Cálculo da raíz cadrada

Neste artigo preséntanse varios métodos que se poden utilizar para calcular a raíz cadrada dun número real positivo. Cálculo díxito-a-díxito
Na imaxe adxunta podemos ver cinco partes esenciais da raíz cadrada neste método de resolución: 1- Radical, é o símbolo que indica que é unha raíz cadrada.
2- Radicando, é o número do que se obterá a raíz cadrada.
3- Liña da raíz cadrada; aí colocarase o resultado.
4- Liñas auxiliares; axudarannos a calcular a raíz cadrada.
5- Residuo; é o resto que queda logo de resolver a raíz cadrada.
Os pasos a seguir son estes: Paso 1: Sepárase o número do radicando (no exemplo, 5836, 3690) en grupos de dúas cifras. A separación faise desde o signo de decimal (se o houber) cara á dereita e cara á esquerda. Se na parte decimal (á dereita da coma, é dicir 369) non hai un número par de cifras, é evidente que quedaría unha solta: nese caso, engadiríaselle un cero. Se na parte enteira (á esquerda de coma, é dicir, 5836) quedase un número solto, deixariamolo estar. Na imaxe da dereita podemos ver o número 5836, 369 dividido en grupos de dúas cifras; despois do número 9 agregouse un cero (en azul) pois no lado decimal non pode haber un grupo de só unha cifra (no exemplo, esta separación quedaría así: 58/36, 36/90) Paso 2: Búscase un número que multiplicando en por si mesmo (é dicir, ao cadrado) dea como resultado o número que coincida ou que máis se aproxime por debaixo ao primeiro grupo de números da esquerda (no exemplo, 58). O resultado non pode ser maior que 58. Unha vez atopado o número agrégase á parte da raíz. Neste caso o número sería o 7, porque 7×7
49. Outra posibilidade sería 6×6, pero daría 36 (o que quedaría máis afastado de 58) e 8 x 8, pero daría 64 (que excedería a 58). Paso 3: O número obtido (7) é o primeiro resultado da raíz cadrada. No paso anterior escribiámolo na caixiña da dereita. Agora multiplicámolo por si mesmo. O resultado (49) escríbese debaixo do primeiro grupo de cifras da esquerda (58), e procédese a restalo. O resultado de resta, 58-49, é 9. Unha vez obtido o resultado da resta, báixase o seguinte grupo de dúas cifras (36), co que a seguinte cifra auxiliar é agora 936. Para continuar a extracción da raíz cadrada multiplicamos por 2 o primeiro resultado (7) e escribímolo xusto debaixo deste, na seguinte liña auxiliar (na imaxe, o 14 está escrito xusto debaixo do 7, xa que 7 x 2 é 14). Paso 4: Neste paso hai que atopar un número n que, engadido a 14, e multiplicado por ese mesmo n, dea como resultado un número igual ou inferior a 936. Isto é, podería ser 141×1, 142×2, 143×3. .. e así até 149×9. Moitas veces utilízase o procedemento de tenteo para achar ese número, aínda que tamén podemos dividir as primeiras dúas cifras do residuo (93) entre o número da liña auxiliar (14). Neste caso 93 dividido entre 14 é 6. De maneira que a operación buscada é 146 x 6
876 (operación que engadimos na liña auxiliar). A seguinte cifra da raíz cadrada é un 6. Tamén o anotamos na caixiña do radicando. Paso 5: O procedemento é o mesmo que anteriormente. O resultado da operación anterior (876) colócase debaixo do número procedente de resta anterior (936) e réstanse. Ao resultado da resta (60) engádeselle o seguinte grupo de cifras do radical (neste caso, 36). Se o seguinte grupo está despois da coma decimal agrégase unha coma decimal ao radicando. O novo número obtido é 6036. Paso 6: Retómase o procedemento do paso 3. A cifra da raíz (76) multiplícase por dous (resultando 152). Buscamos un número que engadido a 152 e multiplicado por ese mesmo número nos dea unha cantidade aproximada a 6036. Temos varias posibilidades: 1521 x 1, 1522 x 2, 1523 x 3, etc. Pódese facer por tenteo, ou dividindo, neste caso, as tres primeiras cifras da raíz polas tres primeiras cifras da liña auxiliar (nótese que antes eran as dúas primeiras cifras). Daquela dividiremos 603/152 (o número buscado é 3). A operación a realizar é, por tanto, 1523 x 3. O resultado (4569) colócase baixo o último resto e procédese a achar a diferenza, que é 1467. Unha vez realizada a resta báixase o seguinte grupo de cifras e continúase o proceso. Obsérvese que o número a dividir entre a liña auxiliar e o residuo vai aumentado. Paso 7: Continúase o mesmo proceso, a raíz vólvese a multiplicar por dous (ignorando a coma dos decimais: 763 x 21526). O resultado da multiplicación agrégase á terceira liña auxiliar, vólvense a dividir o primeiros catro números do residuo (1467) entre o resultado da multiplicación (1526, nótese que son o primeiras catro cifras, cando antes eran as tres primeiras), o que nos dá un resultado de 0, 9 (tómase o primeiro número que non sexa cero aínda que sexa decimal, por tanto, a cifra buscada é 9). O nove agrégase ao radicando e na terceira liña auxiliar, e así multiplícase 9 por 15269, o que dá un resultado de 137421, esta cifra réstaselle a 146790 co que obtemos un resultado de 9369.
