Леонард Ојлер

Леонард Паул Ојлер (германски: ''Leonhard Paul Euler''; 15 април 1707 — 18 септември 1783) — швајцарски математичар и физичар, еден од пронаоѓачите на чистата математика. Не само што открил и докажал важни теореми во предметите како геометрија, калкулус, механика и теоријата на броеви, туку и развил методи за решавање на проблеми во набљудувачката астрономија и демонстрирал практична примена на математиката во технологијата и во секојдневниот живот.
Основите на математиката, Ојлер ги изучил од Јохан Бернули, еден од првите математичари во Европа во тоа време. Ојлер бил близок пријател со неговите синови Даниел и Николас. Во 1727 година се преселил во Петроград каде што се вклучил во Академијата на науки во 1733.
1 Животопис
Леонард Ојлер е роден во Базел, Швајцарија, како син на Паул Ојлер, свештеник во реформистичката црква, и на Маргарет Брукер, ќерка на свештеник. Имал две помлади сестри, Ана Марија и Марија Магдалена. Набрзо по раѓањето на Леонард, Ојлерови се преселиле од Базел во градот Рихен, каде што Ојлер го поминал најголем дел од своето детство. Паул Ојлер бил пријател на Бернулиевото семејство, кој тогаш се сметал за европски водечки математичар, кој веројатно најмногу влијаел на младиот Леонард. Ојлеровите први значајни школувања започнале во Базел, каде што бил испратен да живее со својата баба од мајка. На возраст од тринаесет години, Ојлер дипломирал на Универзитетот на Базел и во 1723 година се здобил со дипломата магистер по филозофија за тезата „Споредба на филозофиите на Декарт и Њутн“. Во тоа време следел постојани саботни часови од Јохан Бернули, кој набрзо открил дека неговиот ученик поседува неверојатен талент за математика.
Ојлер во тоа време студирал теологија, грчки и хебрејски по наговор на неговиот татко, со цел да стане свештеник, но Јохан Бернули го убедил Паул Ојлер дека судбината на неговиот син е да стане математичар.
Во 1726 година, Ојлер ја завршил својата докторска теза со наслов ''De Sono'' и во 1727 година се пријавил на натпреварот на Париската академија, каде што проблемот таа година бил да се најде најпогодниот начин да се сместат јарболите на брод. На натпреварот, Ојлер го освоил второто место, зад Пјер Бугер, познат како „таткото на морнарската архитектурата“. Ојлер веднаш потоа ја освоил оваа долго посакувана годишна награда, која ја добивал уште 12 пати подоцна во неговата кариера.
2 Творештво
Ојлер се смета за ненадминат математичар на XVIII век и еден од најдобрите на сите времиња. Тој е, исто така, еден од најпродуктивните математичари: неговите собрани дела исполнуваат 60-80 четвороделни тома. Има направено многу важни откритија во различни полиња, како што се: калкулус и графичка теорија. Исто така, тој е творец на најголемиот дел од модерната математичка терминологија и нотација, особено во делот на математичката анализа, како на пример, нотацијата за математичка функција. Исто така, Ојлер е познат и по својата работа во областа на механиката, оптиката и астрономијата.
2.1 Придонеси за математиката
Ојлер работел на скоро сите области во математиката: геометрија, калкулус, тригонометрија, алгебра, теорија за броевите, како и во физиката, месечевата теорија и други области од физиката. Меѓу математичарите, единствено Унгарецот Пал Ердеш, математичар на XX век, бил слично продуктивен како Ојлер.
2.2 Математичка нотација
Ојлер претставил и популаризирал неколку нотациони конвенции низ многубројни негови распространети учебници. Најважно од сè е објавувањето на концептот на функцијата, т.е. тој бил првиот кој напишал <code>f(x)</code>, каде што f е функција на аргументот x. Тој, исто така, ја претставил модерната нотација на тригонометриските функции, буквата e како база на природен логаритам (денес познат и како Ојлеров број), грчката буква Σ (сигма) за сумирање и буквата i како имагинарна единица. Употребата на грчката буква π ≈ 3,14159 (пи) која го изразува односот на должината на кружницата со нејзиниот пречник, исто така, била популаризирана од Ојлер, иако не потекнува од неговото творештво.
