Ејрова бранова теорија

Во хидродинамиката, Ејровата бранова теорија (често наречена линеарна бранова теорија) дава линеаризиран опис на ширењето на гравитациските бранови на површината на хомоген флуиден слој. Теоријата претпоставува дека флуидниот слој има рамномерна средна длабочина и дека протокот на течноста е невидлив, некомпресибилен и иротационен. Оваа теорија првпат била објавена, во правилна форма, од Џорџ Бидел Ејри во 19 век.
Теоријата често се применува во океанското инженерство и крајбрежното инженерство за моделирање на случајни морски состојби - дава опис на кинематиката на брановите и динамиката на доволно висока точност за многу цели. Понатаму, неколку нелинеарни својства од втор ред на површинските гравитациски бранови и нивното ширење, може да се проценат од неговите резултати. Ејровата бранова теорија е исто така добра апроксимација за брановите на цунами во океанот.
Оваа линеарна теорија често се користи за да се добие брза и груба проценка на одликите на брановите и нивните ефекти. Ова приближување е точно за мали соодноси на висината на бранот до длабочината на водата (за бранови во плитка вода) и висината на бранот до брановата должина (за брановите во длабока вода).
1 Опис
Теоријата на воздушни бранови користи пристап на потенцијален проток (или брзински потенцијал) за да го опише движењето на гравитациските бранови на флуидната површина. Употребата на (невидлив и иротационен) потенцијален проток во водните бранови е извонредно успешна, со оглед на неуспехот да опише многу други текови на течност каде што често е неопходно да се земат предвид вискозноста, виртичноста, турбуленцијата или раздвојувањето на протокот. Ова се должи на фактот дека за осцилаторниот дел од движењето на флуидот, вителот предизвикан од бранот е ограничен на некои тенки осцилаторни Стоуксови гранични слоеви.
Ејровата бранова теорија често се користи во океанското инженерство и крајбрежното инженерство. Особено за случајни бранови, понекогаш наречени бранови турбуленции, еволуцијата на брановата статистика - вклучувајќи го брановиот спектар - се предвидува добро на не премногу долги растојанија (во однос на брановите должини) и во не премногу плитка вода. Дифракцијата е еден од брановите ефекти што може да се опише со теоријата за бранови во воздух. Понатаму, со користење на приближувањето на WKBJ, може да се предвидат брановидни бранови и прекршување.
Претходните обиди да се опишат површинските гравитациски бранови користејќи потенцијален тек биле направени од, меѓу другите, Лаплас, Поасон, Коши и Келанд. Но, Ејри бил првиот што ја објавил точната изведба и формулација во 1841 година. Набргу потоа, во 1847 година, линеарната теорија на Ејри била проширена од Стоукс за нелинеарно браново движење - познато како Стоуксова бранова теорија - точно до трет ред во брановата стрмност. Дури и пред линеарната теорија на Ејри, Герстнер извел теорија на нелинеарни трохоидни бранови во 1802 година, која сепак не е иротациона.
Ејровата бранова теорија е линеарна теорија за ширење на брановите на површината на потенцијалниот тек и над хоризонталното дно. Висината на слободната површина на една бранова компонента е синусоидна, како функција на хоризонталната положба и времето :
:<math>\eta(x,t) = a \cos \left( kx - \omega t\right)</math>
каде
* е замав на бранот во метри,
* е функција,
* k е аголниот бранов број во радијани по метар, поврзан со брановата должина λ за ,
* е аголна честота во радијани во секунда, поврзана со периодот T и честотата f со .
Брановите се шират по површината на водата со фазна брзина :
:<math>c_p = \frac{\omega}{k} = \frac{\lambda}{T}.</math>
Аголниот бранов број и честотата не се независни параметри (а со тоа и брановата должина и периодот не се независни), туку се споени. Површинските гравитациски бранови на течност се дисперзивни бранови - што покажуваат дисперзија на честотата - што значи дека секој брановиден број има своја честота и брзина на фаза.
Во инженерството, висината - разликата во височината помеѓу гребенот и коритото - често се користи:
:<math>H = 2 a \quad \text{and} \quad a = \tfrac12 H,</math>
валидни во конкретниот случај на линеарни периодични бранови.
