Список на тригонометриски еднаквости

Тригонометриски еднаквости — еднаквости што покажуваат врски помеѓу поединечни тригонометриски функции. Овие изрази се вистинити за секоја избрана вредност на одредена променлива (агол или некој друг број). Бидејќи тригонометриските функции се поврзани една со друга користејќи ја вредноста на еден, можно е да се изрази некоја друга функција. Равенките се користат за поедноставување на изрази кои вклучуваат тригонометриски функции.
1 Имиња
1.1 Агли
Имињата на аглите се даваат според буквите од грчката азбука како што се алфа (''&#x3B1;'' , бета (''&#x3B2;''), гама (''&#x3B3;'' , делта (''&#x3B4;'') и тета (''&#x3B8;''). Мерните единици за мерење на аглите се степени, радијани и градуси:
Следната табела прикажува други комплементарни инверзни функции и кратенки:
: 1 полн круг = 360 степени = 2 <math>\pi</math> радијани = 400 градуси.
Следната табела го прикажува претворањето на мерните единици за одредени големини на агли:
Степени, 30°, 60°, 120°, 150°, 210°, 240°, 300°, 330°
Радијани, <math>\frac\pi6\!</math>, <math>\frac\pi3\!</math>, <math>\frac{2\pi}3\!</math>, <math>\frac{5\pi}6\!</math>, <math>\frac{7\pi}6\!</math>, <math>\frac{4\pi}3\!</math>, <math>\frac{5\pi}3\!</math>, <math>\frac{11\pi}6\!</math>
Градуси, 33⅓, 66⅔, 133⅓, 166⅔, 233⅓, 266⅔, 333⅓, 366⅔
Степени, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360°
Радијани, <math>\frac\pi4\!</math>, <math>\frac\pi2\!</math>, <math>\frac{3\pi}4\!</math>, <math>\pi\!</math>, <math>\frac{5\pi}4\!</math>, <math>\frac{3\pi}2\!</math>, <math>\frac{7\pi}4\!</math>, <math>2\pi\!</math>
Градуси, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400
Аглите во тригонометријата најчесто се изразуваат во радијани без единица мерка, поретко се користат степените означени °, а градусите се исклучително ретки.
1.2 Тригонометриски функции
Примарните тригонометриски функции се синус и косинус на агол. Синус се означува со sin''&#x3B8;'', а косинус со cos''&#x3B8;'' каде ''&#x3B8;'' е името на аголот.
Тангенс (tg, tan) на аголот е соодносот меѓу синус и косинус:
:<math>\operatorname{tg}\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.</math>
Од друга страна, постојат и реципрочни функции при што косинус е реципрочен на секанс (sec), синус на косеканс (csc, cosec), а тангенс на котангенс (ctg, cot):
:<math>\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\operatorname{ctg}\theta=\frac{1}{\operatorname{tg}\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.</math>
1.3 Инверзни функции
Инверзни тригонометриски функции или аркус функции се инверзни функции на тригонометриските функции. Според тоа, имаме, аркус синус (arcsin, asin) е инверзна функција на синусната функција, при што важи
:<math>\sin(\arcsin x) = x\!</math>
и
:<math>\arcsin(\sin \theta) = \theta\quad\text{za \pi/2 \leq \theta \leq \pi/2.</math>:
Во следната табела прикажани се други комплементарни инверзни функции и кратенки:
Тригонометриска функција, Синус, Косинус, Тангенс, Секанс, Косеканс, Котангенс
Кратенка, <math>\operatorname{sin}\theta</math>, <math>\operatorname{cos}\theta</math>, <math>\operatorname{tg}\theta</math>, <math>\operatorname{sec}\theta</math>, <math>\operatorname{csc}\theta</math>, <math>\operatorname{ctg}\theta</math>
Инверзна тригонометриска функција, Аркус синус, Аркус косинус, Аркус тангенс, Аркус секанс, Аркус косеканс, Аркус котангенс
Кратенка, <math>\operatorname{arcsin}\theta</math>, <math>\operatorname{arccos}\theta</math>, <math>\operatorname{arctg}\theta</math>, <math>\operatorname{arcsec}\theta</math>, <math>\operatorname{arccsc}\theta</math>, <math>\operatorname{arcctg}\theta</math>
2 Питагорова тригонометриска еднаквост
Питагоровата тригонометриска еднаквост или основниот идентитет на тригонометријата е една од основните тригонометриски еднаквости и ја покажува врската помеѓу синус и косинус:
:<math>\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!</math>
каде што cos<sup>2</sup>''θ'' значи (cos(''θ'')) <sup>2</sup> и sin<sup>2</sup>''θ'' значи (sin(''θ''))<sup>2</sup>.
Изразот во суштина е изведеница од Питагоровата теорема и произлегува од еднаквоста <math>x^2 + y^2 = 1 \!\ </math> што важи за единичната кружница. Оваа равенка може да се реши за синус и косинус:
:<math>\sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{и} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \,</math>
2.1 Поврзани еднаквости
Со делење на Питагоровата еднаквост со cos<sup>2</sup>''θ'' или со sin<sup>2</sup>''θ,'' ги добиваме следните две еднаквости:
:<math>1 + \operatorname{tg}^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{и}\quad 1 + \operatorname{ctg}^2\theta = \csc^2\theta.\!</math>
Користејќи ги споменатите еднаквости и соодносите што се користеле при дефинирањето на тригонометриските функции, може да се изведат тригонометриски еднаквости каде една тригонометриска функција е претставена со друга:
+ Секоја тригонометриска функција е прикажана со помош на друга тригонометриска функција, во однос на, <math> \sin \theta\!</math>, <math> \cos \theta\!</math>, <math> \operatorname{tg} \theta\!</math>, <math> \csc \theta\!</math>, <math> \sec \theta\!</math>, <math> \operatorname{ctg} \theta\!</math><math> \sin \, <math> \sin \theta\ </math>, <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! </math>, <math>\pm\frac{\operatorname{tg} \theta}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \theta\! </math>, <math> \frac{1}{\csc \theta}\! </math>, <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1{\sec \theta}\! </math>, <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \theta\! </math><math> \cos \, <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\! </math>, <math> \cos \theta\! </math>, <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \theta\! </math>, <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1{\csc \theta}\! </math>, <math> \frac{1}{\sec \theta}\! </math>, <math>\pm\frac{\operatorname{ctg} \theta}{\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \theta\! </math><math> \operatorname{tg} \, <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta\! </math>, <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta{\cos \theta}\! </math>, <math> \operatorname{tg} \theta\! </math>, <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1\! </math>, <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\! </math>, <math> \frac{1}{\operatorname{ctg} \theta}\! </math><math> \csc \, <math> \frac{1}{\sin \theta}\! </math>, <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta\! </math>, <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \theta{\operatorname{tg} \theta}\! </math>, <math> \csc \theta\! </math>, <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1\! </math>, <math>\pm\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \theta}\! </math><math> \sec \, <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta\! </math>, <math> \frac{1}{\cos \theta}\! </math>, <math>\pm\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \theta}\! </math>, <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1\! </math>, <math> \sec \theta\! </math>, <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \theta{\operatorname{ctg} \theta}\! </math><math> \operatorname{ctg} \, <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta{\sin \theta}\! </math>, <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta\! </math>, <math> \frac{1}{\operatorname{tg} \theta}\! </math>, <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\! </math>, <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1\! </math>, <math> \operatorname{ctg} \theta\! </math>
3 Други функции користени во минатото
Поедини тригонометриски функции повеќе не се користат. Версинус, коверсинус, хаверсинус и ексеканс се користеле во навигацијата, а хаверсинусната формула била користена за пресметување на растојанието помеѓу две точки на сфера.
