Teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados

En matemáticas, o teorema dos dous cadrados de Fermat enuncia as condicións para que un número enteiro sexa a suma de dous cadrados de enteiros, e precisa de cantos xeitos diferentes pode selo. Por exemplo, segundo este teorema, un número primo impar é a suma de dous cadrados de enteiros só se o residuo da súa división euclidiana entre 4 é 1; neste caso, os cadrados quedan determinados de xeito único, en termos de aritmética modular p ≡ 1 ( mod 4 ). {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}. } Pódese verificar sobre 17
4 × 4 + 1 {\displaystyle 17
4\times 4+1} ou 97
4 × 24 + 1 {\displaystyle 97
4\times 24+1}, que ámbolos dous se poden expresar dun único xeito como unha suma de dous cadrados 17
12 + 42 {\displaystyle 17
1^{2}+4^{2}} e 97
92 + 42 {\displaystyle 97
9^{2}+4^{2}}; tamén, que números primos, como 7
4 × 1 + 3 {\displaystyle 7
4\times 1+3} ou 31
4 × 7 + 3 {\displaystyle 31
4\times 7+3}, non se poden expresar como a suma de dous cadrados. Este resultado tamén é chamado sinxelamente teorema dos dous cadrados.
Inscríbese na longa historia da representación de números como a suma de cadrados que se remonta até a antigüidade. Foi expresado de forma explícita por Pierre de Fermat (1601-1665) no século XVII, pero a primeira proba publicada coñecida é obra de Leonhard Euler, un século máis tarde. Malia isto, a súa demostración non pecha todos os interrogantes. No devir dos séculos posteriores propuxéronse novas probas e diversas xeneralizacións. Estas contribucións representaron un papel importante no desenvolvemento da póla das matemáticas chamada teoría alxébrica dos números.
A semellanza de moitas ecuacións diofantianas, é dicir, de ecuacións nas cales os coeficientes e as solucións buscadas son números enteiros ou racionais, a sinxeleza do enunciado agocha unha dificultade real na súa demostración. Algunhas das probas propostas axudaron á posta a punto de ferramentas por veces sofisficadas, como as curvas elípticas ou a xeometría dos números, relacionando así a teoría dos números elemental con outras pólas das matemáticas. Probas
Proba de Euler por descenso infinito
Euler logrou demostrar o teorema de Fermat sobre as sumas de dous cadrados en 1749, cando tiña corenta e dous anos. Comunicouno nunha carta a Goldbach de data 12 de abril de 1749. A proba baséase só no descenso infinito esbozado na carta. A proba completa consta de cinco pasos e publícase en dous artigos. Os catro primeiros pasos son as proposicións 1 a 4 do primeiro traballo e non se corresponden exactamente cos catro pasos seguintes. O quinto paso a continuación é do segundo artigo. 48.
Para evitar ambigüidades, cero sempre será un posíbel constituínte válido de "sumas de dous cadrados", polo que, por exemplo, cada cadrado dun número enteiro é trivialmente expresábel como a suma de dous cadrados configurando un deles como cero.
1. O produto de dous números onde cada un deles é unha suma de dous cadrados, é en si mesmo unha suma de dous cadrados. Esta é unha propiedade coñecida, baseada na identidade ( a 2 + b 2 ) ( p 2 + q 2 )
( a p + b q ) 2 + ( a q − b p ) 2 {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})
(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}} debida á Diofanto de Alexandría coñecida como identidade de Brahmagupta-Fibonacci ou identidade de Diofanto.
2. Se un número que é unha suma de dous cadrados é divisíbel por un primo que é unha suma de dous cadrados, entón o cociente é unha suma de dous cadrados.
(Esta é a primeira proposición de Euler). De feito, supoña, por exemplo, que a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} é divisíbel por p 2 + q 2 {\displaystyle p^{2}+q^{2}} e que este último é primo. Entón p 2 + q 2 {\displaystyle p^{2}+q^{2}} divide ( p b − a q ) ( p b + a q )
p 2 b 2 − a 2 q 2
p 2 ( a 2 + b 2 ) − a 2 ( p 2 + q 2 ). {\displaystyle (pb-aq)(pb+aq)
p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}
p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}). } Como p 2 + q 2 {\displaystyle p^{2}+q^{2}} é primo, divide un dos dous factores. Supoñamos que divide p b − a q {\displaystyle pb-aq}. Dadi que ( a 2 + b 2 ) ( p 2 + q 2 )
( a p + b q ) 2 + ( a q − b p ) 2 {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})
(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}} (pola Identidade de Diofanto) dedúcese que p 2 + q 2 {\displaystyle p^{2}+q^{2}} debe dividir ( a p + b q ) 2 {\displaystyle (ap+bq)^{2}}. Polo tanto, a ecuación pódese dividir polo cadrado de p 2 + q 2 {\displaystyle p^{2}+q^{2}}. Dividindo a expresión entre ( p 2 + q 2 ) 2 {\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}} obtemos: a 2 + b 2 p 2 + q 2
( a p + b q p 2 + q 2 ) 2 + ( a q − b p p 2 + q 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}
\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}} e así expresamos o cociente como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.
