Точни тригонометриски вредности

Во математиката, вредностите на тригонометриските функции можат да се изразат приближно, како во <math>\cos (\pi/4) \approx 0.707</math>, или точно, како во <math>\cos (\pi/ 4)= \sqrt 2 /2</math>. Додека тригонометриските таблици содржат многу приближни вредности, точните вредности за одредени агли може да се изразат со комбинација на аритметички операции и квадратни корени.
1 Вообичаени агли
Тригонометриските функции на аглите кои се множители на 15°, 18° или 22,5° имаат едноставни алгебарски вредности. Овие вредности се наведени во следната табела за агли од 0° до 90°. За агли вон овој опсег, тригонометриските вредности може да се најдат со примена на еднаквостите на рефлексија и поместување. Во табелата подолу, <math>\infty</math> значи сооднос 1:0. Овие вредности може да се сметаат и за недефинирани (види делење со нула).
:
Радијани, Степени, , , , , ,
<math>0</math>, <math>0^\circ</math>, <math>0</math>, <math>1</math>, <math> 0</math>, <math>\infty</math>, <math>1</math>, <math>\infty</math><math>\frac{\pi}{12}</math>, <math>15^\circ</math>, <math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4}</math>, <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2{4}</math>, <math>2-\sqrt{3}</math>, <math>2+\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math><math>\frac{\pi}{10}</math>, <math>18^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{51}{4}</math>, <math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5} {4}</math>, <math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt5 {5}</math>, <math>\sqrt{5+2\sqrt{5</math>, <math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5} {5}</math>, <math>1 + \sqrt{5}</math><math>\frac{\pi}{8}</math><math>22.5^\circ</math>, <math>\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2 } {2}</math>, <math>\frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 } {2}</math>, <math>\sqrt{2} - 1</math>, <math>\sqrt{2} + 1</math>, <math> \sqrt{ 4 - 2\sqrt{2} }</math>, <math>\sqrt{ 4 + 2 \sqrt{2} }</math><math>\frac{\pi}{6}</math>, <math>30^\circ</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>\frac{2\sqrt{3{3}</math>, <math>2</math><math>\frac{\pi}{5}</math>, <math>36^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{10- 2\sqrt{5} {4}</math>, <math>\frac{1+ \sqrt{5 {4}</math>, <math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>, <math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5 {5}</math>, <math>\sqrt{5} - 1</math>, <math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5} {5}</math><math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>45^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{2{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{2{2}</math>, <math>1</math>, <math>1</math>, <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{2}</math><math>\frac{3\pi}{10}</math>, <math>54^\circ</math>, <math>\frac{1+ \sqrt{5 {4}</math>, <math>\frac{\sqrt{10- 2\sqrt{5} {4}</math>, <math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5 {5}</math>, <math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>, <math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5} {5}</math>, <math>\sqrt{5} - 1</math><math>\frac{\pi}{3}</math>, <math>60^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>2</math>, <math>\frac{2\sqrt{3{3}</math><math>\frac{3\pi}{8}</math><math>67.5^\circ</math>, <math>\frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 } {2}</math>, <math>\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2 } {2}</math>, <math>\sqrt{2} + 1</math>, <math>\sqrt{2} - 1</math>, <math>\sqrt{ 4 + 2 \sqrt{2} }</math>, <math>\sqrt{ 4 - 2 \sqrt{2} }</math><math>\frac{2\pi}{5}</math>, <math>72^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{10+ 2\sqrt{5} {4}</math>, <math>\frac{\sqrt{51} {4}</math>, <math>\sqrt{5+2\sqrt{5</math>, <math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5} {5}</math>, <math>1 + \sqrt{5}</math>, <math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5} {5}</math><math>\frac{5\pi}{12}</math>, <math>75^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2 {4}</math>, <math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2 {4}</math>, <math>2+\sqrt{3}</math>, <math>2-\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math><math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>90^\circ</math>, <math>1</math>, <math> 0</math>, <math>\infty</math>, <math> 0</math>, <math>\infty</math>, <math>1</math>
2 Изразување со квадратни корени
Некои точни тригонометриски вредности, како на пример <math>\sin(60^\circ)=\sqrt{3}/2</math>, може да се изрази во смисла на комбинација од аритметички операции и квадратни корени. Таквите броеви се нарекуваат конструктибилни, бидејќи една должина може да се конструира со шестар и линијар од друга, ако и само ако односот помеѓу двете должини е таков број. Сепак, некои тригонометриски вредности, како на пример <math>\cos(20^\circ)</math>, докажано е дека не се конструктибилни.
