Xeometría diferencial de superficies

En matemáticas, a xeometría diferencial de superficies trata sobre a xeometría diferencial de superficies suaves con varias estruturas adicionais, a maioría das veces, unha métrica de Riemann.
As superficies foron estudadas amplamente desde varias perspectivas: extrínsecamente, en relación co seu mergullo no espazo euclidiano e intrínsecamente, reflectindo as súas propiedades determinadas unicamente pola distancia dentro da superficie medida ao longo das curvas da superficie. Un dos conceptos fundamentais investigados é a curvatura gaussiana, estudada por primeira vez en profundidade por Carl Friedrich Gauss, quen demostrou que a curvatura era unha propiedade intrínseca dunha superficie, independentemente do seu mergullo isométrico no espazo euclidiano.
As superficies xorden naturalmente como gráficas de funcións dun par de variábeis, e ás veces aparecen en forma paramétrica ou como lugares xeométricos asociados a curvas espaciais. Un papel importante no seu estudo xogaron os grupos de Lie (no espírito do programa Erlangen), a saber, os grupos de simetría do plano euclidiano, a esfera e o plano hiperbólico. Superficies regulares no espazo euclidiano
Definición
É intuitivamente claro que unha esfera é suave, mentres que un cono ou unha pirámide, polo seu vértice ou arestas, non o son. A noción de "superficie regular" é unha formalización da noción de superficie suave. A definición utiliza a representación local dunha superficie mediante mapas entre espazos euclidianos. Existe unha noción estándar de suavidade para eses mapas; un mapa entre dous subconxuntos abertos do espazo euclidiano é suave se as súas derivadas parciais de calquera orde existen en todo punto do dominio. Unha superficie regular no espazo euclidiano ℝ3 é un subconxunto S de ℝ3 tal que todo punto de S admite calquera dos seguintes tres conceptos: parametrizacións locais, parches de Monge ou funcións implícitas. A seguinte táboa dá definicións destes obxectos; as formas de Monge son quizais os máis intuitivos visualmente, xa que esencialmente di que unha superficie regular é un subconxunto de ℝ3 que é localmente a gráfica dunha función suave (xa sexa sobre unha rexión no plano yz, no plano xz ou no plano xy ). Os homeomorfismos que aparecen na primeira definición coñécense como parametrizacións locais ou sistemas de coordenadas locais ou cartas locais en S. A equivalencia das dúas primeiras definicións afirma que, ao redor de calquera punto dunha superficie regular, sempre existen parametrizacións locais da forma (u, v) ↦ (h(u, v), u, v), (u, v) ↦ (u, h(u, v), v), h (u, v) ↦ (u, v, h(u, v)), coñecidos como formas de Monge. As funcións F como na terceira definición chámanse funcións definidoras locais. A equivalencia das tres definicións dedúcese do teorema da función implícita. Dadas dúas parametrizacións locais calquera f: V → U e f ′: V ′→ U ′ dunha superficie regular, a composición f −1 ∘ f ′ é necesariamente suave como un mapa entre subconxuntos abertos de ℝ2. Isto mostra que calquera superficie regular ten naturalmente a estrutura dunha variedade suave, cun atlas suave dado polas inversas das parametrizacións locais. Exemplos simples. Un exemplo sinxelo de superficie regular vén dado pola 2-esfera {(x, y, z) | x2 + y2 + z2
1 }; esta superficie pode estar cuberta por seis formas de Monge (dous de cada un dos tres tipos indicados anteriormente), tomando h(u, v)
± (1 − u2 − v2)1/2. Tamén se pode cubrir mediante dúas parametrizacións locais, utilizando a proxección estereográfica. O conxunto {(x, y, z): ((x2 + y2)1/2 − r)2 + z2
R2 } é un toro de revolución con raios r e R. É unha superficie regular; as parametrizacións locais pódense dar da forma f ( s, t )
( ( R cos ⁡ s + r ) cos ⁡ t, ( R cos ⁡ s + r ) sin ⁡ t, R sin ⁡ s ). {\displaystyle f(s, t)
{\big (}(R\cos s+r)\cos t, (R\cos s+r)\sin t, R\sin s{\big )}. } A hiperboloide en dúas follas {(x, y, z): z2
1 + x2 + y2 } é unha superficie regular; pódese cubrir por dúas formas de Monge, con h(u, v)
±(1 + u2 + v2)1/2. O helicoide aparece na teoría das superficies mínimas. Está cuberto por unha soa parametrización local, f(u, v)
(u sin v, u cos v, v).
