Serie Flint Hills

A serie Flint Hills é unha serie numérica que é significativa debido a que se descoñece a súa natureza converxente ou diverxente. Outro trazo característico é que a súa diverxencia está relacionado coa medida da irracionalidade do número pi. Definición
A serie Flint Hills está definida polo sumatorio: S 1
∑ k
1 ∞ csc 2 ⁡ n n 3 {\displaystyle S_{1}
\sum _{k
1}^{\infty }{\dfrac {\csc ^{2}{n}}{n^{3}}}} que ven sendo o mesmo que: S 1
∑ k
1 ∞ 1 n 3 sin 2 ⁡ n {\displaystyle S_{1}
\sum _{k
1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{3}\sin ^{2}{n}}}}.
Non se sabe se esta serie converxe, xa que c s c 2 n {\displaystyle csc^{2}{n}} pode ter esporadicamente valores grandes. Os valores de n que fan grande esa función son precisamente os numeradores dos converxentes da fracción continua de π {\displaystyle \pi } (secuencia A046947 na OEIS).
Alekseyev (2011) demostrou que a cuestión da converxencia da serie Flint Hill está relacionada coa medida da irracionalidade de π {\displaystyle \pi }, e en particular, a converxencia implicaría μ ( π ) <
2. 5 {\displaystyle \mu (\pi )<
2. 5}, que é moito máis forte que o mellor límite superior coñecido actualmente.
Proba da converxencia en función da medida de irracionalidade
Imos mostrar a proba de Alekseyev (2011): Sexa ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} e k
μ ( π ) + ϵ v {\displaystyle k
\mu (\pi )+{\frac {\epsilon }{v}}}. Entón, a desigualdade | π − p q | < 1 q k {\displaystyle \left|\pi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{k}}}} só se cumpre para un número finito de pares de enteiros positivos coprimos p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q} (ver medida da irracionalidade).
Para un enteiro positivo n {\displaystyle n}, sexa m
⌊ n / π ⌋ {\displaystyle m
\lfloor n/\pi \rfloor }, de modo que | n / π − m | ≤ 1 / 2 {\displaystyle |n/\pi -m|\leq 1/2} e, polo tanto, | n − m π | ≤ π / 2 {\displaystyle |n-m\pi |\leq \pi /2}. Entón, | sin ⁡ ( n ) |
| sin ⁡ ( n − m π ) | ≥ 2 π ⋅ | n − m π |
2 π ⋅ m ⋅ | n m − π |. {\displaystyle |\sin(n)|
|\sin(n-m\pi )|\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot |n-m\pi |
{\frac {2}{\pi }}\cdot m\cdot \left|{\frac {n}{m}}-\pi \right|. } Por outra parte, para n {\displaystyle n} e m {\displaystyle m} suficientemente grandes, temos | n m − π | ≥ 1 m k {\displaystyle \left|{\frac {n}{m}}-\pi \right|\geq {\frac {1}{m^{k}}}}, o que implica que | sin ⁡ ( n ) | ≥ 2 π ⋅ m ⋅ | n m − π | ≥ 2 π ⋅ 1 m k − 1 ≥ c ⋅ 1 n k − 1, {\displaystyle |\sin(n)|\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot m\cdot \left|{\frac {n}{m}}-\pi \right|\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{m^{k-1}}}\geq c\cdot {\frac {1}{n^{k-1}}}, } onde c > 0 {\displaystyle c>0} é unha constante que depende só de k {\displaystyle k} mais non de n {\displaystyle n} (xa que n / m {\displaystyle n/m} tende a π {\displaystyle \pi } cando n {\displaystyle n} medra). Polo tanto, para todo n {\displaystyle n} suficientemente grande, temos 1 n u ⋅ | sin ⁡ ( n ) | v ≤ 1 c v ⋅ n u − ( k − 1 ) v
O ( 1 n u − ( μ ( π ) − 1 ) v − ϵ ). {\displaystyle {\frac {1}{n^{u}\cdot |\sin(n)|^{v}}}\leq {\frac {1}{c^{v}\cdot n^{u-(k-1)v}}}
O\left({\frac {1}{n^{u-(\mu (\pi )-1)v-\epsilon }}}\right). } Daquela dedúcese que se μ ( π ) < 1 + u v {\displaystyle \mu (\pi )<1+{\frac {u}{v}}}, tomamos ϵ
v 2 ⋅ ( 1 + u v − μ ( π ) ) {\displaystyle \epsilon
{\frac {v}{2}}\cdot \left(1+{\frac {u}{v}}-\mu (\pi )\right)} para obter 1 n u ⋅ | sin ⁡ ( n ) | v
O ( 1 n u − v ( μ ( π ) − 1 ) − ϵ )
O ( 1 n ϵ ). {\displaystyle {\frac {1}{n^{u}\cdot |\sin(n)|^{v}}}
O\left({\frac {1}{n^{u-v(\mu (\pi )-1)-\epsilon }}}\right)
O\left({\frac {1}{n^{\epsilon }}}\right). } E por tanto converxe a cero.
