Covarianza e contravarianza de vectores

En física, especialmente en álxebra multilinear e análise tensorial, a covarianza e a contravarianza describen como muda a descrición cuantitativa de certas entidades xeométricas ou físicas cun cambio de base. En resumo, un vector contravariante é unha lista de números que se transforma en sentido contrario a un cambio de base, e un vector covariante é unha lista de números que se transforma do mesmo xeito. Os vectores contravariantes denomínanse só vectores e os vectores covariantes chámanse covectores ou vectores duais. Os termos covariante e contravariante foron introducidos por James Joseph Sylvester en 1851.
Os tensores son obxectos na álxebra multilinear que poden ter aspectos tanto de covarianza como de contravarianza. Introdución
Un vector, que é un exemplo de tensor contravariante, ten compoñentes que se transforman inversamente á transformación dos eixos de referencia (con transformacións de exemplo incluíndo rotación e dilatación). O vector en si non muda con estas operacións; en cambio, os compoñentes do vector mudan dun xeito que cancela o cambio nos eixos espaciais. Noutras palabras, se os eixes de referencia fosen rotados nunha dirección, a representación do compoñente do vector xiraría exactamente no sentido contrario. Do mesmo xeito, se os eixos de referencia estirasen nunha dirección, as compoñentes do vector, reduciríanse dun xeito exactamente compensatorio. Matematicamente, se o sistema de coordenadas sofre unha transformación descrita por unha matriz invertíbel M, de dimensións n × n {\displaystyle n\times n}, de xeito que os vectores da base se transforman segundo [ e 1 ′ e 2 ′. .. e n ′ ]
[ e 1 e 2. .. e n ] M {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\. .. \ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\. .. \ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}, entón as compoñentes dun vector v na base orixinal ( v i {\displaystyle v^{i}} ) deben transformarse de forma similar vía [ v 1 ′ v 2 ′. .. v n ′ ]
M − 1 [ v 1 v 2. .. v n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}{^{\prime }}\\v^{2}{^{\prime }}\\. .. \\v^{n}{^{\prime }}\end{bmatrix}}
M^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\. .. \\v^{n}\end{bmatrix}}}. As compoñentes dun vector represéntanse a miúdo dispostas nunha columna.
Pola contra, un covector ten compoñentes que se transforman do mesmo modo que os eixos de referencia. Vive no espazo vectorial dual, e representa un mapa linear de vectores a escalares. O operador de produto escalar que inclúe vectores é un bo exemplo de covector. Para ilustralo, supoñamos que temos un covector definido como v ⋅ {\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }, onde v {\displaystyle \mathbf {v} } é un vector. As compoñentes deste covector nalgunha base arbitraria son [ v ⋅ e 1 v ⋅ e 2. .. v ⋅ e n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&. .. &\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}, con [ e 1 e 2. .. e n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\. .. \ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}} sendo os vectores base no espazo vectorial correspondente. A covarianza destes compoñentes covectores vese entón observando que se unha transformación descrita por unha matriz invertíbel M, de dimensións n × n {\displaystyle n\times n}, debía aplicarse aos vectores básicos no espazo vectorial correspondente, [ e 1 ′ e 2 ′. .. e n ′ ]
[ e 1 e 2. .. e n ] M {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\. .. \ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\. .. \ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}, daquela os compoñentes do covector v ⋅ {\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot } transformarase coa mesma matriz M {\displaystyle M}, é dicir, [ v ⋅ e 1 ′ v ⋅ e 2 ′. .. v ⋅ e n ′ ]
[ v ⋅ e 1 v ⋅ e 2. .. v ⋅ e n ] M {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}^{\prime }&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}^{\prime }&. .. &\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&. .. &\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}. Os compoñentes dun covector adoitan representarse dispostos nunha fila.
