Teorema de Goldbach-Euler

En matemáticas, o teorema de Goldbach-Euler (tamén coñecido como teorema de Goldbach), afirma que a suma de 1/( p − 1) sobre o conxunto de potencias perfectas p, excluíndo 1 e omitindo repeticións, converxe a 1: ∑ p ∞ 1 p − 1
13 + 17 + 18 + 115 + 124 + 126 + 131 + ⋯
1. {\displaystyle \sum _{p}^{\infty }{\frac {1}{p-1}}
{{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots
1. } Este resultado foi publicado por primeira vez no artigo de Euler de 1737 " Variae observations circa series infinitas". Euler atribuíu o resultado a unha carta (agora perdida) de Goldbach. Proba
A proba orixinal de Goldbach a Euler implicaba asignar unha constante á serie harmónica: x
∑ n
1 ∞ 1 n {\displaystyle \textstyle x
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}, que é diverxente. Tal proba non se considera rigorosa polos estándares modernos. Hai unha gran semellanza entre o método de creba de potencias empregado na súa demostración e o método de factorización usado para derivar a fórmula do produto de Euler para a función zeta de Riemann.
Sexa x {\displaystyle x} x
1 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + ⋯ {\displaystyle x
1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\cdots } Xa que a suma do recíproco de toda potencia de 2 é 1
12 + 14 + 18 + 116 + ⋯ {\displaystyle \textstyle 1
{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }, restando os termos con potencias de 2 de x {\displaystyle x} dá x − 1
1 + 13 + 15 + 16 + 17 + 19 + 110 + 111 + ⋯ {\displaystyle x-1
1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+\cdots } Repetimos o proceso cos termos coas potencias de 3: 12
13 + 19 + 127 + 181 + ⋯ {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}
{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots } x − 1 − 12
1 + 15 + 16 + 17 + 110 + 111 + 112 + ⋯ {\displaystyle x-1-{\frac {1}{2}}
1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}+\cdots } Agora están ausentes da suma anterior todos os termos con potencias de 2 e 3. Continuamos a eliminar termos con potencias de 5, 6 e así sucesivamente ata que o lado dereito se esgote ata o valor de 1. Finalmente, obtemos a ecuación x − 1 − 12 − 14 − 15 − 16 − 19 − ⋯
1 {\displaystyle x-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{9}}-\cdots
1} na que reordenamos x − 1
1 + 12 + 14 + 15 + 16 + 19 + ⋯ {\displaystyle x-1
1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+\cdots } onde os denominadores consisten en todos os enteiros positivos que son as non potencias menos 1. Restando a ecuación anterior da definición de x {\displaystyle x} dado anteriormente, obtemos 1
13 + 17 + 18 + 115 + 124 + 126 + 131 + ⋯ {\displaystyle 1
{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}+\cdots } onde os denominadores consisten agora só en potencias perfectas menos 1.
Aínda que carece de rigor matemático, a demostración de Goldbach proporciona un argumento razoablemente intuitivo para a verdade do teorema. As probas rigorosas requiren un tratamento axeitado e máis coidadoso dos termos diverxentes da serie harmónica. Demostración rigorosa
Esta demostración utiliza o feito de que podemos reducir o problema á suma dos recíprocos das potencias perfectas con repeticións, que é igual a 1.
De feito podemos notar que unha potencia perfecta son os enteiros a ⩾ 2 {\displaystyle a\geqslant 2} que non son potencia perfecta elevados a unha potencia ⩾ 2 {\displaystyle \geqslant 2}.
A suma solicitada é, polo tanto, igual a S
∑ a ∈ Q ∑ k ⩾ 21 a k − 1 {\displaystyle S
\sum _{a\in Q}\sum _{k\geqslant 2}{\frac {1}{a^{k}-1}}} onde Q {\displaystyle Q} é o conxunto dos números que non son potencias perfectas.
Segundo a fórmula dunha serie xeométrica, podemos escribir S
∑ a ∈ Q ∑ k ⩾ 2 ∑ i ⩾ 11 a i k {\displaystyle S
\sum _{a\in Q}\sum _{k\geqslant 2}\sum _{i\geqslant 1}{\frac {1}{a^{ik}}}}; pero o a i {\displaystyle a^{i}} onde a ⩾ 2 {\displaystyle a\geqslant 2} non é unha potencia perfecta e i {\displaystyle i} un enteiro ⩾ 1 {\displaystyle \geqslant 1} realmente cobre todos os ⩾ 2 {\displaystyle \geqslant 2} enteiros. Entón, S
∑ n ⩾ 2 ∑ k ⩾ 21 n k {\displaystyle S
\sum _{n\geqslant 2}\sum _{k\geqslant 2}{\frac {1}{n^{k}}}} que é igual a 1 (ver tamén potencia perfecta): ∑ n
2 ∞ ∑ k
2 ∞ 1 n k
∑ n
2 ∞ 1 n 2 ∑ k
0 ∞ 1 n k
∑ n
2 ∞ 1 n 2 ( n n − 1 )
∑ n
2 ∞ 1 n ( n − 1 )
∑ n
2 ∞ ( 1 n − 1 − 1 n )
1. {\displaystyle \sum _{n
2}^{\infty }\sum _{k
2}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}
\sum _{n
2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}
\sum _{n
2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)
\sum _{n
2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}
\sum _{n
2}^{\infty }\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)
1. }