Хармониски треперник

Хармониски треперник (или хармониски осцилатор) — систем во класичната механика, на којшто, кога ќе му биде нарушена рамнотежната состојба, сè создава повратна сила, ''F'', пропорционална на поместувањето, ''x'':
:<math> \vec F = -k \vec x \, </math>
каде ''k'' е позитивна непроменлива.
Ако ''F'' единствената сила која делува на системот, сситемот се нарекува едноставен хармониски треперник, и е подложен на едноставно хармониско движење: синусоидно треперење околу рамнотежна точка, со постојан замав (амплитуда) и постојана честота (која не зависи од замавот).
Ако имаме сила на триење (придушување) пропорционална на брзината, хармонискиот треперник се опишува како придушен треперник. Во зависност од коефициентот на триење, системот може:
* Трепери со фрквенција помала отколку таа во непридушениот случај, и замав кој се намалува со текот на времето (''подпридушен'' треперник).
* Се враќа во рамнотежната положба, без треперење (''презадушен'' треперник).
Граничното решение меѓу подпридушен треперник и презадушен треперник се случува при одредена вредност на коефициентот на триење, која се нарекува „критично придушување“.
Ако е присутна временско зависна сила, хармонискиот треперник се опишува како присилен треперник.
Механичките примери вклучуваат нишало (со малоаголни поместувања), маси поврзани на пружини, и акустични системи. Други подеднакви системи вклучуваат електрични хармониски треперења како што се RLC кола. Моделот на хармонискиот треперник е од важност за физиката, бидејќи секоја маса која е под дејство на силаво стабилна рамнотежа се однесува како хармониски треперник за мали вибрации. Хармониските треперници ги има насекаде во природата и се искористуваат во многу уреди направени од човекот, како што се часовници и радио кола. Тие се создавачи на сите синусоидни вибрации и бранови.
1 Едноставен хармониски осцилатор
Едноставен хеамониски треперник е треперник кој не е ни присилен но не е придушен. Истиот се состои од маса ''m'', која дејствува со единствена сила, ''F'', која ја привлекува масата во насока на точката ''x''=0 и зависи само од местоположбата на масата во ''x'' и постојаната ''k''. Рамнотежната состојба на силите (Втор Њутнов закон) за системот е:
:<math>F = m a = m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x. </math>
Решавајќи ја оваа диференцијална равенка, се добива дека движењето е опишано со функцијата:
:<math> x(t) = A\cos\left( \omega t+\phi\right), </math>
каде
:<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m = \frac{2\pi}{T}.</math>
Движењето е периодично, повторувајќи се на синусоиден начин со постојан замав, ''A''. Покрај замавот, движењето на едноставниот хармониски треперник е опишан со сопствениот период ''T'', времето потребно за едно треперење или неговата честота ''f'' = , бројот на треперења во единица време. Местоположбата во одредено време ''t'' исто тка зависи од фазата, ''φ'', којашто ја одредува почетната точка на синусниот бран. Периодот и честотата се одредени од големината на масата ''m'' и постојаната на силата ''k'', додека замавот и фазата се одредени од почетната местоположба и брзина.
Брзината и забрзувањето на едноставниот хармонискиот треперник, трепери со истата честота и местоположба но со променети фази. Брзината е максимална за нулта поместување, додека пак забрзувањето е со спротивна насока од поместувањето.
Потенцијалната енергија складирана во едноставниот хармониски треперник во местоположбата ''x'' е:
:<math>U = \frac{1}{2}kx^2.</math>
2 Придушен хармониски треперник
Кај вистинските треперници, триењето, или придушувањето, го успорува движењето на системот. Поради силата на триење, брзината се намалува во однос силата на триење која делува. Додека едноставните хармониски движења треперат со обновливата сила која делува на системот, придушените хармониски движења се под дејство на сила на триење. Во многу системи кои вибрираат силата на триење ''F''<sub>f</sub> може да биде пропорционален со брзината ''v'' на предметот: , каде ''c'' се нарекува ''вискозен придушен коефициент''.
Рамнотежната на сила (Втор Њутнов закон) за придушени треперења е:
:<math> F = -kx - c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}.</math>
TОва се презапишува во обликот
:<math> \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^{\,2} x = 0, </math>
каде
:<math>\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m</math> се нарекува 'непридушена аголна честота на треперникот' и
:<math>\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{mk</math> се нарекува 'однос на придушување'.
