Бином

Бином (или двочлен полином) е полином со 2 членови, т.е. збир на два мономи.
Примери за биноми
<math> 3x+2 </math><math> 3y^2-z </math><math> 2a+5 </math><math> \sqrt{3\frac{x^2}{2} </math>
1 Формули за скратено множење на два биноми
<math> {(a+b)(a-b)=a^2-b^2} </math><math> {(a+b)^2=a^2+2ab+b^2} </math><math> {(a-b)^2=a^2-2ab+b^2} </math>
1.1 Формула: (a+b)(a-b) = a2 - b2
Пр.1:
a=3, b=4
Од формулата:
<math> (3+4)(3-4) = 3^2-4^2 = 9 -16 = -7 </math>
Без формула:
<math> (3+4)(3-4) = 7 \cdot (-1) = -7 </math>
Пр.2:
a=5, b=1
Од формулата:
<math> (5+1)(5-1) = 5^2-1^2 = 25 -1 = 24 </math>
Без формула:
<math> (5+1)(5-1) = 6 \cdot 4 = 24 </math>
Пр.3:
a=1, b=xy
Од формулата:
<math> (1+xy)(1-xy) = 1^2-(xy)^2 = 1-x^2y^2 </math>
Проверка за неколку вредности на х и у
х
у
<math> (1+xy)(1-xy) </math><math> 1-x^2 y^2 </math>
0
0
<math> (1+0 \cdot 0)(1-0 \cdot 0)=1 </math><math> 1-0^2 \cdot 0^2=1 </math>
0
1
<math> (1+0 \cdot 1)(1-0 \cdot 1)=1 </math><math> 1-0^2 \cdot 1^2=1 </math>
1
2
<math> (1+1 \cdot 2)(1-1 \cdot 2)=-3 </math><math> 1-1^2 \cdot 2^2=-3 </math>
-2
-2
<math> (1+(-2) \cdot (-2))(1-(-2) \cdot (-2))=-15 </math><math> 1-0^2 \cdot (-2)^2=-15 </math>
3
-8
<math> (1+3 \cdot (-8))(1-3 \cdot (-8))=-575 </math><math> 1-3^2 \cdot (-8)^2=-575 </math><math> \sqrt{2} </math>
-2,5
<math> \begin{array}{*{20}{c{(1 + \sqrt 2 \cdot -2,5))(1 - \sqrt 2 \cdot(( - 2,5))}\\{ \approx - 2,5535\cdot4,5535 = - 11,5} \end{array} </math><math> 1-(\sqrt{2})^2 \cdot (-2,5)^2=-11,5 </math>
1.2 Формула за Бином на квадрат: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
- Големиот квадрат е со страна
<math> a+b </math>
.
- Следува, плоштината на овој квадрат е <math> A=(a+b)^2 </math>.
- Плоштините на помалите правоаголници.
- Плоштината на лилавиот квадрат е <math> a^2 </math>.
- Плоштината на синиот квадрат е <math> b^2 </math> .
- Плоштината на секој од двата жолти правоаголници е <math> ab </math>.
- Овие 4 "подплоштини" се собираат до А.
- Следува <math> (a+b)^2 = A = a^2 +b^2 + 2 a b </math> , т.е. формулата за бином на квадрат!
Пр.1: a=3, b=4
Од формулата:
<math> (3+4)^2 = 3^2+2 \cdot 3 \cdot 4+4^2 = 9+24+16=49 </math>
Без формула:
<math> (3+4)^2 = 7^2 = 49 </math>
Пр.2: a=5, b=1
Од формулата:
<math> (5+1)^2 = 5^2+2 \cdot 5 \cdot 1+ 1^2 = 25+10+1= 36 </math>
Без формула:
<math> (5+1)^2 = 6^2 = 36 </math>
Пр.3 a=x, b=3
Од формулата:
<math> (x+3)^2 = x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2 = x^2+6x+9 </math>
Проверка за неколку вредности
х
<math> (x+3)^2 </math><math> x^2+6x+9 </math>
1
<math> (1+3)^2=4^2=16 </math><math>1^2+6 \cdot 1+9 =1+6+9=16 </math>
5
<math> (5+3)^2=8^2=64 </math><math> 5^2+6 \cdot 5+9 =25+30+9=64 </math>
-1
<math> ((-1)+3)^2=2^2=4 </math><math> (-1)^2+6 \cdot(-1)+9=1-6+9=4</math>
-0,5
<math>((-0,5)+3)^2=2,5^2=6,25 </math><math>(-0,5)^2+6 \cdot (-0,5)+9 =0,25-3+9=6,25</math><math> \sqrt{3} </math><math> (\sqrt{3}+3)^2 \approx 4,732^2 \approx 22,39 </math><math> (\sqrt{3})^2+6 \cdot (\sqrt{3}) +9 \approx 3 + 10,39+9 = 22,39 </math>* Внимавај:(a+b)<sup>2</sup>&ne;a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>
Пр.1: a=3, b=4
Лева страна
<math> (a+b)^2=(3+4)^2 = 7^2=49 </math><math> 49 \ne 25 </math>
Десна страна
<math> a^2+b^2=3^2+4^2 = 9+16=25 </math>
Пр.2: a=5, b=1
Лева страна
<math> (a+b)^2=(5+1)^2 = 6^2 = 36 </math><math> 36 \ne 26 </math>
Десна страна
<math> a^2+b^2=5^2+1^2 = 25+1=26 </math>
1.3 Формула: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
Геометриски доказ на (a-b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup> (без звук)
Пр.1: a=3, b=4
Од формулата:
<math> (3-4)^2 = (3)^2-2 \cdot 3 \cdot 4+4^2 = 9-24+16=1 </math>
Без формула:
<math> (3-4)^2 = (-1)^2 = 1 </math>
Пр.2: a=5, b=1
Од формулата:
<math> (5-1)^2 = 5^2-2 \cdot 5 \cdot 1+ 1^2 = 25-10+1= 16 </math>
Без формула:
<math> (5-1)^2 = 4^2 = 16 </math>
Пр.3: a=2x, b=5
Од формулата:
<math> (2x-5)^2 = (2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 5+5^2 = 4x^2-20x+25 </math>
Проверка за неколку вредности
х
<math> (2x-5)^2 </math><math> 4x^2-20x+25 </math>
1
<math> (2 \cdot 1-5)^2=(-3)^2=9 </math><math> 4 \cdot 1^2-20 \cdot 1+25 =4-20+25=9 </math>
2
<math> (2 \cdot 2-5)^2=(-1)^2=1 </math><math> 4 \cdot 2^2-20 \cdot 2+25 =16-40+25=1 </math>
-1
<math> (2 \cdot (-1)-5)^2=(-7)^2=49 </math><math> 4 \cdot (-1)^2-20 \cdot (-1)+25 =4+20+25=49 </math>
0,5
<math> (2 \cdot (0,5)-5)^2=(-4)^2=16 </math><math> 4 \cdot (0,5)^2-20 \cdot (0,5)+25 =4 \cdot 0,25-10+25=16 </math><math> -\sqrt{3} </math><math> (2 \cdot (-\sqrt{3})-5)^2 </math><math>\approx (-3,46-5)^2 \approx 71,64 </math><math> 4 \cdot (-\sqrt{3})^2-20 \cdot (-\sqrt{3})+25 </math><math> \approx 16 \cdot 3 +34,64+25=71,64 </math>
2 Поврзано
* моном
* полином
* алгебарски израз
* линеарна функција
* линеарна равенка