Teoría de conxuntos

A teoría de conxuntos é a rama da lóxica matemática que estuda os conxuntos, que son coleccións de obxectos. Aínda que calquera tipo de obxecto pode coleccionarse nun conxunto, a teoría de conxuntos adóitase aplicar aos obxectos relevantes para as matemáticas. A linguaxe da teoría de conxuntos pode usarse nas definicións de practicamente todos os obxectos matemáticos.
O estudo moderno da teoría de conxuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind na década de 1870. Logo do descubrimento de paradoxos na teoría de conxuntos simplista, propuxéronse numerosos sistemas axiomáticos a principios do século XX, dos cales o de Zermelo-Fraenkel, co axioma da escolla, é o máis coñecido.
A teoría de conxuntos úsase comunmente como un sistema de fundamentos para as matemáticas, en particular na forma da Teoría de conxuntos de Zermelo–Fraenkel co axioma da escolla. Alén do seu rol como sistema de fundamentos, a teoría de conxuntos é unha rama das matemáticas por dereito propio, cunha activa comunidade de investigadores. A investigación contemporánea dentro da teoría de conxuntos inclúe un conxunto diverso de temas que van desde a estrutura da recta real ao estudo da consistencia dos grandes cardinais. Historia
Os tópicos matemáticos xorden e desenvólvense frecuentemente pola interacción de moitos investigadores. Porén, a teoría de conxuntos fundouna un único matemático, Georg Cantor, cando, en 1874 publicou o artigo "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre unha propiedade característica de todos os números reais alxébricos").
O concepto de infinito foi obxecto de estudo dos matemáticos desde polo menos o século V a. C. , cando os matemáticos indios en Oriente, e Zenón de Elea en Grecia se esforzaban no seu estudo. Xa na primeira metade do século XIX, destaca o traballo de Bernard Bolzano. A comprensión moderna do infinito comezou en 1867–71 co traballo de Cantor en teoría de números. Un encontro en 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou nas ideas de Cantor e culminou coa publicación en 1874 do artigo mencionado.
O traballo inicial de Cantor polarizou aos matemáticos da época. Mentres Karl Weierstrass e Dedekin apoiaban a Cantor, outros o criticaban como Leopold Kronecker, considerado hoxe un dos fundadores do construtivismo matemático. A teoría de conxuntos de Cantor espallouse eventualmente, debido á utilidade dos conceptos cantorianos como o da correspondencia bixectiva entre conxuntos, a súa demostración de que hai máis números reais que enteiros, e o "infinito de infinitos" (paraíso de Cantor) resultado da introdución do concepto do conxunto das partes dun conxunto. Estas utilidades da teoría de conxuntos guiaron o artigo de 1898 "Mengenlehre", contribución de Arthur Schoenflies á enciclopedia de Klein. O seguinte pulo á teoría de conxuntos veu arredor de 1900, cando se descubriu que a teoría cantoriana de conxuntos daba lugar a algunhas contradicións como as antinomias e os paradoxos. Dun xeito independente, Ernst Zermelo e Bertrand Russell acharon o máis simple e máis coñecido destes paradoxos, hoxe coñecido como paradoxo de Russell: Sexa A o "conxunto de todos os conxuntos que non se conteñen a si mesmos". Esta definición leva a unha contradición pois A non pode ser un elemento de si mesmo (non pode conterse a si mesmo), mais A debe ser un elemento de si mesmo (se non, non estarían en A todos os conxuntos con esa propiedade). En 1899 o mesmo Cantor lanzou a pregunta: Cal é o cardinal do conxunto de todos os conxuntos? , e obtivo o paradoxo mencionado. Russell usou este paradoxo na revisión que fixo en 1903 das matemáticas continentais na súa obra Os principios das matemáticas.
