Teorema de Riemann-Roch

O teorema de Riemann-Roch é un teorema importante en matemáticas, especificamente na análise complexa e a xeometría alxébrica, para o cálculo da dimensión do espazo de funcións meromofas con ceros prescritos e polos permitidos. Relaciona a análise complexa dunha superficie de Riemann compacta conexa co genus g (ou xénero) puramente topolóxico dunha superficie, dun xeito que se pode trasladar a configuracións puramente alxébricas.
Inicialmente demostrado como a desigualdade de Riemann por Riemann (1857), o teorema alcanzou a súa forma definitiva para as superficies de Riemann despois do traballo do efémero estudante de Riemann, Gustav Roch (1865). Máis tarde xeneralizouse ás curvas alxébricas, ás variedades de dimensións superiores e máis alá. Nocións preliminares
Unha superficie de Riemann X {\displaystyle X} é un espazo topolóxico que é localmente homeomorfo a un subconxunto aberto de C {\displaystyle \mathbb {C} }, o conxunto de números complexos. Os mapas de transición entre estes subconxuntos abertos deben ser holomorfos. Esta última condición permite transferir as nocións e métodos de análise complexa que tratan con funcións holomorfas e meromorfas en C {\displaystyle \mathbb {C} } á superficie X {\displaystyle X}. Para os efectos do teorema de Riemann-Roch, a superficie X {\displaystyle X} sempre se asume que é compacta.
Coloquialmente falando, o genus g {\displaystyle g} dunha superficie de Riemann é o seu número de asas; por exemplo, o genus da superficie de Riemann que se mostra á dereita é tres. O genus clasifica as superficies compactas de Riemann ata o homeomorfismo, é dicir, dúas destas superficies son homeomofas se e só se o seu genus é o mesmo. Polo tanto, o genus é unha invariante topolóxica importante dunha superficie de Riemann. Por outra banda, a teoría de Hodge mostra que o genus coincide coa C {\displaystyle \mathbb {C} } -dimensión do espazo de formas holomorfas sobre X {\displaystyle X}, polo que o genus tamén codifica información analítica complexa sobre a superficie de Riemann.
Un divisor D {\displaystyle D} é un elemento do grupo abeliano libre nos puntos da superficie. De forma equivalente, un divisor é unha combinación linear finita de puntos da superficie con coeficientes enteiros.
Calquera función meromorfa f {\displaystyle f} dá lugar a un divisor denotado ( f ) {\displaystyle (f)} definido como ( f ):
∑ z ν ∈ R ( f ) s ν z ν {\displaystyle (f):
\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }} onde R ( f ) {\displaystyle R(f)} é o conxunto de todos os ceros e polos de f {\displaystyle f}, e s ν {\displaystyle s_{\nu }} está dada por s ν:
{ a if z ν is a zero of order a − a if z ν is a pole of order a {\displaystyle s_{\nu }:
{\begin{cases}a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a zero of order }}a\\-a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a pole of order }}a\end{cases}}}.
O conxunto R ( f ) {\displaystyle R(f)} sábese que é finito; esta é unha consecuencia de que X {\displaystyle X} é compacto e o feito de que os ceros dunha función holomorfa (non nula) non teñen un punto de acumulación. Calquera divisor desta forma chámase divisor principal. Dous divisores que se diferencian por un divisor principal chámanse linearmente equivalentes. O divisor dunha 1-forma meromorfa defínese de xeito similar. Un divisor dunha 1-forma meromorfa global chámase divisor canónico (normalmente denotado K {\displaystyle K} ). Calquera dúas 1-formas meromorfas producirán divisores linearmente equivalentes, polo que o divisor canónico determínase de forma única ata a equivalencia linear (de aí "o" divisor canónico).
O símbolo deg ⁡ ( D ) {\displaystyle \deg(D)} denota o grao (en ocasións tamén chamado índice) do divisor D {\displaystyle D}, é dicir, a suma dos coeficientes que se producen en D {\displaystyle D}. Pódese demostrar que o divisor dunha función meromorfa global sempre ten o grao 0, polo que o grao dun divisor depende só da súa clase de equivalencia linear.
