Constante de Rydberg

A constante de Rydberg, chamada así polo físico sueco Johannes Rydberg, é unha constante física relativa ao espectro atómico na ciencia da espectroscopia. Rydberg determinou o seu valor primeiro empiricamente por medio da espectroscopia, e posteriormente descubriuse que o seu valor podíase calcular mediante o uso doutras constantes fundamentais da mecánica cuántica.
A constante de Rydberg representa o valor límite do número de onda máis alto (a inversa da lonxitude de onda) de calquera fotón que poida ser emitido dende o átomo de hidróxeno, ou, alternativamente, o número de onda de calquera fotón de enerxía mais baixa capaz de ionizar o átomo de hidróxeno dende o seu estado fundamental (ou noutros termos, o seu espectro de emisión e de absorción). O espectro do hidróxeno pode ser expresado simplemente en termos da constante de Rydberg, usando a fórmula de Rydberg. Valor da constante de Rydberg
Facendo uso da asunción simplificada de que a masa do núcleo atómico e infinita comparada coa masa do electrón, a constante é (conforme os resultados do CODATA 2002): R ∞
m e e 48 ε 02 h 3 c
1. 0973731568525 ( 73 ) × 107 m − 1, {\displaystyle R_{\infty }
{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}
1. 097\; 373\; 156\; 852\; 5\; (73)\times 10^{7}\ \mathrm {m} ^{-1}, } sendo me a masa en repouso do electrón, e a carga elemental, ε0 a permitividade do espazo libre, h a constante de Planck, e c a velocidade da luz no baleiro.
Esta constante usase a miúdo en física atómica na forma dunha enerxía: h c R ∞
13. 6056923 ( 12 ) e V ≡ 1 R y. {\displaystyle hcR_{\infty }
13. 605\; 6923(12)\ \mathrm {eV} \equiv 1\ \mathrm {Ry}. } Existen dúas complicacións. Unha e o caso dun dos ións do hidróxeno, isto e, un átomo con número atómico Z que só ten un electrón, como C5+. Neste caso, os números de onda e de enerxía dos fotóns escálanse nun factor de Z2, pasando por enriba os efectos relativistas. O outro caso é o da masa do núcleo atómico, que na realidade non é infinita comparada coa masa do electrón. T. A predición espectral debese corrixir substituíndo a masa reducida da masa do electrón. A constante de Rydberg RM para un átomo cun electrón vén dada por R M
R ∞ 1 + m e / M, {\displaystyle R_{M}
{\frac {R_{\infty }}{1+m_{e}/M}}, } sendo me a masa en repouso do electrón, e M a masa do núcleo atómico.
A constante de Rydberg e unha das máis e mellor determinadas constantes da física, cunha incerteza experimental relativa inferior a 7 partes por billón (no computo inglés por trillón). A capacidade de medila directamente con tan alta precisión confirma as proporcións dos valores das outras constantes que a definen, e pódese utilizar para probar rigorosas teorías físicas como a electrodinámica cuántica. Outras expresións da constante
A constante de Rydberg pódese expresar tamén coas seguintes ecuacións: R ∞
α 2 m e c 4 π ℏ
α 22 λ e {\displaystyle R_{\infty }
{\frac {\alpha ^{2}m_{e}c}{4\pi \hbar }}
{\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}\ } e h c R ∞
h c α 22 λ e
h f C α 22
ℏ ω C 2 α 2
ℏ 22 m e a 02. {\displaystyle hcR_{\infty }
{\frac {hc\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}
{\frac {hf_{C}\alpha ^{2}}{2}}
{\frac {\hbar \omega _{C}}{2}}\alpha ^{2}
{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m_{e}a_{0}^{2}}}. } sendo h {\displaystyle h\! } a constante de Planck ℏ
h / 2 π {\displaystyle \hbar
h/2\pi } a constante de Planck reducida, c {\displaystyle c\! } a velocidade da luz no baleiro, α {\displaystyle \alpha \! } a constante da estrutura fina, λ e
h / m e c {\displaystyle \lambda _{e}
h/m_{e}c\! } a lonxitude de onda de Compton do electrón, f C
c / λ e {\displaystyle f_{C}
c/\lambda _{e}\! } a frecuencia de Compton do electrón, ω C
2 π f C {\displaystyle \omega _{C}
2\pi f_{C}\! } a frecuencia angular de Compton do electrón, a 0
4 π ε 0 ℏ 2 e 2 m e {\displaystyle a_{0}
{\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{e^{2}m_{e}}}} o raio de Bohr. A derivación da constante de Rydberg na mecánica cuántica
Historicamente, a fórmula de Rydberg elaborouse empiricamente (experimentalmente), e de xeito previo ao desenvolvemento da teoría cuántica. Para coñecer o seu significado en termos da teoría cuántica podemos partir da fórmula E t o t a l
− m e e 48 ϵ 02 h 2. 1 n 2 {\displaystyle E_{\mathrm {total} }
{\frac {-m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}. {\frac {1}{n^{2}}}\ } para a enerxía dun átomo cun electrón e un núcleo cunha carga de +1 e unha masa infinita. Por suposto que os núcleos atómicos non teñen unha masa infinita na realidade, mais incluso o máis lixeiro núcleo, un simple protón, é unhas 1800 veces mais pesado que un electrón, facendo razoable esta consideración nunha primeira aproximación. Esta fórmula enerxética pode ser derivada tanto no modelo atómico de Bohr ou nun completo tratamento mecánico-cuántico do átomo de hidróxeno. Polo tanto o cambio enerxético producido polo paso do electrón ao cambiar dun valor n {\displaystyle n} a outro (cambio de nivel cuántico) e Δ E
m e e 48 ϵ 02 h 2 ( 1 n i n i c i a l 2 − 1 n f i n a l 2 ) {\displaystyle \Delta E
{\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {inicial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\ } simplemente cambiando as unidades da lonxitude de onda ( 1 λ
E h c → Δ E
h c Δ ( 1 λ ) ) {\displaystyle \left({\frac {1}{\lambda }}
{\frac {E}{hc}}\rightarrow \Delta {E}
hc\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)\right)\ } obtemos Δ ( 1 λ )
m e e 48 ϵ 02 h 3 c ( 1 n i n i c i a l 2 − 1 n f i n a l 2 ) {\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)
{\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {inicial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\ } sendo: h {\displaystyle h\ } a constante de Planck, m e {\displaystyle m_{e}\ } a masa en repouso do electrón, e {\displaystyle e\ } a carga elemental, c {\displaystyle c\ } a velocidade da luz no baleiro, e ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\ } a permitividade do espazo libre; n i n i c i a l {\displaystyle n_{\mathrm {inicial} }\ } e n f i n a l {\displaystyle n_{\mathrm {final} }\ } son o número de electróns orbitantes (ao comezo e ao final) na última capa do átomo de hidróxeno. Polo tanto, atopamos a constante de Rydberg para o noso hipotético sistema dun núcleo con masa infinita, carga +1, e un simple electrón, que resulta ser: R ∞
m e e 48 ϵ 02 h 3 c {\displaystyle R_{\infty }
{\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}