Фонон

Во физиката, фонон е колективно возбудување во периодичното, еластично распоредување на атомите или молекулите во кондензирана материја, како цврсти тела и некои течности. Често означен како квазичестичка, тој ја претставува возбудената состојба во квантнатата механичка квантизација на модусите на вибрациите на еластичните структури на интерактивните честички.
Фононите играат голема улога во многу физички својства на кондензирана материја, како што се топлинската и електричната спроводливост. Проучувањето на фононите е важен дел од физиката на кондензирана материја.
Концептот на фонони бил воведен во 1932 година од советскиот физичар Игор Там. Името фонон доаѓа од грчкиот збор φωνή (''phonē''), што се преведува во ''звук'' или ''глас'', бидејќи фононите со долги бранови должини создаваат зголемување на звукот. Името се заснова на зборот ''фотон''.
1 Дефиниција
Фонон е квантен механички опис на елементарното вибрирачко движење, во кое решетката од атоми или молекули подеднакво осцилира на една честота. Во класичната механика ова означува нормален модус на вибрации. Нормалните модуси се важни, бидејќи секоја произволна вибрација на решетката може да се смета како суперпозиција од овие ''елементарни вибрирачки модуси'' (погл. Фурјеова анализа). Додека нормалните модуси се феномени слични на бранови во класичната механика, фононите имаат исто така својства слични на честичките, на начин поврзан со двојноста на брановидни честички во квантната механика.
2 Динамика на решетката
Равенките во овој дел не користат аксиоми од квантната механика, туку наместо тоа користат односи за кои таму постои директна кореспонденција во класичната механика.
На пример: крута редовна, кристална (не аморфна) решетка е составена од ''N'' честички. Овие честички можат да бидат атоми или молекули. ''N'' е голем број, да речеме од редот на 10<sup>23</sup>, или од редот на Авогадровиот број за типичен примерок од цврсто тело. Бидејќи решетката е крута, атомите мора да создаваат сили една врз друга, за да го задржат секој атом блиску до рамнотежната состојба. Овие сили може да бидат Ван дер Валсови сили, ковалентни врски, електростатички привлекувања како и други, коишто во крајна линија се должат на електричната сила. Магнетните и гравитациските сили генерално се занемарливи. Силите помеѓу секој пар на атоми, можат да се одликуваат со потенцијалната енергетска функција ''V'', која зависи од растојанието на одделувањето на атомите. Потенцијалната енергија на целата решетка е збир на сите парни потенцијални енергии помножени со факторот ½, за да се компензира за двојно броење::<math>\frac12\sum_{i \neq j} V\left(r_i - r_j\right)</math>
каде што ''r<sub>i</sub>'' е позицијата на ''i'' атомот, а ''V'' е потенцијалната енергија помеѓу двата атома.
Тешко е да се реши експлицитно овој проблем со многу тела, и во класичната и во квантната механика. Со цел да се поедностави задачата, обично се наметнуваат две важни апроксимации. Прво, сумата се изведува само преку соседните атоми. Иако електричните сили во реалните цврсти тела се протегаат до бесконечност, оваа апроксимација е сè уште валидна, бидејќи полињата создадени од оддалечените атоми се ефикасно прикажани. Второ, потенцијалите ''V'' се третираат како хармониски потенцијали. Ова е дозволено сè додека атомите остануваат блиску до нивните рамнотежни состојби. Формално, ова го остварил Тејлор, проширувајќи ги ''V'' околу неговата рамнотежна вредност во квадратен ред, давајќи му на ''V'' пропорционално поместување ''x''<sup>2</sup> и еластична сила едноставно пропорционална на ''x''. Грешката во игнорирањето на повисоките редови останува мала ако x остане близу до рамнотежата состојба.
Резултирачката решетка може да се визуелизира како систем од топки поврзани со пружини. Следната слика покажува кубична решетка, која е добар модел за многу видови на кристални цврсти тела. Другите решетки вклучуваат линеарни синџири, која е многу едноставна решетка која за кратко време ќе ја користиме за моделирање на фононите. (За другите општи решетки, видете во кристална структура.)
