Векторско поле

Векторско поле — придружување на вектор на секоја точка во простор, најчесто Евклидов простор <math>\mathbb{R}^n</math>. Векторското поле на рамнина може да се замисли како збир стрелки со дадени величини и насоки, каде секоја излегува од точка на рамнината. Овие полиња често имаат мерна единица (на пр. метри или километри на час), образувајќи векторска величина. Може да се користат за моделирање на брзината и насоката на движечки флуид во тридимензионален простор, како ветар или јачината и насоката на некоја сила како магнетната или грацитациската сила, како што таа се менува од една точка до друга.
Елементите на диференцијално и интегрално сметање природно се присутни и во векторските полиња. Кога векторското поле претставува сила, неговиот криволиниски интеграл ја претставува работата извршена од сила што се движи по патека, и од ова гледиште зачувувањето на енергијата се јавува како посебен случај на основната теорема на анализата. Можеме да поимиме дека веторските полиња ја претставуваат брзината на движечкиот поток во просторот, и оваа физичка интуиција води до поими како дивергенција (која ја претставува стапката на промена во обемот на поток) и ротор (кој го претставува вртењето на потокот).
Векторското поле е посебен случај на ''векторска функција'', чија доменска димензија нема врска со димензиите на нејзиниот опсег; на пример, положбениот вектор на една просторна крива се дефинира само за помало подмножество на амбиентален простор.
Слично на тоа, n координати, векторско поле на домен во ''n''-димензионален Евклидов простор <math>\mathbb{R}^n</math> може да се претстави како векторска функција која сврзува ''n''-кратно на реални броеви со секоја точка од доменот. Оваа претстава на векторско поле зависи од координатниот систем, и постои добро дефиниран закон за трансформација (''коваријантност и контраваријантност на векторите'') за приод од еден координатен систем во друг.
Векторските полиња често се разгледуваат на отворени подмножества во Евклидов простор, но имаат смисла и на други подмножества како површини, каде поврзуваат допирка на стрелка со површината во секоја точка (допирен вектор).
Поопшто земено, векторските полиња се дефинирани на диференцијабилни многуобразија, кои се простори кои личат на Евклидовиот во мали размери, но имаат посложена структура на поголеми. Во овие услови, векторското поле дава допирен вектор во секоја точка од многуобразието (т.е. пресек на допирниот сноп кон многуобразието). Векторските полиња се еден вид на тензорско поле.
1 Дефиниција
1.1 Векторски полиња на подмножества во Евклидов простор
Ако имаме подмножество на , векторското поле е претставено со векторска функција во стандардни Декартови координати . Ако секоја составница на е непрекината, тогаш е непрекинато векторско поле. Често се разгледуваат мазни векторски полиња, што значи дека секоја составница е мазна функција (диференцијабилна било колку пати). Векторското поле може да се замисли како доделување на вектор на поединечни точки во ''n''-димензионален простор.
Еден стандарден начин на запис е <math>\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}</math> за единичните вектори во координатните правци. Така изразено, секое мазно векторско поле <math>V</math> на отворено подмножество <math>S</math> од <math>{\mathbf R}^n</math> може да се запише како
<math> \sum_{i=1}^n V_i(x_1,\ldots,x_n)\frac{\partial}{\partial x_i}</math>
for some smooth functions <math>V_1,\ldots,V_n</math> on <math>S</math>. Причината за овој запис е тоа што векторското поле одредува линеарно пресликување од просторот на мазни функции во самото себе, <math>V\colon C^{\infty}(S)\to C^{\infty}(S)</math>, дадено со диференцирање во насоката на векторското поле.
Пример: Векторското поле <math>-x_2\frac{\partial}{\partial x_1}+x_1\frac{\partial}{\partial x_2}</math> опишува налево вртење околу почетокот во <math>\mathbf{R}^2</math>. За да покажеме дека функцијата <math>x_1^2+x_2^2</math> е вртежно инваријантна, пресметуваме:
<math>\left(-x_2\frac{\partial}{\partial x_1} + x_1\frac{\partial}{\partial x_2}\right) \left(x_1^2+x_2^2\right) = -x_2(2x_1)+x_1(2x_2) = 0.</math>
Имајќи ги векторските полиња , дефинирани на и мазна функција дефинирана на , операциите скаларно множење и векторско собирање,
<math>\begin{align}
(fV)(p) &:= f(p)V(p) \\
(V+W)(p) &:= V(p) + W(p),
\end{align}</math>
ги прават мазните векторски полиња во модул на прстен на мазни функции, каде множењето на функциите се дефинира поточковно.
