Теорема за затворање на Понселе

Во геометријата, теоремата за затворање на Понселе, исто така позната како поризам на Понселе, вели дека секогаш кога многуаголник е впишан во еден конусен пресек и опишан околу друг конусен пресек, многуаголникот мора да биде дел од бесконечна фамилија на многуаголници од кои сите се впишани во и опишани околу истите два конусни пресека. Именуван е по францускиот инженер и математичар Жан-Виктор Понселе, кој пишувал за тоа во 1822 година; сепак, случајот на триаголници бил откриен значително порано, уште во 1746 година од Вилијам Чапл.
Поризмот на Понселе може да се докаже со аргументирање користејќи елиптична крива, чии точки претставуваат комбинација на права која е тангента на еден коник и пресечната точка на таа права со другиот коник.
1 Формулација
Нека ''C'' и ''D'' се два рамнински коника . Ако е можно да се најде, за даден ''n'' > 2, еден ''n'' -стран многуаголник кој е истовремено впишан во ''C'' (што значи дека сите негови темиња лежат на ''C'' ) и оишан околу ''D'' (што значи дека сите негови рабови се тангентни на ''D''), тогаш е можно да се најдат бесконечно многу такви n-аголници. Секоја точка од ''C'' или ''D'' е теме или допирна точка (соодветно) на еден таков многуаголник.
Ако кониците се кружници, многуаголниците кои се впишани во едната кружница и опишани околу другата се нарекуваат бицентрични многуаголници, така што овој посебен случај на поризмот на Понселе може да се изрази поконцизно со тоа што ќе кажеме дека секој бицентричен многуаголник е дел од бесконечно семејство на бицентрични многуаголници во однос на истите две кружници.
2 Скица на доказот
Гледајте ги ''C'' и ''D'' како криви во комплексната проективна рамнина P<sup>2</sup> . За едноставност, да претпоставиме дека ''C'' и ''D'' се сечат попречно (што значи дека секоја нивна пресечна точка е едноставен пресек). Потоа, според Безуовата теорема, пресекот ''C'' ∩ ''D'' на двете криви се состои од четири комплексни точки. За произволна точка ''d'' на ''D'', нека ''ℓ''<sub>''d''</sub> е тангентата на ''D'' во ''d''. Нека ''X'' е подсортата на ''C'' × ''D'' која се состои од (''c'',''d'') така што ''ℓ''<sub>''d''</sub> поминува низ ''c''. За даден ''c'', бројот на ''d'' за кои (''c'',''d'') ∈ ''X'' е 1 ако ''c'' ∈ ''C'' ∩ ''D'', а инаку е 2. Така, проекцијата ''X'' → ''C'' ≃ P<sup>1</sup> го прикажува ''X'' како покривка од степен 2 разгранета над 4 точки, така што ''X'' е елиптична крива (откако ќе ја поправиме основната точка на ''X''). Нека <math>\sigma</math> е инволуција на ''X'' која ја пресликува општа двојка (''c'',''d'') до другата точка (''c'',''d''′) со истата прва координата. Секоја инволуција на елиптична крива со фиксна точка, кога е изразена преку законот на групата, има облик ''x'' → ''p'' − ''x'' за некое ''p'', па така <math>\sigma</math> го има овој облик. Слично на тоа, проекцијата ''X'' → ''D'' е морфизам од степен два разгранет на допирните точки на ''D'' од четирите тангенти на ''C'' и ''D'', и соодветната инволуција <math>\tau</math> има облик ''x'' → ''q'' − ''x'' за некое ''q''. Така, составот <math>\tau \sigma</math> е транслација на ''Х.'' Ако некој степен на <math>\tau \sigma</math> има фиксна точка, тој степен мора да биде идентитетот. Преведено назад на јазикот на ''C'' и ''D'', тоа значи дека ако една точка ''c'' ∈ ''C'' (опремена со соодветно ''d'') води до орбита која се затвора (т.е. дава ''n''-аголник), тогаш истото го прави и секоја точка. Дегенерираните случаи во кои ''C'' и ''D'' не се попречни произлегуваат од преминот кон лимес.
3 Поврзано
* Наоѓање елипси
* Хартшорнова елипса
* Штајнеров поризам
* Тангентни линии на кружници
* Еганова претпоставка
4 Користена литература
* Бос, Х.Ј.М. ; Керс, Ц.; Орт, Ф.; Равен, ДВ „Теорема за затворање на Понселе“. ''Expositiones Mathematicae'' 5 (1987), бр. 4, 289-364.
* Д. Фукс, С. Табачников, ''Математички омнибус: Триесет предавања за класична математика''