Números de Euler

En matemáticas, os números de Euler son unha secuencia En de enteiros (secuencia A122045 na OEIS) definida pola expansión da serie de Taylor 1 cosh ⁡ t
2 e t + e − t
∑ n
0 ∞ E n n! ⋅ t n {\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}
{\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n! }}\cdot t^{n}},
onde cosh ⁡ ( t ) {\displaystyle \cosh(t)} é a función coseno hiperbólica. Os números de Euler están relacionados cos polinomios de Euler, E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(x)} avaliados no valor 12 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}, a saber: E n
2 n E n ( 12 ). {\displaystyle E_{n}
2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}). } Os números de Euler aparecen nas expansións da serie de Taylor das funcións secante e secante hiperbólica. Esta última é a función na definición. Tamén ocorren en combinatoria, concretamente cando se conta o número de permutacións alternadas dun conxunto cun número par de elementos. Exemplos
Os números de Euler impares son todos cero. Os de índice par (secuencia A028296 na OEIS) teñen signos alternados. Algúns valores son: Fórmulas explícitas
En termos de números de Stirling do segundo tipo
As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler en termos de números de Stirling do segundo tipo: E n
22 n − 1 ∑ ℓ
1 n ( − 1 ) ℓ S ( n, ℓ ) ℓ + 1 ( 3 ( 14 ) ℓ. ¯ − ( 34 ) ℓ. ¯ ), {\displaystyle E_{n}
2^{2n-1}\sum _{\ell
1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n, \ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {. }}}}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {. }}}}\right), } E 2 n
− 42 n ∑ ℓ
12 n ( − 1 ) ℓ ⋅ S ( 2 n, ℓ ) ℓ + 1 ⋅ ( 34 ) ℓ. ¯, {\displaystyle E_{2n}
-4^{2n}\sum _{\ell
1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n, \ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {. }}}}, } onde S ( n, ℓ ) {\displaystyle S(n, \ell )} denota os números de Stirling do segundo tipo, e x ℓ. ¯
( x ) ( x + 1 ) ⋯ ( x + ℓ − 1 ) {\displaystyle x^{\overline {\ell {\phantom {. }}}}
(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)} denota o factorial ascendente.
Como dobre suma
As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler como sumas dobres E 2 n
( 2 n + 1 ) ∑ ℓ
12 n ( − 1 ) ℓ 12 ℓ ( ℓ + 1 ) ( 2 n ℓ ) ∑ q
0 ℓ ( ℓ q ) ( 2 q − ℓ ) 2 n, {\displaystyle E_{2n}
(2n+1)\sum _{\ell
1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q
0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n}, } E 2 n
∑ k
12 n ( − 1 ) k 12 k ∑ ℓ
02 k ( − 1 ) ℓ ( 2 k ℓ ) ( k − ℓ ) 2 n. {\displaystyle E_{2n}
\sum _{k
1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell
0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}. }
Como suma iterada
Unha fórmula explícita para os números de Euler é: E 2 n
i ∑ k
12 n + 1 ∑ ℓ
0 k ( k ℓ ) ( − 1 ) ℓ ( k − 2 ℓ ) 2 n + 12 k i k k, {\displaystyle E_{2n}
i\sum _{k
1}^{2n+1}\sum _{\ell
0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}, } onde i denota a unidade imaxinaria con i2 −1.
Como suma sobre particións
O número de Euler E2n pódese expresar como unha suma sobre as particións pares de 2n, E 2 n
( 2 n )! ∑ 0 ≤ k 1, …, k n ≤ n ( K k 1, …, k n ) δ n, ∑ m k m ( − 12! ) k 1 ( − 14! ) k 2 ⋯ ( − 1 ( 2 n )! ) k n, {\displaystyle E_{2n}
(2n)! \sum _{0\leq k_{1}, \ldots, k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1}, \ldots, k_{n}}}\delta _{n, \sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2! }}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4! }}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)! }}\right)^{k_{n}}, } así como unha suma sobre as particións impares de 2n − 1, E 2 n
( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 )! ∑ 0 ≤ k 1, …, k n ≤ 2 n − 1 ( K k 1, …, k n ) δ 2 n − 1, ∑ ( 2 m − 1 ) k m ( − 11! ) k 1 ( 13! ) k 2 ⋯ ( ( − 1 ) n ( 2 n − 1 )! ) k n, {\displaystyle E_{2n}
(-1)^{n-1}(2n-1)! \sum _{0\leq k_{1}, \ldots, k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1}, \ldots, k_{n}}}\delta _{2n-1, \sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1! }}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3! }}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)! }}\right)^{k_{n}}, } onde en ambos os casos K
k1 + ··· + kn e ( K k 1, …, k n ) ≡ K! k 1! ⋯ k n! {\displaystyle {\binom {K}{k_{1}, \ldots, k_{n}}}\equiv {\frac {K! }{k_{1}! \cdots k_{n}! }}} é un coeficiente multinomial. Os deltas de Kronecker nas fórmulas anteriores restrinxen as sumas sobre os ks a 2k1 + 4k2 + ··· + 2nkn
2n e a k1 + 3k2 + ··· + (2n − 1)kn 2n − 1, respectivamente.
