Ecuación de Schrödinger

A ecuación de Schrödinger, desenvolvida polo físico austríaco Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger en 1925, describe a dependencia temporal dos sistemas mecanocuánticos. É de importancia central na teoría da mecánica cuántica, onde representa un papel que se pode considerar semellante ás leis de Newton na mecánica clásica.
Na mecánica cuántica, o conxunto de todos os estados posibles nun sistema descríbese por un espazo de Hilbert complexo, e calquera estado instantáneo dun sistema descríbese por un vector unitario nese espazo. Este vector unitario codifica as probabilidades dos resultados de todas as posibles medidas feitas ó sistema. Como o estado do sistema xeralmente cambia co tempo, o vector estado é unha función do tempo. Con todo, debe recordarse que os valores dun vector de estado son diferentes para distintos lugares. Noutras palabras, tamén é unha función de x (ou, tridimensionalmente, de r). A ecuación de Schrödinger dá unha descrición cuantitativa da taxa de cambio no vector estado.
Usando a notación bra-ket de Dirac, denotamos ese vector de estado instantáneo a tempo t como |ψ(t)〉. A ecuación de Schrödinger é, entón:
(Schrodinger Equation) H | ψ ( t ) ⟩
i ℏ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle
i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle } onde i é o número imaxinario unidade, ℏ {\displaystyle \hbar } é a constante de Planck dividida por 2π(constante reducida de Plank), e o Hamiltoniano H é un operador linear hermítico (auto-adxunto) que actúa sobre o espazo de estados. O hamiltoniano describe a enerxía total do sistema. Como coa forza na segunda lei de Newton, a súa forma exacta non a dá a ecuación de Schrödinger, e debe ser determinada de xeito independente, a partir das propiedades físicas do sistema cuántico.
Para máis información do papel dos operadores en mecánica cuántica, ver a formulación matemática da mecánica cuántica. A ecuación de Schrödinger independente do tempo
Para cada hamiltoniano (se a enerxía potencial é independente do tempo), existe un conxunto de estados cuánticos, coñecidos como estados propios para a enerxía que satisfán a ecuación de valores propios H | ψ ( x ) ⟩
E | ψ ( x ) ⟩ {\displaystyle H|\psi (x)\rangle
E|\psi (x)\rangle } onde − ℏ 22 m ∇ 2 + U ( r ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(r)} Solucións da ecuación de Schrödinger
Pódense obter solucións analíticas da ecuación de Schrödinger independente do tempo para varios sistemas relativamente sinxelos. Estas solucións serven para entender mellor a natureza dos fenómenos cuánticos, e en ocasións son unha aproximación razoable ó comportamento de sistemas máis complexos (como en mecánica estatística aproxímanse as vibracións moleculares como osciladores harmónicos). Algunhas das solucións analíticas máis comúns son: Números cuánticos
A partícula nunha caixa
A partícula nun anel
A partícula nun potencial de simetría esférica
O oscilador harmónico cuántico
O átomo de hidróxeno
A partícula nunha rede monodimensional
Con todo, para moitos sistemas non hai solución analítica á ecuación de Schrödinger. Nestes casos, hai que recorrer a solucións aproximadas, como: A teoría perturbacional
O método variacional
As solucións Hartree-Fock
Os métodos cuánticos de Monte-Carlo