Спин (физика)

Во квантната механика и честичната физика, спинот (или заврт) е вродена форма на аголен импулс што ја носат елементарните честички, композитните честички ( адрони ) и атомските јадра.
Спинот е еден од двата вида на аголен импулс во квантната механика, а другиот е ''орбитален аголен импулс''. Операторот на орбиталниот аголен импулс е квантно-механичкиот дел на класичниот аголен импулс на орбиталната револуција и се појавува кога постои периодична структура на неговата бранова функција како аголот варира. Постоењето на спин аголен импулс е заклучено од експерименти, како што е Штерн-Герлаховиот експеримент, во кој сребрените атоми биле забележани да поседуваат два можни дискретни аголни моменти и покрај тоа што немаат орбитален импулс на орбитата.
На некој начин, вртењето е како векторска количина; има одредена големина и има „насока“ (но квантизацијата ја прави оваа „насока“ различна од правецот на обичен вектор). Сите елементарни честички од даден вид имаат иста големина на спин аголен импулс, што е означено со назначување на честичката на спинов квантен број.
SI единицата на спин е ( N · m · s ) или ( kg · m <sup>2</sup> · s <sup>−1</sup> ), исто како и со класичниот аголен импулс. Во пракса, спинот се дава како димензионален спинов квантен број со делење на аголниот импулс на спин со редуцирана Планкова константа , која ги има истите единици на аголен импулс, иако ова не е целосно пресметување на оваа вредност. Многу често, „спиновиот квантен број“ едноставно се нарекува „спин“, оставајќи го своето значење како бесконечен „спинов квантен број“ кој треба да се заклучи од контекстот.
Кога се комбинира со теоријата за статистика на спин, спинот на електроните резултира со Паулиевиот принцип на исклучување, кој пак, е основата на периодниот систем на хемиските елементи.
Во 1924 година, Волфганг Паули бил првиот што предложил удвојување на електронските состојби поради двовредносната некласична „скриено вртење“. Во 1925 година, Џорџ Уленбек и Семјуел Гаудсмит на Универзитетот во Лајден предложил едноставна физичка интерпретација на честички се врти околу својата оска, во духот на старата квантна теорија на Бор и Зомерфелд. Ралф Крониг го претставил Уленбек-Гаудсмитовиот модел во дискусија со Хендрик Крамерс неколку месеци порано во Копенхаген, но не го објави. Математичката теорија била детално разработена од Паули во 1927 година. Кога Пол Дирак ја извел неговата релативистичка квантна механика во 1928 година, електронскиот спин бил суштински дел од него.
1 Квантен број
Како што сугерира името, спинот првично бил замислен како вртење на честичка околу некоја оска. Оваа слика е точна доколку спинот ги почитува истите математички закони како што се квантизираните аголни моменти. Од друга страна, спинот има некои чудни особини кои го разликуваат од орбиталните аголни моменти:
* Спиновите квантни броеви може да пополнат цели вредности.
* Иако насоката на нејзиното вртење може да се смени, елементарна честичка не може да се направи за да се вртат побрзо или побавно.
* Спинот на наелектризирана честичка е поврзан со магнетен диполен момент со -фактор разликувајќи се од 1. Ова би се случувало само класично ако внатрешниот полнеж на честичката е распределен поинаку од неговата маса.
Конвенционалната дефиниција на спиновиот квантен број, , е , каде што може да биде кој било ненегативен цел број. Оттука дозволените вредности на се 0, 1, 2, итн. Вредноста на за елементарна честичка зависи само од типот на честички и не може да се менува на кој било познат начин (за разлика од ''насоката'' на ''вртење'' опишана подолу). Спиновиот аголен моментум, , на секој физички систем е квантизиран. Дозволените вредности на се:
:<math>S = \hbar \, \sqrt{s (s+1)}=\frac{h}{4\pi} \, \sqrt{n(n+2)},</math>
каде е Планковата константа и е намалената Планкова константа. Спротивно на тоа, орбиталниот аголен импулс може да земе само цели вредности на ; односно вредностите на - нумерирани броеви.
1.1 Фермиони и бозони
Оние честички со полуцел број спинови, како што се се познати како таканаречени фермиони, додека оние честички со цел број спинови, како што е 0, 1, 2, се познати како бозони. Двете семејства на честички ги почитуваат различните правила и ''широко'' имаат различни улоги во светот околу нас. Клучна разлика помеѓу двете семејства е тоа што фермионите го почитуваат Паулиевиот принципот на исклучување; што значи, не може да има две идентични фермиони кои истовремено ги имаат истите квантни броеви (што значи, приближно, имаат иста позиција, брзина и насока на вртење). Спротивно на тоа, бозоните ги почитуваат правилата на Бозе-Ајнштајновата статистика и немаат такво ограничување, така што тие можат да „купуваат заедно“, дури и ако се во идентични состојби. Исто така, композитните честички можат да имаат различни спинови од нивните компонентни честички. На пример, атомот на хелиум во основната состојба има спин 0 и се однесува како бозон, иако кварковите и електроните што го сочинуваат се сите фермиони.
Ова има некои длабоки последици:
* * Кварковите и лептоните (вклучувајќи ги електроните и неутрината), кој ја сочинуваат класично познатата материја, се сите фермиони со спин . Вообичаената идеја дека „материјата зафаќа простор“ која потекнува од Паулиевиот принцип кој дејствувајќи на овие честички спречува фермионите да создадат материја во иста квантна состојба. Дополнителното збивање ќе побарува електроните да зафатат исти енергетски состојби, и тогаш вид на притисок (понекогаш познат и како изродителен притисок на електроните) дејствува на фермионите пружајќи отпор и спречувајќи тие да се приближат премногу блиску.
: Основни фермиони со други спинови како итн) досега не се познати.
* Основните честички кои се сметаат за носители се сите бозони со спин 1. Тие вклучуваат фотон кој ја носи електромагнетната сила, глуонот ( силна сила ) и W и Z бозоните ( слаба сила ). Способноста на бозоните да ја окупираат истата квантна состојба се користи во ласерот, кој ги усогласува многуте фотони кои имаат ист квантен број (иста насока и честота), суперфлуидниот течен хелиум што резултира од атомите на хелиум-4 како бозони, и суперспроводливоста каде што пара електроните (кои поединечно се фермиони) делуваат како единечни композитни бозони.
: Елементарните бозони со други спинови (0, 2, 3 и сл.) Не биле историски познати дека постојат, иако добиле значителен теоретски третман и се добро воспоставени во нивните мејнстрим теории. Особено, теоретичарите предложиле гравитон (предвидено да постојат од некои квантни теории на гравитација ) со спин 2, а Хигсовиот бозон (објаснувајќи ја електрославната симетрија за кршење ) со спин 0. Од 2013 година, Хигсовиот бозон со спин 0 се смета за докажано дека постои. Тоа е првата скаларна елементарна честичка (спин 0) познато дека постои во природата.
1.2 Спин-статистичка теорема
Теоремата за спин-статистика вели: (1) дека честичките со полуцелно спин (фермиони) ја почитуваат статистиката на Ферми-Дирак и принципот на исклучување на Паули и (2) дека честичките со целобројни спинови (бозони) ги почитуваат статистиките на Бозе-Ајнштајн, зафаќаат „симетрични состојби“, и на тој начин можат да делат квантни состојби. Теоремата се потпира на квантната механика и на теоријата за специјална релативност, и оваа поврзаност помеѓу спин и статистика е наречена „една од најважните примени на теоријата за специјална теорија на релативноста“.
2 Магнетни моменти
Честичките со спин можат да поседуваат магнетен диполен момент, исто како вртечкото електрично наелектризирано тело во класичната електродинамика. Овие магнетни моменти можат да бидат експериментално забележани на неколку начини, на пр. Со девијација на честички со нехомогени магнетни полиња во експериментот Штерн-Герлах, или со мерење на магнетните полиња генерирани од самите честички.
На вродена магнетни момент на спин честичка со полнеж , маса , и спински аголен момент , е::<math>\boldsymbol{\mu} = \frac{g_s q}{2m} \mathbf{S} </math>
каде бездимензионалната величина е наречен спински -фактор. За исклучителните орбитални ротации ќе биде 1 (претпоставувајќи дека масата и полнежот зафаќаат сфери со ист полупречник).
Електронот, како наелектризирана елементарна честичка, поседува ненулов магнетен момент. Еден од триумфите на теоријата на квантната електродинамика е нејзиното прецизно предвидување на електронскиот -фактор, кој е експериментално утврден да ја има вредноста , со цифри во загради означувајќи ја мерната несигурност кај последните две цифри на едно стандардно отстапување. Вредноста на 2 произлегува од равенката на Дирак, основна равенка која го поврзува спинот на електронот со неговите електромагнетни својства, а исправката на ... произлегува од интеракцијата на електронот со околното електромагнетно поле, вклучувајќи го и сопственото поле. Композитните честички, исто така, поседуваат магнетни моменти поврзани со нивното вртење. Особено, неутронот поседува ненултен магнетен момент и покрај тоа што е електрично неутрален. Овој факт бил рана индикација дека неутронот не е елементарна честичка. Всушност, таа е составена од кваркови, кои се електрично наелектризирани честички. Магнетниот момент на неутронот доаѓа од спиновите на поединечните кваркови и нивните орбитални движења.
Неутрината се елементарни и електрично неутрални. Минимално проширениот стандарден модел кој ги зема предвид неутриноските омаси со нула, предвидува неутриноски магнетни моменти на::<math>\mu_{\nu}\approx 3\times 10^{-19}\mu_\mathrm{B}\frac{m_{\nu{\text{eV</math>
каде што се неутриноски магнетни моменти, се неутриноските маси, а е Бох магнетон. Новата физика над електролеката може да доведе до значително повисоки неутриноски магнетни моменти. Може да се прикаже на модел независен начин што неутриноски магнетни моменти поголеми од околу 10 <sup>−14</sup> се „неприродни“, бидејќи тие, исто така, ќе доведат до големи радијациски придонеси кон неутриноската маса. Бидејќи се знае дека масите на неутрино се најмногу околу 1 eV, големите радијациски исправки потоа ќе треба да бидат „фино нагодени“ за да се откажат едни со други, во голема мера, и да ја остават масата на неутрино.
Мерењето на неутриноските магнетни моменти е активна област на истражување. Експерименталните резултати го ставија неутрино магнетниот момент на помалку од пати од магнетниот момент на електроните.
3 Кириева температура и нарушување на подредувањето
Во обичните материјали, магнетните диполни моменти на поединечните атоми создаваат магнетни полиња кои се откажуваат еден со друг, бидејќи секој дипол покажува во случајна насока, при што вкупниот просек е многу близу нула. Меѓутоа, феромагнетните материјали под нивната температура на Кири покажуваат магнетни домени во кои атомарните диполни моменти се локално порамнети, создавајќи макроскопско ненулово магнетно поле од доменот. Ова се обичните „магнети“ со кои сите сме запознаени.
Во парамагнетенте материјали, магнетните диполни моменти на поединечните атоми спонтано се усогласуваат со надворешно применет магнетно поле. Во дијамагнетенте материјали, од друга страна, магнетните диполни моменти на поединечните атоми спонтано се спојуваат спротивно на кое било надворешно примени магнетно поле, дури и ако тоа бара енергија за тоа.
Студијата за однесувањето на таквите „спинови модели“ е просперитетна област на истражување во физиката на кондензирана материја. На пример, Изинговиот моделот тој ги опишува спиновите (диполи) кои имаат само две можни состојби, нагоре и надолу, додека во Хајзенберговиот модел спиновиот вектор е дозволено да посочува во која било насока. Овие модели имаат многу интересни својства, што довело до интересни резултати во теоријата на фазни транзиции.
