Set Implicit Arguments.
Unset Strict Implicit.
Require Export point_angle.
intros a b c d; try assumption.
apply transitive with (plus (plus (plus a b) c) d); auto.
apply transitive with (plus (plus (plus a c) b) d); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus a (plus b c)); auto.
apply transitive with (plus a (plus c b)); auto.
apply compatible; auto.
Qed.
intros A B M O H H0; try assumption.
unfold double in |- *.
lapply (triangle_isocele (A:=O) (B:=M) (C:=B)); intros.
lapply (isocele_permute (A:=O) (B:=M) (C:=A)); intros.
cut
(R
(plus (cons (vec O A) (vec O B))
(plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M A))))
(plus pi pi)).
intros.
apply
transitive
with
(plus
(plus (cons (vec O A) (vec O B))
(plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M A))))
(plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply
transitive
with
(plus zero (plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply symetrique.
apply zero_plus_a.
apply
transitive
with
(plus (plus pi pi)
(plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply compatible.
apply symetrique.
apply pi_plus_pi.
apply reflexive.
apply
transitive
with
(plus (plus pi pi)
(plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply compatible.
apply reflexive.
apply reflexive.
apply compatible.
apply symetrique.
try exact H3.
apply reflexive.
apply
transitive
with
(plus (cons (vec O A) (vec O B))
(plus (plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M A)))
(plus (cons (vec M A) (vec M B)) (cons (vec M A) (vec M B))))).
apply symetrique.
apply point_angle.plus_assoc.
apply transitive with (plus (cons (vec O A) (vec O B)) zero).
apply compatible.
apply reflexive.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M B)))
(plus (cons (vec M B) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M B)))).
apply calcul4.
apply transitive with (plus zero zero).
apply compatible.
apply permute.
apply permute.
apply zero_plus_a.
apply plus_zero.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec O A) (vec O M)) (cons (vec O M) (vec O B)))
(plus (plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M O)))
(plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M B) (vec M O))))).
apply compatible.
apply symetrique.
apply Chasles.
apply compatible.
apply symetrique.
apply
transitive with (plus (cons (vec M B) (vec M O)) (cons (vec M O) (vec M A))).
apply plus_sym.
apply Chasles.
apply symetrique.
apply
transitive with (plus (cons (vec M B) (vec M O)) (cons (vec M O) (vec M A))).
apply plus_sym.
apply Chasles.
apply
transitive
with
(plus
(plus (cons (vec O A) (vec O M))
(plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M O) (vec M A))))
(plus (cons (vec O M) (vec O B))
(plus (cons (vec M B) (vec M O)) (cons (vec M B) (vec M O))))).
apply symetrique.
apply calcul3.
apply compatible.
try exact H2.
try exact H1.
try exact H.
try exact H0.
Qed.
unfold double, orthogonal in |- *.
intros A B O T H H0; try assumption.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec A T) (vec O A)) (cons (vec O A) (vec A B)))
(plus (cons (vec A T) (vec O A)) (cons (vec O A) (vec A B))));
auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec A T) (vec O A)) (cons (vec A T) (vec O A)))
(plus (cons (vec O A) (vec A B)) (cons (vec O A) (vec A B))));
auto.
apply calcul4.
apply
transitive
with (plus pi (plus (cons (vec O A) (vec A B)) (cons (vec O A) (vec A B))));
auto.
apply compatible; auto.
lapply (triangle_isocele (A:=O) (B:=A) (C:=B)).
intros H1; try assumption.
apply
transitive
with
(plus
(plus (cons (vec O A) (vec O B))
(plus (cons (vec A B) (vec A O)) (cons (vec A B) (vec A O))))
(plus (cons (vec O A) (vec A B)) (cons (vec O A) (vec A B))));
auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (cons (vec O A) (vec O B))
(plus (plus (cons (vec A B) (vec A O)) (cons (vec A B) (vec A O)))
(plus (cons (vec O A) (vec A B)) (cons (vec O A) (vec A B)))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (cons (vec O A) (vec O B))
(plus (plus (cons (vec A B) (vec A O)) (cons (vec O A) (vec A B)))
(plus (cons (vec A B) (vec A O)) (cons (vec O A) (vec A B)))));
auto.
apply compatible; auto.
apply calcul4.
apply transitive with (plus (cons (vec O A) (vec O B)) (plus pi pi)); auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive with (plus (cons (vec O A) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O)));
auto.
apply transitive with (cons (vec O A) (vec A O)); auto.
apply transitive with (cons (vec O A) (opp (vec O A))); auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply
transitive with (plus (cons (vec O A) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O)));
auto.
apply transitive with (cons (vec O A) (vec A O)); auto.
apply transitive with (cons (vec O A) (opp (vec O A))); auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply transitive with (plus (cons (vec O A) (vec O B)) zero).
apply compatible; auto.
apply plus_zero.
try exact H.
