Fórmula de Stirling

En matemáticas, a fórmula de Stirling é unha aproximación para factoriais grandes. Leva o nome en honor de James Stirling.
A aproximación exprésase como ln ⁡ n! ≈ n ln ⁡ n − n {\displaystyle \ln n! \approx n\ln n-n\, } para n suficientemente grande, onde ln é o logaritmo natural.
Escrito coa notación O grande sería ln ⁡ ( n! )
n ln ⁡ n − n + O ( ln ⁡ n ), {\displaystyle \ln(n! )
n\ln n-n+O(\ln n), }.
E a forma máis utilizada é n! ≈ 2 π n ( n e ) n. {\displaystyle n! \approx {\sqrt {2\pi n}}\; \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}. } Dedución
En liñas xerais, a versión máis sinxela da fórmula de Stirling pódese obter rapidamente aproximando a suma ln ⁡ ( n! )
∑ j
1 n ln ⁡ j {\displaystyle \ln(n! )
\sum _{j
1}^{n}\ln j} cunha integral: ∑ j
1 n ln ⁡ j ≈ ∫ 1 n ln ⁡ x d x
n ln ⁡ n − n + 1. {\displaystyle \sum _{j
1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\, {\rm {d}}x
n\ln n-n+1. } A fórmula completa, xunto coas estimacións precisas do seu erro, pódese deducir do seguinte xeito. En lugar de aproximar n! {\displaystyle n! }, considérase o seu logaritmo natural, xa que esta é unha función que varía lentamente: ln ⁡ ( n! )
ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 + ⋯ + ln ⁡ n. {\displaystyle \ln(n! )
\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n. } O lado dereito desta ecuación menos 12 ( ln ⁡ 1 + ln ⁡ n )
12 ln ⁡ n {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)
{\tfrac {1}{2}}\ln n} é a aproximación pola regra do trapecio da integral ln ⁡ ( n! ) − 12 ln ⁡ n ≈ ∫ 1 n ln ⁡ x d x
n ln ⁡ n − n + 1, {\displaystyle \ln(n! )-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\, {\rm {d}}x
n\ln n-n+1, } e o erro nesta aproximación vén dado pola fórmula de Euler–Maclaurin: ln ⁡ ( n! ) − 12 ln ⁡ n
12 ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + ⋯ + ln ⁡ ( n − 1 ) + 12 ln ⁡ n
n ln ⁡ n − n + 1 + ∑ k
2 m ( − 1 ) k B k k ( k − 1 ) ( 1 n k − 1 − 1 ) + R m, n, {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(n! )-{\tfrac {1}{2}}\ln n&
{\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&
n\ln n-n+1+\sum _{k
2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m, n}, \end{aligned}}} onde B k {\displaystyle B_{k}} é un número de Bernoulli, e Rm, n é o termo residual na fórmula de Euler-Maclaurin. Tomando límites para atopalo lim n → ∞ ( ln ⁡ ( n! ) − n ln ⁡ n + n − 12 ln ⁡ n )
1 − ∑ k
2 m ( − 1 ) k B k k ( k − 1 ) + lim n → ∞ R m, n. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n! )-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)
1-\sum _{k
2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m, n}. } Denotamos este límite como y {\displaystyle y}. Como o resto
Rm, n na fórmula de Euler–Maclaurin satisfai R m, n
lim n → ∞ R m, n + O ( 1 n m ), {\displaystyle R_{m, n}
\lim _{n\to \infty }R_{m, n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right), } onde se usa a notación O grande, combinando as ecuacións anteriores obtemos a fórmula de aproximación na súa forma logarítmica: ln ⁡ ( n! )
n ln ⁡ ( n e ) + 12 ln ⁡ n + y + ∑ k
2 m ( − 1 ) k B k k ( k − 1 ) n k − 1 + O ( 1 n m ). {\displaystyle \ln(n! )
n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k
2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right). } Tomando a exponencial en ambos os dous lados e escollendo calquera número enteiro positivo m {\displaystyle m}, obtense unha fórmula que inclúe unha cantidade descoñecida e y {\displaystyle e^{y}}. Para m
1, a fórmula é n!
e y n ( n e ) n ( 1 + O ( 1 n ) ). {\displaystyle n!
e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right). } A cantidade e y {\displaystyle e^{y}} pódese atopar tomando o límite en ambos os dous lados xa que n {\displaystyle n} tende ao infinito e usando o Produto de Wallis, o que mostra que e y
2 π {\displaystyle e^{y}
{\sqrt {2\pi }}}. Polo tanto, obtense a fórmula de Stirling: n!
2 π n ( n e ) n ( 1 + O ( 1 n ) ). {\displaystyle n! {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right). }
Dedución alternativa
Unha fórmula alternativa para n! {\displaystyle n! } usando a función gamma é n!
∫ 0 ∞ x n e − x d x. {\displaystyle n!
\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\, {\rm {d}}x. } (como se pode ver pola integración repetida por partes). Reescribindo e mudadno as variábeis x
ny, obtense n!
