Problema d'Apol·loni

context: El problema consistent a comptar el nombre de solucions de diferents tipus de problemes d'Apol·loni pertany al camp de la geometria enumerativa.[12][39] El nombre de solucions general per cadascun dels deu tipus de problema d'Apol·loni es mostra a la Taula 1 superior. Tot i així, algunes disposicions especials dels objectes donats poden fer canviar el nombre de solucions. Per exemple, com es mostra a la il·lustració de la dreta, el problema d'Apol·loni no té solució si una circumferència en conté una altra, ja que per tocar la circumferència interna és necessari tallar l'externa, però la circumferència resolutòria no pot tallar una circumferència i ser-hi alhora tangent. D'altra banda, si les tres circumferències donades són tangents en el mateix punt, llavors qualsevol circumferència tangent al mateix punt és resolutòria; aquest tipus de problema d'Apol·loni tenen infinites solucions. Si les tres circumferències donades són idèntiques, existeixen també un nombre infinit de solucions. Si només dues de les circumferències donades són idèntiques, només hi ha dues circumferències diferents; els centres de les infinites circumferències resolutòries formen una hipèrbola, la qual cosa s'utilitza en un tipus de resolució del problema d'Apol·loni.
qas: answers: text: deu
question: Quants tipus de problema d'Apol·loni hi ha?

answers: text: algunes disposicions especials dels objectes donats
question: Què pot fer canviar el nombre de solucions?

answers: text: un nombre infinit
question: Quantes solucions existeixen si les tres circumferències donades són idèntiques?

answers: text: una hipèrbola
question: Quina figura formen els centres de les infinites circumferències resolutòries?

context: En geometria plana euclidiana, el problema d'Apol·loni consisteix a construir circumferències que siguin tangents a tres circumferències donades. Apol·loni de Perge (ca. 262 BC – ca. 190 BC) proposà i resolgué aquest problema famós a l'obra  Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangències"); l'obra s'ha perdut, però s'ha conservat una referència dels resultats feta el segle IV per Pappos d'Alexandria. Excloent les famílies de posicions particulars que tenen infinites solucions, les que no en tenen cap, i les famílies de posicions que, per simetria, tenen algunes solucions equivalents o impossibles, la resolució general del problema proveeix vuit circumferències diferents que són tangents a les circumferències donades. Hi ha dues solucions per cada manera de separar les circumferències donades en dos subconjunts, que fan un total de vuit solucions (hi ha quatre maneres de separar un conjunt de tres elements en dos subconjunts).
qas: answers: text: tangents a tres circumferències donades
question: Com s'han de construir en geometria plana euclidiana les circumferències?

answers: text: Pappos d'Alexandria
question: Qui va fer al segle IV una referència als resultats?

answers: text: vuit circumferències diferents que són tangents a les circumferències donades
question: Què proveeix la resolució general del problema?

answers: text: quatre
question: Quantes maneres hi ha per separar un conjunt de tres elements en dos subconjunts?

context: En el segon enfocament, els radis de les circumferències donades són modificats en una quantitat Δr de manera que dues d'elles siguin tangents (es toquin).[38] El punt de tangència corresponent s'utilitza com a centre d'inversió en una circumferència que interseca cadascuna de les dues circumferències tangents en dos punts. Sota la inversió, les dues circumferències tangents es transformen en dues rectes paral·leles: el seu únic punt d'intersecció se situa a l'infinit després de la inversió, i per tant no es poden trobar. La mateixa inversió transforma la tercera circumferència en una altra circumferència. Les solucions del problema invertit han de ser (1) rectes paral·leles a les dues paral·leles donades i tangents a la tercera circumferència transformada, o bé (2) una circumferència tangent a les dues paral·leles (amb radi igual a la meitat de distància entre les paral·leles) i tangent a la circumferència donada transformada. La reversió de la inversió i el reajustament del radi de totes les circumferències en Δr produeix les circumferències resolutòries tangents a les tres circumferències originals.
qas: answers: text: en dues rectes paral·leles
question: En què es transformen les dues circumferències tangents sota la inversió?

answers: text: que dues d'elles siguin tangents
question: Quin resultat dona la modificació dels radis de les circumferències en una quantitat Δr?

