Norma (matemáticas)

Nas Matemáticas, unha norma consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de norma está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude. Definición
Dado un espazo vectorial X {\displaystyle X} sobre o corpo K {\displaystyle \mathbb {K} } dos números reais ou complexos, unha función ‖ ⋅ ‖: X → R + {\displaystyle \|\cdot \|: X\to \mathbb {R} ^{+}} é chamada de norma se, para calquera x →, y → ∈ X {\displaystyle {\vec {x}}, {\vec {y}}\in X} e todo α ∈ K {\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }: ‖ x → ‖
0 ⇒ x →
0 → {\displaystyle \|{\vec {x}}\|
0\Rightarrow {\vec {x}}
{\vec {0}}}. Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma. ‖ α x → ‖
| α | ‖ x → ‖ {\displaystyle \|\alpha {\vec {x}}\|
|\alpha |\|{\vec {x}}\|} ‖ x → + y → ‖ ≤ ‖ x → ‖ + ‖ y → ‖ {\displaystyle \|{\vec {x}}+{\vec {y}}\|\leq \|{\vec {x}}\|+\|{\vec {y}}\|} (desigualdade triangular)
Se o espazo vectorial X {\displaystyle X} ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado, e denótase por ( X, ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle \left(X, \|\cdot \|\right)}. Métrica e topoloxía inducida
Toda norma induce de forma natural unha métrica d {\displaystyle d} en X {\displaystyle X} que ten valores dados por: d ( x →, y → )
‖ x → − y → ‖. {\displaystyle d({\vec {x}}, {\vec {y}})
\|{\vec {x}}-{\vec {y}}\|\, .} Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas: B ( x → 0, r )
{ x → ∈ X: ‖ x → − x → 0 ‖ < r }, ∀ x → ∈ X, ∀ r ∈ R + {\displaystyle B({\vec {x}}_{0}, r)
\{{\vec {x}}\in X: \|{\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}\|<r\}, ~~\forall {\vec {x}}\in X, \forall r\in \mathbb {R_{+}} } Normas equivalentes
Dúas normas ‖. ‖ 1 {\displaystyle \|. \|_{1}} e ‖. ‖ 2 {\displaystyle \|. \|_{2}} sobre o mesmo espazo vectorial X {\displaystyle X} chámanse equivalentes se existiren constantes reais positivas C 1 {\displaystyle C_{1}} e C 2 ( C 1 ≤ C 2 ) {\displaystyle C_{2}\, (C_{1}\leq C_{2})} tales que: C 1 ‖ x → ‖ 1 ≤ ‖ x → ‖ 2 ≤ C 2 ‖ x → ‖ 1 ∀ x → ∈ X {\displaystyle C_{1}\|{\vec {x}}\|_{1}\leq \|{\vec {x}}\|_{2}\leq C_{2}\|{\vec {x}}\|_{1}~~\forall {\vec {x}}\in X} Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía. Normas en espazos de dimensión finita
Sexa x →
( x 1, x 2, …, x n )
∑ i
1 n x i e → i {\displaystyle {\vec {x}}
\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)
\sum _{i
1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}} a representación dun vector en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ou C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}.
As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas normas ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}}: ‖ x → ‖ p
( ∑ i
1 n | x i | p ) 1 / p, 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{p}
\left(\sum _{i
1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}~~, 1\leq p<\infty } ‖ x → ‖ ∞
max i
1 n ( | x i | ) {\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{\infty }
\max _{i
1}^{n}(|x_{i}|)} O caso particular no que p
2 {\displaystyle p
2} corresponde á norma euclidiana: ( ∑ i
1 n | x i | 2 ) 1 / 2
‖ x → ‖ 2
| x 1 | 2 + … + | x n | 2 {\displaystyle \left(\sum _{i
1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}
\|{\vec {x}}\|_{2}
{\sqrt {|x_{1}|^{2}+\ldots +|x_{n}|^{2}}}} A norma euclidiana é a que mide a distancia entre dous puntos do plano usada habitualmente ‖ x → ‖
( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 {\displaystyle \|{\vec {x}}\|
{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}. Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes. Norma matricial
Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde n × m {\displaystyle n\times m}, denotado por M n × m {\displaystyle M^{n\times m}}, unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.
Un exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada ‖. ‖ 1 {\displaystyle \|. \|_{1}} definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se A
[ a i j ] r × s {\displaystyle A
\left[a_{ij}\right]_{r\times s}} entón a norma do máximo da matriz A {\displaystyle A} é o número non negativo dado por ‖ A ‖ 1
max 1 ≤ i ≤ r ∑ j
1 s | a i j |. {\displaystyle \|A\|_{1}
\max _{1\leq i\leq r}\sum _{j
1}^{s}|a_{ij}|. } A norma do máximo da matriz A
| 132 − 1 | {\displaystyle A
{\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}}}, por exemplo, é ‖ A ‖ 1
max { | 1 | + | 3 |, | 2 | + | − 1 | }
max { 4, 3 }
4. {\displaystyle \|A\|_{1}
\max \left\{|1|+|3|, |2|+|-1|\right\}
\max \left\{4, 3\right\}
4. } Normas en espazos de dimensión infinita
Espazos LP
As normas ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.