Norma dun corpo

En matemáticas, a norma dun corpo é unha asignación particular definida na teoría de corpos, que mapea elementos dun corpo máis grande nun subcorpo. Definición formal
Sexa K un corpo e L unha extensión finita (e polo tanto unha extensión alxébrica) de K.
O corpo L é entón un espazo vectorial de dimensión finita sobre K.
A multiplicación por α dun elemento de L, m α: L → L {\displaystyle m_{\alpha }\colon L\to L} m α ( x )
α x {\displaystyle m_{\alpha }(x)
\alpha x},
é unha transformación K-linear deste espazo vectorial en si mesmo.
A norma, N L/K (α), defínese como o determinante desta transformación linear.
Se L/K é unha extensión de Galois, pódese calcular a norma de α ∈ L como o produto de todos os conxugados de Galois de α: N L / K ⁡ ( α )
∏ σ ∈ Gal ⁡ ( L / K ) σ ( α ), {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )
\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ), } onde Gal(L/K) denota o grupo de Galois de L/K. (Teña en conta que pode haber unha repetición nos termos do produto). Para unha extensión xeral do corpo L/K, e α distinto de cero en L, sexan σ1(α), .. ., σn (α) as raíces do polinomio mínimo de α sobre K (raíces listadas con multiplicidade e situadas nalgún corpo de extensión de L); entón N L / K ⁡ ( α )
( ∏ j
1 n σ j ( α ) ) [ L: K ( α ) ] {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )
\left(\prod _{j
1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L: K(\alpha )]}}. Se L/K é separábel, entón cada raíz aparece só unha vez no produto (aínda que o expoñente, o grao da extensión [L: K(α)], aínda pode ser maior que 1). Exemplos
Extensións de corpo cadrático
Un dos exemplos básicos de normas provén das extensións de corpos cadráticos Q ( a ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} } onde a {\displaystyle a} é un enteiro libre de cadrados.
Despois, o mapa de multiplicación por a {\displaystyle {\sqrt {a}}} sobre un elemento x + y ⋅ a {\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}} é a ⋅ ( x + y ⋅ a )
y ⋅ a + x ⋅ a. {\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})
y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}. } O elemento x + y ⋅ a {\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}} pode ser representado polo vector [ x y ], {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}, } xa que hai unha descomposición de suma directa Q ( a )
Q ⊕ Q ⋅ a {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})
\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}} como a Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -espazo vectorial.
A matriz de m a {\displaystyle m_{\sqrt {a}}} é daquela m a
[ 0 a 10 ] {\displaystyle m_{\sqrt {a}}
{\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}} e a norma é N Q ( a ) / Q ( a )
− a {\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})
-a}, xa que é o determinante desta matriz.
Norma de Q(√2)
Considere o corpo de números alxébricos K
Q ( 2 ) {\displaystyle K
\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}.
O grupo de Galois de K {\displaystyle K} sobre Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ten orde d
2 {\displaystyle d
2} e é xerado polo elemento que envía 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} a − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}}. Logo, a norma de 1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}} é: ( 1 + 2 ) ( 1 − 2 )
− 1. {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})
-1. } A norma do corpo tamén se pode obter sen o grupo de Galois.
Fixemos unha Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -base de Q ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}, digamos: { 1, 2 } {\displaystyle \{1, {\sqrt {2}}\}}.
Daquela a multiplicación polo número 1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}} envía 1 a 1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}} e 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} a 2 + 2 {\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}.
Daquela, o determinante de "multiplicar por 1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}} " é o determinante da matriz que envía o vector [ 10 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} (correspondente ao primeiro elemento da base, é dicir, 1) a [ 11 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}, [ 01 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} (correspondente ao segundo elemento da base, é dicir, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ) a [ 21 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}},
a saber: [ 1211 ]. {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}. } O determinante desta matriz é −1.
