Точка на Ферма

Во Евклидовата геометрија, Ферматовата точка на триаголник, исто така позната како Торичелиева точка или точка на Ферма-Торичели, е точката за која збирот на трите растојанија од секое од трите темиња на триаголникот до точката е најмал или, еквивалентно, геометриската средина на трите темиња. Името на точката е такво затоа што овој проблем за прв пат го поставил Ферма во приватно писмо до Еванџелиста Торичели, кој го решил.
Точката на Ферма дава решение за проблемите на геометриската медијана и на Штајнеровото дрво за три точки.
1 Конструкција
Ферматовата точка на триаголник чиј најголем агол не е поголем од 120° е едноставно неговиот прв изогонски центар или X(13), кој се конструира на следниов начин:
# Конструирај рамностран триаголник над секоја од две произволно избрани страни на дадениот триаголник.
# Нацртајте линија од секое ново теме до спротивното теме на првобитниот триаголник.
# Двете линии се сечат на точката Ферма.
Постои и алтернативен метод:
# На секоја од две произволно избрани страни, конструирај рамнокрак триаголник, со основа на страната за која станува збор, агли од 30 степени во основата и третото теме од секој рамнокрак триаголник да лежи надвор од првобитниот триаголник.
# За секој од рамнокраките триаголници нацртајте кружница со центар во новото теме на рамнокракиот триаголник и со радиус еднаков на секоја од двете нови страни на тој рамнокрак триаголник.
# Пресекот на двете кружници во внатрешноста на оригиналниот триаголник е точката на Ферма.
Кога триаголникот има агол поголем од 120°, точката на Ферма се наоѓа на темето со тап агол.
Во она што следи, „случај 1“ значи дека триаголникот има агол поголем од 120°. „Случај 2“ значи дека ниеден агол на триаголникот не надминува 120°.
2 Локација на X(13)
На црт. 2 се прикажани рамнострани триаголници доцртани над страните на произволниот триаголник . Ќе наведеме еден доказ во кој се користат својствата на конциклични точки за да покаже дека трите линии на црт. 2 се сечат во точката и се сечат една со друга под агли од 60°.
Триаголниците се складни бидејќи вториот е ротација од 60° на првиот околу темето . Оттука и . Од обратната насока на теоремата за впишан агол применета на отсечката , точките се конциклични (лежат на кружница). Слично на тоа, точките се конциклични.
, па , што се добива од теоремата за впишан агол. Слично, .
Значи и оттука . Користејќи ја теоремата за впишан агол, ова имплицира дека точките се конциклични. Значи, користејќи ја теоремата за впишан агол применета на отсечката , . Бидејќи , точката лежи на отсечката . Значи, отсечките се конкурентни (тие се сечат во една точка). QED
Овој доказ се применува само во случајот 2, бидејќи ако , точката лежи во внатрешноста на опишаната кружница околу што ги менува релативните положби на и . Сепак, лесно се прилагодува за да го опфати и случајот 1. Тогаш па оттука што значи е концикличен па . Затоа, лежи на .
Отсечките кои ги спојуваат центрите на кружниците на црт. 2 се нормални на отсечките . На пример, правата којашто го спојува центарот на кружницата која го содржи и центарот на кружницата опишана околу , е нормална на отсечката . Значи, правите кои ги спојуваат центрите на кружниците исто така се сечат под агли од 60°. Затоа, центрите на кружниците формираат рамностран триаголник. Ова тврдење е познато како Наполеонова теорема.
3 Локација на точката на Ферма
3.1 Традиционална геометрија
За даден произволен Евклидов триаголник и произволна точка , нека <math>d(P) = |PA|+|PB|+|PC|.</math> Целта на овој дел е да се идентификува точка таква што <math>d(P_0)<d(P)</math> за сите <math>P\ne P_0.</math> Ако таква точка постои, тогаш тоа ќе биде точката на Ферма за триаголникот . Во продолжение, ќе ги означува точките во внатрешноста на триаголникот и се зема дека ја вклучува неговата граница .
