Subconxunto

En matemáticas, un conxunto A é un subconxunto dun conxunto B se todos os elementos de A son tamén elementos de B; B é daquela un superconxunto de A. É posíbel que A e B sexan iguais; se son desiguais, entón A é un subconxunto propio de B. A relación dun conxunto sendo un subconxunto doutro chámase inclusión. A é un subconxunto de B tamén se pode expresar como B inclúe (ou contén) A ou A está incluído (ou contido) en B. Un k-subconxunto é un subconxunto con k elementos.
A relación de subconxuntos define unha orde parcial en conxuntos. De feito, os subconxuntos dun conxunto dado forman unha álxebra de Boole baixo a relación de subconxuntos, coas operacións de intersección e unión, e a propia relación do subconxunto é a relación de inclusión booleana. Definición
Se A e B son conxuntos e cada elemento de A tamén é un elemento de B, daquela: A é un subconxunto de B, denotado por A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B}, ou equivalentemente,
B é un superconxunto de A, denotado por B ⊇ A. {\displaystyle B\supseteq A. } Se A é un subconxunto de B, pero A non é igual a B (é dicir, existe polo menos un elemento de B que non é un elemento de A ), daquela: A é un subconxunto propio de B, denotado por A ⊊ B {\displaystyle A\subsetneq B}, ou equivalentemente,
B é un superconxunto propio de A, denotado por B ⊋ A. {\displaystyle B\supsetneq A. } O conxunto baleiro, escrito { } {\displaystyle \{\}} ou ∅, {\displaystyle \varnothing, } é un subconxunto de calquera conxunto X e un subconxunto propio de calquera conxunto agás el mesmo, a relación de inclusión ⊆ {\displaystyle \subseteq } é unha orde parcial no conxunto P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} (o conxunto de partes de S, o conxunto de todos os subconxuntos de S ) definido por A ≤ B ⟺ A ⊆ B {\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}. Cando se cuantifica, A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} represéntase como ∀ x ( x ∈ A ⟹ x ∈ B ). {\displaystyle \forall x\left(x\in A\implies x\in B\right). } Propiedades
Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa intersección é igual a A.
Formalmente: A ⊆ B if and only if A ∩ B
A. {\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B
A. } Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa unión é igual a B.
Formalmente: A ⊆ B if and only if A ∪ B
B. {\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B
B. } Un conxunto finito A é un subconxunto de B, se e só se a cardinalidade da súa intersección é igual á cardinalidade de A.
Formalmente: A ⊆ B if and only if | A ∩ B |
| A |. {\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|
|A|. } Exemplos de subconxuntos
O conxunto A
{1, 2} é un subconxunto propio de B
{1, 2, 3}, polo que ambas as expresións A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} e A ⊊ B {\displaystyle A\subsetneq B} son verdadeiras.
Calquera conxunto é un subconxunto de si mesmo, pero non un subconxunto propio. ( X ⊆ X {\displaystyle X\subseteq X} é certo, e X ⊊ X {\displaystyle X\subsetneq X} é falso para calquera conxunto X. )
O conxunto {x: x é un número primo maior que 10} é un subconxunto propio de {x: x é un número impar maior que 10}
O conxunto de números racionais é un subconxunto propio do conxunto de números reais. Neste exemplo, ambos os conxuntos son infinitos, pero o último conxunto ten unha cardinalidade maior que o conxunto anterior. Outras propiedades da inclusión
A inclusión é a orde parcial canónica, no sentido de que todo conxunto parcialmente ordenado ( X, ⪯ ) {\displaystyle (X, \preceq )} é isomorfo a algunha colección de conxuntos ordenados por inclusión. Os números ordinais son un exemplo sinxelo: se cada n ordinal se identifica co conxunto [ n ] {\displaystyle [n]} de todos os ordinais menores ou iguais a n, daquela a ≤ b {\displaystyle a\leq b} se e só se [ a ] ⊆ [ b ]. {\displaystyle [a]\subseteq [b]. } Para o conxunto das partes P ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)} dun conxunto S, a orde parcial de inclusión é, ata un isomorfismo de orde, o produto cartesiano de k
| S | {\displaystyle k
|S|} (a cardinalidade de S) copias da orde parcial en { 0, 1 } {\displaystyle \{0, 1\}} para o cal 0 < 1. {\displaystyle 0<1. } Isto pódese ilustrar enumerando S
{ s 1, s 2, …, s k }, {\displaystyle S
\left\{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{k}\right\}, }, e asociando a cada subconxunto T ⊆ S {\displaystyle T\subseteq S} (é dicir, cada elemento de 2 S {\displaystyle 2^{S}} ) a k-tupla de { 0, 1 } k, {\displaystyle \{0, 1\}^{k}, } dos que a coordenada i é 1 se e só se s i {\displaystyle s_{i}} é membro de T.