Residuo cadrático

En teoría de números, un número enteiro q chámase residuo cadrático módulo n se é congruente cun cadrado perfecto módulo n; é dicir, se existe un número enteiro x tal que: x 2 ≡ q ( mod n ). {\displaystyle x^{2}\equiv q{\pmod {n}}. } En caso contrario, q sería non residuo cadrático módulo n. Historia, convencións e feitos elementais
Fermat, Euler, Lagrange, Legendre e outros teóricos dos números dos séculos XVII e XVIII xa estableceron teoremas e formaron conxecturas sobre residuos cadráticos, mais o primeiro tratamento sistemático é o § IV das Disquisitiones Arithmeticae de Gauss (1801). O artigo 95 introduce a terminoloxía «residuo cadrático» e «non residuo cadrático», e establece que se o contexto o deixa claro, poderá abandonarse o adxectivo «cadrático».
Pódese obter unha lista dos residuos cadráticos módulo n simplemente calculando o cadrado dos números 0, 1, .. ., n − 1. Debido a que a2 ≡ (n − a)2 (mod n), a lista de cadrados módulo n é simétrica en relación a n /2. Isto pódese ver na táboa de abaixo.
Módulo un número primo
Módulo un número primo impar p hai (p + 1)/2 residuos (incluíndo 0) e (p - 1)/2 non residuos, segundo o criterio de Euler.
É habitual traballar sen considerar o 0.
Seguindo esta convención, o inverso multiplicativo dun residuo é un residuo e o inverso dun non residuo é un non residuo.
Sen o 0, módulo un número primo impar hai un número igual de residuos e non residuos.
Se p ≡ 1 (mod 4) o negativo dun residuo módulo p é un residuo e o negativo dun non residuo é un non residuo.
O primeiro suplemento á lei da reciprocidade cadrática é que se p ≡ 1 (mod 4) entón −1 é un residuo cadrático módulo p, e se p ≡ 3 (mod 4) entón −1 é un non residuo módulo p. Isto implica o seguinte:
Se p ≡ 3 (mod 4) o negativo dun residuo módulo p é un non residuo e o negativo dun non residuo é un residuo.
Módulos de potencias de primos
Todos os cadrados dos impares son ≡ 1 (mod 8) e, polo tanto, tamén ≡ 1 (mod 4). Se a é un número impar e m
2n, n > 2, daquela a é un residuo módulo m se e só se a ≡ 1 (mod 8). Por exemplo, mod (32
25) os cadrados dos impares son
12 ≡ 152 ≡ 1
32 ≡ 132 ≡ 9
52 ≡ 112 ≡ 25
72 ≡ 92 ≡ 49 ≡ 17 e os cadrados dos pares son 02 ≡ 82 ≡ 162 ≡ 0
22 ≡ 62 ≡ 102 ≡ 142 ≡ 4
42 ≡ 122 ≡ 16. Polo tanto, un número distinto de cero é un residuo mod 2n, n > 2, se e só se é da forma 4k (8 n + 1).
Un número a coprimo a un primo impar p é un residuo módulo calquera potencia de p se e só se é un residuo módulo p.
Cando o módulo é pn, temos que pka é un residuo módulo pn se k ≥ n
é un non residuo módulo pn se k < n é impar
é un residuo módulo pn se k < n é par e a é un residuo
é un non residuo módulo pn se k < n é par e a é un non residuo.
Teña en conta que as regras son diferentes para potencias de dous e potencias de primos impares.
Módulo unha potencia dun primo impar n pk, os produtos de residuos e non residuos relativamente primos para p obedecen as mesmas regras que o visto para mod p; p é un non residuo e, en xeral, todos os residuos e non residuos obedecen ás mesmas regras, excepto que os produtos serán cero se a potencia de p no produto é ≥ n.
Módulo números compostos que non son unha potencia dun primo
Neste caso temos dous feitos básicos: Se a é un residuo módulo n, entón a é un residuo módulo p k {\displaystyle p^{k}} para toda potencia de primo que divida a n.
