Итериран лимес

Во повеќедимензионалната математичка анализа, итериран лимес или итерирана гранична вредност или повторувачки лимес е лимес на низа или лимес на функција запишан како
:<math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty} a_{n,m} \right) \, ,</math>:<math>\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) = \lim_{y \to b} \left( \lim_{x \to a} f(x, y) \right) \, ,</math>
или од сличен облик.
Итериран лимес се дефинира само за функција од најмалку две независни променливи. За да се определи таквиот лимес најпрвин се пресметува лимес по една од променливите, а сите останати независни променливи се разгледуваат како да се константи. Како резултат добива израз чија вредност зависи, т.е. е функција само од променливите кои ги разгледувавме како да се константи. Значи, се добива функција која зависи од променливи кои се на број за еден помалку отколку кај почетната функција. Потоа процесот се повторува онолку пати колку што има променливи во почетната функција.
1 Видови на итерирани лимеси
Во овој дел ќе воведеме дефиниции за итерирани лимеси од функции со две променливи. Таквите дефиниции може лесно да се генерализираат на функции со повеќе променливи.
1.1 Итериран лимес на низа
За секои <math>n, m \in \mathbf{N}</math>, нека <math>a_{n,m} \in\R</math> е реална двојна низа. Постојат два типа на итерирани лимеси. Имено
:<math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} \qquad \text{и} \qquad \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m}</math>.
На пример, нека
:<math>a_{n,m} = \frac{n}{n+m}</math> .
Тогаш
:<math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{m \to \infty} 1 = 1</math>:: додека
<math>\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} 0 = 0</math> .
1.2 Итериран лимес на функција
За функција од две независни променливи <math>f:X\times Y \rightarrow \R</math> постојат два итерирани лимеса
:<math>\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) \qquad \text{и} \qquad \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)</math> .
На пример, нека <math>f : \R^2\setminus\{(0,0)\} \to \R</math> е функцијата дадена со
:<math>f(x,y) = \frac{x^2}{x^2+y^2}</math> .
: Итерираните лимеси се
:<math>\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2+y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{0^2}{0^2+y^2}
= \lim_{y \to 0}0 = 0
\quad \mbox{и} \quad
\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\frac{x^2}{x^2+y^2}
= \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2+0^2}
= \lim_{x \to 0} 1 = 1 \, .</math>
Лимесите може да се бараат и во случајот кога ''<math>x</math>'' и/или <math>y</math> се стремат кон бесконечност, т.е.
:<math>\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y) \qquad \text{и} \qquad \lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y)</math> .
1.3 Итериран лимес на низа од функции
Ако за секој <math>n \in \N</math>, <math>f_n : X \to \R</math> е функција, тогаш <math>(f_n)_n</math> е низа од функции. Притоа постојат два типа на итерирани лимеси на ваквите низи
:<math>\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to a} f_n(x) \qquad \text{и} \qquad \lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x)</math> .
На пример, нека општиот член на низата функции <math>f_n : [0, 1] \to\R</math> е даден со <math>f_n(x) = x^n \, .</math> Тогаш
:<math>\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to 1} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1</math>, и
:<math>\lim_{x \to 1} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{x \to 1} 0 = 0 \, .</math>
Лимесите може да се пресметуваат и кога <math>x</math> се стреми кон бесконечност, т.е.
:<math>\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to \infty} f_n(x) \qquad \text{и} \qquad \lim_{x \to \infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \, .</math>
На пример, нека за секој <math>n \in \N</math> функцијата <math>f_n : (0, \infty) \to \R</math> е дадена со
<math>f_n(x) = \frac{1}{x^n} \,.</math>
Едниот итериран лимес во овој случај е
:<math>\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0</math>: додека другиот итериран лимес <math>\lim_{x \to \infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x)</math> во општ случај не постои.
Забележете дека границата по <math>n</math> е дискретна, додека кај границата по <math>x</math>, променливата се менува непрекинато.
2 Споредба со други видови на лимеси од повеќе променливи
Во овој дел се дадени различни дефиниции за лимесите од функции со две променливи. Тие може лесно да се генерализираат на функции со повеќе променливи.
