Ајнштајнови равенки за полето

Ајнштајнови равенки за поле (АРП; исто така познати како "Ајнштајнови равенки") се состојат од множество од 10 равенства во општата теорија на релативноста на Алберт Ајнштајн кои го опишуваат основното заемодејство на гравитацијатa како резултат на закривеноста на време-просторот поради масата и енергијата. Првпат објавени од стрна на Ајнштајн во 1915 година како тензорска равенка, АРП може да се надоврзат со месната '''' (изразена од Ајнштајновиот тензор) со месната енергија и импулсот во тој време-простор (изразен преку енергетско-импулсниот тензор).
Слично како и кај електромагнетните полиња кои се одредени користејќи полнеж и Електрична струја преку Максвеловите равенки, АРП се користи да се одреди време-просторот како резултат од присуството на маса-енергија и линеарен момент ,т.е тие го одредуваат метричкиот тенсор на времепросторот за дадена енергија во времепросторот. Врската помеѓу Метричкиот тенсор и Ајнштајновиот тенсор дозволува АРП да биде напишан како збирнелинеарни парцијално диференцирани равенки користејќи ги на овој начин. Решенијата на ЕФЕ се компненти на метричкиот тенсор.
Како и почитувајќи го локалниот енергетски моментум, АРП се подразбира и за Њутновиот закон за гравитација каде гравитациското поле е многу слабо и брзините се многу помали од брзината на светлината.
Истите решенија за ЕФЕ може да бидат најдени само во упростувања на претпоставки, како симетрија. Специјални класи на идентични решенија се многу често проучувани бидејќи покажуваат многу гравитациски феномени, како на пример вртежни црни дупки и ширењето на вселената. Понатамошн упростувањa се достигнуваa со изедначување на времепросторот како рамен време-простор со мала девиација, водејќи до линеаризирани АРП. Овие равенки се користат за проучување феномени какп гравитациски бранови.
1 Математички облик
Ајнштајновите равенки за поле може да бидат запишани во оваа форма:
каде <math>R_{\mu \nu}\,</math> е Рицов искривен тенсор, <math>R\,</math> е скаларно искривувње, <math>g_{\mu \nu}\,</math> е метрички тенсор, <math>\Lambda\,</math> е космолошка константа, <math>G\, </math> е Њутнова гравитациска константа, <math>c\,</math> е брзината на светлината во вакуум, и <math>T_{\mu \nu}\,</math> стрес-енергетски тенсор.
ЕФЕ е тенсор равенка важејќи како сет од симетрилни 4x4 тенсори. Секој тенсор има 10 самостојни компоненти. Четирите Бијанки идентитети го намалуваат бројот на независни равенки од 10 на 6, оставајќи го метричниот со 4 Гауж поправање степени на слобода, кој коореспондира со слободата да се одбере координатен систем.
Иако Ајнштајновите равенки за поле првично биле формулирани во контекст на 4 димензионална теорија, некои теоретичари ги истражувале последиците на ''н'' димензиите. Равенките кои се надвор од општата релативност сè уште се поврзуваат со Ајнштајновите равенки за поле. Вакуумско поле равенки (овозможени кога ''T'' е еднакво на 0) го дефинираат Ајнштајновиот манифолд.
Занемарувајќи го лесниот,првичен изглед на равенките,тие се комплицирани. Зададен специфичен придонес од маса и енергија во форма на стрес-енергетски тенсор,ЕФЕ се подразбира да е равенки за метрички тенсор <math>g_{\mu \nu}</math>, како Рицов тенсор и скаларно искривување во зависност од метричноста е комплициран нелинеарен проблем.
Едниот може да го пишува ЕФЕ во компактна форма со дефинирање на Ајнштајновиот тенсор
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu},</math>
кој е симетричен втор ранк тенсор. ЕФЕ може да биде запишан како:
:<math>G_{\mu \nu} + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}.</math>
Во стандардните единици, секој термин од лево има единица од 1 / должина<sup>2</sup>. Со овој избор на Ајнштајновата константа како 8πG / c<sup>4</sup>, тогаш стрес-енергетскиот тензор на десната страна на равенката мора да биде напишан со секоја компонента во единиците на енергетската густина (односно, енергијата по волумен = притисок).
