Grupo linear xeral

En matemáticas, o grupo linear xeral (ou grupo lineal xeral) de grao n {\displaystyle n} é o conxunto de matrices cadradas invertibles n × n {\displaystyle n\times n}, xunto coa operación de produto de matrices. Isto forma un grupo, porque o produto de dúas matrices invertibles é outra vez invertible, e a inversa dunha matriz invertible é invertible, coa matriz identidade como o elemento de identidade do grupo. O grupo é chamado así porque as columnas (e tamén as filas) dunha matriz invertible son linearmente independentes, por iso os vectores/puntos que definen están en posición xeral, e as matrices no grupo lineal xeral levan puntos en posición linear xeral a puntos en posición linear xeral.
Para ser máis preciso, é necesario especificar que clase de obxectos poden aparecer nas entradas da matriz. Por exemplo, o grupo lineal xeral sobre (o conxunto de números reais) é o grupo de matrices invertibles de números reais, e é denotado por GL n ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )} ou GL ⁡ ( n, R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, \mathbb {R} )} Máis xeralmente, o grupo lineal xeral de grao n {\displaystyle n} sobre calquera corpo (como os números complexos), ou un anel (como o anel dos enteiros), é o conxunto de matrices invertibles n × n {\displaystyle n\times n} con entradas desde F {\displaystyle F} (ou R {\displaystyle \mathbb {R} } ), outra vez coa multiplicación de matrices como operación do grupo. Unha notación típica é G L ( n, F ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n, F)} ou G L n ( F ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(F)} ou sinxelamente GL ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n)} cando se sobreentende o corpo.
Máis xeralmente aínda, o grupo linear xeral GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)} dun espazo vectorial V {\displaystyle V} é o seu grupo de automorfismos, non necesariamente escritos como matrices.
O grupo linear especial, denotado como SL ⁡ ( n, F ) {\displaystyle \operatorname {SL} (n, F)} ou SL n ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(F)} é o subgrupo de GL ⁡ ( n, F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, F)} formado polas matrices con determinante igual a 1.
O grupo GL ⁡ ( n, F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, F)} e os seus subgrupos adoitan chamarse grupos lineares ou grupos matriciais (o grupo de automorfismos GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)} é un grupo linear, pero non un grupo matricial). Estes grupos son importantes na teoría de representacións de grupos, e tamén aparecen no estudo das simetrías espaciais e das simetrías dos espazos vectoriais en xeral, así como no estudo dos polinomios. O grupo modular PSL ⁡ ( 2, Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2, \mathbb {Z} )} pode realizarse como un cociente do grupo linear especial SL ⁡ ( 2, Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} (2, \mathbb {Z} )}.
Se n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}, entón o grupo GL ⁡ ( n, F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, F)} non é abeliano. Grupo lineal xeral dun espazo vectorial
Se V {\displaystyle V} é un espazo vectorial sobre o corpo F {\displaystyle F}, o grupo lineal xeral de V {\displaystyle V}, escrito GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)} ou Aut ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (V)}, é o grupo de todos os automorfismos de V {\displaystyle V}, é dicir, o conxunto de todas as transformacións lineais bixectivas V → V {\displaystyle V\to V}, xunto coa composición de aplicacións como operación de grupo. Se V {\displaystyle V} ten dimensión finita n {\displaystyle n}, entón GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)} e GL ⁡ ( n, F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, F)} son isomorfos. O isomorfismo non é canónico; depende da escolla dunha base en V {\displaystyle V}. Dada unha base { e 1, …, e n } {\displaystyle \{e_{1}, \dots, e_{n}\}} de V {\displaystyle V} e un automorfismo T {\displaystyle T} en GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)}, temos para cada vector base ei que T ( e i )
∑ j
1 n a j i e j {\displaystyle T(e_{i})
\sum _{j
1}^{n}a_{ji}e_{j}} para certas constantes a i j {\displaystyle a_{ij}} en F {\displaystyle F}; a matriz correspondente a T {\displaystyle T} é entón simplemente a matriz cos elementos dados polos a j i {\displaystyle a_{ji}}. De xeito semellante, para un anel conmutativo R {\displaystyle R} o grupo GL ⁡ ( n, R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, R)} pode interpretarse como o grupo de automorfismos dun R {\displaystyle R} -módulo libre M {\displaystyle M} de rango n {\displaystyle n}. Tamén se pode definir GL(M) para calquera R {\displaystyle R} -módulo, pero en xeral isto non é isomorfo a GL ⁡ ( n, R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, R)} (para ningún n {\displaystyle n} ). En termos de determinantes
Sobre un corpo F {\displaystyle F}, unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. Polo tanto, unha definición alternativa de GL ⁡ ( n, F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, F)} é como o grupo das matrices con determinante non nulo. Sobre un anel conmutativo R {\displaystyle R}, cómpre ter máis coidado: unha matriz sobre R {\displaystyle R} é invertible se e só se o seu determinante é unha unidade en R {\displaystyle R}, é dicir, se o seu determinante é invertible en R {\displaystyle R}. Polo tanto, GL ⁡ ( n, R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, R)} pode definirse como o grupo das matrices cuxos determinantes son unidades. Sobre un anel non conmutativo R {\displaystyle R}, os determinantes non teñen un bo comportamento. Neste caso, GL ⁡ ( n, R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n, R)} pode definirse como o grupo de unidades do anel de matrices M ( n, R ) {\displaystyle M(n, R)}. Historia
O grupo lineal xeral sobre un corpo primo, GL ⁡ ( ν, p ) {\displaystyle \operatorname {GL} (\nu, p)}, foi construído e a súa orde calculada por Évariste Galois en 1832, na súa última carta (a Chevalier) e no segundo dos (tres) manuscritos anexos, que empregou no contexto do estudo do grupo de Galois da ecuación xeral de orde p ν {\displaystyle p^{\nu }}.