Лоренцов скалар

Во релативистичката теорија на физиката, Лоренцовиот скалар е израз, формиран од предмети од теоријата, која евалуира на скалар, непроменлив под каква било Лоренцова трансформација. Лоренцовиот скалар е генериран од на пр., скаларен производ на вектори, или од тензорите на теоријата. Додека компонентите на векторите и тензорите се вообичаено променети со Лоренцовите трансформации, Лоренцовиот скалар останува непроменет.
Лоренцовиот скалар не секогаш се смета дека е непроменлив скалар во математичка смисла, но добиената скаларна вредност е непроменлива под било која основна трансформација применета на векторскиот простор, на кој се заснова разгледуваната теорија. Едноставен Лоренцов скалар во Минковскиев простор е ''растојание во просторот'' ("должина" од нивната разлика) на два фиксни настани во просторот. Додека "позицијата" -4-вектори на настаните се менуваат помеѓу различните инерцијални рамки, нивното растојание во просторот останува непроменето под соодветната Лоренцова трансформација. Други примери за Лоренцов скалар се "должината" на 4-брзини (види подолу), или Ричиево искривување во точка во просторот од Општата теорија за релативноста,која е контракција на тензорот на Римановата кривина .
1 Едноставни скалари во специјалната релативност
1.1 Должината на положбениот вектор
Во специјалната теорија за релативноста локацијата на честичка во 4-димензионалниот простор е дадена со
:<math> x^{\mu} = (ct, \mathbf{x} )</math>
каде <math>\mathbf{x} = \mathbf{v} t </math> е положбата во 3-димензионалниот простор на честичката, <math>\mathbf{v}</math> е брзината во 3-димензионалниот простор и <math> c </math> е брзината на светлината.
"Должината" на векторот е Лоренцов скалар и е даден со
:<math> x_{\mu} x^{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu} = (ct)^2 - \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ (c\tau)^2</math>
каде <math>\tau</math> е вистинско време мерено со часовник во остатокот од рамката на честичката и Минковскиевата метрика е дадена со
:<math>\eta^{\mu\nu} =\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}</math>.
Ова е метрика слична на времето.
Често е употребен алтернативниот потпис на Минковскиевата метрика во кој знаците на оние се обратни.
:<math>\eta^{\mu\nu} =\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>.
Ова е метрика слична на просторот.
Во Минковскиевата метрика просторот како интервал <math> s </math> е дефиниран како
:<math> x_{\mu} x^{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} - (ct)^2 \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ s^2 </math>.
Ние ја користиме Минковскиевата метрика слична на просторот и во останатиот дел од поглавјето.
1.2 Должината на векторот на брзината
Брзината во просторот е дефинирана како
:<math> v^{\mu} \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ {dx^{\mu} \over d\tau} = \left (c {dt \over d\tau}, { dt \over d\tau}{d\mathbf{x} \over dt} \right ) = \left ( \gamma c, \gamma { \mathbf{v} } \right ) = \gamma \left ( c, { \mathbf{v} } \right )</math>
каде
:<math> \gamma \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ { 1 \over {\sqrt {1 - } } } </math>.
Магнитудата на 4-брзина е Лоренцов скалар,
:<math> v_{\mu} v^{\mu} = -c^2\,</math>.
Оттука, c е Лоренцов скалар.
1.3 Внатрешниот производ на забрзувањето и брзината
4-забрзување го дава
:<math> a^{\mu} \ \stackrel{\mathrm{def{=}\ {dv^{\mu} \over d\tau} </math>.
4-забрзување е секогаш нормално на 4-брзина
:<math> 0 = {1 \over 2} {d \over d\tau} \left ( v_{\mu}v^{\mu} \right ) = {d v_{\mu} \over d\tau} v^{\mu} = a_{\mu} v^{\mu} </math>.
Затоа, можеме да го сметаме забрзувањето во просторот како едноставна ротација на 4-брзина. Внатрешниот производ на забрзувањето и брзината е Лоренцов скалар и е нула. Оваа ротација е едноставно израз на конзервација на енергија:
:<math> {d E \over d\tau} = \mathbf{F} \cdot { \mathbf{v </math>
каде <math> E </math> е енергијата на честичката и <math> \mathbf{F} </math> е 3-сила на честичката.
2 Енергија, останатата маса на честичката, 3-импулс и 3 брзина од 4-импулс
4-импулс на честичката е
:<math> p^{\mu} = m v^{\mu} = \left ( \gamma m c, \gamma { m \mathbf{v} } \right ) = \left ( \gamma m c, { \mathbf{p} } \right ) = \left ( {E \over c } , { \mathbf{p} } \right ) </math>
каде <math> m </math> е останатата маса на честичката, <math> \mathbf{p} </math> е импулс во 3-простор, и
:<math> E = \gamma m c^2 \,</math>
е енергијата на честичката.
2.1 Мерење на енергијата на честичката
Да се разгледа втората честичка со 4-брзина <math> u </math> и 3-брзина <math> \mathbf{u}_2 </math>. Во остатокот од рамката на втората честичка внатрешниот производ <math> u </math> with <math> p </math> е пропорционален на енергијата на првата честичка
:<math> p_{\mu} u^{\mu} = - { E_1} </math>
каде индексот 1 ја означува првата честичка.
Врската е точна во остатокот од рамката на втората честичка, таа е точна во секоја референтна рамка. <math> E_1 </math>, енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка е Лоренцов скалар. Затоа,
:<math> { E_1} = \gamma_1 \gamma_2 m_1 c^2 - \gamma_2 \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{u}_2 </math>
во било која инерцијална референтна рамка, каде <math> E_1 </math> сè уште е енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка.
2.2 Мерење на останатата маса на честичката
Во остатокот на рамката на честичката, внатрешниот производ на импулсот е
:<math> p_{\mu} p^{\mu} = - (mc)^2 \,</math>.
Затоа, останатата маса (m) е Лоренцов скалар. Врската останува точна независно од рамката во која се пресметува внатрешниот производ.
Во многу случаи останатата маса е запишана како <math> m_{0} </math> за да се избегне забуна со релативистичката маса, која е <math> \gamma m_{0} </math>
2.3 Мерење на 3-импулс на честичката
Забележи го следново
:<math> \left ( p_{\mu} u^{\mu} /c \right ) ^2 + p_{\mu} p^{\mu} = { E_1^2 \over c^2 } -(mc)^2 = \left ( \gamma_1^2 -1 \right ) (mc)^2 = \gamma_1^2 { {\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1 } }m^2 = \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{p}_1</math>.
Квадратот на магнитудата на 3-импулсот на честичката, мерена во рамките на втората честичка, е Лоренцов скалар.
2.4 Мерење на 3-брзина на честичката
3-брзина, во рамката на втората честичка, може да се конструира од два Лоренцови скалари.
:<math> v_1^2 = \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1 = { { \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{p}_1 c^4 } \over { E_1^2 } } </math>.
3 Покомплицирани скалари
Скаларите, исто така, може да се конструираат од тензорите и векторите, од контракцијата на тензорите(како <math>F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>), или комбинации на контракции на тензори и вектори (како <math>g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}</math>).
4 Наводи
**