Función aritmética

En teoría de números, unha función aritmética, ou función de teoría de números é xeralmente calquera función f(n) cuxo dominio son os enteiros positivos e cuxo rango é un subconxunto dos números complexos. Hardy e Wright inclúen na súa definición o requisito de que unha función aritmética "expresa algunha propiedade aritmética de n". Hai unha clase máis grande de funcións de teoría de números que non se axustan a esta definición, por exemplo, as funcións de contaxe de primos. Este artigo ofrece ligazóns a funcións de ambas as clases.
Un exemplo de función aritmética é a función divisor cuxo valor para un número enteiro positivo n é igual ao número de divisores de n.
As funcións aritméticas adoitan ser extremadamente irregulares (ver táboa embaixo), mais algunhas delas teñen expansións en serie en termos da suma de Ramanujan. Funcións multiplicativas e aditivas
Unha función aritmética "a" pode ser completamente aditiva se a (mn) a (m) + a(n) para todos os números naturais m e n;
completamente multiplicativa se a (mn) a(m) a(n) para todos os números naturais m e n;
Dous números enteiros m e n chámanse coprimos se o seu máximo común divisor é 1, é dicir, se non hai ningún número primo que divida a ambos os dous.
Daquela unha función aritmética pode ser aditiva se a (mn) a(m) + a(n) para todos os números naturais primos m e n;
multiplicativa se a(mn) a(m) a(n) para todos os números naturais primos m e n. Notación
Neste artigo, ∑ p f ( p ) {\textstyle \sum _{p}f(p)} e ∏ p f ( p ) {\textstyle \prod _{p}f(p)} significan que a suma ou produto está feito sobre todos os números primos: ∑ p f ( p )
f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 5 ) + ⋯ {\displaystyle \sum _{p}f(p)
f(2)+f(3)+f(5)+\cdots } e ∏ p f ( p )
f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 5 ) ⋯. {\displaystyle \prod _{p}f(p)
f(2)f(3)f(5)\cdots. } Do mesmo xeito, ∑ p k f ( p k ) {\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})} e ∏ p k f ( p k ) {\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})} significa que a suma ou produto están feitos sobre todas as potencias de primos con expoñente estritamente positivo: ∑ p k f ( p k )
∑ p ∑ k > 0 f ( p k )
f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 7 ) + f ( 8 ) + f ( 9 ) + ⋯. {\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})
\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})
f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots. } As notacións ∑ d ∣ n f ( d ) {\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)} e ∏ d ∣ n f ( d ) {\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)} significa que a suma ou o produto faise sobre todos os divisores positivos de n, incluíndo 1 e n. Por exemplo, se n
12, entón ∏ d ∣ 12 f ( d )
f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 4 ) f ( 6 ) f ( 12 ). {\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)
f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12). } As notacións pódense combinar: ∑ p ∣ n f ( p ) {\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)} e ∏ p ∣ n f ( p ) {\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)} significa que a suma ou o produto faise sobre todos os divisores primos de n. Por exemplo, se n
18, entón ∑ p ∣ 18 f ( p )
f ( 2 ) + f ( 3 ), {\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)
f(2)+f(3), } e do mesmo xeito ∑ p k ∣ n f ( p k ) {\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})} e ∏ p k ∣ n f ( p k ) {\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})} significan que a suma ou o produto están feitos sobre todas as potencias de primos que dividen n. Por exemplo, se n
24, entón ∏ p k ∣ 24 f ( p k )
f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 4 ) f ( 8 ). {\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k}) f(2)f(3)f(4)f(8). } Ω(n), ω (n), νp( n), descomposición en potencias de primos
O teorema fundamental da aritmética estabelece que calquera número enteiro positivo n pode representarse unicamente como un produto de potencias de números primos: n
p 1 a 1 ⋯ p k a k {\displaystyle n
p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}} onde p 1 < p 2 <. .. < p k son primos e os aj son enteiros positivos. Moitas veces é conveniente escribir isto como un produto infinito sobre todos os primos, onde todos, menos un número finito, teñen un expoñente cero. Defínese a valoración p-ádica νp (n) como o expoñente da maior potencia do primo p que divide n. É dicir, se p é un dos pi entón νp (n)
ai, se non é cero. Logo n
∏ p p ν p ( n ). {\displaystyle n
\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}. } En termos do anterior, as funcións omega de números primos ω e Ω defínense por ω ( n )
k {\displaystyle \omega (n)
k}, Ω ( n )
a 1 + a 2 +. .. + a k {\displaystyle \Omega (n) a_{1}+a_{2}+. .. +a_{k}}. Para evitar a repetición, sempre que sexa posíbel as fórmulas para as funcións enumeradas neste artigo danse en termos de n e os correspondentes pi, ai, ω e Ω.
