Парадокс на близнаци

Во физиката, парадоксот на близнаци е мисловен експеримент во специјалната теорија за релативноста вклучувајќи идентични близнаци,од кои еден патува во вселената во ракета со голема брзина и се враќа дома да утврди дека близнакот кој останал на Земјата остарел повеќе. Овој резултат се чини збунувачки, бидејќи секој близнак го гледа другиот близнак како се движи, и така, во согласност со неправилна наивна апликација на временска дилатација и принципот на релативност, секој би требало парадоксално да открие дека другите остареле побавно.Сепак, ова сценарио може да се реши во стандардните рамки од специјална релативност: траекторијата на патување на близнакот вклучува две различни инертни рамки, една за излезни патувања и една за влезни патувања, така што не постои симетрија меѓу просторно-временските патеки на двата близнаци. Затоа, парадоксот на близнаци не е парадокс, во смисла на логичка противречност.
Почнувајќи од Пол Лангевин во 1911,почнале дапостојат разни објаснувања за овој парадокс. Овие објаснувања "можат да се групираат во оние кои се фокусираат на влијанието на различни стандарди на истовременост во различни рамки, како и оние кои го означуваат забрзувањето [искусени од страна на близнакот кој патува] како главна причина...". Макс фон Лауе тврдел во 1913 година дека штом близнакот кој патува мора да биде во две одделни инертни рамки, една на излез, а друг на патот назад, оваа рамка е причина за разликата во стареењето, а не на забрзување по себе. Објаснувања изнесени од страна на Алберт Ајнштајн и Макс Борн повикуваат гравитациското време на дилатација да го објасни стареењето, како директен ефект на забрзување.
Парадоксот на близнаци е потврден експериментално од прецизни мерења на атомски часовници пренесени во авиони и сателити. На пример, гравитациското време на дилатација и специјалната теорија за релативноста заедно да се користат за да се објасни експеримент Хафел-Китинг. Тоа исто така било потврдено во акцелератори на честички со мерење на времето на дилатација на циркулирачкиот носач на честичка.
1 Историја
Во неговот познато дело за специјалната релативност во 1905, Алберт Ајнштајн предвидел дека кога два часовника биле приближени и синхронизирани,и тогаш едниот бил поместен па вратен назад,часовникот кој бил подложен на патување,заостанува зад часовникот кој останал. Ајнштајн смета дека тоа е природна последица на специјалната релативност, а не парадоксот како што некои сугерираат, и во 1911 година, тој ја истакна и ја елаборира за овој резултат:::"Ако поставиме еден жив организам во кутија ... би можело да се организира дека организмот, по било кој произволно долг лет, може да се врати во првобитната позиција во едвај променета состојба, додека соодветните кореспондирачки организми,веќе останале во нивната оригинална положба отворајќи пат на новите генерации. За движечкиот организам, подолгото време на патувањето се чини како само еден миг,подразбирајќи дека движењето е со брзината на светлината.."
::Ако стационарниот организам е човекот и оној што патува е неговиот брат близнак, тогаш патникот се враќа дома да открие дека неговиот брат близнак многу повозрасен во споредба со самиот себе. Парадоксот се концентрира околу тврдењето дека, во релативноста,било кој од близнаците би можел да го смета другиот како патник, и во секој случај го наоѓа другиот помлад-логичка противречност.Со ова тврдење се претпоставува дека ситуациите на близнаците се симетрични и заменливи, претпоставка што не е точна. Исто така, биле направени експерименти за да се поддржи предвидувањето на Ајнштајн. ...
Во 1911 година, Пол Лангевин даде "зачудувачки пример" со опишување на приказната за еден патник патувајќи во Лоренцовиот фактор на (99,995% од брзината на светлината). Патникот останува во проектилот една година од своето време, а потоа се менува правецот. По враќањето, патникот ќе најдете дека тој остарел две години, а 200 години поминале на Земјата. За време на патувањето, и патникот и Земјата испраќале сигнали до друг на константна стапка, што ја сместува приказната на Лангевин меѓу верзиите на Доплеровиот ефект за парадоксот на близнаци. Релативистичките ефекти врз стапката на сигналот се користат за да сметат за различни стапки стареење. Асиметријата која се случува затоа што само патникот е подложен на забрзување, се користи за да се објасни зошто постои никаква разлика на сите, бидејќи "секоја промена на брзината, или било забрзувањето има апсолутна смисла".
