Proof using.
intros a1 a2 a3 l; generalize a1 a2 a3; elim l; simpl in |- *; auto;
clear a1 a2 a3 l.
intros a1 a2 a3 H0; inversion H0; auto.
intros a; case a.
intros l H a1 a2 a3; case a3; auto.
intros a0 H0; left; apply (inpbleaf_eq a1 a2 empty l); auto.
inversion H0; auto.
intros p H1; inversion H1; auto.
left; apply (inpbleaf_eq a1 a2 empty l); auto.
intros p H0; case (H a1 a2 p); auto.
inversion H0; auto.
intros p p0 H1; inversion H1; auto.
case (H a1 a2 p0); auto.
intros l H a1 a2 a3; case a3; auto.
intros a0 H1; left; apply (inpbleaf_eq a1 a2 empty l); auto.
inversion H1; auto.
intros p H1; case (H a1 a2 p); auto.
inversion H1; auto.
intros p H1; inversion H1.
left; apply (inpbleaf_eq a1 a2 empty l); auto.
case H0; auto.
intros p p0 H1; inversion H1.
case (H a1 a2 p); auto.
case H0; auto.
Qed.

(* Adding creates a new leaf *)
Theorem inpb_pbadd : forall a1 l1 t1, inpb (pbleaf a1) (pbadd a1 t1 l1).
Proof using.