Алеф-број

Алеф-број — низа од броеви што служат за претставување на кардиналноста (или големината) на бесконечните множества. Го носат името на нивниот симбол, хебрејската буква алеф (<math>\aleph</math>), одбрана како прва буква во зборот he (''ен-соф'' = „бесконечност“).
Кардиналноста на природните броеви е <math>\aleph_0</math> („алеф-нула“). Следната (поголема) кардиналност е алеф-еден <math>\aleph_1</math>, па <math>\aleph_2</math> и така натаму. Продолжувајќи на овој начин, можеме да дефинираме кардинален број <math>\aleph_\alpha</math> за секој реден број α, според долуопишаното.
Творец на ваквото поимување за множествата е германскиот математичар Георг Кантор (1845-1918), кој прв дошол до заклучок дека бесконечните множества може да имаат различни кардиналности.
Алеф-бројот се разликува од бесконечноста (∞) што честопати се среќава во алгебрата и анализата. Алефот ја изразува големината на едно множество, додека пак бесконечноста се смета за крајната граница на оската на реални броеви (кај една функција или низа што „се разидува до бесконечност“ или „се зголемува до бескрај“), или крајна точка на продолжената оска на реални броеви.
1 Алеф-нула
<math>\aleph_0</math> е кардиналноста на множеството од сите природни броеви, и затоа е првиот трансконечен кардинал. Едно множество има кардиналност од <math>\aleph_0</math> ако и само ако е преброиво бесконечно, што може да биде ако и само ако може да се стави во непосредна биекција (совпаѓање 1-1) со природните броеви. Вакви множества се множеството на сите прости броеви, множеството на сите цели броеви, множеството на сите рационални броеви, множеството на алгебарските броеви, множеството на двоични низи на сите конечни должини и множеството на сите конечни подмножества на секое преброиво бесконечно множество.
Доколку важи аксиомата за преброив избор (послаба варијанта на аксиомата за избор), тогаш <math>\aleph_0</math> е помал од секој друг бесконечен кардинал.
2 Алеф-еден
<math>\aleph_1</math> е кардиналноста на множеството на сите преброиви редни броеви, наречено ω<sub>1</sub> или Ω („омега-еден“). Самата ω<sub>1</sub> е реден број поголем од сите преброиви редни броеви, па затоа претставува непреброиво множество. Затоа, <math>\aleph_1</math> е различен од <math>\aleph_0</math>. Дефиницијата за <math>\aleph_1</math> подразбира (во ЦФ, Цермело–Френкеловата теорија на множествата ''без'' аксиомата за избор) дека не постои кардинален број помеѓу <math>\aleph_0</math> и <math>\aleph_1</math>. Ако ја употребиме аксиомата за избор (АИ), уште поцврсто ќе докажеме дека класата на кардинални броеви е сосем подредена, и затоа <math>\aleph_1</math> е втор најмал бесконечен кардинален број. Користејќи ја аксиомата за избор можеме да покажеме едно од најкорисните својства на ω<sub>1</sub>: секое преброиво подмножество на ω<sub>1</sub> има горна граница во ω<sub>1</sub> (ова следува од фактот што преброивата унија на преброиви множества е преброива, што е меѓу најчестите примени на аксиомата за избор). Ова е аналогно на ситуацијата кај <math>\aleph_0</math>: секое конечно множество на природни броеви има максимум, кој исто така е природен број; т.е. конечните унии на конечните множества се конечни.
ω<sub>1</sub> е впрочем корисен концепт, иако можеби звучи егзотично. Пример за нејзина примена бил било „затворањето“ во однос на преброиви операции; т.е. кога се обидуваме јасно да опишеме σ-алгебра создадена од произволна група на подмножества. Ова е потешко од највеќето јасни описи на „создавање“ во алгебрата (векторски простори, групи итн.) бидејќи во тие случаи мораме да затвориме само во однос на конечни операции — збирови, производи и слично. Во оваа постапка подразбира употреба на трансконечна индукција за дефинирање на множество за секој преброив реден број „уфрлајќи“ ги сите можни преброиви унии и дополненија, и вршејќи унија на сето тоа со целата ω<sub>1</sub>.
3 Хипотеза на континуумот
Кардиналноста на множеството реални броеви (кардиналност на континуумот) е <math>2^{\aleph_0}</math>. Не е јасно каде му е местото на овој број во хирархијата на алеф-броеви. Од ЦФИ (Цермело–Френкеловата теорија на множествата со аксиомата за избор) следи дека прочуената хипотеза на континуумот (ХК или ''CH'') е еквивалентна на идентитетот
:<math>2^{\aleph_0}=\aleph_1.</math>
ХК е зависна од ЦФИ: не може ниту да се докаже, ниту да се побие во контекст на тој аксиоматски систем (доколку ЦФИ е складна). Нејзината складност со ЦФИ ја покажал австрискиот математичар Курт Гедел во 1940, изложувајќи го разклучокот дека нејзината негација не претставува теорема на ЦФИ. Нејзината независност од ЦФИ ја покажал американскиот математичар Пол Коен во 1963 кога изложил дека самата ХК не е теорема ЦФИ со неговиот нов метод на наметнување.
4 Алеф-ω
По обичај најмалиот бесконечен реден број се означува со ω, а кардиналниот број <math>\aleph_\omega</math> е најмалата горна граница на
:<math>\left\{\,\aleph_n : n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}</math>
помеѓу алефите.
Алеф-ω е првиот непреброив кардинален број за кој со Цермело–Френкеловата теорија на множествата може да се покаже дека ''не'' е еднаков на кардиналноста на множеството на сите реални броеви; за секој позитивен цел број n можеме доследно да претположиме дека <math>2^{\aleph_0} = \aleph_n</math>, а можеме да претположиме и дека <math>2^{\aleph_0}</math> ќе биде со каква сакаме големина. Приморани сме само да избегнеме да го поставиме со извесни посебни кардинали со кофиналност <math>\aleph_0</math>, што значи дека има безгранична функција од <math>\aleph_0</math>.
5 Алеф-α за општа α
За да го дефинираме <math>\aleph_\alpha</math> за произволен реден број <math>\alpha</math>, мора да го дефинираме настапувачката кардинална операција, која на секој кардинален број ρ му го задава следниот поголем наполно подреден кардинал ρ (ако важи аксиомата за избор, ова е следниот поголем кардинал.)
Потоа можеме да ги дефинираме алеф-броевите вака
:<math>\aleph_{0} = \omega</math>:<math>\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+</math>
а за λ, бесконечен граничен реден број,
:<math>\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta < \lambda} \aleph_\beta.</math>
α-тиот бесконечен првичен реден број се запишува како <math>\omega_\alpha</math>. Неговата кардиналност се изразува како <math>\aleph_\alpha</math>.
Во ЦФИ, функцијата <math>\aleph</math> е биекција помеѓу редните броеви и бесконечните кардинали.
6 Неподвижни точки на омега
За секој реден број α имаме
:<math>\alpha\leq\omega_\alpha.</math>
Во многу случаи <math>\omega_{\alpha}</math> е строго земено поголема од α. На пример, ова важи за секој настапувачки реден број α. Меѓутоа постојат некои гранични редни броеви кои се неподвижни точки на омега-функцијата поради лемата на неподвижни точки за нормални функции. Првата ваква е границата на низата
:<math>\omega,\ \omega_\omega,\ \omega_{\omega_\omega},\ \ldots.</math>
Секој слабо недосежен кардинал исто така е неподвижна точка на алеф-функцијата.