Сраснување (минералогија)

Сраснување на кристалите или близнење се случува кога два или повеќе соседни кристали од истиот минерал се ориентирани така што делат некои од истите точки на кристалната решетка на симетричен начин. Резултатот претставува меѓусебно растење на два одделни кристали кои се цврсто поврзани еден со друг. Површината по која точките на решетката се делат кај кристалните близнаци се нарекува површина на составот или двојна рамнина.
Во кристалографијата, близнењето е опишано со голем број закони за сраснување, кои се специфични за кристалната структура. Видот на сраснување може да биде дијагностичка алатка во распознавање на минералите. Постојат три главни типа на сраснување. Првиот е растечко сраснување кое може да се појави и кај многу големи и кај многу мали честички. Вториот е преобразбено сраснување, каде што има промена во кристалната структура. Третиот е деформациско сраснување, при што близнењето се развива во кристал како одговор на стрес на смолкнување и е важен механизам за трајни промени во обликот на кристалот.
1 Дефиниција
Сраснувањето е форма на симетрично меѓурастење помеѓу два или повеќе соседни кристали од истиот минерал. Се разликува од обичното случајно меѓурастење на минерални зрна во минерален нанос, бидејќи релативните ориентации на двата кристални сегменти покажуваат фиксен однос што е карактеристичен за минералната структура. Односот е дефиниран со симетриска операција наречена ''двојна операција''.
Двојната операција не е една од нормалните операции на симетрија на непрекинатата кристална структура. На пример, двојната операција може да биде одбивање низ рамнина која не е рамнина на симетрија на монокристалот.
На микроскопско ниво, границата на близнаците се карактеризира со збир на атомски местоположби во кристалната решетка што се споделуваат помеѓу двете ориентации. Овие споделени точки на решетката му даваат на спојот помеѓу кристалните сегменти многу поголема цврстина отколку помеѓу случајно ориентирани зрна, така што двојните кристали не се распаѓаат лесно. ''Паралелниот раст'' опишува форма на кристален раст што создава појава на кластер од подредени кристали кое може да се помеша со близнењето. Деталното испитување открива дека кластерот е всушност еден кристал. Ова не е сраснување, бидејќи кристалната решетка е постојана низ целиот кластер. Паралелниот раст веројатно се одвива бидејќи ја намалува енергијата на системот.
2 Закони
Законите за сраснувањето се операции на симетрија кои ја дефинираат ориентацијата помеѓу сегментите од близначкиот кристал. Тие се карактеристични за минералот како и аглите на неговата кристална површина. На пример, кристалите на ставролит покажуваат сраснување под агли од речиси точно 90 степени или 30 степени. Закон за сраснување не е симетрична операција на целиот сет на базни точки.
Законите вклучуваат операции на одбивање, операции на вртење и операција на преместување. Одбивното сраснување е опишано со Милеровите показатели на близначката рамнина (т.е. {hkl}), додека вртежното сраснување е опишано со насоката на оската на близнакот (т.е. <hkl>). Преместувачкото сраснување е обично еквивалентно на симетрија на одбивање или вртење.
Вртежните закони за сраснување се речиси секогаш двократни вртења, иако е можна која било друга дозволена вртежна симетрија (3-кратна, 4-кратна, 5-кратна или 6-кратна). Оската на близнаците ќе биде нормална на рамнината на решетката. Можно е вртежниот закон да ја дели истата оска како вртежната симетрија на поединечниот кристал доколку законот за близнаци е двократно вртење, а симетричната операција е трократно вртење. Ова е случај за сраснување според шпинелов закон на <111>: шпинеловата структура има трократна вртежна симетрија на <111> и шпинелот е најчесто сраснат со двократен вртеж на <111>.
Границата помеѓу кристалните сегменти се нарекува ''површинска композиција'' или, доколку е рамнинска, ''рамнинска композиција''. Рамнинската композиција е често, иако не секогаш, паралелна со рамнината на законот за сраснување на законот за одбивање. Доколку е тоа случај, рамнината за близнаци е секогаш паралелна со можната кристална површина.
2.1 Заеднички закони
Во изометрискиот систем, најчестите типови на сраснување се Шпинеловиот закон (рамнина на близнаци, паралелна со октаедар) <111>, каде што оската на близнаците е нормална на октаедарска површина, и Железниот крст <001>, што е прикажување на два пиритоедари, подтип на додекаедар.