A raíz cadrada de 5836, 369 é 76, 39, cun resto de 0, 9369. A operación anterior utilizada como exemplo non está completa. Se a continuásemos daría como resultado 76, 396132101 (con nove decimais).
Os pasos pódense resumir en ciclos de catro. Só temos que ter en conta que debemos separar o radicando en grupos de dúas cifras e a colocación da coma decimal na raíz: 1) Achar unha nova raíz.
2) Realizar a resta correspondente.
3) Baixar un novo par do radicando.
4) Multiplicar raíz actual por dous. Identidade exponencial
As calculadoras de peto tipicamente implementan boas rutinas para calcular a función exponencial e o logaritmo natural; entón calculan a raíz cadrada de x utilizando a identidade x
e 12 ln ⁡ x {\displaystyle {\sqrt {x}}
e^{{\frac {1}{2}}\ln x}} o x
1012 log ⁡ x {\displaystyle {\sqrt {x}}
10^{{\frac {1}{2}}\log x}} A mesma identidade é usada cando se calculan as raíces cadradas con táboas de logaritmos ou regras de cálculo. Algoritmo babilónico
O algoritmo babilónico céntrase no feito de que cada lado dun cadrado é a raíz cadrada da área. Foi usado durante moitos anos para calcular raíces cadradas a man debido á súa gran eficacia e rapidez. Para calcular unha raíz, debuxe un rectángulo de área igual ao número ao que se lle busca raíz e despois aproxime a base e a altura do rectángulo até formar, ou polo menos aproximar, un cadrado.
O algoritmo pódese enunciar sen o uso de debuxos como segue:
Raíz(x): Escolle dous números b {\displaystyle b} e h {\displaystyle h} talles que b h
x {\displaystyle bh
x} Se h ≈ b {\displaystyle h\approx b} vai ao paso 6, se non, vai ao paso 3
Asigne b ← h + b 2 {\displaystyle b\leftarrow {\frac {h+b}{2}}} Asigne h ← x b {\displaystyle h\leftarrow {\frac {x}{b}}} Vai ao paso 2
Escribe: x ≈ b {\displaystyle {\sqrt {x}}\approx b} Este algoritmo aproxima a raíz cadrada de calquera número real tanto como se desexe. É claro que non se necesita coñecer o valor de h {\displaystyle h}, posto que depende directamente de x {\displaystyle x} e que a área do rectángulo sempre se aproxima á raíz cadrada de x {\displaystyle x} sen importar o valor de b {\displaystyle b}, sempre e cando b > 0 {\displaystyle b>0}. Desta maneira xorde a función recursiva f 0 ( x )
x {\displaystyle f_{0}(x)
x\, } f n ( x )
12 ( x f n − 1 ( x ) + f n − 1 ( x ) ) {\displaystyle f_{n}(x)
{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{f_{n-1}(x)}}+f_{n-1}(x)\right)} de maneira tal que fn é a n {\displaystyle n} -ésima aproximación a x {\displaystyle {\sqrt {x}}}. Isto implica que f ∞ ( x )
x {\displaystyle f_{\infty }(x)
{\sqrt {x}}} Posto que algunhas raíces son números irracionais é necesario aclara o significado de "aproximadamente". Como non se pode escribir unha candidade infinita de díxitos, o límite de aproximación fica na cantidade de díxitos que se é quen de escribir. Podemos determinar que o algoritmo termine no momento que a última aproximación sexa a mesma que a anterior (é dicir, xa non se pode aproximar máis). Fraccións continuas periódicas
Os irracionais cuadráticos (números da forma a + b c {\displaystyle {\frac {a+{\sqrt {b}}}{c}}}, onde a, b e c son enteiros), e en particular, as raíces cadradas de números enteiros, teñen fraccións continuas periódicas. Pode que non nos interese o valor numérico dunha raíz cadrada, senón a súa expansión como fracción continua. O algoritmo iterativo seguinte pódese utilizar para este propósito (S é calquera número natural que non sexa un cadrado perfecto): m 0
0 {\displaystyle m_{0}
0\, \! } d 0
1 {\displaystyle d_{0}
1\, \! } a 0
⌊ S ⌋ {\displaystyle a_{0}
\left\lfloor {\sqrt {S}}\right\rfloor \, \! } m n + 1
d n a n − m n {\displaystyle m_{n+1}
d_{n}a_{n}-m_{n}\, \! } d n + 1
S − m n + 12 d n {\displaystyle d_{n+1}
{\frac {S-m_{n+1}^{2}}{d_{n}}}\, \! } a n + 1
⌊ S + m n + 1 d n + 1 ⌋
⌊ a 0 + m n + 1 d n + 1 ⌋. {\displaystyle a_{n+1}
\left\lfloor {\frac {{\sqrt {S}}+m_{n+1}}{d_{n+1}}}\right\rfloor
\left\lfloor {\frac {a_{0}+m_{n+1}}{d_{n+1}}}\right\rfloor \! .} Hai que destacar que mn, dn, e an son sempre enteiros. O algoritmo termina cando nesta terna o resultado novo que obtemos é igual ao anterior. Daquela a expansión repetirase. A secuencia [a0; a1, a2, a3, …] é a expansión da fracción continua: S
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + ⋯ {\displaystyle {\sqrt {S}}
a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\, \cdots }}}}}}}
Exemplo, raíz cadrada de 114 como unha fracción continua
Comezamos con m00; d
Agora de enlaza de novo coa segunda ecuación de arriba.
