Definition root := Fix E (fun _ : E => E) R wf_R F.
Definition root_eq := fix_eq E (fun _ : E => E) R wf_R F F_eq.

(* Specifications: *)
Lemma root_no_R : forall x y : E, ~ R y (root x).
Lemma prop_root :
forall (P : E -> Prop) (x : E),
P x -> (forall y z : E, P y -> R z y -> P z) -> P (root x).