O número ℓ ( D ) {\displaystyle \ell (D)} é a cantidade principal de interese: a dimensión (sobre C {\displaystyle \mathbb {C} } ) do espazo vectorial das funcións meromofas h {\displaystyle h} na superficie, de xeito que todos os coeficientes de ( h ) + D {\displaystyle (h)+D} son non negativos. Intuitivamente, podemos pensar que isto son todas as funcións meromorfas cuxos polos en cada punto non son peores que o coeficiente correspondente en D {\displaystyle D}; se o coeficiente en D {\displaystyle D} en z {\displaystyle z} é negativo, entón requirimos que h {\displaystyle h} teña un cero de polo menos esa multiplicidade en z {\displaystyle z} (se o coeficiente en D {\displaystyle D} é positivo, h {\displaystyle h} pode ter un polo de como máximo esa orde). Os espazos vectoriais para divisores linearmente equivalentes son isomorfos naturalmente mediante a multiplicación coa función meromorfa global (que está ben definida ata un escalar). Enunciado do teorema
O teorema de Riemann-Roch para unha superficie de Riemann compacta de genus g {\displaystyle g} con divisor canónico K {\displaystyle K} estabelece que ℓ ( D ) − ℓ ( K − D )
deg ⁡ ( D ) − g + 1 {\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)
\deg(D)-g+1}.
Normalmente, o número ℓ ( D ) {\displaystyle \ell (D)} é o número de interese, mentres ℓ ( K − D ) {\displaystyle \ell (K-D)} considérase como un termo de corrección (tamén chamado índice de especialidade ) polo que o teorema pódese ler aproximadamente dicindo dimensión − corrección grao − genus + 1.
Porque é a dimensión dun espazo vectorial, o termo de corrección ℓ ( K − D ) {\displaystyle \ell (K-D)} sempre é non negativo, polo que ℓ ( D ) ≥ deg ⁡ ( D ) − g + 1 {\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)-g+1}.
Agora ilustrarase o teorema para superficies de genus baixo. Tamén hai outros teoremas estreitamente relacionados: unha formulación equivalente deste teorema usando fibrado de liñas e unha xeneralización do teorema a curvas alxébricas.
Exemplos
O teorema ilustrarase escollendo un punto P {\displaystyle P} na superficie de que se trate e en relación coa secuencia de números ℓ ( n ⋅ P ), n ≥ 0 {\displaystyle \ell (n\cdot P), n\geq 0} é dicir, a dimensión do espazo de funcións que son holomorfas en tódalas partes agás en P {\displaystyle P} onde se permite que a función teña un polo de orde como máximo n {\displaystyle n}. Para n
0 {\displaystyle n
0}, as funcións deben ser enteiras, é dicir, holomorfas en toda a superficie X {\displaystyle X}. Segundo o teorema de Liouville, tal función é necesariamente constante. Polo tanto, ℓ ( 0 )
1 {\displaystyle \ell (0)
1}. En xeral, a secuencia ℓ ( n ⋅ P ) {\displaystyle \ell (n\cdot P)} é unha secuencia crecente.
Genus cero
A esfera de Riemann (tamén chamada liña proxectiva complexa) é simplemente conexa e, polo tanto, a súa primeira homoloxía singular é cero. En particular, o seu genus é cero. A esfera pode ser cuberta por dúas copias de C {\displaystyle \mathbb {C} }, con mapa de transición dado por C ∖ { 0 } ∋ z ↦ 1 z ∈ C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto {\frac {1}{z}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}.
Polo tanto, a forma ω
d z {\displaystyle \omega
dz} nunha copia de C {\displaystyle \mathbb {C} } esténdese a unha forma meromorfa na esfera de Riemann: ten un polo duplo no infinito, xa que d ( 1 z )
− 1 z 2 d z {\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)
-{\frac {1}{z^{2}}}\, dz} Así, o seu divisor canónico é K:
div ⁡ ( ω )
− 2 P {\displaystyle K:
\operatorname {div} (\omega )
-2P} (onde P {\displaystyle P} é o punto no infinito).