Вредноста на односот на придушување ''ζ'' критично го определува однесувањето на системот. Тогаш придушениот хармониски треперник може да биде:
*''Презадушен'' (''ζ'' > 1): Системот се враќа (експоненцијалното распаѓање) во почетна положба без треперење. Поголемите вредности на односот на придушување ''ζ'' се враќаат поспоро во рамнотежната состојба.
*''Критично придушување'' (''ζ'' = 1): Системот се враќа во почетната положба што е можно побрзо без притоа да дојде до треперење. Ова е посакувано дејство кај придушните системи како што се.
*''Непридушени'' (''ζ'' < 1): Системот трепери (со малку поразлична честота отколку во непридушениот случај) при што замавот постепено се намалува до нула. Аголната честота на непридушениот хармониски треперник е определена со:
:<math>\omega_1 = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}.</math>
Q факторот на придушениот треперник сè запишува как:
:<math>Q = 2\pi \times \frac{\text{Skladirana energija{\text{Izgubena energija vo eden ciklus.</math>''Q'' е поврзана со односот на придушување преку равенството:
<math>Q = \frac{1}{2\zeta}.</math>
3 Присилен хармониски треперник
Присилените хармониски треперници сè придушени треперници кои се под дејство на надворешно применета сила ''F''(''t'').
Втор Њутнов закон ја добива формата
:<math>F(t)-kx-c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}. </math>
Кој обично се презапишува во формата
:<math> \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{F(t)}{m}. </math>
Оваа равенка може да биде решена точно за секоја присилена сила, користејќи ги решенијата ''z''(''t'') кои ја задоволуваат равенката во која нема присуство на сили:
:<math> \frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 z = 0,</math>
и кои можат да бидат изразени како придушени сиснусоидални осцилации,
:<math>z(t) = A \mathrm{e}^{-\zeta \omega_0 t} \ \sin \left( \sqrt{1-\zeta^2} \ \omega_0 t + \phi \right), </math>
во истиот случај каде ''ζ'' ≤ 1. Замавот''A'' и фазата ''φ'' го одредуваат однесувањето потребно за да се исполнат почетните услови.
3.1 Дискретна функција
Во овој случај ''ζ'' < 1 и единечна Хевисајдова функција со услов ''x''(0) = 0:
:<math> {F(t) \over m} = \begin{cases} \omega _0^2 & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}</math>
решението е:
:<math> x(t) = 1 - \mathrm{e}^{-\zeta \omega_0 t} \frac{\sin \left( \sqrt{1-\zeta^2} \ \omega_0 t + \varphi \right)}{\sin(\varphi)},</math>
со фаза ''φ'' добиена од
:<math>\cos \varphi = \zeta. \, </math>
Времето потребно на еден треперник за да се приспособи на променетите надворешни услови е со големина одредена како ''τ'' = 1/(''ζω''<sub>0</sub>). Во физиката, приспособувањето е наречено релаксаторско, и τ се нарекува време на релаксација.
3.2 Синусоидна присилна сила
Во случај на синусоидна присилна сила:
:<math> \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} F_0 \sin(\omega t),</math>
каде <math>\,\!F_0</math> е замавот на присилната сила и <math>\,\!\omega</math> е присилената честота на синусоиден присилувачки механизам. Овој вид на систем се појавува во AC присилените RLC кола (отпорник-намотка-кондензатор) и присилени пружински системи кои имаат внатрешна механичка отпорност или пак надворешен воздушен отпор.
Општото решение е сумата на премините кое зависи од почетните услови, и од стабилната состојба, која е независна од почетните услови и зависи само од амплитудата на прислината сила <math>\,\!F_0</math>, присилената честота, <math>\,\!\omega</math>, непридушената аголна честота <math>\,\!\omega_0</math>, и односот на придушување <math>\,\!\zeta</math>.
решението на стабилна состојба е пропорционално со присилната сила со настанатата фазна промена на <math>\,\!\phi</math>:
:<math> x(t) = \frac{F_0}{m Z_m \omega} \sin(\omega t + \phi)</math>
каде
:<math> Z_m = \sqrt{\left(2\omega_0\zeta\right)^2 + \frac{1}{\omega^2}\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2}</math>
е апсолутната вредност на импеданца и
:<math> \phi = \arctan\left(\frac{\omega_0^2-\omega^2}{2\omega \omega_0\zeta}\right)</math>
е фазата на треперењето во однос на присилната сила, ако вредноста на аркустангенсот се земе да биде меѓу -180 степени и 0.