4 Насока
4.1 Спинова проекција, квантен број и мултипликативност
Во класичната механика, аголниот моментум на честичката не поседува само магнитуда (колку брзо телото се врти), туку и насока (или нагоре или надолу на оската на вртење на честичката). Квантната механичка спин исто така содржи информации за насоката, но во посуптилна форма. Квантната механика вели дека компонентата на аголниот импулс мерена по која било насока може да ги земе само вредностите <math> S_i = \hbar s_i, \quad s_i \in \{ - s, -(s-1), \dots, s-1, s \} \,\!</math>
каде што Si е спин-компонентата долж i-оската (x, y или z), si е спиновиот квантен број проектиран по i-оската, а s е главниот спинов квантен број (дискутиран во претходниот дел). Конвенционално избраната насока е z-оската:
<math> S_z = \hbar s_z, \quad s_z \in \{ - s, -(s-1), \dots, s - 1, s \} \,\!</math>
каде ''S<sub>z</sub>'' е спинова компонента долж ''z''-оската, ''s<sub>z</sub>'' е спиновиот квантен број на проекциј долж ''z''-оската.
Може да се види дека постојат 2s + 1 можни вредности на sz. Бројот „2s + 1“ е множеството на спин системот. На пример, постојат само две можни вредности за честичка на спин-1/2: sz = +1/2 и sz = -1/2. Овие кореспондираат со квантните состојби во кои спин-компонентата укажува на насоките + z или -z, и често се нарекуваат „спин нагоре“ (спин ап) и „спин надолу“ (спин даун). За спин-3/2 честичка, како делта барион, можните вредности се +3/2, +1/2, -1/2, -3/2.
4.2 Вектор
За дадена квантна состојба, може да се мисли на спин вектор ⟨S⟩ чии компоненти се очекуваните вредности на спин-компонентите долж секоја оска, односно,
⟨S⟩ = [⟨Sx⟩, <Sy⟩, <Sz⟩]. Овој вектор тогаш ќе ја опише „насоката“ во која се покажува спинот, што одговара на класичниот концепт на оската на вртење. Излегува дека спин векторот не е многу корисен во квантната механичка пресметка, бидејќи не може да се мери директно: sx, sy и sz не можат да поседуваат истовремени дефинирани вредности, поради односот на квантната несигурност меѓу нив. Меѓутоа, за статистички големи збирки на честички кои се ставени во иста чиста квантна состојба, како што е преку употреба на Штерн-Герлаховиот експеримент, векторот на центрифугирање има добро дефинирано експериментално значење: го одредува правецот во обичниот простор во кој следен детектор мора да биде ориентиран со цел да се постигне максимална можна веројатност (100%) за откривање на секоја честичка во колекцијата. За спин-1/2 честички, оваа максимална веројатност се намалува непречено бидејќи аголот помеѓу векторот на центрифугирање и детекторот се зголемува, сè додека не е под агол од 180 степени, што е за детектори ориентирани во спротивна насока на спин векторот - очекувањата за откривање на честички од собирањето достигнува минимум 0%.
Како квалитативен концепт, спин векторот е често корисен, бидејќи е лесно да се слика класично. На пример, квантната механичка спин може да покаже феномени аналогни на класичните жироскопски ефекти. На пример, може да се изврши еден вид „вртежен момент“ на електронот, ставајќи го во магнетно поле (полето дејствува врз внатрешниот магнетен диполен момент на електронот - видете го следниов дел). Резултатот е дека спиновиот вектор преоѓа на прецесија, исто како и класичниот жироскоп. Овој феномен е познат како електронска спинова резонанца (ЕСР). Еквивалентното однесување на протоните во атомските јадра се користи во јадрена магнетна резонанца (НМР) спектроскопија и слики.
Математички, квантно-механичките спин-состојби се опишани од векторски објекти познати како спинори. Постојат суптилни разлики помеѓу однесувањето на спинорите и векторите под координатните ротации. На пример, ротирањето на спин-1/2 честичка за 360 степени не ја враќа во иста квантна состојба, туку во состојба со спротивна квантна фаза; ова може да се забележи, во принцип, со интерференциски експерименти. За враќање на честичката во нејзината точна оригинална состојба, треба да има вртење од 720 степени. (Трикот на плочата и Мебиус даваат неквантни аналогии.) Честичката со нур-нула може да има само една квантна состојба, дури и по примена на вртежен момент. Ротирањето на спин-2 честичка од 180 степени може да го врати назад во иста квантна состојба, а спин-4 честичката треба да се ротира за 90 степени за да се врати во иста квантна состојба. Спин-2 честичката може да биде аналогна на прав стап кој изгледа исто, дури и по ротирање 180 степени, а спин 0 честичка може да се замисли како сфера, која изгледа исто по кој агол се претвора.
5 Математичка формулација
5.1 Оператор
Спинот ги почитува комутационите односи аналогни на оние на орбиталниот аголен импулс:
<math>[S_j, S_k ] = i \hbar \varepsilon_{jkl} S_l</math>
каде '''' е симболот на Леви-Чивита. Следи (како со аголен импулс) дека сопствените вектори на и Sz се:
<math>\begin{align}
S^2 |s,m_{s}\rangle &= \hbar^2 s(s + 1) |s,m_{s}\rangle \\
S_z |s,m_{s}\rangle &= \hbar m_{s} |s,m_{s}\rangle.
\end{align}</math>
Операторите за подигнување и намалување на бројот на вртење кои дејствуваат на овие сопствени вектори даваат:
<math>S_\pm |s,m_{s}\rangle = \hbar\sqrt{s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)} |s,m_{s}\pm 1 \rangle</math>
каде .
Но, за разлика од орбиталниот аголен импулс, сопствените вектори не се сферични хармоници. Тие не се функции на θ и φ. Исто така, не постои причина да се исклучат полуцелите вредности на s и ms.
