Fracción (matemáticas)

En matemáticas, unha fracción (do latín fractus, -a, um, 'roto', adxectivo que é o participio pasado de frango, frēgi, fractum, 'romper', 'quebrar') é a expresión dunha cantidade dividida entre outra.
Diversas fraccións poden ter o mesmo valor (chamadas fraccións equivalentes); o conxunto de todas as fraccións equivalentes denomínase número racional. É a división racional que hai entre o numerador e o denominador. Vocabulario
Nunha fracción, o numerador é o termo matemático que define ao número dunha fracción que representa o número de partes congruentes que se consideraron despois de dividir a unidade (sempre maior que 0) en tantas partes iguais como indica o denominador.
A fracción quedará claramente definida mediante a parella de termos numerador e denominador. Normalmente, ámbolos dous aparecen xuntos para representar á fracción e son distinguíbeis pola súa localización na fracción: o numerador ocupa unha posición superior e o denominador, inferior. No caso de atoparse ámbolos dous á mesma altura, ocuparán as posicións de esquerda e dereita, respectivamente. Pódese dicir que o denominador dá nome, denomina, á fracción, e clasifícaa como: medio, terzo, cuarto, quinto, sexto, dezaseisavo, etc. segundo se o seu denominador é 2, 3, 4, 5, 6, 16, etc. Representación das fraccións
As fraccións pódense representar de diversas formas; así, a fracción "tres dividido entre catro", "tres entre catro", "tres partido por catro" ou "tres cuartos" pode escribirse de calquera destas formas: 34 {\displaystyle {\dfrac {3}{4}}} 3 ÷ 4
3: 4
3 / 4
3/4 (¾)
Neste exemplo, o número 3 chámase numerador e o 4 denominador. As fraccións son números racionais, o que significa que o numerador e o denominador son números enteiros. O seu valor, en forma decimal, é 0, 75, o mesmo resultado que se obtén ao dividir 3 entre 4.
No caso dunha representación gráfica, pódese trazar un círculo dividido en catro partes iguais, das que se retiraría unha das catro partes: as tres partes sobrantes representan a fracción ¾. Clasificación das fraccións
Existen diversas formas para clasificar as fraccións, entre as que están as seguintes: Segundo a relación entre o numerador e o denominador:
Fracción propia: fracción que ten o denominador maior que o numerador: ⅓, ⅜, ¾…
Fracción impropia: fracción na que o numerador é maior que o denominador: 13/6, 18/8, 5/2…
Segundo a relación entre os denominadores:
Fraccións homoxéneas: fraccións que teñen o mesmo denominador: ¼ e ¾
Fraccións heteroxéneas: fraccións que teñen diferentes denominadores: ¼ e ⅔
Segundo a relación entre o numerador e o denominador:
Fracción reducíbel: fracción na que o numerador e o denominador non son primos entre si e pode simplificarse: 6/12
Fracción irredutíbel: fracción na que o numerador e o denominador son primos entre si e, por tanto, non pode simplificarse: ½
Outras clasificacións:
Fracción unitaria: fracción común de numerador 1.
Fracción exipcia: sistema de representación das fraccións no antigo Exipto no que cada fracción se expresa como suma de fraccións unitarias.
Fracción aparente ou enteira: fracción que representa calquera número pertencente ao conxunto dos enteiros: 3/3
1, ¹⅔
4… Fracción decimal: fracción cuxo denominador é unha potencia de dez. Tamén pode ser unha fracción expresada en base 10, en contraposición coas fraccións binarias e demais, que están expresadas noutros sistemas de numeración.
Fracción mixta: suma dun enteiro e unha fracción propia. As fraccións mixtas pódense expresar como fraccións impropias: 3¼
Unha fracción irracional é, dado que todas as fraccións deben poder ser expresadas como fraccións vulgares, un termo autocontraditorio. Un número irracional é, por definición, non racional, é dicir, non pode expresarse como unha fracción vulgar.
Unha fracción continua é unha expresión como esta: x
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + … {\displaystyle x
a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}} onde os ai son enteiros positivos.
Fracción composta: fracción cuxo numerador ou denominador (ou os dous) contén á súa vez fraccións.
Fracción parcial: fracción que pode usarse para descompoñer unha función racional.
Fracción como razón: fracción que serve para responder á pregunta en que relación están? , xa que pon de manifesto a relación que manteñen un par de números que poden provir dunha comparación. Fracción dunha cantidade
De querermos dividir unha cantidade en varias partes e indicar un número destas partes, podemos facelo mediante fraccións, dividindo a cantidade polo denominador e multiplicando o resultado polo numerador. Así, se queremos indicar ¾ (tres cuartos, ou tres cuartas partes) de 453, hai que dividir 453 entre o denominador (neste caso, 4) e multiplicar o resultado polo numerador (neste caso, 3). O número obtido é a fracción que queremos indicar. Operacións con fraccións
Amplificación e simplificación de fraccións
A amplificación dunha fracción consiste en multiplicar o numerador e o denominador por un mesmo número enteiro. Da mesma maneira, a simplificación dunha fracción consiste en dividir o numerador e o denominador entre un mesmo número enteiro, que xeralmente será un dos seus factores comúns. En ambos os casos, obtense unha fracción equivalente.
