Векторски простор

Векторскиот простор во основа е всушност множество во чии рамки елементите задоволуваат одредени својства. Ова е еден од основните концепти на вишата математика. Со неговото воведување возможно е теоретски да се решат голем број проблеми, а како најбитно се овозможува димензионална апстракција - да се погледне „преку“ третата димензија (односно максималниот број на просторни димензии кои човековиот мозок може сетилно да ги разграничи). Иако неговата дефиниција и теориска разработка лежи во линеарната алгебра, концептот на векторски простор е многу битен и во останатите делови на математиката, а посебно во аналитичката геометрија.
Нека е дадено непразно множество <math>\ V</math> чии елементи ќе ги нарекуваме вектори (тука настанува основната забуна: поимот вектор веќе не мора да се сфаќа како насочена отсечка од рамнината или просторот, туку едноставно кажано сè, буквално сè што може да припаѓа на едно множество е вектор!); нека исто така ни е дадено едно поле <math>\ \mathbb{F}</math>, т.е. множество броеви кои има структура на поле, a чии пак елементи ќе ги нарекуваме скалари. Дефинираме операции: собирање <math>\ ( + )</math> на два елемента <math>\ x, y \in V</math> така што збирот <math>\ x + y \in V</math>; и множење со скалар <math>\ ( \cdot )</math>, т.е. множење на елемент <math>\ a \in \mathbb{F}</math> со елемент од <math>\ x \in V</math> така што производот <math>\ a \cdot x \in V</math>.
За множеството <math>\ V</math> се вели дека е векторски простор над полето <math>\ \mathbb{F}</math> ако и само ако се задоволени следниве осум аксиоми, т.е. својства:
* С1 (комутативност на собирањето): <math>\ x + y = y + x</math>, за секои <math>x, y \in V</math>;
* С2 (асоцијативност на собирањето): <math>\ ( x + y ) + z = x + ( y + z )</math> за секои <math>x, y, z \in V</math>;
* С3 (постоење на нулти-вектор): постои <math>\ \mathbb{O} \in V</math> така што: <math>\ x + \mathbb{O} = \mathbb{O} + x = x</math>, за секој <math>\ x \in V</math>;
* С4 (постоење на инверзен елемент): за секој <math>\ x \in V</math>, постои <math>\ w \in V</math> така што <math>\ x + w = w + x = \mathbb{O}</math>;
* М1: <math>\ a\cdot ( x + y ) = a\cdot x + a\cdot y</math>, за секое <math>a \in \mathbb{F}</math> и секои <math>\ x, y \in V</math>;
* М2: <math>\ ( a + b ) \cdot x = a\cdot x + b\cdot x</math>, за секое <math>\ x \in V</math> и секои <math>\ a, b \in \mathbb{F}</math>;
* М3: <math>a\cdot (b\cdot x) = (a\cdot b)\cdot x</math>, за секое <math>\ x\in V</math> и секои <math>\ a, b \in \mathbb{F}</math>;
* М4 (постоење на неутрален елемент): постои <math>\ e \in F</math> така што <math>e\cdot x = x\cdot e = x</math>, за секој <math>\ x \in V</math>;
Доколку се исполнети сите овие аксиоми, само тогаш <math>\ V</math> е векторски простор и тогаш пишуваме: <math>V = V(\mathbb{F})</math> (читај: „V над F“ или „V е векторски простор над полето F“). Честопати наместо ''векторски простор'' се вели само ''простор''. Ако полето на просторот е полето реални броеви <math>\ \mathbb{R}</math>, тогаш за просторот велиме дека е ''реален (векторски) простор'', а ако полето на просторот е полето комплексни броеви <math>\ \mathbb{C}</math>, тогаш за просторот велиме дека е ''комплексен (векторски) простор''.
Примери за векторски простор се: права од просторот која минува низ координатниот почеток; рамнина од просторот која минува низ координатниот почеток; целиот тридимензионален простор.
Познато е дека секоја точка од рамнината и просторот може да се претстави како подредена двојка (пар) и подредена тројка од реални броеви соодветно. Членовите на парот, односно тројката се нарекуваат ''координати на точката''. Ако секоја точка од рамнината / просторот ја претставиме преку нејзиниот радиусвектор (кој пак ги има истите координати како и точката), и дефинираме собирање на два радиусвектора <math>\ u = ( a , b ), v = ( c , d )</math> со: <math>\ u + v = ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + b , c + d)</math> и множење со скалар со <math>\ k\cdot u = k\cdot ( a , b ) = ( k\cdot a , k\cdot b ), k \in \mathbb{F}</math>, тогаш лесно се проверува дека во однос на вака дефинираните операции множествaта од подредени двојки / тројки (односно некоја рамнина од 3D-просторот и самиот 3D-простор) се реални векторски простори. Ако пак се апстрахираме од визуелното геометриско значење на координатите на точките и воведеме: подредени четворки: <math>\ (a_1, a_2, a_3, a_4)</math>, подредени петорки: <math>\ (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)</math>, или пак за произволен природен број n воведеме подредена n-торка: <math>\ (a_1, a_2,..., a_n)</math>, а операциите ги дефинираме на потполно ист начин (збир на два вектора [две n-торки] е вектор чии координати претставуваат збир од соодветните координати на векторите [n-торките]; а производ на вектор [n-торка] со скалар е вектор [n-торка] чии координати се координатите на векторот [n-торката] помножени со скаларот), тогаш се проверува дека множеството од n-торки ги задоволува погорните аксиоми, т.е. дека тоа е векторски простор.
