intros p q r H'; elim H'; auto.
intros; apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
simpl in |- *; intros; apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
intros a1 a2 l1 l2 l3 H'0 H'1 H'2.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pX a1
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec l1
(pX
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) a2)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) l2))));
auto.
simpl in |- *; apply pluspf_inv1 with (1 := cs); auto.
change
(ltT ltM
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) a2)
a1) in |- *.
apply eqT_compat_ltTl with (b := a2); auto.
intros a1 a2 l1 l2 l3 H'0 H'1 H'2 H'3.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
l1
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
l2)); auto.
simpl in |- *; apply pluspf_inv3a with (1 := cs); auto.
change
(eqT a1
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) a2))
in |- *.
apply (eqT_trans A n) with (y := a2); auto.
change
(zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n)
(plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
a2))) in |- *; auto.
apply
zeroP_comp_eqTerm with (1 := cs) (a := minusTerm (A:=A) minusA (n:=n) a1 a2);
auto.
apply
(eqTerm_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with (y := plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 (invTerm (A:=A) invA (n:=n) a2));
auto.
apply (eqTerm_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply plusTerm_comp_r with (1 := cs); auto.
apply
(eqTerm_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n) a2));
auto.
apply eqTerm_invTerm_comp with (1 := cs); auto.
apply (eqTerm_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
intros a1 a2 l1 l2 l3 H'0 H'1 H'2 H'3.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pX
(plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) a2))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec l1
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) l2)));
auto.
apply eqpP1; auto.
apply
(eqTerm_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with (y := plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 (invTerm (A:=A) invA (n:=n) a2));
auto.
apply plusTerm_comp_r with (1 := cs); auto.
apply
(eqTerm_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n) a2));
auto.
apply (eqTerm_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
simpl in |- *; apply pluspf_inv3b with (1 := cs); auto.
change
(eqT a1
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) a2))
in |- *.
apply (eqT_trans A n) with (y := a2); auto.
change
(~
zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n)
(plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
a2))) in |- *; auto.
apply
nzeroP_comp_eqTerm
with (1 := cs) (a := minusTerm (A:=A) minusA (n:=n) a1 a2);
auto.
apply
(eqTerm_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with (y := plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 (invTerm (A:=A) invA (n:=n) a2));
auto.
apply plusTerm_comp_r with (1 := cs); auto.
apply
(eqTerm_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n) a2));
auto.
apply (eqTerm_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
intros a1 a2 l1 l2 l3 H'0 H'1 H'2.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pX
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) a2)
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec (pX a1 l1)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) l2)));
auto.
apply eqpP1; auto.
apply
(eqTerm_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n) a2));
auto.
apply (eqTerm_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
simpl in |- *; apply pluspf_inv2 with (1 := cs); auto.
change
(ltT ltM a1
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) a2))
in |- *; auto.
apply eqT_compat_ltTr with (b := a2); auto.
Qed.

Theorem minuspf_is_pluspf_mults :
forall p q : list (Term A n),
eqP A eqA n (minuspf p q)
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec p
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) q)).