Факторизација

Во математиката, факторизација или факторирање е разложување на еден објект (на пр. број, полином или матрица) во производ од други алгебарски изрази (чинители или фактори), кои потоа може да се помножат за да се добие изворниот објект. На пример, бројот 15 се разложува на прости броеви како 3 &times; 5, а полиномот ''x''<sup>2</sup>&minus; 4 може да се разложи на (''x''&minus; 2)(''x'' + 2). Во сите случаи добиваме производ од поедноставни објекти. Ако еден полином не може да се претстави како производ на два или повеќе цели изрази (мономи или полиноми), го нарекуваме „прост“ или „неразложлив“.
Целта на факторизацијата е сведување на „основно градиво“, како на пр. броеви во прости броеви или полиноми во неразложливи полиноми. Факторизацијата на цели броеви се води по основната теорема на аритметиката, а факторизацијата на полиноми е покриена во основната теорема на алгебрата. Односот на коефициентите на еден полином со неговите корени е даден со Виетовите формули.
Спротивно од факторизација на полиномите е расчленувањето, множењето на полиномните содржатели (фактори) во „расчленет“ полином, кој се запишува едноставно како збир.
Факторизацијата на големи цели броеви е мошне тежок проблем. Не постои метод за брзо и лесно факторирање на вакви броеви. Токму оваа сложеност наоѓа примена во алгоритмите за асиметрична криптографија како RSA.
Една матрица исто така може да се сведе на производ од матрици од посебни видови, за згодна примена во каде тие облици се поподобни. Поважен пример е употребата на ортогонална или унитарна и триаголна матрица. Постојат различни видови: QR разложување, ''LQ'', ''QL'', ''RQ'', ''RZ''.
Друг пример е факторизацијата на функција како композиција од други функции со извесни својства; на пример, секоја функција може да се смета за комопзиција на сурјективна функција со инјективна функција. Оваа ситуација се воопштува со системи на факторизација.
1 Цели броеви
Според основната теорема на аритметиката, секој позитивен цел број поголем од 1 има единствена проста факторизација. Целиот број можеме да го сведеме (факторираме) на простите броеви од кои се состои со помош на алгоритам. Броевите што се многу големи немаат познати делотворни алгоритми.
2 Полиноми
2.1 Квадратни полиноми
Секој квадратен полином на комплексните броеви (полиноми во обликот <math>ax^2+bx+c</math> каде <math>a</math>, <math>b</math>, и <math>c</math> ∈ <math>\mathbb{C}</math>) можат да се сведат на израз од обликот <math>a(x - \alpha)(x - \beta) \ </math> користејќи квадратна формула. Еве ја постапката:
:<math>
\begin{align}
ax^2 + bx + c & = a(x - \alpha)(x - \beta) \\
& = a\left(x - \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac{2a}\right) \left(x - \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac{2a}\right),
\end{align}
</math>
каде <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> се двата корена на полиномот, извлечени со квадратната формула.
2.1.1 Полиноми разложливи на цели броеви
:<math>(mx+p)(nx+q),\,\!</math>
каде
:<math>mn = a,\ pq = c\,\!</math>
и
:<math>pn + mq = b. \,</math>
Можеме на секој бином да му зададеме нула, и да ги најдеме двата корена на ''x''. Во факторирањето нема други формули, туку нешто што го среќаваме кај квадратните равенки.
Нека е дадено 2''x''<sup>2</sup>&minus; 5''x'' + 2 = 0. Бидејќи ''a'' = 2, а ''mn'' = ''a'', ''mn'' = 2, што значи дека од ''m'' и ''n'', едното е 1, а другото е 2. Сега имаме (2''x'' + ''p'')(''x'' + ''q'') = 0. Бидејќи ''c'' = 2 и ''pq'' = c, ''pq'' = 2, што значи дека од ''p'' и ''q'', едното е 1, а другото е 2 или едното е &minus;1, а другото е &minus;2. Правиме обид со заменување на 1 и 2, и &minus;1 и &minus;2, со ''p'' и ''q'' (применувајќи ги ''pn'' + ''mq'' = ''b''), па гледаме дека 2''x''<sup>2</sup>&minus; 5''x'' + 2 = 0 се разложува на (2''x''&minus; 1)(''x''&minus; 2) = 0, и ги добиваме корените ''x'' = {0.5, 2}
Напомена: Брз начин да провериме дали вториот израз во биномот треба да е позитивен или негативен (во примерот 1 и 2, и &minus;1 и &minus;2) е да ја провериме втората операција во триномот (+ или &minus;). Ако е +, тогаш ја проверуваме првата операција: ако и таа е +, тогаш изразите се позитивни, а ако е &minus;, изразите ќе бидат негативни. Ако втората операција е &minus;, тогаш ќе има еден позитивен и еден негативен израз; едиствениот начин да утврдиме кој е позитивен, а кој негативен е со обид и проверка.
Ако еден полином со целобројни коефициенти има дискриминанта што е правилен квадрат, тој полином е разложлив на цели броеви.
На пример, даден е полиномот l 2''x''<sup>2</sup> + 2''x''&minus; 12. Ако ги замениме вредностите од изразот во квадратната формула, дискриминантата ''b''<sup>2</sup>&minus; 4''ac'' станува 2<sup>2</sup>&minus; 4 &times; 2 &times;&minus;12, што е еднакво на 100. 100 е правилен квадрат, што значи дека полиномот 2''x''<sup>2</sup> + 2''x''&minus; 12 е разложлив на цели броеви; негови фактори се 2, (''x''&minus; 2), и (''x'' + 3).
