Teorema de la suma de dos quadrats

context: Lagrange fa servir un camí menys afectat d'aquesta feblesa. Considera l'expressió x2 + y2 com la forma quadràtica associada al producte escalar canònic. Aquest enfocament amplia considerablement la llista de les eines disponibles, les de l'àlgebra lineal resten ara disponibles. La situació no és, no obstant això, la que es troba amb més freqüència. El producte escalar no està definit sobre un espai vectorial sinó sobre el mòdul ℤ2. Un mòdul és una estructura comparable a la d'espai vectorial, amb la diferència que el conjunt dels escalars ja no és un cos. Per als mòduls d'aquesta naturalesa, certs resultats continuen sent vertaders, com per exemple l'existència d'una base el que ofereix una expressió algebraica senzilla.
qas: answers: text: com la forma quadràtica associada al producte escalar canònic
question: Com considera Lagrange l'expressió x2 + y2?

answers: text: la llista de les eines disponibles
question: Què amplia l'enfocament de Lagrange?

answers: text: El producte escalar no està definit sobre un espai vectorial
question: Per què la situació que ens descriu l'enfocament de Lagrange no és la que es troba amb més freqüència?

answers: text: sobre el mòdul ℤ2
question: Sobre què està definit el producte escalar?

answers: text: que el conjunt dels escalars ja no és un cos
question: En què es diferencien un mòdul i un espai vectorial?

context: L'equació (2) admet sempre una solució si p és suma de dos quadrats. Correspon a una simplificació de l'equació general, ara coneguda sota el nom del problema del residu quadràtic. Significa determinar en quin cas un múltiple d'un nombre primer s'escriu com la suma d'un quadrat perfecte més 1. Si p és un nombre primer diferent de 2, la solució ve donada per la proposició següent:
qas: answers: text: si p és suma de dos quadrats
question: Quan admet sempre una solució l'equació?

answers: text: a una simplificació de l'equació general
question: A què correspon l'equació?

answers: text: problema del residu quadràtic
question: Com es coneix ara l'equació general?

answers: text: en quin cas un múltiple d'un nombre primer s'escriu com la suma d'un quadrat perfecte més 1
question: Què determina el problema del residu quadràtic?

context: El que mostra que ac + bd és també un múltiple de p i existeix un enter k2 tal que ac + bd = k2p. La igualtat precedent s'escriu p2 = k12p2 + k22p2, i per tant k12 + k22 és igual a 1. Com que k1 i k2 són dos enters, un és nul i l'altre és en valor absolut igual a 1. N'hi ha prou amb fixar-se que ac + bd és estrictament positiu, ja que és suma de productes de termes estrictament positius, per concloure que k1 és nul, i ad − bc és també nul. Els dos vectors (a, b) i (c, d) són proporcionals, el que mostra l'existència d'un enter λ estrictament positiu tal que c = λa i d = λb. Se'n dedueix que la suma c2 + d2 és igual a λ2p i per tant que és igual a 1.
qas: answers: text: dos enters
question: Què són k1 i k2 en k12 + k22?

answers: text: és suma de productes de termes estrictament positius
question: Per què que ac + bd és estrictament positiu?

context: En el transcurs del segle xix, l'estudi dels problemes sobre els nombres enters canvia d'estatus. D'una part, dóna lloc a vastes síntesis teòriques, unificant nombroses qüestions fins aleshores disperses. D'altra banda, deixen de ser una part marginal en el conjunt de les matemàtiques, esdevenen objecte de nombroses interaccions amb altres branques, com la geometria o l'anàlisi real o complexa.[34] El teorema dels dos quadrats es beneficia d'aquest doble canvi: s'integra dins de nous marcs, es fa servir de vegades com una il·lustració de propietats més o menys profundes posades al dia, i es demostra més directament, o es refina, gràcies a l'ús de mètodes geomètrics o analítics.
qas: answers: text: En el transcurs del segle xix
question: Quan canvia d'estatus l'estudi dels problemes sobre els nombres enters?

answers: text: nombroses qüestions fins aleshores disperses
question: Què s'unifica en l'estudi dels problemes sobre els nombres enters en el transcurs del segle xix?

answers: text: objecte de nombroses interaccions amb altres branques
question: Què esdevenen els problemes sobre els nombres enters en el transcurs del segle xix?

answers: text: El teorema dels dos quadrats
question: Qui es beneficia dels canvis en l'estudi dels problemes sobre els nombres enters en el transcurs del segle xix?

answers: text: gràcies a l'ús de mètodes geomètrics o analítics
question: Com es refina el teorema dels dos quadrats en el transcurs del segle xix?

context: Però és en la tradició diofàntica que es troben rastres més precisos sobre els nombres suma de quadrats. les Arithmetica,[3][4] escrits en una data incerta, contenen problemes les solucions dels quals són racionals o enters. Un gran nombre d'ells es refereix als nombres quadrats o cúbics (en aquest cas dels quadrats o dels cubs de nombres racionals). A títol d'exemples, el problema 11 del llibre II és el següent: «Afegir un mateix nombre a dos nombres donats de manera que cadascun d'ells forma un quadrat», o encara el problema 22 del llibre IV: «Trobar tres nombres tals que el nombre sòlid procedent d'aquests nombres [en altres paraules, el producte d'aquests tres nombres], augmentat de cadascun d'ells, formi un quadrat».[5] Per resoldre totes aquestes qüestions, Diofant introdueix una «quantitat indeterminada d'unitats» que anomena «arithme» i expressa en funció d'ella totes les dades del problema (és doncs un avantpassat de la noció d'incògnita en àlgebra). Aconsegueix així trobar una solució numèrica particular, per exemple per al problema II.11 la solució 97/64 si els nombres donats són 2 i 3, i per al problema IV.22, la solució 1, 34/6 i (2.1/2)/6.
qas: answers: text: diofàntica
question: En quina tradició trobem rastres més precisos sobre els nombres suma de quadrats?

answers: text: una data incerta
question: Quan van ser escrits les Arithmetica?

answers: text: problemes les solucions dels quals són racionals o enters
question: Quins problemes contenen les Arithmetica?

answers: text: als nombres quadrats o cúbics
question: A què es refereix un gran nombre dels problemes que contenen les Arithmetica?

answers: text: arithme
question: Com s'anomenen la quantitat indeterminada d'unitats que introdueix Diofant per resoldre qüestions en les Arithmetica?

context: La demostració és d'igual naturalesa que la precedent, es basa en càlculs algebraics astuts fent servir la mateixa identitat. Aquest resultat es pot fer servir per establir una demostració del teorema. Permet avançar també l'anàlisi del cas general. Permet per exemple demostrar la proposició següent, present en una de les demostracions del teorema:
qas: answers: text: en càlculs algebraics astuts
question: En què es basa la demostració del teorema?

answers: text: la mateixa identitat
question: Què fan servir els càlculs per solucionar la demostració del teorema?

answers: text: per establir una demostració del teorema
question: Per què es pot fer servir el resultat de la demostració?

answers: text: l'anàlisi del cas general.
question: En què ens permet avançar el resultat de la demostració?