Constante de Khinchin

En teoría de números, Aleksandr Yakovlevich Khinchin demostrou que para case todos os números reais x, os coeficientes ai da fracción continua de x teñen unha media xeométrica finita que é independente do valor de x e que se coñece como constante de Khinchin. x
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + 1 ⋱ {\displaystyle x
a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\; } case sempre é certo que lim n → ∞ ( a 1 a 2. .. a n ) 1 / n
K 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}. .. a_{n}\right)^{1/n}
K_{0}} onde K 0 {\displaystyle K_{0}} é a constante de Khinchin K 0
∏ r
1 ∞ ( 1 + 1 r ( r + 2 ) ) log 2 ⁡ r ≈ 2. 6854520010 … {\displaystyle K_{0}
\prod _{r
1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}\approx 2. 6854520010\dots } (secuencia A002210 na OEIS)
(onde ∏ {\displaystyle \prod } denota o produto en todos os termos da secuencia).
Entre os números cuxas expansións de fraccións continuas aparentemente teñen esta propiedade (baseada na evidencia numérica) están π, a constante de Euler-Mascheroni γ, a constante de Apéry ζ(3) e a propia constante de Khinchin. Non obstante, isto non está probado.
Entre os números x cuxas expansións de fraccións continuas se sabe que non teñen esta propiedade están os números racionais, as raíces das ecuacións de segundo grao (incluíndo a razón áurea Φ e as raíces cadradas de números enteiros) e a base do logaritmo natural e. Isto é consecuente con que estes números teñen ou fracción continua finita ou fracción continua períodica (ou cuase-períodica no caso de e).
Khinchin ás veces escríbese Khintchine (a transliteración francesa do ruso Хинчин) na literatura matemática máis antiga. Esbozo da proba
A proba aquí presentada foi presentada por Czesław Ryll-Nardzewski e é moito máis sinxela que a proba orixinal de Khinchin que non utilizaba a teoría ergódica.
Dado que o primeiro coeficiente a0 da fracción continua de x non xoga ningún papel no teorema de Khinchin e dado que os números racionais teñen a medida de Lebesgue cero, redúcese ao estudo dos números irracionais no intervalo I
[ 0, 1 ] ∖ Q {\displaystyle I
[0, 1]\setminus \mathbb {Q} }. Estes números están en bixección con fraccións continuas infinitas da forma [0; a1, a2, .. .], que simplemente escribimos [a1, a2, .. .], onde a1, a2, .. . son enteiros positivos. Definamos unha transformación T: I → I por T ( [ a 1, a 2, … ] )
[ a 2, a 3, … ]. {\displaystyle T([a_{1}, a_{2}, \dots ])
[a_{2}, a_{3}, \dots ]. \, } A transformación T chámase operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing. Para cada subconxunto de Borel E de I, tamén definimos a medida de Gauss-Kuzmin de E μ ( E )
1 log ⁡ 2 ∫ E d x 1 + x. {\displaystyle \mu (E)
{\frac {1}{\log 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}. } Entón μ é unha medida de probabilidade na σ-álxebra dos subconxuntos de Borel de I. A medida μ é equivalente á medida de Lebesgue en I, mais ten a propiedade adicional de que a transformación T conserva a medida μ. Ademais, pódese demostrar que T é unha transformación ergódica do espazo medible dotado coa medida de probabilidade μ (esta é a parte difícil da demostración). O teorema ergódico di entón que para calquera función f integrable μ en I, o valor medio de f ( T k x ) {\displaystyle f\left(T^{k}x\right)} é o mesmo para case todos os x {\displaystyle x}: lim n → ∞ 1 n ∑ k
0 n − 1 ( f ∘ T k ) ( x )
∫ I f d μ para μ -case todos x ∈ I. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k
0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)
\int _{I}fd\mu \quad {\text{para }}\mu {\text{-case todos }}x\in I. } Aplicando isto á función definida por f ([a1, a2, .. .])
log(a1), obtemos que lim n → ∞ 1 n ∑ k
1 n log ⁡ ( a k )
∫ I f d μ
∑ r
1 ∞ log ⁡ ( r ) log ⁡ ( 1 + 1 r ( r + 2 ) ) log ⁡ 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k
1}^{n}\log(a_{k})
\int _{I}f\, d\mu
\sum _{r 1}^{\infty }\log(r){\frac {\log {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\log 2}}} para case todos [a1, a2, .. .] en I cando n → ∞ {\displaystyle \infty }.
Tomando a exponencial a ambos os dous lados, obtemos á esquerda a media xeométrica dos n primeiros coeficientes da fracción continua e á dereita a constante de Khinchin. Expresións en serie
A constante de Khinchin pódese expresar como unha serie zeta racional na forma log ⁡ K 0
1 log ⁡ 2 ∑ n
1 ∞ ζ ( 2 n ) − 1 n ∑ k
12 n − 1 ( − 1 ) k + 1 k {\displaystyle \log K_{0}
{\frac {1}{\log 2}}\sum _{n
1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k
1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}} Media de Hölder
A constante de Khinchin pódese ver como a primeira dunha serie de medias de Hölder dos termos das fraccións continuas. Dada unha serie arbitraria {an}, a media de Hölder de orde p da serie vén dada por K p
lim n → ∞ [ 1 n ∑ k
1 n a k p ] 1 / p. {\displaystyle K_{p}
\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k
1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}. } Cando os {an} son os termos da expansión da fracción continua, as constantes veñen dadas por K p
[ ∑ k
1 ∞ − k p log 2 ⁡ ( 1 − 1 ( k + 1 ) 2 ) ] 1 / p. {\displaystyle K_{p}
\left[\sum _{k
1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}. } Isto obtense tomando a p-ésima media en conxunto coa distribución de Gauss–Kuzmin. Isto é finito cando p < 1 {\displaystyle p<1}.
A media aritmética diverxe: lim n → ∞ 1 n ∑ k
1 n a k
K 1
+ ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k
1}^{n}a_{k}
K_{1}
+\infty }, e así os coeficientes medran arbitrariamente: lim sup n a n
+ ∞ {\displaystyle \limsup _{n}a_{n}
+\infty }.
O valor de K 0 obtense no límite de p → 0.
A media harmónica ( p
− 1) é K − 1
1. 74540566240 … {\displaystyle K_{-1} 1. 74540566240\dots } (secuencia A087491 na OEIS). Problemas abertos
Pénsase que π, a constante γ de Euler-Mascheroni e a propia constante de Khinchin, baseada en evidencias numéricas, están entre os números cuxa media xeométrica dos coeficientes ai na súa expansión como fracción continua tende á constante de Khinchin. No entanto, ningún destes límites foi establecido con rigor.
Non se sabe se a constante de Khinchin é un número racional, alxébrico irracional ou transcendental.