Синусот и косинусот на агол се конструктибилни ако и само ако аголот е конструктибилен. Ако аголот е рационален множител на π радијани, дали е конструктибилен или не, може да се одреди на следниов начин. Аголот нека биде <math>a\pi/b</math> радијани, каде што ''a'' и ''b'' се заемно прости цели броеви. Тогаш аголот е конструктибилен ако и само ако првичната факторизација на именителот, ''b'', се состои од кој било број на прости Фермаови броеви, секој со експонент 1, помножено со кој било степен на двојка. На пример, <math>15^\circ</math> и <math>24^\circ</math> се конструктибилни бидејќи се еквивалентни на <math>\pi/12</math> и <math>2\pi/15</math> радијани соодветно. 12 е производ од 3 и 4, а 3 е прост Фермаов број и 4=2*2 е производ на прост Фермаов број и степен на двојка, а 15 е производ на Фермаовите прости броеви 3 и 5. Од друга страна, <math>20^\circ</math> не е конструктибилен затоа што одговара на именителот 9 = 3<sup>2</sup>, а простиот број на Ферма не може да се подигне на степен поголем од еден. Друг пример, <math>(360/7)^\circ</math> не е конструктибилен, бидејќи именителот 7 не е прост Фермаов број.
3 Изведување на конструктибилни вредности
Вредностите на тригонометриските броеви може да се изведат преку комбинација на методи. Вредностите на синус и косинус од 30, 45 и 60 степени се добиени со анализа на триаголниците 30-60-90 и 90-45-45. Ако аголот е изразен во радијани како <math>a\pi/b</math>, ова го опфаќа случајот кога ''a'' е 1, а ''b'' е 2, 3, 4 или 6.
3.1 Формула со половина агол
Ако именителот, ''b'', се помножи со дополнителни множители на 2, синусот и косинусот може да се изведат со формулите за половина агол. На пример, 22,5° (π /8 rad) е половина од 45°, така што неговиот синус и косинус се:
:<math>\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \cos(45^\circ)}{2 = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2{2{2 = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}{2}</math>:<math>\cos(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 + \cos(45^\circ)}{2 = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2{2{2 = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}{2}</math>
Повторената примена на формулата за половина агол на косинус доведува до вгнездени квадратни корени кои продолжуваат во шема каде што секоја примена додава <math>\sqrt{2 + \cdots}</math> на броителот и именителот е 2. На пример:
:<math>\cos\left(\frac{\pi}{16}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2{2}\qquad\cos\left(\frac{\pi}{32}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}{2}</math>:<math>\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2{4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}{2} \qquad \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3{2}</math>
3.2 Синус од 18°
Случаите кога именителот, ''b'', е 5 пати поголем од степенот 2, може да започнат од следното изведување на <math>\sin(18^\circ)</math>, со оглед дека <math>18^\circ = \pi/10</math> радијани. Изведувањето ги користи формулите за повеќекратни агли за синус и косинус. Со формулата за двоен агол за синус:
:<math>\sin(36^\circ) = 2\sin(18^\circ)\cos(18^\circ)</math>
Според формулата за троен агол за косинус:
:<math>\cos(54^\circ) = \cos^3(18^\circ) - 3\sin^2(18^\circ)\cos(18^\circ) = \cos(18^\circ)(1 - 4\sin^2(18^\circ))</math>
Бидејќи sin(36°) = cos(54°), ги изедначуваме овие два изрази и го поништуваме факторот cos(18°):
:<math>2\sin(18^\circ) = 1 - 4\sin^2(18^\circ)</math>
Оваа квадратна равенка има само еден позитивен корен:
:<math>\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{51}{4}</math>
3.3 Користење на други еднаквости
Синусите и косинусите на многу други агли може да се изведат користејќи ги резултатите опишани погоре и комбинација од формулите за повеќекратни агли и формулите за збир и разлика. На пример, за случајот кога ''b'' е 15 пати поголема од степенот 2, бидејќи <math>24^\circ = 60^\circ - 36^\circ</math>, неговиот косинус може да се изведе со формулата за разлика од косинус:
<math>\begin{align}\cos(24^\circ) &= \cos(60^\circ)\cos(36^\circ) + \sin(60^\circ)\sin(36^\circ) \\
&= \frac{1}{2}\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{3{2}\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}{4}\\
&= \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30-6\sqrt{5}{8}\end{align}</math>
3.4 Именител 17
Бидејќи 17 е прост Фермаов број, правилен 17-аголник е конструктибилен, што значи дека синусите и косинусите на аглите како што се <math>2\pi/17</math> радијани може да се изразат со квадратни корени. Конкретно, во 1796 година, Карл Фридрих Гаус покажал дека::<math>\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17 + 2\sqrt{17+3\sqrt{17} - \sqrt{170+38\sqrt{17{16}</math>
Оттука може да се изведат синусите и косинусите на другите конструктибилни агли со именител делив со 17.
