Definition lim_fct (F : ((T -> U) -> Prop) -> Prop) (t : T) :=
lim (fun P => F (fun g => P (g t))).

(* Specifications: *)
Lemma complete_cauchy_fct :
forall (F : ((T -> U) -> Prop) -> Prop),
ProperFilter F ->
(forall eps : posreal, exists f : T -> U, F (ball f eps)) ->
forall eps : posreal, F (ball (lim_fct F) eps).
Lemma close_lim_fct :
forall F1 F2 : ((T -> U) -> Prop) -> Prop,
filter_le F1 F2 -> filter_le F2 F1 ->
close (lim_fct F1) (lim_fct F2).