Отсечка

Во геометријата, отсечка се опишува како дел од права помеѓу две посебни точки на правата. Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.* Во Евклидовата геометрија, за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со <math>\overline{AB}</math> .
* Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.
* Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.
1 Дефиниција на отсечка
Нека А и В се две посебни точки. Отсечката <math>\overline{AB}</math> е множеството на сите точки <math>C=A(1-t)+Bt</math> каде што <math>t \in [0,1]</math> .
2 Средина (средна точка) на отсечка
Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката <math>\overline{AB}</math> е точката <math>C=\frac{A+B}{2}</math> .
*Во 2-димензионален простор: <math>A=(x_1,y_1)</math><math>B=(x_2,y_2)</math>.
Средната точка е: <math>C=\left( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right)</math> .
Пример: Нека <math>A=(-1,3)</math> и <math>B=(2,1)</math>. Средната точка на отсечката <math>\overline{AB}</math> e: <math>C=\left( \frac{-1+2}{2},\frac{3+1}{2} \right)=(0,5;2) </math>.
*Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-''t'')+B''t'' каде што ''t''=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1].
''Пропорционалноста'' важи и потаму. На пример, се заменува ''t''= за да се добие точката C на отсечката која е од патот од А до Во: <math>C= \frac{2}{3} \cdot A + \frac{1}{3} \cdot B</math> .
3 Должина на отсечка
Должината на <math>\overline{AB}</math> e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со <math>| \overline{AB} | \,=\, \delta_{A,B}</math>.
Во 2-димензионален простор:
*Должина на отсечка паралелна со ''х''-оската, односно со крајни точки A=(''x''<sub>1</sub>,''y'') и B=(''x''<sub>2</sub>,''y'') со истата у-координата и ''x''<sub>2</sub>&gt;''x''<sub>1</sub> е: <math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = x_2-x_1</math>.
*Должина на отсечка паралелна со ''y''-оската, односно со крајни точки A=(''x'',''y''<sub>1</sub>) и B=(''x'',''y''<sub>2</sub>) со истата x-координата и ''y''<sub>2</sub>&gt;''y''<sub>1</sub> е: <math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = y_2-y_1</math>.
*Точки: <math>A=(x_1,y_1)</math><math>B=(x_2,y_2)</math>. Должината на <math>\overline{AB}</math> е:
<math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>
Пример: Нека <math>A=(-1,3)</math> и <math>B=(2,1)</math>. Должината на отсечката <math>\overline{AB}</math> e: <math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(2-(-1))^2+(1-3)^2}=\sqrt{13} \approx 3,6</math>.
Во 3-димензионален простор:
*Точки: <math>A=(x_1,y_1,z_1)</math><math>B=(x_2,y_2,z_2)</math>. Должината на <math>\overline{AB}</math> е:
<math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}</math>
Доказ: Се користи Питагорова теорема.*Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што ''x''<sub>2</sub>&gt;''x''<sub>1</sub> и ''y''<sub>2</sub>&gt;''y''<sub>1</sub>. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |''x''<sub>2</sub> - ''x''<sub>1</sub>| и |''y''<sub>2</sub> - ''y''<sub>1</sub>|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|''x''|)<sup>2</sup>=''x''<sup>2</sup>, знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
*Во 3Д: Двапати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка <math>B'=(x_2,y_2,z_1)</math> со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина ''z''=''z''<sub>1</sub>. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што <math>| \overline{AB'} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>. Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В забележувајќи дека <math>| \overline{BB'} | = \sqrt{(z_2-z_1)^2}</math> за да се доби дадената формула.
4 Крајни точки
Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е.
*крајна точка е вклучена во отсечката ако точката е означена со полна кружница и
*крајна точка е исклучена во отсечката ако точката е означена со празна кружница и
Има 4 можни случаи.
*затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
*отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
*полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
*полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.
Затворена отсечка''t''&isin; [0,1], Отворена отсечка''t''&isin; (0,1), Полуотворена отсечка''t''&isin; [0,1), Полуотворена отсечка''t''&isin; (0,1]
5 Ориентирана отсечка
При дефиницијата: C=A(1-''t'')+B''t'', ''t''&isin; [0,1] следува дека
* Кога ''t''=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
* Кога ''t''=1, C=В e крајната точка на отсечката.
Тоа значи дека самиот интервал ''t''&isin; [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.
5.1 Параметарски облик на отсечка
Нека се дадени две точки А(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) и B=(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>,z<sub>2</sub>).
*Параметарски облик на ориентираната отсечка која почнува во А, а завршува во В е ограничување на параметарскио облик на правата која врви низ А и В за ''t''&isin; [0,1], односно
<math>\left\{ {\begin{array}{*{20}{l {x(t) = {x_1}+{a}t }\\ {y(t) = {y_1}+{b}t }\\{z(t) = {z_1}+{c}t } \end{array \right.</math> каде што <math>{ a = (x_2-x_1)}, \, { b = (y_2-y_1)} , \, { c = (z_2-z_1)}</math> , <math>t \in [0,1]</math>
(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)
6 Отсечка и векторски простори
Ако ''V'' е векторски простор над <math>\mathbb{R}</math> или <math>\mathbb{C}</math>, и ''L'' е подмножество на ''V'', тогаш ''L'' е (затворена) отсечка ако ''L'' може да се пиши во параметарски облик како: <math>L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}</math> за некои вектори <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!</math>. Во тој случај векторите u и се викаат крајните точки на ''L''. (Ако ''t''&isin; (0,1), отсечката е ''отворена''.)
7 Поврзани теми
*Права (геометрија)
*Полуправа
*Интервал
*Наклон
*Аналитичка геометрија
*Крива