Под површината има флуидно движење поврзано со движењето на слободната површина. Додека површинската височина покажува бран кој се шири, честичките на течноста се во орбитално движење. Во рамките на теоријата на Воздушните бранови, орбитите се затворени кривини: кругови во длабока вода и елипси во конечна длабочина - при што елипсите стануваат порамни во близина на дното на флуидниот слој. Така, додека бранот се шири, честичките на течноста само орбитираат (осцилираат) околу нивната просечна положба. Со движењето на брановите кои се шират, честичките од течноста пренесуваат енергија во насока на ширење на бранот, без да имаат средна брзина. Пречникот на орбитите се намалува со длабочината под слободната површина. Во длабока вода, пречникот на орбитата е намален на 4% од вредноста на нејзината слободна површина на длабочина од половина бранова должина.
На сличен начин, постои и осцилација на притисокот под слободната површина, при што осцилации на притисокот предизвикани од бранови се намалуваат со длабочина под слободната површина.
2 Математичка формулација на брановото движење
2.1 Формулација на проблемот со протокот
Брановите се шират во хоризонтална насока, со координата , и домен на течност врзан горе со слободна површина на , при што вертикалната координата (позитивна во насока нагоре) и е време. Нивото одговара на средната површинска кота. Непропустливото корито под флуидниот слој е на . Понатаму, се претпоставува дека протокот е некомпресибилен и иротациски - добра апроксимација на протокот во внатрешноста на течноста за бранови на течна површина - и потенцијалната теорија може да се користи за да се опише протокот. Потенцијалот за брзина е поврзан со компонентите на брзината и во хоризонталните и вертикалните насоки со:
:<math> u_x = \frac{\partial\Phi}{\partial x} \quad \text{and} \quad u_z = \frac{\partial\Phi}{\partial z}.</math>
Потоа, поради равенката на континуитет за некомпресибилен проток, потенцијалот треба да ја задоволи Лапласовата равенка :
:<math> \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2} = 0. \qquad (1) </math>
Потребни се гранични услови кај слободната површина за да се затвори системот на равенки. За нивно формулирање во рамките на линеарната теорија, потребно е да се определи каква е основната состојба (или решение од нула ред) на протокот. Овде, се претпостава дека основната состојба е мирување, што значи дека средните брзини на проток се нула.
:<math> \frac{\partial\Phi}{\partial z} = 0 \quad \text{ at } z = -h. \qquad (2) </math>
Во случај на длабока вода – под која се подразбира бесконечна длабочина на вода, од математичка гледна точка – брзините на протокот треба да одат на нула во границата бидејќи вертикалната координата оди до минус бесконечност: .
На слободната површина, за бесконечно мали бранови, вертикалното движење на протокот треба да биде еднакво на вертикалната брзина на слободната површина. Ова води до кинематска гранична состојба на слободна површина:
:<math> \frac{\partial\eta}{\partial t} = \frac{\partial\Phi}{\partial z} \quad \text{ at } z = \eta(x,t). \qquad (3)</math>
Ако висината на слободната површина е позната функција, тоа би било доволно за да се реши проблемот со протокот. Сепак, површинската кота е дополнителна непозната, за која е потребна дополнителна гранична состојба. Ова е обезбедено од Бернулиовата равенка за нестабилен потенцијален тек. Притисокот над слободната површина се претпоставува дека е константен. Овој постојан притисок се зема еднаков на нула, без губење на општоста, бидејќи нивото на таков постојан притисок не го менува протокот. По линеаризацијата, ова ја дава динамичната гранична состојба на слободна површина:
:<math> \frac{\partial\Phi}{\partial t} + g \eta = 0 \quad \text{ at } z = \eta(x,t). \qquad (4)</math>
Бидејќи ова е линеарна теорија, и во граничните услови на слободна површина - кинематичка и динамичка, равенките (3) и (4) - вредноста на и на фиксно средно ниво се користи
2.2 Решение за прогресивен монохроматски бран
За бран кој се шири со една честота - монохроматски бран - површинската кота е во форма::<math>\eta = a \cos ( k x - \omega t ).</math>
Поврзаниот брзински потенцијал, кој ја задоволува Лапласовата равенка (1) во внатрешноста на течноста, како и кинематичките гранични услови на слободната површина (2) и креветот (3), е:
:<math>\Phi = \frac{\omega}{k} a \frac{\cosh k (z+h) }{\sinh k h} \sin ( k x - \omega t),</math>
со и хиперболичната синусна и хиперболична косинусна функција, соодветно. Но, и исто така, треба да ја задоволат динамичката гранична состојба, што резултира со нетривијални (не-нула) вредности за амплитудата на бранот само ако е задоволена врската на линеарната дисперзија:
:<math>\omega^2 = g k \tanh k h ,</math>
со хиперболичната тангента. Значи, аголната честота и брановиот број - или еквивалентно период и бранова должина - не можат да се изберат независно, туку се поврзани. Ова значи дека ширењето на брановите на површината на течноста е својствен проблем. Кога и задоволуваат релацијата на дисперзија, брановата амплитуда може слободно да се избере (но доволно мала за Ејровата бранова теорија да биде валидна апроксимација).
