Тридимензионален простор

Тридимензионален простор или (3Д-простор) — математички простор во кој се потребни три вредности (наречени ''координати'') за одредување на положбата на една точка. Во највообичаената смисла, ова е тридимензионален Евклидов простор, т.е. Евклидовиот простор од трета димензија, со кој го моделираме физичкиот простор. Поопштите тридимензионални простори се нарекуваат ''тридимензионални многуобразија''. Поимот разговорно може да се однесува на подмножество на простор, ''тридимензионална област'' (или 3Д-домен),''тело''.
Технички гледано, кратно на броеви може да се поимува како Декартови координати на место во -димензионален Евклидов простор. Множеството од овие -кратна се бележи како <math>\R^n,</math> и може да се поистовети со парот образуван од -димензионален Евклидов простор и Декартов координатен систем.
Кога , овој простор се нарекува тридимензионален Евклидов простор (или просто „Евклидов простор“ кога контекстот е јасен). Во класичната физика тој служи како модел за физичката вселена, во кој постои сета материја. Кога се зема предвид теоријата за релативноста, може да се смета за месен потпростор на време-просторот. Иако ова е најшироко употребуваниот модел на светот кој го искусуваме, тој е само еден пример за тридимензионално многуобразие. Во овој класичен пример, кога трите вредности се однесуваат на мерки во разни насоки (координати), можеме да избереме било кои три насоки под услов тие да не лежат на иста рамнина. Покрај тоа, ако овие насоки се спарени нормали, трите вредности ги нарекуваме ''ширина'', ''висина/длабочина'' и ''должина''.
1 Историја
Филозофот Аристотел говори за постоењето на три димензии:
Книгите XI и XIII од „''Елементи''“ на Евклид се занимаваат со тридимензионална геометрија. Книга XI ги образложува нормалноста, паралелноста и ортогоналноста на правите и рамнините, конструкцијата и својствата на аглите и на паралелопипедните тела. Книга XII зборува за инфинитезималите и методот на исцрпување за пронаоѓање на плоштината на круг или зафатнината на пирамида, конус, цилиндар или сфера. Книга XIII го опишува конструирањето на пет правилни Платонови тела во сфера: коцката, октаедарите, икосаедарите и додекаедарите.
Во XVII век тридимензионалниот простор е опишан со Декартови координати, со појавата на аналитичката геометрија разработена од Рене Декарт во неговото дело „''Геометрија''“. Пјер де Ферма независно разработил слични идеи во ракописот „Вовед во рамни и просторни места“ (''Ad locos planos et solidos isagoge''), кој не го објавил додека бил жив. Неговата работа на барање на екстреми на крива ги удрила темелите на диференцијалното сметање. Исак Њутн го вовел поларниот координатен систем како алтернативен недекартов систем, корисен во некои геометрии.
Во XVIII век Алекси Клеро проучувал алгебарски криви во просторот, концептот за допирен простор и закривеност, како и употребата на анализа за таа цел. Леонард Ојлер го разгледувал поимот за геодезиска линија на површина, изведувајќи ја првата аналитичка геодезиска равенка, а потоа го вовел првиот збир од сопствени координатени системи на површина, воведувајќи ја теоријата за ''сопствена геометрија'' на која се засноваат современите геометриски идеи. Во 1760 г. Ојлер докажал теорема изразувајќи ја закривеноста на просторна крива на површина со главни кривини, познато како Ојлерова теорема. Подоцна истиот век, Гаспар Монж направил важни придонеси кон проучувањето на кривите и површините. Со тоа Ојлер и Монж ги поставиле темелите на диференцијалната геометрија.
