Јакоб Бернули

Јакоб Бернули (|Jacob Bernoulli; – ) — швајцарски математичар кој потекнува од истакнато семејство математичари. Тој бил познат по бројните придонеси во математичката анализа (калкулусот) и заедно со својот брат Јохан Бернули биле едни од основачите на анализата на варијации. Ја има откриено една од најважните математички константи - бројот е. Неговиот најзначаен придонес е во областа на теоријата на веројатност, каде што ја дал првата верзија на законот за големи броеви во својот труд ''Ars Conjectandi''.
1 Животопис
Јакоб Бернули е роден во Базел, Швајцарија. За да ја исполни желбата на татко му се запишал на студии по теологија, успешно ги завршил и почнал да работи во свештенството. Но, не можејќи да ги игнорира своите желби, а спротивно на желбата на неговите родители, истовремено студирал и математика и астрономија. Помеѓу 1676 и 1682 година патувал низ Европа и ги проучувал најновите резултати од математиката и природните науки под влијание на водечките научници во овие области во тоа време Јоханес Худе, Роберт Бојл и Роберт Хук. Бернули во тој период направил теорија за кометите која излегло дека е погрешна. Откако се вратил во својата татковина започнал да предава механика на Универзитетот во Базел во 1683 година. Наредната година се оженил со Јудит Ступанус со која имале две деца. Во текот на истата деценија започнало неговото плодно истражување и кариера. Неговите патувања му овозможиле да воспостави кореспонденција со многу врвни математичари и научници од неговата ера и да ја одржува во текот на целиот негов живот. Тој ги проучувал најновите откритија во математиката, вклучувајќи го делото на Кристијан Хајгенс ''De ratiociniis in aleae ludo'' и ''Geometrie'' од Рене Декарт со додатоците на Франс ван Шотен во неа. Исто така ги проучувал и делата на Исак Бароу и Џон Волис што го разбудило неговиот интерес за геометријата на бесконечно малите величини (инфинитезималната геометрија). Освен тоа, во периодот од 1684 и 1689 биле пронајдени голем дел од резултатите кои биле потребни за да се создаде ''Ars Conjectandi''.
Тој бил назначен за професор по математика на Универзитетот во Базел во 1687 година и останал на оваа позиција до крајот на својот живот. Во тоа време го започнал туторството на својот брат Јохан Бернули во математиката.. Двајцата браќа започнале заедно да го проучуваат калкулусот како што бил изложен во делото на Лајбниц за диференцијалното сметање ''Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus'', објавен во ''Acta Eruditorum'' во 1684 година. Исто така, тие ги проучувале публикациите на фон Чирнхаус. Мора да се има предвид дека публикациите на Лајбниц за калкулусот биле многу нејасни за математичарите во тоа време и дека браќата Бернули биле првите што се обиделе да ги разберат и применат Лајбницовите теории.
Јакоб соработувал со својот брат Јохан на различни примени на калкулусот. Но, кога Јохановата математичка генијалност созреала, соработката помеѓу двајцата браќа се претворила во соперништво што ескалирало со меѓусебно напаѓање во печатот. Тие започнале меѓусебно да се прозиваат и да си поставуваат тешки математички предизвици за да си ги измерат вештините и знаењето. Во 1697 година нивните врски целосно прекинале. Јакоб Бернули починал во 1705 година.
На неговата погребна плоча Јакоб Бернули избрал да биде изрезбан графикот на логаритамска спирала и мотото:
''“Eadem mutata resurgo.” – „Се раѓам повторно променет, но ист.“''
Целиот напис на неговата надгробна плоча гласи:
: „Јакоб Бернули, неспоредлив математичар.
: Професор на Универзитетот во Базел повеќе од XVIII години;
: член на Кралските Академии вo Париз и Берлин; познат по нговите пишани дела.
: Oд хронична болест, сo чист разум до крајот;
: подлегна во годината на милоста 1705, на16-ти Aвгуст, на возраст од 50 години и 7 месеци, чекајќи го воскресението.
