1 − 2 + 3 − 4 + …

1 − 2 + 3 − 4 + ... — бесконечен ред во математиката, чиишто членови се последователни позитивни броеви со променлив знак. Сумата на првите ''m'' членови од редот може да се запише како:
:<math alt="Summation from n equals 1 to m of the series n * (-1)^(n-1)">\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1}.</math>
Овој бесконечен ред дивергира, што значи дека неговата низа од делумни суми, , не тежнее кон било која гранична вредност. Сепак, во средината на 18. век, Леонард Ојлер го запишал следново, коешто го окарактеризирал како парадоксално:
:<math>1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.</math>
Математички метод, употребен за да се објасни ваквото равенство, бил развиен многу подоцна. Почнувајќи во 1890 година, Ернесто Чезаро, Емил Борел и други математичари строго ги испитувале постоечките методи за утврдување на сумата на дивергентните редови, вклучувајќи и нови толкувања на Ојлеровите обиди. Многу од овие методи за пресметка на сумата на редот лесно доведуваат до решение еднакво на . Сумирањето по Чезаро е еден од неколкуте методи коишто не врши сумирање на , така што редот е пример за којшто е потребен многу поприкладен метод, како на пример Абеловото сумирање.
Редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... е многу сличен на Грандиевиот ред . Ојлер овие редови ги сметал за посебни случаи од видот на редот , којшто го проучувал за произволно ''n'' работејќи на Базелскиот проблем и притоа добил функционални равенки, денес познати како Дирихлеова ета-функција и Риманова зета-функција.
1 Дивергенција
Членовите на редот 1, −2, 3, −4, ... не тежнеат кон 0, па затоа дивергира според примена на тестот на општ член. За понатамошо разгледување, корисно би било да се утврди дивергенцијата на основно ниво. По дефииниција, конвергенцијата или дивергенцијата на еден бесконечен ред е условена од конвергенцијата или дивергенцијата на неговите низи од делумни суми. Според тоа, делумните суми на редот се::1 = 1,
:1 − 2 = −1,
:1 − 2 + 3 = 2,
:1 − 2 + 3 − 4 = −2,
:1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
:1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
:...
Оваа низа е важна поради присуството на секој цел број по еднаш, дури и 0 ако се брои празната делумна сума, и со тоа воспоставувањето на броивост на членовите од множеството на целите броеви <math>\mathbb{Z}</math>. Низата од делумни суми јасно покажува дека редот не конвергира кон одреден број (за секоја гранечна вредност ''x'', може да се најде член, после којшто сите последователните делумни суми се надвор од интервалот [''x''-1, ''x''+1]), па според тоа дивергира.
2 Евристика за сумирање
2.1 Стабилност и линеарност
Бидејќи членовите 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... следат проста законитост, редот е можно да се преобрази преку преместување и додавање на член по член, со цел да му се припише некое бројчено значење. Ако изразот за некој зададен број ''s'' има смисла, тогаш следните формални преобразби наведуваат на тоа дека :<math>
\begin{array}{rclllll}
4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) &{}+(1-2+3-4+\cdots) \\
&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{1+(3-4+5-6\cdots) \\
&=&1+[&(1-2-2+3) & {}+(-2+3+3-4) & {}+(3-4-4+5) &{}+(-4+5+5-6)+\cdots] \\
&=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1.
\end{array}
</math>
Поради тоа, <math>s=\frac{1}{4}</math>. Ова изведување е графички претставено на цртежот од десната страна.
