Ínfimo e supremo

En matemáticas, o ínfimo (abreviado inf) dun subconxunto S {\displaystyle S} dun conxunto parcialmente ordenado P {\displaystyle P} é o maior elemento en P {\displaystyle P} que é menor ou igual a cada elemento de S, {\displaystyle S, } se tal elemento existe. Se o ínfimo de S {\displaystyle S} existe, é único, e se b é un límite inferior de S {\displaystyle S}, entón b é menor ou igual ao ínfimo de S {\displaystyle S}. En consecuencia, o termo límite inferior máximo (abreviado como GLB en inglés) tamén se usa habitualmente. O supremo (abreviado sup) dun subconxunto S {\displaystyle S} dun conxunto parcialmente ordenado P {\displaystyle P} é o menor elemento P {\displaystyle P} que é maior ou igual a cada elemento de S, {\displaystyle S, } se tal elemento existe. Se o supremo de S {\displaystyle S} existe, é único, e se b é un límite superior de S {\displaystyle S}, entón o supremo de S {\displaystyle S} é menor ou igual a b. O supremo tamén se refire como o límite superior mínimo (ou LUB en inglés). Os conceptos de ínfimo e supremo están relacionados con mínimo e máximo, mais son máis útiles na análise porque caracterizan mellor os conxuntos especiais que poden non ter mínimo ou máximo. Por exemplo, o conxunto de números reais positivos R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} (sen incluír 0 {\displaystyle 0} ) non ten un mínimo, porque calquera elemento dado de R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} podería simplemente dividirse á metade, resultando un número menor que aínda está en R +. {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}. } Non obstante, hai exactamente un ínfimo dos números reais positivos relativos aos números reais: 0, {\displaystyle 0, } que é menor que todos os números reais positivos e maior que calquera outro número real que se poida usar como cota inferior. Definición formal
Un límite inferior a {\displaystyle a} de S {\displaystyle S} chámase ínfimo (ou límite inferior máximo) de S {\displaystyle S} se a ≤ x {\displaystyle a\leq x} para todo x ∈ S. {\displaystyle x\in S. } para todos os límites inferiores y {\displaystyle y} de S {\displaystyle S} en P {\displaystyle P}, y ≤ a {\displaystyle y\leq a} ( a {\displaystyle a} é maior que calquera outro límite inferior).
Do mesmo xeito, un límite superior dun subconxunto S {\displaystyle S} dun conxunto parcialmente ordenado ( P, ≤ ) {\displaystyle (P, \leq )} é un elemento b {\displaystyle b} de P {\displaystyle P} tal que b ≥ x {\displaystyle b\geq x} para todo x ∈ S. {\displaystyle x\in S. } para todos os límites superiores z {\displaystyle z} de S {\displaystyle S} en P {\displaystyle P}, z ≥ b {\displaystyle z\geq b} ( b {\displaystyle b} é menor que calquera outro límite superior). Existencia e unicidade
Ínfimo e supremo non necesariamente existen. A existencia dun ínfimo dun subconxunto S {\displaystyle S} de P {\displaystyle P} pode fallar se S {\displaystyle S} non ten límite inferior, ou se o conxunto de límites inferiores non contén un elemento maior. (Un exemplo diso é o subconxunto { x ∈ Q: x 2 < 2 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {Q}: x^{2}<2\}} de Q {\displaystyle \mathbb {Q} }, que ten límites superiores, como 1. 5, mais non ten límites superiores en Q {\displaystyle \mathbb {Q} }. )
Se o supremo dun subconxunto S {\displaystyle S} existe, é único. Así mesmo, se o infimum existe, é único. Relación cos elementos máximos e mínimos
O ínfimo dun subconxunto S {\displaystyle S} dun conxunto parcialmente ordenado P, {\displaystyle P, } supoñendo que exista, non necesariamente pertence a S. {\displaystyle S. } Se o fai, é un elemento mínimo ou mínimo de S. {\displaystyle S. } Do mesmo xeito, se o supremo de S {\displaystyle S} pertence a S, {\displaystyle S, } é un elemento máximo de S. {\displaystyle S. } Por exemplo, considere o conxunto de números reais negativos (excluíndo o cero). Este conxunto non ten elemento maior, xa que para cada elemento do conxunto, hai outro elemento máis grande. Por exemplo, para calquera número real negativo x, {\displaystyle x, } hai outro número real negativo x 2, {\displaystyle {\tfrac {x}{2}}, } que é maior. Por outra banda, todo número real maior ou igual a cero é certamente un límite superior neste conxunto. Polo tanto, 0 {\displaystyle 0} é o límite superior mínimo dos reais negativos, polo que o supremo é 0. Este conxunto ten un supremo pero non un maior elemento.
