Triángulo de Reuleaux

O triángulo Reuleaux é o exemplo máis sinxelo dos chamados polígonos de Reuleaux, denominados así polo científico e enxeñeiro que os desenvolveu, Franz Reuleaux. Estes polígonos teñen a particularidade de ser curvas de largura constante, é dicir, que a distancia entre dúas rectas tanxentes paralelas opostas é a mesma, independentemente da dirección desas rectas.
A área do triángulo de Reuleaux é 12 ( π − 3 ) a 2
0, 70477. .. a 2 {\displaystyle {1 \over 2}(\pi -{\sqrt {3}})a^{2}
0, 70477. .. \ a^{2}}, onde a é a largura constante. A área dun círculo de igual diámetro é π 4 a 2
0, 78539. .. a 2 {\displaystyle {\pi \over 4}a^{2}
0, 78539. .. \ a^{2}}, que é maior. Máis aínda, o teorema de Blaschke-Lebesgue establece que o triángulo de Reuleaux ten menor superficie que calquera outra figura de igual largura constante.
O seu perímetro é π a {\displaystyle \pi a}.
O triángulo de Reuleaux pode xeneralizarse a outros polígonos regulares cun número impar de lados, como pode ser o caso das moedas británicas de 20 peniques (baseadas nun heptágono). Trazado do triángulo de Reuleaux
Partindo dun triángulo equilátero de lado a delinéase facendo centro nun dos vértices do triángulo e con raio a, un arco de circunferencias que una os dous vértices restantes. Repetíndose a operación para cada vértice obtense o triángulo de Reuleaux.
Cada un dos ángulos dun triángulo equilátero é de π 3 {\displaystyle {\pi \over 3}} radiáns. Cada un dos tres arcos é de lonxitude π 3 a {\displaystyle {\pi \over 3}a}. Polo tanto o perímetro do triángulo de Reuleaux é π a {\displaystyle \pi a}. Outros usos
Debido a que todos os seus diámetros teñen a mesma lonxitude, o triángulo de Reuleaux, xunto cos demais polígonos regulares de Reuleaux, é a resposta á pregunta "Ademais dun círculo, que outra forma pode ter unha tapa dun sumidoiro para que non caia a través do burato? "
En 1914 o enxeñeiro británico Harry James Watt patentou (US-Patent 1241175 e seguintes) unha broca con forma de triángulo de Reuleaux. Un triángulo de Reuleaux pode rodar facilmente, pero non funciona ben como roda debido a que non ten un centro fixo de rotación.
A existencia dos polígonos de Reuleaux demostra que unha figura que ten largura constante non implica que sexa un círculo.
Algúns lapis se fabrican con este perfil, en lugar dos tradicionais de sección redonda ou hexagonal. Polo xeral anúncianse como máis cómodos e cun agarre axeitado, ademais de ser menos probable que roden fóra das mesas.
O rotor dun Motor Wankel pode ser confundido cun triángulo de Reuleaux. Aínda que se parece moito no seu aspecto, o rotor Wankel ten entre os vértices unha curva algo máis plana cá do triángulo de Reuleux e por iso non ten largura constante. Versión en tres dimensións
A intersección de esferas de raio s centradas nos vértices de tetraedros regulares con lado tamén s denomínase tetraedro de Reuleaux, pero neste caso non é unha superficie de largura constante. Pode, non obstante, realizarse dentro dunha superficie de largura constante, coñecida como o tetraedro de Meissner, substituíndo os seus límites en forma de arco por "parches" de superficie curvada. Alternativamente, a superficie dun triángulo de Reuleaux en revolución sobre un dos seus eixes simétricos forma unha superficie de largura constante.