Inverso multiplicativo

En matemáticas, un inverso multiplicativo ou recíproco para un número x, denotado como 1/x ou x−1, é un número que cando se multiplica por x dá a identidade multiplicativa, 1. O inverso multiplicativo dunha fracción a/b é b/a. Por exemplo, o recíproco de 5 é un quinto (1/5 ou 0, 2) e o recíproco de 0, 25 é 1 dividido por 0, 25 ou 4. A función recíproca, a función f(x) que asigna x a 1/x, é un dos exemplos máis sinxelos dunha función que é a súa propia inversa (unha involución).
Na frase inverso multiplicativo, o cualificativo multiplicativo adoita omitirse e logo enténdese implicitamente (en contraste co inverso da suma). Os inversos multiplicativos pódense definir en moitos dominios matemáticos. Nestes casos pode ocorrer que ab ≠ ba; daquela "inverso" normalmente implica que un elemento é á vez un elemento inversa pola esquerda e pola dereita.
A notación f −1 ás veces tamén se usa para a función inversa da función f, que para a maioría das funcións non é igual á inversa multiplicativa. Por exemplo, o inverso multiplicativo 1/(sin x) (sin x)−1 é a cosecante de x, e non o seno inverso de x indicado por sin−1 x ou arcsin x. Exemplos
Nos números reais, o cero non ten un recíproco (a división por cero non está definida) porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1. A propiedade de que todo elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo forma parte da definición dun corpo. Por outra banda, ningún número enteiro diferente a 1 e −1 ten un recíproco nos enteiros (o resultado sería un número con decimais), polo que os enteiros non son un corpo.
En aritmética modular, tamén se define o inverso multiplicativo modular de a: é o número x tal que ax ≡ 1 (mod n). Este inverso multiplicativo existe se e só se a e n son coprimos. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 4 porque 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11). O algoritmo de Euclides estendido pódese utilizar para calculalo.
Unha matriz cadrada ten unha inversa se e só se o seu determinante ten unha inversa no anel de coeficientes.
As dúas nocións de función inversa coinciden ás veces, por exemplo para a función f ( x )
x i
e i ln ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)
x^{i}
e^{i\ln(x)}} onde ln {\displaystyle \ln } é a rama principal do logaritmo complexo e e − π < | x | < e π {\displaystyle e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }}: ( ( 1 / f ) ∘ f ) ( x )
( 1 / f ) ( f ( x ) )
1 / ( f ( f ( x ) ) )
1 / e i ln ⁡ ( e i ln ⁡ ( x ) )
1 / e i i ln ⁡ ( x )
1 / e − ln ⁡ ( x )
x {\displaystyle ((1/f)\circ f)(x)
(1/f)(f(x))
1/(f(f(x)))
1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}
1/e^{ii\ln(x)}
1/e^{-\ln(x)}
x}.
As funcións trigonométricas están relacionadas pola identidade recíproca: a cotanxente é o recíproco da tanxente; a secante é o recíproco do coseno; a cosecante é o recíproco do seno.
Un anel no que cada elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo é un anel de división; do mesmo xeito, unha álxebra na que isto cúmprose é unha álxebra de división. Números complexos
O recíproco de todo número complexo distinto de cero z
a + b i {\displaystyle z
a+bi} é complexo. Pódese atopar multiplicando a parte superior e inferior de 1/z polo seu complexo conxugado z ¯
a − b i {\displaystyle {\bar {z}}
a-bi} e utilizando a propiedade que z z ¯
‖ z ‖ 2 {\displaystyle z{\bar {z}}
\|z\|^{2}}, o valor absoluto de z cadrado, que é o número real a2 + b2: 1 z
z ¯ z z ¯
z ¯ ‖ z ‖ 2
a − b i a 2 + b 2
a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i. {\displaystyle {\frac {1}{z}}
{\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}
{\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}
{\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}
{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i. } En particular, se || z ||
1, entón 1 / z
z ¯ {\displaystyle 1/z
{\bar {z}}}. En consecuencia, as unidades imaxinarias, ±i, teñen inverso aditivo igual a inverso multiplicativo e son os únicos números complexos con esta propiedade. Por exemplo, os inversos aditivos e multiplicativos de i son −(i)
−i e 1/i −i, respectivamente.
Para un número complexo en forma polar z
r(cos φ + i sin φ), o recíproco simplemente toma o valor recíproco da magnitude e negativo do ángulo: 1 z
1 r ( cos ⁡ ( − φ ) + i sin ⁡ ( − φ ) ). {\displaystyle {\frac {1}{z}} {\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right). } Cálculo
No cálculo real, a derivada de 1/x
x−1 vén dada pola regra da potencia coa potencia −1: d d x x − 1
( − 1 ) x ( − 1 ) − 1
− x − 2
− 1 x 2. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}
(-1)x^{(-1)-1}
-x^{-2}
-{\frac {1}{x^{2}}}. } A integral vén dada por: ∫ 1 a d x x
ln ⁡ a, {\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}
\ln a, } ∫ d x x
ln ⁡ x + C. {\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}
\ln x+C. } onde ln é o logaritmo natural. Para mostrar isto, teña en conta que d d y e y
e y {\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}
e^{y}}, así que se x
e y {\displaystyle x
e^{y}} e y
ln ⁡ x {\displaystyle y
\ln x}, temos: d x d y
x ⇒ d x x
d y ⇒ ∫ d x x
∫ d y
y + C
ln ⁡ x + C. {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}
x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}
dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}
\int dy
y+C \ln x+C. \end{aligned}}} Algoritmos
O recíproco pódese calcular a man co uso da división longa.
