Интеграл

Интеграл — непрекинат аналог на збир кој се користи за пресметување на плоштините, зафатнините и нивните воопштувања. Постапката на пресметување на интеграл, наречена интегрирање, е една од основните операции во инфинитезималното сметање, заедно со диференцирањето. Интегрирањето е воведено како начин за решавање на проблеми во математиката физиката, како на пример наоѓање на плоштина под крива или поместување од брзина. Подоцна нејзината примена се проширила на најразлични научни полиња.
Определен интеграл ја пресметува насочената плоштина на област на рамнина ограничена од график на дадена функција помеѓу две точки на реалната оска. Делот од рамнината над оската е позитивен, а делот под неа е негативен. Интегралите се однесуваат и на концептот ''примитивна функција'' (''антиизвод''), функција чиј извод е дадената функција; во тој случај тие се нарекуваат ''неопределени интеграли''. Основната теорема на анализата ја дава врската помеѓу определено интегрирање и диференцирањето, и дава начин за пресметување на определениот интеграл на една функција кога нејзината примитивна е позната; диференцирањето и интегрирањето се инверзни операции.
Иако методите за пресметување на плоштини и зафатнини датираат уште од времето на старогрчката математика, начелата на интегрирање се поставени независно од Исак Њутн и Готфрид Вилхелм Лајбниц кон крајот на XVII век, кој сметал дека плоштината под крива е бесконечен збир на правоаголници со бесконечно мала ширина. Бернхард Риман подоцна дал строга дефиниција за интегралите, со постапка на приближување на плоштината на криволиниски област со поделба на областа на бесконечно тенки вертијални ленти. На почетокот на XX век Анри Лебег ја воопштил Римановата формулација со воведување на т.н. Лебегов интеграл; тој е поопшт од Римановиот по тоа што овозможува Лебегова интеграбилност на поширока класа функции.
Интегралите може да се воопштат зависно од видот на функцијата и доменот на кои се врши интегрирањето. На пример, еден криволиниски интеграл е определен за функции со две или повеќе променливи, па интервалот на итеграција се заменува со крива што поврзува две точки во просторот. Кај површински интеграл, кривата се заменува со парче од површина во тридимензионален простор.
1 Историја
1.1 Преданалитичко интегрирање
Првиот документиран начин на систематско одредување на интеграли е методот на исцрпување на старогрчкиот астроном Евдокс и филозофот Демокрит (о. 370 п.н.е.), кој ги наоѓа плоштините и зафатнините по пат на нивно цепкање на бесконечен број на поделоци чија плоштина и зафатнина е позната. Овој метод е понатаму разработен од Архимед во III век. п.н.е. кој го применувал за пресметка на плоштината на круг, плоштината и зафатнината на сфера, плоштината на елипса, плоштината под парабола, зафатнината на отсечок на параболоид на вртење, зафатнината на хиперболоид од вртење и плоштината на спирала.
Независно од ова, сличен метод е разработен во Кина околу III век од Лиу Хуеј, кој со него добивал плоштина на круг. Овој метод во V век го применувале таткото и син математичари Ѕу Чунгџе и Ѕу Гнег за добивање на зафатнината на сфера.
На Блискиот Исток, Алхазен (Хасан ибн ел-Хајтам, - 1040) извел формула за збирот од четврти степени. Алхазен ги утврдил равенките за пресметување на плоштина зфатена од кружница претставена со <math>y=x^k</math> (по денешен запис, интегралот <math>\int x^k \, dx</math>), за секоја дадена ненегативна целобројна вредност на <math>k</math>. Со резултатите извршил (на денешен јазик) интегрирање на оваа функција, каде формулите на збировите од интегрални квадрати и четврти степени му овозможиле да пресмета зафатнина на параболоид.
Следниот значаен напредок во интегралното сметање се појавил дури во XVII век. Бонавентура Кавалиери со неговиот метод на неделиви и трудот на Ферма почнале да ги поставуваат темелите на современата анализа, при што Кавалиери ги пресметал целите броеви на до степен во Кавалиериевата формула за квадратура. Во случајот ''n'' = &minus;1 морало да се измисли нова функција, хиперболичен логаритам, постигната со квадратура на хипербола во 1647 г.
Пнатамошните чекори се направени на почетокот на XVII век од Исак Бароу и Еванџелиста Торичели, кои први ја наговестиле врската помеѓу интегрирањето и диференцирањето. Бароу го дал првиот доказ за основната теорема на анализата. Џон Валис го воопштил Кавалиериевиот метод, пресметувајќи интеграли на до општ степен, вклучувајќи негативни степени и дробни степени.
1.2 Лајбниц и Њутн
Голем напредок во интегрирањето е постигнат во XVII век кога Лајбниц и Њутн независно ја откриле основната теорема на анализата. Теоремата ја покажува врската помеѓу интегрирањето и диференцирањето. Оваа врска, заедно со компаративната леснотија на интегрирањето, може да се исползува за пресметување на интеграли. Поконкретно, основната теорема на анализата ни овозможува да решаваме многу поширока класа на проблеми. Подеднакво важна е опфатната математичка рамка која ја развиле Лајбниц и Њутн. Тие овозможиле прецизна анализа на функциите со непрекинати домени. Оваа рамка со време се претворила во современото инфинитезимално сметање, чиј запис за интеграли е преземен непосредно од работата на Лајбниц.