Un terceiro concepto relacionado coa covarianza e a contravarianza é o de invariante. Un escalar (tamén chamado tensor de tipo 0 ou rango 0) é un obxecto que non varía co cambio de base. O produto escalar dun vector e dun covector é invariante, porque un deles ten compoñentes que varían co cambio de base, e o outro ten compoñentes que varían en sentido contrario, e os dous efectos anúlanse. Dise así que os covectores son duais aos vectores. Un vector ou vector tanxente, ten compoñentes que contra-varían cun cambio de base para compensar. Dise que os compoñentes dos vectores (en oposición aos dos covectores) son contravariantes. Na notación de Einstein (suma implícita sobre índice repetido), os compoñentes contravariantes denótanse con superíndices como en v
v i e i {\displaystyle \mathbf {v}
v^{i}\mathbf {e} _{i}} Un covector ou vector cotanxente ten compoñentes que co-varían cun cambio de base no espazo vectorial (inicial) correspondente. As compoñentes dos covectores (en oposición ás dos vectores) dise que son covariantes. Na notación de Einstein, as compoñentes covariantes denótanse con subíndices como en w
w i e i. {\displaystyle \mathbf {w}
w_{i}\mathbf {e} ^{i}. } O produto escalar dun vector e un covector é o escalar v i w i {\displaystyle v^{i}w_{i}}, que é invariante. É o emparellamento de dualidade de vectores e covectores. Definición
A formulación xeral de covarianza e contravarianza refírese a como se transforman os compoñentes dun vector de coordenadas baixo un cambio de base ( transformación pasiva). Así, sexa V un espazo vectorial de dimensión n sobre un corpo de escalares S, e sexa cada un de f
(X1, .. ., Xn) e f′
(Y1, .. ., Yn) unha base de V. A maiores, sexa o cambio de base de f a f ′ dado por para algunha matriz invertíbel n × n A con entradas a j i {\displaystyle a_{j}^{i}}. Aquí, cada vector Yj da base f ′ é unha combinación linear dos vectores Xi da base f, de xeito que Y j
∑ i a j i X i, {\displaystyle Y_{j}
\sum _{i}a_{j}^{i}X_{i}, } que son as columnas do produto matricial f A {\displaystyle \mathbf {f} A}.
Transformación contravariante
Un vector v {\displaystyle v} en V exprésase unicamente como unha combinación linear dos elementos X i {\displaystyle X_{i}} da base f as onde v i [ f ] {\displaystyle v^{i}[{\textbf {f}}]} son elementos do corpo S coñecidos como compoñentes de v na base f. Denotamos o vector columna das compoñentes de v como v[f]: v [ f ]
[ v 1 [ f ] v 2 [ f ] ⋮ v n [ f ] ] {\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} ]
{\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}} de xeito que (2) se pode reescribir como un produto matricial v
f v [ f ]. {\displaystyle v
\mathbf {f} \, \mathbf {v} [\mathbf {f} ]. } O vector v tamén se pode expresar en termos da base f′, de xeito que v
f ′ v [ f ′ ]. {\displaystyle v
\mathbf {f'} \, \mathbf {v} [\mathbf {f'} ]. } No entanto, dado que o propio vector v é invariante baixo a escolla da base, f v [ f ]
v
f ′ v [ f ′ ]. {\displaystyle \mathbf {f} \, \mathbf {v} [\mathbf {f} ] v
\mathbf {f'} \, \mathbf {v} [\mathbf {f'} ]. } A invariante de v combinada coa relación (1) entre f e f′ implica que f v [ f ]
f A v [ f A ], {\displaystyle \mathbf {f} \, \mathbf {v} [\mathbf {f} ]
\mathbf {f} A\, \mathbf {v} [\mathbf {f} A], } dando a regra da transformación v [ f ′ ]
v [ f A ]
A − 1 v [ f ]. {\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f'} ]
\mathbf {v} [\mathbf {f} A]
A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ]. } En canto aos compoñentes, v i [ f A ]
∑ j a ~ j i v j [ f ] {\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} A] \sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[\mathbf {f} ]} onde os coeficientes a ~ j i {\displaystyle {\tilde {a}}_{j}^{i}} son as entradas da matriz inversa de A.
Dado que as compoñentes do vector v transfórmanse coa inversa da matriz A, dise que estas compoñentes se transforman de forma contravariante baixo un cambio de base.
