Студентова t-проверка

Студентова t-проверка (англиски: Student's t-test) е најчесто употребуван параметарска проверка на значајност за испробување на нулта хипотеза. Со користи за проверување на значајноста на разликите помеѓу две аритметички средини.
1 Историја
Студентовата t-распределба прв ја дефинирал англискиот статистичар Вилијам Сили Госет, со прекар „Студент“ и го објавил под псевдонимот „Студент“ па така и распределбата го добила својот назив Студентова распределба. Дипломирал хемија и математика на Оксфордскиот универзитет , а потоа го вработиле во пиварницата „Guinness“ како еден од најдобрите дипломирани студенти од „Оксфордскиот“ и „Кембричкиот“ унвиерзитет избрани со цел да се подобри индустрискиот процес на претпријатието. Госет ја осмислил t-проверката (како економичен начин за вршење надзор на квалитетот на пивото. Ја објавил проверката во 1908 година, но бил приморан да не го користи своето лично име.
2 Примена
За да се примени t-проверката двете променливи што се проверуваат мора да бидат бројчени и доколку големината на примерокот е помала од 30 единици, распределбата треба да биде нормална или барем симетрична.
За негова реализација потребно е да се познаваат параметрите на статистичката маса: големина на примерокот (<math>{n}</math>), стандардно отстапување (<math>{SD}</math>) и аритметичка средина (<math>\bar{X}</math>).
Не е потребно да ја знаеме варијансата на основната маса, па заради тоа оваа проверка е попрактична од z-проверкаta, бидејќи проверувањето на хипотези за аритметичка средина на основната маса најчесто се одвива во услови кога варијансата на основната маса е непозната. Во такви услови варијансата на основната маса ја проценуваме врз основа на варијансата на примерокот, односно грешката на оценката на аритметичката средина на основната маса ја пресметуваме врз основа на стандардното отстапување на примерокот по следнава формула:
<math> SG = \frac{\sqrt{n-1 </math> каде <math>{n-1}</math> се степени на слобода.
Под услов основната маса да има нормална распределба или <math>{n>30}</math> , а варијансата на основната маса не е позната, проверката на хипотезата се заснова на студентовиот t-проверка и се користи следнава формула:
<math> t = \frac{\overline{X}_\text{pr} - \overline{X}_\text{om{SD_\text{pr}/\sqrt{n-1 </math> каде <math>\bar{X}</math> е хипотетична, однапред позната вредност.
Студентовиот t-проверка се користи и за проверка на разликите меѓу аритметички средини на два големи или два мали примерока, каде неговата вредност е количник од разликата на аритметичките средини и стандардната грешка на оценката на таа разлика:
<math>t = {\overline{X}_1 - \overline{X}_2 \over SG_{\overline{X}_1 - \overline{X}_2</math>
Како што веќе покажавме: Ако разликите на аритметичката средина на примерокот се распределат симетрично околу точните разлики, тогаш е логично и нивните стандардни грешки да имаат нормална распределба.
Толкувањето на добиената вредност на t-проверкаta се прави според Студентова t-распределба со одреден број степени на слобода и со таблиците за критични вредности на t-распределбата.
Од претходно наведеното произлегуваат следниве правила:
♦ Ако реализираната вредност е помала од граничните таблични вредности за одреден број степени на слобода и ниво на значајност, нултата хипотеза (<math>{H_0}</math>) се прифаќа како точна, а алтернативната хипотеза (<math>{H_1}</math>) се отфрла.
:• <math>{T}</math><sub>реализирана</sub> < <math>{t}</math><sub>(n-1; 0,05)</sub> нултата хипотеза не се отфрла бидејќи степенот на ризик е поголем од 5% (p > 0,05)
♦ Обратно ако реализираната t-вредност е еднаква или поголема од граничната таблична вредност, за одреден број степени на слобода и ниво на знчајност, тогаш нултата хипотеза(<math>{H_0}</math>) се отфрла како неточна, а се прифаќа алтернативната хипотеза (<math>{H_1}</math>):
:• <math>{T}</math><sub>реализирана</sub> ≥ <math>{t}</math><sub>(n-1; 0,05)</sub> се отфрла нултата хипотеза за ниво на ризик p=0,05 (5%) , односно за ниво на сигурност P=0,95 (95%)
:• <math>{T}</math><sub>реализирана</sub> ≥ <math>{t}</math><sub>(n-1; 0,05)</sub> се отфрла нултата хипотеза за ниво на ризик p=0,01 (1%), односно за ниво на сигурност P=0,99 (99%)
Со зголемување на примерокот t-распределбата се приближува кон стандардизираната нормална распределба, и кај големите примероци ( n>30 ; n1 + n2 > 60 единици) ги поприма сите особености од оваа распределба и t-вредноста (t-вредноста) се однесува како з-вредност (z-вредност).
Кај големите примероци горните правила за прифаќање или одбивање на <math>{H_0}</math> се упростуваат и не бараат примена на таблиците за Студентова t-распределба, туку донесувањето на заклучок зависи од нивоата на дозволената гранична грешка.
3 Типови на t-проверка
Постојат 6 типа t-проверка:
:• t-проверка на разлики помеѓу аритметичките средини на основната маса и примерокот
:• t-проверка на разлики помеѓу аритметичките средини на два мали независни примероци
:• t-проверка на разлики помеѓу аритметичките средини на два мали зависни примероци
:• t-проверка на разлики помеѓу аритметичките средини на два големи независни примероци
:• t-проверка на разлики помеѓу аритметичките средини на два големи зависни примероци
:• t-проверка на сразмер
4 Наводи
# Ристески Славе, Тевдовски Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет - Скопје.
# Paul Newbold (2007): „Statistics for business and economics“.
### Biography by Heinz Kohler