1.3 Формализација
Иако Њутн и Лајбниц дале системски приод кон интегрирањето, нивната работа немала систематска строгост. Анализата застанала на поздрави нозе со развојот на граничните вредности. Интегрирањето за првпат е строго формализирано, користејќи граници, од Бернхард Риман. Иако сите ограничени непрекинати функции по делови се Риманово интеграбилни на ограничен интервал, подоцна се разгледани поопшти функции — особено во контекст на Фурјеовата анализа — за кои не важи Римановата дефиниција, па Анри Лебег срочил поинаква дефиниција за интеграл заснована на теоријата за мерата (подгранка на реалната анализа). Биле предложени и други дефиниции за интеграл како дополнување на приодите на Риман и Лебег. Овие приоди, засновани на реалните броеви, се најзастапени денес, но постојат и алтернативни, како дефиницијата за интеграл како стандардниот дел од конечен Риманов збир, заснована на хиперреални броеви.
1.4 Историски запис
Записот за неопределениот интеграл е воведен од Готфрид Вилхелм Лајбниц во 1675 г. Тој го усвоил симболот ∫ од од буквата ''ſ'' (долго s), земен од зборот ''summa'' (''ſumma'' = „збир“ или „вкупно“ на латински). Современиот запис за определениот интеграл, со граници над и под знакот за интеграл прв го употребил Жозеф Фурје во ''Сеќавања'' на Француската академија околу 1819–1820 г., препечатени во книга во 1822 г.
Исак Њутн користел мала исправена црта над променливата за да посочи интегрирање, или пак ја ставал променливата во квадрат. Цртата лесно се помешувала со или , со што се укажувало диференцирање, а квадратите биле тешки за печатарите, па затоа овој начин не бил пошироко усвоен.
1.5 Прва употреба на поимот
Поимот прв го употребил Јакоб Бернули во 1690 г. велејќи: „''Ergo et horum Integralia aequantur''“ („''Затоа и нивните интеграли се еднакви''“).
2 Терминологија и запис
Начелно земено, интегралот на реална функција во однос на реална променлива на интервал се запишува како
:<math>\int_{a}^{b} f(x) \,dx.</math>
Симболот претставува интегрирање. Симболот , наречен диференцијал на променливата , укажува дела променливата на интегрирањето е . Функцијата се нарекува ''подинтегрална функција'' или ''интегранд'', точките и се нарекуваат граници на интегрирањето, а за интегралот се вели дека е на интервалот , наречен интервал на интегрирање.
За една функција велиме дека е ако нејзиниот интеграл на нејзиниот домен е конечен. Ако се укажани граници, тогаш интегралот се нарекува определен интеграл.
Кога границите се изоставени, како во
:<math>\int f(x) \,dx,</math>
интегралот се нарекува неопределен интеграл, кој претставува класа на функции (примитивната функција) чиј извод е подинтегралната функција. Основната теорема за анализата ја изразува пресметката на определени интеграли со неопределени интеграли. Постојат неколку проширувања на записот за интеграли со цел да се опфати интегрирање на неограничени домени и/или во повеќе димензии.
Во напредна околина, неретко забележуваме изоставување на кога се користи само прост Риманов интеграл, или кога точниот вид на интеграл е неважен. На пример, можеме да запишеме <math>\int_a^b (c_1f+c_2g) = c_1\int_a^b f + c_2\int_a^b g </math> за да ја изразиме линеарноста на интегралот, својство кое го дели со Римановиот интеграл и сите негови воопштувања.
3 Толкувања
Интегралите се јавуваат во мноштво практични ситуации. На пример, од должината, ширината и длабочината на еден базен кој е правоаголен и има рамно дно, можеме да ја определиме зафатнината на водата што може да ја содржи, плоштината на неговата површина и должината на работ. Но ако базенот е овален и има заоблено дно, точните вредности можеме да ги добиеме само со интеграли. Во секој од двата случаја, можеме да ја поделиме бараната величина на бесконечно многу инфинитезимални парчиња, потоа да ги собереме и да добиеме прилично точна приближност.
Во друг пример, за да ја најдеме плоштината на област ограничена од графикот на функцијата <math>\sqrt{x}</math> помеѓу и , го делиме интервалот на пет делови, а потоа конструираме правоаголници користејќи ја висината десно на секое парче (така, ) и ги собираме нивните плоштини за да добиеме приближна вредност
:<math>\textstyle \sqrt{\frac{1}{5\left(\frac{1}{50\right)+\sqrt{\frac{2}{5\left(\frac{2}{5\frac{1}{5}\right)+\cdots+\sqrt{\frac{5}{5\left(\frac{5}{5\frac{4}{5}\right)\approx 0,7497</math>
која е поголема од прецизната вредност. Од друга страна, кога ги заменуваме овие подинтервали со оние со висината лево на секое парче, добиваме премала приближна вредност: со дванаесет такви подинтервали приближената плоштина изнесува само 0,6203. Меѓутоа, ако бројот на парчиња се приближува до бесконечност, таа ќе достигне граница која е прецизната вредност на бараната плоштина (во случајов, ). Запишуваме
:<math>\int_{0}^{1} \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3},</math>
што значи е резултатот од пондериран збир од функциски вредности, , помножен со инфинитезималните чекорни ширини, означени со , на интервалот .
