(** Natural numbers form a preorder with le (less than or equal relation). *)
(** The pre-order category ω. *)
Definition OmegaCat : Category := PreOrder_Cat OmegaPreOrder.
Notation "'ω'" := (OmegaCat) : omegacat_scope.

(* Specifications: *)
Lemma le_Tle_n (n : nat) : le_Tle (le_n n) = Tle_n n.
Lemma le_Tle_S (n m : nat) (H : le n m) :
le_Tle (le_S _ _ H) = Tle_S _ _ (le_Tle H).
Lemma le_Tle_trans (n m k : nat) (H : le n m) (H' : le m k) :
le_Tle (le_trans _ _ _ H H') = Tle_trans _ _ _ (le_Tle H) (le_Tle H').