intros q qd qaA dA H_aut w.
cut (inclus qaA (sync_qa q qaA dA)).
2: apply inclus_qaA_qa.
intro H0.
intros e1 e2 H1.
elim H1.
intros e0 e3 H H2 H3.
exists e0.
split.
apply chemin_nil; auto.
rewrite H2.
apply dans_trans with qaA; auto.
intros.
cut
(exists e2' : Elt,
chemin e e2' q (sync_d q dA) w0 /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2' Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H7 H8.
exists e2'.
split; auto.
apply chemin_cons with e; auto.
cut (dans e q).
2: apply (dans_e1_q q (sync_d q dA) w0 e e2'); auto.
intro dans_e_q.
apply trans_dA_d; auto.
intros.
cut
(exists e2' : Elt,
chemin e e2' q (sync_d q dA) w0 /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e9 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 H7.
apply (epsilon_chemin q qaA dA w0 e0 e e9); auto.
Qed.
(*									*)
(*  Montrons maintenant que si (q,qd,qaA,dA) est un automate async.	*)
(*  alors (reconnait_A q qd qaA dA w) -> (reconnait q qd qa d w)	*)
(*  ou qa=(sunc_qa q qaA dA) et d=(sync_d q dA).			*)
(*									*)

Lemma reconnaitA_reconnait :
forall (q qd qaA dA : Ensf) (w : Word),
automate_A q qd qaA dA ->
reconnait_A q qd qaA dA w ->
reconnait q qd (sync_qa q qaA dA) (sync_d q dA) w.