Кристален систем

Во кристалографијата, кристален систем — збир од точковни групи (група од геометриски симетрии со најмалку една фиксна точка). Решеткаст систем е збир од Бравеови решетки (бесконечен низ од дискретни точки). Просторните групи (симетрични групи на конфигурација во просторот) се класифицираат во кристални системи според нивните точковни групи и во решеткасти системи според нивните Бравеови решетки. Кристалните системи кои имаат просторни групи доделени на заеднички решеткаст систем се комбинираат во кристално семејство.
Седумте кристални системи се ''триклински'', ''моноклински'', ''орторомпски'', ''четириаголен'', ''тригонален'', ''шестаголен'' и ''коцкест''. Неформално, два кристала се во истиот кристален систем доколку имаат слични симетрии (иако постојат многу исклучоци).
1 Класификации
Кристалите можат да се класифицираат на три начина: решеткасти системи, кристални системи и кристални семејства. Различните класификации често се мешаат: особено тригоналниот кристален систем често се меша со ромбоедарскиот решеткаст систем, а терминот „кристален систем“ понекогаш се употребува со значење „решеткаст систем“ или „кристално семејство“.
1.1 Решеткаст систем
Решеткаст систем претставува група решетки со ист сет на групи на точки на решетка. 14-те Бравеови решетки се групирани во седум решеткасти системи: триклински, моноклински, орторомски, четириаголни, ромбоедарски, шестаголни и коцкести.
1.2 Кристален систем
Кристален систем претставува збир од точкести групи во кои самите точкести групи и нивните соодветни просторни групи се доделени на решеткаст систем. Од 32 кристалографски точкести групи кои постојат во три димензии, повеќето се доделени само на еден решеткаст систем, во кој случај и кристалниот и решетката има исто име. Сепак, пет точкести групи се доделени на два решеткасти системи, ромбоедарски и шестоаголен, бидејќи и двата покажуваат тројна вртежна симетрија. Овие точкести групи се доделени на тригоналниот кристален систем.
1.3 Кристално семејство
Кристалното семејство е определено од решетки и точкести групи. Се формира со комбинирање на кристални системи кои имаат просторни групи доделени на заеднички решеткаст систем. Во три димензии, шестоаголните и тригоналните кристални системи се комбинирани во едно шестоаголно кристално семејство.
1.4 Споредба
Пет од кристалните системи се во суштина исти како пет од решетките. Шестоаголните и тригоналните кристални системи се разликуваат од шестоаголните и ромбоедарските решеткасти системи. Тие се комбинирани во семејството на шестоаголни кристали.
Односот помеѓу тридимензионалните кристални семејства, кристалните системи и решеткастите системи е прикажан во следната табела:
Кристално семејство, Кристален систем, Решеткаст систем, Потребни симетрии на точковна група, Групи на точки, Просторни групи, Бравеови решетки
Триклинско, Триклински, Триклински, Ништо, 2, 2, 1
Моноклинско, Моноклински, Моноклински, 1 двојна вртежна оска или 1 огледална рамнина, 3, 13, 2
Орторомпско, Орторомпски, Орторомпски, 3 двојни вртежни оски или 1 двојна вртежна оска и 2 огледални рамнини, 3, 59, 4
Четириаголно, Четириаголен, Четириаголен, 1 четирикратна вртежна оска, 7, 68, 2
Шестоаголно, Тригонален, Ромбоедарски, 1 тројна вртежна оска, 5, 7, 1
Шестоаголен, 1 тројна вртежна оска, 18
Шестоаголен, Шестоаголен, 1 шесткратна вртежна оска, 7, 27, 1
Коцкесто, Коцкест, Коцкест, 4 тројни вртежни оски, 5, 36, 3
6, 7, 7, Вкупно, 32, 230, 14
:''Забелешка: не постои „тригонален“ систем на решетки. За да се избегне забуна во терминологијата, терминот „тригонална решетка“ не се употребува.''
