apply sup_out.
Qed.
Definition Transition : Prop :=
forall x : Elt,
dans x d ->
exists2 w1 : Word,
inmonoid P w1 &
(exists2 y : Elt,
dans y (add eps X) &
(exists2 w2 : Word,
inmonoid P w2 & x = couple (word w1) (couple y (word w2)) :>Elt)).
Definition P_automata := inmonoid P wd /\ inmonoid P wa /\ Transition.

Lemma P_automata_1 : P_automata -> inmonoid P wd.
unfold P_automata in |- *.