Во шестоаголниот систем, калцитот ги покажува законите за контактни близнаци {0001} и {0112}. Кварцот го покажува Бразилскиот закон {1120} и Дофинеовиот закон <0001>, кои се пенетрациски близнаци предизвикани од преобразба, и Јапонскиот закон {1122}, кој често е предизвикан од несреќи за време на растот.
Во тетрагоналниот систем, цикличните допирни близнаци се најчесто забележаниот тип на близнаци, како на пример кај рутил титаниум диоксид и каситерит калај оксид.
Во орторомпскиот систем, кристалите обично се здружуваат на рамнини паралелни со површината на призмата, каде што најчест е {110} близнак, кој произведува циклични близнаци, како на пример кај арагонит, хризоберил и церусит.
Во моноклинскиот кристален систем, близнаците најчесто се јавуваат на рамнините {100} и {001} според Манебаховиот закон {001}, Карловариовиот закон [001], Бавеновиот закон {021} во ортокласа и близнаците со опашка на ластовица (Манебаховиот закон) {001} во гипс.
Во триклинскиот кристален систем, најчесто сраснатите кристали се фелдспатните минерали плагиоклас и микроклин. Овие минерали ги покажуваат законите на Албит и Периклин.
Најчестите операции со близнаци по кристален систем се прикажани подолу. Овој список не е исцрпен, особено за кристалните системи со најниска симетрија, како што е триклинскиот систем.
Систем, Право, Операција, Примери
Триклински, Албитски закон Периклински закон Карловариов закон Бавенов закон Манебахов закон, {010} <010> <001> {021} {001}, Плагиокласа
Моноклински, Карловариов закон Бавенов закон Манебахов закон, <001> {021} {001} {100} <031> <231>, Ортокласа Гипс Ставролит
Орторомпски, {110} {101} {011}, Арагонит, церузит; често цикличен
Тетрагонален, {110} {101} {011}, Каситерит, рутил
Шестоаголен, Бразилски закон Дофински закон Јапонски закон, {01 2} {0001} {10 1} {11 0} <0001> {11 2}, Калцит Кварц
Изометриски, Шпинелов закон Закон за железен крст, <111> {111} {001} <001>, Шпинел Пирит
3 Видови
Кај едноставните кристали најчесто се појавува допирно близнење. Допирното близнење се среќава кај кристали кои се завртени за одреден степен и се допираат (како скратени за една половина) назаедничка рамнина. Плагиокласот, кварцот, гипсот и шпинелот често покажуваат допирно близнење. ''Мероедралното близнење'' се јавува кога решетките на допирното близнење се преклопуваат во три димензии, како на пример со релативно вртење на едниот близнак од другиот. Пример е метасеунеритот. Допирното близнење карактеристично создава реинтерантни површини каде што површините на кристалните сегменти се среќаваат на допирната рамнина под агол поголем од 180°.
Вид на близнење кое вклучува врски од 180° се нарекува ''хемитропизам'' или ''хемитропија''.
Кај ''прородното близнење,'' поединечните кристали имаат изглед на симетрично ''минување еден низ'' друг. Ортокласот, ставролитот, пиритот и флуоритот често покажуваат прородно близнење. Површината на составот кај прородното близнење е обично неправилна и се протега до центарот на кристалот.
Допирното близнење може да произлезе од одбивање или вртење, додека прородното близнење обично се произведува со вртење.
Доколку неколку кристални делови се порамнети според истиот закон за близнење, тие се нарекуваат ''повеќекратно'' или ''повторувачко близнење''. Доколку ова повеќекратно близнење е порамнето паралелно, тоа се нарекува полисинтетичко близнење. Кога пак овие кристали не се паралелни, т''оа се нарекува циклично близнење''. Албитот, калцитот и пиритот често покажуваат полисинтетичко близнење. Полисинтетичкото близнење со тесен распоред често се забележува како ленти или фини паралелни линии на кристалната површина. Цикличното близнење се предизвикува од повторувачко близнење околу оска на вртење. Овој тип на близнење се јавува околу три, четири, пет, шест или осумкратни оски, соодветните обрасци се нарекуваат тројки, четирики, петки, шестки и осумки. Шестки се чести кај арагонитот. Рутилот, арагонитот, церуситот и хризоберилот често покажуваат циклично близнење, обично во зрачен модел.
