Produto vectorial

En matemática, o produto vectorial é unha operación binaria sobre vectores nun espazo vectorial. Pode ser denominado tamén como produto externo ou produto cruz. O seu resultado difire do produto escalar por ser tamén un vector, ao contrario dun escalar. O seu principal uso baséase no feito de que o resultado dun produto vectorial é sempre perpendicular a ambos os vectores orixinais, así como que o módulo do vector resultante do produto é a área do paralelogramo que conformarían os vectores do produto. Definición
A notación do produto vectorial entre dous vectores a e b é a × b (en manuscritos, algúns matemáticos escriben a ∧ b para evitar a confusión coa x).
Podemos definilo como: a × b
n | a | | b | s e n θ {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b}
\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|sen\theta } onde θ é a medida do ángulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido polos dous vectores, e n é o vector unitario perpendicular a tanto a canto b.
O problema con esta definición é que existen dous vectores unitarios que son perpendiculares a a e b simultaneamente: se n é perpendicular, entón −n tamén o é.
O resultado correcto depende da orientación do espazo vectorial, i. e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vectorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é "a dereitas" ou zurdo se (i, j, k) é "a esquerdas".
Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "regra da man dereita". Se un sistema de coordenadas é destro, basta apuntar o indicador na dirección do primeiro operando e o dedo medio na dirección do segundo operando. Desta forma, o vector resultante é dado pola dirección do polgar. Sexan dous vectores a {\displaystyle \mathbf {a} } e b {\displaystyle \mathbf {b} } no espazo vectorial R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. O produto vectorial entre a {\displaystyle \mathbf {a} \, } e b {\displaystyle \mathbf {b} \, } dá como resultado un novo vector, c {\displaystyle \mathbf {c} \, }. Para definir este novo vector é necesario especificar o seu módulo e dirección: O módulo de c {\displaystyle \mathbf {c} \, } está dado por c
a b sin ⁡ θ {\displaystyle c
a\, b\, \sin \theta } onde θ é o ángulo determinado polos vectores a e b. A dirección do vector c, que é ortogonal a a e ortogonal a b, está dada pola regra da man dereita. Computación
Notación de coordenadas
Se ( i, j, k ) {\displaystyle (\mathbf {\color {blue}{i}}, \mathbf {\color {red}{j}}, \mathbf {\color {green}{k}} )} é unha base ortonormal orientada positivamente, os vectores da base cumpren as seguintes igualdades j × i
− k k × j
− i i × k
− j {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&
-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&
-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&
-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}} Unha regra mnemotécnica para estas fórmulas é que se poden deducir de calquera outra delas mediante unha permutación cíclica dos vectores base. Esta mnemotécnica aplícase tamén a moitas fórmulas que se dan neste artigo.
A anticonmutatividade do produto vectorial implica que j × i
− k k × j
− i i × k
− j {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&
-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&
-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&
-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}} A anticomutatividade do produto vectorial (e a evidente falta de independencia linear) tamén implica que i × i
j × j
k × k
0 {\displaystyle \mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}}
\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}}
\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}}
\mathbf {0} } (o vector cero).
Estas igualdades, xunto coa distributividade e a linearidade do produto vectorial (aínda que ningunha das dúas se deduce facilmente da definición anterior), son suficientes para determinar o produto vectorial de dous vectores calquera a e b. Cada vector pódese definir como a suma de tres compoñentes ortogonais paralelos aos vectores de base estándar: a
a 1 i + a 2 j + a 3 k b
b 1 i + b 2 j + b 3 k {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &
a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &
b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}} O seu produto vectorial a × b pódese expandir usando a distributividade: a × b
( a 1 i + a 2 j + a 3 k ) × ( b 1 i + b 2 j + b 3 k )
a 1 b 1 ( i × i ) + a 1 b 2 ( i × j ) + a 1 b 3 ( i × k ) + a 2 b 1 ( j × i ) + a 2 b 2 ( j × j ) + a 2 b 3 ( j × k ) + a 3 b 1 ( k × i ) + a 3 b 2 ( k × j ) + a 3 b 3 ( k × k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b}
{}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\
{}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}} Isto pódese interpretar como a descomposición de a × b na suma de nove produtos vectoriais máis simples que involucran vectores aliñados con i, j ou k. Cada un destes nove produtos vecotriais opera en dous vectores que son fáciles de manexar xa que son paralelos ou ortogonais entre si. A partir desta descomposición, empregando as igualdades mencionada anteriormente e recompilando termos semellantes, obtemos: a × b
a 1 b 10 + a 1 b 2 k − a 1 b 3 j − a 2 b 1 k + a 2 b 20 + a 2 b 3 i + a 3 b 1 j − a 3 b 2 i + a 3 b 30
( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b}
{}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\
{}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \\\end{aligned}}} o que significa que as tres compoñentes escalares do vector resultante s
s1i + s2j + s3k
a × b son s 1
a 2 b 3 − a 3 b 2 s 2
a 3 b 1 − a 1 b 3 s 3
a 1 b 2 − a 2 b 1 {\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}} Usando vector columnas, podemos representar o mesmo resultado do seguinte xeito: [ s 1 s 2 s 3 ]
[ a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}}}
Produto vectorial usando matrices
Sexan u
u x i + u y j + u z k {\displaystyle \mathbf {u}
u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} } e v
v x i + v y j + v z k {\displaystyle \mathbf {v}
v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} } dous vectores concorrentes de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, o espazo afín tridimensional segundo a base anterior.
