Teorema do resto

En álxebra, o teorema do resto ou pequeno teorema de Bézout é un resultado que provén da división euclidiana de polinomios, que expón que o resto da división dun polinomio f ( x ) {\displaystyle f(x)} polo polinomio linear x − r {\displaystyle x-r} é igual a f ( r ) {\displaystyle f(r)}. Deste xeito, pódese enunciar un resultado aínda máis en particular, x − r {\displaystyle x-r} é un divisor de f ( x ) {\displaystyle f(x)} se e só se f ( r )
0 {\displaystyle f(r)
0}, unha propiedade coñecida coma o teorema do factor. Proba
Malia que é un resultado moi sinxelo, existen diferentes formas de probar a súa veracidade, entre as cales se atopan as seguintes.
Proba 1
O teorema do resto é deducido desde o teorema da división euclidiana, o cal, dados dous polinomios f(x) (o dividendo) e g(x) (o divisor), afirma a existencia e a unicidade dun cociente q(x) e un resto R(x) tal que: f ( x )
q ( x ) g ( x ) + R ( x ) e R ( x )
0 ou deg ⁡ ( R ) < deg ⁡ ( g ) {\displaystyle f(x)
q(x)g(x)+R(x)\ {\text{ e }}\ R(x)
0\ {\text{ ou }}\ \operatorname {deg} (R)<\operatorname {deg} (g)} Escollendo o divisor como g ( x )
x − r {\displaystyle g(x)
x-r}, o resto é R
0 {\displaystyle R
0} ou o seu grao é cero, mais en ámbolos dous casos, R {\displaystyle R} é unha constante independente de x {\displaystyle x}; isto é f ( x )
q ( x ) ( x − r ) + R. {\displaystyle f(x)
q(x)(x-r)+R\, .} Avaliando x
r {\displaystyle x
r} nesta fórmula, obtense: f ( r )
R. {\displaystyle f(r)
R\, .}
Proba 2
Unha proba lixeiramente diferente, que pode semellar máis elemental, comeza coa observación de que f ( x ) − f ( r ) {\displaystyle f(x)-f(r)} é unha combinación linear dos termos da forma x − r {\displaystyle x-r} porque x k − r k
( x − r ) ( x k − 1 + x k − 2 r + ⋯ + x r k − 2 + r k − 1 ) {\displaystyle x^{k}-r^{k}
(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})}. Deste xeito, se f ( x )
a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0 {\displaystyle f(x)
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}} tense que: f ( x ) − f ( r )
a n ( x n − r n ) + a n − 1 ( x n − 1 − r n − 1 ) + … + a 1 ( x − r )
∑ k
1 n a k ( x k − r k ) {\displaystyle f(x)-f(r)
a_{n}(x^{n}-r^{n})+a_{n-1}(x^{n-1}-r^{n-1})+\ldots +a_{1}(x-r)
\sum _{k
1}^{n}a_{k}(x^{k}-r^{k})} Tódolos termos da dereita teñen factor común ( x − r ) {\displaystyle (x-r)}, así que usando a propiedade distributiva: f ( x ) − f ( r )
( x − r ) ∑ k
1 n a k ( x k − 1 + x k − 2 r + ⋯ + x r k − 2 + r k − 1 ) f ( x )
( x − r ) ∑ k
1 n a k ( x k − 1 + x k − 2 r + ⋯ + x r k − 2 + r k − 1 ) + f ( r ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-f(r)&
(x-r)\sum _{k
1}^{n}a_{k}(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})\\f(x)&
(x-r)\sum _{k
1}^{n}a_{k}(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})+f(r)\end{aligned}}} E substituíndo x
r {\displaystyle x
r}, obtense f ( r )
R. {\displaystyle f(r)
R\, .}
Proba 3
Esta proba baséase na idea de substituír a variábel x {\displaystyle x} no polinomio inicial f ( x )
a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0
∑ k
0 n a k x k {\displaystyle f(x)
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}
\sum _{k
0}^{n}a_{k}x^{k}} o binomio ( x − r ) + r {\displaystyle (x-r)+r}, observando que f ( x )
f ( ( x − r ) + r ) {\displaystyle f(x)
f((x-r)+r)}. Entón, tense que f ( x )
f ( ( x − r ) + r )
a 0 + ∑ k
1 n a k ( ( x − r ) + r ) k a 0 + ∑ k
1 n a k ( ∑ i
0 k ( x − r ) i r k − i )
a 0 + ∑ k
1 n a k ( r k + ∑ i
1 k ( x − r ) i r k − i )
a 0 + ∑ k
1 n a k r k + ∑ k
1 n a k ( ∑ i
1 k ( x − r ) i r k − i )
f ( r ) + ∑ k
1 n a k ( ∑ i
1 k ( x − r ) i r k − i )
f ( r ) + ∑ k
1 n a k ( x − r ) ( ∑ i
1 k ( x − r ) i − 1 r k − i )
f ( r ) + ( x − r ) ∑ k
1 n a k ( ∑ j
0 k ( x − r ) j r k − j + 1 )
