Кружница

Кружница — множество точки (формално поточно: геометриското место на точки) кои се еднакво оддалечени од некоја фиксирана точка <math>\ O </math> од рамнината. Точката <math>\ O </math> се вика центар на кружницата, а растојанието <math>\ r>0</math> од центарот до било која точка од кружницата се вика полупречник (радиус) на кружницата.
Кружницата е една од елементарните рамнински криви. Нејзината конструкција е мошне едноставна, додека нејзиниот изглед е речиси волшебен. Затоа кружницата била позната и проучувана уште од многу одамна.
Математички, кружницата е ''само'' специјален случај на елипса, односно елипса чии фокуси и центарот се совпаѓаат. Таа е затворена рамнинска крива, што подразбира дека има определен обиколка (периметар) и заградува дел од рамнината со одредена плоштина.
Кружницата (како и останатите елементарни криви) може да се разгледува на два начини: геометриски (конструктивно) или аналитички. За проучување на одредени работи посоодветен е геометрискиот начин, за други аналитичкиот, но најважно од сѐ е дека тие даваат исти резултати и меѓусебно се надополнуваат. Аналитичкото претставување на кружницата е клучно во нејзиното обопштување во просторот.
1 Геометриски својства на кружницата
1.1 Елементи на кружница
Во суштина кружницата е една од наједноставните рамнински криви. При проучувањето многу битно е да се прави разлика помеѓу кружница и круг. Имено, под кружница се подразбира само множеството точки кои се еднакво (<math>\ r</math> мерни единици) оддалечени од центарот, додека под круг се подразбира фигурата, делот од рамнината затворен со кружницата. Токму заради ова се избегнува ословувањето на кружницата со поимот ''фигура''.
* Секоја кружница има свој центар или средиште;
* Секоја отсечка чиј еден крај е во центарот, а другиот лежи на кружницата се нарекува или полупречник (дијаметар) на кружницата и се бележи најчесто со <math>\ r</math>. Сите полупречници се еднакви по должина која изнесува колку и растојанието помеѓу центарот и било која точка од кружницата;
* Секоја отсечка чии крајни точки лежат на кружницата се нарекува тетива;
* Секоја тетива која минува низ центарот на кружницата се нарекува пречник или пречник на кружницата и се бележи најчесто со <math>\ d</math>. За пречникот важи: <math>\ d = 2r</math>. Заради еднаквоста на полупречниците, може да заклучиме дека сите пречници се еднакви меѓу себе;
* Секоја права која ја ''сече'' кружницата во две точки се нарекува пресечка на кружницата. Уште повеќе, правата на која лежи било која тетива е пресечка на кружницата;
* Секоја права која ја ''допира'' кружницата во една единствена точка се нарекува допирка (тангента) на кружницата во таа точка и се бележи најчесто со <math>\ t</math>. Уште повеќе, во произволна точка од кружницата, допирката и полупречникот се заемно нормални, т.е. затвораат прав агол;
* Аголот чие теме се наоѓа во центарот на кружницата се нарекува централен агол;
* Аголот чие теме лежи на кружницата, а чии краци ја сечат кружницата се нарекува периферен агол;
2 Делови од кружницата и кругот
* Делот од кружницата ограничен со две точки кои лежат на неа се вика кружен лак;
* Делот од кругот ограничен со кружницата и било кои два полупречника се нарекува кружен исечок;
* Делот од кругот ограничен со кружницата и една нејзина тетива се нарекува кружен отсечок;
Напомена: иако на сликата десно обележени се: лак, исечок и отсечок, да напоменеме дека и остатокот од кружницата кој не е обележен како лак, исечок или отсечок, исто така може да се смета за лак, исечок или отсечок соодветно зашто ги задоволува претходно наведените дефиниции. Но, под поимите лак, исечок и отсечок, по договор, се подразбираат само соодветно обележените на сликата.
3 Обиколка на кружница и нејзините делови
Математичарите уште во Антиката забележале дека односот помеѓу обиколката на кружницата и нејзиниот пречник е константен, па затоа вложувале големи напори за негово пресметување. Како и да е, пресметувањето на точната вредност се покажало како многу тешка задача. Низ вековите се јавувале различни вредности кои релативно многу варирале една од друга. Денес се знае дека овој однос е ирационален број (т.е. има бесконечен непериодичен децимален запис); се бележи со грчката буква <math>\ \pi</math> (пи), а неговата апроксимација на педесет децимали е:
::<math>\ \pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...</math>
Нека <math>\ L</math> е обиколката на кружницата, а <math>\ d</math> нејзиниот пречник. Тогаш од нивниот однос имаме:
:<math>\ \frac{L}{d} = \pi</math>,
т.е.
:<math>\ L = d\cdot \pi</math>
или
:<math>\ L = 2r\pi</math>
каде <math>\ r</math> е полупречникот на кружницата.
Нека <math>\ A</math> и <math>\ B</math> се точки од кружницата такви што полупречниците во нив затвораат агол <math>\ \alpha</math> (како на сликата десно). Тогаш кружниот лак <math>\ \widehat{AB}</math> има должина:
:<math>\ l = \frac{r\pi \alpha}{180^\circ}</math>
ако аголот е зададен во степени, или пак:
:<math>\ l=r\alpha</math>
ако аголот е зададен во радијани.
4 Плоштина на кругот и неговите делови
Плоштината ограничена со кружницата (т.е. плоштината на самиот круг), слично како и нејзината обиколка, уште одамна била предмет на истражување.Со текот на времето се менувале и алатките и начините со кои можело да се изрази оваа плоштина. Бидејќи при пресметување на плоштината (а слично и кај обиколката) фигурира барем една ирационална величина, во почетокот се работело на ''приближно'' претставување на плоштината, т.е. нејзина ''апроксимација''. За оваа цел Архимед користел правилни многуаголници, па дури и успеал да покаже дека: плоштината ограничена со кружницата, т.е. плоштината на кругот, е еднаква со плоштината на правоаголниот триаголник со основа еднаква на обиколката на кружницата и висина еднаква на полупречникот на таа кружница, што е всушност точната плоштина на кругот!
Современата математика користи поинакви средства за пресметување на плоштината на кругот. Тука пред сѐ се користат аналитичката геометрија и интегралното сметање.
Плоштината <math>\ P</math> ограничена со кружница која има полупречник <math>\ r</math> изнесува:
::<math>\ P = r^2 \pi</math>
квадратни единици. Истата, изразена преку пречникот <math>\ d</math> и изнесува:
::<math>\ P = \frac{d^2 \pi}{4}</math>
Плоштината <math>\ P_i</math> на ''кружниот исечок'' кој е формиран од два полупречника што меѓу себе затвораат агол :: <math>\ \alpha</math> изнесува:
::<math>\ P_i = \frac{r^2 \pi \alpha}{360^\circ}</math>
ако аголот <math>\ \alpha</math> е изразен во степени, или пак:
::<math>\ P_i = \frac{r^2 \alpha}{2}</math>
ако аголот <math>\ \alpha</math> е изразен во радијани.
Плоштината, пак, на кружниот отсечок може да се пресмета како разлика меѓу плоштината на кружниот исечок и рамнокракиот триаголник формиран од двата полупречника и тетивата. Имајќи ја предвид плоштината на овој триаголник која, изразена преку познатите величини <math>\ r</math> и <math>\ \alpha</math>, изнесува:
::<math>\ P_{\Delta} = \frac{r^2 \sin{\alpha{2}</math>
за плоштината <math>\ P_o</math> на отсечокот добиваме:
::<math>\ P_o = P_i - P_{\Delta} = \frac{r^2\pi \alpha}{360^\circ} - \frac{r^2 \sin{\alpha{2}</math>
Плоштината <math>\ P</math> на прстенот определен со две ''концентрични кружници'' (кружници чии центри се совпаѓаат) со полупречници <math>\ R</math> и <math>\ r, \,\,\, R>r</math> се пресметува како разлика на нивните плоштини:
::<math>\ P = P_R - P_r = R^2\pi - r^2\pi = (R-r)(R+r)\pi</math>= Аналитички својства на кружницата =
Аналитичкото толкување на кружницата и кругот секако спаѓа во рамките на аналитичката геометрија и математичката анализа. Разгледувањето на кружницата, нејзините елементи и својства во ваквото толкување е чисто апстрактно, па во некоја рака и без цртање. Сета работа се сведува на алгебарско решавање на претходно посочените појави.
5 Равенка на кружницата и кругот
Кружницата е множество точки од рамнината; уште повеќе множество од точки кои се „правилно“ распоредени, што значи дека овој правилен распоред може да се изрази математички т.е. алгебарски.
Нека во рамнината е воведен правоаголен Декартов координатен систем. Нека центарот на кружницата е точката <math>\ S</math> со координати: <math>\ S = (p,q)</math> и нека таа има полупречник <math>\ r>0</math>. Тогаш за координатите на секоја точка <math>\ M=(x,y)</math> која лежи на кружницата важи:
::<math>\ (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2</math>
За последново равенство велиме дека е ''равенка на кружница со центар во точката <math>\ S=(p,q)</math> и полупречник <math>\ r>0</math>''.
Доколку ги квадрираме изразите во последното равенство, се добива:
:<math>\ x^2 + y^2 + (-2p)x + (-2q)y + p^2 + q^2 - r^2 =0</math>
Ако формално запишеме:
::<math>\ -2p = D</math>::<math>\ -2q = E</math>::<math>\ p^2 + q^2 - r^2 = F</math>
тогаш добиваме дека кружницата може да се претстави со равенката:
:<math>\ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0</math>
Обратно, кружницата може да биде зададена токму како квадратна равенка со две непознати, од облик:
:<math>\ Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0</math>
Тогаш координатите на центарот и полупречникот ги определуваме како:
::<math>\ p = -\frac{D}{2A}</math>::<math>\ q = -\frac{E}{2A}</math>::<math>\ p^2 + q^2 - r^2 = \frac{F}{A}</math>
Специјално, пак, ако центарот на кружницата се наоѓа во координатниот почеток т.е. <math>\ S \equiv O = (0,0)</math>, тогаш <math>\ p=q=0</math>, па равенката е од облик:
::<math>\ x^2+y^2=r^2</math>
Кружницата чиј центар е во координатниот почеток се нарекува централна кружница. Уште повеќе, ако централната кружница има полупречник <math>\ r=1</math>, тогаш таа се нарекува единечна кружница и оваа кружница е клучна при дефинирањето на тригонометриските функции од произволен агол. Равенката на единечната кружница е:
::<math>\ x^2+y^2=1</math>
Точките од кругот, пак, се наоѓаат во „внатрешноста“ на кружницата, односно растојанието од центарот до било која точка од кругот е помало од растојанието од центарот до точка на кружницата (кое е точно полупречникот!), па ако точка со координати <math>\ (x,y)</math> припаѓа кругот, за неа важи:
::<math>\ (x-p)^2 + (y-q)^2 \le r^2 </math>
каде со <math>\ (p,q)</math> е зададен центарот на кружницата со која е определен кругот. Слично за централниот круг:
::<math>\ x^2+y^2 \le r^2</math>
Тангентата која кружницата со центар во <math>\ (p,q)</math> и полупречник <math>\ r</math> ја допира во точката <math>\ (x_0,y_0)</math> има равенка:
::<math>\ t: (x_0-p)(x-p)+(y_0-q)(y-q)=r^2</math>
За тангентата на централната кружница во истата точка би имале:
::<math>\ t: xx_0+yy_0 = r^2</math>
6 Обиколка и плоштина
Пресметувањето на обиколката и плоштината на кругот аналатички се врши со помош на определен интеграл.
Плоштината на кругот со полупречник <math>\ r</math> е определена како:
::<math>\ P= 2\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\,dx</math>
Решението на овој интеграл е точно позната формула за пресметување на плоштина на круг:
::<math>\ P = r^2\pi</math>
Обиколката на кружницата со полупречник <math>\ r</math> е определена како:
::<math>\ L = 2r\int_{-r}^{r} \frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2</math>
Решението на интегралот е точно <math>\ \pi</math>, па за обиколката се добива:
::<math>\ L=2r\pi</math>= Некои поважни теореми =* Нека <math>\ A, B, C</math> се три неколинеарни точки од рамнината. Тогаш постои една и само една кружница која минува низ трите точки. Центарот на оваа кружница лежи на пресекот на симетралите на отсечките <math>\ \overline{AB}</math> и <math>\ \overline{BC}</math>, под претпоставка дека <math>\ B</math> лежи помеѓу <math>\ A</math> и <math>\ C</math>. Уште повеќе, ако точките ги имаат координатите: <math>\ A=(x_1,y_1), \,\, B=(x_2,y_2), \,\, C=(x_3,y_3)</math>, тогаш равенката на оваа кружница е претставена со детерминантата:
<math>
\det\begin{bmatrix}
x & y & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0.
</math>* Нека <math>\ O</math> е произволна точка која не лежи ниту на кружницата ниту во кругот и нека низ неа се повлечени две пресечки на кружницата. Ако пресечните точки се обележени како на сликата, тогаш точно е равенството:
::<math>\ \overline{OA} \cdot \overline{OB} = \overline{OC} \cdot \overline{OD}</math>
или
::<math>\ \overline{OA} : \overline{OC} = \overline{OD} : \overline{OB} \,\,\,</math> (Теорема пресечка-пресечка)
Специјално, ако имаме една пресечка и една тангента, т.е., на пример, <math>\ C \equiv D</math>, тогаш важи:
::<math>\ \overline{OA} \cdot \overline{OB} = \overline{OC}^2</math> (Теорема пресечка-тангента)
Овие две теореми се познати како ''степен на точка во однос на кружница''.
* Нека е дадена кружница, еден нејзин централен агол и еден периферен агол такви што ја сечат кружницата во истите точки (т.е. се ''конструирани над иста тетива''). Тогаш централниот агол е двапати поголем од периферниот, или, според сликата: <math>\ \alpha = 2\beta</math>
Специјално, ако <math>\ \alpha = 180^\circ</math>, тогаш тетивата од теоремата е всушност пречник на кружницата, па тогаш <math>\ \beta</math> е половина од <math>\ \alpha</math>, т.е. <math>\ \beta=90^\circ</math>. Значи: периферниот агол конструиран над пречникот во кружницата е прав агол (Теорема на Талес)
Напомена: на една тетива одговара единствен централен агол, но бесконечно многу периферни.
= Интересно =* Noli tangere circulos meos! (исто и: Noli turbare circulos meos!, лат.), во превод: Не ги допирај/растурај моите кругови!,
според преданието се последните зборови кои ги изрекол големиот старогрчки математичар и физичар Архимед, обраќајќи му се на еден римски војник што го вознемирил големиот научник кој бил задлабочен во некоја задача околу кружници, при римското освојување на Сиракуза, градот во кој живеел Архимед. Навреден од индиферентноста на старецот, војникот посегнал по својот меч и така завршил животот на еден од најголемите умови на Антиката.
7 Поврзано
* Единична кружница
* Пи
* Тригонометрија
* Обиколка