2 Кристални класи
7-те кристални системи се состојат од 32 кристални класи (што одговараат на 32 кристалографски групи на точки) како што е прикажано во следната табела подолу:
Кристално семејство, Кристален систем, Точковна група / Кристална класа, Schönflies, Херман-Моген, Орбифолд, Коксетер, Точковна симетрија, Симетричен број, Група
Триклински, педијален, C<sub>1</sub>, 1, 11, [ ]<sup>+</sup>, енантиоморфна поларна, 1, тривијален<math>\mathbb{Z}_1</math>
пинакоидал, C<sub>i</sub> (S<sub>2</sub>), 1x, [2,1<sup>+</sup>], центросиметричен, 2, Циклична <math>\mathbb{Z}_2</math>
Моноклински, sphenoidal, C<sub>2</sub>, 2, 22, [2,2]<sup>+</sup>, енантиоморфна поларна, 2, Циклична <math>\mathbb{Z}_2</math>
доматски, C<sub>s</sub> (C<sub>1h</sub>), m, *11, [ ], Поларна, 2, Циклична <math>\mathbb{Z}_2</math>
Призматична, C<sub>2h</sub>, 2/m, 2*, [2,2<sup>+</sup>], центросиметричен, 4, Клејнова четврта <math>\mathbb{V} = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2</math>
Орторомпски, ромпско-дисфеноидален, D<sub>2</sub> (V), 222, 222, [2,2]<sup>+</sup>, енантиоморфен, 4, Клејнова четврта <math>\mathbb{V} = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2</math>
ромпско-пирамидална, C<sub>2v</sub>, mm2, *22, [2], Поларна, 4, Клејнова четврта <math>\mathbb{V} = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2</math>
ромпско-дипирамидална, D<sub>2h</sub> (V<sub>h</sub>), mmm (2/m 2/m 2/m), *222, [2,2], центросиметричен, 8, <math>\mathbb{V}\times\mathbb{Z}_2</math>
Четириаголен, Четириаголна пирамидална, C<sub>4</sub>, 4, 44, [4]<sup>+</sup>, енантиоморфна Поларна, 4, Циклична <math>\mathbb{Z}_4</math>
Четириаголна дисфеноидална, S<sub>4</sub>, 2x, [2<sup>+</sup>,2], нецентросиметричен, 4, Циклична <math>\mathbb{Z}_4</math>
Четириаголна дипирамидална, C<sub>4h</sub>, 4/m, 4*, [2,4<sup>+</sup>], центросиметричен, 8, <math>\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2</math>
Четириаголна трапезоедарска, D<sub>4</sub>, 422, 422, [2,4]<sup>+</sup>, енантиоморфна, 8, дихедар <math>\mathbb{D}
Бичетириаголна пирамидална, C<sub>4v</sub>, 4mm, *44, [4], Поларна, 8, дихедар <math>\mathbb{D}
Четириаголна скаленоедрична, D<sub>2d</sub> (V<sub>d</sub>), 2m, 2*2, [2<sup>+</sup>,4], нецентросиметричен, 8, дихедар <math>\mathbb{D}
Дичетириаголен -дипирамидална, D<sub>4h</sub>, 4/mmm (4/m 2/m 2/m), *422, [2,4], центросиметричен, 16, <math>\mathbb{D}_8\times\mathbb{Z}_2</math>
Шестаголна, тригонална, тригонална пирамидална, C<sub>3</sub>, 3, 33, [3]<sup>+</sup>, енантиоморфен Поларна, 3, Циклична <math>\mathbb{Z}_3</math>
C<sub>3i</sub> (S<sub>6</sub>), 3x, [2<sup>+</sup>,3<sup>+</sup>], центросиметричен, 6, Циклична <math>\mathbb{Z}
тригонална-трапезоедарски, D<sub>3</sub>, 32, 322, [3,2]<sup>+</sup>, енантиоморфен, 6, дихедар <math>\mathbb{D}
дитриагонална-пирамидална, C<sub>3v</sub>, 3m, *33, [3], Поларна, 6, дихедар <math>\mathbb{D}
дитриагонална-скаленоедричен, D<sub>3d</sub>, m ( 2/m), 2*3, [2<sup>+</sup>,6], центросиметричен, 12, дихедар <math>\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2</math>
Шестаголна, Шестаголна-пирамидална, C<sub>6</sub>, 6, 66, [6]<sup>+</sup>, енантиоморфен Поларна, 6, Циклична <math>\mathbb{Z}
тригонална -дипирамидална, C<sub>3h</sub>, 3*, [2,3<sup>+</sup>], нецентросиметричен, 6, Циклична <math>\mathbb{Z}
Шестаголна-дипирамидална, C<sub>6h</sub>, 6/m, 6*, [2,6<sup>+</sup>], центросиметричен, 12, <math>\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2</math>
Шестаголна-трапезоедарски, D<sub>6</sub>, 622, 622, [2,6]<sup>+</sup>, енантиоморфен, 12, дихедар <math>\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2</math>
дишестоаголна-пирамидална, C<sub>6v</sub>, 6mm, *66, [6], Поларна, 12, дихедар <math>\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2</math>
