Лежандрови полиноми

Во математиката, Лежандровите полиноми, именувани по Адриен-Мари Лежандр (1782), се систем комплетни и ортогонални полиноми со широк број математички својства и бројни примени. Можат да се дефинираат на многу начини, а различните дефиниции истакнуваат различни аспекти и предложуваат генерализации и врски со различни математички структури и физички и нумерички примени.
Тесно поврзани со Лежандровите полиноми се придружните Лежандрови полиноми, Лежандровите функции, Лежандровите функции од втор вид, големите q-Лежандрови полиноми и придружните Лежандрови функции.
1 Дефиниција и претставување
1.1 Дефиниција по конструкција како ортогонален систем
Со помош на пристапот на ортогонален систем, полиномите се дефинирани како ортогонален систем во однос на функцијата на тежина <math>w(x) = 1</math> во текот на интервалот <math> [-1,1]</math> Тоа е, <math>P_n(x)</math> е полином од степен <math>n</math>, така што <math>\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \,dx = 0 \quad \text{if } n \ne m.</math>
Со дополнителниот услов за стандардизација <math>P_n(1) = 1</math>, сите полиноми можат да бидат единствено определени. Го започнуваме процесот на конструкција, при што <math>P_0(x) = 1</math> е единствениот правилно стандардизиран полином од степен 0. Полиномот <math>P_1(x)</math> мора да биде ортогонален на <math>P_0</math>, поради што <math>P_1(x) = x</math>, и <math>P_2(x)</math> се определува со барање на ортогоналност за <math>P_0</math> и <math>P_1</math>, и така натаму. <math>P_n</math> е фиксирано со барање ортогоналност кон сите <math>P_m</math> со <math>m < n</math>. Ова дава <math> n </math> услови, што заедно со стандардизацијата <math> P_n(1) = 1</math> ги фиксира сите <math> n+1</math> коефициенти во <math> P_n(x)</math>. Сите коефициенти на секој полином можат систематски да се одредат, што доведува до експлицитно претставување во степени на <math>x</math> дадено подолу.
1.2 Дефиниција преку генерирачка функција
Лежандревите полиноми може да се дефинираат и како коефициенти со формално проширување во степени на <math>t</math> на генерирачката функција (генератрисата):
Коефициентот на <math>t^n</math> е полином во <math> x </math> на степен <math>n</math> со <math>|x| \leq 1</math> . Проширувањето до <math>t^1</math> дава:
<math>P_0(x) = 1 \,,\quad P_1(x) = x.</math>
Можно е да се добијат и повисоките <math>P_n</math> без директно проширување на Тејлоровата серија. Равенка е диференцирана по од двете страни и преуредена, при што се добива:
<math>\frac{x-t}{\sqrt{1-2xt+t^2 = \left(1-2xt+t^2\right) \sum_{n=1}^\infty n P_n(x) t^{n-1} \,.</math>
Со замена на количникот од квадратниот корен со неговата дефиниција во равенката , и изедначување на коефициентите на степените на , се добива ''Бонеовата рекурзивна формула:''<math> (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\,.</math>
Оваа релација, заедно со првите два полиноми и , овозможува сите останати да се генерираат рекурзивно.
1.3 Дефиниција преку диференцијална равенка
Третата дефиниција е во однос на решенијата на Лежандровата диференцијална равенка:
Оваа диференцијална равенка има регуларни сингуларни точки во . Ако се бара решение со користење на стандардниот метод на Фробениус или со методот на степенски низи, низата околу почетокот ќе конвергира само за . Кога е цел број, решението што е регуларно на е исто така регуларно на , а низата за ова решение мора да застане (односно е полином). Ортогоналноста и комплетноста на овие решенија најдобро се гледаат од гледна точка на теоријата на Штурм-Лиувил. Ја пишуваме диференцијалната равенка како проблем со сопствени вредности:
<math>\frac{d}{dx} \left( \left(1-x^2\right) \frac{d}{dx} P(x) \right) = -\lambda P(x) \,,</math>
со сопствена вредност <math>\lambda</math>, наместо <math> n(n+1)</math> Ова претставува равенка на Штурм-Лиувил со <math>p = 1-x^2, q = 0, w = 1</math> .
