Криволиниски интеграл

Криволиниски интеграл — интеграл за кој областа на интеграција е одредена крива, најчесто дефинирана во рамнина или простор. За разлика од ''обичниот'' определен интеграл, за чијшто домен на интеграција е земен одреден правоаголен сегмент од просторот, криволинискиот интеграл овозможува пресметување на интеграл во кој доменот на функцијата е претставен со точки на одредена глатка (или дел по дел глатка) крива. Во математиката се дефинирани криволиниски интеграли од прв и втор вид. Во физиката, криволиниски интеграли од втор ред се користат при пресметување на работат извршена од сила по дадена крива.
1 Криволиниски интеграл од прв вид
Ако со <math>f(x,y,z)</math> ја означиме функцијата чиј интеграл го пресметуваме, а со <math>L</math> ја означиме дадената крива, криволинискиот интеграл од прв вид е означен на следниов начин:
:<math>\int\limits_L f(x,y,z)\,ds</math> .
Ако едниот крај на кривата <math>L</math> го означиме со <math>A</math>, а нејзиниот друг крај со <math>B</math>, криволинискиот интеграл од прв тип се обележува и со:
:<math>\int\limits_{AB} f(x,y,z)\,ds</math> .
2.1 Дефиниција
Нека кривата <math>L</math> е зададена параметарски на интервалот <math>[\alpha, \beta]</math> :
:<math>x=\varphi(t), y=\psi(t), z=\chi(t)\,\,\,\,(t\in[\alpha, \beta])</math> .
Нека на таак, односно на множеството точки што ја сочинуваат, е дефинирана функцијата <math>f(x, y, z)</math>.
Можеме да формираме поделба на интервалот <math>[\alpha, \beta]</math> на <math>n</math> делови, со следните ознаки:
:<math>\alpha=t_1<t_2<\dots<t_{i-1}<t_i<\dots<t_n=\beta</math> .
Во секој сегмент <math>[t_i, t_{i-1}]</math> можеме да избереме по едно <math>\tau_i</math>, од кои секое параметарски одредува една точка <math>M_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)</math>, каде е <math>\xi_i=\varphi(\tau_i), \eta_i=\psi(\tau_i), \zeta_i=\chi(\tau_i)</math>. Со <math>\Delta s_i</math> ќе ја означиме должината на кривата на сегментот <math>[t_i, t_{i-1}]</math>. Тогаш ја имаме следната ознака:
:<math>\sigma_1(f, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta s_i</math>
Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога <math>\Delta s_i</math> тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот <math>[\alpha, \beta]</math> е „бесконечно густа“. На тој начин го воведуваме поимот криволиниски интеграл од прв вид: ако постои некој број <math>I</math>, таков што за секого <math>\varepsilon>0</math> постои одредено <math>\delta>0</math> така што:
:<math>max(\Delta s_i)<\delta \Rightarrow |\sigma_1(f, L) - I| < \varepsilon</math> ,
тој број <math>I</math> ќе го наречеме криволиниски интеграл од прв вид на функцијата <math>f</math> на кривата <math>L</math>. Се запишува како што е дадено во воведот на текстот. Кривата на интеграција се нарекува и ''лак'' на интеграција.
2.2 Особини
Криволинискиот интеграл од прв вид дели некои од основните својства со обичниот определен интеграл.
#<math>\int\limits_L(\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z))ds = \alpha \int\limits_L f(x,y,z)ds + \beta \int\limits_L g(x,y,z)ds</math> ,
# Ако е точно за секоја домен точка: <math>f(x,y,z) < g(x,y,z)</math>, тогаш: <math>\int\limits_L f(x,y,z)ds < \int\limits_L g(x,y,z)ds</math> ,
#<math>|\int\limits_L f(x,y,z)ds| \le \int\limits_L |f(x,y,z)|ds</math> ,
#<math>\int\limits_{AB} f(x,y,z)ds = \int\limits_{AC} f(x,y,z)ds + \int\limits_{CB} f(x,y,z)ds</math>, ако точката <math>C</math> се наоѓа помеѓу точките <math>A</math> и <math>B</math>.
