Función divisor

En matemáticas, e concretamente na teoría de números, unha función divisor é unha función aritmética relacionada cos divisores dun número enteiro. Aparece en varias identidades notables, incluíndo relacións coa función zeta de Riemann e a serie de Eisenstein de formas modulares. As funcións divisor foron estudadas por Ramanujan, que deu unha serie de congruencias e identidades importantes; estas son tratados por separado no artigo Suma de Ramanujan (de momento en inglés).
Unha función relacionada é a función sumatorio da función divisor, D ( x ) {\displaystyle D(x)}. Definición
A función suma de divisores positivos σz(n), para un número real ou complexo z, defínese como a suma das potencias z-ésimas dos divisores positivos de n. Pódese expresar como σ z ( n )
∑ d ∣ n d z {\displaystyle \sigma _{z}(n)
\sum _{d\mid n}d^{z}},
onde d ∣ n {\displaystyle {d\mid n}} é a abreviatura de "d divide a n". O número de divisores é σ 0
d ( x ) {\displaystyle \sigma _{0}
d(x)} (secuencia A000005 na OEIS) e a suma de divisores é σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}}, moitas veces omitindo o subíndice polo que σ(n) é o mesmo que σ1(n) (secuencia A000203 na OEIS). Nomenclatura
Hai que ter coidado coa nomenclatura desta función e outras relacionadas cos divisores, tendo en conta tamén os usos en varios idiomas.
Hai fundamentalmente 3 funcións relacionadas, d ( n ) {\displaystyle d(n)}: función número de divisores. Dá o número de divisores e coincide con σ 0 ( n ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)}. Fálase dela no artigo divisor. σ z ( n ) {\displaystyle \sigma _{z}(n)}: función suma de divisores positivos. É a función tratada neste artigo. É a función que suma os valores das potencias z dos divisores. σ 1 ( n ) {\displaystyle \sigma _{1}(n)} escríbese moitas veces sen subíndice e representa a suma dos divisores. D ( x ) {\displaystyle D(x)}: función sumatorio da función divisor. Que dá como valor o sumatorio do número de divisores d ( n ) {\displaystyle d(n)} para os n menores que x.
Para a función suma de divisores positivos úsase frecuentemente o reducido función divisor, en francés denomínase de xeito moi descritivo "Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs" e en italiano "funzione sigma", na maioría de resto de linguas denomínase "función divisor".
Para a función "número de divisores", úsase aproximadamente esa mesma nomenclatura mais as veces tamén a inclúen como función divisor, pola súa igualdade con σ 0 ( n ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)}.
En canto a función sumatorio da función divisor non atopamos moitas referencias sendo en inglés "Divisor summatory function" e en español "Función suma de divisores". Exemplos
Por exemplo, σ0 (12) é o número dos divisores de 12: σ 0 ( 12 )
10 + 20 + 30 + 40 + 60 + 120
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
6, {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&
1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&
1+1+1+1+1+1
6, \end{aligned}}} mentres que σ1 (12) é a suma de todos os divisores: σ 1 ( 12 )
11 + 21 + 31 + 41 + 61 + 121
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12
28, {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&
1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&
1+2+3+4+6+12
28, \end{aligned}}} e podemos ver tamén para a potencia 2 σ 2 ( 12 )
12 + 22 + 32 + 42 + 62 + 122
1 + 4 + 9 + 16 + 36 + 144
210, {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}(12)&
1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+6^{2}+12^{2}\\&
1+4+9+16+36+144
210, \end{aligned}}} para a primeira potencia negativa temos σ − 1 ( 12 )
1 − 1 + 2 − 1 + 3 − 1 + 4 − 1 + 6 − 1 + 12 − 1
11 + 12 + 13 + 14 + 16 + 112
1212 + 612 + 412 + 312 + 212 + 112
12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 112
2812
73
σ 1 ( 12 ) 12 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&
1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\&
{\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\&
{\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\&
{\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}
{\tfrac {28}{12}}
{\tfrac {7}{3}}
{\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}} σ-1 ( n ) está relacionado co número abundante.
Para a función D ( x ) {\displaystyle D(x)}, función sumatorio da función divisor, (secuencia A006218 na OEIS), que é o sumatorio do número de divisores σ 0 ( i ) {\displaystyle \sigma _{0}(i)} para i de 0 ata un número determinado n, temos por exemplo: D ( 12 )
∑ n ≤ 12 σ 0 ( n )
1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 + 4 + 2 + 6
37 {\displaystyle D(12)
\sum _{n\leq 12}\sigma _{0}(n)
1+2+2+3+2+4+2+4+3+4+2+6
37}. Táboa de valores
Para σ z {\displaystyle \sigma _{z}}, os casos z
2 a 5 están listados desde a (secuencia A001157 na OEIS) ata a (secuencia A001160 na OEIS), para z
6 a 24 están listados desde a (secuencia A013954 na OEIS) ata a (secuencia A013972 na OEIS). Propiedades
Fórmulas para potencias de primos
Para un número primo p, σ 0 ( p )
2, σ 0 ( p n )
n + 1, σ 1 ( p )
p + 1, {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&
2, \\\sigma _{0}(p^{n})&
n+1, \\\sigma _{1}(p)&
p+1, \end{aligned}}} porque por definición, os factores dun número primo son 1 e el mesmo.
