Nombre π

context: Per a qualsevol circumferència amb radi r i diàmetre d = 2r, el perímetre és πd i l'àrea és πr2. A més, π apareix en fórmules d'àrees i volums de moltes altres formes geomètriques basades en circumferències, com el·lipses, esferes Cons, i torus.[44] En conseqüència, π apareix en les integrals definides que calculen el perímetre, l'àrea o el volum de formes generades per circumferències. En el cas més elemental, la meitat de l'àrea del cercle de radi unitat ve donat per:[45]
qas: answers: text: πd
question: Quin és el perímetre d'una circumferència amb diàmetre d?

answers: text: πr2
question: Quin és l'àrea d'una circumferència amb radi r?

answers: text: en circumferències
question: En què s'ha de basar la forma geomètrica perquè al càlcul de l'àrea hi aparegui π?

answers: text: en les integrals
question: On apareix π per calcular el perímetre de formes generades per circumferències?

context: El fet que aquesta proporció sigui constant, independentment de la mida de la circumferència, és el que permet que π es pugui definir. Per exemple, si una circumferència té un diàmetre doble que un altre també té doble perímetre, per tant el quocient entre les dues magnituds és el mateix. Això és una conseqüència de les propietats de les figures semblants. Euclides estableix que en les figures semblants totes les distàncies entre els punts homòlegs guarden la mateixa proporció.[23]
qas: answers: text: constant
question: Com és la proporció?

answers: text: que aquesta proporció sigui constant
question: Què permet que π es pugui definir?

answers: text: la mateixa proporció
question: Què guarden totes les distàncies entre els punts homòlegs en les figures semblants segons Euclides?

context: Hi ha diverses formes empíriques de trobar el valor de π: dibuixeu un quadrat de costat 1 a la paret. Tireu un dard dins el quadrat tantes vegades com pugueu sense apuntar enlloc més que a dins del quadrat. Dibuixeu un cercle de diàmetre 'l' inscrit en el quadrat. Compteu 'nc' el nombre de vegades que el dard ha anat dins la circumferència, i 'nq' nombre de vegades que el dard ha anat dins del quadrat però fora de la circumferència. Per probabilitat i relacionant l'àrea dels dos polígons es pot deduir que π ≅ 4*nc/(nc+nq), i que és més exacte –o sigui, apareixen més decimals–, com més vegades hàgim tirat el dard. Aquesta prova també es pot fer sobre paper quadriculat comptant les interseccions com a punts on ha anat el dard.
qas: answers: text: diverses
question: Quantes formes empíriques hi ha per trobar el valor de π?

answers: text: a la paret
question: On s'ha de dibuixar el quadrat de costat 1?

answers: text: un dard
question: Què s'ha de tirar dins del quadrat?

answers: text: 'l'
question: Quin diàmetre ha de tenir el cercle que dibuixeu inscrit en el quadrat?

answers: text: sobre paper quadriculat comptant les interseccions com a punts on ha anat el dard
question: Com es pot fer també aquesta prova?

context: A més, π també és un nombre transcendent, tal com ho va demostrar Ferdinand von Lindemann el 1882 i a conseqüència del teorema de Lindemann-Weierstrass. Això vol dir que no hi ha cap polinomi amb coeficients racionals tal que π sigui una de les seves arrels.[37] Una conseqüència important del fet que π sigui transcendent és que no és construïble. Com que les coordenades de tots els punts que es poden construir amb regle i compàs són nombres constructibles, és impossible de quadrar el cercle: és a dir, és impossible, fent servir només compàs i regle, construir un quadrat tal que la seva àrea sigui igual que l'àrea d'un cercle donat.[38] Històricament, això és significatiu, atès que la quadratura del cercle és un dels problemes fàcils d'entendre de geometria elemental que van quedar pendents de resoldre de l'antiguitat.
qas: answers: text: un nombre transcendent
question: Què va demostrar Ferdinand von Lindemann el 1882 que és π?

answers: text: que no hi ha cap polinomi amb coeficients racionals tal que π sigui una de les seves arrels
question: Què vol dir que π és un nombre transcendent?

answers: text: que no és construïble
question: Quina conseqüència important té que π sigui un nombre transcendent?

answers: text: la quadratura del cercle
question: Quin problema de geometria elemental va quedar pendent de resoldre de l'antiguitat?

answers: text: un quadrat tal que la seva àrea sigui igual que l'àrea d'un cercle donat
question: Què no es pot construir?

context: El 1761 Johann Heinrich Lambert va demostrar que π és irracional.[3] Això vol dir que és un nombre real que no es pot expressar com a quocient de dos nombres enters. Al segle xx es van trobar demostracions que no necessiten coneixements que vagin mès enllà del càlcul integral. Una d'aquestes demostracions, la deguda a Ivan Niven, és amplament coneguda.[34][35] Una demostració similar lleugerament anterior la va obtenir Mary Cartwright.[36]
qas: answers: text: Johann Heinrich Lambert
question: Qui va demostrar que π és irracional?

answers: text: que és un nombre real que no es pot expressar com a quocient de dos nombres enters
question: Què significa que un nombre sigui irracional?

answers: text: Al segle xx
question: Quan es van trobar demostracions que no necessiten anar més enllà del calcul integral?

answers: text: amplament coneguda
question: Com és la demostració que va obtenir Ivan Niven?

context: Els geòmetres de l'antiguitat, d'Egipte, Babilònia, Índia i Grècia, ja coneixien el fet que la proporció entre el perímetre i el diàmetre és una constant per a totes les circumferències i que és lleugerament més gran que 3. Les aproximacions més antigues conegudes es remunten al 1900 aC; són 25/8 (Babilònia) i 256/81 (Antic Egipte), les dues amb un error de menys de l'1% del valor real.[3] El text indi Shatapatha Brahmana assigna a π el valor 339/108 ≈ 3.139. La Bíblia sembla que suggereixi, en el Primer Llibre dels Reis, que π = 3, d'altra banda una estimació clarament més dolenta que d'altres disponibles a l'època en què es va escriure, cap als 600 aC. La interpretació d'aquest passatge és controvertida.[4][5]
qas: answers: text: constant per a totes les circumferències
question: Com és la proporció entre perímetre i diàmetre?

answers: text: Els geòmetres de l'antiguitat
question: Qui coneixia el fet de que la proporció entre perímetre i diàmetre és una constant?

answers: text: al 1900 aC
question: A quan es remunten les aproximacions més conegudes de π?

answers: text: Shatapatha Brahmana
question: En quin text indi hi trobem un valor de π?

answers: text: en el Primer Llibre dels Reis
question: On trobem una assignació de π a la Bíblia?