Макс фон Лауе (1911, 1913) се осврна на објаснувањето на Лангевин. Со користење на просторниот формализам на Минковски, Лауе се нафаќа да покаже дека светските линии на инертно подвижните тела го зголемуваат соодветното време поминатото помеѓу два настани. Тој, исто така пишува дека асиметричното стареење е целосно земено предвид од страна на фактот дека астронаутот близнак патува во две одделни рамки, додека близнакот на Земјата останува во една рамка, а во времето на забрзување може да биде произволно мала во споредба со времето на инертното движење. На крајот, лорд Халсбури и други го отстрануваат било кое забрзување преку воведување на пристапот "три браќа". Патувачкиот близнак го пренесува неговиот часовник на трета личност, при што патуваат во спротивна насока. Друг начин за избегнување на ефектот на забрзување е употребата на релативистичкиот Доплеров ефект (видете Како изгледа: релативистички Доплеровиот ефект подолу).
Ниту Ајнштајн ниту Лангевин не ги сметале таквите резултати да бидат буквално парадоксални. Ајнштајн само го нарече "чудно" додека Лангевин го претстави како последица на апсолутно забрзување Парадокс во логична и научна употреба се однесува на резултатите кои се инхерентно контрадикторни (што е, логично невозможно ), и двајцата тврдеа дека, од диференцијално време илустрирано со приказната за близнаците, не постои самопротивречие би можела да биде конструирана. Со други зборови, ниту пак Ајнштајн ни Лангевин не виделе дека приказната за близнаците претставува предизвик за само-доследност на релативистичката физика.
2 Конкретен пример
Разгледуваме вселенски брод кој патува од Земјата до најблискиот ѕвезден систем: на растојание ,со брзина (т.е. 80 проценти од брзината на светлината).
(За да се поедностават бројките,се претпоставува дека бродот ја постигнува својата полна брзина веднаш по заминувањето—всушност би требало да забрзува една година за 1 g за да ја достигне таа брзина.)
Страните ќе ја надгледуваат ситуацијата,од што следува:
Кружното патување ќе трае t = 2D / V = 10 години Земјино време (т.е. сите на Земјата ќе бидат 10 години постари кога бродот ќе се врати). Износот на времето што се мери на часовниците на бродот и стареењето на патниците за време на нивното патување ќе се намали од страна на фактор <math>\scriptstyle{\epsilon = \sqrt{1 - v^2/c^2</math>, реципрочното од Лоренцовиот фактор. Во овој случај ε = 0,6 и патниците ќе се на возраст од само 0,6 × 10 = 6 години кога ќе се вратат.
Членовите на екипажот на бродот, исто така, ги пресметуваат деталите на нивното патување од нивна перспектива. Тие знаат дека далечниот ѕвезден систем и Земјата се движат слично на брод со брзина V за време на патувањето. Во остатокот од рамката растојанието меѓу Земјата и системот на ѕвездата е εd = 0.6d = 2,4 светлосни години, за двата правци на патување. Секоја половина на патувањето трае 2.4 / v = 3 години, и кружно патување опфаќа 2 × 3 = 6 години. Нивните пресметки покажуваат дека тие ќе пристигнат дома остарени за 6 години. Конечната пресметка на патниците е во целосна согласност со пресметките на оние на Земјата, иако тие го доживуваат патувањето сосема поинаку од оние кои остануваат на Земјата.
Ако се родат близнаци на денот кога бродот заминува, и едниот оди на патувањето, додека другиот престојува на Земјата, тие ќе се сретнат повторно, кога патникот ќе има 6 години и оној кој останал 10 години. Пресметката ја илустрира употребата на феноменот на должинска контракција и експериментално потврдениот феноменот на временска дилатација за да се опишат и да се пресметаат последиците и предвидувања на специјалната теорија за релативноста на Ајнштајн.
3 Резолуција на парадоксот во специјалната теорија за релативност
Парадоксалниот аспект на состојбата на близнаците произлегува од фактот дека во секој даден момент часовникот на патувачкиот близнак работи бавно во однос на инертната рамка на близнакот кој останал на Земјата, но подеднакво и часовникот на близнакот кој останал работи бавно во однос на инертната рамка на патувачкиот близнак.Резолуцијата е дека близнакот кој останал е во иста инертна рамка во текот на патувањето, но патувачкиот близнак не: во наједноставната верзија на мисловниот експеримент патувачкиот близнак се поместува во средина на патувањето од одмор во инерцијална рамка со брзина во еден правец (далеку од земјата) за да одмара во инерцијална рамка со брзина во спротивна насока (до земјата).
3.1 Улогата на забрзувањето
Иако некои текстови доделија клучна улога за забрзување на патувачкиот близнак во времето на пресвртот, други забележуваат дека ефектот се случува, исто така, ако некој замислува посебно патници доаѓајќи однадвор и одејќи навнатре, кои се разминуваат едни со други и ги синхронизираат своите часовници на точка што одговара на "пресврт" на еден патник. Во оваа верзија, забрзувањето не игра директна улога; "Прашањето е колку се долги светските линии, а не колку свиткани.Должината тука е Лоренцовата непроменлива должина или "правилен временски интервал" на траекторијата што одговара на поминатото време мерено на траекторијата. Во време-просторот на Минковски,патувачкиот близнак мора да чувствува различна историја на забрзувања од близнакот кој останал , дури и ако тоа значи забрзувања од иста големина одделени со различни количини на време,меѓутоа, дури и оваа улога на забрзувањето може да се отстрани во формулациите на близначкиот парадокс во закривениот простор.
3.2 Релативност на истовременост
За да се сфати како се одвива момент по момент временската разлика меѓу двата близнаци, мора да се знае дека во специјалниот релативитиетнема концепт за апсолутна сегашност. За различни инерцијални рамки има различни сетови на настани кои се симултани во таа рамка. Оваа релативност на симултаност значи дека при премин од една во друга инерцијална рамка потребно е прилагодување in what slice through spacetime counts as the "present". Во дијаграмот на време-просторот прикажан на десно, кој е нацртан за референтната рамка на близнакот кој останува на земјата, се гледа дека неговата позиција е константна во просторот само се менува времето. Во првата етапа од патувањето, вториот близнак се движи на десно(црната линија); а во втората етапа се враќа на лево. Сините линии ги покажуваат линиите на симултаност за патувачкиот близнак за време на првата етапа а црвените за време на втората етапа. Моментот пред пресвртницата, патувачкиот близнак ги калкулира годините на близнакот кој останал на земјата со мерење на интервалот помеѓу вертикалната оска од почетокот на горната сина линија. Моментот после пресвртницата, ако тој рекалкулира ќе го измери интервалот од почетокот на долната црвена линија. Ви извесна смисла, за време на U-вртењето рамнината на симултаноста отскокнува од сина во црвена и многу бргу се зголемува во однос на линијата на близнакот кој останува на земјата. Кога еден од нив ќе се префрли од појдовната инерцијална рамка до дојдовната инерцијална рамка има дисконтинуитетен скок во годините на близнакот на земјата.
4 Отсуство на просторно-временски пристап
Како што е спомнато погоре, парадоксот на близнаци може да го вклучи трансферот на часовникот од појдовниот и дојдовниот астронаут, така што целосно го елиминира ефектот на забрзување. Забрзувањето не е вклучено во ниту еден кинематички ефект во специјалната теорија за релативноста. Временскиот диференцијал помеѓу двата ресоединети часовници може да се изведе преку еднообразно линеарно движење, кое може да се согледа во Ајнштајновите записи за овој предмет, како и во сите последователни изводи на Лоренцовите трансформации.
Бидејќи дијаграмите на време-просторот се вклучени во Ајнштајновата синхронизација на времето, ќе го има потребниот отскок во времето во пресметката направена од астронаут кој ненадејно се враќа при што се добива ново значење за симултаноста во одржувањето на нова синхронизација на времето диктирана од спротивното движење како што е објаснето во Време-просторната физика на Џон А. Вилер.
