Котангенсна теорема

Котангенсна теорема – во тригонометријата оваа теорема е однос помеѓу должината на секоја од страните на даден триаголник и котангенсот од половинката од аглот наспроти страната.
Слично како што во синусната теорема размерот на секоја страна и синусот на аголот наспроти неа е еднаков на пречникот на опишаната кружница околу триаголникот (или нивните реципрочни вредности, во зависност од тоа како теоремата е изразена), котангенсната теорема е врска помеѓу полупречникот на впишаната кружница во триаголникот и неговите страни и агли.
1 Тврдење
Ако ги користиме вообичаените ознаки за триаголник при што (види ја сликата горе десно): <math>a, b, c</math> се должините на трите страни на триаголникот, <math>A, B, C</math> се темињата спротивни на соодветните страни, <math>\alpha, \beta, \gamma</math> се соодветните агли при овие темиња, <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> е полуобемот на триаголникот и <math>r</math> е полупречник на впишаната кружница, тогаш котангенсната теорема гласи
:<math>\frac{\textrm{ctg}\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}{s-a}
= \frac{\textrm{ctg}\left(\tfrac{\beta}{2}\right)}{s-b}
= \frac{\textrm{ctg}\left(\tfrac{\gamma}{2}\right)}{s-c} = \frac{1}{r}\, .</math>
Полупречникот на впишаната кружница е даден со
:<math>r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s\,.</math>
2 Доказ
На горната слика, допирните точки на впишаната кружница со страните на триаголникот го делат периметарот на триаголникот на 6 отсечки. Овие отсечки може да се поделат во 3 пара при што отсечките во секој пар имаат еднакви должини. На пример, двете отсечки на кои крајна точка им е темето се еднакви. Ако се земе по една отсечка од секоја пар, нивниот збир е еднаков на полуобемот . Пример за ова се отсечките во боја прикажани на сликата. Двете отсечки кои ја чинат црвената линија имаат збир <math>a</math>, па сината отсечка мора да има должина <math>s-a</math>. Очигледно, другите пет отсечки мора да имаат должини <math>s-a</math>, <math>s-b</math> или <math>s-c</math> (како што е прикажано на долната слика десно). Од цртежот, користејќи ја дефиницијата за котангенс на агол, се добива
:<math>\textrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) =\frac{s-a}{r} \, .</math>
Аналогно се добиваат равенствата и за другите два агла, со што е докажано првото тврдење.
За второто, т.е. за формулата за полупречникот на впишана кружница, се почнува со формулата за котангенс на збир од три агла:
:<math> \textrm{ctg} (u+v+w) = \frac{\textrm{ctg} (u) +\textrm{ctg} (v) + \textrm{ctg} (w) - \textrm{ctg} (u) \textrm{ctg} (v) \textrm{ctg} (w) }{1-\textrm{ctg} (u) \textrm{ctg} (v) - \textrm{ctg} (v) \textrm{ctg} (w) - \textrm{ctg} (w) \textrm{ctg} (u)}.</math>
Применувајќи ја оваа формула на <math>\textrm{ctg} \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)=
\textrm{ctg} \left(\frac{\pi}{2}\right)= 0</math>, се добива дека:
<math> \textrm{ctg} \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \textrm{ctg} \left(\frac{\beta}{2}\right) + \textrm{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right)
-\textrm{ctg} \left(\frac{\alpha}{2}\right) \textrm{ctg} \left(\frac{\beta}{2}\right) \textrm{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right) = 0 </math>
од каде
:<math> \textrm{ctg} \left(\frac{\alpha}{2}\right) \textrm{ctg} \left(\frac{\beta}{2}\right) \textrm{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right) = \textrm{ctg} \left(\frac{\alpha}{2}\right) + \textrm{ctg} \left(\frac{\beta}{2}\right) + \textrm{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right). </math>
(ова е важен идентитет за звирот на три котангенси на аглите во триаголник). Со замена на вредностите добиени во првиот дел, се добива:
:<math> \frac {(s-a)}r \frac {(s-b)}r \frac {(s-c)}r = \frac {s-a}r + \frac {s-b}r +\frac {s-c}r =\frac{3s-2s}r=\frac{s}r.</math>
Множејќи го равенството со <math>\frac{r^3}{s}</math> се добива <math> \frac {(s-a)(s-b)(s-c)}s = r^2</math>. Aко на двете страни се побара квадратен корен, следува второто равенство.
3 Некои докази со користење на котангенсната теорема
Бројни други резултати може да се изведат од котангенсната теорема.
* Херонова формула. Може да се забележи дека со симетралите на аглите на триаголник , неговата плоштина е поделена на три пара од 6 помали триаголника, при што триаголниците од ист пар имаат еднакви плоштини. На пример, двата триаголника кај темето , како правоаголни со страна <math>s-a</math> и висина кон неа , имаат плоштини еднакви на <math>\frac{1}{2}(s-a)r</math>. Така, овие два триаголника имаат вкупна површина од <math>(s-a)r</math>, а плоштината <math>P</math> на целиот триаголник е
::<math>
\begin{align}
P &= r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) = r\bigl(3s - (a+b+c)\bigr) = r(3s - 2s) = rs \\[8pt]
\end{align}
</math>::Oттука се добива Хероновата формула за плоштина на триаголник изразена преку неговите страни
::<math> P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>::како што се бараше.
*Молвајдеoва прва формула. Од формулата за синус од збир и разлика и котангенсната теорема се добива
::<math>\frac {\sin \left( \tfrac{\alpha}{2\tfrac{\beta}{2} \right) }{\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2} \right) }
= \frac {\textrm{ctg} \left( \tfrac{\beta}{2} \right) - \textrm{ctg} \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) }{\textrm{ctg} \left( \tfrac{\beta}{2} \right) +\textrm{ctg}\left( \tfrac{\alpha}{2} \right) }= \frac {a-b}{2s-a-b}.</math> Ова го дава резултатот
::<math>\dfrac {a-b}{c}=\dfrac {\sin \left( \tfrac{\alpha}{2\tfrac{\beta}{2} \right)}{\cos \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }</math> познат како прва Мовајдеова формула.
*Молвајдеoва втора формула. Од формулата за собирање и котангенсната теорема се добива
::<math>
\begin{align}
& \frac {\cos\left( \tfrac{\alpha}{2\tfrac{\beta}{2} \right) }{\cos\left( \tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2} \right) } =
\frac {\textrm{ctg} \left(\frac{\alpha}{2} \right) \textrm{ctg}\left( \frac{\beta}{2} \right) +1}{\textrm{ctg} \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) \textrm{ctg} \left( \frac{\beta}{2} \right) -1} \\[6pt]
= {} & \frac {\textrm{ctg} \left( \frac{\alpha}{2} \right) + \textrm{ctg} \left( \tfrac{\beta}{2} \right) +2\textrm{ctg}\left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }{\textrm{ctg} \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) +\textrm{ctg} \left( \tfrac{\beta}{2} \right) } =
\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}.
\end{align}
</math>:Тука се бара еден дополнителен чекор за да се преобрази производот во збир, согласно формулата за збир/производ на котангенси.
:Ова го дава резултатот
::<math>\dfrac {a+b}{c} = \dfrac{\cos \left( \tfrac{\alpha}{2\tfrac{\beta}{2} \right) }{\sin \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }</math> познат како втора Мовајдеова формула
*Од котангенсната теорема може да се изведе тангенсната теорема.
4 Поврзано
*Синусна теорема
*Косинусна теорема
*Тангенсна теорема
*Молвајдеева формула
5 Наводи
*