O debate sobre os paradoxos que producía a teoría de conxuntos non fixo máis que incrementar o seu estudo. O traballo de Zermelo en 1908 e Abraham Fraenkel en 1922 tivo como resultado a axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF), que chegou a consolidarse como a máis comunmente usada das axiomáticas da teoría de conxuntos. Os traballos de analistas como Henri Lebesgue demostraron a grande utilidade matemática da teoría de conxuntos, sendo desde entón unha parte fundamental na construción das matemáticas modernas. A teoría de conxuntos úsase comunmente como un sistema de fundamentos das matemáticas, aínda que algunhas áreas prefiren para tal fin a teoría de categorías. Conceptos básicos e notación
A teoría de conxuntos comeza cunha relación binaria fundamental entre un obxecto a e un conxunto A. Se a é un elemento de A escríbese a ∈ A {\displaystyle a\in A}, se a non é un elemento de A será a ∉ A {\displaystyle a\notin A}. Como os conxuntos son tamén obxectos, a relación anterior pode establecerse tamén entre conxuntos.
Unha relación binaria derivada é a relación de inclusión entre dous conxuntos. Se todos os elementos dun conxunto A son tamén elementos doutro conxunto B, dise que A está contido en B ou tamén que A é un subconxunto de B, e escribiremos A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B}. Por exemplo, {1, 2} é un subconxunto de {1, 2, 3}, pero {1, 4} non. Obviamente todo conxunto é subconxunto de si mesmo. Dise que A é un subconxunto propio de B cando todos os elementos de A son tamén elementos de B e ademais hai elementos de B que non o son de A, denotarémolo por A ⊂ B {\displaystyle A\subset B}.
Dun xeito similar ás operacións aritméticas binarias entre números, na teoría de conxuntos defínense as seguintes operacións binarias entre conxuntos: A unión dos conxuntos A e B, denotada por A ∪ B {\displaystyle A\cup B}, é outro conxunto cuxos elementos son os que pertencen a algún (ou a ambos) dos conxuntos A ou B. Por exemplo, a unión de {1, 2, 3} } e {2, 3, 4} é o conxunto {1, 2, 3, 4}.
A intersección dos conxuntos A e B, denotada por A ∩ B {\displaystyle A\cap B}, é outro conxunto cuxos elementos son os elementos comúns a A e a B. Por exemplo, a intersección de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conxunto {2, 3}.
A diferenza dos conxuntos A e B, denotada por A ∖ B {\displaystyle A\setminus B}, é outro conxunto cuxos elementos son os elementos de A que non pertencen a B. Por exemplo, a diferenza 1, 2, 3}\{2, 3, 4} é o conxunto {1}; inversamente, a diferenza {2, 3, 4}\{1, 2, 3} é o conxunto {4}. Se A é un subconxunto doutro conxunto U, a diferenza U ∖ A {\displaystyle U\setminus A} é o conxunto complementario de A en U; cando a elección de U está clara polo contexto, úsase a notación Ac no canto de U ∖ A {\displaystyle U\setminus A}, por exemplo cando U é o conxunto universal como no estudo dos diagramas de Venn.
A diferenza simétrica dos conxuntos A e B, denotada por A Δ B {\displaystyle A\Delta B}, é o conxunto cuxos elementos son os elementos de A ou de B que non pertencen a ambos. Por exemplo, a diferenza simétrica dos conxuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4}, é o conxunto {1, 4}. A diferenza simétrica é igual á diferenza da unión e a intersección A Δ B
( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B ) {\displaystyle A\Delta B
(A\cup B)\setminus (A\cap B)}, tamén é igual á unión das dúas diferenzas A Δ B
( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) {\displaystyle A\Delta B
(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}.
O produto cartesiano de A e B, denotado por A × B {\displaystyle A\times B}, é o conxunto cuxos elementos son todos os posíbeis pares ordenados ( a, b ) {\displaystyle (a, b)} onde a é un elemento de A, e b un elemento de B. Por exemplo, o produto cartesiano de {1, 2} e {azul, verde} é {(1, azul), (1, verde), (2, azul), (2, verde)}.
