Vector unitario

En álxebra linear e física, un vector unitario ou versor é un vector de módulo un. Pode chamarse tamén vector normalizado. Notación
Un vector unitario denótase frecuentemente cun acento circunflexo sobre o seu nome, como r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } (lese "r vector" ou "vector r"). A notación mediante o uso dunha breve ( r ˘ {\displaystyle \mathbf {\breve {r}} \, } ) tamén é común, especialmente en manuscritos. A tendencia actual é representar o vector na dirección do vector r {\displaystyle \mathbf {r} \, } na forma u r {\displaystyle \mathbf {u} _{\text{r}}\, }. Definición
Definido o concepto de vector unitario no inicio do artigo e tendo presentado as notacións habituais na sección anterior, neste apartado dáse unha definición simbólica de vector unitario. Sexa o vector v ∈ ℝn. Dise que v é un vector unitario e indícase mediante v ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } se e só se o módulo de v é igual a 1.
Ou en forma máis compacta: v ∈ R n ⇒ v ≡ v ^ ⇔ | v |
1 {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}\Rightarrow \mathbf {v} \equiv \mathbf {\hat {v}} \Leftrightarrow |\mathbf {v} |
1} Versor asociado a un vector
Con frecuencia resulta conveniente dispoñer dun vector unitario que teña a mesma dirección que un vector dado v {\displaystyle \mathbf {v} \, }. A tal vector denomínase versor asociado ao vector v {\displaystyle \mathbf {v} \, } e pódese representar ben sexa por v ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\, } ou por u v {\displaystyle \mathbf {u} _{v}\, } e indica unha dirección no espazo.
A operación que permite calcular v ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\, } é a división do vector entre o seu módulo. v ^
v → | v | {\displaystyle \mathbf {\hat {v}}
{\frac {\vec {\mathbf {v} }}{|\mathbf {v} |}}} O proceso de obter un versor asociado a un vector denomínase normalización do vector, razón pola cal é común referirse a un vector unitario como vector normalizado.
O método para transformar unha base ortogonal (obtida, por exemplo mediante o método de ortogonalización de Gram-Schmidt) nunha base ortonormal (é dicir, unha base na que todos os vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos os vectores da base utilizando a ecuación anterior. Produto escalar de dous vectores
No espazo euclidiano, o produto escalar de dous vectores unitarios é simplemente o coseno do ángulo entre eles. Isto é consecuencia da definición do produto escalar e do feito de que o módulo de ambos vectores é a unidade: u ^ ⋅ v ^
| u ^ | | v ^ | cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}}
|\mathbf {\hat {u}} ||\mathbf {\hat {v}} |\cos \theta } Pero como: | u ^ |
| v ^ |
1 {\displaystyle |\mathbf {\hat {u}} |
|\mathbf {\hat {v}} |
1} Entón: u ^ ⋅ v ^
cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}}
\cos \theta } onde θ é o ángulo entre ambos vectores.
Proxección escalar
Do anterior, resulta que o produto dun vector por un vector (ou vector unitario) é a proxección escalar do vector sobre a dirección determinada polo versor. F ⋅ n ^
| F | | n ^ | cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}}
|\mathbf {F} ||\mathbf {\hat {n}} |\cos \theta } Como o módulo do vector n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } é a unidade, a ecuación anterior transfórmase en: F ⋅ n ^
| F | cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}}
|\mathbf {F} |\cos \theta } de onde é evidente o afirmado ao comezo deste apartado.
Este resultado é moi frecuente en física, onde é necesario operar, por exemplo, coas compoñentes ortogonais a unha superficie. Vectores cartesianos
Os versores asociados coas direccións dos eixes coordenados cartesianos x, y, z {\displaystyle x, \, y, \, z\, } desígnanse por i, j, k {\displaystyle \mathbf {i}, \, \mathbf {j}, \, \mathbf {k} \, }, respectivamente.
Os versores cartesianos permiten expresar analiticamente os vectores por medio das súas compoñentes cartesianas.
Exemplo: a expresión analítica do vector v
( 1, − 2, 3 ) {\displaystyle {\mathbf {v}
(1, -2, 3)\, }} é v
i − 2 j + 3 k {\displaystyle {\mathbf {v}
\mathbf {i} -2\mathbf {j} +3\mathbf {k} }}