Иако 1 − 2 + 3 − 4 + ... нема сума во обична смисла, равенството дава најдобар одговор на тоа дали таква сума може да се одреди. Воопштеното определување на „сумата“ на дивергентен ред се нарекува метод на сумирање, којшто овозможува пресметување на сума на неколку подмножества од сите можни редови. Постојат бројни методи за воопштено сумирање на редовите (некои од нив се опишани подолу), коишто содржат и некои од својствата на обичното сумирање на редови. Всушност, погоре беше докажано следново: Со примена на било кој метод за сумирање којшто е линеарен и стабилен и овозможува да се пресмета сумата на редот, пресметаната сума изнесува . Понатаму, бидејќи:
:<math>
\begin{array}{rcllll}
2s & = & &(1-2+3-4+\cdots) & + & (1-2+3-4+\cdots) \\
& = & 1 + &(-2+3-4+\cdots) & {} + 1 - 2 & + (3-4+5\cdots) \\
& = & 0 + &(-2+3)+(3-4)+ (-4+5)+\cdots \\
2s & = & &1-1+1-1\cdots
\end{array}
</math>
примената на овој метод нуди решение и за пресметка на сумата на Грандиевиот ред,
2.2 Кошиев призвод
Во 1891, Ернесто Чезаро изразил надеж дека дивергентните редови ќе бидат вклучени во калкулусот, укажувајќи на следново:
Некои пишуваат и тврдат дека двете страни се еднакви на .
За Чезаро, ова равенство било примена на теоремата којашто ја објавил една година преттоа и којашто може да се смета за прва теорема во историјата на сумирањето на дивергентните редови. Детали од овој метод на сумирање се прикажани подолу; основната идеја се состои во тоа што е Кошиев производ на и .
Кошиевиот производ од два бесконечни реда е определен, па дури и двата реда да се дивергентни. Во случај кога Σ''a''<sub>''n''</sub> = Σ''b''<sub>''n''</sub> = Σ(−1)<sup>''n''</sup>, членовите од Коишевиот производ се добиваат од конечната дијагонална сума:
:<math>\begin{array}{rcl}
c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k (-1)^{n-k} \\[1em]
& = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^n = (-1)^n(n+1).
\end{array}</math>
Тогаш, производот од редот изнесува:
:<math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1) = 1-2+3-4+\cdots.</math>
На тој начин, методот за сумирање којшто го содржи Кошиевиот прооизвод на два реда и дава сума исто така ја дава и сумата . Со резултатот добиен во претходниот дел, ова подразбира еквивалентност меѓу сумирањето на и со метои коишто се линеарни, стабилни и го содржат Кошиевиот производ.
Теоремата на Чезаро е префинет пример. Редот може да биде сумиран по Чезаро и е наречен додека бара подлабока примена на теоремата на Чезаро и се нарекува Бидејќи сите облици на Чезаровската теорема се линеарни и стабилни, вредностите од сумите се оние коишто веќе се пресметани.
3 Посебни методи
3.1 Чезаро и Хелдер
За да се пресмета сумирањето по Чезаро (C, 1) за 1 − 2 + 3 − 4 + ..., ако тоа постои, најпрво е неопходно да се пресмета аритметичката средина од делумните суми од редот. Делумните суми се:
:1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,
а аритметичките срединиод овие делумни суми:
:1, 0, , 0, , 0, , ....
Оваа низа од средини не конвергира, па така 1 − 2 + 3 − 4 + ... не може да се сумира по Чезаро.
Постојат две познати воопштувања на сумирањето по Чезаро: концептуално попросто од нив е низата од методи (H, ''n'') за природни броеви ''n'', акде што сумата (H, 1) е сума по Чезаро, а понатамошните методи ја повторуваат пресметката на средини. Во примерот погоре, парните средни вредности конвергираат до , додека сите непарни средни вредности се еднакви на 0; според тоа, средните вредности од средините конвергираат до средната вредност меѓу 0 и , т.е. до . Така, редот има сума (H, 2) во износ од .
Буквата „H“ претставува кратенка од презимето на Ото Хелдер, којшто во 1882 година прв го докажал она коешто математичарите денес го сметаат за врска меѓу Абеловото сумирање и сумирањето (H, ''n''). Редот бил првиот пример којшто го употребил за таа цел. Фактот што е сума (H, 2) од потврдува дека станува збор за Абелова сума; ова е директно докажано подолу.
Другото често формулирано воопштување на сумирањето по Чезаро е низата од методи (C, ''n''). Веќе беше докажано дека сумирањето (C, ''n'') и сумирањето (H, ''n'') секогаш даваат ист резултат, но тие всушност имаат различна историска позадина. Во 1887 година, Чезаро бил блиску до определувањето на сумирањето (C, ''n''), но тој дал само неколку примери. Подробно, тој ја пресметал сумата на во износ од со примена на метод којшто може да се преформулира како (C, ''n''), но во тоа време не бил познат како таков. Тој формално ги определил методите (C, n во 1890 година, со цел да даде поткрепа на неговата теорема дека Кошиевиот производ од ред со сума (C, ''n'') и ред со сума (C, ''m'') е еднаков на сумата (C, ''m'' + ''n'' + 1).
