Категорија (математика)

Во математиката, поточно теоријата на категории, една категорија се состои од објекти заедно со морфизми или стрелки меѓу нив, така што секои два морфизми чии целен и почетен објект се совпаѓаат можат да бидат компонирани. Композицијата на морфизми е асоцијативна и секој објект има идентитетски морфизам.
Примери за категории се:
* векторските простори над едно поле заедно со хомоморфизми на векторски простори
* Групите заедно со хомоморфизми на групи
* Тополошките простори заедно со непрекинати функции
Категориите служат како обопштување на случајот каде објектите се посебни структури и морфизмите се функции меѓу нив кои ја запазуваат таа структура, но голем број на примени вклучуваат и категории кои не се од овој вид.
Категориите нудат елегантен јазик за формулиање на голем дел од модерната математика и затао наоѓаат се повеќе и повеќе и примени во разни потгранки.
1 Дефиниција
Една категорија <math>\mathcal{C}</math> се состои од
* колекција на објекти <math>X, Y, Z, \dots</math>* колекција на морфизми <math>f, g, h, \dots</math>
така што
* секој морфизам <math>f</math> има домен <math>X</math> и кодомен <math>Y</math>; тогаш пишуваме <math>f: X \to Y</math>* за сите морфизми <math>f: X \to Y, g: Y \to Z</math> така што кодоменот на <math>f</math> е еднаков со доменот на <math>g</math> постои компониран морфизам <math>g \circ f</math> чиј домен е доменот на <math>f</math> и чиј кодомен е кодоменот на <math>g</math>;
* за секој објект <math>X</math> постои морфизам <math>1_X</math>, т.н. идентитетски морфизам.
Една категорија ги исполнува следниве аксиоми:
* композицијата на морфизми е асоцијативна, т.е. <math>h\circ(g\circ f) = (h \circ g) \circ f</math> за сите морфизми <math>f,g,h</math> кои што можат да се компонираат
* за секој морфизам <math>f: X \to Y</math> важи <math>f \circ 1_X = 1_Y \circ f = f</math>.
1.1 Мала и локално мала категорија
Една категорија се нарекува мала ако сите нејзини морфизми сочинуваат множество. Бидејќи секој објект <math>X</math> дава морфизам <math>1_X</math>, исто така и објектите во една мала категорија сочинуваат множество.
Една категорија се нарекува локално мала ако морфизмите меѓу секои два објекти сочинуваат множество.
1.2 Hom-множество
Во локално мала категорија, за секои два објекти <math>X,Y</math> во <math>\mathcal{C}</math>, со <math>\mathcal{C}(X,Y)</math>, <math>\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Y)</math> или <math>\operatorname{Hom}_{\mathcal{C(X,Y)</math> го означуваме множеството на морфизми меѓу <math>X</math> и <math>Y</math>. Ваквите множества се нарекуваат Hom-множества.
2 Примери
2.1 Конкретни категории
<math>\operatorname{Set}</math> е категоријата чии објекти се множествата а чии морфизми се функции (на множества).
Нека <math>k</math> е поле. Со <math>\operatorname{Vect}_k</math> ја означуваме категоријата чии објекти се векторските простори над <math>k</math> и чии морфизми се хомоморфизми меѓу векторски простори.
Категоријата <math>\operatorname{Group}</math> ги има групите како објекти и како морфизми хомоморфизмите на групи.
Категоријата <math>\operatorname{Top}</math> ги има како објекти тополошките простори и како морфизми непрекинатите функции.
2.2 Апстрактни категории
Нека <math>(X, \leq)</math> е (делумно) подредено множество. Ја дефинираме категоријата <math>\mathcal{C}</math> чии објекти се елементите на <math>X</math>, а меѓу секои два објекти <math>x,y</math> има точно еден морфизам <math>x \to y</math> ако и само ако <math>x \leq y</math> и нема морфизам <math>x \to y</math> ако и само ако не важи <math>x \leq y</math>. Идентитетските морфизми постојат поради рефлексивноста а композицијата е добро дефинирана поради транзитивноста на релацијата <math>\leq</math>.
