Definition boule_of_interval x y (h : x < y) :
{c :R & {r : posreal | c - r = x /\ c + r = y}}.
Definition boule_in_interval x y z (h : x < z < y) :
{c : R & {r | Boule c r z /\  x < c - r /\ c + r < y}}.

Lemma Ball_in_inter : forall c1 c2 r1 r2 x,
Boule c1 r1 x -> Boule c2 r2 x ->
{r3 : posreal | forall y, Boule x r3 y -> Boule c1 r1 y /\ Boule c2 r2 y}.