Función multiplicativa

En aritmética, unha función multiplicativa é unha función aritmética f: ℕ* → ℂ a cumprir as dúas condicións seguintes: f (1) 1;
para todos os números enteiros a e b > 0 coprimos entre si, temos: f(ab) f(a)f(b).
Unha función completamente multiplicativa é unha función aritmética g que satisfai: g (1) 1;
para todos os números enteiros a e b > 0, temos: g (ab) g(a)g(b).
As funcións multiplicativas ocorren en particular na teoría analítica de números, nas series de Dirichlet. Determinación e exemplos
Unha función multiplicativa ƒ está totalmente determinada polos seus valores nas potencias distintas de cero dos números enteiros primos. De feito, segundo o teorema fundamental da aritmética, calquera número enteiro n > 0 admite unha descomposición nun produto de factores primos, único sen ter en conta a orde dos factores: n
∏ i
1 r p i k i {\displaystyle n
\prod _{i
1}^{r}p_{i}^{k_{i}}} onde os pi son números primos e os ki son enteiros naturais, con (para garantir a unicidade): a secuencia finita de pi é estritamente crecente e cada ki (chamada valoración pi-ádica de n) é distinto de cero.
Ao aplicar ƒ, temos: f ( n )
∏ i
1 r f ( p i k i ). {\displaystyle f(n)
\prod _{i
1}^{r}f(p_{i}^{k_{i}}). } Non hai restricións adicionais: calquera secuencia de números complexos indexada polas potencias distintas de cero dos números enteiros primos dá, a través da fórmula anterior, unha función multiplicativa única.
Por razóns análogas, unha función completamente multiplicativa g está totalmente determinada polos seus valores nos números primos. Usando as notacións anteriores: g ( n )
∏ i
1 r g ( p i ) k i. {\displaystyle g(n)
\prod _{i
1}^{r}g(p_{i})^{k_{i}}. } Estas consideracións proban que hai unha infinidade de funcións completamente multiplicativas. Exemplos
Algunhas funcións multiplicativas defínense para facilitar a escritura de fórmulas: 1(n): a función constante, definida por 1(n) 1 (completamente multiplicativa)
Id(n): función de identidade, definida por Id(n) n (completamente multiplicativa)
Idk(n): as funcións de potenciación, definidas por Idk(n) nk para calquera número complexo k (completamente multiplicativa). Como casos especiais temos
Id0(n) 1(n).
Id1(n) Id(n).
ε(n): a función definida por ε(n)
1 se n
1 e 0 en caso contrario, ás veces chamada unidade de multiplicación para a convolución de Dirichlet ou simplemente a función unitaria (completamente multiplicativa). Ás veces escríbese como u(n), mais non se debe confundir con μ(n).
1C(n), a función indicadora do conxunto C ⊂ Z, para certos conxuntos C. A función indicadora 1C(n) é multiplicativa precisamente cando o conxunto C ten a seguinte propiedade para calquera número coprimo a e b: o produto ab está en C se e só se os números a e b están ambos os dous en C. Este é o caso se C é o conxunto de cadrados, cubos ou k-ésimas potencias, ou se C é o conxunto de números sen cadrados.
Outros exemplos de funcións multiplicativas inclúen moitas funcións de importancia na teoría de números, como: gcd(n, k): o máximo común divisor de n e k, en función de n, onde k é un número enteiro fixo. φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)}: función totiente de Euler φ {\displaystyle \varphi }, para contar os enteiros positivos coprimos ata n.
μ(n): a función de Möbius, a paridade (−1 para impar, +1 para par) do número de factores primos de números libres de cadrados; 0 se n non está libre de cadrados.
σk(n): a función divisor, que é a suma das k-ésimas potencias de todas os divisores positivos de n (onde k pode ser calquera número complexo). Casos especiais que temos
σ0(n) d(n) o número de divisores positivos de n' ',
σ1(n) σ(n), a suma de todos os divisores positivos de n.
A suma das k-ésimas potencias dos divisores unitarios denótase por σ*k(n): σ k ∗ ( n )
∑ d ∣ n gcd ( d, n / d )
1 d k. {\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)
\sum _{d\, \mid \, n \atop \gcd(d, \, n/d)
1}\! \! d^{k}. } a(n): o número de grupos abelianos non isomorfos de orde n.
λ(n): a función de Liouville, λ(n) (−1)Ω(n) onde Ω(n) é o número total de primos (contados coa multiplicidade) que dividen n. (completamente multiplicativa).
