(************************************************************************)
(* Copyright 2006 Milad Niqui                                           *)
(* This file is distributed under the terms of the                      *)
(* GNU Lesser General Public License Version 2.1                        *)
(* A copy of the license can be found at                                *)
(*                  <http://www.gnu.org/licenses/lgpl-2.1.html>         *)
(************************************************************************)
Require Export Qsyntax.
Require Export Field_Theory_Q.
Require Export Q_ordered_field_properties.
Definition Qmax p q := if Q_le_lt_dec p q then q else p.
Definition Qmin p q := if Q_le_lt_dec p q then p else q.
Definition Qmax4 q1 q2 q3 q4 := Qmax (Qmax q1 q2) (Qmax q3 q4).
Definition Qmin4 q1 q2 q3 q4 := Qmin (Qmin q1 q2) (Qmin q3 q4).
Definition Qlt_Qmin_upper_bound_l p q1 q2 (hyp:p < Qmin q1 q2) : p < q1 :=proj1 (Qlt_Qmin_upper_bound p q1 q2 hyp).
Definition Qlt_Qmin_upper_bound_r p q1 q2 (hyp:p < Qmin q1 q2) : p < q2 :=proj2 (Qlt_Qmin_upper_bound p q1 q2 hyp).
Definition Qlt_Qmax_lower_bound_l p q1 q2 (hyp:Qmax q1 q2 < p) := proj1 (Qlt_Qmax_lower_bound p q1 q2 hyp).
Definition Qlt_Qmax_lower_bound_r p q1 q2 (hyp:Qmax q1 q2 < p) := proj2 (Qlt_Qmax_lower_bound p q1 q2 hyp).
Definition Qmean (x y:Q):Q := (x+y) / (Qone + Qone).
Definition Qmean_property_l x y (hyp:x<y) := proj1 (Qmean_property x y hyp).
Definition Qmean_property_r x y (hyp:x<y) := proj2 (Qmean_property x y hyp).

Theorem Q_is_dense:forall x y, x<y -> {z:Q | x<z /\ z<y}.