Elemento inverso

En matemáticas, o concepto de elemento inverso xeneraliza os conceptos de oposto (−x) e recíproco (1/x) para os números.
Dada unha operación denotada aquí ∗, e un elemento neutro (ou identidade) denotado e, se x ∗ y
e, dise que x é un inverso pola esquerda de y, e que y é un inverso pola dereita de x. (Un elemento neutro é un elemento tal que x * e
x, tamén e * y y para todos x e y para os que se definen os lados esquerdos. )
Cando a operación ∗ é asociativa, se un elemento x ten un inverso pola esquerda e pola dereita, entón estes dous inversos son iguais e únicos; chámanse elemento inverso ou simplemente inverso. Moitas veces engádese un adxectivo para especificar a operación, como en inverso aditivo (elemento simétrico ou oposto), inverso multiplicativo e inverso funcional. Os inversos úsanse habitualmente en grupos (onde cada elemento é invertible), e os aneis (onde os elementos invertibles tamén se chaman unidades, o que o fai un bocadiño confuso en relación aos propios elementos 1). Tamén se usan habitualmente para operacións que non están definidas para todos os operandos posibles, como matrices inversas e funcións inversas. Isto xeneralizouse á teoría de categorías, onde, por definición, un isomorfismo é un morfismo invertible. Propiedades básicas
Nesta sección, X é un conxunto no que se define unha operación parcial (posiblemente total), que se denota con ∗. {\displaystyle *. } Unha operación parcial é asociativa se x ∗ ( y ∗ z )
( x ∗ y ) ∗ z {\displaystyle x*(y*z)
(x*y)*z} para cada x, y, z en X.
Exemplos de operacións asociativas non totais son a multiplicación de matrices de tamaño arbitrario e a composición de funcións.
Elementos identidade ou neutros
Sexa ∗ {\displaystyle *} unha operación asociativa posiblemente parcial nun conxunto X.
Un elemento neutro, ou identidade é un elemento e tal que x ∗ e
x and e ∗ y
y {\displaystyle x*e
x\quad {\text{and}}\quad e*y
y} para cada x e y.
De aquí segue que unha operación total ten como máximo un elemento de identidade.
Por exemplo, no caso da multiplicación de matrices, hai unha matriz identidade n×n para cada número enteiro positivo n, e dúas matrices identidade de tamaño diferente non se poden multiplicar xuntas.
Inversos pola esquerda e pola dereita
Se x ∗ y
e, {\displaystyle x*y
e, } onde e é un elemento neutro, dise que x é un inverso pola esquerda de y e y é un inverso pola dereita de x.
Os inversos pola esquerda e pola dereita non sempre existen, aínda que a operación sexa total e asociativa. Por exemplo, a suma é unha operación asociativa total sobre enteiros non negativos, que ten 0 como identidade aditiva (ou neutro da suma) e 0 sería o único elemento con aditiva inversa, porque o resto serían enteiros negativos. Esta falta de inversos é a principal motivación para estender os números naturais aos enteiros.
Inversos
Un elemento é invertible baixo unha operación se ten un inverso pola esquerda e outro pola dereita.
No caso común onde a operación é asociativa, o inverso esquerdo e dereito dun elemento coinciden e son únicos.
Se a operación é a suma, a inversa ou a inversa aditiva dun elemento x denótase por − x. {\displaystyle -x. } No caso da multiplicación, a inversa de x denótase por x − 1 {\displaystyle x^{-1}} ou 1 x. {\textstyle {\frac {1}{x}}. } Un homomorfismo invertible chámase isomorfismo. En grupos
Un grupo é un conxunto cunha operación asociativa que ten un elemento identidade, e para o que cada elemento ten un inverso. En monoides
Un monoide é un conxunto cunha operación asociativa que ten un elemento identidade. En aneis
Un anel é unha estrutura alxébrica con dúas operacións, suma e multiplicación, que son como se chaman as operacións habituais sobre números.
Baixo a suma, un anel é un grupo abeliano, o que significa que a suma é conmutativa e asociativa; ten unha identidade, chamada identidade aditiva, escrita como 0; e todo elemento x ten un inverso, chamado inverso aditivo e escrito −x. Debido á conmutividade, os conceptos de inverso esquerdo e dereito carecen de sentido xa que non se diferencian dos inversos.
Baixo a multiplicación, un anel é un monoide; isto significa que a multiplicación é asociativa e ten unha identidade chamada identidade multiplicativa que escribimos 1. Un elemento invertible para a multiplicación chámase unidade. O inverso ou multiplicativo inverso (para evitar confusións cos inversos aditivos) dunha unidade x denótanse x − 1 {\displaystyle x^{-1}} ou, cando a multiplicación é conmutativa, 1 x. {\textstyle {\frac {1}{x}}. } A identidade aditiva 0 nunca é unha unidade, agás cando o anel é o anel cero, que ten 0 como elemento único.
Se 0 é o único elemento non invertíbel (único non unidade), o anel é un corpo se a multiplicación é conmutativa, ou é un anel de división (corpo non conmutativo) no caso contrario. Matrices
A multiplicación de matrices defínese comunmente para matrices sobre un corpo, e esténdese directamente a matrices sobre aneis, rngs e semianeis. Non obstante, nesta sección só se consideran matrices sobre un anel conmutativo, debido ao uso do concepto de rango e determinante.
Se A é unha matriz m×n (é dicir, unha matriz con m filas e n columnas), e B é unha matriz p×q, o produto AB está definido no caso que n p, e só neste caso. Unha matriz identidade, é dicir, un elemento de identidade para a multiplicación de matrices é unha matriz cadrada (o mesmo número para filas e columnas) cuxas entradas da diagonal principal son todas iguais a 1 e todas as demais entradas son 0.
Unha matriz invertible é un elemento invertible baixo a multiplicación de matrices. Unha matriz sobre un anel conmutativo R é invertible se e só se o seu determinante é unha unidade en R (é dicir, é invertible en R). Neste caso, a súa matriz inversa pódese calcular coa regra de Cramer.
Se R é un corpo, o determinante é invertible se e só se non é cero. Como o caso dos corpos é o máis común, vese moitas veces que as matrices invertibles son as matrices cun determinante distinto de cero, mais isto é incorrecto sobre os aneis. Funcións, homomorfismos e morfismos
A composición é unha operación parcial que xeneraliza os homomorfismos de estruturas alxébricas e os morfismos de categorías en operacións que tamén se denominan composición e comparten moitas propiedades coa composición de funcións.
En todos os casos, a composición é asociativa.
Se f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} e g: Y ′ → Z, {\displaystyle g\colon Y'\to Z, } a composición g ∘ f {\displaystyle g\circ f} defínese se e só se Y ′
Y {\displaystyle Y'
Y} ou, nos casos de función e homomorfismo, Y ⊂ Y ′. {\displaystyle Y\subset Y'. } Nos casos de función e homomorfismo, isto significa que o codominio de f {\displaystyle f} é igual ou está incluído no dominio de g. No caso do morfismo, isto significa que o codominio de f {\displaystyle f} é igual ao dominio de g.
Hai unha identidade id X: X → X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X} para cada obxecto X (conxunto, estrutura alxébrica ou obxecto ), que tamén se denomina función identidade no caso da función.
Unha función é invertible se e só se é unha bixección. Un homomorfismo ou morfismo invertible chámase isomorfismo. Un homomorfismo de estruturas alxébricas é un isomorfismo se e só se é unha bixección. A inversa dunha bixección chámase función inversa. Nos outros casos, fálase de isomorfismos inversos.
Unha función ten unha inversa pola esquerda ou pola dereita se e só é inxectiva ou sobrexectiva, respectivamente.