Прекината случајна променлива

Во веројатноста, прекината случајна променлива (дискретна случајна променлива) е случајна променлива со конечен број или со изброив број елементи. (Случајна променлива e непрекината ако нејзиното множество на вредности е интервал или унија од интервали.)
Подолу ја користиме буквата Х како „генерична ознака“ на случајна променлива. Вообичаено е да се користат големи букви од латиница како X, Y и Z за случајни променливи, а соодветните мали букви за нивни елементи.
Веројатноста на елементот ''х'' од Х се означува со Pr(Х=''х'') или со P(Х=''х'') или со P(''х'') или со p(''х''). Од основните принципи на веројатноста (види веројатност, случајна променлива):
:<math>0 \leq Pr(X=x) \leq 1</math> и <math>\sum\limits_X {\Pr (X = x) = 1} </math>
1 Прекинати распределби
Случаен опит или експеримент со прекината случајна променлива се вика прекината распределба. Неколку познати прекинати распределби се:
*Бернулиевa B(1,''p'')
*Биномна B(''n'',''p'')
*Геометриска G(''p'')
*Логаритамска
*Поасонова
*Прекината рамномерна U(''N'')
*Хи-квадратна
*Хипергеометриска
2 Закон на распределба
Распределба на веројатностите кај прекината случајна променлива се вика Закон на распределба. Значи Законот на распределба е приказ на веројатностите за секоја вредност на Х. Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.
*Кратенка за Законот на распределба е PDF (анг. Probability Distribution Function) (обично). Оваа кратенка важи и кај непрекинати прекинати променливи (анг. Probability Density Function).
*Кај прекинатата случајна променлива, се дефинира PDF-от само за вредностите на случајната променлива, а за други реални броеви законот е недефиниран (обично).
**За табеларен приказ на PDF-от со случајна променлива Х како насловни имиња во табелата се користат Х=''х'' и Pr(Х=''х'') (за веројатностите).
**За функциски приказ на PDF-от се користи мала буква ''f'' за функцијата, а за променливата се користи мала буква од случајната променлива. На пример, ако Х е случајната променлива, со ''f''(''x'') се означува соодветниот PDF. Доколку елементите на X се подредени цели броеви, честопати се користи ''k'' наместо ''x'' и пишуваме ''f''(''k'').
::<math>f(x) = \Pr (X =x)\,\,\,\,\,x \in X</math>:*За графички приказ на PDF-от, едноставно се внесуваат точките користејќи го табеларниот приказ (веројатностите се на ''y''-оската).
*Од основните принципи на веројатност, збирот на сите веројатности на елементите на случајната променлива Х е 1, т.е.
::<math>\sum\limits_{X=x}f(x) = 1</math>
3 Кумулативна распределба
Кумулативна распределба на една прекината случајна променлива Х е приказ на збирот на веројатностите на елементите помали и еднаква на ''x''&isin;&#8477;. Приказот може да биде табеларен, функциски или графички.
*Кратенка за кумулативна распределба е CDF (анг. Cummulative Distribution Function) (обично). И називот и кратенката важат и кај непрекинати прекинати променливи.
*Се дефинира CDF-от за сите реални броеви, а не само за вредностите на Х.
**За функциски приказ на CDF-от се користи голема буква ''F'' за функцијата, а мала буква од случајната променлива за променливата. На пример ако Х е случајната променлива, со ''F''(''x'') се означува соодветниот CDF.
::<math>F(x) = \Pr (X \leq x) = \sum\limits_{k\le x} f(k) \,\,\,\,\,x \in \mathbb{R}</math>*При прекината случајна променлива Х, секој елемент на Х има ненегативна веројатност, па се појавува скок во CDF. Значи CDF-от не е мазна непрекината функција!
*Од основните принципи на веројатноста,
**Вредноста на CDF-от пред првиот (најмал) елемент на Х е 0.
**Вредноста на CDF-от во и после последниот (најголем) елемент на Х е 1.
4 Означување
Кардиналноста на едно множество А е бројот на (различните) елементи на множеството и се означува со #A.
*Конечна случајна променлива Х: Значи #Х=N, за позитивен цел број N, N&ge;2.
*Изброива случајна променлива Х: Значи Х&cong;&#8469;
Елементите на множеството Х се реални броеви и се подредени од најмал кон најголем број.
*Првиот елемент на Х се означува со ''х''<sub>1</sub>, вториот елемент со ''х''<sub>2</sub>, итн.
*Соодветно се означуваат веројатностите, односно Pr(''х''<sub>1</sub>)=''p''<sub>1</sub>, веројатноста Pr(''х''<sub>2</sub>)=''p''<sub>2</sub>, итн.
За конечна случајна променлива X со #X=N, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:
PDF на X со #
<math>X</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math>, ..., <math>x_N</math><math>Pr(, <math>p_1</math>, <math>p_2</math>, <math>p_3</math>, ..., <math>p_N</math>
За изброива случајна променлива X со #X=&#8469;, општа форма на табелата на Законот на распределба на X е:
PDF на X со #
<math>X</math>, <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math>, ..., <math>x_n</math>, ...
<math>Pr(, <math>p_1</math>, <math>p_2</math>, <math>p_3</math>, ..., <math>p_n</math>, ...
