Vectores fila e columna

Na álxebra linear, un vector columna con m {\displaystyle m} elementos é unha matriz m × 1 {\displaystyle m\times 1}, consta dunha única columna de m {\displaystyle m} entradas, por exemplo, x
[ x 1 x 2 ⋮ x m ]. {\displaystyle {\boldsymbol {x}}
{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}. } Do mesmo xeito, un vector fila é unha matriz 1 × n {\displaystyle 1\times n}, consta dunha única fila de n {\displaystyle n} entradas, a
[ a 1 a 2 … a n ]. {\displaystyle {\boldsymbol {a}}
{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}. } (Neste artigo a letra grosa úsase tanto para vectores fila como vectores columna. )
A transposta (indicado por T) de calquera vector fila é un vector de columna, e a transposta de calquera vector columna é un vector fila: [ x 1 x 2 … x m ] T
[ x 1 x 2 ⋮ x m ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\; x_{2}\; \dots \; x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}
{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}}. [ x 1 x 2 ⋮ x m ] T
[ x 1 x 2 … x m ]. {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}
{\begin{bmatrix}x_{1}\; x_{2}\; \dots \; x_{m}\end{bmatrix}}. } O conxunto de todos os vectores fila con n entradas nun determinado corpo (como os números reais) forma un espazo vectorial de n dimensións; do mesmo xeito, o conxunto de todos os vectores columna con m entradas forman un espazo vectorial de m dimensións. Notación
Para simplificar a escritura de vectores de columna en liña con outros textos, ás veces escríbense como vectores fila coa operación de transposición aplicada a eles. x
[ x 1 x 2 … x m ] T {\displaystyle {\boldsymbol {x}}
{\begin{bmatrix}x_{1}\; x_{2}\; \dots \; x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}} Operacións
A multiplicación de matrices implica a acción de multiplicar cada vector fila dunha matriz por cada vector columna doutra matriz. O produto escalar de dous vectores a, b, é igual ao produto matricial da transposta de a con b, a ⋅ b
a ⊺ b
[ a 1 ⋯ a n ] [ b 1 ⋮ b n ]
a 1 b 1 + ⋯ + a n b n {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b}
\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b}
{\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}
a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}.
O produto matricial dun vector columna e un vector fila dá o produto externo dos vectores a, b, un exemplo do máis xenérico produto tensorial: a ⊗ b
a b ⊺
[ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ]
[ a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 ] {\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b}
\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }
{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}},
que é a transposta do produto matricial de b e a: b ⊗ a
b a ⊺
[ b 1 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ]
[ b 1 a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 2 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 3 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 ]. {\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a}
\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }
{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\, .} Un xeito de velo é que o produto de matrices de dimensións 1 × n {\displaystyle 1\times n} por n × 1 {\displaystyle n\times 1} é unha matriz de dimensións 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} que é un número resultado do produto escalar. Mentres que o produto de matrices de dimensións n × 1 {\displaystyle n\times 1} por 1 × n {\displaystyle 1\times n} é unha matriz de dimensións n × n {\displaystyle n\times n}, neste caso produto externo.