Интегрално сметање

Интегрално сметање — една од основните и најважни дисциплини на математичката анализа. Значењето на интегралното сметање (заедно со диференцијалното сметање) е од огромно, не само за математиката, туку и општо за останатите природни науки.
Интегралното сметање може да се разгледува од различни аспекти. На пример, од една страна, интегрирањето е инверзна операција на диференцирањето; од друга страна пак, интегралот на дадена функција бројно ја/го определува определува плоштината/волуменот на фигура/тело во рамнината/просторот.
Основен поим во теоријата на интегралното сметање е поимот интеграл, а основна задача е решавањето на интегралите и изнаоѓањето на начини за нивното решавање.
Условно, интегралите можат да се поделат на неопределени и определени. Што е разликата помеѓу нив, ќе видиме подолу.
1 Неопределен интеграл
Вообичаено со разгледувањето на интегралите е да се почне со неопределените интеграли. Пред да го дефинираме неопределениот интеграл, ќе го воведеме поимот ''примитивна функција''. Имено, нека <math>\ f(x)</math> е произволна функција; за функцијата <math>\ F(x)</math> ќе речеме дека е примитивна за <math>\ f(x)</math> на интервалот <math>\ [a,b]</math> ако за секоја точка <math>\ x \in [a,b]</math> важи <math>\ F'(x) = f(x)</math>, каде со <math>\ F'(x)</math> е означен првиот извод на функцијата <math>\ F(x)</math>.
Ако <math>\ F_1(x)</math> и <math>\ F_2(x)</math> се примитивни за <math>\ f(x)</math> на даден интервал, тогаш тие се разликуваат за константа <math>\ C</math>, т.е.:
:<math>\ F_2(x) = F_1(x) + C</math>, или
:<math>\ F_2(x) - F_1(x) = C</math>, <math>\ C \in \mathbb{R}</math>
Дефинираме неопределен интеграл на дадена функција <math>\ f(x)</math>: под неопределен интеграл на функција се подразбира множеството од сите примитивни функции на таа функција, т.е.:
:<math>\ \int f(x)\ = {F(x) + C}</math>
каде <math>\ F(x)</math> е примитивна функција на <math>\ f(x)</math>, а <math>\ C \in \mathbb{R}</math> е произволен. Функцијата <math>\ f(x)</math> се нарекува подинтегрална функција или интегранд, а постапката на одредување на неопределениот интеграл, интегрирање.
Повообичаена ознака за интегралите (и неопределени и определени) е онаа која содржи „показател“ по која променлива е диференцирана подинтегралната функција:
:<math>\ \int f(x)\, dx</math> наместо <math>\ \int f(x)</math>
Овие „додавки“ (во случајов <math>\ dx</math>) се нарекуваат ''диференцијали'' и може да се рече дека потекнуваат од старата ознака за изводот на функцијата. Имено, имајќи предвид дека:
:<math>\frac{df(x)}{dx} = f'(x)</math>,
се добива дека
:<math>\ df(x) = f'(x)dx</math>
Изразот на десната страна кажува дека изводот на функцијата <math>\ f(x)</math> е пресметан во однос на променливата <math>\ x</math>, а под знакот на интеграл ова означува по која променлива се врши интеграцијата. Оваа „назнака“ е небитна и излишна кај функции од една променлива, но клучна кај функции од повеќе променливи.
1.1 Својства на неопределениот интеграл
Нека <math>\ f(x), g(x)</math> се функции дефинирани над исто множество. Интегрирањето ги има следниве својства:
1. Секоја функција <math>\ f(x)</math> е примитивна на својот (прв) извод. Навистина, согласно дефиницијата на примитивна функција:
:<math>\ [f(x)]' = f'(x)</math>
Според последново равенство може да заклучиме дека одредувањето на неопределен интеграл на дадена функција е обратна постапка (операција) на одредувањето на нејзиниот извод, т.е. точно е:
:<math>\int f'(x)\,dx = f(x) + C</math>
каде <math>\ C</math> е произволен реален број и се нарекува ''интеграциона константа''. Ќе го оправдаме нејзиното постоење согласно дефиницијата за примитивна функција: за произволен реален број <math>\ C</math> важи:
:<math>\ [f(x) + C]' = f'(x)</math>
Следи <math>\ f(x) + C</math> е примитивна за <math>\ f(x)</math>, значи припаѓа во множеството од примитивни функции кое по дефиниција е неопределениот интеграл на функцијата.
