Centro de masas

En física, o centro de masas dunha distribución de masa no espazo (ás veces denominado baricentro) é o único punto nun momento dado onde a posición relativa ponderada da masa distribuída suma cero. Este é o punto ao que se pode aplicar unha forza para provocar unha aceleración linear sen unha aceleración angular. Os cálculos en mecánica adoitan simplificarse cando se formulan en relación ao centro de masas. É un punto hipotético onde se pode supoñer que toda a masa dun obxecto está concentrada para visualizar o seu movemento. Noutras palabras, o centro de masa é a partícula equivalente dun obxecto dado para a aplicación das leis de Newton do movemento.
No caso dun só corpo ríxido, o centro de masa está fixo en relación co corpo, e se o corpo ten unha densidade uniforme, situarase no centroide. O centro de masa pode estar situado fóra do corpo físico, como é ás veces o caso de obxectos ocos ou abertos, como unha ferradura. No caso dunha distribución de corpos separados, como os planetas do Sistema Solar, o centro de masa pode non corresponder coa posición de ningún membro individual do sistema.
O centro de masa é un punto de referencia útil para os cálculos en mecánica que implican masas distribuídas no espazo, como o momento linear e angular dos corpos planetarios e a dinámica dos corpos ríxidos. En mecánica orbital, as ecuacións do movemento dos planetas formúlanse como masas puntuais situadas nos centros de masa (ver baricentro (astronomía) para máis detalles). O marco do centro de masa é un marco inercial no que o centro de masa dun sistema está en repouso con respecto á orixe do sistema de coordenadas. Definición
O centro de masa é o único punto no centro dunha distribución de masa no espazo que ten a propiedade de que os vectores de posición ponderados con respecto a este punto suman cero.
Un sistema de partículas
No caso dun sistema de partículas Pi, i
1, .. ., n Pi, i
1, .. ., n, cada unha con masa mi que están situadas no espazo con coordenadas ri, i
1, .. ., n ri, i
1, .. ., n, as coordenadas R do centro de masas satisfán a condición ∑ i
1 n m i ( r i − R )
0. {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )
\mathbf {0}. } Resolvendo esta ecuación para R obtense a fórmula R
∑ i
1 n m i r i ∑ i
1 n m i. {\displaystyle \mathbf {R}
{\sum _{i
1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i
1}^{n}m_{i}}. }
Un volume continuo
Se a distribución de masa é continua coa densidade ρ(r) dentro dun sólido Q, entón a integral das coordenadas da posición ponderada dos puntos deste volume en relación ao centro de masa R sobre o volume V é cero, é dicir. ∭ Q ρ ( r ) ( r − R ) d V
0. {\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV
0. } Resolvendo esta ecuación para obter as coordenadas R R
1 M ∭ Q ρ ( r ) r d V, {\displaystyle \mathbf {R}
{\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \, dV, } Onde M é a masa total do volume.
Se unha distribución de masas continua ten unha densidade uniforme, o que significa que ρ é constante, daqula o centro de masa é o mesmo que o centroide (Baricentro) do volume. Centro de gravidade
O Centro de gravidade dun corpo é o punto arredor do cal desaparece o torque resultante debido ás forzas da gravidade. Cando un campo gravitatorio pode considerarse uniforme, o centro de masa e o centro de gravidade serán os mesmos. Porén, para os satélites en órbita arredor dun planeta, a falta de que se apliquen outros torques a un satélite, a lixeira variación (gradiente) no campo gravitatorio entre os lugares máis próximos e máis afastados do planeta (gravidade máis forte e máis débil respectivamente) pode conducir a un torque que tenderá a aliñar o satélite de forma que o seu eixe longo sexa vertical. Neste caso, é importante facer a distinción entre o centro de gravidade e o centro de masa. Calquera desfase horizontal entre ambos os dous dará lugar a un torque aplicado. Momento linear e angular
O momento linear e angular dunha colección de partículas pódese simplificar medindo a posición e a velocidade das partículas en relación ao centro de masa. Sexa o sistema de partículas Pi, i
1, .. ., n de masas mi situadas nas coordenadas ri con velocidades vi. Seleccione un punto de referencia R e calcule a posición relativa e os vectores velocidade, r i
( r i − R ) + R, v i
d d t ( r i − R ) + v. {\displaystyle \mathbf {r} _{i}
(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R}, \quad \mathbf {v} _{i}
{\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v}. } O momento linear total e o momento angular do sistema son p
d d t ( ∑ i
1 n m i ( r i − R ) ) + ( ∑ i
1 n m i ) v, {\displaystyle \mathbf {p}
{\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i
1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i
1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {v}, } e L
∑ i
1 n m i ( r i − R ) × d d t ( r i − R ) + ( ∑ i
1 n m i ) [ R × d d t ( r i − R ) + ( r i − R ) × v ] + ( ∑ i
1 n m i ) R × v {\displaystyle \mathbf {L}
\sum _{i
1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i
1}^{n}m_{i}\right)\left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i
1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v} } Se se escolle R como centro de masa, estas ecuacións simplifícanse a p
m v, L
∑ i
1 n m i ( r i − R ) × d d t ( r i − R ) + ∑ i
1 n m i R × v {\displaystyle \mathbf {p}
m\mathbf {v}, \quad \mathbf {L}
\sum _{i
1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i 1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v} } onde m é a masa total de todas as partículas, p é o momento linear e L é o momento angular.
