Lei da gravitación universal

A lei da gravitación universal afirma que, se dous corpos posúen masa, ambos están sometidos a unha forza de atracción mutua proporcional ás súas masas e inversamente proporcional ao cadrado da distancia que separa os seus centros de gravidade. Esta lei foi formulada polo físico inglés Isaac Newton na súa obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada en 1687, que describe a lei da gravitación universal e as leis de Newton, as tres leis dos corpos en movemento que se asentaron como fundamento da mecánica clásica.
A gravidade é unha forza fundamental de atracción que actúa entre todos os obxectos por causa das súas masas, iso é, a cantidade de materia de que están constituídos. A gravidade mantén os obxectos celestes unidos e ligados, como os gases quentes contidos polo Sol e os planetas, confinados ás súas órbitas. A gravidade da Lúa causa as mareas oceánicas na Terra. A causa da gravitación, os obxectos sobre a Terra son atraídos cara ao seu centro. Historia
Aínda que os efectos da gravidade sexan fáciles de notar, a procura dunha explicación para a forza gravitacional ocupou o ser humano durante séculos. O filósofo grego Aristóteles emprendeu unha das primeiras tentativas de explicar como e por que os obxectos cen en dirección á Terra. Entre as súas conclusións, estaba a idea de que os obxectos pesados caen máis rápido que os leves. A pesar de que algúns se opuxesen a esa concepción, foi comunmente aceptada ata o fin do século XVII, cando as descubertas do científico italiano Galileo Galilei gañaron aceptación. De acordo con Galileo, todos os obxectos caían coa mesma aceleración, a menos que a resistencia do ar ou algunha outra forza os frease.
Os antigos astrónomos gregos estudaran os movementos dos planetas e da Lúa. Entre tanto, o paradigma aceptado hoxe foi determinado por Isaac Newton, físico e matemático inglés, baseado en estudos e descubertas feitas polos físicos que ata entón investigaban o camiño da gravitación. Como o mesmo Newton dixo, chegou ás súas conclusións porque estaba "apoiado en ombreiros de xigantes". No inicio do século XVII, Newton baseou a súa explicación en coidadosas observacións dos movementos planetarios feitas por Tycho Brahe e por Johannes Kepler. Estudou o mecanismo que facía que a Lúa xirase arredor da Terra e estudando os principios elaborados por Galileo Galilei e por Kepler, conseguiu elaborar unha teoría que dicía que todos os corpos que posuían masa sufrirían atracción entre si. Newton nos Principia menciona como referencias varios pioneiros que inclúen a Bullialdus, que suxeriu sen demostralo que existían unha forza dende o Sol que era proporcional ao cadrado da distancia, e Borelli, que suxeriu, tamén sen demostración, que había unha tendencia centrífuga no movemento dos planetas que estaba a ser contrarrestada por outra forza dirixida cara ao Sol. D. T. Whiteside escribiu que a inspiración de Newton veu principalmente de Borelli, xa que gardaba unha copia do libro do italiano na súa biblioteca.
A partir das leis de Kepler, Newton mostrou que tipos de forzas se precisan manter os planetas nas súas órbitas. Calculou como debería a forza ser na superficie da Terra. Esa forza probou ser a mesma que dá á masa a súa aceleración.
Conta unha lenda que cando tiña vinte e tres anos, Newton viu unha mazá caer dunha árbore e comprendeu que a mesma forza que a facía caer mantiña a Lúa na súa órbita arredor da Terra. Corpos de simetria esférica e a gravitación
As partículas dos corpos que posúen unha distribución de masa simetricamente esférica, como estrelas, lúas e planetas, tenden a se aproximar ao centro de masa. Así, un acumulado de po cósmico ao aglutinarse, as partículas comezan a se aproximar de xeito uniforme, pois canto máis acumuladas, máis forza teñen para comprimilas. Por iso os corpos xeralmente asumen unha forma esférica, visto que, cando a súa masa é pequena ese efecto é bastante baixo e os corpos poden ter alteracións nos seus formatos. Formulación da lei da gravitación universal
A lei da gravitación universal indica que dúas partículas calquera do Universo se atraen gravitacionalmente por medio dunha forza que é directamente proporcional ao produto das súas masas e inversamente proporcional ao cadrado da distancia que as separa.