Se a é un non residuo módulo n, entón a é un non residuo módulo pk para polo menos unha potencia de primo que divida a n.
Modulo un número composto hai tres posibilidades: O produto de dous residuos é un residuo.
O produto dun residuo e un non residuo pode ser un residuo, un non residuo ou cero.
O produto de dous non residuos pode ser un residuo, un non residuo ou cero.
Exemplos: A partir da táboa de módulo 6: 1, 2, 3, 4, 5 (residuos en grosa). O produto do residuo 3 e do non residuo 5 é o residuo 3, mentres que o produto do residuo 4 e do non residuo 2 é o non residuo 2. .A partir da táboa do módulo 15: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (residuos en grosa). O produto dos non residuos 2 e 8 é o residuo 1, mentres que o produto dos non residuos 2 e 7 é o non residuo 14. Por esta razón algúns autores engaden á definición de que un residuo cadrático a non só debe ser un cadrado senón que tamén debe ser coprimo co módulo n. Notacións
Gauss utilizou as letras R e N para indicar residuos e non residuos, respectivamente; por exemplo, 2 R 7 e 5 N 7, ou 1 R 8 e 3 N 8.
Aínda que esta notación é compacta e conveniente para algúns propósitos, unha notación máis útil é o símbolo de Legendre, tamén chamado carácter cadrático, que se define para todos os números enteiros a e números primos impares positivos p como ( a p )
{ 0 se p divide a + 1 se a R ⁡ p e p non divide a − 1 se a N ⁡ p e p non divide a {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)
{\begin{cases}\; \; \, 0&{\text{se }}p{\text{ divide }}a\\+1&{\text{se }}a\operatorname {R} p{\text{ e }}p{\text{ non divide }}a\\-1&{\text{se }}a\operatorname {N} p{\text{ e }}p{\text{ non divide }}a\end{cases}}} Hai dúas razóns polas que se tratan especialmente os números ≡ 0 (mod p). Como vimos, facilita a formulación de moitas fórmulas e teoremas. A outra razón (relacionada con esta) é que o carácter cadrático é un homomorfismo entre o grupo multiplicativo de enteiros distintos de cero módulo p e os números complexos baixo multiplicación. Definindo ( n p p )
0 {\displaystyle ({\tfrac {np}{p}})
0} podemos estender o seu dominio ao semigrupo multiplicativo de todos os números enteiros.
Unha vantaxe desta notación sobre a de Gauss é que o símbolo de Legendre é unha función que se pode usar nas fórmulas. Tamén se pode xeneralizar facilmente a residuos dunha potencia maior.
Co tempo os símbolos de Legendre foron xeneralizándose:
Símbolo de Jacobi: sexa a un número enteiro e n un número natural impar, con factorización n
p 1 e 1 ⋯ p k e k, {\displaystyle n
p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}}, } o símbolo de Jacobi sería: ( a n )
∏ i
1 k ( a p i ) e i {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)
\prod _{i
1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}} sendo ( a p i ) {\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p_{i}}}\right)} o símbolo de Legendre. Cando n é un número primo impar, os símbolo de Jacobi e de Legendre coinciden.
Símbolo de Kronecker: sexa n {\displaystyle n} un enteiro distinto de 0, con factorización n
u ⋅ p 1 e 1 ⋯ p k e k, {\displaystyle n
u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}}, } onde u
± 1 {\displaystyle u
\pm 1}. Sexa a {\displaystyle a} un enteiro, o símbolo de Kronecker sería: ( a n ):
( a u ) ∏ i
1 k ( a p i ) e i. {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right):
\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i
1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}. } E nos tres casos con cadansúa lei de reciprocidade cadrática. Distribución dos residuos cadráticos
Existen certas regularidades na distribución dos residuos cadráticos.
