Intersección (conxuntos)

En teoría de conxuntos, a intersección de dous conxuntos A {\displaystyle A} e B, {\displaystyle B, } denotado como A ∩ B, {\displaystyle A\cap B, } é o conxunto que contén todos os elementos de A {\displaystyle A} que tamén pertencen a B {\displaystyle B} ou viceversa. Notación e terminoloxía
A intersección escríbese co símbolo " ∩ {\displaystyle \cap } " entre os conxuntos, en notación infixa. Por exemplo: { 1, 2, 3 } ∩ { 2, 3, 4 }
{ 2, 3 } {\displaystyle \{1, 2, 3\}\cap \{2, 3, 4\}
\{2, 3\}} { 1, 2, 3 } ∩ { 4, 5, 6 }
∅ {\displaystyle \{1, 2, 3\}\cap \{4, 5, 6\}
\varnothing } Z ∩ N
N {\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N}
\mathbb {N} } { x ∈ R: x 2
1 } ∩ N
{ 1 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R}: x^{2}
1\}\cap \mathbb {N}
\{1\}} A intersección de máis de dous conxuntos (intersección xeneralizada) pódese escribir como: ⋂ i
1 n A i {\displaystyle \bigcap _{i
1}^{n}A_{i}}. Definición
A intersección de dous conxuntos A {\displaystyle A} e B, {\displaystyle B, } denotado como A ∩ B {\displaystyle A\cap B}, é o conxunto de todos os obxectos que son membros de ambos os dous conxuntos A {\displaystyle A} e B. {\displaystyle B. } Con símbolos: A ∩ B
{ x: x ∈ A and x ∈ B }. {\displaystyle A\cap B
\{x: x\in A{\text{ and }}x\in B\}. } É dicir, x {\displaystyle x} é un elemento da intersección A ∩ B {\displaystyle A\cap B} se e só se x {\displaystyle x} é tanto un elemento de A {\displaystyle A} e un elemento de B. {\displaystyle B. } Por exemplo: A intersección dos conxuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é {2, 3}.
O número 9 non está na intersección do conxunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, .. .} e do conxunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, porque 9 non é primo.
Conxuntos intersecantes e disxuntos
Dicimos que A {\displaystyle A} intersecta a B {\displaystyle B} se existe algún x {\displaystyle x} que é un elemento tanto de A {\displaystyle A} como de B {\displaystyle B}, nese caso tamén dicimos que A {\displaystyle A} interxecta a B {\displaystyle B}. De forma equivalente, A {\displaystyle A} intersecta a B {\displaystyle B} se a súa intersección A ∩ B {\displaystyle A\cap B} é un conxunto con algún elemento, expresado tamén como que existe algún x {\displaystyle x} tal que x ∈ A ∩ B. {\displaystyle x\in A\cap B. } Dicimos que A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} son disxuntos se A {\displaystyle A} non se cruza con B. {\displaystyle B. } En linguaxe sinxela, non teñen elementos en común. A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} son disxuntos se a súa intersección é baleiro, denotado A ∩ B
∅. {\displaystyle A\cap B
\varnothing. } Por exemplo, os conxuntos { 1, 2 } {\displaystyle \{1, 2\}} e { 3, 4 } {\displaystyle \{3, 4\}} son disxuntos, mentres que o conxunto de números pares cruza o conxunto de múltiplos de 3 en múltiplos de 6. Propiedades alxébricas
A intersección binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto A, B, {\displaystyle A, B, } e C, {\displaystyle C, } temos A ∩ ( B ∩ C )
( A ∩ B ) ∩ C. {\displaystyle A\cap (B\cap C)
(A\cap B)\cap C. } Así, as parénteses poden omitirse sen ambigüidade: calquera das anteriores pódese escribir como A ∩ B ∩ C {\displaystyle A\cap B\cap C}. A intersección tamén é conmutativa. É dicir, para calquera A {\displaystyle A} e B, {\displaystyle B, } un ten A ∩ B
B ∩ A. {\displaystyle A\cap B
B\cap A. } A intersección de calquera conxunto co conxunto baleiro dá como resultado o conxunto baleiro; é dicir, que para calquera conxunto A {\displaystyle A}, A ∩ ∅
∅ {\displaystyle A\cap \varnothing
\varnothing } Ademais, a operación de intersección é idempotente; é dicir, calquera conxunto A {\displaystyle A} satisfai A ∩ A
A {\displaystyle A\cap A
A}. A intersección é distributiva en relación á unión e a unión é distributiva en relación á intersección. É dicir, para calquera conxunto A, B, {\displaystyle A, B, } e C, {\displaystyle C, } temos A ∩ ( B ∪ C )
( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C )
( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) {\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)
(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)
(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}} Dentro dun universo U, {\displaystyle U, } pódese definir o complemento A c {\displaystyle A^{c}} de A {\displaystyle A} como o conxunto de todos os elementos de U {\displaystyle U} que non están en A. {\displaystyle A. } Ademais, a intersección de A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} poden escribirse como o complemento da unión dos seus complementos, obtido facilmente das leis de De Morgan: A ∩ B
( A c ∪ B c ) c {\displaystyle A\cap B
\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}} Interseccións arbitrarias
Podemos xeneralizar a intersección a unha colección arbitraria de conxuntos non baleiros. Se M {\displaystyle M} é un conxunto non baleiro cuxos elementos son eles mesmos conxuntos, entón x {\displaystyle x} é un elemento da intersection de M {\displaystyle M} se e só se para cada elemento A {\displaystyle A} de M, {\displaystyle M, } x {\displaystyle x} é un elemento de A. {\displaystyle A. } Con símbolos: ( x ∈ ⋂ A ∈ M A ) ⇔ ( ∀ A ∈ M, x ∈ A ). {\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M, \ x\in A\right). } Tamén pódese escribir como: ⋂ M {\displaystyle \bigcap M}, ou ⋂ A ∈ M A {\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}, ou ⋂ i
1 ∞ A i, {\displaystyle \bigcap _{i
1}^{\infty }A_{i}, } e a maiores tamén ⋂ i ∈ I A i {\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}} { A i: i ∈ I } {\displaystyle \left\{A_{i}: i\in I\right\}} onde I {\displaystyle I} é un conxunto non baleiro, e A i {\displaystyle A_{i}} é un conxunto para todos i ∈ I {\displaystyle i\in I}, tamén pódese escribir como " A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ ⋯ {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots } ".