Require Export GeoCoq.Tarski_dev.Ch11_angles.
Section T12_1.
Context `{TnEQD:Tarski_neutral_dimensionless_with_decidable_point_equality}.

(* Specifications: *)
Lemma par_reflexivity : forall A B, A<>B -> Par A B A B.
Lemma par_strict_irreflexivity : forall A B,
~ Par_strict A B A B.
Lemma not_par_strict_id : forall A B C,
~ Par_strict A B A C.
Lemma par_id : forall A B C,
Par A B A C -> Col A B C.
Lemma par_strict_not_col_1 : forall A B C D,
Par_strict A B C D  -> ~ Col A B C.
Lemma par_strict_not_col_2 : forall A B C D,
Par_strict A B C D  -> ~ Col B C D.
Lemma par_strict_not_col_3 : forall A B C D,
Par_strict A B C D  -> ~ Col C D A.
Lemma par_strict_not_col_4 : forall A B C D,
Par_strict A B C D  -> ~ Col A B D.
Lemma par_strict_not_cols : forall A B C D,
Par_strict A B C D -> ~ Col A B C /\ ~ Col B C D /\ ~ Col C D A /\ ~ Col A B D.
Lemma par_id_1 : forall A B C,
Par A B A C -> Col B A C.
Lemma par_id_2 : forall A B C,
Par A B A C -> Col B C A.
Lemma par_id_3 : forall A B C,
Par A B A C -> Col A C B.
Lemma par_id_4 : forall A B C,
Par A B A C -> Col C B A.
Lemma par_id_5 : forall A B C,
Par A B A C -> Col C A B.
Lemma par_strict_symmetry :forall A B C D,
Par_strict A B C D -> Par_strict C D A B.
Lemma par_symmetry :forall A B C D,
Par A B C D -> Par C D A B.
Lemma par_left_comm : forall A B C D,
Par A B C D -> Par B A C D.
Lemma par_right_comm : forall A B C D,
Par A B C D -> Par A B D C.
Lemma par_comm : forall A B C D,
Par A B C D -> Par B A D C.
Lemma par_strict_left_comm : forall A B C D,
Par_strict A B C D -> Par_strict B A C D.
Lemma par_strict_right_comm : forall A B C D,
Par_strict A B C D -> Par_strict A B D C.
Lemma par_strict_comm : forall A B C D,
Par_strict A B C D -> Par_strict B A D C.
Lemma par_strict_neq1 : forall A B C D, Par_strict A B C D -> A <> B.
Lemma Par_perm :
forall A B C D,
Par A B C D ->
Par A B C D /\ Par B A C D /\ Par A B D C /\ Par B A D C /\
Par C D A B /\ Par C D B A /\ Par D C A B /\ Par D C B A.
Lemma Par_strict_cases :
forall A B C D,
Par_strict A B C D \/ Par_strict B A C D \/ Par_strict A B D C \/ Par_strict B A D C \/
Par_strict C D A B \/ Par_strict C D B A \/ Par_strict D C A B \/ Par_strict D C B A ->
Par_strict A B C D.
Lemma Par_strict_perm :
forall A B C D,
Par_strict A B C D ->
Par_strict A B C D /\ Par_strict B A C D /\ Par_strict A B D C /\ Par_strict B A D C /\
Par_strict C D A B /\ Par_strict C D B A /\ Par_strict D C A B /\ Par_strict D C B A.