O conxunto das partes dun conxunto A, ou conxunto potencia de A, denotado por P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}, é o conxunto cuxos elementos son todos os posíbeis subconxuntos de A considerando como tales aos dous subconxuntos impropios de A (o propio A, e o conxunto baleiro Ø que é o único conxunto que non posúe elementos). Se A ten un número finito n de elementos, o número de elementos de P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} é 2 n {\displaystyle 2^{n}}. Por exemplo, o conxunto das partes do conxunto de dous elementos { 1, 2 } {\displaystyle \{1, 2\}} é { ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 } } {\displaystyle \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}} que ten 22
4 {\displaystyle 2^{2}
4} elementos. Un pouco de ontoloxía
Un conxunto é puro se todos os seus elementos son conxuntos, todos os elementos dos seus elementos son conxuntos, e así sucesivamente. Por exemplo, o conxunto {Ø} contendo apenas o conxunto baleiro é un conxunto non baleiro puro. Na teoría de conxuntos moderna é común restrinxir a atención ao universo de von Neumann de conxuntos puros, e moitos sistemas da teoría axiomática dos conxuntos son proxectados para axiomatizar apenas os conxuntos puros. Hai moitas vantaxes técnicas con esta restrición unha vez que, esencialmente, todos os conceptos matemáticos poden ser modelados por conxuntos puros, sendo pequena a perda de xeneralidade. Os conxuntos no universo de von Neumann organízanse nunha xerarquía acumulativa, baseada en canto profundamente os seus elementos, os elementos de elementos etc, están encaixados. A cada conxunto nesta xerarquía asígnaselle (por recursión transfinita) un número ordinal α, coñecido como o seu rango. O rango dun conxunto puro X defínese como o supremo dos ordinais sucesores dos rangos dos elementos de X. Por exemplo, ao conxunto baleiro atribúeselle o rango 0, mentres que ao conxunto {Ø} contendo só ao conxunto baleiro atribúeselle o rango 1. Para cada α, o conxunto Vα defínese como o formado por todos os conxuntos puros con rango menor que α. A totalidade do universo de von Neumann denótase por V. Axiomática da teoría de conxuntos
A teoría elemental de conxuntos pode ser estudade de maneira informal e intuitiva, razón pola cal pode ser ensinado nas escolas primarias usando, por exemplo, diagramas de Venn. O achegamento intuitivo presupón que un conxunto pode formarse a partir da clase de todos os obxecto que satisfán unha condición particular de definición. Esta hipótese da orixe a paradoxos, dos cales os máis simples e coñecidos son o paradoxo de Russell e o paradoxo de Burali-Forti. A axiomática da teoría de conxuntos foi inicialmente concibida para librar á teoría de conxuntos de tales paradoxos.
Os sistemas axiomáticos da teoría de conxuntos máis amplamente estudados implican que todos os conxuntos forman unha xerarquía acumulativa. Tales sistemas poden clasificarse en dous tipos, segundo a súa ontoloxía: Conxuntos sos: Estes inclúen a axiomática da teoría de conxuntos máis común, axiomática de Zermelo-Fraenkel co axioma da escolla (ZFC). Fragmentos de ZFC inclúen:
A teoría de conxuntos de Zermelo, que substitúe ao esquema axiomático de substitución co correspondente de separación.
A teoría xeral de conxuntos, un pequeno fragmento da teoría de conxuntos de Zermelo, suficiente para os axiomas de Peano e os conxuntos finitos.
A teoría de conxuntos de Kripke-Platek, que omite os axiomas do infinito, o do conxunto das partes, e o da escolla, ao tempo que debilita os esquemas axiomáticos de separación e de substitución.
Conxuntos e clases propias: Estes inclúen a teoría de conxuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, que ten a mesma forza que ZFC para teoremas sobre conxuntos sos; e a teoría de conxuntos de Morse-Kelley, que é máis forte cá ZFC.
