Número primo

Número primo é un número natural maior que 1 e que ten exactamente dous divisores positivos distintos: 1 e el mesmo. Se un número natural é maior que 1 e non é primo, dise que é composto. Por convención, os números 0 e 1 non son primos nin compostos.
O concepto de número primo é moi importante na teoría dos números. Un dos resultados da teoría dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que calquera número enteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de varios números primos (chamados "factores primos"). Ao proceso que recibe como argumento un número e devolve os seus factores primos chámase descomposición en factores primos. Antes do desenvolvemento do cálculo automático, a determinación dos factores primos era un proceso traballoso en extremo, mais a finais do século XVIII xa existían, grazas ao labor dalgúns matemáticos, entre os cales estaban Anton Felkel e Jurij Bartolomej Vega, extensas táboas abranguendo o intervalo desde a unidade ata algúns millóns. Colocando os números primos en orde crecente, temos que os primeiros elementos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. ..
Exemplos de decomposicións: 42 ⋅ 2
62 ⋅ 3
82 ⋅ 2 ⋅ 2
93 ⋅ 3
102 ⋅ 5 Teoremas dos números primos
Factorización única
Escribir un número como produto de números primos chámase descomposición en factores primos do número. Por exemplo: 50
2 × 5 × 5
2 × 52. {\displaystyle {\begin{aligned}50&
2\times 5\times 5\\&
2\times 5^{2}. \end{aligned}}} Os termos do produto chámanse factores primos. O mesmo factor primo pode ocorrer máis dunha vez; este exemplo ten dúas copias do factor primo 5. {\displaystyle 5. } Cando un número primo ocorre varias veces, a exponenciación pódese usar para agrupar varias copias do mesmo número primo: por exemplo, na segunda forma de escribir o produto anterior, 52 {\displaystyle 5^{2}} denota o cadrado ou a segunda potencia de 5. {\displaystyle 5. } Algunhas probas da unicidade das factorizacións en primos baséanse no lema de Euclides: se p {\displaystyle p} é un número primo e p {\displaystyle p} divide un produto a b {\displaystyle ab} de enteiros a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b}, entón p {\displaystyle p} divide a {\displaystyle a} ou p {\displaystyle p} divide b {\displaystyle b} (ou ambos os dous) Pola contra, se un número p {\displaystyle p} ten a propiedade de que cando divide un produto sempre divide polo menos un factor do produto, entón p {\displaystyle p} debe ser primo.
Infinitude
Sábese que, á medida que avanzamos na secuencia dos números enteiros, os primos tórnanse cada vez máis raros. Isto levanta dúas cuestións: O conxunto dos números primos sería finito ou infinito?
Dado un número natural n {\displaystyle n}, cal é a proporción de números primos entre os números menores que n {\displaystyle n}?
A resposta a primeira cuestión é que o conxunto dos primos é infinito. Podemos demostralo da seguinte forma:
Supoña, por absurdo, que o número de primos sexa finito e sexan p 1, p 2, p 3, .. ., p n {\displaystyle p_{1}, p_{2}, p_{3}, .. ., p_{n}} os primos. Sexa P {\displaystyle P} o número tal que P {\displaystyle P}
∏ i
1 n p i + 1 {\displaystyle \prod _{i 1}^{n}p_{i}+1} onde ∏ {\displaystyle \prod } denota o produto.
Temos que P {\displaystyle P} non é primo (por hipótese), logo existe un número primo q {\displaystyle q} tal que q ∣ P {\displaystyle q\mid \ P}. Mais obviamente q ≠ p 1, p 2, .. . p n {\displaystyle q\neq \ p_{1}, p_{2}, .. .p_{n}}. Logo existe un novo número primo, o que é unha contradición.
A resposta para a segunda pregunta é que esa proporción se aproximará máis a n: ln ⁡ ( n ) {\displaystyle n: \ln(n)} canto maior sexa n, onde ln {\displaystyle \ln } é o logaritmo natural. Grupos e secuencias de números primos
Coñécense dous grupos de números primos, dos tipos: (4n+1) - pódense sempre escribir como ( x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} ).
