Теорема за модуларноста

Теоремата на модуларноста (порано наречена Танијама–Шимурина(-Веева) претпоставка) — теорема што ја воспоставува врска помеѓу елиптичните криви на поле од рационални броеви и модуларните форми. Во 2001 г. претпоставката заеднички ја докажале математичарите Кристоф Бреј, Брајан Конрад, Фред Дајмонд и Ричард Тејлор, водејќи се по пристапите на Ендрју Вајлс кои ги искористил при докажувањето на Последната Фермаова теорема.
Теоремата на модуларноста претставува посебен случај на поопштите претпоставки заради Роберт Ланглендс. Ланглендсовиот програм има за цел да придодаде автоморфна форма или автоморфно претставување (соодветно воопштување на модуларна форма) на поопшти предмети на аритметичката алгебарска геометрија, како во секоја елиптична крива врз бројно поле. Највеќетo од овие проширени претпоставки сè уште не се докажани.
1 Исказ
Теоремата гласи дека секоја елиптична крива врз поле Q може да се добие преку рационално пресликување со целобројни коефициенти од класична модуларна крива
:<math>X_0(N)\ </math>
за некој цел број ''N''; ова е крива со целобројни коефициенти е јаснао утврдена. Ова пресликување се нарекува модуларна параметризација на ниво ''N''. Ако ''N'' е најмалиот цел број за кој може да се изнајде таква параметризација (број кој во контекст на оваа теорија денес се нарекува „проводник“ или „спроводник“), тогаш параметризацијата може да се утврди по пат на пресликување создадено од особен вид на модуларна форма со тежина 2 и ниво ''N'', нормализиран новоформа со целобројно ''q''-расчленување, и, по потреба, проследено со изогенија.
Теоремата на модуларноста подразбира еден мошне сроден аналитички исказ: на елиптична крива ''E'' врз Q можеме да придодадеме соодветна L-ред. ''L''-редот е Дирихлеов ред, кој обично се изразува како
:<math>L(s, E) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}.</math>
Создавачката функција на коефициентите <math>a_n</math> тогаш ќе гласи
:<math>f(q, E) = \sum_{n=1}^\infty a_n q^n.</math>
Ако замениме
:<math>q = e^{2 \pi i \tau}\ </math>
тогаш гледаме дека сме го изразиле Фурјеовото расчленување на функција <math>f(\tau, E)</math> на комплексната променлива ''τ'', така што коефициентите на ''q''-редот исто така се сметаат за Фурјеови коефициенти на <math>f</math>. Вака добиената функција, изненадувачки, излегува дека е параболична форма со тежина 2 и ниво ''N'' and is also an ајгенформа (ајгенвектор на сите Хекеови оператори); ова е т.н. Хасе–Веева претпоставка, која следи од теоремата на модуларноста.
Некои модуларни форми од второ ниво, пак, соодветствуваат на холоморфни дифренцијали за елиптична крива. Јакобиевата разновидност на модуларната крива може (до изогенија) да се изрази како производ од неупростлива Абелови разновидности, соодветни на Хекеовите ајгенформи со тежина 2. 1-димензионалните фактори се елиптични криви (може да постојат и фактори од виши димензии, и затоа не сите Хекеови ајгенформи соодветствуваат на рационални елиптични криви). Кривата што ќе ја добиеме со наоѓање на соодветната параболична форма, и конструирање на крива од неа, е изогенична во однос на првичната крива (но не во општа изоморфија со неа).
2 Наводи
**Contains a gentle introduction to the theorem and an outline of the proof.
* Discusses the Taniyama-Shimura-Weil conjecture 3 years before it was proven for infinitely many cases.
*****