Teoría de nós

A teoría de nós é a rama da topoloxía que se encarga de estudar o obxecto matemático que abstrae a noción cotiá de nó.
Ao escoitar a palabra nó, veñen á mente imaxes como os cordóns duns zapatos, as sogas dos mariñeiros e mesmo unha extensión eléctrica difícil de desanoar. Todas esas imaxes son exemplos de nós, que difiren moi pouco do concepto matemático de nó.
Un nó, unha vez pegados os seus extremos, represéntase por unha curva simple e pechada en R3; ou de modo máis amplo, por encaixes ou mergullos (embeddings) da circunferencia en diversos espazos topolóxicos ambiente. Definición
A definición matemática de nó pretende dar unha descrición rigorosa do que é o nó e, con iso, poder dar resposta a que é o que diferencia un nó doutro. A idea básica desta definición é que, para incluír que un nó non se poida desanoar, péganse as puntas extremas do nó. Por iso dise que un nó é un mergullo da circunferencia no espazo ambiente ( R 3 {\displaystyle R^{3}}, S 3 {\displaystyle S^{3}} ou algunha outra 3-variedade).
Doutra banda, que un nó se poida deformar a outro, en matemáticas descríbese como a existencia unha isotopía do ambiente entre ambos os mergullo. Formalmente falando, pode dicirse que un nó en ( R 3 {\displaystyle R^{3}} ou en S 3 {\displaystyle S^{3}} ) é unha clase de equivalencia de mergullos da 1-esfera (S1
{x ∈ {\displaystyle \in } R2: |x|
1 } ) en ( R 3 {\displaystyle R^{3}} ou na 3-esfera). A clase está dada pola equivalencia isotópica de funcións. É dicir, dous mergullos son equivalentes se existe unha isotopía do ambiente entre ambos.
Tamén se poden estudar nós no toro: S 1 × S 1 {\displaystyle S^{1}\times S^{1}}. Historia
A teoría dos nós naceu ao final do século XVIII, cos estudos de A. T. Vandermonde, C. F. Gauss e F. Klein.
A finais do século XIX, iniciouse un estudo sistemático da teoría, cando os matemáticos e físicos se dedicaron a tabular nós. Lord Kelvin (1867) propuxo a idea de que os átomos eran nós, formados por pequenos vórtices ou correntes pechadas de éter. Cría que, se clasificaba todos os nós posibles, podería explicar como os átomos absorben e emiten luz. Agora sábese que esta idea é incorrecta. O físico Peter Tait pasou moitos anos realizando unha lista de nós coa crenza de que estaba a crear unha táboa de elementos. Cando o éter non foi detectado no experimento de Michelson e Morley, a teoría dos átomos modelados mediante nós foi refugada, e a teoría dos nós perdeu parte do seu interese para os físicos.
Ao principio do século XX, xunto co desenvolvemento da topoloxía, topólogos como Max Dehn, J. W. Alexander e Kurt Reidemeister investigaron os nós.
Porén, os desenvolvementos máis importantes desta teoría producíronse na segunda parte do século XX, grazas ás contribucións de J. H. Conway, V. F. R. Jones, L. H. Kauffman e moitos outros.
Hoxe en día, a teoría dos nós ten aplicacións en teoría de cordas, na gravidade cuántica, no estudo de replicación e recombinación do ADN, en áreas da mecánica e en psicanálise lacaniano.
Os complementos dalgúns nós teñen 3-variedades como complementos e estas son obxectos de intenso estudo. Diagramas de nós e movementos de Reidemeister
Un nó descríbese xeralmente por medio do seu diagrama, que representa a súa proxección sobre o plano, destacando en cada cruzamento a diferenza entre o tramo que está enriba e o que está debaixo (que normalmente aparece marcado cunha interrupción).
É posible que ao proxectar dous nós diferentes en determinada dirección, se perda información e se obteña a mesma proxección. Para que isto non suceda trabállase sempre coas chamadas proxeccións regulares, que conteñen toda a información necesaria.
Pero o mesmo nó admitirá distintas representacións en forma de diagrama, así que xorde o primeiro problema fundamental, cando dous diagramas representan o mesmo nó?
En 1927, o teorema de Reidemeister resolveu parcialmente este problema. Devandito teorema permite decidir se un nó é igual a outro tan só facendo debuxos e é unha forte ferramenta para a proba dalgúns invariantes. O teorema di: "para pasar dunha proxección regular dun nó a outra proxección só se necesitan realizar sucesivamente movementos dalgún dos seguintes tipos": Aínda que aparentemente resolve o problema, non proporciona un algoritmo para determinar se dous nós son equivalentes. Así, a priori non se coñece o número de movementos necesarios para transformar un diagrama noutro. Tampouco é posible saber con certeza nun tempo finito se dous nós non son equivalentes. Un avance significativo nesta dirección foi a introdución en 1929 dos primeiros invariantes. Invariantes de nós
Un invariante de nós é unha "cantidade" que é a mesma para nodos equivalentes. Aínda así, un só invariante pode tomar o mesmo valor para dous nós diferentes, sendo insuficiente para distinguilos.
Na lista de invariantes clásicos débense incluír: A tricoloreabilidade.
O grupo dun nó, que é o grupo fundamental do seu complemento.
O polinomio de Alexander.
Ao final do século XX descubríronse novos invariantes como: Os invariantes hiperbólicos.
O polinomio de Jones e as súas dúas xeneralizacións máis coñecidas, o polinomio HOMFLY e o polinomio de Kauffman, ambos xerados por grupos cuánticos.
De todos os xeitos, os invariantes nomeados son só a punta do iceberg da moderna teoría de nós. Na topoloxía de dimensións baixas
Un nó ten importancia como determinador de certo tipo de 3-variedades que son os complementos de nós. Nós en dimensións máis altas
En catro dimensións, calquera circunferencia anudada é equivalente ao nó trivial. Con todo, a teoría dos nós pódese xeneralizar a mergullos de subvariedades en variedades. Por exemplo, unha 2-esfera mergullada nunha 4-esfera. Este mergullo considerarase non anudado se existe un homeomorfismo do espazo ambiente (a 4-esfera) nela mesma que leve a 2-esfera considerada na 2-esfera canónica. O mesmo pode dicirse para superficies compactas, orientables ou non. Pódese pensar que unha botella de Klein intersecándose consigo mesma no espazo é o diagrama dunha superficie anoada na 4-esfera.
Tamén se poden considerar enlaces de subvariedades.