: Jудит Ступанус,
: негова жена 20 години,
: и неговите две деца му подигнаа споменик на сопругот и таткото кој многу им недостасува.
Сепак, спиралата направена од каменорезците била Архимедовата спирала. „(Жак Бернули) напишал дека оваа спирала може да служи како симбол, или на храброст и постојаност во неволја, или на човечкото тело, кое и покрај сите негови промени, дури и после смртта, ќе биде вратено точно и совршено во самото себе.“ Месечевиот кратер Бернули е наречен во негова чест и во чест на неговиот брат Јохан.
2 Творештво
2.1 Придонеси
Првите придонеси на Јакоб Бернули биле комплекс на паралели на логиката и алгебрата објавени во 1685, трудови за веројатност во 1685 и геометрија во 1687. Неговиот геометриски резултат давал конструкција за поделба на кој било триаголник на четири еднакви дела со две нормални прави.
Во 1689 објавил важен труд за редови и го објавил својот закон за големи броеви во теоријата на веројатност. Бернули објавил пет расправи во областа на бројните редови во периодот помеѓу 1682 и 1704 година. Првите две расправи содржеле многу резултати, меѓу кои и резултатот дека редот е дивергентен, за кои Бернули верувал дека се нови, но кои всушност биле докажани од Менголи 40 години претходно. Бернули не можел да најде затворена форма на редот , но успеал да покаже дека тој конвергира кон конечен број помал од 2. Ојлер бил првиот кој го открил лимесот на овој ред во 1737 година. Исто така, Јакоб Бернули ги проучувал и експоненцијални редови кои произлегле од проучувањето на сложената камата.
Во мај 1690 во еден труд објавен во ''Acta Eruditorum'', Бернули покажал дека проблемот за определување на изохроната е еквивалентен со решавање на нелинеарна диференцијална равенка од прв ред. Изохроната е крива која опаѓања со константна брзина. Ако една топчеста честитка со занемарливи димензии се пушти да се движи по изохрона само под дејство гравитацијата, од која било нејзина точка до дното, таа секогаш ќе стигне во точно исто време, без разлика која е почетната точка на движењето. Овој проблем бил изучуван од Хајгенс во 1687 и од Лајбниц во 1689. По откривањето на диференцијалната равенка, Бернули ја решил со метод на разделба на променливите. Неговиот труд од 1690 година е важен за историјата на калкулусот, бидејќи поимот интеграл се појавил за првпат за означување на интеграција. Во 1696 година Бернули ја решил равенката, која денес е наречена Бернулиева диференцијална равенка:
Јакоб Бернули ги открил еволутите на крива како еволвенти на нејзините кружници на кривина. Тој ги проучувал и каустичните, а посебно ги изучувал ваквите криви поврзани со параболата, логаритамската спирала и епициклоидите во 1692 година. Лемнискатата на Бернули Јакоб Бернули ја пронашол во 1694. Во 1695 го проучувал проблемот за подвижен мост во кој се бара онаа крива, таква што тежината која се лизга долж неа, секогаш го задржува мостот во рамнотежна положба.
Најоригиналното дело на Јакоб Бернули е ''Ars Conjectandi'' објавено во Базел во 1713, осум години по неговата смрт. Трудот бил нецелосен за време на неговата смрт, но сепак е дело од најголема значајност во теоријата на веројатност. Во книгата, Бернули ги разгледувал работите на други математичари во областа на веројатноста, особено делата на ван Шотен, Лајбниц и Престет. Во книгата се појавуваат Бернулиевите броеви при дискусија за експоненцијалните редови. Дадени се многу примери околу тоа колку поединец може да очекува да победи играјќи одредени игри на среќа. Терминот Бернулиева шема доаѓа од оваа книга.
