(** Addition of functions *)
Section Plus.
Context {K : AbsRing} {V : NormedModule K}.

(* Specifications: *)
Lemma is_derive_plus :
forall (f g : K -> V) (x : K) (df dg : V),
is_derive f x df ->
is_derive g x dg ->
is_derive (fun x => plus (f x) (g x)) x (plus df dg).
Lemma ex_derive_plus :
forall (f g : K -> V) (x : K),
ex_derive f x -> ex_derive g x ->
ex_derive (fun x => plus (f x) (g x)) x.
Lemma is_derive_sum_n :
forall (f : nat -> K -> V) (n : nat) (x : K) (d : nat -> V),
(forall k, (k <= n)%nat -> is_derive (f k) x (d k)) ->
is_derive (fun y => sum_n (fun k => f k y) n) x (sum_n d n).
Lemma ex_derive_sum_n :
forall (f : nat -> K -> V) (n : nat) (x : K),
(forall k, (k <= n)%nat -> ex_derive (f k) x) ->
ex_derive (fun y => sum_n (fun k => f k y) n) x.