Во XIX век геометријата на тридимензионалниот простор бележи развој со работата на ирскиот математичар Вилијам Роуан Хамилтон, поточно разработката на кватернионите, кои се хиперкомплексен броен систем. За таа цел Хамилтон ги ги вовел поимите скалар и вектор, кои за прват се дефинирани во тридимензионална смисла во геометриската рамка за кватерниони. Така, тридимензионалниот простор можел да се опише со помош на кватернионите <math>q = a + ui + vj + wk</math> кои имале исчезнувачка скаларна составница, т.е. <math>a = 0</math>.
Со неговата работа Хамилтон посредно го вовел поимот за база, тука даден од кватернионските елементи <math>i,j,k</math>, како и скаларниот и векторскиот производ, што соодветствува на (негативот од) скаларниот дел и векторскиот дел на производот од два векторски кватерниона. Овие два производа се препознаени како нешта сами по себе дури од Вилард Гибс, Современото бележење на скаларните и векторските производи е воведено од неговите наставни белешки, употребени и во „''Векторска анализа''“ (1901) од Едвин Бидвел Вилсон, врз основа на Гибсовите предавања.
Понатамошниот развој уследил во облик на апстрактниот формализам на векторските простори во работата на Херман Грасман и Џузепе Пеано; Пеано ја дал првата современа дефиниција за векторски простори како алгебарска структура. Развојот на матричната математика и нејзината применаво n-димензионална геометрија е плод на залагањата на Артур Кејли.
2 Во Евклидовата геометрија
2.1 Координатни системи
Во математиката, аналитичката геометрија (наречена и Декартова геометрија) ја опишува секоја точка во тридимензионалниот простор со помош на три координати. Се даваат три координатни оски, секоја од нив нормална на другите две во почетокот, точката во која се сечат. Тие се бележат со и . Во однос на тие оски, положбата на секоја точка во тридимензионалниот простор се изразува како подредена тројка од реални броеви, каде секој број е растојанието на таа точка од почетокот измерен долж дадената оска, што е еднакво на оддалеченоста на таа точка од рамнината определена од другите две оски.
Други чести начини на опишување на местоположбата на една точка во тридимензионален простор се цилиндричните и сферните координати, иако има бесконечно многу можни начини.
Подолу се прикажани гореспоманатите системи.
2.2 Прави и рамнини
Две различни точки секогаш определуваат права. Три различни точки може да бидат или колинеарни, или да определуваат своја рамнина. Од друга страна, четири различни точки можат да бидат или колинеарни, или копланарни, или да го определуваат целиот простор.
Две одделни прави можат да се пресекуваат, да бидат паралелни или да се разминувачки. Две паралелни прави или две пресекувачки прави лежат на своја рамнина, па така разминувачките прави се прави кои не се среќаваат и не лежат на иста рамнина.
Две различни рамнини можат или да се среќаваат во заедничка права, или да бидат паралелни (т.е. да не се среќаваат). Три различни прави (каде ниеден пар не е паралелен), можат да се среќаваат во заедничка права, во една заедничка точка, или да немаат ниедна заедничка точка. Во последниот случај, трите прави во пресекот на секој пар се взаемно паралелни.
Една права може да лежи на дадена рамнина, да ја пресекува таа рамнина во единствена точка или да биде паралелна на рамнината. Во последниот случај може да се образуваат прави на рамнината кои се паралелни на дадената права.
Хиперрамнината е потпростор со една димензија помалку од димензијата на целиот простор. Хиперрамнините во тридимензионален простор се дводимензионални потпростори, т.е. рамнини. Изразено во Декартови координати, точките на хиперрамнината задоволуваат една линеарна равенка, така што рамнините во овој тридимензионален простор се опишуваат со линеарни равенкии. Правата може да се опише со пар независни линеарни раевнки — секоја од нив претставува рамнина со оваа права како заеднички пресек.
Варињоновата теорема вели дека средишната точка на секој четириаголник во <math>\mathbb{R}^{3}</math> образува паралелограм, и затоа е копланарен.
