Степен на точка

Во елементарната рамнинска геометрија степенот на точка е реален број што го одразува релативното растојание на дадена точка од дадена кружница. Овој поим бил воведен од Јакоб Штајнер во 1826 година.
Поточно, степенот <math>\Pi(P)</math> на точка <math>P</math> во однос на кружница <math>c</math> со центар <math>O</math> и радиус <math>r</math> е дефиниран со
:<math>\Pi(P)=|PO|^2 - r^2.</math>
Ако <math>P</math> е во ''надворешноста на'' кружницата, тогаш <math>\Pi(P)>0</math> , ако <math>P</math> е ''на'' кружницата, тогаш <math>\Pi(P)=0</math> и ако <math>P</math> е ''во внатрешноста'' на кружницата, тогаш <math>\Pi(P)<0</math> .
Поради Питагоровата теорема, бројот <math>\Pi(P)</math> има едноставни геометриски значења прикажани на дијаграмот: за точка <math>P</math> надвор од кружницата <math>\Pi(P)</math> е квадратот на тангенцијалното растојание <math>|PT|</math> од точката <math>P</math> до кружницата <math>c</math> .
Точки со еднакви степени, т.е. изолинии на <math>\Pi(P)</math>, се концентрични кружници на кружницата <math>c.</math>
Штајнер го користел степенот на точка за докази на неколку искази за кружници. На пример:
* Одредување на кружница која сече четири кружници под исти агли.
* Решавање на проблемот на Аполониј.
* Конструкција на Малфатиевите кружници: За даден триаголник одреди три кружници кои се допираат една со друга и секоја од нив има по две страни од триаголникот како тетиви.
* Сферична верзија на Малфатиевиот проблем: Триаголникот е сферичен.
Основни алатки за истражувања на кружници се радикалната оска на две кружници и радикалниот центар на три кружници.
Дијаграмот на степен на множество од кружници ја дели рамнината на региони во кои кружницата што го минимизира степенот е константна.
Поопшто, францускиот математичар Едмон Лагер го дефинирал степенот на точка во однос на која било алгебарска крива на сличен начин.
1 Геометриски својства
Покрај својствата споменати во воведот постојат и други својства:
1.1 Ортогонална кружница
За која било точка <math>P</math>''надвор'' од кружницата <math>c</math> постојат две тангентни точки <math>T_1,T_2</math> на кружницата <math>c</math>, кои имаат еднакво растојание до <math>P</math> Оттука и кружницата <math>o</math> со центар <math>P</math> која минува низ <math>T_1</math>, исто така, поминува и низ <math>T_2</math> и ја сече <math>c</math> ортогонално:
* кружницата со центар <math>P</math> и радиус <math>\sqrt{\Pi(P)}</math> ја сече кружницата <math>c</math>''ортогонално''.
Ако радиусот <math>\rho</math> на кружницата со центар во <math>P</math> е различен од <math>\sqrt{\Pi(P)},</math> аголот <math>\varphi</math> помеѓу двете кружници се добива со примена на косинусната теорема (видете го дијаграмот):
:<math>\rho^2+r^2-2\rho r \cos\varphi=|PO|^2 </math>:<math> \rightarrow \
\cos\varphi=\frac{\rho^2+r^2-|PO|^2}{2\rho r}=\frac{\rho^2-\Pi(P)}{2\rho r}</math>
( <math>PS_1</math> и <math>OS_1</math> се нормали на тангентите на кружниците.)
Ако <math>P</math> лежи во сината кружница, тогаш <math>\Pi(P)<0</math> и <math> \varphi</math> секогаш е различно од <math>90^\circ</math> .
Ако аголот <math>\varphi</math> е даден, тогаш радиусот <math>\rho</math> се добива со решавање на квадратната равенка
:<math>\rho^2-2\rho r \cos\varphi-\Pi(P)=0</math>.