A forma en que A relaciona os dous pares represéntase no seguinte diagrama informal mediante unha frecha. A inversión da frecha indica un cambio contravariante: f ⟶ f ′ v [ f ] ⟵ v [ f ′ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\v[\mathbf {f} ]&\longleftarrow v[\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}
Transformación covariante
Un funcional linear α {\displaystyle \alpha } en V exprésase unicamente en termos dos seus compoñentes (elementos en S) na base f como α ( X i )
α i [ f ], i
1, 2, …, n. {\displaystyle \alpha (X_{i})
\alpha _{i}[\mathbf {f} ], \quad i
1, 2, \dots, n. } Estes compoñentes son a acción de α {\displaystyle \alpha } sobre os vectores base Xi da base f.
Baixo o cambio de base de f a f ′ (vía 1), os compoñentes transfórmanse de xeito que Denotamos o vector fila das compoñentes de α {\displaystyle \alpha } como α {\displaystyle \alpha } [f]: α [ f ]
[ α 1 [ f ], α 2 [ f ], …, α n [ f ] ] {\displaystyle \mathbf {\alpha } [\mathbf {f} ]
{\begin{bmatrix}\alpha _{1}[\mathbf {f} ], \alpha _{2}[\mathbf {f} ], \dots, \alpha _{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}} de xeito que (3) pode reescribirse como produto matricial α [ f A ]
α [ f ] A. {\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]
\alpha [\mathbf {f} ]A. } Debido a que as compoñentes do funcional linear α {\displaystyle \alpha } se transforman coa matriz A, dise que estas compoñentes se transforman de forma covariante baixo un cambio de base.
A forma en que A relaciona os dous pares represéntase no seguinte diagrama informal mediante unha frecha. Indícase unha relación covariante xa que as frechas viaxan na mesma dirección: f ⟶ f ′ α [ f ] ⟶ α [ f ′ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\\alpha [\mathbf {f} ]&\longrightarrow \alpha [\mathbf {f'} ]\end{aligned}}} Se se usase unha representación vectorial columna, a lei de transformación sería a transposición α T [ f A ]
A T α T [ f ]. {\displaystyle \alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} A]
A^{\mathrm {T} }\alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} ]. } Coordenadas
A escolla da base f no espazo vectorial V define unicamente un conxunto de funcións de coordenadas en V, por medio de x i [ f ] ( v )
v i [ f ]. {\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} ](v)
v^{i}[\mathbf {f} ]. } As coordenadas en V son polo tanto contravariantes no sentido de que x i [ f A ]
∑ k
1 n a ~ k i x k [ f ]. {\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} A]
\sum _{k
1}^{n}{\tilde {a}}_{k}^{i}x^{k}[\mathbf {f} ]. } Pola contra, un sistema de n cantidades vi que se transforman como as coordenadas xi sobre V define un vector contravariante (ou simplemente vector). Un sistema de n cantidades que se transforman en sentido oposto ás coordenadas é entón un vector covariante (ou covector).
Esta formulación de contravarianza e covarianza adoita ser máis natural en aplicacións nas que hai un espazo de coordenadas (unha variedade) no que os vectores viven como vectores tanxentes ou vectores cotanxentes. Dado un sistema de coordenadas local xi na variedade, os eixos de referencia para o sistema de coordenadas son os campos vectoriais X 1
∂ ∂ x 1, …, X n
∂ ∂ x n. {\displaystyle X_{1}
{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}, \dots, X_{n}
{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}. } Isto dá lugar ao sistema de referencia f (X1, .. ., Xn) en cada punto do parche de coordenadas.
