Теорема на кристалографско ограничување

Теорема на кристалографско ограничување ги карактеризира можните редови на вртежна симетрија во решетка. Во 2 или 3 димензии, вртежните симетрии се ограничени на двократно, трикратно, четирикратно и шесткратно.
Името на теоремата доаѓа од геолошките кристали, чии вртежни симетрии се генерално ограничени на истите вредности. Сепак, квазикристалите можат да се појават со други симетрии на дифракцискиот модел, како што е петкратниот; овие не биле откриени сè до 1982 година од Ден Шехтман.
Кристалите се моделираат како дискретни решетки, кое се создадени од список на независни конечни групи. Бидејќи дискретноста бара растојанијата помеѓу точките на решетката да имаат долна граница, групата на вртежни симетрии на решетката во која било точка мора да биде конечна група (алтернативно, точката е единствениот систем што дозволува бесконечна вртежна симетрија). Јачината на теоремата е дека ''не сите'' конечни групи се компатибилни со дискретна решетка; во која било димензија, ќе постои само конечен број на компатибилни групи.
1 Димензии 2 и 3
Посебните случаи на 2D (тапетни групи) и 3D (просторни групи) се најмногу користени во употребите и можат да се третираат заедно.
1.1 Отпорност на решетка
Вртежната симетрија во димензија 2 или 3 мора да помести точка од решетката кон низа други точки од решетката во истата рамнина, создавајќи правилен многуаголник од копланарни точки од решетката. Во овој дел, се ограничува вниманието на рамнината во која дејствува симетријата, прикажана со вектори на решетката на сликата.
Доколку се разгледа осумкратниот вртеж и векторите на поместување помеѓу соседните точки на многуаголникот, доколку постои поместување помеѓу било кои две точки на решетката, тогаш истото тоа поместување се повторува насекаде во решетката. Затоа, се собираат сите поместувања на рабовите за да започне од една точка на решетката. Рабовните вектори стануваат радијални вектори, а нивната 8-кратна симетрија создава правилен осумаголник од точки на решетката околу точката на собирање. Но, ова е ''невозможно'', бидејќи новиот осумаголник е околу 80% поголем од оригиналниот. Значењето на смалувањето е во тоа што е неограничено. Истата конструкција може да се повтори со новиот осумаголник, и тоа одново и одново сè додека растојанието помеѓу точките на решетката не биде мало колку што сакаме; така што ниедна ''дискретна'' решетка не може да има 8-кратна симетрија. Истиот аргумент важи за секоја ''k'' -кратен вртеж, за ''k'' поголемо од 6.
Аргументот за смалување, исто така, ја отстранува петкратната симетрија. Кај правилен петоаголник доколку постои, тогаш може да се земе секое ''друго'' поместување на работ и (од глава до опашка) да се состави ѕвезда со пет краци, при што последниот раб се враќа на почетната точка. Врвовите на таква ѕвезда се повторно врвови на правилен петоаголник со петкратна симетрија, но околу 60% помали од оригиналниот.
Така, теоремата е докажана.
Постоењето на квазикристали и Пенроузови плочки покажува дека претпоставката за линеарна транслација е неопходна. Пенроузовите плочки може да имаат петкратна вртежна симетрија и дискретна решетка, а секое локално соседство на плочките се повторува бесконечно многу пати, но нема линеарна транслација за плочките како целина. И без претпоставката за дискретна решетка, горенаведената конструкција не само што не успева да достигне противречност, туку произведува и (недискретен) контрапример. Така, петкратната вртежна симетрија не може да се отстрани со аргумент на кој му недостасува која било од тие претпоставки. Пенроузовите плочки на целата (бесконечна) рамнина може да има само точна 5-кратна вртежна симетрија околу една точка, додека 4-кратните и 6-кратните решетки имаат бесконечно многу центри на вртежна симетрија.
