Геометриски ред

Во математиката, геометриски ред е ред со постојан однос помеѓу последователните членови. На пример, редот:
:<math>\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots</math>
е геометриски, бидејќи секој следен член може да се добие со множење на претходниот член со 1/2.
Геометрискиот ред е еден од наједноставните бесконечни редови со конечни вредности, иако не сите го имаат ова својство. Историски гледано, геометрискиот ред одиграл многу важна улога во раниот развој на калкулусот, но дури и денес продолжува да игра важна улога во проучувањето на конвергентните редови. Геометриските редови се користат во математиката и имаат битно влијание во физиката, инженерството, биологијата, економијата, компјутерите, теориите и финансиите.
1 Делител
Кај геометриска прогресија, количникот на последователните членови е константен. Овој однос се користи за претставување на геометриски ред со само два члена, ''r'' и ''a.'' Изразот ''r'' е делител, а изразот е првиот член од овој ред. Пример за геометриски ред,
:<math>\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots</math>
овој израз во општ облик може да се напише како:
:<math> a + a r + a r^2 + a r^3 + \cdots </math> , со <math> r = \frac{1}{2} </math> и <math> a = \frac{1}{2} </math> .
Следната табела покажува последователен геометриски ред со различни последователни броеви:
Делител, ''r'', Почетен израз, ''а'', Првите членови на редот
10, 4, 4 + 40 + 400 + 4000 + 40.000 + ···
1/3, 9, 9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ···
1/10, 7, 7 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + ···
1, 3, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ···
&#x2212; 1/2, 1, 1 &#x2212; 1/2 + 1/4 &#x2212; 1/8 + 1/16 &#x2212; 1/32 + ···
&#x2013; 1, 3, 3 &#x2212; 3 + 3 &#x2212; 3 + 3 &#x2212; ···
Однесувањето на членовите зависи од делителот ''r''.
: Ако ''r'' е помеѓу &#x2212; 1 и +1, членовите на редот стануваат сè помали и помали, приближувајќи се до нула како граница и редот конвергира кон збирот. Во случајот погоре, каде што ''r'' е една половина, збирот на редот е еден.
: Ако ''r'' е поголем од еден или помал од минус еден, изразот на редот станува сè поголем и поголем. Збирот на членовите исто така станува сè поголем и поголем, така што редот нема збир. (Дивергентни редови)
: Ако ''r'' е еднаков на еден, сите членови од редот се исти. Дивергентни линии.
: Ако ''r'' е минус еден, членовите имаат две алтернативни вредности (на пр. 2, &#x2212; 2, 2, &#x2212; 2, 2,... ). Збирот на членовите осцилира помеѓу две вредности (на пр. 2, 0, 2, 0, 2,... ). Ова е различен вид дивергенција и повторно редоследот нема сума. Видете го на пример Гандиевиот ред: 1 &#x2212; 1 + 1 &#x2212; 1 + ···.
2 Збир
Збирот на членовите на геометриски ред е конечен и зависи од тоа дали должината на апсолутната вредност на делителот е помала од 1. Како што броевите се приближуваат до нула, тие стануваат многу мали, што овозможува збирот да се пресмета и покрај тоа што редот содржи бесконечно многу членови. Збирот може да се пресмета со помош на самосличност на ред.
2.1 Пример
Да го посматраме збирот на следниот геометриски ред:
:<math>s \;=\; 1 \,+\, \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \cdots .</math>
Редот има последователен делител еднаков на 2/3. Ако го помножиме овој израз со истиот тој износ од 2/3, тогаш 1 станува 2/3, а 2/3 станува 4/9, и така натаму:
:<math>\frac{2}{3}s \;=\; \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \frac{16}{81} \,+\, \cdots .</math>
Овој нов ред е ист како првичниот, само што недостасува првиот член. Со одземање на новиот ред (2/3) од првичниот ред ''s,'' се поништува секој член во првичниот ред освен првиот,
:<math>s \,-\, \frac{2}{3}s \;=\; 1,\;\;\;\mbox{па }s=3.</math>
Слична техника се користи за пресметување на изразот на самосличност.