Exemplos: 23
2 ⋅ 43 ⋅ 4
812 {\displaystyle {\frac {2}{3}}
{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}
{\frac {8}{12}}} (Nesta amplificación da fracción ⅔, multiplícase numerador e denominador por 4) 1025
105255
25 {\displaystyle {\frac {10}{25}}
{\frac {\frac {10}{5}}{\frac {25}{5}}}
{\frac {2}{5}}} (Aquí simplifícase 10/25 a ⅖ dividindo numerador e denominador entre 5)
Comparación de fraccións
A comparación de dúas fraccións utilízase para comprobar cal é maior. Existen varios métodos: O método xeral consiste en amplificar as dúas fraccións de modo que teñan o mesmo denominador (por exemplo, que teñan o mínimo común múltiplo (MCM) das fraccións orixinais.
Por exemplo, para 512 {\displaystyle {\frac {5}{12}}} e 38 {\displaystyle {\frac {3}{8}}}, o MCM de 12 e 8 é 24, polo que bastaría con multiplicar (amplificar) a primeira fracción nun factor de 2 e a segunda nun factor de 3. Obtense 512
1024 {\displaystyle {\frac {5}{12}}
{\frac {10}{24}}}, que é maior que 38
924 {\displaystyle {\frac {3}{8}}
{\frac {9}{24}}} Se o numerador das dúas fraccións é o mesmo, a fracción co menor denominador é maior cá outra. Isto é bastante natural: se temos dúas tortas iguais, unha para repartir entre máis persoas que a outra, a que se reparta entre menos persoas estará partida en porcións máis grandes.
Se o denominador das dúas fraccións é o mesmo, a fracción co maior numerador é maior cá outra.
Suma e resta de fraccións
Para sumar ou restar fraccións, temos dous casos:
Teñen o mesmo denominador
Entón súmanse ou réstanse os numeradores e deixase o denominador común. Exemplo 1: 27 + 37
57 {\displaystyle {\frac {2}{7}}+{\frac {3}{7}}
{\frac {5}{7}}} É posíbel que o resultado poida simplificarse. Exemplo 2: 712 − 112
612
12 {\displaystyle {\frac {7}{12}}-{\frac {1}{12}}
{\frac {6}{12}}
{\frac {1}{2}}}
Teñen distinto denominador
Entón hai que amplificar as fraccións para que teñan o mesmo denominador e despois sumar (ou restar). Fórmula típica para a suma: a b + c d
a d b d + b c b d
a d + b c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}
{\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}
{\frac {ad+bc}{bd}}} Fórmula típica para a resta: a b − c d
a d b d − b c b d
a d − b c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}
{\frac {ad}{bd}}-{\frac {bc}{bd}}
{\frac {ad-bc}{bd}}} Exemplo 1: 27 + 13
621 + 721
6 + 721
1321 {\displaystyle {\frac {2}{7}}+{\frac {1}{3}}
{\frac {6}{21}}+{\frac {7}{21}}
{\frac {6+7}{21}}
{\frac {13}{21}}} Observación: En realidade, non fai falta amplificar as fraccións de modo que o denominador resultante sexa o produto dos denominadores das fraccións iniciais. Basta con tomar o mínimo común múltiplo dos denominadores: Fórmula para a suma: a b + c d
a ⋅ m c m ( b, d ) b + c ⋅ m c m ( b, d ) d m c m ( b, d ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}
{\frac {a\cdot {\frac {mcm(b, d)}{b}}+c\cdot {\frac {mcm(b, d)}{d}}}{mcm(b, d)}}} Fórmula para a resta: a b − c d
a ⋅ m c m ( b, d ) b − c ⋅ m c m ( b, d ) d m c m ( b, d ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}
{\frac {a\cdot {\frac {mcm(b, d)}{b}}-c\cdot {\frac {mcm(b, d)}{d}}}{mcm(b, d)}}} Exemplo 2: 78 − 512
7 ⋅ 3 − 5 ⋅ 224
21 − 1024
1124 {\displaystyle {\frac {7}{8}}-{\frac {5}{12}}
{\frac {7\cdot 3-5\cdot 2}{24}}
{\frac {21-10}{24}}
{\frac {11}{24}}} Ao final da operación, pode que sexa preciso realizar outra simplificación.
Produto e cociente de fraccións
Para multiplicar dúas fraccións basta con multiplicar os numeradores por unha parte e os denominadores por outra: Fórmula para o produto: a b ⋅ c d
a ⋅ c b ⋅ d {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}
{\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}} Exemplo: 34 ⋅ 52
3 ⋅ 54 ⋅ 2
158 {\displaystyle {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{2}}
{\frac {3\cdot 5}{4\cdot 2}}
{\frac {15}{8}}} No cociente de fraccións, o numerador da fracción resultante é o produto do numerador da fracción dividindo polo denominador da fracción divisor, mentres que o denominador é igual ao denominador da fracción dividendo multiplicado polo numerador da fracción divisor. Outra maneira de imaxinalo é que dividir entre un número é o mesmo que multiplicar polo inverso dese número, polo que o cociente entre dúas fraccións é igual ao produto da primeira fracción polo inverso da segunda: a b c d
a b ⋅ d c
a d b c {\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}
{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}
{\frac {ad}{bc}}}