Definition pl_produit_0_incr (p0 p1 : prec_list) : Prop :=
  forall (a : ad) (l : prec_list) (n : nat),
  pl_essence p0 p1 <= n ->
  pl_produit_0 a p0 p1 (pl_essence p0 p1) l = pl_produit_0 a p0 p1 n l.Definition pl_produit_1_incr (p0 p1 : prec_list) : Prop :=
  forall n : nat,
  pl_essence p0 p1 <= n ->
  pl_produit_1 p0 (pl_essence p0 p1) p1 = pl_produit_1 p0 n p1.

Lemma pl_product_0 : forall p0 p1 : prec_list, (forall (a : ad) (l : prec_list) (n : nat), pl_essence p0 p1 <= n -> pl_produit_0 a p0 p1 (pl_essence p0 p1) l = pl_produit_0 a p0 p1 n l) /\ (forall n : nat, pl_essence p0 p1 <= n -> pl_produit_1 p0 (pl_essence p0 p1) p1 = pl_produit_1 p0 n p1).