Section Pspoly.
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Load "hOrderStructure".
Load "hReducestar".
Definition spolyf :
forall (p q : list (Term A n)) (Cp : canonical A0 eqA ltM p)
(Cq : canonical A0 eqA ltM q), list (Term A n).
intros p1; case p1.
intros p2 H' H'0; exact (pO A n).
intros a p11 p2; case p2.
intros H' H'0; exact (pO A n).
intros b p22 H' H'0.
apply LetP with (A := Term A n) (h := ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b).
intros u H'1.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a);
[ intros nZa | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := p11); auto ].
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) b);
[ intros nZb | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := p22); auto ].
exact
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) u (b:=a) nZa) p11)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) u (b:=b) nZb) p22)).
Defined.
intros p; case p; simpl in |- *; auto.
intros a l q; case q; unfold LetP in |- *; simpl in |- *; auto.
intros a0 l0 H' H'0.
cut (canonical A0 eqA ltM l0);
[ intros Op1 | apply canonical_imp_canonical with (a := a0) ];
auto.
cut (canonical A0 eqA ltM l);
[ intros Op2 | apply canonical_imp_canonical with (a := a) ];
auto.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a);
[ intros Z0 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l); auto ].
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a0);
[ intros Z1 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l0) ];
auto.
Qed.
Hint Resolve spolyf_canonical.
intros a; case a; simpl in |- *; unfold LetP in |- *; auto.
intros; apply minuspf_refl with (1 := cs); auto.
Qed.
intros a b; case a; case b; simpl in |- *; auto.
intros a0 l a1 l0 Cpxa0 Cpxa1.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a0);
[ intros nZa0 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l); auto ].
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a1);
[ intros nZa1 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l0); auto ].
change
(eqP A eqA n
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))))
in |- *.
cut (canonical A0 eqA ltM l);
[ intros Op1 | apply canonical_imp_canonical with (a := a0); auto ].
cut (canonical A0 eqA ltM l0);
[ intros Op2 | apply canonical_imp_canonical with (a := a1); auto ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); apply eqp_pluspf_com with (1 := cs);
auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto;
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto
| idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto | idtac ].
apply canonical_mults with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply mults_dist_pluspf with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)));
auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
Qed.
intros a b nZa nZb p q Cpxa Cpxb; simpl in |- *; auto.
cut (canonical A0 eqA ltM p); [ intros Op1 | auto ]; auto.
cut (canonical A0 eqA ltM q); [ intros Op2 | auto ]; unfold LetP in |- *;
simpl in |- *; auto.
apply canonical_imp_canonical with (a := b); auto.
apply canonical_imp_canonical with (a := a); auto.
Qed.
Hint Resolve spolyf_def.
intros a b c nZa nZb nZppab H' H'0 p q r Cpxa Cpxb H'4.
cut (canonical A0 eqA ltM p);
[ intros Op | apply canonical_imp_canonical with (a := a); auto ].
cut (canonical A0 eqA ltM q);
[ intros Oq | apply canonical_imp_canonical with (a := b); auto ].
cut (divP A A0 eqA multA divA n (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) a);
[ intros div1 | apply divP_ppcl with (1 := cs); auto ].
cut (divP A A0 eqA multA divA n (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) b);
[ intros div2 | apply divP_ppcr with (1 := cs); auto ].
cut (divP A A0 eqA multA divA n c (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b));
[ intros div3 | elim ppc_is_ppcm with (1 := cs); auto ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa) p)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)))).
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa) p)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q));
auto.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) c);
[ intros Z2 | inversion_clear H'0; auto ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa) p))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q))));
[ auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa)) p)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa)
p)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)));
[ auto | idtac ].
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply divTerm_compo with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa)
p)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb) q)))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa)
p)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb)) q))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); apply eqp_pluspf_com with (1 := cs);
auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa)
p)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply divTerm_compo with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a) nZa)
p)); [ auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec (pO A n)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
r)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); apply minuspf_refl with (1 := cs);
auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec r
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p)))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q)) r)
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q)))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p)))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p)))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(T1 A1 n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p)))); auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply canonical_pluspf; auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p)))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply canonical_pluspf; auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)) r)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=a) nZa) p))))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply canonical_pluspf; auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=a) nZa) p))))).
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply canonical_pluspf; auto.
apply canonical_mults with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p)))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply canonical_mults with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=b)
nZb) q))
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec r
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c (b:=a)
nZa) p))); auto; apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n);
auto.
Qed.
intros a b nZa nZb p q r Cpxa Cpxb H'1.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b));
[ intros nZppab | auto ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n)
(spolyf (pX a p) (pX b q) Cpxa Cpxb)).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b)
nZppab) (spolyf (pX a p) (pX b q) Cpxa Cpxb)).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply eqTerm_spolyf_red2; auto.
Qed.

Theorem spoly_is_minus :
forall (a b : Term A n) (nZa : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a)
(nZb : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) b) (p q : list (Term A n))
(Cpxa : canonical A0 eqA ltM (pX a p))
(Cpxb : canonical A0 eqA ltM (pX b q)),
eqP A eqA n (spolyf (pX a p) (pX b q) Cpxa Cpxb)
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=a) nZa)
(pX a p))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) (b:=b) nZb)
(pX b q))).