Теореми за средна вредност

Теореми за средна вредност, име за четири теореми кои во најопшта смисла ги поврзуваат својствата на функциите и нивниот извод. Преку овие теореми, најчесто, се врши практичната примена на диференцијалното сметање. Сите теореми носат име на познати математичари: Пјер Ферма, Мишел Рол, Жозеф Луј Лагранж и Огистен Луј Коши.
1 Теорема на Ферма
Теоремата на Ферма, или ''Прва теорема за средна вредност'', ја има следнава формулација:
* Нека <math>\ f(x)</math> е реална функција определена на интервалот <math>\ (a,b)</math> и нека во точката <math>\ x_0 \in (a,b)</math> има локален екстрем (локален минимум или локален максимум). Ако функцијата е диференцијабилна во точката <math>\ x_0</math>, тогаш <math>\ f^\prime (x_0) = 0</math>.
Имајќи го предвид значењето на првиот извод на функцијата во некоја точка, теоремата го има следново (неформално) толкување: во точките кои се екстреми на фунцијата, тангентата на графикот на функцијата е паралелна со <math>\ x</math>-оската.
4.1 Доказ
Прво да дефинираме локален екстрем на функција. Постојат два вида локални екстреми: локален минимум и локален максимум.
* Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервал <math>\ (a,b)</math>. За неа велиме дека има ''локален максимум'' во точка <math>\ x_1 \in (a,b)</math> ако за секој <math>\ x \in (a,b)</math> важи: <math>\ f(x) \le f(x_1)</math>. Соодветно, за <math>\ f(x)</math> велиме дека има ''локален минимум'' во точка <math>\ x_2 \in (a,b)</math> ако за секој <math>\ x \in (a,b)</math> важи: <math>\ f(x) \ge f(x_2)</math>.
Нека претпоставиме дека функцијата <math>\ f(x)</math> има локален максимум во точка <math>\ x_0 \in (a,b)</math>. Тогаш точно е:
:<math>\exists \delta >0, \forall x \in (x_0 - \delta,\, x_0 + \delta),\,\, f(x) \le f(x_0)</math>
Тогаш за <math>\ x \in (x_0,\, x_0 + \delta)</math>, важи: <math>\ f(x) - f(x_0) \le 0</math> и <math>\ x - x_0 \ge 0</math>. За изводот имаме:
:<math>\ f^\prime(x) = \lim_{x \to x_0^{+ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0\,\,\,\,\, (\star)</math>
Ако пак <math>\ x \in (x_0 - \delta,\, x_0)</math>, важи: <math>\ f(x) - f(x_0) \le 0</math> и <math>\ x - x_0 \le 0</math>, па во тој случај за изводот имаме:
:<math>\ f^\prime(x) = \lim_{x \to x_0^{- \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0\,\,\,\,\, (\star\star)</math>
Бидејќи лимесот <math>\ f^\prime(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math> постои (функцијата е диференцијабилна на целиот интервал), се добива дека постојат и левиот и десниот лимес во точката <math>\ x_0</math> и дека тие се еднакви; ова е единствено можно, согласно неравенствата <math>(\star)</math> и <math>(\star\star)</math>, ако <math>\ f^\prime (x) = 0\,\,\, \blacksquare</math>
2 Теорема на Рол
Теоремата на Рол, или Втора теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:
* Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на <math>\ (a,b)</math> и нека <math>\ f(a) = f(b) = 0</math>. Тогаш постои точка <math>\ x \in (a,b)</math> таква што <math>\ f^\prime (x) = 0</math>.
Неформално може да се толкува на следниов начин: ако функција е определена на затворен интервал и диференцијабилна во сите освен можеби во крајните точки од интервалот, во кои пак има вредност еднаква на нула, тогаш таа сигурно има екстрем на тој интервал.
4.1 Доказ
Функцијата <math>\ f </math> е непрекината на интервалот <math>\ [a,b]</math>, што значи дека постојат точки од интервалот во кои таа ги достигнува својата најмала и најголема вредност. Нека тие вредности ги означиме со <math>\ m </math> и <math>\ M</math> соодветно, т.е.
:<math>\ m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)</math>:<math>\ M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)</math>* Ако <math>\ m=M</math>, тогаш заради вредноста на функцијата во крајните точки имаме: <math>\ f(x) = 0</math> за секоја точка од интервалот, што значи дека <math>\ f^\prime (x) = 0</math>, од каде следи точноста на тврдењето.
* Ако <math>\ m < M</math>, тогаш е точно барем едно од следниве тврдења: или <math>\ m < 0</math> или <math>\ M > 0</math> (ако <math>\ M < 0</math>, тогаш сигурно и <math>\ m < 0</math>; ако пак <math>\ m > 0</math>, тогаш сигурно и <math>\ M > 0</math>).
