Линеарна функција

Постојат повеќе дефиниции за линеарна функција во светот.
*Линеарна функција се дефинира како полиномна функција од прв степен од една независно променлива ''х'', од што следува дека:
**Во експлицитен облик имаме: <math>f ( x )=a x + b</math> или <math>y(x)=ax+b</math> или <math>y = a x + b, \, a \neq 0</math>.
**Бидејќи тука ''а''&ne;0, опаѓаат константни функции (хоризонтални прави) и остануваат само коси прави во рамнината.
**Оваа дефиниција има природно место помеѓу константна функција и квадратна функција.
*Линеарна функција се дефинира како функција чиј графикон е права во рамнина , од што следува дека:
**Во експлицитен облик имаме: <math>f ( x )=a x + b</math> или <math>y(x)=ax+b</math> или <math>y = a x + b</math>.
**Во оваа дефиниција се вклучени и хоризонтални прави y=b, односно константни полиноми. (Вертикални прави x=b не се функции.)
**Забелешка: оваа дефиниција е без условот a&ne;0.
----*Потоа, во линеарна аглебра понекогаш се користи изразот ''линеарна функција'' за поимот ''линеарно пресликување''.
**Линеарно пресликување е пресликување f со услов дека f(ax+by)=af(x)+bf(y).
**Како комбинација на сите погорни дефиниции во одредени места се дефинира линеарна функција како функција: ''у''(''x'')=''ax'', т.е. права која врви низ (0,0).----
Во Р Македонија најчесто се користат првите дефиниции, односно линеарна функција е функција чиј графикон е права (или коса права).
Забелешка: Честопати наизменично се користат термините ''линеарна равенка'' и ''линеарна функција'', но тие не се исти термини. Линеарна функција е линеарна равенка, но обратното не важи. (При ''линеарна равенка'', зборот ''линеарна'' се однесува на степенот на полиномот кој може да има 1,2,3,... променливи така да линеарна равенка во една променлива е точка на бројната оска, ''линеарна равенка во две променливи е права во рамнина'', линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор.) Види линеарна равенка.
1 Основни својства
Коефициентите ''a'' и ''b'' се константи, односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а остануваат ''x'' и ''y'' како променливи. На пример: ''у''(''x'') = -''x''+2 е линеарна функција со ''a''=-1 и ''b''=2. Множеството на допуштени вредности на секоја линеарна функција е R, т.е. сите реални броеви. Значи, било кој реален број може да „влезе“ во линеарна функција, односно да биде замената за ''х'' во функцијата. Сликата, т.е. множеството на сите излезни вредности исто така е R, т.е. сите реални броеви.
Формално, функција, ''f'':R→R дефинирана со ''f''(''x'') = ''ax''+''b'' каде што ''a'',''b''&isin;R е линеарна функција. Линеарна функција е 1-1 биективна функција.
Правата која е графиконот на линеарна функција е множеството на сите точки: (''x'',''y''(''x'')). Поради тоа што две точки определуваат една права, при графичко претставување на линеарна функција, доволно е да се заменува две различни вредности за ''x'' во линеарната функција, да се пресметаат двете вредности на ''y'', соодветните точки (''x''<sub>1</sub>,''y''(''x''<sub>1</sub>)) и (''x''<sub>2</sub>,''y''(''x''<sub>2</sub>)) да се внесат во рамнината и права да се црта низ нив.
Линеарна функција има точно еден пресек со ''у''-оската во точката (0,''b'') и (доколку е коса права, ''a''&ne;0) точно еден пресек со ''х''-оската во точката (,0). Вредноста ''x''= е единствениот корен на функцијата ''y''=''ax''+''b'', т.е е единственото решение на равенката ''ax''+''b''=0.
Има три облици на линеарна функција: стандарден облик, експлицитен облик и вектор - параметарски облик
Примена на линеарна функција - Пример: Брзина ''v'' како функција на време ''t'' на предмет истрелан директно нагоре со почетна брзина ''v''<sub>0</sub> се опишува со линеарната функција: ''v''(''t'')= -9,81''t''+''v''<sub>0</sub> [m/s], каде што -9,81 [m/s<sup>2</sup>] e гравитациска константа. Тука времето t ја игра улогата на независно променливата ''х'', а брзината ''v'' е зависно променливата ''y''.
2 Стандарден облик
<math> Ax+By=C , \, B \ne 0 </math> (додатен услов за коса права: <math> A \ne 0 </math> ).
Овој облик се користи најповеќе во геометрија и во системи на две линеарни равенки во две непознати. Стандарден облик има 2 променливи ''x'' и ''у'' и 3 константни, т.е. коефициенти ''A'', ''B'', и ''C'' кои однапред се заменуваат со реални броеви. На пример: 3''x''-2''y''=1. Константите ''A'', ''B'', и ''C''не се еднозначно определени. Ако се множат со фактор ''k'', коефициентите се менуваат, но правата останува истата. На пример: правите 3''x''-2''y''=1 и 6''x''-4''y''=2 ја претставуваат истата права. Тука факторот ''k''=2.
