Oscilador harmónico

Dise que un sistema calquera, mecánico, eléctrico, pneumático etc. é un oscilador harmónico se cando se deixa libre, fóra da súa posición de equilibrio, volve cara á posición de equilibrio facendo oscilaciones sinusoidais, ou sinusoidais amortecidas ó redor desa posición de equilibrio final. Características
O exemplo típico é o dunha masa colgada a un resorte. Cando se afasta a masa da súa posición de repouso, o resorte exerce sobre a masa unha forza que é proporcional ó desequilibrio (distancia á posición de repouso, elongación) e que está dirixida cara á posición de equilibrio. Se se solta a masa, a forza do resorte acelera a masa cara á posición de equilibrio. A medida que a masa se achega á posición de equilibrio e aumenta a súa velocidade, a enerxía potencial elástica do resorte transfórmase en enerxía cinética da masa. Cando a masa chega á súa posición de equilibrio, a forza será cero, pero como a masa está en movemento, continuará e pasará do outro lado. A forza invértese e comeza a frear a masa. A enerxía cinética da masa vai transformándose agora en enerxía potencial do resorte. Iso dura ata que a masa para. O proceso recomeza en dirección oposta.
Se toda a enerxía cinética se transformara en enerxía potencial e viceversa, a oscilación seguiría eternamente coa mesma amplitude. Na realidade, sempre hai unha parte da enerxía que se transforma noutra forma, debido á viscosidade do aire ou porque o resorte non é perfectamente elástico. A amplitude diminúe máis ou menos lentamente. Comezaremos por tratar o caso ideal, no cal non hai perdas.
Oscilador harmónico sen perdas
Sexa m {\displaystyle \scriptstyle {m}} a masa e y {\displaystyle \scriptstyle {y}} a distancia entre a posición da masa e a posición de equilibrio. Supoñemos que a forza do resorte é estritamente proporcional ó desequilibrio: F
− k y {\displaystyle \scriptstyle {F
-ky}}. F {\displaystyle \scriptstyle {F}} é a forza e k {\displaystyle \scriptstyle {k}} a constante elástica do resorte. O signo negativo indica que cando y {\displaystyle \scriptstyle {y}} é positiva, a forza é dirixida cara ás y {\displaystyle \scriptstyle {y}} negativas.
A segunda lei de Newton di: F
m a
m d v d t
m d 2 y d t 2 {\displaystyle F
ma
m{dv \over dt}
m{d^{2}y \over dt^{2}}} substituíndo a forza temos: m d 2 y d t 2
− k y {\displaystyle m{d^{2}y \over dt^{2}}
-ky} A solución desta ecuación diferencial é inmediata: as únicas funcións reais (non complexas) coa segunda derivada sendo a mesma función co signo invertido son seno e coseno. As dúas funcións corresponden ó mesmo movemento. Escollemos arbitrariamente "coseno". A solución escríbese: y
A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle y
A\cos(\omega t+\phi )\, } A {\displaystyle \scriptstyle {A}} é a amplitude, que depende das condicións iniciais. ω
2 π f {\displaystyle \scriptstyle {\omega
2\pi f}} é a pulsación e f {\displaystyle \scriptstyle {f}} a frecuencia. t {\displaystyle \scriptstyle {t}} é o tempo. ϕ {\displaystyle \scriptstyle {\phi }} é a fase inicial (para t
0 {\displaystyle \scriptstyle {t
0}} ).
É doado comprobar que o valor de ω {\displaystyle \scriptstyle {\omega }} é: ω
k m {\displaystyle \omega
{\sqrt {k \over m}}} O período de oscilación é: T
2 π m k {\displaystyle T
2\pi {\sqrt {m \over k}}}