Primo xemelgo

Un número primo xemelgo é un número primo que é 2 menos ou 2 máis que outro número primo, por exemplo, un membro do par (17, 19) ou do par (41, 43). Noutras palabras, un primo xemelgo é un primo que ten un intervalo entre primos de dous. Tamén pode darse o nome a ambos os dous como par primo.
Os primos xemelgos vólvense cada vez máis raros a medida que se examinan intervalos máis grandes, de acordo coa tendencia xeral das diferenzas entre números primos adxacentes a facerse máis grandes a medida que os propios números se fan máis grandes. Porén, descoñécese se hai infinitos números primos xemelgos (a chamada conxectura dos primos xemelgos). O significativo avance dado polo traballo de Yitang Zhang no 2013, así como o traballo de James Maynard, Terence Tao e outros, foi un progreso substancial para demostrar que hai infinitos números primos xemelgos, mais polo momento isto segue sen resolverse. Propiedades
Os primeiros pares primos xemelgos son (sen considerar o 2) (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), .. . (secuencia A077800 na OEIS)
Cinco é o único primo que pertence a dous pares, xa que cada par primo xemelgo maior que (3, 5) ten a forma ( 6 n − 1, 6 n + 1 ) {\displaystyle (6n-1, 6n+1)} para algún número natural n; é dicir, o número entre os dous primos é múltiplo de 6. Por tanto, a suma de calquera par de primos xemelgos (que non sexan 3 e 5) é divisible por 12.
Teorema de Brun
En 1915, Viggo Brun demostrou que a suma dos recíprocos dos primos xemelgos era converxente. Este famoso resultado, chamado teorema de Brun, foi o primeiro uso da criba de Brun e axudou a iniciar o desenvolvemento da moderna teoría da criba. A versión moderna do argumento de Brun pode usarse para mostrar que o número de primos xemelgos menores que N non supera C N ( log ⁡ N ) 2 {\displaystyle {\frac {CN}{(\log N)^{2}}}} para algunha constante C > 0. De feito, está limitado superiormente por 8 C 2 N ( log ⁡ N ) 2 [ 1 + O ⁡ ( log ⁡ log ⁡ N log ⁡ N ) ], {\displaystyle {\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right], } onde C 2 {\displaystyle C_{2}} é a constante primo xemelgo (lixeiramente menor que 2/3), que se indica a continuación. Conxectura dos primos xemelgos
A cuestión de se existen infinitos números primos xemelgos ten sido unha das grandes cuestións abertas na teoría dos números durante moitos anos. En 1849, de Polignac fixo a conxectura máis xeral de que para cada número natural k, hai infinitos números primos p tal que p + 2k tamén é primo. O caso k 1 da conxectura de Polignac é a conxectura do primo xemelgo.
Unha forma máis forte da conxectura do primo xemelgo, a conxectura de Hardy-Littlewood (ver máis abaixo), postula unha lei de distribución para os primos xemelgos semellante ao teorema dos números primos.
O 17 de abril do 2013, Yitang Zhang anunciou unha proba de que para algún N enteiro que é inferior a 70 millóns, hai infinitos pares de primos que difiren en N. O artigo de Zhang foi aceptado a principios de maio do 2013. Terence Tao propuxo posteriormente un proxecto colaborativo, o Proxecto Polymath, para optimizar o límite de Zhang.
A partir do 14 de abril do 2014, un ano despois do anuncio de Zhang, o límite reduciuse a 246. Estes límites mellorados foron descubertos mediante un enfoque diferente que era máis sinxelo que o de Zhang e foi descuberto de forma independente por James Maynard e Terence Tao. Este segundo enfoque tamén deu límites para o f (m) máis pequeno necesario para garantir que infinitos intervalos de ancho f (m) conteñan polo menos m primos. A maiores (ver tamén a seguinte sección) asumindo a conxectura de Elliott-Halberstam e a súa forma xeneralizada, a wiki do Proxecto Polymath afirma que a cota é 12 e 6, respectivamente.
Un fortalecemento da conxectura de Goldbach, se se proba, tamén probaría que hai un número infinito de primos xemelgos, así como a existencia de ceros de Siegel. Outros teoremas máis febles que a conxectura dos primos xemelgos
En 1940, Paul Erdős demostrou que hai unha constante c < 1 e infinitos números primos p tal que p′ − p < c ln p onde p′ denota o seguinte primo despois de p. O que isto significa é que podemos atopar infinitos intervalos que conteñan dous primos (p, p′) sempre que estes intervalos medren lentamente en tamaño mentres pasamos a números primos cada vez máis grandes. Aquí, "medrar lentamente" significa que a lonxitude destes intervalos pode crecer logarítmicamente. Este resultado foi mellorando sucesivamente; en 1986 Helmut Maier demostrou que se pode utilizar unha constante c < 0. 25. En 2004 Daniel Goldston e Cem Yıldırım demostraron que a constante podería mellorarse aínda máis ata c
0. 085786. .. . En 2005, Goldston, Pintz e Yıldırım estabeleceron que c se pode escoller para que sexa arbitrariamente pequeno, é dicir lim inf n → ∞ ( p n + 1 − p n log ⁡ p n )
0. {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right) 0~. } Asumindo a conxectura de Elliott-Halberstam ou unha versión lixeiramente feble, puideron demostrar que hai infinitos n tal que polo menos dous de n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18 ou n + 20 son primos. Baixo unha hipótese máis forte demostraron que para infinitos n, polo menos dous de n, n + 2, n + 4 e n + 6 son primos.
