Topoloxía diferencial

En matemáticas, a topoloxía diferencial é o campo que trata as propiedades topolóxicas e as propiedades diferenciables das variedades diferenciables. Neste sentido, a topoloxía diferencial é distinta do campo estreitamente relacionado da xeometría diferencial, o cal ocúpase das propiedades xeométricas das variedades diferenciables, que inclúen as nocións de tamaño, distancia e forma ríxida. En comparación, a topoloxía diferencial preocúpase de propiedades máis bastas, como o número de buracos, o tipo de homotopía, ou a estrutura do grupo de difeomorfismos. Como moitas destas propiedades máis grosas poden ser capturadas alxébricamente, a topoloxía diferencial ten ligazóns fortes coa topoloxía alxébrica. Obxectivo central
O obxectivo central da topoloxía diferencial é a clasificación de todas as variedades diferenciables salvo difeomorfismo. Como a dimensión é un invariante das variedades salvo tipo de difeomorfismo, esta clasificación estúdase a miúdo clasificando as variedades (conexas) en cada dimensión por separado: En dimensión 1, as únicas variedades suaves salvo difeomorfismo son a circunferencia, a recta real, e, permitindo bordo, o intervalo medio pechado [ 0, 1 ) {\displaystyle [0, 1)} e o intervalo totalmente pechado [ 0, 1 ] {\displaystyle [0, 1]}.
En dimensión 2, cada superficie pechada clasifícase agás difeomorfismo polo seu xénero, o número de buratos (ou equivalentemente pola súa característica de Euler) e pola súa orientabilidade ou non. Esta é a famosa clasificación de superficies pechadas. Xa en dimensión dous, a clasificación de superficies non compactas faise difícil, debido á existencia de espazos exóticos como a superficie da escada de Jacob.
En dimensión 3, a conxectura de xeometrización de William Thurston, probada por Grigori Perelman, dá unha clasificación parcial das 3-variedades compactas. Incluída neste teorema está a conxectura de Poincaré, que afirma que calquera 3-variedade pechada e simplemente conexa é homeomorfa (e de feito difeomorfa) á 3-esfera. A partir da dimensión 4, a clasificación faise moito máis difícil por dúas razóns. En primeiro lugar, todo grupo finitamente presentado aparece como grupo fundamental dalgunha 4-variedade, e como o grupo fundamental é un invariante por difeomorfismo, isto fai que a clasificación de 4-variedades sexa polo menos tan difícil como a dos grupos finitamente presentados. Polo problema da palabra para grupos, equivalente ao problema da parada, é imposible clasificar tales grupos, polo que unha clasificación topolóxica completa é imposible. En segundo lugar, a partir da dimensión catro é posible ter variedades suaves que son homeomorfas, pero con estruturas suaves distintas e non difeomorfas. Isto é certo mesmo para o espazo euclidiano R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}, que admite moitas estruturas exóticas de R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}. Isto significa que o estudo da topoloxía diferencial en dimensións 4 e superiores debe empregar ferramentas fóra do ámbito da topoloxía continua regular das variedades topolóxicas. Un dos problemas abertos centrais na topoloxía diferencial é a conxectura de Poincaré suave en catro dimensións, que pregunta se toda 4-variedade suave homeomorfa á 4-esfera é tamén difeomorfa a ela. É dicir, a 4-esfera admite só unha estrutura suave? Esta conxectura é certa en dimensións 1, 2 e 3, polos resultados de clasificación anteriores, pero sábese que é falsa en dimensión 7 debido ás esferas de Milnor.
Ferramentas importantes para estudar a topoloxía diferencial de variedades suaves inclúen a construción de invariantes topolóxicos suaves, como a cohomoloxía de de Rham ou a forma de intersección, así como construcións topolóxicas suavizábeis, como a teoría da cirurxía diferenciablesu ou a construción de cobordismos. A teoría de Morse é unha ferramenta importante que estuda as variedades suaves considerando os puntos críticos de funcións diferenciábeis sobre a variedade, amosando como a estrutura diferenciable da variedade entra no conxunto de ferramentas dispoñíbeis. Moitas veces pódense empregar técnicas máis xeométricas ou analíticas, dotando unha variedade suave dunha métrica Riemanniana ou estudando unha ecuación diferencial sobre ela. Cómpre asegurar que a información resultante sexa insensíbel a esta elección de estrutura extra, e que polo tanto reflicta só as propiedades topolóxicas da variedade suave subxacente. Por exemplo, o teorema de Hodge fornece unha interpretación xeométrica e analítica da cohomoloxía de de Rham, e a teoría de gauge foi empregada por Simon Donaldson para demostrar feitos sobre a forma de intersección de 4-variedades simplemente conexas. Nalgúns casos poden aparecer técnicas da física contemporánea, como a teoría cuántica de campos topolóxica, que pode empregarse para calcular invariantes topolóxicos de espazos suaves.