Se yi é un sistema de coordenadas diferente e Y 1
∂ ∂ y 1, …, Y n
∂ ∂ y n, {\displaystyle Y_{1}
{\frac {\partial }{\partial y^{1}}}, \dots, Y_{n}
{\frac {\partial }{\partial y^{n}}}, } entón o sistema de referencia f' está relacionado co sistema de referencia f pola inversa da matriz jacobiana da transición de coordenadas: f ′
f J − 1, J
( ∂ y i ∂ x j ) i, j
1 n. {\displaystyle \mathbf {f} '
\mathbf {f} J^{-1}, \quad J
\left({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)_{i, j
1}^{n}. } Ou, en índices, ∂ ∂ y i
∑ j
1 n ∂ x j ∂ y i ∂ ∂ x j. {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}
\sum _{j
1}^{n}{\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}. } Un vector tanxente é por definición un vector que é unha combinación linear de coordenadas parciais ∂ / ∂ x i {\displaystyle \partial /\partial x^{i}}. Así, un vector tanxente defínese por v
∑ i
1 n v i [ f ] X i
f v [ f ]. {\displaystyle v
\sum _{i
1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}
\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f} ]. } Tal vector é contravariante cen relación ao cambio de sistema de referencia. Baixo os cambios no sistema de coordenadas, temos v [ f ′ ]
v [ f J − 1 ]
J v [ f ]. {\displaystyle \mathbf {v} \left[\mathbf {f} '\right]
\mathbf {v} \left[\mathbf {f} J^{-1}\right]
J\, \mathbf {v} [\mathbf {f} ]. } Polo tanto, as compoñentes dun vector tanxente transfórmanse vía v i [ f ′ ]
∑ j
1 n ∂ y i ∂ x j v j [ f ]. {\displaystyle v^{i}\left[\mathbf {f} '\right]
\sum _{j
1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ]. } En consecuencia, un sistema de n magnitudes vi en función das coordenadas que se transforman deste xeito ao pasar dun sistema de coordenadas a outro chámase vector contravariante. Compoñentes covariantes e contravariantes dun vector cunha métrica
Nun espazo vectorial de dimensión finita V sobre un corpo K cunha forma bilinear simétrica g: V × V → K (que pode denominarse tensor métrico), hai pouca distinción entre vectores covariantes e contravariantes, porque a forma bilinear permite identificar os covectores con vectores. É dicir, un vector v determina unívocamente un covector α via α ( w )
g ( v, w ) {\displaystyle \alpha (w)
g(v, w)} para todos os vectores w. Pola contra, cada covector α determina un vector único v por esta ecuación. Debido a esta identificación de vectores con covectores, pódese falar de compoñentes covariantes ou compoñentes contravariantes dun vector, é dicir, son só representacións do mesmo vector utilizando a base dual.
Dada unha base f
(X1, .. ., Xn) de V, existe unha única base recíproca f#
(Y1, .. ., Yn) de V determinada esixindo que g ( Y i, X j )
δ j i, {\displaystyle g(Y^{i}, X_{j})
\delta _{j}^{i}, } o delta de Kronecker. En termos destas bases, calquera vector v pódese escribir de dúas formas: v
∑ i v i [ f ] X i
f v [ f ]
∑ i v i [ f ] Y i
f ♯ v ♯ [ f ]. {\displaystyle {\begin{aligned}v&
\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}
\mathbf {f} \, \mathbf {v} [\mathbf {f} ]\\&
\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f} ]Y^{i}
\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ]. \end{aligned}}} As compoñentes vi[f] son as compoñentes contravariantes do vector v na base f, e as compoñentes vi[f] son as compoñentes covariantes de v na base f. A terminoloxía está xustificada porque baixo un cambio de base, v [ f A ]
A − 1 v [ f ], v ♯ [ f A ]
A T v ♯ [ f ]. {\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} A]
A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ], \quad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]
A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ]. }
Plano euclidiano
No plano euclidiano, o produto escalar permite identificar vectores con covectores. Se e 1, e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}, \mathbf {e} _{2}} é unha base, entón a base dual e 1, e 2 {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}, \mathbf {e} ^{2}} satisfai e 1 ⋅ e 1
1, e 1 ⋅ e 2
0 e 2 ⋅ e 1
0, e 2 ⋅ e 2
1. {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{1}
1, &\quad \mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{2}
0\\\mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{1}
0, &\quad \mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{2}
1. \end{aligned}}} Así, e1 e e2 son perpendiculares entre si, como e2 e e1, e as lonxitudes de e1 e e2 normalizadas fronte a e1 e e2, respectivamente.
