Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема на Йънг за прекъснатите функции

Тема на тази статия е доказателсво на теоремата на Йънг и някои нейни следствия.
0.0.1 Твърдение (Теорема на Йънг)
Нека <math>\mathfrak{G}</math> e семейството на всички <math>G_\delta</math>-множества от реални числа, <math>\mathfrak{F}</math> - множеството от функции:
:<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>,
а <math>N(f)\,</math> за всяко <math>f\in\mathfrak{F}</math> - множеството от точки, в които <math>f\,</math> е непрекъсната. Тогава:
:<math>\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F=\mathfrak{G}</math>.
0.0.2 Доказателство
Първо ще докажем, че <math>\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F\subset \mathfrak{G}</math>.
Нека <math>f\in\mathfrak{F}</math>. Ще използваме следните означения:
<math>Y(f)=\mathbb{R}\backslash N(f),\,</math><math>\triangle_k(x)</math> - за всяко <math>x\in N(f)</math> околност на <math>x\,</math> такава, че
<math>\forall\xi\left( \xi\in\triangle_k(x)\Rightarrow |f(\xi)-f(x)|<\frac{1}{2k}\right),</math><math>G_k=\bigcup_{x\in N(f)}\triangle_k(x)</math>
и
<math>G=\bigcap_{k=1}^{\infty}G_k.</math><math>\triangle_k(x)</math> са отворени множества следователно и <math>G_k</math> са също отворени множества, а <math>G</math> борелово <math>G_\delta</math>-множество. Ще докажем, че <math>N(f)=G\,</math>.
Очевидно, че <math>N(f)\subset G,</math> което се вижда от:
:<math>\forall x \forall k ( x\in N(f)\Rightarrow x\in\triangle_k(x)) \Rightarrow \forall x \forall k \left(x\in N(f) \Rightarrow x\in G_k \right) \Rightarrow \forall x\ (x\in N(f) \Rightarrow x\in G).</math>
В обратната посока:
Нека <math>y\in G</math>. Тогава <math>\forall k\ (y\in G_k)</math> следователно
:<math>\forall k\exists x_k(x_k\in N(f) \Rightarrow y\in\triangle_k(x_k)).</math>
Нека допуснем, че <math>y\notin N(f)</math>. Тогава <math>y\neq x_k</math> за всяко <math>k</math>. Следователно за всяко <math>k</math> съществува околност <math>\triangle^{\star}_k(y)</math> на <math>y</math>, такава, че <math>x_k\notin\triangle^{\star}_k(y)</math> и <math>\triangle^{\star}_k(y)\subset\triangle_k(x_k).</math>
От дефиницията на <math>\triangle_k(x)</math> следва
:<math>\forall k\forall\xi\left(\xi\in\triangle^{\star}_{k}(y) \Rightarrow |f(y)-f(\xi)|<\frac{1}{k}\right),</math>
но това означава, че <math>y\in N(f).</math>.
С това доказахме, че <math>N(f)\in \mathfrak{G}</math> и следователно <math>\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F\subset \mathfrak{G}</math>. Остава да докажем, че <math>\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F\supset \mathfrak{G}</math>.
Нека <math>G\in\mathfrak{G}</math> и
<math>G=\bigcap_{n=1}^\infty{G_n},</math> където <math>\{G_n\}_{n=1,2,...},</math> са отворени множества. Нека освен това <math>H_1=G_1\,</math> и <math>H_i=H_{i-1}\cap G_i.</math>
Ясно е, че
:<math>H_1 \supset H_2 \supset \ldots \supset H_n \supset \ldots</math>
а също така, че
:<math>\bigcap_{n=1}^m G_n=\bigcap_{n=1}^m H_n</math>
за всяко <math>m</math>, от което следва
:<math>G=\bigcap_{n=1}^\infty H_n</math>.
Дефинираме функцията <math>f_{H}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> за всяко отворено множество <math>H</math> и функцията <math>s:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> както следва
:<math>f_H(x)=\begin{cases} 0, & x\in H \cup(\mathbb{R}\setminus(\overline{H} \cup\mathbb{Q}))\\ 1, &x\in (\overline{H}\setminus H)\cup (\mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\overline{H})) \end{cases}</math>
и
:<math>s(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{f_{H_n}(x)}{3^n}.</math>
Ще докажем, че <math>s\,</math> e функция, за която <math>N(s)=G\,</math>, тоест, че <math>G\in\{N(f)\}_{f\in\mathfrak{F</math>.