Por tanto, a fracción continua para a raíz cadrada de 114 é: 114
[ 10; 1, 2, 10, 2, 1, 20, 1, 2, 10, 2, 1, 20, 1, 2, 10, 2, 1, 20, .. . ]. {\displaystyle {\sqrt {114}}
[10; 1, 2, 10, 2, 1, 20, 1, 2, 10, 2, 1, 20, 1, 2, 10, 2, 1, 20, .. .]. } Aproximación de Bakhshali
Este método serve para achar unha aproximación á raíz cadrada dun número (x). Foi descrito nun manuscrito antigo chamado manuscrito de Bakhshali. Equivale a dúas iteracións do método babilónico comezando co número n {\displaystyle n} tal que n 2 {\displaystyle n^{2}} é o cadrado máis próximo a x {\displaystyle x}. x ≈ n 4 + 6 n 2 x + x 24 n 3 + 4 n x {\displaystyle {\sqrt {x}}\approx {\frac {n^{4}+6n^{2}x+x^{2}}{4n^{3}+4nx}}}
Exemplo coa raíz cadrada de 10, 5
Se queremos calcular 10, 5 {\displaystyle {\sqrt {10, 5}}} con este método o primeiro que facemos é asignarlle o número cadrado perfecto cuxo cadrado se achegue máis a 10, 5. Ese número vai ser 3, xa que ao dar 32 {\displaystyle 3^{2}\, \! } como resultado 9 achégase máis a 10, 5 que 42 {\displaystyle 4^{2}\, \! } que dá 16, co que agora na igualdade substituímos: 10, 5 ≈ 34 + 6 × 32 × 10, 5 + 10, 524 × 33 + 4 × 3 × 10, 5 {\displaystyle {\sqrt {10, 5}}\approx {\frac {3^{4}+6\times 3^{2}\times 10, 5+10, 5^{2}}{4\times 3^{3}+4\times 3\times 10, 5}}} 10, 5 ≈ 81 + 567 + 110, 25108 + 126 {\displaystyle {\sqrt {10, 5}}\approx {\frac {81+567+110, 25}{108+126}}} 10, 5 ≈ 758, 25234 ≈ 3, 240384615 {\displaystyle {\sqrt {10, 5}}\approx {\frac {758, 25}{234}}\approx 3, 240384615} Sendo as cifras 384615 periódicas.
Este método dá un valor bastante aproximado da raíz cadrada. Pódese observar tamén que este método, ao dar o resultado mediante unha fracción, dá un número racional, mentres que a raíz cadrada real dun número é irracional sempre que este non sexa un cadrado perfecto (ou o cociente de dous cadrados perfectos). Series de Taylor
Si N é unha aproximación a S {\displaystyle {\sqrt {S}}}, unha aproximación mellor pode ser atopada usando a serie de Taylor da función da raíz cadrada: N 2 + d
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n )! d n ( 1 − 2 n ) n! 24 n N 2 n − 1
N + d 2 N − d 28 N 3 + d 316 N 5 − 5 d 4128 N 7 + ⋯ {\displaystyle {\sqrt {N^{2}+d}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)! d^{n}}{(1-2n)n! ^{2}4^{n}N^{2n-1}}}
N+{\frac {d}{2N}}-{\frac {d^{2}}{8N^{3}}}+{\frac {d^{3}}{16N^{5}}}-{\frac {5d^{4}}{128N^{7}}}+\cdots } Como método iterativo, a orde de converxencia é igual ao número dos termos usados. Con 2 termos, é idéntica ao método babilónico; con 3 termos, cada iteración toma case tantas operacións como a aproximación de Bakhshali, pero converxe máis lentamente. Por tanto, esta non é unha maneira particularmente eficiente da aproximación. Enlaces externos
MATHPATH: Mediant and Square-roots (en inglés)
[Ligazón morta]
Weisstein, Eric W. "Square root algorithms". MathWorld. A geometric view of the square root algorithm (en inglés)
Origin of Quake3's Fast InvSqrt() (en inglés)
Origin of Quake3's Fast InvSqrt() – Segunda parte (en inglés)
Ejemplo de cálculo de una raíz cuadrada en vídeo