Derivación (matemática)

Para a derivación en cálculo, véxase Derivada.
Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica. A derivación, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.
É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente. Definición de derivación
Sexa M {\displaystyle M} unha variedade diferenciábel e p ∈ M {\displaystyle p\in M}, chamaremos derivación no punto p {\displaystyle p} a ∀ δ p: F ( M ) ⟶ R {\displaystyle \forall \delta _{p}: {\mathcal {F}}(M)\longrightarrow \mathbb {R} } aplicación R − {\displaystyle \mathbb {R} -} lineal, é dicir: ∀ f, g ∈ F ( M ) {\displaystyle \forall f, g\in {\mathcal {F}}(M)}, ∀ λ ∈ R {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} }, δ p ( g + f )
δ p ( g ) + δ p ( f ) {\displaystyle \delta _{p}(g+f)
\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)}, δ p ( λ f )
λ δ p ( f ) {\displaystyle \delta _{p}(\lambda f)
\lambda \delta _{p}(f)}.
e tal que δ p ( f ⋅ g )
δ p ( f ) g | p + f | p δ p ( g ) {\displaystyle \delta _{p}(f\cdot g)
\delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g)}, ∀ f, g ∈ F ( M ) {\displaystyle \forall f, g\in {\mathcal {F}}(M)}, é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.
Observación F ( M ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(M)} é o conxunto de funcións diferenciábeis en M {\displaystyle M}, e é un R − {\displaystyle \mathbb {R} -} álxebra conmutativa, (é un R − {\displaystyle \mathbb {R} -} espazo vectorial). f | p {\displaystyle f_{|p}} é equivalente a f ( p ) {\displaystyle f(p)}, é dicir, f {\displaystyle f} avaliado no punto p {\displaystyle p}.
Exemplos de derivación
A derivada parcial
Sexa M
R n {\displaystyle M
\mathbb {R} ^{n}} e p ∈ M {\displaystyle p\in M}, vexamos que a aplicación seguinte é derivación: ∂ ⋅ ∂ x i | p: F ( M ) ⟶ R. f ↦ ∂ f ∂ x i | p {\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {\partial \; \cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}: &{\mathcal {F}}(M)&\longrightarrow &\mathbb {R} \; .\\&f&\mapsto &{\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}} Demostración: Vexamos primeiro que é R − {\displaystyle \mathbb {R} -} lineal, é dicir, que ∀ f, g ∈ F ( M ) {\displaystyle \forall f, g\in {\mathcal {F}}(M)} e ∀ λ ∈ R {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} } vemos que: ∂ ( f + g ) ∂ x i | p
∂ f ∂ x i | p + ∂ g ∂ x i | p {\displaystyle {\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}
{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}}, ∂ ( λ g ) ∂ x i | p
λ ∂ g ∂ x i | p {\displaystyle {\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}
\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}}.
Vexamos finalmente que é unha derivación: ∂ ( f ⋅ g ) ∂ x i | p
∂ f ∂ x i | p g | p + f | p ∂ g ∂ x i | p {\displaystyle {\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}
{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}}.
Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.
A derivada direccional
Sexa M
R n {\displaystyle M
\mathbb {R} ^{n}}, p ∈ M {\displaystyle p\in M} e v ∈ M: ‖ v ‖
1 {\displaystyle v\in M: \|v\|
1}, pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación: ∂ ⋅ ∂ v | p: F ( M ) ⟶ R f ↦ ∂ f ∂ v | p {\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}: &{\mathcal {F}}(M)&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&f&\mapsto &{\cfrac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}}. Definicións
Sexa M {\displaystyle M} unha variedade diferenciábel e p ∈ M {\displaystyle p\in M}, chamaremos espazo tanxente a M {\displaystyle M} en p {\displaystyle p} ao R − {\displaystyle \mathbb {R} -} espazo vectorial das derivacións de M {\displaystyle M} en p {\displaystyle p}, notado por T p M {\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}M}, e os seus elementos chamaranse vectores tanxentes a M {\displaystyle M} en p {\displaystyle p}. Consecuencias
Propiedade da derivación dunha función localmente constante
Sexa M {\displaystyle M} unha variedade diferenciábel, p ∈ M {\displaystyle p\in M}, ∀ δ p ∈ T p M {\displaystyle \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M} e f ∈ F ( M ) {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)} tal que ∃ U {\displaystyle \exists U} contorno aberto en p {\displaystyle p} onde f ( x )
λ {\displaystyle f(x)
\lambda }, ∀ x ∈ M {\displaystyle \forall x\in M}, entón temos que δ p f
0 {\displaystyle \delta _{p}f
0}.
