Бран

Бран — нарушување или треперење кое се движи низ материјата или просторот, придружено со пренос на енергија. Брановото движење ја пренесува енергијата од една точка до друга, најчесто со непостојано поместување на честичките на средината, односно без пренос на маса. Тие се состојат од треперења или вибрации околу една иста местоположба. Брановите се опишани со бранова равенка која покажува како нарушувањето се распределува со текот на времето. Математичкиот запис на оваа равенка се менува во зависност од видот на бранот.
Постојат два вида на бранови. Едните се механички бранови кои се движат низ средината, и истата таа средина се деформира. Деформацијата се поништува со помош на еластичната сила која настанува поради деформацијата. На пример, звучните бранови се движат низ молекулите на воздухот судирајќи се со нивните соседни молекули. Кога молекулите на воздухот се судираат, истовремено и отскокнуваат една од друга (еластична сила). Ова ги спречува молекулите да продолжат да се движат во насоката на бранот.
Вториот вид на бранови се електромагнетните бранови, кои за своето простирање немаат потреба од средина. Наместо тоа, тие се состојат од периодични треперења на електричното и магнетното поле, коишто пак се создадени од наелектризирани честички, и поради ова истите можат да се движат низ вакуум. Овие видови на бранови се со различни бранови должини, и според тоа тие се поделени на: радиобранови, микробранови, инфрацрвено зрачење, видлива светлина, ултравиолетова светлина, рендгенски зраци, и гама-зрачење.
Понатамошно, однесувањето на честичките во квантната механика се опишани со помош на бранови. Понатамошно, гравитациските бранови исто така патуваат низ просторот, кои се резултат на вибрација или движење на гравитациските полиња.
Бранот може да биде попречен или надолжен во зависност од насоката на нивното треперење (осцилирање). Попречните бранови сè добиваат кога нарушувањето создава треперења нормални на насоката на движењето. Лонгитудиналните бранови сè добиваат кога треперењата се паралелни со насоката на движење. Додека пак механичките бранови можат да бидат попречни и надолжни, сите електромагнетни бранови се попречни.
1 Општи одлики
Не постои единствена, сеопфатна дефиниција за ''бран''. Вибрацијата може да се дефинира како движење ''напред-назад'' околу одредена вредност. Како и да е, вибрацијата не е секогаш бран. Обидот да се дефинираат потребните и одредените одлики кои ја опишуваат појавата и истите да се наречат ''бран'' се добива неопределена граница.
Поимот ''бран'' најчесто е замислен како просторно нарушување кое не е проследено со движење на средината која го опфаќа просторот како целина. Кај бранот, енергијата на вибрацијата се оддалечува од изворот во вид на нарушување на околната средина. Како и да е, ова согледување е проблематично кај стојните бранови (на пример, браново движење на жица), каде енергијата се движи во двете насоки подеднакво, или пак за електромагнетните (на пример, светлината) бранови во вакуум, каде идејата за средина не е од корист и заемодејството со метата е клучот за забележување на бранот и практичната примена. Постојат водни бранови на површината на океаните, гама-бранови и светлински бранови оддадени од Сонцето, микробрановите кои се користат кај микробрановите печки и кај радарската опрема, радиобрановите оддадени од радиостаниците и звучните бранови кои се создаваат од радиоприемниците, телефонските уреди и живите суштества (преку гласовите), се само дел од брановите појави.
Може да се забележи дека описот на брановите е тесно поврзано со нивното физичко потекло за секој поединечен случај на брановиот процес. На пример, акустиката се разликува од оптиката на тој начин што звучните бранови се поврзани отколку со електромагнетните бранови чиј пренос е овозможен од вибрациите. Поимите како маса, импулс, инерција, или еластичност, се од огромно значење за опишување на акустичните (за разлика од оптичките) бранови процеси. Оваа разлика во потеклото воведува одредени бранови одлики карактеристични за средината низ која се простира бранот. На пример, во случајот со воздухот: витлите, притисокот на зрачењето, ударните бранови итн., додека пак во случајот со цврстите тела: Рејлиевите бранови, распрскувањето, и така натака.