:
Потенцијалната енергија на решетката сега може да биде напишана како:
:<math>\sum_{\{ij\} (\mathrm{nn})} \tfrac12 m \omega^2 \left(R_i - R_j\right)^2.</math>
Тука, ''ω'' е природната честота на хармониските потенцијали, за кои се претпоставува дека ќе бидат исти, бидејќи решетката е редовна. ''R<sub>i</sub>'' е координатната позиција на i атомот, која сега ја мериме од неговата рамнотежна состојба. Сумата над најблиските соседи е означена со (nn).
2.1 Бранови на решетките
Поради врските помеѓу атомите, поместувањето на еден или повеќе атоми од нивните рамнотежни состојби, доведува до сет од вибрациски бранови, кои се шират низ решетката. Еден таков бран е прикажан на сликата десно. Амплитудата на бранот е дадена со поместувањата на атомите од нивните рамнотежни состојби. Брановата должина λ е означена.
Постои минимална можна бранова должина, дадена со двојно раздвојување од рамнотежата помеѓу атомите. Секоја бранова должина пократка од оваа, може да биде вброена во бранова должина подолга од 2а, поради периодичноста на решетката. Ова може да се смета како една од последиците на теорема за земање примероци на Никвист-Шенон, точките на решетката се гледаат како "точки за земање примероци" на континуираниот бран.
Не секоја можна вибрација на решетката, има добро-дефинирана бранова должина и честота. Сепак, нормалните модуси поседуваат добро-дефинирани бранови должини и честоти.
2.2 Едно димензионална решетка
Со цел да се поедностави анализата која е потребна за 3-димензионалната решетка на атоми, погодно е да се моделира 1-димензионална решетка или линеарен синџир. Овој модел е доволно комплексен за прикажување на истакнатите одлики на фононите.
2.2.1 Класичен третман
Се претпоставува дека силите помеѓу атомите се линеарни и најблиску-соседни и тие се претставени со еластична пружина. Секој атом се претпоставува дека е точка честичка и јадрото и електроните се движат во чекор (адиабатско приближување):
''n'' − 1 ''n''''n'' + 1 ← ''a'' →
···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···
→→→→→→
''u''<sub>''n'' − 1</sub>''u<sub>n</sub>''''u''<sub>''n'' + 1</sub>
каде што го означува -тиот атом надвор од вкупниот број , a е растојанието помеѓу атомите кога синџирот е во рамнотежа, а поместувањето на -тиот атом од неговата рамнотежна положба.
Ако ''C'' е еластична константа на пружината, а маса на атомот, тогаш равенката на движењето на -тиот атом е:
:<math>-2Cu_n + C\left(u_{n+1} + u_{n-1}\right) = m\frac{d^2u_n}{dt^2} .</math>
Ова е сет од парови равенки. Бидејќи се очекува дека решенијата ќе бидат осцилаторни, новите координати се дефинирани со дискретната Фурјеова трансформација, со цел да ги раздвои нив.
Ставете
:<math>u_n = \sum_{Nak/2\pi=1}^N Q_k e^{ikna}</math>
Тука, одговара и се пренесува на континуираната променлива од теоријата на скаларно поле. се познати како нормални координати, континуираните модуси на полето . Замената во равенката на движењето ги дава следните ''раздвоени равенки'' (ова бара значителна манипулација користејќи ја ортонормалноста и комплетноста на односите на дискретната Фурјеова трансформација,
:<math> 2C(\cos {ka-1})Q_k = m\frac{d^2Q_k}{dt^2}.</math>
Ова се равенките за хармониските осцилатори кои имаат решение
:<math>Q_k=A_ke^{i\omega_kt};\qquad \omega_k=\sqrt{ \frac{2C}{m}(1-\cos{ka})}</math>
Секоја нормална координатна ''Q<sub>k</sub>'' претставува независен вибрационен модус на решетката со бранов број ''k'', кој е познат како нормален модус.
Втората равенка, за , е позната како дисперзивна релација помеѓу аголната честота и брановиот број. Во континуитетниот лимит, → 0, → ∞, со фиксиран , → , скаларно поле <math> \omega(k) \propto k a</math>и формула. Ова се сведува на слободната скаларна класична теорија на полето.
