Систем на линеарни равенки

Систем на линеарни равенки — множество на линеарни равенки од типот:
:<math>
\begin{array}{rcrcrcc}
3x_1 &+& 2x_2 &-& x_3 &=& 1 \\
2x_1 &-& 2x_2 &+& 4x_3 &=& -2 \\
-x_1 &+& \frac{1}{2}x_2 &-& x_3 &=& 0
\end{array}</math>
Стандарден проблем е да се утврди дали постои множество вредности за непознатите <math>x_1, x_2, x_3\,\!</math>, кое ги задоволува сите равенки истовремено и да се најде такво множество доколку постои. Постоењето на решенија зависи од равенките, но и од достапните вредности (дали се работи за цели броеви, реални броеви, и сл.). Системот од горниот пример има единствено решение:
:<math>\begin{alignat}{2}
x_1 & = & 1 \\
x_2 & = & -2 \\
x_3 & = & -2
\end{alignat}</math>
Системите на линеарни равенки спаѓаат меѓу најстарите математички проблеми и имаат многу примени, како што се обработката на дигитални сигнали, процени, предвидувања, како и линеарно програмирање и апроксимација на нелинеарни проблеми во бројчената анализа. Постојат многу начини да се реши систем на линеарни равенки. Меѓутоа, меѓу најефикасните се Гаусовата постапка и декомпозицијата на Чолески.
Воопштено, систем со ''m'' линеарни равенки и ''n'' непознати се запишува на следниов начин:
:<math>
\begin{array}{rcrcccrcl}
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& \cdots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\
&&&\vdots&&&&&\vdots \\
a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& \cdots &+& a_{mn}x_n &=& b_m
\end{array}</math>
каде <math>x_1,\ x_2,...,x_n</math> се непознатите, а броевите <math>a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}</math> се коефициенти на системот. Коефициентите се ставаат во матрицата на следниов начин:
:<math>
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}
</math>
Ако секоја матрица се претстави со буква, ова станува:
:<math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math>
каде ''A'' е матрица ''m''×''n'', x е вектор колона со ''n'' члена, а b е вектор колона со ''m'' члена. Гаус-Жордановата елиминација се применува на сите овие системи, дури и ако коефициентите се од некое произволно поле.
Ако полето е бесконечно (како во случајот на реалните или комплексните броеви), можна се само следните три случаи (само еден од нив ќе биде точен) за секој даден систем на линеарни равенки:
* системот нема решение (системот е противречен)
* системот има точно едно решение
* системот има бесконечно многу решенија
Систем со облик:
:<math>A\mathbf{x} = \mathbf{0}</math>
се нарекува ''хомоген'' систем на линеарни равенки. Множеството на сите решенија се нарекува нула простор на матрицата ''A''.
Во светло на многубројните горенаведени примени, развиени се неколку поефикасни алтернативи на Гаус-Жордановата елиминација за широк спектар на специјални случаи. Многу од овие подобрени алгоритми се со сложеност ''O''(''n''<sup>2</sup>). Некои од највообичаените специјални случаи се:
* За проблеми од обликот ''A''x = b, каде ''A'' е симетрична Теплицова матрица, може да се користи Левинсоновата рекурзија или некоја од нејзините варијации. Една од често користените варијации е Шуровата рекурзија која се користи обработката на дигитални сигнали.
* За проблеми од обликот ''A''x = b, каде ''A'' е сингуларна матрица, или скоро сингуларна, матрицата ''A'' се разложува во производ на три матрици. Матриците од левата и десната страна се леви и десни сингуларни вектори. Матрицата во средината е дијагонална матрица и содржи сингуларни вредности. Матрицата тогаш може да се инвертира со проста замена на редоследот на трите компоненти, со транспонирање на матрицата на сингуларни вектори, и земање на реципрочните вредности на дијагоналните елементи на средишната матрица. Ако која било од сингуларните вредности е многу блиску до нулата, и со тоа до сингуларноста, се поставува на нула.
1 Поврзано
* Гаус-Зајделов метод
* Крамерово правило
* Метод со замена