Нормалност (математика)

Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) нормални ако се сечат под прав агол, т.е. под агол со 90&deg;. Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формираат со пресекот се по 90&deg;.
*Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои ''лежат'' отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.*При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадратче..
Нормални прави., Нормални прави формираат 4 прави агли., Нормални отсечки., Означување на прав агол (нормалност).
1 Означување
Симбол за нормалност е <math>\perp</math> . На пример, <math>AB \perp CD</math> значи дека правите ''AB'' и ''CD'' се нормални. Симболот се совпаѓа со Буловиот симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така што не се мешаат.
*Нормалност како паралелност е ''симетрична'' особина, односно <math>AB \perp CD</math> е еквивалентно со <math>CD \perp AB</math> , па затоа едноставно велиме дека ''AB'' и ''CD'' се нормални.
*За разлика од паралелност, нормалност не е ''транзитивна'' особина. На против, ако <math>AB \perp CD</math> и <math>CD \perp EF</math> тогаш <math>AB \parallel EF</math> .
Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На мрежно место, т.е. во ХТМЛ се внесува &amp;perp; или &amp;#x22а5;. За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x. Во уникод има и симболи &amp;#x22BE; (&#x22BE;) и &amp;#x221F; (&#x221F;).
Во LaTeX, симболот <math>\perp</math> за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.
Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознака за прав агол, па се избере точка.
2 Нормални прави и наклон
Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик ''y''=''ax''+''b'', тогаш коефициентот ''a'' на ''x'' е наклонот на правата.
Основна поставка: Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1.
Пример: Правите ''y''= -3''x''+2 и ''y'' =<sup>''x''</sup>/<sub>3</sub>+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е ''a''<sub>1</sub>= -3, а наклонот на втората права е ''a''<sub>2</sub>=<sup>1</sup>/<sub>3</sub> така што ''a''<sub>1</sub>&middot;''a''<sub>2</sub>= -3&middot;<sup>1</sup>/<sub>3</sub> = -1.
Пример: Правите 2''x''-''y''+3=0 и ''x''-2''y''-1=0 не се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2&middot;<sup>1</sup>/<sub>2</sub>=1 (а не -1).
*Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
*Ако правата ''m'' е нормална на правата ''n'', a правата ''n'' е нормална на правата ''p'', тогаш правите ''m'' и ''p'' или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти).
: Доказ: Нека наклон на ''m'' e ''a''. Од нормалноста на ''m'' и ''n'', наклонот на ''n'' е <sup>-1</sup>/<sub>''a''</sub>. Од нормалноста на ''n'' и ''p'', наклонот на ''p'' е
::<math> \frac{-1}{ \left( \tfrac{-1}{a} \right) }=\frac{1}{ \left( \tfrac{1}{a} \right) }=a</math>.
3 Нормала на права низ точка во рамнина
Конструкција на нормала на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра. Види и навода!
3.1 Конструкција со шестар и линијар
Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права ''m'' која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на ''m''.#Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).
#Означи ја точката со буквата С.
#Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
#Со шестар нацртај една кружница со полупречник АС и центар А.
#Со шестар нацртај друга кружница со полупречник ВС и центар В.
#Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
#Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки.
Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.
3.2 Алгебарска равенка
Нека е дадена точка C со координати С=(''p'',''q'') и права
:<math>y = ax+b \,</math>
Равенката на права која минува низ ''С''(''p'',''q'') и е нормална на дадената права е
:<math>y = \frac{-1}{a}(x-p)+q \,</math>
Доказ: Наклонот на дадената права е ''a''. Според основната поставка, наклонот на (која било) нормала е <sup>−1</sup>/<sub>''a''</sub>. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (''p'',''q''). (Види и Формули за равенка на права.)
Пример: Равенката на нормалата на правата ''y''=3''x''+2 која минува низ точката (-1,-1) е: ''y''=<sup>''-x''</sup>/<sub>3</sub>-<sup>4</sup>/<sub>3</sub>.
4 Нормала и растојание
Нормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти.
