Површинска гравитација

Површинска гравитација (симб. ''g'') — гравитациското забрзување на површината на едно небесно тело. Може да се претстави како забрзувањето кое го доживува претпоставена честичка што се наоѓа многу блиску до површината на објектот и која има занемарлива маса.
Може да се изрази со метри во секунда на квадрат според СИ-системот, или како кратно од стандардна површинска гравитација Земјата, која е ''g'' = 9,80665 м/с². Во астрофизиката, површинската гравитација може да се изрази логаритамски (log ''g'') на десетична основа, при што единицата за забрзување е сантиметарот во секунда на квадрат. Така, површинската гравитација на земјата во СГС-единици би била 980,665 см/с², со десетичен логаритам (log ''g'') 2,992.
Површинската гравитација на едно бело џуџе е многу голема, а уште поголема е онаа на неутронска ѕвезда. Збиеноста на неутронската ѕвезда ѝ овозможува да достигне површинска гравитација од 7 м/с² со типични вредности од редот на 10<sup>12</sup> м/с² (преку 10<sup>11</sup> пати повеќе од Земјината). Оваа влеча е толку силна што би можела да се претстави како излезна (втора космичка) брзина од околу 100.000 км/с или една третина од брзината на светлината.
1 Масата, полупречникот и површинската гравитација
+Површинската гравитација на разнитела во Сончевиот Систем
Тело, Повр. грав.
Сонце, 28,02''g''
Меркур, 0,38''g''
Венера, 0,904''g''
Земја, 1''g''
Месечина, 0,1654''g''
Марс, 0,376''g''
Фобос, 0,0005814''g''
Дејмос, 0,000306''g''
Церера, 0,0275''g''
Јупитер, 2,53''g''
Ија, 0,183''g''
Европа, 0,134''g''
Ганимед, 0,146''g''
Калиста, 0,126''g''
Сатурн, 1,07''g''
Титан, 0,14''g''
Енкелад, 0,0113''g''
Уран, 0,89''g''
Нептун, 1,14''g''
Тритон, 0,0797''g''
Плутон, 0,067''g''
Ерида, 0,0677''g''
67P-CG, 0,000017''g''
Според Њутновата теорија за гравитацијата, тежата на едно тело е сразмерна на неговата маса: тело со двапати поголема маса има двапати поголема влеча. Њутновата гравитација исто така се води според законот за обратните квадрати, што значи кога телото е двапати поделаку, неговата влеча е четирипати помала, а ако е десетпати подалеку, влечата е стопати помала. Ова е слично на јачината на светлината, која го следи истиот закон, со тоа што станува помалку видлива со зголемено растојание. Може да се претстави како геометриско разредување во склад со зрачењето од една точка во тридимензионален простор.
Големите тела како планетите и ѕвездите имаат приближно округол облик, близу хидростатичка рамнотежа (каде сета површина има еднообразна гравитациската потенцијална енергија). Во мал размер, повисоките делови од теренот се разјадуваат, материјалот се таложи на понискиот терен. Во голем размер, самата планета или ѕвезда се изобличува додека не се достигне рамнотежа. Кај највеќето небесни тела, исходот од ова значи дека дадената планета или ѕвезда може да се смета за речиси совршена сфера кога вртежите се ниски. Но кај младите масивни ѕвезди, екваторската азимутна брзина може да биде доста голема (до 200 км/с) предизвикувајќи значителна екваторската испакнатина. Примери за такви брзовртечки ѕвезди се Ахернар, Алтаир, Регул A и Вега.
