Диференцијална равенка

Диференцијална равенка — математичка равенка што ги поврзува функција со нејзините изводи. Всушност, функциите најчесто претставуваат физички величини а изводите се нивните чекори на промена, и притоа равенката го покажува заемодејството меѓу двете. Бидејќи ваквите односи се крајно чести, диференцијалните равенки имаат важна улога во многу дисциплини како што се: инженерството, физиката, економијата и биологијата.
Во чистата математика, диференцијалните равенки се изучувани од различни гледишта, најчесто се изнаоѓаат нивните решенија, збирот на функции кои важат за равенката. Само наједноставните диференцијални равенки се решливи со експлицитни равенки, сепак, некои својства на решенијата на дадена диференцијална равенка можат да се определат без да се определи нивниот точен облик.
Во равенка за која не е можно да се добие решение, решението може да се добие приближно бројчено со употреба на сметачи. Теоријата на динамички системи осврнува на квалитативната анализа на системите опишани со диференцијалните равенки, додека пак многуте бројчени методи кои се развиени за определување на решенијата имаат определена точност.
1 Историја
Диференцијалните равенки првпат се појавуваат со осмислувањето на инфинитизималното сметање од страна на Њутн и Лајбниц. Во второто поглавје на неговото дело од 1671 година "Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum", Исак Њутн набројува три вида на диференцијални равенки:
:<math>
\begin{align}
& \frac {dy}{dx} = f(x) \\[5pt]
& \frac {dy}{dx} = f(x,y) \\[5pt]
& x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y
\end{align}
</math>
тој ги разрешува овие примери со употреба на бесконечни низи и го дискутира нееднаквоста на решенијата.
Јакоб Бернули ја создал Бернулиевата диференцијална равенка во 1695 година. Станува збор за обична диференцијална равенка со облик
:<math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>
за која следната година Лајбниц изнашол решенија со нејзино упростување.
Историски, проблемот на жица која вибрира како кај музичките инструменти биле изучувани од страна на Жан ле Рон Даламбер, Леонард Ојлер, Даниел Бернули и Жозеф-Луј Лагранж. Во 1746 година, Даламбер ја открива еднодимензионалната бранова равенка, а по десетина години Ојлер ја открива тридимензионалната бранова равенка.<ref name=Speiser>Speiser, David. '''', p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
Ојлер-Лагранжовата равенка била развиена во 1750-ите од страна на Ојлер и Лагранж и се надоврзувала на нивните изучувања на тавтохроните криви. Станува збор за определување на крива на која честичка со маса ќе се движи до определена точка за определено време, независно од почетната точка.
Лагранж го разрешил оој проблем во 1755 година и му го испратил решението на Ојлер. Двајцата го доразвиле Лагранжовиот метод и го примениле во механиката, што довело до создавањето на Лагранжовата механика.
Фурје ја објавил својата работа за топлинскиот пренос во делото ''Théorie analytique de la chaleur'' (Аналитичка теорија на топлината), во која тој своето мислење го заснова на Њутновиот закон за ладење, имено, дека преносот на топлината меѓу двете соседни молекули е пропорционален со крајно малата разлика на нивните температури. Во оваа книга го има и Фурјеовиот предлог за неговата топлинска равенка за спроводна дифузија на топлината. Оваа парцијална диференцијална равенка сега се изучува од секој студент на математичка физика.
2 Пример
На пример, во класичната механика, движето на телото е опишано со неговата местоположба и брзината како што времето се менува. Њутновите закони овозможуваат (ако се знае местоположбата, брзината, забрзувањето и различните сили кои дејствуваат на телото) да се изразат овие променливи динамички како диференцијална равенка за непознатата положба на телото како функција од времето.
Во некои случаи, оваа диференцијална равенка (наречена равенка на движење) може да се реши експлицитно.
Пример за моделирање на вистинит проблем користејќи ги диференцијалните равенки е определување на брзината на топка која паѓа низ воздухот, земајќи ги предвид само гравитацијата и отпорот на воздухот. Забрзувањето на топката кон површината е забрзувањето поради гравитацијата минус забрзувањето од отпорот на воздухот. Гравитацијата се смета за константа, а пак отпорот на воздухот може да се моделира како пропорционално зависен од брзината на топката. Ова значи дека забрзувањето на топката, кое е извод на брзината, зависи од брзината ( брзината зависи од времето). Определувањето на брзината како функција од времето вклучува разрешување на диференцијална равенка и потврдување на нејзината точност.
