Лоренцови трансформации

Лоренцови трансформации — трансформации именувани според холандскиот физичар Хендрик Лоренц. Тие се резултат на обидите на Лоренц и останатите да објаснат како брзината на светлината била набљудувана независно од појдовниот систем, и да ги разберат симетриите на законите на електромагнетизмот. Лоренцовите трансформации се во согласност со Специјалната теорија за релативноста, но биле изведени пред Специјалната теорија за релативноста.
Трансформаците објаснуваат како мерењата поврзани со настаните на двајца набљудувачи во инерцијалните системи движејќи се со постојана брзина еден кон друг, се поврзани. Тие го одразуваат фактот дека набљудувачите движејќи се со различна брзина можат да измерат различни растојанија, дилатација на времето, па дури и различен тек на настани. Тие ги истиснуваат Галилеевите трансформации на Њутновата физика, која ги презема апсолутниот простор и време. Галилеевите трансформации ја претставуваат приближната релативна брзина која е многу помала од брзината на светлината.
Лоренцовата трансформација е линиска трансформација. Може да го вклучува вртењето во просторот; безвртежната Лоренцова трансформација се нарекува Лоренцов поттик.
Во Минковскиевиот простор, Лоренцивите трансформации го зачувуваат време-просторниот интервал помеѓу двата настани. Тие ја објаснуваат само трансформацијата во која време-просторниот настан од каде што се започнува е неподвижен. Може да се сметаат за хиперболични вртења во Минковскиевиот простор. Поопштиот сет на трансформации кои, исто така, вклучуваат поместувања се познати како Поенкареова група.
1 Историја
Многу физичари, вклучувајќи ги Волдемар Воигт, Џорџ Фицџералд, Џозеф Лармор и Хендрик Лоренц дискутирале за физиката опфатена од овие равенки уште од 1887 година. На почетокот на 1889 година, Оливер Хевисајд покажал од Максвеловите равенки дека електричното поле кое има сферична распределба на полнежот, не треба да има сферична симетрија кога полнежот е во движење релативно на етерот. Тогаш Фитцџералд претпоставил дека резултатот на Хевисајдовата дисторзија би можела да се примени во теоријата на меѓумолекулските сили. Неколку месеци подоцна, Фитцџералд го објавил својот труд во кој телата во движење се контрахирани, со цел да го објасни збунувачкиот исход од 1887 година од Мајкелсон-Морлиевиот обид за постоењето на етерот. Во 1892 година, Лоренц ја претставил истата идеја, но на подетален начин, која била наречена Фитцџералд-Лоренцова хипотеза за контракцијата. За нивното објаснување се знаело пред 1905 година.
Лоренц (1892-1904) и Лармор (1897-1900) кои верувале во постоењето на етерот, биле во потрага на трансформација според која Максвеловите равенки ќе бидат непроменливи, кога се премине од етерот во подвижен систем. Тие ја прошириле Фицџералд-Лоренцовата хипотеза на контракцијата и откриле дека временските интервали исто така треба да бидат изменети („месно време“).Анри Поенкаре дал физичка интерпретација за месното време како последица на синхронизацијата на часовникот, под претпоставка дека брзината на светлината е постојана во системите на движење. Ламор се смета за првиот кој ја разбрал временската дилатација својствена во неговите равенки.
Во 1905 година, Поенкаре бил првиот кој препознал дека трансформацијата има својства на математичка група, и ја именувал според Лоренц. Подоцна во истата година, Алберт Ајнштајн ја објавил Специјалната теорија за релативноста, која произлегува од Лоренцовите трансформации под претпоставките на принципот на релативноста и постојаноста на брзината на светлината во сите инерцијални појдовни системи, и со напуштање на механичкиот етер.
2 Изведување
Од Ајнштајновиот втор постулат за релативност следува:
:<math>c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 = 0</math>
во сите појдовни системи за настани поврзани со светлосни сигнали. ''Настан'' е нешто што се случува во одредено место и во одредено време и во сите инерцијални појдовни системи може да биде претставен со временската координата ''t'' при што се користат Декартови координати: . Интервалот помеѓу ''било кои два'' појдовни системи е непроменлив. Во трансформацијата:
:<math>c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 = c^2(t_2' - t_1')^2 - (x_2' - x_1')^2 - (y_2' - y_1')^2 - (z_2' - z_1')^2.</math>
каде се координати во време-просторот и се користат за опишат настан во еден појдовен систем, и се координати во друг појдовен систем. Се воочува дека:
:<math>t_2' - t_1' \neq t_2 - t_1 \,, </math>
Гледано како линиско решение:
:<math>c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2</math>
Врската помеѓу време-просторните координати со прим и без прим се всушност Лоренцови трансформации, секоја координата во еден појдовен систем е функција од сите координати од другиот појдовен систем, а инверзните функции се инверзните трансформации.
Лоренцовите трансформации се линиски трансформации и можат да се претстават со матрици.
3 Поттик
Подолу, Лоренцовите трансформации се наречени "поттици" во наведените насоки. "Поттик" значи релативно движење со константа брзина.
