Section Pspoly.
Load "hCoefStructure".
Load "hOrderStructure".
Load "hReducestar".
Definition spolyf :
forall (p q : list (Term A n)) (Cp : canonical A0 eqA ltM p)
(Cq : canonical A0 eqA ltM q), list (Term A n).
intros p1; case p1.
intros p2 H' H'0; exact (pO A n).
intros a p11 p2; case p2.
intros H' H'0; exact (pO A n).
intros b p22 H' H'0.
apply LetP with (A := Term A n) (h := ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b).
intros u H'1.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a);
[ intros nZa | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := p11); auto ].
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) b);
[ intros nZb | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := p22); auto ].
exact
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) u (b:=a) nZa) p11)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) u (b:=b) nZb) p22)).
Defined.
intros p; case p; simpl in |- *; auto.
intros a l q; case q; unfold LetP in |- *; simpl in |- *; auto.
intros a0 l0 H' H'0.
cut (canonical A0 eqA ltM l0);
[ intros Op1 | apply canonical_imp_canonical with (a := a0) ];
auto.
cut (canonical A0 eqA ltM l);
[ intros Op2 | apply canonical_imp_canonical with (a := a) ];
auto.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a);
[ intros Z0 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l); auto ].
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a0);
[ intros Z1 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l0) ];
auto.
Qed.
Hint Resolve spolyf_canonical.
intros a; case a; simpl in |- *; unfold LetP in |- *; auto.
intros; apply minuspf_refl with (1 := cs); auto.
Qed.
intros a b; case a; case b; simpl in |- *; auto.
intros a0 l a1 l0 Cpxa0 Cpxa1.
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a0);
[ intros nZa0 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l); auto ].
cut (~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a1);
[ intros nZa1 | apply canonical_nzeroP with (ltM := ltM) (p := l0); auto ].
change
(eqP A eqA n
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))))
in |- *.
cut (canonical A0 eqA ltM l);
[ intros Op1 | apply canonical_imp_canonical with (a := a0); auto ].
cut (canonical A0 eqA ltM l0);
[ intros Op2 | apply canonical_imp_canonical with (a := a1); auto ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); apply eqp_pluspf_com with (1 := cs);
auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n) (T1 A1 n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto | idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(multTerm (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n)))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto;
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto
| idtac ].
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)))
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)));
[ apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto | idtac ].
apply canonical_mults with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply mults_dist_pluspf with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM)
ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a1 a0) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)))).
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply mults_comp with (1 := cs); auto.
apply
(eqp_trans _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n)
with
(y := pluspf (A:=A) A0 (eqA:=eqA) plusA eqA_dec (n:=n) (ltM:=ltM) ltM_dec
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a0)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a0 l Cpxa1)) l)
(mults (A:=A) multA (n:=n) (invTerm (A:=A) invA (n:=n) (T1 A1 n))
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n)
(ppc (A:=A) A1 (n:=n) a0 a1) (b:=a1)
(canonical_nzeroP A A0 eqA n ltM a1 l0 Cpxa0)) l0)));
auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
apply eqp_pluspf_com with (1 := cs); auto.
apply (eqp_sym _ _ _ _ _ _ _ _ _ cs n); auto.
Qed.
intros a b nZa nZb p q Cpxa Cpxb; simpl in |- *; auto.
cut (canonical A0 eqA ltM p); [ intros Op1 | auto ]; auto.
cut (canonical A0 eqA ltM q); [ intros Op2 | auto ]; unfold LetP in |- *;
simpl in |- *; auto.
apply canonical_imp_canonical with (a := b); auto.
apply canonical_imp_canonical with (a := a); auto.
Qed.
Hint Resolve spolyf_def.

Theorem eqTerm_spolyf_red2 :
forall (a b c : Term A n) (nZa : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) a)
(nZb : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) b)
(nZppab : ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b)),
divP A A0 eqA multA divA n c a ->
divP A A0 eqA multA divA n c b ->
forall (p q r : list (Term A n)) (Cpxa : canonical A0 eqA ltM (pX a p))
(Cpxb : canonical A0 eqA ltM (pX b q)),
canonical A0 eqA ltM r ->
eqP A eqA n
(mults (A:=A) multA (n:=n)
(divTerm (A:=A) (A0:=A0) (eqA:=eqA) divA (n:=n) c
(b:=ppc (A:=A) A1 (n:=n) a b) nZppab)
(spolyf (pX a p) (pX b q) Cpxa Cpxb))
(minuspf A A0 A1 eqA invA minusA multA eqA_dec n ltM ltM_dec
(spminusf A A0 A1 eqA invA minusA multA divA eqA_dec n ltM ltM_dec c b
nZb r q)
(spminusf A A0 A1 eqA invA minusA multA divA eqA_dec n ltM ltM_dec c a
nZa r p)).