Реципрочна вредност

Реципрочна вредност на број <math>x</math>, што се означува со <math>\frac{1}{x}</math> или <math>x^{-1}</math>, е број кој кога ќе се помножи со <math>x</math> дава 1. Реципрочната вредност на дропката <math>\frac{a}{b}</math> е <math>\frac{b}{a}</math> . За да се добие реципрочна вредност на реален број, потребно е 1 да се подели со тој број. На пример, реципрочна вредност на бројот 5 е една петтина (<math>\frac{1}{5}</math> или 0,2), а реципрочната вредност на 0,25 е 1 поделен со 0,25, односно 4. Реципрочна функција, функција <math>f(x)</math> која го пресликува <math>x</math> во <math>\frac{1}{x}</math>, е еден од наједноставните примери на функција која сама по себе е инверзна.
За инверзна функција на функцијата <math>f</math> понекога се користи нотацијата <math>f^{-1}</math> , што воопшто не е еднакво на реципрочната вредност. На пример, реципрочна вредност <math>\frac{1}{\sin{x = (\sin{x})^{-1}</math> е косеканс од <math>x</math>, а не е инверзен синус т.е. аркус синус на <math>x</math> што се означува со <math>\sin^{-1}{x}</math> или <math>\arcsin{x}</math>. Терминолошката разлика помеѓу реципрочната и инверзната вредност не е доволна за да се разликуваат овие две работи, бидејќи многу автори претпочитаат обратна конвенција за именување, веројатно од историски причини (на пример, на француски, инверзната функција се нарекува реципрочна биекција).
1 Комплексни броеви
Реципрочна вредност на комплексен број различен од нула <math>z=a+bi</math> е исто така комплексен број. Се добива со множење и на броителот и на именителот на <math>\frac{1}{z}</math> со неговиот конјугирано комплексен број <math>\bar{z} = a - bi</math> и користење на особината дека <math>z\bar{z} = \|z\|^{2}</math>, квадрирана апсолутна вредност <math>z</math>, што е реален број <math>a^2 + b^2</math>:
<math>\frac{1}{z}= \frac{\bar{z{z\bar{z={\frac {\bar {z{\|z\|^{2}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}\frac {b}{a^{2}+b^{2}i.</math>
Конкретно, ако <math>\|z\|</math> = 1, тогаш <math>\frac{1}{z} = \bar{z}</math> .
За комплексен број во поларен облик <math>z = r(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi})</math>, реципрочната вредност едноставно ја зема реципрочната вредност на интензитетот <math>r</math> и негатив на аглите:
<math>{\frac {1}{z={\frac {1}{r\left(\cos{(-\varphi )}+i\sin{(-\varphi )}\right).</math>
2 Инфинитезимално сметање
2.1 Извод
Извод на функцијата <math>\frac{1}{x} = x^{-1}</math> се дава врз основа на извод на степен на функција, каде што степенот е -1:
<math>
\frac {d}{dxx^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=\frac {1}{x^{2.</math>
2.2 Интеграл
Интегралот на функција на степен (квадратна формула на Кавалиери) не може да се користи за пресметување на интегралот <math>\frac{1}{x}</math>, бидејќи тоа би довело до делење со нула:
<math>
\int {\frac {1}{x\,dx={\frac {x^{0{0\ +C</math> .
Наместо тоа, интегралот се пресметува со
<math>
\int _{1}^{a}{\frac {1}{xdx=\ln{a},</math><math>
\int {\frac {1}{xdx=\ln x+C.</math>
каде <math>
\ln</math> е природен логаритам. За да се покаже ова, треба да се земе предвид дека е <math>
\frac {d}{dx}e^{x}=e^{x}</math>, па ако е <math>
y = e^x</math> и <math>
x = \ln{y}</math>, имаме:<math>
{\frac {dy}{dx=y\quad \Rightarrow \quad {\frac {dy}{y=dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y\,dy=\int 1\,dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y\,dy=x+C=\ln y+C.
</math>
3 Поврзано
* Делење
* Дропка
* Група (математика)
* Алгебарски прстен
* Експоненцијално распаѓање
* Хипербола