Función vectorial

Unha función vectorial, é unha función matemática dunha ou máis variábeis cuxo rango é un conxunto de vectores multidimensionais ou vectores de dimensión infinita. A entrada dunha función vectorial pode ser un escalar ou un vector (é dicir, a dimensión do dominio pode ser 1 ou maior que 1); a dimensión do dominio da función non ten relación coa dimensión do seu rango. Exemplo: Hélice
Un exemplo común dunha función vectorial é unha que depende dun único parámetro real t, que a miúdo representa o tempo, producindo un vector v(t) como resultado. En termos dos vectores unitarios estándar i, j, k do espazo cartesiano 3-dimensional, estes tipos específicos de funcións vectoriais vén dados por expresións como r ( t )
f ( t ) i + g ( t ) j + h ( t ) k {\displaystyle \mathbf {r} (t)
f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} } onde f(t), g(t) e h(t) son as funcións coordenadas do parámetro t, e o dominio desta función vectorial é a intersección dos dominios das funcións f, g e h. Tamén se pode referir nunha notación diferente: r ( t )
⟨ f ( t ), g ( t ), h ( t ) ⟩ {\displaystyle \mathbf {r} (t)
\langle f(t), g(t), h(t)\rangle } O vector r(t) ten a súa cola na orixe e a súa cabeza nas coordenadas avaliadas pola función.
O vector mostrado na gráfica da dereita é a avaliación da función ⟨ 2 cos ⁡ t, 4 sin ⁡ t, t ⟩ {\displaystyle \langle 2\cos t, \, 4\sin t, \, t\rangle } preto de t 19. 5 (entre 6π e 6. 5π; é dicir, algo máis de 3 rotacións). A hélice é o camiño trazado pola punta do vector a medida que t aumenta desde cero ata 8π.
En 2D, podemos falar de forma análoga sobre funcións vectoriais como: r ( t )
f ( t ) i + g ( t ) j {\displaystyle \mathbf {r} (t)
f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} } ou r ( t )
⟨ f ( t ), g ( t ) ⟩ {\displaystyle \mathbf {r} (t)
\langle f(t), g(t)\rangle } Caso linear
No caso linear, a función pode expresarse en termos de matrices: y
A x, {\displaystyle \mathbf {y}
A\mathbf {x}, } onde y é un vector de saída n × 1, x é un vector de entradas k × 1, e A é unha matriz de parámetros n × k. Estreitamente relacionado está o caso afín (linear ata unha translación) onde a función toma a forma y
A x + b, {\displaystyle \mathbf {y}
A\mathbf {x} +\mathbf {b}, } onde b é un vector de n × 1 parámetros. Representación paramétrica dunha superficie
Unha superficie é un conxunto de puntos de 2 dimensións mergullado (máis comunmente) nun espazo de 3 dimensións. Unha forma de representar unha superficie é con ecuacións paramétricas, nas que dous parámetros s e t determinan as tres coordenadas cartesianas de calquera punto da superficie: ( x, y, z )
( f ( s, t ), g ( s, t ), h ( s, t ) ) ≡ F ( s, t ). {\displaystyle (x, y, z)
(f(s, t), g(s, t), h(s, t))\equiv \mathbf {F} (s, t). } Aquí F é unha función vectorial. Para unha superficie incrustada nun espazo de n dimensións, tense de forma similar a representación ( x 1, x 2, …, x n )
( f 1 ( s, t ), f 2 ( s, t ), …, f n ( s, t ) ) ≡ F ( s, t ). {\displaystyle (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})
(f_{1}(s, t), f_{2}(s, t), \dots, f_{n}(s, t))\equiv \mathbf {F} (s, t). } Derivada dunha función vectorial tridimensional
Moitas funcións vectoriais, como as funciones escalares, poden derivarse simplemente derivando as compoñentes no sistema de coordenadas cartesianas. Así, se r ( t )
f ( t ) i + g ( t ) j + h ( t ) k {\displaystyle \mathbf {r} (t)
f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} } é unha función vectorial, entón d r d t
f ′ ( t ) i + g ′ ( t ) j + h ′ ( t ) k. {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}
f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} +h'(t)\mathbf {k}. } A derivada vectorial admite a seguinte interpretación física: se r(t) representa a posición dunha partícula, entón a derivada é a velocidade da partícula v ( t )
d r d t. {\displaystyle \mathbf {v} (t)
{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}. } Do mesmo xeito, a derivada da velocidade é a aceleración d v d t
a ( t ). {\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}
\mathbf {a} (t). }
Derivada parcial
A derivada parcial dunha función vectorial a en relación a unha variábel escalar q defínese como ∂ a ∂ q
∑ i
1 n ∂ a i ∂ q e i {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}
\sum _{i
1}^{n}{\frac {\partial a_{i}}{\partial q}}\mathbf {e} _{i}} onde ai é a compoñente escalar de a na dirección de ei. Tamén se chama coseno director de a e ei ou o seu produto escalar. Os vectores e1, e2, e3 forman unha base ortonormal fixa no sistema de referencia no que se está a tomar a derivada.
