Трапез

Во геометрија, трапез е испакнат четириаголник со точно еден пар паралелни страни. Има три „типа“ на трапези.* Општ трапез: непаралелните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
* Рамнокрак трапез: Непаралелните страни се со еднаква должина.
* Правоаголен трапез: Има точно два внатрешни агли по 90°.
Трапези, Рамнокрак трапез, Правоаголен трапез
*Паралелните страни се викаат основи и (обично) се означуваат со ''a'' и ''b''. (За полесно означување земаме ''a''&gt;''b''.)
*Непаралелните страни се викаат краци и (обично) се означуваат со ''c'' и ''d''*Растојанието помеѓу паралелните страни се вика висина и (обично) се означува со ''h''.
1 Формули и особини за општ трапез
Нека е даден трапез со основи (паралелни страни) ''a'' и ''b'', со краци ''c'' и ''d'' и со висина ''h''.
Периметар
:<math>L = a + b + c + d</math>
Плоштина:<math>P = \frac{(a+b)}{2}\cdot h </math>*Бидејќи секој трапез е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360&deg;.
*Плоштината на еден трапез се одредува со должините на двете основи и висината. Меѓутоа, само со тие информации, трапез не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни трапези со истите основи и висина.
*Бидејќи секој крак на трапез е и трансверзала на паралелните основи, внатрешните агли кај секој крак се суплементни, т.е. нивниот збир е 180&deg;.
*Исто така, бидејќи секој крак е трансверзала, основите на трапезот не се еднакви: ''a''&ne;''b''. (Доколку ''a''=''b'', четириаголникот би имал ''два пара на паралелни страни'', па би бил паралалелограм, а не трапез.)
*Еден трапез е потполно определeн со должините на четирите страни (и знаење кои страни се паралелни). Mеѓутоа од секоја комбинација на четири должини не се добива трапез (види подолу).
Висина :<math>h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d){2|a-b|}</math>
Основна поставка: Трапез со основи ''a'' и ''b'' и краци ''c'' и ''d'' постои ако и само ако ''h'' постои, т.е. ако и само ако поткорениот израз во погорната формула за ''h'' е позитивен број.
Во подолните примери, ''a'' и ''b се основите (паралелните страни).
Пример: Нека е ''a''=12m, ''b''=10m, и ''h''=6m. Плоштината на ваков трапез е: P=66m<sup>2</sup>. Meѓутоа, трапезот не може еднозначно да се определи, а и периметарот L не е одредлив.
Пример: Нека е ''a''=19mm, ''b''=8mm, ''c''=7mm и ''d''=6mm. Користејќи ја формулата за висина ''h'', поткорениот израз е 5760&gt;0 и ''h''=3,45 (приближно). Периметарот e L=40mm, a плоштината e P=46,57mm<sup>2</sup> (приближно)
Пример: Нека е ''a''=19mm, ''b''=7mm, ''c''=4mm и ''d''=5mm. Користејќи ја формулата за висина ''h'', поткорениот израз е -9009&lt;0. Нема трапез со овие димензии.
2 Терминологија
Во САД и Канада се користи зборот трапезоид (trapezoid) за трапез, а зборот трапезиум (trapezium) за трапезоид (без паралелни страни). Вон САД и Канада, англиските зборови ја имаат обратното значење, а истите се слични/исти со зборовите користени низ Европа вклучувајќи ја и Р.М., односно се користи зборот трапезиум за трапез, а зборот трапезоид за трапезоид.
3 Рамнокрак трапез
Трапез во кој непаралелните страни се складни, т.е. со иста должина се вика рамнокрак трапез. Во рамнокрак трапез, внатрешните агли кај секоја основа се еднакви (складни). Рамнокрак трапез е потполно определен ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите &alpha;, ''h'', ''d'', или ''a-b'' каде што &alpha; е кој било агол, ''h'' е висината , ''c'' е (кој било) крак и ''a-b'' е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината ''b-a'' може да се знае и должината на ''другата'' основа.
Пример: Нека е ''a''=9 cm, ''h''=3 cm и &alpha;=45&deg; нека e аголот помеѓу ''a'' и ''c''. Тогаш ''<sup>(a - b)</sup>/<sub>2</sub>'' = <sup>''h''</sup>/<sub>tan(45&deg;)</sub> = <sup>3 cm</sup>/<sub>1</sub> = 3 cm и ''a - b''=6 cm и ''b''=3 cm. ''c'' = <sup>''h''</sup>/<sub>sin(45&deg;)</sub> = 3√2 cm =4,24 cm. ''Горните'' внатрешни агли се по 180&deg;-45&deg;=135&deg;.
