End IDENTIFY.
(* Union *)
Remark union_not_same_class:
forall uf a b, repr uf a <> repr uf b -> repr uf (repr uf b) <> repr uf a.
Definition union (uf: t) (a b: elt) : t :=
let a' := repr uf a in
let b' := repr uf b in
match M.elt_eq a' b' with
| left EQ => uf
| right NEQ => identify uf a' b' (repr_res_none uf a) (union_not_same_class uf a b NEQ)
end.

(* Specifications: *)
Lemma repr_union_1:
forall uf a b x, repr uf x <> repr uf a -> repr (union uf a b) x = repr uf x.
Lemma repr_union_2:
forall uf a b x, repr uf x = repr uf a -> repr (union uf a b) x = repr uf b.
Lemma repr_union_3:
forall uf a b, repr (union uf a b) b = repr uf b.
Lemma sameclass_union_1:
forall uf a b, sameclass (union uf a b) a b.
Lemma sameclass_union_2:
forall uf a b x y, sameclass uf x y -> sameclass (union uf a b) x y.
Lemma sameclass_union_3:
forall uf a b x y,
sameclass (union uf a b) x y ->
sameclass uf x y
\/ sameclass uf x a /\ sameclass uf y b
\/ sameclass uf x b /\ sameclass uf y a.
Lemma repr_union_1:
forall uf a b x, repr uf x <> repr uf a -> repr (union uf a b) x = repr uf x.
Lemma repr_union_2:
forall uf a b x, repr uf x = repr uf a -> repr (union uf a b) x = repr uf b.
Lemma repr_union_3:
forall uf a b, repr (union uf a b) b = repr uf b.
Lemma sameclass_union_1:
forall uf a b, sameclass (union uf a b) a b.
Lemma sameclass_union_2:
forall uf a b x y, sameclass uf x y -> sameclass (union uf a b) x y.
Lemma sameclass_union_3:
forall uf a b x y,
sameclass (union uf a b) x y ->
sameclass uf x y
\/ sameclass uf x a /\ sameclass uf y b
\/ sameclass uf x b /\ sameclass uf y a.