intros x f.
simple induction E.
replace (tq f empty) with empty; auto.
intro.
apply (dans_empty_imp_P x); auto.
intros a b H.
replace (tq f (add a b)) with
match Pdec f a return Ensf with
| left fa => add a (tq f b)
| right nfa => tq f b
end; auto.
elim (Pdec f a).
intros a0 H0.
cut (a = x :>Elt \/ dans x (tq f b)).
2: apply dans_add; auto.
intro H1; elim H1; clear H1.
intro H1; rewrite <- H1; auto.
intro.
cut (dans x b /\ f x); auto.
intro H2; elim H2; auto.
intros.
cut (dans x b /\ f x); auto.
intro H1; elim H1; auto.
Qed.
(*  									*)
(*  ...et reciproquement si x est dans E et si (f x) est vrai alors 	*)
(*  x est dans (tq f E).						*)
(*									*)

(* Specifications: *)
Lemma imp_dans_tq :
forall (x : Elt) (f : Elt -> Prop) (E : Ensf),
dans x E -> f x -> dans x (tq f E).