intros q qaA dA.
simple induction w.
intros.
exists e1.
split.
auto.
cut (Chemin e e2 q (sync_d q dA) nil); auto.
intro H3.
cut (dans e q /\ e = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H4 H5.
cut (chemin_A q dA e e2 nil); auto.
cut (chemin_A q dA e1 e2 nil).
2: apply chemin_A_epsilon with e; auto.
intros.
unfold sync_qa in H1.
cut
(dans e2 qaA \/
dans e2
(tq
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil)
q)).
2: apply dans_union; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intro; apply nouvx_dans_qa; auto.
exists e2; auto.
intro.
cut
(dans e2 q /\
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil) e2).
2: apply
dans_tq_imp
with
(f := fun e : Elt =>
ex (fun e' : Elt => dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil));
assumption.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H9 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e3 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H10 H11.
cut (chemin_A q dA e e3 nil); auto.
2: rewrite H5; auto.
intro H12.
cut (chemin_A q dA e1 e3 nil).
2: apply chemin_A_epsilon with e; auto.
intro; apply nouvx_dans_qa; auto.
exists e3; auto.
intros x w0 H e1 e e2 H0 H1 H2 H3.
cut (Chemin e e2 q (sync_d q dA) (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e22 : Elt,
chemin e22 e2 q (sync_d q dA) w0 /\
dans e q /\ dans x alph /\ dans (couple e (couple x e22)) (sync_d q dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e22 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H5 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 Ht; elim Ht; clear Ht; intros H7 H8.
exists e2.
split; auto.
cut (chemin_A q dA e e22 (cons x nil)).
2: apply sync_d_def2; auto.
intro.
cut (chemin_A q dA e1 e22 (cons x nil)).
2: apply chemin_A_epsilon with e; auto.
intro.
cut (dans (couple e1 (couple x e22)) (sync_d q dA)).
2: apply sync_d_def; auto.
intro.
apply chemin_cons with e22; auto.
Qed.
(*									*)
(*  Si on a un chemin de e1 a e2 par w dans un automate asynchrone	*)
(*  avec e2 etat d'arrivee, alors il existe un etat d'arrivee e2'	*)
(*  de l'automate fini correspondant et un chemin de e1 a e2 par w	*)
(*  dans cet automate.							*)
(*									*)

(* Specifications: *)
Lemma cheminA_chemin :
forall q qd qaA dA : Ensf,
automate_A q qd qaA dA ->
forall (w : Word) (e1 e2 : Elt),
chemin_A q dA e1 e2 w ->
dans e2 qaA ->
exists e2' : Elt,
chemin e1 e2' q (sync_d q dA) w /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA).