Distribución lognormal

En probabilidade e estatística, a distribución log-normal é a distribución de probabilidade de calquera variable aleatoria con seu logaritmo normalmente distribuído (a base da función logarítmica non é importante xa que se loga X está distribuída normalmente se e só se logb X está distribuída normalmente). Se X é unha variable aleatoria cunha distribución normal, entón exp(X) ten unha distribución log-normal.
"Log-normal" tamén se escribe "log normal" ou "lognormal".
Unha variable pode ser modelada como log-normal se pode ser considerada como o produto multiplicativo de moitos pequenos factores independentes. Un exemplo típico é o retorno a longo prazo dun investimento nunha acción: pódese considerar como o produto dos retornos diarios.
A distribución log-normal ten a función densidade de probabilidade f ( x; μ, σ )
1 x σ 2 π e − ( ln ⁡ x − μ ) 2 / 2 σ 2 {\displaystyle f(x; \mu, \sigma )
{\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}} para x > 0 {\displaystyle x>0}, onde μ {\displaystyle \mu } e σ {\displaystyle \sigma } son a media e o desvío estándar do logaritmo da variable. O valor esperado é E ( X )
e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle \mathrm {E} (X)
e^{\mu +\sigma ^{2}/2}} e a varianza é v a r ( X )
( e σ 2 − 1 ) e 2 μ + σ 2 {\displaystyle \mathrm {var} (X)
(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}. Relación coa media e o desvío estándar xeométrico
A distribución log-normal, a media xeométrica, e o desvío estándar xeométrico están relacionadas. Neste caso, a media xeométrica é igual a exp ⁡ ( μ ) {\displaystyle \exp(\mu )} e o desvío estándar xeométrico é igual a exp ⁡ ( σ ) {\displaystyle \exp(\sigma )}.
Se unha mostra de datos determinase que provén dunha poboación distribuída seguindo unha log-normal, a media xeométrica e o desvío estándar xeométrico pódense utilizar para estimar os intervalos de confianza tal como a media aritmética e o desvío estándar se usan para estimar os intervalos de confianza para un dato distribuído normalmente. Onde a media xeométrica μ g e o
exp ⁡ ( μ ) {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }
\exp(\mu )} e o desvío estándar xeométrico σ g e o
exp ⁡ ( σ ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }
\exp(\sigma )} Momentos
Os primeiros momentos son: μ 1
e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{1}
e^{\mu +\sigma ^{2}/2}} μ 2
e 2 μ + 4 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{2}
e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}} μ 3
e 3 μ + 9 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{3}
e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}} μ 4
e 4 μ + 16 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{4}
e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}} ou de forma xeral: μ k
e k μ + k 2 σ 2 / 2. {\displaystyle \mu _{k}
e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}. } Estimación de parámetros Maximum likelihood
Para determina-los estimadores que máis aproximan os parámetros μ e σ da distribución log-normal, podemos utilizar o mesmo procedemento que para a distribución normal. Para non repetilo, obsérvese que f L ( x; μ, σ )
1 x f N ( ln ⁡ x; μ, σ ) {\displaystyle f_{L}(x; \mu, \sigma )
{\frac {1}{x}}\, f_{N}(\ln x; \mu, \sigma )} onde por f L ( ⋅ ) {\displaystyle f_{L}(\cdot )} denotamos a función de densidade de probabilidade da distribución log-normal, e por f N ( ⋅ ) {\displaystyle f_{N}(\cdot )} — a da distribución normal. Polo tanto, utilizando os memos índices para denotar as distribucións, podemos escribir que ℓ L ( x 1, x 2, .. ., x n; μ, σ )
− ∑ k ln ⁡ x k + ℓ N ( ln ⁡ x 1, ln ⁡ x 2, .. ., ln ⁡ x n; μ, σ ) const ⁡ ( μ, σ ) + ℓ N ( ln ⁡ x 1, ln ⁡ x 2, .. ., ln ⁡ x n; μ, σ ). {\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{L}(x_{1}, x_{2}, .. ., x_{n}; \mu, \sigma )&
&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\ln x_{1}, \ln x_{2}, .. ., \ln x_{n}; \mu, \sigma )
\\\ &
&\operatorname {const} (\mu, \sigma )+\ell _{N}(\ln x_{1}, \ln x_{2}, .. ., \ln x_{n}; \mu, \sigma ). \end{matrix}}} Xa que o primeiro termo é constante respecto a μ e σ, ambas funcións logarítmicas, ℓ L {\displaystyle \ell _{L}} e ℓ N {\displaystyle \ell _{N}}, obteñen o seu máximo co mesmo μ e σ. Polo tanto, utilizando as fórmulas para os estimadores dos parámetros da distribución normal, e a inigualdade de arriba, deducimos que para a distribución log-normal cúmprese μ ^
∑ k ln ⁡ x k n, σ ^ 2
∑ k ( ln ⁡ x k − μ ^ ) 2 n. {\displaystyle {\widehat {\mu }}
{\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}}, \ {\widehat {\sigma }}^{2}
{\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}. } Distribución relacionadas
Y ∼ N ( μ, σ 2 ) {\displaystyle Y\sim N(\mu, \sigma ^{2})} é unha distribución normal se Y
ln ⁡ ( X ) {\displaystyle Y
\ln(X)} e X ∼ L o g - N ⁡ ( μ, σ 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma ^{2})}.
Se X m ∼ L o g - N ⁡ ( μ, σ m 2 ), m
1. .. N ¯ {\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma _{m}^{2}), \ m
{\overline {1. .. N}}} son variables independentes log-normalmente distribuídas co mesmo parámetro μ e permitindo que varie σ, e Y
∏ m
1 N X m {\displaystyle Y
\prod _{m
1}^{N}X_{m}}, entón Y é unha variable distribuída log-normalmente como: Y ∼ L o g - N ⁡ ( μ, ∑ m σ m 2 ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(\mu, \sum _{m}\sigma _{m}^{2}\right)}.