Produto triplo

O produto triplo escalar (tamén chamado produto mixto) defínese como o produto escalar dun dos vectores co produto vectorial dos outros dous. Interpretación xeométrica
Xeométricamente, o produto triplo escalar a ⋅ ( b × c ) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )} é o volume (con signo) do paralelepípedo definido polos tres vectores indicados.
Propiedades
O produto triplo escalar non muda baixo un desprazamento circular dos seus tres operandos (a, b, c): a ⋅ ( b × c )
b ⋅ ( c × a )
c ⋅ ( a × b ) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )
\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )
\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )} Trocar as posicións dos operadores sen reordenar os operandos deixa o produto triplo sen cambios: a ⋅ ( b × c )
( a × b ) ⋅ c {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )
(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} } O troco de dous dos tres operandos nega o produto triplo: a ⋅ ( b × c )
− a ⋅ ( c × b )
− b ⋅ ( a × c )
− c ⋅ ( b × a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&
-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&
-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&
-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}} O produto triplo escalar tamén se pode entender como o determinante da matriz 3 x 3 que ten os tres vectores como filas ou columnas (unha matriz ten o mesmo determinante que a súa transposta): a ⋅ ( b × c )
det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ]
det [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ]
det [ a b c ]. {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )
\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}
\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}
\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}. } Se o produto triplo escalar é igual a cero, entón os tres vectores a, b e c son coplanares, xa que o paralelepípedo definido por eles sería plano e non terá volume.
Se dous vectores calquera do produto triplo escalar son iguais, entón o seu valor é cero: a ⋅ ( a × b )
a ⋅ ( b × a )
b ⋅ ( a × a )
0 {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )
\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )
\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )
0} Tamén ( a ⋅ ( b × c ) ) a
( a × b ) × ( a × c ) {\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\, \mathbf {a}
(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )} A razón entre o produto triplo e o produto das tres normas vectoriais coñécese como seno polar: a ⋅ ( b × c ) ‖ a ‖ ‖ b ‖ ‖ c ‖
psin ⁡ ( a, b, c ) {\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} }\|\|{\mathbf {c} }\|}}
\operatorname {psin} (\mathbf {a}, \mathbf {b}, \mathbf {c} )} que oscila entre −1 e 1.
Como produto exterior
Na álxebra exterior e álxebra xeométrica o produto exterior de dous vectores é un bivector, mentres que o produto exterior de tres vectores é un trivector. Un bivector é un elemento plano orientado e un trivector é un elemento de volume orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de recta orientada.
Dados os vectores a, b e c, o produto a ∧ b ∧ c {\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} } é un trivector cunha magnitude igual ao produto triplo escalar, é dicir | a ∧ b ∧ c |
| a ⋅ ( b × c ) | {\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |
|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|},
e é o dual de Hodge do produto triplo escalar. Como o produto exterior é asociativo non son necesarios corchetes xa que non importa cal de a ∧ b ou b ∧ c se calcula primeiro, aínda que a orde dos vectores no produto si importa. Xeométricamente o trivector a ∧ b ∧ c corresponde ao paralelepípedo abranguido por a, b e c, cos bivectores a ∧ b, b ∧ c e a ∧ c coincidentes coas caras do paralelogramo do paralelepípedo. Produto triplo vectorial
O produto triplo vectorial defínese como o produto cruzado dun vector co produto cruzado dos outros dous. Manténse a seguinte relación: a × ( b × c )
( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c {\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )
(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }.
Isto coñécese como expansión do produto triplo, ou fórmula de Lagrange, aínda que este último nome tamén se usa para outras fórmulas.
Dado que o produto vectorial é anticomutativo, esta fórmula tamén se pode escribir (ata a permutación das letras) como: ( a × b ) × c
− c × ( a × b )
− ( c ⋅ b ) a + ( c ⋅ a ) b {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c}
-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )
-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} } Da fórmula de Lagrange despréndese que o produto do triplo vectorial satisfai: a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b )
0 {\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )
\mathbf {0} } que é a identidade de Jacobi para o produto vectorial. Outra fórmula útil é a seguinte: ( a × b ) × c
a × ( b × c ) − b × ( a × c ) {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c}
\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )} Estas fórmulas son moi útiles para simplificar os cálculos vectoriais en física. Unha identidade relacionada con gradientes e útil no cálculo vectorial é a fórmula de Lagrange da identidade do produto vectorial: ∇ × ( ∇ × A )
∇ ( ∇ ⋅ A ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) A {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )
{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} } Isto tamén pode considerarse como un caso especial do máis xeral operador de Laplace-de Rham Δ
d δ + δ d {\displaystyle \Delta
d\delta +\delta d}.