Función de contaxe de números primos

En matemáticas, a función de contaxe de números primos é a función que conta o número de números primos menores ou igual a algún número real x. Desígnase por π(x) (sen relación co número π). Taxa de crecemento
De grande interese na teoría de números é a taxa de crecemento da función de contaxe de primos. Foi conxecturado a finais do século XVIII por Gauss e por Legendre como aproximadamente x log ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}} onde log é o logaritmo natural, no sentido de que lim x → ∞ π ( x ) x / log ⁡ ( x )
1. {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}
1. } Esta afirmación é o teorema dos números primos. Unha afirmación equivalente é lim x → ∞ π ( x ) li ⁡ ( x )
1 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}
1},
onde li ⁡ ( x )
∫ 0 x d t ln ⁡ t {\displaystyle \operatorname {li} (x)
\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}} é a función logaritmo integral. O teorema dos números primos foi probado por primeira vez en 1896 por Jacques Hadamard e por Charles de la Vallée Poussin de forma independente, utilizando as propiedades da función zeta de Riemann introducida por Riemann en 1859. Atle Selberg e Paul Erdős atoparon probas do teorema dos números primos que non empregaban a función zeta nin a análise complexa arredor de 1948 (na súa maior parte de forma independente).
Estimacións máis precisas
No 1899, de la Vallée Poussin probou que π ( x )
li ⁡ ( x ) + O ( x e − a log ⁡ x ) as x → ∞ {\displaystyle \pi (x)
\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty } Agora coñécense estimacións máis precisas de π(x). Por exemplo, en 2002, Kevin Ford demostrou que π ( x )
li ⁡ ( x ) + O ( x exp ⁡ ( − 0. 2098 ( log ⁡ x ) 3 / 5 ( log ⁡ log ⁡ x ) − 1 / 5 ) ). {\displaystyle \pi (x)
\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0. 2098(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}\right)\right). } Para valores de x que non sexan excesivamente grandes, li(x) é maior que π(x). Porén, π(x) − li(x) sábese que muda de signo infinitas veces. Para unha discusión sobre isto, consulte o número de Skewes.
Forma exacta
Para x > 1 sexa π0(x)
π(x) − 1/2 cando x é un número primo, e π0(x)
π(x) doutro xeito. Bernhard Riemann, na súa obra Sobre o número de primos menores que unha magnitude dada, demostrou que π0(x) é igual a π 0 ( x )
R ⁡ ( x ) − ∑ ρ R ⁡ ( x ρ ), {\displaystyle \pi _{0}(x)
\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }), } onde R ⁡ ( x )
∑ n
1 ∞ μ ( n ) n li ⁡ ( x 1 / n ), {\displaystyle \operatorname {R} (x)
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right), } e aquí μ(n) é a función de Möbius, li(x) é o logaritmo integral, ρ indexa cada cero da función zeta de Riemann. Se se recollen os ceros triviais e a suma tómase só sobre os ceros non triviais ρ da función zeta de Riemann, entón π0(x) pode ser aproximado por π 0 ( x ) ≈ R ⁡ ( x ) − ∑ ρ R ⁡ ( x ρ ) − 1 log ⁡ ( x ) + 1 π arctan ⁡ π log ⁡ ( x ). {\displaystyle \pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-{\frac {1}{\log(x)}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log(x)}}. } A hipótese de Riemann suxire que cada cero non trivial deste tipo está ao longo de Re(s) 1/2. Táboa de π(x), x/log(x), e li(x)
A táboa mostra as tres funcións π(x), x/log(x) e li(x) comparadas nas potencias de 10. Ver tamén, e Na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, a columna π(x) é a (secuencia A006880 na OEIS), π(x) − x/log x é a (secuencia A057835 na OEIS) e li(x) − π(x) é a (secuencia A057752 na OEIS).
O valor de π(1024) foi calculado orixinalmente por J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung asumindo a hipótese de Riemann. Máis tarde comprobouse sen condicións nun cálculo de DJ Platt. O valor de π(1025) débese a J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung. O valor de π(1026) foi calculado por DB Staple. Todas as demais entradas anteriores nesta táboa tamén foron verificadas como parte dese traballo.
Os valores para 1027, 1028 e 1029 foron anunciados por David Baugh e Kim Walisch en 2015, 2020, e 2022, respectivamente. Algoritmos para avaliar π(x)
Unha forma sinxela de atopar π(x), se x non é demasiado grande, é usar a creba de Eratóstenes para producir os primos menores ou iguais a x e despois contalos.
