Инверзна функција

Во математиката, ако функцијата ƒ пресликува множество A во множество B, тогаш нејзината инверзна функција ƒ<sup>−1</sup> е таква да го пресликува множеството B во множеството A и тоа така што сложената функција <math>f \circ f^1</math> го пресликува секој елемент од множеството A во самиот себе. Не секоја функција има своја инверзна, онаа која има се вика инверзибилна.
На пр., ако е дадена функцијата ƒ таква што ја дава должината во милји ако е дадена должината во метри (ƒ(x) = 1,6 • x), тогаш нејзината инверзна функција g = ƒ<sup>−1</sup> ја дава должината во метри ако е позната должината во милји (g(x) = x / 1,6).
1 Инверзибилност
# Бидејќи функцијата мора да го пресликува оригиналот само во една слика, функција која не е инјективна не може да има инверзна.
# Од друга страна, ако опсегот на функцијата не е идентичен на нејзиниот кодомен, тогаш за некои елементи на множеството слики нема да биде дефинирано пресликувањето ƒ<sup>−1</sup>.
Затоа може да се рече дека функцијата е инверзибилна акко е биекција.
На пр. функцијата <math>f(x)=x^2: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> не е ни инјективна (бидејќи позитивните и негативните броеви имаат иста слика), ни сурјективна (бидејќи е ранг <math>\mathbb{R}^+</math>, а не цел кодомен <math>\mathbb{R}</math>). Истата функција, но дефинирана како <math>\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</math> има инверзна функција <math>\sqrt{x}</math>. Функцијата <math>f(x)=x^3\,\!</math> има инверзна, а <math>f(x)=x^3-x\,\!</math> нема бидејќи не е инјективна (<math>f(0)=f(1)=0\,\!</math>).
2 Особини
2.1 Симетрија
Нека id е функција на идентитетот id<sub>''X''</sub> = x. Тогаш важи
:<math>\begin{align}
f \circ f^{-1} = id_X \\
f^{-1} \circ f = id_Y
\end{align}</math>
односно <math>(f^{-1})^{-1} = f\,\!</math>.
2.2 Инверзна функција на сложена функција
При инверзија на композиција од функции, основните функции го менуваат редоследот:
:<math>(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}</math>
2.3 Автоинверзија
Функција на идентитет е инверзна сама на себе:
:<math>id_X^{-1} = id_X\,\!</math>
2.4 Графичко претставување
Функција и нејзината инверзна функција се симетрични во однос на правата <math>y=x\,\!</math>.
2.5 Извод на инверзна функција
Ако почетната функција е диференцијабилна, тогаш за сите точки во кои <math>f(x) \neq 0\,\!</math> важи следната формула за извод на инверзна функција:
:<math>\frac{d}{dy}\left[ f^{-1}(y) \right] = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}. </math>
3 Обележување
Важно е да се воочи дека <sup>−1</sup> во означувањето на инверзна функција не е ознака за експонент. Всушност <math>\tfrac{1}{f(x)}</math> се запишува како ƒ(x)<sup>−1</sup>.
Во инфинитезималното сметање ознаката ƒ<sup>(n)</sup> означува n-ти извод на функцијата:
:<math>f^{(n)}(x) = \frac{d^{n{dx^{nf(x).</math>
Во тригонометријата, од историски причини, <math>\sin^2 x = (\sin x)^2\,\!</math> а не <math>\sin (\sin x)\,\!</math>, но е <math>\sin^{-1} x = \arcsin x\,\!</math>, а не <math>\tfrac{1}{\sin x}</math>. Токму за да избегне оваа непрецизност, за инверзни тригонометриски функции се користи ознаката ''arc'', а за реципрочни потполно други имиња (<math>\tfrac{1}{\sin x} = \csc x</math>).
4 Поврзано
* Теорија на множества
* Функција
* Список на инверзни функции
* Инјективна функција
* Сурјективна функција
* Биективна функција