Por outro lado, se p 2 + q 2 {\displaystyle p^{2}+q^{2}} divide p b + a q {\displaystyle pb+aq}, un argumento similar cúmprese se usamos a seguinte variante da identidade de Diofanto: ( a 2 + b 2 ) ( q 2 + p 2 )
( a q + b p ) 2 + ( a p − b q ) 2. {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})
(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}. } 3. Se un número que se pode escribir como unha suma de dous cadrados é divisíbel por un número que non é unha suma de dous cadrados, entón o cociente ten un factor que non é unha suma de dous cadrados. (Esta é a segunda proposición de Euler). Supoñamos que q {\displaystyle q} é un número que non se pode expresar como unha suma de dous cadrados, que divide a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}}. Escribimos o cociente, factorizado nos seus factores primos (posíbelmente repetidos), como p 1 p 2 ⋯ p n {\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}} e por tanto a 2 + b 2
q p 1 p 2 ⋯ p n {\displaystyle a^{2}+b^{2}
qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}}. Se todos os factores p i {\displaystyle p_{i}} poden escribirse como sumas de dous cadrados, entón podemos dividir a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} sucesivamente por p 1 {\displaystyle p_{1}}, p 2 {\displaystyle p_{2}}, etc. , e aplicando o paso (2. ) anterior deducimos que cada cociente sucesivo máis pequeno é unha suma de dous cadrados. Se chegamos ata q {\displaystyle q}, entón o propio q {\displaystyle q} tería que ser igual á suma de dous cadrados, o que é unha contradición. Polo tanto, polo menos un dos números primos p i {\displaystyle p_{i}} non é a suma de dous cadrados.
4. Se a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} son números enteiros positivos relativamente primos, todo factor de a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} é unha suma de dous cadrados.
(Este é o paso que usa o paso (3. ) para producir un "descenso infinito" e foi a Proposición 4 de Euler. A demostración que se esboza a continuación tamén inclúe a proba da súa Proposición 3). Sexan a, b {\displaystyle a, b} números enteiros positivos relativamente primos: sen perda de xeneralidade a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} non é primo en si mesmo, se non, non hai nada que demostrar. Sexa q {\displaystyle q} polo tanto un factor propio de a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}}, non necesariamente primo: queremos mostrar que q {\displaystyle q} é unha suma de dous cadrados. De novo, non perdemos nada ao supoñer q > 2 {\displaystyle q>2} xa que o caso q
2
12 + 12 {\displaystyle q 21^{2}+1^{2}} é obvio.
Sexan m, n {\displaystyle m, n} números enteiros non negativos tal que m q, n q {\displaystyle mq, nq} son os múltiplos máis próximos de q {\displaystyle q} (en valor absoluto) a a, b {\displaystyle a, b} respectivamente. Nótese que as diferenzas c
a − m q {\displaystyle c
a-mq} e d
b − n q {\displaystyle d
b-nq} son números enteiros de valor absoluto estritamente inferiores a q / 2 {\displaystyle q/2}: de feito, cando q > 2 {\displaystyle q>2} é par, mcd ( a, q / 2 )
1 {\displaystyle (a, q/2)
1}; se non, xa que mcd ( a, q / 2 ) ∣ q / 2 ∣ q ∣ a 2 + b 2 {\displaystyle (a, q/2)\mid q/2\mid q\mid a^{2}+b^{2}}, tamén teríamos mcd ( a, q / 2 ) ∣ b {\displaystyle (a, q/2)\mid b}.
