Análise matemática

A análise matemática (do grego άναλύειν) tivo a súa orixe na formulación rigorosa do cálculo infinitesimal. É a rama da matemática que trata explicitamente a noción de límite, ben sexa o límite dunha sucesión ou o dunha función. Inclúe tamén as teorías de diferenciación, integración e da medida, o estudo das series, e o das funcións analíticas. A miúdo estúdanse estas teorías no contexto dos números reais, ou complexos, e das funcións reais e complexas. Agora ben, tamén se poden definir e estudar as nocións e teorías da análise matemática en calquera espazo equipado cunha noción de "proximidade" (nun espazo topolóxico) ou máis especificamente nun espazo dotado cunha noción de "distancia" (isto é, nun espazo métrico). Historia da análise matemática
Raíces da análise matemática
Os primeiros resultados relacionados coa análise estaban xa implicitamente presentes nos comezos da matemática da Grecia antiga. Por exemplo, no famoso paradoxo de Aquiles e a tartaruga ideado por Zenón de Elea, é doado de ver unha serie xeométrica. Máis tarde, matemáticos gregos coma Eudoxo e Arquímedes, dun xeito informal fixeron un uso máis explícito dos conceptos de límite e converxencia cando empregaban o método de converxencia (ás veces tamén chamado de exhaución, ou exhaustación) para calcular a área dunha rexión e o volume dun sólido. Na India, o matemático do século XII Bhaskara II concibiu o cálculo diferencial, chegando a enunciar unha versión previa do que hoxe en día é coñecido como teorema de Rolle.
As raíces da análise matemática datan do século XIV, co traballo realizado por Madhava de Sangamagrama, considerado por algúns como o "fundador da análise matemática", quen elaborou expansións en serie de potencias de funcións tales coma o seno, o coseno, a tanxente e o arco tanxente. Á parte de desenvolver as series de Taylor destas funcións trigonométricas tamén fixo estimacións do erro cometido ao truncar estas series e deu aproximacións racionais de series. Tamén estudou fraccións continuas, a integración termo a termo, e series de potencias do número π. Os seus discípulos continuaron o seu traballo na Escola de Kerala ata o século XVI.
Desenvolvemento do cálculo infinitesimal en Europa
En Europa, na segunda metade do século XVII, Newton e Leibniz desenvolveron independentemente o cálculo infinitesimal. Ao longo deste século e do seguinte o cálculo infinitesimal medrou co estímulo das súas aplicacións, e así apareceron algúns tópicos da análise matemática coma o cálculo de variacións, as ecuacións diferenciais ordinarias, as ecuacións en derivadas parciais, a análise de Fourier, e as funcións xeratrices. Durante este período, aplicáronse as técnicas do cálculo infinitesimal para aproximar problemas discretos por continuos.
No século XVIII, Euler introduciu a noción de función para denotar unha expresión que involucra un ou varios argumentos (p. e. f(x) sen(x) + x3). A análise real comezou a emerxer como disciplina independente cando o matemático bohemio Bernard Bolzano introduciu a definición moderna de continuidade en 1816. No século XIX, Cauchy axudou a asentar o cálculo infinitesimal nuns fundamentos lóxicos firmes coa introdución do concepto de sucesión de Cauchy. Tamén iniciou el a teoría formal da análise complexa. Poisson, Liouville, Fourier e outros máis estudaron as ecuacións en derivadas parciais e a análise harmónica. Coas contribucións destes e doutros matemáticos coma Weierstrass, foise conformando a idea moderna de rigor matemático, á vez que se fundaba a análise matemática (cando menos na súa vertente moderna).
A análise matemática moderna
A mediados do século XIX, Riemann introduce a súa teoría de integración. No último terzo deste século produciuse a aritmetizacíon da análise por Weierstrass, quen pensaba que o razoamento xeométrico era enganoso por natureza, o que o levou a introducir a definición rigorosa "épsilon-delta" de límite. Nese momento a preocupación dos matemáticos viña dada pola asunción da existencia dun continuo de números reais sen ter demostrado esa existencia. Dedekind reconstruíu entón os números reais empregando cortes de Dedekind, a través dos cales é creado cada número irracional para tapar cada un dos "ocos" existentes entre os números racionais, conformando dese xeito un conxunto completo: o continuo dos números reais. Arredor desta data, os intentos de refinar os teoremas acerca da integración de Riemann conduciron ao estudo do "tamaño" do conxunto de descontinuidades dunha función real.
Tamén comezáronse a construír exemplos patolóxicos de funcións, ás veces denominadas "monstros": funcións descontinuas en todo punto, funcións continuas pero non derivables en ningún punto, curvas que enchen o espazo etc. Neste contexto, Jordan desenvolveu a súa teoría da medida, Cantor desenvolveu o que hoxe en día coñécese como teoría intuitiva de conxuntos, e Baire probou o teorema da categoría de Baire. A comezos do século XX, formalizouse o cálculo infinitesimal empregando a teoría axiomática de conxuntos. Lebesgue resolveu o problema da medida, e Hilbert introduciu a noción de espazo de Hilbert para resolver ecuacións integrais. A idea de espazo vectorial normado estaba xa no aire, e foi nos anos vinte cando Banach creou a análise funcional. Ramas da análise matemática
A análise matemática contén á súa vez os seguintes campos: A análise real, dedicada ao estudo rigoroso das derivadas e as integrais das funcións de variables reais. Tamén inclúe resultados acerca das sucesións numéricas e dos seus límites, das series, e das medidas.
A análise funcional, que estuda os espazos de funcións e introduce conceptos tales coma os espazos de Banach e os espazos de Hilbert.
A análise harmónica, que estuda as series de Fourier e as súas abstraccións.
A análise complexa, que estuda as funcións definidas no plano complexo e con valores tamén no plano complexo (isto é, funcións complexas de variable complexa) que cumpren a condición de diferenciabilidade complexa (funcións holomorfas).
A análise p-ádica, que designa a análise feita no contexto dos números p-ádicos, a cal difire cun xeito sorprendente e interesante das súas homólogas real e complexa.
A análise non-estándar, que investiga os números hiperreais e as súas funcións, dando un tratamento rigoroso dos infinitesimais e dos números infinitamente grandes. Habitualmente clasifícase a análise non-estándar dentro da teoría de modelos.
Normalmente enténdese por análise clásica calquera traballo que non empregue técnicas da análise funcional; naturalmente tamén se emprega para denotar os contidos máis tradicionais. Hoxe en día a análise matemática comparte o estudo das ecuacións diferenciais con outros campos da matemática coma os sistemas dinámicos, aínda que as coincidencias coa análise convencional seguen a ser grandes.