Teoremas famosos en topoloxía diferencial inclúen o teorema de encaixamento de Whitney, o teorema da bola peluda, o teorema de Hopf, o teorema de Poincaré-Hopf, o teorema de Donaldson, e a conxectura de Poincaré. Descrición
A topoloxía diferencial estuda as propiedades e estruturas que só requiren dunha estrutura diferenciable nunha variedade para estaren definidas. As variedades diferenciabeis son menos “ríxidas” que aquelas con estruturas xeométricas adicionais, as cales poden actuar como obstrucións a certos tipos de equivalencias e deformacións que existen no contexto da topoloxía diferencial. Por exemplo, o volume e a curvatura riemanniana son invariantes que poden distinguir entre diferentes estruturas xeométricas sobre a mesma variedade diferenciable: pódese “achandar” de forma suave certas variedades, pero iso pode requirir distorsionar o espazo, afectando a curvatura ou o volume. [Cómpre referencia]
Por outra banda, as variedades diferenciabeis son máis ríxidas que as variedades topolóxicas. John Milnor descubriu que existen esferas con máis dunha estrutura diferenciable — véxase esfera exótica e o teorema de Donaldson. Michel Kervaire mostrou a existencia de variedades topolóxicas que non admiten ningunha estrutura diferenciable. Algunhas construcións da teoría das variedades diferenciabeis, como a existencia de fibrado tanxente, poden realizarse no contexto topolóxico, pero cun traballo moito maior, e outras non son posibles.
Un dos temas principais da topoloxía diferencial é o estudo de certos tipos especiais de aplicacións diferenciabeis entre variedades, especialmente as inmersións e as submersións, así como a intersección de subvariedades mediante a transversalidade. Máis xeralmente, interésase por propiedades e invariantes de variedades diferenciabeis que se conservan mediante difeomorfismos, outro tipo especial de aplicación diferenciable. A teoría de Morse é outra rama da topoloxía diferencial, na cal se deduce información topolóxica sobre unha variedade a partir dos cambios no rango da xacobiana dunha función.
Para unha lista de temas relacionados, véxase Lista de temas de xeometría diferencial. Topoloxía diferencial fronte a xeometría diferencial
A topoloxía diferencial e a xeometría diferencial caracterízanse primeiro pola súa semellanza. Ambas estudan principalmente as propiedades das variedades diferenciables, ás veces cunha variedade de estruturas impostas sobre elas. Unha diferenza importante reside na natureza dos problemas que cada disciplina trata de abordar. Nunha visión, a topoloxía diferencial distínguese da xeometría diferencial porque estuda principalmente problemas que son inherentemente globais. Considérese o exemplo dunha cunca de café e dunha rosca. Desde o punto de vista da topoloxía diferencial, a rosca e a cunca de café son o mesmo (en certo sentido). Esta é unha visión inherentemente global, xa que non hai forma de que o topólogo diferencial poida determinar se os dous obxectos son o mesmo (nese sentido) observando só unha pequena parte (local) de calquera deles. Precísase ter acceso ao obxecto completo (global).
Desde o punto de vista da xeometría diferencial, a cunca de café e a rosca son diferentes, porque é imposible xirar a cunca de forma que adopte a mesma configuración que a rosca. Esta tamén é unha forma global de enfocar o problema. Pero unha diferenza importante é que o xeómetra non precisa todo o obxecto para decidir isto. Ao observar, por exemplo, só unha pequena parte do mango, pode concluír que a cunca é diferente da rosca porque o mango é máis delgado (ou máis curvado) que calquera parte da rosca.
En poucas palabras, a topoloxía diferencial estuda estruturas sobre variedades que, en certo sentido, non teñen unha estrutura local interesante. A xeometría diferencial estuda estruturas sobre variedades que si teñen unha estrutura local (ou incluso infinitesimal) interesante.
De xeito máis matemático, por exemplo, o problema de construír un difeomorfismo entre dúas variedades da mesma dimensión é inherentemente global, xa que localmente esas dúas variedades son sempre difeomorfas. Do mesmo xeito, o problema de calcular unha cantidade nunha variedade que sexa invariante baixo aplicacións diferenciables é inherentemente global, pois calquera invariante local será trivial no sentido de que xa se presenta na topoloxía de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Ademais, a topoloxía diferencial non se restrinxe necesariamente ao estudo de difeomorfismos. Por exemplo, a topoloxía simpléctica —unha subrama da topoloxía diferencial— estuda propiedades globais das variedades simplécticas. A xeometría diferencial ocúpase de problemas —sexan locais ou globais— que sempre presentan algunha propiedade local non trivial. Así, a xeometría diferencial pode estudar variedades diferenciables equipadas cunha conexión, unha métrica (que pode ser riemanniana, pseudo-riemanniana ou de Finsler), un tipo especial de distribución (como unha estrutura CR), e así por diante.
Esta distinción entre xeometría diferencial e topoloxía diferencial difúmese, porén, en cuestións que afectan especificamente aos invariantes locais de difeomorfismo, como o espazo tanxente nun punto. A topoloxía diferencial tamén trata cuestións deste tipo, relativas ás propiedades das aplicacións diferenciables en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (por exemplo o fibrado tanxente, os jets, o teorema de extensión de Whitney, etc. ).
A distinción pode resumirse de forma concisa en termos abstractos: A topoloxía diferencial é o estudo das propiedades (infinitesimais, locais e globais) das estruturas sobre variedades que teñen só moduli locais triviais.
A xeometría diferencial é o estudo desas estruturas sobre variedades que teñen un ou máis moduli locais non triviais. Vexa tamén
Lista de temas de xeometría diferencial
Glossario de xeometría e topoloxía diferenciais
Publicacións importantes en xeometría diferencial
Publicacións importantes en topoloxía diferencial
Introdución básica ás matemáticas do espazo-tempo curvado