Ecuación de onda

A ecuación de onda é unha importante ecuación diferencial parcial linear de segunda orde que describe a propagación dunha variedade de ondas, como as ondas sonoras, as ondas de luz e as ondas na auga. É importante en varios campos como a acústica, o electromagnetismo e a dinámica de fluídos. Historicamente, o problema dunha corda vibrante como as que están nos instrumentos musicais foi estudado por Jean le Rond D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli e Joseph-Louis Lagrange. Introdución
A ecuación de onda é o exemplo prototipo dunha ecuación diferencial parcial hiperbólica. Na súa forma máis elemental, a ecuación de onda fai referencia a un escalar u que satisfai: ∂ 2 u ∂ t 2
c 2 Δ u, {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}
c^{2}\Delta u, } Onde Δ
∇ 2 {\displaystyle \Delta
\nabla ^{2}} é o laplaciano e onde c {\displaystyle c} é unha constante equivalente á velocidade de propagación da onda. Para unha onda sonora no aire a 20 °C, esta constante é duns 343 m/s (véxase velocidade do son). Para unha corda vibrante, a velocidade pode variar moito dependendo da densidade linear da corda e da súa tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) pode ser tan lento como un metro por segundo.
Un modelo máis realista da ecuación diferencial para ondas permite que a velocidade de propagación da onda varíe coa frecuencia da onda, denominándose este fenómeno coñécese como dispersión. Neste caso, c {\displaystyle c} deberá ser subtituído pola velocidade de fase: v p
ω k. {\displaystyle v_{\mathrm {p} }
{\frac {\omega }{k}}. } Outra corrección común en sistemas realistas é que a velocidade pode depender tamén da amplitude da onda, o que nos leva a unha ecuación de onda non linear: ∂ 2 u ∂ t 2
c ( u ) 2 Δ u {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}
c(u)^{2}\Delta u} Tamén hai que considerar que unha onda pode ser transmitida nun portador móbil (por exemplo a propagación do son no fluxo dun gas). En tal caso o escalar u conterá un Número Mach (o cal é positivo para a onda que se mova ao longo do fluxo e negativo para a onda contraria).
A ecuación de onda elástica en tres dimensións describe a propagación de onda nun medio elástico homoxéneo isótropo. A maioría dos materiais sólidos son elásticos, polo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas na Terra ou ondas de ultrasón usadas para determinar defectos nos materiais. Aínda que sexa linear, esta ecuación ten unha forma máis complexa que as ecuacións dadas arriba, porque debe tomar en conta os movementos lonxitudinais e transversais: ρ u ¨
f + ( λ + 2 μ ) ∇ ( ∇ ⋅ u ) − μ ∇ × ( ∇ × u ) {\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}
\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )} Onde: λ {\displaystyle \lambda } e μ {\displaystyle \mu } son os supostos parámetros de Lamé que describen as propiedades elásticas do medio. ρ {\displaystyle \rho } é a densidade, f {\displaystyle \mathbf {f} } é a función de entrada (forza motriz),
e u {\displaystyle \mathbf {u} } é o desprazamento.
Nótese que nesta ecuación, a forza e o desprazamento son cantidades vectoriais, sendo esta ecuación coñecida ás veces coma a ecuación de onda vectorial.
Hai variacións da ecuación de onda que tamén poden ser encontradas en mecánica cuántica e relatividade xeral. Ecuación de onda escalar nun espazo dunha soa dimensión
Obtención da ecuación de onda
Da lei de Hooke
A ecuación de onda no caso dunha soa dimensión pode ser obtida da Lei de Hooke da seguinte maneira: imaxina unha serie de pequenos pesos de masa m, interconectados por resortes sen masa de lonxitude h. Os resortes teñen unha rixidez de k: Aquí u (x) mide a distancia até o equilibrio da masa situada en x. A segunda lei de Newton aplicada sobre a masa m {\displaystyle m} no lugar x + h {\displaystyle x+h} establece que: F
m ⋅ a ( t )
m ⋅ ∂ 2 ∂ t 2 u ( x + h, t ) {\displaystyle F
m\cdot a(t)
m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h, t)}} A forza aplicada neste caso está dada pola lei de Hooke: F H o o k e
F x + 2 h + F x
k [ u ( x + 2 h, t ) − u ( x + h, t ) ] + k [ u ( x, t ) − u ( x + h, t ) ] {\displaystyle F_{\mathit {Hooke}}
F_{x+2h}+F_{x}
k\left[{u(x+2h, t)-u(x+h, t)}\right]+k[u(x, t)-u(x+h, t)]} A ecuación de movemento para a masa m {\displaystyle m} no lugar x+h resulta: m ∂ 2 u ( x + h, t ) ∂ t 2
k [ u ( x + 2 h, t ) − u ( x + h, t ) − u ( x + h, t ) + u ( x, t ) ] {\displaystyle m{\partial ^{2}u(x+h, t) \over \partial t^{2}}
k[u(x+2h, t)-u(x+h, t)-u(x+h, t)+u(x, t)]} onde a dependencia co tempo de u(x) faise explícita.
