Хомотетија

Во математиката, хомотетија (или хомотеција, или хомогена дилатација) е трансформација на афин простор определена со точка наречена нејзин ''центар'' и ненулти број наречен негов ''коефициент'', која ја пресликува точката во точка според правилото,
:<math>\overrightarrow{SX'}=k\overrightarrow{SX}</math> за фиксен број <math>k\ne 0</math>.
Користејќи вектори на положба:
:<math>\mathbf x'=\mathbf s + k(\mathbf x -\mathbf s)</math>.
Во случајот кога <math>S=O</math> (кооринатен почеток):
:<math>\mathbf x'=k\mathbf x</math>,
што е униформно скалирање и го покажува значењето на специјалните избори за <math>k</math> :
: за <math>k=1</math> се добива ''идентичното пресликување'',
: за <math>k=-1</math> се добива ''централна симетрија во однос накоординатниот почеток'',
За <math>1/k</math> се добива ''инверзно'' пресликување дефинирано со <math>k</math> .
Во Евклидовата геометрија, хомотетиите се сличности што фиксираат точка и или ја зачувуваат (ако <math>k>0</math> ) или ја менуваат (ако <math>k<0</math> ) насоката на сите вектори. Заедно со транслациите, сите хомотетии на афин (или евклидов) простор формираат група, групата на дилатации или хомотетски-транслации. Ова се токму афините трансформации со својството дека сликата на секоја права ''g'' е права паралелна на ''g'' .
Во проективната геометрија, хомотетичка трансформација е трансформација на сличност (т.е. поправа дадена елиптична инволуција) што ја остава правата во бесконечност неподвижна по точки.
Во Евклидовата геометрија, хомотетија со коефициент <math>k</math> ги множи ''растојанијата'' меѓу точките со <math>|k|</math>, ''плоштините'' со <math>k^2</math> и волумените со <math>|k|^3</math>. Тука <math>k</math> е ''коефициент на зголемувањето'' или ''фактор на дилатација'' или ''фактор на скалирање'' или ''однос на сличност''. Таквата трансформација може да се нарече зголемување ако факторот на скалирање е поголем од еден. Горенаведената фиксна точка ''S'' се нарекува ''центар на хомотетијата'' или ''центар на сличност''.
Терминот, измислен од францускиот математичар Мишел Шал, е изведен од два грчки елементи: префиксот (grc 'слично'}; и transl. грч–превод. теза (grc 'положба'). Го опишува односот помеѓу две фигури со иста форма и ориентација. На пример, две руски кукли што гледаат во иста насока може да се сметаат за хомотетички.
Хомотетиите се користат за скалирање на содржината на компјутерските екрани; на пример кај паметните телефони, преносни компјутери и лаптопи.
1 Својства
Следните својства важат во која било димензија.
1.1 Пресликување на прави, отсечки и агли
Хомотетијата ги има следниве својства:
*''Права'' се пресликува во права која е паралелна на оригиналната. Оттука: ''аглите'' при хомотетија остануваат непроменети.
*''Односот на две отсечки'' се запазува.
И двата својства покажуваат дека:
* Хомотетијата е ''сличност''.
''Изведување на својствата:'' За да се олеснат пресметките, се претпоставува дека центарот <math>S</math> е координатниот почеток: <math>\mathbf x \to k\mathbf x</math>. Права <math>g</math> со параметарска репрезентација <math>\mathbf x=\mathbf p +t\mathbf v</math> се пресликува во множеството точки <math>g'</math> со равенка <math>\mathbf x=k(\mathbf p+t\mathbf v)= k\mathbf p+tk\mathbf v</math>, што е права паралелна со <math>g</math>.
Растојанието меѓу две точки <math>P:\mathbf p</math> и <math>Q:\mathbf q</math> е <math>|\mathbf p -\mathbf q|.</math> Растојанието меѓу нивните слики е <math>|k\mathbf p -k\mathbf q|=|k||\mathbf p-\mathbf q|</math>. Значи, ''односот'' (количникот) на двете отсечки останува непроменет.
Во случајот кога <math>S\ne O</math> пресметките се аналогни, но малку пообемни.
Последици: Триаголник се пресликува во сличен триаголник. Хомотетичката слика на круг е круг. Сликата на елипса е елипса слична на оригиналната, т.е. односот на двете оски не се менува.
1.2 Графички конструкции
1.2.1 Со користење на теоремата за пресек
Ако за хомотетија со центар <math>S</math> е дадена сликата <math>Q_1</math> на точката <math>P_1</math> (видете го дијаграмот) тогаш сликата <math>Q_2</math> на друга точка <math>P_2</math>, која не лежи на правата <math>SP_1</math> може да се конструира графички со користење на теоремата за пресек: <math>Q_2</math> е заедничката точка на двете прави <math>\overline{P_1P_2}</math> и <math>\overline{SP_2}</math>. Сликата на точка колинеарна со <math>P_1,Q_1</math> може да се одреди со помош на <math>P_2,Q_2</math> .
1.2.2 Со користење на пантограф
Пред компјутерите да станат сеприсутни, скалирањето на цртежите се правело со помош на пантограф, алатка слична на шестар .
''Конструкција и геометриска позадина:''# Земете 4 прачки и составете подвижен ''паралелограм'' со темиња <math>P_0,Q_0,H,P</math> така што двете прачки кои се поврзани во точката <math>Q_0</math> се продолжуваат на другиот крај како што е прикажано на дијаграмот. Изберете го ''односот''<math>k</math> .
