Бранова функција

Бранова функција — во квантната физика се користи за да се опише квантната состојба на изолиран квантен систем. Брановата функција <math>\Psi</math> е комплексна функција која ја претставува амплитудата на веројатноста, а квадратот на модулот на брановата функција <math>|\Psi|^2</math> има значење на густина на веројатност. Ако брановата функција се дефинира како функција која зависи од просторните и временските координати, <math>|\Psi(\vec{x},t)|^2</math> е реален број и ја претставува веројатноста честичката во времето <math>t</math> да се најде на позиција <math>\vec{x}</math>.
Најчестите симболи за брановата функција се грчките букви или (мала и голема пси, соодветно). Самата бранова функција дефинирана како сложена функција <math>\Psi</math> не е опсервабилна во физиката (не може да се мери директно), но квадратот на модулот на брановата функција <math>|\Psi|^2</math> и релативната фаза на брановата функција можат да се измерат. Принципот на двојност во квантната механика имплицира дека квантните системи можат еквивалентно да се опишат и како честички и како бранови (на пр. преку бранова функција). Двата описа се еквивалентни и обата се користат за опис на различни појави бидејќи едниот или другиот пристап е поедноставен и поинтуитивен за опишување на истите.
Брановата функција се наоѓа како решение на равенката зададена со квантните хермитски оператори (на пр., квантен Хамилтонов во Шредингеровата равенка). Со решавање на вакви равенки, добиваме својствени вредности кои го претставуваат спектарот на можни резултати од мерењата и својствени вредностисвојствени вектори кои претставуваат бранови функции на дадената равенка.
1 Историја
Ервин Шредингер прв ја искористил брановата функција за да го опише микроскопското квантно однесување на честичките во 1926 година кога направил аналогија на однесувањето на квантната честичка со однесувањето на брановите. Во тоа време, Шредингер не сметал дека брановата функција е доволна за да опише вистински физички бран, но истата година Макс Борн предложил интерпретација на брановата функција преку густината на веројатноста, и оттогаш брановата функција, во смисла што се разбира денес, зазела фундаментално место за опишување на појави во квантната механика.
2 Дефиниција
Брановата функција е функција зададена во однос на степенот на слобода, како што се просторните координати, временските координати, спин честичките, итн. Кога за еден систем се избере максималното множество на комутациски опсервабли за степени на слобода, односно се изберат сите меѓусебно независни степени на слобода (просторната координата и спинот се независни степени на слобода, но импулсот и соодветната просторна координата не се меѓусебно независни степени на слобода, затоа што тие директно зависат еден од друг), за дадениот систем може да се дефинира бранова функција.
За даден систем, изборот на комутациските степени на слобода што треба да се користат не е единствен, и следствено и доменот на брановата функција исто така не е единствен. На пример, брановата функција може да се запише како функција од просторните координати на честичките или како функција од импулсните координати на честичките во импулсниот простор. Овие две различни дефиниции на брановата функција даваат исти физички опсервабилни резултати и различно дефинираните бранови функции во реалниот и импулсниот простор се меѓусебно поврзани со Фурјеовата трансформација.
Некои честички, како што се електроните и фотоните , имаат спин кој не е нула. Доколку спинот на честичката е значаен за набљудуваната појавашто сака да се опише, во дефиницијата на брановата функција за таа честичка, покрај просторните и/или временските координати, неопходно е да се вклучи спин како внатрешен, дискретен степен на слобода. Така, дополнително е можно да се вклучат и други степени на слобода, како што е изоспин, итн. Дискретните степени на слобода најчесто се претставени со матрични колони. На пример. за спинот <math>s = \frac{1}{2}</math> се користи матрична колона <math>2 \times 1</math>, за спинот <math>s = 1</math>, се користи матрична колона <math>3 \times 1</math>, итн.