4 Корени од единица
Ирационален број што може да се изрази како синус или косинус на рационален повеќекратник на π радијани се нарекува ''тригонометриски број''. Бидејќи <math>\sin(x)=\cos(x-\pi/2),</math> случајот на синус може да се изостави од оваа дефиниција. Затоа секој тригонометриски број може да се запише како <math>\cos(2\pi k/n)</math>, каде ''k'' и ''n'' се цели броеви. Овој број може да се замисли како реален дел од комплексниот број <math>\cos(2\pi k/n) + i \sin(2\pi k/n)</math>. Формулата на Де Моавр покажува дека броевите од овој облик се корени на единицата:
:<math>\left(\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)^n = \cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k) = 1</math>
Бидејќи коренот на единицата е корен од полиномот ''x''<sup>''n''</sup> − 1, тој е алгебарски. Бидејќи тригонометрискиот број е просекот на коренот на единицата и неговиот комплексен конјугат, а алгебарските броеви се затворени со аритметички операции, секој тригонометриски број е алгебарски.
Реалниот дел од кој било корен на единица е тригонометриски, освен ако не е рационален. Според Нивеновата теорема, единствените рационални броеви кои можат да се изразат како реален дел од коренот на единица се 0, 1, −1, 1/2 и −1/2.
5 Проширена табела со точни вредности: до 360 степени
+ Exact values of common angles, Радијан, Степен, , , , , ,
<math>0</math>, <math>0^\circ</math>, <math>0</math>, <math>1</math>, <math>0</math>, <math>\infty</math>, <math>1</math>, <math>\infty</math><math>\frac{\pi}{24}</math>, <math>7.5^\circ</math>, <math>\frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}</math>, <math>\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2</math>, <math>\sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2</math>, <math>\sqrt{2}\sqrt{8 - 3\sqrt{6} - \sqrt{2 (49 - 20\sqrt{6})</math>, <math>\sqrt{2}\sqrt{8 + 3\sqrt{6} + \sqrt{2 (49 + 20\sqrt{6})</math><math>\frac{\pi}{12}</math>, <math>15^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{31)</math>, <math>\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>2-\sqrt{3}</math>, <math>2+\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{2}(\sqrt{31)</math>, <math>\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math><math>\frac{\pi}{10}</math>, <math>18^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{51}{4}</math>, <math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}{4}</math>, <math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt5{5}</math>, <math>\sqrt{5+2\sqrt{5</math>, <math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}{5}</math>, <math>1+\sqrt{5}</math><math>\frac{\pi}{8}</math><math>22.5^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}{2}</math>, <math>\sqrt{21</math>, <math>\sqrt{2}+1</math>, <math>\sqrt{4-2\sqrt{2</math>, <math>\sqrt{4+2\sqrt{2</math><math>\frac{\pi}{6}</math>, <math>30^\circ</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>\frac{2\sqrt{3{3}</math>, <math>2</math><math>\frac{\pi}{5}</math>, <math>36^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}{4}</math>, <math>\frac{1+\sqrt{5{4}</math>, <math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>, <math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5{5}</math>, <math>\sqrt{51</math>, <math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}{5}</math><math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>45^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{2{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{2{2}</math>, <math>1</math>, <math>1</math>, <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{2}</math><math>\frac{3\pi}{10}</math>, <math>54^\circ</math>, <math>\frac{1+\sqrt{5{4}</math>, <math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}{4}</math>, <math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5{5}</math>, <math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>, <math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}{5}</math>, <math>\sqrt{51</math><math>\frac{\pi}{3}</math>, <math>60^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>2</math>, <math>\frac{2\sqrt{3{3}</math><math>\frac{3\pi}{8}</math><math>67.5^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}{2}</math>, <math>\sqrt{2}+1</math>, <math>\sqrt{21</math>, <math>\sqrt{4+2\sqrt{2</math>, <math>\sqrt{4-2\sqrt{2</math><math>\frac{2\pi}{5}</math>, <math>72^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}{4}</math>, <math>\frac{\sqrt{51}{4}</math>, <math>\sqrt{5+2\sqrt{5</math>, <math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}{5}</math>, <math>1+\sqrt{5}</math>, <math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