No entanto, a definición de elementos máximais e mínimais é máis xeral. En particular, un conxunto pode ter moitos elementos máximais e mínimais, mentres que ínfimo e supremo son únicos.
Mentres que os máximos e mínimos deben ser membros do subconxunto que se está a considerar, o ínfimo e o supremo dun subconxunto non teñen por que ser membros dese subconxunto. f ( sup S )
f ( lim n → ∞ s n )
lim n → ∞ f ( s n ), {\displaystyle f(\sup S)
f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)
\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right), } que (por exemplo) garante que f ( sup S ) {\displaystyle f(\sup S)} é un punto adherente do conxunto f ( S )
def { f ( s ): s ∈ S }. {\displaystyle f(S)\, {\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{
}}\, \{f(s): s\in S\}. } Se ademais do asumido, a función continua f {\displaystyle f} é tamén unha función crecente ou non decrecente, entón incluso é posible concluír que sup f ( S )
f ( sup S ). {\displaystyle \sup f(S)
f(\sup S). } Isto pódese aplicar, por exemplo, para concluír que sempre que g {\displaystyle g} é unha función de valor real (ou complexa ) con dominio Ω ≠ ∅ {\displaystyle \Omega \neq \varnothing } cuxa norma sup ‖ g ‖ ∞
def sup x ∈ Ω | g ( x ) | {\displaystyle \|g\|_{\infty }\, {\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{
}}\, \sup _{x\in \Omega }|g(x)|} é finita, entón para cada número real non negativo q, {\displaystyle q, } O produto dun número real r {\displaystyle r} e un conxunto B {\displaystyle B} dos números reais é o conxunto Ínfimo e supremo dos números reais
Que o conxunto dos números reais sexa completo iimplica (e é equivalente a) que calquera subconxunto non baleiro limitado S {\displaystyle S} dos números reais ten un ínfimo e un supremo. Se S {\displaystyle S} non está limitado por baixo, adoita escribirse formalmente inf S
− ∞. {\displaystyle \inf _{}S
-\infty. } Se S {\displaystyle S} está baleiro, escríbese inf S
+ ∞. {\displaystyle \inf _{}S
+\infty. }
Propiedades
Se A {\displaystyle A} é calquera conxunto de números reais entón A ≠ ∅ {\displaystyle A\neq \varnothing } se e só se sup A ≥ inf A, {\displaystyle \sup A\geq \inf A, } e doutro xeito − ∞
sup ∅ < inf ∅
∞. {\displaystyle -\infty
\sup \varnothing <\inf \varnothing
\infty. } Se A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} son conxuntos de números reais entón inf A ≥ inf B {\displaystyle \inf A\geq \inf B} (a non ser que A
∅ ≠ B {\displaystyle A
\varnothing \neq B} ) e sup A ≤ sup B. {\displaystyle \sup A\leq \sup B. } Identificando o ínfimo e o supremo
Se o ínfimo de A {\displaystyle A} existe (é dicir, inf A {\displaystyle \inf A} é un número real) e se p {\displaystyle p} é calquera número real entón p
inf A {\displaystyle p
\inf A} se e só se p {\displaystyle p} é un límite inferior e para cada ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} hai un a ϵ ∈ A {\displaystyle a_{\epsilon }\in A} con a ϵ < p + ϵ. {\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon. } Do mesmo xeito, se sup A {\displaystyle \sup A} é un número real e se p {\displaystyle p} é calquera número real entón p
sup A {\displaystyle p
