Сборник с математически доказателства/Допълнения/Видове сходимост

''Тази страница е в процес на изграждане''
1 Сходимост в пространства от реалнозначни функции
Разглеждаме функции
:<math>f:D\to R</math>
където <math>R</math> e метрично пространство.
Разстоянието между две точки <math>y_1</math> и <math>y_2</math> в <math>R</math> ще бележим с <math>|y_1-y_2|</math>.
1.1 Дефиниции
1.1.1 Поточкова сходимост в дадена точка
Редицата от функции <math>F=(f_n)_{n=1,2,...}</math> се нарича ''поточково сходяща'' (или просто ''сходяща'') клоняща към <math>f</math> в точката <math>\xi\in D</math>, ако
:<math>\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}\ \exists m\in\mathbb{N}\ (n \geq m \Rightarrow \left|f_n(\xi)-f(\xi)\right| < \varepsilon)</math>
1.1.2 Поточкова сходимост във всяка точка
Редицата от функции <math>F=(f_n)_{n=1,2,...}</math> се нарича ''поточково сходяща във всяка точка'' (или ''поточково сходяща във всяка точка от дефиниционното и множество'') клоняща към <math>f</math>, ако
:<math>\forall \xi\in D\ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}\ \exists m\in\mathbb{N}\ (n \geq m \Rightarrow \left|f_n(\xi)-f(\xi)\right| < \varepsilon)</math>
1.1.3 Равномерна сходимост
Редицата от функции <math>F=(f_n)_{n=1,2,...}</math> се нарича ''равномерно сходяща'' клоняща към <math>f</math>, ако
:<math>\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}\ \exists m\in\mathbb{N}\ \forall x\in D\ (n \geq m \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon)</math>
1.1.4 Равномерна сходимост в точка
Нека <math>D</math> е метрично пространство. Редицата от функции <math>F=(f_n)_{n=1,2,...}</math> се нарича ''равномерно сходяща в точката''<math>\xi</math> клоняща към <math>f</math>, ако
:<math>\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}\ \exists m\in\mathbb{N}\ \exist \delta\in\mathbb{R}_{>0}\ (n \geq m \Rightarrow \triangle_\delta(\xi)\subset\{x:\ |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon\}),</math>
където
:<math>\triangle_\delta(\xi)=\{x:\ |x-\xi|<\delta\}.</math>
1.1.5 Равномерна сходимост във всяка точка
Нека <math>D</math> е метрично пространство. Редицата от функции <math>F=(f_n)_{n=1,2,...}</math> се нарича ''равномерно сходяща във всяка точка'', ако за всяко <math>\xi</math> от <math>D</math>, тя е равномерно сходима във <math>\xi</math>.
1.1.6 Равномерна поне ужсходимост в дадена точка
Нека <math>D</math> е метрично пространство. Редицата от функции <math>F=(f_n)_{n=1,2,...}</math> се нарича ''равномерно поне ужсходяща в точката''<math>\xi</math> клоняща към <math>f</math>, ако
:<math>\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}\ \exists m\in\mathbb{N}\ \exist \delta\in\mathbb{R}_{>0}\ (\triangle_\delta(\xi)\subset\{x:\ |f_m(x)-f(x)| < \varepsilon\}).</math>''Забелeжка'': Понятието "''равномерна поне ужсходимост''" не представлява общоприет в литературата термин. Този вид сходимост е описан за първи път от Хаусдорф в неговата книга ''Grundzuege der Mengenlehre'' (1914). Там той я нарича "''униформна''" (на немски ''uniforme Konvergenz'') различавайки я от равномерната сходимост (на немски ''gleichmaessige Konvergenz''). Ние няма да използваме това наименование, защото съществува опасност от объркване. (За тази опасност предупреждава и самият Хаусдорф в книгата си.) Френският израз за равномерна сходимост е ''сonvergence uniforme'' (а английският - ''uniform сonvergence''). Освен това употребата на думата сходимост в този случай е заблуждаващо. Редицата <math>g_n(x)= (n</math> mod <math>2)</math> например отговаря на посочените условия и въпреки това не е дори поточково сходяща. Тоест тук не се касаее за сходимост в общоприетия смисъл.
1.1.7 Поточкова поне ужсходимост в дадена точка
Редицата от функции <math>F=(f_n)_{n=1,2,...}</math> се нарича ''поточково поне ужсходяща'' (или просто ''поне ужсходяща'') клоняща към <math>f</math> в точката <math>\xi\in D</math>, ако
:<math>\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}\ \exists m\in\mathbb{N}\ (\left|f_m(\xi)-f(\xi)\right| < \varepsilon)</math>
1.1.8 Поточкова поне ужсходимост във всяка точка
Редицата от функции <math>F=(f_n)_{n=1,2,...}</math> се нарича ''поточково поне ужсходяща във всяка точка'' (или ''поточково поне ужсходяща във всяка точка от дефиниционното и множество'') клоняща към <math>f</math>, ако
:<math>\forall \xi\in D\ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}\ \exists m\in\mathbb{N}\ (\left|f_m(\xi)-f(\xi)\right| < \varepsilon)</math>