Pendente (matemáticas)

En matemáticas e ciencias aplicadas denomínase pendente á inclinación dun elemento linear, natural ou construtivo respecto da horizontal.
En xeometría analítica, pode referirse á pendente da recta ou coeficiente angular como caso particular da tanxente a unha curva, en cuxo caso representa a derivada da función no punto considerado, e é un parámetro relevante, por exemplo, no trazado altimétrico de estradas, vías férreas ou canais. Ángulo de inclinación
O ángulo α, definido tal como aparece na figura, chámase ángulo de inclinación da recta respecto ao eixe OX. A tanxente trigonométrica do ángulo de inclinación α {\displaystyle \alpha } chámase coeficiente angular da recta e adoita designarse coa letra k {\displaystyle k}. Nese caso k
tan ⁡ ( α ) {\displaystyle k
\tan(\alpha )} En realidade, o coeficiente angular e a pendente teñen o mesmo significado xeométrico. Na ecuación y
k x + b {\displaystyle y
kx+b} que involucra o coeficiente angular e a ordenada na orixe k {\displaystyle k} é o coeficiente angular e b {\displaystyle b} a ordenada na orixe. Pendente dunha recta
A pendente dunha recta nun sistema de representación rectangular (dun plano cartesiano), adoita estar representada pola letra m {\displaystyle m}, e está definida como a diferenza no eixe Y dividido pola diferenza no eixe X para dous puntos distintos nunha recta, é dicir, m
Δ y Δ x
y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle m
{\frac {\Delta y}{\Delta x}}
{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}
Xeometría
Unha recta horizontal ten pendente igual a 0 (cero). Canto menor sexa o valor da pendente, menor inclinación ten a recta; por exemplo, unha recta que se eleve un ángulo de 45° con respecto ao eixe X ten pendente m
+ 1 {\displaystyle m
+1}, e unha recta que caia 30° ten pendente m
− 0, 5 {\displaystyle m
-0, 5}. A pendente dunha recta vertical non está definida.
O ángulo θ {\displaystyle \theta } que unha recta forma co eixe horizontal está relacionado coa pendente m {\displaystyle m} por medio da relación trigonométrica: m
tan θ {\displaystyle m
\tan \, \theta } ou equivalentemente: θ
arctan m {\displaystyle \theta
\arctan \, m} Dúas ou máis rectas son paralelas se ambas posúen a mesma pendente, ou se ambas son verticais e polo tanto non teñen pendente definida; dúas ou máis rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre elas) se o produto das súas pendentes é igual a -1.
Pendente das ecuacións da recta
Se y é unha función linear de x, entón o coeficiente de x é a pendente da recta. Polo tanto, se a ecuación está dada por y
m x + b {\displaystyle y
mx+b\, } m é a pendente. Nesta ecuación, o valor de b {\displaystyle b} pode ser interpretado como o punto en que a recta se interseca co eixe Y, é dicir, o valor de y {\displaystyle y} cando x
0 {\displaystyle x
0}. Este valor tamén se chama ordenada na orixe.
Se a pendente m {\displaystyle m} dunha recta e o punto ( x 0, y 0 ) {\displaystyle (x_{0}, y_{0})} da recta son coñecidos, entón a ecuación da recta pode ser atopada con y − y 0
m ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}
m(x-x_{0})\, } A pendente da recta na fórmula xeral: A x + B y + C
0 {\displaystyle Ax+By+C
0\, } está dada por: m
− A B {\displaystyle m
-{\frac {A}{B}}}
Propiedades
Tendo como datos os coeficientes angulares de dúas rectas k 1, k 2 {\displaystyle k_{1}, k_{2}}, un dos ángulos μ formados por estas dúas rectas determínase mediante a fórmula t a n μ
k 2 − k 11 + k 1 k 2 {\displaystyle tan\mu
{\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}}.
O paralelismo entre dúas rectas dáse se existe igualdade entre os seus coeficientes angulares k 1
k 2 {\displaystyle k_{1}
k_{2}}.
A perpendicularidade de dúas rectas determínase polas relacións: k 1 k 2
− 1 {\displaystyle k_{1}k_{2}
-1} o k 2
− 1 k 1 {\displaystyle k_{2}
-{\frac {1}{k_{1}}}}.
Se na ecuación y
k x + b {\displaystyle y
kx+b} se mantén constante k, variando só b, tense unha familia de rectas paralelas con coeficiente angular constante k, que cobre todo o plano, ao percorrer b todo o conxunto ℝ. Cálculo
O concepto de pendente é central no cálculo diferencial. A pendente dunha recta é a tanxente do ángulo que forma a recta coa dirección positiva do eixe de abscisas. En funcións non lineares, a razón de cambio varía ao longo da curva. A derivada da función nun punto dado é a pendente da recta tanxente nese punto.