Fórmula de Herón

En xeometría, a fórmula de Herón dá a área dun triángulo en función das tres lonxitudes dos lados a, {\displaystyle a, } b, {\displaystyle b, } c. {\displaystyle c. } Sexa s {\displaystyle s} o semiperímetro do triángulo, s
12 ( a + b + c ), {\displaystyle s
{\tfrac {1}{2}}(a+b+c), } a área A {\displaystyle A} é A
s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ). {\displaystyle A
{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}. } Leva o nome do enxeñeiro Herón de Alexandría do século I quen a demostrou na súa obra Metrica, aínda que probablemente se coñecía séculos antes. Exemplo
Sexa △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} o triángulo con lados a
4, {\displaystyle a
4, } b
13, {\displaystyle b
13, } e c
15. {\displaystyle c
15. } O semiperímetro deste triángulo é s
12 ( a + b + c )
{\displaystyle s
{\tfrac {1}{2}}(a+b+c)
{}} 12 ( 4 + 13 + 15 )
16 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(4+13+15)
16}, a área será logo A
s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c )
16 ⋅ ( 16 − 4 ) ⋅ ( 16 − 13 ) ⋅ ( 16 − 15 )
16 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ 1
576
24. {\displaystyle {\begin{aligned}A&
{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}
{\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&
{\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}
{\sqrt {576}}
24. \end{aligned}}} Expresións alternativas
A fórmula de Herón tamén se pode escribir en termos só das lonxitudes, sen usar o semiperímetro, A
14 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ). A
144 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2. {\displaystyle {\begin{aligned}A&
{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}. \\[6mu]A&
{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}. \end{aligned}}} A mesma relación pódese expresar usando o determinante de Cayley-Menger, − 16 A 2
| 0 a 2 b 21 a 20 c 21 b 2 c 2011110 |. {\displaystyle -16A^{2}
{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}. } Probas
Proba trigonométrica mediante a lei dos cosenos
En primeiro lugar mostramos unha proba moderna, bastante diferente da proporcionada por Herón. Sexan a, {\displaystyle a, } b, {\displaystyle b, } c {\displaystyle c} os lados do triángulo e α, {\displaystyle \alpha, } β, {\displaystyle \beta, } γ {\displaystyle \gamma } os ángulos opostos a eses lados (figura inicial). Aplicando a lei dos cosenos obtemos cos ⁡ γ
a 2 + b 2 − c 22 a b {\displaystyle \cos \gamma
{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}} A partir deste coseno obtemos o seno, sin ⁡ γ
1 − cos 2 ⁡ γ
4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 22 a b. {\displaystyle \sin \gamma
{\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}
{\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}. } A altura do triángulo con base a {\displaystyle a} mide b sin ⁡ γ {\displaystyle b\sin \gamma }, e segue A
12 ( base ) ( altura )
12 a b sin ⁡ γ
a b 4 a b 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2
14 − a 4 − b 4 − c 4 + 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2
14 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c )
( a + b + c 2 ) ( − a + b + c 2 ) ( a − b + c 2 ) ( a + b − c 2 )
s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ). {\displaystyle {\begin{aligned}A&
{\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altura}})\\[6mu]&
{\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&
{\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&
{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&
{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&
{\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&
{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}. \end{aligned}}}
Proba alxébrica mediante o teorema de Pitágoras
A seguinte proba é moi semellante á dada por Raifaizen. Polo teorema de Pitágoras temos b 2
h 2 + d 2 {\displaystyle b^{2}
h^{2}+d^{2}} e a 2
h 2 + ( c − d ) 2 {\displaystyle a^{2}
h^{2}+(c-d)^{2}} segundo a figura de enriba. Restando temos, a 2 − b 2
c 2 − 2 c d. {\displaystyle a^{2}-b^{2}
c^{2}-2cd. } Esta ecuación permítenos expresar d {\displaystyle d} en función dos lados do triángulo: d
− a 2 + b 2 + c 22 c. {\displaystyle d
{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}. } Para a altura do triángulo temos h 2
b 2 − d 2. {\displaystyle h^{2}
b^{2}-d^{2}. } Se substituímos d {\displaystyle d} coa fórmula dada anteriormente e aplicando a diferenza de cadrados obtemos h 2
b 2 − ( − a 2 + b 2 + c 22 c ) 2
( 2 b c − a 2 + b 2 + c 2 ) ( 2 b c + a 2 − b 2 − c 2 ) 4 c 2
( ( b + c ) 2 − a 2 ) ( a 2 − ( b − c ) 2 ) 4 c 2
( b + c − a ) ( b + c + a ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) 4 c 2
2 ( s − a ) ⋅ 2 s ⋅ 2 ( s − c ) ⋅ 2 ( s − b ) 4 c 2
4 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) c 2. {\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&
b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&
{\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&
{\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&
{\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&
{\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&
{\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}. \end{aligned}}} E por último: A
c h 2
c 24 ⋅ 4 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) c 2
s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ). {\displaystyle {\begin{aligned}A&
{\frac {ch}{2}}\\&
{\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&
{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}. \end{aligned}}}
Proba trigonométrica mediante a lei das cotanxentes
Se r {\displaystyle r} é o raio do círculo inscrito do triángulo, entón o triángulo pódese dividir en tres triángulos de igual altitude r {\displaystyle r} e bases a, {\displaystyle a, } b, {\displaystyle b, } e c. {\displaystyle c. } A súa área combinada é A
12 a r + 12 b r + 12 c r
r s, {\displaystyle A
{\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr
rs, } onde s
12 ( a + b + c ) {\displaystyle s
{\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} é o semiperímetro.
