Комплетен (целосен) четириаголник

Во математиката, конкретно во геометријата на инцидентност и особено во проективната геометрија, комплетен четириаголник е систем на геометриски објекти што се состои од кои било четири точки во рамнината, од кои никои три не се колинеарни, и од шесте прави кои ги поврзуваат шесте пара точки. Дуален поим, ''комплетен четиристраник'' е систем од четири прави, од кои три не минуваат низ иста точка, и шесте пресечни точки на овие прави. Комплетниот четириаголник бил наречен тетрастигам од , а комплетниот четиристраник бил наречен тетраграм; овие термини повремено сè уште се користат.
1 Дијагонали
Шесте прави на комплетен четириаголник се сечат по парови и формираат три дополнителни точки наречени ''дијагонални точки'' на четириаголникот. Слично, меѓу шесте точки на целосен четириаголник има три пара од точки кои не се поврзани со прави; отсечките што ги поврзуваат овие парови се нарекуваат ''дијагонали''. За точки и прави во Евклидовата рамнина, дијагоналните точки не можат да лежат на една права, а дијагоналите не можат да имаат една заедничка точка. Поради откривањето на рамнината на Фано, конечна геометрија во која дијагоналните точки на целосниот четириаголник се колинеарни, некои автори ги прошириле аксиомите на проективната геометрија со ''аксиомата на Фано'' дека дијагоналните точки ''не'' се колинеарни, додека други биле помалку рестриктивни.
Множеството од скратени изрази за деловите на комплетен четириаголник биле воведени од Г. Б. Халстед: тој темињата на четириаголникот ги нарекол ''точки'', а дијагоналните точки ги нарекол ''коточки''. Правите во проективниот простор се нарекуваат ''прави'', а во четириаголникот се нарекуваат ''спојки''. „Дијагоналните прави“ на Коксетер, Халстед ги нарекол ''спротивни спојки''. Спротивните спојки се сечат во коточки. Конфигурацијата на комплетниот четириаголник е тетрастим .
2 Проективни својства
Како системи на точки и прави во кои сите точки припаѓаат на ист број на прави и сите прави содржат ист број точки, комплетниот четириаголник и комплетниот четиристраник формираат проективни конфигурации; во ознаката на проективни конфигурации, комплетниот четириаголник се запишува како (4<sub>3</sub>6<sub>2</sub>), а комплетниот четиристраник е се запишува како (6<sub>2</sub>4<sub>3</sub>), каде што броевите во оваа нотација се однесуваат на бројот на точки, прави низ точка, прави, и точки на права од конфигурацијата. Проективниот дуал на комплетен четириаголник е комплетниот четиристраник, и обратно. За кои било два комплетни четириаголници, или за кои било два комплетни четиристраници, постои единствена проективна трансформација која ја пресликува едната од двете конфигурации во другата.
Карл фон Штаудт ги реформирал основите на математиката во 1847 година со комплетниот четириаголник кога забележал дека „својството за хармоничност“ може да се заснова на пресеците на страните на четириаголникот: кога паровите од спротивните страни на четириаголникот се сечат на права, тогаш дијагоналите ја сечат правата во точки кои се проективно хармонично конјугирани. Четирите точки на правата кои произлегуваат од страните и дијагоналите на четириаголникот се нарекуваат хармоничен опсег. При перспективности и проективности, хармоничното својство е инваријантно. При развојот на модерната геометрија и алгебра, било забележително влијанието на фон Стаудт врз Марио Пјери и Феликс Клајн .
3 Евклидски својства
Во Евклидовата рамнина, четирите прави на комплетниот четириаголник не смеат да вклучуваат парови од паралелни прави, така што секој пар прави се сечат.
опишал неколку додатни својства на комплетниот четириаголник кои се однесуваат повеќе на метричките својства на Евклидовата рамнина, отколку што се чисто проективни. Средините на дијагоналите се колинеарни и (како што било докажано од Isaac Newton), исто така се колинеарни со центарот на кониката која ги допира сите четири прави на четиристраникот. Секои три од линиите на четиристраникот се страни на триаголник; ортоцентрите на четирите триаголници кои се формирани на овој начин лежат на втора линија, нормална на онаа низ средините. Опишаните кружници од истите овие четири триаголници се сечат во една точка. Уште повеќе, трите кружници чии диаметри се дијагоналите на четиристраникот му припаѓаат на ист прамен од кружници чија оска е правата која минува низ ортоцентрите на триаголниците.
Поларните кружници на триаголниците на комплетен четиристраник формираат коаксален систем.
4 Поврзано
* Права на Њутн
* Коника со девет точки
* Четиристраник
5 Наводи
*** линк од Cornell University Historical Math Monographs. Видете за tetrastigm, стр. 85, и tetragram, стр. 90.
*