Calcular o recíproco é importante en moitos algoritmos de división, xa que o cociente a/b pódese calcular primeiro calculando 1/b e despois multiplicándoo por a. Observando iso f ( x )
1 x − b {\displaystyle f(x)
{\dfrac {1}{x}}-b}, ten un cero en x
1/ b, co método de Newton pódese atopar ese cero, comezando cunha suposición x 0 {\displaystyle x_{0}} e iterando usando a regra: x n + 1
x n − f ( x n ) f ′ ( x n )
x n − 1 / x n − b − 1 / x n 2
2 x n − b x n 2
x n ( 2 − b x n ). {\displaystyle x_{n+1}
x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}
x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}
2x_{n}-bx_{n}^{2}
x_{n}(2-bx_{n}). } E repítese o bucle ata alcanzar a precisión desexada. Por exemplo, supoñamos que queremos calcular 1/17 ≈ 0, 0588 con 3 díxitos de precisión. Tomando x0
0, 1, prodúcese a seguinte secuencia: x 1
0, 1 (2 − 17 × 0, 1)
0, 03
x 2
0, 03 (2 − 17 × 0, 03)
0, 0447
x 30, 0447(2 − 17 × 0, 0447) ≈ 0, 0554
x 40, 0554 (2 − 17 × 0, 0554) ≈ 0, 0586
x 50, 0586 (2 − 17 × 0, 0586) ≈ 0, 0588
Esta iteración tamén se pode xeneralizar a un tipo máis amplo de inversos; por exemplo a matriz inversa. Recíprocos de números irracionais
Todo número real ou complexo excluíndo o cero ten un recíproco, e os recíprocos de certos números irracionais poden ter propiedades especiais importantes.
Os exemplos inclúen o recíproco de e (≈ 0, 367879) e o recíproco da razón áurea (≈ 0, 618034). O primeiro recíproco é especial porque ningún outro número positivo pode producir un número inferior cando se eleva a unha potencia de si mesmo; f ( 1 / e ) {\displaystyle f(1/e)} é o mínimo global de f ( x )
x x {\displaystyle f(x)
x^{x}}. O segundo número é o único número positivo que é igual ao seu recíproco máis un: φ
1 / φ + 1 {\displaystyle \varphi
1/\varphi +1}. O seu inverso aditivo é o único número negativo que é igual ao seu recíproco menos un: − φ
− 1 / φ − 1 {\displaystyle -\varphi
-1/\varphi -1}.
Para as raíces, cun método similar aos números complexos, podemos multiplicar e dividir polo propio número: 1 x
x x x
x x. {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}
{\frac {\sqrt {x}}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}}
{\frac {\sqrt {x}}{x}}. } Isto leva a resultados curiosos como que o recíproco de 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} é a súa metade.
A función recíproca xoga un papel importante nas fraccións continuas, que teñen unha serie de propiedades notables relacionadas coa representación de números (tanto racionais como irracionais). Máis observacións
Se a multiplicación é asociativa, un elemento x cunha inversa multiplicativa non pode ser un divisor de cero (x é un divisor de cero se para algún y diferente de cero, xy
0). Para ver isto, abonda con multiplicar a ecuación xy
0 pola inversa de x (pola esquerda), e logo simplificar usando a asociatividade. En ausencia de asociatividade, os sedenións proporcionan un contraexemplo (na álxebra abstracta, os sedenions forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula).
A viceversa non se verifica: un elemento que non é un divisor de cero non se garante que teña un inverso multiplicativo. Dentro de Z, todos os números enteiros agás −1, 0, 1 proporcionan exemplos; non son divisores de cero nin teñen inversos en Z. No entanto, se o anel ou a álxebra é finita, todos os elementos a que non son divisores de cero teñen un inverso (esquerda e dereita). Por exemplo, primeiro observe que o mapa f(x)
ax debe ser inxectivo: f(x)
f(y) implica x
y: a x
a y ⇒ a x − a y
0 ⇒ a ( x − y )
0 ⇒ x − y
0 ⇒ x
y. {\displaystyle {\begin{aligned}ax&
ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay
0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)
0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y
0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x
y. \end{aligned}}} Elementos distintos mapean a elementos distintos, polo que a imaxe consta do mesmo número finito de elementos e o mapa é necesariamente sobrexectivo. En concreto, ƒ (é dicir, a multiplicación por a) debe mapear algún elemento x a 1, ax
1, de xeito que x sexa inverso para a.