3 Видови
Диференцијалните равенки можат да се поделат на неколку видови. Покрај опишувањето на својствата на самата равенка, овие класи на диференцијални равенки можат да помогнат во изборот за пристап кон решение. Обично користените разлики вклучуваат дали равенката е: обична/парцијална, линиска/нелиниска и хомогена/нехомогена. Овој список не е исцрпен, постојат многу својства и подкласи на диференцијални равенки кои можат да бидат многу корисни определени случаи.
3.1 Обични диференцијални равенки
Обична диференцијална равенка е равенка која содржи функција со една независна променлива и нејзините изводи. Поимот „''обична''“ како спротивност на поимот парцијална диференцијална равенка, која може да има повеќе од една независна променлива.
Линиските диференцијални равенки, кои имаат решенија кои можат да се собираат или множат со коефициенти, се добро дефинирани и разбрани, и се добиваат точно определени решенија. За споредба, ОДР кои имаат недостиг на собирни решенија се нелиниски, и нивното разрешување е доста посложено, бидејќи многу ретко можат да се определат како елементарни функции во затворен облик: наместо ова, точните и аналитичките решенија на ОДР се во низа или интегрален облик. Графичките и бројчени методи, пресметани рачно или пак комјутерски, можат да ги добијат приближните решенија за ОДР и да дадат корисна информација, и се задоволителни кога немаме точни, аналитички решенија.
3.2 Парцијални диференцијални равенки
Парцијална диференцијална равенка (''ПДР'') е диференцијална равенка која содржи непозната повеќепроменлива функција и нивните парцијални изводи. (ова е во спротивност со обичната диференцијална равенка, каде функцијата има една единствена променлива и единечен извод.) ПДР се користат за да се опишат проблемите кои вклучуваат функции со неколку променливи, и се разрешени во затворен облик, или се користат да се создаде важен компјутерски модел.
ПДР можат да се употребат за да се опишат бројни појави како што се: звук, топлина, електростатика, електродинамика, динамика на флуиди, еластичност или квантна механика. Овие навидум различни физички појави можат да се прикажат со ПДР на сличен начин. Како што обичните диференцијални равенки честопати ги моделираат еднодимензионалните динамички системи, парцијалните диференцијални равенки четопати ги моделираат повеќедимензионалните системи. ПДР се воопштени во стохастичките парцијални диференцијални равенки.
3.3 Линиски диференцијални равенки
Диференцијалната равенка е ''линиска'' ако непознатата функција и нејзините изводи имаат
''степен'' 1 (производите на непознатата функција и нејзините изводи не се дозволени) и во спротивно се ''нелиниски''. Карактеристичното својство на линиските равенки е дека нивните решенија образуваат афинов потпростор од соодветен ункциски простор, кој доведува до поразвиена теорија за линиските диференцијални равенки.
''Хомогени'' линиски диференцијални равенки се подкласи на линиски диференцијални равенки за кои просторот на решенија е линиски потпростор т.е. збирот на секој збир на решенија или рупи на решенија е исто така решение. Коефициентите на непознатите функции и нејзините изводи кај линиската диференцијална равенка се дозволени да бидат познати функции од независна променлива или променливи, ако овие коефициенти се постојани тогаш станува збор за ''линиска диференцијална равенка со константни коефициенти''.
3.4 Нелиниски диференцијални равенки
Нелиниски диференцијални равенки се добиваат кога ''производите на непознатата функција и нејзините изводи'' се дозволени и нивниот степен е > 1. Постојат многу малку методи за точно разрешување на нелиниските диференцијални равенки, тие кои се познати вообичаено се зависни од симетриите на равенката. Нелиниските диференцијални равенки може да имаат сложено однесувае во подолги временски периоди, карактеристични за хаосот. Дури и основниоте прашања за постоењето, уникатноста и постојаноста на решенијата за нелиниските диференцијални равенки, и добропоставеноста на проблемот со почетната и граничната вредност на нелиниските ПДР се сложени проблеми и нивното разрешување во специјални случаи се смета за значаен напредок на математичката теорија (сл. Навие–Стоксова суштественост и глаткост). Сепак, ако диференцијалните равенки се точен приказ на значаен физички процес, тогаш може да се очекува истиот да има решение.
Линиските диференцијални равенки честопати се појавуваат како приближности на нелиниските равенки. Овие приближности се само важечки под одредени услови. На пример, равенката на хармонискиот осцилатор е приближност за нелиниската равенка за нишало која ажи за мали осцилации (Погледајте подолу).
