intros a b; case a; case b; simpl in |- *; auto.
intros a0 l a1 l0 Cpxa0 Cpxa1.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a0);
[ intros nZa0 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l); auto ].
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a1);
[ intros nZa1 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l0); auto ].
change
(eqP A eqA n
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))))
in |- *.
cut (canonical A0 eqA ltM l);
[ intros Op1 | apply canonical_imp_canonical with (a := a0); auto ].
cut (canonical A0 eqA ltM l0);
[ intros Op2 | apply canonical_imp_canonical with (a := a1); auto ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); apply eqp_pluspf_com with (1 := cs);
auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto;
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto
| idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto | idtac ].
apply canonical_mults with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply mults_dist_pluspf with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)));
auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
Qed.

Theorem spolyf_def :
forall (a b : Term A n) (nZa : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a)
(nZb : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) b) (p q : list (Term A n))
(Cpxa : canonical A0 eqA ltM (pX a p))
(Cpxb : canonical A0 eqA ltM (pX b q)),
eqP A eqA n (spolyf (pX a p) (pX b q) Cpxa Cpxb)
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa) p)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)).