Botella de Klein

En topoloxía, unha garrafa de Klein ou tamén botella de Klein[Cómpre referencia] é unha superficie non orientable aberta cuxa característica de Euler é igual a 0; non ten interior nin exterior. Outros obxectos non orientables relacionados son a banda de Möbius e o plano proxectivo real. Mentres que unha banda de Möbius é unha superficie con bordo, unha botella de Klein non ten bordo. Tampouco o ten unha esfera, aínda que esta si é orientable.
A botella de Klein foi descrita por primeira vez en 1882 polo matemático alemán Felix Klein. O nome orixinal do obxecto non foi o de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), senón o de superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). O tradutor da primeira referencia ao obxecto do alemán ao inglés confundiu as palabras e como a aparencia da representación tridimensional recorda a unha botella o erro pasou case desapercibido. Construción
Comezamos cun cadrado, e pegamos os bordos coloreados no diagrama seguinte, de modo que as frechas coincidan. Máis formalmente, a botella de Klein é o cociente do cadrado [0, 1] × [0, 1] cos seus bordos identificados pola relación (0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1, e (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1: Este cadrado é o polígono fundamental da botella de Klein.
Nótese que este é un pegado "abstracto" no sentido de que, ao tratar de facelo en tres dimensións, resulta unha botella de Klein que se autointerseca. A botella de Klein, propiamente dita, non ten autointerseccións. Non obstante, hai un modo de visualizar a botella de Klein como figura en catro dimensións.
Para iso, pegamos as frechas vermellas do cadrado, (lados dereito e esquerdo) resultando un cilindro. Para pegar os extremos de maneira que as frechas dos círculos coincidan, pasamos un extremo polo lado do cilindro. Nótese que isto crea unha autointersección circular. Esta é un mergullo da botella de Klein en tres dimensións. Engadindo unha cuarta dimensión ao espazo tridimensional, conseguimos que a botella pase a través de si mesma sen necesidade dun burato. Para iso empuxamos suavemente un anaco de tubo que conteña a intersección fóra do espazo tridimensional orixinal. Unha analoxía útil é considerar unha curva que se autointerseca no plano; as interseccións pódense eliminar levantando unha liña fóra do mesmo.
Este mergullo é útil para visualizar moitas propiedades da botella de Klein. Por exemplo, non ten bordo (onde a superficie se deteña abruptamente), e non é orientable, ao ter o seu mergullo unha soa cara. Como fibrado
Esta superficie (simbolizada por K {\displaystyle K} ) pode considerarse como o espazo total dun fibrado (non trivial) sobre o círculo onde a fibra é tamén un círculo, i. e. S 1 ⊂ K → S 1 {\displaystyle S^{1}\subset K\to S^{1}}. En contraste, o toro tamén é un fibrado, pero é trivial, isto é T
S 1 × S 1 {\displaystyle T
S^{1}\times S^{1}}. Sección
Seccionando unha botella de Klein en dúas metades ao longo do seu plano de simetría resultan dúas bandas de Möbius, cada unha imaxe especular da outra. Unha delas é a imaxe da dereita. Recórdese que a intersección da imaxe non está realmente alí. De feito, tamén é posible cortar a botella de Klein nunha única banda de Möbius. Outro concepto co mesmo nome
Na xeometría alxébrica, unha superficie de Klein, que se diferencia da botella de Klein, é similar dunha superficie de Riemann no sentido de que unha superficie de Klein admite unha estrutura di-analítica, é dicir, unha estrutura analítica que adiciona unha posible función de transición a unha estrutura analítica -consistente na conxugación complexa- determina unha que é anti-analítica.