Álxebra exterior

En matemáticas, a álxebra exterior ou álxebra de Grassmann dun espazo vectorial V {\displaystyle V} é unha álxebra asociativa que contén V, {\displaystyle V, } que ten un produto, chamado produto exterior (ou tamén en inglés wedge product) e denotado co símbolo ∧ {\displaystyle \wedge }, tal que v ∧ v
0 {\displaystyle v\wedge v
0} para todo vector v {\displaystyle v} en V. {\displaystyle V. } A álxebra exterior recibe o nome de Hermann Grassmann, e os nomes do produto proceden do símbolo "wedge" ∧ {\displaystyle \wedge } e por outra parte do feito de que o produto de dous elementos de V {\displaystyle V} está "fóra" de V. {\displaystyle V. } O produto exterior de k {\displaystyle k} vectores v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k {\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{k}} chámase lámina de grao k {\displaystyle k} ou k {\displaystyle k} -lámina. O produto exterior foi introducido orixinalmente como unha construción alxébrica usada en xeometría para estudar áreas, volumes e os seus análogos de dimensións superiores: a magnitude dunha 2-lámina v ∧ w {\displaystyle v\wedge w} é a área do paralelogramo definida por v {\displaystyle v} e w, {\displaystyle w, } e, de xeito máis xeral, a magnitude da k {\displaystyle k} -lámina é o (hiper)volume do paralelotopo definido polos vectores constituíntes. A propiedade alternante que fai v ∧ v
0 {\displaystyle v\wedge v
0} implica unha propiedade simétrica nesgada que fai v ∧ w
− w ∧ v, {\displaystyle v\wedge w
-w\wedge v, } e, máis xeralmente, calquera mudanza de signo de lámina sempre que se trocan dous dos seus vectores constituíntes, correspondentes a un paralelótopo de orientación oposta.
A definición da álxebra exterior pódese ampliar para espazos construídos a partir de espazos vectoriais, como campos vectoriais e funcións cuxo dominio é un espazo vectorial. A maiores, o corpo dos escalares pode ser calquera corpo. De forma máis xeral, a álxebra exterior pódese definir para módulos sobre un anel conmutativo. En particular, a álxebra das formas diferenciais en k {\displaystyle k} variables é unha álxebra exterior sobre o anel das funcións suaves en k {\displaystyle k} variábeis. Exemplos básicos
Áreas no plano
O espazo vectorial euclidiano bidimensional R 2 {\displaystyle \mathbf {R} ^{2}} é un espazo vectorial real equipado cunha base formada por un par de vectores unitarios ortogonais e 1
[ 10 ], e 2
[ 01 ]. {\displaystyle \mathbf {e} _{1}
{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}, \quad \mathbf {e} _{2}
{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}. } Supoñamos que v
[ a b ]
a e 1 + b e 2, w
[ c d ]
c e 1 + d e 2 {\displaystyle \mathbf {v}
{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}
a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}, \quad \mathbf {w}
{\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}
c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2}} son un par de vectores dados en R 2 {\displaystyle \mathbf {R} ^{2}} escrito en compoñentes. Hai un paralelogramo único que ten v {\displaystyle \mathbf {v} } e w {\displaystyle \mathbf {w} } como dous dos seus lados. A área deste paralelogramo vén dada pola fórmula do determinante estándar: Area
| det [ v w ] |
| det [ a c b d ] |
| a d − b c |. {\displaystyle {\text{Area}}
\left|\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}\right|
\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|
\left|ad-bc\right|. } Consideremos agora o produto exterior de v {\displaystyle \mathbf {v} } and w {\displaystyle \mathbf {w} }: v ∧ w
( a e 1 + b e 2 ) ∧ ( c e 1 + d e 2 )
a c e 1 ∧ e 1 + a d e 1 ∧ e 2 + b c e 2 ∧ e 1 + b d e 2 ∧ e 2
( a d − b c ) e 1 ∧ e 2, {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &
(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&
ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&
\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}, \end{aligned}}} onde o primeiro paso utiliza a lei distributiva para o produto exterior, e o último usa o feito de que o produto exterior é un mapa alternante, e en particular e 2 ∧ e 1
− ( e 1 ∧ e 2 ). {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}
-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}). } Nótese que o coeficiente desta última expresión é precisamente o determinante da matriz [v w]. O feito de que isto poida ser positivo ou negativo ten o significado intuitivo de que v e w poden estar orientados no sentido antihorario ou no sentido horario como os vértices do paralelogramo que definen. Tal área chámase área con signo do paralelogramo: o valor absoluto da área con signo é a área ordinaria e o signo determina a súa orientación.