2.2.2 Квантен третман
Еднодимензионалниот квантнен механички хармониски синџир се состои од ''N'' идентични атоми. Ова е наједноставниот квантен механички модел на решетка, која им овозможува на фононите да произлезат од неа. Формализмот за овој модел е лесно генерализиран на две и три димензии.
Во одредена спротивност на претходниот дел, позициите на масите не се означени со ''u<sub>i</sub>'', туку, наместо тоа, со ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>…, што се мери од нивните рамномерни состојби (т.е. ''x<sub>i</sub>'' = 0, ако честичката ''i'' е во својата рамнотежна состојба.) Во две или повеќе димензии, ''x<sub>i</sub>'' се векторски количини. Хамилтонијанот за овој систем е
:<math>\mathcal{H} = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 \sum_{\{ij\} (\mathrm{nn})} \left(x_i - x_j\right)^2</math>
каде што ''m'' е масата на секој атом (претпоставувајќи дека е еднаква за сите), а ''x<sub>i</sub>'' и ''p<sub>i</sub>'' се операторите за позиција и момент соодветно, за i атомот и сумата е извршена над најблиските соседи (nn). Сепак, се очекува дека во решетката би можело исто така да се појават и бранови кои се однесуваат како честички. Вообичаено е да се справи со брановите во Фурјеовиот простор, кој ги користи нормалните модуси на брановиот вектор како променливи, наместо како координати на честичките. Бројот на нормални модуси е ист со бројот на честички. Сепак, Фурјеовиот простор е многу корисен со оглед на периодичноста на системот.
Може да се воведе сет од ''N'' "нормални координати" ''Q<sub>k</sub>'', дефинирани како дискретни Фурјеови трансформации на ''x<sub>k</sub>'' и ''N'' "конјугирачки моменти" ''Π<sub>k</sub>'' дефинирани како Фурјеови трансформација на ''p<sub>k</sub>'':
:<math>\begin{align} Q_k &= \frac{1}\sqrt{N} \sum_{l} e^{ikal} x_l \\ \Pi_{k} &= \frac{1}\sqrt{N} \sum_{l} e^{-ikal} p_l. \end{align}</math>
Количината ''k<sub>n</sub>'' излегува дека е бранов број на фононот, односно 2 поделена со брановата должина.
Овој избор ги задржува посакуваните комутациски релации, како во реалниот простор така и во просторот со векторски бранови.
:<math> \begin{align}
\left[x_l , p_m \right]&=i\hbar\delta_{l,m} \\
\left[ Q_k , \Pi_{k'} \right] &=\frac{1}N \sum_{l,m} e^{ikal} e^{-ik'am} \left[x_l , p_m \right] \\
&= \frac{i \hbar}N \sum_{l} e^{ial\left(k-k'\right)} = i\hbar\delta_{k,k'} \\
\left[ Q_k , Q_{k'} \right] &= \left[ \Pi_k , \Pi_{k'} \right] = 0
\end{align}</math>
Од општиот резултат
:<math> \begin{align}
\sum_{l}x_l x_{l+m}&=\frac{1}N\sum_{kk'}Q_k Q_{k'}\sum_{l} e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}= \sum_{k}Q_k Q_{-k}e^{iamk} \\
\sum_{l}{p_l}^2 &= \sum_{k}\Pi_k \Pi_{-k}
\end{align}</math>
Терминот потенцијална енергија е
:<math> \tfrac12 m \omega^2 \sum_{j} \left(x_j - x_{j+1}\right)^2= \tfrac12 m\omega^2\sum_{k}Q_k Q_{-k}(2-e^{ikae^{-ika})= \tfrac12 \sum_{k}m{\omega_k}^2Q_k Q_{-k}</math>
каде
:<math>\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 \left( 1 - \cos{ka} \right)} = 2\omega\left|\sin\frac{ka}2\right|</math>
Хамилтонијанот може да биде напишан во просторот со векторски бранови како
:<math>\mathcal{H} = \frac{1}{2m}\sum_k \left( \Pi_k\Pi_{-k} + m^2 \omega_k^2 Q_k Q_{-k} \right)</math>
Спојките помеѓу променливите на позицијата биле трансформирани; ако ''Q'' и ''Π'' биле хермитијани (кои тие не се), трансформираниот Хамилтонијан би требало да опише ''N'' неспоени хармониски осцилатори.