Други одлики, иако опишани преку потеклото, можат да бидат важечки за сите видови на бранови. Поради овие причини, брановата теорија претставува одредена гранка од физиката која се занимава со одликите на брановите процеси независно од нивното физичко потекло. На пример, засновајќи се на механичкото потекло на акустичните бранови, подвижното нарушување во време-просторот постои само и само ако средината низ која се движат е бесконечно цврста или бесконечно мека. Ако сите составни делови на една средина се цврсто ''сврзани'', тогаш сите ќе вибрираат како една целина, без задоцнување на преносот на вибрациите и поради тоа ќе отсуствува браново движење. Од друга страна, сите делови се независни, тогаш нема да има никаков пренос на вибрациите и повторно, нема да постои браново движење. Иако изнесените тврдења се безначајни во случајот со брановите кои немаат потреба од средина за да се придвижат, прикажуваат одлики кои се од важност за сите бранови без разлика на потеклото: кај брановите, фазата на вибрацијата е поразлична за две соседни точки во просторот бидејќи вибрацијата пристигнува до овие точки во различни временски периоди.
Слично, брановите процеси покажуваат од проучувањето на брановите дека само звучните бранови можат да се од значајност за разбирање на звучните појави. Важен пример е Јанговото начело на интерференција. Ова начело е првично претставено со Јанговото проучување на светлината и на некој начин е тема на проучување на звукот и до ден денес.
2 Математички опис на еднодимензионален бран
2.1 Бранови равенки
Да се замисли дека попречен бран (кој може да биде пулс) на жица (средина). Да се претпостави дека жицата има една просторна димензија. да се претпостави дека истиот бран се движи
*во просторната насока <math>x</math>. Пример, нека позитивната насока <math>x</math> биде од десната страна, а негативната насока на <math>x</math> нека биде на лево.
*со постојан замав <math>u</math>*со постојана брзина <math>v</math>, каде <math>v</math> е
**независна од брановата должина (не е распрскувањето)
**независна од замавот (линиска средина, не е нелиниска).*со постојан бранов облик, или облик
Овој бран може да се опише со дводимензионални функции
:<math>u(x,t) = F(x - v \ t)</math> (бранов облик <math>F</math> кој патува десно)
:<math>u(x,t) = G(x + v \ t)</math> (бранов облик <math>G</math> кој патува лево)
или, поопшто, со помош на Даламберовата формула::<math>
u(x,t) = F(x-vt) + G(x+vt). \,
</math>
каде се претставени дводелни бранови форми <math>F</math> и <math>G</math> кои патуваат низ средината во спротивни насоки. Општ приказ за бранот може да се добие како парцијална диференцијална равенка
:<math>
\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. \,
</math>
Општите решенија се засновани на Диjамеловото начело.
2.2 Бранови облици
Обликот или формата ''F'' во Даламберовата формула го вклучува записот ''x − vt''. Постојаните вредности на записот се во согласност со постојаните вредности на ''F'', и овие постојани вредности се добиваат ако ''x'' се зголемува за ист чекор како што се зголемува ''vt''. Всушност, брановите имаат облик како функцијата ''F'' ќе се помести во позитивна насока ''x'' со брзина ''v'' (и ''G'' кое ќе се движи со истата брзина но во негативната насока на ''x'').
Во случај на периодична функција ''F'' со период ''λ'', која се запишува како, ''F''(''x + λ'' − ''vt'') = ''F''(''x '' − ''vt''), периодичноста на ''F'' во просторот означува дека е отсликан бранот во определено време ''t'' се добива дека бранот се менува периодично во просторот со период ''λ'' (брановата должина на бранот). На сличен начин, оваа периодичност на ''F'' ја означува и периодичноста на времето: ''F''(''x'' − ''v(t + T)'') = ''F''(''x '' − ''vt'') преку ''vT'' = ''λ'', па набљудувањето на бранот на статична местоположба ''x'' одредува дека бранот се движи периодично со временски период ''T = λ''/''v''.
