Ecuación de segundo grao

Unha ecuación de segundo grao ou ecuación cadrática dunha variable é unha ecuación que ten a forma dunha suma alxébrica de termos con grao máximo igual a dous, é dicir, unha ecuación cadrática pode ser representada por un polinomio de segundo grao ou polinomio cadrático. A expresión canónica xeral dunha ecuación cadrática dunha variable é: a x 2 + b x + c
0, onde a ≠ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c
0, \; \; {\mbox{onde}}\; a\neq 0} onde x é a variable, e a, b e c son constantes; a é o coeficiente cadrático (distinto de 0), b o coeficiente linear e c é o termo independente. Este polinomio pode interpretarse mediante a gráfica dunha función cadrática, é dicir, por unha parábola. Esta representación gráfica é útil, porque as interseccións ou punto tanxencial desta gráfica, no caso de existir, co eixe X coinciden coas solucións reais da ecuación. Historia
As ecuacións de segundo grao e a súa solución coñécense dende a antigüidade e xa en Babilonia se coñecían algoritmos para resolvela. En Grecia, o matemático Diofanto de Alexandría achegou un procedemento para resolver este tipo de ecuacións (aínda que o seu método só proporcionaba unha das solucións, mesmo no caso de que as dúas solucións sexan positivas). A primeira solución completa desenvolveuna o matemático Al-Khwarizmi no século IX na súa obra Compendio de cálculo por reintegración e comparación, pechando así un problema que se perseguira durante séculos.
Houbo que agardar a Évariste Galois para conseguir resolver en xeral as ecuacións polinómicas, ou saber cando son irresolubles por radicais, que vén ser unha xeneralización dos métodos de resolución das ecuacións de segundo grao.
A primeira gran dificultade que pode xurdir na solución de ecuacións cadráticas deuse coa ecuación x 2 − 2
0 {\displaystyle x^{2}-2
0} na época dos pitagóricos, ao calcularen a lonxitude da diagonal dun cadrado de lado 1 xa que non se podía expresar a raíz cadrada de dous como razón de dous números enteiros.
No Renacemento ao resolver x 2 + 1
0 {\displaystyle x^{2}+1
0} requírese atopar un número real con cadrado igual a -1. Este feito superouse coa adopción dos números imaxinarios e a definición da unidade imaxinaria i que cumpre i 2
− 1 {\displaystyle i^{2}
-1}. Ecuación completa de segundo grao
Para unha ecuación cadrática con coeficientes reais ou complexos existen sempre dúas solucións, non necesariamente distintas, chamadas raíces, que poden ser reais ou complexas (se os coeficientes son reais e existen dúas solucións non reais, entón deben ser complexas conxugadas). A fórmula xeral para a obtención de raíces é: x
− b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x
{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} Emprégase ± para indicar as dúas solucións: A dedución da fórmula cadrática vén da fórmula de completar o cadrado:
A ecuación canónica de segundo grao pódese simplificar dividindo polo coeficiente principal, de xeito que a x 2 + b x + c
0 ⇔ x 2 + b a x + c a
0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c
0\ \Leftrightarrow \ x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}
0} De empregárense outras letras para simplificalo de forma que m
b a {\displaystyle m
{\frac {b}{a}}} e n
c a {\displaystyle n
{\frac {c}{a}}} a demostración (que é algo máis sinxela) queda como segue:
A partir da ecuación x 2 + m x + n
0 {\displaystyle x^{2}+mx+n
0\, } illando n x 2 + m x
− n {\displaystyle x^{2}+mx
-n\, } sumando m 24 {\displaystyle {\frac {m^{2}}{4}}} a ambos os termos x 2 + m x + m 24
m 24 − n {\displaystyle x^{2}+mx+{\frac {m^{2}}{4}}
{\frac {m^{2}}{4}}-n} simplificando o primeiro termo a un binomio cadrado ( x + m 2 ) 2
