Lista de identidades trigonométricas

En trigonometría, as identidades trigonométricas son igualdades que implican funcións trigonométricas e son verdadeiras para cada valor das variábeis que se producen para as que se definen ambos os dous lados da igualdade. Xeométricamente, estas son identidades que implican certas funcións dun ou máis ángulos. Son distintas das identidades de triángulos, que son identidades que poden implicar ángulos mais que tamén inclúen lonxitudes de lados ou outras lonxitudes dun triángulo. Identidades pitagóricas
A relación básica entre o seno e o coseno vén dada pola identidade pitagórica: sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ
1, {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta
1, } onde sin 2 ⁡ θ {\displaystyle \sin ^{2}\theta } significa ( sin ⁡ θ ) 2 {\displaystyle (\sin \theta )^{2}} e cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta } significa ( cos ⁡ θ ) 2. {\displaystyle (\cos \theta )^{2}. } Isto pódese ver como unha versión do teorema de Pitágoras, e dedúcese a partir da ecuación x 2 + y 2
1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}
1} para a circunferencia unitaria. Esta ecuación pódese resolver tanto para o seno como para o coseno: sin ⁡ θ
± 1 − cos 2 ⁡ θ, cos ⁡ θ
± 1 − sin 2 ⁡ θ. {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &
\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}, \\\cos \theta &
\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}. \end{aligned}}} onde o signo depende do cuadrante de θ. {\displaystyle \theta. } Dividindo esta identidade por sin 2 ⁡ θ {\displaystyle \sin ^{2}\theta }, cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta }, ou ambos os dous, proporcionan as seguintes identidades: 1 + cot 2 ⁡ θ
csc 2 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ
sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ + csc 2 ⁡ θ
sec 2 ⁡ θ csc 2 ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta
\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta
\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta
\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}} Usando estas identidades, é posíbel expresar calquera función trigonométrica en termos de calquera outra (ata un signo máis ou menos): Reflexións, desprazamentos e periodicidade
Examinando a circunferencia unitaria, pódense estabelecer as seguintes propiedades das funcións trigonométricas.
Reflexións
Se unha liña (vector) con dirección θ {\displaystyle \theta } reflíctese sobre unha liña con dirección α, {\displaystyle \alpha, } daquela o ángulo de dirección θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} desta liña reflectida (vector) ten o valor θ ′
2 α − θ. {\displaystyle \theta ^{\prime }
2\alpha -\theta. } Os valores das funcións trigonométricas destes ángulos θ, θ ′ {\displaystyle \theta, \; \theta ^{\prime }} para ángulos específicos α {\displaystyle \alpha } satisfán identidades simples: ou son iguais, ou teñen signos opostos, ou empregan a función trigonométrica complementaria. Tamén se coñecen como fórmulas de redución (reduction formulae).
Signos
O signo das funcións trigonométricas depende do cuadrante do ángulo. Se − π < θ ≤ π {\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi } e sgn é a función signo, sgn ⁡ ( sin ⁡ θ )
sgn ⁡ ( csc ⁡ θ )
{ + 1 if 0 < θ < π − 1 if − π < θ < 00 if θ ∈ { 0, π } sgn ⁡ ( cos ⁡ θ )
sgn ⁡ ( sec ⁡ θ )
{ + 1 if − 12 π < θ < 12 π − 1 if − π < θ < − 12 π ou 12 π < θ < π 0 if θ ∈ { − 12 π, 12 π } sgn ⁡ ( tan ⁡ θ )
sgn ⁡ ( cot ⁡ θ )
{ + 1 if − π < θ < − 12 π ou 0 < θ < 12 π − 1 if − 12 π < θ < 0 ou 12 π < θ < π 0 if θ ∈ { − 12 π, 0, 12 π, π } {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )
\operatorname {sgn}(\csc \theta )&
{\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0, \pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )
\operatorname {sgn}(\sec \theta )&