A maiores, se pn # denota o primorial (produto dos primeiros n primos), temos σ 0 ( p n # )
2 n {\displaystyle \sigma _{0}(p_{n}\#)
2^{n}}.
A función divisor é multiplicativa (xa que cada divisor c do produto mn con gcd ( m, n )
1 {\displaystyle \gcd(m, n)
1} corresponde claramente cun divisor a de m e un divisor b de n), mais non completamente multiplicativa, gcd ( a, b )
1 implica σ x ( a b )
σ x ( a ) σ x ( b ). {\displaystyle \gcd(a, b)
1{\text{ implica }}\sigma _{x}(ab)
\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b). } A consecuencia disto é que, se escribimos n
∏ i
1 r p i a i {\displaystyle n
\prod _{i
1}^{r}p_{i}^{a_{i}}} onde r
ω(n) é o número de factores primos distintos de n, pi é o i-ésimo factor primo e ai é a potencia máxima de pi pola cal n é divisible, daquela temos: σ x ( n )
∏ i
1 r ∑ j
0 a i p i j x
∏ i
1 r ( 1 + p i x + p i 2 x + ⋯ + p i a i x ). {\displaystyle \sigma _{x}(n)
\prod _{i
1}^{r}\sum _{j
0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}
\prod _{i
1}^{r}\left(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}\right). } que, cando x ≠ 0, é equivalente á útil fórmula: σ x ( n )
∏ i
1 r p i ( a i + 1 ) x − 1 p i x − 1. {\displaystyle \sigma _{x}(n)
\prod _{i
1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}. } Cando x
0, σ 0 ( n ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)} é: σ 0 ( n )
∏ i
1 r ( a i + 1 ). {\displaystyle \sigma _{0}(n)
\prod _{i
1}^{r}(a_{i}+1). } Por exemplo, se n é 24, hai dous factores primos (p1 é 2 e p2 é 3); tendo en conta que 24 é o produto de 23 × 31, a1 é 3 e a2 é 1. Así podemos calcular σ 0 ( 24 ) {\displaystyle \sigma _{0}(24)} do seguinte modo: σ 0 ( 24 )
∏ i
12 ( a i + 1 )
( 3 + 1 ) ( 1 + 1 )
4 ⋅ 2
8. {\displaystyle \sigma _{0}(24)
\prod _{i
1}^{2}(a_{i}+1)
(3+1)(1+1)
4\cdot 2
8. } Os oito divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.
Outras propiedades e identidades
Euler demostrou a notable recorrencia: σ 1 ( n )
σ 1 ( n − 1 ) + σ 1 ( n − 2 ) − σ 1 ( n − 5 ) − σ 1 ( n − 7 ) + σ 1 ( n − 12 ) + σ 1 ( n − 15 ) + ⋯
∑ i ∈ N ( − 1 ) i + 1 ( σ 1 ( n − 12 ( 3 i 2 − i ) ) + σ 1 ( n − 12 ( 3 i 2 + i ) ) ), {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&
\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)+\cdots \\[12mu]&
\sum _{i\in \mathbb {N} }(-1)^{i+1}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}+i\right)\right)\right), \end{aligned}}} onde σ 1 ( 0 )
n {\displaystyle \sigma _{1}(0)
n} cando acontece, e σ 1 ( x )
0 {\displaystyle \sigma _{1}(x)
0} para x < 0 {\displaystyle x<0}, e 12 ( 3 i 2 ∓ i ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}\mp i\right)} son pares consecutivos de números pentagonais xeneralizados ((secuencia A001318 na OEIS), comezando con desprazamento 1). De feito, Euler demostrou isto mediante a diferenciación logarítmica da identidade no seu teorema dos números pentagonais.
Tamén temos s (n)
σ (n) − n. Onde s(n) denota a suma dos divisores propios de n, é dicir, os divisores de n excluíndo o propio n. Esta función úsase para recoñecer números perfectos, que son os n tal que s(n)
n. Se s (n) > n, entón n é un número abundante, e se s (n) < n, entón n é un número deficiente.
