Rango (álxebra linear)

o rango dunha familia de vectores é a dimensión do subespazo vectorial xerado por esta familia. Por exemplo, para unha familia de vectores linearmente independentes, o seu rango é o número de vectores;
o rango dun mapa linear f {\displaystyle f} de E {\displaystyle E} en F {\displaystyle F} é a dimensión da súa imaxe, que é un subespazo vectorial de F {\displaystyle F}. O teorema do rango relaciona a dimensión de E {\displaystyle E}, a dimensión do kernel de f {\displaystyle f} e o rango de f {\displaystyle f};
o rango dunha matriz é o rango do mapa linear que representa, ou o rango da familia dos seus vectores columna;
O rango dun sistema de ecuacións lineares é o número de ecuacións que ten calquera sistema escalonado equivalente. É igual ao rango da matriz de coeficientes do sistema. Rango dunha matriz
O rango dunha matriz A {\displaystyle A} (cuxos coeficientes pertencen a un corpo conmutativo de escalares, K {\displaystyle \mathbb {K} } ), denotado rank ( A ) {\displaystyle {\text{rank}}(A)}, pode definirse mediante calquera dos seguintes enunciados: o número máximo de vectores fila (ou columna) linearmente independentes;
a dimensión do subespazo vectorial xerado polos vectores fila (ou columna) de A {\displaystyle A};
a maior orde das matrices cadradas invertíbeis extraídas de A {\displaystyle A};
a maior das ordes de menores non nulos de A {\displaystyle A};
o menor tamaño das matrices B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} cuxo produto é igual a A {\displaystyle A}.
O rango pódese determinar realizando unha eliminación mediante o método Gauss-Jordan e examinando a forma escalonada obtida deste xeito.
Exemplo
Considere a seguinte matriz: A
( 1023204602201243 ) {\displaystyle A
{\begin{pmatrix}1&0&2&3\\2&0&4&6\\0&2&2&0\\1&2&4&3\\\end{pmatrix}}} Chamamos l 1, l 2, l 3, l 4 {\displaystyle l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}} os vectores formados polas catro filas de A {\displaystyle A}.
Vemos que o 2 fila é o duplo da primeira fila, polo que o rango de A {\displaystyle A} é igual ao da familia ( l 1, l 3, l 4 ) {\displaystyle (l_{1}, l_{3}, l_{4})}.
Tamén observamos que a fila cuarta pódese formar sumando as filas 1 e 3 (i. e. l 4
l 1 + l 3 {\displaystyle l_{4}
l_{1}+l_{3}} ). Entón o rango de ( l 1, l 3, l 4 ) {\displaystyle (l_{1}, l_{3}, l_{4})} é igual ao de ( l 1, l 3 ) {\displaystyle (l_{1}, l_{3})}.
As liñas 1 e 3 son linearmente independentes (é dicir, non proporcionais). Así temos que ( l 1, l 3 ) {\displaystyle (l_{1}, l_{3})} é de rango 2 e por tanto o rango de A {\displaystyle A} é 2. Rango dunha forma cuadrática
O rango dunha forma cuadrática é o rango da matriz asociada. Rango dun mapa linear
Dados dous K {\displaystyle K} -espazos vectoriais E {\displaystyle E}, F {\displaystyle F}, onde K {\displaystyle K} é un corpo conmutativo e un mapa linear f {\displaystyle f} de E {\displaystyle E} en F {\displaystyle F}, o rango de f {\displaystyle f} é a dimensión da imaxe f {\displaystyle f}.
Se E {\displaystyle E} e F {\displaystyle F} son de dimensións finitas, tamén é o rango da matriz asociada f {\displaystyle f} en dúas bases de E {\displaystyle E} e F {\displaystyle F}. En particular, o rango da matriz asociada f {\displaystyle f} non depende das bases escollidas para representar f {\displaystyle f}. De feito, a multiplicación pola dereita ou pola esquerda por unha matriz invertíbel non modifica o rango, o que leva rank ( P − 1 A Q )
rank ( A ) {\displaystyle {\text{rank}}\left(P^{-1}AQ\right)
{\text{rank}}(A)}, onde A {\displaystyle A} é a matriz que representa f {\displaystyle f} nun primeiro par de bases, e P {\displaystyle P}, Q {\displaystyle Q} son as matrices de cambio de bases. Rango dunha familia de vectores
Para unha familia, o seu rango corresponde ao número máximo de vectores que pode conter unha subfamilia libre desta familia.