Qed.
unfold orthogonal in |- *.
intros A B O T T' H H0 H1; try assumption.
unfold colineaire in |- *.
lapply (tangente (A:=A) (B:=B) (O:=O) (T:=T)); auto.
intros H2; try assumption.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A T) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A T'))));
auto.
unfold double in |- *.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec A T) (vec A B)) (cons (vec A T) (vec A B)))
(plus (cons (vec A B) (vec A T')) (cons (vec A B) (vec A T'))));
auto.
apply calcul4.
apply
transitive with (plus (cons (vec O A) (vec O B)) (cons (vec O B) (vec O A))).
apply compatible; auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A T'))); auto.
apply
regulier
with
(a := double (cons (vec A T') (vec A B)))
(c := cons (vec O A) (vec O B)); auto.
apply
transitive
with
(double (plus (cons (vec A T') (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A T'))));
auto.
apply transitive with (double (cons (vec A T') (vec A T'))); auto.
apply transitive with (plus zero zero); auto.
unfold double in |- *.
apply compatible; auto.
apply transitive with zero; auto.
apply transitive with (cons (vec O A) (vec O A)); auto.
Qed.
intros M A B O M' H H0 H1 H2 H3; try assumption.
apply transitive with (cons (vec O A) (vec O B)).
apply angle_inscrit; auto.
apply symetrique; apply angle_inscrit; auto.
Qed.
elim non_vide_V; intros u H; clear H; try exact H.
intros a; try assumption.
elim angle_cons with (a := a) (u := u); intros v H0; try exact H0.
exists (cons v u).
apply transitive with (plus (cons u v) (cons v u)).
apply compatible; auto.
auto.
Qed.
Parameter pisurdeux : AV.
Hint Resolve double_pisurdeux.
intros u; try assumption.
cut (exists v : V, R (double (cons u v)) pi).
intros H; try assumption.
elim H; intros v H0; clear H; try exact H0.
exists v.
auto.
elim angle_cons with (a := pisurdeux) (u := u); intros v H0; try exact H0.
exists v.
apply transitive with (double pisurdeux).
auto.
auto.
Qed.
unfold colineaire in |- *.
intros M A B O O' H H0 H1 H2 H3 H4.
cut (R (cons (vec O A) (vec O B)) (cons (vec O' A) (vec O' B))); intros.
cut
(R (double (cons (vec A B) (vec A O))) (double (cons (vec A B) (vec A O'))));
intros.
cut
(R (double (cons (vec B O) (vec B A))) (double (cons (vec B O') (vec B A))));
intros.
split; [ idtac | try assumption ].
split; [ idtac | try assumption ].
apply transitive with (double (cons (opp (vec O A)) (opp (vec O' A)))); auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (opp (vec O A)) (vec A B))
(cons (vec A B) (opp (vec O' A))))); auto.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (opp (vec O A)) (vec A B))
(cons (vec A B) (opp (vec O' A))))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (opp (vec O A)) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (opp (vec O' A)))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (opp (vec O A)) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (vec A O)))); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A O'))); auto.
apply R_double.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect.
apply
transitive
with
(double
(plus (cons (opp (vec O A)) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O))));
auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A O) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O))));
auto.
apply R_double.
apply compatible; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with (double (cons (vec B O) (vec B O'))); auto.
apply R_double.
apply transitive with (cons (opp (vec B O)) (opp (vec B O'))); auto.
apply transitive with (cons (opp (vec B O)) (opp (vec B O'))); auto.
apply symetrique; auto.
apply symetrique; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B O) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec B O) (vec B A)))
(double (cons (vec B A) (vec B O')))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec B O) (vec B A)))
(double (cons (vec B A) (vec B O)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec B O) (vec B A)) (cons (vec B A) (vec B O))));
auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with (double (cons (vec M O) (vec M O'))); auto.
apply R_double.
