Completamento dun anel

Na álxebra abstracta, un completamento ou completación é calquera de varios functores relacionados sobre aneis e módulos que dan lugar a aneis e módulos completos. A completación é similar á localización e, xuntas, están entre as ferramentas máis básicas para analizar aneis conmutativos. Os aneis conmutativos completos teñen unha estrutura máis sinxela ca os xerais, e se lles aplica o lema de Hensel. En xeometría alxébrica, unha completación dun anel de funcións R nun espazo X concéntrase nunha veciñanza formal dun punto de X: de xeito heurístico, trátase dunha veciñanza tan pequena que todas as series de Taylor centradas no punto son converxentes. Unha completación alxébrica constrúese dun xeito análogo á completación dun espazo métrico con sucesións de Cauchy, e coincide con esta no caso de que R teña unha métrica dada por unha ultramétrica ou valor absoluto non arquimediano. Construción xeral
Sexa E un grupo abeliano cunha filtración decrecente E
F 0 E ⊃ F 1 E ⊃ F 2 E ⊃ ⋯ {\displaystyle E
F^{0}E\supset F^{1}E\supset F^{2}E\supset \cdots \, } de subgrupos. Defínese entón a completación (respecto da filtración) como o límite inverso: E ^
lim ← ⁡ ( E / F n E )
{ ( a n ¯ ) n ≥ 0 ∈ ∏ n ≥ 0 ( E / F n E ) | a i ≡ a j ( mod F i E ) para todo i ≤ j }. {\displaystyle {\widehat {E}}
\varprojlim (E/F^{n}E)
\left\{\left. ({\overline {a_{n}}})_{n\geq 0}\in \prod _{n\geq 0}(E/F^{n}E)\; \right|\; a_{i}\equiv a_{j}{\pmod {F^{i}E}}{\text{ para todo }}i\leq j\right\}. \, } Este é de novo un grupo abeliano. Xeralmente E é un grupo abeliano aditivo. Se E posúe estrutura alxébrica adicional compatible coa filtración —por exemplo, se E é un anel filtrado, un módulo filtrado ou un espazo vectorial filtrado—, a súa completación é de novo un obxecto coa mesma estrutura e que é completo na topoloxía determinada pola filtración. Esta construción pode aplicarse tanto a aneis conmutativos coma a aneis non conmutativos. Como é de esperar, cando a intersección dos F i E {\displaystyle F^{i}E} é igual a cero, obtense un anel topolóxico completo. Topoloxía de Krull
En álxebra conmutativa, a filtración dun anel conmutativo R polas potencias dun ideal propio I determina a topoloxía de Krull (polo Wolfgang Krull) ou I-topoloxía ádica en R. O caso dun ideal maximal I
m {\displaystyle I
{\mathfrak {m}}} é especialmente importante, por exemplo o ideal maximal distinguido dun anel de valoración. A base de veciñanzas abertas de 0 en R vén dada polas potencias In, que están encaixadas e forman unha filtración decrecente en R: F 0 R
R ⊃ I ⊃ I 2 ⊃ ⋯, F n R
I n. {\displaystyle F^{0}R
R\supset I\supset I^{2}\supset \cdots, \quad F^{n}R
I^{n}. } (As veciñanzas abertas de calquera r ∈ R veñen dadas polas coclases r + In. ) A completación (I-ádica) é o límite inverso dos aneis cociente, R ^ I
lim ← ⁡ ( R / I n ) {\displaystyle {\widehat {R}}_{I}
\varprojlim (R/I^{n})} pronunciado «R I sombreiro». O núcleo da aplicación canónica π do anel á súa completación é a intersección das potencias de I. Así, π é inxectiva se e só se esta intersección se reduce ao elemento cero do anel; polo teorema da intersección de Krull, este é o caso para calquera anel noetheriano conmutativo que sexa un dominio de integridade ou un anel local.
Hai unha topoloxía relacionada nos módulos sobre R, tamén chamada topoloxía de Krull ou I-ádica. Unha base de veciñanzas abertas dun módulo M vén dada polos conxuntos da forma x + I n M para x ∈ M. {\displaystyle x+I^{n}M\quad {\text{para }}x\in M. } A completación I-ádica dun R-módulo M é o límite inverso dos cocientes M ^ I
lim ← ⁡ ( M / I n M ). {\displaystyle {\widehat {M}}_{I}
\varprojlim (M/I^{n}M). } Este procedemento converte calquera módulo sobre R nun módulo topolóxico completo sobre R ^ I {\displaystyle {\widehat {R}}_{I}} se I é finitamente xerado. Exemplos
O anel dos enteiros p-ádicos Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} obtense completando o anel Z {\displaystyle \mathbb {Z} } dos enteiros no ideal (p).
Sexa R
K[x1, .. ., xn] o anel de polinomios en n variables sobre un corpo K e m
( x 1, …, x n ) {\displaystyle {\mathfrak {m}} (x_{1}, \ldots, x_{n})} o ideal maximal xerado polas variables. A completación R ^ m {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}} é o anel K[[x1, .. ., xn]] das series formais de potencias en n variables sobre K.