За одредена присилена честота наречена резонанса, или резонантна честота <math>\,\!\omega_r = \omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}</math>, замавот (за дадена <math>\,\!F_0</math>) е максимален. Ефектот на резонанса се случува само кога <math>\,\zeta < 1 / \sqrt{2}</math>, осносно за значајно непридушени системи. За силно непридушени системи вредноста на замавот ќе биде доволно голем близу до резонантната честота.
4 Параметарски треперник
Параметарски треперник е присилен хармониски треперник при кој присилната енергија се обезбедува од различните параметри на треперникот, како што се придушната и силата на обновување.
Познат пример за параметарско треперење е лулашката која ја има на детските игралишта.
Лицето кое се лула на лулашка може да го засили замавот на треперењата без надворешна присилна сила (туркање), со промената на моментот на инерција на лулашката лулајќи се нанапред и наназад или седнувајќи и станувајќи, во ритам со треперењата на системот. Примери за параметарски треперници можат да имаат променливи резонантни честоти <math>\omega</math> и придушувањето <math>\beta</math>.
5 Универзална равенка на треперник
Равенката:
:<math>\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d} \tau^2} + 2 \zeta \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\tau} + q = 0</math>
позната како универзална равенка на треперник бидејќи сите линиски треперници од втор ред можат да се сведат во таа. Ова е направено преку бездимензионизација.
Ако прсисилната функција е ''f''(''t'') = cos(''ωt'') = cos(''ωt<sub>c</sub>τ'')
= cos(''ωτ''), where ''ω'' =''ωt''<sub>''c''</sub>, равенката ја добива формата
:<math>\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d} \tau^2} + 2 \zeta \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\tau} + q = \cos(\omega \tau).</math>
Решението на диференцијалната равенка содржи два дела, „премин“ и „стабилна состојба“.
5.1 Решение на премин
Решението засновано на обична диференцијална равенка е за is for преодни постојани ''c''<sub>1</sub> и ''c''<sub>2</sub><math>q_t (\tau) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-\zeta\tau} \left( c_1 \mathrm{e}^{\tau \sqrt{\zeta^2 - 1 + c_2 \mathrm{e}^{- \tau \sqrt{\zeta^2 - 1 \right) & \zeta > 1 \text{ (overdamping)} \\ \mathrm{e}^{-\zeta\tau} (c_1+c_2 \tau) = \mathrm{e}^{-\tau}(c_1+c_2 \tau) & \zeta = 1 \text{ (critical damping)} \\ \mathrm{e}^{-\zeta \tau} \left[ c_1 \cos \left(\sqrt{1-\zeta^2} \tau\right) +c_2 \sin\left(\sqrt{1-\zeta^2} \tau\right) \right] & \zeta < 1 \text{(underdamping)} \end{cases}</math>
Решението на премин е независно од присилната функција.
