Combinación linear

En matemática, particularmente en álxebra linear, unha combinación linear é unha expresión matemática que consiste na suma entre pares de elementos de determinados conxuntos multiplicados entre si.
En particular, a combinación linear dun sistema de vectores trátase dun vector da forma v
k 1 v 1 + k 2 v 2 +. .. + k n v n
∑ i
1 n k i v i {\displaystyle v
k_{1}v_{1}+k_{2}v_{2}+. .. +k_{n}v_{n}
\sum _{i
1}^{n}k_{i}v_{i}} cos k i {\displaystyle k_{i}} elementos dun corpo. A definición dá lugar a outras definicións e ferramentas importantes, como son os conceptos de independencia linear e base dun espazo vectorial. Definición
Dados dous conxuntos calquera A e B, defínese como combinación linear toda expresión da forma ∑ α ∈ A b ∈ B α b. {\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}\alpha \in A\\b\in B\end{smallmatrix}}\alpha b. } Resulta de especial interese a definición de combinación linear de vectores con respecto a un conxunto de escalares.
Espazos vectoriais
Dado un espazo vectorial V sobre un corpo K {\displaystyle \mathbb {K} } e un conxunto A
{ v 1, v 2, v 3, .. ., v n } {\displaystyle \ A
\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, .. ., v_{n}\}} de vectores en V, é dicir, A ⊂ V {\displaystyle A\subset V}, dise que un vector v ∈ V {\displaystyle v\in V} é combinación linear de A se ∃ k 1, …, k n ∈ K: v
∑ i
1 n k i v i {\displaystyle \exists k_{1}, \dots, k_{n}\in \mathbb {K}: v
\sum _{i
1}^{n}k_{i}v_{i}}.
En termos informais, dise que v {\displaystyle v} é combinación linear de vectores de A {\displaystyle A} se se poden expresar como unha suma de produtos por escalar dunha cantidade finita de elementos de A {\displaystyle A}. Neste caso, tamén se di que v {\displaystyle v} depende linearmente dos vectores de A {\displaystyle A}. Exemplos
A terna ordenada (20, 12, 37) é unha combinación linear de (1, 3, 5) e (6, 2, 9): ( 201237 )
2 ( 135 ) + 3 ( 629 ). {\displaystyle {\begin{pmatrix}20\\12\\37\end{pmatrix}}
2{\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}6\\2\\9\end{pmatrix}}. } En xeral, dado un vector v nun espazo vectorial, todo múltiplo seu λ v {\displaystyle \lambda v} é combinación linear. Para o caso particular v ∈ R 2 {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2}}, os seus múltiplos son vectores no plano coa mesma dirección, é dicir, paralelos.
Dado v ∈ R 3 {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}, dicir que v é combinación linear doutros dous vectores v 1, v 2 {\displaystyle v_{1}, v_{2}} non paralelos equivale a afirmar que o tres vectores son coplanarios, é dicir, que se atopan nun mesmo plano.
Na ecuación 2 x + 3 y − 2 z
0 {\displaystyle 2x+3y-2z
0} dise que z {\displaystyle z} é combinación linear de x {\displaystyle x} e de y {\displaystyle y} porque se pode escribir z
x + 32 y {\displaystyle z
x+{\frac {3}{2}}y} sen máis que despexar z {\displaystyle z}. Do mesmo xeito, despexando oportunamente cada unha destas variables poderíase expresar como combinación linear das outras dúas. Espazo xerado
Dado un conxunto de vectores A do espazo vectorial V, finito ou infinito, chámase espazo xerado, denotado como gen ( A ) {\displaystyle {\mbox{gen}}(A)}, ao conxunto: gen ( A )
{ v ∈ V | ∃ a 1, … a n ∈ K, ∃ v 1, … v n ∈ A: v
∑ i
1 n a i v i } {\displaystyle {\mbox{gen}}(A)
\left\{v\in V|\exists a_{1}, \dots a_{n}\in \mathbb {K}, \exists v_{1}, \dots v_{n}\in A: v
\sum _{i
1}^{n}a_{i}v_{i}\right\}} onde K {\displaystyle \mathbb {K} } é o corpo sobre o cal está definido V. En termos informais, o espazo xerado a partir de A é o conxunto de todas as combinacións lineares que poden formarse cos vectores de A.