Вектор

Вектор — поим во математиката што означува секоја величина која во себе носи информација за количество (квантитет) и квалитет. Наспроти векторите, во математиката стојат скаларите кои носат информација само за количество. Така, грубо речено, на пример, величината: ''три килограми'' е скаларна, додека величината: ''три килограми јаболка'' е векторска. Но, под квалитет во математиката може да се подразбираат и некои својства кои немаат смисла за нематематичарите. Така на пример, отсечките може да ги сметаме за вектори, ако ги ''насочиме'', т.е. ако условно кажеме каде почнува, а каде завршува отсечката. Во овој случај квалитетот е ''насоката'', а за квантитет би ја зеле ''должината на отсечката''. Од друга страна секој скалар може да го сметаме за вектор со ''квалитет еднаков на нула'', при што смислата на квалитетот во овој случај е филозофска, т.е. имплицитна. Во физиката векторски величини се, на пример, брзината, забрзувањето, силата, импулсот и сл.
Најчестото толкување на векторите е геометриското - векторот е насочена отсечка од рамнината или просторот. Ова толкување има многу практична примена во математиката и особено во физиката.
За разлика од скаларите, кај векторите важат поинакви правила за извршување на операциите.
Сите вектори во математиката се разгледуваат во рамките на теоријата на векторски простори, која пак сама по себе е дел од линеарната алгебра.
1 Претставување на векторите
Математичката апстракција дозволува елементите на векторскиот простор да се наречат вектори иако директно од нив не се отчитуваат количественоста и качественоста. Така, на пример, множеството од сите полиноми со реални коефициенти со степен не поголем од некој природен број ''n'' претставува векторски простор, па следствено секој полином претставува вектор.
При ваквото сфаќање на векторите се јавува потребата за нивно ''претставување'', слично како кај скаларите. Но претставувањето на полиномот, на пример, како вектор е невозможно со „геометрискиот модел на вектор“, т.е. со насочена отсечка. Затоа се применуваат други, поапстрактни, методи кои важат за сите вектори подеднакво.
1.1 Геометриско претставување на векторите
Векторите како насочени отсечки во рамнината или просторот може да ги разгледуваме само во ограничен број случаи. Така во реалниот Евклидов простор, а тоа е просторот како што човекот го восприема, векторите може да ги ''нацртаме'' како ''стрелки''. Ова може да го направиме и во рамнината (две димензии) и во просторот (три димензии). „Цртањето“ може да продолжи и во четири димензии, но визуелната репрезентација сега ќе биде несфатлива за човековиот мозок. Затоа се преминува кон ''аналитичко претставување'' на векторите од векторскиот простор.
Нека избереме произволен вектор од рамнината или просторот. За него знаеме ''каде почнува'', а ''каде завршува''. Нека сега го земеме векторот кој е потполно ист со претходно избраниот, но така што ги промениме местата на крајот и почетокот, т.е. она што кај првиот вектор било почеток, кај вториот нека биде крај. Тогаш ваквиот вектор се вика ''спротивен вектор'' на избраниот. Ако избраниот вектор го обележиме со <math>\vec a</math>, тогаш спротивниот ќе го бележиме со <math>-\vec a</math>
1.2 Аналитичко претставување на векторите
Во теоријата на векторските простори имаме тврдење кое вели дека секој векторски простор има база. База е најмалото линеарно независно множество такво што сите вектори од просторот можат да се претстават како комбинација на елементите од базата. Така ако во рамнината воведеме правоаголен Декартов координатен систем, и избереме два вектора такви што секој од нив лежи на различна координатна оска и двата за почеток го имаат координатниот почеток, тогаш овие вектори чинат база за дводимензионалниот реален Евклидов простор - рамнината. Слично е и за просторот, само што во тој случај ќе имаме три такви вектори. Нека земеме вектор <math>\vec v</math> од рамнината и нека векторите <math>\vec e_1</math> и <math>\vec e_2</math> ја чинат базата за ''просторот'' (во овој случај под ''простор'' се подразбира ''рамнината''!). Тогаш постојат реални броеви (скалари) <math>a, b</math> така што важи:
:<math>\vec v=a\cdot \vec e_1 +b\cdot \vec e_2</math>
Тие реални броеви ги нарекуваме координати на векторот <math>\vec v</math> во однос на базата <math>\{ \vec e_1, \vec e_2 \}</math> и запишуваме:
:<math>\vec v = (a,b)</math>
што всушност претставува аналитички (''координатен'') запис за векторот кој го избравме. Бидејќи векторскиот простор има бесконечно многу бази, секој вектор не мора да има ист аналитички запис во однос на различни бази. Всушност во пракса ретко се случува ист вектор во однос на различни бази да има ист аналитички запис.