Ако, наместо вклучувањето на Ајнштајновата синхронизација на часовникот, астронаутот (појдовниот и дојдовниот) и набљудувачите од Земјата, редовно се надополнуваат на нивниот статус на часовници преку праќање на радио сигнали кои патуваат со брзина на светлината, тогаш сите од нив ќе забележат асиметрија во следењето на времето почнувајќи од точката на пресврт. Пред пресвртот, секој од нив го гледа часовникот на другиот дека го мери времето различно од неговиот, но забележителната разлика е симетрична помеѓу двете страни. По пресвртот забележителните раазлики се несиметрични и асиметријата расте сè додека не се ресоединат двете страни. По конечното ресоединување оваа асиметрија може да биде видена во разликата меѓу двата ресоединети часовници.
5 Еквивалентност на биолошкото стареење и часовникот на евиденција
Веројатно би било разумно да се спомене: Сите процеси- хемиски, биолошки кои одредуваат дали апаратурата функционира, човечката перцепција која ги вклучува очите и мозокот, доставувањето на сила -се е ограничено од брзината на светлината. Има часовник кој функционира на секое ниво зависно од брзината на светлината и од the инхерентното задоцнување на атомското ниво. Од тука зборуваме за парадоксот на близнаци вклучувајќи го и биолошкото стареење. Во никој случај не е различо од часовникот на евиденција. Биолошкото стареење е пресметано со евиденција на време во Време-просторната физика на Џон А. Вилер.
6 Како изгледа: релативистичкото Доплерово поместување
Во поглед на зависноста од рамката на симултаност за настаните за различни локации во вселената, некои третмани претпочитаат пофеноменски пристап, опишувајќи што близнаците би набљудувале ако секој од нив испрати низа на редовни радиопулсови, еднакво распоредени во времето според емитувачкиот часовник . Ова е еквивалентно на прашањето ако секој од близнаците испраќа видео извор од нив на другиот, што тие гледаат на екраните? Или, ако секој близнак секогаш носи часовник кој укажува на неговата возраст, кое време секој од нив би го видел на сликата на оддалечениот близнак и неговиот часовник?
Кратко по поаѓањето, близнакот кој патува го набљудува близнакот кој останува на Земјата без временско доцнење. По пристигнувањето на сликата на екранот во вселенскиот брод го покажува близнакот кој останува како да е една година постар бидејќи на радио сигналот од Земјата емитуван по 1 година од лансирањето, потребно му е 4 години да пристигне до другата ѕвезда и ќе се детектира од страна на антената на бродот. За време на траењето на ова патување близнакот кој патува ќе го види својот часовник понапред 3 години додека оној на екранот ќе биде само 1 година нанапред, па така се чини дека времето минува со од вообичаениот чекор, односно само 20 слики во секунда за 1 минута на бродот. Ова ги комбинира ефектите од временската дилатација поради движењето (со фактор ε=0.6,5 години на Земјата се 5 на бродот) и ефектот на зголемено временско задоцнување (кое расте од 0 до 4 години).
Секако, набљудуваната честота на трансмисија е исто така од честотата на трансмитерот (намалување на честотата). Ова е наречено релативистички Доплеров ефект. Честотата на отчукувањата на часовникот кои може да се видат од изворот со останатата честота ''f''<sub>rest</sub> е
:<math>f_\mathrm{obs} = f_\mathrm{rest}\sqrt{\left({1 - v/c}\right)/\left({1 + v/c}\right)}</math>
кога изворот ќе се движи директно далеку. Ова е ''f''<sub>obs</sub> = ''f''<sub>rest</sub> за ''v''/''c'' = 0.8.
Што се однесува за близнакот кој останува на Земјата, тој добива успорен сигнал од бродот за 9 години на честота од онаа на трансмитерот. За време на овие 9 години часовникот на близнакот кој патува, прикажан на екранот, доцни 3 години така што двата близнаци ја гледаат сликата на нивниот близнак како старее со стапка y од нивната. Прикажано на друг начин, и двајцата би го виделе часовникот на другиот како отчукува со од брзината на својот часовник. Ако се земе од пресметката фактот дека на времето на светлинското-одложување на пренос се зголемува со стапка од 0,8 секунди во секунда, и двајцата можат да пресметаат дека другиот близнак старее побавно, на 60% стапка. Потоа бродот се врти назад кон дома. Часовникот на близнакот кој останува на Земјата покажува "1 година по лансирањето" во екранот на бродот, а во текот на 3 години на патувањето назад тоа се зголемува до "10 години по лансирањето", па на часовникот на екранот се чини дека напредува 3 пати побрзо од вообичаеното. Кога изворот ќе се движи кон набљудувачот, забележаната честота е поголема и дава
:<math>f_\mathrm{obs} = f_\mathrm{rest}\sqrt{\left({1 + v/c}\right)/\left({1 - v/c}\right)}</math>
This is ''f''<sub>obs</sub> = 3''f''<sub>rest</sub> for ''v''/''c'' = 0.8.