дитриагонална-дипирамидална, D<sub>3h</sub>, m2, *322, [2,3], нецентросиметричен, 12, дихедар <math>\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2</math>
дишестоаголна-дипирамидална, D<sub>6h</sub>, 6/mmm (6/m 2/m 2/m), *622, [2,6], центросиметричен, 24, <math>\mathbb{D}_{12}\times\mathbb{Z}_2</math>
Коцкест, тетартоидален, T, 23, 332, [3,3]<sup>+</sup>, енантиоморфен, 12, наизменична <math>\mathbb{A}_4</math>
диплоиден, T<sub>h</sub>, m (2/m 3), 3*2, [3<sup>+</sup>,4], центросиметричен, 24, <math>\mathbb{A}_4\times\mathbb{Z}_2</math>
гироидален, O, 432, 432, [4,3]<sup>+</sup>, енантиоморфен, 24, симетрична <math>\mathbb{S}_4</math>
хекстетраедрална, T<sub>d</sub>, 3m, *332, [3,3], нецентросиметричен, 24, симетрична <math>\mathbb{S}_4</math>
хексоктаедарски, O<sub>h</sub>, mm (4/m 3 2/m), *432, [4,3], центросиметричен, 48, <math>\mathbb{S}_4\times\mathbb{Z}_2</math>
Симетријата на точките на структурата може понатаму да се опише на следниов начин. Разгледајте ги точките кои ја сочинуваат структурата и одразете ги сите низ една точка, така што (''x'', ''y'', ''z'') станува (− ''x'',− ''y'',− ''z''). Ова е „инвертирана структура“. Доколку оригиналната структура и инвертираната структура се исти, тогаш структурата е ''центросиметрична''. Во спротивно, таа е ''нецентросиметрична''. Сепак, дури и во нецентросиметричниот случај, инвертираната структура во некои случаи може да се врти за да се усогласи со оригиналната структура. Ова е нецентросиметрична ''ахирална'' структура. Доколку инвертираната структура не може да се врти за да се усогласи со оригиналната структура, тогаш структурата е ''хирална'' или ''енантиоморфна'', а нејзината симетрична група е ''енантиоморфна'' .
Насоката (кое значи линија без стрелка) се нарекува ''поларна'' доколку нејзините двонасочни сетила се геометриски или физички различни. Насоката на симетријата на кристал кој е поларен се нарекува ''поларна оска''. Групите кои содржат поларна оска се нарекуваат ''поларни''. Поларниот кристал поседува единствена поларна оска (поточно, сите поларни оски се паралелни). Некои геометриски или физички својства се различни на двата краја на оваа оска: на пример, може да се развие диелектрична поларизација како кај пироелектричните кристали. Поларна оска може да се појави единствено во нецентросиметрични структури. Не може да има огледална рамнина или двојна оска нормална на поларната оска, бидејќи тие би ги направиле двете насоки на оската еквивалентни.
Кристалните структури на хиралните биолошки молекули (како што се протеинските структури) можат да се појават само во 65-те енантиоморфни просторни групи (биолошките молекули се обично хирални).
3 Бравеови решетки
Постојат седум различни видови на решеткасти системи, и секој вид решеткаст систем има четири различни видови ориентирања (примитивно, кое се наоѓа на основата, кое се наоѓа на телото, кое се наоѓа на лицето). Сепак, не сите комбинации се единствени; некои од комбинациите се еквивалентни, додека други комбинации не се можни поради симетрични причини. Ова го намалува бројот на единствени решетки на 14 Бравеови решетки.
Распределбата на 14-те решетки во 7 решеткасти системи е дадена во следната табела.
Кристално семејство, Решеткаст систем, Група на Шенфли, 14 Бравеови решетки
Примитивно (П), Основоцентрирана (S), Страноцентрирана (I), Телоцентрирана (F)
Триклинско (а), C<sub>i</sub>
Моноклинско (м), C<sub>2h</sub>
Орторомпски (o), D<sub>2h</sub>
Четириаголно (t), D<sub>4h</sub>
Шестоаголна (h), Ромбоедарски, D<sub>3d</sub>
Шестоаголна, D<sub>6h</sub>
Коцкесто (c), O<sub>h</sub>
Во геометријата и кристалографијата, Бравеовата решетка е категорија на транслативни симетрични групи (исто така познати како решетки) во три насоки.
