Риманова функција

Риманова функција — реална функција од една реална променлива која се дефинира како:<sup>: 531</sup><math>f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{q} &\text{ако }x = \tfrac{p}{q}\in \Q, p \in \mathbb Z \text{ и } q \in \mathbb N \text{ ce взаемно прости}\\
0 &\text{ако }x \text{ е ирационален}
\end{cases}</math>
Оваа функција може да се сретне под многу други имиња: функција пуканки, функцијата од капки дожд, изменетата функција на Дирихле, функција на Тома или Ѕвездите над Вавилон (името дадено од Џон Хортон Конвеј). Карл Јоханес Тома ја спомнал оваа функција како пример за интеграбилна функција со бесконечно многу прекини во еден од првите учебници за Риманова интеграција.
Со оглед на тоа што секој рационален број може на единствен начин да се претстави како однос на копрости (или взаемно прости) <math>p \in \mathbb Z</math> и <math>q \in \mathbb N</math>, функцијата е добро дефинирана. Забележете дека <math>q = +1</math> е единствениот број во <math>\mathbb N</math> кој е взаемно прост со <math>p = 0.</math>
Функцијата е модификација на функцијата на Дирихле, која е 1 за рационалните броеви и 0 за ирационалните.
1 Поврзани распределби на веројатност
Емпириските распределби на веројатност поврзани со функцијата на Тома се појавуваат во секвенционирањето на ДНК. Човечкиот геном е диплоиден, има две нишки по хромозом. Кога се секвенционираат, се генерираат мали парчиња („прочитани“): за секое место на геномот, цел број на читања се преклопуваат со него. Нивниот сооднос е рационален број и вообичаено распределен слично како Римановата функција.
Ако парови позитивни цели броеви <math>m, n</math> се земаат примероци од дистрибуција <math>f(n,m)</math> и се користат за генерирање на количници <math>q=n/(n+m)</math>, ова доведува до дистрибуција <math>g(q)</math> на рационалните броеви. Ако целите броеви се независни, распределбата може да се гледа како конволуција над рационалните броеви, <math>g(a/(a+b)) = \sum_{t=1}^\infty f(ta)f(tb)</math>. Постојат решенија во затворена форма за дистрибуции од степенски ред со прекин. Ако <math>f(k) =k^{-\alpha} e^{-\beta k}/\mathrm{Li}_\alpha(e^{-\beta})</math> (каде <math>\mathrm{Li}_\alpha</math> е полилогаритамската функција) тогаш <math>g(a/(a+b)) = (ab)^{-\alpha} \mathrm{Li}_{2\alpha}(e^{-(a+b)\beta})/\mathrm{Li}^2_{\alpha}(e^{-\beta})</math>. Во случај на рамномермни распределби на множеството <math>\{1,2,\ldots, L\},</math><math>g(a/(a+b)) = (1/L^2) \lfloor L/\max(a,b) \rfloor</math>, што е многу слично на Римановата функција.
2 Функцијата на линијар
За цели броеви, експонентот на најголемата моќност од 2 делење <math>n</math> дава 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... . Ако се додаде 1 или ако се отстранат нули, се добива низа 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... . Вредностите наликуваат на ознаки за линијар градуиран линијар со 1/16, па оттука и името. Овие вредности одговараат на ограничувањето на Римановата функција на дијадичните рационални броеви, т.е. оние рационални броеви чиишто именители се степени на 2.
3 Поврзани функции
Следно прашање што природно може да се постави е дали постои функција која е непрекината на рационалните броеви и има прекин во секој ирационален број. Излегува дека ова е невозможно. Множеството од точки на прекин на која било функција мора да биде множество од тип [{&amp;quot;adapted&amp;quot;:true,&amp;quot;partial&amp;quot;:false,&amp;quot;targetExists&amp;quot;:true,&amp;quot;mandatoryTargetParams&amp;quot;:[],&quot;optionalTargetParams&quot;:[]}]" data- data-ve-no-generated-><i>F<sub>σ</sub>. Кога би постоела таква функција, тогаш ирационалните би биле множество, т.е. множеството од ирационалните броеви би било бројлива унија на затворени множества <math>\bigcup_{i = 0}^\infty C_i</math>, но бидејќи ирационалните не формираат интервал, интервал не се содржи во ниту едно од множествата <math>C_i</math>. Затоа, секое <math>C_i</math> треба да биде никаде густо, а ирационалните би биле никаде густо множество. Од ова би следело дека реалните броеви, кои се унија на ирационалните и рационалните броеви (кое, како бројливо множество, очигледно е никаде густо), исто така, би било никаде густо множество. Ова е во спротивност на теоремата за категории на Бер: бидејќи реалните броеви формираат комплетен метрички простор, тие формираат простор на Бер, кој сам по себе не може да биде никаде густ.
Може да се користи варијанта на Римановата функција за да се покаже дека секое множество од реалните броеви може да биде множество од точки на прекин на некоја функција. Ако <math> A = \bigcup_{n=1}^{\infty} F_n</math> е пребројлива унија на затворени множества <math> F_n</math>, дефинираме <math>f_A(x) = \begin{cases}
\frac{1}{n} & \text{ако } x \text{ е рационален и } n \text{ е најмалиот број за кој } x \in F_n\\
-\frac{1}{n} & \text{ако } x \text{ е ирационален и } n \text{ е најмалиот број за кој } x \in F_n\\
0 & \text{ако } x \notin A
\end{cases}</math>
Тогаш сличен аргумент како за Римановата функција покажува дека <math> f_A</math> го има ''А'' како збир на дисконтинуитети.
4 Поврзано
* Теорема на Блумберг
* Функција на Кантор
* Функција на Дирихле
* Евклидовиот овоштарник - Функцијата на Тома може да се толкува како перспективен цртеж на овоштарникот на Евклид
* Функција на Волтера