intros a p q H' H'0 H'1.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) a p)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n) a q))); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) a p)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) a) q));
auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) a p)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) a
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))) q));
auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) a p)
(mults (A:=A) multA (n:=n) a
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) q)));
auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n) a
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec p
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) q)));
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
Qed.

Theorem minuspf_zero :
forall (a : Term A n) (p q : list (Term A n)),
eqP A eqA n (minuspf (pX a p) (pX a q)) (minuspf p q).