Цел број

Цели броеви — позитивни природни броеви (1, 2, 3, …), нивните негативи (−1, −2, −3, ...) и бројот нула. Како и природните броеви, целите броеви сочинуваат преброиво бесконечно множество.<math>\mathbb{Z}</math> = <math>\mathbb{Z}</math><sup>-</sup>∪{0}∪<math>\mathbb{Z}</math><sup>+</sup>
Множеството од сите цели броеви во математиката се изразува преку здебелената буква Z (или <math>\mathbb{Z}</math>), кое доаѓа од ''Zahlen'' (германски за „броеви“).
Изразот цел рационален број се користи во алгебарската теорија на броевите за да се разликуваат овие „обични“ цели броеви кај рационалните броеви кај другите концепти како Гаусовите цели броеви.
1 Алгебарски својства
Како и природните броеви, Z се затвора под операциите собирање и множење, т.е. збирот и производот од било кои два цели броја мора де е цел број. Меѓутоа, со придодавање на негативните природни броеви, и, особено, нула, Z (за разлика од природните броеви) исто така се затвора под одземање. Z не се затвора под операцијата делење, бидејќи количникот од двата цели броја (''на пр.'', 1 делено со 2), не мора да биде цел број.
Еве некои од основните својства за собирање и множење на било кои цели броеви ''a'', ''b'' и ''c''.
собирање, множење
затвореност:, ''a'' + ''b'' е цел број, ''a'' × ''b'' е цел број
асоцијативност:, ''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c'', ''a'' × (''b'' × ''c'') = (''a'' × ''b'') × ''c''
комутативност:, ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'', ''a'' × ''b'' = ''b'' × ''a''
постоење на идентитетен елемент:, ''a'' +, ''a'' ×
постоење на обратни елементи:, ''a'' + (−''a'') = 0
дистрибутивност:, ''a'' × (''b'' + ''c'') = (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')
На јазикот на апстрактната алгебра, првите пет својства погоре велат дека Z под собирање е абелова група. Како група под собирање, Z е цикличка група, бидејќи секој цел број кој не е нула може да се изрази како конечен износ 1 + 1 + ... 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1). Впрочем, Z под собирање е ''единствената'' бесконечна циклична група, бидејќи бесконечната цикличка група е изоморфична на Z.
Првите четири својства погоре во колоната за множење велат дека Z под множење е комутативен моноид. Меѓутоа, треба да се забележи дека не секој цел број има помножителен обратен број; на пр. не постои цел број ''x'' кај кој 2''x'' = 1, бидејќи левата страна е парна, додека десната е непарна. Ова значи дека Z под множење не е група.
Сите својства споменати во табелата погоре велат дека Z заедно со множењето и собирањето е коло со унија. Впрочем, Z ни дава мотивација за дефинирање на таквата структура. Отсуството на помножителни обратни броеви, што е еквивалентно на фактот дека Z не се затвора под делење, значи дека Z не е поле. Најмалото поле кое ги содржи целите броеви е полето на рационалните броеви. Овој процес може да се имитира за обликување на дробно поле од секоја целосна област, каде целосната област е комутативно коло со таква унија што со било кое ''ab'' = 0, или ''a'' = 0 или ''b'' = 0.
Иако редното делење не се дефинира на Z, содржи важно својство наречено делбен алогаритам: т.е. ако имаме два цели броја ''a'' и ''b'' со ''b'' ≠ 0, постојат уникатни цели броеви ''q'' и ''r'' при кои ''a'' = ''q'' × ''b'' + ''r'' и 0 ≤ ''r'' < |''b''|, каде |''b''| ја означува апсолутната вредност на ''b''. Целиот број ''q'' се нарекува ''количник'' и ''r'' се нарекува ''остаток'', кој резултира од делењето на ''a'' со ''b''. Ова е основата на Евклидовиот алогаритам за пресметка на најголеми заеднички содржатели.
Повторно, на јазикот на апстрактната алгебра, гореспоменатово вели дека Z е Евклидова област. Ова имплицира дека Z е проста идеална област и секој позитивен цел број може да се искаже како производ на прости броеви на уникатен начин. Ова е фундаменталната аритметичка теорема.
2 Редно-теоретски својства
Z е тотално подредено множество без горна или долна граница. Подредувањето на Z е
: ... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...
Еден цел број е ''позитивен'' ако е поголем од нула, а ''негативен'' ако е помал од нула. Нулата е дефинирана како ниту позитивна, ниту негативна.
Подредувањето на целите проеви е соодветно на алгебарските операции на следниов начин:
# ако ''a'' < ''b'' и ''c'' < ''d'', тогаш ''a'' + ''c'' < ''b'' + ''d''# ако ''a'' < ''b'' и 0 < ''c'', тогаш ''ac'' < ''bc''. (Од овој факт, можеме да докажеме дека ако ''c'' < 0, тогаш ''ac'' > ''bc''.)