Тоа што многу големи небесни тела се приближни сфери ја олеснува нивната површинска гравитација. Гравитациската влеча вон сферносиметрично тело е иста како кога целата маса би била сосредоточена во средиштето, според заклучокот на Исак Њутн. Затоа, површинската гравитација на една планета или ѕвезда со дадена маса ќе биде приближно обратносразмерна на квадратот на нејзиниот полупречник, а површинската гравитација со дадена просечна густина ќе биде приближно сразмерна на нејзиниот полупречник. На пример, планетата Глизе 581 c има барем петпати поголема маса од Земјата, но веројатно нема патпати поголема површинска гравитација. Ако масата ѝ е петпати поголема од Земјата, како што се очекува, а ако е корпеста планета со големо железно јадро, треба да има полупречник само 50 % поголем од Земјиниот. Гравитацијата на површината на една таква планета би била околу 2,2 пати посилна од Земјината. Ако се работи за ледена или водена планета, може да има полупречник двапати поголем од Земјиниот, и во тој случај површинска гравитација веројатно не е поголема од 1,25 пати Земјината.
Овие соодноси можат да се изразат со формулата:
:<math>g = \frac m {r^2}</math>
каде ''g'' е површинската гравитација на телото, изразена во кратна на Земјината, ''m'' е масата, изразена во кратна на Земјината маса (5,976·10<sup>24</sup> кг), а ''r'' е полупречникот, изразен како кратно на (средниот) Земјин полупречник (6,371 км). На пример, Марс има маса од 6,4185·10<sup>23</sup> кг = 0,107 Земјини маси и среден полупречник од 3.390 км = 0,532 Земјини полупречници. Површинската гравитација на Марс тогаш би била
:<math>\frac{0,107}{0,532^2} = 0,38</math>
пати онаа на Земјата. Ако не ја земеме Земјата за споредба, површинска гравитација може да се пресмета непосредно според Њутновиот закон за гравитацијата, со формулата
:<math>g = \frac{GM}{r^2}</math>
каде ''M'' е масата на телото, ''r'' е неговиот полупречник, а ''G'' е гравитациската константа. Ако ''ρ'' = ''M''/''V'' биде средната густина на телото, ова можеме да го претставиме и како
:<math>g = \frac{4\pi}{3} G \rho r</math>
така што, за предодредена средна густина, површинската гравитација ''g'' е сразмерна на полупречникот ''r''.
Бидејќи гравитацијата е обратносразмерна на квадратот на растојанието, вселенска станица 400 км над Земјата ќе ја чувствува истата влеча што ја чувствуваме ние на површината. Станицата не паѓа на Земјата не поради отсуството на гравитација, туку бидејќи е во слободнопадна орбита.
2 Несферно симетрични тела
Највеќето вистински небесни тела немаат апсолутна сферна симетрија, бидејќи при нивното вртење, на нив дејствуваат гравитациската влеча и центрифугалната сила. Ова предизвикува извесно сплеснување, што значи дека површинската гравитација им е помала на екваторот отколку на половите.
Оттука, разликите во површинската гравитација можат да послужат како показател за внатрешниот состав на телото и во минатото служело за пронаоѓање на нафтени лежишта.
3 Површинска гравитација на црна дупка
Кога работиме со релативност, Њутновото поимување на забрзувањето не е доволно точен. Кај една црна дупка, која мора да се разгледува релативистички, површинската гравитација не може да се определи како забрзувањето на пробно тело на површината на објектот. Телото кое навлегува во хоризонтот на настани на црната дупка има бесконечно големо забрзување. Поради ова, се користи ренормализирана вредност која соодветствува на Њутновата вредност во нерелативистичката граница. Ова начелно е месното сопствено забрзување (кое се разидува во хоризонтот) помножено со чинителот на гравитациско истегнување на времето (кој доаѓа до нула во хоризонтот). Кај Шварцшилдовиот случај, оваа вредност е математички уредна за сите ненуларни вредности на ''r'' и ''M''.
Површинската гравитација на една црна дупка се поимува по аналогија на Њутновата површинска гравитација, иако всушност не е добро определена и знаеме дека не се работи за истата законитост. Сепак, можеме да ја определиме површинската гравитација чиј хоризонт на настани е Килингов хоризонт.
