Dimensión dun espazo vectorial

En matemáticas, a dimensión dun espazo vectorial V é a cardinalidade (é dicir, o número de vectores) dunha base de V sobre o seu corpo base. Ás veces chámase dimensión de Hamel ou dimensión alxébrica para distinguilo doutros tipos de dimensión.
Para todo espazo vectorial existe unha base, e todas as bases dun espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade; como resultado, a dimensión dun espazo vectorial defínese de forma única. dicimos V {\displaystyle V} é de dimensión finita se a dimensión de V {\displaystyle V} é finita e de dimensión infinita se a súa dimensión é infinita.
A dimensión do espazo vectorial V {\displaystyle V} sobre o corpo F {\displaystyle F} pódese escribir como dim F ⁡ ( V ) {\displaystyle \dim _{F}(V)} ou como [ V: F ], {\displaystyle [V: F], } lendo "dimensión de V {\displaystyle V} sobre F {\displaystyle F} ". Cando F {\displaystyle F} pódese inferir do contexto adoita escribirse dim ⁡ ( V ) {\displaystyle \dim(V)}. Exemplos
O espazo vectorial R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ten como base estándar { ( 100 ), ( 010 ), ( 001 ) } {\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}},
e polo tanto dim R ⁡ ( R 3 )
3. {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})
3. } De forma máis xeral, dim R ⁡ ( R n )
n, {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})
n, } e aínda máis en xeral, dim F ⁡ ( F n )
n {\displaystyle \dim _{F}(F^{n})
n} para calquera corpo F. {\displaystyle F. } Os números complexos C {\displaystyle \mathbb {C} } son un espazo vectorial real e complexo; temos dim R ⁡ ( C )
2 {\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )
2} e dim C ⁡ ( C )
1. {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )
1. } Podemos ver os complexos como un vector de dous números reais. Polo tanto, a dimensión depende do corpo base. Propiedades
Se W {\displaystyle W} é un subespazo linear de V {\displaystyle V} entón dim ⁡ ( W ) ≤ dim ⁡ ( V ). {\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V). } O espazo R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ten a base estándar { e 1, …, e n }, {\displaystyle \left\{e_{1}, \ldots, e_{n}\right\}, } onde e i {\displaystyle e_{i}} é a i {\displaystyle i} -ésima columna da matriz de identidade correspondente. Polo tanto, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ten dimensión n. {\displaystyle n. } Calquera espazos vectoriais de dúas dimensións finitas sobre F {\displaystyle F} coa mesma dimensión son isomorfos. Calquera mapa bixectivo entre as súas bases pódese estender de forma única a un mapa linear bixectivo entre os espazos vectoriais. Se B {\displaystyle B} é algún conxunto, un espazo vectorial con dimensión | B | {\displaystyle |B|} sobre F {\displaystyle F} pódese construír do seguinte xeito: tomamos o conxunto F ( B ) {\displaystyle F(B)} de todas as funcións f: B → F {\displaystyle f: B\to F} tal que f ( b )
0 {\displaystyle f(b)
0} para todos menos finitamente moitos b {\displaystyle b} en B. {\displaystyle B. } Estas funcións pódense sumar e multiplicar con elementos de F {\displaystyle F} para obter o desexado espazo vectorial F {\displaystyle F} l.
Un resultado importante sobre as dimensións vén dado polo teorema de rango-nulidade para mapas lineares.
Se F / K {\displaystyle F/K} é unha extensión de corpo, entón F {\displaystyle F} é en particular un espazo vectorial sobre K. {\displaystyle K. } Ademais, todo F {\displaystyle F} -espazo vectorial V {\displaystyle V} tamén é un K {\displaystyle K} -espazo vectorial. As dimensións están relacionadas coa fórmula dim K ⁡ ( V )
dim K ⁡ ( F ) dim F ⁡ ( V ). {\displaystyle \dim _{K}(V)
\dim _{K}(F)\dim _{F}(V). } En particular, todo espazo vectorial complexo de dimensión n {\displaystyle n} é un espazo vectorial real de dimensión 2 n. {\displaystyle 2n. } Algunhas fórmulas relacionan a dimensión dun espazo vectorial coa cardinalidade do corpo base e a cardinalidade do propio espazo. Se V {\displaystyle V} é un espazo vectorial sobre un corpo F {\displaystyle F} e se a dimensión de V {\displaystyle V} denotase por dim ⁡ V, {\displaystyle \dim V, } entón: Se dim V {\displaystyle V} é finito entón | V |
| F | dim ⁡ V. {\displaystyle |V|
|F|^{\dim V}. } Se dim V {\displaystyle V} é infinito entón | V |
max ( | F |, dim ⁡ V ). {\displaystyle |V|
\max(|F|, \dim V). }