Cono

Para o froito das coníferas, ver artigo piña En xeometría, un cono recto é un sólido de revolución xerado polo xiro dun triángulo rectángulo arredor dun dos seus catetos. O círculo conformado polo outro cateto denomínase base e o punto onde conflúen as xeratrices denomínase vértice.
A xeratriz dun cono é cada un dos segmentos cuxos extremos son o vértice e un punto da circunferencia da base.
A altura dun cono é a distancia do vértice ao plano da base. Nos conos rectos será a distancia do vértice ao centro da circunferencia da base. Clasificación
Cono recto, se o vértice equidista da base circular.
Cono oblicuo, se o vértice non equidista da súa base.
Cono elíptico, se a base é unha elipse. Poden ser rectos ou oblicuos. Propiedades
Área da superficie cónica
A área A {\displaystyle A\, } da superficie do cono recto é: A
A B a s e + A L a t e r a l
π r 2 + π r g {\displaystyle A
A_{Base}+A_{Lateral}
\pi r^{2}+\pi rg\, \! } onde r é o radio da base e g a lonxitude da xeratriz do cono recto.
A xeratriz dun cono recto equivale á hipotenusa do triángulo rectángulo que conforma a altura do cono e o radio da base; sendo entón a súa lonxitude g
h 2 + r 2 {\displaystyle g
{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\, }.
Desenvolvemento dun cono recto
O desenvolvemento plano dun cono recto é un sector circular e un círculo.
O sector circular está delimitado por dúas xeratrices, sendo a medida do lado curvo igual á lonxitude da circunferencia da base.
A forma de calcular a distancia a no desenvolvemento é coa ecuación de a
h 2 + r 2 {\displaystyle a
{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\, } onde r é o radio da base e h é a altura do cono.
O ángulo que está sombreado na figura calcúlase coa seguinte fórmula: a ´ n g u l o
360 ( r / a ) {\displaystyle \mathrm {{\acute {a}}ngulo}
360(r/a)\, }.
Volume dun cono
O volume V {\displaystyle V\, } dun cono de radio r {\displaystyle r\, } e altura h {\displaystyle h\, } é 1/3 do volume do cilindro que posúe as mesmas dimensións: V
π ⋅ r 2 ⋅ h 3 {\displaystyle V
{\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\, \! } A ecuación obtense mediante ∫ 0 h A ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{h}A(x)dx\, \! },
onde A ( x ) {\displaystyle A(x)\, } é a área da sección perpendicular á altura, con relación á altura h {\displaystyle h}, neste caso A ( x )
π ( r x h ) 2 {\displaystyle A(x)
\pi \left({\frac {rx}{h}}\right)^{2}}. Cono oblicuo
Un cono oblicuo é aquel cono cuxo eixe de revolución non é perpendicular á súa base.
Poden ser de dous tipos: de base circular ou de base elíptica. O de base elíptica é o corpo xeométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo ao seu eixe de revolución.
A base é un círculo ou unha elipse, e a altura é o segmento que contén o vértice, sendo perpendicular ao plano da base; pero non é coincidente co eixe do cono.
Superficie
A superficie lateral dun cono oblicuo é un triángulo curvilíneo, con dúas xeratrices por lados e base semi-elíptica.
A superficie da base dun cono oblicuo é un círculo ou unha elipse.
Volume
A ecuación empregada para calcular o volume dun cono oblicuo de base circular é similar á do cono recto: V
π ⋅ r 2 ⋅ h 3 {\displaystyle V
{\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}} onde r é o radio da base e h a altura do cono oblicuo.
A ecuación do volume dun cono oblicuo de base elíptica é: V
π ⋅ a ⋅ b ⋅ h 3 {\displaystyle V
{\frac {\pi \cdot a\cdot b\cdot h}{3}}} sendo a e b os semieixes da elipse e h a altura do cono oblicuo.
A xustificación das dúas fórmulas anteriores baséase no principio de Cavalieri, cuxo enunciado é o seguinte: Seccións cónicas
Ao cortar cun plano unha superficie cónica, obtéñense distintas figuras xeométricas: as seccións cónicas. Dependendo do ángulo de inclinación e a posición relativa, poden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérboles.
Se o plano pasa polo vértice a intersección poderá ser: unha recta, un par de rectas cruzadas ou un punto (o vértice).
As curvas cónicas son importantes en astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei universal da gravitación, describen órbitas similares a seccións cónicas: elipses, hipérboles ou parábolas en función das súas distancias, velocidades e masas.
Tamén son moi útiles en aerodinámica e outras aplicacións industriais, xa que permiten ser reproducidas por medios simples con grande exactitude, logrando volumes, superficies e curvas de gran precisión. Ecuación en coordenadas cartesianas
En xeometría analítica e xeometría diferencial, o cono é o conxunto de puntos do espazo que verifican, respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, unha ecuación do tipo: x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2
0 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}
0\, } Este conxunto tamén coincide coa imaxe da función: X ( θ, t )
( a ⋅ t ⋅ cos ⁡ ( θ ), b ⋅ t ⋅ sin ⁡ ( θ ), c ⋅ t ), {\displaystyle X(\theta, t)
(a\cdot t\cdot \cos(\theta ), b\cdot t\cdot \sin(\theta ), c\cdot t), \, } que é chamada parametrización do cono.
Por exemplo, no caso que a b (non nulos), este conxunto é obtido a partir de rotar a recta ( t, 0, c t a ) {\displaystyle (t, 0, {\frac {c\, t}{a}})\, } respecto ao eixe z, e por iso é chamada parametrización de revolución.
O cono non é unha superficie regular, pois posúe unha singularidade: o seu vértice; quitándoo convértese nunha superficie regular disconexa e aberta. Entre as súas características, podemos destacar que é unha superficie regrada (é dicir que se pode xerar polo movemento dunha recta), e é desenvolvible, é dicir, que se pode despregar sobre un plano; tecnicamente isto exprésase dicindo que a súa curvatura gaussiana é nula (como no plano ou o cilindro).