Serie de potencias

En matemáticas, unha serie de potencias (nunha variábel) é unha serie infinita da forma ∑ n
0 ∞ a n ( x − c ) n
a 0 + a 1 ( x − c ) + a 2 ( x − c ) 2 + … {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}
a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots } onde a n {\displaystyle a_{n}} representa o coeficiente do n-ésimo termo e c é unha constante chamada centro da serie. As series de potencias son útiles na análise matemática, onde xorden como series de Taylor de funcións infinitamente diferenciábeis. De feito, o teorema de Borel implica que toda serie de potencias é a serie de Taylor dalgunha función suave.
En moitas situacións, o centro c é igual a cero, por exemplo para a serie de Maclaurin. Nestes casos, a serie de potencias toma a forma máis sinxela ∑ n
0 ∞ a n x n
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …. {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}x^{n}
a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots. } Exemplos
Serie xeométrica, función exponencial e seno
A fórmula da serie xeométrica 11 − x
∑ n
0 ∞ x n
1 + x + x 2 + x 3 + ⋯, {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}
\sum _{n
0}^{\infty }x^{n}
1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots, } que é válida para | x | < 1 {\textstyle |x|<1}, é un dos exemplos máis importantes dunha serie de potencias, así como a fórmula da función exponencial e x
∑ n
0 ∞ x n n!
1 + x + x 22! + x 33! + ⋯ {\displaystyle e^{x}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n! }}
1+x+{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{3}}{3! }}+\cdots } e a fórmula do seno sin ⁡ ( x )
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 )!
x − x 33! + x 55! − x 77! + ⋯, {\displaystyle \sin(x)
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)! }}
x-{\frac {x^{3}}{3! }}+{\frac {x^{5}}{5! }}-{\frac {x^{7}}{7! }}+\cdots, } válida para todos os x reais. Estas series de potencias son exemplos das series de Taylor (ou, máis concretamente, das series de Maclaurin). Raio de converxencia
Unha serie de potencias ∑ n
0 ∞ a n ( x − c ) n {\textstyle \sum _{n
0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}} é converxente para algúns valores da variábel x, que sempre incluirá x
c xa que ( x − c ) 0
1 {\displaystyle (x-c)^{0}
1} e a suma da serie é logo a 0 {\displaystyle a_{0}} para x
c. A serie pode diverxer para outros valores de x, posibelmente todos. Se c non é o único punto de converxencia, sempre hai un número r con 0 < r ≤ ∞ tal que a serie converxe sempre que |x – c| < r e diverxe sempre que |x – c| > r. O número r chámase raio de converxencia da serie de potencias; en xeral dáse como r
lim inf n → ∞ | a n | − 1 n {\displaystyle r
\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}} ou, equivalentemente, r − 1
lim sup n → ∞ | a n | 1 n. {\displaystyle r^{-1}
\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}. } Este é o teorema de Cauchy-Hadamard; ver límite superior e límite inferior para unha explicación da notación. A relación r − 1
lim n → ∞ | a n + 1 a n | {\displaystyle r^{-1}
\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|} tamén se cumpre, se existe este límite.
O conxunto dos números complexos tal que |x – c| < r chámase disco de converxencia da serie. A serie converxe absolutamente dentro do seu disco de converxencia e converxe uniformemente en cada subconxunto compacto do disco de converxencia.
Para |x – c|
r, non hai unha afirmación xeral sobre a converxencia da serie. Porén, o teorema de Abel afirma que se a serie é converxente para algún valor z tal que |z – c|
r, entón a suma da serie para x
z é o límite da suma da serie para x
c + t (z – c) onde t é unha variábel real menor que 1 que tende a 1. Funcións analíticas
Unha función f definida nalgún subconxunto aberto U de R ou C chámase analítica se está dada localmente por unha serie de potencias converxentes. Isto significa que todo a ∈ U ten unha veciñanza aberta V ⊆ U, tal que existe unha serie de potencias con centro a que converxe a f (x) para todo x ∈ V.
Toda serie de potencias cun raio de converxencia positivo é analítica no interior da súa rexión de converxencia. Todas as funcións holomorfas son analíticas complexas. As sumas e produtos das funcións analíticas son analíticas, así como os cocientes sempre que o denominador sexa distinto de cero.
Se unha función é analítica, entón é infinitamente diferenciábel, mais no caso real a inversa non é xeralmente verdadeira. Para unha función analítica, os coeficientes an pódense calcular como a n
f ( n ) ( c ) n! {\displaystyle a_{n}
{\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n! }}} onde f ( n ) ( c ) {\displaystyle f^{(n)}(c)} denota a derivada n-ésima de f en c, e f ( 0 ) ( c )
f ( c ) {\displaystyle f^{(0)}(c)
f(c)}. Isto significa que toda función analítica está representada localmente pola súa serie de Taylor. Serie formal de potencias
Na álxebra abstracta, inténtase captar a esencia das series de potencias sen restrinxirse aos corpos dos números reais e complexos, e sen necesidade de falar de converxencia. Isto leva ao concepto de serie formal de potencias, un concepto de gran utilidade na combinatoria alxébrica.