Покрај нивните други својства, сите квантно механички честички поседуваат вроден спин (иако оваа вредност може да биде еднаква на нула). Спинот се квантизира во единици на намалената Планкова константа, така што функцијата на состојба на честичката е, да речеме, не ψ = ψ (r), туку ψ = ψ (r, σ) каде што σ е надвор од следниот дискретен сет на вредности:
<math>\sigma \in \{-s\hbar, -(s - 1)\hbar, \cdots, +(s - 1)\hbar, +s\hbar\}.</math>
Еден ги разликува бозоните (целоброен спин) и фермионите (половина цел број). Вкупниот аголен момент кој е зачуван во интерактивните процеси е збирот на орбиталниот момент на аголот и спинот.
5.2 Паулиеви матрици
Квантните механички оператори поврзани со опсерватиите на спин-1/2 се:
<math>\hat{\mathbf{S=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}</math>
каде што во Картезијанските компоненти:
<math> S_x = {\hbar \over 2} \sigma_x,\quad S_y = {\hbar \over 2} \sigma_y,\quad S_z = {\hbar \over 2} \sigma_z \,.</math>
За посебен случај на спин-1/2 честички, σx, σy и σz се трите Паулиевите матрици, дадени од:
<math>
\sigma_x =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\, \quad
\sigma_y =
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{pmatrix} \, \quad
\sigma_z =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\,.
</math>
5.3 Паулиевиот принцип на исклучување
За системи на N идентични честички, ова е поврзано со принципот на исклучување на Паули, во кој се наведува дека со размена на која било две од N честичките мора да има
<math>\psi ( \cdots \mathbf r_i,\sigma_i\cdots \mathbf r_j,\sigma_j\cdots ) = (-1)^{2s}\psi ( \cdots \mathbf r_j,\sigma_j\cdots \mathbf r_i,\sigma_i\cdots ).</math>
Така, за бозоните, префакторот ќе се намали на +1, за фермиони на -1. Во квантната механика сите честички се или бозони или фермиони. Во некои шпекулативни релативистички квантни теории на полето постојат и „суперсиметрични“ честички, каде што се појавуваат линеарни комбинации на бозонски и фермионски компоненти. Во две димензии,предфакторот може да се замени со кој било комплексен број на големината 1, како што е во кој било анјон.
Горенаведениот постулат на пермутација за функциите на N-честичките има најважни последици во секојдневниот живот, на пр. периодниот систем на хемиски елементи.
5.4 Ротации
Како што е опишано погоре, квантната механика вели дека компонентите на аголниот импулс, мерени по секоја насока, можат да земат само неколку дискретни вредности. Најпогодниот квантно механички опис на спин на честички е со множење на комплексни броеви кои одговараат на амплитудите на наоѓање на дадената вредност на проекцијата на неговиот внатрешен аголен импулс на дадена оска. На пример, за спин-1/2 честичка, ќе ни требаат два броја ± 1/2, давајќи им амплитуди на наоѓање со проекција на аголен импулс еднаков на ħ / 2 и -ħ / 2, задоволувајќи го условот
<math>\left|a_\frac{1}{2}\right|^2 + \left|a_{-\frac{1}{2\right|^2 \, = 1.</math>
За генеричка честичка со спин, ќе ни требаат 2s + 1 такви параметри. Бидејќи овие броеви зависат од изборот на оската, тие се трансформираат во едни со други нетривијално кога оваа оска е ротирана. Јасно е дека законот за трансформација мора да биде линеарен, така што можеме да го претставуваме со поврзување на матрица со секое вртење, а производот од две матрици на трансформација што соодветствуваат на ротациите А и В мора да бидат еднакви (до фаза) до матрицата што го претставува вртењето AB. Понатаму, ротациите го зачувуваат квантниот механички внатрешен производ, и така нашите матрици за трансформација треба:
<math>\begin{align}
\sum_{m=-j}^{j} a_m^* b_m &= \sum_{m=-j}^j \left(\sum_{n=-j}^j U_{nm} a_n\right)^* \left(\sum_{k=-j}^j U_{km} b_k\right) \\
\sum_{n=-j}^j \sum_{k=-j}^j U_{np}^* U_{kq} &= \delta_{pq}.
\end{align}</math>
Математички кажано, овие матрици обезбедуваат унитарна проективна презентација на вртежната група SO (3). Секоја таква репрезентација одговара на претставата на покривната група на SO (3), што е SU (2). Постои една n-димензионална непривлечна претстава на SU (2) за секоја димензија, иако оваа претстава е n-димензионална реална за непарен n и n-димензионален комплекс за дури n (оттука и од реалната димензија 2n). За вртење со агол θ во рамнината со нормален вектор <math>\hat{\boldsymbol{\theta</math>, U може да се напише
<math> U = e^{-\frac{i}{\hbar} \boldsymbol{\theta} \cdot \mathbf{S,</math>
каде што <math>\boldsymbol{\theta} = \theta \hat{\boldsymbol{\theta</math>, а S е вектор на спин оператори.
Општото вртење во тридимензионален простор може да биде изградена со мешање на оператори од овој тип со помош на аголот на Ојлер:
<math> \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{-i\alpha S_z}e^{-i\beta S_y}e^{-i\gamma S_z}</math>
Неприкосновената застапеност на оваа група оператори е дадена од Вигнеровата Д-матрицата:
<math>
D^s_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) \equiv
\left\langle sm' \left| \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) \right| sm \right\rangle =
e^{-im'\alpha} d^s_{m'm}(\beta)e^{-i m\gamma},
</math>
каде
<math>d^s_{m'm}(\beta)= \left\langle sm' \left|e^{-i\beta s_y} \right| sm \right\rangle</math>
е малата Д-матрица на Вигнер. Забележете дека за γ = 2π и α = β = 0; односно, целосно свртување околу z-оската, елементите на Вигнеровата Д-матрица стануваат
<math> D^s_{m'm}(0, 0, 2\pi) = d^s_{m'm}(0) e^{-i m 2 \pi} = \delta_{m'm} (-1)^{2m}.</math>
Потсетувајќи дека една генеричка состојба на спин може да се напише како суперпозиција на состојби со дефинитивен m, можеме да видиме дека ако s е цел број, вредностите на m се целина, а оваа матрица одговара на идентитетот оператор. Меѓутоа, ако s е половина цел број, вредностите на m се исто така и полуцели броеви, давајќи (-1) 2m = -1 за сите m, а оттука и по вртење со 2π, состојбата зема знак минус. Овој факт е клучен елемент на доказот за теоријата на статистиката на спин.
