Gráfica dunha función

En matemáticas, a gráfica dunha función é un tipo de representación gráfica que permite coñecer intuitivamente o comportamento desa función. Máis formalmente dada unha función: f: X ⟶ Y x ⟼ y
f ( x ) {\displaystyle {\begin{array}{rccl}f: &X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &y
f(x)\end{array}}} a gráfica é o conxunto de todos os pares ordenados (x, f(x)) da función f, é dicir, como un subconxunto do produto cartesiano X {\displaystyle \, X} × Y {\displaystyle \, Y}. Represéntase graficamente mediante unha correspondencia entre os elementos do conxunto dominio e os do conxunto imaxe.
As únicas funcións que se poden trazar de forma non ambigua mediante liñas son as dunha única variable, cun sistema de coordenadas cartesianas, onde cada abscisa representa un valor da variable do dominio e cada ordenada representa o valor correspondente do conxunto imaxe. Se a función é continua, entón a gráfica formará unha liña recta ou curva. No caso de funcións de dúas variables é posible visualizalas de forma unívoca mediante unha proxección xeométrica, mais a partir de tres variables tan só é posible visualizar cortes (cun plano) da función para os que os valores de todas as variables, agás dúas, permanezan constantes. Algúns software de representación empregan ademais cores, ou curvas de nivel o que se pode lograr unha representación satisfactoria.
O concepto de gráfica dunha función xeneralízase á gráfica dunha relación. Cómpre notar que se ben cada función ten unha única representación gráfica, poden existir varias funcións que teñan a mesma, mais con dominios e codominios diferentes. Dominio de definición
Dada unha función f: R → R {\displaystyle f: \mathbb {R} \to \mathbb {R} }, chámase dominio os valores de orixe D {\displaystyle D} nos que está definida, é dicir, x ∈ D ⊂ R {\displaystyle x\in D\subset \mathbb {R} } se ∃ y ∈ R {\displaystyle \exists y\in \mathbb {R} } tal que y
f ( x ) {\displaystyle y
f(x)}:
Casos segundo o intervalo D {\displaystyle D}: Análise dunha función nun punto
Nunha función real do tipo: f: R ⟶ R x ⟼ y
f ( x ) {\displaystyle {\begin{array}{rccl}f: &\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\longmapsto &y
f(x)\end{array}}} Ao analizar esta función nun punto x
a {\displaystyle x
a} aparecen os seguintes casos: F u n c i o ´ n { C o n t i n u a { D e r i v a b l e N o n d e r i v a b l e D e s c o n t i n u a { E v i t a b l e E s e n c i a l { D e p r i m e i r a e s p e c i e { D e s a l t o f i n i t o D e s a l t o i n f i n i t o A s i n t o ´ t i c a D e s e g u n d a e s p e c i e {\displaystyle Funci{\acute {o}}n\left\{{\begin{array}{l}Continua\left\{{\begin{array}{l}Derivable\\Non\; derivable\end{array}}\right. \\Descontinua\left\{{\begin{array}{l}Evitable\\Esencial\left\{{\begin{array}{l}De\; primeira\; especie\left\{{\begin{array}{l}De\; salto\; finito\\De\; salto\; infinito\\Asint{\acute {o}}tica\end{array}}\right. \\De\; segunda\; especie\end{array}}\right. \\\end{array}}\right. \end{array}}\right. } Unha norma mnemotécnica para o estudo da continuidade consiste en ver se para trazar a gráfica dunha función se ten que levantar ou non o lapis; en caso afirmativo dise que a función non é continua ou que hai algún tipo de descontinuidade.
Puntos de continuidade
Definida unha función: f, dos números reais, sobre os números reais, onde a cada x real se lle asocia un y real, representado y
f(x): f: R ⟶ R x ⟼ y
f ( x ) {\displaystyle {\begin{array}{rccl}f: &R&\longrightarrow &R\\&x&\longmapsto &y
f(x)\end{array}}} Se a medida que a variable x se aproxima a un valor a, a variable y se aproxima a un valor L, dise que L é o límite de f cando x tende a a: lim x → a f ( x )
L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x) L} Se unha función ten límite nun punto ese límite ten que ser único (unicidade do límite), o valor do límite, en caso de existir non ten por que coincidir co valor da función nese punto.
Se unha función ten límite nun punto, e o valor do límite é o mesmo que o valor da función nese punto, dise que a función é continua nese punto: lim x → a f ( x )
L
f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x) L f(a)}
Puntos de descontinuidade
Nos puntos extremos de cada intervalo de definición da función, ou nos puntos intermedios dos intervalos de existencia, que presenten descontinuidade, preséntase un punto de descontinuidade, que pode ser dalgún destes tipos: Discontinuidad { Evitable Esencial { De primeira especie { De salto finito De salto infinito Asintótica De segunda especie {\displaystyle {\mbox{Discontinuidad}}{\color {Red}\left\{{\begin{array}{l}{\mbox{Evitable}}\\{\mbox{Esencial}}{\color {PineGreen}\left\{{\begin{array}{l}{\mbox{De primeira especie}}{\color {Blue}\left\{{\begin{array}{l}{\mbox{De salto finito}}\\{\mbox{De salto infinito}}\\{\mbox{Asintótica}}\end{array}}\right. }\\\\{\mbox{De segunda especie}}\end{array}}\right. }\\\end{array}}\right. }} Exemplos
A gráfica da función f ( x )
{ a, se x
1 b, si x
2 c, se x
3. {\displaystyle f(x)
\left\{{\begin{matrix}a, &{\mbox{se }}x
1\\b, &{\mbox{si }}x
2\\c, &{\mbox{se }}x
3. \end{matrix}}\right. } es {(1, a), (2, b), (3, c)}.