3.1 Поттик во Декартови насоки
3.1.1 Параметризирање на брзината
„Неподвижен“ набљудувач во системот ги опишува настаните со координати . Друг систем се движи со брзина релативна на , и набљудувачот во овој „движечки“ систем ги опишува настаните со координати .
Координатните оски во секој систем се парални ( и оските се паралелни, и оските се паралелни, и оските се паралелни), остануваат заемно нормални и релативното движење по должина се совпаѓа со оската. Кога , почетокот на двата координатни системи е ист, .
Која е промената помеѓу овие координатни системи? Ако набљудувач во евидентира настан , потоа набљудувач во го евидинтира ''истиот'' настан со координати
каде релативната брзина помеѓу системите во -насоката, е брзината на светлината, и
:<math> \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}</math>
(мало гама) е Лоренцовиот фактор.
и вредоста на останува непроменета.
За просторни разлики и временски интервали, што следуваат од линераноста на Лоренцовите трансформации дека доколку се одберат две вредности од координатите за просторот и времето, може да се запишат Лоренцовите трансформации за секоја од нив, а потоа одземат за да се добијат разликите од Лоренцовите трансформации;
:<math>\Delta t' = \gamma \left( \Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2} \right) \,, </math>:<math>\Delta x' = \gamma \left( \Delta x - v \Delta t \right) \,, </math>
со инверзна релација
:<math>\Delta t = \gamma \left( \Delta t' + \frac{v \Delta x'}{c^2} \right) \,, </math>:<math>\Delta x = \gamma \left( \Delta x' + v \Delta t' \right) \,. </math>
каде (Делта) укажува на разликата на величините, пр. за двете вредности на координатите итн.
Лоренцовите трансформации имаат две дејства кои иако се контрадикторни, се точни во склоп на специјалната теорија за релативноста.
*Временска дилатација. Во систем со поттик релативен на друг систем , временските интервали се подолги во отколку во . Ако временските интервали се мерени во иста точка во , така што , тогаш .
*Контракција на должината. Во систем со поттик релативен на друг систем , должините на просторните интервали се пократки во отколку во . Ако просторната должина се мери во еден момент од времето во , така што , тогаш .
Понекош е полесно да се користи (мало бета) наместо , така што
:<math>\begin{align}
ct' &= \gamma \left( ct - \beta x \right) \,, \\
x' &= \gamma \left( x - \beta ct \right) \,, \\
\end{align}</math>
што покажува појасна симетрија во поттикот. Од дозволениот опсег на и дефиницијата на , дозволените вредности за се . Користењето на и е стандард низ литературата.
Горенаведените равенки важат само за поттик во -насока.
За поттик кон оска, со користење на ,
:<math>\begin{align} ct' & = \gamma ( ct - \beta y) \\ x' &= x \\ y' &= \gamma ( y - \beta c t ) \\ z' & = z \end{align} </math>
и за поттик кон оска
:<math>\begin{align} c t' &= \gamma ( c t - \beta z ) \\ x' &= x \\ y' &= y \\ z' &= \gamma ( z - \beta c t ) \end{align} </math>
Инверзните трансформации се добиваат со заменување на прим и не-прим залихите и негирање на .
Бидејќи Лоренцовите трансформации се линеарни трансформации, може да се напишат во матрици.
Поттик кон оска со брзина , и користење на
:<math>
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0\\
-\beta \gamma & \gamma & 0 & 0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
</math>
поттик кон оска
:<math>
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&0&-\beta \gamma&0\\
0&1&0&0\\
-\beta \gamma&0&\gamma&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
</math>
и поттик кон оска
:<math>
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&0&0&-\beta \gamma\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
-\beta \gamma&0&0&\gamma\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
</math>
Инверзните трансформации на матрицисе со поттик кон оска
:<math>
\begin{bmatrix}
c t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma & \beta \gamma & 0 & 0\\
\beta \gamma & \gamma & 0 & 0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
</math>
и така натаму за останатите насоки.
Да замислиме дека имаме три системи наместо два. Ако системот е зголемен со брзина релативна на системот насочена кон оска, и друг систем кој е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, тогаш
:<math>\begin{bmatrix} c t'' \\ x'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_2 & -\gamma_2\beta_2 \\ -\gamma_2\beta_2 & \gamma_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t' \\ x' \end{bmatrix} \,,\quad \begin{bmatrix} c t' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_1 & -\gamma_1\beta_1 \\ -\gamma_1\beta_1 & \gamma_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t \\ x \end{bmatrix} \,, </math>:<math>\beta_1 = \frac{v_1}{c}\,,\quad \gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1-\beta_1^2\,,\quad \beta_2 = \frac{v_2}{c}\,,\quad \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1-\beta_2^2 \,. </math>:<math> \begin{bmatrix}ct''\\ x''\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\gamma & -\gamma\beta\\
-\gamma\beta & \gamma
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\ x \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\gamma_1\gamma_2(1+\beta_2\beta_1) & -\gamma_1\gamma_2(\beta_1+\beta_2)\\
-\gamma_1\gamma_2(\beta_1+\beta_2) & \gamma_1\gamma_2(1+\beta_2\beta_1)
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\ x \end{bmatrix} \,, </math>:<math> \gamma=\gamma_1\gamma_2(1+\beta_2\beta_1) \,, </math>:<math> \gamma\beta=\gamma_1\gamma_2(\beta_1+\beta_2)\,, </math>:<math> \beta=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_2\beta_1} \,. </math>
Ова важи ако се зголемува должината на ''истите насоки'' како и да се присутни (не само на заеднички насоки во ист систем, но во сите насоки).