m 24 − n {\displaystyle \left(x+{\frac {m}{2}}\right)^{2}
{\frac {m^{2}}{4}}-n} extraendo a raíz cadrada aos dous membros x + m 2
± m 24 − n {\displaystyle x+{\frac {m}{2}}
\pm {\sqrt {{\frac {m^{2}}{4}}-n}}} illando x {\displaystyle x\, } e simplificando a fracción da raíz x
− m 2 ± m 2 − 4 n 4 {\displaystyle x
{\frac {-m}{2}}\pm {\sqrt {\frac {m^{2}-4n}{4}}}} reducindo a denominador común x
− m ± m 2 − 4 n 2 {\displaystyle x
{\frac {-m\pm {\sqrt {m^{2}-4n}}}{2}}} desfacendo o cambio de variable, obtense o resultado x
− b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x
{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} A demostración sen cambio de variables pódese ver aquí: Pártese da ecuación simplificada: x 2 + b a x + c a
0 {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}
0} Pásase ao outro termo c a {\displaystyle {\frac {c}{a}}}: x 2 + b a x
− c a {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x
-{\frac {c}{a}}} Súmase b 24 a 2 {\displaystyle {\frac {b^{2}}{4a^{2}}}} para obter un binomio desenvolvido: x 2 + b a x + b 24 a 2
b 24 a 2 − c a {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}
{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}} O trinomio da esquerda é un cadrado perfecto; reducindo a denominador común o segundo membro: ( x + b 2 a ) 2
b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle \, \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}
{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}} Extraendo as dúas posibles raíces cadradas, obtense: x + b 2 a
± b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}
\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}} Movendo b 2 a {\displaystyle {\frac {b}{2a}}} e aplicando a raíz ao denominador: x
− b 2 a ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x
-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}} Simplificando a denominador común: x
− b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x
{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
Discriminante
Na fórmula anterior, a expresión dentro da raíz cadrada recibe o nome de discriminante da ecuación cuadrática. Adoita representarse coa letra D ou ben coa letra grega Δ (delta) maiúscula: Δ
b 2 − 4 a c. {\displaystyle \Delta
b^{2}-4ac. \, } Unha ecuación cadrática con coeficientes reais ten ou ben dúas solucións reais distintas ou unha soa solución real de multiplicidade 2, ou ben dúas raíces complexas. O discriminante determina a natureza e o número de raíces. Se Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} hai dúas solucións reais diferentes (a parábola cruza dúas veces o eixe das abscisas): − b + Δ 2 a y − b − Δ 2 a {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{y}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}.
Se Δ
0 {\displaystyle \Delta
0} hai unha solución real dobre (a parábola só toca nun punto o eixe das abscisas): − b 2 a. {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}. \, \! } Se Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} hai dúas solucións complexas conxugadas (a parábola non corta o eixe das abscisas: X): − b 2 a + i − Δ 2 a, y − b 2 a − i − Δ 2 a, {\displaystyle {\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}, \quad {\text{y}}\quad {\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}, } onde i é a unidade imaxinaria. Forma reducida da ecuación completa
Cando o termo principal é 1 a expresión queda como x 2 + p x + q
0 {\displaystyle x^{2}+px+q
0}, que ten como raíces: x 1, 2
− p 2 ± p 24 − q {\displaystyle x_{1, 2}
-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}} Ecuacións incompletas
Sen termo independente
Son da forma: a x 2 + b x
0 {\displaystyle ax^{2}+bx
0}, que ten como raíces x 1
0; x 2
− b a {\displaystyle x_{1}
0; x_{2}
{\frac {-b}{a}}}
Sen termo linear
Son da forma a x 2 + c
0 {\displaystyle ax^{2}+c
0}, que ten raíces reais opostas ou imaxinarias puras opostas. Se − c a > 0 {\displaystyle {\frac {-c}{a}}>0} as raíces son reais: x 1
− c a {\displaystyle x_{1}
{\sqrt {\frac {-c}{a}}}} ou x 2
− − c a {\displaystyle x_{2}
-{\sqrt {\frac {-c}{a}}}} Se − c a < 0 {\displaystyle {\frac {-c}{a}}<0} as raíces son imaxinarias puras: x 1
i c a {\displaystyle x_{1}
i{\sqrt {\frac {c}{a}}}} ou x 2
− i c a {\displaystyle x_{2}
-i{\sqrt {\frac {c}{a}}}}
Solo o termo de segundo grao
a x 2
0 {\displaystyle ax^{2}
0}, que ten raíz dobre igual a 0 Completa con coeficiente linear par
Neste caso aparece como coeficiente do termo de primeiro grao un número par 2m e a ecuación é a x 2 + 2 m x + n
0 {\displaystyle ax^{2}+2mx+n
0}, sendo as raíces x 1, 2
− m ± m 2 − a n a {\displaystyle x_{1, 2}
{\frac {-m\pm {\sqrt {m^{2}-an}}}{a}}} Completa reducida con coeficiente linear par
Neste caso o coeficiente principal é 1; o coeficiente linear é par e toma a forma x 2 + 2 m x + n
0 {\displaystyle x^{2}+2mx+n
0} con raíces x 1, 2
− m ± m 2 − n {\displaystyle x_{1, 2}
-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}} Ecuación bicadrada
Estas son un caso particular da ecuación de cuarto grao. Fáltanlles os termos elevados á terceira e á primeira potencia. A súa forma polinómica é: a x 4 + b x 2 + c
0 {\displaystyle ax^{4}+{bx^{2}}^{}+c
0} Para resolver estas ecuacións tan só hai que facer o cambio de variable x 2
u {\displaystyle {x^{2}}^{}
u} Co que queda: a u 2 + b u + c
0 {\displaystyle {au^{2}}^{}+bu+c
0} O resultado resulta ser unha ecuación de segundo grao que se pode resolver empregando a fórmula: u 1
− b + b 2 − 4 a c 2 a, u 2
− b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle u_{1}
{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}, \qquad u_{2}
{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} Ao desfacer o cambio de variable aparecen as catro solucións: x 1
+ u 1 {\displaystyle x_{1}
+{\sqrt {u_{1}}}} x 2
− u 1 {\displaystyle x_{2}
-{\sqrt {u_{1}}}} x 3
+ u 2 {\displaystyle x_{3}
+{\sqrt {u_{2}}}} x 4
− u 2 {\displaystyle x_{4}
-{\sqrt {u_{2}}}}
Ecuación bicadrada simétrica
Que toma a forma α x 4 + β x 2 + α
0 {\displaystyle \alpha x^{4}+\beta x^{2}+\alpha
0}
Teorema de Cardano-Vieta
Partindo de que se ten unha ecuación cadrática con raíces x 1, x 2 {\displaystyle x_{1}, x_{2}\, }, pódese construír o binomio a partir delas con: ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )
0 {\displaystyle (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})
0\, } x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2
0 {\displaystyle x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}
0\, } a x 2 − a ( x 1 + x 2 ) x + a x 1 x 2
0 {\displaystyle ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}
0\, } a x 2 + b x + c
0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c
0\, } Do que se deduce:
Suma de raíces:
Demostración a partir de Cardano-Vieta Partindo de igualar os termos do mesmo grao − a ( x 1 + x 2 ) x
b x {\displaystyle -a(x_{1}+x_{2})x
bx\, } Despéxase a suma e divídese por x ( x 1 + x 2 )
− b a {\displaystyle (x_{1}+x_{2})
-{\frac {b}{a}}\, } Produto de raíces:
Demostración a partir de Cardano-Vieta Partindo de igualar os termos do mesmo grao a x 1 x 2
c {\displaystyle ax_{1}x_{2}
c\, } Despéxase o produto de raíces: x 1 x 2
c a {\displaystyle x_{1}x_{2}
{\frac {c}{a}}\, } Observación:
Desenvolvendo os binomios: x 12 + 2 x 1 x 2 + x 22 − ( x 12 − 2 x 1 x 2 + x 22 ) {\displaystyle x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\, } Onde finalmente queda: 4 x 1 x 2 {\displaystyle 4x_{1}x_{2}\, }