Биекција

Биекција. Има точно една стрелка до секој елемент во кодоменот ''B'' (од елемент од доменот А).
Биективна функција или биекција — функција ''f'' : ''A'' → ''B'' која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент ''b'' во кодоменот ''B'' постои точно еден елемент ''a'' од доменот ''A'' таков што ''f''(''a'')=''b''. Биекцијата исто така се нарекува 1-1 кореспонденција.
Поимот ''биективност'' и сродните поими ''сурјективност'' и ''инјективност'' беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki) и група други, претежно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика.
Не е биекција. (Не е ниту сурјекција, ниту инјекција.)
1 Основни својства
Формално имаме:
:<math>f:A \rightarrow B</math> е биективна функција ако за секој <math>b \in B </math> постои точно еден <math>a \in A</math> таков што <math>f(a)=b \,.</math>
Елементот <math>a</math> се вика претслика на елементот <math>b</math>.
*Функција е биекција ако и само ако секој елемент во кодоменот има точно една претслика во доменот. (Види и: Сурјективна функција, Инјективна функција.)
Забелешка: Сурјекција значи минимум една претслика. Инјекција значи максимум една претслика. Биекција значи точно една претслика.
2 Кардиналност
Кардиналноста на едно множество е мерка на ''бројот на елементите'' во множеството. На пример, ако ''A''={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на ''А'' е 4 и пишуваме &#35;''A''=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку биекција помеѓу даденото множество и множество со ''позната'' кардиналност.*Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои биекција помеѓу нив. (Види кардиналност.)
** Ако кардиналноста на ''A'' и ''B'' е конечен број, #''A''=#''B''=''n'' тогаш при доказ дека функцијата ''f'':''A'' → ''B'' e биекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
** Ако кардиналноста на ''A'' и ''B'' е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.
Пример: Нека ''А''=''B''=&#8469;. Идентичната функција ''f''(''x'')=''x'' e биекција. Функцијата ''f''(''x'')=2''x'' е инјекција која не е сурјекција. Функцијата ''f''(''x'')=round(''x''/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(''z'') го заокружува ''z'' така што ''f''(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, ''f''(2)=round(2/2)=1, ''f''(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....
3 Биекции и инверзни функции
*Биекцијата може да се ''преврти'' со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика инверзна функција (на првобитната функција). Види инверзна функција.
Формално:
Нека ''f'' : ''A'' → ''B'' е биективна функција. Инверзната функција на биективна функција ''f'' е (биективна) функција ''g'' : ''B'' → ''A'' дефинирана со: ако ''f''(''a'')=''b'', тогаш ''g''(''b'')=''a''. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени.
*Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.)
*Една функција има инверзна функција ако и само ако е биекција.
Забелешка: Нотацијата за инверзна функција на функцијата ''f'' е проблематична. Имено, со
::<math>f^{-1}(x)</math> се означува инверзната функција на функцијата ''f'', а со
::<math>x^{-1}=\frac{1}{x}</math> се означува реципрочната вредност на бројот ''x''.
*Една од најважните особини на биективните функции е тоа дека инверзна релација на биективна функција е функција, т.н. инверзна функција. Инверзните функции како што се квадратен корен на квадратна функција, логаритамска функција на експоненцијална функција, ... имаат многу голема улога во математиката.
4 Примери
4.1 Елементарни функции
Нека ''f''(''x''):&#8477;→&#8477; е реална функција ''y'' од реален аргумент ''x''. (Значи влез и излез се броеви.)
*Графичко толкување: функцијата ''f'' е биекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на ''f'' во точно една точка.
*Алгебарско толкување: функцијата ''f'' е биекција ако за кој било ''y''<sub>o</sub> постои ''x''<sub>o</sub> таков што ''y''<sub>o</sub>=''f''(''x''<sub>o</sub>) и ако ''f''(''x''<sub>o</sub>)=''f''(''x''<sub>1</sub>) значи ''x''<sub>o</sub>=''x''<sub>1</sub>.
