Topoloxía produto

Chámase topoloxía produto a unha topoloxía construída sobre o produto cartesiano de espazos topolóxicos a partir da topoloxía dos factores. Foi introducida en 1930 por Tychonoff, como a topoloxía menos fina que converte ás proxeccións sobre cada factor en aplicacións continuas.
Esta topoloxía coincide no caso de produto dun número finito de factores con outra quizais máis obvia, chamada topoloxía de caixas, introducida previamente por Tietzeen 1923. Pero a topoloxía de caixas presenta propiedades indesexables para un produto de infinitos factores: entre outras, o produto de espazos conexos non é necesariamente conexo, nin o de compactos necesariamente compacto, cousas que si suceden para a topoloxía produto.
Por todo iso, sobreenténdese que nun produto cartesiano, salvo que se especifique o contrario, úsase sempre a topoloxía produto, Definición formal
Sexa { X α, T α } {\displaystyle \{X_{\alpha }, T_{\alpha }\}} unha familia arbitraria (talvez infinita) de espazos topolóxicos. Chamemos X ao seu produto cartesiano, i. e. X
∏ α ∈ A X α {\displaystyle X
\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }} e p α: X ⟶ X α {\displaystyle p_{\alpha }: X\longrightarrow X_{\alpha }} á proxección sobre o factor correspondente.
Podemos dotar a X da topoloxía produto, que é aquela que ten como unha subbase aos conxuntos da forma { p α − 1 ( U α ) } {\displaystyle \{p_{\alpha }^{-1}(U_{\alpha })\}} onde cada U α {\displaystyle U_{\alpha }} é un aberto de X α {\displaystyle X_{\alpha }}.
Isto é, a topoloxía produto é a topoloxía xerada polos conxuntos da forma ∏ α ∈ B U α × ∏ α ∈ A ∖ B X α {\displaystyle \prod _{\alpha \in B}U_{\alpha }\times \prod _{\alpha \in A\setminus B}X_{\alpha }}, onde B é algún subconxunto finito de A, e U α {\displaystyle U_{\alpha }} é aberto en X α {\displaystyle X_{\alpha }} para cada α ∈ B {\displaystyle \alpha \in B} Base da topoloxía
A intersección finita de elementos da subbase dará lugar aos elementos da base, con distinto resultado segundo tratemos cun produto dun número finito ou infinito de espazos
Produto dun número finito de factores
Neste caso a topoloxía produto será a que ten por base as caixas abertas, é dicir, o produto cartesiano de abertos { ∏ α U α } {\displaystyle \{\prod _{\alpha }U_{\alpha }\}}
Produto de infinitos factores
Aquí os abertos básicos serán da forma: U α 1 × ⋯ U α n × ∏ { X β: β ≠ α 1, ⋯, α n } {\displaystyle U_{\alpha _{1}}\times \cdots U_{\alpha _{n}}\times \prod \{X_{\beta }: \beta \neq \alpha _{1}, \cdots, \alpha _{n}\}} Isto condicionará a forma dos abertos V da topoloxía produto: todo aberto debe verificar que p α ( V )
X α {\displaystyle p_{\alpha }(V)
X_{\alpha }} para todos os índices salvo para un conxunto finito, pois debe conter un aberto básico que se proxecta desta forma. Relación con outras propiedades topolóxicas
Separación
Todo produto de espazos T0 é T0
Todo produto de espazos T1 é T1
Todo produto de espazos Hausdorff é Hausdorff.
Compacidade
Todo produto de compactos é compacto (Teorema de Tychonoff)
Pero un produto de espazos localmente compactos non ten por que ser localmente compacto.
Conexión
Todo produto de espazos conexos é conexo.
Todo produto de espazos arcoconexos é arcoconexo.