Multiplicidade (matemáticas)

En matemáticas, a multiplicidade dun membro dun multiconxunto é o número de veces que aparece no multiconxunto. Por exemplo, o número de veces que un polinomio dado ten unha raíz nun punto dado é a multiplicidade desa raíz.
A noción de multiplicidade é importante para poder contar correctamente sen especificar excepcións (por exemplo, raíces duplas contadas dúas veces). De aí a expresión, "contado con multiplicidade". Multiplicidade dun factor primo
Na factorización prima, a multiplicidade dun factor primo é a súa valoracíon p {\displaystyle p} -ádica. Por exemplo, a factorización prima do número enteiro 60 é 602 × 2 × 3 × 5,
a multiplicidade do factor primo 2 é 2, mentres que a multiplicidade de cada un dos factores primos 3 e 5 é 1. Así, 60 ten catro factores primos se permitimos multiplicidades, pero só tres factores primos distintos. Multiplicidade dunha raíz dun polinomio
Sexa F {\displaystyle F} ser un corpo e p ( x ) {\displaystyle p(x)} un polinomio nunha variábel con coeficientes en F {\displaystyle F}. Un elemento a ∈ F {\displaystyle a\in F} é unha raíz de multiplicidade k {\displaystyle k} de p ( x ) {\displaystyle p(x)} se hai un polinomio s ( x ) {\displaystyle s(x)} tal que s ( a ) ≠ 0 {\displaystyle s(a)\neq 0} e p ( x )
( x − a ) k s ( x ) {\displaystyle p(x)
(x-a)^{k}s(x)}. Se k
1 {\displaystyle k
1}, entón a chámase raíz simple. Se k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2}, entón a {\displaystyle a} chámase raíz múltiple.
Por exemplo, o polinomio p ( x )
x 3 + 2 x 2 − 7 x + 4 {\displaystyle p(x)
x^{3}+2x^{2}-7x+4} ten 1 e −4 como raíces, e pódese escribir como p ( x )
( x + 4 ) ( x − 1 ) 2 {\displaystyle p(x)
(x+4)(x-1)^{2}}. Isto significa que 1 é unha raíz da multiplicidade 2, e −4 é unha raíz simple (de multiplicidade 1). A multiplicidade dunha raíz é o número de ocorrencias desta raíz na factorización completa do polinomio, mediante o teorema fundamental da álxebra.
O discriminante dun polinomio é cero se e só se o polinomio ten unha raíz múltiple. Multiplicidade dunha solución dun sistema de ecuacións non linear
Para unha ecuación f ( x )
0 {\displaystyle f(x)
0} cunha única solución variábel x ∗ {\displaystyle x_{*}}, a multiplicidade é k {\displaystyle k} se f ( x ∗ )
f ′ ( x ∗ )
⋯
f ( k − 1 ) ( x ∗ )
0 {\displaystyle f(x_{*})
f'(x_{*})
\cdots
f^{(k-1)}(x_{*})
0} e f ( k ) ( x ∗ ) ≠ 0. {\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0. } Noutras palabras, o funcional diferencial ∂ j {\displaystyle \partial _{j}}, definido como a derivada 1 j! d j d x j {\displaystyle {\frac {1}{j! }}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}} dunha función en x ∗ {\displaystyle x_{*}}, desaparece en f {\displaystyle f} para j {\displaystyle j} ata k − 1 {\displaystyle k-1}. Eses funcionais diferenciais ∂ 0, ∂ 1, ⋯, ∂ k − 1 {\displaystyle \partial _{0}, \partial _{1}, \cdots, \partial _{k-1}} abranguen un espazo vectorial, chamado espazo dual de Macaulay en x ∗ {\displaystyle x_{*}}, e a súa dimensión é a multiplicidade de x ∗ {\displaystyle x_{*}} como un cero de f {\displaystyle f}.
Sexa f ( x )
0 {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )
\mathbf {0} } un sistema de m {\displaystyle m} ecuacións de n {\displaystyle n} variábeis con solución x ∗ {\displaystyle \mathbf {x} _{*}} onde f {\displaystyle \mathbf {f} } é un mapeo de R n {\displaystyle R^{n}} a R m {\displaystyle R^{m}} ou dende C n {\displaystyle C^{n}} a C m {\displaystyle C^{m}}. Tamén hai un espazo dual de Macaulay de funcionais diferenciais en x ∗ {\displaystyle \mathbf {x} _{*}} no que cada funcional desaparece en f {\displaystyle \mathbf {f} }. A dimensión deste espazo dual de Macaulay é a multiplicidade da solución x ∗ {\displaystyle \mathbf {x} _{*}} á ecuación f ( x )
0 {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )
\mathbf {0} }. O espazo dual de Macaulay forma a estrutura de multiplicidade do sistema na solución.
Por exemplo, a solución x ∗
( 0, 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} _{*}
(0, 0)} do sistema de ecuacións en forma de f ( x )
0 {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )
\mathbf {0} } con f ( x )
[ sin ⁡ ( x 1 ) − x 2 + x 12 x 1 − sin ⁡ ( x 2 ) + x 22 ] {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )
\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]} é de multiplicidade 3 porque o espazo dual de Macaulay span ⁡ { ∂ 00, ∂ 10 + ∂ 01, − ∂ 10 + ∂ 20 + ∂ 11 + ∂ 02 } {\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00}, \partial _{10}+\partial _{01}, -\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}} é de dimensión 3, onde ∂ i j {\displaystyle \partial _{ij}} denota o funcional diferencial 1 i! j! ∂ i + j ∂ x 1 i ∂ x 2 j {\displaystyle {\frac {1}{i! j! }}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\, \partial x_{2}^{j}}}} aplicado nunha función no punto x ∗
( 0, 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} _{*}
(0, 0)}. Multiplicidade de intersección
En xeometría alxébrica, a intersección de dúas subvariedades dunha variedade alxébrica é unha unión finita de variedades irredutíbeis. A cada compoñente de tal intersección está unida unha multiplicidade de intersección. Esta noción é local no sentido de que se pode definir observando o que ocorre nunha veciñanza de calquera punto xenérico deste compoñente. Dedúcese que sen perda de xeneralidade, podemos considerar, para definir a multiplicidade de intersección, a intersección de dúas variedades afíns (subvariedades dun espazo afín). Na análise complexa
Sexa z 0 a raíz dunha función holomorfa f e sexa n o menor número enteiro positivo tal que a derivada n-ésima de f avaliada en z0 difire de cero. Entón a serie de potencias de f sobre z 0 comeza co n-ésimo termo, e dise que f ten unha raíz de multiplicidade (ou "orde") n. Se n
1, a raíz chámase raíz simple. Tamén podemos definir a multiplicidade dos ceros e polos dunha función meromorfa. Se temos unha función meromorfa f
g h, {\textstyle f
{\frac {g}{h}}, } tomamos as expansións de Taylor de g e h sobre un punto z0, e atopamos o primeiro termo distinto de cero en cada un (denotamos a orde dos termos como m e n respectivamente) entón se m
n, temos que o punto ten un valor distinto de cero. Se m > n, {\displaystyle m>n, } entón o punto é un cero de multiplicidade m − n. {\displaystyle m-n. } Se m < n {\displaystyle m<n}, entón o punto ten un polo de multiplicidade n − m. {\displaystyle n-m. }