Хиперсфера

Хиперсфера или ''n''-сфера – во геометријата генерализација на сфера во Евклидов простор од која било димензија. Еден од наједноставните примери е сфера од ''n''-та димензија или ''n''-сфера, поточно хиперплоштина на Евклидов простор <math>\R^{n+1}</math>, со општа ознака <math>\mathbb S^n</math>.
1 Дефиниција
Нека ''E'' е Евклидов простор со димензија ''n'' + 1, ''A'' точка во ''E'', и ''R'' реален број строго позитивен. Множеството точки ''M'' чие растојание до ''A'' е ''R'' се нарекува хиперсфера со центар ''A'' и полупречник ''R''.
Со дадени афини репери, можно е со транслација, со што воопшто не се менуваат геометриските својства, хиперсферата да се центрира во почетокот, чија равенка ќе биде:
:<math>\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2=R^2</math>.
На пример :
* за ''n'' = 0, хиперсферата се состои од две точки на апсцисата ''R'' и –''R'' ;
* за ''n'' = 1, хиперсферата е круг ;
* за ''n'' = 2, хиперсферата е сфера во вообичаена смисла.
2 Својства
2.1 Зафатнина
За зафатнина на просторот определен со хиперсфера со димензија ''n'' – 1 и полупречник ''R'', што е Евклидова топка од ''n''-та димензија, важи :
:<math>V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}</math>,
каде <math>\Gamma</math> е гама-функција.
Конкретно :
n парни n непарни
<math>V_n</math><math>\frac{\pi^{\frac n2}R^n}{\left(\frac n2\right)!}</math><math>2^{(n+1)/2}\frac{\pi^{\frac{n-1}2}R^n}{1\cdot 3 \cdot \dots \cdot n}</math>
Во следната табела се дадени вредностите за зафатнина на првите 8 топки со димензија ''n'' и полупречник 1:
n Зафатнина
точна приближна
1, <math>2</math>, <math>2</math>
2, <math>\pi</math>, <math>3{,}14159</math>
3, <math>\frac43\pi</math>, <math>4{,}18879</math>
4, <math>\frac12\pi^2</math>, <math>4{,}93480</math>
5, <math>\frac8{15}\pi^2</math>, <math>5{,}26379</math>
6, <math>\frac16\pi^3</math>, <math>5{,}16771</math>
7, <math>\frac{16}{105}\pi^3</math>, <math>4{,}72478</math>
8, <math>\frac1{24}\pi^4</math>, <math>4{,}05871</math>
Зафатнината на една таква топка е максимална за ''n'' = 5. За ''n'' > 5, зафатнината опаѓа кога ''n'' расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула:
:<math> \lim_{n \to \infty}V_n = 0</math>.
Хиперкоцка опишана околу единична хиперсфера има рабови со должина 2 и зафатнина 2<sup>''n''</sup>. Односот меѓу зафатнините на топка и впишана хиперкоцка е опѓачка во функција од ''n''.
2.2 Плоштина
Плоштината на хиперсфера со димензија ''n-1'' и полупречник ''R'' може да се определи вадејќи извод во однос на полупречникот ''R'' од зафатнината ''V<sub>n</sub>'' :
:<math>S_{n-1}=\frac{dV_n}{dR}=\frac{n V_n}R={2\pi^{n/2}R^{n-1}\over\Gamma(n/2)}</math>.
:<math>S_n={2\pi^{(n+1)/2}R^n\over\Gamma((n+1)/2)}</math>.
n парен n непарен
<math>S_n</math><math> 2^{(n/2)+1} \frac{ \pi^{\frac n2}R^n}{1\cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-1)} </math><math> \frac{ \pi^{\frac{n+1}2}R^n}{\frac12\cdot \left(\frac{n-1}2\right)!} </math>
Значи плоштината на единичната ''n''-сфера <math>\mathbb S^n</math> е:
:<math>{2\pi^{(n+1)/2}\over\Gamma({n+1\over2})}~.</math>
Следната табела ги дава вредностите за плоштина на првите 7 ''n''-сфери со полупречник 1:
n Плоштина на <math>\mathbb S^n</math>
точна приближна
1, <math>2\pi</math>, <math>6{,}28318</math>
2, <math>4\pi</math>, <math>12{,}56637</math>
3, <math>2\pi^2</math>, <math>19{,}73920</math>
4, <math>\frac83\pi^2</math>, <math>26{,}31894</math>
5, <math>\pi^3</math>, <math>31{,}00627</math>
6, <math>\frac{16}{15}\pi^3</math>, <math>33{,}07336</math>
7, <math>\frac13\pi^4</math>, <math>32{,}46969</math>
Плоштината на единична ''n''-сфера е максимална за ''n'' = 6. За ''n'' > 6, плоштината опаѓа кога ''n'' расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула :
:<math> \lim_{n \to \infty}S_n = 0</math>.
3 Поврзано
* Хиперпирамида
* 3-сфера
*Хиперкоцка