Закривен простор

Закривен простор често се однесува на просторна геометрија која не е „рамна“, каде рамниот простор е опишан со Евклидова геометрија. Закривените простори обично можат да бидат опишани со Риманова геометрија, иако некои едноставни случаи можат да бидат опишани и на други начини. Закривените простори имаат значајна улога во општата релативност, каде гравитацијата често се визуелизира како закривен простор. Метриката Фридман-Лематре-Робертсон-Вокер е закривена метрика која ја формира сегашната основа за опишувањето на проширувањето на просторот и обликот на универзумот.
1 Едноставен дводимензионален пример
Многу познат пример за закривен простор е површината на сфера. Иако до нашата позната перспектива сферата ''изгледа'' тридимензионално, ако предмет е ограничен да лежи на површината, тој има само две димензии во кои може да се придвижи. Површината на сфера може целосно да се опише со две димензии, бидејќи без разлика колку груба површината може да биде, таа е само површина, што е дводимензионална надворешна граница на волумен. Дури и површината на Земјата, која е фрактална комплексност, е дводимензионална граница долж надворешноста на волуменот.
2 Вградување
Една од дефинирачките одлики на закривниот простор е неговото оддалечување од Питагорова теорема. Во закривен простор:
:<math>dx^2 + dy^2 \neq dl^2</math>.
Питагоровата врска често може да биде обновена со опишувањето на просторот со уште една димензија. Да претпоставиме дека имаме неевклидов тридимензионален простор со координати <math>\left(x',y',z'\right)</math>. Затоа што не е рамен:
:<math>dx'^2 + dy'^2 + dz'^2 \ne dl'^2 \,</math>.
Но, ако сега го опишеме тридимензионалниот простор со ''четири'' димензии (<math>x,y,z,w</math>) може да ''одбереме'' координати, така што:
:<math>dx^2 + dy^2 + dz^2 + dw^2 = dl^2 \,</math>.
Забележете дека координатата <math>x</math> не е иста како координатата <math>x'</math>.
За изборот од 4D координатите да бидат валидни дескриптори на оригиналниот 3D простор, тој мора да ги има истите бројки на степени на слобода. Бидејќи четирите координати имаат четири степени на слобода, тој мора да има поставено ограничување. Можеме да избереме ограничување така што Питагоровата теорема важи за новиот 4D простор. Тоа е:
:<math>x^2 + y^2 + z^2 +w^2 = \textrm{constant} \,</math>.
Константата може да биде позитивна или негативна. The constant can be positive or negative. За погодност можеме да избереме константата да биде
:<math>\kappa^{-1}R^2</math> каде <math>R^2 \,</math> е позитивна и <math>\kappa \equiv \plusmn 1</math>.
Сега можеме да го користиме ова ограничување за да ја елиминираме вештачката четврта координата <math>w</math>. Диференцијалот на ограничувачката равенка е:
:<math>xdx + ydy + zdz + wdw = 0 \,</math> која води до <math>dw = -w^{-1}(xdx + ydy +zdz) \,</math>.
Вклучувајќи <math>dw</math> во оригиналната равенка дава:
:<math>dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + \frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{\kappa^{-1}R^2 - x^2 - y^2 - z^2}</math>.
Оваа форма обично не е многу користена и затоа често се применува координатната трансформација: <math>x = r\sin\theta\cos\phi</math>, <math>y = r\sin\theta\sin\phi</math>, <math>z = r\cos\theta</math>. Со оваа координатна трансофрмација:
:<math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-\kappa\frac{r^2}{R^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2</math>.
3 Без вградување
Геометријата на n-димензионалниот простор исто така може да биде опишана со Римановата геометрија. Изотропски и хомоген простор може да биде опишан со метриката:
:<math>dl^2 = e^{-\lambda(r)}{dr^2} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2 \,</math>.
Ова се сведува на Евклидовиот простор кога <math>\lambda = 0</math>. Но, за просторот може да се каже дека е „рамен“ кога Вејл тензорот ги има сите нула компоненти. Во три димензии оваа состојба е исполнета кога Риччи тензорот (<math>R_{ab}</math>) е еднаков на метричките пати на Риччи скаларот (<math>R</math>, да не дојде до забуна со R од претходниот дел). Тоа е <math>R_{ab} = g_{ab} R</math>. Пресметка на овие компоненти од метрикатаа дава дека:
:<math>\lambda = -\frac{1}{2}\ln \left( 1 - k r^2 \right)</math> каде <math>k \equiv \frac{R}{2}</math>.
Ова дава на метриката ваков облик:
:<math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-k{r^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2</math>.
каде <math>k</math> може да биде нула,позитивна,или негативна и не е ограничена до ±1.
4 Отворено, рамно, затворено
Изотропски и хомоген простор може да биде опишан со метриката:
:<math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-\kappa\frac{r^2}{R^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2</math>.
Во границата кога константата за закривеност (<math>R</math>) станува бесконечно голема, се враќа рамен Евклидов простор. Тоа во суштина е исто како и поставувањето на <math>\kappa</math> во нула. Ако <math>\kappa</math> не е нула, просторот не е Евклидов. Кога <math>\kappa = +1</math> за просторот велиме дека е ''затворен'' или елиптичен. Кога <math>\kappa = -1</math> за просторот велиме дека е ''отворен'' or хиперболичен.
Триаголници кои лежат на површината на отворен простор имаат збир на агли помал од 180°. Триаголници кои лежат на површината на затворен простор имаат збир на агли поголем од 180°. Волуменот не е <math>(4/3)\pi r^3</math>.