2.1 Дефиниција на бранова функција преку просторни координати и време
Брановата функција за изолирана честичка која се движи со нерелативистичка брзина чиј спин не се зема предвид може да се претстави како функција само од просторните координати и времето како сложена функција на реални променливи <math>\vec{x}</math> и <math>t</math> :
<math>\Psi(\vec{x},t)</math>
Квадратот на модулот на брановата функција <math>|\Psi(\vec{x},t)|^2</math> има значење на густина на веројатност:
<math>|\Psi(\vec{x},t)|^2 =\Psi^*(\vec{x},t)\Psi(\vec{x},t)=\rho(\vec{x},t)</math>
Врз основа на стандардната дефиниција за веројатност, се наметнува условот за нормираност на брановата функција. Брановата функција мора да се нормира, така што вкупната веројатност да се најде честичка некаде во вселената е еднаква на 1:
<math>\int_{-\infty}^{\infty} d\vec{x} \; |\Psi(\vec{x},t)|^2 =1</math>
На прашањето дали честичката е во одредена положба во одреден момент може да се одговори само преку информација за веројатноста дека честичката ќе биде во таа положба во тој момент. Веројатноста честичката која да се движи по една димензија во моментот <math>t</math> да се најде во просторниот интервал помеѓу точките <math>a</math> и <math>b</math> е даден со интегралот:
<math>P_{a\leq x \leq b}(t)= \int_a^b d x \; |\Psi(x,t)|^2</math>
2.2 Дефиниција на бранова функција преку времето и координати во импулсниот простор
Брановата функција на честичката не мора да биде зададена преку просторните и временските координати. Еквивалентни физички резултати дава и дефиницијата на брановата функција преку импулси и времето како:
<math>\Phi(\vec{p},t)</math>
На сличен начин се поставува условот за нормираност и слично квадратот на модулот на брановата функција <math>|\Phi(\vec{p},t)|^2</math> има значење на веројатност дека честичката во моментот <math>t</math> поседува импулс <math>\vec{p}</math>.
3 Простор на бранови функции
Просторот на брановите функции во кој тие се дефинирани е Хилбертов простор. Брановите функции кои го претставуваат решението на Шредингеровата равенка задоволуваат:
* својство на суперпозиција: бидејќи Шредингеровата равенка е линеарна диференцијална равенка, ако функциите <math>\Psi_1</math> и <math>\Psi_2</math> се две различни решенија на Шредингеровата равенка, тогаш има и нивна линеарна комбинација <math>a \Psi_1 + b \Psi_2</math>, каде <math>a</math> и <math>b</math> се комплексни броеви, решение на Шредингеровата равенка.
* дефинираност до константа. Ако <math>\Psi</math> е решението на Шредингеровата равенка, тогаш и <math>\Psi+C</math>, при што <math>C</math> е произволна константа, решение на дадената равенка.
Внатрешен производ помеѓу две бранови функции:
<math>\langle \Psi_1 (x) | \Psi_2 (x) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \; \Psi_1^*(x) \Psi_2(x)</math>
е мерка за преклопување помеѓу соодветните физички состојби и има значење на веројатност за премин од состојбата опишана со брановата функција <math>\Psi_1(x)</math> во состојба опишана со брановата функција <math>\Psi_2(x)</math>, или обратно.
4 Репрезентации
4.1 Шредингерова равенка
Брановата функција <math>\Psi</math> е решението на Шредингеровата равенка:
<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi</math>
кој ја опишува промената во системот како функција на времето. Шредингеровата равенка опишува како брановите функции еволуираат со текот на времето. Бидејќи Шредингеровата равенка е математички тип на бранова равенка, нејзиното решение кое го претставува брановата функција <math>\Psi</math> квалитативно се однесува како и макроскопските бранови, како што се водените бранови или брановите на жица.''''
4.2 Атом на водород
Решението на временско-независната Шредингерова равенка за атом на водород (не земајќи го предвид спинот на атомот) е бранова функција која може да се изрази во однос на радијална функција која <math> R(r)</math> што зависи само од радијалните координати <math>r</math> и сферниот хармоник <math>Y_\ell^m\!(\theta, \phi)</math> што зависи од аголните координати <math>\theta</math> и <math>\phi</math>.
<math>\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi)
=
R(r)\,\,Y_\ell^m\!(\theta, \phi)</math>
Секоја од <math>\Psi_{n\ell m}</math> компонентите на брановата функција сочинуваат една атомска орбитала.
5 Поврзано
* Квантна механика
* Веројатносна распределба
* Шредингерова равенка
* Хајзенберг несигурни односи