Полуобем

Полуобем (полупериметар) на еден многуаголник — половина на неговиот обем. Полуобемот обично се означува со буквата ''s'' (од анг. ''semiperimeter''). Полуобемот се користи доста често во формули, особено кај триаголниците, па затоа има свое име (и страна).
1 Триаголник
Полуобем на триаголник со страни ''a'', ''b'' и ''c'' е:
:<math>s = \tfrac{1}{2}(a+b+c)</math>
Пример: Нека &Delta;ABC е триаголник со страни ''a''=2mm, ''b''=2mm и ''c''=1mm.
:Полуобемот е: <math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(2\text{mm}+2\text{mm}+1\text{mm})=\tfrac{5}{2}\text{mm}=2,5\text{mm}</math>
1.1 Формули со полуобем на триаголник
Плоштината на еден триаголник се пресметува преку полуобемот со Херонова формула:
:<math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>.
Плоштината на еден триаголник е еднаква на производот на полупречникот ''r'' на неговата впишана кружница со полуобемот:
:<math>A = rs</math>.
Полупречникот ''r'' на впишаната кружница на еден триаголник е:
:<math>r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s</math>
Полупречникот ''R'' на опишаната кружница на еден триаголник е:
:<math>2R = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)</math>
1.2 Основни особини
*Полуобем ''s'' е позитивен број. Физичка величина за полуобем е должина.
*Важат формулите <math>s-a=\tfrac{1}{2}(-a+b+c)</math> и <math>s-b=\tfrac{1}{2}(a-b+c)</math> и <math>s-c=\tfrac{1}{2}(a+b-c)</math> .
:Доказ за ''s''-''a'' (Аналогно се докажува декаа ''s''-''b'' и ''s''-''c''):
::<math>s-a=\tfrac{1}{2}(a+b+c)-a=\tfrac{1}{2}(-a+b+c)</math>.
*Полуобем ''s'' e поголем од секоја страна од триаголникот.
:Доказ за ''s''&gt;''a'' (Аналогно се докажува дека ''s''&gt;''b'' и ''s''&gt;''c''):
:Од неравенството на триаголник, збирот на кои било две страни на еден триаголник е поголем од третата страна, па следи
::<math>b+c>a</math>::<math>-a+b+c>0</math>::<math>2(s-a)>0</math>::<math>s>a</math>.
1.3 Полуобем и правоаголен триаголник
*Плоштина на правоаголен триаголник со катети ''a'' и ''b'' е:
:<math>A=(s-a)(s-b)</math>*За правоаголен триаголник, полупречникот на надворешната кружница на хипотенузата е еднаква на полуобем.
* Полуобемот на правоаголен триаголник ''s''=''r''+2''R''.
1.4 Други одлики на полуобемот
*Во кој било триаголник, должината од темето А до точката А' во која надворешната кружница ја допира страната ''а'' е полуобемот, односно <math>s=\overline{AB}+\overline{BA'}=\overline{AC}+\overline{CA'}</math> . Аналогно важат равенките: <math>s=\overline{BC}+\overline{CB'}=\overline{BA}+\overline{AB'}</math> и <math>s=\overline{CB}+\overline{BC'}=\overline{CA}+\overline{AC'}</math>*Права низ центарот на впишаната кружница на еден триаголник го преполовува периметарот на триаголникот ако и само ако ја преполовува плоштината на триаголникот.
*Во кој било триаголник ''T'', периметарот на медијанлната триаголник на ''T'' е полуобемот на ''T''.
2 Четириаголник
Полуобемот на четириаголник со страни ''a'', ''b'', ''c'' и ''d'' е
:<math>s = \frac{a+b+c+d}{2}</math>.
Плоштината на еден тангентен четириаголник е еднаква на производот на полупречникот ''r'' на неговата впишана кружница со неговиот полуобем:
:<math> A = rs</math>.
3 Правилен многуаголник
Плоштината на испакнат правилен многуаголник е производ на неговиот полуобем и неговата апотема, т.е. отсечка од центарот на многуаголникот до средината на (која било) од неговите страни.
4 Поврзани теми
Херонова формула