Táboa de verdade

Unha táboa de verdade é unha táboa matemática usada en lóxica (especificamente en relación coa álxebra de Boole, as funcións booleanas e o cálculo proposicional) que estabelece os valores funcionais das expresións lóxicas en cada un dos seus argumentos funcionais, é dicir, para cada combinación de valores tomados polas súas variábeis lóxicas. En particular, as táboas de verdade pódense usar para mostrar se unha expresión proposicional é verdadeira para todos os valores de entrada lexítimos, é dicir, loxicamente válida.
Unha táboa de verdade ten unha columna para cada variábel de entrada (por exemplo, A e B) e unha columna final que mostra todos os resultados posíbeis da operación lóxica que representa a táboa (por exemplo, A XOR B). Cada fila da táboa de verdade contén unha configuración posíbel das variábeis de entrada (por exemplo, A
verdadeiro, B
falso) e o resultado da operación para eses valores. Aplicacións
As táboas de verdade pódense usar para demostrar moitas outras equivalencias lóxicas. Por exemplo, considere a seguinte táboa de verdade: Isto demostra o feito de que p ⇒ q {\displaystyle p\Rightarrow q} é loxicamente equivalente a ¬ p ∨ q {\displaystyle \lnot p\lor q}.
Estas ferramentas utilízanse habitualmente en matemáticas (lóxica proposicional), electrónica (porta lóxica) e informática (probas) segundo un código de entrada binario (1/0, verdadeiro/falso, activado/desactivado, etc. ) Unha saída, tamén representada en forma de columna, é o resultado dos estados de entrada, expresados ​​por si mesmos en forma de estado binario. Noutras palabras, cando as entradas cumpren as condicións do circuíto, as saídas actívanse.
Con ceros e uns a táboa do OR (OU) sería: A porta lóxica OR vese na seguinte imaxe onde a saída Q estaría activa estando activo A ou B ou ámbolos dous.
Táboa de verdade para os operadores lóxicos máis utilizados
Aquí temos unha táboa de verdade que dá definicións das 7 funcións de verdade máis utilizadas das 16 posíbeis de dúas variábeis booleanas P e Q:
Táboas de verdade condensadas para operadores binarios
Para os operadores binarios, tamén se usa unha forma condensada da táboa de verdade, onde os títulos das filas e das columnas especifican os operandos e as celas da táboa especifican o resultado. Por exemplo, a lóxica booleana usa esta notación de táboa de verdade condensada: Tamaño das táboas de verdade
Se hai n variábeis de entrada, hai 2n combinacións posíbeis dos seus valores de verdade. Unha función dada pode producir verdadeiro ou falso para cada combinación, polo que o número de funcións diferentes de n variábeis é a dobre exponencial 22n. Táboas de funcións
Pode ser útil ter a saída dunha táboa de verdade expresada en función dalgúns valores variábeis, en lugar de só un valor literal verdadeiro ou falso. Estas poden denominarse "táboas de funcións" para diferencialas das máis xenéricas "táboas de verdade". Por exemplo, un valor, G {\displaystyle G}, pódese usar cunha porta XOR para inverter condicionalmente outro valor, X {\displaystyle X} Noutras palabras, cando G {\displaystyle G} é falso, a saída é X {\displaystyle X}, e cando G {\displaystyle G} é verdade, a saída é ¬ X {\displaystyle \lnot X}. A táboa de funcións para isto sería así: Do mesmo xeito, un multiplexor 4 a 1 con entradas de selección S 0 {\displaystyle S_{0}} e S 1 {\displaystyle S_{1}}, entradas de datos A {\displaystyle A}, B {\displaystyle B}, C {\displaystyle C} e D {\displaystyle D}, e saída Z {\displaystyle Z} (como se mostra na imaxe) tería esta táboa de funcións: Táboas de verdade de operadores oracionais
Táboa xeral
Aquí temos unha táboa de verdade estendida que dá definicións das dezaseis funcións de verdade posíbeis de dúas variábeis booleanas p e q: onde T verdadeiro.
F falso.
Os superíndices do 0 ao 15 é o número resultante da lectura dos catro valores de verdade como un número binario con F
0 e T
1.
A fila Com indica se un operador, op, é conmutativo, P op Q Q op P.
A fila Asoc indica se un operador, op, é asociativo, (P op Q) op R P op (Q op R).
A fila Adx mostra o operador op2 tal que P op Q Q op2 P.
A fila Neg mostra o operador op2 tal que P op Q ¬(P op2 Q).
A fila Dual mostra a operación dual obtida trocando T con F e AND con OR.
A fila id E mostra as identidades pola esquerda do operador se ten algún valor I tal que I op Q Q.
A fila id D mostra as identidades pola dereita do operador se ten algún valor I tal que P op I P.
Operacións sen operador
Hai 2 operacións sen operador: Sempre certo
Nunca verdade
Verdade lóxica
O valor de saída sempre é verdadeiro, porque este operador ten cero operandos e, polo tanto, non ten valores de entrada
Falso lóxico
O valor de saída é sempre falso, porque este operador ten cero operandos e, polo tanto, non ten valores de entrada
Operacións unarias
Hai 2 operacións unarias: Identidade unaria
Negación unaria
Identidade lóxica
A identidade lóxica é unha operación sobre un valor lóxico p, para o cal o valor de saída permanece p.
