Tensor tensión

En mecánica de medios continuos, o tensor tensión ou tensor de tensións é o tensor que dá conta da distribución de tensións e esforzos internos no medio continuo. Tipos de tensor tensión
Tensor tensión de Cauchy
O teorema de Cauchy sobre as tensións dun corpo, establece que dada unha distribución de tensións internas sobre a xeometría dun medio continuo deformado, que satisfaga as condicións do principio de Cauchy, existe un campo tensorial T simétrico definido sobre a xeometría deformada coas seguintes propiedades: . t ( x, n )
[ T C ( x ) ] ( n ), {\displaystyle t(\mathbf {x}, n)
[T_{C}(\mathbf {x} )](n), }. ∇ ⋅ T C ( x ) + f ( x )
0, {\displaystyle \nabla \cdot T_{C}(\mathbf {x} )+f(\mathbf {x} )
0, }. T C ( x )
T C T ( x ) {\displaystyle T_{C}(\mathbf {x} )
T_{C}^{T}(\mathbf {x} )} A terceira propiedade significa que este tensor virá dado sobre as coordenadas especificadas por unha matriz simétrica. Cabe sinalar que nun problema mecánico a priori é difícil coñecer o tensor tensión de Cauchy xa que este está definido sobre a xeometría do corpo unha vez deformado, e esta non é coñecida de antemán. Polo tanto previamente é necesario encontrar a forma deformada para coñecer exactamente o tensor de Cauchy. Mais, cando as deformacións son pequenas, en enxeñaría e aplicacións prácticas emprégase este tensor aínda que definido sobre as coordenadas do corpo sen deformar (o cal non conduce a erros de cálculo excesivo se todas as deformacións máximas son inferiores a 0, 01).
Fixado un sistema de referencia ortogonal, o tensor tensión de Cauchy vén dado por unha matriz simétrica coas compoñentes: [ T C ] x y z
[ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ]
[ σ x x σ x y σ x z σ y x σ y y σ y z σ z x σ z y σ z z ]
[ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ] {\displaystyle [T_{C}]_{xyz}
{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}} A segunda forma é a forma común de chamar aos compoñentes do tensor tensión na enxeñaría.
Primeiro tensor tensión de Piola-Kirchhoff
Os tensores de Piola-Kirchhoff TR introdúcense para evitar a dificultade de ter que traballar cun tensor definido sobre a xeometría xa deformada (que normalmente non é coñecida previamente). A relación entre ambos tensores vén dada por: T R ( x )
d e t ( ∇ F ) T C ( x ) ( ∇ F ) − T {\displaystyle T_{R}(\mathbf {x} )
det(\nabla F)T_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T}} Onde F é o tensor gradiente de deformación. Este tensor non obstante ten o problema de que non é simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).
Segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff
Este tensor introdúcese para lograr un tensor definido sobre a xeometría previa á deformación e que ademais sexa simétrico, a diferenza do primeiro tensor de Piola-Kirchhoff que non ten por que ser simétrico. O segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff vén dado por: Σ R ( x )
det ( ∇ F ) ( ( ∇ F ) − 1 ) T C ( x ) ( ∇ F ) − T, {\displaystyle \Sigma _{R}(\mathbf {x} )
\det(\nabla F)((\nabla F)^{-1})T_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T}, }