Función diferenciábel

En matemáticas, unha función diferenciábel dunha variábel real é unha función cuxa derivada existe en cada punto do seu dominio. Unha función diferenciábel é suave (a función está localmente ben aproximada como unha función linear en cada punto interior) e non contén ningún salto ou cúspide.
Se x0 é un punto interior no dominio dunha función f, entón f dise que é diferenciábel en x0 se a derivada f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} existe. f dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua sobre o dominio da función f {\textstyle f}. En xeral, f dise que é de clase C k {\displaystyle C^{k}} se as súas primeiras k {\displaystyle k} derivadas f ′ ( x ), f ′ ′ ( x ), …, f ( k ) ( x ) {\textstyle f^{\prime }(x), f^{\prime \prime }(x), \ldots, f^{(k)}(x)} existen e son continuas sobre o dominio da función f {\textstyle f}.
Para unha función multivariábel, como se mostra embaixo, a diferenciabilidade é algo máis complexa que a existencia das derivadas parciais. Diferenciabilidade de funcións reais dunha variábel
Unha función f: U → R {\displaystyle f: U\to \mathbb {R} }, definida nun conxunto aberto U ⊂ R {\textstyle U\subset \mathbb {R} }, dise que é diferenciábel en a ∈ U {\displaystyle a\in U} se a derivada f ′ ( a )
lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle f'(a)
\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} existe. Isto implica que a función é continua en a.
Esta función f dise que é diferenciábel en U se é diferenciábel en cada punto de U. Neste caso, a derivada de f é así unha función de U en R. {\displaystyle \mathbb {R}. } Unha función dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua; existen funcións que son diferenciábeis mais non continuamente diferenciábeis (un exemplo dase na sección Clases de diferenciabilidade). Diferenciabilidade e continuidade
Se f é diferenciábel nun punto x0, entón f debe tamén ser continua en x0. En particular, calquera función diferenciábel debe ser continua en cada punto do seu dominio. O contrario non é certo: unha función continua non ten por que ser diferenciábel. Por exemplo, unha función cunha curva, cúspide ou tanxente vertical pode ser continua, pero non ser diferenciábel no lugar da anomalía.
A maioría das funcións que aparecen na práctica teñen derivadas en todos os puntos ou en case todos os puntos. O primeiro exemplo coñecido dunha función que é continua en todas partes pero non diferenciábel en ningunha parte é a función de Weierstrass. Clases de diferenciabilidade
Unha función f {\textstyle f} dise que é continuamente diferenciábel se a derivada f ′ ( x ) {\textstyle f^{\prime }(x)} existe e é ela mesma unha función continua. Aínda que a derivada dunha función diferenciábel nunca ten unha descontinuidade de salto, é posíbel que a derivada teña unha descontinuidade esencial. Por exemplo, a función f ( x )
{ x 2 sin ⁡ ( 1 / x ) se x ≠ 00 se x
0 {\displaystyle f(x)\;
\; {\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ se }}x\neq 0\\0&{\text{ se }}x
0\end{cases}}} é diferenciábel en 0, xa que f ′ ( 0 )
lim ε → 0 ( ε 2 sin ⁡ ( 1 / ε ) − 0 ε )
0 {\displaystyle f'(0)
\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)
0} existe. No entanto, para x ≠ 0, {\displaystyle x\neq 0, } as regras de diferenciación implican f ′ ( x )
2 x sin ⁡ ( 1 / x ) − cos ⁡ ( 1 / x ), {\displaystyle f'(x)
2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\; ,} que non ten límite cando x → 0. {\displaystyle x\to 0. } Así, este exemplo mostra a existencia dunha función que é diferenciábel pero non continuamente diferenciábel (é dicir, a derivada non é unha función continua). Con todo, o teorema de Darboux implica que a derivada de calquera función satisfai a conclusión do teorema do valor intermedio.