2.3 Сфери и топки
Сферата во тридимензионален простор (наречена и дводимензионална сфера бидејќи е тело со две димензии) се состои од множество од сите точки во тридимензионален простор на дадено растојание од централната точка . Телото кое го обвива сферата се нарекува топка (поточно, тридимензионална топка).
Зафатината на топката е дадена со<math display = block>V = \frac{4}{3}\pi r^{3},</math>
а плоштината на сферата е<math display = block>A = 4\pi r^2,</math>
Друг вид на сфера произлегува од четиридимензионална топка, чија тридимензионална површина е тридимензионалната сфера: точките подеднакво оддалечени од почетокот на Евклидовиот простор . Ако точката има координати, , тогаш ги одликува тие толки на единичната тридимензионална сфера со средиште во почетокот.
Оваа тридимензионална сфера е пример за тридимензионално многуобразие: простор кој ''месно изгледа'' како тридимензионален простор. Строго тополошки изразено, секоја точка на тридимензионалната сфера има околина која е хомеоморфна на отворено подмножество на тридимензионален простор.
2.4 Политопи
Во три димензии постојат девет правилни политопи: петте испакнати Платонови тела и четири неиспакнати Кеплер-Поансоови тела.
+ Правилни политопи во три димензии
Класа, Платонови тела, Кеплер-Поансоови тела
Симетрија, T<sub>d</sub>, O<sub>h</sub>, I<sub>h</sub>
Коксетерова група, A<sub>3</sub>, [3,3], B<sub>3</sub>, [4,3], H<sub>3</sub>, [5,3]
Ред, 24, 48, 120
Правиленполиедар, {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}, {5/2,5}, {5,5/2}, {5/2,3}, {3,5/2}
2.5 Површини на вртење
Површината создадена со вртење на рамнинска крива околу неподвижна права на оваа рамнина како оска се нарекува површина на вртење. Рамнинската крива се нарекува ''генератриса'' на површината. Резнето од површината направено со пресекување на површината со рамнина нормална (ортогонална) на оската е кружница.
Простите примери се јавуваат кога генератрисата е права. Ако таа се пресекува со оската, површината на вртење е правоаголен кружен конус со теме во пресечната точка. Меѓутоа, ако генератрисата и оската се паралелни, тогаш површината на вртење е кружен цилиндар.
2.6 Квадрики
Аналогно на конусните пресеци, квадрика е множеството точки чии Декартови координати ја задоволуваат општата равенка од втор ред, имено,
<math>Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Fxy + Gyz + Hxz + Jx + Ky + Lz + M = 0,</math>
каде и се реални броеви и не сите и се нула.
Постојат шест видови на неизродени површини од втор ред:# Елипсоид
# Еднокрилен хиперболоид
# Двокрилен хиперболоид
# Елиптичен конус
# Елиптичен параболоид
# Хиперболичен параболоид
Изродените квадрики се празното множество, една точка, една права, една рамнина, пар рамнини или квадратен цилиндар (површина што се состои од неизроден конусен пресек на рамнина и сите прави на низ тој пресек кои се нормални на ). Елиптичните конуси исто така понекогаш се сметаат за изродени квадрики.
Еднокрилниот и хиперболоид и хиперболичниот параболоид се праволиниски површини, што значи дека може да се сочинети од семејство прави. Впрочем, секој има две семејства на творни прави, а членовите на секое семејство се дисјунктивни и секој член на едно семејство се сече, со само еден исклучок, со секој член на другото семејство. Секое семејство се нарекува регул.
3 Во линеарната алгебра
Во линеарната алгебра, перспективата на тридимензионален простор е суштински зависна од концептот за независност. Просторот има три димензии бидејќи должината на една кутија е независна од нејзината ширина и висина. Изразено со техничкиот јазик на линеарната алгебра, просторот е тридимензионален бидејќи секоја точка во него може да се опише со линеарна комбинација од три независни вектори.
