Снелов закон

Снеловиот закон (познат и како Снел-Декартов закон или закон за прекршување) претставува формула која ја опишува врската меѓу упадниот агол и аголот на прекршување на (светлински) бран кога тој минува низ граничната површина меѓу две различни изотропни средини (вода, стакло, воздух и слично).
Овој закон се користи при трасирање на зраци, за пресметување на упадните агли или аглите на прекршување. Во експерименталната оптика служи за утврдување на показателот на прекршување на материјалите. Законот е задоволен и кај метаматеријалите, кај кои светлината може да се закриви „наназад“ - со негативен агол на прекршување.
Снеловиот закон гласи: ''Односот на синусот на упадниот агол ''θ<sub>1</sub>'' и синусот на аголот на прекршување ''θ<sub>2</sub>'' е еднаков на односот на брзините на ширењето на бранот во средината во која бранот упаѓа и брзината на средината во која се прекршува (''v''<sub>1</sub> / ''v''<sub>2</sub>), односно на реципрочниот однос на нивните индекси на прекршување:'':<math>\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{n_2}{n_1}</math>
Во формулата <math>\theta</math> е агол измерен од нормалата на граничната површина меѓу средините, <math>v</math> е брзината на светлината во соодветната средина, <math>\lambda</math> е брановата должина во соодветната средина, а <math>n</math> е показателот на прекршување на средината.
Снеловиот закон следува од принципот на Ферма, кој, пак, произлегува од ширењето на светлината како бран.
1 Историјат
Клавдиј Птоломеј од Александрија, Египет, нашол одредена врска меѓу аглите на прекршување, убеден дека пронашол точен емпириски закон. Меѓутоа, релацијата не била точна за поголеми агли. И Алхазен дошол блиску до откривање на законот за прекршување во својата „Книга за оптиката“.
Иако законот го добил името по холандскиот астроном Вилеброрд Снел (1580–1626), првпат е опишан од страна на Ибн Сахл, на дворот во Багдад во 984 година. Сахл го искористил законот за утврдување на потребниот облик за леќите да ја фокусираат светлината без геометриски аберации.
Законот е повторно откриен од страна на Томас Хериот во 1602 година, кој, пак, не ги објавил своите резултати. Вилеброрд Снел развил еквивалентна математичка форма во 1621 година, која не била објавена во текот на неговиот живот. Рене Декарт, пак, самостојно го извел законот во неговиот есеј „Диоптрика“ од 1637 година, употребувајќи го за решавање бројни оптички проблеми. Не прифаќајќи го Декартовото решение Пјер де Ферма се обидел самостојно да изведе закон, но и користејќи го само сопствениот принцип за најкратко време дошол до истото решение. Декарт претпоставил дека брзината на светлината е бесконечна, а според неговата изведба на Снеловиот закон таа требало да е поголема во оптички погусти материјални средини. Ферма, пак, го тврдел спротивното – брзината на светлината е конечна и помала во погуста средина.
Во влијателната книга „Геометрија“, Декарт решава еден проблем разработуван од Аполониј од Пергам и Пап Александриски. Проблемот гласи: ако се дадени n прави L и точка P(L) на секоја од нив, да се најдат положбите на точките Q така што должините на отсечките QP(L) задоволуваат одредени услови. На пример, n изнесува 4 и се дадени правите a, b, c, и d со точките A на a, B на b итн., да се најде местоположбата на точките Q кои го задоволуваат условот QA<sup>.</sup>QB=QC<sup>.</sup>QD. Пап покажал дека кога правите не се паралелни, положбите се конусни пресеци. Но, кога Декарт го решавал проблемот со поголеми вредности за n, добивал криви чија равенка е од трети или повисок степен. Дека тие природно произлегуваат во оптиката, Декарт покажал преку Снеловиот закон.
Во ''„De natura lucis et proprietate“'' (1662) се тврди дека Исак Вос рекол дека Декарт го имал видено Снеловиот труд, па според него спровел сопствен доказ. И Ферма и Хајденс исто така го обвиниле Декарт за плагијат. Сепак, ваквото обвинение е незаслужено.