A gráfica do polinomio cúbico na recta real f ( x )
x 3 − 9 x {\displaystyle f(x)
{{x^{3}}-9x}\! \ } é {(x, x3-9x): onde x é un número real}. Se o conxunto se representa nun plano cartesiano, o resultado é como o da imaxe. Método para representar a gráfica dunha función dunha variable
Ecuación de primeiro grao
Unha ecuación de primeiro grao é facilmente representada nun eixe coñecendo as súas propiedades. y
m x + n {\displaystyle \, y
mx+n} Nunha ecuación de primeiro grao o número que corresponde a m {\displaystyle \, m} corresponde á tanxente do ángulo que forma a recta respecto ao eixe de abscisas. O valor de n {\displaystyle \, n} corresponde ao punto que corta o eixe de ordenadas.
A representación dunha recta é simple: precísanse dous valores puntos da función a partir de onde se vai representar a recta. Eses dous puntos son de maneira xeral ( 0, n ) {\displaystyle \, (0, n)} e ( − n m, 0 ) {\displaystyle \left(-{\frac {n}{m}}, 0\right)}. Exemplo Para representar unha función polinómica de primeiro grao, en primeiro lugar precísanse dous puntos da recta. Para iso vanse empregar os puntos en que a función corta os eixes. É dicir: Eixe OX: y
2 → x
− 23 {\displaystyle \, y
2\rightarrow x
-{\frac {2}{3}}} Eixe OY: x
0 → y
2 {\displaystyle \, x
0\rightarrow y
2}
Caso xeral
Para representar unha función f ( x ) {\displaystyle \, f(x)} débense seguir os seguintes pasos: O primeiro paso é atopar o dominio D f {\displaystyle \, D_{f}}.
O segundo paso é atopar os cortes cos eixes X {\displaystyle \, X} e Y {\displaystyle \, Y}.
O terceiro paso é atopar o signo da función nos intervalos nos que non existe o dominio ou hai un corte co eixe X {\displaystyle \, X}.
O cuarto paso é calcular as asíntotas que pode ter a función (horizontais, oblicuas e verticais).
O quinto paso é buscar os posibles extremos igualando a primeira derivada a 0.
O sexto paso é estudar a monotonía da función. É dicir, os intervalos en que crece o decrece.
O sétimo paso é atopar os puntos de inflexión igualando a segunda derivada a 0.
O oitavo paso é estudar a forma (cóncava ou convexa) da función.
Exemplo
Estudo da representación gráfica da función: f ( x )
x 2 + 4 x + 3 x 2 + 5 x + 6 {\displaystyle f(x)
{\cfrac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}} Dominio.
Os puntos en que a función non existe son os que o denominador vale 0. Polo tanto: x 2 + 5 x + 6
0 → { x
− 3 x
− 2 {\displaystyle x^{2}+5x+6
0\; \rightarrow \; {\begin{cases}x
-3\\x
-2\end{cases}}} É dicir, o dominio será: D f
( − ∞, − 3 ) ∪ ( − 3, − 2 ) ∪ ( − 2, + ∞ ) {\displaystyle D_{f}
(-\infty, -3)\cup (-3, -2)\cup (-2, +\infty )} Cortes cos eixes.
Os cortes co eixe X {\displaystyle \, X} atópanse cando y
0 {\displaystyle \, y
0} e o corte co eixe Y {\displaystyle \, Y} cando x
0 {\displaystyle \, x
0}. Polo tanto:
Cortes eixe X {\displaystyle \, X}: cando o numerador vale 0: x 2 + 4 x + 3
0 → { x
− 3 x
− 1 {\displaystyle x^{2}+4x+3
0\; \rightarrow \; {\begin{cases}x
-3\\x
-1\end{cases}}} Cortes co eixe Y {\displaystyle \, Y}: é o valor da función para x
0: y
f ( 0 )
02 + 4 ⋅ 0 + 302 + 5 ⋅ 0 + 6 → y
f ( 0 )
12 {\displaystyle y
f(0)
{\frac {0^{2}+4\cdot 0+3}{0^{2}+5\cdot 0+6}}\; \rightarrow \; y
f(0) {\frac {1}{2}}} Signo.
