Бернулиева распределба

Бернулиева распределба во теоријата на веројатноста и статистиката — прекинатата веројатносна распределба на една случајна променлива која ја има вредноста 1 со веројатност <math>p</math> и вредноста 0 со веројатност <math>q = 1-p</math>. Понеформално, таа е модел за множество можни исходи од секој можен опит опит кој поставува прашање „да–не“. Ваквите прашања водат до исходи со една од две вредности: „успех“ (1) со веројатност ''p'' и „неуспех“ (0) со веројатност ''q''. Со оваа распределба може да се претстави фрлање паричка каде 1 и 0 би биле „глава“ и „писмо“, а ''p'' би била веројатноста да се падне глава (или обратно, каде 1 е писмо, а ''p'' ќе биде веројатноста за писмо). Нечесните парички би имале <math>p \neq 1/2.</math>
Наречена е по швајцараскиот математичар Јакоб Бернули и претставува посебен случај на биномната распределба со еден спроведен опит (така што ''n'' би бил 1 за таква биномна распределба). Воедно таа претставува посебен случај на двоточкестата распределба, чии можни исходи не мора да бидат 0 и 1.
1 Својства
Ако <math>X</math> е случајна променлива со оваа распределба, тогаш:
:<math>\Pr(X=1) = p = 1 - \Pr(X=0) = 1 - q.</math>
Веројатносната фунција <math>f</math> на оваа распределба низ можните исходи ''k'' е
:<math> f(k;p) = \begin{cases}
p & \text{ако }k=1, \\
q = 1-p & \text {ако } k = 0.
\end{cases}</math>
Ова може да се изрази и како
:<math>f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k} \quad \text{за } k\in\{0,1\}</math>
или како
:<math>f(k;p)=pk+(1-p)(1-k) \quad \text{за } k\in\{0,1\}.</math>
Бернулиевата распределба е посебен случај на биномната распределба со <math>n = 1.</math>
Зашиленоста оди до бесконечност за високи и ниски вредности на <math>p,</math> но за <math>p=1/2</math> двоточкестите распределби (вкл. Бернулиевата) имаат помалку вишок зашиленост отколку било која друга веројатносна распределба, имено −2.
Бернулиевите распределби за <math>0 \le p \le 1</math> сочинуваат експоненцијално семејство.
Процената на максимална веројатност на <math>p</math> според случаен примерок е примерочната средина.
2 Средина
Очекуваната вредност на една Бернулиева случајна променлива <math>X</math> е
:<math>\operatorname{E}[X]=p</math>
Ова се должи на тоа што, за Бернулиево распределена случајна променлива <math>X</math> со <math>\Pr(X=1)=p</math> и <math>\Pr(X=0)=q</math> имаме
:<math>\operatorname{E}[X] = \Pr(X=1)\cdot 1 + \Pr(X=0)\cdot 0
= p \cdot 1 + q\cdot 0 = p.</math>
3 Веријанса
Варијансата на Бернулиево распределен <math>X</math> е
:<math>\operatorname{Var}[X] = pq = p(1-p)</math>
Прво имаме
:<math>\operatorname{E}[X^2] = \Pr(X=1)\cdot 1^2 + \Pr(X=0)\cdot 0^2 = p \cdot 1^2 + q\cdot 0^2 = p = \operatorname{E}[X] </math>
Од ова следи
:<math>\operatorname{Var}[X] = \operatorname{E}[X^2]-\operatorname{E}[X]^2 = \operatorname{E}[X]-\operatorname{E}[X]^2 = p-p^2 = p(1-p) = pq</math>
Од овој резултат лесно е да се докаже дека, за секоја Бернулиева распределба, нејзината варијанса ќе има вредност во рамките на <math>[0,1/4]</math>.
