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(**                Division by 2                     *)
Definition half (x : N.t) := snd (half_aux x).
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Instance half_aux_wd : Proper (N.eq ==> N.eq*N.eq) half_aux.
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Instance half_wd : Proper (N.eq==>N.eq) half.

Lemma half_aux_succ : forall x,
half_aux (S x) = (S (snd (half_aux x)), fst (half_aux x)).