Теорија на броевите

Теорија на броевите е гранка од математиката која се занимава со одликите на броевите, особено со целите, како и со пошироките класи на проблеми кои произлегуваат од оваа студија.
Изразот ''аритметика'' исто така се користи за теорија на броевите. Ова е стар израз кој веќе не е популарен колку што некогаш бил. Теоријата на броеви некогаш ја нарекувале''висша аритметика'', но ни овој израз веќе не е во употреба. Па сепак, изразот ''аритметика'' и понатаму се јавува во имињата на некои математички области (аритметички функции, аритметика на елиптичните криви, основна теорема на аритметика)та. Оваа смисла на изразот ''аритметика'' не треба да го мешаме ниту со елементарна аритметика, нити со гранката на логиката која ја проучува пеановата аритметиката како формален систем. Математичарите кои се занимаваат со теоријата на броевите се нарекуваат ''теоретичари на броеви''.
1 Области
1.1 Елементарна теорија на броевите
Во елементарната теорија на броевите, се проучуваат цели броеви без користење на техники од другите области на математика. Овде спаѓаат прашањата за деливост, користење на Евклидовиот алгоритам за пресметување на најголем заеднички делител, факторизација на цели броеви во прости броеве, проучување на савршени броеви и конгруенција. Неколку важни откритија од оваа област се Мала Фермаова теорема, Ојлерова теорема, Кинеска теорема за остаток и закон за квадратен реципроцитет. Својствата на мултипликативни функции покрај Мебијусовите функцији, Ојлеровите фи функции, низи на цели броеви, факторијел, и фибоначиевите броеви исто така спаѓаат во оваа област.
Многу прашања од областа на теоријата на броевите можат да се искажат во термините на елементарна теорија на броевите, но многу од нив бараат многу длабоко разгледување и нови пристапи кои се надвор од доменот на елементарната теорија на броевите. Меѓу ваквите примери се:
* Голдбахова претпоставка која се однесува на изразување на парните броеви како збирови на два прости броја.
* Каталанова претпоставка (сега Михаилескуова теорема) која се однесува на последователните степени на цели броеви.
* Претпоставка за прости близнаци, која зборува за бесконечноста на паровите на прости броеви.
* Колацова претпоставка која се однесува на проста итерација.
* Последна Фермаова теорема (изречена во 1637, но докажана дури во 1994) која тврди дека не е можно да се најдат цели броеви различни од нула ''x, y, z'', такви да <math>x^n + y^n = z^n</math> за некое целобројно ''n'' е поголемо од ''2''.
За теоријата на диофантски равенки е дури покажано дека е ''поколеблива'' (види десетти Хилбертов проблем).
1.2 Аналитичка теорија на броевите
Аналитичка теорија на броевите ја користи техниката на анализа и комплексна анализа за решавање на проблеми поврзани со цели броеви. Пример се теорема за прости броеви и поврзаната Риманова хипотеза. Исто така, за Ворингов проблем (претставување на дадениот цел број како собирок на квадрати, кубови итн.), конјектура за прости близнаци (наоѓање на бесконечно многу парови на прости броеви чија разлика е 2) и Голдбаховата конјектура (запишување на парни броеви како собирок на два прости броја) се користат аналитичките методи. Доказ на трансцендентноста на математичките константи, како што се пи или ''e'', исто така спаѓаат во аналитичка теорија на броевите. Иако може да изгледа дека исказите за трансцендентните броеви не спаѓаат во проучување на цели броеви, тие всушност претставуваат проучување на можни вредности на полиноми со целобројни коефициенти, пресметани да кажеме во ''e''; тие се исто така во блиска врска со полето на диофантска апроксимација, каде се истражува ''колку добро'' дадениот реалан број може да се апроксимира во рационален.
1.3 Алгебарска теорија на броевите
Во алгебарската теорија на броевите, концептот на број се проширува на алгебарски броеви кои се нули на полиноми со рационални коефициенти. Овие домени содржат елементи на аналогни цели броеви, таканаречени алгебарски цели броеви. Овде познатите својства на цели броеви (покрај единствена факторизација) не мораат да важат. Со помош на теоријата на Галоа, кохомологија на групи, класна теорија на поле, претставување на група и L-функција е можно во некој обем да се поврати тоа уредување за оваа нова класа на броеви.
Кон многу прашња од теоријата на броевите најлесно се приоѓа така што се проучуваат ''по модулот ''p'' за сите прости ''p''. Оваа се нарекува ''локализација'' и доведува до конструкција на p-адни броеви; оваа област се нарекува локална анализа и потекнува од алгебарската теорија на броевите.
1.4 Геометриска теорија на броевите
Геометриска теорија на броевите (традиционално кажана геометрија на броевите) вклучува некои основни геометриски поими во прашата на теоријата на броевите. Поаѓа од теорема на Минковски, а води до базични докази на коначноста на класниот број и Дирихлеова единечна теорема.
1.5 Комбинаторна теорија на броевите
Комбинаторна теорија на броевите се занимава со проблемите на теорија на броеви кои ги вклучуваат комбинаторните идеи во своите формулации или решенија. Пал Ердеш е главниот основач на оваа гранка на теоријата на броевите. Типичните теми на оваа област ги вклучуваат покривачки систем, проблем на нулта сума, и аритметички прогресии во собирокот на цели броеви. Во оваа област се корисни алгебарските и аналитичките методи.
1.6 Компјутерска теорија на броевите
Компјутерска теорија на броевите ги проучува алгоритмите кои се важни за теоријата на броеви. Брзите алгоритми за тестирање на простоста на бројот и факторизација на цели броеви имаат важни примени во криптографијата.