Ефикасна оцена

Во многу практични проблеми, можат да се добијат различни непристрасни оценки и поради тоа треба да се изнајде некој метод за нивно избирање. Во оваа ситуација природно е да се претпочита оценка чијшто распоред е најблиску концентриран околу параметарот на популацијата која се оценува. Вредностите на таквата оценка е помалку веројатно дека ќе се разликуваат, а некој фиксен износ, од параметарот кој се оценува во споредба со нивните конкуренти. Со користење на варијансата како мерка на концентрација, се воведува ''ефикасноста'' на оценката како критериум за претпочитање на една оценка во однос на друга оценка.
Оцената Θ ќе биде подобра ако нејзината варијанса е помала (кога таа е непристрасна оценка). Поради тоа изразот
Е (Θ-Θ)<sup>2</sup>
т.е средната квадратна грешка (стандардна грешка) како оценка на параметарот, можеме да ја сметаме како мерка на ефикасноста на таа оцена.
1.Доколку таа вредност е поблиска до 0, дотолку оценката е поефикасна.
2.Релативната ефикасност на Θ<sub>1</sub> во однос на Θ<sub>2</sub> е количникот од нивните варијанси.
1 Избор од конкурентни и непристрасни оценки
Релативна ефикасност
(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,…, x<sub>n</sub>)
нека е случаен примерок од нормално распоредена популација со средина μ и варијанса σ<sup>2</sup>. Дали треба да се користи аритметичката средина на примерокот или медијаната на примерокот за оценување на средината на популацијата?
''Решение''
Под претпоставка дека популацијата е нормално распоредена со многу голема големина на популацијата споредена со големината на примерокот, аритметичката средина на примерокот, е непристрасна оценка на средината на популацијата со варијанса:
Како алтернативна оценка би можело да се користи медијаната на опсервациите на примерокот. Може да се покаже дека оваа оценка е исто така непристрасна за μ и дека, кога не е голем, нејзината варијанса се пресметува:
Аритметичката средина на примерокот е поефикасна отколку медијаната, при што релативната ефикасност на аритметичката средина во однос на медијаната е :
Варијансата на медијаната на примерокот е 57% повиска од онаа на аритметичката средина на примерокот. Овде со цел медијаната на примерокот да има колку што е можно помала варијанса од аритметичката средина на примерокот, таа би можела да биде заснована на опсервации чиј број е поголем за 57%.
Една предност на медијаната во однос на аритметичката средина е дека таа им дава помала тежина на екстремните опсервации. Потенцијалниот недостаток од користење на медијаната на примерокот како мерка на централлна локација се наоѓа во нејзината релативна ефикасност. Ја нагласуваме важноста од користење на графиконот на нормална веројатност за одредување дали постои доказ за ненормалност. Ако популацијата не е нормално распоредена, ариметичката средина на примерокот може да не биде најефикасната оцена на популацијата. Особено ако екстремните вредности во голема мерка влијаат на распоредот на популацијата, аритметичката средина на примерокот е помалку ефикасна од другите оценки (како што е медијаната).
2 Најефикасен оценувач
Општиот критериум за спроведување на оценувачи за ист непознат параметар Θ се темели врз споредбата за нивните средно квадратни грешки (MSE), односно нивните дисперзии доколки тие се непристрасни оценувачи. Подобриот оценувач се смета за поефикасен оценувач. Затоа, природно се наметнува задачата да се најде ( ако постои) најефикасен оценувач меѓу сите непристрасни оценувачи, односно уценувач со најмала дисперзија или барем да се одреди долната граница за вредностите на диспрезијата на сите можни непристрасни оценувачи на параметарот Θ. Постоењето на таков оценувач се разгледува при одредени услови на регуларност.