3.1 Скаларен производ, агол и должина
Векторот може да се претстави како стрелка. Величината на векторот е неговата должина, а неговата насока е насоката што ја покажува стрелката. Еден вектор во <math>\mathbb{R}^{3}</math> може да се претстави со подредена тројка од реални броеви. Овие броеви се нарекуваат составници (компоненти) на векторот.
Скаларниот производ на два вектора и се дефинира како::<math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3 = \sum_{i=1}^3 A_i B_i.</math>
Величината на еден вектор е претставена со . Скаларниот производ на вектор со самиот себе е
:<math>\mathbf A\cdot\mathbf A = \|\mathbf A\|^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2,</math>
што дава:<math> \|\mathbf A\| = \sqrt{\mathbf A\cdot\mathbf A} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2},</math>
формулата за Евклидовата должина на векторот.
Не осврнувајќи се на составниците на векторите, скаларниот производ на два ненуларни Евклидови вектори и е даден од:<math>\mathbf A\cdot\mathbf B = \|\mathbf A\|\,\|\mathbf B\|\cos\theta,</math>
каде е аголот помеѓу и .
Како физички пример, имаме еден блок на коса рамнина што оди надолу влечен од земјината тежа. Можеме да се послужиме со скаларниот производ за да ја пресметаме работата <math>W</math> извршена од постојаниот силен вектор <math>\mathbf g</math> кој дејствува под агол <math>\theta</math> во однос на правецот на надолно движење <math>\mathbf d</math>. Ова значи::<math>W = \mathbf g\cdot\mathbf d = \|\mathbf g\|\,\|\mathbf d\|\cos\theta</math>
3.2 Векторски производ
Векторскиот производ е бинарна операција со два вектора во тридимензионален простор простор и е претставена со симболот ×. Векторскиот производ A × B од векторите A и B е вектор кој е нормален на двата, и затоа на рамнината што ги содржи. Ова наоѓа доста примени во математиката, физиката и инженерството. На пример, служи за пресметување на количеството на момент на сила што дејствува врз завртка кога се одвртува со клуч, или Лоренцовите сили врз електрон што патува низ магнетно поле.
Функциски изразено, векторскиот производ на една функција <math>\times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3</math>.
Составниците на векторскиот производ се и може исто така да се запише со составници, користејќи го Ајнштајновиот начин на збирање како <math>(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_i = \varepsilon_{ijk} A_j B_k</math> каде <math>\varepsilon_{ijk}</math> е симболот на Леви-Чивита. Го има својството <math>\mathbf{A}\times \mathbf{B} = -\mathbf{B}\times \mathbf{A}</math>.
Неговата величина е поврзана со аголот <math>\theta</math> помеѓу <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{B}</math> со идентитетот<math display = block> \left\|\mathbf{A}\times \mathbf{B}\right\| = \left\|\mathbf{A}\right\| \cdot \left\|\mathbf{B}\right\| \cdot \left|\sin\theta\right|.</math>
Просторот и производот образуваат алгебра над поле, која не е ниту комутативна ниту асоцијативна, туку претставува Лиева алгебра каде векторскиот производ е Лиева заграда. Поконкретно, просторот заедно со производот, <math>(\mathbb{R}^3,\times)</math> е изоморфен на Лиевата алгебра на тридимензионалните вртења, означено со <math>\mathfrak{so}(3)</math>. За да ги задоволи аксиомите на Лиевата алгебра, наместо асоцијативност на векторскиот производ, тој го задоволува Јакобиевиот идентитет. За било кои три вектори <math>\mathbf{A}, \mathbf{B}</math> и <math>\mathbf{C}</math><math display = block>\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) + \mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A}) + \mathbf{C}\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = 0</math>
Можеме во ''n'' димензии да го земеме производот на вектори за да произведеме вектор нормален на сите нив. Но доколку производот е ограничен на нетривијални бинарни производи со векторски резултати, тој постои само во три и седум димензии.
