Indución matemática

En matemáticas, a indución é un razoamento que permite demostrar proposicións que dependen dunha variable n {\displaystyle n\, } que toma unha infinidade de valores enteiros. En termos simples, a indución matemática consiste no seguinte razoamento: O número enteiro a {\displaystyle a\, } ten a propiedade P {\displaystyle P\, }. O feito de que calquera número enteiro n {\displaystyle n\, } tamén teña a propiedade P {\displaystyle P\, } implica que n + 1 {\displaystyle n+1\, } tamén a ten. Entón todos os números enteiros a partir de a {\displaystyle a\, } teñen a propiedade P {\displaystyle P\, }.
A demostración está baseada no axioma denominado principio da indución matemática. Historia
No Parmenides, diálogo de Platón do 370 a. C, quizais se pode identificar un temperán exemplo dunha explicación implícita de proba indutiva. A máis antiga pegada da indución matemática pódese atopar na demostración de Bhaskara I que empregando o «método cíclico» proba a infinidade dos números primos.
Unha técnica oposta, contando regresivamente en lugar de ascendentemente, pódese atopar no paradoxo sorites, onde se argumenta que se 10. 000. 000 de grans de area forman unha morea e removendo un gran da morea este continúa a ser unha morea, entón, un só gran (incluso ningún gran de area) forma unha morea.
Unha demostración implícita da indución matemática para secuencias aritméticas foi introducida por Al-Karaji na obra Al-Fakhri escrita ao redor do 1000 d. C. , empregado para probar o teorema binomial e propiedades do triángulo de Pascal.
Ningún destes antigos matemáticos explicitou a hipótese indutiva. Outro caso similar foi o de Francesco Maurlico no seu Arithmeticorom libri duo (1575), que empregou a técnica para probar que a suma dos n {\displaystyle n} primeiros enteiros impares é igual a n 2 {\displaystyle n^{2}}.
A primeira formulación explícita sobre o principio de indución foi establecida polo físico e matemático Blaise Pascal na súa obra Traité du triangle arithmétique (1665). Outro francés, Fermat, fixo amplo uso dun principio relacionado para unha demostración indirecta do infinito descendente. A hipótese indutiva foi tamén empregada polo suízo Jakob Bernoulli e a partir de entón foi máis coñecida.
O moderno tratamento de carácter rigoroso e sistemático chegou con George Boole, Augustus De Morgan, Charles Sanders Peirce, Giuseppe Peano e Richard Dedekind. Demostracións por indución
Chamemos P n {\displaystyle P_{n}\, } á proposición, onde n {\displaystyle n\, } é o rango. "Base": Demóstrase que P 1 {\displaystyle P_{1}\, } é certa, é dicir, é o primeiro valor que cumpre a proposición (iniciación da indución).
"Paso indutivo": Demóstrase que se P n {\displaystyle P_{n}\, } é certa, é dicir, como hipótese indutiva, entón P n + 1 {\displaystyle P_{n+1}\, } tamén o é, e isto sen condición sobre o enteiro natural n {\displaystyle n\, } (relación de indución). Indicado como n ⇒ n + 1 {\displaystyle n\Rightarrow n+1} ).
Logo, demostrado isto, conclúese por indución que P n {\displaystyle P_{n}\, } é certo para todo natural n {\displaystyle n\, }.
A indución pode comezar por outro termo que non sexa P 1 {\displaystyle P_{1}\, }, por exemplo P n 0 {\displaystyle P_{n_{0}}\, }. Entón P n {\displaystyle P_{n}\, } será válido a partir do número n 0 {\displaystyle n_{0}\, }, é dicir, para todo natural n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}\, }.
Exemplo
Probarase que a seguinte declaración P(n), que se supón válida para todos os números naturais n. 1 + 2 + ⋯ + n
n ( n + 1 ) 2. {\displaystyle 1+2+\cdots +n
{\frac {n(n+1)}{2}}\, .} P(n) dá unha fórmula para a suma dos números naturais menores ou iguais a n. A proba de que P(n) é verdadeira para todos os números naturais procede como segue: Base: Móstrase que é válida para n 1.
con P(1) tense: 1
1 ⋅ ( 1 + 1 ) 2. {\displaystyle 1
{\frac {1\cdot (1+1)}{2}}\, .} No lado esquerdo da ecuación, o único termo é 1, entón o seu valor é 1, mentres que no termo dereito, 1·(1 + 1)/21.