Замисли пак дека има три системи наместо два, но овој пат ако системот е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, и друг систем е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, тогаш
:<math>
\begin{bmatrix}
c t'' \\ x'' \\ y'' \\ z''
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma_2&0&0&-\beta_2 \gamma_2\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
-\beta_2 \gamma_2&0&0&\gamma_2\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
\,, \quad
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma_1&0&-\beta_1 \gamma_1&0\\
0&1&0&0\\
-\beta_1 \gamma_1&0&\gamma_1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix} </math>
и релацијата помеѓу системите и е
:<math>
\begin{bmatrix}
c t'' \\ x'' \\ y'' \\ z''
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}\gamma_1\gamma_2 & 0 & -\beta_1\gamma_1\gamma_2 & -\beta_2\gamma_2\\
0 & 1 & 0 & 0\\
-\beta_1\gamma_1 & 0 & \gamma_1 & 0\\
-\beta_2\gamma_1\gamma_2 & 0 & \beta_1\beta_2\gamma_1\gamma_2 & \gamma_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix} </math>
Ако системот е зголемен со брзина релативна на системот насочена кон оска, и дриг систем е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, тогаш
:<math>
\begin{bmatrix}
c t'' \\ x'' \\ y'' \\ z''
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma_1&0&-\beta_1 \gamma_1&0\\
0&1&0&0\\
-\beta_1 \gamma_1&0&\gamma_1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
\,, \quad
\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma_2&0&0&-\beta_2 \gamma_2\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
-\beta_2 \gamma_2&0&0&\gamma_2\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix} </math>
и релацијата помеѓу системите и е
:<math>
\begin{bmatrix}ct''\\
x''\\
y''\\
z''
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma_1\gamma_2 & 0 & -\beta_1\gamma_1 & -\beta_2\gamma_1\gamma_2\\
0 & 1 & 0 & 0\\
-\beta_1\gamma_1\gamma_2 & 0 & \gamma_1 & \beta_1\beta_2\gamma_1\gamma_2\\
-\beta_2\gamma_2 & 0 & 0 & \gamma_2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
</math>
што повторно не е единствен поттик, туку поттик пред или после едно свртување.
3.1.2 Параметризација на брзината
Лоренцовата трансформација може да се добие од начин што наликувана кружно вртење во 3Д просторот користејки ги хиперобличните функции. За поттикот во насока, резултатите се
каде (мало зета) е параметар наречен ''брзина'' (се користат и други ознаки, како ). Давајќи ја големата сличност на вртењата во просторните координати на 3Д просторот (во Декартовиот систем, или во Декартовите оски), Лоренцовата трансформација ќе претставува хиперболично вртење од време-просторни координати во 4Д Минковскиев простор. Параметарот претставува хиперболичен агол на вртење, аналогно со обичниот агол во кружно вртење. Оваа трансформација може да биде илустрирана со Минковскиев дијаграм.
Хиперболичната функција произлегува од ''разликата'' помеѓу квадратите од времето и просторните координати во равенката за светлосен пулс, во согласност со идентитетот
:<math> \cosh^2\zeta - \sinh^2\zeta = 1 \,, </math>
Користејќи ја дефиницијата
:<math> \tanh\zeta = \frac{\sinh\zeta}{\cosh\zeta} \,, </math>
последива од овие две хиперболичен формули е идентитетот што го прави Лоренцовиот фактор
:<math> \cosh\zeta = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2\zeta \,. </math>
Споредувајќи ја Лоренцовата трансформација во одност на релативната брзина или користејќи ги горенаведените формули, поврзаноста помеѓу , , и се
:<math> \beta = \tanh\zeta \,, </math>:<math> \gamma = \cosh\zeta \,, </math>:<math> \beta \gamma = \sinh\zeta \,. </math>
Земајќи ги инверзните хиперболичен тангенти ја даваат брзината
:<math> \zeta = \tanh^{-1}\beta \,.</math>
Бидејќи , следува . Позитивна брзина е релативно движење (кон позитивната страна на оска), нулта брзина не е релативно движење, додека негативна брзина е релативно движење во спротивна насока (кон негативната страна на оска).
Геометриското значење на хиперболитичката функција може да биде забележана ако земеме или во трансформацијата. Од тие, една ќе произлезе со хиперболичен кривини од константни координатни величини но различна која ги параметризира кривините. Спротивно на и оските може да се конструираат различни координати, но константа .
Инверзните трансформации во параметризација на брзината се правопропорционални; како и размена на прим и неприм количествата, негираната брзината е еднаква со негативната релативна брзина, која ја следи релацијата помеѓу и . Затоа,
Инверзната трансформација може слично да се прикаже со разгледување на случаите кога и .
