Paritat del zero

context: Hi ha una altra definició concreta de la qualitat de parell: si els objectes d'un conjunt es poden col·locar en dos grups de mida igual, llavors el nombre d'objectes és parell. Aquesta definició és equivalent a la primera. De nou, el zero és parell perquè el conjunt buit es pot dividir en dos grups de zero elements cada un.[5]
qas: answers: text: el nombre d'objectes és parell
question: Què passa si els objectes d'un conjunt es poden col·locar en dos grups de mida igual?

answers: text: perquè el conjunt buit es pot dividir en dos grups
question: Per què el zero és parell?

context: Deborah Loewenberg Ball analitzà les idees d'una classe de tercer grau sobre els nombres parells i senars i el zero, que havien estat discutint amb un grup d'estudiants de quart grau. Els estudiants discutiren la paritat del zero, les regles pels nombres parells i com es fan les matemàtiques. Les afirmacions sobre el zero prengueren diverses formes, tal com s'aprecia a la llista de la dreta.[44] Ball i els seus coautors argumentaren que l'episodi manifestava com els estudiants poden «fer matemàtiques a l'escola», en oposició a la reducció usual de la disciplina consistent en la resolució mecànica d'exercicis.[45]
qas: answers: text: del zero
question: Quina paritat van discutir els alumnes?

answers: text: pels nombres parells
question: Quines regles van discutir els alumnes?

context: Un resultat clàssic de la teoria de grafs expressa que un graf d'ordre senar sempre té almenys un vèrtex parell. (Aquesta afirmació requereix que el zero sigui parell: un graf buit té un ordre parell i un vèrtex isolat és parell.)[14] Per demostrar la constatació, és més senzill demostrar un resultat més fort: qualsevol graf d'ordre senar té un «nombre senar» de vèrtexs parells. L'aparició d'aquest nombre senar s'explica amb un resultat encara més general, conegut com el lema de l'encaixada de mans: qualsevol graf té un nombre parell de vèrtexs de grau senar.[15] Finalment, el nombre parell de vèrtexs senars s'explica de forma natural amb la fórmula per sumar graus.
qas: answers: text: almenys un vèrtex parell
question: Què té un graf d'ordre senar segons la teoria de grafs?

answers: text: qualsevol graf d'ordre senar té un «nombre senar» de vèrtexs parells
question: Quin resultat més fort ens serveix per demostrar la constatació?

answers: text: amb la fórmula per sumar graus
question: Com s'explica el nombre parell de vèrtex senars?

context: La definició precisa d'un concepte matemàtic, com ara que «parell» vulgui dir enter «múltiple de dos», és en efecte una convenció. A diferència de «parell», alguns conceptes matemàtics es construeixen amb el propòsit d'excloure casos trivials o degenerats. Els nombres primers en són un cas conegut. Abans del segle XX, les definicions de primeritat eren inconsistents i alguns matemàtics significatius com Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley i Kronecker escrigueren que l'1 era primer.[8] La definició moderna de «nombre primer» és «enter positiu amb exactament dos factors», per la qual cosa s'exclou el nombre 1. Aquesta definició es pot racionalitzar observant que encaixa de forma més natural amb els teoremes matemàtics que involucren els primers. Per exemple, el teorema fonamental de l'aritmètica és més fàcil d'exposar si l'1 no es considera primer.[9]
qas: answers: text: una convenció
question: Què és la definició precisa d'un concepte matemàtic?

answers: text: excloure casos trivials o degenerats
question: Quin propòsit té la construcció d'alguns conceptes matemàtics?

answers: text: inconsistents
question: Com eren les definicions de primeritat abans del segle XX?

answers: text: enter positiu amb exactament dos factors
question: Quina és la definició moderna de nombre primer?

answers: text: el nombre 1
question: Quin nombre exclou la definició moderna de nombre primer?

context: El lema de Sperner és una aplicació més avançada de la mateixa estratègia. El lema afirma que un cert tipus de coloració a la triangulació d'un símplex té un subsímplex que conté tots els colors. En lloc de construir directament tal subsímplex, és més convenient demostrar que existeix un nombre senar de subsímplexs a través del mètode d'inducció.[16] Una constatació més forta del lema explica per què aquest nombre és senar: naturalment es trenca com (n + 1) + n quan es prenen en consideració les dues orientacions possibles d'un símplex.[17]
qas: answers: text: una aplicació més avançada de la mateixa estratègia
question: Què és el lema de Sperner?

answers: text: demostrar que existeix un nombre senar de subsímplexs
question: Què és més convenient?

answers: text: a través del mètode d'inducció
question: Amb quin mètode podem demostrar que existeix un nombre senar de subsímplexs?

context: El gràfic de la dreta[32] mostra l'opinió dels estudiants sobre la paritat del zero, així com progressen des de l'Any 1 fins al 6 del sistema educatiu anglès. Les dades són de Len Frobisher, el qual va dirigir un parell d'enquestes als alumnes anglesos. Frobisher estava interessat en com el coneixement de la paritat dels nombres d'una xifra influeix en el coneixement de la paritat dels de diverses xifres; el zero figura de forma prominent als resultats.[34]
qas: answers: text: de Len Frobisher
question: De quin són les dades?

answers: text: un parell d'enquestes als alumnes anglesos
question: Què va dirigir Len Frobisher?