Intervalo entre primos

Un intervalo entre primos é a diferenza entre dous números primos sucesivos. O intervalo entre o primo n-ésimo, denotado gn ou g(pn) é a diferenza entre o primo (n + 1) e o primo n-ésimo, é dicir g n
p n + 1 − p n. {\displaystyle g_{n}
p_{n+1}-p_{n}. \ } Temos g1
1, g2
g3
2 e g4
4. A secuencia (gn) de intervalos primos foi moi estudada; con todo, moitas preguntas e conxecturas fican aínda sen resposta.
Os primeiros 60 intervalos primos son: 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, .. . (secuencia A001223 na OEIS). p n + 1
2 + ∑ i
1 n g i. {\displaystyle p_{n+1}
2+\sum _{i
1}^{n}g_{i}. } Observacións sinxelas
Para calquera número enteiro n, o factorial n! é o produto de todos os enteiros positivos ata n incluído. Logo na secuencia n! + 2, n! + 3, …, n! + n {\displaystyle n! +2, \; n! +3, \; \ldots, \; n! +n} o primeiro termo é divisible por 2, o segundo termo é divisible por 3, etc. Así, esta é unha secuencia de n − 1 enteiros compostos consecutivos, e debe pertencer a un espazo entre números primos que teñan polo menos n de lonxitude. Dedúcese logo que hai intervalos entre primos que son arbitrariamente grandes, é dicir, para calquera número enteiro N, hai un enteiro m con gm ≥ N.
O primeiro intervalo primo de tamaño maior que 14 ocorre entre os primos 523 e 541, mentres que 15! é un número moito maior 1307674368000.
O intervalo medio entre os primos aumenta a medida que o logaritmo natural destes primos e, polo tanto, a proporción entre os primos e os primos implicados diminúe (e é asintóticamente cero). Esta é unha consecuencia do teorema dos números primos. De feito, a relación entre o intervalo e o número de díxitos dos enteiros implicados aumenta sen límite. Esta é a consecuencia dun resultado de Westzynthius.
Na dirección oposta, a conxectura dos primos xemelgos postula que gn 2 para un número infinito de números enteiros n.
Para algún número primo P, escribimos P# para representar P primorial, ou sexa, o produto de todos os números primos menores ou iguais a P. Se Q é o número primo seguinte a P, entón a secuencia P # + 2, P # + 3, …, P # + ( Q − 1 ) {\displaystyle P\#+2, P\#+3, \ldots, P\#+(Q-1)} é unha secuencia de Q − 2 números enteiros compostos, onde temos un intervalo entre primos de tamaño mínimo Q − 1. Por tanto, existen intervalos entre primos de tamaño arbitrariamente longos. Outra forma de ver que hai intervalos arbitrariamente grandes de primos é o feito de que a densidade de números primos aproxímase a cero, de acordo co Teorema do número primo.
Na verdade, os intervalos entre primos de P números poden ocorrer con números moito menores que P#. Por exemplo, a menor secuencia de 71 números enteiros compostos consecutivos ocorre entre 31398 e 31468, en cnto 71# ten vinte e sete dígitos, seu valor total é 557940830126698960967415390. Resultados numéricos
O maior intervalo entre dous primos coñecidos ata 2016 con primos probábeis identificados ten tamaño 4680156, con números primos de 99750 díxitos atopado por Martin Raab. O maior intervalo entre dous primos con primos xa probados ten tamaño 1113106, con números primos de 18662 díxitos atopados por P. Cami, M. Jansen e J. K. Andersen.
Dicimos que gn é un intervalo maximal, se gm < gn ∀ {\displaystyle \forall } m < n.
O maior intervalo maximal coñecido ata agosto de 2016 ten tamaño 1476, atopado por Tomás Oliveira e Silva. É o septuaxésimo-sétimo intervalo maximal, e ocorre despois do número primo 1425172824437699411. Outros récords de intervalos maximais poden ser vistos en (secuencia A002386 na OEIS).
