Vector

Un vector en física e mais no cálculo vectorial é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar (magnitude numérica), e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes vectoriais tales como velocidades, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.
Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.
Un exemplo común dun vector é a forza. Ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.
En matemáticas, un vector é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un deles.
Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.
Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense módulo, dirección e sentido. Notación
Os eixos do sistema de coordenadas descríbense xeralmente empregando as letras x, y e z, xeramente o eixo z representa o perpendicular ao plano. Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba ( a → {\displaystyle {\vec {a}}} ), ou simplemente en letra grosa ( a {\displaystyle \mathbf {a} } ). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun sistema de referencia poden escribirse entre parénteses e separadas con comas: a →
( a 1, a 2, a 3, .. ., a n ) {\displaystyle {\vec {a}}
(a_{1}, a_{2}, a_{3}, .. ., a_{n})}. No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes: a →
( a x, a y, a z ) {\displaystyle {\vec {a}}
(a_{x}, a_{y}, a_{z})}. Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k: a →
a x i → + a y j → + a z k → {\displaystyle {\vec {a}}
a_{x}\, {\vec {i}}+a_{y}\, {\vec {j}}+a_{z}\, {\vec {k}}}
Compoñentes dun vector
Como se comentou anteriormente, un vector descríbese a miúdo por un conxunto de compoñentes vectoriais que suman para formar o vector dado. Normalmente, estes compoñentes son as proxeccións do vector nun conxunto de eixos de referencia mutuamente perpendiculares (vectores base). Dise que o vector pode descompoñerse en relación a eses vectores base. A descomposición dun vector en compoñentes non é único, porque depende da escolla dos eixos sobre os que se proxecta o vector.
Alén diso, non é obrigatorio o uso de vectores unitarios cartesianos como x ^, y ^, z ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {x}}, \mathbf {\hat {y}}, \mathbf {\hat {z}} } como base no que representar un vector. Os vectores tamén se poden expresar en termos de outra base arbitraria, incluíndo os vectores unitarios dun sistema de coordenadas cilíndrico ( ρ ^, ϕ ^, z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}, {\boldsymbol {\hat {\phi }}}, \mathbf {\hat {z}} } ) ou un sistema de coordenadas esféricas ( r ^, θ ^, ϕ ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}}, {\boldsymbol {\hat {\theta }}}, {\boldsymbol {\hat {\phi }}}} ). As dúas últimas opcións son máis convenientes para resolver problemas que posúen simetría cilíndrica ou esférica, respectivamente.
A escolla dunha base non afecta ás propiedades dun vector nin ao seu comportamento baixo transformacións.
Un vector tamén se pode dividir en relación a vectores de base "non fixos" que mudan a súa orientación en función do tempo ou do espazo. Por exemplo, un vector no espazo tridimensional pódese descompoñer en relación a dous eixos, respectivamente normal e tanxente a unha superficie (ver figura). Outra descomposición pode ser nunha compoñente radial e outra compoñente tanxencial que están relacionadas co raio de rotación dun obxecto. A primeira é paralela ao raio e a segunda é ortogonal a el.
Nestes casos, cada un dos compoñentes pode descompoñerse á súa vez en relación a un sistema de coordenadas fixo ou conxunto de bases (por exemplo, un sistema de coordenadas global ou sistema de referencia inercial).
Exemplo 1
Nun plano, usualmente, temos a base cos vectores unitarios do eixo x, x →
( 1, 0 ) {\displaystyle {\vec {x}}
(1, 0)}, e do eixo y, y →
( 0, 1 ) {\displaystyle {\vec {y}}
(0, 1)}.
O vector v →
( 4, 3 ) {\displaystyle {\vec {v}}
(4, 3)} pódese descompoñer como v →
4 x → + 3 y → {\displaystyle {\vec {v}}
4{\vec {x}}+3{\vec {y}}}.