Во физички услови, Лежандровата диференцијална равенка се јавува природно при решавање на Лапласовата равенка (и поврзаните парцијални диференцијални равенки) со раздвојување на променливите во сферни координати. Од оваа гледна точка, сопствените функции на аголниот дел од Лапласовиот оператор се сферните хармоници, од кои Лежандровите полиноми се (до мултипликативна константа) подмножество кое е оставено непроменливо со ротации околу поларната оска. Полиномите се појавуваат како <math>P_n(\cos\theta)</math>, каде <math>\theta</math> е поларниот агол. Овој пристап кон Лежандровите полиноми обезбедува длабока врска со ротационата симетрија. Многу од нивните својства, кои се наоѓаат макотрпно преку методите на анализа - на пример теоремата за собирање - полесно се наоѓаат со користење на методите на симетрија и теоријата на групи и добиваат длабоко физичко и геометриско значење.
1.4 Родриева формула и други експлицитни формули
Особено компактен израз за полиномите на Лежандров е даден со Родриевата формула:
<math>P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 -1)^n \,.</math>
Оваа формула овозможува изведување на голем број својства на <math>P_n</math>, како што се:
<math>\begin{align}
P_n(x)&= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^{\!2} (x-1)^{n-k}(x+1)^k, \\[1ex]
P_n(x)&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} \left( \frac{x-1}{2} \right)^{\!k}, \\[1ex]
P_n(x)&= \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{\left\lfloor n/2 \right\rfloor} \left(-1\right)^k \binom{n}{k}\binom{2n-2k}n x^{n-2k},\\[1ex]
P_n(x)&= 2^n \sum_{k=0}^n x^k \binom{n}{k} \binom{\frac{n+k-1}{2{n}, \\[1ex]
P_n(x)&=\frac{1}{2^n}\sum_{k=\lceil n/2 \rceil}^{n}\frac{(-1)^{k+n}(2k)!}{(2k-n)!(n-k)!k!}x^{2k-n}, \\[1ex]
P_n(x)&= \begin{cases}
\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^\pi {\left(x+\sqrt{x^2-1}\cdot\cos (t) \right)}^n\,dt & \text{if } |x|>1, \\
x^n & \text{if } |x|=1, \\
\displaystyle\frac{2}{\pi}\cdot x^n\cdot |x|\cdot \int_
^1 \frac{t^{-n-1{\sqrt{t^2-x^2\cdot \frac{\cos\left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin\left(\arccos(t)\right)}\,dt & \text{if } 0<|x|<1, \\
\displaystyle(-1)^{n/2}\cdot2^{-n}\cdot \binom{n}{n/2} & \text{if } x=0 \text{ and }n\text{ even}, \\
0 & \text{if } x=0 \text{ and }n\text{ odd}.
\end{cases}
\end{align}</math>
Изразувајќи го полиномот како степенска низа, <math>P_n(x) = \sum a_{n,k} x^k </math>, коефициентите на степените на <math>x</math> може да се пресметаат со користење рекурзивниот израз:
<math>a_{n,k} = - \frac{(n-k+2)(n+k-1)}{k(k-1)}a_{n,k-2}. </math> или
<math>
a_{n,k}=-\frac{n+k-1}{n-k}a_{n-2,k}.
</math>
Лежандровиот полином се определува со вредностите што се користат за двете константи <math>a_{n,0}</math> и <math>a_{n,1} </math>, каде <math>a_{n,0}=0 </math> ако <math>n</math> е непарен број и <math>a_{n,1}=0 </math> ако <math>n</math> е парен.
Во четвртата репрезентација, <math>\lfloor n/2 \rfloor</math> претставува најголем цел број помал или еднаков на <math>n/2</math>. Петтата репрезентација, која исто така се добива непосредно од рекурзивната формула, ги изразува Лежандровите полиноми со едноставни мономи и вклучува генерализирана форма на биномниот коефициент.
