Principio de Bernoulli

O principio de Bernoulli, tamén denominado ecuación de Bernoulli ou trinomio de Bernoulli, describe o comportamento dun fluído movéndose ao longo dunha liña de corrente. Foi exposto por Daniel Bernoulli na súa obra Hidrodinámica (1738) e expresa que nun fluído ideal (sen viscosidade ni rozamento) en réxime de circulación por un conduto cerrado, a enerxía que posúe o fluído permanece constante ao longo do seu percorrido. A enerxía dun fluído en calquera momento consta de tres compoñentes: Cinética: é a enerxía debida á velocidade que posúa o fluído.
Potencial gravitacional: é a enerxía debido á altitude que un fluído posúa.
Enerxía de fluxo: é a enerxía dun fluído debido á presión que posúa.
A seguinte ecuación é a coñecida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli), e consta dos tres termos arriba citados. V 2 ρ 2 + P + ρ g z
c o n s t a n t e {\displaystyle {\frac {V^{2}\rho }{2}}+{P}+{\rho gz}
constante} onde: V {\displaystyle V}
velocidade do fluído na sección considerada. g {\displaystyle g}
aceleración gravitatoria z {\displaystyle z}
altura na dirección da gravidade desde unha cota de referencia. P {\displaystyle P}
presión ao longo da liña de corrente. ρ {\displaystyle \rho } densidade do fluído.
Para aplicar a ecuación hai que ter en conta que: A viscosidade (fricción interna) é cero. É dicir, considérase que a liña de corrente sobre a cal se aplica a fórmula se atopa nunha zona 'non viscosa' do fluído.
O caudal é constante.
O fluxo é incompresible, sendo ρ constante.
A ecuación aplícase a unha liña de corrente ou a un fluxo irrotacional.
Aínda que o nome da ecuación se lle debe a Bernoulli, a forma arriba exposta foi presentada por primeira vez por Leonhard Euler.
Un exemplo de aplicación do principio atopámolo nun fluxo de auga dunha tubaxe. Características e consecuencias
Cada unha das partes desta ecuación ten unidades de lonxitude, e á vez representan formas distintas de enerxía; en hidráulica é común expresar a enerxía en termos de lonxitude, e fálase de altura ou carga. Así na ecuación de Bernoulli os termos adoitan chamarse alturas de velocidade, de presión e altura hidráulica; o termo z {\displaystyle z} pódese agrupar con P / γ {\displaystyle P/\gamma } para dar lugar á chamada altura ou carga piezométrica. V 22 g ⏞ carga de velocidade + P γ ⏟ carga de presión + z ⏞ carga piezométrica
H ⏞ Altura hidráulica ou carga debida á altura {\displaystyle \overbrace {V^{2} \over 2g} ^{\mbox{carga de velocidade}}+\overbrace {\underbrace {\frac {P}{\gamma }} _{\mbox{carga de presión}}+z} ^{\mbox{carga piezométrica}}
\overbrace {H} ^{\mbox{Altura hidráulica ou carga debida á altura}}} Tamén podemos reescribir este principio en forma de suma de presións multiplicando toda a ecuación por γ {\displaystyle \gamma }, desta forma o termo relativo á velocidade denominarase presión dinámica, e os termos de presión e altura agrúpanse na presión estática. ρ V 22 ⏟ presión dinámica + P + γ z ⏞ presión estática
c o n s t a n t e {\displaystyle \underbrace {\frac {\rho V^{2}}{2}} _{\mbox{presión dinámica}}+\overbrace {P+\gamma z} ^{\mbox{presión estática}}
constante} ou escrito doutro xeito máis simple: q + p
p 0 {\displaystyle q+p
p_{0}} onde q
ρ V 22 {\displaystyle q
{\frac {\rho V^{2}}{2}}} p
P + γ z {\displaystyle p
P+\gamma z} p 0 {\displaystyle p_{0}} é unha constante
Igualmente podemos escribir a mesma ecuación como a suma da enerxía cinética, a enerxía de fluxo e a enerxía potencial gravitatoria por unidade de masa: V 22 ⏞ enerxía cinética + P ρ ⏟ enerxía de fluxo + g z ⏞ enerxía potencial
c o n s t a n t e {\displaystyle \overbrace {\frac {V^{2}}{2}} ^{\mbox{enerxía cinética}}+\underbrace {\frac {P}{\rho }} _{\mbox{enerxía de fluxo}}+\overbrace {gz} ^{\mbox{enerxía potencial}}
constante} Así, o principio de Bernoulli pode ser visto como outra forma da lei da conservación da enerxía, é dicir, nunha liña de corrente cada tipo de enerxía pode aumentar ou minguar en virtude da diminución ou aumento das outras.
