Función eta de Dirichlet

Nas matemáticas, na área da teoría analítica de números, a función eta de Dirichlet defínese como η ( s )
( 1 − 21 − s ) ζ ( s ) {\displaystyle \eta (s)
\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)} onde ζ é a función zeta de Riemann. Tamén pode ser usada para definir a función zeta. Ten unha expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complexo s con parte real positiva, dado por η ( s )
∑ n
1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n s. {\displaystyle \eta (s)
\sum _{n
1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}. } Aínda que esta é converxente só para s con parte real positiva, é sumable Abel para todo número complexo, o que permite definir a función eta como unha función completa, e mostra que a función zeta de Riemann é meromórfica cun polo simple en s 1.
En forma equivalente, pódese definir η ( s )
1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s exp ⁡ ( x ) + 1 d x x {\displaystyle \eta (s)
{\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}} na rexión de parte real positiva. Isto dá por resultado a función eta como unha transformada de Mellin.
Hardy deu unha demostración simple da ecuación funcional para a función eta, que é η ( − s )
2 π − s − 1 s sin ⁡ ( π s 2 ) Γ ( s ) η ( s + 1 ). {\displaystyle \eta (-s)
2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1). } A partir disto, pódese obter tamén en forma directa a ecuación funcional da función eta, como así mesmo atopar outro modo de estender a definición de eta a todo o campo dos números complexos. Método de Borwein
Peter Borwein utilizou aproximacións baseadas nos polinomios de Chebyshov para desenvolver un método para avaliar en forma eficiente a función eta. Se d k
n ∑ i
0 k ( n + i − 1 )! 4 i ( n − i )! ( 2 i )! {\displaystyle d_{k}
n\sum _{i
0}^{k}{\frac {(n+i-1)! 4^{i}}{(n-i)! (2i)! }}} entón η ( s )
− 1 d n ∑ k
0 n − 1 ( − 1 ) k ( d k − d n ) ( k + 1 ) s + γ n ( s ), {\displaystyle \eta (s)
-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k
0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s), } onde o termo erro γn atópase acoutado por γ n ( s ) ≤ 3 ( 3 + 8 ) n ( 1 + 2 | t | ) exp ⁡ ( | t | π / 2 ) {\displaystyle \gamma _{n}(s)\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|t|)\exp(|t|\pi /2)} onde t
ℑ ( s ) {\displaystyle t
\Im (s)}. Valores particulares
Véxase tamén constante zeta η(0) 1⁄2, a suma de Abel da serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
η(−1) 1⁄4, a suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 +. .. .
Para k enteiro > 1, se Bk é o k-esimo número de Bernoulli entón η ( 1 − k )
2 k − 1 k B k. {\displaystyle \eta (1-k)
{\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}. } Tamén: η ( 1 )
ln ⁡ 2 {\displaystyle \! \ \eta (1)
\ln 2}, esta é serie harmónica alternada η ( 2 )
π 212 {\displaystyle \eta (2)
{\pi ^{2} \over 12}} η ( 4 )
7 π 4720 {\displaystyle \eta (4)
{{7\pi ^{4}} \over 720}} η ( 6 )
31 π 630240 {\displaystyle \eta (6)
{{31\pi ^{6}} \over 30240}} η ( 8 )
127 π 81209600 {\displaystyle \eta (8)
{{127\pi ^{8}} \over 1209600}} η ( 10 )
73 π 106842880 {\displaystyle \eta (10)
{{73\pi ^{10}} \over 6842880}} η ( 12 )
61499 π 1215 × 3790360487 {\displaystyle \eta (12)
{{61499\pi ^{12}} \over {15\times 3790360487}}} A forma xeral para enteiros positivos pares é: η ( 2 n )
( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n ( 22 n − 1 − 1 ) 22 n ( 2 n! )
( − 1 ) n + 1 B 2 n π 2 n ( 22 n − 1 − 1 ) ( 2 n )! {\displaystyle \eta (2n)
(-1)^{n+1}{{B_{2n}(2\pi )^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {2^{2n}(2n! )}}
(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)! }}}