Ѕвездена динамика

Ѕвездената динамика — гранка на астрофизиката која на статистички начин ги опишува колективните движења на ѕвездите кои подлежат на нивната меѓусебна гравитација. Суштинската разлика од небесната механика е во бројот на телата <math> N \gg 10. </math>
Типичните галаксии имаат повеќе од милиони макроскопски гравитирачки тела и безброј неутрон, а можеби и други темни микроскопски тела. Исто така, секоја ѕвезда придонесува повеќе или помалку подеднакво во вкупното гравитационо поле, додека во небесната механика влечењето на масивно тело доминира во која било сателитска орбита.
1 Поврзување со динамика на течности
Ѕвездената динамика исто така има врски со полето на физиката на плазмата. Двете полиња претрпеле значителен развој во сличен временски период на почетокот на 20 век, и двете позајмуваат математички формализам првично развиен во областа на флуидната механика.
Во акреционите дискови и ѕвездените површини, густите плазми или гасни честички се судираат многу често, а судирите резултираат со еднаква поделба и можеби вискозност под магнетното поле. Се гледаат различни големини за насобирачки дискови и ѕвездена атмосфера, и двете направени од огромен број микроскопска маса на честички<math> (L/V,M/N) </math>*<math> \sim (10^{-8}\text{pc}/500\text{km/s},1M_\odot/10^{55}=m_{p}) </math> на ѕвездени површини,
*<math>\sim (10^{-4}{\text{pc/10{\text{km/s,0.1M_{\odot }/10^{54}\sim m_{p}) </math> околу ѕвезди слични на сонцето или ѕвездени црни дупки со големина од км,
*<math> \sim (10^{-1}{\text{pc/100{\text{km/s,10M_{\odot }/10^{56}\sim m_{p}) </math> околу милион црни дупки со сончева маса (околу АЕ) во средината на галаксиите.
Временската скала на вкрстување на системот е долга во ѕвездената динамика, каде што е корисно да се забележи тоа
<math> 1000\text{pc}/1\text{km/s} = 1000 \text{Myr} = \text{HubbleTime}/14. </math>
Долгиот временски распоред значи дека, за разлика од гасните честички во насобирачките дискови, ѕвездите во галактичките дискови многу ретко доживуваат судир во нивниот ѕвезден живот. Сепак, галаксиите повремено се судираат во галаксиски јата, а ѕвездите имаат блиски средби повремено во ѕвездени јата.
Како правило, засегнатите типични скали (погледнете го горниот дел од логаритамската карта на универзумот на <math> (L/V,M/N) </math>*<math> \sim (\mathrm{10pc/10km/s},1000M_\odot/1000) </math> за Ѕвезденото јато М13,,
*<math> \sim (\mathrm{100kpc/100km/s}, 10^{11}M_{\odot }/10^{11}) </math> за M31 Дискова галаксија,
*<math> \sim (\mathrm{10Mpc/1000km/s},10^{14}M_{\odot }/10^{77}=m_\nu) </math> за неутрон во Bullet Clusters, што е споен систем од N = 1000 галаксии.
2 Поврзување со Кеплеров проблем и проблем со три тела
На површно ниво, целата ѕвездена динамика може да се формулира како проблем на N-тело со Вториот Њутнов закон, каде што равенката на движење (EOM) за внатрешните интеракции на изолиран ѕвезден систем од N членови може да се запише како,
<math>m_i\frac{d^{2} \mathbf{r_i{dt^{2 = \sum_{i=1 \atop i \ne j}^N \frac{G m_i m_j \left(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i\right)}{\left\| \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i\right\|^3}. </math>
Овде, во системот N-тело, секој поединечен член, mi е под влијание на гравитационите потенцијали на останатите mj членови.
Во пракса, освен во компјутерските симулации со највисоки перформанси, не е изводливо строго да се пресмета иднината на голем N-систем на овој начин. Исто така, оваа равенкат на движење дава многу малку интуиција. Историски гледано, методите користени во ѕвездената динамика потекнуваат од областите и на класичната механика и на статистичката механика. Во суштина, фундаменталниот проблем на ѕвездената динамика е проблемот со N-телата, каде што N членови се однесуваат на членовите на даден ѕвезден систем. Со оглед на големиот број објекти во ѕвездениот систем, ѕвездената динамика може да ги опфати и глобалните, статистичките својства на многу орбити, како и специфичните податоци за местоположбите и брзините на поединечните орбити.