5.2 Решение на стабилна состојба
Со примена на „ методот на комплексни променливи“ со решавање на помошната равенка прикажана подолу најде реалниот дел од решението:
:<math>\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}\tau^2} + 2 \zeta \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}\tau} + q = \cos(\omega \tau) + \mathrm{i}\sin(\omega \tau) = \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \omega \tau} .</math>
Претпоставеното решение е со облик:
:<math>\,\! q_s(\tau) = A \mathrm{e}^{\mathrm{i} ( \omega \tau + \phi ) } . </math>
Изводите од нулти до втори ред сè:
:<math>q_s = A \mathrm{e}^{\mathrm{i} ( \omega \tau + \phi ) }, \ \frac{\mathrm{d}q_s}{\mathrm{d} \tau} = \mathrm{i} \omega A \mathrm{e}^{\mathrm{i} ( \omega \tau + \phi ) }, \ \frac{\mathrm{d}^2 q_s}{\mathrm{d} \tau^2} = - \omega^2 A \mathrm{e}^{\mathrm{i} ( \omega \tau + \phi ) } .</math>
Заменувајќи ги овие записи во диференцијалната равенка се добива
:<math>\,\! -\omega^2 A \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\omega \tau + \phi)} + 2 \zeta \mathrm{i} \omega A \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega \tau + \phi)} + A \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega \tau + \phi)} = (-\omega^2 A \, + \, 2 \zeta \mathrm{i} \omega A \, + \, A) \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\omega \tau + \phi)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega \tau} .</math>
Делејќи со експоненционалниот поим од лево се добива:
:<math>\,\! -\omega^2 A + 2 \zeta \mathrm{i} \omega A + A = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \phi} = \cos\phi - \mathrm{i} \sin\phi . </math>
Пресметувањето на реалниот и комплексниот дел се сведува на две независни равенки:
:<math>A (1-\omega^2)=\cos\phi \qquad 2 \zeta \omega A = - \sin\phi.</math>
5.2.1 Замавен дел
Квадрирајќи ги двете страни и собирајќи ги равенките се добива:
:<math>\left . \begin{array}{rcl} A^2 (1-\omega^2)^2 & = & \cos^2\phi \\[6pt] (2 \zeta \omega A)^2 & = & \sin^2\phi \end{array} \right \} \Rightarrow A^2[(1-\omega^2)^2 + (2 \zeta \omega)^2] = 1. </math>
следи,
:<math>A = A( \zeta, \omega) = \text{sign} \left( \frac{-\sin\phi}{2 \zeta \omega} \right) \frac{1}{\sqrt{(1-\omega^2)^2 + (2 \zeta \omega)^2.</math>
Споредувајќи го овој резултат со теорискиот дел за резонанса. Оваа функција на замавот е особено важна за анализа и разбирање на фрквентниот запис на системите од втор ред.
5.2.2 Фазен дел
Решението за φ, се делат двете равенки и се добива:
:<math>\tan\phi = - \frac{2 \zeta \omega}{ 1 - \omega^2} = \frac{2 \zeta \omega}{\omega^2 - 1} \Rightarrow \phi \equiv \phi(\zeta, \omega) = \arctan \left( \frac{2 \zeta \omega}{\omega^2 - 1} \right ). </math>
Оваа фазна функција е особено важна за анализа и разбирање на фрквентниот запис на системите од втор ред.
5.3 Целосно решение
Со комбинирање на деловите од замавното и фазното решение:
:<math>\,\! q_s (\tau) = A(\zeta,\omega) \cos(\omega \tau + \phi(\zeta,\omega)) = A\cos(\omega \tau + \phi).</math>
Решението на равенката на универзалниот треперник е суперпозиција (збир) на решенијата на премин и стабилна состојба
:<math>\,\! q(\tau) = q_t (\tau) + q_s (\tau).</math>
6 Истоветни системи
Хармониските третерници се присутни во голем дел на области на инженерството и се истоветни во смисла на нивните математички модели кои се идентични (Погледај равенка на универзален треперник од погоре). Подолу има табела која ги прикажува истоветните записи на четири хармониски треперници во механиката и електрониката. Ако истоветните параметри во самата линија на табелата им се придодадат бројчено еднакви вредности, однесувањето на треперниците&mdash, нивната резултантна бранова форма, резонантна фрквенција, придушниот факторитн.tc.&mdash; се исти.
Транслационо механички, Вртливо механички, Сериски сврзани RLC кола, Паралелно сврзани RLC кола
Местоположба <math>x\,</math>, Агол <math> \theta\,\! </math>, Полнеж <math>q\,</math>, тек <math>\phi\,</math>
Брзина <math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,</math>, Аголна брзина <math>\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\,</math>, Струја <math>\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\,</math>, Напон <math>\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\,</math>
Маса <math>M\,</math>, Момент на инерција <math>I\,</math>, Индукција <math>L\,</math>, Капацитет <math>C\,</math>
Постојана на пружината <math>K\,</math>, Постојана на вртењето <math>\mu\,</math>, Еластичност <math>1/C\,</math>, Сусцептанса <math>1/L\,</math>
Придушување <math>\gamma\,</math>, Триење при вртењето <math>\Gamma\,</math>, Отпор <math>R\,</math>, Спроводливост <math>
Присилна сила <math>F(t)\,</math>, Присилен момент на сила <math>\tau(t)\,</math>, Напон <math>e\,</math>, Струја <math>i\,</math>
Непридушена резонантна честота <math>f_n\,</math>:
<math>\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K}{M\,</math>, <math>\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{I\,</math>, <math>\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC\,</math>, <math>\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC\,</math>
Диференцијална равенка:
<math>M\ddot x +
==Примена на конзервативна сила==
Проблемот на едноставниот хармониски треперник често се сретнува во физиката, бидејќи маса во рамнотежа под влијание на некаква конзервативна сила, во границите на малите движења, се однесува како едноставен хармониски треперник.