∫ 0 ∞ e n ln ⁡ x − x d x
e n ln ⁡ n n ∫ 0 ∞ e n ( ln ⁡ y − y ), d a. {\displaystyle n!
\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}\, {\rm {d}}x
e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\, {\rm {d}}a. } Aplicando o método de Laplace tense ∫ 0 ∞ e n ( ln ⁡ y − y ) d y ∼ 2 π n e − n, {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\, {\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}, } co que volvemos a obter a fórmula de Stirling: n! ∼ e n ln ⁡ n n 2 π n e − n
2 π n ( n e ) n. {\displaystyle n! \sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n} {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}. } Serie de Stirling e límite do erro
Como vimos na introdución a fórmula máis usada é n! ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n! \approx {\sqrt {2\pi n}}\; \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} que provén de lim n → ∞ n! 2 π n ( n e ) n
1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\; \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
1} que á súa vez provén máis exactamente da fórmula n!
2 π n ( n e ) n e 112 n − 1360 n 3 + 11260 n 5 − 11680 n 7 + ⋯ {\displaystyle n!
{\sqrt {2\pi n}}\; \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots }} onde o último termo (a exponencial) tende a 1 cando n tende a infinito.
A lista dos denominadores (secuencia A046969 na OEIS): 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, .. .
Desenvolvendo este último termo tamén se pode reescribir a fórmula como (chamada serie de Striling n!
2 π n ( n e ) n ( 1 + 112 n + 1288 n 2 − 13951840 n 3 − 5712488320 n 4 + ⋯ ). {\displaystyle n!
{\sqrt {2\pi n}}\; \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right). } Que ten límites superior e inferior 2 π n ( n e ) n e 112 n + 1 < n! < 2 π n ( n e ) n e 112 n {\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\; \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n+1}}<n! <{\sqrt {2\pi n}}\; \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n}}} G. Nemes deu unha fórmula explícita para os coeficientes desta serie. Na OEIS aparecen outros termos(secuencia A001163 na OEIS) e (secuencia A001164 na OEIS).
Podemos ver un exemplo calculado destes límites: 29!
8841761993739701954543616000000 {\displaystyle 29!
8841761993739701954543616000000} e 11229 + 1
1, 002869438. .. {\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\; 29+1}}
1, 002869438. .. } e 11229
1, 002877696. .. {\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\; 29}}
1, 002877696. .. } 29!
2 π 29 ( 29 e ) 291, 002877577. .. {\displaystyle 29!
{\sqrt {2\pi 29}}\; \left({\frac {29}{e}}\right)^{29}1, 002877577. .. } Fórmula de Stirling para a función Gamma
Para todos os números enteiros positivos, n!
Γ ( n + 1 ), {\displaystyle n!
\Gamma (n+1), } onde Γ denota a función Gamma.
Porén, a función gamma, a diferenza do factorial, está definida de xeito máis amplo para todos os números complexos que non sexan os enteiros non positivos; así, a fórmula de Stirling aínda se pode aplicar. Se Re(z) > 0, temos ln ⁡ Γ ( z )
z ln ⁡ z − z + 12 ln ⁡ 2 π z + ∫ 0 ∞ 2 arctan ⁡ ( t z ) e 2 π t − 1 d t. {\displaystyle \ln \Gamma (z)
z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{z}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\, {\rm {d}}t. } A integración por partes repetida dá ln ⁡ Γ ( z ) ∼ z ln ⁡ z − z + 12 ln ⁡ 2 π z + ∑ n
1 N − 1 B 2 n 2 n ( 2 n − 1 ) z 2 n − 1, {\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum _{n
1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}, } onde B n {\displaystyle B_{n}} é o n {\displaystyle n} -ésimo número de Bernoulli (nótese que o límite da suma cando N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } non é converxente, polo que esta fórmula é só unha expansión asintótica). A fórmula é válida para z {\displaystyle z} o suficientemente grande en valor absoluto, cando |arg(z)| < π − ε, onde ε é positivo, cun termo de erro de O(z−2N+ 1). Así pódese escribir a aproximación correspondente: Γ ( z )
2 π z ( z e ) z ( 1 + O ( 1 z ) ), {\displaystyle \Gamma (z)
{\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\, {\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right), } onde a expansión é idéntica á da serie de Stirling anterior para n! {\displaystyle n! }, excepto que n {\displaystyle n} substitúese por z − 1.
Outra aplicación desta expansión asintótica é para argumentos complexos z con constante Re(z). Vexa por exemplo a fórmula de Stirling aplicada en Im(z) t da función theta de Riemann–Siegel na liña recta 1/4 + it. Usos
A fórmula resulta útil en diversas áreas como a mecánica estatística, onde aparecen ecuacións que conteñen factoriais do número de partículas. Posto que na materia ordinaria os sistemas macroscópicos típicos teñen en torno a N ≈ 1023 {\displaystyle N\approx 10^{23}} partículas a fórmula de Stirling resulta moi aproximada. Ademais a fórmula é diferenciable, o cal permite o cálculo moi aproximado de máximos e mínimos en expresións con factoriais.