Кристијан Хајгенс, во својот ''„Трактат за светлината“ („Traité de la Lumière“)'' од 1678 година, покажал дека Снеловиот закон може да се објасни (изведе) со помош на брановата природа на светлината. Тоа е можно со денес таканаречениот Хајгенс-Френелов принцип. Снеловиот закон е унапреден со напредокот на модерната оптичка и електромагнетна теорија. Во 1962 година, Николас Блумберген покажал дека Снеловиот закон треба да се запише во неговата општа форма на границата на нелинеарна материјална средина. Во 2008 и 2011 година, пак, се покажало дека насоката на рефлексија и прекршување на светлината можат да бидат променети од плазмонски метаповршини.
2 Објаснение
Снеловиот закон служи за утврдување на насоката на светлинските зраци низ материјални средини чии индекси на прекршување варираат. Индексите на прекршување на средините (<math>n_1</math>, <math>n_2</math>...) се употребуваат за прикажување на намалувањето на брзината на светлинските зраци низ материјална средина во споредба со брзината на ширење во вакуум.
Преминувајќи од една во друга материјална средина, светлинскиот зрак се прекршува на границата меѓу двете средини под помал или поголем агол од ''нормалата'' на граничната површина (во зависност од индексите на прекршување). На пример, светлински зрак упатен од воздух при преминување во вода забавува, па се прекршува кон нормалата. Ако зракот патува во спротивна насока, тој се прекршува од нормалата.
Прекршувањето меѓу две средини е ''повратно'' – доколку светлината патува во спротивната насока под истите услови, аглите на прекршување се исти како во спротивниот случај.
Снеловиот закон општо важи само за изотропни и спекуларни средини (налик стаклото). Во анизотропни средини, како некои кристали, двојнопрекршениот зрак може да се подели на два зрака - ''обичен'' (''о''-зрак), кој го следи Снеловиот закон и ''необичeн'' (''н''-зрак), кој може да не лежи во иста рамнина со упадниот зрак.
Кога станува збор за монохроматски бран, бран со само една честота, Снеловиот закон може да се изрази преку односот на брановите должини во двете различни средини λ<sub>1</sub> и λ<sub>2</sub>:
:<math>\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}</math>
3 Изведување и формула
Снеловиот закон може да се изведе преку принципот на Ферма според кој светлината го минува оној пат за кој ѝ е потребно најкратко време. Користејќи го изводот на оптичката патна должина се наоѓа критичната точка, та на тој начин се добива патеката по која ќе се упати зракот (треба да се забележи дека резултатот не го покажува патот за чие изминување на светлината ѝ е потребно најкусо време, туку стационарен пат со мали варијации; тоа е зашто светлината некогаш се упатува по најдолгиот пат, кај сферно огледало на пример).
Во класичната аналогија средината со помал показател на прекршување е претставена како плажа, а онаа со поголем индекс како морето. Најбрзиот пат за чуварот на плажата да дојде до давеникот се добива според Снеловиот закон. Тој треба да истрча косо по плажата упатен кон местото каде почнува морето, а кое е најблиско до местото на давеникот, а дури потоа да влезе во водата, каде ќе плива нормално на брегот.
Нека <math>n_1</math> и <math>n_2</math> се индекси на прекршување на средините 1 и 2 соодветно. Светлината преминува од средината 1 во средината 2 низ точката O. <math>\theta_1</math> е упадниот агол, а <math>\theta_2</math> е аголот на прекршување.
Брзините на светлината во средините 1 и 2 (каде <math>c</math> е брзина на светлината во вакуум) се:
:<math>v_1=c/n_1</math> и
:<math>v_2=c/n_2</math> соодветно.
Нека T е времето потребно за светлината да стигне од точката Q до точката P.
