Teorema del cosinus

context: Cas de l'angle γ obtús. Aquesta demostració fa servir directament el teorema de la potència d'un punt, sense els triangles auxiliars obtinguts per a construir una tangent o una corda. Es construeix un cercle amb centre B i radi a (vegeu Figura 9), el qual interseca la secant que passa per A i C en els punts C i K. La potència del punt A respecte del cercle és igual simultàniament a AB2 − BC2 i a AC·AK. Per tant,
qas: answers: text: per A i C en els punts C i K
question: Per on passa la secant?

answers: text: La potència del punt A respecte del cercle
question: Què és igual simultàniament a AB2 − BC2 i a AC·AK?

answers: text: teorema de la potència d'un punt
question: Quin teorema fa servir directament la demostració?

context: Cas en què l'angle γ és agut, on a &lt; 2 b cos γ. Es traça la perpendicular a a que passa per A = BC, creant un segment de longitud b cos(γ). Es duplica el triangle rectangle per tal de formar el triangle isòsceles ACP. Es construeix el cercle amb centre a A i radi b, i una corda a través de B perpendicular a c = AB, la meitat de la qual és h = BH. S'aplica el teorema de Pitàgores per obtenir
qas: answers: text: per A = BC
question: Per on passa la perpendicular a a?

answers: text: un segment de longitud b cos(γ)
question: Què crea la perpendicular a a que passa per A = BC?

answers: text: per tal de formar el triangle isòsceles ACP
question: Per què es duplica el triangle rectangle?

answers: text: BH
question: A què és igual h?

answers: text: agut
question: Com és l'angle γ?

context: El teorema del cosinus no va evolucionar més enllà dels dos teoremes d'Euclides fins al desenvolupament de la moderna trigonometria a l'edat mitjana pels matemàtics musulmans. L'astrònom i matemàtic al-Battani va generalitzar el resultat d'Euclides a la geometria esfèrica al principi del segle x, això li va permetre calcular la distància angular entre estrelles.[4] Durant el segle xv, al-Kashi de Samarcanda va calcular taules trigonomètriques de gran exactitud i va presentar el teorema en una forma adequada per a la triangulació. En francès, encara ara es coneix el teorema del cosinus com el teorema d'Al-Kashi.[5]
qas: answers: text: a l'edat mitjana
question: Quan es va desenvolupar la moderna trigonometria?

answers: text: matemàtics musulmans
question: Qui va desenvolupar la trigonometria moderna a l'edat mitjana?

answers: text: al principi del segle x
question: Quan va generalitzar al-Battani el resultat d'Euclides a la geometria esfèrica?

answers: text: la distància angular entre estrelles
question: Què li va permetre calcular a al-Battani generalitzar el resultat d'Euclides a la geometria esfèrica?

answers: text: teorema d'Al-Kashi
question: Com es coneix en francès el teorema del cosinus?

context: S'agafa el triangle amb costats de longitud a, b, c, on     θ   {\displaystyle \theta }   és la mesura de l'angle oposat al costat de longitud c. Aquest triangle es pot col·locar damunt d'un sistema de coordenades cartesianes a base de dibuixar     A ( b cos ⁡ θ ,   b sin ⁡ θ ) ,   B ( a , 0 ) ,    i    C ( 0 , 0 ) .   {\displaystyle A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\ {\text{i}}\ C(0,0).}   Per la fórmula de la distància es té     c =   ( b cos ⁡ θ − a  )  2   + ( b sin ⁡ θ − 0  )  2       {\displaystyle c={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}}  . Llavors només cal simplificar aquesta equació:
qas: answers: text: a, b, c
question: Com s'anomenen les longituds dels costats del triangle?

answers: text: la mesura de l'angle oposat al costat de longitud c
question: Què és θ?

answers: text: damunt d'un sistema de coordenades cartesianes
question: On es pot col·locar el triangle?

context: Cas de l'angle γ agut, on a > 2 b cos(γ). Es traça la perpendicular des de A fins a a = BC, creant un segment de longitud b cos(γ). Es duplica el triangle rectangle obtingut per a formar el triangle isòsceles ACP. Es construeix el cercle amb centre a A i radi b, i la seva tangent h = BH a través de B. La tangent h forma un angle recte amb el radi b (Elements d'Euclides: Llibre 3, Proposició 18; ), per tant el triangle groc de la Figura 8 és rectangle. Aplicant el teorema de Pitàgores s'obté
qas: answers: text: des de A fins a a = BC
question: Des d'on es traça la perpendicular?

answers: text: un segment de longitud b cos(γ)
question: Què es crea en traçar la perpendicular des de A fins a a = BC?

answers: text: h = BH
question: Quina és la tangent del cercle amb centre a A i radi b?

answers: text: groc
question: De quin color és el triangle rectangle de la Figura 8?