Показател на прекршување

Показател на прекршување или индекс на прекршување — бездимензионален број на материјал кој укажува со колкава брзина се движи светлината низ материјалот. Се дефинира како
:<math>n = \frac{c}{v},</math>
каде ''c'' е брзината на светлината во вакуум и ''v'' е фазната брзина на светлината во средината. На пример, показателот на прекршување на водата е 1,333, што пак значи дека светлината се движи со брзина 1,333 пати помала од онаа во вакуум.
Показателот на прекршување колку е свиена патеката на движење на светлината, или прекршена, кога навлегува во материјалот. Ова се опишува со Снеловиот закон за прекршување, ''n''<sub>1</sub> sin''θ''<sub>1</sub> = ''n''<sub>2</sub> sin''θ''<sub>2</sub>,
каде ''θ''<sub>1</sub> и ''θ''<sub>2</sub> се упадниот агол и аголот на прекршување, соодветно, на зрак кој минува низ граничната површина меѓу двете срединисо показатели на прекршување ''n''<sub>1</sub> и ''n''<sub>2</sub>. Показателот на прекршување ито така го определува количеството на светлина одбиено од меѓуграничната површина, како и за критичниот агол на тоталното прекршување и Брустеровиот агол.
Показателот на прекршување може да се разгледува како фактор според кој брзината и брановата должина на зрачењето се намалени во однос на нивните вредности за вакуум: брзината на светлината за некоја средина е ''v'' = ''c''/''n'',и слично брановата должина во таа средина е ''λ'' = ''λ''<sub>0</sub>/''n'', каде ''λ''<sub>0</sub> е брановата должина во ваккум. ова укажува дека показателот на прекршување на вакуумот е 1, и дека честотата (''f'' = ''v''/''λ'') не е изменета од самиот показател. Како резултат, восприемените бои од прекршената светлина во човековото око, кои зависат од честотата не се изменети од прекршувањето или пак од показателот на прекршување за таа средина.
Иако показателот на прекршување ја изменува брановата должина, тој зависи од честотата, бојата и енергијата, па добиената разлика во аглите на прекршување предизвикува светлината да се подели на составните бои. Оваа појава е позната под името расејување. Може да се забележи кај призмите и виножитата, и хроматските аберации кај лежите. Движењето на светлината во впивачките материјали може да се опише со комплексно-вредносниот показател на прекршување.Имагинарниот дел кој се однесува на згаснувањето, додека пак реалниот дел се однесува за прекршувањето.
Замислата за показателот на прекршување важи за целиот електромагнетен спектар, од рендгенското зрачење до радиобрановите. Може да се примени и кај брановите појави како што е звукот. Во овој случај се користи брзината на звукот на местото на брзината на светлината, и средината мора да биде поразлична од вакуум.
1 Дефинирање
Показателот на прекршување ''n'' ofна оптичката средина се дефинира како однос на брзината на светлината во вакуум, ''c'' = , и фазната брзина ''v'' на светлината во средината,:<math>n=\frac{c}{v}.</math>
Фазната брзина е брзината со која се движат испакнувањата или фазата на брановите, што пак е поразлично од групната брзина, брзината со која пулсира светлината или пак се движи обвитокот.
Погоре спомнатата дефиниција е позната и како апсолутен показател на прекршување или апсолутен индекас на прекршување за да се разликува од дефинициите каде се користи брзината на светлината во други појдовни средини. Историски воздухот при стандарден притисок и температура се користи како појдовна средина.
2 Историја
Томас Јунг е првата личност која го користела и осмислила поимот „показател на прекршување“, во 1807 година.
Во истиот период ја изменил вредноста на моќноста на прекршувањето во едноцифрен број, замена за воспоставениот однос од два броја. Односот имал недостатоци поради постоењето на различни резултати. Њутн, го нарекувал „пропорција на синусите на упадните агли и прекршувањето“, и го запишал како однос на два броја, како на пример „529 на 396“ (или „близу 4 на 3“; за водата). Хоксби,кој го нарекувал „однос на прекршување“, го запишал како однос за неменлив броител, како на пример „10000 на 7451.9“ (за урината). Хатон го запишал како однос со неменлив броител, како на пример 1,3358 на 1 (вода).
Јунг не користел ознака за показателот на прекршување, во 1807 година. Во следните години, и други научници започнале да користат различни ознаки:
n, m и µ. Постепено преовладала ознаката n.
