Función de Thomae

A Función de Thomae, chamada así en honra a Carl Johannes Thomae, tamén coñecida como a función das pipocas, a función gotas de choiva, a función das nubes numerables, a función modificada de Dirichlet, a función da regra, ou as estrelas sobre Babilonia (por John Horton Conway) é unha modificación da función de Dirichlet. O valor real da función f(x) defínese como segue: f ( x )
{ 1 q, se x ∈ Q | x
p q, q ∈ N, p ∈ Z ∧ mcd ( p, q ) 0, se x ∈ R ∖ Q {\displaystyle f(x)
{\begin{cases}{\frac {1}{q}}, &{\text{se }}x\in \mathbb {Q} |x
{\frac {p}{q}}, q\in \mathbb {N}, p\in \mathbb {Z} \land {\text{mcd}}(p, q)\\0, &{\text{se }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} onde: ℚ é o conxunto dos números racionais
ℕ é o conxunto dos números naturais
ℤ é o conxunto dos números enteiros
mcd é o máximo común divisor
Se x
0, tómase q
1. Asumindo que o mcd(p, q) 1 e q > 0 dá unha representación única do número racional (exemplo, excluíndo a representación de 2/4 como 1/2) facendo de f unha función ben definida. Descontinuidades
A función das pipocas é talvez o exemplo máis simple dunha función cun complexo conxunto de descontinuidades: f é continua en todos os números irracionais e descontinua en todos os números racionais.
Demostración informal
Claramente, f é descontinua en todos os racionais: desde que os irracionais son densos nos reais, para algún racional 'x', sen importar que ε {\displaystyle \varepsilon } se elixa, podemos atopar un irracional 'a' a unha distancia menor que ε {\displaystyle \varepsilon } onde f(a) 0 (pero f(x) é positivo). Noutras palabras, f non se pode aproximar a calquera número positivo, xa que o seu codominio está cheo de ceros.
Para mostrar a continuidade nos irracionais, sen perda de xeneralidade supomos que ε {\displaystyle \varepsilon } é racional (para algún ε {\displaystyle \varepsilon } irracional podemos optar por unha ε {\displaystyle \varepsilon } racional máis pequena e a proba é transitiva). Posto que ε {\displaystyle \varepsilon } é racional, pode ser expresada en termos máis sinxelos como a/b. Queremos mostrar que f é continua en 'x' cando 'x' é irracional.
Note que f toma o seu valor máximo de 1 en cada número enteiro, polo que podemos restrinxir o noso estudo entre ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } e ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil }. Como ε {\displaystyle \varepsilon } ten un denominador finito b, os únicos valores para os que f pode devolver un valor maior a ε {\displaystyle \varepsilon } son os que teñen un denominador menor ou igual a b. Non só existe un número finito de valores entre dous enteiros con denominador menor ou igual que b, polo que estes pódense enumerar de maneira exhaustiva. Elixindo δ {\displaystyle \delta } como a distancia máis pequena próxima de 'x' a un destes valores garante que todos os valores cunha distancia menor teñan f(x) < ε {\displaystyle \varepsilon }. Integrabilidade
A función é Riemann integrable baixo o seguinte criterio: Ademais, o conxunto de descontinuidades son os números racionais, e os racionais son numerables, o conxunto ten medida cero, polo que a función no [0, 1], verifica o criterio de Lebesgue, e por tanto é Riemann integrable no [0, 1]. Seguimento
Unha pregunta natural é se hai unha función continua nos números racionais e descontinua nos números irracionais. Isto é imposible porque o conxunto de descontinuidades dunha función debe ser un conxunto F σ {\displaystyle F_{\sigma }}, unión numerable de conxuntos pechados. Se tal función existise, os irracionais serían un conxunto F σ {\displaystyle F_{\sigma }} e por tanto, xa que non conteñen un intervalo, serían un conxunto escaso. Como os números reais, son a unión de racionais e irracionais, serían un conxunto escaso. Isto contradi o Teorema de categoría de Baire.
Unha variante da función das pipocas pode ser usada para mostrar que calquera conxunto F σ {\displaystyle F_{\sigma }} de números reais pode ser un conxunto de descontinuidades dunha función. Se A
⋃ n
1 ∞ F n {\displaystyle \scriptstyle A\;
\; \bigcup _{n
1}^{\infty }F_{n}} é a unión numerable de conxuntos pechados F n {\displaystyle \scriptstyle F_{n}}, definimos f A ( x )
{ 1 n se x ∈ Q e n é mínima para que x ∈ F n − 1 n se x ∈ R ∖ Q e n é mínima para que x ∈ F n 0 se x ∉ A {\displaystyle f_{A}(x)
{\begin{cases}{\frac {1}{n}}{\text{ se }}x\in \mathbb {Q} {\text{ e }}n{\text{ é mínima para que }}x\in F_{n}\\-{\frac {1}{n}}{\text{ se }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} {\text{ e }}n{\text{ é mínima para que }}x\in F_{n}\\0{\text{ se }}x\notin A\end{cases}}} Un argumento similar ao utilizado para a función das pipocas mostra que f A {\displaystyle \scriptstyle f_{A}} ten a A como conxunto de descontinuidades.