induction n; intuition; simpl in *.
inversion H0; clear H0; subst.
inversion H1; clear H1; subst.
rewrite H0.
eapply rat0_le_all.
inversion H0; clear H0; subst.
inversion H1; clear H1; subst.
rewrite H9.
eapply leRat_trans.
2:{
eapply eqRat_impl_leRat.
symmetry.
eapply H7.
}
eapply ratAdd_leRat_compat.
eauto.
eauto.
Qed.

Lemma ratSubtract_series_map : forall n f1 f2 a1 a2,
n > 0 ->
sumList_rel f1 (getNats O n) a1 ->
sumList_rel f2 (getNats O n) a2 ->
(forall i x1 x2, f1 (S i) x1 -> f2 i x2 -> x1 == x2) ->
(forall i v1 v2, f1 i v1 -> f1 i v2 -> v1 == v2) ->
(forall i v1 v2, f2 i v1 -> f2 i v2 -> v1 == v2) ->
(forall i v1 v2, f1 i v1 -> f2 i v2 -> v2 <= v1) ->
(forall i1 i2 v1 v2, (i1 <= i2)%nat -> f1 i1 v1 -> f1 i2 v2 -> v2 <= v1) ->
(forall i1 i2 v1 v2, (i1 <= i2)%nat -> f2 i1 v1 -> f2 i2 v2 -> v2 <= v1) ->
forall x1 x2,
f1 O x1 -> f2 (pred n) x2 ->
ratSubtract a1 a2 == ratSubtract x1 x2.