3.5 Степени на равенки
Диференцијалните равенки се опишани според нивниот степен, определен од условот на највисоките изводи. Равенката која има само први изводи е ''диференцијална равенка од прв степен'', равенка која го содржи вториот извод се ''диференцијални равенки од втор степен'' итн. Диференцијалните равенки кои ги опишуваат природните појави скоро секогаш имаат прв или втор степен на извод, но постојат некои исклучоци како што е равенката на тенок филм која е диференцијална равенка на четврти степен.
3.6 Примери
Во првата група на примери, нека ''u'' биде непознатата функција за ''x'', а пак ''c'' и ''ω'' познати константи. Да се има предвид дека и обичните и парцијалните диференцијални равенки се класифицирани како ''линиски'' и ''нелиниски''.
* Нехомогена линиска обична диференцијална равенка од прв ред со константен коефициент:
:: <math> \frac{du}{dx} = cu+x^2. </math>
* Хомогена линиска обична диференцијална равенка од втор ред:
:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. </math>
* Хомогена линиска обична диференцијална равенка од втор степен со константен коефициент со која се опишува хармонискиот осцилатор:
:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. </math>
* Нехомогена обична диференцијална равенка од прв степен:
:: <math> \frac{du}{dx} = u^2 + 4. </math>
* Нелиниска (синусна функција) обична диференцијална равенка од втор степен со која се опишува движењето на нишало со должина ''L'':
:: <math> L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0. </math>
Во следната група на примери, непознатата функција ''u'' зависи од две променливи ''x'' и ''t'' или ''x'' и ''y''.
* Хомогена линиска парцијална диференцијална равенка од прв степен:
:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. </math>
* Хомогена линиска парцијална равенка од втор степен со константен коефициент од елиптичен вид, Лапласова равенка:
:: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. </math>
:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. </math>
4 Постоење на решенија
Решавањето на диференцијалните равенки не е исто како и решавањето на алгебарските равенки. Не само што нивните решенија се честопати нејасни, но дали и тие се единствени или пак постојат се значајни теми од интерес.
За проблемте со почетна вредност од прв ред, Пеановата теорема дава еден збир на услови според кои постои решение. За една дадена точка <math>(a,b)</math> во xy-рамнината, се дефинира некоја правоаголна област <math>Z</math>, така што <math>Z = [l,m]\times[n,p]</math> и <math>(a,b)</math> е внатрешноста на <math>Z</math>. Доколку пак имаме диференцијална равенка <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x,y)</math> и условот дека <math>y=b</math> кога <math>x=a</math>, тогаш имаме решение на овој проблем ако <math>g(x,y)</math> и <math>\frac{\partial g}{\partial x}</math> се продолжение на <math>Z</math>. Ова решение постои во определен интервал со својот центар во <math>a</math>. Решението можеби не е единствено. (Погледајте Обична диференцијална равенка за други резултати.)
Сепак, ова помага со проблеми од прв ред со почетна вредност. Да претпоставиме дека ние имаме проблем со линиска почетна вредност од n-ти степен:
:<math>
f_{n}(x)\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x} + f_{0}(x)y = g(x)
</math>
така што
:<math>
y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, y''(x_{0}) = y''_{0}, \cdots
</math>
За секое ненулто <math>f_{n}(x)</math>, ако <math>\{f_{0},f_{1},\cdots\}</math> и <math>g</math> се непрекинати за некој интервал кој содржи <math>x_{0}</math>, <math>y</math> е единствено и истото постои.
5 Програмска опрема
* ExpressionsinBar
* Maple: dsolve
* SageMath
* Xcas: desolve(y'=k*y,y)
6 Поврзано
*Сложена диференцијална равенка
*Точна диференцијална равенка
*Функционална диференцијална равенка
*Почетен услов
*Интегрална равенка
*Бројчени методи
*Пикар–Линделефова теорема
7 Наводи
8 Дополнителна литература
* P. Abbott and H. Neill, ''Teach Yourself Calculus'', 2003 pages 266-277
* P. Blanchard,R. L. Devane, G. R. Hall, ''Differential Equations'', Thompson, 2006
* E. A. Coddington and N. Levinson, ''Theory of Ordinary Differential Equations'', McGraw-Hill, 1955
* E. L. Ince, ''Ordinary Differential Equations'', Dover Publications, 1956
* W. Johnson, , John Wiley and Sons, 1913, in
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. .
* R. I. Porter, ''Further Elementary Analysis'', 1978, chapter XIX Differential Equations
*
* D. Zwillinger, ''Handbook of Differential Equations (3rd edition)'', Academic Press, Boston, 1997.