En detalle, se A(v, w) denota a área con signo do paralelogramo do cal o par de vectores v e w forman dous lados adxacentes, entón A debe satisfacer as seguintes propiedades: A(rv, sw) rsA(v, w) para todo número real r, s.
A(v, v) 0.
A(w, v) −A(v, w).
A(v + rw, w) A(v, w) para todo número rea r.
A(e1, e2) 1.
Produtos vectoriais e triplos
Para os vectores en R 3, a álxebra exterior está moi relacionada co produto vectorial e o produto triplo. Usando a base estándar {e1, e2, e3}, o produto exterior dun par de vectores u
u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {u}
u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}} v
v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {v}
v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}} sería u ∧ v
( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) ( e 1 ∧ e 2 ) + ( u 3 v 1 − u 1 v 3 ) ( e 3 ∧ e 1 ) + ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) ( e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v}
(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})} onde {e1 ∧ e2, e3 ∧ e1, e2 ∧ e3} é a base para o espazo tridimensional ⋀2(R3). Os coeficientes anteriores son os mesmos que os da definición habitual do produto vectorial de vectores en tres dimensións, a única diferenza é que o produto exterior non é un vector común, senón que é un bivector.
Traendo un terceiro vector w
w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3, {\displaystyle \mathbf {w}
w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3}, } o produto exterior de tres vectores é u ∧ v ∧ w
( u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 − u 1 v 3 w 2 − u 2 v 1 w 3 − u 3 v 2 w 1 ) ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w}
(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})} onde e1 ∧ e2 ∧ e3 é a base de vectores para o espazo un dimensional ⋀3(R3). O coeficiente escalar é o produto triplo dos tres vectores. Definición formal
A álxebra exterior ⋀ ( V ) {\displaystyle \bigwedge (V)} dun espazo vectorial V {\displaystyle V} sobre un corpo K {\displaystyle K} defínese como a álxebra cociente da álxebra tensorial T (V), onde T ( V )
⨁ k
0 ∞ T k V
K ⊕ V ⊕ ( V ⊗ V ) ⊕ ( V ⊗ V ⊗ V ) ⊕ ⋯, {\displaystyle T(V)
\bigoplus _{k
0}^{\infty }T^{k}V
K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots, } polo ideal bilateral I {\displaystyle I} xerado por todos os elementos da forma x ⊗ x {\displaystyle x\otimes x} tal que x ∈ V {\displaystyle x\in V}. Simbólicamente, ⋀ ( V ):
T ( V ) / I. {\displaystyle \bigwedge (V):
T(V)/I. \, } O produto exterior ∧ {\displaystyle \wedge } de dous elementos de ⋀ ( V ) {\displaystyle \bigwedge (V)} está definido por α ∧ β
α ⊗ β ( mod I ). {\displaystyle \alpha \wedge \beta
\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}. } Propiedades alxébricas
Produto alternante
O produto exterior é, por construción, alternante en elementos de V {\displaystyle V} o que significa que x ∧ x
0 {\displaystyle x\wedge x
0} para todos os x ∈ V, {\displaystyle x\in V, } pola construción anterior. Polo tanto, o produto tamén é anticomutativo en elementos de V {\displaystyle V} por exemplo, para x, y ∈ V {\displaystyle x, y\in V} 0
( x + y ) ∧ ( x + y )
x ∧ x + x ∧ y + y ∧ x + y ∧ y
x ∧ y + y ∧ x {\displaystyle 0
(x+y)\wedge (x+y)
x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y
x\wedge y+y\wedge x} polo tanto x ∧ y
− ( y ∧ x ). {\displaystyle x\wedge y
-(y\wedge x). }
Potencia exterior
A k-ésima potencia exterior de V {\displaystyle V} ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\! k}(V)}, é o subespazo vectorial de ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} expandidos por elementos da forma x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x k, x i ∈ V, i
1, 2, …, k. {\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}, \quad x_{i}\in V, i
1, 2, \dots, k. } Se α ∈ ⋀ k ( V ) {\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\! k}(V)} entón α {\displaystyle \alpha } dise que é un K-vector. Se, alén disto, α {\displaystyle \alpha } pódese expresar como un produto exterior de k {\displaystyle k} elementos de V {\displaystyle V} entón α {\displaystyle \alpha } dise que é descompoñíbel (ou simple, para algúns autores; ou unha lámina, para outros).
