Estatística de Maxwell-Boltzmann

En física, a estatística de Maxwell-Boltzmann é unha función estatística desenvolvida para modelar o comportamento de sistemas físicos rexidos pola mecánica clásica. Esta función estatística clásica, formulada orixinalmente polos físicos J. C. Maxwell e L. Boltzmann, rexe a distribución dun conxunto de partículas en función dos posibles valores de enerxía dos estados que estas poden ocupar. Para cada sistema termodinámico, a distribución de Maxwell-Boltzmann non é outra cousa que a aplicación do colectivo canónico da mecánica estatística, baixo o suposto non-cuántico de que os números de ocupación de cada estado dispoñible son pequenos comparados co número máximo de ocupación. Esta función é unha densidade de probabilidade cuxa expresión é: f ( ϵ i )
A ( N; T ) e − ϵ i / k T {\displaystyle f(\epsilon _{i})
A(N; T)e^{-\epsilon _{i}/kT}} Ou de forma máis xeneralizada, pode expresarse como: N i N
g i e ( ϵ i − μ ) / k T
g i e − ϵ i / k T Z {\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}
{\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}
{\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}} Onde: A ( N; T ) {\displaystyle A(N; T)}: é unha función dependente de N {\displaystyle N}, o número de partículas no sistema e de T {\displaystyle T}, a temperatura do sistema en Kelvin. N i {\displaystyle N_{i}} é o número de partículas no estado i. ϵ i {\displaystyle \epsilon _{i}} é a enerxía do estado i-ésimo. g i {\displaystyle g_{i}} é a dexeneración do nivel de enerxía i, é dicir, o número de estados (excluíndo o estado de partícula libre) con enerxía ϵ i {\displaystyle \epsilon _{i}}. μ {\displaystyle \mu } é o potencial químico. k {\displaystyle k} é a constante de Boltzmann. N {\displaystyle N} é o número total de partículas: N
∑ i N i {\displaystyle N
\sum _{i}N_{i}\, } Z {\displaystyle Z} é a función partición: Z
∑ i g i e − ϵ i / k T {\displaystyle Z
\sum _{i}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}} e {\displaystyle e} é o número de Euler.
A distribución de Maxwell-Boltzmann aplicouse especialmente á teoría cinética de gases, e outros sistemas físicos, ademais de en econofísica para predicir la distribución da renda. En realidade a distribución de Maxwell-Boltzmann é aplicable a calquera sistema formado por N "partículas" ou "individuos" que intercambian estacionariamente entre si unha certa magnitude M e cada un deles ten unha cantidade mi da magnitude M e ao longo do tempo se cumpre que M: m1+m2+. .. + mN. Límites de aplicación
Para un sistema de partículas cuánticas, a hipótese de que N i {\displaystyle N_{i}} sexa substancialmente menor que g i {\displaystyle g_{i}} para os estados diferentes do fundamental en xeral non se cumprirá e é necesario acudir á estatística de Bose-Einstein se as partículas son bosónicas ou á estatística de Fermi-Dirac si as partículas son fermiónicas. As estatísticas de Fermi–Dirac (+) e Bose–Einstein (−) poden ser expresadas como: N i
g i e ( ϵ i − μ ) / k T ± 1 {\displaystyle N_{i}
{\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}\pm 1}}} Asumindo que o valor mínimo de ϵ i {\displaystyle \epsilon _{i}} é bastante pequeno, pódese verificar que a condición na cal a distribución de Maxwell-Boltzmann é válida é cando se cumpre que: e − μ / k T ≫ 1 {\displaystyle e^{-\mu /kT}\gg 1} Para un gas ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvemento da ecuación Sackur–Tetrode para demostrar que: μ
( ∂ E ∂ N ) S, V
− k T ln ⁡ ( V N Λ 3 ) {\displaystyle \mu
\left({\frac {\partial E}{\partial N}}\right)_{S, V}
-kT\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)} onde E {\displaystyle E} é a enerxía interna total, S {\displaystyle S} é a entropía, V {\displaystyle V} é o volume, e Λ {\displaystyle \Lambda } é a lonxitude de onda térmica de De Broglie. A condición de aplicación para a distribución Maxwell-Boltzmann nun gas ideal resulta: V N Λ 3 ≫ 1. {\displaystyle {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1. }