Центар на хомотетија

Во геометријата, хомотетички центар (исто така наречен центар на хомотетија или центар на сличност) е точка од која најмалку две геометриски слични фигури можат да се видат како дилатација или контракција една на друга. Ако центарот е надворешен, двете фигури се директно слични една на друга; нивните агли имаат ист ротациски агол. Ако центарот е внатрешен, двете фигури се скалирани централносиметрични слики една на друга; нивните агли имаат исти насоки.
1 Општи многуаголници
Ако две геометриски фигури поседуваат хомотетски центар, тие се слични една на друга; со други зборови, тие мора да имаат исти агли во соодветните точки и се разликуваат само во нивното релативно скалирање. Хомотетичкиот центар и двете фигури не мора да лежат во иста рамнина; тие можат да бидат поврзани преку проекција во однос на хомотетичкиот центар.
Хомотетичките центри можат да бидат надворешни или внатрешни. Ако центарот е внатрешен, двете геометриски фигури се скалирани централносиметрични слики една на друга. Ако центарот е надворешен, двете фигури се директно слични една на друга.
2 Кружници
Секои две кружниците се слични една на друга и скалирано централносиметрични. Оттука, пар неконцентрични кружници кои имаат различни радиуси имаат два типа на хомотетички центри, внатрешен и надворешен. Овие исклучителни случаи, кога кружниците се концентрични или ако имаат еднакви радиуси, се третираат во зависност од општата положба. Двата центри на хомотетија лежат на правата што ги спојува центрите на двете дадени кружници, која се нарекува ''централна права'' (црт. 3). Во разгледувањето може да се вклучат и кружниците со радиус нула (точките).
2.1 Одредување на хомотетичкиот центар
За даден пар кружници внатрешниот и надворешниот хомотетички центар може да се најдат на различни начини. Во аналитичката геометрија, внатрешниот хомотетички центар е пондерираната средна вредност на центрите на кружниците, пондерирана со радиусот на спротивната кружница - растојанието од центарот на кружницата до внатрешниот центар е пропорционално на тој радиус, па затоа пондерирањето е пропорционално на ''спротивниот'' радиус. Означувајќи ги центрите на кружниците со и нивните радиуси со и означувајќи го центарот со , добиваме: <math>(x_0, y_0) = \frac{r_2}{r_1 + r_2}(x_1, y_1) + \frac{r_1}{r_1 + r_2}(x_2, y_2).</math>Надворешниот центар може да се пресмета со истата равенка, но ако се земе еден од полупречниците како негативен; и двата ја даваат истата равенка, т.е. <math>(x_e, y_e) = \frac{-r_2}{r_1 - r_2}(x_1, y_1) + \frac{r_1}{r_1 - r_2}(x_2, y_2).</math>Поопшто, ако двата радиуса се земат со ист знак (и двата позитивни или и двата негативни) се добива внатрешниот центар, а ако радиусите се земат со спротивни знаци (еден позитивен, а друг негативен) се добива надворешниот центар. Забележете дека равенката за внатрешниот центар важи за сите вредности (освен ако двата радиуса не се нула или едниот е спротивен на другиот), но равенката за надворешниот центар бара радиусите да бидат различни, во спротивно се добива делење со нула.
Во синтетичката геометрија, се цртаат два паралелни дијаметри, по еден за секоја кружница; тие формираат ист агол со правата низ центрите. Правите нацртани низ соодветните крајни точки на тие радиуси, кои се хомологни точки, се сечат една со друга и правата на центрите во ''надворешниот'' хомотетски центар. Обратно, правите нацртани низ една крајна точка и спротивната крајна точка на нејзината спротивна точка се сечат една со друга и линијата на центрите во ''внатрешниот'' хомотетски центар.
Како граничен случај на оваа конструкција, правата што ги допира обете кружници (битангентата) поминува низ еден од хомотетичките центри бидејќи формира прави агли со двата соодветни дијаметри, кои се паралелни; видете го текстот за тангенти на две кружници за детали. Ако кружниците се на спротивни страни од правата, таа поминува низ внатрешниот хомотетички центар, како на црт.3 погоре. Обратно, ако кружниците се на истата страна од битангентата, таа поминува низ надворешниот хомотетички центар (не е прикажано).
2.1.1 Посебни случаи
Ако кружниците имаат ист радиус (но различни центри), тие немаат надворешен хомотетички центар во афината рамнина : во аналитичката геометрија ова резултира со делење со нула, додека во синтетичката геометрија правите се паралелни со правата на центрите (и за пресечки и за битангенти) и затоа немаат пресек. Надворешен центар може да се дефинира во проективната рамнина како точка во бесконечност што одговара на наклонот на оваа права. Ова е исто така граница на надворешниот центар ако центрите на кружниците се фиксни и радиусите се менуваат сè додека не се изедначат.
Ако кружниците имаат ист центар, но различни полупречници, и надворешниот и внатрешниот центар на хомотетија се совпаѓаат со заедничкиот центар на кружниците. Ова може да се види од аналитичката формула, а воедно е и граничен случај на двата хомотетички центри бидејќи центрите на двете кружници се менуваат сè додека не се совпаднат, додека радиусите се држат да се еднакви. Сепак, нема права на центри и синтетичката конструкција не успева бидејќи двете паралелни прави се совпаѓаат.