Se os corpos non son de partículas ou non poden considerarse puntos materiais, a distancia establecida entre elas debe ser medida en relación ao centro da súa masa, ou sexa, puntos onde se pode supoñer que está concentrada toda a masa do corpo ou o sistema de corpos. F → 1
− F → 2
| | F → | | r → ‖ r → ‖
G m 1 m 2 r 2 r → ‖ r → ‖
G m 1 m 2 r 3 r → {\displaystyle {\vec {F}}_{1}
-{\vec {F}}_{2}
||{\vec {F}}||{\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|}}
G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|}}
G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{3}}}{\vec {r}}} onde F1 (F2) é a forza sentida polo corpo 1 (2) debido ao corpo 2 (1), medida en newtons; G
6, 67 × 10 − 11 Nm 2 / kg 2 {\displaystyle G
6, 67\times 10^{-11}{\text{Nm}}^{2}/{\text{kg}}^{2}} é a constante da gravitación universal, que determina a intensidade da forza,
m 1 e m2 son as masas dos corpos que se atraen entre si, medidas en quilogramos; e
r é a distancia entre os dous corpos, medida en metros; r ^ {\displaystyle {\hat {r}}} o versor do vetor que une o corpo 1 ao corpo 2. A constante gravitacional universal foi medida anos máis tarde por Henry Cavendish. O descubrimento da lei de gravitación universal deuse en 1685 como resultado dunha serie de estudos e traballos iniciados moito antes.
O establecemento dunha lei de gravitación que unifica todos os fenómenos terrestres e celestes de atracción entre os corpos, tivo enorme importancia para a evolución da ciencia moderna. Problema de Kepler
O problema de Kepler é un caso especial do problema dos dous corpos, en que os dous corpos interactúan por unha forza central que varía proporcionalmente ao inverso do cadrado da distancia. Ese problema resúmese en empregar a segunda lei de Newton para escribir as ecuacións de movemento do sistema, descubrindo a súa traxectoria no espazo. Isto é: F →
− G M m r 2 r ^ {\displaystyle {\vec {F}}
-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}}
Sistema polar de coordenadas
Un sistema de coordenadas axeitado para resolver o problema é o sistema de coordenadas polares, de coordenadas r {\displaystyle r} e θ {\displaystyle \theta }, que se relacionan coas coordenadas cartesianas x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} do seguinte xeito: x
r cos ⁡ θ {\displaystyle x
r\cos \theta } y
r sin ⁡ θ {\displaystyle y
r\sin \theta } Para resolver o problema, é necesario saber como se escribe a aceleración a → {\displaystyle {\vec {a}}} en coordenadas polares, isto é, como combinación linear dos vectores unitarios r ^ {\displaystyle {\hat {r}}} e θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}}. Como a →
d 2 r → d t 2
r → ¨ {\displaystyle {\vec {a}}
{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}
{\ddot {\vec {r}}}}, abonda derivar dúas veces o vector posición r → {\displaystyle {\vec {r}}} en relación co tempo para atopar a aceleración. En coordenadas polares: r →
r r ^ {\displaystyle {\vec {r}}
r{\hat {r}}} Derivando a expresión, pola regra do produto: r → ˙
r ˙ r ^ + r r ^ ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {r}}}
{\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\hat {r}}}} Para atopar r ^ ˙ {\displaystyle {\dot {\hat {r}}}} precísase recorrer ás seguintes relacións: r ^
( cos ⁡ θ ) x ^ + ( sin ⁡ θ ) y ^ {\displaystyle {\hat {r}}
(\cos \theta ){\hat {x}}+(\sin \theta ){\hat {y}}} θ ^
( − sin ⁡ θ ) x ^ + ( cos ⁡ θ ) y ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}
(-\sin \theta ){\hat {x}}+(\cos \theta ){\hat {y}}} De aí concluíuse que r ^ ˙
θ ˙ θ ^ {\displaystyle {\dot {\hat {r}}}
{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}} e, polo tanto: r → ˙
r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ {\displaystyle {\dot {\vec {r}}}
{\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}} Derivando outra vez e empregando a relación θ ^ ˙
− θ ˙ r ^ {\displaystyle {\dot {\hat {\theta }}}
-{\dot {\theta }}{\hat {r}}}: r → ¨
( r ¨ − r θ ˙ 2 ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) θ ^ {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}
({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}}
Resolución da segunda lei de Newton
Pola segunda lei de Newton: F →
m a →
− G M m r 2 r ^ {\displaystyle {\vec {F}}
m{\vec {a}}
-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}} Cancelando a masa m {\displaystyle m} de ambos os membros da ecuación e escribindo a →
r → ¨ {\displaystyle {\vec {a}}
{\ddot {\vec {r}}}} en coordenadas polares, obtense a seguinte ecuación vectorial: ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) θ ^
( − G M r 2 ) r ^ {\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}
