Елипса

Елипса (старогрч. ''ἔλλειψις'', недостаток) – во математиката е крива затворена линија во рамнина, која може да се дефинира како геометриско место на точки чиј збир на растојанија од една точка на елипсата до две фиксирани точки е секогаш еднаков (види ја сликата). Овие две точки уште се нарекуваат ''фокуси на елипсата'', а точката која се наоѓа точно меѓу нив е центар на елипсата.
Елипсата има два ''пречници'' (полупречници) кои претставуваат минимално и максимално растојание на нејзините точки од нејзиниот центар, а се нарекуваат оски на елипсата. ''Оските на елипсата'' се две прави кои ги содржат нејзините пречници. Првата, поголемата, поминува низ двете фокусни точки, а другата, помалата поминува низ нејзиниот центар, и е нормална на првата. Половината од поголемата оска се нарекува голема полуоска, и во астрономијата се користи како еден од орбитални параметри кои ја опишуваат орбитата на некое небесно тело.
Доколку двете фокусни точки е една иста точка, се работи за специјален случај на елипса, кој се нарекува круг.
Елипсата е вид конусен пресек. Ако конус е пресечен со рамнина која не ја сече основата на конусот и не е паралелна со неа, пресекот на конусот и рамнината е елипса.
1 Параметарска равенка на елипса
Размерот на елипсата е определен од две константи , означени со a и b, каде a е должината на големата полуоска, а b, на малата полуоска.
Елипса, чијшто центар е во почетокот на координатниот систем ''Oxy'' и нејзината главна оска е по оската ''x'', е определена со канонската равенка:
:<math>\frac{x^{2{a^{2 + \frac{y^{2{b^{2 = 1 </math>
Следниот графикон ја демонстрира Питагоровата теорема ''a''² = ''b''² + ''c''² како посебен случај на долната непараметарска равенка за (''x'' = 0, ''y'' = b).
Истата елипса може да биде претставена со параметарски равенки:
:<math>x = a\,\cos t</math>:<math>y = b\,\sin t</math>:<math>0 \leq t < 2\pi</math>
При што се користат тригонометриските функции синус и косинус.
Ако елипсата не е со центар во почетокот на координатниот систем, но главната оска ѝ е по оската ''x'', истата може да биде претставена со равенката
:<math>\frac{(x-h)^{2{a^{2 + \frac{(y-k)^{2{b^{2 = 1 </math>
каде (h,k) се координатите на нејзиниот центар.
2 Ексцентрицитет
Формата на елипсата се изразува со бројка, наречена ексцентрицитет на елипсата, која се означува со ''e''. Ексцентрицитетот е поврзан со ''a'' и ''b'' преку равенството
:<math>e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2</math>
каде <math>c</math> (линеарниот ексцентрицитет на елипсата) е еднаков на растојанието од центарот до кој било од фокусите.
:<math>e = \frac{c}{a}</math>
Ексцентрицитетот е позитивен број меѓу 0 (во случај на круг) и 1.
Колку е поголем ексцентритетот, толку е поголем односот на ''a'' со ''b'' и следователно елипсата е поиздолжена.
Растојанието меѓу фокусите е 2''ae''.
3 Површина
Површината на елипсата е:
:<math>P = ab\pi</math>
каде ''a'' и ''b'' се полупречници на елипсата, а пи = 3,14159... математичка константа.
До формулата за површината се дошло со пресметки со помош на интеграли.
Доказ. Четвртина од површината на елипсата во канонски облик е во првиот квадрант. Спрема тоа површината на целата елипса е
:<math>P = 4\int_0^a ydx = 4\int_0^a b\cdot\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2dx = [ x = a\sin t, \ dx = a\cos t dt] </math>::<math>= 4\int_0^{\frac{\pi}2} b\cdot\sqrt{\cos^2t}\cdot\cos t dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^2 t dt</math>::<math>= 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{1+\cos 2t}2dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{dt}2 + ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos 2td2t </math>::<math>= 4ab\cdot \frac{\pi}2 \Bigg|^{\frac{\pi}2} + ab\sin 2t \Bigg|_0^{\frac{\pi}2} = ab\pi.</math>
Со што доказот е завршен.
4 Обем
Обемот на елипсата може да се претстави на разни начини:
Бесконечни редови:
:<math>O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,</math>
Што е исто што и:
:<math>O = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}</math>
Добра апроксимација на оваа вредноста направил Рамануџан:
:<math>O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,</math>
Која може да се запише и како:
:<math>O \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,</math>
Во специјален случај, кога помалата оска е двојно помала од поголемата оска, важи:
:<math>O \approx \pi a (9 - \sqrt{35})/2 \!\,</math>
5 Својства како рефлектор
Ако имаме елипсовидно огледало со извор на светлина во еден од фокусите, тогаш сите зраци ќе се рефлектираат кон една точка - вториот фокус. Бидејќи нема друга крива со ова својство, истото може да се искористи како алтернативна дефиниција за елипса.
6 Елипсата во физиката
Јохан Кеплер открил, дека орбитите, кои планетите ги опишуваат околу Сонцето, се со форма на елипса. Тоа е и првиот закон на Кеплер. Подоцна Исак Њутн објаснил, дека тој факт е природен резултат од неговиот универзален закон за привлекување.
7 Елипсоид
Во тридимензионалниот координатен систем обликот елипса се вика елипсоид. Во геометријата елипсоидот е тело кое во однос на топката е благо сплескано.