Златен пресек

Во математиката две величини се во златниот однос ако соодносот помеѓу двете величини е еднаков на збирот на тие две вредности, наспроти повисоки вредности. Сликата од десно ја илустрира геометриски односи. Алгебарски, за количините ''a'' и ''b'' и ''a''&#x20;>&#x20;''b''&#x20;>&#x20;0,
:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \ \stackrel{\text{def{=}\ \varphi,</math>
грчката буква фи (<math>\varphi</math> ili <math>\phi</math>) е константна. Неговата вредност е:
:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5{2} = 1,6180339887\ldots.</math>
Златниот однос се нарекува и  златен пресек (латински: ''sectio aurea'').. Други имиња вклучуваат екстремен однос, среден пресек, златен сразмер, златен број. божествен пресек. Тоа е однос во кој има примена на предмети, слики итн. Предизвикува особено естетско доживување – допаѓање, па оттука е и името „Божествен пресек“.
Златниот однос се појавува во одредени модели во природата, вклучувајќи филотаксијата (спирално подредување на листови) и други делови на растенија.
Математичарите уште во времето на Евклид ги изучувале својствата на златниот однос, вклучувајќи ја и појавата на мерење на правилен петаголник и на златниот правоаголник, што всушност може да се подели во квадрат и уште еден правоаголник на истиот однос.
1 Пресметка
Две величини ''a'' и ''b'' се во златниот однос ''φ'' ако
:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.</math>
Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,
:<math>\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}.</math>
Затоа,
:<math> 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi. </math>
Множење со'' φ'' дава
:<math>\varphi + 1 = \varphi^2</math>
што може да се изрази како
:<math>{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.</math>
Со користење на формулата за решавање на  квадратни равенки, се добиваат две решенија:
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5{2} = 1,61803\,39887\dots</math>
и
:<math>\varphi = \frac{1 - \sqrt{5{2} = -0,6180\,339887\dots</math>
Бидејќи ''φ'' е однос меѓу двете позитивни вредности '' φ'' е секогаш позитивна вредност:
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5{2} = 1,61803\,39887\dots</math> .
2 Алгебра
2.1 Ирационалнот
Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:
2.1.1 Контрадикција на израз во најниска вредност
Да се потсетиме дека:
: целината е подолг дел плус пократок дел;
: целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел.
Ако некој број се нарекува ''n'' а подолгиот дел ''m'', тогаш втората изјава станува:
:''n'' спроти ''m'' , исто како што и ''m'' спроти ''n''&#x20;−&#x20;''m'',
или, во алгебрата:
:<math> \frac nm = \frac{m}{n-m}.\qquad (*) </math>
Да се каже дека ''φ'' е рационално значи дека ''φ'' односите ''n''/''m'' каде ''n'' и ''m'' се integers. Ние може да се каже дека ''n''/''m'' имаат најниски вредности, и дека ''n'' и ''m се'' позитивни броеви. Но, ако дел ''n''/''m'' ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (*) до врвот равенката ''m''/(''n''&#x20;−&#x20;''m''), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека ''φ'' е рационално.
2.1.2 Извод од ирационалноста на бројот √5
Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај  рационалните броеви, собирање и множење. Ако <math /> е рационално, и <math /> е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.
2.2 Најмал полином
Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:
:<math>x^2 - x - 1.</math>
Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.
2.3 Роднина на златниот пресек
Други корени од најмалите полиноми x -<sup>2</sup> - x - 1
:<math>-\frac{1}{\varphi}=1-\varphi = \frac{1 - \sqrt{5{2} = -0,61803\,39887\dots.</math>
Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0,618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b''/a''), е понекогаш познат под името ''роднина на златниот пресек''. Се означува со голема буква Фи (<math>\Phi</math>):
:<math>\Phi = {1 \over \varphi} = \varphi^{-1} = 0,61803\,39887\ldots.</math>
3 Поврзано
* Златна спирала
* Златен правоаголник
* Сребрен пресек