Genus (matemáticas)

En matemáticas, o genus (ou xénero) ten varios significados diferentes, mais moi relacionados. Intuitivamente, o genus é o número de "buratos" dunha superficie. Unha esfera ten genus 0, mentres que un toro ten genus 1. Topoloxía
Superficies orientábeis
O genus dunha superficie conexa e orientábel é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo de curvas simples pechadas que non se intersecan sen que se desconecte a variedade resultante. É igual ao número de asas que hai. Alternativamente, pódese definir en termos da característica de Euler χ {\displaystyle \chi }, a través da relación χ
2 − 2 g {\displaystyle \chi
2-2g} para superficies pechadas, onde g {\displaystyle g} é o genus. Para superficies con b {\displaystyle b} compoñentes fronteira, a ecuación sería χ
2 − 2 g − b {\displaystyle \chi
2-2g-b}.
Por exemplo: A esfera S 2 {\displaystyle S^{2}} e un disco ambos os dous teñen genus cero.
Un toro ten genus 1, así como a superficie dunha cunca de café con asa.
A construción explícita de superficies do genus g dáse no artigo sobre o polígono fundamental.
Superficies non orientábeis
O genus non orientábel, demigenus ou genus de Euler dunha superficie pechada non orientábel conexa é un número enteiro positivo que representa o número de casquetes cruzados unidos a unha esfera. Alternativamente, pódese definir para unha superficie pechada en termos da característica de Euler χ, mediante a relación χ 2 − k, onde k é o genus non orientábel.
Por exemplo: Un plano proxectivo real ten un genus 1 non orientábel.
Unha botella Klein ten o genus 2 non orientábel.
Nó
O genus dun nó K defínese como o genus mínimo de todas as superficies de Seifert para K. Unha superficie de Seifert dun nó é, porén, unha variedade con fronteira, sendo a fronteira o nó, é dicir, homeomorfo á circunferencia unitaria. O genus de tal superficie defínese como o genus da 2-variedade, que se obtén colando o disco unitario ao longo da fronteira.
Corpo con asas
O genus dun corpo con asas tridimensional é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo dos discos mergullados sen que sexa non conexa a variedade resultante. É igual ao número de asas que ten.
Por exemplo: Unha bóla ten genus 0.
Un toro sólido D2 × S1 ten genus 1.
Teoría de grafos
O genus dun grafo é o número enteiro mínimo n tal que o grafo pode ser debuxado nunha esfera con n asas sen cruzarse (é dicir, unha superficie orientada de genus n). Así, un grafo plano ten o genus 0, porque se pode debuxar nunha esfera sen cruzarse.
Na teoría de grafos topolóxicos hai varias definicións do genus dun grupo. Arthur T. White introduciu o seguinte concepto: o genus dun grupo G é o genus mínimo dun grafo de Cayley (conexo, non orientado) para G. Xeometría alxébrica
Hai dúas definicións relacionadas de genus de calquera esquema alxébrico proxectivo X {\displaystyle X}: o genus aritmético e o genus xeométrico. Cando X {\displaystyle X} é unha curva alxébrica con corpo de definición os números complexos, e se X {\displaystyle X} non ten puntos singulares, entón estas definicións coinciden e coinciden coa definición topolóxica aplicada á superficie de Riemann de X {\displaystyle X} (a súa variedade de puntos complexos). Por exemplo, a definición de curva elíptica a partir da xeometría alxébrica está ligada á curva proxectiva non singular de genus 1 cun punto racional dado sobre ela.
Polo teorema de Riemann-Roch, unha curva plana de grao irredutíbel d {\displaystyle d} dada polo lugar de esvaecemento dunha sección s ∈ Γ ( P 2, O P 2 ( d ) ) {\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2}, {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))} ten genus xeométrico g
( d − 1 ) ( d − 2 ) 2 − s, {\displaystyle g
{\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s, } onde s {\displaystyle s} é o número de singularidades cando se contan correctamente. Xeometría diferencial
En xeometría diferencial, o genus dunha variedade orientada M {\displaystyle M} pode definirse como un número complexo Φ ( M ) {\displaystyle \Phi (M)} suxeito ás condicións Φ ( M 1 ⨿ M 2 )
Φ ( M 1 ) + Φ ( M 2 ) {\displaystyle \Phi (M_{1}\amalg M_{2})
\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})} Φ ( M 1 × M 2 )
Φ ( M 1 ) ⋅ Φ ( M 2 ) {\displaystyle \Phi (M_{1}\times M_{2})
\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})} Φ ( M 1 )
Φ ( M 2 ) {\displaystyle \Phi (M_{1})
\Phi (M_{2})} se M 1 {\displaystyle M_{1}} e M 2 {\displaystyle M_{2}} son cobordantes.
Noutras palabras, Φ {\displaystyle \Phi } é un homomorfismo de aneis R → C {\displaystyle R\to \mathbb {C} }, onde R {\displaystyle R} é o anel de cobordismo orientado de Thom.
O genus Φ {\displaystyle \Phi } é multiplicativo para todos os fibrados de variedades de espinor cunha estrutura compacta conexa se log Φ {\displaystyle \log _{\Phi }} é unha integral elíptica como log Φ ⁡ ( x )
∫ 0 x ( 1 − 2 δ t 2 + ε t 4 ) − 1 / 2 d t {\displaystyle \log _{\Phi }(x)
\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt} para algúns δ, ε ∈ C. {\displaystyle \delta, \varepsilon \in \mathbb {C}. } Este genus chámase genus elíptico.
A característica de Euler χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} non é un genus neste sentido xa que non é invariante en relación aos cobordismos.