Идентитет (математика)

Идентитет — еднаквост што го поврзува математичкиот израз ''А'' со математичкиот израз ''Б'', така што ''А'' и ''Б'' (кои може да содржат некои променливи) произведуваат иста вредност за сите вредности на променливите во даден домен на дискурсот. Со други зборови, ''A'' = ''B'' е идентитет ако ''A'' и ''B'' ги дефинираат истите функции, а идентитетот е еднаквост помеѓу функциите што се различно дефинирани. На пример, <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math> и <math>\cos^2\theta + \sin^2\theta =1</math> се идентитети. Идентитетите понекогаш се означуваат со симболот за троен знак за еднаквост ( ), наместо знакот за еднаквост ( ). Формално, идентитетот е универзално квантифицирана еднаквост.
1 Заеднички идентитети
1.1 Алгебарски идентитети
Одредени идентитети, како на пр <math>a+0=a</math> и <math>a+(-a)=0</math>, ја образуваат основата на алгебрата, додека другите идентитети, како на пример <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2</math> и <math>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</math>, може да бидат корисни за поедноставување на алгебарските изрази и нивно проширување.
1.2 Тригонометриски идентитети
Геометриски, тригонометриски идентитети се идентитети кои вклучуваат одредени функции на еден или повеќе агли. Тие се разликуваат од идентитетите на триаголникот, кои се идентитети кои ги вклучуваат и аглите и должините на страните на триаголникот. Само првите се опфатени во оваа статија.
Овие идентитети се корисни секогаш кога изразите што вклучуваат тригонометриски функции треба да се поедностават. Друга важна апликација е интегралот на нетригонометриски функции: вообичаена техника која вклучува прво користење на правилото за замена со тригонометриска функција, а потоа поедноставување на добиениот интеграл со тригонометриски идентитет.
Еден од најистакнатите примери на тригонометриски идентитети ја вклучува равенката <math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1,</math> што е точно за сите реални вредности на <math>\theta</math>. Од друга страна, равенството
:<math>\cos\theta = 1</math>
важи само за одредени вредности <math>\theta</math>, и не сите. На пример, оваа равенка е точно кога <math>\theta = 0,</math> но неточно кога е <math>\theta = 2</math>.
Друга група на тригонометриски идентитети се однесува на таканаречените формули за собирање/одземање (на пример идентитетот со двоен агол <math>\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta</math>, формулата за додавање за <math>\tan(x + y)</math> ), што може да се користи за да се разделат изразите на поголемите агли на оние со помали конституенти.
1.3 Степенувани идентитети
Следниве идентитети важат за сите цели броеви, под услов основата да не е нула:
:<math>\begin{align}
b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
(b^m)^n &= b^{m\cdot n} \\
(b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n
\end{align}</math>
За разлика од собирањето и множењето, степенувањето не е комутативно. На пример, и , но додека .
Исто така, за разлика од собирањето и множењето, степенувањето исто така не е асоцијативно. На пример, и , но 2 <sup>3</sup> до 4 е 8 <sup>4</sup> (или 4,096 ) додека 2 до 3 е <sup>4</sup> 2 <sup>81</sup> (или 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Кога не се напишани загради, конвенцијата е од врвот до дното, а не од дното кон врвот:
:<math>b^{p^q} := b^{(p^q)} ,</math> доц <math>(b^p)^q = b^{p \cdot q}.</math>
1.4 Логаритамски идентитети
Неколку важни формули, кои понекогаш се нарекуваат ''логаритамски идентитети'' или ''логаритамски закони'', ги поврзуваат логаритмите еден со друг:
1.4.1 Производ, количник, степен и корен
Логаритмот на производот е збир од логаритмите на броевите што се множат; логаритамот на односот на два броја е разликата на логаритмите. Логаритмот на таа моќност на бројот е пати поголем од логаритамот на самиот број; логаритамот на тој корен е логаритам на бројот поделен со Следната табела ги наведува овие идентитети со примери. Секој од идентитетите може да се изведе по замена на дефинициите за логаритми <math>x=b^{\log_b x},</math> и/или <math>y=b^{\log_b y},</math> лево.
, Формула, Пример
производ, , <math>\log_3(243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3(9) + \log_3(27) = 2 +
количник, <math>\log_b\! \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y)</math>, <math>\log_2(16) = \log_2\!\left( \frac{64}{4} \right) = \log_2(64) - \log_2(4) = 6 -
степен, <cite><math>\log_b(x^p) = p \log_b(x)</math>, <math>\log_2(64) = \log_2(2^6) = 6 \log_2 (2) = 6</math>
коренот, <math>\log_b\! \sqrt[p]{x} = \frac{\log_b(x)} p</math>, <math>\log_{10}\! \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} = 1.5</math>
1.4.2 Промена на основата
Логаритмот log <sub>''b''</sub> ( ''x'' ) може да се пресмета од логаритмите ''на x'' и ''b'' во однос на произволна основа ''k'' користејќи ја следната формула:
:
Типичните научни калкулатори пресметуваат логаритми врз основа на 10 и ''e''. Логаритмите во однос на која било основа ''b'' може да се одредат со користење на кој било од овие два логаритми според претходната формула:
:<math> \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. </math>
Даден е број ''x'' и неговиот логаритам log<sub>''b''</sub>(''x'') на непозната основа ''b'', основата е дадена со:
:<math> b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.</math>
1.5 Идентитети на хиперболични функции
Хиперболичните функции задоволуваат многу идентитети, и сите од нив се слични по облик на тригонометриски идентитети. Всушност, правилото на Озборн вели дека може да се претвора кој било тригонометриски идентитет во хиперболичен идентитет со целосно проширување во однос на целобројните сили на синус и косинус, менување на синус во ''синх'' и косинус во ''кош'' и менување на знакот на секој член. кој содржи производ од парен број хиперболични синуси.
Гудермановата функција дава непосредна врска помеѓу тригонометриските и хиперболичните функции што не вклучува комплексни броеви.
2 Логика и универзална алгебра
Формално, идентитетот е вистинска универзално квантифицирана формула на формата <math>\forall x_1,\ldots,x_n: s=t,</math> каде што и се термини без други слободни променливи освен <math>x_1,\ldots,x_n.</math> Префикс на квантификатор <math>\forall x_1,\ldots,x_n</math> често останува имплицитно, кога формулата се наведува дека е идентитет. На пример, аксиомите на моноидите често се дадени како формули
:<math>\forall x,y,z: x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x: x*1=x, \quad \forall x: 1*x=x,</math>:
или накратко,
:<math>x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x, \qquad 1*x=x.</math>
Значи, овие формули се идентитети во секој моноид. Како и кај секоја еднаквост, формулите без квантификатори често се нарекуваат равенки. Со други зборови, идентитетот е равенка која е точна за сите вредности на променливите.