Paradoxo de Russell

O paradoxo de Russell ou paradoxo do barbeiro, descrito por Bertrand Russell en 1901, demostra que a teoría orixinal de conxuntos formulada por Cantor e Frege é contraditoria. O paradoxo en termos de conxuntos
Supoñamos os casos de conxuntos que son membros deles mesmos. Un exemplo descrito é o que supón un conxunto que consta de "ideas abstractas". O devandito conxunto é membro del mesmo porque o propio conxunto é unha idea abstracta. Outro exemplo sería unha bolsa con bolsas dentro. Doutra banda un conxunto que consta de "libros" non é membro de si mesmo porque o conxunto en si non é un libro. Russell preguntaba (nunha carta escrita a Frege en 1902), se o conxunto dos conxuntos que non forman parte deles mesmos (é dicir, aquel conxunto que engloba todos aqueles conxuntos que non están incluídos en si mesmos, como o de "libros" no exemplo anterior) forma parte de si mesmo. O paradoxo consiste en que se non forma parte de si mesmo, pertence ao tipo de conxuntos que non forman parte de si mesmos e por tanto forma parte de si mesmo. É dicir, formará parte de si mesmo só se non forma parte de si mesmo.
Enunciado formal do paradoxo
Chámese M {\displaystyle M_{}^{}} ao "conxunto de todos os conxuntos que non se conteñen a si mesmos como membros". É dicir (1) M
{ x: x ∉ x } {\displaystyle M
\{x: x\notin x\}} Segundo a teoría de conxuntos de Cantor, a ecuación (1) pódese representar por (2) ∀ x x ∈ M ⟺ x ∉ x {\displaystyle \forall x\qquad x\in M\iff x\notin x} é dicir "Cada conxunto é elemento de M {\displaystyle M} se e só se non é elemento de si mesmo".
Agora, como M {\displaystyle M} é un conxunto, pódese substituír x {\displaystyle x} por M {\displaystyle M} na ecuación (2), de onde se obtén (3) M ∈ M ⟺ M ∉ M {\displaystyle M\in M\iff M\notin M} É dicir que M {\displaystyle M} é un elemento de M {\displaystyle M} se e só se M {\displaystyle M} non é un elemento de M {\displaystyle M}, o que é absurdo. O paradoxo en termos do barbeiro
O paradoxo de Russell foi expresada en varios termos máis cotiáns. O máis coñecido é o paradoxo do barbeiro que se pode enunciar da seguinte maneira: En lóxica de primeira orde, o paradoxo do barbeiro pódese expresar como: (4) ∀ x a f e i t a ( x, b a r b e i r o ) ⟺ ¬ a f e i t a ( x, x ) {\displaystyle \forall x\qquad \mathrm {afeita} (x, barbeiro)\iff \neg \mathrm {afeita} (x, x)} Onde a f e i t a ( x, y ) {\displaystyle \mathrm {afeita} (x, y)} significa " x {\displaystyle x} é afeitado por y {\displaystyle y} ". O anterior leríase como "cada persoa é afeitada polo barbeiro se e só se non se afeita a ela mesma". É importante notar a semellanza entre as ecuacións (2) e (4). Ao substituír x {\displaystyle x} por b a r b e i r o {\displaystyle barbeiro} obtense (5) a f e i t a ( b a r b e i r o, b a r b e i r o ) ⟺ ¬ a f e i t a ( b a r b e i r o, b a r b e i r o ) {\displaystyle \mathrm {afeita} (barbeiro, barbeiro)\iff \neg \mathrm {afeita} (barbeiro, barbeiro)} É dicir que o barbeiro se afeita a si mesmo se e só se non se afeita a si mesmo, o cal é unha contradición.
Porén, Russell dubida sobre esta formulación, e el mesmo comentou "Nunha ocasión foime suxerida unha formulación que non era válida; a cuestión de se o barbeiro se afeita ou non a si mesmo. Vostedes poden definir o barbeiro como 'alguén que afeita a todos aqueles, e só aqueles, que non se afeitan a si mesmos'. A pregunta agora é: aféitase o barbeiro a si mesmo? Así formulada, a contradición non é moi difícil de resolver". Explicación do paradoxo
Os conxuntos son reunións de cousas, por exemplo de coches, libros, persoas etc. e neste sentido chámanse conxuntos normais.
A característica principal dun conxunto normal é que non se contén a si mesmo. Pero tamén existen conxuntos de conxuntos, como P ( M ) {\displaystyle P(M)}, que é o conxunto de subconxuntos de M {\displaystyle M}.
Un conxunto de conxuntos é normal salvo se podemos facer que se conteña a si mesmo. Isto último non é difícil se temos o conxunto de todas as cousas que NON son libros e como un conxunto non é un libro, o conxunto de todas as cousas que NON son libros formará parte do conxunto de todas as cousas que NON son libros. Estes conxuntos que se conteñen a si mesmos chámanse conxuntos singulares.
Está claro que un conxunto dado ou ben é normal ou ben é singular; non hai termo medio: ou se contén a si mesmo ou non se contén. Agora tomando o conxunto C {\displaystyle C} como o conxunto de todos os conxuntos normais. Que clase de conxunto é C {\displaystyle C}? Normal ou Singular?
Se é normal, estará dentro do conxunto de conxuntos normais, que é C {\displaystyle C}, logo xa non pode ser normal. Se é singular, non pode estar dentro do conxunto de conxuntos normais, logo non pode estar en C {\displaystyle C}, pero se non pode estar en C {\displaystyle C} entón non é singular.