Característica de Euler

En matemática, e en particular en topoloxía alxébrica, a característica de Euler ou característica de Euler-Poincaré é un invariante topolóxico, un número definido que serve para ampliar unha clase de espazos topolóxicos. Denótase xeralmente por χ {\displaystyle \chi } (a letra grega khi). Característica de Euler en poliedros
A característica de Euler dun politopo de tres dimensións (poliedro) pode calcularse empregando a fórmula seguinte: χ
C − A + V {\displaystyle \chi
C-A+V\, \! } onde C, A e V son os números de caras, de arestas e de vértices respectivamente. En particular, para calquera poliedro homeomorfo a unha esfera tense χ
C − A + V
2 {\displaystyle \chi
C-A+V
2\, \! } Por exemplo, para un cubo tense 6 - 12 + 8
2 e para un tetraedro tense 4 - 6 + 4
2. A fórmula anterior tamén se chama fórmula de Euler, que se pode demostrar por indución matemática.
Outros exemplos poden atoparse na seguinte táboa Un poliedro que non sexa homeomorfo a unha esfera, como o poliedro toroidal da figura, que ten 48 caras, 22 vértices e 70 arestas obtense 22 - 70 + 480. Táboa coas característica de Euler doutros poliedros Xeneralización ás superficies
Unha superficie compacta como a esfera, o toro, o bitoro, un disco con bordo etc. xorde de deformar de forma continua un poliedro. Por exemplo, se se deforma un icosaedro ata obter unha esfera as arestas transfórmanse en curvas sobre a esfera, as caras son "triángulos" e os vértices puntos sobre as mesmas. Así, a esfera quedará "triangulada". Para definir a característica dunha superficie empréganse estas triangulacións realizando a fórmula análoga χ(S)
Triángulos - Lados + Vértices. En realidade as triangulacións non deben facerse necesariamente con triángulos, senón con calquera polígono, tendo en conta que dous polígonos só compartan unha aresta como máximo, e que, se comparten un lado, só compartan os dous vértices dese lado. Así a xeneralización da característica de Euler para unha superficie cerrada S é χ ( S )
Polígonos - Lados + Puntos {\displaystyle \chi (S)
{\mbox{Polígonos - Lados + Puntos}}\, \! } A característica de Euler de superficies orientadas pechadas relaciónase co seu xénero g, que é un número que describe a cantidade de «asas» que ten a superficie. A relación vén dada por: χ ( S )
2 − 2 g {\displaystyle \chi (S)
2-2g\, \! } Por exemplo: o toro ten unha asa e polo tanto χ
2 − 2 g
2 − 2
0 {\displaystyle \chi
2-2g
2-20}. Definición xeral e propiedades
Para un CW-complexo finito e en particular para un complexo simplicial finito, a característica de Euler pode definirse como a suma alternada χ
k 0 − k 1 + k 2 − ⋯, {\displaystyle \chi
k_{0}-k_{1}+k_{2}-\cdots, } onde ki denota o número de células de dimensión i.
Entón, pode definirse a característica de Euler dunha variedade como a característica de Euler dun complexo simplicial homeomorfo a el. Por exemplo, o círculo e o toro teñen característica de Euler 0 e as bólas sólidas teñen característica de Euler 1.
A característica de Euler é independente da triangulación. A fórmula pode tamén empregarse para as descomposicións en polígonos arbitrarios.
Para as variedades pechadas, a característica de Euler coincide co número de Euler, é dicir, a clase de Euler do seu fibrado tanxente avaliado na clase fundamental da variedade.
Para as variedades de Riemann pechadas, a característica de Euler pode atoparse tamén integrando a curvatura. Un análogo discreto do teorema de Gauss-Bonnet é o teorema de Descartes que indica que o "defecto total" dun poliedro, medido en círculos completos, é a característica de Euler do poliedro.
Máis xeralmente aínda, para calquera espazo topolóxico, podemos definir o n-ésimo número de Betti bn como o rango do n-ésimo grupo de homoloxía. A característica de Euler pode definirse entón como a suma alternada χ
b 0 − b 1 + b 2 − b 3 + ⋯. {\displaystyle \chi
b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\, \cdots. } Esta definición ten sentido se os números de Betti son todos finitos e cero máis aló dun determinado índice n0.
Dous espazos topolóxicos que son equivalentes homotópicos teñen grupos isomorfos de homoloxía e polo tanto a mesma característica de Euler.
Desta definición e a dualidade de Poincaré, séguese que a característica de Euler de calquera variedade pechada de dimensión impar é cero.
Se M e N son espazos topolóxicos, entón a característica de Euler do seu produto M × N é χ ( M × N )
χ ( M ) ⋅ χ ( N ) {\displaystyle \chi (M\times N)
\chi (M)\cdot \chi (N)}. Conxunto parcialmente ordenado
O concepto de característica de Euler dun conxunto parcialmente ordenado finito limitado é outra xeneralización, importante en combinatoria. Un conxunto parcialmente ordenado é limitado se ten elementos mínimos e máximos, que podemos chamar 0 e 1. A característica de Euler dese conxunto é μ(0, 1), onde μ é a función de Möbius na álxebra de incidencia do conxunto.