3.3 Апстрактен опис
Може да биде корисно да се опише тридимензионалниот простор како тридимензионален векторски простор <math>V</math> над реалните броеви. Ова се разликува од <math>\mathbb{R}^3</math> на суптилен начин. По дефиниција, постои база <math>\mathcal{B} = \{e_1,e_2,e_3\}</math> за <math>V</math>. Ова соодветствува на изоморфизмот помеѓу <math>V</math> и <math>\mathbb{R}^3</math>:. Меѓутоа, не постои „претпочитана“ или „канонска“ база <math>V</math>.
Од друга страна, постои претпочитана база за <math>\mathbb{R}^3</math>, што се должи на нејзниот опис како Декартов производ од парови на <math>\mathbb{R}</math>, т.е. <math>\mathbb{R}^3 = \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math>, тридимензионалниот Евклидов простор. Ова овозможува дефинирање на канонски проекции, <math>\pi_i:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}</math>, каде <math>1 \leq i \leq 3</math>. На пример, <math>\pi_1(x_1,x_2,x_3) = x</math>. Со тоа, ова овозможува дефинирање на стандардна база <math>\mathcal{B}_{\text{стандард = \{E_1, E_2, E_3\}</math> определена од
<math display = block>\pi_i(E_j) = \delta_{ij}</math>
каде <math>\delta_{ij}</math> е Кронекеровиот делта-симбол. Напишано целосно, стандардната база е<math display = block>E_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, E_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, E_3 = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}.</math>
Затоа <math>\mathbb{R}^3</math> може да се смета за апстрактниот векторски простор, заедно со дополнителната структура на изборот на база. Обратно на тоа, <math>V</math> може да се добие почнувајќи од <math>\mathbb{R}^3</math> и „заборавајќи“ ја структурата на Декартовиот производ, или еквивалентно, стандардниот избор на база.
Наспроти општ векторски простор <math>V</math>, просторот <math>\mathbb{R}^3</math> понекогаш се нарекува координатен простор.
Физички гледано, концептуално пожелно е да се користи апстрактниот формализам за да се претположи што помалку структура ако таа не е дадена од поараметрите на дадениот проблем. На пример, во проблем со вртежна симетрија, работата со поконкретен опис на тридимензионалниот простор <math>\mathbb{R}^3</math> претпоставува избор на база која соодветстува на извесни оски. Но во вртежната симетрија не постои причина да се претпочитаат едни оски наспроти други, произволно свртени. Поинаку кажано, претпочитаниот избор на оски ја ја нарушува вртежната симетрија на физичкиот простор.
Пресметковно гледано, неопходно е да се работи со поконкретниот опис <math>\mathbb{R}^3</math> за да се извршат конкретни пресметки.
3.3.1 Афин опис
Уште поапстрактен опис е моделирањето на физичкиот простор во тридимензионален афин простор <math>E(3)</math> над реални броеви. Ова е уникатно до афин изоморфизам. Понекогаш се нарекува тридимензионален Евклидов простор. Како што описот на векторскиот простор доаѓа од „заборавање на претпочитаната база“ на <math>\mathbb{R}^3</math>, описот на афиниот простор доаѓа од 'заборавање на почетокот' на векторскиот простор. Евклидовите простори понекогаш се нарекуваат ''Евклидови афини простори'' за да се разликуваат од Евклидовите векторски простори.
Ова е физички привлечно бидејќи јасно ја покажува преодната инваријатност на физичкиот простор. Претпочитаниот почеток ја нарушува преодната инваријантност.
3.3.2 Внатрешнопроизводен простор
Дискусијата погоре не го опфаќча скаларниот производ. Тој е пример за внатрешен производ. Физичкиот простор може да се моделира како векторски простор, кој дополнително има структура на внатрешен производ. Внатрешниот производ ги дефинира поимите за должина и агол (а затоа и поимот за ортогоналност). За секој внатрешен производ постојат бази при кои внатрешниот производ се сложува со скаларниот производ, но сепак, постојат многу различни можни бази, и недна не е претпочитана. Тие се разликуваат една од друга по вртењето, елемент на групата на вртења SO(3).