Unha forma máis elaborada de atopar π(x) débese a Legendre (usando o principio de inclusión-exclusión): dado x, se p1, p2, …, pn son números primos distintos, entón o número de enteiros menor que ou iguais a x que non son divisíbeis por ningún pi é ⌊ x ⌋ − ∑ i ⌊ x p i ⌋ + ∑ i < j ⌊ x p i p j ⌋ − ∑ i < j < k ⌊ x p i p j p k ⌋ + ⋯ {\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots } (onde ⌊x⌋ denota a función chan). Este número é, polo tanto, igual a π ( x ) − π ( x ) + 1 {\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1} cando os números p1, p2, …, pn son os números primos menores ou iguais á raíz cadrada de x.
Algoritmo de Meissel-Lehmer
Nunha serie de artigos publicados entre 1870 e 1885, Ernst Meissel describiu (e utilizou) unha forma combinatoria práctica de avaliar π(x): Sexan p1, p2, …, pn os primeiros n primos e denotémos por Φ(m, n) o número de números naturais non superiores a m que non son divisíbeis por ningún dos pi para calquera i ≤ n. Entón Φ ( m, n )
Φ ( m, n − 1 ) − Φ ( m p n, n − 1 ). {\displaystyle \Phi (m, n)
\Phi (m, n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}}, n-1\right). } Dado un número natural m, se n
π(3√m) e se μ
π(√m) − n, entón π ( m )
Φ ( m, n ) + n ( μ + 1 ) + μ 2 − μ 2 − 1 − ∑ k
1 μ π ( m p n + k ). {\displaystyle \pi (m)
\Phi (m, n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k
1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right). } Usando este enfoque, Meissel calculou π(x), para x igual a 5×105, 106, 107, e 108.
En 1959, Derrick Henry Lehmer ampliou e simplificou o método de Meissel Outras funcións de contaxe de primos
Función de Riemann de contaxe de potencias de primos
Adoita denotarse como Π0(x) ou J0(x). Ten saltos de
Formalmente, podemos definir Π0(x) por Π 0 ( x )
12 ( ∑ p n < x 1 n + ∑ p n ≤ x 1 n ) {\displaystyle \Pi _{0}(x)
{\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}+\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\ } onde a variable p en cada suma varía sobre todos os primos dentro dos límites especificados.
Tamén podemos escribir Π 0 ( x )
∑ n
2 x Λ ( n ) log ⁡ n − Λ ( x ) 2 log ⁡ x
∑ n
1 ∞ 1 n π 0 ( x 1 / n ) {\displaystyle \ \Pi _{0}(x)
\sum _{n
2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}\left(x^{1/n}\right)} onde Λ é a función de von Mangoldt e π 0 ( x )
lim ε → 0 π ( x − ε ) + π ( x + ε ) 2. {\displaystyle \pi _{0}(x)
\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}. } A fórmula de inversión de Möbius dá logo π 0 ( x )
∑ n
1 ∞ μ ( n ) n Π 0 ( x 1 / n ), {\displaystyle \pi _{0}(x)
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\ \Pi _{0}\left(x^{1/n}\right), } onde μ(n) é a función de Möbius.
Coñecendo a relación entre o logaritmo da función zeta de Riemann e a función de von Mangoldt Λ, e utilizando a fórmula de Perron temos log ⁡ ζ ( s )
s ∫ 0 ∞ Π 0 ( x ) x − s − 1 d x {\displaystyle \log \zeta (s)
s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\, \mathrm {d} x}.
Función de Chebyshev
A función de Chebyshev pondera números primos ou potencias de primos pn mediante log(p): θ ( x )
∑ p ≤ x log ⁡ p. ψ ( x )
∑ p n ≤ x log ⁡ p
∑ n
1 ∞ θ ( x 1 / n )
∑ n ≤ x Λ ( n ). {\displaystyle {\begin{aligned}\theta (x)&
\sum _{p\leq x}\log p. \\\psi (x)&
\sum _{p^{n}\leq x}\log p
\sum _{n
1}^{\infty }\theta \left(x^{1/n}\right)
\sum _{n\leq x}\Lambda (n). \end{aligned}}} Para x ≥ 2, ϑ ( x )
π ( x ) log ⁡ x − ∫ 2 x π ( t ) t d t {\displaystyle \vartheta (x)
\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}\, \mathrm {d} t} e π ( x )
ϑ ( x ) log ⁡ x + ∫ 2 x ϑ ( t ) t log 2 ⁡ ( t ) d t. {\displaystyle \pi (x)
{\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{t\log ^{2}(t)}}\mathrm {d} t. } Fórmulas para as funcións de contaxe de números primos
As fórmulas para as funcións de contaxe de primos son de dous tipos: fórmulas aritméticas e fórmulas analíticas. As fórmulas analíticas para a contaxe de primos foron as primeiras utilizadas para demostrar o teorema dos números primos. Procedentes do traballo de Riemann e von Mangoldt, coñécense xeralmente como fórmulas explícitas.
