Sumatorio

En matemáticas, o sumatorio ( ∑ ) {\displaystyle {\Big (}\sum {\Big )}} é a suma dunha secuencia de números, chamadas sumandos; o resultado é a súa suma ou total. Ademais dos números, tamén se poden sumar outros tipos de valores: funcións, vectores, matrices, polinomios e, en xeral, elementos de calquera tipo de obxectos matemáticos sobre os que se define unha operación denotada como "+".
Os sumatorios de secuencias infinitas chámanse series. Implican o concepto de límite, e non se consideran neste artigo.
Para sumas longas e sumatorios de lonxitude variable é un problema común atopar formas pechadas para o resultado. Por exemplo, ∑ i
1 n i
n ( n + 1 ) 2. {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}i
{\frac {n(n+1)}{2}}. } Notación
A notación matemática usa a letra grega grega maiúscula sigma para representar de forma compacta a suma de moitos termos similares, por exemplo: ∑ i
⁡ m n a i
a m + a m + 1 + a m + 2 + ⋯ + a n − 1 + a n {\displaystyle \sum _{i\mathop {
} m}^{n}a_{i}
a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}.
Onde i é o índice da suma; ai é unha variable indexada que representa cada termo da suma; m é o índice inferior da suma e n é o índice superior da suma. Por tanto no exemplo de enriba a suma irá desde o elemento número m ata o elmento número n indo o índice aumentando dun en un.
Isto lese como "suma de ai, de i igual a m ata i igual a n".
Un exemplo que mostra a suma dalgúns cadrados consecutivos: ∑ i
36 i 2
32 + 42 + 52 + 62
86. {\displaystyle \sum _{i
3}^{6}i^{2}
3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}
86. } E outro exemplo é a suma dos primeiros n números da secuencia de Fibonacci ∑ i
0 n f i
f n + 2 − 1. {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}f_{i}
f_{n+2}-1. } Ás veces o índice e os límites dos índices do sumatorio omítense da definición do sumatorio se o contexto é suficientemente claro. Isto aplícase especialmente cando o índice vai de 1 a n. Por exemplo, pódese escribir que: ∑ a i 2
∑ i
1 n a i 2. {\displaystyle \sum a_{i}^{2}
\sum _{i
1}^{n}a_{i}^{2}. } Outro xeito é poñer a condición do índice toda no lado inferior, por exemplo: ∑ 0 ≤ k < 100 f ( k ) {\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}.
Tamén se pode expresar como o percorrido polos elementos dun conxunto: ∑ x ∈ ⁡ S f ( x ) {\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)} é a suma de f ( x ) {\displaystyle f(x)} sobre todos os elementos x {\displaystyle x} no conxunto S {\displaystyle S}. ∑ d | n μ ( d ) {\displaystyle \sum _{d\, |\, n}\; \mu (d)} é a suma de μ ( d ) {\displaystyle \mu (d)} sobre todos os números enteiros positivos d {\displaystyle d} que dividen n {\displaystyle n}.
Tamén hai formas de xeneralizar o uso de moitos signos sigma. Por exemplo, ∑ i, j {\displaystyle \sum _{i, j}} é o mesmo que ∑ i ∑ j. {\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}. } Unha notación similar úsase para o produto dunha secuencia, usando ∏ {\textstyle \prod }, que é unha forma ampliada da letra maiúscula grega pi.
Un sumatorio alterno de sumas e restas podemos definilo como: ∑ i
0 n ( − 1 ) n a i. {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}(-1)^{n}a_{i}. } Cálculo de diferenzas finitas
Dada unha función f que se define sobre os enteiros do intervalo [m, n], cúmprese a seguinte ecuación: f ( n ) − f ( m )
∑ i
m n − 1 ( f ( i + 1 ) − f ( i ) ). {\displaystyle f(n)-f(m)
\sum _{i
m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)). } Esta coñécese como serie telescópica e é o análogo do teorema fundamental do cálculo no cálculo de diferenzas finitas, que afirma que: f ( n ) − f ( m )
∫ m n f ′ ( x ) d x, {\displaystyle f(n)-f(m)
\int _{m}^{n}f'(x)\, dx, } onde f ′ ( x )
lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle f'(x)
\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} é a derivada de f.
