Triángulo isóscele

En xeometría, un triángulo isóscele é un triángulo que ten polo menos dous lados de igual lonxitude. Máis precisamente, dise que un triángulo ABC é isóscele en A cando as lonxitudes AB e AC son iguais. A é entón o vértice principal do triángulo e [BC] a súa base.
Nun triángulo isósceles, os ángulos adxacentes á base son iguais.
Un triángulo equilátero é un caso particular de triángulo isóscele, que ten os seus tres lados da mesma lonxitude. Etimoloxía
A palabra "isóscele" provén do grego iso que significa "mesmo" e skelos, "pernas" (o debuxo dun triángulo isóscele pode traer á memoria as dúas patas dun debuxo dun "home"). Propiedades
Os ángulos da base dun triángulo isóscele son iguais. E viceversa, calquera triángulo con dous ángulos iguais é isóscele.
Nun triángulo isóscele ABC en A, combínanse a mediana, a altura e a mediatriz procedentes de A, así como a mediatriz da base [BC]. Esta liña é tamén un eixe de simetría do triángulo (e o único, a non ser que o triángulo sexa equilátero).
O centro da círcunferencia circunscrita dun triángulo agudo descompono en tres triángulos isóscele. O dun triángulo rectángulo (que é o punto medio da hipotenusa) descompono en dous triángulos isósceles. Fórmulas
Nun triángulo isóscele, se denotamos a {\displaystyle a} a lonxitude dos dous lados iguais e b {\displaystyle b} a lonxitude da base, daquela: a lonxitude da altura vén dada pola fórmula: h
a 2 − b 24 {\displaystyle h
{\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}}.
a área do triángulo é A
b 2 a 2 − b 24
b 44 a 2 − b 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}
{\frac {b}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}
{\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}.
o perímetro do triángulo é p
2 a + b {\displaystyle p
2a+b}. Casos particulares
Dous triángulos planos poden considerarse isósceles cun ángulo principal de 0° ou 180°.
O triángulo equilátero é un triángulo isóscele en cada un dos seus vértices, con ángulos de 60°.
O triángulo rectángulo isósceles tamén se denomina medio cadrado cun ángulo principal de 90°.
O triángulo áureo (a lonxitude do lado duplicado está na proporción do número áureo en relación á lonxitude do lado distinto), cun ángulo principal de 36° e o gnomon áureo (cun ángulo principal de 108°) aparecen na construción do pentágono regular e nos mosaicos de Penrose.
O triángulo isóscele cun ángulo principal de 120° está asociado ao mosaico triakis, dobre do mosaico hexagonal truncado. Caracterización polas lonxitudes de dúas medianas, dúas alturas ou dúas mediatrices
Un triángulo é isóscele se e só se ten dúas medianas (segmentos) ou dúas alturas (segmentos) ou dúas mediatrices (segmentos) da mesma lonxitude.
Os sentidos directos son obvios, e os recíprocos pódense demostrar mediante as expresións das lonxitudes das cevianas dadas polo teorema de Stewart.
Para a igualdade dos segmentos procedentes de A e B, obtemos, coas notacións clásicas do triángulo: a 2 + c 22 − b 24
a 2 + b 22 − c 24 {\displaystyle {\frac {a^{2}+c^{2}}{2}}-{b^{2} \over 4}
{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}-{c^{2} \over 4}} pola igualdade das medianas 2 b p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )
2 c p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle {\frac {2}{b}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}
{\frac {2}{c}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}} pola igualdade das alturas 4 a c ( p − b ) p ( a + c ) 2
4 a b ( p − c ) p ( a + b ) 2 {\displaystyle {\frac {4ac(p-b)p}{(a+c)^{2}}}
{\frac {4ab(p-c)p}{(a+b)^{2}}}} pola igualdade das mediatrices
que dan en cada caso b
c {\displaystyle b
c}.
Tamén atoparemos en Ladegaillerie 2003, p. 330, unha demostración xeométrica para as bisectrices. Figuras en tres dimensións
Cinco sólidos de Catalan (triaquistetraedro, triaquisoctaedro, tetraquishexaedro, pentaquisdodecaedro e triaquisicosaedro), teñen caras que son triángulos isósceles.