Исклучителна дисјункција

Исклучителна дисјункција (наречена и исклучително или — логичка операција на два операнда која резултира со логичка вредност на ''точно'' ако и само ако еден од опрандите, но не и двата, имаат вредност ''точно''. Се симболизира и со претставниот поератор J i со вметочните оператори ИСКИЛИ (меѓународно: XOR или „ЕКСИЛИ“, EOR, EXOR) и ⊻, ⊕, ↮ и &#8802; . Спротивен на ИСКИЛИ е логичкиот двоуслов, кој дава вистинитост (точно) секогаш кога обата елементи се исти.
1 Дефиниција
Кај многу природни јазици (вклучувајќи го македонскиот), толкувањето на поимот „или“ бара извесна доза на внимателност. Исклучителната дисјункција на два исказа, (''p'', ''q''), значи дека ''p'' е точно или ''q'' е точно, но не и двете. На пример, нормалната намера на исказите од типот на „Ќе ги почитуваш правилата или ќе бидеш дисквалификуван“ е да се утврди дека точно само еден од условите може да биде вистинит. Меѓутоа во логиката, значењето на зборот „или“ под основно е ''вклучителна дисјункција'', која значи дека најмалку една од алтернативите е вистинита (точна). латинскиот, јазик како и некои други имаат различни зборови за различните значења на ова „или“.
Исклучителната дисјункција е операција на две логички вредности, искази, кои даваат вредонст ''вистина'' (точно) ако и само ако еден, но не и двата операнда се вистинити.
Таблицата на вистинитост за p ИСКСИЛИ q е следнава:
+ Таблица на вистинитост: Исклучителна дисјункција
p, q, p ИСКСИЛИ q
⊥, ⊥, ⊥
⊥, т, т
т, ⊥, т
т, т, ⊥
Следниве еквиваленти можат да бидат изведени:
:<math>\begin{matrix}
p \oplus q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
\\
& = & (p \lor q) & \land & (\lnot p \lor \lnot q) \\
\\
& = & (p \lor q) & \land & \lnot (p \land q)
\end{matrix}</math>
2 Алтернативни знаци
Знакот за исклучителна дисјункција варира во зависност на неговата употреба, па дури и зависи од својствата кои се нагласуваат во даден котекст или дискусија. Покрај кратенката „ИСКСИЛИ“, можеме да ги видиме и следниве знаци:
* Знак плус (+). Ова е математички издржано заради тоа што исклучителната дисјункција соодветствува на собирање модул 2, која ја има следнава таблица на собирање, која е воочливо изоморфична со онаа погоре:
+ Операциона таблица: Износ на модулот 2
p, q, p + q
0, 0, 0
0, 1, 1
1, 0, 1
1, 1, 0
* Уппотребата на знакот плус ја има додатната предност во тоа што сите обични алгебарски својства или прстени и полиња можат да се користат без додатни потешкотии.
* Знакот плус, кој е изменет на некој начин, како на пример со заокружување (⊕}. Меѓутоа употребата на овој знак е дискутабилна заради тоа што истиот се поклопува со математичкиот знак за ''директен износ'' на алгебарски структури.
* Знак за вклучителна дисјункција (∨) кој е изменет на некој начин, како со потцртување (∨).
* Знакот .
3 Еквивалентни изразувања
Исклучителната дисјункција <math>p + q\!</math> може да се изрази како конјункција (∧), дисјункција (∨), и негација (¬) вака:
:<math>\begin{matrix}
p + q & = & (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
\end{matrix}</math>
Исклучителната дисјункција <math>p + q\!</math> може исто така што се изрази на следниов начин:
:<math>\begin{matrix}
p + q & = & \lnot (p \land q) \land (p \lor q)
\end{matrix}</math>
Оваа претстава на ИСКСИЛИ може да биде корисна за правење на коло или мрежа, бидејќи има само една ¬ операција и мал број на ∧ и ∨ операции. Доказот на овој идентитет е даден подолу:
:<math>\begin{matrix}
p + q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
& = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \land & ((p \land \lnot q) \lor q) \\
& = & ((p \lor \lnot q) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\
& = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\
& = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
\end{matrix}</math>
Понекогаш тоа се користи за пишување на ''p'' ИСКСИЛИ ''q'' на следниов начин:
:<math>\begin{matrix}
p + q & = & \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))
\end{matrix}</math>
Ова еквиваленција може да се воспостави со примена на Де Моргановите закони двапати на четвртата линија на доказот погоре.
4 Асоцијативност и комутативност
Со оглед на изоморфизмот момеѓу собирањето модула 2 и исклучителната дисјункција, јасно е дека ИСКСИЛИ е и асоцијативна и комутативна операција. Затоа заградите можат да се испуштат во последователните операции и редот на поимите не му прави никаква разлика на резултатот. На пример, еве равенки:
:<math>\begin{matrix}
p + q & = & q + p \\
\\
(p + q) + r & = & p + (q + r) & = & p + q + r
\end{matrix}</math>
5 Својства
Овој оддел ги користи следниве знаци:
:<math>\begin{matrix}
0 & = & \mbox{false} \\
1 & = & \mbox{true} \\
\lnot p & = & \mbox{not}\ p \\
p + q & = & p\ \mbox{xor}\ q \\
p \land q & = & p\ \mbox{and}\ q \\
p \lor q & = & p\ \mbox{or} \ q
\end{matrix}</math>
Следниве равенки следат од логички аксиоми:
:<math>\begin{matrix}
p + 0 & = & p \\
p + 1 & = & \lnot p \\
p + p & = & 0 \\
p + \lnot p & = & 1 \\
\\
p + q & = & q + p \\
p + q + p & = & q \\
p + (q + r) & = & (p + q) + r \\
p + q & = & \lnot p + \lnot q \\
\lnot (p + q) & = & \lnot p + q & = & p + \lnot q \\
\\
p + (\lnot p \land q) & = & p \lor q \\
p + (p \land \lnot q) & = & p \land q \\
p + (p \lor q) & = & \lnot p \land q \\
\lnot p + (p \lor \lnot q) & = & p \lor q \\
p \land (p + \lnot q) & = & p \land q \\
p \lor (p + q) & = & p \lor q
\end{matrix}</math>
6 Битова операција
Исклучителните дисјункции често се користат кај битовите операции. Примери:
* 1 ИСКСИЛИ 1 = 0
* 1 ИСКСИЛИ 0 = 1
* 1110 ИСКСИЛИ 1001 = 0111 (ова е исто што и собирање без пренос)