Ако едниот радиус е нула, а другиот е различен од нула (точка и кружница), и надворешниот и внатрешниот центар се совпаѓаат со точката (центарот на кружницата со радиус нула).
Ако двете кружници се идентични (ист центар, ист радиус), внатрешниот центар е нивниот заеднички центар, но не постои добро дефиниран надворешен центар - правилно, функцијата од параметарскиот простор на две кружници во рамнината до надворешниот центар има неотстранлив дисконтинуитет на локусот на идентичните кружници. Во границата на две кружници со ист радиус, но различни центри кои се движат кон ист центар, надворешниот центар е точката во бесконечност што одговара на наклонот на правата на центрите, што може да биде било што, па затоа не постои ограничување за сите можни парови на такви кружници.
Обратно, ако двата радиуса се нула (две точки), но точките се различни, надворешниот центар може да се дефинира како точка во бесконечност што одговара на наклонот на правата на центрите, но не постои добро дефиниран внатрешен центар.
2.2 Хомологни и антихомологни точки
Општо земено, права што минува низ центар на хомотетија ги сече двете кружници (оригиналот и сликата) на две места. Од овие четири точки, две се нарекуваат ''хомологни'' ако радиусите нацртани кон нив формираат ист агол со правата што ги поврзува центрите; на пример, точките на црт.4. Точките што се колинеарни во однос на хомотетичкиот центар, но ''не'' се хомологни, се нарекуваат ''антихомологни''; на пример, точките на црт.4.
2.3 Парови антихомологни точки лежат на кружница
Кога два зраци од истиот хомотетички центар ги сечат кружниците, секој сет антихомологни точки лежат на кружница.
Да ги разгледаме триаголниците (црт.4). Тие се слични затоа што <math>\angle QES = \angle Q'\!ES', \quad \frac{\overline{EQ{\overline{EQ' = \frac{\overline{ES{\overline{ES',</math> бидејќи е хомотетички центар. Од таа сличност, следува дека <math>\angle ESQ = \angle ES'\!Q' = \alpha.</math> Според теоремата за впишан агол, <math>\angle EP'\!R' = \angle ES'\!Q'.</math> Бидејќи е суплементен на , <math>\angle QSR' = 180^\circ - \alpha.</math> Во четириаголникот , <math>\angle QSR' + \angle QP'\!R' = 180^\circ - \alpha + \alpha = 180^\circ,</math> што значи дека тој е тетивен. Од теоремата на пресечката, следува дека <math>\overline{EQ} \cdot \overline{EP'} = \overline{ES} \cdot \overline{ER'}.</math> На ист начин, може да се покаже дека може да се впише во кружница и <math>\overline{EP} \cdot \overline{EQ'} = \overline{ER} \cdot \overline{ES'}.</math>
Доказот е сличен за внатрешниот хомотетички центар : <math>\begin{align}
& \triangle PIR \cong \triangle P'\!IR' \\
& \implies \angle RPI = \angle IP'\!R' = \alpha \\
& \implies \angle RS'\!Q' = \angle PP'\!R' = \alpha \quad \text{(од теорема за впишан агол)}
\end{align}</math>Отсечката се гледа под ист агол од и , што значи дека лежат на кружницa. Потоа, од теоремата за тетиви што се сечат, <math>\overline{IP} \cdot \overline{IQ'} = \overline{IR} \cdot \overline{IS'}.</math> Слично на тоа, може да се впише во кружница и <math>\overline{IQ} \cdot \overline{IP'} = \overline{IS} \cdot \overline{IR'}.</math>
2.4 Врска со радикалната оска
Две кружници имаат радикална оска - правата составена од точките чии тангентни растојанија до двете кружници се со еднакви должини. Поинаку, секоја точка на радикалната оска има својство нејзините степени во однос на кружниците да бидат еднакви. Радикалната оска е секогаш нормална на правата на центрите, и ако две кружници се сечат, нивната радикална оска е правата што ги поврзува нивните пресечни точки. За три кружници, може да се дефинираат три радикални оски, по една за секој пар кружници ( ). Овие три радикални оски се сечат во една точка, радикалниот центар на трите кружници. Тангентните растојанија од радикалниот центар до трите кружници се со еднаква должина.
За да се најде точка на радикалната оска, може да се користат секакви два пара антихомологни точки. Разгледајте ги двата зрака со почеток од надворешниот хомотетички центар на црт.4. Овие зраци ги сечат двете дадени кружници (зелената и сината на црт.4) во два пара антихомологни точки, за првиот зрак и за вториот зрак. Овие четири точки лежат на една кружница, која ги сече двете дадени кружници. По дефиниција, правата е радикалната оска на новата кружница со дадената зелена кружница, додека правата е радикалната оска на новата кружница со дадената сина кружница. Овие две прави се сечат во точката , што е радикален центар на новата кружница и двете дадени кружници. Затоа, точката исто така лежи на радикалната оска на двете дадени кружници.
