Función de partición

En teoría de números, a función de partición p(n) representa o número de posíbeis particións dun enteiro non negativo n. Por exemplo, p(4) 5 porque o número enteiro 4 ten as cinco particións 1 + 1 + 1 + 1; 1 + 1 + 2; 1 + 3; 2 + 2 e 4.
Non se coñece ningunha expresión de forma pechada para a función de partición, mais ten tanto expansións asintóticas que a aproximan con precisión como relacións de recorrencia polas que se pode calcular exactamente. Medra como función exponencial da raíz cadrada do seu argumento. O inverso multiplicativo da súa función xeradora é a función de Euler; polo teorema dos números pentagonais de Euler esta función é unha suma alterna de potencias numéricas pentagonais do seu argumento.
Srinivasa Ramanujan descubriu por primeira vez que a función de partición ten patróns non triviais en aritmética modular, agora coñecidos como congruencias de Ramanujan. Por exemplo, sempre que a representación decimal de n remate no díxito 4 ou 9, o número de particións de n será divisíbel por 5. Definición e exemplos
Para un número enteiro positivo n, p(n) é o número de formas distintas de representar n como unha suma de números enteiros positivos. Para os efectos desta definición, a orde dos termos na suma é irrelevante: dúas sumas cos mesmos termos nunha orde diferente non se consideran distintas.
Por convención p(0)
1, xa que hai unha forma (a suma baleira ) de representar cero como unha suma de enteiros positivos. A maiores p(n)
0 cando n é negativo.
Os primeiros valores da función de partición, comezando por p(0) 1, son: Función xeradora
A función xeradora para p (n) vén dada por ∑ n
0 ∞ p ( n ) x n
∏ k
1 ∞ ( 11 − x k )
( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ) ( 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ⋯ ) ( 1 + x 3 + x 6 + x 9 + ⋯ ) ⋯
11 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − ⋯
1 / ∑ k
− ∞ ∞ ( − 1 ) k x k ( 3 k − 1 ) / 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n
0}^{\infty }p(n)x^{n}&
\prod _{k
1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)\\&
\left(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \right)\left(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\cdots \right)\left(1+x^{3}+x^{6}+x^{9}+\cdots \right)\cdots \\&
{\frac {1}{1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots }}\\&
1{\Big /}\sum _{k
-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{k(3k-1)/2}. \end{aligned}}} A igualdade entre os produtos da primeira e segunda liñas desta fórmula obtense coa expansión de cada factor 1 / ( 1 − x k ) {\displaystyle 1/(1-x^{k})} na serie xeométrica ( 1 + x k + x 2 k + x 3 k + ⋯ ). {\displaystyle (1+x^{k}+x^{2k}+x^{3k}+\cdots ). } Para ver que o produto expandido é igual á suma da primeira liña, aplicamos a lei distributiva. Isto expande o produto nunha suma de monomios da forma x a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 ⋯ {\displaystyle x^{a_{1}}x^{2a_{2}}x^{3a_{3}}\cdots } para algunha secuencia de coeficientes a i {\displaystyle a_{i}}, só un número finito deles poden ser distintos de cero. O expoñente do termo é n
∑ i a i {\textstyle n
\sum ia_{i}}, e esta suma pódese interpretar como unha representación de n {\displaystyle n} como partición en a i {\displaystyle a_{i}} copias de cada número i {\displaystyle i}. Polo tanto, o número de termos do produto que teñen expoñente n {\displaystyle n} é exactamente p ( n ) {\displaystyle p(n)}, o mesmo que o coeficiente de x n {\displaystyle x^{n}} na suma da esquerda. Polo tanto, a suma é igual ao produto.
