Ortonormal

Na álxebra linear, dous vectores nun espazo de produto interno son ortonormais se son vectores unitarios ortogonais. Un vector unitario significa que o vector ten unha lonxitude de 1, que tamén se coñece como normalizado. Ortogonal significa que os vectores son todos perpendiculares entre si. Un conxunto de vectores forma un conxunto ortonormal se todos os vectores do conxunto son mutuamente ortogonais e todos teñen a unidade por lonxitude. Un conxunto ortonormal que forma unha base chámase base ortonormal. Exemplo teórico básico
Como é un par de vectores ortonormais no espazo euclidiano 2D?
Sexan u
(x1, y1) e v
(x2, y2). Considere as restricións sobre x 1, x 2, y 1, y 2 necesarias para que u e v formen un par ortonormal. A partir da restrición de ortogonalidade, u • v 0.
A partir da restrición de lonxitude 1 en u, ||u|| 1.
A partir da restrición de lonxitude 1 en v, ||v|| 1.
Con estas condicións temos 3 ecuacións: x 1 x 2 + y 1 y 2
0 {\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}
0\quad } x 12 + y 12
1 {\displaystyle {\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}
1} x 22 + y 22
1 {\displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}
1} Convertendo de coordenadas cartesianas a polares, e considerando a ecuación ( 2 ) {\displaystyle (2)} e a ecuación ( 3 ) {\displaystyle (3)} inmediatamente dá o resultado r1
r2
1. Despois da substitución, a ecuación ( 1 ) {\displaystyle (1)} convértese en cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2
0 {\displaystyle \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}
0}. Reordenar dá tan ⁡ θ 1
− cot ⁡ θ 2 {\displaystyle \tan \theta _{1}
-\cot \theta _{2}}. Usando unha identidade trigonométrica para converter o termo cotanxente dá tan ⁡ ( θ 1 )
tan ⁡ ( θ 2 + π 2 ) {\displaystyle \tan(\theta _{1})
\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)} ⇒ θ 1
θ 2 + π 2 {\displaystyle \Rightarrow \theta _{1}
\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}} Está claro que no plano, os vectores ortonormais son simplemente raios da circunferencia unitaria cuxa diferenza de ángulos é igual a 90°. Definición
Sexa V {\displaystyle {\mathcal {V}}} un espazo de produto interno. Un conxunto de vectores { u 1, u 2, …, u n, … } ∈ V {\displaystyle \left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}, \ldots \right\}\in {\mathcal {V}}} chámase ortonormal se e só se ∀ i, j: ⟨ u i, u j ⟩
δ i j {\displaystyle \forall i, j: \langle u_{i}, u_{j}\rangle
\delta _{ij}} onde δ i j {\displaystyle \delta _{ij}\, } é o delta de Kronecker e ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot, \cdot \rangle } é o produto interno definido sobre V {\displaystyle {\mathcal {V}}}.
Propiedades
Os conxuntos ortonormais teñen certas propiedades moi atractivas, que fan especialmente doado traballar con eles. Teorema. Se { e1, e2, .. ., en } é unha lista ortonormal de vectores, entón ∀ a:
[ a 1, ⋯, a n ]; ‖ a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ + a n e n ‖ 2
| a 1 | 2 + | a 2 | 2 + ⋯ + | a n | 2 {\displaystyle \forall {\textbf {a}}:
[a_{1}, \cdots, a_{n}]; \ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}
|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}} Teorema. Toda lista ortonormal de vectores é linearmente independente.
Existencia
Teorema de Gram-Schmidt. Se { v1, v2, .. ., vn } é unha lista linearmente independente de vectores nun espazo de produto interno V {\displaystyle {\mathcal {V}}}, entón existe unha lista ortonormal {e1, e2, .. ., en} de vectores en V {\displaystyle {\mathcal {V}}} tal que span (e1, e2, .. ., en) span (v1, v2, .. ., vn ).
Onde a función span representa a xeración do espazo vectorial por un conxunto de vectores.
A demostración do teorema de Gram-Schmidt é construtiva. Existe unha relación profunda entre a diagonalización dun operador e como actúa sobre os vectores de base ortonormais. Esta relación está caracterizada no Teorema espectral. Exemplos
Base estándar
A base estándar para o espazo de coordenadas Fn é Dous vectores calquera ei, ej onde i≠j son ortogonais, e todos os vectores son claramente de lonxitude unidade. Logo {e1, e2, .. ., en} forma unha base ortonormal.
Funcións con valores reais
Cando se refire a funcións con valores reais, normalmente asúmese o produto interno L² a non ser que se indique o contrario. Dúas funcións ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} e ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} son ortonormais no intervalo [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} se ( 1 ) ⟨ ϕ ( x ), ψ ( x ) ⟩
∫ a b ϕ ( x ) ψ ( x ) d x
0, e {\displaystyle (1)\quad \langle \phi (x), \psi (x)\rangle
\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx
0, \quad {\rm {e}}} ( 2 ) | | ϕ ( x ) | | 2
| | ψ ( x ) | | 2
[ ∫ a b | ϕ ( x ) | 2 d x ] 12
[ ∫ a b | ψ ( x ) | 2 d x ] 12
1. {\displaystyle (2)\quad ||\phi (x)||_{2}
||\psi (x)||_{2}
\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}
\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}
1. }