Polo tanto, o teorema di que a secuencia ℓ ( n ⋅ P ) {\displaystyle \ell (n\cdot P)} será 1, 2, 3, .. ..
Esta secuencia tamén se pode ver a partir da teoría das fraccións parciais. E viceversa, se esta secuencia comeza deste xeito, entón g {\displaystyle g} debe ser cero.
Genus un
O seguinte caso é unha superficie de Riemann do genus g
1 {\displaystyle g
1}, como un toro C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }, onde Λ {\displaystyle \Lambda } é unha rede bidimensional (un grupo isomorfo a Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} ). O seu xénero é un: o seu primeiro grupo de homoloxía singular é xerado libremente por dous bucles, como se mostra na ilustración da dereita. A coordenada complexa estándar z {\displaystyle z} en C {\displaystyle C} dá unha única forma ω
d z {\displaystyle \omega
dz} en X {\displaystyle X} que é holomorfa en tódalas partes, é dicir, non ten polos. Polo tanto, K {\displaystyle K}, o divisor de ω {\displaystyle \omega } é cero.
Nesta superficie, esta secuencia é 1, 1, 2, 3, 4, 5. .. ;
e isto caracteriza o caso g
1 {\displaystyle g
1}. En efecto, para D
0 {\displaystyle D
0}, ℓ ( K − D )
ℓ ( 0 )
1 {\displaystyle \ell (K-D)
\ell (0)
1}, como se mencionou anteriormente. Para D
n ⋅ P {\displaystyle D
n\cdot P} con n > 0 {\displaystyle n>0}, o grao de K − D {\displaystyle K-D} é estritamente negativo, polo que o termo de corrección é 0. A secuencia de dimensións tamén se pode derivar da teoría das funcións elípticas.
Genus dous e máis aló
Para g
2 {\displaystyle g
2}, a secuencia mencionada anteriormente é 1, 1, ?, 2, 3, .. ..
Demóstrase a partir disto que a incógnita? (o termo do grao 2) é 1 ou 2, dependendo do punto. Pódese demostrar que en calquera curva do genus 2 hai exactamente seis puntos cuxas secuencias son 1, 1, 2, 2, .. . e o resto dos puntos teñen a secuencia xenérica 1, 1, 1, 2, .. . En particular, unha curva de genus 2 é unha curva hiperelíptica. Para g > 2 {\displaystyle g>2} sempre é certo que na maioría dos puntos a secuencia comeza g + 1 {\displaystyle g+1} uns e hai finitamente moitos puntos con outras secuencias (ver puntos de Weierstrass).
Teorema de Riemann-Roch para fibrados de liñas
Usando a estreita correspondencia entre divisores e fibrados de liñas holomorfos nunha superficie de Riemann, o teorema tamén se pode enunciar dun xeito diferente, aínda que equivalente: sexa L un fibrado de liñas holomorfo en X. Sexa H 0 ( X, L ) {\displaystyle H^{0}(X, L)} o espazo de seccións holomorfas de L. Este espazo será de dimensión finita; denótase a súa dimensión como h 0 ( X, L ) {\displaystyle h^{0}(X, L)}. Denotamos K como o fibrado canónico en X. Daquela, o teorema de Riemann-Roch afirma que h 0 ( X, L ) − h 0 ( X, L − 1 ⊗ K )
deg ⁡ ( L ) + 1 − g {\displaystyle h^{0}(X, L)-h^{0}(X, L^{-1}\otimes K)
\deg(L)+1-g}.
O teorema da sección anterior é o caso especial cando L é un fibrado de puntos.