Формата на квантизацијата зависи од изборот на граничните услови; за поедноставување, се наметнуваат ''периодични'' гранични услови, со дефинирање на (''N'' + 1)тиот атом како еквивалент на првиот атом. Физички, ова одговара на приклучувањето на синџирот на неговите краеви. Резултирачката квантизација е
:<math>k=k_n = \frac{2\pi n}{Na} \quad \mbox{for } n = 0, \pm1, \pm2, \ldots \pm \frac{N}2 .\ </math>
Горната граница на ''n'' доаѓа од минималната бранова должина, што е двојна вредност од растојанието на решетката ''a'', како што беше продискутирано погоре.
Хармониските осцилаторни карактеристични вредности или нивоа на енергија за модусот ''ω<sub>k</sub>'' се
:<math>E_n = \left(\tfrac12+n\right)\hbar\omega_k \qquad n=0,1,2,3 \ldots</math>
Нивоата се подеднакво распоредени на:
:<math>\tfrac12\hbar\omega , \ \tfrac32\hbar\omega ,\ \tfrac52\hbar\omega \ \cdots</math>
каде ''ħω'' е енергијата на нултата точка на квантниот хармониски осцилатор.
Точна количина на енергија ''ħω'' мора да се достави до решетката на хармонискиот осцилатор за да го потисне на следното ниво на енергија. Во споредба со фотонскиот случај, кога електромагнетното поле се квантифицира, квантумот на вибрациона енергија се нарекува фонон.
Сите квантни системи истовремено покажуваат својства како бранови или честички. Својствата како честички на фононот најдобро се разбираат со користење на методите за втора квантизација и техниките на операторот опишани подоцна.
2.3 Тридимензионална решетка
Ова може да биде генерализирано за тридимензионална решетка. Брановиот број ''k'' се заменува со тро-димензионален бранов вектор k. Понатаму, секој k е сега поврзан со три нормални координати.
Новите индекси ''s'' = 1,2,3 ја означуваат поларизација на фононите. Во еднодимензионалниот модел, атомите биле ограничени да се движат по должината на линијата, па фононите соодветствувале со надолжните бранови. Во три димензии, вибрациите не се ограничени на правецот на размножување, и можат исто така да се појават и во нормалните рамнини, како попречните бранови. Ова доведува до пораст на дополнителните нормални координати, кои како форма на Хамилтонијан укажуваат, дека можеме да ги видиме како независни видови на фонони.
2.4 Дисперзиона релација
За една-димензионална наизменична низа од два вида на јон или атом со маса ''m''<sub>1</sub>, ''m''<sub>2</sub> повторувани периодично на растојание ''a'', поврзани со пружини со константа на пружина ''K'', два модуса на вибрации резултираат::<math>\omega_\pm^2 = K\left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2}\right) \pm K \sqrt{\left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2}\right)^2-\frac{4\sin^2\frac{ka}{2{m_1 m_2 ,</math>
каде ''k'' е бранов фактор на вибрациите поврзани со неговата бранова должина со
<math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
Врската помеѓу честотата и брановиот фактор, ''ω'' = ''ω''(''k''), е позната како дисперзиона релација. Знакот плус резултира во таканаречен оптички модус, а знакот минус во акустички модус. Во оптичкиот модус два соседни различни атоми се движат еден наспроти друг, додека во акустичниот модус се движат заедно.
Брзината на ширење на акустичкиот фонон, која е исто така брзина на звукот во решетката, е дадена со наклонот на акустичната дисперзиона релација, (види групна брзина.) При ниски вредности на ''k'' (на пр.: долги бранови должини), дисперзионата релација е речиси линеарна, а брзината на звукот е приближно ''ωa'', независно од фононската честота. Како резултат на тоа, пакетите од фонони со различни (но долги) бранови должини можат да се шират на големи растојанија низ решетката без да се распаднат. Ова е причината поради која звукот се шири низ цврсти тела без значителни изобличувања. Ова однесување не успева при големи вредности на ''k'', на пр. кратки бранови должини, поради микроскопските детали на решетката.
За кристал кој има најмалку два атома во својата примитивна ќелија, дисперзионите релации покажуваат два вида фонони, имено, оптичките и акустичните модуси соодветствуваат на горната сина и долна црвена крива на дијаграмот, соодветно. Вертикалната оска е енергијата или честотата на фононот, додека хоризонталната оска е брановиот вектор. Границите при − и се оние од првата Брилуинова зона. Кристал со ''N'' ≥ 2 различни атоми во примитивната ќелија покажува три акустични модуси: еден надолжен акустичен модус и два попречни акустични модуси. Бројот на оптички модови е 3''N'' - 3. Долната слика ги прикажува дисперзионите релации за неколку фононски модуси во GaAs како функција од брановиот вектор k во главните насоки на својата Брилуинова зона.
Многу дисперзиони криви на фононите биле мерени со неутронското расејување.
Физиката на звукот во флуидите се разликува од физиката на звукот во цврстите тела, иако и двата се густински бранови: звучните бранови во течностите имаат само надолжни компоненти, додека звучните бранови во цврстите тела имаат надолжни и попречни компоненти. Ова е поради тоа што течностите не можат да ги поддржат смолкнувачките (напречните) стресови (но види во вискоеластични флуиди, кои се пјавуваат само на високи честоти).
2.5 Интерпретација на фононите со корисење на техниките за втора квантизација
Всушност, погоре добиениот Хамилтонијан изгледа како класична Хамилтонијанова функција, но ако се толкува како оператор, тогаш ја опишува квантната теорија на полето на неинтерактивните бозони.
Енергетскиот спектар на овој Хамилтонијан лесно се добива со методот на скалести оператори, сличен на проблемот со квантниот хармониски осцилатор. Воведуваме сет од скалести оператори дефинирани со:
:<math>\begin{alignat}{2}
b_k&=\frac{1}\sqrt{2}\left(\frac{Q_k}{l_k}+i\frac{\Pi_{-k{\frac{\hbar}{l_k\right), &\quad Q_k&=l_k\frac{1}\sqrt{2}\left({b_k}^\dagger+b_{-k}\right) \\
{b_k}^\dagger&=\frac{1}\sqrt{2}\left(\frac{Q_{-k{l_ki\frac{\Pi_{k{\frac{\hbar}{l_k\right), &\quad \Pi_k&=\frac{\hbar}{l_k}\frac{i}\sqrt{2}\left({b_k}^\dagger-b_{-k}\right) \\
l_k&=\sqrt\frac{\hbar}{m\omega_k} \end{alignat}</math>
Со директно вметнување Хамилтонијан, лесно може да се потврди дека
:<math>\mathcal{H} =\sum_k \hbar\omega_k \left({b_k}^\dagger b_k+\tfrac12\right) ,\quad \left[b_k , {b_{k'^\dagger \right] = \delta_{k,k'} ,\quad \Big[b_k , b_{k'} \Big] = \left[{b_k}^\dagger , {b_{k'^\dagger \right] = 0.</math>
Како и со квантниот хармониски осцилатор, еден може да покаже дека ''b<sub>k</sub>''<sup>†</sup> и ''b<sub>k</sub>'', соодветно, создаваат и уништуваат едно возбудување од енергија ''ħω<sub>k</sub>''. Овие возбудувања се фононите.
Можат да се одредат две важни својства на фононите. Прво, фононите се бозони, бидејќи секој број на идентични возбудувања може да се создаде со повторена примена на операторот за создавање ''b<sub>k</sub>''<sup>†</sup>. Второ, секој фонон е "колективен модус" предизвикан од движењето на секој атом во решетката. Ова може да се види од фактот дека скалестите оператори содржат суми над операторите за позиција и момент на секој атом.
Не е ''а''''приори'' очигледно дека овие возбудувања генерирани од ''b'' операторите се буквално бранови од поместувањето на решетката, но еден може да се убеди себеси за ова, со пресметување на ''функција за корелацијата позиција-позиција''. Нека |''k''> означува состојба со единечен квантум од возбуден мод ''k'', на пр.