2. Хомогеност: ако <math>\ f(x)</math> има примитивна функција, тогаш за реален број <math>\ a \neq 0</math>, и функцијата <math>\ (a\cdot f)(x) = a\cdot f(x)</math> има примитивна функција и при тоа важи:
:<math>\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot \int f(x)\,dx</math>
3. Адитивност: ако <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> имаат примитивни функции, тогаш и функцијата <math>\ (f + g)(x) = f(x) + g(x)</math> исто така има примитивна функција и при тоа важи:
:<math>\int (f(x) + g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math>
Исто така за функцијата <math>\ (f - g)(x) = f(x) - g(x)</math> имаме:
:<math>\int (f(x) - g(x))\,dx = \int [f(x) + (-1)g(x)]\,dx =</math>:<math>\int f(x)\,dx + (-1)\cdot \int g(x)\,dx=</math>:<math>\int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math>
Согласно својствата 2. и 3., исто како и за диференцирањето, може да заклучиме дека ''интегрирањето е линеарна операција''.
2 Основни правила за интегрирање
Постојат две основни правила за интегрирање: интегрирање по делови (парцијална интеграција) и интегрирање со замена на променливата.
1. Интегрирање по делови (парцијална интеграција): нека <math>\ u(x)</math> и <math>\ v(x)</math> се диференцијабилни функции на даден интервал (или множество). Ако за функцијата <math>\ u'(x)v(x)</math> постои примитивна функција, тогаш таа постои и за <math>\ u(x)v'(x)</math> при што точно е следново равенство:
:<math>\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx</math>
или, истото равенство изразено преку диференцијалите:
:<math>\int u\,dv = uv - \int v\,du</math>
2. Интегрирање со смена на променливата: нека <math>\ F(z)</math> е примитивна за <math>\ f(z)</math> на некој интервал, а функцијата <math>\ \phi (x)</math> е диференцијабилна и определена така, што постои композицијата (составот, сложената функција):
:<math>\ f(\phi (x))</math>
Тогаш точно е равенството:
:<math>\int f(\phi(x)) \phi '(x)\,dx = F(\phi(x)) + C</math>
2.1 Таблица на основни интеграли
* Степенска функција:
:<math>\int x^p\,dx = \frac{x^{p + 1{p + 1} + C</math>, <math>p \neq -1</math>
Специјално, за <math>p = 0</math>:
:<math>\int dx\ = x + C</math>
додека за <math>p = -1</math>:
:<math>\int x^{-1}\,dx = \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C</math>* Експоненцијална функција:
:<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C</math>
Специјално, за <math>\ a = e</math>:
:<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math>* Тригонометриски и инверзни тригонометриски функции:
:<math>\int \sin x\,dx = - \cos x + C</math>:<math>\int \cos x\,dx = \sin x + C</math>:<math>\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg}x + C</math>:<math>\int \frac{dx}{\sin^2 x} = - \operatorname{ctg}x + C</math>:<math>\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2 = \arcsin x + C</math>:<math>\int \frac{dx}{1 + x^2} = \operatorname{arctg}x + C</math>
Честопати, како табличен (елементарен, основен) се наведува и интегралот:
:<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm k^2 = \ln \left|x + \sqrt{x^2 \pm k^2}\right| + C</math>
Од наведеното, се забележува дека елементарните функции како <math>\ \operatorname{tg}x, \operatorname{ctg}x, \ln x</math> немаат едноставни - таблични интеграли, односно не се интегрираат ''директно, непосредно''.
