Логаритамска спирала

Логаритамска спирала — самослична спирала која често се јавува во природата. Првиот кој опишал логаритамска спирала бил германскиот уметник Албрехт Дирер (1525), нарекувајќи ја „вечна линија“ (''ewige Linie''). Повеќе од еден век подоцна, за кривата расправал Рене Декарт (1638), а потоа истата подробно ја изучувал Јакоб Бернули, кој ја нарекол „чудесна спирала“ (''spira mirabilis'').
Логаритамската спирала се разликува од Архимедоата спирала по тоа што растојанието помеѓу завоите на логаритамската скала се зголемуваат по геометриска прогресија, додека кај Архимедовите растојанијата остануваат исти.
1 Дефиниција
Во поларни координати <math>(r, \varphi)</math> логаритамската спирала може да се претстави како<math>r = ae^{k\varphi},\quad \varphi \in \R,</math>
или
<math>\varphi = \frac{1}{k} \ln \frac{r}{a},</math>
при што <math>e</math> е основата на природните логаритми, а <math>a > 0</math>, <math>k\ne 0</math> се реалните константи.
2 Во Декартови координати
Логаритамска спирала со поларната равенка
<math> r = a e^{k\varphi}</math>
може да се претстави со Декартови координати <math>(x=r\cos\varphi,\, y=r\sin\varphi)</math> со
<math>x = a e^{k\varphi}\cos \varphi, \qquad y = a e^{k\varphi}\sin \varphi.</math>
На комплексната рамнина <math>(z=x+iy,\, e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi)</math>:
<math>z=ae^{(k+i)\varphi}.</math>
3 Чудесната спирала и Јакоб Бернули
Чудесна спирала (лат. ''spira mirabilis'') е друго име за логаритамската спирала. Иако други математичари веќе имале има за оваа крива, конкретниот назив „чудесна спирала“ се должи на Јакоб Бернули, фасциниран од нејзините математички својства: величината на спиралата се зголемува, но нејзиниот облик останува ист со секој последователен свијок — својство наречено самосличност. Веројатно заради ова пособено својзтво, чудесната спирала е присутна и во природата, застапена во раковините на наутилусот и сончогледовите семки. Бернули сакал оваа спирала да биде изделкана на неговиот надгробник заедно со фразата ''Eadem mutata resurgo'' („Иако се сменив, ќе се возобновам.“), но уметникот по грешка изрежал Архимедова спирала.
4 Својства
Логаритамската спирала <math> r=a e^{k\varphi} \;,\; k\ne 0,</math> ги има следниве својства:
* Агол на наклонетост: <math> \tan\alpha=k\quad ( {\color{red}{\text{непроменлив !} )</math> со агол на наклон <math>\alpha</math>.(Во случај на <math>k=0</math>, аголот <math> \alpha</math> ќе биде 0, а кривата ќе биде кружница со полупречник <math>a</math>.)
* Закривеност: <math> \kappa=\frac{1}{r\sqrt{1+k^2=\frac{\cos \alpha}{r}</math>* Должина на лакот: <math> L(\varphi_1,\varphi_2)=\frac{\sqrt{k^2+1{k}\big(r(\varphi_2)-r(\varphi_1)\big)= \frac{r(\varphi_2)-r(\varphi_1)}{\sin \alpha}</math>Особено: <math>\ L(-\infty,\varphi_2)=\frac{r(\varphi_2)}{\sin \alpha}\quad ({\color{red}{\text{конечна !})\; </math>, if <math>k > 0</math>. Ова својство прв го увидел Еванџелиста Торичели, дури и пред да биде измислено инфинитезималното сметање.* Плоштина на исечок: <math> A=\frac{r(\varphi_2)^2-r(\varphi_1)^2}{4k}</math>* Инверзија: Инверзијата на кружница (<math>r\to 1/r</math>) ја пресликува логаритамската спирала <math> r=a e^{k\varphi} </math> врз логаритамската спирала <math> r=\tfrac{1}{a} e^{-k\varphi} \, .</math>* Вртење, размерување: Ако ја свртиме спиралата за агол од <math>\varphi_0</math> ја добиваме спиралата <math>r=ae^{-k\varphi_0}e^{k\varphi}</math>, што е првичната спирала рамномерно размерена (во почетокот) за <math>e^{-k\varphi_0}</math>. Размерувањето за <math>\;e^{kn2\pi}\; , n=\pm 1,\pm2,...,\;</math> ја дава ''истата'' крива.