# На продолжените прачки означете ги двете точки <math>S,Q</math> така што <math>|SQ_0|=k|SP_0|</math> и <math>|QQ_0|=k|HQ_0|</math>. Ова е во случајот кога <math>|SQ_0|=\tfrac{k}{k-1}|P_0Q_0|.</math> (Наместо на <math>k</math>, може да се користи познавањето на положбата на центарот <math>S</math>. Во овој случај, односот е <math>k=|SQ_0|/|SP_0|</math>.)
# Прикачете ги мобилните прачки за да ротираат во точката <math>S</math>.
# За секоја промена на локацијата на точката <math>P</math>, ја означуваме соодветната точка <math>Q</math> .
Бидејќи <math>|SQ_0|/|SP_0|=|Q_0Q|/|PP_0|</math> (видете дијаграм) од ''теоремата за пресекот'' се добива дека точките <math>S,P,Q</math> се колинеарни (лежат на права) и важи <math>|SQ|=k|SP|</math>. Тоа значи: пресликувањето <math>P\to Q</math> е хомотетија со центар <math>S</math> и однос <math>k</math> .
1.3 Композиција
* Составот на две хомотетии со ''ист центар''<math>S</math> е повторно хомотетија со центар <math>S</math>. Хомотетиите со центар <math>S</math> формираат група.
* Составот на две хомотетии со ''различни центри''<math>S_1,S_2</math> и коефициенти <math>k_1,k_2</math>:: ако <math>k_1k_2\ne 1</math> е ''хомотетија'' со центар на правата <math>\overline{S_1S_2}</math> и коефициент <math>k_1k_2</math>;
:: ако <math>k_1k_2= 1</math> е ''транслација'' во насока <math>\overrightarrow{S_1S_2}</math>. Специјален е случајот кога <math>k_1=k_2=-1</math> (централни симетрии).
''Изведување:''
За составот <math>\sigma_2\sigma_1</math> од двете хомотетии <math>\sigma_1,\sigma_2</math> со центри <math>S_1,S_2</math> дадени со
:<math>\sigma_1: \mathbf x \to \mathbf s_1+k_1(\mathbf x -\mathbf s_1), </math>:<math>\sigma_2: \mathbf x \to \mathbf s_2+k_2(\mathbf x -\mathbf s_2)\ </math>
се добива со пресметка за сликата на точката <math>X:\mathbf x</math> :
:<math>(\sigma_2\sigma_1)(\mathbf x)= \mathbf s_2+k_2\big(\mathbf s_1+k_1(\mathbf x-\mathbf s_1)-\mathbf s_2\big) </math>:<math>\qquad \qquad \ =(1-k_1)k_2\mathbf s_1+(1-k_2)\mathbf s_2 + k_1k_2\mathbf x</math>.
Оттука, составот
: ако <math>k_1k_2= 1</math> е транслација во насока <math>\overrightarrow{S_1S_2}</math> за вектор <math>\ (1-k_2)(\mathbf s_2-\mathbf s_1)</math> .
:: ако <math>k_1k_2\ne 1</math> точката
:<math>S_3: \mathbf s_3=\frac{(1-k_1)k_2\mathbf s_1+(1-k_2)\mathbf s_2}{1-k_1k_2}
=\mathbf s_1+\frac{1-k_2}{1-k_1k_2}(\mathbf s_2-\mathbf s_1) </math>
е ''фиксна точка'' (не се поместува) и композицијата
:<math>\sigma_2\sigma_1: \ \mathbf x \to \mathbf s_3 + k_1k_2(\mathbf x -\mathbf s_3)\quad </math>.
е ''хомотетија'' со центар <math>S_3</math> и однос <math>k_1k_2</math>. <math>S_3</math> лежи на правата <math>\overline{S_1S_2}</math> .
* Составот на хомотетија и транслација е хомотетија.
''Доказ:''
Составот на хомотетијата
:<math>\sigma: \mathbf x \to \mathbf s +k(\mathbf x-\mathbf s),\; k\ne 1,\;</math>: и транслацијата
:<math>\tau: \mathbf x \to \mathbf x +\mathbf v </math>: е
:<math>\tau\sigma: \mathbf x \to \mathbf s +\mathbf v +k(\mathbf x-\mathbf s)</math>:::<math>=\mathbf s +\frac{\mathbf v}{1-k}+k\left(\mathbf x-(\mathbf s+\frac{\mathbf v}{1-k})\right)</math>
што е хомотетија со центар <math>\mathbf s'=\mathbf s +\frac{\mathbf v}{1-k}</math> и однос <math>k</math>.
1.4 Во хомогени координати
Хомотетијата <math>\sigma: \mathbf x \to \mathbf s+k(\mathbf x -\mathbf s)</math> со центар <math>S=(u,v)</math> може да се запише како состав на хомотетија со центар <math>O</math> и транслација:
:<math>\mathbf x \to k\mathbf x + (1-k)\mathbf s</math>.
Оттука <math>\sigma</math> може да се претстави во хомогени координати со матрицата:
:<math>\begin{pmatrix}
k & 0 & (1-k)u\\
0 & k & (1-k)v\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} </math>
Чистата хомотетска линеарна трансформација е исто така конформна бидејќи е составена од транслација и униформно скалирање.
2 Поврзано
* Скалирање (геометрија) сличен поим во векторски простори
* Центар на хомотетија, центарот на хомотетична трансформација
* Хадвигеровата претпоставка за бројот на строго помали хомотетски копии на конвексно тело што може да бидат потребни за да се покрие.
* Хомотетична функција (економија), функција од обликот во која е хомогена функција, а е монотоно растечка функција .
* Теорема на Менелај #Доказ со употреба на хомотетии
3 Наводи