Множество

Множеството претставува збир на предмети кои се нарекуваат елементи на даденото множество. Множеството кое не содржи ниту еден елемент се нарекува ''празно множество'' и се означува со <math>\O</math>. Понекогаш, поимите ''множество'', ''елемент'' и ''припадност кон дадено множество'', се прифаќаат како основни, интуитивно јасни и не се дефинираат. Доколку <math>x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}</math> се членови на множеството A кое е конечно или преброиво бесконечно, тогаш математички тоа се запишува на следниов начин:
<math>A = \{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\}</math>
Едно множество може да се опише ако се искористи и некое својство P(x) кое го исполнуваат сите елементи на тоа множество. Математички тоа се запишува вака:
<math>A = \{x \mid P(x)\}</math>
Ако некој елемент <math>x</math> му припаѓа на множеството A, тогаш тоа се означува со <math>x \in A</math>, а доколку <math>x</math> не е елемент на множеството A тоа се запишува <math>x \notin A</math>. За две множества A и B велиме дека се еднакви ако и само ако секој елемент на множеството А е елемент и на множеството B или ако и двете множества се празни:
<math>A = B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)</math><math>A = B \Leftrightarrow (A = \O \land B = \O)</math>
Меѓу две множества постои „инклузија“ <math>(\subseteq)</math> ако и само ако, за секој елемент <math>x</math> важи дека ако <math>x</math> е елемент на <math>A</math> тогаш <math>x</math> е елемент и на <math>B</math>:
<math>A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B)</math>
Дополнително, меѓу две множествата <math>A</math> и <math>B</math> постои ''строга инклузија''<math>(\subset)</math> ако и само ако секој елемент на <math>A</math> е елемент и на <math>B</math>, но постои барем еден елемент на <math>B</math> којшто не е елемент на <math>A</math>:
<math>A \subset B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B) \land (\exists x)(x \in B, x \notin A)</math>
Ако меѓу <math>A</math> и <math>B</math> постои инклузија, тогаш се вели дека <math>A</math> е подмножество на <math>B</math>. Ако меѓу <math>A</math> и <math>B</math> постои строга инклузија, тогаш се вели дека <math>A</math> е вистинско подмножество на <math>B</math>.
Од дефинициите за еднаквост и инклузија следува дека
<math>A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B \land B \subseteq A)</math>.
Две множества се еквивалентни, ако имаат ист број елементи. Математички ова подразбира: <math>\ A</math> и <math>\ B</math> се еквивалентни ако и само ако постои биекција од множество <math>\mathbb{N}_n = \{1,2,...,n\}</math> во двете множества <math>\ A</math> и <math>\ B</math>. Бројот на елементи на едно множество се нарекува кардинален број.
1 Околу бесконечните множества
Во аксиоматското излагање на теоријата на множествата постоењето на бесконечно множество (исто како и постоењето на празно множество) е гарантирано со аксиома. Ова бесконечно множество е токму множеството природни броеви. За него карактеристично е следново: до секој негов елемент може да се стигне именувајќи ги сите претходни, т.е. да се ''избројат'' сите природни броеви пред некој замислен природен број. Со оглед на тоа што ова множество е бесконечно (секогаш постои број ''за еден поголем'' од (потенцијално) најголемиот), тогаш за него велиме дека е бесконечно преброиво множество и неговиот кардинален број го бележиме со <math>\ \aleph_0</math> (алеф-нула). Овој кардинален број, за разлика од кардиналните броеви кај конечните множества, не треба да се поистовети со природен број (во смисла како ознака на количество). Тој означува величина која иако означува количество, (условно) не можеме да ја сметаме за број. Овој кардинален број се нарекува и „мала“ или „прва бесконечност“. Уште повеќе: секое бесконечно преброиво множество има кардинален број <math>\ \aleph_0</math>. Така на пример и множеството на рационални броеви - <math>\mathbb{Q}</math> има кардинален број <math>\ \aleph_0</math>, иако е јасно дека има „повеќе“ рационални отколку природни броеви.
Од друга страна се покажува дека множеството на реални броеви - <math>\mathbb{R}</math> е бесконечно, но не е преброиво, а сепак има „повеќе“ елементи од <math>\mathbb{N}</math> и <math>\mathbb{Q}</math>. Неговиот кардинален број се бележи со <math>\ c</math> и се нарекува континуум. Уште повеќе: секој конечен интервал исто така има кардинален број <math>\ c</math>. Важи и: <math>\aleph_0 < c</math>. За континуумот се вели дека е „голема“ или „втора бесконечност“.