2.3 Табела со количини на бранови
Во табелата подолу, дадени се неколку количини на проток и параметри според Ејровата бранова теорија. Дадените количини се за малку поопшта ситуација како за решението дадено погоре. Прво, брановите може да се шират во произволна хоризонтална насока во рамнина. Векторот на брановиот број и е нормален на брановите врвови. Второ, се прави додаток за средна брзина на проток , во хоризонтална насока и униформа над (независно од) длабочината . Ова воведува доплеровско поместување во односите на дисперзија. На локација фиксирана на Земјата, ''набљудуваната аголна честота'' (или ''апсолутна аголна честота'') е . Од друга страна, во референтна рамка која се движи со средната брзина (така што средната брзина како што е забележана од оваа референтна рамка е нула), аголната честота е различна. Се нарекува ''внатрешна аголна честота'' (или ''релативна аголна честота'' ), означена . Така, при чисто браново движење, со , двете честоти и се еднакви. Брановиот број (и брановата должина ) се независни од референтната рамка, и немаат доплерово поместување (за монохроматски бранови).
Табелата ги дава само осцилаторните делови на количините на проток - брзини, поместување на честички и притисок - а не нивната средна вредност. Поместувањата на осцилаторните честички и се временските интеграли на брзините на осцилаторниот тек и соодветно.
Длабочината на водата е класифицирана во три режими:** длабока вода – за длабочина на вода поголема од половина од брановата должина, , фазна брзина на брановите е под влијание на длабочина (ова е случај за повеќето бранови на морето и океанот површина),* плитка вода – за длабочина на вода помала од 5% од брановата должина, , фазната брзина на брановите зависи само од длабочината на водата и повеќе не е во функција на периодот или брановата должина; и
* средна длабочина - сите други случаи, , каде што и длабочината на водата и периодот (или брановата должина) имаат значително влијание врз решението на Ејровата бранова теорија.
Во ограничувачките случаи на длабока и плитка вода, може да се направат поедноставни приближувања на растворот. Додека за средна длабочина, треба да се користат целосните формулации.
