Completude (lóxica)

En lóxica matemática e metalóxica, un sistema formal chámase completo en relación a unha propiedade específica se todas as fórmulas que teñan a propiedade poden obterse usando ese sistema, é dicir, é un dos seus teoremas; en caso contrario, dise que o sistema é incompleto. O termo "completo" tamén se usa sen cualificación, con diferentes significados segundo o contexto, normalmente referíndose á propiedade de validez semántica. Intuitivamente, un sistema chámase completo neste sentido particular se pode obter todas as fórmulas verdadeiras. Kurt Gödel, Leon Henkin e Emil Leon Post publicaron probas de completude. Outras propiedades relacionadas coa completude
A propiedade recíproca da completude chámase corrección: un sistema é correcto en relación a unha propiedade (principalmente validez semántica) se cada un dos seus teoremas posúe esa propiedade. Formas de completude
Completude expresiva
Unha linguaxe formal é expresivamente completa se pode expresar o obxecto que é destinado.
Completude funcional
Un conxunto de conectivas lóxicas asociadas ao sistema formal é funcionalmente completo se pode expresar todas as funcións proposicionais.
Completude semántica
A completude semántica é o recíproco da correcciónpara sistemas formais. Un sistema formal é completo en relación á tautoloxía cando todas as súas tautoloxías son teoremas, mentres que un sistema formal é correcto cando todos os teoremas son tautoloxías (é dicir, son fórmulas semanticamente válidas: fórmulas que son verdadeiras baixo calquera interpretación da linguaxe do sistema) que é consistente coas regras do sistema. É dicir: ⊨ S φ → ⊢ S φ. {\displaystyle \models _{\mathcal {S}}\varphi \ \to \ \vdash _{\mathcal {S}}\varphi. }
Completude forte
Un sistema formal S é fortemente completo ou completo no sentido forte se para todo conxunto de premisas Γ, calquera fórmula que semánticamente segue de Γ se obtén de Γ. É dicir: Γ ⊨ S φ → Γ ⊢ S φ. {\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {S}}\varphi \ \to \ \Gamma \vdash _{\mathcal {S}}\varphi. }
Refutación da completude
Un sistema formal S é refutación completo se é posébel obter un falso de cada conxunto de fórmulas insatisfactíbel. É dicir, Γ ⊨ S ⊥ → Γ ⊢ S ⊥. {\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {S}}\bot \to \ \Gamma \vdash _{\mathcal {S}}\bot. } Todo sistema fortemente completo tamén é refutación completo. Indutivamente, a completude fore significa que, dado un conxunto de fórmulas Γ {\displaystyle \Gamma }, é posíbel calcular todas as consecuencias semánticas φ {\displaystyle \varphi } de Γ {\displaystyle \Gamma }, mentres que a refutación completude significa que, dado un conxunto de fórmulas Γ {\displaystyle \Gamma } e a fórmula φ {\displaystyle \varphi }, é posíbel comprobar se φ {\displaystyle \varphi } é unha consecuencia semántica de Γ {\displaystyle \Gamma }.
Completude sintáctica
Un sistema formal S é sintácticamente completo ou dedutivamente completo ou máximamente completo se para cada sentenza (fórmula pechada) φ da linguaxe do sistema, φ ou ¬φ é un teorema de S. Isto tamén se chama negación-completude. Noutro sentido, un sistema formal é sintácticamente completo se e só se non é posíbel engadir unha oración non demostrábel sen introducir unha inconsistencia. A lóxica proposicional verofuncional e a lóxica de predicados de primeira orde son semanticamente completas mais non sintácticamente completas (por exemplo, o enunciado da lóxica proposicional que consiste nunha única variábel proposicional A non é un teorema, nin a súa negación, mais estes non son tautoloxías). O Teorema da incompletude de Gödel mostra que calquera sistema recursivo que sexa suficientemente poderoso, como o axioma de Peano, non pode ser consistente e sintáctico completo ao mesmo tempo.