Рошова граница

Рошова граница, понекогаш и Рошов полупречник — растојанието во кое некое небесно тело е стабилно благодарение само на сопствената гравитација и ќе се распадне во присуство на второ небесно тело со плимна сила поголема од гравитациската сила која го држи стабилно второто тело. Во внатрешноста на Рошовата граница, орбитирачкиот материјал се распределува и формира прстени додека пак материјалот надвор од границата тежнее да се слепува и создава поголеми тела. Поимот своето име го добил по Едуар Рош, француски астроном, кој прв теориски ја пресметал оваа граница во 1848 година.
1 Објаснение
Вообичаено, Рошовата граница се однесува за месечини кои се распаѓаат по дејство на плимната сила која потекнува од поголемото тело околу кое месечината орбитира. Деловите од месечината кои се поблиску до големото тело се привлечени со поголема гравитациска сила, додека пак поодалечените делови се исфрлени под дејство на закривената орбита и силната центрифугална сила. Некои постоечки месечини, како природни така и вештачки, орбитираат во внатрешноста на Рошовата граница бидејќи во оваа состојба ги одржуваат сили поразлични од гравитациската сила. Јупитеровата месечина Метида и Сатурновата месечина Пан се примери за вакви месечини, кои се одржуваат во моменталната состојба благодарение на влечната цврстина (истите се цврсти тела кои не можат лесно да бидат растргнати). Всушност телата кои би биле на површината на овие месечини би биле подигнати од плимните сили. Послаби месечини, како на пример комети, ќе се распаднат во моментот кога ќе ја надминат Рошовата граница.
Бидејќи плимните сили ја совладуваат гравитацијата која го задржува телото во целовитост во внатрешноста на Рошовата граница, не може да се создаде поголема месечина од помали честички во внатрешноста на границата. Ова е потврдено, и сите познати планетарни прстени се во внатрешноста на сопствената Рошова граница, Сатурновиот Е-прстен и Фебин прстен се исклучоци. Тие можеби се остатоци од создавањето на прото-планетарниот ротирачки диск, кој не успеал да формира месечини, или пак се создале кога некоја месечина навлегла во Рошовата граница и се распаднала.
Рошовата граница не е единствената причина која предизвикува кометите да се распаднат. Распаднувањето под дејство на топлинскиот стрес, и внатрешниот гасен притисок и вртежните сили се останатите начини кои придонесуваат една комета да се распадне.
2 Определување на Рошовата граница
Ограниченото растојание до кое една месечина може да се приближи без да се распадне зависи од нејзината цврстина. Во една крајност, многу цврста месечина ќе го задржи својата облик сè до оној момент додека плимните сили не ја распаднат. Во друга крајност, доста порозна месечина постепено ќе го менува обликот, со што плимните сили ќе се засилуваат, месечината ќе се издолжи, со што плимните сили ќе делуваат позасилено со што распадот ќе биде подеднакво распределен. Повеќето постоечки месечини ќе бидат некаде меѓу овие две крајности, каде влечните сили во месечините предизвикуваат тој да не биде ни цврст но ни порозен. Рошовата граница исто така се пресметува и во случаите на кружни орбити, иако направо оваа преметка може да се прилагоди (на пример) за тело кои се движи по параболична или хиперболична патека.
2.1 Пресметки за цврсти месечини
Рошовата граница на ''цврстите тела'' е упростена пресметка за топчести месечини. Неправилните форми предизвикани на телото под дејство на плимните сили или неправилната форма на телото околу кое орбитира се занемаруваат. Се претпоставува дека имаме хидростатичка рамнотежа. Овие претпоставки, иако нереални, ги олеснуваат пресметките.
Рошовата граница за цврст топчеста месечина е растојанието, <math>d</math>, од главното тело од и при кое гравитациската сила на маса на површината е еднаква на плимната сила која го одвлекува телото од главното тело::<math> d = 1.26\; R_M\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3 </math>
каде <math>R_M</math> е полупречникот на главното тело, <math>\rho_M</math> е густината на главното тело, и <math>\rho_m</math> е густината на месечината. Па ова може да се презапише и како:
:<math> d = 1.26\; R_m\left( \frac {M_M} {M_m} \right)^{\frac{1}{3 </math>
каде <math>R_m</math> е полупречникот на месечината, <math>M_M</math> е масата на главното тело, и <math>M_m</math> е масата на месечината.