9 Примери
Основната задача при решавањето на интегралите е со помош на разни трасформации на подинтегралните функции и секако со помош на двете основни правила за интегрирање, тие да се сведат до таблични интеграли. Меѓутоа оваа постапка не секогаш е куса, лесна и очигледна.
* Да се пресмета: <math>I = \int \ln x\,dx</math>
Според правилото за интгрирање по делово, ставаме:
1. <math>u = \ln x \Rightarrow du = (\ln x)' = \frac{1}{x}\cdot dx</math>''Напомена:'' изводот е помножен со <math>\ dx</math> зашто истиот се „бара“ по <math>\ x</math>!
2. <math>dv = dx \Rightarrow v = \int dx\ = x</math>
Така имаме:
:<math>\int \ln x\,dx = x\cdot \ln{x} - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx</math>::<math> = x \ln x - \int dx = x \ln{x} - x = x (\ln x - 1) + C</math>
Значи: <math>\int \ln x\,dx = x (\ln x - 1) + C</math>* Да се пресмета: <math>I = \int \operatorname{tg}x\,dx</math>
Го разложуваме тангенсот согласно неговата дефиниција, па имаме:
:<math>I = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx</math>
Ставаме смена:
:<math>\ t = \cos x \Rightarrow dt = (\cos x)' = -\sin x dx</math>, односно добиваме:
:<math>\ \sin x dx = -dt</math>
Конечно имаме:
:<math>I = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-dt}{t}\, = -\int \frac{dt}{t}\, = - \ln |t| = - \ln |\cos x| + C</math>
Значи: <math>\int \operatorname{tg}x\,dx = - \ln |\cos x| + C</math>= Определен интеграл =
Определениот интеграл бројно ја определува плоштината на криволинискиот трапез, односно делот од рамнината ограничен со апсцисата (<math>x</math>-оската), правите <math>x=a</math> и <math>x=b</math> и графиконот на функцијата <math>f(x)</math>. Ова значи дека определениот интеграл како решение има реален број, за разлика од неопределениот интеграл кој за решение има функција.
Иако целта при дефинирањето на определениот интеграл е иста, постојат повеќе еквивалентни дефиниции на овој поим. При воведувањето на поимот најчесто се користи дефиницијата на Риман или нејзината варијација - дефиницијата според Дарбу.
Најпрво ќе воведеме неколку поими кои ќе ги користиме понатаму. Нека <math>\ f(x)</math> е произволна реална функција определена на интервалот <math>\ [a,b]</math>.
* Множеството <math>\ T = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}</math> составено од точки од интервалот <math>\ [a,b]</math> за кои е исполнето: <math>\ a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b</math> се нарекува разбивање или поделба на интервалот <math>\ [a,b]</math>* За секое разбивање <math>\ T</math> определуваме:
::<math>\ \Delta x_i = x_{i+1} - x_i</math>::<math>\ h(T) = \max_{0 \le i \le n-1} \Delta x_i</math>
каде <math>\ h(T)</math> се нарекува чекор на разбивањето <math>\ T</math>.
4 Риманов интеграл
Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и нека за него избереме произволно разбивање <math>\ T = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}</math>. Дополнително, нека од секој подинтервал <math>[x_i,x_{i+1}], i \in \{1, 2, \dots, n-1\}</math> од интервалот <math>\ [a,b]</math> избереме произволна точка <math>\ u_i \in [x_i,x_{i+1}]</math>. Тогаш дефинираме сума:
::<math>\ R(T) = \sum_{i=0}^{n-1} f(u_i)\Delta x_i</math>
која се нарекува Риманова или интегрална сума за функцијата <math>\ f(x)</math> на интервалот <math>\ [a,b]</math> за разбивањето <math>\ T</math> и избор на точки <math>\ u_i \in [x_i,x_{i+1}]</math>.
