Златна спирала

Златна спирала — логаритамска спирала во геометријата чиј фактор на раст е — златниот пресек. Ова значи дека златната спирала станува пошрока (или подалеку од почетокот) за пати за секоја четвртина свртување што ќе ја направи.
1 Апроксимации на златната спирала
Постојат неколку споредливи спирали кои апроксимираат, но не се точно еднакви на златна спирала.
На пример, златната спирала може да се апроксимира со тоа што прво ќе почнеме со правоаголник чиј сооднос на должината и ширината се во златен пресек. Овој правоаголник потоа се дели на квадрат и сличен правоаголник, а тој правоаголник може да се подели на истиот начин. Откако ова ќе го повториме произволен број пати, ќе добиеме речиси целосна поделба на правоаголникот на квадрати. Ќошевите на овие правоаголници може да се поврзат со четвртини кружници. Со ова не добиваме вистинска логаритамска спирала, но спирала која сепак прилично блиску ја апроксимира.
Друга апроксимација е Фибоначиевата спирала, која се конструира малку поинаку. Фибоначиевата спирала почнува со правоаголник поделен на 2 квадрата. Во секој чекор додаваме квадрат долг колку најдолгата страна на правоаголникот. Бидејќи соодносот помеѓу последователни Фибоначиеви броеви се приближува до златен пресек како што Фибоначиевите броеви се приближуваат до бесконечност, така оваа спирала станува сè послична на претходната апромсимација како што се додаваат повеќе квадрати.
Направено е изучување за тоа дали луѓето по изглед ја претпочитаат златната и Фибоначиевата спирала. Од вкупно 106 испитаници, златната спирала ја претпочитаат 79,2 % наспроти 20,8 % за Фибоначиевата, претежно заради постојаноста на нејзината закривеност.
2 Спирали во природата
Понекогаш погрешно се вели дека спиралните галаксии и раковините на наутилусите имаат облик на златна спирала, и затоа имаат врска со и Фибоначиевата низа.
Впрочем, многу раковини на мекотелите имаат логаритамска спирала, но под различни агли изразено поинакви од оној на златната спирала. Иако спиралните галаксии често се моделираат како логаритамски, Архимедови или хиперболични спирали, нивните агли на наклонетост се разликуваат во зависност од растојанието од галактичкото средиште, за разлика од логаритамските спирали (каде аголот останува ист). Тие не се совпаѓаат ни со другите математички спирали според кои се моделираат.
Филотаксијата, шемата на растот кај растенијата, во извесна мера е поврзан со златниот сооднос бидејќи подразибра последователни ливчиња одделени под златниот агол. Иако ова понекогаш се изразува во спирални облици, како кај сончогледовите семки, оваа појава е поблиска до Фермаовите спирали отколку до логаритамските.
3 Математика
Златна спирала со првичен полупречник 1 е геометриското место на точки на поларни координати <math>(r,\theta)</math> што го задоволуваат
<math display=block>r = \varphi^{2\theta/\pi},</math>
каде <math>\varphi</math> е златниот пресек.
Поларната равенка за златна спирала е иста како за други логаритамски спирали, но со посебна вредност за факторот на раст :<math>r = ae^{b\theta}</math>
или
<math display=block>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),</math>
при што е основа на природни логаритми, е првичниот полупречник на спиралата, а е таква што е прав агол (четвртина свртување во било која насока):
<math display=block>e^{b\theta_\mathrm{right = \varphi.</math>
Затоа, е дадена како
<math display=block>b = {\ln{\varphi} \over \theta_\mathrm{right.</math>
Бројчената вредност на зависи од тоа дали правиот агол е изразен како 90 степени или како <math>\textstyle\frac{\pi}{2}</math> радијани; а бидејќи аголот може да оди во било која од двете насоки, најлесно е да се напише формулата за апсолутната вредност на (т.е. може да има и негативна вредност):
<math display=block>|b| = {\ln{\varphi} \over 90} \doteq 0,0053468</math>
за во степени, или
<math display=block>|b| = {\ln{\varphi} \over \pi/2} \doteq 0,3063489</math>
за во радијани.
Друга формула за логаритамската и златната спирала е<math display=block>r = ac^{\theta}</math>
каде константата е дадена како
<math display=block>c = e^b</math>
што за златната спирала дава вредности на
<math display=block>c = \varphi ^ \frac{1}{90} \doteq 1,0053611</math>
ако е изразена во степени, а
<math display=block>c = \varphi ^ \frac{2}{\pi} \doteq 1,358456</math>
ако е изразена во радијани.
Во однос на логаритамските спирали, златната спирала го има одликувачкото својство
дека за четири колинеарни спирални точки ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' што им припаѓаат на аргументите
, , ,
точката ''C'' е проективниот хармоничен конјугат на ''B'' во однос на ''A'', ''D'', т.е. двојниот однос (''A'',''D'';''B'',''C'') ја има единечната вредност −1.
Златната спирала е единствената логаритамска спирала со (''A'',''D'';''B'',''C'') = (''A'',''D'';''C'',''B'').
3.1 Поларен наклон
Во поларната равенка за логаритамска спирала:
<math display=block>r = ae^{b\theta}</math>
параметарот е поврзан со поларниот наклонски агол<math>\alpha</math>:
<math display=block>\tan\alpha=b. </math>
Кај златна спирала, <math>b</math> е постојана и еднаква на <math>|b| = {\ln{\varphi} \over \pi/2} </math> (за во радијани, според погоре дефинираното), наклонскиот агол <math>\alpha</math> ќе биде
<math display=block>\alpha = \arctan(|b|) = \arctan\left({\ln{\varphi} \over \pi/2}\right),</math>
оттука
<math display=block>\alpha \doteq 17,03239113</math>
ако е изразено во степени, или
<math display=block>\alpha \doteq 0,2972713047</math>
ако е изразено во радијани.
Неговиот комплементен агол
<math display=block>\beta = \pi/2 - \alpha \doteq 1,273525022</math>
во радијани, или
<math display=block>\beta = 90 - \alpha \doteq 73</math>
во степени, е аголот кој краците на златната спирала го сочинуваат со права повлечена од центарот на спиралата.
4 Поврзано
* Фибоначиева низа
* Златен агол
* Златен пресек
* Златен правоаголник
* Список на спирали
* Логаритамска спирала