Тангентен четириаголник

Тангентен четириаголник е секој четириаголник за кој важи дека кружница ги допира сите негови страни. Името тангентен потекнува од својството што секоја страна на четириаголникот е тангента на кругот.
Една од основните својства на тангентниот четириаголник:
: Четириаголникот е тангентен ако и само ако симетралите на неговите внатрешни агли се пресекуваат во една точка.
Оваа особина го дефинира начинот на конструирање на центарот на впишаната кружница. Се конструираат симетралите на аглите и тие се сечат во центарот на впишаната кружница.
Исто така, важи и една важна особина поврзана со должините на страните:
: Четириаголникот АБЦД е тангентен ако <math>|\overline{AB}|+|\overline{CD}|=|\overline{AD}|+|\overline{BC}|</math> . Точно е и обратното - ако четириаголникот е тангентен, тогаш збирот на спротивните страни е меѓусебно еднаков.
Последицата е следна. Ако страниците се обележани со ''a, b, c, d'', тогаш е
:<math> a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s</math>
каде ''s'' е полупериметарот.
Ако страните на тангентниот четириаголник се ''a, b, c, d'', и ''r'' е полупречник на впишаната кружница, тогаш неговата површина е дадена со формулата
:<math> P = \frac{a + b + c + d}{2} \cdot r</math>
Четириаголниците во кои истовремено може да се впише и опише кружница се нарекуваат бицентрични четираголници или тетивно-тангентни четириаголници.
1 Примери
Примери на тангентни четириаголници се: квадрат, ромб и делтоид.
Четириаголниците за кои со сигурност знаеме дека во нив не можат да се впишат кружници (не се тангентни) се паралелограмот и правоаголникот. Кај рамнокракиот трапез, постои посебен случај кога може да се впише кружница.
2 Некои својства на тангентниот четириаголник
Нека тангентниот четириаголник <math>ABCD\,</math> е трапез ( <math>\overline{AB}\,||\,\overline{CD}</math> ), чии дијагонали се сечат во одредена точка <math>O\,</math>.
Ако се <math>r_1\,</math>, <math>r_2\,</math>, <math>r_3\,</math> и <math>r_4\,</math> полупречници на кружници впишани во триаголниците <math>\Delta ABO\,</math>, <math>\Delta BCO\,</math>, <math>\Delta CDO\,</math> и <math>\Delta DAO\,</math>, тогаш
:<math> \frac{1}{r_1}+ \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r_2}+ \frac{1}{r_4}</math>
И, исто така, ако <math>s_1\,</math>, <math>s_2\,</math>, <math>s_3\,</math> и <math>s_4\,</math> се полупериметри на триаголниците <math>\Delta ABO\,</math>, <math>\Delta BCO\,</math>, <math>\Delta CDO\,</math> и <math>\Delta DAO\,</math>, тогаш
:<math>\ s_1+s_3=s_2+s_4 </math>
3 Формули
Математички формули за тангентни четириаголници
Плоштина, <math> \cdot (a + c) = r \cdot (b + d)</math><math> \cdot \sqrt{p^2 \cdot q^2 - (a \cdot c - b \cdot d)^2}</math><math> + f + g + h) \cdot (e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f)}</math><math> \cdot b \cdot c \cdot d - (e \cdot g - f \cdot h)^2}</math><math> \cdot b \cdot c \cdot d} \cdot \sin\left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d} \cdot \sin\left(\frac{\beta + \delta}{2}\right)</math>
Периметар, <math> \cdot (a + c) = 2 \cdot (b + d)</math>
Должина на дијагоналите, <math> + g) \cdot ((e + g) \cdot (f + h) + 4 \cdot f \cdot h)}{f + h</math><math> + h) \cdot ((e + g) \cdot (f + h) + 4 \cdot e \cdot g)}{e + g</math>
Полупречник на впишана кружница, <math> + c} = \frac{A}{b + d}</math><math> \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{e + f + g + h</math>
Интересен посебен случај е кога тангентниот четириаголник го задоволува условот
:<math>\alpha + \gamma = \beta + \delta</math>
Според оваа претпоставка, тангентниот четириаголник е истовремено тетивен четириаголник, т.е. четириаголник со впишана и опишана кружница. Формулата за плоштината на овие четириаголници е едноставна
:<math>A = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d}</math>
Со помош на Питагоровата и косинусната теорема се добиваат должините на отсечките <math> k = \overline{PR} </math> и <math> l = \overline{QS} </math>. Се применува
:<math>k = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(e + f) \cdot (g + h) \cdot (e + g) \cdot (f + h)</math>:<math>l = \sqrt{\frac{e \cdot f \cdot g + f \cdot g \cdot h + g \cdot h \cdot e + h \cdot e \cdot f}{(e + h) \cdot (f + g) \cdot (e + g) \cdot (f + h)</math>
Ова резултира со соодносот на должините
:<math>\frac{k}{l} = \sqrt{\frac{(f + g) \cdot (e + h)}{(e + f) \cdot (g + h) = \sqrt{\frac{b \cdot d}{a \cdot c</math>
4 Поврзано
* Тетивен четириаголник
* Тетивно-тангентен четириаголник