γ(n), definido por γ(n) (−1)ω(n), onde a función aditiva ω(n) é a cantidade de números primos distintos que dividen n.
τ(n): a función tau de Ramanujan.
Todos os caracteres de Dirichlet son ​​funcións completamente multiplicativas. Por exemplo ( n p ) {\displaystyle \left({\frac {n}{p}}\right)}, o símbolo de Legendre, considerado como función de n onde p é un número primo.
Un exemplo de función non multiplicativa é a función aritmética r2(n): o número de representacións de n como suma de cadrados de dous enteiros, positivo, negativo ou cero, onde ao contar o número de camiños se permite a inversión da orde. Por exemplo: 1
12 + 02
(−1)2 + 02
02 + 12
02 + (−1)2 e polo tanto r2(1) 4 ≠ 1. Isto mostra que a función non é multiplicativa. No entanto, r2(n)/4 é multiplicativa.
Na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras, as secuencias de valores dunha función multiplicativa teñen a palabra clave "mult".
Vexa función aritmética para algúns outros exemplos de funcións non multiplicativas. Propiedades elementais
Ser multiplicativa e multiplicativa completa consérvase por produto, módulo e conxugación.
Na súa definición, a primeira condición (a imaxe de 1 é igual a 1) pódese substituír por: a función é distinta de cero.
Se ƒ é multiplicativa daquela ∀ a, b ∈ N ∗, f ( a ) f ( b )
f ( gcd ( a, b ) ) f ( lcm ⁡ ( a, b ) ) {\displaystyle \forall a, b\in \mathbb {N} ^{*}, \quad f(a)~f(b)
f({\gcd }(a, b))~f(\operatorname {lcm} (a, b))} onde gcd é o máximo común divisor e lcm é o mínimo común múltiplo dos números enteiros. Convolución de Dirichlet
A convolución de Dirichlet de dúas funcións aritméticas ƒ e g é a función ƒ ✻ g definida por: ∀ n ∈ N ∗ ( f ∗ g ) ( n )
∑ d | n f ( d ) g ( n / d ) {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad (f*g)(n)
\sum _{d|n}f(d)g(n/d)} Ou " d|n » significa que a suma faise sobre todos os enteiros positivos d divisores de n.
Demóstrase logo que se ƒ e g son multiplicativas, ƒ ✻ g tamén o é, e que o conxunto de funcións multiplicativas, equipadas con esta lei interna, é un grupo abeliano, con elemento neutro δ1.
As relacións máis importantes verificadas son: μ ✻ 1 δ1,
Jk ✻ 1
Idk e (pola inversión de Möbius) Jk
μ ✻ Id k, en particular
φ ✻ 1
Id e φ
μ ✻ Id,
σ k
Id k ✻ 1 e (pola inversión de Möbius) Id k
σ k ✻ μ, en particular
d
1 ✻ 1 e 1
d ✻ μ,
σ
Id ✻ 1 e Id
σ ✻ μ,
σ k
Jk ✻ d (a través de Id k ✻ 1
Jk ✻ 1 ✻ 1 ), en particular
σ φ✻d. Produto de Euler
Formalmente, unha función aritmética f está asociada a unha serie de Dirichlet: ∑ n
1 ∞ f ( n ) n s {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}.
O produto formal da serie asociada a f e g é, por definición, a serie asociada a f ✻ g. Definimos de xeito análogo o produto formal dunha secuencia infinita de funcións aritméticas f i, sempre que f i (1)
1 e que a serie que define cada coeficiente do produto sexa absolutamente converxente: ∏ i ∑ n i
1 ∞ f i ( n i ) n i s:
∑ n
1 ∞ ∑ ∏ n i
n ∏ i f i ( n i ) n s {\displaystyle \prod _{i}\sum _{n_{i}
1}^{\infty }{\frac {f_{i}(n_{i})}{n_{i}^{s}}}:
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\sum _{\prod n_{i} n}\prod _{i}f_{i}(n_{i})}{n^{s}}}}.
O caso máis importante é o dun produto de Euler, é dicir, onde os índices i son os números primos, entón soen denotarse máis ben pola letra p, no que as funcións aritméticas fp están definidas a partir dunha función multiplicativa f por: fp coincide con f nas potencias de p e é cero noutro lugar. Este produto (da serie asociada a fp) é entón igual á serie asociada a f. Se esta última é absolutamente converxente, esta igualdade formal tamén é certa no sentido da análise. Vexa a sección de exemplos do artigo sobre a serie Dirichlet.