Логаритам

Логаритам — број што го покажува степенот на кој треба да се дигне основниот број за да се добие бараниот број. Логаритмот е обратна операција на степенувањето, исто како што делењето е обратна операција на множењето и обратно. Тоа значи дека логаритам од некој број е степенот на којшто друг број треба да се степенува за да истиот се добие. Во наједноставен случај логаритмот ги брои повторените множења на ист множител, на пример, бидејќи , „логаритмот со основа “ од е . Поопшто, степенувањето овозможува кој било реален број да се степенува на кој било степен, притоа дава позитивен резултат, така што може да се пресмета логаритам за кои било два позитивни реални броеви и каде е различен од . Логаритам од со „основа“ , обележан како (или за да нема забуни), е единствениот реален број така што . На пример, , со оглед дека .
Логаритмот со основа (што значи ) се нарекува десетичен логаритам и има бројни примени во науката и инженерството. Природниот логаритам за основа го има бројот, и истиот нашироко се користи во математиката и физиката заради неговиот поедноставен извод. Основата на двоичниот логаритам е (така што ) и се користи во информатиката.
Логаритмите биле воведени од Џон Непер на почетокот на XVII век како средство за поедноставување на пресметките. Брзо биле прифатени од морепловците, научниците, инженерите и други за поедноставно пресметување со користење на логаритмари и логаритамски таблици. Заморните чекори на множење на повеќецифрени броеви може да се заменат со податоци од табела и поедноставното собирање заради тоа што логаритам од производ е збир од логаритмите од множениците:
:<math> \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y, \,</math>
под услов , и да се позитивни и .
Денешниот поим за логаритам доаѓа од Леонард Ојлер, кој го поврзал логаритмот со експоненцијалната функција во XVIII век.
Логаритамските скали го смалуваат широкиот распон на количини на мали опсези. На пример, децибелот (dB) се користи како мерна единица за да изрази логаритамски однос, најчесто за моќ и амплитуда на сигнали (на пример звучен притисок). Во хемијата, pH е логаритамска мерка на киселоста на воден раствор. Логаритмите се вообичаени во научните формули, во мерењата на комплексноста на алгоритмите и геометриски објекти наречени фрактали. Помагаат да се опишат честотните соодноси на музичките интервали, се јавуваат во формулите за броење на примарни броеви, а можат да помогнат и во форензичкото сметководство.
1 Мотивација и дефиниција
Идејата на логаритмот е да биде обратна операција на операцијата степенување, која претставува дигање на некој број на степен. На пример, трет степен (или куб) од 2 е 8, бидејќи 8 е производ од три множеници по 2:
:<math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8</math>
Следи дека логаритам од 8 со основа 2 е 3, па .
1.1 Степенување
Трет степен од некој број е производ на три множеници еднакви на . Поопшто, дигање на бројот на степен, каде е природен број, се добива со множење множеници еднакви на . степен од се пишува како , така што
:<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ factors</math>
Степенувањето може да се прошири на , каде е позитивен број, а „степенот“ е кој било реален број. На пример, е реципрочна на , што е, . (За повеќе поединости видете степенување или )
1.2 Дефиниција
''Логаритам'' од позитивен реален број ''x'' со основа ''b'', каде што ''b'' е позитивен реален број различен од 1, е степенот на кој ''b'' треба да се крене за да се добие ''x''. Со други зборови, логаритам од ''x'' со основа ''b'' е решението ''y'' на равенката:<math>b^y = x</math>
Логаритмот се бележи "" (се изговара „логаритам од ''x'' со основа ''b''"), така што горниот дефинициски идентитет станува:
:<math>b^{\log_b x} = x</math>
Во равенката , вредноста ''y'' е одговор на прашањето „На кој степен треба да се дигне ''b'' за да се добие ''x''?“.
1.3 Примери
*, бидејќи .
*Логаритмите можат да бидат и негативни: <math>\quad \log_2 \! \frac{1}{2} = -1 \quad</math> бидејќи <math>\quad 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}.</math>* е приближно 2,176, што е меѓу 2 и 3, исто како што 150 лежи меѓу и
*За која било основа ''b'', и , бидејќи и , соодветно.
2 Логаритамски идентитети
Повеќе битни формули, наречени и ''логаритамски идентитети'' или ''логаритамски закони'', ги даваат меѓусебните врски на логаритмите.
2.1 Производ, количник, степен, и корен
Логаритам од производ е сума од логаритмите од броевите кои се множат; логаритам од количник од два броја е разлика од логаритмите на деленикот и делителот. Логаритам од степен на број е ''p'' пати од логаритмот од самиот тој број; логаритам од корен е логаритам од бројот поделен со ''p''. Во следната табела е даден список на идентитети со примери. Секој од идентитетите може да биде изведен со замена на дефинициите за логаритам <math>x = b^{\log_b x}</math> или <math>y = b^{\log_b y}</math> на левата страна од идентитетот.