Тука зависноста не се заснова на големината на објектите, туку на односот на густините. Ова е орбиталното растојание во внатрешноста каде имаме порозен материјал (пример реголит) на површината на месечината во близината на главното тело кој ќе биде привлечен од површината кон главното тело, како и материјалот на спротивната страна кој ќе биде привлечен кон главното тело, а не кон месечината.
2.1.1 Изведување на равенката
За да се определи Рошовата граница, ќе разгледаме мала маса <math>u</math> на површината на месечината најблиску до главното тело. Имаме две сили кои влијаат на оваа маса <math>u</math>: гравитациската сила насочена кон месечината и гравитациската сила насочена кон главното тело. Да се претпостави дека месечината е во слободен пад околу главното тело и дека плимната сила е единствената сила која е важна и потекнува од главното тело. Оваа претпоставка е поедноставување на слободниот пад кој се применува за планетарниот центар но оваа претпоставка ќе го олесни изведувањето на равенката.
Гравитациското привлекување <math>F_G</math> на масата <math>u</math> кон месечината со сопствена маса <math>m</math> и полупречник <math>r</math> може да се изрази со Њутновиот закон за гравитација
:<math> F_G = \frac{Gmu}{r^2}</math>
плимната сила <math>F_T</math> на масата <math>u</math> насочена кон главното тело со полупречник <math>R</math> и маса <math>M</math>, на растојание <math>d</math> меѓу двата центри на двете тела, се прикажува со изразот:
:<math> F_T = \frac{2GMur}{d^3}</math>.
За да се добие оваа претпоставка, се бара разликата меѓу гравитациската привлечна сила на главното тело кон центарот на месечината и на работ од месечината најблиску до главното тело:
:<math> F_T = \frac{GMu}{(d-r)^2\frac{GMu}{d^2}</math>:<math> F_T = GMu\frac{d^2-(d-r)^2}{d^2(d-r)^2}</math>:<math> F_T = GMu\frac{2dr-r^2}{d^4-2d^3r+r^2d^2}</math>
Во претпоставките каде r<<R и R<d, може да се каже дека <math>r^2</math> во броителот и секој запис со <math>r</math> именителот станува нула, и се добива:
:<math> F_T = GMu\frac{2dr}{d^4}</math>:<math> F_T = \frac{2GMur}{d^3}</math>
Рошовата граница се добива кога гравитациската сила е изедначена со плимната сила.
:<math> F_G = F_T \;</math>
или
:<math> \frac{Gmu}{r^2} = \frac{2GMur}{d^3}</math>,
каде се добива Рошовата граница, <math>d</math>, каде
:<math> d = r \left( 2\;\frac{M}{m} \right)^{\frac{1}{3 </math>.
Но, не сакаме да ни се појавува полупречникот на месечината во изразот за границата, па се презапишуваат условите за густините.
За топка со маса <math>M</math> се запишува
:<math> M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3}</math> каде <math>R</math> е полупречникот на главното тело.
и слично се добива
:<math> m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3}</math> каде <math>r</math> е полупречникот на месечината.
Заменувајќи ги масите во равенката за Рошовата граница, и поништувајќи го <math>4\pi/3</math> се добива
:<math> d = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3} </math>,
израз кој може да се упрости до Рошовата граница:
:<math> d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3 \approx 1,26 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3 </math>.
Бидејќи блиска месечина ќе има скоро кружна орбита и истовремена ротација, да се земе дека центрифугалната сила од ротацијата ќе влијае на резултатите. Оваа сила е
:<math> F_C = \omega^2 ur = \frac{GMur}{d^3}</math>
и се додава на F<sub>T</sub>. Со изедначувањето на силите се добива резултатот за Рошовата граница:
:<math> d = R\left( 3\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3 \approx 1,44 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3 </math>.
2.2 Порозни месечини
Подобри пресметки за Рошовата граница се добиваат кога ќе земе предвид развлекувањето нна месечината. Необичен пример би биле плимно врзана порозна месечина кој кружи околу планета, каде секоја сила која дејствува на месечината, стата ќе ја развлече во облик на сфероид.
