Produto de matrices

En matemáticas, particularmente en álxebra lineal, a multiplicación de matrices é unha operación binaria que produce unha matriz a partir de dúas matrices. Para a multiplicación de matrices, o número de columnas da primeira matriz debe ser igual ao número de filas da segunda matriz. A matriz resultante, coñecida como produto matricial, ten o número de filas da primeira e o número de columnas da segunda matriz. O produto das matrices A e B denotase como AB.
O cálculo de produtos matriciales é unha operación central en todas as aplicacións computacionais da álxebra lineal. Definicións
Produto de matrices
Se A é unha matriz m × n e B é unha matriz n × p, A
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ), B
( b 11 b 12 ⋯ b 1 p b 21 b 22 ⋯ b 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n p ) {\displaystyle \mathbf {A}
{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}, \quad \mathbf {B}
{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}} o produto matricial C
AB (indicado sen signos ou puntos de multiplicación) defínese como a matriz m × p C
( c 11 c 12 ⋯ c 1 p c 21 c 22 ⋯ c 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c m 1 c m 2 ⋯ c m p ) {\displaystyle \mathbf {C}
{\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}} tal que c i j
a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i n b n j
∑ k
1 n a i k b k j, {\displaystyle c_{ij}
a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}
\sum _{k
1}^{n}a_{ik}b_{kj}, } para i
1, .. ., m; i
1, .. ., m e j
1, .. ., p j 1, .. ., p.
É dicir, o elemento c_{ij} do produto obtense multiplicando termo por termo as entradas da i-ésima fila de A e a j-ésima columna de B, e sumando estes n produtos. Noutras palabras, c_{ij} é o produto escalar da i-ésima fila de A e a j-ésima columna de B.
Por tanto, o produto AB defínese se e só se o número de columnas en A é igual ao número de filas en B, neste caso n. A figura seguinte mostra como calcular os coeficientes c 12 {\displaystyle c_{12}} e c 33 {\displaystyle c_{33}} da matriz produto A B {\displaystyle AB} se A {\displaystyle A} é unha matriz de tipo ( 4, 2 ) {\displaystyle (4, 2)}, et B {\displaystyle B} é unha matriz de tipo ( 2, 3 ) {\displaystyle (2, 3)}. c 12
∑ r
12 a 1 r b r 2
a 11 b 12 + a 12 b 22 {\displaystyle {\color {BrickRed}c_{12}}
\sum _{r
1}^{2}a_{1r}b_{r2}
a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}} c 33
∑ r
12 a 3 r b r 3
a 31 b 13 + a 32 b 23 {\displaystyle {\color {NavyBlue}c_{33}}
\sum _{r
1}^{2}a_{3r}b_{r3}
a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}}
Exemplos
( 102 − 1 ) × ( 34 − 2 − 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&4\\-2&-3\\\end{pmatrix}}}
( ( 1 × 3 + 0 × − 2 ) ( 1 × 4 + 0 × − 3 ) ( 2 × 3 + − 1 × − 2 ) ( 2 × 4 + − 1 × − 3 ) )
( 34811 ) {\displaystyle
{\begin{pmatrix}(1\times 3+0\times -2)&(1\times 4+0\times -3)\\(2\times 3+-1\times -2)&(2\times 4+-1\times -3)\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}3&4\\8&11\end{pmatrix}}}.
En xeral, o produto des matrices non é conmutativa, Isto é, A B {\displaystyle AB} non é igual a B A {\displaystyle BA}, como mostra o seguinte exemplo: ( 12043 − 1 ) × ( 512334 )
( 97239 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0\\4&3&-1\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}5&1\\2&3\\3&4\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}9&7\\23&9\\\end{pmatrix}}},
mentres que, ( 512334 ) × ( 12043 − 1 )
( 913 − 11413 − 31918 − 4 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}5&1\\2&3\\3&4\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&2&0\\4&3&-1\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}9&13&-1\\14&13&-3\\19&18&-4\\\end{pmatrix}}}
Produto escalar
O produto escalar a ⋅ b {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} } de dous vectores a {\displaystyle \mathbf {a} } e b {\displaystyle \mathbf {b} } de igual lonxitude é igual a un elemento único (sería unha matriz 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} ) resultante de multiplicar estes vectores como un vector fila por un vector columna, así: a T b {\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} } (ou b T a {\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} } ).
O produto escalar dos dous vectores a
( 123 ) {\displaystyle a
{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}} e b
( − 789 ) {\displaystyle b
{\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}} calcúlase como a ⋅ b
( 123 ) ( − 789 )
1 ⋅ ( − 7 ) + 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 9
36 {\displaystyle a\cdot b
{\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}
1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9
36}. Potencia dunha matriz cadrada
A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.
