Set Implicit Arguments.
Unset Strict Implicit.
Require Export point_angle.
intros a b c d; try assumption.
apply transitive with (plus (plus (plus a b) c) d); auto.
apply transitive with (plus (plus (plus a c) b) d); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus a (plus b c)); auto.
apply transitive with (plus a (plus c b)); auto.
apply compatible; auto.
Qed.
intros A B M O H H0; try assumption.
unfold double in |- *.
lapply (triangle_isocele (A:=O) (B:=M) (C:=B)); intros.
lapply (isocele_permute (A:=O) (B:=M) (C:=A)); intros.
cut
(R
(plus (cons (vec O A) (vec O B))
(plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M A))))
(plus pi pi)).
intros.
apply
transitive
with
(plus
(plus (cons (vec O A) (vec O B))
(plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M A))))
(plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply
transitive
with
(plus zero (plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply symetrique.
apply zero_plus_a.
apply
transitive
with
(plus (plus pi pi)
(plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply compatible.
apply symetrique.
apply pi_plus_pi.
apply reflexive.
apply
transitive
with
(plus (plus pi pi)
(plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply compatible.
apply reflexive.
apply reflexive.
apply compatible.
apply symetrique.
try exact H3.
apply reflexive.
apply
transitive
with
(plus (cons (vec O A) (vec O B))
(plus (plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M A)))
(plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B))))).
apply symetrique.
apply point_angle.plus_assoc.
apply transitive with (plus (cons (vec O A) (vec O B)) zero).
apply compatible.
apply reflexive.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M B)))
(plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply calcul4.
apply transitive with (plus zero zero).
apply compatible.
apply permute.
apply permute.
apply zero_plus_a.
apply plus_zero.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec O A) (vec O M)) (cons (vec O M) (vec O B)))
(plus (plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M O)))
(plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M O))))).
apply compatible.
apply symetrique.
apply Chasles.
apply compatible.
apply symetrique.
apply
transitive with (plus (cons (vec M B) (vec M O)) (cons (vec M O) (vec M A))).
apply plus_sym.
apply Chasles.
apply symetrique.
apply
transitive with (plus (cons (vec M B) (vec M O)) (cons (vec M O) (vec M A))).
apply plus_sym.
apply Chasles.
apply
transitive
with
(plus
(plus (cons (vec O A) (vec O M))
(plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M O) (vec M A))))
(plus (cons (vec O M) (vec O B))
(plus (cons (vec M B) (vec M O)) (cons (vec M B) (vec M O))))).
apply symetrique.
apply calcul3.
apply compatible.
try exact H2.
try exact H1.
try exact H.
try exact H0.
Qed.
unfold orthogonal in |- *.
intros A B M O H H0 H1; try assumption.
apply transitive with (double (cons (vec M A) (vec M B))).
apply symetrique; apply angle_inscrit; auto.
try exact H1.
Qed.
unfold orthogonal in |- *.
intros A B M O H H0 H1; try assumption.
apply transitive with (cons (vec O A) (vec O B)).
apply angle_inscrit; auto.
try exact H1.
Qed.
intros M A B O M' H H0 H1 H2 H3; try assumption.
apply transitive with (cons (vec O A) (vec O B)).
apply angle_inscrit; auto.
apply symetrique; apply angle_inscrit; auto.
Qed.
elim non_vide_V; intros u H; clear H; try exact H.
intros a; try assumption.
elim angle_cons with (a := a) (u := u); intros v H0; try exact H0.
exists (cons v u).
apply transitive with (plus (cons u v) (cons v u)).
apply compatible; auto.
auto.
Qed.
Parameter pisurdeux : AV.
Hint Resolve double_pisurdeux.
intros u; try assumption.
cut (exists v : V, R (double (cons u v)) pi).
intros H; try assumption.
elim H; intros v H0; clear H; try exact H0.
exists v.
auto.
elim angle_cons with (a := pisurdeux) (u := u); intros v H0; try exact H0.
exists v.
apply transitive with (double pisurdeux).
auto.
auto.