Користејќи геометризирани единици каде ''G = c = 1'', од тука може да се запише како:
:<math>G_{\mu \nu} + g_{\mu \nu} \Lambda = 8 \pi T_{\mu \nu}\,.</math>
Изразот лево ја претставува кривината на време-просторот како што е одредено од метриката; изразот од десната страна ја претставува содржината на материјата / енергијата во просторот. ЕФЕ потоа може да се толкува како збир на равенки што диктираат како материјата / енергијата ја одредува заобленоста на времето во време-просторот.
Овие равенки, заедно со геодетската равенка, која диктира како слободното паѓање на материјата се движи низ време-просторот, го формираат јадрото на математичката формулација на општата теорија на релативноста.
1.1 Значно означување
Горе наведената форма на ЕФЕ е стандардна и воспоставена од Мизнер, Торн и Вилер. Авторите ги анализирале сите конвенции што постоеле и ги класифицирале според три знаци (S1, S2, S3):
:<math>
\begin{align}
g_{\mu \nu} & = [S1] \times \operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1) \\[6pt]
{R^\mu}_{\alpha \beta \gamma} & = [S2] \times (\Gamma^\mu_{\alpha \gamma,\beta\Gamma^\mu_{\alpha \beta,\gamma}+\Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma \alpha\Gamma^\mu_{\sigma \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta \alpha}) \\[6pt]
G_{\mu \nu} & = [S3] \times {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}
\end{align}
</math>
Третиот знак горе е поврзан со изборот на конвенција за Рицовиот тенсор:
:<math>R_{\mu \nu}=[S2]\times [S3] \times {R^\alpha}_{\mu\alpha\nu} </math>
Со овие дефиниции Мизнер, Торн и Вилер се класифицираат самите како <math>(+++)\,</math>, каде што Вајнберг (1972) е <math>(+--)\,</math>, Пебелс (1980) и Ефстатиу (1990) (− + +) , Collins Martin & Squires (1989) се <math>(-+-)\,</math>.
Автори,вклучувајќи го и Ајнштајн употребувале различен знак за нивната дефиниција за Рицовиот тенсор што резултирало во знакот во константата да има промена на десната страна знакот да биде негативен
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R - g_{\mu \nu} \Lambda = 8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}.</math>
Знакот за (многу мал) космолошкиот термин би се сменил и во двете верзии,ако +−−− метрично конвенцијата знак се претпочита MTW −+++ метричкот знак настанат тука.
1.2 Еквиваленти формулации
Земајќи го трака со почит кон метричноста на двете страни од ЕФЕ едната добива
:<math>R - \frac{D}{2} R + D \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T \,</math>
каде <math> D </math> е времепросторската димензија. Ова може да биде презапишано како:
:<math>-R + \frac{D \Lambda}{(D/2 -1)} = {8 \pi G \over c^4} \frac{T}{D/2-1} \,.</math>
Ако едната додаде <math>- {1 \over {2 g_{\mu \nu} \,</math> пати на ЕФЕ, едната ја добива следната еквивалиација "трага-oбратна" форма
:<math>R_{\mu \nu} - \frac{g_{\mu \nu} \Lambda}{D/2-1} = {8 \pi G \over c^4} \left(T_{\mu \nu} - {1 \over {D-2T\,g_{\mu \nu}\right) .\,</math>
На пример, во <math>D=4</math> димензијата се намалува за
:<math>R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} \left(T_{\mu \nu} - {1 \over 2}T\,g_{\mu \nu}\right) .\,</math>
Свртувајќи ја повторно трагата би ја вратила оригиналната форма на еквиваленцијата. Обратно свртената трага може да биде погодна за некои случаи
2 Космолошка константа
Ајнштајн ја модифицирал неговата оригинална равенка за да воведе космолошка константа term <math>\Lambda</math> пропорционална со метричноста
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu} \,.</math>
Бидејќи <math>\Lambda</math> е константа, законот за енергија не е манифестиран со оваа промена.
Космолошка константа како термник првично била објаснета од Ајнштајн за да докаже дека универзумот не се шири. Но,ефортот бил неуспешен поради:
* Универзумот објаснет преку оваа теорија бил нестабилен, и
* обзервацијата од Edwin Hubble докажала дека универзумот се шири.