3 Концепт на гравитационо потенцијално поле
Ѕвездената динамика вклучува одредување на гравитациониот потенцијал на значителен број ѕвезди. Ѕвездите може да се оформат како точкасти маси чии орбити се одредени од комбинираните меѓусебни интеракции. Вообичаено, овие точки маси претставуваат ѕвезди во различни јата или галаксии, како што е Галактичкото јато или Збиеното ѕвездено јато. Без да се добие гравитацискиот потенцијал на системот со додавање на сите потенцијали за точка маса во системот во секоја секунда, ѕвездените динамики развиваат потенцијални модели кои можат прецизно да го формираат системот додека остануваат пресметковно евтини. Гравитациониот потенцијал, Φ, на системот е поврзан со забрзувањето и гравитационото поле, g од, <math>\mathbf{g}</math> by:
<math>\frac {d^{2}\mathbf {r_{i }{dt^{2}=\mathbf {\vec {g =-\nabla _{\mathbf {r_{i }\Phi (\mathbf {r_{i ),~~\Phi (\mathbf {r} _{i})=-\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{N}{\frac {Gm_{k{\left\|\mathbf {r} _{i\mathbf {r} _{k}\right\|}, </math>
при што потенцијалот е поврзан со густината на масата, ρ, преку Поасоновата равенка во интегрална форма
<math> \Phi(\mathbf {r}) = - \int {G \rho(\mathbf{R}) d^3\mathbf{R} \over \left\|\mathbf {r\mathbf {R} \right\|} </math>
или почестата диференцијална форма
<math>\nabla^2\Phi = 4\pi G \rho. </math>
3.1 Пример за Поасонова равенка и брзината на бегство
Равенката за аналитички мазен сферичен потенцијал е
<math> \begin{align}
\Phi(r) & \equiv \left(-V_0^2\right) + \left[{r^2 -r_0^2 \over 2r_0^2}, ~~ 1 r_0 \over r} \right]_{\max} \!\!\!\! V_0^2 \equiv \Phi(r_0)V_e^2(r) \over 2}, ~~\Phi(r_0) = - V_0^2 , \\
\mathbf{g} &= -\mathbf{\nabla} \Phi(r) = -\Omega^2 r H(r_0 - r) - { G M_0 \over r^2}H(r-r_0), ~~\Omega={V_0 \over r_0}, ~~M_0 = {V_0^2 r_0 \over G},\end{align}</math>
каде <math> V_e(r) </math> го зема значењето на брзината за „бегство до работ“ <math> r_0</math>, и <math>\sqrt{2}V_0 </math> е брзината за „бегање од работ до бесконечноста“. Гравитацијата е како обновувачката сила на хармонискиот осцилатор во сферата, како што е опишано со функциите Хевисајд.
Може да се поправи нормализацијата <math> V_0 </math> со пресметување на соодветната густина со помош на сферичната Поасонова равенка
<math> G\rho = {d \over 4 \pi r^2 dr} {r^2 d\Phi \over dr} = { d (G M) \over 4 \pi r^2 dr} = {3 V_0^2 \over 4 \pi r_0^2}H(r_0-r), </math>
каде што заградената маса
<math> M(r) = {r^2 d\Phi \over G dr} = \int_0^{r} dr \int_0^{\pi} (r d\theta) \int_0^{2 \pi} (r \sin\theta d\varphi) \rho_0 H(r_0-r) = \left. M_0 x^3\right|_{x={r \over r_0.</math>
Оттука, потенцијалниот модел одговара на еднаква сфера на полупречникот <math> r_0 </math>, вкупна маса <math> M_0 </math> со
<math> {V_0 \over r_0} \equiv \sqrt{4\pi G \rho_0 \over 3} = \sqrt{G M_0 \over r_0^3}. </math>
3.2 Клучни концепти
Иако и равенките на движење и Поасоновата равенка можат да добијат и несферични форми, во зависност од координатниот систем и симетријата на физичкиот систем, суштината е иста: Движењата на ѕвездите во галаксијата или во Збиеното ѕвездено јато се главно одредена од просечната распространетост на другите, далечни ѕвезди. Ретките ѕвездени средби вклучуваат процеси како што се релаксација, масовна сегрегација, плимни сили и динамичко триење кои влијаат на траекториите на членовите на системот.
4 Релативистички приближувања
Постојат три поврзани приближувања направени во Њутновата равенка и Поасоновата равенка погоре.
4.1 СР и ОР
Најпрвин, горенаведените равенки ги занемаруваат релативистичките корекции, кои се од редот на
<math> (v/c)^2 \ll 10^{-4} </math> како типична ѕвездена тридимензионална брзина, <math> v \sim 3-3000 </math> км/сек., е многу под брзината на светлината.
