Conxunción lóxica

En lóxica, matemáticas e lingüística, e ( ∧ {\displaystyle \wedge } ou AND) é o operador da conxunción ou da conxunción lóxica. A conectiva lóxica deste operador adoita representarse como ∧ {\displaystyle \wedge } ou & {\displaystyle \&} ou × {\displaystyle \times } ou ⋅ {\displaystyle \cdot } dos que ∧ {\displaystyle \wedge } é o máis moderno e utilizado.
O e (AND) dun conxunto de operandos é verdadeiro se e só se todos os seus operandos son verdadeiros, é dicir, A ∧ B {\displaystyle A\land B} é certo se e só se A {\displaystyle A} é verdade e B {\displaystyle B} é certo.
Máis aló da lóxica, o termo "conxunción" tamén se refire a conceptos similares noutros campos: En teoría de conxuntos, intersección.
Na teoría da orde, conxunción lóxica (ínfimo). Definición
Na lóxica clásica, a conxunción lóxica é unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, que produce un valor verdadeiro se e só se ambos os seus operandos son verdadeiros.
Táboa de verdade
A táboa de verdade A ∧ B {\displaystyle A\land B}:
Definido por outros operadores
En sistemas onde a conxunción lóxica non é unha primitiva, pódese definir como A ∧ B
¬ ( A → ¬ B ) {\displaystyle A\land B
\neg (A\to \neg B)} Pódese comprobar mediante a seguinte táboa de verdade (compare as dúas últimas columnas): ou A ∧ B
¬ ( ¬ A ∨ ¬ B ). {\displaystyle A\land B
\neg (\neg A\lor \neg B). } Pódese comprobar mediante a seguinte táboa de verdade (compare as dúas últimas columnas): Regras de introdución e eliminación
Como regra de inferencia, a introdución da conxunción é unha forma argumental simple e clásicamente válida. A forma argumental ten dúas premisas, A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}. Intuitivamente, permite inferenciar a súa conxunción. A {\displaystyle A}, B {\displaystyle B}.
Polo tanto, A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}.
(teño A {\displaystyle A}, teño B {\displaystyle B}, polo tanto teño A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} )
ou en notación de operador lóxico, ⊢ A, {\displaystyle \vdash A, } ⊢ B {\displaystyle \vdash B} ⊢ A ∧ B {\displaystyle \vdash A\land B} Aquí temos un exemplo dun argumento que se axusta á introdución da forma conxunción: A Mencía gústanlle as mazás.
A Mencía gústanlle as laranxas.
Polo tanto, a Mencía gústanlle as mazás e as laranxas.
A eliminación da conxuncións é outra forma argumental simple e válida clásicamente. Intuitivamente, permite a inferencia de calquera conxunción de calquera dos elementos desa conxunción. A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}.
Polo tanto, A {\displaystyle A}.
(teño A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}, polo tanto teño A {\displaystyle A} ). .. ou alternativamente, A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}.
Polo tanto, B {\displaystyle B}.
(teño A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B}, polo tanto teño B {\displaystyle B} )
En notación de operador lóxico: ⊢ A ∧ B {\displaystyle \vdash A\land B} ⊢ A {\displaystyle \vdash A}. .. ou alternativamente, ⊢ A ∧ B {\displaystyle \vdash A\land B} ⊢ B {\displaystyle \vdash B} Negación da conxunción
Definición
Unha conxunción A ∧ B {\displaystyle A\land B} demóstrase falsa ao estabelecer calquera de ¬ A {\displaystyle \neg A} ou ¬ B {\displaystyle \neg B}. Por exemplo ¬ A → ¬ ( A ∧ B ) {\displaystyle \neg A\to \neg (A\land B)} (Non A {\displaystyle A} implica non ( A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} ) ).
Outras estratexias de proba
Se A {\displaystyle A} implica ¬ B {\displaystyle \neg B}, entón tanto ¬ A {\displaystyle \neg A} así como A {\displaystyle A} dan como falsa a conxunción: ( A → ¬ B ) → ¬ ( A ∧ B ) {\displaystyle (A\to \neg {}B)\to \neg (A\land B)} Noutras palabras, unha conxunción pódese demostrar que é falsa só coñecendo a relación das súas premisas, e non é necesario saber os seus valores de verdade. Propiedades
conmutividade: si asociatividade: si distributividade: con varias operacións, especialmente con OR idempotencia: si monótona: si Se se usan valores binarios para verdadeiro (1) e falso (0), entón a conxunción lóxica funciona exactamente como a multiplicación aritmética normal. Aplicacións en enxeñaría informática
Na programación informática de alto nivel e na electrónica dixital, a conxunción lóxica esta normalmente representada por un operador infixo, normalmente como unha palabra como "AND", unha multiplicación alxébrica ou o símbolo & (ás veces dobrado como &&).
A conxunción lóxica úsase a miúdo para operacións bit a bit, onde 0 corresponde a falso e 1 a verdadeiro: 0 AND 00,
0 AND 10,
1 AND 00,
1 AND 11.
A operación tamén se pode aplicar a dúas palabras binarias vistas como cadeas de bits de igual lonxitude, tomando o AND bit a bit de cada par de bits nas posicións correspondentes. Por exemplo: 11000110 AND 1010001110000010. Correspondencia na teoría de conxuntos
A pertenza dun elemento a un conxunto intersección na teoría de conxuntos defínese en termos dunha conxunción lóxica: x ∈ A ∩ B {\displaystyle x\in A\cap B} se e só se ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ) {\displaystyle (x\in A)\wedge (x\in B)}. A través desta correspondencia, a intersección teórica de conxuntos comparte varias propiedades coa conxunción lóxica, como a asociatividade, a conmutividade e a idempotencia.