(4n-1), que é o mesmo que (4n+3) - nunca se poden escribir como ( x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} ).
Tratándose de números primos, é perigoso facer unha xeneralización apenas con base nunha observación, non solidamente comprobada matematicamente. Por exemplo, 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331 e 33333331 son primos, mais 333333331 non é primo (33333333117 ⋅ 19607843).
Unha progresión aritmética é unha sucesión finita ou infinita de números tal que os números consecutivos da secuencia teñen todos a mesma diferenza. Esta diferenza chámase módulo da progresión. Por exemplo, 3, 12, 21, 30, 39, .. .,
é unha progresión aritmética infinita con módulo 9. Nunha progresión aritmética, todos os números teñen o mesmo resto cando se dividen polo módulo; neste exemplo, o resto é 3. Como tanto o módulo 9 como o resto 3 son múltiplos de 3, tamén o son todos os elementos da secuencia. Polo tanto, esta progresión contén só un número primo, o propio 3. En xeral, a progresión infinita a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, … {\displaystyle a, a+q, a+2q, a+3q, \dots } pode ter máis dun primo só cando o seu resto a {\displaystyle a} e o seu módulo q {\displaystyle q} son primos relativos. Se son primos relativos, o teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas afirma que a progresión contén infinitos números primos. O teorema de Green–Tao mostra que hai progresións aritméticas finitas arbitrariamente longas que consisten só en números primos. Primalidade e obtención de números primos
A propiedade de ser primo chámase primalidade. Un método sinxelo pero lento para comprobar a primalidade dun número determinado n {\displaystyle n}, chamado división de proba, proba se n {\displaystyle n} é un múltiplo de calquera número enteiro entre 2 e n {\displaystyle {\sqrt {n}}}. Os algoritmos máis rápidos inclúen o test de primalidade de Miller–Rabin, que é rápida mais ten unha pequena probabilidade de erro, e o test de primalidade AKS, que sempre produce a resposta correcta en tempo polinómico mais é demasiado lento para ser práctico. Hai métodos especialmente rápidos dispoñíbeis para números de formas especiais, como os números de Mersenne. Desde 2024 o número primo máis grande coñecido é un primo de Mersenne con 41. 024. 320 díxitos.
Cribos
Antes dos ordenadores, as táboas matemáticas que enumeraban todos os números primos ou factorizacións de primos ata un determinado límite eran moi comúns. O métod máis antigo coñecido para xerar unha lista de números primos chámase criba de Eratóstenes. A animación mostra unha variante optimizada deste método. Outro método de criba asintóticamente máis eficiente para o mesmo problema é o cribo de Atkin. En matemáticas avanzadas, a teoría da criba aplica métodos similares a outros problemas.
Algunhas das probas modernas máis rápidas para determinar se un número dado arbitrario n {\displaystyle n} é primo son os algoritmos probabilísticos (ou Algoritmos de Montecarlo), o que significa que teñen unha pequena oportunidade aleatoria de producir unha resposta incorrecta. Por exemplo, o test de primalidade de Sololovay–Strassen para un número dado p {\displaystyle p} escolle un número a {\displaystyle a} aleatoriamente entre 2 {\displaystyle 2} e p − 2 {\displaystyle p-2} e usa a exponenciación modular para comprobar
se a ( p − 1 ) / 2 ± 1 {\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1} é divisíbel por p {\displaystyle p}. En caso afirmativo, responde que si e, en caso contrario, non. Se p {\displaystyle p} realmente é primo, sempre responderá si, pero se p {\displaystyle p} é composto entón responde que si con probabilidade como máximo 1/2 e non con probabilidade polo menos 1/2. Se este test se repíte n {\displaystyle n} veces no mesmo número,
a probabilidade de que un número composto poida pasar o test cada vez é como máximo 1 / 2 n {\displaystyle 1/2^{n}}. Debido a que diminúe exponencialmente co número de probas, proporciona unha alta confianza (aínda que non a certeza) de que un número que pasa a proba repetidamente é primo. Por outra banda, se a proba falla algunha vez, entón o número é certamente composto.