Односите на брзината може да се заменат со зголемени матрици насочени кон Декартовите насоки во претходната секција. Дополнителна информација е дека брзини ќе се додадат за да се добие делокупната брзина, наспроти релативните брзини. Ако систем е зголемен со брзина релативна на системот насочена кон оска и друг систем е зголемен со брзина релативна на насочена кон оска, па така
:<math>\begin{bmatrix} c t'' \\ x'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh\zeta_2 &-\sinh\zeta_2 \\ -\sinh\zeta_2 & \cosh\zeta_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t' \\ x' \end{bmatrix} \,,\quad \begin{bmatrix} c t' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh\zeta_1 &-\sinh\zeta_1 \\ -\sinh\zeta_1 & \cosh\zeta_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t \\ x \end{bmatrix} \,, </math>
потоа е брзина од целокупното зголемување на релативно на ,
:<math>\begin{bmatrix} c t'' \\ x'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh(\zeta_1+\zeta_2) &-\sinh(\zeta_1+\zeta_2) \\ -\sinh(\zeta_1+\zeta_2) & \cosh(\zeta_1+\zeta_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t \\ x \end{bmatrix} \,, </math>
и релативните брзини се поврзани со брзините со
:<math>\beta = \tanh(\zeta_1+\zeta_2) \,,\quad \beta_1 = \tanh\zeta_1 \,,\quad \beta_2 = \tanh\zeta_2 \,. </math>
Ова важи и ако зголемувањата се насочени во иста насока како и да се тука. Покрај тоа, хиперболиченот идентитет
:<math>\tanh(\zeta_1+\zeta_2) = \frac{\tanh\zeta_1 + \tanh\zeta_2}{1+\tanh\zeta_1 \tanh\zeta_2} </math>
се совпаѓа со резултантната релативна брзина од двете релативни брзини насочени во иста насока.
3.2 Поттик во сите насоки
3.2.2 Параметризација на насоката на брзината
Поттик во арбитарна насока зависи од целосната релативна векторска брзина која има величина . Набљудувач во систем набљудува како се движи со релативна брзина , додека набљудувач во набљудува како се движи со релативна брзина . Координатните оски во секој систем се паралелни и ортогонални. Величината од релативната брзина не може да биде еднаква или да надмине , па затоа . Векторот аналогно од е и соодветно неговата величина не може да биде еднаква или да надмине 1, па затоа .
Повторно се претпоставува стандардната конфигурација, па затоа , системите се совпаѓаат на почетокот, .
За трансформациите во , и оските, координатите нормални на релативното движење остануваат непроменети, додека тие паралелни на релативното движење се менуваат заедно со временската координата. Поради оваа причина, погодно е да се распадне просторниот положбенен вектор кој се мери во , и се мери во , секој во компоненти нормално и паралелно на ,
:<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_\perp+\mathbf{r}_\|\,,\quad \mathbf{r}' = \mathbf{r}_\perp' + \mathbf{r}_\|' \,, </math>
каде &#8214; претставува "паралелно" до и ⊥ претставува "нормално" до .
На преминот од поттик во било кој од Декартовите насоки, на пример насоката, до поттик во сите насоки може да се направи од идентификациите:<math> \mathbf{v} = v\mathbf{e}_x \,,\quad \mathbf{r}_\parallel = x\mathbf{e}_x \,,\quad \mathbf{r}_\perp = y\mathbf{e}_y + z\mathbf{e}_z \,, </math>
каде се Декартови основни вектори, збир на меѓусебно нормални единици вектори насочени кон нивните посочени насоки. Тогаш Лоренцовите трансформации ја заземаат формата
:<math>t' = \gamma \left(t - \frac{\mathbf{r}_\parallel \cdot \mathbf{v{c^{2 \right) </math>:<math>\mathbf{r}_\|' = \gamma (\mathbf{r}_\| - \mathbf{v} t) </math>:<math>\mathbf{r}_\perp' = \mathbf{r}_\perp </math>
каде • претставува крукчест производ. Лоренцовиот фактор ја задржува дефиницијата како поттик во сите насоки, бидејќи зависи само од величината на релативната брзина , а не од насоките.
Овие трансформации се векторски равенки, па затоа се вистинити во ''сите'' насоки. Трансформацијата помеѓу целиот положбенен вектор и ќе се конструира исто од таму. Паралелниот компонент може да се пронајде со векторска проекција
:<math>\mathbf{r}_\parallel = (\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}</math>
а нормалниот компонент со векторско отфрлање
:<math>\mathbf{r}_\perp = \mathbf{r} - (\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}</math>
каде е единица вектор во насока на . Процедурата за е идентична. Единицата вектор има предност за поедноставување равенки за единечен поттик, дозволува или да биде практично воведена, со што ја прави алтернативната параметризација полесна. Тоа не е погодно за повеќето поттици. Релативната брзина е со величина и насока . Со комбинирање на резултатите се добива
:<math>\mathbf{r}' = - \gamma t v\mathbf{n} + ( \mathbf{I} + (\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n})\cdot\mathbf{r} \,, </math>
каде е единица дјадик и е дјадик продукт од со самиот себе. Идентитетите и проследено со дефиницијата за крукче и дјадик производ. Сепак, дјадик тензори се архаични формализам речиси никогаш неискористливи во овој контекст.
