Teorema de Tales

Existen dous teoremas relacionados coa xeometría clásica que reciben o nome de teorema de Tales, ambos atribuídos ao matemático grego Tales de Mileto no século VI a. C. Os dous teoremas de Tales
O primeiro deles explica esencialmente unha forma de construír un triángulo semellante a un previamente existente ("os triángulos semellantes son os que teñen ángulos congruentes, isto deriva en que os seus lados homólogos sexan proporcionais e viceversa").
Mentres que o segundo desentraña unha propiedade esencial dos circuncentros de todos os triángulos rectángulos ("atopándose estes no punto medio da súa hipotenusa"), que á súa vez na construción xeométrica é amplamente utilizado para impor condicións de construción de ángulos rectos.
Se diversas rectas paralelas son intersecadas por dúas transversais, os segmentos determinados polas paralelas e correspondentes entre transversais, son proporcionais. Primeiro teorema
Como definición previa ao enunciado do teorema, é necesario establecer que dous triángulos son semellantes se teñen os ángulos correspondentes iguais ou si os seus lados son proporcionais entre si. O primeiro teorema de Tales recolle un dos resultados máis básicos da xeometría: Segundo parece, Tales descubriu o teorema mentres investigaba a condición de paralelismo entre dúas rectas. De feito, o primeiro teorema de Tales pode enunciarse como que a igualdade dos cocientes dos lados de dous triángulos non é condición suficiente de paralelismo. Con todo, a principal aplicación do teorema, e a razón da súa fama, derívase do establecemento da condición de semellanza de triángulos, por mor da cal se obtén o seguinte corolario.
Corolario
Do establecemento da existencia dunha relación de semellanza entre ambos os triángulos dedúcese a necesaria proporcionalidade entre os seus lados. Iso significa que a razón entre a lonxitude de dous deles nun triángulo mantense constante no outro.
Por exemplo, na figura obsérvanse dous triángulos que, en virtude do teorema de Tales, son semellantes. Entón, do mesmo dedúcese a modo de corolario que o cociente entre os lados A e B do triángulo pequeno é o mesmo que o cociente entre os lados D e C no triángulo grande. Isto é, que como polo teorema de Tales ambos os triángulos son semellantes, cúmprese que: A B
D C {\displaystyle {\frac {A}{B}}
{\frac {D}{C}}\, } Este corolario é a base da xeometría descritiva. A súa utilidade é evidente; segundo Heródoto, o propio Tales empregou o corolario do seu teorema para medir a altura da pirámide de Keops en Exipto. En calquera caso, o teorema demostra a semellanza entre dous triángulos, non a constancia do cociente.
Do primeiro teorema de Tales dedúcese ademais o seguinte (realmente é outra variante de devandito teorema, e, á súa vez, consecuencia do mesmo): Se as rectas A, B, C son paralelas e cortan outras dúas rectas R e S, entón os segmentos que determinan nelas son proporcionais. Segundo teorema
Este teorema (véxase fig 2. 1 e 2. 2), é un caso particular dunha propiedade dos puntos cocíclicos e da aplicación dos ángulos inscritos dentro dunha circunferencia.
Demostración
Na circunferencia de centro O e raio r (véxase fig 2. 3), os segmentos OA, OB e OC
son iguais por seren todos raios da mesma circunferencia. Polo tanto os triángulos AOB e BOC son isósceles.
A suma dos ángulos do triángulo ABC é: 2 α + 2 β
π
180 ∘ {\displaystyle 2\alpha +2\beta
\pi
180^{\circ }} Dividindo ambos os membros da ecuación anterior entre dous, obtense: A B ^ C
α + β
π 2
90 ∘ {\displaystyle A{\widehat {B}}C
\alpha +\beta
{\frac {\pi }{2}}\;
90^{\circ }} Coa expresión anterior o segundo teorema queda demostrado.
Corolarios
Xa que aplicando o teorema anterior, sábese que para calquera posición que adopte o vértice B vale a igualdade, OA
OB
OC r, onde OB é a mediana da hipotenusa, (véxase fig 2. 3). O corolario 2 tamén xorde de aplicar o teorema anterior. Para unha comprensión intuitiva basta observar a fig 2. 2. Aplicación do segundo teorema
O segundo teorema pode ser aplicado para trazar as tanxentes a unha circunferencia k dada, que ademais pasen por un punto P coñecido e externo á mesma (véxase figura).
Suporase que unha tanxente calquera t (por agora descoñecida) toca a circunferencia k nun punto T (tamén descoñecido por agora). Sábese por simetría que calquera raio r da circunferencia k é perpendicular á tanxente do punto T que devandito raio define na mesma, polo que se conclúe que o ángulo OTP é necesariamente recto.
O anterior implica que o triángulo OTP é rectángulo. Lembrando o corolario 2 do teorema segundo de Tales pódese deducir que entón o triángulo OTP é inscribible nunha circunferencia de radio ½ da hipotenusa OP do mesmo.
Entón marcando o punto H como punto medio da hipotenusa OP e facendo centro no mesmo, pódese debuxar unha segunda circunferencia auxiliar (gris na figura) que será a que circunscribe ao triángulo OTP.
Esta última circunferencia trazada intersecarase coa circunferencia k en dous puntos T e T', estes son xustamente os puntos de tanxencia das dúas rectas que son simultaneamente tanxentes a k e ademais pasan polo punto P, agora xa coñecidos os puntos T e T' só basta trazar as rectas TP e T'P (vermellas na figura) para ter resolto o problema. Lenda relatada por Plutarco
Segundo a lenda relatada por Plutarco, Tales de Mileto nunha viaxe a Exipto, visitou as pirámides de Gizeh, construídas varios séculos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos desta civilización, quixo saber a súa altura.
De acordo á lenda, tratou este problema con semellanza de triángulos (baixo a suposición de que os raios solares incidentes eran paralelos), puido establecer unha relación de semellanza (teorema primeiro) entre dous triángulos rectángulos, por unha banda o que ten por catetos (C e D) á lonxitude da sombra da pirámide (que se pode coñecer) e a lonxitude da súa altura (descoñecida), e doutra banda, valéndose dunha vara cravada no chan de modo perfectamente vertical cuxos catetos coñecibles (A e B) son, a lonxitude da vara e a lonxitude da súa sombra. Realizando as medicións nunha hora do día en que a sombra da vara sexa perpendicular á base da cara desde a cal medía a sombra da pirámide e agregando á súa sombra a metade da lonxitude dunha das caras, obtiña a lonxitude total C da sombra da pirámide até o centro da mesma.
Como en triángulos semellantes se cumpre que A B
D C {\displaystyle {\frac {A}{B}}
{\frac {D}{C}}}, polo tanto a altura da pirámide é D
A C B {\displaystyle D
{\frac {AC}{B}}}, co cal resolveu o problema.