4.1 Растојание помеѓу точка и права во рамнина
За да се пресмета растојание помеѓу точка ''C''=(''p'',''q'') и права ''m'', најпрво треба да се најде равенката на правата ''n'' која е нормална на правата ''m'', а минува низ точката ''C''. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка ''D'' на правите ''n'' и ''m''. Тогаш растојанието помеѓу ''С'' и ''m'' е растојанието помеѓу точките ''С'' и ''D''.
Пример: Нека точката ''C''=(-4,2), a правата ''m'' нека е дадена експлицитно ''y''=<sup>''x''</sup>/<sub>2</sub>-1. Тогаш наклонот на правата ''m'' e ½, така што наклонот на нормалата ''n'' е
:<math>\frac{-1}{\tfrac{1}{2=-2</math>
со што равенката на ''n'' e
:<math>y=-2(x-(-4))+2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\,y=-2x-6</math>
Пресекот на правите ''m'' и ''n'' е решение на систем линеарни равенки
:<math>\left\{ \begin{array}{l} y = \tfrac{x}{2} - 1\\ y = - 2x - 6 \end{array} \right.</math>
Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките ''С'' и ''D'' е
:<math> \delta = \sqrt{( - 4 - ( - 2))^2 + (2 - ( - 2))^2} = \sqrt{( - 2)^2 + 4^2} = \sqrt {20} \approx 4,47</math>
Следува дека растојанието помеѓу точката ''С'' и правата ''m'' е &#x2248;4,47
4.2 Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнина
Види паралелни прави
4.3 Растојание во 3Д простор
Види аналитичка геометрија
5 Нормали на крива
Во математичката дисциплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека ''y''=''f''(''x'') е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката ''x''<sub>o</sub> и дека вредноста на функцијата во таа точка е ''y''<sub>o</sub>=''f''(''x''<sub>o</sub>), а вредноста на изводот во таа точка е ''y''&#39;<sub>o</sub>=''y''&#39;(''x''<sub>o</sub>).
Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е
:<math>T:\,\,\, y=y_o^'(x-x_o)+y_o</math>
а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е:<math>N:\,\,\, y=\frac{-1}{y_o^'}(x-x_o)+y_o</math>
6 Нормалност и вектори
Основна поставка: Во аналитичка геометрија, два полупречнички вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)
7 Нормалност во 3Д простор
* Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.
Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е
:<math>\left\{ {\begin{array}{*{20}{l {x(t) = {x_1}+{a}t }\\ {y(t) = {y_1}+{b}t }\\{z(t) = {z_1}+{c}t } \end{array \right.</math> , <math>t \in \Re</math>
Рамнина зададена во општ облик е
:<math>Ax+By+Cz=D</math>
Поставка: Правата и рамнината се нормални ако полупречничките вектори &lt;''a'',''b'',''c''&gt; и &lt;''A'',''B'',''C''&gt; се колинеарни (линеарно зависни), односно ако
:<math>\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}</math>
Формула: Равенка на рамнина која е нормална со полупречник-векторот &lt;''a'',''b'',''c''&gt;, а врви низ точката C(''x''<sub>o</sub>,''y''<sub>o</sub>,''z''<sub>o</sub>) e
:<math>a(x-x_o)+b(y-y_o)+c(z-z_o)=0</math>* Во 3-димензионален простор, две рамнини се нормални ако нивниот просторен агол е прав агол. Види и аналитичка геометрија.
Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно
:<math>Ax+By+Cz=D</math>:<math>A_1x+B_1y+C_1z=D_1</math>
Поставка: Рамнините се нормални ако полупречничките вектори &lt;''A'',''B'',''C''&gt; и &lt;''A''<sub>1</sub>,''B''<sub>1</sub>,''C''<sub>1</sub>&gt; се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.
:<math>A \cdot A_1 + B \cdot B_1 + C \cdot C_1 = 0</math>
8 Обопштување
Нормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот ортогоналност во класична математика.
9 Поврзано
*Права (геометрија)
*Прав агол
*Наклон
*Паралелни прави
*Ортогоналност
*Аналитичка геометрија