Клучен резултат што ќе се користи е правилото dogleg, кое тврди дека ако еден триаголник и многуаголник имаат една заедничка страна, а остатокот од триаголникот лежи внатре во многуаголникот, тогаш триаголникот има пократок периметар од многуаголникот:
: Ако е заедничката страна, продолжете ја до пресекот со многуаголникот во точката . Тогаш, заради неравенството на триаголникот, периметарот на многуаголникот е:
:<math>\text{Периметар} > \overline{AB}+\overline{AX}+\overline{XB} = \overline{AB}+\overline{AC}+\overline{CX}+\overline{XB} \geqslant \overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BC}.</math>
Нека е која било точка надвор од . Поврзете го секое теме со неговата оддалечена зона; односно полурамнината надвор од (продолжената) спротивна страна. Овие 3 зони ја покриваат целата рамнина освен самиот и јасно е дека лежи во една или две од нив. Ако е во две од зоните (да речеме во пресекот на зоните и ), тогаш <math>P' = A</math> имплицира <math>d(P')=d(A)<d(P)</math> според правилото dogleg. Алтернативно, ако е само во една зона, на пример во - зоната, тогаш <math>d(P')<d(P)</math> каде што е пресекот на и . Значи , за секоја точка надвор од постои точка во таква што <math>d(P')<d(P).</math>
Случај 1. Триаголникот има агол ≥ 120°.
Без губење на општоста, да претпоставиме дека аголот при темето е ≥ 120°. Конструираме рамностран триаголник и за која било точка во (освен самата ) конструираме така што триаголникот да е рамностран и да ја има прикажаната ориентација. Тогаш триаголникот е ротација од 60° на триаголникот околу , така што овие два триаголника се складни и следува дека <math>d(P)=\overline{CP}+\overline{PQ}+\overline{QF}</math> што е едноставно должината на патеката . Бидејќи мора да лежи во рамките на , според правилото dogleg должината на оваа патека е поголема од <math>\overline{AC}+\overline{AF}=d(A).</math> Затоа, <math>d(A)<d(P)</math> за сите <math>P \in \Delta, P \ne A.</math> Сега дозволете да се движи надвор од . Од погоре постои точка <math>P' \in \Omega</math> така што <math>d(P')<d(P)</math> и како <math>d(A) \leqslant d(P')</math> следува дека <math>d(A)<d(P)</math> за сите надвор од . Така, <math>d(A)<d(P)</math> за сите <math>P\ne A</math> што значи дека е точката на Ферма на . Со други зборови, точката на Ферма се наоѓа на темето со тап агол .
Случај 2. Триаголникот нема агол ≥ 120°.
Конструираме рамностран триаголник . Нека е која било точка во . Го конструираме рамностраниот триаголник . Тогаш е слика при ротација за 60° на околу така што
:<math>d(P) = \overline{PA}+ \overline{PB}+ \overline{PC} = \overline{AP}+ \overline{PQ}+ \overline{QD}</math>
што е едноставно должината на патеката . Нека е точката во која се сечат и . Оваа точка најчесто се нарекува прв изогонски центар. Ако го направиме истото со како и со , ја наоѓаме точката . Заради аголното ограничување, лежи во внатрешноста на . Покрај тоа, е слика при ротација од 60° на околу , така што мора да лежи некаде на . Бидејќи , следува дека лежи помеѓу и што значи е права линија, така што <math>d(P_0)=\overline{AD}.</math> Покрај тоа, ако <math>P\ne P_0</math>, тогаш или или нема да лежат на што значи <math>d(P_0)=\overline{AD}<d(P).</math> Сега, нека се движи надвор од . Од претходно кажаното, постои точка <math>P' \in \Omega</math> така што <math>d(P')<d(P)</math> и како <math>d(P_0)\leq d(P')</math> следува дека <math>d(P_0)<d(P)</math> за сите надвор од . Тоа значи дека е Ферматовата точка на . Со други зборови, точката на Ферма се совпаѓа со првиот изогонски центар .
3.2 Векторска анализа
Нека се кои било пет точки во рамнината. Означете ги векторите <math>\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OX}</math> со соодветно, и нека се единичните вектори од долж .
:<math>\begin{align}
|\mathbf a| &= \mathbf{a \cdot i} = (\mathbf a - \mathbf x)\mathbf{\,\cdot\,i} + \mathbf{x \cdot i} \leqslant |\mathbf a - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot i}, \\
|\mathbf b| &= \mathbf{b \cdot j} = (\mathbf b - \mathbf x)\mathbf{\,\cdot\,j} + \mathbf{x \cdot j} \leqslant |\mathbf b - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot j}, \\
|\mathbf c| &= \mathbf{c \cdot k} = (\mathbf c - \mathbf x)\mathbf{\,\cdot\,k} + \mathbf{x \cdot k} \leqslant |\mathbf c - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot k}.
\end{align}</math>
Со собирање на се добива
:<math>|\mathbf a| + |\mathbf b| + |\mathbf c| \leqslant |\mathbf a - \mathbf x| + |\mathbf b - \mathbf x| + |\mathbf c - \mathbf x| + \mathbf x \cdot (\mathbf i + \mathbf j + \mathbf k).</math>
Ако се среќаваат во под агли од 120° тогаш , па
:<math>|\mathbf a| + |\mathbf b| + |\mathbf c| \leqslant |\mathbf a - \mathbf x| + |\mathbf b - \mathbf x| + |\mathbf c - \mathbf x|</math>
за сите . Со други зборови,
:<math>\overline{OA}+ \overline{OB}+ \overline{OC} \leqslant \overline{XA}+ \overline{XB}+ \overline{XC}</math>
па затоа, е Ферматовата точка на .
Овој аргумент не важи кога триаголникот има агол бидејќи не постои точка во која се среќаваат под агли од 120°. Сепак, лесно се поправа со редефинирање и поставување на така што . Забележете дека бидејќи аголот помеѓу единечните вектори е што надминува 120°. Бидејќи
:<math>|\mathbf 0| \leqslant |\mathbf 0 - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot k},</math>
третата неравенка сè уште важи, a другите две неравенки се непроменети. Доказот сега продолжува како погоре (со собирање на трите неравенки и користење на ) за да се дојде до истиот заклучок дека (или во овој случај ) мора да биде Ферматовата точка на .
3.3 Множители на Лагранж
Друг пристап за наоѓање на точката во триаголник, од која збирот на растојанијата до темињата на триаголникот е минимален, е да се користи еден од методите за математичка оптимизација, или поточно, методот на Лагранжовите множители и косинусната теорема.
Цртаме отсечки од точка во триаголникот до неговите темиња и нив ги означуваме со . Исто така, должината на овие прави нека биде соодветно. Нека аголот помеѓу и е , а аголот меѓу и е . Тогаш аголот помеѓу и е . Користејќи го методот на Лагранжови множители, треба да го најдеме минимумот на Лагранжјанот , кој се изразува како:
:<math>L=x+y+z+\lambda_1 (x^2 + y^2 - 2xy\cos(\alpha) - a^2) + \lambda_2 (y^2 + z^2 - 2yz\cos(\beta) - b^2) + \lambda_3 (z^2 + x^2 - 2zx\cos(\alpha+\beta) - c^2)</math>
каде се должините на страните на триаголникот.
Со изедначување на секој од петте парцијални изводи <math>\tfrac{\partial L}{\partial x}, \tfrac{\partial L}{\partial y}, \tfrac{\partial L}{\partial z}, \tfrac{\partial L}{\partial \alpha}, \tfrac{\partial L}{\partial \beta}</math> на нула и со елиминација на , на крајот се добива и па . Сепак, елиминацијата е долга и мачна работа, а крајниот резултат го опфаќа само случајот 2.
4 Својства
* Кога најголемиот агол на триаголникот не е поголем од 120°, ''X'' (13) е точката на Ферма.
* Аглите над страните на триаголникот кај ''X'' (13) се сите еднакви на 120° (случај 2) или 60°, 60°, 120° (случај 1).
