Квадратна пирамида

Квадратна пирамида — пирамида со квадратна основа, која има вкупно пет лица. Ако врвот на пирамидата е непосредно над средиштето на квадратот, тоа е ''права квадратна пирамида'' со четири рамнокраки триаголници; инаку, тоа е ''коса квадратна пирамида''. Кога сите рабови на пирамидата се еднакви по должина, нејзините триаголници се сите рамнострани и се нарекува ''рамнострана квадратна пирамида''.
Квадратните пирамиди се појавиле низ историјата на архитектурата, со примери како египетските пирамиди и многу други слични градби. Тие се појавуваат и во хемијата во квадратни пирамидални молекуларни структури. Квадратни пирамиди често се користат во изградбата на други полиедри. Многу математичари во древно време ја откриле формулата за зафатнина на квадратна пирамида со различни пристапи.
1 Својства
1.1 Рамнострана квадратна пирамида
Квадратна пирамида има пет темиња, осум рабови и пет лица. Едното лице, наречено ''основа'' на пирамидата, е квадрат; четирите други лица се триаголници. Четири од рабовите го сочинуваат квадратот со поврзување на неговите четири темиња. Останатите четири рабови се познати како бочни рабови на пирамидата; тие се среќаваат на петтото теме, наречено врв.[4] Ако врвот на пирамидата лежи на линија подигната нормално од средиштето на квадратот, таа се нарекува ''права квадратна пирамида'', а четирите триаголни лица се рамнокраки триаголници. Инаку, пирамидата има две или повеќе нерамнокраки триаголни лица и се нарекува ''коса квадратна пирамида''.
''Косата висина''<math>s</math> на права квадратна пирамида се дефинира како висина на еден од нејзините рамнокраки триаголници. Може да се добие преку Питагоровата теорема:
<math>s = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{4,</math>
каде <math>l</math> е должината на основата на триаголникот, исто така, еден од рабовите на квадратот, <math>b</math> е должината на краците на триаголникот, кои се бочни рабови на пирамидата. [6] Висината <math>h</math> на правата квадратна пирамида може да се добие на сличен начин, со замена на формулата за бочна висина која дава:
<math>h = \sqrt{s^2 - \frac{l^2}{4 = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{2.</math>
Плоштината на полиедарот е збир од плоштините на неговите лица. Плоштината <math>A</math> на права квадратна пирамида може да се изрази како <math>A = 4T + S</math>, каде <math>T</math> и <math>S</math> се плоштините на еден од неговите триаголници и неговата основа, соодветно. Плоштината на триаголникот е половина од производот на неговата основа и страна, при што плоштината на квадрат е должината на страната на квадрат. Ова го дава изразот:
<math> A = 4\left(\frac{1}{2}ls\right) + l^2 = 2ls + l^2.</math>
Во општ случај, зафатнината <math>V</math> на пирамидата е еднаква на една третина од плоштината на нејзината основа помножена со нејзината висина. Изразено во формула за квадратна пирамида, ова е:
<math> V = \frac{1}{3}l^2h.</math>
Многу математичари ја откриле формулата за пресметување на зафатнината на квадратна пирамида во древно време. Во Московскиот математички папирус, египетските математичари покажале познавање на формулата за пресметување на зафатнината на пресечена квадратна пирамида, што претполага дека тие биле запознаени и со зафатнината на квадратна пирамида, но не е познато како е изведена формулата. Надвор од откривањето на зафатнината на квадратната пирамида, проблемот со наоѓање на наклонот и висината на квадратната пирамида може да се најде во Рајндскиот математички папирус. Вавилонските математичари исто така ја земале предвид зафатнината на пресечена квадратна пирамида, но дале неточна формула за тоа. Еден кинески математичар Лиу Хуи исто така ја открил зафатнината со методот на расчленување на правоаголно тело на делови.
