Funcións pares e impares

En matemáticas, unha función par é unha función real tal que f ( − x )
f ( x ) {\displaystyle f(-x)
f(x)} para cada x {\displaystyle x} no seu dominio. Do mesmo xeito, unha función impar é unha función tal que f ( − x )
− f ( x ) {\displaystyle f(-x)
-f(x)} para cada x {\displaystyle x} no seu dominio.
Noméanse pola paridade das potencias das funcións potencia que satisfán cada condición: a función f ( x )
x n {\displaystyle f(x)
x^{n}} é par se n é un enteiro par e é impar se n é un enteiro impar.
As funcións pares son aquelas funcións reais cuxa gráfica é autosimétrica en relación ao eixo y, e as impares son aquelas cuxa gráfica é autosimétrica en relación á orixe. Definición e exemplos
Función par
Unha función real f é par se, para todo x no seu dominio, −x tamén está no seu dominio e f ( − x )
f ( x ) {\displaystyle f(-x)
f(x)} ou equivalentemente f ( x ) − f ( − x )
0. {\displaystyle f(x)-f(-x)
0. } Xeométricamente, a gráfica dunha función par é simétrica en relación ao eixo y, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois da reflexión sobre o eixo y.
Exemplos de funcións pares son: O valor absoluto x ↦ | x |, {\displaystyle x\mapsto |x|, } x ↦ x 2, {\displaystyle x\mapsto x^{2}, } x ↦ x n {\displaystyle x\mapsto x^{n}} para calquera número enteiro par n, {\displaystyle n, } coseno cos, {\displaystyle \cos, } coseno hiperbólico cosh, {\displaystyle \cosh, } Función gaussiana x ↦ exp ⁡ ( − x 2 ). {\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}). }
Función impar
Unha función real f é impar se, para cada x no seu dominio, −x tamén está no seu dominio e f ( − x )
− f ( x ) {\displaystyle f(-x)
-f(x)} ou equivalentemente f ( x ) + f ( − x )
0. {\displaystyle f(x)+f(-x)
0. } Xeométricamente, a gráfica dunha función impar ten simetría de rotación en relación á orixe, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois de xirar 180 graos sobre a orixe.
Se x
0 {\displaystyle x
0} está no dominio dunha función impar f ( x ) {\displaystyle f(x)}, entón f ( 0 )
0 {\displaystyle f(0)
0}.
Exemplos de funcións impares son: A función signo x ↦ sgn ⁡ ( x ), {\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x), } A función de identidade x ↦ x, {\displaystyle x\mapsto x, } x ↦ x n {\displaystyle x\mapsto x^{n}} para calquera número enteiro impar n, {\displaystyle n, } seno sin, {\displaystyle \sin, } seno hiperbólico sinh, {\displaystyle \sinh, } A función erro erf. {\displaystyle \operatorname {erf}. } Propiedades analíticas
O feito de que unha función sexa par ou impar non implica diferenciabilidade nin continuidade. Por exemplo, a función de Dirichlet é par, mais non é continua.
A continuación considéranse propiedades que inclúen derivadas, series de Fourier e series de Taylor, e suponse que estes conceptos están definidos para as funcións consideradas.
Propiedades analíticas básicas
A derivada dunha función par é impar.
A derivada dunha función impar é par.
A integral dunha función impar de −A a +A é cero (onde A pode ser finita ou infinita, e a función non ten asíntotas verticais entre −A e A ). Para unha función impar que é integrábel nun intervalo simétrico, p [ − A, A ] {\displaystyle [-A, A]}, o resultado da integral sobre ese intervalo é cero; é ∫ − A A f ( x ) d x
0 {\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\, dx
0}.
A integral dunha función par de −A a +A é o dobre da integral de 0 a +A (onde A é finita, e a función non ten asíntotas verticais entre −A e A. Isto tamén é certo cando A é infinita, mais só se a integral converxe); é dicir ∫ − A A f ( x ) d x
2 ∫ 0 A f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\, dx
2\int _{0}^{A}f(x)\, dx}.
Series
A serie de Maclaurin dunha función par inclúe só potencias pares.
A serie de Maclaurin dunha función impar inclúe só potencias impares.
A serie de Fourier dunha función par periódica inclúe só termos coseno.
A serie de Fourier dunha función periódica impar inclúe só termos seno.
A transformada de Fourier dunha función par puramente real é real e par.
A transformada de Fourier dunha función impar puramente real é imaxinaria e impar.