Teorema do ideal principal de Krull

En álxebra conmutativa, o teorema do ideal principal de Krull, que recibe o nome de Wolfgang Krull (1899–1971), dá un límite da altura dun ideal principal nun anel noetheriano conmutativo. O teorema é ás veces referido polo seu nome alemán, Krulls Hauptidealsatz (de Haupt- ("Principal") + ideal + Satz ("teorema").
Precisamente, se R é un anel de Noether e I é un ideal principal e propio de R, entón cada ideal primo mínimal que contén a I ten altura como máximo un.
Este teorema pódese xeneralizar a ideais que non son principais, e o resultado é frecuentemente chamado teorema da altura de Krull. Isto di que se R é un anel noetheriano e I é un ideal propio xerado por n elementos de R, entón cada primo minimal sobre I ten altura como máximo n. O inverso tamén é certo: se un ideal primo ten altura n, entón é un ideal primo minimal sobre un ideal xerado por n elementos. O teorema ideal principal e a xeneralización, o teorema da altura, dedúcense do teorema fundamental da teoría da dimensión en álxebra conmutativa. En Éléments de mathématique de Bourbaki dá unha proba directa. En Commutative Rings de Kaplansky inclúese unha proba debida a David Rees. Probas
Demostración do teorema do ideal principal
Sexa A {\displaystyle A} un anel noetheriano, x un elemento del e p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} un primo minimal sobre x. Substituíndo A {\displaystyle A} pola localización A p {\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}, podemos supor que A {\displaystyle A} é local co ideal maximal p {\displaystyle {\mathfrak {p}}}. Sexa q ⊊ p {\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}} un ideal primo estritamente máis pequeno e sexa q ( n )
q n A q ∩ A {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}
{\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}\cap A}, o cal é un q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} -ideal primario chamodo n-ésima potencia simbólica de q {\displaystyle {\mathfrak {q}}}. Forma unha cadea descendente de ideais A ⊃ q ⊃ q ( 2 ) ⊃ q ( 3 ) ⊃ ⋯ {\displaystyle A\supset {\mathfrak {q}}\supset {\mathfrak {q}}^{(2)}\supset {\mathfrak {q}}^{(3)}\supset \cdots } Así, hai unha cadea descendente de ideais q ( n ) + ( x ) / ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)} no anel A ¯
A / ( x ) {\displaystyle {\overline {A}}
A/(x)}. Agora, o radical ( x ) {\displaystyle {\sqrt {(x)}}} é a intersección de todos os ideais primos minimais que conteñen x {\displaystyle x}; p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} entre eles Mais p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} é un ideal maximal único e logo ( x )
p {\displaystyle {\sqrt {(x)}}
{\mathfrak {p}}}. Xa que ( x ) {\displaystyle (x)} contén algunha potencia do seu radical, dedúcese que A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} é un anel de Artin e por isto a cadea q ( n ) + ( x ) / ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)} estabiliza e tan hai algún n tal que q ( n ) + ( x )
q ( n + 1 ) + ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)
{\mathfrak {q}}^{(n+1)}+(x)}. Isto implica: q ( n )
q ( n + 1 ) + x q ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}
{\mathfrak {q}}^{(n+1)}+x\, {\mathfrak {q}}^{(n)}},
polo feito q ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}} é q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} -primario (se y {\displaystyle y} está en q ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}, entón y
z + a x {\displaystyle y
z+ax} con z ∈ q ( n + 1 ) {\displaystyle z\in {\mathfrak {q}}^{(n+1)}} e a ∈ A {\displaystyle a\in A}. Xa que p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} é minimal sobre x {\displaystyle x}, x ∉ q {\displaystyle x\not \in {\mathfrak {q}}} e así a x ∈ q ( n ) {\displaystyle ax\in {\mathfrak {q}}^{(n)}} que implica que a {\displaystyle a} está en q ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}} ). Agora, facendo o cociente por ambos os dous lados por q ( n + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n+1)}} temos q ( n ) / q ( n + 1 )
