End is_derive_mult.

(* Specifications: *)
Lemma filterdiff_pow_n {K : AbsRing} (x : K) (n : nat) :
(forall a b : K, mult a b = mult b a)
-> filterdiff (fun y : K => pow_n y n) (locally x)
(fun y : K => scal y (mult (nat_to_ring n) (pow_n x (pred n)))).
Lemma is_derive_n_pow_smalli: forall i p x, (i <= p)%nat ->
is_derive_n (fun x : R => x ^ p) i x
(INR (fact p) / INR (fact (p - i)%nat) * x ^ (p - i)%nat).
Lemma Derive_n_pow_smalli: forall i p x, (i <= p)%nat ->
Derive_n (fun x : R => x ^ p) i x
= INR (fact p) / INR (fact (p - i)%nat) * x ^ (p - i)%nat.
Lemma is_derive_n_pow_bigi: forall i p x,  (p < i) %nat ->
is_derive_n (fun x : R => x ^ p) i x 0.
Lemma Derive_n_pow_bigi: forall i p x,  (p < i) %nat ->
Derive_n (fun x : R => x ^ p) i x = 0.
Lemma Derive_n_pow i p x:
Derive_n (fun x : R => x ^ p) i x =
match (le_dec i p) with
| left _ => INR (fact p) / INR (fact (p -i)%nat) * x ^ (p - i)%nat
| right _ => 0
end.
Lemma ex_derive_n_pow i p x: ex_derive_n (fun x : R => x ^ p) i x.
Lemma is_RInt_pow :
forall a b n,
is_RInt (fun x => pow x n) a b (pow b (S n) / INR (S n) - pow a (S n) / INR (S n)).