Ваквите групи на симетрија се состојат од транслации со вектори од обликот
: R = ''n''<sub>1</sub> a <sub>1</sub> + ''n''<sub>2</sub> a <sub>2</sub> + ''n''<sub>3</sub> a <sub>3</sub> ,
каде што ''n''<sub>1</sub><sub>,</sub>''n''<sub>2</sub>, и ''n''<sub>3</sub> се цели броеви <sub>,</sub> а a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, и a<sub>3</sub> се три некопланарни вектори, наречени ''примитивни вектори''<sub>.</sub>
Овие решетки се класифицирани според просторната група на самата решетка, гледано како збир на точки; постојат 14 Бравеови решетки во три димензии; секоја припаѓа единствено на еден систем на решетки. Тие претставуваат максимална симетрија која може да ја има структура со дадената транслациска симетрија.
Сите кристални материјали (единствено безквазикристалите) мора, по дефиниција, да се вклопат во еден од овие аранжмани.
За погодност, Бравеовата решетка е претставена преку единична ќелија која е за фактор 1, 2, 3 или 4 поголема од примитивната ќелија. Во зависност од симетријата на кристалот или друг модел, фундаменталниот домен е повторно помал, до фактор 48.
Бравеовите решетки биле проучувани од Мориц Лудвиг Франкенхајм во 1842 година, кој открил дека постојат 15 Бравеови решетки. Ова било променето на 14 од Огист Браве во 1848 година.
4 Во други димензии
4.1 Дводимензионален простор
Во дводимензионален простор, постојат четири кристални системи (косо, правоаголно, квадратно, шестоаголно), четири кристални семејства (косо, правоаголно, квадратно, шестоаголно) и четири решеткасти системи (косо, правоаголно, квадратно и шестоаголно).
Кристално семејство, Кристален систем, Кристалографски точкести групи, Број на групи на рамнини, Бравеови решетки
Косо (моноклинско), Кос, 1, 2, 2, ''mp''
Правоаголно (орторомпско), Правоаголен, ''м'', 2 ''мм'', 7, ''op, oc''
Квадратно (четириаголно), Квадратен, 4, 4 ''мм'', 3, ''tp''
Шестоаголно, Шестоаголен, 3, 6, 3 ''м'', 6 ''мм'', 5, ''hp''
Вкупно, 4, 10, 17, 5
4.2 Четиридимензионален простор
Четиридимензионалната единична ќелија е претставена со четири должини на рабовите (''a'', ''b'', ''c'', ''d'') и шест меѓуоскини агли (''α'', ''β'', ''γ'', ''δ'', ''ε'', ''ζ'' ). Следните услови за параметрите на решетката прикажуваат 23 кристални семејства
+ Кристални семејства во 4D простор, Бр., Семејство, Должина на рабови, Меѓуаксијални агли
1, Шестоаголно, ''a'' ≠ ''b'' ≠ ''c'' ≠ ''d'', ''α'' ≠ ''β'' ≠ ''γ'' ≠ ''δ'' ≠ ''ε'' ≠ ''ζ'' ≠ 90°
2, Триклинско, ''a'' ≠ ''b'' ≠ ''c'' ≠ ''d'', ''α'' ≠ ''β'' ≠ ''γ'' ≠ 90°''δ'' = ''ε'' = ''ζ'' = 90°
3, Диклинско, ''a'' ≠ ''b'' ≠ ''c'' ≠ ''d'', ''α'' ≠ 90°''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = 90°''ζ'' ≠ 90°
4, Моноклинско, ''a'' ≠ ''b'' ≠ ''c'' ≠ ''d'', ''α'' ≠ 90°''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = ''ζ'' = 90°
5, Ортогонално, ''a'' ≠ ''b'' ≠ ''c'' ≠ ''d'', ''α'' = ''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = ''ζ'' = 90°
6, Четириаголно моноклинско, ''a'' ≠ ''b'' = ''c'' ≠ ''d'', ''α'' ≠ 90°''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = ''ζ'' = 90°
7, Шестоаголно моноклинско, ''a'' ≠ ''b'' = ''c'' ≠ ''d'', ''α'' ≠ 90°''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = 90°''ζ'' = 120°