4 Формални дефиниции
Постојат многу начини ан формално дефинирање на интеграл, и не сите се еквивалентни. Разликата претежно се состои во разни специјални случаи кои не се интеграбилни според други дефиниции, но понекогаш се од педагошки причини. Најупотребувани дефиниции се Римановите и Лебеговите интеграли.
4.1 Риманов интеграл
Римановиот интеграл се дефинира преку Риманови збирови на функции во однос на ''означени разбивања'' на интервал. Означено разбивање на еден затворен интервал на реалната оска е конечна низа
:<math> a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!</math>
Ова го разбива интервалот на подинтервали индексирани со , каде секој е „означен“ со дадена точка . ''Римановиот збир'' на функција во однос на такво означено разбивање се дефинира како
:<math>\sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i ; </math>
така, секој член на збирот е плоштината на правоаголник со висина еднаква на функциската вредност во избраната точка на дадениот подинтервал, и ширина иста како ширината на подинтервалот, . ''Нормата'' на такво означено разбивање е ширината на најголемиот подинтервал образуван со разбивањето, . ''Римановиот интеграл'' на функција на интервалот е еднаков на ако:: За сите <math>\varepsilon > 0</math> постои <math>\delta > 0</math> таков што, за секое означено разбивање <math>[a, b]</math> со норма помала од <math>\delta</math>,
:<math>\left| S - \sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i \right| < \varepsilon.</math>
Кога избраните ознаки се максималната (односно минимална) вредност на функцијата во секој интервал, Римановиот збир станува горен (односно долен) Дарбуов збир, што укажува на блиска врска помеѓу Римановиот и Дарбуовиот интеграл.
4.2 Лебегов интеграл
Честопати имаме потреба да ја преминеме границата под интегралот. На пример, една низа функции може неретко да се срочи како приближување, во соодветна смисла, до решението на проблемот. Тогаш интегралот на решавачката функција треба да биде границата на интегралите на приближувањата. Меѓутоа, многу функции што можат да се добијат како граници се не Риманово интеграбилни, и затоа таквите теореми не важат за Риманови интеграли. Оттука, многу е важно да имаме дефиниција за интегралот која допушта интегрирање на поширока класа на функции.
Таков е Лебеговиот интеграл, кој го користи следниов факт за да ја зголеми класата на интеграбилни функции: ако вредностите на една функција се прераспоредат на доменот, интегралот на функција треба да остане ист. Затоа, Анри Лебег го вовел интегралот наречен по него, explaining this integral thus in a letter to Пол Монтел:
Како што вели Фоланд, „За да го пресметаме Римановиотеинтеграл на , го разбиваме доменот на подинтервали“, додека во ЛЕбеговиот интервал, „ние во суштина го разбиваме опсегот на “. Затоа, дефиницијата за Лебеговиот интегралпочнува со мера, μ. Во најпростиот случај, Лебеговата мера на еден интервал е неговата ширина, , така што Лебегивиот интеграл се сложува со (својствениот) Риманов интеграл кога обата постојат. Во посложение случаи, множествата што се мерат може да бидат мошне расцепкани, без непрекинатост и без да личат на интервали.
Користејќи се со филозофијата „разбивање на опсег на “, интегралот на ненегативна функција треба да биде збир по на плоштините помеѓу тенка хоризонтална лента помеѓу и . Оваа плоштина е просто . Нека . Легебовиот ингетрал на тогаш ќе биде дефиниран со
:<math>\int f = \int_0^\infty f^*(t)\,dt</math>
каде интегралот десно е обичен несвојствен Риманов интеграл ( како строго опаѓачка позитивна функција, па затоа има добро дефиниран нестојствен Риманов интеграл). За соодветна класа на функции (мерливите функции) ова го дефинира Лебеговиот интеграл.
Општа мерлива функција е Лебегово интеграбилна ако збирот од апсолутните вредности на плоштините на областите помеѓу графикот на и -оската е конечен::<math>\int_E |f|\,d\mu < + \infty.</math>
Во тој случај, интегралот е, како во Римановиот случај, разликата помеѓу плоштината над -оската и плоштината под неа::<math>\int_E f \,d\mu = \int_E f^+ \,d\mu - \int_E f^- \,d\mu</math>
каде
:<math>\begin{alignat}{3}
& f^+(x) &&{}={} \max \{f(x),0\} &&{}={} \begin{cases}
f(x), & \text{if } f(x) > 0, \\
0, & \text{otherwise,}
\end{cases}\\
& f^-(x) &&{}={} \max \{-f(x),0\} &&{}={} \begin{cases}
-f(x), & \text{if } f(x) < 0, \\
0, & \text{otherwise.}
\end{cases}
\end{alignat}</math>
4.3 Други интеграли
Иако Римановиот и Лебеговиот интеграл се најзастапени дефиниции за интегралот, постојат ред други, вклучувајќи ги следиве:
* Дарбуов интеграл — се дефинира со Дарбуови збирови (ограничени Риманови збирови), а сепак е еквивалентен на Римановиот интеграл. Една функција е Дарбуово интеграбилна ако и само ако е Риманово интеграбилна. Дарбуовите интеграли ја имаат предноста што се полесни за дефинирање отколку Римановите.
* Риман–Стилтјесов интеграл — проширување на Римановиот интеграл кој интегрира според функција, а не според променлива.
* Лебег–Стилтјесов интеграл — понатаму разработен од Јохан Радон, која ги воопштува Риман-Стилтјесовиот и Лебеговиот интеграл.