5.5 Лоренцови трансформации
Може да се обидеме со ист пристап да го одредиме однесувањето на спин под општите Лоренцови трансформации, но веднаш ќе откриеме голема пречка. За разлика од SO (3), групата на Лоренцови трансформации SO (3,1) е некомпактна и затоа нема верни, унитарни, конечни-димензионални претстави.
Во случај на честички на спин-1/2, можно е да се најде конструкција која вклучува и конечна димензионална претстава и скаларен производ кој е зачуван со оваа претстава. Ние поврзуваме 4-компонентен Дирак-спинор ψ со секоја честичка. Овие спинори се трансформираат според Лоренцовите трансформации во согласност со законот
<math>\psi' = \exp{\left(\tfrac{1}{8} \omega_{\mu\nu} [\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]\right)} \psi</math>
каде што '''' се гама матрици и '''' е антисиметрична 4 × 4 матрица која ја параметризира трансформацијата. Може да се покаже дека скаларен производ
<math>\langle\psi|\phi\rangle = \bar{\psi}\phi = \psi^{\dagger}\gamma_0\phi</math>
е зачувана. Меѓутоа, не е позитивно дефинитивно, така што застапеноста не е унитарна.
5.6 Мерење на спин долж x-, y- или z-оски
Секоја (матрица на Ермит) Паули има две сопствени вредности, +1 и -1. Соодветните нормализирани сопственивектори се:
<math>\begin{array}{lclc}
\psi_{x+} = \left|\frac{1}{2}, \frac{+1}{2}\right\rangle_x =
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2 \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}, &
\psi_{x-} = \left|\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right\rangle_x =
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2 \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{-1}\\{1}\end{pmatrix}, \\
\psi_{y+} = \left|\frac{1}{2}, \frac{+1}{2}\right\rangle_y =
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2 \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}, &
\psi_{y-} = \left|\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right\rangle_y =
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2 \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}, \\
\psi_{z+} = \left|\frac{1}{2}, \frac{+1}{2}\right\rangle_z = &
\begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}, &
\psi_{z-} = \left|\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right\rangle_z = &
\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}.
\end{array}</math>
(Бидејќи секој сопствен вектор помножен со константа сè уште е сопствен вектор, постои двосмисленост за целокупниот знак. Во овој напис, конвенцијата е избрана да го направи првиот елемент имагинарен и негативен ако постои знак двосмисленост. Софтвер како sympy, додека многу учебници по физика, како што се Сакураи и Грифитс, претпочитаат да го направат вистински и позитивен.)
Со постулатите на квантната механика, експериментот дизајниран да го мери спинот на електроните на x-, y- или z-оската, може само да даде своја вредност на соодветниот спин оператор (Sx, Sy или Sz) на таа оска, т.е. / 2 или -х / 2. Квантната состојба на честичка (во однос на спин), може да биде претставена со двокомпонентен спинор:
<math>\psi = \begin{pmatrix} a + bi \\ c + di \end{pmatrix}.</math>
Кога вртењето на оваа честичка се мери во однос на дадената оска (во овој пример, x-оската), веројатноста дека нејзиниот спин ќе се мери како ħ / 2 е само <math> \left\vert \langle \psi_{x+} \vert \psi \rangle \right\vert ^2</math>.
Соодветно, веројатноста дека нејзиниот спин ќе се мери како-ħ / 2 е само <math> \left\vert \left\langle\left. \psi_{x-} \right\vert \psi \right\rangle \right\vert ^2</math>. По мерењето, спин-состојбата на честичката ќе се распадне во соодветната сопствена состојба. Како резултат на тоа, ако спинувањето на честичката по дадената оска е измерено да има одредено сопствено значење, сите мерења ќе дадат иста сопствена вредност (од <math> \left\vert \left\langle\left. \psi_{x+} \right\vert \psi_{x+} \right\rangle \right\vert ^2 = 1 </math>, итн.) под услов да не се вршат мерења на вртење долж други оски.
5.7 Мерење на спин по произволна оска
Операторот за мерење на вртење по произволна насока на оската лесно се добива од матриците на спиновите на Паули. Нека u = (ux, uy, uz) е произволен единечен вектор. Тогаш операторот за вртење во оваа насока е едноставно
<math> S_u = \frac{\hbar}{2}(u_x\sigma_x + u_y\sigma_y + u_z\sigma_z)</math>
Операторот Су има сопствени вредности од ± ħ / 2, исто како и вообичаените спин матрици. Овој метод за наоѓање на операторот за спин во произволна насока се генерализира на повисоки спин-состојби, еден го зема точниот производ од правецот со вектор на трите оператори за трите насоки x, y, z-оска.
Нормализиран спинор за спин-1/2 во правецот (ux, uy, uz) (кој работи за сите спин-состојби освен исклучување каде што ќе даде 0/0), е:
<math> \frac{1}{\sqrt{2+2u_z\begin{pmatrix} 1+u_z \\ u_x+iu_y \end{pmatrix}.</math>
Горенаведениот спинор се добива на вообичаен начин со дијагонализација на σu матрицата и наоѓање на сопствени стапки кои одговараат на сопствените вредности. Во квантната механика, векторите се нарекуваат „нормализирани“ кога се множат со нормализирање фактор, што резултира во векторот има должина на единство.