Se a serie de pesos consiste en N pesos espazados uniformemente ao longo dunha liña, entón L
N h, a masa total M
N m, e a rixidez total da serie K
k/N, entón podemos escribir a ecuación anterior como: ∂ 2 u ( x + h, t ) ∂ t 2
K L 2 [ M u ( x + 2 h, t ) − 2 u ( x + h, t ) + u ( x, t ) ] h 2 {\displaystyle {\partial ^{2}u(x+h, t) \over \partial t^{2}}
{KL^{2}[ \over M}{u(x+2h, t)-2u(x+h, t)+u(x, t)] \over h^{2}}} Tomando o límite N → ∞, h → 0 {\displaystyle N\rightarrow \infty, h\rightarrow 0} (e supoñendo que é suave) conséguese: ∂ 2 u ( x, t ) ∂ t 2
K L 2 M ∂ 2 u ( x, t ) ∂ x 2 {\displaystyle {\partial ^{2}u(x, t) \over \partial t^{2}} {KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x, t) \over \partial x^{2}}} (KL2)/M é o cadrado da velocidade de propagación neste caso particular.
Solución do problema de valor inicial
A solución xeral da ecuación de onda escalar unidimensional ∂ 2 u ∂ t 2
c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}
c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}} foi obtida por d'Alembert. A ecuación de onda pode ser escrita dunha forma factorizada: [ ∂ ∂ t − c ∂ ∂ x ] [ ∂ ∂ t + c ∂ ∂ x ] u
0. {\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u
0. \, } Por conseguinte, se F e G son funcións arbitrarias, calquera suma da forma u ( x, t )
F ( x − c t ) + G ( x + c t ) {\displaystyle u(x, t)
F(x-ct)+G(x+ct)\, } satisfará a ecuación de onda. Os dous termos son ondas viaxeiras: calquera punto da forma de onda dada por un argumento específico xa sexa F ou G moverase con velocidade c xa sexa cara a adiante ou cara a atrás: cara á fronte para F e para atrás para G, estas funcións poden ser determinadas para satisfacer condicións iniciais arbitrarias: u ( x, 0 )
f ( x ) {\displaystyle u(x, 0)
f(x)\, } u t ( x, 0 )
g ( x ) {\displaystyle u_{t}(x, 0)
g(x)\, } O resultado é a fórmula de d'Alembert: u ( x, t )
f ( x − c t ) + f ( x + c t ) 2 + 12 c ∫ x − c t x + c t g ( s ) d s {\displaystyle u(x, t)
{\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds} No sentido clásico, se f ( x ) ∈ C k {\displaystyle \scriptstyle f(x)\in C^{k}} e g ( x ) ∈ C k − 1 {\displaystyle \scriptstyle g(x)\in C^{k-1}} entón u ( t, x ) ∈ C k {\displaystyle \scriptstyle u(t, x)\in C^{k}}. Non obstante, as formas de onda F e G tamén poden ser xeneralizadas, tales como a función delta. Nese caso, a solución pode ser interpretada como un impulso que viaxa cara á dereita ou cara á esquerda.
A ecuación de onda básica é unha ecuación diferencial linear a cal establece que a amplitude das dúas ondas que interactúan é simplemente a suma das ondas. Isto tamén significa que o comportamento dunha onda pódese analizar ao dividir a onda nas súas compoñentes. A transformada de Fourier divide unha onda sinusoidal nos seus compoñentes e é útil para a análise da ecuación de onda. A ecuación de onda escalar nun espazo de tres dimensións
A solución do problema de valor inicial para a ecuación de onda no espazo de tres dimensións pode ser obtida da solución para unha onda esférica. Este resultado pode utilizarse para obter a solución no espazo de dúas dimensións.
