Фурјеов ред

Фурјеов ред – начин во математиката со кој периодичната функција се разлага на своите „спектрални компоненти“ заради поедноставна анализа. Неколкуте први членови на таквото разложување во техниката често се земаат како многу корисен вид на апроксимација.
Дискретната Фурјеова преобразба ги претвора дискретните вредности (вектор) во Фурјеови коефициенти. Непрекинатата Фурјеова преобразба го прави истото тоа со функциите. Името го добила според францускиот математичар Жозеф Фурје (1768 — 1830).
1 Математичка основа
Нека <math>f(t)\,</math> е периодична функција со период T, за која важи <math>f(t+T) = f(t)\,</math>.
Заради периодичноста може да се раздели на N синусни и косинусни функции:
:<math> f(t) = A_0 + A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(2 \omega t + \varphi_2) + \ldots + A_N \cos(N \omega t + \varphi_N)= \sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n).
</math>, <math>\omega := 2 \cdot \pi \cdot freq</math>, каде <math>freq</math> е основна честота, односно хармоник.
Треба да се има на ум дека синусот е само косинус со фазно поместување:
:<math> f(t)=\sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n)
=A_0+\sum_{n=1}^N (A_n\cos \varphi_n\cdot\cos(n \omega t)-A_n\sin \varphi_n\cdot\sin(n \omega t))
</math>
Кога се дефинира <math>a_0:=A_0\,</math>, а потоа <math>a_n:=A_n\cos \varphi_n</math> и <math>b_n:=A_n\sin \varphi_n</math> се добива ист израз, овој пат без фаза:
:<math> f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N (a_n \cos(n \omega t) - b_n\sin(n\omega t)).</math>
Зошто не се зема tan или на пример cosh? Зошто токму cos и sin? Причината е ортогоналност на sin и cos функциите.
<math>\cos(t) \cdot \sin(t) = \int_{0}^{2\pi} \cos(t) \cdot \sin(t) {d}t = 0</math>
Зад Фурјеовата трансформација е следната идеја: целиот простор кој има „нормални“ оски се трансформира во простор во кој нови ортогонални оски се косинусните и синусните бранови и нивните виши хармоници. Сигнал кој го трансформираме е само една точка (месен вектор), а вредностите на секоја оска се амплитуди на секој хармоник поединечно
(<math>[A_0,\ldots,A_N]</math>).
Сега се вклучува Ојлеровиот идентитет со чија помош овие тригонометриски функции може да се заменат со комплексни пандани:
:<math> \cos (x) = \frac{1}{2} \left(e^{\mathrm{i}x} + e^{-\mathrm{i}x} \right) </math> и <math> \sin (x) = \frac{1}{2 \mathrm{i \left(e^{\mathrm{i}x} - e^{-\mathrm{i}x} \right) </math>
Од тоа понатаму следи
:<math> f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left(a_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} + e^{-\mathrm{i}n \omega t}) - { 1 \over \mathrm{i} } b_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} - e^{-\mathrm{i}n \omega t})\right)
</math>:<math> = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left(a_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} + e^{-\mathrm{i}n \omega t})+\mathrm{i}b_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} - e^{-\mathrm{i}n \omega t})\right)
</math>:<math>
= a_0+\sum_{n=1}^N \frac12\left((a_n+\mathrm{i}b_n)e^{\mathrm{i}n \omega t}+(a_n-\mathrm{i}b_n)e^{-\mathrm{i}n \omega t}\right)
</math>
Ги заменуваме реалните коефициенти со комплексни:
:<math>c_0:=a_0\,</math>, <math>c_n:=\frac12(a_n+\mathrm{i}b_n)</math> и <math>c_{-n}:=\frac12(a_n-\mathrm{i}b_n) = \overline{c_n}</math>
Добиваме сума со негативни индекси:
:<math>
f(t) = \sum_{k=-N}^{N} c_ke^{\mathrm{i}k \omega t }
</math>
Исто така, не треба да се губи од вид дека <math>e^{\mathrm{i}jt}</math> се исто функции со ортонормална база (секој вектор кој претставува оска има должина 1 и е нормален во однос на сите останати вектори):
Во случај <math>j = k</math>:<math>(e^{ \mathrm{i} j t}, e^{ \mathrm{i} j t}) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} \overline {e^{ \mathrm{i} j t} } dt = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} e^{ -\mathrm{i} j t} dt
= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} 1 dt = 1</math>