Por outra parte se μ ( π ) > 1 + u v {\displaystyle \mu (\pi )>1+{\frac {u}{v}}}, entón para k
1 + u v {\displaystyle k
1+{\frac {u}{v}}}, a desigualdade inicial de irracionalidade cúmprese para infinitos pares de enteiros positivos coprimos p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q}. É dicir, existe unha sucesión de racionais p i q i {\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}} tal que | p i − π q i | < 1 q i k − 1. {\displaystyle \left|p_{i}-\pi q_{i}\right|<{\frac {1}{q_{i}^{k-1}}}. } Entón, | sin ⁡ ( p i ) |
| sin ⁡ ( p i − q i π ) | ≤ | p i − q i π | < 1 q i k − 1 < C ⋅ 1 p i k − 1, {\displaystyle |\sin(p_{i})|
|\sin(p_{i}-q_{i}\pi )|\leq |p_{i}-q_{i}\pi |<{\frac {1}{q_{i}^{k-1}}}<C\cdot {\frac {1}{p_{i}^{k-1}}}, } onde C > 0 {\displaystyle C>0} é unha constante que depende só de k {\displaystyle k}. Polo tanto, para n
p i {\displaystyle n
p_{i}}, temos 1 n u ⋅ | sin ⁡ ( n ) | v > C v ⋅ n v ( k − 1 ) − u
C v. {\displaystyle {\frac {1}{n^{u}\cdot |\sin(n)|^{v}}}>C^{v}\cdot n^{v(k-1)-u}
C^{v}. } Por outra parte, temos | sin ⁡ ( 1 + p i ) |
| sin ⁡ ( 1 + p i − q i π ) | → i → ∞ sin ⁡ ( 1 ), {\displaystyle |\sin(1+p_{i})|
|\sin(1+p_{i}-q_{i}\pi )|\xrightarrow {i\to \infty } \sin(1), } e polo tanto, 1 ( 1 + p i ) u ⋅ | sin ⁡ ( 1 + p i ) | v → i → ∞ 0. {\displaystyle {\frac {1}{(1+p_{i})^{u}\cdot |\sin(1+p_{i})|^{v}}}\xrightarrow {i\to \infty } 0. } Concluímos que a sucesión 1 n u ⋅ | sin ⁡ ( n ) | v {\displaystyle {\frac {1}{n^{u}\cdot |\sin(n)|^{v}}}} diverxe, xa que contén dúas subsucesións: unha limitada inferiormente por unha constante positiva e outra que tende a cero. Aplicando este resultado aos valores da serie Flint Hills, u
3; v
2 {\displaystyle u
3; v
2}, temos que μ ( π )
1 + u v
2. 5 {\displaystyle \mu (\pi )
1+{\dfrac {u}{v}}
2. 5} é o valor que determina a converxencia ou diverxencia da serie.