Desigualdades QM-AM-GM-HM

En matemáticas, as desigualdades QM-AM-GM-HM, tamén coñecidas como cadea de desigualdades medias, establecen a relación entre a media harmónica (HM), a media xeométrica (GM), a media aritmética (AM) e a media cadrática (QM) (tamén coñecida como raíz cadrada media). Supoñamos que x 1, x 2, …, x n {\displaystyle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}} son números reais positivos. Daquela 0 < n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n ≤ x 1 x 2 ⋯ x n n ≤ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≤ x 12 + x 22 + ⋯ + x n 2 n. {\displaystyle 0<{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}. } Estas desigualdades aparecen a miúdo en concursos de matemáticas e teñen aplicacións en moitos campos da ciencia. Proba
Hai tres desigualdades entre medias para demostrar. Existen varios métodos para demostrar as desigualdades, incluíndo a indución matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, os multiplicadores de Lagrange e a desigualdade de Jensen. Para outras probas de que GM ≤ AM, consulte o artigo sobre a desigualdade AM-GM (desigualdade da media aritmética e a media xeométrica).
Desigualdade AM-QM
A partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz en números reais, estabelecendo un vector cos valores (1, 1, .. .), temos: ( ∑ i
1 n x i ⋅ 1 ) 2 ≤ ( ∑ i
1 n x i 2 ) ( ∑ i
1 n 12 )
n ∑ i
1 n x i 2, {\displaystyle \left(\sum _{i
1}^{n}x_{i}\cdot 1\right)^{2}\leq \left(\sum _{i
1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i
1}^{n}1^{2}\right)
n\, \sum _{i
1}^{n}x_{i}^{2}, } polo tanto ( ∑ i
1 n x i n ) 2 ≤ ∑ i
1 n x i 2 n {\displaystyle \left({\frac {\sum _{i
1}^{n}x_{i}}{n}}\right)^{2}\leq {\frac {\sum _{i
1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}}.
Para os x i {\displaystyle x_{i}} positivos a raíz cadrada deste dá a desigualdade.
Desigualdade HM-GM
O recíproco da media harmónica é a media aritmética dos recíprocos 1 / x 1, …, 1 / x n {\displaystyle 1/x_{1}, \dots, 1/x_{n}}, e supera 1 / x 1 … x n n {\displaystyle 1/{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}} pola desigualdade AM-GM. x i > 0 {\displaystyle x_{i}>0} implica a desigualdade: n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n ≤ x 1 … x n n. {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}. } O caso n 2
21 x 1 + 1 x 2 ≤ x 1 x 2 ≤ x 1 + x 22 ≤ x 12 + x 222 {\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}\leq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}}}} para todos os x 1, x 2 > 0, {\displaystyle x_{1}, x_{2}>0, } que se pode visualizar nun semicírculo cuxo diámetro é [AB] e centro D.
Supoña AC
x1 e BC
x2. Constrúa perpendiculares a [AB] en D e C respectivamente. Una [CE] e [DF] e constrúa ademais unha perpendicular [CG] a [DF] en G. Daquela, a lonxitude de GF pódese calcular como a media harmónica, CF como a media xeométrica, DE como a media aritmética e CE como a media cadrática. As desigualdades danse logo facilmente do teorema de Pitágoras. Exemplo
Para inferir a orde correcta, as catro expresións pódense avaliar con dous números positivos.
Para x 1
10 {\displaystyle x_{1}
10} e x 2
40 {\displaystyle x_{2}
40} en particular, isto resulta en 16 < 20 < 25 < 534 {\displaystyle 16<20<25<5{\sqrt {34}}}.