Накрсно множење

Накрсно множење — математичка операција, особено применливо во основната аритметика и елементарната алгебра, за равенки меѓу две дропки или рационални изрази, чие користење е со цел да се поедностави равенката или да се одреди вредноста на променливата.
1 Примери
Дадена е равенката:
:<math>\frac a b = \frac c d</math>
(каде и не се нула), накрсното множење дава:
:<math>ad = bc \qquad \mathrm{or} \qquad a = \frac {bc} d.</math>
Во Евклидовата геометрија истиот резултат може да се постигне со користење на односи слично како кај триаголникот.
2 Постапка
Во пракса, методот на накрсно множење значи да го помножиме броителот на секоја (или една) страна со именителот на другата страна со вкрстување:
:<math>\frac a b \nwarrow \frac c d \quad \frac a b \nearrow \frac c d.</math>
Математичко оправдување за методот е од следната математичка постапка. Ако почнеме со основната равенка:
:<math>\frac a b = \frac c d</math>
Можеме да ја помножиме секоја страна со ист број и равенството нема да се промени. Значи, ако дропките на секоја страна ги помножиме со , добиваме:
:<math>\frac a b \times bd = \frac c d \times bd.</math>
можеме дропката да ја скратиме, бидејќи двете <math>b</math> на левата страна можат да се скратат, како и двете поновувања , па останува:
:<math>ad = bc</math>
и можеме двете страни на равенката да ги поделиме со кој било елемент – во овој случај се зема , па се добива:
:<math>a = \frac {bc} d.</math>
Друго оправдување на накрсното множење е следното. Да ја земеме равенката:
:<math>\frac a b = \frac c d</math>
ако ја помножиме со = 1 на левата и со = 1 на десната страна, добиваме:
:<math>\frac a b \times \frac d d = \frac c d \times \frac b b</math>
и така:
:<math>\frac {ad} {bd} = \frac {cb} {db}.</math>
со кратење на заедничките именители = , ни останува:
:<math>ad = cb.</math>
Секој чекор во овие постапки е заснован на единствено, основно својство на равенките. Накрсното множење е скратен пат, лесно разбирлива процедура која ја учат учениците.
3 Употреба
Накрсното множење е вообичаена процедура во математиката која се користи за да ги скрати дропките или да ја пресмета вредноста на променливата во дропката. Ако имаме равенка, каде е променлива:
:<math>\frac x b = \frac c d</math>
можеме да користиме накрсно множење за нејзино одредување:
:<math>x = \frac {bc} d.</math>
На пример, сакаме да знаеме колку ќе помине автомобил за 7 часа ако знаеме дека неговата брзина е константна и дека веќе изминал 90 километри во последните 3 часа. Со претворање на проблемот во пропорција добиваме:
:<math>\frac x {7\ \mathrm{h = \frac {90\ \mathrm{km {3\ \mathrm{h.</math>
Со накрсно множење се добива:
:<math>x = \frac {7\ \mathrm{h} \times 90\ \mathrm{km {3\ \mathrm{h</math>
и така:
:<math>x = 210\ \mathrm{km}.</math>
И поедноставни равенки како што се:
:<math>a = \frac {x} {d}</math>
Се решаваат со користење на накрсно множење, недостасува членот кој имплицитно е еднаков на 1:
се решавају коришћењем унакрсног множења, недостаје члан који је имплицитно једнак 1:
:<math>\frac a 1 = \frac x d.</math>
Која било равенка која содржи дропки или рационални изрази може да се поедностави со множење на двете страни со најмалиот заеднички содржател. Овој чекор се нарекува „дерационализација“.
4 Тројно правило
Тројното правило е скратена верзија за одреден облик на накрсно множење кое учениците го учат напамет. Во францускиот наставен план тоа е застапено во програмата за средно образование.
За равенките во облик:
:<math>\frac a b = \frac c x</math>
Каде променливата која се пресметува е десниот именител, тројното правило е:
:<math>x = \frac {bc} a.</math>
Во тој контекст, се нарекува „крајна“ пропорција, а и се нарекуваат „средства“.
Ова правило им било познато на Евреите уште од XV век п.н.е. како посебен случај на Кал ва-хомер. Исто така им било познато на индиските (ведски) математичари во VI век п.н.е. како и на кинеските математичари пред VII век п.н.е., додека во Европа почнува да се користи многу подоцна.