(* Avoiding some occur-check *)
(* 1. Original example *)
Inductive eqT {A} (x : A) : A -> Type :=
reflT : eqT x x.
Definition Bi_inv (A B : Type) (f : (A -> B)) :=
sigT (fun (g : B -> A) =>
sigT (fun (h : B -> A) =>
sigT (fun (α : forall b : B, eqT (f (g b)) b) =>
forall a : A, eqT (h (f a)) a))).
Definition TEquiv (A B : Type) := sigT (fun (f : A -> B) => Bi_inv _ _ f).
Definition idtoeqv {A B} (e : eqT A B) : TEquiv A B :=
sigT_rect (fun _ => TEquiv A B)
(fun (f : TEquiv A B -> eqT A B) H =>
sigT_rect _ (* (fun _ => TEquiv A B) *)
(fun g _ => g e)
H)
(UA A B).
(* 2. Alternative example by Guillaume *)
Inductive foo (A : Prop) : Prop := Foo : foo A.

Axiom bar : forall (A : Prop) (P : foo A -> Prop), (A -> P (Foo A)) -> Prop.