1 − 2 + 3 − 4 + ...

context: No serà fins molt de temps després que s'aconsegueix donar una explicació rigorosa d'aquesta equació. Fins al començament de la dècada del 1890, Ernesto Cesàro i Émile Borel, entre d'altres, investigaren mètodes ben definits per a trobar sumes generalitzades de les sèries divergents, incloses noves interpretacions dels intents realitzats per Leonhard Euler. Molts d'aquests mètodes anomenats de sumació assignen a (1 − 2 + 3 − 4 + ...) una "suma" de ¼. El mètode de suma de Cesàro és un dels pocs mètodes que no suma la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ..., i per això  aquesta sèrie és un exemple d'un cas en què s'ha d'utilitzar un mètode més robust com ara el mètode de sumació d'Abel.
qas: answers: text: la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ...
question: Què no suma el mètode de suma de Cesaro?

answers: text: més robust
question: Com és el mètode de sumació d'Abel?

answers: text: mètodes ben definits per a trobar sumes generalitzades de les sèries divergents
question: Què van investigar Ernesto Cesàro i Émile Borel?

answers: text: molt de temps després
question: Quan es va aconseguir donar una explicació rigorosa de l'equació?

context: Malgrat que el punt de vista explicat en el paràgraf anterior limita els valors que poden agafar les sumes generalitzades d'1 − 2 + 3 − 4 + ..., el mateix no indica quins són els mètodes que permetran sumar o no la sèrie. En efecte, alguns mètodes de sumació lineals i estables, com la suma ordinària, no sumen la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ... En canvi, si s'expressa la sèrie en una forma alternativa com un producte, llavors és possible determinar quins són els mètodes que permeten obtenir 1/4. A més a més, com que
qas: answers: text: els valors que poden agafar les sumes generalitzades d'1 − 2 + 3 − 4 + ...
question: Què limita el paràgraf anterior?

answers: text: els mètodes que permetran sumar o no la sèrie
question: Quins mètodes no indica el paràgraf anterior?

answers: text: si s'expressa la sèrie en una forma alternativa com un producte
question: Quan és pot determinar quins mètodes permeten obtenir 1/4?

context: La sèrie també ha estat estudiada per valors no enters de n: aquestes produeixen la funció eta de Dirichlet. Una part de la motivació d'Eular per estudiar sèries relacionades amb 1 − 2 + 3 − 4 + ... era l'equació funcional de la funció eta, la qual porta directament a l'equació funcional de la funció zeta de Riemann. Euler ja havia esdevingut famós per haver trobat els valors d'aquestes funcions per enters parells positius (incloent-hi el problema de Basilea) i va intentar trobar els valors per enters senars positius (incloent-hi la constant d'Apéry): aquest darrer problema encara roman sense resoldre avui en dia. Amb la funció eta, en particular, és més fàcil treballar-hi amb els mètodes d'Euler perquè la seva sèrie de Dirichlet és sumable per Abel en la seva totalitat; la sèrie de la funció zeta de Dirichlet és molt més complicada de sumar on divergeix.[18] Per exemple, l'homòleg de 1 − 2 + 3 − 4 + ... en la funció zeta és la sèrie no-alternant 1 + 2 + 3 + 4 + ..., que té importants aplicacions en física moderna i requereix mètodes més sofisticats per fer la suma.
qas: answers: text: no enters de n
question: Per quins valors també ha estat estudiada la sèrie?

answers: text: l'equació funcional de la funció eta
question: Què motivava a Eular a estudiar sèries relacionades amb 1 − 2 + 3 − 4 + ... ?

answers: text: Riemann
question: De qui és la funció zeta?

answers: text: la constant d'Apéry
question: Quin problema roman avui en dia sense resoldre's?

answers: text: física moderna
question: En quin camp té moltes aplicacions la sèrie no-alternant 1 + 2 + 3 + 4 + ...?

context: Eugène Charles Catalan, el mestre de Cesàro, també menyspreava a les sèries divergents. Sota la influència de Catalan, Cesàro inicialment es referia a les "fórmules convencionals" per 1 − 2n + 3n − 4n + ... com "igualtats absurdes", i el 1883, Cesàro manifestava el punt de vista acceptat per aquella època que les fórmules eren falses però tot i així d'alguna manera útils formalment. Finalment, al seu treball Sur la multiplication des series, publicat el 1890, Cesàro va adoptar un punt de vista modern començant per les definicions.[17]
qas: answers: text: Eugène Charles Catalan
question: Qui era el mestre de Cesàro?

answers: text: les sèries divergents
question: Què menyspreava Eugène Charles Catalan?

answers: text: 1883
question: En quin any Cesàro manifestà que les fórmules eren falses?

answers: text: Sur la multiplication des series
question: Quin treball de Cesàro es va publicar el 1890?

answers: text: modern
question: Com era el punt de vista de Cesàro en Sur la multiplication des series?