Пресметката е сложена и резултатот не може да се претстави со алгебарски израз. Рош самиот го извел следново приближно решение за Рошовата граница:
:<math> d \approx 2,44R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} </math>
Но, подобра претпоставка е онаа која ја зема предвид и заобленоста на главното тело и масата на месечината :
:<math> d \approx 2,423 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} \left( \frac{(1+\frac{m}{3M})+\frac{c}{3R}(1+\frac{m}{M})}{1-c/R} \right)^{1/3} </math>
каде <math>c/R</math> е заобленоста на главното тело. Бројниот фактор е пресметан со помош на сметач.
Пресметката за порозни тела е соодветна за тела кои се порозни, како што се кометите. На пример, кометата Шумејкер–Леви 9 се распадна на помали парчиња. При следниот приод во 1994 година кометата се судри со планетата. Кометата Шумејкер–Леви 9 за првпат беше забележана во 1993 година, но нејзината орбита укажуваше дека истата била заробена од гравитацијата на Јупитер пред неколку децении.
2.2.1 Изведување на формулата
Случајот со порозната месечина е понестабилен за разлика од цврстите тела, записите за месечините се добиени со некој претпоставки кои го олеснуваат записот. Прво, да се претпостави дека објетот е нестислива течност која има постојана густина <math>\rho_m</math> и волумен <math>V</math> кои не зависат од внатрешните и надворешните сили.
Второ, да се претпостави дека месечината се движи по кружна орбита и е во истовремена ротација со главниот објект. Ова значи дека аголната брзина <math>\omega</math> со која ротира околу тежиштето е иста со аголната брзина со која се движи низ системот.
Аголната брзина <math>\omega</math> е добиена преку Третиот Кеплеров закон:
:<math>\omega^2 = G \, \frac{M + m}{d^3}.</math>
Кога M е многу поголемо од m, па мже записот да се сведе на:
:<math>\omega^2 = G \, \frac{M}{d^3}.</math>
Истовремената ротација наведува на тоа дека течноста не се движи, па проблемот може да се разгледува како статички. Оттука, вискозноста и триењето на течноста во овој модел не имаат никаква важност.
Со овие претпоставки, треба да се земат предвид следниве сили:
* силата на гравитација од главното тело,
* центрифугалната сила во ротирачки појдовен систем,
* гравитациското поле на месечината.
Бидејќи сиве овие сили се конзервативни, и можат да се прикажат преку потернцијали. Може да се каже и дека површината на месечината е еквипотенцијална. Во спротивно, разликите во потенцијалите би создале сили и движења во некои делови на површината, што се коси со претпоставката за статички модел. Со дадено растојание од главното тело, проблемот се сведува на одредување на обиликот кој го исполнува условот за еквипотенцијалност.
Бидејќи орбитата се смета за кружна, гравитациската сила и центрифугалната сила кои дејствуваат на телото се поништуваат. Ни остануваат две сили: плимната сила и центрифугалната сила при ротација. Плимната сила зависи од местоположбата во однос на тежиштето, нешто што беше разгледано во т.н. модел на цврсто тело. За мали тела, растојанието на честичките течност од центарот на телото е мало во однос на растојанието ''d'' во однос на главното тело. Оттука плимната сила ќе биде линеаризирана, при што се добива истиот запис од погоре за ''F<sub>T</sub>''.
Додека оваа сила кај моделот на цврсто тело зависеше од полупречникот ''r'' на месечината, во случајот на течност треба да се земат предвид сите точки од површината и плимната сила зависи од растојанието ''Δd'' од тежиштето до некоја дадена честичка на линијата која ги поврзува месечината со главното тело. ''Δd'' се нарекува ''радијално растојание''. Бидејќи плимната сила е линеарна со ''Δd'', следи потенцијалот е пропорционален со квадратот на променливата и за <math>m\ll M</math> имаме
:<math>V_T = - \frac{3 G M }{2 d^3}\Delta d^2 \,</math>
Исто така, центрифугалната сила има потенцијал од:
:<math>V_C = - \frac{1}{2} \omega^2 \Delta d^2 = - \frac{G M }{2 d^3}\Delta d^2 \,</math>
за аголната брзина при ротација имаме <math>\omega</math>.
