Тор (геометрија)

Тор или Торус — вртежна површина со облик на ѓеврек која се создава со ротација на една кружница околу оска која е копланарно (на иста тамнина) со кружницата . Топката е специјален случај на тор кој се добива кога оската на вртење е пречникот на кругот. Доколку оваа оска на вртење не го сече кругот, тогаш торот има дупка во средината и личи на ѓеврек, хулахоп или напумпана гума. Во другиот случај, кога оската на вртење е тетивата на кружницата, тогаш ова чини кратка, сплескана топка налик на округла перница. ''Тор'' (''torus'') е латинскиот збор за таквата перница.
1 Дефиниција
Торот се дефинира параметрално на следниов начин:
:<math>x(u, v) = (R + r\cos{v}) \cos{u} \, </math>:<math>y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \, </math>:<math>z(u, v) = r \sin{v} \, </math>
каде
:''u'', ''v'' ∈ [0, 2π),
:''R'' е растојанието од центарот на цевката до центарот на торот,
:''r'' е полупречникот на цевката.
Равенката во Декартови координати за тор азимутски симетрична околу z-оската е
:<math>\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2</math>
Плоштината на внатрешниот волумен на овој тор е дадена како
:<math>A = 4\pi^2 Rr = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,</math>:<math>V = 2\pi^2R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,</math>
Според пошироката дефиниција, генераторот не мора да биде кружница, туку може да биде и елипса или било кој друг конусен пресек.
2 Топологија
Топологички, тор е затворена површина која се дефинира како производ од две кружници: ''S''<sup>1</sup> × ''S''<sup>1</sup>.
Гореопишаната површина, со оглед на релативната топологија од R<sup>3</sup>, е хомеоморфична на тополошкиот тор сѐ додека не се пресекува со својата оска.
Торот исто така може да се опише како количникот на една Декартова рамнина под единките
:(''x'',''y'') ~ (''x''+1,''y'') ~ (''x'',''y''+1)
Или, еквивалентно, како количникот на единичната кружница со спојување на спротивните рабови заедно, опишан како фундаментален многуаголник <math>ABA^{-1}B^{-1}</math>.
Фундаменталната група на торот е само директен производ од финдаменталната група на кружницата со самата себе:
:<math>\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math>
Интуитивно речено, ова значи дека затворената патека која кружи околу „дупката“ на торот (како да речеме, кружница која исцртува некој меридијан) и потоа кружи околу „телото“ на торот (како да речеме, кружница која исцртува некој напоредник) може да се деформира во патека која кружи околу телото, а потоа околу дупката. Затоа, строго ,меридијански' и строго ,напореднички' патеки се менуваат. Ова може да се замисли како две врвки за чевли кои минуваат една низ друга, потоа се одмотуваат, па се замотуваат.
Првата хомолошка група на торот е изоморфична на фундаменталната група (бидејќи финдаменталната група е Абелова).
3 n-торот
Можеме лесно да го генерализираме торот со произволни димензии. ''n''-тор се дефинира како производ од ''n'' кружници:
:<math>\mathbb{T}^n = S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1</math>
Горенаведениот тор е 2-тор. 1-торот е само кружница. 3-торот е прилично тежок да се претстави. Како и 2-торот, ''n''-торот може да се опише како количник од R<sup>''n''</sup> по динтегрални промени во било која координата. Тоа знали дека ''n''-торот е R<sup>''n''</sup> модул на дејствие на целиот број решетката Z<sup>''n''</sup> (со тоа што дејствието се зема како векторски додаток). Еквивалентно, ''n''-торот се добива од ''n''-коцка со залепување на спротивните страни заедно.
''n''-торот е пример за ''n''-димензионален компактно многуобразие. Исто така е пример за компактна Абелова Лиева група. Ова следи од фактот што единичната кружница е компактна Абелова Лиева група (кога ќе се идентификува со единичните комплексни броеви по пат на множење). Групното множење кај торот потоа се дефинира со координатно множење.
Тородијалните групи играат важна улога во теоријата на компактните Лиеви групи. Ова делумно се должи на фактот што во секоја компактна Лиева група one can секогаш можеме да најдеме маскимален тор; т.е. затворена подгрупа која е тор со најголемите можни димензии.
Фундаменталната група на еден ''n''-ор е слободна Абелова група од ранг ''n''. ''k''-тата хомолошка група на еден ''n''-тор е слободна Абелова група од ранг ''n'' избор ''k''. Следи дека Ојлеровата одлика на ''n''-торот е 0 за сите ''n''-ови. Кохомолошкиот прстен ''H''<sup>•</sup>(T<sup>''n''</sup>,Z) може да се дефинира со екстериерна алгебра врз Z-модулот Z<sup>''n''</sup> чии генератори се дуалите од ''n'' нетривијалните кружници.
4 Поврзано
* алгебарски тор
* парабола
* максимален тор
* топка
* плоштина
* тороид
* Вилакрови кружници