Име, Скратеница, Вредност
Версинус, <math>\operatorname{versin}(\theta)</math><math>\operatorname{vers}(\theta)</math><math>\operatorname{ver}(\theta)</math>, <math>1 - \cos (\theta)</math>
Веркосинус, <math>\operatorname{vercosin}(\theta)</math>, <math>1 + \cos (\theta)</math>
Коверсинус, <math>\operatorname{coversin}(\theta)</math><math>\operatorname{cvs}(\theta)</math>, <math>1 - \sin(\theta)</math>
Коверкосинус, <math>\operatorname{covercosin}(\theta)</math>, <math>1 + \sin(\theta)</math>
Хаверсинус, <math>\operatorname{haversin}(\theta)</math>, <math>\frac{1 - \cos (\theta)}{2}</math>
Хаверкосинус, <math>\operatorname{havercosin}(\theta)</math>, <math>\frac{1 + \cos (\theta)}{2}</math>
Хаковерсинус, <math>\operatorname{hacoversin}(\theta)</math>, <math>\frac{1 - \sin (\theta)}{2}</math>
Хаковеркосинус, <math>\operatorname{hacovercosin}(\theta)</math>, <math>\frac{1 + \sin (\theta)}{2}</math>
Ексеканс, <math>\operatorname{exsec}(\theta)</math>, <math>\sec(\theta) - 1</math>
Екскосеканс, <math>\operatorname{excsc}(\theta)</math>, <math>\csc(\theta) - 1</math>
Тетива, <math>\operatorname{crd}(\theta)</math>, <math>2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)</math>
4 Симетрија, поместување и периодичност
Со проучување на единичната кружница, може да се видат одредени својства на тригонометриската кружница, како што се симетријата, различните поместувања и периодичноста на функциите. Формулите во следните две табели често се нарекуваат формули за редукција.
4.1 Симетрија
Кога некоја тригонометриска функција намалиме за одреден агол (на пр. π, π/2), резултатот често е некоја друга тригонометриска функција.
Намалување за <math>\ </math>, Намалување за <math>\, Намалување за <math>\
<math>, <math>, <math>
=== Поместувања и периодичност ===
Поместувањето на функцијата за одреден агол исто така резултира со некоја друга тригонометриска функција која поедноставно го прикажува резултатот. Ова можеме да го видиме во примерите на поместувања за π/2, π и 2π радијани. Имајќи предвид дека тригонометриските функции се периодични, во зависност од функцијата за π (функциите тангенс и котангенс) или 2π (функциите синус и косинус), тогаш новата функција ја има истата вредност.
Поместување за π/2, Поместување за πПериода за tan и cotan, Поместување за 2πПериодa за sin, cos, csc и sec
<math>, <math>, <math>
== Збир и разлика на агли ==
Овие тригонометриски еднаквости се нарекуваат формули за збир. Тие биле откриени од персискиот математичар Абу ал-Вафа' Бузџани во 10 век. Ојлеровата формула може да помогне во докажувањето на овие еднаквости.
Синус, <math>\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!</math>
Косинус, <math>\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,</math>
Тангенс, <math>\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}</math>
Аркус синус, <math>\arcsin\alpha \pm \arcsin\ \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})</math>
Аркус косинус, <math>\arccos\alpha \pm \arccos\ \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})</math>
Аркус тангенс, <math>\operatorname{arctg}\alpha \pm \operatorname{arctg}\ \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)</math>
4.2 Матричен облик
Тригонометриските формули за збир и разлика за синус и косинус може да се напишат во облик на матрица.
:<math>
\begin{align}
& {} \quad
\left(\begin{array}{rr}
\cos\phi & -\sin\phi \\
\sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
\cos\phi\cos\theta - \sin\phi\sin\theta & -\cos\phi\sin\theta - \sin\phi\cos\theta \\
\sin\phi\cos\theta + \cos\phi\sin\theta & -\sin\phi\sin\theta + \cos\phi\cos\theta
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
\cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\
\sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)
\end{array}\right)
\end{align}
</math>
4.3 Синус и косинус на збир од бесконечно многу собироци
:<math> \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>:<math> \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>
4.4 Тангенс на збир на конечен број собироци
Нека биде <math>e_k \,</math> (за ''к'' ∈ {0, ..., ''n'' }) ''k'' -ти степен на основниот симетричен полином каде
:<math>x_i = \operatorname{tg} \theta_i\,</math>
за ''i'' ∈ {0, ..., ''n'' }, па следува
:<math>
\begin{align}
e_0 & = 1 \\[6pt]
e_1 & = \sum_{1 \le i \le n} x_i & & = \sum_{1 \le i \le n} \operatorname{tg}\theta_i \\[6pt]
e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j & & = \sum_{1 \le i < j \le n} \operatorname{tg}\theta_i \operatorname{tg}\theta_j \\[6pt]
e_3 & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k & & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} \operatorname{tg}\theta_i \operatorname{tg}\theta_j \operatorname{tg}\theta_k \\
& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots
\end{align}
</math>
Тогаш важи дека е
:<math>\operatorname{tg}(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},\! </math>
во зависност од бројот ''n''.