4 Во анализата
Векторската анализа се занимава со инфинитезимални и кумулативни промени на векторските полиња, особено во тридимензионален Евклидов простор, <math>\mathbb{R}^3</math>. За диференцијација се користи операторот дел (<math>\nabla</math>) или набла.
4.1 Градиент, дивергенција и ротор
Градиентот ја укажува насоката на најголемо зголемување на функција, како и нејзината величина. Пример за тоа е текот на честички, каде градиент е величината и насоката на текот во дадено место. Во правоаголен координатен систем, градиентот на диференцијабилна функција <math>f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}</math> е даден од:<math>\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} +
\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} +
\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}</math>
каде i, j и k се единичните вектори за оските ''x'', ''y'' и ''z''. Во индексен запис се претставува како<math display=block>(\nabla f)_i = \partial_i f.</math>
Дивергенцијата покажува нето тек на векторското поле околу една точка, како зголемување или намалување на густината на честички. Ова покажува дали местото е извор или вртача. Дивергенцијата на (диференцијабилно) векторско поле F = ''U'' i + ''V'' j + ''W'' k, т.е. функција <math>\mathbf{F}:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3</math>, е еднаква на скаларновредносна функција::<math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
=\frac{\partial U}{\partial x}
+\frac{\partial V}{\partial y}
+\frac{\partial W}{\partial z
}. </math>
Во индексен запис, со Ајнштајновиот начин на збирање ова е<math display=block>\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial_i F_i.</math>
Роторот (или виор) е вектор кој покажува вртежното кружење на векторското поле. Проширено во Декартови координати, роторот ∇ × F is, for F сочинет од [''F''<sub>x</sub>, ''F''<sub>y</sub>, ''F''<sub>z</sub>]::<math>\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\
{\frac{\partial}{\partial x & {\frac{\partial}{\partial y & {\frac{\partial}{\partial z \\
\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math>
Ова се проширува вака::<math>\operatorname{curl}\,\mathbf{F} = \nabla\times\mathbf{F} =
\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}.</math>
Во индексен запис, со Ајнштајновиот начин на збирање ова е<math display=block> (\nabla \times \mathbf{F})_i = \epsilon_{ijk}\partial_j F_k,</math>
каде <math>\epsilon_{ijk}</math> е сосема антисиметричниот, симболот на Леви-Чивита.
4.2 Линиски, површински и зафатнински интеграли
Криволиниски интеграл на функција долж крива може да се смета за непрекинато збирање на функциската вредност долж секој инфинитезимален прираст на таа крива. За некои скаларно поле ''f'' : ''U'' ⊆ R<sup>''n''</sup> → R, ''линискиот интеграл'' долж крива мазна по делови ''C'' ⊂ ''U'' се дефинира како:<math>\int\limits_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.</math>
каде r: [a, b] → ''C'' е произволна биективна (соодветство еден со еден) параметризација на кривата ''C'' така што r(''a'') и r(''b'') ги даваат крајните точки ''C'' и <math>a < b</math>.