2.3 Замав и модулација
Замавот на бранот може да биде постојан (и во тој случај станува збор за ''п.б.'' или ''постојан бран''), или може да биде ''модулиран'' така што ќе се менува со времето и/или местоположбата. Границата на промената на замавот се нарекува ''опколник'' на бранот. Математички, модулираниот бран може да се запише во обликот::<math>u(x,t) = A(x,t)\sin (kx - \omega t + \phi) \ , </math>
каде <math>A(x,\ t)</math> е опколникот на замавот на бранот, <math>k</math> е ''брановиот број'' и <math>\phi</math> е ''фазата''. Ако групната брзина <math>v_g</math> (погледај подолу) е браново должински независна, ова равенство може да се упрости на следниов начин::<math>u(x,t) = A(x - v_g \ t)\sin (kx - \omega t + \phi) \ , </math>
со што се покажува дека опколникот се движи со групната брзина и го задржува сопствениот облик. Во спротивно, во случаите каде групната брзина се менува со брановата должина, обликот на пулсот се менува на начин често опишан со употреба на ''опколната равенка''.
2.4 Фазна брзина и групна брзина
Постојат две брзини кои се поврзани со брановите, тоа се: фазната брзина и групната брзина. За да се објаснат истите, потребно е да се разгледаат различни видови на бранови облици. За поедноставување, испитувањето се одвива во една димензија.
Наједноставниот облик на бран (облик на рамнински бран) може да се изрази преку обликот:
:<math> \psi (x,t) = A e^{i \left( kx - \omega t \right)} \ , </math>
кој може да се поврзе со обичниот синусен и косинусен облик со користење на Ојлеровата равенка. Со презапишување на обликот, <math>kx-\omega t = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)(x - vt)</math>, станува јасно дека со овој израз се опишува вибрацијата на брановата должина <math>\lambda = \frac{2\pi}{k}</math> кој се движи во насока на ''x'' со постојана ''фазна брзина''<math>v_p = \frac{\omega}{k}\,</math>.
Другиот вид на бран може да се искористи е статична структура опишана со обиколник, кој може математички да се опише на следниов начин:
:<math> \psi (x,t) = \int_{-\infty} ^{\infty}\ dk_1 \ A(k_1)\ e^{i\left(k_1x - \omega t \right)} \ , </math>
каде сега ''A(k''<sub>1</sub>'')'' (интегралот е обратната Фурјеова трансформација на A(k1)) и е функција која покажува остри врвови во областа на брановите вектори Δ''k'' околу точката ''k''<sub>1</sub> = ''k''. Во експоненцијалната форма гласи:
:<math> A = A_o (k_1) e^ {i \alpha (k_1)} \ , </math>
каде ''A''<sub>o</sub> е големината на ''A''. На пример, чест избор за ''A''<sub>o</sub> е Гаусов бранов пакет::<math>A_o (k_1) = N\ e^{-\sigma^2 (k_1-k)^2 / 2} \ , </math>
каде σ го определува ширењето на ''k''<sub>1</sub>-вредности околу ''k'', и ''N'' како ознака за замавот на бранот.
Експоненцијалната функција во интегралот за ψ трепери забрзано, ако φ(''k''<sub>1</sub>), и истото се променува забрзано, експоненцијалите се поништуваат, интерферираат и се поништуваат, придонесувајќи незначително кон ψ. Како и да е, постои исклучок во местоположбата каде записот φ на експоненцијалот се променува помалку. (Ова набљудување е основата на овој метод на стационарна фаза за определување на овие интеграли.) Условот за малата промена на φ зависи од малата промената на ''k''<sub>1</sub>, оваа стапка на промена е::<math>\left . \frac{d \varphi }{d k_1} \right | _{k_1 = k } = x - t \left . \frac{d \omega}{dk_1}\right | _{k_1 = k } +\left . \frac{d \alpha}{d k_1}\right | _{k_1 = k } \ ,</math>
каде пресметките се направени за ''k''<sub>1</sub> = ''k'' бидејќи ''A(k''<sub>1</sub>'')'' е заснована во центарот. Овој резултат ја прикажува местоположбата на ''x'' каде фазата се менува пополека, местоположбата каде ψ е од значајност, се движи во временски период со брзина наречена ''групна брзина'':
:<math>v_g = \frac{d \omega}{dk} \ . </math>
Групната брзина зависи од законот за распрскување кои ги поврзува ω и ''k''. На пример, во квантната механика енергијата на честичката е претставена како бранов пакет со запис ''E'' = ħω = (ħ''k'')<sup>2</sup>/(2''m''). Последично, за оваа бранова ситуација, групната брзина е:
:<math> v_g = \frac {\hbar k}{m} \ , </math>
со што брзината на определената честичка во квантната механика е и групната брзина. Бидејќи групната брзина се менува преку ''k'', обликот на брановиот пакет се проширува со текот на времето, и честичката станува помалку просторно определена. Со други зборови, брзината на составните бранови од брановиот пакет патуваат со чекор кој се менува во зависност од брановата должина, па така некои се движат побрзо од останатите, и не можат да ја одржат истата интерференциска шема како што бранот се движи.