No 1931, Westzynthius probou que os intervalos entre primos medran de forma maior do que a escala logarítmica. Ou sexa, lim sup n → ∞ g n log ⁡ p n
∞. {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}
\infty. } Normalmente, a razón gn / ln(pn) chámase mérito dun intervalo entre primos gn. Ata novembro de 2016, o maior valor de "mérito" coñecido foi descoberto por Dana Jacobsen, sendo 10716 ( ln ⁡ ( p n ) ) 2 ≈ 36, 858288 {\displaystyle {\frac {10716}{(\ln(p_{n}))^{2}}}\approx 36, 858288} onde 283# indica o primorial de 283.
A razón de Cramér–Shanks–Granville está dada por g n ( ln ⁡ ( p n ) ) 2 {\displaystyle {\frac {g_{n}}{(\ln(p_{n}))^{2}}}} O maior valor coñecido desa proporción é 0, 9206386 para o primo 1693182318746371. Outros termos récords están en (secuencia A111943 na OEIS). Resultados posteriores
Límite superior
O postulado de Bertrand, probado no 1852, afirma que sempre existe un número primo entre k e 2k, en particular pn+1<2pn, o que significa que gn < pn.
O teorema do número primo, probado no 1896, dice que as distanzas totais entre dous intervalos entre o primo p e o próximo primo é ln(p). O tamaño real do intervalo pode ser moito maior ou menor. A pesar diso, o teorema do número primo deduce un límite superior para o tamaño dos intervalos entre primos: Para todo ε > 0, existe un número N tal que gn < εpn ∀ {\displaystyle \forall } n > N.
Pódese deducir que os intervalos arbitrariamente pequenos teñen proporcións cos números primos a partir do límite do cociente: lim n → ∞ g n p n
0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}
0. } Hoheisel no 1930 foi o primeiro en mostrar que existe unha constante θ < 1 tal que π ( x + x θ ) − π ( x ) ∼ x θ log ⁡ ( x ) para x → ∞, {\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{para }}x\to \infty, } mostrando así que g n < p n θ, {\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta }, \, } para n suficientemente grande.
Hoheisel obtivo un posíbel valor 3299933000 {\displaystyle {\frac {32999}{33000}}} para θ. O valor da constante foi posteriormente mellorado para 249250 {\displaystyle {\frac {249}{250}}} Heilbronn, e para θ 3/4 + ε, para algún ε > 0, por Chudakov.
O mellor resultado é debido a Ingham, que mostrou que ζ ( 12 + i t )
O ( t c ) {\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)
O(t^{c})\, } para algunha constante positiva c, onde O' reférese à notación O grande, e π ( x + x θ ) − π ( x ) ∼ x θ log ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}} para algún θ > 1 + 4 c 2 + 4 c {\displaystyle \theta >{\frac {1+4c}{2+4c}}}. ζ denota a función zeta de Riemann e π a función contaxe de números primos. Sabendo que para algún c > 16 {\displaystyle c>{\frac {1}{6}}} é admisíbel, obtense que θ é un número maior que 58 {\displaystyle {\frac {5}{8}}}.
Unha consecuencia inmediata do resultado de Ingham é que sempre hai un número primo entre n3 e (n + 1)3, se n é o suficientemente grande. A hipótese de Lindelöf pode implicar que a fórmula de Ingham funciona para calquera constante positiva c: mais mesmo isto non é suficiente para implicar que hai un número primo entre n2 e (n + 1)2 para n suficientemente grande ( ver Conxectura de Legendre). Para verificar isto, é necesario un resultado máis forte como a conxectura de Cramér.
Huxley en 1972 demostrou que se pode escoller θ
\frac{7}{12}
0, 58(3).
Un resultado, debido a Baker, Harman e Pintz en 2001, mostrou que θ pode considerarse 0, 525.
En 2005, Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demostraron que lim inf n → ∞ g n log ⁡ p n
0 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}
0} e dous anos máis tarde demostraron que lim inf n → ∞ g n log ⁡ p n ( log ⁡ log ⁡ p n ) 2 < ∞. {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty. } En 2013, Yitang Zhang demostrou iso lim inf n → ∞ g n < 7 ⋅ 107, {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7}, } o que significa que hai infinitos interalos entre dous números primos consecutivos que non superan os 70 millóns. O proxecto Polymath Project realiza un esforzo de colaboración para optimizar o límite de Zhang. En novembro de 2013, James Maynard creou un novo perfeccionamento, permitindo reducir o límite a 600 e mostra que para algúns m hai un rango máximo de m primos. Usando as ideas de Maynard, o proxecto Polymath mellorou o límite a 46; asumindo a conxectura de Elliott–Halberstam, N pódese reducir a 12 e 6, respectivamente.