:<math>T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2{v_2}</math>:<math>\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2 + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2=0</math> (критична точка)
Притоа,
:<math>\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2 =\sin\theta_1</math>:<math>\frac{ l - x}{\sqrt{(l-x)^2 + b^2=\sin\theta_2</math>:<math>\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0</math>:<math>\frac{n_1\sin\theta_1}{c}=\frac{n_2\sin\theta_2}{c}</math>:<math>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2</math>
Снеловиот закон може да се изведе преку интерференција на сите можни патеки на светлинскиот бран од изворот до набљудувачот, при што тие стануваат вистински патеки. Тоа резултира со деструктивна интерференција секаде освен во екстремот на фазата (каде интерференцијата е конструктивна).
Изведувањето на законот за прекршување е возможно и со примена на условите за гранична вредност на Максвеловите равенки за електромагнетно зрачење.
До законот може да се дојде и врз основа на транслациона симетрија. На пример, хомогена површина нормална на z-насоката не може да го промени хоризонталниот импулс. Поради тоа што векторот на ширење <math>\vec{k}</math> е пропорционален со импулсот на фотонот, хоризонталната насока на ширење <math>(k_x,k_y,0)</math> мора да остане непроменета во двете области. Претпоставувајќи дека упадната рамнина (која ги содржи нормалата на границата и векторот на ширење на бранот) е во <math>zx</math>-рамнината, <math>k_{x\text{oblast}_1} = k_{x\text{oblast}_2}</math>. Снеловиот закон се добива веднаш, знаејќи ја зависноста на брановиот број од показателот на прекршување на материјалната средина.
:<math>k_{x\text{oblast}_1} = k_{x\text{oblast}_2} \, </math>:<math> n_1 k_0\sin\theta_1 = n_2 k_0\sin\theta_2 \, </math>:<math> n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \, </math>,
каде <math>k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}=\frac{\omega}{c}</math> е брановиот број во вакуум. Ниедна површина не е вистински хомогена, барем не на атомско ниво. Сепак, транслационата симетрија е извонредно блиску до точноста кога областа е хомогена на ниво на светлинската бранова должина.
3.1 Векторска форма
Имајќи го нормализираниот светлински вектор l (насочен од изворот кон површината) и вектор на нормалата на нормализираната рамнина n, може да се добијат нормализираниот одбиен и прекршен зрак, преку косинусите на упадниот агол <math>\theta_1</math> и на аголот на прекршување <math>\theta_2</math>, без употреба на какви било тригонометриски функции::<math>\cos\theta_1 = -\mathbf{n}\cdot \mathbf{l}</math>
Вредноста на <math>\cos\theta_1</math> мора да е позитивна, а ќе биде таква ако n е вектор на нормалата насочен од површината кон страната од кој е упатена светлината – областа со показател на прекршување <math>n_1</math>. Ако <math>\cos\theta_1</math> е негативен, значи векторот n е насочен кон страната без светлина, та n треба да се замени со неговиот спротивен (негативен) вектор.
:<math>\mathbf{v}_{\mathrm{odbien=\mathbf{l} + 2\cos\theta_1 \mathbf{n}</math>
Векторот со рефлектираната насока е насочен кон страната на површината од која се наоѓал изворот на светлината.
Потоа на односот на синусите се применува Снеловиот закон за да се изведе формулата за векторот на прекршениот зрак:
:<math>\sin\theta_2 = \left(\frac{n_1}{n_2}\right) \sin\theta_1 = \left( \frac{n_1}{n_2} \right) \sqrt{ 1 - \left(\cos\theta_1 \right)^2 }</math>:<math>\cos\theta_2 = \sqrt{1-(\sin\theta_2)^2} = \sqrt{1 - \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2 \left( 1 - \left( \cos\theta_1 \right)^2 \right)}</math>:<math>\mathbf{v}_{\mathrm{prekrsen = \left( \frac{n_1}{n_2} \right) \mathbf{l} + \left( \frac{n_1}{n_2} \cos\theta_1 - \cos\theta_2 \right) \mathbf{n}</math>
Формулата може да се упрости со замените <math> r = n_1 / n_2 </math> и <math> c = -\mathbf{n}\cdot \mathbf{l}</math>, при што ќе се избегне појавата на тригонометриски функции или агли:
:<math>\mathbf{v}_{\mathrm{prekrsen = r \mathbf{l} + \left( r c - \sqrt{1 - r^2 \left( 1 - c^2 \right)} \right) \mathbf{n}</math>
Пример:
:<math>\mathbf{l} = \{0,707107, -0,707107\}, ~ \mathbf{n} = \{0,1\}, ~ r = \frac{n_1}{n_2} = 0,9</math>:<math>c = \cos\theta_1=0,707107, ~ \sqrt{1 - r^2 \left( 1 - c^2 \right)} = \cos\theta_2 = 0,771362</math>:<math>\mathbf{v}_{\mathrm{odbien=\{0,707107, 0,707107\}
,~\mathbf{v}_{\mathrm{prekrsen=\{0,636396, -0,771362\}</math>
Вредностите на косинусите можат да се искористат во Френеловите равенки за пресметка на интензитетот на резултантните зраци.