Значи, Ајнштајн го напуштил ''Λ'', нарекувајќи го „ајголемата грешка некогаш направена“
И покрај мотивите на Ајнштајн за воведување на космолошки константен термин, не постои ништо во спротивност со присуството на таков термин во равенките. Космолошката константа за многу години беше скоро универзално прифатена како 0. Сепак, неодамнешните подобрени астрономски техники открија дека е потребна позитивна вредност на ''Λ'' за да се објасни забрзувачкиот универзум.
Ајнштајн мислел на космолошката константа како независен параметар, но нејзиниот поим во равенката на полето, исто така, може алгебарски да се премести на другата страна, напишан како дел од тензорот на тензијата со енергија:
:<math>T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac) = - \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G} g_{\mu \nu} \,.</math>
Резултирајќи вакуумска енергија која е константа и е
:<math>\rho_{\mathrm{vac = \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}</math>
3 Особености
3.1 Заштита на енергијата и динамиката
Општата релативност е доследна со локалната зачувување на енергијата и динамиката изразена како:
:<math>\nabla_\beta T^{\alpha\beta} \, = T^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = 0</math>.
:
Derivation of local energy-momentum conservation
кој ја изразува локалната конзервација на стрес-енергија. Овој закон за зачувување е физички услов. Со неговите равенки на полето, Ајнштајн обезбедил општата релативност да е во согласност со оваа конзерваторска состојба.
3.2 Нелинеарност
Нелинеарноста на ЕФЕ разликува општа релативност од многу други основни физички теории. На пример, Максвеловите равенки на електромагнетизмот се линеарни во електричните и магнетните полиња, а наплаќањата и тековните дистрибуции (т.е. збирот на два раствора исто така е решение); уште еден пример е Шредингеровата равенка на квантната механика која е линеарна во брановата должина.
3.3 Принципот за кореспонденција
ЕФЕ се сведува на законот за гравитација на Њутн, користејќи ја приближувањето на слабото поле и апроксимацијата со бавно движење. Всушност, константата G која се појавува во ЕФЕ се определува со овие две приближувања.
:
Изведување на Њутновиот закон за гравитација
4 Равенки на полето во вакуум
Ако тензорот на енергетскиот импулс <math>T_{\mu \nu}</math> е нула во подрачјето што се разгледува, тогаш равенките на полето исто така се нарекуваат равенки на полето во вакуум <math>T_{\mu \nu} = 0</math> во равенките обратни на полето , вакуум равенките може да се пишуваат како:
:<math>R_{\mu \nu} = 0 \,.</math>
Во случај на нула-космолошка константа, равенките се
:<math>R_{\mu \nu} = \frac{\Lambda}{D/2 -1} g_{\mu \nu} \,.</math>.
:Решенијата за вакуумските равенки се нарекуваат вакуумски решенија. Минковскиот простор наједноставен пример за вакуумско решение. Нетривиални примери вклучуваат решение на Шварцшилд и решение Кер.
Манифестали со тензично исчезнатиот Риччи, <math> R_{\mu \nu}=0 </math>,се нарекуваат Рикки-рамни колекции и размери со тензорот на Ричи, пропорционален на метриката како Ајнштајн-манифолдери.
5 Равенки на Ајнштајн и Максвел
Ако тензорот на енергетскиот импулс <math>T_{\mu \nu}</math> е оној на електромагнетно поле во слободен простор, односно ако електромагнетни тензор-тензии
:<math>T^{\alpha \beta} = \, -\frac{1}{\mu_0} \left( F^{\alpha}{}^{\psi} F_{\psi}{}^{\beta} + {1 \over 4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right) </math>
се користи, тогаш Ајнштајнските поле равенки се нарекуваат равенки Ејнштајн-Максвел (со космолошка константа Λ, земени како нула во конвенционалната теорија на релативноста):
:<math>R^{\alpha \beta} - {1 \over 2}R g^{\alpha \beta} + g^{\alpha \beta} \Lambda = \frac{8 \pi G}{c^4 \mu_0} \left( F^{\alpha}{}^{\psi} F_{\psi}{}^{\beta} + {1 \over 4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right).</math>
Дополнително, коваријантните Максвелови равенки се применуваат и во слободниот простор:
:<math>F^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = 0</math>:<math>F_{[\alpha\beta;\gamma]}=\frac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta;\gamma} + F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)=\frac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta,\gamma} + F_{\beta\gamma,\alpha}+F_{\gamma\alpha,\beta}\right)= 0. \!</math>
каде што точка-запирка претставува коваријантен дериват, а загради означуваат антисимметризација. Првата равенка тврди дека 4-дивергенцијата на дво-форма F е нула, а втората дека нејзиниот надворешен дериват е нула. Од вторите, следува по Poincaré лемма дека во координата шема е можно да се воведе потенцијал за електромагнетно поле Aα така што
:<math>F_{\alpha\beta} = A_{\alpha;\beta} - A_{\beta;\alpha} = A_{\alpha,\beta} - A_{\beta,\alpha}\!</math>
во кој запирката означува делумен дериват. Ова често се зема како еквивалент на коваријантната Максвелова равенка од која е изведена. Сепак, постојат глобални решенија на равенката која може да нема глобално дефиниран потенцијал.