\sup A} se e só se p {\displaystyle p} é un límite superior e se para cada ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} hai un a ϵ ∈ A {\displaystyle a_{\epsilon }\in A} con a ϵ > p − ϵ. {\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon. } Relación cos límites de secuencias
Se S ≠ ∅ {\displaystyle S\neq \varnothing } é calquera conxunto non baleiro de números reais, entón sempre existe unha secuencia non decrecente s 1 ≤ s 2 ≤ ⋯ {\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots } en S {\displaystyle S} tal que lim n → ∞ s n
sup S. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}
\sup S. } Do mesmo xeito, existirá unha secuencia non crecente (posiblemente diferente). s 1 ≥ s 2 ≥ ⋯ {\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots } en S {\displaystyle S} tal que lim n → ∞ s n
inf S. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}
\inf S. } Expresar o ínfimo e o supremo como límite dunha secuencia deste tipo permite aplicar teoremas de varias ramas das matemáticas. Considere por exemplo o feito ben coñecido en topoloxía que se f {\displaystyle f} é unha función continua e s 1, s 2, … {\displaystyle s_{1}, s_{2}, \ldots } é unha secuencia de puntos do seu dominio que converxe a un punto p, {\displaystyle p, } entón f ( s 1 ), f ( s 2 ), … {\displaystyle f\left(s_{1}\right), f\left(s_{2}\right), \ldots } converxe necesariamente a f ( p ). {\displaystyle f(p). } Implica que se lim n → ∞ s n
sup S {\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}
\sup S} é un número real (onde todos s 1, s 2, … {\displaystyle s_{1}, s_{2}, \ldots } están en S {\displaystyle S} ) e se f {\displaystyle f} é unha función continua cuxo dominio contén S {\displaystyle S} e sup S, {\displaystyle \sup S, } entón ‖ g ‖ ∞ q
def ( sup x ∈ Ω | g ( x ) | ) q
sup x ∈ Ω ( | g ( x ) | q ) {\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{
}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}
\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)} posto que o mapa f: [ 0, ∞ ) → R {\displaystyle f: [0, \infty )\to \mathbb {R} } definido por f ( x )
x q {\displaystyle f(x)
x^{q}} é unha función continua non decrecente cuxo dominio [ 0, ∞ ) {\displaystyle [0, \infty )} sempre contén S:
{ | g ( x ) |: x ∈ Ω } {\displaystyle S:
\{|g(x)|: x\in \Omega \}} e sup S
def ‖ g ‖ ∞. {\displaystyle \sup S\, {\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{
}}\, \|g\|_{\infty }. } A + B:
{ a + b: a ∈ A, b ∈ B } {\displaystyle A+B~:
~\{a+b: a\in A, b\in B\}} Aínda que esta discusión centrouse en sup, {\displaystyle \sup, } pódese chegar a conclusións semellantes con inf {\displaystyle \inf } cos cambios adecuados (como esixir que f {\displaystyle f} ser non crecente en lugar de non diminuír). Outras normas definidas en termos de sup {\displaystyle \sup } ou inf {\displaystyle \inf } inclúen as normas de espazos febles L p, w {\displaystyle L^{p, w}} (para 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } ), a norma no espazo de Lebesgue L ∞ ( Ω, μ ), {\displaystyle L^{\infty }(\Omega, \mu ), } e normas de operador. As secuencias monótonas en S {\displaystyle S} que converxen a sup S {\displaystyle \sup S} (ou a inf S {\displaystyle \inf S} ) tamén se pode usar para axudar a probar moitas das fórmulas que se indican a continuación, xa que a suma e a multiplicación de números reais son operacións continuas.
