Función limitada

En matemáticas, unha función f {\displaystyle f} definida nalgún conxunto X {\displaystyle X} con valores reais ou complexos denomínase limitada se o conxunto dos seus valores está limitado. Noutras palabras, existe un número real M {\displaystyle M} tal que | f ( x ) | ≤ M {\displaystyle |f(x)|\leq M} para todo x {\displaystyle x} en X {\displaystyle X}. No caso contrario a función dise que é non limitada. Un caso especial importante é unha sucesión limitada, onde X {\displaystyle X} tómase como o conxunto N {\displaystyle \mathbb {N} } dos números naturais. Así unha secuencia f
( a 0, a 1, a 2, … ) {\displaystyle f
(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots )} está limitada se existe un número real M {\displaystyle M} tal que | a n | ≤ M {\displaystyle |a_{n}|\leq M} para cada número natural n {\displaystyle n}. O conxunto de todas as secuencias limitadas forma o espazo das sucesións l ∞ {\displaystyle l^{\infty }}. A definición de limitado pódese xeneralizar a funcións f: X → Y {\displaystyle f: X\rightarrow Y} tomando valores nun espazo máis xeral Y {\displaystyle Y} ao esixir que a imaxe f ( X ) {\displaystyle f(X)} sexa un conxunto limitado Y {\displaystyle Y}. Nocións relacionadas
Máis débil que o concepto de limitado é o concepto de limitado localmente, cando está limitada en cada punto. Unha familia de funcións limitadas pode estar limitada uniformemente, cando toda a familia está limitada pola mesma constante. Exemplos
A función seno, sin: R → R {\displaystyle \sin: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } está limitada xa que | sin ⁡ ( x ) | ≤ 1 {\displaystyle |\sin(x)|\leq 1} para todas as x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }.
A función f ( x )
( x 2 − 1 ) − 1 {\displaystyle f(x)
(x^{2}-1)^{-1}}, definida para todos os x {\displaystyle x} reais agás para −1 e 1, non ten límites. A medida que x {\displaystyle x} se achega a −1 ou 1, os valores desta función aumentan en magnitude. Esta función pódese limitar se se restrinxe o seu dominio a, por exemplo, [ 2, ∞ ) {\displaystyle [2, \infty )} ou ( − ∞, − 2 ] {\displaystyle (-\infty, -2]}.
A función f ( x )
( x 2 + 1 ) − 1 {\textstyle f(x)
(x^{2}+1)^{-1}}, definida para todos os x {\displaystyle x} reais, está limitada, xa que | f ( x ) | ≤ 1 {\textstyle |f(x)|\leq 1} para todos os x {\displaystyle x}.
A función trigonométrica inversa arco tanxente definida como: y
arctan ⁡ ( x ) {\displaystyle y
\arctan(x)} ou x
tan ⁡ ( y ) {\displaystyle x
\tan(y)} é crecente para todos os números reais x {\displaystyle x} e limitados por − π 2 < y < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}} radiáns
Polo Teorema de Weierstrass, toda función continua nun intervalo pechado, como f: [ 0, 1 ] → R {\displaystyle f: [0, 1]\rightarrow \mathbb {R} }, está limitada. De forma máis xeral, calquera función continua dun espazo compacto a un espazo métrico está limitada.
Todas as funcións de valores complexos f: C → C {\displaystyle f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } que son enteiras son ​​non limitadas ou constantes como consecuencia do Teorema de Liouville. En particular, a función complexa sin: C → C {\displaystyle \sin: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } debe ser non limitada xa que é enteira.
A función f {\displaystyle f} que toma o valor 0 para x {\displaystyle x} número racional e 1 para x {\displaystyle x} número irracional (cf. Función de Dirichlet) está limitada. Así, unha función non precisa ter un aspecto usual para estar limitada. O conxunto de todas as funcións limitadas definidas en [ 0, 1 ] {\displaystyle [0, 1]} é moito maior que o conxunto das función continuas nese intervalo. Ademais, as funcións continuas non teñen por que estar limitadas; por exemplo, as funcións g: R 2 → R {\displaystyle g: \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } e h: ( 0, 1 ) 2 → R {\displaystyle h: (0, 1)^{2}\to \mathbb {R} } definida por g ( x, y ):
x + y {\displaystyle g(x, y):
x+y} e h ( x, y ):
1 x + y {\displaystyle h(x, y):
{\frac {1}{x+y}}} son ambas as dúas continuas, mais ningunha das dúas está limitada. (No entanto, unha función continua debe estar limitada se o seu dominio está pechado e limitado. )