Сборник с математически доказателства/Чернова9

Сборник с математически доказателства/Чернова<<
wikipedia:en:Hilbert's problems
wikipedia:de:Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen
По време на втория математически конгрес, проведен в Париж през 1900, Давид Хилберт представя 23 нерешени от математиците проблема. Според него, те ще обозначат целите на математиците през ХХ век.
Нека вземем за пример Първият Хилбертов проблем. Първият Хилбертов проблем се отнася до хипотезата за континуума на Кантор. През 1940, Курт Гьодел доказва, че хипотезата не може да бъде опровергана, в рамките на Теорията на множествата на Земело-Франкел, дори ако приемем аксиомата за избора. През 1963, Пол Коен доказва, че хипотезата не може и да бъде доказана, на базата на същата аксиоматика. И двамата предполагат, че аксиоматиката на Земело-Франкел е вътрешно непротиворечива.
По-нататък следва таблица изброяваща проблемите, както и тяхното състояние - решеност, нерешеност, полу- или частична решеност за момента.
1 Таблица на 23-те проблема
23-те проблема на Хилберт са:
Проблем, Кратко обяснение, Състояние
1ви, Хипотезата за континуума (тоест няма множество по мощно от множеството на целите числа и по-малко мощно от множеството на реалните числа), Гьодел доказва (1939), че ако аксиоматичната система на Цермело-Френкел е непротиворечива, то тя не може да опровергае хипотезата за континуума. Коен доказва (1969), че при същите предположения, хипотезата не може да бъде доказана, тоест, че в най-широко използваната теория на множествата проблемът е неразрешим. През последните две десителетия се води дискусия за това дали хипотезата може да бъде доказана или опровергана в рамките на друга теория на множествата. Водещият специалист в тази област Уилиам Удин работи върху фомулирането на по-съвършена аксиоматична система от тази на Цермело-Френкел, която ще може да опровергае хипотезата за континуума. Неговият колега Джон Стийлс смята, че начинанието е безсмислено и обречено на неуспех.
2ри, Да се докаже непротоворечивостта на Пеановата аритметика., Проблемът е неразрешим така, както е поставен от Хилберт, тоест в рамките на Хилбертовата програма, която допуска използването на трасфинитна индукция само до <math>\omega</math> (първото безкрайно ординално число). Неразрешимостта е следствие от теоремата на Гьодел за непълнотата. Генцен успява обаче да покаже (1936) непротиворечивостта на Пеановата аритметика в по-малко строга метаматическа програма с височина на индукционните изводи до <math>\epsilon_0</math> (най-малкото ординално число непредставимо като аритметичен израз от по-малки ординални числа). Доказано е, че този резултат не може да бъде подобрен. Тъй като изпозването на ординални числа по-малки от <math>\epsilon_0</math> е незначително отклонение от Хилбертовата програма, не криещо рискове, доказателството на Генцен се счита за решение на проблема.
3ти, Може ли да се докаже, че два тетраедъра имат един и същ обем? (при определени допускания), Решен. Резултат: не, виж Инварианта на Ден
4ти, Да се построят всички метрики, където правите линии са геодезични криви., Неясно формулиран Според Rowe & Gray четвъртия проблем не е твърде добре дефиниран, за да бъде определено дали е решен или не.
5ти, Дали всички непрекъснати групи автоматично Групи на Ли?, Решен (1950, отговор положителен).
6ти, Пълна аксиоматизация на физиката., Нерешен. Нематематически
7ми, Дали ''a''<sup>'' b''</sup> е трансцедентно, за всяко алгебрично число ''a''&ne; 0,1 и ирационално алгебрично ''b'' ?, Решен. Резултат: да, виж например Теоремата на Гелфонд или Теоремата на Гелфонд-Шнайдер
8ми, Римановата хипотеза („Реалната част на всяка кратна нула на Римановата дзета-функция е равна на ½“.) и Хипотезата на Голдбах (всяко четно, по-голямо от 2, може да бъде записано като сбор от прости числа)., Открит
9ти, Find most general law of the reciprocity theorem in any algebraic number field, Частично решен
10ти, Determination of the solvability of a Diophantine equation, Решен. Резултат: не, Matiyasevich's theorem implies that this is impossible
11ти, Solving quadratic forms with algebraic numerical coefficients., Частично решен
12ти, Extend Kronecker's theorem on abelian extensions of the rational numbers to any base number field., Открит
13ти, Solve all 7-th degree equations using functions of two parameters., Решен
14ти, Proof of the крайност of certain complete systems of functions., Решен. Резултат: не, generally, due to counterexample
15ти, Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus., Частично решен
16ти, Topology of algebraic curves and surfaces., Открит
17ти, Expression of definite rational function as quotient of sums of squares, Решен. Резултат: An upper limit was established for the number of square terms necessary
18ти, Is there a non-regular, space-filling polyhedron? What is the densest sphere packing?, Решен
19ти, Are the solutions of Lagrangians always analytic?, Решен. Резултат: да
20ти, Do all variational problems with certain boundary conditions have solutions?, Решен. A significant area of research throughout the 20th century, culminating in solutions for the non-linear case.
21ви, Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group, Решен. Резултат: Да or не, depending on more exact formulations of the problem
22ри, Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions, Решен
23ти, Further development of the calculus of variations, Решен