Cobertura (matemáticas)

En matemáticas, unha cobertura (tamén chamado sistema completo de residuos) é unha colección: a 1 ( mod n 1 ), …, a k ( mod n k ) {\displaystyle {a_{1}{\pmod {n_{1}}}, \ldots, \ a_{k}{\pmod {n_{k}}}}} de moitas clases de residuos finitas a i ( mod n i )
{ a i + n i x: x ∈ Z }, {\displaystyle a_{i}{\pmod {n_{i}}}
\{a_{i}+n_{i}x: \ x\in \mathbb {Z} \}, } cuxa unión contén a todos os enteiros. Exemplos e definicións
A noción de cobertura foi introducida por Paul Erdős a principios da década de 1930.
Os seguintes son exemplos de cobertura: { 0 ( mod 3 ), 1 ( mod 3 ), 2 ( mod 3 ) }, {\displaystyle \{0{\pmod {3}}, \ 1{\pmod {3}}, \ 2{\pmod {3}}\}, } { 1 ( mod 2 ), 2 ( mod 4 ), 4 ( mod 8 ), 0 ( mod 8 ) }, {\displaystyle \{1{\pmod {2}}, \ 2{\pmod {4}}, \ 4{\pmod {8}}, \ 0{\pmod {8}}\}, } { 0 ( mod 2 ), 0 ( mod 3 ), 1 ( mod 4 ), 5 ( mod 6 ), 7 ( mod 12 ) } {\displaystyle \{0{\pmod {2}}, \ 0{\pmod {3}}, \ 1{\pmod {4}}, \ 5{\pmod {6}}, \ 7{\pmod {12}}\}} Unha cobertura denomínase disxunta (ou exacta) se non hai dous membros que se solapen.
Unha cobertura chámase distinta (ou incongruente) se todos os módulos n i {\displaystyle n_{i}} son diferentes (e maiores que 1). Hough e Nielsen (2019) demostraron que calquera cobertura distinta ten un módulo que é divisible por 2 ou 3. Unha cobertura chámase non redundante (ou mínima) se todas as clases de residuos son necesarias para cubrir os números enteiros.
Os dous primeiros exemplos son disxuntas.
O terceiro exemplo é distinta.
Un sistema (é dicir, un conxunto múltiple non ordenado) { a 1 ( mod n 1 ), …, a k ( mod n k ) } {\displaystyle \{a_{1}{\pmod {n_{1}}}, \ \ldots, \ a_{k}{\pmod {n_{k}}}\}} dun número finito de clases de residuos chámase unha m {\displaystyle m} -cobertura se cobre cada número enteiro polo menos m {\displaystyle m} veces, e unha m {\displaystyle m} -cobertura exacta se cobre cada enteiro exactamente m {\displaystyle m} veces. Sábese que para cada m
2, 3, … {\displaystyle m
2, 3, \ldots } hai m {\displaystyle m} -cobertura exactas que non poden escribirse como unión de dúas coberturas. Por exemplo, { 1 ( mod 2 ); 0 ( mod 3 ); 2 ( mod 6 ); 0, 4, 6, 8 ( mod 10 ); {\displaystyle \{1{\pmod {2}}; \ 0{\pmod {3}}; \ 2{\pmod {6}}; \ 0, 4, 6, 8{\pmod {10}}; } 1, 2, 4, 7, 10, 13 ( mod 15 ); 5, 11, 12, 22, 23, 29 ( mod 30 ) } {\displaystyle 1, 2, 4, 7, 10, 13{\pmod {15}}; \ 5, 11, 12, 22, 23, 29{\pmod {30}}\}} é unha 2-cobertura exacta que non é a unión de dúas coberturas.
O primeiro exemplo anterior é unha 1-cobertura exacta. Outra cobertura exacta de uso común é a dos números pares e impares, ou { 0 ( mod 2 ), 1 ( mod 2 ) }. {\displaystyle \{0{\pmod {2}}, \ 1{\pmod {2}}\}. } Isto é só un caso do seguinte feito: para cada módulo enteiro positivo m {\displaystyle m}, hai unha cobertura exacta: 0 ( mod m ), 1 ( mod m ), …, m − 1 ( mod m ). {\displaystyle {0{\pmod {m}}, \ 1{\pmod {m}}, \ \ldots, \ {m-1}{\pmod {m}}}. } Teorema de Mirsky-Newman
O teorema de Mirsky-Newman, un caso especial da conxectura de Herzog-Schönheim, afirma que non existen coberturas disxuntas distintas. Este resultado foi conxecturado en 1950 por Paul Erdős e demostrado pouco despois por Leon Mirsky e Donald J. Newman. Con todo, Mirsky e Newman nunca publicaron a súa demostración. A mesma proba tamén foi atopada independentemente por Harold Davenport e Richard Rado Secuencias Libres de Primos
As coberturas pódense usar para atopar secuencias libres de primos, secuencias de enteiros que satisfagan a mesma relación de recorrencia que os números de Fibonacci, de xeito que os números consecutivos da secuencia son coprimos, mais todos os números da secuencia son números compostos. Por exemplo, unha secuencia deste tipo atopada por Herbert Wilf ten termos iniciais a1
206156742055555510, a2
3794765361567513 (secuencia A083216 na OEIS).
Nesta secuencia, as posicións nas que os números da secuencia son divisibles por un p primo forman unha progresión aritmética; por exemplo, os números pares da secuencia son os números ai onde i é congruente con 1 módulo 3. As progresións divisibles por diferentes números primos forman unha cobertura, que mostra que cada número da secuencia é divisible polo menos por un primo. Límite do módulo máis pequeno
Paul Erdős preguntou se para calquera N arbitrariamente grande existe unha cobertura incongruente cuxo mínimo módulo sexa polo menos N. É doado construír exemplos onde o mínimo dos módulos nun sistema deste tipo é 2 ou 3 (Erdős deu un exemplo onde os módulos están no conxunto dos divisores de 120; unha cobertura adecuada é ( 0(3), 0(4), 0(5), 1(6), 1(8), 2(10), 11(12), 1(15), 14(20), 5(24), 8(30), 6(40), 58(60), 26(120) ). D. Swift deu un exemplo onde o mínimo dos módulos é 4 (e os módulos están no conxunto dos divisores de 2880). S. L. G. Choi demostrou que é posible dar un exemplo para N
20, e Pace P Nielsen demostra a existencia dun exemplo con N
40, que consta de máis de 1050 {\displaystyle 10^{50}} congruencias.
A pregunta de Erdős foi resolvida negativamente por Bob Hough. Hough utilizou o lema local de Lovász para mostrar que hai un máximo de N<1016 que pode ser o módulo mínimo dunha cuberta. Sistemas de módulos impares
Hai unha famosa conxectura sen resolver de Erdős e Selfridge: non existe unha cobertura incongruente (co módulo mínimo maior que 1) cuxos módulos son impares. Sábese que se existe tal sistema con módulos libres de cadrados, o módulo global debe ter polo menos 22 factores primos.