Има три бројки кои го определуваат Лоренцовиот поттик во секоја насока, една за величината и две за насоката , а во Декартовите компоненти на релативната брзина на вектор .
Веоведувајќо ги ред и колона векторите
:<math> \mathbf{r}' = \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ \end{bmatrix} \,, \quad
\mathbf{n} = \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \,, \quad
\mathbf{n}^\mathrm{T} = \begin{bmatrix}n_x & n_y & n_z\end{bmatrix} \,, \quad
\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}</math>
каде T укажува на транспонирана матрица, матрична форма на крукче производ е
:<math>\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}\leftrightarrow \mathbf{n}^\mathrm{T}\mathbf{r}</math>
и Лоренцовите трансформации може да бидат запишани во блок матрица од каде што
:<math>
\begin{bmatrix}
c t' \\
\mathbf{r}'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma & - \gamma \beta\mathbf{n}^\mathrm{T} \\
-\gamma\beta\mathbf{n} & \mathbf{I} + (\gamma-1) \mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}\, </math>
каде е 3×3 индетична матрица. Векторите на колоните и редовите и и нивните производи имаат потекло во поттик генераторите. Овој вид на блок матрица е корисно за прикажување на општата форма компактно и ја илустрира зависноста на насоките и величината во поттикот. За наводи, целата форма е експлицитна
:<math> \begin{bmatrix} c\,t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\gamma\beta n_x&-\gamma\beta n_y&-\gamma\beta n_z\\ -\gamma\beta n_x&1+(\gamma-1)n_x^2&(\gamma-1)n_x n_y&(\gamma-1)n_x n_z\\ -\gamma\beta n_y&(\gamma-1)n_y n_x&1+(\gamma-1)n_y^2&(\gamma-1)n_y n_z\\ -\gamma\beta n_z&(\gamma-1)n_z n_x&(\gamma-1)n_z n_y&1+(\gamma-1)n_z^2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}\,. </math>
Инверзните трансформации се лесни за да се добијат, како секогаш се заменуваат прим со неприм величини и се негира релативната брзина(која е релативно движење во спротивна насока), , што исто така се сведува на негирање на единица векторот , бидејќи величината е секогаш позитивна,
кој во форма на матрица е
:<math>
\begin{bmatrix}
c t \\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma & \gamma \beta\mathbf{n}^\mathrm{T} \\
\gamma\beta\mathbf{n} & \mathbf{I} + (\gamma-1) \mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t' \\
\mathbf{r}'
\end{bmatrix}\,. </math>
3.2.2 Параметризација на насоката на брзината
За да се дојде до параметризација на насоката на брзината, изразите и ќе се вметнат во сите горенаведени брзинско-параметризирани формули. Две дополнителни детали се, дека со користење на истиот единечен вектор , векторската релативност помеѓу брзините е:<math> \boldsymbol{\beta} = \beta \mathbf{n} = \mathbf{n} \tanh\zeta \,,</math>
а "брзинскиот вектор" ќе се пресмета со
:<math> \boldsymbol{\zeta} = \zeta\mathbf{n} = \mathbf{n}\tanh^{-1}\beta \ </math>''Величината'' на е апсолутна вредност од брзинскиот скалар ограничен до , кој се согласува со растојанието . ''Насоката'' на е секогаш паралелна со и обратно релативната брзина уште соодветствува со промена на насоката на а со тоа и .
4 Општи Лоренцови трансформации: комбинирани зголемувања и вртења
Друг начин да се добие поттик на арбитрарана насока е да се ротираат  координати во поттик заедно кон насока за која Лоренцова трансформација е едноставна и позната, а потоа да ја изведе таа Лоренцова трансформација, потоа да ја сврти назад; сумирано од:<math>B' = R_1 B R_2 </math>
каде
:<math>R_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathbf{R}_1 \end{bmatrix}\,,\quad R_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathbf{R}_2 \end{bmatrix} \,, </math>
од каде и се 3D вртежни матрици само на просторните координати, оставајќи ги временските компоненти непроменети. На пример, може да биде Лоренцов поттик насочек кон еден од , , или насоките.
5 Поттик и вртежни матрици
Лоренцовите трансформации, при форма на матрица, компонентите од четерите позиција се подредени во колона вектори и Лоренцовите трансформации означени со (Грчко големо Ламбда) можат секогаш да бидат компактно напишани како равенка од единечна матрица во форма
:<math>X' = \Lambda X \,. </math>
Сите "чисти" Лоренцови трансформации ја имаат оваа форма, а тие што ја немаат, вклучуваат дополнително поместување во време-просторот.