Својствата на гравитациските бранови на површината на длабока вода, плитка вода и на средна длабочина, според Ејрова бранова теорија
квантитет, симбол, единици, длабока вода, плитка вода, средна длабочина( и )
надморска височина на површината, <math>\eta(\mathbf{x},t)</math>, m, <math>a \cos \theta(\mathbf{x},t)</math>
бранова фаза, <math>\theta(\mathbf{x},t)</math>, rad, <math>\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t</math>
аголна честота, <math>\omega</math>, rad·s<sup>−1</sup>, <math> \left( \omega - \mathbf{k}\cdot\mathbf{U} \right)^ \Omega(k) \bigr)^2 \quad \text{ with } \quad k= \mathbf{k} </math>
внатрешна аголна честота, <math>\sigma</math>, rad·s<sup>−1</sup>, <math> \quad \sigma^ \Omega(k) \bigr)^2 \quad \text{ with } \quad \ - \mathbf{k}\cdot\mathbf{U} </math>
единица вектор во насока на ширење на бранот, <math> \mathbf{e}_k</math>, –, <math>\frac{\mathbf{k{k}</math>
дисперзивен однос, <math>\Omega(k)</math>, rad·s<sup>−1</sup>, <math>\Omega(k) = \sqrt{g k}</math>, <math>\Omega(k) = k \sqrt{g h}</math>, <math>\Omega(k) = \sqrt{g k \tanh k h}</math>
фазна брзина, <math>, m·s<sup>−1</sup>, <math>\sqrt{\frac{g}{k = \frac{g}{\sigma}</math>, <math>\sqrt{g h}</math>, <math>\sqrt{\frac{g}{k} \tanh k h}</math>
групна брзина, <math> k}</math>, m·s<sup>−1</sup>, <math>\tfrac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{k = \tfrac{1}{2} \frac{g}{\sigma}</math>, <math>\sqrt{g h}</math>, <math>\tfrac{1}{2} c_p \left( 1 + k h \frac{1 - \tanh^2 k h}{\tanh k h} \right)</math>
ратио, <math> \frac{c_g}{c_p}</math>, –, <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>1</math>, <math>\tfrac{1}{2} \left( 1 + k h \frac{1 - \tanh^2 k h}{\tanh k h} \right)</math>
хоризонтална брзина, <math>\mathbf{u}_x(\mathbf{x},z,t)</math>, m·s<sup>−1</sup>, <math>\mathbf{e}_k \sigma a\, e^{k z} \cos \theta</math>, <math>\mathbf{e}_k \sqrt{\frac{g}{h a \cos \theta</math>, <math>\mathbf{e}_k \sigma a \frac{\cosh k (z+h) }{\sinh k h} \cos \theta</math>
вертикална брзина, <math>u_z(\mathbf{x},z,t)</math>, m·s<sup>−1</sup>, <math>\sigma a\, e^{k z} \sin \theta</math>, <math>\sigma a \frac{z + h}{h} \sin \theta</math>, <math>\sigma a \frac{\sinh k (z+h) }{\sinh k h} \sin \theta</math>
хоризонтално поместување на честички, <math>\boldsymbol{\xi}_x(\mathbf{x},z,t)</math>, m, <math>-\mathbf{e}_k a\, e^{k z} \sin \theta</math>, <math>-\mathbf{e}_k \frac{1}{k h} a \sin \theta</math>, <math>-\mathbf{e}_k a \frac{\cosh k (z+h) }{\sinh k h} \sin \theta</math>
вертикално поместување на честички, <math>\xi_z(\mathbf{x},z,t)</math>, m, <math>a\, e^{k z} \cos \theta</math>, <math>a \frac{z + h}{h} \cos \theta</math>, <math>a \frac{\sinh k (z+h) }{\sinh k h} \cos \theta</math>
осцилација на притисокот, <math>p(\mathbf{x},z,t)</math>, N·m<sup>−2</sup>, <math>\rho g a\, e^{k z} \cos \theta</math>, <math>\rho g a \cos \theta</math>, <math>\rho g a \frac{\cosh k (z+h) }{\cosh k h} \cos \theta</math>
3 Ефекти на површинска напнатост
Поради површинскиот напон, односот на дисперзија се менува на::<math> \Omega^2(k) = \left( g + \frac{\gamma}{\rho} k^2 \right) k\, \tanh k h ,</math>
со површинскиот напон во њутни на метар. Сите горенаведени равенки за линеарни бранови остануваат исти, ако гравитациското забрзување се замени со :<math>\tilde{g} = g + \frac{\gamma}{\rho} k^2.</math>
Како резултат на површинскиот напон, брановите се шират побрзо. Површинскиот напон има влијание само за кратки бранови, со бранови должини помали од неколку дециметри во случај на интерфејс вода-воздух. За многу кратки бранови должини - 2 mm или помалку, во случај на интерфејс помеѓу воздухот и водата – ефектите на гравитацијата се занемарливи. треба да се има предвид дека површинскиот напон може да се промени со сурфактанти.
Групната брзина на капиларните бранови - доминирани од ефектите на површинскиот напон - е поголема од брзината на фазата . Ова е спротивно на ситуацијата на површинските гравитациски бранови (со површински напон занемарлив во споредба со ефектите на гравитацијата) каде што фазната брзина ја надминува брзината на групата.
