Teorema da función inversa

Na rama da matemática denominada análise matemática, o teorema da función inversa proporciona as condicións suficientes para que unha aplicación sexa invertíbel localmente no contorno dun punto p en termos da súa derivada no punto. O teorema pódese enunciar para aplicacións en Rn ou xeneralizar a variedades diferenciábeis ou espazos de Banach.
O teorema estabelece que se o campo vectorial está definido entre dous conxuntos da mesma dimensión topolóxica, o campo ten as súas primeiras derivadas continuas e a xacobiana nun punto do dominio é invertíbel, entón o campo tamén é invertible localmente. Máis aínda, o xacobiano da inversa no punto imaxe é igual á inversa do xacobiano no punto. ( F − 1 ( p ) ) ′
( F ′ ( p ) ) − 1 {\displaystyle (F^{-1}(p))'
(F'(p))^{-1}\, } Enunciado
A versión en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} do teorema é a seguinte:
Sexa f: A ⊆ R n → R n {\displaystyle f: A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} unha función C1. Supoñendo que para a ∈ A {\displaystyle a\in A}, a diferencial D f ( a ) {\displaystyle Df(a)\, } é invertible e que f ( a )
b {\displaystyle f(a)
b\, }, entón existen abertos U, V ⊂ R n {\displaystyle U, V\subset \mathbb {R} ^{n}} de modo que a ∈ U {\displaystyle a\in U}, b ∈ V {\displaystyle b\in V} e f: U → V {\displaystyle f: U\rightarrow V} é unha función bixectiva, polo que a inversa f − 1: V → U {\displaystyle f^{-1}: V\rightarrow U} de f {\displaystyle f\, } é C1 e polo tanto D f − 1 ( b )
[ D f ( a ) ] − 1 {\displaystyle Df^{-1}(b)
[Df(a)]^{-1}\, }. Exemplo
Considerando a función F de R2 en R2 definida por F ( x, y )
[ e x cos ⁡ y e x sin ⁡ y ] {\displaystyle \mathbf {F} (x, y)
{\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}} O seu xacobiano é J F ( x, y )
[ e x cos ⁡ y − e x sin ⁡ y e x sin ⁡ y e x cos ⁡ y ] {\displaystyle J_{F}(x, y)
{\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}} e o seu determinante det J F ( x, y )
e 2 x cos 2 ⁡ y + e 2 x sin 2 ⁡ y
e 2 x. {\displaystyle \det J_{F}(x, y)
e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y
e^{2x}. \, \! } Coma o determinante e2x é non nulo en todo punto, aplicando o teorema, para cada punto p de R2, existe unha contorna de p na que F é invertible. Variedades diferenzables
Neste contexto, o teorema afirma que dada unha aplicación F: M → N entre dúas variedades diferenzables, se aa diferencial de F, (dF)p: TpM → TF(p)N
é un isomorfismo linear (é dicir, isomorfismo entre espazos vectoriais) nun punto p de M, entón existe unha contorna aberta U de p tal que F|U: U → F(U)
é un difeomorfismo.
Expresado doutra maneira, se a diferencial de F é un isomorfismo en tódolos puntos p de M, entón a aplicación F é un difeomorfismo local. Inversa global
O teorema da función inversa só garante localmente a existencia dunha función inversa. Os requirimentos para a existencia dunha inversa global son algo máis complexos e non están garantidos polo cumprimento das condicións do teorema da función inversa.
Dada unha función diferenciable: f: Ω ⊂ R n → R m, m ≥ n, f ∈ C 1 ( Ω, R m ) {\displaystyle f: \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}, \quad m\geq n, \quad f\in C^{1}(\Omega, \mathbb {R} ^{m})} Pode demostrarse que existe unha constante c ( Ω ) {\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )} se cumpre: max x ∈ Ω ¯ ‖ D u f ( x ) ‖
sup x ∈ Ω ‖ D u f ( x ) ‖ < c ( Ω ) ≤ 1 {\displaystyle \max _{x\in {\bar {\Omega }}}\|Du_{f}(x)\|
\sup _{x\in \Omega }\|Du_{f}(x)\|<c(\Omega )\leq 1} De maneira que a función f admite inversa global, onde uf é o vector de desprazamento asociado á función definido como a resta vectorial entre a imaxe dun punto e a súa posición inicial: u f ( x )
f ( x ) − x ∈ R n {\displaystyle u_{f}(x)
f(x)-x\in \mathbb {R} ^{n}} Pode demostrarse que c ( Ω )
1 {\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )
1} se o dominio Ω {\displaystyle \scriptstyle \Omega } é convexo, mentres que un dominio non convexo require c ( Ω ) < 1 {\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )<1}.