* Самосличност: Производ на претходното својство: Размерената логаритамска спирала е складна (со вртење) на првичната крива. ''Пример:'' На дијаграмот се прикажани спирали со агол на наклонетост <math>\alpha=20^\circ</math> and <math>a=1,2,3,4,5</math>. Затоа, сите тие се размерени копии на црвената. Но можат и да се создадат со цртење на црвената под аглите <math>-109^\circ,-173^\circ,-218^\circ,-253^\circ</math>. Сите спирали немаат заеднички точки (вид. својство ''комплексна експоненцијална функција'').
* Поврзаност со други криви: Логаритамските спирали се складни со нивните еволвенти, еволути и педални криви според нивните центри.
* Комплексна експоненцијална функција: Експоненцијалната функција точно ги пресликува сите линии непаралелни со стварна или замислена оска на комплексната рамнина, врз сите логаритамски спирали на комплексната рамнина со центар во <math>0</math>: <math>z(t)=\underbrace{(kt+b)\; +it}_{\text{line\quad \to\quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}= \underbrace{e^b e^{kt}(\cos t+i\sin t)}_{\text{log. spiral </math> Аголот на наклон <math>\alpha </math> на логаритамската спирала е аголот помеѓу линијата и замислената оска.
5 Посебни случаи и приближувања
Златната спирала е логариатмска спирала која расте нанадвор за фактор од златниот пресек на секои 90 степени вртење (агол на наклон околу 17,03239 степени). Може да се приближува со Фибоначиева спирала, сочинета од низа четвртини кружници со полупречници сразмерни на Фибоначиевите броеви.
6 Во природата
Постојат неколку природни појави каде се присутни криви блиски на логаритамска спирала. Еве неколку примери и образложенија:
* Приодот на еден јастреб кон неговиот плен во класична потера (ако пленот оди во права линија). Најостро гледа под агол на неговиот правец на летање; овој агол е ист со наклонот на спиралата.* Приодот на еден инсект кон извор на светлина. Навикнати се извирот на светлина да биде под постојан агол во однос на летната патека. Обично сонцето (или месечината кај ноќните видови) е единствениот извор на светлина, и ваквото летање доведува до особено права линија. На истиот начин, локсодромата приближува логаритамска спирала близу до полот.
* Краците на спирални галаксии. Млечниот Пат има неколку краци, и секој од нив е приближна логаритамска спирала со наклон од околу 12 степени. Меѓутоа, иако спиралните галаксии често се моделираат како логаритамски, Архимедови или хиперболични спирали, нивните агли на наклон се разликуваат според растојанието од галактичкото средиште, за разлика од логаритамските спирали (каде овој агол е постојан), а отстапуваат и од други математички спирали со кои се моделираат.* Нервите на рожницата (нервите на поедепителниот слој завршуваат близу површниот епителен слој во логаритамскоспирален образец).* Појасите на тропските циклони како ураганите.* Мног биолошки структури како раковините на мекотелите. Во овие случаи, причината може да биде изградба со ширење на слични облици, како што е случај кај многуаголните фигури.
* Логаритамски спирални плажи може да се образуваат со прекршување и скршнување на брановите од страна на брегот.
7 Поврзано
* Архимедова спирала
* Златна спирала
* Еписпирала
* Список на спирали