3 Вообичаени вредности
+Избрани показатели на прекршување при nm., Материјал ''n''
Вакуум
Гасови при 0 °C и 1 atm
Воздух
Хелиум
Водород
Јаглерод диоксид
Течности при 20 °C
Вода, 1,333
Етанол, 1,36
Маслиново масло, 1,47
Цверти материјали
Мраз, 1,31
Кварцно стакло (кварц), 1,46
ПММА (акрил, плексиглас, луцит, перспекс), 1,49
Стакло, 1,52
Поликарбонат (Лексан™), 1,58
Флинтно стакло (вообичаено), 1,62
Сафир, 1,77
Кубичен циркон, 2,15
Дијамант, 2,42
Муасанит, 2,65
За видливата светлина повеќето прозрачни средини имаат показатели кои се со вредности меѓу 1 и 2. Неколку примери се дадени во придружната табела. Овие вредности се мерени при вредност на двојната жолта линија, односно D-линијата на натриумот, при бранова должина од 589 нанометри, што е всушност воспоставената практика. Гасовите и атмосферскиот притисок имаат показатели на прекршување близу до 1 поради малата густина. Скоро сите цврсти материјали и течности имаат показатели на прекршување поголеми од 1,3, при што аерогелот е исклучок. Аерогелот е цврст материјал со многу мала густина и има показател на прекршување во опсегот од 1,002 до 1,265. Муасанитот е на другиот крај со опсег на показател на прекршување кој достигнува и до 2,65. Повеќето пластики имаат показатели на прекршување во опсег од 1,3 до 1,7, но некои од полимерите со високи показатели на прекршување може да имаат показател и до 1,76.
За инфрацрвена светлина показателите може да се значително повисоки. Германиумот е проѕирен за бранови должини од 2 до 14 µm и има показател на прекршување 4. Нов вид на материјали, наречени тополошки изолатори, имаат повисоки показатели на прекршување сè до 6 во блискоро или средното инфрацрвено зрачење. Дополнително, тополошките изолатори се провидни кога имаат дебелина од неколку нанометри. Овие одлични својства ги прават да бидат значајни материјали во инфрацрвената оптика.
3.1 Показатели на прекршување помали од еден
Според теоријата за релативноста, информациите не може да се движат со брзини поголеми од брзината на светлината во вакуум, но ова не значи дека показателот на прекршување не може да биде помал од 1. Показателот на прекршување ја определува фазната брзина на светлината, која не е носител на информација. Фазната брзина е брзината при која максимумите на бранот и истата може да биде поголема од брзината на светлината во вакуум, и на тој начин да има показател на прекршување помал од 1. Ова се случува близу до резонантните честоти, за впивачките средини, кај плазмите, и за рендгенското зрачење. При режим на рендгенско зрачење показателите не прекршување се пониски, но многу блиски до 1 (исклучок при резонатни честоти).
Како на пример, водата има показател на прекршување = 1 − за рендгенското зрачење при енергии на фотонот од (при бранова должина од 0.04 nm).
Пример за плазма со показател на прекршување помал од еден е Земјината јоносфера. Па бидејќи показателот на прекршување на јоносферата (плазма), е помал од еден, електромагнетните бранови кои се движат низ плазмата се завиени „подалеку од нормалата“ (Погледајте геометриска оптика) овозможувајќи има на радиобрановите да се одбијат назад кон површината на Земјата, и на тој начин овозможувајќи ги радиокомуникациите на големи далечини. Погледајте и радиодвижење и Скајвејв.
3.2 Негативен показател на прекршување
Неодамнешните истражувања покажале дека постојат материјали со негативен показател на прекршување, од причина што диелектричната спроводливост и пермеабилност имаат истовремено негативни вредности. Ова може да се постигне со периодично составени метаматеријали. Добиениот негативен показател на прекршување (т.е., реципрочна вредност на Снеловиот закон) овозможува можност за добивање на суперлеќа и други егзотични појави.
4 Микроскопско објаснување
Во атомски размери, фазната брзина на електромагнетните брановие намалена во материјалот од причина што електричното поле создава неурамнотеженост во полнежите на атомите (односно електроните) пропорционално на сусцептибилноста на средината. (Слично, магнетното поле создава неурамнотеженост пропорционална на магнетната сусцептибилност.) Како што електромагнетните полиња осцилираат во бранот, полнежите во материјалот ќе бидат „потресени“ напред-назад при истата честота. Па така полнежите ќе оддаваат сопствен електромагнетен бран при истата честота, но вообичаено со фазно поместување, како што полнежите ќе се поместат од фазата со силата која ги насочува (Погледајте синусоидно придвижуван хармониски осцилатор). Светлосниот бран кој се движи во средината е макроскопската суперпозицијата о сите тие придонеси во материјалот: оригиналниот бран плус брановите оддадени од сите подвижни полнежи. Бранот е вообичаено бран со иста честота но пократка бранова должина од оригиналната, што доведува до намалување на брановата фазна брзина. Поголемиот дел од зрачењето од полнежите на осоцилирачкиот материјал ќе го изменат упадниот бран, менувајќи му ја брзината. Сепак, дел од вкупната енергија ќе биде оддадена во други насоки и дури при други честоти (Погледајте расејување).