:<math>| k \rangle = b_k^\dagger | 0 \rangle.</math>
Може да се покаже дека, за било кои два атома ''j'' и ''l'',
:<math>\langle k | x_j(t) x_l(0) | k \rangle = \frac{\hbar}{Nm\omega_k} \cos \big( k(j-l)a - \omega_k t \big) + \langle 0 | x_j(t) x_l(0) |0 \rangle </math>
кои имаат форма на решеткаст бран со честота ''ω<sub>k</sub>'' и бранов број ''k''.
Во три димензии, Хамилтонијанот има форма
:<math>\mathcal{H} = \sum_k \sum_{s = 1}^3 \hbar \, \omega_{k,s}
\left( {b_{k,s^\dagger b_{k,s} + \tfrac12 \right).</math>
3 Акустични и оптички фонони
Цврстите тела со повеќе од еден атом во најмалата ќелијска единица, прикажуваат два вида фонони: акустични фонони и оптички фонони.
Акустични фонони се кохерентни движења на атомите во решетката, надвор од нивните рамнотежни состојби. Ако поместувањето е во насока на ширењето, тогаш во некои области атомите ќе бидат поблиску, а во други подалеку, како кај звучниот бран во воздухот (оттука и името акустички). Поместувањето нормално на правецот на размножувањето е споредливо со брановите на низата. Ако бранова должина на акустичните фонони оди до бесконечност, тоа одговара на едноставното поместување на целиот кристал, а тоа троши енергија за нулта деформација. Акустичните фонони покажуваат линеарна врска помеѓу честотата и брановиот вектор на фононот за долги бранови должини. Честотите на акустичните фонони се стремат кон нула со подолга бранова должина. Лонгитудиналните и попречните акустични фонони често биле скратувани како LA и TA фонони, соодветно.
Оптичките фонони се не-фазни движења на атомите во решетката, еден атом се движи во лево а неговиот сосед во десно. Ова се случува ако основата на решетката се состои од два или повеќе атоми. Тие се нарекуваат ''оптички'', бидејќи во јонските кристали, како натриум хлоридот, тие се возбудени од инфрацрвеното зрачење. Електричното поле на светлината ќе го помести секој позитивен натриум-јон во правец на полето, а секој негативен хлорид-јон во другата насока, праќајќи го кристалот да вибрира.
Оптичките фонони имаат честота различна од нула, во центарот на Брилуиновата зона и не покажуваат дисперзија близу лимитот на таа долга бранова должина. Тоа е затоа што тие кореспондираат со модусот на вибрации, каде што позитивните и негативните јони на соседните мрежни решетки се вртат едни спроти други, создавајќи временски различен електричен диполен момент. Оптичките фонони кои се во интеракција на овој начин со светлината, се нарекуваат ''инфрацрвени активни''. Оптичките фонони кои се ''Раман'' активни, исто така, можат да бидат во интеракција индиректно со светлина, преку Рамановото расејување. Оптичките фонони се често скратувани како LO и TO фонони, за надолжни и попречни модуси; а раздвојувањето помеѓу LO и TO честотите често е опишано точно со релацијата Лидајн-Сакс-Телер.
Кога се мери оптичката енергија од фононот со експеримент, оптичките фононски честоти понекогаш се даваат со спектроскопскиот бранов број, каде што симболот ''ω'' ја претставува обичната честота (не е аголната честота) и се изразува во единица cm<sup>−1</sup>. Вредноста се добива со делење на честотата со брзината на светлината во вакуум. Со други зборови, честотата во cm<sup>−1</sup> единици одговара на инверзната вредност на бранова должина на фотонот во вакуум, која има иста честота како и измерениот фонон. cm<sup>−1</sup> е единица за енергија која често се користи во дисперзиските релации и на акустичките и на оптичките фонони, за повеќе детали и користење види во единици на енергија.
