Seno

En trigonometría o seno dun ángulo (abreviado sen ou sin do latín sĭnus) é a función dun ángulo que relaciona o valor do cateto oposto ó ángulo co da hipotenusa. Expresado a través dun triángulo rectángulo, o seno é a razón entre o cateto oposto e a hipotenusa dese triángulo: sen ⁡ ( α )
a c {\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha )
{\frac {a}{c}}} Ou tamén como a ordenada correspondente a un punto que pertence a unha circunferencia unitaria centrada na orixe (c
1): sen ⁡ ( α )
a {\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha ) a\, } En matemáticas o seno é a función obtida ó facer variar a razón mencionada, sendo unha das funcións transcendentes.
Para entender o concepto visualmente: O seno é a proxección do cateto oposto sobre a hipotenusa. O número de catetos opostos que caben na hipotenusa do triángulo. Por iso, o seno do ángulo de 0 graos é 0: Hai 0 catetos opostos sobre a hipotenusa. O seno de 30 é 0. 5: Na hipotenusa caben 2 catetos opostos. O seno de 90 é 1: A hipotenusa e o cateto oposto ó ángulo son iguais. Comprobándoo con lapis e papel, ou con algún programa de deseño asistido por computadora, é fácil de ver e de comprender.
Así, cando se representan os valores do seno nunha gráfica, hai unha función en forma de onda, que pasa de 0 a 1 e de 1 a 0 e de 0 a -1 e de -1 a 0 outra vez, segundo os valores que toma neses catro ángulos rectángulos, de vértice común, que forman a circunferencia.
O seno é unha función impar, é dicir: sin ⁡ ( − x )
− sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(-x)
-\sin(x)}.
O seno é unha función periódica de período 2 π {\displaystyle 2\pi }, sin ⁡ α
sin ( α + 2 k π ), k ∈ Z {\displaystyle \sin \alpha
\sin \; (\alpha +2k\pi ), \; \; k\in \mathbb {Z} } Representación gráfica
Nas dúas primeiras gráficas apréciase a periocidade. Na terceira a relación co ángulo na circunferencia. Fórmulas con utilidade
Lei dos senos
A lei dos senos é útil para calcular as lonxitudes dos lados descoñecidos nun triángulo se se coñecen dous ángulos e un lado.
Dado un triángulo A B C {\displaystyle ABC} con lados a {\displaystyle a}, b {\displaystyle b} e c {\displaystyle c}, e os ángulos opostos a eses lados α {\displaystyle \alpha }, β {\displaystyle \beta } e γ {\displaystyle \gamma }, a lei estabelece que: sin ⁡ α a
sin ⁡ β b
sin ⁡ γ c. {\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}
{\frac {\sin \beta }{b}}
{\frac {\sin \gamma }{c}}. } Isto é equivalente á igualdade das tres primeiras expresións seguintes: a sin ⁡ α
b sin ⁡ β
c sin ⁡ γ
2 R, {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}
{\frac {b}{\sin \beta }}
{\frac {c}{\sin \gamma }}
2R, } onde R {\displaystyle R} é o circunraio do triángulo.
Produto vectorial
O produto vectorial é unha ​​operación sobre dous vectores no espazo euclidiano. A función seno pódese definir en termos do produto vectorial. Se a {\displaystyle \mathbb {a} } e b {\displaystyle \mathbb {b} } son vectores e θ {\displaystyle \theta } é o ángulo entre a {\displaystyle \mathbb {a} } e b {\displaystyle \mathbb {b} }, entón o seno pódese definir como: sin ⁡ ( θ )
| a × b | | a | | b | {\displaystyle \sin(\theta )
{\frac {|\mathbb {a} \times \mathbb {b} |}{|a||b|}}}. Función inversa
A función inversa do seno é arcoseno ou seno inverso, denotada como "arcsin", "asin" ou sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}}. , onde o superíndice de −1 en sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} denota a inversa dunha función, en lugar da exponenciación. Como a función seno non é inxectiva, a súa inversa non é unha función inversa exacta, senón unha función inversa parcial. Por exemplo, sin ⁡ ( 0 )
0 {\displaystyle \sin(0)
0}, pero tamén sin ⁡ ( π )
0 {\displaystyle \sin(\pi )
0}, sin ⁡ ( 2 π )
0 {\displaystyle \sin(2\pi )
0}, etc. De aquí dedúcese que a función arcoseno ten varios valores: arcsin ⁡ ( 0 )
0 {\displaystyle \arcsin(0)
0}, pero tamén arcsin ⁡ ( 0 )
π {\displaystyle \arcsin(0)
\pi }, arcsin ⁡ ( 0 )
2 π {\displaystyle \arcsin(0)
2\pi }, etc. Cando só se desexa un valor, a función pode restrinxirse á súa rama principal. Con esta restrición, para cada x {\displaystyle x} do dominio, a expresión arcsin ⁡ ( x ) {\displaystyle \arcsin(x)} avaliarase só a un único valor, chamado o seu valor principal. O intervalo estándar de valores principais para arcsin é de − π 2 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}} ata π 2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}}. Identidades importantes relacionadas co coseno
Segundo o teorema de Pitágoras, a hipotenusa ao cadrado é a suma de dous catetos cadrados dun triángulo rectángulo.