За вртежното близнење, односот помеѓу оската на близнење и рамнината на близнење спаѓа во еден од трите типа: :# паралелно близнење, кога оската и композициската рамнина лежат паралелно една со друга,
:# нормално близнење, кога рамнината и композициската рамнина лежат нормално, и
:# комплексно близнење, комбинација од паралелно близнење и нормално близнење на една композициска рамнина.
4 Начини на формирање
Постојат три начини на формирање на овие кристали.
*''Растечко близнење е'' резултат на прекин или промена во решетката за време на формирањето или растот. Ова може да се должи на поголем супституционен јон, статистиката кажува дека енергетската разлика за нуклеирање на нова рамнина на атоми во близначка ориентација е мала, или затоа што близнаците водат до структура со пониска енергија.
*''Преобразно близнење'' е резултат на промена во кристалниот систем за време на ладењето, бидејќи една ''форма'' станува нестабилна и кристалната структура мора да се реорганизира или ''преобрази'' во друга постабилна форма.
*''Изобличено или лизгачко близнење'' е резултат на стрес врз кристалот откако кристалот ќе се формира. Бидејќи растечкото близнење се формира за време на почетниот раст на кристалот, тие се опишуваат како ''примарни'', додека останатите два вида се формираат во постоечки кристал и се опишуваат како ''секундарни''.
4.1 Растечко близнење
Постојат два вида на близнење што можат да се појават за време на растот, случајно и онакво каде што сраснатата структура има помала енергија.
При случајно близнење на растот, атом се спојува со кристална површина во помалку идеална положба, формирајќи семе за раст на близнакот. Оригиналниот кристал и неговиот близнак потоа растат заедно и многу личат еден на друг. Ова е доволно карактеристично за одредени минерали за да се прикаже дека е термодинамички или кинетички фаворизиран во услови на брз раст.
Различни од овие се близнаците кои се наоѓаат во наночестичките како што е прикажаната слика погоре, а овие петкратни или декаедрични наночестички се едни од најчестите. Овие циклични близнаци се јавуваат поради тоа што имаат помала енергија при мали димензии. За прикажаниот петкратен случај, постои дисклинација по заедничката оска што доведува до дополнителна енергија на изобличување. Балансирајќи го ова, постои намалување на површинската слободна енергија, во голема мера поради повеќе (111) површински фасети. Кај малите наночестички, декаедралната и посложената икосаедрална структура (со дваесет единици) имаат помала енергија, но при поголеми енергии единечните кристали стануваат помала енергија. Сепак, тие не мора да се преобразат во единечни кристали и можат да пораснат многу големи, и се документирани уште во 1831 година од Густав Роуз ж; Дополнителни цртежи се достапни во Atlas der Kristallformen.
4.2 Преобразно близнење
Преобразбата и жарењето се одвиваат кога ладниот кристал доживува дисплациска полиморфна преобразба. На пример, леуцитот има изометриска кристална структура над околу , но станува тетрагонална под оваа температура. Секоја од трите оригинални оски на кристалот може да стане долга оска кога ќе се случи оваа фазна промена. Близнењето се јавува кога различни делови од кристалот ја нарушуваат својата изометриска симетрија по различен избор на оска. Ова е типично полисинтетичко близнење, кое му овозможува на кристалот да ја одржи својата изометриска форма со усреднување на поместувањето во секоја насока. Ова произведува псевдоморфен кристал кој се смета дека има изометриска симетрија. Калиумовиот фелдспат исто така доживува полисинтетичко близнење додека се преобразува од моноклинска структура ( ортоклас) во триклинска структура (микроклин) при бавно ладење.
4.3 Изобличено близнење
Изобличуеното близнење е одговор на стресот на смолкнување. Кристалната структура е поместена долж последователните рамнини на кристалот, процес наречен и ''лизгање''. Близнењето е секогаш одбивно близнење, а рамнината на лизгање е исто така и огледална рамнина. Изобличеното близнење може да се забележи во фрагмент од расцепување на калцит со примена на нежен притисок со сечило од нож близу до работ. Ова конкретно лизгачко близнење, {102}, се среќава речиси универзално во деформирани карпести слоеви што содржат калцит.
Близнењето и лизгањето се конкурентни механизми за кристална деформација. Секој механизам е доминантен во одредени кристални системи и под одредени услови. Кај металите со коцкест систем, лизгањето е речиси секогаш доминантно бидејќи потребниот напон е далеку помал од напонот на близнење.
Близнењето може да се случи со кооперативно поместување на атомите по должината на границата на близнакот. Ова поместување на голема количина атоми истовремено бара значителна енергија за да се изврши. Затоа, теоретскиот стрес потребен за формирање на близнак е доста висок. Се верува дека близнењето е поврзано со движење на преместување на координирана скала, за разлика од лизгањето, кое е предизвикано од независно лизгање на неколку места во кристалот.
Во споредба со лизгањето, близнењето произведува модел на изобличување која е похетерогена по природа. Оваа изобличување произведува локален градиент низ материјалот и во близина на пресеците помеѓу збраздите и границите на зрната. Градиентот на изобличување може да доведе до прелом по должината на границите.
Од трите вообичаени кристални структури bcc, fcc и hcp, hcp структурата е најверојатно да формира изобличени близнаци кога е напрегната, бидејќи ретко имаат доволен број на системи на лизгање за произволна промена на обликот. Високите стапки на напрегање, ниската енергија на раседување и ниските температури го олеснуваат изобличеното близнење.
Ако метал со коцкеста (fcc) структура лицецентрично на површината, како Al, Cu, Ag, Au, итн., е подложен на стрес, тој ќе доживее близнење. Формирањето и миграцијата на границите на близнење е делумно одговорно за еластичноста и податливоста на fcc металите.
Близначките граници се делумно одговорни за стврднувањето под удар и за многу од промените што се случуваат при ладна обработка на метали со системи со ограничено лизгање или на многу ниски температури. Тие се јавуваат и поради мартензитни преобразби: движењето на близначките граници е одговорно за псевдоеластичното однесување и однесувањето на меморијата на обликот на нитинолот, а нивното присуство е делумно одговорно за тврдоста поради калењето на челикот. Кај одредени видови челици со висока цврстина, многу фините изобличените близнаци дејствуваат како примарни пречки против движењето на дислокација. Овие челици се нарекуваат „TWIP“ челици, каде што TWIP е скратеница од ''пластичност предизвикана од близнење''.
4.3.1 Кристалографија со изобличено близнење
Сраснувањето е кристалографски дефинирано со неговата близначка рамнина 𝑲<sub>𝟏</sub>, огледалната рамнина во близначкиот и матичниот материјал, и 𝜼<sub>𝟏,</sub> што е насоката на смолкнување на близнењето. За време на близнењето, покрај близначката рамнина, уште една кристалографска рамнина (𝑲<sub>2</sub>) и насока (𝜼<sub>2</sub>) кон таа рамнина остануваат неискривени, но ротирани. Изобличените близнаци во Zr генерално имаат леќеста форма, се издолжуваат во насоката 𝜼<sub>𝟏</sub> и се згуснуваат по нормалата на 𝑲<sub>𝟏</sub> рамнината.
Двојната рамнина, насоката на смолкнување и рамнината на смолкнување ги формираат основните вектори на ортогонално множество. Односот на дезориентација на оската и аголот помеѓу родителот и близнакот претставува вртеж на аголот 𝜉 околу нормалната насока на рамнината на смолкнување 𝑷.
Поопшто, близнењето може да се опише како вртење од 180° околу оска (𝑲<sub>𝟏</sub> за близнаци од тип I или 𝜼<sub>𝟏</sub> за близнаци од тип II во нормална насока), или огледален одраз во рамнина (𝑲<sub>𝟏</sub> или 𝜼<sub>𝟏</sub> во нормална рамнина).
Покрај хомогеното смолкнување, понекогаш се потребни атомски мешања за да се промени точната кристална структура во близначката решетка. За секоја варијанта на близнење, можен е реципрочен близнак со заменети 𝑲<sub>𝟏</sub> и 𝑲<sub>2</sub><sub>,</sub> 𝜼<sub>𝟏</sub> и 𝜼<sub>2</sub>, но една варијанта може да се појавува почесто во реалноста поради сложеноста со потребните мешања.
При смолкнување постојат само две кристалографски рамнини кои не ја менуваат својата форма и големина како последица на смолкнувањето. Првата 𝑲<sub>𝟏</sub> е рамнината што ги дефинира горните и долните површини на смолчениот волумен. Оваа рамнина ја содржи насоката на смолкнување. Другата рамнина, означена со C. Насоката на смолкнување е прикажана со стрелка и означена со нејзината вообичаена ознака 𝜼<sub>𝟏</sub>. Од горенаведеното следува дека постојат три начини на кои кристалната решетка може да се смолкне, а сепак да ја задржи својата кристална структура и симетрија:
# Кога 𝑲 <sub>𝟏</sub> е рационална рамнина, а � <sub>2</sub> рационална насока, близнак од прв вид
# Кога 𝑲<sub>2</sub> е рационална рамнина, а 𝜼<sub>𝟏</sub> рационална насока, близнак од втор вид, ретко
# Кога сите четири елементи 𝑲<sub>𝟏</sub>'','' 𝑲<sub>2</sub>, 𝜼<sub>𝟏</sub> и 𝜼<sub>2</sub> се рационални, сложен близнак
4.3.2 Облик на изобличено близнење
Ембрион на изобличен близнак се формира во металот BCC со акумулирање на раседи на натрупување, со избор на варијанта регулиран од локалната состојба на напрегање. Варијацијата на полето на напрегање блиску до близнаците изведена од експерименталните HR- EBSD и податоците од симулацијата на конечни елементи на кристална пластичност покажале дека овие близнаци се нуклеираат на места со максимална густина на изобличена енергија и решен смолкувачки стрес на близнаците; со што се намалува вкупната еластична енергија по формирањето. Ова опуштање зависи од дебелината на близнаците и е одлучувачки фактор во растојанието помеѓу близнаците. Експерименталната и тридимензионалната анализа се фокусирала на (складирана) густина на изобличена енергија мерена по патеката. Ова високо локализирано поле на напрегање може да обезбеди доволна движечка сила за истовремено близначко нуклеирање и меѓу/интрагрануларно нуклеирање на пукнатини.
Растот на изобличениот близнак може да се разбере како двостепен процес на i) згуснување кое е посредувано од заедничко дејство помеѓу преостанатите и мобилните парцијални делови на близнакот на кохерентната површина близнак-родител, и ii) подвижност на дислокација долж насоката на смолкнување на близнакот. Близнакот се шири кога хомогениот смолкувачки стрес достигнува критична вредност, а интерфејсната површина близнак-родител напредува во матичното зрно [240]. Пропагацискиот деформациски близнак генерира поле на стрес поради неговото ограничување од околниот матичен кристал, а изобличените близнаци развиваат 3D сплеснат сфероиден облик (кој се појавува во 2D пресеци како биконвексна леќа) со мешана кохерентна и некохерентна интерфејсна површина (Слика б).
Канан и неговите соработници откриле, користејќи in situ ултрабрзи оптички слики, дека двојното нуклеирање во монокристален магнезиум е предизвикано од напрегање, придружено со моментално ширење со брзина од 1 km/s (првично) што дава приоритет на страничното задебелување на волуменот пред ширењето напред, над критична ширина каде што растот потоа станува побрз по насоката на смолкнување. Барнет исто така посочил дека растот се должи на проширувањето на двојниот врв. Понатаму, еластичните симулации на локалното поле на напрегање околу елипсоидниот двоен врв откриле дека полето може да се опише со употреба на неговиот агол на леќата (<math>\beta</math>) и дека големината на полето на напрегање се зголемува со дебелината на близнакот.
Во пракса, пластичната акомодација се јавува во матичниот кристал; според тоа, таа зависи и од напонот на истегнување на материјалот, анизотропната еластична крутост на матичната кристална решетка и големината на изобличеното близнење. Ова може да биде придружено и со дифузија на елементи на долг дострел и елементарна сегрегација (на пр., Cr и Co во монокристална суперлегура MD2 базирана на Ni), што се јавува на границата на близнаците за да се олесни растот на близнаците со намалување на критичната енергија на раседување. Забележана е линеарна варијација помеѓу дебелината на близнаците, енергијата на раседување и големината на зрната, и во помала мера, состојбата на напрегање на зрното (Шмидов фактор). Дебелината на близнаците се заситува откако густината на критичните преостанати дислокации ќе ја достигне кохерентната граница на близнакот-матичен кристал.
Значително внимание е посветено на кристалографијата, морфологијата и макромеханичките ефекти на изобличеното близнење. Иако критериумот за раст на изобличеното близнење не е целосно разбран, тоа е феномен контролиран од врвот поврзан со заедничко дејство помеѓу преостанатите и мобилните парцијални делови на близнакот на интерфејсот на близнакот; термодинамички, ова ја вклучува еластичната енергија на затегнатата решетка, интерфејсот и волуменската слободна енергија на близнакот и дисипираната енергија на механизмот на раст. За целосно да се разберат заедничките дејства помеѓу микроструктурата (т.е. големината на зрното, текстурата), температурата и стапката на изобличување при изобличеното близнење, клучно е да се карактеризира (високиот) локалното напрегање и полето на изобличеност поврзано со згуснување и ширење на близнакот. Ова е особено важно за материјали каде што преломот на расцепување може да се иницира со влизнење (на пр., железо-силициум, феритната фаза на дуплекс не'рѓосувачки челик стврднат со возраста и монокристален магнезиум) како механизам за ослободување од стрес.
Раните истражувања за изобличените близнаци заглавени во зрна од ниобиум и железо ја прикажувале високо локалната концентрација на напрегање на врвот на близнакот користејќи постапка со гравирање. Неодамна, дифракцијата со високорезолуционо електронско повратно расејување (HR- EBSD) била употребена за да се испита „сингуларноста“ на напрегањето пред врвот на близнакот во легура на шестоаголниот циркониум со затворена материја (HCP). Деформациски близнак во титаниум со комерцијална чистота бил карактеризиран слично, а потоа квантифициран користејќи локален Шмидов фактор (LSF) на врвот на близнакот, како што е опишано во равенката подолу.
<math>\mathrm{LSF} = \frac{\boldsymbol{\sigma} : \boldsymbol{P}^i}{\|\boldsymbol{\sigma}\|}, \quad \boldsymbol{S}^i = \boldsymbol{d}^i \otimes \mathbf{n}^i </math>
каде што ''σ'' е тензорот на напрегање, ''S''<sup>''i''</sup> е Шмидовиот тензор, ''P''<sup>''i''</sup> е неговиот симетричен дел, ''d''<sup>''i''</sup> е насоката на смолкнување, а ''n''<sup>''i''</sup> е нормалата на рамнината на смолкнување за ''i'' -тиот систем на лизгање. Авторите заклучиле дека условите на двојниот врв го контролираат задебелувањето и ширењето на начин аналоген на работењето на изворите на дислокации пред врвот на пукнатината. Во анализата, широк регион со висок LSF пред двојниот врв го фаворизира ширењето, додека тесен регион со висок LSF го поттикнува задебелувањето. Оттогаш, се тврди дека LSF цврсто го контролира изборот на двојни варијанти, бидејќи близнењето има силен поларитет.
Новината на LSF - во споредба со другите критериуми за опишување на условите кај близнакот се наоѓа во комбинирањето на геометриски критериум со полето на изобличување во матичното зрно за да се обезбеди приближен показател за локалниот режим на близнак (т.е. згуснување или ширење). Сепак, LSF анализата не ги користи достапните податоци од цело поле, се потпира на глобални информации за применетото напрегање и не го зема предвид енергетскиот биланс што го движи растот на близнакот. Имало малку експерименти in-situ за квантифицирање на полето на деформација пред близнак со деформација што се шири. Ваквите набљудувања би можеле да ги потврдат геометриските или хибридните критериуми основани на геометриска енергија за раст. Тестирањето на наноскала (т.е. трансмисиона електронска микроскопија) може да не го претставува однесувањето во масовни примероци поради недостаток на пластичност, т.е. голем однос на површината кон волуменот, па затоа е потребен соодветен метод на анализа.
Лојд го опишал полето на концентрација на напрегањето пред двојниот врв користејќи дводимензионален модел основан на дислокации во рамките на едно магнезиумово зрно. Ванг и Ли, кои ги разгледале микроскопските модели на пукнатини со фазно поле (MPF), забележале дека полињата на напрегање се слични за дислокации, деформациски твининг и мартензитни преобразби, со разлики само во тракцијата на создадената површина, т.е. има 100% обновување на тракцијата за дислокации и површина без тракција за пукнатина. Тие истакнале дека сингуларноста на полето на напрегање го регулира напредокот на врвот на пукнатината и дислокациите. Оваа концентрација на напрегање може да се карактеризира со користење на линиски интеграл независен од патеката, како што е прикажано од Ешелби за дислокации земајќи го предвид придонесот од површинската тракција и елипсоидните инклузии, и Рајс за пукнатини и концентрации на стрес со површини без тракција. Понатаму, Венаблс забележал дека сплесната сфероидна форма на двојниот врв е идеален пример за елипсоиден опфат или засек.