End PATHLEN.
(* Path length and merge *)

(* Specifications: *)
Lemma pathlen_merge:
forall uf a b x,
pathlen (merge uf a b) x =
if M.elt_eq (repr uf a) (repr uf b) then
pathlen uf x
else if M.elt_eq (repr uf x) (repr uf a) then
pathlen uf x + pathlen uf b + 1
else
pathlen uf x.
Lemma pathlen_gt_merge:
forall uf a b x y,
repr uf x = repr uf y ->
pathlen uf x > pathlen uf y ->
pathlen (merge uf a b) x > pathlen (merge uf a b) y.
Lemma pathlen_merge:
forall uf a b x,
pathlen (merge uf a b) x =
if M.elt_eq (repr uf a) (repr uf b) then
pathlen uf x
else if M.elt_eq (repr uf x) (repr uf a) then
pathlen uf x + pathlen uf b + 1
else
pathlen uf x.
Lemma pathlen_gt_merge:
forall uf a b x y,
repr uf x = repr uf y ->
pathlen uf x > pathlen uf y ->
pathlen (merge uf a b) x > pathlen (merge uf a b) y.