Exemplo 2
Sexa P 3 {\displaystyle P_{3}} o espazo de todos os polinomios alxébricos de grao como máixmo 3 (isto é, o expoñente máis alto de x só pode ser 3). este espazo é linear e xerado polos seguintes polinomios: B P
{ 1, x, x 2, x 3 } {\displaystyle B_{P}
\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\}} que forman a seguinte base 1:
[ 1000 ]; x:
[ 0100 ]; x 2:
[ 0010 ]; x 3:
[ 0001 ] {\displaystyle 1:
{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}; \quad x:
{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}; \quad x^{2}:
{\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}; \quad x^{3}:
{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}} así o vector de coordenadas correspondente ao polinomio sería p ( x )
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 {\displaystyle p\left(x\right)
a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}} como vector columna [ a 0 a 1 a 2 a 3 ]. {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}. } Segundo esa representación, o operador de diferenciación d/dx que denotamos como D estará representado pola seguinte matriz: D p ( x )
P ′ ( x ); [ D ]
[ 0100002000030000 ] {\displaystyle Dp(x)
P'(x); \quad [D]
{\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}} Usando ese método é fácil explorar as propiedades do operador, como: invertibilidade, hermitiano ou anti-hermitiano ou ningún dos dous, espectro e eigenvalores, etc. Propiedades
Un vector ten as seguintes propiedades:
- Punto de aplicación, é a orixe do vector.
- Módulo, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de a → {\displaystyle {\vec {a}}} vale 5 unidades, faise así: | a → |
5 u {\displaystyle |{\vec {a}}|
5u}. Expresado con fórmulas, dado un vector a → {\displaystyle {\vec {a}}} de coordenadas ( a x, a y, a z ) {\displaystyle (a_{x}, a_{y}, a_{z})} o seu módulo é | a → |
a x 2 + a y 2 + a z 2 {\displaystyle |{\vec {a}}|
{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}}.
- Dirección, que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de recta, que se lle chama liña de acción.
- Sentido, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.
Clasificación dos vectores
Segundo o seu punto de aplicación:
- Vector fixo, que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.
- Vectores deslizantes, o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.
- Vector libre, non ten relevancia o seu punto de aplicación. Outros vectores significantes:
- Vector unitario, un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula: u a →
( a x, a y, a z ) | a → | {\displaystyle {\vec {u_{a}}}
{\frac {(a_{x}, a_{y}, a_{z})}{|{\vec {a}}|}}}. Os vectores unitarios correspondentes a (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) denomínanse ı ^ {\displaystyle {\hat {\imath }}}, ȷ ^ {\displaystyle {\hat {\jmath }}} e k ^ {\displaystyle {\hat {k}}}, sendo ı ^ {\displaystyle {\hat {\imath }}} o vector unitario do eixe do x, ȷ ^ {\displaystyle {\hat {\jmath }}} o vector unitario do eixo y, e k ^ {\displaystyle {\hat {k}}} o do z.
- Vector oposto a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a a → {\displaystyle {\vec {a}}} é − a → {\displaystyle -{\vec {a}}}.
- Vectores equipolentes, vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.
- Vectores paralelos, que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).
- Vectores concorrentes, cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).
- Vectores coplanares, todos os vectores están contidos no mesmo plano.
- Vectores colineares, que comparten unha mesma recta de acción Suma e resta de vectores
Método gráfico
A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervenientes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.
Método do paralelogramo
Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.
Método do triángulo
Consiste en poñer graficamente un vector a continuación doutro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro (a e b respectivamente no debuxo adxacente)
Método analítico
A suma
Con dous vectores de coordenadas, a →
( a x, a y, a z ) {\displaystyle {\vec {a}}
(a_{x}, a_{y}, a_{z})} b →
( b x, b y, b z ) {\displaystyle {\vec {b}}
(b_{x}, b_{y}, b_{z})} o resultado da suma é: a → + b →
[ ( a x + b x ), ( a y + b y ), ( a z + b z ) ] {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}
[(a_{x}+b_{x}), (a_{y}+b_{y}), (a_{z}+b_{z})]} A resta
Para restar dous vectores libres a → {\displaystyle {\vec {a}}} e b → {\displaystyle {\vec {b}}} súmase a → {\displaystyle {\vec {a}}} co oposto de b → {\displaystyle {\vec {b}}}: a → − b →
a → + ( − b → ) {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}
{\vec {a}}+(-{\vec {b}})} O resultado da resta é: a → − b →
[ ( a x − b x ), ( a y − b y ), ( a z − b z ) ] {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}
[(a_{x}-b_{x}), (a_{y}-b_{y}), (a_{z}-b_{z})]}
Módulo resultante
Dados dous vectores a → {\displaystyle {\vec {a}}} e b → {\displaystyle {\vec {b}}}, de módulos coñecidos e que forman o ángulo θ {\displaystyle \theta } entre si, pódese obter o módulo | a → + b → | {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|} coa seguinte fórmula: | a → + b → |