5.8 Компатибилност на мерењата за спин
Бидејќи матриците на Паули не се менуваат, мерењата на вртење по различни оски се некомпатибилни. Ова значи дека ако, на пример, го знаеме спинот по x-оската, а потоа го мериме вртењето по должината на y-оската, ние го поништивме нашето претходно знаење за вртењето на x-оската. Ова може да се види од сопственоста на сопствените вектори (т.е. сопствени состојби) на Паулиевите матрици:
<math> \left\vert \langle \psi_{x\pm} \mid \psi_{y\pm} \rangle \right\vert ^ 2 = \left\vert \langle \psi_{x\pm} \mid \psi_{z\pm} \rangle \right\vert ^ 2 = \left\vert \langle \psi_{y\pm} \mid \psi_{z\pm} \rangle \right\vert ^ 2 = \tfrac{1}{2}. </math>Значи, кога физичарите го мерат спинот на честичката долж x-оската, како што, на пример, ħ / 2, спин-состојбата на честичката паѓа во сопствената состојба <math> \mid \psi_{x+} \rangle</math>.Кога тогаш потоа го мериме вртењето на честичката долж y-оската, спин-состојба сега ќе се распадне или <math> \mid \psi_{y+} \rangle</math> или <math> \mid \psi_{y-} \rangle</math>, секој со веројатност 1/2. Да речеме, во нашиот пример, дека ние мерка -х / 2. Кога ќе се вратиме повторно за да го измерите спинот на честичката по x-оската повторно, веројатноста дека ќе се мери ħ / 2 или -ħ / 2 се секој 1/2 (т.е. тие се <math> \left\vert \langle \psi_{x+} \mid \psi_{y-} \rangle \right\vert ^ 2</math> и <math> \left\vert \langle \psi_{x-} \mid \psi_{y-} \rangle \right\vert ^ 2 </math>соодветно). Ова значи дека првичното мерење на спинот долж x-оската повеќе не е валидно, бидејќи спинот по x-оската сега ќе се мери за да има или сопствена вредност со еднаква веројатност.
5.9 Повисоки спинови
Операторот спин-1/2 претставува фундаментална репрезентација на SU (2). Со тоа што производите на Кронекер од оваа претстава ги земаат со себе постојано, може да се конструираат сите повисоки непривлечни претстави. Односно, резултирачките спин-оператори за повисоки спин-системи во три просторни димензии, за произволно големи s, може да се пресметаат со користење на овој оператор за спин оператори и оператори на скали.
Резултирачките спин матрици и сопствени вредности во z-основа
    1. За 1-от спин тие се
<math>\begin{align}
S_x &= \frac{\hbar}{\sqrt{2
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}, &
\left|1, +1\right\rangle_x &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{1}\\{\sqrt{2\\{1}\end{pmatrix}, &
\left|1, 0\right\rangle_x &= \frac{1}{\sqrt{2 \begin{pmatrix}{-1}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}, &
\left|1, -1\right\rangle_x &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{1}\\{-\sqrt{2\\{1}\end{pmatrix} \\
S_y &= \frac{\hbar}{\sqrt{2
\begin{pmatrix}
0 & -i & 0 \\
i & 0 & -i \\
0 & i & 0
\end{pmatrix}, &
\left|1, +1\right\rangle_y &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ -i\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}, &
\left|1, 0\right\rangle_y &= \frac{1}{\sqrt{2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, &
\left|1, -1\right\rangle_y &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ i\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} \\
S_z &= \hbar
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}, &
\left|1, +1\right\rangle_z &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, &
\left|1, 0\right\rangle_z &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, &
\left|1, -1\right\rangle_z &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\
\end{align}</math>
2. За 3/2 спин тие се
<math>
\begin{array}{lclc}
S_x = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0 &\sqrt{3} &0 &0\\
\sqrt{3} &0 &2 &0\\
0 &2 &0 &\sqrt{3}\\
0 &0 &\sqrt{3} &0
\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{1}\\{\sqrt{3\\{\sqrt{3\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{-\sqrt{3\\{-1}\\{1}\\{\sqrt{3\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{\sqrt{3\\{-1}\\{-1}\\{\sqrt{3\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{-1}\\{\sqrt{3\\{-\sqrt{3\\{1}\end{pmatrix} \\
S_y = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0 &-i\sqrt{3} &0 &0\\
i\sqrt{3} &0 &-2i &0\\
0 &2i &0 &-i\sqrt{3}\\
0 &0 &i\sqrt{3} &0
\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{i}\\{-\sqrt{3\\{-i\sqrt{3\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{-i\sqrt{3\\{1}\\{-i}\\{\sqrt{3\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{i\sqrt{3\\{1}\\{i}\\{\sqrt{3\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{-i}\\{-\sqrt{3\\{i\sqrt{3\\{1}\end{pmatrix} \\
S_z = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
3 &0 &0 &0\\
0 &1 &0 &0\\
0 &0 &-1 &0\\
0 &0 &0 &-3
\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{3}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \\
\end{array}
</math>
3. За 2-от спин тие се
<math>
\begin{array}{lclc}
S_x = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0 &2 &0 &0 &0\\
2 &0 &\sqrt{6} &0 &0\\
0 &\sqrt{6} &0 &\sqrt{6} &0\\
0 &0 &\sqrt{6} &0 &2\\
0 &0 &0 &2 &0
\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, +2\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{1}\\{2}\\{\sqrt{6\\{2}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, +1\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{-1}\\{-1}\\{0}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, 0\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{\sqrt{3\\{0}\\{-\sqrt{2\\{0}\\{\sqrt{3\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, -1\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{-1}\\{1}\\{0}\\{-1}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, -2\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{1}\\{-2}\\{\sqrt{6\\{-2}\\{1}\end{pmatrix} \\
