Инверзни тригонометриски функции

Инверзни тригонометриски функции (понекогаш нарекувани и аркус функции, антитригонометриски функции или циклометрични функции) – во математиката се инверзни функции на тригонометриските функции (со соодветно ограничени домени). Конкретно, тие се инверзни функции на функциите синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс и се користат за да се добие аголот од кој било од тригонометриските односи. Инверзните тригонометриски функции широко се користат во инженерството, навигацијата, физиката и геометријата.
1 Обележување
Постојат неколку обележувања кои се користат за инверзните тригонометриски функции.
Најприфатена конвенција е инверзните тригонометриски функции да се именуваат со користење на претставката „arc“: , , , etc. (Оваа конвенција се користи во статијава.) Ова обележување произлегува од следните геометриски односи:
При мерење во радијани, агол од ''θ'' радијани ќе соодветствува на лак чија должина е ''rθ'', каде ''r'' е полупречникот на кругот. Така, во единична кружница, "лакот чиј косинус е ''x''" е ист со "аголот чиј косинус е ''x''", бидејќи должината на лакот во кругот во радијани е ист со аголот во радијани. Во сметачките програмски јазици инверзните тригонометрски функции вообичаено се нарекуваат според нивните скратени облици asin, acos, atan.
Обележувањата , , , итн., како што биле воведени од Џон Хершел во 1813 година, исто така често се користат во изворите на англиски јазик и оваа конвенција е во согласност со обележувањето на инверзна функција. Ова може да изгледа како логичен конфликт со општата семантика за изрази како , што повеќе реферира на бројно степенување отколку на функциски состав, па следствено може да доведе до забуна меѓу реципрочна вредност и композициска инверзија. Забуната е намалена во извесна мера со фактот што секоја од реципрочните тригонометриски функции има свое име – на пример, = . Сепак, одредени автори препорачуваат да не се користи заради нејзината двосмисленост. Друга конвенција која се користи од одредени автори е да се користи прва голема буква заедно со &minus;1 superscript: , , , etc. Со ова потенцијално се избегнува забуната со степенувањето со негативни вредности, кое треба да биде претставено со , , итн.
Од 2009 година, стандардот ISO 80000-2 го специфицира единствено претставката "arc" за овие инверзни функции.
2 Основни својства
2.1 Главни вредности
Со оглед дека ниедна од шесте тригонометриски функции не е инјективна функција, тие се ограничени за да може да имаат инверзни функции. Затоа, областите на инверзните функции се прави подмножества од домените на оригиналните функции.
На пример, со користење ''функција'' во смисла на повеќезначни функции, како функцијата квадратен корен може да биде дефинирана од , функцијата е дефинирана така што sin(''y'') = ''x''. За даден реален број ''x'', со −1 ≤ ''x'' ≤ 1, постојат повеќе (фактички, броиво бесконечно многу) броеви ''y'' така што ; за на пример, , но исто така , , итн. Кога се сака само една вредност, функцијата може да биде ограничен на нејзината главна гранка. Со ова ограничување, за секое ''x'' во доменот изразот ќе се определува вредноста само на една вредност, наречена главна вредност. Овие својства важат за сите инверзни тригонометриски функции.
Главните вредности се дадени во следниот список.
