Momento de inercia

En Mecánica, o momento de inercia mide a distribución da masa dun corpo en torno dun eixo de rotación. Un momento de inercia elevado significa que é preciso aplicar unha forza elevada para que o corpo pare de xirar. Contribúe máis ao xiro a porción de masa que está afastada do eixo de xiro. Un eixo xirante fino e longo, coa mesma masa dun disco que xira en relación ao seu centro, terá un momento de inercia menor que este. A unidade de medida, no SI, é quilogramo metro ao cadrado (kg•m²). Momento de inercia dunha masa respecto dun eixo: I e i x o
∫ r 2 d m {\displaystyle I_{eixo}
\int r^{2}\, dm\, } Momento de inercia polar (respecto dun punto): I 0
∫ r 2 d m {\displaystyle I_{0}
\int r^{2}\, dm\, } Momento de inercia planario (respecto dun plano): I p l a n o
∫ r 2 d m {\displaystyle I_{plano}
\int r^{2}\, dm\, } Cálculo
Por definición, o momento de inercia I {\displaystyle I\, } dunha partícula de masa m {\displaystyle m\, } e que xira en torno dun eixo, a unha distancia r {\displaystyle r\, } del, é I
m r 2 {\displaystyle I
mr^{2}} Se un corpo é constituído de n {\displaystyle n} masas puntuais (partículas), o seu momento de inercia total é igual á suma dos momentos de inercia de cada masa elemental: I
∑ k
1 n m i r i 2 {\displaystyle I
\sum _{k
1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}} onde m i {\displaystyle m_{i}} é a masa de cada partícula, e r i {\displaystyle r_{i}} é a súa distancia ao eixo de rotación.
Para un corpo ríxido, podemos transformar esa sumatoria nunha integral, integrando para todo o volume V {\displaystyle V\, } do corpo o produto da masa m {\displaystyle m\, } en cada punto polo cadrado da distancia r {\displaystyle r\, } até o eixo de rotación: I
∫ V r 2 d m {\displaystyle I
\int _{V}r^{2}\, dm\, } Hai varios valores coñecidos para o momento de inercia de certos tipos de corpos ríxidos. Algúns exemplos (asumindo distribución uniforme de masa): Para un cilindro macizo de masa M {\displaystyle M} e raio da base R {\displaystyle R}, en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro: I
12 M R 2 {\displaystyle I
{\frac {1}{2}}MR^{2}} Para unha esfera maciza de masa M {\displaystyle M} e raio R {\displaystyle R}, en torno de seu centro: I
25 M R 2 {\displaystyle I
{\frac {2}{5}}MR^{2}} Para un anel cilíndrico de masa M {\displaystyle M} e raio R {\displaystyle R}, en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro: I
M R 2 {\displaystyle I
MR^{2}} Teoremas fundamentais
O momento de inercia respecto a un polo é a suma dos tres momentos de inercia planario respecto a tres planos perpendiculares entre si e que se cortan en dito polo (punto): d I O
d I X O Y + d I Y O Z + d I Z O X {\displaystyle dI_{O}
dI_{XOY}+dI_{YOZ}+dI_{ZOX}} O momento de inercia axial é a suma dos momentos de inercia respecto a dous planos perpendiculares que se cortan en dito eixo: d I O X
d I Z O X + d I X O Y {\displaystyle dI_{OX}
dI_{ZOX}+dI_{XOY}} d I O Y
d I X O Y + d I Y O Z {\displaystyle dI_{OY}
dI_{XOY}+dI_{YOZ}} d I O Z
d I Y O Z + d I Z O X {\displaystyle dI_{OZ}
dI_{YOZ}+dI_{ZOX}} A suma dos momentos de inercia planarios respecto a tres planos perpendiculares entre si é a semisuma dos momentos de inercia axiais, respecto a tres eixos perpendiculares obtidos en ditos planos: d I O
( d I X O + d I Y O + d I Z O ) / 2 {\displaystyle dI_{O}
(dI_{XO}+dI_{YO}+dI_{ZO})/2}
Teorema de Steiner ou teorema dos eixes paralelos
O teorema de Steiner (denominado así en honor a Jakob Steiner) establece que o momento de inercia con respecto a calquera eixo paralelo a un eixo que pasa polo centro de masa, é igual ao momento de inercia con respecto ao eixo que pasa polo centro de masa máis o produto da masa polo cadrado da distancia entre os dous eixos: I e i x o
I e i x o ( C M ) + M h 2 {\displaystyle I_{eixo}
I_{eixo}^{(CM)}+Mh^{2}\, } onde: Ieixo é o momento de inercia respecto ao eixe que non pasa polo centro de masa;
I(CM)eixe é o momento de inercia para un eixo paralelo ao anterior que pasa polo centro de masa; M é a masa total; e h a Distancia entre os dous eixos paralelos considerados.
A demostración deste teorema resulta inmediata se se considera a descomposición de coordenadas relativa ao centro de masas C r ¯
r C + h {\displaystyle {\bar {\mathbf {r} }}
\mathbf {r} _{C}+\mathbf {h} } inmediata: I e i x o
∫ V r ¯ ⋅ r ¯ d m
∫ V ( r C ⋅ r C + 2 r C ⋅ h + h ⋅ h ) d m
∫ V r G ⋅ r C d m + ∫ V 2 r C ⋅ h d m + ∫ V h ⋅ h d m {\displaystyle I_{eixo}
\int _{V}{\bar {\mathbf {r} }}\cdot {\bar {\mathbf {r} }}\quad dm
\int _{V}(\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}+2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} +\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} )\quad dm
\int _{V}\mathbf {r} _{G}\cdot \mathbf {r} _{C}\quad dm+\int _{V}2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} \quad dm+\int _{V}\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} \quad dm} I e i x o
I e i x o ( C M ) + 2 h ⋅ ∫ V r C d m ⏟
0 + M h 2 {\displaystyle I_{eixo}
I_{eixo}^{(CM)}+\underbrace {2\mathbf {h} \cdot \int _{V}\mathbf {r} _{C}dm} _{
0}+Mh^{2}} onde o segundo termo é nulo posto que a distancia vectorial media de masa en torno ao centro de masas é nula, pola propia definición de centro de masa.
O centro de gravidade e o centro de masa poden non ser coincidentes, dado que o centro de masa só depende da xeometría do corpo, en cambio, o centro de gravidade depende do campo gravitacional no que se acha o corpo.