1.2 Закон за координатна трансформација
Во физиката, еден вектор дополнително се одликува по тоа како се менуваат неговите координати кога истиот вектор го мериме во однос на различен заднински координатен систем. Трансформативните својства на векторите го одликуваат векторот како геометриски одделна сушност од прост список на скалари, или пак од ковектор.
Затоа, нека е избор на Декартови координати, според кој составниците на векторот се
<math>V_x = (V_{1,x}, \dots, V_{n,x})</math>
и нека (''y''<sub>1</sub>,...,''y''<sub>''n''</sub>) се ''n'' функции на ''x''<sub>''i''</sub> што дефинираат поинаков координатен систем. Тога од составниците на векторот ''V'' во новите координати се бара да го задоволат законот за трансформација
Ваквиот закон е наречен контраваријанта. Сличен закон за трансформација ги одликува векторските полиња во физиката: поконкретно, векторското поле е одредба на ''n'' функции во секој координатен систем предмет на законот за трансформации во однос на различните координатни системи.
Така векторските полиња се разликуваат од скаларните, кои ѝ придружуваат број или ''скалар'' на секоја точка во просторот, и се разликуваат од прости списоци на скаларни полиња, кои не се трансформираат при промена на координатите.
1.3 Векторски полиња на многуобразија
Ако имаме диференцијабилно многуобразие <math>M</math>, векторско поле на <math>M</math> е доделување на допирен вектор на секоја точка во <math>M</math>. Поточно речено, векторско поле <math>F</math> е пресликување од <math>M</math> во допирниот сноп <math>TM</math> така што <math> p\circ F </math> е идентитетско пресликување
каде <math>p</math> ја означува проекцијата од <math>TM</math> на <math>M</math>. Со други зборови, векторското поле е пресек на тангентниот сноп.
Друга дефиниција: Мазно векторско поле <math>X</math> на многуобразие <math>M</math> е линеарно пресликување <math>X: C^\infty(M) \to C^\infty(M)</math> такво што <math>X</math> е извод: <math>X(fg) = fX(g)+X(f)g</math> за сите <math>f,g \in C^\infty(M)</math>.
Ако многуобразието <math>M</math> е мазно или аналитичко — т.е. промената на координатите е мазна (аналитичка) — тогаш поимувањето за мазни (аналитички) векторски полиња добива смисла. Збирот од сите мазни векторски полиња на мазно многуобразие <math>M</math> често се означува со <math>\Gamma (TM)</math> или <math>C^\infty (M,TM)</math> (особено кога векторските полиња си ги претставуваме како пресеци); збирот од сите мазни векторски полиња се означува и со <math> \mathfrak{X} (M)</math> (фрактурен „X“).
2 Примери
* Векторско поле за движењето на воздухот на Земјата на секоја точка на Земјината површина ќе ѝ придружи вектор со брзината на ветрот и насоката за таа точка. Ова може да се нацрта со стрелки кои го претставуваат ветрот; должината (величината) на стрелката ќе биде показател за брзината на ветрот. „Високо“ на вообичаениот барометарски притисок ќе биде извор (стрелки нанадвор), а „ниско“ ќе биде вртача (стрелки навнатре), бидејќи воздухот се движи од места со висок кон места со низок притисок.
* Брзинското поле на движечки флуид. Во овој случај, на секоја точка на флуидот ѝ се придружува брзински вектор.
* Струјниците, трагите и патните линии се три вида на линии кои можат да се направат од (временски зависни) векторски полиња. Тие се:
** траги: линијата што ја прават честичките кога минуваат низ дадена неподвижна точка на различни наврати
** патни линии: ја покажуваат патеката која ќе ја следи даден честичка (без маса).
** струјници (или силници): патеката на честичка под дејство на мигновеното поле (т.е. патеката на честичка ако полето е неподвижно).
