Teorema do binomio

En álxebra elemental, o teorema do binomio (ou expansión binomial) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio (x + y)n nunha suma que implique termos da forma axbyc, onde os expoñentes b e c son enteiros non negativos con b + c
n e o coeficiente a de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de n e b. Por exemplo, para n
4, ( x + y ) 4
x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4. {\displaystyle (x+y)^{4}
x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}. } O coeficiente a no termo de axbyc coñécese como coeficiente binomial ( n b ) {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} ou ( n c ) {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar n e b pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal. Estes números tamén aparecen en combinatoria, onde ( n b ) {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de b elementos que se poden escoller entre un conxunto de n elementos, e de aí podemos ler "n sobre b" ou "n en b". Teorema
Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa n do binomio x + y é unha suma da forma ( x + y ) n
( n 0 ) x n y 0 + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n, {\displaystyle (x+y)^{n}
{n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n}, } onde cada un ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} é un número enteiro positivo coñecido como coeficiente binomial, definido como ( n k )
n! k! ( n − k )!
n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 2 ⋅ 1. {\displaystyle {\binom {n}{k}}
{\frac {n! }{k! \, (n-k)! }}
{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}. } Usando o sumatorio, pódese escribir de forma máis concisa como ( x + y ) n
∑ k
0 n ( n k ) x n − k y k
∑ k
0 n ( n k ) x k y n − k. {\displaystyle (x+y)^{n}
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}. } Para o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo: ( x − y ) n
∑ k
0 n ( − 1 ) k ( n k ) x n − k y k. {\displaystyle (x-y)^{n}
\sum _{k
0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}. } Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo 1 por y, de xeito que só implica unha única variábel: ( 1 + x ) n
( n 0 ) x 0 + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 ) x 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x n − 1 + ( n n ) x n
∑ k
0 n ( n k ) x k. ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{n}&
{n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}x^{k}. {\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}} Exemplos
Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial: ( x + y ) 0
1, ( x + y ) 1
x + y, ( x + y ) 2
x 2 + 2 x y + y 2, ( x + y ) 3
x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3, ( x + y ) 4
x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4, ( x + y ) 5
x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5, ( x + y ) 6
x 6 + 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 x y 5 + y 6, ( x + y ) 7
x 7 + 7 x 6 y + 21 x 5 y 2 + 35 x 4 y 3 + 35 x 3 y 4 + 21 x 2 y 5 + 7 x y 6 + y 7, ( x + y ) 8
x 8 + 8 x 7 y + 28 x 6 y 2 + 56 x 5 y 3 + 70 x 4 y 4 + 56 x 3 y 5 + 28 x 2 y 6 + 8 x y 7 + y 8. {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&
1, \\[8pt](x+y)^{1}&
x+y, \\[8pt](x+y)^{2}&
x^{2}+2xy+y^{2}, \\[8pt](x+y)^{3}&
x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}, \\[8pt](x+y)^{4}&
x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}, \\[8pt](x+y)^{5}&
x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}, \\[8pt](x+y)^{6}&
x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}, \\[8pt](x+y)^{7}&
x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}, \\[8pt](x+y)^{8}&
x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}. \end{aligned}}} os expoñentes de x nos termos son n, n − 1, .. ., 2, 1, 0 n, n − 1, .. ., 2, 1, 0 (o último termo contén implicitamente x01 );
os expoñentes de y nos termos son 0, 1, 2, .. ., n − 1, n 0, 1, 2, .. ., n − 1, n (o primeiro termo contén implicitamente y01 );
os coeficientes forman a n ésima fila do triángulo de Pascal;
hai n + 1 termos, e os seus coeficientes suman 2n. Coeficientes binomiais
Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse coeficientes binomiais. Estes adoitan escribirse ( n k ), {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}, } e pódese ler como "n sobre k", combinacións de n elementos tomados en grupos de k elementos.
O coeficiente de xn−kyk vén dado pola fórmula ( n k )
n! k! ( n − k )! . {\displaystyle {\binom {n}{k}}
{\frac {n! }{k! \; (n-k)! }}. } O coeficiente binomial ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} pódese interpretar como o número de formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos. Xeneralizacións
Teorema binomial xeneralizado de Newton
Isaac Newton xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita: ( x + y ) r
∑ k
0 ∞ ( r k ) x r − k y k {\displaystyle {(x+y)^{r}
\sum _{k
0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}} onde r {\displaystyle r} pode ser calquera número real e os coeficientes están dados polo produto: ( r k )
1 k! ∏ n
0 k − 1 ( r − n )
r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ⋯ ( r − k + 1 ) k!
r! ( r − k )! k! {\displaystyle {r \choose k}
{1 \over k! }\prod _{n
0}^{k-1}(r-n)
{\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k! }}
{\frac {r! }{(r-k)! k! }}} Expresado co símbolo de Pochhammer: ( r k )
r k _ k! {\displaystyle {r \choose k}
{\frac {r^{\underline {k}}}{k! }}}.
Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} sexan suficientemente próximos, no sentido de que x > y {\displaystyle x>y} e o valor absoluto de | x y | {\displaystyle {\Big |}{\frac {x}{y}}{\Big |}} sexa menor que 1.