Esta ecuación permite explicar fenómenos como o efecto Venturi, xa que a aceleración de calquera fluído nun camiño equipotencial (con igual enerxía potencial) implicaría unha diminución de presión. Este efecto explica porque os obxectos lixeiros moitas veces tenden a saírse dun automóbil en movemento cando se abren as ventás. A presión do aire é menor fóra debido a que está en movemento respecto ao que se encontra no interior, onde a presión é necesariamente maior. De forma, aparentemente, contraditoria o aire entra no vehículo, aínda que isto acontece por fenómenos de turbulencia e capa límite. Ecuación de Bernoulli e a Primeira Lei da Termodinámica
Da primeira lei da termodinámica pódese concluír unha ecuación esteticamente parecida á ecuación de Bernouilli anteriormente sinalada, pero conceptualmente distinta. A diferenza fundamental xace nos límites de funcionamento e na formulación de cada fórmula. A ecuación de Bernoulli é un balance de forzas sobre unha partícula de fluído que se move a través dunha liña de corrente, mentres que a primeira lei da termodinámica consiste nun balance de enerxía entre os límites dun volume de control dado, polo cal é máis xeral xa que permite expresar os intercambios enerxéticos ao longo dunha corrente de fluído, como son as perdas por fricción que restan enerxía, e as bombas ou ventiladores que suman enerxía ao fluído. A forma xeral desta, chamada así, "forma xenérica da ecuación de Bernoulli", é: V 122 g + P 1 γ + z 1 g g c + W
h f + V 222 g + P 2 γ + z 2 g g c {\displaystyle {\frac {V_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{1}}{\gamma }}+z_{1}{\frac {g}{g_{c}}}+W
h_{f}+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{2}}{\gamma }}+z_{2}{\frac {g}{g_{c}}}} onde: γ {\displaystyle \gamma } é o peso específico ( γ
ρ g {\displaystyle \gamma
\rho g} ). W {\displaystyle W} é unha medida da enerxía que se lle subministra ao fluído. h f {\displaystyle h_{f}} é unha medida da enerxía empregada en vencer as forzas de fricción a través do percorrido do fluído.
Os subíndices 1 {\displaystyle 1} e 2 {\displaystyle 2} indican se os valores están dados para o comezo ou o final do volume de control respectivamente.
g
9, 81 m/s2 e gc
1 kgf·m/(N·s2)
Suposicións
A ecuación arriba escrita é un derivado da primeira lei da termodinámica para fluxos de fluído coas seguintes características. O fluído de traballo, é dicir, aquel que flúe e que estamos considerando, ten unha densidade constante.
Non existe cambio de enerxía interna.
