Sección cónica

Denomínase sección cónica, ou simplemente cónica, á intersección dun cono circular recto cun plano que non pasa polo seu vértice. Clasifícanse en tres tipos: elipse, parábola e hipérbole. Etimoloxía
A primeira definición coñecida de sección cónica é da Antiga Grecia, polo ano -350 (no Menæchmus) onde a definiron como sección «dun cono circular recto». Os nomes de hipérbole, parábola e elipse débenselle a Apolonio de Perge.
Actualmente, as seccións cónicas poden definirse de varias maneiras; segundo as diversas ramas das matemáticas (xeometría analítica, a xeometría proxectiva etc. ). Tipos
En función da relación existente entre o ángulo de conicidade (α, ángulo da xeratriz coa base) e a inclinación do plano respecto do eixo do cono (β), poden obterse diferentes seccións cónicas, a saber: β < α: Hipérbole (laranxa)
β α: Parábola (azulado)
β > α: Elipse (verde)
β 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (vermello)
Se o plano pasa polo vértice do cono, pódese ver que: Cando β > α a intersección é un único punto (o vértice).
Cando β α a intersección é unha recta xeratriz do cono (o plano será tanxente ao cono).
Cando β < α a intersección virá dada por dúas rectas que se cortan no vértice.
O ángulo formado polas rectas irá aumentando a medida que β diminúe, ata alcanzar o máximo (α) cando o plano conteña o eixe do cono (β 0). Expresión alxébrica
En coordenadas cartesianas, as cónicas exprésanse en forma alxébrica mediante ecuacións cadráticas de dúas variables (x, y) da forma: a x 2 + 2 h x y + b y 2 + 2 g x + 2 f y + c
0 {\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c
0\, } na que, en función dos valores dos parámetros, terase: h² > ab: hipérbole.
h² ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a
b e h
0: circunferencia. Características
A elipse é o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos chamados focos é constante.
Ademais dos focos F e F´, nunha elipse destacan os seguintes elementos: Centro, O
Eixe maior, AA´
Eixe menor, BB´
Distancia focal, OF
A elipse con centro (0, 0) ten a seguinte expresión alxébrica: x 2 a 2 + y 2 b 2
1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}
1} A hipérbole é o lugar xeométrico dos puntos do plano cunha diferenza de distancias a dous puntos fixos, chamados focos, constante e menor que a distancia entre os focos.
Ten dúas asíntotas (rectas cuxas distancias á curva tenden a cero cando a curva se achega ao infinito). As hipérboles con asíntotas perpendiculares denomínanse hipérboles equiláteras.
Ademais dos focos e das asíntotas, na hipérbole destacan os seguintes elementos: Centro, O
Vértices, A e A
Distancia entre os vértices
Distancia entre os focos
A ecuación dunha hipérbole con centro (0, 0), é: x 2 a 2 − y 2 b 2
1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}
1} A parábola é o lugar xeométrico dos puntos do plano que equidistan dun punto fixo chamado foco, e dunha recta chamada directriz.
Ademais do foco, F, e da directriz, d, nunha parábola destacan os seguintes elementos: Eixe, e
Vértice, V
Distancia entre o foco e a directriz
Unha parábola, co vértice na orixe e o seu eixe coincidente coas ordenadas, ten a seguinte ecuación: y
a x 2 {\displaystyle \ y
a{x^{2}}\, } Aplicacións
As curvas cónicas son importantes na astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei de gravitación universal, as súas traxectorias describen seccións cónicas se o seu centro de masa se considera en repouso. Se están relativamente próximos describirán elipses, se están máis lonxe, describirán hipérboles ou parábolas.
Tamén son importantes na aerodinámica e na súa aplicación industrial, xa que permiten ser repetidas por medios mecánicos con grande exactitude, logrando superficies, formas e curvas perfectas.