На пример:
:<math> \begin{align}
\operatorname{tg}(\theta_1 + \theta_2) &
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }
= \frac{ \operatorname{tg}\theta_1 + \operatorname{tg}\theta_2 }{ 1 \ - \ \operatorname{tg}\theta_1 \operatorname{tg}\theta_2 }
,
\\ \\
\operatorname{tg}(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },
\\ \\
\operatorname{tg}(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\ \\ &
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },
\end{align}</math>
и така натаму. Оваа еднаквост може да се докаже со математичка индукција.
4.5 Секанс и косеканс на збир од конечен број собироци
:<math>
\begin{align}
\sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]
\csc(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}
\end{align}
</math>
каде е <math>e_k \,</math>''k'' -ти степен на основниот симетричен полином за ''n'' променливи ''x''<sub>''i''</sub> = tan ''θ''<sub>''i''</sub>, ''i'' = 1,... , ''n'', а бројот на собироци во именителот зависи од ''n''.
На пример,
:<math>
\begin{align}
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\gamma - \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma } \\[8pt]
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma}
\end{align}
</math>
5 Еднаквости за повеќекратни агли
''T<sub>n</sub>'' е ''n-тиот'' Чебишовов полином, <math>\cos n\ (\cos \theta )\,</math>''S''<sub>''n''</sub> е ''n-ти'' полином на ширина, <math>\sin^2 n\ (\sin^2\theta)\,</math>
Формулата на Де Моавр, <math>i</math> е имагинарна единица, <math>\cos n\theta +i\sin n\ \,</math>
5.1 Тригонометриски еднаквости на двојни, тројни и половинки агли
Формули за двоен агол
<math>\begin{align}
Формули за троен агол
<math>\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta & = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align}</math>
Формули за половина агол
<math>\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2</math>
{\left|1 + \operatorname{tg}(\theta/2)\right|}</math>
<math>\operatorname{tg}\tfrac{1}{2}\theta = \frac{\operatorname{tg}\theta}{1 + \sqrt{1+\operatorname{tg}^2\theta \quad\mbox{za}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right)</math><math>\operatorname{ctg} \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \operatorname{ctg} \theta = \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}</math>
|}
5.2 Синус, косинус и тангенс на повеќекратни агли
<math>\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math><math>\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math><math>\operatorname{tg}\,(n{+}1)\theta = \frac{\operatorname{tg} n\theta + \operatorname{tg} \theta}{1 - \operatorname{tg} n\theta\,\operatorname{tg} \theta}.</math><math>\operatorname{ctg}\,(n{+}1)\theta = \frac{\operatorname{ctg} n\theta\,\operatorname{ctg} \theta - 1}{\operatorname{ctg} n\theta + \operatorname{ctg} \theta}.</math>
5.3 Чебишовов метод
Методот на Чебишов е рекурзивен алгоритам за наоѓање на формулите на ''n-ти'' повеќекратни агли, знаејќи ги (''n''&#x2212; 1) и (''n''&#x2212; 2) од формулата.
:<math>\cos nx = 2 \cdot \cos x \cdot \cos (n-1) x - \cos (n-2) x \,</math>:<math>\sin nx = 2 \cdot \cos x \cdot \sin (n-1) x - \sin (n-2) x \, </math>:<math>\operatorname{tg} nx = \frac{H + K \operatorname{tg} x}{K- H \operatorname{tg} x} \, </math>
каде ''H''/''K'' = tan(''n''&#x2212; 1) ''x'' .
5.4 Тангенс на просек
:<math> \operatorname{tg}\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}</math>
Ако ''α'' или ''β'' се еднакви на 0, тогаш ја добиваме формулата за тангенс на половина агол.
5.5 Виетов бесконечен производ
:<math> \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta. </math>
6 Еднаквости на степенувани тригонометриски функции
Синус, Косинус, Други
<math>\sin^2\ - \cos 2\theta}{2}\!</math>, <math>\cos^2\ + \cos 2\theta}{2}\!</math>, <math>\sin^2\theta \cos^2\ - \cos 4\theta}{8}\!</math><math>\sin^3\ \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\!</math>, <math>\cos^3\ \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\!</math>, <math>\sin^3\theta \cos^3\ 2\theta - \sin 6\theta}{32}\!</math><math>\sin^4\ - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math>, <math>\cos^4\ + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math>, <math>\sin^4\theta \cos^4\ 4\theta + \cos 8\theta}{128}\!</math><math>\sin^5\ \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\!</math>, <math>\cos^5\ \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\!</math>, <math>\sin^5\theta \cos^5\ 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\!</math>
За изводи на степени на синус и косинус на агол се користат Де Моавровата формула, Ојлеровата формула и биномната формула .
