Teorema do número pentagonal

En matemáticas, o teorema do número pentagonal de Euler relaciona as representacións de produtos e series da función de Euler. Afirma que ∏ n
1 ∞ ( 1 − x n )
∑ k
− ∞ ∞ ( − 1 ) k x k ( 3 k − 1 ) / 2
1 + ∑ k
1 ∞ ( − 1 ) k ( x k ( 3 k + 1 ) / 2 + x k ( 3 k − 1 ) / 2 ). {\displaystyle \prod _{n
1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)
\sum _{k
-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}
1+\sum _{k
1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right). } Noutras palabras, ( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 3 ) ⋯
1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − ⋯. {\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots
1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots. } Os expoñentes 1, 2, 5, 7, 12, .. . no lado dereito están dadas pola fórmula gk
k(3k − 1)/2 para k
1, −1, 2, −2, 3, .. . e chámanse números pentagonais (xeneralizados) (secuencia A001318 na OEIS). (O termo constante 1 corresponde a k
0 {\displaystyle k
0} ) Isto cúmprese como identidade da serie de potencias converxentes para | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}, e tamén como unha identidade de serie formal de potencias. Relación coas particións
A identidade implica unha recorrencia para o cálculo p ( n ) {\displaystyle p(n)}, o número de particións de n: p ( n )
p ( n − 1 ) + p ( n − 2 ) − p ( n − 5 ) − p ( n − 7 ) + ⋯ {\displaystyle p(n)
p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots } ou máis formalmente, p ( n )
∑ k ≠ 0 ( − 1 ) k − 1 p ( n − g k ) {\displaystyle p(n)
\sum _{k\neq 0}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})} onde a suma é sobre todos os enteiros k (positivos e negativos) distintos de cero e g k {\displaystyle g_{k}} é o k-ésimo número pentagonal xeneralizado. Posto que p ( n )
0 {\displaystyle p(n)
0} para todos os n < 0 {\displaystyle n<0}, a serie aparentemente infinita da dereita ten só un número finito de termos distintos de cero, o que permite un cálculo eficiente de p (n). Recorrencia da partición
Usando particións dun enteiro, que denotamos como: n
λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ ℓ {\displaystyle n
\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{\ell }},
onde λ 1 ≥ λ 2 ≥ … ≥ λ ℓ > 0 {\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{\ell }>0}.
O número de particións de n é a función de partición p(n) que ten a función xeradora: ∑ n
0 ∞ p ( n ) x n
∏ k
1 ∞ ( 1 − x k ) − 1 {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }p(n)x^{n}
\prod _{k
1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}} Teña en conta que é o recíproco do produto no lado esquerdo da nosa identidade: ( ∑ n
0 ∞ p ( n ) x n ) ⋅ ( ∏ n
1 ∞ ( 1 − x n ) )
1 {\displaystyle \left(\sum _{n
0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n
1}^{\infty }(1-x^{n})\right)
1} Denotemos a expansión do noso produto por ∏ n
1 ∞ ( 1 − x n )
∑ n
0 ∞ a n x n, {\displaystyle \prod _{n
1}^{\infty }(1-x^{n})
\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}x^{n}, } así ( ∑ n
0 ∞ p ( n ) x n ) ⋅ ( ∑ n
0 ∞ a n x n )
1. {\displaystyle \left(\sum _{n
0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n
0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)
1. } Multiplicando o lado esquerdo e igualando os coeficientes dos dous lados, obtemos a0 p(0)
1 e ∑ i
0 n p ( n − i ) a i
0 {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}p(n-i)a_{i}
0} para todos os n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}. Isto dá unha relación de recorrencia que define p(n) en termos de an, e viceversa unha recorrencia para an en termos de p(n). Daquela o noso resultado desexado: a i:
{ 1 se i
12 ( 3 k 2 ± k ) e k par − 1 se i
12 ( 3 k 2 ± k ) e k impar 0 noutro caso {\displaystyle a_{i}:
{\begin{cases}1&{\text{ se }}i
{\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ e }}k{\text{ par}}\\-1&{\text{ se }}i
{\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ e }}k{\text{ impar }}\\0&{\text{ noutro caso }}\end{cases}}} para i ≥ 1 {\displaystyle i\geq 1} é equivalente á identidade ∑ i ( − 1 ) i p ( n − g i )
0, {\displaystyle \sum _{i}(-1)^{i}p(n-g_{i})
0, } onde g i:
12 ( 3 i 2 − i ) {\displaystyle g_{i}:
\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)} e i varía sobre todos os números enteiros tal que g i ≤ n {\displaystyle g_{i}\leq n} (este intervalo inclúe tanto i positivo como negativo, para usar ambos os tipos de números pentagonais xeneralizados). Isto á súa vez significa: ∑ i p a r p ( n − g i )
∑ i i m p a r p ( n − g i ). {\displaystyle \sum _{i\mathrm {\ par} }p(n-g_{i})
\sum _{i\mathrm {\ impar} }p(n-g_{i}). } En termos de conxuntos de particións, isto equivale a dicir que os seguintes conxuntos son de igual cardinalidade: X:
⋃ i p a r P ( n − g i ) {\displaystyle {\mathcal {X}}:
\bigcup _{i\mathrm {\ par} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})} e Y:
⋃ i impar P ( n − g i ), {\displaystyle {\mathcal {Y}}:
\bigcup _{i{\text{ impar }}}{\mathcal {P}}(n-g_{i}), } onde P ( n ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(n)} denota o conxunto de todas as particións de n {\displaystyle n}. Só falta dar unha bixección dun conxunto a outro, que se realiza mediante a función φ de X a Y que mapea a partición. P ( n − g i ) ∋ λ: n − g i
λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ ℓ {\displaystyle {\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda: n-g_{i}
\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }} á partición λ ′
φ ( λ ) {\displaystyle \lambda '
\varphi (\lambda )} definido por: φ ( λ ):
{ λ ′: n − g i − 1
( ℓ + 3 i − 2 ) + ( λ 1 − 1 ) + ⋯ + ( λ ℓ − 1 ) se ℓ + 3 i > λ 1 λ ′: n − g i + 1
( λ 2 + 1 ) + ⋯ + ( λ ℓ + 1 ) + 1 + ⋯ + 1 ⏟ λ 1 − ℓ − 3 i se ℓ + 3 i ≤ λ 1. {\displaystyle \varphi (\lambda ):
{\begin{cases}\lambda ': n-g_{i-1}
(\ell +3i-2)+(\lambda _{1}-1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }-1)&{\text{ se }}\ell +3i>\lambda _{1}\\\\\lambda ': n-g_{i+1} (\lambda _{2}+1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }+1)+\underbrace {1+\dotsb +1} _{\lambda _{1}-\ell -3i}&{\text{ se }}\ell +3i\leq \lambda _{1}. \end{cases}}} Trátase dunha involución (un mapeo auto-inverso), e polo tanto en particular unha bixección, que proba a nosa premisa e a identidade.