Section digits_aux.
Variable p : Z.
Fixpoint Zdigits_aux (nb pow : Z) (n : nat) { struct n } : Z :=
match n with
| O => nb
| S n => if Zlt_bool p pow then nb else Zdigits_aux (nb + 1) (Zmult beta pow) n
end.
End digits_aux.
(** Number of digits of an integer *)
Definition Zdigits n :=
match n with
| Z0 => Z0
| Zneg p => Zdigits_aux (Zpos p) 1 beta (digits2_Pnat p)
| Zpos p => Zdigits_aux n 1 beta (digits2_Pnat p)
end.

Theorem Zdigits_mult_Zpower :
forall m e,
m <> Z0 -> (0 <= e)%Z ->
Zdigits (m * Zpower beta e) = (Zdigits m + e)%Z.