Familia indexada

En matemáticas, unha familia, ou familia indexada, é informalmente unha colección de obxectos, cada un asociado a un índice dun conxunto índice. Máis formalmente, unha familia indexada é unha función matemática xunto co seu dominio I {\displaystyle I} e imaxe X {\displaystyle X} (é dicir, as familias indexadas e as funcións matemáticas son tecnicamente idénticas, só que os puntos de vista son diferentes). O conxunto I {\displaystyle I} chámase o conxunto índice da familia, e X {\displaystyle X} é o conxunto indexado.
As sucesións son un tipo de familias indexadas por números naturais. En xeral, o conxunto de índices I {\displaystyle I} non está restrinxido a ser numerábel. Por exemplo, pódese considerar unha familia non numerábel de subconxuntos de números naturais indexados polos números reais. Definición formal
Sexan I {\displaystyle I} e X {\displaystyle X} conxuntos e f {\displaystyle f} unha función tal que f: I → X i ↦ x i
f ( i ), {\displaystyle {\begin{aligned}f~: ~&I\to X\\&i\mapsto x_{i}
f(i), \end{aligned}}} onde i {\displaystyle i} é un elemento de I {\displaystyle I} e a imaxe f ( i ) {\displaystyle f(i)} de i {\displaystyle i} baixo a función f {\displaystyle f} denotase por x i {\displaystyle x_{i}}. Por exemplo, f ( 3 ) {\displaystyle f(3)} está denotado por x 3. {\displaystyle x_{3}. } O símbolo x i {\displaystyle x_{i}} utilízase para indicar que x i {\displaystyle x_{i}} é o elemento de X {\displaystyle X} indexado por i ∈ I. {\displaystyle i\in I. } A función f {\displaystyle f} estabelece así unha familia de elementos en X {\displaystyle X} indexados por I, {\displaystyle I, } que se denotan como ( x i ) i ∈ I, {\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}, } ou simplemente ( x i ) {\displaystyle \left(x_{i}\right)} se se asume que o conxunto de índices é coñecido. As funcións e as familias indexadas son formalmente equivalentes, xa que calquera función f {\displaystyle f} cun dominio I {\displaystyle I} induce unha familia ( f ( i ) ) i ∈ I {\displaystyle (f(i))_{i\in I}} e á inversa. Ser un elemento dunha familia equivale a estar no rango da función correspondente. Na práctica, porén, unha familia é vista como unha colección, máis que como unha función.
Unha familia indexada ( x i ) i ∈ I {\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}} define un conxunto X
{ x i: i ∈ I }, {\displaystyle {\mathcal {X}}
\{x_{i}: i\in I\}, } é dicir, a imaxe de I {\displaystyle I} baixo f. {\displaystyle f. } Posto que o mapa f {\displaystyle f} non se require que sexa inxectivo, pode existir i, j ∈ I {\displaystyle i, j\in I} con i ≠ j {\displaystyle i\neq j} tal que x i
x j. {\displaystyle x_{i}
x_{j}. } Así, | X | ≤ | I | {\displaystyle |{\mathcal {X}}|\leq |I|}, onde | A | {\displaystyle |A|} denota a cardinalidade do conxunto A. {\displaystyle A. } Por exemplo, a secuencia ( ( − 1 ) i ) i ∈ N {\displaystyle \left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }} indexada polos números naturais N
{ 1, 2, 3, … } {\displaystyle \mathbb {N}
\{1, 2, 3, \ldots \}} ten unha imaxe definida { ( − 1 ) i: i ∈ N }
{ − 1, 1 }. {\displaystyle \left\{(-1)^{i}: i\in \mathbb {N} \right\}
\{-1, 1\}. } A maiores, o conxunto { x i: i ∈ I } {\displaystyle \{x_{i}: i\in I\}} non leva información sobre ningunha estrutura I. {\displaystyle I. } Polo tanto, ao usar un conxunto en lugar da familia, pode perderse algunha información. Por exemplo, unha ordenación no conxunto de índices dunha familia induce unha ordenación na familia, pero non unha ordenación no conxunto de imaxes correspondente.
Subfamilia indexada
Unha familia indexada ( B i ) i ∈ J {\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i\in J}} é unha subfamilia dunha familia indexada ( A i ) i ∈ I, {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}, } se e só se J {\displaystyle J} é un subconxunto de I {\displaystyle I} e B i
A i {\displaystyle B_{i}
A_{i}} cúmprese para todos os i ∈ J. {\displaystyle i\in J. } Exemplos
Vectores indexados
Por exemplo, considere a seguinte frase: Aquí ( v i ) i ∈ { 1, …, n } {\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i\in \{1, \ldots, n\}}} denota unha familia de vectores. O i {\displaystyle i} -ésimo vector v i {\displaystyle v_{i}} só ten sentido en relación a esta familia, xa que os conxuntos son en si propios desordenados polo que non hai i {\displaystyle i} -ésimo vector dun conxunto. A maiores, a independencia linear defínese como unha propiedade dunha colección; polo tanto, é importante se eses vectores son linearmente independentes como conxunto ou como familia. Por exemplo, se temos en conta n
2 {\displaystyle n
2} e v 1
v 2
( 1, 0 ) {\displaystyle v_{1}
v_{2}
(1, 0)} como o mesmo vector, entón o conxunto deles consta dun só elemento (xa que un conxunto é unha colección de elementos distintos non ordenados) e é linearmente independente, pero a familia contén o mesmo elemento dúas veces (xa que está indexado de forma diferente) e é linearmente dependente (os vectores repetidos son linearmente dependentes).
Outros exemplos
Sexa n {\displaystyle \mathbf {n} } o conxunto finito { 1, 2, … n }, {\displaystyle \{1, 2, \ldots n\}, } onde n {\displaystyle n} é un número enteiro positivo. Un par ordenado (2-tuplas) é unha familia indexada polo conxunto de dous elementos, 2
{ 1, 2 }; {\displaystyle \mathbf {2}
\{1, 2\}; } cada elemento do par ordenado está indexado por un elemento do conxunto 2. {\displaystyle \mathbf {2}. } Unha n {\displaystyle n} -tupla é unha familia indexada polo conxunto n. {\displaystyle \mathbf {n}. } Unha secuencia infinita é unha familia indexada polos números naturais.
Unha lista é un n {\displaystyle n} -tupla para un determinado n {\displaystyle n} non especificado que podería ser unha secuencia infinita.
Unha matriz n × m {\displaystyle n\times m} é unha familia indexada polo produto cartesiano n × m {\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {m} } cuxos elementos son pares ordenados; por exemplo, ( 2, 5 ) {\displaystyle (2, 5)} indexa o elemento da matriz na segunda fila e na quinta columna. Operacións sobre familias indexadas
Os conxuntos de índices úsanse a miúdo en sumas e outras operacións similares. Por exemplo, se ( a i ) i ∈ I {\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}} é unha familia indexada de números, a suma de todos eses números denotase por ∑ i ∈ I a i. {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}. } Cando ( A i ) i ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} é unha familia de conxuntos, a unión de todos eses conxuntos denotase por ⋃ i ∈ I A i. {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}. } Así mesmo úsase ese concepto con nomencaltura similar de subíndices para interseccións e produtos cartesianos. Uso na teoría de categorías
O concepto análogo na teoría de categorías chámase diagrama. Un diagrama é un functor que dá lugar a unha familia indexada de obxectos nunha categoría C, indexada por outra categoría J e relacionada por morfismos que dependen de dous índices.