O triángulo pódese dividir alternativamente en seis triángulos (en pares congruentes) de altura r {\displaystyle r} e bases s − a, {\displaystyle s-a, } s − b, {\displaystyle s-b, } e s − c {\displaystyle s-c} de área combinada (ver lei das cotanxentes) A
r ( s − a ) + r ( s − b ) + r ( s − c )
r 2 ( s − a r + s − b r + s − c r )
r 2 ( cot ⁡ α 2 + cot ⁡ β 2 + cot ⁡ γ 2 )
r 2 ( cot ⁡ α 2 cot ⁡ β 2 cot ⁡ γ 2 )
r 2 ( s − a r ⋅ s − b r ⋅ s − c r )
( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) r. {\displaystyle {\begin{aligned}A&
r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&
r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&
r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&
r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&
r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&
{\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}. \end{aligned}}} O paso medio anterior é cot ⁡ α 2 + cot ⁡ β 2 + cot ⁡ γ 2
{\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}
{}} cot ⁡ α 2 cot ⁡ β 2 cot ⁡ γ 2, {\displaystyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}}, } a <a href
". /Identidades_trigonométricas" rel
"mw: WikiLink" data-linkid
"undefined" data-cx
"{&quot; userAdded&quot; :true, &quot; adapted&quot; :true}">identidade cotanxente tripla</a>, que aplica porque a suma dos semiángulos é α 2 + β 2 + γ 2
π 2. {\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}
{\tfrac {\pi }{2}}. } Combinando as dúas, conseguimos A 2
s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ). {\displaystyle A^{2}
s(s-a)(s-b)(s-c). } Estabilidade numérica
A fórmula de Herón, como se indica anteriormente, é numericamente inestable para triángulos cun ángulo moi pequeno cando se usa a aritmética de coma flotante. Unha alternativa estable consiste en organizar as lonxitudes dos lados de xeito que a ≥ b ≥ c {\displaystyle a\geq b\geq c} e calcular A
14 ( a + ( b + c ) ) ( c − ( a − b ) ) ( c + ( a − b ) ) ( a + ( b − c ) ). {\displaystyle A
{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}. } Respectando os corchetes na avaliación. Fórmulas semellantes da área do triángulo
En función das medianas, m a, {\displaystyle m_{a}, } m b, {\displaystyle m_{b}, } m c {\displaystyle m_{c}} e a súa semisuma, σ
12 ( m a + m b + m c ), {\displaystyle \sigma
{\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}), } daquela A
43 σ ( σ − m a ) ( σ − m b ) ( σ − m c ). {\displaystyle A
{\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}. } En función das alturas, h a {\displaystyle h_{a}}, h b {\displaystyle h_{b}}, h c {\displaystyle h_{c}} e a semisuma dos seus recíprocos H
12 ( h a − 1 + h b − 1 + h c − 1 ), {\displaystyle H
{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )}, } daquela A − 1
4 H ( H − h a − 1 ) ( H − h b − 1 ) ( H − h c − 1 ). {\displaystyle A^{-1}
4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}. } En función dos ángulos α, {\displaystyle \alpha, } β, {\displaystyle \beta, } γ {\displaystyle \gamma } e a semisuma dos seus senos S
12 ( sin ⁡ α + sin ⁡ β + sin ⁡ γ ), {\displaystyle S
{\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ), } daquela A
D 2 S ( S − sin ⁡ α ) ( S − sin ⁡ β ) ( S − sin ⁡ γ )
12 D 2 sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ γ, {\displaystyle {\begin{aligned}A&
D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&
{\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \, \sin \beta \, \sin \gamma, \end{aligned}}} onde D {\displaystyle D} é o diámetro do círculo circunscrito, D
a / sin ⁡ α
b / sin ⁡ β
c / sin ⁡ γ. {\displaystyle D
a/{\sin \alpha }
b/{\sin \beta }
c/{\sin \gamma }. } Esta última fórmula coincide coa fórmula estándar de Herón cando o círculo circunscrito ten un diámetro unitario. Xeneralizacións
A fórmula de Herón é un caso especial da fórmula de Brahmagupta para a área dun cuadrilátero cíclico. A fórmula de Herón e a fórmula de Brahmagupta son casos especiais da fórmula de Bretschneider para a área dun cuadrilátero. A fórmula de Herón pódese obter a partir da fórmula de Brahmagupta ou da fórmula de Bretschneider poñendo un dos lados do cuadrilátero a cero.