3 Експлицитен облик
<math> y(x)=ax+b </math> или <math> y=ax+b </math> (додатен услов за коса права: <math>{ a \ne 0} </math> ).
Експлицитен облик има 2 променливи ''x'' и ''у'' и 2 константни, т.е. коефициенти ''а'' и ''b'' кои унапред се заменуваат со реални броеви. На пример: ''y''(''х'')=-2''х''+4. Константите ''a'' и ''b'' се уникатни (еднозначно определени), т.е. ако било кој од ''a'' или ''b'' се менува, правата се менува. Ова значи дека секоја линеарна функција може да се пиши на единствен начин во експлицитен облик.
Константниот коефициент ''b'' е т.н. ''у''-пресек, односно точката (0,''b'') е точката каде што правата врви низ ''у''-оската. Бројот е т.н. корен на функцијата, односно точката (,0) е точката каде што правата врви низ ''х''-оската.
Коефициентот ''а'' е т.н. ''наклон'' или ''коефициент на правец'' или ''градиент'' или ''косина'' на правата и ја опишува брзината на промена на функцијата ''у'' во однос на променливата ''х''.
* Наклонот на линеарна функција ''у''(''x'')=''ax''+''b'' е константен и е еднаков на ''a''.
* Ако наклонот на две прави е ист, правите или се паралелни или се совпаѓаат.
* Ако наклонот на една права е ''a'', тогаш за било која точка (х,у) на правата, точката (х+1, y+a) лежи на правата. (Види слика надесно.)
* Ако наклонот ''a''&gt;0 тогаш линеарната функција монотоно расте, ако ''a''&lt0 тогаш функцијата монотоно опаѓа. Ако |''a''|&lt;1 тогаш наклонот е благ, а ако |''a''|&gt;1 тогаш наклонот е остар.
Пример: ''y''(''x'')=-2''x''+4. Тука ''a''=-2 и ''b''=4. Имаме (0,''b'')=(0,4) е пресекот на правата со ''у''-оската, (,0)=(,0)=(2,0) e пресекот на правата со ''х''-оската и ''а'' = -2 е наклонот на правата, односно за секој чекор ''х''=1 надесно, ''у'' се менува за -2 односно слегува надолу.
Во математичката дисциплина диференцијално сметање (калкулус) е дефиниран поимот извод, а извод на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга во секоја точка. Кај линеарна функција брзината на промената на у во односно на х е константна, т.е. иста во сите точки, односно е а за сите (реални) вредности х, и пишуваме изводот на ''у''(''x'')=''ax''+''b'' постои секаде и е константната функција ''у''&#39;(''x'')=''a''.
4 Параметарски облик
Параметарски: <math>\left\{ {\begin{array}{*{20}{l {x(t) = {x_1}+{a_1}t }\\ {y(t) = {y_1}+{a_2}t } \end{array \right.</math> или
Векторски: <math>{\mathbf{X = ({x_1},{y_1}) + t({a_1},{a_2})</math> или <math>r(t)= < x_1+a_1 t, \, y_1 + a_2 t > , \,{ a_1 \ne 0} </math> (додатен услов за коса права: <math>{ a_2 \ne 0} </math> ).
Вектор-параметарски облик (или само параметарски облик) има 1 параметар ''t'', 2 променливи ''x'' и ''у'', и 4 константни, т.е. коефициенти а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, x<sub>1</sub>, и y<sub>1</sub>. Константите а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, x<sub>1</sub>, и y<sub>1</sub> не се уникатни (еднозначно определени). Правата врви низ точките А=(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) и B=(x<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>) така да земајќи други две точки на истата права ќе резултира во различни константни за истата права. Со вектор-параметарски облик едноставно се дефинира отсечката <math>\overline{AB}</math> ограничувајќи го параметарот t&isin;[0,1]. На ваков начин се моделира патувањето по права линија од една точка до друга во времето. Исто така едноставно овој облик се проширува за права во простор. Обичајно е инженери да ја користат буквата ''t'' за параметарот; математичари да ја користат буквата &lambda;.
Пример: X=(-1,1)+''t''(2,3). Тука: ''a''<sub>1</sub>=2, ''a''<sub>2</sub>=3, ''x''<sub>1</sub>=-1 и ''y''<sub>1</sub>=1. Правата врви низ точката (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>)=(-1,1) и точката (x<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>)=(1,4). Соодветниот параметарски облик на оваа права е: ''x''(''t'')=-1+2''t'', ''y''(''t'')=1+3''t''. Експлицитен облик на оваа права е: ''y''(''x'')=1,5''x''+2,5 (решејќи ја првата равенка по ''t'' и заменувајќи го резултатот во втората равенка). Една форма на стандарден облик за оваа права е: -3''x''+2''y''=5.
5 Формули за равенки на линеарна функција
За формулите за равенка на права види права.
6 Други наводи
** (на македонски со видео објаснување)
* (на англиски со интерактивност)
* (на англиски со интерактивност)
7 Поврзани теми
* Права (геометрија)
* Полином
* Константна функција
* Квадратна функција
* Линеарна равенка