Os sistemas anteriores poden modificarse para permitiren urelementos, obxectos que poden ser membros de conxuntos, mais eles mesmos non son conxuntos e non teñen ningún elemento.
Os sistemas de Novos Fundamentos NFU (permitindo urelementos) e NF (faltando eles) non están baseados nunha xerarquía acumulativa. NF e NFU inclúen un "conxunto de todo", relativo a que cada conxunto ten un complementario. Nestes sistemas os urelementos son importantes, porque NF, mais non NFU, produce conxuntos para os cales o axioma da escolla non se verifica.
Sistemas de teoría de conxuntos construtiva, como CST, CZF e IZF, integran a súa axiomática na lóxica intuicionista no canto da lóxica de primeira orde. Aínda, outros sistemas toman como padrón a lóxica de primeira orde estándar, mais presentan unha relación non estándar entre os seus elementos. Estes inclúen a teoría de conxuntos basta e a teoría de conxuntos difusa, onde o valor dunha fórmula atómica que incorpora a relación entre os elementos non é simplemente verdadeiro ou falso. Unha disciplina relacionada é a dos modelos de valores booleanos de ZFC.
Un enriquecemento de ZFC chamado teoría de conxuntos interna foi proposto por Edward Nelson en 1977. Aplicacións
Moitos conceptos matemáticos poden definirse dun xeito preciso usando unicamente conceptos da teoría de conxuntos. Por exemplo, estruturas matemáticas tan diversas como os grafos, as variedades, os aneis, e os espazos vectoriais poden ser definidas como conxuntos satisfacendo varias propiedades (axiomáticas). As relacións de equivalencia e de orde son ubicuas en matemáticas, e a teoría das relacións matemáticas pode describirse dentro da teoría de conxuntos.
A teoría de conxuntos é tamén un prometedor sistema de fundamentos para moitas ramas das matemáticas. Desde a publicación en 1910 do primeiro volume da obra Principia Mathematica de Russell e Whitehead, tense afirmado que moitos ou mesmo todos os teoremas matemáticos poden obterse como resultado usando unha axeitada axiomática da teoría de conxuntos, ampliada con definicións, e usando lóxicas de primeira e segunda orde. Por exemplo, as propiedades dos números naturais e dos reais poden deducirse dentro da propia teoría de conxuntos, pois cada sistema numérico pode identificarse cun conxunto de clases de equivalencia baixo unha adecuada relación de equivalencia cuxo campo é algún conxunto infinito.
O papel da teoría de conxuntos como teoría de fundamentos da análise matemática, da topoloxía, da álxebra abstracta, e das matemáticas discretas é igualmente indiscutíbel. Os matemáticos aceptan (en principio) que os teoremas desas áreas poden obterse como resultado das definicións relevantes e dos axiomas da teoría de conxuntos. Téñense verificado formalmente poucas deducións completas de teoremas de matemática complexa desde a teoría de conxuntos, porén, tales deducións formais son acotío moito máis longas que as demostracións, presentadas comunmente nunha linguaxe natural. Un proxecto de verificación, Metamath, inclúe deducións de máis de 10. 000 teoremas a partir dos axiomas de ZFC e usando lóxica de primeira orde. Áreas de estudo
A teoría de conxuntos é unha das áreas principais de investigación en matemáticas, con moitas subáreas interrelacionadas.
Teoría de conxuntos combinatoria
A teoría de conxuntos combinatoria atangue ás extensións da combinatoria finita a conxuntos infinitos. Isto inclúe o estudo da aritmética cardinal e o estudo das extensións do teorema de Ramsey, como o teorema de Erdős–Rado.
