Definition ball_norm (x : V) (eps : R) (y : V) := norm (minus y x) < eps.
Definition locally_norm (x : V) (P : V -> Prop) :=
exists eps : posreal, forall y, ball_norm x eps y -> P y.

Lemma ball_norm_le :
forall (x : V) (e1 e2 : posreal), e1 <= e2 ->
forall y, ball_norm x e1 y -> ball_norm x e2 y.