Require Export Setoid.
(* Testare: +1. due setoidi con ugualianza diversa sullo stesso tipo +2. due setoidi sulla stessa uguaglianza +3. due morfismi sulla stessa funzione ma setoidi diversi +4. due morfismi sulla stessa funzione e stessi setoidi +5. setoid_replace +6. solo cammini mal tipati +7. esempio (f (g (h E1))) dove h:(T1,=1) -> T2, g:T2->(T3,=3), f:(T3,=3)->Prop +8. test con occorrenze non lineari del pattern +9. test in cui setoid_replace fa direttamente fallback su replace 10. sezioni +11. goal con impl +12. testare *veramente* setoid_replace (ora testato solamente il caso di fallback su replace)  Incompatibilita': 1. full_trivial in setoid_replace 2. "as ..." per "Add Setoid" 3. ipotesi permutate in lemma di "Add Morphism" 4. iff invece di if in "Add Morphism" nel caso di predicati 5. setoid_replace poteva riscrivere sia c1 in c2 che c2 in c1 (???? o poteva farlo da destra a sinitra o viceversa? ????)  ### Come evitare di dover fare "Require Setoid" prima di usare la tattica?  ??? scelta: quando ci sono piu' scelte dare un warning oppure fallire? difficile quando la tattica e' rewrite ed e' usata in tattiche automatiche  ??? in test4.v il setoid_rewrite non si puo' sostituire con rewrite perche' questo ultimo fallisce per via dell'unificazione  ??? ??? <-> non e' sottorelazione di ->. Quindi ora puo' capitare di non riuscire a provare goal del tipo A /\ B dove (A, <->) e (B, ->) (per esempio)  ### Nota: il parsing e pretty printing delle relazioni non e' in synch! eq contro (ty,eq). Uniformare  ### diminuire la taglia dei proof term  ??? il messaggio di errore non e' assolutamente significativo quando nessuna marcatura viene trovata  ### fare in modo che uscendo da una sezione vengano quantificate le relazioni e i morfismi. Hugo: paciugare nel discharge.ml  ### implementare relazioni/morfismi quantificati con dei LetIn (che palle...) decompose_prod da far diventare simile a un Reduction.dest_arity? (ma senza riduzione??? e perche' li' c'e' riduzione?) Soluzione da struzzo: fare zeta-conversione.  ### fare in modo che impl sia espanso nel lemma di compatibilita' del morfismo (richiesta di Marco per poter fare Add Hing)  ??? snellire la sintassi omettendo "proved by" come proposto da Marco?  ;-(  ### non capisce piu' le riscritture con uguaglianze quantificate (almeno nell'esempio di Marco) ### Bas Spitters: poter dichiarare che ogni variabile nel contesto di tipo un setoid_function e' un morfismo  ### unificare le varie check_... ### sostituire a Use_* una sola eccezione Optimize  Implementare: -2. user-defined subrelations && user-proved subrelations -1. trucco di Bruno  Sorgenti di inefficacia: 1. scelta del setoide di default per un sostegno: per farlo velocemente ci vorrebbe una tabella hash; attualmente viene fatta una ricerca lineare sul range della setoid_table  Vantaggi rispetto alla vecchia tattica: 1. permette di avere setoidi differenti con lo stesso sostegno, ma equivalenza differente 2. accetta setoidi differenti con lo stesso sostegno e stessa equivalenza, scegliendo a caso quello da usare (proof irrelevance) 3. permette di avere morfismi differenti sulla stessa funzione se hanno dominio o codominio differenti 4. accetta di avere morfismi differenti sulla stessa funzione e con lo stesso dominio e codominio, scegliendo a caso quello da usare (proof irrelevance) 5. quando un morfismo viene definito, se la scelta del dominio o del codominio e' ambigua l'utente puo' esplicitamente disambiguare la scelta fornendo esplicitamente il "tipo" del morfismo 6. permette di gestire riscritture ove ad almeno una funzione venga associato piu' di un morfismo. Vengono automaticamente calcolate le scelte globali che rispettano il tipaggio. 7. se esistono piu' scelte globali che rispettano le regole di tipaggio l'utente puo' esplicitamente disambiguare la scelta globale fornendo esplicitamente la scelta delle side conditions generate. 8. nel caso in cui la setoid_replace sia stata invocata al posto della replace la setoid_replace invoca direttamente la replace. Stessa cosa per la setoid_rewrite. 9. permette di gestire termini in cui il prefisso iniziale dell'albero (fino a trovare il termine da riscrivere) non sia formato esclusivamente da morfismi il cui dominio e codominio sia un setoide. Ovvero ammette anche morfismi il cui dominio e/o codominio sia l'uguaglianza di Leibniz. (Se entrambi sono uguaglianze di Leibniz allora il setoide e' una semplice funzione). 10. [setoid_]rewrite ... in ... setoid_replace ... in ... [setoid_]reflexivity [setoid_]transitivity ... [setoid_]symmetry [setoid_]symmetry in ... 11. permette di dichiarare dei setoidi/relazioni/morfismi in un module type 12. relazioni, morfismi e setoidi quantificati *)
Add Setoid S1 eqS1 SetoidS1 as S1setoid.
Instance eqS1_default : DefaultRelation eqS1 := {}.
Add Setoid S1 eqS1' SetoidS1' as S1setoid'.
Add Setoid S1 eqS1' SetoidS1'_bis as S1setoid''.
Add Setoid S2 eqS2 SetoidS2 as S2setoid.
Add Morphism f with signature (eqS1 ==> eq ==> eqS2) as f_compat. Admitted.
Add Morphism f with signature (eqS1 ==> eq ==> eqS2) as f_compat2. Admitted.
intros.
rewrite H.
reflexivity.
Qed.
intros.
setoid_replace x with y.
reflexivity.
assumption.
Qed.
Add Morphism g with signature (eqS1 ==> eqS2 ==> eq) as g_compat. Admitted.
intros.
rewrite H.
rewrite H0.
assumption.
Qed.
intros.
rewrite H.
rewrite H0.
assumption.
Qed.
intros.
rewrite H.
rewrite H0.
reflexivity.
Qed.
intros.
setoid_replace (g x y) with (g x' y').
reflexivity.
rewrite <- H0.
rewrite H.
reflexivity.
Qed.
Add Morphism f_test6 with signature (eqS2 ==> iff) as f_test6_compat. Admitted.
Add Morphism g_test6 with signature (eq ==> eqS2) as g_test6_compat. Admitted.
Add Morphism h_test6 with signature (eqS1 ==> eq) as h_test6_compat. Admitted.
intros.
rewrite  H.
assumption.
Qed.
intros.
rewrite H.
split; [assumption | reflexivity].
Qed.
Add Setoid S1_test8 eqS1_test8 SetoidS1_test8 as S1_test8setoid.
Instance eqS1_test8_default : DefaultRelation eqS1_test8 := {}.
Add Morphism f_test8 with signature (eqS2 ==> eqS1_test8) as f_compat_test8. Admitted.
Add Setoid S1_test8 eqS1_test8' SetoidS1_test8' as S1_test8setoid'.
Add Morphism g_test8 with signature (eqS1_test8 ==> eqS2) as g_compat_test8. Admitted.

Theorem test8:
forall x x': S2, (eqS2 x x') ->
(eqS2 (g_test8 (f_test8 x)) (g_test8 (f_test8 x'))).