Метрички тензор

Во математички областа на диференцијална геометрија, метрички тензор е тип на функција која ги зема како влез еден пар на тангентни вектори v и w во една точка на површината (или повисоко димензионални диференцијабилна сложеност) и произведува реалниот број склар ''g''(''v'', ''w'') на начин на кој се генерализираат многу од познатите својства на точка производ на вектори во Евклидиски простор. На ист начин како точка на производот, метрички тензор  се користи да се дефинира должина и агол помеѓу тангент вектори. Преку интегрирање, мерички тензор овозможува да се дефинираат и да се пресмета должината на кривините на колектор.
Еден метрички тензор се нарекува ''позитивно определен,'' ако се дава позитивна вредност ''g''(''v'', ''v'') > 0 за секој ненулти вектор v. Сложеност со позитивно-дефинитивни метрички тензор е познат како сложеност на Риеманниан. На Сложеноста на Риеманниан, кривата поврзува  две точки (на локално ниво) е најмалата должина и се нарекува геодезија, и нејзината должина е растојанието што патник во сложеноста треба да го помине од една точка до друга. Опремени со оваа претстава на должината, Сложеноста на Риеманиан е метрички простор, што значи дека таа има функција растојание ''d''(''p'', ''q'') , чија вредност на еден пар на точките p и q е растојанието од p до q . Спротивно на тоа, метричкиот тензор сам по себе е изведен од функцијата за растојание (земени во соодветен начин). На тој начин метрички тензор дава ''бесконачно мало'' растојание на сложеноста.
Додека идејата за еден метрички тензор беше позната во некоја смисла од математичари како што се Карл Гаус од почетокот на 19 век, сè до почетокот на 20-от век, дека нејзините својства како тензор беа разбрани од страна на, особено, Грегорио Ричи-Курбастро и Тулио Леви-Чивита, кои први го кодифицираа поимот на тензор. Метрички тензор е пример на тензорско поле.  
Компоненти на еден метрички тензор во координатна основа се земе во форма на симетрична матрица чии записи се трансформираат компаративно под промени на координатен систем. На тој начин метрички тензор е компаративно симетрички тензор. Од координатите-независен точка на гледање, поле на метрички тензор е дефинирано да биде негенерирачка симетрична билинеарна форма на секој тангентен  простор кој се движи непречено од точка до точка.
1 Вовед
Карл Фридрих Гаус во 1827 ''Disquisitiones generales circa superficies curvas'' (''Општи испитувања на криви површини'') ја смета површината параметрично, со Декартови координати x, y, и z на точки на површината во зависност од две помошни променливи u и v. На тој начин параметрска површината (во денешна смисла) векторска функција
:<math />
во зависност од некој пар од реални променливи (''u'', ''v''), и дефинирани во D во  uv-рамнина. Еден од главните цели на Гаус-овите истражувања беше да доведе оние одлики на површината што може да бидат опишани со функцијата која ќе остане непроменет ако површината биде подложена на трансформација во просторот (како што се свиткување на површината без издолжување), или промена во одредена параметрска форма на иста геометриска површината.
Една природна како неменливи количина е должината на крива нацртана по површината. Друг е аголот помеѓу еден пар на криви нацртани по површината на препокривање во една заедничка точка. Трета количество е област на дел од површината. Изучувањето на овие инваријанти на површината го навеле Гаус да се воведе претходник на модерниот поим за метрички тензор.
1.1 Должина на лак
Ако променливите u и v се преземат за да зависи од трета променлива, т, земајќи вредности во интервалот [''a'', ''b''], а потоа ''r''→(''u''(''t''), ''v''(''t'')) ќе трага од параметрска крива во параметрска површината М. Должина на лак на крива е даден со интегралот
:<math />
каде <math /> претставува Евклидова норма.  Тука е применето правило на синџир, и индексите означуваат парцијални изводи:
:<math />:<math />
Интергранд е ограничување на кривата на квадратен корен од (квадратен) диференцијалкадеКоличината ds во се нарекува линија елемент, додека ''ds''<sup>2</sup> се нарекува прв основните форма на М. Интуитивно, тоа претставува главен дел од квадрат на замена подложен од страна на ''r''→(''u'', ''v'') кога u е зголемен од du единици, а v е зголемен од dv единици.