1.2 Права квадратна пирамида
Ако сите триаголни рабови се со еднаква должина, четирите триаголници се рамнострани, а лицата на пирамидата се правилни многуаголници, таа е ''рамнострана квадратна пирамида.'' Диедарските агли помеѓу соседните триаголни лица се <math>\arccos \left(-1/3\right) \approx 109.47^\circ </math>, а помеѓу основата и секое триаголно лице е половина од тоа, <math>\arctan \sqrt{2} \approx 54.735^\circ</math>. Конвексен полиедар со само правилни многуаголници како лица се нарекува Џонсоново тело, а рамнострана квадратна пирамида е првото Џонсоново тело, наброено како <math>J_1</math>. Како и другите прави пирамиди со правилен многуаголник како основа, правата квадратна пирамида има пирамидална симетрија. За квадратната пирамида, ова е симетријата на цикличната група <math>C_{4\mathrm{v</math>: пирамидата останува непроменлива со ротации од една, две и три четвртини од цело завртување околу нејзината оска на симетрија, линијата што го поврзува врвот со средиштето на основата. Исто така е огледално симетрична во однос на која било нормална рамнина што минува низ симетралата на основата. Може да се претстави како граф-тркало <math> W_4 </math>; поопшто,граф-тракло <math> W_n </math> е претставата на скелетот на странична пирамида.
Бидејќи неговите рабови се сите еднакви по должина (т.е. <math> b = l </math> ), неговата косина, висина, плоштина и зафатнина може да се изведат со замена на формулите на права квадратна пирамида:
<math>
\begin{align}
s = \frac{\sqrt{3{2}l \approx 0.866l, &\qquad h = \frac{1}{\sqrt{2l \approx 0.707l,\\
A = (1 + \sqrt{3})l^2 \approx 2.732l^2, &\qquad V = \frac{\sqrt{2{6}l^3 \approx 0.236l^3.
\end{align}
</math>
2 Примени
Во архитектурата, пирамидите изградени во древниот Египет се примери на згради во облик на квадратни пирамиди. Пирамидолозите изнеле различни предлози за нацртот на Големата пирамида во Гиза, вклучително и теорија заснована на Кеплеровиот триаголник и златниот пресек. Меѓутоа, современите научници ги претпочитаат описите кои користат целобројни соодноси, бидејќи повеќе соодветствуваат со знаењето на египетската математика и сразмери. Мезоамериканските пирамиди се исто така древни пирамидални градби слични на египетските; тие се разликуваат по тоа што имаат рамни врвови и скали кои се качуваат по нивните лица. Модерните згради чии дизајни ги имитираат египетските пирамиди ги вклучуваат Луврската пирамида и казино хотелот Луксор Лас Вегас.
Во стереохемијата, атомскиот кластер може да има квадратна пирамидална геометрија. Квадратна пирамидална молекула има елемент од главната група со еден активен осамен пар, кој може да се опише со модел кој ја предвидува геометријата на молекулите познат како теорија на одбивност на електронски пар Примери на молекули со оваа структура вклучуваат хлор пентафлуорид, бром пентафлуорид и јод пентафлуорид.
Основата на квадратна пирамида може да се прикачи на квадратна страна на друг полиедар за да се конструираат нови полиедри, пример за зголемување. На пример, тетракис хексаедар може да се конструира со прикачување на основата на рамнострана квадратна пирамида на секое лице на коцка. Прикачувањето на призми или антипризми на пирамидите е познато како издолжување или жироиздолжување, соодветно. Некои од другите Џонсонови тела може да се конструираат или со зголемување на квадратни пирамиди или со зголемување на други облици со квадратни пирамиди: издолжена квадратна пирамида <math> J_8 </math>, жироиздолжена квадратна пирамида <math> J_{10} </math>, издолжена квадратна бипирамида <math> J_{15} </math>, жироиздолжена квадратна бипирамида <math> J_{17} </math>, зголемена триаголна призма <math> J_{49} </math>, бизголемена триаголна призма <math> J_{50}</math>, тризголемена триаголна призма <math> J_{51} </math>, зголемена пентагонална призма <math> J_{52} </math>, бизголемена пентагонална призма <math> J_{53} </math>, зголемена шестоаголна призма <math> J_{54} </math>, парабизголемена шестоаголна призма <math> J_{55} </math>, метазголемена шестоаголна призма <math> J_{56} </math>, тризголемена шестоаголна призма <math> J_{57} </math>, и зголемена сфенокорона <math> J_{87} </math>.
3 Поврзано
* Квадратен пирамидален број - природен број кој го брои бројот на наредени сфери во квадратна пирамида.