Теорија на веројатноста

Теорија на веројатноста — гранка на математиката која се занимава со изучување на веројатноста, односно анализа на случајни појави.
Математиката ја предочува веројатноста на некој ''настан'' (чие настапување е случајно) како реален број од затворениот интервал од 0 до 1.
Веројатностите <math>P(A)</math> им се препишуваат на настани <math>A</math> според аксиомите на веројатноста.
Веројатноста дека тој настан <math>A</math> ќе се случи ''под услов'' на познатото случување на настанот <math>B</math> е условна веројатност на <math>A</math>''под услов''<math>B</math>; неговата бројчена вредност е <math>P(A \cap B)/P(B)</math> (сè додека <math>P(B)</math> не е нула). Ако условната веројатност на <math>A</math> под услов <math>B</math> и иста што и („безусловната“) веројатност на <math>A</math>, тогаш <math>A</math> и <math>B</math> се нарекуваат независни настани. Дека оваа релација помеѓу <math>A</math> и <math>B</math> е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и
<math>P(A \cap B) = P(A)P(B)</math> каде A и B се независни настани.
Два клучни концепти во теоријата на веројатноста се случајната променлива и веројатносна распределба на случајна променлива.
1 Поапстрактен поглед на веројатноста
Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од Колмогоров во 1930-тите. Простор на веројатност е секоја тројка <math>(\Omega, \mathcal F, P)</math>, каде
*<math>\Omega</math> е празно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.
*<math> \mathcal F </math> е σ-алгебра на подмножества на <math>\Omega</math> - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека <math>\mathcal F</math> е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи <math>\Omega</math>, дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или бесконечна) низа на настани е настан.
*<math>P</math> е мера на веројатност на <math>\mathcal F</math>, т.е., мера кај која <math>P(\Omega)=1</math>.
Треба да се спомене дека <math>P</math> е функција дефинирана на <math>\mathcal F</math>, а не на <math>\Omega</math>, и често не сочинуваат ни булеан <math>\mathcal F=\mathbb P (\Omega)</math>. Не секое множество исходи претставува настан.
Ако <math>\Omega</math> е преброиво множество, тогаш речиси секогаш го дефинираме <math>\mathcal F</math> како булеан на <math>\Omega</math>, т.е. <math>\mathcal F=\mathbb P (\Omega)</math> кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со <math>\Omega</math>.
Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме <math>\mathcal{F}</math> и да напишеме само <math>(\Omega, P)</math> за да го дефинираме. Во друг случај, ако <math>\Omega</math> е непреброиво множество и користиме <math>\mathcal F=\mathbb P (\Omega)</math>, тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста <math>P</math> заради тоа што <math>\mathcal{F}</math> е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како Банах-Тарсковиот парадокс. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра <math>\mathcal F</math> (на пр. Борелова алггебра на <math>\Omega</math>, која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).
Случајна променлива <math>X</math> е измерлива функција на <math>\Omega</math>. На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.
Ако <math>X</math> е било која случајна променлива, нотацијата <math>P(X \ge 60)</math>, е стенографија за <math>P(\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \ge 60 \})</math>, под претпоставка дека „<math>X \ge 60</math>“ е „настан“.
За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете алгебра на случајни променливи.
2 Библиографија
* Pierre Simon de Laplace (1812) ''Analytical Theory of Probability''* Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) ''Foundations of the Theory of Probability''* Harold Jeffreys (1939) ''The Theory of Probability''* Edward Nelson (1987) ''Radically Elementary Probability Theory''* Patrick Billingsley: ''Probability and Measure'', John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
* Henk Tijms (2004) ''Understanding Probability ''
3 Поврзано
* Веројатност
* Случајност
* Стохастика