Со користење на матрица, првата основна форма станува
:<math />
1.2 Координатни трансформации
Да претпоставиме сега дека различна параметризација е избрана, преку овозможување на u и v да зависи од друг пар на променливи ''u''' и ''v'''. Потоа се аналогни на за нови променливи еПравилото на синџир се однесува на  E′, F′, и G′ на E, F, и  G преку матрична равенкакаде горен индекс Т означува матрицата се транспонира. Матрицата со коефициенти E, F и G организирани на овој начин затоа преобразени од матрицата на Јакобиан за промена на координатите
:<math />
Матрица која преобразува на овој начин е еден вид на она што се нарекува тензор. Матрицата
:<math />
со трансформацијата на законот е познат како метрички тензор на површината.
1.3 Инвариантост на членови под координатни трансформации
Ричи-Курбастро и Леви-Чита (1900) први  воочија за значењето на системот на коефициенти E, F, G, дека трансформира во начин на додавање од еден систем на координати на друг. Крајниот резултат  е дека првата основна форма е ''неменлива'' под промени во координатен систем, и дека ова следи исклучиво од својствата на трансформација на E, F и G. Навистина, од страна на Правилото на синџир,
:<math />
така што
:<math>\begin{align}
ds^2
&=
\begin{bmatrix} du & dv \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix} du' & dv' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial u'} & \frac{\partial u}{\partial v'} \\
\frac{\partial v}{\partial u'} & \frac{\partial v}{\partial v'}
\end{bmatrix}^\mathsf{T}
\begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial u'} & \frac{\partial u}{\partial v'} \\
\frac{\partial v}{\partial u'} & \frac{\partial v}{\partial v'}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} du' \\ dv' \end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix} du' & dv' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} E' & F' \\ F' & G' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} du' \\ dv' \end{bmatrix}\\
&= \left(ds'\right)^2 \,.
\end{align}</math>
1.4 Должина и агол
Друга интерпретација на мерички тензор,повторно од Гаус, е дека тоа обезбедува начин на кој да се пресмета должината на тангентниот вектор на површината, како и аголот меѓу два тангентни вектори. Во современи услови, мерички тензор  овозможува да се пресмета на точка производ на тангент вектори на начин независно од параметрска опис на површината. Било кој тангент вектор на точката на параметрска површина M може да биде напишан во форма
:<math />
за погоден реални броеви  p1 и p2.Ако два тангент вектори се дадени:
:<math />
потоа со помош на билиниарноста на точка производ,
:<math>\begin{align}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}
&= a_1 b_1 \vec{r}_u\cdot\vec{r}_u + a_1b_2 \vec{r}_u\cdot\vec{r}_v + b_1a_2 \vec{r}_v\cdot\vec{r}_u + a_2 b_2 \vec{r}_v\cdot\vec{r}_v \\[8pt]
&= a_1 b_1 E + a_1b_2 F + b_1a_2 F + a_2b_2G \\[8pt]
&= \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \,.
\end{align}</math>
Ова е јасно функција на четири променливи на a1, b1, a2, и b2. Тоа е попрофитабилно да се гледа, сепак, како функција од еден пар на аргументите a = [''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>] и b = [''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub>] кои се вектори во uv-рамнина. Тоа е
:<math />
Ова е симетрична функција во а и б, што значи дека
:<math />
Тоа е, исто така, билинеар, што значи дека тоа е линеарна во секоја променлива а и б одделно. Тоа е,
:<math />
за било кои вектори a, a′, b, и b во uv-рамнина, и сите реални броеви μ и λ.
Особено, должината на тангент вектор а е дадена со
:<math />
и аголот θ помеѓу два вектора a и b се пресметува со
:<math />
1.5 Област
На површина е една друга бројчена количина која треба да зависи само од површината, а не за тоа како тоа е параметризирана. Ако површината М е параметризирана од функцијата ''r''→(''u'', ''v'') во текот на домен D во uv-рамнина , а потоа на површина од M е даден со интегралот
:<math />
каде × означува нус производ,  и апсолутна вредност означува должина на вектор во Евклидов простор. Со идентитетот на Лагранж  на нус производ, интегралот може да се запише како 
:<math />
каде det е детерминанта.
