Бет-број

Во математиката, бесконечните кардинални броеви се претставени со првата хебрејска буква <math>\aleph</math> (алеф) со подзнак над редните броеви во облик на „алеф-број“. Втората хебрејска буква <math>\beth</math> (бет) се користи на сличен начин, но не мора да ги опфаќа како подзнак сите броеви што ги опфаќа <math>\aleph</math>.
1 Определба
Бет-броевите се утврдуваат вака:
:нека
:<math>\beth_0=\aleph_0</math>
е кардиналноста на преброиво бесконечно множество; поконкретно, како типичен случај можеме да го земеме множеството на природни броеви <math>\mathbb{N}</math>. Со ''P''(''A'') го означуваме партитивното множество на ''A'', т.е. множеството на сите подмножества на ''A''. Потоа задаваме
:<math>\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha,</math>
што е кардиналноста на партитивното множество на ''A'' ако <math>\beth_{\alpha}</math> е кардиналноста на ''A''.
Така зададено,
:<math>\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots</math>
се кардиналностите на
:<math>\mathbb{N},\ P(\mathbb{N}),\ P(P(\mathbb{N})),\ P(P(P(\mathbb{N}))),\ \dots.</math>
па вториот бет-број <math>\beth_1</math> е еднаков на <math>\mathfrak c</math> (кардиналност на континуумот), а третиот бет-број <math>\beth_2</math> е кардиналноста на партитивното множество на континуумот.
Поради Канторовата теорема, секое множество во претходната низа има кардиналност строго поголема од она кое му претходи. Кај бесконечните лимесни ординали λ, соодветниот бет-број се дефинира како најмалата горна граница (супремум) на бет-броевите на сите ординали строго помали од λ:
:<math>\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}.</math>
Можеме да покажеме и дека фон Нојмановата хиерархија <math>V_{\omega+\alpha} \!</math> има кардиналност <math>\beth_{\alpha} \!</math>.
2 Поврзаност со алеф-броевите
Assuming the аксиомата на изборот, бесконечните кардиналности се линеарно подредени; секои две кардиналности мора да се споредливи. Така, бидејќи по дефиниција нема бесконечни кардинали помеѓу <math>\aleph_0</math> и <math>\aleph_1</math>, следи дека
:<math>\beth_1 \ge \aleph_1.</math>
Со повторување на овој аргумент (трансконечна индукција) добиваме
<math>\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha</math>
за сите ординали <math>\alpha</math>.
Хипотезата за континуумот е еднаква на
:<math>\beth_1=\aleph_1.</math>
Воопштената хипотеза на континуумот вели дека вака определената низа од бет-броеви е истоветна со низата од алеф-броеви, т.е.,
<math>\beth_\alpha = \aleph_\alpha</math>
за сите ординали <math>\alpha</math>.
3 Поединечни кардинали
3.1 Бет-нула
Бидејќи ова по дефиниција е <math>\aleph_0</math> (алеф-нула), тогаш множествата со кардиналност <math>\beth_0</math> се следниве:
* природните броеви N
* рационалните броеви Q
* алгебарските броеви
* пресметливите броеви и пресметливите множества
* множеството на конечни множества на цели броеви
3.2 Бет-еден
Кардиналност <math>\beth_1</math> имаат следниве множества:
*трансцендентните броеви
*ирационалните броеви
*реалните броеви R
*комплексните броеви C
*Евклидов простор R<sup>''n''</sup>*партитивното множество на природни броеви (the set of all subsets of the natural numbers)
*множеството на низи од цели броеви (т.е. сите функции N → Z, честопати означени како Z<sup>N</sup>)
*множеството на низи од реални броеви, R<sup>N</sup>*множеството на сите непрекинати функции од R до R
*мноежството од конечни подмножества на реални бреови
3.3 Бет-два
<math>\beth_2</math> се нарекува и 2<sup>''c''</sup> (изг. „на степен це“).
Множества со кардиналност <math>\beth_2</math> се:
* Партитивното множество of the set of real numbers, so it is the number of подмножества на реалната оска, или бројот на множества на реални броеви
* Партитивното множество на партитивното множество на природни броеви
* Множеството на сите функции од R до R (R<sup>R</sup>)
* Множеството на сите функции од R<sup>''m''</sup> до R<sup>''n''</sup>* Партитивното множество на множеството на сите функции од множеството на природни броеви до самото себе, што значи дека е бројот на множества низи од природни броеви
* Стоун-Чеховите компактификации на R, Q и N
3.4 Бет-омега
<math>\beth_\omega</math> (pronounced ''beth omega'') is the smallest uncountable strong limit cardinal.
4 Воопштување
Понекогаш се користи поопштиот симбол <math>\beth_\alpha(\kappa)</math> за ординали α и кардинали κ. Определбата гласи:
:<math>\beth_0(\kappa)=\kappa,</math>:<math>\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_{\alpha}(\kappa)},</math>:<math>\beth_{\lambda}(\kappa)=\sup\{ \beth_{\alpha}(\kappa):\alpha<\lambda \}</math> ако λ е лимесен ординал.
Значи, <math>\beth_{\alpha}=\beth_{\alpha}(\aleph_0).</math>
Во Цермело-Френкеловата теорија, за секој кардинал κ и μ има ординал α така што:
:<math>\kappa \le \beth_{\alpha}(\mu).</math>
Теоријата вели дека за секој кардинал κ и ординали α и β:
:<math>\beth_{\beta}(\beth_{\alpha}(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa).</math>
Затоа, во Цермело–Френкеловата теорија на множествата во отсуство урелементи со или без аксомата за избор за сите кардинали κ и μ, равенството
:<math>\beth_{\beta}(\kappa) = \beth_{\beta}(\mu)</math>
важи зас ите доволно големи ординали β (т.е. не постои α за која равенството ќе важи за секој ординал β ≥ α).
Ова важи и во Цермело-Фенкеловата теорија со урелементи со или без аксиомата за избор под услов урелементите да образуваат множество што е рамнобројно со некое чисто множество (множество чие транзитивно затворање не содржи урелементи). Ако важи аксиомата за избор, тогаш секое множество од урелементи е рамнобројно со чисто множество.
5 Поврзано
* Алеф-број
6 Наводи
* T. E. Forster, ''Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe'', Oxford University Press, 1995, стр. 5.