Límites inferiores
En 1938, Robert Rankin demostrou a existencia dunha constante c > 0 tal que a desigualdade g n > c log ⁡ n log ⁡ log ⁡ n log ⁡ log ⁡ log ⁡ log ⁡ n ( log ⁡ log ⁡ log ⁡ n ) 2 {\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}} funciona para valores infinitos de n, mellorando os resultados de Westzynthius e Paul Erdős. Máis tarde demostrou que esta constante pode ser c < eγ, onde γ é a constante de Euler–Mascheroni. O valor da constante c foi mellorado en 1997 a un valor inferior a 2eγ.
Paul Erdős ofreceu un premio de 10. 000 dólares por unha proba ou refutación de que a constante c na desigualdade anterior pode considerarse arbitrariamente grande. Foi demostrado correcto en 2014 por Ford–Green–Konyagin–Tao e independentemente por James Maynard.
Máis tarde mellorouse o resultado g n ≫ log ⁡ n log ⁡ log ⁡ n log ⁡ log ⁡ log ⁡ log ⁡ n log ⁡ log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle g_{n}\gg {\frac {\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}} para valores infinitos de n de Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.
Pódense determinar entón límites inferiores para cadeas de primos. Conxecturas sobre o intervalo entre números primos
Aínda mellores resultados están condicionados á hipótese de Riemann. Harald Cramér demostrou que a hipótese de Riemann implica que gn satisfai g n
O ( p n log ⁡ p n ), {\displaystyle g_{n}
O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}), } Máis tarde conxeturou que estes valores son sempre menores. Noutras palabras, a conxectura de Cramér usa a seguinte afirmación: g n
O ( ( log ⁡ p n ) 2 ). {\displaystyle g_{n}
O\left((\log p_{n})^{2}\right). } A conxectura de Firoozbakht afirma que p n 1 / n {\displaystyle p_{n}^{1/n}} (onde p n {\displaystyle p_{n}} é o n-ésimo número primo) é unha función estritamente decrecente de n, é dicir, p n + 11 / ( n + 1 ) < p n 1 / n ∀ n ≥ 1. {\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}\forall n\geq 1. } Se esta conxectura é certa, a función g n
p n + 1 − p n {\displaystyle g_{n}
p_{n+1}-p_{n}} satisfai g n < ( log ⁡ p n ) 2 − log ⁡ p n para todo n > 4. {\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ para todo }}n>4. } Isto implica a forma forte da conxectura de Crámer, pero é inconsistente coa heurística de Granville e Pintz que suxire que g n > 2 − ε e γ ( log ⁡ p n ) 2 {\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}} vale para ε > 0, {\displaystyle \varepsilon >0, } onde γ {\displaystyle \gamma } denota a constante de Euler-Mascheroni.
Mentres tanto, a conxectura de Oppermann é máis feble que a conxectura de Cramér. O tamaño esperado dun intervalo entre dous primos consecutivos coa conxectura de Oppermann é da orde de g n < p n. {\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}. } Como resultado, isto significa (asumindo que a conxectura de Oppermann é verdadeira) m > 0 (probablemente m 30) para cada número natural n > m satisfai g n < p n. {\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}. } A conxectura de Andrica, que é máis feble que a de Oppermann, afirma que g n < 2 p n + 1. {\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1. } Como función aritmética
O tamaño do intervalo gn entre os números primos n-ésimo e (n + 1)-ésimo é un exemplo de función aritmética. Neste contexto, adoita denotarse por dn e chámase función de diferenza entre números primos. Esta función non é aditiva nin multiplicativa. Programa en Python
Varios tipos de programas poden ser feitos para calcular o valor de g n {\displaystyle g_{n}}, sendo un importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tense unha versión para Python, que calcula g n {\displaystyle g_{n}} para os números primos entre 1 e 10000 (ata ao número primo 9973):