Relación inversa

En matemáticas, a inversa dunha relación binaria é a relación que se produce cando se troca a orde dos elementos na relación. Por exemplo, a inversa da relación 'fillo de' é a relación 'pai de'. En termos formais, se X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} son conxuntos e L ⊆ X × Y {\displaystyle L\subseteq X\times Y} é unha relación de X {\displaystyle X} a Y, {\displaystyle Y, } entón L T {\displaystyle L^{\operatorname {T} }} é a relación definida detal forma que y L T x {\displaystyle yL^{\operatorname {T} }x} se e só se x L y. {\displaystyle xLy. } L T
{ ( y, x ) ∈ Y × X: ( x, y ) ∈ L }. {\displaystyle L^{\operatorname {T} }
\{(y, x)\in Y\times X: (x, y)\in L\}. } Se representamos a relación como unha matriz a relación inversa sería a matriz transposta, de aí a nomenclatura co superíndice "T": L T {\displaystyle L^{\operatorname {T} }}.
Por analoxía coas funcións pode verse escrita co superíndice "-1": L − 1 {\displaystyle L^{-1}}. Aínda que moitas funcións non teñen unha inversa, toda relación ten unha única inversa.
Outras formas usadas menos frecuentes son: L C, L V, L ˘, L ∘. {\displaystyle L^{\operatorname {C} }, L^{V}, {\breve {L}}, L^{\circ }. } Exemplo
Para as relacións de orde habituais (estritas ou parciais), a inversa é a orde "oposta" elementalmente esperada, por exemplo, ≤ T
≥, < T
>. {\displaystyle {\leq ^{\operatorname {T} }}
{\geq }, \quad {<^{\operatorname {T} }}
{>}. } Unha relación pode ser representada por unha matriz lóxica como ( 1111010100100001 ). {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}. } Logo, a relación inversa represéntase pola matriz transposta: ( 1000110010101101 ). {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}. } Inversas
No monoide das relacións homoxéneas binarias nun conxunto (sendo a operación binaria sobre relacións a composición das relacións), a relación inversa non satisfai a definición de inverso da teoría de grupos, é dicir, se L {\displaystyle L} é unha relación arbitraria sobre X, {\displaystyle X, } entón L ∘ L T {\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T} }} non é igual, en xeral, á relación de identidade en X {\displaystyle X}. A relación inversa satisfai os axiomas (máis débiles) dun semigrupo con involución: ( L T ) T
L {\displaystyle \left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }
L} e ( L ∘ R ) T
R T ∘ L T. {\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T} }
R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }. } Se I {\displaystyle I} representa a relación de identidade, daquela unha relación R {\displaystyle R} pode ter unha inversa do seguinte xeito: R {\displaystyle R} chámase Invertíbel pola dereita
se existe unha relación X, {\displaystyle X, } chamada inversa pola dereita de R, {\displaystyle R, } que satisfai R ∘ X
I. {\displaystyle R\circ X
I. } Invertíbel pola esquerda
se existe unha relación Y, {\displaystyle Y, } chamada inversa pola esquerda of R, {\displaystyle R, } que satisfai Y ∘ R
I. {\displaystyle Y\circ R
I. } invertíbel
no caso de ser invertíbel bilateral.
Para unha relación homoxénea invertíbel R, {\displaystyle R, } todas as inversas dereita e esquerda coinciden; este conxunto único chámase a súa Inverse relation e denotase por R − 1. {\displaystyle R^{-1}. } Neste caso si que se cumpre que R − 1
R T {\displaystyle R^{-1}
R^{\operatorname {T} }}.
Relación inversa dunha función
Unha función é invertíbel se e só se a súa relación inversa é unha función, nese caso a relación inversa é a función inversa.
A relación inversa dunha función f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} é a relación f − 1 ⊆ Y × X {\displaystyle f^{-1}\subseteq Y\times X} definida por graph f − 1
{ ( y, x ) ∈ Y × X: y
f ( x ) }. {\displaystyle \operatorname {graph} \, f^{-1}
\{(y, x)\in Y\times X: y
f(x)\}. } Isto non é necesariamente unha función: unha condición necesaria é que f {\displaystyle f} sexa inxectiva, xa que senón f − 1 {\displaystyle f^{-1}} é multivaluada. Entón f − 1 {\displaystyle f^{-1}} é unha función (total) se e só se f {\displaystyle f} é sobrexectiva. No caso de que f {\displaystyle f} é bixectiva, f − 1 {\displaystyle f^{-1}} pódese chamar función inversa de f. {\displaystyle f. } Por exemplo, a función f ( x )
2 x + 2 {\displaystyle f(x)
2x+2} ten a función inversa f − 1 ( x )
x 2 − 1. {\displaystyle f^{-1}(x)
{\frac {x}{2}}-1. } Porén, a función g ( x )
x 2 {\displaystyle g(x)
x^{2}} ten a relación inversa g − 1 ( x )
± x, {\displaystyle g^{-1}(x)
\pm {\sqrt {x}}, } que non é unha función, por ser multivaluada. Composición con relación
Usando a composición de relacións, a inversa pódese compor coa relación orixinal. Por exemplo, a relación de subconxunto composta coa súa inversa é sempre a relación universal: ∀ A ∀ B ∅ ⊂ A ∩ B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. Do mesmo xeito,
Para U universo, A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.
Considere agora a relación de pertenza do conxunto e a súa inversa. A ∋ z ∈ B ⇔ z ∈ A ∩ B ⇔ A ∩ B ≠ ∅. {\displaystyle A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset. } Así A ∋∈ B ⇔ A ∩ B ≠ ∅. {\displaystyle A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset. } A composición contraria ∈∋ {\displaystyle \in \ni } é a relación universal.
As composicións pódense utilizar para clasificar as relacións segundo o tipo: para unha relación Q, cando a relación de identidade no rango de Q contén QTQ, entón Q denomínase univalente. Cando a relación de identidade no dominio de Q está contida en QQ T, entón Q chámase total. Cando Q é univalente e total, entón é unha función. Cando Q T é univalente, entón Q denomínase inxectiva. Cando QT é total, Q denomínase sobrexectiva. Se Q é univalente, entón QQT é unha relación de equivalencia no dominio de Q, consulte Relación transitiva#Propiedades relacionadas.