Спирала

Спирала — крива која произлегува од точка, оддалечувајќи се како што се врти околу точката. Може да се смета за вид од групата на вртложни облик, каде спаѓаат и концентрични објекти.
1 Во две димензии
Во две димензии или на рамнина, спиралата може лесно да се опише со поларни координати, каде полупречникот <math>r</math> е монотона непрекината функција на аголот <math>\varphi</math>:
*<math>r=r(\varphi)\; .</math>
Кружницата ќе се смета за изроден случај (бидејќи функцијата не е строго монотона, туку постојана).
Во ''<math>x</math>-<math>y</math>-координати'' кривата параметарски се претставува како:
*<math>x=r(\varphi)\cos\varphi \ ,\qquad y=r(\varphi)\sin\varphi\; .</math>
1.1 Примери
Некои поважни видови на двозимензионални спирали се:
* Архимедова спирала: <math>r=a \varphi </math>* Хиперболична спирала: <math>r = a/ \varphi</math>* Фермаова спирала: <math>r= a\varphi^{1/2}</math>* Жезол: <math>r = a\varphi^{-1/2}</math>* Логаритамска спирала: <math>r=ae^{k\varphi}</math>* Корниева спирала или ''клотоида''* Фибоначиева спирала и златна спирала
* Теодорова спирала: апсоксимација на Архимедовата спирала сочинета од последователни правоаголни триаголници
* Еволвента на кружница
''Архимедова спирала'', на пример, се создава кога при виткање на тепих.''Хиперболична спирала'' се добива како слика на завојница со посебна централна проекција (на дијаграмот).
Називот ''логаритамска спирала'' се должи на равенката <math>\varphi=\tfrac{1}{k}\cdot \ln \tfrac{r}{a}</math>. Нејзините приближувања се среќаваат во природата.
Спирали што не одговараат на овој образец од првите пет примери:
''Корниевата спирала'' има две асимптотни точки.''Теодоровата спирала'' е многуаголник.''Фибоначиевата спирала'' се состои од низа лаци.''Еволвентата на кружница'' изгледа како Архимедовата спирала, но не е таква.
1.2 Геометриски својства
Ова се согледувања за спиралите, кои можат да се опишат со поларната равенка <math>r=r(\varphi)</math>, особено за случаите <math>r(\varphi)=a\varphi^n</math> (Архимедова, хиперболична, Фермаова, жезол) и логаритамската спирала <math>r=ae^{k\varphi}</math>.
;Агол на поларен наклон
Аголот <math>\alpha</math> помеѓу спиралната тангента и соодветната поларна кружница (погл. дијаграмот) се нарекува ''агол на поларниот наклон'', а <math>\tan \alpha</math> е ''поларен наклон''.
Од векторската анализа во поларни координати ја добиваме формулата
:<math>\tan\alpha=\frac{r'}{r}\ .</math>
Оттука наклонот на спиралата <math>\;r=a\varphi^n \;</math> е
*<math>\tan\alpha=\frac{n}{\varphi}\ .</math>
Во случај на ''Архимедова спирала'' (<math>n=1</math>) поларниот након е <math> \tan\alpha=\tfrac{1}{\varphi}\ .</math>
Кај ''логаритамска спирала''<math>\tan\alpha=k\ </math> е постојан.
;Закривеност
Закривеноста <math>\kappa</math> на кривата со поларна равенка <math>r=r(\varphi)</math> е
:<math>\kappa = \frac{r^2 + 2(r')^2 - r\; r''}{(r^2+(r')^2)^{3/2\ .</math>
За спирала со <math>r=a\varphi^n</math> добиваме
*<math>\kappa = \dotsb = \frac{1}{a\varphi^{n-1\frac{\varphi^2+n^2+n}{(\varphi^2+n^2)^{3/2\ .</math>
Во случај на <math>n=1</math> (''Архимедова спирала'')
<math>\kappa=\tfrac{\varphi^2+2}{a(\varphi^2+1)^{3/2</math>.
Само за <math>-1<n<0 </math> спиралата има ''превој''.
