Извод на имплицитна функција

Оваа статија подетално се занимава со поимот ''Извод на имплицитна функција''. Околу дефиницијата на поимот извод на функција, видете ја статијата Диференцијално сметање. Препорачуваме да ја консултирате и статијата Имплицитна функција
Имплицитните функции се функции зададени во вид на равенка во која фигурираат и аргументот и сликата (т.е. и независно- и зависно-променливата). Најчесто се запишуваат како:
:<math>\ F(x,y)=0</math>
при што со <math>x</math> е означен аргументот (независно-променливата), а со <math>y</math>-сликата (зависно-променливата)
Пред да дадеме начин на кој се пресметува првиот извод на имплицитната функција, да го дадеме следново важно тврдење:
Нека <math>\ A\subseteq \mathbb{R}^2</math> е отворено множество, нека <math>(a,b) \in A</math> и нека важи:
*<math>F:A \to \mathbb{R}</math> е непрекината функција;
*<math>F(a,b) = 0</math>;
* постојат парцијалните изводи: <math>\frac{\partial F}{\partial y}</math> и <math>\frac{\partial F}{\partial x}</math> истите се непрекинати на целото <math>A</math>;
*<math>\frac{\partial F}{\partial y} (a,b) \neq 0</math>
Ако сите услови се исполнети, тогаш постои околина на точката <math>(a,b)</math> на која е дефинирана и еднозначно определена функција <math>f</math> која е непрекината и е таква што важи: <math>f(a)=b</math> и (што е поважно) <math>F(x,f(x))=0</math> за секој <math>x</math> од таа околина. Поинаку кажано таквата функција <math>f</math> претставува ''експлицитна'' (директна, очигледна, неприкриена) репрезентција на имплицитната функција <math>F</math> на таа околина.
Сега, кога знаеме дека имплицитна функција може да се претстави преку експлицитна, барем на некоја околина, за изводот ќе имаме:
::<math>f^\prime(x) = - \frac{ \frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x)) }{ \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) }</math>
1 Пример
Нека е зададена имплицитна функција:
:<math>F(x,y):x^2+y^2-1=0</math>
Тогаш:
* функцијата е непрекината за сите вредности на <math>x</math> и <math>y</math>;
* постојат парцијалните изводи:
::<math>\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2x</math>::<math>\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=2y</math>
и тие се непрекинати за сите <math>x</math> и <math>y</math> и уште повеќе <math>\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0</math> за <math>y \neq 0</math>. Значи функцијата <math>F</math> ги исполнува условите од претходното тврдење, па значи дека таа може експлицитно да се репрезентира. Нека оваа репрезентација ја означиме со зависно-променливата, т.е. со <math>y</math>. Тогаш за изводот имаме:
:<math>f^\prime(x) = y^\prime = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}</math>
Од друга страна, пак, можеме да го направиме следново: бидејќи <math>F(x,y)=0</math> имаме:
:<math>x^2+y^2-1=0</math>, односно: <math>y=\pm \sqrt{1-x^2}</math>
каде
::<math>y_1=+\sqrt{1-x^2}</math> и
::<math>y_2=-\sqrt{1-x^2}</math>
се двете можни експлицитни репрезентации на имплицитната функција.
Тогаш изводот може да го пресметаме дирекно, како за експлицитна функција. Имаме:
*<math>y_1^\prime = (\sqrt{1-x^2})' = \frac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2 = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2 = -\frac{x}{y_1}</math>*<math>y_2^\prime = (-\sqrt{1-x^2})' = -\frac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2 = \frac{x}{\sqrt{1-x^2 = -\frac{x}{y_2}</math>
Значи, доколку може да ја утврдиме експлицитната репрезентација, изводот на имплицитната функција може да го пресметаме како извод на нејзината (или: ''нејзините'') експлицитна репрезентација. Во пракса, кога експлицитната репрезентација е очигледна, почесто се употребува последниов начин.
2 Поврзано
* Уште примери (од статијата Диференцијално сметање)