A función que aparece no denominador na terceira e cuarta liñas da fórmula é a función de Euler. A igualdade entre o produto da primeira liña e as fórmulas da terceira e cuarta liñas é o teorema dos números pentagonais de Euler. Os expoñentes de x {\displaystyle x} nestas liñas son os números pentagonais P k
k ( 3 k − 1 ) / 2 {\displaystyle P_{k}
k(3k-1)/2} para k ∈ { 0, 1, − 1, 2, − 2, … } {\displaystyle k\in \{0, 1, -1, 2, -2, \dots \}}. Relacións de recorrencia
A mesma secuencia de números pentagonais aparece nunha relación de recorrencia para a función de partición: p ( n )
∑ k ∈ Z ∖ { 0 } ( − 1 ) k + 1 p ( n − k ( 3 k − 1 ) / 2 )
p ( n − 1 ) + p ( n − 2 ) − p ( n − 5 ) − p ( n − 7 ) + p ( n − 12 ) + p ( n − 15 ) − p ( n − 22 ) − ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}p(n)&
\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}(-1)^{k+1}p(n-k(3k-1)/2)\\&
p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-p(n-22)-\cdots \end{aligned}}} Como casos básicos considramos p ( 0 ) {\displaystyle p(0)} igual 1 {\displaystyle 1}, e p ( k ) {\displaystyle p(k)} igual a cero para k {\displaystyle k} negativo. Aínda que a suma do lado dereito parece infinita, só ten un número finito de termos distintos de cero, procedentes dos valores de k {\displaystyle k} distintos de cero na franxa − 24 n + 1 − 16 ≤ k ≤ 24 n + 1 + 16. {\displaystyle -{\frac {{\sqrt {24n+1}}-1}{6}}\leq k\leq {\frac {{\sqrt {24n+1}}+1}{6}}. } A relación de recorrencia tamén se pode escribir na forma equivalente p ( n )
∑ k
1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( p ( n − k ( 3 k − 1 ) / 2 ) + p ( n − k ( 3 k + 1 ) / 2 ) ). {\displaystyle p(n)
\sum _{k
1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\big (}p(n-k(3k-1)/2)+p(n-k(3k+1)/2){\big )}. } Congruencias
Srinivasa Ramanujan descubriu que a función de partición ten modelos non triviais na aritmética modular. Por exemplo, o número de particións é divisíbel por cinco sempre que a representación decimal de n {\displaystyle n} remata no díxito 4 ou 9, como se expresa pola congruencia p ( 5 k + 4 ) ≡ 0 ( mod 5 ) {\displaystyle p(5k+4)\equiv 0{\pmod {5}}} Por exemplo, o número de particións para o número enteiro 4 é 5. Para o número enteiro 9 é 30; para 14 hai 135 particións. Esta congruencia vén implicada pola identidade máis xeral ∑ k
0 ∞ p ( 5 k + 4 ) x k
5 ( x 5 ) ∞ 5 ( x ) ∞ 6, {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }p(5k+4)x^{k}
5~{\frac {(x^{5})_{\infty }^{5}}{(x)_{\infty }^{6}}}, } tamén debida a Ramanujan, onde a notación ( x ) ∞ {\displaystyle (x)_{\infty }} denota o produto definido por ( x ) ∞
∏ m
1 ∞ ( 1 − x m ). {\displaystyle (x)_{\infty }
\prod _{m
1}^{\infty }(1-x^{m}). } Unha pequena proba deste resultado pódese obter a partir da función xeradora da función de partición.
Ramanujan tamén descubriu congruencias módulo 7 e 11: p ( 7 k + 5 ) ≡ 0 ( mod 7 ), p ( 11 k + 6 ) ≡ 0 ( mod 11 ). {\displaystyle {\begin{aligned}p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}}, \\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}. \end{aligned}}} O primeiro procede da identidade de Ramanujan ∑ k
0 ∞ p ( 7 k + 5 ) x k
7 ( x 7 ) ∞ 3 ( x ) ∞ 4 + 49 x ( x 7 ) ∞ 7 ( x ) ∞ 8. {\displaystyle \sum _{k
0}^{\infty }p(7k+5)x^{k}
7~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{3}}{(x)_{\infty }^{4}}}+49x~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{7}}{(x)_{\infty }^{8}}}. } Fórmulas de aproximación
Existen fórmulas de aproximación que son máis rápidas de calcular que a fórmula exacta indicada anteriormente.
Unha expresión asintótica para p(n) vén dada por p ( n ) ∼ 14 n 3 exp ⁡ ( π 2 n 3 ) {\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right)} cando n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }.
