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(* as published by the Free Software Foundation; either version 2.1   *)
(* of the License, or (at your option) any later version.             *)
(*                                                                    *)
(* This program is distributed in the hope that it will be useful,    *)
(* but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of     *)
(* MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the      *)
(* GNU General Public License for more details.                       *)
(*                                                                    *)
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(* License along with this program; if not, write to the Free         *)
(* Software Foundation, Inc., 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA *)
(* 02110-1301 USA                                                     *)
(* Contribution to the Coq Library   V6.3 (July 1999)                    *)
(****************************************************************************)
(*                 The Calculus of Inductive Constructions                  *)
(*                                                                          *)
(*                                Projet Coq                                *)
(*                                                                          *)
(*                     INRIA                        ENS-CNRS                *)
(*              Rocquencourt                        Lyon                    *)
(*                                                                          *)
(*                                Coq V5.10                                 *)
(*                              Nov 25th 1994                               *)
(*                                                                          *)
(****************************************************************************)
(*                                  Reg.v                                   *)
(****************************************************************************)
(*              Formal Language Theory                                      *)
(*                                                                          *)
(*              Judicael Courant - Jean-Christophe Filliatre                *)
(*                                                                          *)
(*              Developped in V5.8  June-July 1993                          *)
(*              Ported     to V5.10 October 1994                            *)
(****************************************************************************)
(*                 							*)
(*  AUTOMATES FINIS       						*)
(*    On definit le predicat (automate q qd qa d), ou q represente      *)
(*    l'ensemble des etats, qd ceux de depart, qa ceux d'arrivee,	*)
(*    et d la relation de transition, comme la conjonction de :		*)
(*    qd et qa sont inclus dans q , et d est inclus dans qxalphxq	*)
(*                  							*)
Definition automate (q qd qa d : Ensf) : Prop :=
inclus qa q /\ inclus qd q /\ inclus d (prodcart q (prodcart alph q)).
intros q qd qa d H.
elim H.
intros H1 H0; elim H0; clear H0.
auto.
Qed.
intros q qd qa d H.
elim H.
intros H1 H0; elim H0; clear H0.
auto.
Qed.
intros q qd qa d H.
elim H.
intros H1 H0; elim H0; clear H0.
auto.
Qed.
(*									*)
(*  On definit le predicat (chemin e1 e2 q d w), qui signifie :		*)
(*  On passe de e1 a e2 par le mot w dans un automate d'ensemble  	*)
(*  d'etats q et de transition d.					*)
(*									*)
Inductive chemin : Elt -> Elt -> Ensf -> Ensf -> Word -> Prop :=
| chemin_nil :
forall (e1 e2 : Elt) (q d : Ensf),
dans e1 q -> e1 = e2 :>Elt -> chemin e1 e2 q d nil
| chemin_cons :
forall (e1 e2 : Elt) (q d : Ensf) (w : Word) (e a : Elt),
chemin e1 e2 q d w ->
dans e q ->
dans a alph ->
dans (couple e (couple a e1)) d -> chemin e e2 q d (cons a w).
Hint Resolve chemin_nil.
(*  On definit le meme predicat d'une autre facon, qui sera plus utile	*)
(*  par la suite							*)
Definition Chemin (e1 e2 : Elt) (q d : Ensf) (w : Word) : Prop :=
match w return Prop with
| nil =>
(* nil  *)  dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt (* cons *)
| cons a w' =>
exists e : Elt,
chemin e e2 q d w' /\
dans e1 q /\ dans a alph /\ dans (couple e1 (couple a e)) d
end.
(*  On montre l'equivalence entre les 2 definitions : 			*)
intros e1 e2 q d.
simple induction w.
intro.
cut (dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro H0; elim H0; clear H0.
intros; apply chemin_nil; auto.
intros x w0 H H0.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q d w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d);
auto.
intro H1; elim H1.
intros e H2; elim H2; clear H1 H2.
intros H1 H2; elim H2; clear H2.
intros H2 H3; elim H3; clear H3.
intros.
apply chemin_cons with e; auto.
Qed.
Hint Resolve Chemin_chemin.
intros e1 e2 q d w H; elim H; clear H.
intros.
red in |- *; simpl in |- *; auto.
intros.
red in |- *; simpl in |- *.
exists e0.
auto.
Qed.
Hint Resolve chemin_Chemin.