S_y = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0 &-2i &0 &0 &0\\
2i &0 &-\sqrt{6}i&0 &0\\
0 &\sqrt{6}i&0 &-\sqrt{6}i&0\\
0 &0 &\sqrt{6}i&0 &-2i\\
0 &0 &0 &2i &0
\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, +2\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{1}\\{2i}\\{-\sqrt{6\\{-2i}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, +1\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{-1}\\{-i}\\{0}\\{-i}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, 0\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2\sqrt{2 \begin{pmatrix}{\sqrt{3\\{0}\\{\sqrt{2\\{0}\\{\sqrt{3\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, -1\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{2} \begin{pmatrix}{-1}\\{i}\\{0}\\{i}\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, -2\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{1}\\{-2i}\\{-\sqrt{6\\{2i}\\{1}\end{pmatrix} \\
S_z = \hbar
\begin{pmatrix}
2 &0 &0 &0 &0\\
0 &1 &0 &0 &0\\
0 &0 &0 &0 &0\\
0 &0 &0 &-1 &0\\
0 &0 &0 &0 &-2
\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, +2\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, +1\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, 0\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, -1\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|2, -2\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \\
\end{array}
</math>
4. За 5/2 спин тие се
<math>
\begin{array}{lclc}
S_x = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0 &\sqrt{5} &0 &0 &0 &0 \\
\sqrt{5} &0 &2\sqrt{2} &0 &0 &0 \\
0 &2\sqrt{2} &0 &3 &0 &0 \\
0 &0 &3 &0 &2\sqrt{2} &0 \\
0 &0 &0 &2\sqrt{2} &0 &\sqrt{5} \\
0 &0 &0 &0 &\sqrt{5} &0
\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{+5}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2 \begin{pmatrix}{1}\\{\sqrt{5\\{\sqrt{10\\{\sqrt{10\\{\sqrt{5\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2 \begin{pmatrix}{-\sqrt{5\\{-3}\\{-\sqrt{2\\{\sqrt{2\\{3}\\{\sqrt{5\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{\sqrt{5\\{1}\\{-\sqrt{2\\{-\sqrt{2\\{1}\\{\sqrt{5\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{-\sqrt{5\\{1}\\{\sqrt{2\\{-\sqrt{2\\{-1}\\{\sqrt{5\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2 \begin{pmatrix}{\sqrt{5\\{-3}\\{\sqrt{2\\{\sqrt{2\\{-3}\\{\sqrt{5\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{-5}{2}\rangle_x =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2 \begin{pmatrix}{-1}\\{\sqrt{5\\{-\sqrt{10\\{\sqrt{10\\{-\sqrt{5\\{1}\end{pmatrix} \\
S_y = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0 &-i\sqrt{5} &0 &0 &0 &0 \\
i\sqrt{5} &0 &-2i\sqrt{2} &0 &0 &0 \\
0 &2i\sqrt{2} &0 &-3i &0 &0 \\
0 &0 &3i &0 &-2i\sqrt{2} &0 \\
0 &0 &0 &2i\sqrt{2} &0 &-i\sqrt{5} \\
0 &0 &0 &0 &i\sqrt{5} &0
\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{+5}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2 \begin{pmatrix}{-i}\\{\sqrt{5\\{i\sqrt{10\\{-\sqrt{10\\{-i\sqrt{5\\{1}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2 \begin{pmatrix}{i\sqrt{5\\{-3}\\{-i\sqrt{2\\{-\sqrt{2\\{-3i}\\{\sqrt{5\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{-i\sqrt{5\\{1}\\{-i\sqrt{2\\{\sqrt{2\\{-i}\\{\sqrt{5\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4} \begin{pmatrix}{i\sqrt{5\\{1}\\{i\sqrt{2\\{\sqrt{2\\{i}\\{\sqrt{5\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2 \begin{pmatrix}{-i\sqrt{5\\{-3}\\{i\sqrt{2\\{-\sqrt{2\\{3i}\\{\sqrt{5\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{-5}{2}\rangle_y =\!\!\!\!\! & \frac{1}{4\sqrt{2 \begin{pmatrix}{i}\\{\sqrt{5\\{-i\sqrt{10\\{-\sqrt{10\\{i\sqrt{5\\{1}\end{pmatrix} \\
S_z = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
5 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &3 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &-1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &-3 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &-5
\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{+5}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{+3}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{+1}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{-1}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}, \!\!\!\!\! &
|\frac{5}{2}, \frac{-5}{2}\rangle_z =\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \\
\end{array}
</math>
5. Генерализацијата на овие матрици за произволно вртење '''' е
<math>\begin{align}
\left(S_x\right)_{ab} & = \frac{\hbar}{2} \left(\delta_{a,b+1} + \delta_{a+1,b}\right) \sqrt{(s + 1)(a + b - 1) - ab} \, \\
\left(S_y\right)_{ab} & = \frac{i\hbar}{2} \left(\delta_{a,b+1} - \delta_{a+1,b}\right) \sqrt{(s + 1)(a + b - 1) - ab} \\
\left(S_z\right)_{ab} & = \hbar (s + 1 - a) \delta_{a,b} = \hbar (s + 1 - b) \delta_{a,b}
\end{align}</math>
каде индекси a, b се цели броеви како што е<math>1 \le a \le 2s + 1</math> и <math>1 \le b \le 2s + 1</math>
Исто така корисни во квантната механика на повеќечестичките системи, општата Паулиева група '''' е дефинирана да се состои од сите n-пати тензорни производи на матриците на Паули.
Аналогната формула на формулата на Ојлер во однос на матриците на Паули:
<math>
e^{i \theta\left(\hat{\mathbf{n \cdot \boldsymbol{\sigma}\right)} =
I\cos(\theta) + i \left(\hat{\mathbf{n \cdot \boldsymbol{\sigma}\right) \sin(\theta)
</math>
за повисоките вртења е послушлив, но помалку едноставен.
