Definition le_trans x y z : x<=y -> y<=z -> x<=z := @trans OLE OLE x y z.
Definition lt_trans x y z : x<y -> y<z -> x<z := @trans OLT OLT x y z.
Definition le_lt_trans x y z : x<=y -> y<z -> x<z := @trans OLE OLT x y z.
Definition lt_le_trans x y z : x<y -> y<=z -> x<z := @trans OLT OLE x y z.
Definition eq_lt x y z : x==y -> y<z -> x<z := @trans OEQ OLT x y z.
Definition lt_eq x y z : x<y -> y==z -> x<z := @trans OLT OEQ x y z.
Definition eq_le x y z : x==y -> y<=z -> x<=z := @trans OEQ OLE x y z.
Definition le_eq x y z : x<=y -> y==z -> x<=z := @trans OLE OEQ x y z.

Lemma le_neq_lt : forall x y, x<=y -> ~x==y -> x<y.