Seno cardinal

En matemáticas, a función seno cardinal ou función sinc é unha función definida a partir da función seno trigonométrica que aparece frecuentemente en problemas de física ondulatoria. Definicións
A función seno cardinal defínese por: sinc ⁡ x
sin ⁡ x x {\displaystyle \operatorname {sinc} x
{\frac {\sin x}{x}}} (definición 1)
onde sin denota a función seno.
Hai outra definición de uso común: sinc ⁡ x
sin ⁡ ( π x ) π x {\displaystyle \operatorname {sinc} x
{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}} (definición 2). Historia
A función seno cardinal foi utilizada, sen que se lle dese un nome nin un símbolo específico, polo matemático británico Edmund Whittaker en 1915, como parte dun estudo dos procesos de mostraxe Tratábase de atopar unha función f ( x ) {\displaystyle f(x)} de valores dados aos puntos x
a + k w {\displaystyle x
a+k\, w} (Onde a {\displaystyle a} e w {\displaystyle w} números complexos dados e k {\displaystyle k} un número enteiro que abrangue o conxunto Z {\displaystyle \mathbb {Z} } dos enteiros) o máis suave posíbel (sen singularidades nin oscilacións rápidas entre puntos de ancoraxe). O resultado atopado foi: f ( x )
∑ n
− ∞ ∞ f ( a + k w ) sin ⁡ [ π w ( x − a − k w ) ] π w ( x − a − k w ) {\displaystyle f(x)
\sum _{n
-\infty }^{\infty }f(a+kw){\frac {\sin \left[{\dfrac {\pi }{w}}(x-a-kw)\right]}{{\dfrac {\pi }{w}}(x-a-kw)}}} O nome "seno cardinal» é a transcrición do nome latino sinus cardinalis, dada en 1952 por Woodward e Davies. Propiedades
Propiedades elementais
O valor cero parece indefinido a primeira vista, mais o cálculo do límite é posíbel: recoñecemos en sin ⁡ x x
sin ⁡ x − sin ⁡ 0 x − 0 {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}
{\frac {\sin x-\sin 0}{x-0}}} unha taxa de crecemento para a función seno, cuxo límite en 0 é a derivada do seno en 0, igual a cos ⁡ 0 {\displaystyle \cos 0}
1, o que nos permite definir a función mediante sinc ⁡ 0 {\displaystyle \operatorname {sinc} 0}
1, operando así unha extensión por continuidade.
Alcánzanse os ceros da función en x
k π, k ∈ Z ∗ {\displaystyle x
k\pi, \ k\in \mathbb {Z} ^{*}} (primeira definición) ou x
k, k ∈ Z ∗ {\displaystyle x
k, \ k\in \mathbb {Z} ^{*}} (segunda definición).
O valor onde o cadrado de s i n c 1 ⁡ x {\displaystyle \operatorname {sinc_{1}} x} vale 0, 5 é x {\displaystyle x} ± 1, 39156 aproximadamente (o que nos permite definir o ancho de banda a −3 dB de potencia, da función).
Resultados de cálculo infinitesimal
A función pódese desenvolver en serie de potencias na liña real: sin ⁡ x x
∑ n
0 + ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n + 1 )! {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}
\sum _{n
0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)! }}} e tamén se escribe como integral paramétrica: sin ⁡ x x
∫ 01 cos ⁡ ( t x ) d t {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}
\int _{0}^{1}\cos(tx)\, \mathrm {d} t}.
De calquera destas dúas fórmulas, deducimos que o seno cardinal é indefinidamente diferenciábel en R {\displaystyle \mathbb {R} } e mesmo pode estenderse nunha función holomorfa sobre todo o plano complexo.
As primitivas da función seno cardinal non se poden calcular usando funcións elementais. É habitual definir unha función especial, a función seno integral, como a primitiva do seno cardinal nulo en 0: Si ⁡ x
∫ 0 x sin ⁡ t t d t {\displaystyle \operatorname {Si} x
\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\, \mathrm {d} t}.
