Máximo común divisor

En matemáticas, o máximo común divisor (MCD ou mdc) ou máximo divisor común de dous ou máis números enteiros é o maior número enteiro que os divide sen deixar resto. Definicións
Se a e b son números enteiros distintos de cero e se o número c é tal que c|a e á súa vez c|b, este número c denomínase divisor común dos números a e b. Cómpre observar que dous números enteiros calquera teñen divisores comúns; cando os únicos divisores comúns dos números a e b son 1 e -1, eses números chámanse primos entre si.
Un número enteiro d chámase máximo común divisor dos números a e b cando: d é divisor común dos números a e b e
d é divisible por calquera outro divisor común dos números a e b.
Exemplo: 12 é o mcd de 36 e 60. Pois 12|36 e 12|60; á súa vez 12 é divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 e -12 que son divisores comúns de 36 e 60. Cálculo do máximo divisor común
O tres métodos máis utilizados para o cálculo do máximo divisor común de dous números son:
Por descomposición en factores primos
O máximo común divisor de dous números pode calcularse determinando a descomposición en factores primos dos dous números e tomando os factores comúns elevados á menor potencia, o produto dos cales será o mcd.
Exemplo: para calcular o máximo común divisor de 48 e de 60 obtense da súa factorización en factores primos. O mcd son os factores comúns co seu menor expoñente, isto é: mcd ⁡ ( 48; 60 )
22 ⋅ 3
12 {\displaystyle \operatorname {mcd} (48; 60)
2^{2}\cdot 3
12} Na práctica, este método só é operativo para números pequenos levando en xeral demasiado tempo calcular a descomposición en factores primos de dous números calquera.
Algoritmo de Euclides
Un método máis eficiente é o algoritmo de Euclides, que emprega o algoritmo da división xunto co feito de que o mcd de dous números tamén divide o resto obtido de dividir o maior entre o máis pequeno.
Exemplo 1:
Se se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 e un resto de 12, o MCD será polo tanto divisor de 12. Despois divídese 48 entre 12 dando un resto de 0, o que significa que 12 é o mcd. Formalmente pode describirse como: mcd ⁡ ( a, 0 )
a {\displaystyle \operatorname {mcd} (a, 0)
a} mcd ⁡ ( a, b )
mcd ⁡ ( b, a m o d b ). {\displaystyle \operatorname {mcd} (a, b)
\operatorname {mcd} (b, a\, \mathrm {mod} \, b). } Exemplo 2:
O MCD de 42 e 56 é 14. En efecto: mcd ⁡ ( 42, 56 )
14 {\displaystyle \operatorname {mcd} (42, 56)
14\, } operando: 4214
3, 5614
4 {\displaystyle {\frac {42}{14}}
3\; ,\quad {\frac {56}{14}}
4}
Co mínimo múltiplo común
O máximo divisor común tamén pode ser calculado empregando o mínimo común múltiplo. Se a e b son distintos de cero, entón o máximo divisor común de a e b obtense mediante a seguinte fórmula, que involucra o mínimo múltiplo común de a e b: mcd ⁡ ( a, b )
a ⋅ b MCM ⁡ ( a, b ) {\displaystyle \operatorname {mcd} (a, b)
{\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCM} (a, b)}}}
MCD de tres ou máis números
O máximo común divisor de tres ou máis números pódese definir recursivamente empregando o método: mcd ⁡ ( a, b, c )
mcd ⁡ ( a, mcd ⁡ ( b, c ) ) {\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a, b, c)
\operatorname {mcd} (a, \operatorname {mcd} (b, c))}. Propiedades
1. Se mcd ⁡ ( a, b )
d {\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a, b)
d} entón mcd ⁡ ( a d, b d )
1 {\displaystyle \ \operatorname {mcd} \left({\frac {a}{d}}, {\frac {b}{d}}\right)
1} 2. Se m {\displaystyle \ m} é un enteiro, mcd ⁡ ( m a, m b )
| m | ⋅ mcd ⁡ ( a, b ) {\displaystyle \ \operatorname {mcd} (ma, mb)
|m|\cdot \operatorname {mcd} (a, b)} 3. Se p {\displaystyle \ p} é un número primo, entón mcd ⁡ ( p, m )
p {\displaystyle \ \operatorname {mcd} (p, m)
p} o bien mcd ⁡ ( m, p )
1 {\displaystyle \ \operatorname {mcd} (m, p)
1} 4. Se d
mcd ⁡ ( m, n ), m
d ′ m ″, n
d ′ n ″, mcd ⁡ ( m ″, n ″ )
1 {\displaystyle d
\operatorname {mcd} (m, n), \ m
d'm'', \ n
d'n'', \ \operatorname {mcd} (m'', n'')
1}, entón d
d ′ {\displaystyle \ d
d'} 5. Se d ′ {\displaystyle \ d'} é un divisor común de m {\displaystyle \ m} e n {\displaystyle \ n}, entón d ′ ∣ mcd ⁡ ( m, n ) {\displaystyle d'\mid \operatorname {mcd} (m, n)} 6. Se m
n q + r {\displaystyle \ m
nq+r}, entón mcd ⁡ ( m, n )
mcd ⁡ ( n, r ) {\displaystyle \operatorname {mcd} (m, n)
\operatorname {mcd} (n, r)} 7. Se m
p 1 α 1 ⋯ p k α k y n
p 1 β 1 ⋯ p k β k, α i, β i ≥ 0, i
1, .. ., k {\displaystyle \ m
p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}\; \, \mathrm {y} \; \, n
p_{1}^{\beta _{1}}\cdots p_{k}^{\beta _{k}}, \; \, \alpha _{i}, \beta _{i}\geq 0, \; \, i
1, .. ., k}, entón mcd ⁡ ( m, n )
p 1 min ⁡ ( α 1, β 1 ) ⋯ p k min ⁡ ( α k, β k ) {\displaystyle \operatorname {mcd} (m, n)
p_{1}^{\operatorname {min} (\alpha _{1}, \beta _{1})}\cdots p_{k}^{\operatorname {min} (\alpha _{k}, \beta _{k})}} Esta última propiedade indica que o máximo divisor común de dous números é o produto dos seus factores primos comúns elevados ao menor expoñente.
Xeometricamente, o máximo divisor común de a e b é o número de puntos de coordenadas enteiras que hai no segmento que une os puntos (0, 0) e (a, b), excluíndo o (0, 0).
Proposicións
Para calquera par de números enteiros a≠0, b≠0, existe un único mcd d ≥ 1.
O mcd. dos números a e b pode ser representado en forma de combinación linear destes números. Isto é (a, b) ax + by
Se dous números enteiros son primos entre si, i. e. o seu mcd
1 ou noutra notación (a, b)
1, entón cómpre a representación ma + nb 1 onde m e n son números enteiros (identidade de Bézout).
Se a|bc e (a, b) 1, será a|c. Noutras palabras, se un número a divide un produto doutros dous números e é coprimo cun deles, entón divide necesariamente o outro número ou factor.
Cando un número a é coprimo cos números m e n, tamén o é co produto mn.
(a, b) é divisor de (a, bc)
t(a, b) (ta, tb) para todo t enteiro
Se (m, b)
1 entón (am, b)
(a, b)
Se (m, b)
1, (am, n)
1 entón (am, bn) (a, b)
Para todo x, (a, b)
(b, a)
(a, -b) (a, b + ax)
Por definición, (0, 0) 0; deste xeito o mcd defínese en todo ℤ×ℤ.
(a, b) b se e só se b|a, (ou sexa se a é múltiplo de b).
Se (a, b)
D, entón (an, bn)
Dn
mZ + nZ
(m, n)Z. Sumar senllos múltiplos de dous enteiros é o mesmo que considerar os múltiplos do seu máximo común divisor. ( a 2, a b, b 2 )
( a, b ) 2 {\displaystyle (a^{2}, ab, b^{2}) (a, b)^{2}}
MCD como operación interna
O mcd pódese estruturar como unha operación en ℤ; deste xeito a calquera par de enteiros, ou sexa a un elemento de ℤ×ℤ asígnalle un único elemento de ℤ.
Para calquera par de enteiros (a, b) existe un enteiro non negativo d que é o seu máximo común divisor. Isto é a*b
(a, b)
d.
O mcd goza da propiedade asociativa, como da propiedade conmutativa.
O mcd posúe un elemento identidade, o cero, de modo tal que (a, 0)
(0, a)
a
O mcd ten un comportamento dual que o mínimo común múltiplo, e aos enteiros non negativos a e b lígaos a ecuación ab (a, b)[a, b]
Propiedade do 1: (a, 1) 1 para calquera enteiro a, pois o 1 é divisor de todos os enteiros, ou ben xera os elementos de ℤ. Aplicacións
O mcd emprégase para simplificar fraccións. Por exemplo, para simplificar a fracción 4860 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {48}{60}}} calcúlase primeiro o mcd(60, 48) 12, dividíndose o numerador e o denominador da fracción inicial por 12 para obter a fracción simplificada 45 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {4}{5}}}.
O mcd tamén se emprega para calcular o mínimo común múltiplo de dous números. En efecto, o produto dos dous números é igual ao produto do seu máximo divisor común polo seu mínimo común múltiplo. Así, para calcular o mínimo común múltiplo de 48 e de 60, calcúlase primeiro o seu mcd, 12, sendo o seu mínimo común múltiplo 48 ⋅ 6012
240 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {48\cdot 60}{12}}
240}.
O mcd e o algoritmo de Euclides empréganse na resolución de ecuacións diofánticas lineares con dúas incógnitas e para desenvolver un número racional en fraccións continuas.