2.2 Формула
За <math>r\neq 1</math>, збирот на првите n членови од геометрискиот ред изнесува:
:<math>a + ar + a r^2 + a r^3 + \cdots + a r^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} ar^k= a \, \frac{1-r^{n{1-r},</math>
каде што е првиот член на овој ред, а последователниот делител. Оваа формула можеме да ја изведеме како:
:<math>
\begin{align}
s &= a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}, \\
rs &= ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots + ar^{n}, \\
s - rs &= a-ar^{n}, \\
s(1-r) &= a(1-r^{n}),
\end{align}
</math>
па,
:<math>s = a \frac{1-r^{n{1-r} \quad \text{(ако } r \neq 1 \text{)}.</math>
Ако се стреми кон бесконечност, апсолутната вредност мора да биде помала од еден за редот да биде конвергентен. Тогаш збирот станува:
<math>
\begin{align}
s &= a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\cdots\\
&= \sum_{k=0}^\infty ar^{k} = \sum_{k=1}^\infty ar^{k-1}\\
&= \frac{a}{1-r}, \text{ for } |r|<1.
\end{align}
</math>
Кога , ова може да се поедностави на:
:<math>1 \,+\, r \,+\, r^2 \,+\, r^3 \,+\, \cdots \;=\; \frac{1}{1-r},</math>
На левата страна е прикажан геометриски ред со последователен делител .
Формулата исто така важи за , со соодветно ограничување, модулот е строго помал од еден.
2.3 Доказ за конвергенција
Можеме да докажеме дека геометрискиот ред конвергира користејќи ја формулата за збир на геометриска прогресија:
:<math>\begin{align}
1 + r + r^2 + r^3 + \cdots &= \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + r + r^2 + \cdots + r^n\right) \\
&= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-r^{n+1{1-r}.
\end{align}</math>
За (1 + ''r'' + ''r''<sup>2</sup> + ... + ''r''<sup>''n''</sup> )(1 &#x2212;''r'' ) = 1 &#x2212;''r''<sup>''n'' +1</sup> и за | ''r'' | &#x3C; 1.
Конвергенција на геометриски ред може да се докаже и со поновно пишување на редот како еквивалентен скратен ред.Да ја посматраме функцијата,
:<math>
g(K) = \frac{r^{K{1-r}.
</math>
Да се забележи дека:
:<math>
1 = g(0) - g(1), r = g(1) - g(2), r^2 = g(2) - g(3), \cdots
</math>
Значи,
:<math>
S = 1 + r + r^2 + r^3 + . . . = (g(0) - g(1)) + (g(1) - g(2)) + (g(2) - g(3)) + \cdots .
</math>
Ако
:<math>
\left | r \right \vert <1
</math>
тогаш
:<math>
g(K)\longrightarrow 0 \text{ as } K \to \infty.
</math>
Заклучуваме дека S конвергира до:
:<math>
g(0) = \frac{1}{1-r}.
</math>
2.4 Поедноставена формула
За <math>r\neq 1</math>, збирот на првите n членови од геометриската прогресија е:
:<math>\sum_{k=a}^{b} r^k = \frac{r^{ar^{b+1{1-r},</math>
каде <math>a, b \in \mathbb{N}</math>.
Формулата може да се изведе:
 <math>b=n-1 \Rightarrow n=b+1</math>:<math>\begin{align}
\sum_{k=a}^{b} r^k &= \sum_{k=0}^{n-1} r^k - \sum_{k=0}^{a-1} r^k \\
&= \frac{1-r^n}{1-r} - \frac{1-r^a}{1-r} \\
&= \frac{1-r^n-1+r^a}{1-r} \\
&= \frac{r^a - r^{b+1{1-r}.