, Формула, Пример
Производ, , <math>\log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 +
Количник, <math>\log_b \!\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y</math>, <math>\log_2 \!\frac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 -
Степен, <cite><math>\log_b\left(x^p\right) = p \log_b x</math>, <math>\log_2 \left(2^6\right) = 6 \log_2
Корен, <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac{\log_b x}{p}</math>, <math>\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} = 1,5</math>
2.2 Промена на основата
Логаритмот може да биде пресметан од логаритмите на ''x'' и ''b'' со која било произволна основа ''k'' користејќи ја следната формула:
:
Почнувајќи од дефиницискиот идентитет
:<math> x = b^{\log_b x} </math>
Можеме да ги логаритмираме со двете страни од равенката и ќе добиеме
:<math> \log_k x = \log_k (b^{\log_b x}) = \log_b x \cdot \log_k b</math>.
Решавајќи по <math>\log_b x</math> добиваме:
:<math> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}</math>,
Што го покажува факторот на претворање од дадените <math>\log_k</math>-вредности до нивните соодветни <math>\log_b </math>-вредности кои треба да бидат <math>(\log_k b)^{-1}.</math>
Типичен научно сметало пресметува логаритми со основи 10 и ''e''. Логаритми со која било основа ''b'' може да се определат користејќи кој било од овие два логаритма според претходната формула:
:<math> \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}. \,</math>
Со дадениот број ''x'' и неговиот логаритам со непозната основа ''b'', основата е дадена со:
:<math> b = x^\frac{1}{\log_b x},</math> што може да се види од дефинициската равенка <math> x = b^{\log_b x} </math> на степен <math>\; \tfrac{1}{\log_b x}.</math>
3 Посебни основи
Меѓу сите избори за основа, три се особено чести. Тоа се , (ирационална математичка константа ≈ 2,71828), и (двоичен логаритам). Во математичката анализа, логаритмот со основа ''e'' се користи нашироко заради неговите посебни аналитички својства објаснети подолу. Од друга страна, логаритмите со основа се лесни за користење при рачни пресметки во децималниот броен систем::<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\ </math>
Така, се однесува на бројот на декадни цифри на позитивен цел број ''x'': бројот на цифри е најмалиот цел број строго поголем од log<sub>10</sub>''x''. На пример, е приближно еднаков на 3,15. Следниот цел број е 4, кој го дава бројот на цифри на 1430. И двата, природниот логаритам и двоичниот логаритам се користат во теоријата на информации, а како основни единици за информација ги користат натовите и битовите, соодветно. Двоичните логаритми исто така се користат во информатиката, каде двоичниот броен систем е сеприсутен, во музичката теорија каде што е сеприсутен во односот меѓу две октави, и во фотографијата за мерење на вредноста на експозиција.
Во следната табела се дадени најчестите обележувања за логаритмите со овие основи и полиња на нивната примена. Во многу дисциплини се пишува наместо , каде што основата може да се одреди од контекстот. Се користи и обележувањето . Колоната „ИСО обележување“ ги дава обележувањата препорачани од Меѓународната организација за стандардизација. Бидејќи обележувањето се користи за сите три основи (или кога основата е неопределена или нематеријална), основата треба да произлезе врз основа на контекстот или дисциплината. Во информатиката и математиката, вообичаено log се однесува на и , соодветно. Во други контексти log често значи .
Основа ''b'', Име на log<sub>''b''</sub>''x'', ISO обележување, Други обележувања, се користи во
2, двоичен логаритам, , , , ,, информатика, теорија на информациите, теорија на музиката, фотографија
''e'', природен логаритам, (во математиката и бројни програмски јазици), математика, физика, хемија,статистика, економија, теорија на информации и инженерство
10, десетичен логаритам, , (во инженерство, биологија, астрономија), разни инженерски полиња(види децибел и подолу), логаритамскитаблици, сметала, спектроскопија
4 Историја
Историјата на логаритмот почнува во седумнаесеттиот век во Европа со откритието на нова функција која прошири сферата на анализата вон опфатот на алгебарските методи. Методот со логаритми првпат бил јавно објавен од Џон Непер во 1614 година во книгата насловена ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' (''Опис на чудесното правило на логаритмите''). И пред откритието на Непер имало други техники со слични опфати како простаферезата или користењето на таблици на прогресии, кои ги развил Јост Бирги околу 1600 година.
Десетичен логаритам од број е индексот од тој степен на десет кој е еднаков тој број. Кога се зборува за број кој бара толку многу цифри е груба алузија на десетичниот логаритам и истиот Архимед го спомнува како „ред на бројот“. Првите реални логаритми биле евристички методи за множењето да премине во собирање и на тој начин да овозможи брзо пресметување. Некои од овие методи користеле таблици изведени од тригонометриски идентитети.
Таквите методи се нарекуваат простафереза.
