Medida da irracionalidade

En matemáticas, unha medida da irracionalidade dun número real x {\displaystyle x} é unha medida do "preto" que se pode aproximar mediante racionais.
Se unha función f ( t, λ ) {\displaystyle f(t, \lambda )}, definida para t, λ > 0 {\displaystyle t, \lambda >0}, toma valores reais positivos e é estritamente decrecentes en ambas as variábeis, considere a seguinte desigualdade: 0 < | x − p q | < f ( q, λ ) {\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q, \lambda )} para un número real dado x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } e números racionais p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} con p ∈ Z, q ∈ Z + {\displaystyle p\in \mathbb {Z}, q\in \mathbb {Z} ^{+}}. Definimos R {\displaystyle R} como o conxunto de todos os λ ∈ R + {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}} para o que só existen un número finito de p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} de forma que se satisfaga a desigualdade. Entón λ ( x )
inf R {\displaystyle \lambda (x)
\inf R} chámase unha medida da irracionalidade de x {\displaystyle x} en relación a f. {\displaystyle f. } Se non hai tal λ {\displaystyle \lambda } e o conxunto R {\displaystyle R} está baleiro, x {\displaystyle x} dise que ten unha medida de irracionalidade infinita λ ( x )
∞ {\displaystyle \lambda (x)
\infty }.
En consecuencia, a desigualdade 0 < | x − p q | < f ( q, λ ( x ) + ε ) {\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q, \lambda (x)+\varepsilon )} ten como moito só un número de finitamente moitas solucións p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} para tódolos ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}. Expoñente da irracionalidade
O expoñente de irracionalidade ou medida de irracionalidade de Liouville-Roth vén dado pola función f ( q, μ )
q − μ {\displaystyle f(q, \mu )
q^{-\mu }}, unha definición que adapta a definición dos números de Liouville, o expoñente de irracionalidade μ ( x ) {\displaystyle \mu (x)} defínese para números reais x {\displaystyle x} sendo o supremo do conxunto de μ {\displaystyle \mu } tal que se satisfán as desigualdades 0 < | x − p q | < 1 q μ {\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}} por un número infinito de pares de enteiros primos ( p, q ) {\displaystyle (p, q)} con q > 0 {\displaystyle q>0}.
Para calquera valor n < μ ( x ) {\displaystyle n<\mu (x)}, o conxunto infinito de todos os racionais p / q {\displaystyle p/q} que satisfán a desigualdade anterior producen boas aproximacións de x {\displaystyle x}. Pola contra, se n > μ ( x ) {\displaystyle n>\mu (x)}, entón hai como moito finitamente moitos coprimos ( p, q ) {\displaystyle (p, q)} con q > 0 {\displaystyle q>0} que satisfán a desigualdade.
Outro xeito de expresalo sería μ ( x ):
inf { μ ( x ) ≥ 0: só hai finitamente moitos racionais p / q tal que | x − p q | < 1 q μ }. {\displaystyle \mu (x):
\inf {\bigg \{}\mu (x)\geq 0: {\text{só hai finitamente moitos racionais }}p/q{\text{ tal que }}\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}{\bigg \}}. } μ ( x ):
sup { μ ( x ) ≥ 0: hai infinitamente moitos racionais p / q tal que | x − p q | < 1 q μ }. {\displaystyle \mu (x):
\sup {\bigg \{}\mu (x)\geq 0: {\text{hai infinitamente moitos racionais }}p/q{\text{ tal que }}\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}{\bigg \}}. }
Algúns casos
Por exemplo, sempre que unha aproximación racional p q ≈ x {\displaystyle {\frac {p}{q}}\approx x} con p, q ∈ N {\displaystyle p, q\in \mathbb {N} } dá n + 1 {\displaystyle n+1} cifras decimais exactas, entón 110 n ≥ | x − p q | ≥ 1 q μ ( x ) + ε {\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}\geq \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{q^{\mu (x)+\varepsilon }}}} para calquera ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}, agás como máximo un número finito de pares "afortunados" ( p, q ) {\displaystyle (p, q)}.
Un número x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } con expoñente de irracionalidade μ ( x ) ≤ 2 {\displaystyle \mu (x)\leq 2} chámase número diofantiano, mentres que os números con μ ( x )
∞ {\displaystyle \mu (x)
\infty } chámanse números de Liouville.