3 Синусоидни бранови
Математички, наједноставниот бран е (просторниот) еднодимензионален синусен бран (или ''хармониски бран'' или ''синусоида'') со замав <math>u</math> опишан од равенката:
:<math>u(x,t)= A \sin (kx- \omega t + \phi) \ , </math>
каде
*<math>A</math> е максималниот замав на бранот, максималното растојание од највисоката точка на нарушувањето на средината (испакнатоста) во рамнотежната точка за време на циклусот. Во приказот од десно, ова е максималното вертикално растојание меѓу основната линија и бранот.
*<math>x</math> е просторна координата
*<math>t</math> е временската координата
*<math>k</math> е брановиот број
*<math>\omega</math> е аголната честота
*<math>\phi</math> е фазна постојана.
Единицата за замавот зависи од видот на бранот. Попречните механички бранови (пример, бран по жица) има замав кој се изразува како растојание (пример, метри), надолжните механички бранови (пример, звучни бранови) користат единица за притисок (пример, паскали), и електромагнетни бранови (вид на попречни бранови во вакуум) го изразуваат замавот преку сопственото електрично поле (пример, волти/метар).
брановата должина <math>\lambda</math> е растојанието меѓу две последователни испакнатини или вдлабнатини (или други исти точки), најчесто мерени во метри. Брановиот број <math>k</math>, просторната честота на бранот во радијани по единица растојание (најчесто во метри), може да се поврзе со брановата должина со записот:
:<math>
k = \frac{2 \pi}{\lambda}. \,
</math>
Периодот <math>T</math> е времето потребно за да се заврши еден циклус на треперењето на бранот.Честотата <math>f</math> е бројот на периоди во единица време (во секунда) и се мери најчесто во херци. Тие се поврзани преку:
:<math>
f=\frac{1}{T}. \,
</math>
со други зборови, честотата и периодот се заемно реципрочни.
аголната честота <math>\omega</math> ја претставува честотата во радијани во секунда. Поврзана е со честотата или периодот преку :
:<math>
\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T}. \,
</math>
Брановата должина <math>\lambda</math> на синусоидниот бранов облик кој патува со постојана брзина <math>v</math> определена со ::<math>\lambda = \frac{v}{f},</math>
каде <math>v</math> се нарекува фазна брзина (големина на фазната брзина) на бранот и <math>f</math> е честотата на бранот.
Брановата должина може да биде корисен начин дури и кога бранот не е периодичен во просторот. На пример, океаните бранот кој се приближува кон брегот, бранот кој надоаѓа се движи со променлива ''локална'' бранова должина која делумно зависи од длабочината на морското дно во споредба со висината на бранот. Анализата на бранот може да се заснова на споредба на локалната бранова должина со длабочината на водата во таа положба.
Иако произволните облици ќе се движат непроменети во помалку или повеќе во линиско временски инваријантни системи, во присуство на распрскување на синусниот бран е единствениот облик кој ќе се придвижува непроменет за фазата и замавот, со што се олеснува анализата. Поради Крамерс-Кронинговите соодноси, линиската средина со распрскување исто така има загуби, па синусниот бран кој се движи во распрскувачка средина е ослабен за одредени честоти кои зависат од самата средина.
Синусната функција е периодична, па синусниот бран или синусоида со бранова должина во просторот и период во времето.
Синусоидата е дефинирана за сите временски периоди и растојанија, додека при физички ситуации се среќаваме со бранови кои постојат во ограничени временски периоди и ограничен простор. Може да се искористи привиден бранов облик распределен на бесконечен збир од синусоидни бранови со употреба на Фурјеова анализа. Како резултат, едноставниот случај на единствен синусоиден бран може да е применет во повеќе општи случаи. Многу од средините се линиски, или приближно линиски, па пресметката на однесувањето на привидниот бран може да се определи со додавање на резултатите на поединечните синусоидни бранови со употреба на начелото на суперпозиција за да се најде решението на општиот бранов облик. Кога средината е нелиниска, решението за сложените бранови не може да се определи со разложување на синусен бран.
4 Стојни бранови
Стоен бран, исто така познат и под името ''статичен бран'', е бран кој останува во постојана позиција. Оваа појава се случува бидејќи средината се поместува во спротивна насока од бранот, или може да настане во статична средина како резултат на интерференција меѓу два брана кои патуваат во спротивни насоки.
''Збирот'' на два спротивно насочени бранови (со ист замав и честота) се создава ''стоен бран''. Стојните бранови обично настануваат кога одредена граница го попречува движењето на бранот, со што се предизвикува браново одбивање, а со тоа се воведува и спротивно насочен движечки бран. На пример кога виолинска жица е напрегната, попречните бранови се движат од местото каде жицата е притисната на кобилицата и затегнатоста на чивија, од каде брановите се враќаат наназад. Меѓу кобилицата и чивијата, двата спротивставени бранови се во антифаза и се поништуваат, со што се добива јазол. На средината меѓу двата јазли постои антијазол, каде двата спротивно насочени бранови меѓусебно максимално се ''зајакнуваат''. Не постои збирно движење на енергијата со текот на времето.
5 Физички особености
Брановите најчесто се под влијание на бројни ситуации, како на пример:
5.1 Пренос и средина
Брановите вообичаено се движат по прави линии низ ''преносна средина''. Ваквите средини можат да се сведат на следниве категории:
*''гранична средина'' ако се протега до одредена големина, во спротивност ''неограничена средина''*''линиска средина'' ако замавот на различни бранови во една одредена точка може да се додаде во средината.
*''еднообразна средина'' или ''хомогена средина'' ако особеностите не се менуваат во различни местоположби во средината.
*''анизотропна средина'' ако една или повеќе од физичките особености се менуваат во повеќе насоки
*''изотропна средина'' ако физиките особености се ''исти'' во сите насоки
5.2 Впивање
Преку впивањето на брановите се означува, кога одреден вид на бран ќе се судри со материја, и ќе биде впиен од таа материја. Кога бран со иста природна честота наиде на атом, тогаш електроните на тој атом ќе започнат да вибрираат. Ако бран со определена честота се судри со материјал кои ги има истите вибрациони честоти, тогаш тие електрони ќе ја впијат енергијата од бранот и истата ќе ја претворат во вибрационо движење.
5.3 Одбивање
Кога бран ќе се судри со одбивна површина, ја менува својата насока, на тој начин што аголот создаден од упадниот зрак и линијата нормална на површината е еднаков со аголот на одбиениот зрак и истата нормала.
5.4 Интерференција
Брановите кои се пресретнуваат и се сложуваат преку суперпозиција за да создадат нов бран наречен интерференциска шема. Најважните интерференциски шеми се добиваат кога брановите се во фаза.
5.5 Прекршување
Прекршувањето е појавата кога бранот ја менува сопствената брзина. Математички, со ова се означува големината на промената на фазната брзина. Најчесто, прекршувањето се случува кога бранот минува од една средина во друга. Големината на прекршувањето на бранот низ материјалот е определена со показателот на прекршувањето на материјалот. Насоките на упадниот и прекршениот зрак се поврзани со показателите на прекршувањето на материјалите преку Снеловиот закон.
5.6 Дифракција
Бранот пројавува дифракција кога наидува на пречка која го закривува бранот или кога истиот сè шири по преминот низ отвор. Дифракционите особености се поизразени кога големината на пречката или отворот се споредливи со брановата должина на бранот.
5.7 Поларизација
Еден бран е поларизиран ако трепери во една насока на рамнината. Бранот може да се поларизира со употреба на поларизациски филтри. поларизацијата на попречните бранови ја опишува насоката на треперењето на рамнината нормална на насоката на движењето.
Лонгитудиналните бранови, како што се звучните, не се подложни на поларизација. За овие бранови насоката на треперењето е по должината на насоката на движењето.
5.8 Расејување
Бранот е подложен на расејување кога фазната брзина или пак групната брзина зависи од честотата на бранот.
