Section projection.
Variable A : Set.
Variable P : A -> Prop.
Definition projP1 (H : sig P) := let (x, h) := H in x.
Definition projP2 (H : sig P) :=
let (x, h) as H return (P (projP1 H)) := H in h.
End projection.
(*###########################################################################*)
(* Declaring some relations on natural numbers for stepl and stepr tactics.  *)
(*###########################################################################*)
Declare Left Step le_stepl.
Declare Right Step le_stepr.
Declare Left Step lt_stepl.
Declare Right Step lt_stepr.
Declare Left Step neq_stepl.
Declare Right Step neq_stepr.
(*###########################################################################*)
(** Some random facts about natural numbers, positive numbers and integers   *)
(*###########################################################################*)
(*###########################################################################*)
(* Declaring some relations on integers for stepl and stepr tactics.         *)
(*###########################################################################*)
Declare Left Step Zle_stepl.
Declare Right Step Zle_stepr.
Declare Left Step Zlt_stepl.
Declare Right Step Zlt_stepr.
Declare Left Step Zneq_stepl.
Declare Right Step Zneq_stepr.
(*###########################################################################*)
(** Informative case analysis                                                *)
(*###########################################################################*)
(*###########################################################################*)
(** General auxiliary lemmata                                                *)
(*###########################################################################*)
intros.
apply Zgt_trans with (m := (n + p)%Z).
rewrite Zplus_comm.
rewrite Zplus_comm with (n := n).
apply Zplus_gt_compat_l.
assumption.
apply Zplus_gt_compat_l.
assumption.
Qed.

Lemma Zle_lt_plus_plus :
forall m n p q : Z, (m <= n)%Z -> (p < q)%Z -> (m + p < n + q)%Z.