Римановата сума бројно ја претставува плоштината на сите правоаголници кои ја формираат скалестата фигура (видете ја сликата). Меѓутоа, таа само ''приближно'' ја определува плоштината на криволинискиот трапез. Јасно е дека, доколку во разбивањето избереме повеќе точки, разликата меѓу плоштината определена со римановата сума и вистинската плоштина ќе биде помала. За објективно да се пресмета бараната плоштина, оваа разлика мора да се оцени, т.е. да се сведе на минимум, да се стреми кон нула. Така ја имаме следнава дефиниција на поимот определен интеграл:
:Бројот <math>\ I_R \in \mathbb{R}</math> се нарекува определен интеграл на функцијата <math>\ f</math> на интервалот <math>\ [a,b]</math> ако за секој <math>\ \epsilon >0</math>, постои <math>\ \delta >0</math> така што за секое разбивање за чиј чекор е исполнето <math>\ h(T)< \delta</math>, за секој можен избор на точките <math>\ u_i</math>, каде <math>i \in \{1, 2, \dots, n-1\}</math> да важи:
:<math>\ \left| \sum_{i=0}^{n-1} f(u_i)\Delta x_i - I_R \right| = \left| R(T) - I_R \right| < \epsilon</math>
Ако постои ваков број <math>\ I_R</math> (напомена: тој може и да не постои, а воедно и не е допуштено да биде бесконечност!), тогаш функцијата <math>\ f</math> се нарекува интеграбилна во Риманова смисла и тогаш се пишува:
<math>\ I_R = \int_a^b f(x)\, dx</math>
5 Интеграл на Дарбу
Ако изборот на точките <math>u_i \in [x_i,x_{i+1}], i \in \{0,1, \dots, n-1\}</math> во римановата сума на функција <math>\ f(x)</math> за разбивање <math>\ T= \{x_0, x_1, \dots, x_n\}</math>:
:<math>R(T) = \sum_{i=0}^{n-1} f(u_i)\Delta x_i</math>
го направиме на следниов начин:
*<math>\ u_i = \sup_{} \{f(x) | x \in [x_i,x_{i+1}] \} = M_i</math>, односно:
*<math>\ u_i = \inf_{} \{f(x) | x \in [x_i,x_{i+1}] \} = m_i</math>,
тогаш така добиените суми:
*<math>S(T) = \sum_{i=0}^{n-1} M_i \Delta x_i</math> и
*<math>s(T) = \sum_{i=0}^{n-1} m_i \Delta x_i</math>
се нарекуваат горна и долна сума на Дарбу соодветно.
Јасно е следново: ако го зголемуваме бројот на точки во разбивањето <math>\ T</math>, така се намалува разликата <math>M_i - m_i, i \in \{0, 1, \dots, n-1\}</math>, што повлекува дека се намалува и разликата
:<math>\ S(T) - s(T)</math>
Тогаш можеме да ја дадеме следнава дефиниција:
Реалната функција <math>\ f(x)</math> е интеграбилна во смисла на Дарбу (или ''според Дарбу'') на интервалот <math>\ [a,b]</math> ако за секој <math>\ \epsilon > 0</math>, постои <math>\ \delta > 0</math> такви што за секое разбивање <math>\ T= \{a = x_0, x_1, \dots, x_n = b\}</math> за чиј чекор е исполнето <math>\ h(T) < \delta</math>, да следи <math>\ \left| S(T) - s(T) \right| < \epsilon </math>,
што значи: разликата помеѓу сумите на Дарбу да се направи произволна. Ако функцијата ги испонува условите од дефиницијата, тогаш важи:
:<math>\lim_{n \rightarrow \infty} (S(T) - s(T)) = 0</math>, односно:
:<math>\lim_{n \rightarrow \infty} S(T) = \lim_{n \rightarrow \infty} s(T) = I_D \in \mathbb{R}</math>
За реалниот број <math>\ I_D</math> се вели дека е определен интеграл на функцијата <math>\ f(x)</math> на интервалот <math>\ [a,b]</math> и се бележи:
<math>I_D = \int_a^b f(x)\,dx</math>
Дополнително, ако функцијата <math>\ f</math> е интеграбилна на интервалот <math>\ [a,b]</math>, било според Риман, било според Дарбу, тогаш важи:
::<math>\ I_R = I_D</math>
односно интегралот на Риман и интегралот на Дарбу на една функција се еднакви, што значи дека дефинициите на определен интеграл на Риман и Дарбу се меѓусебно еднакви.
