Subespazo vectorial

En matemáticas, e máis concretamente en álxebra linear, un subespazo linear ou subespazo vectorial é un espazo vectorial que é un subconxunto dalgún espazo vectorial maior. Un subespazo linear adoita chamarse simplemente subespazo cando o contexto serve para distinguilo doutros tipos de subespazos. Definición
Se V é un espazo vectorial sobre un corpo K, un subconxunto W de V é un subespazo vectorial de V se é un espazo vectorial sobre K coas operacións de V. De forma equivalente, un subespazo vectorial de V é un subconxunto W non baleiro tal que, sempre que w1, w2 son elementos de W e α, β son elementos de K, temos que αw1 + βw2 está en W. O conxunto unitario formado só polo vector cero e o propio espazo vectorial son subespazos vectoriais que se denominan subespazos triviais do espazo vectorial. Exemplos
Exemplo I
No espazo vectorial V R3 (o espazo de coordenadas reais en 3 dimensións sobre o corpo R de números reais), tomamos W como o conxunto de todos os vectores de V cuxa última compoñente é 0. Entón W é un subespazo de V.
Proba: Dados u e v en W, entón poden expresarse como u
(u1, u2, 0) e v
(v1, v2, 0). Así temos u + v
(u1+v1, u2+v2, 0+0)
(u1+v1, u2+v2, 0). Por tanto, u + v tamén é un elemento de W.
Dado u en W e un escalar λ {\displaystyle \lambda } en R, se u
(u1, u2, 0) temos λ u
( λ u 1, λ u 2, λ 0 )
( λ u 1, λ u 2, 0 ). {\displaystyle \lambda {\textbf {u}}
(\lambda u_{1}, \lambda u_{2}, \lambda 0) (\lambda u_{1}, \lambda u_{2}, 0). } Por tanto, λ {\displaystyle \lambda } u tamén é un elemento de W.
Exemplo II
Sexa de novo o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o plano cartesiano R2. Considere W como o conxunto de puntos (x, y) de R 2 tal que x y. Entón W é un subespazo de R2.
Exemplo III
De novo tome o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o conxunto RR de todas as funcións de R en R. Sexa C(R) o subconxunto formado polas funcións continuas. Entón C(R) é un subespazo de RR.
Proba: Sabemos polo cálculo que 0 ∈ C(R) ⊂ RR.
Sabemos polo cálculo que a suma de funcións continuas é continua.
De novo, sabemos polo cálculo que o produto dunha función continua e un número é continua.
Exemplo IV
Manteña o mesmo corpo e espazo vectorial que antes, mais agora considere o conxunto Diff(R) de todas as funcións diferenciábeis. O mesmo tipo de argumento que antes mostra que este tamén é un subespazo vectorial. Propiedades dos subespazos
Da definición de espazos vectoriais, despréndese que os subespazos non están baleiros e están pechados baixo as sumas e baixo a multiplicación escalar. Isto é equivalente a dicir que os subespazos poden caracterizarse pola propiedade de estaren pechados baixo combinacións lineares. É dicir, un conxunto non baleiro W é un subespazo vectorial se e só se toda combinación linear de elementos finitos de W tamén pertence a W. Nun espazo vectorial topolóxico X, un subespazo W non necesita estar pechado topoloxicamente, mais un subespazo de dimensión finita sempre está pechado. Tipos frecuentes de subespazos
Algúns tipos frecuentes de subespazos inclúen o conxunto solución dun sistema homoxéneo de ecuacións lineares, o subconxunto do espazo euclidiano descrito por un sistema de ecuacións paramétricas homoxéneas lineares, o subespazo vectorial xerado por unha colección de vectores, o espazo nulo ou kernel, e tamén os espazos de columnas e os espazos de filas dunha matriz (combinacións lineares das columnas ou filas da matriz). Xeometricamente (especialmente sobre o corpo de números reais e os seus subcorpos), un subespazo é un hiperplano nun n-espazo que pasa pola orixe.