Tamén podemos definir o rango dunha familia u {\displaystyle u} por: rank ( u )
dim ⁡ ( Vect ( u ) ) {\displaystyle {\text{rank}}(u)
\dim({\text{Vect}}(u))}.
Nota: se ( u 1, …, u n ) {\displaystyle (u_{1}, \dots, u_{n})} é unha familia de vectores indexados polos enteiros de 1 a n {\displaystyle n}, entón o rango de u {\displaystyle u} é o rango do mapa linear K n → E: ( r 1, …, r n ) ↦ ∑ r i u i {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}\rightarrow E: (r_{1}, \dots, r_{n})\mapsto \sum r_{i}u_{i}} Onde K {\displaystyle \mathbb {K} } é o corpo dos escalares. A razón é esta: Vect ( u ) {\displaystyle {\text{Vect}}(u)} é a imaxe deste mapa linear. Teorema do rango
Teorema do rango: sexa f {\displaystyle f} unha aplicación linear de E {\displaystyle E} en F {\displaystyle F}, dim ⁡ ( E )
rank ( f ) + dim ⁡ ( Ker ( f ) ) {\displaystyle \dim(E)
{\text{rank}}(f)+\dim({\text{Ker}}(f))} Caso no que o corpo dos escalares non é conmutativo
No anterior, asumimos que o corpo dos escalares é conmutativo. Podemos estender a noción de rango dunha matriz ao caso en que o corpo de escalares non é necesariamente conmutativo, pero a definición é un pouco máis delicada.
Sexa K {\displaystyle K} un corpo non necesariamente conmutativo e M {\displaystyle M} unha matriz con m filas e n columnas con coeficientes en K {\displaystyle \mathbb {K} }. Chamamos rango de M {\displaystyle M} (en relación con K {\displaystyle K} ) á dimensión do subespazo xerado polas columnas de M {\displaystyle M} en K m {\displaystyle K^{m}} equipado coa súa estrutura de K {\displaystyle K} -espazo vectorial pola dereita. Demostramos que o rango de M {\displaystyle M} tamén é igual á dimensión do subespazo xerado polas filas de M {\displaystyle M} en K n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}} equipado coa súa estrutura de espazo vectorial K pola esquerda.
Considere por exemplo un corpo non conmutativo K e a matriz A:
( a 1 c a c ) {\displaystyle A:
{\begin{pmatrix}a&1\\ca&c\\\end{pmatrix}}}, onde a {\displaystyle a} e c {\displaystyle c} son dous elementos de K {\displaystyle K} que non conmutan (e son distintos de cero).
As dúas filas desta matriz están relacionadas linearmente no espazo vectorial pola esquerda K 2 {\displaystyle K^{2}}, porque c ( a, 1 ) − ( c a, c )
( 0, 0 ) {\displaystyle c(a, 1)-(ca, c)
(0, 0)}. Do mesmo xeito, as dúas columnas están relacionadas no espazo vectorial pola dereita K 2 {\displaystyle K^{2}}, porque ( a, c a ) − ( 1, c ) a
( 0, 0 ) {\displaystyle (a, ca)-(1, c)a
(0, 0)}. O rango da matriz é, polo tanto, igual a 1.
Por outra banda, as dúas columnas non están relacionadas no espazo vectorial pola esquerda K 2 {\displaystyle K^{2}}. De feito, sexan d {\displaystyle d}, e {\displaystyle e} escalares tal que d ( a, c a ) + e ( 1, c )
( 0, 0 ) {\displaystyle d(a, ca)+e(1, c)
(0, 0)}. Entón (primeiros compoñentes) e
− d a {\displaystyle e
-da}, polo tanto (segundos compoñentes) d c a − d a c
0 {\displaystyle dca-dac
0}. Posto que a {\displaystyle a}, c {\displaystyle c} non conmutan, isto resulta en d
0 {\displaystyle d
0} (ao multiplicar por d − 1 {\displaystyle d^{-1}} obtemos unha contradición). Demostramos así que as dúas columnas da matriz son linearmente independentes no espazo vectorial pola esquerda K 2 {\displaystyle K^{2}}.