Што се однесува до екранот на Земјата, тој покажува дека патувањето назад почнува 9 години по лансирањето, а патувачкиот часовник на екранот, покажува дека 3 години поминале на бродот. Една година подоцна, бродот се враќа дома и часовникот покажува 6 години. Така, за време на патувањето назад, и двајцата близнаци гледаат дека часовникот на нивниот брат оди 3 пати побрзо од својот. Пресметувајќи го фактот дека светлината времето на светлинско одложување се намалува за 0,8 секунди, секоја секунда, секој близнак пресметува дека другиот близнак старее со 60% од својата брзина стареење.
x–t  (простор-време) дијаграмите на лево го покажуваат патот на светлосни сигнали кои патуваат меѓу Земјата и бродот (1 дијаграм) и помеѓу бродот и Земјата (2 дијаграм). Овие сигнали носат слики од секоја возраст на близнакот и неговиот часовникот за другиот близнак. Вертикалната црна линија е патеката на Земјата преку време-просторот и другите две страни од триаголникот го покажуваат патот на бродот преку време-просторот (како на сликата Минковски погоре). Што се однесува до испраќачот, тој ги пренесува овие во еднакви интервали (да речеме, еднаш на секој час) според својот часовник; но според часовникот на близнаците кои ги примаат овие сигнали, тие не се примаат во еднакви интервали.
Откако бродот ја достигнува својата брзина од 0,8 C, секој близнак ќе види 1 секунда како поминува при прегледувањето на сликата на другиот близнак за секои 3 секунди од своето време. Тоа значи, секој ќе ја види сликата на часовник на другиот поминувајќи бавно,не само бавно со факторот на ε 0.6, но дури и побавно, бидејќи времето на светлинско одлагање се зголемува за 0,8 секунди во секунда. Ова е прикажано во бројките во патеките на црвена светлина. Во одреден момент, сликите што секој ги добива близнак се менуваат,така што секој ќе види како 3 секунди одминуваат во сликата за секоја секунда на своето време. Тоа значи, примениот сигнал е зголемен во честотата заради Доплеровата промена. Овие слики со високи честоти се прикажани во бројките на патеките со сина светлина..
6.1 Асиметријата во Доплеровите поместени слики
Асиметријата помеѓу Земјата и вселенскиот брод е манифестирана во овој дијаграм преку фактот дека повеќе сини линии (брзи стареење) се примени од бродот. Во друг случај, вселенскиот брод ја гледа сликата како се променува од црвени (побавно стареење на сликата) во сини линии, на средината од неговото патување (на пресвртот, 5 години по заминувањето); на Земјата се гледа сликата од бродот како се менува од црвена во сина после 9 години (скоро при крајот на периодот кога бродот е отсутен). Во следната секција може да се види уште една асиметрија во сликите: близнакот кој останува на Земјата ја гледа возраста на другиот близнак со ист број на црвени и сини слики; близнакот кој патува ја гледа возраста на другиот близнак по различен број на црвени и сини слики.
7 Пресметката на изминатото време од Доплеровиот дијаграм
Близнакот во вселенскиот брод гледа слики со ниска честота 3 години (црвени). За тоа време тој видел дека другиот близнак на сликата остарел за една година. Тогаш гледа слики со висока честота (сини) за време на повратното патување од 3 години. За тоа време тој видел дека другиот близнак на сликата остарел за 9 години. Кога патувањето е завршено сликата на близнакот од земјата е остарена за 10 години.
Близнакот на Земјата 9 години гледа црвени слики од близнакот во бродот за кое време близнакот од бродот старее ( во сликата) за 3 години. Тој тогаш гледа сини слики за преостанатата една година додека се врати бродот. Во сините слики близнакот од бродот остарува за 3 години. Тоталното стареење на близнакот на бродот во сликите од Земјата е 6 години, така што близнакот од бродот се враќа помлад ( 6 години како 10 години на Земјата).