Independencia, base e dimensión
En xeral, un subespazo de Kn determinado por k parámetros (ou estendido por k vectores) ten dimensión k. No entante, hai excepcións a esta regra. Por exemplo, o subespazo de K3 estendido polos tres vectores (1, 0, 0), (0, 0, 1), e (2, 0, 3) é só o plano xz, con cada punto do plano descrito por infinitos valores diferentes de t1, t2, t3.
En xeral, os vectores v1, .. ., vk chámanse linearmente independentes se t 1 v 1 + ⋯ + t k v k ≠ u 1 v 1 + ⋯ + u k v k {\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\; \neq \; u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}} para (t1, t2, .. ., t k )≠ (u1, u 2, .. ., uk ). Isto pódese expresar tamén como: os vectores v1, .. ., vk son linearmente independentes se t1v1 + ··· + tkvk ≠ 0 para (t1, t2, .. ., tk) ≠ (0, 0, .. ., 0).
Se v1, .. ., vk v1, .. ., vk son linearmente independentes, entón as coordenadas t1, .. ., tk para un vector xerado están determinadas de forma única.
Unha base para un subespazo S é un conxunto de vectores linearmente independentes cuxa combinación linear (ou extensión) é S. O número de elementos nunha base é sempre igual á dimensión xeométrica do subespazo. Exemplo
Sexa S o subespazo de R4 definido polas ecuacións x 1
2 x 2 e x 3
5 x 4. {\displaystyle x_{1}
2x_{2}\; \; \; \; {\text{e}}\; \; \; \; x_{3}
5x_{4}. } Entón os vectores (2, 1, 0, 0) e (0, 0, 5, 1) son unha base para S. En particular, cada vector que satisfaga as ecuacións anteriores pódese escribir de forma única como unha combinación linear dos dous vectores básicos: ( 2 t 1, t 1, 5 t 2, t 2 )
t 1 ( 2, 1, 0, 0 ) + t 2 ( 0, 0, 5, 1 ). {\displaystyle (2t_{1}, t_{1}, 5t_{2}, t_{2})
t_{1}(2, 1, 0, 0)+t_{2}(0, 0, 5, 1). } O subespazo S é bidimensional. Xeométricamente, é o plano en R4 que pasa polos puntos (0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0), e (0, 0, 5, 1). Operacións e relacións con subespazos
Intersección
Dados os subespazos U e W dun espazo vectorial V, entón a súa intersección U ∩ W: { v ∈ V: v é un elemento tanto de U como W } tamén é un subespazo de V.
Suma
Se U e W son subespazos, a súa suma é o subespazo U + W
{ u + w: u ∈ U, w ∈ W }. {\displaystyle U+W
\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U, \mathbf {w} \in W\right\}. } Por exemplo, a suma de dúas rectas é o plano que as contén. A dimensión da suma satisfai a desigualdade max ( dim ⁡ U, dim ⁡ W ) ≤ dim ⁡ ( U + W ) ≤ dim ⁡ ( U ) + dim ⁡ ( W ). {\displaystyle \max(\dim U, \dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W). } Aquí, o mínimo só ocorre se un subespazo está contido no outro, mentres que o máximo é o caso máis xeral. A dimensión da intersección e a suma están relacionadas coa seguinte ecuación: dim ⁡ ( U + W )
dim ⁡ ( U ) + dim ⁡ ( W ) − dim ⁡ ( U ∩ W ). {\displaystyle \dim(U+W)
\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W). } Un conxunto de subespazos é independente cando a única intersección entre calquera par de subespazos é o subespazo trivial. A suma directa é a suma de subespazos independentes, escritos como U ⊕ W {\displaystyle U\oplus W}. Unha reformulación equivalente é que unha suma directa é unha suma de subespazos baixo a condición de que cada subespazo contribúa na extenxión da suma.