* Даниелов интеграл — ги содржи Лебеговиот интеграл и Лебег–Стилтјесовиот интеграл без да зависи од мери.
* Харов интеграл — се користи за интегрирање на месно компактни тополошки групи, воведен од Алфред Хар во 1933 г.
* Хенстон-Курцвајлов интеграл — дефиниран на разни начини од Арно Данжоа, Оскар Перон, (најелегантно, како баждарниот интеграл) Јарослав Курцвајл и разработен од Ралф Хенсток.
* Хинчинов интеграл — наречен по Александар Хинчин.
* Итоов интеграл и Стратоновичев интеграл — го дефинираат интегрирањето според полумартингали како Брауновото движење.
* Јангов интеграл — вид Риман-Стилтјесов интеграл во однос на извесни функции на неограничена варијација.
* Груба патека — дефиниран за функции опремени со извесна дополнителна структура на „груба патека“ и воопштена стохастичко интегрирање наспроти полумартингали и процеси како дробното Брауново движење.
* Шокеов интеграл — субадитивен или суперадитивен интеграл создаден од Гистав Шоке во 1953 г.
* Бохнеров интеграл — воопштување на Лебеговиот интеграл на функции кои земаат вредности во Банахов простор.
5 Својства
5.1 Линеарност
Збирката од Риманово интеграбилни функции на затворен интервал образува векторски простор под операциите на поточковно собирање и множење со скалар, а постапката на интегрирање
:<math> f \mapsto \int_a^b f(x) \; dx</math>
е линеарен функционал на овој векторски простор. Затоа, збирката од интеграбилни функции е затворена во однос на линеарни комбинации, а интегралот на линеарна комбинација е линерна комбинација на интегралите::<math> \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,</math>
Слично на тоа, множеството од реални Лебегово интеграбилни функции на даден мерен простор со мера е затворено во однос на линеарни комбинации, и затоа образува векторски простор, а Лебеговиот интеграл
:<math> f\mapsto \int_E f \, d\mu </math>
е линеарен функционал на овој векторски простор, така што::<math> \int_E (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_E f \, d\mu + \beta \int_E g \, d\mu. </math>
Поопшто земено, го разгледуваме векторскиот простор на сите мерливи функции на мерен простор , земајќи ги вредностите во месно компактен потполн тополошки векторски простор на месно компактно тополошко поле . Тогаш можеме да дефинираме апстрактно интеграциско пресликување, заадавајќи ѝ на секоја функција елемент од или симболот ,
:<math> f\mapsto\int_E f \,d\mu, \,</math>
што е складно со линеарните комбинации. Во оваа ситуација линеарноста важи за потпросторот на функциите чиј интеграл е елемент на (т.е. „конечен“). Најважните специјални случаи се јавуваат кога е , , или конечно проширување на полето на p-адични броеви, а е конечнодимензионален векторски простор на , и кога и е комплексен Хилбертов простор.
Линеарноста, заедно со некои природни својства на непрекинатост и нормализција за извесна класа на „прости“ функции, може да се употреби за да даде алтернативна дефиниција за интегралот. Овој приод го има Даниеловиот интеграл за случајот на реални функции на множество , воопштени од Никола Бурбаки на функции со редности во месно компактен тополошки векторски простор.
5.2 Неравенства
Низа општи неравенства важат за Риманово интеграбилна функција дефинирана на затворен и ограничен интервал и можат да се воопштат со други поимувања за интеграл (Лебегов или Даниелов).
*''Горни и долни граници.'' Интеграбилна функција на , е нужно ограничена на тој интервал. Затоа, има реални броеви и така што за сите во . Бидејќи долните и горните збирови на на се затоа ограничени од и односно , следува дека <math> m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a).</math>*''Неравенства помеѓу функции.'' Ако за секое во тогаш секој од горните и долните збирови на е ограничен над тоа со горни односно долни збирови на . Затоа <math> \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. </math> Ова е воопштување на гореспоменатите неравенства, бидејќи е интегралот на постојаната функција со вредност на . Покрај тоа, ако неравенството помеѓу функциите е строго, тогаш неравенството помеѓу интеравалите исто така ќе биде строго. Со други зборови, ако за секое во , тогаш <math> \int_a^b f(x) \, dx < \int_a^b g(x) \, dx. </math>*''Подинтервали.'' Ако е подинтеграл на , а е ненегативно за сите , тогаш <math> \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx. </math>*''Производи и апсолутни вредности на функции.'' Ако и се две функции, тогаш можеме да ги разгледаме нивните поточкени производи и степени, како и апсолутните вредности: <math>
(fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.</math> Ако е Риманово интеграбилна на тогаш истото важи за , и <math>\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx. </math> Покрај тоа, ако и и се Риманово интеграбилни, тогаш исто така ќе биде Риманово интеграбилна, а <math>\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). </math> Ова неравенство, познато како Коши-Шварцово неравенство, игра важна улога во теоријата за Хилбертовиот простор, каде левата страна се толкува како внатрешен производ на две квадратноинтеграбилни функции и на интервалот .
*''Хелдерово неравенство''. Нека и се два реални броја, со , а и се две Риманово интеграбилни функции. Тогаш функциите и исто така ќе биат интеграбилни, и важи следново Хелдерово неравенство: <math>\left|\int f(x)g(x)\,dx\right| \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.</math> For , Хелдеровото неравенство станува Коши-Шварцово неравенство.
