Ceros e polos

Na análise complexa (unha rama das matemáticas), un polo é un tipo determinado de singularidade dunha función de valor complexo dunha variábel complexa. É o tipo máis simple de singularidade non evitábel desa función (véxase singularidade esencial). Tecnicamente, un punto z0 é un polo dunha función f se é un cero da función 1/f e 1/f é holomorfa (é dicir, diferenciábel complexa) nalgunha veciñanza de z0.
Unha función f é meromorfa nun conxunto aberto U se para todo punto z de U existe unha veciñanza de z na que polo menos unha das funcións f e 1/f é holomorfa.
Se f é meromorfa en U, entón un cero de f é un polo de 1/f, e un polo de f é un cero de 1/f. Isto induce unha dualidade entre ceros e polos, que é fundamental para o estudo das funcións meromorfas. Definicións
Unha función dunha variábel complexa z é holomorfa nun dominio aberto U se é diferenciábel respecto a z en cada punto de U. Equivalentemente, é holomorfa se é analítica, é dicir, se a súa serie de Taylor existe en cada punto de U e converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Unha función é meromorfa en U se todo punto de U ten unha veciñanza na que polo menos unha das funcións f e 1/f é holomorfa.
Un cero dunha función meromorfa f é un número complexo z tal que f(z) 0. Un polo de f é un cero de 1/f.
Se f é unha función que é meromorfa nunha veciñanza dun punto z 0 {\displaystyle z_{0}} do plano complexo, entón existe un enteiro n tal que ( z − z 0 ) n f ( z ) {\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)} é holomorfa e non nula nunha veciñanza de z 0 {\displaystyle z_{0}} (isto é unha consecuencia da propiedade analítica).
Se n > 0, entón z 0 {\displaystyle z_{0}} é un polo de orde (ou multiplicidade) n de f. Se n < 0, entón z 0 {\displaystyle z_{0}} é un cero de orde | n | {\displaystyle |n|} de f. Cero simple e polo simple son termos usados para ceros e polos de orde | n |
1. {\displaystyle |n|
1. } Ás veces úsase grao como sinónimo de orde.
Esta caracterización de ceros e polos implica que os ceros e polos están illados, é dicir, todo cero ou polo ten unha veciñanza que non contén ningún outro cero ou polo.
Un punto que non é nin un polo nin un cero considérase un polo (ou cero) de orde 0.
Unha función meromorfa pode ter infinitos ceros e polos. Este é o caso da función gamma, que é meromorfa en todo o plano complexo e ten un polo simple en cada enteiro non positivo. A función zeta de Riemann tamén é meromorfa en todo o plano complexo, cun único polo de orde 1 en z
1. Os seus ceros no semiplano esquerdo son todos os enteiros pares negativos, e a hipótese de Riemann é a conxectura de que todos os demais ceros están sobre Re(z)
1/2.
Nunha veciñanza dun punto z 0, {\displaystyle z_{0}, } unha función meromorfa non nula f é a suma dunha serie de Laurent cunha parte principal finita (os termos con valores de índice negativos): f ( z )
∑ k ≥ − n a k ( z − z 0 ) k, {\displaystyle f(z)
\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k}, } onde n é un enteiro, e a − n ≠ 0. {\displaystyle a_{-n}\neq 0. } De novo, se n > 0 (a suma comeza con a − | n | ( z − z 0 ) − | n | {\displaystyle a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}}, a parte principal ten n termos), tense un polo de orde n, e se n ≤ 0 (a suma comeza con a | n | ( z − z 0 ) | n | {\displaystyle a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}}, non hai parte principal), tense un cero de orde | n | {\displaystyle |n|}. No infinito
Unha función z ↦ f ( z ) {\displaystyle z\mapsto f(z)} é meromorfa no infinito se é meromorfa nalgunha veciñanza do infinito (é dicir, fóra dun disco), e existe un enteiro n tal que lim z → ∞ f ( z ) z n {\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}} existe e é un número complexo non nulo.
Neste caso, o punto no infinito é un polo de orde n se n > 0, e un cero de orde | n | {\displaystyle |n|} se n < 0.
Por exemplo, un polinomio de grao n ten un polo de grao n no infinito.
O plano complexo estendido por un punto no infinito chámase esfera de Riemann.
Se f é unha función que é meromorfa en toda a esfera de Riemann, entón ten un número finito de ceros e polos, e a suma das ordes dos seus polos é igual á suma das ordes dos seus ceros. Toda función racional é meromorfa en toda a esfera de Riemann, e, neste caso, a suma das ordes dos ceros ou dos polos é o máximo dos graos do numerador e do denominador. Exemplos
A función f ( z )
3 z {\displaystyle f(z)
{\frac {3}{z}}} é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 1 ou polo simple en z
0, {\displaystyle z
0, } e un cero simple no infinito.
A función f ( z )
z + 2 ( z − 5 ) 2 ( z + 7 ) 3 {\displaystyle f(z)
{\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}} é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 2 en z
5, {\displaystyle z
5, } e un polo de orde 3 en z
− 7 {\displaystyle z
-7}. Ten un cero simple en z
− 2, {\displaystyle z
-2, } e un cero cuádruplo no infinito.
A función f ( z )
z − 4 e z − 1 {\displaystyle f(z)
{\frac {z-4}{e^{z}-1}}} é meromorfa en todo o plano complexo, mais non no infinito. Ten polos de orde 1 en z
2 π n i para n ∈ Z {\displaystyle z
2\pi ni{\text{ para }}n\in \mathbb {Z} }. Isto pódese ver escribindo a serie de Taylor de e z {\displaystyle e^{z}} arredor da orixe.
A función f ( z )
z {\displaystyle f(z)
z} ten un único polo no infinito de orde 1, e un único cero na orixe.
Todos os exemplos anteriores, agás o terceiro, son funcións racionais. Función nunha curva
O concepto de ceros e polos esténdese de forma natural a funcións nunha curva complexa, é dicir, unha variedade analítica complexa de dimensión un (sobre os números complexos). Os exemplos máis simples desas curvas son o plano complexo e a superficie de Riemann. Esta extensión faise transferindo estruturas e propiedades mediante cartas, que son isomorfismos analíticos.
Máis precisamente, sexa f unha función dunha curva complexa M nos números complexos. Esta función é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza dun punto z de M se existe unha carta ϕ {\displaystyle \phi } tal que f ∘ ϕ − 1 {\displaystyle f\circ \phi ^{-1}} é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza de ϕ ( z ). {\displaystyle \phi (z). } Entón, z é un polo ou un cero de orde n se o mesmo é certo para ϕ ( z ). {\displaystyle \phi (z). } Se a curva é compacta, e a función f é meromorfa en toda a curva, entón o número de ceros e polos é finito, e a suma das ordes dos polos é igual á suma das ordes dos ceros. Este é un dos feitos básicos que están implicados no teorema de Riemann-Roch.