Секанс

Секанс – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и катетата што прилежи кон дадениот агол.
1 Дефиниција
Дефиницијата гласи:
:<math>\operatorname{sec}\;x = \frac{1}{\cos x}</math>
Врската со косеканс е
:<math>\operatorname{sec}\;x = \operatorname{cosec}\, (\pi / 2 - x)</math>
додека ''Питагоровиот идентитет'', идентитет заснован на Питагоровата теорема, која ги поврзува тригонометриските функции е
:<math>1+\tan^2(\alpha)= \operatorname{sec}^2(\alpha)</math>
Како и останатите тригонометриски функции и секансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Секанс е однос на хипотенузата и налегнатата катета.
На тригонометрискиот круг вредноста на секансот е еднаква на големината на следната должина
+''Некои карактеристични вредности''
степени, 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
радијани, 0, <math>\pi/6</math>, <math>\pi/4</math>, <math>\pi/3</math>, <math>\pi/2</math><math>\sec\theta\,</math>, <math>1\;</math>, <math>\frac{2}{3}{\sqrt{3</math>, <math>\sqrt{2}</math>, <math>2\;</math>, <math>\pm\infty\;</math>
2 Претставување на функцијата
Претставување на функцијата во вид на Тејлоров ред во околината на точката <math>x = 0</math>:<math>\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5 x^4}{24} + \frac{61 x^6}{720} + \cdots \qquad \textrm{za} \ |x|< \frac{\pi}{2}</math>
Односно обопштено
:<math>\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ за } |x| < \frac{\pi}{2}\!</math>
каде <math>E_k\!</math> во формулата е Ојлерови броеви.
Исто така можно е функцијата да се претстави во следниот вид:
:<math>\sec(x) = \pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(8k+4)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 } \quad\mbox{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!</math>
3 Особини на функцијата
Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.
* Дефинициона област на функцијата:
:функција е дефинирана во множеството реални броеви <math>\mathbb{R}</math>, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви
:<math>-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>* Област на вредностите на функцијата:
:функцијата зема вредности во опсег на реалните броев, освен во областа -1 до 1
:<math> -\infty < \operatorname{sec}(x) \le -1 \quad \cup \quad 1 \le \operatorname{sec}(x) < +\infty </math>* Парност
:функција е парна
:<math>\operatorname{sec}(-x) = \operatorname{sec}(x)</math>* Периодичност
:функцијата е периодична со основна периода 2π
:<math>\operatorname{sec}(x+2\pi) = \operatorname{sec}(x)</math>* Асимптоти
:функцијата има вертикални асимптоти во точките
:<math>x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>:функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти
* Нули на функцијата
:функцијата нема нули
* Монотоност на функцијата
* Екстреми
:нема глобален екстрем
::локален минимум
::<math>\operatorname{sec}(2 n \cdot \pi) = 1\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>::локален максимум
::<math>\operatorname{sec}((2 n + 1) \cdot \pi) = -1\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>* Конвексност и конкавност на функцијата
:функција е конвексна во интервалот
::<math>-\pi/2+2n\pi<x<\pi/2+2n\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>:функцијата е конкавна во интервалот
::<math>\pi/2+2n\pi<x<3\pi/2+2n\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>* Превојни точки
:функцијата нема превојни точки
3.0.1 Извод од функцијата
Првиот извод од функцијата е
:<math>\frac{\mathrm{d{\mathrm{d}x}\operatorname{sec}(x) = \operatorname{sec}(x) \cdot \tan(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{cosec}(x)}</math>
3.0.2 Интеграл
Неодредениот интеграл на функцијата е
:<math>\int\sec(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{1 + \sin(x)} {\cos(x)}\right| = \ln\Big| \sec(x) +\tan(x)\Big|</math>
4 Историја
Скратеницата ''sec'' првпат се појавува во 1626 година во книгата на Албер Жерар за тригонометрија.