Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема за равномерната сходимост в точка

Една фaмилия от функции
<math>(f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R})_{n=1,2,...}</math> се нарича ''равномерно сходяща в точката''<math>\xi\in\mathbb{R}</math> клоняща към <math>f</math>, ако за всяко положително <math>\varepsilon</math> съществува естествено <math>m</math> и положително <math>\delta</math>, такива че
:<math>\forall n (n\geq m \Rightarrow \triangle_\delta(\xi)\subset \{x:|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon\})</math>
където
:<math>\triangle_\delta(\xi)=\{x:|x-\xi|<\delta\}</math>
e <math>\delta</math>-околност на <math>\xi</math>.
Една фaмилия от функции
<math>(f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R})_{n=1,2,...}</math> ще наричаме ''равномерно поне ужсходяща в точката''<math>\xi</math> клоняща към <math>f,</math> ако за всяко <math>\varepsilon</math><math>>0</math> съществува естествено <math>m</math> и положително <math>\delta</math>, такива че
:<math>\triangle_\delta(\xi)\subset \{x:|f(x)-f_m(x)|<\varepsilon\}.</math>
Повече информация за различните видове сходимост и свързаните с тях термини можете да намерите в допълнението ''Видове сходимост в пространства от функции''.
1 Теорема
''Теорема за равномерната сходимост в точка:''*Множеството от точки на равномерна сходимост и множеството от точки на равномерна поне ужсходимост на една фамилия от функции <math>F=(f_n)_{n=1,2,...}</math> са <math>G_\delta</math>-множества.
*Ако <math>F</math> е равномерно сходяща или равномерно ужсходяща в точката <math>\xi</math> и всеки нейн елемент е непрекъснат в <math>\xi</math>, то и всяка нейна граница <math>f</math> e непрекъсната в тази точка.
*Ако <math>F</math> е поточково сходяща в дадена точка <math>\xi</math> клоняща към непрекъснатата в <math>\xi</math> функция <math>f</math> и всеки нейн елемент е непрекъснат в <math>\xi</math>, то <math>F</math> e ''равномерно поне ужсходима'' в <math>\xi</math>.
2 Доказателство
Започваме с доказателството на първата част на теоремата:
Нека <math>f^\ast</math> е такавa функция, че
:<math>f^\ast(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>
за всяко <math>x</math>, за което границата
:<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>
съществува, и
:<math>f^\ast(x)=0</math>
в противен случай. Дефинираме множествата
:<math>S_{m}^n=\operatorname{Int}\left(\left\{x:\ \forall k\geq m \left(|f_k(x)-f^\ast(x)|<\frac{1}{n} \right)\right\}\right),</math>:<math>R_{m}^n=\operatorname{Int}\left(\left\{x:\ |f_m(x)-f^\ast(x)|<\frac{1}{n} \right\}\right),</math>:<math>O_n=\bigcup_m S_{m}^n,</math>
и
:<math>U_n=\bigcup_m R_{m}^n,</math>
които са по дефиниция отворени, както и множествaтa
:<math>G=\bigcap_n O_{n}</math>
и
:<math>H=\bigcap_n U_{n}</math>
които са <math>G_\delta</math>-множества. Очевидно
:<math>y\in G</math>
тогава и само тогава когато
:<math>\forall n\exist m \exist \delta>0\ \forall k\left(k\geq m \Rightarrow \triangle_\delta(y)\subset \left\{x:|f_k(x)-f^\ast(x)|<\frac{1}{n}\right\}\right),</math>
което е равносилно на
:<math>\forall \varepsilon>0\ \exist m \exist \delta>0\ \forall k \left(k\geq m \Rightarrow \triangle_\delta(y)\subset \left\{x:|f_k(x)-f^\ast(x)|<\varepsilon\right\}\right),</math>
тоест на равномерната сходимост в <math>y</math>. Също така лесно се съобразява, че условията
:<math>y\in H,</math>:<math>\forall n\exist m \exist \delta>0 \left( \triangle_\delta(y)\subset \left\{x:|f_m(x)-f^\ast(x)|<\frac{1}{n}\right\}\right)</math>
и
:<math>\forall \varepsilon>0\ \exist m \exist \delta>0\left(\triangle_\delta(y)\subset\left\{x:|f_m(x)-f^\ast(x)|<\varepsilon\right\}\right),</math>
са еквивалентни. Тоест, че <math>H</math> е множеството от точки на равномерна поне ужсходимост.
Сега ще докажем втората част на теоремата.
От равномерната сходимост (или поне ужсходимост) на <math>(f_k)_{k=1,2,...}</math> в точката <math>\xi</math> следва, че за всяко положително <math>\epsilon</math> съществуват околност <math>W</math> на <math>\xi</math> и <math>m</math> такива, че
:<math>\forall x\in W\left(|f_m(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}\right)</math>
и в частност
:<math>|f_m(\xi)-f(\xi)|<\frac{\varepsilon}{3}</math>,
когато <math>f</math> е някоя от границите на <math>(f_k)_{k=1,2,...}</math>. От непрекъснатостта на функциите <math>f_1</math>, <math>f_2</math>, ... следва, че съществува околност <math>V</math><math>\!^\subseteq</math><math>W</math> на <math>\xi</math>, така че
:<math>\forall x\in V\left(|f_m(x)-f_m(\xi)|<\frac{\varepsilon}{3}\right)</math>.
Събрани трите неравенствата показват непрекъснатостта на <math>f</math> в точкта <math>\xi</math>:
:<math>\forall x\in V\left(|f(x)-f(\xi)|<\varepsilon\right)</math>.
Ще завършим доказателството като покажем и верността на третото твърдение. За всяко положително <math>\epsilon</math> съществува околност <math>Y</math> на <math>\xi</math>, такава че
:<math>\forall x\in Y\left(|f_m(\xi)-f(\xi)|<\frac{\varepsilon}{3}\right),</math>:<math>\forall x\in Y\left(|f(\xi)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}\right)</math>
и
:<math>\forall x\in Y\left(|f_m(x)-f_m(\xi)|<\frac{\varepsilon}{3}\right)</math>.
Това следва от поточковата сходимостта на <math>(f_k)_{k=1,2,...}</math> и от
непрекъснатостта на функциите <math>f</math>, <math>f_1</math>, <math>f_2</math>, ... в <math>\xi</math> и означава, че
:<math>\forall x\in Y\left(|f_m(x)-f(x)|<{\varepsilon}\right)</math>.
Последното показва равномерната поне ужсходимост на <math>(f_k)_{k=1,2,...}</math> в <math>\xi</math>.
3 Вижте също
* Теорема на Йънг за прекъснатите функции