Логичка операција

Логички оператор или логички сврзник — логичка константа која означува синтаксна операција на реченици, или пак симбол за таква операција, кој соодветствува на операција на логичките вредности на тие реченици.
На пример двете реченици: „Врне“ и „Внатре сум“, може да се комбинираат со разни сврзници за да се добијат следниве сложени реченици:
:* Не врне, па внатре сум.
:* Врне и внатре сум.
:* Ако врне, тогаш внатре сум.
1 Дефиниции
1.1 Таблици
+ 16-те бинарни логички оператори можат да се дефинираат со вистинитосни таблици вака:, p, q, т, ↑, →, ~p, ←, ~q, <math>\equiv</math>, ↓, ∨, <math>\not\equiv</math>, q, ⊄, p, ⊅, &, ⊥
т, т, т, ⊥, т, ⊥, т, ⊥, т, ⊥, т, ⊥, т, ⊥, т, ⊥, т, ⊥
т, ⊥, т, т, ⊥, ⊥, т, т, ⊥, ⊥, т, т, ⊥, ⊥, т, т, ⊥, ⊥
⊥, т, т, т, т, т, ⊥, ⊥, ⊥, ⊥, т, т, т, т, ⊥, ⊥, ⊥, ⊥
⊥, ⊥, т, т, т, т, т, т, т, т, ⊥, ⊥, ⊥, ⊥, ⊥, ⊥, ⊥, ⊥
1.2 Множества
Логичките оператори можат да се изразат преку множества (каде ∅ е празно множество):
+ Можествени дефиниции за логички оператори, ,
∅ - Контрадикција (<math>\bot</math>), { ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - Тавтологија (<math>\top</math>)
{ ∅ } - НИЛИ (↓), { { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - ИЛИ (<math>\vee</math>)
{ { ∅ } } - Материјална неимпликација (⊅), { ∅ , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - Материјална импликација (⊃)
{ ∅, { ∅ } } - Не q, { { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - q
{ { { ∅ } } } - Спротивна неимпликација (⊄), { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } - Спротивна импликација (⊂)
{ ∅ , { { ∅ } } } - Не p, { { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } - p
{ { ∅ } , { { ∅ } } } - Исклучителна дисјункција (<math>\not\equiv</math>), { ∅ , { ∅ , { ∅ } } } - Двоуслов (<math>\equiv</math>)
{ ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } } - НИ (↑ или ), { { ∅ , { ∅ } } } - Конјункција (<math>\land</math>)
1.3 Венови дијаграми
Бинарните логички оператори можат да се изразат по пат на Венови дијаграми.
<imagemap>, <imagemap>
(слика), (слика)
Забележете ја сличноста помеѓу знаците „и“ (<math>\wedge</math>) и пресек на множество (<math>\cap</math>); така е и за „или“ (<math>\vee</math>) и унија на множества (<math>\cup</math>). Ова не е случајно: дефиницијата на пресекот користи „и“, а дефиницијата на унијата користи „или“.
2 Функционална потполност
Не сите овие оператори се неопходни за функционално потполна логичка анализа. Извесни сложени искази се логички еквивалентни.
На пример, ¬''P'' ∨ ''Q'' е логички еквивалентно на ''P'' → ''Q'';.
Така, кондиционалниот оператор "→" не е потребен ако имаме "¬" (не) и "∨" (или).
најмалото множество на оператори кое сепа го искажува секој исказ кој може да се изрази во исказната анализа се нарекува минимално функционално потполно множество. Минимално потполно множество од оператори се постогнува само со НИ { ↓ } и само со НИЛИ { ↑ }.
Сите и само следниве се функционално потполни множества на оператори:
{ ↓ }, { ↑ }, { <math>\rightarrow</math>, <math>\neg</math> }, { <math>\rightarrow</math>, <math>\not\equiv</math> }, { <math>\neg</math>, ⊂ },
{ <math>\rightarrow</math>, ⊄ },
{ <math>\vee</math>, <math>\neg</math> },
{ <math>\rightarrow</math>, ⊅ },
{ ⊄, <math>\neg</math> },
{ ⊂, <math>\not\equiv</math> },
{ ⊅, <math>\neg</math> },
{ ⊂, ⊄ },
{ <math>\wedge</math>, <math>\neg</math> },
{ ⊂, ⊅ },
{ <math>\bot</math>, <math>\rightarrow</math> },
{ ⊄, <math>\equiv</math> },
{ ⊅, <math>\equiv</math> }
3 Својства
Секој логички оператор (сврзник) има свој збир својства кои можат да се изразат преку теоремите кои ги содржат операторите. Некои од овие може да бидат:
* Асоцијативност: Во рамките на еден израз кој содржи два или повеќе исти асоцијативни оператори во низа, редот на оперирање не е важен сѐ додека редот на операндите е непроменет.