, Косинус, Синус
ако ''n'' е непарен, <math>\cos^n\ \sum_{ \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>, <math>\sin^n\ \sum_{ (-1)^{(\frac{n-1}{2k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}</math>
ако ''n'' е парен, <math>\cos^n\ \binom{n}{\frac{n}{2 + \frac{2}{2^n} \sum_{ \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>, <math>\sin^n\ \binom{n}{\frac{n}{2 + \frac{2}{2^n} \sum_{ (-1)^{(\frac{n}{2k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
7 Формули за претворање на производ во збир и збирот во производ
7.1 Други поврзани еднаквости
Ако ''x'', ''y'' и ''z'' се од кој било триаголник, тогаш важи
:<math>\text{ако збирот }x + y + z = \pi = \text{полукруг,}\, </math>::<math>\text{onda je }\operatorname{tg}(x) + \operatorname{tg}(y) + \operatorname{tg}(z) = \operatorname{tg}(x)\operatorname{tg}(y)\operatorname{tg}(z).\,</math>
односно
:<math>\text{ако збирот }x + y + z = \pi = \text{полукруг,}\, </math>::<math>\text{тогаш }\sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,</math>
7.2 Ермитова котангенсна еднаквост
Шарл Ермит покажал дека одредена еднаквост важи каде што променливите ''a''<sub>1</sub> , ... , ''а''<sub>''n''</sub> се комплексни броеви. Нека е:
:<math> A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix \operatorname{ctg}(a_k - a_j) </math>
а во случај кога е ''А''<sub>1,1</sub> се добива празен производ кој е еднаков 1. Општо, се добива следната вредност:
:<math> \operatorname{ctg}(z - a_1)\cdots\operatorname{ctg}(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \operatorname{ctg}(z - a_k).</math>
Во наједноставниот случај за ''n'' = 2 важи:
:<math> \operatorname{ctg}(z - a_1)\operatorname{ctg}(z - a_2) = -1 + \operatorname{ctg}(a_1 - a_2)\operatorname{ctg}(z - a_1) + \operatorname{ctg}(a_2 - a_1)\operatorname{ctg}(z - a_2). </math>
7.3 Птоломејова теорема
Овие еднаквости go претставуваат тригонометрискиот облик на Птоломеевата теорема.
:<math> \text{Ако }w + x + y + z = \pi = \text{се полукруг,} \, </math>::<math>\begin{align} \text{тогаш важи }
& \sin(w + x)\sin(x + y) \\
&{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\
&{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z).
\end{align}</math>
8 Линеарни комбинации
Секоја линеарна комбинација на синусни бранови од исти периоди или честота со различни фазни поместувања е исто така синусен бран со иста периода или честота со различно фазно поместување. Со ненулта линеарна комбинација на синусни и косинусни бранови, се добива:
:<math>a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,</math>
каде
:<math>
\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2\right)
& \text{ako je }a \ge 0, \\
\pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2\right) & \text{ako je }a < 0,
\end{cases}
</math>
што е еквивалентно на:
:<math>
\varphi = \operatorname{arctg} \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases}
0 & \text{ако е}a \ge 0, \\
\pi & \text{ако е}a < 0,
\end{cases}
</math>
или дури и со:
:<math>
\varphi = \text{sgn}(b)\cos^{-1}\left(\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2\right)
</math>
Воопштено, за произволно фазно поместување важи:
:<math>a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,</math>
каде
:<math>c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,</math>:<math>
\beta = \operatorname{arctg} \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases}
0 & \text{ako je } a + b\cos \alpha \ge 0, \\
\pi & \text{ako je } a + b\cos \alpha < 0.