6 Решенија
Решенијата на равенките на Ајнштајновото поле се метрика на време-просторот. Овие метрики ја опишуваат структурата на времетраењето на времето, вклучувајќи го инерциското движење на предметите во просторот. Бидејќи равенките на полето се нелинеарни, тие не можат секогаш да бидат целосно решени (т.е. без приближување). На пример, не постои познато комплетно решение за временско време со две масивни тела во него (на пример, теоретски модел на систем на двојни ѕвезди). Сепак, во овие случаи обично се прават приближувања. Овие се вообичаено се нарекуваат пост-њутонски приближувања. И покрај тоа, постојат бројни случаи каде што равенките на полето се решени целосно, и тие се нарекуваат точни решенија.
Студијата за точни решенија на равенките на Ајнштајн е една од активностите на космологијата. Тоа води до предвидување на црни дупки и до различни модели на еволуција на универзумот.
Исто така, може да се откријат нови решенија на равенките на Ајнштајн преку методот на ортонормални рамки како што е пионер од Елис и МакКалум. Во овој пристап, равенките за полето на Ајнштајн се сведени на множество на споени, нелинеарни, обични диференцијални равенки. Како што беше дискутирано од страна на Хсу и Вејнврајт, само слични решенија за Ајнштајновите равенки за полето се фиксни точки на добиениот динамичен систем. Новите решенија се откриени користејќи ги овие методи од ЛеБлан и Коли и Хаслам.
7 Линеарен ЕФЕ
Нелинеарноста на ЕФЕ прави тешко наоѓање на точни решенија. Еден начин за решавање на равенките на поле е да се направи апроксимација, имено, дека далеку од изворот(и) на гравитациската материја, гравитациското поле е многу слабо и време-просторот е приближно оној на Минковскиевиот простор. Тогаш метриката е напишана како збир на Минковскиевата метрика и термин кој ја претставува отстапката на вистинската метрика од Минковскиевата метрика, со термини кои се квадратни во или повисоки сили на отстапувањето се игнорираат. Оваа постапка на линеаризација може да се искористи за да се испитаат појавите на гравитациското зрачење.
8 Полиномна форма
Може да се мисли дека ЕФЕ се не-полиноми, бидејќи тие го содржат инверзниот на метричкиот тензор. Сепак, равенките може да бидат поставени така што тие ги содржат само метричкиот тензор, а не обратниот. Прво, детерминанта на метриката во 4 димензии може да биде напишана:
:<math>
\det(g) = \frac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}
\,</math>
користејќи го симболот Леви-Сивита и инверзната на метриката во 4 димензии може да биде напишана како:
:<math>
g^{\alpha\kappa} = \frac{1}{6} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu} / \det(g)
\,.</math>
Заменувајќи ја оваа дефиниција на инверзна метрика во равенките, а потоа ги множи обете страни од det (g) сè додека не останат во именителот, резултатите во полиномичките равенки во метричкиот тензор и неговите први и втора деривати. Дејството од кое се изведени равенките, исто така, може да биде запишано во полиномна форма со соодветни редефиниции на полињата.
9 Поврзано
*Einstein–Hilbert action
*Equivalence principle
*Exact solutions in general relativity
*General relativity resources
*History of general relativity
*Hamilton–Jacobi–Einstein equation
*Mathematics of general relativity
*Ricci calculus
10 Наводи
See General relativity resources.
**