A primeira destas regularidades provén do traballo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet (na década de 1830) sobre a fórmula analítica para o número de clase das formas cadráticas binarias. Sexa q un número primo, s unha variábel complexa e definimos unha función L de Dirichlet como L ( s )
∑ n
1 ∞ ( n q ) n − s. {\displaystyle L(s)
\sum _{n
1}^{\infty }\left({\frac {n}{q}}\right)n^{-s}. } Dirichlet demostrou que se q ≡ 3 (mod 4), daquela L ( 1 )
− π q ∑ n
1 q − 1 n q ( n q ) > 0. {\displaystyle L(1)
-{\frac {\pi }{\sqrt {q}}}\sum _{n
1}^{q-1}{\frac {n}{q}}\left({\frac {n}{q}}\right)>0. } Polo tanto, neste caso, a suma dos residuos cadráticos menos a suma dos non residuos no rango 1, 2, .. ., q − 1 é un número negativo.
Por exemplo, módulo 11, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (residuos en grosa)
1 + 4 + 9 + 5 + 3
22, 2 + 6 + 7 + 8 + 10
33, e a diferenza é −11.
Dirichlet tamén demostrou que para o primo q ≡ 3 (mod 4), L ( 1 )
π ( 2 − ( 2 q ) ) q ∑ n
1 q − 12 ( n q ) > 0. {\displaystyle L(1)
{\frac {\pi }{\left(2-\left({\frac {2}{q}}\right)\right)\! {\sqrt {q}}}}\sum _{n
1}^{\frac {q-1}{2}}\left({\frac {n}{q}}\right)>0. } Isto implica que hai máis residuos cadráticos que non residuos entre os números 1, 2, .. ., ( q − 1)/2. Por exemplo, módulo 11 hai catro residuos inferiores a 6 (é dicir, 1, 3, 4 e 5), pero só un non residuo (o 2).
Todas as demostracións coñecidas destes dous teoremas dependen da análise; ninguén publicou nunca unha proba simple ou directa de ningunha das dúas afirmacións.
Lei da reciprocidade cadrática
Se p e q son primos impares, entón:
( (p é un residuo cadrático mod q) se e só se (q é un residuo cadrático mod p ) ) se e só se (polo menos un de p e q é congruente con 1 mod 4).
É dicir: ( p q ) ( q p )
( − 1 ) p − 12 ⋅ q − 12 {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)
(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}} onde ( p q ) {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)} é o símbolo de Legendre.
Así, para os números a e os primos impares p que non dividen a, temos: Atopar raíces cadradas módulo n
Aquí aparece unha diferenza importante entre os módulos primos e compostos. Módulo un primo p {\displaystyle p}, un residuo cadrático a {\displaystyle a} ten cero raíces se a N p {\displaystyle a\ N\ p}, unha se a ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle a\equiv 0{\pmod {p}}} ou dúas se a R p {\displaystyle a\ R\ p} e gcd ( a, p )
1 {\displaystyle \gcd(a, p)
1}.
En xeral, se escribimos un módulo composto n {\displaystyle n} na súa factorización en primos p i {\displaystyle p_{i}}, e hai n 1 {\displaystyle n_{1}} raíces módulo p 1 {\displaystyle p_{1}}, n 2 {\displaystyle n_{2}} módulo p 2 {\displaystyle p_{2}}, n 3 {\displaystyle n_{3}} módulo p 3 {\displaystyle p_{3}}, .. ., haberá o produto n 1 {\displaystyle n_{1}} n 2 {\displaystyle n_{2}} n 3 {\displaystyle n_{3}}. .. raíces módulo n {\displaystyle n}.
A forma teórica de combinar solucións módulo potencias primas para facer solucións módulo n {\displaystyle n} chámase teorema chinés do resto. Por exemplo: Solucionar x2 ≡ 6 (mod 15).
x2 ≡ 6 (mod 3) ten unha solución
0; e por outra parte x2 ≡ 6 (mod 5) ten dúas
1 e 4.
e hai dúas solucións módulo 15, que son 6 e 9 (calculadas co teorema chinés do resto).