Ова што го направивме за рамнината можеме да го направиме и за просторот и за векторскиот простор од полиноми и за n-димензионалниот реален Евклидов простор - едноставно за секој векторски простор. Значи може да кажеме дека аналитичкото бележење на векторите е универзално и не зависи од изборот на просторот, туку само може да варира во зависност од избраната база.
Кога е воведено аналитичкото претставување на векторите може да се разгледуваат и посложени простори од познатиот тридимензионален простор, но нивното разгледување е лишено од визуелизацијата која е речиси пресудна кај рамнината и тридимензионалниот простор.
Ако е даден векторот <math>\vec v = (a,b)</math>, тогаш негов спротивен ќе биде векторот <math>-\vec v=(-a,-b)</math>.
Модулот на векторот <math>\vec v=(a,b)</math> (т.е. неговата „должина“),со ознака <math>\left|\vec v \right|</math>, може да се пресмета како:
:<math>\left|\vec v \right| = \sqrt{a^2+b^2}</math>
Во општ случај, за ''n''-димензионален вектор (''n''-вектор) <math>\vec a=(a_1,a_2,...,a_n)</math>, модулот се пресметува како:
:<math>\left| \vec a \right| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2} =\sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}</math>
Ако се работи за вектори во смисла на насочени отсечки, тогаш модулот е всушност должината. Во општ случај не може да се говори за должина на вектор во потесна смисла.
2 Операции со вектори
Како што напоменавме операциите со вектори се разликуваат од операциите со скалари. Според самата дефиниција на поимот ''операција'' во математиката, ''исходот'' од оперирањето со вектори треба и самиот да е вектор.
2.1 Собирање на вектори
Собирањето на геометриските вектори (насочените отсечки) се врши на следниов начин: треба да се пресмета збирот на векторите <math>\vec a</math> и <math>\vec b</math>. За таа цел постапуваме вака: го нанесуваме векторот <math>\vec a</math> со почеток во некоја избрана точка (при ова ги запазуваме насоката и должината на векторот!), а потоа во крајната точка на векторот <math>\vec a</math> (при врвот) го нанесуваме векторот <math>\vec b</math> (исто така запазувајќи ги неговите насока и должина). Векторот <math>\vec c</math> кој има почеток во почетната точка (почетокот на <math>\vec a</math>) и крај во последната точка (врвот на <math>\vec b</math>) се вика збир на векторите <math>\vec a</math> и <math>\vec b</math> и се бележи исто како и кај скаларите:
:<math>\vec c = \vec a + \vec b</math>
Ако векторите се зададени аналитички т.е. координатно, тогаш собирањето се врши „по координати“. Нека се дадени векторите (во општ случај со ''n''-координати):
:<math>\vec a = (a_1, a_2,... ,a_n)</math> и
:<math>\vec b = (b_1, b_2,... ,b_n)</math>
тогаш за збирот <math>\vec c = \vec a + \vec b</math> имаме:
:<math>\vec c = (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n )</math>
За собирањето на вектори важат:
* комутативност:
::<math>\vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math>* асоцијативност:
::<math>\vec a + \left( \vec b + \vec c \right) = \left( \vec a + \vec b \right) + \vec c</math>
2.2 Одземање на вектори
Одземањето на вектори се извршува на ист начин како и собирањето, така што разликата на векторите <math>\vec a</math> и <math>\vec b</math> е всушност збир на векторот <math>\vec a</math> и векторот <math>- \vec b</math>. Истото важи и за векторите зададени во координатна форма:
