intros qa1 qd2 e1 x e0.
unfold pont in |- *.
intro.
cut
(exists y : Elt,
dans y (prodcart qa1 qd2) /\
couple e1 (couple x e0) = transition_pont y :>Elt).
2: apply dans_map; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros y Ht; elim Ht; clear Ht; intros H0 H1.
cut
(exists y1 : Elt,
(exists y2 : Elt, dans y1 qa1 /\ dans y2 qd2 /\ y = couple y1 y2 :>Elt)).
2: apply coupl3; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros y1 Ht; elim Ht; clear Ht; intros y2 Ht;
elim Ht; clear Ht; intros H2 Ht; elim Ht; clear Ht;
intros H3 H4.
cut (couple e1 (couple x e0) = transition_pont (couple y1 y2) :>Elt).
2: rewrite <- H4; assumption.
unfold transition_pont in |- *.
intro.
cut (couple x e0 = couple epsilon (couple y2 un) :>Elt).
2: apply couple_couple_inv2 with e1 (couple y1 zero); assumption.
intro.
apply couple_couple_inv1 with e0 (couple y2 un); assumption.
Qed.
(*  Si on a un chemin asynchrone uniquement dans l'automate 2 alors	*)
(*  on a le meme chemin au sens des automates finis.			*)

Lemma chemin_A_chemin_2 :
forall (q1 qa1 d1 q2 qd2 d2 : Ensf) (e e3 : Elt) (w0 : Word),
chemin_A (union_disj q1 q2)
(union (pont qa1 qd2) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2))) e e3 w0 ->
dans e (map injdroite q2) ->
dans e3 (map injdroite q2) -> chemin (first e) (first e3) q2 d2 w0.