Operacións aritméticas sobre conxuntos
As seguintes fórmulas dependen dunha notación que xeneraliza convenientemente as operacións aritméticas sobre conxuntos. En todo o que segue, A, B ⊆ R {\displaystyle A, B\subseteq \mathbb {R} } son conxuntos de números reais.
Suma de conxuntos
A suma de Minkowski de dous conxuntos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} dos números reais é o conxunto inf ( A + B )
( inf A ) + ( inf B ) {\displaystyle \inf(A+B)
(\inf A)+(\inf B)} composto por todas as posibles sumas aritméticas de pares de números, un de cada conxunto. O ínfimo e o supremo da suma de Minkowski satisfai sup ( A + B )
( sup A ) + ( sup B ). {\displaystyle \sup(A+B)
(\sup A)+(\sup B). } A multiplicación de dous conxuntos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} dos números reais defínese de forma similar á súa suma de Minkowski: A ⋅ B:
{ a ⋅ b: a ∈ A, b ∈ B }. {\displaystyle A\cdot B~:
~\{a\cdot b: a\in A, b\in B\}. } Produto de conxuntos r B:
{ r ⋅ b: b ∈ B }. {\displaystyle rB~:
~\{r\cdot b: b\in B\}. } Se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} son conxuntos non baleiros de números reais positivos daquela inf ( A ⋅ B )
( inf A ) ⋅ ( inf B ) {\displaystyle \inf(A\cdot B)
(\inf A)\cdot (\inf B)} e do mesmo xeito para o supremo sup ( A ⋅ B )
( sup A ) ⋅ ( sup B ). {\displaystyle \sup(A\cdot B)
(\sup A)\cdot (\sup B). } Produto escalar dun conxunto inf ( r ⋅ A )
r ( inf A ) and sup ( r ⋅ A )
r ( sup A ), {\displaystyle \inf(r\cdot A)
r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)
r(\sup A), } Se r ≥ 0 {\displaystyle r\geq 0} daquela inf ( r ⋅ A )
r ( sup A ) and sup ( r ⋅ A )
r ( inf A ). {\displaystyle \inf(r\cdot A)
r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)
r(\inf A). } mentres que se r ≤ 0 {\displaystyle r\leq 0} entón inf ( − A )
− sup A and sup ( − A )
− inf A. {\displaystyle \inf(-A)
-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)
-\inf A. } 1 S:
{ 1 s: s ∈ S }. {\displaystyle {\frac {1}{S}}~:
\; \left\{{\tfrac {1}{s}}: s\in S\right\}. } Inverso multiplicativo dun conxunto
Para calquera conxunto S {\displaystyle S} que non contén 0, {\displaystyle 0, } sexa 1 sup S
inf 1 S {\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~
~\inf _{}{\frac {1}{S}}} Se S ⊆ ( 0, ∞ ) {\displaystyle S\subseteq (0, \infty )} non está baleiro entón x ≤ y en P op se e só se x ≥ y en P, {\displaystyle x\leq y{\text{ en }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ se e só se }}\quad x\geq y{\text{ en }}P, } onde esta ecuación tamén vale cando sup S
∞ {\displaystyle \sup _{}S
\infty } se usamos a definición 1 ∞:
0 {\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:
0}. Esta igualdade pódese escribir alternativamente como 1 sup s ∈ S s
inf s ∈ S 1 s. {\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}
\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}. } Alén diso, inf S
0 {\displaystyle \inf _{}S
0} se e só se sup 1 S
∞, {\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}
\infty, } onde se inf S > 0, {\displaystyle \inf _{}S>0, } entón 1 inf S
sup 1 S. {\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}
\sup _{}{\tfrac {1}{S}}. } Dualidade
Se se denota por P op {\displaystyle P^{\operatorname {op} }} o conxunto parcialmente ordenado P {\displaystyle P} coa relación de orde oposta; é dicir, para todo x e y, {\displaystyle x{\text{ e }}y, } declaramos: sup { f ( t ) + g ( t ): t ∈ A } ≤ sup { f ( t ): t ∈ A } + sup { g ( t ): t ∈ A } {\displaystyle \sup\{f(t)+g(t): t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t): t\in A\}+\sup\{g(t): t\in A\}} entón o ínfimo dun subconxunto S {\displaystyle S} en P {\displaystyle P} é igual ao supremo de S {\displaystyle S} en P op {\displaystyle P^{\operatorname {op} }} e viceversa.
