Coeficiente

En matemáticas, un coeficiente é un factor multiplicativo implicado nalgún termo dun polinomio, dunha serie ou dunha expresión. Pode ser un número, nese caso coñécese como factor numérico. Tamén pode ser unha constante con unidades de medida, na que se coñece como multiplicador constante. En xeral, os coeficientes poden ser calquera expresión (incluíndo variabeis como a, b e c). Cando a combinación de variabeis e constantes non está necesariamente implicada nun produto, pódese chamar parámetro.
Por exemplo, o polinomio 2 x 2 − x + 3 {\displaystyle 2x^{2}-x+3} ten coeficientes 2, −1 e 3, e as potencias da variable x {\displaystyle x} no polinomio a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} teñen coeficientes a {\displaystyle a}, b {\displaystyle b}, e c {\displaystyle c}.
O coeficiente constante, ou termo constante ou constante é a cantidade non ligada ás variables nunha expresión. Por exemplo, os coeficientes constantes das expresións anteriores son o número 3 e o parámetro c, respectivamente. O coeficiente asociado ao grao máis alto da variábel nun polinomio denomínase coeficiente principal. Por exemplo, nas expresións anteriores, os coeficientes principais son 2 e a, respectivamente.
Por exemplo, no polinomio 7 x 2 − 3 x y + 1. 5 + y, {\displaystyle 7x^{2}-3xy+1. 5+y, } con variabeis x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y}, os dous primeiros termos teñen os coeficientes 7 e −3. O terceiro termo 1. 5 é o coeficiente constante. No último termo, o coeficiente é 1 e non está escrito explicitamente.
Cando un escribe a x 2 + b x + c, {\displaystyle ax^{2}+bx+c, } xeralmente asúmese que x é a única variable, e que a, b e c son parámetros; así o coeficiente constante é c neste caso.
Calquera polinomio nunha única variable x pódese escribir como a k x k + ⋯ + a 1 x 1 + a 0 {\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}} para algún número enteiro non negativo k {\displaystyle k}, onde a k, …, a 1, a 0 {\displaystyle a_{k}, \dotsc, a_{1}, a_{0}} son os coeficientes. Isto inclúe a posibilidade de que algúns termos teñan un coeficiente 0; por exemplo, en x 3 − 2 x + 1 {\displaystyle x^{3}-2x+1}, o coeficiente de x 2 {\displaystyle x^{2}} é 0, e o termo 0 x 2 {\displaystyle 0x^{2}} non aparece explicitamente. Álxebra linear
En álxebra linear, un sistema de ecuacións lineares represéntase a miúdo pola súa matriz de coeficientes. Por exemplo, o sistema de ecuacións { 2 x + 3 y
05 x − 4 y
0, {\displaystyle {\begin{cases}2x+3y
0\\5x-4y
0\end{cases}}, } ten a matriz de coeficientes asociada ( 235 − 4 ). {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}. } As matrices de coeficientes utilízanse en algoritmos como a eliminación gaussiana e a regra de Cramer para atopar solucións ao sistema.
Aínda que os coeficientes son vistos frecuentemente como constantes na álxebra elemental, tamén se poden ver como variabeis a medida que o contexto se amplía. Por exemplo, as coordenadas ( x 1, x 2, …, x n ) {\displaystyle (x_{1}, x_{2}, \dotsc, x_{n})} dun vector v {\displaystyle v} nun espazo vectorial con base { e 1, e 2, …, e n } {\displaystyle \lbrace e_{1}, e_{2}, \dotsc, e_{n}\rbrace } son os coeficientes dos vectores base na expresión v
x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n. {\displaystyle v
x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}. }