Número e

O número e é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2, 71828. Os seus usos máis frecuentes son como función exponencial ( e x {\displaystyle e^{x}} ) e como a súa inversa o logaritmo en base e {\displaystyle e} chamado logaritmo natural ( log ⁡ ( x ) {\displaystyle \log(x)} ). É o único número positivo a tal que o gráfico da función y
ax ten unha pendente de 1 cando x
0.
Por outra parte se temos a área baixo a curva y
1/x entre x
1 e x k; daquela o número e sería o valor de k para o cal esta área é igual a 1. O número e tamén é coñecido como o número de Euler (non confundir coa constante de Euler γ), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier. Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos.
O número e ten unha grande importancia na matemática, xunto con 0, 1, π e i. Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler eiπ + 10 e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante π, a constante e é irracional (non pode ser representada como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais).
Con 50 cifras decimais, o valor de e é (secuencia A001113 na OEIS): 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995. .. Definicións
O número e é o límite lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n, {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}, } unha expresión que xorde no cálculo do xuro composto.
É a suma da serie infinita e
∑ n
0 ∞ 1 n!
1 + 11 + 11 ⋅ 2 + 11 ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋯. {\displaystyle e
\sum \limits _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{n! }}
1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots. } É o número positivo único a tal que a gráfica da función y
ax ten unha pendente de 1 en x
0.
Temos tamén que e
exp ⁡ ( 1 ), {\displaystyle e
\exp(1), } onde exp {\displaystyle \exp } é a función exponencial (natural), a función única que é igual á súa propia derivada e satisfai a ecuación exp ⁡ ( 0 )
1. {\displaystyle \exp(0)
1. }. De feito a función exponencial natural escríbese tanto e x {\displaystyle e^{x}} como exp ⁡ ( x ) {\displaystyle \exp(x)} (normalmente nesta segunda forma cando o expoñente é unha expresión grande e non se visualiza ben na parte superior).
O logaritmo de base b pódese definir como a función inversa da función x ↦ b x. {\displaystyle x\mapsto b^{x}. } Como b
b 1, {\displaystyle b
b^{1}, } temos que log b ⁡ b
1. {\displaystyle \log _{b}b
1. } A ecuación e
e 1 {\displaystyle e
e^{1}} implica, polo tanto, que e é a base do logaritmo natural. Normalmente escríbese o logaritmo natural (base e) sen especificar a base log ⁡ ( x ) {\displaystyle \log(x)} e tamén é frecuente escribilo e lelo como logaritmo neperiano ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)}.
O número e tamén se pode caracterizar en termos dunha integral: ∫ 1 e d x x
1. {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}
1. } Para outras caracterizacións, consulte § Representacións. Historia
As primeiras referencias á constante foron publicadas en 1618 na táboa dun apéndice dun traballo sobre logaritmos de John Napier.
A constante en si foi introducida por Jakob Bernoulli en 1683, para resolver o problema dos xuros composto. Na súa solución, a constante e aparece como un límite dunha sucesión lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n, {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}, } onde n representa o número de intervalos nun ano nos que se avalía o xuro composto (por exemplo, n
12 {\displaystyle n
12} para un xuro composto mensual).
O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra b de Gottfried Leibniz nas cartas a Christiaan Huygens en 1690 e 1691.
A notación coa letra e {\displaystyle e}, de 1728, é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.
Euler demostrou que e é a suma da serie infinita e
∑ n
0 ∞ 1 n!
10! + 11! + 12! + 13! + 14! + ⋯, {\displaystyle e
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {1}{n! }}
{\frac {1}{0! }}+{\frac {1}{1! }}+{\frac {1}{2! }}+{\frac {1}{3! }}+{\frac {1}{4! }}+\cdots, } onde n! é o factorial de n. Propiedades
Cálculo
A principal motivación para introducir o número e, particularmente no cálculo, é realizar diferenciais e cálculo integral coa función exponencial e o logaritmo.
Tanto para a derivada como para a integral da función exponencial e da función logaritmo temos expresións sinxelas: d d x e x
e x. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}
e^{x}. } d d x log ⁡ x
1 x. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log x
{\frac {1}{x}}. } ∫ e x d x
e x + C. {\displaystyle \int e^{x}\, dx
e^{x}+C. } ∫ l o g ( x ) d x
x l o g ( x ) − x + C. {\displaystyle \int log(x)\, dx
xlog(x)-x+C. } A maiores, a familia de funcións y ( x )
K e x {\displaystyle y(x)
Ke^{x}} onde K é calquera número real ou complexo, é a solución completa da ecuación diferencial y ′
y. {\displaystyle y'
y. }
Desigualdades
En primeiro lugar podemos ver que ( 1 + 1 x ) x < e < ( 1 + 1 x ) x + 1 {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}} para todos os x reais positivos.
Tamén temos a desigualdade e x ≥ x + 1 {\displaystyle e^{x}\geq x+1} para todo número real x, dándose a igualdade se e só se x 0.
Funcións de tipo exponential
O problema de Steiner pide atopar o máximo global para a función f ( x )
x 1 x. {\displaystyle f(x)
x^{\frac {1}{x}}. } Este máximo ocorre precisamente en x e. (Pódese comprobar que a derivada de ln f(x) é cero só para ese valor de x).
Do mesmo xeito, x
1/e é onde se produce o mínimo global para a función f ( x )
x x. {\displaystyle f(x) x^{x}. }
Teoría de números
O número real e é irracional. Euler demostrou isto mostrando que a súa expansión en fracción continua simple non termina.
