Produto infinito

En matemáticas, para unha secuencia de números complexos a1, a2, a3, .. . o produto infinito ∏ n
1 ∞ a n
a 1 a 2 a 3 ⋯ {\displaystyle \prod _{n
1}^{\infty }a_{n}
a_{1}a_{2}a_{3}\cdots } defínese como o límite dos produtos parciais a1 a2. .. an, a medida que n aumenta sen límite. Dise que o produto converxe cando existe o límite e non é cero. En caso contrario, dise que o produto diverxe. Un límite cero é tratado especialmente para obter resultados análogos aos de sumas infinitas. Se o produto converxe, entón o límite dao valor de an a medida que n aumenta ata o infinito debe ser 1, mentres que a inversa en xeral non é certa.
Os exemplos máis coñecidos de produtos infinitos son probablemente algunhas das fórmulas para π, como os seguintes dous produtos, respectivamente de Viète (a fórmula de Viète, o primeiro produto infinito publicado en matemáticas) e John Wallis (produto de Wallis): 2 π
22 ⋅ 2 + 22 ⋅ 2 + 2 + 22 ⋅ ⋯
∏ n
1 ∞ cos ⁡ π 2 n + 1 {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}
{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \; \cdots
\prod _{n
1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}} π 2
( 21 ⋅ 23 ) ⋅ ( 43 ⋅ 45 ) ⋅ ( 65 ⋅ 67 ) ⋅ ( 87 ⋅ 89 ) ⋅ ⋯
∏ n
1 ∞ ( 4 n 24 n 2 − 1 ). {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}
\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \; \cdots
\prod _{n
1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right). } Criterios de converxencia
O produto de números reais positivos ∏ n
1 ∞ a n {\displaystyle \prod _{n
1}^{\infty }a_{n}} converxe a un número real distinto de cero se e só se a suma ∑ n
1 ∞ log ⁡ ( a n ) {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }\log(a_{n})} converxe. Isto permite traducir os criterios de converxencia para sumas infinitas en criterios de converxencia para produtos infinitos. Se a serie ∑ n
1 ∞ log ⁡ ( a n ) {\textstyle \sum _{n
1}^{\infty }\log(a_{n})} diverxe a − ∞ {\displaystyle -\infty }, entón a secuencia de produtos parciais da an converxe a cero. Dise que o produto infinito diverxe a cero. Representacións de funcións de produtos
Un resultado importante sobre produtos infinitos é que toda función enteira f(z) (é dicir, cada función que é holomorfa sobre todo o plano complexo) pode factorizarse nun produto infinito de funcións enteiras, cada unha cunha única raíz como máximo. En xeral, se f ten unha raíz de orde m na orixe e ten outras raíces complexas en u1, u2, u3, .. . (listados con multiplicidades iguais ás súas ordes), entón f ( z )
z m e ϕ ( z ) ∏ n
1 ∞ ( 1 − z u n ) exp ⁡ { z u n + 12 ( z u n ) 2 + ⋯ + 1 λ n ( z u n ) λ n } {\displaystyle f(z)
z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n
1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace } onde λn son enteiros non negativos que se poden escoller para facer converxer o produto, e ϕ ( z ) {\displaystyle \phi (z)} é algunha función enteira (o que significa que o termo anterior ao produto non terá raíces no plano complexo). A factorización anterior non é única, xa que depende da escolla dos valores para λn. No entanto, para a maioría das funcións, haberá algún número enteiro non negativo p tal que λn
p dea un produto converxente, chamado representación canónica do produto. Este p chámase rango do produto canónico. No caso de que p
0, esta toma a forma f ( z )
z m e ϕ ( z ) ∏ n
1 ∞ ( 1 − z u n ). {\displaystyle f(z)
z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n
1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right). } Isto pódese considerar como unha xeneralización do teorema fundamental da álxebra, xa que para polinomios, o produto faise finito e ϕ ( z ) {\displaystyle \phi (z)} é constante.
A maiores destes exemplos, destacan as seguintes representacións: A última delas non é unha representación de produto do mesmo tipo que se discutiu anteriormente, xa que ζ non é unha función enteira. Pola contra, a representación do produto anterior de ζ(z) converxe precisamente para Re( z ) > 1, onde é unha función analítica. Mediante técnicas de continuación analítica, esta función pódese estender unicamente a unha función analítica (aínda denotada ζ (z)) en todo o plano complexo agás no punto z 1, onde ten un polo simple.