answers: text: a l'infinit
question: On es troba el punt d'intersecció de les dues circumferències tangents que es transformen en rectes paral·leles?

answers: text: tres
question: Quantes són les circumferències originals?

context: En el primer enfocament, les circumferències donades es redueixen o s'augmenten de mida (segons el tipus de tangència)fins que una de les circumferències donades es transforma en un punt P.[37] Així, el problema d'Apol·loni degenera en el cas especial CCP, que consisteix a trobar una circumferència resolutòria tangent a les dues circumferències donades restants i que passi pel punt P. La inversió en una circumferència centrada a P transforma les dues circumferències donades en noves circumferències, i la circumferència resolutòria en una recta. Per tant, la solució transformada és una recta tangent a les dues circumferències donades transformades. Poden existir fins a quatre rectes resolutòries, que es poden construir des dels centres homotètics intern i extern de les dues circumferències. La reversió de la inversió a P i del canvi de mida transforma aquestes rectes resolutòries en les circumferències resolutòries desitjades del problema d'Apol·loni original. Les vuit solucions generals es poden obtenir reduint o augmentant les circumferències d'acord amb les tangències internes i externes diferents de cada solució; no obstant això, es poden reduir a un punt circumferències diferents i així obtenir solucions diferents.
qas: answers: text: es redueixen o s'augmenten de mida
question: Què els passa en el primer enfocament a les circumferències donades?

answers: text: en un punt P
question: En què es transforma una de les circumferències donades?

answers: text: és una recta tangent a les dues circumferències donades transformades
question: Quina és la solució transformada?

answers: text: fins a quatre
question: Quantes rectes resolutòries poden existir?

answers: text: des dels centres homotètics intern i extern de les dues circumferències
question: Des d'on es poden construir les rectes resolutòries?

context: L'enunciat general del problema d'Apol·loni demana la construcció d'una o més circumferències que siguin tangents a tres objectes donats en el pla. Els objectes poden ser una recta, un punt o una circumferència de qualsevol mida.[1][2][3][4] Aquests objectes poden ser col·locats en qualsevol disposició i es poden tallar els uns als altres; tot i així, se solen prendre diferents, és a dir, que no coincideixin. Les solucions del problema d'Apol·loni de vegades s'anomenen Circumferències d'Apol·loni, tot i que aquest terme també s'usa per altres tipus de circumferències associades amb Apol·loni.
qas: answers: text: la construcció d'una o més circumferències que siguin tangents a tres objectes donats en el pla
question: Què demana l'enunciat general del problema d'Apol·loni?

answers: text: una recta, un punt o una circumferència
question: Quins poden ser els objectes?

answers: text: de qualsevol
question: De quina mida han de ser els objectes?

answers: text: en qualsevol disposició i es poden tallar els uns als altres
question: Com s'han de col·locar els objectes?

answers: text: Circumferències d'Apol·loni
question: Quin nom reben de vegades les solucions del problema d'Apol·loni?

context: Les dues arrels de qualsevol equació de segon grau poden ser de tres tipus diferents: dos nombres reals diferents, dos nombres reals iguals (és a dir, una arrel doble degenerada) o dues arrels complexes conjugades. El primer cas correspon a la situació comuna; cada parella d'arrels correspon a una parella de solucions que estan relacionades per la inversió de la circumferència, com es mostra a l'apartat corresponent. El segon cas, en el qual les dues arrels són iguals, es correspon a una circumferència resolutòria que es transforma en si mateixa amb la inversió. En aquest cas, una de les circumferències donades és ella mateixa una solució del problema d'Apol·loni i el nombre de solucions diferents es redueix en un. El tercer cas, de radis complexos conjugats, no es correspon a cap solució geomètricament possible del problema d'Apol·loni, ja que una circumferència resolutòria no pot tenir un radi imaginari; per tant, el nombre de solucions es redueix en dos. Curiosament, el problema d'Apol·loni no pot tenir set solucions, encara que pot tenir qualsevol altre nombre de solucions de zero a vuit.[12][34]
qas: answers: text: El tercer
question: Quin cas no es correspon a cap solució geomètricament possible del problema?

answers: text: un radi imaginari
question: Què no pot tenir una circumferència resolutòria?

answers: text: set
question: Quin número de solucions d'entre zero a vuit no pot tenir el problema d'Apol·loni?