Límite dunha función

O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.
Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c. Historia
Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta. Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática. A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860 e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.
A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908. Definición formal
Funcións dunha variable real
Se a función f {\displaystyle f} ten límite L {\displaystyle L} en c {\displaystyle c} podemos dicir de maneira informal que a función f {\displaystyle f} tende cara ao límite L {\displaystyle L} próximo a c {\displaystyle c} se se pode facer que f ( x ) {\displaystyle f(x)} sexa tan próximo como queiramos de L {\displaystyle L} dándolle valores a x {\displaystyle x} para que sexa o suficientemente parecido a c {\displaystyle c} mais sendo x {\displaystyle x} distinto de c {\displaystyle c}.
Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di: O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0\; } existe un δ > 0 {\displaystyle \delta >0\; } tal que para todo número real x no dominio da función 0 < | x − c | < δ ⇒ | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }.
Isto, escrito en notación formal: lim x → c f ( x )
L ⟺ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀ x ∈ Dom ⁡ ( f ), 0 < | x − c | < δ ⟶ | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\, \, f(x)
L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0/\forall x\in \operatorname {Dom} (f), 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \end{array}}} Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.
Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet D: R → R {\displaystyle D: \mathbb {R} \to \mathbb {R} } definida como: D ( x )
{ c p a r a x r a c i o n a l d p a r a x i r r a c i o n a l {\displaystyle D(x)
{\begin{cases}c&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {racional} \\d&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {irracional} \\\end{cases}}} onde non existe un número c para o cal exista lim x → c f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\quad }. Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.
Límites laterais
x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita): lim x → c + f ( x )
L + {\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)
L^{+}} ou tomando valores máis pequenos (esquerda): lim x → c − f ( x )
L − {\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)
L^{-}} Se os dous límites anteriores son iguais: lim x → c − f ( x )
lim x → c + f ( x )
L {\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)
\lim _{x\to c^{+}}f(x)
L} entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.
Funcións en espazos métricos
Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:
Supóñase f: (M, dM) → (N, dN) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e L∈N. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos lim x → c f ( x )
L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)
L} se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, temos dN(f(x), L) < ε.
En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x: 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<\left|x-c\right|<\delta }, entón | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon } Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte: x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ).
x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c.
A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).
Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon. Unicidade do límite
Se o límite dunha función existe, entón este é único.
Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.
Supoñamos que lim x → c f ( x )
L {\displaystyle \textstyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)
L}, vexamos que non pode ser que L ′ ≠ L {\displaystyle L'\neq L} tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite f ( x ) ∈ E {\displaystyle f(x)\in E} para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'. Propiedades dos límites
Propiedades xerais
Se k é un escalar:
Indeterminacións
Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere ∞ {\displaystyle \infty \, \! } como o límite que tende a infinito e 0 {\displaystyle 0\, \! } o límite cando tende a 0; e non o número 0): Exemplo.
0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:
Regra de l'Hôpital
Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞.
Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital. lim x → c f ( x ) g ( x )
lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}
\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} Por exemplo: lim x → 0 sin ⁡ ( 2 x ) sin ⁡ ( 3 x )
lim x → 02 cos ⁡ ( 2 x ) 3 cos ⁡ ( 3 x )
2 ⋅ 13 ⋅ 1
23. {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}
\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}
{\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}
{\frac {2}{3}}. }
Límites trigonométricos
lim x → ∞ x sin ⁡ ( 2 π x ) cos ⁡ ( 2 π x )
2 π {\displaystyle {\lim _{x\to \infty }x\; \sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}
\, 2\pi } lim x → 0 sin ⁡ x x
lim x → 0 x sin ⁡ x
1 {\displaystyle {\lim _{x\to 0}{{\sin x} \over x}}
{\lim _{x\to 0}{x \over \sin x}}
\, 1\, } lim x → 0 tan ⁡ x x
lim x → 0 x tan ⁡ x
1 {\displaystyle {\lim _{x\to 0}{\tan x \over x}}
{\lim _{x\to 0}{x \over \tan x}}
\, 1\, } lim x → 0 sin ⁡ x tan ⁡ x
lim x → 0 tan ⁡ x sin ⁡ x
1 {\displaystyle {\lim _{x\to 0}{\sin x \over \tan x}}\,
{\lim _{x\to 0}{\tan x \over \sin x}}
\, 1} lim x → 01 − cos ⁡ x x 2
1 / 2 {\displaystyle {\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}}
\, 1/2\, }
Demostracións
Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0, π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo: 1 < x sin ⁡ x < 1 cos ⁡ x {\displaystyle 1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}} Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade: cos ⁡ x < sin ⁡ x x < 1 {\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1} Calculando o límite cando x tende a 0: lim x → 0 cos ⁡ x < lim x → 0 sin ⁡ x x < lim x → 01 {\displaystyle \lim _{x\to 0}\cos x<\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}<\lim _{x\to 0}1} O que é igual a: 1 < lim x → 0 sin ⁡ x x < 1 {\displaystyle 1<\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}<1} Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1: lim x → 0 sin ⁡ x x
1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}
1} O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir: lim x → 0 ( tan ⁡ x x )
lim x → 0 ( sin ⁡ x x ) ⋅ lim x → 01 cos ⁡ x
1 ⋅ 1
1 {\displaystyle {\lim _{x\to 0}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}
{\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}
1\cdot 1
1}