Ondas esféricas
A ecuación de onda non se modifica ao rotar as coordenadas espaciais, e polo tanto un pode esperar encontrar solucións que dependan só da distancia radial a un punto dado. Estas solucións deberán cumprir u t t − c 2 ( u r r + 2 r u r )
0. {\displaystyle u_{tt}-c^{2}\left(u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right)
0. \, } Esta ecuación pode ser reescrita como ( r u ) t t − c 2 ( r u ) r r
0; {\displaystyle (ru)_{tt}-c^{2}(ru)_{rr}
0; \, } a cantidade ru cumpre coa ecuación da onda dunha soa dimensión. Polo tanto, hai solucións na forma u ( t, r )
1 r F ( r − c t ) + 1 r G ( r + c t ), {\displaystyle u(t, r)
{\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct), \, } onde F e G son funcións arbitrarias. Cada termo pode ser interpretado como unha onda esférica que se expande ou contrae a unha velocidade c. Tales ondas son xeradas por unha fonte puntual e fan posible sinais agudos cunha forma que só se altera por unha diminución na amplitude cando r aumenta (véxase a ilustración dunha onda esférica na parte superior dereita). Tales ondas só existen en casos de espazos con dimensións impares. Afortunadamente, vivimos nun mundo que ten un espazo de tres dimensións, de forma que podemos comunicarnos claramente con ondas acústicas e electromagnéticas.
Solución dun problema de valor inicial xeral
A ecuación de onda é linear en u e mantense inalterada nas translacións no espazo e no tempo. Polo tanto, podemos xerar unha gran variedade de solucións ao trasladar e asumir ondas esféricas. Fagamos que φ(ξ, η, ζ) sexa unha función arbitraria de tres variables independentes, e fagamos que a forma de onda esférica F sexa unha función delta: é dicir, deixemos que F sexa un pequeno límite de función continua cunha integral que sexa a unidade, pero cun apoio (a rexión onde a función é distinta de cero) que se reduce á orixe. Fagamos que unha familia de ondas esféricas teñan o seu centro en (ξ, η, ζ) e fagamos que r sexa a distancia radial a partir dese punto. Así r 2
( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 + ( z − ζ ) 2. {\displaystyle r^{2}
(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}. \, } Se u é unha superposición de tales ondas con función de ponderación φ, entón u ( t, x, y, z )
14 π c ∭ φ ( ξ, η, ζ ) δ ( r − c t ) r d ξ d η d ζ; {\displaystyle u(t, x, y, z)
{\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi, \eta, \zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}d\xi \, d\eta \, d\zeta; \, } o denominador 4πc é colocado por conveniencia.
Da definición da función delta, u tamén se pode escribir como u ( t, x, y, z )
t 4 π ∬ S φ ( x + c t α, y + c t β, z + c t γ ) d ω, {\displaystyle u(t, x, y, z)
{\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha, y+ct\beta, z+ct\gamma )d\omega, \, } onde α, β, e γ son coordenadas na unidade esférica S e ω é o elemento en S. Este resultado ten a interpretación de que u(t, x) é t veces o valor medio de φ nunha esfera de radio ct centrada en x: u ( t, x, y, z )
t M c t [ ϕ ]. {\displaystyle u(t, x, y, z)
tM_{ct}[\phi ]. \, } Disto dedúcese que u ( 0, x, y, z )
0, u t ( 0, x, y, z )
ϕ ( x, y, z ). {\displaystyle u(0, x, y, z)
0, \quad u_{t}(0, x, y, z)
\phi (x, y, z). \, } O valor medio é aínda unha función de t, e polo tanto se v ( t, x, y, z )
∂ ∂ t ( t M c t [ ψ ] ), {\displaystyle v(t, x, y, z)
{\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{ct}[\psi ]\right), \, } logo v ( 0, x, y, z )
ψ ( x, y, z ), v t ( 0, x, y, z )
0. {\displaystyle v(0, x, y, z)
\psi (x, y, z), \quad v_{t}(0, x, y, z)
0. \, } Estas fórmulas proporcionan a solución para o problema de valor inicial da ecuación de onda. Estas amosan que a solución nun punto dado P, dando (t, x, y, z) só depende da información na esfera de radio ct que é intersecada polo cono de luz debuxado desde P. A solución non depende da información do interior desta esfera. Así pois, o interior da esfera é unha lagoa para a solución. Este fenómeno é denominado principio de Huygens. Isto é certo para números impares de dimensións de espazo, onde para unha dimensión a integración é realizada a través da fronteira dun intervalo de w. r. t. a medida de Dirac. Isto non se satisfai en calquera outro número de dimensións de espazo. O fenómeno das lagoas foi investigado amplamente por Atiyah, Bott e Gårding (1970, 1973). Ecuación de onda escalar nun espazo de dúas dimensións