De xeito similar a como as funcións continuas se din que son de clase C 0, {\displaystyle C^{0}, } as funcións continuamente diferenciábeis ás veces dinse que son de clase C 1 {\displaystyle C^{1}}. Unha función é de clase C 2 {\displaystyle C^{2}} se a primeira e a segunda derivada da función existen e son continuas. Máis xeralmente, unha función dise que é de clase C k {\displaystyle C^{k}} se as primeiras k {\displaystyle k} derivadas f ′ ( x ), f ′ ′ ( x ), …, f ( k ) ( x ) {\textstyle f^{\prime }(x), f^{\prime \prime }(x), \ldots, f^{(k)}(x)} existen e son continuas. Se as derivadas f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} existen para todos os enteiros positivos n, {\textstyle n, } a función é suave ou equivalentemente, de clase C ∞. {\displaystyle C^{\infty }. } Diferenciabilidade en dimensións superiores
Unha función de varias variábeis reais f: Rm → Rn dise que é diferenciábel nun punto x0 se existe unha aplicación linear J: Rm → Rn tal que lim h → 0 ‖ f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) − J ( h ) ‖ R n ‖ h ‖ R m
0. {\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}
0. } Se unha función é diferenciábel en x0, entón todas as derivadas parciais existen en x0, e a aplicación linear J vén dada pola matriz jacobiana, unha matriz n × m neste caso. Se todas as derivadas parciais dunha función existen nunha veciñanza dun punto x0 e son continuas no punto x0, entón a función é diferenciábel nese punto x0.
No entanto, a existencia das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direccionais) non garante que unha función sexa diferenciábel nun punto. Por exemplo, a función f: R2 → R definida por f ( x, y )
{ x se y ≠ x 20 se y
x 2 {\displaystyle f(x, y)
{\begin{cases}x&{\text{se }}y\neq x^{2}\\0&{\text{se }}y
x^{2}\end{cases}}} non é diferenciábel en (0, 0), pero todas as derivadas parciais e direccionais existen neste punto. Para un exemplo continuo, a función f ( x, y )
{ y 3 / ( x 2 + y 2 ) se ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) 0 se ( x, y )
( 0, 0 ) {\displaystyle f(x, y)
{\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{se }}(x, y)\neq (0, 0)\\0&{\text{se }}(x, y)
(0, 0)\end{cases}}} non é diferenciábel en (0, 0), mais de novo todas as derivadas parciais e direccionais existen. Diferenciabilidade en análise complexa
En análise complexa, a diferenciabilidade complexa defínese usando a mesma definición que as funcións reais dunha variábel. Isto é debido á posibilidade de dividir números complexos. Así, unha función f: C → C {\textstyle f: \mathbb {C} \to \mathbb {C} } dise que é diferenciábel en x
a {\textstyle x
a} cando f ′ ( a )
lim h → 0 h ∈ C f ( a + h ) − f ( a ) h. {\displaystyle f'(a)
\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}. } Aínda que esta definición parece similar á diferenciabilidade das funcións reais dunha variábel, é unha condición máis restritiva. Unha función f: C → C {\textstyle f: \mathbb {C} \to \mathbb {C} }, que é complexo-diferenciábel nun punto x
a {\textstyle x
a}, é automaticamente diferenciábel nese punto, cando se ve como unha función f: R 2 → R 2 {\displaystyle f: \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}. Isto débese a que a diferenciabilidade complexa implica que lim h → 0 h ∈ C | f ( a + h ) − f ( a ) − f ′ ( a ) h | | h |
0. {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}
0. } No entanto, unha función f: C → C {\textstyle f: \mathbb {C} \to \mathbb {C} } pode ser diferenciábel como unha función multivariábel, mentres non é complexo-diferenciábel. Por exemplo, f ( z )
z + z ¯ 2 {\displaystyle f(z)
{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}} é diferenciábel en cada punto, vista como a función real de 2 variábeis f ( x, y )
x {\displaystyle f(x, y)
x}, mais non é complexo-diferenciábel en ningún punto porque o límite lim h → 0 h + h ¯ 2 h {\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}} non existe (o límite depende do ángulo de aproximación).
Calquera función que é complexo-diferenciábel nunha veciñanza dun punto chámase holomorfa nese punto. Tal función é necesariamente infinitamente diferenciábel, e de feito analítica. Funcións diferenciábeis en variedades
Se M é unha variedade diferenciábel, unha función real ou complexa f en M dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p. Se M e N son variedades diferenciábeis, unha función f: M → N dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p e f(p).