Треба да се определи обликот на месечината за кој збирот од гравитацискиот потенцијал и ''V<sub>T</sub> + V<sub>C</sub>'' е постојан на површината на телото. Општо земено, овој проблем е тежок за решавање, но во овој случај, може да се реши со искуствено погодување на зависноста од квадратот на плимниот потенцијал од радијалното растојание ''Δd''. Во првата претпоставка може да се занемари потенцијалот на центрифугалната сила V<sub>C</sub> и да се зема предвид само потенцијалот на плимната сила V<sub>T</sub>.
Бидејќи потенцијалот ''V<sub>T</sub>'' се менува само во една насока, ''на пример'' насоката кон главното тело, од месечината се очекува да заземе осно симетричен облик. Поточно речено, можеме да кажеме дека има облик на вртежно тело. Потенцијалот на површината на вакво тело, може да зависи од радијалното растојание до тежиштето. и навистина, пресекот на месечината и рамнината нормална линијата која ги поврзува двете тела е диск кои по претпоставките е круг со постојан потенцијал. Ако разликата меѓу гравитацискиот потенцијал и ''V<sub>T</sub>'' е постојана, двата потенцијали мора да зависат на ист начин од ''Δd''. Со други зборови, потенцијалот мора да биде пропорционален со квадратот од ''Δd''. Потоа може да се прикаже дека еквипотенцијалното решение е елипсоид. Со постојана густина и волумен потенцијалот на ваквото тело зависи само од ''ε'' на елипсоидот:
:<math>V_s = V_{s_{0 + G \pi \rho_m \cdot f (\epsilon) \cdot \Delta d^2,</math>
каде <math>V_{s_0}</math> е постојаната вредност на потенцијалот на пресекот со кружниот раб на телото и рамнината во централна симетрија дадена со равенството ''Δd=0''.
Бездимензионалната функција ''f'' се определува со точното решение на потенцијалот на елипсоидот
:<math>f(\epsilon) = \frac{1 - \epsilon^2}{\epsilon^3} \cdot \left[ \left(3-\epsilon^2 \right) \cdot \mathrm{arcsinh} \left(\frac{\epsilon}{\sqrt{1-\epsilon^2 \right) -3 \epsilon \right]</math>
и, изненадувачки, не зависи од зафатнината на месечината.
Иако изречниот облик на функцијата ''f'' изгледа сложено, забележливо е дека можеме самостојно да ја избереме вредноста на ''ε'' за потенцијалот ''V<sub>T</sub>'' е еднаков на ''V<sub>S</sub>'' и постојана независна од променливата ''Δd''. Ова се случува кога,
:<math>\frac{2 G \pi \rho_M R^3}{d^3} = G \pi \rho_m f(\epsilon)</math>
Оваа равенка може да се реши бројчено. На гравикот е покажано дека има две решенија и помалото ја прикажува стабилната рамнотежен облик (елипсоидот со помала занесеност). Ова решение го определува екцентритетот на плимниот елипсоид како функција од растојанието до главното тело. Изводот од функцијата ''f'' има вредност нула каде се постигнува најголемиот екцентритет. Ова е во согласност со Рошовата граница.
Попрецизнo кажано, Рошовата граница е определена од фактот дека функцијата ''f'', која може да се претстави како нелинеарна мерка на силата која го притиска елипсиодот кон сферен облик, е сврзана така да имаме екцентритет на кој собирната сила го достигнува максимумот. Бидејќи олимната сила се зголемува кога месечината се приближува кон главното тело, станува јасно дека на критично растојание елипсоидот ќе биде растргнат.
