Q-símbolo de Pochhammer

No campo matemático da combinatoria, o q-símbolo de Pochhammer, tamén chamado q-factorial desprazado, é o produto ( a; q ) n
∏ k
0 n − 1 ( 1 − a q k )
( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ), {\displaystyle (a; q)_{n}
\prod _{k
0}^{n-1}(1-aq^{k})
(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}), } con ( a; q ) 0
1. {\displaystyle (a; q)_{0}
1. } É un q-análogo do símbolo de Pochhammer ( x ) n
x ( x + 1 ) … ( x + n − 1 ) {\displaystyle (x)_{n}
x(x+1)\dots (x+n-1)}, no sentido de que lim q → 1 ( q x; q ) n ( 1 − q ) n
( x ) n. {\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x}; q)_{n}}{(1-q)^{n}}}
(x)_{n}. } O q-símbolo de Pochhammer é un bloque importante na construción de q-análogos; por exemplo, na teoría das series hiperxeométricas básicas, xoga o papel que xoga o símbolo común de Pochhammer na teoría das series hiperxeométricas xeneralizadas.
A diferenza do símbolo de Pochhammer común, o q-símbolo de Pochhammer pódese estender a un produto infinito: ( a; q ) ∞
∏ k
0 ∞ ( 1 − a q k ). {\displaystyle (a; q)_{\infty }
\prod _{k
0}^{\infty }(1-aq^{k}). } Esta é unha función analítica de q no interior do disco unidade, e tamén se pode considerar como unha serie de potencias formal en q. O caso especial ϕ ( q )
( q; q ) ∞
∏ k
1 ∞ ( 1 − q k ) {\displaystyle \phi (q)
(q; q)_{\infty }
\prod _{k
1}^{\infty }(1-q^{k})} coñécese como función de Euler, e é importante en combinatoria, teoría de números e teoría de formas modulares. Identidades
O produto finito pódese expresar en termos de produto infinito: ( a; q ) n
( a; q ) ∞ ( a q n; q ) ∞, {\displaystyle (a; q)_{n}
{\frac {(a; q)_{\infty }}{(aq^{n}; q)_{\infty }}}, } que estende a definición aos enteiros negativos n. Así, para n non negativo, temos ( a; q ) − n
1 ( a q − n; q ) n
∏ k
1 n 1 ( 1 − a / q k ) {\displaystyle (a; q)_{-n}
{\frac {1}{(aq^{-n}; q)_{n}}}
\prod _{k
1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}} e ( a; q ) − n
( − q / a ) n q n ( n − 1 ) / 2 ( q / a; q ) n. {\displaystyle (a; q)_{-n}
{\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a; q)_{n}}}. } Alternativamente, ∏ k
n ∞ ( 1 − a q k )
( a q n; q ) ∞
( a; q ) ∞ ( a; q ) n, {\displaystyle \prod _{k
n}^{\infty }(1-aq^{k})
(aq^{n}; q)_{\infty }
{\frac {(a; q)_{\infty }}{(a; q)_{n}}}, } que é útil para algunhas das función xeradoras das funcións de partición.
O q-símbolo de Pochhammer é o obxecto dunha serie de identidades de q-series, particularmente as expansións da serie infinita ( x; q ) ∞
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n − 1 ) / 2 ( q; q ) n x n {\displaystyle (x; q)_{\infty }
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q; q)_{n}}}x^{n}} e 1 ( x; q ) ∞
∑ n
0 ∞ x n ( q; q ) n, {\displaystyle {\frac {1}{(x; q)_{\infty }}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q; q)_{n}}}, } que son ambos os dous casos especiais do teorema q-binomial: ( a x; q ) ∞ ( x; q ) ∞
∑ n
0 ∞ ( a; q ) n ( q; q ) n x n. {\displaystyle {\frac {(ax; q)_{\infty }}{(x; q)_{\infty }}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}}}x^{n}. } Fridrikh Karpelevich atopou a seguinte identidade (ver Olshanetsky and Rogov (1995) para a proba): ( q; q ) ∞ ( z; q ) ∞
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) / 2 ( q; q ) n ( 1 − z q − n ), | z | < 1. {\displaystyle {\frac {(q; q)_{\infty }}{(z; q)_{\infty }}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q; q)_{n}(1-zq^{-n})}}, \ |z|<1. } Interpretación combinatoria
O q-símbolo de Pochhammer está moi relacionado coa combinatoria enumerativa das particións. O coeficiente de q m a n {\displaystyle q^{m}a^{n}} en ( a; q ) ∞ − 1
∏ k
0 ∞ ( 1 − a q k ) − 1 {\displaystyle (a; q)_{\infty }^{-1}
\prod _{k
0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}} é o número de particións de m como máximo en n partes. Dado que, pola conxugación de particións, este é o mesmo que o número de particións de m en partes de tamaño como máximo n, mediante a identificación de series xeradoras obtemos a identidade ( a; q ) ∞ − 1
∑ k
0 ∞ ( ∏ j
1 k 11 − q j ) a k
∑ k
0 ∞ a k ( q; q ) k {\displaystyle (a; q)_{\infty }^{-1}
\sum _{k
0}^{\infty }\left(\prod _{j
1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q; q)_{k}}}} como no apartado anterior.
Tamén temos que o coeficiente de q m a n {\displaystyle q^{m}a^{n}} en ( − a; q ) ∞
∏ k
0 ∞ ( 1 + a q k ) {\displaystyle (-a; q)_{\infty }
\prod _{k
0}^{\infty }(1+aq^{k})} é o número de particións de m en n ou n -1 partes distintas.