Exemplo para n
1620
22 ⋅ 34 ⋅ 5 {\displaystyle n
1620
2^{2}\cdot 3^{4}\cdot 5}: v 2 ( 1620 )
2, v 3 ( 1620 )
4, v 5 ( 1620 )
1, ω ( 1620 )
3, Ω ( 1620 )
7 {\displaystyle v_{2}(1620)
2, \ v_{3}(1620)
4, \ v_{5}(1620)
1, \ \omega (1620)
3, \Omega (1620)
7} Funcións multiplicativas
σk(n), d(n), sumas de divisores
σk(n) (función divisor) é a suma das k-ésimas potencias dos divisores positivos de n, incluíndo 1 e n, onde k é un número complexo.
σ1(n), é a suma dos divisores (positivos) de n, adoita denotarse por σ(n).
Dado que un número positivo para a potencia cero é 1, temos que σ0(n) é polo tanto o número de divisores (positivos) de n; adoita denotarse por d(n). σ k ( n )
∏ i
1 ω ( n ) p i ( a i + 1 ) k − 1 p i k − 1
∏ i
1 ω ( n ) ( 1 + p i k + p i 2 k + ⋯ + p i a i k ). {\displaystyle \sigma _{k}(n)
\prod _{i
1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}
\prod _{i
1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right). } Facendo k
0 no segundo produto dá d ( n )
( 1 + a 1 ) ( 1 + a 2 ) ⋯ ( 1 + a ω ( n ) ). {\displaystyle d(n) (1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}). }
φ(n), Función totiente de Euler
φ(n), a función totiente de Euler, é o número de enteiros positivos non maiores que n que son coprimos con n.
Jk (n), Función totiente de Jordan
Jk(n), a función totiente de Jordan, é o número de k-tuplas de enteiros positivos todos menores ou iguais a n que forman unha tupla coprima (k + 1) xunto con n. É unha xeneralización do totiente de Euler, φ(n)
J1(n). J k ( n )
n k ∏ p ∣ n ( 1 − 1 p k )
n k ( p 1 k − 1 p 1 k ) ( p 2 k − 1 p 2 k ) ⋯ ( p ω ( n ) k − 1 p ω ( n ) k ). {\displaystyle J_{k}(n)
n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right) n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right). }
μ( n ), Función de Möbius
μ(n), a función de Möbius, é importante debido á fórmula de inversión de Möbius. μ ( n )
{ ( − 1 ) ω ( n )
( − 1 ) Ω ( n ) se ω ( n )
Ω ( n ) 0 se ω ( n ) ≠ Ω ( n ). {\displaystyle \mu (n)
{\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}
(-1)^{\Omega (n)}&{\text{se }}\; \omega (n)
\Omega (n)\\0&{\text{se }}\; \omega (n)\neq \Omega (n). \end{cases}}} Isto implica que μ(1)
1. (Porque Ω(1)
ω(1) 0. )
τ {\displaystyle \mathbf {\tau } } (n), función tau de Ramanujan τ {\displaystyle \mathbf {\tau } } (n), a función tau de Ramanujan, defínese pola identidade da súa función xeradora: ∑ n ≥ 1 τ ( n ) q n
q ∏ n ≥ 1 ( 1 − q n ) 24. {\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}
q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}. } É difícil dicir exactamente que "propiedade aritmética de n expresa" (sería τ ( n ) {\displaystyle \tau (n)} é (2π) −12 veces o n-ésimo coeficiente de Fourier na expansión q da función discriminante modular) (aparece nalgúns casos nos coeficientes da expansión de formas modulares).
