La gestió del flux de trànsit ha de tenir en compte que és una interacció complexa entre conductors, infraestructura i el control del seu funcionament.
Així doncs, ha de gestionar complexes interaccions entre processos simples que es descriuen per cues i teories de xoc d'ones.
Aquesta realitat s'intenta modelar amb diferents aproximacions.
Aquest curs ha intentat donar fets empírics, teories, models i eines per interpretar, entendre i predir fenòmens relacionats amb la gestió del trànsit.
El curs va començar amb una breu presentació de les variables que interaccionen: flux, densitat, etc. i la seva representació amb una eina que ha donat suport a la major part de les teories que és el diagrama fonamental.
El treball llavor dels diferents models del flux de trànsit és Greenshields 1935, del qual es deriven les equacions parabòliques per la corba velocitat/flux, basada en la relació lineal de la velocitat i la velocitat juntament amb l'equació del flux = velocitat * densitat:
Aquest model va imperar durant cinquanta anys, tot i que presenta alguns problemes i que actualment està acceptat que és un bon model per relacionar la densitat amb la velocitat, però que no pot gestionar correctament altres característiques com: congestió homogènia, oscil·lacions de la congestió, moviment d'embussos, etc.
En aquesta relació hi intervenen variables que necessiten d'interpretació.
Per exemple s'ha d'establir com es mesura la velocitat:
Velocitat mitjana: Es pot considerar des de dos punts de vista: l'espacial i el temporal.
D'aquestes dues definicions es desprèn que és més representativa la velocitat mitjana espacial, ja que en el temps és esbiaixada i clarament invàlida la relació amb la densitat.
Flux = densitat de trànsit × velocitat mitjana
Aquesta mesura de velocitat es pot aproximar amb observacions locals.
Per exemple es pot considerar el flux de trànsit subdividit en N g grups homogenis de vehicles, n dels quals tenen característiques z n.
Aquestes "z n poden ser velocitat, acceleració, edat dels conductors, nombre de rodes, pes, etc.
La de sota és la taula resum de les variables més emprades:
Les relacions entre les variables no impliquen causalitat, així doncs, en condicions de congestió, densitat ve determinada per la velocitat, i flux sota condicions de congestió ve determinat per densitat.I dóna lloc al primer model de treball Diagrama Fonamental
Per descriure les diferents casuístiques cal canviar les coordenades de representació:
La primera alternativa a aquest primer intent de modelar el flux amb el diagrama fonamental fou la teoria del trànsit en tres - fases, desenvolupat per Kerner entre el 1996 i el 2002, que està centrada en explicar la component física de col·lapse del flux i el resultat de la congestió del trànsit a les autopistes.
Així doncs, mentre la teoria anterior té dues fases: flux lliure ( F ) i congestió de trànsit, Kerner divideix aquest darrer en dues fases: flux sincronitzat ( S )i ampli embús en moviment ( J ).
Aquesta teoria es pot recollir amb el segon model teoria de primer ordre o d'ones de xoc es donen les següents consideracions:
El primer model de comprovació:
La primera analogia que es presenta en el cas del trànsit és models continus macroscòpics tenen analogia amb models dinàmics del fluids.
Tot i així, models macroscòpics continus i simples són normalment millor en predir dinàmiques de trànsit a les autopistes, que d'altres complexos micromodels.
Aquestes dues fases poden implicar un gran nombre de variables desconegudes.
Per determinar aquestes variables cal un gran nombre d'observacions.
Per ajustar models microscòpics calen moltes trajectòries de vehicles que provinguin d'una amplia distribució de vehicles sota un ampli rang de circumstàncies.
La validació comença amb el calibratge, i segueix els principis:
Models de seguiment de cotxes ( car-following models )
Amb aquests models s'han de recollir comportaments longitudinals, laterals i creuats dels cotxes.
En aquest cas l'acceleració depèn de la velocitat dels vehicle, de la velocitat, acceleració i distància al vehicle anterior.
Els models analitzats han estat:
Assumim un temps de reacció del conductor, que vindrà determinat per la distància que li cal al conductor mantenir per poder aturar-se a una determinada distància del cotxe anterior, quan aquest s'atura a distància L. Seguint aquest principi es determina el diagrama fonamental.