7.1 Разликата меѓу она што тие го гледаат и она што тие пресметуваат
Да се избегне забуна, треба да се има предвид разликата помеѓу она што секој близнак го гледа и она што го пресметува. Секој гледа слика на неговиот брат близнак кој знае потекнува од претходно време и кој знае што е Доплерова промена. Не се зема изминатото време во сликата на  возраста на неговиот близнак сега. Ако тој сака да се пресмета кога неговиот близнак бил на возраста која е прикажана на сликата (т.е. колку години тој самиот имал тогаш), тој мора да се утврди колку далеку неговиот близнак бил кога сигналот бил емитиран-со други зборови, тој мора да разгледа истовременост за некој далечен настан. Ако тој сака да се пресмета колку брзо неговиот близнак старее кога сликата е пренесена, тој се прилагодува на Доплеровата промена. На пример, кога тој добива слики со висока честота ( го покажуваат брзото стареење на неговиот брат) со честота <math>\scriptstyle{f_\mathrm{rest}\sqrt{\left({1 + v/c}\right)/\left({1 - v/c}\right)</math>тој не заклучува дека неговиот близнак старее брзо кога е генерирана сликата, исто како што тој не заклучува дека сирената на брза помош се емитува на честотата што тој ќе ја чуе. Тој знае дека Доплеровиот ефект ја зголемува честотата на сликата за фактор 1 / (1 − ''v''/''c''). Поради тоа, тој пресметува дека неговиот близнак старее по стапка
:<math>f_\mathrm{rest}\sqrt{\left({1 + v/c}\right)/\left({1 - v/c}\right)}\times \left(1 - v/c\right) = f_\mathrm{rest}\sqrt{1 - v^2/c^2}\equiv\epsilon f_\mathrm{rest}</math>
кога сликата се испушта. Слична пресметка открива дека неговиот близнак  стареел во истата намалена стапка на''εf''<sub>rest</sub> во сите слики со ниска честота.
7.2 Истовременост во пресметката на Доплеровиот ефект
Тоа може да биде тешко да се види каде истовременоста се вклучува во пресметката на Доплеровата смена, и навистина пресметката често се користи, бидејќи не мора да се земе во обѕир истовременоста. Како што видовме погоре, близнакот кој патува може да ја претвори стапката на Доплеровиот за да се префрли со поспоро темпо на часовникот на далечниот часовникот и за сините и за црвените слики. Ако тој ја игнорира истовременоста, тој може да каже дека неговиот близнак стареел со намалена стапка во текот на патувањето и затоа треба да биде помлад отколку што е. Тој е сега назад на првиот квадрат, и мора да се земе предвид промената во неговото сфаќање за едновременоста на пресвртот. Стапката која тој може да ја пресмета за сликата (корегирана со Доплеров ефект) е стапката на часовникот на близнакот на Земјата во моментот кога таа била испратена, а не во моментот кога таа е примена. Бидејќи тој добива нееднаков број на црвени и сини префрлачки слики, тој треба да сфати дека црвените и сините емисии не се испуштаат преку еднакви временски периоди за близнакот на Земјата, и затоа тој мора да води сметка за едновременоста на далечина.
8 Аспект на патувачкиот близнак
За време на пресвртoт, близнакот кој патува е во забрзана референтна рамка. Според принципот на еквивалентност, тој близнак може да ја анализира фазата на пресвртот како да близнак кој престојува дома слободно паѓа во гравитациското поле и како близнакот кој патува да е во мирување.Хартијата од 1918 година на Ајнштајн претставува концептуална скица на идејата.Од гледна точка на патникот, пресметката за секој одделен чекор, игнорирајќи го пресвртот, доведува до резултат во кој часовниците на Земјата стареат помалку отколку патникот. На пример, ако часовниците на Земјата стареат 1 ден помалку при секој чекор, износот со кој тие ќе заостануваат зад патникот изнесува  2 дена.