Dado un anel noetheriano R {\displaystyle R} e un ideal I
( f 1, …, f n ), {\displaystyle I
(f_{1}, \ldots, f_{n}), } a completación I {\displaystyle I} -ádica de R {\displaystyle R} é unha imaxe dun anel de series formais de potencias; concretamente, é a imaxe da aplicación sobrexectiva { R [ [ x 1, …, x n ] ] → R ^ I x i ↦ f i {\displaystyle {\begin{cases}R[[x_{1}, \ldots, x_{n}]]\to {\widehat {R}}_{I}\\x_{i}\mapsto f_{i}\end{cases}}} cuxo núcleo é o ideal ( x 1 − f 1, …, x n − f n ). {\displaystyle (x_{1}-f_{1}, \ldots, x_{n}-f_{n}). } As completacións tamén poden empregarse para analizar a estrutura local das singularidades dun esquema. Por exemplo, os esquemas afíns asociados a C [ x, y ] / ( x y ) {\displaystyle \mathbb {C} [x, y]/(xy)} e á cúbica nodal curva plana C [ x, y ] / ( y 2 − x 2 ( 1 + x ) ) {\displaystyle \mathbb {C} [x, y]/(y^{2}-x^{2}(1+x))} teñen singularidades de aparencia semellante na orixe (ao observar os seus gráficos (ambos semellan un signo «+»). Cómpre notar que, no segundo caso, calquera veciñanza de Zariski da orixe segue sendo unha curva irreducible. Se empregamos completacións, entón estamos a considerar unha veciñanza «pequena dabondo» no que o nodo ten dúas compoñentes. Tomando as localizacións destes aneis respecto do ideal ( x, y ) {\displaystyle (x, y)} e completando, obtense C [ [ x, y ] ] / ( x y ) {\displaystyle \mathbb {C} [[x, y]]/(xy)} e C [ [ x, y ] ] / ( ( y + u ) ( y − u ) ) {\displaystyle \mathbb {C} [[x, y]]/((y+u)(y-u))}, respectivamente, onde u {\displaystyle u} é a raíz cadrada formal de x 2 ( 1 + x ) {\displaystyle x^{2}(1+x)} en C [ [ x, y ] ]. {\displaystyle \mathbb {C} [[x, y]]. } Máis explicitamente, a serie de potencias: u
x 1 + x
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n )! ( 1 − 2 n ) ( n! ) 2 ( 4 n ) x n + 1. {\displaystyle u
x{\sqrt {1+x}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)! }{(1-2n)(n! )^{2}(4^{n})}}x^{n+1}. } Como ambos aneis se obteñen pola intersección de dous ideais xerados por un polinomio homoxéneo de grao 1, pódese ver alxebricamente que as singularidades «teñen o mesmo aspecto». Isto débese a que tal esquema é a unión de dous subespazos lineares distintos do plano afín. Propiedades
A completación dun anel noetheriano respecto dun ideal é un anel noetheriano.
A completación dun anel local noetheriano respecto do seu único ideal maximal é un anel local noetheriano.
A completación é unha operación functorial: unha aplicación continua f: R → S de aneis topolóxicos dá lugar a unha aplicación entre as súas completacións, f ^: R ^ → S ^. {\displaystyle {\widehat {f}}: {\widehat {R}}\to {\widehat {S}}. } Ademais, se M e N son dous módulos sobre o mesmo anel topolóxico R e f: M → N é unha aplicación continua de módulos, entón f esténdese de maneira única á aplicación entre as completacións: f ^: M ^ → N ^, {\displaystyle {\widehat {f}}: {\widehat {M}}\to {\widehat {N}}, } onde M ^, N ^ {\displaystyle {\widehat {M}}, {\widehat {N}}} son módulos sobre R ^. {\displaystyle {\widehat {R}}. } A completación dun anel noetheriano R é un módulo plano sobre R.
A completación dun módulo M finitamente xerado sobre un anel noetheriano R pódese obter por extensión de escalares: M ^
M ⊗ R R ^. {\displaystyle {\widehat {M}}
M\otimes _{R}{\widehat {R}}. } Xunto coa propiedade anterior, isto implica que o funtor de completación sobre módulos finitamente xerados sobre R é exacto: preserva as sucesións exactas curtas. En particular, tomar cocientes de aneis conmuta coa completación, o que significa que para calquera álxebra cociente R / I {\displaystyle R/I} existe un isomorfismo R / I ^ ≅ R ^ / I ^. {\displaystyle {\widehat {R/I}}\cong {\widehat {R}}/{\widehat {I}}. } Teorema de estrutura de Cohen (caso equicaracterístico). Sexa R un anel local noetheriano conmutativo completo con ideal maximal m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} e anel cociente K (anel de residuos). Se R contén un corpo, entón R ≃ K [ [ x 1, …, x n ] ] / I {\displaystyle R\simeq K[[x_{1}, \ldots, x_{n}]]/I} para algún n e algún ideal I.