A táboa de verdade para o operador de identidade lóxica é a seguinte:
Negación lóxica
A negación lóxica é unha operación sobre un valor lóxico, normalmente o valor dunha proposición, que produce un valor de verdadeiro se o seu operando é falso e un valor de falso se o seu operando é verdadeiro.
A táboa de verdade para NOT p (tamén escrito como ¬p, Np, ou ~p ) é a seguinte:
Operacións binarias
Hai 16 funcións de verdade posíbeis de dúas variábeis binarias, cada operador ten o seu propio nome.
Conxunción lóxica (AND)
A conxunción lóxica é unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, que produce un valor verdadeiro se ambos os seus operandos son verdadeiros.
A táboa de verdade para p AND q (tamén escrito como p ∧ q, p & q ou p ⋅ {\displaystyle \cdot } q ) é a seguinte: En termos da linguaxe común, se p e q son verdadeiras, entón a conxunción p ∧ q é verdadeira. Para todas as demais asignacións de valores lóxicos a p e q a conxunción p ∧ q é falsa.
Disxunción lóxica (OR)
A disxunción lóxica é unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, que produce un valor verdadeiro se polo menos un dos seus operandos é verdadeiro.
A táboa de verdade para p OR q (tamén escrita como p ∨ q, p || q ou p + q) é a seguinte: En termos da linguaxe común, se p ou q ou ambas as dúas son verdadeiras, entón a disxunción p ∨ q é verdadeira. Só é false cando p e q son falsas.
Na linguaxe común é máis frecuente usar "ou" como "XOR", "ou exclusivo". Normalmente enténdese a frase "xogan a partida sábado ou domingo" como verdadeira se xogamos un dos dous días máis non parece que se poida xogar os dous días.
Implicación lóxica
A implicación lóxica, (e tamén o condicional material ten a mesma táboa de verdade), está asociada a unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, o que produce un valor de falso se o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso, e oproduce un valor de verdadeiro en calquera outro caso.
A táboa de verdade asociada á implicación lóxica p implica q (simbolizada como p ⇒ q) e como material condicional (simbolizada como p → q) é a seguinte: Esta táboa de verdade na linguaxe natural non é doado de interpretar porque dado un antecedente p falso temos un resultado verdadeiro tanto se o consecuente q é verdadeiro ou falso. Isto dá lugar a frases do tipo teño un can implica que as aves non voan" resulta en que se non teño un can ("teño un can"
F) e "as aves non voan"
F daría un resultado verdadeiro dada a expresión completa: teño un can implica que as aves non voan" V. Nesta relación cando o antecedente é falso dise que produce unha verdade vacua.
Igualdade lóxica
A igualdade lóxica (tamén coñecida como bicondicional ou nor exclusivo) é unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, que produce un valor verdadeiro se ambos os operandos son falsos ou os dous operandos son verdadeiros.
A táboa de verdade para p XNOR q (tamén escrito como p ↔ q, p q ou p ≡ q ) é a seguinte: Polo tanto, p EQ q é verdadeira se p e q teñen o mesmo valor de verdade (ambos os dous verdadeiros ou ambos os dous falsos), e falso se teñen valores de verdade diferentes.
Disxunción exclusiva
A disxunción exclusiva é unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, que produce un valor de verdadeiro se un dos seus operandos, pero non os dous, é verdadeiro.
A táboa de verdade para p XOR q (tamén escrito como p ⊕ q ) é a seguinte: Para dúas proposicións, XOR tamén se pode escribir como (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).
NAND lóxico
O NAND lóxico é unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, que produce un valor de falso se ambos os seus operandos son verdadeiros. Noutras palabras, produce un valor verdadeiro se polo menos un dos seus operandos é falso.
A táboa de verdade para p NAND q (tamén escrita como p ↑ q, ou p | q ) é a seguinte: Con frecuencia é útil expresar unha operación lóxica como unha operación composta, é dicir, como unha operación que se constrúe ou se compón a partir doutras operacións. ´Son posíbeis moitas composicións deste tipo, dependendo das operacións que se tomen como básicas ou "primitivas" e das operacións que se tomen como compostas ou "derivadas".
No caso da NAND lóxica, é claramente expresábel como un composto de NOT e AND.
A negación dunha conxunción: ¬( p ∧ q ), e a disxunción de negacións: (¬ p ) ∨ (¬ q ), pódese tabular do seguinte xeito:
NOR lóxico
O NOR lóxico é unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, que produce un valor verdadeiro se ambos os seus operandos son falsos. Noutras palabras, produce un valor de falso se polo menos un dos seus operandos é verdadeiro.
A táboa de verdade para p NOR q (tamén escrita como p ↓ q) é a seguinte: A negación dunha disxunción ¬( p ∨ q ), e a conxunción de negacións (¬ p ) ∧ (¬ q ) pódese tabular do seguinte xeito: Esta equivalencia é unha das leis de De Morgan.