Множење

Множење — математичка операција повеќекратно зголемување на еден број и претставува една од четирите основни операции во аритметиката.
Може да се претстави и како скратено собирање на еднакви собироци::<math>3 \cdot 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.\!\,</math>
Во случајот 3 и 4 се множител и множеник (фактори), а 12 е „производ“.
или пак
:<math>3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12.\!\,</math>
каде собироците се три четворки, наместо четири тројки, што не прави никаква разлика во резултатот.
Множењето на рационални броеви (дропки) и реални броеви се одликува со систематско воопштување на оваа основна идеја.
Оваа операција може да се претстави и како броење на предмети распоредени во правоаголник (за цели броеви) или со наоѓањето на плоштина на правоаголник со страни со извесни должини (општо за сите броеви). Плоштината на правоаголникот не зависи од тоа од која страна ќе почнеме, па така множењето не зависи од редоследот, т.е. кој број ќе биде множител, а кој множеник.
Еве еден пример:
:<math>2{,}5\,\mbox{m} \cdot 4{,}5\,\mbox{m} = 11{,}25\,\mbox{m}^2,\!\,</math>:<math>11\,\mbox{m/s} \cdot 9\,\mbox{s} = 99\,\mbox{m}.\!\,</math>
Обратна операција на множењето е делењето. На пример, 4 по 3 дава 12. А 12 поделено со 3 дава 4. Ако нешто помножиме со 3, а потоа го поделиме со 3, го добиваме првичниот број.
Множењето важи и за други видови броеви (како комплексни броеви) и поапстрактни поимања како матрици. Кај ваквите поапстрактни случаи редоследот на множење понекогаш мора да се запази (т.е. не важи комутативноста)
1 Означување
Операцијата множење се означува со средна точка „·“ помеѓу бројките, а пред резултатот се става знакот за еднаквост. На пример,
:<math>2 \cdot 3 = 6</math> (со зборови: „два по три е еднакво на шест“)
:<math>3 \cdot 4 = 12</math>:<math>2 \cdot 3 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30</math>:<math>2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32</math>*Во некои земји множењето се означува со крвче „“:
:<math>5 \times 2</math>*при множење на матрици, точката и крвчето играат различна улога. Крвчето означува векторско множење, а точката означува скаларно .
Бројот што се множи се нарекува „множеник“, т.е. тоа е бројот што го повторуваме онолку пати колку што изнесува множителот. Во алгебрата, бројот што е множител на некоја променлива или израз (како на пр. 3 во 3''xy''<sup>2</sup>) се нарекува „коефициент“.
Резултатот од множењето се нарекува „производ“, кој е содржател на секој од неговите множители, доколку се цели броеви. На пример, 15 е производ од 3 и 5, и содржател на броевите 3 и 5.
2 Методи на пресметка
2.1 Историска позадина
Најстар метод е рачното множење со научена таблица множење, но истото е макотрпно и подложно на грешки кога се работи со големи и децимални броеви. Со цел да се упрости постапката се измислени декадните логаритми и разни помагала. Логаритмарот е посебен лизгачки линијар кој бргу го наоѓа производот на бараните броеви со точност од три места. Кон почетокот на XX век се измислени механички сметалки кои работеле со поголеми броеви до 10 цифри. Денешните сметачи и дигитрони претставуваат огромен напредок во моќноста на обработка на математички операции.
2.2 Бесконечни производи
Можеме да имаме и производ со бесконечно многу членови. Ваквите производи се нарекуваат бесконечни производи. Написмено, горенаведеното ''n'' го заменуваме со знакот за бесконечност ∞. Производот од оваа низа се определува со лимесот (границата) на производот на првите ''n'' члена, како што ''n'' расте до бескрај. По дефиниција,
:<math> \prod_{i=m}^{\infty} x_{i} = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}. </math>
Така можеме да го замениме и ''m'' со негативна бесконечност, па да определиме:
:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
под услов да постојат обата лимеса.
3 Својства
Работејќи со природни броеви, цели броеви, дропки, реални и комплексни броеви, за множењето важат следниве својства:
;Комутативно својство
: Редоследот по кој се множат броевите не е важен:
::<math>x\cdot y = y\cdot x</math>.