Forma construtiva
Se temos que o lim sup n → ∞ 1 n ln ⁡ | q n | ≤ σ {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}|}\leq \sigma } e lim n → ∞ 1 n ln ⁡ | q n x − p n |
− τ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}x-p_{n}|}
-\tau } para algúns números reais positivos σ, τ {\displaystyle \sigma, \tau }, entón podemos estabelecer un límite superior para o expoñente de irracionalidade de x {\displaystyle x} con: μ ( x ) ≤ 1 + σ τ {\displaystyle \mu (x)\leq 1+{\frac {\sigma }{\tau }}}.
Corolarios
Os números racionais teñen un expoñente de irracionalidade 1, mentres que (como consecuencia do teorema da aproximación de Dirichlet) todo número irracional ten un expoñente de irracionalidade polo menos 2.
Por outra banda, unha aplicación do lema de Borel-Cantelli mostra que case todos os números, incluídos todos os números irracionais alxébricos, teñen un expoñente de irracionalidade exactamente igual a 2. Temos μ ( x )
μ ( r x + s ) {\displaystyle \mu (x)
\mu (rx+s)} para números reais x {\displaystyle x} e números racionais r ≠ 0 {\displaystyle r\neq 0} e s {\displaystyle s}. Se para algúns x {\displaystyle x} temos μ ( x ) ≤ μ {\displaystyle \mu (x)\leq \mu }, entón dedúcese que μ ( x 1 / 2 ) ≤ 2 μ {\displaystyle \mu (x^{1/2})\leq 2\mu }. :368 Para un número real x {\displaystyle x} dado pola súa expansión de fracción continua simple x
[ a 0; a 1, a 2, .. . ] {\displaystyle x
[a_{0}; a_{1}, a_{2}, .. .]} con converxentes p i / q i {\displaystyle p_{i}/q_{i}} cúmprese: μ ( x )
1 + lim sup n → ∞ ln ⁡ q n + 1 ln ⁡ q n
2 + lim sup n → ∞ ln ⁡ a n + 1 ln ⁡ q n. {\displaystyle \mu (x)
1+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}
2+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}. } Exemplos
En primeiro lugar imos ver un non exemplo.
Se temos un dos primeiros converxentes da fracción continua de pi, por exemplo 227 {\displaystyle {\dfrac {22}{7}}}, daquela teríamos | π − 227 | < 17 μ ( π ) {\displaystyle {\bigg |}\pi -{\dfrac {22}{7}}{\bigg |}<{\dfrac {1}{7^{\mu (\pi )}}}}, implica ln ⁡ 0. 00126
− 6. 676 < − μ ( π ) ln ⁡ ( 7 ); μ ( π ) < 6. 6761. 94
3. 44 {\displaystyle \ln 0. 00126
-6. 676<-\mu (\pi )\ln {(7)}; \quad \mu (\pi )<{\dfrac {6. 676}{1. 94}}
3. 44}.
Mais este converxente podería ser unha fracción "afortunada". En rigor deben procurarse secuencias con denominadores grandes e que a condición se cumpra para "finitamente moitos".
Para o exemplo da constante de Apéry ( ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} ) imos seguir parte do documento de Van der Porten. Roger Apéry descobre, mediante transformacións moito elaboradas, unhas recorrencias que aceleran o cálculo de zeta de 3, sendo p ( n − 1 )
34 n 3 − 51 n 2 + 27 n − 5 {\displaystyle p(n-1)
34n^{3}-51n^{2}+27n-5}: n 3 a n − p ( n − 1 ) a n − 1 + ( n − 1 ) 3 a n − 2
0 {\displaystyle n^{3}a_{n}-p(n-1)a_{n-1}+(n-1)^{3}a_{n-2}
0}, n 3 b n − p ( n − 1 ) b n − 1 + ( n − 1 ) 3 b n − 2
0 {\displaystyle n^{3}b_{n}-p(n-1)b_{n-1}+(n-1)^{3}b_{n-2}
0}.
