Правилен многуаголник

Правилен многуаголник — прост многуаголник (многуаголник кој никаде не се сече сам со себе) кој е рамноаголен (сите агли му се исти) и рамностран (сите рабови се со иста должина).
Сите правилни многуаголници со ист број на рабови (или „страни“ во планиметријата) се слични.
* Правилен двоаголник: „двојна отсечка“
* Рамностран триаголник (3 раба)
* Квадрат (4 раба)
* Правилен петаголник (5 раба)
* Правилен шестаголник (6 раба)
* Правилен седумаголник (7 раба)
* Правилен осумаголник (8 раба)
* Правилен десетаголник (10 раба)
* Правилен дванаесетаголник (12 раба)
Во извесни случаи сите овие полиаголници би се сметале за неправилни. Во такви случаи се испушта претставката правилен. На пример сите рабови на еден еднообразен полиедар мора да бидат правилни и рабовите едноставно би се опишале како триаголник, квадрат, петаголник.
1 Својства
Секој агол на еден правилен ''n''-аголник има мерка од <math>(1-\frac{2}{n})\times 180</math> (или подеднакво, на <math>(n-2)\times \frac{180}{n}</math>) степени.
Алтернативно, внатрешниот агол/агли на правилен ''n''-аголник е <math>\frac{(n-2)\pi}{n}</math> радијани (или <math>\frac{(n-2)}{2n}</math> вртења).
Сите вертикали на правилен многуаголник лежат на заедничка кружница, т.е. тие се сокружни точки, каде секој правилен многуаголник има опишана кружница.
Правилен ''n''-аголник може да се нацрта со шестар и линијар ако и само ако непарните прости фактори на ''n'' се засебни Ферминови броеви. Видете конструктибилен многуаголник.
За <math>n > 2</math> бројот на дијагонали е <math>\frac{n (n-3)}{2}</math>, т.е., 0, 2, 5, 9, ... Тие го делат многуаголникот на 1, 4, 11, 24, ... делови.
2 Плоштина
Плоштината на правилен ''n''-аголник е
:<math>A=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}</math>
каде ''t'' е должината на работ. Исто така плоштината е полуобиколка помножена по должината на апотемата (линијата од средината на многуаголникот нормален на работ)A=1/2Pa.
За ''t''=1 имаме
:<math>{\frac{n}{4 \cot(\pi/n)</math>
со следниве вредности:
Рабови, Назив, Точна плоштина, Приближна плоштина
3, рамностран триаголник, <math>\frac{\sqrt{3{4}</math>, 0,433
4, квадрат, 1, 1,000
5, правилен петаголник, <math>\frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5</math>, 1,720
6, правилен шестаголник, <math>\frac{3 \sqrt{3{2}</math>, 2,598
7, правилен седумаголник, 3,634
8, правилен осумаголник, <math>2 + 2 \sqrt{2}</math>, 4,828
9, правилен деветаголник, 6,182
10, правилен десетаголник, <math>\frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5</math>, 7,694
11, правилен единаесетаголник, 9,366
12, правилен дванаесетаголник, <math>6+3\sqrt{3}</math>, 11,196
13, правилен тринаесетаголник, 13,186
14, правилен четиринаесетаголник, 15,335
15, правилен петнаесетаголник, 17,642
16, правилен шеснаесетаголник, 20,109
17, правилен седумнаесетаголник, 22,735
18, правилен осумнаесетаголник, 25,521
19, правилен деветнаесетаголник, 28,465
20, правилен дваесетаголник, 31,569
100, правилен стоаголник, 795,513
1000, правилен илјадааголник, 79577,210
10000, правилен десет илјадааголник, 7957746,893
Плоштините се помали од оние кај кружници со иста обиколка, и се (заокружени) еднакви на 0,26, а за n<8 малку повеќе (броевите се намалуваат со зголемувањето на ''n'' до границата π/12).
3 Симетрија
Групата на симетрија на правилен ''n''-аголник е диедарска група ''D<sub>n</sub>'' (од ред 2''n''): ''D''<sub>2</sub>, ''D''<sub>3</sub>, ''D''<sub>4</sub>,... Се состои од ротациите во ''C<sub>n</sub>'' (постои вртежна симетрија на ред ''n''), заедно со рефлективна симетрија во ''n'' оските кои минуваат низ центарот. Ако''n'' е макар и тогаш половина од оските поминуваат низ спротивните вертикали, а другата половина низ средишната точка на спротивните рабови. Ако ''n'' е непарен, тогаш сите оски минуваат низ врвот и средишната точка на спротивниот раб.
4 Ѕвездести правилни многуаголници
Во проширената категорија на правилни многуаголници спаѓаат ѕвезди, како на пример пентаграмот, кој ги има истите вертикали како и петаголникот, но сврзува наизменични вертикали.
;Примери:* Пентаграм — {5/2}
* Хептаграм — {7/2}, {7/3}
* Октаграм — {8/3}
* Енеаграм — {9/2}, {9/4}
* Декаграм — {10/3}
5 Полиедар
Еднообразен полиедар е полиедар со правилни многуаголници како рабови, така што за секои две вертикали има меѓусебно изометрично пресликување.
6 Поврзано
* Многуаголник
* Рамностран многуаголник