A lei de conservación do momento predí que para calquera sistema non sometido a forzas externas o momento do sistema permanecerá constante, o que significa que o centro de masa moverase con velocidade constante. Isto aplícase a todos os sistemas con forzas internas clásicas, incluíndo campos magnéticos, campos eléctricos, reaccións químicas, etc. Máis formalmente, isto é certo para todas as forzas internas que se cancelan de acordo coa Terceira Lei de Newton. Determinación
A determinación experimental do centro de masa dun corpo fai uso das forzas da gravidade sobre o corpo e baséase no feito de que o centro de masa é o mesmo que o centro de gravidade no campo gravitatorio paralelo preto da superficie terrestre.
O centro de masa dun corpo cun eixe de simetría e densidade constante debe situarse neste eixe. Así, o centro de masa dun cilindro circular de densidade constante ten o seu centro de masa no eixe do cilindro. Do mesmo xeito, o centro de masa dun corpo esféricamente simétrico de densidade constante está no centro da esfera. En xeral, para calquera simetría dun corpo, o seu centro de masa será un punto fixo desa simetría.
En dúas dimensións
Un método experimental para localizar o centro de masa é suspender o obxecto desde dous lugares e soltar chumbadas desde os puntos de suspensión. A intersección das dúas rectas é o centro de masas.
En tres dimensións
Un método experimental para localizar as coordenadas tridimensionais do centro de masa comeza apoiando o obxecto en tres puntos e medindo as forzas, F1, F2 e F3 que resisten o peso do obxecto. W
− W k ^ {\displaystyle \mathbf {W}
-W\mathbf {\hat {k}} } ( k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } é o vector unitario na dirección vertical). Sexan r 1, r 2 e r 3 as coordenadas de posición dos puntos de apoio, entón as coordenadas R do centro de masa satisfán a condición de que o torque resultante é cero, T
( r 1 − R ) × F 1 + ( r 2 − R ) × F 2 + ( r 3 − R ) × F 3
0, {\displaystyle \mathbf {T}
(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}
0, } ou R × ( − W k ^ )
r 1 × F 1 + r 2 × F 2 + r 3 × F 3. {\displaystyle \mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)
\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}. } Esta ecuación dá as coordenadas do centro de masas R* no plano horizontal como, R ∗
− 1 W k ^ × ( r 1 × F 1 + r 2 × F 2 + r 3 × F 3 ). {\displaystyle \mathbf {R} ^{*}
-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}). } O centro de masas sitúase na liña vertical L, dada por L ( t )
R ∗ + t k ^. {\displaystyle \mathbf {L} (t)
\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}}. } As coordenadas tridimensionais do centro de masa determínanse realizando este experimento dúas veces co obxecto colocado de xeito que estas forzas se midan para dous planos horizontais diferentes a través do obxecto. O centro de masas será a intersección das dúas rectas L 1 e L 2 obtidas dos dous experimentos.
Astronomía
O centro de masa xoga un papel importante na astronomía e na astrofísica, onde comunmente se denomina baricentro. O baricentro é o punto entre dous obxectos onde se equilibran; é o centro de masas onde dous ou máis corpos celestes orbitan entre si. Cando unha lúa orbita un planeta, ou un planeta orbita unha estrela, ambos os corpos orbitan en realidade nun punto que se atopa lonxe do centro do corpo primario (maior). Por exemplo, a Lúa non orbita o centro exacto da Terra, senón un punto dunha liña entre o centro da Terra e a Lúa, aproximadamente a 1710 km embaixo da superficie da Terra, onde se equilibran as súas respectivas masas. Este é o punto sobre o cal a Terra e a Lúa orbitan mentres viaxan arredor do Sol. Se as masas son máis semellantes, por exemplo, Plutón e Caronte, o baricentro caerá fóra de ambos os dous corpos.