Регуларна сингуларна точка

Во математиката, во теоријата на обични диференцијални равенки во комплексната рамнина <math>\Complex</math>, точките на <math>\Complex</math> се класифицираат во ''обични точки'', кај кои коефициентите на равенката се аналитички функции, и ''сингуларни точки'', кај кои некој коефициенти имаат сингуларност. Во групата сингуларни точки, се прави важна разлика помеѓу регуларна сингуларна точка, каде што растот на решенијата е ограничен (во кој било мал сектор) со алгебарска функција, и нерегуларна сингуларна точка, каде што целиот сет решенија бара функции со повисоки стапки на раст. Оваа разлика се јавува, на пример, помеѓу хипергеометриската равенка, со три регуларни сингуларни точки и Беселовата равенка која во извесна смисла е ограничувачки случај, но каде што аналитичките својства се значително различни.
1 Формални дефиниции
Попрецизно, да разгледаме обична линеарна диференцијална равенка од -ти ред:<math> f^{(n)}(z) + \sum_{i=0}^{n-1} p_i(z) f^{(i)} (z) = 0 </math> со мероморфни функции.
Потребно е равенката да се изучува на Римановата сфера со цел да се вклучи точката во бесконечност како можна сингуларна точка. Доколку ситуацијата го бара тоа, можно е да се примени Мебиусова трансформација, за бесконечноста да се помести во конечниот дел од комплексната рамнина.
Потоа, методот на Фробениус, базиран на индицијалната равенка, може да се примени за да се најдат можни решенија кои всушност претставуваат степенски редови помножени со комплексни степени во близина на кое било дадено во комплексната рамнина, каде што не мора да биде цел број. Поради тоа, оваа функција може да постои само благодарение на гранка што се протега од , или на Риманова површина на пробиен диск околу . Ова не претставува никаква тешкотија за обична точка (Лазар Фукс 1866). Кога е регуларна сингуларна точка, што по дефиниција значи дека:
<math>p_{n-i}(z)</math>
има пол на ред најмногу кај , методот на Фробениус исто така може да овозможи независни решенија во близина на .
Доколку гореисказаното не важи, точката претставува нерегуларна сингуларност. Во таков случај, групата монодроми што ги поврзува решенијата со аналитичко продолжување има помалку да каже генерално, а решенијата се потешки за проучување, освен во однос на нивните асимптотски проширувања. Неправилноста на нерегуланата сингуларност се мери со Поенкареовиот ранг.
2 Примери за диференцијални равенки од втор ред
Во овој случај, горенаведената равенка се сведува на:
<math>f''(x) + p_1(x) f'(x) + p_0(x) f(x) = 0. </math>
Се разликуваат следниве случаи:
* Точката е обична точка кога функциите и се аналитички при .
* Точката е регуларна сингуларна точка ако има пол до ред 1 кај и има пол од ред до 2 кај .
* Доколку горенаведеното не важи, точката е неправилна сингуларна точка .
Постоењето на неправилна сингуларна точка во бесконечноста може да се провери со користење на замената <math>w = 1/x</math> и односите:
<math>\frac{df}{dx}=-w^2\frac{df}{dw}</math><math>\frac{d^2f}{dx^2}=w^4\frac{d^2f}{dw^2}+2w^3\frac{df}{dw}</math>
На тој начин, равенката може да се трансформираме во нова равенка во и да се провери што се случува при . Доколку <math>p_1(x)</math> и <math>p_2(x)</math> се количници на полиноми, тогаш ќе се најде неправилна сингуларна точка во бесконечното ''x,'' освен ако полиномот во именителот на <math>p_1(x)</math> е од степен барем за еден поголем од степенот на неговиот броител и именителот на <math>p_2(x)</math> е од степен најмалку двапати поголем од степенот на неговиот броител.