Círculo de Mohr

O Círculo de Mohr (estritamente sería a circunferencia de Mohr) é unha técnica usada en enxeñaría e xeofísica para representar graficamente un tensor simétrico (de 2x2 ou de 3x3) e calcular con el momentos de inercia, deformacións e tensións, adaptando os mesmos ás características dunha circunferencia (radio, centro etc). Tamén é posible co círculo o cálculo do esforzo cortante máximo absoluto e a deformación máxima absoluta.
Este método foi desenvolvido por 1882 polo enxeñeiro civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918). Circunferencia de Mohr para esforzos
Caso bidimensional
En dúas dimensións, o Círculo de Mohr permite determinar a tensión máxima e mínima, a partir das medicións da tensión normal e tanxencial sobre dous ángulos que forman 90º: { medida 1 ( σ x, τ ) medida 2 ( σ y, − τ ) {\displaystyle {\begin{cases}{\text{medida 1}}&(\sigma _{x}, \tau )\\{\text{medida 2}}&(\sigma _{y}, -\tau )\end{cases}}} NOTA: O eixe vertical encóntrase invertido, polo que os esforzos positivos sinálanse abaixo e os esforzos negativos localízanse na parte superior.
Usando eixes rectangulares, onde o eixe horizontal representa a tensión normal ( σ ) {\displaystyle \left(\sigma \right)} e o eixe vertical representa a tensión cortante ou tanxencial ( τ ) {\displaystyle \left(\tau \right)} para cada un dos planos anteriores. Os valores da circunferencia fidan representados do seguinte xeito: Centro do círculo de Mohr: C:
( σ med, 0 )
( σ x + σ y 2, 0 ) {\displaystyle C:
(\sigma \ _{\text{med}}, 0)
\left({\frac {\sigma \ _{x}+\sigma \ _{y}}{2}}, 0\right)} Radio da circunferencia de Mohr: r:
( σ x − σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle r:
{\sqrt {\left({\frac {\sigma \ _{x}-\sigma \ _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau \ _{xy}^{2}}}} As tensións máxima e mínima veñen dadas en termos desas magnitudes simplemente por: σ max
σ med + r σ min
σ med − r {\displaystyle \sigma _{\text{max}}
\sigma _{\text{med}}+r\qquad \sigma _{\text{min}}
\sigma _{\text{med}}-r} Estes valores pódense obter tamén calculando os valores propios do tensor tensión que neste caso vén dado por: T | x, y
[ σ x τ τ σ y ] {\displaystyle \mathbf {T} \vert _{x, y}
{\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau \\\tau &\sigma _{y}\end{bmatrix}}}
Caso tridimensional
O caso do estado tensional dun punto P dun sólido tridimensional é máis complicado xa que matematicamente represéntase por unha matriz de 3x3 para a que existen 3 valores propios, non necesariamente diferentes. T | x, y, z
[ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ x z τ y z σ z ] {\displaystyle \mathbf {T} \vert _{x, y, z}
{\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}} No caso xeral, as tensións normal (σ) e tanxencial (τ), medidas sobre calquera plano que pase polo punto P, representadas no diagrama (σ, τ) caen sempre dentro dunha rexión delimitada por 3 círculos. Isto é máis complexo que o caso bidimensional, onde o estado tensional caía sempre sobre unha única circunferencia. Cada unha das 3 circunferencias que delimitan a rexión de posibles pares (σ, τ) coñécese co nome de circunferencia de Mohr. Círculo de Mohr con momentos de inercia
Para sólidos planos ou case-planos, pode aplicarse a mesma técnica da circunferencia de Mohr que se usou para tensións en dúas dimensións. Ao calcular o momento de inercia arredor dun eixe que se encontra inclinado, a circunferencia de Mohr pode ser utilizado para obter este valor. Tamén é posible obter os momentos de inercia principais. Neste caso as fórmulas de cálculo do momento de inercia medio e o radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas ás de cálculo de esforzos: Centro da circunferencia: C:
( I med, 0 )
( I x + I y 2, 0 ) {\displaystyle C:
(I_{\text{med}}, 0)
\left({\frac {I_{x}+I_{y}}{2}}, 0\right)} Radio da circunferencia: r:
( I x − I y 2 ) 2 + I x y 2 {\displaystyle r:
{\sqrt {\left({\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\right)^{2}+I_{xy}^{2}}}}