\left(-{\frac {GM}{r^{2}}}\right){\hat {r}}} Orixinando dúas ecuacións escalares do movemento: r ¨ − r θ ˙ 2
− G M r 2 {\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}
-{\frac {GM}{r^{2}}}} ( 1 ) {\displaystyle (1)} r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙
0 {\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}
0} ( 2 ) {\displaystyle (2)} Multiplicando ( 2 ) {\displaystyle (2)} por m r {\displaystyle mr}, nótase que existe conservación do momento angular L {\displaystyle L}: m r 2 θ ¨ + 2 m r r ˙ θ ˙
d d t ( m r 2 θ ˙ )
d L d t
0 {\displaystyle mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}
{\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})
{\frac {dL}{dt}}
0} L
m r 2 θ ˙ {\displaystyle L
mr^{2}{\dot {\theta }}} Eliminando θ ˙ {\displaystyle {\dot {\theta }}} en ( 1 ) {\displaystyle (1)} mediante ( 2 ) {\displaystyle (2)} pola relación θ ˙
d θ d t
L m r 2 {\displaystyle {\dot {\theta }}
{\frac {d\theta }{dt}}
{\frac {L}{mr^{2}}}}, obtense: r ¨ − L 2 m 2 r 3
− G M r 2 {\displaystyle {\ddot {r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}
-{\frac {GM}{r^{2}}}} Devandita ecuación diferencial de r {\displaystyle r} en función de t {\displaystyle t} pode modificarse de xeito que r {\displaystyle r} sexa unha función de θ {\displaystyle \theta } modificando a segunda derivada temporal mediante a regra da cadea: r ¨
d 2 r d t 2
d d t ( d r d t )
d θ d t d d θ ( d θ d t d r d θ )
L m r 2 d d θ ( L m r 2 d r d θ )
L m r 2 [ d r d θ d d r ( L m r 2 ) d r d θ + ( L m r 2 d 2 r d θ 2 ) ] {\displaystyle {\ddot {r}}
{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}
{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)
{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {d\theta }{dt}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)
{\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)
{\frac {L}{mr^{2}}}\left[{\frac {dr}{d\theta }}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {L}{mr^{2}}}\right){\frac {dr}{d\theta }}+\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\right)\right]} r ¨
L 2 m 2 r 4 d 2 r d θ 2 − 2 L 2 m 2 r 5 ( d r d θ ) 2 {\displaystyle {\ddot {r}}
{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-{\frac {{2}L^{2}}{m^{2}r^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}} Resulta, entón a seguinte ecuación para a función r ( θ ) {\displaystyle r(\theta )}: L 2 m 2 r 4 d 2 r d θ 2 − 2 L 2 m 2 r 5 ( d r d θ ) 2 − L 2 m 2 r 3
− G M r 2 {\displaystyle {\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-{\frac {{2}L^{2}}{m^{2}r^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}
-{\frac {GM}{r^{2}}}} ( 3 ) {\displaystyle (3)} Para resolver ( 3 ) {\displaystyle (3)}, defínese a función u ( θ ) ≡ 1 r ( θ ) {\displaystyle u(\theta )\equiv {\frac {1}{r(\theta )}}} e, consecuentemente, as súas derivadas en relación a θ {\displaystyle \theta }: d u d θ
− 1 r 2 d r d θ {\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}
{\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}} d 2 u d θ 2
2 r 3 ( d r d θ ) 2 − 1 r 2 d 2 r d θ 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}
{\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}} Substituíndo esas novas relacións en ( 3 ) {\displaystyle (3)}: − L 2 m 2 r 2 [ 2 r 3 ( d r d θ ) 2 − 1 r 2 d 2 r d θ 2 + 1 r ]
− G M r 2 {\displaystyle -{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left[{\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}+{\frac {1}{r}}\right]
-{\frac {GM}{r^{2}}}} − L 2 m 2 r 2 ( d 2 u d θ 2 + u )
− G M r 2 {\displaystyle -{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left({\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u\right)
-{\frac {GM}{r^{2}}}} Resultando, finalmente, na ecuación do oscilador harmônico: d 2 u d θ 2 + u
G M m 2 L 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u
{\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}} Cunha solución xeral que se pode escribir como: u ( θ )
G M m 2 L 2 + A cos ⁡ ( θ − δ ) {\displaystyle u(\theta )
{\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}+A\cos \left(\theta -\delta \right)} En que A {\displaystyle A} e δ {\displaystyle \delta } son constantes arbitrarias. É conveniente escribir A
G M m 2 L 2 ϵ {\displaystyle A
{\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}\epsilon }, en que ϵ {\displaystyle \epsilon } é a nova constante, denominada excentricidade. Así, r ( θ ) {\displaystyle r(\theta )} resulta ser: r ( θ )
L 2 G M m 211 + ϵ cos ⁡ ( θ − δ ) {\displaystyle r(\theta )
{\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}{\frac {1}{1+\epsilon \cos \left(\theta -\delta \right)}}}