Superficie (matemáticas)

En matemáticas, unha superficie é un modelo matemático do concepto común de superficie. É unha xeneralización dun plano, pero, a diferenza dun plano, pode ser curvo; isto é análogo a unha curva que xeneraliza unha recta. Definicións
Moitas veces, unha superficie está definida por ecuacións que son satisfeitas polas coordenadas dos seus puntos. Este é o caso da gráfica dunha función continua de dúas variábeis. O conxunto dos ceros dunha función de tres variábeis é unha superficie, que se denomina superficie implícita. Se a función definitoria de tres variábeis é un polinomio, a superficie é unha superficie alxébrica. Por exemplo, a esfera unitaria é unha superficie alxébrica, pois pode ser definida pola ecuación implícita x 2 + y 2 + z 2 − 1
0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1
0. } Unha superficie tamén se pode definir como a imaxe, nalgún espazo de dimensión polo menos 3, dunha función continua de dúas variábeis (requírense algunhas condicións máis para garantir que a imaxe non sexa unha curva). Neste caso, dise que se ten unha superficie paramétrica, que está parametrizada por estas dúas variábeis, chamadas parámetros. Por exemplo, a esfera unitaria pódese parametrizar polos ángulos de Euler, tamén chamados lonxitude u e latitude v por x
cos ⁡ ( u ) cos ⁡ ( v ) y
sin ⁡ ( u ) cos ⁡ ( v ) z
sin ⁡ ( v ). {\displaystyle {\begin{aligned}x&
\cos(u)\cos(v)\\y&
\sin(u)\cos(v)\\z&
\sin(v)\, .\end{aligned}}} Na xeometría clásica, unha superficie defínese xeralmente como o lugar xeométrico dun punto ou dunha liña. Por exemplo, unha esfera é o lugar xeométrico dun punto que está a unha distancia determinada dun punto fixo, chamado centro; unha superficie cónica é o lugar xeométrico dunha liña que pasa por un punto fixo e atravesa unha curva; unha superficie de revolución é o lugar dunha curva que xira arredor dunha liña. Unha superficie regrada é o lugar xeométrico dunha liña en movemento que satisfai algunhas restricións; na terminoloxía moderna, unha superficie regrada é unha superficie, que é unha unión de liñas. Terminoloxía
Hai varios tipos de superficies que se consideran en matemáticas. Por iso é necesaria unha terminoloxía sen ambigüedades para distinguilos cando sexa necesario. Unha superficie topolóxica é unha superficie que é unha variedade de dimensión dous (ver superficie (topoloxía) ). Unha superficie diferenciábel é unha superficie que é unha variedade diferenciábel. Toda superficie diferenciábel é unha superficie topolóxica, mais a inversa é falsa.
A miúdo suponse implícitamente que unha "superficie" está contida nun espazo euclidiano de dimensión 3, normalmente R3. Unha superficie que está contida nun espazo proxectivo chámase superficie proxectiva. Unha superficie que se supón que non se inclúe noutro espazo chámase superficie abstracta. Exemplos
A gráfica dunha función continua de dúas variábeis, definida sobre un subconxunto aberto conexo de R2 é unha superficie topolóxica. Se a función é diferenciábel, a gráfica é unha superficie diferenciábel.
Un plano é á vez unha superficie alxébrica e unha superficie diferenciábel. Tamén é unha superficie regrada e unha superficie de revolución.
Un cilindro circular (é dicir, o lugar xeométrico dunha liña que cruza un círculo e paralelo a unha dirección dada) é unha superficie alxébrica e unha superficie diferenciábel.
Un cono circular (lugar dunha liña que cruza un círculo e que pasa por un punto fixo, o ápice, que está fóra do plano do círculo) é unha superficie alxébrica que non é unha superficie diferenciábel. Se se elimina o ápice, o resto do cono é a unión de dúas superficies diferenciábeis.
