Disco unidade

En matemáticas, o disco unidade aberto (ou disco) arredor de P (onde P é un punto dado no plano), é o conxunto de puntos cuxa distancia a P é menor que 1: D 1 ( P )
{ Q: | P − Q | < 1 }. {\displaystyle D_{1}(P)
\{Q: \vert P-Q\vert <1\}. \, } O disco unidade pechado arredor de P é o conxunto de puntos cuxa distancia a P é menor ou igual a un: D ¯ 1 ( P )
{ Q: | P − Q | ≤ 1 }. {\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)
\{Q: |P-Q|\leq 1\}. \, } Os discos unidade son casos especiais de discos e bólas unidade; como tales, conteñen o interior da circunferencia unidade e, no caso do disco unidade pechado, a propia circunferencia unidade.
Sen máis especificacións, o termo disco unidade úsase para o disco unidade aberto sobre a orixe, D 1 ( 0 ) {\displaystyle D_{1}(0)}, en relación á métrica euclidiana estándar. É o interior dunha círcunferencia de raio 1, centrado na orixe. Este conxunto pódese identificar co conxunto de todos os números complexos de valor absoluto inferior a un. Cando se ve como un subconxunto do plano complexo (C), o disco unidade adoita denotarse D {\displaystyle \mathbb {D} }. O disco unidade aberto, o plano e o semiplano superior
A función f ( z )
z 1 − | z | 2 {\displaystyle f(z)
{\frac {z}{1-|z|^{2}}}} é un exemplo dunha función analítica e bixectiva real desde o disco unidade aberto até o plano; a súa función inversa tamén é analítica. Considerado como unha variedade analítica bidimensional real, o disco unidade aberto é isomorfo a todo o plano. En particular, o disco unidade aberto é homeomorfo a todo o plano.
Porén, non existe un mapa bixectivo conforme entre o disco unidade aberto e o plano. Considerado como unha superficie de Riemann, o disco unidade aberto é polo tanto diferente do plano complexo.
Existen mapas bixectivos conformes entre o disco unidade aberto e o semiplano superior aberto. Así, considerado como unha superficie de Riemann, o disco unidade aberto é isomorfo ("biholomorfo", ou "equivalente conforme") ao semiplano superior, e os dous adoitan usarse indistintamente.
Moito máis xeralmente, o teorema da aplicación conforme de Riemann afirma que todo subconxunto aberto simplemente conexo do plano complexo que é diferente do propio plano complexo admite un mapa conforme e bixectivo ao disco unidade aberto.
Un mapa (ou aplicación) conforme bixectivo desde o disco unidade aberto ata o semiplano superior aberto é a transformación de Möbius g ( z )
i 1 + z 1 − z {\displaystyle g(z)
i{\frac {1+z}{1-z}}} que é a inversa da transformada de Cayley. Plano hiperbólico
O disco unidade aberto forma o conxunto de puntos para o modelo do disco de Poincaré do plano hiperbólico. Os arcos circulares perpendiculares á circunferencia unidade forman as "liñas" neste modelo.
Na linguaxe da xeometría diferencial, os arcos da circunferencia perpendiculares á circunferencia unidade son xeodésicas que mostran a distancia máis curta entre os puntos do modelo. O modelo de disco pódese transformar ao modelo de semiplano de Poincaré mediante o mapeamento g indicado anteriormente.
Tanto o disco de Poincaré como o semiplano de Poincaré son modelos conformes do plano hiperbólico, é dicir, os ángulos entre curvas que se cruzan consérvanse polos movementos dos seus grupos isométricos. Discos unidade en relación a outras métricas
Tamén se poden considerar os discos unidade en relación a outras métricas. Por exemplo, coa métrica do taxi e a métrica de Chebyshev os discos parecen cadrados (aínda que as topoloxías subxacentes sexan as mesmas que a euclidiana).