unfold orthocentre in H_orthocentre.
elim H_orthocentre; intros H0 H1; elim H0; intros H2 H3;
clear H0 H_orthocentre; try exact H3.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (vec H C) (vec A B))
(plus (cons (vec A B) (vec A C)) (cons (vec A C) (vec H B))))).
apply R_double.
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec H C) (vec A B)))
(double (plus (cons (vec A B) (vec A C)) (cons (vec A C) (vec H B))))).
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec H C) (vec A B)))
(plus (double (cons (vec A B) (vec A C)))
(double (cons (vec A C) (vec H B))))).
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus pi (plus (double (cons (vec A B) (vec A C))) pi)).
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
cut (orthogonal (vec A C) (vec H B)); (intros; auto).
apply transitive with (plus (plus (double (cons (vec A B) (vec A C))) pi) pi).
auto.
apply transitive with (plus (double (cons (vec A B) (vec A C))) (plus pi pi)).
auto.
apply transitive with (plus (double (cons (vec A B) (vec A C))) zero).
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus zero (double (cons (vec A B) (vec A C)))).
auto.
auto.
Qed.

Theorem symetrique_orthocentre_cercle :
forall H' : PO,
R (cons (vec H' B) (vec B C)) (cons (vec B C) (vec H B)) ->
R (cons (vec H' C) (vec B C)) (cons (vec B C) (vec H C)) ->
sont_cocycliques A B C H'.