Para os subconxuntos dos números reais, cúmprese outro tipo de dualidade: inf S
− sup ( − S ), {\displaystyle \inf S
-\sup(-S), } onde − S:
{ − s: s ∈ S }. {\displaystyle -S:
\{-s~: ~s\in S\}. } Exemplos
Ínfimo
O ínfimo do conxunto dos números { 2, 3, 4 } {\displaystyle \{2, 3, 4\}} é 2. {\displaystyle 2. } O número 1 {\displaystyle 1} é un límite inferior, mais non o límite inferior maior e, polo tanto, non é o ínfimo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
Máis xeralmente, se un conxunto ten un elemento máis pequeno, entón o elemento máis pequeno é o ínfimo para o conxunto. Neste caso, tamén se denomina mínimo do conxunto. inf { x ∈ R: 0 < x < 1 }
0. {\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R}: 0<x<1\}
0. } inf { x ∈ Q: x 3 > 2 }
23. {\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q}: x^{3}>2\right\}
{\sqrt[{3}]{2}}. } inf { ( − 1 ) n + 1 n: n
1, 2, 3, … }
− 1. {\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}: n
1, 2, 3, \ldots \right\}
-1. } Se ( x n ) n
1 ∞ {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n
1}^{\infty }} é unha secuencia decrecente con límite x, {\displaystyle x, } entón inf x n
x. {\displaystyle \inf x_{n}
x. }
Supremo
O supremo do conxunto de números { 1, 2, 3 } {\displaystyle \{1, 2, 3\}} é 3. {\displaystyle 3. } O número 4 {\displaystyle 4} é un límite superior, mais non é o límite superior mínimo e, polo tanto, non é o supremo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o supremo e o máximo son iguais. sup { x ∈ R: 0 < x < 1 }
sup { x ∈ R: 0 ≤ x ≤ 1 }
1. {\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R}: 0<x<1\}
\sup\{x\in \mathbb {R}: 0\leq x\leq 1\}
1. } sup { ( − 1 ) n − 1 n: n
1, 2, 3, … }
1. {\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}: n
1, 2, 3, \ldots \right\}
1. } sup { a + b: a ∈ A, b ∈ B }
sup A + sup B. {\displaystyle \sup\{a+b: a\in A, b\in B\}
\sup A+\sup B. } sup { x ∈ Q: x 2 < 2 }
2. {\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q}: x^{2}<2\right\}
{\sqrt {2}}. } No último exemplo, o supremo dun conxunto de racionais é irracional, o que significa que os racionais son incompletos.
Unha propiedade básica do supremo é sup { f ( t ) + g ( t ): t ∈ A } ≤ sup { f ( t ): t ∈ A } + sup { g ( t ): t ∈ A } {\displaystyle \sup\{f(t)+g(t): t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t): t\in A\}+\sup\{g(t): t\in A\}} para calquera funcionais f {\displaystyle f} e g. {\displaystyle g. } O supremo dun subconxunto S {\displaystyle S} de ( N, ∣ ) {\displaystyle (\mathbb {N}, \mid \, )} onde ∣ {\displaystyle \, \mid \, } denota " divide", é o mínimo común múltiplo dos elementos de S. {\displaystyle S. }