Un exemplo de aplicación da ecuación anterior é o seguinte: n k
∑ i
0 n − 1 ( ( i + 1 ) k − i k ). {\displaystyle n^{k}
\sum _{i
0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right). } Usando o teorema binomial, isto pódese reescribir como: n k
∑ i
0 n − 1 ( ∑ j
0 k − 1 ( k j ) i j ). {\displaystyle n^{k}
\sum _{i
0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j
0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}. } A fórmula anterior úsase máis habitualmente para inverter o operador diferenza Δ {\displaystyle \Delta }, definido por: Δ ( f ) ( n )
f ( n + 1 ) − f ( n ), {\displaystyle \Delta (f)(n)
f(n+1)-f(n), } onde f é unha función definida nos enteiros non negativos. Así, dada tal función f, o problema é calcular a antidiferenza de f, unha función F
Δ − 1 f {\displaystyle F
\Delta ^{-1}f} tal que Δ F
f {\displaystyle \Delta F
f}. É dicir, F ( n + 1 ) − F ( n )
f ( n ). {\displaystyle F(n+1)-F(n)
f(n). } Esta función defínese ata a adición dunha constante, e pódese escoller como F ( n )
∑ i
0 n − 1 f ( i ). {\displaystyle F(n)
\sum _{i
0}^{n-1}f(i). } Non sempre hai unha expresión en forma pechada para tal suma, mais a fórmula de Faulhaber proporciona unha forma pechada no caso en que f ( n )
n k {\displaystyle f(n)
n^{k}} e, por linearidade, para cada función polinómica de n. Aproximación por integrais definidas
Moitas aproximacións deste tipo pódense obter mediante a seguinte conexión entre sumas e integrais, que vale para calquera función crecente f: ∫ s
a − 1 b f ( s ) d s ≤ ∑ i
a b f ( i ) ≤ ∫ s
a b + 1 f ( s ) d s. {\displaystyle \int _{s
a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i
a}^{b}f(i)\leq \int _{s
a}^{b+1}f(s)\ ds. } e para calquera función decrecente f: ∫ s
a b + 1 f ( s ) d s ≤ ∑ i
a b f ( i ) ≤ ∫ s
a − 1 b f ( s ) d s. {\displaystyle \int _{s
a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i
a}^{b}f(i)\leq \int _{s
a-1}^{b}f(s)\ ds. } Para aproximacións máis xerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.
Para sumatorios nos que o sumando está dado (ou pode ser interpolado) por unha función integrable do índice, o sumatorio pode interpretarse como unha suma de Riemann que se produce na definición da integral definida correspondente. Polo tanto, pódese esperar que, por exemplo, b − a n ∑ i
0 n − 1 f ( a + i b − a n ) ≈ ∫ a b f ( x ) d x, {\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i
0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx, } xa que o lado dereito é por definición o límite para n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } do lado esquerdo. Porén, para unha suma dada n é fixo, non tende a infinito, e pouco se pode dicir sobre o erro na aproximación anterior sen presupostos adicionais sobre f: está claro que para funcións con oscilacións a grande escala a suma de Riemann pode estar arbitrariamente lonxe da integral de Riemann. Identidades
As fórmulas seguintes implican sumas finitas; para sumas infinitas ou sumas finitas de expresións que impliquen funcións trigonométricas ou outras funcións transcendentais, consulte a lista de series matemáticas.
Identidades xerais
∑ n
s t C ⋅ f ( n )
C ⋅ ∑ n
s t f ( n ) {\displaystyle \sum _{n
s}^{t}C\cdot f(n)
C\cdot \sum _{n
s}^{t}f(n)\quad } (distributiva). ∑ n
s t f ( n ) ± ∑ n
s t g ( n )
∑ n
