Factorial

Nas matemáticas, a factorial dun número natural n é o produto de todos os enteiros positivos menores ou iguais a n. Iso é escrito como n! e lido como "factorial de n ". A notación n! foi introducida por Christian Kramp en 1808. Definición
A función factorial é definida como o produto n!
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 1 ) ⋅ n, {\displaystyle n!
1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n, } que se pode escribir como n!
∏ k
1 n k para todo n ≥ 0. {\displaystyle n!
\prod _{k
1}^{n}k\qquad {\mbox{para todo }}n\geq 0. } Por exemplo,
5!
1 × 2 × 3 × 4 × 5
120
A secuencia das factoriais (secuencia A000142 na OEIS) para n 0, 1, 2, .. . comeza con: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, .. .
Factorial de cero
A factorial de 0, 0! {\displaystyle 0! }, é 1. Hai diversas razóns que xustifican esta definición: Para n 0, a definición de n! como produto precisa do produto de ningún número, é a convención estendida di que o produto de ningún factor é igual a identidade na multiplicación, 1.
Estende a relación de recorrencia (n + 1)!
(n+1)·n! a n
0. .
Factorial de non enteiros
A definición de factorial tamén se pode definir para valores non enteiros a través da función gamma, detallado máis abaixo: z!
Γ ( z + 1 )
∫ 0 ∞ t z e − t d t {\displaystyle z!
\Gamma (z+1)
\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\, dt} Aplicacións
Aínda que a función factorial ten os seus inicios na combinatoria, as súas aplicacións esténdense por moitas áreas da matemática. Existen n! camiños diferentes de arranxar n obxectos distintos nunha secuencia, chamados permutacións.
A miúdo aparece en contexto de contar cousas onde a orde non é importante. Por exemplo, no caso de contar o número de escoller k elementos dun conxunto de n é dado polo coeficiente binomial ( n k )
n! k! ( n − k )! . {\displaystyle {n \choose k}
{n! \over k! (n-k)! }. } Os factoriais tamén aparecen en cálculo. Por exemplo, na serie de Taylor, que expresa a función f(x) como unha serie de serie de potencias en x. A razón principal é que o n derivativo de xn é n! .
Os factoriais tamén son usados extensamente na teoría da probabilidade.
Os factoriais tamén son frecuentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, en ciencias da computación, porque satisfán as seguintes relacións recursivas: (se n ≥ 1):
n! n (n − 1)! Como calcular factoriais
O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicación repetida se n non for grande de máis. É iso o que as calculadoras fan. O maior factorial que a maioría das calculadoras aguantan é 69! , porque 70! > 10100.
Cando n é grande de máis, n! pode ser calculado cunha boa precisión usando a fórmula de Stirling: n! ∼ 2 π n ( n e ) n. {\displaystyle n! \sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}. } Esa é unha versión simplificada que pode ser probada usando matemática básica de ensino secundario; a ferramenta esencial é a indución matemática. Ela é presentada aquí na forma dun exercicio: ( n 3 ) n < n! < ( n 2 ) n if n ≥ 6. {\displaystyle \left({n \over 3}\right)^{n}<n! <\left({n \over 2}\right)^{n}\ {\mbox{if}}\ n\geq 6. \, } Logaritmo de factorial
O logaritmo dun factorial pode ser usado para calcular o número de díxitos que a base dun factorial irá ocupar. log n! pode ser facilmente calculado da seguinte maneira: ∑ k
1 n log ⁡ k {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}{\log k}} Nótese que esa función, demostrada graficamente, é case linear para valores baixos; mais o factor log ⁡ n! n {\displaystyle {\log n! } \over n} crece de maneira arbitraria, aínda que vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico os seus primeiros 20 mil valores: Unha boa aproximación para log n! é facer o logaritmo da aproximación de Stirling. Factorial para valores non enteiros
A función gamma
A función gamma Γ(z) é definida para todos os números complexos z excepto os enteiros non positivos (z
0, −1, −2, −3, .. .). Ela relaciónase cos factoriais polo feito de que satisfai unha relación recursiva semellante a aquela da función factorial: n!
n ( n − 1 )! {\displaystyle n!
n(n-1)! } Γ ( n + 1 )
n Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n+1)
n\Gamma (n)} Xunto coa definición Γ(1)
1 iso xera a ecuación Γ ( n + 1 )
n! para todo n ∈ N, n ≥ 1. {\displaystyle \Gamma (n+1)
n! \qquad {\mbox{para todo }}n\in \mathbb {N}, n\geq 1. } Por causa desa relación, a función gamma é frecuentemente tida como unha xeneralización da función factorial para o dominio dos números complexos. Iso é xustificado polas seguintes racións: Significado compartido: A definición canónica da función factorial é a relación recursiva mencionada, compartida por ambos.
Unicidade: A función gamma é a única función que satisfai a relación recursiva mencionada para o dominio dos números complexos e é holomórfica e cuxa restrición ao eixo positivo real é convexa no log. Ou sexa, é a única función que podería ser unha xeneralización da función factorial.
Contexto: A función gamma é xeralmente usada nun contexto similar ao dos factoriais (mais, é claro, onde un dominio máis xeral for de interese). Funcións semellantes á factorial
Multifactoriais
Unha notación relacionada común é o uso de múltiplos puntos de exclamación para simboliar un multifactorial, o produto de enteiros en pasos de (n! !), tres (n! !! ), ou máis.
n! ! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por n! !