6 Паритет
Во табелите на спиновиот квантен број s за јадра или честички, спинот често се следи со „+“ или „-“. Ова се однесува на паритетот со „+“ за дури паритет (функцијата на брановите непроменета со просторна инверзија) и „-“ за непарен паритет (функција на бран што е негирана од просторна инверзија). На пример, видете ги изотопите на бизмутот во кои Списокот на изотопи ја вклучува колоната Јадрена спин и паритет. За Bi-209, единствениот стабилен изотоп, внесот 9 / 2- значи дека јадрениот спин е 9/2, а паритетот е непарен.
7 Апликации
Спин има важни теоретски импликации и практични примени. Добро воспоставени директни апликации на спин вклучуваат:
* Јадрена магнетна резонанца (НМР) спектроскопија во хемијата;
* Електронска спин резонантна спектроскопија во хемијата и физиката;
* Магнетна резонанца (МРИ) во медицината, тип на применета NMR, која се потпира на густината на протонскиот спин;
* Џиновски магнеторезистички (ГМР) технологија на глава во модерните тврди дискови.
Електронскиот спин игра важна улога во магнетизмот, со апликации, на пример, во компјутерски спомени. Манипулацијата со јадрен спин од радиофреквенциски бранови (јадрена магнетна резонанца) е важна во хемиската спектроскопија и медицинските слики.
Спин-орбитната спојка води до фината структура на атомски спектри, која се користи во атомски часовници и во модерната дефиниција на секундата. Прецизни мерења на g-факторот на електронот играат важна улога во развојот и верификацијата на квантната електродинамика. Фотон спин е поврзан со поларизацијата на светлината.
Новата апликација на спин е како бинарен носач на информации во спин транзистори. Оригиналниот концепт, предложен во 1990 година, е познат како спин-транзистор на Datta-Das. Електроника врз основа на спин транзистори се нарекуваат спинтроника. Манипулацијата на спин во разредените магнетни полупроводнички материјали, како што е метален легиран ZnO или TiO2, дава дополнителен степен на слобода и има потенцијал да ја олесни изработката на поефикасна електроника.
Постојат многу индиректни апликации и манифестации на спин и придружниот принцип за исклучување на Паули, почнувајќи од периодниот систем на хемијата.
8 Историја
Спин за првпат бил откриен во контекст на спектарот на емисии на алкални метали. Во 1924 година, Волфганг Паули го претставил она што тој го нарекол „двозначен квантен степен на слобода“ поврзан со електронот во најоддалечената школка. Ова му овозможило да го формулира принципот за исклучување на Паули, во кој се вели дека ниту еден електрон не може да ја има истата квантна состојба во истиот квантен систем.
Физичкото толкување на „степенот на слободата“ на Паули првично било непознато. Ралф Крониг, еден од помошниците на Ланде, во почетокот на 1925 година сугерирал дека е произведен со самовртење на електронот. Кога Паули слушнал за идејата, тој остро ја критикувал, истакнувајќи дека хипотетичката површина на електронот ќе мора да се движи побрзо од брзината на светлината со цел да се ротира доволно брзо за да го произведе потребниот аголен импулс. Ова би ја нарушило теоријата на релативноста. Во голема мера поради критиките на Паули, Крониг одлучил да не ја објави својата идеја.
Во есента 1925 година, истата мисла дошла и до двајца холандски физичари, Џорџ Уленбек и Семјуел Гаудсмит од Универзитетот Лајден. Според советот на Пол Еренфест, тие ги објавиле своите резултати. Се сретна со поволен одговор, особено откако Левелин Томас успеал да го реши факторот-две несовпаѓање помеѓу експерименталните резултати и пресметките на Уленбек и Гаудсмит (и непубликуваните резултати на Крониг). Ова несовпаѓање се должи на ориентацијата на тангентната рамка на електронот, покрај неговата позиција.
Математички кажано, потребно е опис на влакно. Ефектот на тангентниот сноп е адитивен и релативистички; што значи, исчезнува ако c оди до бесконечност. Тоа е една половина од вредноста добиена без оглед на тангента простор ориентација, но со спротивен знак. Така комбинираниот ефект се разликува од вториот со фактор два (прецесија на Томас).
И покрај неговите првични приговори, Паули ја формализирал теоријата на спин во 1927 година, користејќи ја модерната теорија на квантната механика измислена од Шредингер и Хајзенберг. Тој бил пионер во користењето на матриците на Паули како претстава на спин операторите, и вовел двокомпонентна спинорна бран-функција.
Паулиевата теорија на спин била нерелативна. Меѓутоа, во 1928 година, Пол Дирак ја објавил Дираковата равенка, во која бил опишан релативистичкиот електрон. Во Дираковата равенка, четирикомпонентен спинор (познат како „Дираков спинор“) се користел за бран-функцијата на електроните. Во 1940 година, Паули ја докажал теоријата за статистика на спин, во која се наведува дека фермионите имаат половина цел број и бозоните имаат целоброен спин.
Во ретроспектива, првиот директен експериментален доказ за електронскиот спин бил експериментот на Штерн-Герлах од 1922 година. Сепак, точното објаснување на овој експеримент било дадено во 1927 година.
9 Поврзано
* Ајнштајн–де Хасов ефект
* Спин-орбитален
* Хиралност (физика)
* Динамичка јадрена поларизација
* Хеличност (честична физика)
* Холштајн–Примакова трансформација
* Крамерово правило
* Паулиева равенка
* Паули–Лубанскиев псевдовектор
* Рарита–Швингерова равенка
* Претставителна теорија за SU(2)
* спин-
* Спин-промена
* Спински изомери на водородот
* Спински тензор
* Спински бран
* Спинско инженерство
* Ираст
* Треперечко движење
10 Наводи
11 Дополнителна литература
*
*
*
*
*
*
*
*
*Sin-Itiro Tomonaga, The Story of Spin, 1997
12 Надворешни врски
*
*''Nature (journal)'': ""
* Online lecture by S. Datta