Квадратна равенка

Во математиката, полиномната равенка од втор степен се вика квадратна равенка. Општиот облик на равенката е:
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
Во равенката ''a'', ''b'' и ''c'' се коефициенти, при што ''a ≠ 0'', додека самата равенка е равенка по променлива ''x''. Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.
Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.
1 Решавање на квадратната равенка
Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:
:<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac{2a}</math>
што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:
Дадена ни е равенката:
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
Ја делиме равенката со ''a''. Ова е дозволено бидејќи по услов ''a ≠ 0'' и добиваме:
:<math>x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0</math>
Согласно формулата за бином на квадрат:
:<math>(A+B)^2=A^2+2AB+B^2</math>
на левата страна на равенката додаваме и одземаме <math>\frac{b^2}{4a^2}</math>:
:<math>x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2\frac{b^2}{4a^2}=0</math>:<math>\left( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2} \right) +\frac{c}{a\frac{b^2}{4a^2}=0</math>:<math>\left( x^2+\frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a^2}=0</math>
од каде се добива:
:<math>\left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}</math>
Ја коренуваме равенката и конечно се добива:
:<math>x+\frac{b}{2a} = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac{2a}</math>:<math>x = \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac{2a\frac{b}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac{2a}</math>
2 Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантата
Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:
:<math>D=b^2-4ac</math>
кој се нарекува ''дискриминанта'' на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:
* ако ''D>0'', равенката има две реални и различни решенија,
* ако ''D<0'', равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
* ако ''D=0'', равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.
3 Факторизација на квадратната равенка
Ако е зададена квадратната равенка:
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
која има решенија условно означени со x<sub>1</sub> и x<sub>2</sub>, тогаш равенката може да ја запишеме како:
:<math>ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)</math>
Ваквото ''презапишување'' на равенката се вика ''факторизација на квадратната равенка'' или ''разложување на квадратната равенка на линеарни множители''. Овој процес е честопати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.
4 Виетови формули
За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:
:<math>x_1+x_2 = -\frac{b}{a}</math>:<math>x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}</math>
кои се нарекуваат ''виетови формули за квадратна равенка'' (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема.
5 Равенки кои се сведуваат на квадратни
Равенките од облик:
:<math>ax^{2n}+bx^n+c=0</math>
може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:
:<math>y=x^n</math>
со која првичната равенка се сведува на равенка од облик:
:<math>ay^2+by+c=0</math>
која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета ''n''-ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат ''2n'' решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за ''n=2'', равенката е од облик:
:<math>ax^4+bx^2+c=0</math>
и таа се нарекува ''биквадратна равенка'', која јасно има четири решенија.
6 Примери
* Да се реши равенката: <math>2x^2+4x-6=0</math>
Според формулата имаме:
:<math>x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6){2\cdot 2} = \frac{-4\pm \sqrt{64{4}=\frac{-4\pm 8}{4}</math>::<math>x_1=\frac{-4+8}{4}=\frac{4}{4}=1</math>::<math>x_2=\frac{-4-8}{4}=\frac{-12}{4}=-3</math>
Значи решенија на равенката се: ''x<sub>1</sub>''=1 и ''x<sub>2</sub>''=-3
* Да се реши равенката: <math>x^2-6x+13=0</math>
Имаме:
:<math>x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-52{2}=\frac{6\pm \sqrt{-16{2}=\frac{6\pm \sqrt{16\cdot \mathrm{i}^2{2}=\frac{6\pm 4\mathrm{i{2}=3\pm 2\mathrm{i}</math>::<math>x_1 = 3 + 2\mathrm{i}</math>::<math>x_2 = 3 - 2\mathrm{i}</math>
Добиените решенија се комплексно конјугирани.
* Да се реши равенката: <math>x^4-24x^2-25=0</math>
Оваа равенка е биквадратна. Ставаме замена:
:<math>y=x^2</math>
и равенката се сведува на квадратна равенка од облик:
:<math>y^2-24y-25=0</math>
За решенијата на ''оваа'' равенка имаме:
:<math>y_{1,2}=\frac{24\pm \sqrt{576+100{2}=\frac{24\pm 26}{2}</math>::<math>y_1 = \frac{24+26}{2}=25</math>::<math>y_2 = \frac{24-26}{2}=-1</math>
Ова се решенијата на квадратната равенка (т.е. на трансформацијата на биквадратната равенка). Но, бидејќи:
:<math>y=x^2,</math>
тогаш:
:<math>x=\sqrt{y}</math>
Така се добиваат четири решенија, и тоа:
:<math>x_{1,2} = \sqrt{y_1}</math>:<math>x_{3,4} = \sqrt{y_2}</math>
Конечно, решенијата на биквадратната равенка се:
::<math>x_1=+\sqrt{y_1} = \sqrt{25} = 5</math>::<math>x_2=-\sqrt{y_1} = -\sqrt{25} = -5</math>::<math>x_3=+\sqrt{y_2} = \sqrt{-1} = \mathrm{i}</math>::<math>x_4=-\sqrt{y_2} = -\sqrt{-1} = -\mathrm{i}</math>
7 Поврзано
* Линеарна равенка
* Кубна равенка
* Равенка од четврти степен
* Квадратна функција
* Парабола