Esta fórmula asintótica foi obtida por primeira vez por GH Hardy e Ramanujan en 1918 e de forma independente por JV Uspensky en 1920. Considerando p ( 1000 ) {\displaystyle p(1000)}, a fórmula asintótica dá aproximadamente 2. 4402 × 1031 {\displaystyle 2. 4402\times 10^{31}}, razoabelmente preto da resposta exacta (un 1, 415 % maior que o valor verdadeiro).
Paul Erdős (1942) publicou unha proba elemental da fórmula asintótica de p ( n ) {\displaystyle p(n)}. Función de partición estrita
Definición e propiedades
Unha partición na que ningunha parte aparece máis dunha vez chámase estrita. A función q(n) dá o número destas particións estritas con suma n. Por exemplo, q(3) 2 porque as particións 3 e 1 + 2 son estritas, mentres que a terceira partición 1 + 1 + 1 de 3 ten partes repetidas. Pore outro parte resulta que o número q(n) coincide co número de particións de n nas que só se permiten sumandos impares.
Función xeradora
A función xeradora dos números q(n) vén dada por un produto infinito simple: ∑ n
0 ∞ q ( n ) x n
∏ k
1 ∞ ( 1 + x k )
( x; x 2 ) ∞ − 1, {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }q(n)x^{n}
\prod _{k
1}^{\infty }(1+x^{k})
(x; x^{2})_{\infty }^{-1}, } onde a notación ( a; b ) ∞ {\displaystyle (a; b)_{\infty }} representa o símbolo de Pochhammer ( a; b ) ∞
∏ k
0 ∞ ( 1 − a b k ). {\displaystyle (a; b)_{\infty }
\prod _{k
0}^{\infty }(1-ab^{k}). } A partir desta fórmula, pódense obter facilmente os primeiros termos (secuencia A000009 na OEIS): ∑ n
0 ∞ q ( n ) x n
1 + 1 x + 1 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + 4 x 6 + 5 x 7 + 6 x 8 + 8 x 9 + 10 x 10 + …. {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }q(n)x^{n}
1+1x+1x^{2}+2x^{3}+2x^{4}+3x^{5}+4x^{6}+5x^{7}+6x^{8}+8x^{9}+10x^{10}+\ldots. } Función de partición restrinxida
De forma máis xeral, é posíbel considerar particións restrinxidas só a elementos dun subconxunto A dos números naturais (por exemplo, unha restrición no valor máximo das partes), ou cunha restrición no número de partes ou á diferenza máxima entre as partes. Cada restrición particular dá lugar a unha función de partición asociada con propiedades específicas. A continuación móstranse algúns exemplos comúns.
Teorema de Euler e Glaisher
Dous exemplos importantes son as particións restrinxidas só a partes enteiras impares ou só a partes enteiras pares, coas funcións de partición correspondentes a miúdo denotadas p o ( n ) {\displaystyle p_{o}(n)} e p e ( n ) {\displaystyle p_{e}(n)} (do inglés odd e even).
Un teorema de Euler mostra que o número de particións estritas é igual ao número de particións con só partes impares: para todo n, q ( n )
p o ( n ) {\displaystyle q(n)
p_{o}(n)}. Isto xeneralízase no teorema de Glaisher, que afirma que o número de particións con non máis de d-1 repeticións de calquera parte é igual ao número de particións sen parte divisíbel por d.
Coeficiente binomial de Gauss
Se denotamos p ( N, M, n ) {\displaystyle p(N, M, n)} o número de particións de n como máximo en M partes, sendo cada parte menor ou igual a N, entón a función xeradora de p ( N, M, n ) {\displaystyle p(N, M, n)} é o seguinte coeficiente binomial de Gauss: ∑ n
0 ∞ p ( N, M, n ) q n
( N + M M ) q
( 1 − q N + M ) ( 1 − q N + M − 1 ) ⋯ ( 1 − q N + 1 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q M ) {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }p(N, M, n)q^{n}
{N+M \choose M}_{q}
{\frac {(1-q^{N+M})(1-q^{N+M-1})\cdots (1-q^{N+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{M})}}}