* Магнетни полиња. Силниците се откриваат со ставање на ситни железни струганици.
* Максвеловите равенки ни овозможува да се послужиме даден збир од почетни и гранични услови за изведеме, за секоја точка во Евклидов простор, величина и насока на силата што дејствува врз пробна наелектризирана честичка во таа точка; добиенот овекторско поле е електрично поле.
* Гравитациското поле создадено од масивно тело исто така е векторско поле. На пример, сите вектори на гравитациското поле за сферно симетрично тело би биле насочени кон неговиот центар, при што величината на векторите се смалува како што се зголемува полупречничкото растојание од телото.
2.1 Градиентно поле во Евклидови простори
Векторските полиња можат да се конструираат од скаларни полиња користејќи го градиентниот оператор (означен со наблата: ∇).
Векторското поле ''V'' дефинирано на отворено множество ''S'' се нарекува градиентно поле или конзервативно поле ако постои реална функција (скаларно поле) ''f'' на ''S'' таква што
<math>V = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}, \dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).</math>
Нејзиниот поток се нарекува и се користи во методот на градиентен спуст.
Криволинискиот интеграл долж секоја затворена крива ''γ'' (''γ''(0) = ''γ''(1)) во конзервативно поле е нула:
<math> \oint_\gamma V(\mathbf {x})\cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \oint_\gamma \nabla f(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)).</math>
2.2 Централно поле во Евклидови простори
-векторско поле над се нарекува централно поле ако
<math>V(T(p)) = T(V(p)) \qquad (T \in \mathrm{O}(n, \R))</math>
каде е ортогоналната група. Велиме дека централните полиња се инваријантни под ортогонални трансформации околу 0.
Точката 0 се нарекува центар на полето.
Бидејќи ортогоналните трансформации впрочем се вртења и отслици, условите на инваријантност налагаат векторсите во централно поле секогаш да бидат насочени кон или вон 0; постои алтернативна (и попроста) дефиниција. Централното поле секогаш е градиентно поле бидејќи неговото дефинирање на една полуоска и интегрирање дава антиградиент.
3 Операции над векторски полиња
3.1 Криволиниски интеграл
Честа техника во физиката е интегрирањето на векторско поле долж крива, наречено утврдување на неговиот криволиниски интеграл. Интуитивно, ова е собирање на сите векторски составници во линија со допрки до кривата, изразено како нивни скаларни производи. На пример, ако имаме честичка во силово поле (на пр. гравитација), каде секој вектор во некоја точка во просторот ја претставува силата која таму делува врз честичката, криволинискиот интеграл долж извесна патека е работата извршена врз честичката кога патува долж оваа патека. Интуитивно, ова е збирот од скаларните производи на силовиот вектор и малиот допирен вектор во секоја точка долж кривата.
Криволинискиот интеграл се конструира аналогно на Римановиот интеграл и постои ако кревата е исправлива (има конечна должина), а векторското поле е непрекинато.
За дадено векторско поле и крива , параметризирана од во (каде и се реални броеви), криволинискиот интеграл се дефинира како
<math>\int_\gamma V(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \int_a^b V(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t)\, \mathrm{d}t.</math>
За да ја прикажеме топологијата на векторските полиња можеме да употребиме конволуција на криволинискиот интеграл.
3.2 Дивергенција
Дивергенцијата на едно векторско поле во Евклидов простор е функција (или скаларно поле). Во три димензии, дивергенцијата се дефинира со
<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z},</math>
со очигледното воопштување до произволни димензии. Дивергенцијата во точка го претставува степенот во која мала зафатнина околу точката е извор или вртача за векторскиот поток, резултат уточнет со Гаус-Остроградскиевата теорема.
Дивергенцијата може да се дефинира и на Риманово многуобразие, т.е. многуобразие со Риманова метрика која ја мери должината на векторите.
3.3 Ротор во три димензии
Роторот е опрација која зема едно векторско поле и дава друго. Роторот се дефинира само во три димензии, но некои негови својства може да се доловат во повисоки димензии со надворешниот извод. Во три димензии, тој е дефиниран од
<math>\operatorname{rot}\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{e}_1 - \left(\frac{\partial F_3}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial z}\right)\mathbf{e}_2 + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{e}_3.</math>
Роторот ја мери густината на моментот на импулсот на векторскиот поток во дадена точка, т.е. во колкаво количество потокот кружи околу неподвижна оска. Овој интуитивен опис е уточнет со Стоксовата теорема.
