Изводи на тригонометриски функции

1 Докази за изводи на тригонометриски функции
1.1 Лимес на sin(θ)/θ кога θ се стреми кон 0
Дијаграмот десно покажува кружница со центар ''O'' и полупречник ''r ='' 1. Нека двата полупречници ''OA'' и ''OB'' прават лак од θ радијани. Бидејќи ја разгледуваме границата кога ''θ'' се стреми кон нула, може да претпоставиме дека ''θ'' е мал позитивен број, да речеме 0 < θ < ½ π во првиот квадрант.
На дијаграмот, нека ''R''<sub>1</sub> е триаголникот ''OAB'', ''R''<sub>2</sub> кружниот исечок ''OAB'', и ''R''<sub>3</sub> триаголникот ''OAC'' . Плоштината на триаголникот ''OAB'' е:
:<math> \mathrm{Area}(R_1
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB| \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . </math>
Плоштината на кружниот исечок ''OAB'' е <math>\mathrm{Area}(R_2)
=\tfrac{1}{2}\theta</math>, додека плоштината на триаголникот ''OAC'' е дадена со:
:<math> \mathrm{Area}(R_3
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . </math>
Бидејќи секој дел е содржан во следниот, се добива:
:<math>\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \implies
\tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \, . </math>
Покрај тоа, бидејќи во првиот квадрант, можеме да го поделиме со ½ , со што се добива:
:<math>1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . </math>
Во последниот чекор ги ги зедовме реципрочните вредности на трите позитивни члена, со што ги свртивме нееднаквостите.
Заклучуваме дека за 0 < θ < ½ π, количината е ''секогаш'' помала од 1 и ''секогаш'' поголема од cos(θ). Така, како што ''θ'' се приближува до 0, се „стиска“ помеѓу горна граница 1 и долна граница , која расте кон 1; оттука sin(''θ'')/ ''θ'' мора да се стреми кон 1 како што ''θ'' се стреми кон 0 од позитивната страна:<math>\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . </math>За случајот кога ''θ'' е мал негативен број –½ π < θ < 0, го користиме фактот дека синусот е непарна функција :
:<math>\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta}
\ =\
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta}
\ =\
\lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta}
\ =\
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\
1 \, . </math>
1.2 Лимес од (cos(θ)-1)/θ кога θ се стреми кон 0
Последниот дел ни овозможува релативно лесно да го пресметаме овој лимес. Ова се прави со користење на едноставен трик. Во оваа пресметка, знакот ''θ'' е неважен.
:<math> \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta}
\ =\
\lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right)
\ =\
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)} . </math>
Користејќи фактот дека лимес на производ е производ на лимесите и добиениот лимес од претходниот дел, добиваме дека:
:<math> \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}
\ =\
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)}
\ =\
\left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right)
\ =\
(-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \, . </math>
1.3 Лимес на tan(θ)/θ кога θ се стреми кон 0
Користејќи го лимесот за синусната функција, фактот дека функцијата тангенс е непарна и фактот дека лимес на производ е производ на лимеси, наоѓаме:
:<math>
\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta}
\ =\
\left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\!
\left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right)
\ =\
(1)(1)
\ =\
1 \, . </math>
1.4 Извод на синусна функција
Го пресметуваме изводот на синусната функција од дефиницијата на лимес:
:<math> \frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . </math>
Користејќи ја формулата за збир на агли , имаме:
:<math> \frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta
=
\lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta}
=
\lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta
+ \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right) . </math>
Со користење на лимес за синусните и косинусните функции:
:<math> \frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta
=
(1)\cos\theta + (0)\sin\theta
=
\cos\theta \, . </math>
1.5 Извод на косинусна функција
1.6.1 Од дефиницијата за извод
Повторно го пресметуваме изводот на косинусната функција од дефиницијата за лимес:
:<math> \frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta
=
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta} . </math>
Користејќи ја формулата за збир на агли , имаме:
:<math> \frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta
=
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta}
=
\lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right) . </math>
Со користење на лимесите за синусните и косинусните функции, добиваме:
:<math> \frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta
= (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \, . </math>
1.5.2 Од правилото за извод на сложена функција
За да се пресмета изводот на косинусната функција од правилото за извод на сложена функција, прво се земаат следните три факти:
:<math>\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2\theta\right)</math>:<math>\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2\theta\right)</math>:<math>\tfrac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta</math>
Првиот и вториот се тригонометриски идентитети, а третиот е докажан погоре. Користејќи ги овие три факти, можеме да го напишеме следново:
:<math>\tfrac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2\theta\right)</math>
Можеме ова да го диференцираме користејќи го правилото за извод од сложена функција . Ако <math>f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2\theta</math>, имаме:
:<math>\tfrac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta</math> .
