Traza (álxebra linear)

En álxebra linear, a traza dunha matriz cadrada A, denotada como tr(A), defínese como a suma de elementos da diagonal principal (desde a parte superior esquerda ata a inferior dereita) de A. A traza só se define para unha matriz cadrada (n × n).
A traza está relacionada coa derivada do determinante (ver fórmula de Jacobi). Definición
A traza dunha matriz cadrada n × n, A, defínese como </ref> tr ⁡ ( A )
∑ i
1 n a i i
a 11 + a 22 + ⋯ + a n n {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )
\sum _{i
1}^{n}a_{ii}
a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}} onde aii denota a entrada na fila i e na columna i de A. As entradas de A poden ser números reais, números complexos ou máis xeralmente elementos dun corpo F. A traza non está definida para matrices non cadradas. Exemplo
Sexa A unha matriz, con A
( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 )
( 1031152612 − 5 ) {\displaystyle \mathbf {A}
{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}} Logo tr ⁡ ( A )
∑ i
13 a i i
a 11 + a 22 + a 33
1 + 5 + ( − 5 )
1 {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )
\sum _{i
1}^{3}a_{ii}
a_{11}+a_{22}+a_{33}
1+5+(-5)
1} Propiedades
Propiedades básicas
A traza é un aplicación linear. É dicir, tr ⁡ ( A + B )
tr ⁡ ( A ) + tr ⁡ ( B ) tr ⁡ ( c A )
c tr ⁡ ( A ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&
\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&
c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}} para todas as matrices cadradas A e B, e todos os escalares c. Unha matriz e a súa transposta teñen a mesma traza: tr ⁡ ( A )
tr ⁡ ( A T ). {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )
\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right). }
Traza dun produto
A traza dunha matriz cadrada que é o produto de dúas matrices pódese reescribir como a suma dos produtos de entrada dos seus elementos, é dicir, como a suma de todos os elementos do seu produto de Hadamard. Dito directamente, se A e B son dúas matrices m × n, daquela: tr ⁡ ( A T B )
tr ⁡ ( A B T )
tr ⁡ ( B T A )
tr ⁡ ( B A T )
∑ i
1 m ∑ j
1 n a i j b i j. {\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)
\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)
\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)
\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)
\sum _{i
1}^{m}\sum _{j
1}^{n}a_{ij}b_{ij}\; .}
Propiedade cíclica
De forma máis xeral, a traza é invariante baixo desprazamentos circulares, é dicir, Isto coñécese como a propiedade cíclica.
Non se permiten permutacións arbitrarias: en xeral, tr ⁡ ( A B C ) ≠ tr ⁡ ( A C B ). {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ). }
Traza dun produto Kronecker
A traza do produto de Kronecker de dúas matrices é o produto das súas trazas: tr ⁡ ( A ⊗ B )
tr ⁡ ( A ) tr ⁡ ( B ). {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )
\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ). }
Traza como suma de valores propios
Dado calquera matriz n × n, A, temosonde λ1, .. ., λn son os eigenvalores de A contados con multiplicidade. Isto é certo aínda que A sexa unha matriz real e algúns (ou todos) os valores propios sexan números complexos. Isto pódese considerar como unha consecuencia da existencia da forma canónica de Jordan, xunto coa semellanza-invarianza da traza.