Fixpoint s_produit_r (a : ad) (p : prec_list) (s : state) {struct s} :
state :=
match s with
| M0 => M0 prec_list
| M1 a' p' =>
if Neqb a a' then M1 prec_list a (pl_produit p' p) else M0 prec_list
| M2 s0 s1 =>
match a with
| N0 => M2 prec_list (s_produit_r N0 p s0) (M0 prec_list)
| Npos q =>
match q with
| xH => M2 prec_list (M0 prec_list) (s_produit_r N0 p s1)
| xO q' => M2 prec_list (s_produit_r (Npos q') p s0) (M0 prec_list)
| xI q' => M2 prec_list (M0 prec_list) (s_produit_r (Npos q') p s1)
end
end
end.
Definition sproductr_0_def (s : state) : Prop :=
forall (a : ad) (p : prec_list) (c : ad) (r0 r1 : prec_list),
MapGet prec_list (M1 prec_list a p) c = Some r0 ->
MapGet prec_list s c = Some r1 ->
MapGet prec_list (s_produit_r a p s) c = Some (pl_produit r1 r0).

Lemma sproductr_0 :
forall (s : state) (a : ad) (p : prec_list) (c : ad) (r0 r1 : prec_list),
MapGet prec_list (M1 prec_list a p) c = Some r0 ->
MapGet prec_list s c = Some r1 ->
MapGet prec_list (s_produit_r a p s) c = Some (pl_produit r1 r0).