( x ) q ( n ) / q ( n + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}
(x){\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}}. Daquela, polo lema de Nakayama (que di que un módulo M xerado finitamente é cero se M
I M {\displaystyle M
IM} para algún ideal contido no radical), conseguimos M
q ( n ) / q ( n + 1 )
0 {\displaystyle M
{\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}
0}; isto é, q ( n )
q ( n + 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}
{\mathfrak {q}}^{(n+1)}} e por tanto q n A q
q n + 1 A q {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}
{\mathfrak {q}}^{n+1}A_{\mathfrak {q}}}. Utilizando o lema de Nakayama outra vez q n A q
0 {\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}
0}, e A q {\displaystyle A_{\mathfrak {q}}} é un anel de Artin; así, a altura de q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} é cero. ◻ {\displaystyle \square }
Demostración do teorema da altura
O teorema da altura de Krull pódese demostrar como consecuencia do teorema do ideal principal por indución sobre o número de elementos. Sexan x 1, …, x n {\displaystyle x_{1}, \dots, x_{n}} os elementos en A {\displaystyle A}, p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} un primo minimal sobre ( x 1, …, x n ) {\displaystyle (x_{1}, \dots, x_{n})} e q ⊊ p {\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}} un ideal primo tal que non hai un primo estritamente entre eles. Substituíndo A {\displaystyle A} pola localización A p {\displaystyle A_{\mathfrak {p}}} podemos supoñer que ( A, p ) {\displaystyle (A, {\mathfrak {p}})} é un anel local; note que temos logo p
( x 1, …, x n ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}
{\sqrt {(x_{1}, \dots, x_{n})}}}. Por minimalidade de p {\displaystyle {\mathfrak {p}}}, despréndese que q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} non pode conter todos os x i {\displaystyle x_{i}}; reetiquetando os subíndices, por exemplo, x 1 ∉ q {\displaystyle x_{1}\not \in {\mathfrak {q}}}. Xa que todo ideal primo que contén q + ( x 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}+(x_{1})} está entre q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} e p {\displaystyle {\mathfrak {p}}}, q + ( x 1 )
p {\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {q}}+(x_{1})}}
{\mathfrak {p}}} e así podemos escribir para cada i ≥ 2 {\displaystyle i\geq 2}, x i r i
y i + a i x 1 {\displaystyle x_{i}^{r_{i}}
y_{i}+a_{i}x_{1}} con y i ∈ q {\displaystyle y_{i}\in {\mathfrak {q}}} e a i ∈ A {\displaystyle a_{i}\in A}. Agora consideramos o anel A ¯
A / ( y 2, …, y n ) {\displaystyle {\overline {A}}
A/(y_{2}, \dots, y_{n})} e a cadea correspondente q ¯ ⊂ p ¯ {\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}\subset {\overline {\mathfrak {p}}}} nel. Se r ¯ {\displaystyle {\overline {\mathfrak {r}}}} é un primo minimal sobre x 1 ¯ {\displaystyle {\overline {x_{1}}}}, entón r {\displaystyle {\mathfrak {r}}} contén x 1, x 2 r 2, …, x n r n {\displaystyle x_{1}, x_{2}^{r_{2}}, \dots, x_{n}^{r_{n}}} e así r
p {\displaystyle {\mathfrak {r}}
{\mathfrak {p}}}; é dicir, p ¯ {\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}} é un primo minimal sobre x 1 ¯ {\displaystyle {\overline {x_{1}}}} e así, polo teorema do ideal principal de Krull, q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}} é un primo minimal (sobre cero); q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} é un primo mínimo sobre ( y 2, …, y n ) {\displaystyle (y_{2}, \dots, y_{n})}. Por hipótese inductiva, ht ⁡ ( q ) ≤ n − 1 {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})\leq n-1} e así ht ⁡ ( p ) ≤ n {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq n}. ◻ {\displaystyle \square }