Список на определени интеграли

Во математиката, определениот интеграл:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx</math>
е површината од областа на ''xy''-рамнината ограничена од графиконот на ''f'', ''x''-оската и линиите ''x'' = ''a'' и ''x'' = ''b'', така што површината над ''x''-оската се додава на вкупниот збир, а под ''x''-оската се одзема од вкупната сума.
Основната теорема на анализата воспоставува однос меѓу неопределените и определените интеграли и воведува техника за пресметување на определените интеграли.
Ако интервалот е бесконечен, определениот интеграл се нарекува ''несвојствен интеграл'' и се определува користејќи соодветни процедури на лимитирање. На пример:
:<math>\int_a^\infty f(x)\, dx=\lim_{b\to\infty}\left[\int_a^b f(x)\, dx\right]</math>
Константа, како пи, која може да биде дефинирана со интеграла на алгебарска функција во алгебарски домен е позната како периода.
Следи списокот на најчестите определени интеграли. Списокот на неопределени интеграли е дадени во списокот на неопределени интеграли.
1 Определени интеграли од рационални или ирационални изрази
:<math>\int_0^\infty \frac{dx}{x^{2}+a^{2=\frac{\pi}{2a}</math>:<math>\int_0^\infty \frac{x^{m}dx}{x^{n}+a^{n=\frac{\pi a^{m-n+1{n\sin\left(\dfrac{m+1}{n}\pi\right)}\quad \mbox{for } 0<m+1<n</math>:<math>\int_0^\infty \frac{x^{p-1}dx}{1+x}=\frac{\pi}{\sin(p\pi)}\quad \mbox{for } 0
:<math>\int_0^\infty \frac{x^m dx}{1+2x\cos\beta+x^{2=\frac{\pi}{\sin(m\pi)}\cdot\frac{\sin(m\beta)}{\sin(\beta)}</math>:<math>\int_0^a \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2=\frac{\pi}{2} </math>:<math>\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}</math>:<math>\int_0^a x^m (a^n-x^n)^p\,dx=\frac{a^{m+1+np}\Gamma\left(\dfrac{m+1}{n}\right)\Gamma(p+1)}{n\Gamma \left(\dfrac{m+1}{n}+p+1\right)}</math>:<math>\int_0^\infty \frac{x^m dx}{({x^n+a^n)}^r}=\frac{(-1)^{r-1}\pi a^{m+1-nr}\Gamma\left(\dfrac{m+1}{n}\right)}{n\sin\left(\dfrac{m+1}{n}\pi\right)(r-1)!\,\Gamma \left(\dfrac{m+1}{nr+1\right)}\quad \mbox{for } n(r-2)<m+1<nr</math>
2 Определени интеграли од тригонометриски функции
:<math>\int_0^\pi \sin(mx)\sin(nx)dx=\begin{cases}
0 & \text{ако } m\ne n \\ \\
\dfrac{\pi}{2} & \text{ако } m=n
\end{cases}
\quad\text{за } m,n \text{ позитивни цели броеви}</math>:<math>\int_0^\pi \cos(mx)\cos(nx)dx=\begin{cases}
0 & \text{if } m\ne n \\ \\
\dfrac{\pi}{2} & \text{ако } m=n
\end{cases}
\quad\text{за } m,n \text{ позитивни цели броеви}</math>:<math>\int_0^\pi \sin(mx)\cos(nx)dx=\begin{cases}
0 & \text{if } m+n \text{ even} \\ \\
\dfrac{2m}{m^{2n^{2 & \text{ако } m+n \text{ непарен}
\end{cases}