2.3 Математичка анализа
Во XVIII век, математичките истражувања се темелеле на достигнувањата во областа на анализата, а членовите на семејството Бернули, кои биле блиски пријатели на семејството Ојлер биле заслужни за голем број откритија во ова поле. Благодарение на нивното влијание, Ојлер се фокусирал на изучување на математичката анализа. Иако некои негови докази според современите стандарди не биле прифатливи, неговите идеи биле основа за многу понатамошни достигнувања.
Ојлер е познат по големиот придонес во областа на степеновите редови, прикажувањето на функција во облик на збир на бесконечно многу собироци, како што е:
:<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)</math>
и нивната честа употреба.
Значајно Ојелрово откритие е и развојот на бројот ''e'' и инверзната тангенсна функција во степеновиот ред. Неговата слободна употреба на степновите редови му овозможила да го реши познатиот Базелски проблем во 1735 година::<math>\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}.</math>
Ојлер ја вовел и употребата на експоненцијалната функција и логаритмите во аналитилчките докази. Тој открил начин како да се изразат различни логаритамски функции со помош на степеновите редови и успешни ги дефинирал логаритмите од бегативните и комплексни броеви, со што го проширил доменот на математичката примена на логаритмите. Тој, исто така, ја дефинирал и експоненцијалната функција за комплексните броеви и ја открил нејзината поврзаност со тригонометриските функции. За произволен реален број φ, според Ојлеровата формула важи еднаквоста
:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi.\,</math>
Во случај кога <math>\varphi = \pi</math>, настанатата формула е позната како Ојлеров идентитет,
:<math>e^{i \pi} +1 = 0 \ </math>
Оваа формула во книгата на Ричард Фајнман е наречена „најзначајна математичка формула“, бидејќи во еден израз со користење на операциите собирање, множење и степенување, наведени се 5 значајни константи: 0, 1, ''e'', ''i'' и π.
Читателите на математичкото списание ''Математикал Интелиџенсер'' (''Mathematical Intelligencer'') во 1988 година, овој идентитет го прогласиле за ''најубавата математичка формула на сите времиња''.
Интересно е дека меѓу првопласираните формули на тоа гласање се нашле три кои ги открил Ојлер.
Меѓу останатото, Ојлер ја разработил и теоријата на трансцендентална функција, воведувајќи ја гама-функцијата и нови методи за решавање на степените. Откривајќи начин за пресмнетка на определен интеграл со комплексни граници, тој го навестил развојот на комплексната анализа. Тој работел на полето на функционалната анализа и ја дал познатата Ојлер-Лагранжова формула.
Ојлер бил првиот математичар кој користел аналитички методи за решавање на проблемите од теоријата на броеви. На тој начин, тој соединил две различни математички гранки и вовел нова област во истражувањето - аналитичка теорија на броеви.Во процесот на воведување на новото поле, Ојлер ги создал теориите на хипергеометриски редовиа, хиперболична тригонометриска функција и аналитичката теорија на верижните отстапувања. Ојлер докажал дека има бесконечно многу прости броеви, користејќи ја дивергентноста на хармониските редови и употребувајќи аналитички методи за да дојде до одредени сознанија за начинот на кој простите броеви се распоредени во групата на природните броеви. Ојлеровите придонеси на ова поле овозможиле да се открие теоремата за прости броеви.
2.4 Теорија на броеви
Ојлеровиот интерес за теоријата на броеви го поттикнал Кристијан Голдбах, негов пријател од Петроградската академија. Доста негови работи на ова поле биле засновани на делата на Пјер де Ферма. Ојлер развил некои негови идеи и утврдил неколку хипотези.