Qed.
unfold colineaire in |- *.
intros M A B O O' H H0 H1 H2 H3 H4.
cut (R (cons (vec O A) (vec O B)) (cons (vec O' A) (vec O' B))); intros.
cut
(R (double (cons (vec A B) (vec A O))) (double (cons (vec A B) (vec A O'))));
intros.
cut
(R (double (cons (vec B O) (vec B A))) (double (cons (vec B O') (vec B A))));
intros.
split; [ idtac | try assumption ].
split; [ idtac | try assumption ].
apply transitive with (double (cons (opp (vec O A)) (opp (vec O' A)))); auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (opp (vec O A)) (vec A B))
(cons (vec A B) (opp (vec O' A))))); auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (opp (vec O A)) (vec A B))
(cons (vec A B) (opp (vec O' A))))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (opp (vec O A)) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (opp (vec O' A)))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (opp (vec O A)) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (vec A O)))); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A O'))); auto.
apply R_double.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (opp (vec O A)) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O))));
auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A O) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O))));
auto.
apply R_double.
apply compatible; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with (double (cons (vec B O) (vec B O'))); auto.
apply R_double.
apply transitive with (cons (opp (vec B O)) (opp (vec B O'))); auto.
apply transitive with (cons (opp (vec B O)) (opp (vec B O'))); auto.
apply symetrique; auto.
apply symetrique; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B O) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec B O) (vec B A)))
(double (cons (vec B A) (vec B O')))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec B O) (vec B A)))
(double (cons (vec B A) (vec B O)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B O) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B O))));
auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with (double (cons (vec M O) (vec M O'))); auto.
apply R_double.
apply transitive with (cons (opp (vec M O)) (opp (vec M O'))); auto.
apply symetrique; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect.
apply opp_vect.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M O) (vec M A)))
(double (cons (vec M A) (vec M O')))); auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M O) (vec M A)))
(double (cons (vec M A) (vec M O')))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec A M) (vec A O)))
(double (cons (vec A O') (vec A M)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A M) (vec A O)) (cons (vec A O') (vec A M))));
auto.
apply transitive with (double (cons (vec A O') (vec A O))); auto.
apply R_double.
apply
transitive
with (plus (cons (vec A O') (vec A M)) (cons (vec A M) (vec A O)));
auto.
cut (R (double (cons (vec A O) (vec A O'))) zero); intros.
apply regulier with (a := double (cons (vec A O) (vec A O'))) (c := zero);
auto.
apply
transitive
with
(double (plus (cons (vec A O) (vec A O')) (cons (vec A O') (vec A O))));
auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A O) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec A O) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (vec A O')))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec A O) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (vec A O)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A O) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O))));
auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A O))); auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A O'))); auto.
generalize (triangle_isocele (A:=O) (B:=A) (C:=B)); intros.
apply
regulier
with (a := cons (vec O A) (vec O B)) (c := cons (vec O' A) (vec O' B));
auto.
apply transitive with pi; auto.
generalize (triangle_isocele (A:=O') (B:=A) (C:=B)); intros.
apply symetrique; auto.
apply transitive with (double (cons (vec M A) (vec M B))); auto.
apply symetrique; apply angle_inscrit; auto.
auto.
apply angle_inscrit; auto.
Qed.
intros A B a; try assumption.
elim exists_opp_angle with (a := a); intros a' H; try exact H.
elim angle_cons with (a := plus pisurdeux a') (u := vec A B); intros u H2;
try exact H2.
elim angle_cons with (a := cons u (vec A B)) (u := vec B A); intros v H3;
try exact H3.
exists u.
exists v.
split; [ try assumption | idtac ].
auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A B))
(plus (cons (vec A B) (vec B A)) (cons (vec B A) v)));
auto.