*''Минковскиево неравенство''. Нека е реален број, а и нека се Риманово интеграбилни функции. Тогаш и исто така ќе бидат Риманово интеграбилни и ќе важи следново Минковскиево неравенство: <math>\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} +
\left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.</math> Аналог на ова неравенство за Лебегов интеграл се користи во конструкцијата на L<sup>p</sup>-простори.
5.3 Конвенции
Во овој оддел, е реална римановоинтеграбилна функција. Интегралот
:<math> \int_a^b f(x) \, dx </math>
на интервал е дефиниран ако . Ова знач дека горниот и долниот збир на функцијата се пресметува со разбивање чии вредности се зголемуваат. Геометриски, ова значи дека интегрирањето се одвива од лево надесно, пресметувајќи ја во рамките на интервалите каде интервалот со повисок индекс стои десно од оној со помал. Вредностите и , завршнитеточки на интервалот, се наречени граници на интегрирањето на . Интегралите можат да се дефинираат и ако :'''':<math>\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx. </math>
Со , ова подразбира:
:<math>\int_a^a f(x) \, dx = 0. </math>
Првата конвенција е неопходна со оглед на интегралите на подинтеграли на ; втората вели дека интегралот на изроден интеграл, или точка, треба да биде нула. Една причина за првата конвенција е тоа што интеграбилноста на на интервал подразбира дека е интеграбилна на секој подинтеграл , но ако конретни интеграли го има својството дека е било кој елемент на , тогаш:'''':<math> \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.</math>
Со првата конвенција, исходниот однос
:<math>\begin{align}
\int_a^c f(x) \, dx &{}= \int_a^b f(x) \, dx - \int_c^b f(x) \, dx \\
&{} = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx
\end{align}</math>
ќе биде добро дефиниран за секоја кружна пермутација на , и .
6 Основна теорема на анализата
''Основната теорема на анализата'' вели дека диференцирањето и интегрирањето се обратни операции: ако земеме една непрекината функција и прво ја интегрираме, па потоа ја диференцираме, тогаш ја добиваме првобитната функција. Важна последица, понекогаш наречена ''втора основна теорема на анализата'', ни дозволуав да пресметуваме интеграли користејќи примитивна функција на функцијата што се интегрира.
6.1 Прва теорема
Нека биде непрекината реална функција дефинирана на затворен интервал . Нека биде функцијата дефинирана за сите во , со
:<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.</math>
Тогаш, е непрекината на , диференцијабилна на отворениот интервал и
:<math>F'(x) = f(x)</math>
за сите во .
6.2 Втора теорема
Нека биде реална функција дефинирана на затворен интервал [] што прифаќа примитивна функција на . Со други зборови, и се функции такви што за сите во ,
:<math>f(x) = F'(x).</math>
Ако е интеграбилна на , тогаш
:<math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).</math>
7 Проширувања
7.1 Несвојствени интеграли
Својствен Риманов интеграл подразбира дека подинтегралната функција е дефинирана и конечна на затворен и ограничен интервал, помеѓу границите на интегрирање. Несвојствен интеграл се јавува кога не е задоволен еден или повеќе од овие услови. Во некои случаи таквите интеграли можат да се дефинираат земајќи ја предвид граничната вредност на низа од својствени Риманови интеграли на сè поголеми интервали.
Ако интервалот е неограничен, на пример во горниот крај, тогаш несвојствениот интеграл е границата кајшто таа крајна точка оди до бесконечност::<math>\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx.</math>
Ако подинтегралната функција е само дефинирана или конечна на полуотворен интервал, на пример , тогаш границата повторно може да даде конечен резултат::<math>\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)\,dx.</math>
Со други зборови, несвојствениоте ингтеграл е граничната вредност на својствени интеграли како што една точка на интервалот на интегрирањето се се приближува до извесен реален број или или . Во посложени случаи, потребни се граници на обете крајни точки, или на внатрешни точки.
7.2 Повеќекратно интегрирање
Како што определениот интеграл на позитивна функција до една променлива ја претставува плоштината на област помеѓу графикот на функцијата и ''x''-оската, ''двојниот интеграл'' на една позитивна функција со две променливи ја претставува зафатнината на област помеѓу површината дефинирана од функцијата и рамнината што го содржи нејзиниот домен. На пример, една функција во две димензии зависи од две реални променливи, ''x'' и ''y'', а интегралот на функција ''f'' на правоаголникот ''R'' даден како Декартовиот производ од два интервала <math>R=[a,b]\times [c,d]</math> може да се запише како
:<math>\int_R f(x,y)\,dA</math>
каде диференцијалот укажува дека интегрирањето е извршено во однос на плоштината. Овој двоен интеграл може да се дефинира со Риманови збирови, и ја претставува (насочената) зафатнина под графикот на на доменот ''R''. Под соодветни услови (т.е. ако ''f'' е непрекината), Фубиниевата теорема вели дека овој интеграл може да се изрази како еквивалентен итериран интеграл:<math>\int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\,dy\right]\,dx.</math>
Ова го сведува проблемот со пресметување на двојни интеграли на пресметување на еднодимензионални интеграли. Поради ова, друг запис за интегралот на ''R'' користи знак за двоен интеграл::<math>\iint_R f(x,y) \, dA.</math>
Можно е интегрирањето на поопшти домени. Интегралот на функција ''f'', во однос на зафатнината, на ''n-''димензионална област ''D'' на <math>\mathbb{R}^n</math> се означува со симболи како:
:<math>\int_D f(\mathbf x) d^n\mathbf x \ = \int_D f\,dV.</math>
7.3 Криволиниски и површински интеграли
Концептот за интегра може да се прошири на поопшти домени на интегрирање, како криви и површини во повисокодимензионални простори. Таквите интеграли се нарекуваат криволиниски интеграли и површински интеграли. Тие наоѓаат важна примена во физиката, како кај постапувањето со векторски полиња.
