Aplicación linear

En matemáticas unha aplicación linear é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.
En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado. Definición
Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear á aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición: Sexan V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} espazos vectoriais sobre o mesmo corpo K {\displaystyle K}. Unha aplicación T {\displaystyle T} de V {\displaystyle V} en W {\displaystyle W} é unha transformación linear se para todo par de vectores u, v ∈ V {\displaystyle u, v\in V} e para todo escalar k ∈ K {\displaystyle k\in K}, se satisfai que: T ( u + v )
T ( u ) + T ( v ) {\displaystyle T(u+v)
T(u)+T(v)\, } T ( k u )
k T ( u ) {\displaystyle T(ku)
kT(u)\, }. Exemplos
A aplicación B: C → C {\displaystyle B: \mathbb {C} \to \mathbb {C} } que envía α {\displaystyle \alpha } en α ¯ {\displaystyle {\bar {\alpha }}} (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera C {\displaystyle \mathbb {C} } como un R {\displaystyle \mathbb {R} } -espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como C {\displaystyle \mathbb {C} } -espazo vectorial, xa que B ( i )
− i ≠ i B ( 1 )
i {\displaystyle B(i)
-i\neq iB(1)
i}.
Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade T: V → V / T ( x )
x, {\displaystyle T: V\rightarrow V\quad /\quad T(x)
x, } ∀ x ∈ V {\displaystyle \forall x\in V}, que resulta unha transformación linear.
As homotecias: T: K n → K n / T ( x )
k x {\displaystyle T: \mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{n}\quad /\quad T(x)
kx} con k ∈ K {\displaystyle k\in \mathbb {K} }. Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
Dada unha matriz A ∈ M n × m ( K ) {\displaystyle A\in M_{n\times m}(K)}, a función L A: K m → K n {\displaystyle L_{A}: K^{m}\rightarrow K^{n}} definida como L A ( x )
A x {\displaystyle L_{A}(x)
Ax} é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
Sexa V {\displaystyle V} o conxunto de funcións continuas en R {\displaystyle \mathbb {R} } e defínase ϕ: V → V {\displaystyle \phi: V\rightarrow V} mediante ϕ ( f ) ( t )
∫ 0 t f ( x ) d x {\displaystyle \phi (f)(t)
\int _{0}^{t}f(x)\, dx}, ocorre que: ∫ 0 t ( f ( x ) + g ( x ) ) d x
∫ 0 t f ( x ) d x + ∫ 0 t g ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{t}(f(x)+g(x))\, dx
\int _{0}^{t}f(x)\, dx+\int _{0}^{t}g(x)\, dx} e ∫ 0 t c f ( x ) d x
c ∫ 0 t f ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{t}cf(x)\, dx
c\int _{0}^{t}f(x)\, dx} para c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } Polo tanto, cúmprese que ϕ ( f + g )
ϕ ( f ) + ϕ ( g ) {\displaystyle \phi (f+g)
\phi (f)+\phi (g)} e ϕ ( c f )
c ϕ ( f ) {\displaystyle \phi (cf)
c\, \phi (f)} para todo f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} en V {\displaystyle V} e todo c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} }, así que ϕ {\displaystyle \phi } é unha aplicación linear de V {\displaystyle V} en V {\displaystyle V}. Propiedades das transformacións lineares
Sexan V {\displaystyle V_{}^{}} e W {\displaystyle W_{}^{}} espazos vectoriais sobre K {\displaystyle K_{}^{}} (onde K {\displaystyle K_{}^{}} representa o corpo), satisfaise que:
Se T: V → W {\displaystyle T: V\rightarrow W} é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de T {\displaystyle T_{}^{}} como: ker ⁡ ( T )
{ v ∈ V: T ( v )
0 W } {\displaystyle \operatorname {ker} (T)
\{\, v\in V: T(v)
0_{W}\, \}} Im ⁡ ( T )
{ w ∈ W: ∃ v ∈ V: T ( v )
w } {\displaystyle \operatorname {Im} (T)
\{\, w\in W: \exists v\in V: T(v)
w\, \}} É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.
O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio: 0 V ∈ ker ⁡ ( T ) {\displaystyle 0_{V}\in \operatorname {ker} (T)} dado que T ( 0 V )
0 W {\displaystyle T(0_{V})
0_{W}} (para probar isto, obsérvese que T ( 0 V )
T ( 0 V + 0 V )
T ( 0 V ) + T ( 0 V ) {\displaystyle T(0_{V})
T(0_{V}+0_{V})
T(0_{V})+T(0_{V})} ).
