Лежандрова функција

Во физичките науки и математиката, Лежандровите функции , ; придружените Лежандрови функции , и Лежандровите функции од втор вид, , се решенија на Лежандровата диференцијална равенка. Лежандровите полиноми и придружените Лежандрови полиноми се исто така решенија на диференцијалната равенка во посебни случаи, кои, бидејќи се полиноми, имаат голем број дополнителни својства, математичка структура и примени.
1 Лежандровата диференцијална равенка
Општата равенка на Лежандр е дадена со:
<math>\left(1 - x^2\right) y'' - 2xy' + \left[\lambda(\lambda+1) - \frac{\mu^2}{1-x^2}\right] y = 0,</math>
каде и може да бидат комплексни, и се нарекуваат степен и ред на дадената функција, соодветно. Решенијата на полиномите кога е цел број (означено ) и се Лежандровите полиноми . Во случај кога е цел број (означено со ) и е исто така цел број со се придружените Лежандрови полиноми. Сите други случаи на и може да се дискутираат како еден, а решенијата се запишуваат како , . Доколку , горниот индекс се изоставува и се пишува само , . Сепак, решението кога е цел број често се дискутира одделно како Лежандрова функција од втор вид и се означува со .
Станува збор за линеарна равенка од втор ред со три правилни сингуларни точки (на , и ). Како и сите останати равенки од овој вид, и оваа може да се трансформира во хипергеометриска диференцијална равенка со промена на променливата, а нејзините решенија може да се изразат со употреба на хипергеометриски функции.
2 Решенија на диференцијалната равенка
Затоа што диференцијалната равенка е линеарна, хомогена (десната страна е еднаква на нула) и од втор ред, таа има две линеарно независни решенија. Овие решенија може да се изразат преку хипергеометриската функција <math> _2F_1</math>. Првото решение е дадено со:ж
<math>P_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left[\frac{z+1}{z-1}\right]^{\mu/2} \,_2F_1 \left(-\lambda, \lambda+1; 1-\mu; \frac{1-z}{2}\right),\qquad \text{for } \ |1-z|<2,</math> а втората е <math>Q_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{\sqrt{\pi}\ \Gamma(\lambda+\mu+1)}{2^{\lambda+1}\Gamma(\lambda+3/2)}\frac{e^{i\mu\pi}(z^2-1)^{\mu/2{z^{\lambda+\mu+1 \,_2F_1 \left(\frac{\lambda+\mu+1}{2}, \frac{\lambda+\mu+2}{2}; \lambda+\frac{3}{2}; \frac{1}{z^2}\right),\qquad \text{for}\ \ |z|>1.</math>
каде <math>\Gamma</math> е гама функцијата.
Горенаведените функции се општо познати како Лежандрови функции од прв и втор вид на нецел број, со дополнителен квалификатор „поврзан“ ако е различен од нула. Корисна релација помеѓу решенијата на и е Випловата формула.
3 Лежандрови функции од втор вид ( )
Неполиномното решение за специјалниот случај на целоброен степен <math> \lambda = n \in \N_0 </math> и <math> \mu = 0 </math>, честопати се разгледува одделно од останатите. Ваквото решение е дадено е со:
<math>Q_n(x)=\frac{n!}{1\cdot3\cdots(2n+1)}\left(x^{-(n+1)}+\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}x^{-(n+3)}+\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot4(2n+3)(2n+5)}x^{-(n+5)}+\cdots\right)</math>
Ова решение е сингуларно кога <math> x = \pm 1 </math> .
Споменатите Лежандрови функции од втор вид е можно да се дефинираат и рекурзивно преку Бонеовата рекурзивна формула, односно:
<math>Q_n(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x} & n = 0 \\
P_1(x) Q_0(x) - 1 & n = 1 \\
\frac{2n-1}{n} x Q_{n-1}(x) - \frac{n-1}{n} Q_{n-2}(x) & n \geq 2 \,.
\end{cases}</math>
4 Придружни Лежандрови функции од втор вид
Неполиномното решение за специјалниот случај на целоброен степен <math> \lambda = n \in \N_0 </math> и <math> \mu = m \in \N_0 </math> е дадено со следниот израз:<math>Q_n^{m}(x) = (-1)^m (1-x^2)^\frac{m}{2} \frac{d^m}{dx^m}Q_n(x)\,.</math>
5 Интегрални претставувања
Лежандровите функции можат да се напишат како контурни интеграли, односно:
<math>P_\lambda(z) =P^0_\lambda(z) = \frac{1}{2\pi i}
\int_{1,z} \frac{(t^2-1)^\lambda}{2^\lambda(t-z)^{\lambda+1dt</math>
каде контурата се затвора околу точките и во позитивна насока и не се затвора околу точката . За реални , се добива:
<math>P_s(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(x+\sqrt{x^2-1}\cos\theta\right)^s d\theta = \frac{1}{\pi}\int_0^1\left(x+\sqrt{x^2-1}(2t-1)\right)^s\frac{dt}{\sqrt{t(1-t),\qquad s\in\Complex</math>