(* Second sens de l'équivalence sémantique *)
Definition st_reconnait (d : preDTA) (s : state) (t : term)
(pr : state_reconnait d s t) :=
match t with
| app c l =>
exists p : prec_list,
MapGet prec_list s c = Some p /\
rec_list_terms d p l (essence_list l d p) = true
end.
Definition pre_reconnait (d : preDTA) (p : prec_list)
(t : term_list) (pr : liste_reconnait d p t) :=
rec_list_terms d p t (essence_list t d p) = true.

(* Specifications: *)
Lemma semantic_equiv_1_0 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state)
(e : MapGet state d a = Some ladj) (s : state_reconnait d ladj t),
st_reconnait d ladj t s -> dta_reconnait d a t (rec_dta d a t ladj e s).
Lemma semantic_equiv_1_1 :
forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
(l : prec_list) (e : MapGet prec_list s c = Some l)
(l0 : liste_reconnait d l tl),
pre_reconnait d l tl l0 ->
st_reconnait d s (app c tl) (rec_st d s c tl l e l0).
Lemma semantic_equiv_1_2 :
forall d : preDTA, pre_reconnait d prec_empty tnil (rec_empty d).
Lemma semantic_equiv_1_3 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term)
(tl : term_list) (r : reconnaissance d a hd),
dta_reconnait d a hd r ->
forall l : liste_reconnait d la tl,
pre_reconnait d la tl l ->
pre_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
(rec_consi d a la ls hd tl r l).
Lemma semantic_equiv_1_4_0 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (l : term_list) (n : nat),
l <> tnil ->
rec_list_terms d ls l n = true ->
rec_list_terms d (prec_cons a la ls) l (S n) = true.
Lemma semantic_equiv_1_4 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term)
(tl : term_list) (l : liste_reconnait d ls (tcons hd tl)),
pre_reconnait d ls (tcons hd tl) l ->
pre_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
(rec_consn d a la ls hd tl l).
Lemma semantic_equiv_1 :
forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term),
reconnaissance d a t -> rec_term d a t (essence t d) = true.