Distribución binomial

A distribución binomial é unha distribución de probabilidade discreta que conta o número de éxitos nunha secuencia de n ensaios de Bernoulli independentes entre si, cunha probabilidade fixa p de que ocorra un éxito no ensaio.
Un experimento de Bernoulli caracterízase por ser dicotómico, é dicir, só ten dous posibles resultados. Un destes resultados denomínase éxito e ten unha probabilidade de que suceda p e o outro denomínase fracaso, cunha probabilidade q
1 - p. Na distribución binomial o experimento repítese n veces, de forma independente, e trátase de calcular a probabilidade dun número determinado de éxitos. Para n
1, a binomial convértese nunha distribución de Bernoulli.
Para representar que unha variable aleatoria X segue unha distribución binomial de parámetros n e p, escríbese: X ∼ B ( n, p ) {\displaystyle X\sim B(n, p)\, } A distribución binomial é a base do test binomial de significación estatística. Experimento binomial
Existen moitas situación nas que se presenta unha experiencia binomial. Cada un dos experimentos é independente dos demais (é dicir, a probabilidade do resultado dun experimento non depende do resultado do resto). O resultado de cada experimento só admite dúas categorías (“éxito” e “fracaso”) e as probabilidades deben de ser constantes en todos os experimentos (exprésanse como p e q ou p e 1-p).
Desígnase por X a variable que mide o número de éxitos que produciron nos n experimentos. Cando se dan estas circunstancias, dise que a variable X segue unha distribución de probabilidade binomial, e exprésase B(n, p).
Exemplos de experimentos que se poden modelizar con esta distribución son: Lánzase un dado dez veces e cóntase o número X de treses obtidos. Entón X ~ B(10, 1/6).
Lánzase unha moeda dúas veces e cóntase o número X de caras obtidas. Entón X ~ B(2, 1/2) Características analíticas
A súa función de probabilidade é f ( x )
( n x ) p x ( 1 − p ) n − x {\displaystyle f(x)
{n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}\, \! } onde x
{ 0, 1, 2, …, n }, {\displaystyle x
\{0, 1, 2, \dots, n\}, } sendo ( n x )
n! x! ( n − x )! {\displaystyle {n \choose x}
{\frac {n! }{x! (n-x)! }}\, \! } as combinacións de n {\displaystyle n\, \! } en x {\displaystyle x\, \! } ( n {\displaystyle n\, \! } elementos tomados de x {\displaystyle x\, \! } en x {\displaystyle x\, \! } )
Exemplo
Se se lanza un dado (con 6 caras) 51 veces e queremos coñecer a probabilidade de que o número 3 saia vinte veces temos que X ~ B(51, 1/6) e a probabilidade sería P(X
20): P ( X
20 )
( 5120 ) ( 1 / 6 ) 20 ( 1 − 1 / 6 ) 51 − 20
0. 1898 {\displaystyle P(X
20)
{51 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{51-20} 0. 1898} Propiedades
E [ X ]
n p {\displaystyle \mathbb {E} [X]
np\, } V ar [ X ]
n p ( 1 − p ) {\displaystyle \mathbb {V} {\text{ar}}[X]
np(1-p)\, } Relación con outras variables aleatorias
Se n {\displaystyle n} tende a infinito e p {\displaystyle p} é tal que o produto entre ambos os parámetros tende a λ {\displaystyle \lambda \, \! }, entón a distribución da variable aleatoria binomial tende a unha distribución de Poisson de parámetro λ {\displaystyle \lambda }.
Cando p {\displaystyle p} 0. 5 e n é moi grande (habitualmente esíxese que n ≥ 30 {\displaystyle n\geq 30} ) a distribución binomial pode aproximarse mediante a distribución normal. Propiedades reprodutivas
Dadas n variables binomiales independentes de parámetros ni (i
1, .. ., n) e p {\displaystyle p}, a súa suma é tamén unha variable binomial, de parámetros n1+. .. + nn, e p {\displaystyle p}, é dicir, Y
∑ i
1 n X i ∼ B ( ∑ i
1 n n i, p ) {\displaystyle Y
\sum _{i
1}^{n}X_{i}\sim B(\sum _{i 1}^{n}n_{i}, p)\, }