Родриева формула

Родриева формула (порано наречена Ајвори-Јакобиева формула) — математичка формула која ги создава полиномите на Лежандр. Поимот го вовел Едуард Хајне во 1878 година, откако Ермит во 1865 година истакнал дека Олинд Родри бил првиот што ја открил. Терминот се користи и за опишување на слични формули за други ортогонални полиноми.
Нека <math>(P_n(x))_{n=0}^\infty</math> е низа ортогонални полиноми на интервалот <math>[a, b]</math> во однос на тежинската функција <math>w(x)</math>. Полиномите имаат степени <math>deg(P_n) = n</math>, што го задоволува условот за ортогоналност:
<math>\int_a^b P_m(x) P_n(x) w(x) \, dx = K_n \delta_{m,n}</math>
каде <math>K_n</math> се ненулти константи во зависност од <math>n</math>, и <math>\delta_{m,n}</math> е Кронекеровиот делта симбол. Интервалот <math>[a, b]</math> може да биде бесконечен на едниот или на двата краја.
1 Генерирачка функција
Едноставен доказ со користење на Кошиевата интегрална формула може да покаже дека ортогоналните полиноми добиени од Родриевата формула имаат генерирачка функција од обликот:
<math>G(x,u)=\sum_{n=0}^\infty u^nP_n(x)</math><math>P_n(x)</math> функциите може да немаат стандардни нормализации, но може да се запише:
<math>G(x,u)=\sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{N_n}N_nP_n(x)</math>
каде што <math>N_n</math> се избираат според примената, за да се дадат посакуваните нормализации. Променливата u може да се замени со константен множител на u, така што:
<math>G(x,\alpha u)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n u^n}{N_n}N_nP_n(x)</math>
Ова дава алтернативна форма на генерирачката функција.
Според Кошиевата интегрална формула, Родриевата формула е еквивалентна на:
<math>P_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\frac{c_n}{w(x)}\oint_C \frac{B^n(t) w(t)}{(t-x)^{n+1\,dt</math>
каде што интегралот е по затворена јамка спротивно од стрелките на часовникот околу <math>x</math>. Нека:
<math>u=\frac{t-x}{B(t)}</math>
Потоа интегралот на комплексната патека ја добива формата:
<math>P_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}c_n\oint_C \frac{G(x,u)}{u^{n+1\,du</math><math>G(x,u)=\frac{w(t)\frac{dt}{du{w(x)B(t)}</math>
каде што сега затворената патека C го опкружува изворот. Во равенката за <math>G(x,u)</math>, <math>t</math> е имплицитна функција на <math>u</math> . Проширувањето на <math>G(x,u)</math> во степенските низи дадени претходно дава:
<math>\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{G(x,u)}{u^{n+1\,du=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{\sum_{m=0}^\infty u^mP_m(x)}{u^{n+1\,du=P_n(x)</math>
Само <math>m=n</math> терминот има остаток разлчен од нула, што е <math>P_n(x)</math>. Коефициентот <math>n!\,c_n</math> коефициентот е занемарен, бидејќи нормализациите се конвенции кои можат да се вметнат подоцна.
Со изразување на t во однос на u во општата формула дадена за <math>G(x,u)</math> може да се добијат експлицитните формули за <math>G(x,u)</math>. Како едноставен пример, нека <math>B(x)=1</math> и <math>A(x)=-x</math> (Ермитови полиноми), така што:<math>w(x)=\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)</math>, <math>t=u+x</math>, <math>w(t)=\exp\left(-\frac{(u+x)^2}{2}\right)</math> и така <math>G(x,u)=\exp\left(-xu-\frac{u^2}{2}\right)</math> .
