Електричен потенцијал

Електричен потенцијал или електричен скаларен потенцијал е потенцијал карактеристичен за електричното поле. Електричниот потенцијал е скаларна величина, најчесто изразена во волти. Во електромагнетизмот, електричниот потенцијал се води како скаларна функција чиј негативен градиент е еднаков на векторот на електричното поле:
<math>\vec{E} = - \mathbf{\nabla} \phi</math>.
Називот електричен скаларен потенцијал се користи во електромагнетизмот кога електричното поле во кое се забележува наелектризирање не е статично, туку е временски променливо.
Електричниот потенцијал и векторот на магнетниот потенцијал создаваат четри вектор на потенцијалот, тако што овие два потенцијали се спрегнати, а нивните трансформации се дефинирани со Лоренцовите трансформации.
1 Електрично поле
Познато е дека некои предмети можат да бидат наелектризирани. Електричното поле врши поместување на наелектризираните честички, забрзувајќи ги во насоката на векторот на електричното поле, односно во насоката или спротивната насока на векторот на електричното поле, во зависност од видот на наелектризирањето. Доколку наелектиризираната честица е позитивно наелектризирана, силата на дејствување и забрзување на таа честица ќе бидат во насока на електричното поле, а вредноста на силата која дејствува, е одредена со величина на наелектрисзирање на честичката и вредноста на електричното поле.
Електричната сила и електричната потенцијална енергија се во директен однос. Честичката движејќи се во насока на силата која ја забрзува, ја намалува нејзината потенцијална енергија. Таков однос имаат и други видови на сила и на ним сличните потенцијални енергии. На пример, како што објектот паѓа поради привлекување одгравитациската сила, неговата гравитациска потенцијална енергија се снамалува.
Потенцијалот на електричното поле се нарекува електричен потенцијал и најчесто се означува со <math>\phi</math>, <math>\phi_\mathrm{E}</math> или ''V''. Разликата на електричниот потенцијал измеѓу две точки во просторот се вика напон.
2 Дефиниција
Електричниот скаларен потенцијал <math>\phi_\mathrm{E}</math> се воведува преку електричното поле <math>\mathbf{E}</math>. Електричниот скаларен потенцијал е скаларна функција чиј негативен градиент е еднаков на векторот на електричното поле:
:<math>
\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E}
</math>
Кога роторот на електричното поле е еднаков на нула <math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = 0</math>, дадениот линиски интеграл не зависи од специфичната траекторија ''C'', туку само од крајните точки и оттука се добива дека електрични потенцијал е еднаков на:
:<math>
\phi_ \mathrm{E} = - \int_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\ell}
</math>
каде ''C'' траекторијата на интегралот која го поврзува изворот на електричното пола и точката за која се пресметува потенцијалот.
Ако е позната потенцијалната електрична енергија <math>U_ \mathrm{E}</math> честице ''q'', потенцијалот може да се изрази преку:
:<math>
U_ \mathrm{E} = q\phi
</math>
Од Гаусовиот закон кој во интегрален облик тврди дека флуксот на електростатичкото поле во вакуум низ било која затворена површина е еднаков на количникот од вкупното наелектризирање. Оттука следува дека потенцијалот ја задоволува Поасоновата равенка:
:<math>
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \mathbf{\nabla} \cdot \left (- \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E} \right) = -\nabla^2 \phi_\mathrm{E} = \rho / \varepsilon_0
</math>
каде ρ е вкупната густина на наелектризирање.
3 Вовед во електромагнетизам
Во случај кога роторот на електричното поле не е еднаков на нула нула, <math>\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E} \ne 0</math>, тј. ако полето не е стационарно, електричниот потеницијал не може директно да се изрази како:
:<math>
\phi_ \mathrm{E} = - \int_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\ell},
</math>
бидејќи тогаш електричното поле повеќе не е конзервативно и интеграцијата зависи од конкретната траекторија. Тогаш скаларниот електричен потенцијал мора да се дефинира заедно со магнетниот векторски потенцијал <math>\mathbf{A}</math>.
:<math>
\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E}
</math>:<math>\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A},</math>
каде што <math>\mathbf{B}</math> е густината на магнетниот флукс (исто така познат како магнетна индукција или магнетно поле). Може да се најде <math>\mathbf{A}</math> бидејќи <math>\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0</math> (поради отстуство на магнетниот монопол). Вредноста <math>\mathbf{F} = \mathbf{E} + \partial\mathbf{A}/\partial t</math>''е'' конзервативно поле одредено со Фарадееви закони и може да се запише:
:<math>\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla}\phi - \frac{\partial\mathbf{A{\partial t}</math>
каде што φ претставува скаларен потенцијал <math>\mathbf{F}</math>.
Електростатичкиот потенцијал е посебен случај за оваа дефиниције каде што <math>\mathbf{A}</math> е временски непроменлива вредност. Од друга страна, за временски променливи полиња важи следното <math>\int_a^b \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \neq \phi(b) - \phi(a)</math>.
Обратете внимание дека оваа дефиниција за φ зависи од нормирање на потенцијалната функција за векторот на потенцијалот <math>\mathbf{A}</math> (градиент на било кое скаларно пола може да биде додаден <math>\mathbf{A}</math> без менување на <math>\mathbf{B}</math>).
4 Посебни случаи и примери
Електричниот потенцијал во точката <math>\mathbf{l}</math> во константно електрично поле <math>\mathbf{E}</math> може да се претстави преку:
:<math>\phi_\mathrm{E} = - \int \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.</math>
Електричниот потенцијал околу точкест полнеж ''q'', на оддалеченост ''r'' од полнежот, се пресметува со:
:<math>\phi_\mathbf{E} = \frac{q} {4 \pi \epsilon_o r}.</math>
Вкупниот потенцијал на сите полнежи е еднаков на збирот од потенцијалите на сите полнежи. Овој факт ја упростува пресметката во големњ мери, бидејќи собирањето на потенцијалите (скаларно) на полињата е многу поедноставно отколку собирање на векторите на електричното поле.
Електричниот потенцијал настанал од тридимензионалното сферно симетрично наелектризирање на густината
<math> \rho(r) </math> given by:
:<math> \rho(r) = \frac{q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2,</math>
каде ''q'' е количина на наелектризирање, добиена со решавање на Поасонова равенка:
:<math>\nabla^2 \phi_\mathbf{E} = - 4 \pi \rho.</math>
преку:
:<math> \phi_\mathbf{E}(r) = \frac{q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)
</math>
Ова решение може да се провери со прецизна проверка <math>\nabla^2 \phi_\mathbf{E}</math>.
Обратете внимание дека за ''r'' многу поголемо од σ, erf(''x'') потенцијалот <math>\phi_\mathbf{E}</math> е сличен по вредност на потенцијалот на полнежот <math>\frac{q}{r}</math>.
5 Примена во електрониката
Електричниот потенцијал, најчесто мерен во волти, обезбедува едноставен начин на анализирање на електричните кола без претходно познавања на обликот на колото или полето во него.
Електричниот потенцијал обезбедува едноставен начин на анализирање на електричните кола со помош на Кирхофовите закони, без целосно решавање на Максвеловите равенки за статички електрични полиња.
6 Единици
Мерна единица во Меѓународниот систем на мерни единици за електричен потенцијал е волт (во чест на Алесандро Волта), и е во толку широка употреба што термините напон и електричен потенцијал станале синоними. Постарите единици се ретки. Варијанти на единици за електричен потенцијал се статволт (= 299.792 458 V) и абволт кој е ≡ 1 V.
7 Поврзано
*Напон
*Електромагнетизам
*Електростатика
*Електрицитет