Очекувана вредност

Очекуваната вредност заедно со медијаната и модусот се параметри кои ја карактеризираат средната вредност. Очекуваната вредност на случајна променлива е пондериран просек на сите можни вредности кои оваа случајна променлива може да ги земе. Очекуваната вредност уште се нарекува математичко очекување или, во овој контекст, „аритметичка средина“. Во практиката поимот очекувана вредност на случајната променлива <math>{X}</math> се поистоветува со аритметичката средина на основната популација. Оттука следи равенката:
:<math> {E}[X]={M_x}={M}</math>
1 Историја
Идејата на очекуваната вредност потекнува од средината на 17 век од студијата на т.н. проблем на бодови. Проблемот бил: “Како да се поделат влоговите на фер начин меѓу два играчи, кои мораат да ја завршат својата игра пред таа да биде правилно завршена?“ Овој проблем бил дебатиран со векови и многу спротивставени предлози и решенија биле предложени во текот на годините. Во 1654 ова прашање му било поставено на Блез Паскал од страна на француски благородник Шевалие де Мере. Де Мере тврдел дека овој проблем не може да се реши и дека тоа покажува колку недостатоци има математиката кога станува збор за нејзината примена во реалниот свет. Паскал, како матемачар, бил испровоциран и решен да го реши проблемот еднаш и засекогаш. Тој почнал да разговара за проблемот во сега познатата серија на писма со Пјер де Фермат. Наскоро тие двајца самостојно излегле со решение. Проблемот бил решен на различни пресметковни начини, но резултатите биле идентични, бидејќи нивните пресметки се базирале на истиот принцип. Принципот бил дека вредноста на идната добивка треба да биде директно пропорционална со шансите за добивање. Презадоволни од фактот што пронашле во основа исто решение, тие биле истовремено и апсолутно убедени дека го решиле проблемот. Сепак, дотичните научници не ги објавувале своите пронајдоци. Тие само информирале мал круг на научници и пријатели во Париз.
Три години подоцна, во 1657, холандскиот математичар Кристијан Хајгенс, кој штотуку го посетил Париз, објавил расправа "Dе ratiociniis in ludo aleæ" за теоријата на веројатност. Во оваа книга бил проучуван проблемот на бодови и било дадено решение врз основа на истиот принцип како решенијата на Паскал и Ферма. Хајгенс, исто така, го проширил концептот на очекување со додавање на правила за тоа како да се пресметаат очекувањата во покомплицирани ситуации од оригиналот проблем (на пример, за три или повеќе играчи). Во оваа смисла, оваа книга може да се види како прв успешен обид со кој се положени темелите на теоријата на веројатност.
Во предговорот на својата книга, Хајгенс напишал: "Треба да се каже, исто така, дека веќе некое време некои од најдобрите математичари од Франција се занимавале со овој вид на анализа, така што никој не треба да ми ја припишува мене честа на првиот пронајдок. Таа не ми припаѓа мене. Но овие научници, иако ставајќи се на тест едни со други преку поставување на прашања тешки за решавање, ги сокриле своите методи. Поради тоа, јас морав да истражувам и да продрам длабоко во оваа проблематика тргнувајќи од основното а исто така и невозможно за мене. Од таа причина да тврдам дека сум почнал со истите принципи. Но, конечно најдов дека моите одговори во многу случаи не се разликуваат од нивните.”-цитирано од Едвардс (2002).
Подоцна во 1656, од неговата преписка со Карвари тој дознал дека неговиот метод во основа бил ист како на Паскал, така што пред неговата книга да излезе во печат во 1657, тој знаел за Паскаловиот приоритет во оваа тема. Ниту Паскал, ниту пак Хајгенс не го користеле терминот "очекување" во својата модерна смисла.
Повеќе од сто години подоцна, во 1814 година, Пјер Симон Лаплас го објавил своето дело “Theorie analytique des probabilites", каде што концептот на очекуваната вредност бил дефиниран експлицитно.
Оваа предност во теоријата на можности е производ на посакуваната сума и веројатноста за добивање на истата. Тоа делумно е сумата која треба да резултира кога не сакате да ризикувате, претпоставувајќи дека поделбата е направена пропорционално со веројатностите. Оваа поделба е единствено правична кога сите непознати околности се елиминирани, бидејќи еднаков степен на веројатност дава еднакво право за посакуваната сума. Ние ќе ја наречеме оваа предност математичка надеж.
Употреба на буквата <math>{E}</math> за означување на очекуваната вредност се поврзува со Ва Витворт во 1901 година. Симболот станал популарен, откако за англиските писатели означувала ''expectation'' („очекување“), за Германците ''Erwartungswert'' („очекувана вредност“), а за Французите ''espérance mathématique'' („математичко очекување“).
2 Очекувана вредност на прекината случајна променлива
Очекуваната вредност на прекинатата случајна променлива <math>{X}</math> претставува збир од производот на секоја можна вредност на <math>{X}</math> и соодветните веројатности. Формулата со која се изразува очекуваната вредност на дискретната случајна променлива е:
<math> \operatorname{E}[X] = x_1p_1 + x_2p_2 + \dotsb + x_np_n \;.</math>
Како објаснување може да послужи следниот пример: се фрла хомогена коцка, а бројот кој се појавува на коцката претставува случајна променлива <math>{X}</math> , нејзиниот распоред на веројатностите го претставуваме на следниот начин :
<math>{X}</math>, <math>{1}</math>, <math>{2}</math>, <math>{3}</math>, <math>{4}</math>, <math>{5}</math>, <math>{6}</math><math>{P_i} {=} {P(, <math>\frac{1}{6}</math>, <math>\frac{1}{6}</math>, <math>\frac{1}{6}</math>, <math>\frac{1}{6}</math>, <math>\frac{1}{6}</math>, <math>\frac{1}{6}</math>
Табелата ни го покажува распоредот на веројатности на <math>{X}</math> при едно фрлање коцка. При фрлање на коцка, секоја страна од коцката има еднакви шанси од <math>\frac{1}{6}</math> да се падне.
Врз основа на горенаведеното, очекуваната вредност на прекинатата случајна променлива X може да се пресмета како:
<math> \operatorname{E}[X] = 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 + 4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 = 3,5</math>
Овој резултат, <math> \operatorname{E}[X] = 3,5</math> претставува просечен очекуван резултат на сите можни опити, а не вредност која се очекува во статистичкиот експеримент.
3 Очекувана вредност на непрекината случајна променлива
Непрекинатата случајна променлива <math>{X}</math> може да се дефинира со законот на веројатностите <math>{f(x)}</math> за вредност од <math>{-\infty}</math> до <math>{+\infty}</math>. Очекуваната вредност кај континуираната случајна променлива се пресметува преку формулата:<math> \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \operatorname{d}x . </math>
4 Особини на математичкото очекување
# Ако <math>{X=c}</math>, каде што <math>{c}</math> е константа, тогаш <math>{E(c)=c}</math>#<math>{E(X+Y)=E(X)+ E(Y)}</math> за секои случајни променливи <math>{X}</math> и <math>{Y}</math>#<math>{E(cX)=cE(X)}</math>, каде што <math>{c}</math> е константа.
# Ако <math>{a}</math> ≤ <math>{X}</math>≤ <math>{b}</math>, тогаш и <math>{a}</math> ≤ <math>{E(X)}</math> ≤ <math>{b}</math>
Исто така, ако некоја случајна променлива ''Y'' е линеарна трансформација од друга случајна променлива ''X'', на пример, ''Y'' = a + b''X'', тогаш ''E''(a + b''X'') = a + b''E''(''X'').