s t ( f ( n ) ± g ( n ) ) {\displaystyle \sum _{n
s}^{t}f(n)\pm \sum _{n
s}^{t}g(n)
\sum _{n
s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad } (conmutativa e asociativa). ∑ n
s t f ( n )
∑ n
s + p t + p f ( n − p ) {\displaystyle \sum _{n
s}^{t}f(n)
\sum _{n
s+p}^{t+p}f(n-p)\quad } (desprazamento do índice). ∑ n ∈ B f ( n )
∑ m ∈ A f ( σ ( m ) ), {\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)
\sum _{m\in A}f(\sigma (m)), \quad } (bixección σ dun conxunto finito A nun conxunto B, mudar o índice, xeneraliza a fórmula precedente). ∑ n
s t f ( n )
∑ n
s j f ( n ) + ∑ n
j + 1 t f ( n ) {\displaystyle \sum _{n
s}^{t}f(n)
\sum _{n
s}^{j}f(n)+\sum _{n
j+1}^{t}f(n)\quad } (subdividir unha suma, usando asociatividade). ∑ n
a b f ( n )
∑ n
0 b f ( n ) − ∑ n
0 a − 1 f ( n ) {\displaystyle \sum _{n
a}^{b}f(n)
\sum _{n
0}^{b}f(n)-\sum _{n
0}^{a-1}f(n)\quad } (outra variante da anterior). ∑ n
s t f ( n )
∑ n
0 t − s f ( t − n ) {\displaystyle \sum _{n
s}^{t}f(n)
\sum _{n
0}^{t-s}f(t-n)}. ∑ n
0 t f ( n )
∑ n
0 t f ( t − n ) {\displaystyle \sum _{n
0}^{t}f(n)
\sum _{n
0}^{t}f(t-n)}. ∑ i
k 0 k 1 ∑ j
l 0 l 1 a i, j
∑ j
l 0 l 1 ∑ i
k 0 k 1 a i, j {\displaystyle \sum _{i
k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j
l_{0}}^{l_{1}}a_{i, j}
\sum _{j
l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i
k_{0}}^{k_{1}}a_{i, j}\quad } (conmutatividade e asociatividade). ∑ k ≤ j ≤ i ≤ n a i, j
∑ i
k n ∑ j
k i a i, j
∑ j
k n ∑ i
j n a i, j
∑ j
0 n − k ∑ i
k n − j a i + j, i {\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i, j}
\sum _{i
k}^{n}\sum _{j
k}^{i}a_{i, j}
\sum _{j
k}^{n}\sum _{i
j}^{n}a_{i, j}
\sum _{j
0}^{n-k}\sum _{i
k}^{n-j}a_{i+j, i}\quad } (outra aplicación de conmutatividade e asociatividade). ∑ n
2 s 2 t + 1 f ( n )
∑ n
s t f ( 2 n ) + ∑ n
s t f ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n
2s}^{2t+1}f(n)
\sum _{n
s}^{t}f(2n)+\sum _{n
s}^{t}f(2n+1)\quad } (subdividir o sumatorio en índices pares e impares). ∑ n
2 s + 12 t f ( n )
∑ n
s + 1 t f ( 2 n ) + ∑ n
s + 1 t f ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{n
2s+1}^{2t}f(n)
\sum _{n
s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n
s+1}^{t}f(2n-1)\quad } (subdividir unha suma en partes pares e impares, para índices impares). ( ∑ i
0 n a i ) ( ∑ j
0 n b j )
∑ i
0 n ∑ j
0 n a i b j {\displaystyle {\biggl (}\sum _{i
0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j
0}^{n}b_{j}{\biggr )}
\sum _{i
0}^{n}\sum _{j
0}^{n}a_{i}b_{j}\quad } (distributiva). ∑ i
s m ∑ j
t n a i c j
( ∑ i
s m a i ) ( ∑ j
t n c j ) {\displaystyle \sum _{i
s}^{m}\sum _{j
t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}
{\biggl (}\sum _{i
s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j
t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad } (A distributividade permite a factorización). ∑ n
s t log b ⁡ f ( n )
log b ⁡ ∏ n
s t f ( n ) {\displaystyle \sum _{n
s}^{t}\log _{b}f(n)
\log _{b}\prod _{n
s}^{t}f(n)}. C ∑ n
s t f ( n )
∏ n
s t C f ( n ) {\displaystyle C^{\sum \limits _{n
s}^{t}f(n)}
\prod _{n
s}^{t}C^{f(n)}}. ∑ m
0 k ∑ n
0 m f ( m, n )
∑ m
0 k ∑ n
m k f ( n, m ), {\displaystyle \sum _{m
0}^{k}\sum _{n
0}^{m}f(m, n)
\sum _{m
0}^{k}\sum _{n
m}^{k}f(n, m), \quad } para calquera función f {\textstyle f} de Z × Z {\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }.
