Conxunto de partes

En matemáticas, o conxunto de partes (ou conxunto potencia) dun conxunto S é o conxunto de todos os subconxuntos de S, incluíndo o conxunto baleiro e o propio S. Na teoría de conxuntos axiomáticos (como se desenvolve, por exemplo, nos axiomas ZFC), a existencia do conxunto de partes de calquera conxunto é postulada polo axioma do conxunto de partes. O conxunto de partes de S denótase de varias maneiras como P(S), 𝒫(S), P(S), P ( S ) {\displaystyle \mathbb {P} (S)}, ℘ ( S ) {\displaystyle \wp (S)}, ou 2S. Calquera subconxunto de P(S) chámase familia de conxuntos sobre S. Exemplo
Se S é o conxunto {x, y, z}, entón todos os subconxuntos de S son {{} } (tamén escrito como ∅ {\displaystyle \varnothing } ou ∅ {\displaystyle \emptyset }, o conxunto baleiro)
{ x }
{ y }
{ z }
{ x, y }
{ x, z }
{ y, z }
{ x, y, z }
e, polo tanto, o conxunto de partes de S é {
{ },
{ x },
{ y },
{ z },
{ x, y },
{ x, z },
{ y, z },
{ x, y, z }
}. Propiedades
Cardinalidade
Se S é un conxunto finito coa cardinalidade |S|
n (é dicir, o número de todos os elementos do conxunto S é n), entón o número de todos os subconxuntos de S é |P(S)|
2n. Este feito demóstrase a continuación. Unha función indicadora dun subconxunto A dun conxunto S coa cardinalidade |S|
n é unha función de S no conxunto de dous elementos {0, 1} denotada como IA: S → {0, 1 }, e indica se un elemento de S pertence ou non a A. Se x en S pertence a A, daquela IA(x)
1, e 0 no caso contrario. Cada subconxunto A de S identifícase ou é equivalente á función indicadora IA, e a {0, 1}S pois o conxunto de todas as funcións de S a {0, 1} consta de todas as funcións indicadoras de todos os subconxuntos de S. Noutras palabras, {0, 1}S é equivalente ou bixectivo ao conxunto de partes P(S). Dado que cada elemento en S corresponde a 0 ou 1 baixo calquera función en {0, 1}S, o número de todas as funcións en {0, 1}S é 2n. Dado que o número 2 pódese definir como {0, 1} (ver, por exemplo, os ordinais de von Neumann), o P(S) tamén se denota como 2S. Obviamente temos |2S|
2|S|. En xeral, XY é o conxunto de todas as funcións de Y en X e |XY|
|X||Y|.
O argumento da diagonal de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto (sexa infinito ou non) sempre ten unha cardinalidade estritamente maior que o conxunto en si (ou informalmente, o conxunto de partes debe ser maior que o conxunto orixinal). En particular, o teorema de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto numerable infinito é incontablemente infinito. O conxunto de partes do conxunto de números naturais pódese poñer nunha correspondencia un a un co conxunto de números reais (ver Cardinalidade do continuo).
Teoría de Conxuntos
Na teoría de Conxuntos, en particular na sáa formulación segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe un axioma cuxa finalidade é garantir a existencia do conxunto de partes: o axioma do conxunto de partes.
Álxebra
O conxunto de partes dun conxunto S, xunto coas operacións de unión, intersección e complemento, é unha sigma-álxebra sobre S e pódese ver como o exemplo prototípico dunha álxebra de Boole. De feito, pódese demostrar que calquera álxebra booleana finita é isomórfica á álxebra booleana do conxunto de partes dun conxunto finito. Para as álxebras booleanas infinitas, isto xa non é certo, pero toda álxebra booleana infinita pódese representar como unha subálxebra dunha álxebra booleana de conxuntos de partes (ver o teorema de representación de Stone).
O conxunto de partes dun conxunto S forma un grupo abeliano cando se considera coa operación de diferenza simétrica (co conxunto baleiro como elemento de identidade e cada conxunto sendo o seu propio inverso), e forma un monoide conmutativo cando se considera coa operación de intersección. Polo tanto, pódese demostrar, comprobando as leis distributivas, que o conxunto de partes xunto con estas dúas operacións forma un anel booleano.