Espazo de Hausdorff

En topoloxía e ramas relacionadas das matemáticas, un espazo Hausdorff, espazo T2 ou espazo separado, é un espazo topolóxico onde puntos distintos teñen veciñanzas disxuntas. Dos moitos axiomas de separación que se poden considerar para un espazo topolóxico, a "condición Hausdorff" (T2 ) é a máis frecuentemente utilizada e citada. Implica a unicidade de límites nas sucesións, redes, e filtros.
Os espazos Hausdorff son nomeados así por causa de Felix Hausdorff, un dos fundadores da topoloxía. A definición orixinal de Hausdorff dun espazo topolóxico (en 1914) incluía a condición Hausdorff como un axioma. Definicións
Dous puntos x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} nun espazo topolóxico poden ser separados por veciñanzas se existe unha veciñanza U {\displaystyle U} de x {\displaystyle x} e unha veciñanza V {\displaystyle V} de y {\displaystyle y} tales que U {\displaystyle U} e V {\displaystyle V} son disxuntas ( U ∩ V
∅ ) {\displaystyle (U\cap V
\varnothing )}. X {\displaystyle X} é un espazo Hausdorff se calquera dous puntos distintos de X {\displaystyle X} están separados por veciñanzas. Esta condición é o terceiro axioma de separación (despois de T0 e T1), que é o motivo de que os espazos Hausdorff se chamen tamén espazos T2. Tamén se usa o nome "espazo separado".
Unha condición relacionada, pero máis débil, é a de espazo preregular. X {\displaystyle X} é un espazo preregular se calquera dous puntos topoloxicamente distinguibeis poden ser separados por veciñanzas disxuntas. Un espazo preregular é tamén chamado espazo R1.
A relación entre estas dúas condicións é a seguinte. Un espazo topolóxico é Hausdorff se e só se é preregular (é dicir, puntos topoloxicamente distinguibeis están separados por veciñanzas) e Kolmogorov (é dicir puntos distintos son topoloxicamente distinguibeis). Un espazo topoloxico é preregular se e só se o seu cociente de Kolmogorov é Hausdorff. Equivalencias
Para un espazo topolóxico, o seguinte é equivalente: X {\displaystyle X} é Hausdorff.
Os límites de redes en X {\displaystyle X} son únicos.
Os límites de filtros en X {\displaystyle X} son únicos.
Calquera conxunto unitario { x } ⊂ X {\displaystyle \{x\}\subset X} é igual á intersección de todas as veciñanzas pechadas de x {\displaystyle x}. (Unha veciñanza pechada de x {\displaystyle x} é un conxunto pechado que contén un conxunto aberto que contén a x {\displaystyle x} A diagonal Δ
{ ( x, x ) ∣ x ∈ X } {\displaystyle \Delta
\{(x, x)\mid x\in X\}} é pechada como subespazo do espazo produto X × X {\displaystyle X\times X}.
Calquera inxección desde o espazo discreto con dous puntos a X {\displaystyle X} ten a propiedade de levantamento con respecto á aplicación desde o espazo topolóxico finito con dous puntos abertos e un punto pechado a un único punto. Exemplos de espazos Hausdorff e non Hausdorff
Case todos os espazos que se atopan en análise son Hausdorff; sobre todo, os números reais (baixo a topoloxía métrica estándar, os números reais) son un espazo Hausdorff). Máis xeralmente, todos os espazos métricos son Hausdorff. De feito, moitos espazos usados en análise, como os grupos topolóxicos e as variedades topolóxicas, teñen a condición de ser Hausdorff explicitamente exposta nas súas definicións.
Un exemplo sinxelo dunha topoloxía que é T1 pero non é Hausdorff é a topoloxía cofinita definida nun conxunto infinito, como tampouco o é a topoloxía conumerable definida nun conxunto non numerable.
Os espazos pseudométricos normalmente non son Hausdorff, mais son preregulares, e aparecen en análise só na construción de espazos gauge Hausdorff. De feito, cando os analistas dan cun espazo non-Hausdorff, probabelmente é polo menos preregular, e entón o substitúen sen máis polo seu cociente de Kolmogorov, que é Hausdorff.
En contraste, os espazos non preregulares atópanse con moita máis frecuencia en álxebra abstracta e xeometría alxébrica, en particular como a topoloxía de Zariski nunha variedade alxébrica ou o espectro dun anel. Tamén xorden na teoría de modelos da lóxica intuicionista: cada álxebra de Heyting completa é a álxebra dos conxuntos abertos dalgún espazo topolóxico, mais este espazo pode non ser preregular, moito menos Hausdorff, e de feito normalmente non é ningunha das dúas cousas. O concepto relacionado de dominio de Scott tamén consiste en espazos non preregulares.