Defínese o produto ×: R 3 × R 3 ⟶ R 3 {\displaystyle \times: \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}, e escríbese u × v {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }, como o vector: u × v
| u y u z v y v z | i − | u x u z v x v z | j + | u x u y v x v y | k {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v}
{\begin{vmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{vmatrix}}\mathbf {k} } No que | a c b d |
a ⋅ d − b ⋅ c {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&c\\b&d\\\end{vmatrix}}
a\cdot d-b\cdot c}, é o determinante de orde 2.
Ou usando unha notación máis compacta, mediante o desenvolvemento pola primeira fila dun determinante simbólico de orde 3 (simbólico xa que os termos da primeira fila non son escalares): u × v
| i j k u x u y u z v x v y v z |
| u y u z v y v z | ⋅ i − | u x u z v x v z | ⋅ j + | u x u y v x v y | ⋅ k {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v}
{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {k} } Que dá orixe á chamada regra da man dereita ou regra do sacarrollas: xirando o primeiro vector cara ao segundo polo ángulo máis pequeno, a dirección de u × v {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} } é o dun sacarrollas que xire na mesma dirección.
Exemplo
O produto vectorial dos vectores a
( 2, 0, 1 ) {\displaystyle \mathbf {a}
(2, 0, 1)} e b
( 1, − 1, 3 ) {\displaystyle \mathbf {b}
(1, -1, 3)} calcúlase do seguinte xeito: a × b
| i j k 2011 − 13 | {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b}
{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&0&1\\1&-1&3\\\end{vmatrix}}} Expandindo o determinante: a × b
i | 01 − 13 | − j | 2113 | + k | 201 − 1 |
i − 5 j − 2 k {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b}
\mathbf {i} {\begin{vmatrix}0&1\\-1&3\\\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}2&1\\1&3\\\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}2&0\\1&-1\\\end{vmatrix}}
\mathbf {i} -5\mathbf {j} -2\mathbf {k} } Pode verificarse facilmente que a × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } é ortogonal aos vectores a {\displaystyle \mathbf {a} } e b {\displaystyle \mathbf {b} } efectuando o produto escalar e verificando que este é nulo (condición de perpendicularidade de vectores).
Usando os tensores de Levi-Civita
En calquera base, o produto vectorial a × b {\displaystyle a\times b} vén dado pola fórmula tensorial E i j k a i b j {\displaystyle E_{ijk}a^{i}b^{j}} onde E i j k {\displaystyle E_{ijk}} é o tensor covariante Levi-Civita (observamos a posición dos índices). Isto corresponde á fórmula intrínseca dada aquí.
Nunha base ortonormal que ten a mesma orientación que o espazo, a × b {\displaystyle a\times b} vén dado pola fórmula pseudotensorial ε i j k a i b j {\displaystyle \varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}} onde ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} é o símbolo de Levi-Civita (que é un pseudotensor). Esa é a fórmula utilizada para a física cotiá, pero só funciona para esta elección especial de base.
En calquera base ortonormal, a × b {\displaystyle a\times b} vén dado pola fórmula pseudotensorial ( − 1 ) B ε i j k a i b j {\displaystyle (-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}} onde ( − 1 ) B
± 1 {\displaystyle (-1)^{B}
\pm 1} indica se a base ten a mesma orientación que o espazo ou non.
A última fórmula evita ter que mudar a orientación do espazo cando invertimos unha base ortonormal. Como produto exterior
O produto vectorial pódese definir en termos do produto exterior. Pódese xeneralizar a un produto exterior noutras dimensións que non sexan tres. Esta xeneralización permite unha interpretación xeométrica natural do produto vectorial. En álxebra exterior o produto exterior de dous vectores é un bivector. Un bivector é un elemento plano orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de liña orientado. Dados dous vectores a e b, pódese ver o bivector a ∧ b como o paralelogramo orientado abranguido por a e b. O produto vectorial obtense entón tomando a estrela de Hodge do bivector a ∧ b, mapeando 2-vectores a vectores: a × b
⋆ ( a ∧ b ). {\displaystyle a\times b
\star (a\wedge b). } Isto pódese considerar como o elemento multidimensional orientado "perpendicular" ao bivector. Nun espazo d-dimensional, a estrela de Hodge toma un k-vector a un (d–k)-vector; polo tanto, só en d
3 dimensións o resultado é un elemento de dimensión un (3–2
1), é dicir, un vector. Por exemplo, en 4 dimensións, o produto vectorial de dous vectores ten a dimensión 4–22, o que dá lugar a un bivector. Polo tanto, só en tres dimensións o produto vectorial define unha estrutura alxébrica para multiplicar vectores.