Solucionar x2 ≡ 4 (mod 15).
x2 ≡ 4 (mod 3) ten dúas solucións
1 e 2; e por outra parte x2 ≡ 4 (mod 5) ten outras dúas
2 e 3.
e hai catro solucións módulo 15, é dicir, 2, 7, 8 e 13 (calculadas co teorema chinés do resto).
Solucionar x2 ≡ 7 (mod 15).
x2 ≡ 7 (mod 3) ten dúas solucións, 1 e 2; e despois temos x2 ≡ 7 (mod 5) non ten solucións.
e por tanto non hai solucións módulo 15.
Módulo potencia de primo
Primeiro de todo, se o módulo n {\displaystyle n} é primo, o símbolo de Legendre ( a n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)} pódese calcular rapidamente usando unha variante do algoritmo de Euclides ou o criterio de Euler. Se é −1 non hai solución. En segundo lugar, asumindo que ( a n )
1 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)
1}, se n ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv 3{\pmod {4}}}, Lagrange descubriu que as solucións están dadas por x ≡ ± a ( n + 1 ) / 4 ( mod n ), {\displaystyle x\equiv \pm \; a^{(n+1)/4}{\pmod {n}}, } e Legendre atopou unha solución similar se n ≡ 5 ( mod 8 ) {\displaystyle n\equiv 5{\pmod {8}}}: x ≡ { ± a ( n + 3 ) / 8 ( mod n ) se a é un residuo cuártico modulo n ± a ( n + 3 ) / 82 ( n − 1 ) / 4 ( mod n ) se a é un non residuo cuártico modulo n {\displaystyle x\equiv {\begin{cases}\pm a^{(n+3)/8}{\pmod {n}}&{\text{ se }}a{\text{ é un residuo cuártico modulo }}n\\\pm a^{(n+3)/8}2^{(n-1)/4}{\pmod {n}}&{\text{ se }}a{\text{ é un non residuo cuártico modulo }}n\end{cases}}} Para un primo de tipo n ≡ 1 ( mod 8 ) {\displaystyle n\equiv 1{\pmod {8}}}, porén, non hai unha fórmula coñecida. Tonelli (en 1891) e Cipolla atoparon algoritmos eficientes que funcionan para tódolos módulos primos. Ambos os algoritmos requiren atopar un non residuo módulo n {\displaystyle n}, e non hai un algoritmo determinista eficiente coñecido para facelo. Mais como a metade dos números entre 1 e n {\displaystyle n} son non residuos, escollemos números x {\displaystyle x} ao azar e calculando o símbolo de Legendre ( x n ) {\displaystyle \left({\frac {x}{n}}\right)} ata que se atope un non residuo rapidamente. Unha pequena variante deste algoritmo é o algoritmo de Tonelli–Shanks.
Se o módulo n {\displaystyle n} é unha potencia de primo n
p a {\displaystyle n
p^{a}}, pódese atopar unha solución módulo p {\displaystyle p} e "elevarse" a unha solución módulo n {\displaystyle n} usando o lema de Hensel ou un algoritmo de Gauss.
Módulo composto
Se o módulo n {\displaystyle n} foi factorizado en potencias primas, a solución foi discutida anteriormente.
Se n {\displaystyle n} non é congruente con 2 módulo 4 e o símbolo de Kronecker ( a n )
− 1 {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)
-1} daquela non hai solución. Se n {\displaystyle n} é congruente con 2 módulo 4 e ( a n / 2 )
− 1 {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n/2}}\right)
-1}, daquela tampouco non hai solución. Se n {\displaystyle n} non é congruente con 2 módulo 4 e ( a n )
1 {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)
1}, ou n {\displaystyle n} é congruente con 2 módulo 4 e ( a n / 2 )
1 {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n/2}}\right)
1} pode haber ou non.