Se n é unha potencia de 2, n
2 k {\displaystyle n
2^{k}}, entón σ ( n )
2 ⋅ 2 k − 1
2 n − 1 {\displaystyle \sigma (n)
2\cdot 2^{k}-1
2n-1} e s ( n )
n − 1 {\displaystyle s(n)
n-1}, o que fai n case perfecto.
Como exemplo, para dous primos p, q: p < q {\displaystyle p, q: p<q}, e sexa n
p q {\displaystyle n
p\, q}.
Daquela σ ( n )
( p + 1 ) ( q + 1 )
n + 1 + ( p + q ), {\displaystyle \sigma (n)
(p+1)(q+1)
n+1+(p+q), } φ ( n )
( p − 1 ) ( q − 1 )
n + 1 − ( p + q ), {\displaystyle \varphi (n)
(p-1)(q-1)
n+1-(p+q), } e n + 1
( σ ( n ) + φ ( n ) ) / 2, {\displaystyle n+1
(\sigma (n)+\varphi (n))/2, } p + q
( σ ( n ) − φ ( n ) ) / 2, {\displaystyle p+q
(\sigma (n)-\varphi (n))/2, } onde φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} é a función totiente de Euler.
Entón, as raíces de ( x − p ) ( x − q )
x 2 − ( p + q ) x + n
x 2 − [ ( σ ( n ) − φ ( n ) ) / 2 ] x + [ ( σ ( n ) + φ ( n ) ) / 2 − 1 ]
0 {\displaystyle (x-p)(x-q)
x^{2}-(p+q)x+n
x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]
0} e podemos expresar p e q só en termos de σ (n) e φ (n), sen necesidade de coñecemento de n ou p + q {\displaystyle n{\text{ ou }}p+q}, como p
( σ ( n ) − φ ( n ) ) / 4 − [ ( σ ( n ) − φ ( n ) ) / 4 ] 2 − [ ( σ ( n ) + φ ( n ) ) / 2 − 1 ], {\displaystyle p
(\sigma (n)-\varphi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}, } q
( σ ( n ) − φ ( n ) ) / 4 + [ ( σ ( n ) − φ ( n ) ) / 4 ] 2 − [ ( σ ( n ) + φ ( n ) ) / 2 − 1 ]. {\displaystyle q
(\sigma (n)-\varphi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}. } En 1984, Roger Heath-Brown demostrou que a igualdade σ 0 ( n )
σ 0 ( n + 1 ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)
\sigma _{0}(n+1)} é certa para infinitos valores de n, consulte (secuencia A005237 na OEIS). Relacións con series
Dúas series de Dirichlet que inclúen a función divisor son: ∑ n
1 ∞ σ a ( n ) n s
ζ ( s ) ζ ( s − a ) for s > 1, s > a + 1, {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}
\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad s>1, s>a+1, } onde ζ {\displaystyle \zeta } é a función zeta de Riemann. A serie para d(n)
σ0 (n) dá: ∑ n
1 ∞ d ( n ) n s
ζ 2 ( s ) for s > 1, {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}
\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad s>1, } e unha identidade de Ramanujan ∑ n
1 ∞ σ a ( n ) σ b ( n ) n s
ζ ( s ) ζ ( s − a ) ζ ( s − b ) ζ ( s − a − b ) ζ ( 2 s − a − b ), {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}} {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}, } que é un caso especial da convolución de Rankin-Selberg.
Unha serie de Lambert que inclúe a función divisor é: ∑ n
1 ∞ q n σ a ( n )
∑ n
1 ∞ ∑ j
1 ∞ n a q j n
∑ n
1 ∞ n a q n 1 − q n {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)
\sum _{n
1}^{\infty }\sum _{j
1}^{\infty }n^{a}q^{j\, n}
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}} para dous complexos arbitrarios |q| ≤ 1 e a. Esta suma tamén aparece como a serie de Fourier da serie de Eisenstein e as invariantes das funcións elípticas de Weierstrass.
Para k > 0 {\displaystyle k>0}, hai unha representación explícita como serie coa suma de Ramanujan c m ( n ) {\displaystyle c_{m}(n)} como: σ k ( n )
ζ ( k + 1 ) n k ∑ m
1 ∞ c m ( n ) m k + 1. {\displaystyle \sigma _{k}(n)
\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m
1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}. } O cálculo dos primeiros termos de c m ( n ) {\displaystyle c_{m}(n)} mostra as súas oscilacións arredor do "valor medio" ζ ( k + 1 ) n k {\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}: σ k ( n )
ζ ( k + 1 ) n k [ 1 + ( − 1 ) n 2 k + 1 + 2 cos ⁡ 2 π n 33 k + 1 + 2 cos ⁡ π n 24 k + 1 + ⋯ ] {\displaystyle \sigma _{k}(n)
\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}