3.2 Абелово сумирање
Во извештај од 1749 година, Леонард Ојлер признал дека редот дивергира, но во секој случај е подготвен да ја пресмета неговата сума:
...кога се вели дека сумата на редот 1−2+3−4+5−6 итн. е еднаква на , тоа мора да звучи парадоксално. Со собирање на 100 членови од овој ред, се добива збир 50, иако со додавањето на 101. член се добива збир +51, што далеку се разликува од и уште подалеку со зголемувањето на бројот на членови. Но, јас и порано забележав дека е неопходно на поимот ''сума'' да му се даде пошироко значење....
Ојлер предложил воопштување на поимот „сума на ред“ неколкупати. Во случајот со неговите идеи се слични со она што денес е познато како метод за сумирање по Абел:
...повеќе нема сомнение дека сумата на редот 1−2+3−4+5 + итн. е , бидејќи произлегува од разобличување на формулата , чијашто вредност неоспорно изнесува . Идејата станува појасна при разгледување на воопштениот облик на редот, 1 − 2''x'' + 3''x''<sup>2</sup> − 4''x''<sup>3</sup> + 5''x''<sup>4</sup> − 6''x''<sup>5</sup> + ''&c.'', произлезен од разобличувањето на изразот , кој би бил еквивалентен со редот по воведувањето на замената ''x'' = 1.
Постојат многу начин на коишто може да се воочи дека најмалку за апсолутните вредности |''x''| < 1, Ојлер е во право дека:
:<math>1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.</math>
Можно е да се изврши развој на десната страна во Тејлоров ред или да се примени формалниот процес на делење на полиноми. Започнувајќи од левата страна, може да се следи општата евристика прикажана погоре и двапати да се помножи по (1+''x'') или да се изврши коренување на гемоетрискиот ред Ојлер, исто така, предложил диференцирање на последниот ред член по член.
Од современа гледна точка, редот 1 − 2''x'' + 3''x''<sup>2</sup> − 4''x''<sup>3</sup> + ... не определува функција во точката така што вредноста не може едноставно да се замени во добиениот израз. Поради тоа што функцијата е определена за сите , може да се пресмета гранична вредност за ''x'' којшто тежнее кон 1, што всушност претставува дефиниција за Абеловата сума:
:<math>\lim_{x\rightarrow 1^{-\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-\frac{1}{(1+x)^2} = \frac14.</math>
3.3 Ојлер и Борел
Ојлер применил и друг метод за овој ред, познат како Ојлерова трансформација, што претставува еден од неговите изуми. За да се пресмета Ојлеровата трансформација, потребно е да се започне со низа од позитивни членови — во случајов со Првиот член од оваа низа е означен како ''a''<sub>0</sub>.
Понатаму, потребно е да се пресмета конечната разлика меѓу членовите од низата , што е еднакво на Првиот член од оваа низа е означен како Δ''a''<sub>0</sub>. Сепак, Ојлеровата трансформација зависи и од разликите од разликите, но сите понатамошни разлики од членовите во низата се еднакви на 0. Во тој случај, Ојлеровата трансформација за редот е определена како:
:<math>\frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14.</math>
Во современата терминологија, се вели дека може да се сумира по Ојлер и притоа да се добие сума еднаква на .