Значи, докажавме дека
:<math>\tfrac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta</math> .
1.6 Извод од функцијата тангенс
1.6.1 Од дефиницијата за извод
За да го пресметаме изводот на функцијата тангенс tan ''&#x3B8;'', ги користиме првите принципи . По дефиниција:
:<math>
\frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right) .
</math>
Користејќи ја добро познатата формула за збир на агли , имаме:
:<math>
\frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right]
= \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right] .
</math>
Користејќи го фактот дека лимес на производ е производ на лимеси:
:<math>
\frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right) .
</math>
Користејќи го лимесот на функцијата тангенс и фактот дека tan ''&#x3B4;'' се стреми кон 0 како што &#x3B4; се стреми кон 0:
:<math>
\frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta .
</math>
Веднаш гледаме дека:
:<math>
\frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}
= \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}
= \frac{1}{\cos^2\theta}
= \sec^2\theta \, .
</math>
1.6.2 Од правилото за количник
Може да се пресмета изводот на функцијата тангенс користејќи го правилото за извод на количник .
:<math>\frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta
= \frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
= \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta }
= \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}
</math>
Броителот може да се поедностави на 1 со Питагоровиот идентитет, и се добива:
:<math>\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta</math>
Значи,
:<math>\frac{\operatorname{d{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta</math>
2 Докази за изводи на инверзни тригонометриски функции
Следниве изводи се наоѓаат со поставување на променлива ''y'' еднаква на инверзната тригонометриска функција од која сакаме да извадиме извод. Користејќи имплицитна диференцијација и потоа решавање по ''dy''/''dx'', изводот на инверзната функција се наоѓа во однос на ''y''. За да го претвориме ''dy''/''dx'' назад да биде во однос на ''x'', можеме да нацртаме референтен триаголник на единечниот круг, оставајќи ''θ'' да биде y. Користејќи ја Питагоровата теорема и дефиницијата на правилните тригонометриски функции, конечно можеме да го изразиме ''dy''/''dx'' во однос на ''x''.
2.1 Диференцирање на инверзна синусна функција
Нека
:<math>y=\arcsin x\,\!</math>
Каде
:<math>-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}</math>
Потоа
:<math>\sin y=x\,\!</math>
Диференцирајќи во однос на <math>x</math> на двете страни и решавање по dy/dx:
:<math>{d \over dx}\sin y={d \over dx}x</math>:<math>\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!</math>
Заменувајќи <math> \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}</math> во погорниот израз, добиваме:
:<math>\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1</math>
Со замена <math>x=\sin y</math> ,
:<math>\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1</math>:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2</math>
2.2 Диференцирање на инверзна косинусна функција
Нека
:<math>y=\arccos x\,\!</math>
Каде
:<math>0 \le y \le \pi</math>
Потоа
:<math>\cos y=x\,\!</math>
Диференцирајќи во однос на <math>x</math> на двете страни и решавање по dy/dx:
:<math>{d \over dx}\cos y={d \over dx}x</math>:<math>-\sin y \cdot {dy \over dx} =1</math>
Со замена <math>\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!</math> , добиваме
:<math>-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1</math>
Со замена <math>x=\cos y\,\!</math>, добиваме
:<math>-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1</math>:<math>{dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2</math>
Алтернативно, еднаш добиен изводот на <math>\arcsin x</math>, изводот на <math>\arccos x</math> веднаш следи со диференцирање на идентитетот <math>\arcsin x+\arccos x=\pi/2</math> така што <math>(\arccos x)'=-(\arcsin x)'</math> .