Напомена: во оваа статија е направен ''премин'' од Риманов интеграл на интеграл на Дарбу. Општо, меѓутоа, тие претставуваат два ''различни'' пристапи кон истиот поим.
6 Пресметување на определениот интеграл
Покрај пресметувањето според дефиницијата (т.е. дефинициите), што е непрактично, определениот интеграл се пресметува на два начина: точно (конкретно, директно) и приближно (или бројчено).
Кај функциите кои имаат примитивна функција на интервалот на кој се интегрира, се користи Њутн-Лајбницовата формула (позната и како Основна теорема на анализата) која ја дава врската меѓу определениот и неопределениот интеграл. Имено, нека функцијата <math>\ F</math> е примитивна за функцијата <math>\ f</math> на интервалот <math>\ [a,b]</math>, т.е. нека за секој <math>\ x \in [a,b]</math> важи <math>\ F'(x) = f(x)</math>. Тогаш точно е следново равенство:
::<math>\int_a^b f(x)\,dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)</math>
односно истото може да се запише како:
::<math>\int_a^b f'(x)\,dx = f(x)|_a^b = f(b) - f(a)</math>
Кај функциите кои немаат примитивна функција на интервалот на кој се интегрира, или пак имаат примитивна функција, но таа не може да се изрази преку ''основните'' функции, се пристапува кон приближно пресметување на интегралот. Приближното пресметување главно се состои во трансформација и оценка на сумите од дефинициите за определен интеграл, најчесто со помош на редови. Бројчената интеграција е особено практична ако пресметувањето се врши со помош на компјутер.
За определените интеграли важи, малку видоизменето, правилото за интегрирање по делови (парцијална интеграција) и, дополнително, за смена на променливата:
* Ако изводите на функциите <math>\ u(x), v(x)</math> се непрекинати во секоја точка од <math>\ [a,b]</math>, тогаш:
<math>\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x)|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx</math>* Ако <math>\ \phi:[a,b] \rightarrow [c,d]</math> има непрекинат извод во секоја точка од <math>\ [a,b]</math>, а <math>\ f:[c,d] \rightarrow \mathbb{R}</math> е непрекината во секоја точка од <math>\ [c,d]</math>, тогаш:
<math>\int_a^b f( \phi (t) )\phi '(t)\,dt = \int_{\phi (a)}^{\phi(b)} f(x)\,dx</math>
7 Својства
За определениот интеграл важат некои од својствата на неопределениот интеграл. Но, најпрво, подинтегралната функција мора да биде ''интеграбилна'', т.е. определениот интеграл кој го пресметуваме да постои во множеството на реални броеви. Доволен услов таа да биде интеграбилна е да биде непрекината во секоја точка од интервалот. Дополнително, ако функцијата е интеграбилна на интервал, тогаш е интеграбилна на секој негов подинтервал.
* Нека <math>\ f</math> е интеграбилна на <math>\ [a,b]</math>, тогаш:
<math>\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx</math>, за секој <math>\ a < c <b</math>* Нека <math>\ c \in \mathbb{R}</math> е произволен, тогаш:
<math>\int_a^b c f(x)\,dx = c \int_a^b f(x)\,dx</math>* Ако и <math>\ g</math> е интеграбилна на <math>\ [a,b]</math>, тогаш:
<math>\int_a^b (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx</math>* Нека <math>\ f:[a,b] \rightarrow [c,d]</math> е интеграбилна и ограничена на <math>\ [a,b]</math> и нека <math>\ g:[c,d] \rightarrow \mathbb{R}</math> е непрекината во секоја точка од <math>\ [c,d]</math>. Тогаш и функцијата <math>\ f( g(x) )</math> е интеграбилна на <math>\ [a,b]</math>, т.е. постои интегралот:
<math>\int_a^b f( g(x) )\,dx</math>
8 Примена и значење
Значењето на определениот интеграл е навистина големо. Покрај важноста во рамките на самата математика, определениот интеграл е многу важна алатка и во останатите природни науки, а особено физиката.
