Lista de sumas de recíprocos

En matemáticas e especialmente na teoría de números, a suma de recíprocos xeralmente calcúlase para os recíprocos dalgúns ou todos os positivos enteiros, é dicir, é a suma de fraccións unitarias. Se se suman infinitamente moitos recíprocos, xeralmente, os termos danse nunha determinada secuencia e súmanse os primeiros n elementos, daquela inclúese un máis para dar a suma dos primeiros n+1 elementos da sucesión, etc.
Se só se inclúen un número finito de números, a cuestión clave adoita ser atopar unha expresión sinxela para o valor da suma, ou esixir que a suma sexa menor que un determinado valor, ou determinar se a suma é algunha vez un número enteiro.
Para unha serie infinita de recíprocos, as cuestións son dobres: en primeiro lugar, diverxe a secuencia de sumas? é dicir, supera algún número dado? ou é unha serie converxente, o que significa que hai algún número ao que se achega arbitrariamente sen superar nunca? . (Un conxunto de enteiros positivos dise que é grande se a suma dos seus recíprocos diverxe, e pequeno se converxe. ) En segundo lugar, se converxe, cal é unha expresión simple para o valor ao que converxe? , ese valor é racional ou irracional? , e ese valor é alxébrico ou transcendente? Número finito de termos
A media harmónica dunha cantidade finita de números é igual ao recíproco, ou inverso, da media aritmética dos recíprocos de ditos números.
A ecuación óptica require a suma dos recíprocos de dous enteiros positivos a e b para igualar o recíproco dun terceiro número enteiro positivo c. Todas as solucións son dadas por a
m n + m 2, b
m n + n 2 c
m n {\displaystyle a
mn+m^{2}, \ b
mn+n^{2}\ c
mn}. Esta ecuación aparece en varios contextos en xeometría elemental.
A conxectura de Fermat-Catalan refírese a unha determinada ecuación diofantiana, é que a m + b n
c k {\displaystyle a^{m}+b^{n}
c^{k}} ten só un número finito de solucións cando a, b, c {\displaystyle a, b, c} son enteiros coprimos positivos e m, n, k {\displaystyle m, n, k} son enteiros positivos que satisfán 1 m + 1 n + 1 k < 1 {\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1}. .
O enésimo número harmónico, que é a suma dos recíprocos dos primeiros n enteiros positivos, nunca é un número enteiro excepto o caso n 1. A maiores, József Kürschák demostrou en 1918 que a suma dos recíprocos dos números naturais consecutivos (xa sexa a partir de 1 ou non) nunca é un número enteiro.
A suma dos recíprocos dos primeiros n primos non é un número enteiro para ningún n.
Hai 14 combinacións distintas de catro enteiros de tal xeito que a suma dos seus recíprocos é 1, desas combinacións seis usan catro enteiros distintos e oito repiten polo menos un número enteiro.
Unha fracción exipcia é a suma dun número finito de recíprocos de enteiros positivos. Segundo a proba do problema de Erdős-Graham, se o conxunto de enteiros maior que 1 está particionado nun número finito de subconxuntos, entón un dos subconxuntos pódese usar para formar unha representación en forma de fracción exipcia de 1.
A conxectura de Erdős-Straus afirma que para todos os enteiros n ≥ 2, o número racional 4/n pódese expresar como a suma de tres recíprocos de enteiros positivos.
O cociente de Fermat con base 2, que é 2 p − 1 − 1 p {\displaystyle {\frac {2^{p-1}-1}{p}}} para un primo impar p, cando se expresa en mod p e multiplicado por –2, é igual á suma dos recíprocos mod p dos números que se atopan na primeira metade do rango {1, p - 1}.
En calquera triángulo, a suma dos recíprocos das alturas é igual ao recíproco do raio do círculo inscrito (independentemente de se son ou non enteiros).
Nun triángulo rectángulo, a suma dos recíprocos dos cadrados das alturas dos catetos (equivalentemente, dos cadrados dos propios catetos) é igual ao recíproco do cadrado da altura da hipotenusa (o teorema de Pitágoras inverso). Isto cúmprese se os números son enteiros ou non; hai unha fórmula (ver ternas pitagóricas) que xera todos os casos enteiros.