Расејувањето најлесно се забележува кога обична светлина се пушта да мине низ призма, по што следува добивање на спектар од бои како оние на виножитото. Исак Њутн извел опити со призми и светлина и своите наоди ги запишал во ''Оптика'' од (1704 г.) и забележал дека белата светлина се состои од неколку бои и дека овие бои не можат понатамошно да се разложат.
6 Механички бранови
6.1 Бранови по жица
Брзината на попречните бранови кои се движат долж жица што вибрира ('' v '') е правопропорционална на квадратниот корен на напорот на жицата ('' T '') низ линиската густина ('' μ ''):
:<math>
v=\sqrt{\frac{T}{\mu, \,
</math>
каде линиската густина ''μ'' е масата по единица должина на жицата.
6.2 Звучни бранови
Звучните или акустични бранови се движат со брзина определена со:
:<math>
v=\sqrt{\frac{B}{\rho_0, \,
</math>
или квадратниот корен од адијабатскиот збирен модул поделен со моменталната густина на течноста (погледај брзина на звук).
6.3 Водни бранови
* брановите на површината на барата се всушност збир од попречни и надолжни бранови, затоа, точките на површината следат орбитална патека.
* Звук— механички бран кој се движи низ гасови, течности, цврсти тела и плазма,
* Инерцијални бранови, кои се пројавуваат кај течности во кружно движење и се создадени под дејство на Кориолисовата сила;
* Океански површински бранови, се движења кои се движат низ водата.
6.4 Останати
* Сообраќајни бранови, поточно, движењето и густината на моторните возила, кои се моделирани како кинематички бранови.* Метахрони бранови се бранови кои се настанати под дејство на сообразни едно по други движења.
* Важно е да се напомене и равенката за еднаквоста на масата и енергијата може да се реши преку оваа форма: <math>c=\sqrt{\frac{e}{m</math>.
7 Електромагнетни бранови
(радио, микро, инфрацрвено, видливо и ултравиолетово)
Електромагнетниот бран се состои од два брана кои треперат во електрично и магнетно поле. Електромагнетниот бран патува во насока која е под агол од 90 степени во однос на треперењето на двете полиња. Во век, Џејмс Кларк Максвел покажа дека, во вакуум, електричното и магнетното поле се покоруваат на брановата равенка со брзини еднакви на брзината на светлината. Одовде произлезе идејата дека светлината е електромагнетен бран. Електромагнетните бранови можат да имаат различни честоти (а со тоа и бранови должини), со што се добиваат различни видови на зрачења како што се: радиобранови, микробранови, инфрацрвени,видлива светлина, ултравиолетови и рендгенски зраци.
8 Квантно механички бранови
Шредингеровата равенка го опишува брановото однесување на честичките во квантната механика. Решенијата на оваа равенка се бранови функции со кои може да се опише густината на веројатноста за определена честичка.
8.1 Дебројеви бранови
Луј де Број го воспостави мислењето дека сите честички со импулс поседуваат бранова должина.
:<math>\lambda = \frac{h}{p},</math>
каде ''h'' е Планковата постојана, и ''p'' е големината на импулсот на честичката. Оваа претпоставка беше основата на квантната механика. Денеска, оваа бранова должина се нарекува Дебројева бранова должина. На пример, електроните во ''CRT'' екраните поседуваат Дебројева бранова должина од околу 10<sup>−13</sup> m.
Бран кој ги претставува овие честички кои се движат во ''k''-насока се изразуваат со следната бранова функција:
:<math>\psi (\mathbf{r}, \ t=0) =A\ e^{i\mathbf{k \cdot r \ , </math>
каде брановата должина е определена преку брановиот вектор k на следниот начин:
:<math> \lambda = \frac {2 \pi}{k} \ , </math>
импулсот е определен од:
:<math> \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} \ . </math>
Но, бран како овој со определена бранова должина не е точно определена во просторот, и не може да се претстави како честичка која е определена во просторот. За да се определи честичката точно во просторот, Деброј предложи да се постават во суперпозиција од различни бранови должини кои се со големини слични на централните бранови должини на брановиот пакет, брановиот облик кој често се користи во квантната механика за да се опише брановата функција на честичката. Кај брановиот пакет, брановата должина на честичката не е точно определена, и локалната бранова должина се движи со вредноста близу до вредноста на главната бранова должина.
