Funció trigonomètrica

context: La noció que hi ha d'haver alguna correspondència bàsica entre la longitud de les cares d'un triangle i els angles apareix tan aviat com en reconeix que els triangles semblants mantenen constants les relacions entre les seves cares. És a dir, per a qualsevol triangle rectangle semblant a un de donat, la relació (el quocient entre les longituds) entre la hipotenusa (per exemple) i una altra de les seves cares es manté constant. Si la hipotenusa és el doble de llarga, també ho són les altres dues cares. Són precisament aquestes relacions les que es fan servir per a expressar les funcions trigonomètriques.
qas: answers: text: les relacions entre les seves cares
question: Què mantenen constants els triangles semblants?

answers: text: també ho són les altres dues cares
question: Què passa si la hipotenusa és el doble de llarga?

answers: text: per a expressar les funcions trigonomètriques
question: Per a què serveixen aquestes relacions entre la hipotenusa i les altres cares?

context: Les diferents definicions de les funcions trigonomètriques que es presenten a continuació són equivalents en el sentit que, per als angles en què es poden aplicar, el resultat coincideix. Però es diferencien en el sentit que es poden aplicar a angles en un sentit cada cop més ampli de la paraula. La definició basant-se en el triangle rectangle, estrictament parlant, només es pot aplicar a angles aguts. La definició basant-se en la circumferència goniomètrica permet atribuir valor a les funcions trigonomètriques d'angles que tinguin qualsevol valor dins del conjunt dels nombres reals. La definició basada en sèries es pot fer servir per calcular les funcions trigonomètriques d'arguments complexos.
qas: answers: text: per calcular les funcions trigonomètriques d'arguments complexos
question: Per a què es pot fer servir la definició basada en sèries?

answers: text: en el sentit que es poden aplicar a angles en un sentit cada cop més ampli de la paraula
question: En què es diferencien les funcions trigonomètriques que es presenten?

answers: text: a angles aguts
question: A què es pot aplicar la definició basant-se en el triangle rectangle estrictament parlant?

answers: text: atribuir valor a les funcions trigonomètriques d'angles que tinguin qualsevol valor dins del conjunt dels nombres reals
question: Què permet atribuir la definició basant-se en la circumferència goniomètrica?

context: És a dir, cada una és el negatiu de la seva pròpia derivada segona. En l'espai funcional de dues dimensions V consistent en totes les solucions d'aquesta equació, la funció sinus és l'única solució que satisfà les condicions inicials y(0) = 0 i y′(0) = 1, i la funció cosinus és l'única solució que satisfà les condicions inicials y(0) = 1 i y′(0) = 0. Atès que les funcions sinus i cosinus són linealment independents, juntes formen una base de V. Aquest mètode de definir les funcions sinus i cosinus, és essencialment equivalent a fer servir la fórmula d'Euler. (Vegeu: Equació diferencial lineal.) Resulta que aquesta equació diferencial no només es pot fer servir per a definir les funcions sinus i cosinus, sinó que també es pot fer servir per a demostrar les identitats trigonomètriques de les funcions sinus i cosinus. A més, l'observació que les funcions sinus i cosinus satisfan      y ″  = − y   {\displaystyle y''=-y}   significa que són les funcions pròpies de l'operador derivada segona.
qas: answers: text: el negatiu de la seva pròpia derivada segona
question: Què és cada una?

answers: text: les condicions inicials y(0) = 1 i y′(0) = 0
question: Què satisfà la solució cosinus?

answers: text: linealment independents
question: Com són les funcions sinus i cosinus?

answers: text: a fer servir la fórmula d'Euler
question: A què és equivalent el mètode de definir les funcions sinus i cosinus?

context: Altres relacions importants són les fórmules de les funcions trigonomètriques de la suma i la diferència d'angles, que donen el sinus i el cosinus de la suma o la diferència de dos angles en funció del sinus i del cosinus dels propis angles. Es poden obtenir per raonaments geomètrics, emprant arguments que es retrotreuen a l'època de Claudi Ptolemeu. Aquestes fórmules són especialment importants perquè a partir d'elles es troba la derivada de les funcions trigonomètriques que és necessària per demostrar la fórmula d'Euler. Un cop coneguda la fórmula d'Euler es pot emprar per memoritzar aquestes identitats a base de deduir-les ràpidament:
qas: answers: text: les fórmules de les funcions trigonomètriques de la suma i la diferència d'angles
question: Quines són altres relacions importants?

answers: text: el sinus i el cosinus de la suma o la diferència de dos angles en funció del sinus i del cosinus dels propis angles
question: Què donen les fórmules de les funcions trigonomètriques de la suma i la diferència d'angles?

answers: text: Claudi Ptolemeu
question: A quina època es retrotreuen les arguments per obtenir raonaments geomètrics?

answers: text: per memoritzar aquestes identitats a base de deduir-les ràpidament
question: Per a què es pot emprar la fórmula d'Euler?

context: Els ordinadors moderns fan servir una gran varietat de tècniques.[17] Un mètode habitual, especialment en processadors amb unitats de coma flotant, és combinar una aproximació per un polinomi o una funció racional (com ara l'aproximació de Chebyshev, l'aproximació uniforme òptima, i l'aproximació de Padé, i per a precisions més altes o precisions variables, la sèrie de Taylor i la sèrie de Laurent) amb una reducció del recorregut i una cerca en taula — primer busquen en una petita taula l'angle més proper, i llavors utilitzen el polinomi per a calcular la correcció.[18] En dispositius més senzills als que els manquen unitats de maquinari per a fer multiplicacions, hi ha un algorisme anomenat CORDIC (amb les seves tècniques relacionades) que és més eficient perquè només fa servir sumes i l'operació desplaçament. Tots aquest mètodes es poden implementar en circuits especialitzats per motius d'eficiència.
qas: answers: text: una gran varietat de tècniques
question: Què fan servir els ordinadors moderns?

answers: text: en processadors amb unitats de coma flotant
question: On és habitual combinar una aproximació per un polinomi o una funció racional amb una reducció del recorregut i una cerca en taula?

answers: text: en una petita taula
question: On es busca l'angle més proper?

answers: text: per a calcular la correcció
question: Per a què s'utilitza el polinomi després de buscar en una petita taula l'angle més proper?

answers: text: CORDIC
question: Quin dispositiu només fa servir sumes i l'operació desplaçament?