Unidade imaxinaria

A unidade imaxinaria ou número imaxinario unidade (i) é unha constante matemática que é unha solución da ecuación cadrática x2 + 10. Aínda que non hai número real ningún con esta propiedade i pode usarse para estender os números reais ao que se chama números complexos, usando suma e multiplicación cos números reais e i. Un exemplo simple do uso de i nun número complexo é 2 + 3i. Definición
É a unidade no conxunto dos números imaxinarios. Exprésase pola letra i {\displaystyle i} e cumpre que: i 2
− 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}
-1} Ás veces, isto tamén é expresado como: i
− 1 {\displaystyle \mathrm {i}
{\sqrt {-1}}}.
Ó ser unha expresión numérica non ten dimensións físicas.
Con i definido deste xeito, dedúcese directamente da álxebra que i e −i son ambas raíces cadradas de −1.
Raíz de x2 + 1
Os polinomios (sumas ponderadas das potencias dunha variábel) son unha ferramenta básica na álxebra. Os polinomios cuxos coeficientes son números reais forman un anel, denotado como R [ x ], {\displaystyle \mathbb {R} [x], } unha estrutura alxébrica con suma e multiplicación e que comparte moitas propiedades co anel de enteiros.
O polinomio x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} non ten raíces de número real, pero o conxunto de todos os polinomios de coeficiente reais divisíbeis por x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} forma un ideal, polo que hai un anel cociente R [ x ] / ( x 2 + 1 ). {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1). } Este anel cociente é isomorfo para os números complexos, e a variábel x {\displaystyle x} expresa a unidade imaxinaria. (Ver exemplo en anel cociente#Exemplos).
Representación gráfica
Os números complexos pódense representar graficamente debuxando a recta numérica real como o eixo horizontal e os números imaxinarios como o eixo vertical dun plano cartesiano chamado plano complexo. Nesta representación, os números 1 e i están á mesma distancia de 0, cun ángulo recto entre eles. A suma dun número complexo corresponde á translación no plano, mentres que a multiplicación por un número complexo de unidade de magnitude corresponde á rotación arredor da orixe. Toda transformación de semellanza do plano pode representarse mediante unha función linear complexa z ↦ a z + b. {\displaystyle z\mapsto az+b. } Propiedades
Como número complexo, a unidade imaxinaria segue todas as regras da aritmética complexa
Enteiros gaussianos
As sumas enteiras da unidade real 1 e da unidade imaxinaria i forman unha retícula cadrada no plano complexo chamado números enteiros gaussianos. A suma, diferenza ou produto dos enteiros gaussianos tamén é un enteiro gaussiano: ( a + b i ) + ( c + d i )
( a + c ) + ( b + d ) i, ( a + b i ) ( c + d i )
( a c − b d ) + ( a d + b c ) i. {\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&
(a+c)+(b+d)i, \\(a+bi)(c+di)&
(ac-bd)+(ad+bc)i. \end{aligned}}}
Rotación de cuarto de volta
Cando se multiplica pola unidade imaxinaria i, calquera número complexo arbitrario do plano complexo xira un cuarto de volta ( 12 π {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi } radiáns ou 90°) no sentido antihorario. Cando se multiplica por −i, calquera número complexo arbitrario rota un cuarto de volta no sentido das agullas do reloxo. En forma polar: i r e φ i
r e ( φ + π / 2 ) i, − i r e φ i
r e ( φ − π / 2 ) i. {\displaystyle i\, re^{\varphi i}
re^{(\varphi +\pi /2)i}, \quad -i\, re^{\varphi i}
re^{(\varphi -\pi /2)i}. } En forma rectangular, i ( a + b i )
− b + a i, − i ( a + b i )
b − a i. {\displaystyle i(a+bi)
-b+ai, \quad -i(a+bi)
b-ai. }
Potencias enteiras
As potencias de i repítense nun ciclo expresábel co seguinte padrón, onde n é calquera número enteiro: i 4 n
1, i 4 n + 1
i, i 4 n + 2
− 1, i 4 n + 3
− i. {\displaystyle i^{4n}
1, \quad i^{4n+1}
i, \quad i^{4n+2}
-1, \quad i^{4n+3}
-i. } Así, baixo a multiplicación, i é un xerador dun grupo cíclico de orde 4.
Escrito como un caso especial da fórmula de Euler para un enteiro n, i n
exp ( 12 π i ) n
exp ( 12 n π i )
cos ( 12 n π ) + i sin ( 12 n π ). {\displaystyle i^{n}
{\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}
{\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}
{\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}. }
Raíces
Do mesmo xeito que todos os números complexos distintos de cero, i
e π i / 2 {\textstyle i
e^{\pi i/2}} ten dúas raíces cadradas distintas que son inversas aditivas. En forma polar, son i
exp ( 12 π i ) 1 / 2
exp ( 14 π i ), − i
exp ( 14 π i − π i )
exp ( − 34 π i ). {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&
{\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}
{\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )}, \\-{\sqrt {i}}&
{\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}
{\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}. \end{alignedat}}} En forma rectangular son i
1 + i 2
− 22 + 22 i, − i
− 1 + i 2
− 22 − 22 i. {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&
{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}
{\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i, \\[5mu]-{\sqrt {i}}&
-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}
-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i. \end{alignedat}}} Elevando ambas as dúas expresións temos: ( ± 1 + i 2 ) 2
1 + 2 i − 12
2 i 2
i. {\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}
{\frac {1+2i-1}{2}}
{\frac {2i}{2}}
i. }
Exponencial e logaritmo
A fórmula de Euler descompón a exponencial dun número imaxinario que representa unha rotación: exp ⁡ i φ
cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ. {\displaystyle \exp i\varphi
\cos \varphi +i\sin \varphi. } Debido a que a exponencial é periódica, a súa inversa o logaritmo complexo é unha función multivalorada, con cada número complexo do dominio correspondente a varios valores do codominio, separados entre si por calquera múltiplo enteiro de 2πi.
Factorial
O factorial da unidade imaxinaria i dáse máis a miúdo en termos da función gamma avaliada en 1 + i: i!
Γ ( 1 + i )
i Γ ( i ) ≈ 0. 4980 − 0. 1549 i. {\displaystyle i!
\Gamma (1+i)
i\Gamma (i)\approx 0. 4980-0. 1549\, i. } A magnitude e o argumento deste número son: | Γ ( 1 + i ) |
π sinh ⁡ π ≈ 0. 5216, arg ⁡ Γ ( 1 + i ) ≈ − 0. 3016. {\displaystyle |\Gamma (1+i)|
{\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0. 5216, \quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0. 3016. }