4.2 Едингтоново ограничување
Второ, негравитациската сила е типично занемарлива во ѕвездените системи. На пример, во близина на типична ѕвезда односот на зрачењето и гравитациската сила на водороден атом или јон,
<math> Q^\text{Eddington} = { {\sigma_e \over 4\pi m_H c} {L\odot \over r^2} \over {G M_\odot \over r^2} } = {1 \over 30,000}, </math>
оттука силата на зрачење е општо занемарлива, освен можеби околу светлечка ѕвезда од типот О со маса <math> 30M_\odot</math>, или околу црна дупка што акредитира гас на Едингтоновата граница, така што нејзиниот сооднос <math> L_\bullet / M_\bullet </math> се дефинира како <math> Q^\text{Eddington} =1 </math>.
4.3 Конус на загуби
Трето, ѕвездата може да се проголта доколку дојде на неколку Шварцшилдови полупречници од црната дупка. Овој полупречник на загуба е даден со <math> s \le s_\text{загуба} = \frac{6 G M_\bullet}{c^2} </math>
Конусот на загуба може да се визуелизира со разгледување на паѓање на честички насочени кон црната дупка во мал цврст агол (конус во брзина). Овие честички со мали <math> J \equiv r v \sin\theta \le J_\text{загуба} = \frac{4G M_\bullet}{c}.</math> имаат мал аголен моментум по единица маса <math> s_\text{загуба} </math> . Нивниот мал аголен моментум не прави доволно висока бариера во близина <math> s_\text{загуба} </math> да ја принуди честичката да се сврти.
Ефективниот потенцијал
<math> \Phi_\text{eff}(r) \equiv E- {\dot{r}^2 \over 2} = {J^2 \over 2r^2} + \Phi(r) , </math> е секогаш позитивна бесконечност во Њутновата гравитација. Меѓутоа, во ОР, се спушта до минус бесконечност во близина <math> \frac{6 G M_\bullet}{c^2} </math> доколку <math> J \le \frac{4G M_\bullet}{c}. </math>
Поштедувајќи го ригорозниот третман, може да се потврди ова sloss,Jloss со пресметување на последната стабилна кружна орбита, каде што ефективниот потенцијал е на точка на флексија <math> \Phi''_\text{eff}(s_\text{loss})=\Phi'_\text{eff}(s_\text{loss})=0 </math> користејќи приближен класичен потенцијал на Шварцшилдова црна дупка
<math> \Phi(r) = - {(4G M_\bullet/c)^2 \over 2r^2} \left[1+{3 (6 G M_\bullet/c^2)^2 \over 8 r^2 }\right] - \frac{G M_\bullet}{r} \left[1 - {(6G M_\bullet/c^2)^2 \over r^2}\right]. </math>
5 Полупречник на плимно нарушување
Ѕвездата може плимно да биде растргната од потешка црна дупка кога ќе дојде во таканаречениот Хилов радиус на црната дупка, во која гравитацијата на површината на ѕвездата се попушта на плимната сила од црната дупка, односно:
<math> (1-1.5) \ge Q^\text{tide}
\equiv { G M_\odot /R_\odot^2 \over [G M_\bullet/s^2_\text{Hill} - G M_\bullet/(s_\text{Hill}+R_\odot)^2] }, ~~~
s_\text{Hill} \rightarrow R_\odot \left({ (2-3) GM_\bullet \over GM_\odot}\right)^{1 \over 3}, </math>
За типични црни дупки на<math> M_\bullet = (10^0-10^{8.5}) M_\odot</math> радиусот на уништување <math> \max[s_\text{Hill}, s_\text{Loss}] = 400R_\odot \max\left[\left({M_\bullet \over 3 \times 10^7 M_\odot}\right)^{1/3}, {M_\bullet \over 3 \times 10^7 M_\odot}\right] = (1-4000) R_\odot \ll 0.001 \mathrm{pc},</math> каде што 0,001 pc е ѕвезденото растојание во најгустите ѕвездени системи (на пр. јатото јадрено ѕвезди во центарот на Млечниот Пат). Оттука (главната низа) ѕвездите се генерално премногу компактни внатрешно и премногу оддалечени една од друга за да бидат нарушени дури и од најсилните плими на црните дупки во околината на галаксијата или јатото.