Un triángulo non necesariamente no plano euclidiano pódese especificar como con ángulos π p, {\displaystyle {\frac {\pi }{p}}, } π q, {\displaystyle {\frac {\pi }{q}}, } e π r {\displaystyle {\frac {\pi }{r}}}. Daquela o triángulo está no espazo euclidiano se a suma dos recíprocos de p, q e r é igual a 1, é un espazo esférico se esa suma é maior que 1, é un espazo hiperbólico se a suma é inferior a 1.
Un número divisor harmónico é un número enteiro positivo cuxos divisores teñen unha media harmónica que é un número enteiro. Os cinco primeiros deles son 1, 6, 28, 140 e 270. Non se sabe se algún número divisor harmónico (ademais de 1) é impar, pero non os hai impares inferiores a 1024.
A suma dos recíprocos dos divisores dun número perfecto é 2.
Cando se distribúen oito puntos na superficie dunha esfera co obxectivo de maximizar a distancia entre eles nalgún sentido, a forma resultante corresponde a un antiprisma cadrado. Os métodos específicos para distribuír os puntos inclúen, por exemplo, minimizar a suma de todos os recíprocos de cadrados de distancias entre puntos. Infinitamente moitos termos
Series converxentes
Unha secuencia sen suma de números enteiros positivos crecentes é aquela para a que ningún número é a suma de ningún subconxunto dos anteriores. A suma dos recíprocos dos números en calquera secuencia sen suma é menor que 2. 8570.
A suma dos recíprocos do número heptagonal converxe a un valor coñecido que non só é irracional senón tamén transcendente, e para o que existe unha fórmula complicada.
Sábese que a suma dos recíprocos dos primos xemelgos, dos que non está demostrado que haxa infinitos, aínda que se supón que os hai, é finita e chámase constante de Brun, aproximadamente 1. 9022.
Sábese que a suma dos recíprocos dos Primos de Proth (o número deles pode ser finitamente moitos ou infinitos) é finita, aproximadamente 0. 747392479 Os primos cádruples son pares de primos xemelgos con só un número impar entre eles. A suma dos recíprocos dos números primos cádruples é aproximadamente 0. 8706.
A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados) é 1.
A suma dos recíprocos das potencias perfectas (excluíndo os duplicados) é aproximadamente 0. 8745.
A suma dos recíprocos das potencias n n {\displaystyle \ n^{n}\ } é aproximadamente igual a 1. 2913. A suma é exactamente igual á integral definida: ∑ n
1 ∞ 1 x n n
∫ 01 d x x. \sum _{n
1}^{\infty }{\dfrac {1\ x}{n^{n}}}
\int _{0}^{1}{\dfrac {\mathrm {d} }{x^{x}}}. Esta identidade foi descuberta por Johann Bernoulli en 1697, e agora coñécese como unha das dúas identidades do soño do estudante de segundo ano (Sophomore's dream).
O teorema de Goldbach-Euler afirma que a suma dos recíprocos dos números que son 1 menos que unha potencia perfecta (excluíndo os duplicados) é 1.
A suma dos recíprocos de todos os números triangulares, sacado o cero, é 2.
A constante recíproca de Fibonacci é a suma dos recíprocos da secuencia de Fibonacci, que se sabe que é finita e irracional e aproximadamente igual a 3, 3599. Para outras sumas finitas de subconxuntos dos recíprocos dos números de Fibonacci, consulte Número de Fibonacci.
Un factorial exponencial é unha operación definida recursivamente como a 0
1, a n
n a n − 1. {\displaystyle \ a_{0}
1, ~a_{n}
n^{a_{n-1}}. } Por exemplo, a 4
4321 {\displaystyle \ a_{4}
4^{3^{2^{1}}}\ } onde os expoñentes son avaliados de arriba abaixo. A suma dos recíprocos dos factoriais exponenciais a partir de 1 é aproximadamente 1. 6111 e é transcendental.