2.1 Лимес на низа
За двојна низа <math>a_{n,m} \in\R</math> постои уште една дефиниција за лимес, кој најчесто се нарекува двоен лимес и се означува со
:<math>L = \lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m}</math> ,
што значи дека за секој <math>\epsilon > 0</math>, постои <math>N=N(\epsilon) \in \N</math> така што ако <math>n,m > N</math>, тогаш <math>\left| a_{n,m} - L \right| < \epsilon</math>.
Следнава теорема ја дава врската помеѓу двојниот лимес и итерираните лимеси.
: Теорема 1. Ако <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m}</math> постои и е еднаков на <math>L</math>, тогаш <math>\lim_{n \to \infty}a_{n,m}</math> постои за секој доволно голем <math>m\, ,</math> и <math>\lim_{m \to \infty}a_{n,m}</math> постои за секоj доволно голем <math>n\, ,</math> тогаш итерираните лимеси <math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m}</math> и <math>\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m}</math> исто така постојат и се еднакви на <math>L</math>, т.е.
::::<math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m}</math>.''Доказ''. Oд постоењето на <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m}</math> за кој било <math>\epsilon > 0</math>, постои <math>N_1=N_1(\epsilon) \in \mathbb{N}</math> таков што за <math>n,m > N_1</math> важи <math>\left| a_{n,m} - L \right|< \frac{\epsilon}{2} \, .</math>
Нека за секој <math>n > N_0</math> за кој што постои <math>\lim_{n \to \infty}a_{n,m}=A_{n} \, ,</math> постои <math>N_2=N_2(\epsilon) \in \mathbb{N}</math> таков што за <math>m > N_2</math> важи <math>\left| a_{n,m} - A_{n} \right|< \frac{\epsilon}{2}\, .</math>
И двата горенаведени искази се точни за <math>n > \max\{N_0,N_1\}</math> и <math>m > \max\{N_1,N_2\} \, .</math> Со комбинирање на двете горенаведените равенки, за кој било <math>\epsilon > 0</math> постои <math>N=N(\epsilon) \in \mathbb{N}</math> така што за сите <math>n > N \, ,</math> важи
<math>\left | A_{n} - L \right|< \epsilon \, ,</math>
со што докажавме дека <math>\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m} \displaystyle \, .</math> Слично, за <math>\lim_{m \to \infty}a_{n,m}</math> се докажува дека: <math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m} \, .</math>
На пример, нека
<math>a_{n,m} = \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \, .</math>
Бидејќи <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m} = 0</math>, <math>\lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \frac{1}{m}</math>, и <math>\lim_{m \to \infty}a_{n,m} = \frac{1}{n}</math>, имаме
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m}
= \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m}
= \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = 0 \, .</math>
Во претходната теорема услов е да постојат поединечните лимеси <math>\lim_{m \to \infty}a_{n,m}</math> и <math>\lim_{n \to \infty}a_{n,m}</math> и тој не може да се отфрли. На пример, ако
:<math>a_{n,m} = (-1)^m\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right)\, ,</math>
тогаш <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrixa_{n,m}
= \lim_{m \to \infty} \lim_{n\to \infty} a_{n,m} = 0 </math>, но <math>\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m}</math> не постои затоа што <math>\lim_{m \to \infty} a_{n,m}</math> не постои за фиксeн <math>n\, .</math>
2.2 Лимес на функција
За функција со две променливи <math>f : X \times Y \to \mathbb{R}</math>, постојат два други типа на лимеси. Едниот е обичниот лимес означен со
:<math>L = \lim_{(x,y) \to (a, b)} f(x, y)</math>
што значи дека за секој <math>\epsilon > 0</math>, постои <math>\delta=\delta(\epsilon) > 0</math> таков што од <math>0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta </math> следува дека <math>\left| f(x,y) - L \right| < \epsilon</math>.
