Fórmula lóxica

En lóxica matemática, lóxica proposicional e lóxica de predicados, unha fórmula ben formada (abreviada en inglés wff, moitas veces simplemente fórmula lóxica, é unha secuencia finita de símbolos dun alfabeto dado que forma parte dunha linguaxe formal.
Unha linguaxe formal pódese identificar co conxunto de fórmulas da linguaxe. Unha fórmula é un obxecto sintáctico ao que se lle pode dar un significado semántico por medio dunha interpretación. Dous usos clave das fórmulas lóxicas son a lóxica proposicional e a lóxica de predicados. Introdución
Un uso clave das fórmulas é a lóxica proposicional e a lóxica de predicados como lóxica de primeira orde. Neses contextos, unha fórmula é unha cadea de símbolos φ para os que ten sentido preguntar "é verdadeira φ? ", unha vez que se crea unha instancia de calquera variable libre en φ. Na lóxica formal, as demostracións pódense representar mediante secuencias de fórmulas con certas propiedades, e a fórmula final da secuencia é a que se demostra. Cálculo proposicional
As fórmulas do cálculo proposicional, tamén chamadas fórmulas proposicionais, son expresións como por exemplo ( A ∧ ( B ∨ C ) ) {\displaystyle (A\land (B\lor C))}. A súa definición comeza coa elección arbitraria dun conxunto V de variábeis proposicionais. O alfabeto consta das letras en V xunto cos símbolos dos conectivos proposicionais e dos parénteses "(" e ")", todos eles se supón que non están en V. As fórmulas serán determinadas expresións (é dicir, cadeas de símbolos) sobre este alfabeto.
As fórmulas defínense indutivamente do seguinte xeito: Cada variábel proposicional é, por si mesma, unha fórmula.
Se φ é unha fórmula, entón ¬ φ é unha fórmula.
Se φ e ψ son fórmulas, e • é calquera conectivo binario, entón ( φ • ψ) é unha fórmula. Aquí • poderían estar (mais non limitarse a) os operadores habituais ∨, ∧, → ou ↔.
Usando esta gramática, a secuencia de símbolos ((( p → q ) ∧ ( r → s )) ∨ ( ¬ q ∧ ¬ s ))
é unha fórmula, porque é gramaticalmente correcta. A secuencia de símbolos (( p → q ) → ( qq )) p ))
non é unha fórmula, porque non se axusta á gramática (fáltalle unha conectiva entre dúas letras do alfabeto e outra conectiva para a última letra).
Unha fórmula complexa pode ser difícil de ler, debido, por exemplo, á proliferación de parénteses. Para paliar este último fenómeno, asúmense regras de precedencia (similares á orde matemática estándar das operacións) entre os operadores, facendo que uns operadores sexan máis vinculantes que outros. Por exemplo, asumindo a precedencia (de máis vinculante a menos vinculante) 1. ¬ 2. → 3. ∧ 4. ∨. Así a fórmula ((( p → q ) ∧ ( r → s )) ∨ ( ¬ q ∧ ¬ s ))
pode abreviarse como p → q ∧ r → s ∨ ¬ q ∧ ¬ s. Lóxica de predicados
A definición dunha fórmula na lóxica de primeira orde Q S {\displaystyle {\mathcal {QS}}} é relativa á sinatura da teoría en cuestión. Esta sinatura especifica os símbolos constantes, símbolos de predicado e símbolos de función da teoría en cuestión, xunto coas aridades dos símbolos de función e predicado.
A definición dunha fórmula componse de varias partes. En primeiro lugar, o conxunto de termos defínese recursivamente. Os termos, informalmente, son expresións que representan obxectos do dominio do discurso. Calquera variábel é un termo.
Calquera símbolo constante da sinatura é un termo
unha expresión da forma f( t1, .. ., tn), onde f é un símbolo de función n-aria, e t1, .. ., tn son termos, é de novo un termo.
O seguinte paso é definir as fórmulas atómicas. Se t1 e t2 son termos, t1 t2 é unha fórmula atómica
Se R é un símbolo de predicado n-ario, e t1, .. ., tn son termos, entón R( t1, .. ., tn ) é unha fórmula atómica
Finalmente, o conxunto de fórmulas defínese como o conxunto máis pequeno que contén o conxunto de fórmulas atómicas de modo que se cumpre o seguinte: ¬ ϕ {\displaystyle \neg \phi } é unha fórmula cando ϕ {\displaystyle \phi } é unha fórmula ( ϕ ∧ ψ ) {\displaystyle (\phi \land \psi )} e ( ϕ ∨ ψ ) {\displaystyle (\phi \lor \psi )} son fórmulas cando ϕ {\displaystyle \phi } e ψ {\displaystyle \psi } son fórmulas; ∃ x ϕ {\displaystyle \exists x\, \phi } é unha fórmula cando x {\displaystyle x} é unha variábel e ϕ {\displaystyle \phi } é unha fórmula; ∀ x ϕ {\displaystyle \forall x\, \phi } é unha fórmula cando x {\displaystyle x} é unha variábel e ϕ {\displaystyle \phi } é unha fórmula (alternativamente, ∀ x ϕ {\displaystyle \forall x\, \phi } podería definirse como unha abreviatura de ¬ ∃ x ¬ ϕ {\displaystyle \neg \exists x\, \neg \phi } ).
Se unha fórmula non ten ocorrencias de ∃ x {\displaystyle \exists x} ou ∀ x {\displaystyle \forall x}, para calquera variábel x {\displaystyle x}, entón chámase libre de cuantificadores. Unha fórmula existencial é unha fórmula que comeza cunha secuencia de cuantificación existencial seguida dunha fórmula sen cuantificador. Fórmulas atómicas e abertas
Unha fórmula atómica é unha fórmula que non contén conectivos lóxicos nin cuantificadores ou, equivalentemente, unha fórmula que non ten subfórmulas estritas. A forma precisa das fórmulas atómicas depende do sistema formal considerado; para a lóxica proposicional, por exemplo, as fórmulas atómicas son as variábeis proposicionais. Para a lóxica de predicados, os átomos son símbolos de predicados xunto cos seus argumentos, sendo cada argumento un termo. Fórmulas pechadas
Unha fórmula pechada, tamén fórmula ou enunciado fundamental, é unha fórmula na que non hai ocorrencias libres de ningunha variábel. Se A é unha fórmula dunha linguaxe de primeira orde na que as variábeis v1, …, vn teñen ocorrencias libres, entón A precedida de ∀v1 ⋯ ∀vn é un pechamento universal de A. Propiedades aplicábeis ás fórmulas
Unha fórmula A nunha linguaxe Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} é válida se é certo para toda interpretación de Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}}.
Unha fórmula A nunha lingua Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} é satisfactoria se é certo para algunha interpretación de Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}}.
Unha fórmula A da linguaxe na aritmética de Peano é decidíbel se representa un conxunto decidible, é dicir, se existe un método efictivo que, dada a substitución das variábeis libres de A, di que ou a instancia resultante de A é demostrábel ou o é demostrábel a súa negación.