Во зависност од релативната фаза придвижувачки бран и брановите оддадени од движењето на полнежите, постојат неколку можности:
* Ако електроните оддаваат светлински бран кој е фазно поместен за 90° со светлинскиот зрак кој ги протресува, ќе предизвика вкупниот светлиснки бран да се движи поспоро. Овде станува збор за вообичаеното прекршување низ провидни материјали како што се гасовите или водата, и соодвествува спо показателот на прекршување кој е реален и поголем од 1.* Ако електроните оддаваат светлински бран кој е фазно поместен за 270° со светлинскиот зрак кој ги протресува, ќе предизвика бранот да се движи побрзо. Овде станува збор за т.н. „аномалично прекршување“, и се набљудува близу впивачките линии (вообичаено во инфрацрвеното подрачје), како што е случајот со рендгенското зрачење во обичните материјали, исо радиобрановите во Земјината јоносфера. Соодвествува на диелектрична спроводливост помала од 1, што предизвикува показателот на прекршување да биде помал од 1 и фазната брзина на светлината е поголема од брзината на светлината во вакуум ''c'' (треба да се има предвид брзината на сигналите е сепак помала од ''c'', како што е спомнато погоре). Доколку резултатот е доволно силен и фазно поместен, се добива негативна вредност за диелектричната спроводливост и имагинарниот показател на прекршување, како што е забележано кај металите и плазмата.* Ако електроните оддаваат светлински бран које фазно поместен за 180° со светлинскиот бран кој ги протресува, ќе дојде до поништувачка интерференција со оригиналната светлина и ќе дојде до намалување на вкупната јачина на светлината. Станува збор за впивање на светлината во непровидни материјали и соодвествува на имагинарен показател на прекршување.
* Ако електроните оддаваат светлински бран кој е во фаза со светлинскиот бран кој ги протресува, ќе дојде до засилување на светлисниот бран. ова е реткост, но се случува кај ласерите поради стимулираното оддавање. Соодвестува на имагинарен показател на прекршување, со спротивен знак од оној при впивањето.
За повеќето материјали при честоти на видливата светлина, tфазата е некаде помеѓу 90° и 180°, што соодвествува на комбинирање на прекршувањето и впивањето.
5 Расејување
Показателот на прекршување се менува и зависи од брановата должина (и честота) на светлината. Оваа појава е позната како расејување и предизвикува призмите и виножитата да ја расејат белата светлина во составните спектрални бои. Како што показателот на прекршување се менува со брановата должина, на тој начин ќе се менува и аголот на прекршување како што светлината минува од една во друга средина. Расејувањето исто така е причина за зависноста на фокусното растојание на леќите од брановата должини. Всушност станува збор за хроматска аберација, која е непожелна и честопати треба да се отстрани кај системите за снимање. Во областите на спектарот каде материјаот не ја впива светлината, показателот на прекршување тежнее да се намалува со зголемувањето на брановата должина, и со зголемувањето на честотата. Ова се нарекува „нормално расејување“, за разлика од „аномалното расејување“, каде показателот на прекшување се зголемува со зголемувањето на брановата должина. За видливата светлина ова значи дека при нормалното расејување показателот на прекршување е повисок за сината светлина отколку за црвената.
За оптиката при видлива светлина, обемот на расејување на материјалот од кој е изработена леќата, честопати се опишува со употреба на Абев број::V=(n<sub>жолта</sub>-1)/(n<sub>сина</sub>-n<sub>црвена</sub>)
За попрецизен опис на зависноста на показателот на прекршување од брановата должина, може да се искористи Селмајеровата равенка. Станува збор за емпириска равенка која функционира добро при опишувањето на расејувањето. ''Селмајеровите коефициенти'' се честопати во употреба како замена на показателите на прекршување во табелите.
Поради расејувањето, важно е да се определи брановата должина во вакуум на светлината за која се определува показателот на прекршување. Вообичаено, мерењата се направени при различни добро определени спектрални оддавни линии како на пример, ''n''<sub>D</sub> со кое се означува показателот на прекршување при Фраунхоферовата „D“ линија, центарот на жолтата натриумова двојна оддавна линија при бранова должина од 589,29 nm.
6 Комплексен показател на прекршување
Кога светлината минува низ некоја средина, секогаш дел од истата ќе биде згасната. Ова може на удобен начин да се земе предвид со помош на дефинирање на комплексен показател на прекршување,
:<math>\underline{n} = n + i\kappa.</math>
Овде, реалниот дел ''n'' е оказателот на прекршување и ја покажува фазната брзина, додека пак имагинарниот дел ''κ'' се нарекува коефициент на згаснување — иако ''κ'' може и да се нарекува масен коефициент на згаснување— и покажува колкав дел згаснува од електромагнетниот бран кој се движи низ средината.''κ'' соодвествува на згаснувањето кое може да се искористи преку внесување на показателот на прекршување во изразот за електричното поле на рамнински електромагнетен бран кој се движи во ''z''-насока. Ова можеме да го направиме поврзувајќи ги комплексниот бранов број ''k'' со комплексниот показател на прекршување ''n'' како ''k'' = 2π''n''/''λ''<sub>0</sub>, со што ''λ''<sub>0</sub> ќе биде брановата должина во вакуум; ова може да се внесе во изразот за рамнински бран како:
:<math>\mathbf{E}(z, t) = \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(\underline{k}z - \omega t)}\right] = \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(2\pi(n + i\kappa)z/\lambda_0 - \omega t)}\right] = e^{-2\pi \kappa z/\lambda_0} \operatorname{Re}\! \left[\mathbf{E}_0 e^{i(kz - \omega t)}\right].</math>
Тука забележуваме дека ''κ'' го дава експоненционалниот распад, како штто се очекува од Бер-Ламберовиот закон. Ако јачината е пропорционална со квадратот на електричното поле, ќе зависи од длабината до која ќе продре во материјалот како exp(−4π''κz''/''λ''<sub>0</sub>), и коефициентот на згаснување станува ''α'' = 4π''κ''/''λ''<sub>0</sub>. Ова се однесува и на упадното пробивање, растојанието по кое јачината се намалува за 1/''e'', ''δ''<sub>p</sub> = 1/''α'' = ''λ''<sub>0</sub>/(4π''κ'').