A superficie dun poliedro é unha superficie topolóxica, que non é nin unha superficie diferenciábel nin unha superficie alxébrica.
Un paraboloide hiperbólico (a gráfica da función z xy) é unha superficie diferenciábel e unha superficie alxébrica. Tamén é unha superficie regrada e, por este motivo, utilízase a miúdo en arquitectura.
Un hiperboloide de dúas follas é unha superficie alxébrica e a unión de dúas superficies diferenciábeis que non se cruzan. Superficie paramétrica
En concreto, unha superficie paramétrica en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} vén dada por tres funcións de dúas variábeis u e v, chamadas parámetros x
f 1 ( u, v ), y
f 2 ( u, v ), z
f 3 ( u, v ). {\displaystyle {\begin{aligned}x&
f_{1}(u, v), \\[4pt]y&
f_{2}(u, v), \\[4pt]z&
f_{3}(u, v)\, .\end{aligned}}} Como a imaxe desta función pode ser unha curva (por exemplo, se as tres funcións son constantes en relación a v), requírese outra condición, xeralmente que, para case todos os valores dos parámetros, a matriz jacobiana [ ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v ∂ f 3 ∂ u ∂ f 3 ∂ v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial v}}\\[6pt]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\[6pt]{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial v}}\end{bmatrix}}} ten rango dous. Aquí "case todos" significa que os valores dos parámetros onde o rango é dous conteñen unsubconxunto aberto denso do intervalo da parametrización. Para superficies nun espazo de maior dimensión, a condición é a mesma, agás o número de columnas da matriz jacobiana.
Plano tanxente e vector normal
Un punto p onde a matriz jacobiana anterior ten o rango dous chámase regular, ou, máis correctamente, a parametrización chámase regular en p.
O plano tanxente nun punto regular p é o único plano que pasa por p e ten unha dirección paralela aos dous vectores fila da matriz jacobiana. O plano tanxente é un concepto afín, porque a súa definición é independente da elección dunha métrica. Noutras palabras, calquera transformación afín mapea o plano tanxente á superficie nun punto no plano tanxente á imaxe da superficie á imaxe do punto.
A recta normal nun punto dunha superficie é a única liña que pasa polo punto sendo perpendicular ao plano tanxente; un vector normal é un vector paralelo á recta normal.
Para outras invariantes diferenciais de superficies, na proximidade dun punto, consulte Xeometría diferencial de superficies.
Gráfica dunha función bivariábel
Sexa z
f(x, y) unha función de dúas variables reais, unha función bivariábel. Esta é unha superficie paramétrica, parametrizada como x
t y
u z
f ( t, u ). {\displaystyle {\begin{aligned}x&
t\\y&
u\\z& f(t, u)\, .\end{aligned}}} Cada punto desta superficie é regular, xa que as dúas primeiras columnas da matriz jacobiana forman a matriz de identidade de rango dous. Superficie implícita
Unha superficie implícita nun espazo euclidiano (ou, máis xeralmente, nun espazo afín) de dimensión 3 é o conxunto dos ceros comúns dunha función diferenciábel de tres variábeis. f ( x, y, z )
0. {\displaystyle f(x, y, z)
0. }
Puntos regulares e plano tanxente
Un punto da superficie onde polo menos unha derivada parcial de f é distinta de cero chámase regular. En tal punto ( x 0, y 0, z 0 ) {\displaystyle (x_{0}, y_{0}, z_{0})}, o plano tanxente e a dirección da normal están ben definidos. A dirección da normal é o gradiente, é dicir, o vector [ ∂ f ∂ x ( x 0, y 0, z 0 ), ∂ f ∂ y ( x 0, y 0, z 0 ), ∂ f ∂ z ( x 0, y 0, z 0 ) ]. {\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}, y_{0}, z_{0}), {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0}, y_{0}, z_{0}), {\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\right]. } O plano tanxente defínese pola súa ecuación implícita ∂ f ∂ x ( x 0, y 0, z 0 ) ( x − x 0 ) + ∂ f ∂ y ( x 0, y 0, z 0 ) ( y − y 0 ) + ∂ f ∂ z ( x 0, y 0, z 0 ) ( z − z 0 )
0. {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(y-y_{0})+{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(z-z_{0})
0. }
Punto singular
Un punto singular dunha superficie implícita (en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ) é un punto da superficie onde se cumpre a ecuación implícita e as tres derivadas parciais da súa función definitoria son todas cero. Polo tanto, os puntos singulares son as solucións dun sistema de catro ecuacións en tres indeterminadas. Como a maioría destes sistemas non teñen solución, moitas superficies non teñen ningún punto singular. Unha superficie sen punto singular chámase regular ou non singular.
Un punto singular está illado se non hai outro punto singular nunha veciñanza del. En caso contrario, os puntos singulares poden formar unha curva. Este é especialmente o caso das superficies de autocruzamento. Superficie alxébrica
Orixinalmente, unha superficie alxébrica era unha superficie que podía definirse mediante unha ecuación implícita f ( x, y, z )
0, {\displaystyle f(x, y, z)
0, } onde f é un polinomio en tres indeterminados, con coeficientes reais.
O concepto estendeuse en varias direccións, definindo superficies sobre corpos arbitrarios e considerando superficies en espazos de dimensión arbitraria ou en espazos proxectivos. Tamén se consideran superficies alxébricas abstractas, que non están explicitamente mergulladas noutro espazo.
Superficie proxectiva
Unha superficie proxectiva nun espazo proxectivo de dimensión tres é o conxunto de puntos cuxas coordenadas homoxéneas son ceros dun único polinomio homoxéneo en catro variábeis. De forma máis xeral, unha superficie proxectiva é un subconxunto dun espazo proxectivo, que é unha variedade proxectiva de dimensión dúas.
As superficies proxectivas están moi relacionadas coas superficies afíns (é dicir, as superficies alxébricas ordinarias).
En espazos de dimensións superiores
Non se pode definir o concepto de superficie alxébrica nun espazo de dimensión superior a tres sen unha definición xeral dunha variedade alxébrica e da dimensión dunha variedade alxébrica. De feito, unha superficie alxébrica é unha variedade alxébrica de dimensión dous.
Máis precisamente, unha superficie alxébrica nun espazo de dimensión n é o conxunto dos ceros comúns de polo menos n – 2 polinomios, pero estes polinomios deben satisfacer outras condicións que poden non ser inmediatas de verificar. En primeiro lugar, os polinomios non deben definir unha variedade ou un conxunto alxébrico de dimensións máis altas, o que adoita ser o caso se un dos polinomios está no ideal xerado polos outros. Xeralmente, n – 2 polinomios definen un conxunto alxébrico de dimensión dúas ou máis. Se a dimensión é dúas, o conxunto alxébrico pode ter varias compoñentes irredutíbeis. Se só hai unha compoñente, os n – 2 polinomios definen unha superficie, que é unha intersección completa. Se hai varias compoñentes, entón hai que ter máis polinomios para seleccionar unha compoñente específica. Superficie topolóxica
En topoloxía, unha superficie defínese xeralmente como unha variedade de dimensión dúas.
Isto significa que unha superficie topolóxica é un espazo topolóxico tal que cada punto ten unha veciñanza que é homeomorfa a un subconxunto aberto dun plano euclidiano.
Toda superficie topolóxica é homeomorfa a unha superficie poliédrica de modo que todas as facetas son triángulos. O estudo combinatorio desas disposicións de triángulos (ou, máis xeralmente, de simplex de dimensións superiores) é o obxecto de partida da topoloxía alxébrica. Isto permite caracterizar as propiedades das superficies en termos de invariantes puramente alxébricas, como o genus e os grupos de homoloxía.