Гринова теорема

Во математиката, Гриновата теорема го дава односот меѓу криволинискиот интеграл околу проста затворена крива ''C'' и двојниот интеграл над областа ''D'' ограничена со ''C''. Тоа е специјален дводимензионален случај на поопштата Стоксова теорема, а името го добила по британскиот научник Џорџ Грин.
Нека ''C'' е позитивно ориентирана, дел по дел регуларна, проста затворена крива во рамнина и нека ''D''е област ограничена со кривата ''C''. Ако ''L'' и ''M'' имаат непрекинати парцијални изводи на отворената област која го содржи ''D'', тогаш
:<math>\int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA</math>
при што интегрирањето оди спротивно од стрелките на часовникот.
Понекогаш се црта крукче на симболот за интеграл (<math>\oint_{C}</math>) за да се означи дека кривата ''C'' е затворена. За позитивна ориентација, на ова крукче може да се нацрта стрелка во спротивна насока од стрелките на часовникот.
1 Доказ кога D е проста област
Следи доказ на теоремата за поедноставена област D, област тип I каде C<sub>2</sub> и C<sub>4</sub> се вертикални линии. Сличен доказ постои кога D е област тип II, каде C<sub>1</sub> и C<sub>3</sub> се хоризонтални линии.
Ако може да се покаже дека исказите
:<math>\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}</math>
и
:<math>\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}</math>
се точни, тогаш може да се докаже Гриновата теорем во првиот случај.
Област тип I, D на сликата десно, дефинирана со:
:<math>D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}</math>
каде ''g''<sub>1</sub> и ''g''<sub>2</sub> се непрекинати функци. Нека се пресмета двојниот интегра од (1):
:<math> \iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA</math>, <math>=\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right] </math><math> = \int_a^b \Big\{L[x,g_2(x)] - L[x,g_1(x)] \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}</math>''C'' може да се запише како унија на четири криви: ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub>, ''C''<sub>4</sub>.
Кај C<sub>1</sub>, се користат параметарските равенки: ''x'' = ''x'', ''y'' = ''g''<sub>1</sub>(''x''), ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''. Тогаш
:<math>\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L[x,g_1(x)]\Big\}\, dx</math>
Кај ''C''<sub>3</sub>, се користат параметерските равенки: ''x'' = ''x'', ''y'' = ''g''<sub>2</sub>(''x''), ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''. Тогаш
:<math> \int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx</math>
Интегралот над ''C''<sub>3</sub> се негира, бидејќи оди во негативна наоска од ''b'' до ''a'', бидејќи ''C'' е позитивно ориентирана (во насока спротивна од стрелките на часовникот). На ''C''<sub>2</sub> и ''C''<sub>4</sub>, ''x'' останува константно, што значи дека
:<math> \int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0</math>
Затоа,
:<math> \int_{C} L\, dx </math>, <math> = \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx </math><math> = -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}</math>
Со комбинирање на (3) се (4), се добива (1). На сличан начин се добива и (2).
2 Поврзано
* Стоксова теорема
* Криволиниски интеграл