O teorema pódese aplicar para demostrar que hai g seccións holomorfas linearmente independentes de K, ou 1-formas en X, como segue. Tomando L como o fibrado trivial, h 0 ( X, L )
1 {\displaystyle h^{0}(X, L)
1} xa que as únicas funcións holomorfas en X son constantes. O grao de L é cero, e L − 1 {\displaystyle L^{-1}} é o fibrado trivial. Así, 1 − h 0 ( X, K )
1 − g {\displaystyle 1-h^{0}(X, K)
1-g}.
Polo tanto, h 0 ( X, K )
g {\displaystyle h^{0}(X, K)
g}, demostrando que hai g 1-formas holomorfas.
Grao de fibrado canónico
Posto que o fibrado canónico K {\displaystyle K} ten h 0 ( X, K )
g {\displaystyle h^{0}(X, K)
g}, aplicando Riemann-Roch a L
K {\displaystyle L
K} dá h 0 ( X, K ) − h 0 ( X, K − 1 ⊗ K )
deg ⁡ ( K ) + 1 − g {\displaystyle h^{0}(X, K)-h^{0}(X, K^{-1}\otimes K)
\deg(K)+1-g} que se pode reescribir como g − 1
deg ⁡ ( K ) + 1 − g {\displaystyle g-1
\deg(K)+1-g} de aí que o grao do fibrado canónico sexa deg ⁡ ( K )
2 g − 2 {\displaystyle \deg(K)
2g-2}.
Teorema de Riemann-Roch para curvas alxébricas
Cada elemento da formulación anterior do teorema de Riemann-Roch para divisores de superficies de Riemann ten un análogo en xeometría alxébrica. O análogo dunha superficie de Riemann é unha curva alxébrica non singular C sobre un corpo k. A diferenza de terminoloxía (curva vs. superficie) é porque a dimensión dunha superficie de Riemann como variedade real é dúas, pero unha como variedade complexa. A compacidade dunha superficie de Riemann é paralela á condición de que a curva alxébrica sexa completa, o que equivale a ser proxectiva. Nun corpo xeral k, non hai unha boa noción de (co)homoloxía singular. O chamado genus xeométrico defínese como g ( C ):
dim k ⁡ Γ ( C, Ω C 1 ) {\displaystyle g(C):
\dim _{k}\Gamma (C, \Omega _{C}^{1})} é dicir, como a dimensión do espazo de formas únicas (alxébricas) definidas globalmente (ver diferencial de Kähler). Finalmente, as funcións meromorfas nunha superficie de Riemann represéntanse localmente como fraccións de funcións holomorfas. Polo tanto, son substituídas por funcións racionais que son localmente fraccións de funcións regulares. Así, escribindo ℓ ( D ) {\displaystyle \ell (D)} para a dimensión (sobre k) do espazo de funcións racionais na curva cuxos polos en cada punto non son peores que o coeficiente correspondente en D, cúmprese a mesma fórmula anterior: ℓ ( D ) − ℓ ( K − D )
deg ⁡ ( D ) − g + 1 {\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)
\deg(D)-g+1}.
onde C é unha curva alxébrica proxectiva non singular sobre un corpo alxebricamente pechado k. De feito, cúmprese a mesma fórmula para as curvas proxectivas sobre calquera corpo, agás que o grao dun divisor debe ter en conta as multiplicidades procedentes das posíbeis extensións do corpo base e dos corpos de residuos dos puntos que soportan o divisor. Finalmente, para unha curva adecuada sobre un anel artiniano, a característica de Euler do fibrado de liñas asociada a un divisor vén dada polo grao do divisor (definido adecuadamente) máis a característica de Euler dao feixe estrutural O {\displaystyle {\mathcal {O}}}. Aplicacións
Polinomio de Hilbert
Unha das consecuencias importantes do teorema de Riemann-Roch é que dá unha fórmula para calcular o polinomio de Hilbert de fibrados de liñas nunha curva. Se un fibrado de liñas L {\displaystyle {\mathcal {L}}} é amplo, entón o polinomio de Hilbert dará o primeiro grao L ⊗ n {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}} dando un mergullo no espazo proxectivo. Por exemplo, o feixe canónico ω C {\displaystyle \omega _{C}} ten grao 2 g − 2 {\displaystyle 2g-2}, o que dá un feixe de liñas amplo para o genus g ≥ 2 {\displaystyle g\geq 2}. Se estabelecemos ω C ( n )
ω C ⊗ n {\displaystyle \omega _{C}(n)
\omega _{C}^{\otimes n}} entón a fórmula de Riemann-Roch ten a forma χ ( ω C ( n ) )
deg ⁡ ( ω C ⊗ n ) − g + 1
n ( 2 g − 2 ) − g + 1
2 n g − 2 n − g + 1
( 2 n − 1 ) ( g − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&
\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&
n(2g-2)-g+1\\&
2ng-2n-g+1\\&
(2n-1)(g-1)\end{aligned}}} Danado o polinomio de Hilbert de grao 1 {\displaystyle 1} ω C {\displaystyle \omega _{C}} H ω C ( t )
2 ( g − 1 ) t − g + 1 {\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)
2(g-1)t-g+1}.