\quad\text{за } m,n \text{ цели броеви}.</math>:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2\sin^2(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2\cos^2(x)dx=\frac{\pi}{4}</math>:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2\sin^{2m}(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2\cos^{2m}(x)dx = \frac{1\times3\times5\times\cdots\times(2m-1)}{2\times4\times6\times\cdots\times2m}\cdot\frac{\pi}{2}\quad\mbox{for }m=1,2,3\ldots</math>:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2\sin^{2m+1}(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2\cos^{2m+1}(x)dx = \frac{2\times4\times6\times\cdots\times2m}{1\times3\times5\times\cdots\times(2m+1)}\quad\mbox{for }m=1,2,3\ldots</math>:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2\sin^{2p-1}(x)\cos^{2q-1}(x)dx = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{2\Gamma(p+q)}=\frac{1}{2} \text{B}(p,q)</math>:<math>\int_0^\infty \frac{\sin(px)}{x}dx=\begin{cases}
\dfrac{\pi}{2} & \text{ако } p>0 \\
\\
0 & \text{ако } p=0 \\
\\
-\dfrac{\pi}{2} & \text {ако } p<0
\end{cases}</math>:<math>\int_{0}^{\infty }\frac{\sin px\cos qx}{x}\ dx=\begin{cases}
0 & \text{ ако } q>p>0 \\
\\
\dfrac{\pi}{2}& \text{ ако } 0<q0
\end{cases}</math>:<math>\int_{0}^{\infty }\frac{\sin px \sin qx}{x^{2\ dx=\begin{cases}
\dfrac{\pi p}{2}& \text{ ако } 0
: <math>\int_{0}^{\infty} \frac{\sin ^{2}px}{x^{2\ dx=\frac{\pi p}{2}</math>:<math>\int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos px}{x^{2\ dx=\frac{\pi p}{2}</math>:<math>\int_{0}^{\infty} \frac{\cos px - \cos qx}{x}\ dx= \ln \frac {q}{p}</math>:<math>\int_{0}^{\infty} \frac{\cos px - \cos qx}{x^{2\ dx=\frac{\pi (q-p)}{2}</math>:<math>\int_{0}^{\infty} \frac{\cos mx}{x^{2}+a^{2\ dx=\frac{\pi}{2a}e^{-ma}</math>:<math>\int_0^\infty \frac{x \sin mx}{x^2+a^2}\ dx=\frac{\pi}{2}e^{-ma}</math>:<math>\int_0^\infty \frac{ \sin mx}{x(x^2+a^2)}\ dx=\frac{\pi}{2a^2}\left(1-e^{-ma}\right)</math>:<math>\int_0^{2\pi} \frac{dx}{a+b\sin x}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2</math>:<math>\int_0^{2\pi} \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2</math>:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2 \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{\cos^{-1} \left(\dfrac{b}{a}\right) }{\sqrt{a^2-b^2</math>:<math>\int_0^{2\pi} \frac{dx}{(a+b\sin x)^2}=\int_0^{2\pi} \frac{dx}{(a+b\cos x)^2}=\frac{2\pi a}{(a^2-b^2)^{3/2</math>:<math>\int_0^{2\pi} \frac{dx}{1-2a\cos x +a^2}=\frac{2\pi}{1-a^2} \quad \mbox{for } 0<a<1</math>:<math>\int_0^{\pi} \frac{x \sin x\ dx}{1-2a\cos x +a^2}=\begin{cases}
\dfrac{\pi}{a}\ln\left|1+a\right| & \text{ако } |a|<1 \\ \\
\dfrac{\pi}{a} \ln\left|1+\dfrac{1}{a}\right| & \text{ако } |a|>1