1.2 Теорема за пресечки кои се сечат, теорема за тетиви кои се сечат
За ''теоремата за пресечки што се сечат'' и <i>теоремата за тетиви кои се сечат, степенот на точката игра улога на инвариантна вредност :
*''Теорема за пресечки''''кои се сечат'': За точка <math>P</math>''надвор од'' кружницата <math>c</math> и пресечните точки <math>S_1,S_2</math> на пресечката <math> g</math> и <math>c</math> важи: <math>|PS_1| \cdot |PS_2|= \Pi(P)</math>. Значи, производот е независен од правата <math>g</math>.
* Ако <math>g</math> е тангента, тогаш <math>S_1=S_2</math> и исказот е ''теоремата за тангентно-пресечкно растојание.''*''Теорема за тетиви кои се сечат'': За точка <math>P</math>''во внатрешноста'' на кружницата <math>c</math> и пресечните точки <math>S_1,S_2</math> од пресечката <math> g</math> со <math>c</math> важи: <math>|PS_1| \cdot |PS_2|= -\Pi(P)</math>, па оттука производот не зависи од правата <math>g</math>.
1.3 Радикална оска
Нека <math>P</math> е точка и <math>c_1,c_2</math> се две неконцентрични кружници со центри <math>O_1,O_2</math> и радиуси <math>r_1,r_2.</math> Точката <math>P</math> има степен <math>\Pi_i(P)</math> во однос на кружницата <math>c_i.</math> Множеството од сите точки <math>P</math> за кои <math>\Pi_1(P)=\Pi_2(P)</math> е права наречена ''радикална оска.'' Таа ги содржи сите можни заеднички точки на кружниците и е нормална на правата <math>\overline{O_1O_2}</math> .
2 Теорема за пресечки, теорема за тетиви: општ доказ
И двете теореми, вклучувајќи ја и ''теоремата за тангента-пресечка'', можат да се докажат на ист начин:
Нека <math>P:\vec p</math> е точка, <math>c: \vec x^2-r^2=0</math> е кружница со центар во координатниот почеток и <math>\vec v</math> е произволен единичен вектор. Параметрите <math>t_1,t_2</math> на можните заеднички точки на правата <math>g: \vec x=\vec p+t\vec v</math> (која минува низ <math>P</math>) и кружницата <math>c</math> може да се одреди со вметнување на параметарската равенка во равенката на кружницата:
:<math>(\vec p+t\vec v)^2-r^2=0 \quad \rightarrow \quad
t^2+2t\;\vec p\cdot\vec v +\vec p^2-r^2=0 \ . </math>
Од Виетовата теорема имаме:
:<math>t_1\cdot t_2=\vec p^2-r^2 =\Pi(P)</math>. (независно oд <math>\vec v</math>)
<math>\Pi(P)</math> е степенот на <math>P</math> во однос на кружницата <math>c</math>.
Поради <math>|\vec v|=1</math> се добива следново својство точките <math>S_1,S_2</math> :
:<math>|PS_1|\cdot|PS_2|=t_1t_2=\Pi(P)\ </math>, ако <math>P</math> во надворешноста на кружницата,
:<math>|PS_1|\cdot|PS_2|=-t_1t_2=-\Pi(P)\ </math>, ако <math>P</math> е во внатрешноста на кружницата (<math>t_1,t_2</math> имаат различни знаци!).
Ако <math>t_1=t_2</math>, правата <math>g</math> е тангента и <math>\Pi(P)</math> е квадратот на тангентното растојание на точката <math>P</math> до кружницата <math>c</math>.
3 Точки на сличност, заеднички степен на две кружници
3.1 Точки на сличност
Точките на сличност се суштинска алатка за истражувањата на Штајнер на кружниците.
