Георг Кантор

Георг Кантор (Georg Cantor; , ) бил германски математичар и создавач на Теоријата на множествата.
Тој е прв кој систематски ги истражувал бројните системи, рационалните и реалните броеви, како заокружени ентитети или множества. Тоа постигнување го довело до изненадното откритие дека сите бесконечни множества немаат иста големина. Доказ за ова е Канторовата дијагонална постапка.
Докажал дека колку што има рационални броеви има исто толку и природни, односно овие две множества (<math>Q</math> и <math>N</math>) имаат иста кардиналност (доказ дека рационални броеви има изброиво многу е Канторовото пребројување на множеството Q) Исто така докажал дека таквa прикладност нема кај многу поголемото множество на ирационални броеви, па тоа е множество кое не може да се преброи.
Истражувањето го крунисува со класицикација на трансконечните броеви кои претставуваат стенен на бесконечноста и се означуваат со <math>\aleph</math><sub>0</sub>,<math>\aleph</math><sub>1</sub> (алеф 0,алеф 1...).
Критиките за неговата работа подоцна преминале во пофалби. Во 1904 од страна на Кралското друштво му е доделен медалот Силвестер кој претставува највисоко признание кое можело да се додели за работа во полето на математиката. Се претпоставува дека Кантор верувал дека неговата теорија за трансконечните броеви го поврзувала со Бог. Давид Хилберт го бранел од критиките со изјавата „Никој не може да не избрка од рајот кој Кантор го создаде“.
1 Животопис
1.1 Младост и студии
Кантор е роден во западната трговска населба на Петроград и таму живеел до својата единаесетта година. Бил најстар од шесте деца на неговите родители и го сметале за извонреден виолинист. Неговиот дедо Франц Бем (1788-1846) бил познат музичар и солист во царскиот орекстар на Русија. Татко му бил член на Петроградската берза, меѓутоа поради негова болест семејството се преселува во 1856 година во Германија. Најпрвин во Висбаден, а потоа во Франкфурт.
Во 1860 година завршил школо во Дармштат, каде што биле забележани неговите извонредни математички вештини, а посебно во тригонометријата. Во 1862, Кантор се запишал на Универзитетот во Цирих, а после смртта на татко му во 1863 и стекнување со значајно наследство студиите ги продолжува на Универзитетот во Берлин каде слуша предавања на Леополд Кронекер, Карл Вајерштрас и Ернст Кумер. Летото 1866 го поминува во центарот за математичко истражување на Универзитетот во Гетинген.
1.2 Учител и истражувач
Во 1867 ја завршил својата дисертација на Универзитетот во Берлин. После кратко предавање во женско училиште во Берлин, добива позиција на Универзитетот во Хале каде што ја поминува цела своја кариера. За тезата на тема теорија на броеви, која била презентирана во 1869 при неговото именување во Хале, добива признание. Во 1874 се венчал со Вели Гутман со која имале 6 деца. Во 1872 година е унапреден во вонреден, а во 1879 во редовен професор. Да се биде редовен професор со само 34 години претставувало огромен успех, но Кантор не би задоволен. Посакувал место на попрестижен универзитет, како оној во Берлин кој тогаш бил водечки универзитет во Германија. Но такво нешто не било возможно ззатоа што неговата работа наишла на премногу противења.
1.3 Подоцнежни години
После хоспитализацијата во 1884 година, не постои запис дека бил во некој санаториум сè до 1899. После оваа (втора) хоспитализација изненадно починал неговиот син Рудолф, при што трагедијата ја исцрпела страста за математиката до Кантор. Повторно бил хоспитализиран во 1903, а една година после тоа бил огорчен и вознемирен од труд на Јулиус Куниг претставен на Третиот Меѓународен конгрес на математичарите, со кој се обидел да докаже дека основните начела на теоријата на множествата се лажни. Бидејќи овој труд бил презентиран пред неговите ќерки и колеги, Кантор сметал дека е јавно понижен. Ернст Зармело за помалку од еден ден докажал дека Куниг немал докази за своето тврдење, Кантор бил прилично потресен.
Пател од хронична депресија до крајот на својот живет, па поради тоа, во неколку наврати е суспендиран од настава и неколкупати затворан во разни санаториуми. Во 1912 од Универзитет во Шкотска добил почесен докторат, но поради болеста не можел лично да ја прими диполмата. Се пензионирал во 1913 и живеел доста сиромашно. Поради Првата светска војна, јавната прослава не неговиот 70-ти роденден била откажана.
Умира на 6 јануари 1918 година во санаториум каде што ја провел последната година од својот живот.
2 Кариера
Работата помеѓу 1874 и 1884 е периодот кога настанува Теоријата на множествата. Пред тоа концептот бил доста елементарен посредно користен од времето на почетокот на постоење на математиката, базирајќи се на идеите на Аристотел. Сè до тогаш никој не забележал дека Теоријата на множествата има некоја нетривијална содржина. Пред Кантор постоеле само конечни множества кои биле лесни за разбирање и бесконечни кои повеќе биле тема за филозофите отколку за математичарите.
Теориајта на множествата имала улога во темелите на теоријата за модерна математика, во смисла дека таа ги претставува тврдењата за математичките објекти (броиеви и функции) од сите традиционални области на математиката во една теорија и дава стандардно множество на аксиоми да ги докаже или негира.
Основните поими на Теоријата на множествата сега се користи во целата математика. Во еден од своите први трудови Кантор докажал дека множеството на реални броеви е побројно од множеството на природни броеви. Тоа по првпат покажува дека постојат бесконечни множества со различни големини. Тој е и првиот кој ја ценел важноста на еден на еден кореспонденцијата (биекција) во теоријата на множествата. Овој концепт го искористил за дефинирање на конечни и бесконечни множества, поделувајќи ги во бројни и небројни множества. Кантор развил важни концепти во топологијата и нејзината поврзаност со кардиналноста. Ги претставил и основните конструкции во Теоријата на множествата, како што е партитивното множество на множество А кое е множество од сите можни подмножества од А. Подоцна докажал и дека големината на било кое множество А е строго поголема кардиналност од големината на А дури и кога А е бесконечно множествто. Овој резултат подоцна станува познат како Канторова теорема.
Кантор развил целосна теорија и аритметика на бесконечните множества наречена кардинали и ординали со што ја продолжил аритметиката на природните броеви.
Негова ознака за кардиналните броеви е хебрејската буква алеф - <math>\aleph</math> со индекс природен број, а за реалните броеви грчката омега - <math>\omega</math>. Овој запис се користи и денес.