Општата вртежна матрица е
:<math>R(\mathbf{e},\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} + \mathbf{E}^2(1-\cos\theta) + \mathbf{E}\sin\theta \end{bmatrix} \,, </math>
а општата матрица со поттик е
:<math>B(\mathbf{n},\zeta) = \begin{bmatrix} \cosh\zeta & - \mathbf{n}^\mathrm{T} \sinh\zeta \\ -\mathbf{n}\sinh\zeta & \mathbf{I} + (\cosh\zeta-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T} \\ \end{bmatrix} \,. </math>
Општата инверзна вртежна матрица е
:<math>R (\mathbf{e} ,\theta)^{-1} = R (\mathbf{e} ,-\theta) = R (-\mathbf{e} , \theta) \,. </math>
слично на општата матрица со поттик е
:<math>B (\mathbf{n} ,\zeta)^{-1} = B (\mathbf{n} ,-\zeta) = R (-\mathbf{n} , \zeta) \,. </math>
Последователни трансформации се применуваат на левата страна. Две вртења се уште едно вртење
:<math> R_2(\mathbf{e}_2,\theta_2) R_1(\mathbf{e}_1,\theta_1) = R_3(\mathbf{e}_3,\theta_3) \,, </math>
но тие не се комутативни освен ако вртењата се наоѓаат на исти оски,
:<math> R_2(\mathbf{e},\theta_2) R_1(\mathbf{e},\theta_1) = R_1(\mathbf{e},\theta_1) R_2(\mathbf{e},\theta_2) = R(\mathbf{e},\theta_1+\theta_2) \,. </math>
Два поттика насочени кон различни насоки (не колинеарни еден на друг) прават поттик проследен со вртење, наместо уште еден единечен поттик,
:<math> B_2(\mathbf{n}_2,\zeta_2) B_1(\mathbf{n}_1,\zeta_1) = B(\mathbf{n},\zeta)R(\mathbf{e},\theta) \,, </math>
меѓутоа два поттика насочени кон иста насока прават поттик насочен кон таа насока без вртење, и се комутативни,
:<math> B_2(\mathbf{n},\zeta_2) B_1(\mathbf{n},\zeta_1) = B_1(\mathbf{n},\zeta_1) B_2(\mathbf{n},\zeta_2) = B(\mathbf{n},\zeta_1+\zeta_2) \,, </math>
Нај општа Лоренцова трансформација е поттик и вртење, и двете можат да се извршат пред другата, но добиените резултати се различни, бидејќи поттикот и вртежните матрици не се менуваат.
Еден важен аспект на поттикот и вртежните матрици е дека тие градат ''група''<math>\mathcal{L}</math>, бидејќи
*операција на композиција се дефинира (овде множење на матрици),
*поттици и вртења се Лоренцови трансформации, производот од било кои две (две свртувања, два поттика, едно вртење и еден поттик,) е исто Лоренцова трансформација, па множеството од овие матрици е затворено под оваа операција на композиција,
::<math> R(\mathbf{e},\theta) \in \mathcal{L} \,, \quad B(\mathbf{n},\zeta) \in \mathcal{L} \,, </math>::<math> R(\mathbf{e},\theta)B(\mathbf{n},\zeta) \in \mathcal{L} \,, \quad B(\mathbf{n},\zeta)R(\mathbf{e},\theta) \in \mathcal{L} \,, </math>*има идентичен елемент, на пример без поттик и вртење, кои и двете опаѓаат во 4Д идентична матрица,
::<math> R(\mathbf{e},0) = B(\mathbf{n},0) = \mathbf{I} \in \mathcal{L} \,, </math>*има инверзни елементи,
::<math> R(\mathbf{e},-\theta)R(\mathbf{e},\theta) = \mathbf{I} \,, \quad R(\mathbf{e},-\theta) \in \mathcal{L} \,, </math>::<math> B(\mathbf{n},-\zeta)B(\mathbf{n},\zeta) = \mathbf{I} \,, \quad B(\mathbf{n},-\zeta) \in \mathcal{L} \,, </math>*дадено ''три'' трансформации, секоја со секого може да биде вртежна и/или поттик, композицијата е асоцијативна, на пример
::<math> R_2(B R_1) = (R_2 B)R_1 = R_2 B R_1 \,. </math>
и матрици се елементи во ''Лоренцовата група''. Параметрите се континуирано променливи. Бројот на параметри во група од шест, бидејќи три се за поттикот и три за вртењето, затоа Лоренцовата група е шестдимензионална.
6 Генератори на Лоренцова група
Генераторите од Лоренцовата група се оператори кои соодветно одговараат со важни симетрии во време-просторот: ''вртежнте генератори се физички аголни моменти,
:<math>J_x = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}\,,\quad J_y =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0
\end{bmatrix}\,,\quad J_z = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} </math>
и поттик генераторите соодветно одговараат со движењето во системот на време-просторот,
:<math>K_x = \begin{bmatrix}
0 &1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\,,\quad K_y = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\,,\quad K_z = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} </math>
во квантна механика, релативистична квантна механика и квантна теорија на поле, разлиќна ковенција се корсити за генераторите; тие се множат со фактор од замислената единица .