{\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{ou}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi }, {\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )
\operatorname {sgn}(\cot \theta )&
{\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{ou}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{ou}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi }, 0, {\tfrac {1}{2}}\pi, \pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}} As funcións trigonométricas son periódicas con período común 2 π, {\displaystyle 2\pi, } polo que para valores de θ fóra do intervalo ( − π, π ], {\displaystyle ({-\pi }, \pi ], } toman valores repetitivos. Identidades de suma e diferenza de ángulos
Estes tamén se coñecen como fórmulas da suma de ángulos. sin ⁡ ( α + β )
sin ⁡ α cos ⁡ β + cos ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ ( α − β )
sin ⁡ α cos ⁡ β − cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ ( α + β )
cos ⁡ α cos ⁡ β − sin ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ ( α − β )
cos ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ α sin ⁡ β {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&
\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&
\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&
\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&
\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}} Estas identidades resúmense nas dúas primeiras filas da seguinte táboa, que tamén inclúe identidades de suma e diferenza para as outras funcións trigonométricas. Fórmulas de ángulos múltiples e ángulos metade
Fórmulas de ángulos múltiples
Fórmulas de ángulo duplo
Fórmulas para dúas veces un ángulo. sin ⁡ ( 2 θ )
2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ
( sin ⁡ θ + cos ⁡ θ ) 2 − 1
2 tan ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \sin(2\theta )
2\sin \theta \cos \theta
(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1
{\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}} cos ⁡ ( 2 θ )
cos 2 ⁡ θ − sin 2 ⁡ θ
2 cos 2 ⁡ θ − 1
1 − 2 sin 2 ⁡ θ
1 − tan 2 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \cos(2\theta )
\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta
2\cos ^{2}\theta -1
1-2\sin ^{2}\theta
{\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}} tan ⁡ ( 2 θ )
2 tan ⁡ θ 1 − tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \tan(2\theta )
{\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}} cot ⁡ ( 2 θ )
cot 2 ⁡ θ − 12 cot ⁡ θ
1 − tan 2 ⁡ θ 2 tan ⁡ θ {\displaystyle \cot(2\theta )
{\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}
{\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}} sec ⁡ ( 2 θ )
sec 2 ⁡ θ 2 − sec 2 ⁡ θ
1 + tan 2 ⁡ θ 1 − tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \sec(2\theta )
{\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}
{\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}} csc ⁡ ( 2 θ )
sec ⁡ θ csc ⁡ θ 2
1 + tan 2 ⁡ θ 2 tan ⁡ θ {\displaystyle \csc(2\theta )
{\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}
{\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}
Fórmulas de ángulos múltiples
sin ⁡ ( n θ )
∑ k impar ( − 1 ) k − 12 ( n k ) cos n − k ⁡ θ sin k ⁡ θ
sin ⁡ θ ∑ i
0 ( n + 1 ) / 2 ∑ j
0 i ( − 1 ) i − j ( n 2 i + 1 ) ( i j ) cos n − 2 ( i − j ) − 1 ⁡ θ
sin ⁡ ( θ ) ⋅ ∑ k
0 ⌊ n − 12 ⌋ ( − 1 ) k ⋅ ( 2 ⋅ cos ⁡ ( θ ) ) n − 2 k − 1 ⋅ ( n − k − 1 k )
2 ( n − 1 ) ∏ k
0 n − 1 sin ⁡ ( k π / n + θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&
\sum _{k{\text{ impar}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta
\sin \theta \sum _{i
0}^{(n+1)/2}\sum _{j
0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&
\sin(\theta )\cdot \sum _{k
0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}\cdot {(2\cdot \cos(\theta ))}^{n-2k-1}\cdot {n-k-1 \choose k}\\{}&
2^{(n-1)}\prod _{k
0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}} cos ⁡ ( n θ )
∑ k par ( − 1 ) k 2 ( n k ) cos n − k ⁡ θ sin k ⁡ θ