Конзервативна сила е онаа која има функција на потенцијална енергија. Функцијата на потенцијалната енергија на хармонискиот треперник е:
:<math>V(x) = \frac{1}{2} k x^2</math>
Земајќи преодна потенцијална енергетска функција <math>V(x)</math>, може да се развие во Тејлоров ред како <math>x</math> околу енергетски минимум (<math>x = x_0</math>) за да се измоделира однесувањето на малите растројувања од рамнотежната состојба.
:<math>V(x) = V(x_0) + (x-x_0) V'(x_0) + \frac{1}{2} (x-x_0)^2 V^{(2)}(x_0) + O(x-x_0)^3</math>
Бидејќи <math>V(x_0)</math> е минимум, првиот извод се проценува кога <math>x_0</math> е нула, па линискиот запис се отстранува:
:<math>V(x) = V(x_0) + \frac{1}{2} (x-x_0)^2 V^{(2)}(x_0) + O(x-x_0)^3</math>
Постојаната ''V''(''x''<sub>0</sub>) е продна и мора да се отстрани, и координатна трансформација овозможува да се довбие записот на едноставниот хармониски треперник:
:<math>V(x) \approx \frac{1}{2} x^2 V^{(2)}(0) = \frac{1}{2} k x^2</math>
Така, со преодна функција на потенцијална енергија <math>V(x)</math> со постоечки втор извод, може да се уопотреби као решение за едноставниот хармониски треперник и приближно решение за малите растројувања околу рамнотежната точка.
7 Примери
7.1 Математичко нишало
Ако имаме непридушено движење и мали замави, диференцијалната равенка која го опишува математичкото нишало е:
:<math>{\mathrm{d}^2\theta\over \mathrm{d}t^2}+{g\over \ell}\theta=0.</math>
Решението на оваа равенка е:
:<math>\theta(t) = \theta_0\cos\left(\sqrt{g\over \ell}t\right) \quad\quad\quad\quad |\theta_0| \ll 1</math>
каде <math>\theta_0</math> е најголемиот агол кој го постигнува нишалото.Периодот, времето потребно за да се исполни едно треперење, запишан со <math>2\pi</math> поделен со времето преку косинусот (<math>\sqrt{g\over \ell}</math> here).
:<math>T_0 = 2\pi\sqrt{\ell\over g}\quad\quad\quad\quad |\theta_0| \ll 1.</math>
7.2 Систем пружина/маса
Кога пружината е истегната или натисната под дејство на маса, во пружината се јавува еластична сила. Хуковиот закон ја дава поврзаноста меѓу силата која ја поседува пружината кога истата е натисната или развлечена за извесна должина:
:<math>F \left( t \right) =-kx \left( t \right) </math>
каде ''F'' е силата, ''k'' е постојаната на пружината, и ''x'' е поместувањето на масата во однос на рамнотежната состојба. Знакот минус во равенката означува дека пружината се придвижува во спротивна насока на поместувањето и се спречува масата да отиде во бесконечноста.
Соо употреба маетодот на урамнотежување на сили или пак еннергетски метод, може постојано да се покаже дека движењето на системот се определува преку следнава равенка:
:<math> F(t) = -kx(t) = m \frac {\mathrm{d}^{2{\mathrm{d}{t}^{2 x \left( t \right) = ma. </math>
...последниот дел е Втор Њутнов закоз за движењето.
Ако почетното поместување е A, и немаме почетна брзина, решението на оваа равенка ќе се запише како:
:<math> x \left( t \right) =A \cos \left( \sqrt{k \over m}t \right).</math>
Ако се земе дека имаме идеална пружина без маса , <math>m</math> е масата на крајот од пружината. Ако пак пружината има маса, нејзината делотворна маса може да биде придодадена во <math>m</math>.
8 Поврзано
*Критична брзина
*Делотворна маса
*Параметарски треперник
*Фазен вектор
*Q фактор
*Кавантен хармониски треперник