Hélice (xeometría)

A hélice (do grego έλικας/έλιξ, hélix, espiral), é unha curva que se pode explicar como o enrolamento regular dunha recta sobre un cilindro, tendo polo tanto forma de parafuso ou espiral (máis correctamente, helicoidal).
En matemática, a hélice é descrita como unha curva no espazo tridimensional que combina un movemento de rotación arredor dun punto cun movemento de translación deste punto. As tres ecuacións a seguir definen unha hélice en coordenadas rectangulares: x
cos ⁡ ( t ), {\displaystyle x
\cos(t), \, } y
sin ⁡ ( t ), {\displaystyle y
\sin(t), \, } z
t. {\displaystyle z
t. \, } En coordenadas cilíndricas (r, θ, h), a mesma hélice é descrita por: r
1, {\displaystyle r
1, \, } θ
t, {\displaystyle \theta
t, \, } h
t. {\displaystyle h
t. \, } As hélices son importantes na bioloxía, onde o ácido desoxirribonucleico está constituído por cadeas helicoidais e moitas proteínas posúen subestruturas helicoidais, coñecidas como alfa-hélices. Definición Matemática
Toda curva con tanxentes que formen un ángulo α, constante, cunha dirección fixa do espazo recibe o nome de hélice.
Se a súa ecuación vectorial é R ¯
R ¯ ( s ) {\displaystyle {\bar {R}}
{\bar {R}}(s)}, sendo s o arco, quere dicir que existe un vector unitario a ¯ {\displaystyle {\bar {a}}} fixo tal que para todo s verifícase T ¯ ( s ) ∙ a ¯
cos ⁡ α {\displaystyle {\bar {T}}(s)\bullet {\bar {a}}
\cos \alpha } (constante). Teorema de Lancret
Unha caracterización das hélices vén dada polo teorema coñecido coma teorema de Lancret, que di que é condición necesaria e suficiente para que unha curva sexa unha hélice que se verifique κ τ
c t e {\displaystyle {\frac {\kappa }{\tau }}
cte}, sendo tanα a constante, onde κ {\displaystyle \kappa } é a curvatura e τ {\displaystyle \tau } a torsión. Hélices importantes
Hélice cilíndrica
Unha hélice cilíndrica é unha curva que corta as xeratrices dun cilindro recto cun ángulo constante. Isto quere dicir que a distancia entre dous puntos de corte consecutivos da hélice con calquera das mencionadas xeratrices (rectas paralelas ao eixo do cilindro e contidas na súa superficie externa) é unha constante da curva, independente da xeratriz ou os puntos escollidos, chamada "paso de hélice".
Expresión analítica
Dende un punto de vista analítico, unha hélice cilíndrica queda definida polas seguintes expresións: x
ρ cos ⁡ θ {\displaystyle x
\rho \cos \theta \, } y
ρ sin ⁡ θ {\displaystyle y
\rho \sin \theta \, } z
tan ⁡ α θ {\displaystyle z
\tan \alpha \theta \, } O paso de hélice (o que "avanza" cando a curva dá unha volta ao redor do cilindro) é: 2 π tan ⁡ α {\displaystyle 2\pi \tan \alpha \, }
Propiedades
A proxección da hélice sobre un plano paralelo ao eixo do cilindro é unha curva sinusoidal.
A xeodésica dun cilindro recto de base circular é un arco de hélice (é dicir, o camiño máis curto entre dous puntos situados na superficie dun cilindro, que non saia de dita superficie, é un anaco de hélice).
Hélice cónica
Chámase hélice cónica a toda hélice situada sobre un cono.
Expresión analítica
x
t cos ⁡ t {\displaystyle x
t\cos t\, } y
t sin ⁡ t {\displaystyle y
t\sin t\, } z
a t {\displaystyle z
at\, }
Hélice esférica
Chámase hélice esférica a toda hélice contida nunha esfera. Por ser hélice verificarase κ τ
tan ⁡ α {\displaystyle {\frac {\kappa }{\tau }}
\tan \alpha \, } (constante), ou o que é o mesmo τ
κ cot ⁡ α {\displaystyle \tau
\kappa \cot \alpha \, }.
