Материјална точка

Материјална точка e поим кој се користи во механиката. Со него се означува некој објект чии димензии и облик се занемарливо мали во однос на димензиите на просторот кој се испитува или во кој тоа тело се набљудува или се движи. На пример, со материјални точки се означуваат елементарните честички, но и планетите и Сонцето кога се испитуваат нивните движења и взаемни дејства. При ваквите претставувања се смета дека вкупната маса на телото е концентрирана во материјалната точка. Материјална точка во природата не постои, т.е. таа е апстракција која служи за теоретски испитувања.
Положбата на материјалната точка се одредува во однос на некое референтно тело, кое се поставува во координатниот почеток на некој координатен систем. При тоа, најчесто се користи Декартовиот правоаголен координатен систем. Положбата на материјалната точка ''M'' е определена со полупречник-вектор <math>\vec {r}</math>, кој го поврзува координатниот почеток со материјалната точка. Комплетно опишување за движењето се добива ако во секој момент е позната положбата на материјалната точка. Со векторската равенка
<math>{\vec {r={\vec {f}(t)}</math>
е претставена временската зависност на положбата на точката ''M''. Интензитетот и правецот на еден полупречник-вектор може да биде даден со трите проекции на овој вектор врз координатните оски, означени со ''x'', ''y'' и ''z''. Во таков случај, положбата на материјалната точка во зависност од времето е опишана со трите координатни функции:
<math>{x}={f_1(t)}</math>, <math>{y}={f_2(t)}</math>, <math>{z}={f_3(t)}</math>
Со овие параметарски равенки, како и со претходната векторска равенка е определен обликот на траекторијата по која се движи материјалната точка.
1 Брзина на материјална точка
Ако во моментот <math>t_1</math> материјалната точка се наоѓа во положба <math>M_1(x_1,y_1,z_1)</math>, определена со полупречник-векторот <math>\vec {r}_1</math>, а во моментот <math>t_2</math> во положба <math>M_2(x_2,y_2,z_2)</math>, определена со полупречник-векторот <math>\vec {r}_2</math>, тогаш во временскиот интервал <math>{\Delta t}={t_2-t_1}</math>, точката го поминува патот по кривата линија помеѓу положбите <math>M_1</math> и <math>M_2</math>.
Векторот <math>\vec r_2-\vec r_1=\Delta \vec r</math> кој ги спојува почетната и крајната точка на траекторијата се вика вектор на поместување. Кога должината на овој вектор се намалува, (т.е. се доближува кон нултиот вектор), промената на векторот на поместување во текот на времето ќе ја дефинира моментната брзина на материјалната точка:
<math>{\vec v}=\lim_{\Delta t \to 0}{\Delta \vec r \over \Delta t}</math>
Десната страна на овој израз е гранична вредност - лимес кога временскиот интервал во кој се случила промената е многу мал и тежнее кон нула. Ваквата математичка презентација претставува диференцијал од полупречник-векторот во однос на времето:
<math>\vec v={\textrm{d}\vec r \over \textrm{d}t}</math>
Векторот со кој е опишана моменталната брзина на материјалната точка има ист правец со тангентата на траекторијата повлечена во разгледуваните точки.
За мали временски интервали <math>{\textrm{d}r = \textrm{d}s}</math>, поради што интензитетот на брзината може да се дефинира како прв извод на поминатиот пат по времето:
<math>v={\textrm{d}s \over \textrm{d}t}</math>
Единица за брзина според формулата е м/с (<math>{\textrm{m} \over \textrm{s</math> - метри во секунда).Од претходната равенка може да се определи патот како функција од времето во определен временски интервал. За тоа треба да се спроведе обратната постапка на диференцирањето - интегрирање на функцијата со која е изразена моменталната брзина во секој момент од некој временски интервал <math>[t_1,t_2]</math> како функција од времето:
<math>s(t)=\int_{t_1}^{t_2}{v(t)\textrm{d}t}</math>
2 Забрзување на материјална точка
Величината што ја карактеризира промената на интензитетот (или модулот) на брзината е наречена забрзување. Ако материјална точка во моментот на времето <math>t_1</math>, во положба <math>M_1</math> има брзина <math>v_1</math>, а во временскиот момент <math>t_2</math> таа е во положба <math>M_2</math> и има брзина <math>v_2</math>, тогаш промената на брзината во временскиот интервал <math>\Delta t = t_2-t_1</math>, кога тој е многу мал и тежнее кон нула, ќе го дефинира моменталното забрзување на материјалната точка:
<math>\vec a (t) =\lim_{\Delta t \to 0}{\Delta \vec v(t) \over \Delta t}={\textrm{d} \vec v(t) \over \textrm{d}t }</math>
Имајќи ја предвид равенката <math>v={\textrm{d}s \over \textrm{d}t}</math>, интензитетот на моменталното забрзување ќе биде:
<math>a={\textrm{d} \over \textrm{d}t}{\left({\textrm{d}s \over \textrm{d}t}\right)}={\textrm{d}^2s \over \textrm{d} t^2}</math>
Од равенката следува дека моменталното забрзување во точка е прв извод на брзината по времето или втор извод на патот по времето. Ако брзината во текот на времето се зголемува, тоа е позитивно забрзување, додека обратно - негативно.
Ако количникот <math>\Delta v \over \Delta t</math> во сите временски интервали има константна вредност, тогаш и забрзувањето е константно и може да се изрази како:
<math>{a}={v \over t}</math>
Единица за забрзување според претходната равенка е <math>{\textrm{m} / \textrm{s}^2}</math>. Во вакви околности после извесно време <math>t</math>, брзината ќе биде <math>v=at</math>. При тоа се претпоставува дека пред започнувањето на движењето на материјалната точка била во мирување, односно нејзината почетна брзина била 0.