Demóstrase que a integral ∫ 0 + ∞ sin ⁡ x x d x {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\, \mathrm {d} x} converxe. Trátase da integral de Dirichlet, valendo π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}. No entanto, a función seno cardinal non é integrábel en R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} no sentido de Lebesgue (si que o é no sentido da integral de Henstock-Kurzweil), porque a converxencia non é absoluta; noutras palabras, temos ∫ 0 + ∞ | sin ⁡ t | t d t
+ ∞ {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin t|}{t}}\, \mathrm {d} t
+\infty }.
Transformada de Fourier
A transformada de Plancherel do seno cardinal s i n c π {\displaystyle \operatorname {sinc_{\pi }} } é a función rectangular Π {\displaystyle \Pi }, función indicadora do intervalo real [ − 12; 12 ] {\displaystyle \left[-{\frac {1}{2}}; {\frac {1}{2}}\right]}.
En efecto, a transformada de Fourier de Π {\displaystyle \Pi } é: F ( Π ) ( f )
∫ − 1 / 21 / 2 e − 2 π i f t d t
sinc π ⁡ ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(\Pi )(f)
\int _{-1/2}^{1/2}{\rm {e}}^{-2\pi \mathrm {i} ft}\, \mathrm {d} t
\operatorname {sinc} _{\pi }(f)}. } Ligazóns con funcións especiais
O seno cardinal aparece na expresión das funcións esféricas de Bessel do primeiro tipo, en particular, s i n c 1 ⁡ x
j 0 ( x ) {\displaystyle \operatorname {sinc_{1}} x
j_{0}(x)}.
O seno cardinal normalizado exprésase como un produto infinito: s i n c π ⁡ x
∏ n
1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 ) {\displaystyle \operatorname {sinc_{\pi }} x
\prod _{n
1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)} e aparece na fórmula de reflexión, que se pode reescribir como: Γ ( 1 + x ) Γ ( 1 − x )
1 s i n c π ⁡ x {\displaystyle \Gamma (1+x)\Gamma (1-x)
{\frac {1}{\operatorname {sinc_{\pi }} x}}}. sin ⁡ z z
∏ n
1 ∞ cos ⁡ z 2 n {\displaystyle {\frac {\sin z}{z}}
\prod _{n
1}^{\infty }\cos {\frac {z}{2^{n}}}}. Expansión en serie
A Serie de Taylor da función sinc non normalizada pode obterse a partir da do seno: sin ⁡ x x
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n + 1 )!
1 − x 23! + x 45! − x 67! + ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)! }}
1-{\frac {x^{2}}{3! }}+{\frac {x^{4}}{5! }}-{\frac {x^{6}}{7! }}+\cdots } Esta serie converxe para todo x. A versión normalizada sería logo: sin ⁡ π x π x
1 − π 2 x 23! + π 4 x 45! − π 6 x 67! + ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}
1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3! }}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5! }}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7! }}+\cdots } Euler usou esta serie para solucionar o famoso problema de Basilea. Uso e aplicacións
E. T. Whittaker mostrou que a función seno cardinal xoga un papel central na teoría da interpolación nunha retícula de puntos equidistante.
Dado que a transformada de Fourier da función rectangular é moi común, o seno cardinal está necesariamente moi presente, especialmente na física de ondas (porque os fenómenos de difracción de Fraunhofer son tratados pola transformada de Fourier) así como no procesamento dixital de sinais. Máis precisamente, en teoría da información, a función seno cardinal permite a síntese exacta de sinais con espectro de soporte finito (fórmula de Shannon, 1949). En particular, o seno cardinal atópase con frecuencia na teoría de antenas, acústica, radar, difracción dpor unha fenda, etc.
A mesma idea é a base da aproximación sigma de Cornelius Lanczos.
O cadrado do seno cardinal tamén se usa a miúdo, porque isto dá a intensidade ou potencia do sinal cuxa amplitude está en seno cardinal.
Dado que os valores diminúen rapidamente, o cadrado da función seno cardinal adoita representarse en escala logarítmica.