Општиата матрица на поттик ќе се добие од генераторите:
:<math>B(\mathbf{n},\zeta) = e^{-\zeta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K = I -\sinh\zeta(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})+(\cosh\zeta-1)(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^2 </math>
и со негација на брзината во експоненциалните, ја дава инверзна
:<math>B(\mathbf{n},-\zeta) = e^{\zeta\mathbf{n}\cdot\mathbf{K = I +\sinh\zeta(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})+(\cosh\zeta-1)(\mathbf{n}\cdot\mathbf{K})^2 \,. </math>
Општата вртежна матрица е еднаква со Родрригезова вртежна формула
:<math>R(\mathbf{e},\theta) = e^{\theta\mathbf{e}\cdot\mathbf{J= I +\sin\theta(\mathbf{e}\cdot\mathbf{J})+(1-\cos\theta)(\mathbf{e}\cdot\mathbf{J})^2 </math>
и со негација на аголот се добива инверзна
:<math>R(\mathbf{e},-\theta) = e^{-\theta\mathbf{e}\cdot\mathbf{J = I -\sin\theta(\mathbf{e}\cdot\mathbf{J})+(1-\cos\theta)(\mathbf{e}\cdot\mathbf{J})^2 \,. </math>
7 Тензор формулација
Пишувајќи ја општата трансформација на матрицата
:<math>\begin{bmatrix}
{X'}^0 \\ {X'}^1 \\ {X'}^2 \\ {X'}^3
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\Lambda^0{}_0 & \Lambda^0{}_1 & \Lambda^0{}_2 & \Lambda^0{}_3 \\
\Lambda^1{}_0 & \Lambda^1{}_1 & \Lambda^1{}_2 & \Lambda^1{}_3 \\
\Lambda^2{}_0 & \Lambda^2{}_1 & \Lambda^2{}_2 & \Lambda^2{}_3 \\
\Lambda^3{}_0 & \Lambda^3{}_1 & \Lambda^3{}_2 & \Lambda^3{}_3 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
X^0 \\ X^1 \\ X^2 \\ X^3
\end{bmatrix} </math>
во тензор индекс нотација се дозволува трансформација од други физички количини кои не можат да се изразат како четири-вектори, на пример тензори или спинори во 4Д време-просорот, што треба да се дефинираат,
:<math>{X'}^\alpha = \Lambda^\alpha {}_\beta X^\beta \,, </math>
каде горниот и долниот индекс означуваат коваријациони и контраваријациони компоненти соодветно и сума конвенцијата е додадена. Тоа е стандардна конвенција да користи Грчки индекси со што се зема вредноста 0 за временските компоненти и 1, 2, 3 за просторните компоненти, додека кај Латинските индекси се земаат вредностите 1, 2, 3, за просторни компоненти.
7.1 Интервал на време-просторот
Во даден координатен систем ''x''<sup>μ</sup>, ако два настана 1 и 2 се одвоени со
:<math>(\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z) = (t_2-t_1, x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)\ ,</math>
време-просторниот интервал помеѓу нив е
:<math>s^2 = - c^2(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2\ .</math>
Ова може да се напише и во друга форма со помош на Геометрија на Минковски. Во овој координатен систем,
:<math>\eta_{\mu\nu} =
\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\ .
</math>
Тогаш, ние ќе напишеме
:<math>
s^2 = \begin{bmatrix}c \Delta t & \Delta x & \Delta y & \Delta z \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} c \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{bmatrix}
</math>
или користејќи го Ајнштајнова конвенција на сумата,
: <math>s^2= \eta_{\mu\nu} x^\mu x^\nu\ .</math>
Сега да замислиме дека правиме координатна трансформација ''x''<sup>μ</sup> → ''x''′ <sup>μ</sup>. Тогаш, интервалот во координатниот систем е даден со
:<math>
s'^2 = \begin{bmatrix}c \Delta t' & \Delta x' & \Delta y' & \Delta z' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} c \Delta t' \\ \Delta x' \\ \Delta y' \\ \Delta z' \end{bmatrix}
</math>
или
:<math>s'^2= \eta_{\mu\nu} x'^\mu x'^\nu\ .</math>
Тоа е резултат на просторна релативност, така што интервалот е инваријантен. За ова да држи вода, ќе биде прикажано дека е потребно и доволно за координатна трансформација да биде од формата
: <math>x'^\mu = x^\nu \Lambda^\mu_\nu + C^\mu\ ,</math>
каде ''C''<sup>μ</sup> е константен вектор и Λ<sup>μ</sup><sub>ν</sub> константна матрица, каде што ние бараме
: <math>\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta = \eta_{\alpha\beta}\ .</math>
Ваква трансформација е наречена ''Пионкаре трансформација'' или ''нехомогена Лоренцова трансформација''. ''C<sup>a</sup>'' претставува време-просторна транслација. Кога ''C<sup>a</sup>'' = 0, трансформацијата е наречена ''хомогена Лоренцова трансформација'' или кратко ''Лоренцова трансформација''.
Со преземање на детерминантата од
:<math>\eta_{\mu\nu}{\Lambda^\mu}_\alpha{\Lambda^\nu}_\beta = \eta_{\alpha\beta}</math>
ни дава
:<math>\det (\Lambda^a_b) = \pm 1\ .</math>
Случаите се:
*Соодветна Лоренцова трансформација има det(Λ<sup>μ</sup><sub>ν</sub>) = +1 и формира подгрупа наречена специјална ортогонална група SO(1,3).
