Тензорски производ

Тензорски производ (ознака<math>\,\otimes \,</math>) се користи во многу различни полиња поврзани со вектори, матрици, тензори, алгебарски и тополошки векторски простори. Меѓутоа, во сите случаи, тоа значи биланеарна операција. Тензорскиот производ не е комутативен.
1 Тензори
Тензорите се дефинирани на тој начин што може да им се доделат одреден број на индекси. Индексите можат да бидат коваријантни (напишани долу) или контраваријантни (напишани горе). Вкупниот број на коваријантни и контраваријантни индекси се нарекува ред на тензорот (ранг на тензорот), кој не зависи од бројот на димензиите на просторот во кој се набљудува тензорот. Тензорите со ред 0 се скалари, оние со ред 1 се вектори. Сите големини кои имаат ред поголем или еднаков на 2 обично се нарекуваат тензори.
2 Тензорски производ на векторски простори
Тензорскиот производ <math> V \otimes W \,</math> од два векторски простори <math> V \,</math> и <math> W \,</math> над телото <math> K \,</math> може да се дефинира со користење на методот на генератори и релации. Со тензорскиот производ на два векторски простори, добиваме нов векторски простор чија димензија е еднаква на производот од димензиите на одделните векторски простори. Слично на тоа, со множење на цели броеви се добива нов цел број.
3 Тензорски производ од два тензори од прв ред (вектори)
Тензорскиот производ на два тензори од прв ред, кои се нарекуваат вектори, има поединечни компоненти определени на следниов начин:
:<math>\begin{align} ( A \otimes B)^i_{\ j} &= C^i_{\ j} \\
&= A^iB_j \end{align}</math> .
За вредностите <math>i \in \{1,2,3\},~j \in \{1,2,3,4\}</math> ова е еднакво на:
:<math> A \otimes B = A^i \delta_i \otimes B_j \delta^j = A^i B_j \; (\delta_i \otimes \delta^j) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^4 A^i B_j \; (\delta_i \otimes \delta^j) </math>:<math> = \begin{bmatrix}A^1B_1 & A^1B_2 & A^1B_3 & A^1B_4 \\ A^2B_1 & A^2B_2 & A^2B_3 & A^2B_4 \\ A^3B_1 & A^3B_2 & A^3B_3 & A^3B_4\end{bmatrix} = {C}</math> .
4 Тензорски производ од два тензори од втор ред (матрици)
Поединечните компоненти на тензорскиот производ од два тензори од втор ред, кои се матрици, се одредуваат на следниов начин:
:<math>\begin{align} (\underline{\underline T} \otimes \underline{\underline G})^{ij}_{\ \ kl} &= A^{ij}_{\ \ kl} \\ &= T^{ij}G_{kl} \end{align}</math>
Тензорскиот производ може да се напише како:
:<math>\begin{align} { T} \otimes { G} &= T^{ij} \; ( \delta_i \otimes \delta_j) \otimes G_{kl} \; ( \delta^k \otimes \delta^l) \\
&= T^{ij} G_{kl} \; ( \delta_i \otimes \delta_j \otimes \delta^k \otimes \delta^l) \\
&= \end{align}</math>
каде што:
*<math>\delta_n \,</math> е Кронекерова делта
5 Тензорски производ на два тензори
Ако <math> M \,</math> и <math> G \,</math> се два коваријантни тензори, тогаш нивниот тензорски производ е еднаков на:
:<math>(F\otimes G)_{i_1i_2...i_{m+n = F_{i_{1}i_{2}...i_{mG_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}...i_{m+n.</math> .
Ова значи дека тензорскиот производ е еднаков на вообичаениот производ на поединечните компоненти на секој тензор.
Пример: нека <math> U \,</math> биде тензор од типот (1,1) со компоненти <math> U^{\alpha}_\beta \,</math> и нека <math> V \,</math> е тензор од типот (1, 0) со компоненти <math> V^{\gamma} \,</math>. Тогаш:
:<math> U^{\alpha}_\beta V^{\gamma}= (U \otimes V^{\alpha}_\beta) ^{\gamma} \,</math> и
:<math> V^\mu U^\nu {}_\sigma = (V \otimes U)^{\mu \nu} {}_\sigma. </math> .
Тензорскиот производ ги зачувува сите индекси како што ги имаат поединечните фактори.
6 Кронекеров производ
Тензорскиот производ на две матрици се нарекува и Кронекеров производ.
:<math>U \otimes V
= \begin{bmatrix} u_{1,1}V & u_{1,2}V & \cdots \\
u_{2,1}V & u_{2,2}V \\
\vdots & & \ddots
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
u_{1,1}v_{1,1} & u_{1,1}v_{1,2} & \cdots & u_{1,2}v_{1,1} & u_{1,2}v_{1,2} & \cdots \\
u_{1,1}v_{2,1} & u_{1,1}v_{2,2} & & u_{1,2}v_{2,1} & u_{1,2}v_{2,2} \\
\vdots & & \ddots \\
u_{2,1}v_{1,1} & u_{2,1}v_{1,2} \\
u_{2,1}v_{2,1} & u_{2,1}v_{2,2} \\
\vdots
\end{bmatrix}.</math>
Тензорскиот производ на две матрици <math> 2 \times 2 \,</math> е:
:<math>
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2} \\
\end{bmatrix}
\otimes
\begin{bmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} \\
b_{2,1} & b_{2,2} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} \begin{bmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} \\
b_{2,1} & b_{2,2} \\
\end{bmatrix} & a_{1,2} \begin{bmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} \\
b_{2,1} & b_{2,2} \\
\end{bmatrix} \\
& \\
a_{2,1} \begin{bmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} \\
b_{2,1} & b_{2,2} \\
\end{bmatrix} & a_{2,2} \begin{bmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} \\
b_{2,1} & b_{2,2} \\
\end{bmatrix} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} b_{1,1} & a_{1,1} b_{1,2} & a_{1,2} b_{1,1} & a_{1,2} b_{1,2} \\
a_{1,1} b_{2,1} & a_{1,1} b_{2,2} & a_{1,2} b_{2,1} & a_{1,2} b_{2,2} \\
a_{2,1} b_{1,1} & a_{2,1} b_{1,2} & a_{2,2} b_{1,1} & a_{2,2} b_{1,2} \\
a_{2,1} b_{2,1} & a_{2,1} b_{2,2} & a_{2,2} b_{2,1} & a_{2,2} b_{2,2} \\
\end{bmatrix}.
</math> .
7 Тензорски производ на повеќелинеарно пресликување
Ако имаме две повеќелинеарни пресликувања <math> f(x_1, \dots, x_k) \,</math> и <math> g(x_1, \dots, x_m) \,</math> нивниот тензорски производ е мултилинеарна функција:
:<math> (f \otimes g) (x_1,\dots,x_{k+m}) = f(x_1,\dots,x_k) g(x_{k+1},\dots,x_{k+m}). </math> .