Análise real

A análise real ou teoría das funcións de variable real é a rama da análise matemática que ten que ver co conxunto dos números reais. En particular, estuda as propiedades analíticas das funcións e sucesións de números reais; o seu límite, continuidade e o cálculo dos números reais. Estudo
A análise real é unha área da análise matemática que estuda os conceptos de sucesión, límite, continuidade, diferenciación e integración. Dada a súa natureza, a análise real está limitada aos números reais como ferramentas de traballo.
Resultados importantes inclúen entre outros o teorema de Bolzano-Weierstrass, o teorema de Heine-Borel, o teorema do valor medio e o teorema fundamental do cálculo.
Conceptos básicos
Os textos de cálculo avanzado normalmente comezan cunha introdución ás demostracións matemáticas e á teoría de conxuntos. Tras isto defínense os números reais axiomaticamente, ou se se constrúen con sucesións de Cauchy ou como cortes de Dedekind de números racionais. Despois, fan unha investigación das propiedades dos números reais, sendo unha das máis importantes a desigualdade triangular.
Sucesións e series
Tras definir os números reais, investíganse as sucesións de números reais e a súa converxencia, un concepto central na análise, a través dos límites de sucesións ou puntos de acumulación de conxuntos. Posteriormente estúdanse as series, como as series alternadas e as series de potencias.
Estúdase, para comezar a desenvolver conceptos topolóxicos elementais, varios tipos de subconxuntos dos números reais: conxuntos abertos, conxuntos pechados, espazos compactos, conxuntos conexos etc. A partir de aí estúdanse o teorema de Bolzano-Weierstrass e o de Heine-Borel.
Funcións continuas
A continuación estúdanse as funcións de variable real e defínese o concepto de función continua a partir da definición épsilon-delta do límite dunha función. Entre as propiedades dunha función continua definida nun intervalo destacan os teoremas coñecidos como o teorema de Bolzano, o teorema do valor intermedio e o teorema de Weierstrass.
Derivación ou diferenciación
Neste momento pódese definir a derivada dunha función como un límite, e pódense demostrar rigorosamente os teoremas importantes sobre a derivación como o teorema de Rolle ou o teorema do valor medio. Constrúense as series de Taylor e calcúlanse as series de Maclaurin das funcións exponencial e das funcións trigonométricas.
É importante destacar que tamén se estudan as funcións de varias variables así como as súas derivadas que son as derivadas parciais. É moi importante estudar o teorema da función inversa e o teorema da función implícita, tanto como as funcións de Morse.
Integración
A integración definida, que se pode definir sen precisión como "a área debaixo da gráfica dunha función" vai naturalmente despois da derivación, da que a integración indefinida é a operación inversa. Comézase coa integral de Riemann, que consiste en dividir o intervalo en subintervalos (cunha partición), estender os subintervalos cara a arriba ata o mínimo da función no subintervalo (no caso que se chama suma inferior), e ao máximo no subintervalo (no que se chama suma superior). Tamén existe outro tipo de integral, que pode integrar máis funcións, chamada a integral de Lebesgue, que emprega a medida e o concepto de “en case todas as partes”.
Coa teoría da integración pódense demostrar varios teoremas, no caso da integración de Riemann ou de Lebesgue, como o teorema de Fubini, pero dun modo máis importante o teorema fundamental do cálculo.
Regreso aos conceptos básicos
Tras facer isto, é útil regresar aos conceptos de continuidade e converxencia, e estudalos nun contexto máis abstracto, en preparación para estudar os espazos de funcións, na análise funcional ou en campos máis especializados como a análise complexa.