2 Дефиниција
Нека M биде сложеност со димензија n; на пример на површината (во случај ''n'' = 2) или хиперповршина во Декартови простор ℝ<sup>''n'' + 1</sup>. Во секоја точка ''p'' ∈ ''M'' таму е векторски простор T<sub>''p''</sub>''M'', наречен тангентен простор,  кој се состои од сите тангент вектори на сложеност во точка p. Метрички тензор на p е функција ''g''<sub>''p''</sub>(''X''<sub>''p''</sub>, ''Y''<sub>''p''</sub>) кој зема како инпути еден пар на тангент вектори ''X''<sub>''p''</sub> и ''Y''<sub>''p''</sub> во  p, и се произведува како излез на реалниот број (скалар), така што следните услови се задоволени:
*''g''<sub>''p''</sub> е билиниар. Функција од два вектор аргументи е билиниар ако е линеарен во секоја функција. Така ако  ''U''<sub>''p''</sub>, ''V''<sub>''p''</sub>, ''Y''<sub>''p''</sub> се три тангент вектори на  p и a и b се реални броеви, тогашhttps://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a9b6fcdc83cd9250c826a09d2ae8637f40a1c9
*''g''<sub>''p''</sub> е симетричен. Функција од два вектор аргументи е симетрична за сите вектори на  ''X''<sub>''p''</sub> и ''Y''<sub>''p''</sub>,
*:<math>g_p\left(X_p, Y_p\right) = g_p\left(Y_p, X_p\right)\,.</math>*''g''<sub>''p''</sub> е негенериран. Билинеарна функција е негенерирана за секој тангентен вектор  ''X''<sub>''p''</sub> ≠ 0, функцијата е
*:<math>Y_p\mapsto g_p\left(X_p,Y_p\right)</math>: добиени со држење ''X''<sub>''p''</sub> константа и дозволувајќи им на ''Y''<sub>''p''</sub> да варира не е идентична нула.  Тоа е, за секој ''X''<sub>''p''</sub> ≠ 0 постои ''Y''<sub>''p''</sub> така што ''g''<sub>''p''</sub>(''X''<sub>''p''</sub>, ''Y''<sub>''p''</sub>) ≠ 0.
Област од метрички тензор g на М доделува на секоја точка p на М еден метрички тензор ''g''<sub>''стр''</sub> во тангент  простор на p во начинот на кој варира со p. Поточно, со оглед на било кое отворено множество U на сложеност М и било кои векторски полиња X и Y на U, на реална функција
:<math />
е непречено функционирање на p.
3 Метрички компоненти
Метрички компоненти во која било основа на векторски полиња, или рамка, f = (''X''<sub>1</sub>, . се дадени од страна наНа ''n''<sup>2</sup> функции ''g''<sub>''ij''</sub>[f] форма на записи на ''n'' × ''n'' симетрична матрица, G[f]. Ако
:<math />
се два вектора на p ∈ U, тогаш вредноста на мерката се применува на v и w се утврдува од страна на коефициенти од билиниарноста:
:<math />
Означувајќи ја матрицата (''g''<sub>''ij''</sub>[f]) од страна на  G[f] и уредување на компоненти на вектори v и w во колона вектор v[f] и w[f],
:<math />
каде што v[f]<sup>T</sup> и w[f]<sup>Т</sup> означува транспонирање на вектори v[f] и w[f], соодветно. Под промена на основа на формата
:<math />
за некои обратни  ''n'' × ''n'' матрицата ''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>), матрица на компоненти на метрички промени од А. Тоа е,
:<math />
или, во однос на записите на оваа матрица,
:<math />
За оваа причина, системот на количините ''g''<sub>''ij''</sub>[f] се вели дека за да се трансформира компаративно  во однос на промените во рамките на  f.
3.1 Метрички во координати
Систем од n реални функции (''x''<sup>1</sup>, ..., ''x''<sup>''n''</sup>), давање на локалниот координатен систем на отворени поставите U во М, одредува на основа на векторски полиња на U 
:<math />
Мерката g има компоненти во однос на оваа рамка дадена од страна на
:<math />
Во однос на новиот систем на локални координати, е
:<math />
метричкиот тензор ќе утврди различа матрица на коефициенти,
:<math />
Овој нов систем на функции е поврзана со оригиналниот ''g''<sub>''ij''</sub>(f) со помош на правилото на синџир 
:<math />
така што
:<math />
Или, во однос на матрици ''G''[f] = (''g''<sub>''ij''</sub>[f]) и ''G''[f'] = (''g''<sub>''ij''</sub>[f']),
:<math />
каде Dy означува матрица на Јакобиан на промена на координатите.