Ambos os lados son iguais, n 1. Entón P(1) é verdadeira. Paso indutivo: Mostrar que se P(k) é verdadeira, entón P(k+1) é verdadeira. Como segue:
Asúmese que P(k) é verdadeira (para un valor non específico de k). Débese entón mostrar que P(k+1) é verdadeira: ( 1 + 2 + ⋯ + k ) + ( k + 1 )
( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 ) 2. {\displaystyle (1+2+\cdots +k)+(k+1)
{\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}. } empregando a hipótese de indución P(k) é verdadeira, o termo esquerdo pódese reescribir: k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ). {\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)\, .} Desenvolvendo: k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 )
k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 ) 2
k 2 + k + 2 k + 22
( k + 1 ) ( k + 2 ) 2
( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&
{\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&
{\frac {k^{2}+k+2k+2}{2}}\\&
{\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&
{\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}\end{aligned}}} mostrando de feito que P(k+1) é verdadeira.
Posto que se realizaron os dous pasos da indución matemática tanto a base como o paso indutivo, a declaración P(n) cúmprese para todo número natural n {\displaystyle n} Q. E. D.
Exemplo 2
Tratarase de demostrar por indución a seguinte proposición: ∑ k
1 n ( 2 k − 1 ) 3 k
( n − 1 ) 3 n + 1 + 3 {\displaystyle \sum _{k
1}^{n}(2k-1)3^{k}
(n-1)3^{n+1}+3} ∀ n ∈ N {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} } 1. Compróbase para n
1 ∑ k
11 ( 2 − 1 ) 31
3
( 1 − 1 ) 31 + 1 + 3 {\displaystyle \sum _{k
1}^{1}(2-1)3^{1}
3
(1-1)3^{1+1}+3} Tense por tanto que a proposición é verdadeira para n
1
2. Hipótese indutiva (n
h) ∑ k
1 h ( 2 k − 1 ) 3 k
( h − 1 ) 3 h + 1 + 3 {\displaystyle \sum _{k
1}^{h}(2k-1)3^{k}
(h-1)3^{h+1}+3} 3. Tese indutiva (n
h+1) ∑ k
1 h + 1 ( 2 k − 1 ) 3 k
( h + 1 − 1 ) 3 h + 1 + 1 + 3 {\displaystyle \sum _{k
1}^{h+1}(2k-1)3^{k}
(h+1-1)3^{h+1+1}+3} ∑ k
1 h + 1 ( 2 k − 1 ) 3 k
h 3 h + 2 + 3 {\displaystyle \sum _{k
1}^{h+1}(2k-1)3^{k}
h3^{h+2}+3} 4. Demostración da tese con base á hipótese ∑ k
1 h + 1 ( 2 k − 1 ) 3 k
∑ k
1 h ( 2 k − 1 ) 3 k + ( 2 ( h + 1 ) − 1 ) 3 h + 1 {\displaystyle \sum _{k
1}^{h+1}(2k-1)3^{k}
\sum _{k
1}^{h}(2k-1)3^{k}+(2(h+1)-1)3^{h+1}} Aplícase a hipótese de indución: ∑ k
1 h + 1 ( 2 k − 1 ) 3 k
( h − 1 ) 3 h + 1 + 3 + [ 2 ( h + 1 ) − 1 ] 3 h + 1 {\displaystyle \sum _{k
1}^{h+1}(2k-1)3^{k}
(h-1)3^{h+1}+3+[2(h+1)-1]3^{h+1}} ∑ k
1 h + 1 ( 2 k − 1 ) 3 k
( h − 1 ) 3 h + 1 + 3 + ( 2 h + 2 − 1 ) 3 h + 1 {\displaystyle \sum _{k
1}^{h+1}(2k-1)3^{k}
(h-1)3^{h+1}+3+(2h+2-1)3^{h+1}} ∑ k
1 h + 1 ( 2 k − 1 ) 3 k
3 h + 1 ( h − 1 + 2 h + 1 ) + 3 {\displaystyle \sum _{k
1}^{h+1}(2k-1)3^{k}
3^{h+1}(h-1+2h+1)+3} (sacando factor común) ∑ k
1 h + 1 ( 2 k − 1 ) 3 k
3 h + 13 h + 3 {\displaystyle \sum _{k
1}^{h+1}(2k-1)3^{k}
3^{h+1}3h+3} ∑ k
1 h + 1 ( 2 k − 1 ) 3 k
h 3 h + 2 + 3 {\displaystyle \sum _{k
1}^{h+1}(2k-1)3^{k}
h3^{h+2}+3} Polo tanto, verificándose a proposición para n
1 {\displaystyle n
1} e para n
k + 1 {\displaystyle n
k+1} sendo k {\displaystyle k} calquera número natural, a proposición verifícase ∀ n ∈ N {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }.