Teoria d'equacions

context: A principis del segle xvi, a través dels textos de Fibonacci i, encara més, la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità (Venècia, 1494) de Luca Pacioli, la ciència i la cultura d'influència italiana tenen accés a l'essència del saber àrab. Els matemàtics de llavors s'apassionen per l'àlgebra i, sobretot, per un problema que havia quedat obert: trobar un mètode general i exacte de resolució de l'equació cúbica. Per l'expressió "exacta", s'entén una forma diferent d'una successió que convergeix cap a l'arrel. Aquests matemàtics cercaren una expressió anàloga a la de Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí o a la de Savasorda per la de segon grau que, amb l'ajuda d'arrels quadrades o cúbiques, arribés a donar la solució.
qas: answers: text: a l'essència del saber àrab
question: A què va poder accedir la cultura d'influència italiana a principis del segle xvi?

answers: text: Luca Pacioli
question: Qui és l'autor de Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità?

answers: text: per l'àlgebra
question: Per què s'apassionen els matemàtics de l'època?

answers: text: de resolució de l'equació cúbica
question: Quin mètode volen trobar els matemàtics de l'època?

answers: text: d'arrels quadrades o cúbiques
question: Amb ajuda de què volen arribar ala solució de l'equació cúbica?

context: El mètode de Vandermonde consistia a calcular sumes parcials d'arrels, que es podien expressar com a imatges de funcions racionals en polinomis simètrics. Això va permetre calcular les seves sumes parcials, després aplicar-hi una nova descomposició de cada suma en subsumes i calcular-ne aquestes subsumes. Amb reiteracions, existeix l'esperança d'obtenir les subsumes, compostes cadascuna d'una única arrel, i de concloure. Aquest mètode el portà a resoldre el cas on n és igual a 11; però un mètode genèric quedè fora de l'abast. Tanmateix, havia resolt una equació de 11è grau que no tenia cap factorització evident diferent que aquella associada al terme (X - 1).[41]
qas: answers: text: sumes parcials d'arrels
question: Què calculava el mètode de Vandermonde?

answers: text: en subsumes
question: Amb què es descomponien les sumes?

answers: text: d'una única arrel
question: De què estan compostes les subsumes?

answers: text: on n és igual a 11
question: Quin cas resol Vandermonde?

answers: text: un mètode genèric
question: Què quedà fora de l'abast de Vandermonde?

context: Un punt de vista del segle xix consisteix a estudiar el conjunt de nombres més petit, tancat respecte de les quatre operacions i que contingui alhora els coeficients i les arrels d'una equació donada. Aquest enfocament queda recollit en la teoria de Galois. Ofereix una condició necessària i suficient per saber si una equació polinòmica es resol per les tècniques descrites pel primer enfocament o, en cas contrari, s'ha de limitar a aproximacions procedents de l'anàlisi. Fins al segle xix, la teoria d'equacions es confon amb l'àlgebra. Fonamentalment després de les aportacions de la teoria de Galois, l'àlgebra s'eixampla per tenir en compte noves qüestions. Aquesta teoria és a l'origen de diversos àmbits matemàtics, com la teoria dels grups, la d'anells o, fins i tot, la geometria algebraica.
qas: answers: text: en la teoria de Galois
question: On queda recollit aquest enfocament?

answers: text: amb l'àlgebra
question: Amb què es confon la teoria d'equacions fins al segle xix?

answers: text: noves qüestions
question: Què tindrà en compte l'àlgebra després de Galois?

context: El 1771, Alexandre-Théophile Vandermonde aportà novetats sobre aquest delicat punt negre.[40] La seva ambició era més modesta que la dels seus predecessors; ja no buscava resoldre l'equació algebraica en la seva integritat, sinó resoldre de manera única la que les temptatives precedents pretenien com a punt d'arribada, és a dir, Xn - c = 0. Com el pas del coeficient 1 al coeficient c és trivial, es limità a l'equació Xn - 1 = 0, anomenada ciclotòmica.[Nota 19] El valor n es podia reduir als nombres primers, i la resolució del cas particular de n nombre primer permetia deduir-ne les solucions en el cas general.
qas: answers: text: Alexandre-Théophile Vandermonde
question: Qui va aportar novetats sobre aquest punt negra?

answers: text: més modesta que la dels seus predecessors
question: Com era l'ambició de Vandermonde?

context: Amb aquestes aportacions, es franquejà una nova etapa. Si bé el significat precís de l'expressió √-1 restà misteriosa, es descobrí la idea de fer referència a un conjunt de nombres més gran per resoldre una qüestió de la teoria d'equacions. El 1540, un alumne de Cardano, Lodovico Ferrari, resolgué l'equació de quart grau.[17] Bombelli proposà un formalisme que admetia l'existència de nombres negatius i imaginaris. La seva influència, comprovable pels comentaris de Stévin o la correspondència entre Leibnitz i Huygens, fou duradora.[18]
qas: answers: text: Cardano
question: De qui era alumne Lodovico Ferrari?

answers: text: l'equació de quart grau
question: Què va resoldre Lodovico Ferrari?

answers: text: l'existència de nombres negatius i imaginaris
question: Què admetia el formalisme que va proposar Bombelli?

context: La fórmula deuria suscitar la sorpresa de l'època.[Nota 12] Un càlcul algebraic en aquella època encara havia de quedar justificat per un suport geomètric. Un nombre agafa la seva justificació d'una longitud, d'una àrea o d'un volum. El signe     −   {\displaystyle -}   no té sentit més que si una longitud se sostreu d'una de més gran. En la solució que proposa del Ferro, es retalla una "longitud" d'una altra longitud més petita.[Nota 13] En aquesta època, l'objectiu és superar desafiaments, és a dir, resoldre equacions particulars;[14] el rigor del mètode importa poc, en tant que finalment sigui possible verificar el resultat reemplaçant en l'equació x per la presumpta solució.
qas: answers: text: sorpresa
question: Què devia suscitar la formula a l'època?

answers: text: un suport geomètric
question: Què havia de justificar el càlcul algebraic a l'època?

answers: text: superar desafiaments
question: Quin és l'objectiu en aquesta època?