Notación en probabilidade e estatística

A teoría da probabilidade e a estatística teñen algunhas convencións particulares de uso común en canto á notación. Estas abranguen dende costumes no emprego de certos símbolos para representar certos conceptos ata, dado o caso, unha certa diversidade de caracteres aceptados para representar un mesmo operador matemático. Teoría da probabilidade
As variables aleatorias adoitan escribirse con letras maiúsculas do alfabeto latino, como X {\displaystyle X} ou Y {\displaystyle Y}. Neste contexto, as variables aleatorias non representan unicamente un número ou categoría, senón que adoitan referirse a conceptos que abarcan varios destes valores, como "a altura dunha persoa" para unha variable continua, "o número de coches no packing do supermercado" para unha variable discreta, ou "a cor da seguinte bicicleta" para unha variable categórica. Deste xeito, mediante a notación: P ( X
x ) {\displaystyle P(X
x)}, represéntase a probabilidade de que unha realización da variable aleatoria X {\displaystyle X} tome o valor x {\displaystyle x}. Como vemos, as distintas realizacións dunha variable aleatoria escríbense en minúscula. Por exemplo, x 1, x 2, …, x n {\textstyle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}} representaría unha mostra dunha variable aleatoria X {\textstyle X}.
A probabilidade presenta múltiples posibles escrituras, non habendo unha estándar ao longo da literatura. Destácanse as seguintes: P {\displaystyle P}, P {\displaystyle \mathbb {P} } e Pr {\displaystyle \Pr }. As últimas dúas empréganse (malia que na notación matemática sempre se tende á simplicidade) co obxectivo de evitar confusións con outros usos de P {\displaystyle P} (como, por exemplo, para representar a medida nun espazo de probabilidade, como se pode ver no seguinte parágrafo) e empregar unha representación que se entenda implicitamente como unha probabilidade, sen necesidade se especificarse.
Á hora de empregar a definición de probabilidade, é habitual cometer un certo abuso de notación. Consideramos un espazo de probabilidade ( Ω, F, P ) {\displaystyle (\Omega, {\mathcal {F}}, P)} onde Ω {\displaystyle \Omega } é o espazo de mostral, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} é o conxunto de sucesos ( σ {\displaystyle \sigma } -álxebra) e P {\displaystyle P} é unha medida de "probabilidade" sobre dito espazo medible. Adoita denotarse por Pr ( X ∈ A ) {\displaystyle \Pr(X\in A)} a probabilidade unha realización da variable aleatoria X {\displaystyle X} cumpra o suceso A {\displaystyle A}, o que formalmente se debera escribir como P ( { ω ∈ Ω: X ( ω ) ∈ A } ) {\displaystyle P(\{\omega \in \Omega: X(\omega )\in A\})}.
Dados dous sucesos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}, a notación Pr ( A ∩ B ) {\displaystyle \Pr(A\cap B)} indica a probabilidade de que ambos eventos ocorran a un tempo. Analogamente, Pr ( A ∪ B ) {\displaystyle \Pr(A\cup B)} indica a probabilidade de que algún dos eventos ocorra. A distribución de probabilidade conxunta de dúas variables aleatorias X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} denótase por P ( X, Y ) {\displaystyle P(X, Y)}, mentres que a súa función de masa de probabilidade ou a función de densidade denótanse por f ( x, y ) {\displaystyle f(x, y)} e a súa función de distribución por F ( x, y ) {\displaystyle F(x, y)}.
Como vimos ao definir o espazo de probabilidade, as σ-álxebras adoitan denotarse con letras maiúsculas caligráficas.
As funcións de supervivencia ou os complementarios das funcións de distribución denótanse habitualmente engadindo unha barra sobre a función: F ¯ ( x )
1 − F ( x ) {\displaystyle {\overline {F}}(x)
1-F(x)}.
No caso concreto dunha distribución normal estándar emprégase φ ( z ) {\textstyle \varphi (z)} para a súa función de densidade e Φ ( z ) {\textstyle \Phi (z)} para a súa función de distribución.
Dada unha variable aleatoria X {\displaystyle X}, a súa esperanza pode denotarse por E ( X ) {\displaystyle E(X)} ou E ( X ) {\displaystyle \mathbb {E} (X)}. No caso da súa varianza son habituais var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {var} (X)} e Var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)}, mentres que, sendo Y {\displaystyle Y} outra variable aleatoria, a covarianza de ambas variables adoita denotarse como cov ⁡ ( X, Y ) {\textstyle \operatorname {cov} (X, Y)} ou Cov ⁡ ( X, Y ) {\textstyle \operatorname {Cov} (X, Y)}. Tamén é habitual empregar corchetes en lugar de parénteses cando as expresións se tornan máis complexas.
A independencia de dúas variables adoita explicitarse na redacción, porén tamén existe a notación X ⊥ Y {\displaystyle X\perp Y} ou X ⊥ ⊥ Y {\displaystyle X\perp \! \! \! \perp Y} para denotar a independencia das variables aleatorias X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y}. Por último, a probabilidade condicional do suceso A {\displaystyle A} dado o suceso B {\displaystyle B} denótase por Pr ( A ∣ B ) {\displaystyle \Pr(A\mid B)}. Estatística
As letras gregas ( θ {\displaystyle \theta }, β {\displaystyle \beta }, α {\displaystyle \alpha }. .. ) adoitan empregarse para denotar parámetros poboacionais descoñecidos.
