#[local]
Hint Resolve hold_eFF : tauto.

(* Specifications: *)
Lemma hold_eAND : forall k r1 r2,
hold k (eAND k r1 r2) <-> (hold k r1 /\ hold k r2).
Lemma hold_eOR : forall k r1 r2,
hold k (eOR k r1 r2) <-> (hold k r1 \/ hold k r2).
Lemma hold_eNOT : forall k e,
hold k (eNOT k e) <-> not (hold k e).
Lemma hold_eIMPL : forall k e1 e2,
hold k (eIMPL k e1 e2) <-> (hold k e1 -> hold k e2).
Lemma hold_eIFF : forall k e1 e2,
hold k (eIFF k e1 e2) <-> (hold k e1 <-> hold k e2).
Lemma xcnf_impl :
forall
(k: kind)
(f1 : GFormula k)
(o : option unit)
(f2 : GFormula k)
(IHf1 : forall (pol : bool) (env : Env),
eval_cnf env (xcnf pol f1) ->
hold k (eval_f e_rtyp (eval env) (if pol then f1 else NOT f1)))
(IHf2 : forall (pol : bool) (env : Env),
eval_cnf env (xcnf pol f2) ->
hold k (eval_f e_rtyp (eval env) (if pol then f2 else NOT f2))),
forall (pol : bool) (env : Env),
eval_cnf env (xcnf pol (IMPL f1 o f2)) ->
hold k (eval_f e_rtyp (eval env) (if pol then IMPL f1 o f2 else NOT (IMPL f1 o f2))).
Lemma hold_eIFF_IMPL : forall k e1 e2,
hold k (eIFF k e1 e2) <-> (hold k (eAND k (eIMPL k e1 e2) (eIMPL k e2 e1))).
Lemma hold_eEQ : forall e1 e2,
hold isBool (eIFF isBool e1 e2) <-> e1 = e2.
Lemma xcnf_iff : forall
(k : kind)
(f1 f2 : @GFormula Term rtyp Annot unit k)
(IHf1 : forall (pol : bool) (env : Env),
eval_cnf env (xcnf pol f1) ->
hold k (eval_f e_rtyp (eval env) (if pol then f1 else NOT f1)))
(IHf2 : forall (pol : bool) (env : Env),
eval_cnf env (xcnf pol f2) ->
hold k (eval_f e_rtyp (eval env) (if pol then f2 else NOT f2))),
forall (pol : bool) (env : Env),
eval_cnf env (xcnf pol (IFF f1 f2)) ->
hold k (eval_f e_rtyp (eval env) (if pol then IFF f1 f2 else NOT (IFF f1 f2))).
Lemma xcnf_correct : forall (k: kind) (f : @GFormula Term rtyp Annot unit k)  pol env,
eval_cnf env (xcnf pol f) -> hold k (eval_f e_rtyp (eval env) (if pol then f else NOT f)).