2.5 Тангентни кружници и антихомологни точки
За секој пар антихомологни точки на две кружници постои трета кружница која е тангентна на дадените и ги допира во антихомологни точки.Исто така, важи и спротивното - секоја кружница што е тангентна на две други кружници ги допира во пар антихомологни точки.
Нека нашите две кружници имаат центри (црт.5). е нивниот надворешен хомотетичен центар. Конструираме произволен зрак од кој ги сече двете кружници во и . Ги продолжуваме додека не се пресечат во . Лесно се докажува дека триаголниците се слични поради хомотетијата. Тие се исто така рамнокраки бидејќи <math>\overline{O_1P} = \overline{O_1Q}</math> (радиуси), па затоа <math>\angle O_1PQ = \angle O_1QP = \angle O_2P'\!Q' = \angle O_2Q'\!P' = \angle T_1QP' = \angle T_1P'\!Q.</math>Така, е исто така рамнокрак и може да се конструира кружница со центар и радиус <math>\overline{T_1P'} = \overline{T_1Q}.</math>Оваа кружница ги допира двете дадени кружници во точките .
Доказот за другиот пар антихомологни точки ( ), како и во случајот на внатрешниот хомотетички центар е аналоген.
Ако ги конструираме тангентните кружници за секој можен пар антихомологни точки, добиваме две семејства од кружници - по една за секој хомотетски центар. Семејството од кружници на надворешниот хомотетички центар е такво што секоја тангентна кружница во својата внатрешност или ги содржи ''обете'' дадени кружници или ниедна (црт.6). Од друга страна, кружниците од другото семејство секогаш содржат само една од дадените кружници (црт.7).
Сите кружници кои се тангентни на две фиксни кружници имаат заеднички радикален центар и тој се совпаѓа со хомотетичкиот центар на тие две кружници. За да го покажеме ова, разгледајте два зраци од хомотетичкиот центар кои ги сечат дадените кружници (црт.8). Постојат две тангентни кружници кои ги допираат дадените кружници во антихомологни точки. Како што веќе покажавме, овие точки лежат на кружница и затоа двата зрака се радикални оски за . Тогаш пресечната точка на двете радикални оски мора да ѝ припаѓа и на радикалната оска . Оваа пресечна точка е хомотетичкиот центар .
Ако двете тангентни кружници се допираат со колинеарни парови на антихомологни точки (црт. 5), тогаш поради хомотетијата <math>\frac{\overline{EP{\overline{EP' = \frac{\overline{EQ{\overline{EQ'; \quad \overline{EP} \cdot \overline{EQ'} = \overline{EQ} \cdot \overline{EP'}.</math>Така, степените на во однос на двете тангентни кружници се еднакви, што значи дека ѝ припаѓа на радикалната оска.
2.6 Хомотетички центри на три кружници
Секој пар кружници има два центра на сличност, па затоа, три кружници би имале шест центри на сличност, по два за секој посебен пар од дадените кружници. Интересно е што овие шест точки лежат на четири прави, по три точки на секоја права. Еден начин да се покаже ова е следниов:
Разгледајте ја ''рамнината'' на трите кружници (црт.9). Поместете го секој центар нормално на рамнината за растојание еднакво на соодветниот радиус. Центрите можат да бидат поместени од двете страни на рамнината. Трите нови точки дефинираат една рамнина. Во таа рамнина конструираме три прави низ секој пар од точките. Правите ја пробиваат рамнината на кружниците во точките . Бидејќи локусот на точките што се заеднички за две различни и непаралелни рамнини е права, тогаш овие три точки нужно лежат на таква права. Од сличноста на триаголниците гледаме дека <math>\frac{\overline{H\!_{AB}B{\overline{H\!_{AB}A = \frac{r_B}{r_A}</math>(каде се радиусите на кружниците) и затоа е всушност хомотетичкиот центар на соодветните две кружници. Истото можеме да го направиме и за и .
Повторувањето на горенаведената постапка за различни комбинации на хомотетички центри (во нашиот метод ова се определува според страната кон која ги поместуваме центрите на кружниците) би дало вкупно четири прави - три хомотетички центри на секоја права (Слика 10).
Еве уште еден начин да се докаже ова својство.
е конјугиран пар кружници тангентни на ''сите'' три дадени кружници (црт.11). Под конјугат подразбираме дека обете тангентни кружници му припаѓаат на истото семејство во однос на кој било од дадените парови кружници. Како што веќе видовме, радикалната оска на кои било две тангентни кружници од истото семејство минува низ хомотетичкиот центар на двете дадени кружници. Бидејќи тангентните кружници се заеднички за сите три пара дадени кружници, нивните хомотетски центри ѝ припаѓаат на радикалната оска на , т.е. тие лежат на една права.
Ова својство е искористено во општото решение на Жозеф Дијаз Жергон на проблемот на Аполониј. За дадени три кружници, можат да се најдат нивните хомотетички центри, а со тоа и радикалната оска на пар кружници кои се бараат. Секако, постојат бесконечно многу кружници со иста радикална оска, па затоа се врши дополнителна работа за да се открие точно кои две кружници се решението.