4 Интерфејсни бранови
Површинските бранови се посебен случај на меѓуфабрични бранови, на интерфејсот помеѓу две течности со различна густина.
4.1 Два слоја на бесконечна длабочина
Доколку постојат две течности разделени со интерфејс, и без дополнителни граници, тогаш нивната дисперзивна врска е дадена преку :<math> \Omega^2(k) = |k| \left( \frac{\rho-\rho'}{\rho+\rho'} g + \frac{\gamma}{\rho+\rho'} k^2 \right),</math>
каде и се густината на двете флуиди, под и над интерфејсот, соодветно. Понатаму ''γ'' е површинскиот напон на интерфејсот.
За да постојат интерфејсни бранови, долниот слој треба да биде потежок од горниот, . Во спротивно, интерфејсот е нестабилен и се развива нестабилност на Рејли-Тејлор.
4.2 Два слоја помеѓу хоризонтални крути рамнини
За два хомогени слоеви на течности, со средна дебелина под интерфејсот и над – под дејство на гравитацијата и ограничени горе и долу со хоризонтални крути ѕидови – за гравитациските бранови од::<math> \Omega^2(k) = \frac{g k (\rho - \rho')}{\rho \coth k h + \rho' \coth k h'},</math>
каде повторно и се густините под и над интерфејсот, додека е хиперболична котангентна функција. За случајот е нула, ова се сведува на односот на дисперзија на површинските гравитациски бранови на вода со конечна длабочина .
4.3 Два слоја ограничени погоре со слободна површина
Во овој случај, релацијата на дисперзија дозволува два режима: баротропски режим каде што замавот на слободната површина е голем во споредба со замавот на меѓуфазалниот бран и бароклинички режим каде што е спротивното - меѓуфазалниот бран е повисок од и во антифаза со бранот на слободна површина. Дисперзивниот однос за овој случај е од покомплициран облик.
5 Одлики на бранови од втор ред
Неколку својства на бранови од втор ред, оние кои се квадратни во брановиот замав , може да се изведат директно од Ејровата бранова теорија. Тие се од важност во многу практични примени, како што се предвидувањата на условите на брановите. Користејќи WKBJ приближување, својствата на брановите од втор ред, исто така, ја наоѓаат својата примена во опишувањето на брановите во случај на бавно променлива батиметрија и варијации на средниот тек на струите и површинската височина. Како и во описот на интеракциите на бранот и среден-протокот поради времето и просторот-варијации во амплитудата, честотата, брановата должина и насоката на самото браново поле.
5.1 Табела со својства на бранови од втор ред
Во табелата подолу, дадени се неколку својства на бранови од втор ред - како и динамичките равенки што ги задоволуваат во случај на бавно променливи услови во просторот и времето. Повеќе детали за нив може да се најдат подолу. Табелата дава резултати за ширење на брановите во една хоризонтална просторна димензија. Понатаму во овој дел се дадени подетални описи и резултати за општиот случај на ширење во дводимензионален хоризонтален простор.
