Бесконечна комбинаторика

Бесконечна комбинаторика или Комбинаторна теорија на множества — проширување на идеите за поврзување на комбинаториката со бесконечните множества. Работите коишто се проучуваат во рамки на бесконечната комбинаторика вклучуваат: континуелни графови и дрвја, проширувања на Ремзиевата теорема и Мартиновата аксиома. Скорешните проширувања се однесуваат на комбинаториката на континуум и комбинаториката на кардинални броеви.
1 Ремзиева теорија за бесконечни множества
Ако претпоставиме дека κ, λ се редни броеви, ''m'' е кардинален број и ''n'' е природен број, тогаш записот:
:<math>\kappa\rightarrow(\lambda)^n_m</math>
претставува скратен облик на објаснувањето дека секоја поделба на множеството [κ]<sup>''n''</sup> од подмножества со ''n'' елементи од <math>\kappa</math> на ''m'' делови има хомогено множество од ред λ. Хомогеното множество во овој случај е подмножество од κ, така што секое подмножество со ''n'' елементи е во истиот елемент на поделбата. Кога ''m'' е 2, тоа обично се избегнува.
Под претпоставка дека важи аксиомата на избор, тогаш нема редни броеви κ со κ→(ω)<sup>ω</sup>, па така ''n'' обично се јавува како конечен број. Проширувањето во коешто ''n'' се јавува како бесконечен број може да се прикаже со записот:
:<math>\kappa\rightarrow(\lambda)^{<\omega}_m</math>,
што претставува скратен облик на објаснувањето дека секоја поделба на множеството на конечни подмножества од κ на ''m'' делови има подмножество од ред λ, така што за секој конечен ''n'', сите подмножества со големина ''n'' се во истиот елемент на поделба. Кога ''m'' е 2, тоа обично се избегнува.
Друга варијанта е записот:
:<math>\kappa\rightarrow(\lambda, \mu)^n</math>,
што е скратен облик на објаснувањето дека секое обојување на множеството [κ]<sup>''n''</sup> од подмножества со ''n'' елементи од κ со 2 бои има подмножество од ред λ, така што сите елементи од [λ]<sup>''n''</sup> се обоени со првата боја или подмножество од ред μ, така што сите елементи од [μ]<sup>''n''</sup> се обоени со втората боја.
Некои особини на теоријата, од каде што произлегува дека <math>\kappa</math> е кардинален број, се следните:
:<math>\alef_0\rightarrow(\alef_0)^n_k</math> за сите конечни ''n'' и ''k'' (Ремзиева теорема);
:<math>\beth_n^+\rightarrow(\alef_1)_{\alef_0}^{n+1}</math> (Ердеш-Радоева теорема);
:<math>2^\kappa\not\rightarrow(\kappa^+)^2</math> (Сјерпинскиева теорема);
:<math>2^\kappa\not\rightarrow(3)^2_\kappa</math>; и
:<math>\kappa\rightarrow(\kappa,\alef_0)^2</math> (Ердеш-Душник-Милерова теорема).
Во случаите без избор, особините на поделбата со бесконечни експоненти може да биде веродостојна и некои од нив се добиени како последица на аксиомата на одредување. Доналд Мартин докажал дека аксиомата на одредување укажува дека важи:
:<math>\alef_1\rightarrow(\alef_1)^{\alef_1}_2</math>.
2 Големи кардинални броеви
Како големи кардинални броеви и нивните особини може да се издвојат следните:
* слаби компактни кардинални броеви κ коишто го задоволуваат условот κ→(κ)<sup>2</sup>;
* α-Ердешови кардинални броеви κ коишто се најмалите броеви што го задоволуваат условот κ→(α)<sup><ω</sup>; и
* Ремзиеви кардинални броеви κ коишто го задоволуваат условот κ→(κ)<sup><ω</sup>.
3 Поврзано
* Комбинаторина
* Теорија на множества
* Кардинален број