Нека се дадени две кружници
:<math>\ c_1: (\vec x -\vec m_1)^2-r_1^2=0, \quad c_2: (\vec x -\vec m_2)^2-r_2^2=0 \ .</math>
Хомотетија (сличност) <math>\sigma</math>, која ја пресликува <math>c_1</math> во <math>c_2</math> го истегнува (стеснува) радиусот <math> r_1</math> до <math>r_2</math> и има центар <math>Z:\vec z</math> на правата <math>\overline{M_1 M_2}</math>, бидејќи <math>\sigma(M_1)=M_2</math> Ако центарот <math>Z</math> е помеѓу <math>M_1,M_2</math> коефициентот е <math>s=-\tfrac{r_2}{r_1}</math>. Во другиот случај <math>s=\tfrac{r_2}{r_1}.</math> Во секој случај:
:<math>\sigma(\vec m_1)=\vec z + s(\vec m_1-\vec z)=\vec m_2</math>.
Ако ставиме <math>s=\pm\tfrac{r_2}{r_1}</math> и ја решиме равенката по <math>\vec z</math>, добиваме:
:<math> \vec z= \frac{r_1\vec m_2\mp r_2\vec m_1}{r_1\mp r_2}</math>.
Точката <math>E:\vec e=\frac{r_1\vec m_2-r_2\vec m_1}{r_1-r_2}</math> се нарекува ''надворешна точка на сличност'' додека точката<math>I:\vec i=\frac{r_1\vec m_2+r_2\vec m_1}{r_1+r_2}</math> се нарекува ''внатрешна точка на сличност'' на кружниците.
Ако <math>M_1=M_2,</math> се добива <math>E=I=M_i .</math>Ако <math>r_1=r_2</math>: <math>E</math> е точката во бесконечноста на правата <math>\overline{M_1 M_2}</math> додека <math>I</math> е центарот на <math>M_1M_2.</math>Кога <math>r_1=|EM_1|,</math> кружниците се допираат една со друга во точката <math>E</math>''однатре'' (двете кружници се на иста страна од нивната заедничка тангента).Ако <math>r_1=|IM_1|,</math> кружниците се допираат една со друга во точката <math>I</math>''однадвор'' (двете кружници се на различни страни од нивната заедничка тангента).
Уште повеќе:
* Ако кружниците се ''дисјунктни'' (круговите немаат заеднички точки), надворешните заеднички тангенти се сечат во <math>E,</math> а внатрешните во <math>I</math> .
* Ако едната кружница е ''во внатрешноста на другата'', точките <math>E,I</math> лежат ''во'' двете кружници.
* Паровите <math>M_1,M_2;E,I</math> се проективно хармониски конјугирани: Нивниот двоен однос е <math>(M_1,M_2;E,I)=-1</math> .
Монжовата теорема вели: ''Надворешните'' точки на сличност на три дисјунктни кружници лежат на една права.
3.2 Заедничка степен на две кружници
Нека <math>c_1,c_2</math> се две кружници, <math>E</math> е нивната надворешна точка на сличност и <math>g</math> е права низ <math>E</math>, која ги сече двете кружници во четири точки <math>G_1,H_1,G_2,H_2</math> Од дефинирачкото својство на точката <math>E</math> се добива
:<math>\frac
=\frac{r_1}{r_2}=\frac
\ </math>:<math> \rightarrow \ |EG_1|\cdot|EH_2|=|EH_1|\cdot|EG_2|\ </math>
и од теоремата за пресечки (видете погоре) ги имаме двете равенки
:<math>|EG_1|\cdot|EH_1|=\Pi_1(E),\quad |EG_2|\cdot|EH_2|=\Pi_2(E) .</math>
Комбинирањето на овие три равенки дава: <math>\begin{align}
\Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E) &=|EG_1|\cdot|EH_1|\cdot|EG_2|\cdot|EH_2| \\
&=|EG_1|^2\cdot|EH_2|^2= |EG_2|^2\cdot|EH_1|^2 \ .
\end{align}</math> Оттука: <math>|EG_1|\cdot|EH_2|= |EG_2| \cdot |EH_1|=\sqrt{ \Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E)} </math> (независно од правата <math>g</math>!). Аналогното тврдење за точката на внатрешна сличност <math>I</math> е вистинито.