∑ i
0 n / 2 ∑ j
0 i ( − 1 ) i − j ( n 2 i ) ( i j ) cos n − 2 ( i − j ) ⁡ θ
∑ k
0 ⌊ n 2 ⌋ ( − 1 ) k ⋅ ( 2 ⋅ cos ⁡ ( θ ) ) n − 2 k ⋅ ( n − k k ) ⋅ n 2 n − 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(n\theta )&
\sum _{k{\text{ par}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta
\sum _{i
0}^{n/2}\sum _{j
0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta \\{}&
\sum _{k
0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}\cdot {(2\cdot \cos(\theta ))}^{n-2k}\cdot {n-k \choose k}\cdot {\frac {n}{2n-2k}}\end{aligned}}} cos ⁡ ( ( 2 n + 1 ) θ )
( − 1 ) n 22 n ∏ k
02 n cos ⁡ ( k π / ( 2 n + 1 ) − θ ) {\displaystyle \cos((2n+1)\theta )
(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k
0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )} cos ⁡ ( 2 n θ )
( − 1 ) n 22 n − 1 ∏ k
02 n − 1 cos ⁡ ( ( 1 + 2 k ) π / ( 4 n ) − θ ) {\displaystyle \cos(2n\theta )
(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k
0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )} tan ⁡ ( n θ )
∑ k impar ( − 1 ) k − 12 ( n k ) tan k ⁡ θ ∑ k par ( − 1 ) k 2 ( n k ) tan k ⁡ θ {\displaystyle \tan(n\theta )
{\frac {\sum _{k{\text{ impar}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ par}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}}
Método de Chebyshev
O método Chebyshev é un algoritmo recursivo para atopar a fórmula n-ésima de ángulos múltiples coñecendo os valores de multiplicidade ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} e ( n − 2 ) {\displaystyle (n-2)}.
Así cos ⁡ ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} pódese calcular a partir de cos ⁡ ( ( n − 1 ) x ) {\displaystyle \cos((n-1)x)}, cos ⁡ ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \cos((n-2)x)}, e cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} con cos ⁡ ( n x )
2 cos ⁡ x cos ⁡ ( ( n − 1 ) x ) − cos ⁡ ( ( n − 2 ) x ). {\displaystyle \cos(nx)
2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x). } Dedúcese por indución que cos ⁡ ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} é un polinomio de cos ⁡ x, {\displaystyle \cos x, } o chamado polinomio de Chebyshev do primeiro tipo, véxase Polinomios de Chebyshev.
Similarmente sin ⁡ ( n x )
2 cos ⁡ x sin ⁡ ( ( n − 1 ) x ) − sin ⁡ ( ( n − 2 ) x ). {\displaystyle \sin(nx)
2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x). }
Fórmulas de ángulo métade
sin ⁡ θ 2
sgn ⁡ ( sin ⁡ θ 2 ) 1 − cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2
sgn ⁡ ( cos ⁡ θ 2 ) 1 + cos ⁡ θ 2 tan ⁡ θ 2
1 − cos ⁡ θ sin ⁡ θ
sin ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ
csc ⁡ θ − cot ⁡ θ
tan ⁡ θ 1 + sec ⁡ θ
sgn ⁡ ( sin ⁡ θ ) 1 − cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ
− 1 + sgn ⁡ ( cos ⁡ θ ) 1 + tan 2 ⁡ θ tan ⁡ θ cot ⁡ θ 2
1 + cos ⁡ θ sin ⁡ θ
sin ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ
csc ⁡ θ + cot ⁡ θ
sgn ⁡ ( sin ⁡ θ ) 1 + cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ sec ⁡ θ 2
sgn ⁡ ( cos ⁡ θ 2 ) 21 + cos ⁡ θ csc ⁡ θ 2
sgn ⁡ ( sin ⁡ θ 2 ) 21 − cos ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&
\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&
\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&
{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}
{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}
\csc \theta -\cot \theta
{\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&
\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}
{\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&
{\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}
{\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}
\csc \theta +\cot \theta
\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&
\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&
\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}} Fórmulas de redución de potencias
Obtido resolvendo a segunda e terceira versións da fórmula do ángulo duplo do coseno. Identidades produto a suma e suma a produto
