intros A B C D H H0; try assumption.
elim existence_milieu with (B := B) (C := C); intros I H1; try exact H1.
cut (bissectrice I A B C /\ bissectrice I D B C); intros.
elim H2; intros H3 H4; clear H2; try exact H3.
cut (colineaire (vec A I) (vec D I)); intros.
unfold bissectrice in |- *.
split; [ idtac | try assumption ].
apply bissectrice_droite with (vec A I); auto.
apply point_aligne; auto.
apply bissectrice_droite with (vec D I); auto.
apply point_aligne; auto.
apply bissectrice_direction with (1 := H3); auto.
apply bissectrice_deux_isoceles; auto.
split; [ idtac | try assumption ].
apply milieu_isocele; auto.
apply milieu_isocele; auto.
Qed.

Lemma concours_3circonscrits :
forall A B C P Q T O1 O2 I : PO,
circonscrit T A B O1 ->
circonscrit I A B O1 ->
circonscrit Q A C O2 ->
circonscrit I A C O2 ->
~ colineaire (vec P B) (vec P C) ->
R
(plus (cons (vec P C) (vec P B))
(plus (cons (vec T B) (vec T A)) (cons (vec Q A) (vec Q C)))) pi ->
sont_cocycliques P B C I.