За да постои оваа гранична вредност <math>f(x,y)</math> може да се земе да биде доволно блиску до <math>L</math> долж секоја можна патека која минува низ точката <math>(a,b) \, .</math> Во оваа дефиниција, точката <math>(a,b)</math> не мора да лежи на патеките. Според тоа, вредноста на <math>f</math> во точката <math>(a,b)</math>, дури и ако е дефинирана во неа, не влијае на границата.
Другиот тип на лимес е двојниот лимес, означен со
:<math>L = \lim_{\begin{smallmatrix}
x \to a \\ y \to b
\end{smallmatrix f(x,y)</math>
што значи дека за секој <math>\epsilon > 0 \, ,</math> постои <math>\delta=\delta(\epsilon) > 0</math> таков што ако <math>0 < \left|x - a \right| < \delta</math> и <math>0 < \left|y - b \right| < \delta</math>, тогаш <math>\left| f(x,y) - L \right| < \epsilon</math>.
За да постои овoj лимес <math>f(x,y)</math> треба да може да прими вредности кои се произволно блиски до <math>L</math> кога <math>(x,y)</math> се доближува кон точката <math>(a,b)</math> по секоја можна патека, освен по правите <math>x=a</math> и <math>y=b \, .</math> Со други зборови, вредноста на <math>f</math> долж правите <math>x=a</math> и <math>y=b </math> не влијае на границата. Ова е различно отколку кај обичниот лимес каде што е исклучена само точката <math>(a,b) \, .</math> Во оваа смисла, обичниот лимес е посилен поим од двојниот лимес:
Теорема 2. Ако <math>\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)</math> постои и е еднакoв ''на <math>L</math>'', тогаш <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to a \\ y \to b
\end{smallmatrix f(x, y)</math> постои и е еднаков ''на <math>L</math>'', т.е.
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to a \\ y \to b
\end{smallmatrix f(x, y) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)\, .</math>
Во секој од овие лимеси не се бара прво да се пресмета еден лимес, а потоа друг. Ова е во контраст со итерираните лимеси кај кои процесот на барање на лимес се зема прво во <math>x-</math>насоката, а потоа во <math>y-</math>насоката (или во обратен редослед).
Следнава теорема ја дaва врската помеѓу двојниот лимес и итерираните лимеси:
Теорема 3 . Ако <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to a \\ y \to b
\end{smallmatrix f(x, y)</math> постои и е еднаков ''на <math>L\, ,</math>''<math>\lim_{x \to a} f(x,y)</math> постои за секој <math>y</math> во околина на <math>b\, ,</math> и <math>\lim_{y \to b} f(x,y)</math> постои за секој <math>x</math> во околина на <math>a \, ,</math> тогаш <math>\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)</math> и <math>\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y)</math> исто така постојат и тие се еднакви на <math>L \, ,</math> т.е.
:<math>\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) = \lim_{\begin{smallmatrix}
x \to a \\ y \to b
\end{smallmatrix f(x, y)</math> .
:
На пример, нека
:<math>f(x,y) = \begin{cases}
1 \quad \text{for} \quad xy \ne 0 \\
0 \quad \text{for} \quad xy = 0
\end{cases}</math>
Бидејќи <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to 0 \\ y \to 0
\end{smallmatrix f(x, y) = 1 \, ,</math><math>\lim_{x \to 0} f(x, y) = \begin{cases}
1 \quad \text{for} \quad y \ne 0 \\
0 \quad \text{for} \quad y = 0
\end{cases}</math> и <math>\lim_{y \to 0} f(x, y) = \begin{cases}
1 \quad \text{for} \quad x \ne 0 \\
0 \quad \text{for} \quad x = 0
\end{cases} \, ,</math> имаме
:<math>\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y) = 1 \, .</math>:Од друга страна, лимесот <math>\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x, y)</math> не постои.
Во оваа теорема се бара секој од лимесите <math>\lim_{x \to a} f(x, y)</math> и <math>\lim_{y \to b} f(x, y)</math> да постои. Овој услов не може да се отфрли.