2.3 Диференцирање на инверзна тангенсна функција
Нека
:<math>y=\arctan x\,\!</math>
Каде
:<math>-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}</math>
Потоа
:<math>\tan y=x\,\!</math>
Диференцирајќи во однос на <math>x</math> на двете страни и со решавање по dy/dx:
:<math>{d \over dx}\tan y={d \over dx}x</math>
Левата страна:
:<math>
{d \over dx}\tan y
= \sec^2 y \cdot {dy \over dx}
= (1 + \tan^2 y) {dy \over dx}
</math> користејќи го Питагоровиот идентитет
Десната страна:
:<math>{d \over dx}x = 1</math>
Следува,
:<math>(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1</math>
Со замена <math>x=\tan y\,\!</math>, добиваме
:<math>(1+x^2){dy \over dx}=1</math>:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}</math>
2.4 Диференцирање на инверзна котангенсна функција
Нека
:<math>y=\arccot x</math>
каде <math>0<y<\pi</math> . Потоа
:<math>\cot y=x</math>
Диференцирајќи во однос на <math>x</math> на двете страни и решавање по dy/dx:
:<math>\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x</math>
Левата страна:
:<math>
{d \over dx}\cot y
= -\csc^2 y \cdot {dy \over dx}
= -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx}
</math> користејќи го Питагоровиот идентитет
Десната страна:
:<math>{d \over dx}x = 1</math>
Следува,
:<math>-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1</math>
Со замена <math>x=\cot y</math> ,
:<math>-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1</math>:<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}</math>
2.5 Диференцирање на инверзна секансна функција
2.5.1 Со користење на имплицитно диференцирање
Нека
:<math> y = \arcsec x\ \ |x| \geq 1</math>
Потоа
:<math> x = \sec y \ \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]
</math>:<math> \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}</math>
(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на секанс и тангенс во интервалот на y е секогаш ненегативен, додека радикалот <math>\sqrt{x^2-1}</math> е секогаш ненегативен по дефиниција на главниот квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)
:<math> \frac{dy}{dx} = \frac{1}
==== Со користење на правилото на извод на сложена функција ====
Алтернативно, изводот на аркуссекансот може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото за извод на сложена функција.
Нека
: <math> y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) </math>
Каде
:<math> |x| \geq 1 </math> и <math> y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] </math>
Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на <math> \arccos \left(\frac{1}{x}\right) </math> :
:<math> \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
= \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}
= \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1{\sqrt{x^2}
= \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1
= \frac{1}
=== Диференцирање на инверзна косекансна функција ===
2.5.1 Со користење на имплицитно диференцирање
Нека
: <math>y = \arccsc x\ \ |x| \geq 1</math>
Потоа
:<math> x = \csc y\ \ \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]</math>:<math> \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}</math>
(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на косеканс и котангенс во интервалот од y е секогаш ненегативен, додека радикалот <math>\sqrt{x^2-1}</math> е секогаш ненегативен по дефиниција на квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)
:<math> \frac{dy}{dx} = \frac{-1}
==== Со користење на правилото за извод на сложена функција ====
Алтернативно, извод на аркускосеканс може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото на извод на сложена функција.
Нека
: <math> y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) </math>
Каде
:<math> |x| \geq 1 </math> и <math> y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] </math>
Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на <math> \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) </math>:
: <math> \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
= -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}
= -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1{\sqrt{x^2}
= -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1
= -\frac{1}
3 Поврзано
* Калкулус
* Извод
* Список на интеграли од инверзни тригонометриски функции
* Список на тригонометриски идентитети
* Таблица на изводи
* Тригонометрија
4 Библиографија
*''Handbook of Mathematical Functions'', Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)