado se a relación de pertenza do conxunto está ben fundada no peche transitivo de x. O axioma de regularidade, que é un dos axiomas da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel, afirma que todos os conxuntos están ben fundados.
Unha relación R é inversa ben fundada, ben fundada para arriba ou noetheriana en X, se a relación inversa R−1 está ben fundada en X. Neste caso tamén se di que R satisfai a condición de cadea ascendente. Indución e recursividade
Unha razón importante pola que as relacións ben fundadas son interesantes é porque se pode usar nelas unha versión da indución transfinita: se (X, R) é unha relación ben fundada, P(x) é algunha propiedade dos elementos de X, e queremos demostrar que P(x) cúmprese para todos os elementos x de X,
abonda con demostrar que: Se x é un elemento de X e P(y) é verdadeira para todo y tal que y R x, entón P(x) tamén debe ser verdadeira.
É dicir, ( ∀ x ∈ X ) [ ( ∀ y ∈ X ) [ y R x ⟹ P ( y ) ] ⟹ P ( x ) ] implica ( ∀ x ∈ X ) P ( x ). {\displaystyle (\forall x\in X)\; [(\forall y\in X)\; [y\mathrel {R} x\implies P(y)]\implies P(x)]\quad {\text{implica}}\quad (\forall x\in X)\, P(x). } A indución ben fundada chámase ás veces indución noetheriana, debido a Emmy Noether.
Ao igual que a indución, as relacións ben fundadas tamén admiten a construción de obxectos mediante recursión transfinita. Sexa (X, R) unha relación ben fundada tipo conxunto e F unha función que asigna un obxecto F(x, g) a cada par dun elemento x ∈ X e unha función g no segmento inicial {y: y R x} de X. Entón hai unha función única G tal que para cada x ∈ X, G ( x )
F ( x, G | { y: y R x } ). {\displaystyle G(x)
F\left(x, G\vert _{\left\{y: \, y\mathrel {R} x\right\}}\right). } É dicir, se queremos construír unha función G sobre X, podemos definir G(x) usando os valores de G(y) para y R x.
Como exemplo, considere a relación ben fundamentada (N, S), onde N é o conxunto de todos os números naturais e S é o grafo da función sucesora x ↦ x+1. Entón a indución en S é a indución matemática habitual, e a recursión en S dá a recursividade primitiva. Se consideramos a relación de orde (N, <), obtemos a indución completa e a recursión global. A afirmación de que (N, <) está ben fundada tamén se coñece como principio da boa ordenación.
Cando a relación ben fundada é a orde habitual na clase de todos os números ordinais, a técnica chámase indución transfinita. Cando o conxunto ben fundado é un conxunto de estruturas de datos definidas recursivamente, a técnica chámase indución estrutural. Cando a relación ben fundada pertence á clase universal, a técnica coñécese como ∈-indución (indución epsilon). Exemplos
As relacións ben fundadas que non son totalmente ordenadas inclúen: Os enteiros positivos {1, 2, 3, .. .}, coa orde definida por a < b se e só se a divide b e a ≠ b.
O conxunto de todas as cadeas finitas sobre un alfabeto fixo, coa orde definida por s < t se e só se s é unha subcadea propia de t.
O conxunto N × N de pares de números naturais, ordenados por (n1, n2) < (m1, m2) se e só se n1 < m1 e n2 < m2.
Toda clase cuxos elementos son conxuntos, coa relación ∈ ("é un elemento de"). Este é o axioma da regularidade.
Os nós de calquera grafo acíclico finito dirixido, coa relación R definida de tal xeito que a R b se e só se hai unha aresta de a a b.
Exemplos de relacións que non están ben fundadas inclúen: Os enteiros negativos {−1, −2, −3, .. .}, coa orde habitual, xa que calquera subconxunto non limitado non ten menor elemento.
O conxunto de cadeas sobre un alfabeto finito con máis dun elemento, baixo a orde habitual (lexicográfica), xa que a secuencia "B" > "AB" > "AAB" > "AAAB" >. .. é unha cadea descendente infinita. Esta relación non está ben fundada aínda que todo o conxunto teña un elemento mínimo, é dicir, a cadea baleira.
O conxunto de números racionais (ou reais) non negativos baixo a orde estándar, xa que, por exemplo, o subconxunto de racionais (ou reais) positivos carece dun mínimo. Outras propiedades
Se (X, <) é unha relación ben fundada e x é un elemento de X, entón as cadeas descendentes que comezan en x son todas finitas, mais isto non significa que as súas lonxitudes estean necesariamente limitadas. Considere o seguinte exemplo: Sexa X a unión dos enteiros positivos cun novo elemento ω que é maior que calquera número enteiro. Entón X é un conxunto ben fundado, mais hai cadeas descendentes que comezan en ω de gran lonxitude (finita) arbitraria; a cadea ω, n − 1, n − 2, .. ., 2, 1 ω, n − 1, n − 2, .. ., 2, 1 ten lonxitude n para calquera n.
O lema do colapso de Mostowski implica que a pertenza do conxunto é un universal entre as relacións de extensión ben fundadas: para calquera relación ben fundada de tipo conxunto R nunha clase X que é extensional, existe unha clase C tal que (X, R) é isomorfa a (C, ∈). Reflexividade
Dise que unha relación R é reflexiva se a R a vale para todo a no dominio da relación. Toda relación reflexiva nun dominio non baleiro ten cadeas descendentes infinitas, porque calquera secuencia constante é unha cadea descendente. Por exemplo, nos números naturais coa súa orde habitual ≤, temos 1 ≥ 1 ≥ 1 ≥. .. . Para evitar estas secuencias descendentes triviais, cando se traballa cunha orde parcial ≤, é común aplicar a definición de fundamento (quizais implícitamente) á relación alternativa < definida de tal xeito que a < b se e só se a ≤ b e a ≠ b. De xeito máis xeral, cando se traballa cunha preorde ≤, é común usar a relación < definida de tal xeito que a < b se e só se a ≤ b e b ≰ a. No contexto dos números naturais, isto significa que se usa a relación <, que está ben fundada, en lugar da relación ≤, que non o é. Nalgúns textos, a definición dunha relación ben fundada múdase desde a definición deste artigo para incluír estas convencións.