(** * [remove] *)
Fixpoint remove (k : key) (s : t elt) {struct s} : t elt :=
match s with
| nil => nil
| (k',x) :: l => if X.eq_dec k k' then l else (k',x) :: remove k l
end.

(* Specifications: *)
Lemma remove_1 : forall m (Hm:NoDupA m) x y, X.eq x y -> ~ In y (remove x m).
Lemma remove_2 : forall m (Hm:NoDupA m) x y e,
~ X.eq x y -> MapsTo y e m -> MapsTo y e (remove x m).
Lemma remove_3 : forall m (Hm:NoDupA m) x y e,
MapsTo y e (remove x m) -> MapsTo y e m.
Lemma remove_3' : forall m (Hm:NoDupA m) x y e,
InA eqk (y,e) (remove x m) -> InA eqk (y,e) m.
Lemma remove_NoDup : forall m (Hm:NoDupA m) x, NoDupA (remove x m).
Definition elements (m: t elt) := m.