f ( r ) + ( x − r ) q ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&
f((x-r)+r)
a_{0}+\sum _{k
1}^{n}a_{k}((x-r)+r)^{k}
\\&
a_{0}+\sum _{k
1}^{n}a_{k}\left(\sum _{i
0}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)
a_{0}+\sum _{k
1}^{n}a_{k}\left(r^{k}+\sum _{i
1}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)\\&
a_{0}+\sum _{k
1}^{n}a_{k}r^{k}+\sum _{k
1}^{n}a_{k}\left(\sum _{i
1}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)
f(r)+\sum _{k
1}^{n}a_{k}\left(\sum _{i
1}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)\\&
f(r)+\sum _{k
1}^{n}a_{k}(x-r)\left(\sum _{i
1}^{k}(x-r)^{i-1}r^{k-i}\right)
f(r)+(x-r)\sum _{k
1}^{n}a_{k}\left(\sum _{j
0}^{k}(x-r)^{j}r^{k-j+1}\right)\\&
f(r)+(x-r)q(x)\end{aligned}}} onde o que se fixo foi aplicar a expansión do binomio de Newton, observando que tódolos termos da expansión malia un son divisíbeis por ( x − r ) {\displaystyle (x-r)}, que é o termo da forma r k {\displaystyle r^{k}}. Ao xuntar todos estes termos, tense o resto ao dividir por ( x − r ) {\displaystyle (x-r)}, e ao os sumar, tense que o resto é f ( r ) {\displaystyle f(r)}. Exemplos
Exemplo 1
Sexa o polinomio f ( x )
x 3 − 12 x 2 − 42 {\displaystyle f(x)
x^{3}-12x^{2}-42}. División polinómica de f ( x ) {\displaystyle f(x)} por ( x − 3 ) {\displaystyle (x-3)} ten como resultado o cociente x 2 − 9 x − 27 {\displaystyle x^{2}-9x-27} e o resto − 123 {\displaystyle -123}.
Por outro lado, f ( 3 )
( 3 ) 3 − 12 ( 3 ) 2 − 42
− 123 {\displaystyle f(3)
(3)^{3}-12(3)^{2}-42
-123}, coincidindo co resto antes calculado.
Exemplo 2
Pódese observar que o teorema do resto é satisfeito para polinomios arbitrarios de segundo grao f ( x )
a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)
ax^{2}+bx+c} usando manipulacións alxébricas semellantes ás da terceira proba, pero no caso particular de n {\displaystyle n}, podendo ser así máis doada de entender. f ( x ) x − r
a x 2 + b x + c x − r
a x 2 − a r x + a r x + b x + c x − r
a x ( x − r ) + ( b + a r ) x + c x − r
a x + ( b + a r ) ( x − r ) + c + r ( b + a r ) x − r
a x + b + a r + c + r ( b + a r ) x − r
a x + b + a r + a r 2 + b r + c x − r {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&
{\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&
{\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&
{\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&
ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&
ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&
ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}} Multiplicando ámbolos dous lados por (x − r) resulta en f ( x )
a x 2 + b x + c
( a x + b + a r ) ( x − r ) + a r 2 + b r + c {\displaystyle f(x)
ax^{2}+bx+c
(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}} Xa que R
a r 2 + b r + c {\displaystyle R
ar^{2}+br+c} é o resto, demostrouse que f ( r )
R {\displaystyle f(r)
R}. Aplicacións
Ademais da aplicación directa de calcular o resto da división entre o polinomio linear e un polinomio f ( x ) {\displaystyle f(x)}, o teorema do resto ten outras aplicacións.
Teorema do factor
Unha consecuencia directa do teorema do resto provén da seguinte observación: tense un polinomio f ( x ) {\displaystyle f(x)} e divídese polo polinomio linear ( x − r ) {\displaystyle (x-r)} e o resto é 0 {\displaystyle 0}, entón f ( r )
0 {\displaystyle f(r)
0}. Ademais, se f ( r )
0 {\displaystyle f(r)
0}, entón a división de f ( x ) {\displaystyle f(x)} por ( x − r ) {\displaystyle (x-r)} ten o resto nulo. Este resultado é coñecido polo nome é o teorema do factor, que enuncia resumidamente que un polinomio f ( x ) {\displaystyle f(x)} ten como factor ( x − r ) {\displaystyle (x-r)} se e só se f ( r )
0 {\displaystyle f(r)
0}, é dicir r {\displaystyle r} é unha raíz.
