Sistema axiomático

En matemáticas, un sistema axiomático é un conxunto calquera de axiomas no que algúns ou todos os axiomas poden ser usados para a derivación lóxica de teoremas. Unha teoría está formada por un sistema axiomático e todos os seus teoremas derivados. Un sistema axiomático completo é un tipo especial de sistema formal. Unha teoría formal xeralmente significa un sistema axiomático, por exemplo formulado na teoría de modelos. Unha demostración formal é unha interpretación completa dunha demostración matemática nun sistema formal. Propiedades
Dise que un sistema axiomático é consistente se non contén ningunha contradición, é dicir, a capacidade de derivar dos axiomas do sistema tanto un enunciado como o seu contrario.
Nun sistema axiomático, un axioma chámase independente se non é un teorema que se poida derivar doutros axiomas do sistema. Dise que un sistema é independente se todos os seus axiomas subxacentes son independentes. Aínda que a independencia non é unha condición necesaria para un sistema, a coherencia si.
Un sistema axiomático dise que é completo se é deducíbel toda proposición, ou a súa negación. Consistencia relativa
Máis aló da consistencia, a consistencia relativa tamén é a marca dun sistema de axiomas válido. Isto é cando os termos indefinidos dun primeiro sistema de axiomas son consecuencia das definicións dun segundo, de xeito que os axiomas do primeiro son teoremas do segundo sistema. Modelos
Un modelo para un sistema axiomático é un conxunto ben definido, que dá significado aos termos indefinidos presentados no sistema, de forma correcta coas relacións definidas no sistema. A existencia dun modelo concreto proba a consistencia dun sistema. Dise que un modelo é concreto se os significados asignados son obxectos e relacións do mundo real, en oposición a un modelo abstracto, que se basea noutros sistemas axiomáticos.
Os modelos tamén se poden usar para expoñer a independencia dun axioma no sistema. Método axiomático
O método axiomático consiste en declarar definicións e proposicións de tal xeito que cada novo termo poida ser eliminado formalmente por termos que requiran nocións primitivas (axiomas) previamente introducidas para evitar un regresión infinita.
Unha posición común en relación ao método axiomático é o loxicismo. No seu libro Principia Mathematica, Alfred North Whitehead e Bertrand Russell tentaron demostrar que calquera teoría matemática podería reducirse a unha determinada colección de axiomas. De forma máis xeral, a redución dun conxunto de proposicións a unha colección particular de axiomas subxace no programa de investigación do matemático. Isto foi moi importante para as matemáticas do século XX, particularmente sobre temas relacionados coa álxebra homolóxica.
Explicar os axiomas particulares utilizados nunha teoría pode dar lugar a un nivel desexábel de abstracción co que o matemático quere traballar. Por exemplo, os matemáticos escolleron que os aneis non deben ser conmutativos, o que difire da formulación orixinal de Emmy Noether. Os matemáticos decidiron estudar espazos topolóxicos sen o axioma de separación, que Felix Hausdorff formulara inicialmente.
Os axiomas de Zermelo-Fraenkel, resultado do método axiomático aplicado á teoría de conxuntos, permitiron a formulación “adecuada" de problemas na teoría de conxuntos e axudou a evitar os paradoxos da teoría informal de conxuntos. Un destes problemas foi a hipótese do continuo. A teoría de conxuntos de Zermelo–Fraenkel, co historicamente controvertido axioma da escolla incluído, adoita abreviarse ZFC, onde C significa Choice. Moitos autores usan a teoría de conxuntos ZF sen o axioma de escolla. Hoxe ZFC é a forma estándar da teoría axiomática de conxuntos e, como tal, é a base máis común das matemáticas.
Historia
Os métodos matemáticos desenvolvéronse ata un certo grao de sofisticación no antigo Exipto, Babilonia, India e China, aparentemente sen empregar o método axiomático.
Euclides de Alexandría escribiu a primeira presentación axiomática existente da xeometría euclidiana e da teoría dos números. No século XIX desenvolvéronse moitos sistemas axiomáticos, incluíndo a xeometría non euclidiana, os fundamentos da análise real, a teoría de conxuntos de Cantor, o traballo de Frege sobre os fundamentos e os novos usos de Hilbert do método axiomático como ferramenta de investigación. Por exemplo, a teoría de grupos desenvolveuse por primeira vez sobre unha base axiomática cara a finais deste século. Unha vez aclarados os axiomas (que os elementos inversos debian ser necesarios, por exemplo), a materia podería proceder de forma independente, sen facer referencia ás orixes da acción do grupo para cada estudo.
Exemplo: axiomatización de números naturais de Peano
O sistema matemático dos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, .. . baséase nun sistema axiomático escrito por primeira vez polo matemático Peano en 1889. Escolleu os axiomas, na linguaxe dun só símbolo de función unaria S (abreviatura de “sucesor"), que son, para o conxunto dos números naturais: Hai un número natural 0.
Cada número natural a ten un sucesor, designado por Sa.
Non hai ningún número natural cuxo sucesor sexa 0.
Os números naturais distintos teñen sucesores distintos: se a ≠ b, entón Sa ≠ Sb.
Se o 0 posúe unha propiedade e tamén polo sucesor de cada número natural que posúe esta propiedade, entón é posuída por todos os números naturais ("Axioma de indución" ).
Axiomatización
En matemáticas, a axiomatización é a formulación dun sistema de enunciados (é dicir, axiomas) que se relacionan cun número de termos primitivos para que a partir destes enunciados se poida derivar dedutivamente un conxunto consistente de proposicións. Posteriormente, a proba de calquera proposición debería, en principio, remontarse a estes axiomas.