(*  									*)
(*  Si (q,qd,qa,d) est un automate alors (reconnait q qd qa d) est le   *)
(*  langage reconnu par cet automate.					*)
(*  On le definit est disant que w est dans ce langage s'il est tout	*)
(*  d'abord dans le monoid libre engendre par alph, et s'il existe	*)
(*  2 etats e1 et e2, repsectivement dans qd et qa, tels que		*)
(*  (chemin e1 e2 q d w) soit vrai.					*)
(*									*)
Definition reconnait (q qd qa d : Ensf) (w : Word) : Prop :=
inmonoid alph w /\
(exists e1 : Elt,
(exists e2 : Elt, dans e1 qd /\ dans e2 qa /\ chemin e1 e2 q d w)).
(*									*)
(*  Si on a un chemin de e1 a e2 alors e1 et e2 sont dans q.		*)
(*									*)
intros q d.
simple induction w.
intros.
cut (Chemin e1 e2 q d nil); auto.
intro.
cut (dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; auto.
intros x w0 H e1 e2 H0.
cut (Chemin e1 e2 q d (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q d w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d);
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H2 Ht; elim Ht; auto.
Qed.
intros q d.
simple induction w.
intros.
cut (Chemin e1 e2 q d nil); auto.
intro.
cut (dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; auto.
intros.
rewrite <- H2; auto.
intros x w0 H e1 e2 H0.
cut (Chemin e1 e2 q d (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q d w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d);
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H2 Ht.
apply (H e e2); auto.
Qed.
(*									*)
(*  Un chemin est un mot sur X  					*)
(*									*)
simple induction w.
auto.
intros x w0 H q qd qa d H0 e1 e2 H1.
cut (Chemin e1 e2 q d (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q d w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d);
auto.
intro H3; elim H3; clear H3.
intros e H3; elim H3; clear H3.
intros H3 H4; elim H4; clear H4.
intros H4 H5; elim H5; clear H5; intros.
apply inmonoid_cons; auto.
apply (H q qd qa d H0 e e2); auto.
Qed.
(*									*)
(*  Si le triplet (e1,x,e2) est dans d alors on a 			*)
(*    (chemin e1 e2 q d (cons x nil))					*)
(*									*)
intros.
apply chemin_cons with e2; auto.
Qed.
(*									*)
(*  AUTOMATES ASYNCHRONES						*)
(*									*)
Definition automate_A (q qd qa d : Ensf) : Prop :=
inclus qa q /\
inclus qd q /\ inclus d (prodcart q (prodcart (add epsilon alph) q)).
intros.
elim H.
intros H0 Ht; elim Ht; auto.
Qed.
(*									*)
(*  On va definir de meme la notion de chemin sur un automate		*)
(*  asynchrone en rajoutant les transitions par epsilon.		*)
(*									*)
Inductive chemin_A (q d : Ensf) : Elt -> Elt -> Word -> Prop :=
| chemin_A_nil :
forall e1 e2 : Elt,
dans e1 q -> e1 = e2 :>Elt -> chemin_A q d e1 e2 nil
| chemin_A_cons :
forall (e1 e e2 x : Elt) (w : Word),
chemin_A q d e e2 w ->
dans e1 q ->
dans x alph ->
dans (couple e1 (couple x e)) d -> chemin_A q d e1 e2 (cons x w)
| chemin_A_epsilon :
forall (e1 e e2 : Elt) (w : Word),
chemin_A q d e e2 w ->
dans e1 q ->
dans (couple e1 (couple epsilon e)) d -> chemin_A q d e1 e2 w.
Hint Resolve chemin_A_nil.
(*  Inversion de la definition...					*)
Definition Chemin_A (q d : Ensf) (e1 e2 : Elt) (w : Word) : Prop :=
match w return Prop with
| nil =>
(* nil  *)
dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt \/
(exists e : Elt,
chemin_A q d e e2 nil /\
dans e1 q /\ dans (couple e1 (couple epsilon e)) d)
(* cons *)
| cons a w =>
(exists e : Elt,
chemin_A q d e e2 w /\
dans e1 q /\ dans a alph /\ dans (couple e1 (couple a e)) d) \/
(exists e : Elt,
chemin_A q d e e2 w /\
dans e1 q /\ dans (couple e1 (couple epsilon e)) d)
end.
(*  Si on a un chemin pour une relation de transition d1 alors on a	*)
(*  le meme chemin pour toute relation de transition contenant d1.	*)
intros q d d2 w e1 e2 H.
elim H; clear H.
auto.
intros.
apply chemin_A_cons with e; auto.
intros.
apply chemin_A_epsilon with e; auto.
Qed.
