Наизменичен ред

Наизменичен ред — бесконечен ред во математиката од обликот::<math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n,</math>
каде што ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0 (или ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0) за сите ''n''. Конечниот збир на редот од овој облик се нарекува „наизменичен збир“.
1 Лајбницов критериум
Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, наизменичниот ред конвергира ако членовите ''a<sub>n</sub>'' монотоно конвергираат до 0.
;Доказ
Да претпоставиме дека низата <math>a_n</math> конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако <math>m</math> е непарен број <math>m<n</math>, проценката <math>S_m - S_n < a_{m}</math> може да се добие преку следнава пресметка:
:<math>
\begin{align}
S_m - S_n & =
\sum_{k=0}^m(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^k\,a_k\ = \sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k \\
& =a_{m+1a_{m+2}+a_{m+3a_{m+4}+\cdots+a_n\\
& =\displaystyle a_{m+1(a_{m+2a_{m+3}) - (a_{m+4a_{m+5}) -\cdots-a_n \le a_{m+1}\le a_{m}
\end{align}
</math>
Бидејќи <math>a_n</math> е монотоно опаѓачка низа, членовите <math>-(a_m - a_{m+1})</math> се негативни. На тој начин се добива последното неравенство <math>S_m - S_n \le a_{m}</math>. На сличен начин може да се докаже дека <math>-a_{m}\le S_m - S_n </math>. Бидејќи <math>a_{m}</math> конвергира до <math>0</math>, делумните суми <math>S_m</math> сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај <math>m</math> да е парен број, доказот е ист.
2 Конвергенција
2.1 Апсолутна конвергенција
Редот <math>\sum a_n</math> конвергира апсолутно ако редот <math>\sum |a_n|</math> конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема:
* Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.
;Доказ
Да претпоставиме дека редот <math>\sum a_n</math> е апсолутно конвергентен. Тогаш, <math>\sum |a_n|</math> е конвергентен и следува дека <math>\sum 2|a_n|</math>, исто така, конвергира. Бидејќи <math> 0 \leq a_n + |a_n| \leq 2|a_n|</math>, редот <math>\sum (a_n + |a_n|)</math> конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот <math>\sum a_n</math> конвергира како разлика од двата конвергентни реда, <math>\sum a_n = \sum (a_n + |a_n|) - \sum |a_n|</math>.
2.2 Условна конвергенција
Редот конвергира условно ако конвергира, но не конвергира апсолутно.
На приер, хармонкискиот ред:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},\! </math>
дивергира, додека наизменичниот облик од редот:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1{n},\! </math>
конвергира според тестот за наизменични редови.
3 Примери
Едноставен пример на наизменичен ред е хармонискиот ред со променлив знак:
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3\frac{1}{4} +- \ldots=\ln 2</math>
во спротивност на хармонискиот ред во општ облик:
:<math>\sum_{k=1}^\infty \frac1k = 1+\frac12+\frac13+\frac14+\ldots\to\infty.</math>
Веројатно најпознати наизменични редови се развојните редови за тригонометриските функции синус и косинус:
:<math> \sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots</math>:<math> \cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots.</math>
4 Поврзано
* Ред (математика)