Херонова формула

Во геометријата, Хероновата формула служи за пресметување на плоштината <math>P</math> на триаголник за кој се познати должините на трите страни <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> и гласи <math>P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>
каде што <math>s</math> e полупериметар на триаголникот:
<math>s=\tfrac{1}{2} (a+b+c).</math>
Забелешка: Полупериметарот ''<math>s</math>'' на триаголникот е поголем од секоја од страните <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> (ова следува од неравенството на триаголник). Значи, сите четири множитела под квaдратниот корен во Хероновата формула се позитивни.
Пример: Нека <math>\triangle ABC</math> е триаголник со страни <math>a=7</math>, <math>b=4</math> и <math>c=5</math>.
Полупериметарот на <math>\triangle ABC</math> е:
<math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(7+4+5)=8</math>, а плоштината му е:
<math>P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{8 \cdot (8-7) \cdot (8-4) \cdot (8-5)}=\sqrt{8 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3}=\sqrt{96}=4\sqrt{6} \approx 9,8 \, .</math>
Пример: Нека <math>\triangle ABC</math> е триаголник со страни <math>a=3</math>, <math>b=4</math> и <math>c=5</math>.
Неговиот полупериметар е: <math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(3+4+5)=6</math>, а плоштината му е: <math>P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)}=\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\sqrt{36}=6</math>. Ова е правоаголен триаголник познат под името египетски. Во него страната ''<math>b</math>'' е и висина во однос на основата <math>a</math>. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник, следи
<math>P = \tfrac{1}{2} a h_a = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4=6</math>.
Хероновата формула може да се напише и во кој било од следниве облици:
<math>P=\frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,} </math><math>P=\frac{1}{4} \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}</math><math>P=\frac{1}{4} \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}</math>
Тука и во доказите се користат формулите:
<math>s-a=\frac{1}{2}(-a+b+c), \,\, s-b=\frac{1}{2}(a-b+c), \,\, s-c=\frac{1}{2}(a+b-c)</math>.
1 Историја
Формулата му се припишува на Херон, а доказ може да се најде во неговата книга „Метрика“ (''Metrica''), која е напишана во 60 година н.е. Постои мислење дека формулата ја знаел и Архимед, а земајќи во обѕир дека „Метрика“ е колекција на математички знаења со кои располагал античкиот свет, можно е Херон само да ја забележал, а да не ја открил оваа формула.
Формула која е еквивалентна на Хероновата формула, а запишана во обликот:
:<math>P=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}</math>
била позната во древна Кина и е откриена независно од Грците. Може да се најде во делото „Девет книги за математичката вештина“ објавена во 1247 година.
2 Доказ
Во доказот на Херон, тој користел тетивни четириаголници..
Следи модерен доказ на формулата во кој се користи алгебра и тригонометрија и потполно е поинаков од оригиналниот доказ на Херон.
Нека <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> се страните на еден триаголник, а <math> \alpha\,</math>, <math> \beta\,</math> и <math> \gamma\,</math> се соодветните агли кои се наоѓаат наспроти нив. Без губење на општоста, ќе ја сметаме страната ''<math>a</math>'' за основа на триаголникот. Според косинусната теорема:
:<math>\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>.
Оттаму се добива алгебарската равенка:
:<math>\sin\gamma = \sqrt{1-\cos^2\gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 {2ab}</math>.
Висината на триаголникот која одговара на основата <math>a</math> има должина <math>h_a=b\sin\gamma</math>, па следува
:<math> P\,</math>, <math>=\tfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a </math><math>= \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot b\sin\gamma</math><math>= \tfrac{1}{4} \sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math><math>= \tfrac{1}{4} \sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))}</math><math>= \tfrac{1}{4} \sqrt{(c^2-(a^2-2ab +b^2))((a^2 +2ab+b^2) -c^2)}</math><math>= \tfrac{1}{4} \sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)}</math><math>= \tfrac{1}{4} \sqrt{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)}</math><math>= \sqrt{\tfrac{1}{2}(-a+b +c))\cdot \tfrac{1}{2}(a -b+c) \cdot \tfrac{1}{2}(a +b -c) \cdot \tfrac{1}{2}(a +b +c)}</math><math>= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.</math>
Во горните трансформации полиномите се разложуваат според формулите за бином на квадрат и за разлика на квадрати.
2.1 Доказ со користење на Питагоровата теорема
Почнуваме од формулата за плоштина
<math> P=\tfrac{1}{2} c h_c =\tfrac{1}{2} c h </math> односно <math>4P^2=c^2h^2</math>.
каде страната <math>c</math> ја земаме како основа, а со <math> h </math> ја означуваме висината спуштена кон неа. Подножјето на висината ја дели страната <math>c</math> на два дела со должини <math>d</math> и <math>c-d</math>, како на цртежот десно.
Од Питагоровата теорема следува: <math>h^2+d^2=b^2</math> и <math>h^2+(c-d)^2=a^2</math>.
Заменувајќи го првиот израз од Питагоровата теорема во равенката <math>4P^2=c^2h^2</math>, следи:
<math>4P^2=c^2h^2=c^2 \cdot (b^2-d^2)=(cb)^2-(cd)^2</math>.
Значи, треба да се докаже дека: <math>(cb)^2-(cd)^2=4P^2=4s(s-a)(s-b)(s-c)</math>.
Десната страна на последното равенство може да ја запишеме како:
<math>4s(s-a)(s-b)(s-c)=(s(s-a)+(s-b)(s-c))^2-(s(s-a)-(s-b)(s-c))^2</math>
Следи:
<math>4(s(s-a)+(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)+(a-b+c)(a+b-c)=4cb</math>
или
<math>(s(s-a)+(s-b)(s-c))^2=(cb)^2</math>.
Слично се добива и дека
<math>4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd</math> или <math>(s(s-a)-(s-b)(s-c))^2=(cd)^2</math>
каде што двете применувања на Питагоровата теорема се користат во последната равенка.
3 Бројчена стабилност
Хероновата формула во зададениот облик е бројчено нестабилна за триаголници со многу мали агли. Постои стабилна алтернатива во која се именуваат страните, но така што: <math>a\geqslant b\geqslant c</math>, а потоа плоштината се пресметува по формулата
:<math> P = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.</math>
Заградите се користат за да се спречи нумеричката нестабилност при пресметување на квадратен корен.
4 Обопштување
Хероновата формула е специјален случај на Брамагуптината формула за плоштина на тетивни четириаголници, а двете формули се специјални случаи на Бретшнајдеровата формула за плоштина на четириаголник. Во двата случаја, Хероновата формула се добива ако должината на една страна од четириаголникот се земе дека е еднаква на нула.
Исто така, Хероновата формула е посебен случај на формула за плоштина на трапез во која се користат само страните на трапезот. Во неа се става должината на помалата основа да е еднаква на нула.
Хероновата формула може да се изрази со помош на детерминантата
:<math> P = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix}
0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix} } </math>
од каде се гледа сличноста на Хероновата формула со формулата на Николо Тартаља за зафатнина на тетраедар.
Друго обопштување на Хероновата формула до петаголници и шестаголници впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс.
5 Поврзано
* Периметар
* Плоштина
* Херонов триаголник
* Херон Александриски