3.2 Метрички потпис
Поврзаноста на било кој метрички тензор е квадратна форма сефинирана на секој тангентен простор од  
:<math />
Ако qm е позитивен за сите не-нулти ''X''<sub>''m''</sub>, тогаш мерката е позитивнио дефинитивно на м. Ако мерката е позитивно дефинитивно на секој ''m'' ∈ ''M'', тогаш g е наречена Риманова метрика. Генерално, ако квадратна форми qm имаат константа независно од m, тогаш потпис на g е овој потпис, и g е наречена псевдо-Риманова метрика. Ако M е поврзан, потоа потпишување на q<sub>m</sub> не зависи од м.
Законот за инерција на Силвестер, се заснова на тангент вектори  ''X''<sub>''i''</sub> кои може да се избере локално така што квадратната форма дијагонализира на следниов начин
:<math />
за некои  p помеѓу 1 и n. Било кои два такви изрази на q  (по иста точка m на M) ќе го имаат истиот број на p позитивни знаци. Потпис на g е пар на цели броеви  (''p'', ''n'' − ''p''), означува дека постојат p позитивни знаци и ''n'' − ''p'' негативните знаци во секое такво изразување. Еквивалентно,  мерката има потпис (''p'', ''n'' − ''p'') ако матрицата ''g''<sub>''ij''</sub> на метрички има p позитивни и ''n'' − ''p'' негативни сопствени вредности.  
Одредени метрички потписи кои се јавуваат често во апликации се:
* Ако g има потпис (''n'', 0), а потоа g е Риманова метрика,  и M е наречен Риманова сложеност. Инаку, g е псевдо-Риманова метрика,  и M е наречен псевдо-Риманова сложеност (терминот полуриманова  исто така се користи).
* Ако M е четири-димензионални со потпис (1, 3) или (3, 1), тогаш метрички се нарекува Лоренцова метрика.  Генерално, еден метрички тензор во димензија n освен 4 на потпис (1, ''n'' − 1) или (''n'' − 1, 1) понекогаш се нарекува и Лоренцов. 
* Ако M е 2''n''-димензионални и g има потпис (''n'', ''n''), тогаш се нарекува метрички ултрахиперболичен. 
3.3 Инверзна метрика
Нека f = (''X''<sub>1</sub>, . се основа на векторски полиња, и како погоре нека ''G''[f] се матрица на коефициенти
:<math />
Еден може да се разгледа на инверзна матрица ''G''[f]<sup>−1</sup>, кој е идентификуван со инверзна метрички (или ''коњугат'' или ''двоен метрички''). Инверзна метрички ги задоволува законот на трансформација кога рамката f е изменета од страна на матрицата А прекуИнверзна метрички преобразува контраваријант, или во однос на инверзна промена на основа на матрицата А. Додека метрички себе обезбедува начин за да се измери должината на (или на аголот помеѓу) векторски полиња, инверзна метрика обезбедува средство за мерење на должина на (или на аголот помеѓу) ковектор полиња; тоа е, полиња на линеарни функции.
За да се види ова, да претпоставиме дека α е  поле на ковектор. За секоја точка p, α одредува функција ''α''<sub>''p''</sub> дефинирани на тангент вектори на p значи дека следниве  линеарни услови има за сите тангент вектори ''X''<sub>''p''</sub> и ''Y''<sub>''p''</sub>, и сите реални броеви a и b:
:<math />
Како p варира, α се претпоставува дека е постојана функција на 
:<math />
е непречено функционирање на p за каква било мазна област на вектор X.
Било кое ковектор област  α има компоненти во основа на векторски полиња f . Овие се утврдени од 
:<math />
Означување на ред вектор на овие компоненти од страна на
:<math />
Под промена на f од матрицата A, ''α''[f] промени според правилото 
:<math />
Тоа е, ред вектор на компоненти ''α''[f] се преобразува како ковариантен вектор. .
За еден пар α и β на ковектор полиња, се дефинираат инверзна метрика која се применува на овие два ковектори од Како резултат на дефиницијата, иако тоа вклучува избор на основа f, всушност не зависи од f во суштински начин. Навистина, менување на основа на f''A'' дава
:<math />
Така што десната страна на равенката е непроменета со промена на основа f на било која друга основа на fА како и да е. Како резултат на тоа, на равенката може да биде доделено значење независно од изборот на основа. Записите на матрицата ''G''[f] се назначува од страна ''g''<sup>''ij''</sup>, каде индексите i и j се подигнати да го покажат законот на трансформација..