6 Полупречник на сфера на влијание
Честичка од маса m со релативна брзина V ќе се отклони при влегување во (многу поголем) пресек <math> \pi s^2_\bullet </math> на црна дупка. Ова влијание е лабаво дефинирано со, сè до Q-како фактор <math> \sqrt{\ln\Lambda} </math>,
<math> 1 \sim \sqrt{\ln\Lambda} \equiv \frac{V^2/2}{G (M_\bullet + m)/s_\bullet},</math>
оттука за ѕвезда слична на Сонцето имаме,
<math> s_\bullet = {G (M_\bullet +M_\odot) \sqrt{\ln\Lambda} \over V^2/2 } \approx {M_\bullet \over M_\odot} {V^2_\odot \over V^2} R_\odot >[s_\text{Hill}, s_\text{Loss}]_{max} = (1-4000) R_\odot, </math>
т.е. ѕвездите нема да бидат ниту плимно нарушени ниту физички погодени/проголтани во типична средба со црната дупка благодарение на големата брзина на бегство од површината <math> V_\odot =\sqrt{2 G M_\odot/R_\odot} = 615\mathrm{km/s} </math> од која било ѕвезда со сончева маса, споредлива со внатрешната брзина помеѓу галаксиите во Јатото галаксии, и поголема од типичната внатрешна брзина <math> V \sim \sqrt{2 G (N M_\odot)/R} \ll \mathrm{300 km/s} </math> во сите ѕвездени јата и во галаксиите.
7 Врска помеѓу конусот на загуба за ѕвезди и физиката на насобирање на гравитацискиот гас
Тешката црна дупка со маса <math> M_\bullet</math> се движи низ дисипационен гас со (рескалирана) брзина на топлинска звук <math> \text{ς'} </math> и густина <math> \rho_\text{гас} </math>,тогаш секоја гасна честичка со маса m најверојатно ќе го пренесе својот релативен моментум <math> m V_\bullet </math>, до БХ кога доаѓа во пресек од радиус <math> s_\bullet \equiv {(G M_\bullet+ G m) \sqrt{\ln\Lambda} \over (V_\bullet^2+\text{ς'}^2)/2},</math>
Во временска скала <math> t_\text{fric} </math> дека црната дупка губи половина од брзината на течење, нејзината маса може да се удвои со акрецијата на Бонди, процес на фаќање на повеќето гасни честички кои влегуваат во нејзината сфера на влијание <math> s_\bullet </math>, dissipate kinetic energy by gas collisions and fall in the black hole. ја троши кинетичката енергија со судири на гас и паѓа во црната дупка. Стапката на зафаќање гас
<math> {M_\bullet \over t_\text{Bondi}^{gas} }
=\sqrt{\text{ς'}^2 + V_\bullet^2}(\pi s_\bullet^2) \rho_\text{gas}
=4\pi \rho_\text{gas} \left[ {(G M_\bullet)^2 \over (\text{ς'}^2 + V_\bullet^2)^{3 \over 2} } \right] \ln\Lambda, ~~ \text{ς'} \equiv \sigma \sqrt{1+ \gamma^3 \over 2 (9/8)^{2/3 \approx [\text{ς} , \gamma \sigma]_\text{max}, </math>
каде политропниот индекс <math> \gamma </math> е брзината на звукот во единици на брзината на дисперзија на квадрат и прескалираната брзина на звукот <math>\text{ς'} </math> овозможува да се совпадне стапката на сферична акреција на Бонди, <math> \dot{M}_\bullet \approx \pi \rho_\text{gas} \text{ς} \left[ {(G M_\bullet) \over \text{ς}^2} \right]^2 </math> адијабатскиот гас<math>\gamma=5/3</math>, во споредба со <math> \dot{M}_\bullet \approx 4\pi \rho_\text{gas} \text{ς} \left[ {(G M_\bullet) \over \text{ς}^2} \right]^2 </math> на изотермалниот случај <math> \gamma=1 </math>.
Враќање на нарушувањето на плимата и осеката на ѕвездите и фаќањето ѕвезди од (подвижна) црна дупка, поставување <math> \ln \Lambda =1 </math>, би можеле да ја сумираме стапката на раст на БХ од гас и ѕвезди,
<math> {M_\bullet \over t_\text{Bondi}^{gas} } + {M_\bullet \over t_\text{loss}^{*} } </math> with,
<math> \dot{M}_\bullet
=\sqrt{\text{ς'}^2 + V_\bullet^2} m n (\pi s_\bullet^2, \pi s_\text{Hill}^2 , \pi s_\text{Loss}^2)_\text{max}, ~~s_\bullet \approx {(G M_\bullet+ G m) \over (V_\bullet^2+\text{ς'}^2)/2}, </math>
затоа што црната дупка троши фракционо/поголем дел од ѕвездените/гасните честички поминувајќи ја нејзината сфера на влијание..