Закривеноста на ''логаритамска спирала''<math>\; r=a e^{k\varphi} \;</math> е <math>\; \kappa=\tfrac{1}{r\sqrt{1+k^2 \; .</math>;Плоштина на исечок
Плоштината на исечок на крива (погл. дијаграм) со поларна равенка <math>r=r(\varphi)</math> е
:<math>A=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} r(\varphi)^2\; d\varphi\ .</math>
За спирала равенка <math>r=a\varphi^n\; </math> добиваме
*<math>A=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} a^2\varphi^{2n}\; d\varphi
=\frac{a^2}{2(2n+1)}\big(\varphi_2^{2n+1 \varphi_1^{2n+1}\big)\ , \quad \text{ако}\quad n\ne-\frac{1}{2},
</math>:<math>A=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \frac{a^2}{\varphi}\; d\varphi
=\frac{a^2}{2}(\ln\varphi_2-\ln\varphi_1)\ ,\quad \text{ако} \quad n=-\frac{1}{2}\ .</math>
Формулата за ''логаритамска спирала''<math>\; r=a e^{k\varphi} \;</math> е
<math>\ A=\tfrac{r(\varphi_2)^2-r(\varphi_1)^2)}{4k}\ .</math>;Должина на лак
Должината на лак на крива со поларна равенка <math>r=r(\varphi)</math> е
:<math>L=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi \ .</math>
За спиралата <math>r=a\varphi^n\; </math> должината е
*<math>L=\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt{\frac{n^2r^2}{\varphi^2} +r^2}\; d\varphi
= a\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\varphi^{n-1}\sqrt{n^2+\varphi^2}d\varphi
\ .</math>
Не сите овие интеграли можат да се решат со соодветна таблина. Во случај на Фермаовата спирала, интегралот може да се изрази само со елиптични интеграли.
Должината на лакот на ''логаритамска спирала''<math>\; r=a e^{k\varphi} \;</math> е <math>\ L=\tfrac{\sqrt{k^2+1{k}\big(r(\varphi_2)-r(\varphi_1)\big) \ .</math>;Инверзија на кружница
Инверзијата на единична кружница има прост опис во поларните координати: <math>\ (r,\varphi) \mapsto (\tfrac{1}{r},\varphi)\ </math>.
* Сликата на спирала <math>\ r= a\varphi^n\ </math> под инверзијата во единичната кружница е спиралата со поларна равенка <math>\ r= \tfrac{1}{a}\varphi^{-n}\ </math>. На пример: Инверзот на Архимедова спирала е хиперболична спирала.
:Логаритамска спирала <math>\; r=a e^{k\varphi} \;</math> се пресликува врз логаритамската спирала <math>\; r=\tfrac{1}{a} e^{-k\varphi} \; .</math>
1.3 Ограничени спирали
Функцијата <math>r(\varphi)</math> на спирала обично е строго монотона, непрекината
и неограничена. Кај стандардните спирали <math>r(\varphi)</math> is either a степена функција или експоненцијална функција. Ако одиме со <math>r(\varphi)</math>''ограничена'' функција, спиралата е исто така ограничена. Соодветна ограничена функција е арктанската функција:
;Пример 1
Задаваме <math>\;r=a \arctan(k\varphi)\;</math> и изборот на <math>\;k=0,1, a=4, \;\varphi\ge 0\;</math> дава спирала, која почнува во почетокот (како Архимедова спирала) и се приближува кон кружницата со полупречник <math>\;r=a\pi/2\;</math> (дијаграм, лево).
;Пример 2
За <math>\;r=a (\arctan(k\varphi)+\pi/2)\;</math> и <math>\;k=0,2, a=2,\; -\infty<\varphi<\infty\;</math> добиваме спирала која се приближува кон почетокот (како хиперболична спирала) и се приближува кон кружницата со полупречник <math>\;r=a\pi\;</math> (дијаграм, десно).
2 Во три димензии
2.1 Завојници
Две главни дефиниции за „спирала“ се:# крива на рамнина која се завива околу неподвижна централна точка на постојано растечко или опаѓачко растојание од точката.
# тридимензионална крива која се завива околу оска при постојана или постојано променливо растојание додека се движи паралелно на оската; завојница.
Првата дефиниција опишшува рамнинска крива која се шири во обете правоаголни насоки на рамнината; браздата на грамофонска плоча е блиско приближување на рамнинска спирала; при што треба да се напомене дека последователните завои се со ''различни'' пречници. Друг пример се средишните линии на краците на спирална галаксија, кои исцртуваат логаритамски спирали.
Втората дефиниција опфаќа два вида на тридимензионални сродници на спиралата:
* Конусна или повиена пружина (на пр. пружинките за минусен контакт на батерија од типот AA и AAA) и вителот кој се создава при празнење на мијалник често се опишуваат како спирали, или како кунисни завојници.
* Втората дефиниција има јасни примери во намотана пружиан или нишка на ДНК, обете се прилично завојни, па затоа таму „завој“ е посоодветен поим од „спирала“. Спирала како поим начелно не се користи кога последователните завои на кривата имаат ист полупречник.
На сликата, заднинската крива на дното е Архимедова спирала, а зелената крива е завојница. Кривата прикажана со црвено е конусна спирала.
Две добро познати спирални просторни криви се ''конусни спирали'' и ''сферни спирали'', дефинирани подолу.
Друг пример за просторна спирала е ''тороидната спирала''. Спиралата намотана околу завојница, наречена и ''двојно усукана завојница'', е претставена на предмети како намотани жички кај светилките.
2.2 Конусни спирали
Ако на <math>x</math>-<math>y</math>-рамнината има спирала со дадена параметарска претстава,
:<math>x=r(\varphi)\cos\varphi \ ,\qquad y=r(\varphi)\sin\varphi</math>
тогаш можеме да додадеме трета координата <math>z(\varphi)</math>, така што добиената просторна крива ќе лежи на конусот со равенката <math>\;m(x^2+y^2)=(z-z_0)^2\ ,\ m>0\;</math>:
*<math>x=r(\varphi)\cos\varphi \ ,\qquad y=r(\varphi)\sin\varphi\ , \qquad \color{red}{z=z_0 + mr(\varphi)} \ .</math>
Спиралите добиени по оваа постапка се нарекуваат конусни спирали.
;Пример
Почнувајќи со ''Архимедова спирала''<math>\;r(\varphi)=a\varphi\;</math> добиваме конусна спирала (погл. дијаграмот)
:<math>x=a\varphi\cos\varphi \ ,\qquad y=a\varphi\sin\varphi\ , \qquad z=z_0 + ma\varphi \ ,\quad \varphi \ge 0 \ .</math>
2.3 Сферни спирали
Секоја цилиндрична картографска проекција може да послужи како основа за сферна спирала: цртаме права линија на картата и на наоѓаме најзината инверзна проекција на сферата, еден вид сферна крива.
Едно од најосновните семејства на сферни спирали се Клелиини криви кои положуваат прави линии на рамноправоаголна проекција. Ова се криви за кои должината и соширината се во линеарен однос, аналогно на односот на Архимедовите спирали на рамнината; со азимутна рамнодалечна проекција Клелиината крива проектира на рамнинска Архимедова спирала.
Ако претставиме единична сфера со сферни координати
:<math>
x = \sin \theta \, \cos \varphi, \quad
y = \sin \theta \, \sin \varphi, \quad
z = \cos \theta,
</math>
тогаш задавањето на линеарната зависност <math> \varphi=c\theta</math> за аголните координати дава параметарска крива изразено со параметарот ,:<math>
\bigl( \sin \theta\, \cos c\theta,\, \sin \theta\, \sin c\theta,\, \cos \theta \,\bigr).
</math>
Друго семејство на сферни спирали се локсодромите кои проектираат прави линии на Меркаторовата проекција. Ова се тракеториите кои ги опишува брод што патува со постојан курс. Секоја локсодрома (освен меридијаните и напоредниците) врти како бесконечна спирала околу полот, и секој следен завој е сè поблиску до него, за разлика од Клелиина крива, која одржува рамномерна оддалеченост во соширина. Со стереографска проекција, локсодромата проектира на логаритамска спирала на рамнината.
3 Во природата
Спиралите во природата се изучуваат веќе долго време. Истакнатиот англиски архитект Кристофер Рен забележал дека многу раковини образуваат логаритамска спирала; холандскиот биолог Јан Свамердам ги увидел заедничките математички особености на различни раковини од лозовиот полжав до спирулата; британскиот природонаучник Хенри Н. Мозли ја опишал математиката на куќичките на полжавите. Во делото ''За растот и обликот'', шкотскиот математичар Дарси Томпсон подробно се занимава со овие спирали. Објаснува како раковините се образуваат се вртење на затворена крива околу неподвижна оска: обликот на кривата останува непроменет, но големината расте со геометриска прогресија. Кај некои раковини како оние на наутилусот и амонитите, творната крива се врти на рамнина нормална на оската, школката создава рамнински дисковиднен облик. Кај други таа следи искривена патека, образувајќи завојноспирален образец. Томпсон ги проучувал и спиралите во роговите, забите, канџите и растенијата.
Х. Фогел предложил модел за образецот на цветчињата кај соцветието на сончоглед. Тој има облик
:<math>\theta = n \times 137,5^{\circ},\ r = c \sqrt{n}</math>
каде ''n'' е индексниот број на цветчето, а ''c'' е постојаниот размерен фактор, и претставува Фермаова спирала. Аголот 137,5° е златен агол кој е поврзан со златниот пресек и им ја дава густината на цветчињата.
4 Поврзано
* Концентрични кружници
* ДНК
* Фибоначиева низа
* Список на спирали
* Трискелион