Se non se coñece a factorización completa de n {\displaystyle n}, e ( a n )
1 {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)
1} e n {\displaystyle n} non é congruente con 2 módulo 4, ou n {\displaystyle n} é congruente con 2 módulo 4 e ( a n / 2 )
1 {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n/2}}\right)
1}, sábese que o problema é equivalente á factorización de n {\displaystyle n} (é dicir, unha solución eficiente a calquera dos problemas podería usarse para resolver o outro de forma eficiente).
O artigo congruencia de cadrados analiza como atopar dous números x e y onde x2 ≡ y2 (mod n) e x ≠ ±y é suficiente para factorizar n de forma eficiente.
Determinar se a {\displaystyle a} é un residuo cadrático ou non residuo módulo n pódese facer de forma eficiente para n {\displaystyle n} primo calculando o símbolo de Legendre. No entanto, para o composto n {\displaystyle n}, isto forma o problema dos residuos cadráticos, asumíndose que é bastante difícil.
En xeral, para determinar se a {\displaystyle a} é un residuo cadrático módulo un n composto, pódese usar o seguinte teorema:
Sexa n > 1 e gcd(a, n)
1. Entón x2 ≡ a (mod n) ten solución se e só se: O símbolo de Legendre ( a p )
1 {\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right) 1} para todos os divisores primos impares p {\displaystyle p} de n {\displaystyle n}.
a ≡ 1 (mod 4) se n {\displaystyle n} é divisíbel por 4 mais non por 8; ou a ≡ 1 (mod 8) se n {\displaystyle n} é divisíbel por 8. Aplicacións dos residuos cadráticos
Acústica
Os difusores de son baseáronse nos conceptos de raíces módulo n e residuos cadráticos.
Teoría de grafos
Os grafos de Paley son grafos densos e non dirixidos, un por cada primo p ≡ 1 (mod 4), que forman unha familia infinita de grafos de conferencia, que dan lugar a unha familia infinita de matrices de conferencia simétricas.
Criptografía
O feito de que atopar unha raíz cadrada dun número módulo un composto n {\displaystyle n} moi grande é equivalente á factorización (o cal considérase un problema difícil), utilizouse para construír esquemas criptográficos como o sistema criptográfico Rabin e a transferencia incosciente. O problema dos residuos cadráticos é a base do sistema criptográfico Goldwasser-Micali.
Test de primalidade
O criterio de Euler é unha fórmula para calcular o símbolo de Legendre (a|p) onde p {\displaystyle p} é primo. Se p {\displaystyle p} é composto, a fórmula pode calcular correctamente (a|p) ou non. A proba de primalidade de Solovay-Strassen para determinar se un determinado número n {\displaystyle n} é primo ou composto elixe un a {\displaystyle a} aleatorio e calcula (a|n) usando unha modificación do algoritmo de Euclides, e tamén usando o criterio de Euler. Se os resultados discrepan, n {\displaystyle n} é composto; se coinciden, n {\displaystyle n} pode ser composto ou primo. Para un composto n {\displaystyle n} polo menos a metade dos valores de a {\displaystyle a} no intervalo 2, 3, .. ., n − 1 devolverá " n {\displaystyle n} é composto"; para un primo n {\displaystyle n} non devolve ningún. Se despois de usar moitos valores diferentes de a {\displaystyle a}, n {\displaystyle n} non se demostrou composto, denomínase "primo probábel".
O test de primalidade de Miller-Rabin baséase nos mesmos principios. Hai unha versión determinista do mesmo, mais a proba de que funciona depende da hipótese xeneralizada de Riemann; a saída desta proba é " n {\displaystyle n} é definitivamente composto" ou " n {\displaystyle n} é primo ou a GRH é falsa". Táboa de residuos cadráticos
A seguinte táboa (secuencia A096008 na OEIS) enumera os residuos cadráticos mod 1 a 75 (un número rubio significa que non é coprimo con n {\displaystyle n} ). (Para os residuos cadráticos coprimos con n {\displaystyle n}, ver (secuencia A096103 na OEIS) e para os residuos cadráticos distintos de cero ver (secuencia A046071 na OEIS). )