Функција (математика)

Функција — математички поим кој ја одразува врската меѓу елементите од различни множества. Поточно, тоа е „закон“ според кој секој елемент на едно множество (''домен'' на функцијата) може да се стави во соодветство со некој елемент од друго множество (''кодомен'' на функцијата).
Математичкиот поим функција ја изразува интуитивната претстава за тоа како една величина во целост го определува значењето на друга величина. Така значењето на променливата <math>x</math> еднозначно го определува значењето на изразот <math>x^2</math>, а значењето на еден месец еднозначно го определува значењето на месецот кој следува, исто како што секој човек може да се поврзе со друг човек — неговиот татко.
Обично се разгледуваат бројни функции кои ставаат едни броеви во соодветство со други. Ваквите функции поседуваат низа на карактеристични својства и добро се претставуваат со цртежи во вид на графикони.
1 Историја
Поимот „функција“ (во потесна смисла) бил најпрво користен од страна на Лајбниц (1692 година). Од друга страна, Јохан Бернули во писмо до истиот тој Лајбниц, го употребил овој поим во смисла поблиска до современата.
Првобитно, поимот функција не се разликувал од поимите за аналитичко претставување. Подоцна се појавиле определени функции дадени од Леонард Ојлер (1751 година), а потоа Лакроа (1806 година) дал функции практично во современ вид. На крај, општата дефиниција за функцијата (во современата форма, но за бројните функции) била дадена од страна на Лобачевски (1834 година) и Дирихле (1837 година).
Кон крајот на XIX век, поимот за функција ги надминал рамките на бројните системи. Први од овој вид биле вектор-функциите, а наскоро Готлоб Фреге ги вовел логичките функции (1879), а по појавата на теоријата на множествата, Дедекинд (1887) и Пеано (1911) ја формулирале современата универзална дефиниција.
2 Дефиниции
Постојат две дефиниции за функција:
* интуитивна дефиниција, каде поимот за функција се преведува на обичниот јазик користејќи ги зборовите „закон“, „правило“ или „соодветство“;
* теоретско-множествена дефиниција (врз основа на поимот за бинарен однос), која се јавува како најстрога (во современата претстава).
И двете дефиниции не противречат една на друга.
2.1 Интуитивна дефиниција
Функцијата <math>f</math> (операција, оператор) е закон или правило според кое секој елемент <math>x</math> од множеството <math>X</math> е ставен во соодветство со единствениот елемент <math>y</math> од множеството <math>Y</math>.
Притоа се вели дека функцијата <math>f</math> е ''зададена'' на множеството <math>X</math>, или дека <math>f</math> го ''одразува''<math>X</math> во <math>Y</math>.
Ако на елементот <math>x\in X</math> му е придодаден елементот <math>y\in Y</math>, тогаш се вели дека елементот <math>y</math> се наоѓа во функционална зависност <math>f</math> од елементот <math>x</math>. Притоа, променливата <math>x</math> се нарекува ''аргумент'' на функцијата <math>f</math> или ''независна променлива'', множеството <math>X</math> се нарекува ''зададена област'' или ''дефинициона област на функцијата'', а елементот <math>y</math> кој му соодветствува на конкретниот елемент <math>x</math> — ''делумна вредност'' на функцијата <math>f</math> во точката <math>x</math>. Множеството <math>Y</math> од сите можни делумни вредности на функцијата <math>f</math> се нарекува нејзина ''вредносна област'' или ''област на изменувањето''.
2.2 Теоретско-множествена дефиниција
Во теоретската математика, функцијата <math>f</math> е згодно да се дефинира како бинарен однос (осносно множество на подреден пар <math>(x,y)\in X\times Y</math>), што го задоволува следниот услов: за секој <math>x\in X</math> постои единствен елемент <math>y\in Y</math>, така што <math>(x,y)\in f</math>.
Ова дозволува да се зборува за тоа дека на елементот <math>x\in X</math> му е придодаден ''еден и само еден'' елемент <math>y\in Y</math> таков што <math>(x,y)\in f</math>.
Според ова, функцијата е ''подредена тројка'' (или n-торка) од објектите <math>(f,X,Y)</math>, каде
* множеството <math>X</math> се нарекува дефинициона област или домен;
* множеството <math>Y</math> се нарекува вредносна област или кодомен;
* множеството на подредениот пар <math>f\subseteq X\times Y</math> или, самото на себе, е графикон на функцијата.
3 Ознаки
Ако е зададена функцијата <math>f</math>, која е дефинирана на множеството <math>X</math> и добива вредности во множеството <math>Y</math>, односно функцијата <math>f</math> го одразува множеството <math>X</math> во <math>Y</math>, тогаш:
* овој факт кратко се запишува во видот <math>f \colon X \to Y</math> или <math>X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y</math>.
* дефиниционата област (домен) на функцијата <math>f</math> (множеството <math>X</math>) се означува <math>D(f)</math>, или <math>\mathrm{dom}\,f</math>;
* вредносната област (кодомен) на функцијата <math>f</math> (множеството <math>Y</math>) се означува <math>R(f)</math> (<math>E(f)</math>), или <math>\mathrm{cod}\,f</math> (<math>\mathrm{ran}\,f</math>).
Присуството на функционална зависност меѓу елементот <math>x\in X</math> и елементот <math>y\in Y</math>* најчесто се означува како
*:<math>y=f(x)</math>,
*:<math>f: x\mapsto y</math> или
*:<math>x\mapsto y</math>;
* поретко се користат ознаки без загради <math>y=fx</math>, <math>y=f\circ x</math> или <math>y=xf</math>,
* а таму каде е неопходно да се нагласи двојноста се користат ознаки со загради: <math>y=(f,x)</math> или <math>y=(x,f)</math>;
* исто така постои и операторската ознака <math>y=x^f</math>, што може да се сретне во општата алгебра.
*<math>\lambda x\colon y</math> во <math>\lambda</math> се изрази на Чрч.