Demostración
Escribamos a primeira lei da termodinámica cun criterio de signos termodinámico conveniente: w + q
Δ h + Δ V 22 + g Δ z {\displaystyle w+q
\Delta h+\Delta {\frac {V^{2}}{2}}+g\Delta z} Recordando a definición da entalpía h
u + P v {\displaystyle h
u+Pv}, onde u {\displaystyle u} é a enerxía interna e v {\displaystyle v} é o volume específico v
1 / ρ {\displaystyle v
1/\rho }. Podemos escribir: w + q
Δ u + Δ P ρ + Δ V 22 + g Δ z {\displaystyle w+q
\Delta u+\Delta {\frac {P}{\rho }}+\Delta {\frac {V^{2}}{2}}+g\Delta z} que polas suposicións declaradas arriba pódese reescribir como: w + q
P 2 ρ − P 1 ρ + V 222 − V 122 + g ( z 2 − z 1 ) {\displaystyle w+q
{\frac {P_{2}}{\rho }}-{\frac {P_{1}}{\rho }}+{\frac {V_{2}^{2}}{2}}-{\frac {V_{1}^{2}}{2}}+g(z_{2}-z_{1})} que dividindo todo entre a aceleración da gravidade w g + q g
P 2 γ − P 1 γ + V 222 g − V 122 g + z 2 − z 1 {\displaystyle {\frac {w}{g}}+{\frac {q}{g}}
{\frac {P_{2}}{\gamma }}-{\frac {P_{1}}{\gamma }}+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}-{\frac {V_{1}^{2}}{2g}}+z_{2}-z_{1}} Os termos do lado esquerda da igualdade son relativos aos fluxos de enerxía a través do volume de control considerado, é dicir, son as entradas e saídas de enerxía do fluído de traballo en formas de traballo ( w {\displaystyle w} ) e calor ( q {\displaystyle q} ). O termo relativo ao traballo w / g {\displaystyle w/g} consideraremos que entra ao sistema, denominándoo h {\displaystyle h} e ten unidades de lonxitude, ao igual que q / g {\displaystyle q/g}, que chamaremos h f {\displaystyle h_{f}}, que sae do sistema, xa que consideraremos que só se intercambia calor por vía da fricción entre o fluído de traballo e as paredes do conduto que o contén. Así a ecuación queda: h − h f
P 2 γ − P 1 γ + V 222 g − V 122 g + z 2 − z 1 {\displaystyle h-h_{f}
{\frac {P_{2}}{\gamma }}-{\frac {P_{1}}{\gamma }}+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}-{\frac {V_{1}^{2}}{2g}}+z_{2}-z_{1}} ou como a escribimos orixinalmente: V 122 g + P 1 γ + z 1 + h
h f + V 222 g + P 2 γ + z 2 {\displaystyle {\frac {V_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{1}}{\gamma }}+z_{1}+h
h_{f}+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {P_{2}}{\gamma }}+z_{2}} Así, podemos observar que o principio de Bernoulli é unha consecuencia directa da primeira lei da termodinámica, ou se se quere, outra forma desta lei. Na primeira ecuación presentada neste artigo o volume de control reducírase a tan só unha liña de corrente sobre a cal non había intercambios de enerxía co resto do sistema, de aquí a suposición de que o fluído debería ser ideal, é dicir, sen viscosidade nin fricción interna, xa que non existe un termo h f {\displaystyle h_{f}} entre as distintas liñas de corrente. Aplicacións do Principio de Bernoulli
Cheminea
As chemineas sobresaen a certa altura para aproveitar que a velocidade do vento é máis constante e elevada a maiores alturas. Canto máis rapidamente sopre o vento sobre a boca dunha cheminea, máis baixa será a presión e maior é a diferenza de presión entre a base e a boca da cheminea, en consecuencia, os gases de combustión extráense mellor.
Tubaxe
A ecuación de Bernoulli e a ecuación de continuidade tamén nos indican que se reducimos a área transversal dunha tubaxe para que aumente a velocidade do fluído que pasa por ela, redúcese a presión.
Natación
A aplicación dentro deste deporte vese directamente cando as mans do nadador cortan a auga xerando unha menor presión e maior propulsión.
Carburador de automóbil
Nun carburador de automóbil, a presión do aire que pasa a través do corpo do carburador, diminúe cando pasa por un estrangulador. Ao diminuír a presión, a gasolina flúe, vaporízase e mesturase coa corrente de aire.
Dispositivos de Venturi
Na osixenoterapia, a maior parte de sistemas de subministración de débito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, que están baseados no principio de Bernoulli.