Откривањето на функцијата денес позната како природен логаритам почнало како обид да се најде површината (квадратура) на правоаголна хипербола на Грегоар де Сен-Венсан, белгиски језуит кој живеел во Прага. Архимед ја напишал ''Квадратура на парабола'' во третиот век п.н.е., но квадратурата на хипербола им одолеала на сите напори сè додека Сен-Венсан не ги објавил своите резултати во 1647 година. Односот кој логаритмот го дава меѓу геометриската прогресија и нејзиниот аргумент и аритметичката прогресија од вредности, го поттикнала А. А. де Сараса да ја поврзе квадратурата на Сен-Венсан и логаритмите во простаферезата, што доведува до терминот „хиперболичен логаритам“, синоним за природниот логаритам. Многу брзо новата функција била ценете од Кристијан Хајгенс, Патави и Џемс Грегори. Ознаката log y ја вовел Лајбниц во 1675 година. и следната година го поврзал со интегралот
<math>\int \frac{dy}{y} .</math>
5 Логаритамски таблици, логаритмари и историски апликации
Со поедноставувањето на тешките пресметки, логаритмот придонел за напредок на науката, особено на астрономијата. Логаритмот бил од особено значење во геодетските мерења, небесната навигација и други домени. Пјер-Симон Лаплас за логаритмот рекол:
::„...волшебен изум кој со намалување на работата од неколку месеци на неколку дена, го удвојува животот на астрономот, го поштедува од грешки и разочарување неодвоиви од долгите пресметки.“
Клучна алатка која овозможила практична примена на логаритмите пред сметалата (дигитроните) и сметачите биле ''логаритамските таблици''. Првата таква таблица била составена од Хенри Бригс (математичар)Хенри Бригс во 1617 година, веднаш по Неперовото откритие. Овие таблици ги содржеле вредностите на и за кој било број ''x'' во одреден опсег, со одредена точност, за одредена основа ''b'' (вообичаено ). На пример, Бригсовата прва таблица ги содржела декадните логаритми од сите цели броеви во опсегот од 1 до 1000 со точност од 14 цифри. Со оглед дека функцијата е обратна функција на log<sub>''b''</sub>''x'', наречена била антилогаритам. Производ и количник на два позитивни броја ''c'' и ''d'' рутински биле пресметувани како суми и разлика од нивните логаритми. Производот ''cd'' или количникот ''c/d'' се добива со антилогаритам од сумата или разликата, исто така и од истата табела::
:<math> c d = b^{\log_b c} \, b^{\log_b d} = b^{\log_b c + \log_b d} \,</math>
и
:<math>\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b c - \log_b d}. \,</math>
За рачни пресметки кои бараат значителна точност, исчитувањето на двата логаритма, пресметувањето на нивната сума или разлика и исчитувањето на антилогаритмот е доста побрз отколку множењето со поранешните методи како простаферезата, која се заснова на тригонометриски идентитети. Пресметката на степени и n-ти корени се сведуваат на множење или делење и исчитувања од таблици:
:<math>c^d = \left(b^{\log_b c}\right)^d = b^{d \log_b c} \,</math>
и
:<math>\sqrt[d]{c} = c^\frac{1}{d} = b^{\frac{1}{d} \log_b c}. \,</math>
Многу логаритамски таблици ги изразуваат логаритмите како мантиса и одлика од ''x'', односно како целоброен дел и децимален дел од . Одликата на е еден плус одликата на ''x'', а нивните мантиси се исти. Ова го проширува опфатот на логаритамските таблици: со дадена таблица за сите цели броеви ''x'' од 1 до 1000, логаритам од 3542 се апроксимира со
:<math>\log_{10}3542 = \log_{10}(10 \cdot 354.2) = 1 + \log_{10}354.2 \approx 1 + \log_{10}354. \, </math> Поголема точност може да се добие со интерполација.
Друга важна апликација бил логаритмарот, пар на логаритамски поделени скали за пресметка како што е илустрирано на сликата.
Неподвижна логаритамска скала, била измислено кратко по откритието на Непер. Вилијам Отред го подобрил и создал логаритмар – пар на логаритамски скали подвижни една во однос на другата. Броевите се поставени на подвижните скали на растојанија пропорционални на разликите меѓу нивните логаритми. Лизгањето на горната скала соодветствува на механичко додавање логаритми. На пример, со додавање на растојание од 1 до 2 на долната скала на растојанието од 1 до 3 на горната скала дава производ 6, што се отчитува на долниот дел. Логаритмарот бил суштинска алатка за сметање за инженерите и научниците сè до 1970-тите години бидејќи овозможува, за сметка на точноста, многу побрзи пресметки отколку техниките засновани на таблици.
6 Аналитички својства
За подлабока студија на логаритмите неопходен е концептот на функција (математика)функција. Функција е правило според кое за даден број се добива друг.<ref>