Exemplo
Por exemplo, supoñamos que se nos dá unha base e1, e2 formada por un par de vectores formando un ángulo de 45° entre si, de tal forma que e1 ten lonxitude 2 e e2 ten lonxitude 1. Entón, os vectores de base dual danse do seguinte xeito: e 2 é o resultado de xirar e1 nun ángulo de 90° (onde o sentido se mide asumindo que o par e1, e2 está orientado positivamente), e despois mudando a escala para que se cumpra e2 ⋅ e21.
e1 é o resultado de xirar e2 nun ángulo de 90°, e despois mudar a escala para que se cumpra e1 ⋅ e11.
Aplicando estas regras, atopamos e 1
12 e 1 − 12 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}
{\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{1}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{2}} e e 2
− 12 e 1 + 2 e 2. {\displaystyle \mathbf {e} ^{2}
-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}. } Así, a matriz de cambio de base ao pasar da base orixinal á base recíproca é R
[ 12 − 12 − 122 ], {\displaystyle R
{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}}, } xa que [ e 1 e 2 ]
[ e 1 e 2 ] [ 12 − 12 − 122 ]. {\displaystyle [\mathbf {e} ^{1}\ \mathbf {e} ^{2}]
[\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}]{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}}. } Por exemplo, o vector v
32 e 1 + 2 e 2 {\displaystyle v
{\frac {3}{2}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}} é un vector con compoñentes contravariantes v 1
32, v 2
2. {\displaystyle v^{1}
{\frac {3}{2}}, \quad v^{2}
2. } As compoñentes covariantes obtéñense igualando as dúas expresións para o vector v: v
v 1 e 1 + v 2 e 2
v 1 e 1 + v 2 e 2 {\displaystyle v
v_{1}\mathbf {e} ^{1}+v_{2}\mathbf {e} ^{2}
v^{1}\mathbf {e} _{1}+v^{2}\mathbf {e} _{2}} así [ v 1 v 2 ]
R − 1 [ v 1 v 2 ]
[ 4221 ] [ v 1 v 2 ]
[ 6 + 222 + 32 ]. {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}&
R^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&
{\begin{bmatrix}4&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&
{\begin{bmatrix}6+2{\sqrt {2}}\\2+{\frac {3}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}. }
Espazo euclidiano tridimensional
No espazo euclidiano tridimensional, tamén se pode determinar explicitamente a base dual para un determinado conxunto de vectores de base e1, e2, e3 de E3 que non se supoñen necesariamente ortogonais nin de norma unitaria. Os vectores de base dual son: e 1
e 2 × e 3 e 1 ⋅ ( e 2 × e 3 ); e 2
e 3 × e 1 e 2 ⋅ ( e 3 × e 1 ); e 3
e 1 × e 2 e 3 ⋅ ( e 1 × e 2 ). {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}
{\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})}}; \qquad \mathbf {e} ^{2}
{\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})}}; \qquad \mathbf {e} ^{3}
{\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}}. } Mesmo cando ei e ei non son ortonormais, aínda son mutuamente recíprocas: e i ⋅ e j
δ j i, {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}
\delta _{j}^{i}, } Entón as compoñentes contravariantes de calquera vector v pódense obter polo produto escalar de v cos vectores da base dual: q 1
v ⋅ e 1; q 2
v ⋅ e 2; q 3
v ⋅ e 3. {\displaystyle q^{1}
\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{1}; \qquad q^{2}
\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{2}; \qquad q^{3}
\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{3}. } Así mesmo, as compoñentes covariantes de v pódense obter a partir do produto escalar de v con vectores da base, é dicir. q 1
v ⋅ e 1; q 2
v ⋅ e 2; q 3
v ⋅ e 3. {\displaystyle q_{1}
\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}; \qquad q_{2}
\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}; \qquad q_{3}
\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{3}. } Entón v pódese expresar de dúas formas (recíprocas), a saber. v
q i e i
q 1 e 1 + q 2 e 2 + q 3 e 3. {\displaystyle \mathbf {v}
q^{i}\mathbf {e} _{i}
q^{1}\mathbf {e} _{1}+q^{2}\mathbf {e} _{2}+q^{3}\mathbf {e} _{3}. } ou v
q i e i
q 1 e 1 + q 2 e 2 + q 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {v}
q_{i}\mathbf {e} ^{i}
q_{1}\mathbf {e} ^{1}+q_{2}\mathbf {e} ^{2}+q_{3}\mathbf {e} ^{3}} Combinando as relacións anteriores, temos v