3.4 Индекс на векторско поле
Индексот на едно векторско поле е цел број кој го опишува неговото поведение околу изолирана нула (т.е. изолирана сингуларност на полето). На рамнината, индексот ја добива вредноста −1 во сингуларност на седло, но +1 во изворот или сингуларноста во вртача.
Нека ''n'' биде димензијата на многуобразието на која е дефинирано векторското поле. Зеаме затворена површина (хомеоморфна на (n-1)-сфера) S околу нулата, така што нема да има други нули внатре во S. Можеме да конструираме пресликување на оваа сфера во единична сфера со димензија ''n'' − 1 со делење на секој вектор на оваа сфера со неговата должина за да образуваме единичен вектор, кој е точка на единичната сфера S<sup>''n''−1</sup>. Ова дефинира непрекинато пресликување од S во S<sup>''n''−1</sup>. Индексот на векторското поле во точката е степенот на ова пресликување. Можеме да покажеме дека овој цел број не зависи од изборот на S, па затоа зависи само од самото векторско поле.
Индексот не е дефиниран во ниедна несингуларна точка (т.е. точка каде векторот е ненуларен). Ова е еднакво на +1 околу изворот, а поопшто еднакво на (−1)<sup>''k''</sup> околу седлото кое има ''k'' собирачки димензии и ''n''−''k'' проширувачки димензии.
Индексот на векторското поле во целина се дефинира кога има само конечно многу нули. Во овој случај, сите нули се изолирани, а индексот на векторското поле се дефинира како збир од индексите во сите нули.
За обична (дводимензионална) сфера во тридимензионален простор, можеме да покажеме дека индексот на секое векторско поле на сферата мора да биде 2. Со ова се покажува дека секое такво векторско поле мора да има нула. Ова ја подразбира теоремата за влакнеста топка.
За векторско поле на компактно многуобразие со бесконечно многу нули, Поанкаре-Хопфовата теорема вели дека индексот на векторското поле е Ојлеровата карактеристика на многуобразието.
4 Физичка интуиција
Расправајќи за неговиот концепт за силници, Мајкл Фарадеј нагласува дека треба да го проучуваме ''самото'' поле. Со време ова станало познато како теорија за полето.
Порај магнетното поле, Фарадеј моделирал и други појави како електрично и светлинско поле.
Во последниве десетлетија, многу феноменолошки формулации на неповратна динамика и еволутивни равенки во физиката, од механиката на сложени флуиди и тврди тела до кинематиката и квантанта термодинамика, се сосредоточуваат на геометриската идеја за „најстрмно искачување на ентропијата“ или „градиентен поток“ како доследна општонаменска рамка на моделирање која гарантира усогласеност со вториот закон за термодинамиката и ги проширува добро познатите близурамнотежни резултати како Онсагеров реципроцетет во далекунерамнотежните предели.
5 Проточни криви
Да го разгледаме протокот на флуид низ област во просторот. Во било кој миг, секоја точка на флуидот има извесна брзина; затоа, секој проток има свое векторско поле. Важи и обратното: можеме да му придружиме проток на векторско поле чија брзина е тоа векторско поле
За дадено вектоско поле <math>V</math> дефинирано на <math>S</math>, ние дефинираме криви <math>\gamma(t)</math> на <math>S</math> така што за секоја <math>t</math> во интервал <math>I</math>,
<math>\gamma'(t) = V(\gamma(t))\,.</math>
Според Пикар-Линделефовата теорема, ако <math>V</math> е Липшицова непрекината постои ''единствена''<math>C^1</math>-крива <math>\gamma_x</math> за секоја точка <math>x</math> во <math>S</math> така што, за некоја <math>\varepsilon > 0</math>,
<math>\begin{align}
\gamma_x(0) &= x\\
\gamma'_x(t) &= V(\gamma_x(t)) \qquad \forall t \in (-\varepsilon, +\varepsilon) \subset \R.