1.2 Доказ за тригонометрија
Во следниот дел се разгледуваат две точки на решетката A и B одделени со вектор на транслација ''r'' . каде аголот α е таков што вртењето на аголот α околу која било точка на решетката е симетрија на решетката. Вртењето околу точката B за α ја пресликува точката A кон нова точка A'. Слично на тоа, вртењето околу точката A за α ја пресликува B кон точка B'. Бидејќи двете споменати вртежи се операции на симетрија, A' и B' мора да бидат точки на решетката. Поради периодичноста на кристалот, новиот вектор ''r што ги поврзува мора да биде еднаков на цел број од ''r'' :
: <math> \mathbf{r}' = m\mathbf{r} </math>
со <math>m</math> цел број. Четирите транслациски вектори, три со должина <math>r=|\mathbf{r}|</math> и еден, кој ги поврзува A' и B', со должина <math>r'=|\mathbf{r}'|</math>, формираат трапез. Поради тоа, должината на ''r е дадена и со:
:<math> r' = 2r\cos\alpha - r. </math>
Комбинирањето на двете равенки дава:
:<math> \cos\alpha = \frac{m+1}{2} = \frac{M}{2} </math>
каде <math>M=m+1</math> е исто така цел број. Имајќи предвид дека <math>|\cos\alpha|\le 1</math> се добиваат цели броеви <math>M\in\{-2,-1,0,1,2\}</math> Решавање на можни вредности на <math>\alpha</math> открива дека единствените вредности во опсегот од 0° до 180° се 0°, 60°, 90°, 120° и 180°. Во радијани, единствените дозволени вртежи што се во согласност со периодичноста на решетката се дадени со 2π/ ''n'', каде што ''n'' = 1, 2, 3, 4, 6. Ова одговара на еднократна, двократна, трикратна, четирикратна и шесткратна симетрија, соодветно, и затоа ја исклучува можноста за 5-кратна или поголема од 6-кратна симетрија.
1.3 Краток доказ за тригонометрија
Во следниот дел се разгледува линија од атоми ''AOB'', одделени со растојание ''a'' каде е завртен целиот ред за θ = +2π/ ''n'' и θ = −2π/ ''n'', со точката ''O'' фиксирана. По вртењето за +2π/ ''n'', A се поместува до точката на решетката ''C'', а по вртењето за -2π/ ''n'', B се поместува до точката на решетката ''D.'' Поради претпоставената периодичност на решетката, двете точки на решетката ''C'' и ''D'' ќе бидат исто така во линија директно под почетниот ред; освен тоа, ''C'' и ''D'' ќе бидат одделени со ''r'' = ''ma'', при што ''m'' е цел број. Но, според тригонометријата, растојанието помеѓу овие точки е:
:<math>2a\cos{\theta} = 2a\cos{\frac{2\pi}{n</math>.
Изедначувањето на двата оноси дава:
:<math>2\cos{\frac{2\pi}{n=m</math>
Ова е задоволено само со ''n'' = 1, 2, 3, 4, 6.
1.4 Доказ за матрица
За алтернативен доказ, се разгледуваат својствата на матрицата. Збирот на дијагоналните елементи на матрицата се нарекува трага на матрицата. Во 2D и 3D секое вртење е рамнинско, а трагата е функција само од аголот. За 2D вртење, трагата е 2 cos θ; за 3D вртење, 1 + 2 cos θ.
* Во следниот дел се разгледува вртежна матрица од 60° (6-кратно) во однос на ортонормална основа во 2D.
::<math>\begin{bmatrix} {1/2} & \sqrt{3}/2} \\ {\sqrt{3}/2} & {1/2} \end{bmatrix}</math>: Трагата е точно 1, цел број.
* Во следниот дел се разгледува вртежна матрица од 45° (8-кратно).
::<math>\begin{bmatrix} {1/\sqrt{2 & 1/\sqrt{2 \\ {1/\sqrt{2 & {1/\sqrt{2 \end{bmatrix}</math>: Трагата е 2/, не е цел број.
