Restrición (matemáticas)

En matemáticas, unha restrición pode referirse a dous conceptos: unha condición dun problema de optimización que a solución debe satisfacer. Hai varios tipos de restricións, principalmente restricións de igualdade, restricións de desigualdade e restricións de números enteiros. O conxunto de solucións candidatas que satisfai todas as restricións denomínase conxunto factible.
a restrición dunha función f {\displaystyle f} é unha función nova, denotada f | A {\displaystyle f\vert _{A}} ou f ↾ A, {\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}, } obtida escollendo un dominio máis pequeno A {\displaystyle A} para a función orixinal f. {\displaystyle f. } A función f {\displaystyle f} dise logo que estende f | A. {\displaystyle f\vert _{A}. } Restrición en problemas
Exemplo de condición de problema
O seguinte é un problema de optimización simple: min f ( x )
x 12 + x 24 {\displaystyle \min f(\mathbf {x} )
x_{1}^{2}+x_{2}^{4}} suxeito a x 1 ≥ 1 {\displaystyle x_{1}\geq 1} e mais x 2
1, {\displaystyle x_{2}
1, } onde x {\displaystyle \mathbf {x} } denota o vector (x1, x2).
Neste exemplo, a primeira liña define a función que se vai minimizar (chamada función obxectivo ou función de custo). A segunda liña define dúas restricións, a primeira delas é unha restrición de desigualdade e a segunda é unha restrición de igualdade. Estas dúas restricións son restricións fortes, o que significa que é necesario que se cumpran; definen o conxunto factíbel de solucións candidatas.
Sen as restricións, a solución sería (0, 0), onde f ( x ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )} ten o valor máis baixo. Mais esta solución non satisfai as condicións. A solución do problema de optimización restrinxida indicada anteriormente é x
( 1, 1 ) {\displaystyle \mathbf {x}
(1, 1)}, que é o punto co menor valor de f ( x ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )} que satisfai as dúas restricións.
Terminoloxía
Se se mantén unha restrición de desigualdade con igualdade no punto óptimo, dise que a restrición é unha restrición efectiva, xa que o punto non se pode variar na dirección da restrición aínda que facelo melloraría o valor da función obxectivo.
Se unha restrición de desigualdade se mantén como unha desigualdade estrita no punto óptimo (é dicir, non se cumpre coa igualdade), dise que a restrición é non efectiva, xa que o punto podería variar na dirección da restrición, aínda que non sería óptimo facelo. Baixo certas condicións, como por exemplo na optimización convexa, se unha restrición é non efectiva, o problema de optimización tería a mesma solución aínda en ausencia desa restrición.
Se unha restrición non se cumpre nun punto dado, dise que o punto é inviábel. Restrición dunha función
Sexa f: E → F {\displaystyle f: E\to F} unha función dun conxunto E {\displaystyle E} nun conxunto F {\displaystyle F} e sexa A {\displaystyle A} un subconxunto de E {\displaystyle E}.
Informalmente, a restrición da función f {\displaystyle f} ao subconxunto A {\displaystyle A} é a mesma función que f, {\displaystyle f, } mais só se define en A {\displaystyle A}.
Definición formal
Sexa f: E → F {\displaystyle f: E\to F} unha función dun conxunto E {\displaystyle E} a un conxunto F. {\displaystyle F. } Se un conxunto A {\displaystyle A} é un subconxunto de E, {\displaystyle E, } entón a restrición de f {\displaystyle f} a A {\displaystyle A} é a función f | A: A → F {\displaystyle {f|}_{A}: A\to F} dada por f | A ( x )
f ( x ) {\displaystyle {f|}_{A}(x)
f(x)} para x ∈ A. {\displaystyle x\in A. }
Exemplos
A restrición da función non inxectiva f: R → R, x ↦ x 2 {\displaystyle f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}, \ x\mapsto x^{2}} ao dominio R +
[ 0, ∞ ) {\displaystyle \mathbb {R} _{+}
[0, \infty )} é a inxección f: R + → R, x ↦ x 2. {\displaystyle f: \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}, \ x\mapsto x^{2}. } A función factorial é a restrición da función gamma aos enteiros positivos, co argumento desprazado en un: Γ | Z + ( n )
( n − 1 )! {\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\! (n)
(n-1)! }