Cando unha matriz A {\displaystyle A} cadrada é diagonalizábel
esta diagonalización A
P D P − 1 {\displaystyle A
PDP^{-1}}, onde D {\displaystyle D} é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz: A k
( P D P − 1 ) k
( P D P − 1 ) ( P D P − 1 ) ⋯ ( P D P − 1 )
P D ( P − 1 P ) D ( P − 1 P ) ⋯ ( P − 1 P ) D P − 1
P D k P − 1, {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&
\left(PDP^{-1}\right)^{k}
\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&
PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}
PD^{k}P^{-1}, \end{aligned}}} e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal. Por exemplo, para a matriz A {\displaystyle A} A
[ 01 − 20101 − 13 ]. {\displaystyle A
\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\! \! \! -2\\0&1&0\\1&\! \! \! -1&3\end{array}}\right]. } con valores propios λ
1, 1, 2 {\displaystyle \lambda
1, 1, 2} temos a diagonalización: P {\displaystyle P} to get: P − 1 A P
[ 10112001 − 1 ] − 1 [ 01 − 20101 − 13 ] [ 10112001 − 1 ]
[ 100010002 ]
D. {\displaystyle P^{-1}AP
\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\! \! \! \! -1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\! \! \! -2\\0&1&0\\1&\! \! \! -1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\, 0&1\\1&2&0\\0&1&\! \! \! \! -1\end{array}}\right]
{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}
D. } e agora calculamos: A k
P D k P − 1
[ 10112001 − 1 ] [ 1 k 0001 k 0002 k ] [ 10112001 − 1 ] − 1
[ 2 − 2 k − 1 + 2 k 2 − 2 k + 1010 − 1 + 2 k 1 − 2 k − 1 + 2 k + 1 ]. {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}
PD^{k}P^{-1}&
\left[{\begin{array}{rrr}1&\, 0&1\\1&2&0\\0&1&\! \! \! \! -1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\, 0&1\\1&2&0\\0&1&\! \! \! \! -1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&
{\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}. \end{aligned}}} Aplicacións fundamentais
Historicamente, a multiplicación matricial foi introducida para facilitar e aclarar os cálculos en álxebra linear.
Mapas lineares
Un mapa linear A dun espazo vectorial de dimensión n nun espazo vectorial de dimensión m mapea un vector columna x
( x 1 x 2 ⋮ x n ) {\displaystyle \mathbf {x}
{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}} sobre o vector columna y
A ( x )
( a 11 x 1 + ⋯ + a 1 n x n a 21 x 1 + ⋯ + a 2 n x n ⋮ a m 1 x 1 + ⋯ + a m n x n ). {\displaystyle \mathbf {y}
A(\mathbf {x} )
{\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}. } O mapa linear A está así definido pola matriz A
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ), {\displaystyle \mathbf {A}
{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}, } e mapea o vector columna x {\displaystyle \mathbf {x} } no produto matricial y
A x. {\displaystyle \mathbf {y}
\mathbf {Ax}. }
Rotacións xeométricas
Usando un sistema de coordenadas cartesianas nun plano euclidiano, a rotación dun ángulo α {\displaystyle \alpha } arredor da orixe é un mapa linear. Máis precisamente, [ x ′ y ′ ]
[ cos ⁡ α − sin ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ α ] [ x y ], {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}, } onde o punto de orixe ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} e a súa imaxe ( x ′, y ′ ) {\displaystyle (x', y')} escríbense como vectores columna.
Sistema de ecuacións lineares
A forma xeral dun sistema de ecuacións lineares é a 11 x 1 + ⋯ + a 1 n x n
b 1, a 21 x 1 + ⋯ + a 2 n x n
b 2, ⋮ a m 1 x 1 + ⋯ + a m n x n
b m. {\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}
b_{1}, \\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}
b_{2}, \\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}
b_{m}. \end{matrix}}} Usando a mesma notación anterior, tal sistema é equivalente á ecuación matricial única A x
b. {\displaystyle \mathbf {Ax}
\mathbf {b}. }
Produto escalar, forma bilinear e forma sesquilinear
O produto escalar de dous vectores columna é o único elemento do produto matricial x T y, {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y}, } onde x T {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}} é o vector fila obtido mediante a transposición de x {\displaystyle \mathbf {x} }.