}{5}</math><math>\frac{5\pi}{12}</math>, <math>75^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{31)</math>, <math>2+\sqrt{3}</math>, <math>2-\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>\sqrt{2}(\sqrt{31)</math><math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>90^\circ</math>, <math>1</math>, <math>0</math>, <math>\infty</math>, <math>0</math>, <math>\infty</math>, <math>1</math><math>\frac{7\pi}{12}</math>, <math>105^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>-\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{31)</math>, <math>-2-\sqrt{3}</math>, <math>-2+\sqrt{3}</math>, <math>-\sqrt{2}(1+\sqrt{3})</math>, <math>\sqrt{2}(\sqrt{31)</math><math>\frac{2\pi}{3}</math>, <math>120^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>-\frac{1}{2}</math>, <math>-\sqrt{3}</math>, <math>-\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>-2</math>, <math>\frac{2\sqrt{3{3}</math><math>\frac{3\pi}{4}</math>, <math>135^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{2{2}</math>, <math>-\frac{\sqrt{2{2}</math>, <math>-1</math>, <math>-1</math>, <math>-\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{2}</math><math>\frac{5\pi}{6}</math>, <math>150^\circ</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>-\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>-\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>-\sqrt{3}</math>, <math>-\frac{2\sqrt{3{3}</math>, <math>2</math><math>\frac{11\pi}{12}</math>, <math>165^\circ</math>, <math>\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{31)</math>, <math>-\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>-2-\sqrt{3}</math>, <math>-2+\sqrt{3}</math>, <math>-\sqrt{2}(\sqrt{31)</math>, <math>\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math><math>\pi</math>, <math>180^\circ</math>, <math>0</math>, <math>-1</math>, <math>0</math>, <math>\infty</math>, <math>-1</math>, <math>\infty</math><math>\frac{13\pi}{12}</math>, <math>195^\circ</math>, <math>-\frac{\sqrt{31}{2\sqrt{2</math>, <math>-\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2</math>, <math>2-\sqrt{3}</math>, <math>2+\sqrt{3}</math>, <math>-\sqrt{2}(\sqrt{31)</math>, <math>-\sqrt{2}(1+\sqrt{3})</math><math>\frac{7\pi}{6}</math>, <math>210^\circ</math>, <math>-\frac{1}{2}</math>, <math>-\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>-\frac{2\sqrt{3{3}</math>, <math>-2</math><math>\frac{5\pi}{4}</math>, <math>225^\circ</math>, <math>-\dfrac{\sqrt{2{2}</math>, <math>-\dfrac{\sqrt{2{2}</math>, <math>1</math>, <math>1</math>, <math>-\sqrt{2}</math>, <math>-\sqrt{2}</math><math>\frac{4\pi}{3}</math>, <math>240^\circ</math>, <math>-\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>-\frac{1}{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>-2</math>, <math>-\frac{2\sqrt{3{3}</math><math>\frac{17\pi}{12}</math>, <math>255^\circ</math>, <math>-\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>-\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{31)</math>, <math>2+\sqrt{3}</math>, <math>2-\sqrt{3}</math>, <math>-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>-\sqrt{2}(\sqrt{31)</math><math>\frac{3\pi}{2}</math>, <math>270^\circ</math>, <math>-1</math>, <math>0</math>, <math>\infty</math>, <math>0</math>, <math>\infty</math>, <math>-1</math><math>\frac{19\pi}{12}</math>, <math>285^\circ</math>, <math>-\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{31)</math>, <math>-2-\sqrt{3}</math>, <math>-2+\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>-\sqrt{2}(\sqrt{31)</math><math>\frac{5\pi}{3}</math>, <math>300^\circ</math>, <math>-\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>-\sqrt{3}</math>, <math>-\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>2</math>, <math>-\frac{2\sqrt{3{3}</math><math>\frac{7\pi}{4}</math>, <math>315^\circ</math>, <math>-\frac{\sqrt{2{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{2{2}</math>, <math>-1</math>, <math>-1</math>, <math>\sqrt{2}</math>, <math>-\sqrt{2}</math><math>\frac{11\pi}{6}</math>, <math>330^\circ</math>, <math>-\frac{1}{2}</math>, <math>\frac{\sqrt{3{2}</math>, <math>-\frac{\sqrt{3{3}</math>, <math>-\sqrt{3}</math>, <math>\frac{2\sqrt{3{3}</math>, <math>-2</math><math>\frac{23\pi}{12}</math>, <math>345^\circ</math>, <math>-\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{31)</math>, <math>\frac{\sqrt{2{4}(\sqrt{3}+1)</math>, <math>-2+\sqrt{3}</math>, <math>-2-\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{2}(\sqrt{31)</math>, <math>-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>
6 Поврзано
* Список на тригонометриски еднаквости
7 Библиографија
*********