Спротивно на криволинискиот интеграл од втор вид, за кој постои поимот ''ориентација'', за криволинискиот интеграл од прв вид важи следново:
:<math>\int\limits_{AB} f(x,y,z)ds = \int\limits_{BA} f(x,y,z)ds</math> .
2.3 Пресметување
Криволинискиот интеграл од прв вид, согласно ознаките во делот „Дефиниција“, се пресметува со следнава формула::<math>\int\limits_{AB} f(x,y,z) ds = \int\limits_\alpha^\beta f(\varphi(t), \psi(t), \chi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)+\chi'^2(t)}\,dt</math>
Условите за користење на оваа формула се функцијата <math>f</math> да е непрекината и ограничена на кривата <math>L</math> и дека кривата <math>L</math> е глатка и без сингуларни точки. Формулата важи и во случаи кога кривата е глатка дел по дел, а функцијата е непрекината дел по дел.
2 Криволиниски интеграл од втор вид
2.1 Дефиниција
Нека кривата <math>L</math> е зададена параметарски на интервалот <math>[\alpha, \beta]</math> :
:<math>x=\varphi(t), y=\psi(t), z=\chi(t)\,\,\,\,(t\in[\alpha, \beta])</math> .
Нека на таа крива, односно на множеството точки што ја сочинуваат, се дефинирани функциите <math>P(x, y, z), Q(x, y, z)</math> јас <math>R(x, y, z)</math>.
Можеме да формираме поделба на интервалот <math>[\alpha, \beta]</math> на <math>n</math> делови, со следните ознаки:
:<math>\alpha=t_1<t_2<\dots<t_{i-1}<t_i<\dots<t_n=\beta</math> .
Во секој сегмент <math>[t_i, t_{i-1}]</math> можеме да избереме по едно <math>\tau_i</math>, од кои секое параметарски одредува по една точка <math>M_i(x_i, y_i, z_i)</math>, каде е <math>x_i=\varphi(\tau_i), y_i=\psi(\tau_i), z_i=\chi(\tau_i)</math>. Со <math>\Delta x_i</math> ќе ја означиме разликата <math>x_i-x_{i-1}</math>, и аналогно на тоа <math>\Delta y_i</math> и <math>\Delta z_i</math>. Тогаш ги имаме следните ознаки:
:<math>\sigma_2(P, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(x_i, y_i, z_i) \Delta x_i</math>:<math>\sigma_3(Q, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} Q(x_i, y_i, z_i) \Delta y_i</math>:<math>\sigma_4(R, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} R(x_i, y_i, z_i) \Delta z_i</math>
Во наредниот текст ќе зборуваме за <math>\sigma_2(P, L)</math>, имајќи предвид дека аналогните симболи важат и за <math>\sigma_3</math> и <math>\sigma_4</math>. Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз <math>\sigma_2</math> ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога <math>\Delta x_i</math> тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот <math>[\alpha, \beta]</math> е „бесконечно густа“. На тој начин, ако постои број <math>I</math>, таков што за секое <math>\varepsilon>0</math> постои одредено <math>\delta>0</math> така што:
:<math>max(\Delta x_i)<\delta \Rightarrow |\sigma_2(P, L) - I| < \varepsilon</math> ,
тој број <math>I</math> ќе го наречеме криволиниски интеграл од втор вид на функцијата <math>P</math> на кривата <math>L</math>. Се запишува на следниов начин:
:<math>\int\limits_{L} P(x,y,z)\,dx</math>, или само:
:<math>\int\limits_{L} Pdx</math> .