Un "número potente" é un número enteiro positivo para o cal cada primo que aparece na súa factorización aparece polo menos dúas veces. A suma dos recíprocos dos números potentes é próxima a 1, 9436.
A suma dos recíprocos do factorial dá como suma o número e (constante matemática).
A suma dos recíprocos dos números cadrados (o problema de Basilea), (Basel problem), é o número transcendente π 26 ou ζ ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}{\text{ ou }}\zeta (2)} sendo ζ {\displaystyle \zeta } a función zeta de Riemann.
A suma dos recíprocos dos cubos de enteiros positivos chámase constante de Apéry ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} e é igual a aproximadamente 1, 2021. Este número é irracional, pero non se sabe se é ou non transcendente.
Os recíprocos dos números enteiros non negativos potencias de 2 suman 2 (tendo en conta tamén 20
1 {\displaystyle 2^{0}
1} ). Este é un caso particular da suma dos recíprocos de calquera serie xeométrica onde o primeiro termo e a razón común son enteiros positivos.
A serie de Kempner é a suma dos recíprocos de todos os enteiros positivos que non conteñen o díxito "9" en base 10. A diferenza da serie harmónica, que non exclúe eses números, esta serie converxe, concretamente a aproximadamente 22, 9207.
Un número palindrómico é aquel que permanece igual cando se inverten os seus díxitos. A suma dos recíprocos dos números palindrómicos converxe a aproximadamente 3, 3703.
Un número pentatópico é un número da quinta cela de calquera fila do triángulo de Pascal que comeza coa fila de cinco termos 14641. A suma dos recíprocos dos números pentatópicos é 4/ 3.
A secuencia de Sylvester é unha secuencia de enteiros na que cada membro da secuencia é o produto dos membros anteriores máis un. Os primeiros termos da secuencia son 2, 3, 7, 43, 1807. A suma dos recíprocos dos números na secuencia de Sylvester é 1.
A función zeta de Riemann ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} é unha función dunha variábel complexa s {\displaystyle s} que está definida, para valores complexos con parte real maior que 1 {\displaystyle 1}, pola suma da serie infinita ∑ n
1 ∞ 1 n s \ \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{s}\ }}. Esta serie converxe se e só se a parte real de s {\displaystyle s} é maior que 1 {\displaystyle 1}.
A suma dos recíprocos de todos os números de Fermat (números da forma 2 ( 2 n ) + 1 {\displaystyle \ 2^{(2^{n})}+1\ } ) (secuencia A051158 na OEIS) é irracional.
A suma dos recíprocos do número oblongo (produtos de dous enteiros consecutivos ou duplo dos números triangulares) (excluíndo 0) é 1.
Series diverxentes
A suma parcial de n termos da harmónica, que é a suma dos recíprocos dos primeiros enteiros positivos n, diverxe a medida que n vai ao infinito, aínda que moi lentamente: A suma dos 1043 {\displaystyle 10^{43}} primeiros termos, é menor que 100. A diferenza entre a suma acumulada e o logaritmo natural de n converxe á constante de Euler-Mascheroni, comunmente denotada como γ {\displaystyle \ \gamma }, que é aproximadamente 0, 5772.
A suma dos recíprocos dos primos diverxe.
A forma forte do teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas implica que a suma dos recíprocos dos primos da forma 4 n + 3 é diverxente.
Do mesmo xeito, a suma dos recíprocos dos primos da forma 4n + 1 é diverxente. Polo teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados, dedúcese que a suma de recíprocos de números da forma a 2 + b 2 {\displaystyle \ a^{2}+b^{2}}, onde a e b son enteiros non negativos, non ambos os dous iguais a 0, diverxe, con ou sen repetición.
Se a(k) é calquera serie ascendente de números enteiros positivos coa propiedade de que existe N tal que (k + 1) − a (k) < N para todos os k, daquela a suma dos recíprocos 1 a ( k ) {\displaystyle {\frac {1}{a(k)}}} diverxe.
A conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas afirma que se a suma dos recíprocos dos membros dun conxunto A de enteiros positivos diverxe, entón A contén progresións aritméticas de calquera lonxitude, por grande que sexa. Ata o 2020 a conxectura segue sen estar probada.