Подмножество

Во математиката, особено во теоријата на множествата, множество ''A'' е подмножество на множество ''B'' ако ''A'' „се содржи“ во ''B''. ''A'' и ''B'' може да се совпаѓаат. Ваквата релација се нарекува содржајна релација или инклузија. Така, множестово ''B'' е надмножество на ''A'' бидејќи сите елементи на ''A'' се воедно и елементи на ''B''.
1 Дефиниции
Ако ''A'' и ''B'' се множества, и секој елемент на ''A'' е воедно и елемент на ''B'', тогаш:
:*''A'' е подмножество на (се содржи во) ''B'', што се означува со <math>A \subseteq B</math>.
:*''B'' е надмножество на (го содржи) ''A'', што се означува со <math>B \supseteq A.</math>
Ако ''A'' е подмножество на ''B'', но ''A'' не е еднакво на ''B'' (т.е. B има барем еден елемент што го нема во ''A''), тогаш
:*''A'' е исто така вистинско (или строго) подмножество на ''B''; се запишува како <math>A\subsetneq B</math> (може да се сретне како <math>A \subset B</math>)
:или еквивалентно
:*''B'' е вистинско надмножество на ''A''; се запишува како <math>B\supsetneq A</math> (може да се сретне како <math>B \supset A</math>)
За секое множество ''S'', содржајната релација ⊆ е делумен поредок на множеството <math>\mathcal{P}(S)</math> на сите подмножества на ''S'' (партитивното множество на ''S'').
2 Знаците ⊂ и ⊃
Некои автори во своите дела знаците ⊂ и ⊃ ги третираат како ⊆ и ⊇.
* Во рамки на нивните дела, за секое множество е точно дека <math>A \subset A</math>.
Знаците ⊂ и ⊃ може да се сретнат и во функција на знаци за вистинско подмножество и вистинско надмножество наместо знаците ⊊ и ⊋. Односно, ⊆ и ⊂ се земаат како аналогни на знаците за неравенство ≤ и <.
* Ако ''x'' ≤ ''y'' тогаш ''x'' може да е еднакво на ''y'', но ако ''x'' < ''y'', тогаш ''x'' сигурно не е еднакво на ''y'', туку е помало од ''y''.
* Ако ''A'' ⊆ ''B'', тогаш ''A'' може да е еднакво на ''B'', но ако ''A'' ⊂ ''B'', тогаш ''A'' сигурно не е еднакво на ''B''.
3 Примери
* Множеството {1, 2} е вистинско подмножество на {1, 2, 3}.
* Секое множество е подмножество самото на себе, но не и вистинско подмножество.
* Празното множество (симбол: ∅) е исто така и подмножество на секое дадено множество ''X''. Празното подмножество е секогаш вистинско подмножество на сите множества, освен на самото себе.
* Множеството {''x'': ''x'' е прост број поголем од 2000} е вистинско подмножество на {''x'': ''x'' е неапрен број поголем од 1000}.
* Множеството на природни броеви е вистинско подмножество на множеството на рационални броеви исто така множеството на точки на една отсечка е вистинско подмножество на множеството од точки на една линија.
* Множеството на рационални броеви претставува вистинско подмножество на множеството реални броеви. Во овој пример и двете множества се бесконечни, но множеството на реални броеви има поголема кардиналност од множеството рационални броеви.
4 Други својства на содржајноста
Содржајноста (инклузијата) претставува канонски делумен поредок, односно секое делумно подредено множество (''X'', <math>\preceq</math>) е изоморфно на некој збир множества подредени со содржајност. Прост пример се редните броеви: ако секој реден број ''n'' го поистоветиме со множество [''n''] на сите редни броеви помали или еднакви на ''n'', тогаш ''a'' ≤ ''b'' ако и само ако [''a''] ⊆ [''b''].
За партитивно множество <math>\mathcal{P}(S)</math> на множеството ''S'', содржајниот делумен поредок е (до поредочен изоморфизам) Декартов производ на ''k'' = |''S''| (кардиналноста на ''S'') слики на делумниот поредок на {0,1} за кој 0 &lt; 1. Ова може да се покаже набројувајќи ''S'' = {''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, …, ''s''<sub>''k''</sub>} и сврзувајќи со секое подмножество ''T'' ⊆ ''S'' (т.е. се секој елемент на 2<sup>''S''</sup>) ''k''-кратноста од {0,1}<sup>''k''</sup> чијашто ''i''-та координата е 1 ако и само ако ''s''<sub>''i''</sub> е член на ''T''.
5 Поврзано
* Елемент (математика)
* Теорија на множествата
6 Наводи
*