Ермитови полиноми

Во математиката, Ермитовите полиноми се класична ортогонална полиномна низа.
Полиномите се јавуваат во:
* обработка на сигнали како Ермитски бранови за анализа на брановидна трансформација
* веројатност, како што се Еџвортовите серии, како и во врска со Брауновото движење;
* комбинаторика, како пример за Апелова низа, која се придржува до умбралната анализа;
* нумеричка анализа како Гаусова квадратура;
* физика, каде што тие ги создаваат сопствените состојби на квантниот хармоничен осцилатор; а се јавуваат и во некои случаи на равенката на топлината (кога терминот <math>\begin{align}xu_{x}\end{align}</math> е присутен);
* теорија на системи во врска со нелинеарни операции на гаусов шум .
* Теорија на случајни матрици во гаусови ансамбли .
Хермитовите полиноми биле дефинирани од Пјер-Симон Лаплас во 1810 година, иако во тешко препознатлива форма и детално проучени од Пафнутиј Чебишов во 1859 година. Делото на Чебишов било занемарено и тие подоцна биле именувани по Чарлс Ермит, кој напишал труд за полиномите во 1864 година, опишувајќи ги како нови. Иако тие не било нови, Ермит бил првиот што ги дефинирал повеќедимензионалните полиноми.
1 Дефиниција
Како и останатите класични ортогонални полиноми, Ермитовите полиноми можат да се дефинираат од неколку различни почетни точки. Постојат две различни стандардизации во општа употреба:
* „Веројатностните Ермитови полиноми“ се дадени со:<math>\operatorname{He}_n(x) = (-1)^n e^{\frac{x^2}{2\frac{d^n}{dx^n}e^{-\frac{x^2}{2,</math>* додека „физичките Ермитови полиноми“ се дадени со:<math>H_n(x) = (-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}.</math>
Овие равенки имаат форма на формула на Рордиг и можат да се напишат и како:
<math>\operatorname{He}_n(x) = \left(x - \frac{d}{dx} \right)^n \cdot 1, \quad H_n(x) = \left(2x - \frac{d}{dx} \right)^n \cdot 1.</math>
Двете дефиниции не се сосема идентични, односно едната е прескалирање на другата и обратно:
<math>H_n(x)=2^\frac{n}{2} \operatorname{He}_n\left(\sqrt{2} \,x\right), \quad \operatorname{He}_n(x)=2^{-\frac{n}{2 H_n\left(\frac {x}{\sqrt 2} \right).</math>* Првите единаесет веројатностни Ермитови полиноми се: <math>\begin{align}
\operatorname{He}_0(x) &= 1, \\
\operatorname{He}_1(x) &= x, \\
\operatorname{He}_2(x) &= x^2 - 1, \\
\operatorname{He}_3(x) &= x^3 - 3x, \\
\operatorname{He}_4(x) &= x^4 - 6x^2 + 3, \\
\operatorname{He}_5(x) &= x^5 - 10x^3 + 15x, \\
\operatorname{He}_6(x) &= x^6 - 15x^4 + 45x^2 - 15, \\
\operatorname{He}_7(x) &= x^7 - 21x^5 + 105x^3 - 105x, \\
\operatorname{He}_8(x) &= x^8 - 28x^6 + 210x^4 - 420x^2 + 105, \\
\operatorname{He}_9(x) &= x^9 - 36x^7 + 378x^5 - 1260x^3 + 945x, \\
\operatorname{He}_{10}(x) &= x^{10} - 45x^8 + 630x^6 - 3150x^4 + 4725x^2 - 945.
\end{align}</math>* Првите единаесет Ермитови полиноми на физичарите се: <math>\begin{align}
H_0(x) &= 1, \\
H_1(x) &= 2x, \\
H_2(x) &= 4x^2 - 2, \\
H_3(x) &= 8x^3 - 12x, \\
H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12, \\
H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x, \\
H_6(x) &= 64x^6 - 480x^4 + 720x^2 - 120, \\
H_7(x) &= 128x^7 - 1344x^5 + 3360x^3 - 1680x, \\
H_8(x) &= 256x^8 - 3584x^6 + 13440x^4 - 13440x^2 + 1680, \\
H_9(x) &= 512x^9 - 9216x^7 + 48384x^5 - 80640x^3 + 30240x, \\
H_{10}(x) &= 1024x^{10} - 23040x^8 + 161280x^6 - 403200x^4 + 302400x^2 - 30240.
\end{align}</math>
+, , физика, веројатност
симбол, <math>H_n</math>, <math>\operatorname{He}_n</math>
коефициент, <math>2^n</math>, <math>1</math>
диференцијален оператор, <math>(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math>, <math>(-1)^n e^{\frac{x^2}{2\frac{d^n}{dx^n}e^{-\frac{x^2}{2</math>
ортогонално на, <math>e^{-x^2}</math>, <math>e^{-\frac 12 x^2}</math>
скаларен производ, <math>\int H_m(x) H_n(x) \frac{e^{-x^2{\sqrt{\pi n!\, \delta_{mn}</math>, <math>\int \operatorname{He}_m(x) \operatorname{He}_n(x)\, \frac{e^{-\frac{x^2}{2}{\sqrt{2\pi \, \delta_{nm} </math>
генератриса, <math>e^{2xt - t^2} = \sum_{ H_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>, <math>e^{xt - \frac12 t^2} = \sum_{ \operatorname{He}_n(x) \frac{t^n}{n!} </math>
формула на Родриг, <math>\left(2x - \frac{d}{dx} \right)^n \cdot 1 </math>, <math>\left(x - \frac{d}{dx} \right)^n \cdot 1 </math>
рекурентна релација, <math>H_{n+1}(x) = 2xH_n(x) - 2nH_{n-1}(x)</math>, <math>\operatorname{He}_{n+1}(x) = x\operatorname{He}_n(x) - n\operatorname{He}_{n-1}(x)</math>
2 Својства
Хермитовиот полином од -ти ред е полином со степен . Веројатностниот Ермитов полином има водечки коефициент 1, додека физичкиот има водечки коефициент .
2.1 Симетрија
Од формулите на Родриг дадени погоре, можеме да се забележи дека и се парни или непарни функции, со иста парност како :
<math>H_n(-x)=(-1)^nH_n(x),\quad \operatorname{He}_n(-x)=(-1)^n\operatorname{He}_n(x).</math>
2.2 Ортогоналност
и се полиноми од степен за . Овие полиноми се ортогонални во однос на тежинската функција:<math>w(x) = e^{-\frac{x^2}{2 \quad (\text{for }\operatorname{He})</math> или<math>w(x) = e^{-x^2} \quad (\text{for } H),</math><math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \,dx = 0 \quad \text{for all }m \neq n.</math>
Понатаму,
<math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, e^{-x^2} \,dx = \sqrt{\pi}\, 2^n n!\, \delta_{nm},</math> и <math>\int_{-\infty}^\infty \operatorname{He}_m(x) \operatorname{He}_n(x)\, e^{-\frac{x^2}{2 \,dx = \sqrt{2 \pi}\, n!\, \delta_{nm},</math>
каде <math>\delta_{nm}</math> е Кронекер делта симболот.
2.3 Генератриса
Ермитовите полиноми се дадени со експоненцијалната генератриса:
<math>\begin{align}
e^{xt - \frac12 t^2} &= \sum_{n=0}^\infty \operatorname{He}_n(x) \frac{t^n}{n!}, \\
e^{2xt - t^2} &= \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac{t^n}{n!}.
\end{align}</math>