Од самата дефиниција произлегува дека определениот интеграл:
<math>P_{[a,b]} = \int_a^b f(x)\,dx</math>
бројно ја определува плоштината на криволинискиот трапез ограничен со <math>\ x</math>-оската, правите <math>\ x=a</math> и <math>\ x=b</math> и кривата <math>\ y=f(x)</math>.
Од друга страна, со математичка манипулација, со помош на определен интеграл може да се пресмета должина на произволна крива определена со графиконот на подинтегралната функција, т.е. да се пресмета ''должината'' на графиконот на одредена функција. Ако функцијата <math>\ f</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math>, тогаш должината на нејзиниот графикон почнувајќи од точката <math>\ (a,f(a))</math> и завршувајќи во точката <math>\ (b,f(b))</math> изнесува:
<math>\ L_{[a,b]} = \int_a^b \sqrt[]{1 + (f'(x))^2}\,dx</math>
Исто така, на сличен начин се пресметуваат и волумен и плоштина на вртежни тела. Така волуменот што го зафаќа телото кое ротира околу <math>\ x</math>-оската и е ограничено со правите <math>\ x=a</math> и <math>\ x=b</math> и кривата <math>\ y=f(x)</math> бројно е определен како:
<math>V_{[a,b]} = \pi \int_a^b (f(x))^2\,dx</math>
Плоштината ''на обвивката'' на телото образувано под истите услови бројно е определена како:
<math>\ S_{[a,b]} = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math>
9 Примери
Начинот (техниката) на интегрирање и примената на определениот интеграл ќе ги илустрираме паралелно (заедно).
* Плоштина на рамнинска фигура
Ќе ја пресметаме плоштината на ''криволинискиот триаголник'' претставен на сликата, ограничен со <math>\ x</math>-оската, правата <math>\ x = e</math> и кривата (графиконот на функцијата) <math>\ f(x) = \operatorname{ln} x</math>. Јасно е од сликата дека интервалот на интегрирање е <math>\ [1,e]</math> каде <math>\ e</math> e Неперовиот број - основа на природниот логаритам, <math>\ e = 2,71828182\dots</math>. Тогаш за плоштината <math>\ P</math> имаме:
<math>P = \int_1^e \ln x\,dx</math>
Имајќи предвид дека примитивна функција за <math>\ f(x) = \operatorname{ln} x</math> е <math>\ F(x) = x(\operatorname{ln} x - 1)</math> (видете ги примерите за неопределен интеграл), согласно Њутн-Лајбницовата формула се добива:
<math>P = F(e) - F(0) = e(\ln e - 1) - 1\cdot (\ln 1 - 1) = 0 - (-1) = 1</math>
Значи плоштината на криволинискиот триаголник изнесува точно ''единица''.
* Должина на графикон на функција
Ќе ја пресметаме должината на графиконот на функцијата <math>f(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2</math> од точката<math>\ (0,f(0)) = (0,0)</math> до точката <math>\ (3,f(3)) = (3,2\sqrt{3})</math>. За должината имаме:
<math>L = \int_0^3 \sqrt{1 + (f'(x))^2 }\,dx</math>
За <math>\ f'(x)</math> имаме: <math>\ f'(x) = \frac{2}{3} \frac{3}{2} x^{1/2} = \sqrt{x}</math>, од каде следи: <math>\ (f'(x))^2 = x</math>. Така:
<math>L = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\,dx = \int_0^3 (1 + x)^{1/2}\,d(1 + x) = \left.\frac{(1 + x)^{3/2{\frac{3}{2 \right|_0^3 = </math><math>= \left.\frac{2}{3} (1 + x)^{3/2}\right|_0^3 = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}\cdot 7 = \frac{14}{3}</math>
Значи должината на графиконот на функцијата на посочениот интервал е ''четиринаесет третини''.
