Tautoloxía (lóxica)

Na lóxica proposicional, unha tautoloxía (grego antigo: ταυτολογία) é unha fórmula ben formada que resulta verdadeira baixo calquera interpretación; é dicir, para calquera asignación de valores de verdade que se faga ás súas fórmulas atómicas. A construción dunha táboa de verdade é un método efectivo para determinar se unha fórmula calquera é unha tautoloxía ou non. Historia
O filósofo austríaco Ludwig Wittgenstein foi o primeiro en aplicar o concepto ao eido da lóxica proposicional no 1921, tomándoo da retórica, onde unha tautoloxía é unha afirmación reiterativa. Neste sentido, no seu Tratado lóxico-filosófico defendeu que este tipo de enunciados carece de sentido, polo que non din nada sobre o mundo.
Durante a década dos 30, desenvolveuse a formalización da semántica da lóxica proposicional en termos de asignacións de valores de verdade. Así, a palabra "tautoloxía" comezou a aplicarse a aquelas fórmulas proposicionais que son verdadeiras con independencia da verdade ou falsidade das variables proposicionais que as compoñen. Algúns traballos temperáns, como a Symbolic Logic (1932) de C. I. Lewis e C. H. Langford, usaban "tautoloxía" no sentido de proposicións universalmente válidas. Autores posteriores, coma Stephen Kleene ou Herbert Enderton, empregaron "tautoloxía" para referirse a unha fórmula proposicional loxicamente válida, mais estableceron unha distinción entre "tautoloxía" e "validez lóxica" no contexto da lóxica de primeira orde. Táboas de verdade
Nun sistema de lóxica proposicional, unha interpretación é unha asignación de valores de verdade (verdadeiro ou falso) a cada unha das fórmulas atómicas baixo consideración. Xa que logo, as diferentes interpretacións difiren só nas asignacións de valores de verdade que fan. Nesta liña, unha tautoloxía é unha fórmula ben formada que resulta verdadeira baixo todas as intepretacións posibles das súas fórmulas atómicas.
Polo tanto, para determinar se unha fórmula calquera é unha tautoloxía, abonda con considerar todas as posibles interpretacións das súas fórmulas atómicas, e calcular o valor de verdade da fórmula completa. Isto pódese facer mediante unha táboa de verdade. Por exemplo, considérese a fórmula p ∧ q (en galego, "p e q"). Como a cada fórmula atómica (p e q, neste caso) se lle pode asignar un dos dous posibles valores de verdade, entón existen 224 posibles combinacións de valores de verdade. Isto é, hai catro interpretacións posibles: ou ambas son verdadeiras; ou p é verdadeira e q falsa; ou p é falsa e q verdadeira; ou ámbalas dúas son falsas. Esta información pode recollerse nunha táboa: p q V V V F F V F F {\displaystyle {\begin{array}{c|c}p&q\\\hline V&V\\V&F\\F&V\\F&F\\\end{array}}} Para cada unha destas interpretacións, pódese calcular o valor de verdade da fórmula p ∧ q. Os resultados serían os seguintes: p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F {\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}p&q&p\land q\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\end{array}}} No caso dunha tautoloxía, o resultado de calcular o valor de verdade da fórmula completa sempre será verdadeiro, con indepdendencia dos valores aplicados ás fórmulas atómicas. Tómese como exemplo a fórmula tautolóxica p ∧ q → p ("se p e q, entón p"): p q p ∧ q ( p ∧ q ) → p V V V V V F F V F V F V F F F V {\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c}p&q&p\land q&(p\land q)\to p\\\hline V&V&V&V\\V&F&F&V\\F&V&F&V\\F&F&F&V\\\end{array}}}