Conxunto conexo

Un conxunto conexo é un subconxunto C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} dun espazo topolóxico ( X, T ) {\displaystyle (X, {\mathcal {T}})\, } é a colección de conxuntos abertos do espazo topolóxico) que non pode ser descrito como unión disxunta de dous conxuntos abertos non baleiros da topoloxía.
Intuitivamente, un conxunto conexo é aquel formado por unha soa 'peza', que non se pode 'dividir'. Cando un conxunto non sexa conexo, dise que é disconexo.
Formalmente, C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} é un conxunto conexo se e só se: A, B ∈ T, A ∩ B ∩ C
∅, C ⊆ A ∪ B {\displaystyle A, B\in {\mathcal {T}}, A\cap B\cap C
\emptyset, C\subseteq A\cup B} implica C ⊆ A ∨ C ⊆ B {\displaystyle C\subseteq A\vee C\subseteq B} Cómpre notar que se C
X {\displaystyle C
X}, entón terase que X {\displaystyle X} é conexo se e só se A, B ∈ T, A ∩ B
∅, A ∪ B
X {\displaystyle A, B\in {\mathcal {T}}, A\cap B
\emptyset, A\cup B
X} implica A
X ∨ B
X {\displaystyle A
X\vee B
X}. Neste caso, ( X, T ) {\displaystyle (X, {\mathcal {T}})\, } chámase espazo topolóxico conexo.
Baixo estas definicións, tense que C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} é conexo se e só se é un espazo topolóxico conexo para a topoloxía traza. Exemplos
Conxuntos conexos
As esferas S n, n ≥ 1, {\displaystyle S^{n}, n\geq 1, } son conexas.
Un punto R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é conexo.
Un nó é un conxunto conexo en S 3 {\displaystyle S^{3}\, } Un toro é un conxunto conexo en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} En R {\displaystyle \mathbb {R} }, un intervalo pechado pola dereita ou pola esquerda é un conxunto conexo; de igual modo un punto da recta.
O complementario dun punto en R n, n ≥ 2, {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}, n\geq 2, } é conexo. Subconxunto conexo na recta
Sexa R {\displaystyle \mathbb {R} } provisto da topoloxía usual T u {\displaystyle T_{u}}, ademais J {\displaystyle J} un intervalo de R, M {\displaystyle \mathbb {R}, M} e N {\displaystyle N} subconxuntos abertos de R {\displaystyle \mathbb {R} } tales que J {\displaystyle J} é parte da unión de M {\displaystyle M} e N, J ∩ M ∩ N
∅ {\displaystyle N, \, \, J\cap M\cap N
\emptyset }. Entón J ∩ M
∅ ∨ J ∩ N
∅ {\displaystyle J\cap M
\emptyset \, \, \vee J\cap N
\emptyset }. Neste caso J {\displaystyle J} é un subconxunto conexo da recta real. Un subconxunto H {\displaystyle H} da recta é un subconxunto conexo da recta real cando, e só cando, é un intervalo. De calquera intervalo abonda retirar un punto, o que queda xa non é conexo, tampouco o é o conxunto K
{ 1 n, para n entero positivo } {\displaystyle K
\{{\frac {1}{n}}, {\textbf {para}}\, n\, {\textbf {entero}}\, {\textbf {positivo}}\}}
Conxuntos non conexos
O complementario dun punto en R {\displaystyle \mathbb {R} } O conxunto formado pola unión de dúas esferas disxuntas en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Un enlace de n {\displaystyle n\, } compoñentes (nós), n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} Propiedades dos conxuntos conexos
Cúmprese que se ( X, T ) {\displaystyle (X, {\mathcal {T}})\, } é un espazo topolóxico conexo, calquera espazo homeomorfo a el tamén o será. Esta propiedade dá unha caracterización moi útil dos conxuntos conexos: C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} é un conxunto conexo se e só se para toda función f: C → { 0, 1 } {\displaystyle f\colon C\to \{0, 1\}\ } continua se cumpre que f {\displaystyle f} é unha función constante, onde se dota a { 0, 1 } {\displaystyle \{0, 1\}} da topoloxía discreta.
Outra propiedade interesante dos conxuntos conexos é que se ( X i, T i ) i ∈ I {\displaystyle ({X_{i}, {\mathcal {T}}_{i}})_{i\in I}} é unha familia de espazos topóloxicos conexos (con I {\displaystyle I} un conxunto de índices de calquera cardinalidade), entón ( ∏ i ∈ I X i, T ) {\displaystyle (\prod _{i\in I}X_{i}, {\mathcal {T}})} tamén é conexo, onde T {\displaystyle {\mathcal {T}}} é a topoloxía produto.
Por último, se X {\displaystyle X} non é conexo, é dicir, se existen abertos U, V {\displaystyle U, V}, disxuntos non baleiros tales que a súa unión é X {\displaystyle X}, é fácil ver que cada aberto será o complemento do outro, logo serán complementos dun aberto e, polo tanto, serán pechados. É dicir, serán conxuntos clopen. Por isto, outra maneira de caracterizar a conexidade é dicir, X {\displaystyle X} será conexo se e só se os únicos clopen son X {\displaystyle X} e o baleiro (onde ambos os conxuntos son sempre clopen). Conexidade por camiños
Dise que un conxunto X {\displaystyle X} é conexo por camiños ou conexo por arcos se dados x 1, x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1}, x_{2}\in X} existe un camiño continuo α: [ 0, 1 ] → X {\displaystyle \alpha: [0, 1]\rightarrow X} tal que α ( 0 )
x 1 {\displaystyle \alpha (0)
x_{1}} e α ( 1 )
x 2 {\displaystyle \alpha (1)
x_{2}}. A conexidade por camiños implica conexidade, pero o recíproco non é certo en xeral. Un contraexemplo moi típico é o chamado peite do topólogo, X
A ∪ B {\displaystyle X
A\cup B}, onde A
{ ( 0, 1 ) } {\displaystyle A
\{(0, 1)\}} e B
( ( 0, 1 ] × { 0 } ) ∪ ( { 1 n: n ∈ N } × [ 0, 1 ] ) {\displaystyle B
((0, 1]\times \{0\})\cup \left(\left\{{\frac {1}{n}}: n\in \mathbb {N} \right\}\times [0, 1]\right)}. X {\displaystyle X} é conexo, pero non conexo por camiños.
Ser conexo por camiños non é unha propiedade hereditaria (isto é, se un conxunto é conexo por camiños, calquera subconxunto deste non é necesariamente conexo por camiños). Con todo, ser conexo por camiños é unha propiedade topolóxica (é dicir, a imaxe mediante unha aplicación continua dun conxunto conexo por camiños é conexa por camiños). Compoñentes conexas
Dado un espazo topolóxico ( X, T ) {\displaystyle (X, {\mathcal {T}})\, } chámase compoñente conexa a cada un dos conxuntos maximais conexos. É dicir un subconxunto Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X\, } é un compoñente conexo se se cumpren estas dúas condicións: Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X\, } é conexo.
Calquera conxunto Z {\displaystyle Z\, } que contén propiamente Y {\displaystyle Y\, } non é conexo.
Cúmprese que os compoñentes conexos de X {\displaystyle X} forman unha partición de X {\displaystyle X}. Se X {\displaystyle X} é conexo, tense que X {\displaystyle X} é a súa única compoñente conexa.