Base e dimensión
Se a dimensión de V {\displaystyle V} é n {\displaystyle n} e { e 1, …, e n } {\displaystyle \{e_{1}, \dots, e_{n}\}} é unha base para V {\displaystyle V}, entón o conxunto { e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k | 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n } {\displaystyle \{\, e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\, \}} é unha base ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\! k}(V)}. O motivo é o seguinte: dado calquera produto exterior da forma v 1 ∧ ⋯ ∧ v k, {\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}, } todo vector v j {\displaystyle v_{j}} pódese escribir como unha combinación linear dos vectores base e i {\displaystyle e_{i}} usando a bilinearidade do produto exterior, este pódese expandir a unha combinación linear de produtos exteriores deses vectores base. En xeral, os coeficientes resultantes dos k-vectores da base pódense calcular como os menores da matriz que describe os vectores v j {\displaystyle v_{j}} en termos da base e i {\displaystyle e_{i}}.
Calquera elemento da álxebra exterior pode escribirse como unha suma de k-vectores. Polo tanto, como espazo vectorial a álxebra exterior é unha suma directa ⋀ ( V )
⋀ 0 ( V ) ⊕ ⋀ 1 ( V ) ⊕ ⋀ 2 ( V ) ⊕ ⋯ ⊕ ⋀ n ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)
{\textstyle \bigwedge }^{\! 0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\! 1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\! 2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\! n}(V)} (onde, por convención, ⋀ 0 ( V )
K {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\! 0}(V)
K} o corpo V {\displaystyle V} ⋀ 1 ( V )
V {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\! 1}(V)
V} ), e polo tanto a súa dimensión é igual á suma dos coeficientes binomiais, que é 2 n {\displaystyle 2^{n}}.
Rango dun k-vector
Se α ∈ ⋀ k ( V ) {\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\! k}(V)} entón é posíbel expresar α {\displaystyle \alpha } como unha combinación linear de k-vectores descompoñíbeis: α
α ( 1 ) + α ( 2 ) + ⋯ + α ( s ) {\displaystyle \alpha
\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}} onde cada α ( i ) {\displaystyle \alpha ^{(i)}} é descompoñíbel, digamos α ( i )
α 1 ( i ) ∧ ⋯ ∧ α k ( i ), i
1, 2, …, s. {\displaystyle \alpha ^{(i)}
\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)}, \quad i
1, 2, \ldots, s. } O rango do k-vector α {\displaystyle \alpha } é o número mínimo de k-vectores descompoñíbeis nunha expansión deste tipo de α {\displaystyle \alpha }. Isto é semellante á noción de rango tensorial.
Estrutura graduada
O produto exterior dun k-vector cun p-vector é un ( k + p ) {\displaystyle (k+p)} -vector, invocando unha vez máis a bilinearidade. Como consecuencia, a descomposición de suma directa do apartado anterior ⋀ ( V )
⋀ 0 ( V ) ⊕ ⋀ 1 ( V ) ⊕ ⋀ 2 ( V ) ⊕ ⋯ ⊕ ⋀ n ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)
{\textstyle \bigwedge }^{\! 0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\! 1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\! 2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\! n}(V)} dálle á álxebra exterior a estrutura adicional dunha álxebra graduada, é dicir ⋀ k ( V ) ∧ ⋀ p ( V ) ⊂ ⋀ k + p ( V ). {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\! k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{\! p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{\! k+p}(V). }
Propiedade universal
Sexa V un espazo vectorial sobre o corpo K. Informalmente, a multiplicación en ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} realízase manipulando símbolos e impoñendo unha lei distributiva, unha lei asociativa e utilizando a identidade v ∧ v
0 {\displaystyle v\wedge v
0} para v ∈ V. Formalmente, ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} é a álxebra "máis xeral" na que se aplican estas regras para a multiplicación, no sentido de que calquera K-álxebra asociativa unitaria que conteña V con multiplicación alternante en V debe conter unha imaxe homomorfa de ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}. Noutras palabras, a álxebra exterior ten a seguinte propiedade universal: