Бранова равенка

Бранова равенка – важна парцијална диференцијална равенка со која се опишува простирањето на брановите. Брановите може да бидат звучни, електромагнетни, водени, итн., но сите се простираат според истиот принцип содржан во брановата равенка. Брановата равенка се јавува и се користи во акустиката, електромагнетизмот, оптиката, динамиката на флуиди. Најзначаен придонес за решавање на проблемот на опишување на осцилациите и простирањето на брановите дале Жан ле Рон Даламбер, Леонард Ојлер, Даниел Бернули и Жозеф-Луј Лагранж.
1 Вовед
Брановата равенка е типичен пример на хиперболична парцијална диференцијална равенка. Во наједноставниот облик, брановата равенка се однесува на скаларната големина ''u'' која ја задоволува равенката:
:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \Delta u, </math>
каде c (константа) е брзина на бранот, а <math>\Delta = \nabla^2</math> е Лапласов оператор. За звучните бранови во воздух на 20 °C изнесува околу 343 m/s (види брзина на звукот). За осцилирачка жица, брзината може да се менува во голем опсег бидејќи зависи од линеарната густина на жицата и нејзината затегнатост. Многу пореалистичен модел на брановата равенка ја зема предвид дисперзијата, т.е. зависноста на брзината на брановите од неговата честота. Тогаш ''c'' се заменува со фазната брзина:
:<math>v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.</math>:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \Delta u </math>:<math>\rho{ \ddot{\mathbf{u} = \mathbf{f} + (\lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})</math>
2 Скаларна бранова равенка во еднопросторна димензија
2.1 Изведување на брановата равенка
Брановата равенка во еднодимензионален случај може да се изведе на следниов начин: нека има низа мали тегови, секој со маса ''m'', поврзани со пружини од кои секоја има должина ''h'' и коефициент на еластичност (физика)еластичност ''k'':
:
Овде ''u(x)'' претставува отклон од рамнотежната положба на малата маса на координатата ''x''. Силите кои делуваат на масата <math>m</math> во положбата <math>x+h</math> се:
:<math>F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot </math>:<math>F_{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]</math>
Равенката на движење на материјалната точка на локацијата ''x+h'' е:
:<math>m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]</math>
каде временската зависност ''u''(''x'') е дадена експлицитно.
Ако низата тегови се состои од ''N'' тегови рамномерно распоредени по должината ''L'' = ''N''''h'' тогаш вкупната маса е ''M'' = ''N''''m'', и вкупниот коефициент на еластичноста на низата е ''K'' = ''k''/''N'', па горната равенка може да се напише како:
:<math>{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}</math>
Со пресметување на лимесот <math>N\rightarrow \infty,h\rightarrow 0</math> (при униформност) се наоѓа:
:<math> {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 } </math>
каде (''KL<sup>2</sup>)''/''M'' е квадрат на брзината со која деформацијата се простира по низата.
2.2 Решение на проблемот на почетни вредности
Општото решение на еднодимензионална скаларна бранова равенка
:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 } </math>
го извел Жан Даламбер. Во факторски облик брановата равенка може да се напише како:
:<math> \left[ \frac{\partial}{\partial t} - c\frac{\partial}{\partial x}\right] \left[ \frac{\partial}{\partial t} + c\frac{\partial}{\partial x}\right] u = 0.\,</math>
Ако ''F'' и ''G'' се произволни функции следи дека секој збир во облик
:<math>u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) \,</math>
ја задоволува брановата равенка. Двата члена претставуваат два брана во движење: деформацијата дадена со аргументот ''F'' или ''G'' се движи со брзина ''c'' нанапред (за ''F'') и наназад (за ''G''). Овие функции можат поточно да се одредат на основа на произволните почетни услови:
:<math>u(x,0)=f(x) \,</math>:<math>u_t(x,0)=g(x) \,</math>
Резултат е Даламберовата формула:
:<math>u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds</math>
3 Скаларна бранова равенка во трипросторни димензии
Решението на тридимензионален проблем на почетни вредности може да се добие од решението на равенката за сферни бранови. Тој резултат потоа може да се сведе на дводимензионален случај.
3.1 Сферни бранови
Скаларната бранова равенка останува неизменета при ротација на просторните координата и заради тоа може да се очекува дека постои решение кое зависи само од радијалното растојание од одбрана точка. Таквото решение мора да ја задоволи равенката:
:<math> u_{tt} - c^2 \left(u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \,</math>
Оваа равенка може да се напише и како:
:<math> (ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \,</math>
големината ''ru'' ја задоволува еднодимензионалната бранова равенка, па постои решение во облик:
:<math> u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \,</math>
каде ''F'' и ''G'' се произволни функции. Секој член може да се толкува како сферен бран кој се шири или собира (контрахира) со брзина ''c''. Таквите бранови ги створа точкест извор.
3.2 Решение на општиот проблем на почетни вредности
Брановата равенка е линеарна по ''u'' и останува неизменета при транслација во просторот и времето. Според тоа, може да се генерираат голем број решенија со транслација и сумирање на сферните бранови. Нека φ(ξ,η,ζ) е произволна функција со три независни променливи, и нека сферниот бран ''F'' е делта функција, т.е. нека ''F'' е слаба граница на континуална функција чиј интеграл е еднаков на единица, а чиј опсег каде функцијата е поголема од нула, е собран во координатниот почеток. Нека фамилијата на сферни бранови има центар во точката (ξ,η,ζ) и нека ''r'' е радијалното растојание од таа точка. Тогаш се добива:
:<math> r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \,</math>
Ако ''u'' е суперпозиција на таквите бранови со тежинска функција φ, се добива:
:<math> u(t,x,y,z) = \frac{1}{4\pi c} \iiint \varphi(\xi,\eta,\zeta) \frac{\delta(r-ct)}{r} d\xi\,d\eta\,d\zeta; \,</math>
каде именителот 4πc е воведен заради погодност.
Користејќи ја дефиницијата за делта функција, ''u'' може исто така да се претстави како:
:<math> u(t,x,y,z) = \frac{t}{4\pi} \iint_S \varphi(x +ct\alpha, y +ct\beta, z+ct\gamma) d\omega, \,</math>
каде α, β, и γ се координати на единичната сфера ''S'', а ω елемент на површината на сферата ''S''. Овој резултат може да се толкува како ''u''(''t'',''x'') да е средна вредност на функцијата φ поможена со ''t'' на сферата со полупречник ''ct'' центрирана на ''x'':
:<math> u(t,x,y,z) = t M_{ct}[\phi]. \,</math>
Следи:
:<math> u(0,x,y,z) = 0, \quad u_t(0,x,y,z) = \phi(x,y,z). \,</math>
Средната вредност е парна функција од ''t'', и заради тоа ако е:
:<math> v(t,x,y,z) = \frac{\partial}{\partial t} \left(t M_{ct}[\psi] \right), \,</math>
тогаш е:
:<math> v(0,x,y,z) = \psi(x,y,z), \quad v_t(0,x,y,z) = 0. \,</math>
Овие формули даваат решение за проблемот на почетни вредности на брановата функција. Тие покажуваат дека решението во дадена точка ''Р'', за дадени (''t'',''x'',''y'',''z'') зависи само од податоците на сферата со полупречник ''ct'' пресечена со светлосен конус нацртан наназад од точката ''Р''. Решението не зависи од податоците внатре во сферата.
4 Скаларна бранова равенка во две просторни димензии
Во две просторни димензии, брановата равенка е во облик:
:<math> u_{tt} = c^2 \left(u_{xx} + u_{yy} \right). \,</math>
Овој проблем може да се реши на основа тридимензионалното решение ако сметаме дека ''u'' е решение во три димензии кое е независно од третата димензија. Ако е:
:<math> u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y), \,</math>
тогаш формулата за тридимензионално решение станува:
:<math> u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,\,</math>
каде α и β се првите две координати на единична сфера, а dω е елемент на површината на сферата. Овој интеграл може да се напише како интеграл по дискот ''D'' со центар во (''x'',''y'') и полупречник ''ct'':
:<math> u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2 d\xi\,d\eta. \,</math>
Очигледно е дека решението на (''t'',''x'',''y'') зависи не само од податоците на светлосниот конус каде што:
:<math> (x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2, \,</math>
туку исто така и од податоците во внатрешноста на тој конус.
5 Проблем со границите
5.1 Еднопросторна димензија
:<math> -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,</math>:<math> u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,</math>:<math> u(t,x) = T(t) v(x).\,</math>:<math> \frac{T''}{c^2T} = \frac{v''}{v} = -\lambda. \,</math>:<math> v'' + \lambda v=0, \,</math>:<math> -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,</math>
5.2 Неколкупросторни димензии
:<math> \frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \,</math>:<math> u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,</math>:<math> \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,</math>
во ''D'', и
:<math> \frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \,</math>
на ''B''.
6 Нехомогена бранова равенка во една димензија
:<math>u(x,0)=f(x)\,</math>:<math>u_t(x,0)=g(x).\,</math>:<math>\int \int_{R_C} \left (c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right) dx dt = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>:<math>\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>:<math>\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.</math>:<math>\int_{L_1} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) \,</math>::<math>= \int_{L_1} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\, </math>::<math>= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,</math>:<math>\int_{L_2} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) </math>::<math>= - \int_{L_2} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right) </math>::<math>= - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left (c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right) </math>::<math>= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,</math>:<math>- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>:<math>2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>:<math>2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>:<math>u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left (t_i - t \right )}_{x_i - c \left (t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,</math>
7 Поврзано
* Хелмхолцова равенка
* Равенка на звучни бранови
* Равенка на електромагнетни бранови
* Нехомогена равенка на електромагнетни бранови
* Доплеров ефект
* Шредингерова равенка