Напомена: векторскиот простор е затворен во однос на во него дефинираните операции, т.е. ако едно множество е векторски простор тогаш преку операциите не може да се „излезе од неговите граници“, т.е. не постојат вектори кои припаѓаат во просторот, а чиј збир не припаѓа во просторот, ниту таков вектор од просторот и таков скалар од полето чијшто производ не припаѓа во просторот.
1 База и димензија на векторски простор
Да избереме неколку вектори од векторскиот простор: <math>\ v_1, v_2,..., v_n \in V</math> и од нив да формираме множество <math>\ S</math>, т.е.: <math>\ S = \{ v_1, v_2,..., v_n \}</math>. За множеството <math>\ S</math> се вели дека е генератор (генераторно множество) за векторскиот простор <math>\ V</math> ако секој вектор од просторот може да се запише како линеарна комбинација од векторите од множеството <math>\ S</math>, т.е. ако постојат скалари <math>\ a_1, a_2,..., a_n \in \mathbb{F}</math> такви што за произволен вектор <math>\ x \in V</math> точно е:
:<math>\ x = a_1\cdot v_1 + a_2\cdot + v_2 + ... + a_n\cdot v_n</math>
Поедноставно, ако сите вектори од <math>\ V</math> може да ги претставиме преку вектортите од множеството <math>\ S</math>, тогаш за <math>\ S</math> се вели дека е генератор nа <math>\ V</math>.
Дополнително, ако множеството <math>\ S</math> е линеарно независно, тогаш се вели дека <math>\ S</math> претставува база на векторскиот простор <math>\ V</math>. Веднаш дефинираме и димензија на векторскиот простор како број на вектори што ја сочинуваат базата. Дека просторот <math>\ V</math> има димензија ''n'' бележиме со: <math>\ dimV = n</math>. Така базата на тридимензионален простор има три вектори, на дводимензионален - два на стодимензионален, сто вектори.
На пример секој вектор од обичниот, тридимензионален простор може да се претстави преку векторите: <math>\ v_1 = (1,0,0), v_2 = (0,1,0), v_3 = (0,0,1)</math> што значи дека тие сочинуваат база, а нивниот број е три.
Базата на просторот не е единствена, т.е. еднозначно определена. Тоа значи дека за секој простор постојат бесконечно многу бази. Теориски, било кое линеарно независно множество вектори од еден простор може да сочинува база за тој простор. Но, како и да е, димензијата на просторот секогаш е еднозначно определена - сите бази на просторот се сочинети од ист број вектори.
2 Векторски потпростори
Слично како што во однос на ''множеството'' се разгледува ''подмножество'', така во однос на ''векторскиот простор'' се разгледува ''векторски потпростор''. Бидејќи самиот векторски простор е множесвто, логички се наметнува заклучокот дека потпросторот е негово подмножество; но не какво било подмножество. Имено потпросторот мора да е сам за себе простор, односно за сите елементи од подмножеството да важат аксиомите за векторски простор. Само тогаш може да се каже дека едно подмножество е векторски потпростор. И потпросторите од еден векторски простор не се еднозначно определени. Од друга страна, бидејќи потпросторот ги „наследува“ операциите од просторот, доволно е да покажеме дека, за секои <math>\ x, y \in W</math> и секои <math>a, b \in F</math> векторот: <math>a\cdot x + b\cdot y \in W</math>, каде со <math>\ W</math> е означено (под)множество вектори од просторот <math>\ V</math> за кое испитуваме дали е векторски потпростор. Релацијата „''е векторски потпростор од''“ се бележи со знакот <math>\ \le</math>. Така, ако <math>\ W</math> е потпростор од <math>\ V</math> пишуваме: <math>\ W \le V</math>.
Бидејќи и самите потпростори се векторски простори, тие имаат база и димензија. Се јавува следнава поврзаност: потпросторот е подмножество од просторот, па соодветно: базата на потпросторот е подмножество од базата на просторот. Како точно се покажува следново; нека <math>\ dimV = n</math> и нека <math>\ W \le V</math>, тогаш:
* ако <math>\ dimW = n</math> тогаш <math>\ W = V</math>* ако <math>\ dimW = 0</math> тогаш <math>\ W = \{ \mathbb{O} \}</math> (<math>\ W</math> го содржи само нултиот-вектор)
Ако <math>\ U, W \le V</math>, тогаш под збир на потпростори ќе го разбираме множеството:
<math>\ U + W = \{ u + w | u \in U, w \in W \}</math>
кое исто така е векторски потпростор од <math>V</math>. За димензијата на збирот на потпросторите важи:
:<math>\ dim(U + W) = dimU + dimW - dim(U \cap W)</math>