4 Накосеност
Накосеноста (коефициентот на асиметрија) е <math>\frac{q-p}{\sqrt{pq=\frac{1-2p}{\sqrt{pq</math>. Кога ја ќе земеме стандардизираната Бернулиево распределена случајна променлива <math>\frac{X-\operatorname{E}[X]}{\sqrt{\operatorname{Var}[X]</math> излегува дека оваа случајна променлива добива <math>\frac{q}{\sqrt{pq</math> со веројатност <math>p</math> и добива <math>-\frac{p}{\sqrt{pq</math> со веројатност <math>q</math>. Така добиваме
:<math>\begin{align}
\gamma_1 &= \operatorname{E} \left[\left(\frac{X-\operatorname{E}[X]}{\sqrt{\operatorname{Var}[X]\right)^3\right] \\
&= p \cdot \left(\frac{q}{\sqrt{pq\right)^3 + q \cdot \left(-\frac{p}{\sqrt{pq\right)^3 \\
&= \frac{1}{\sqrt{pq}^3} \left(pq^3-qp^3\right) \\
&= \frac{pq}{\sqrt{pq}^3} (q-p) \\
&= \frac{q-p}{\sqrt{pq.
\end{align}</math>
5 Виши моменти и кумуланти
Сите сирови моменти се еднакви поради тоа што <math>1^k=1</math> и <math>0^k=0</math>.
:<math>\operatorname{E}[X^k] = \Pr(X=1)\cdot 1^k + \Pr(X=0)\cdot 0^k = p \cdot 1 + q\cdot 0 = p = \operatorname{E}[X].</math>
Централниот момент со степен <math>k</math> се добива со
:<math>
\mu_k =(1-p)(-p)^k +p(1-p)^k.
</math>
Првите шест централни моменти се
:<math>\begin{align}
\mu_1 &= 0, \\
\mu_2 &= p(1-p), \\
\mu_3 &= p(1-p)(1-2p), \\
\mu_4 &= p(1-p)(1-3p(1-p)), \\
\mu_5 &= p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)), \\
\mu_6 &= p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).
\end{align}</math>
Вишите централни моменти може да се изразат покомпактно како <math>\mu_2</math> и <math>\mu_3</math>:<math>\begin{align}
\mu_4 &= \mu_2 (1-3\mu_2 ), \\
\mu_5 &= \mu_3 (1-2\mu_2 ), \\
\mu_6 &= \mu_2 (1-5\mu_2 (1-\mu_2 )).
\end{align}</math>
Првите шест кумуланти се
:<math>\begin{align}
\kappa_1 &= p, \\
\kappa_2 &= \mu_2 , \\
\kappa_3 &= \mu_3 , \\
\kappa_4 &= \mu_2 (1-6\mu_2 ), \\
\kappa_5 &= \mu_3 (1-12\mu_2 ), \\
\kappa_6 &= \mu_2 (1-30\mu_2 (1-4\mu_2 )).
\end{align}</math>
6 Поврзани распределби
*Ако <math>X_1,\dots,X_n</math> се независни еднакво распределени случајни променливи, сите Бернулиеви опити со веројатност за успех ''p'', тогаш нивното множество е распределено според биномна распределба со параметри ''n'' и ''p'':
*:<math>\sum_{k=1}^n X_k \sim \operatorname{B}(n,p)</math> (биномна распределба).:Бернулиевата распределба едноставно е <math>\operatorname{B}(1, p)</math>, и се запишува и како <math>\mathrm{Bernoulli} (p).</math>* Категоричната распределба е воопштувањето на Бернулиевата распределба за променливи со било кој постојан број на прекинати вредности.
* Бета-распределбата е сврзувачкиот претходник of Бернулиевата распределба.
* Геометриската распределба го моделира бројот на независни и еднакви Бернулиеви опити потребни за да се добие еден успех.
* Ако <math>Y \sim \mathrm{Bernoulli}\left(\frac{1}{2}\right)</math>, тогаш <math>2Y - 1</math> има Радемахерова распределба.
7 Поврзано
* Бернулиев опит
* Бернулиев процес