End Precision.
(**********)
(* update *)
(**********)
Section UpdateLemmas.
Variable (K : ordType) (V : Type) (U : union_map_class K V).
Implicit Types (k : K) (v : V) (f : U).

Lemma freeUnL k f1 f2 : k \notin dom f1 -> free k (f1 \+ f2) = f1 \+ free k f2.