{ 1, if n
0 or n
1; n ( n − 2 )! ! if n ≥ 2. {\displaystyle n! !
\left\{{\begin{matrix}1, \qquad \quad \ &&{\mbox{if }}n
0{\mbox{ or }}n
1; \\n(n-2)! !&&{\mbox{if }}n\geq 2. \qquad \qquad \end{matrix}}\right. } Por exemplo, 8! !
2 · 4 · 6 · 8
384 e 9! !
1 · 3 · 5 · 7 · 9
945. A secuencia de factoriais duplos para n 0, 1, 2, .. . é: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, .. .
Algunhas identidades que envolven factoriais duplos son: n!
n! ! ( n − 1 )! ! {\displaystyle n!
n! !(n-1)! !} ( 2 n )! !
2 n n! {\displaystyle (2n)! !
2^{n}n! } ( 2 n + 1 )! !
( 2 n + 1 )! ( 2 n )! !
( 2 n + 1 )! 2 n n! {\displaystyle (2n+1)! !
{(2n+1)! \over (2n)! !}
{(2n+1)! \over 2^{n}n! }} Γ ( n + 12 )
π ( 2 n − 1 )! ! 2 n {\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)
{\sqrt {\pi }}{(2n-1)! ! \over 2^{n}}} Débese ser coidadoso para non interpretar n! ! como a factorial de n! , que debería ser escrito (n! )! e é un número moito maior (para n>2).
A factorial dupla é a variante máis comumente usada, mais pódese definir a factorial tripla do mesmo modo (n! !! ) e así por diante. En xeral, a k-ésima factorial, notado por n! (k), é definido recursivamente como n! ( k )
{ 1, if 0 ≤ n < k; n ( n − k )! ( k ), if n ≥ k. {\displaystyle n! ^{(k)}
\left\{{\begin{matrix}1, \qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k; \\n(n-k)! ^{(k)}, &&{\mbox{if }}n\geq k. \quad \ \ \, \end{matrix}}\right. }
Hiperfactoriais
Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por H ( n )
∏ k
1 n k k
11 ⋅ 22 ⋅ 33 ⋯ ( n − 1 ) n − 1 ⋅ n n {\displaystyle H(n)
\prod _{k
1}^{n}k^{k}
1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}} Para n 1, 2, 3, 4, .. . os valores de H(n) son 1, 4, 108, 27648, .. .
A función hiperfactorial é similar á factorial, mais produce números maiores. A taxa de crecemento desa función, con todo, non é moito maior que un factorial regular.
Superfactoriais
Neil Sloane e Simon Plouffe definiron o superfactorial en 1995 como o produto dos primeiros n factoriais. Así, o superfactorial de 4 é sf(4)
1! *2! *3! *4!
288.
No xeral, s f ( n )
∏ k
1 n k!
∏ k
1 n k n − k + 1
1 n ⋅ 2 n − 1 ⋅ 3 n − 2 ⋯ ( n − 1 ) 2 ⋅ n 1. {\displaystyle \mathrm {sf} (n)
\prod _{k
1}^{n}k!
\prod _{k
1}^{n}k^{n-k+1}
1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}. } A secuencia de superfactoriais comeza (de n 0) como: 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, .. . (secuencia A000178 na OEIS)
Esa idea pode ser facilmente estendida para superduperfactorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando con n 0), así 1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, .. . (secuencia A055462 na OEIS)
e aí en diante, recursivamente para todos os factoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produtod dos primeiros n (m-1)-factorials, i. e. m f ( n, m )
m f ( n − 1, m ) m f ( n, m − 1 )
∏ k
1 n k ( n − k + m − 1 n − k ) {\displaystyle \mathrm {mf} (n, m)
\mathrm {mf} (n-1, m)\mathrm {mf} (n, m-1)
\prod _{k
1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k}} onde m f ( n, 0 )
n {\displaystyle \mathrm {mf} (n, 0)
n} para n > 0 {\displaystyle n>0} e m f ( 0, m )
1 {\displaystyle \mathrm {mf} (0, m)
1}.
Superfactoriais (definición alternativa)
Clifford Pickover, no seu libro Keys to Infinity, de 1995, definiu o superfactorial de n, escrito como n$ (o $ debería, na verdade, ser un sinal de factorial! cun S sobreposto) como n $
n ( 4 ) n {\displaystyle n\$
n^{(4)}n} onde a notación (4) denota o operador hyper4, ou usando a notación de frecha de Knuth, n $
( n! ) ↑↑ ( n! ) {\displaystyle n\$
(n! )\uparrow \uparrow (n! )} Esa secuencia de superfactoriais comeza: 1 $
1 {\displaystyle 1\$
1} 2 $
22
4 {\displaystyle 2\$
2^{2}
4} 3 $
6 ↑↑ 6
666666 {\displaystyle 3\$
6\uparrow \uparrow 6
6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}}
Factoración prima de factoriais
A potencia de p que ocorre na factoración prima de n! é ∑ i
1 ∞ ⌊ n / p i ⌋ {\displaystyle \sum _{i
1}^{\infty }\lfloor n/p^{i}\rfloor }