Заедно ''n'' и ''κ'' зависат од честотата. Во повеќето случаи ''κ'' > 0 (светлината е впиена) или ''κ'' = 0 (светлината се движи без загуби). Во специјални случаи, особено во активната ласерска средина на ласерите, можно е да имаме ''κ'' < 0, при што имаме засилување на светлината.
Поинаков запис е ''n'' = ''n'' − ''iκ'' наспроти ''n'' = ''n'' + ''iκ'', но каде ''κ'' > 0 соодвествува на загубата. Па така, овие два записи се различни и не треба да се истоветуваат. Разликата е поврзано со определеното синусоидна временска зависност како Re[exp(−''iωt'')] наспроти Re[exp(+''iωt'')]. Погледајте Математички описи на провидноста.
Диелектричната загуба и ненултната еднонасочна спроводливост во материјалите предизвикува впивање. Добрите диелектрични материјали како стаклото имаат многу мала спроводливост на еднонасочна струја, и при ниски честоти диелектричните загуби се занемарливи, што би значело дека скоро и да нема впивање. Сепак, при високи честоти (како при видлива светлина), диелектричната загуба може да го зголеми значително впивањето намалувајќи ја провидноста на материјалот при овие честоти.
Реалното, ''n'', и имагинарното, ''κ'', се делови од сложениот показател на прекршување и се објаснети преку Крамерс-Крониговиот однос. Во 1986 А.Р. Форуи и И. Блумер извеле равенка за опис на ''κ'' како функција од енергијата на фотонот, ''E'', и применлива кај аморфните материјали. Форуи и Блумер го примениле Крамерс–Крониговиот однос за да ја изведат соодветната равенка за ''n'' како функција од ''E''. Истиот формализам бил применет и за кристалните материјали од страна на Форуи и Блумер во 1988 година.
Показателот на прекршување и коефициентот на згаснување, ''n'' и''κ'', не можат да се измерат директно. Тие ммора да се определат индиректно преку мерливите величини кои зависат од нив, како што се одбивноста, ''R'', или проидноста, ''T'', или елипсометриските параметри, ''ψ'' и ''δ''. Определувањето на ''n'' и ''κ'' од овие измерени величини ќе вклучува и развивање на теоретски израз за ''R'' или ''T'', или пак ''ψ'' и ''δ'' преку валиден физички модел за ''n'' и ''κ''. Со усогласување на теорискиот модел со мерените ''R'' или ''T'', или пак ''ψ'' и ''δ'' и користејќи регресиона анализа, може да се определат ''n'' и ''κ''.
За рендгенското зрачење и крајното ултровиолетово зрачење, коплексниот показател на прекршувањето се поместува многу малку од единица и вообичаено има реален дел помал од 1. И од таа причина се запишува како ''n'' = 1 − ''δ'' + ''iβ'' (или ''n'' = 1 − ''δ'' − ''iβ'' според другиот запис спомнат погоре). За вредности над атомската резонатна честота, делта може да се определи според:
:<math> \delta = \frac{r_0 \lambda^2 n_e}{2 \pi} </math>
каде <math>r_0</math> е класичен електронски полупречник, <math> \lambda </math> е брановата должина на рендгенското зрачење, и <math>n_e</math> е електронската густина. Може да се претпостави електронската густина е едноставно бројот во атомот односно Z помножено со атомската густина, но попрецизните пресметки на показателот на прекршување побарува замена на Z со комплексниот атомски фактор на обликот <math> f = Z + f' + i f'' </math>. Од што следи
:<math> \delta = \frac{r_0 \lambda^2}{2 \pi} (Z + f') n</math><sub>атом</sub>:<math> \beta = \frac{r_0 \lambda^2}{2 \pi} f'' n</math><sub>атом</sub>
каде <math>\delta</math> и <math>\beta</math> се вообичаено од редот 10<sup>−5</sup> и 10<sup>−6</sup>.
7 Односот со други величини
7.1 Оптичка должина на патот
оптичката должина на патот (ОДП) е производ од геометриската должина ''d'' на патната светлина низ системот, и показателот на прекршување низ средината низ која што минува,:<math>\text{OPL} = nd.</math>
Ова е важен концепт во оптиката бидејќи ја определува фазата на светлината и е причина за интерференцијата и дифракцијата на светлината додека истата е во движење. Според Фермовото начело, светлинските зраци може да се окарактеризираат како криви кои ја оптимизираат оптичката должина на патот.