* Опишаните кружници на трите конструирани рамнострани триаголници се сечат во ''X'' (13).
* Трилиниските координати за првиот изогонски центар, ''X''(13) се:::<math>\begin{align}
& \csc\left(A+\tfrac{\pi}{3}\right) : \csc\left(B+\tfrac{\pi}{3}\right) : \csc\left(C+\tfrac{\pi}{3}\right) \\
&= \sec\left(A-\tfrac{\pi}{6}\right) : \sec\left(B-\tfrac{\pi}{6}\right) : \sec\left(C-\tfrac{\pi}{6}\right).
\end{align}</math>* Трилинеарните координати за вториот изогонски центар, ''X''(14) се:
::<math>\begin{align}
& \csc\left(A-\tfrac{\pi}{3}\right) : \csc\left(B-\tfrac{\pi}{3}\right) : \csc\left(C-\tfrac{\pi}{3}\right) \\
&= \sec\left(A+\tfrac{\pi}{6}\right) : \sec\left(B+\tfrac{\pi}{6}\right) : \sec\left(C+\tfrac{\pi}{6}\right).
\end{align}</math>* Трилинеарните координати на точката на Ферма се:
::<math>1-u+uvw \sec\left(A-\tfrac{\pi}{6}\right) : 1-v+uvw \sec\left(B-\tfrac{\pi}{6}\right) : 1-w+uvw \sec\left(C-\tfrac{\pi}{6}\right)</math>: кадешто соодветно ги означуваат Буловите променливи .
* Изогонскиот конјугат на ''X''(13) е првата изодинамичка точка, ''X''(15):
::<math>\sin\left(A+\tfrac{\pi}{3}\right) : \sin\left(B+\tfrac{\pi}{3}\right) : \sin\left(C+\tfrac{\pi}{3}\right).</math>* Изогонскиот конјугат на ''X''(14) е втората изодинамичка точка, ''X''(16):
::<math>\sin\left(A-\tfrac{\pi}{3}\right) : \sin\left(B-\tfrac{\pi}{3}\right) : \sin\left(C-\tfrac{\pi}{3}\right).</math>* Следниве триаголници се рамнострани:
** Антипедален триаголник од ''X''(13)
** Антипедален триаголник од ''X''(14)
** Триаголник на педалата од ''X''(15)
** Триаголник на педалата од ''X''(16)
** Циркумцевски триаголник од ''X''(15)
** Циркумцевски триаголник од ''X''(16)
* Правите ''X''(13) ''X''(15) и ''X''(14) ''X''(16) се паралелни со Ојлеровата права. Трите прави се среќаваат во Ојлеровата бесконечна точка, ''X''(30).
* Точките ''X''(13), ''X''(14), околниот центар и центарот на кружницата на девет точки лежат на Лестеровата кружница.
* Правата ''X'' (13) ''X'' (14) се среќава со Ојлеровата линија на средината на ''X'' (2) и ''X'' (4).* Точката на Ферма лежи во отворениот ортоцентроиден диск пробиен во неговиот центар и може да биде која било точка во него.
5 Алијаси
Изогонските центри ''X''(13) и ''X''(14) се исто така познати како прва и втора точка на Ферма соодветно. Алтернативни називи се позитивна и негативната точка на Ферма. Сепак, овие различни имиња можат да бидат збунувачки и можеби е најдобро да се избегнуваат. Проблемот е што голем дел од литературата ја замаглува разликата помеѓу поимите точка на Ферма и прва точка на Ферма, додека само во случајот 2 погоре тие се всушност исти.
6 Историја
Ова прашање било поставено од Ферма, како предизвик за Еванџелиста Торичели. Тој го решил проблемот на сличен начин како оној на Ферма, иако наместо тоа го искористил пресекот на кружниците на трите правилни триаголници. Неговиот ученик Вивиани го објавил решението во 1659 година.
7 Поврзано
* Лестерова теорема
* Центар на триаголник
* Точки на Наполеон
* Проблемот на Вебер