apply transitive with (cons (opp (vec M O)) (opp (vec M O'))); auto.
apply symetrique; auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply opp_vect.
apply opp_vect.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M O) (vec M A)))
(double (cons (vec M A) (vec M O')))); auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec M O) (vec M A)) (cons (vec M A) (vec M O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec M O) (vec M A)))
(double (cons (vec M A) (vec M O')))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec A M) (vec A O)))
(double (cons (vec A O') (vec A M)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A M) (vec A O)) (cons (vec A O') (vec A M))));
auto.
apply transitive with (double (cons (vec A O') (vec A O))); auto.
apply R_double.
apply
transitive
with (plus (cons (vec A O') (vec A M)) (cons (vec A M) (vec A O)));
auto.
cut (R (double (cons (vec A O) (vec A O'))) zero); intros.
apply regulier with (a := double (cons (vec A O) (vec A O'))) (c := zero);
auto.
apply
transitive
with
(double (plus (cons (vec A O) (vec A O')) (cons (vec A O') (vec A O))));
auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A O) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O'))));
auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec A O) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (vec A O')))); auto.
apply
transitive
with
(plus (double (cons (vec A O) (vec A B)))
(double (cons (vec A B) (vec A O)))); auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with (double (plus (cons (vec A O) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A O))));
auto.
apply transitive with (double zero); auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A O))); auto.
apply transitive with (double (cons (vec A B) (vec A O'))); auto.
generalize (triangle_isocele (A:=O) (B:=A) (C:=B)); intros.
apply
regulier
with (a := cons (vec O A) (vec O B)) (c := cons (vec O' A) (vec O' B));
auto.
apply transitive with pi; auto.
generalize (triangle_isocele (A:=O') (B:=A) (C:=B)); intros.
apply symetrique; auto.
apply transitive with (double (cons (vec M A) (vec M B))); auto.
apply symetrique; apply angle_inscrit; auto.
auto.
apply angle_inscrit; auto.
Qed.
intros A B a; try assumption.
elim exists_opp_angle with (a := a); intros a' H; try exact H.
elim angle_cons with (a := plus pisurdeux a') (u := vec A B); intros u H2;
try exact H2.
elim angle_cons with (a := cons u (vec A B)) (u := vec B A); intros v H3;
try exact H3.
exists u.
exists v.
split; [ try assumption | idtac ].
auto.
apply
transitive
with
(plus (cons u (vec A B))
(plus (cons (vec A B) (vec B A)) (cons (vec B A) v)));
auto.
apply transitive with (plus (cons u (vec A B)) (plus pi (cons (vec B A) v)));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (cons (vec A B) (opp (vec A B))); auto.
apply vR_R_compatible; auto.
apply v_sym; apply opp_vect.
apply transitive with (plus (cons u (vec A B)) (plus (cons (vec B A) v) pi));
auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (cons u (vec A B)) (plus (cons u (vec A B)) pi));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply
regulier
with
(a := plus (plus pisurdeux a') (plus pisurdeux a'))
(c := plus (plus pisurdeux a') (plus pisurdeux a'));
auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(plus (cons u (vec A B)) (plus (cons u (vec A B)) pi)));
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(plus (plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B))) pi));
auto.
apply compatible; auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons (vec A B) u))
(plus (cons u (vec A B)) (cons u (vec A B)))) pi);
auto.
apply
transitive
with
(plus
(plus (plus (cons (vec A B) u) (cons u (vec A B)))
(plus (cons (vec A B) u) (cons u (vec A B)))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply calcul4.
apply
transitive
with (plus (plus (cons (vec A B) (vec A B)) (cons (vec A B) (vec A B))) pi);
auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus zero zero) pi); auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus (plus a a') (plus a a')) pi); auto.
apply compatible; auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus (plus a a) (plus a' a')) pi); auto.
apply compatible; auto.
apply calcul4.
apply transitive with (plus (plus (double a) (plus a' a')) pi); auto.
apply transitive with (plus (double a) (plus (plus a' a') pi)); auto.
apply transitive with (plus (plus (plus a' a') pi) (double a)); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus a' a') (plus pisurdeux pisurdeux)); auto.
apply compatible; auto.
apply transitive with (plus (plus pisurdeux pisurdeux) (plus a' a')); auto.
apply calcul4.
Qed.

Lemma abba : forall A B : PO, R (cons (vec A B) (vec B A)) pi.