7.2 Прекршување
Кога светлината се движи од една до друга средина, ја менува својата насока, т.е. се прекршува. Ако се движи од средина со показател на прекршување ''n''<sub>1</sub> во друга средина со показател на прекршување ''n''<sub>2</sub>, со упаден агол кон нормалната ''θ''<sub>1</sub>, аголот на прекршување ''θ''<sub>2</sub> може да се пресмета со користење на Снеловиот закон::<math>n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2.</math>
Кога светлината налегува во средина со поголем показател на прекршување, аголот на прекршување ќе биде помал од упадниот агол и аветлината ќе се прекршува кон нормалата на површината. Колку е поголем показателот на прекршување, толку поблиску до нормалате ќе се приближи светлината по прекршувањето. Кога ќе помине низ средина со помал показател на прекршување, тогаш светлината по прекршувањето ќе се оддалечи од нормалата кон површината.
7.3 Тотално внатрешно одбивање
Ако нема агол ''θ''<sub>2</sub> тогаш Снеловиот закон го добива обликот,
:<math>\frac{n_1}{n_2} \sin \theta_1 > 1,</math>
светлината не може да се оддаде и наместо тоа ќе имаме тотално внатрешно одбивање.Ова се случува само кога имаме премин низ средина со помала оптичка густина, односно, со помал показател на прекршување. За да се добие тотално внатрешно прекршување упадниот агол ''θ''<sub>1</sub> мора да биде поголем од критичниот агол:<math>\theta_\mathrm{c} = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\!.</math>
7.4 Одбивање
Покрај премин на светлината постои и дел што се одбива. Аголот на одбивање е еднаков со упадниот агол, и количеството на светлина кое е одбиено се определува според рефлективноста на површината. Рефлексивноста може да се пресмета од показателот на прекршување и упадниот агол според Френеловите равенки, што за упадниот агол се сведува на::<math>R_0 = \left|\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right|^2\!.</math>
За обично стакло во воздух, ''n''<sub>1</sub> = 1 и ''n''<sub>2</sub> = 1,5, и така околу 4% од опадната моќ е одбиена. При други упадни агли рефлективноста ќе зависи исто така од поларизацијата на упадната светлина. При определен агол наречен Брустеров агол, p-поларизиран светлина (светлина со електрично поле во упадната раманина) целосно ќе е оддадена. Брустеровиот агол може да се пресмета од двата показатели на прекршување од граничната површина.:<math>\theta_\mathrm{B} = \arctan\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\!.</math>
7.5 Леќи
Фокусното растојание кај леќите е определен од показателот на прекршување ''n'' и полупречникот на закривеноста ''R''<sub>1</sub> и ''R''<sub>2</sub> на површините. Моќноста на тенка леќа во воздух е определена според равенката за леќа::<math>\frac{1}{f} = (n - 1)\!\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\!,</math>
каде ''f'' е фокусното растојание на леќата.
7.6 Разделна моќ на микроскоп
Разделната моќ на добар оптички микроскоп е претежно определена од бројчената апертура (НА) на објективот. Бројчената апертура па е определена од показателот на прекршување ''n'' на средината која го исполнува просторот меѓу примерокот и леќата и половината од аголот на собирната светлина ''θ'' според::<math>\mathrm{NA} = n\sin \theta.</math>
Од оваа причина потопувањето во масло вообичаено се користи за добивање голема разделна моќ во микроскопијата. При оваа техника објективот се потопува во капка масло со голем показател на прекршување и се набљудува примерокот.
7.7 Релативна пермитативност и пермеабилност
Показателот на прекршување за електромагнетното зрачење е добиен како:
:<math>n = \sqrt{\varepsilon_\mathrm{r} \mu_\mathrm{r,</math>
каде ''ε''<sub>r</sub> е релативната диелектрична константа, и ''μ''<sub>r</sub> е релативната пермеабилност. Показателот на прекршување се користи во оптиката кај Френеловите равенки и Снеловиот закон; додека пак релативната пермитативност и пермеабилност се користат кај Максвеловите равенки и електрониката. Повеќето природни материјали се немагнетни при оптичките честоти, односно ''μ<sub>r</sub>'' е многу близу до 1, оттука ''n'' е приближно . Во овој случај, комплексната релативна диелектрична константа ''ε''<sub>r</sub>, со реални и имагинарни делови''ε''<sub>r</sub> и ''ɛ̃''<sub>r</sub>, и комплексниот показател на прекршување ''n'',со реални и имагинарни делови ''n'' и ''k'' (каде k е „коефициентот на згаснување“), се добива следнава релација:
:<math>\underline{\varepsilon}_\mathrm{r} = \varepsilon_\mathrm{r} + i\tilde{\varepsilon}_\mathrm{r} = \underline{n}^2 = (n + i\kappa)^2,</math>
и нивните компоненти се поврзани преку::<math>\varepsilon_\mathrm{r} = n^2 - \kappa^2,</math>:<math>\tilde{\varepsilon}_\mathrm{r} = 2n\kappa,</math>
и:
:<math>n = \sqrt{\frac
===Бранова импеданса===
брановата импеданса на рамнински електромагнетен бран во неспроводна средина е определен од:
:<math>Z = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon = \sqrt{\frac{\mu_\mathrm{0}\mu_\mathrm{r{\varepsilon_\mathrm{0}\varepsilon_\mathrm{r} = \sqrt{\frac{\mu_\mathrm{0{\varepsilon_\mathrm{0}\sqrt{\frac{\mu_\mathrm{r{\varepsilon_\mathrm{r} = Z_0\sqrt{\frac{\mu_\mathrm{r{\varepsilon_\mathrm{r} = Z_0\frac{\mu_\mathrm{r{n}</math>
каде <math>Z_0</math> е брановата импеданса во вакуум, ''μ'' и ''ϵ'' се апсолутната диелектрична константа и магнетна пермеабилност на средината, ''ε''<sub>r</sub> е релативната диелектрична константа, и ''μ''<sub>r</sub> е релативната магнетна пермеабилност.