\end{align}</math>
Кривите <math>\gamma_x</math> се наречени интегрални криви или траектории (поретко проточни линии) на векторското поле <math>V</math> и го делат <math>S</math> на класи на еквивалентност. Не е секогаш возможно да го прошириме интервалот <math>(-\varepsilon,+\varepsilon)</math> на целата реална оска. На пример, потокот може да дојде до работ на <math>S</math> за конечно време.
Во две или три димензии можеме да претставиме дека векторското поле предизвикува поток на <math>S</math>. Ако пуштиме честичка во овој поток во точка <math>p</math> таа ќе се движи долж кривата <math>\gamma_p</math> во порокот зависно од првичната точка <math>p</math>. Ако <math>p</math> е неподвижна точка на <math>V</math> (т.е. векторското поле е еднакво на нултиот вектор во точката <math>p</math>), тогаш честичката ќе остане во <math>p</math>.
Типични примени на ова се патната линија во потокот на флуидите, геодезискиот поток и еднопараметарски подгрупи, како и степеновото пресликување во Лиевите групи.
5.1 Потполни векторски полиња
По дефиниција, векторско поле на <math>M</math> се нарекува потполно ако секоја од неговите проточни криви постои за сите времиња. Поконкретно, векторските полиња со компактни носители на многуобразие се потполни. Ако <math>X</math> е потполно векторско поле на <math>M</math>, тогаш еднопараметарската група на дифеоморфизми создадени од потокот долж <math>X</math> постои за сите времиња; опишено е со мазно пресликување
<math>\mathbf{R}\times M\to M.</math>
На компактно многуобразие околу граница, секое мазно векторско поле е потполно. Пример за непотполно векторско поле <math>V</math> на реалната оска <math>\mathbb R</math> е даден од <math>V(x) = x^2</math>. Тоа е бидејќи диференцијалнта равенка <math>x'(t) = x^2</math>, со првичен услов <math>x(0) = x_0 </math>, има единствено решение <math>x(t) = \frac{x_0}{1 - t x_0}</math> ако <math>x_0 \neq 0</math> (and <math>x(t) = 0</math> за сите <math>t \in \R</math> ако <math>x_0 = 0</math>). Затоа, за <math>x_0 \neq 0</math>, <math>x(t)</math> е не дефинирано во <math>t = \frac{1}{x_0}</math> па затоа не може да се дефинира за сите вредности на <math>t</math>.
5.2 Лиев комутатор
Потоците што одговараат на две векторски полиња не мора меѓусебно да комутираат. Нивното некомутирање е опишано со Лиевиот комутатор на две векторски полиња, кое пак е векторско поле. Лиевиот комутатор има проста дефиниција изразена со дејство на векторски полиња врз мазни функции <math>f</math>:
<math>[X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).</math>
6 f-поврзаност
Ако имаме мазна функција помеѓу многуобразија, <math>f:M\to N</math>, изводот е индуцирано пресликување на допирни снопови, <math>f_*:TM\to TN</math>. Имајќи ги векторските полиња <math>V:M\to TM</math> и <math>W:N\to TN</math>, велиме дека <math>W</math> е <math>f</math>-поврзано со <math>V</math> ако важи равенката <math>W\circ f = f_*\circ V</math>.
Ако <math>V_i</math> е <math>f</math>-поврзано со <math>W_i</math>, <math>i=1,2</math>, тогаш Лиевиот комутатор <math>[V_1,V_2]</math> е <math>f</math>-поврзан со <math>[W_1,W_2]</math>.
7 Воопштувања
Замената на вектори со ''p''-вектори (''p''-ти надворешен степен на вектори) дава ''p''-векторски полиња; ако го земеме дуалниот простор и надворешниот степен, добиваме диференцијални ''k''-форми, и нивното комбинирање дава општи тензорски полиња.
Алгебарски изразено, векторските полиња може да се окарактеризираат како диференцирања на алгебрата на мазни функции на многуобразието, што води до дефинирање на векторско поле на комутативна алгебра како извод на алгебрата, што е разработено во теоријата на диференцијалното сметање над комутативни алгебри.
8 Поврзано
* Циркулација (физика)
* Силница
* Јачина на поле
* Лиев извод
* Скаларно поле
* Тензорско поле
* Насочно поле
* Векторска анализа
9 Библиографија
***