Definition dta_rec_term (d : DTA) (t : term) : bool :=
match d with
| dta p a => rec_term p a t (essence t p)
end.
(* définitions inductives pour la reconnaissance d'un terme par un automate *)
Inductive reconnaissance : preDTA -> ad -> term -> Prop :=
rec_dta :
forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state),
MapGet state d a = Some ladj ->
state_reconnait d ladj t -> reconnaissance d a t
with state_reconnait : preDTA -> state -> term -> Prop :=
rec_st :
forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
(l : prec_list),
MapGet prec_list s c = Some l ->
liste_reconnait d l tl -> state_reconnait d s (app c tl)
with liste_reconnait : preDTA -> prec_list -> term_list -> Prop :=
| rec_empty : forall d : preDTA, liste_reconnait d prec_empty tnil
| rec_consi :
forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list)
(hd : term) (tl : term_list),
reconnaissance d a hd ->
liste_reconnait d la tl ->
liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
| rec_consn :
forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list)
(hd : term) (tl : term_list),
liste_reconnait d ls (tcons hd tl) ->
liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl).
Definition reconnait (d : DTA) (t : term) : Prop :=
match d with
| dta p a => reconnaissance p a t
end.
(* principe d'induction commun *)
Scheme mreconnaissance_ind := Induction for reconnaissance
Sort Prop
with mstrec_ind := Induction for state_reconnait
Sort Prop
with mlrec_ind := Induction for liste_reconnait Sort Prop.
(* lemmes de base sur la sémantique précédente (pour simplifier d'autres démos) *)

(* Specifications: *)
Lemma sem_listes_0 :
forall (d : preDTA) (p : prec_list) (hd : term) (tl : term_list),
liste_reconnait d p (tcons hd tl) -> p <> prec_empty.
Lemma sem_listes_1 :
forall (d : preDTA) (hd : term) (tl : term_list),
~ liste_reconnait d prec_empty (tcons hd tl).
Lemma sem_listes_2 :
forall (d : preDTA) (pl : prec_list),
liste_reconnait d pl tnil -> pl = prec_empty.