Análise complexa

A análise complexa (ou teoría das funcións de variable complexa) é a rama das matemáticas que en parte investiga as funcións holomorfas, tamén chamadas funcións analíticas. Unha función é holomorfa nunha rexión aberta do plano complexo se está definida nesta rexión, toma valores complexos e por último é diferenciable en cada punto desta rexión aberta con derivadas continuas.
O feito de que unha función complexa sexa diferenciable no sentido complexo ten consecuencias moito máis fortes que a diferenciabilidade usual nos reais. Por exemplo, toda función holomorfa pode representarse como unha serie de potencias nalgún disco aberto onde a serie converxe á función. Se a serie de potencias converxe en todo o plano complexo dise que a función é enteira. Unha definición relacionada coa función holomorfa é a función analítica: unha función complexa sobre os complexos que pode ser representada como unha serie de potencias. De modo que toda función holomorfa tamén cumpre a definición de función analítica pero non toda función analítica é holomorfa. En particular, as funcións holomorfas son infinitamente diferenciables, un feito que é marcadamente diferente do que ocorre nas funcións reais diferenciables. A maioría das funcións elementais como por exemplo algúns polinomios, a función exponencial e as funcións trigonométricas, son holomorfas. Historia
A análise complexa é unha das ramas clásicas das matemáticas que ten as súas raíces alén do século XIX. Os nomes destacados no seu desenvolvemento son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass e outros no século XX. Tradicionalmente, a análise complexa, en particular a teoría das aplicacións conformes, ten moitas aplicacións en enxeñaría, pero é amplamente empregada tamén na teoría de números analítica. En tempos modernos se converteuse en popular grazas ao pulo da dinámica complexa e os debuxos de fractais, producidos pola iteración de funcións holomorfas, dos cales o máis popular é o conxunto de Mandelbrot. Outras aplicacións importantes da análise complexa son as da teoría de cordas, unha teoría de campos cuánticos conforme-invariante. Funcións complexas
Unha función complexa é unha función que vai dos números complexos aos números complexos. Noutras palabras, é unha función que ten un subconxunto (non necesariamente propio) dos números complexos como dominio e os números complexos como codominio. As funcións complexas asúmese xeralmente que teñen un dominio que contén un subconxunto aberto non baleiro do plano complexo.
Para calquera función complexa, os valores z {\displaystyle z} do dominio e as súas imaxes f ( z ) {\displaystyle f(z)} no rango pódense separar en partes real e imaxinaria: z
x + i y e f ( z )
f ( x + i y )
u ( x, y ) + i v ( x, y ), {\displaystyle z
x+iy\quad {\text{ e }}\quad f(z)
f(x+iy)
u(x, y)+iv(x, y), } onde x, y, u ( x, y ), v ( x, y ) {\displaystyle x, y, u(x, y), v(x, y)} son todos valores reais.
Noutras palabras, unha función complexa f: C → C {\displaystyle f: \mathbb {C} \to \mathbb {C} } pódese descompoñer en u: R 2 → R {\displaystyle u: \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad } e v: R 2 → R, {\displaystyle \quad v: \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}, } é dicir, en dúas funcións reais ( u {\displaystyle u}, v {\displaystyle v} ) de dúas variábeis reais ( x {\displaystyle x}, y {\displaystyle y} ).
Do mesmo xeito, calquera función complexa f sobre un conxunto arbitrario X é isomorfo a un par ordenado de dúas funcións reais: (Re f, Im f) ou, alternativamente, como unha función vectorial de X en R 2. {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}. } Algunhas propiedades das funcións complexas (como a continuidade) non son máis que as propiedades correspondentes das funcións vectoriais de dúas variables reais. Outros conceptos da análise complexa, como a diferenciabilidade, son xeneralizacións directas dos conceptos similares para funcións reais, mais poden ter propiedades moi diferentes. En particular, toda función complexa diferenciábel é analítica, e dúas funcións diferenciábeis que son iguais nunha veciñanza dun punto son iguais na intersección dos seus dominios (se os dominios son conexos). Esta última propiedade é a base do principio de continuación analítica, que permite estender cada función analítica real dunha maneira única para obter unha función analítica complexa cuxo dominio é todo o plano complexo cun número finito de arcos de curva eliminados. Moitas funcións complexas básicas e especiais defínense deste xeito, incluíndo a función exponencial complexa, as funciones logarítmicas complexas e as funciones trigonométricas. Resultados principais
Integrais de veciñanza
Unha ferramenta de grande importancia na análise complexa é a integral de veciñanza. A integral dunha función que sexa holomorfa sobre e no interior dun camiño pechado é sempre cero (teorema integral de Cauchy). Os valores dunha función holomorfa dentro dun disco poden averiguarse mediante unha integral de veciñanza sobre a fronteira do disco (fórmula integral de Cauchy). As integrais de veciñanza no plano complexo empréganse habitualmente para encontrar integrais reais complicadas, e para isto é útil a teoría dos residuos. Se unha función ten unha singularidade nalgún punto (ou nun número finitos deles), que quere dicir que os seus valores "estalan", que non ten un valor finito en tales puntos, entón pódese definir o residuo da función nesa singularidade, e estes residuos poden empregarse para calcular integrais aparentemente difíciles dunha maneira sinxela, este é o contido do poderoso teorema dos residuos. O curioso comportamento das funcións holomorfas preto das singularidades esenciais descríbese co teorema de Weierstrass-Casorati. As funcións que teñen só polos (un tipo de singularidade de funcións racionais onde o polinomio denominador ten un número finito de ceros) e non singularidades esenciais chámanse meromorfas.
Series de Laurent
As series de Laurent son similares ás series de Taylor pero poden empregarse para estudar o comportamento das funcións preto das singularidades.
Teorema de Liouville
Unha función limitada que sexa holomorfa no plano complexo debe ser constante; isto é o Teorema de Liouville, que pode empregarse para dar unha proba natural e breve do teorema fundamental da álxebra, que di que o corpo dos números complexos é un corpo alxebricamente pechado.
Continuación analítica
Unha propiedade importante das funcións holomorfas é que se unha función o é nun dominio simplemente conexo entón os seus valores están completamente determinados polos seus valores sobre calquera subdominio máis pequeno. A función sobre o dominio máis grande diría que está analiticamente continuada, que é a continuación dende os seus valores no dominio máis pequeno. Isto permite estender, a case todo o plano, a definición de funcións como a función ζ de Riemann que están inicialmente definidas en termos de sumas infinitas que converxen só sobre dominios limitados. Algunhas veces, como no caso do logaritmo natural, é imposible continuar analiticamente unha función holomorfa a un dominio conexo non simple no plano complexo, pero é posible estendela a unha función holomorfa sobre unha superficie intimamente relacionada coñecida como superficie de Riemann.
Outros
Existe tamén unha rica teoría no caso de máis dunha dimensión complexa, onde as propiedades analíticas como as de expansión en series de potencias permanece aínda certa pero que porén a maioría das propiedades xeométricas das funcións nunha dimensión complexa (como a de transformación conforme) xa non o son. O teorema de representación conforme de Riemann sobre as relacións conformes de certos dominios no plano complexo, que pode ser o resultado máis importante na teoría unidimensional, falla totalmente en dimensións maiores.