Во немагнетните средини,<math>\mu_\mathrm{r}=1</math> па следи:
:<math>Z = \frac{Z_0}{n},</math>:<math>n = \frac{Z_0}{Z}.</math>
Па така показателот на прекршување за немагнетните средини е односот на брановата импеданса во вакуум и брановата импеданса во средината.
Рефлексивноста <math>R_0</math> меѓу двете средини може да се изрази преку брановата импеданса и показателот на прекршување како:
:<math>R_0 = \left|\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right|^2\! = \left|\frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}\right|^2\!.</math>
7.8 Густина
Воопшто, показателот на прекршување на стаклото се зголемува со зголемувањето на густината на стаклото. Сепак, не постои линиска врска меѓу показателот на прекршување и густината за сите силикатни и боросиликатни стакла. Релативно големиот показател на прекршување и малата густина може да се постигната со додавање на лесни метални оксиди како што се: Li<sub>2</sub>O и MgO, додека кај стаклата кои содржат PbO и BaO се набљудува поинаков тренд што може да се види на дијаграмот десно.
Многу масла (на пример маслиново масло) и етил алкохол се примери на течности кои се со поголеми показатели на прекршување, но со мала густина, од водата, спротивно на општото правило за врската меѓу густината и показателот на прекршување.
За воздухот, ''n'' − 1 е пропорционално со густината на гасот сè до оној момент додека не се промени хемискиот состав. Ова значи дека е пропорционален со притисокот и обратнопропорционален со температурата на идеалните гасови.
7.9 Збирен показател
Понекогаш, се дефинира и „показател на прекршување на групната брзина“, вообичаено наречен ''збирен показател'':
:<math>n_\mathrm{g} = \frac{\mathrm{c{v_\mathrm{g,</math>
каде ''v''<sub>g</sub> е групната брзина. Оваа вредност не треба да се поистоветува со ''n'', што се дефинира преку фазната брзина. Кога расејувањето е мало, групната брзина може да се поврзе со фазнат брзина преку изразот::<math>v_\mathrm{g} = v - \lambda\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\lambda},</math>
каде ''λ'' е брановата должина на средината. Во овој случај збирниот показател може да се запише преку зависноста од брановата должина на показателот на прекршување преку:
:<math>n_\mathrm{g} = \frac{n}{1 + \frac{\lambda}{n}\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda.</math>
Кога показателот на прекршување на средината е познат како функција од брановата должина во вакуум (наместо брановата должина во средината), соодветните изрази за групната брзина и показателот се (за сите вредности на расејувањето) :<math>v_\mathrm{g} = \mathrm{c}\!\left(n - \lambda_0 \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda_0}\right)^{-1}\!,</math>:<math>n_\mathrm{g} = n - \lambda_0 \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda_0},</math>
Каде ''λ''<sub>0</sub> е брановата должина во вакуум.
7.10 Импулс (Абрахам–Минковскиева противречност)
Во 1908 година, Херман Минковски го преметал импулсот ''p'' на прекршен зрак на следниов начин::<math>p = \frac{nE}{\mathrm{c,</math>
where ''E'' is the energy of the photon, c is the speed of light in vacuum and ''n'' is the refractive index of the medium. In 1909, Max Abraham proposed the following formula for this calculation::<math>p = \frac{E}{n\mathrm{c.</math>
Истражување спроведено во 2010 година укажува дека и ''двете'' равенки се точни, со тоа што Абрахамовата равенка е кинетичкиот импулс а пак Минковскиевата равенка е пак каноничен импулс, и ги разјаснува спротивставените експериментални резултати.
7.11 Други односи
Како што е прикажано во Физовиот експеримент, кога светлината минува низ подвижна средина, со брзина релативна со брзината на движење на набљудувачот ''v'', во иста насока како и светлината:
:<math>V = \frac{\mathrm{c{n} + \frac{v\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{1+\frac{v}{cn\approx \frac{\mathrm{c{n} + v\left(1-\frac{1}{n^2}\right) \ .</math>
Показателот на прекршување на супстаниција може да се надоврзе со нејзината поларизативноста и Лоренц-Лоренцовата равенка или пак со моларното прекршување на составните делови преку Гладстон-Дејловиот однос.
7.12 Рефрактивност
При атмосфферски примени, ''рефрактивноста'' се разгледува како ''N'' = ''n'' – 1. Атмосферската рефрактивност честопати е изразена или преку''N'' = (''n'' – 1) или ''N'' = (''n'' – 1) Факторите на мултипликација се користат поради тоа што показателот на прекршување во воздухот, ''n'' се менува од единица до неколку делови десет илијадитинки.
Моларното прекршување, од друга страна, е мерка за тоталната поларизативност на мол супстанција и може да се пресмета од показателот на прекршување на следниов начин:
:<math>A = \frac{M}{\rho} \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2},</math>
каде''ρ'' е густината, и ''M'' е моларната маса.
8 Нескаларно, нелиниско, или нехомогено прекршување
Досега, се претпоставуваше дека прекршувањето е определено преку линиски равенки со просторна константа, скаларен показател на прекршување. Овие претпоставки може да се разгледуваат на различни начини, кои се опишани во следните поднаслови.
8.1 Дволомност
Кај некои материјали показателот на прекршување зависи од поларизацијата и насоката на движење на светлината. Оваа појава е наречена дволомност или оптичка анизотропија.
Во најпрост облик, едноосната дволомност, постои само при една специјална насока во материјалот. Оваа оска е позната како оптичка оска на материјалот. Светлината со линиска поларизација нормална на оската ќе биде под влијание на ''обичниот'' показател на прекршување ''n''<sub>o</sub> додека пак светлината поларизирана паралелно ќе биде под влијание на ''невообичаен'' показател на прекршување ''n''<sub>n</sub>. Дволомноста на материјалот ќе биде разликата меѓу показателите на прекршување, Δ''n'' = ''n''<sub>n</sub> − ''n''<sub>o</sub>. Светлината која се движи во насока на оптичката оска нема да биде опфатена од дејството на дволомноста бидејќи показателот на прекршување ќе бид ''n''<sub>o</sub> кој е независен од поларизацијата. За други насоки на движење светлината ќе се подели на два линиски поларизирани зраци. За светлината која се движи нормално на оптичката оска зраците ќе ја имаат истата насока. Ова може да се искористи за да се измени поларизационата насока на линиски поларизираната насоко или да се претвори помеѓу линиска, кружна или елиптична поларизација со помош на бранови плочки.
Многу кристали се природно дволомни, но изотропните материјали како што се пластиките и стаклото може да постанат дволомни со внсување на посакувана насока низ на пример, надворешна сила или електрично поле. Овој ефект е познат како фотоеластичност, и може да се искористи зџа да се забележат напрегањата во структурата. Дволомниот материјал е поставен меѓу накрсни поларизатори. Промената во дволомноста ја изменува поларизацијата а со тоа и делот од светлината кој е пропуштен низ вториот поларизатор.
Во поопшт случај на триломните материјали опишани во теоријата на кристалната оптика, ''диелектричната константа'' е тензор од втор ранк (односно матрица 3 x 3). Во овој случај движењето на светлината еедноставно не може да се опише со показателот на прекршување, тоа ќе биде возможно само во случајот за поларизациите долж главната оска.
8.2 Нелиниска оптика
Силното електрично поле од силна светлина (ласер) може да предизвика промена на показателот на прекршување како што светлината минува низ истата, добивајќи се нелиниска оптика. Ако показателот се менува квадратично со полето (линиски со јачината), се нарекува оптички Керов ефект и е причина за појави како што се самофокусирањето и самофазната модулација. Ако показателот се менува линиски со полето (независен линиски коефициент ќе постои во материјали кои не поседуваат централна симетрија), позната е како Покелсов ефект.
8.3 Нехомогеност
Ако показателот на прекршување на средината е променлив, но таа промена се менува постепено со местоположбата, материјалот е познат како градиент-показател или ГРПО средина опишана со помош на градиентната оптика. Светлината која минува низ таква средина може да биде закривена или фокусирана, и овој ефект може да се искористи за да се добие леќа, некои оптички влакна и други направи. Внесувајќи ГРПО елементиво замислата на оптичкиот систем, може во голема мера да го воедностави системот, намалувајќи го бројот на елементи за скоро третина но притоа негубејќи ни најмалку од способностите. Кристалните леќи на човековите очи се пример за ГРПО леќи со променлив показател на прекршување од 1,406 во внатрешното јадро до приближно 1,386 во обвивката со помала густина. Некои од почестите фатаморгани се предизвикани од просторно променливиот показател на прекршување во воздухот.
9 Определување на показателот на прекршување
9.1 Хомогени средини
Показателот на прекршување на течностите или цврстите материјали може да се измери со рефрактометри. Тие вообичаено мерат некаков агол на прекршување или критичен агол за тотално внатрешно прекршување. Првите лабораториските рефрактометри кои се комерцијално во продажба биле осмислени и изработени од Енст Абе кон крајот на век.
Истите начела се во употреба и денес. Во овој инструмент тенок слој на течноста која се мери е сместена меѓу две призми. Упадната светлина минува низ течноста под упадни агли до 90°, односно, светлински зраци паралелни на површината. Втората призма треба да има показател на прекршување поголем од оној на испитуваната течност, па така светлината влегува во призмата при агли помали од критичниот агол за тотално прекршување. Овој агол подоцна може да се измери со набљудување низ телескоп, или пак со дигитален фотодетектор сместен во фокусната рамнина на леќата. Показателот на прекршување ''n'' на течноста може да се пресмета од максималниот агол на пропустливост ''θ'' како ''n'' = ''n''<sub>G</sub> sin ''θ'', каде ''n''<sub>G</sub> е показателот на прекршување на призмата.
Овој вид на направи честопати се користат во хемиските лаборатории за препознавање на супстанциите и за контрола на квалитетот. Рачните рефрактометри се во употреба во земјоделството на пример од, винарите за да се определат шеќерните единици во сокот од грозје, и внатрешно процесните рефрактометри се користат на пример, во хемиската и фармаколошката индустрија за контрола на процесот.
Во гемологијата се користи поинаков тип на рефрактометри за да се измери показателот на прекршување и дволомноста кај скапоцените камења. Скампоцениот камен е сместен на призма со голем показател на прекршување и е осветлен одоздола. Течност со голем показател на прекршување се користи за да се постигне оптички контакт меѓу скапоцениот камен и призмата. При мали упадни агли поголем дел светлината ќе биде пропуштена во скапоцениот камен, но при големи агли тоталното внатрешно прекршување ќе настане во призмата. Критичниот агол е мерен нормално преку набљудување низ телескопот.
9.2 Промени на показателот на прекршување
Биолошките структури се провидни под светлосна микроскопија како и повеќето клеточни структури доволно не ја згаснуваат упадната светлина. Сепак, промените во материјалите од кои се состојат овие структури соодвествуваат со промената на показателот на прекршувањето. Следниве техники ја претвораат оваа промена во мерливи разлики на амплитудите:
За да се измери просторната промена на показателот на прекршување при едноставно фазно-контрасното снимање се користат различни методи. Овие методи ги мерат промените во фазата на светлината која го напушта примерокот. Фазата е пропорционална со оптичката должина на патот што светлината го изминува, и на тој начин се добива интегралот за показателот на прекршување по должината на зракот. Фазата не може да се измери директно при оптичките и повисоките честоти, и треба да се претвори во јачината на интерференцијата во однос на појдовниот зрак. Во видливиот дел од спектарот ова се постигнува со користење на Церникеева фазно-контрасна микроскопија, диференцијално-интерферентна контрасна микроскопија (ДИК) или интерферометрија.
Церникиевата фазно-контрасна микроскопија воведува употреба на фазна промена при ниските просторни честоти составните делови од ликот со фазно поместување на прстен во Фурјеовата рамнина на примерокот, на начин што деловите со големи просторни честоти на сликата можат да интерферираат со нискочестотниот појдовен зрак. При ДИК осветлувањето е поделено на два зраци со различни појдовни поларизации, се на различен начин фазно поместени, и се поместени трансферзално со малку поразлични чекори. По примерокот, двата делови се во интерференција, давајќи слика од изводот на оптичката должина на патот во насока на разликите во трансферзалната промена. Во интерферометријата осветлувањето се дели на два зраци преку полупропустливо огледало. Еден од зраците е пропуштен низ примерокот пред да се комбинираат и интерферираат и дадат директна слика на фазните промени. Ако промените во оптичката должина на патот се поголеми од брановата должина сликата ќе има прстени.
Постојат неколку техники на фазно-контрасно рендгенско снимањер за да се определат 2D или 3D просторни распределби на показателот на прекршување на примероците во рендгенскиот режим.
10 Примени
Показателот на прекршување е многу важно својство на компонентите на кој и да е оптички инструмент. Ја определува фокусната моќ на леќите, расејната моќ на призмите, отсјајноста на премазаите на леќите, и спроводната природа на оптичките влакна. Бидејќи показателот на прекршувањето е основно физичко својство на супстанцијата, честопати се користи за да се препознае одредена супстанција, потврди нејзината чистост или пак да се определи концентрацијата. Показателот на прекршување се користи за мерење на цврстите тела, течностите и гасовите. Најчесто се користи за да се измери концентрацијата на растворената супстанција во воден раствор. Може да се користи и како алатка за да се разликуваат различните видови на скапоцени камења, единствените мачкини ока на секој од видовите скапоцени камења. Рефрактометарот е инструмент кој се користи за определување на показателот на прекршувањето. За раствор на шеќер, tпокаателот на прекршување може да се користи за да се определи содржината на шеќерот во самиот раствор (Погледајте Бриксова скала).
11 Поврзано
* Ферматово начело
* Пресметување на својствата на стаклото
* Клаузиус–Мосотиев однос
* Елипсометрија
* Материјал со соодветен показател на прекршување
* Елипсоид на показател на прекршување
* Ласерска Шлиеренова дефлектометрија
* Оптички својства на вода и мраз
* Призмен спарувач
* Фазно-контрастно рендгенско сннимање