Решавање на триаголник

Решавање триаголник значи наоѓање на преостанатите агли и страни кога е даден минимум податоци. Основни елементи на триаголник се три агли и три страни, а минимум податоци се три од тие основни податоци, од кои најмалку еден е страна. Имено, кога се знаат два агли на триаголникот тогаш може да се смета дека се знае и третиот, бидејќи збирот на агли во триаголник е секогаш ист, 180°. Меѓутоа, триаголникот не е одреден само со своите основни елементи. Може да се конструира триаголник даден со тежишната линија и две страни, или страна, висина и агол, итн.
1 Остроаголен триаголник
Сите три агли кај остроаголен триаголник се помали од прав агол (90 степени). При решавање на остроаголен триаголени можни се четири случаи:
# дадени се три страни (ССС);
# дадени се две страни и аголот меѓу нив (САС);
# дадена е страна и двата агли на неа (АСА);
# дадени се две страни и аголот наспроти поголемата од нив (ССА).
Тоа се истите услови кои дефинираат складност на триаголници. Ќе бидат разгледани сите горенаведени задачи и наведена барем по една формула за проверка на добиеното решение.
; Задача ССС: Дадени се три страни <math>a,\;b,\;c</math> на триаголникот. Да се најдат неговите агли.
; 1. начин: Косинусната теорема <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,</math> го дава аголот А, бидејќи <math>\cos A =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.</math> Синусната теорема <math>a:\sin A=b:\sin B</math> го дава аголот B, бидејќи <math>\sin B=\frac{b\sin A}{a}.</math> На крајот, третиот агол С може да се најде и како суплемент (суплементарни агли се дополнуваат до 180°) на претходните два, т.е. <math>C=180^o-(A+B).</math> Формулата за проверка е <math>a:sin A=c:\sin C.</math>; 2. начин: Прво се пресметува полуобемот <math>p=\frac{a+b+c}{2},</math> потоа разликите <math>p-a,\; p-b,\; p-c,</math> и тангенсната теорема ги дава аглите:
:<math>\operatorname{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a),\; \operatorname{tg}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b),\; \operatorname{tg}\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c).</math>: Формулата за проверка е <math>A+B+C=180^o.</math>
Оваа задача има единствено решение единствено ако збировите по две од дадените страни на триаголникот се поголеми од третата страна, т.е. <math>a+b>c,\; b+c>a,\; c+a>b.</math> Значи, ако важи т.н. нееднаквост на триаголникотот. Ако барем еден од овие услови не е исполнет, тогап воопшто нема решение.
; Задача САС: Дадени се две страни <math>a,\; b\;(a>b)</math> и аголот ''С''. Да се најде стрната ''с'' и аглите ''A, B''.
; Решение: Косинусната теорема ја дава страната <math>c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}.</math> Синусната теорема ги дава аглите. Од a&gt;b следи дека аголот B е остар, па согласно тоа прво се бара <math>\sin B=\frac{b\sin C}{c},</math> па се бара аголот B, а потоа аголот А кој е суплементаren на аглите B, C, т.е. <math>A=180^o-(B+C).</math> Формула за проверка: <math>a:\sin A=b:\sin B.</math>
Задачата има единствено решение ако <math>C<180^o.</math>; Задача АСА: Дадена е страната ''а'' и аглите ''B'' и ''C''. Да се најдат страните ''b, c'' и аголот ''А''.
; Решение: Прво се наоѓа аголот <math>A=180^o-(B+C).</math> Потоа, синусната теорема, дава: <math>b=\frac{a\sin B}{\sin A},\; c=\frac{a\sin C}{\sin A}.</math> Формулата за проверка е <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.</math> Задачата има единствено решение ако <math>B+C<180^o.</math>; Задача ССА: Дадени се две страни ''a, b'' и аголот ''А''. Да се најде страната ''с'' и аглите ''B, C''.
; Решение: Синусната теорема <math>\sin B=\frac{b\sin A}{a}</math> го дава аголот ''B''. Потоа, аголот ''С'' се наоѓа како суплемент на аглите ''А'' и ''B'', т.е. <math>C=180^o-(A+B).</math> На крајот, уште еднаш, синусната теорема <math>c=\frac{a\sin C}{\sin A},</math> ја дава страната ''с''. Формулата за проверка е: <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.</math>:''Кога a&gt;b'' тогаш <math>a>b\sin A,</math> па <math>\sin B=\frac{b\sin A}{a}<1.</math> Според тоа задачата има единствено решение, бидејќи аголот В е остар независно од тоа каков е аголот А.
:''Кога a&lt;b'' тогаш A&lt;B. Триаголникот е правоаголен, или, ако <math>b\sin A< a,</math> задачата има две решенија, бидејќи може да се добијат две вредности за аголот В, остар и тап агол. Третиот случај, <math>b\sin A>a,</math> т.е. <math>\sin B>1,</math> нема решение.
:''Кога a=b'' тогаш A&lt;90° и B&lt;90°. Тогаш задачата има единствено решение.
2 Поврзано
* Математика
* Геометрија
* Тригонометрија
* Синусна теорема
* Косинусна теорема
* Тангенсна теорема
* Триаголник