Políedre

context: on      C  n     {\displaystyle C_{n}}   és el grup cíclic d'ordre     n   {\displaystyle n}  ,      D  n     {\displaystyle D_{n}}   és el grup díedre d'ordre     2 n   {\displaystyle 2n}  ,      S  n     {\displaystyle S_{n}}   és el grup simètric d'ordre     n !   {\displaystyle n!}   i      A  n     {\displaystyle A_{n}}   és el grup alternat d'ordre     n !  /  2   {\displaystyle n!/2}  . Els grups      C  n     {\displaystyle C_{n}}   i      D  n     {\displaystyle D_{n}}   s'obtenen també com a grups de rotacions i de simetria d'un polígon regular amb     n   {\displaystyle n}   cares: són grups que s'obtenen fins i tot en el pla i per tant la seva presència no resulta sorprenent.[11]
qas: answers: text: el grup cíclic d'ordre     n
question: Què és C  n?

answers: text: S  n
question: Com es diu el grup simètric d'ordre     n !?

context: Els sòlids platònics tenen un paper central en la geometria sòlida: són els sòlids que presenten la regularitat més gran possible i el nombre més gran de simetries. Els seus grups de simetria tenen vincles amb les seccions més dispars de les matemàtiques. També tenen un lloc rellevant en la història del pensament grec, àrab i del Renaixement. Plató en el Timeu, associa a cadascun d'ells un element: el foc al tetraedre, el cub a la terra, l'aire a l'octaedre, l'aigua a l'icosaedre, mentre pensa que el dodecàedre és la forma de l'univers.
qas: answers: text: platònics
question: Quins sòlids tenen un paper important en la geometria sòlida?

answers: text: la regularitat més gran possible i el nombre més gran de simetries.
question: Què presenten els sòlids platònics?

answers: text: amb les seccions més dispars de les matemàtiques
question: Amb què estan vinculats els grups de simetria?

answers: text: en la història del pensament grec, àrab i del Renaixement
question: On tenen un lloc rellevant els grups de simetria?

answers: text: el foc
question: Quin element Plató en el Timeu associa al tetraedre?

context: La superfície d'un políedre és la unió dels seus costats. En alguns casos, com en el gran icosàedre que es mostra a la imatge, aquestes cares poden entrecreuar-se i formar una figura complicada. Quan això succeeix, pot ser que no sigui clar quina és la porció sòlida de l'espai a considerar realment "compresa" dins de les cares. Aquest fenomen és similar al que succeeix en dimensió 2 en els polígons estelats.
qas: answers: text: la unió dels seus costats
question: Què és la superfície d'un políedre?

answers: text: complicada
question: Com és la figura que forma el gran icosàedre?

answers: text: poden entrecreuar-se
question: Què passa amb les cares del gran icosàedre?

answers: text: estelats
question: En quins polígons en dimensió 2 succeeix un fenomen similar?

context: Molts organismes miscroscopics tenen formes o simetries polièdriques. Entre ells, el radiolari pot adoptar la forma d'un icosàedre regular o d'una geoda. En forma de geoda, es pot comprovar una de les conseqüències de la relació d'Euler descrita més amunt: no es pot construir un sòlid en el qual les arestes incidents a cada vèrtex siguin tres i en el que les cares siguin totes hexagonals. A la figura, de fet hi ha presents alguns pentàgons.[13] La geometria regular dels esquelets d'aquests microorganismes han fascinat fins a finals del segle xix molts naturalistes, entre ells Ernst Haeckel[14] i D'Arcy Thompson,[15] que també han cercat una interpretació integrada entre la biologia i la geometria sobre la importància d'aquestes estructures:
qas: answers: text: polièdriques
question: Com són les formes que presenten molts organismes microscòpics?

answers: text: el radiolari
question: Quin organisme pot adoptar la forma d'un icosàedre regular o d'una geoda?

answers: text: En forma de geoda
question: Com es pot comprovar una de les conseqüències de la relació d'Euler?

answers: text: alguns pentàgons
question: Què hi ha present a la figura?

answers: text: naturalistes
question: Què eren Ernst Haeckel i D'Arcy Thompson?

context: La taula indica per cadascun dels sòlids platònics la terna (C, A, V) i un parell     ( N , M )   {\displaystyle (N,M)}  , amb     N   {\displaystyle N}   igual al nombre de costats de cada cara i     M   {\displaystyle M}   igual al nombre d'arestes de cada vèrtex. Cub i octaedre són duals, i dodecaedre i icosàedre són duals. El tetraedre és dual de si mateix (la dualitat inverteix la terna i el parell de nombres de la taula). El centre de cada sòlid platònic és també el centre d'una esfera inscrita (interna i tangent a totes les cares) i una esfera circumscrita (externa i que conté tots els vèrtexs).
qas: answers: text: El tetraedre
question: Quin poliedre és dual de si mateix?

answers: text: interna i tangent a totes les cares
question: Com és una esfera inscrita?

answers: text: la terna i el parell de nombres de la taula
question: Què inverteix la dualitat?

context: Alguns políedres es poden fer servir com maons per omplir l'espai sense deixar forats, de manera similar al que passa als ruscs: aquesta operació s'anomena enrajolat de l'espai (o tessel·lació o pavimentació de l'espai). Els políedres en un enrajolat són adjacents al llarg de les seves cares. Entre els sòlids platònics, l'únic capaç d'enrajolar l'espai és el cub; entre els sòlids arquimedians, hi ha el dodecàedre ròmbic i l'octàedre truncat. Octàedres i tetràedres regulars es poden fer servir en parelles per a enrajolar l'espai.
qas: answers: text: per omplir l'espai sense deixar forats
question: Per què es poden utilitzar alguns políedres?

answers: text: enrajolat de l'espai
question: Com s'anomena també la tessel·lació o pavimentació de l'espai?

answers: text: en un enrajolat
question: On són els políedres adjacents al llarg de les seves cares?

answers: text: el cub
question: Qui és l'únic capaç d'enrajolar l'espai entre els sòlids platònics?

answers: text: Octàedres i tetràedres
question: Quins políedres es poden fer servir en parelles per enrajolar l'espai?