Involución (matemáticas)

En matemáticas, unha función de involución ou función autoinversa é unha función f que é a súa propia inversa, f(f(x)) x
para todo x no dominio de f. De forma equivalente, aplicar f dúas veces produce o valor orixinal. Propiedades xerais
Calquera involución é unha bixección.
O mapa identidade é un exemplo trivial de involución. Exemplos de involucións non triviais inclúen a negación ( x ↦ −x ), a reciprocidade ( x ↦ 1/x ) e a conxugación complexa ( z ↦ z ) en aritmética; reflexión, rotación de media volta e inversión en relación a unha circunferencia en xeometría; complementación na teoría de conxuntos.
A composición g ∘ f de dúas involucións f e g é unha involución se e só se conmutan: g ∘ f f ∘ g. Involución nos distintos campos das matemáticas
Funcións con valores reais
A gráfica dunha involución (sobre os números reais) é simétrica a través da recta y
x. Algúns exemplos básicos de involucións inclúen as funcións f ( x )
a − x, f ( x )
b x − a + a {\displaystyle {\begin{alignedat}{1}f(x)&
a-x\; ,\\f(x)&
{\frac {b}{x-a}}+a\end{alignedat}}} A maiores, podemos construír unha involución envolvendo unha involución g nunha bixección h e a súa inversa ( h − 1 ∘ g ∘ h {\displaystyle h^{-1}\circ g\circ h} ). Por exemplo: f ( x )
1 − x 2 en [ 0; 1 ] ( g ( x )
1 − x e h ( x )
x 2 ), f ( x )
ln ⁡ ( e x + 1 e x − 1 ) ( g ( x )
x + 1 x − 1
2 x − 1 + 1 e h ( x )
e x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x)&
{\sqrt {1-x^{2}}}\quad {\textrm {en}}\; [0; 1]&{\bigl (}g(x)
1-x\quad {\textrm {e}}\quad h(x)
x^{2}{\bigr )}, \\f(x)&
\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right)&{\bigl (}g(x)
{\frac {x+1}{x-1}}
{\frac {2}{x-1}}+1\quad {\textrm {e}}\quad h(x) e^{x}{\bigr )}\\\end{alignedat}}}
Xeometría euclidiana
Un exemplo sinxelo de involución do espazo euclidiano tridimensional é a reflexión a través dun plano. Realizar unha reflexión dúas veces trae un punto ás súas coordenadas orixinais.
Xeometría proxectiva
Unha involución é unha proxectividade de período 2, é dicir, unha proxectividade que troca pares de puntos.
Álxebra linear
En álxebra linear, unha involución é un operador linear T nun espazo vectorial, tal que T2 I. Agás na característica 2, eses operadores son diagonalizábeis para unha base dada con só 1s e −1s na diagonal da matriz correspondente. Se o operador é ortogonal (unha involución ortogonal), é diagonalizábel ortonormalmente.
Por exemplo, supoña que se escolle unha base para un espazo vectorial V e que e1 e e2 son elementos de base. Existe unha transformación linear f que envía e1 a e2, e envía e2 a e1, e esa é a identidade en todos os demais vectores da base. Pódese comprobar que f(f(x)) x para todo x en V. É dicir, f é unha involución de V.
Teoría dos aneis
Na teoría de aneis, a palabra involución adoita tomarse para significar un antihomomorfismo que é a súa propia función inversa. Exemplos de involucións en aneis comúns: conxugación complexa no plano complexo, e o seu equivalente nos números complexos hiperbólicos.
a transposta nun anel de matrices.
Teoría de grupos
Unha permutación é unha involución se e só se pode escribirse como un produto finito de transposicións disxuntas.
As involucións dun grupo teñen un gran impacto na estrutura do grupo. O estudo das involucións foi fundamental na clasificación de grupos finitos simples. Os grupos de Coxeter son grupos xerados por un conxunto S de involucións suxeitos só a relacións que implican potencias de pares de elementos de S. Os grupos de Coxeter pódense utilizar, entre outras cousas, para describir os posíbeis poliedros regulares e as súas xeneralizacións a dimensións superiores.
Lóxica matemática
A operación do complemento nas álxebras booleanas é unha involución. En consecuencia, a negación na lóxica clásica cumpre a lei da dobre negación: ¬¬A equivale a A.
Informática
A operación XOR bit a bit cun valor dado para un parámetro é unha involución do outro parámetro. Nalgúns casos, as máscaras XOR usáronse para debuxar gráficos en imaxes de tal xeito que debuxándoos dúas veces no fondo volva o fondo ao seu estado orixinal.
Física
A transformación de Legendre, que converte entre o Lagrangiano e o Hamiltoniano, é unha operación involutiva.