Пример: Нека е ''a''=5 cm, ''h''=3 cm и &alpha;=45&deg; нека e аголот помеѓу ''a'' и ''c''. Тогаш ''<sup>(a - b)</sup>/<sub>2</sub>'' = <sup>''h''</sup>/<sub>tan(45&deg;)</sub> = <sup>3 cm</sup>/<sub>1</sub> = 3 cm и ''a - b''=6 cm и ''b''= -1 cm. Таков трапез не постои.
4 Правоаголен трапез
Трапез кој има точно два внатрешни агли по 90° се вика правоаголен трапез. Од суплементноста на внатрешните агли на секој крак на трапез следува дека правите агли доаѓаат во парови, т.е. ако еден внатрешен агол е прав агол, тогаш и другиот агол на тој крак е прав. Меѓутоа, четириаголник со 4 прави агли е правоаголник, а истиот има два пара на паралелни страни, а во Р Македонија таков четириаголник не се смета за трапез (се бара точно еден пар паралелни страни.)
Правоаголен трапез е потполно дефиниран ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите &alpha;, ''h'', ''d'', или ''a-b'' каде што &alpha; е кој било од неправите агли, ''h'' е висината (и едниот крак), ''d'' е косиот крак и ''a-b'' е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината ''b-a'' може да се знае и должината на ''другата'' основа.
Пример: Нека е ''a''=7 cm, ''d''=4 cm и &alpha;=30&deg; e аголот помеѓу ''a'' и ''d''. Тоѓаш ''a-b'' = ''d'' &middot; sin(30&deg;) = 4 cm &middot; 0,5 = 2 cm и ''b''=5 cm; ''h''=''d'' &middot; cos(30&deg;) = 2√3 cm =3,46 cm. Четвртиот агол е 180&deg;-30&deg;=150&deg;.
Рамнокрак трапез, Правоаголен трапез, Средна линија ''m'' на трапез
5 Плоштина, средна линија и висина на трапез
Отсечката која ги сврзува средните точки на краците (непаралелните страни) на еден трапез се вика средна линија.
*Средната отсечка е паралелна со паралелните страни на трапезот.
*Должината на средната линија ''m'' е половина од збирот на основите ''a'' и ''b'':
:<math>m = \frac{a + b}{2} </math>
Плоштината ''Р'' на трапез со средна линија ''m'':
:<math>P = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h </math>
Плоштината ''Р'' на трапез со основи ''a'', ''b'' и краци ''c'' и ''d'':
:<math>P = \frac{a+b}{4|a-b|}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}.</math>
Кога една од паралелните страни „се смалува“ на точка (на пример ''b'' = 0), трапезот „станува“ триаголник со страни 'a'', ''c'' и ''d'' и погорната формула се редуцира на Херонова формула за плоштина на триаголник.''
Еквивалентна формула за плоштина која повеќе личи на Херонова формула е:
:<math>P = \frac{a+b}
\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)},</math> каде што <math>s = \tfrac{1}{2}(a + b + c + d)</math> е полуобем на трапезот.
6 Дијагонали на трапез
Должините на дијагоналите се:
:<math>p= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ac^2+bd^2}{a-b</math>
:<math>q= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ad^2+bc^2}{a-b</math>
7 Карактеризации на трапез
За даден испакнат четириаголник, следните особини се еквивалентни и се и доволен услов четириаголникот да има барем еден пар паралелни страни:
*Има два соседни агли кои се суплементни, т.е. нивниот збир е 180&deg;.
*Аголот помеѓу една страна и една дијагонала е еднаков на аголот помеѓу обратната страна и истата дијагонала.
*Дијагоналите се сечат под истиот однос. (Овој однос е ист со односот помеѓу должините на паралелните страни).
*Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар се слични.
*Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар ја имаат истата плоштина.
Понатаму, на еден трапез:
*Средните точки на основите (паралелните страни) и пресекот на дијагоналите се колинеарни.
*Отсечката која ги спојува средните точки на основите ја дели плоштината на половина.
8 Друго
Во калкулус и бројчена математика се користи таканаречениот метод на трапези за приближно пресметување на површина под позитивна рамнинска крива, односно за приближно пресметување на определен интеграл на соодветната функција ''f'':R->R во одреден интервал.
Тежиште, односно центар на маса или центроид на трапез со униформна густина е пресекот на отсечката која ги спојува средните точки на основите и правата паралелна со основите која е на растојание ''x'' од поголемата основа каде што::<math>x = \frac{h}{3} \left( \frac{a+2b}{a+b}\right).</math>
9 Поврзани теми
*Четириаголник
*Паралелограм
*Паралелни прави
*Испакнат многуаголник
*Тежиште