Максмималниот екцентритет може да се пресмета бројчено како нулка од изводот на ''f. И се добива:
:<math>\epsilon_\textrm{max}\approx 0{,}86</math>
соодветно на односот на оските на елипсоидот 1:1.95. Внесувајќи го ова во равенката за функцијата ''f'' може да се определи минималното растојание на кој елипсоидот би постоел како таков. Ова е Рошовата граница,
:<math>d \approx 2{,}423 \cdot R \cdot \sqrt[3]{ \frac {\rho_M} {\rho_m} } \,. </math>
Изнанедувачки е дека, вклучувањето на центрифугалната сила има мало влијание, па за објектот може да се каже дека станува ''Рошев елипсоид'', општо кажано триосен елипсоид каде оските имаат различни должини. Потенцијалот станува посложена функција од должините на оските, па се воведуваат елиптични функции. Решението се бара само по плимната сила и се добива :
:<math>d \approx 2{,}455 \cdot R \cdot \sqrt[3]{ \frac {\rho_M} {\rho_m} } \,. </math>
Односите на поларната оска во однос на орбитално насочената оска е 1:1,06:2,07.
3 Рошови граници за одбрани примери
Табелата долу ја покажува густината и екваторскиот полупречник за одбрани објекти од Сончевиот Систем.
Име на објект, Густина (кг/м<sup>3</sup>), Полупречник (м)
Сонце, 1.408, 696.000.000
Јупитер, 1.326, 71.492.000
Земја, 5.513, 6.378.137
Месечина, 3.346, 1.738.100
Сатурн, 687, 60.268.000
Уран, 1.318, 25.559.000
Нептун, 1.638, 24.764.000
Со употреба на овие податоци, Рошовите граници може да се пресметаат за цврсти и порозни тела. Просечната густина на кометите е отприлика околу 500 кг/м<sup>3</sup>.
Табелата подолу ги претставува вредностите за Рошовите граници изразени во километри и полупречници. Вистинската вредност на Рошовата граница на месечината зависи од густината и цврстината.
Тело, Месечина, Рошова граница (цврсто), Рошова граница (порозно)
Растојание (км), ''R'', Растојание (км), ''R''
Земја, Месечина, 9.496, 1,49, 18.261, 2.86
Земја, просечна комета, 17.880, 2,80, 34.390, 5.39
Сонце, Земја, 554.400, 0,80, 1.066.300, 1.53
Сонце, Јупитер, 890.700, 1,28, 1.713.000, 2.46
Сонце, Месечина, 655.300, 0,94, 1.260.300, 1.81
Сонце, просечна комета, 1.234.000, 1,78, 2.374.000, 3,42
Коклу блиски се месечините во Сончевиот Систем до нивните Рошови граници? Табелата подолу дава односи од вредностите на орбиталниот полупречник на секоја месечина со сопствениот Рошов полупречник. Истовремено пресметките се дадени за цврстите и порозните тела. Забележете дека Пан, Корделија и Најада, всушност се мошне блиску до своите точки на распад.
Во реалноста, густините на повеќето месечини на џиновските месечини не се познати. Во овие случаи прикажани со ''закосеност'', вредностите се претпоставки, и нивните Рошови граници се менуваат во зависност од вредноста која е земена во пресметката.
Тело, Месечина, Орбитален полупречник / Рошова граница
(цврсто), (порозно)
Сонце, Меркур, 104:1, 54:1
Земја, Месечина, 41:1, 21:1
Марс, Фобос, 172%, 89%
Дејмос, 451%, 234%
Јупитер, ''Метида'', ''~186%'', ''~94%''
''Адрастеја'', ''~188%'', ''~95%''
Амалтеја, 175%, 88%
Теба, 254%, 128%
Сатурн, Пан, 142%, 70%
Атлас, 156%, 78%
Прометеј, 162%, 80%
Пандора, 167%, 83%
Епиметеј, 200%, 99%
Јанус, 195%, 97%
Уран, ''Корделија'', ''~154%'', ''~79%''
''Офелија'', ''~166%'', ''~86%''
''Бјанка'', ''~183%'', ''~94%''
''Кресида'', ''~191%'', ''~98%''
''Дездемона'', ''~194%'', ''~100%''
''Јулија'', ''~199%'', ''~102%''
Нептун, ''Најада (месечина)'', ''~139%'', ''~72%''
''Таласа'', ''~145%'', ''~75%''
''Деспина'', ''~152%'', ''~78%''
''Галатеја'', ''153%'', ''79%''
''Лариса'', ''~218%'', ''~113%''
Плутон, Харон, 12.5:1, 6.5:1
4 Поврзано
* Чандрасекарова граница
* Хилова сфера
* Црна дупка
* Комета Шумејкер-Леви 9