Serie de Laurent

En matemáticas, a serie de Laurent dunha función complexa f ( z ) {\displaystyle f(z)} é unha representación desa función como unha serie de potencias que inclúe termos de grao negativo. Pode usarse para expresar funcións complexas en casos onde non se pode aplicar unha expansión en serie de Taylor. A serie de Laurent recibiu o nome de Pierre Alphonse Laurent, quen a publicou por primeira vez en 1843. Karl Weierstrass xa a describira nun artigo escrito en 1841, pero non se publicou ata 1894. Definición
A serie de Laurent para unha función complexa f ( z ) {\displaystyle f(z)} sobre un punto arbitrario c {\displaystyle c} vén dada por f ( z )
∑ n
− ∞ ∞ a n ( z − c ) n, {\displaystyle f(z)
\sum _{n
-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}, } onde os coeficientes a n {\displaystyle a_{n}} están definidos por unha integral de contorno que xeneraliza a fórmula integral de Cauchy: a n
12 π i ∮ γ f ( z ) ( z − c ) n + 1 d z. {\displaystyle a_{n}
{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-c)^{n+1}}}\, dz. } O camiño de integración γ {\displaystyle \gamma } é en sentido antihorario arredor dunha curva de Jordan que encerra c {\displaystyle c} e está dentro dun anel A {\displaystyle A} no que f ( z ) {\displaystyle f(z)} é holomorfa (analítica). A expansión para f ( z ) {\displaystyle f(z)} será logo válida en calquera punto dentro do anel. O anel móstrase en vermello na figura da dereita, xunto cun exemplo dun camiño de integración adecuado etiquetado como γ {\displaystyle \gamma }. Cando γ {\displaystyle \gamma } se define como o círculo | z − c |
ϱ {\displaystyle |z-c|
\varrho }, onde r < ϱ < R {\displaystyle r<\varrho <R}, isto equivale
a calcular os coeficientes de Fourier complexos da restrición de f {\displaystyle f} a γ {\displaystyle \gamma }. O feito de que estas integrais non muden cunha deformación do contorno γ {\displaystyle \gamma } é unha consecuencia inmediata do teorema de Green. Converxencia
As series de Laurent con coeficientes complexos son unha ferramenta importante na análise complexa, especialmente para investigar o comportamento das funcións preto de singularidades.
Consideremos, por exemplo, a función f ( x )
e − 1 / x 2 {\displaystyle f(x)
e^{-1/x^{2}}} con f ( 0 )
0 {\displaystyle f(0)
0}. Como función real, é infinitamente diferenciábel en todas as partes; como función complexa, porén, non é diferenciábel en x
0 {\displaystyle x
0}. A serie de Laurent de f ( x ) {\displaystyle f(x)} obtense mediante a representación en serie de potencias, e − 1 / x 2
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n x − 2 n n! , {\displaystyle e^{-1/x^{2}}
\sum _{n
0}^{\infty }(-1)^{n}\, {x^{-2n} \over n! }, } que converxe a f ( x ) {\displaystyle f(x)} para todo x ∈ C {\displaystyle x\in \mathbb {C} } agás na singularidade x
0 {\displaystyle x
0}. A gráfica da dereita mostra f ( x ) {\displaystyle f(x)} en negro e as súas aproximacións de Laurent ∑ n
0 N ( − 1 ) n x − 2 n n! , ∀ N ∈ N +. {\displaystyle \sum _{n
0}^{N}(-1)^{n}\, {x^{-2n} \over n! }, \quad \forall N\in \mathbb {N} ^{+}. } A medida que N → ∞ {\displaystyle N\to \infty }, a aproximación faise exacta para todos os números (complexos) x {\displaystyle x} excepto na singularidade x
0 {\displaystyle x
0}.
Máis xeralmente, as series de Laurent pódense usar para expresar funcións holomorfas definidas nun anel, do mesmo xeito que as series de potencias se usan para expresar funcións holomorfas definidas nun círculo.
