Xerarquía das operacións

En matemáticas e programación (informática), a xerarquía ou orde das operacións aclara de forma inequívoca os procedementos para realizar o cálculo dunha determinada expresión matemática. Por exemplo, en matemáticas e na maioría das linguaxes de programación, a operación de multiplicación ten preferencia á de adición; por exemplo na expresión 2 + 3 ⋅ 4 {\displaystyle 2+3\cdot 4} a resposta alxébrica é 14. As parénteses ou os corchetes poden ser empregados para evitar confusións, escribindo por exemplo 2 + ( 3 ⋅ 4 ) {\displaystyle 2+(3\cdot 4)}.
Dende a introdución da notación alxébrica moderna a multiplicación ten precedencia sobre a suma, calquear que sexa o lado do número onde apareza. Polo tanto 3 + 4 ⋅ 5
4 ⋅ 5 + 3
23 {\displaystyle 3+4\cdot 5
4\cdot 5+3
23}. Os expoñentes teñen precedencia sobre as sumas e as multiplicacións, e terían que ser colocados unicamente como superíndice á dereita da súa base. Para cambiar a orde das operacións, empréganse parénteses. Polo tanto, para forzar a adición sobre a multiplicación, escríbese ( 2 + 3 ) ⋅ 4
20 {\displaystyle (2+3)\cdot 4
20}, e para forzar a adición sobre a exponenciación, escríbese (3 + 5)264. Orde das operacións
A orde das operacións é de esquerda a dereita, avaliando en orde os seguintes operadores: Expresións entre parénteses.
Potenciación e raíces.
Multiplicación e división.
Suma e resta.
Isto significa que se unha expresión matemática está precedida por un operador e seguido por outro, o operador máis alto na listaxe debe ser aplicado primeiro. As propiedades conmutativa e asociativa da suma e do produto permites que os termos poidan ser sumados en calquera orde e os seren multiplicados en calquera orde, mais as operacións mixtas deben obedecer a orde estándar das operacións.
É útil tratar a división como o recíproco da multiplicación e a resta como a suma do opsto. Así, 3 / 4
3: 4
3 ⋅ 14 {\displaystyle 3/4
3: 4
3\cdot {\frac {1}{4}}}, é dicir o cociente entre 3 {\displaystyle 3} e 4 {\displaystyle 4} é igual ao produto de 3 {\displaystyle 3} e 14 {\displaystyle {\frac {1}{4}}}. Tamén 3 − 4
3 + ( − 4 ) {\displaystyle 3-4
3+(-4)}, é dicir a diferenza de 3 {\displaystyle 3} e 4 {\displaystyle 4} é igual á suma de tres positivo e catro negativo. Con este razoamento, pódese pensar 1 − 2 + 3 {\displaystyle 1-2+3} como a suma de 1 {\displaystyle 1}, 2 {\displaystyle 2} negativo, e 3 {\displaystyle 3}, e sumala en calquera orde: ( 1 − 2 ) + 3
− 1 + 3
2 {\displaystyle (1-2)+3
-1+3
2} e en orde invers ( 3 − 2 ) + 1
1 + 1
2 {\displaystyle (3-2)+1
1+1
2}, sempre que se manteña o signo negativo co 2 {\displaystyle 2}.
O símbolo da raíz ( {\displaystyle {\sqrt {}}} ) require un símbolo de agrupación en todo o radicando. Adoita empregarse unha barra horizontal (vinculum) sobre o radicando.
Os expoñentes apilados aplícanse de arriba a abaixo.
Os símbolos de agrupación poden ser utilizados para modificar a orde das operacións. Estes símbolos poden eliminarse coas propiedades asociativas e distributivas. Exemplos
1 + 3 + 5
4 + 5
2 + 5
7. {\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5
{\sqrt {4}}+5
2+5
7. \, } Unha liña horizontal fraccionada tamén actúa como un símbolo da agrupación: 1 + 23 + 4 + 5
37 + 5. {\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5
{\frac {3}{7}}+5. } Para facilitar a lectura, adoitan empregarse xunto coas parénteses () outros símbolos de agrupación, tales como chaves {} ou corchetes []. Por exemplo, [ ( 1 + 2 ) − 3 ] − ( 4 − 5 )
[ 3 − 3 ] − ( − 1 )
1. {\displaystyle [(1+2)-3]-(4-5)
[3-3]-(-1)
1. \, } Calculadoras
Calculadoras diferentes seguen diferentes xerarquías de operacións. Moitas calculadoras sinxelas traballan de esquerda a dereita sen dar prioridade ningunha aos diferentes operadores. Por exemplo, escribindo 1 + 2 × 3 aparece 9,
En cambio, calculadoras máis sofisticadas empregan xerarquías estándares e por exemplo se se escribe 1 + 2 × 3 mostra como solución 7.