Ојлер ја поврзал природата на простите броеви со идејата на математичката анализа. Тој дошол до доказот дека сумата на реципрочната вредност на простите броеви дивергира, при што е откриена врска меѓу Римановата зета-функција и простите броеви, денес позната како Ојлерова формула за Римановата зета-функција.
Ојлер ги докажал Њутновите идентитети, малата Фермаова теорема, Фермаовата теорема за збир на квадратите и дал значаен придонес во Лагранжовата теорема за четири квадратиа. Покрај тоа, тој тој ја вовел функција φ(''n''), која го дава бројот на сите позитивни цели броеви помали од цел број ''n'', кои со него се заемно прости. Со користењето на особините на оваа функција, Ојлер ја воопштил малата Фермаова теорема, а тој резултат денес е познат како Ојлерова теорема. Тој дал значаен придонес и во разбирањето на совршените броеви, кои ги фасцинирале математичарите уште од времето на Евклид, направил очигледен напредок во формулирањето на торемата за прости броеви и ја поставил хипотезата која подоцна е докажана како закон на квадратни реипротитети. Денес, тие концепти се сметаат за основни за теоремата за теорија на броеви, а Ојлер со своите идеи укажал на патот по кој подоцна продолжил Карл Фридрих Гаус.
До 1772 година, Ојлер докажал дека <math>2^{31 1 = 2147483647</math> е (Мерсенов) прост број. Тоа бил најголемиот пресметан прост број сѐ 1867 година.
2.5 Теорија на графови
Во 1736 година, Ојлер го решил проблемот познат како ''Седум мостови на Кенигсберг''. Главниот град на Прусија, Кенигсберг, денес Калининград се наоѓал на реката Прегел и на негова територија се наоѓале и два големи речни острова, кои биле поврзани со остатокот од градот и меѓусебно со помош на седум мостови. Се поставувало прашањето дали е можно да се појде од една точка и да се врати на неа, така што секој мост да се помине точно еднаш. Тоа, според дадените услови не е можно, што значи дека Ојлеровиот пат не постои. Ова решение се смета за прва теорема на теоријата на графови, односно теоријата на планарни графови.
Формулата, која ги поврзува бројот на темиња (''V''), рабови (''E'') и страни (''F'') на испакнат полиедар,
<math>V-E+F=2</math>,
исто така, е заслуга на Ојлер.
Константата, која се јавува во наведената формула е позната како Ојлерова одлика на графовите или било кој друг објект и е во блиска врска со неговиот род. Изучувањето и генерализацијата на наведените формули кои ги истражувале и Коши и Л'Улије, биле основа на топологијата.
2.6 Аналитичка геометрија
Ојлеровиот придонес во аналитичката геометрија се состои во формулација на равенства кои опишуваат конус, цилиндар и различни вртежни површини. Пред тоа, тој докажал дека најкраткото растојание меѓу две точки на искривена површина се претвора во отсечка, доколку таа површина се претстави на рамнина. Ојлер бил првиот математичар којшто ги проучувал сите криви заедно и темелно се занимавал со трансценденталната функција (на пр. синусоидата).
Ојлер напишал книга за поделбата на кривите и површините. Во ''Вовед во анализата на бесконечно величини'' се наоѓа комплетна и исцрпна дискусија за поларните координати, кои се дадени во современ облик. Тој докажал и неколку теореми во општата геометрија, меѓу кои и тврдењето дека тежиштето, ортоцентарот и центарот на опишаната кружница во триаголник секогаш и припаѓаат на една иста права. Во негова чест, таа права е наречена Ојлерова права.