Como o feixe tricanónico ω C ⊗ 3 {\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}} úsase para mergullar a curva, o polinomio de Hilbert H C ( t )
H ω C ⊗ 3 ( t ) {\displaystyle H_{C}(t)
H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)} considérase xeralmente ao construír o esquema de Hilbert de curvas (e o espazo de módulos das curvas alxébricas). Este polinomio é H C ( t )
( 6 t − 1 ) ( g − 1 )
6 ( g − 1 ) t + ( 1 − g ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&
(6t-1)(g-1)\\&
6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}} e chámase polinomio de Hilbert dunha curva de genus g.
Genus de curvas planas con singularidades
Unha curva alxébrica plana irredutíbel de grao d ten (d − 1)(d − 2)/2 − g singularidades, cando se contan correctamente. Dedúcese que, se unha curva ten (d − 1)(d − 2)/2 singularidades diferentes, é unha curva racional e, polo tanto, admite unha parametrización racional.
Fórmula de Riemann-Hurwitz
A fórmula de Riemann-Hurwitz relativa aos mapas (ramificados) entre superficies de Riemann ou curvas alxébricas é unha consecuencia do teorema de Riemann-Roch.
Teorema de Clifford sobre divisores especiais
Oteorema de Clifford sobre divisores especiais tamén é unha consecuencia do teorema de Riemann-Roch. Afirma que para un divisor especial (é dicir, tal que ℓ ( K − D ) > 0 {\displaystyle \ell (K-D)>0} ) satisfactorio ℓ ( D ) > 0 {\displaystyle \ell (D)>0}, cúmprese a seguinte desigualdade: ℓ ( D ) ≤ deg ⁡ D 2 + 1 {\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}. Teorema aritmético de Riemann-Roch
Unha versión do teorema aritmético de Riemann-Roch afirma que se k é un corpo global e f é unha función adecuadamente admisíbel dos adeles de k, entón para cada idele a, hai unha fórmula do sumatorio de Poisson: 1 | a | ∑ x ∈ k f ^ ( x / a )
∑ x ∈ k f ( a x ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)
\sum _{x\in k}f(ax)}.
No caso especial cando k é o corpo de funcións dunha curva alxébrica sobre un corpo finito e f é calquera carácter que sexa trivial en k, isto cobre o teorema xeométrico de Riemann-Roch.
Outras versións do teorema aritmético de Riemann-Roch fan uso da teoría de Arakelov para asemellarse máis exactamente ao teorema tradicional de Riemann-Roch. Xeneralización do teorema de Riemann-Roch
Alexander Grothendieck demostrou unha xeneralización de gran alcance en 1957, agora coñecida como o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch. O seu traballo reinterpreta a Riemann-Roch non como un teorema sobre unha variedade, senón sobre un morfismo entre dúas variedades. Os detalles das probas foron publicados por Armand Borel e Jean-Pierre Serre en 1958. Máis tarde, Grothendieck e os seus colaboradores simplificaron e xeneralizaron a proba.