8, Дичетириаголно диклинско, ''a'' = ''d'' ≠ ''b'' = ''c'', ''α'' = ''ζ'' = 90°''β'' = ''ε'' ≠ 90°''γ'' ≠ 90°''δ'' = 180° − ''γ''
9, Дитриагонално (дишестоаголно) диклинско, ''a'' = ''d'' ≠ ''b'' = ''c'', ''α'' = ''ζ'' = 120°''β'' = ''ε'' ≠ 90°''γ'' ≠ ''δ'' ≠ 90°cos ''δ'' = cos ''β'' − cos ''γ''
10, Четириаголно ортагонално, ''a'' ≠ ''b'' = ''c'' ≠ ''d'', ''α'' = ''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = ''ζ'' = 90°
11, Шестоаголно ортагонално, ''a'' ≠ ''b'' = ''c'' ≠ ''d'', ''α'' = ''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = 90°, ''ζ'' = 120°
12, Дичетириаголно моноклинско, ''a'' = ''d'' ≠ ''b'' = ''c'', ''α'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ζ'' = 90°''β'' = ''ε'' ≠ 90°
13, Дитриагонално (дишестоаголно) моноклинско, ''a'' = ''d'' ≠ ''b'' = ''c'', ''α'' = ''ζ'' = 120°''β'' = ''ε'' ≠ 90°''γ'' = ''δ'' ≠ 90°cos ''γ'' = −cos ''β''
14, Дичетириаголно ортагонално, ''a'' = ''d'' ≠ ''b'' = ''c'', ''α'' = ''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = ''ζ'' = 90°
15, Шестоаголно четириаголно, ''a'' = ''d'' ≠ ''b'' = ''c'', ''α'' = ''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = 90°''ζ'' = 120°
16, Дишестоаголно ортагонално, ''a'' = ''d'' ≠ ''b'' = ''c'', ''α'' = ''ζ'' = 120°''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = 90°
17, Коцкесто ортагонално, ''a'' = ''b'' = ''c'' ≠ ''d'', ''α'' = ''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = ''ζ'' = 90°
18, Октагонално, ''a'' = ''b'' = ''c'' = ''d'', ''α'' = ''γ'' = ''ζ'' ≠ 90°''β'' = ''ε'' = 90°''δ'' = 180° − ''α''
19, Декагонално, ''a'' = ''b'' = ''c'' = ''d'', ''α'' = ''γ'' = ''ζ'' ≠ ''β'' = ''δ'' = ''ε''cos ''β'' = − − cos ''α''
20, Додекагонално, ''a'' = ''b'' = ''c'' = ''d'', ''α'' = ''ζ'' = 90°''β'' = ''ε'' = 120°''γ'' = ''δ'' ≠ 90°
21, ДиШестоаголно ортагонално, ''a'' = ''b'' = ''c'' = ''d'', ''α'' = ''ζ'' = 120°''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = 90°
22, Дваесетаголно, ''a'' = ''b'' = ''c'' = ''d'', ''α'' = ''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = ''ζ''cos ''α'' = −
23, Хиперкоцкесто, ''a'' = ''b'' = ''c'' = ''d'', ''α'' = ''β'' = ''γ'' = ''δ'' = ''ε'' = ''ζ'' = 90°
Имињата овде се дадени според Витекер. Тие се речиси исти како кај Браун и неговите соработници, со исклучок на имињата на кристалните семејства 9, 13 и 22. Имињата за овие три семејства според Браун и неговите соработници се дадени во загради.
Односот помеѓу четиридимензионалните кристални семејства, кристалните системи и решеткастите системи е прикажан во следната табела. Енантиоморфните системи се означени со ѕвездичка. Бројот на енантиоморфни парови е даден во загради. Овде терминот „енантиоморфен“ има различно значење отколку во табелата за тридимензионални кристални класи. Вториот означува дека енантиоморфните точкести групи опишуваат хирални (енантиоморфни) структури. Во тековната табела, „енантиоморфен“ значи дека самата група (сметана како геометриски објект) е енантиоморфна, како енантиоморфните парови на тридимензионални просторни групи P3<sub>1</sub> и P3<sub>2</sub>, P4<sub>1</sub>22 и P4<sub>3</sub>22. Почнувајќи од четиридимензионален простор, точкестите групи исто така можат да бидат енантиоморфни во оваа смисла.