Un número composto que supera tal proba chámase pseudoprimo. Álxebra abstracta
Elementos primos en aneis
Un anel conmutativo é unha estrutura alxébrica onde se definen a suma, a resta e a multiplicación. Os números enteiros son un anel, e os números primos dos enteiros xeneralizáronse a aneis de dúas formas diferentes, elementos primos e elementos irredutíbeis. Un elemento p {\displaystyle p} dun anel R {\displaystyle R} chámase primo se é distinto de cero, non ten inverso multiplicativo (é dicir, non é unha unidade), e cumpre o seguinte requisito: sempre que p {\displaystyle p} divide o produto x y {\displaystyle xy} de dous elementos de R {\displaystyle R}, tamén divide polo menos un de x {\displaystyle x} ou y {\displaystyle y}. Un elemento é irredutíbel se non é unha unidade nin o produto doutros dous elementos non unidades. No anel de enteiros, os elementos primos e irredutibles forman o mesmo conxunto, { …, − 11, − 7, − 5, − 3, − 2, 2, 3, 5, 7, 11, … }. {\displaystyle \{\dots, -11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, \dots \}\, .} Nun anel arbitrario, todos os elementos primos son irredutibles. A inversa en xeral non se cumpre, mais si se cumpre para dominios de factorización única.
O teorema fundamental da aritmética segue a cumprirse (por definición) en dominios de factorización única. Un exemplo deste dominio é o dos enteiro gaussianos Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}, o anel de número complexos da forma a + b i {\displaystyle a+bi} onde i {\displaystyle i} denota a unidade imaxinaria e a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} son números enteiros arbitrarios. Os seus elementos primos coñécense como primos gaussianos. Non todo número que é primo entre os enteiros permanece primo nos enteiros gaussianos; por exemplo, o número 2 pódese escribir como un produto dos dous números primos gaussianos 1 + i {\displaystyle 1+i} e 1 − i {\displaystyle 1-i}.
Os primos racionais (os elementos primos dos enteiros) congruentes con 3 mod 4 son primos gaussianos, pero os primos racionais congruentes con 1 mod 4 non o son. Esta é unha consecuencia do teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados,
que afirma que un primo impar p {\displaystyle p} é expresable como a suma de dous cadrados, p
x 2 + y 2 {\displaystyle p
x^{2}+y^{2}}, e polo tanto factorizable como p
( x + i y ) ( x − i y ) {\displaystyle p
(x+iy)(x-iy)}, exactamente cando p {\displaystyle p} é 1 mod 4.
Ideais principais
Non todos os anels son un dominio de factorización única. Por exemplo, no anel dos números a + b − 5 {\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}} (para os enteiros a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} ) o número 21 {\displaystyle 21} ten dúas factorizacións 21
3 ⋅ 7
( 1 + 2 − 5 ) ( 1 − 2 − 5 ) {\displaystyle 21
3\cdot 7
(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}, onde en ningunha das dúas os factores pódense reducir aínda máis, polo que non ten unha factorización única. Para estender a factorización única a unha clase máis grande de aneis, a noción de número pódese substituír pola de ideal, que son un subconxunto dos elementos dun anel que contén todas as sumas dos seus propios elementos e todos os produtos dos seus elementos con elementos de todo o anel.
Os ideais primos, que xeneralizan elementos primos no sentido de que o ideal principal xerado por un elemento primo é un ideal primo, son unha ferramenta importante e obxecto de estudo na álxebra conmutativa, teoría de números alxébrica e xeometría alxébrica. Os ideais primos do anel de enteiros son os ideais (0), (2), (3), (5), (7), (11), .. . O teorema fundamental da aritmética xeneralízase ao Teorema de Lasker-Noether, que expresa cada ideal nun noetheriano conmutativo como unha intersección de ideais primarios, que son as xeneralizacións apropiadas das potencias de primos.
O espectro dun anel é un espazo xeométrico cuxos puntos son os ideais primos do anel.