Многуаголник

Многуаголник — геометриска фигура од сврзани прави линии, сочинувајќи затворена прекршена линија.
Тој е традиционално рамнинска фигура што се граничи со затворена патека, составена од конечна низа од отсечки. Тие се нарекуваат „страни“ или „рабови“, а точките во кои се среќаваат се нарекуваат „темиња“. Еден ''n''-аголник е многуаголник со ''n'' страни. Многуаголникот е дводимензионален пример за поопштиот поим политоп, што може да биде во колку било димензии.
1 Класификација
1.1 Број на страни
Главна одлика на еден многуаголник е бројот на страни. Го добива името со додавање на наставката „-аголник“ на бројот на аглите. Така, имаме „триаголник“, „петаголник“, „десетаголник“, „стоаголник“ итн.
1.2 Испакнатост и видови на неиспакнатост
Многуаголниците се одликуваат по својата испакнатост или по видот на неиспакнатост:
*испакнати: ако повлечеме линија низ многуаголникот (нетангентна), таа ќе ја пресече неговата граница точно двапати. Друг начин на претставување би бил дека сите внатрешни агли се помали од 180°.
*неиспакнати: можеме да повлечеме линија што ќе ја пресече границата повеќе од двапати. Со други зборови, има барем еден внатрешен агол поголем од 180°.
*прост: границата на многуаголникот не се сече самата себеси. Сите испакнати многуаголници се прости.
*вдлабнати (коккавни): неиспакнати и прости.
*ѕвездест: целата внатрешност е видлива од една точка, без пресекување на работ. Мора да е прост, а може да е испакнат или вдлабнат.
*самопресечен: границата на многуаголникот се сече сама со себе.
* ѕвезда: многуаголник што се самосече на правилен начин.
1.3 Симетрија
*рамноаголен: сите агли се еднакви.
*опишлив: сите агли лежат на една кружница што можеме да ја опишеме.
*рамностран: сите агли лежат на иста симетриска орбита. Тие се воедно и опишливи и рамноаголни.
*рамностран: сите страни имаат иста должина. (многуаголник со 5 и повеќе страни може да биде рамностран без да биде испакнат) *тангентен: сите страни се тангентни на впишана кружница.
*правилен: многуаголник е правилен ако е опишлив и рамностран. Неиспакнатиот правилен многуаголник се нарекува „правилна ѕвезда“.
1.4 Друго
*правоаголен: многуаголник чии страни се среќаваат под прав агол, т.е. сите внатрешни агли се 90 или 270 степени.
*монотон во однос на дадена линија ''L'', ако секоја нормална на линијата се сече со многуаголникот повеќе од двапати.
2 Својства
2.1 Агли
Еден многуаголник има толку ќошиња колку што има страни. Секое ќоше има неколку агли, од кои најважни се:
*внатрешниот агол
*надворешниот агол
3 Плоштина
Плоштината на еден прост многуаголник (без самопресек) може да се изрази со следнава формула:
:<math>P = \frac{1}{2} \left | \sum_{i = 1}^{n}(x_i y_{(i +_n 1)} - x_{(i +_n 1)} y_i) \right | = \frac{1}{2} \left | \sum_{i = 1}^{n-1}(x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) + \left (x_n y_1 - x_1 y_n \right) \right |</math>
За плоштината на многуаголникот важат следниве својства (аксиоми):* плоштината на многуаголникто секогаш е позитивен реален број
* плоштината на многуаголникот не зависи од неговата местоположба, т.е. складните многуаголници имаат еднакви плоштини
* ако многуаголникот е составен од два или повеќе многуаголници што не се преклопуваат, тогаш неговата плоштина е еднаква на збирот од плоштините на составните многуаголници
* квадтарот со страна ''а'' има плоштина еднаква на ''а''<sup>2</sup>
4 Поврзано
*Впишана кружница
*Опишана кружница
*Геометриска фигура
*Полиедар
*Политоп
*Правилен многуаголник
*Прост многуаголник
*Поплочување (теселација)
5 Наводи
*Coxeter, H.S.M.; ''Regular Polytopes'', (Methuen and Co., 1948)