На пример, ако
:<math>f(x, y) = x \sin \left( \frac{1}{y} \right)\, ,</math>
тогаш може да видиме дека
<math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to 0 \\ y \to 0
\end{smallmatrix f(x, y) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y) = 0\,,</math>
но <math>\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y)</math> не постои бидејќи во околина на <math>0 </math> не постои лимесот <math>\lim_{y \to 0} f(x,y) =0 \,.</math>
Комбинирајќи ги теоремите 2 и 3, ја добиваме следнава последица:
Последица 3.1 . Ако <math>\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y)</math> постои и е еднаков ''на''<math>L\,,</math><math>\lim_{x \to a} f(x,y)</math> постои за секој <math>y</math> во околина на <math>b</math> и <math>\lim_{y \to b} f(x,y)</math> постои за секој <math>x</math> во околина на <math>a \, ,</math> тогаш постојат и лимесите <math>\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)</math> и <math>\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y)</math> и тие се еднакви на <math>L\,,</math> т.е.
:<math>\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x, y) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y)</math> .
2.3 Лимеси на функција во бесконечност
За функција од две променливи <math>f : X \times Y \to \R</math>, можеме да го дефинираме двојниот лимес во бесконечност
:<math>L = \lim_{\begin{smallmatrix}
x \to +\infty \\ y \to +\infty
\end{smallmatrix f(x,y) \, .</math>
што значи дека за секој <math>\epsilon > 0</math>, постои <math>M = M(\epsilon) > 0</math> така што ако <math>x > M</math> и <math>y > M</math>, тогаш <math>\left| f(x,y) - L \right| < \epsilon</math> .
Слични дефиниции може да се дадат за лимесите кога променливите се стремат кон <math>-\infty \,.</math>
Следнава теорема ја дава врската помеѓу двојниот лимес во бесконечност и итерираните лимеси во бесконечност:
: Теорема 4 . Ако <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to \infty \\ y \to \infty
\end{smallmatrix f(x, y)</math> постои и е еднакво ''на <math>L,</math>''<math>\lim_{x \to \infty} f(x,y)</math> постои за секој доволно голем <math>y,</math> и <math>\lim_{y \to \infty} f(x,y)</math> постои за секој доволно голем <math>x,</math> тогаш <math>\lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y)</math> и <math>\lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y)</math> исто така постојат, и тие се еднакви на <math>L</math>, т.е.
::<math>\lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y) = \lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y) = \lim_{\begin{smallmatrix}
x \to \infty \\ y \to \infty
\end{smallmatrix f(x, y) \, .</math>
На пример, нека
:<math>f(x,y) = \frac{x\sin y}{xy + y} \, .</math>: Имаме дека
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to \infty \\ y \to \infty
\end{smallmatrix f(x, y) = 0,
\lim_{x \to \infty}f(x, y) = \frac{\sin y}{y} </math> и <math>\lim_{y \to \infty} f(x, y) = 0 \, .</math>: Според тоа,
:<math>\lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} f(x, y) = \lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} f(x, y) = 0\, . </math>:
И во оваа теорема се бара да постојат поединечните лимеси <math>\lim_{x \to \infty} f(x, y)</math> и <math>\lim_{y \to \infty} f(x, y)</math> и oвој услов не може да се отфрли. На пример, ако <math>f(x, y) =\frac{\cos x}{y} \, ,</math> тогаш
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to \infty \\ y \to \infty
\end{smallmatrix f(x, y) =
\lim_{x \to \infty}\lim_{y \to \infty}f(x, y) = 0, </math>: но итерираниот лимес <math>\lim_{y \to \infty}\lim_{x \to \infty}f(x, y) </math> не постои бидејќи за фиксен <math>y </math> не постои <math>\lim_{x \to \infty}f(x, y) \, . </math>
2.4 Обратните насоки на теоремите не важат
Обратните насоки на теоремите 1, 3 и 4 во општ случај не се точни, т.е. од постоењето на итерираните лимеси (дури и нивната еднаквост) не секогаш следува постоење на двојниот лимес. Како контра-пример може да се земе функцијата
<math>f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2} \,. </math>
Од една страна,
:<math>\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x, y) = \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x, y) = 0 \, ,</math>
a од друга страна, двојниот лимес <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to \infty \\ y \to \infty
\end{smallmatrix f(x, y) </math> не постои. Ова може да се види ако прво се земе лимесот долж патеката <math>(x,y) = (t,t) \rightarrow (0,0)</math>:
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix}
t \to 0 \\ t \to 0 \end{smallmatrix f(t,t) = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^2+t^2} = \frac{1}{2}\, ,</math>: а потоа долж патеката <math>(x,y) = (t,t^2) \rightarrow (0,0)</math>:
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix}
t \to 0 \\ t^2 \to 0
\end{smallmatrix f(t,t^2) = \lim_{t \to 0} \frac{t^3}{t^2+t^4} = 0 \, .</math>
3 Tеорема на Мур-Озгуд за смена на редоследот на лимесите
Во горенаведените примери, може да видиме дека при смена на лимесите може, но не мора да се добие истиот резултат. Доволен услов за непроменливост на резултатот при пермутација на лимесите е даден со теоремата Мур-Озгуд. Суштината на заменливоста е рамномерната конвергенција.
3.1 Смена на редоследот на лимесите кај низи
Следната теорема ни кажува кога може да се смени редоследот на лимесите кај низи.
:: Teoрема 5. Ако <math>\lim_{n \to \infty} a_{n,m} = b_m</math> рамномерно (по <math>m</math>) и ако <math>\lim_{m \to \infty} a_{n,m} = c_n</math> за секој доволно голем <math>n \,,</math> тогаш лимесите <math>\lim_{m \to \infty} b_m</math> и <math>\lim_{n \to \infty} c_n</math> постојат и се еднакви на двојниот лимес, т.e.
::<math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{n,m} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{n,m} = \lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m}</math>.::''Доказ''. Заради рамномерната конвергенција, за кој било <math>\epsilon > 0</math> постои <math>N_1(\epsilon)\in \N</math> таков што за сите <math>m \in \N</math>, <math>n, k > N_1</math> ќе важи<math>\left| a_{n,m} - a_{k,m} \right| < \frac{\epsilon}{3}</math> .
::Кога <math>m \to \infty</math>, имаме <math>\left|c_{n} - c_{k} \right| < \frac{\epsilon}{3}</math>, што значи дека <math>(c_n)_n</math> е Кошиева низа која конвергира кон <math>L \, .</math> Покрај тоа, кога <math>k \to \infty</math>, имаме <math>\left|c_n - L\right| < \frac{\epsilon}{3}</math> .
::Од друга страна, ако прво земеме <math>k \to \infty</math>, имаме
::<math>\left| a_{n,m} - b_m \right| < \frac{\epsilon}{3} \, .</math>::Од конвергенцијата по точки, за кои било <math>\epsilon > 0</math> и <math>n > N_1 \, ,</math> постои <math>N_2(\epsilon, n) \in \N</math> така што за <math>m > N_2</math> ќе важи
::<math>\left| a_{n,m} - c_n \right| < \frac{\epsilon}{3}\, .</math>::Тогаш, за избраните <math>n</math>, <math>m > N_2</math> ќе важи
::<math>\left| b_m - L \right| \le \left| b_m - a_{n,m} \right| + \left| a_{n,m} - c_n \right| + \left| c_n - L \right| \le \epsilon \, .</math>::Со ова докажавме дека <math>\lim_{m \to \infty}b_m = L = \lim_{n \to \infty}c_n</math> .
::На крај, ако земеме <math>N = \max\{N_1, N_2\}</math>, гледаме дека и оваа граница е еднаква <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix a_{n,m}</math> со што теоремата е докажана.
Следнава последица се однесува на заменливоста на бројачите во бесконечен ред.
:Последица 5.1 . Ако редот <math>\sum^\infty_{n=1} a_{n,m}</math> конвергира рамномерно (по <math>m</math>), и ако редот <math>\sum^\infty_{m =1} a_{n,m}</math> конвергира за секое доволно големо <math>n\, ,</math> тогаш <math>\sum^\infty_{m=1} \sum^\infty_{n=1} a_{n,m} = \sum^\infty_{n=1} \sum^\infty_{m=1} a_{n,m}</math> .