3.4 Подигање и спуштање на индексите
Во основа на векторски полиња f = (''X''<sub>1</sub>, ., секој тангент вектор поле X може да се запише во формаза некои уникатно утврдени функции ''v''<sup>1</sup>, ..., ''v''<sup>''n''</sup>. По промена на основа f од нонсингуларна матрица А, коефициенти ''v''<sup>''i''</sup> промена во таков начин што равенката останува вистинита. Тоа е,
:<math />
Како резултат на тоа, ''v''[f''A''] = ''A''<sup>-1</sup>''v''[f]. Со други зборови, компонентите на вектор се трансформира контраваријантно (во однос на инверзна) под промена на основа од страна на несингуларна матрицата А. На Контарваријантно на компонентите на ''v''[f] е нотационално назначени од страна на ставање на индексите на ''v''<sup>''i''</sup>[f] во горниот позиција.
Рамката, исто така, им овозможува на конвекторите  да се изразат во однос на нивните компоненти. За основа на векторски полиња f = (''X''<sub>1</sub>, . се дефинира двојна основа да биде линеарна функција  (''θ''<sup>1</sup>[f], ..., ''θ''<sup>''n''</sup>[f]) така што
:<math />
Тоа е, ''θ''<sup>''јас''</sup>[f](''X''<sub>''j''</sub>) = ''δ''<sub>''j''</sub><sup>''јас''</sup>, Кронекер-делта. Дозволете
:<math />
Под промена на основа f ↦ f''A'' за несингуларна   матрица ''А'', ''θ''[f] се преобразува преку
:<math />
Било линеарна функционална α на тангент вектори може да се прошири во поглед на двојна основа θкаде ''a''[f] означува ред вектор [ ''a''<sub>1</sub>[f] ... ''a''<sub>''n''</sub>[f] ]. Компонентите ''а''<sub>''јас''</sub> се трансформира кога основа f ќе се замени со fА на таков начин да равенката продолжува да содржи. Тоа е,
:<math />
од каде, бидејќи ''θ''[f''A''] = ''A''<sup>-1</sup>''θ''[f], следува дека ''a''[f''A''] = ''a''[f]''А''. Тоа е, компонентите на а се трансформираат коваријатно (од страна на матрицата А наместо нејзината инверзна). Коваријатноста на компоненти на  a[f] е нотационално назначен од страна на ставање на индексите на ''а''<sub>''јас''</sub>[f] во пониска позиција.
Сега, мерчкио тензор дава средства за да се идентификуваат вектори и ковектори  како што следува. Држење ''X''<sub>''p''</sub> фиксни, функцијата
:<math />
на тангентен вектор ''Y''<sub>''p''</sub> дефинира линеарна функционална на тангентен простор на p. Оваа операција добива вектор ''X''<sub>''p''</sub> на точката p и произведува ковектор ''g''<sub>''p''</sub>(''X''<sub>''p''</sub>, −). Во основа на векторски полиња f, ако вектор областа X има компоненти ''v''[f], а потоа компоненти на ковектор областа ''g''(''X'', −) во двојна основа се дадени од страна на записите на ред вектор
:<math />
Под промена на основа f ↦ f''A'', на десната страна на оваа равенка се преобразува преку
:<math />
така што a[fA] = a[f]A: а преобразува коваријантно.  Работата на здружување на (коваријантата) компоненти на вектор областа ''v''[f] = [ ''v''<sup>1</sup>[f] ''v''<sup>2</sup>[f] ... ''v''<sup>''n''</sup>[f] ]<sup>Т</sup> (коваријантата) компоненти на ковекторовата областа ''на''[f] = [ ''a''<sub>1</sub>[f] ''на''<sub>2</sub>[f] ... ''a''<sub>''n''</sub>[f] ], каде
:<math />
се нарекува намалување на индексот.
Да ''се подигне индекс'', се однесува на истите конструкција, но со инверзна метрика наместо на мерката. Ако a[f] = [ a1[f] a2[f] ... an[f] ] се компоненти на ковектор во двојна основа ''θ''[f], а потоа колона векторима и компоненти кои се трансформираат контраваријантно :
:<math />
Следствено, количеството ''X'' = f''v''[f] не зависи од изборот на основа f во суштински начин, и на тој начин се дефинира вектор областа на М. Операцијата асоцијативно на (коваријанта)  компоненти на ковектор a[f]  (контраваријанта) компоненти на даден  вектор ''v''[f] е наречен подигање на индекс. Во компоненти, е
:<math />
3.5 Индуцирана метрика
Нека U биде отворен поставите во ℝ<sup>''n''</sup>, и нека φ биде постојана диферинцијабилна функција од U во Евклиден простор ℝ<sup>''m''</sup>, каде што ''m'' > ''n''. Мапирање φ се нарекува потопување ако нејзиниот диференцијал е инјективен во секоја точка на У. Сликата на φ се нарекува нурнати субманифолд.