Identidades produto a suma
cos ⁡ θ cos ⁡ φ
12 ( cos ⁡ ( θ − φ ) + cos ⁡ ( θ + φ ) ) sin ⁡ θ sin ⁡ φ
12 ( cos ⁡ ( θ − φ ) − cos ⁡ ( θ + φ ) ) sin ⁡ θ cos ⁡ φ
12 ( sin ⁡ ( θ + φ ) + sin ⁡ ( θ − φ ) ) cos ⁡ θ sin ⁡ φ
12 ( sin ⁡ ( θ + φ ) − sin ⁡ ( θ − φ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta \, \cos \varphi &
{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\! \! ~\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ){\bigr )}\\[3mu]\sin \theta \, \sin \varphi &
{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\! \! ~\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ){\bigr )}\\[3mu]\sin \theta \, \cos \varphi &
{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\! \! ~\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ){\bigr )}\\[3mu]\cos \theta \, \sin \varphi &
{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\! \! ~\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ){\bigr )}\end{aligned}}} tan ⁡ θ tan ⁡ φ
cos ⁡ ( θ − φ ) − cos ⁡ ( θ + φ ) cos ⁡ ( θ − φ ) + cos ⁡ ( θ + φ ) {\displaystyle \tan \theta \, \tan \varphi
{\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}} tan ⁡ θ cot ⁡ φ
sin ⁡ ( θ + φ ) + sin ⁡ ( θ − φ ) sin ⁡ ( θ + φ ) − sin ⁡ ( θ − φ ) {\displaystyle \tan \theta \, \cot \varphi
{\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}} ∏ k
1 n cos ⁡ θ k
12 n ∑ e ∈ S cos ⁡ ( e 1 θ 1 + ⋯ + e n θ n ) where e
( e 1, …, e n ) ∈ S
{ 1, − 1 } n {\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k
1}^{n}\cos \theta _{k}&
{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}e
(e_{1}, \ldots, e_{n})\in S
\{1, -1\}^{n}\end{aligned}}} ∏ k
1 n sin ⁡ θ k
( − 1 ) ⌊ n 2 ⌋ 2 n { ∑ e ∈ S cos ⁡ ( e 1 θ 1 + ⋯ + e n θ n ) ∏ j
1 n e j if n is even, ∑ e ∈ S sin ⁡ ( e 1 θ 1 + ⋯ + e n θ n ) ∏ j
1 n e j if n is odd {\displaystyle \prod _{k
1}^{n}\sin \theta _{k}
{\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j
1}^{n}e_{j}\; {\text{if}}\; n\; {\text{is even}}, \\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j
1}^{n}e_{j}\; {\text{if}}\; n\; {\text{is odd}}\end{cases}}}
Identidades suma a produto
As identidades de suma a produto son as seguintes: sin ⁡ θ ± sin ⁡ φ
2 sin ⁡ ( θ ± φ 2 ) cos ⁡ ( θ ∓ φ 2 ) {\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi
2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)} cos ⁡ θ + cos ⁡ φ
2 cos ⁡ ( θ + φ 2 ) cos ⁡ ( θ − φ 2 ) {\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi
2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)} cos ⁡ θ − cos ⁡ φ
− 2 sin ⁡ ( θ + φ 2 ) sin ⁡ ( θ − φ 2 ) {\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi
-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)} tan ⁡ θ ± tan ⁡ φ
sin ⁡ ( θ ± φ ) cos ⁡ θ cos ⁡ φ {\displaystyle \tan \theta \pm \tan \varphi
{\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \, \cos \varphi }}} Relación coa función exponencial complexa
A fórmula de Euler indica que, para calquera número real x: e i x
cos ⁡ x + i sin ⁡ x, {\displaystyle e^{ix}
\cos x+i\sin x, } onde i é a unidade imaxinaria. Substituíndo −x por x dános: e − i x
cos ⁡ ( − x ) + i sin ⁡ ( − x )
cos ⁡ x − i sin ⁡ x. {\displaystyle e^{-ix}
\cos(-x)+i\sin(-x)
\cos x-i\sin x. } Estas dúas ecuacións pódense usar para resolver o coseno e o seno en termos da función exponencial. En concreto, cos ⁡ x
e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos x
{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}} sin ⁡ x
e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin x
{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} Estas fórmulas son útiles para demostrar moitas outras identidades trigonométricas. Por exemplo, que ei(θ+φ)
eiθ eiφ significa que cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)
(cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) (cos θ cos φ − sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ).
