Join e meet

En matemáticas, concretamente na teoría da orde, o join dun subconxunto S {\displaystyle S} dun conxunto parcialmente ordenado P {\displaystyle P} é o supremo (límite superior mínimo) de S, {\displaystyle S, } denotado ⋁ S, {\textstyle \bigvee S, } e do mesmo xeito, o meet de S {\displaystyle S} é o infimo (maior límite inferior), denotado ⋀ S. {\textstyle \bigwedge S. } En xeral, o join e o meet dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado poden non existir. Join e meet son duais entre si en relación á inversión de orde.
O join/meet dun subconxunto dun conxunto totalmente ordenado é simplemente o elemento maximal/minimal dese subconxunto, se tal elemento existe. Definicións
Sexa A {\displaystyle A} un conxunto cunha orde parcial ≤, {\displaystyle \, \leq, \, } e sexan x, y ∈ A. {\displaystyle x, y\in A. } Un elemento m {\displaystyle m} de A {\displaystyle A} chámase o meet (ou maior límite inferior ou ínfimo) de x e y {\displaystyle x{\text{ e }}y} e denótase por x ∧ y, {\displaystyle x\wedge y, } se se cumpren as dúas condicións seguintes: m ≤ x e m ≤ y {\displaystyle m\leq x{\text{ e }}m\leq y} (é dicir, m {\displaystyle m} é un límite inferior de x and y {\displaystyle x{\text{ and }}y} ).
Para calquera w ∈ A, {\displaystyle w\in A, } se w ≤ x and w ≤ y, {\displaystyle w\leq x{\text{ and }}w\leq y, } entón w ≤ m {\displaystyle w\leq m} (é dicir, m {\displaystyle m} é maior ou igual a calquera outro límite inferior de x and y {\displaystyle x{\text{ and }}y} ).
O meet non ten por que existir, xa sexa porque o par non ten límite inferior en absoluto, ou porque ningún dos límites inferiores é maior que todos os demais. No entanto, se hai un meet de x e y, {\displaystyle x{\text{ e }}y, } entón é único, xa que se ambos os m e m ′ {\displaystyle m{\text{ e }}m^{\prime }} son límites inferiores maiores de x e y, {\displaystyle x{\text{ e }}y, } entón m ≤ m ′ e m ′ ≤ m, {\displaystyle m\leq m^{\prime }{\text{ e }}m^{\prime }\leq m, } e así m
m ′. {\displaystyle m
m^{\prime }. } Se non todos os pares de elementos de A {\displaystyle A} teñen un meet, entón o meet aínda pode verse como unha operación binaria parcial en A. {\displaystyle A. } Se o meet existe, denótase x ∧ y. {\displaystyle x\wedge y. } Se todos os pares de elementos de A {\displaystyle A} teñen un meet, entón o meet é unha operación binaria en A, {\displaystyle A, } e é fácil ver que esta operación cumpre as tres condicións seguintes: Para calquera elementos x, y, z ∈ A, {\displaystyle x, y, z\in A, } x ∧ y
y ∧ x {\displaystyle x\wedge y
y\wedge x} (conmutatividade), x ∧ ( y ∧ z )
( x ∧ y ) ∧ z {\displaystyle x\wedge (y\wedge z)
(x\wedge y)\wedge z} (asociatividade), e x ∧ x
x {\displaystyle x\wedge x
x} (idempotencia).
Os join defínense dualmente como join de x e y, {\displaystyle x{\text{ e }}y, } se existe, denótase por x ∨ y. {\displaystyle x\vee y. } Un elemento j {\displaystyle j} de A {\displaystyle A} é o join (ou menor límite superior ou supremo) de x e y {\displaystyle x{\text{ e }}y} en A {\displaystyle A} se se cumpren as dúas condicións seguintes: x ≤ j e y ≤ j {\displaystyle x\leq j{\text{ e }}y\leq j} (é dicir, j {\displaystyle j} é un límite superior de x e y {\displaystyle x{\text{ e }}y} ).
