Најголем заеднички делител

Во математиката најголем заеднички делител (НЗД) на два ненулта цели броја е најголемиот позитивен цел број што ги дели двата броја без остаток.
1 Преглед
Најголемиот заеднички делител на броевите ''a'' и ''b'' се означува како НЗД(''a'', ''b''), или понекогаш поедноставно како (''a'', ''b''). На пример, НЗД(12, 18) = 6, НЗД(-4, 14) = 2 и НЗД(5, 0) = 5. Два броја се ''заемно прости'' ако нивниот најголем заеднички делител е еднаков на 1. На пример, 9 и 28 се прости.
Најголемиот заеднички делител е корисен за скратување на дропки. На пример, НЗД(42, 56)=14, затоа,
:<math>{42 \over 56}={3 \cdot 14 \over 4 \cdot 14}={3 \over 4}</math>
2 Пресметување
Најголемиот заеднички делител начелно може да се пресмета со множење на два броја и споредување на множителите, како во следниот пример: за да се најде НЗД(18, 84), ги наоѓаме простите множители од 18 = 2·3 <sup>2</sup> и 84 = 2 <sup>2</sup> ·3·7 и забележуваме дека ''преклопувањето на'' двата израза е 2·3; па НЗД(18, 84) = 6. Во пракса, овој метод е изводлив само за многу мали броеви; разлагањето на прости множители начелно може да биде многу комплицирано.
Многу поефикасен метод е Евклидовиот алгоритам, кој користи алгоритам за делење комбиниран со фактот дека НЗД на два броја ја дели и нивната разлика: ако 84 се подели со 18 се добива количник 4 и остаток 12. Потоа се дели 18 со 12 и се добива количник 1 и остаток 6. Потоа се дели 12 со 6 и добиваме остаток 0, што значи дека 6 е НЗД.
Ако ''a'' и ''b'' не се еднакви на нула, најголемиот заеднички делител на ''a'' и ''b'' може да се пресмета со користење на најмалиот заеднички содржател (НЗС) од броевите ''a'' и ''b'':
:<math>\operatorname{nzd}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{nzs}(a,b)}.</math>
3 Својства
* Секој заеднички делител на броевите ''a'' и ''b'' го дели и НЗД(''a'', ''b'').
* НЗД, каде што ''a'' и ''b'' не се еднакви на нула може да се дефинира алтернативно и еквивалентно како најмал позитивен цел број ''d'', кој може да се напише во облик ''d'' = ''a''·''p'' + ''b''·''q'' каде ''p'' и ''q'' се цели броеви. Овој израз се нарекува Безуов идентитет. Броевите ''a'' и ''b'' може да се добијат со помош на проширениот Евклидов алгоритам.
* НЗД(''a'', 0) = |''a''|, за ''a'' ≠ 0, бидејќи секој број ја дели 0, а најголемиот делител ''a'' е |''a''|. Ова обично се користи како основен случај на Евклидов алгоритам.
* Ако ''a'' го дели производот ''b''·''c'', и нзд(''a'', ''b'') = ''d'', тогаш ''a''/''d'' го дели ''c''.
* Ако ''m'' е кој било цел број, тогаш нзд(''m''·''a'', ''m''·''b'') = ''m''·нзд(''a'', ''b'') и нзд(''a'' + ''m''·''b'', ''b'') = нзд(''a'', ''b''). Ако ''m'' е различно од нула, и заедничкиот делител на броевите ''a'' и ''b'', тогаш нзд(''a''/''m'', ''b''/''m'') = нзд(''a'', ''b'')/''m''.
* НЗД е мултипликативна функција во следнава смисла: ако ''a''<sub>1</sub> и ''a''<sub>2</sub> се заемно прости, тогаш нзд(''a''<sub>1</sub>·''a''<sub>2</sub>, ''b'') = нзд(''a''<sub>1</sub>, ''b'')·нзд(''a''<sub>2</sub>, ''b'').
* НЗД на три броја може да се пресмета како нзд(''a'', ''b'', ''c'') = нзд(нзд(''a'', ''b''), ''c'') = нзд(''a'', нзд(''b'', ''c'')). Затоа велиме дека НЗД е асоцијативна операција.
* НЗД е тесно поврзан со најмалиот заеднички содржател нзс: имаме
:: нзд(''a'', ''b'')·нзс(''a'', ''b'') = ''a''·''b''.
: Оваа формула често се користи за пресметување на најмал заеднички содржател: прво се пресметува НЗД со помош на Евклидовиот алгоритам, а потоа производот на двата броја се дели со нивниот НЗД. Важат следните верзии на дистрибутивност:
::: нзд(''a'', нзс(''b'', ''c'')) = нзс(нзд(''a'', ''b''), нзд(''a'', ''c''))
::: нзс(''a'', нзд(''b'', ''c'')) = нзд(нзс(''a'', ''b''), нзс(''a'', ''c'')).
4 Веројатности и очекувана вредност
Веројатноста дека два случајно избрани цели броеви <math>A</math> и <math>B</math> имаат даден најголем заеднички делител <math>d</math> е <math>6\over {\pi^2 d^2}</math>. Ова произлегува од карактеризацијата на nzd() како цел број <math>d</math> такво да <math>d|A,B</math> и <math>A/d</math> и <math>B/d</math> се меѓусебно прости. Веројатноста дека два цели броеви делат фактор <math>d</math> е <math>d^{-2}</math>. Веројатноста два цели броја да се заемно прости е <math>1/\zeta(2)=6/\pi^2</math>.
Користејќи ги овие податоци, може да се пресмета очекуваната вредност на функцијата НЗД. Тоа е:
:<math>\mathrm{E}(\mathrm{nzd}) = \sum_{d=2}^{\infty} d \frac{6}{\pi^2 d^2} = \frac{6}{\pi^2} \sum_{d=2}^{\infty} \frac{1}{d}</math>
Последната сума е хармониски ред, кој дивергира. Затоа, очекуваната вредност на најголемиот заеднички делител на две променливи не е добро дефинирана. Сепак, ова не е секогаш точно. За најголем заеднички делител на променливи <math>k \ge 3</math>, очекуваната вредност е добро дефинирана и е еднаква на:
:<math> \mathrm{E}(\mathrm{nzd} (X_1, \cdots, X_k)) = \sum_{d=2}^{\infty} d^{1-k} \zeta(k)^{-1} = \frac{\zeta(k-1)}{\zeta(k)} </math>.
За <math>k=3</math>, ова е приближно еднакво на 1,3684. За <math>k=4</math>, е приближно 1,1106.
5 Поврзано
* Најмал заеднички содржател
* Проширен Евклидов алгоритам