Сумирањето по Ојлер подразбира постоење на уште еден вид на сумирање. Претставувањето на редот како:
:<math>\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1)</math>
доведува до конвергентен ред во секоја точка, којшто може да се запише како:
:<math>a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(k+1)x^k}{k!} = e^{-x}(1-x).</math>
Поради тоа, Бореловата сума на редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... може да се пресмета како:<math>\int_0^\infty e^{-x}a(x)\,dx = \int_0^\infty e^{-2x}(1-x)\,dx = \frac12-\frac14.</math>
3.4 Поделба на скалите
Саичев и Војчински дошле до решението по пат на примена на два физички принципи: ''смалување на бесконечно мали'' и ''поделба на скалите''. Ппрецизно, овие принципи водат кон определување на широко семејство на „методи за ''φ''-сумирање“, од коишто сите даваат сума еднаква на :
* Ако ''φ''(''x'') е функција чијшто прв и втор извод се непрекинато интеграбилни во интервалот (0, ∞), при што φ(0) = 1 и граничните вредности од φ(''x'') и ''x''φ(''x'') за +∞ се еднакви на 0, тогаш:::<math>\lim_{\delta\rightarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14.</math>
Овој резултат претставува воопштување на Абеловото сумирање, коешто се добива со воведување на замената ''φ''(''x'') = exp(−''x''). Општото тврдење може да се докажи преку групирање на членовите од редот во парови по ''m'' и преобразувањео на изразот во Риманов интеграл. Во однос на последниот чекор, доказот за содржи примена на Лагранжовата теорема за средна вредност, но во овој случај е потребна примена на понапреден Лагранжов облик на Тејлоровата теорема.
4 Воопштувања на редот
Трикратниот Кошиев производ на редот изнесува т.е. наизменичен ред од триаголни броеви, чијашто Абелова и Ојлерова сума е еднаква на . Четирикратниот Кошиев производ, пак, од редот изнесува што претставува наизменичен ред од тетраедални бреови, чијшто збир е еднаков на .
Друго воопштување на 1 − 2 + 3 − 4 + ... на малку поразличен начин е редот за други вреднсти на ''n''. Во случај ''n'' да има вредност на позитивен број, редовите од овој облик ги имаат следниве Абелови суми::<math>1-2^{n}+3^{n\cdots = \frac{2^{n+11}{n+1}B_{n+1}</math>
каде што ''B''<sub>''n''</sub> се Бернулиеви броеви. Кога ''n'' е парен број, равенството се сведува на:
:<math>1-2^{2k}+3^{2k\cdots = 0.</math>
Последната сума станала предмет на потсмен од страна на Абел, којшто во 1826 година запишал:
Дивергентните редови се целосно работа на ѓаволот, па срамота е некој да се надева дека може да пронајде каков било доказ за нив. Од нив може да се добие што ќе се посака, а тие самите направилие толку многу несреќи и парадокси. Може ли да се претстави нешто поужасно отколку да се каже дека:
::0 = 1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + итн.,
каде што ''n'' е позитивен број. Овде има нешто за коешто треба да се смееме, пријатели.
Учителот на Чезаро, Ежен Шарл Каталан, исто така ги потценувал дивергентните редови. Под негово влијание, Чезаро „условните формули“ за најпрво ги карактеризирал како „апсурдни равенства“ и во 1893 година изразил мислење дека формулите се грешни, но сепак пости начин на којшто може да бидат формално полезни. Конечно, во неговото дело ''Sur la multiplication des séries'' од 1890, Чезаро применил современ пристап, започнувајќи со дефиниции.
Редовите се предмет на проучување и за нецели вредности на ''n'', коишто ја сочинуваат Дирихлеовата ета функција. Дел од котивацијата на Ојлер за изучување на редовите поврзани со редот била функционалната равенка за ета-функцијата, којашто директно води до функционалната равенка за Римановата зета-функција. Ојлер веќе бил познат за наоѓањето на вредностите на овие функции како позитивни парни броеви (вклучувајќи го и Базелскиот проблем), а се обидувал да ги пронајде вредностите и за позитивните непарни броеви (вклучувајќи ја Апериевата константа), птоблем којшто останал нерешен и неразјаснет и до денес. Со методите на Ојлер е полесно да се работи со ета-функцијата, поради тоа што Абеловата сума од нејзиниот Дирихлеов ред може да се пресмета насекаде. Од друга страна, сумата на Дирихлеовиот ред на зета-функцијата може да се пресмета многу потешко онаму каде што дивергира. Така на пример, редот во зета-функција соответствува на неалтернативниот ред , којшто има длабока примена во современата физика, но бара примена на многу посилни методи за пресметка на неговата сума.
5 Поврзано
* Дивергентен ред;
* Грандиев ред.
6 Користена литература
*** Originally published as
**********