Hipérbole (xeometría)

Unha hipérbole (do grego ὑπερβολή) é unha sección cónica, unha curva aberta de dúas pólas obtida de cortar un cono recto por un plano oblicuo ao eixe de simetría cun ángulo menor que o da xeratriz respecto do eixe de revolución. Etimoloxía
Hipérbole deriva da verba grega ὑπερβολή (exceso), e é cognado de hipérbole (a figura literaria que equivale a esaxeración). Historia
Segundo a tradición, as seccións cónicas foron descritas por primeira vez por Menecmo, no seu estudo do problema da duplicación do cubo, onde demostra a existencia dunha solución mediante o corte dunha parábola cunha hipérbole, o cal é confirmado posteriormente por Proclo e Eratóstenes.
Mais o primeiro en usar o termo de hipérbole foi Apolonio de Perge no seu tratado Cónicas, considerada a obra maior sobre o tema das matemáticas gregas, e onde se desenvolve o estudo das tanxentes das seccións cónicas. Ecuacións da hipérbole
Ecuacións en coordenadas cartesianas:
Ecuación dunha hipérbole con centro na orixe de coordenadas ( 0, 0 ) {\displaystyle (0, 0)\, } (forma canónica). a {\displaystyle a\, } é o semieixo maior (metade da distancia entre as dúas pólas), e b {\displaystyle b\, } é o semieixo menor. x 2 a 2 − y 2 b 2
1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}
1} Ecuación dunha hipérbole con centro en ( h, k ) {\displaystyle (h, k)\, } ( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2
1 {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}
1} Ecuación da hipérbole na súa forma complexa:
Unha hipérbole no plano complexo é o lugar xeométrico formado por un conxunto de puntos z {\displaystyle z\, } (complexos), no plano R e I m {\displaystyle ReIm\, }; tales que, calquera deles satisfai a condición xeométrica de que o valor absoluto da diferenza das súas distancias | z − w 1 | − | z − w 2 | {\displaystyle |z-w_{1}|-|z-w_{2}|\, }, a dous puntos fixos chamados focos w 1 {\displaystyle w_{1}\, } e w 2 {\displaystyle w_{2}\, }, é unha constante positiva igual ao dobre da distancia (é dicir, 2 l {\displaystyle 2l\, } ) que existe entre o seu centro e calquera dos seus vértices do eixe focal.
A ecuación queda: | z − w 1 | − | z − w 2 |
2 l {\displaystyle |z-w_{1}|-|z-w_{2}|
2l\, } Ecuacións en coordenadas polares: Hipérbole aberta de dereita a esquerda: r 2
a sec ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}
a\sec 2\theta \, } Hipérbole aberta de arriba a abaixo: r 2
− a sec ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}
-a\sec 2\theta \, } Hipérbole aberta de nordeste a suroeste: r 2
a csc ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}
a\csc 2\theta \, } Hipérbole aberta de noroeste a sueste: r 2
− a csc ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}
-a\csc 2\theta \, } Ecuacións paramétricas:
Hipérbole aberta de dereita a esquerda: x
a sec ⁡ t + h y
b tan ⁡ t + k o x
± a cosh ⁡ t + h y
b sinh ⁡ t + k {\displaystyle {\begin{matrix}x
a\sec t+h\\y
b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x
\pm a\cosh t+h\\y
b\sinh t+k\\\end{matrix}}} Hipérbole aberta de arriba a abaixo: x
a tan ⁡ t + h y
b sec ⁡ t + k o x
a sinh ⁡ t + h y
± b cosh ⁡ t + k {\displaystyle {\begin{matrix}x
a\tan t+h\\y
b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x
a\sinh t+h\\y
\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}} En todas as formulas (h, k) son as coordenadas do centro da hipérbole, a é a lonxitude do semieixe maior, b é a lonxitude do semieixe menor.