Површинската гравитација <math>\kappa</math> за неподвижен Килингов хоризонт е забрзувањето, as exerted at infinity, потребно за телото да се задржи на хоризонтот. Математички, ако <math>k^a</math> е соодветно нормализиран Килингов вектор, тогаш површинската гравитација е определен со
:<math>k^a \,\nabla_a k^b = \kappa k^b,</math>
каде равенката се вреднува на хоризонтот. За неподвижен и асимптотски рамен времепростор, треба да се одбере нормализација така што <math>k^a k_a \rightarrow -1</math> како <math>r\rightarrow\infty</math> и така што <math>\kappa \geq 0</math>. Кај Шварцшилдовото решение, велиме дека <math>k^a</math> е временскипреводниот Килингов вектор <math>k^a\partial_a = \frac \partial {\partial t}</math>, а поопшто гледано, кај Кер-Њумановото решение земаме <math>k^a\partial_a = \frac{\partial}{\partial t} + \Omega \frac{\partial}{\partial\varphi}</math>, линеарниот сплет на временскиот превод и осната симетрија на Килинговите вектори ќе бидат нула во хоризонтот, при аголна брзина <math>\Omega</math>.
3.1 Шварцшилдово решение
Бидејќи <math>k^a</math> е Килингов вектор, <math>k^a \,\nabla_a k^b = \kappa k^b </math> подразбира <math> -k^a \,\nabla^b k_a = \kappa k^b</math>. Во <math>(t,r,\theta,\varphi)</math>, координатите се <math>k^a=(1,0,0,0)</math>. Ако истите ги замениме со напредните Едингтон–Финкелштајнови координати, <math>v = t+r+2M\ln |r-2M|</math> прави метриката да го добие обликот
:<math>ds^2 = -\left(1-\frac{2M} r \right)\,dv^2+2\,dv\,dr+r^2 \left(d\theta^2+\sin^2\theta\, d\varphi^2\right).</math>
Со општа смена на координатите, Килинговиот вектор се преобразува во <math>k^v = A_t^v k^t</math> давајќи ги векторите <math>k^{a'}=(1,0,0,0)</math> and <math>k_{a'} = \left(-1+\frac{2M} r ,1,0,0\right).</math>
Знаејќи дека ''b'' = ''v'' е ставка за <math>k^a \,\nabla_a k^b = \kappa k^b</math>, се добива диференцијалната равенка <math>-\frac 1 2 \frac \partial {\partial r} \left( -1+\frac{2M} r \right) = \kappa.</math>
Затоа, површинската гравитација за Шварцшилдовото решение со маса <math>M</math> изнесува <math>\kappa = \frac 1 {4M}.</math>
3.2 Керово решение
Површинската гравитација за ненаелектризирана црна дупка која се врти просто ќе биде
:<math>\kappa = g - k , </math>
при што <math>g = \frac 1 {4M}</math> е Шварцшилдовата површинска гравитација, а <math>k := M \Omega_+^2 </math> е пружинската константа за вртечката црна дупка. <math>\Omega_+</math> е аголната брзина во хоризонтот на настани. Овој израз ја дава простата Хокингова температура <math> 2\pi T = g - k </math>.
3.3 Кер-Њуманово решение
Површинската гравитација за Кер-Њумановото решение е
:<math>\kappa = \frac{r_+ - r_-}{2(r_+^2+a^2)} = \frac{\sqrt{M^2-Q^2-J^2/M^2{2M^2-Q^2 + 2M \sqrt{M^2-Q^2-J^2/M^2,</math>
каде <math>Q</math> е електричниот набој, <math>J</math> е моментот на импулсот, па определуваме дека <math>r_\pm := M \pm \sqrt{M^2-Q^2-J^2/M^2}</math> ќе бидат местоположбите на двата хоризонта, а <math>a := J/M</math>.
3.4 Динамички црни дупки
Површинската гравитација кај неподвижните црни дупки е добро утврдена бидејќи сите вакви имаат хоризонт кој е Килингов. Во поново време се прават напори за определување на површинската гравитација на динамичките црни дупки чиј времепростор не допушта Килингово векторско поле. Разни научници имаат предложено неколку определби, и засега никој нема утврдено која од нив е исправна.