Que a parte real do lado esquerdo sexa igual á parte real do lado dereito é unha fórmula de suma de ángulos para o coseno. A igualdade das partes imaxinarias dá unha fórmula de suma de ángulos para o seno.
A seguinte táboa expresa as funcións trigonométricas e as súas inversas en función da función exponencial e do logaritmo complexo. Nota: cis é unha notación que indica coseno e a parte imaxinaria (i) para o seno. Relación con funcións hiperbólicas complexas
As funcións trigonométricas pódense deducir de funcións hiperbólicas con argumentos complexos. As fórmulas para as relacións móstranse a continuación sin ⁡ x
− i sinh ⁡ ( i x ) cos ⁡ x
cosh ⁡ ( i x ) tan ⁡ x
− i tanh ⁡ ( i x ) cot ⁡ x
i coth ⁡ ( i x ) sec ⁡ x
sech ⁡ ( i x ) csc ⁡ x
i csch ⁡ ( i x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&
-i\sinh(ix)\\\cos x&
\cosh(ix)\\\tan x&
-i\tanh(ix)\\\cot x&
i\coth(ix)\\\sec x&
\operatorname {sech} (ix)\\\csc x&
i\operatorname {csch} (ix)\\\end{aligned}}} Expansión en series
Cando se utiliza unha expansión de serie de potencias para definir funcións trigonométricas, obtéñense as seguintes identidades: sin ⁡ x
x − x 33! + x 55! − x 77! + ⋯
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 )! , {\displaystyle \sin x
x-{\frac {x^{3}}{3! }}+{\frac {x^{5}}{5! }}-{\frac {x^{7}}{7! }}+\cdots
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)! }}, } cos ⁡ x
1 − x 22! + x 44! − x 66! + ⋯
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n )! . {\displaystyle \cos x
1-{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{4}}{4! }}-{\frac {x^{6}}{6! }}+\cdots
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)! }}. } Fórmulas infinitas de produtos
Para aplicacións con funcións especiais, son útiles as seguintes fórmulas de produtos infinitos para funcións trigonométricas. Funcións trigonométricas circulares: sin ⁡ x
x ∏ n
1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 n 2 ), cos ⁡ x
∏ n
1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 ( n − 12 ) ) 2 ). Funcións trigonométricas hiperbólicas: sinh ⁡ x
x ∏ n
1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 n 2 ), cosh ⁡ x
∏ n
1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 ( n − 12 ) ) 2 ). {\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Funcións trigonométricas circulares: }}\\\sin x&
x\prod _{n
1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right), &\cos x&
\prod _{n
1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\! {\vphantom {)}}^{2}}}\right). \\[10mu]&{\text{Funcións trigonométricas hiperbólicas: }}\\[10mu]\sinh x&
x\prod _{n
1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right), &\cosh x&
\prod _{n
1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\! {\vphantom {)}}^{2}}}\right). \end{aligned}}} Funcións trigonométricas inversas
As seguintes identidades dan o resultado de compoñer unha función trigonométrica cunha función trigonométrica inversa. sin ⁡ ( arcsin ⁡ x )
x cos ⁡ ( arcsin ⁡ x )
1 − x 2 tan ⁡ ( arcsin ⁡ x )
x 1 − x 2 sin ⁡ ( arccos ⁡ x )
1 − x 2 cos ⁡ ( arccos ⁡ x )
x tan ⁡ ( arccos ⁡ x )
1 − x 2 x sin ⁡ ( arctan ⁡ x )
x 1 + x 2 cos ⁡ ( arctan ⁡ x )
11 + x 2 tan ⁡ ( arctan ⁡ x )
x sin ⁡ ( arccsc ⁡ x )
1 x cos ⁡ ( arccsc ⁡ x )
x 2 − 1 x tan ⁡ ( arccsc ⁡ x )
1 x 2 − 1 sin ⁡ ( arcsec ⁡ x )
x 2 − 1 x cos ⁡ ( arcsec ⁡ x )
1 x tan ⁡ ( arcsec ⁡ x )
x 2 − 1 sin ⁡ ( arccot ⁡ x )
11 + x 2 cos ⁡ ( arccot ⁡ x )
x 1 + x 2 tan ⁡ ( arccot ⁡ x )
1 x {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&
x&\cos(\arcsin x)&
{\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&
{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&
{\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&
x&\tan(\arccos x)&
{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&
{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&
{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&
x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&
{\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&
{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&
{\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&
{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&
{\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&
{\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&
{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&
{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&
{\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}} Tomando o inverso multiplicativo de ambos os dous lados de cada ecuación anterior resultan as ecuacións para csc
1 sin, sec
1 cos, and cot
1 tan. {\displaystyle \csc
{\frac {1}{\sin }}, \; \sec
{\frac {1}{\cos }}, {\text{ and }}\cot
{\frac {1}{\tan }}. } O lado dereito da fórmula anterior sempre se invertirá.
