Section SUM1_S.
(* l'ensemble d'index etant un ensemble fini, il est possible de sommer sur cet ensemble, donc d'apres la definition choisie d'ensemble fini, sur la liste de tout ses elements. On ne s'interesse qu'aux incrementation ou decrementation d'un element de la table *)
Variable E : Set.
Hypothesis eq_E_dec : eq_dec E.
Variable L : list E.
Hypothesis finite_E : list_of_elements E eq_E_dec L.
Variable f : E -> Z.
Variable x0 : E.
Remark sigma_change_S :
sigma E L (change_x0 E Z eq_E_dec f x0 (f x0 + 1)%Z) = (sigma E L f + 1)%Z.
Remark sigma_change_pred :
sigma E L (change_x0 E Z eq_E_dec f x0 (f x0 - 1)%Z) = (sigma E L f - 1)%Z.

Lemma sigma__pred :
forall g : E -> Z,
g x0 = (f x0 - 1)%Z ->
(forall x : E, x <> x0 -> g x = f x) -> sigma E L g = (sigma E L f - 1)%Z.