Транслација (геометрија)

Во геометријата, транслација на една фигура за даден вектор е паралелно поместување на фигурата така што секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).
Основна поставка: При транслација, фигурата ''не'' е ротирана, ''не'' е превртена, и ''не'' е растегната. Само се лизга паралелно.
1 Означување и пресметување
Честопати трансформацијата транслација за вектор ''v'' се означува со: T<sub>''v''</sub>.
Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека ''v'' е вектор со почетна точка P=(''x<sub>p</sub>'',''y<sub>p</sub>'') и крајна точка Q=(''x<sub>q</sub>'',''y<sub>q</sub>'').
Го формираме соодветниот полупречник-вектор ''r''<sub>v</sub> на ''v'', т.е. ''r'' е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P:
:<math>\vec{r}_v=</math> каде што <math>r_x=x_q-x_p</math> и <math>r_y=y_q-y_p</math> , т.е. крајната точка на ''r'' e <math>R=(r_x,r_y)</math> .
Тогаш:
:<math>T_v(F)=F+(r_x,r_y)=F+R=F' \,,</math><math>\,\,\,\,F'= \{(x+r_x,y+r_y)|(x,y)\in F \} </math>.
Пример: Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и ''v'' нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш
:<math>\vec{r}_v=<4-1,8-4>=<3,4></math> , <math>R=(3,4)</math> и <math>F'=T_v(F)</math> е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика).
2 Особини на транслација
Транслација како трансформацијата ги има следните особини:* Транслација е т.н. крута трансформација, т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се ротација и рефлексија.
* Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се складни фигури.
* По транслација, сите должини (растојанија) на фигурата остануваат непроменети, т.е. транслација е изометрија.
* По транслација, сите агли на фигурата остануваат непроменети.
* По транслација, ориентацијата на фигурата не е променета. На пример, доколку темињата на еден многуаголник се означени во правецот на часовникот, тогаш темињата на неговата транслација остануваат во правецот на часовникот.
* По транслација, паралелни прави сè уште се паралелни и соодветните страни (отсечки) на една фигура и нејзината транслација се паралелни.
* Две последователни транслации се повторно транслација: T<sub>u</sub>T<sub>v</sub>=T<sub>u+v</sub>.
* Транслацијата е комутативна трансформација, т.е. T<sub>u</sub>T<sub>v</sub>=T<sub>v</sub>T<sub>u</sub>.
* Инверзната транслација на Т<sub>''v''</sub> е Т<sub>''-v''</sub> каде што ''-v'' е вектор со истата должина и правец како ''v'', а обратна насока, т.е. Т<sub>''v''</sub>+Т<sub>''-v''</sub>=Т<sub>0</sub> (нема поместување).
3 Обопштување
Нека ''v'' е вектор во Евклидов простор &#8477;<sup>n</sup>, a ''r'' нека е соодветниот полупречник-вектор со крајната точка R.
*Транслација на &#8477;<sup>n</sup> за ''v'' може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R.
**На пример, за ''n''=3, ако A е произволна точка, Т<sub>''v''</sub>(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така што Т<sub>''v''</sub>((0,0,0))=R.
4 Претставување на транслација со матрици
Секоја транслација T<sub>''v''</sub> за вектор ''v'' може да се претстави со т.н. транслациона матрица.
Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја пресликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегне ова.
Нека ''v'' е вектор во Евклидов простор &#8477;<sup>3</sup>, a r=&lt;''r''<sub>x</sub>,''r''<sub>y</sub>,''r''<sub>z</sub>&gt; нека е соодветниот полупречник-вектор. Ја формираме 4х4 транслациона матрица:
:<math> T_{\mathbf{v =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & r_x \\
0 & 1 & 0 & r_y \\
0 & 0 & 1 & r_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>
Потоа, нека A=(a<sub>x</sub>,a<sub>y</sub>,a<sub>z</sub>) е произволна точка. Формираме проширена матрица-од-точка, односно 4х1 матрица:
:<math>
\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
a_x \\ a_y \\ a_z \\ 1
\end{bmatrix}
</math>
Тогаш:
:<math>
T_{\mathbf{v \mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & r_x \\
0 & 1 & 0 & r_y\\
0 & 0 & 1 & r_z\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_x \\ a_y \\ a_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_x + r_x \\ a_y + r_y \\ a_z + r_z \\ 1
\end{bmatrix}
</math>
Значи, (како што треба) имаме:
:<math>T_v(A)=A+R=(a_x + r_x \,,\, a_y + r_y \,,\, a_z + r_z) </math>
5 Поврзани теми
* Складност
* Ротација
* Рефлексија
* Изометрија