Да претпоставиме дека φ е потопување на субманифолд ''М'' ⊂ R<sup>''m''</sup>. Вообичаените Евклидов точка производ во ℝ<sup>''м''</sup> е метрички кои, кога се ограничени на тангент вектори на М, дава значење за преземање на точкест производ на овие тангент вектори. Ова се нарекува индуцирана метрика.
Да претпоставиме дека v е тангент вектор на точката на U,тогаш
:<math />
каде e<sub>''јас''</sub> се стандарден координатени вектори во ℝ<sup>''n''</sup>. Кога φ се применува на U, вектор v оди во текот на тангент вектор до М ,дадени од 
:<math />
(Ова се нарекува нанапред на v заедно со φ.) Дава такви два вектора, v и w, индуцираната метрика е дефинирана со
:<math />
Тоа следи од директна пресметка дека матрицата на индуцирана метрика во основа на координатата на векторски полиња e е дадена со
:<math />
каде Dφ е матрица на Јакобијан :
:<math />
4 Внатрешни дефиниции на метрика
Поим за метрика може да се дефинира суштински со користењето на јазикот на снопови на влакна и векторски снопови. Во овие услови, еден метрички тензор е функцијаод производ од влакна на тангетен сноп на М со себе R како што ограничување на g за секое влакно е неизграден билинеарно мапирање
:<math />
Мапирање е потребно да се биде постојано, и често постојано диференцијалноd, мазна, или вистински аналитичка, во зависност од случајот од интерес и дали M може да поддржуваат таква структура.
4.1 Метрички како дел од пакет
Од страна на универзална сопственост на тензор производ, било билинеарно мапирање доведува природно до делот ''g''<sub>⊗</sub> на двојна на тензор производ пакет на T''M'' со себе
:<math />
Делот ''g''<sub>⊗</sub> е дефинирана на едноставен елементи на Т''М'' ⊗ Т''М'' од
:<math />
и е дефинирана за незаконско елементи на Т''М'' ⊗ Т''М'' со продолжување на линеарно со линеарни комбинации на едноставни елементи. Оригиналниот билинеарна форма g е симетрична ако и само ако
:<math />
каде
:<math />
е плетење на мапата.
Бидејќи М е конечно-димензионално, постои природна изоморфоза.
:<math />
така што ''g''<sub>⊗</sub> се смета исто така како дел од пакетот Т*''М'' ⊗ Т*''М'' на контагентен пакет Т*''М'' со себе. Бидејќи g е симетрична како билинеарно мапирање, следува дека ''g''<sub>⊗</sub> е симетрична тензор.
4.2 Метрички во вектор пакет
Генерално, може да се зборува за метрика во векторски пакет. Ако E е вектор пакет со текот на цела M, тогаш метрички е мапирање
:<math />
од влакна производ на E до Р кој е билиниарен  во секое влакно:
:<math />
Користење на двојност како погоре, метрички често се идентификува со еден дел на tensor производ пакет ''E''* ⊗ ''E''*. (Види метрички (вектор пакет).)
4.3 Тангент-котангентен изоморфизам
Мерката тензор дава природен изоморфизам  од тангетен пакет на котангентен  пакет, понекогаш наречен музички изоморфизам. Овој изоморфизам  се добива со поставување, за секој тангетен вектор ''X''<sub>''p''</sub> ∈ T<sub>''p''</sub>''M'',
:<math />
на линеарна функционална на T<sub>''p''</sub>''M'' која испраќа на тангент вектор ''Y''<sub>''p''</sub> & p за да ''g''<sub>''p''</sub>(''X''<sub>''p''</sub>,''Y''<sub>''p''</sub>). Тоа е, во однос на спарувањето [−, −] помеѓу Т<sub>''п''</sub>''М'' и неговиот двоен простор T<sup >∗</sup><sub >''p''</sub>''M'',
:<math />
за сите тангент вектори ''X''<sub>''p''</sub> и ''Y''<sub>''стр''</sub>. Мапирање ''S''<sub>''g''</sub> е линеарна трансформација од T<sub>''p''</sub>''M'' да T<sup >∗</sup><sub >''p''</sub>''M''. Тоа произлегува од дефиницијата на неизродителнста дека кернелот на ''S''<sub>''g''</sub> е сведен на нула, и тоа од страна на ранг–нултата теорема, ''S''<sub>''g''</sub> е линеарна изоморфиза. Исто така, ''S''<sub>''g''</sub> е симетрична линеарна трансформација во смисла на тоа дека
:<math />
за сите тангент вектори ''X''<sub>''p''</sub> и Yp.
