Definition merge_lt (x1 : S1) (p1 : S2) (x2 : S1) (p2 : S2) :=
  O1 x1 x2 \/ E1 x1 x2 /\ O2 p1 p2.Definition merge_le (x1 : S1) (p1 : S2) (x2 : S1) (p2 : S2) :=
  merge_lt x1 p1 x2 p2 \/ E1 x1 x2 /\ E2 p1 p2.

Lemma merge_lt_wf : forall P : S1 -> S2 -> Prop, (forall (q : S1) (t : S2), (forall (r : S1) (u : S2), merge_lt r u q t -> P r u) -> P q t) -> forall (x : S1) (p : S2), P x p.