Фрустум

Во геометријата, |frustum|morsel|italic=no; — делот од геометриско тело (обично пирамида или конус) што се наоѓа помеѓу две напоредни рамнини што го сечат геометриското тело. Во случај на пирамида, површините на основите се многуаголници, а страничните површини се трапези. ''Прав фрустум'' е права пирамида или прав конус пресечени нормално на својата оска. Во спротивно, тоа е ''кос фрустум''. Кај ''пресечен конус'' или ''пресечена пирамида'', рамнината на пресекот не е нужно напоредна со основата на конусот, како кај фрустумот. Ако сите негови рабови се принудени да станат со иста должина, тогаш фрустумот станува ''призма'' (веројатно коса или/и со неправилни основи).
1 Елементи, посебни случаи и поврзани концепти
Оската на фрустумот е онаа на изворниот конус или пирамида. Фрустумот е кружен ако има кружни основи, прав е ако оската е нормална на обете основи, во спротивно е кос.
Висината на фрустумот е нормалното растојание помеѓу рамнините на двете основи.
Конусите и пирамидите може да се сметаат за дегенерирани случаи на фрустуми, каде што една од пресечните рамнини поминува низ врвот (така што соодветната основа се намалува до точка). Пирамидалните фрустуми се поткласа на призматоидите.
Два фрустуми со две конгруентни основи споени на овие конгруентни основи образуваа бифрустум.
2 Формули
2.1 Зафатнина
Формулата за зафатнината на пирамидален квадратен фрустум е воведена од страна на древните египетски математичари, запишана во она што се нарекува Московски математички папирус, напишан во 13-тата династија (околу 1850 пр. н. е.):
:<math>V = \frac{h}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right),</math>
каде што и се должините на страните на основата и на горниот квадрат, а е висината.
Точната формула за зафатнината на таква пресечена квадратна пирамида ја знаеле Египќаните , но во Московскиот папирус не е даден доказ за оваа равенка.
Зафатнината на конусен или пирамидален фрустум е зафатнината на геометриското телео пред отсекување на нејзиниот „врв“, минус зафатнината на овој „врв“:
:<math>V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3},</math>
каде и се плоштините на основата и горниот дел, а и нормалните висини од врвот до основата и горната рамнина соодветно.
Имајќи предвид:
:<math>\frac{B_1}{h_1^2} = \frac{B_2}{h_2^2} = \frac{\sqrt{B_1B_2{h_1h_2} = \alpha,</math>
формулата за зафатнината може да се изрази како третина од производот на оваа сразмерност, <math>\alpha</math>, и само од разликата на третиот степен на висините и :
:<math>V = \frac{h_1 \alpha h_1^2 - h_2 \alpha h_2^2}{3} = \alpha\frac{h_1^3 - h_2^3}{3}.</math>
Со користење на идентитетот , се добива:
:<math>V = (h_1 - h_2)\alpha\frac{h_1^2 + h_1h_2 + h_2^2}{3},</math>
каде што е висината на фрустумот.
Со множење со <math>\alpha</math> и со замена од нејзината дефиниција, се добива Хероновата средна вредност на и
:<math>\frac{B_1 + \sqrt{B_1B_2} + B_2}{3};</math>
следователно алтернативната формула е:
:<math>V = \frac{h}{3}\left(B_1 + \sqrt{B_1B_2} + B_2\right).</math>
Херон Александриски е познат по тоа што ја извел оваа формула, а со тоа се сретнал со имагинарната единица: квадратен корен од минус еден.
Особено:
* Зафатнината на кружен конусен фрустум е:
::<math>V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2\right),</math>: каде и се полупречниците на основата и на горниот дел.
* Зафатнината на пирамидален фрустум чии основи се правилни -аголници е:
::<math>V = \frac{nh}{12}\left(a_1^2 + a_1a_2 + a_2^2\right)\cot\frac{\pi}{n},</math>: каде што и се должините на основата и горната страна.
:
2.2 Плоштина
За прав кружен конусен фрустум изводницата <math>s</math> е:
плоштината на страничната површина е:
а вкупната плоштина е:
каде што ''r1'' и ''r2'' се полупречниците на основата и на горната површина, соодветно.
3 Примери
* На задната страна на банкнотата од еден долар на Соединетите Американски Држави, на задната страна од Големиот печат на Соединетите Американски Држави се појавува пирамидален фрустум, на кој стои Окото на Провидението.
* Зигуратите, скалестите пирамиди и одредени древни насипи на индијанските староседелци, исто така, образуваат фрустум на една или повеќе пирамиди, со дополнителни особености како што се додадени скали.
* Кинески пирамиди .
* Центарот Џон Хенкок во Чикаго, Илиноис, е фрустум чии основи се правоаголници.
* Споменикот на Вашингтон е тесен пирамидален фрустум со квадратна основа, на кој се наоѓа мала пирамида.
* Во англискиот превод на збирката раскази на Станислав Лем ''„Киберијадата“'', поемата „''Љубов и''''тензорска алгебра“'' тврди дека „секој фрустум копнее да биде конус“.
* Кофите и типичните абажури се секојдневни примери на конусни фрустуми.
* Чаши за пиење и некои вселенски капсули се исто така некои примери.
*''Ловец на звук'': дрвена структура во Литванија.
* Роло бонбони