Subgrupo característico

En matemáticas, particularmente na área da álxebra abstracta coñecida como teoría de grupos, un subgrupo característico é un subgrupo que é asignado a si mesmo por cada automorfismo do grupo pai. Debido a que cada mapa de conxugación é un automorfismo interno, cada subgrupo característico é normal; aínda que a inversa non está garantida. Exemplos de subgrupos característicos inclúen o subgrupo conmutador e o centro dun grupo. Definición
Un subgrupo H dun grupo G chámase subgrupo característico se para cada automorfismo φ de G, temos φ(H) ≤ H; entón escríbese H char G.
Sería equivalente a esixir a condición máis forte φ(H) H para cada automorfismo φ de G, porque φ−1(H) ≤ H implica a inclusión inversa H ≤ φ(H). Propiedades básicas
Dado H char G, todo automorfismo de G induce un automorfismo do grupo cociente G/H, que produce un homomorfismo Aut(G) → Aut(G/H).
Se G ten un único subgrupo H dun índice dado, entón H é característico en G. Conceptos relacionados
Subgrupo normal
Un subgrupo de H que é invariante baixo todos os automorfismos internos chámase normal; tamén, un subgrupo invariante. ∀φ ∈ Inn(G)： φ(H) ≤ H
Dado que Inn(G) ⊆ Aut(G) e un subgrupo característico é invariante baixo todos os automorfismos, todo subgrupo característico é normal. No entanto, non todos os subgrupos normais son característicos. Aquí temos algún exemplo: Sexa H un grupo non trivial e sexa G o produto directo, H × H. Entón os subgrupos, {1} × H e H × {1}, son normais, mais ningún é característico. En particular, ningún destes subgrupos é invariante baixo o automorfismo, (x, y) → (y, x), que troca os dous factores.
Para un exemplo concreto disto, sexa V o grupo-catro de Klein (que é isomorfo ao produto directo, Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} ). Dado que este grupo é abeliano, cada subgrupo é normal; mais cada permutación dos 3 elementos que non son a identidade é un automorfismo de V, polo que os 3 subgrupos de orde 2 non son característicos. Aquí, tendo V
{e, a, b, ab}. Considere H
{e, a} e considere o automorfismo, T(e)
e, T(a)
b, T(b)
a, T(ab)
ab; entón T(H) non está contido en H. Transitividade
A propiedade de ser característico ou totalmente característico é transitiva; se H é un subgrupo (totalmente) característico de K, e K é un subgrupo (totalmente) característico de G, entón H é un subgrupo (totalmente) característico de G. H char K char G ⇒ H char G.
A maiores, aínda que a normalidade non é transitiva, é certo que todo subgrupo característico dun subgrupo normal é normal. H char K ⊲ G ⇒ H ⊲ G.
Porén, a diferenza da normalidade, se H char G e K é un subgrupo de G que contén H, entón en xeral H non é necesariamente característico en K. H char G, H < K < G ⇏ H char K. Exemplos
Exemplo finito
Considere o grupo G S3 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} (o grupo de orde 12 que é o produto directo do grupo simétrico de orde 6 e un grupo cíclico de orde 2). O centro de G é isomorfo ao seu segundo factor Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}. Teña en conta que o primeiro factor, S3, contén subgrupos isomorfos a Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}, por exemplo {e, (12)}; sexa f: Z 2 <→ S 3 {\displaystyle f: \mathbb {Z} _{2}<\rightarrow {\text{S}}_{3}} o mapa do morfismo Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} no subgrupo indicado. A continuación, a composición da proxección de G sobre o seu segundo factor Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}, seguido de f, seguido da inclusión de S3 en G como o seu primeiro factor, proporciona un endomorfismo de G baixo o cal a imaxe do centro, Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}, non está contido no centro, polo que aquí o centro non é un subgrupo totalmente característico de G.
Grupos cíclicos
Todo subgrupo dun grupo cíclico é característico.
Grupos topolóxicos
O compoñente identidade dun grupo topolóxico é sempre un subgrupo característico.