Series de Eisenstein

As series de Eisenstein, que reciben o nome do matemático alemán Gotthold Eisenstein, son formas modulares particulares con expansións de series infinitas que se poden escribir directamente. Definidas orixinalmente para o grupo modular, as series de Eisenstein pódense xeneralizar na teoría das formas automorfas. Series de Eisenstein para o grupo modular
Sexa τ un número complexo con parte imaxinaria estritamente positiva. Definamos a serie holomorfa de Eisenstein G2k(τ) de peso 2k, onde k ≥ 2 é un número enteiro, pola seguinte serie: G 2 k ( τ )
∑ ( m, n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0, 0 ) } 1 ( m + n τ ) 2 k. {\displaystyle G_{2k}(\tau )
\sum _{(m, n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0, 0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}. } Esta serie converxe absolutamente a unha función holomorfa de τ no semiplano superior e a súa expansión de Fourier indicada a continuación mostra que se estende a unha función holomorfa en τ
i∞. É un feito notable que a serie Eisenstein é unha forma modular. De feito, a propiedade clave é a súa covarianza SL(2, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ). Explicitamente se a, b, c, d ∈ Z {\displaystyle \mathbb {Z} } e ad − bc
1 entón G 2 k ( a τ + b c τ + d )
( c τ + d ) 2 k G 2 k ( τ ) {\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)
(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )} Nótese que k ≥ 2 é necesario para que a serie converxa absolutamente, mentres que k debe ser par, se non, a suma desaparece porque os termos (-m, -n) e (m, n) anúlanse. Para k 2 a serie converxe mais non é unha forma modular. Relación con invariantes modulares
As invariantes modulares g2 e g3 dunha curva elíptica veñen dados polas dúas primeiras series de Eisenstein: g 2
60 G 4 g 3
140 G 6. {\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&
60G_{4}\\g_{3}&
140G_{6}. \end{aligned}}} Existen expresións destas dúas funcións en termos das funcións theta. Relación de recorrencia
Calquera forma modular holomorfa para o grupo modular pódese escribir como un polinomio en G4 e G6. En concreto, a orde superior G2k pódese escribir en termos de G4 e G6 mediante unha relación de recorrencia. Sexa dk
(2k + 3)k! G2k + 4, polo que, por exemplo, d0
3G4 e d1
5G6. Daquela o dk satisfai a relación ∑ k
0 n ( n k ) d k d n − k
2 n + 93 n + 6 d n + 2 {\displaystyle \sum _{k
0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k} {\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}} para todo n ≥ 0. Onde (nk) é o coeficiente binomial.
Os dk tamén aparecen na expansión en serie para as funcións elípticas de Weierstrass: ℘ ( z )
1 z 2 + z 2 ∑ k
0 ∞ d k z 2 k k!
1 z 2 + ∑ k
1 ∞ ( 2 k + 1 ) G 2 k + 2 z 2 k. {\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z)&
{\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k
0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k! }}\\&
{\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k
1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}. \end{aligned}}} Series de Fourier
Definimos q
e2πiτ, (algúns libros máis antigos definen que q como o nome q
eπiτ, mais agora q
e2πiτ é o estándar. ) Daquela a serie de Fourier da serie de Eisenstein é G 2 k ( τ )
2 ζ ( 2 k ) ( 1 + c 2 k ∑ n
1 ∞ σ 2 k − 1 ( n ) q n ) {\displaystyle G_{2k}(\tau )
2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n
1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)} onde os coeficientes c2k están dados por c 2 k
( 2 π i ) 2 k ( 2 k − 1 )! ζ ( 2 k )
− 4 k B 2 k
2 ζ ( 1 − 2 k ). {\displaystyle {\begin{aligned}c_{2k}&
{\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta (2k)}}\\[4pt]&
{\frac {-4k}{B_{2k}}}
{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}. \end{aligned}}} Onde Bn son os números de Bernoulli, ζ(z) é a función zeta de Riemann e σp(n) é a función suma dos divisores. En particular temos G 4 ( τ )
π 445 ( 1 + 240 ∑ n
1 ∞ σ 3 ( n ) q n ) G 6 ( τ )
2 π 6945 ( 1 − 504 ∑ n
1 ∞ σ 5 ( n ) q n ). {\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&
{\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n
1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&
{\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n
1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right). \end{aligned}}} A suma sobre q pódese representar como unha serie de Lambert e teríamos ∑ n
1 ∞ q n σ a ( n )
∑ n
1 ∞ n a q n 1 − q n {\displaystyle \sum _{n
