Unión disxunta

En matemáticas, a unión disxunta A ⊔ B {\displaystyle A\sqcup B} dos conxuntos A e B é o conxunto formado a partir dos elementos de A e B etiquetados (identificados) co nome do conxunto do que proceden. Así, un elemento pertencente tanto a A como B aparece dúas veces na unión disxunta, con dúas etiquetas diferentes.
Unha unión disxunta dunha familia indexada de conxuntos ( A i: i ∈ I ) {\displaystyle (A_{i}: i\in I)} é un conxunto A, {\displaystyle A, } moitas veces denotado por ⨆ i ∈ I A i, {\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}, } cunha inxección de cada A i {\displaystyle A_{i}} en A, {\displaystyle A, } de tal xeito que as imaxes destas inxeccións forman unha partición de A {\displaystyle A} (é dicir, cada elemento de A {\displaystyle A} pertence exactamente a unha destas imaxes). Unha unión disxunta dunha familia de conxuntos disxuntos por pares é a súa unión.
Na teoría de categorías, a unión disxunta é o coproduto da categoría de conxuntos, e así se define ata unha bixección. Neste contexto, a notación ∐ i ∈ I A i {\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}} úsase a miúdo. Exemplo
Considere os conxuntos A 0
{ 5, 6, 7 } {\displaystyle A_{0}
\{5, 6, 7\}} e A 1
{ 5, 6 }. {\displaystyle A_{1}
\{5, 6\}. } É posíbel indexar os elementos do conxunto segundo a orixe do conxunto formando os conxuntos asociados A 0 ∗
{ ( 5, 0 ), ( 6, 0 ), ( 7, 0 ) } A 1 ∗
{ ( 5, 1 ), ( 6, 1 ) }, {\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&
\{(5, 0), (6, 0), (7, 0)\}\\A_{1}^{*}&
\{(5, 1), (6, 1)\}, \\\end{aligned}}} onde o segundo elemento de cada par coincide co subíndice do conxunto de orixe (por exemplo, o 0 {\displaystyle 0} en ( 5, 0 ) {\displaystyle (5, 0)} coincide co subíndice en A 0, {\displaystyle A_{0}, } etc. ). A unión disxunta A 0 ⊔ A 1 {\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}} entón pódese calcular do seguinte xeito: A 0 ⊔ A 1
A 0 ∗ ∪ A 1 ∗
{ ( 5, 0 ), ( 6, 0 ), ( 7, 0 ), ( 5, 1 ), ( 6, 1 ) }. {\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}
A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}
\{(5, 0), (6, 0), (7, 0), (5, 1), (6, 1)\}. } Definición na teoría de conxuntos
Formalmente, sexa ( A i: i ∈ I ) {\displaystyle \left(A_{i}: i\in I\right)} unha familia indexada de conxuntos indexados por I. {\displaystyle I. } A unión disxunta desta familia é o conxunto ⨆ i ∈ I A i
⋃ i ∈ I { ( x, i ): x ∈ A i }. {\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}
\bigcup _{i\in I}\left\{(x, i): x\in A_{i}\right\}. } Os elementos da unión disxunta son pares ordenados ( x, i ). {\displaystyle (x, i). } Aquí i {\displaystyle i} serve de índice auxiliar que de que A i {\displaystyle A_{i}} veu o elemento x {\displaystyle x}.
Cada un dos conxuntos A i {\displaystyle A_{i}} é canonicamente isomorfo ao conxunto A i ∗
{ ( x, i ): x ∈ A i }. {\displaystyle A_{i}^{*}
\left\{(x, i): x\in A_{i}\right\}. } A través deste isomorfismo, pódese considerar que A i {\displaystyle A_{i}} está canonicamente mergullado na unión disxunta. Para i ≠ j, {\displaystyle i\neq j, } os conxuntos A i ∗ {\displaystyle A_{i}^{*}} e A j ∗ {\displaystyle A_{j}^{*}} son disxuntas aínda que os conxuntos A i {\displaystyle A_{i}} e A j {\displaystyle A_{j}} non son.
No caso extremo en que cada un dos A i {\displaystyle A_{i}} é igual a algún conxunto fixo A {\displaystyle A} para todo i ∈ I, {\displaystyle i\in I, } a unión disxunta é o produto cartesiano de A {\displaystyle A} e I {\displaystyle I}: ⨆ i ∈ I A i
A × I. {\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}
A\times I. }