(* invariant de reconnaissance pour conv_0 au travers de u_merge *)
Definition u_merge_inv_0_dta (p0 : preDTA) (a : ad)
(t : term) (pr : reconnaissance p0 a t) :=
forall p1 : preDTA, reconnaissance (u_merge p0 p1) (uad_conv_0 a) t.
Definition u_merge_inv_0_st (p0 : preDTA) (s : state)
(t : term) (pr : state_reconnait p0 s t) :=
forall p1 : preDTA, state_reconnait (u_merge p0 p1) (umpl_conv_0 s) t.
Definition u_merge_inv_0_lst (p0 : preDTA) (pl : prec_list)
(lt : term_list) (pr : liste_reconnait p0 pl lt) :=
forall p1 : preDTA, liste_reconnait (u_merge p0 p1) (upl_conv_0 pl) lt.

(* Specifications: *)
Lemma u_merge_2_0 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state)
(e : MapGet state d a = Some ladj) (s : state_reconnait d ladj t),
u_merge_inv_0_st d ladj t s ->
u_merge_inv_0_dta d a t (rec_dta d a t ladj e s).
Lemma u_merge_2_1 :
forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
(l : prec_list) (e : MapGet prec_list s c = Some l)
(l0 : liste_reconnait d l tl),
u_merge_inv_0_lst d l tl l0 ->
u_merge_inv_0_st d s (app c tl) (rec_st d s c tl l e l0).
Lemma u_merge_2_2 :
forall d : preDTA, u_merge_inv_0_lst d prec_empty tnil (rec_empty d).
Lemma u_merge_2_3 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term)
(tl : term_list) (r : reconnaissance d a hd),
u_merge_inv_0_dta d a hd r ->
forall l : liste_reconnait d la tl,
u_merge_inv_0_lst d la tl l ->
u_merge_inv_0_lst d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
(rec_consi d a la ls hd tl r l).
Lemma u_merge_2_4 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term)
(tl : term_list) (l : liste_reconnait d ls (tcons hd tl)),
u_merge_inv_0_lst d ls (tcons hd tl) l ->
u_merge_inv_0_lst d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
(rec_consn d a la ls hd tl l).
Lemma u_merge_2_5 :
forall (p : preDTA) (a : ad) (t : term) (r : reconnaissance p a t),
u_merge_inv_0_dta p a t r.
Lemma u_merge_2 :
forall (p0 p1 : preDTA) (a : ad) (t : term),
reconnaissance p0 a t -> reconnaissance (u_merge p0 p1) (uad_conv_0 a) t.