Пример: Линеарната функција на која било коса права е биективна, односно ''y''=''ax''+''b'' каде што ''a''&ne;0 е биекција. (Види линеарна функција.) Слика 1.
:Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција.
:Инверзна функција: ''y''=(''x''-''b'')/''a''
Пример: Кубната полиномна функција ''f''(''x'')=''x''<sup>3</sup> е биекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива.
:Инверзна функција е ''3-ти корен'', односно ''f''(''x'')= &#8731;''x''. Слика 5: дебелата зелена крива.
Пример: Квадратната функција ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> не е биекција (од &#8477;→&#8477;). Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива биекција (види примери подолу).
4.2 Биекции и нивните инверзни функции
Нека ''f''(''x''):''A''→''B'' каде што ''A'' и ''B'' се подмножества на &#8477;.
*Да претпоставиме дека ''f'' не е биекција. За кое било ''x'' каде што изводот на ''f'' постои и не е нула, постои број &delta;&gt;0 таков да ограничувањето на ''f'' на &delta;-околината на ''x'' е биекцијата (на сликата на околината).*Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата ''y''=''x''. (Види и Инверзна функција.)
Пример: Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)
:<math>f(x):[0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, [0,+\infty)</math> каде што <math>f(x) = x^2</math>
е биекција. Слика 6: тенката жолта крива.
Пример: Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞)
:<math>f(x):[0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, [0,+\infty)</math> каде што <math>f(x) = \sqrt{x}</math>
е биекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: ''x''<sup>''2''</sup>. Слика 6: дебелата зелена крива.
Забелешка: Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е биекција или не, потребно е да се знае:
* доменот на функцијата
*''машината'' на функцијата
* кодоменот на функцијата
Пример: Нека ''машината'' биде ''f''(''x'')=''x''&sup2;.
*Оваа ''машина'' со домен=&#8477; и кодомен=&#8477; не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа,
*оваа иста ''машина'' со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и биекција.
Пример: Експоненцијалната функција дефинирана на доменот &#8477; и на ограничуваниот кодомен (0,+∞)
:<math>f(x):\mathbf{R} \,\, \rightarrow \,\, (0,+\infty)</math> каде што <math>f(x) = a^x \, ,\,\, a>1</math>
е биекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е ''a''=10).
Пример: Логаритамската функција со основа ''a'' дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот &#8477;:<math>f(x):(0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, \mathbf{R}</math> каде што <math>f(x) = \log_a x \, ,\,\, a>1</math>
е биекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: ''a''<sup>''x''</sup>. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е ''a''=10).
Биекција: секоја вертикална права (во доменот) и секоја хоризонтална права (во кодоменот) го пресекува графиконот во точно една точка.
1. Биекција. Сите коси прави се биекции ''f''(''x''):&#8477;→&#8477;, ''f''(''x'')=''ax''+''b'', ''a''&ne;0., 2. Биекција. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477;. ''f''(''x'')=''x''&sup3;., 3. Не е биекција. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477;. ''f''(''x'')=''x''&sup2;. (Не е сурјекција, ниту инјекција).
4. Биекции. ''f''(''x''):&#8477;→ (0,+∞). ''f''(''x'')=10<sup>''x''</sup> (тенка жолта) и своја инверзна функција ''f''(''x''):(0,+∞)→&#8477;. ''f''(''x'')=log<sub>10</sub>''x'' (дебела зелена)., 5. Биекции. ''f''(''x''):&#8477;→&#8477;. ''f''(''x'')=''x''&sup3; (тенка жолта) и своја инверзна функција ''f''(''x'')=&#8731;''x'' (дебела зелена)., 6. Биекции. ''f''(''x''):[0,+∞)→[0,+∞). ''f''(''x'')=''x''&sup2; (тенка жолта) и своја инверзна функција ''f''(''x'')=&radic;''x''</sup> (дебела зелена).
5 Поврзано
* Функција
* Сурјективна функција
* Инјективна функција
* Инверзна функција