Homotecia

En matemáticas, unha homotecia é unha transformación dun espazo afín determinada por un punto S chamado centro e un número distinto de cero k {\displaystyle k} chamado o seu ratio, que envía o punto X {\displaystyle X} ata un punto X ′ {\displaystyle X'} mediante a regra S X ′ →
k S X → {\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}
k{\overrightarrow {SX}}} para un número fixo k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0}.
Usando vectores de posición: x ′
s + k ( x − s ) {\displaystyle \mathbf {x} '
\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}.
No caso de S
O {\displaystyle S
O} (Orixe): x ′
k x {\displaystyle \mathbf {x} '
k\mathbf {x} },
que é unha escala uniforme, onde temos algunhas opcións especiais para k {\displaystyle k}: para k
1 {\displaystyle k
1} obtemos o mapeo de identidade,
para k
− 1 {\displaystyle k
-1} obtemos o reflexo no centro,
Para 1 / k {\displaystyle 1/k} obtense o mapa inverso definida por k {\displaystyle k}.
Na xeometría euclidiana as homotecias son as semellanzas que fixan un punto e conservan (se k > 0 {\displaystyle k>0} ) ou inverten (se k < 0 {\displaystyle k<0} ) a dirección de todos os vectores. Xunto coas translacións, todas as homotecias dun espazo afín (ou euclidiano) forman un grupo, o grupo de homotecías-translacións. Estas son precisamente as transformacións afines coa propiedade de que a imaxe de cada recta g é unha liña paralela a g.
En xeometría proxectiva, unha transformación homotética é unha transformación de semellanza (é dicir, fixa unha involución elíptica dada) que deixa a recta no infinito invariante.
Na xeometría euclidiana, unha homotecia de razón k {\displaystyle k} multiplica as distancias entre puntos por | k | {\displaystyle |k|}, áreas por k 2 {\displaystyle k^{2}} e volumes por | k | 3 {\displaystyle |k|^{3}}. Aquí k {\displaystyle k} é o factor de aumento ou dilatación ou o factor de escala ou a razón de semellanza. Tal transformación pódese chamar ampliación se o factor de escala supera 1. O punto fixo S mencionado anteriormente chámase centro homotético ou centro de semellanza.
As homotecias utilízanse para escalar o contido das pantallas de ordenador; por exemplo, teléfonos intelixentes, notebooks e portátiles. Propiedades
As seguintes propiedades cúmprense en calquera dimensión.
Mapeo de liñas, segmentos e ángulos
Unha liña mapea nunha liña paralela. Polo tanto: os ángulos permanecen inalterados.
Consérvase a razón de dous segmentos de liña.
Ambas as propiedades mostran: Unha homotecia é unha semellanza.
Consecuencias: un triángulo mapea sobre outro semellante. A imaxe homotética dun círculo é un círculo. A imaxe dunha elipse é semellante, é dicir, a razón dos dous eixes non muda.
Composición
A composición de dúas homotecias co mesmo centro S {\displaystyle S} volve ser unha homotecia co centro S {\displaystyle S}. As homotecias con centro S {\displaystyle S} formar un grupo.
A composición de dúas homotecias con centros diferentes S 1, S 2 {\displaystyle S_{1}, S_{2}} e as súas razóns k 1, k 2 {\displaystyle k_{1}, k_{2}} resulta en
en caso de k 1 k 2 ≠ 1 {\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1} unha homotecia co centro na liña S 1 S 2 ¯ {\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}} e proporción k 1 k 2 {\displaystyle k_{1}k_{2}} ou
en caso de k 1 k 2
1 {\displaystyle k_{1}k_{2}
1} unha translación na dirección S 1 S 2 → {\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}. Sobre todo, se k 1
k 2
− 1 {\displaystyle k_{1}
k_{2}
-1} (reflexións centrais). A composición dunha homotecia e dunha translación é unha homotecia.
Demostración:
A composición da homotecia σ: x → s + k ( x − s ), k ≠ 1, {\displaystyle \sigma: \mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ), \; k\neq 1, \; } e a translación τ: x → x + v {\displaystyle \tau: \mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} } é τ σ: x → s + v + k ( x − s ) {\displaystyle \tau \sigma: \mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}
s + v 1 − k + k ( x − ( s + v 1 − k ) ) {\displaystyle
\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)} que é unha homotecia con centro s ′
s + v 1 − k {\displaystyle \mathbf {s} '
\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}} e razón k {\displaystyle k}.
En coordenadas homoxéneas
A homotecia σ: x → s + k ( x − s ) {\displaystyle \sigma: \mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )} con centro S
( u, v ) {\displaystyle S
(u, v)} pódese escribir como a composición dunha homotecia con centro O {\displaystyle O} e unha translación: x → k x + ( 1 − k ) s {\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }.
De aí que σ {\displaystyle \sigma } pódese representar en coordenadas homoxéneas pola matriz: ( k 0 ( 1 − k ) u 0 k ( 1 − k ) v 001 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}} Unha transformación linear de homotecia pura tamén é conforme porque está composta por translación e escala uniforme.