(* invariant de reconnaissance pour conv_1 au travers de u_merge *)
Definition u_merge_inv_1_dta (p1 : preDTA) (a : ad)
(t : term) (pr : reconnaissance p1 a t) :=
forall p0 : preDTA, reconnaissance (u_merge p0 p1) (uad_conv_1 a) t.
Definition u_merge_inv_1_st (p1 : preDTA) (s : state)
(t : term) (pr : state_reconnait p1 s t) :=
forall p0 : preDTA, state_reconnait (u_merge p0 p1) (umpl_conv_1 s) t.
Definition u_merge_inv_1_lst (p1 : preDTA) (pl : prec_list)
(lt : term_list) (pr : liste_reconnait p1 pl lt) :=
forall p0 : preDTA, liste_reconnait (u_merge p0 p1) (upl_conv_1 pl) lt.

(* Specifications: *)
Lemma u_merge_3_0 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state)
(e : MapGet state d a = Some ladj) (s : state_reconnait d ladj t),
u_merge_inv_1_st d ladj t s ->
u_merge_inv_1_dta d a t (rec_dta d a t ladj e s).
Lemma u_merge_3_1 :
forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
(l : prec_list) (e : MapGet prec_list s c = Some l)
(l0 : liste_reconnait d l tl),
u_merge_inv_1_lst d l tl l0 ->
u_merge_inv_1_st d s (app c tl) (rec_st d s c tl l e l0).
Lemma u_merge_3_2 :
forall d : preDTA, u_merge_inv_1_lst d prec_empty tnil (rec_empty d).
Lemma u_merge_3_3 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term)
(tl : term_list) (r : reconnaissance d a hd),
u_merge_inv_1_dta d a hd r ->
forall l : liste_reconnait d la tl,
u_merge_inv_1_lst d la tl l ->
u_merge_inv_1_lst d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
(rec_consi d a la ls hd tl r l).
Lemma u_merge_3_4 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term)
(tl : term_list) (l : liste_reconnait d ls (tcons hd tl)),
u_merge_inv_1_lst d ls (tcons hd tl) l ->
u_merge_inv_1_lst d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
(rec_consn d a la ls hd tl l).
Lemma u_merge_3_5 :
forall (p : preDTA) (a : ad) (t : term) (r : reconnaissance p a t),
u_merge_inv_1_dta p a t r.
Lemma u_merge_3 :
forall (p0 p1 : preDTA) (a : ad) (t : term),
reconnaissance p1 a t -> reconnaissance (u_merge p0 p1) (uad_conv_1 a) t.