Nun espazo de dúas dimensións, a ecuación de onda é u t t
c 2 ( u x x + u y y ). {\displaystyle u_{tt}
c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right). \, } Podemos utilizar a teoría tridimensional para resolver este problema se consideramos a u como unha función de tres dimensións que é independente da terceira dimensión. Se u ( 0, x, y )
0, u t ( 0, x, y )
ϕ ( x, y ), {\displaystyle u(0, x, y)
0, \quad u_{t}(0, x, y)
\phi (x, y), \, } entón a fórmula da solución en tres dimensións convértese en u ( t, x, y )
t M c t [ ϕ ]
t 4 π ∬ S ϕ ( x + c t α, y + c t β ) d ω, {\displaystyle u(t, x, y)
tM_{ct}[\phi ]
{\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha, \, y+ct\beta )d\omega, \, } onde α e β son as dúas primeiras coordenadas na unidade esférica, e dω é o elemento de área na esfera. Esta integral pode ser reescrita como unha integral sobre o disco D con centro en (x, y) e radio ct: u ( t, x, y )
12 π c ∬ D ϕ ( x + ξ, y + η ) ( c t ) 2 − ξ 2 − η 2 d ξ d η. {\displaystyle u(t, x, y)
{\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi, y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \, d\eta. \, } É evidente que a solución en (t, x, y) depende non só da información no cono de luz onde ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2
c 2 t 2, {\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}
c^{2}t^{2}, \, } senón tamén da información que está no interior dese cono. Problemas con fronteiras
No espazo dunha soa dimensión
Unha cadea flexible que se estira entre dous puntos x
0 e x
L satisfai a ecuación de onda, para t>0 e 0 < x < L. Nos puntos fronteirizos, u pode satisfacer unha variedade de condicións de fronteira. Unha forma xeral que é apropiada para aplicacións é − u x ( t, 0 ) + a u ( t, 0 )
0, {\displaystyle -u_{x}(t, 0)+au(t, 0)
0, \, } u x ( t, L ) + b u ( t, L )
0, {\displaystyle u_{x}(t, L)+bu(t, L)
0, \, } onde a e b non son negativos. O caso onde se require que u desapareza nun punto final é no límite desta condición cando os respectivos a ou b se aproximan ao infinito. O método de separación de variables consiste na procura de solucións para este problema na forma espacial u ( t, x )
T ( t ) v ( x ). {\displaystyle u(t, x)
T(t)v(x). \, } Unha consecuencia é que T ″ c 2 T
v ″ v
− λ. {\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}
{\frac {v''}{v}}
-\lambda. \, } O valor propio λ debe ser determinado de maneira que exista unha solución non trivial do problema do valor de fronteira v ″ + λ v
0, {\displaystyle v''+\lambda v
0, \, } − v ′ ( 0 ) + a v ( 0 )
0, v ′ ( L ) + b v ( L )
0. {\displaystyle -v'(0)+av(0)
0, \quad v'(L)+bv(L)
0. \, } Este é un caso especial do problema xeral da teoría de Sturm-Liouville. Se a e b son positivos, os valores propios son todos positivos e as solucións serán as funcións trigonométricas. Unha solución que satisfai a condición inicial integrable ao cadrado para u e ut pode ser obtida a partir da expansión destas funcións nas series trigonométricas apropiadas.
Nun espazo de varias dimensións
A teoría do valor de fronteira inicial unidimensional pode ampliarse a un número arbitrario de dimensións espaciais. Considérese un dominio D nun espazo x de m dimensións, con fronteira B. Entón a ecuación de onda será satisfeita se x está en D e t > 0 {\displaystyle t>0}. Na fronteira B, a solución u deberá satisfacer ∂ u ∂ n + a u
0, {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au
0, \, } onde n é a normal unitaria a B que apunta cara a fóra e a é unha función non negativa definida sobre B. O caso onde u desaparece en B é un caso límite cando a se achega a infinito. As condicións iniciais son u ( 0, x )
f ( x ), u t
g ( x ), {\displaystyle u(0, x)
f(x), \quad u_{t}
g(x), \, } onde f e g son definidos en D. Este problema pode ser solucionado mediante a expansión de f e g nas funcións propias do Laplaciano en D, que cumpran as condicións de fronteira. Así, a función propia v satisfai ∇ ⋅ ∇ v + λ v
0, {\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v
0, \, } en D, e ∂ v ∂ n + a v
0, {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av
0, \, } en B.