Име, Вообичаено обележување, Дефиниција, Домен на ''x'' за реален резултат, Опсег на вообичаена главна вредност (радијани), Опсег на вообичаена главна вредност (степени)
аркус синус, ''y'' =, ''x'' =, −1 ≤ ''x'' ≤ 1, − ≤ ''y'' ≤, −90° ≤ ''y'' ≤ 90°
аркус косинус, ''y'' =, ''x'' =, −1 ≤ ''x'' ≤ 1, 0 ≤ ''y'' ≤, 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
аркус тангенс, ''y'' =, ''x'' =, сите реални броеви, − < ''y'' <, −90° < ''y'' < 90°
аркус тангенс, ''y'' =, ''x'' =, сите реални броеви, 0 < ''y'' <, 0° < ''y'' < 180°
аркус секанс, ''y'' =, ''x'' =, ''x'' ≤ −1 или 1 ≤ ''x'', 0 ≤ ''y'' < or < ''y'' ≤, 0° ≤ ''y'' < 90° или 90° < ''y'' ≤ 180°
аркус косеканс, ''y'' =, ''x'' =, ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'', − ≤ ''y'' < 0 или 0 < ''y'' ≤, −90° ≤ ''y'' < 0° или 0° < ''y'' ≤ 90°
(Забелешка: Некои автори го дефинираат опсегот на аркус секанс како ( 0 ≤ ''y'' < or ≤ ''y'' < ), бидејќи функцијата тангенс е ненегативна во овој домен. Ова ги прави одредени пресметки поконзистентни. На пример, користејќи го опсегот, , додека во опсегот ( 0 ≤ ''y'' < или < ''y'' ≤ ), би требало да се напише , бидејќи тангенсот е ненегативен во 0 ≤ ''y'' < но непозитивен во < ''y'' ≤ . Од слична причина, истите автори го дефинираат опсегот на аркус косеканс да е − < ''y'' ≤ − или 0 < ''y'' ≤ .)
Доколку е дозволено ''x'' да биде комплексен број, тогаш опсегот на ''y'' важи само за неговиот реален дел.
2.2 Врски меѓу тригонометриските функции и инверзните тригонометриски функции
Тригонометриските функции од инверзните тригонометриски функции се дадени во долната табела. Може брзо да се изведат земајќи ја предвид геометријата на правоаголен триаголник чија една страна е со должина 1 и друга со должина ''x'' (кој било реален број меѓу 0 и 1), потоа со примена на Питагоровата теорема и дефинициите на тригонометриските односи. Чисто алгебарските изведувања се подолги.
<math>\theta</math>, <math>\sin(\theta)</math>, <math>\cos(\theta)</math>, <math>\tan(\theta)</math>, Дијаграм
<math>\arcsin(x)</math>, <math>\sin(\arcsin(x)) = x </math>, <math>\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>, <math>\tan(\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2</math><math>\arccos(x)</math>, <math>\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>, <math>\cos(\arccos(x)) = x </math>, <math>\tan(\arccos(x)) = \frac{\sqrt{1-x^2{x}</math><math>\arctan(x)</math>, <math>\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2</math>, <math>\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2</math>, <math>\tan(\arctan(x)) = x</math><math>\arccsc(x)</math>, <math>\sin(\arccsc(x)) = \frac{1}{x}</math>, <math>\cos(\arccsc(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1{x}</math>, <math>\tan(\arccsc(x)) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1</math><math>\arcsec(x)</math>, <math>\sin(\arcsec(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1{x}</math>, <math>\cos(\arcsec(x)) = \frac{1}{x}</math>, <math>\tan(\arcsec(x)) = \sqrt{x^2-1}</math><math>\arccot(x)</math>, <math>\sin(\arccot(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2</math>, <math>\cos(\arccot(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2</math>, <math>\tan(\arccot(x)) = \frac{1}{x}</math>
2.3 Врски меѓу инверзните тригонометриски функции
Комплементарни агли:
:<math>\begin{align}
\arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\[0.5em]
\arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\[0.5em]
\arccsc(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x)
\end{align}</math>
Негативни аргументи:
:<math>\begin{align}
\arcsin(-x) &= -\arcsin(x) \\
\arccos(-x) &= \pi -\arccos(x) \\
\arctan(-x) &= -\arctan(x) \\
\arccot(-x) &= \pi -\arccot(x) \\
\arcsec(-x) &= \pi -\arcsec(x) \\
\arccsc(-x) &= -\arccsc(x)
\end{align}</math>
Реципрочни аргументи:
:<math>\begin{align}
\arccos\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsec(x) \\[0.3em]
\arcsin\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccsc(x) \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x) \, , \text{ if } x > 0 \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= -\frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x) - \pi \, , \text{ if } x < 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{\pi}{2} - \arccot(x) = \arctan(x) \, , \text{ if } x > 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{3\pi}{2} - \arccot(x) = \pi + \arctan(x) \, , \text{ if } x < 0 \\[0.3em]
\arcsec\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccos(x) \\[0.3em]
\arccsc\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsin(x)
\end{align}</math>
Корисни идентитети доколку се има само фрагмент од синусна табела:
:<math>\begin{align}
\arccos(x) &= \arcsin\left(\sqrt{1 - x^2}\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arccos(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(2x^2-1\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(1-2x^2\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin(x) &= \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2\right) \\
\arctan(x) &= \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2\right)
\end{align}</math>
Секогаш кога тука се користи квадратен корен од комплексен број, се бира корен со позитивен реален дел (или позитивен имагинарен дел ако квадратниот корен бил реален негативен).