Количини од втор ред и нивната динамика, користејќи резултати од теоријата на воздушни бранови
квантитет, симбол, единици, формула
средна густина на бранова енергија по единица хоризонтална површина, <math>E</math>, J ·m <sup>−2</sup>, <math> \rho g a^2</math>
стрес на зрачење или вишок хоризонтален флукс на импулсот поради движењето на брановите, <math>S_{xx}</math>, N·m <sup>−1</sup>, <math>S_{xx} = \left( 2 \frac{c_g}{c_p} - \tfrac12 \right) E</math>
браново дејство, <math>\mathcal{A}</math>, J·s·m <sup>−2</sup>, <math>\mathcal{A} = \frac{E}{\sigma} = \frac{E}{\omega - k U}</math>
средна маса-флукс поради движењето на бранот или брановиот псевдо-импулс, <math>M</math>, kg·m <sup>−1</sup> ·s <sup>−1</sup>, <math> = k \frac{E}{\sigma}</math>
средна хоризонтална брзина на транспорт на маса, <math>\tilde{U}</math>, m·s <sup>−1</sup>, <math>\tilde{U} = U + \frac{M}{\rho h} = U + \frac{E}{\rho h c_p}</math>
Стоукс лебдат, <math>\bar{u}_S</math>, m·s <sup>−1</sup>, <math>\bar{u} \sigma k a^2 \frac{\cosh 2k(z+h)}{\sinh^2 kh}</math>
ширење на бранова енергија, J·m <sup>−2</sup> ·s <sup>−1</sup>, <math>\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \bigl( (U + c_g) E \bigr) + S_{xx} \frac{\partial U}{\partial x} =0</math>
браново дејство, J·m <sup>−2</sup>, <math>\frac{\partial \mathcal{A{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \bigl( (U + c_g) \mathcal{A} \bigr) = 0</math>
зачувување на брановидниот врв, rad·m <sup>−1</sup> ·s <sup>−1</sup>, <math>\frac{\partial k}{\partial t} + \frac{\partial \omega}{\partial x} = 0 \quad \text{with} \quad \ + k U</math>
масовно зачувување, kg·m <sup>−2</sup> ·s <sup>−1</sup>, <math>\frac{\partial}{\partial t}( \rho h ) + \frac{\partial}{\partial x} \left( \rho h \tilde{U} \right) = 0</math>
средна еволуција со хоризонтален момент, N·m <sup>−2</sup>, <math>\frac{\partial}{\partial t}\left( \rho h \tilde{U} \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left( \rho h {\tilde U}^2 + \tfrac12 \rho g h^2 + S_{xx} \right) = \rho g h \frac{\partial d}{\partial x}</math>
Последните четири равенки ја опишуваат еволуцијата на бавно променливите бранови возови преку батиметрија во интеракција со средниот проток и може да се изведат од варијацискиот принцип: просечен Лагранжов метод на Витам. Во средната равенка на хоризонтален импулс, е длабочината на мирната вода, односно коритото под флуидниот слој се наоѓа на . Забележливо е дека просечната брзина на проток во равенките на масата и моментот е ''брзината на транспорт'' , вклучувајќи ги ефектите на брановите во зоната на прскање на хоризонталниот транспорт на масата, а не средната Ојлеровата брзина (на пример, како што се мери со фиксен проток метар).
5.2 Густина на енергија на брановите
Брановата енергија е количина од примарен интерес, бидејќи е примарна количина што се транспортира со брановите возови. Како што може да се види погоре, многу бранови величини како површинската височина и орбиталната брзина се осцилаторни по природа со нулта средна вредност (во рамките на линеарната теорија). Кај водените бранови, најкористената енергетска мерка е средната густина на енергијата на брановите по единица хоризонтална површина. Тоа е збир на кинетичката и потенцијалната густина на енергијата, интегрирани во длабочината на флуидниот слој и просечен во фазата на бранови. Наједноставно е да се изведе средната густина на потенцијалната енергија по единица хоризонтална површина на површинските гравитациски бранови, што е отстапување на потенцијалната енергија поради присуството на брановите::<math>\begin{align}
E_\text{pot} &= \overline{\int_{-h}^{\eta} \rho gz\,\mathrm{d}z} - \int_{-h}^0 \rho gz\, \mathrm{d}z \\[6px]
&= \overline{\tfrac12\rho g\eta^2} = \tfrac14 \rho ga^2.
\end{align}</math>
Надбарот ја означува средната вредност (која во овој случај на периодични бранови може да се земе или како временски просек или како просек над една бранова должина во просторот).