Во последниот дел на книгата Јакоб Бернули дефинирал многу концепти од математичката веројатност, како на пример веројатноста како мерлив степен на сигурност; неопходност и можност; морално наспроти математичко очекување; априорна и апостериорна веројатност; очекување на победа кога играчите се поделени според умешноста; земање предвид на сите достапни аргументи, нивно вреднување, нивна пресметана евалуација; законот за големи броеви.
Бернули бил еден од најзначајните промотори на формалните методи на висока анализа. Елеганција ретко се наоѓа во неговиот метод на презентирање и изразување, но постои максимален интегритет.
2.2 Бернулиева распределба
Бернулиевата распределба се однесува на случајна променлива Х која може да прими само една од две различни вредности: 0 или 1. Веројатноста случајната променлива да прими вредност 0 е q, а за вредноста 1 е p. Притоа, p+q=1. Според тоа, веројатносната распределба на Бернулиевта алеаторна променлива е:
X, 0, 1
P, 1-p, p
Параметрите на Бернулиевата распределба се:
# Очекувана вредност: E(X)=M=p
# Варијанса: σ²=p(1-p)=pq
Бернулиевиот модел на распределба е дефиниран само со еден параметар, р. Оваа распределба е прикладна кај експерименти со кои се тестира појавувањето на еден настан, или нему спротивниот настан: исправен или неисправен, успешен или неуспешен, машки или женски итн. Во секој од овие примери, во зависност од предметот на нашето истражување, едниот настан го означуваме како успех, а другиот како неуспех. Таквиот експеримент кој може да продуцира само два резултата, се нарекува Бернулиев опит. Важна генерализација на Бернулиевата распределба се однесува на случајот кога случаен експеримент со два можни исхода се повторува неколкупати и повторувањата се независни. Веројатностите овде може да ги утврдиме со користење на биномна распределба. Се спроведуваат n експеримети при што веројатноста за успех во секој еден поединечен експеримент е р. Успехот може да биде кој било цел број од 0 до n, а ние сме заинтересирани за веројатноста за добивање на точно Х=х успеха во овие n експеримети. Биномната распределба, за разлика од Бернулиевата, е дефинирана со два параметра, n и p. Покрај аритметичката средина и варијансата може да се пресметаат и коефициентот на асиметрија и коефициентот на сплоснатост. За пресметување на веројатноста да се добијат х успеси во n опити се користи соодветен биномен образец.
2.3 Бројот е
Бернули ја открил математичката константа е проучувајќи го прашањето за сложена камата во кој се бара да се пронајде вредноста на изразот кој всушност е бројот <math>e</math>.
На пример, сметка која започнува од <math>1\$</math> и се наплаќа 100% камата на годишно ниво. Ако каматата се пресметува еднаш, на крајот на годината, после една година вредноста на долгот ќе биде <math>2\$</math>. Но, ако каматата се пресметува и додава двапати во годината, <math>1\$</math> се множи со 1,5 двапати, па излегува дека <math>1\$\cdot 1,5^2 = 2,25\$ .</math> Ако каматата се пресметува квартално: <math>1\$\cdot 1,254 = 2,4414\$</math>..., ако каматата се пресметува и месечно: <math>1\$ \cdot (1,0833...)^{12} = 2,613035\$</math> итн.
Бернули забележал дека ако периодите на вкаматување се намалуваат, а бројот на вкаматуања се зголемува, тогаш оваа низа конвергира кон одредена граница (сила на каматата). Вкаматувањето на неделно ниво ќе даде 2,692597$... додека при дневно вкаматување ќе се добијат <math>2,714567\$</math>... што е само два цента повеќе. Користењето на n интервали на вкаматување со камата од <math>\frac{100\%}{n}</math> во секој интервал, помага да се дојде до границата при големи вредности n, која всушност е познатата константа <math>e</math>: при непрекинато вкаматување вредноста на сметката ќе достигне до бројот 2,7 1828 1828...$. Општо земено, влог од <math>1\$</math>, која при просто годишно вкаматување носи <math>(1+R)\$,</math> при непрекинато вкаматување ќе даде <math>e^R\$.</math>