За векторско поле F : ''U'' ⊆ R<sup>''n''</sup> → R<sup>''n''</sup>, линискиот интеграл долж мазната крива по делови ''C'' ⊂ ''U'', во насоката r, се дефинира како:<math>\int\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt,</math>
каде <math>\cdot</math> е скаларниот производ, а r: [a, b] → ''C'' е биективната параметризација на кривата ''C'' така што r(''a'') и r(''b'') ги даваат крајните точки на ''C''. Подвид на линискиот интеграл среќаваме во физиката кога рамнината е затворена јамка, што го одредува кружењето на функцијата околу јамката:<math>\oint_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r}.</math>''Површинскиот интеграл'' е воопштување на повеќекратни интеграли на интеграција над површини. Може да се смета за двојноинтегрален аналог на линискиот интеграл. За да ја најдеме изречната формула за површинскиот интеграл ќе треба да ја параметризираме дадената површина, ''S'', работејќи со систем на криволиниски координати на ''S'', како ширина и должина на сфера. Нека таква параметризација биде x(''s'', ''t''), каде (''s'', ''t'') се разликува во некоја област ''T'' на рамнината. Тогаш површинскиот интеграл е даден од
:<math>
\iint_{S} f \,\mathrm dS
= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt
</math>
каде изразот меѓу правите црти на десната страна е величината на векторскиот производ на парцијалните изводи на x(''s'', ''t''), и се нарекува површински елемент. Ако имаме векторско поле v на ''S'', т.е. функција која на секое x во ''S'' му задава вектор v(x), површинскиот интеграл може да се дефинира како составнички според дефинициите на површинскиот интеграл на скалано поле; резултатот е вектор.
''Зафатнинскиот интеграл'' е интеграл над ''тридимензионален домен'' или област.
Кога интеграндот е тривијален (единица), зафатнинскиот интеграл е просто ''зафатнината'' на областа.
Може да значи и троен интеграл во областа ''D'' во R<sup>3</sup> на функција <math>f(x,y,z),</math> и обично се запишува вака:
:<math>\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.</math>
4.3 Фундаментална теорема за линиските интеграли
Фундаменталната теорема за криволиниските интеграли вели дека криволиниски интеграл низ градиентно поле може да се пресмета со пресметување на првичното скалано поле и завршните точки на кривата.
Нека <math> \varphi : U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>. Тогаш
:<math> \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\gamma[\mathbf{p},\,\mathbf{q}]} \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}. </math>
4.4 Стоксова теорема
Стоксовата теорема го поврзува површинскиот интеграл на роторот на векторско поле F над површина Σ во Евклидов тридимензионален простор со криволинискиот интеграл на векторското поле над неговата граница ∂Σ::<math> \iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}. </math>
4.5 Теорема за дивергенција
Да земеме дека е подмножество на <math>\mathbb{R}^n</math> (во случајот на претставува зафатнина во 3Д-простор) кое е компактно и има граница мазна по делови (означено и со ). АКо е непрекинато диференцијабилно векторско поле дефинирано на околина , тогаш Гаус-Остроградскиевата теорема (теоремата за дивергенција) вели::
Левата страна е зафатнински интеграл над зафатнината , а десната е површинскиот интеграл над границата на зафатнината . Затвореното многуобразие е, прилично воопштено, границата на насочена кон нормалата што покажува нанадвор, а е нанадвор насоченото единично нормално поле на границата . ( може да се користи како скратен облик на .)
5 Во топологијата
Тридимензионалниот простор има ред тополошки својства кои го разликуваат од простори со други димензии. На пример, за врзување на јазол на врвца потребни се барем три димензии.
Во диференцијалната геометрија, генеричките тридимензионални простори се тридимензионални многуобразија, кои месно личат на <math>{\mathbb{R^3</math>. Globally, истото тридимензионално многуобразие може да биде закривено на разни начини, под услов да остане непрекинато. Пример за ова е закривениот време-простор во општата релативност.
6 Во конечната геометрија
Многу поимувања за димензиите може да се испробаат со конечна геометрија. Најпростиот пример е PG(3,2), кој има Фаноови рамнини како негови двозимензионални потпростори. Ова е пример за Галоаова геометрија, која ја проучува проективната геометрија користејќи конечни полиња. Така, за секое Галоаово поле GF(''q''), постои проективен простор PG(3,''q'') од три димензии. На пример, секои три разминувачки прави во PG(3,''q'') се содржат во точно еден регул.
7 Поврзано
* Димензионална анализа
* Четиридимензионален простор
* Разминувачки прави
* Стереометрија
* Тридимензионална геометрија
* Тридимензионален график