Рамномерна непрекинатост

1 Дефиниција
Функцијата <math>f:X\rightarrow\mathbb{R}</math>, каде <math>X \subseteq \mathbb{R}</math>, а функцијата е непрекината во множеството <math>X</math>, се нарекува рамномерно (униформно) непрекината во тоа множество, ако за секое <math>\varepsilon > 0</math>, може да се најде позитивно <math> \delta </math>, така што за секои две точки од нејзиниот домен кои се наоѓаат на растојание помало од <math> \delta </math>, важи <math> |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon</math>.
Односно, условот за рамномерна непрекинатост на функцијата <math>f</math> во множеството <math>X</math> може да се запише како:
:<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x_1,x_2 \in X)(|x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon)</math>.
2 Дискусија на дефиницијата
Оправданоста на оваа дефиниција, покрај дефиницијата на самата непрекинатост на функција потекнува од тоа – за да функција биде непрекината во секоја точка од својот домен <math>X</math>, потребно е да се најде најмалото <math>\delta=\delta_0</math> од сите околини на секоја точка на доменот, за кои тогаш би важело:
:<math>(\forall x, x_0 \in X)(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon).</math>
Ако множеството <math>X</math> е конечно, тоа може да се направи. Меѓутоа, кога <math>X</math> не е конечно, не постои гаранција дека воопшто ќе постои такво најмало <math>\delta=\delta_0</math>. Со тоа е оправдано постоењето на наведената дефиниција за рамномерна непрекинатост.
3 Критериум за одредување рамномерна непрекинатост
Општиот критериум за одредување на рамномерна непрекинатост на функции го дава Канторовиот став за рамномерна непрекинатост.
Теоремата може да се докаже со користење на Борел-Лебеговата лема за покривачите и потпокривачите.
3.1 Теорема
Ако функцијата <math>f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}</math> е непрекината во интервалот <math>[a,b]</math>, таа е и рамномерно непрекината во него.
3.2 Доказ
Од дефиницијата за непрекинатост имаме дека функцијата <math>f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}</math> е непрекината во интервалот <math>[a,b]</math> (дадено како услов за теоремата), тогаш за произволна точка <math>x</math> од тој сегмент постои некоја околина <math>U(x) = (x - \delta, x + \delta)</math> и за сите точки <math>x_1 \in U(x)</math> важи: <math>|f(x) - f(x_1)| < \frac { \varepsilon} {2})</math>.
Да избереме 2 точки, <math>x_1, x_2 \in U(x)</math>. Тогаш имаме:
:<math>|f(x_1) - f(x_2)| \leq |f(x) - f(x_1)| + |f(x) - f(x_2)| < \frac { \varepsilon} {2} + \frac { \varepsilon} {2} = \varepsilon.</math>
Сега да избереме околина со двојно помал полупречник, <math>U'(x) = (x - \frac { \delta} {2}, x + \frac { \delta} {2})</math>. Ако таквата околина ја конструираме за секоја точка на сегментот <math>[a,b]</math>, ќе добиеме множество отворени интервали кои очигледно го прекирваат целиот сегмент <math>[a,b]</math>, па множеството на тие интервали твори покривач на сегментот <math>[a,b]</math>. Од Борел-Лебеговата лема имаме дека постои конечен потпокривач на тој интервал, т.е. дек постојат точките <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> така што нивните околини <math>U'_1, U'_2, ..., U'_n</math> образуваат потпокривач на сегментот <math>[a,b]</math>. Бидејќи точки <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> има конечно многу, меѓу нивните околини може да се најде најмалата <math> \frac {\delta_i} {2}</math> и ја означуваме со <math> \delta</math>.
Да избереме сега некоја точка <math>x'</math> од интервалот <math>[a,b]</math> кој му припаѓа на некој од интервалите <math>U'_1, U'_2, ..., U'_n</math>, кое го запишуваме: <math>|x_i - x'| < \frac { \delta_i} {2}</math>.
Да избереме и точка <math>x''</math> од интервалот <math>[a,b]</math> која се наоѓа во <math>\delta</math>-околинат на точката <math>x'</math>, т.е. <math>|x' - x''| < \delta</math>. Тоа може да го направиме по дефиниција, затоа што функцијата е непрекината во целиот сегмент, а пошто е <math> \delta \leq \frac { \delta_i} {2}</math>, тогаш сигурно е и <math>|x' - x''| < \frac { \delta_i} {2}</math>.
Сега од <math>|x_i - x'| < \frac { \delta_i} {2}</math> и <math>|x' - x''| < \frac { \delta_i} {2}</math> имаме дека:
:<math>|x_i - x''| \leq |x' - x_i| + |x' - x''| < \frac { \delta_i} {2} + \frac { \delta_i} {2} = \delta_i,</math>
т.е. двете точки, и <math>x'</math> и <math>x''</math>, припаѓаат на околината <math> \delta_i</math>-на точката <math> \delta_i</math>, односно, двете се наоѓаат во некоја околина <math>(x - \delta_i, x + \delta_i)</math>,
па тогаш имаме дека
<math>|f(x') - f(x'')| < \varepsilon</math>, што и требаше да се докаже.
4 Поврзано
* Непрекината функција
* Борел-Лебегова лема
* Канторов став за рамномерна непрекинатост