Список на интеграли на ирационални функции

Список на интеграли на ирационални функции:
1 Интеграли со a² - x²
:<math>\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}\right) \qquad\mbox{(}|x|\leq|a|\mbox{)}</math>:<math>\int x\sqrt{a^2-x^2}\;dx = -\frac{1}{3}\sqrt{(a^2-x^2)^3} \qquad\mbox{(}|x|\leq|a|\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{\sqrt{a^2-x^2}\;dx}{x} = \sqrt{a^2-x^2a\ln\left|\frac{a+\sqrt{a^2+x^2{x}\right| \qquad\mbox{(}|x|\leq|a|\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2 = \arcsin\frac{x}{a} \qquad\mbox{(}|x|\leq|a|\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{x^2\;dx}{\sqrt{a^2-x^2 = -\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} \qquad\mbox{(}|x|\leq|a|\mbox{)}</math>
2 Интеграли со x² + a²
:<math>\int\sqrt{x^2+a^2}\;dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\,\mathrm{arcsinh}\frac{x}{a}\right)</math>:<math>\int x\sqrt{x^2+a^2}\;dx=\frac13\sqrt{(x^2+a^2)^3}</math>:<math>\int\frac{\sqrt{x^2+a^2}\;dx}{x} = \sqrt{x^2+a^2a\ln\left|\frac{a+\sqrt{x^2+a^2{x}\right|</math>:<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2 = \mathrm{arcsinh}\frac{x}{a} = \ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|</math>:<math>\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+a^2 = \sqrt{x^2+a^2}</math>:<math>\int\frac{x^2\;dx}{\sqrt{x^2+a^2 = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2\frac{a^2}{2}\,\mathrm{arcsinh}\frac{x}{a} = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2\frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|</math>:<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+a^2 = -\frac{1}{a}\,\mathrm{arcsinh}\frac{a}{x} = -\frac{1}{a}\ln\left|\frac{a+\sqrt{x^2+a^2{x}\right|</math>
3 Интеграли со x² - a²
:<math>\int\sqrt{x^2-a^2}\;dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2-a^2\sgn x\,\mathrm{arccosh}\left|\frac{x}{a}\right|\right) \qquad\mbox{(za }|x|\ge|a|\mbox{)}</math>:<math>\int x\sqrt{x^2-a^2}\;dx = \frac{1}{3}\sqrt{(x^2-a^2)^3} \qquad\mbox{(za }|x|\ge|a|\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{\sqrt{x^2-a^2}\;dx}{x} = \sqrt{x^2-a^2} - a\arccos\frac{a}{x} \qquad\mbox{(za }|x|\ge|a|\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2 = \mathrm{arccosh}\frac{x}{a} = \ln\left(|x|+\sqrt{x^2-a^2}\right) \qquad\mbox{(za }|x|>|a|\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{x\;dx}{\sqrt{x^2-a^2 = \sqrt{x^2-a^2} \qquad\mbox{(za }|x|>|a|\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{x^2-a^2 = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}\,\mathrm{arccosh}\left|\frac{x}{a}\right| = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2-a^2}+a^2\ln\left(|x|+\sqrt{x^2-a^2}\right)\right) \qquad\mbox{(za }|x|>|a|\mbox{)}</math>
4 Интеграли со ax² + bx + c
:<math>\int{\sqrt{ax^2+bx+c}\;dx} = \frac{1}{8a^{3/2 \left (2\sqrt{a} \cdot \left (b + 2ax \right ) \sqrt{c + x \left (b + ax \right )} - \left (b^2 - 4ac \right ) \log{ \left (b + 2x + 2\sqrt{a} \sqrt{ c + x \left (b + ax\right ) } \right ) } \right )</math>:<math>\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c = \frac{1}{\sqrt{a\ln\left|2\sqrt{a(ax^2+bx+c)}+2ax+b\right| \qquad\mbox{(za }a>0\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c = \frac{1}{\sqrt{a\,\mathrm{arcsinh}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2 \qquad\mbox{(za }a>0\mbox{, }4ac-b^2>0\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c = \frac{1}{\sqrt{a\ln|2ax+b| \qquad\mbox{(za }a>0\mbox{, }4ac-b^2=0\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c = -\frac{1}{\sqrt{-a\arcsin\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac \qquad\mbox{(za }a<0\mbox{, }4ac-b^2<0\mbox{)}</math>:<math>\int\frac{x\;dx}{\sqrt{ax^2+bx+c = \frac{\sqrt{ax^2+bx+c{a\frac{b}{2a}\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c</math>