*Несоодветна Лоренцова трансформација се det(Λ<sup>μ</sup><sub>ν</sub>) = −1, кои не формираат подгрупа, бидејќи производот на било кои две несоодветни Лоренцови трансформации ќе биде соодветна Лоренцова трансформација.
Од горенаведената дефиницја за Λ се покажува дека (Λ<sup>0</sup><sub>0</sub>)<sup>2</sup> ≥ 1, па така
* Λ<sup>0</sup><sub>0</sub> ≥ 1, е наречена ортохронолна трансформација или
* Λ<sup>0</sup><sub>0</sub> ≤ −1, е наречена неортохронолна трансформација.
Важна подгрупа од соодветните Лоренцови трансформации се соодветни ортохронални Лоренцови трансформации кои се содржат чисто од зголемувања и вртења. Секоја Лоренцова трансформација може да биде напишана како соодветна ортохронална, заедно со една или двете дискретни трансформации; просторна инверзија ''P'' и временски пресврт ''T'', кои различни од 0 елементи се:
:<math>P^0_0=1, P^1_1=P^2_2=P^3_3=-1</math>
:<math>T^0_0=-1, T^1_1=T^2_2=T^3_3=1</math>
Поинкаре трансформациите ги задоволува својствата на групата наречена Пионкаре група. Под Ерланген програмата, Минковски просторот може да се забележи како геометрија дефинирана од Пионкаре групата, која ги комбинира Лоренцовите трансформации со транслации. На сличен начин, сите Лоренцови трансформации формираат група, наречена Лоренцова група.
Неменливо количество под Лоренцови трансформации е познато како Лоренцов скалар.
8 Трансформација на други физички количества
Преобразната матрица е универзална за сите четири-вектори, не само за 4-димензионалните време-просторни координати. Ако е секој четири-вектор, тогаш во тензор индекс нотација
:<math> A^{\alpha'} = \Lambda^{\alpha'}{}_\alpha A^\alpha \,.</math>
во која индексите со прим означуваат индекси од во прим систем.
Поопшто, трансформацијата од секое тензор количество е дадено со:
:<math>T^{\alpha' \beta' \cdots \zeta'}_{\theta' \iota' \cdots \kappa'} =
\Lambda^{\alpha'}{}_{\mu} \Lambda^{\beta'}{}_{\nu} \cdots \Lambda^{\zeta'}{}_{\rho}
\Lambda_{\theta'}{}^{\sigma} \Lambda_{\iota'}{}^{\upsilon} \cdots \Lambda_{\kappa'}{}^{\zeta}
T^{\mu \nu \cdots \rho}_{\sigma \upsilon \cdots \zeta}</math>
каде е инверзна матрица од .
8.1 Трансформација во електромагнетно поле
Лоренцовите трансформации може да се користат за да се илустрира дека магнетно и електрично поле едноставно се различни аспекти на истата сила — електромагнетна сила, како последица на релативно движење помеѓуелектрични полнежи и набљудувачи. Фактот дека електромагнетно поле покажува релативистички ефекти станува јасно со спроведување на едноставен експеримент.
*Замисли набљудувач мери полнеж за време на мирување во појдовен систем F. Набљудувачот ќе детектира статично електрично поле. Бидејќи полнежот е стациониран во системот, нема електрична струја, односно набљудувачот нема да набљудува магнетно поле.
*Замисли друг набљудувач во појдовен систем F′ се движи со брзина v (релативна на F и полнежот). ''Овој'' набљудувач ќе види друго електрично поле бидејќи полнежот се движи со брзина −v во нивниот неподвижен систем. Понатаму, во системот F′ полнежот што се движи претставува елекрична струја, па така набљудувачпт во системот F′ исто така ќе види магнетно поле.
Ова покажува дека Лоренцовите трансформации исто така се однесуваат на електромагнетни полиња при промена на појдовен систем.
9 Поврзано
*Ричи калкулус
*Електромагнетно поле
*Галилееви трансформации
*Хиперболично вртење
*Инваријатна механика
*Лоренцова група
*Репрезентациона теорија на Лоренцова група
*Принцип на релативност
*Дополнителна формула за брзината
*Алгебра за физика-простор
*Релативистичка аберација
*Комплексен број
12 Наводи
11 Белешки
12 Наводи
12.1 Мрежни страници
*
*
12.2 Трудови
*
*
*
*
*
*
*. See also: .
*
* eqn (55).
*
*
*
*
*
12.3 Книги
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
13 Дополнителна литература
*
*
*
*
14 Надворешни врски
*. This web page contains a more detailed derivation of the Lorentz transformation with special emphasis on group properties.
* . This webpage poses a problem, the solution of which is the Lorentz transformation, which is presented graphically in its next page.
* – a chapter from an online textbook
*. A computer program demonstrating the Lorentz transformations on everyday objects.
* visualizing the Lorentz transformation.
* ''from John de Pillis.'' Online Flash animations of Galilean and Lorentz frames, various paradoxes, EM wave phenomena, ''etc''.