Паскалово правило

Паскалово правило — комбинаторно равенство за биномни коефициенти. Според правилото, за секој природен број ''n'' важи:
:<math>{n-1\choose k} + {n-1\choose k-1} = {n\choose k}\quad\text{for }1 \le k \le n </math>
каде <math>{n\choose k}</math> е биномен коефициент. Ова обично се запишува и како:
:<math>
{n \choose k} + {n \choose k-1} = {n + 1 \choose k} \quad\text{for } 1 \le k \le n + 1
</math>
Правилото е именувано по францускиот математичар Блез Паскал.
1 Комбинаторен доказ
Паскаловото правило има интуитивно комбинаторно значење. Ако се потсетиме дека <math>{a\choose b}</math> означува на колку многу начини може да се избере подмножество со ''b'' елементи од множество со ''a'' елементи. Поради тоа, десната страна на равенството <math>{n\choose k}</math> претставува пребројување за тоа на колку начини може да се избере подмножество со ''k'' елементи од множество со ''n'' елементи.
Претпоставуваме дека во множеството со ''n'' елементи се разликува некој член ''x''. На тој начин, секој пат кога се избира подмножество со ''k'' елементи, постојат две можности: ''x'' се наоѓа во подмножеството или не. Ако ''x'' се наоѓа во подмножеството, потребно е да се изберат уште само ''k'' - 1 елементи (затоа што е познато дека ''x'' ќе биде во подмножеството) од преостанатите ''n'' - 1 елементи. Ова може да биде направено на <math>n-1\choose k-1</math>. Ако ''x'' не се наоѓа во подмножеството, потребно е да се изберат сите ''k'' елементи од ''n'' - 1 елементи што се разликуваат од ''x''. Ова може да биде направено на <math>n-1\choose k</math> начини. Оттука може да се заклучи дека бројот на начини за да избере подмножество со ''k'' елементи од множество со ''n'' елементи, што изнесува <math>{n\choose k}</math>, е исто така еднакво на <math>{n-1\choose k-1} + {n-1\choose k}.</math>
2 Алгебарски доказ
Во алгебарскиот доказ е потребно да се докаже следното:
:<math> { n \choose k } + { n \choose k-1 } = { n+1 \choose k }.</math>
Со разложување на десната страна од равенството се добива:
:<math>\begin{align}
{ n \choose k } + { n \choose k-1} & = \frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k - 1)!(n - k + 1)!} \\
& = n! \left[ \frac{n + 1 - k}{k!(n + 1 - k)!} + \frac{k}{k!(n + 1 - k)!}\right] \\
& = \frac{n!(n+1)}{k!(n + 1 - k)!} = \binom{n+1}{k}
\end{align}
</math>
3 Воопштување
Нека <math>n, k_1, k_2, k_3,\dots ,k_p, p \in \mathbb{N}^* \,\!</math> и <math>n=k_1+k_2+k_3+ \cdots +k_p \,\!</math>. Тогаш, следува дека:
:<math>
\begin{align}
& {} \quad {n-1\choose k_1-1,k_2,k_3, \dots, k_p}+{n-1\choose k_1,k_2-1,k_3,\dots, k_p}+\cdots+{n-1\choose k_1,k_2,k_3,\dots,k_p-1} \\
& = \frac{(n-1)!}{(k_1-1)!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{(n-1)!}{k_1!(k_2-1)!k_3!\cdots k_p!} + \cdots + \frac{(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots (k_p-1)!} \\
& = \frac{k_1(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{k_2(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \cdots + \frac{k_p(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} = \frac{(k_1+k_2+\cdots+k_p) (n-1)!}{k_1!k_2!k_3!\cdots k_p!} \\
= \frac{n(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!}
= {n\choose k_1, k_2, k_3, \dots , k_p}.
\end{align}
</math>
4 Поврзано
* Паскалов триаголник
5 Користена литература
* Merris, Russell. . John Wiley & Sons. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1