Para calquera w ∈ A, {\displaystyle w\in A, } se x ≤ w e y ≤ w, {\displaystyle x\leq w{\text{ e }}y\leq w, } entón j ≤ w {\displaystyle j\leq w} (é dicir, j {\displaystyle j} é menor ou igual a calquera outro límite superior de x e y {\displaystyle x{\text{ e }}y} ). Exemplos
Se algún conxunto de partes ℘ ( X ) {\displaystyle \wp (X)} está parcialmente ordenado da forma habitual (por ⊆ {\displaystyle \, \subseteq } ) entón os joins son unións e os joins son interseccións; en símbolos, ∨
∪ e ∧
∩ {\displaystyle \, \vee \,
\, \cup \, {\text{ e }}\, \wedge \,
\, \cap \, } (onde a semellanza destes símbolos pode usarse como regra mnemotécnica).
Máis xeral sería o seguinte. Subpoña F ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing } é unha familia de subconxuntos dun conxunto X {\displaystyle X} que é un conxunto parcialmente ordenado por ⊆. {\displaystyle \, \subseteq. \, } Se F {\displaystyle {\mathcal {F}}} é pechado baixo unións arbitrarias e interseccións arbitrarias e se A, B, ( F i ) i ∈ I {\displaystyle A, B, \left(F_{i}\right)_{i\in I}} pertencen a F {\displaystyle {\mathcal {F}}} daquela A ∨ B
A ∪ B, A ∧ B
A ∩ B, ⋁ i ∈ I F i
⋃ i ∈ I F i, e ⋀ i ∈ I F i
⋂ i ∈ I F i. {\displaystyle A\vee B
A\cup B, \quad A\wedge B
A\cap B, \quad \bigvee _{i\in I}F_{i}
\bigcup _{i\in I}F_{i}, \quad {\text{ e }}\quad \bigwedge _{i\in I}F_{i}
\bigcap _{i\in I}F_{i}. } Mais se F {\displaystyle {\mathcal {F}}} non é pechado baixo unións daquela A ∨ B {\displaystyle A\vee B} existe en ( F, ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}}, \subseteq )} se e só se existe un único ⊆ {\displaystyle \, \subseteq } -máis-pequeno J ∈ F {\displaystyle J\in {\mathcal {F}}} tal que A ∪ B ⊆ J. {\displaystyle A\cup B\subseteq J. } Por exemplo, se F
{ { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}
\{\{1\}, \{2\}, \{1, 2, 3\}, \mathbb {R} \}} entón { 1 } ∨ { 2 }
{ 1, 2, 3 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}
\{1, 2, 3\}} mentres que se F
{ { 1 }, { 2 }, { 1, 2, 3 }, { 0, 1, 2 }, R } {\displaystyle {\mathcal {F}}
\{\{1\}, \{2\}, \{1, 2, 3\}, \{0, 1, 2\}, \mathbb {R} \}} entón { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} non existe porque os conxuntos { 0, 1, 2 } e { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0, 1, 2\}{\text{ e }}\{1, 2, 3\}} son límites superiores de { 1 } e { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ e }}\{2\}} en ( F, ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}}, \subseteq )} que poderían ser posíbelmente o menor límite superior { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} mais { 0, 1, 2 } ⊈ { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{0, 1, 2\}\not \subseteq \{1, 2, 3\}} e { 1, 2, 3 } ⊈ { 0, 1, 2 }. {\displaystyle \{1, 2, 3\}\not \subseteq \{0, 1, 2\}. } Se F
{ { 1 }, { 2 }, { 0, 2, 3 }, { 0, 1, 3 } } {\displaystyle {\mathcal {F}}
\{\{1\}, \{2\}, \{0, 2, 3\}, \{0, 1, 3\}\}} entón { 1 } ∨ { 2 } {\displaystyle \{1\}\vee \{2\}} non existe porque non existe un límite superior de { 1 } e { 2 } {\displaystyle \{1\}{\text{ e }}\{2\}} en ( F, ⊆ ). {\displaystyle ({\mathcal {F}}, \subseteq ). }