Механизам за унапредување на часовникот близнакот кој престојува дома е  гравитациското време на дилатација. Кога набљудувачот ќе утврди дека инерцијалните објектите кои се движат забрзуваат во однос на самите себе, тие предмети се во гравитациското поле доколку се зема во обѕир релативноста . За близнакот кој патува,при пресвртот, ова гравитациското поле го исполнува Универзумот. Во слабо поле на приближување, часовниците отчукуваат со стапка од Т = t (1 + Φ / C2) каде Φ е разликата во гравитацискиот потенцијал. Во овој случај, Φ = GH каде G е забрзување на набљудувач кој патува за време во  пресвртот и ч е растојанието до близнакот кој престојува дома. Ракетата е отпуштена кон близнакот кој седи дома, на тој начин ставајќи го близнакот на повисок гравитациски потенцијал. Поради големата оддалеченост помеѓу близнаците, часовникот на близнакот дома ќе изгледа како да забрзува доволно на сметка на разликата во соодвететните времиња искусени од близнаците. Не е случајно што ова забрзување е доволно да ја објасни смената на истовременоста опишана погоре.Општото релативно решение за статично хомогено гравитациско поле и специјалното релативистичко решение за забрзувањето водат кон конечни идентични резултати.
Други пресметки се направени за близнакот кој патува (или за било кој набљудувач кој понекогаш  забрзува), кои не го вклучуваат начелото на еквивалентност и кои не се однесуваат на какви било гравитациски полиња. Ваквите пресметки се засноваат само на специјалната теорија, а не на општата теорија за релативноста. Еден пристап ја пресметува површината на истовременост со разгледување на светлинското пулсирање. Вториот пристап пресметува како близнакот кој патува го мери поминатото време на близнакт кој останува дома. Краток преглед на овој пристап е даден во посебен дел подолу
9 Разликата во изминатото време, како резултат на разликите во временско-просторните патеки на близнаците
Слениов параграф покажува неколку работи:
*како да искористиме прецизен математички пристап за пресметка на разликите во изминатото време
*како точно да се докаже зависноста од поминатото време на различни патеки поминати преку простор-време од страна на двајцата близнаци
*како да се измерат разликите во изминатото време
*како да се пресмета навременоста како функција (интеграл) од координираното време
Нека часовник К е поврзан со близнакот кој останува дома. Нека часовник К' е поврзан со ракета со која се остварува патувањето. Во времето на заминување и двата часовници се поставени на 0.
:Фаза 1: Ракета (со часовник К') застанува со постојано правилно забрзување за време Та што се мери со часовник К додека не стигне до некоја брзина В. Фаза 2: Ракета се движи со брзина V за време Tc според часовникот К. Фаза 3: Ракета ги испалува своите мотори во спротивна насока на К за време Та според часовникот К, додека таа е неподвижна во однос на часовникот К.- со други зборови, ракетата се успорува. Фаза 4: Ракета продолжува да ги испушта своите мотори во спротивна насока од К, за време на истиот период Та според часовникот К, додека К' враќа иста брзина V во однос на К, но сега кон К (со брзина -V). Фаза 5: Ракета проолжува кон К со брзина V текот на исто време Tc според часовникот К. Фаза 6: Ракета повторно ги пали своите мотори во насока на К, па тоа забавува со постојано соодветно забрзување за време Та, сепак според часовникот К, додека двата часовници се ресоединат.
Знаејќи дека часовникот К останува инертен (во мирување), вкупното акумулирано време Δτ на часовникот К' ќе биде дадено со интеграл функција или координирано време Δt
:<math>\Delta \tau = \int \sqrt{ 1 - (v(t)/c)^2 } \ dt \ </math>
каде што v (t) е координирање на брзината на часовникот K 'како функција на t според часовникот K, и, на пример, за време на фазата 1, даден од
:<math>v(t) = \frac{a t}{ \sqrt{1+ \left( \frac{a t}{c} \right)^2.</math>
Интегралот може да биде пресметан во 6 фази::Фаза 1 <math>:\quad c / a \ \text{arsinh}( a \ T_a/c )\,</math>:Фаза 2 <math>:\quad T_c \ \sqrt{ 1 - V^2/c^2 }</math>:Фаза 3 <math>:\quad c / a \ \text{arsinh}( a \ T_a/c )\,</math>:Фаза 4 <math>:\quad c / a \ \text{arsinh}( a \ T_a/c )\,</math>:Фаза 5 <math>:\quad T_c \ \sqrt{ 1 - V^2/c^2 }</math>:Фаза 6 <math>:\quad c / a \ \text{arsinh}( a \ T_a/c )\,</math>
каде а е соодветното забрзување забележано од K' за време на фазата на забрзување
:<math>V = a \ T_a / \sqrt{ 1 + (a \ T_a/c)^2 }</math>:<math>a \ T_a = V / \sqrt{ 1 - V^2/c^2 }</math>
Па така патувачкиот часовник K' покжува:<math>\Delta \tau = 2 T_c / \sqrt{ 1 + (a \ T_a/c)^2 } + 4 c / a \ \text{arsinh}( a \ T_a/c )</math>
каде стационарникот часовник К покажува
:<math>\Delta t = 2 T_c + 4 T_a\,</math>:<math>\Delta t > \Delta \tau\,</math>
10 Разликата во изминатото време: како да се пресмета од бродот
Во стандардната формула за соодветно време
:<math>\Delta \tau = \int_0^{\Delta t} \sqrt{ 1 - \left(\frac{v(t)}{c}\right)^2 } \ dt, \ </math>
Δ''τ'' го претставува времето на неинерцијалниот набљудувач K' as a function of the elapsed time Δ''t'' of the inertial (stay-at-home) observer ''K'' for whom observer K' has velocity ''v''(''t'') at time ''t''.
