unfold colineaire in |- *.
intros M A B O O' H H0 H1 H2 H3 H4.
cut (R (cons (vec O A) (vec O B)) (cons (vec O' A) (vec O' B))); intros.
cut
(R (double (cons (vec A B) (vec A O))) (double (cons (vec A B) (vec A O'))));
intros.
cut
(R (double (cons (vec B O) (vec B A))) (double (cons (vec B O') (vec B A))));
intros.
split; [ idtac | try assumption ].
split; [ idtac | try assumption ].
apply transitive with (double (cons (opp (vec O A)) (opp (vec O' A)))); auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (opp (vec O A)) (vec A B))
(cons (vec A B) (opp (vec O' A))))); auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (opp (vec O A)) (vec A B))
(cons (vec A B) (opp (vec O' A))))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (opp (vec O A)) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (opp (vec O' A)))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (opp (vec O A)) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (vec A O)))); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A O'))); auto.
apply R_double.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (opp (vec O A)) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O))));
auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A O) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O))));
auto.
apply R_double.
apply compatible; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with (double (cons (vec B O) (vec B O'))); auto.
apply R_double.
apply transitive with (cons (opp (vec B O)) (opp (vec B O'))); auto.
apply transitive with (cons (opp (vec B O)) (opp (vec B O'))); auto.
apply symetrique; auto.
apply symetrique; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B O) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec B O) (vec B A)))
(double (cons (vec B A) (vec B O')))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec B O) (vec B A)))
(double (cons (vec B A) (vec B O)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B O) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B O))));
auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with (double (cons (vec M O) (vec M O'))); auto.
apply R_double.
apply transitive with (cons (opp (vec M O)) (opp (vec M O'))); auto.
apply symetrique; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect.
apply opp_vect.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M O) (vec M A)))
(double (cons (vec M A) (vec M O')))); auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M O) (vec M A)))
(double (cons (vec M A) (vec M O')))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec A M) (vec A O)))
(double (cons (vec A O') (vec A M)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A M) (vec A O)) (cons (vec A O') (vec A M))));
auto.
apply transitive with (double (cons (vec A O') (vec A O))); auto.
apply R_double.
apply
transitive
with (plus (cons (vec A O') (vec A M)) (cons (vec A M) (vec A O)));
auto.
cut (R (double (cons (vec A O) (vec A O'))) zero); intros.
apply regulier with (a := double (cons (vec A O) (vec A O'))) (c := zero);
auto.
apply
transitive
with
(double (plus (cons (vec A O) (vec A O')) (cons (vec A O') (vec A O))));
auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A O) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec A O) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (vec A O')))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec A O) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (vec A O)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A O) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O))));
auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A O))); auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A O'))); auto.
generalize (triangle_isocele (A:=O) (B:=A) (C:=B)); intros.
apply
regulier
with (a := cons (vec O A) (vec O B)) (c := cons (vec O' A) (vec O' B));
auto.
apply transitive with pi; auto.
generalize (triangle_isocele (A:=O') (B:=A) (C:=B)); intros.
apply symetrique; auto.
apply transitive with (double (cons (vec M A) (vec M B))); auto.
apply symetrique; apply angle_inscrit; auto.
auto.
apply angle_inscrit; auto.
Qed.

Lemma construction_isocele_base :
forall (A B : PO) (a : AV),
exists u : V,
(exists v : V,
R (cons (vec A B) u) (cons v (vec B A)) /\ R (cons u v) (double a)).