Аналогно се дефинираат интегралите<math>\int\limits_{L} Qdy</math> и <math>\int\limits_{L} Rdz</math> . Најчесто се посматраат збировите на овие интеграли:
:<math>\int\limits_{L} Pdx + \int\limits_{L} Qdy + \int\limits_{L} Rdz</math> ,
кои обично се означуваат како:
:<math>\int\limits_{L} Pdx + Qdy + Rdz</math> . (1)
Ако ја усвоиме ознаката за векторска функција <math>\overrightarrow{r}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))</math>, односно <math>\overrightarrow{r} = (P, Q, R)</math>, тогаш ознаката (1) ја нарекуваме ''(општ) криволиниски интеграл од втор ред на функцијата <math>\overrightarrow{r}</math>.''
Во случај кривата <math>L</math> да е ''затворена'' т.е. <math>A=B</math>, зборуваме за ''циркулација'' и дефинираниот интеграл го обележуваме со:
:<math>\oint\limits_{L} Pdx + Qdy + Rdz</math> ,
иако ова не е задолжително да се најде во литературата, бидејќи понекогаш се смета за излишно.
2.2 Особини
За разлика од криволинискиот интеграл од прв ред, во кој нема поим за ориентација и за кој важи својството:
:<math>\int\limits_{AB} f(x, y, z)ds = \int\limits_{BA} f(x, y, z)ds</math> ,
кај криволинискиот интеграл од втор ред, важи својството:
:<math>\int\limits_{AB} Pdx + Qdy + Rdz = -\int\limits_{BA} Pdx + Qdy + Rdz</math> .
Ова својство настанува како последица на дефиницијата на криволинискиот интеграл и фактот дека <math>x_i-x_{i-1} = -(x_{i-1x_i)</math>. На тој начин, не е небитно дали вршиме интеграција во едната или другата насока на кривата, и ова својство на интегралите од втор ред го нарекуваме ''ориентабилност'', односно ''ориентација'' на кривата.
2.3 Пресметување
Формула за пресметување на вредноста на криволиниски интеграл од функцијата од втор ред <math>P</math> (аналогно на <math>Q, R</math>, согласно ознаката во пододделот „Дефиниција“ на овој дел) е следна::<math>\int\limits_{AB} P(x, y, z)dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta} P(\varphi(t), \psi(t), \chi(t)) \varphi'(t)</math>
Формулата важи доколку функцијата <math>P(x, y, z)</math> е непрекината на кривата <math>AB</math>, а кривата <math>AB</math> е глатка и без сингуларни точки. Таа важи и ако споменатата крива е глатка дел по дел, а функцијата <math>P</math> е непрекината дел по дел.
Во случај на затворена дводимензионална крива, т.е. криви сместена во рамнина, и под одредени услови, криволинискиот интеграл од втор вид, исто така, може да се пресмета со помош на Гриновата теорема.
2.4 Независност на интеграцијата од патеката
Јасно е дека во општи случај вредноста на криволинискиот интеграл од втор ред ќе зависи од обликот на кривата на интеграција <math>L</math>, т.е. нејзината „патека“. Понекогаш, меѓутоа, тоа не е така и вредноста на интегралот ќе зависи само од почетната и завршната точка, и ќе биде целосно независна од средните точки, т.е. од обликот на кривата. Имено, валидна е следнава теорема која има свои примени во науката и технологијата:
Следниве искази се еквивалентни:
* За векторска функција <math>\overrightarrow{r} = (P, Q, R)</math> постои функција <math>u</math>, таква што е <math>(u_x', u_y', u_z') = (P, Q, R)</math>* Криволинискиот интеграл <math>\int\limits_{AB} Pdx + Qdy + Rdz</math> не зависи од траекторијата, туку само од точките <math>A</math> и<math>B</math>. Вредноста на интегралот во тој случај ќе биде <math>u(B) - u(A)</math>* Циркулација <math>\oint\limits_{L} Pdx + Qdy + Rdz</math> на произволна затворена патека е еднаква на нула.
3 Поврзано
* Површински интеграл