Основна теорема на аритметиката

Основната теорема на аритметиката или „теоремата за единствена факторизација“ е тврдењето дека секој природен број поголем од 1 е или прост број или може единствено да се претстави како производ на прости броеви, до нивото на редослед на множители. На пр
1200 = 2 &#xD7; 3 &#xD7; 5 = 3 &#xD7; 2 &#xD7; 2 &#xD7; 2 &#xD7; 2 &#xD7; 5 &#xD7; 5 = 5 &#xD7; 2 &#xD7; 3 &#xD7; 2 &#xD7; 5 &#xD7; 2 &#xD7; 2 = итн.
односно, прво, значајно е што бројот 1200 може да се прикаже како производ на прости броеви, а второ, тој секогаш е исклучиво четири двојки, една тројка и две петки (евентуално во различен распоред).
: Секој природен број <math>n>1</math> може да се напише како <math>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</math>, каде што <math>p_1,\dots,p_k</math> — е прост број, при што таквата презентација е точна до редоследот на множителите.
:<math>\forall n \in \mathbb{N}, n = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot \dots \cdot p_k^{d_k} = \prod_{i=1}^{k}p_i^{d_i} ,</math> каде <math>p_1 < p_2 < \dots < p_k</math> - се прости броеви, и <math>d_1,\dots,d_k</math> - се природни броеви.
Важно е да се забележи дека бројот 1 не се третира како прост број, бидејќи факторизацијата повеќе не би било еднозначна, како кај 2 = 2×1 = 2×1×1 = ...
1 Основна теорема
''Прости броеви,'' односно ''прим-броеви'', се оние кои имаат само два точни делители: единицата и самиот тој број. Ваков случај е со 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, .... По конвенција, 1 се смета дека не е прост број. Има бесконечен број прости броеви, но колку понатаму напредуваме во множеството природни броеви, толку поретко ги наоѓаме: помеѓу 1 и 10 имаме 4 прости броеви, што претставува 40%; помеѓу 1 и 100 има 25 прости броеви, т.е. 25%; меѓу 1 и 1000 има 144 од нив, односно 14,4%; ... ; помеѓу 1 и милијарда (10<sup>9</sup>), има 48 254 942 од нив, т.е. помалку од 4,8%. Токму тие, простите броеви, се најголемата загатка на аритметиката. Во тоа можеме да се увериме на секој чекор.
; Пример
: Простите броеви се ''близнаци'' ако нивната разлика е два (близнаците се 3 и 5, или 4001 и 4003). Неодговорено прашање во денешната математика е: дали има бескрајно многу близнаци или не?
Сепак, пред неколку илјади години, Евклид го докажал ''основното правило на аритметиката'': секој природен број е или прост број или производ на прости броеви. Во современата формулација, основниот став на аритметиката гласи: секој природен број може да се претстави во облик на производ од прости множители и неговото претставување е единствено до редослед на множителите. Уште попрецизно ќе биде наведено во теоремата 2, во низата од три наредни теореми.
1.1 Фактори
; Теорема 1
: Ако ''n'' е природен број, тогаш ''n'' е производ на прости множители.
; Доказ
: За простиот број ''n'', тврдењето е очигледно, тој е производ на единицата и самиот тој број. Изјавата секако важи за броевите ''n'' = 1, 2, 3 и можеби за некои други. Да претпоставиме дека исказот важи за сите сложени броеви помали од ''n''. Ако бројот ''n'' е исто така сложен број, тогаш има цел број ''c'' таков што 1 &#x3C;''c''&#x3C;''n'', ''c|n'' (последното го читаме „ ''c'' го дели ''n'' “, што значи дека бројот ''n'' е делив со бројот ''c''). Со ''m'' да го означиме најмалиот од наведените броеви ''c''. Таков ''m'' не може да биде комплексен број, бидејќи тогаш би имало цел број ''k'' таков што 1 &#x3C;''k''&#x3C;''m'', ''k|m'', што исто така би значело ''k|n''. Сепак, ова е во спротивност со претпоставката дека ''m'' е најмалиот природен број што е делив со ''n''. Според тоа, бројот ''m'' е прост број. Да го означиме со ''p''<sub>1</sub>. Тогаш мора да биде ''n=p''<sub>1</sub>''n''<sub>1</sub>, каде што 1 &#x3C;''n''<sub>1</sub>&#x3C;''n''. Математичката индукција дополнително ќе покаже дека бројот ''n''<sub>1</sub> потоа може да се факторизира. Според тоа, почетниот број ''n'' исто така може да се факторизира. Крај на доказот.
; Пример 1
: Во самопослуга јајцата се продаваат во пакувања од дванаесет јајца. Секое од тие пакувања можеме да го препакуваме во три помали пакувања со по четири јајца, бидејќи бројот 12 се дели со 3 и со 4, значи 3х4=12.
