Штефан-Болцманов закон

Штефан-Болцманов закон — закон според кој вкупното количество енергија j*, на идеално црно тело во единица за површина и во единица за време, е правопропорционална со неговата апсолутна температура T на степен 4:
:<math> j^{\star} = \sigma T^{4}.</math>
каде ''σ'' - константа на пропорционалност или Штефан-Болцманова константа, која се добива од другите природни константи и има вредност:
:<math>
\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5,670 400 \times 10^{-8} \textrm{J\,s}^{-1}\textrm{m}^{-2}\textrm{K}^{-4}
</math>
каде ''k'' – Болцманова константа, ''h'' – Планкова константа и ''c'' – брзина на светлината во вакуум. Во реалноста не постои идеално црно тело кое емитува 100 % светлина, туку постои сиво тело, кое се бележи со ''ε'' – степен на емисија (од 0 до 1; за идеално црно тело ε = 1):
:<math> j^{\star} = \varepsilon\sigma T^{4}.</math>
вкупното количество зрачење ''j*'' има величина како (J / (m<sup>2</sup> x s ) = W / m<sup>2</sup>). За температурата ''T'' единица е Келвин. Степенот на емисија (од 0 до 1; за идеално црно тело ε = 1) најчесто зависи од брановата должина на светлината ''ε = ε(λ)''.
За да се добие јачината на зрачење на некое тело, треба да се земе предвид и неговата површина ''A'' (u m<sup>2</sup>):
:<math> P= A j^{\star} = A \varepsilon\sigma T^{4}.</math>
1 Примери
1.1 Температура на Сонцето
Со овој закон, Штефан успеал да ја пресмета температурата на сончевата површина. Знаејќи дека интензитетот на количеството зрачење за Сонцето е 29 пати поголем од парче врел метален лим. Кружен метален лим е сместен под ист агол од кој го гледал Сонцето и неговата температура помеѓу 1900 – 2000 °C. Штефан претпоставил дека една третина од Сончевото зрачење впива Земјината атмосфера, така што интензитетот на Сончевото зрачење според Штефан излегол 29 × 3/2 = 43,5 пати поголем од парчето лим.
Штефан ја земал средната вредност на температурата на лимот 1950 °C и кога ја претворил добил 2220 K. Од 2.57<sup>4</sup> = 43,5 следува дека температурата на Сончевата површина е 2,57 пати поголема од температурата на лимот, па следува 2,57 x 2220 K = 5705 K (денешната вредност изнесува 5778 K), со што се потврдува дека бил близу до решението.
1.2 Температура на ѕвезда
Температурата на ѕвезда , слично како и температурата на Сонцето, може приближно да се пресмета (како идеално црно тело кое зрачи 100 %), на сличен начин::<math>L = 4 \pi R^2 \sigma T_{e}^4 </math>
каде ''L'' – сјајност или количество енергија во единица време, ''σ'' - Штефан-Болцманова константа, ''R'' – полупречник на ѕвездата и ''T'' – делотворна температура. Оваа формула може да се запише и како:
:<math>\frac{R}{R_\odot} \approx \left ( \frac{T_\odot}{T} \right )^{2} \cdot \sqrt{\frac{L}{L_\odot</math>
каде <math>R_\odot</math>, е полупречник на Сонцето итн.
Со Штефан-Болцмановиот закон, астрономите лесно можат да го пресметаат радиуосот на некоја ѕвезда.
1.3 Температура на Земјата
Слично може да се пресмета и делотворната температура на Земјата T<sub>E</sub> :
:<math>
\begin{align}
T_E & = T_S \sqrt{r_S\over 2 a_0 } \\
& = 5780 \; {\rm K} \times \sqrt{696 \times 10^{6} \; {\rm m} \over 2 \times 149.598 \times 10^{9} \; {\rm m} } \\
& \approx 279 \; {\rm K}
\end{align}
</math>
Каде ''T<sub>S</sub>'' – Сончева температура, , ''r<sub>S</sub>'' – полупречник на Сонцето и a<sub>0</sub> – оддалеченоста на Земјата од Сонцето. Се добива делотворна температура од 6 °C на површината на Земјата. Оваа груба пресметка ги занемарува температурните разлики и промените на Земјата, како и Ефектот на стаклена градина. Меѓувладиниот панел за климатски промени (IPCC) и останатите наводи ја претставуваат делотворната температура од 255 K (-18 °C), која го зема предвид Земјиниот албедо (коефициент на рефлексија) – 0,3, што значи дека по претпоставка 30 % од Сончевото зрачење, кое ја озрачува Земјата се одбива во Вселената без Земјата да го впие. Меѓутоа, сепак е поголем уделот на зрачењето кое атмосферата го впива во вид на стакленички гасови, како што се водената пареа, јаглерод диоксид и метанот, па така Земјината делотворна температура во просек изнесува 288 K (14 °C).