( v ⋅ e i ) e i
( v ⋅ e i ) e i {\displaystyle \mathbf {v}
(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}
(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}} e podemos converter entre a base e a base dual con q i
v ⋅ e i
( q j e j ) ⋅ e i
( e j ⋅ e i ) q j {\displaystyle q_{i}
\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}
(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}
(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})q^{j}} e q i
v ⋅ e i
( q j e j ) ⋅ e i
( e j ⋅ e i ) q j. {\displaystyle q^{i}
\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}
(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}
(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})q_{j}. } Se os vectores de base son ortonormais, entón son os mesmos que os vectores de base dual. Uso na análise tensorial
A distinción entre covarianza e contravarianza é particularmente importante para os cálculos con tensores, que a miúdo teñen varianza mixta. Isto significa que teñen compoñentes covariantes e contravariantes, ou compoñentes vectoriais e covectores. A valencia dun tensor é o número de termos covariantes e contravariantes, e en notación de Einstein, os compoñentes covariantes teñen subíndices, mentres que os compoñentes contravariantes teñen superíndices. A dualidade entre covarianza e contravarianza intervén sempre que un vector ou unha magnitude tensorial está representada polos seus compoñentes, aínda que a xeometría diferencial moderna usa métodos máis sofisticados sen índices para representar tensores.
En termos xeométricos un tensor xeral terá índices contravariantes así como índices covariantes, porque ten partes que viven no fibrado tanxente así como no fibrado cotanxente.
Un vector contravariante é aquel que se transforma como d x μ d τ {\displaystyle {\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}, onde x μ {\displaystyle x^{\mu }\! } son as coordenadas dunha partícula no seu tempo propio τ {\displaystyle \tau }. Un vector covariante é aquel que se transforma como ∂ φ ∂ x μ {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x^{\mu }}}}, onde φ {\displaystyle \varphi } é un corpo escalar. Álxebra e xeometría
Na teoría de categorías, hai functores covariantes e functores contravariantes. A asignación do espazo dual a un espazo vectorial é un exemplo estándar dun functor contravariante. Os vectores contravariantes (respectivamente covariantes) son functores contravariantes (respectivamente covariantes) dun GL ( n ) {\displaystyle {\text{GL}}(n)} -torsor á representación fundamental de GL ( n ) {\displaystyle {\text{GL}}(n)}. Do mesmo xeito, os tensores de grao superior son functores con valores noutras representacións de GL ( n ) {\displaystyle {\text{GL}}(n)}. Porén, algunhas construcións de álxebra multilinear son de varianza "mixta", o que impide que sexan functores.
En xeometría diferencial, as compoñentes dun vector relativas a unha base do fibrado tanxente son covariantes se mudan coa mesma transformación linear que un cambio de base. Son contravariantes se mudan pola transformación inversa. Isto é ás veces unha fonte de confusión por dúas razóns distintas pero relacionadas. O primeiro é que os vectores cuxos compoñentes son covariantes (chamados covectores ou formas-1) son realmente unha regresión baixo funcións suaves, o que significa que a operación que asigna o espazo de covectores a unha variedade suave é en realidade un functor contravariante. Así mesmo, os vectores cuxos compoñentes son contravariantes son un pulo baixo mapeamentos suaves, polo que a operación que asigna o espazo de vectores (contravariantes) a unha variedade suave é un functor covariante. En segundo lugar, no enfoque clásico da xeometría diferencial, non son as bases do fibrado tanxente o obxecto máis primitivo, senón os cambios no sistema de coordenadas. Os vectores con compoñentes contravariantes transfórmanse do mesmo xeito que os cambios nas coordenadas (porque estas realmente mudan en sentido contrario ao cambio de base inducido). Así mesmo, os vectores con compoñentes covariantes transfórmanse en sentido contrario como cambios nas coordenadas.