A tilde ( ∼ {\displaystyle \sim } ), como operador, emprégase para indicar que unha variable aleatoria, por exemplo, X {\displaystyle X}, segue unha certa distribución X ∼ N ( μ, σ 2 ). {\displaystyle X\sim N(\mu, \sigma ^{2}). } Colocando un sombreiro ( ◻ ^ {\displaystyle {\widehat {\square }}} ) sobre un parámetro estámonos referindo ao seu estimador, deste xeito, o estimador do parámetro θ {\displaystyle \theta } viría dado por θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}}.
A media aritmética dunha serie de valores: x 1, x 2, …, x n {\textstyle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}}, denótase habitualmente engadindo unha liña sobre o símbolo que denota as observacións, neste caso: x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}}.
Existen certas convencións sobre os símbolos empregados para os valores mostrais dunha distribución. Os máis comúns son os seguintes: A media mostral, x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}}.
A varianza mostral, s 2 {\textstyle s^{2}}.
A desviación estándar mostral, s {\textstyle s}.
O coeficiente de correlación mostral, r {\textstyle r}.
Analogamente, para os parámetros poboacionais emprégase a seguinte notación: A media, μ {\textstyle \mu }.
A varianza, σ 2 {\textstyle \sigma ^{2}}.
A desviación estándar, σ {\textstyle \sigma }.
O coeficiente de correlación, ρ {\textstyle \rho }.
En certas ocasións requírese traballar cos datos ( x 1, x 2, …, x n {\textstyle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}} ) ordenados de menor a maior: x ( 1 ), x ( 2 ), …, x ( n ) {\textstyle x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots, x_{(n)}}, onde x ( k ) {\displaystyle x_{(k)}} é o elemento k {\displaystyle k} -ésimo. Valores críticos
O valor crítico (superior) de nivel α {\displaystyle \alpha } dunha distribución de probabilidade é o valor que só se ve superado con probabilidade α {\textstyle \alpha }, é dicir, o valor x α {\textstyle x_{\alpha }} de tal xeito que F ( x α )
1 − α {\textstyle F(x_{\alpha })
1-\alpha }, onde F {\textstyle F} é a función de distribución. Existen notacións estándar para os valores críticos (superiores) dalgunhas distribucións de uso común en estatística: z α {\textstyle z_{\alpha }} ou z ( α ) {\textstyle z(\alpha )} para unha distribución normal estándar. t α, ν {\textstyle t_{\alpha, \nu }} ou t ( α, ν ) {\textstyle t(\alpha, \nu )} para unha distribución t de Student con ν {\textstyle \nu } graos de liberdade. χ α, ν 2 {\displaystyle {\chi _{\alpha, \nu }}^{2}} ou χ 2 ( α, ν ) {\displaystyle {\chi }^{2}(\alpha, \nu )} para unha distribución khi cadrado con ν {\textstyle \nu } graos de liberdade. F α, ν 1, ν 2 {\displaystyle F_{\alpha, \nu _{1}, \nu _{2}}} ou F ( α, ν 1, ν 2 ) {\textstyle F(\alpha, \nu _{1}, \nu _{2})} para unha distribución F con ν 1 {\textstyle \nu _{1}} e ν 2 {\textstyle \nu _{2}} graos de liberdade. Álxebra lineal
As matrices adoitan indicarse con maiúsculas e en grosa, por exemplo A {\textstyle {\mathbf {A}}}.
Os vectores columna adoitan indicarse con letras minúsculas e en grosa, por exemplo x {\textstyle {\mathbf {x}}}.
O operador de transposición denótase cun superíndice T {\displaystyle \mathrm {T} } (por exemplo, A T {\textstyle {\mathbf {A}}^{\mathrm {T} }} ) ou un símbolo primo (por exemplo, A ′ {\textstyle {\mathbf {A}}'} ).
Un vector fila escríbese como a transposición dun vector columna, por exemplo x T {\textstyle {\mathbf {x}}^{\mathrm {T} }} ou x ′ {\textstyle {\mathbf {x}}'}. Abreviaturas
A continuación cítanse algunhas das abreviaturas, baseadas na súa expresión inglesa, de uso común tanto en estatística como en outras ramas da matemática: a. e. (almost everywhere) en case todo punto.
a. s. (almost surely) case con certeza.
cdf (cumulative distribution function) función de distribución.
cmf (cumulative mass function) función de masa.
df (degrees of freedom) graos de liberdade (tamén é habitual empregar ν {\displaystyle \nu } ).
i. i. d. (independent and identically distributed) independente e identicamente distribuído.
pdf (probability density function) función de densidade de probabilidade.
pmf (probability mass function) función de masa de probabilidade
r. v. (random variable) variable aleatoria.
w. p. (with probability) con probabilidade; wp1 con probabilidade 1.
i. o. (infinitely often) infinitamente a miúdo, é dicir { A n i. o. }
⋂ N ⋃ n ≥ N A n {\displaystyle \{A_{n}{\text{ i. o. }}\}
\bigcap _{N}\bigcup _{n\geq N}A_{n}}.
ult. (ultimately) en última instancia, é dicir { A n ult. }
⋃ N ⋂ n ≥ N A n {\displaystyle \{A_{n}{\text{ ult. }}\}
\bigcup _{N}\bigcap _{n\geq N}A_{n}}.