Пол и полара

Во геометријата, пол и полара се соодветно точка и права кои имаат единствена реципрочна врска во однос на даден конусен пресек .
Поларната реципрочност во дадена кружница е трансформација на секоја точка од рамнината во нејзината полара и секоја права од рамнината во нејзиниот пол.
1 Својства
Полот и поларата имаат неколку корисни својства:
* Ако точката P лежи на правата ''l'', тогаш полот L на правата ''l'' лежи на поларата ''p'' на точката P.
* Ако точката P се движи по права ''l'', нејзината полара ''p'' се врти околу полот L од правата ''l''.
* Ако може да се повлечат две тангентни прави од полот кон конусниот пресек, тогаш неговата полара поминува низ двете допирни точки.
* Ако точка лежи на конусниот пресек, нејзината полара е тангентата на конусниот пресек која минува низ оваа точка.
* Ако точката P лежи на сопствената полара, тогаш P е на конусниот пресек.
* Секоја права има, во однос на недегенериран конусен пресек, точно еден пол.
2 Специјален случај за кружници
Полот на правата ''L'' во кружницата ''C'' е точка Q која е инверзна во однос на ''C'' на точката P која лежи на ''L'' и е најблиску до центарот на кружницата. Спротивно на тоа, поларата (или поларната права) на точката Q во кружницата ''C'' е правата ''L'' таква што нејзината најблиска точка P до центарот на кружницата е инверзијата на Q во ''C''.
Односот помеѓу половите и поларите е реципрочен. Така, ако точката A лежи на поларата ''q'' на точката Q, тогаш точката Q мора да лежи на поларата ''a'' на точката A. Двете поларни прави ''a'' и ''q'' не мора да бидат паралелни.
Постои уште еден опис на поларата на точка P во случај таа да лежи надвор од кружницата ''C.'' Во овој случај, има две прави низ P кои се тангенти на кружницата, а поларата на P е правата која ги спојува тие две допирни точки (не е прикажано овде). Ова покажува дека полот и поларата се концепти во проективната геометрија на рамнината и се генерализираат за кој било несингуларен коник на местото на кружницата ''C.''
3 Поларна реципрочност
Концептите ''пол и негова полара'' биле унапредени во проективната геометрија . На пример, поларата може да се гледа како збир на проективни хармонични конјугати на дадена точка, полот, во однос на некој коник. Операцијата на замена на секоја точка со нејзината полара и обратно е позната како поларност.
За некоја точка ''P'' и нејзината полара ''p'', која било друга точка ''Q'' на ''p'' е пол на правата ''q'' која минува низ ''P.'' Ова е реципрочен однос и со него инциденците се зачувани.
4 Општи конусни пресеци
Концептите пол, полара и реципрочност може да се генерализираат од кружници на други конусни пресеци како елипса, хипербола и парабола. Оваа генерализација е можна затоа што конусните пресеци произлегуваат од реципрочноста на кружница со друга кружница, а вклучените својства, како што се инциденцата и двојниот однос, се запазуваат при сите проективни трансформации .
4.1 Пресметување на поларата на точка
Општ конусен пресек може да се запише како равенка од втор степен во Декартови координати (''x'', ''y'') на рамнината<math>
A_{xx} x^2 + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^2 + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0
</math>каде ''A''<sub>''xx''</sub>, ''A''<sub>''xy''</sub>, ''A''<sub>''yy''</sub>, ''B''<sub>''x''</sub>, ''B''<sub>''y''</sub> и ''C'' се константите што ја дефинираат равенката. За таков конусен пресек, поларата на даден пол - точка е дефинирана со равенката<math>
D x + E y + F = 0\,
</math>каде што ''D'', ''E'' и ''F'' се исто така константи кои зависат од координатите на полот <math>\begin{align}
D &= A_{xx} \xi + A_{xy} \eta + B_{x} \\
E &= A_{xy} \xi + A_{yy} \eta + B_{y} \\
F &= B_{x} \xi + B_{y} \eta + C
\end{align}</math>
4.2 Пресметување на пол на права
Полот на правата <math> D x + E y + F = 0 </math>, во однос на недегенерираниот конусен пресек<math>
A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0
</math>може да се пресмета во два чекора.
Прво, се пресметуваат броевите x, y и z од<math>
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\
A_{xy} & A_{yy} & B_{y} \\
B_{x} & B_{y} & C
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
D \\ E \\ F
\end{bmatrix}
</math>Полот е точката со координати <math> \left( \frac{x}{z}, \frac{y}{z} \right) </math>
4.3 Табели за пол-поларни односи
* Релација пол-полара за елипса
* Релација пол-полара за хипербола
* Релација пол-полара за парабола
коник, равенка, полара на точката <math>
кружница, <math> x^2 + y^ </math>, <math> x_0 x + y_0 </math>
елипса, <math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 + \left(\frac{ y } { b }\right)^ </math>, <math> \frac{ x_0 x } { a^2 } + \frac{ y_0 y } { b^2 } = 1 </math>
хипербола, <math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 - \left(\frac{ y } { b }\right)^ </math>, <math> \frac{ x_0 x } { a^2 } - \frac{ y_0 y } { b^2 } = 1 </math>
парабола, <math> x^2 </math>, <math> y+ </math>
коник, равенка, пол на правата
кружница, <math> x^2 +y^ </math>, <math> \left( \frac{ r^2 u } { w }, \; \frac{ r^2 v } { w } \right)</math>
елипса, <math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 + \left(\frac{ y } { b }\right)^ </math>, <math> \left( \frac{ a^2 u } { w }, \; \frac{ b^2 v } { w } \right)</math>
хипербола, <math> \left(\frac{ x } { a }\right)^2 - \left(\frac{ y } { b }\right)^ </math>, <math> \left( \frac{ a^2 u } { w }, \; -\frac{ b^2 v } { w } \right)</math>
парабола, <math> x^2 </math>, <math> \left( -\frac{ u} { 2av }, \; -\frac{ w} { v } \right)</math>
4.4 Преку комплетен четириаголник
За дадени четири точки кои формираат комплетен четириаголник, правите кои ги поврзуваат точките се вкрстуваат во дополнителни три дијагонални точки. За дадена точка ''Z'' која не е на коникот ''C'', нацртајте две пресечки низ ''Z'' кои го сечат ''C'' во точките ''A'', ''B'', ''D'' и ''E'' . Тогаш овие четири точки формираат комплетен четириаголник со ''Z'' како една од дијагоналните точки. Правата која ги спојува другите две дијагонални точки е поларата на ''Z'', а ''Z'' е полот на оваа права.
5 Апликации
Половите и поларите биле дефинирани од Жозеф Диаз Жергон и играат важна улога при неговото решавање на задачата на Аполониј .
Во рамнинската динамика, полот е центар на ротација, поларата е линијата на дејство на силата, а коникот е матрицата маса-инерција. Односот пол-полара се користи за дефинирање на центарот на удари на рамнинско цврсто тело. Ако столбот е точката на шарката, тогаш поларата е ударната линија на дејство како што е опишано во рамнинската теорија на завртки .
6 Поврзано
* Дуален полигон
* Дуален полиедар
* Поларна крива
* Проективна геометрија
* Проективни хармонични конјугати
7 Библиографија
**** Книжна верзија е издадена од Dover Publications со .
*