Нека <math>G</math> е група. Тогаш ја дефинираме категоријата <math>\mathrm{B}G</math> која има само еден објект <math>G</math> а чии морфизми <math>G \to G</math> се сите елементи на групата <math>G</math>. Композицијата на два морфизми е дадена преку опрецијата во групата <math>G</math>. Оваа категорија е пример за ''групоид''.
3 Конструкции на нови категории
3.1 Спротивна категорија
Нека <math>\mathcal{C}</math> е категорија. Категоријата <math>\mathcal{C}^{\mathrm{op</math>, чии објекти се објектите од <math>\mathcal{C}</math> така што <math>\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}(X,Y) := \operatorname{Mor}_{\mathcal{C(Y,X)</math> (т.е. чии морфизми се морфизмите во спортива насока од <math>\mathcal{C}</math>) се нарекува спротивната категорија на категоријата <math>\mathcal{C}</math>.
Контраваријантаните функтори од една категорија <math>\mathcal{C}</math> во категорија <math>\mathcal{D}</math> се во биективна кореспонденција со коваријантните функторите <math>\mathcal{C}^{\mathrm{op \to \mathcal{D}</math>.
3.2 Продуктна категорија
Нека <math>\mathcal{C}, \mathcal{D}</math> се категории. Продуктната категорија <math>\mathcal{C} \times \mathcal{D}</math> е категоријата:
* чии објекти се подредените парови <math>(X,Y)</math> од објекти <math>X</math> од <math>\mathcal{C}</math> и <math>Y</math> од <math>\mathcal{D}</math>;
* чии морфизми се продедените парови <math>(f,g)</math> на морфизми <math>f</math> од <math>\mathcal{C}</math> и <math>g</math> од <math>\mathcal{D}</math>;
Композицијата на морфизми е компонентна, т.е. <math>(f',g') \circ (f, g) := (f' \circ f, g' \circ g)</math> за морфизми <math>f,f'</math> од <math>\mathcal{C}</math> и морфизми <math>g, g'</math> од <math>\mathcal{D}</math> кои можат да бидат компонирани.
Еден бифунктор од категории <math>\mathcal{C}</math> и <math>\mathcal{D}</math> во категорија <math>\mathcal{E}</math> е функтор <math>\mathcal{C} \times \mathcal{D} \to \mathcal{E}</math>.
4 Видови морфизми
Еден морфизам <math>f: X \to Y</math> во енда категорија <math>\mathcal{C}</math> се нарекува:
* мономорфизам ако за од <math>f \circ g = f \circ g'</math> следи <math>g = g'</math> за сите соодветни морфизми <math>g, g'</math>.
* епиморфизам ако за од <math>g \circ f = g' \circ f</math> следи <math>g = g'</math> за сите соодветни морфизми <math>g, g'</math>.
* ретракција ако има десен инверзен морфизам, т.е. постои морфизам <math>g</math> така што <math>f \circ g = 1_Y</math>.
* секција ако има лев инверзен морфизам, т.е. постои морфизам <math>g</math> така што <math>g \circ f = 1_X</math>.
* изоморфизам ако има инверзен морфизам, т.е. постои морфизам <math>g</math> така што <math>f \circ g = 1_Y, g \circ f = 1_X</math>.
* ендоморфизам ако <math>X = Y</math>.
* автоморфизам ако е ендоморфизам и изоморфизам.
5 Видови објекти
5.1 Иницијален објект
Еден објект <math>I</math> во една категорија <math>\mathcal{C}</math> се нарекува иницијален ако за секој објект <math>X</math> постои еден и само еден морфизам <math>I \to X</math>.
5.2 Терминален објект
Еден објект <math>T</math> во една категорија <math>\mathcal{C}</math> се нарекува терминален ако за секој објект <math>X</math> постои еден и само еден морфизам <math>X \to T</math>. Еден објект е финален ако и само ако истиот е иницијален во спротивната категорија.
5.3 Нулов објект
Еден објект кој што е и иницијален и терминален се нарекува нулов објект. Нуловиот објект во една категорија е единствен до изоморфија со единствен изоморфизам меѓу секои два нулови објекти.
6 Поврзано
* Збогатена категорија
* Кванталоид
* Простор (математика)
* Структура (математика)