| a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ θ {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|
{\sqrt {\left. |{\vec {a}}\right|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}|\left|{\vec {b}}\right|\cos \theta }}}
Dedución da expresión
Sexan dous vectores a → {\displaystyle {\vec {a}}} e b → {\displaystyle {\vec {b}}} que forman un ángulo θ {\displaystyle \theta } entre
si: A fórmula para calcular | a → + b → | {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|} dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB: O B 2
O C 2 + C B 2 {\displaystyle OB^{2}
OC^{2}+CB^{2}} O B
| a → + b → | {\displaystyle OB
|{\vec {a}}+{\vec {b}}|} O C
| a → | + A C {\displaystyle OC
\left|{\vec {a}}\left|+AC\right. \right. } Resultando: | a → + b → | 2
( | a → | + A C ) 2 + C B 2 {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}
\left(|{\vec {a}}|+AC\right)^{2}+CB^{2}} No triángulo ACB: A C | b → |
cos ⁡ θ {\displaystyle {\frac {AC}{|{\vec {b}}|}}
\cos \theta } A C
| b → | cos ⁡ θ {\displaystyle AC
|{\vec {b}}|\cos \theta } C B | b → |
s e n θ {\displaystyle {\frac {CB}{|{\vec {b}}|}}
sen\theta } C B
| b → | s e n θ {\displaystyle CB
|{\vec {b}}|sen\theta } Substituíndo isto na igualdade de antes resulta: | a → + b → | 2
( | a → | + | b → | cos ⁡ θ ) 2 + ( | b → | s e n θ ) 2 {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}
\left(|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|\cos \theta \right)^{2}+\left(\left|{\vec {b}}|sen\theta \right)^{2}\right. } | a → + b → | 2
| a → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ θ + | b → | 2 cos 2 ⁡ θ + | b → | 2 s e n 2 θ {\displaystyle \left. \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}
|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\cos ^{2}\theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}sen^{2}\theta } | a → + b → | 2
| a → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ θ + | b → | 2 ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ ) {\displaystyle \left. \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}
|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\left(\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta \right)} cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ
1 → | a → + b → | 2
| a → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ θ + | b → | 2 {\displaystyle \left. \cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta
1\rightarrow \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}
|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}} | a → + b → |
| a → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ θ + | b → | 2 {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|
{\sqrt {\left. |{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}}}} | a → + b → |
| a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ θ {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|
{\sqrt {\left. |{\vec {a}}|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta }}}
Obtención da Dirección
Para obter os ángulos α, β {\displaystyle \alpha, \beta } directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo θ {\displaystyle \theta } e ter calculado | a → + b → | {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}.
Podemos usar esta fórmula: | b → | s e n α
| a → | s e n β
| a → + b → | s e n θ {\displaystyle {\frac {|{\vec {b}}|}{sen\alpha }}
{\frac {|{\vec {a}}|}{sen\beta }}
{\frac {\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}{sen\theta }}} Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que: α + β
θ {\displaystyle \alpha +\beta
\theta } Produto dun vector por un escalar
O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.
Graficamente sería poñer, sobre a mesma recta da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).
Analiticamente, un número n {\displaystyle n\, } e un vector a → {\displaystyle {\vec {a}}}, o produto n a → {\displaystyle n\, {\vec {a}}} realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente a →
( a x, a y, a z ) {\displaystyle {\vec {a}}
(a_{x}, a_{y}, a_{z})} o seu produto polo escalar é n a
( n a x, n a y, n a z ) {\displaystyle n\, \mathbf {a}
(na_{x}, na_{y}, na_{z})} é dicir, multiplícase por n {\displaystyle n\, } cada unha das compoñentes do vector. Ángulo entre dous vectores
Dados os vectores a →
( a x, a y, a z ) {\displaystyle {\vec {a}}
(a_{x}, a_{y}, a_{z})} e b →
( b x, b y, b z ) {\displaystyle {\vec {b}}
(b_{x}, b_{y}, b_{z})}, o ángulo θ {\displaystyle \theta } calcúlase polo seu coseno: c o s θ
a x b x + a y b y + a z b z | a → | | b → | {\displaystyle cos\theta
{\frac {a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}} Isto deriva do produto escalar. Produto escalar
Artigo principal: Produto escalar. A ⋅ B
| A | | B | cos ⁡ θ
A B cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B}
|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta
A\, B\, \cos \theta } Produto vectorial
| A × B |
| A | | B | sin ⁡ θ
A B sin ⁡ θ {\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |
|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\sin \theta
A\, B\, \sin \theta }