Teoría de conxuntos descritiva
A teoría de conxuntos descritiva é o estudo de subconxuntos da recta real e, máis xeralmente, subconxuntos de espazos polacos. Comeza co estudo das clases de puntos na xerarquía de Borel e esténdese ao estudo de máis xerarquías complexas, como a xerarquía proxectiva e a xerarquía de Wadge. Moitas das propiedades dos conxuntos de Borel poden establecerse na axiomática ZFC, pero demostrando que estas propiedades se verifican para conxuntos máis complicados que requiren axiomas adicionais relacionados coa determinación e os cardinais grandes.
O campo da teoría de conxuntos descritiva efectiva áchase entre a teoría de conxuntos e a teoría da recursión. Inclúe o estudo de clases de puntos lightface, e está intimamente relacionada coa teoría hiperaritmética. En moitos casos, os resultados da teoría de conxuntos descritiva clásica teñen versións efectivas; nalgúns casos, obtéñense novos resultados demostrando primeiro a versión efectiva e estendéndoos despois ("relativizándoos") para facelos máis amplamente aplicábeis.
Unha recente área de investigación concirne ás relacións de equivalencia de Borel e a relacións de equivalencia definíbeis máis complicadas. Isto ten importantes aplicacións no estudo dos invariantes en moitos campos das matemáticas.
Teoría de conxuntos difusa
Na teoría de conxuntos tal como Cantor definiu e Zermelo e Fraenkel axiomatizaron, un obxecto ou ben é un elemento dun conxunto ou non. Na teoría de conxuntos difusa esta condición foi amortecida por Lotfi A. Zadeh de tal xeito que un obxecto ten un certo "grao de pertenza" a un conxunto, valorado por un número entre 0 e 1. Por exemplo, o grao de pertenza dunha persoa ao conxunto da "xente alta" é máis flexíbel cunha simple resposta de si ou non, e pode ser un número real tal como 0, 75.
Teoría do modelo interno
Un modelo interno da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) é unha clase transitiva que inclúe a todos os ordinais e satisfai todos os axiomas de ZF. O exemplo canónico é o do universo construíbel L, desenvolvido por Gödel. Unha razón pola cal o estudo dos modelos internos é de interese é a de que poden ser usados para demostrar resultados de consistencia. Por exemplo, pode mostrarse que, sen reparar en se un modelo V de ZF satisfai a hipótese do continuo ou o axioma da escolla, o modelo interno L construído dentro do modelo orixinal verificará tanto a hipótese do continuo xeneralizada como o axioma da escolla. Deste modo a asunción de que ZF é consistente (tendo polo menos un modelo) implica que ZF xunto con estes dous principios é consistente.
O estudo dos modelos internos é común no estudo do determinismo e dos grandes cardinais, especialmente cando se consideran axiomas, como o axioma do determinismo, que contradín o axioma da escolla. Mesmo se un modelo fixado da teoría de conxuntos satisfai o axioma da escolla, é posíbel que un modelo interno falle en satisfacer o axioma da escolla. Por exemplo, a existencia dun número suficiente de grandes cardinais implica que hai un modelo interno que satisfai o axioma do determinismo (e, xa que logo, non satisfacendo o axioma da escolla).
Grandes cardinais
Un gran cardinal é un número cardinal cuxo carácter de "moi grande" vén dado por unha propiedade extra denominada propiedade de gran cardinal. Moitas de tales propiedades foron estudadas, incluíndo cardinais inacesíbeis, cardinais mensurábeis ou cardinais compactos e moitas máis. Estas propiedades tipicamente implican que o número cardinal debe ser moi grande, sendo imposíbel de probar a existencia dos cardinais coas propiedades especificadas dentro da teoría de Zermelo-Fraenkel.
Determinismo
O determinismo refírese ao feito de que, baixo uns presupostos axeitados, certos xogos de información perfecta para dous xogadores están determinados desde o comezo do xogo no sentido de que un xogador debe ter unha estratexia gañadora. A existencia destas estratexias ten consecuencias importantes na teoría de conxuntos descritiva, como a asunción de que determinar unha clase de xogos máis ampla, frecuentemente implica que unha clase de conxuntos máis ampla terá unha propiedade topolóxica. O axioma do determinismo (AD) é un importante obxecto de estudo; se ben incompatíbel co axioma da escolla, AD implica que todos os subconxuntos da recta real teñen bo comportamento (en particular, son medíbeis e coa propiedade de conxunto perfecto). AD pode usarse para demostrar que os graos de Wadge teñen unha estrutura aliñada.