apply transitive with (plus (cons u (vec A B)) (plus pi (cons (vec B A) v)));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (cons (vec A B) (opp (vec A B))); auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply transitive with (plus (cons u (vec A B)) (plus (cons (vec B A) v) pi));
auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (cons u (vec A B)) (plus (cons u (vec A B)) pi));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply
regulier
with
(a := plus (plus pisurdeux a') (plus pisurdeux a'))
(c := plus (plus pisurdeux a') (plus pisurdeux a'));
auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(plus (cons u (vec A B)) (plus (cons u (vec A B)) pi)));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(plus (plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B))) pi));
auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B)))) pi);
auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons u (vec A B)))
(plus (cons (vec A B) u) (cons u (vec A B)))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply calcul4.
apply
transitive
with (plus (plus (cons (vec A B) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A B))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus zero zero) pi); auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus (plus a a') (plus a a')) pi); auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus (plus a a) (plus a' a')) pi); auto.
apply compatible; auto.
apply calcul4.
apply transitive with (plus (plus (double a) (plus a' a')) pi); auto.
apply transitive with (plus (double a) (plus (plus a' a') pi)); auto.
apply transitive with (plus (plus (plus a' a') pi) (double a)); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus a' a') (plus pisurdeux pisurdeux)); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus pisurdeux pisurdeux) (plus a' a')); auto.
apply calcul4.
Qed.
intros A B; try assumption.
apply transitive with (cons (vec A B) (opp (vec A B))); auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
Qed.
Hint Resolve abba.
intros a b c d; try assumption.
apply transitive with (plus a (plus (plus b c) (plus d d))); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus b d) (plus c d)); auto.
apply calcul4.
apply compatible; auto.
Qed.
intros M A B; try assumption.
elim
construction_isocele_base
with (A := A) (B := B) (a := cons (vec M A) (vec M B));
intros u H; elim H; intros v H0; clear H; try exact H0.
elim H0; intros H H1; clear H0; try exact H1.
exists u; exists v.
elim angle_cons with (a := cons u (vec A M)) (u := vec M A); intros w H';
try exact H'.
exists w.
generalize (somme_triangle M A B).
generalize (somme_pi (vec A B) u v).
intros H2 H3; try assumption.
split; [ split; try assumption | try assumption ].
cut (R (cons u w) (double (cons (vec B A) (vec B M)))); intros.
split; [ try assumption | idtac ].
apply regulier with (a := cons u v) (c := double (cons (vec M A) (vec M B)));
auto.
apply transitive with (cons u w); auto.
apply transitive with (double (cons (vec B A) (vec B M))); auto.
apply
regulier
with
(a := double (cons (vec B M) (vec B A)))
(c := double (cons (vec B M) (vec B A))); auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (cons (vec A B) (vec A M))))
(double (cons (vec B M) (vec B A)))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(plus (double (cons (vec A B) (vec A M)))
(double (cons (vec B M) (vec B A))))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A)))));
auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (vec M A) (vec M B))
(plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A)))));
auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B M) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B M))));
auto.
apply transitive with (double pi); auto.
apply transitive with (double (cons (vec B M) (vec B M))); auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with zero; auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A M))
(plus (cons (vec A M) (vec M A)) (cons (vec M A) w)));
auto.
apply transitive with (plus (cons u (vec A M)) (plus pi (cons (vec M A) w)));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (cons u (vec A M)) (plus (cons (vec M A) w) pi));
auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus (cons u (vec A M)) (cons (vec M A) w)) pi);
auto.
apply transitive with (plus (plus (cons u (vec A M)) (cons u (vec A M))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply
regulier
with
(a := plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(c := plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u));
auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(plus (cons u (vec A M)) (cons u (vec A M)))) pi);
auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons u (vec A M)))
(plus (cons (vec A B) u) (cons u (vec A M)))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply calcul4; auto.
apply
transitive
with (plus (plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec A B) (vec A M))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply regulier with (a := cons u v) (c := cons u v); auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons u v) (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u)))
(double (cons (vec B A) (vec B M)))); auto.
