Сферичен дизајн

Сферичен дизајн, дел од теоријата на комбинаторниот дизајн во математиката, е конечно множество од ''N'' точки на ''d'' -димензионалната единица ''хипер''сфера ''S <sup>d</sup>'' така што просечната вредност на кој било полином ''f'' од степен ''t'' или помал во множеството е еднаква на просекот вредност на ''f'' на целата сфера (односно, интегралот на ''f'' над ''S <sup>d</sup>'' поделен со плоштината или мерката на ''S <sup>d</sup>'' ). Таквото множество често се нарекува и сферичен ''t'' - дизајн за да се означела вредноста на ''t'', што е основен параметар. Концептот на сферичен дизајн се должи на Делсарт, Геталс и Зајдел, иако овие објекти порано биле сфатени како посебни примери на кубатурни формули.
Сферичните дизајни можат да бидат од вредност во теоријата на апроксимација, во статистиката за експериментален дизајн, во комбинаториката и во геометријата. Главниот проблем е да се најдат примери, дадени ''d'' и ''t'', кои не се премногу големи; сепак, може да биде тешко да се дојде до такви примери. Сферичните т-дизајни, исто така, неодамна биле присвоени во квантната механика во форма на квантни т-дизајни со различни апликации во теоријата на квантната информација и квантното пресметување.
1 Постоење на сферични дизајни
Постоењето и структурата на сферични дизајни на кругот беа проучени во длабочина од Хонг. Набргу потоа, Сејмур и Заславски докажале дека такви дизајни постојат од сите доволно големи димензии; односно, дадени позитивни цели броеви ''d'' и ''t'', постои број ''N'' ( ''d'', ''t'' ) таков што за секој ''N''&#x2265;''N'' ( ''d'', ''t'' ) постои сферичен ''t'' -дизајн на ''N'' точки во димензија ''d''. Сепак, нивниот доказ не дал идеја за тоа колку е голем ''N'' ( ''d'', ''t'' ).
Мимура конструктивно нашол услови во однос на бројот на точки и димензијата што го карактеризираат токму кога постојат сферични 2-дизајн. Колекциите на рамноаголни линии со максимална големина (до идентификација на линиите како антиподални точки на сферата) се примери на сферични 5-дизајни со минимална големина. Постојат многу спорадични мали сферични дизајни; многу од нив биле поврзани со конечни групни дејства на сферата.
Во 2013 година, Бондаренко, Радченко и Виазовска ја добиле асимптотската горна граница <math> N(d,t)<C_d t^d</math> за сите позитивни цели броеви ''d'' и ''т'' . Ова асимптотски се совпаѓала со долната граница дадена првично од Делсарт, Геталс и Зајдел. Вредноста на ''C <sub>d</sub>'' засега е непозната, додека точните вредности на <math> N(d,t)</math> се познати во релативно малку случаи.
Прикажани се докази кои сугерираат дека, во три димензии, сферични
1-дизајни со N точки постојат ако N >= 2 (ова е познато);
2-дизајни со N точки постојат ако N = 4 или >= 6 (ова е познато);
3-дизајни со N точки постојат ако N = 6, 8, >= 10;
4-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 14 >= 20;
5-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 16, 18, 20 >= 22 ;
6-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 26, >= 28 ;
7-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 30, 32, 34, >= 36 ;
8-дизајни со N точки постојат ако N = 36 , 40, 42, >= 44 ;
9-дизајни со N точки постојат ако N = 48 , 50, 52, >= 54 ;
10-дизајни со N точки постојат ако N = 60 , 62, >= 64 ;
11-дизајни со N точки постојат ако N = 70 , 72, >= 74 ;
12-дизајни со N точки постојат ако N = 84 , >= 86 .
2 Поврзано
* Проблем со Томсон
3 Наводи
* .
* .
* . Reprinted in .
* .
* .