Dous problemas nos que se emprega a miúdo este teorema son os de factorizar un polinomio e atopar as raíces dunha ecuación polinomial, que como unha consecuencia directa do teorema tense que ámbolos dous problemas son esencialmente equivalentes. Ademais, o teorema do factor tamén se usa para eliminar raíces coñecidas dun polinomio, deixando o resto de raíces sen cambios e producindo así un polinomio de grao inferior cuxas raíces poden ser máis doadas de atopar, facilitando a factorización do polinomio. Os pasos a seguir neste método son os seguintes: "Adiviñar" unha raíz a {\displaystyle a} do polinomio f ( x ) {\displaystyle f(x)}. En xeral, isto pode chegar a ser moi difícil, mais en certos casos pódense descubrir certas raíces. Por exemplo, se o polinomio só ten coeficientes enteiros, o resultado do teorema das raíces racionais sería de axuda.
Usar o teorema do factor para concluír que ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} é un factor de f ( x ) {\displaystyle f(x)}.
Calcular o polinomio g ( x )
f ( x ) / ( x − a ) {\displaystyle g(x)
f(x)/(x-a)}, por exemplo, usando a regra de Ruffini.
Concluír que calquera raíz x ≠ a {\displaystyle x\neq a} de f ( x )
0 {\displaystyle f(x)
0} é raíz de g ( x )
0 {\displaystyle g(x)
0}. Xa que o grao polinomial de g {\displaystyle g} é un menor que o de f {\displaystyle f}, suponse que é máis sinxelo atopar o resto de raíces de g {\displaystyle g}.
Exemplo de atopar de raíces
Atopar os factores de x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2. {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2. } Pódese actuar por proba e erro (ou co teorema das raíces racionais) para atopar o primeiro valor x que fai que a expresión sexa igual a cero. Para saber se ( x − 1 ) {\displaystyle (x-1)} é un factor, substitúese x
1 {\displaystyle x
1} no polinomio anterior: x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2
( 1 ) 3 + 7 ( 1 ) 2 + 8 ( 1 ) + 2
1 + 7 + 8 + 2
18 {\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+7x^{2}+8x+2
&(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2\\
&1+7+8+2\\
&18\\\end{aligned}}} Isto é igual a 18 e non é 0 {\displaystyle 0} e, polo tanto x − 1 {\displaystyle x-1} non é un factor. Así, téntase ver se x + 1 {\displaystyle x+1} é factor e para iso, substitúese x
− 1 {\displaystyle x
-1} no polinomio anterior: ( − 1 ) 3 + 7 ( − 1 ) 2 + 8 ( − 1 ) + 2 {\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2} Isto é 0 {\displaystyle 0}. Por tanto x − ( − 1 ) {\displaystyle x-(-1)}, é dicir x + 1 {\displaystyle x+1}, é un factor, e − 1 {\displaystyle -1} é unha raíz de x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}.
As seguintes dúas raíces pódense atopar dividindo alxebricamente x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2} por ( x + 1 ) {\displaystyle (x+1)}, para obter unha cadrática: x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 x + 1
x 2 + 6 x + 2, {\displaystyle {x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}
x^{2}+6x+2, } e, por tanto, ( x + 1 ) {\displaystyle (x+1)} e x 2 + 6 x + 2 {\displaystyle x^{2}+6x+2} son factores de x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}. Destes, o factor cadrático pode ser aínda factorizado resolvendo unha ecuación de segundo grao, que terá as raíces − 3 ± 7. {\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}. } Así, os tres factores irredutíbeis do polinomio orixinal son x + 1, {\displaystyle x+1, } x − ( − 3 + 7 ), {\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}}), } e x − ( − 3 − 7 ). {\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}}). }
Cálculo de valores dun polinomio
O teorema do resto adóitase empregar para avaliar f ( r ) {\displaystyle f(r)} calculando o resto R {\displaystyle R}. Malia que a división longa de polinomios é máis difícil que avaliar a función, a división sintética é computacionalmente máis doada. A aplicación da división sintética, neste caso usando a regra de Ruffini, e o teorema do resto para avaliar un polinomio é equivalente á aplicación do algoritmo de Horner.
É salientábel que o algoritmo de Horner só precisa n sumas e n produtos cando o grao do polinomio é n, sendo este o número mínimo de operacións de cada tipo que se precisa para avaliar un polinomio. Deste xeito, en canto ao número de operacións, o algoritmo de Horner, e polo tanto o algoritmo equivalente de usar a regra de Ruffini e o teorema do resto, é óptimo. As minimalidades de cada unha das operacións foi demostrada por separado: o número de sumas foi probado por Alexander Ostrowski en 1954, e o número de produtos por Victor Pan en 1966.