5 Мерки на прекината случајна променлива
5.1 Очекувана вредност
Очекувана вредност ''E''(''x'')
:<math>E(x)= \sum\limits_{j = 1}^N </math> односно <math>E(x)= \sum\limits_{j=1}^\infty </math>
Поради соодветноста на формулите, честопати наместо „очекувана вредност“ се користи и терминот аритметичка средина од статистиката како и означување &mu;.
5.2 Дисперзија (варијанса)
*Дисперзија &sigma;<sup>2</sup>:<math>\sigma ^2 = \sum\limits_{j = 1}^N </math> односно <math>\sigma ^2 = \sum\limits_{j = 1}^\infty </math>
5.3 Стандардно отстапување
*Стандардно отстапување &sigma;:<math>\sigma= \sqrt{\sigma ^2}</math>
6 Примери
Пример: Опитот е: Фрлање на фер коцка со десет страни и запишување на резултатот (на горната страна).
Соодветна прекината (конечна) случајна променлива е X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Бидејќи е фер коцка, сите исходи, т.е. сите N=10 елементи на Х се еднаквоможни со веројатност 1/10=0,1. (Ова е рамномерната распределба U(10).)
Очекуваната вредност:, ''E''(''x'') = <sup>N+1</sup>/<sub>2</sub>=<sup>10+1</sup>/<sub>2</sub> = <sup>11</sup>/<sub>2</sub> = 5,5
Дисперзијата:, &sigma;<sup>2</sup> = <sup>(N&sup2;-1)</sup>/<sub>12</sub> = <sup>(10&sup2;-1)</sup>/<sub>12</sub> = <sup>99</sup>/<sub>12</sub> = 8,25
Стандардното отстапување:, &sigma;&asymp; 2,87
Забелешка: floor е математичка функција од &#8477; во &#8484; со floor(x)=„најголемиот цел број не поголем од х“.
Пример: Опитот е: Гаѓање по цел сè додека не погоди со веројатност на погодок p=0,6. Се запишува бројот на гаѓања.
Соодветен прекината (изброива) случајна променлива е: X={1,2,3,...,''n'',...}, т.е. X=&#8469;. Веројатноста е: Pr(X=''n'')=0,4<sup>''n''-1</sup>&middot;0,6. (Ова е геометриската распределба G(0,6).)
Очекуваната вредност:, ''E''(''x'') = <sup>1</sup>/<sub>''p''</sub>=<sup>1</sup>/<sub>0,6</sub> = 1,667
Дисперзијата:, &sigma;<sup>2</sup> = <sup>(1-''p'')</sup>/<sub>''p''&sup2;</sub> = <sup>(1-0,6)</sup>/<sub>0,6&sup2;</sub> = 1,111
Стандардното отстапување:, &sigma; = 1,054
7 Претставување на прекината распределба со Геогебра
Првите три дефиниции зависат од опитот. Сите дефиниции се внесуваат во полето за внос.
*N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избере некој конечен број).
*list1=„X“
*list2=„Pr(Х=x)“
Следните дефиниции се исти за сите прекинати случајни променливи.*list3=Sequence[(Element[list1,k],Element[list2,k]),k,1,N] Точките од Законот на распределбата. (PDF)
*list4=Sequence[Sum[Take[list2, 1, k, k, 1, N] Кумулативните вредности.
*list5=Sequence[(Element[list1,k], Element[list4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
*list6=Sequence[(Element[list1,k+1], Element[list4, k]), k, 1, N-1] Десните точки на отсечките.
*list7=Sequence[Segment[Element[list5, k], Elementlist6, k, k, 1, N-1] Внатрешните отсечки. (CDF)
*a=Segment[(Element[list1,1]-5,0),(Element[list1,1],0)] Почетната отсечка. (CDF)
*b=Segment[(Element[list1, Length[list1, 1), (Element[list1, Length[list1 + 5, 1)] Крајната отсечка. (CDF)
Соодветните наредби на македонски (внимавајте на латиница и кирилица).
*N=кардиналноста на Х (доколку е изброив, се избира некој конечен број).
*листа1=„X“
*листа2=„Pr(Х=x)“
*листа3=Низа[(Елемент[листа1,k],Елемент[листа2,k]),k,1,N] PDF*листа4=Низа[Сума[ПодЛиста[листа2, 1, k, k, 1, N] Кумулативните вредности.*листа5=Низа[(Елемент[листа1,k], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Левите точки на отсечките. (CDF)
*листа6=Низа[(Елемент[листа1,k+1], Елемент[листа4, k]), k, 1, N] Десните точки на отсечките.
*листа7=Низа[Отсечка[Елемент[листа5,k],Елементлиста6,k, k, 1, N-1] Внатрешните отсечки. (CDF)*a=Отсечка[(Елемент[листа1,1]-5,0),(Елемент[листа1,1],0)] Почетната отсечка. (CDF)
*b=Отсечка[(Елемент[листа1, Должина[листа1,1),(Елемент[листа1, Должина[листа1+5,1)] Крајната отсечка. (CDF)
8 Поврзани теми
*Веројатност
*Случајна променлива
*Непрекината случајна променливa