Como exemplo, E 10
10! ( − 110! + 22! 8! + 24! 6! − 32! 26! − 32! 4! 2 + 42! 34! − 12! 5 )
9! ( − 19! + 31! 27! + 61! 3! 5! + 13! 3 − 51! 45! − 101! 33! 2 + 71! 63! − 11! 9 )
− 50521. {\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&
10! \left(-{\frac {1}{10! }}+{\frac {2}{2! \, 8! }}+{\frac {2}{4! \, 6! }}-{\frac {3}{2! ^{2}\, 6! }}-{\frac {3}{2! \, 4! ^{2}}}+{\frac {4}{2! ^{3}\, 4! }}-{\frac {1}{2! ^{5}}}\right)\\[6pt]&
9! \left(-{\frac {1}{9! }}+{\frac {3}{1! ^{2}\, 7! }}+{\frac {6}{1! \, 3! \, 5! }}+{\frac {1}{3! ^{3}}}-{\frac {5}{1! ^{4}\, 5! }}-{\frac {10}{1! ^{3}\, 3! ^{2}}}+{\frac {7}{1! ^{6}\, 3! }}-{\frac {1}{1! ^{9}}}\right)\\[6pt]&
-50\, 521. \end{aligned}}}
Como determinante
E2n is given by the determinant E 2 n
( − 1 ) n ( 2 n )! | 12! 114! 12! 1 ⋮ ⋱ ⋱ 1 ( 2 n − 2 )! 1 ( 2 n − 4 )! 12! 11 ( 2 n )! 1 ( 2 n − 2 )! ⋯ 14! 12! |. {\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&
(-1)^{n}(2n)! ~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2! }}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4! }}&{\frac {1}{2! }}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)! }}&{\frac {1}{(2n-4)! }}&~&{\frac {1}{2! }}&1\\{\frac {1}{(2n)! }}&{\frac {1}{(2n-2)! }}&\cdots &{\frac {1}{4! }}&{\frac {1}{2! }}\end{vmatrix}}. \end{aligned}}}
Como integral
E2n is also given by the following integrals: ( − 1 ) n E 2 n
∫ 0 ∞ t 2 n cosh ⁡ π t 2 d t
( 2 π ) 2 n + 1 ∫ 0 ∞ x 2 n cosh ⁡ x d x
( 2 π ) 2 n ∫ 01 log 2 n ⁡ ( tan ⁡ π t 4 ) d t
( 2 π ) 2 n + 1 ∫ 0 π / 2 log 2 n ⁡ ( tan ⁡ x 2 ) d x
22 n + 3 π 2 n + 2 ∫ 0 π / 2 x log 2 n ⁡ ( tan ⁡ x ) d x
( 2 π ) 2 n + 2 ∫ 0 π x 2 log 2 n ⁡ ( tan ⁡ x 2 ) d x. {\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&
\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\; dt
\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\; dx\\[8pt]&
\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\, dt
\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\, dx\\[8pt]&
{\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\, dx
\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\, dx. \end{aligned}}} Límite inferior
Os números de Euler medran bastante rapidamente para índices grandes, xa que teñen o seu límite inferior | E 2 n | > 8 n π ( 4 n π e ) 2 n. {\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}. } Números en zigzag de Euler
A serie de Taylor sec ⁡ x + tan ⁡ x
tan ⁡ ( π 4 + x 2 ) {\displaystyle \sec x+\tan x
\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)} é ∑ n
0 ∞ A n n! x n, {\displaystyle \sum _{n
0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n! }}x^{n}, } onde An son os números en zigzag de Euler, comezando por 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 19037573145, 19037573151, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, .. . (secuencia A000111 na OEIS)
Para todos os n pares temos A n
( − 1 ) n 2 E n, {\displaystyle A_{n}
(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n}, } onde En é o número de Euler. Para todo n impar temos, A n
( − 1 ) n − 122 n + 1 ( 2 n + 1 − 1 ) B n + 1 n + 1, {\displaystyle A_{n}
(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}}, } onde Bn son os números de Bernoulli.