Potencias e logaritmo das progresións aritméticas
∑ i
1 n c
n c {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}c
nc\quad } para todo c que non depende de i. ∑ i
0 n i
∑ i
1 n i
n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}i
\sum _{i
1}^{n}i
{\frac {n(n+1)}{2}}}. ∑ i
1 n ( 2 i − 1 )
n 2 {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}(2i-1)
n^{2}\qquad } (Suma dos primeiros números naturais impares). ∑ i
0 n 2 i
n ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}2i
n(n+1)\qquad } (Suma dos primeiros números naturais pares). ∑ i
1 n log ⁡ i
log ⁡ n! {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}\log i
\log n! \qquad } (A suma dos logaritmos é o logaritmo do produto). ∑ i
0 n i 2
∑ i
1 n i 2
n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6
n 33 + n 22 + n 6 {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}i^{2}
\sum _{i
1}^{n}i^{2}
{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}
{\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}. ∑ i
0 n i 3
( ∑ i
0 n i ) 2
( n ( n + 1 ) 2 ) 2
n 44 + n 32 + n 24 {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}i^{3}
{\biggl (}\sum _{i
0}^{n}i{\biggr )}^{2}
\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}
{\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad } (Teorema de Nicómaco)
Índice do sumatorio en expoñentes
Nos seguintes sumatorios, asúmese que a é diferente de 1. ∑ i
0 n − 1 a i
1 − a n 1 − a {\displaystyle \sum _{i
0}^{n-1}a^{i}
{\frac {1-a^{n}}{1-a}}} (suma dunha progresión xeométrica). ∑ i
0 n − 112 i
2 − 12 n − 1 {\displaystyle \sum _{i
0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}
2-{\frac {1}{2^{n-1}}}} (caso especial para a
1/2). ∑ i
0 n − 1 i a i
a − n a n + ( n − 1 ) a n + 1 ( 1 − a ) 2 {\displaystyle \sum _{i
0}^{n-1}ia^{i}
{\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}} (a veces a derivada en relación a a da progresión xeométrica). ∑ i
0 n − 1 ( b + i d ) a i
b ∑ i
0 n − 1 a i + d ∑ i
0 n − 1 i a i
b ( 1 − a n 1 − a ) + d ( a − n a n + ( n − 1 ) a n + 1 ( 1 − a ) 2 )
b ( 1 − a n ) − ( n − 1 ) d a n 1 − a + d a ( 1 − a n − 1 ) ( 1 − a ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i
0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&
b\sum _{i
0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i
0}^{n-1}ia^{i}\\&
b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\& {\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}} (suma dunha secuencia aritmético-xeométrica)
Coeficientes binomiais e factoriais
Existen moitas identidades con sumatorios que implican coeficientes binomiais. Algunhas das máis básicas son as seguintes.
Implicando o teorema do binomio
∑ i
0 n ( n i ) a n − i b i
( a + b ) n, {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}
(a+b)^{n}, } o teorema do binomio. ∑ i
0 n ( n i )
2 n, {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}{n \choose i}
2^{n}, } caso especial onde a
b
1. ∑ i
0 n ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i
1 {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}
1}, o caso especial onde p
a
1 − b, que, para 0 ≤ p ≤ 1, {\displaystyle 0\leq p\leq 1, } expresa a suma da distribución binomial. ∑ i
0 n i ( n i )
n ( 2 n − 1 ), {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}i{n \choose i}
n(2^{n-1}), } o valor en a
b
1 da derivada con respecto a a do teorema do binomio. ∑ i
0 n ( n i ) i + 1
2 n + 1 − 1 n + 1, {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}
{\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}, } o valor en a
b
1 da antiderivada con respecto a a do teorema do binomio.
Implicando números de permutación
Nos seguintes sumatorios, n P k {\displaystyle {}_{n}P_{k}} é o número de k-permutacións de n. ∑ i
0 n i P k ( n i )
n P k ( 2 n − k ) {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}
{}_{n}P_{k}(2^{n-k})} ∑ i
1 n i + k P k + 1
∑ i
1 n ∏ j
0 k ( i + j )
( n + k + 1 )! ( n − 1 )! ( k + 2 ) {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}
\sum _{i
1}^{n}\prod _{j
0}^{k}(i+j)
{\frac {(n+k+1)! }{(n-1)! (k+2)}}} ∑ i
0 n i! ⋅ ( n i )
∑ i
0 n n P i
⌊ n! ⋅ e ⌋, n ∈ Z + {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}i! \cdot {n \choose i}
\sum _{i
0}^{n}{}_{n}P_{i}
\lfloor n! \cdot e\rfloor, \quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}, onde e ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } denota a función chan.
Outros
∑ k
0 m ( n + k n )
( n + m + 1 n + 1 ) {\displaystyle \sum _{k
0}^{m}{\binom {n+k}{n}}
{\binom {n+m+1}{n+1}}} ∑ i
k n ( i k )
( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle \sum _{i
k}^{n}{i \choose k}
{n+1 \choose k+1}} ∑ i
0 n i ⋅ i!
( n + 1 )! − 1 {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}i\cdot i!
(n+1)! -1} ∑ i
0 n ( m + i − 1 i )
( m + n n ) {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}{m+i-1 \choose i}
{m+n \choose n}} ∑ i
0 n ( n i ) 2
( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}{n \choose i}^{2}
{2n \choose n}} ∑ i
0 n 1 i!
⌊ n! e ⌋ n! {\displaystyle \sum _{i
0}^{n}{\frac {1}{i! }}
{\frac {\lfloor n! \; e\rfloor }{n! }}}
Números harmónicos
∑ i
1 n 1 i
H n {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}{\frac {1}{i}}
H_{n}\quad } (o n-ésimo número harmónico ) ∑ i
1 n 1 i k
H n k {\displaystyle \sum _{i
1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}
H_{n}^{k}\quad } (o número harmónico xeneralizado)