intros Q a b H' p q Cpxb Cpxa H'0 H'1.
cut (canonical A0 eqA ltM p);
[ intros Op2 | apply canonical_imp_canonical with (a := a) ];
auto.
cut (canonical A0 eqA ltM q);
[ intros Op3 | apply canonical_imp_canonical with (a := b) ];
auto.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a); [ intros nZa | idtac ]; auto.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) b); [ intros nZb | idtac ]; auto.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b));
[ intros nZppab | idtac ]; auto.
apply
reduceplus_mults_inv
with
(a := divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) a b) (b:=
ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(1 := cs); auto.
apply divP_on_eqT_eqT; auto.
apply (eqT_sym A n); auto.
2: apply spolyf_canonical with (1 := cs); auto.
2: apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := q); auto.
2: apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := p); auto.
apply
reduceplus_eqp_com
with
(1 := cs)
(p := minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) b p) (mults (A:=A) multA (n:=n) a q))
(q := pO A n); auto.
apply fspoly_Reduceplus_pO; auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) a b)
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa) p)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)));
auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) a b)
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa) p))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) a b)
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)));
auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) a b)
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa)) p)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) a b)
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb)) q));
auto.
apply minuspf_comp with (1 := cs); auto.
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply divP_comp_ppc0 with (1 := cs); auto.
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply divP_comp_ppc1 with (1 := cs); auto.
apply minuspf_comp with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n);
apply mults_comp_minuspf with (1 := cs); auto.
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); apply spolyf_def with (1 := cs); auto.
Qed.

Theorem spoly_Reducestar_ppc :
forall (Q : list (poly A0 eqA ltM)) (a b : Term A n),
eqT (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (multTerm (A:=A) multA (n:=n) a b) ->
forall (p q : list (Term A n)) (Cpxb : canonical A0 eqA ltM (pX b q))
(Cpxa : canonical A0 eqA ltM (pX a p)),
inPolySet A A0 eqA n ltM (pX b q) Q ->
inPolySet A A0 eqA n ltM (pX a p) Q ->
reducestar A A0 A1 eqA invA minusA multA divA eqA_dec n ltM ltM_dec Q
(spolyf A A0 A1 eqA invA minusA multA divA eqA_dec n ltM ltM_dec
(pX a p) (pX b q) Cpxa Cpxb) (pO A n).