Dados u, v ∈ ker ⁡ ( T ): T ( u + v )
T ( u ) + T ( v )
0 W + 0 W
0 W ⇒ u + v ∈ ker ⁡ ( T ) {\displaystyle u, v\in \operatorname {ker} (T): T(u+v)
T(u)+T(v)
0_{W}+0_{W}
0_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)} Dados u ∈ ker ⁡ ( T ) ∧ k ∈ ℜ: T ( k u )
k T ( u ) ∧ T ( k u )
k 0 W
0 W ⇒ k u ∈ ker ⁡ ( T ) {\displaystyle u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re: T(ku)
kT(u)\land T(ku)
k0_{W}
0_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)} Denomínase nulidade á dimensión do núcleo. null ⁡ ( T )
dim ⁡ ( ker ⁡ ( T ) ) {\displaystyle \operatorname {null} (T)
\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))} A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio. A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe. ran ⁡ ( T )
dim ⁡ ( Im ⁡ ( T ) ) {\displaystyle \operatorname {ran} (T)
\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))} Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas
Se f1: V {\displaystyle V} → W {\displaystyle W} e f2: V {\displaystyle V} → W {\displaystyle W} son lineares, entón tamén o é a súa suma f1+f2 (definida como (f1+f2)(x) f1(x)+f2(x)).
Se f: V {\displaystyle V} → W {\displaystyle W} é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) a(f(x)), tamén é linear.
Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f: V {\displaystyle V} → W {\displaystyle W} forma un subespazo das funcións de V {\displaystyle V} en W. A este subespazo denótase L( W {\displaystyle W}, W {\displaystyle W} ) ou Hom( W {\displaystyle W}, W {\displaystyle W} ). A dimensión de L( V {\displaystyle V}, W {\displaystyle W} ) é igual ao produto das dimensións de V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W}.
Se f: V {\displaystyle V} → W {\displaystyle W} e g: W {\displaystyle W} → Z {\displaystyle Z} son lineares entón a súa composición g∘f: V {\displaystyle V} → Z {\displaystyle Z} tamén o é.
Dado un espazo vectorial V {\displaystyle V}, o espazo vectorial L( V {\displaystyle V}, V {\displaystyle V} ), que adoita denotarse End( V {\displaystyle V} ), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.
Se f: V {\displaystyle V} → W {\displaystyle W} é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear. Teoremas básicos das transformacións
Sexa B
{vi: i ∈ J} base de V {\displaystyle V} e C
{wi: i ∈ J} unha colección de vectores de W {\displaystyle W} non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai: T ( v i )
w i, ∀ i ∈ J {\displaystyle T(v_{i})
w_{i}, \ \forall i\in J} Sexa T: V → W {\displaystyle T: V\rightarrow W} unha transformación linear.
entón dim ⁡ ( V )
dim ⁡ ( N ( T ) ) + dim ⁡ ( Im ⁡ ( T ) ) {\displaystyle \dim(V)
\dim(N(T))+\dim(\operatorname {Im} (T))} Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo. Clasificación das transformacións lineares
Funcional linear: So as transformación lineares T: V → K {\displaystyle T: V\rightarrow \mathbb {K} } (onde K {\displaystyle \mathbb {K} } é o corpo base de V).
Monomorfismo: Se T: V → W {\displaystyle T: V\rightarrow W} é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo. ker ⁡ ( T )
0 V {\displaystyle \operatorname {ker} (T)
{0_{V}}} Epimorfismo: Se T: V → W {\displaystyle T: V\rightarrow W} é sobrexectiva.
Isomorfismo: Se T: V → W {\displaystyle T: V\rightarrow W} é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
Automorfismo: Endomorfismo bixectivo. Matriz asociada a unha transformación linear
Se V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de V {\displaystyle V} en W {\displaystyle W} pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.
Sexan T {\displaystyle T}: V {\displaystyle V} → W {\displaystyle W} unha transformación linear, B
{v1, .. ., vn} unha base de V {\displaystyle V}, C
{w1, .. ., wm} base de W {\displaystyle W}. Para calcular a matriz asociada a T {\displaystyle T} bas bases B e C cómpre calcular T {\displaystyle T} (vi) para cada i
1, .. ., n e escribilo como combinación linear da base C: T {\displaystyle T} (v1)
a11w1+. .. +am1 wm, .. ., T {\displaystyle T} (vn) a1nw1+. .. +amn wm.
A matriz asociada denótase C[T]B e é: C [ T ] B
( a 11. .. a 1 n. .. .. .. .. a m 1. .. a m n ) {\displaystyle _{C}[T]_{B}
{\begin{pmatrix}a_{11}&. .. &a_{1n}\\. .. &. .. &. .. \\a_{m1}&. .. &a_{mn}\end{pmatrix}}}.
Como un vector de W {\displaystyle W} se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.
Como dada calquera escolla de u1, .. ., un existe e é única a transformación linear que envía vi en ui, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear T {\displaystyle T}: V {\displaystyle V} → W {\displaystyle W} tal que C [T] B A.
Ademais, as matrices asociadas cumpren que C [aT+bS] B a C [T] B + b C [S] B para calquera a, b∈ℝ, T, S∈ L(V, W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L( V {\displaystyle V}, W {\displaystyle W} ) e Mn×mC (K).
De restrinxirse ao caso V {\displaystyle V}
W {\displaystyle W}, C
B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.