Просечната густина на кинетичката енергија по единица хоризонтална површина на движењето на брановите е слично::<math>\begin{align}
E_\text{kin} &= \overline{\int_{-h}^0 \tfrac12 \rho \left[ \left| \mathbf{U} + \mathbf{u}_x \right|^2 + u_z^2 \right]\, \mathrm{d}z} - \int_{-h}^0 \tfrac12 \rho \left| \mathbf{U} \right|^2\, \mathrm{d}z \\[6px]
&= \tfrac14 \rho \frac{\sigma^2}{k \tanh k h}a^2,
\end{align}</math>
со внатрешната честота. Користејќи ја релацијата дисперзија, резултатот за површинските гравитациски бранови е:
:<math>E_\text{kin} = \tfrac14 \rho g a^2.</math>
Како што може да се види, средната кинетичка и потенцијалната густина на енергијата се еднакви. Ова е општо својство на енергетските густини на прогресивните линеарни бранови во конзервативен систем. Додавајќи ги потенцијалните и кинетичките придонеси, и , средната енергетска густина по единица хоризонтална површина на движењето на брановите е:
:<math>E = E_\text{pot} + E_\text{kin} = \tfrac12 \rho g a^2.</math>
Во случај ефектите на површинскиот напон да не се занемарливи, нивниот придонес исто така ја зголемува густината на потенцијалот и кинетичката енергија, што дава :<math> E_\text{pot} = E_\text{kin} = \tfrac14 \left( \rho g + \gamma k^2 \right) a^2, </math>
така
:<math> E = E_\text{pot} + E_\text{kin} = \tfrac12 \left( \rho g + \gamma k^2 \right) a^2, </math>
со површинскиот напон.
5.3 Дејство на бранови, енергетски флукс и стрес на зрачење
Општо земено, може да има пренос на енергија помеѓу движењето на брановите и средното движење на течноста. Ова значи дека густината на енергијата на бранот не е во сите случаи зачувана количина (занемарувајќи ги дисипативните ефекти), туку вкупната енергетска густина - збирот на енергетската густина по единица површина на движењето на бранот и средното движење на протокот е. Сепак, за бавно променливи бранови возови, кои се шират во полека променлива батиметрија и полиња со среден проток, постои слична и зачувана бранова количина, дејството ::<math>\frac{\partial \mathcal{A{\partial t} + \nabla\cdot\left[ \left(\mathbf{U}+\mathbf{c}_g\right) \mathcal{A}\right] = 0,</math>
со акциониот флукс и векторот на групната брзина. Зачувувањето на дејството ја формира основата за многу модели на бранови на ветер и модели на бранови турбуленции. Тоа е, исто така, основата на крајбрежните инженерски модели за пресметување на брановидните бранови. Проширувањето на горната равенка за зачувување на дејството на брановите води до следнава еволуциска равенка за густината на брановата енергија::<math>\frac{\partial E}{\partial t} + \nabla\cdot\left[\left( \mathbf{U}+\mathbf{c}_g\right) E \right] + \boldsymbol{S}:\left(\nabla\mathbf{U}\right) = 0,</math>
со:
* е просечниот бран на густината на енергијата,
* е тензорот на стресот на зрачење и
* е тензорот на стапката shear rate.
Во оваа равенка во неконзервативна форма, внатрешниот производ е изворниот термин што ја опишува енергетската размена на движењето на брановите со средниот тек. Само во случај кога просечната брзина на смолкнување е нула, , средната густина на енергијата на бранот е зачувана. Двата тензори и се во Декартов координатен систем од формата::<math>
\begin{align}
\boldsymbol{S} &= \begin{pmatrix} S_{xx} & S_{xy} \\ S_{yx} & S_{yy} \end{pmatrix}
= \boldsymbol{I} \left( \frac{c_g}{c_p} - \frac12 \right) E
+ \frac{1}{k^2} \begin{pmatrix} k_x k_x & k_x k_y \\[2ex] k_y k_x & k_y k_y \end{pmatrix} \frac{c_g}{c_p} E,
\\[6px]
\boldsymbol{I} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\\[6px]
\nabla \mathbf{U} &=
\begin{pmatrix}
\displaystyle \frac{\partial U_x}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial U_y}{\partial x}
\\[2ex]
\displaystyle \frac{\partial U_x}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial U_y}{\partial y}
\end{pmatrix},
\end{align}
</math>
со и компонентите на векторот на брановиот број и слично и компонентите во векторот на средната брзина
5.4 Флукс на маса на бранови и импулс на бранови
Просечниот хоризонтален импулс по единица површина индуциран од брановото движење - а исто така и брановидниот масен флукс или транспорт на маса - е::<math>\begin{align}
\mathbf{M} &= \overline{\int_{-h}^\eta \rho \left( \mathbf{U}+\mathbf{u}_x\right)\, \mathrm{d}z} - \int_{-h}^0 \rho \mathbf{U}\, \mathrm{d}z \\[6px]
&= \frac{E}{c_p} \mathbf{e}_k,
\end{align}</math>
што е точен резултат за периодични прогресивни водни бранови, исто така валиден за нелинеарни бранови. Сепак, неговата важност силно зависи од начинот на кој се дефинира брановиот момент и масовниот флукс. Стоукс веќе идентификувал две можни дефиниции за фазна брзина за периодични нелинеарни бранови:*''Стоуксова прва дефиниција за бранова јачина'' (S1) - со средна брзина на Ојлеров проток еднаква на нула за сите височини ' под брановите корита, и
*''Стоуксова втора дефиниција за јачина на бранови'' (S2) - со средна маса на пренос еднаков на нула.