Dividindo a fórmula en ambos os lados coa hipotenusa ao cadrado resulta na identidade trigonométrica pitagórica, a suma dun seno ao cadrado e un coseno cadrado é igual a 1: sin 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ )
1. {\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )
1. } Ambas as funcións seno e coseno son similares, sendo a súa diferenza desprazada por π 2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}}. Isto exprésase do seguinte xeito, sin ⁡ ( θ )
cos ⁡ ( π 2 − θ ), cos ⁡ ( θ )
sin ⁡ ( π 2 − θ ). {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&
\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right), \\\cos(\theta )&
\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right). \end{aligned}}} O seno e o coseno satisfán as seguintes fórmulas de ángulo duplo sin ⁡ ( 2 θ )
2 sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ), cos ⁡ ( 2 θ )
cos 2 ⁡ ( θ ) − sin 2 ⁡ ( θ )
2 cos 2 ⁡ ( θ ) − 1
1 − 2 sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&
2\sin(\theta )\cos(\theta ), \\\cos(2\theta )&
\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&
2\cos ^{2}(\theta )-1\\&
1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}} Tanto o seno como o coseno pódense estender aínda máis mediante os números complexos. Para o número real θ {\displaystyle \theta }, a definición das funcións seno e coseno pódese ampliar nun plano complexo en termos dunha función exponencial do seguinte xeito: sin ⁡ ( θ )
e i θ − e − i θ 2 i, cos ⁡ ( θ )
e i θ + e − i θ 2, {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&
{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}, \\\cos(\theta )&
{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}, \end{aligned}}}.
Alternativamente, ambas as funcións pódense definir en termos da fórmula de Euler: e i θ
cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ), e − i θ
cos ⁡ ( θ ) − i sin ⁡ ( θ ). {\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&
\cos(\theta )+i\sin(\theta ), \\e^{-i\theta }&
\cos(\theta )-i\sin(\theta ). \end{aligned}}} Isto tamén se coñece como a función cis.
A función tanxente está dada por tan ⁡ ( x )
sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(x)
{\dfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}}.
O seno e o coseno úsanse para conectar as partes real e imaxinaria dun número complexo coas súas coordenadas polares ( r, θ ) {\displaystyle (r, \theta )}: z
r ( cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) ), {\displaystyle z
r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )), }.
As funcións seno e coseno son infinitamente diferenciábeis. A derivada do seno é o coseno, e a derivada do coseno é menos o seno: d d x sin ⁡ ( x )
cos ⁡ ( x ), d d x cos ⁡ ( x )
− sin ⁡ ( x ). {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)
\cos(x), \qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)
-\sin(x). } A súa área baixo unha curva pódese obter usando a integral cun determinado intervalo limitado. A súa antiderivada é ∫ sin ⁡ ( x ) d x
− cos ⁡ ( x ) + C, ∫ cos ⁡ ( x ) d x
sin ⁡ ( x ) + C {\displaystyle \int \sin(x)\, dx
-\cos(x)+C, \qquad \int \cos(x)\, dx
\sin(x)+C}. Series
Pódese empregar a teoría da serie de Taylor para mostrar que as seguintes identidades cúmprense para todos os números reais x {\displaystyle x}, onde x {\displaystyle x} é o ángulo en radiáns. : sin ⁡ ( x )
x − x 33! + x 55! − x 77! + ⋯
∑ n
0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&
x-{\frac {x^{3}}{3! }}+{\frac {x^{5}}{5! }}-{\frac {x^{7}}{7! }}+\cdots \\&
\sum _{n
0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)! }}x^{2n+1}\end{aligned}}}.
As funcións seno e coseno con múltiples ángulos poden aparecer como unha combinación linear, dando como resultado un polinomio. Este polinomio coñécese como polinomio trigonométrico. As amplas aplicacións do polinomio trigonométrico pódense ver por exemplo na serie de Fourier. Sexan a n {\displaystyle a_{n}} e b n {\displaystyle b_{n}} calquera coeficiente, entón o polinomio trigonométrico de grao N {\displaystyle N}, denotado como T ( x ) {\displaystyle T(x)}, é definido como: T ( x )
a 0 + ∑ n
1 N a n cos ⁡ ( n x ) + ∑ n
1 N b n sin ⁡ ( n x ). {\displaystyle T(x)
a_{0}+\sum _{n
1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n
1}^{N}b_{n}\sin(nx). }