Raíz primitiva módulo n

En aritmética modular, un número g é unha raíz primitiva módulo n se todo número a coprimo con n é congruente cunha potencia de g módulo n. É dicir, g é unha raíz primitiva módulo n se para cada número enteiro a coprimo con n, hai algún número enteiro k para o cal gk ≡ a (mod n). Tal valor k chámase índice ou logaritmo discreto de a para a base g módulo n. Polo que g é unha raíz primitiva módulo n se e só se g é un xerador do grupo multiplicativo de enteiros módulo n, denotado ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}.
Existe unha raíz primitiva se e só se n é 1, 2, 4, pk ou 2pk, onde p é un primo impar e k > 0. Para todos os demais valores de n o grupo multiplicativo de enteiros módulo n non é cíclico.
Isto foi probado por primeira vez por Gauss. Exemplo elemental
O número 3 é unha raíz primitiva módulo 7 porque 31
30 × 3 ≡ 1 × 3
3 ≡ 3 ( mod 7 ) 32
31 × 3 ≡ 3 × 3
9 ≡ 2 ( mod 7 ) 33
32 × 3 ≡ 2 × 3
6 ≡ 6 ( mod 7 ) 34
33 × 3 ≡ 6 × 3
18 ≡ 4 ( mod 7 ) 35
34 × 3 ≡ 4 × 3
12 ≡ 5 ( mod 7 ) 36
35 × 3 ≡ 5 × 3
15 ≡ 1 ( mod 7 ) {\displaystyle {\begin{array}{rcrcrcrcrcr}3^{1}&
&3^{0}\times 3&\equiv &1\times 3&
&3&\equiv &3{\pmod {7}}\\3^{2}&
&3^{1}\times 3&\equiv &3\times 3&
&9&\equiv &2{\pmod {7}}\\3^{3}&
&3^{2}\times 3&\equiv &2\times 3&
&6&\equiv &6{\pmod {7}}\\3^{4}&
&3^{3}\times 3&\equiv &6\times 3&
&18&\equiv &4{\pmod {7}}\\3^{5}&
&3^{4}\times 3&\equiv &4\times 3&
&12&\equiv &5{\pmod {7}}\\3^{6}&
&3^{5}\times 3&\equiv &5\times 3&
&15&\equiv &1{\pmod {7}}\end{array}}} Aquí vemos que o período de 3k módulo 7 é 6. Os residuos do período, que son 3, 2, 6, 4, 5, 1, forman unha permutación de todos os restos distintos de cero módulo 7. Se g é unha raíz primitiva módulo n sendo n primo, entón o período de repetición é n − 1. As permutacións creadas deste xeito (e os seus desprazamentos circulares) demostráronse como matrices de Costas. Definición
Se n é un enteiro positivo, os enteiros de 1 a n − 1 que son coprimos con n (ou de forma equivalente, as clases de congruencia coprimas con n) forman un grupo, coa multiplicación módulo n como a súa operación; denótase como ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}, e chámase o grupo de unidades módulo n, ou o grupo de clases primitivas módulo n. Como se explica no artigo grupo multiplicativo de enteiros módulo n, este grupo multiplicativo ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} é cíclico se e só se n é igual a 2, 4, pk ou 2pk onde pk é un potencia dun número primo impar. Cando (e só cando) este grupo ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} é cíclico, un xerador deste grupo cíclico chámase raíz primitiva módulo n (ou en linguaxe máis completa raíz primitiva da unidade módulo n, resaltando o seu papel como solución fundamental do polinomio de raíces da unidade das ecuacións polinómicas Xm − 1 no anel ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}, ou simplemente un elemento primitivo de ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}.
Cando ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} non é cíclico, eses elementos primitivos mod n non existen. Pola contra, cada compoñente primo de n ten as súas propias raíces sub-primitivas (ver 15 nos exemplos de abaixo).
Para calquera n (sexa ou non ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} cíclico), a orde de ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} vén dada pola función totiente de Euler φ (n) (secuencia A000010 na OEIS). E entón, o teorema de Euler di que aφ(n) ≡ 1 (mod n) para todo a coprimo con n; a potencia máis baixa de a que é congruente con 1 módulo n chámase orde multiplicativa de a módulo n. En particular, para que a sexa unha raíz primitiva módulo n, aφ(n) ten que ser a potencia máis pequena de a que sexa congruente con 1 módulo n. Exemplos
Por exemplo, se n
14 entón os elementos de ( Z / 14 Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /14\mathbb {Z} )^{\times }} son as clases de congruencia {1, 3, 5, 9, 11, 13}; hai φ(14)
6 delas. Aquí temos unha táboa das súas potencias módulo 14: x x, x2, x3, .. . (mod 14) 1: 13: 3, 9, 13, 11, 5, 15: 5, 11, 13, 9, 3, 19: 9, 11, 1
11: 11, 9, 1
13: 13, 1 A orde de 1 é 1, as ordes de 3 e 5 son 6, as ordes de 9 e 11 son 3 e a orde de 13 é 2. Así, 3 e 5 son as raíces primitivas módulo 14.