2.7 Применета математика
Некои од Ојлеровите значајни достигувања ги вклучуваат: решавањето на реалните проблеми со примена на аналитички методи и опишување на многубројната примена на Бернулиевите броеви, Фурјеовите редови, Веновите дијаграми, Ојлеровите броеви, константитеe и π, верижните разложувања и интегралите. Тој направил целина од Лајбницовото диференцијално сметање и Њутновите методи на флуксија и измислил начин со кој била многу полесна примената на методите на анализата во решавањето на физичките проблеми. Ојлер направил и големи чекори во зголемувањето на бројчената апроксимација на интегралите, така што ја вовел и употребил Ојлеровата апроксимација. Меѓу најзначајните методи се Ојлеровата метода и Ојлер-Малореновата формула. Најпосле, тој ја олеснил употребата на диференцијалните равенки, водени од т.н. Ојлер-Маскерониева константа:
:<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).</math>
Зборовите на Лаплас за Ојлер се следниве:
2.8 Физика и астрономија
Ојлер помогнал во развивањето на Ојлер-Бернулиевата равенка за гредата, која станала срж на инженерството. Покрај успешната примена на аналитичките алатки за проблемите во класичната математика, Ојлер, исто така, ги применувал овие техники за проблемите со небесни тела. Низ текот на неговата кариера, неговата работа во астрономијата била забележана од неколку луѓе од Париската академија. Неговите достигнувања вклучуваат дефинирање на орбитите на кометите и други небесни тела со огромна точност, а разбирајќи ја природата на кометите, тој ја пресметал паралаксата на Сонцето. Неговите пресметки, исто така, придонеле за развивање на точни табели за географска должина.
Покрај тоа, Ојлер направил важни придонеси и во оптиката. Не се согласувал со Њутновата корпускуларна теорија за светлината во ''Opticks'' (Оптика), каде што тоа била главната идеја. Неговата работа од 1740 година во врска со оптиката помогнала за тоа теоријата на бранот на светлината предложена од Кристијан Хајгенс, да стане доминантен начин на размислување, сѐ до развивањето на квантната теорија на светлината.
3 Лична филозофија и религиозни верувања
Ојлер и неговиот пријател Даниел Бернули биле противници на Лајбницовиот монизам и филозофијата на Кристијан Волф. Ојлер инсистирал дека знаењето е пронајдено во оној дел на основата на прецизните квантитативни права, нешто што монизмот и науката на Волф не можеле да го направат. Ојлеровите потпирања на религијата можеби, исто така, придонеле за неговата одбивност кон доктрината. Тој отишол толку далеку, што идеите на Волф да ги нарекувал „пагански и атеистички“.
Повеќето што се знае за религиските верувања на Ојлер е извлечено од писмата до една германска принцеза и неговата претходна работа ''Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister'' (Одбрана на божественото откровение против критиките на слободните мислители). Овие дела го претставуваат Ојлер како чесен христијанин со големи познавања од та. Во тој поглед, постои позната анегдота, инспирирана од аргументите на Ојлер во секуларната битка на филозофијата и религијата, која била одржана за време на Ојлеровото второ исклучување од академијата Св. Петербург:
:Францускиот филозоф Дени Дидро бил во посета на Русија на покана од царицата Катарина. Но, таа била известена дека аргументите за атеизам на филозофот влијаат на некои членови од судот, па така го замолила Ојлер да му се спротивстави на Французинот. Дидро подоцна бил известен дека еден образован математичар пронашол доказ за постоењето на Бог и се сложил да го види доказот. Ојлер се појавил пред самиот Дидро и со тон на огромна убедливост објавил: „Господине, оттука Бог постои“. Дидро, за кој целата математика била глупост, стоел глувонемо додека звуците на кикотење се наслушнувале од судот. Засрамен, побарал да ја напушти Русија, барање коешто великодушно го одобрила царицата. Колку и да е забавна оваа анегдота, во секој случај таа е лажна, поради тоа што Дидро бил многу способен математичар, кој подоцна објавил расправа на темата претходно дискутирана со Ојлер.
3.1 Дела
Година, Дело
1736, ''Mechanica''
1739, ''Tentamen novae theoriae musica''
1744, ''Methodus inveniendi lineas curvas''
1748, ''Introduction to Analysis of the Infinite''
1755, ''Institutiones calculi differentialis''
1756, ''Theoria motus corporum solidorum''