''Криволиниски интеграл'' (понекогаш наречен ''интеграл на патека'') е интеграл каде функцијата што се интегрира се пресметува долж крива. Се користат различни криволиниски интеграли. Во случајот на затворена крива, тој се нарекува ''контурен интеграл''.
Функцијата што се интегрира може да биде скаларно или векторско поле. Вредноста на криволинискиот интеграл е збирот од вредностите на почето во сите точки на кривата, пондерирани од некоја скаларна функција на кривата (често должина на лак или, кај векторско поле, скаларниот производ на векторското поле со a диференцијален вектор на кривата). Ова пондерирање го разликува криволинискиот интеграл од попростите интеграли дефинирани на интервали. Многу прости формули во физиката имаат природни непрекинати аналози со криолиниски интеграли; на пример, фактот што работа е еднаква на силата помножена со поместувањето може да се изрази (со векторски величини) како::<math>W=\mathbf F\cdot\mathbf s.</math>
За предмет кој се движи по патека во векторско поле како електрично или гравитациско поле, вкупната извршена работа на полето врз предметот се добива со збирање на диференцијалната работа извршена со поместување од до . Ова го дава криволинискиот интеграл:<math>W=\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf s.</math>''Површинскиот интеграл'' ги воопштува двојните интеграли на интегрирање на површина (која може да биде криво множество во простор); може да се претстави како двојноинтегрален аналог на криволинискиот интеграл. Функцијата што се интегрира може да биде скаларно или векторско поле. Вредноста на површинскиот интеграл е збиро од полето во сите точки на површината. Ова може да се постигне со разложување на површината на површински елементи, кои го даваат разбивањето за Риманови збирови.
Како пример за примената на површински интеграли, имаме векторско поле на површина ; т.е. за секоја точка на , е вектор. Ако си замислиме дека некој флуид тече низ , така што ја определува брзината на флуидот во . Потокот се дефинира како величината на флуид што тече низ за единица време. За да го добиеме потокот, го земаме скаларниот производ на со единичната површинска нормала на во секоја точка, што ќе ни даде скаларно поле, кое се интегрира на површината::<math>\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf S}.</math>
Потокот на фллуидот во овој пример може да биде облик на физички флуид како вода или воздух, или да образува електрично или магнетно поле. Така, површинските интеграли наоѓаат примена во физиката, особено со класичната теорија на електромагнетизмот.
7.4 Контурни интеграли
Во комплексната анализа, подинтегралната функција е коплекснозначна функција на комплексна променлиа наместо на реална функција на реална променлива . Кога интегрираме комплексна функција долж крива <math>\gamma</math> на комплексната рамнина, интегралот се означува вака
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz.</math>
Ова се нарекува контурен интеграл.
7.5 Интеграли на диференцијални форми
Диференцијална форма е математички концепт во полињата на сметањето со повеќе променливи, диференцијалната топологија и тензорите. Овие форми се организирани по степен. На пример, едноформниот е пондердиран збир од диференцијалите на координатити, како:
:<math>E(x,y,z)\,dx + F(x,y,z)\,dy + G(x,y,z)\, dz</math>
каде ''E'', ''F'', ''G'' се функции во три димензии. Диференцијалниот едноформен може да се интегрира на насочена патека, и исходниот интеграл е просто друг начин за запишување на криволиниски интеграл. Тука основните диференцијали ''dx'', ''dy'', ''dz'' изразуваат бесконечно мали насочени должини паралелни на трите координатни оски.
Диференцијална двоформа е збир од формата
:<math>G(x,y,z) \, dx\wedge dy + E(x,y,z) \, dy\wedge dz + F(x,y,z) \, dz\wedge dx.</math>
Тука основните двоформи <math>dx\wedge dy, dz\wedge dx, dy\wedge dz</math> изразуваат насочени плоштини паралелни на координатните дворамнини. Симболот <math>\wedge</math> го означува клинестиот производ, кој е сличен на скаларниот производ по тоа што клинестиот производ од две форми за насочени должини претставува насочена плоштина. Двоформата може да се интегрира на на насочена плоштина, а исходниот интеграл е еквивалентен на површинскиот интеграл, што го дава потокот на <math>E\mathbf i+F\mathbf j+G\mathbf k</math>.
За разлика од векторскиот производ и пресметувањето на тридимензионални вектори, клинестиот производ и пресметувањето на диференцијални форми има смисла во произволна димензија и на поопшти многуобразија (криви, површини и нивните аналози од повисоки димензии). Надворешниот извод има улога на градиент и ротор во векторската анализа, а Стоксовата теорема истовремено ги воопштува трите теореми на векторската анализа: Гаус-Остроградскиевата, Гриновата и Келвин-Стоксовата.
7.6 Збирање
Дискретниот еквивалент на интегрирањето е збирањето. Збировите од интеграли може да се стават на иста основа користејќи ја теоријата на Лебегови интеграли или сметање со временски скали.