Substituíndo e operando obtemos a 2 + b 2
m 2 q 2 + 2 m q c + c 2 + n 2 q 2 + 2 n q d + d 2
A q + ( c 2 + d 2 ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}
m^{2}q^{2}+2mqc+c^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd+d^{2}
Aq+(c^{2}+d^{2})} definindo de forma única un enteiro non negativo A {\displaystyle A}. Dado que q {\displaystyle q} divide os dous extremos desta secuencia de ecuacións, dedúcese que c 2 + d 2 {\displaystyle c^{2}+d^{2}} tamén debe ser divisíbel por q {\displaystyle q}: digamos c 2 + d 2
q r {\displaystyle c^{2}+d^{2}
qr}. Sexa g {\displaystyle g} o mcd de c {\displaystyle c} e d {\displaystyle d} que, por seren coprimos a, b {\displaystyle a, b} son relativamente primos a q {\displaystyle q}. Así, g 2 {\displaystyle g^{2}} divide r {\displaystyle r}, polo que escribindo e
c / g {\displaystyle e
c/g}, f
d / g {\displaystyle f
d/g} e s
r / g 2 {\displaystyle s
r/g^{2}}, obtemos a expresión e 2 + f 2
q s {\displaystyle e^{2}+f^{2}
qs} para os primos relativos e, f {\displaystyle e, f}, e con s < q / 2 {\displaystyle s<q/2}, xa que q s
e 2 + f 2 ≤ c 2 + d 2 < ( q 2 ) 2 + ( q 2 ) 2
q 2 / 2. {\displaystyle qs
e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}
q^{2}/2. } Agora, finalmente, o paso do descenso: se q {\displaystyle q} non é a suma de dous cadrados, entón no paso (3. ) debe haber un factor q 1 {\displaystyle q_{1}} digamos de s {\displaystyle s} que non é a suma de dous cadrados. Pero q 1 ≤ s < q / 2 < q {\displaystyle q_{1}\leq s<q/2<q} e así repetindo estes pasos (inicialmente con e, f; q 1 {\displaystyle e, f; q_{1}} en lugar de a, b; q {\displaystyle a, b; q}, e así sucesivamente ad infinitum) poderemos atopar unha secuencia infinita estritamente decrecente q, q 1, q 2 {\displaystyle q, q_{1}, q_{2}} de números enteiros positivos que non son en si mesmos a suma de dous cadrados senón que teñen un factor como suma de dous cadrados relativamente primos. Dado que tal descenso infinito é imposíbel, concluímos que q {\displaystyle q} debe ser expresábel como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.
5. Todo número primo da forma 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} é unha suma de dous cadrados.
(Este é o principal resultado do segundo traballo de Euler). Se p
4 n + 1 {\displaystyle p
4n+1}, entón polo pequeno teorema de Fermat cada un dos números 1, 24 n, 34 n, …, ( 4 n ) 4 n {\displaystyle 1, 2^{4n}, 3^{4n}, \dots, (4n)^{4n}} é congruente con 1 módulo p {\displaystyle p}. Polo tanto, as diferenzas 24 n − 1, 34 n − 24 n, …, ( 4 n ) 4 n − ( 4 n − 1 ) 4 n {\displaystyle 2^{4n}-1, 3^{4n}-2^{4n}, \dots, (4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}} son todas divisíbeis por p {\displaystyle p}. Cada unha destas diferenzas pódese factorizar como a 4 n − b 4 n
( a 2 n + b 2 n ) ( a 2 n − b 2 n ). {\displaystyle a^{4n}-b^{4n}
\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right). } Dado que p {\displaystyle p} é primo, debe dividir un dos dous factores. Se nalgún dos casos 4 n − 1 {\displaystyle 4n-1} divide o primeiro factor, entón no paso anterior concluímos que p {\displaystyle p} é en si mesma unha suma de dous cadrados (xa que a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} difiren en 1 {\displaystyle 1}, son relativamente primos). Polo tanto, abonda con demostrar que p {\displaystyle p} non sempre pode dividir o segundo factor.
Se divide todas as 4 n − 1 {\displaystyle 4n-1} diferenzas 22 n − 1, 32 n − 22 n, …, ( 4 n ) 2 n − ( 4 n − 1 ) 2 n {\displaystyle 2^{2n}-1, 3^{2n}-2^{2n}, \dots, (4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}, entón dividiría todas as 4 n − 2 {\displaystyle 4n-2} diferenzas de termos sucesivos, todas as 4 n − 3 {\displaystyle 4n-3} diferenzas de termos sucesibo, etc. Dado que as k {\displaystyle k} -ésimas diferenzas da secuencia 1 k, 2 k, 3 k, … {\displaystyle 1^{k}, 2^{k}, 3^{k}, \dots } son de cantidade un número igual a k! {\displaystyle k! } (ver Diferenza finita), as 2 n {\displaystyle 2n} -ésimas diferenzas serían todas constantes e igual a ( 2 n )! {\displaystyle (2n)! }, que certamente non é divisíbel por p {\displaystyle p}. Polo tanto, p {\displaystyle p} non pode dividir todos os segundos factores o que demostra que p {\displaystyle p} é efectivamente a suma de dous cadrados.