Низа (математика)

Во математиката под поимот низа се подразбира секое пресликување кое за аргумент има природен број. Формалната дефиниција е зададена на следниов начин:
Низа од елементи на множеството <math>\ M</math> претставува пресликувањето:
:<math>a: \mathbb{N} \rightarrow M</math> при кое <math>n \mapsto a(n)</math>, а тоа е множеството:
:<math>\left( a(n) | n \in \mathbb{N} \right)</math>
Обично, наместо како на последниот начин, низата се запишува како: <math>\ (a_n)</math>.
Изразот: <math>a_n</math> се вика општ член на низата.
= Гранична вредност на низа =
Од особен интерес е да се разгледа и проучи „однесувањето“ на низата во бесконечност, т.е. да се утврди што се случува со членовите од низата кога индексот расте во бесконечност. За таа цел се воведува поимот гранична вредност или лимес на низа. Напомена: овој поим не треба да се меша со граничната вредност или лимес на функција!
Нека е дадена произволна низа <math>\ (x_n)</math>. За бројот <math>\ X \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty \}=\bar{\mathbb{R</math> велиме дека е ''лимес на низата''<math>\ (x_n)</math> ако за секој <math>\epsilon>0</math>, постои <math>\ n_0 \in \mathbb{N}</math> така што за секој природен број <math>\ n \ge n_0</math> е исполнето:
::<math>\ x_n \in (x-\epsilon,x+\epsilon)</math>
или запишано поинаку:
::<math>\left| x_n - x \right| < \epsilon</math>
Ова значи дека, ако избереме било која околина на претпоставената гранична вредност, тогаш постои индекс - n<sub>0</sub> така што сите членови на низата со индекс поголем или еднаков на него се припаѓаат во таа околина.
Ако постои број <math>\ x</math>, тогаш пишуваме:
::<math>\lim_{n \to \infty} x_n = x</math>
Граничната вредност на низата нужно и не мора да постои, но доколку постои таа е единствена. Истовремено, допуштено е таа да биде и бесконечност.
* Низата со општ член <math>a_n = (-1)^n</math> нема гранична вредност зашто има ''множество вредности'': <math>\{-1,1,-1,1,...\}</math>* Низата со општ член <math>b_n = 2^n</math> има гранична вредност бесконечност зашто: <math>\{2,4,8,16,32,64,128,...\}</math>
Ако низата има лимес кој е ''конечен број'', тогаш велиме дека низата е конвергентна и дека конвергира кон овој конечен број.
= Пример =
Ќе покажеме дека важи:
:<math>\lim_{n\to \infty} \frac{n}{n+1} = 1</math>
Нека <math>\epsilon>0</math> е произволен и да претпоставиме дека бројот ''еден'' е лимес на низата. Треба да ја најдеме индекс <math>n_0</math> (и да ја изразиме зависноста меѓу индексот и <math>\epsilon</math>) така што сите членови на низата после n<sub>0</sub>-от се наоѓаат во околината: <math>(1-\epsilon,1+\epsilon)</math>. Во тој случај, по дефиниција, важи:
:<math>\left|\frac{n}{n+1} - 1 \right| < \epsilon</math>
Од друга страна важи:
:<math>\left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| = \left|\frac{n-n-1}{n+1}\right| = \left|\frac{-1}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}</math>
Оттаму следи:
<math>\frac{1}{n+1}<\epsilon</math> т.е. <math>n>\frac{1-\epsilon}{\epsilon}</math>
Бидејќи може да се случи вака изразениот број ''n'' да не е природен (а мора да биде бидејќи е индекс!), го правиме следниов избор:
<math>n_0=\left[\frac{1-\epsilon}{\epsilon}\right] + 1</math>
односно го избираме целиот дел од изразот и му додаваме единица за да бидеме сигурни во изборот на индексот <math>n_0</math>. Штом е воспоставена зависноста меѓу <math>\epsilon</math> и <math>n_0</math>, тогаш сме покажеле дека бројот ''еден'' (за кој ''претпоставуваме'' дека е лимес на низата) е лимес на низата.
= Својства и операција на низи =
Низи можат да се: собираат, одземаат, множат и делат. Овие операции се извршуваат на следниов начин: нека <math>(x_n)</math> и <math>(y_n)</math> се произволни низи така што за секој <math>n\in \mathbb{N}, y_n \neq 0</math>* собирање: низата <math>(z_n)</math> се вика збир на низите ако важи:
::<math>z_n = x_n + y_n</math>* одземање: низата <math>(z_n)</math> се вика разлика на низите ако важи:
::<math>z_n = x_n - y_n</math>* множење: низата <math>(z_n)</math> се вика производ на низите ако важи:
::<math>z_n = x_n * y_n</math>* делење: низата <math>(z_n)</math> се вика количник на низите ако важи:
::<math>z_n = \frac{x_n}{y_n}</math>
Доколку постојат лимесиве:
:<math>\lim_{n\to \infty} x_n = a</math>:<math>\lim_{n\to \infty} y_n = b</math>
и тие се конечни броеви и <math>b \neq 0</math>, тогаш важи:
:<math>\lim_{n\to \infty} (x_n+y_n) = a+b</math>:<math>\lim_{n\to \infty} (x_n \cdot y_n) = a \cdot b</math>:<math>\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}</math>
Ако секој член на низата ''е поголем или еднаков'' на својот претходник, тогаш за низата велиме дека монотоно расте. Ако важи релацијата ''е поголем'', тогаш велиме дека низата строго монотоно расте. Слично дефинираме и (строго) монотоно опаѓачка низа. Математички ова се изразува на следниот начин:
* Ако низата е монотона растечка:
::<math>x_n-x_{n-1} \ge 0</math> или <math>\frac{x_n}{x_{n-1 \ge 1</math>* Ако низата е монотона опаѓачка:
::<math>x_n-x_{n-1} \le 0</math> или <math>\frac{x_n}{x_{n-1 \le 1</math>