Supoñamos que ∑ n
− ∞ ∞ a n ( z − c ) n {\displaystyle \sum _{n
-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}} é unha serie de Laurent dada con coeficientes complexos a n {\displaystyle a_{n}} e un centro complexo c {\displaystyle c}. Daquela existe un único raio interior r {\displaystyle r} e un raio exterior R {\displaystyle R} tal que: A serie de Laurent converxe no anel aberto A
{ z: r < | z − c | < R } {\displaystyle A
\{z: r<|z-c|<R\}}. É dicir, tanto as series de potencias de grao positivo como as de grao negativo converxen. Alén diso, esta converxencia será uniforme en conxuntos compactos. Finalmente, a serie converxente define unha función holomorfa f ( z ) {\displaystyle f(z)} en A {\displaystyle A}.
Fóra do anel, a serie de Laurent diverxe. É dicir, en cada punto do exterior de A {\displaystyle A}, ou ben a serie de potencias de grao positivo ou a de grao negativo diverxe.
Na fronteira do anel, non se pode facer unha afirmación xeral, excepto que hai polo menos un punto na fronteira interior e un punto na fronteira exterior nos que f ( z ) {\displaystyle f(z)} non se pode estender holomorfamente; o que dá lugar a un problema de Riemann-Hilbert.
É posíbel que r {\displaystyle r} poida ser cero ou que R {\displaystyle R} poida ser infinito; no outro extremo, non é necesariamente certo que r {\displaystyle r} sexa menor que R {\displaystyle R}.
Estes raios pódense calcular tomando o límite superior dos coeficientes a n {\displaystyle a_{n}} de tal xeito que: r
lim sup n → ∞ | a − n | 1 n, 1 R
lim sup n → ∞ | a n | 1 n. {\displaystyle {\begin{aligned}r&
\limsup _{n\to \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}}, \\{\frac {1}{R}}&
\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}. \end{aligned}}} Cando r
0 {\displaystyle r
0}, o coeficiente a − 1 {\displaystyle a_{-1}} da expansión de Laurent chámase o residuo de f ( z ) {\displaystyle f(z)} na singularidade c {\displaystyle c}. Por exemplo, a función f ( z )
e z z + e 1 / z, {\displaystyle f(z)
{e^{z} \over z}+e^{{1}/{z}}, } é holomorfa en todas as partes excepto en z
0 {\displaystyle z
0}. A expansión de Laurent sobre c
0 {\displaystyle c
0} pódese obter entón a partir da representación en serie de potencias: f ( z )
⋯ + ( 13! ) z − 3 + ( 12! ) z − 2 + 2 z − 1 + 2 + ( 12! ) z + ( 13! ) z 2 + ( 14! ) z 3 + ⋯, {\displaystyle f(z)
\cdots +\left({1 \over 3! }\right)z^{-3}+\left({1 \over 2! }\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2! }\right)z+\left({1 \over 3! }\right)z^{2}+\left({1 \over 4! }\right)z^{3}+\cdots, } polo tanto, o residuo vén dado por a − 1
2 {\displaystyle a_{-1}
2}.
Inversamente, para unha función holomorfa f ( z ) {\displaystyle f(z)} definida no anel A
{ z: r < | z − c | < R } {\displaystyle A
\{z: r<|z-c|<R\}}, sempre existe unha única serie de Laurent con centro c {\displaystyle c} que converxe (polo menos en A {\displaystyle A} ) a f ( z ) {\displaystyle f(z)}.
Por exemplo, consideremos a seguinte función racional, xunto coa súa expansión en fraccións parciais: f ( z )
1 ( z − 1 ) ( z − 2 i )
1 + 2 i 5 ( 1 z − 1 − 1 z − 2 i ). {\displaystyle f(z)
{\frac {1}{(z-1)(z-2i)}}
{\frac {1+2i}{5}}\left({\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{z-2i}}\right). } Esta función ten singularidades en z
1 {\displaystyle z
1} e z
2 i {\displaystyle z
2i}, onde o denominador é cero e a expresión é, polo tanto, indefinida.
Unha serie de Taylor sobre z
0 {\displaystyle z
0} (que produce unha serie de potencias) só converxerá nun disco de raio 1, xa que "colle" a singularidade en z
1 {\displaystyle z
1}.
