Делител

Делител на еден цел број <math>n</math>, наречен и фактор на <math>n</math>, е цел број кој го дели <math>n</math> без да има остаток.
1 Објаснување
Поимот „делител“ е изведен од аритметичката операција делење: ако <math>a/b = c</math> тогаш <math>a</math> е деленик, <math>b</math> е делител, а <math>c</math> е количник.
Општо земено, за сите ненуларни цели броеви <math>m</math> и <math>n</math>, <math>m</math> го дели <math>n</math>, што се пишува:
:<math>m \mid n,</math>
ако постои цел број <math>k</math> така што <math>n = km</math>. Затоа, делителот може да биде како позитивен, така и негативен, иако напати поимот се однесува само на позитивните далители (на пр. бројот четири има шест делители: 1, 2, 4, &minus;1, &minus;2, &minus;4, но обично се споменуваат само позитивните).
1 и &minus;1 го делат (се делители на) секој цел број, секој цел број (и неговиот негатив) е делител сам на себе, и секој цел број е делител на 0, освен 0 самата со себе. Броевите што се деливи со 2 се нарекуваат парни, а оние што не можат да се поделат со 2 се нарекуваат непарни.
1, &minus;1, ''n'' и &minus;''n'' се нарекуваат тривијални делители на ''n''. Делителот на ''n'' кој не е тривијален делител се нарекува нетривијален делител. Еден број што има барем еденѕ нетривијален делител се нарекува сложен број, додека единиците -1 и 1 и простите броеви немаат нетривијални делители.
Постојат правила на деливоста што ни овозможуваат да ги препознаеме делителите на еден број меѓу неговите цифри.
2 Примери
*7 е делител на 42 бидејќи <math>42/7 = 6</math>, па така велиме дека <math>7 \mid 42</math>. Ова значи дека бројот 42 е делив со 7, 42 е содржател на 7, 7 го дели 42, или дека 7 е фактор на 42.
*Нетривијалните делители на 6 се 2, &minus;2, 3, &minus;3.
*Позитивните делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
*Множеството од сите позитивни делители на 60, <math>A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}</math>, делумно подредено по деливост, го образуваат следниов Хасеов дијаграм:
3 Други поимувања и факти
Постојат извесни елементарни правила:
* Ако <math>a \mid b</math> и <math>b \mid c</math>, тогаш <math>a \mid c</math>. Ова е транзитивна релација.
* Ако <math>a \mid b</math> и <math>b \mid a</math>, тогаш <math>a = b</math> или <math>a = -b</math>.
* Ако <math>a \mid b</math> и <math>c \mid b</math>, тогаш НЕ е секогаш точно дека <math>(a + c) \mid b</math> (на пр. <math>2\mid6</math> и <math>3 \mid 6</math> но 5 не го дели 6). Меѓутоа, кога <math>a \mid b</math> и <math>a \mid c</math>, тогаш <math> a \mid (b + c)</math> е точно, како и <math> a \mid (b - c)</math>.
Вертикалната црта што се користи во уникодниот знак „дели“, кодно место U+2223 во TeX се пишува како <code>\mid</code>: <math>\mid</math>. Неговиот негиран симбол е ∤, или во TeX <code>\nmid</code>: <math>\nmid</math>. Во околини каде е допуштен само ASCII, се користи стандардната вертикална црта „|“, која е малку пократка
Ако <math>a \mid bc</math>, а НЗД<math>(a, b) = 1</math>, тогаш <math>a \mid c</math>. Ова се нарекува Евклидова лема.
Ако <math>p</math> е прост број и <math>p \mid ab</math> тогаш <math>p \mid a</math> или <math>p \mid b</math> (или обете).
Еден позитивен делител на <math>n</math> што е различен од <math>n</math> се нарекува вистински делител или аликвотен дел на <math>n</math>. Бројот кој не може рамномерно да го подели <math>n</math>, туку има остаток, се нарекува аликвантен дел на <math>n</math>.
Еден цел број <math>n > 1</math> чиј единствен вистински делител е 1 се нарекува прост број. Истоветно на тоа, прост број е оној цел број што има точно два позитивни фактори: 1 и самиот тој.
Секој позитивен делител на <math>n</math> е производ од прости делители на <math>n</math> дигнати на некој степен. Ова е последица од фундаменталната теорема на аритметиката.
Ако еден број е еднаков на збирот на неговите вистински делители, тогаш тој се нарекува совршен број. Броевите што се помали од збирот на неговите вистински делители се нарекува обилен, а бројот поголем од збирот се нарекуваат недостаточен.
Вкупниот број на позитивни делители на <math>n</math> е мултипликативна функција <math>d(n)</math>, што значи кога два броја <math>m</math> и <math>n</math> се односно прости, тогаш <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. На пример, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; осумте делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42). Меѓутоа, бројот на позитивни делители не е сосема мултипликативна функција: ако двата броја <math>m</math> и <math>n</math> имаат заеднички делител, тогаш <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math> може да не е точно. Збирот на позитивните делити на <math>n</math> е друга мултипликативна функција <math>\sigma (n)</math> (на пр. <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). Обете функции се примери за делителни функции.
Ако простата факторизација на <math>n</math> е дадена со
:<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math>
тогаш бројот на позитивни делители на <math>n</math> изнесува
:<math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), </math>
и секој од делителите го има обликот
:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>
каде <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> за секој <math>1 \le i \le k.</math>
Може да се види дека за секој природен број <math>n</math> важи неравенството <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.
Можеме и да покажеме
дека
:<math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).</math>
Едно толкување на овој резултат е дека еден случајно избран позитивен цел број ''n'' има очекуван
околу <math>\ln n</math> очекувани делители.
4 Деливост на броевите
Релацијата на деливост го претвора множеството на ненегативни цели броеви <math>N</math> во делумно подредено множество, впрочем во целосна дистрибутивна решетка. Најголемиот елемент на оваа решетка е 0, а најмалиот е 1. Операцијата на доведување ^ е дадена со најголемиот заеднички делител а операцијата на сврзување v е дадена со најмалиот заеднички содржател. Оваа решетка е изоморфна во однос на двоецот (дуалот) на решетката од подргрупите на бесконечната циклична група <math>Z</math>.
5 Поврзано
* Аритметичка функција
* Евклидов алгоритам
* Дропка