Demostración: Por linealidade de δ p {\displaystyle \delta _{p}} temos δ p ( f )
δ p ( λ )
δ p ( λ ⋅ 1 )
λ δ p ( 1 ) {\displaystyle \delta _{p}(f)
\delta _{p}(\lambda )
\delta _{p}(\lambda \cdot 1)
\lambda \delta _{p}(1)},
aquí, aplicando a condición de derivación a δ p ( 1 ) {\displaystyle \delta _{p}(1)} temos δ p ( 1 )
δ p ( 1 ⋅ 1 )
δ p ( 1 ) 1 + 1 δ p ( 1 )
δ p ( 1 ) + δ p ( 1 ) {\displaystyle \delta _{p}(1)
\delta _{p}(1\cdot 1)
\delta _{p}(1)1+1\delta _{p}(1)
\delta _{p}(1)+\delta _{p}(1)},
de simplificar este último, resulta δ p ( 1 )
0 {\displaystyle \delta _{p}(1)
0}, aplicándoo ao anterior resulta que δ p ( f )
0 {\displaystyle \delta _{p}(f)
0}.
Exemplo
Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}: a función meseta ρ {\displaystyle \rho } asociada a ( p, V ) {\displaystyle (p, V)}, onde ρ ( x )
1, {\displaystyle \rho (x)
1, } ∀ x ∈ k ⊂ V, k {\displaystyle \forall x\in k\subset V, \; k} compacto cuxo interior contén a p {\displaystyle p}.
Propiedade da derivación do produto coa función meseta
Sexa M {\displaystyle M} unha variedade diferenciábel, p ∈ M {\displaystyle p\in M}, ∀ δ p ∈ T p M {\displaystyle \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}, f ∈ F ( M ) {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)} e ρ {\displaystyle \rho } unha función meseta asociada a ( p, V ) {\displaystyle (p, V)}, temos que: δ p ( ρ ⋅ f )
δ p ( f ) {\displaystyle \delta _{p}(\rho \cdot f)
\delta _{p}(f)}.
Demostración: Aplicando a regra de Leibniz temos que δ p ( ρ ⋅ f )
δ p ( ρ ) f ( p ) + ρ ( p ) δ p ( f ) {\displaystyle \delta _{p}(\rho \cdot f)
\delta _{p}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)}, pola propiedade anterior temos que δ p ( ρ ⋅ f )
0 ⋅ f ( p ) + 1 ⋅ δ p ( f )
δ p ( f ). {\displaystyle \delta _{p}(\rho \cdot f)
0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}(f)
\delta _{p}(f). }
Propiedade
Sexa M {\displaystyle M} unha variedade diferenciábel, p ∈ M, ∀ δ p ∈ T p M {\displaystyle p\in M, \; \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M} e f, g ∈ F ( M ) {\displaystyle f, g\in {\mathcal {F}}(M)} tal que ∃ V {\displaystyle \exists V} contorno aberto en p {\displaystyle p} onde f | V
g | V {\displaystyle f_{|V}
g_{|V}}, entón temos que: δ p ( f )
δ p ( g ) {\displaystyle \delta _{p}(f)
\delta _{p}(g)}.
Demostración: Sexa ρ {\displaystyle \rho } unha función meseta asociada a ( p, V ) {\displaystyle (p, V)}, temos así que ρ ⋅ f
ρ ⋅ g {\displaystyle \rho \cdot f
\rho \cdot g} en todo M {\displaystyle M} tamén ρ ⋅ f, ρ ⋅ g ∈ F ( M ) {\displaystyle \rho \cdot f, \rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)} por tanto δ p ( ρ ⋅ f )
δ p ( ρ ⋅ g ) {\displaystyle \delta _{p}(\rho \cdot f)
\delta _{p}(\rho \cdot g)}, e pola propiedade anterior temos que δ p ( f )
δ p ( g ) {\displaystyle \delta _{p}(f)
\delta _{p}(g)}.