\end{cases}</math>:<math>\int_0^{\pi} \frac{\cos mx\ dx}{1-2a\cos x +a^2}=\frac{\pi a^m}{1-a^2} \quad \mbox{for } a^2<1\ , \ m=0,1,2,\dots</math>:<math>\int_0^\infty \sin ax^2\ dx=\int_0^\infty \cos ax^2= \frac{1}{2}\sqrt \frac{\pi}{2a}</math>:<math>\int_0^\infty \sin ax^n=\frac{1}{na^{1/n\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\sin\frac{\pi}{2n} \quad \mbox{for } n>1</math>:<math>\int_0^\infty \cos ax^n=\frac{1}{na^{1/n\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\cos\frac{\pi}{2n} \quad \mbox{for } n>1</math>:<math>\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt x}\ dx=\int_0^\infty \frac{\cos x}{\sqrt x}\ dx=\sqrt{\frac{\pi}{2</math>:<math>\int_0^\infty \frac{\sin x}{x^p}\ dx= \frac{\pi}{2\Gamma(p)\sin \left(\dfrac{p\pi}{2}\right)} \quad \mbox{for } 0
: <math>\int_0^\infty \frac{\cos x}{x^p}\ dx= \frac{\pi}{2\Gamma(p)\cos \left(\dfrac{p\pi}{2}\right)} \quad \mbox{for } 0
: <math>\int_0^\infty \sin ax^2\cos 2bx\ dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2a\left(\cos \frac{b^2}{a\sin\frac{b^2}{a}\right)</math>:<math>\int_0^\infty \cos ax^2\cos 2bx\ dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2a\left(\cos \frac{b^2}{a}+\sin\frac{b^2}{a}\right)</math>
3 Определени интеграли од експоненцијални функции
:<math>\int_0^\infty \sqrt{x}\,e^{-x}\,dx = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> (види и Гама функција)
:<math>\int_0^\infty e^{-ax}\cos bx \, dx=\frac{a}{a^2+b^2}</math>:<math>\int_0^\infty e^{-ax}\sin bx \, dx=\frac{b}{a^{2}+b^{2</math>:<math>\int_0^\infty \frac {x} \, dx=\tan^{-1}\frac{b}{a}</math>:<math>\int_0^\infty \frac {e^{-axe^{-bx{x} \, dx=\ln \frac{b}{a}</math>:<math>\int_0^\infty e^{-a x^2}\,dx = \frac{1}{2} \sqrt \frac {\pi} {a} \quad \mbox{for } a>0</math> (Гаусов интеграл)
:<math>\int_0^\infty {e^{-ax^{2}\cos bx\, dx=\frac {1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{ae^\left(\frac{-b^2}{4a}\right)</math>:<math>\int_0^\infty e^{-(ax^{2}+bx+c)}\, dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{ae^\left(\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\cdot \operatorname{erfc} \frac{b}{2\sqrt{a,\text{ каде }\operatorname{erfc}(p)=\frac{2}{\sqrt{\pi\int_p^\infty e^{-x^{2\, dx </math>:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(ax^{2}+bx+c)}\ dx=\sqrt {\frac{\pi}{ae^\left(\frac{b^2-4ac}{4a}\right)</math>:<math>\int_0^\infty x^{n}e^{-ax}\ dx=\frac{\Gamma (n+1)}{a^{n+1</math>:<math>\int_0^\infty{x^2 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{4} \sqrt \frac {\pi} {a^3} \quad \mbox{for } a>0</math>:<math>\int_0^\infty x^{2n} e^{-a x^2}\,dx
= \frac{2n-1}{2a} \int_0^\infty x^{2(n-1)} e^{-a x^2}\,dx
= \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1 \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}
= \frac{(2n)!}{n! 2^{2n+1 \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1} \quad \mbox{for } a>0\ ,\ n=1,2,3\ldots </math> (каде!! е двоен факториел)
:<math>\int_0^\infty{x^3 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{2 a^2} \quad \mbox{for } a>0</math>:<math>\int_0^\infty x^{2n+1} e^{-a x^2}\,dx
= \frac {n} {a} \int_0^\infty x^{2n-1} e^{-a x^2}\,dx
