Cardinalidade

En matemáticas, a cardinalidade dun conxunto é unha medida do "número de elementos do conxunto". Por exemplo, o conxunto A {2, 4, 6} contén 3 elementos e, polo tanto, ten a cardinalidade 3. Existen dúas aproximacións á cardinalidade: unha que compara conxuntos directamente, usando funcións bixectivas e funcións inxectivas, e outra que usa números cardinais.
A cardinalidade dun conxunto A adoita denotarse |A|, cunha barra vertical a cada lado. Esta é a mesma notación usada para o valor absoluto, polo que o significado depende do contexto. A cardinalidade dun conxunto pódese indicar tamén como A ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\overline {A}}}\, } ou #A. Comparación de conxuntos
Caso 1: |A| |B|
Dous conxuntos A e B teñen a mesma cardinalidade se hai entre eles unha bixección.
Por exemplo, o conxunto P
{0, 2, 4, 6, .. .} de números pares non negativos ten a mesma cardinalidade que o conxunto N
{0, 1, 2, 3, .. .} de números naturais, xa que a función f (n) 2n é unha bixección de N en P.
Caso 2: |A|≥|B|
A ten unha cardinalidade maior ou igual á cardinalidade de B se hai unha función inxectiva de B a A.
Caso 3: |A|>|B|
A ten unha cardinalidade estritamente maior que a cardinalidade de B se hai unha función inxectiva de B a A, mais non hai unha función inxectiva de B a A.
Por exemplo, o conxunto R de todos os números reais ten unha cardinalidade estritamente maior que a cardinalidade do conxunto N de todos os números naturais porque a función de identidade i: N → R, definida como i(x) x, é inxectiva. Por outra banda, é posíbel demostrar a inexistencia dunha función bixectiva de N a R (ver Argumento de diagonalización de Cantor ou a Primeira proba da non numerabilidade de Cantor). Números cardinais
A relación de ter a mesma cardinalidade chámase equipotencia, e é unha relación de equivalencia sobre a clase de todos os conxuntos. A clase de equivalencia dun conxunto A baixo esta relación consiste logo en tódolos conxuntos que teñen a mesma cardinalidade que A. Hai dúas formas de definir a "cardinalidade dun conxunto": A cardinalidade dun conxunto A defínese como a súa clase de equivalencia baixo equipotencia.
A cada clase de equivalencia asígnaselle un conxunto representativo. A opción máis común é o ordinal inicial da clase. Isto normalmente consiste na definición dun número cardinal na teoría de conxuntos.
As cardinalidades de conxuntos infinitos denótanse: ℵ 0 < ℵ 1 < ℵ 2 < …. {\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots. } Para cada ordinal α, ℵα + 1 é o número cardinal máis pequeno maior que ℵα.
A cardinalidade dos números enteiros denomínase aleph-cero (ℵ0), mentres que a cardinalidade dos números reais denotase c, e tamén se coñece como cardinalidade do continuo. É posible demostrar que c
2ℵ0; esta é tamén a cardinalidade do conxunto de todos os subconxuntos de enteiros. A hipótese do continuo di que ℵ1
2ℵ0, é dicir, que 2ℵ0 é o menor número cardinal maior que ℵ0, é dicir, que non hai ningún conxunto cuxa cardinalidade estea situada estritamente entre a dos enteiros e a dos números reais. A hipótese do continuo segue sen resolverse nun sentido "absoluto". Vexa embaixo para obter máis detalles sobre a cardinalidade do continuo. Conxuntos finitos, numerables e incontables
Se o axioma da escolla é verdadeiro, entón a Lei da Tricotomía é certa para a cardinalidade. Polo tanto, é posible realizar os seguintes axustes: Calquera conxunto X cunha cardinalidade menor que a do conxunto de números naturais, ou | X | < | N |, dise que é un conxunto finito.
Calquera conxunto X que teña a mesma cardinalidade que o conxunto de números naturais, ou | X |
| N |
ℵ0, chámase conxunto infinito numerable.
Calquera conxunto X cunha cardinalidade maior que a do conxunto de números naturais, ou | X | > | N |, por exemplo | R | c > | N |, chámase conxunto incontábel ou non numerábel. Conxuntos infinitos
Dedekind simplemente definiu un conxunto infinito como aquel que ten o mesmo tamaño (no sentido de Cantor) que polo menos un subconxunto propio de si mesmo. Esta noción de infinito chámase Infinito de Dedekind. Esta definición, porén, só é válida na presenza dalgunha forma do axioma de escolla, polo que non é considerada válida por algúns matemáticos.
Cantor introduciu os números cardinais mencionados anteriormente e demostrou que algúns conxuntos infinitos son máis grandes que outros. A cardinalidade infinita máis pequena é a dos números naturais (ℵ0).
Cardinalidade do continuo
Un dos resultados máis importantes do traballo de Cantor foi a demostración de que a cardinalidade do continuo ( c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} ) é maior que a dos números naturais (ℵ0); é dicir, hai máis números reais en R que enteiros en N. Cantor demostrou que c
2 ℵ 0 > ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}
2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}} (ver o argumento da diagonalización de Cantor).
A hipótese do continuo di que non existe un número cardinal entre a cardinalidade dos números reais e a cardinalidade dos naturais, é dicir, c
ℵ 1
ℶ 1 {\displaystyle {\mathfrak {c}}
\aleph _{1}
\beth _{1}} (ver Número Beth 1)
Porén, esta hipótese non pode ser nin probada nin refutada dentro da teoría de conxuntos axiomáticos de ZFC amplamente aceptada, se é consistente.
As igualdades cardinais c 2
c, {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}
{\mathfrak {c}}, } c ℵ 0
c, {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}
{\mathfrak {c}}, } e c c
2 c {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}
2^{\mathfrak {c}}} pódense demostrar mediante a aritmética cardinal: c 2
( 2 ℵ 0 ) 2
22 × ℵ 0
2 ℵ 0
c, {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}
\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{2}
2^{2\times {\aleph _{0}}}
2^{\aleph _{0}}
{\mathfrak {c}}, } c ℵ 0
( 2 ℵ 0 ) ℵ 0
2 ℵ 0 × ℵ 0
2 ℵ 0
c, {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}
\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}
2^{{\aleph _{0}}\times {\aleph _{0}}}
2^{\aleph _{0}}
{\mathfrak {c}}, } c c
( 2 ℵ 0 ) c
2 c × ℵ 0
2 c. {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}
\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\mathfrak {c}}
2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}
2^{\mathfrak {c}}. }