Método exhaustivo

O método exhaustivo (latín: methodus exhaustionibus) é un método para atopar a área dunha forma inscribindo dentro dela unha secuencia de polígonos cuxas áreas converxen á área da figura que as contén. Se a secuencia é construída correctamente, a diferenza de área entre o n-ésimo polígono e a figura que a contén formará unha sucesión converxente a cero. Cando esta diferenza se fai arbitrariamente pequena, os posibles valores para a área da figura é "esgotada" sistematicamente polas áreas sucesivamente máis próximas dos membros da secuencia.
O método exhaustivo require unha forma de proba por contradición, tamén coñecida como reductio ad absurdum. Isto equivale a atopar a área dunha rexión comparándoa primeiro coa dunha segunda rexión (que "esgotará" a área a achar cando vaia aproximándose a ela arbitrariamente). A proba implica supor que a área buscada é máis grande que a segunda área, daquela próbase que esta afirmación é falsa, e entón supoñendo que a área buscada é menor que a segunda área, volve probarse que esta afirmación tamén é falsa. Historia
A idea orixinal data de finais do século V a. C. con Antifonte, a pesar de non estar claro se a entendía ben. A teoría estableceuse rigorosamente décadas máis tarde da man de Eudoxo de Cnido, quen a empregou para calcular áreas e volumes. Máis tarde foi redescuberta na China por Liu Hui no III a. C. , quen a usou para achar a área dun círculo. O primeiro uso do termo é do 1647 por Gregory de Sant Vincent na Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum.
O método exhaustivo é considerado o precursor dos métodos do cálculo. O desenvolvemento da xeometría analítica e especificamente o cálculo integral nos séculos XVII-XIX subsumiron o método de modo que se deixou de usar explicitamente. Unha importante aproximación alternativa foi o principio de Cavalieri, tamén denominado o método dos indivisibles, o cal finalmente derivou no cálculo infinitesimal de Roberval, Torricelli, Wallis, Leibniz e outros.
Euclides
Euclides utilizou o método exhaustivo para probar as seguinte seis proposicións no libro XII dos seus Elementos.
Proposición 2: Os círculos son entre si como os cadrados dos seus diámetros.
Proposición 5: As pirámides que están baixo a mesma altura e que teñen triángulos como bases son entre si como as súas bases.
Proposición 10: Todo cono é a terceira parte dun cilindro, do que ten a mesma base que el e igual altura.
Proposición 11: Os conos e cilindros que están baixo a mesma altura son entre si como as súas bases.
Proposición 12: Os conos e cilindros semellantes están entre si en razón triplicada da dos diámetros das súas bases.
Proposición 18: As esferas están entre si en razón triplicada da dos seus respectivos diámetros.
Arquímedes
Arquímedes empregou o método exhaustivo para calcular a área dun círculo enchéndoo cun polígono dunha área cada vez maior e cun número maior de lados. O cociente formado pola área deste polígono dividido polo cadrado do raio do círculo aproxímase arbitrariamente a π cando o número de lados do polígono vai incrementando; próbase así que a área do círculo de raio r é πr2, onde π se define como a proporción da lonxitude da circunferencia e o diámetro (C/d) ou da área do círculo e o cadrado do seu raio (A/r²).
Tamén estableceu os límites 3 + 10/71 < π < 3 + 10/70, (dando un rango de 1/497) ao comparar o perímetro do círculo cos perímetros dos polígonos regulares inscrito e circunscrito de 96 lados.
Outros resultados obtidos co método exhaustivo son: A área limitada pola intersección dunha liña e unha parábola é 4/3 que do triángulo que ten a mesma base e altura;
A área dun elipse é proporcional ao rectángulo que ten lados iguais aos eixos menor e maior;
O volume dunha esfera é 4 veces o dun cono de base unha base co mesmo raio e a altura igual a este raio;
O volume dun cilindro de altura igual ao seu diámetro é 3/2 do volume dunha esfera do mesmo diámetro;
A área limitada por un espiral arquimediana e un segmento é 1/3 da área do círculo de raio igual á lonxitude do segmento;
O método exhaustivo tamén permitiu a primeira aproximación dunha serie xeométrica infinita