Por ser unha curva esférica, a esfera osculatriz será constante, sendo dita esfera osculatriz a esfera sobre a que está situada a curva. Entón o radio da esfera osculatriz é constante. Polo tanto 1 κ 2 + κ ′ 2 κ 4 τ 2
a 2 {\displaystyle {\frac {1}{\kappa ^{2}}}+{\frac {\kappa ^{'2}}{\kappa ^{4}\tau ^{2}}}
a^{2}} (constante).
Como τ
κ cot ⁡ α {\displaystyle \tau
\kappa \cot \alpha \, }, será 1 κ 2 + κ ′ 2 κ 6 cot 2 ⁡ α
a 2 {\displaystyle {\frac {1}{\kappa ^{2}}}+{\frac {\kappa ^{'2}}{\kappa ^{6}\cot ^{2}\alpha }}
a^{2}} Facendo o cambio κ
1 ρ {\displaystyle \kappa
{\frac {1}{\rho }}}, obtense: ρ 2 + ρ 2 ρ ′ 2 tan 2 ⁡ α
a 2 {\displaystyle \rho ^{2}+\rho ^{2}\rho ^{'2}\tan ^{2}\alpha
a^{2}\, }, ou o que é o mesmo, ρ d ρ a 2 − ρ 2 tan ⁡ α
d s {\displaystyle {\frac {\rho d\rho }{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}}\tan \alpha
ds} Integrando a igualdade anterior obtense: − a 2 − ρ 2 tan ⁡ α
s + C {\displaystyle -{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\tan \alpha
s+C}.
Pódese facer C
0, tomando coma orixe de arcos, é dicir s
0, o punto no que κ ( s )
1 a {\displaystyle \kappa (s)
{\frac {1}{a}}} e polo tanto ρ
a {\displaystyle \rho
a}. Aceptando esta hipótese e elevando ao cadrado − a 2 − ρ 2 tan ⁡ α
s {\displaystyle -{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\tan \alpha
s} obtense a 2 − ρ 2
s 2 cot 2 ⁡ α {\displaystyle a^{2}-\rho ^{2}
s^{2}\cot ^{2}\alpha \, }. Como ρ
1 κ {\displaystyle \rho
{\frac {1}{\kappa }}} será: a 2 − 1 κ 2
s 2 cot 2 ⁡ α {\displaystyle a^{2}-{\frac {1}{\kappa ^{2}}}
s^{2}\cot ^{2}\alpha } e como κ
τ tan ⁡ α {\displaystyle \kappa
\tau \tan \alpha \, } resulta a 2 − cot 2 ⁡ α τ 2
s 2 cot 2 ⁡ α {\displaystyle a^{2}-{\frac {\cot ^{2}\alpha }{\tau ^{2}}}
s^{2}\cot ^{2}\alpha }, e polo tanto: s 2 + 1 τ 2
a 2 tan 2 ⁡ α {\displaystyle s^{2}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}
a^{2}\tan ^{2}\alpha } As ecuacións obtidas anteriormente determinan as ecuacións intrínsecas das hélices esféricas. Despexando κ 2 e τ 2 {\displaystyle \kappa ^{2}e\tau ^{2}\, } obtense: κ 2
1 a 2 − s 2 cot 2 ⁡ α {\displaystyle \kappa ^{2}
{\frac {1}{a^{2}-s^{2}\cot ^{2}\alpha }}} τ 2
1 a 2 tan 2 ⁡ α − s 2 {\displaystyle \tau ^{2}
{\frac {1}{a^{2}\tan ^{2}\alpha -s^{2}}}} No caso xeral, sen facer a particularización C
0, obtense coma ecuacións intrínsecas: κ 2
1 a 2 − ( s + C ) 2 cot 2 ⁡ α {\displaystyle \kappa ^{2}
{\frac {1}{a^{2}-\left(s+C\right)^{2}\cot ^{2}\alpha }}} τ 2
1 a 2 tan 2 ⁡ α − ( s + C ) 2 {\displaystyle \tau ^{2} {\frac {1}{a^{2}\tan ^{2}\alpha -\left(s+C\right)^{2}}}}