(*  De meme pour deux ensembles d'etats q1 et q2 tesl que q1 est inclus	*)
(*  dans q2.								*)
intros q1 q2 d w e1 e2 H.
elim H; clear H.
auto.
intros.
apply chemin_A_cons with e; auto.
intros.
apply chemin_A_epsilon with e; auto.
Qed.
(*  Si on a un chemin au sens des AF alors on a un chemin au sens des	*)
(*  AA.									*)
intros q d w e1 e2 H.
elim H; clear H.
auto.
intros.
apply chemin_A_cons with e0; auto.
Qed.
(*									*)
(*  Si on va de e1 a e par w1 et de e a e2 par w2 alors on va de 	*)
(*  e1 a e2 par (Append w1 w2).						*)
(*									*)
intros e1 e e2 q d w1 w2 H.
elim H.
intros e0 e3 H0 H1 H2.
simpl in |- *; rewrite H1; auto.
intros.
simpl in |- *.
cut (chemin_A q d e3 e2 (Append w w2)); auto.
intro.
apply chemin_A_cons with e3; auto.
intros.
cut (chemin_A q d e3 e2 (Append w w2)); auto.
intro.
apply chemin_A_epsilon with e3; auto.
Qed.
(*									*)
(*  Si on a un cheminA de e1 a e2 alors e1 et e2 sont dans q.		*)
(*									*)
intros.
elim H; auto.
Qed.
intros.
elim H; auto.
intros e0 e3 H0 H1.
rewrite <- H1.
assumption.
Qed.
(*									*)
(*  Un mot reconnu par un automate_A est dans le monoide engendre par 	*)
(*  alph.								*)
(*									*)
intros.
elim H0; auto.
Qed.
(*  Pour un chemin de la forme (cons x w) il existe un etat 		*)
(*  intermediaire.							*)
(*--- Lemma chemin_A2_cons_inv : (q,dA:Ensf)(w:Word)(e1,e2,x:Elt) (chemin_A2 q dA (cons x w) e2 e1) -> (<Elt>Ex ([e:Elt]( (chemin_A2 q dA (cons x nil) e e1) /\ (chemin_A2 q dA w e2 e) ))). Intros. Elim H. Intros. Cut (Chemin e0 e2 q dA (cons x w)); Auto. Intro. Cut (<Elt> Ex ([e:Elt] (chemin e e2 q dA w) /\ (dans e0 q) /\ (dans x alph) /\ (dans (couple e0 (couple x e)) dA)) ); Auto. Intro Ht; Elim Ht; Clear Ht. Intros e Ht; Elim Ht; Clear Ht. Intros H3 Ht; Elim Ht; Clear Ht. Intros H4 Ht; Elim Ht; Clear Ht. Intros H5 H6. Exists e. Split. 2:Apply chemin_A2_un; Auto. 2:Apply (inmonoid_cons_inv alph w x); Auto. Cut (chemin e0 e q dA (cons x nil)); Auto. Apply (chemin_cons e e q dA nil e0 x); Auto. Apply chemin_nil; Auto. Apply (dans_e1_q q dA w e e2); Auto.  Intros. Elim H1. Intros e0' Ht; Elim Ht; Clear Ht. Intros H4 H5. Exists e0'. Split; Auto. Apply chemin_A2_deux with e; Auto. Save.  Lemma chemin_A_cons_inv : (q,dA:Ensf)(w:Word)(e1,e2,x:Elt) (chemin_A e1 e2 q dA (cons x w)) -> (<Elt>Ex ([e:Elt]( (chemin_A e1 e q dA (cons x nil)) /\ (chemin_A e e2 q dA w) ))). Goal. Cut (<Elt>Ex ([e:Elt]( (chemin_A2 q dA (cons x nil) e e1) /\ (chemin_A2 q dA w e2 e) ))). 2:Apply chemin_A2_cons_inv; Auto. Intro Ht; Elim Ht; Clear Ht. Intros e Ht; Elim Ht; Clear Ht. Intros H0 H1. Exists e. Auto. Save. ---*)
(*  De meme on definit reconnait_A...  					*)
Definition reconnait_A (q qd qa d : Ensf) (w : Word) : Prop :=
inmonoid alph w /\
(exists e1 : Elt,
(exists e2 : Elt, dans e1 qd /\ dans e2 qa /\ chemin_A q d e1 e2 w)).
