Constante de Apéry

En matemáticas, a constante de Apéry é a suma infinita dos recíprocos ao cubo dos números enteiros positivos. É dicir, defínese como o número ζ ( 3 )
∑ n
1 ∞ 1 n 3
lim n → ∞ ( 113 + 123 + ⋯ + 1 n 3 ), {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&
\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right), \end{aligned}}} onde ζ é a función zeta de Riemann. Ten un valor aproximado de ζ(3) ≈ 1. 202056903159594 (secuencia A002117 na OEIS).
Leva o nome de Roger Apéry, quen demostrou que é un número irracional. Propiedades
ζ(3) foi chamada constante de Apéry en honor ao matemático francés Roger Apéry, quen demostrou en 1978 que se trata dun número irracional. Este resultado é coñecido como Teorema de Apéry. A proba orixinal é complexa e difícil de comprender, e máis tarde atopáronse probas máis sinxelas.
A demostración de irracionalidade simplificada de Beukers implica aproximar o integrando da integral tripla coñecida para ζ(3), ζ ( 3 )
∫ 01 ∫ 01 ∫ 0111 − x y z d x d y d z, {\displaystyle \zeta (3)
\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\, dx\, dy\, dz, } polos polinomios de Legendre. En particular, o artigo de van der Poorten fai unha crónica deste enfoque sinalando que I 3:
− 12 ∫ 01 ∫ 01 P n ( x ) P n ( y ) log ⁡ ( x y ) 1 − x y d x d y
b n ζ ( 3 ) − a n, {\displaystyle I_{3}:
-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\, dx\, dy
b_{n}\zeta (3)-a_{n}, } onde | I | ≤ ζ ( 3 ) ( 1 − 2 ) 4 n {\displaystyle |I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}}, P n ( z ) {\displaystyle P_{n}(z)} son os polinomios de Legendre e as subsecuencias b n, 2 lcm ⁡ ( 1, 2, …, n ) ⋅ a n ∈ Z {\displaystyle b_{n}, 2\operatorname {lcm} (1, 2, \ldots, n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z} } son enteiros ou case enteiros.
Moita xente tentou estender a demostración de Apéry de que ζ(3) é irracional a outros valores da función zeta de Riemann con argumentos impares. Aínda que ata agora isto non deu ningún resultado sobre números específicos, sábese que infinitas das constantes zeta impares ζ(2n + 1) son irracionais. En particular, polo menos un de entre ζ(5), ζ(7), ζ(9) e ζ(11) debe ser irracional. Representacións en series
Clásica
A maiores da serie fundamental: ζ ( 3 )
∑ k
1 ∞ 1 k 3, {\displaystyle \zeta (3)
\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}, } Leonhard Euler deu a representación en serie: ζ ( 3 )
π 27 ( 1 − 4 ∑ k
1 ∞ ζ ( 2 k ) 22 k ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) ) {\displaystyle \zeta (3)
{\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)} en 1772, que posteriormente foi redescuberta varias veces.
Converxencia rápida
A seguinte representación da serie foi atopada por A. A. Markov en 1890, redescuberta por Hjortnaes en 1953, e redescuberta unha vez máis e amplamente anunciada por Apéry en 1979: ζ ( 3 )
52 ∑ k
1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k! 2 ( 2 k )! k 3. {\displaystyle \zeta (3)
{\frac {5}{2}}\sum _{k
1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k! ^{2}}{(2k)! k^{3}}}. } A seguinte representación en serie dá (asintoticamente) 5, 04 novas cifras decimais correctas por termo: ζ ( 3 )
124 ∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 )! 3 ( 2 k )! 3 k! 3 ( 126392 k 5 + 412708 k 4 + 531578 k 3 + 336367 k 2 + 104000 k + 12463 ) ( 3 k + 2 )! ( 4 k + 3 )! 3. {\displaystyle \zeta (3)
{\frac {1}{24}}\sum _{k
0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)! ^{3}(2k)! ^{3}k! ^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)! (4k+3)! ^{3}}}. } Utilizouse para calcular a constante de Apéry con varios millóns de cifras decimais correctas.
Ramanujan atopou a seguinte representación da serie: ζ ( 3 )
7180 π 3 − 2 ∑ k
1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k − 1 ). {\displaystyle \zeta (3)
{\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}. } Representacións con integrais
Fórmulas sinxelas
A seguinte fórmula segue directamente da definición integral da función zeta: ζ ( 3 )
12 ∫ 0 ∞ x 2 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (3)
{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\, dx} Unha conexión coas derivadas da función gamma ζ ( 3 )
− 12 ( Γ ‴ ( 1 ) + γ 3 + 12 π 2 γ )
− 12 ψ ( 2 ) ( 1 ) {\displaystyle \zeta (3)
-{\tfrac {1}{2}}(\Gamma '''(1)+\gamma ^{3}+{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\gamma )
-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)} tamén é moi útil para a dedución de varias representacións integrais a través das fórmulas integrais coñecidas para as funcións gamma e poligamma. Fracción continua
A constante de Apéry está relacionada coa seguinte fracción continua: 6 ζ ( 3 )
5 − 1117 − 64535 − 7291436 − 40963105 − 15625 … {\displaystyle {\frac {6}{\zeta (3)}}
5-{\cfrac {1}{117-{\cfrac {64}{535-{\cfrac {729}{1436-{\cfrac {4096}{3105-{\cfrac {15625}{\dots }}}}}}}}}}} con a n
34 n 3 + 51 n 2 + 27 n + 5 {\displaystyle a_{n}
34n^{3}+51n^{2}+27n+5} e b n
− n 6 {\displaystyle b_{n}
-n^{6}}.
A súa fracción continua simple vén dada por: ζ ( 3 )
1 + 14 + 11 + 118 + 11 + 11 + 1 … {\displaystyle \zeta (3)
1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\dots }}}}}}}}}}}}} Díxitos coñecidos
O número de díxitos coñecidos da constante ζ(3) de Apéry aumentou drasticamente durante as últimas décadas, e agora sitúase en máis de 2 ⋅ 1012 {\displaystyle 2\cdot 10^{12}}. Isto débese tanto ao aumento do rendemento dos ordenadores como ás melloras algorítmicas.