Инваријантите <math>\sqrt{\Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E)},\ \sqrt{ \Pi_1(I)\cdot\Pi_2(I)} </math> се нарекуваат од Штајнерови ''заеднички степени на двете кружници'' (''gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte'').
Паровите <math>G_1,H_2</math> и <math>H_1,G_2</math> од точки се викаат ''антихомологни'' точки. Паровите <math>G_1,G_2</math> и <math>H_1,H_2</math> се нарекуваат ''хомологни'' точки.
3.3 Одредување на кружница што е тангентна на две кружници
За друга пресечка низ <math>E</math>:
:<math>|EH_1|\cdot|EG_2|= |EH'_1|\cdot|EG'_2|</math>
Од теоремата на пресечки се добива:
: Четирите точки <math>H_1,G_2,H'_1,G'_2</math> лежат на кружница.
И аналогно:
: Четирите точки <math>G_1,H_2,G'_1,H'_2</math> лежат на кружница.
Бидејќи радикалните оски на три кружници се сечат во нивниот радикален центар (видете ја статијата за радикална оска), се добива дека:
: Пресечките <math>\overline{H_1H'_1},\;\overline{G_2G'_2}</math> се сечат на радикалната оска на дадените две кружници.
Со поместување на долната пресечка (видете го дијаграмот) накај горната, црвената кружница станува кружница која е тангентна на обете дадени кружници. Центарот на тангентната кружница е пресекот на правите <math>\overline{M_1H_1},\overline{M_2G_2}.</math> Пресечките <math>\overline{H_1H'_1}, \overline{G_2G'_2}</math> стануваат тангенти во точките <math>H_1,G_2.</math> Тангентите се сечат на радикалната оска <math>p</math> (на дијаграмот означена со жолто).
Слични размислувања ја генерираат втората тангентна кружница, која ги сече дадените кружници во точките <math>G_1,H_2</math> (видете го дијаграмот).
Сите тангентни кружници на дадените кружници може да се најдат со менување на правата <math>g</math> .
; Позиции на центрите
Ако <math>X </math> е центарот и <math>\rho</math> радиусот на кружницата која е тангентна на дадените кружници во точките <math>H_1,G_2</math>, тогаш:
:<math>\rho=|XM_1
== Степен во однос на сфера ==
Идејата за степен на точка во однос на кружница може да се прошири на сфера. Теоремите за пресечките и за тетивите се точни и за сфера и можат да се докажат буквално како во случајот со кружница.
== Производ на Дарбу ==
Степенот на точка е посебен случај на Дарбуовиот производ помеѓу две кружници, кој е дефиниран со<ref>Pierre Larochelle, J. Michael McCarthy:''Proceedings of the 2020 USCToMM Symposium on Mechanical Systems and Robotics'', 2020, Springer-Verlag, , p. 97
: <math>\left| A_1A_2 \right|^2-r_1^2-r_2^2 \, </math>
каде што <math>A_1</math> и <math>A_2</math> се центрите на двете кружници, а ''<math>r_1</math> ''и'' <math>r_2</math>'' се нивните радиуси. Степенот на точката произлегува во посебниот случај кога еден од радиусите е еднаков на нула.
Ако двете кружници се ортогонални, Дарбуовиот производ е нула.
Ако двете кружници се сечат, тогаш нивниот Дарбуов производ е
:<math>2r_1 r_2 \cos\varphi \, </math>
каде што ''&#x3C6;'' е аголот на пресек (видете го делот ''ортогонална кружница'').
4 Лагерова теорема
Лагер го дефинирал степенот на точката <math>P</math> во однос на алгебарска крива со степен <math>n</math> како збир од растојанијата од точката до пресеците на кружница низ точката со кривата, поделен со <math>n</math>-тиот степен на дијаметарот <math>d</math>. Лагер покажал дека овој број е независен од дијаметарот. Во случај кога алгебарската крива е кружница, ова не е сосема исто како степенот на точка во однос на кружница дефиниран на почетокот од овој текст, туку се разликува од него за фактор <math>d^2.</math>