Спротивно на тоа, било линеарен изоорфизам   ''S'' : T<sub>''p''</sub>''M'' → T<sup >∗</sup><sub >''p''</sub>''M'' дефинира низродителна биленеарна форма на T<sub>''p''</sub>''M'' со помош на
:<math />
Оваа билинеарна форма е симетрична ако и само ако S е симетрична. Таму е така природни еден-на-еден кореспонденција помеѓу симетрични билинеарни форми на Т<sub>''п''</sub>''М'' и симетрично линеарнен изоморфизам на T<sub>''p''</sub>''M'' на двојна T<sup >∗</sup><sub >''p''</sub>''M''.
Ако p варира на М, ''S''<sub>''g''</sub> дефинира дел од пакетот Hom(T''M'', T*''М'') на vector пакет изоморфизам на тангент пакет на котангент пакет. Овој дел ги има истите мазност, како што е g: тоа е континуиран, диференцијабилен, мазна, или реални-аналитичка според g. Мапирање ''S''<sub>''g''</sub>, која асоцира на секој вектор од областа на M a ковекторот областа на M дава апстракт создавањето на "намалување на индексот" на вектор поле. Инверзна на ''S''<sub>''g''</sub> е мапирање Т*''M'' → T''M'' која, аналогно, дава апстракт создавањето на "подигање на индекс" на ковектор поле.
Инверзна ''S''<sup >-1</sup><sub >''g''</sub> дефинира линеарно мапирање
:<math />
која е несингуларна и симетрична во смисла на тоа дека
:<math />
за сите конвектори α, β. Како несингуларно симетрична мапирање дава пораст до мапа
:<math />
или со двојна дупла изоморфиза да се дел од тензор производ
:<math />
5 Должина на лак и линијниот елемент
Да претпоставиме дека g е Риманианова метрика на М. Во еден локален координатен систем ''x''<sup>''i''</sup>, ''i'' = 1, 2, ..., ''n'', мерката тензор се појавува како матрица, означена тука од G, чии вредности се компоненти ''g''<sub>''ij''</sub> на метрички тензор во однос на координатата на векторски полиња.
Нека ''γ''(''t'') се парче-диферинцијабилно параметрска крива во М, за a ≤ t ≤ b. Должината на лакот на кривата е дефинирана со
:<math />
Во врска со оваа геометриска апликација, квадратната дифераницијална форма 
:<math />
се нарекува прва основна форма поврзана со метрички, додека ds е на линијниот елемент. Кога ''ds''<sup>2</sup>  влече назад на имиџот на крива во М, тоа претставува квадрат на диференцијал со поглед на должината на лакот.
За псевдо-Римановата метрика, должината формула погоре не е секогаш дефинирана, бидејќи терминот под квадратен корен може да стане негативен. Ние генерално само ја дефинираме должината на крива кога количеството под квадратен корен е секогаш на еден знак или други. Во овој случај, дефинираме
:<math />
Имајте на ум дека, иако овие формули се користат координираат изрази, тие се, всушност, независно од координатите избрани; тие зависат само од метриката, и линијата по која формула се интегрирани.
5.1 Енергијата, варијационите принципи и геодезијата
Даден сегмент од крива, друга често дефинирана количина е (кинетичка) енергија на крива:
:<math />
Оваа употреба доаѓа од физиката, поточно, класична механика, каде што интегралот Е што може да се види директна коресподенција со кинетичката енергија на точка на честички се движат на површината на цколекторот. Така, на пример, во формулацијата на Јакоби за принципот на Мапертиус, мерката тензор може да се види за да одговара на маса тензор на една подвижна честичка.
Во многу случаи, кога пресметка поикува за  користење на должината, слична на пресметка со користење на енергија може да се направи исто така. Ова често доведува до поедноставно формули со избегнување на потребата за квадратен корен. Така, на пример, геодетските равенки може да се добијат со примена на вариационите принципи или должина или енергија. Во вториот случај, геодетската равенка се гледа дека произлегуваат од принципот на најмалку акција: тие опишуваат движење на "слободни честички" (честички не чувствува никаква сили) дека се врзани за да се движите на колектор, но инаку се движат слободно, со постојана динамика, во рамките на многубројните.
