Автокорелација

Автокорелација (|Autocorrelation) е математичко пресметување на степенот на сличност меѓу даденa временска низа и задоцнета верзија на истата во текот на последователни временски интервали. Тоа е исто како и пресметување на корелација помеѓу две различни временски низи, освен што истата временска низа се користи двапати - еднаш во својата оригинална форма и еднаш доцнејќи еден или повеќе временски периоди.
1 Автокорелација
1.1 Дефиниција за автокорелација
Автокорелација во статистиката претставува корелација (врска) помеѓу членовите на временската низа од опсервации како на пример седмичните промени на цените на акциите или каматните стапки и подоцна истите вредности во определен временски интервал.
Автокорелација се случува кога резидуалната грешка на опсервациите на иста променлива во различни временски периоди се поврзани.
1.2 Статистика
Во статистиката, автокорелацијата на случаен процес ја опишува корелацијата помеѓу вредностите на процесот во различни временски периоди, како функција од двата периоди или од временската разлика. Ако X претставува повторлив процес, а i претставува некоја временска точка по почетокот на процесот, тогаш X<sub>i</sub> е реализираната вредност, производ на реализација на процесот во периодот i. Доколку се претпоставува дека процесот има дефинирани вредности (константи) за аритметичката средина μ<sub>t</sub> и варијансата σ<sub>i</sub><sup>2</sup> за секој временски период i. Следствено, дефиницијата за автокорелација помеѓу временските периоди s и t e:
<math>
R(s,t) = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)]}{\sigma_t\sigma_s}\, ,
</math>
каде „E“ претставува очекувана вредност. Овој исказ не е добро дефиниран за сите временски низи или процеси, бидејќи варијансата може да биде 0 (за константен процес) или бесконечна. Ако функцијата R е дефинирана, нејзините вредности мора да бидат во опсег [−1, 1], каде 1 означува совршена корелација, а -1 означува совршена инверзна врска. За разлика од автоковаријансите кои не се особено корисни за мерење на врската помеѓу Y и нејзините претходни вредности, бидејќи зависат од единиците мерки на Y, автокорелацијата не зависи од
единиците мерки на Y.
Доколку Xt е стационарен процес од втор ред тогаш аритметичката средина μ и варијансата σ<sup>2</sup> се временски независни, понатамошната автокорелација зависи исклучиво од разликата помеѓу t и s: корелацијата зависи самo од временската разлика меѓу парот вредности, но не од нивната позиција во времето. Ова имплицира дека автокорелацијата може да биде изразена како функција од временското задоцнување и дека тоа ќе биде реална симетрична функција од задоцнувањето τ = s − t.
<math>
R(\tau) = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu)(X_{t+\tau} - \mu)]}{\sigma^2}, \,
</math>
а фактот дека се работи за реална функција во симетричен облик може да се запише како:
:<math>
R(\tau) = R(-\tau).\,
</math>
Вообичаена практика во некои дисциплини, освен во статистиката и анализата на временски низи е да се испушти нормалната распределба и наместо тоа да се користи поимот автокорелација наизменично со автоковаријанса. Меѓутоа нормалната распределба е важна за толкување на автокорелацијата, бидејќи корелацијата покажува релативен број за цврстината на статистичката зависност и заради тоа што нормалната распределба има влијание врз статистичките својства на проценетите автокорелации.
1.3 Функција на автокорелација
Функцијата на автокорелација ја сочинуваат коефициентите на автокорелација на процесот за различни временски заостанувања. Коефициентот на автокорелација за временско заостанување од k, се означува со ρ<sub>k</sub> и е дефиниран како:
:<math> \rho_k = \frac{Y_k}{Y_0},</math>
каде Y<sub>k</sub> е автоковаријанса за временско заостанување од k,односно Y<sub>k</sub> e коваријанса помеѓу вредностите на Y<sub>t</sub> и Y<sub>t-k</sub> (вредности на y кои се оддалачени k периоди), додека Y<sub>0</sub> е варијанса на Y.
Ако на еден график се претстави ρ<sub>k</sub> за различни вредности на k се добива корелограм на популацијата. Бидејќи во практиката се поседува само една реализација (т.е примерок) на стохастичкиот процес (а тоа е временската низа) може да се пресмета само функцијата на автокорелација на примерокот. Неа ја сочинуваат коефициентите на автокорелација на примерокот (ρ<sub>k</sub><sup>^</sup>).
Графичкото прикажување на за различни вредности на k е познато како корелограм на примерокот.
1.4 Корелограм тест
Корелограм тестот се заснова на функцијата на автокорелација. Графички функцијата на автокорелација на примерокот е прикажана на дијаграмот - Корелограм. Непрекинатата линија на дијаграмот ја претставува нултата оска. Позитивните автокорелации се прикажуваат на десната страна од нултата оска, а негативните на левата. Временското заостанување за кое е пресметан коефициентот на автокорелација може да се види во колоната пред AC. Корелограмот покажува дека кај временската низа на бел шум автокорелациите за различни временски заостанувања се блиски до нула. Ова е корелограм на стационарна временска низа. Затоа ако корелограмот на низата која се испитува е сличен на процесот на бел шум, тогаш може да се заклучи дека низата веројатно е стационарна.
Кога заостанувањата се многу високи,т.е коефициентите на автокорелација започнуваат со многу висока вредност и опаѓаат многу бавно со зголемување на временското заостанување, овој корелограм е типичен за нестационарна временска низа.
Најважната одлика на корелограм на процесот на случаен од без насока е тоа што коефициентите на автокорелација за различни временски заостанувања се многу високи. Овој корелограм е типичен за нестационарна временска низа.
1.5 Примери на автокорелација во другите науки
Автокорелација се однесува на корелација на временски низи од сопствените минати и сегашни вредности. Автокорелација исто така понекогаш се нарекува „задоцнета корелација“ или „сериска корелација“, која се однесува на корелација помеѓу членовите на една низа на броеви наредени во времето. Позитивната автокорелација може да се смета за специфична форма на "постојаност", тенденција на системот да остане во истата состојба од едно набљудување до наредното. Позитивно автокорелираните серии понекогаш се нарекуваат постојани, бидејќи позитивните отстапувања од аритметичката средина имаат тенденција да бидат проследени со позитивни отстапувања од средината, а негативните отстапувања од средната вредност имаат тенденција да бидат проследени со негативни отстапувања. Спротивно на тоа, негативната автокорелација се одликува со тенденција позитивните отстапувања да бидат следени со негативни отстапувања, и обратно.
На пример, веројатноста утре да биде дождлив ден е поголема ако денес е дождлив отколку ако денес е сончев ден. Геофизичките временски низи се често автокорелирани поради инерција или процеси кои се пренесуваат во физиката како на пример, бавното развивање и движење на системите со низок притисок во атмосферата може да се пренесe во дневни врнежи од дожд, бавното одводнување на резервите на подземните води може да покаже корелација со последователните годишни текови на реката или складираните производи на фотосинтезата можат да покажат корелација со последователните годишни вредности на годовите на дрвјата.
2 Наводи
2.1 Библиографија
* Ристески Славе, Тевдовски, Драган и Марија Трпкова (2012): „Вовед во анализата на временските низи“, Скопје: Универзитет "Св. Кирил и Методиј"