Inmersión (matemáticas)

En matemáticas, unha inmersión é unha función diferenciable entre variedades diferenciables cuxo pulo diferencial é inxectivo en tódalas partes. Explicitamente, f: M → N é unha inmersión se D p f: T p M → T f ( p ) N {\displaystyle D_{p}f: T_{p}M\to T_{f(p)}N\, } é unha función inxectiva en cada punto p de M (onde TpX denota o espazo tanxente dunha variedade X nun punto p en X ). De forma equivalente, f é unha inmersión se a súa derivada ten rango constante igual á dimensión de M: rank D p f
dim ⁡ M. {\displaystyle \operatorname {rank} \, D_{p}f
\dim M. } A propia función f non ten por que ser inxectiva, só debe selo a súa derivada.
Un concepto relacionado é o de mergullo. Un mergullo suave é unha inmersión inxectiva f: M → N que tamén é unha mergullo topolóxico, polo que M é difeomorfo á súa imaxe en N. Unha inmersión é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto x ∈ M hai unha veciñanza, U ⊆ M, de x tal que f: U → N é un mergullo e, pola contra, un mergullo local é unha inmersión. Para variedades de dimensións infinitas, ás veces considérase que esta é a definición dunha inmersión. Se M é compacta, unha inmersión inxectiva é un mergullo, mais se M non é compacto, as inmersións inxectivas non teñen por que ser mergullos; compare con bixeccións continuas versus homeomorfismos. Homotopía regular
Unha homotopía regular entre dúas inmersións f e g dunha variedade M cara unha variedade N defínese como unha función diferenciable H: M × [0, 1] → N tal que para todo t en [0, 1] a función Ht: M → N definida por Ht(x)
H(x, t) para todo x ∈ M é unha inmersión, con H0
f, H1 g. Unha homotopía regular é, polo tanto, unha homotopía mediante inmersións. Clasificación
Hassler Whitney iniciou o estudo sistemático das inmersións e das homotopías regulares na década de 1940, demostrando que para 2m < n + 1 todo mapa f: M m → N n dunha variedade m-dimensional cara unha variedade n-dimensional é homotópico a unha inmersión, e de feito a un mergullo para 2m < n; estes son o teorema de inmersión de Whitney e o teorema do mergullo de Whitney.
Stephen Smale expresou as clases de homotopías regulares de inmersións f: M m → R n {\displaystyle f: M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} como os grupos de homotopía dunha determinada variedade de Stiefel. A eversión da esfera foi unha consecuencia especialmente rechamante.
Morris Hirsch xeneralizou a expresión de Smale nunha descrición na teoría da homotopía das clases regulares de inmersións de homotopía de calquera variedade m-dimensional M m en calquera variedade n-dimensional N n.
A clasificación de inmersións de Hirsch-Smale foi xeneralizada por Mikhail Gromov.
Existencia
A obstrución principal á existencia dunha inmersión i: M m → R n {\displaystyle i: M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} é o fibrado normal estable de M, tal e como detectan as súas clases características, especialmente as súas Clase de Stiefel-Whitney. É dicir, xa que R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é paralelizable, a regresión do seu fibrado tanxente a M é trivial; xa que esta regresión é a suma directa do fibrado tanxente (definido intrínsecamente) sobre M, TM, que ten dimensión m, e do fibrado normal ν da inmersión i, que ten dimensión n − m, para que exista unha codimensión k inmersión de M, debe haber un fibrado vectorial de dimensión k, ξ k, substituíndo ao feibrado normal ν, tal que T M ⊕ ζ k {\displaystyle TM\oplus \zeta ^{k}} é trivial. Pola contra, dado un fibrado deste tipo, unha inmersión de M con este fibrado normal equivale a unha inmersión de codimensión 0 do espazo total deste fibrado, que é unha variedade aberta.
Codimensión 0
As inmersións de codimensión 0 son equivalentemente submersións de dimensión relativa 0, e pódense pensar mellor como submersións. Unha inmersión de codimensión 0 dunha variedade pechada é precisamente un mapa de cobertura, é dicir, un fibrado con fibra (discreta) de dimensión 0. Segundo o teorema de Ehresmann e o teorema de Phillips sobre as submersións, unha submersión propia de variedades é un fibrado, polo que as inmersións/submersións de codimensión/dimensión relativa 0 compórtanse como submersións. Puntos múltiples
Un punto k-tupla (duplo, triplo, etc. ) dunha inmersión f: M → N é un conxunto non ordenado {x1, .. ., xk} de distintos puntos xi ∈ M coa mesma imaxe f(xi) ∈ N. Se M é unha variedade m-dimensional e N é unha variedade n-dimensional daquela para unha inmersión f: M → N en posición xeral o conxunto de puntos das k-tuplas é unha variedade (n − k(n − m))-dimensional. Todo mergullo é unha inmersión sen múltiples puntos (onde k > 1). Teña en conta, porén, que a inversa é falsa: hai inmersións inxectivas que non son mergullos.
A natureza dos puntos múltiples clasifica as inmersións; por exemplo, as inmersións dun círculo no plano clasifícanse ata a homotopía regular polo número de puntos duplos. Exemplos e propiedades
Unha rosa matemática con k pétalos é unha inmersión do círculo no plano cun único punto k-tupla; k pode ser calquera número impar, mais se é par debe ser múltiplo de 4, polo que a cifra 8, con k 2, non é unha rosa.
A botella de Klein, e todas as demais superficies pechadas non orientables, poden ser inmersas en 3-espazos mais non mergulladas.
Polo teorema de Whitney-Graustein, as clases de homotopía regular de inmersións do círculo no plano clasifícanse polo índice, que tamén é o número de puntos duplos contados alxebricamente (é dicir, con signos).
A eversión da esfera (esfera revirada cara a fóra): o mergullo estándar f 0: S 2 → R 3 {\displaystyle f_{0}: \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}} está relacionado con f 1
− f 0: S 2 → R 3 {\displaystyle f_{1}
-f_{0}: \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}} por unha homotopía regular de inmersións f t: S 2 → R 3. {\displaystyle f_{t}: \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}. } A superficie de Boy é unha inmersión do plano proxectivo real no 3-espazo; e tamén unha inmersión 2 a 1 da esfera.
A superficie de Morin é unha inmersión da esfera; tanto ela como a superficie de Boy xorden como modelos intermedios na eversión da esfera.
Curvas planas inmersas
As curvas planas inmersas teñen un índice de voltas ben definido, que se pode definir como a curvatura total dividida por 2π. Este valor é invariante baixo a homotopía regular polo teorema de Whitney-Graustein; topoloxicamente, é o grao do mapa de Gauss, ou equivalentemente, o índice da curva da tanxente unitaria (que non desaparece) sobre a orixe. Alén diso, son un conxunto completo de invariantes: dúas curvas planas calquera co mesmo índice topolóxico son homotópicas regulares.