Од формулата за тангенс на половина агол, <math>\tan\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \tfrac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)}</math>, се добива:
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2\right) \\[0.5em]
\arccos(x) &= 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{1 - x^2{1 + x}\right) \, , \text{ if } -1 < x \leq + 1 \\[0.5em]
\arctan(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 + x^2\right)
\end{align}</math>
2.4 Формула за собирање на аркус тангенс
:<math>\arctan(u) \pm \arctan(v) = \arctan\left(\frac{u \pm v}{1 \mp uv}\right) \pmod \pi \, , \quad u v \ne 1 \, .</math>
Ова е изведено од формулата за собирање на тангенс
:<math>\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)} \, ,</math>
со допуштање
:<math>\alpha = \arctan(u) \, , \quad \beta = \arctan(v) \, .</math>
3 Во математичката анализа
3.1 Изводи на инверзни тригонометриски функции
:
Изводите за комплексни вредности на ''z'' се:
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dz} \arcsin(z) &{} = \frac{1}{\sqrt{1-z^2 \; ; &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccos(z) &{} = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2 \; ; &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arctan(z) &{} = \frac{1}{1+z^2} \; ; &z &{}\neq -i, +i\\
\frac{d}{dz} \arccot(z) &{} = -\frac{1}{1+z^2} \; ; &z &{}\neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \arcsec(z) &{} = \frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2 \; ; &z &{}\neq -1, 0, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccsc(z) &{} = -\frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2 \; ; &z &{}\neq -1, 0, +1
\end{align}</math>
Само за реални вредности на ''x'':
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec(x) &{} = \frac{1}
===Изразување како определени интеграли ===
Со интегрирање и фиксирање на вредноста во една точка се добива израз за инверзната тригонометриска функција како определен интеграл:
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1 - z^2 \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arccos(x) &{}= \int_x^1 \frac{1}{\sqrt{1 - z^2 \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arctan(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arccot(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arcsec(x) &{}= \int_1^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1 \, dz = \pi + \int_x^{-1} \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1 \, dz\; , & x &{} \geq 1\\
\arccsc(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1 \, dz = \int_{-\infty}^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1 \, dz \; , & x &{} \geq 1\\
\end{align}</math>
Кога ''x'' е еднаков на 1, интегралите со ограничени домени се несвојствени интеграли, но сè уште добро дефинирани.
3.2 Бесконечни редови
Како функциите синус и косинус, инверзните тригонометриски функции може да се пресметуваат користејќи степени редови, како што следи. За аркус синус, редовите може да се изведат со проширување на неговиот дериватив, <math>\frac{1}{\sqrt{1-z^2</math>, како биномен ред, и со интегрирање член по член (користејќи ја горната дефиниција за интеграл). Слично, редовите за аркус тангенс може да се изведат со проширување на неговиот дериватив <math>\frac{1}{1+z^2}</math> во геометриски ред и применувајќи ја горната дефиниција за интеграл (види Лајбницов ред).
:<math>
\begin{align}
\arcsin(z) & = z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac{z^7}{7} + \cdots \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{z^{2n+1{2n+1} \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)! \, z^{2n+1{(2n+1)\left(2^{n}n!\right)^{2 \, ; \qquad |z| \le 1
\end{align}
</math>:<math>\arctan(z)
= z - \frac{z^3}{3} +\frac{z^5}{5} - \frac{z^7}{7} + \cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1{2n+1} \, ; \qquad |z| \le 1 \qquad z \neq i,-i</math>
Редовите за другите инверзни тригонометриски функции може да се дадат според овие согласно погоре дадените врски. На пример, <math>\arccos(x) = \pi/2 - \arcsin(x)</math>, <math>\arccsc(x) = \arcsin(1/x)</math>, итн. Друг ред е даден со::<math>2\left(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n{n^2\binom {2n} n}</math>
Леонард Ојлер пронашол ред за аркус тангенс кој конвергира побрзо од неговиот Тејлоров ред:
:<math>\arctan(z) = \frac z {1 + z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k + 1)(1 + z^2)}.</math>
(Членот во збирот за ''n'' = 0 е празен производ, така што е 1.)
