Section InjmAut.
Variables (gT rT : finGroupType) (G D : {group gT}) (f : {morphism D >-> rT}).
Hypotheses (injf : 'injm f) (sGD : G \subset D).
Let domG := subsetP sGD.

(* Specifications: *)
Lemma im_Aut_isom : Aut_isom injf sGD @* Aut G = Aut (f @* G).
Lemma Aut_isomP : isom (Aut G) (Aut (f @* G)) (Aut_isom injf sGD).
Canonical conj_aut_morphism := Morphism conj_aut_morphM.
Lemma ker_conj_aut : 'ker conj_aut = 'C(G).
Lemma Aut_conj_aut A : conj_aut @* A \subset Aut G.
(* Characteristic subgroup properties : composition, relational properties *)
Lemma char1 G : 1 \char G.
Lemma char_norms H G : H \char G -> 'N(G) \subset 'N(H).
Lemma char_sub A B : A \char B -> A \subset B.
Lemma char_normal H G : H \char G -> H <| G.
Lemma charY G H K : H \char G -> K \char G -> H <*> K \char G.
Lemma charM G H K : H \char G -> K \char G -> H * K \char G.
Lemma lone_subgroup_char G H :
H \subset G -> (forall K, K \subset G -> K \isog H -> K \subset H) ->
H \char G.