Vectores tanxentes e vectores normais
Sexa S unha superficie regular en ℝ3, e sexa p un elemento de S. Usando calquera das definicións anteriores, pódense sinalar certos vectores en ℝ3 como tanxentes a S en p, e certos vectores en ℝ3 como ortogonais a S en p. Vese que o espazo tanxente ou plano tanxente a S en p, que se define como formado por todos os vectores tanxentes a S en p, é un subespazo linear bidimensional de ℝ3; adoita denotarse por TpS. O espazo normal a S en p, que se define como formado por todos os vectores normais a S en p, é un subespazo linear unidimensional de ℝ3 que é ortogonal ao espazo tanxente TpS. Como tal, en cada punto p de S, hai dous vectores normais de lonxitude unidade (vectores normais unidade). Os vectores normais unidade en p pódense dar en termos de parametrizacións locais, formas de Monge ou funcións de definición locais, a través das fórmulas ± ∂ f ∂ u × ∂ f ∂ v ‖ ∂ f ∂ u × ∂ f ∂ v ‖ | f − 1 ( p ), ± ( ∂ h ∂ u, ∂ h ∂ v, − 1 ) 1 + ( ∂ h ∂ u ) 2 + ( ∂ h ∂ v ) 2 | ( p 1, p 2 ), ou ± ∇ F ( p ) ‖ ∇ F ( p ) ‖, {\displaystyle \pm \left. {\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{{\big \|}{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big \|}}}\right|_{f^{-1}(p)}, \qquad \pm \left. {\frac {{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}}, {\frac {\partial h}{\partial v}}, -1{\big )}}{\sqrt {1+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}}{\big )}^{2}+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial v}}{\big )}^{2}}}}\right|_{(p_{1}, p_{2})}, \qquad {\text{ou}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}}, } seguindo as mesmas notacións que nas definicións anteriores.
Tamén é útil observar unha definición "intrínseca" dos vectores tanxentes, que é típica da xeneralización da teoría de superficies regulares para a configuración de variedades suaves. Define o espazo tanxente como un espazo vectorial real bidimensional abstracto, máis que como un subespazo linear de ℝ3. Nesta definición, dise que un vector tanxente a S en p é unha asignación, a cada parametrización local f: V → S con p ∈ f(V), de dous números X1 e X2, tal que para calquera outra parametrización local f ′: V → S con p ∈ f(V) (e cos números correspondentes (X ′)1 e (X ′)2 ), temos ( X 1 X 2 )
A f ′ ( p ) ( ( X ′ ) 1 ( X ′ ) 2 ), {\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}
A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}}, } onde Af ′(p) é a matriz jacobiana da representación f −1 ∘ f ′, avaliada no punto f ′(p). A colección de vectores tanxentes a S en p ten naturalmente a estrutura dun espazo vectorial bidimensional. Un vector tanxente neste sentido corresponde a un vector tanxente no sentido anterior considerando o vector X 1 ∂ f ∂ u + X 2 ∂ f ∂ v. {\displaystyle X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}. } en ℝ3. A condición jacobiana en X1 e X2 asegura, pola regra da cadea, que este vector non depende de f.
Para funcións suaves nunha superficie, os campos vectoriais (é dicir, os campos vectoriais tanxentes) teñen unha interpretación importante como operadores ou derivacións de primeira orde. Sexa S {\displaystyle S} unha superficie regular, U {\displaystyle U} un subconxunto aberto do plano e f: U → S {\displaystyle f: U\rightarrow S} unha carta de coordenadas ou marco local. Se V
f ( U ) {\displaystyle V
f(U)}, o espazo C ∞ ( U ) {\displaystyle C^{\infty }(U)} pódese identificar con C ∞ ( V ) {\displaystyle C^{\infty }(V)}. Do mesmo xeito f {\displaystyle f} identifica campos vectoriais U {\displaystyle U} con campos vectoriais en V {\displaystyle V}. Tomando as variábeis estándar u e v, un campo vectorial ten a forma X
a ∂ u + b ∂ v {\displaystyle X
a\partial _{u}+b\partial _{v}}, con funcións suaves a e b. Se X {\displaystyle X} é un campo vectorial e g {\displaystyle g} é unha función suave, entón X g {\displaystyle Xg} tamén é unha función suave. O operador diferencial de primeira orde X {\displaystyle X} é unha derivación, é dicir, cumpre a regra de Leibniz X ( g h )
( X g ) h + g ( X h ). {\displaystyle X(gh)
(Xg)h+g(Xh). } Para os campos vectoriais X e Y é sinxelo comprobar que o operador [ X, Y ]
X Y − Y X {\displaystyle [X, Y]
XY-YX} é unha derivación correspondente a un campo vectorial. Chámase corchete de Lie [ X, Y ] {\displaystyle [X, Y]}. É antisimétrico [ X, Y ]
− [ Y, X ] {\displaystyle [X, Y]
-[Y, X]} e satisfai a identidade de Jacobi: [ [ X, Y ], Z ] + [ [ Y, Z ], X ] + [ [ Z, X ], Y ]
0. {\displaystyle [[X, Y], Z]+[[Y, Z], X]+[[Z, X], Y]
0. } En resumo, os campos vectoriais en U {\displaystyle U} ou V {\displaystyle V} forman unha álxebra de Lie baixo o corchete de Lie.