(* relation d'une adresse d'occurence dans les prec_list *)
Inductive prec_occur : prec_list -> ad -> Prop :=
| prec_hd :
forall (a : ad) (pl0 pl1 : prec_list),
prec_occur (prec_cons a pl0 pl1) a
| prec_int0 :
forall (a b : ad) (pl0 pl1 : prec_list),
prec_occur pl0 b -> prec_occur (prec_cons a pl0 pl1) b
| prec_int1 :
forall (a b : ad) (pl0 pl1 : prec_list),
prec_occur pl1 b -> prec_occur (prec_cons a pl0 pl1) b.
(* relation de "contenu" pour les prec_list *)
Inductive prec_contained : prec_list -> prec_list -> Prop :=
| prec_id : forall p : prec_list, prec_contained p p
| prec_c_int0 :
forall (p p0 p1 : prec_list) (a : ad),
prec_contained p p0 -> prec_contained p (prec_cons a p0 p1)
| prec_c_int1 :
forall (p p0 p1 : prec_list) (a : ad),
prec_contained p p1 -> prec_contained p (prec_cons a p0 p1).
(* définition de l'appartenance d'un état à un pre dta *)
Definition state_in_dta (d : preDTA) (s : state) : Prop :=
exists a : ad, MapGet state d a = Some s.
Definition state_in_dta_diff (d : preDTA) (s : state)
(a : ad) : Prop := exists b : ad, MapGet state d b = Some s /\ a <> b.
(* définition de l'appartenance d'une adjacence à un pre dta *)
Definition prec_in_dta (d : preDTA) (p : prec_list) : Prop :=
exists s : state,
(exists a : ad,
(exists c : ad,
MapGet state d a = Some s /\
MapGet prec_list s c = Some p)).
Definition prec_in_dta_cont (d : preDTA) (p : prec_list) : Prop :=
exists s : state,
(exists b : ad,
(exists c : ad,
(exists p0 : prec_list,
MapGet state d b = Some s /\
MapGet prec_list s c = Some p0 /\ prec_contained p p0))).
Definition prec_in_dta_diff (d : preDTA) (p : prec_list)
(a : ad) : Prop :=
exists s : state,
(exists b : ad,
(exists c : ad,
MapGet state d b = Some s /\
MapGet prec_list s c = Some p /\ a <> b)).
Definition prec_in_dta_diff_cont (d : preDTA) (p : prec_list)
(a : ad) : Prop :=
exists s : state,
(exists b : ad,
(exists c : ad,
(exists p0 : prec_list,
MapGet state d b = Some s /\
MapGet prec_list s c = Some p0 /\
prec_contained p p0 /\ a <> b))).
(* définition de l'appartenance d'une adjacence à un etat *)
Definition prec_in_state (s : state) (p : prec_list) : Prop :=
exists c : ad, MapGet prec_list s c = Some p.

Lemma prec_contained_1 :
forall (a : ad) (p0 p1 p2 : prec_list),
prec_contained (prec_cons a p0 p1) p2 -> prec_contained p1 p2.