1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)
\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}} para complexos arbitrarios |q| < 1 e a. Cando se traballa coa q-expansión da serie de Eisenstein, adoita introducirse esta notación alternativa: E 2 k ( τ )
G 2 k ( τ ) 2 ζ ( 2 k )
1 + 2 ζ ( 1 − 2 k ) ∑ n
1 ∞ n 2 k − 1 q n 1 − q n
1 − 4 k B 2 k ∑ n
1 ∞ σ 2 k − 1 ( n ) q n
1 − 4 k B 2 k ∑ d, n ≥ 1 n 2 k − 1 q n d. {\displaystyle {\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&
{\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&
1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&
1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n
1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\& 1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d, n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}. \end{aligned}}} Identidades coa serie de Eisenstein
Como funcións theta
Fonte: Dado q
e2πiτ, temos E 4 ( τ )
1 + 240 ∑ n
1 ∞ n 3 q n 1 − q n E 6 ( τ )
1 − 504 ∑ n
1 ∞ n 5 q n 1 − q n E 8 ( τ )
1 + 480 ∑ n
1 ∞ n 7 q n 1 − q n {\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&
1+240\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&
1-504\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&
1+480\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}} e definimos as funcións theta de Jacobi, que normalmente usan a función nome q
eπiτ, a
θ 2 ( 0; e π i τ )
ϑ 10 ( 0; τ ) b
θ 3 ( 0; e π i τ )
ϑ 00 ( 0; τ ) c
θ 4 ( 0; e π i τ )
ϑ 01 ( 0; τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}a&
\theta _{2}\left(0; e^{\pi i\tau }\right)
\vartheta _{10}(0; \tau )\\b&
\theta _{3}\left(0; e^{\pi i\tau }\right)
\vartheta _{00}(0; \tau )\\c&
\theta _{4}\left(0; e^{\pi i\tau }\right)
\vartheta _{01}(0; \tau )\end{aligned}}} onde θm e ϑij representan notacións alternativas. Entón temos as relacións simétricas, E 4 ( τ )
12 ( a 8 + b 8 + c 8 ) E 6 ( τ )
12 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 − 54 ( a b c ) 82 E 8 ( τ )
12 ( a 16 + b 16 + c 16 )
a 8 b 8 + a 8 c 8 + b 8 c 8 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&
{\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&
{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&
{\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)
a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}} Unha transformación alxébrica básica implica inmediatamente E 43 − E 62
274 ( a b c ) 8 {\displaystyle E_{4}^{3}-E_{6}^{2}
{\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}} unha expresión relacionada co discriminante modular, Δ
g 23 − 27 g 32
( 2 π ) 12 ( 12 a b c ) 8 {\displaystyle \Delta
g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}
(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}
Produtos das series de Eisenstein
As series de Eisenstein forman os exemplos máis explícitos de formas modulares para o grupo modular completo SL(2, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ). Dado que o espazo das formas modulares de peso 2k ten dimensión 1 para 2k
4, 6, 8, 10, 14, os diferentes produtos das series de Eisenstein que teñen eses pesos teñen que ser iguais a un múltiplo escalar. De feito, obtemos as identidades: E 42
E 8, E 4 E 6
E 10, E 4 E 10
E 14, E 6 E 8
E 14. {\displaystyle E_{4}^{2}
E_{8}, \quad E_{4}E_{6}
E_{10}, \quad E_{4}E_{10}
E_{14}, \quad E_{6}E_{8}
E_{14}. } Usando as q-expansións da serie de Eisenstein indicadas anteriormente, poden ser reformuladas como identidades que implican as sumas de potencias dos divisores: ( 1 + 240 ∑ n
1 ∞ σ 3 ( n ) q n ) 2
1 + 480 ∑ n
1 ∞ σ 7 ( n ) q n, {\displaystyle \left(1+240\sum _{n
1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}
1+480\sum _{n
1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n}, } polo tanto σ 7 ( n )
σ 3 ( n ) + 120 ∑ m
1 n − 1 σ 3 ( m ) σ 3 ( n − m ), {\displaystyle \sigma _{7}(n)
\sigma _{3}(n)+120\sum _{m
1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m), } e do mesmo xeito para os demais. A función theta dunha retícula unimodular par de oito dimensións Γ é unha forma modular de peso 4 para o grupo modular completo, que dá as seguintes identidades: θ Γ ( τ )
1 + ∑ n
1 ∞ r Γ ( 2 n ) q n
E 4 ( τ ), r Γ ( n )
240 σ 3 ( n ) {\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )
1+\sum _{n
1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}
E_{4}(\tau ), \qquad r_{\Gamma }(n) 240\sigma _{3}(n)} para o número rΓ(n) de vectores de lonxitude cadrada 2n na retícula raíz do tipo E8.