Forzamento
Paul Cohen inventou o método de forzamento mentres buscaba un modelo de ZFC no que fallaran o axioma da escolla ou a hipótese do continuo. Forzando a incorporación nalgúns modelos dados de teoría de conxuntos, de conxuntos adicionais para crear un modelo máis grande cunhas propiedades determinadas (é dicir, "forzadas") mediante a construción a partir do modelo orixinal. O forzamento é un dos dous métodos de demostración da consistencia relativa mediante métodos finitísticos, o outro método é o dos modelos de valores booleanos.
Invariantes cardinais
Un invariante cardinal é unha propiedade da recta real medida por un número cardinal. Por exemplo, un invariante ben estudado é a cardinalidade máis pequena dunha colección de conxuntos magros de reais cuxa unión é toda a recta real. Estes son invariantes no sentido de que dados dous modelos isomorfos calesquera da teoría de conxuntos, deben dar o mesmo cardinal para cada invariante. Moitos invariantes cardinais téñense estudado, e as relacións entre eles con frecuencia son complexas e están relacionadas con axiomas da teoría de conxuntos.
Topoloxía conxuntista
A topoloxía conxuntista estuda cuestións de topoloxía xeral que son de natureza conxuntista, ou que requiren métodos avanzados da teoría de conxuntos para a súa solución. Moitos deste teoremas son independentes de ZFC, necesitando axiomas máis fortes para a súa demostración. Un problema famoso é o do espazo normal de Moore, unha cuestión de topoloxía xeral que foi obxecto dunha busca intensa. A resposta á cuestión do espazo normal de Moore foi eventualmente demostrada ser independente de ZFC. Obxecións á teoría de conxuntos como fundamento das matemáticas
Desde o inicio da teoría de conxuntos, algúns matemáticos opuxéronse a tratala como un fundamento das matemáticas. A obxección máis común, voceada por Kronecker nos primeiros días da teoría de conxuntos, comezou desde unha visión construtivista de que as matemáticas están vagamente relacionadas coa computación. Se se garante este punto de vista, entón o tratamento dos conxuntos infinitos, tanto na teoría informal de conxuntos como na axiomática, introduce métodos matemáticos e obxectos que non son computábeis, mesmo ao principio. Ludwig Wittgenstein cuestionaba a maneira en que a teoría de conxuntos de Zermelo–Fraenkel manexaba os infinitos. Os puntos de vista de Wittgenstein sobre os fundamentos das matemáticas foron máis tarde criticados por Georg Kreisel e Paul Bernays, e investigados por Crispin Wright, entre outros.
Teóricos das categorías teñen proposto a teoría de topos como unha alternativa á tradicional teoría axiomática de conxuntos. A teoría de topos pode interpretar varias alternativas para aquela teoría, tales como o construtivismo, a teoría dos conxuntos finitos, e a teoría de conxuntos computábel. A teoría de topos tamén dá un marco natural para forzar e discutir a independencia do axioma da escolla de ZF, así como proporciona unha estrutura para a topoloxía sen puntos e os espazos de Stone.
Unha área activa de investigación é a dos fundamentos univalentes xurdidos desde a teoría tipo homotopía. Aquí, os conxuntos defínense como clases de tipos, con propiedades universais de conxuntos resultantes dos tipos indutivos superiores. Principios como o axioma da escolla e a lei do terzo excluso aparecen nun espectro de diferentes formas, algunhas das cales poden ser demostradas, e outras corresponden a nocións clásicas; isto permite unha detallada discusión dos efectos destes axiomas nas matemáticas.