Генерализиранa кружница

Во геометријата, генерализирана кружница, понекогаш наречен ''клинија (cline)'' или ''кружна линија''''(circline)'', е права или кружница, криви со константна закривеност во Евклидовата рамнина.
Природната средина за генерализирани кружници е проширената рамнина, рамнина со една точка во бесконечност низ која се смета дека минува секоја права. За три различни точки во проширената рамнина, постои точно една генерализирана кружница што минува низ нив.
Генерализираните кружници понекогаш се среќаваат во Евклидовата геометрија, во која е добро дефиниран поимот растојание меѓу точки и во која секоја кружница има центар и радиус: точката во бескрај може да се смета дека е бесконечно оддалечена од секоја друга точка, a секоја права може да се разгледува како дегенерирана кружница без добро дефиниран центар и со бесконечно голем радиус (нулта кривина). Рефлексија во однос на права е Eвклидова изометрија (трансформација која ги запазува растојанијата) со која права се пресликува во права и кружница се пресликува во кружница; но инверзијата во однос на кружница не е изометрија, и ги менува растојанијата, а секоја права која не минува низ центарот на инверзијата ја пресликува во кружница која минува низ центарот на инверзијата, и обратно.
Сепак, генерализираните кружници се фундаментални за инверзната геометрија, во која кружниците и правите се сметаат за неразделни, точката во бесконечност не се разликува од која било друга точка, а поимите за закривеност и растојание помеѓу точки се игнорираат. Во инверзната геометрија, рефлексиите, инверзиите и поопшто нивните композиции, наречени Мебиусови трансформации, ги пресликуваат генерализираните кружници во генерализирани кружници и ги зачувуваат инверзивните односи помеѓу овие објекти.
Проширената рамнина може да се идентификува со сферата со помош на стереографска проекција. Точката во бесконечност тогаш станува обична точка на сферата, а сите генерализирани кружници стануваат кружници на сферата.
1 Проширена комплексна рамнина
Проширената Eвклидова рамнина можe да се идентификува со проширената комплексна рамнина, така што може да се користат равенки во кoмплексни броеви за да се опишат правите, кружниците и инверзиите.
1.1 Биваријантна линеарна равенка
Кружница <math>\Gamma</math> е множеството од точки <math>z</math> во рамнина кои се на растојание (радиус) <math>r</math> од централна точка <math>\gamma.</math>:<math>\Gamma(\gamma, r) = \{ z : \text{растојаниeто помеѓу } z \text{ и } \gamma \text{ е } r \} </math>
Во комплексната рамнина, <math>\gamma</math> е комплексен број и <math>\Gamma</math> е множество од комплексни броеви. Користејќи го својството дека комплексен број помножен со неговиот конјугиран е квадратот на неговиот модул (неговото Евклидово растојание од почетната точка), имплицитната равенка за <math>\Gamma</math> гласи:
:<math>\begin{align}
r^2 &= \left| z - \gamma \right|^2 = (z-\gamma)\overline{(z-\gamma)} \\[5mu]
0 &= z \bar z - \bar \gamma z - \gamma \bar z + \left(\gamma \bar \gamma - r^2\right).
\end{align}</math>
Ова е хомогена двоваријантна линеарна полиномна равенка во однос на комплексната променлива <math>z</math> и нејзиниот конјугат <math>\bar{z},</math> од обликот
:<math>
A z \bar z + B z + C \bar z + D = 0,
</math>
каде што коефициентите <math>A</math> и <math>D</math> се реални броеви, и <math>B</math> и <math>C</math> се комплексно конјугирани броеви.
Ако поделиме со <math>A</math> и одиме по горенаведените чекори во обратна насока, од која било равенка од овој облик може да се добијат радиусот <math>r</math> и центарот <math>\gamma</math>. Равенката претставува генерализирана кружница во рамнината кога <math>r</math> е реален број (кога <math>AD < BC</math> и квадратот на радиусот <math>r^2 = (BC - AD)/A^2</math> е позитивен). Ако <math>A=0</math>, со равенката е дефинирана права.
1.2 Комплексна реципрочна
Лесно се проверува дека со реципрочната трансформација <math>z \mapsto w = 1/z</math> генерализирани кружници се пресликуваат во генерализирани кружници:
:<math>\begin{align}
0 &= A z \bar z + B z + C \bar z + D \\[5mu]
&= \frac{A}{w\bar w} + \frac{B}{w} + \frac{C}{\bar w} + D \\[5mu]
&= A + B \bar w + C w + D w \bar w \\[5mu]
&= D \bar w w + C w + B \bar w + A .
\end{align}</math>
Права која минува низ координатниот почеток се пресликува во права која минува низ координатниот почеток. Права која не минува низ координатниот почеток се пресликува во кружница која минува низ координатниот почеток; кружница која минува низ координатниот почеток се пресликува во права не минува низ координатниот почеток; и кружница која не минува низ координатниот почеток се пресликува во кружница која не минува низ координатниот почеток.
1.3 Претставување со комплексна матрица
Дефинирачката равенка на генерализирана кружница
:<math>0 = A z \bar z + B z + C \bar z + D</math>
може да се запише како матрична равенка
:<math>
0 = \begin{pmatrix}z & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\bar{z} \\ 1 \end{pmatrix}.
</math>
Симболично,
:<math>0 = \mathbf{z}^\text{T} \mathfrak C \, \bar{\mathbf{z,</math>
при што коефициентите се членови на инверзибилна Хермитска матрица <math>\mathfrak C = {\mathfrak C}^\dagger</math> која ја претставува кружницата, и <math>\mathbf{z} = \begin{pmatrix} z & 1 \end{pmatrix}^\text{T}</math> е вектор што претставува елемент од проширената комплексна рамнина.
Две такви матрици ја одредуваат истата генерализирана кружница ако и само ако едната матрица се добива од другата преку множење со скалар.
За да се трансформира обопштена кружница претставена со <math>\mathfrak C</math> преку Мебиусовата трансформација <math>\mathfrak H,</math> се применува инверзната Мебиусова трансформација <math>\mathfrak G = \mathfrak H^{-1}</math> на векторот <math>\mathbf{z}</math> во имплицитната равенка,
:<math>\begin{align}
0 &= \left({\mathfrak G} \mathbf{z}\right)^\text{T}
\mathfrak C \,
\overline{(
\mathfrak G
\mathbf{z}
)} \\ [5mu]
&=
\mathbf{z}^\text{T}
\left({\mathfrak G}^\text{T} \mathfrak C \bar{\mathfrak G} \right)
\bar{\mathbf{z,
\end{align}</math>
па новата кружница може да се претстави со матрицата <math>{\mathfrak G}^\text{T} {\mathfrak C} \bar{\mathfrak G}.</math>