Usando a relación de recorrencia anterior, todos os E2k superiores poden expresarse como polinomios en E4 e E6. Por exemplo: E 8
E 42 E 10
E 4 ⋅ E 6691 ⋅ E 12
441 ⋅ E 43 + 250 ⋅ E 62 E 14
E 42 ⋅ E 63617 ⋅ E 16
1617 ⋅ E 44 + 2000 ⋅ E 4 ⋅ E 6243867 ⋅ E 18
38367 ⋅ E 43 ⋅ E 6 + 5500 ⋅ E 63174611 ⋅ E 20
53361 ⋅ E 45 + 121250 ⋅ E 42 ⋅ E 6277683 ⋅ E 22
57183 ⋅ E 44 ⋅ E 6 + 20500 ⋅ E 4 ⋅ E 63236364091 ⋅ E 24
49679091 ⋅ E 46 + 176400000 ⋅ E 43 ⋅ E 62 + 10285000 ⋅ E 64 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{8}&
E_{4}^{2}\\E_{10}&
E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&
441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&
E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&
1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&
38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&
53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&
57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&
49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}} Moitas relacións entre produtos da serie de Eisenstein pódense escribir dun xeito elegante usando determinantes de Hankel, por exemplo, a identidade de Garvan ( Δ ( 2 π ) 12 ) 2
− 69117282 ⋅ 250 det | E 4 E 6 E 8 E 6 E 8 E 10 E 8 E 10 E 12 | {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}
-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}} onde Δ
( 2 π ) 12 E 43 − E 621728 {\displaystyle \Delta
(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}} é o discriminante modular.
Identidades de Ramanujan
Srinivasa Ramanujan deu varias identidades interesantes entre as primeiras series de Eisenstein usando a diferenciación. Sexan L ( q )
1 − 24 ∑ n
1 ∞ n q n 1 − q n
E 2 ( τ ) M ( q )
1 + 240 ∑ n
1 ∞ n 3 q n 1 − q n
E 4 ( τ ) N ( q )
1 − 504 ∑ n
1 ∞ n 5 q n 1 − q n
E 6 ( τ ), {\displaystyle {\begin{aligned}L(q)&
1-24\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&
E_{2}(\tau )\\M(q)&
1+240\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&
E_{4}(\tau )\\N(q)&
1-504\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&
E_{6}(\tau ), \end{aligned}}} daquela q d L d q
L 2 − M 12 q d M d q
L M − N 3 q d N d q
L N − M 22. {\displaystyle {\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&
{\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&
{\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&
{\frac {LN-M^{2}}{2}}. \end{aligned}}} Estas identidades, como as identidades entre as series, producen identidades de convolución aritméticas que implican a función suma de divisores. Seguindo a Ramanujan, para poñer estas identidades na forma máis simple é necesario estender o dominio de σp(n) para incluír o cero, configurando σ p ( 0 )
12 ζ ( − p ) ⟹ σ ( 0 )
− 124 σ 3 ( 0 )
1240 σ 5 ( 0 )
− 1504. {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}(0)
{\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&
-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&
{\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&
-{\tfrac {1}{504}}. \end{aligned}}} Logo, por exemplo ∑ k
0 n σ ( k ) σ ( n − k )
512 σ 3 ( n ) − 12 n σ ( n ). {\displaystyle \sum _{k
0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)
{\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n). } Xeneralizacións
As formas automorfas xeneralizan a idea de formas modulares para os grupos de Lie xenéricos; e as series de Eisenstein xeneralízanse dun xeito similar.
Definindo OK como o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico totalmente real K, defínese entón o grupo modular de Hilbert–Blumenthal como PSL(2, OK). Podemos entón asociar unha serie de Eisenstein a cada cúspide do grupo modular Hilbert–Blumenthal.