А за <math>j \neq k</math> важи:
:<math>(e^{ \mathrm{i} j t}, e^{ \mathrm{i} k t}) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} \overline {e^{ \mathrm{i} k t} } dt = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} e^{ -\mathrm{i} k t} dt
= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} (j-k) t}</math>:<math> = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j - k)} \left[ e^{ \mathrm{i}(j-k) t} \right]_0^{2 \pi}
= \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j-k)} \left (e^{\mathrm{i} (j-k) 2\pi} - 1 \right) = </math>:<math>= \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j-k)} \cdot 0 = 0</math>
2 Фурјеови редови
Сега сакаме некоја периодична и непрекината функција приближно да ја пресметаме со помош на сума од тригонометриски функции (конкретно: косинус и синус). Видовме како можеме да дојдемо до <math>c_j</math>; горната равенка ја множиме со <math>e^{-\mathrm{i} m \omega t}</math> и на крајот ја интегрираме од двете страни во интервалот [0,T] односно во траење од една периода:
:<math>
e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) = \sum_{n=-N}^N c_n \left(e^{\mathrm{i}(n \omega t)} e^{-\mathrm{i} m \omega t} \right)
= \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} (n+m) \omega t - \mathrm{i} m\omega t} =\sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} n \omega t }
</math>:<math>
\Leftrightarrow \int_0^T e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) dt= \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt
</math>
За интегралите од десната страна важи:
:када је ''n=0'': <math> \int_0^T e^{\mathrm{i} 0 \omega t } dt = \int_0^T e^0 = \left[ 1 \right]_0^T = T</math>:а кога е ''n≠0'': <math> \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = \left[ \frac1{\mathrm{i}n \omega } e^{\mathrm{i} n\omega t} \right]_0^T</math><math>= \frac1{\mathrm{i}n \omega } (e^{\mathrm{i} n\omega T } - 1)</math>
Од <math> \omega T=2\pi</math> следи <math>e^{ \mathrm{i}n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm{i)^n=1</math>, а тоа понатаму можеме да го примениме на горенаведениот интеграл:
:<math> \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = 0</math>
На крајот целата пресметка се упростува:
:<math>\int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt = \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \int_0^T e^{\mathrm{i}n \omega t} dt</math>:<math>= \sum_{n=-N-m}^{-1} c_{n+m}\int_0^T e^{\mathrm{i}n \omega t} dt + c_m \cdot \int_0^T e^{\mathrm{i} 0 \omega t} dt + \sum_{n=1}^{N-m} c_{n+m}\int_0^T e^{\mathrm{i}n \omega t} dt</math>:<math>= 0 + c_mT + 0 = c_mT = \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt
</math><math>
\Leftrightarrow c_m = \frac1T \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt.
</math>
Во целата пресметка не треба да нè збунува користењето на променливата <math>m</math>, нејзината цел е само упростување на равенките. Сето тоа е само досетливост, односно уметност како да се напише едно те исто на поинаков начин.
На крајот, дефинираме Фуријеов ред:
:<math>f_N(t)=\sum_{n=-N}^N c_ne^{in\omega t}</math>
3 Конвергентност на Фурјеов ред
Фурјеовот ред конвергира кон многу функции; тука спаѓаат покрај другите сите функции кои имаат извод или се квадратно интеграбилни (''L''<sup>2</sup> простор).
Да претпоставиме дека <math>f(t)</math> е една таква функција. Кога ќе го наместиме <math>N \rightarrow \infty</math>, тогаш таа исто така може да се напише и вака:
:<math>
f(t)
= \sum_{n=-N}^N c_n e^{ \mathrm{i} n \omega t }
= \sum_{n=-N}^N \frac1T (\int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt) \cdot e^{ \mathrm{i} n \omega t }
= \sum_{n=-N}^N \frac{ e^{ \mathrm{i} n \omega t { T } \cdot \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt
</math>:<math>
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{ e^{ \mathrm{i} n \omega t { T } \cdot \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt </math>