Кружен лак

Кружен лак — лак на кружница помеѓу две различни точки. Ако двете точки не се директно една спроти друга, еден од овие лакови, малиот лак, ќе има агол во центарот на кругот кој е помал од π-радијани (180 степени), а другиот лак, големиот лак, ќе има агол поголем од π-радијани. Лакот на кружницата се дефинира како дел или сегмент од обиколката на кружницата. Правата линија што може да се повлече со поврзување на двата краја на лакот е позната како тетива на кружница. Ако должината на лакот е точно половина од кругот, тој е познат како полукружен лак.
1 Должина
Должината (поточно, должината на лакот) на лак на кружница со полупречник ''r'' и агол ''θ'' (мерено во радијани) од центарот на кругот, т.е. централниот агол, е:
:<math> L = \theta r.</math>
Ова е затоа што:
:<math>\frac{L}{\mathrm{circumference=\frac{\theta}{2\pi}.</math>
Со замена на обемот (circumference):
:<math>\frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta}{2\pi},</math>
и, со ''α'' кој е истиот агол мерен во степени, бидејќи ''θ'' = π, должината на лакот е еднаква на:
:<math>L=\frac{\alpha\pi r}{180}.</math>
Практичен начин да се одреди должината на лак во кружница е да се исцртаат две линии од крајните точки на лакот до центарот на кругот, да се измери аголот каде двете линии се сретнуваат со центарот, а потоа да се реши за L со вкрстено множење на исказот:
: големина на аголот во степени/360° = ''L'' /обем.
На пример, ако големината на аголот е 60 степени, а обемот е 24 см, тогаш
:<math>\begin{align} \frac{60}{360} &= \frac{L}{24} \\[6pt] 360L &= 1440 \\[6pt] L &= 4. \end{align}</math>
Тоа е така затоа што обемот на кружницата и степените на кружницата, од кои секогаш има 360, се правопропорционални.
Горната половина на кружницата може да се параметризира како:
:<math>y=\sqrt{r^2-x^2}.</math>
Потоа должината на лакот од <math>x=a</math> до <math>x=b</math> е:
:<math>L=r\Big[\arcsin \left(\frac{x}{r}\right)\Big]^b_a.</math>
2 Плоштина на исечок
Плоштината на исечокот образуван од лакот и средиштето на кружницата (ограничен со лакот и двата полупречници повлечени до неговите крајни точки) е:
:<math>A=\frac{r^2 \theta}{2}.</math>
Плоштината ''A'' има ист однос со плоштината на круг и ако аголот ''θ'' е полна кружница:
:<math>\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.</math>
Можеме да го скратиме π од двете страни:
:<math>\frac{A}{r^2}=\frac{\theta}{2}.</math>
Со множење на двете страни со ''r'' 2, го добиваме конечниот резултат:
:<math>A=\frac{1}{2} r^2 \theta.</math>
Користејќи го претворањето опишано погоре, откриваме дека површината на исечокот за централен агол измерена во степени е:
:<math>A=\frac{\alpha}{360} \pi r^2.</math>
3 Плоштина на отсечок
Плоштината на обликот ограничен со лакот и правата линија помеѓу неговите две крајни точки е:
:<math>\frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin\theta).</math>
За да ја добиеме плоштината на кружниот отсечок, треба да ја одземеме плоштината на триаголникот, одредена од центарот на кругот и двете крајни точки на лакот, од областа <math>A</math> . Видете Кружен отсечок за детали.
4 Полупречник
Користејќи ја Теоремата за вкрстени тетиви (исто така позната како Теорема за степен на точка или Секантно-тангента теорема) можно е да се пресмета полупречникот ''r'' на кругот определен со висината ''H'' и ширината ''W'' на лакот:
Да разгледаме тетива со исти крајни точки како и лакот. Неговата нормална симетрала е друга тетива, која е пречник на кругот. Должината на првата тетива е ''W'', и таа е поделена со симетралата на две еднакви половини, секоја со должина . Вкупната должина на пречникот е 2''r'', а со првата тетива е поделен на два дела. Должината на едниот дел е сагита на лакот, ''H'', а другиот дел е остатокот од пречникот, со должина 2''r'' − ''Х.'' Примената на теоремата за вкрстени тетиви на овие две тетиви се добива:
:<math>H(2r-H)=\left(\frac{W}{2}\right)^2,</math>
од каде
:<math>2r-H=\frac{W^2}{4H},</math>
па
:<math>r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}.</math>
5 Поврзано
* Обем