Aínda que a existencia de límites únicos para filtros e redes converxentes implica que un espazo é Hausdorff, hai espazos T1 non Hausdorff nos que cada sucesión converxente ten un límite único. Tales espazos son chamados espazos secuencialmente Hausdorff. Para espazos secuenciais, esta noción é equivalente a ser un espazo debilmente Hausdorff. Propiedades
Os subespazos e produtos dos espazos Hausdorff son Hausdorff, mais os espazos cociente de espazos Hausdorff poden non ser Hausdorff. De feito, todo o espazo topolóxico pode ser realizado como cociente dalgún espazo Hausdorff.
Os espazos Hausdorff son T1, o que significa que cada conxunto unitario é un conxunto pechado. De xeito semellante, os espazos preregulares son R0. Todo espazo Hausdorff é un espazo sobrio, aínda que o recíproco en xeral non é certo. Outra propiedade dos espazos Hausdorff é que cada subespazo compacto é un conxunto pechado. Para os espazos non Hausdorff, pode ser que cada conxunto compacto sexa un conxunto pechado (por exemplo, na topoloxía conumerable nun conxunto non numerable) ou non (por exemplo, na topoloxía cofinita nun conxunto infinito e no espazo de Sierpiński). A definición de espazo Hausdorff é que puntos distintos poden ser separados por veciñanzas. Resulta que isto implica algo que é aparentemente máis forte: nun espazo Hausdorff cada par de conxuntos compactos disxuntos tamén poden ser separados por veciñanzas, noutras palabras hai unha veciñanza dun conxunto e unha veciñanza do outro, de xeito que as dúas veciñanzas son disxuntas. Isto é un exemplo da regra xeral de que os conxuntos compactos compórtanse a miúdo como puntos.
As condicións de compacidade xunto con preregularidade a miúdo implican axiomas de separación máis fortes. Por exemplo, calquera espazo localmente compacto preregular é completamente regular. Os espazos compactos preregulares son normais, o que significa que satisfán o Lema de Uryhson e o teorema de extensión de Tietze e teñen particións da unidade subordinadas a cubertas abertas localmente finitas. As versións Hausdorff destas afirmacións son: cada espazo Hausdorff localmente compacto é un espazo de Tychonoff, e cada espazo compacto Hausdorff é normal Hausdorff.
Os resultados seguintes son algunhas propiedades técnicas relacionadas con aplicacións (continuas ou non) desde e ata espazos Hausdorff.
Sexa f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} unha aplicación continua e supoñamos que Y {\displaystyle Y} é Hausdorff. Entón a gráfica de f {\displaystyle f}, { ( x, f ( x ) ) ∣ x ∈ X } {\displaystyle \{(x, f(x))\mid x\in X\}}, é un subconxunto pechado de X × Y {\displaystyle X\times Y}.
Sexar f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} unha aplicación e sexa ker ⁡ ( f ) ≜ { ( x, x ′ ) ∣ f ( x )
f ( x ′ ) } {\displaystyle \ker(f)\triangleq \{(x, x')\mid f(x)
f(x')\}} o seu núcleo considerado como subespazo de X × X {\displaystyle X\times X}. Se f {\displaystyle f} é continua e Y {\displaystyle Y} é Hausdorff entón ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ker(f)} é un conxunto pechado.
Se f {\displaystyle f} é unha aplicación aberta e sobrexectiva e ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ker(f)} é un conxunto pechado entón Y {\displaystyle Y} é Hausdorff.
Se f {\displaystyle f} é continua, aberta e sobrexectiva (p. ex. unha aplicación cociente aberta) entón Y {\displaystyle Y} é Hausdorff se e só se ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ker(f)} é un conxunto pechado.
Se f, g: X → Y {\displaystyle f, g\colon X\to Y} son aplicacións continuas e Y {\displaystyle Y} é Hausdorff, entón o igualador eq ( f, g )
{ x ∣ f ( x )
g ( x ) } {\displaystyle {\mbox{eq}}(f, g)
\{x\mid f(x)
g(x)\}} é un conxunto pechado en X {\displaystyle X}. Séguese que se Y {\displaystyle Y} é Hausdorff e f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} coinciden nun subonxunto denso de X {\displaystyle X} entón f
g {\displaystyle f
g}. Noutras palabras, as funcións continuas con valores en espazos Hausdorff están determinadas polos seus valores en subconxuntos densos.
Sexa f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} unha aplicación pechada sobrexectiva tal que f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} é compacto para todo y ∈ Y {\displaystyle y\in Y}. Entón se X {\displaystyle X} é Hausdorff tamén o é Y {\displaystyle Y}.
Sexa f: X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} unha aplicación cociente con X {\displaystyle X} compacto Hausdorff. Entón as seguintes condicións son equivalentes: Y {\displaystyle Y} é Hausdorff. f {\displaystyle f} é unha aplicación pechada ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ker(f)} é un conxunto pechado. Humor académico
No Instituto de Matemáticas da Universidade de Bonn, no cal Felix Hausdorff investigou e deu clase, hai unha sala chamada Hausdorff-Raum. Isto é un xogo de palabras, porque Raum en alemán significa "habitación" pero tamén "espazo".