+ Кристален системs во 4D простор, Бр. на Кристално семејство, Кристално семејство, Кристален систем, Решеткаст систем, Бр. на Кристален систем, Точкаста група, Просторна група, Бравеови решетки
I, Шестоаголно, Шестоаголно P, 1, 2, 2, 1
II, Триклински, Триклински P, S, 2, 3, 13, 2
III, Диклинско, Диклинско P, S, D, 3, 2, 12, 3
IV, Моноклински, Моноклински P, S, S, I, D, F, 4, 4, 207, 6
V, Ортогонално, Неаксијално ортогонално, Ортогонално KU, 5, 2, 2, 1
Ортогонално P, S, I, Z, D, F, G, U, 112, 8
Аксијално ортогонално, 6, 3, 887
VI, Четириаголно моноклинско, Четириаголно моноклинско P, I, 7, 7, 88, 2
VII, Шестоаголно моноклинско, Тригонално моноклинско, Шестаголна Моноклинско R, 8, 5, 9, 1
Шестоаголно моноклинско P, 15, 1
Шестоаголно моноклинско, 9, 7, 25
VIII, Дичетириаголно диклинско*, Дичетириаголно диклинско P*, 10, 1 (+1), 1 (+1), 1 (+1)
IX, Дитриагонално диклинско*, Дитриагонално диклинско P*, 11, 2 (+2), 2 (+2), 1 (+1)
X, Четириаголно ортагонално, Обратно Четириаголно ортагонално, Четириаголно ортагонално KG, 12, 5, 7, 1
Четириаголно ортагонално P, S, I, Z, G, 351, 5
Правилно четириаголно ортагонално, 13, 10, 1312
XI, Шестоаголно ортогонално, Тригонално ортогонално, Шестоаголно ортогонално R, RS, 14, 10, 81, 2
Шестоаголно ортогонално P, S, 150, 2
Шестоаголно ортогонално, 15, 12, 240
XII, Дичетириаголно моноклинко*, Дичетириаголно моноклинско P*, S*, D*, 16, 1 (+1), 6 (+6), 3 (+3)
XIII, Дитриагонално моноклинско *, Дитриагонално моноклинско P*, RR*, 17, 2 (+2), 5 (+5), 2 (+2)
XIV, Дитриагонално моноклинско, Скриено-дитриагонално моноклинско, Дичетириаголно ортогонално D, 18, 5, 10, 1
Дичетириаголно ортогонално P, Z, 165 (+2), 2
Дичетириаголно ортогонално, 19, 6, 127
XV, Шестаголно четириаголно, Шестаголно четириаголно P, 20, 22, 108, 1
XVI, Дишестоаголно ортогонално, Скриено-дитриагонално ортогонално*, Дишестаголно ортогонално G*, 21, 4 (+4), 5 (+5), 1 (+1)
Дишестоаголно ортогонално P, 5 (+5), 1
Дишестоаголно ортогонално, 23, 11, 20
Дитриаголно ортогонално, 22, 11, 41
Дишестоаголно ортогонално RR, 16, 1
XVII, Коцкесто ортогонално, Едноставно коцкесто ортогонално, Коцкесто ортогонално KU, 24, 5, 9, 1
Коцкесто ортогонално P, I, Z, F, U, 96, 5
Сложено коцкесто ортогонално, 25, 11, 366
XVIII, Осумаголно*, Осумаголно P*, 26, 2 (+2), 3 (+3), 1 (+1)
XIX, Десетоаголно, Десетоаголно P, 27, 4, 5, 1
XX, Дванаесетаголно*, Дванаесетаголно P*, 28, 2 (+2), 2 (+2), 1 (+1)
XXI, Диизошестоаголно ортагонално, Едноставно Диизошестоаголно ортагонално, Диизошестоаголно ортагонално RR, 29, 9 (+2), 19 (+5), 1
Диизошестоаголно ортагонално P, 19 (+3), 1
Сложено диизошестоаголно ортагонално, 30, 13 (+8), 15 (+9)
XXII, Дваесетаголно, Дваесетаголно P, SN, 31, 7, 20, 2
XXIII, Хиперкоцкесто, Ортагонално хиперкоцкесто, Хиперкоцкесто P, 32, 21 (+8), 73 (+15), 1
Хиперкоцкесто Z, 107 (+28), 1
Дванаесетаголно хиперкоцкесто, 33, 16 (+12), 25 (+20)
Вкупно, 23 (+6), 33 (+7), 33 (+7), 227 (+44), 4783 (+111), 64 (+10)