O resultado de Yitang Zhang, lim inf n → ∞ ( p n + 1 − p n ) < N c o n N
7 × 107, {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {con} ~N
7\times 10^{7}, } é unha gran mellora no resultado Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım. A optimización do proxecto Polymath do límite de Zhang e o traballo de Maynard reduciron o límite: o límite inferior é como máximo 246. Conxecturas
Primeira conxectura de Hardy-Littlewood
A primeira conxectura de Hardy-Littlewood (chamada en honor a GH Hardy e John Littlewood) é unha xeneralización da conxectura dos primos xemelgos. Trata da distribución de constelacións de primos, incluíndo números primos xemelgos, en analoxía co teorema dos números primos. π 2 ( x ) {\displaystyle \pi _{2}(x)} denota o número de primos p ≤ x tal que p + 2 tamén é primo. Definimos a constante primo xemelgo C2 como C 2
∏ p p r i m e, p ≥ 3 ( 1 − 1 ( p − 1 ) 2 ) ≈ 0. 660161815846869573927812110014 …. {\displaystyle C_{2}
\prod _{\textstyle {p\; \mathrm {prime, } \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0. 660161815846869573927812110014\ldots. } (Aquí o produto esténdese sobre todos os números primos p ≥ 3), daquela un caso especial da primeira conxectura de Hardy-Littlewood resulta en π 2 ( x ) ∼ 2 C 2 x ( ln ⁡ x ) 2 ∼ 2 C 2 ∫ 2 x d t ( ln ⁡ t ) 2 {\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}} no sentido de que o cociente das dúas expresións tende a 1 cando x se achega ao infinito. (O segundo ~ non forma parte da conxectura e está demostrado pola integración por partes).
A conxectura pódese xustificar (mais non probarse) supoñendo que 1 ln ⁡ t {\displaystyle {\tfrac {1}{\ln t}}} describe a función de densidade da distribución dos primos. Esta suposición, que é suxerida polo teorema dos números primos, implica a conxectura dos primos xemelgos, como se mostra na fórmula para π 2 ( x ) {\displaystyle \pi _{2}(x)}.
A conxectura de Polignac
A conxectura de Polignac de 1849 afirma que para cada número enteiro par positivo k, hai infinitos pares primos consecutivos p e p′ tal que p′ − p
k (é dicir, hai infinitos intrvalos entre primos de tamaño k ). O caso k
2 é a conxectura dos primos xemelgos. A conxectura aínda non foi comprobada nin desmentida para ningún valor específico de k, mais o resultado de Zhang demostra que é certo para polo menos un valor de k (actualmente descoñecido). De feito, se tal k non existise, daqula para calquera número natural par positivo N hai como máximo un número finito n tal que p n + 1 − p n
m {\displaystyle p_{n+1}-p_{n}
m} para todo m < N e así para n suficientemente grande temos p n + 1 − p n > N, {\displaystyle p_{n+1}-p_{n}>N, } o que contradiría o resultado de Zhang. Primos xemelgos grandes
A partir de 2007, dous proxectos de computación distribuída, Twin Prime Search e PrimeGrid, produciron varios récords números primos xemelgos máis grandes. No 2016 o par primo xemelgo máis grande coñecido era 2996863034895 × 21290000 ± 1, con 388342 díxitos decimais. Foi descuberto en setembro de 2016.
Hai 808. 675. 888. 577. 436 pares de primos xemelgos inferiores 1018 {\displaystyle 10^{18}}. Primo illado
Un primo illado (ou primo non xemelgo) é un número primo p tal que nin p − 2 nin p + 2 é primo. Noutras palabras, p non forma parte dun par primo xemelgo. Por exemplo, 23 é un primo illado, xa que 21 e 25 son ambos os dous compostos.
Os primeiros primeiros illados son 2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97, .. . (secuencia A007510 na OEIS).
Do teorema de Brun despréndese que case todos os primos están illados no sentido de que a razón entre o número de primos illados inferiores a un determinado limiar n e o número de todos os primos inferiores a n tende a 1 segundo n tende ao infinito.