6 Канонско мерење и волуменозна форма
Во аналогија со случајот на површини, метрички тензор на n-димензионални паракомпактен колектор М доведува до природен начин да се измери n-димензионални волумен на подмножества на колектор. Како резултат на природни позитивни Борел мерење овозможува да се развие теоријата на интегрирање на функциите на колектор со помош на поврзани Лебегови интеграли. 
Мерка може да се дефинира од страна на Теорема за застапеност на Рис, со давање на позитивна линеарна функционална Λ на просторот ''C''<sub>0</sub>(''M'') на компактно  поддржани непрекинатите функции на М. Поточно, ако M е цела со (псевдо)Риеманов метрички тензор g, тогаш не е единствен позитивен Борел мерка ''μ''<sub>''g''</sub> така што за секоја координираат шема (''U'', ''φ''),
:<math />
за сите f поддржани во U. Тука det ''g'' е детерминанта на матрицата формирана од страна на компонентите на метрички тензор во координирање на табелата. Што Λ е добро-дефинирана на функции поддржани во координираат населби е оправдано со Јакобијановата промена на променливи. Таа се протега до една уникатна позитивна линеарна функционална на ''C''<sub>0</sub>(''M'') по пат на поделба на единство.
Ако M е во дополнително ориентирана, тогаш можно е да се дефинира природен волумен форма од метрички тензор. Во позитивно ориентирана координатен систем (''x''<sup>''1''</sup>, ..., ''x''<sup>''n''</sup>) на јачината на звукот форма е претставен како
:<math />
каде ''dx''<sup>''јас''</sup> се координатите на диференцијалот и ∧ означува надворешноста производ во алгебра на диференцијални форми. На формата на јачината на звукот, исто така дава начин за да се интегрира функциите на колектор, и оваа геометриски интеграл се согласува со интегрален добиени од страна на каноничната Борелова мерка.
7 Примери
7.1 Евклидова метрика
Најпознатите пример е дека на основното Евклидова геометрија: дво-димензионален Евклидов метрички тензор. Во вообичаените (''x'', ''y'') координати, може да се напише
:<math />
Должината на кривата се намалува на формулата:
:<math />
На Евклидовата метрика во некои други заеднички координирани системи можат да бидат напишани како што следува.
Поларните координати (''r'', ''θ''):
:<math />
Така
:<math />
со тригонометриски идентитети.
Во принцип, во Декартови координатен систем ''x''<sup>''јас''</sup> на Евклидов простор, делумни деривати ∂ / ∂''x<sup>јас</sup>'' се ортонормални во однос на Евклидовата метрика. На тој начин метрички тензор е Кронекер делта δ<sub>''ij''</sub> во овој координатен систем. Мерката тензор со почит да се произволни (можеби кривилинеарен) координати qi е дадена со
:<math />
7.1.1 Кружна метрика на сфера
Единицата сфера во ℝ<sup>3</sup> доаѓа опремен со природни метрички предизвикана од околината Евклидова метрика. Во стандард сферични координати (''θ'', ''φ''), со ''θ'' на колатитудата, агол се мери од z-оската, а φ агол од x-оската во xy-рамнина, мерката зема форма
:<math />
Ова е обично напишана во форма
:<math />
7.2 Лоренцова метрика од релативноста
Во рамен Минковски простор (специјалната релативност), со координати
:<math />
мерката е, во зависност од изборот на метрички потпис,
:<math />
За крива со—на пример—постојана време координираат, формулата за должина со оваа мерка се намалува на вообичаената формула за должина. За време како крива, формулата за должината  дава соодветно време по должината на кривата.
Во овој случај,интервалот на време е напишан како
:<math />
Мерката на Шварцшилд го опишува просторот за време на сферично симетрично тело, како што е планета или  црна дупка. Со координати
:<math />
ние може да го напишете метрички како
:<math />
каде што G (во внатрешноста на матрицата) е гравитациска константа и М претставува вкупната маса-на енергија содржана на централниот објект.
8 Поврзано
* Основните принципи на математиката на криви на простор
* Клифорд алгебра
* FФинслер колектор
* Список на координатни листи
* Ричи калкулус
* Индикатрис на Тисот, техника за визуелизација на метрички тензор