O recíproco da función ( q ) ∞:
( q; q ) ∞ {\displaystyle (q)_{\infty }:
(q; q)_{\infty }} de xeito similar xorde como a función xeradora da función de partición, p ( n ) {\displaystyle p(n)}, que tamén se amplía coas dúas segundas expansións da q-serie que se indican a continuación: 1 ( q; q ) ∞
∑ n ≥ 0 p ( n ) q n
∑ n ≥ 0 q n ( q; q ) n
∑ n ≥ 0 q n 2 ( q; q ) n 2. {\displaystyle {\frac {1}{(q; q)_{\infty }}}
\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}
\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q; q)_{n}}}
\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q; q)_{n}^{2}}}. } O teorema q-binomial en si tamén se pode manexar mediante un argumento combinatorio lixeiramente máis complicado de aspecto similar (ver tamén as expansións dadas na seguinte subsección).
Do mesmo xeito, ( q; q ) ∞
1 − ∑ n ≥ 0 q n + 1 ( q; q ) n
∑ n ≥ 0 q n ( n + 1 ) 2 ( − 1 ) n ( q; q ) n. {\displaystyle (q; q)_{\infty }
1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q; q)_{n}
\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q; q)_{n}}}. } Convención de argumentos múltiples
Dado que as identidades que inclúen q-símbolos de Pochhammer implican con tanta frecuencia produtos de moitos símbolos, a convención estándar é escribir un produto como un único símbolo de múltiples argumentos: ( a 1, a 2, …, a m; q ) n
( a 1; q ) n ( a 2; q ) n … ( a m; q ) n. {\displaystyle (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}; q)_{n}
(a_{1}; q)_{n}(a_{2}; q)_{n}\ldots (a_{m}; q)_{n}. } q-serie
Unha q-serie é unha serie na que os coeficientes son funcións de q, normalmente expresións de ( a; q ) n {\displaystyle (a; q)_{n}}. Os primeiros resultados débense a Euler, Gauss e Cauchy. O estudo sistemático comeza con Eduard Heine (1843). Relación con outras q-funcións
O q-análogo de n, tamén coñecido como q-corchete ou q-número de n, defínese como [ n ] q
1 − q n 1 − q. {\displaystyle [n]_{q}
{\frac {1-q^{n}}{1-q}}. } A partir deste pódese definir o q-análogo do factorial, o q-factorial, como [ n ]! q
∏ k
1 n [ k ] q
[ 1 ] q ⋅ [ 2 ] q ⋯ [ n − 1 ] q ⋅ [ n ] q
1 − q 1 − q 1 − q 21 − q ⋯ 1 − q n − 11 − q 1 − q n 1 − q
1 ⋅ ( 1 + q ) ⋯ ( 1 + q + ⋯ + q n − 2 ) ⋅ ( 1 + q + ⋯ + q n − 1 )
( q; q ) n ( 1 − q ) n {\displaystyle {\begin{aligned}\left[n\right]! _{q}&
\prod _{k
1}^{n}[k]_{q}
_{q}\cdot _{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&
{\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&
1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&
{\frac {(q; q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}} Estes números son análogos no sentido de que lim q → 1 [ n ] q
n, {\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}
n, } e tamén lim q → 1 [ n ]! q
n! . {\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]! _{q}
n! .} Un produto de q-corchetes enteiros negativos pódese expresar en termos do factor q como ∏ k
1 n [ − k ] q
( − 1 ) n [ n ]! q q n ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle \prod _{k
1}^{n}[-k]_{q}
{\frac {(-1)^{n}\, [n]! _{q}}{q^{n(n+1)/2}}}} A partir dos q-factoriais, pódese pasar a definir os q-'coeficientes binomiais, tamén coñecidos como coeficientes binomiais gaussianos, como [ n k ] q
[ n ]! q [ n − k ]! q [ k ]! q, {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}
{\frac {[n]! _{q}}{[n-k]! _{q}[k]! _{q}}}, } onde é fácil ver que o triángulo destes coeficientes é simétrico no sentido de que [ n m ] q
[ n n − m ] q {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}
{\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}} para tódolos 0 ≤ m ≤ n {\displaystyle 0\leq m\leq n}. Pódese comprobar que [ n + 1 k ] q
[ n k ] q + q n − k + 1 [ n k − 1 ] q
[ n k − 1 ] q + q k [ n k ] q. {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&
{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&
{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}. \end{aligned}}} Tamén se pode ver nas relacións de recorrencia anteriores que as seguintes variantes do teorema q-binomial amplíase en función destes coeficientes do seguinte xeito: ( z; q ) n
∑ j
0 n [ n j ] q ( − z ) j q ( j 2 )
( 1 − z ) ( 1 − q z ) ⋯ ( 1 − z q n − 1 ) ( − q; q ) n
∑ j
0 n [ n j ] q 2 q j ( q; q 2 ) n
∑ j
02 n [ 2 n j ] q ( − 1 ) j 1 ( z; q ) m + 1
∑ n ≥ 0 [ n + m n ] q z n. {\displaystyle {\begin{aligned}(z; q)_{n}&
\sum _{j
0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}
(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q; q)_{n}&
\sum _{j
0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q; q^{2})_{n}&
\sum _{j
0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z; q)_{m+1}}}&
\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}. \end{aligned}}}