Temos a seguinte expresión para a segunda función de Chebyshev ψ: ψ 0 ( x )
x − ∑ ρ x ρ ρ − log ⁡ 2 π − 12 log ⁡ ( 1 − x − 2 ), {\displaystyle \psi _{0}(x)
x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right), } onde ψ 0 ( x )
lim ε → 0 ψ ( x − ε ) + ψ ( x + ε ) 2. {\displaystyle \psi _{0}(x)
\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}. } Aquí ρ son os ceros da función zeta de Riemann na franxa crítica, onde a parte real de ρ está entre cero e un. A fórmula é válida para valores de x maiores que un, que é a rexión de interese. A suma sobre as raíces é condicionalmente converxente e debe tomarse por orde crecente do valor absoluto da parte imaxinaria. Teña en conta que a mesma suma sobre as raíces triviais dá o último sustraendo da fórmula.
Para Π0(x) temos unha fórmula máis complicada Π 0 ( x )
li ⁡ ( x ) − ∑ ρ li ⁡ ( x ρ ) − log ⁡ 2 + ∫ x ∞ d t t ( t 2 − 1 ) log ⁡ t. {\displaystyle \Pi _{0}(x)
\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} \left(x^{\rho }\right)-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}. } De novo, a fórmula é válida para x > 1, mentres que ρ son os ceros non triviais da función zeta ordenados segundo o seu valor absoluto. A integral é igual á serie sobre os ceros triviais: ∫ x ∞ d t t ( t 2 − 1 ) log ⁡ t
∫ x ∞ 1 t log ⁡ t ( ∑ m t − 2 m ) d t
∑ m ∫ x ∞ t − 2 m t log ⁡ t d t
( u
t − 2 m ) − ∑ m li ⁡ ( x − 2 m ) {\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}
\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\, \mathrm {d} t
\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\, \mathrm {d} t\, \, {\overset {\left(u
t^{-2m}\right)}{
}}-\sum _{m}\operatorname {li} \left(x^{-2m}\right)} O primeiro termo li(x) é o logaritmo integral usual; a expresión li(xρ) no segundo termo debería considerarse como Ei(ρ log x), onde Ei é a continuación analítica da función integral exponencial desde os reais negativos ata o plano complexo coa ramificación cortada ao longo dos reais positivos.
Así, a fórmula de inversión de Möbius dános π 0 ( x )
R ⁡ ( x ) − ∑ ρ R ⁡ ( x ρ ) − ∑ m R ⁡ ( x − 2 m ) {\displaystyle \pi _{0}(x)
\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-\sum _{m}\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)} válido para x > 1, onde R ⁡ ( x )
∑ n
1 ∞ μ ( n ) n li ⁡ ( x 1 / n )
1 + ∑ k
1 ∞ ( log ⁡ x ) k k! k ζ ( k + 1 ) {\displaystyle \operatorname {R} (x)
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right)
1+\sum _{k
1}^{\infty }{\frac {\left(\log x\right)^{k}}{k! k\zeta (k+1)}}} é a función R de Riemann e μ(n) é a función de Möbius. Esta última serie coñécese como serie de Gram. Como log x < x para todo x > 0, esta serie converxe para todo x positivo en comparación coa serie para ex. A suma sobre os ceros non triviais de zeta na fórmula para π0(x) describe as flutuacións de π0(x) mentres que os termos restantes dan a parte "suave" da función de contaxe de primos, , así que pódese usar R ⁡ ( x ) − ∑ m
1 ∞ R ⁡ ( x − 2 m ) {\displaystyle \operatorname {R} (x)-\sum _{m
1}^{\infty }\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)} como un bo estimador de π(x) para x > 1. De feito, xa que o segundo termo achégase a 0 cando x → ∞, mentres que a amplitude da parte "ruidosa" é heurísticamente aproximado a √x/log x, estimando π(x) só por R(x) é igual de bo, e as flutuacións da distribución dos números primos poden representarse claramente coa función ( π 0 ( x ) − R ⁡ ( x ) ) log ⁡ x x. {\displaystyle {\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}. } A hipótese de Riemann
A hipótese de Riemann implica un límite moito máis estreito do erro na estimación de π(x) e, polo tanto, unha distribución máis regular dos números primos, π ( x )
li ⁡ ( x ) + O ( x log ⁡ x ). {\displaystyle \pi (x)
\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}). } En concreto, | π ( x ) − li ⁡ ( x ) | < x 8 π log ⁡ x, para todo x ≥ 2657. {\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\, \log {x}, \quad {\text{para todo }}x\geq 2657. } Dudek (2015) probou que a hipótese de Riemann implica que para todo x ≥ 2 hai un primo p a satisfacer x − 4 π x log ⁡ x < p ≤ x. {\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x. }