7.7 Функциски интеграли
Интеграијата што не се врши на променлива (или, во физиката, на просторна или временска димензија), туку на простор на функции, се нарекува функциски интеграл.
8 Примена
Интегралите наоѓаат широка примена во многу полиња. На пример, во теоријата на веројатноста, интегралите се користат за одредување на веројатноста дека некоја случајна променлива ќе биде во извесен опсег. Покрај тоа, интегралот под цела функција на веројатносна густина мора да биде еднаков на 1, по што се гледа дали една функција без негативни вредности може да биде функција на веројатносна густина или не.
Со интеграли може да се пресмета плоштина на дводимензионална област која има крива граница, како и пресметување на зафатнината на тридимензионално тело со крива граница. Плоштината на дводимензионална област може да се пресмета со претходноспоменатиот определен интеграл. Зафатнината на тридимензионално кружно или прстенесто тело може да се пресмета со интегрирање по дискови користејќи ја равенката за зафатнина на цилиндар, <math>\pi r^2 h </math>, каде <math>r</math> е полупречникот. Во случај на прост круг создаден со вртење на крива околу -оската, полупречникот е даден од , а висината е диференцијалот . Употребувајќи интеграл со граници и , зафатнината на дискот ќе биде еднаква на:<math>\pi \int_a^b f^2 (x) \, dx.</math>Интегралите се користат и во физиката, во полиња како кинематиката за добивање на величини како поместување, време и брзина. На пример, во праволиниско движење, поместувањето на еден предмет на временскиот интервал <math>[a,b]</math> е дадено од
:<math>x(b)-x(a) = \int_a^b v(t) \,dt,</math>
каде <math>v(t)</math> е брзината изразена како функција на времето. Работата извршена од сила <math>F(x)</math> (дадена како функција на положбата) од првична положба <math>A</math> до конечна положба <math>B</math> ќе биде::<math>W_{A\rightarrow B} = \int_A^B F(x)\,dx.</math>
Интегралите наоѓаат примена и во термодинамиката, каде се користи термодинамичко интегрирање за пресметување на разликата во слободна енергија помеѓу две дадени состојби.
9 Пресметување
9.1 Аналитичко
Најосновната техника за пресметување на определени интеграли со една реална променлива се заснова на основната теорема за анализата. Нека биде функцијата на што се интегрира на даден интервал . Потоа, пронаоѓаме примитивна функција на ; со други зборови, функција таква што на интервалот. Под услов подинтегралната функција и интегралот немаат сингуларности на патеката на интегрирање, со основната теорема на анализата,
:<math>\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).</math>
Понекогаш неопходно е да се користи една од многуте техники разработени за пресметување на интеграли. Највеќето од нив запишуваат еден интеграл како друг, полесен за обработка. Такви техники се интегрирање со смена на променливата, интегрирање по делови, интегрирање по тригонометрсиска смена и интегрирање по делумни дропки.
Постојат алтернативни методи за пресметување на посложени интеграли. Многу неелементарни интеграли можат да се прошират во Тејлоров ред и да се интегрираат член по член. Понекогаш исходната бесконечна низа може да се збере аналитички. Може да се примени методот на конволуција со Мејерови G-функции, под услов дека подинтегралната функција може да се запише како производ од Мајерови G-функции. Постојат и многу други помалку застапени начини за пресметка на определени интеграли; на пример, може да се употреби Парсевалово равенство за трансформирање на интеграл на правоаголна област во бесконечен збир. Повремено интегралот може да се пресмета со финта.
Пресметувањето на зафатнини на вртежни тела обично може да се изврши со интегрирање по дискови или интегрирање по лушпи.
9.2 Симболично
Многу проблеми во математиката, физиката и инженерството вклучуваат интегрирање кога се бара изречна формула за интегралот. За таа цел со текот на времето се составени и објавени опширни интегрални таблици. Со ширењето на сметачите, многу стручњаци, педагози и ученици почнале да користат сметачки алгебарски системи предвидени за сработување на тешки или макотрпни задачи, меѓу кои и интегрирањето. Симболичното интегрирање послужило како поттик за развојот на првите такви системи како Macsyma и Maple.
Голема математичка потешкотија во симболичното интегрирање е тоа што, во многу случаи, релативно проста функција нема интеграли што можат да се изразат во затворен облик само преку елементарни функции, вклучувајќи рационални и експоненцијални, логаритамски, тригонометриски и инверзни тригонометриски функции, и операциите множење и составување. Ришовиот алгоритам дава општ критериум за утврдување дали примитивната функција на една елементарна функција е елементарна, и за пресметување на интегралот ако е таква. Меѓутоа, исклучок се функциите со затворени изрази на примитивни функции, па затоа, сметачките алгебарски системи не се надеваат да најдат примитивна функција за произволно конструирана елементарна функција. Но добро е тоа што ако „градивните елементи“ на примитивни функции се однапред утврдени, сепак можно е да одлучиме дали примитивната функција на дадена функција може да се изрази со овие блокови и операции на множење и составување, и да се најде симболичниот одговор кога таков постои. Ришовиот алгоритам применет во Mathematica, Maple и други сметачки алгебарски систем, го прави токму ова кај функции и примитивни функции изградени од рационални функции, радикали, логаритамски и експоненцијални функции.