extensións do corpo raíz p-ésima
Outra clase sinxela de exemplos provén das extensións de corpo da forma Q ( a p ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} } onde a factorización prima de a ∈ Q {\displaystyle a\in \mathbb {Q} } non contén potencias p {\displaystyle p} -ésimas, para p {\displaystyle p} un primo impar fixo. O mapa de multiplicación por a p {\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}} dun elemento é m a p ( x )
a p ⋅ ( a 0 + a 1 a p + a 2 a 2 p + ⋯ + a p − 1 a p − 1 p )
a 0 a p + a 1 a 2 p + a 2 a 3 p + ⋯ + a p − 1 a {\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&
{\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&
a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}} dando a matriz [ 00 ⋯ 0 a 10 ⋯ 0001 ⋯ 00 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 00 ⋯ 10 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}} O determinante dá a norma N Q ( a p ) / Q ( a p )
( − 1 ) p − 1 a
a. {\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})
(-1)^{p-1}a
a. }
Números complexos sobre os reais
A norma de corpo dos números complexos nos números reais envía x + iy
a x2 + y2,
porque o grupo de Galois de C {\displaystyle \mathbb {C} } sobre R {\displaystyle \mathbb {R} } ten dous elementos, o elemento identidade e
a conxugación complexa,
e tomando o produto obtense (x + iy)(x − iy) x2 + y2.
Corpos finitos
Sexa L
GF(qn) unha extensión finita dun corpo finito K
GF( q).
Dado que L/K é unha extensión de Galois, se α está en L, entón a norma de α é o produto de todos os conxugados de Galois de α, é dicir N L / K ⁡ ( α )
α ⋅ α q ⋅ α q 2 ⋯ α q n − 1
α ( q n − 1 ) / ( q − 1 ). {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )
\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}
\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}. } Nesta configuración temos as propiedades adicionais, ∀ α ∈ L, N L / K ⁡ ( α q )
N L / K ⁡ ( α ) {\displaystyle \forall \alpha \in L, \quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})
\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )} ∀ a ∈ K, N L / K ⁡ ( a )
a n. {\displaystyle \forall a\in K, \quad \operatorname {N} _{L/K}(a)
a^{n}. } Propiedades da norma
Hai varias propiedades da función norma para calquera extensión finita.
Homomorfismo de grupos
A norma NL/K: L* → K* é un homomorfismo de grupos do grupo multiplicativo de L no grupo multiplicativo de K, é dicir N L / K ⁡ ( α β )
N L / K ⁡ ( α ) N L / K ⁡ ( β ) para todo α, β ∈ L ∗. {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )
\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ para todo }}\alpha, \beta \in L^{*}. } A maiores, se a en K: N L / K ⁡ ( a α )
a [ L: K ] N L / K ⁡ ( α ) para todo α ∈ L. {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )
a^{[L: K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ para todo }}\alpha \in L. } Se a ∈ K entón N L / K ⁡ ( a )
a [ L: K ]. {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)
a^{[L: K]}. }
Composición con extensións de corpo
A maiores, a norma compórtase ben en torres de corpos:
se M é unha extensión finita de L, entón a norma de M en K é só a composición da norma de M en L coa norma de L en K, é dicir. N M / K
N L / K ∘ N M / L. {\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}
\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}. }
Redución da norma
A norma dun elemento nunha extensión de corpo arbitraria pode reducirse a un cálculo máis sinxelo se xa se coñece o grao da extensión de corpo. Isto é N L / K ( α )
N K ( α ) / K ( α ) [ L: K ( α ) ] {\displaystyle N_{L/K}(\alpha )
N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L: K(\alpha )]}} Por exemplo, para α
2 {\displaystyle \alpha
{\sqrt {2}}} na extensión de corpo L
Q ( 2, ζ 3 ), K
Q {\displaystyle L
\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}, \zeta _{3}), K
\mathbb {Q} }, a norma de α {\displaystyle \alpha } é N Q ( 2, ζ 3 ) / Q ( 2 )
N Q ( 2 ) / Q ( 2 ) [ Q ( 2, ζ 3 ): Q ( 2 ) ]
( − 2 ) 2
4 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}, \zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&
N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}, \zeta _{3}): \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&
(-2)^{2}\\&
4\end{aligned}}} xa que o grao de extensión do corpo L / K ( α ) {\displaystyle L/K(\alpha )} é 2 {\displaystyle 2}.
Detección de unidades
Para O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico K {\displaystyle K}, un elemento α ∈ O K {\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}} é unha unidade se e só se N K / Q ( α )
± 1 {\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )
\pm 1}.
Por exemplo N Q ( ζ 3 ) / Q ( ζ 3 )
1 {\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})
1} onde ζ 33
1 {\displaystyle \zeta _{3}^{3}
1}.
Así, calquera corpo numérico K {\displaystyle K} cuxo anel de enteiros O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} contén ζ 3 {\displaystyle \zeta _{3}} teno como unidade.