(*  									*)
(*  A partir d'une relation de transition asynchrone dA construisons	*)
(*  la relation synchrone d correspondante. On elimine les transitions	*)
(*  avec epsilon en disant :						*)
(*     dans (e,a,e') d  <->  (chemin_A e e' q dA (cons a nil))		*)
(*									*)
Definition est_dans_d2 (q dA : Ensf) (e y : Elt) : Prop :=
match y return Prop with
| natural n =>
(* natural *)  False (* couple  *)
| couple a e' => chemin_A q dA e e' (cons a nil)
(* up      *)
| up e => False
(* word    *)
| word w => False
end.
Definition est_dans_d (q dA : Ensf) (x : Elt) : Prop :=
match x return Prop with
| natural n =>
(* natural *)  False (* couple  *)
| couple e y => est_dans_d2 q dA e y
(* up      *)
| up e => False
(* word    *)
| word w => False
end.
Definition sync_d (q dA : Ensf) : Ensf :=
tq (est_dans_d q dA) (prodcart q (prodcart alph q)).
Definition sync_qa (q qaA dA : Ensf) : Ensf :=
union qaA
(tq
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil)
q).
Hint Unfold sync_qa.
(*  Les etats de d'arrivee de l'automate fini comprennent ceux de	*)
(*  l'automate asynchrone.						*)
unfold sync_qa in |- *.
auto.
Qed.
(*  Par definition on a...						*)
intros.
elim H0; clear H0.
intros e' Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H0 H1.
unfold sync_qa in |- *.
apply union_d.
apply imp_dans_tq; auto.
exists e'; auto.
Qed.
(*  et aussi...								*)
intros.
unfold sync_d in |- *.
apply imp_dans_tq; auto.
apply coupl2_inv.
apply (dansA_e1_q q dA (cons x nil) e1 e2); auto.
apply coupl2_inv; auto.
apply (dansA_e2_q q dA (cons x nil) e1 e2); auto.
Qed.
intros e1 e2 x q dA H.
unfold sync_d in |- *.
intro.
cut
(dans (couple e1 (couple x e2)) (prodcart q (prodcart alph q)) /\
est_dans_d q dA (couple e1 (couple x e2))).
2: apply dans_tq_imp; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intro H1.
unfold est_dans_d in |- *.
unfold est_dans_d2 in |- *.
auto.
Qed.
intros.
cut (chemin_A q dA e0 e (cons x nil)).
intro.
unfold sync_d in |- *.
apply imp_dans_tq; auto.
cut (chemin_A q dA e e nil); auto.
intro.
apply chemin_A_cons with e; auto.
Qed.
(* 									*)
(*  Commencons par montrer que si (q,qd,qaA,dA) est un automate alors   *)
(*  (q,qd,qa,d) en est un aussi, ou qa=(sunc_qa q qaA dA) et		*)
(*  d=(sync_d q dA).							*)
(*									*)
intros.
elim H.
intros H1 H2; elim H2; clear H2; intros H2 H3.
red in |- *.
split.
unfold sync_qa in |- *.
apply union_inclus; auto.
apply inclus_tq.
split; auto.
unfold sync_d in |- *.
apply inclus_tq.
Qed.
(*									*)
(*  Si on a un chemin de e a e2 dans l'automate fini, avec e2 etat	*)
(*  d'arrivee, et s'il y a une transition de e1 a e2 par epsilon,	*)
(*  alors il y a un chemin de e1 a e2' par le meme mot, avec e2'	*)
(*  etat d'arrivee.							*)
(*									*)
intros q qaA dA.
simple induction w.
intros.
exists e1.
split.
auto.
cut (Chemin e e2 q (sync_d q dA) nil); auto.
intro H3.
cut (dans e q /\ e = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H4 H5.
cut (chemin_A q dA e e2 nil); auto.
cut (chemin_A q dA e1 e2 nil).
2: apply chemin_A_epsilon with e; auto.
intros.
unfold sync_qa in H1.
cut
(dans e2 qaA \/
dans e2
(tq
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil)
q)).
2: apply dans_union; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intro; apply nouvx_dans_qa; auto.
exists e2; auto.
intro.
cut
(dans e2 q /\
(fun e : Elt => exists e' : Elt, dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil) e2).
2: apply
dans_tq_imp
with
(f := fun e : Elt =>
ex (fun e' : Elt => dans e' qaA /\ chemin_A q dA e e' nil));
assumption.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H9 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e3 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H10 H11.
cut (chemin_A q dA e e3 nil); auto.
2: rewrite H5; auto.
intro H12.
cut (chemin_A q dA e1 e3 nil).