Со избирање на основа формирана од вектори што ја опфаќаат решетката, не е загарантирана ниту ортогоналноста ниту единечната должина, туку само линеарна независност. Сепак, трагата на вртежната матрица е иста во однос на која било база. Трагата е инвариантна на сличност при линеарни преобразби. Во решетката, вртжната операција мора да ја мапира секоја точка на решетката во цел број на вектори на решетката, така што записите на вртежната матрица во решетката - а со тоа и трагата - се нужно цели броеви. Слично како и во другите докази, ова покажува дека единствените дозволени вртежни симетрии одговараат на 1, 2, 3, 4 или 6-кратна инвариантност. На пример, тапетите и кристалите не можат да се вртат за 45° и остануваат инвариантни, единствените можни агли се: 360°, 180°, 120°, 90° или 60°.
Пример
* Во следниот дел се разгледува вртежна матрица од 60° (360°/6) во однос на коса решеткаста основа за поплочување со рамностран триаголник.
::<math>\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>: Трагата е сè уште 1. Детерминантата (секогаш +1 за ротација) е исто така зачувана.
Општото кристалографско ограничување на вртењетоо ''не'' гарантира дека тоа ќе биде компатибилна со одредена решетка. На пример, вртеж од 60° нема да работи со квадратна решетка; ниту вртеж од 90° нема да работи со правоаголна решетка.
2 Повисоки димензии
Кога димензијата на решетката ќе се зголеми на четири или повеќе, вртежите повеќе не мора да бидат рамни; 2D доказот е несоодветен. Сепак, ограничувањата сè уште важат, иако се дозволени повеќе симетрии. На пример, хиперкоцкестата решетка има осумкратна вртежна симетрија, што одговара на осумкратна вртежна симетрија на хиперкоцката. Ова е од интерес, не само за математиката, туку и за физиката на квазикристалите според теоријата за сечење и проектирање. Според ова гледиште, 3D квазикристал со 8-кратна вртежна симетрија може да се опише како проекција на плоча исечена од 4D решетка.
Следната 4D вртежна матрица е претходно споменатата осумкратна симетрија на хиперкоцката (и вкрстениот политоп):
:<math>A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}.</math>
Преобразбата на оваа матрица во новите координати дадени со
:<math>B = \begin{bmatrix} -1/2 & 0 & -1/2 & \sqrt 2/2 \\ 1/2 & \sqrt 2/2 & -1/2 & 0 \\ -1/2 & 0 & -1/2 & -\sqrt 2/2 \\ -1/2 & \sqrt 2/2 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}</math> е даде:
:<math>B A B^{-1} = \begin{bmatrix} \sqrt 2/2 & \sqrt 2/2 & 0 & 0 \\ -\sqrt 2/2 & \sqrt 2/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt 2/2 & \sqrt 2/2 \\ 0 & 0 & -\sqrt 2/2 & -\sqrt 2/2 \end{bmatrix}.</math>
Оваа трета матрица потоа одговара на вртежот и за 45° (во првите две димензии) и за 135° (во последните две). Проекцијата на плоча од хиперкоцки по првите две димензии на новите координати произведува Амано-бенкерово поплочување (друго такво поплочување се добива со проектирање по последните две димензии), кое затоа има и 8-кратна вртежна симетрија во просек.
Решетката A4 и решетката F4 имаат вртежни симетрии од ред 10 и ред 12, соодветно.
