Definition plift2 {M} `{PredLift M} {X Y} (P : X -> Y -> Prop) :
M X -> M Y -> Prop :=
fun mx my =>
plift (fun x => plift (P x) my) mx.

(* Specifications: *)
Lemma plift2_bind_l {M} `{PredLift M} {X Y Z}
(P : X -> Z -> Prop) (Q : Y -> Z -> Prop)
(m : M X) (f : X -> M Y) (n : M Z) :
plift2 P m n ->
(forall x, plift (P x) n -> plift2 Q (f x) n) ->
plift2 Q (mbind m f) n.
Lemma plift2_bind_r {M} `{PredLift M} {X Y Z}
(P : Z -> X -> Prop) (Q : Z -> Y -> Prop)
(m : M X) (f : X -> M Y) (n : M Z) :
plift2 P n m ->
(forall x, plift (fun z => P z x) n -> plift2 Q n (f x)) ->
plift2 Q n (mbind m f).
Lemma plift2_bind {M} `{PredLift M} {X Y X' Y'} : forall (P : X -> Y -> Prop)
(Q : X' -> Y' -> Prop) (m1 : M X) (m2 : M Y) (f1 : X -> M X') (f2 : Y -> M Y'),
plift2 P m1 m2 ->
(forall x y, P x y -> plift2 Q (f1 x) (f2 y)) ->
plift2 Q (mbind m1 f1) (mbind m2 f2).
Lemma plift2_ret_l {M} `{PredLift M} {X Y}
(P : X -> Y -> Prop) (x : X) (m : M Y) :
plift (P x) m ->
plift2 P (mreturn x) m.
Lemma plift2_ret_r {M} `{PredLift M} {X Y}
(P : Y -> X -> Prop) (x : X) (m : M Y) :
plift (fun y => P y x) m ->
plift2 P m (mreturn x).