Aínda máis, polo teorema de Lindemann-Weierstrass, e é transcendental, o que significa que non é unha solución de ningunha ecuación polinómica distinta de cero con coeficientes racionais. Foi o primeiro número que se demostrou transcendental sen ter sido construído especificamente para este propósito (comparar co número de Liouville); a proba foi dada por Charles Hermite en 1873.
O número e é un dos poucos números transcendentais para os que se coñece que o seu expoñente de irracionalidade é μ ( e )
2 {\displaystyle \mu (e)
2}.
Un [[
Lista de problemas sen solucionar en matemáticas|problema sen solucionar]] ata agora é a cuestión de se os números e e π son ou non alxébricamente independentes.
Números complexos
A función exponencial ex pódese escribir como unha serie de Taylor ou Maclaurin e x
1 + x 1! + x 22! + x 33! + ⋯
∑ n
0 ∞ x n n! . {\displaystyle e^{x}
1+{x \over 1! }+{x^{2} \over 2! }+{x^{3} \over 3! }+\cdots
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n! }}. } Dado que esta serie é converxente para todo valor complexo de x, úsase habitualmente para ampliar a definición de e x aos números complexos: e i x
cos ⁡ x + i sin ⁡ x, {\displaystyle e^{ix}
\cos x+i\sin x, } que se cumpre para todo complexo x. O caso especial con x
π é a identidade de Euler: e i π + 1
0. {\displaystyle e^{i\pi }+1
0. } A maiores, esa identidade implica que, na rama principal do logaritmo, ln ⁡ ( − 1 )
i π. {\displaystyle \ln(-1)
i\pi. } E empregando as leis para a exponenciación, ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n
( e i x ) n
e i n x
cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}
\left(e^{ix}\right)^{n}
e^{inx} \cos nx+i\sin nx} para calquera número enteiro n, que é a formula de De Moivre.
As expresións de cos x e sen x en termos da función exponencial pódense deducir da serie de Taylor: cos ⁡ x
e i x + e − i x 2, sin ⁡ x
e i x − e − i x 2 i. {\displaystyle \cos x
{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}, \qquad \sin x
{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}. } A expresión cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \cos x+i\sin x} ás veces abréviase como cis(x).
Resumo
O número e {\displaystyle e} é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
O logaritmo natural de e {\displaystyle e} é 1.
É a base dos logaritmos neperianos ou naturais ( log ⁡ ( x ) {\displaystyle \log(x)} ou ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} ).
É a base da función exponencial ( exp ⁡ ( x ) {\displaystyle \exp(x)} ou e x {\displaystyle e^{x}} ).
A identidade de Euler relaciona ao número e {\displaystyle e} co valor imaxinario, i {\displaystyle i}, π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas". e i π + 1
0 {\displaystyle e^{i\pi }+1
0}. ρ ( c o s θ + i s e n θ )
ρ e i θ {\displaystyle \rho (cos\theta +isen\theta )
\rho e^{i\theta }}.
É un número real transcendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica.
Como unha serie infinita (serie de Maclaurin): e
1 + 11! + 12! + 13! +. .. + 1 n! +. .. {\displaystyle e
1+{\frac {1}{1! }}+{\frac {1}{2! }}+{\frac {1}{3! }}+. .. +{\frac {1}{n! }}+. .. } 2 ≤ ( 1 + 1 n ) n < e < ( 1 + 1 n ) n + 1 ≤ 4 {\displaystyle 2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\leq 4} Representacións
Áparte das fórmulas vistas anteriormente tamén se pode representar das seguintes formas:
Euler demostrou que o número e represéntase como a fracción continua simple infinita: (secuencia A003417 na OEIS) e
[ 2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, …, 1, 2 n, 1, … ] {\displaystyle e
[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, \ldots, 1, 2n, 1, \ldots ]} Como produto infinito: e
21 ( 43 ) 1 / 2 ( 6 ⋅ 85 ⋅ 7 ) 1 / 4 ( 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 169 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 ) 1 / 8 ⋯. {\displaystyle e
{\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots. } Como serie infinita: e
∑ k
0 ∞ 1 k! {\displaystyle e
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {1}{k! }}}, e − 1
∑ k
0 ∞ ( − 1 ) k k! . {\displaystyle e^{-1}
\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k! }}. } Vexamos algunha serie máis: e
12 ∑ k
0 ∞ k + 1 k! {\displaystyle e
{\frac {1}{2}}\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {k+1}{k! }}} e
2 ∑ k
0 ∞ k + 1 ( 2 k + 1 )! {\displaystyle e
2\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)! }}} Temos a fórmula de Stirling como aproximación asintótica do factorial n! ∼ 2 π n ( n e ) n. {\displaystyle n! \sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}. } o que nos leva a outra definición como límite dunha sucesión e
lim n → ∞ n n! n. {\displaystyle e
\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n! }}}. } Aplicando o teorema do binomio e n
∑ k
0 n ( n k ) 1 n k
∑ k
0 n n k _ k! 1 n k {\displaystyle e_{n}
\sum _{k
0}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}
\sum _{k
0}^{n}{\frac {n^{\underline {k}}}{k! }}{\frac {1}{n^{k}}}} que tende a e {\displaystyle e} segundo n {\displaystyle n} tende a ∞ {\displaystyle \infty }. (O termo n k _ {\displaystyle n^{\underline {k}}} é o k {\displaystyle k} -ésimo factorial descendente de n {\displaystyle n} ).
En trigonometría, vimos anteriormente a relación coas funcións trigonométricas circulares, mais tamén existe unha relación simple coas funcións trigonométricas hiperbólicas, e x
sinh ⁡ ( x ) + cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle e^{x}
\sinh(x)+\cosh(x)}.