За да се наведе ограничувањето за сите димензии, погодно е да се тргне вниманието од ротациите и да се даде поголемо внимание на целобројните матрици. Се разгледува случај во кој матрицата A има ред ''k'' кога нејзиниот ''k'' -та степен (но не помала), A<sup>''k''</sup>, е еднаков на идентитетот. Така, 6-кратна вртежна матрица во основата на рамностран триаголник е целобројна матрица со ред 6. Нека Ord <sub>''N''</sub> го означува множеството цели броеви што можат да бидат од редот на ''N'' × ''N'' целобројна матрица. На пример, Ord <sub>2</sub> = {1, 2, 3, 4, 6}. Во следниот случај се наведува експлицитна формула за Ord <sub>''N.''</sub>
Во следниот случај се дефинира функција ψ врз основа на Ојлеровата функција на тотиентот φ; таа ќе ги пресликува позитивните цели броеви со ненегативни цели броеви. За непарен прост број, p, и позитивен цел број, k, поставете ψ(pk) еднакво на вредноста на функцијата на тотиентот, φ(pk), што во овој случај е ''p<sup>k</sup>''−''p<sup>k−1</sup>''. По ова, потребно е да се направи истото за ψ(2<sup>''k''</sup>) кога k > 1. ψ(2) и ψ(1) е потребно да се постават на 0. Користејќи ја фундаменталната теорема на аритметиката, можеме да запишеме кој било друг позитивен цел број единствено како производ од степени на прости броеви, ''m'' = Π<sub>α</sub>''p''<sub>α</sub><sup>''k'' <sub>α</sub></sup>; каде ψ(''m'') = Σ<sub>α</sub> ψ(''p''<sub>α</sub><sup>''k'' <sub>α</sub></sup>). Ова се разликува од самиот тотиент, бидејќи е збир, а не производ.
Кристалографското ограничување во општа форма наведува дека Ord<sub>''N''</sub> се состои од оние позитивни цели броеви ''m'' такви што ψ( ''m'' ) ≤ ''N.'':
+ Најмала димензија за дадена нарачка
''m'', 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31
ψ(''m''), 0, 0, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 6, 8, 16, 6, 18, 6, 8, 10, 22, 6, 20, 12, 18, 8, 28, 6, 30
За ''m'' >2, вредностите на ψ(m) се еднакви на двапати од алгебарскиот степен на cos(&#x3C0;/''m''); затоа, ψ(''m'') е строго помало од ''m'' и ја достигнува оваа максимална вредност ако и само ако ''m'' е прост број.
Овие дополнителни симетрии не дозволуваат рамнинскиот пресек да има, на пример, 8-кратна вртежна симетрија. Во рамнината, 2D ограничувањата сè уште важат. Така, пресекувањата што се користат за моделирање на квазикристали нужно имаат дебелина.
Целобројните матрици не се ограничени на вртење; на пример, рефлексијата е исто така симетрија од ред 2. Но, со инсистирање на детерминанта +1, можеме да ги ограничиме матриците на соодветни вртежи.
3 Формулација во однос на изометрии
Кристалографската ограничувачка теорема може да се формулира во однос на изометриите на Евклидовиот простор. Множество од изометрии може да формира група. Под ''дискретна изометриска група'' се подразбира изометриска група што ја мапира секоја точка на дискретно подмножество од RN, т.е. орбитата на која било точка е збир од изолирани точки . Со оваа терминологија, кристалографската рестрикциска теорема во две и три димензии може да се формулира на следниов начин.
: За секоја дискретна изометриска група во дводимензионален и тридимензионален простор што вклучува транслации што го опфаќаат целиот простор, сите изометрии од конечен ред се од ред 1, 2, 3, 4 или 6.
Изометриите од ред ''n'' вклучуваат, но не се ограничени на, ''n'' -кратни вртежи. Теоремата, исто така, ги исклучува ''S<sub>8</sub>'', ''S<sub>12</sub>'', ''D<sub>4d</sub>'', and ''D<sub>6d</sub>'' иако тие имаат само 4- и 6-кратна вртежна симетрија. Вртежната симетрија од кој било ред околу оска е компатибилна со транслационата симетрија долж таа оска.
Резултатот во табелата погоре покажува дека за секоја дискретна изометриска група во четиридимензионален и петдимензионален простор што вклучува транслации што го опфаќаат целиот простор, сите изометрии од конечен ред се од ред 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 или 12.
Сите изометрии од конечен ред во шестдимензионален и седумдимензионален простор се од ред 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 или 30.