O signo dun intervalo non cambia a menos que haxa unha descontinuidade ou un corte no eixe X {\displaystyle \, X}. Polo tanto, para estudar o signo vanse empregar os intervalos onde se ten a seguridade de que o signo non vai cambiar, que son os seguintes: ( − ∞, − 3 ) → + {\displaystyle (-\infty, -3)\rightarrow +} ( − 3, − 2 ) → + {\displaystyle (-3, -2)\rightarrow +} ( − 2, − 1 ) → − {\displaystyle (-2, -1)\rightarrow -} ( − 1, + ∞ ) → + {\displaystyle (-1, +\infty )\rightarrow +} Asíntotas.
Verticais: As asíntotas verticais ocorren cando a función tende a infinito por un valor real da variable. É dicir, cando o denominador é igual a 0. Para atopalas débese facer o límite cando x {\displaystyle \, x} tende a eses valores. lim x → − 3 x 2 + 4 x + 3 x 2 + 5 x + 6
lim x → − 3 ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )
2 {\displaystyle \lim _{x\to -3}\, {\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}
\lim _{x\to -3}{\frac {(x+1)(x+3)}{(x+2)(x+3)}}
2} lim x → − 2 x 2 + 4 x + 3 x 2 + 5 x + 6
lim x → − 2 − 10
∞ {\displaystyle \lim _{x\to -2}\, {\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}
\lim _{x\to -2}{\frac {-1}{0}}
\infty } Polo que hai unha asíntota vertical x
− 2 {\displaystyle \, x
-2} e un punto baleiro para x
− 3 {\displaystyle \, x
-3}.
Horizontais: Se o límite cando x → ± ∞ {\displaystyle x\to \pm \infty } tende a un número, dise que hai unha asíntota horizontal. lim x → − ∞ x 2 + 4 x + 3 x 2 + 5 x + 6
1 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}
1} lim x → + ∞ x 2 + 4 x + 3 x 2 + 5 x + 6
1 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}
1} Polo que hai asíntota horizontal y
1 {\displaystyle \, y
1} tanto pola dereita como pola esquerda. Ademais, non hai ningunha asíntota oblicua.
Posibles extremos.
Os extremos relativos atópanse buscando os valores polos que f ′ ( x )
0 {\displaystyle f^{\prime }(x)
0}. Polo tanto, primeiro débese atopar a derivada da función: f ′ ( x )
1 x 2 + 4 x + 4 {\displaystyle f^{\prime }(x)
{\frac {1}{x^{2}+4x+4}}} E agora buscar os valores para os que vale cero: 1 x 2 + 4 x + 4
0 {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+4x+4}}
0} 1
0 {\displaystyle 1
0\, } Non ten solución, polo que non hai extremos relativos. Crecemento.
Estudo dos intervalos en que a primeira derivada é positiva ou negativa, é dicir, os intervalos en que a función crece ou decrece: ( − ∞, − 2 ) → f ′ ( x )
+ → f ( x ) c r e c e {\displaystyle (-\infty, -2)\rightarrow f^{\prime }(x)
+\rightarrow f(x)\; \mathrm {crece} } ( − 2, + ∞ ) → f ′ ( x )
+ → f ( x ) c r e c e {\displaystyle (-2, +\infty )\rightarrow f^{\prime }(x)
+\rightarrow f(x)\; \mathrm {crece} } Polo que a función crece na totalidade dos seus puntos. Puntos de inflexión.
A partir da segunda derivada f ′ ′ ( x ) {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)} vanse atopar os puntos de inflexión: f ′ ′ ( x )
− 2 x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)
-{\frac {2}{x^{3}+6\, x^{2}+12\, x+8}}} Igual que antes, non ten solución, polo que non hai puntos de inflexión. Gráfica A función está definida para todo x real, agás para os puntos de descontinuidade: x
-3 e x
-2, no primeiro punto presenta unha descontinuidade evitable, dando o valor (-3, 2); no segundo a descontinuidade é asintótica, sendo a recta vertical x -2 a asíntota.
A función corta o eixe X {\displaystyle \, X} no punto (-1, 0) e o eixe Y {\displaystyle \, Y} en (0, 0. 5).
Para valores de x menores de –2 e maiores de –1 a función toma valores positivos, e para valores comprendidos entre –2 e –1, a función toma valores negativos.
A función é crecente e convexa en todo o domino de definición, e ten unha asíntota horizontal y 1 Funcións de dúas variables
A gráfica da función trigonométrica é f ( x, y )
sin ⁡ ( x 2 ) cos ⁡ ( y 2 ) {\displaystyle f(x, y)
\sin(x^{2})\cos(y^{2})\, } é { ( x, y, sin ⁡ ( x 2 ) cos ⁡ ( y 2 ) ): x e y son números reais }. {\displaystyle \{(x, y, \sin(x^{2})\cos(y^{2})): x{\text{ e }}y{\text{ son números reais}}\}. } Se o conxunto se debuxa no sistema de coordenadas cartesiano tridimensional, o resultado é unha superficie (véxase figura).
En ocasións resulta útil mostrar coa gráfica o gradiente da función e varias curvas de nivel. As curvas poden ser debuxadas sobre a superficie da función o proxectadas no plano inferior. A segunda figura mostra este debuxo da gráfica da función: f ( x, y )
− ( cos ⁡ ( x 2 ) + cos ⁡ ( y 2 ) ) 2 {\displaystyle f(x, y)
-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}\, }