* Волумен на вртежно тело
Ќе го пресметаме волуменот на телото добиено со свртување на графиконот на функцијата <math>\ f(x)= \sqrt{x}</math> околу <math>\ x</math>-оската, на интервалот <math>\ [0,\sqrt{2}]</math>. Според погорната формула имаме:
<math>\ V = \pi \int_0^{\sqrt{2 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^{\sqrt{2 x\,dx =\left. \pi \cdot \frac{x^2}{2}\right|_0^{\sqrt{2 = \frac{\pi}{2} \left( \left(\sqrt{2}\right)^2 - 0 \right) =</math><math>= \frac{\pi}{2}\cdot 2 = \pi</math>
Значи волуменот на телото на посочениот интервал изнесува <math>\ \pi</math>-''единици''* Плоштина на вртежно тело
Ќе ја пресметаме плоштината на обвивката на телото добиено со свртување на графиконот на функцијата <math>\ f(x) = e^x</math> околу <math>\ x</math>-оската, на интервалот <math>\ [0,1]</math>. Заради својствата на експоненцијалната функцијата - <math>e^x</math> имаме: <math>\ f(x) = f'(x) = e^x</math>, т.е. <math>\ (f'(x))^2 = e^{2x}</math>, па согласно формулата се добива:
<math>S = 2\pi \int_0^1 e^x\sqrt{1+e^{2x\,dx</math>
Воведуваме смена: <math>\ e^x=t \Rightarrow e^x\,dx = dt</math>
и ги менуваме границите на интеграција согласно правилото за смена на променлива:
:<math>\ x=0 \Rightarrow t=e^0 = 1</math>:<math>\ x=1 \Rightarrow t=e^1 = e</math>
Следи:
<math>S = 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = 2\pi \int_1^e \frac{1+t^2}{\sqrt{1+t^2\,dt =</math><math>2\pi \left ( \int_1^e \frac{1}{\sqrt{1+t^2\,dt + \int_1^e \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2\,dt \right ) = 2\pi \left ( I_1 + I_2 \right )</math>
Ќе ги решиме интегралите <math>\ I_1</math> и <math>\ I_2</math> одделно. Прво <math>\ I_1</math>:
<math>I_1 = \left.\ln \left( t + \sqrt{1+t^2} \right) \right|_1^e</math>
(за решението на интегралот <math>\ I_1</math>, видете ја таблицата на основни интеграли во делот Неопределен интеграл)
Вториот интеграл - <math>\ I_2</math> ќе го решиме со интегрирање по делови.
<math>\ I_2 = \int_1^e \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2\,dt</math>. Ставаме:
:<math>\ u=t \Rightarrow du=dt</math>:<math>\ dv = \frac{tdt}{\sqrt{1+t^2 \Rightarrow v = \int \frac{t}{\sqrt{1+t^2\,dt = \sqrt{1+t^2}</math>
Соласно формилата за интегрирање по делови, следи:
<math>\ I_2 = \left.t\sqrt{1+t^2}\right|_1^e - \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt</math>
Конечно:
<math>\ S = 2\pi \left (\operatorname{ln} ( t + \sqrt{1+t^2} ) |_1^e + t\sqrt{1+t^2}|_1^e - \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt \right )</math>
Заради <math>S = 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt</math>, добиваме:
<math>\ 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = 2\pi \left (\ln ( t + \sqrt{1+t^2} ) |_1^e + t\sqrt{1+t^2}|_1^e \right ) - 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt</math><math>\ 4\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = 2\pi \left (\ln ( t + \sqrt{1+t^2} ) |_1^e + t\sqrt{1+t^2}|_1^e \right )</math><math>\ 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = \pi \left (\ln ( t + \sqrt{1+t^2} ) |_1^e + t\sqrt{1+t^2}|_1^e \right )</math>
Односно, конечно за плоштината добиваме:
<math>S = 2\pi \int_1^e \sqrt{1+t^2}\,dt = \pi \left (\ln ( t + \sqrt{1+t^2} ) |_1^e + t\sqrt{1+t^2}|_1^e \right ) \approx 22,934</math>