= \frac{n!}{2 a^{n+1 \quad \mbox{for } a>0\ ,\ n=0,1,2\ldots </math>:<math>\int_0^\infty x^m e^{-ax^2}\ dx=\frac{\Gamma\left(\dfrac{m+1}{2}\right)}{2a^\left(\frac{m+1}{2}\right)}</math>:<math>\int_0^\infty e^{\left(-ax^2-\frac{b}{x^2}\right)}\ dx=\frac{1}{2} \sqrt \frac{\pi}{a}e^{-2 \sqrt{ab</math>:<math>\int_0^\infty \frac {x}{e^x-1}\ dx=\zeta (2)= \frac {\pi^2}{6}</math>:<math>\int_0^\infty \frac {x^{n-1{e^x-1}\ dx=\Gamma (n)\zeta (n)</math>:<math>\int_0^\infty \frac {x}{e^x+1}\ dx=\frac{1}{1^2\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2\frac{1}{4^2}+\dots=\frac{\pi^2}{12}</math>:<math>\int_0^\infty \frac {\sin mx}{e^{2\pi x1}\ dx=\frac{1}{4} \coth\frac{m}{2 \frac{1}{2m}</math>:<math>\int_0^\infty \left(\frac {1}{1+x e^{-x}\right)\ \frac{dx}{x}=\gamma</math> (каде <math>\gamma</math> е Ојлерова-Маскерониева константа)
:<math>\int_0^\infty \frac {e^{-x^2e^{-x{x}\ dx=\frac{\gamma}{2}</math>:<math>\int_0^\infty \left(\frac {1}{e^x-1\frac{e^{-x{x}\right)\ dx=\gamma</math>:<math>\int_0^\infty \frac {e^{-axe^{-bx{x \sec px}\ dx=\frac{1}{2} \ln\frac{b^2+p^2}{a^2+p^2}</math>:<math>\int_0^\infty \frac {e^{-axe^{-bx{x \csc px}\ dx=\tan^{-1}\frac{b}{p\tan^{-1}\frac{a}{p}</math>:<math>\int_0^\infty \frac {e^{-ax}(1-\cos x)}{x^2}\ dx=\cot^{-1} a-\frac{a}{2}\ln\left|\frac{a^2+1}{a^2}\right|</math>:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}</math>:<math>\int_{-\infty}^\infty x^{2(n+1)}e^{-\frac12 x^2}\,dx=\frac{(2n+1)!}{2^n n!}\sqrt{2 \pi} \quad\mbox{for } n=0,1,2,\ldots </math>
4 Определени интеграли од логаритамски функции
:<math>\int_0^1 x^m (\ln x)^n \, dx=\frac{(-1)^n n!}{(m+1)^{n+1 \quad\mbox{for } m>-1, n=0,1,2,\ldots</math>:<math>\int_0^1 \frac{\ln x}{1+x}\, dx= -\frac{\pi^2}{12}</math>:<math>\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x}\, dx= -\frac{\pi^2}{6}</math>:<math>\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{x}\, dx= \frac{\pi^2}{12}</math>:<math>\int_0^1 \frac{\ln (1-x)}{x}\, dx= -\frac{\pi^2}{6}</math>:<math>\int_0^\infty \frac{\ln(a^{2}+x^{2})}{b^{2}+x^{2\ dx = \frac{\pi}{b} \ln (a+b)\quad\mbox{for } a,b>0</math>:<math>\int_0^\infty\frac{\ln x}{x^2+a^2}\ dx = \frac{\pi \ln a}{2a}\quad\mbox{for } a>0</math>
5 Определени интеграли од хиперболични функции
<math>\int_0^\infty \frac{\sin ax}{\sinh bx}\ dx=\frac {\pi}{2b}\tanh \frac{a \pi}{2b}</math><math>\int_0^\infty \frac{\cos ax}{\cosh bx}\ dx=\frac {\pi}{2b}\cdot\frac{1}{\cosh \frac{a \pi}{2b</math><math>\int_0^\infty \frac{x}{\sinh ax}\ dx=\frac{\pi^2}{4a^2}</math><math>\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\cosh x}\ dx = \pi</math>
6 Фруланиеви интеграли
<math>\int_{0}^{\infty }\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\ dx=\left(\lim_{x \to 0}f(x)-\lim_{x \to \infty}f(x)\right) \ln \left(\frac{b}{a} \right)</math> важи доколку интегралот постои и <math>f'(x)</math> е континуална.
7 Поврзано
* Список на интеграли
* Бесконечна сума
* Гама-функција
* Список на лимеси
8 Наводи
**