Алтернативно, ова може да биде изразено како
:<math>\arctan(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n + 1)!} \; \frac{z^{2n + 1{(1 + z^2)^{n + 1.</math>
Друг ред за функцијата аркус тангенс е даден со
:<math>\arctan(z) = i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n - 1}\left(\frac{1}{(1 + 2i/z)^{2n-1 - \frac{1}{(1 - 2i/z)^{2n - 1\right),</math>
where <math>i=\sqrt{-1}</math> е имагинарна единица.
3.2.1 Континуирани дропки за аркус тангенс
Две алтернативи за степените редови за аркус тангенс се овие обопштени континуирани дропки:
:<math>\arctan(z) =
\frac z {1 + \cfrac{(1z)^2}{3 - 1z^2 + \cfrac{(3z)^2}{5 - 3z^2 + \cfrac{(5z)^2}{7 - 5z^2 + \cfrac{(7z)^2}{9-7z^2 + \ddots} =
\frac{z}{1 + \cfrac{(1z)^2}{3 + \cfrac{(2z)^2}{5 + \cfrac{(3z)^2}{7 + \cfrac{(4z)^2}{9 + \ddots}
</math>
Вториот е валиден во пресечена комплексна рамнина. Има два пресечени дела, од &minus;i до бесконечност, надолу по имагинарната оска, и од i до бесконечност, нагоре по истата оска. Најдобро работи за реални броеви од −1 до 1. Парцијалните именители се непарни природни броеви, а парцијалните броители (после првиот) се (''nz'')<sup>2</sup>, при што секој совршени квадрат се јавува само еднаш. Првиот го развил Леонард Ојлер, вториот Карл Фридрих Гаус користејќи Гаусов хипергеометриски ред.
3.3 Неопределени интеграли на инверзни тригонометриски функции
За реални и комплексни вредности на ''z'':
:<math>\begin{align}
\int \arcsin(z) \, dz &{}= z \, \arcsin(z) + \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arccos(z) \, dz &{}= z \, \arccos(z) - \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arctan(z) \, dz &{}= z \, \arctan(z) - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arccot(z) \, dz &{}= z \, \arccot(z) + \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arcsec(z) \, dz &{}= z \, \arcsec(z) - \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C\\
\int \arccsc(z) \, dz &{}= z \, \arccsc(z) + \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C
\end{align}</math>
За реално ''x'' ≥ 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C
\end{align}</math>
За сите реални ''x'' кои не се меѓу -1 и 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C
\end{align}</math>
Апсолутната вредност е неопходна за да се надоместат и негативните и позитивните вредности од функциите аркус секанс и аркус косеканс. Функцијата сигнум е исто така неопходна заради апсолутните вредности во деривативите на двете функции, кои создаваат две различни решенија за позитивни и негативни вредности на x. Понатаму ова може да се поедностави со користење на логаритамските дефиниции на инверзните хиперболични функции:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\end{align}</math>
Апсолутната вредност во аргументот на функцијата аркус хиперболичен косинус ја прави негативната половина од нејзиниот графикон, правејќи го идентичен со логаритамската сигнум функција прикажана погоре.
Сите овие антидеривативи може да бидат изведени користејќи интегрирање по делови и гореприкажаните едноставни деривативни облици.
3.3.1 Пример
Користејќи <math>\int u \, dv = u v - \int v \, du</math> ( интегрирање по делови), нека
:<math>\begin{align}
u &= \arcsin(x) & dv &= dx \\
du &= \frac{dx}{\sqrt{1-x^2 & v &= x
\end{align}</math>
потоа
:<math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2 \, dx,</math>
Што со едноставна замена го дава конечниот резултат:
:<math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C </math>