Teorema central do límite

O teorema do límite central ou teorema central do límite indica que, en condicións moi xerais, se Sn é a suma de n variables aleatorias independentes e de varianza non nula pero finita, entón a función de distribución de Sn «aproxímase ben» a unha distribución normal (tamén chamada distribución gaussiana, curva de Gauss ou campá de Gauss). Así pois, o teorema asegura que isto ocorre cando a suma destas variables aleatorias independentes é o suficientemente grande. Definición
Sexa N ( μ, σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu, \sigma ^{2})} a función de densidade da distribución normal definida como f μ, σ 2 ( x )
12 π σ 2 e − ( x − μ ) 22 σ 2, {\displaystyle f_{\mu, \sigma ^{2}}(x)
{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\; e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}, } cunha media µ e unha varianza σ2. O caso no que a súa función de densidade sexa N ( 0, 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0, 1)}, a distribución coñécese como normal estándar.
Defínese Sn como a suma de n variables aleatorias, independentes, identicamente distribuídas, e con media µ e varianza σ2 finitas (σ2≠0): S n
X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}
X_{1}+\cdots +X_{n}\, } de maneira que, a media de Sn é n•µ e a varianza n•σ2, dado que son variables aleatorias independentes. Con tal de facer máis fácil a comprensión do teorema e o seu posterior uso, faise unha estandarización de Sn como Z n
S n − n μ σ n {\displaystyle Z_{n}\
\ {\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}} para que a media da nova variable sexa igual a 0 e o desvío estándar sexa igual a 1. Así, as variables Zn converxerán en distribución á distribución normal estándar N(0, 1), cando n tende a infinito. Como consecuencia, se Φ(z) é a función de distribución de N(0, 1), para cada número real z: lim n → ∞ P ⁡ ( Z n ≤ z )
Φ ( z ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {P} (Z_{n}\leq z)
\Phi (z)\, } onde P( ) indica probabilidade e lim refírese ao límite matemático.
Enunciado formal
De maneira formal, normalizada e compacta o enunciado do teorema é: É moi común atopalo coa variable estandarizada Zn en función da media da mostra X ¯ n {\displaystyle {\overline {X}}_{n}}, X ¯ n − μ σ / n, {\displaystyle {\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}, } posto que son equivalentes, así como atopalo en versións non normalizadas como pode ser: É importante sinalar que este teorema non informa nada acerca da distribución de X i {\displaystyle {X_{i}}}, agás a existencia de media e varianza. Propiedades
O teorema central do límite garante unha distribución normal cando n é suficientemente grande.
Existen diferentes versións do teorema, en función das condicións empregadas para asegurar a converxencia. Unha das máis simples establece que é suficiente que as variables que se suman sexan independentes, identicamente distribuídas, con valor esperado e varianza finitas.
Este teorema, pertencente á teoría da probabilidade, atopa aplicacións en moitos campos relacionados, tales como a inferencia estatística ou a teoría de renovación. Varianza nula ou infinita
No caso de n variables aleatorias Xi independentes e identicamente distribuídas, cada unha delas con varianza nula ou infinita, a distribución das variables: S n
X 1 + ⋯ + X n n {\displaystyle S_{n}
{\frac {X_{1}+\dots +X_{n}}{n}}} non converxen en distribución cara a unha normal. A continuación preséntanse os dous casos por separado.
Varianza infinita
Considérese o caso de variables que seguen unha distribución de Cauchy: F X i ( x )
1 π arctan ⁡ x {\displaystyle F_{X_{i}}(x)
{\frac {1}{\pi }}\arctan x} Neste caso pode demostrarse que a distribución asintótica de Sn vén dada por outra distribución de Cauchy, con menor varianza: F S n ( x )
1 π arctan ⁡ x n {\displaystyle F_{S_{n}}(x)
{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{n}}} Para outras distribucións de varianza infinita non é fácil dar unha expresión pechada para a súa distribución de probabilidade aínda que a súa función característica si ten unha forma sinxela, dada polo teorema de Lévy-Khintchine: φ S n ( t )
exp ⁡ [ i s t − c | t | α ( 1 + i γ t | t | u ( t, α ) ) ] {\displaystyle \varphi _{S_{n}}(t)
\exp \left[ist-c|t|^{\alpha }\left(1+i\gamma \ {\frac {t}{|t|}}u(t, \alpha )\right)\right]} onde c ≥ 0, − 1 ≥ γ ≥ 1, 0 < α ≥ 2 {\displaystyle c\geq 0, -1\geq \gamma \geq 1, 0<\alpha \geq 2} y: u ( t, α )
{ tan ⁡ π α 2 α ≠ 12 π ln ⁡ | t | α
1 {\displaystyle u(t, \alpha )
{\begin{cases}\tan {\cfrac {\pi \alpha }{2}}&\alpha \neq 1\\{\cfrac {2}{\pi }}\ln |t|&\alpha
1\end{cases}}} As condicións anteriores equivalen a que unha distribución de probabilidade sexa unha distribución estable.
Varianza nula
Este caso corresponde trivialmente a unha función dexenerada tipo delta de Dirac cunha función de distribución que vén dada por: F X i ( x )
∫ − ∞ x δ ( s − x 0 ) d s
{ 0 x < x 01 x ≥ x 0 {\displaystyle F_{X_{i}}(x)
\int _{-\infty }^{x}\delta (s-x_{0})\ ds
{\begin{cases}0&x<x_{0}\\1&x\geq x_{0}\end{cases}}} Neste caso resulta que a variable S n {\displaystyle S_{n}} trivialmente ten a mesma distribución que cada unha das variables independentes.