При претставувањето на брановата функција на локализирана честичка, брановиот пакет често се смета дека поседува Гаусов облик кој се нарекува ''Гаусов бранов пакет''. Гаусовите бранови пакети често се користат при анализата на водните бранови.
На пример, Гаусовата бранова функција ψ може да го добие следниов облик::<math> \psi(x,\ t=0) = A\ \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} + i k_0 x \right) \ , </math>
при почетно време ''t'' = 0, каде централната бранова должина е поврзана со централниот бранов вектор ''k''<sub>0</sub> и λ<sub>0</sub> = 2π / ''k''<sub>0</sub>. Сè добро познати во теоријата на Фурјеовата анализа, или пак од Хајзенберговото начело на неопределеност (во овој случај во квантната механика) дека во мал опсег на бранови потребно е да се создаде локализиран бранов пакет, и колку што е полокализиран опколникот, толку е поголем опсегот на потребните бранови должини. Фурјеовата трансформација на Гаусова функција е Гаусова функција. Со определена Гаусова функција:
:<math>f(x) = e^{-x^2 / (2\sigma^2)} \ , </math>
Фурјеовата трансформација е:
:<math>\tilde{ f} (k) = \sigma e^{-\sigma^2 k^2 / 2} \ . </math>
Па така Гаусовата функција во просторот се состои од бранови:
:<math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \int_{-\infty}^{\infty} \ \tilde{f} (k) e^{ikx} \ dk \ ; </math>
што е всушност, број на бранови со бранови должини λ така што ''k''λ = 2 π.
Параметарот σ ја определува просторната распределба на Гаусовата функција по должината на ''x'' оската, додека пак Фурјеовата трансформација ја покажува распределбата на брановиот вектор ''k'' определен преку 1/σ. Со други зборови, колку што е помала распределбата во просторот, толку е поголемо влијанието на ''k'', па следи дека λ = 2π/''k''.
9 Гравитациски бранови
Научниците веруваат дека гравитациските бранови се движат низ просторот иако истите никогаш досега не биле забележани.
Истите не треба да се поистоветуваат со тежинските бранови, гравитациските бранови се нарушувања на закривеноста на време-просторот, и се предвидени од Ајнштајновата теорија за општата релативност.
10 WKB метод
Во нееднообразна средина, во која брановиот број ''k'' може да зависи како од местоположбата така и од честотата, фазниот поим ''kx'' се заменува со интегралот на ''k''(''x'')''dx'', според WKB методот. Ваквите нееднообразни подвижни бранови се често присутни во многу физички проблеми, како што е и механиката кај полжавот во увото и брановите кај јажиња кои висат.
11 Брановите како тема во уметноста и во популарната култура
11.1 Брановите како мотив во книжевноста
* „Бранови“ (англиски: ''The Waves'') — роман на англиската писателка Вирџинија Вулф од 1931 година.* „Таа што трча по брановите“ — роман на рускиот писател Александар Грин.* „Бранови“ — поетски циклус на рускиот писател Борис Пастернак од 1930-1931 година.* „Повратен бран“ — книга на писателот Болеслав Прус.
11.2 Брановите како мотив во популарната музика
* „Бранова толжина“ (српски: ''Таласна дужина'') — песна на македонската рок група Леб и сол од 1978 година.* „Бранови на стравот“ (англиски: ''Waves of Fear'') — песна на американскиот ро-музичар Лу Рид од 1982 година.* „Мојот бран“ (англиски: ''My wave'') — песна на американската рок-група Саундгарден (''Soundgarden'') од 1994 година.* „Бран“ (англиски: ''Wave'') — песна од истоимениот музички албум на американската рок-музичарка Пати Смит од 1979 година.* „Студени бранови“ (англиски: ''Cool Waves'') — песна на британската рок-група ''Spiritualized'' од 1997 година.* „Бранови“ (српскохрватски: ''Valovi'') — песна на југословенската рок-група Фит од 1988 година.
12 Поврзано
* Мексикански бран
* Биење
* Капиларни бранови
* Киматика
* Доплеров ефект
* Групна брзина
* Хармониски
* Инерцијален бран
* Фазна брзина
* Резонанца
* Чудовиштен бран
* Стоен бран