Función de densidade

En matemáticas e estatística, a función de densidade (en inglés, probability density function: pdf) serve para representar a distribución de probabilidade en termos de integrais. Unha función de densidade de probabilidade é sempre non-negativa e a súa integral dende −∞ ata +∞ é igual a 1. Se unha distribución de probabilidade ten densidade f(x), entón, intuitivamente o intervalo infinitesimal [x, x + dx] ten probabilidade f(x) dx. A función de densidade de probabilidade pode verse como unha versión "suavizada" dun histograma: se alguén mide empiricamente valores dunha variable aleatoria continua repetidamente e produce un histograma coas frecuencias relativas dos rangos de saída, entón este histograma dará lugar á densidade de probabilidade da variable aleatoria (asumindo que sobre a variable se escollen mostras suficientemente a miúdo e os rangos de saída son suficientemente pequenos).
Formalmente, unha distribución de probabilidade ten densidade f(x) se f(x) é unha función non-negativa Lebesgue-integrable R → R de xeito que a probabilidade do intervalo [a, b] vén dada por ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\, dx} para calquera dous números a e b. Isto implica que a integral total de f debe ser 1. Á inversa, calquera función non-negativa integrable por Lebesgue con integral total 1 é a densidade de probabilidade dunha distribución de probabilidade definida axeitadamente. Explicación simplificada
A función de densidade de probabilidade é calquera función f(x) que describe a densidade de probabilidade en termos da variable de entrada x do seguinte xeito: f(x) é maior ou igual a cero para tódolos valores de x
A área total baixo a gráfica é 1: ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x
1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\, f(x)\, dx
1} A probabilidade actual pode ser calculada mediante a integral da función f(x) no intervalo de integración da variable de entrada x.
Por exemplo: a variable x no intervalo 4. 3 < x < 7. 8 tería a probabilidade Pr ( 4. 3 < x < 7. 8 )
∫ 4. 37. 8 f ( x ) d x. {\displaystyle \Pr(4. 3<x<7. 8)
\int _{4. 3}^{7. 8}f(x)\, dx. } Máis detalles
Por exemplo, a distribución uniforme continua no intervalo [0, 1] ten densidade de probabilidade f(x)
1 para 0 ≤ x ≤ 1 e cero no resto. A distribución normal estándar ten densidade de probabilidade f ( x )
e − x 2 / 22 π. {\displaystyle f(x)
{e^{-{x^{2}/2}} \over {\sqrt {2\pi }}}. } Dada unha variable aleatoria X, se a súa distribución admite a función de densidade de probabilidade f(x), entón o valor esperado de X (se existe) pode ser calculado como E ⁡ ( X )
∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x. {\displaystyle \operatorname {E} (X) \int _{-\infty }^{\infty }x\, f(x)\, dx. } Non todas as distribucións de probabilidade teñen función de densidade: as distribucións de variables aleatorias discretas non teñen, tampouco a distribución de Cantor aínda que non ten compoñente discreta e non asigna probabilidade positiva a ningún punto individual.
Unha distribución ten función de densidade se e só se a súa función de distribución de probabilidade F(x) é absolutamente continua. Nese caso, F é diferenciable en todo o rango, e a súa derivada pode ser usada como densidade de probabilidade: d d x F ( x )
f ( x ). {\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)
f(x). } Se a distribución de probabilidade admite unha densidade, entón a probabilidade de cada conxunto dun só punto {a} é cero.
É un erro común pensar que f(a) é a probabilidade de {a}; de feito, f(a) será a miúdo maior que 1. Pódese considerar por exemplo unha variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 e 1/2.
Dúas densidades de probabilidade f e g representan a mesma distribución de probabilidade se e só se se diferencian nun conxunto de medidas cero de Legesgue.
No campo da física estatística, unha reformulación non formal da relación entre a derivada da función de distribución de probabilidade e a función de densidade de probabilidade é usada como a definición da función de densidade de probabilidade. Esta definición alternativa é a seguinte:
Se dt é un número infinitamente pequeno, a probabilidade de que X {\displaystyle X} estea incluído no intervalo [t, t + dt] é igual a f ( t ) d t {\displaystyle f(t)\, dt}, ou: Pr ( t < X < t + d t )
f ( t ) d t {\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)
f(t)\, dt~} Relación entre distribucións continuas e discretas
A definición da función de densidade de probabilidade fai posible describir a variable asociada cunha distribución continua usando un conxunto de variables binarias discretas asociadas cos intervalos [a; b] (por exemplo, unha variable con valor 1 se X está en [a; b], e 0 se non).
É posible tamén representar certas variables aleatorias discretas usando unha densidade de probabilidade mediante a función delta de Dirac. Por exemplo, consideremos unha variable aleatoria discreta binaria que toma como valores -1 e 1, con probabilidade 1/2 cada un; a densidade de probabilidade asociada con esta variable é: f ( t )
12 ( δ ( t + 1 ) + δ ( t − 1 ) ) {\displaystyle f(t)
{\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1))}.
Máis xeralmente, se unha variable discreta pode tomar n valores diferentes entre os números reais, entón a función de densidade de probabilidade asociada é: f ( t )
1 n Σ i
1 n P i δ ( t − x i ) {\displaystyle f(t)
{\frac {1}{n}}\Sigma _{i
1}^{n}P_{i}\, \delta (t-x_{i})}, onde x 1, …, x n {\displaystyle x_{1}, \ldots, x_{n}} son os valores discretos posibles da variable e P 1, …, P n {\displaystyle P_{1}, \ldots, P_{n}} son as probabilidades asociadas con cada un destes valores.
Esta expresión permite determinar características estatísticas de dita variable discreta (como a súa media, varianza e curtose), mediante as fórmulas dadas para unha distribución continua.
Na física, esta descrición é tamén útil para caracterizar matematicamente a configuración inicial dun movemento Browniano.