c q ( n ), suma de Ramanujan
cq(n), a suma de Ramanujan, é a suma das potencias n-ésimas das raíces primitivas q-ésimas da unidade: c q ( n )
∑ gcd ( a, q )
11 ≤ a ≤ q e 2 π i a q n. {\displaystyle c_{q}(n)
\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a, q)
1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}. } Aínda que se define como unha suma de números complexos (irracionais para a maioría dos valores de q), é un número enteiro. Para un valor fixo de n é multiplicativo en q: Se q e r son primos primos, entón c q ( n ) c r ( n )
c q r ( n ). {\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)
c_{qr}(n). }
ψ ( n ), función psi de Dedekind
A función psi de Dedekind, usada na teoría das funcións modulares, defínese pola fórmula ψ ( n )
n ∏ p | n ( 1 + 1 p ). {\displaystyle \psi (n)
n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right). } Funcións completamente multiplicativas
λ(n), función de Liouville
λ(n), a función de Liouville, defínese por λ ( n )
( − 1 ) Ω ( n ). {\displaystyle \lambda (n)
(-1)^{\Omega (n)}. }
χ(n), caracteres
Todos os caracteres de Dirichlet χ(n) son completamente multiplicativos. Dous caracteres teñen notacións especiais:
O carácter principal (mod n) denótase por χ0(a)). Defínese como χ 0 ( a )
{ 1 se gcd ( a, n )
1, 0 se gcd ( a, n ) ≠ 1. {\displaystyle \chi _{0}(a)
{\begin{cases}1&{\text{se }}\gcd(a, n)
1, \\0&{\text{se }}\gcd(a, n)\neq 1. \end{cases}}} O carácter cadrático (mod n) denótase co símbolo de Jacobi para n impar (non está definido para n par): ( a n )
( a p 1 ) a 1 ( a p 2 ) a 2 ⋯ ( a p ω ( n ) ) a ω ( n ). {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)
\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}. } Nesta fórmula ( a p ) {\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})} é o símbolo de Legendre, definido para todos os números enteiros a e todos os primos impares p por ( a p )
{ 0 se a ≡ 0 ( mod p ), + 1 se a ≢ 0 ( mod p ) e para algun enteiro x, a ≡ x 2 ( mod p ) − 1 se non existe tal x. {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)
{\begin{cases}\; \; \, 0&{\text{se }}a\equiv 0{\pmod {p}}, \\+1&{\text{se }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ e para algun enteiro }}x, \; a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{se non existe tal }}x. \end{cases}}} Seguindo a convención normal para o produto baleiro, ( a 1 )
1. {\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)
1. } Funcións aditivas
ω (n), divisores primos distintos
ω( n ), definido anteriormente como o número de números primos distintos que dividen a n, é aditiva. Funcións completamente aditivas
Ω( n ), divisores primos
Ω(n), definido anteriormente como o número de factores primos de n contados con multiplicidades, é completamente aditiva.
νp(n), valoración p-ádica dun número enteiro n
Para un primo fixo p, νp(n), definida anteriormente como o expoñente da maior potencia de p dividindo n, é completamente aditiva.
Derivada logarítmica
ld ⁡ ( n )
D ( n ) n
∑ p prime p ∣ n v p ( n ) p {\displaystyle \operatorname {ld} (n)
{\frac {D(n)}{n}}
\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}, onde D ( n ) {\displaystyle D(n)} é a derivada aritmética.