Първо ще покажем, че <math>N(f_H)=H.\,</math>
Ако <math>x\in H</math>, то съществува <math>\varepsilon(x)>0</math> такова, че <math>\triangle(x)=\{y: |y-x|<\varepsilon(x)\}\subset H.</math> Функцията <math>f_H\,</math> е константна върху <math>\triangle(x)</math> и следователно непрекъсната в <math>x\,</math>.
Ако
:<math>x\in \overline{H}\setminus H,</math>
то за всяко <math>\varepsilon>0</math>:<math>H\cap\{y: |y-x|<\varepsilon\}\neq\emptyset</math>
и
:<math>\forall z ((z\in H\cap\{y: |y-x|<\varepsilon\}\neq\emptyset) \Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1)).</math><math>f_H\,</math> следователно e прекъсната в <math>x\,</math>.
Ако
:<math>x\in \mathbb{R}\setminus\overline{H},\,</math>
то съществува <math>\varepsilon(x)>0</math> такова, че <math>\triangle(x)=\{y: |y-x|<\varepsilon(x)\}\subset \mathbb{R}\setminus\overline{H}.</math> В сила е
:<math>\triangle(x) \cap (\mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\overline{H}))\neq \emptyset</math>
и
:<math>\triangle(x) \cap (\mathbb{R}\setminus(\overline{H} \cup\mathbb{Q}))\neq \emptyset</math>
От което следва, че <math>f_H\,</math> e и в този случай прекъсната в точката <math>x\,</math>.
Нека да разгледаме сега функцията <math>s(x)\,</math>. Редът
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{f_{H_n}(x)}{3^n}\qquad (\#)</math>
се мажорира от сходящия ред
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3^n}</math>
и е следователно равномерно сходящ. Тъй като функциите <math>\{f_{H_n}\}_n</math> са непрекъснати в <math>G\,</math>, то заради равномерната сходимост на (#) и <math>s(x)\,</math> би трябвало да е непрекъсната в <math>G,\,</math> тоест <math>N(s)\supset G.</math> Остава да покажем, че функцията <math>s(x)\,</math> е прекъсната за всяко <math>x\in\mathbb{R}\setminus G.</math>
Нека <math>x\notin G</math> и <math>m=\min\{n: x\notin H_n\}.</math>
Тогава
:<math>s(x)=\sum_{n=m}^\infty \frac{f_{H_n}(x)}{3^n}.</math>
Ако
:<math>x\in \mathbb{R}\setminus \overline{H_m},</math>
то
:<math>x\in \mathbb{R}\setminus \overline{H_n}</math> за всяко <math>n\geq m.</math>
и следователно
:<math>\exist \delta\forall n(n\geq m \Rightarrow \triangle_\delta(x)\subset\mathbb{R}\setminus \overline{H_n}),</math>
където <math>\triangle_\delta (x)=\{y:|y-x|<\delta\}.</math>
За <math>y\in\triangle_\delta(x)</math>:<math>s(y) = \begin{cases} 0, & y\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \\ \sum_{n=m}^\infty \frac{1}{3^n}>0, &y \in \mathbb{Q} \end{cases}</math>
Което означава, че <math>x\notin N(s)</math>.
Ако
:<math>x\in \overline{H_m}\setminus H_m,</math>
то за всяко <math>\delta > 0</math>:<math>\triangle_\delta(x)\cap H_m\neq \emptyset</math>
и
:<math>\forall y \left(y\in\triangle_\delta(x)\cap H_m \Rightarrow s(y)\leq\sum_{n=m+1}^\infty \frac{1}{3^n} <\frac{1}{3^m}\right)</math>,
но
:<math>s(x)\geq \frac{F_{H_m}(x)}{3^m}=\frac{1}{3^m}.</math>
Следователно и в този случай <math>x\notin N(s).</math>
1 Виж също
* Теорема за равномерната сходимост в точка
de:Beweisarchiv: Mengenlehre: Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young