apply transitive with (plus pi (double (cons (vec B A) (vec B M)))); auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (cons u v)
(plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec A B) (vec A M)))) pi);
auto.
apply transitive with (plus (double (cons (vec B A) (vec B M))) pi); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (cons (vec A B) (vec A M)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
regulier
with
(a := double (cons (vec B M) (vec B A)))
(c := double (cons (vec B M) (vec B A))); auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (cons (vec A B) (vec A M))))
(double (cons (vec B M) (vec B A)))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(plus (double (cons (vec A B) (vec A M)))
(double (cons (vec B M) (vec B A))))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M A) (vec M B)))
(double (plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A)))));
auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (vec M A) (vec M B))
(plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A)))));
auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B M) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B M))));
auto.
apply transitive with (double pi); auto.
apply transitive with (double (cons (vec B M) (vec B M))); auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with zero; auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (cons (vec A B) u)
(plus (cons v (opp (vec A B))) (cons (opp u) (opp v))));
auto.
apply
transitive
with (plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u)) (cons u v));
auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons v (opp (vec A B))))
(cons (opp u) (opp v))); auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (cons v (vec B A)); auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect; auto.
split; [ try assumption | idtac ].
split; [ try assumption | idtac ].
apply regulier with (a := cons (vec M A) w) (c := cons u (vec A M)); auto.
apply transitive with (cons (vec M A) (vec M B)); auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A M))
(plus (cons (vec B M) (vec B A)) (cons (vec B A) v)));
auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A M))
(plus (cons (vec B M) (vec B A)) (cons u (vec A B))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A M))
(plus (cons u (vec A B)) (cons (vec B M) (vec B A))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons u (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A M)))
(plus (cons u (vec A B)) (cons (vec B M) (vec B A))));
auto.
apply
regulier
with (a := cons (vec M A) (vec M B)) (c := cons (vec M A) (vec M B));
auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (cons (vec M A) (vec M B))
(plus (cons (vec A B) (vec A M)) (cons (vec B M) (vec B A))))
(plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B))));
auto.
apply transitive with (plus pi (plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B))));
auto.
apply transitive with (cons u v); auto.
apply
regulier
with
(a := plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(c := plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u));
auto.
apply transitive with pi; auto.
apply
transitive
with (plus (plus (cons (vec A B) u) (cons v (vec B A))) (cons u v));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (plus (cons (vec A B) u) (plus (cons v (vec B A)) (cons u v)));
auto.
apply
transitive
with
(plus (cons (vec A B) u)
(plus (cons v (opp (vec A B))) (cons (opp u) (opp v))));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply
transitive
with
(plus (plus pi (plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B))))
(plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u)));
auto.
apply
transitive
with
(plus pi
(plus (plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B)))
(plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))));
auto.
apply transitive with (plus zero pi); auto.
apply transitive with (plus pi zero); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons u (vec A B)) (cons (vec A B) u))
(plus (cons u (vec A B)) (cons (vec A B) u)));
auto.
apply transitive with (plus (cons u u) (cons u u)); auto.
apply compatible; auto.
apply calcul4; auto.
apply compatible; auto.
apply calcul5; auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply symetrique; auto.
Qed.
Axiom
construction_circonscrit :
forall M A B : PO,
~ colineaire (vec M A) (vec M B) ->
exists O : PO, isocele O A B /\ isocele O A M /\ isocele O B M.
Definition circonscrit (M A B O : PO) :=
isocele O A B /\ isocele O A M /\ isocele O B M.
Definition sont_cocycliques (M A B M' : PO) :=
ex
(fun O : PO =>
ex
(fun O' : PO =>
(circonscrit M A B O /\ circonscrit M' A B O') /\
colineaire (vec O A) (vec O' A) /\ colineaire (vec O B) (vec O' B))).

Lemma isocele_sym : forall A B C : PO, isocele A B C -> isocele A C B.