\end{cases}
</math>
9 Лагранжови тригонометриски еднаквости
Овие еднаквости биле именувани по Жозеф Луј Лагранж.:<math>
\begin{align}
\sum_{n=1}^N \sin n\theta & = \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\theta-\frac{\cos(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta}\\
\sum_{n=1}^N \cos n\theta & = -\frac{1}{2}+\frac{\sin(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta}
\end{align}
</math>
Со нив е поврзана функцијата наречена Дирихлеово јадро.
:<math>1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx)
= \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.</math>
10 Останати облици на збирови на тригонометриски функции
Збирот на синусите и косинусите со променливи во аритметичка низа:
:<math>
\begin{align}
& \sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt]
& {} \qquad\qquad \cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2}){\sin{\frac{\alpha}{2}. \\[10pt]
& \cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt]
& {} \qquad\qquad \cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2}){\sin{\frac{\alpha}{2}.
\end{align}
</math>
За кои било ''a'' и ''b'' важи:
:<math>a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;</math>
каде што atan2(''y'', ''x'') е воопштување на функцијата arctan(''y''/''x'') што го покрива целиот кружен опсег.
Користејќи ја Гудермановата функција која поврзува кружни и хиперболични тригонометриски функции без употреба на комплексни броеви, може да се искористи следниов израз:
:<math>\operatorname{tg}(x) + \sec(x) = \operatorname{tg}\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).</math>
Ако ''x'', ''y'' и ''z'' се аглите на кој било триаголник, односно ''x'' + ''y'' + ''z'' = π, тогаш е
:<math>\operatorname{ctg}(x)\operatorname{ctg}(y) + \operatorname{ctg}(y)\operatorname{ctg}(z) + \operatorname{ctg}(z)\operatorname{ctg}(x) = 1.\,</math>
11 Одредени линеарни фракциони трансформации
Ако ''ƒ''(''x'') е дадена со линеарна фракциона трансформација
:<math> f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha}, </math>
и слично со тоа
:<math> g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\cos\beta)x + \sin\beta}, </math>
тогаш важи
:<math> f(g(x)) = g(f(x))
= \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}. </math>
Пократко кажано, ако за сите ''α'' функцијата ''ƒ''<sub>''α''</sub> е токму функцијата ''ƒ'' прикажана погоре, тогаш важи дека е:
:<math> f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \, </math>
12 Еднаквости на инверзни тригонометриски функции
:<math> \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;</math>:<math> \operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arcctg}(x)=\pi/2.\;</math>:<math>\operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arctg}(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{ako je }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{ako je }x < 0 \end{matrix}\right.</math>
12.1 Композиција на тригонометриски и инверзни тригонометриски функции
<math>\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math>, <math>\operatorname{tg}[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2</math><math>\sin[\operatorname{arctg}(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2</math>, <math>\operatorname{tg}[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2{x}</math><math>\cos[\operatorname{arctg}(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2</math>, <math>\operatorname{ctg}[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2{x}</math><math>\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math>, <math>\operatorname{ctg}[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2</math>
13 Поврзаност со комплексната експоненцијална функција
:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,</math> Овој израз се нарекува Ојлерова формула.
:<math>e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,</math>:<math>e^{i\pi} = -1</math> Овој израз се нарекува Ојлеров идентитет.
:<math>\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix{2} \;</math>:<math>\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix{2i} \;</math>
односно
:<math>\operatorname{tg}(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix{i({e^{ix} + e^{-ix)}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math>
каде <math>i^2 = -1</math> .
14 Поврзаносте со бесконечни производи
Кога решаваме специјални функции, користиме различни формули кои ги поврзуваат бесконечниот производ и тригонометриските функции:
:<math>\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>:<math>\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>:<math>\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)</math>:<math>\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>:<math>\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>:<math>|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\operatorname{tg}\left(2^n x\right)\right|}</math>
15 Еднаквости без променливи
Еднаквоста без променливи:
:<math>\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}</math>
е посебен случај на еднаквост со една променлива:
:<math>\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.</math>
Понатаму, исто така е точно дека:
:<math>\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3{8}.</math>:<math> \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8}, </math>:<math>\operatorname{tg} 50^\circ\cdot\operatorname{tg} 60^\circ\cdot\operatorname{tg} 70^\circ=\operatorname{tg} 80^\circ.</math>:<math>\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.</math>:<math>
\begin{align}
& \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right)
+ \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
+ \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt]
& {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
+ \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
+ \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.