Derivada ordinaria
Se a se considera unha función vectorial dunha única variábel escalar, como o tempo t, entón a ecuación anterior redúcese á primeira derivada temporal ordinaria de a en relación a t, d a d t
∑ i
1 n d a i d t e i. {\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}
\sum _{i
1}^{n}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}. }
Derivada total
Se o vector a é unha función dun número n de variábeis escalares qr (r
1, .. ., n), e cada qr é só unha función do tempo t, entón a derivada ordinaria de a en relación a t pode expresarse, nunha forma coñecida como a derivada total, como d a d t
∑ r
1 n ∂ a ∂ q r d q r d t + ∂ a ∂ t. {\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}
\sum _{r 1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q_{r}}}{\frac {dq_{r}}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial t}}. } Algúns autores prefiren usar D maiúscula para indicar o operador de derivada total, como en D/Dt. A derivada total difire da derivada temporal parcial en que a derivada total ten en conta os cambios en a debido á variación temporal das variábeis qr.
Sistemas de referencia
Mentres que para as funcións escalares só hai un único sistema de referencia posíbel, para tomar a derivada dunha función vectorial require a elección dun sistema de referencia (polo menos cando non se implica un sistema de coordenadas cartesianas fixo como tal). Unha vez elixido un sistema de referencia, a derivada dunha función vectorial pode calcularse usando técnicas similares ás usadas para calcular derivadas de funcións escalares. Unha escolla diferente do sistema de referencia producirá, en xeral, unha función derivada diferente. As funcións derivadas en diferentes sistemas de referencia teñen unha relación cinemática específica.
Derivada dunha función vectorial con bases non fixas
As fórmulas anteriores para a derivada dunha función vectorial baséanse no suposto de que os vectores base e1, e2, e3 son constantes, é dicir, fixos no sistema de referencia no que se está a tomar a derivada de a, e polo tanto cada un dos e1, e2, e3 ten unha derivada idénticamente cero. Isto a miúdo é certo para problemas que tratan con campos vectoriais nun sistema de coordenadas fixo, ou para problemas simples en física. No entanto, moitos problemas complexos implican a derivada dunha función vectorial en múltiples sistemas de referencia móbiles, o que significa que os vectores base non serán necesariamente constantes. Neste caso, onde os vectores base e1, e2, e3 están fixos no sistema de referencia E, pero non no sistema de referencia N, a fórmula máis xeral para a derivada temporal ordinaria dun vector no sistema de referencia N é N d a d t
∑ i
13 d a i d t e i + ∑ i
13 a i N d e i d t {\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}
\sum _{i
1}^{3}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}+\sum _{i
1}^{3}a_{i}{\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {e} _{i}}{dt}}} onde o superíndice N á esquerda do operador derivada indica o sistema de referencia no que se toma a derivada. Como se mostrou anteriormente, o primeiro termo do lado dereito é igual á derivada de a no sistema de referencia onde e1, e2, e3 son constantes, o sistema de referencia E. Tamén se pode demostrar que o segundo termo do lado dereito é igual á velocidade angular relativa dos dous sistemas de referencia co produto vectorial co vector a mesmo. Así, trala substitución, a fórmula que relaciona a derivada dunha función vectorial en dous sistemas de referencia é N d a d t
E d a d t + N ω E × a {\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}
{\frac {{}^{\mathrm {E} }d\mathbf {a} }{dt}}+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {a} } onde NωE é a velocidade angular do sistema de referencia E en relación ao sistema de referencia N.
Un exemplo común onde se usa esta fórmula é para atopar a velocidade dun obxecto espacial, como un foguete, no sistema de referencia inercial usando medicións da velocidade do foguete respecto ao chan. A velocidade NvR no sistema de referencia inercial N dun foguete R situado na posición rR pode atoparse usando a fórmula N d d t ( r R )
E d d t ( r R ) + N ω E × r R. {\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })
{\frac {{}^{\mathrm {E} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }. } onde NωE é a velocidade angular da Terra en relación ao sistema de referencia inercial N. Dado que a velocidade é a derivada da posición, NvR e EvR son as derivadas de rR nos sistemas de referencia N e E, respectivamente. Por substitución, N v R
E v R + N ω E × r R {\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }
{}^{\mathrm {E} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }} onde EvR é o vector velocidade do foguete medido desde un sistema de referencia E que está fixo na Terra.