За да се пресмета изминатото време Δ''t'' следнава формула::<math>\Delta t^2 = \left[ \int^{\Delta\tau}_0 e^{\int^{\bar{\tau_0 a(\tau')d \tau'} \, d \bar\tau\right] \,\left[\int^{\Delta \tau}_0 e^{-\int^{\bar\tau}_0 a(\tau')d \tau'} \, d \bar\tau \right], \ </math>
каде ''a(τ) е соодветното забрзување'' на ненерцијалниот набљудувач K' измерено од него
:<math>\begin{align}
\Delta t^2 & = \left[ \int^{\Delta\tau}_0 e^{\int^{\bar{\tau_0 a(\tau')d\tau'} \, d \bar\tau\right] \,\left[\int^{\Delta \tau}_0 e^{-\int^{\bar\tau}_0 a(\tau')d \tau'} \, d \bar\tau \right] \\
& > \left[ \int^{\Delta\tau}_0 e^{\int^{\bar{\tau_0 a(\tau')d\tau'} \, e^{-\int^{\bar\tau}_0 a(\tau') \, d \tau'} \, d \bar\tau \right]^2 = \left[ \int^{\Delta\tau}_0 d \bar\tau \right]^2 = \Delta \tau^2.
\end{align}</math>:<math>\Delta t = \frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2} \Delta\tau .\ </math>
Кога К' се оддалечува од К,равенката се смалува на
:<math>\Delta t = \int^{\Delta\tau}_0 e^{\pm\int^{\bar{\tau_0 a(\tau')d \tau'} \, d \bar\tau , \ </math>
која се претвора во
:<math>\Delta t = \tfrac{4}{a} \sinh( \tfrac{a}{4} \Delta\tau) \ </math>
11 Вртежна верзија
Близнаците Боб и Алис населуваат вселенска станица во кружна орбита околу масивно тело во просторот. Боб заминува од станицата и користи ракета за да лебди во фиксна позиција каде што го остава Алис, додека таа останува во станицата. Кога станица ја завршува орбитата и се враќа на Боб, тој и се придужува на Алис. Алис е сега помлада од Боб. Во прилог на вртежното забрзување, Боб мора да стане способен за  мирување, а потоа повторно да забрза за да одговара на брзината на орбиталната брзина на вселенската станица.
12 Објаснување во однос на Маховиот принцип
Мал дел од физичарите исто така користат некои верзија со Маховиот принцип, што би значело дека разликата помеѓу забрзаното движење и инертното движење може да се дефинира во однос на остатокот од материјата во универзумот,и  често се нарекува како движење во однос на "неподвижните ѕвезди ".
13 Поврзано
*Белов парадокс на вселенски брод
*Хипотеза на часовник
*Еренфестов парадокс
*Херберт Дингл
*Парадокс на скала
*Суплисов парадокс
*Временска дилатација
*''TВреме за ѕвездитеs''
14 Дополнителна литература
;Идеален часовник
The ''ideal clock'' is a clock whose action depends only on its instantaneous velocity, and is independent of any acceleration of the clock.
;Гравитациска временска дилатација; временската дилатација при кружно движење
***