2: apply chemin_A_epsilon with e; auto.
intro; apply nouvx_dans_qa; auto.
exists e3; auto.
intros x w0 H e1 e e2 H0 H1 H2 H3.
cut (Chemin e e2 q (sync_d q dA) (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e22 : Elt,
chemin e22 e2 q (sync_d q dA) w0 /\
dans e q /\ dans x alph /\ dans (couple e (couple x e22)) (sync_d q dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e22 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H5 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 Ht; elim Ht; clear Ht; intros H7 H8.
exists e2.
split; auto.
cut (chemin_A q dA e e22 (cons x nil)).
2: apply sync_d_def2; auto.
intro.
cut (chemin_A q dA e1 e22 (cons x nil)).
2: apply chemin_A_epsilon with e; auto.
intro.
cut (dans (couple e1 (couple x e22)) (sync_d q dA)).
2: apply sync_d_def; auto.
intro.
apply chemin_cons with e22; auto.
Qed.
(*									*)
(*  Si on a un chemin de e1 a e2 par w dans un automate asynchrone	*)
(*  avec e2 etat d'arrivee, alors il existe un etat d'arrivee e2'	*)
(*  de l'automate fini correspondant et un chemin de e1 a e2 par w	*)
(*  dans cet automate.							*)
(*									*)
intros q qd qaA dA H_aut w.
cut (inclus qaA (sync_qa q qaA dA)).
2: apply inclus_qaA_qa.
intro H0.
intros e1 e2 H1.
elim H1.
intros e0 e3 H H2 H3.
exists e0.
split.
apply chemin_nil; auto.
rewrite H2.
apply dans_trans with qaA; auto.
intros.
cut
(exists e2' : Elt,
chemin e e2' q (sync_d q dA) w0 /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2' Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H7 H8.
exists e2'.
split; auto.
apply chemin_cons with e; auto.
cut (dans e q).
2: apply (dans_e1_q q (sync_d q dA) w0 e e2'); auto.
intro dans_e_q.
apply trans_dA_d; auto.
intros.
cut
(exists e2' : Elt,
chemin e e2' q (sync_d q dA) w0 /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e9 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 H7.
apply (epsilon_chemin q qaA dA w0 e0 e e9); auto.
Qed.
(*									*)
(*  Montrons maintenant que si (q,qd,qaA,dA) est un automate async.	*)
(*  alors (reconnait_A q qd qaA dA w) -> (reconnait q qd qa d w)	*)
(*  ou qa=(sunc_qa q qaA dA) et d=(sync_d q dA).			*)
(*									*)
intros q qd qaA dA w H_aut.
unfold reconnait_A in |- *.
intro H; elim H; clear H.
intros H1 H; elim H; clear H.
intros e1 H; elim H; clear H.
intros e2 H; elim H; clear H.
intros H2 H; elim H; clear H; intros H3 H4.
unfold reconnait in |- *.
split; auto.
exists e1.
cut
(exists e2' : Elt,
chemin e1 e2' q (sync_d q dA) w /\ dans e2' (sync_qa q qaA dA)).
2: apply (cheminA_chemin q qd qaA dA H_aut w e1 e2); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2' Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H5 H6.
exists e2'.
auto.
Qed.
(*									*)
(*  Reciproquement, si on a un chemin de e1 a e2 dans l'automate fini	*)
(*  correspondant a un automate asynchrone, alors on a un chemin de e1 	*)
(*  a e2 dans l'automate asynchrone.					*)
(*									*)
intros q qd qaA dA H_aut.
simple induction w.
intros.
cut (Chemin e1 e2 q (sync_d q dA) nil); auto.
intro.
cut (dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros; apply chemin_A_nil; auto.
intros x w0 H e1 e2 H0.
cut (Chemin e1 e2 q (sync_d q dA) (cons x w0)); auto.
intro H1.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q (sync_d q dA) w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) (sync_d q dA));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H2 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H3 H4.
cut (chemin_A q dA e e2 w0); auto.
intro.
elim H4; clear H4; intros H4 H6.
cut (chemin_A q dA e1 e (cons x nil)).
2: apply sync_d_def2; auto.
intro.
replace (cons x w0) with (Append (cons x nil) w0); auto.
apply chemin_Append with e; auto.
Qed.
(*									*)
(*  On en deduit qu'un mot reconnu par l'automate fini associe a un	*)
(*  automate asynchrone etait reconnu par l'automate asynchrone.	*)
(*									*)

Lemma reconnait_reconnaitA :
forall (q qd qaA dA : Ensf) (w : Word),
automate_A q qd qaA dA ->
reconnait q qd (sync_qa q qaA dA) (sync_d q dA) w ->
reconnait_A q qd qaA dA w.