;Асоцијативно својство
: Изразите што содржат само множење се неменливи во однос на редоследот на операциите:
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>;Дистрибутивно својство
: Важи за множењето во однос на собирањето. Ова е идентитет од првостепена важност при упростувањето на алгебарските изрази:
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>;Неутрален елемент
: Умножителниот идентитет е 1; сè што ќе се помножи со еден е еднакво само на себе. Ова се нарекува идентитетно својство:
::<math>x\cdot 1 = x</math>;Нулти елемент
: Секој број помножен со нула дава нула. Ова се нарекува нулто својство на множењето:
::<math>x\cdot 0 = 0</math>:Нулата понекогаш не се смета за природен број.
Постојат уште некои својства кои не се задоволени кај сите видови броеви.
;Негација
:Минус еден помножен со секој број го дава спротивниот на тој број.
::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math>: Негативно еден помножено со негативно еден дава позитивно еден.
::<math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>:Негативните броеви не спаѓаат во природните броеви.
;Обратен елемент
:Секој број ''x'' (освен нула) има реципрочна вредност (превртување), <math>\frac{1}{x}</math>, така што <math>x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1</math>.
:Природните и целите броеви немаат реципрочни вредности.
;Зачувување на редослед
: Множењето со позитивен број го зачувува редоследот: ако ''a'' > 0, тогаш ако ''b'' > ''c'' тогаш ''ab'' > ''ac''. Множењето со негативен број го превртува редоследот: ако ''a'' < 0, а ''b'' > ''c'' тогаш ''ab'' < ''ac''.
:Комплексните броеви немаат поредочен предикат.
Не сите математички системи ги имаат овие својства. На пример, комутативноста по правило не важи при множење на матрици и кватерниони, туку само во исклучителни случаи.
4 Множење на разни видови броеви
;Цели броеви
:<math>N \cdot M</math> е збир од ''M'' примероци (собироци) на ''N'', па тогаш ''N'' и ''M'' се позитивни цели броеви. Со ова го добиваме бројот на собироци во низа со ширина ''N'' и висина ''M''. Можеме да воопштиме за негативни броеви со <math>N \cdot (-M) = (-N) \cdot M = - (N \cdot M)</math> и <math>(-N) \cdot (-M) = N \cdot M</math>. истите правила за предзнак важат и за рационални и реални броеви.
;Рационални броеви
:Воопштување во дропки <math>\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D}</math> се добива со множење на броителите и именителите: <math>\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{(A \cdot C)}{(B \cdot D)}</math>. Ова дава плоштина на правоаголник со висина од <math>\frac{A}{B}</math> и ширина од <math>\frac{C}{D}</math>, и е истоветен со бројот на собироци во низа кога рационалните броеви се воедно и цели.
;Реални броеви
:<math>(x)(y)</math> е границата на производите на соодветните членови во извесни низи на рационални броеви што се стремат кон ''x'' и ''y'', и како таква е значајна во математичката анализа. Ова дава плоштина на правоаголник со висина од ''x'' и ширина ''y''.
;Комплексни броеви
:Ако земеме комплексните броеви <math>z_1</math> и <math>z_2</math> да се подредени парови од реални броеви <math>(a_1, b_1)</math> и <math>(a_2, b_2)</math>, производот <math>z_1 \cdot z_2</math> е <math>(a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2, a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1)</math>. Ова е исто како за реални броеви, <math>a_1 \cdot a_2</math>, кога ''имагинарните делови''<math>b_1</math> и <math>b_2</math> се нула.
5 Степенување
Операцијата на повторување на множењето се нарекува степенување. На пример, производот од трипати два (2·2·2) ќе биде „два дигнат на трет степен“ и се означува со надзнак: 2<sup>3</sup>. Во овој случај бројот два е основа, а бројот три е степен, што означува колку пати основата треба да се помножи сама со себе. Така, изразот
:<math>a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_n</math>
покажува дека основата ''a'' треба да се помножи сама со себе ''n'' пати.
6 Множењето како мотив во уметноста
* „Табелата на множењето“ - песна на рускиот поет Владимир Казаков од 1969 година.
7 Поврзано
* Таблица множење
* Факториел
* Производ (математика)
* Логаритмар