Кејсиева теорема

Кејсиева теорема, позната и како воопштена Птоломеева теорема — теорема во Евклидовата геометрија именувана по ирскиот математичар Џон Кејси .
1 Формулација на теоремата
Нека <math>\,O</math> е кружница со радиус <math>\,R</math>. Нека <math>\,O_1, O_2, O_3, O_4</math> се (по тој редослед) четири непресечни кружници кои лежат во внатрешноста на <math>\,O</math> и ја допираат. Ја означуваме со <math>\,t_{ij}</math> должината на надворешната заедничка битангента на кружниците <math>\,O_i, O_j</math>. Важи::<math>\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.</math>
Забележете дека во дегенерираниот случај, каде што сите четири кружници се намалуваат до точки, ова е токму Птоломеевата теорема.
2 Доказ
Следниов доказ му се припишува на Захаријас. Го означуваме радиусот на кружницата<math>\,O_i</math> со <math>\,R_i</math> и допирните точки со кружницата <math>\,O</math> со <math>K_i</math>. Ќе ги означиме со <math>\,O, O_i</math> центрите на кружниците. Од Питагоровата теорема, важи
:<math>\,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2.</math>
Ќе се обидеме да ја изразиме оваа должина преку точките <math>\,K_i,K_j</math> . Според косинусната теорема во триаголникот <math>\,O_iOO_j</math> ,
:<math>\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j</math>
Бидејќи кружниците <math>O</math> и <math>O_i</math> се тангентни една на друга, важи
:<math>\overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j</math>
Нека <math>\,C</math> е точка на кружницата <math>\,O</math>. Од синусната теорема во триаголникот <math>\,K_iCK_j</math>:
:<math>\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}</math>
Затоа,
:<math>\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}</math>
и заменувајќи ги овие во формулата погоре, добиваме
:<math>\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right)</math>:<math>\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>:<math>\overline{O_iO_j}^2=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>
И конечно, должината која ја бараме е
:<math>t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j{R}</math>
Сега можеме да ја изразиме левата страна, со помош на изворната Птоломеева теорема применета на впишаниот четириаголник <math>\,K_1K_2K_3K_4</math> :
:<math>
\begin{align}
& t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23} \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4} \left(\overline{K_1K_2} \cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right) \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right) \\[4pt]
= {} & t_{13}t_{24}
\end{align}
</math>
3 Понатамошни воопштувања
Може да се види дека четирите кружници не мора да лежат во внатрешноста на големата кружница. Всушност, тие можат да бидат тангентни на неа и однадвор. Во тој случај треба да се направи следнава промена::
Ако <math>\,O_i, O_j</math> и двете ја допираат <math>\,O</math> од иста страна (и двете однатре или и двете однадвор), <math>\,t_{ij}</math> е должината на надворешната заедничка тангента.
:
Ако <math>\,O_i, O_j</math> се ја допираат <math>\,O</math> од различни страни (едната однатре, а другата однадвор), <math>\,t_{ij}</math> е должината на внатрешната заедничка тангента.
:
Обратното тврдење на Кејсиевата теорема е исто така точно. Тоа значи дека, ако важи равенство, кружниците се допираат со една иста кружница.
4 Примени
Кејсиевата теорема и нејзината спротивна може да се користат за докажување на различни тврдења во Евклидовата геометрија. На пример, во најкраткиот познат доказ
на Фојербаховата теорема се користи обратната теорема.