Правоаголен триаголник

Во геометријата, правоаголен триаголник е триаголник со внатрешен прав агол, т.е. агол од 90&deg;. Страната спроти правиот агол се нарекува хипотенуза; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со ''c''. Другите две страни се викаат катети и се означуваат со ''a'' и ''b''. Спротивно на страната ''a'' е темето А и аголот &alpha;, a спротивно на страната ''b'' е темето В и аголот &beta;.
Основни поставки:
* Аглите &alpha; и &beta; се остри агли и се комплементни.
* Правиот агол се наоѓа помеѓу страните ''a'' и ''b''. Значи тие се меѓусебно нормални и ''a'' e висината на правоаголниот триаголник со основа ''b''.
* Питагорова теорема: Еден триаголник е правоаголен ако и само ако<math>a^2+b^
==Формули и особини==
Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. &frac12; &middot; ''b'' &middot; ''h'' = &frac12; &times; ''b'' &times; ''h''
Периметарот е збир на должините на трите страни
<math> </math>
Плоштина е:
* Плоштина на триаголник е една половина од основата помножена со висината, а бидејќи страната ''а'' е висината на основата ''b'' кај правоаголен триаголник имаме:
<math> \cdot a \cdot b </math>.
Пример: Нека е даден правоаголен триаголник со катета ''a''=5 cm и хипотенуза ''c''=13 cm. Според Питагоровата теорема
:<math>a^2+b^2=c^2 \Rightarrow (5cm)^2+b^2=(13cm)^2 \Rightarrow 25cm^2+b^2=169cm^2</math>:<math>b^2=169cm^2-25cm^2 \Rightarrow b^2=144cm^2 \Rightarrow b=\sqrt{144cm^2} \Rightarrow b=12cm</math>
Периметарот e: L=''a''+''b''+''c''=5 cm+12 cm+13 cm=30 cm. Плоштината е: &frac12;&middot;''a''&middot;''b''=&frac12;&middot;''5cm''&middot;''12cm''=30 cm&sup2;
Забелешка: Комбинацијата (5,12,13) е т.н. Питагорова тројка, т.е. е комбинација на три цели броеви кои формираат правоаголен триаголник. Друга позната тројка е: (3,4,5).
Пример: Нека е даден триаголник со катети ''а'' = ''b'' = 10mm. Според Питагоровата теорема
:<math>a^2+b^2=c^2 \Rightarrow (10mm)^2+(10mm)^2=c^2 \Rightarrow 100mm^2+100mm^2=c^2 </math>:<math>200mm^2=c^2 \Rightarrow c^2=200mm^2 \Rightarrow c=\sqrt{200mm^2} \Rightarrow c = 10\sqrt{2} \approx 14,14mm</math>
Периметарот e: L=''a''+''b''+''c''=10mm+10mm+14,14mm=34,14mm. Плоштината е: &frac12;&middot;''a''&middot;''b''=&frac12;&middot;''10mm''&middot;''10mm''=100mm&sup2;
Забелешка: Во вториот пример, двете катети имаат иста должина. Значи, покрај тоа што триаголникот е правоаголен, тој е и рамнокрак триаголник и аглите &alpha; и &beta; се еднакви, &alpha; = &beta; =45&deg;. Нема рамностран триаголник кој е и правоаголен.
1 Тригонометрија
Тригонометријата е гранка на математиката во која се разгледуваат своjствата на слични правоаголни триаголници. Два триаголници се слични ако имаат два пара на еднакви внатрешни агли. Во тој случај, автоматски и третиот пар агли се еднакви бидејќи збирот на аглите во триаголник е 180&deg;. Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два (остри) агли се еднакви. Ако два триаголници се слични, тогаш односот на кој било пар на страни е ист - тоа е дефиницијата за сличност. Затоа тригонометриските функции кои ги опишуваат односите на различните комбинации на страните на триаголникот зависат само од еден агол.
2 Впишана кружница
*Како и секој триаголник, правоаголниот триаголник е тетивен многуаголник, т.е. има впишана кружница (види триаголник).
Поставка: Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а полупречникот ''r'' на впишаната кружница на правоаголен триаголник е:
:<math>r = \frac{2P}{L} = \frac{2 \cdot \tfrac{1}{2}ab}{a+b+c}= \frac{ab}{a+b+c}</math>
Впишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во пресекот на аголните симетрали., Опишана кружница како последица од Талесовата теорема., Опишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во средината M<sub>c</sub> на хипотенузата ''c''.
3 Талесова теорема
Талесова теорема гласи: Секој периферен агол над пречникот на кружница е прав агол.
4 Опишана кружница
Поставка: (Последица од Талесова теорема) Средината, т.е. средната точка на хипотенузата ''c'' на правоаголен триаголник е центарот на својата опишана кружница, а полупречникот на кружницата е половината од хипотенузата c:
:<math>R= \frac{c}{2}</math>
Забелешка: Опишана кружница зависи само од хипотенузата, т.е. секој правоаголен триаголник со истата хипотенуза ја има истата опишана кружница.
Тежиштето e заеднички пресек на тежишните линии., Инверзната Талесова теорема: Ако должината на тежишната линија CM<sub>c</sub> e <sup>c</sup>/<sub>2</sub> тогаш &Delta;ABC e правоаголен триаголник.
5 Тежишна линија на хипотенуза
Во геометријата, тежишна линија на триаголник е отсечка која поврзува теме со средната точка на спротивната страна. Друг термин за тежишна линија е медијана.
*Теорема: Нека CM<sub>c</sub> е тежнишната линија до најдолгата страна ''c''=AB на триаголникот &Delta;ABC. Должината на CM<sub>c</sub> е еднаква на <sup>c</sup>/<sub>2</sub> ако и само ако &Delta;ABC е правоаголен триаголник. (Доколку триаголник нема ''најдолга'' страна, тој не е правоаголен.)
:Доказ: Талесовата теорема („ако“) и инверзната Талесова теорема („само ако“).
6 Поврзани теми
*Триаголник
*Питагорова теорема, Косинусова теорема
*Рамностран триаголник, Рамнокрак триаголник
*Складност на триаголници, Сличност на триаголници
*Талесова теорема