intros M A B; try assumption.
elim
construction_isocele_base
with (A := A) (B := B) (a := cons (vec M A) (vec M B));
intros u H; elim H; intros v H0; clear H; try exact H0.
elim H0; intros H H1; clear H0; try exact H1.
exists u; exists v.
elim angle_cons with (a := cons u (vec A M)) (u := vec M A); intros w H';
try exact H'.
exists w.
generalize (somme_triangle M A B).
generalize (somme_pi (vec A B) u v).
intros H2 H3; try assumption.
split; [ split; try assumption | try assumption ].
cut (R (cons u w) (double (cons (vec B A) (vec B M)))); intros.
split; [ try assumption | idtac ].
apply regulier with (a := cons u v) (c := double (cons (vec M A) (vec M B)));
auto.
apply transitive with (cons u w); auto.
apply transitive with (double (cons (vec B A) (vec B M))); auto.
apply
regulier
with
(a := double (cons (vec B M) (vec B A)))
(c := double (cons (vec B M) (vec B A))); auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (cons (vec A B) (vec A M))))
(double (cons (vec B M) (vec B A)))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(plus (double (cons (vec A B) (vec A M)))
(double (cons (vec B M) (vec B A))))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A)))));
auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (vec M A) (vec M B))
(plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A)))));
auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B M) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B M))));
auto.
apply transitive with (double pi); auto.
apply transitive with (double (cons (vec B M) (vec B M))); auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with zero; auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A M))
(plus (cons (vec A M) (vec M A)) (cons (vec M A) w)));
auto.
apply transitive with (plus (cons u (vec A M)) (plus pi (cons (vec M A) w)));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (cons u (vec A M)) (plus (cons (vec M A) w) pi));
auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus (cons u (vec A M)) (cons (vec M A) w)) pi);
auto.
apply transitive with (plus (plus (cons u (vec A M)) (cons u (vec A M))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply
regulier
with
(a := plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(c := plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u));
auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(plus (cons u (vec A M)) (cons u (vec A M)))) pi);
auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons u (vec A M)))
(plus (cons (vec A B) u) (cons u (vec A M)))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply calcul4; auto.
apply
transitive
with (plus (plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec A B) (vec A M))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply regulier with (a := cons u v) (c := cons u v); auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons u v) (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u)))
(double (cons (vec B A) (vec B M)))); auto.
apply transitive with (plus pi (double (cons (vec B A) (vec B M)))); auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (cons u v)
(plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec A B) (vec A M)))) pi);
auto.
apply transitive with (plus (double (cons (vec B A) (vec B M))) pi); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (cons (vec A B) (vec A M)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
regulier
with
(a := double (cons (vec B M) (vec B A)))
(c := double (cons (vec B M) (vec B A))); auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (cons (vec A B) (vec A M))))
(double (cons (vec B M) (vec B A)))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(plus (double (cons (vec A B) (vec A M)))
(double (cons (vec B M) (vec B A))))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A)))));
auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (vec M A) (vec M B))
(plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A)))));
auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B M) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B M))));
auto.
apply transitive with (double pi); auto.
apply transitive with (double (cons (vec B M) (vec B M))); auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with zero; auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (cons (vec A B) u)
(plus (cons v (opp (vec A B))) (cons (opp u) (opp v))));
auto.
apply
transitive
with (plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u)) (cons u v));
auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons v (opp (vec A B))))
(cons (opp u) (opp v))); auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (cons v (vec B A)); auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect; auto.
split; [ try assumption | idtac ].
split; [ try assumption | idtac ].
apply regulier with (a := cons (vec M A) w) (c := cons u (vec A M)); auto.
apply transitive with (cons (vec M A) (vec M B)); auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A M))
(plus (cons (vec B M) (vec B A)) (cons (vec B A) v)));
auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A M))
(plus (cons (vec B M) (vec B A)) (cons u (vec A B))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A M))
(plus (cons u (vec A B)) (cons (vec B M) (vec B A))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons u (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A M)))
(plus (cons u (vec A B)) (cons (vec B M) (vec B A))));
auto.
apply
regulier
with (a := cons (vec M A) (vec M B)) (c := cons (vec M A) (vec M B));
auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (cons (vec M A) (vec M B))
(plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A))))
(plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B))));
auto.
apply transitive with (plus pi (plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B))));
auto.
apply transitive with (cons u v); auto.
apply
regulier
with
(a := plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(c := plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u));
auto.
apply transitive with pi; auto.
apply
transitive
with (plus (plus (cons (vec A B) u) (cons v (vec B A))) (cons u v));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (plus (cons (vec A B) u) (plus (cons v (vec B A)) (cons u v)));
auto.
apply
transitive
with
(plus (cons (vec A B) u)
(plus (cons v (opp (vec A B))) (cons (opp u) (opp v))));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply
transitive
with
(plus (plus pi (plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B))))
(plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u)));
auto.
apply
transitive
with
(plus pi
(plus (plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B)))
(plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))));
auto.
apply transitive with (plus zero pi); auto.
apply transitive with (plus pi zero); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons u (vec A B)) (cons (vec A B) u))
(plus (cons u (vec A B)) (cons (vec A B) u)));
auto.
apply transitive with (plus (cons u u) (cons u u)); auto.
apply compatible; auto.
apply calcul4; auto.
apply compatible; auto.
apply calcul5; auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply symetrique; auto.
Qed.
Axiom
construction_circonscrit :
forall M A B : PO,
~ colineaire (vec M A) (vec M B) ->
exists O : PO, isocele O A B /\ isocele O A M /\ isocele O B M.
Definition circonscrit (M A B O : PO) :=
isocele O A B /\ isocele O A M /\ isocele O B M.
Definition sont_cocycliques (M A B M' : PO) :=
ex
(fun O : PO =>
ex
(fun O' : PO =>
(circonscrit M A B O /\ circonscrit M' A B O') /\
colineaire (vec O A) (vec O' A) /\ colineaire (vec O B) (vec O' B))).

Lemma isocele_sym : forall A B C : PO, isocele A B C -> isocele A C B.
unfold isocele in |- *; intros.