Да претпоставиме <math>\ M > 0</math>. Тогаш заради непрекинатоста на <math>\ f</math>, постои точка <math>\ x_0 \in (a,b)</math> така што <math>\ M = f(x_0)</math>. Точката <math>\ x_0</math> не се наоѓа на крајот од интервалите, зашто тука функцијата по услов е еднаква на нула, додека <math>\ M = f(x_0)</math> под претпоставка е различен од нула. Сега избираме вредност <math>\ \delta = \min \{ \left | x-a \right | , \left | x-b \right | \}</math>. Тогаш на интервалот <math>\ \left ( x_0-\delta, x_0+\delta \right ) \subseteq (a,b)</math> функцијата <math>\ f</math> во точката <math>\ x_0</math> има локален максимум, па според Теоремата на Ферма следи дека: <math>\ f^\prime (x_0) = 0</math>; значи покажавме дека постои барем една точка од интервалот во која изводот на функцијата е нула. Истата постапка се применува и ако претпоставиме <math>\ m < 0</math>. <math>\,\,\, \blacksquare</math>
Дополнително, тврдењето од теоремата е точно и ако наместо условот <math>\ f(a)=0=f(b)</math>, исполнет е условот <math>\ f(a)=f(b)</math>.
3 Теорема на Лагранж
Теорема на Лагранж, или Трета теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:
* Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на <math>\ (a,b)</math>. Тогаш постои точка <math>\ c\in (a,b)</math> така што важи:
:<math>\ f(b) - f(a) = f^\prime (c)(b - a)</math>
или поинаку претставено:
:<math>\ f^\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
Неформално може да се толкува на следниов начин: ако функција е определена на затворен интервал и диференцијабилна во сите освен можеби во крајните точки од интервалот, тогаш постои точка од внатрешноста на тој интервал во која тангентата на графикот на функцијата е паралелна со пресечката на графикот на функцијата која минува низ крајните точки од интервалот.
Забелешка: името ''теорема за средна вредност'' најчесто се употребува конкретно за оваа теорема. Тоа, меѓутоа, иако е точно не треба да се меша со името на сите ''четири'' теореми за средна вредност!
4.1 Доказ
Доказот е малку поапстрактен од претходните. Нека се исполнети потребните услови: функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на <math>\ (a,b)</math>. Специјално ја формираме функцијата
:<math>\ g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
Функцијата е непрекината на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на интервалот <math>\ (a,b)</math> бидејќи е „изведена“ од функцијата <math>\ f(x)</math>, и дополнително важи: <math>\ g(a)=g(b)=0</math>. Тогаш, според Теоремата на Рол, постои точка <math>\ c \in (a,b)</math> така што <math>\ g^\prime (c) = 0</math>, т.е.
:<math>\ g^\prime (c) = f^\prime (c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math>
Следи:
:<math>\ f^\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \,\,\,\,\, \blacksquare</math>
4 Теорема на Коши
Теорема на Коши или Четврта теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:
* Нека функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> се определени на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилни на <math>\ (a,b)</math>. Тогаш постои точка <math>\ c\in (a,b)</math> така што важи:
:<math>\ \left ( f(b) - f(a) \right ) g^\prime (c) = \left ( g(b) - g(a) \right ) f^\prime (c)</math>.
или поинаку претставено:
:<math>\ \frac{f^\prime (c)}{g^\prime (c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>
Забелешка: ако теоремата на Лагранж се нарекува Теорема за средна вредност, тогаш теоремата на Коши се нарекува ''Проширена теорема за средна вредност''.
4.1 Доказ
Ќе примениме слична постапка како при доказот на Теоремата на Лагранж. Нека ни се исполнети потребните услови: нека функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> се определени на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилни на <math>\ (a,b)</math>. Специјално ја формираме функцијата:
:<math>\ h(x) = [f(b)-f(a)]\cdot g(x)-[g(b)-g(a)]\cdot f(x)</math>
Оваа функција е непрекината на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на интервалот <math>\ (a,b)</math> бидејќи е „изведена“ од функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> и дополнително <math>\ h(a) = h(b)</math>. Тогаш според Теоремата на Рол, постои точка <math>\ c \in (a,b)</math> таква што <math>\ h^\prime (c)=0</math>. Тогаш:
:<math>\ h^\prime (c) = [f(b)-f(a)]\cdot g^\prime (c)-[g(b)-g(a)]\cdot f^\prime (c)=0</math>
од каде следи:
:<math>\ [f(b)-f(a)]\cdot g^\prime (c)=[g(b)-g(a)]\cdot f^\prime (c) \,\,\,\,\, \blacksquare</math>
5 Интересно
Воочлив е фактот дека сите теореми носат име на некој француски математичар. Честопати на шега се именуваат како ''француски теореми''.