4 Кристален моментум
По аналогија на фотоните и материјалните бранови, фононите биле третирани со брановиот фактор ''k'', како да имаат моментум ''ħk'', меѓутоа, ова не е строго правилно, бидејќи ''ħk'' не е всушност физички моментум; тој се нарекува ''кристален моментум или псевдомоментум''. Ова е поради тоа што ''k'' е одреден само до додавањето на константни вектори (реципрочни вектори на решетки и многукратник од цели броеви од него). На пример, во еднодимензионалниот модел, нормалните координати ''Q'' и ''Π'' се дефинирани така што
:<math>Q_k \stackrel{\mathrm{def{=} Q_{k+K} ;\quad \Pi_k \stackrel{\mathrm{def{=} \Pi_{k + K}</math>
каде
:<math>K = \frac{2n\pi}{a}</math>
за било кој цел број ''n''. Фонон со бранова должина ''k'' е на тој начин еквивалентен со бесконечното семејство на фонони со бранови броеви ''k'' ± , ''k'' ± и така натаму. Физички, реципрочните вектори на решетки се однесуваат како дополнителни парчиња на моментум што решетката може да го пренесе на фононот. Блох електроните го почитуваат сличниот сет на ограничувања.
Вообичаено е да се разгледуваат фононските бранови вектори k, кои имаат најмала величина | k | во нивното "семејство". Сетот од сите такви браново вектори ја дефинира ''првата Брилуинова зона''. Дополнителни Брилуинови зони можат да бидат дефинирани како копии од првата зона, префрлени од некој реципрочен решеткаст вектор.
5 Термодинамика
Термодинамичките својства на цврстите тела се директно поврзани со нивната фононска структура. Целиот сет на сите можни фонони кои се опишани со фононовата дисперзиона релација се комбинирани во она што е познато како фононска густина на состојби, која го одредува топлинскиот капацитет на кристалот. Од природата на оваа дистрибуција, топлинскиот капацитет  доминира во високочестотниот дел од дистрибуцијата, додека топлинската спроводливост првенствено е резултат на регионот со ниска честота.
При апсолутна нула температура, кристалната решетка лежи во својата основна состојба и не содржи фонони. Решетката на температура различна од нула има енергија која не е константна, туку флуктуира случајно околу некоја средна вредност. Овие флуктуации на енергија се предизвикани од случајните вибрации на решетката, кои можат да се посматраат како гас од фонони. Бидејќи овие фонони се генерирани од температурата на решетката, тие понекогаш се означени како термални фонони.
Термалните фонони можат да бидат создадени и уништени со случајни енергетски флуктуации. На јазикот на статистичката механика ова значи дека хемискиот потенцијал за додавање на фонон е нула. Ова однесување е проширување на хармонискиот потенцијал во анхармонискиот режим. Однесувањето на термалните фонони е слично на фотонот гас произведен од електромагнетната празнина, при што фотоните можат да бидат емитирани или апсорбирани од ѕидовите на шуплината. Оваа сличност не е коинцидентна, бидејќи излегува дека електромагнетното поле се однесува како збир на хармониски осцилатори, што доведува до црнотелесно зрачење. И двата гаса ги почитуваат статистиките на Босе-Ајнштајн: во топлинската рамнотежа и во рамките на хармонискиот режим, веројатноста за пронаоѓање на фонони или фотони во дадената состојба со дадена аголна честота е:
:<math>n\left(\omega_{k,s}\right) = \frac{1}{\exp\left(\dfrac{\hbar\omega_{k,s{k_\mathrm{B}T}\right) - 1}</math>
каде ''ω''<sub>''k'',''s''</sub> е честотата на фононите (или фотоните) во состојбата, ''k''<sub>B</sub> е Болцмановата константа, а ''T'' е температурата.
5.1 Проток на топлината во нанометарски широки процепи
Идејата за квантно тунелирање применета на фононите создава идеја за ''фононско тунелирање'', каде што низ нанометарски широки процепи, топлината може да пренесува помеѓу материјалите од фононот што е "тунел" помеѓу двата материјали. Типот на пренос на топлина функционира помеѓу растојанија премногу големи за да се случи спроведување, но премногу мали за да се случи зрачење.
6 Операторски формализам
Фононот Хамилтонијан е даден со
:<math>\mathcal{H} = \tfrac12 \sum_\alpha\left(p_\alpha^2 + \omega^2_\alpha q_\alpha^2 -\tfrac12 \hbar\omega_\alpha\right)</math>
Во однос на операторите, овие се дадени со
:<math>\mathcal{H} = \sum_\alpha\hbar\omega_\alpha {a_\alpha}^\dagger a_\alpha</math>
Тука, при изразувањето на Хамилтонијанот во операторскиот формализам, не го земавме предвид при пресметувањето терминот ''ħω<sub>q</sub>'', бидејќи ако земеме бесконечна решетка или, за тоа прашање  континуум, теминот ''ħω<sub>q</sub>'' ќе даде бесконечност. Оттука, тој е "ренормализиран", со ставање на факторот ''ħω<sub>q</sub>'' на вредност 0, тврдејќи дека разликата во енергијата е она што ние го мериме, а не апсолутната вредност од неа. Оттука, факторот ''ħω<sub>q</sub>'' е отсутен во операторскиот формализиран израз за Хамилтонијанот.