Некои специјални подинтегрални функции се јавуваат доволно често за да бидат предмет на посебно проучување. Во збир на примитивни функции корисно е да се имаат специјални функции (како Лежандровите функции, хипергеометриската функција, гама-функцијата, непотполната гама-функција итн.). Проширувањето на Ришовиот алгоритам со такви функции е можно, но тешко, и претставува предмет на активно проучување.
Во поново време е воведен пристапот со ''D''-конечни функции, кои се решенија на линеарни диференцијални равенки со полиномни коефициенти. Највеќето елементарни и специјални функции се ''D''-конечни, а интегралот на ''D''-конечна функција исто така е ''D''-конечна функција. Ова дава алгоритам за изразување на примитивната функција на ''D''-конечна функција како решение на диференцијална равенка. Оваа теорија воедно ни овозможува да го пресметаме определениот интеграл на ''D''-функција како збир од низа дадена од првите коефициенти и дава алгоритам за пресметка на било кој коефициент.
Интегрирањето се олеснува со системи засновани на правила. Сметачкиот алгебарски систем Rubi препознава обрасци во обемен систем на правила за симболично интегрирање на најразлични подинтегрални функции. Овој користи преку 6600 правила на интегрирање за пресметување на интеграли. Методот на загради е воопштување на Рамануџанова главна теорема кое може да се примени врз најразлични интеграли со една и повеќе променливи. До интегралот се доаѓа со примена на збир правила врз коефициентите и експоненцијалните членови на проширувањето на степеновиот ред од подинтегралната функција. Овој метод е во блиско сродство со Мелиновата трансформација.
9.3 Бројчено
Постојат неколку методи на бројчено интегрирање за приближување на определените интеграли. Правоаголниот метод се заснова на поделба на областа под функцијата на бројни правоаголници кои одговааат на функциските вредности и ги множи со чекорната ширина за да дојде до збирот. За подобар пристап се смета трапезоидното правило, кое ги заменува правоаголниците во Риманов збир со трапезоиди. Трапезоидното превило ги располовува првата и последната вредност, а потоа множи со чекорната ширина за да добие подобро проближување. Оваа идеја за попрецизно приближување до интегралот понатаму ја развива Симпсоновото правило, кое приближува подинтегралната функција со квадратна функција по делови.
Римановите збирови, трапезиодното правило и Симпсоновото правило се примери за семејство на квадратурни правила наречени Њутн–Коутсови формули. Њутн–Коутсовото квадратурно правило од степен се приближува до полиномот на секој подинтервал за полином од степен ''''. Овој полином се избира за да ги интерполира вредностите на функцијата на интервалот. Њутн–Коутсовите приближувања од повисок степен може да бидат попрецизни, но бараат повеќе пресметки на функции и може да страдаат од бројчена непрецизност поради Рунгеовата појава. Едно решение на овој проблем е Кленшо–Кертисовата квадратура, каде се врши приближување на подинтегралната функција преку Чебишови полиноми.
Ромберговиот метод постепено ја располовува ширината на секој чекор, и дава трапезоидни приближувања означени со , итн. каде е половина од . За големината на секој нов чекор се потребно е да се пресмета само половина од вредностите на новата функција; другите се пренесуваат од претходната големина. Потоа ова интерполира полином по пат на приближувања, и екстраполира на . Гаусовата квадратура ја пресметува функцијата во корените на множество од ортогонални полиноми. Гаусов метод со точки е точен за полиноми со степен до .
Пресметката на интеграли од повисока димензија (на пример, пресметување на зафатнина) во голема мера се полузува со алтернативи како интегрирањето Монте Карло.
9.4 Механичко
Плоштината на произволен дводимензионален облик може да се утврди со мерен инструмент наречен планиметар. Зафанината на неправилни тела може прецизно да се измери според истисната течност кога телото ќе се потопи.
9.5 Геометриско
Плоштината понекогаш се добива преку гемоетриски конструкции со шестар и линијар на еквивалентен квадрат.
9.6 Интегрирање со диференцирање
Кемпф, Џексон и Моралес покажале математички односи кои овозможуваат пресметка на интеграл со диференцирање. Нивната пресметка се врши со Дираковата делта-функција и парцијалниот изводен оператор <math>\partial_x</math>. Ова може да се примени и на функциски интеграли, што овозможува нивно пресметување со функциско диференцирање.
10 Примери
10.1 Примена на основната теорема на анализата
Основната теорема на анализата овозможува едноставни пресметки на основни функции:
: <math>\int_0^\pi \sin(x) \,dx = -\cos(x) \big|^{x = \pi}_{x = 0} = -\cos(\pi) - \big(-\cos(0)\big) = 2.</math>
11 Поврзано
* Интегрална равенка
* Интегрално сметање
* Список на интеграли
12 Наводи
13 Библиографија
*
*
* . Особено главите III и IV.
*
*
*
*
*
* Available in translation as
*
* (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* Paul J. Nahin (2015), ''Inside Interesting Integrals'', Springer, ISBN 978-1-4939-1276-6.
*
*
*
* .
*
* .
*
* Cornel Ioan Vălean (2019), ''(Almost Impossible) Integrals, Sums, and Series'', Springer, ISBN 978-3-030-02461-1.
* Cornel Ioan Vălean (2023), ''More (Almost Impossible) Integrals, Sums, and Series'', Springer, ISBN 978-3-031-21261-1.
*