Por exemplo, a ecuación para cot ⁡ ( arcsin ⁡ x ) {\displaystyle \cot(\arcsin x)} é: cot ⁡ ( arcsin ⁡ x )
1 tan ⁡ ( arcsin ⁡ x )
1 x 1 − x 2
1 − x 2 x {\displaystyle \cot(\arcsin x)
{\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}
{\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} mentres que as ecuacións para csc ⁡ ( arccos ⁡ x ) {\displaystyle \csc(\arccos x)} e sec ⁡ ( arccos ⁡ x ) {\displaystyle \sec(\arccos x)} son: csc ⁡ ( arccos ⁡ x )
1 sin ⁡ ( arccos ⁡ x )
11 − x 2. {\displaystyle \csc(\arccos x)
{\frac {1}{\sin(\arccos x)}}
{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}. } sec ⁡ ( arccos ⁡ x )
1 cos ⁡ ( arccos ⁡ x )
1 x. {\displaystyle \sec(\arccos x)
{\frac {1}{\cos(\arccos x)}}
{\frac {1}{x}}. } As seguintes identidades están implicadas polas identidades de reflexión. Mantéñense sempre que x, r, s, − x, − r, e − s {\displaystyle x, r, s, -x, -r, {\text{ e }}-s} estean nos dominios das funcións relevantes. π 2
arcsin ⁡ ( x ) + arccos ⁡ ( x )
arctan ⁡ ( r ) + arccot ⁡ ( r )
arcsec ⁡ ( s ) + arccsc ⁡ ( s ) π
arccos ⁡ ( x ) + arccos ⁡ ( − x )
arccot ⁡ ( r ) + arccot ⁡ ( − r )
arcsec ⁡ ( s ) + arcsec ⁡ ( − s ) 0
arcsin ⁡ ( x ) + arcsin ⁡ ( − x )
arctan ⁡ ( r ) + arctan ⁡ ( − r )
arccsc ⁡ ( s ) + arccsc ⁡ ( − s ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&
~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&
~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&
~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0. 4ex]\pi ~&
~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&
~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&
~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0. 4ex]0~&
~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&
~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&
~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1. 0ex]\end{alignedat}}} Tamén, arctan ⁡ x + arctan ⁡ 1 x
{ π 2, se x > 0 − π 2, se x < 0 arccot ⁡ x + arccot ⁡ 1 x
{ π 2, se x > 03 π 2, se x < 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&
{\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}, &{\text{se }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}}, &{\text{se }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&
{\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}, &{\text{se }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}}, &{\text{se }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}} arccos ⁡ 1 x
arcsec ⁡ x e arcsec ⁡ 1 x
arccos ⁡ x {\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}
\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ e }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}
\arccos x} arcsin ⁡ 1 x
arccsc ⁡ x e arccsc ⁡ 1 x
arcsin ⁡ x {\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}
\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ e }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}
\arcsin x} A función arcotanxente pódese expandir como unha serie: arctan ⁡ ( n x )
∑ m
1 n arctan ⁡ x 1 + ( m − 1 ) m x 2 {\displaystyle \arctan(nx)
\sum _{m
1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}}