Сборник с математически доказателства/Чернова6

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Конфиналност
wikipedia:en:Cofinality
1 Konfinalität
Konfinalität (''Kofinalität'') und konfinal (''kofinal'') sind Begriffe der Mathematik, die man für
die Beschreibung von unbeschränkten mathematischen Teilstrukturen
verwendet,
wobei das Attribut ''"unbeschränkt"'' von der Ordnungs-, der Ordinalzahl-, der
Verbands- oder der Kathegorientheorie spezifiziert wird. Die ''Konfinalität'' ist ein wichitiges Instrument bei der Untersuchung des Wachstums von <math>\textrm{On}</math> - die Klasse aller Ordinalzahlen - und spielt eine wesentliche Rolle bei der Definition und Analyse der ''großen Ordinalzahlen''. Als Eigenschaft von Teilfolgen wird sie bei der Moore-Smithschen Verallgemeinerung des Begriffes ''Folge'' zur Unterscheidung zwischen ''Teilmengen'' und ''Teilnetze'' eingesetzt und bietet somit die Möglichkeit den Begriff ''Grenzwert eines Netzes'' zu definieren. ''konfinal'' als Attribut wird auch in der Streu- und der K-theorie verwendet.
2 Konfinalität als Mengenrelation
Eine gerichtete oder halbgeordnete Menge (oder Klasse) <math>(A,</math><math>\!^\leq</math><math>)</math> heißt mit ihrer Teilmenge (Teilklasse) <math>B</math><math>\!^\subset</math><math>A</math>''konfinal'', wenn für jedes <math>b</math><math>\!^\in</math><math>B</math> ein Element von <math>A</math> existiert, das größer ist als <math>b</math>.<sup>,</sup>
Man schreibt, dann <math>A</math><math>{\!^{\underset{\leq}{\textrm{cf\!{\color{White}^{^{^{^{^{^:</math><math>B</math> oder, falls in dem jeweiligen Kontext keine weitere Ordnungsrelationen auf <math>A</math> betrachtet werden, einfach nur <math>A</math><math>\textrm{cf}</math><math>B</math>:
:<math>A</math><math>\textrm{cf}</math><math>B</math><math>\Leftrightarrow</math><math>(A</math><math>\!^\supset</math><math>B)</math><math>\land</math><math>\!^\forall</math><math>b</math><math>\!^\in</math><math>B</math><math>\!^\exist</math><math>a</math><math>\!^\in</math><math>A</math><math>(b</math><math>\!^\leq</math><math>a)</math>.
Das Wort ''"kofinal"'' bedeutet ''"hat das selbe Ende wie"'' und ist in diesem Zusammenhang zum ersten Mal von Hausdorff verwendet worden.<ref>Hausdorff F., '''', Mathematische Annalen, 65, 1908, S. 440 Er führt auch den Begriff ''koinitiale Teilmenge'' ein: <math>A</math> ist mit <math>B</math> genau dann koinitial - in Zeichen <math>A</math> <math>\textrm{ci}</math> <math>B</math> - wenn <math>A</math> "den selben Anfang wie" <math>B</math> hat:
:<math>A</math> <math>\textrm{ci}</math> <math>B</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>(A</math> <math>\!^\supset</math> <math>B)</math> <math>\land</math> <math>\!^\forall</math> <math>b</math> <math>\!^\in</math> <math>B</math> <math>\!^\exist</math> <math>a</math> <math>\!^\in</math> <math>A</math> <math>(a</math> <math>\!^\leq</math> <math>b)</math>.
Die Konfinalität und die Koinitialität sind Halbordnungsrelation auf der Potenzmenge von <math>A</math>:
:<math>\!^\forall</math><math>B</math> <math>\!^\subset</math> <math>A</math> <math>(B</math> <math>\textrm{cf}</math> <math>B)</math>
:<math>\!^\forall</math><math>B</math> <math>\!^\subset</math> <math>A</math> <math>\!^\forall</math><math>C</math> <math>\!^\subset</math> <math>A</math> <math>(B</math> <math>\textrm{cf}</math> <math>C</math> <math>\land</math> <math>C</math> <math>\textrm{cf}</math> <math>B</math> <math>\Rightarrow</math> <math>B=C)</math>
:<math>\!^\forall</math><math>B</math> <math>\!^\subset</math> <math>A</math> <math>\!^\forall</math><math>C</math> <math>\!^\subset</math> <math>A</math> <math>\!^\forall</math><math>D</math> <math>\!^\subset</math> <math>A</math> <math>(B</math> <math>\textrm{cf}</math> <math>C</math> <math>\land</math> <math>C</math> <math>\textrm{cf}</math> <math>D</math> <math>\Rightarrow</math> <math>B</math> <math>\textrm{cf}</math> <math>D)</math>
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Jede halbgeordnete Menge ist mit einer wohlgeordenten und mit einer wohlfundierten Menge konfinal.<sup>,</sup> Jede halbgeordnete Menge ohne maximale Elemente ist mit mindestens zwei disjunkten Mengen konfinal.<sup>,</sup>
3 PROBE
<math>A</math> <math>{\!^{\underset{\textrm{R{\textrm{ci\!{\color{White}^{^{^{^{^:}</math> <math>S</math>
4 Literatur
*Kuratowski K., Mostowski A., ''Set theory'' , North-Holland, 1968, ISBN 0-720-40470-3
*Kuratowski K., ''Introduction to Set Theory and Topology'', Elsevier Science, 1972, ISBN 0-080-16160-X
*Engelking R., ''General Topology'', Taylor & Francis, 1977, ISBN 0-800-20209-0
*Klaua D., ''Kardinal- und Ordinalzahlen'', I., Vieweg, Braunschweig, 1974, ISBN 3-528-06125-1
*Klaua D., ''Kardinal- und Ordinalzahlen'', II., Vieweg, Braunschweig, 1974, ISBN 3-528-06141-3
*Bachmann H., ''Transfinite Zahlen'', Springer, 1967, ASIN: B0000BPIFM
*Deiser O., ''Einführung in die Mengenlehre'', Springer, 2004, ISBN 978-3540204015
*Komjath P., Totik V., ''Problems and Theorems in Classical Set Theory'', Springer, 2006, ISBN 978-0387302935
*Barwise J. (ed.), ''Handbook of Mathematical Logic'', North Holland, 1977, ISBN 978-0-444-86388-1
*Levy A., ''Basic Set Theory'', Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7
*Zuckerman M., ''Sets and Transfinite Numbers'', Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9
*Deutsch M., ''Einführung in die Grundlagen der Mathematik'', Universitätsdruckerei Bremen, 1999, ISBN 3-88722-438-8
*Klaua D., ''Allgemeine Mengenlehre'', I., Akademie Verlag Berlin, 1968, ASIN B0000BS09L
*Klaua D., ''Allgemeine Mengenlehre'', II., Akademie Verlag Berlin, 1969, ASIN B0000BS09N
*Hausdorff F., ''Grundzüge der Mengenlehre'', 1914, Chelsea Publishing Company, New York, 1949
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*Faith C., ''Algebra, Rings, Modules I.'', Springer, 1973, ASIN: B0007AESX8, (konfinale Unterkategorie)
*Milne J., ''Etale Cohomology'', 1980, (")
*Lax P., Phillips R., ''Scattering Theory'', Academic Press, 1967, (konfinales Hindernis)
*Barendregt, ''The Lambda Calculus'', 1981, (konfinale Strategie - nur Spezialfall von gerichteter Menge also fürs Atr.Gl.)
*Dold A., ''Lectures on Algebraic Topology'', Springer, 1980, (Funktoren)
*Gratzer G., ''GENERAL LATTICE THEORY'', Akademie-Verlag, 1978, (Klassen in Verbände)
*BARWISE J., ''HANDBOOK OF MATHEMATICAL LOGIC 3.'', 1977, (<math>\Sigma_2</math>-Konfinalität)
*Karoubi M., ''K-Theory'', Springer, 1978, (Konfinales System von Modulen)
5 Bemerkungen und Einzelnachweise