Potencia perfecta

En matemáticas, unha potencia perfecta é un número natural que é un produto de factores naturais iguais, ou, noutras palabras, un número enteiro que se pode expresar como un cadrado ou unha potencia enteira superior doutro enteiro maior que un. Máis formalmente, n é unha potencia perfecta se existen números naturais m > 1 e k > 1 tal que mk
n. Neste caso, n pódese chamar k-ésima potencia perfecta. Se k
2 ou k 3, entón n chámase cadrado perfecto ou cubo perfecto, respectivamente. Exemplos e sumas
Pódese xerar unha secuencia de potencias perfectas iterando os posíbeis valores de m e k. As primeiras potencias perfectas ascendentes en orde numérica (mostrando potencias con valores duplicados) son (secuencia A072103 na OEIS): 22
4, 23
8, 32
9, 24
16, 42
16, 52
25, 33
27, {\displaystyle 2^{2}
4, \ 2^{3}
8, \ 3^{2}
9, \ 2^{4}
16, \ 4^{2}
16, \ 5^{2}
25, \ 3^{3}
27, } 25
32, 62
36, 72
49, 26
64, 43
64, 82
64, … {\displaystyle 2^{5}
32, \ 6^{2}
36, \ 7^{2}
49, \ 2^{6}
64, \ 4^{3}
64, \ 8^{2}
64, \dots } A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados como 34
81 e 92
81) é 1: ∑ m
2 ∞ ∑ k
2 ∞ 1 m k
1. {\displaystyle \sum _{m
2}^{\infty }\sum _{k
2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}
1. } que se pode demostrar do seguinte xeito: ∑ m
2 ∞ ∑ k
2 ∞ 1 m k
∑ m
2 ∞ 1 m 2 ∑ k
0 ∞ 1 m k
∑ m
2 ∞ 1 m 2 ( m m − 1 )
∑ m
2 ∞ 1 m ( m − 1 )
∑ m
2 ∞ ( 1 m − 1 − 1 m )
1. {\displaystyle \sum _{m
2}^{\infty }\sum _{k
2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}
\sum _{m
2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}
\sum _{m
2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)
\sum _{m
2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}
\sum _{m
2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)
1\, .} As primeiras potencias perfectas sen duplicados son: (ás veces 0 e 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 225, 52, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, .. . (secuencia A001597 na OEIS)
A suma dos recíprocos das potencias perfectas p sen duplicados é: ∑ p 1 p
∑ k
2 ∞ μ ( k ) ( 1 − ζ ( k ) ) ≈ 0. 874464368 … {\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}
\sum _{k
2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0. 874464368\dots } onde μ (k) é a función de Möbius e ζ(k) é a función zeta de Riemann.
Segundo Euler, Goldbach mostrou (nunha carta agora perdida) que a suma de 1/p − 1 sobre o conxunto de potencias perfectas p, excluíndo 1 e excluíndo os duplicados, é 1:
Isto ás veces coñécese como o teorema de Goldbach-Euler. Detección de potencias perfectas
Detectar se un número natural n dado é ou non unha potencia perfecta pódese conseguir de moitas formas diferentes, con distintos niveis de complexidade. Un dos métodos máis sinxelos deste tipo é considerar todos os valores posíbeis para k en cada un dos divisores de n, ata k ≤ log 2 ⁡ n {\displaystyle k\leq \log _{2}n}. Logo, se os divisores de n {\displaystyle n} son n 1, n 2, …, n j {\displaystyle n_{1}, n_{2}, \dots, n_{j}} entón un dos valores n 12, n 22, …, n j 2, n 13, n 23, … {\displaystyle n_{1}^{2}, n_{2}^{2}, \dots, n_{j}^{2}, n_{1}^{3}, n_{2}^{3}, \dots } debe ser igual a n se n é realmente unha potencia perfecta.
Este método pódese simplificar inmediatamente considerando só os valores primos de k. Isto é porque se n
m k {\displaystyle n
m^{k}} para un composto k
a p {\displaystyle k
ap} onde p é primo, entón isto pode simplemente reescribirse como n
m k
m a p
( m a ) p {\displaystyle n
m^{k}
m^{ap}
(m^{a})^{p}}. Debido a este resultado, o valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.
Se se coñece a factorización completa de n, digamos n
p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p r α r {\displaystyle n
p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}} onde o p i {\displaystyle p_{i}} son primos distintos, entón n é unha potencia perfecta se e só se gcd ( α 1, α 2, …, α r ) > 1 {\displaystyle \gcd(\alpha _{1}, \alpha _{2}, \ldots, \alpha _{r})>1} onde mcd denota o máximo común divisor. Como exemplo, considere n
296 ·360 ·724. Dado que mcd(96, 60, 24)
12, n é unha potencia 12 perfecta (e unha potencia 6, 4, cubo e cadrado perfectos, xa que 6, 4, 3 e 2 dividen a 12). Ocos entre potencias perfectas
En 2002 o matemático romanés Preda Mihăilescu demostrou que o único par de potencias perfectas consecutivas é 23
8 e 32
9, demostrando así a conxectura de Catalan.
A conxectura de Pillai afirma que para calquera número enteiro positivo dado k só hai un número finito de pares de potencias perfectas cuxa diferenza é k. Este é un problema sen resolver.