No caso dun espazo de dúas dimensións, as funcións propias poden interpretarse como os modos de vibración dunha membrana estendida sobre a fronteira B. Se B é un círculo, entón estas autofuncións teñen unha compoñente angular que é unha función trigonométrica do ángulo polar θ, multiplicado por unha función de Bessel (de orde enteira) do compoñente radial. Para maiores detalles vexa a ecuación de Helmholtz.
Se a fronteira é unha esfera nun espazo de tres dimensións, as compoñentes angulares das funcións propias son harmónicos esféricos, e os compoñentes radiais son funcións de Bessel de orde semienteira. A ecuación de onda non homoxénea nunha dimensión
A ecuación de onda non homoxénea nunha dimensión é a seguinte: c 2 u x x ( x, t ) − u t t ( x, t )
s ( x, t ) {\displaystyle c^{2}u_{xx}(x, t)-u_{tt}(x, t)
s(x, t)} con condicións iniciais dadas por u ( x, 0 )
f ( x ) {\displaystyle u(x, 0)
f(x)} u t ( x, 0 )
g ( x ). {\displaystyle u_{t}(x, 0)
g(x). } A función s ( x, t ) {\displaystyle s(x, t)} é chamada tamén a función fonte debido a que na práctica describe os efectos das fontes de onda no medio que as porta. Exemplos físicos de funcións fonte inclúen a forza motriz dunha onda sobre unha corda, ou a densidade de carga ou corrente na condición de Lorenz do electromagnetismo.
Un método para resolver o problema de valor inicial (cos valores iniciais expostos arriba) é aproveitarse das propiedades da ecuación de onda cuxas solucións obedécena causalmente. É dicir, para calquera punto ( x i, t i ) {\displaystyle (x_{i}, t_{i})}, o valor de u ( x i, t i ) {\displaystyle \scriptstyle u(x_{i}, t_{i})} só depende dos valores de f ( x i + c t i ) {\displaystyle \scriptstyle f(x_{i}+ct_{i})} e f ( x i − c t i ) {\displaystyle \scriptstyle f(x_{i}-ct_{i})} e os valores da función g ( x ) {\displaystyle \scriptstyle g(x)} entre ( x i − c t i ) {\displaystyle \scriptstyle (x_{i}-ct_{i})} e ( x i + c t i ) {\displaystyle \scriptstyle (x_{i}+ct_{i})}. Isto pode observarse na fórmula de d'Alembert, como se indicou anteriormente, onde estas cantidades son as únicas que aparecen nela. Fisicamente, se a máxima velocidade de propagación é c {\displaystyle \scriptstyle c}, entón ningunha parte da onda que non poida propagarse a un determinado punto nun momento dado pode afectar á amplitude no mesmo punto e tempo.
En termos de encontrar unha solución, estas propiedades causais dan a entender que para calquera punto dado na liña que se está considerando, a única área que necesita ser considerada é a área que abrangue todos os puntos que poderían afectar causalmente o punto que se está considerando. Designando a área que afecta causalmente ao punto ( x i, t i ) {\displaystyle \scriptstyle (x_{i}, t_{i})} como R C {\displaystyle \scriptstyle R_{C}}. Supoñamos que integramos a ecuación de onda non homoxénea sobre esta rexión. ∬ R C ( c 2 u x x ( x, t ) − u t t ( x, t ) ) d x d t
∬ R C s ( x, t ) d x d t. {\displaystyle \iint \limits _{R_{C}}\left(c^{2}u_{xx}(x, t)-u_{tt}(x, t)\right)dxdt
\iint \limits _{R_{C}}s(x, t)dxdt. } Para simplificar isto en gran medida, podemos usar o teorema de Green no lado esquerdo e así obter o seguinte: ∫ L 0 + L 1 + L 2 ( − c 2 u x ( x, t ) d t − u t ( x, t ) d x )
∬ R C s ( x, t ) d x d t. {\displaystyle \int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x, t)dt-u_{t}(x, t)dx\right)
\iint \limits _{R_{C}}s(x, t)dxdt. } A parte esquerda é agora a suma de tres integrais de liña ao longo das fronteiras da rexión de causalidade. Estas resultan ser bastante fáciles de calcular ∫ x i − c t i x i + c t i − u t ( x, 0 ) d x
− ∫ x i − c t i x i + c t i g ( x ) d x. {\displaystyle \int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x, 0)dx
-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx. } No anterior, o termo a ser integrado con respecto ao tempo desaparece debido a que o intervalo involucrado é cero, así d t
0 {\displaystyle dt
0}.