2 Примери
+, Фамилија, <math>[a,b]</math>, <math>w</math>, <math>W</math>, <math>A</math>, <math>B</math>, <math>c_n</math>
Лежандрови <math>P_n</math>, <math>[-1,+1]</math>, <math>1</math>, <math>1-x^2</math>, <math>-2x</math>, <math>1-x^2</math>, <math>\frac{(-1)^n}{2^n n!}</math>
Чебишов (прв тип) <math>T_n</math>, <math>[-1,+1]</math>, <math>1/\sqrt{1-x^2}</math>, <math>\sqrt{1-x^2}</math>, <math>-x</math>, <math>1-x^2</math>, <math>\frac{(-1)^n}{(2n-1)!!}</math>
Чебишов (втор тип) <math>U_n</math>, <math>[-1,+1]</math>, <math>\sqrt{1-x^2}</math>, <math>(1-x^2)^{3/2}</math>, <math>-3x</math>, <math>1-x^2</math>, <math>\frac{(-1)^n (n+1)}{(2n+1)!!} </math>
ултрасферичен <math>C_n^{(\alpha)}(x)</math>, <math>[-1,+1]</math>, <math>(1-x)^{\alpha-1/2} (1+x)^{\alpha-1/2} </math>, <math>(1-x)^{\alpha+1/2} (1+x)^{\alpha+1/2} </math>, <math>-(2\alpha + 1)x </math>, <math>1-x^2</math>, <math>\frac{(-1)^n (2\alpha)_n}{(\alpha+\frac{1}{2})_{n} 2^nn!}</math>
Јакоби <math>P_n^{(\alpha, \beta)}</math>, <math>[-1,+1]</math>, <math>(1-x)^\alpha (1+x)^\beta</math>, <math>(1-x)^{\alpha+1} (1+x)^{\beta +1}</math>, <math>( \beta - \alpha ) - (\alpha+ \beta + 2) x</math>, <math>1-x^2</math>, <math>\frac{(-1)^n}{2^nn!}</math>
придружени Лагерови <math>L^{(\alpha)}_n</math>, <math>[0, \infty)</math>, <math>x^\alpha e^{-x}</math>, <math>x^{\alpha+1} e^{-x}</math>, <math>\alpha + 1 - x</math>, <math>x</math>, <math>\frac{1}{n!}</math>
физички Ермитови <math>H_n</math>, <math>(-\infty, +\infty)</math>, <math>e^{-x^2}</math>, <math>e^{-x^2}</math>, <math>-2x</math>, <math>1</math>, <math>(-1)^n</math>
Овие формули се однесуваат на класичните ортогонални полиноми. Слични формули важат и за многу други низи од ортогонални функции што произлегуваат од равенките на Штурм-Лиувил, кои исто така се нарекуваат Родриевата формула, особено кога добиената низа е полиномна.
2.1 Лежандрови полиноми
Родриева формула за Лежандрови полиноми <math>P_n</math>:
<math>P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \!\left[ (x^2 -1)^n \right]\!.</math><math>(1 - x^2) P_n''(x) - 2 x P_n'(x) + n (n + 1) P_n(x) = 0</math>
За Лежандровите полиноми, генерирачката функција е дефинирана како:
<math>G(x,u)=\sum_{n=0}^\infty u^nP_n(x)</math>.
<math>G(x,u) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2ux + u^2</math>
2.2 Ермитови полиноми
Физички Ермитови полиноми:
<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} \!\left[e^{-x^2}\right] = \left(2x-\frac{d}{dx} \right)^n\cdot 1.</math><math>H_n'' - 2xH_n' + 2nH_n = 0</math>
Генерирачката функција е дефинирана како
<math>G(x,u)=\sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\, u^n.</math>
Контурниот интеграл дава:
<math> H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{e^{-t^2{(t-x)^{n+1\,dt. </math><math> \begin{aligned} G(x,u)
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n e^{x^2{n!}\frac{n!}{2\pi i}\, u^n \oint_C \frac{e^{-t^2{(t-x)^{n+1\,dt \\
&= e^{x^2}\frac{1}{2\pi i}\oint_C e^{-t^2}\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n u^n}{(t-x)^{n+1\right)dt \\
&= e^{x^2}\frac{1}{2\pi i}\oint_C e^{-t^2} \frac{1}{t-x+u}\\
&= e^{x^2}\, e^{-(x-u)^2} \\
& = e^{2xu- u^2}
\end{aligned} </math>
2.3 Лагерови полиноми
За придружени Лагерови полиноми:
<math>L_n^{(\alpha)}(x) = {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right)
= \frac{x^{-\alpha{n!}\left( \frac{d}{dx1\right)^nx^{n+\alpha}.</math><math>xL^{(\alpha)}_n(x)'' + (\alpha + 1 - x)L^{(\alpha)}_n(x)' + nL^{(\alpha)}_n(x) = 0~.</math>
Генерирачката функција е дефинирана како:
<math>G(x,u) := \sum_{n=0}^\infty u^n L^{(\alpha)}_n(x)</math>
Со истиот метод, имаме <math>G(x,u) = \frac{1}{(1-u)^{\alpha+1 e^{-\frac{ux}{1-u</math> .
2.4 Јакоби
<math> P_n^{(\alpha,\beta)}(x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!} (1-x)^{-\alpha} (1+x)^{-\beta} \frac{d^n}{dx^n} \left\{ (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \left (1 - x^2 \right )^n \right\}.</math><math> \left (1-x^2 \right)P_n^{(\alpha,\beta)}{}'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )P_n^{(\alpha,\beta)}{}' + n(n+\alpha+\beta+1) P_n^{(\alpha,\beta)} = 0.</math>:<math> \sum_{n=0}^\infty P_n^{(\alpha,\beta)}(x) u^n = 2^{\alpha + \beta} R^{-1} (1 - u + R)^{-\alpha} (1 + u + R)^{-\beta}, </math>
каде <math> R = \sqrt{1 - 2ux + u^2} </math>, а гранката на квадратниот корен е избрана така што <math>R(x, 0) = 1</math> .