Definition ball_norm (x : V) (eps : R) (y : V) := norm (minus y x) < eps.
Definition locally_norm (x : V) (P : V -> Prop) :=
exists eps : posreal, forall y, ball_norm x eps y -> P y.

(* Specifications: *)
Lemma locally_le_locally_norm :
forall x, filter_le (locally x) (locally_norm x).
Lemma locally_norm_le_locally :
forall x, filter_le (locally_norm x) (locally x).
Lemma locally_norm_ball_norm :
forall (x : V) (eps : posreal),
locally_norm x (ball_norm x eps).
Lemma locally_norm_ball :
forall (x : V) (eps : posreal),
locally_norm x (ball x eps).
Lemma locally_ball_norm :
forall (x : V) (eps : posreal),
locally x (ball_norm x eps).
Lemma ball_norm_triangle (x y z : V) (e1 e2 : R) :
ball_norm x e1 y -> ball_norm y e2 z -> ball_norm x (e1 + e2) z.
Lemma ball_norm_center (x : V) (e : posreal) :
ball_norm x e x.
Lemma ball_norm_dec : forall (x y : V) (eps : posreal),
{ball_norm x eps y} + {~ ball_norm x eps y}.
Lemma ball_norm_sym :
forall (x y : V) (eps : posreal), ball_norm x eps y -> ball_norm y eps x.
Lemma ball_norm_le :
forall (x : V) (e1 e2 : posreal), e1 <= e2 ->
forall y, ball_norm x e1 y -> ball_norm x e2 y.
Lemma ball_norm_eq :
forall x y : V,
(forall eps : posreal, ball_norm x eps y) -> x = y.
Lemma is_filter_lim_unique :
forall {F} {FF : ProperFilter' F} (x y : V),
is_filter_lim F x -> is_filter_lim F y -> x = y.
Lemma is_filter_lim_locally_unique :
forall (x y : V),
is_filter_lim (locally x) y -> x = y.