Número suave

En teoría de números, un número n-suave é un número enteiro cuxos factores primos son todos menores ou iguais a n. Por exemplo, un número 7-suave é un número cuxos factores primos son como máximo 7, polo que 49
72 e 15750
2 × 32 × 53 × 7 son ambos 7-suaves, mentres que 11 e 7022 × 33 × 13 non son 7-suaves. O termo parece ser que foi acuñado por Leonard Adleman. Os números suaves son especialmente importantes na criptografía, que depende da factorización de números enteiros. Os números 2-suaves son só as potencias de 2, mentres que os números 5-suaves son coñecidos como números regulares. Definición
Un número enteiro positivo chámase B-suave se ningún dos seus factores primos é maior que B. Por exemplo, 1620 ten factorización prima 22 × 34 × 5, polo tanto, 1620 é 5-suave porque ningún dos seus factores primos é maior que 5. Esta definición inclúe números que carecen dalgúns dos factores primos máis pequenos; por exemplo, tanto 10 como 12 son 5-suaves, aínda que perden os factores primos 3 e 5, respectivamente. Todos os números 5-suaves teñen a forma 2a × 3b × 5c, onde a, b e c son enteiros non negativos.
Aquí, teña en conta que B en si non está obrigado a aparecer entre os factores dun número B-suave. En moitos escenarios B é primo, mais tamén se permiten números compostos. Un número é B-suave se e só se é p-suave, onde p é o maior primo menor ou igual que B. Aplicación
Unha aplicación práctica importante dos números suaves son os algoritmos da transformada rápida de Fourier (FFT) (como o algoritmo FFT de Cooley-Tukey ), que operan descompoñendo recursivamente un problema dun tamaño n dado en problemas do tamaño dos seus factores. Usando números B-suaves, asegúrase de que os casos base desta recursividade sexan números primos pequenos, para os que existen algoritmos eficientes. (Os tamaños primos grandes requiren algoritmos menos eficientes como o algoritmo FFT de Bluestein).
Os números n-suaves e n-potencia suave (ver abaixo) teñen aplicacións na teoría de números, como no algoritmo p-1 de Pollard e no ECM (factorización de curvas elípticas de Lenstra). Números potencia suave
Temos tamén que m se chama n-potencia suave se todas as potencias primas p ν {\displaystyle p^{\nu }} dividindo m satisfan: p ν ≤ n. {\displaystyle p^{\nu }\leq n. \, } Por exemplo, 720 (24 × 32 × 51) é 5-suave mais non 5-potencia suave (porque hai varias potencias primas superiores a 5, p. ex. 32
9 ≰ 5 {\displaystyle 3^{2}
9\nleq 5} e 24
16 ≰ 5 {\displaystyle 2^{4}
16\nleq 5} ). No entanto si que é 16-potencia suave xa que a súa maior potencia do factor primo é 24 16. Núemros suaves sobre un conxunto A
Tamén se di que m é suave sobre un conxunto A se existe unha factorización de m onde os factores son potencias dos elementos en A. Por exemplo, xa que 12
4 × 3, temos que 12 é suave sobre os conxuntos A1
{4, 3}, A2
{2, 3}, no entanto, non sería suave sobre o conxunto A3
{3, 5}, xa que 12 contén o factor 422, e nin 4 nin 2 están en A3.
Teña en conta que o conxunto A non ten que ser un conxunto de factores primos, pero normalmente é un subconxunto propio dos primos como se ve na base de factores do método de factorización de Dixon e na criba cadrática. Así mesmo, é o concepto que usa a criba xeral do corpo de números (GNFS), baixo o homomorfismo ϕ: Z [ θ ] → Z / n Z {\displaystyle \phi: \mathbb {Z} [\theta ]\to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }.