Кинематика

Кинематика (од |κινειν, ''се движи'') — во физиката претставува гранка на механиката која го проучува математичкото опишување (со помош на геометријата, алгебрата, математичката анализа итн) на движењата на идеализираните тела (материјална точка, апсолутно тврдо тело, идеална течност), без да ги разгледува причините за тие движења (маса, сила итн.). Основни поими во кинематиката се простор и време. На пример, ако едно тело се движи по кружна линија, тогаш кинематиката претпоставува неопходност од постоење на центростремително забрзување без да појасни каква природа има силата, односно причинителот на забрзувањето. Причините за механичкото движење се предмет на проучување на друга гранка на механиката, а тоа е динамиката.
Се разликува класична кинематика, во која просторните (должински сегменти) и временските (временски интервали) одлики на движењето се сметаат за апсолутни, односно тие не зависат од избраниот појдовен систем и релативноста. Крајните должински сегменти и временски интервали меѓу два настана можат да се менуваат при преодот од еден појдовен систем во друг. Во релативистичката механика наместо одделните поими простор и време се јавува поимот простор-време, во кој како инваријантна величина во однос на Лоренцовата претворба се јавува интервалот.
1 Основни поими
*''Појдовен систем'' (наречен и „појдовен систем“) — кој се споредува со континуумот на реалните или замислени координати на појдовните тела и прибор(и) за мерење на времето (часовници). Се користи за опишување на движењето.
*''Координати'' — за определување на положбата на точката или телото со помош на бројки или други симболи.
*''Полупречник-вектор'' — се користи за одредување на положбата на точката во просторот во однос на некоја фиксирана точка наречена координатен почеток.
*''Траекторија'' — непрекината линија која ја опишува материјалната точка при нејзиното движење.
*''Брзина'' — векторска величина која ја карактеризира брзината на поместувањето и насоката на движење на материјалната точка во просторот во однос на даден појдовен систем.
*''Забрзување'' — векторска величина што покажува за колку се променил векторот на брзината на точката (телото) при нејзиното/неговото движење за единица време.
*''Аголна брзина'' — векторска величина која ја карактеризира брзината на ротација на телото.
*''Аголно забрзување'' — величина што ја карактеризира брзината на менување на аголната брзина.
2 Задачи на кинематиката
Како главна задача на кинематиката се јавува математичкото определување на положбата и одликите на механичкото движење на точките или телата во текот на времето (со помош на равенки, графици, табели итн.). Секое движење се проучува во даден појдовен систем. Исто така, кинематиката се занимава со проучување на сложените движења (движења во два појдовни системи кои заемно се поместуваат).
Положбата на точката (или телото) во однос на даден појдовен систем се определуваат со некои количествени заемно независни функции од координати:
:<math>~ p_1 = f_1(t)</math>:<math>~ p_2 = f_2(t)</math>:<math>~ \dots</math>:<math>~ p_\mathrm{n} = f_\mathrm{n}(t)</math>,
каде <math>n</math> го определува количеството на степените на слободата. Бидејќи една точка не може да се најде на неколку места едновремено, сите функции <math>f_i(t)</math> се еднозначни. Исто така, во класичната механика се јавува потреба од нивно диференцирање на интервали. Изводите на овие функции ја определуваат брзината на телото.
Брзината на движењето се дефинира како извод на координатите по времето:
:<math> v_1 = \frac{d p_1 (t)}{dt}</math>:<math> v_2 = \frac{d p_2 (t)}{dt}</math>:<math>~ \dots</math>:<math> v_n = \frac{d p_n (t)}{dt}</math>:<math> \vec v = v_1 \vec \tau_1 + v_2 \vec \tau_2 + .... + v_n \vec \tau_n </math>,
каде <math>\vec \tau_i</math> — единични вектори, насочени долж соодветните координати.
Забрзувањето се определува како извод на брзината по времето:
:<math>\vec a = {d{\vec v (t)} \over dt}</math>
Според ова, карактерот на движењето е можно да се одреди ако се знае зависноста на брзината и забрзувањето од времето. А доколку ни се познати и вредностите на брзината/координатите во даден момент од времето, тогаш движењето е во целост зададено.
3 Поделба според објектот на проучување
Во зависност од својствата на проучуваниот објект, кинематиката може да се подели на кинематика на точка, кинематика на тврдо тело, кинематика на деформирано тело, кинематика на гас, кинематика на течност итн.
3.1 Кинематика на точка
Кинематиката на точка го проучува движењето на материјалните точки, кои претставуваат тела чии големини можат да се занемарат во однос на карактеристичните големини на проучуваната појава. Затоа во кинематиката на точка поимите брзина, забрзување, координатите на сите точки од телото се сметаат за еднакви.
Некои одделни случаи при движењето во кинематиката на точка:
* Ако забрзувањето е еднакво на нула, движењето е ''праволиниско'' (траекторијата е права линија) и ''рамномерно'' (брзината е постојана).
:<math>\vec a = 0 </math>:<math>\vec v = \mathrm const </math>:<math>~ p_1 (t) = p_1 (0) + v_1 t </math>:<math>~ p_2 (t) = p_2 (0) + v_2 t </math>:<math>~ \dots</math>:<math>~ p_n (t) = p_n (0) + v_n t </math>:<math> s =\mid \vec v \mid (t_1 - t_2 ) </math>,
каде <math>s</math> — должина на патот на траекторијата за временски интервал од <math>t_2</math> до <math>t_1</math>, <math>~ v_1, v_2, \dots, v_n</math> — проекции на <math>\vec v</math> на соодветните координатни оски.
* Ако забрзувањето е постојано и лежи во една права линија со брзината, движењето е праволиниско, ''рамнопроменливо'' (''рамнозабрзано'', ако забрзувањето и брзината се насочени во една насока; ''рамнозабавено'' — при обратен случај).
:<math> \vec a = \mathrm const </math>:<math> \vec v (t) = \vec v (0) + \vec a t </math>:<math> p_1 (t) = p_1 (0) + v_1 (0) t + \frac {a_1 t^2} {2} </math>:<math> p_2 (t) = p_2 (0) + v_2 (0) t + \frac {a_2 t^2} {2} </math>:<math>~ \dots</math>:<math> p_n (t) = p_n (0) + v_n (0) t + \frac {a_n t^2} {2} </math>:<math> s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt </math>,
каде <math>s</math> — должина на патот на траекторијата за временски интервал од <math>t_2</math> до <math>t_1</math>, <math>~ v_1, v_2, \dots, v_n</math> — проекции на <math>\vec v</math> на соодветните координатни оски, <math>~ a_1, a_2, \dots, a_n</math> — проекции на <math>\vec a</math> на соодветните координатни оски.
* Ако забрзувањето е постојано и нормално на брзината, движењето се одвива по кружница — ''ротаторно движење''.
:<math> \vec a \perp \vec v </math>:<math> \mid \vec a \mid = \frac { {\mid \vec v \mid }^2} {R} </math>:<math> s =\mid \vec v \mid (t_1 - t_2 ) </math>,
каде <math>R</math> — полупречник на кружницата по која се движи телото.
Ако се избере систем од Декартови координати xyz таков што центарот на координатите да се наоѓа внатре во кружницата (по која се движи точката), оските y и x да лежат во рамнината на таа кружница, така што движењето се одвива во спротивна насоа од движењето на стрелките од часовникот, тогаш вредностите на координатите може да се пресметаат по формулите:
:<math> y = R \sin \Bigg( \frac{\mid \vec v \mid}{R} t + \arcsin \Big(\frac{y(0)}{R}\Big) \Bigg) </math>:<math> x = R \cos \Bigg( \frac{\mid \vec v \mid}{R} t + \arccos \Big(\frac{x(0)}{R}\Big) \Bigg) </math>:<math>~ z = 0 </math>
За преод во други координатни системи се користат галилеевите претворби за брзини многу помали од брзината на светлината, и лоренцовите претворби за брзини споредливи со брзината на светлината.
* Ако забрзувањето е постојано и не лежи на една права со почетна брзина, движењето е ''параболно''.
:<math> \vec a = \mathrm const </math>:<math> \vec v (t) = \vec v (0) + \vec a t </math>:<math> s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt</math>
Ако избереме систем од Декартови координати xyz, така што забрзувањето и почетната брзина да лежат во рамнината ''xy'' и забрзувањето би било кодирекционално со оската ''y'', тогаш вредностите на координатите можат да се пресметаат по формулите:
:<math> y (t) = y (0) + v_y (0) t + \frac{\mid \vec a \mid t^2}{2} </math>:<math>~ x (t) = x (0) + v_x (0) t</math>:<math>~ z = 0 </math>,
каде <math>~ v_y </math> и <math>~ v_x </math> — проекции на <math>~ \vec v</math> на соодветните оски.
За преод во други координатни системи се користат галилеевите претворби за брзини многу помали од брзината на светлината, и лоренцовите претворби за брзини споредливи со брзината на светлината.
* Ако телото исполнува разни движења во разни насоки, овие движења можат да се одредат одделно и според правилата на принципот на суперпозиција. На пример, ако во една рамнина телото извршува ротаторно движење, а по оските, нормални на таа рамнина — рамномерно постепено, тогаш овој вид на движење е виорна линија (завојница) со постојани чекори (фази или етапи).
* Општо, брзината, забрзувањето и координатите се пресметуваат по општите формули (види задачи на кинематиката), патот се пресметува по формулите:
:<math> s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mid \vec v (t) \mid dt</math>
3.2 Кинематика на тврдо тело
Кинематиката на тврдо тело го проучува движењето на апсолутно тврдите тела (тела кај кои растојанието меѓу било кои две нивни точки не се менува).
Бидејќи секое тело со ненулова големина има бесконечен број точки, и соодветно на ова бесконечен број на фиксирани врски меѓу нив, телото има 6 степени на слобода и неговата положба во просторот се определува од шест координати (доколку не постојат дополнителни услови).
Врската меѓу брзините на две точки од тврдото тело се изразува преку формулата на Ејлер:
:<math>\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times\vec{AB}</math>,
каде <math>\vec{\omega}</math> — вектор на аголната брзина на телото.
3.3 Кинематика на деформирано тело и кинематика на течност
Кинематиката на деформирано тело и кинематиката на течност се однесуваат кон кинематиката на ''непрекината'' средина.
Во овој дел од кинематиката се разгледуваат општата теорија на деформација на средината и се определува равенката на континуум која ја одразува непрекинатоста на средината.
3.4 Кинематика на гасoвите
Кинематиката на гас ја проучува поделбата на гасот на агрегации при движењето и го опишува движењето на тие агрегации. Во рамките на кинематиката на гасот се опишуваат не само основните параметри на движењето, туку и типовите на движење на гасот.