Основната состојба, исто така, наречена "вакуумска состојба" е состојбата составена од без фонони. Оттука, енергијата на основната состојба е 0. Кога системот е во состојба |n<sub>1</sub>n<sub>2</sub>n<sub>3</sub> ...⟩, велиме дека има ''n<sub>α</sub>'' фонони од типот ''α''. ''n<sub>α</sub>'' се нарекуваат број на окупација на фононите. Енергијата на еден фонон од тип α е ħωq, а вкупната енергија на општиот фононски систем е дадена со ''n''<sub>1</sub>''ħω''<sub>1</sub> + ''n''<sub>2</sub>''ħω''<sub>2</sub> +…. Со други зборови, фононите не се интерактивни. Дејството на операторите за создавање и уништување е дадено со
:<math>{a_\alpha}^\dagger\Big|n_1\ldots n_{\alpha -1}n_\alpha n_{\alpha +1}\ldots\Big\rangle = \sqrt{n_\alpha +1}\Big|n_1\ldots,n_{\alpha -1}, (n_\alpha+1), n_{\alpha+1}\ldots\Big\rangle</math>
и
:<math>a_\alpha\Big|n_1\ldots n_{\alpha -1}n_\alpha n_{\alpha +1}\ldots\Big\rangle = \sqrt{n_\alpha}\Big|n_1\ldots,n_{\alpha -1},(n_\alpha-1),n_{\alpha+1},\ldots\Big\rangle</math>
на пр. ''a<sub>α</sub>''<sup>†</sup> создава фонон од типот ''α'', додека ''a<sub>α</sub>'' го уништува. Оттука, тие се оператори за создавање и уништување на фонони. Аналогно на случајот на квантниот хармониски осцилатор, можеме да го дефинираме операторот на бројот на честички како
:<math>N = \sum_\alpha {a_\alpha}^\dagger a_\alpha.</math>
Бројниот оператор се менува со низата производи од операторите за создавање и уништување, ако бројот на а е еднаков на бројот на ''a''<sup>†</sup>.
Фононите се бозони, бидејќи |''α'',''β''⟩ = |''β'',''α''⟩, т.е. тие се симетрични при замена.
7 Нелинеарност
Исто како и фотоните, фононите можат да прават интеракција преку параметарско долно претворање и да формираат притиснати кохерентни состојби.
8 Предвидени својства
Иако фононите често се користат како квазичестички, некои популарни истражувања покажале дека фононите и ротоните навистина можат да имаат ист вид на маса, и да бидат под влијание на гравитацијата како што се стандардните честички. Всушност, предвидено е да фононите имаат вид на негативна маса и негативна гравитација. Ова може да биде покажано од фактот како фононите знаат побрзо да патуваат во погусти материјали. Бидејќи дел од материјалот што се насочува кон гравитацискиот извор е поблиску до објектот, тој станува погуст на тој крај. Од ова, се предвидува дека фононите ќе се одвратат, бидејќи ќе ја откријат разликата во густината, покажувајќи ги квалитетите на негативното гравитациско поле. Иако ефектот би бил премногу мал за мерење, можно е да со идната опрема ќе се дојде до успешни резултати.
Фононите, исто така, се предвидени да играат клучна улога во суперспроводливоста во материјалите и предвидувањето на суперспроводливи соединенија.
9 Поврзано
* Бозон
* Brillouin scattering
* Fracton
* Linear elasticity
* Механички бран
* Phonon scattering
* Phononic crystal
* Rayleigh wave
* Relativistic heat conduction
* Rigid unit modes
* SASER
* Second sound
* Surface acoustic wave
* Surface phonon
* Thermal conductivity
* Vibration