A expansión para a potencia recíproca é a seguinte: 1 ( 1 − x ) r
∑ k
0 ∞ ( r + k − 1 k ) x k {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{r}}}
\sum _{k
0}^{\infty }{r+k-1 \choose k}x^{k}} Exemplos (lembrando que | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} ): 1 + x
1 + 12 x − 18 x 2 + 116 x 3 − 5128 x 4 + 7256 x 5 − ⋯. {\displaystyle {\sqrt {1+x}}
1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots. } 11 + x
1 − 12 x + 38 x 2 − 516 x 3 + 35128 x 4 − 63256 x 5 + ⋯. {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}
1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots. }
Teorema Multinomial
O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral: ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n
∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m
n ( n k 1, k 2, …, k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m. {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}
\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}
n}{n \choose k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}. } Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde k 1 {\displaystyle k_{1}} ata k m {\displaystyle k_{m}} de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a n {\displaystyle n}. Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula: ( n k 1, k 2, …, k m )
n! k 1! ⋅ k 2! ⋯ k m! . {\displaystyle {n \choose k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}}
{\frac {n! }{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdots k_{m}! }}. } Desde o punto de vista da combinatoria, o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de n {\displaystyle n} elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños k 1, k 2, …, k m {\displaystyle k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}} Teorema multi-binomial
A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha dimensión, usar produtos de expresións binomiais: ( x 1 + y 1 ) n 1 ⋯ ( x d + y d ) n d
∑ k 1
0 n 1 ⋯ ∑ k d
0 n d ( n 1 k 1 ) x 1 k 1 y 1 n 1 − k 1 … ( n d k d ) x d k d y d n d − k d. {\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}
\sum _{k_{1}
0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}
0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\, x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\; \dotsc \; {\binom {n_{d}}{k_{d}}}\, x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}. } A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue: ( x + y ) α
∑ ν ≤ α ( α ν ) x ν y α − ν. {\displaystyle (x+y)^{\alpha }
\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }. }
Regra xeral de Leibniz
A regra xeral de Leibniz dá a derivada n-ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio: ( f g ) ( n ) ( x )
∑ k
0 n ( n k ) f ( n − k ) ( x ) g ( k ) ( x ). {\displaystyle (fg)^{(n)}(x)
\sum _{k
0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x). } Aquí, o superíndice (n) indica a derivada n-ésima dunha función, f ( n ) ( x )
d n d x n f ( x ) {\displaystyle f^{(n)}(x)
{\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}. Aplicacións
Identidades de ángulos múltiples
Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de De Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno. Segundo a fórmula de De Moivre, cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x )
( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n. {\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)
\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}. } e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemplo ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) 2
cos 2 ⁡ x + 2 i cos ⁡ x sin ⁡ x − sin 2 ⁡ x
( cos 2 ⁡ x − sin 2 ⁡ x ) + i ( 2 cos ⁡ x sin ⁡ x ), {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}
\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x
(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x), } Mais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) 2
cos ⁡ ( 2 x ) + i sin ⁡ ( 2 x ) {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}
\cos(2x)+i\sin(2x)}, así cos ⁡ ( 2 x )
cos 2 ⁡ x − sin 2 ⁡ x and sin ⁡ ( 2 x )
2 cos ⁡ x sin ⁡ x, {\displaystyle \cos(2x)
\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)
2\cos x\sin x, } que son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa que ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) 3
cos 3 ⁡ x + 3 i cos 2 ⁡ x sin ⁡ x − 3 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x − i sin 3 ⁡ x, {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}
\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x, } A fórmula de De Moivre resulta cos ⁡ ( 3 x )
cos 3 ⁡ x − 3 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x and sin ⁡ ( 3 x )
3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x − sin 3 ⁡ x. {\displaystyle \cos(3x)
\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)
3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x. } En xeral, cos ⁡ ( n x )
∑ k par ( − 1 ) k / 2 ( n k ) cos n − k ⁡ x sin k ⁡ x {\displaystyle \cos(nx)
\sum _{k{\text{ par}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x} e sin ⁡ ( n x )
∑ k impar ( − 1 ) ( k − 1 ) / 2 ( n k ) cos n − k ⁡ x sin k ⁡ x. {\displaystyle \sin(nx)
\sum _{k{\text{ impar}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x. } Tamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev.
Serie para e
O número e adoita definirse pola fórmula e
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n. {\displaystyle e
\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}. } Aplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para e: ( 1 + 1 n ) n
1 + ( n 1 ) 1 n + ( n 2 ) 1 n 2 + ( n 3 ) 1 n 3 + ⋯ + ( n n ) 1 n n. {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}
1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}. } O k-ésimo termo desta suma é ( n k ) 1 n k
1 k! ⋅ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) n k {\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}
{\frac {1}{k! }}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}} Cando n → ∞, a expresión racional da dereita achégase a 1, e polo tanto lim n → ∞ ( n k ) 1 n k
1 k! . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}
{\frac {1}{k! }}. } Isto indica que e pódese escribir como unha serie: e
∑ k
0 ∞ 1 k!
10! + 11! + 12! + 13! + ⋯. {\displaystyle e
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {1}{k! }}
{\frac {1}{0! }}+{\frac {1}{1! }}+{\frac {1}{2! }}+{\frac {1}{3! }}+\cdots. }
Probabilidade
O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes { X t } t ∈ S {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}} con probabilidade de éxito p ∈ [ 0, 1 ] {\displaystyle p\in [0, 1]} nos que non aconteza ningún sería P ( ⋂ t ∈ S X t C )
( 1 − p ) | S |
∑ n
0 | S | ( | S | n ) ( − p ) n. {\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)
(1-p)^{|S|}
\sum _{n
0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}. } Un límite superior para esta cantidade é e − p | S |. {\displaystyle e^{-p|S|}. } En álxebra abstracta
O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos x e y nun anel, ou mesmo nun semianel, sempre que xy yx. Por exemplo, vale para dúas matrices n × n, sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz.