Teorema dos ceros de Hilbert

En matemáticas, o teorema dos ceros de Hilbert (ou Nullstellensatz de Hilbert) é un teorema que estabelece unha relación fundamental entre xeometría e álxebra. Esta relación é a base da xeometría alxébrica. Relaciona conxuntos alxébricos cos ideais en aneis polinómicos sobre corpos alxebraicamente pechados. Esta relación foi descuberta por David Hilbert, quen probou o Nullstellensatz no seu segundo artigo importante sobre a teoría invariante en 1893 (seguindo o seu artigo fundamental de 1890 no que demostrou o teorema da base de Hilbert). Formulación
Sexa k {\displaystyle k} un corpo (como os números racionais) e K {\displaystyle K} unha extensión de corpo alxebricamente pechada de k {\displaystyle k} (como os números complexos). Considere o anel polinómico k [ X 1, …, X n ] {\displaystyle k[X_{1}, \ldots, X_{n}]} e sexa I {\displaystyle I} un ideal neste anel. O conxunto alxébrico V ( I ) {\displaystyle \mathrm {V} (I)} definido por este ideal consta de todas as n {\displaystyle n} -tuplas x
( x 1, …, x n ) {\displaystyle \mathbf {x}
(x_{1}, \dots, x_{n})} en K n {\displaystyle K^{n}} tal que f ( x )
0 {\displaystyle f(x)
0} para todas as f {\displaystyle f} en I {\displaystyle I}. O Nullstellensatz de Hilbert afirma que se p é algún polinomio en k [ X 1, …, X n ] {\displaystyle k[X_{1}, \ldots, X_{n}]} que desaparece no conxunto alxébrico V ( I ) {\displaystyle \mathrm {V} (I)}, isto é, p ( x )
0 {\displaystyle p(\mathbf {x} )
0} para todo x {\displaystyle \mathbf {x} } en V ( I ) {\displaystyle \mathrm {V} (I)}, entón existe un número natural r {\displaystyle r} tal que p r {\displaystyle p^{r}} está en I {\displaystyle I}.
Un corolario inmediato é o Nullstellensatz débil: O ideal I ⊆ k [ X 1, …, X n ] {\displaystyle I\subseteq k[X_{1}, \ldots, X_{n}]} contén 1 (ideal da unidade, todo o ideal é xerado por 1) se e só se os polinomios en I {\displaystyle I} non teñen ningún cero común en Kn. Especializado para o caso k
K
C, n
1 {\displaystyle k
K
\mathbb {C}, n
1}, recuperase inmediatamente unha reformulación do teorema fundamental da álxebra: un polinomio P in C [ X ] {\displaystyle \mathbb {C} [X]} ten raíces en C {\displaystyle \mathbb {C} } se e só se graos P ≠ 0. Por esta razón, o (débil) Nullstellensatz foi referido como unha xeneralización do teorema fundamental da álxebra para polinomios multivariábeis. O Nullstellensatz débil tamén se pode formular do seguinte xeito: se I é un ideal propio en k [ X 1, …, X n ], {\displaystyle k[X_{1}, \ldots, X_{n}], } entón V( I ) non pode estar baleiro, é dicir, existe un cero común para todos os polinomios do ideal en cada extensión alxebricamente pechada de k. Esta é a razón para o nome do teorema.
A suposición de considerar ceros comúns nun corpo alxebricamente pechado é esencial aquí; por exemplo, os elementos do ideal propio (X2 + 1) en R [ X ] {\displaystyle \mathbb {R} [X]} non teñen un cero común en R. {\displaystyle \mathbb {R}. } Coa notación común na xeometría alxébrica, o Nullstellensatz tamén se pode formular como I ( V ( J ) )
J {\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))
{\sqrt {J}}} para todo ideal J. Aquí, J {\displaystyle {\sqrt {J}}} denota o radical de J e I( U) é o ideal de todos os polinomios que esvaecen (fanse cero) no conxunto U.
Deste xeito, tomando k
K {\displaystyle k
K} obtemos unha correspondencia bixectiva inversora de orde entre os conxuntos alxébricos en Kn e os ideais radicais de K [ X 1, …, X n ]. {\displaystyle K[X_{1}, \ldots, X_{n}]. } De feito, de xeito máis xeral, hai unha conexión de Galois entre subconxuntos do espazo e subconxuntos da álxebra, onde o "peche de Zariski" e o "radical do ideal xerado" son os operadores de pechamento.
Como exemplo particular, considere un punto P
( a 1, …, a n ) ∈ K n {\displaystyle P
(a_{1}, \dots, a_{n})\in K^{n}}. Entón I ( P )
( X 1 − a 1, …, X n − a n ) {\displaystyle I(P)
(X_{1}-a_{1}, \ldots, X_{n}-a_{n})}. De forma máis xeral, I
⋂ ( a 1, …, a n ) ∈ V ( I ) ( X 1 − a 1, …, X n − a n ). {\displaystyle {\sqrt {I}}
\bigcap _{(a_{1}, \dots, a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1}, \dots, X_{n}-a_{n}). } E viceversa, todo ideal máximal do anel polinómico K [ X 1, …, X n ] {\displaystyle K[X_{1}, \ldots, X_{n}]} (nótese que K {\displaystyle K} está pechado alxebricamente) é da forma ( X 1 − a 1, …, X n − a n ) {\displaystyle (X_{1}-a_{1}, \ldots, X_{n}-a_{n})} para algúns a 1, …, a n ∈ K {\displaystyle a_{1}, \ldots, a_{n}\in K}.
Como outro exemplo, un subconxunto alxébrico W en K n é irredutíbel (na topoloxía de Zariski) se e só se I ( W ) {\displaystyle I(W)} é un ideal primo. Probas
Hai moitas demostracións coñecidas do teorema. Algunhas son non construtivas. Outras son construtivas, xa que se basean en algoritmos para expresar 1 ou pr como unha combinación linear dos xeradores do ideal.
Usando resultantes
A seguinte proba construtiva da forma débil é unha das probas máis antigas (a forma forte resulta do truco de Rabinowitsch, que tamén é construtivo).
A resultante de dous polinomios que dependen dunha variábel x e doutras variábeis é un polinomio nas outras variábeis que está no ideal xerado polos dous polinomios, e ten as seguintes propiedades: se un dos polinomios é mónico en x, todo cero (nas outras variábeis) da resultante pode estenderse nun cero común dos dous polinomios.
A proba é a seguinte.
Se o ideal é principal, xerado por un polinomio p non constante que depende de x, escóllense valores arbitrarios para as outras variábeis. O teorema fundamental da álxebra afirma que esta elección pódese estender a un cero de p.
No caso de varios polinomios p 1, …, p n, {\displaystyle p_{1}, \ldots, p_{n}, } un cambio linear de variábeis permite supor que p 1 {\displaystyle p_{1}} é mónico na primeira variábel x. Logo, agora temos n − 1 {\displaystyle n-1} novas variábeis u 2, …, u n, {\displaystyle u_{2}, \ldots, u_{n}, } e consideramos a resultante R
Res x ⁡ ( p 1, u 2 p 2 + ⋯ + u n p n ). {\displaystyle R
\operatorname {Res} _{x}(p_{1}, u_{2}p_{2}+\cdots +u_{n}p_{n}). } Como R está no ideal xerado por p 1, …, p n, {\displaystyle p_{1}, \ldots, p_{n}, } o mesmo ocorre cos coeficientes en R dos monomios en u 2, …, u n. {\displaystyle u_{2}, \ldots, u_{n}. } Entón, se 1 está no ideal xerado por estes coeficientes, tamén está no ideal xerado por p 1, …, p n. {\displaystyle p_{1}, \ldots, p_{n}. } Por outra banda, se estes coeficientes teñen un cero común, este cero pódese ampliar a un cero común de p 1, …, p n, {\displaystyle p_{1}, \ldots, p_{n}, } pola propiedade anterior da resultante.
Isto proba o Nullstellensatz débil por indución sobre o número de variábeis. Xeneralizacións
O Nullstellensatz está subsumido por un desenvolvemento sistemático da teoría dos aneis de Jacobson, que son aqueles aneis nos que todo ideal radical é unha intersección de ideais máximais. Tendo en conta o lema de Zariski, probar o Nullstellensatz equivale a mostrar que se k é un corpo, entón toda k -álxebra R xerada finitamente (necesariamente da forma R
k [ t 1, ⋯, t n ] / I {\textstyle R
k[t_{1}, \cdots, t_{n}]/I} ) é de Jacobson. De forma máis xeral, temos o seguinte teorema: Sexa R {\displaystyle R} un anel de Jacobson. Se S {\displaystyle S} é unha R-álxebra finitamente xerada, entón S {\displaystyle S} é un anel de Jacobson. A maiores, se n ⊆ S {\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S} é un ideal maximal, entón m:
n ∩ R {\displaystyle {\mathfrak {m}}:
{\mathfrak {n}}\cap R} é un ideal maximal de R {\textstyle R}, e S / n {\displaystyle S/{\mathfrak {n}}} é unha extensión finita de R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}. Nullstellensatz efectivo
En todas as súas variantes, o Nullstellensatz de Hilbert afirma que algún polinomio g pertence ou non a un ideal xerado, por exemplo, por f1, .. ., fk; temos g
f r na versión forte, g
1 na forma débil. Isto significa a existencia ou a inexistencia de polinomios g1, .. ., gk tal que g
f1g1 +. .. + fkgk g
f1g1 +. .. + fkgk. As probas habituais do Nullstellensatz non son construtivas, son non efectivas, no sentido de que non dan forma de calcular o gi.
Polo tanto, é unha pregunta bastante natural preguntarse se hai un xeito eficaz de calcular o gi (e o expoñente r na forma forte) ou de demostrar que non existen. Para resolver este problema, abonda con proporcionar un límite superior sobre o grao total do gi: tal límite reduce o problema a un sistema finito de ecuacións lineares que poden resolverse mediante técnicas habituais de álxebra linear. Calquera límite superior deste tipo chámase Nullstellensatz efectivo.
Un problema relacionado é o problema de pertenza dun ideal, que consiste en comprobar se un polinomio pertence a un ideal. Para este problema tamén, unha solución é proporcionada por un límite superior no grao do gi. Unha solución xeral do problema de pertenza dun ideal proporciona un Nullstellensatz efectivo, polo menos para a forma débil.
En 1925, Grete Hermann deu un límite superior para o problema de pertenza dun ideal que é dobremente exponencial no número de variábeis. En 1982 Mayr e Meyer deron un exemplo onde os gi teñen un grao que é polo menos dobre exponencial, mostrando que cada límite superior xeral para o problema de pertenza do ideal é dobremente exponencial no número de variábeis.