Хелмхолцова равенка

Хелмхолцова равенка – елиптична парцијална диференцијална равенка:
:<math> (\Delta + k^2)U=0 </math>
каде <math>\Delta = \nabla^2</math> претставува Лапласов оператор, <math>k</math> е бранов број, а <math>U</math> амплитуда.
Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:
:<math> (\Delta + k^2)U=f </math>
1 Извод
Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка:
:<math>\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\mathbf{r},t)=0.</math> (1)
Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:
:<math>u(\mathbf{r},t)=A (\mathbf{r}) T(t). </math> (2)
Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:
:<math>{\nabla^2 A \over A } = {1 \over c^2 T } { d^2 T \over d t^2 }. </math> (3)
Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:
:<math>{\nabla^2 A \over A } = -k^2 </math> (4)
и
:<math> {1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2 } = -k^2 </math> (5)
Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:
:<math>\nabla^2 A + k^2 A = (\nabla^2 + k^2) A = 0. </math> (6)
а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција <math> \omega \stackrel{\mathrm{def{=} kc </math> се добива:
:<math>\frac{d^2{T{d{t}^2} + \omega^2T = \left({ d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T = 0,</math>
Притоа ''k'' е бранов вектор, , а ''&omega;'' е аголна честота.
2 Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливите
За Хелмхолцовата равенка:
:<math> (\nabla^2 + k^2 ) A = 0 </math> (7)
Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:
:<math>\begin{align}
\Delta A
&= {1 \over r} {\partial \over \partial A }
\left(r {\partial A \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2} {\partial^2 A \over \partial \phi^2}
&= {1 \over r} {\partial A \over \partial r}
+ {\partial^2 A \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 A \over \partial \phi^2}
.
\end{align}
</math>
Заради тоа равенката (7) станува:
:<math>{1 \over r} {\partial A \over \partial r}
+ {\partial^2 A \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 A \over \partial \phi^2} +(k^2 ) A = 0 </math> (8)
Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:
:<math> A(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta), \,</math>
каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:
:<math> \Theta'' +n^2 \Theta =0, \, </math> (9)
и
:<math> r^2 R'' + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R=0. \, </math> (10)
Решенијата од (9) и (10) се:
:<math> \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta, \,</math>:<math> R(r) = \gamma J_n(\rho), \,</math>
каде <math> J_n(\rho)</math> е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:
:<math> \rho^2 J_n'' + \rho J_n' +(\rho^2 - n^2)J_n =0, </math>
2.1 Тридимензионално решение во сферни координати
Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:
:<math> A (r, \theta, \varphi)= \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell (a_{\ell m} j_\ell (k r ) + b_{\ell m} y_\ell (k r ) ) Y ^ m_\ell ({ \theta,\varphi} ) .</math>
каде
<math> j_\ell (k r ) </math> и <math> y_\ell (k r )</math> се сферни Беселови функции, а :<math> Y^m_\ell ({\theta,\varphi} )</math> ги претставува сферните хармоници.
3 Нехомогена Хелмхолцова равенка
Нехомогената Хелмхолцова равенка:
:<math> (\Delta + k^2)U=f </math>
се решава со помош на Гриновата функција, односно:
:<math>\nabla^2 G(x) + k^2 G(x) = \delta(x) . \, </math>
Бидејќи е:
:<math>
(\triangle +k^2)\frac{1}
e^{ik|x|}
=e^{ik|x|}\triangle\frac{1}
+2\left (\operatorname{grad}\,\,e^{ik|x|}, \operatorname{grad}\frac{1}
\right )+\frac{1}
\triangle e^{ik|x|}+\frac{k^2}
e^{ik|x|}=</math><math>
=-4\pi e^{ik|x|}\delta(x)+\left (-\frac{2ik}
}{4\pi |x|}, \qquad G_2=-\frac{e^{-ik|x|{4\pi |x|}.
</math>
Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:
:<math>\left(\Delta+k^2\right)G(\vec{r},\vec{r}')=\delta(\vec{r\vec{r}')</math>
а Гриновата функција како:
:<math>
G(\vec{r},\vec{r}')=-\frac{\exp(\pm i k |\vec{r\vec{r}'|)}{4\pi|\vec{r\vec{r}'|}
</math>
Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:
<math>
U(\vec{r})=\int d^3r'\, f(\vec{r}')G(\vec{r},\vec{r}')=-\int d^3r'\,f(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i k |\vec{r\vec{r}'|)}{4\pi|\vec{r\vec{r}'|}
</math>
4 Поврзано
Лапласова равенка