::''Доказ''. Со директна примена на теоремата 5 на функцијата <math>S_{k,\ell} = \sum_{m=1}^k \sum_{n=1}^\ell a_{n,m}</math>.
3.2 Смена на редоследот на лимесите кај функции
Слични резултати како кај низите важат за функциите од повеќе променливи.
: Теорема 6 . Ако <math>\lim_{x \to a} f(x,y) = g(y)</math> рамномерно (по <math>y</math>) на <math>Y \setminus\{b\}</math> и <math>\lim_{y \to b} f(x,y) = h(x)</math> за секој <math>x</math> во околина на <math>a</math>, тогаш и двата лимеса <math>\lim_{y \to b} g(y)</math> и <math>\lim_{x \to a} h(x)</math> постојат и се еднакви на двојниот лимес, т.е.
::<math>\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x,y) = \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x,y) = \lim_{\begin{smallmatrix}
x \to a \\ y \to b
\end{smallmatrix f(x,y)</math>. Во оваа теорема лимесите може да се земат кога <math>a</math> и/или <math>b</math> се конечни или бесконечни.
::''Доказ'' . Од рамномерната конвергенција, за кој било <math>\epsilon > 0</math> постои <math>\delta_1(\epsilon) > 0</math> така што за сите <math>y \in Y \setminus \{b\}</math>, <math>0 <\left|
x - a \right| < \delta_1</math> и <math>0 <\left|
w - a \right| < \delta_1</math> ќе важи <math>\left| f(x,y) - f(w,y) \right| < \frac{\epsilon}{3}</math> .
: Кога <math>y \to b \, ,</math> имаме <math>\left|h(x) - h(w) \right| < \frac{\epsilon}{3} \, .</math> Според критериумот на Коши, <math>\lim_{x\to a}h(x)</math> постои и е еднаков на бројот <math>L</math> . Покрај тоа, кога <math>w \to a</math>, имаме <math>\left|h(x) - L\right| < \frac{\epsilon}{3} \, .</math>: Од друга страна, ако прво земеме дека <math>w \to a \, ,</math> имаме <math>\left| f(x,y) - g(y) \right| < \frac{\epsilon}{3} \, .</math>: Од постоењето на границата по точки, за било кој <math>\epsilon > 0</math> и <math>x</math> во околина на <math>a\, ,</math> постои <math>\delta_2(\epsilon, x) > 0</math> таков што ако <math>0 < \left| y - b \right| < \delta_2</math>, тогаш ќе важи
:<math>\left| f(x,y) - h(x) \right| < \frac{\epsilon}{3} \, .</math>: Сега, за избраниот <math>x</math>, <math>0 < \left| y - b \right| < \delta_2</math> па добиваме
::<math>\left| g(y) - L \right| \le \left| g(y) - f(x,y) \right| + \left| f(x,y) - h(x) \right| + \left| h(x) - L \right| \le \epsilon \, .</math>:: Со ова докажавме дека <math>\lim_{y \to b}g(y) = L = \lim_{x \to a}h(x)</math> .
: Aко, пак, земеме <math>\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}</math>, гледаме дека и <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
x \to a \\ y \to b
\end{smallmatrix f(x,y) =L \, .</math>
Забележете дека од оваа теорема не следува дека постои <math>\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)</math> . Еден контра-пример е функцијата <math>f(x,y) = \begin{cases}
1 \quad \text{for} \quad xy \ne 0 \\
0 \quad \text{for} \quad xy = 0
\end{cases}</math> во околина на (0,0). Ова е затоа што <math>\lim_{y \to 0} f(x,y)</math> не постои за ''x'' во околина на 0.
3.3 Смена на редоследот на лимесите кај низи од функции
Една важна варијација на теоремата Мур-Озгуд е онаа за низи од функции.
: Теорема 7 . Ако <math>\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)</math> рамномерно (по <math>x</math>) на <math>X\setminus\{a\}</math>, и <math>\lim_{x \to a} f_n(x) = L_n</math> за секое големо <math>n</math>, тогаш и двата лимса <math>\lim_{x \to a} f(x)</math> и <math>\lim_{n \to \infty} L_n</math> постојат и се еднакви, т.е.
::<math>\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to a} f_n(x) = \lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) </math>. Во овие изрази <math>a</math> овде може да биде бесконечност.
:''Доказ''. Заради рамномерната конвергенција, за кој било <math>\epsilon > 0</math> постои <math>N(\epsilon)\in\N</math> таков што за секој <math>x \in D\setminus\{a\}</math>, <math>n, m > N</math> ќе важи<math>\left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \frac{\epsilon}{3}\, .</math>:Кога <math>x \to a</math>, имаме <math>\left|L_n - L_m \right| < \frac{\epsilon}{3} \, ,</math> што значи дека <math>L_n</math> е Кошиева низа која конвергира кон <math>L \, .</math> Покрај тоа, кога <math>m \to \infty</math>, имаме <math>\left|L_n - L\right| < \frac{\epsilon}{3} \, .</math>:Од друга страна, ако прво земеме дека <math>m \to \infty \, ,</math> тогаш имаме <math>\left| f_n(x) - f(x) \right| < \frac{\epsilon}{3} \, .</math>:Од постоењето на границата по точки, за кои било <math>\epsilon > 0</math> и <math>n > N \, ,</math> постои <math>\delta(\epsilon, n) > 0</math> таков што ако <math>0 < \left| x - a \right| < \delta\, ,</math> тогаш <math>\left| f_n(x) - L_n \right| < \frac{\epsilon}{3} \, .</math>:Сега, за избраниот <math>n\, ,</math> aко <math>0 < \left| x - a \right| < \delta</math> тогаш
:<math>\left| f(x) - L \right| \le \left| f(x) - f_n(x) \right| + \left| f_n(x) - L_n \right| + \left| L_n - L \right| \le \epsilon \, .</math>: Со ова докажавме дека <math>\lim_{x \to a}f(x) = L = \lim_{n \to \infty}L_n</math> .
Следнава последица е теоремата за непрекинатост при рамномерма конвергенција:
: Последица 7.1 . Ако <math>\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)</math> рамномерно (по <math>x</math>) на <math>X</math>, и <math>f_n(x)</math> се непрекинати во <math>x=a \in X</math>, тогаш <math>f(x)</math> е, исто така, непрекината во <math>x=a</math> .
: Со други зборови, лимесот на низа од непрекинати функции која конвергира рамномерно е непрекината функција.
:''Доказ''. Од теоремата 7, <math>\lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \lim_{x\to a} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(a) = f(a) \, . </math>
Друга последица е тврдењето за можност за смена на редоследот на лимесот и знакот за сума кај редовите .
: Последица 7.2 . Ако <math>\sum^\infty_{n=0} f_n(x)</math> рамномерно конвергира (по <math>x</math>) на <math>X \setminus \{a\} \, ,</math> и <math>\lim_{x \to a} f_n(x)</math> постои за секоj доволно голем <math>n</math>, тогаш
:<math>\lim_{x \to a} \sum^\infty_{n=0} f_n(x) = \sum^\infty_{n=0} \lim_{x \to a} f_n(x)\, .</math>:''Доказ''. Точноста на тврдењето се добива со директна примена на теорема 7 на <math>S_k(x) = \sum_{n=0}^k f_n(x)</math> во близина <math>x = a</math> .
4 Апликации
4.1 Збир на членови во бесконечна матрица
Да ја разгледаме бесконечната матрица
:<math>\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 1 & -1 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & 1 & -1 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}</math> .
Да претпоставиме дека сакаме да го најдеме збирот на сите нејзини членови. Ако прво ги сумираме членовите по колони, ќе добиеме дека во првата колона збирот е 1, додека во сите други колони збировите се нули. Значи, збирот на членовите во сите колони е 1. Меѓутоа, ако ги собираме членовите по редици, ќе добиеме дека збирот на членовите на секоја од редиците е 0. Значи, би добиле дека збирот на сите членови по редици е 0.
Објаснувањето за овој парадокс е дека собирањето по колони до бесконечност и собирањето по редици до бесконечност се два гранични процеси кои не можат да се заменат. Нека <math>S_{n,m}</math> е збирoт на членовите до записот на позиција <math>({n,m})</math>. Тогаш имаме <math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} S_{n,m} = 1</math>, но <math>\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} S_{n,m} = 0</math>. Во овој случај, двојниот лимес <math>\lim_{\begin{smallmatrix}
n \to \infty \\ m \to \infty
\end{smallmatrix S_{n,m}</math> не постои. Според тоа, заклучуваме дека овој проблем не е добро дефиниран.
4.2 Интеграција над неограничен интервал
Со теоремата за интеграција кај рамномерна конвергенција, откако ќе добиеме дека <math>\lim_{n \to \infty} f_n(x)</math> рамномерно конвергира на <math>X,</math> лимесот по <math>n</math> и знакот за интеграл на ограничен интервал <math>[a, b] \subseteq X</math> може да си ги сменат местата:
:<math> \lim_{n\to \infty} \int_a^b f_n(x) \mathrm{d}x = \int_a^b \lim_{n\to \infty} f_n(x) \mathrm{d}x</math> .
Сепак, таквото својство не мора да важи кај несвојствен интеграл над неограничен интервал <math>[a, \infty) \subseteq X</math>. Во овој случај, може да се искористи теоремата на Мур-Озгуд.
На пример, нека <math>L = \int_0^\infty \frac{x^2}{e^x - 1} \mathrm{d}x = \lim_{b\to \infty} \int_0^b\frac{x^2}{e^x - 1} \mathrm{d}x </math>.
Прво го претставуваме интеграндот како ред <math>\frac{x^2}{e^x - 1} = \frac{x^2 e^{-x{1- e^{-x = \sum_{k=0}^\infty x^2 e^{-kx}</math> за <math>x \in [0, \infty) \, </math> (тука лимесот е во точката ''<math>x=0</math>''). Може да се докаже со методите на математичката анализа дека за <math>x \in [0, \infty)</math> и <math>k \ge 1</math>, имаме <math>x^2 e^{-kx} \le \frac{4}{e^2 k^2} \, .</math> Од М-тестот на Вајерштрас, следува дека <math>\sum_{k=0}^\infty x^2 e^{-kx}</math> рамномерно конвергира на <math>[0, \infty) \, .</math>
Од теоремата за интеграција кај рамномерна конвергенција добиваме
<math>L = \lim_{b \to \infty} \int_0^b \sum_{k=0}^\infty x^2 e^{-kx} \mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} \sum_{k=0}^\infty \int_0^b x^2 e^{-kx} \mathrm{d}x \, .</math>
За смена на редоследот на лимесот <math>\lim_{b \to \infty}</math> и бесконечната сума <math>\sum_{k=0}^\infty \, ,</math> во теоремата на Мур-Озгуд се бара редот да биде рамномерно конвергентен.
Забележете дека <math>\int_0^b x^2 e^{-kx}\mathrm{d}x \le \int_0^\infty x^2 e^{-kx} \mathrm{d}x = \frac{2}{k^3} \,.</math> Повторно, од М-тестот на Вајерштрас, редот <math>\sum_{k=0}^\infty \int_0^b x^2 e^{-kx}</math> рамномерно конвергира на <math>[0, \infty) \, .</math>
Сега, според теоремата на Мур-Озгуд,
<math>L = \lim_{b \to \infty} \sum_{k=0}^\infty \int_0^b x^2 e^{-kx} = \sum_{k=0}^\infty \lim_{b \to \infty} \int_0^b x^2 e^{-kx} = \sum_{k=0}^\infty \frac{2}{k^3} = 2 \zeta(3) \,</math>
каде <math>\zeta</math> е Римановата зета-функција.
5 Поврзано
* Лимес на низа
* Лимес на функција
* Рамномерна конвергенција