* Комутативност: Секој пар променливи сврзан со операторот може да се размени меѓусебно без да ја погоди вистинитоста на изразот.
* Дистрибутивност:
* Идемпотенција:
* Апсорпција:
Функционално потполно множество на оператори содржи барем еден член кому му недостасуваат следниве пет својства:
* монотоност: Ако f(a<sub>1</sub>, ... , a<sub>n</sub>) ≤ f(b<sub>1</sub>, ... , b<sub>n</sub>) за сите a<sub>1</sub>, ... , a<sub>n</sub><math>\in</math> {0,1} така што a<sub>1</sub> ≤ b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub> ≤ b<sub>2</sub>, ... , a<sub>n</sub> ≤ b<sub>n</sub> { <math>\vee</math>, <math>\wedge</math>, <math>\top</math>, <math>\bot</math> }
* линеарност: Секоја променлива секогаш ја менува точноста (вистинитоста) на операцијата или никогаш не прави разлика { <math>\neg</math>, <math>\equiv</math>, <math>\not\equiv</math>, <math>\top</math>, <math>\bot</math> }
* самодвојност: За читање на дадените точности на операцијата од горе надолу на нејзината вистинитосна таблица е исто што и земање на комплиментот читајќи ги од долу нагоре. { <math>\neg</math> }
* запазување на точност: Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена логички вредности како 'точно' дава логичка вредност 'точно' како резултат на овие операции. { <math>\vee</math>, <math>\wedge</math>, <math>\top</math>, <math>\rightarrow</math>, <math>\equiv</math>, ⊂ }
* запазување на неточност: Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена логички вредности како 'неточно' дава логичка вредност 'неточно' како резултат на овие операции. { <math>\vee</math>, <math>\wedge</math>, <math>\not\equiv</math>, <math>\bot</math>, ⊄, ⊅ }
4 Арност
Во двовредносната логика постојат 4 унарни оператори, 16 бинарни оператори и 256 тројни оператори. Во тровреднсната логика постојат 9 унарни оператори, 19683 бинарни оператори и 7625597484987 тројни оператори.
„Не“ е унарен оператор и се состои од еден поим (¬''P''). Остатокот се бинарни оператори, кои се состојат од два поима (''P''<math>\wedge</math>''Q'', ''P''<math>\vee</math>''Q'', ''P'' → ''Q'', ''P'' ↔ ''Q'').
Множеството логички оператори <math>\Omega\!</math> може да се раздели на раздвоени подмножества вака:
:::<math>\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_1 \cup \ldots \cup \Omega_j \cup \ldots \cup \Omega_m \,.</math>
Оваа разделба, <math>\Omega_j\!</math> има множество од операциони знаци на ''арност''<math>j\!</math>.
Во исказните анализи, <math>\Omega\!</math> обично серазделува вака:
:::нуларни оператори: <math>\Omega_0 = \{\bot, \top \} \,</math>:::унарни оператори: <math>\Omega_1 = \{ \lnot \} \,</math>:::бинарни оператори: <math>\Omega_2 \subseteq \{ \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow \} \,</math>
5 Првенствен ред
За намалување на бројот на неопходни загради можеме да воведеме правила за првенство (предност): ¬ има предност над ∧, ∧ има предност над ∨ а ∨ има предност над →. На пример, ''P'' ∨ ''Q'' ∧ ¬''R'' → ''S'' е скратено од (''P'' ∨ (''Q'' ∧ (¬''R''))) → ''S''.
Еве таблица на која е прикажано првенството на логичките оператори.
''Оператор'', ''Првенство''
¬, 1
<math>\wedge</math>, 2
<math>\vee</math>, 3
→, 4
↔, 5
Редот на првенство одредува кој „главен сврзник“ при толкување на молекуларна формула.
6 Наводи
* на Стенфордската енциклопедија на филозофијата
7 Поврзано
* Модален оператор
* Закони на логиката
* Логичка вредност
* Булов домен
* Булова функција
* Булово-вреднувана функција
* Битова операција
* Теми во Буловата алгебра
* Исказна анализа
* Логички знаци