No entanto, hai tres posibles expansións de Laurent sobre 0, dependendo do raio de z {\displaystyle z}: Unha serie defínese no disco interior onde |z| < 1; é a mesma que a serie de Taylor, f ( z )
1 + 2 i 5 ∑ n
0 ∞ ( 1 ( 2 i ) n + 1 − 1 ) z n. {\displaystyle f(z)
{\frac {1+2i}{5}}\sum _{n
0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1\right)z^{n}. } Isto dedúcese da forma de fraccións parciais da función, xunto coa fórmula para a suma dunha serie xeométrica, 1 z − a
− 1 a ∑ n
0 ∞ ( z a ) n {\displaystyle {\frac {1}{z-a}}
-{\frac {1}{a}}\sum _{n
0}^{\infty }\left({\tfrac {z}{a}}\right)^{n}} para | z | < | a | {\displaystyle |z|<|a|}.
A segunda serie defínese no anel medio onde 1 < z < 2 {\displaystyle 1<z<2} está entre as dúas singularidades: f ( z )
1 + 2 i 5 ( ∑ n
1 ∞ z − n + ∑ n
0 ∞ 1 ( 2 i ) n + 1 z n ). {\displaystyle f(z)
{\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{n
1}^{\infty }z^{-n}+\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{n+1}}}z^{n}\right). } Aquí, usamos a forma alternativa da suma da serie xeométrica, 1 z − a
1 z ∑ n
0 ∞ ( a z ) n {\displaystyle {\frac {1}{z-a}}
{\frac {1}{z}}\sum _{n
0}^{\infty }\left({\frac {a}{z}}\right)^{n}} para | z | > | a | {\displaystyle |z|>|a|}.
A terceira serie defínese no anel exterior infinito onde 2 < z < ∞ {\displaystyle 2<z<\infty }, (que tamén é a expansión de Laurent en z
∞ {\displaystyle z
\infty } ) f ( z )
1 + 2 i 5 ∑ n
1 ∞ ( 1 − ( 2 i ) n − 1 ) z − n. {\displaystyle f(z)
{\frac {1+2i}{5}}\sum _{n
1}^{\infty }\left(1-(2i)^{n-1}\right)z^{-n}. } Esta serie pódese derivar usando series xeométricas como antes, ou realizando a división longa de polinomios de 1 por ( x − 1 ) ( x − 2 i ) {\displaystyle (x-1)(x-2i)}, non deténdose cun resto senón continuando en termos de x − n {\displaystyle x^{-n}}; de feito, a serie de Laurent "exterior" dunha función racional é análoga á forma decimal dunha fracción. (A expansión en serie de Taylor "interior" pódese obter de xeito similar, só invertindo a orde dos termos no algoritmo de división. ) Polinomios de Laurent
Un polinomio de Laurent é unha serie de Laurent na que só un número finito de coeficientes son distintos de cero. Os polinomios de Laurent difiren dos polinomios ordinarios en que poden ter termos de grao negativo. Parte principal
A parte principal dunha serie de Laurent é a serie de termos con grao negativo, é dicir ∑ k
− ∞ − 1 a k ( z − c ) k. {\displaystyle \sum _{k
-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}. } Se a parte principal de f {\displaystyle f} é unha suma finita, entón f {\displaystyle f} ten un polo en c {\displaystyle c} de orde igual ao grao do termo máis alto; por outra banda, se f {\displaystyle f} ten unha singularidade esencial en c {\displaystyle c}, a parte principal é unha suma infinita (é dicir, ten infinitos termos distintos de cero).
Se o raio interior de converxencia da serie de Laurent para f {\displaystyle f} é 0, entón f {\displaystyle f} ten unha singularidade esencial en c {\displaystyle c} se e só se a parte principal é unha suma infinita, e ten un polo noutro caso.
Se o raio interior de converxencia é positivo, f {\displaystyle f} pode ter infinitos termos negativos pero aínda ser regular en c {\displaystyle c}, como no exemplo anterior, no cal está representada por unha serie de Laurent diferente nun disco arredor de c {\displaystyle c}.
As series de Laurent con só un número finito de termos negativos compórtanse ben, son unha serie de potencias divididas por z k {\displaystyle z^{k}}, e pódense analizar de xeito similar, mentres que as series de Laurent con infinitos termos negativos teñen un comportamento complicado no círculo interno de converxencia.