Intervalo (matemáticas)

Na análise matemática, denomínase intervalo a todo subconxunto conexo I da recta real R localizado entre dous extremos indicados a e b, podendo ou non estar os extremos incluídos no mesmo I. Nótese tamén que un dos extremos ten que ser inferior ao outro, a ≤ b. Se a b, entón o intervalo é un conxunto baleiro. Notación
Para representar intervalos empregamos os corchetes e os parénteses segundo sexan fechados ou abertos, estean incluídos os extremos a e b ou non: ] a, b [
( a, b )
{ x ∈ R: a < x < b } {\displaystyle ]a, b[
(a, b)
\{x\in \mathbb {R}: a<x<b\}\, } Intervalo aberto [ a, b [
[ a, b )
{ x ∈ R: a ≤ x < b } {\displaystyle [a, b[
[a, b)
\{x\in \mathbb {R}: a\leq x<b\}\, } Intervalo fechado-aberto ou semiaberto/semifechado ] a, b ]
( a, b ]
{ x ∈ R: a < x ≤ b } {\displaystyle ]a, b]
(a, b]
\{x\in \mathbb {R}: a<x\leq b\}\, } Intervalo aberto-fechado ou semiaberto/semifechado [ a, b ]
[ a, b ]
{ x ∈ R: a ≤ x ≤ b } {\displaystyle [a, b]
[a, b]
\{x\in \mathbb {R}: a\leq x\leq b\}\, } Intervalo fechado
Pódese escoller entre pór unha paréntese ou un corchete invertido nos intervalos abertos ou semiabertos. Nos fechados só cabe usar os corchetes dereitos. No medio adóitase poñer unha coma.
Nótese tamén que os intervalos poden ser infinitos se lle miramos a súa lonxitude, o espazo métrico da recta real que diferencian as estremeiras se algunha destas é − ∞ {\displaystyle -\infty } ou + ∞ {\displaystyle +\infty }. Neste caso os extremos trátanse como abertos. ] − ∞, b [
( − ∞, b )
{ x ∈ R: − ∞ < x < b } {\displaystyle ]-\infty, b[
(-\infty, b)
\{x\in \mathbb {R}: -\infty <x<b\}\, } [ a, + ∞ [
[ a, + ∞ )
{ x ∈ R: a ≤ x < + ∞ } {\displaystyle [a, +\infty [
[a, +\infty )
\{x\in \mathbb {R}: a\leq x<+\infty \}\, } ] − ∞, b ]
( − ∞, b ]
{ x ∈ R: − ∞ < x ≤ b } {\displaystyle ]-\infty, b]
(-\infty, b]
\{x\in \mathbb {R}: -\infty <x\leq b\}\, } Un intervalo aberto ou cerrado (pero non semiaberto) de lonxitude finita pódese definir a partir do seu centro e do seu radio. Se I
( a, b ) {\displaystyle I
(a, b)}, o seu centro é x 0
( a + b ) / 2 {\displaystyle x_{0}
(a+b)/2}, e o seu radio é r
| b − a | / 2 {\displaystyle r
|b-a|/2}, entón I ( x 0, r ) {\displaystyle I(x_{0}, r)} é un intervalo aberto de centro x 0 {\displaystyle x_{0}} e radio r > 0 {\displaystyle r>0} que define o intervalo ( x 0 − r, x 0 + r ) {\displaystyle (x_{0}-r, x_{0}+r)}. Neste caso temos unha bóla aberta, mais se considerásemos do intervalo fechado [ a, b ] {\displaystyle [a, b]} un intervalo centrado I [ x 0, r ] {\displaystyle I[x_{0}, r]}, equivalente a [ x 0 − r, x 0 + r ] {\displaystyle [x_{0}-r, x_{0}+r]}, falamos de bóla fechada.
O intervalo centrado de prescinde do centro, denomínase intervalo reducido a anótase I ∗
( x 0, r ) {\displaystyle I*
(x_{0}, r)}, sendo igual a I
( x 0, r ) − { x 0 } {\displaystyle I
(x_{0}, r)-\{x_{0}\}}. Clasificación
Pódense clasificar os intervalos segundo as súas características topolóxicas (intervalos abertos, fechados e semiabertos) ou segundo as súas características métricas (a súa lonxitude: nula, finita non nula, ou infinita).
Aquí están todos os casos posibles, con a ≤ b, e x pertencente ao intervalo, sendo l a lonxitude: