Линеарна равенка

Во математиката, линеарна равенка е полиномна равенка од прв степен. Истата може да има 1, 2, 3, или повеќе променливи. Меѓутоа, бидејќи е полином од прв степен, секој член од равенката е или константа или константа по променлива (без никакви експоненти).
На пример: <math>Ax=B \,\,</math> , ''А''&ne;0 е линеарна равенка во една променлива х. Коефициентите ''А'' и ''В'' се константи, односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а останува само ''x'' како променлива.
Зборот ''линеарна'' се однесува на тоа дека степенот на полиномот е еден, а не на графиконот на множеството решенија на равенката. На пример, 3x=6 e линеарна равенка во една променлива со решение ''х''=2, т.е. точка на бројната оска. Множеството решенија на линеарна равенка во две променливи е права во рамнина (2-димензионален простор), а множеството решенија на линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор (3-димензионален простор). Множеството решенија на линеарна равенка во повеќе од три променливи е т.н. (n-1)-димензионална хиперрамнина во n-димензионален хиперпростор (што значи дека не можеме да го цртаме).
Забелешка: Линеарна равенка во 2 променливи е линеарна функција (во стандарден облик), па поради тоа честопати доаѓа до заблуда помеѓу поимите.
Линеарни равенки и нивни решенија
Една променлива х, Две променливи х и у, Три променливи х, у и z<math> />''А'' &ne;0, <math>Ax+ />''А'', ''B'' &ne;0, <math>Ax+By+ />''А'', ''B'', ''C'' &ne;0
2x=6, -x+2y=6, 3x-2y+3z=6
точка на бројна оска, права во рамнина, рамнина во 3Д простор
Множеството решенија на една линеарна равенка го дели „просторот“ на две полупростори: Во првиот пример бројот х=3 ја дели бројната оска на два дела (лево од х=3 и десно од х=3), во вториот пример правата -x+2y=6 ја дели рамнината на два дела (над и под правата) и во третиот пример рамнината 3x-2y+3z=6 го дели тридимензионалниот простор на два дела (лево и десно од жолтата рамнина. Ова својство се користи при решавање на линеарни неравенки.
Поформално, линеарнa равенкa во n променливи x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub> е имплицитна зададена функција A<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+A<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+...+A<sub>n-1</sub>x<sub>n-1</sub>+Bx<sub>n</sub>=C, која може на единствен начин да се напише во експлицитен облик x<sub>n</sub>:R<sup>n-1</sup> → R каде што x<sub>n</sub>=(C-A<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+A<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+...+A<sub>n-1</sub>x<sub>n-1</sub>).
Векторски облик на линеарна равенка во n променливи е: <math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{X}=C</math> односно <math>[\begin{array}{*{20}{l&&{...}&\end{array} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{l \\\\ \vdots \\\end{array \right] = C</math>.
Означување: Во зависност од дисциплината во која се работи, во ''општата'' равенка, константниот коефициент може да се појави од десната страна (како тука) или од левата страна, т.е. наместо <math>Ax+By=C</math> се пиши <math>Ax+By+C=0</math>. Ова е само формална разлика, но при работа треба да се внимава кој облик е користен при одредување на вредноста, односно знакот на константниот коефициент.
Забелешка: Решението на систем n линеарни равенки во n променливи (непознати) е секогаш точка во n-димензионален простор (доколку системот е доследен), т.е. систем 1 линеарна равенка во 1 непозната е точка на бројната оска, систем 2 линеарни равенки во 2 непознати е пресек на две прави, т.е. точка во рамнина (најпознатиот случај), а систем 3 линеарни равенки во 3 непознати е пресек на три рамнини, т.е. точка во простор. Види:Систем линеарни равенки.
Дефиницијата на линеарна равенка може да се обопштува до полето на комплексни броеви. На пример 3z+2i=6-i е линеарна равенка во една комплексна променлива, при што решението е комплексниот број: z=2-i.
1 Поврзани теми
* Полином
* Линеарна функција
* Систем линеарни равенки