\end{align}</math>
3 Апликации
3.1 Повторување децимали
Повторувањето на децималите може да се гледа како геометриски ред чиј последователен делител е 1/10. На пр:
:<math>0,7777\ldots \;=\; \frac{7}{10} \,+\, \frac{7}{100} \,+\, \frac{7}{1000} \,+\, \frac{7}{10000} \,+\, \cdots.</math>
Формулата за збир на геометриски ред може да се користи и за претворање на децимален број во дропка,
:<math>0,7777\ldots \;=\; \frac{a}{1-r} \;=\; \frac{7/10}{1-1/10} \;=\; \frac{7}{9}.</math>
Формулата важи не само за повторување на една децимала, туку и за повторување група децимали. На пр:
:<math>0,123412341234\ldots \;=\; \frac{a}{1-r} \;=\; \frac{1234/10000}{1-1/10000} \;=\; \frac{1234}{9999}.</math>
Се забележува дека секој ред на повторувачки последователни децимали може лесно да се поедностави:
:<math>0,09090909\ldots \;=\; \frac{09}{99} \;=\; \frac{1}{11}.</math>:<math>0,143814381438\ldots \;=\; \frac{1438}{9999}.</math>:<math>0,9999\ldots \;=\; \frac{9}{9} \;=\; 1.</math>
Со други зборови, повторувањето на децимали со должина на повторување n е еднакво на количникот на делот што се повторува (како единечен број) и .
3.2 Архимедова квадратура на парабола
Архимед го користел збирот на геометриски ред за да ја пресмета плоштината опфатена со парабола и права линија. Неговата замисла била да ја сецира површината на бесконечен број триаголници.
Архимедовата теорема тврди дека вкупната површина под параболата е 4/3 од плоштината на синиот триаголник.
Архимед пресметал дека плоштината на секој зелен триаголник изнесува осмина од онаа на синиот триаголник, плоштината на секој жолт триаголник изнесува осмина од онаа на зелениот триаголник, итн.
Претпоставувајќи дека синиот триаголник има површина од 1, вкупната плоштина е бесконечен збир:
:<math>1 \,+\, 2\left(\frac{1}{8}\right) \,+\, 4\left(\frac{1}{8}\right)^2 \,+\, 8\left(\frac{1}{8}\right)^3 \,+\, \cdots.</math>
Првиот член ја претставува плоштината на синиот триаголник, вториот ја претставува плоштината на двата зелени триаголници, третиот ја претставува плоштината на четирите жолти триаголници итн.Со поедноставување на дропките добиваме:
:<math>1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots.</math>
Ова е геометриски ред чиј последователен делител изнесува 1/4, а фракциониот дел е еднаков на:
:<math>\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;</math>
Збирот е:
:<math>\frac{1}{1 -r}\;=\;\frac{1}{1 -\frac{1}{4\;=\;\frac{4}{3}.</math>
Оваа пресметка го користи методот на исцрпување, рана верзија на интеграцијата. Користејќи калкулус, истата плоштина може да се најде со помош на определен интеграл.
3.3 Фрактална геометрија
Во проучувањето на фракталите, геометрискиот ред често се јавува како обем, плоштина или зафатнина на самослична фигура.
На пример, плоштината на внатрешноста на Коховата снегулка може да се опише како спој на бесконечно многу рамнострани триаголници (види слика погоре). Секоја страна на зелениот триаголник е точно 1/3 од должината на големиот син триаголник, со што зафаќа точно 1/9 од плоштината. Слично на тоа, секој жолт триаголник има 1/9 од плоштината на зелениот триаголник итн. Земајќи го синиот триаголник како единица плоштина, вкупната плоштина на снегулката е:
:<math>1 \,+\, 3\left(\frac{1}{9}\right) \,+\, 12\left(\frac{1}{9}\right)^2 \,+\, 48\left(\frac{1}{9}\right)^3 \,+\, \cdots.</math>
Првиот член од овој ред ја претставува плоштината на синиот триаголник, вториот ја претставува вкупната плоштина на трите зелени триаголници, третиот член ја претставува вкупната плоштина на дванаесетте жолти триаголници итн. Земајќи го 1 како почетна вредност, редот е геометриски со константен делител ''r'' = 4/9. Првиот член од геометрискиот ред е ''a'' = 3(1/9) = 1/3, така што збирот е:
:<math>1\,+\,\frac{a}{1-r}\;=\;1\,+\,\frac{\frac{1}{3{1-\frac{4}{9\;=\;\frac{8}{5}.</math>
Според тоа, Коховата снегулка има плоштина од 8/5 од плоштината на синиот триаголник.