Máis xeralmente, calquera forma bilinear sobre un espazo vectorial de dimensión finita pode expresarse como un produto matricial x T A y, {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Ay}, } e calquera forma sesquilinear pode expresarse como x † A y, {\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {Ay}, } onde x † {\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }} denota a transposta conxugada de x {\displaystyle \mathbf {x} } (conxugada da transposta, ou equivalentemente transposta da conxugada). Multiplicación matricial por bloque
Se consideramos as matrices M
( A B C D ) {\displaystyle M
\left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)} e N
( A ′ B ′ C ′ D ′ ) {\displaystyle N
\left({\begin{smallmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{smallmatrix}}\right)}, onde A, A ′, B, B ′, C, C ′ {\displaystyle A, A', B, B', C, C'} e D, D ′ {\displaystyle D, D'} son matrices que verifican: O número de columnas en A {\displaystyle A} e C {\displaystyle C} é igual ao número de filas en A ′ {\displaystyle A'} e B ′ {\displaystyle B'} O número de columnas en B {\displaystyle B} e D {\displaystyle D} é igual ao número de filas en C ′ {\displaystyle C'} e D ′ {\displaystyle D'} entón temos a igualdade M N
( A A ′ + B C ′ A B ′ + B D ′ C A ′ + D C ′ C B ′ + D D ′ ) {\displaystyle MN
{\begin{pmatrix}AA'+BC'&AB'+BD'\\CA'+DC'&CB'+DD'\end{pmatrix}}} Observe a analoxía entre o produto da matriz de bloques e o produto de dúas matrices cadradas de orde 2. por tanto isto non define unha nova forma de produto de matrices. Este é simplemente un método de cálculo de produto matricial común que pode simplificar os cálculos. Produto de Hadamard
Para dúas matrices do mesmo tipo, temos o "produto Hadamard" ou produto compoñente por compoñente. O produto de Hadamard de dúas matrices A
( a i j ) {\displaystyle A
(a_{ij})} e B
( b i j ) {\displaystyle B
(b_{ij})} de tipo ( m, n ) {\displaystyle (m, n)}, denotado A · B
(cij), é unha matriz de tipo ( m, n ) {\displaystyle (m, n)} dada por c i j
a i j × b i j. {\displaystyle c_{ij}
a_{ij}\times b_{ij}. } Por exemplo: ( 132100122 ) ⋅ ( 002750211 )
( 1 × 03 × 02 × 21 × 70 × 50 × 01 × 22 × 12 × 1 )
( 004700222 ). {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&2\\7&5&0\\2&1&1\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}1\times 0&3\times 0&2\times 2\\1\times 7&0\times 5&0\times 0\\1\times 2&2\times 1&2\times 1\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}0&0&4\\7&0&0\\2&2&2\end{pmatrix}}. } Este produto é unha submatriz do produto de Kronecker. Produto de Kronecker
Para dúas matrices arbitrarias A
( a i j ) {\displaystyle A
(a_{ij})} e B {\displaystyle B}, temos o produto tensor ou produto de Kronecker A ⊗ B que se define por ( a 11 B a 12 B ⋯ a 1 n B ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 B a m 2 B ⋯ a m n B ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}} Se A {\displaystyle A} é unha matriz de tipo ( m, n ) {\displaystyle (m, n)} e B {\displaystyle B} é unha matriz de tipo ( p, r ) {\displaystyle (p, r)} daquela A ⊗ B é unha matriz de tipo ( m p, n r ) {\displaystyle (mp, nr)}. De novo esta multiplicación non é conmutativa.
Por exemplo ( 1231 ) ⊗ ( 0321 )
( 1 × 01 × 32 × 02 × 31 × 21 × 12 × 22 × 13 × 03 × 31 × 01 × 33 × 23 × 11 × 21 × 1 )
( 0306214209036321 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&1\\\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&3\\2&1\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}1\times 0&1\times 3&2\times 0&2\times 3\\1\times 2&1\times 1&2\times 2&2\times 1\\3\times 0&3\times 3&1\times 0&1\times 3\\3\times 2&3\times 1&1\times 2&1\times 1\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{pmatrix}}}.
Se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} son as matrices de mapas lineares V1 → W 1 e V2 → W2, respectivamente, logo A ⊗ B representa o produto tensorial dos dous mapas, V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2. Propiedades comúns
Os tres produtos de matrices anteriores, e tamén o produto común de matrices, son asociativos A × ( B × C )
( A × B ) × C {\displaystyle A\times (B\times C)
(A\times B)\times C},
distributivos en relación coa suma: A × ( B + C )
A × B + A × C {\displaystyle A\times (B+C)
A\times B+A\times C} ( A + B ) × C
A × C + B × C {\displaystyle (A+B)\times C
A\times C+B\times C} e compatíbeis coa multiplicación por un escalar: c ( A × B )
( c A ) × B
A × ( c B ) {\displaystyle c(A\times B)
(cA)\times B
A\times (cB)} Multiplicación por un escalar
O produto por un escalar r {\displaystyle r} dunha matriz A
( a i j ) {\displaystyle A
(a_{ij})} dá o resultado r A
( r a i j ) {\displaystyle rA
(ra_{ij})}.
Se estamos a traballar con matrices nun anel, a multiplicación por un escalar ás veces chámase "multiplicación á esquerda" mentres que "multiplicación á dereita" defínese por: A r
( a i j r ) {\displaystyle Ar
(a_{ij}r)}.
Cando o anel é un anel conmutativo, por exemplo, o corpo dos reais ou dos complexos, as dúas multiplicacións son idénticas.
Porén, se o anel non é conmutativo, como o dos quaternións, entón poden ser diferentes. Por exemplo i ( i 00 j )
( − 100 k ) ≠ ( − 100 − k )
( i 00 j ) i {\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i} Outros tipos de produto de matrices
Outros tipos de produtos de matrices, a maiores dos xa vistos, inclúen: Produto cracoviano, definido como A ∧ B BTA
Produto interno de Frobenius, o produto escalar das matrices consideradas vectores ou, equivalentemente, a suma das entradas do produto de Hadamard
Produto Khatri-Rao e produto Face-splitting
Produto exterior, tamén chamado produto diádico ou produto tensor de matrices de dúas columnas, que é a b T {\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}}