Линеарна алгебра

Линеарна алгебра — математичка дисциплина која разработува неколку суштински неразделни полиња, меѓу кои најбитни се: линеарните пресликувања, векторските простори и матриците. Иако, во споредба со други математички дисциплини, е релативно „млада“ теорија, линеарната алгебра нуди едноставни и ''елегантни'' решенија на математички проблеми за чие решавање инаку би се применувал гломазен и неефикасен математички апарат.
1 Почетни поими
Сите процеси во рамките на линеарната алгебра се разгледуваат во структура на векторски простор или просто - простор. Особено внимание се обрнува на конечно димензионалните простори. Потоа се воведува поимот на линеарно пресликување како специфичен вид на пресликување од еден векторски простор во друг.
Ќе направиме мала забелешка, имено поимите ''пресликување'' и ''функција'' сематички се речиси идентични (во математичка смисла). Како и да е, треба да се прави разлика помеѓу поимите ''линеарно пресликување'' и ''линеарна функција''. Имено, поимот линеарно пресликување се однесува на произволно пресликување <math>\ f</math> од еден векторски простор <math>\ V</math> над произволно поле <math>\ \mathbb{F}</math> во друг, кое ги исполнува својствата: адитивност и хомогеност, т.е.
:<math>\ f(v + w) = f(v) + f(w)</math> и
:<math>\ f(\alpha v) = \alpha f(v)</math>,
за секои <math>\ v,w \in V</math> и секое <math>\ \alpha \in \mathbb{F}</math>. Од друга страна, поимот линеарна функција се однесува на полиномната функција од прв степен, т.е. пресликување <math>\ f</math> од полето реални броеви - <math>\ \mathbb{R}</math> во самото себе кое има облик:
:<math>\ f(x) = ax + b</math>, каде што <math>\ a,b \in \mathbb{R}</math> се параметри (фиксни) и <math>\ x \in \mathbb{R}</math>.
2 Системи линеарни равенки
Една од најосновните и најелементарните делови на линеарната алгебра е теоријата на системи од линеарни равенки. Овој дел се занимава со изнаоѓање на решенијата на систем линеарни равенки, најпрво со еднаков број равенки и непознати, а потоа и со различен. Да се реши системот равенки:
<math>
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
</math>
(кој има <math>m</math> равенки и <math>n</math> променливи) значи да се најдат <math>m</math> реални броеви: <math>r_1, r_2,..., r_m</math> такви што тие се решение на секоја од равенките на системот. Кога системот има мал број равенки и промениливи, оваа задача и не е така комплицирана, т.е. може да се реши со замена. Меѓутоа во друг случај, а особено кога е различен бројот на равенки и променливи, оваа задача е потешка.
За таа цел се воведуваат два нови поими: матрица и детерминанта. Ако системот е ''квадратен'' (има ист број равенки и променливи) се применува Правилото на Крамер, т.е. решението, доколку постои, може да се пресмета со детерминанти. Доколку системот не е квадратен, тогаш најпрво се проверува дали системот воопшто има решение, согласно Теоремата на Кронекер-Капели. Доколку има, тоа се пресметува со помош на Гаусовиот метод на елиминација на променливите во матрицата на системот. Со двете постапки се добиваат бараните броеви <math>r_1, r_2,..., r_m</math> кои се решенија на сите равенки во системот.
3 Векторски простори
Векторските простори се основата на линеарната алгебра. Сета теорија сврзана за линеарната алгебра почнува и завршува во векторскиот простор. За проучување на својствата на овие простори се воведуваат ''линеарните пресликувања'' чија специфичност овозможува развој на силен математички апарат преку манипулацијата на овие пресликувања со матрици и детерминанти. Бидејќи сите промени кои настануваат во просторот, или попрецизно кажано - би настанале во просторот, се одликуваат со одредено пресличување, „претумбација“, во просторот, затоа познавањето на својствата на просторите и линеарните пресликувања дефинирани во него се од пресудно значење при развојот на линеарната алгебра како математичка теорија.
4 Линеарни пресликувања
Линеарните пресликувања се специфични по две својства: адитивност и хомогеност. Овие две својства се особено корисни при развојот на теоријата во рамките на линеарната алгебра зашто, бездруго, огромен дел од линеарната алгебра почива токму на овие две својства. Иако не се присутни и не се проучуваат само во рамките на линеарната алгебра, сепак линеарните пресликувања ја имаат линеарната алгебра како за „своја“ гранка на математиката.
Искористувајќи ги хомогеноста и адитивноста на овие пресликувања, се покажува дека и множеството од сите линеарни пресликувања во еден векторски простор е всушност и самото - векторски простор. Слично важи и за пресликувања од еден во друг векторски простор. Овие системи од векторски простори се нарекуваат алгебри од линеарни пресликувања, па од тука и доаѓа името: линеарна алгебра.