<math>
x^m
=\sum_{s= 0}^{\lfloor m/2\rfloor} (2m-4s+1)
\frac{(2s+2)(2s+4)\cdots 2\lfloor m/2\rfloor}{(2m-2s+1)(2m-2s-1)(2m-2s-3)\cdots (1+2\lfloor (m+1)/2\rfloor)}P_{m-2s}(x).
</math>
Првите неколку Лежандрови полиноми се:
<math>n</math>, <math>P_n(x)</math>
0, <math>1</math>
1, <math>x</math>
2, <math>\tfrac12 \left(3x^2-1\right)</math>
3, <math>\tfrac12 \left(5x^3-3x\right)</math>
4, <math>\tfrac18 \left(35x^4-30x^2+3\right)</math>
5, <math>\tfrac18 \left(63x^5-70x^3+15x\right)</math>
6, <math>\tfrac1{16} \left(231x^6-315x^4+105x^2-5\right)</math>
7, <math>\tfrac1{16} \left(429x^7-693x^5+315x^3-35x\right)</math>
8, <math>\tfrac1{128} \left(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35\right)</math>
9, <math>\tfrac1{128} \left(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x\right)</math>
10, <math>\tfrac1{256} \left(46189x^{10109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63\right)</math>
Графиконите на овие полиноми (до ) се прикажани подолу:
2 Главни својства
2.1 Ортогоналност и нормализација
Стандардизацијата <math>P_n(1) = 1</math> ја фиксира нормализацијата на Лежандровите полиноми (во однос на <i>L<sup>L2</sup> на интервалот ). Родриевата формула може да се употреби за да се добие интегралот за нормализација:
<math>\int_{-1}^1 P_n(x)^2\,dx = \frac{2}{2n + 1}.</math>
Изразите за нормализација и ортогоналност можат компактно да се напишат во една равенка:
<math>\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x)\,dx = \frac{2}{2n + 1} \delta_{mn},</math>
каде што е Кронекеровиот делта симбол.
3 Дополнителни својства
Лежандровите полиноми имаат дефинирана парност:
<math>P_n(-x) = (-1)^n P_n(x) \,.</math>
Друго корисно својство е:
<math>\int_{-1}^1 P_n(x)\,dx = 0 \text{ for } n\ge1,</math>
што произлегува од разгледувањето на ортогоналната релација со <math>P_0(x) = 1</math>. Погодно е кога Лежандровиот ред <math>\sum_i a_i P_i</math> се користи за апроксимација на функција или експериментални податоци: ''просекот'' на серијата во интервалот [ −1, 1 ] е едноставно даден со водечкиот коефициент на ширење <math>a_0</math> .
3.1 Рекурзивни релации
Лежандровоте полиноми се однесуваат според рекурентната релација на три члена позната како Бонеова рекурзивна формула дадена со:
<math> (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)</math> и <math> \frac{x^2-1}{n} \frac{d}{dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x) </math>
или, со алтернативниот израз, кој исто така важи и на крајните точки:
<math> \frac{d}{dx} P_{n+1}(x) = (n+1)P_n(x) + x \frac{d}{dx}P_{n}(x) \,.</math>
Корисен за интеграција на Лежандровите полиноми е изразот:
<math>(2n+1) P_n(x) = \frac{d}{dx} \bigl( P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \bigr) \,.</math>
3.2 Нули
Сите <math> n</math> нули на <math>P_n(x)</math> се реални, различни едни од други и лежат во интервалот <math>(-1,1)</math>. Ако интервалот <math>[-1,1]</math> се подели на <math> n+1 </math> подинтервали, секој подинтервал ќе содржи точно една нула на <math>P_{n+1}</math>. Ова е познато како својство на преплетување. Поради својството на парност, очигледно е дека ако <math>x_k</math> е нула на <math>P_n(x)</math>, <math>-x_k</math> исто така ќе биде нула. Овие нули играат важна улога во нумеричката интеграција базирана на Гаусовата квадратура.