A fórmula de Brahmagupta para a área K {\displaystyle K} dun cuadrilátero cíclico cuxos lados teñen lonxitudes a, {\displaystyle a, } b, {\displaystyle b, } c, {\displaystyle c, } d {\displaystyle d} sería K
( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle K
{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} onde s
12 ( a + b + c + d ) {\displaystyle s
{\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)} é o semiperímetro.
Outra xeneralización da fórmula de Herón para pentágonos e hexágonos inscritos nun círculo foi descuberta por David P. Robbins.
Fórmula tipo Herón para o volume dun tetraedro
Se U, {\displaystyle U, } V, {\displaystyle V, } W, {\displaystyle W, } u, {\displaystyle u, } v, {\displaystyle v, } w {\displaystyle w} son lonxitudes de arestas do tetraedro (os tres primeiros forman un triángulo; u {\displaystyle u} oposto a U {\displaystyle U} e igual para o resto), daquela volume
( − a + b + c + d ) ( a − b + c + d ) ( a + b − c + d ) ( a + b + c − d ) 192 u v w {\displaystyle {\text{volume}}
{\frac {\sqrt {\, (-a+b+c+d)\, (a-b+c+d)\, (a+b-c+d)\, (a+b+c-d)}}{192\, u\, v\, w}}} onde a
x Y Z b
y Z X c
z X Y d
x y z X
( w − U + v ) ( U + v + w ) x
( U − v + w ) ( v − w + U ) Y
( u − V + w ) ( V + w + u ) y
( V − w + u ) ( w − u + V ) Z
( v − W + u ) ( W + u + v ) z
( W − u + v ) ( u − v + W ). {\displaystyle {\begin{aligned}a&
{\sqrt {xYZ}}\\b&
{\sqrt {yZX}}\\c&
{\sqrt {zXY}}\\d&
{\sqrt {xyz}}\\X&
(w-U+v)\, (U+v+w)\\x&
(U-v+w)\, (v-w+U)\\Y&
(u-V+w)\, (V+w+u)\\y&
(V-w+u)\, (w-u+V)\\Z&
(v-W+u)\, (W+u+v)\\z&
(W-u+v)\, (u-v+W). \end{aligned}}}
Fórmulas de Herón en xeometrías non euclidianas
Tamén hai fórmulas para a área dun triángulo en función da lonxitude dos seus lados para os triángulos da esfera ou do plano hiperbólico. Para un triángulo na esfera con lonxitudes de lados a, {\displaystyle a, } b, {\displaystyle b, } e c {\displaystyle c}, semiperímetro s
12 ( a + b + c ) {\displaystyle s
{\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} e área S {\displaystyle S}, temos
triángulo na esfera: tan 2 ⁡ S 4
tan ⁡ s 2 tan ⁡ s − a 2 tan ⁡ s − b 2 tan ⁡ s − c 2 {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}
\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}} triángulo no plano hiperbólico: tan 2 ⁡ S 4
tanh ⁡ s 2 tanh ⁡ s − a 2 tanh ⁡ s − b 2 tanh ⁡ s − c 2. {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}
\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}. }