Section Exercices.
Context `{TE:Tarski_euclidean}.
(** Exercice 35 : Dans un triangle rectangle a. GAZ est un triangle rectangle en A. Les points F, E et R sont les milieux respectifs de [AZ], [GZ] et [GA]. Fais une figure. b. Quelle est la nature du quadrilatère FERA ? Prouve-le. *)
(** # <div style="width:748px;height:397px;display:block" id="applet_container35"></div> # **)
(** Exercice 36 : Dans un triangle isocèle ABC est un triangle isocèle en A. [AH] est la hauteur issue de A. Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].  Quelle est la nature de AIHJ ? *)
(** A first solution using the fact that A I H J is a parallelogram whose diagonals are perpendicular *)
(** # <div style="width:448px;height:397px;display:block" id="applet_container36"></div> # **)
(** Exercice 37 : Avec une médiatrice SEL est un triangle quelconque. Les points I, M et A sont les milieux respectifs de [LS], [SE] et [EL]. La médiatrice de [LE] coupe la droite (IM) en O. a. Fais une figure. b. Que représente (AO) pour le triangle IMA? Prouve-le. *)
(** # <div style="width:748px;height:397px;display:block" id="applet_container37"></div> # **)
(** Exercice 38 avec une médiane a. Construis un triangle EAU quelconque. b. Construis la médiane [EL]. Place N milieu de [AE] et M milieu de [EU]. O est le point d'intersection de (EL) et de (MN). c. Est-il vrai que (OL) est une médiane du triangle LMN ? Justifie ta réponse. *)
(** # <div style="width:748px;height:397px;display:block" id="applet_container38"></div> # **)
(** Exercice 39 Dans un demi-cercle Sur la figure ci-dessous, le point A appartient au cercle de diamètre [CT] et de centre S. Les droites (HS) et (CA) sont perpendiculaires. - Montre que H est le milieu du segment [CA]. *)
(** # <div style="width:748px;height:397px;display:block" id="applet_container39"></div> # **)
(** Exercice 40 : ABC est un triangle quelconque. R est un point de [BC]. On appelle S, T, M et N les milieux respectifs de [BR], [RC], [AB] et [AC]. a- Montre que (NT) est parallèle à (MS). b- Montre que MNTS est un parallélogramme. *)
(** # <div style="width:748px;height:397px;display:block" id="applet_container40"></div> # **)
(** Exercice 41 : Sur la figure suivante, THL est un triangle quelconque, O est le milieu du segment [TH], E celui de [TL] et S est un point de [HL]. a- Montre que les angles SAE et TSH ont la même mesure. b- Montre que A est le milieu de [TS]. *)
(** # <div style="width:748px;height:397px;display:block" id="applet_container41"></div> # **)
(** Exercice 42 : ABC est un triangle quelconque. [BI] et [CJ] sont deux médianes, elles se coupent en G. On désigne par K le milieu de [BG] et L celui de [CG]. a- Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? Prouve-le. b- Que peut-on dire de la position du point G sur chacune des médiane [BI] et [CJ]? *)
(** Exercice 44 : ABCD est un parallélogramme. I est le milieu de [AD] et J le milieu de [BC]. a- Démontre que BJDI est un parallélogramme. b- Est-il vrai que les droites (BI) et (DJ) divisent la diagonale [AC] en trois parties égales ? Justifie ta réponse (ce problème est posé par Euclide dans le Livre III de sas "Eléments"). *)
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(** Exercice 45 : ABC est un triangle quelconque. - I est le milieu de [BC]. - M est le symétrique de I par rapport au point A. - J est le milieu de [AI].  La parallèle à (AC) passent par J coupe (BC) en K. a- Démontre que K est le milieu de [IC]. b- Démontre que les droites (AK) et (MC) sont parallèles. c- Que représente le point d'intersection des droites (CA) et (MK) pour le triangle MIC? *)
(** # <div style="width:748px;height:397px;display:block" id="applet_container45"></div> # **)

Lemma sesamath_4ieme_G2_ex45 :
forall A B C I K J M G,
~ Col A B C ->
Midpoint I B C ->
Col I A M ->
Midpoint A I M ->
Midpoint J A I ->
Par J K A C ->
Col K I C ->
Col G C A /\ Col G M K ->
Midpoint K I C /\ Par A K M C /\ is_gravity_center G C M I.