Во случајот на тотална рефлексија карактеристична е појавата на негативна поткоренова вредност во равенката за <math>\cos\theta_2</math>, што може да се случи единствено при преминување на зрак во помалку густа средина (каде <math>n_2<n_1</math>).
4 Тотална рефлексија и критичен агол
Кога светлината патува од средина со поголем кон средина со помал показател на прекршување, при големи упадни агли, се појавува потреба синусот од аголот на прекршување да биде поголем од еден, што е невозможно. Затоа во сите такви случаи светлината целосно се рефлектира од граничната површина, односно доаѓа до појавата наречена тотална рефлексија. Најголемиот можен упаден агол при кој сè уште е можно прекршување се нарекува критичен агол. Кога зракот упаѓа на границата под критичен агол, тој се прекршува и се лизга по неа.
Ако се замисли светлински зрак кој упаѓа под агол од 50° од вода кон воздух (имајќи предвид дека индексите на прекршување на водата и воздухот се 1,333 и 1 соодветно), од Снеловиот закон се добива релацијата:
:<math>\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 = \frac{1,333}{1}\cdot\sin\left(50^\circ\right) = 1,333\cdot 0,766 = 1,021</math>
Горната релација е невозможно да се задоволи. Критичниот агол θ<sub>крит</sub> е вредноста на θ<sub>1</sub> за која θ<sub>2</sub> изнесува 90°:
:<math>\theta_\text{kriticen} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\right) = \arcsin\frac{n_2}{n_1} = 48,6^\circ.</math>
5 Дисперзија
Материјалните средини кои овозможуваат ширење на бранови (како што се проѕирните средини, освен вакуумот), а во кои брановата брзина се менува со брановата должина или честота се нарекуваат дисперзивни средини. Од менувањето на честотата и брановата должина зависат и аглите на прекршување определени со Снеловиот закон. Како резултат, зрак составен од повеќе бранови должини (како белата светлина) се распрснува т.е. дисперзира. Дисперзијата на светлината која минува низ стакло или вода е причина за оптичките феномени како виножитото.
Дисперзијата предизвикува хроматски аберации на оптичките инструменти – заматување зависно од бојата, кое може негативно да влијае врз резолуцијата. Тоа особено важело за рефракторите, пред појавата на ахроматските оптички леќи.
6 Материјални средини кои ја спроведуваат, апсорбираат или намалуваат енергијата
Спроводливоста и показателот на прекршување во спроводниците се комплексни вредности, па истото важи и за аголот на прекршување и брановиот вектор. Значи, додека површините со константна реална фаза се рамнини чии нормали образуваат агол еднаков со аголот на прекршување со нормалата на граничната површина, површините со константна амплитуда се рамнини паралелни со граничната површина. Бидејќи двете рамнини не се сечат, за бранот се вели дека е нехомоген. Прекршениот бран е експоненцијално ослабнат затоа што неговиот експонент е пропорционален со имагинарната компонента на показателот на прекршување.
7 Поврзано
*Рефлексија
*Прекршување (физика)
*Снелов прозорец
*Брахистохрона за едноставен доказ од Јакоб Бернули
*Хамилтонова оптика