:<math>\vec a - \vec b = (a_1-b_1,a_2-b_2,...,a_n-b_n)</math>
ако се зададени векторите:
:<math>\vec a = (a_1,a_2,...,a_n)</math> и
:<math>\vec b = (b_1,b_2,...,b_n)</math>
Ако на векторот <math>\vec a</math> му го додадеме неговиот спротивен вектор: <math>-\vec a</math>, тогаш се добива:
:<math>\vec a + (-\vec a) = \vec a - \vec a = (a_1-a_1,a_2-a_2,...,a_n-a_n)=(0,0,...,0)=\operatorname{O}</math>
Вака добиениот вектор (кој е збир на било кои два спротивни вектори) се нарекува нулти вектор, ''нула-вектор'' или само ''нула'' (кога не води до забуна со скаларната нула!). Овој вектор во однос на сите операции со вектори се однесува како и нулата во однос на сите операции со скалари, па може да кажеме дека нултиот вектор во векторскиот простор ѝ соодветствува на нулата во скаларното поле. За да не се меша (во ознаката) со скаларната нула, се бележи со ''големо о'' - <math>\operatorname{O}</math>
2.3 Множење на вектори
Кога се множат вектори често настанува следнава забуна: множењето вектори се меша со множењето на вектор со број (т.е. скалар). Множењето на вектор <math>\vec a</math> со скалар <math>k</math> се врши на следниов начин:
:<math>k\cdot \vec a = k\cdot(a_1,a_2,...,a_n)=(ka_1,ka_2,...,ka_n)</math>
Ова геометриски може да го толкуваме на следниот начин: векторот <math>k\cdot \vec a</math> ја има истата насока како и векторот <math>\vec a</math>, со таа разлика што има должина (модул) за ''k'' пати поголема (или помала, ако ''k''<1) од него.
„Вистинското“ множење на вектори во математиката се нарекува векторски производ на вектори и се бележи со симболот <math>\times</math>. Околу дефиницијата и оперирањето со векторските производи, видете на соодветната статија. Векторскиот производ на два вектора <math>\vec a = (a_1,a_2,a_3)</math> и <math>\vec b = (b_1,b_2,b_3)</math> е вектор кој е нормален на обата вектора и истовремено има модул:
:<math>\left| \vec a \times \vec b \right| = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot \sin{\alpha} </math>
каде со <math>\alpha</math> е означен аголот меѓу почетните вектори, а со <math>\left| \vec a \right|</math> и <math>\left| \vec b \right|</math> се означени нивните модули, додека неговиот координатен облик е:
:<math>\vec a \times \vec b =
\begin{vmatrix}
\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix} = \left(
\begin{vmatrix}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_3
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_3 & a_1 \\
b_3 & b_1
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{vmatrix} \right)</math>
Постои и друг начин на множење вектори, т.н. ''скаларно множење на вектори'' (скаларен производ), но при скаларно множење на два вектора се добива резултат скалар (од таму и името) што, математички значи дека ''операцијата не е затворена'' во однос на векторскиот простор, т.е., на некој начин, ''не е добро дефинирана''. Скаларниот производ се бележи со ''точка'': <math>\cdot</math>. Скаларниот производ на истите два вектора изнесува:
:<math>\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3</math>
или
:<math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \left| \vec b \right| \cos{\alpha}</math>
3 Поврзано
* Скалар
* Векторски простор
* Векторски производ
* Скаларен производ
* Линеарна алгебра
* Аналитичка геометрија
* Векторска графика