Alpha expressa la actitud davant el risc, canvi relatiu de paràmetres
La principal assumpció és que: el conductor vol conduir a una velocitat òptima, que és una funció de la distància, en cada moment, entre el cotxe anterior i el posterior.
I hi ha una simple relació: acceleració a(t) del cotxe que segueix, és una diferència entre velocitat òptima i actual velocitat.
Aquest model pot predir inestabilitats de trànsit, així com la presència d'amplis moviments d'embussos i ones d'arrencada i aturada.
on: resposta és acceleració (o desceleració) del següent vehicle, amb possible retard, temps de reacció (tau), sensitivitat és una funció o un paràmetre, i estímul és la distància o la diferència de velocitat entre vehicles successius.
En aquest context de models, molts autors han suggerit que el comportament d'un conductor no es pot descriure adientment només tenint en compte el comportament del vehicle que va davant; per aquest motiu s'han desenvolupat models multianticipatius de seguiment de cotxes.
A la universitat TU de Delft s'ha desenvolupat un model de simulació microscòpica que és una interacció simple d'un model de seguiment de cotxes basat en el model de Wiedemann i calibrat per les dades d'Holanda i amb capacitat per reproduir diferents tipus de discontinuïtats.
Per validar el models s'ha de comprovar:
També s'ha de validar l'estabilitat
el signe de la part real de les arrels d'aquesta equació ens determina si hi ha o no estabilitat local.
En aquests models s'intenta tenir en compte factors diversos:
Heterogeneïtat manega una àmplia distribució de factors d'entre els qual destaquem: temps d'avenç, espais buits, característiques de vehicles, velocitats desitjades, carga de la carretera i comportament de seguiment de cotxes.
L'heterogeneïtat explica part de la dispersió en el diagrama fonamental.
En tots els models macroscòpics s'ha de fer la consideració del sistema de referència de treball, ja que determinarà la capacitat dels models per tractar certs fenòmens.
Així doncs, distingim dos casos:
Sistemes de coordenades eulerià: espai i temps (x,t).
En altres paraules, es fa el seguiment de nombre de vehicles per metres de carretera.
O equivalentment, es fa el seguiment d'espai, metres, per nombre de vehicles.
El sistema lagrangià proporciona certes avantatges:
Factor de correcció = sensitivity model * incertesa de predicció de models/dades d'incertesa
El terme sensitivity de model en el cas de sistema de referència lagrangià és més ajustat.
També hi ha desavantatges que proporcionen reptes a solucionar:
Un model macroscòpic en coordenades lagrangianes calcula l'espai per dn vehicles.
Quan dn=1, és el micromodel més simple possible: Newell car following model.
En aquest cas s'elimina l'assumpció que la velocitat dels conductors està en equilibri, tot al contrari s'assumeix que els conductors s'anticipen en condicions de trànsit dens.
Emprem el desenvolupament de Taylor per obtenir l'aproximació:
En aquests models es poden introduir la histèresis, que és anticipació a la fase més amplia.
En cas de reacció, a la fase dominant (reacció retardada), la velocitat es relaxa exponencialment a una velocitat d'equilibri.
Acceleració retardada, una reacció en tems Tau:
Si incloem altres termes per elevar la representativitat del model i poder incloure tant l'anticipació com el retard, per tant d'histèresi totalment, tenim:
Un altre cop i gràcies a Taylor:
Descriptivament, i que reflexa els orígens dels models:
Quines mancances hi ha amb el model de primer ordre?
El principal problema dels models d'ordre més gran que ú, és l'estabilitat.
L'anàlisi de l'estabilitat lineal determina les condicions en què aquests models es poden emprar.
Així doncs, en el cas d'un model de segon ordre:
Tot i això, els models d'ordre superior a ú, no són anisòtrops i les petites distorsions que en els models de primer ordre estan sobre una ona cinemàtica, a segon ordre estan a dos, per tant s'han de gestionar, a més, les interaccions entre elles.
Així doncs, les teories recents aposten per extensions de models de primer ordre.