Горенаведената врска помеѓу брановиот импулс и густината на брановата енергија е валидна во рамките на првата дефиниција на Стоукс.
Меѓутоа, за бранови нормални на крајбрежната линија или во затворен лабораториски бранов канал, втората дефиниција (S2) е посоодветна. Овие бранови системи имаат нулта масен флукс и импулс кога се користи втората дефиниција. Спротивно на тоа, според првата дефиниција на Стоукс (S1), постои бранови-индуциран масен флукс во насоката на ширење на бранот, кој треба да се балансира со просечен проток во спротивна насока - наречен подвод.
Тоа значи дека наместо брановиден момент се користи терминот псевдо-импулс на брановите.
5.5 Равенки за еволуција на маса и импулс
За полека променлива батиметрија, бранови и полиња со среден проток, еволуцијата на средниот проток може да се опише во однос на средната брзина на пренос на маса Ũ дефинирана како::<math>\tilde{\mathbf U} = \mathbf{U} + \frac{\mathbf{M{\rho h}.</math>
Забележливо е дека за длабоки води, кога средната длабочина h оди до бесконечност, средната Ојлеровата брзина U и средната брзина на пренос Ũ стануваат еднакви.
Равенката за зачувување на масата е::<math> \frac{\partial}{\partial t}\left( \rho h \right) + \nabla \cdot \left( \rho h\tilde{\mathbf{U \right) = 0,</math>
каде што е средна длабочина на водата, полека варира во просторот и времето.
Слично на тоа, средниот хоризонтален момент еволуира како::<math> \frac{\partial}{\partial t}\left( \rho h \tilde{\mathbf{U\right) + \nabla \cdot \left( \rho h \tilde{\mathbf{U \otimes \tilde{\mathbf{U + \tfrac12\rho gh^2\boldsymbol{I} + \boldsymbol{S} \right) = \rho g h \nabla d,</math>
со длабочина на мирна вода (морското корито е на z = –d ), S е тензор на браново зрачење-напрегање, I е идентитетска матрица и ⊗ е дијадичен производ:
:<math> \tilde{\mathbf{U \otimes \tilde{\mathbf{U =
\begin{pmatrix}
\tilde{U}_x \tilde{U}_x & \tilde{U}_x \tilde{U}_y \\
\tilde{U}_y \tilde{U}_x & \tilde{U}_y \tilde{U}_y
\end{pmatrix}.</math>
Забележливо е дека средниот хоризонтален момент е зачуван само ако морското дно е хоризонтално (длабочината на мирната вода d е константа), во согласност со Нотеровата теорема.
Системот на равенки е затворен преку описот на брановите. Распространувањето на брановата енергија е опишано преку равенката за зачувување на браново дејство (без дисипација и нелинеарни бранови интеракции)::<math> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{E}{\sigma} \right) + \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf{U} +\mathbf{c}_g \right) \frac{E}{\sigma} \right] = 0.</math>
Кинематиката на брановите е опишана преку равенката::<math>\frac{\partial \mathbf{k{\partial t} + \nabla \omega = \mathbf{0},</math>
со аголна честота ω функција од (аголниот) брановит број k, поврзан преку дисперзионата релација. За ова да биде возможно, брановото поле мора да биде кохерентно. Со преземање на свијокот на зачувувањето на брановиот врв, може да се види дека иницијално ирротациското поле на брановиот број останува иротациско.
6 Наводи
6.1 Историски
* Also: "Trigonometry, On the Figure of the Earth, Tides and Waves", 396 pp.
*
Reprinted in: