Fibra (matemáticas)

En matemáticas, a fibra dun elemento baixo unha función f é a imaxe recíproca do conxunto unitario { y }, é dicir: f − 1 ( y )
{ x: f ( x )
y } {\displaystyle f^{-1}(y)
\{x\mathrel {: } f(x)
y\}}. Propiedades e aplicacións
Na teoría elemental de conxuntos
Se X e Y son o dominio e a imaxe de f, respectivamente, entón as fibras de f son os conxuntos f − 1 ( y ):
{ x ∈ X: f ( x )
y }, y ∈ Y, {\displaystyle f^{-1}(y)\mathrel {: }
\{x\in X\mathrel {: } f(x)
y\}, \quad y\in Y, } que forman unha partición do conxunto X. Obsérvese que y debe restrinxirse á imaxe de f, pois en caso contrario f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} sería o conxunto baleiro, que non se permite nunha partición. A fibra que contén un elemento x ∈ X {\displaystyle x\in X} é o conxunto f − 1 ( f ( x ) ) {\displaystyle f^{-1}(f(x))}.
Exemplos
Por exemplo, sexa f a función de R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} en R {\displaystyle \mathbb {R} } que envía o punto (a, b) en a+b. A fibra de 5 baixo f é o conxunto dos puntos na recta de ecuación a+b 5. As fibras de f son esa recta e todas as rectas paralelas a ela, que forman unha partición do plano R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.
Máis xeralmente, se f é unha aplicación linear dun espazo vectorial X a outro espazo Y, as fibras de f son subespazos afíns de X, é dicir, copias trasladadas do espazo nulo de f.
Se f é unha función real de varias variables reais, as fibras son os conxuntos de nivel de f. Se f é ademais continua e y ∈ R {\displaystyle y\in \mathbb {R} } pertence á imaxe de f, o conxunto de nivel f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} será tipicamente unha curva en 2D, unha superficie en 3D, e máis xeralmente unha hipersuperficie no dominio de f.
As fibras de f son as clases de equivalencia da relación de equivalencia ≡ f {\displaystyle \equiv _{f}} definida en X tal que x ′ ≡ f x ″ {\displaystyle x'\equiv _{f}x''} se e só se f ( x ′ )
f ( x ″ ). {\displaystyle f(x')
f(x''). }
En topoloxía
Na topoloxía conxuntista, adoitan considerarse funcións entre espazos topolóxicos.
Se f é unha función continua e se Y (ou máis xeralmente a imaxe f(X)) é un espazo T1, entón cada fibra é un subconxunto pechado de X. En particular, se f é un homeomorfismo local de X en Y, cada fibra de f é un subespazo discreto de X.
Unha función entre espazos topolóxicos chámase monótona se cada fibra é un subespazo conexo do seu dominio. Unha función f: R → R {\displaystyle f: \mathbb {R} \to \mathbb {R} } é monótona neste sentido topolóxico se e só se é non decrecente ou non crecente, que é o significado habitual de "función monótona" na análise real.
Unha función entre espazos topolóxicos chámase unha aplicación propia se cada fibra é un subespazo compacto. Porén, moitos autores usan definicións diferentes e non equivalentes de "aplicación propia", polo que convén comprobar sempre o sentido preciso en cada caso. Unha función continua pechada e sobrexectiva cuxas fibras son todas compactas chámase unha aplicación perfecta.
Un feixe principal ou fibrado é unha función f entre espazos topolóxicos X e Y cuxas fibras posúan certas propiedades especiais relacionadas coa topoloxía destes espazos.
En xeometría alxébrica
En xeometría alxébrica, se f: X → Y {\displaystyle f: X\to Y} é un morfismo de esquemas, a fibra dun punto p en Y é o produto fibrado de esquemas X × Y Spec ⁡ k ( p ) {\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)} onde k(p) é o corpo residual en p.