; Пример 2
: За да се подели одреден број на прости множители, постепено ќе проверуваме дали е делив со два, со три, со пет, и редум со прости броеви. За тоа можеме да користиме критериуми за деливост. Да речеме, 156=2x78=2x2x39=2x2x3x13. Значи 2, 2, 3, 13 се прости броеви, фактори на бројот 156.
; Критериуми за деливост
: некој број е делив со 2 ако завршува со нула или со парна цифра;
: се дели со 3, ако збирот на цифрите се дели со 3;
: со 5 ако завршува со нула или пет;
: број е делив со 11 ако збирот на цифрите на тој број во непарните позиции се одземе од збирот на неговите цифри во парните позиции е еднаков на нула или е делив со 11.
1.2 Канонски облик
Со групирање на еднакви прости множители на бројот n, тогаш природниот број може да се претстави во облик
:<math>n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i},</math> при што <math>p_1<p_2<...<p_k,\; \alpha_i>0,\; i=1,2,...,k.</math> Таквото претставување го нарекуваме канонски облик на бројот n.
; Теорема 2
: Секој природен број има единствен канонски облик.
; Доказ
: Врз основа на теорема 1, канонското претставување постои, а канонскиот облик на прост број е очигледно единствен. За останатите броеви, доказот го изведуваме со сведување на контрадикција. Да претпоставиме дека постои природен број што може да се претстави во канонски облик на два различни начини. Нека ''n'' е најмалиот таков број <math>n=p_1p_2...p_k=q_1q_2...q_m.</math> Ниту еден од броевите ''p'' не може да се појави во двете канонски претстави на бројот ''n'' поради претпоставката за минималност на ''n''. Броевите секогаш може да се подредат по големина и нека: <math>p_1\le p_2\le ...\le p_k, \; q_1\le q_2 \le ... \le q_m.</math> За простите фактори <math>p_1</math> и <math>q_1</math> важи <math>p_1 \ne q_1,</math> па можеме да земеме дека <math>p_1 < q_1.</math> Нека <math>u=p_1q_2...q_m.</math> Од <math>p_1|u,p_1|n</math> следи <math>p_1|(n-u),</math> при што <math>n-u=(q_1-p_1)q_2...q_m>1.</math> Значи, бројот ''nu'' може да се напише во облик <math>n-u=p_1t_1...t_h,</math> каде <math>t_i</math> се прости броеви, за <math>i=1,2,...,h.</math> Сепак, од <math>q_1-p_1>1</math> повлекува разложување на прости фактори, на пример <math>q_1-p_1=r_1r_2...r_s,</math> па следи поинаков запис на бројот <math>n-u=r_1r_2...r_sq_...q_m,</math> каде што го нема простиот фактор <math>p_1.</math> Тоа произлегува од <math>p_1\ne q_i,i=1,2,...,m,</math> и од друга страна <math>p_1\ne r_j, j=1,2,...,s,</math> бидејќи <math>p_1</math> не е делител на <math>q_1-p_1.</math> Според тоа, бројот ''n-u'' има две различни факторизации, бидејќи само една од нив го содржи простиот фактор <math>p_1.</math> Ова важи и во случај кога е <math>q_1-p_1=1.</math> Меѓутоа, <math>1<n-u<n,</math> а тоа е во спротивност со претпоставката за минималност на бројот ''n'' . Според тоа, не постои цел број поголем од 1 што може да биде претставен во канонски облик на два начина. Крај на доказот.
Тоа е ''основната теорема на аритметиката''. Постојат многу различни докази за оваа теорема, и ниту еден од нив не е тривијален, бидејќи на крајот се потпира на особеностите на множеството природни броеви во однос на, да речеме, неговите затворени подмножества. На пример, множеството парни броеви е подмножество од множеството на сите природни броеви N и исто така е затворено за операциите за собирање и множење, како што е N. Парните броеви кои при делењето со 4 даваат остаток од 2, тоа се броеви од облик 4x+2, се нарекуваат ''парни прости''. Секој парен број може да се претстави како производ на парни прости броеви. Меѓутоа, разложувањето на парно-прости фактори не е секогаш единствено. Бројот 360 може да се факторизира во парни прости броеви на неколку начини: 2x2x90=2x6x30=2x10=6x6x10.
1.3 Претставувања
; Теорема 3
: Нека броевите c и n се дадени во канонски облик
::<math>c=\prod_{i=1}^kp_i^{\gamma_i}, \quad n=\prod_{i=1}^kp_i^{\beta_i}.</math>: Тогаш <math>c|n\,</math> ако и само ако <math>0\le \gamma_i \le \beta_i,</math> за <math>i = 1, 2, ..., k.\,</math>; Доказ
: Следи од <math>n=cm, \; m=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i},</math> при што <math>\alpha_i=\beta_i-\gamma_i, i=1,2,...,k.\,</math> Крај на доказот.
2 Поврзано
* Ератостеново сито
* Риманова зета-функција