Експоненцијална функција

Експоненцијална функција – една од најважните функции во математиката. Се означува како exp(''x'') или ''e''<sup>''x''</sup>, при што ''e'' е приближно еднакво на 2,71828183, што всушност е Неперова константа, основа на природниот логаритам.
Експоненцијалната функција је реална функција со една променлива, дефинирана за сите реални броеви, која е секогаш позитивна и растечка. Никогаш не ја допира ''x''-оската, иако ''x''-оската ѝ е единствена асимптота. Нејзината инверзна функција, природниот логаритам, е дефинирана само за позитивни вредности на променливата ''x''.
Понекогаш, особено во науката, изразот експоненцијална функција се користи да означи функција со облик ''a''<sup>''x''</sup>, каде ''a'', која се нарекува ''база'' или ''основа'', е кој било позитивен реален број. Оваа статија се фокусира на експоненцијална функција со основа ''e''.
Поопшто, ''x'' може да биде кој било реален или комплексен број, или дури, тотално различен математички објект - види ја формалната дефиниција подолу.
1 Својства
Со употреба на природниот логаритам, може да се дефинира нешто погенерална експоненцијална функција. Функцијата
:<math>\!\, a^x=e^{x \ln a}</math>
дефинирана за секое ''a'' > 0, и за секој реален број ''x'' се нарекува експоненцијална функција со основа ''a''.
Горната еднаквост важи за ''a'' = ''e'', бидејќи
:<math>\!\, e^{x \ln e}=e^{x \left(1\right)}=e^x.</math>
Експоненцијалните функции ги „соединуваат“ собирањето и множењето, што се гледа од следните ''експоненцијални закони'':
:<math>\!\, a^0 = 1</math>:<math>\!\, a^1 = a</math>:<math>\!\, a^{x + y} = a^x a^y</math>:<math>\!\, a^{x y} = \left(a^x \right)^y</math>:<math>\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}</math>:<math>\!\, a^x b^x = (a b)^x</math>
Горното важи за сите позитивни реални броеви ''a'' и ''b'', и за сите реални броеви ''x'' и ''y''. Изразите кои вклучуваат дропки и коренување често може да се поедностават со користење на експоненцијална нотација бидејќи:
:<math>{1 \over a} = a^{-1}</math>
и, за секое ''a'' > 0, реален број ''b'', и цел број ''n'' > 1:
:<math>\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}</math>
За секоја реална константа ''c'' важи:
:<math> f'(0)=\lim_{h \to 0}\frac{e^{ch1}{h}=c</math>
за <math>f(x)=e^{ch}</math>
2 Изводи и диференцијални равенки
Значењето на експоненцијалната функција во математиката и науката воопшто главно потекнува од својствата на нејзиниот извод. Поконкренто,
:<math>{d \over dx} e^x = e^x</math>
Се гледа дека ''e''<sup>''x''</sup> е извод на самиот себе, што е единствено својство меѓу сите реални функции. Други начини да се искаже истото вклучуваат:
* Наклонот на графиконот на експоненцијална функција во која било точка е еднаков на вредноста на функцијата во таа точка.
* Стапката на пораст на експоненцијална функција во точката ''x'' е еднаква на вредноста на функцијата во таа точка.
* Експоненцијалната функција е решение на диференцијалната равенка <math>y'=y</math>.
Огромен број диференцијални равенки имаат решенија во експоненцијалните функции, вклучувајќи ја Шредингеровата и Лапласовата равенка, како и равенката на просто хармониско движење.
За експоненцијалните функции со останати основи важи:
:<math>{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x</math>
Спрема тоа, секоја експоненцијална функција е константен умноженик од сопствениот извод.
Доколку растот или опаѓањето на променливата е пропорционално на нејзината величина – како во случај на неограничен раст на населението, радиоактивен распад, сложени камати – тогаш таа променлива може да се пишува како константа помножена со експоненцијална функција на времето.
Понатаму, за која било диференцијална функција f(x) важи:
:<math>{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}</math>
3 Формална дефиниција
Експоненцијалната функција e<sup>''x''</sup> може да се дефинира на доста еквивалентни начини, преку бесконечни редови. Поодредено, може да се дефинира преку степени редови:
:<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>
или како лимес на следната секвенца:
:<math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {x \over n} \right)^n.</math>
Во овие дефиниции, <math>n!</math> означува факториел на бројот ''n'', а ''x'' е или произволен реален број, комплексен број, елемент од Банаховата алгебра (на пример, квадратна матрица).
4 Бројчена вредност
За да добиеме бројчена вредност на експоненцијалната функција, бесконечниот ред може да се напише како:
:<math>e^x = {1 \over 0!} + x \, \left({1 \over 1!} + x \, \left({1 \over 2!} + x \, \left({1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)</math>:<math>= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)</math>
Овој израз брзо конвергира доколку x е помало од 1.
За да се оствари ова, може да се искористи следната еднаквост.
:<math>e^x\,</math>, <math>=e^{z+f}\,</math><math>= e^z \times \left[ {1 \over 0!} + f \, \left({1 \over 1!} + f \, \left({1 \over 2!} + f \, \left({1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)\right]</math>* каде <math>z</math> е цел дел од <math>x</math>* каде <math>f</math> е дел зад подвижната запирка од <math>x</math>* следи, <math>f</math> е секогаш помала од 1 и збирот <math>f</math> и <math>z</math> го дава <math>x</math>.
Вредноста на константата e<sup>z</sup> може претходно да се пресмета множејќи го ''e'' само со себе ''z'' пати.
5 На комплексна рамнина
Кога се посматра како функција на комплексна променлива, експоненцијалната функција ги задржува своите битни својства:
:<math>\!\, e^{z + w} = e^z e^w</math>:<math>\!\, e^0 = 1</math>:<math>\!\, e^z \ne 0</math>:<math>\!\, {d \over dz} e^z = e^z</math>
за секое ''z'' и ''w''.
Ваквата експоненцијална функција е холоморфна со имагинарна периода <math>2 \pi i</math> и може да се напише како:
:<math>\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)</math>
каде ''a'' и ''b'' се реални броеви. Оваа формула ја поврзува експоненцијалната функција со тригонометриските и хиперболичните функции. Со ова се гледа дека сите елементарни функции освен полиномните, се потомци на експоненцијалните функции во една или друга смисла.
Погледајте ја и Ојлеровата формула.
6 Матрици и Банахова алгебра
Дефиницијата на експоненцијалната функција даден погоре може да се користи и за секоја Банахову алгебра, и поодредено за квадратни матрици. Во овој случај имаме:
:<math>\ e^{x + y} = e^x e^y \mbox{ if } xy = yx</math>:<math>\ e^0 = 1</math>:<math>\ e^x</math> има инверзен и тој е <math>\ e^{-x}</math>: извод <math>\ e^x</math> во точката <math>\ x</math> е онаа матрица која го пресликува <math>\ u</math> во <math>\ ue^x</math>.