3.4 Зенонов парадокс
Конвергенцијата на геометрискиот ред открива дека збирот вклучува бесконечен број собироци кои можат да бидат конечни, и на тој начин овозможува разрешување на многу Зенонови парадокси. На пример, Зенон тврди дека движењето е невозможно, бидејќи кој било конечен број чекори може да се подели така што секој чекор трае половина од преостанатото растојание. Грешката на Зенон се одразува во претпоставката дека збирот на бесконечни броеви или конечни чекори не може да биде конечен. Ова секако е неточно, што ни го кажува и конвергенцијата на геометрискиот ред со <math>r = 1/2</math>.
3.5 Евклид
Книга IX, предлог 35 од Евклидовите Елементи го изразува делумниот збир на геометриски ред во израз со членови од тој ред. Тој е истоветен на модерната формула.
3.6 Економија
Во економијата, геометрискиот ред многу често се користи за да ја претстави вредноста на ануитетот (сума пари што треба да се исплати во редовни временски рокови).
На пример, да претпоставиме дека на сопственикот на ануитетот исплатата од 100 УСД ќе му биде доставувана еднаш годишно (на крајот на годината) доживотно. Примањето 100 долари годишно сега вреди повеќе од 100 долари тогаш, бидејќи сопственикот не може да ги инвестира парите додека не ги прими. Практично, претставувањето на 100 долари годишно, може да се претстави како 100 долари / (1 + <math>I</math> ), при што <math>I</math> годишна каматна стапка.
Слично на тоа, плаќањето од 100 долари во текот на две години може да се претстави како 100 долари / (1 + <math>I</math> ) <sup>2</sup> (Јас е квадрат бидејќи каматната стапка расте веќе две години). Претставувањето на приход од 100 долари годишно доживотно е:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\$100}{(1+I)^n},</math>
Што претставува бесконечен ред:
:<math>\frac{\$ 100}{(1+I)} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^2} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^3} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^4} \,+\, \cdots.</math>
Ова е геометриски ред со последователен делител 1 / (1 + <math>I</math> ). Збирот е претставен со првиот член поделен со (еден минус последователниот делител):
:<math>\frac{\$ 100/(1+I)}{1 - 1/(1+I)} \;=\; \frac{\$ 100}{I}.</math>
На пример, ако каматната стапка е 10% ( <math>I</math> = 0,10), тогаш целата рента има вредност од $100 / 0,10 = $1000.
Овој вид пресметка се користи за пресметување на процентот на камата (како на пр. станбен кредит). Може да се користи и за да се процени моменталната вредност на очекуваната дивиденда или конечната вредност на обврзницата.
3.7 Геометриска моќност на редот
Формулата за геометриски ред:
:<math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots</math>
може да се претстави како степенски ред во Тејлоровата теорема, со конвергирање, каде <math>|x|<1</math>. Оттука, може да се изведе еден да ги содржи другите карактеристики на нарачката. На пр.
:<math>\begin{align}
\tan^{-1}(x)&=\int\frac{dx}{1+x^2}\\
&=\int\frac{dx}{1-(-x^2)}\\
&=\int\left(1 + \left(-x^2\right) + \left(-x^2\right)^2 + \left(-x^2\right)^3+\cdots\right)dx\\
&=\int\left(1-x^2+x^4-x^6+\cdots\right)dx\\
&=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5\frac{x^7}{7}+\cdots\\
&=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}.
\end{align}</math>
Со диференцирање на геометрискиот ред, еден ја содржи варијантата::<math> \sum^{\infty}_{n=1}n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\quad\text{ for }|x| < 1.</math>
Слично се добиени:
:<math>\sum^{\infty}_{n=2} n (n-1) x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}\quad\text{ for }|x| < 1,</math> и
:<math>\sum^{\infty}_{n=3} n (n-1)(n-2) x^{n-3}=\frac{6}{(1-x)^4} \quad\text{ for }|x| < 1.</math>
4 Поврзано
* Асимптота
* Дивергентен геометриски ред
* Геометриска прогресија
* Ред (математика)
* Ханојска кула