Para un segundo exemplo imos ver n
15. Os elementos de ( Z / 15 Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }} son as clases de congruencia {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}; hai φ(15)
8 delas. x x, x2, x3, .. . (mod 15) 1: 12: 2, 4, 8, 14: 4, 17: 7, 4, 13, 18: 8, 4, 2, 1
11: 11, 1
13: 13, 4, 7, 1
14: 14, 1 Como non hai número ningún cuxa orde sexa 8, non hai raíces primitivas módulo 15. De feito, λ(15) 4, onde λ é a función de Carmichael. (secuencia A002322 na OEIS) Táboa de raíces primitivas
Os números n {\displaystyle n} que teñen unha raíz primitiva son da forma n ∈ { 1, 2, 4, p k, 2 ⋅ p k | 2 < p primo; k ∈ N }, {\displaystyle n\in \{1, 2, 4, p^{k}, 2\cdot p^{k}\; \; |\; \; 2<p{\text{ primo}}; \; k\in \mathbb {N} \}, }
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, .. .}. Estes son os números n {\displaystyle n} con φ ( n )
λ ( n ), {\displaystyle \varphi (n) \lambda (n), } (secuencia A033948 na OEIS).
A seguinte táboa enumera as raíces primitivas módulo n ata n
31 {\displaystyle n
31}: Propiedades
Gauss demostrou que para calquera número primo p (coa única excepción de p 3), o produto das súas raíces primitivas é congruente con 1 módulo p.
Tamén demostrou que para calquera número primo p, a suma das súas raíces primitivas é congruente con μ( p − 1) módulo p, onde μ é a función de Möbius.
Por exemplo, Por exemplo, o produto destas últimas raíces primitivas é 26 ⋅ 34 ⋅ 7 ⋅ 112 ⋅ 13 ⋅ 17
970377408 ≡ 1 ( mod 31 ) {\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{4}\cdot 7\cdot 11^{2}\cdot 13\cdot 17
970377408\equiv 1{\pmod {31}}}, e a súa suma é 123 ≡ − 1 ≡ μ ( 31 − 1 ) ( mod 31 ) {\displaystyle 123\equiv -1\equiv \mu (31-1){\pmod {31}}}.
A conxectura de Artin sobre as raíces primitivas afirma que un enteiro dado a que non é nin un cadrado perfecto nin -1 é unha raíz primitiva módulo infinitamente moitos primos. Procurando raíces primitivas
Non se coñece unha fórmula xeral simple para calcular raíces primitivas módulo n. No entanto, hai métodos para localizar unha raíz primitiva que son máis rápidos que simplemente probar todos os candidatos. Se a orde multiplicativa (o seu expoñente) dun número m módulo n é igual a φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} (a orde de ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} ), entón é unha raíz primitiva. De feito, a inversa é verdade: se m é unha raíz primitiva módulo n, entón a orde multiplicativa de m é φ ( n )
λ ( n ). {\displaystyle \varphi (n)
\lambda (n). } Podemos usalo para probar un candidato m para ver se é primitivo.
Para n > 1 {\displaystyle n>1} primeiro, calcular φ ( n ). {\displaystyle \varphi (n). } Despois determinar os diferentes factores primos de φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)}, digamos p1, .. ., pk. Finalmente, calcular g φ ( n ) / p i mod n para i
1, …, k {\displaystyle g^{\varphi (n)/p_{i}}{\bmod {n}}\qquad {\mbox{ para }}i
1, \ldots, k} usando un algoritmo rápido para a exponenciación modular como a exponenciación por cadrado. Un número g para o que estes k resultados son todos diferentes de 1 é unha raíz primitiva.
O número de raíces primitivas módulo n, se as hai, é igual a φ ( φ ( n ) ) {\displaystyle \varphi \left(\varphi (n)\right)} xa que, en xeral, un grupo cíclico con r elementos ten φ ( r ) {\displaystyle \varphi (r)} xeradores.
Para n primo, isto é igual a φ ( n − 1 ) {\displaystyle \varphi (n-1)}, e posto que n / φ ( n − 1 ) ∈ O ( log ⁡ log ⁡ n ) {\displaystyle n/\varphi (n-1)\in O(\log \log n)} os xeradores son moi comúns entre {2, .. ., n − 1} e, polo tanto, é relativamente fácil atopar un. Se g é unha raíz primitiva módulo p, entón g é tamén unha raíz primitiva módulo todas as potencias pk a menos que gp −1 ≡ 1 (mod p2); nese caso temos que g + p si o é. Se g é unha raíz primitiva módulo pk, entón g é tamén unha raíz primitiva módulo todas as potencias menores de p.
Se g é unha raíz primitiva módulo pk, entón g ou g + pk (o que sexa impar) é unha raíz primitiva módulo 2pk. Atopar raíces primitivas módulo p tamén é equivalente a atopar as raíces do (p − 1) polinomio ciclotómico módulo p.