Para os outros dous lados da rexión, cabe sinalar que x ± c t {\displaystyle \scriptstyle x\pm ct} é unha constante, renomeada x i ± c t i {\displaystyle \scriptstyle x_{i}\pm ct_{i}}, onde o signo se escolle adecuadamente. Deste xeito, podemos obter a relación d x ± c d t
0 {\displaystyle \scriptstyle dx\pm cdt
0}, escollendo de novo o signo dereito: ∫ L 1 ( − c 2 u x ( x, t ) d t − u t ( x, t ) d x ) {\displaystyle \int _{L_{1}}\left(-c^{2}u_{x}(x, t)dt-u_{t}(x, t)dx\right)\, }
∫ L 1 ( c u x ( x, t ) d x + c u t ( x, t ) d t ) {\displaystyle
\int _{L_{1}}\left(cu_{x}(x, t)dx+cu_{t}(x, t)dt\right)\, }
c ∫ L 1 d u ( x, t )
c u ( x i, t i ) − c f ( x i + c t i ). {\displaystyle
c\int _{L_{1}}du(x, t)
cu(x_{i}, t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}). \, } E de forma similar para o último segmento de fronteira: ∫ L 2 ( − c 2 u x ( x, t ) d t − u t ( x, t ) d x ) {\displaystyle \int _{L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x, t)dt-u_{t}(x, t)dx\right)}
− ∫ L 2 ( c u x ( x, t ) d x + c u t ( x, t ) d t ) {\displaystyle
-\int _{L_{2}}\left(cu_{x}(x, t)dx+cu_{t}(x, t)dt\right)}
− c ∫ L 2 d u ( x, t )
− ( c f ( x i − c t i ) − c u ( x i, t i ) ) {\displaystyle
-c\int _{L_{2}}du(x, t)
-\left(cf(x_{i}-ct_{i})-cu(x_{i}, t_{i})\right)}
c u ( x i, t i ) − c f ( x i − c t i ). {\displaystyle
cu(x_{i}, t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}). \, } Sumando os tres resultados xuntos e poñéndoos de novo na integral orixinal: − ∫ x i − c t i x i + c t i g ( x ) d x + c u ( x i, t i ) − c f ( x i + c t i ) + c u ( x i, t i ) − c f ( x i − c t i )
∬ R C s ( x, t ) d x d t {\displaystyle -\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+cu(x_{i}, t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i}, t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})
\iint \limits _{R_{C}}s(x, t)dxdt} 2 c u ( x i, t i ) − ∫ x i − c t i x i + c t i g ( x ) d x − c f ( x i + c t i ) − c f ( x i − c t i )
∬ R C s ( x, t ) d x d t {\displaystyle 2cu(x_{i}, t_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})
\iint \limits _{R_{C}}s(x, t)dxdt} 2 c u ( x i, t i )
∫ x i − c t i x i + c t i g ( x ) d x + c f ( x i + c t i ) + c f ( x i − c t i ) + ∬ R C s ( x, t ) d x d t {\displaystyle 2cu(x_{i}, t_{i})
\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+cf(x_{i}+ct_{i})+cf(x_{i}-ct_{i})+\iint \limits _{R_{C}}s(x, t)dxdt} u ( x i, t i )
f ( x i + c t i ) + f ( x i − c t i ) 2 + 12 c ∫ x i − c t i x i + c t i g ( x ) d x + 12 c ∫ 0 t i ∫ x i − c ( t i − t ) x i + c ( t i − t ) s ( x, t ) d x d t. {\displaystyle u(x_{i}, t_{i})
{\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c\left(t_{i}-t\right)}^{x_{i}+c\left(t_{i}-t\right)}s(x, t)dxdt. \, } Na última ecuación da secuencia, as fronteiras da integral sobre a función fonte fixéronse explícitas. En canto a esta solución, que é válida para todas as opcións ( x i, t i ) {\displaystyle (x_{i}, t_{i})} compatibles coa ecuación de onda, é evidente que os dous primeiros termos son simplemente a fórmula de Alembert, como se sinalou anteriormente na solución da ecuación de onda homoxénea nunha dimensión. A diferenza está no terceiro termo, a integral sobre a fonte. Outros sistemas de coordenadas
En tres dimensións, a ecuación de onda, cando é escrita en coordenadas cilíndricas elípticas, pode ser resolta por separación de variables, o que comporta á ecuación diferencial de Mathieu.