Matriz de incidencia

En matemáticas, unha matriz de incidencia é unha matriz lóxica que mostra a relación entre dúas clases de obxectos, normalmente chamada relación de incidencia. Se a primeira clase é X e a segunda é Y, a matriz ten unha fila para cada elemento de X e unha columna para cada asignación de X a Y. A entrada na fila x e columna y é 1 se o vértice x forma parte (denominado incidente neste contexto) do mapa que corresponde a y, e 0 se non o é. Hai algunha variante; ver a continuación. Teoría de grafos
A matriz de incidencia é unha representación gráfica común na teoría de grafos. É diferente a unha matriz de adxacencia, que codifica a relación de pares vértice-vértice.
Grafos non orientados e orientados
Na teoría de grafos un grafo non orientado ten dous tipos de matrices de incidencia: non orientadas e orientadas.
A matriz de incidencia non orientada (ou simplemente matriz de incidencia) dun grafo non orientado é a matriz B n × m {\displaystyle n\times m}, onde n e m son os números de vértices e arestas respectivamente, de tal forma que B i j
{ 1 se o vértice v i é incidente con aresta e j, 0 noutro caso. {\displaystyle B_{ij}
\left\{{\begin{array}{rl}\, 1&{\text{se o vértice }}v_{i}{\text{ é incidente con aresta }}e_{j}, \\0&{\text{noutro caso. }}\end{array}}\right. } Por exemplo, a matriz de incidencia do grafo non orientado que se mostra á dereita é unha matriz formada por 4 filas (correspondentes aos catro vértices, 1-4) e 4 columnas (correspondentes ás catro arestas, e 1, e 2, e 3, e 4 {\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}} ): Se observamos a matriz de incidencia, vemos que a suma de cada columna é igual a 2. Isto débese a que cada aresta ten un vértice ligado a cada extremo.
A matriz de incidencia dun grafo orientado é a matriz B n × m {\displaystyle n\times m} onde n e m son o número de vértices e arestas respectivamente, de xeito que B i j
{ − 1 se a aresta e j sae do vértice v i, − 1 se a aresta e j entra no vértice v i, − 0 noutro caso. {\displaystyle B_{ij}
\left\{{\begin{array}{rl}{-1}&{\text{se a aresta }}e_{j}{\text{ sae do vértice }}v_{i}, \\{\phantom {-}}1&{\text{se a aresta }}e_{j}{\text{ entra no vértice }}v_{i}, \\{\phantom {-}}0&{\text{noutro caso. }}\end{array}}\right. } (Moitos autores usan a convención de signo oposto).
A matriz de incidencia non orientada dun grafo G está relacionada coa matriz de adxacencia da súa grafo liña L(G) polo seguinte teorema: A ( L ( G ) )
B ( G ) T B ( G ) − 2 I m. {\displaystyle A(L(G))
B(G)^{\textsf {T}}B(G)-2I_{m}. } onde A(L(G)) é a matriz de adxacencia do grafo liña de G, B(G) é a matriz de incidencia e Im é a matriz identidade da dimensión m.
O laplaciano discreto (ou matriz de Kirchhoff) obtense a partir da matriz de incidencia orientada B(G) mediante a fórmula B ( G ) B ( G ) T. {\displaystyle B(G)B(G)^{\textsf {T}}. }
Multigrafos
As definicións de matriz de incidencia aplícanse a grafos con bucles e arestas múltiples. A columna dunha matriz de incidencia orientada que corresponde a un bucle é toda cero, a non ser que o grafo estea con signo e o bucle sexa negativo; entón a columna é toda cero agás ±2 na fila do seu vértice incidente.
Grafos ponderados
Un grafo ponderado pódese representar usando o peso da aresta en lugar de 1. Por exemplo, a matriz de incidencia do grafo da dereita é: Estruturas de incidencia
A matriz de incidencia dunha estrutura de incidencia C é unha matriz B p × q (ou a súa transposta), onde p e q son o número de puntos e liñas respectivamente, de tal forma que Bi, j 1 se o punto pi e a liña Lj son incidentes e 0 en caso contrario. Neste caso, a matriz de incidencia tamén é unha matriz de biadjacencia do grafo de Levi da estrutura. Como hai un hipergrafo para cada grafo de Levi, e viceversa, a matriz de incidencia dunha estrutura de incidencia describe un hipergrafo.
Xeometrías finitas
Un exemplo importante é unha xeometría finita. Por exemplo, nun plano finito, X é o conxunto de puntos e Y é o conxunto de liñas. Nunha xeometría finita de dimensión superior, X podería ser o conxunto de puntos e Y podería ser o conxunto de subespazos de dimensión un menos que a dimensión de todo o espazo (hiperplanos); ou, de xeito máis xeral, X podería ser o conxunto de todos os subespazos dunha dimensión d e Y o conxunto de todos os subespazos doutra dimensión e, con "incidencia" definida como "estar contido en".
Polítopos
De xeito similar, a relación entre celas cuxas dimensións difiren nun polítopo, pódese representar mediante unha matriz de incidencia.