\end{align}
</math>
Многу еднаквости имаат основа во изрази како што се:
:<math> \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1</math>
и
:<math> \prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin(\pi n/2)}{2^{n-1 </math>
Со нивна комбинација добиваме:
:<math> \prod_{k=1}^{n-1} \operatorname{tg}\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{\sin(\pi n/2)}</math>:<math> \prod_{k=1}^{m} \operatorname{tg}\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \sqrt{2m+1}</math>
15.1 Определување на бројот π
:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \operatorname{arctg}\frac{1}{5} - \operatorname{arctg}\frac{1}{239}</math>:<math>\frac{\pi}{4} = 5 \operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2 \operatorname{arctg}\frac{3}{79}.</math>
15.2 Мнемонички запис за некои вредности на синус и косинус
:<math>
\begin{matrix}
\sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {2} \right) \\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {3} \right) \\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {4} \right) \\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {6} \right)\\ \\
\sin \left( \frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0
\end{matrix}
</math>
15.3 Златен пресек φ
:<math>\cos \left( \frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \frac{\varphi }{2}
</math>:<math>\sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{51 \over 4} = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}</math>
15.4 Евклидова еднаквост
:<math>\sin^2(18^\circ)+\sin^2(30^\circ)=\sin^2(36^\circ). \, </math>
16 Инфинитезимално сметање
16.1 Изводи
Со користење на инфинитезимално сметање, аглите при сметањето мора да бидат во радијани. Изводите на тригонометриските функции може да се одредат со користење на два лимеса:
:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,</math>:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,</math>
Со барање извод од тригонометриски функции се добиваат следните еднаквости и правила::<math>
\begin{align}
{d \over dx} \sin x & = \cos x ,& {d \over dx} \arcsin x & = {1 \over \sqrt{1 - x^2 \\ \\
{d \over dx} \cos x & = -\sin x ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2 \\ \\
{d \over dx} \operatorname{tg} x & = \sec^2 x ,& {d \over dx} \operatorname{arctg} x & = { 1 \over 1 + x^2} \\ \\
{d \over dx} \operatorname{ctg} x & = -\csc^2 x ,& {d \over dx} \operatorname{arcctg} x & = {-1 \over 1 + x^2} \\ \\
{d \over dx} \sec x & = \operatorname{tg} x \sec x ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1 \\ \\
{d \over dx} \csc x & = -\csc x \operatorname{ctg} x ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1
\end{align}
</math>
16.2 Интеграли
:<math>\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2u^{2=\sin ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>:<math>\int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}=\frac{1}{a}\operatorname{tg} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>:<math>\int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2a^{2=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C</math>
17 Експоненцијални дефиниции на тригонометриски функции
Функција, Инверзна функцијаa
<math>\sin \ - e^{-i\theta{2i} \,</math>, <math>\arcsin \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,</math><math>\cos \ + e^{-i\theta{2} \,</math>, <math>\arccos \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,</math><math>\operatorname{tg} \ - e^{-i\theta{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,</math>, <math>\operatorname{arctg} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,</math><math>\csc \ - e^{-i\theta \,</math>, <math>\arccsc \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2\right) \,</math><math>\sec \ + e^{-i\theta \,</math>, <math>\arcsec \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2\right) \,</math><math>\operatorname{ctg} \ + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta \,</math>, <math>\operatorname{arcctg} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,</math>
,
<math>\operatorname{cis} \, \ \,</math>, <math>\operatorname{arccis} \, x}{i} = -i \ln \, x \,</math>
18 Вајерштрасова супституција
Ако е:
:<math>t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right),</math>
тогаш важи:
:<math>\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}\text{ и }\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\text{ и }e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}</math>
каде e<sup>''ix''</sup> = cos(''x'') + ''i'' sin(''x''), што понекогаш е скратено како cis(''x'').
19 Поврзано
* Тригонометрија
* Докази на тригонометриски еднаквости
* Питагорова тригонометриска еднаквост
* Единична кружница
* Тригонометриски константи
* Примена на тригонометрија
* Формула за тангента за половина агол
* Лекција на Питагора
* Косинусна теорема
* Синусна теореме
* Тангенсна теорема
* Молвајдова формула
* Список на изводи на тригонометриски функции
* Список на интеграли на тригонометриски функции
* Хиперболична функција
* Версинус