Fixpoint subAllFormula (f : Formula) (m : (nat -> Term)) {struct f} : Formula :=
match f with
| fol.equal t s => equal (subAllTerm t m) (subAllTerm s m)
| fol.atomic r ts => atomic r (subAllTerms _ ts m)
| fol.impH f g =>
impH (subAllFormula f m) (subAllFormula g m)
| fol.notH f => notH (subAllFormula f m)
| fol.forallH n f =>
let nv :=
newVar
(freeVarFormula L f ++
freeVarMap (freeVarFormula L (forallH n f)) m) in
forallH nv
(subAllFormula f
(fun v : nat =>
match eq_nat_dec v n with
| left _ => var nv
| right _ => m v
end))
end.

Lemma freeVarSubAllTerms1 :
forall (n : nat) (ts : fol.Terms L n) (m : nat -> fol.Term L) (v : nat),
In v (freeVarTerms L n (subAllTerms n ts m)) ->
exists a : nat, In a (freeVarTerms L n ts) /\ In v (freeVarTerm L (m a)).