E agora: a n b n − 1 − a n b n − 1
6 n 3 {\displaystyle a_{n}b_{n-1}-a_{n}b_{n-1}
{\dfrac {6}{n^{3}}}}, | ζ ( 3 ) − a n b n |
∑ k
n + 1 ∞ 6 k 3 b n b n − 1 {\displaystyle {\bigg |}\zeta (3)-{\frac {a_{n}}{b_{n}}}{\bigg |}
\sum _{k
n+1}^{\infty }{\frac {6}{k^{3}b_{n}b_{n-1}}}}.
Isto implica ζ ( 3 ) − a n b n
O ( 1 b n 2 ) {\displaystyle \zeta (3)-{\frac {a_{n}}{b_{n}}}
O{\bigg (}{\frac {1}{b_{n}^{2}}}{\bigg )}}.
Isto xunto da recorrencia vista enrriba para b n {\displaystyle b_{n}} permite calculalo asintóticamente. Dado que os ceros do polinomio x 2 − 34 x + 1
0 {\displaystyle x^{2}-34x+1
0} son ( 2 ± 1 ) 4 {\displaystyle ({\sqrt {2}}\pm 1)^{4}} pódese concluír que b n
O ( α 4 n ) {\displaystyle b_{n}
O{\bigg (}\alpha ^{4n}{\bigg )}} con α
1 + 2 {\displaystyle \alpha
1+{\sqrt {2}}}.
Por último | ζ ( 3 ) − a n b n |
O ( α 8 n )
O ( 1 q n 1 + δ ) {\displaystyle {\bigg |}\zeta (3)-{\frac {a_{n}}{b_{n}}}{\bigg |}
O(\alpha ^{8n})
O({\frac {1}{q_{n}^{1+\delta }}})} con δ
4 ln ⁡ ( α ) − 34 ln ⁡ ( α ) + 3
0. 080529 … {\displaystyle \delta
{\dfrac {4\ln(\alpha )-3}{4\ln(\alpha )+3}}
0. 080529\ldots } que dá δ − 1
12. 417820 … {\displaystyle \delta ^{-1}
12. 417820\ldots } e así | ζ ( 3 ) − p q | > 1 q 12. 417820 + ϵ {\displaystyle {\bigg |}\zeta (3)-{\frac {p}{q}}{\bigg |}>{\frac {1}{q^{12. 417820+\epsilon }}}}. μ ( ζ ( 3 ) ) ≤ 12. 417820 … {\displaystyle \mu (\zeta (3))\leq 12. 417820\ldots } (como podemos ver na táboa de embaixo este límite superior xa foi calculado cunha cantidade inferior). Límites coñecidos
Se μ ( x )
1, x {\displaystyle \mu (x)
1, x\ } é racional.
Se μ ( x )
2, x {\displaystyle \mu (x)
2, x\ } é alxébrico de grao > 1.
Se μ ( x ) ≥ 2, x {\displaystyle \mu (x)\geq 2, x\ } é trascendental.
Para a maioría dos números transcendentais, non se coñece o valor exacto do seu expoñente de irracionalidade. A continuación móstrase unha táboa de límites superiores e inferiores coñecidos. Relación coa converxencia dalgunhas series
A serie Flint Hills está definida polo sumatorio: S 1
∑ k
1 ∞ csc 2 ⁡ n n 3 {\displaystyle S_{1}
\sum _{k
1}^{\infty }{\dfrac {\csc ^{2}{n}}{n^{3}}}} que ven sendo o mesmo que S 1
∑ k
1 ∞ 1 n 3 sin 2 ⁡ n {\displaystyle S_{1}
\sum _{k
1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{3}\sin ^{2}{n}}}}.
Non se sabe se esta serie converxe, xa que c s c 2 n {\displaystyle csc^{2}{n}} pode ter esporadicamente valores grandes. Os valores de n que fan grande esa función son precisamente os numeradores dos converxentes da fracción continua de π {\displaystyle \pi } (secuencia A046947 na OEIS).
Alekseyev (2011) demostrou que a cuestión da converxencia da serie Flint Hill está relacionada coa medida da irracionalidade de π {\displaystyle \pi }, e en particular, a converxencia implicaría μ ( π ) <
2. 5 {\displaystyle \mu (\pi )<
2. 5}, que é moito máis forte que o mellor límite superior coñecido na actualidade.