Section prod_UniformSpace.
Context {U V : UniformSpace}.
Definition prod_ball (x : U * V) (eps : R) (y : U * V) :=
ball (fst x) eps (fst y) /\ ball (snd x) eps (snd y).

Lemma prod_ball_triangle :
forall (x y z : U * V) (e1 e2 : R),
prod_ball x e1 y -> prod_ball y e2 z ->
prod_ball x (e1 + e2) z.