Distribución Weibull

Na teoría da probabilidade e na estatística, a Distribución Weibull (chamada así por Waloddi Weibull) é unha función de distribución de probabilidade continua con función de densidade f ( x; k, λ )
( k / λ ) ( x / λ ) ( k − 1 ) e − ( x / λ ) k {\displaystyle f(x; k, \lambda )
(k/\lambda )(x/\lambda )^{(k-1)}e^{-(x/\lambda )^{k}}\, } onde x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} e k > 0 {\displaystyle k>0} é o parámetro de forma e λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} é o parámetro de escala da distribución.
A función de densidade está definida como F ( x; k, λ )
1 − e − ( x / λ ) k {\displaystyle F(x; k, \lambda )
1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\, } onde de novo x > 0 {\displaystyle x>0}.
As distribucións Weibull úsanse a miúdo para modelar o tempo entre fallos de equipos. Se a velocidade de fallo do equipo decrece co tempo, escóllese un k < 1 {\displaystyle k<1} (resultando unha densidade decrecente f {\displaystyle f} ). Se a velocidade de fallo do equipo é constante co tempo, escóllese k
1 {\displaystyle k
1}, resultando de novo nunha función decrecetnte f {\displaystyle f}. Se a velocidade de fallo do equipo increméntase co tempo, escóllese un k > 1 {\displaystyle k>1} e obtense unha densidade f {\displaystyle f} a cal se incrementa ata un máximo e logo decrece sempre. Os construtores de equipos acostuman subministrar os parámetros de forma e escala para a distribución de vida útil dos equipos. A distribución Weibull tamén se acostuma utilizar para modelar a velocidade de vento nunha zona concreta da Terra. De novo, cada zona está caracterizada polos seus parámetros de escala e forma. Propiedades
O momento de orde n vén dado por: m n
λ n Γ ( 1 + n / k ) {\displaystyle m_{n}
\lambda ^{n}\Gamma (1+n/k)\, } onde Γ {\displaystyle \Gamma } é a función gamma. O valor esperado e o desvío estándar dunha variable aleatoria Weibull poden expresarse como: E ( X )
λ Γ ( 1 + 1 / k ) {\displaystyle {\textrm {E}}(X)
\lambda \Gamma (1+1/k)\, } e var ( X )
λ 2 [ Γ ( 1 + 2 / k ) − Γ 2 ( 1 + 1 / k ) ] {\displaystyle {\textrm {var}}(X)
\lambda ^{2}[\Gamma (1+2/k)-\Gamma ^{2}(1+1/k)]\, } Xeración de variables aleatorias Weibull
Dada unha variable aleatoria U derivada dunha distribución uniforme no intervalo (0, 1], entón a variable X
λ ( − ln ⁡ ( U ) ) 1 / k {\displaystyle X
\lambda (-\ln(U))^{1/k}\, } ten unha distribución Weibull con parámetros k e λ. Isto vén dado da forma da función de distribución da variable. Distribucións relacionadas
X ∼ E x p o n e n t i a l ( λ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )} é unha distribución exponencial se X ∼ W e i b u l l ( γ
1, λ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma
1, \lambda )}. X ∼ R a y l e i g h ( β ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Rayleigh} (\beta )} é unha distribución Rayleigh se X ∼ W e i b u l l ( γ
2, β ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma
2, \beta )}. λ ( − ln ⁡ ( X ) ) 1 / k {\displaystyle \lambda (-\ln(X))^{1/k}\, } é unha distribución Weibull se X ∼ U ( 0, 1 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {U} (0, 1)} (uniforme en ( 0, 1 ) {\displaystyle (0, 1)} ). Usos
A distribución Weibull úsase a miúdo no sitio da distribución normal debido ó feito de que unha variable Weibull pode xerarse mediante inversión, mentres que as variables normais se xeran tipicamente utilizando o método Box-Muller, que require dúas variables aleatorias uniformes. As distribucións Weibull tamén se poden utilizar para representar tempos de entrega e proceso en problemas de enxeñería industrial.