Ако го погледаме полиномот ''x''<sup>2</sup> + 93''x''&minus; 2. Неговата дискриминанта, 93<sup>2</sup>&minus; 4 &times; 1 &times; (&minus;2), е еднаква на 8657, што не е правилен квадрат. Затоа ''x''<sup>2</sup> + 93''x''&minus; 2 не може да се разложи на цели броеви.
2.1.2 Правилни квадратни триноми
Некои квадратни равенки може да се факторизираат во два идентични бинома. Ваквите квадратни равенки се нарекуваат правилни квадратни триноми. Се факторираат на следниов начин:
:<math> a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2,\,\!</math>
и
:<math> a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2.\,\!</math>
2.1.3 Збир/разлика на два квадрата
Друг позастапен начин на алгебарско факторирање е добивањто на „разликата на два квадрата“. За оваа цел ја применуваме формулата
:<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b),\,\!</math>
кај секои два израза, без разлика дали се правилни квадрати. Ако двата израза се одземаат, тогаш едноставно се применува формулата. Ако се собираат, двата бинома добиено со факторирањето ќе имаат по еден замислен израз. Оваа формула може да се претстави како
:<math> a^2 + b^2 = (a+bi)(a-bi). \,\!</math>
На пример, <math>4x^2 + 49</math> се разложува на <math>(2x + 7i)(2x - 7i)</math>.
2.1.4 Факторизација со групирање
Друг начин на факторирање на некои полиноми е со групирање. Факторирајќи го триномот со алгоритам се ослободуваме од нагаѓањето при решавањето.
Изразите во полиномот ги ставаме во две или повеќе групи, каде секоја група ја факторираме по познат метод. Резултатите понекогаш можат да се искомбинираат за да се добие уште поедноставен израз. На пример, за да го факторираме полиномот
<math>4x^2+20x+3yx+15y \,</math>
Групирајќи слични изрази, <math>(4x^2+20x)+(3yx+15y)\,</math>
Го извлекуваме НЗД, <math>4x(x+5)+3y(x+5)\,</math>
Го извлекуваме биномот <math>(x+5)(4x+3y)\,</math>
2.1.5 Метод AC
Ако еден квадратен полином има рационални решенија, можеме да ги најдеме p и q, така што pq = ac и p + q = b. (ако дискриминантата е квадратен број, тогаш тие постојат; во спротивно имаме ирационални или комплексни решенија, па затоа не важи претпоставката дека решенијата се рационални.)
:<math>
\begin{align}
ax^2 + bx + c & = \frac{a^2x^2 + abx
+ ac}{a} & = \frac{(ax+p)(ax+q)}{a}
\end{align}
</math>
Изразите погоре имаат заеднички фактори што можат да се извлечат за да го поништиме содржателот, ако не е 1. На пример, да го погледаме квадратниот полином:
:<math>
\begin{align}
6x^2 + 13x + 6
\end{align}
</math>
Разгледувајќи ги факторите на ac = 36 добиваме 4 + 9 = 13 = b.
:<math>
\begin{align}
6x^2 + 13x + 6 & = \frac{(6x+4)(6x+9)}{6} \\
&= \frac{2(3x+2)(3)(2x+3)}{6} \\
&= (3x+2)(2x+3)
\end{align}
</math>
2.2 Разлика на два четврти степена
Друга формула е разликата на два четврти степена, што гласи
:<math> a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2).\,\!</math>
2.3 Збир/разлика на два петти степена
Друга формула за факторирање е збирот или разликата на два петти степена. Збирот може да се претстави како
:<math> a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3 b + a^2 b^2 - a b^3 + b^4),\,\!</math>
а разликата како
:<math> a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + a b^3 + b^4).\,\!</math>
2.3.1 Збир/разлика на два шести степена
Друга формула за факторирање е збирот или разликата на два шести степена. Збирот може да се претстави како
:<math> a^6 + b^6 = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2 b^2 + b^4),\,\!</math>
а разликата како
:<math> a^6 - b^6 = (a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2).\,\!</math>
2.3.2 Збир/разлика на два седми степена
Друга формула за факторирање е збирот или разликата на два седми степена. Збирот може да се претстави како
:<math> a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5 b + a^4 b^2 - a^3 b^3 + a^2 b^4 - a b^5 + b^6),\,\!</math>
а разликата како
:<math> a^7 - b^7 = (a - b)(a^6 + a^5 b + a^4 b^2 + a^3 b^3 + a^2 b^4 + a b^5 + b^6).\,\!</math>
2.3.3 Разлика на nта степени
Оваа факторизација може да важи за секој позитивен целоброен степен ''n'', користејќи геометриска низа. Забележуваме дека
:<math> x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 = \frac{x^n -1}{x-1}, </math>
и множиме со факторот (''x'' -1), го добиваме бараниот резултат. Во општ облик
како погоре, можеме да го замениме ''x'' со ''a/b'' и да ги помножиме двете страни со ''b''<sup>n</sub>.
Вака го добиваме општиот облик за разликата на два ''n''<sup>та</sup> степена:
:<math> a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + ba^{n-2} + b^2 a^{n-3} + \ldots + b^{n-2} a + b^{n-1} ).\!</math>
Аналогниот збир на два ''n''<sup>та</sup> степена зависи од тоа дали ''n'' е парен или непарен.
Ако ''n'' е непарен, ''b'' може да се замени со ''-b'' во горенаведената формула. Ако ''n'' е парен, обликот е малку помакотрпен.
3 Поврзано
*Разложување на матрица
*Паскалов триаголник
*Примфактор