Тежинска функција

Тежинска функција е математичка алатка што се користи при изведување на збир, интеграл или просек за да им се даде поголема „тежина“ или влијание на некои елементи во резултатот отколку на другите елементи во истото множество. Резултатот од примената на тежинската функција е сумарна вредност со тежини или просек со тежини. Тежинските функции често се појавуваат во статистиката и анализата и се тесно поврзани со концептот на мерка. Тежинските функции можат да се користат и во дискретни и во континуирани случаи. Тие можат да се користат за конструирање системи на калкулус наречени „калкулус со тежини“ и „мета-калкулус“.
1 Дискретни тежини
2.1 Општа дефиниција
Во дискретно опкружување, функција на тежина <math>w \colon A \to \R^+</math> е позитивна функција дефинирана на дискретно множество <math>A</math>, кое вообичаено е конечно или преброиво. Функцијата на тежина <math>w(a) := 1</math> одговара на ''нетежинската'' ситуација во која сите елементи имаат еднаква тежина. Потоа, оваа тежина може да се примени на различни концепти.
Ако функцијата <math>f\colon A \to \R</math> е функција со реални вредности, тогаш ''непондерираната сума од <math>f</math> на <math>A</math>'' е дефинирана како:
:<math>\sum_{a \in A} f(a);</math>
но при дадена ''функција на тежина''<math>w\colon A \to \R^+</math>, пондерираната сума или конусната комбинација е дефинирана како
:<math>\sum_{a \in A} f(a) w(a).</math>
Една вообичаена примена на пондерираните суми се јавува во нумеричката интеграција.
1.2 Статистика
Тежинските средни вредности често се користат во статистиката за компензација присуството на пристрасност. За количина <math>f</math> мерена повеќе (независни) пати <math>f_i</math> со варијанса <math>\sigma^2_i</math>, најдобрата проценка на сигналот се добива со пресметување на просекот од сите мерења со тежина а добиената варијанса е помала од секое од независните мерења Методот на максимална веројатност дава тежина помеѓу соодветноста и податоците користејќи ги истите тежини
Очекуваната вредност на случајна променлива е тежинската средна вредност од можните вредности што може да ги добие, при што тежините се репрезентации соодветните веројатности. Општо, очекуваната вредност на функција на случајна променлива е тежинската средна вредност на веројатноста од вредностите што функцијата ги добива за секоја можна вредност на случајната променлива.
Во регресии во кои се претпоставува дека зависната променлива е под влијание и на тековните и на заостанатите (минатите) вредности на независната променлива, се проценува дистрибуирана функција на заостанување, при што оваа функција е тежински просек од тековните и различните заостанати вредности на независните променливи.
1.3 Механика
Терминологијата ''функција на тежина'' произлегува од механиката: ако е дадена колекција од <math>n</math> предмети на лост, со тегови <math>w_1, \ldots, w_n</math> (каде тежината сега се толкува во физичка смисла) и локации тогаш лостот ќе биде во рамнотежа ако потпорната точка на лостот е во центарот на масата:
:<math>\frac{\sum_{i=1}^n w_i \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^n w_i},</math>
што е исто така и тежинскиот просек на позициите
2 Континуирани тежини
Во континуирано ситуации, тежината е позитивна мерка како што е <math>w(x) \, dx</math> на некој домен <math>\Omega</math>, што е типично подмножество на Евклидов простор <math>\R^n</math>. На пример, <math>\Omega</math> може да биде интервал <math>[a,b]</math>. Тука <math>dx</math> претставува Лебегова мерка и <math>w\colon \Omega \to \R^+</math> е ненегативна мерлива функција . Во овој контекст, функцијата на тежина <math>w(x)</math> понекогаш се нарекува густина.
2.1 Општа дефиниција
Ако <math>f\colon \Omega \to \R</math> е функција со реални вредности, тогаш ''нетежинскиот'' интеграл:
:<math>\int_\Omega f(x)\ dx</math>
може да се генерализира на ''тежински интеграл:'':<math>\int_\Omega f(x) w(x)\, dx</math>
2.2 Тежински волумен
Ако ''E'' е подмножество од <math>\Omega</math>, тогаш волуменот vol( ''E'' ) на ''E'' може да се генерализира на ''тежинскиот волумен:'':<math> \int_E w(x)\ dx,</math>
2.3 Тежински просек
Ако <math>\Omega</math> има конечен ненулти тежински волумен, тогаш можеме да го замениме нетежинскиот просек:
:<math>\frac{1}{\mathrm{vol}(\Omega)} \int_\Omega f(x)\ dx</math>
според тежиснкиот просек:
:<math> \frac{\displaystyle\int_\Omega f(x)\, w(x) \, dx}{\displaystyle\int_\Omega w(x) \, dx}</math>