Module Type Ops (E : OrderedType) := WOps E <+ HasOrdOps.Module Type S := Sets.Definition elt := E.t.Record t_ := Mkt {this :> M.t; is_ok : M.Ok this}.Record t_ := Mkt {this :> M.t; is_ok : M.Ok this}.Record t_ := Mkt {this :> M.t; is_ok : M.Ok this}.Record t_ := Mkt {this :> M.t; is_ok : M.Ok this}.Definition t := t_.Definition In (x : elt)(s : t) := M.In x s.(this).Definition Equal (s s' : t) := forall a : elt, In a s <-> In a s'.Definition Subset (s s' : t) := forall a : elt, In a s -> In a s'.Definition Empty (s : t) := forall a : elt, ~ In a s.Definition For_all (P : elt -> Prop)(s : t) := forall x, In x s -> P x.Definition Exists (P : elt -> Prop)(s : t) := exists x, In x s /\ P x.Definition mem (x : elt)(s : t) := M.mem x s.Definition add (x : elt)(s : t) : t := Mkt (M.add x s).Definition remove (x : elt)(s : t) : t := Mkt (M.remove x s).Definition singleton (x : elt) : t := Mkt (M.singleton x).Definition union (s s' : t) : t := Mkt (M.union s s').Definition inter (s s' : t) : t := Mkt (M.inter s s').Definition diff (s s' : t) : t := Mkt (M.diff s s').Definition equal (s s' : t) := M.equal s s'.Definition subset (s s' : t) := M.subset s s'.Definition empty : t := Mkt M.empty.Definition is_empty (s : t) := M.is_empty s.Definition elements (s : t) : list elt := M.elements s.Definition choose (s : t) : option elt := M.choose s.Definition fold (A : Type)(f : elt -> A -> A)(s : t) : A -> A := M.fold f s.Definition cardinal (s : t) := M.cardinal s.Definition filter (f : elt -> bool)(s : t) : t := Mkt (M.filter f s).Definition for_all (f : elt -> bool)(s : t) := M.for_all f s.Definition exists_ (f : elt -> bool)(s : t) := M.exists_ f s.Definition partition (f : elt -> bool)(s : t) : t * t :=
   let p := M.partition f s in (Mkt (fst p), Mkt (snd p)).Instance In_compat : Proper (E.eq==>eq==>iff) In.Definition eq : t -> t -> Prop := Equal.Instance eq_equiv : Equivalence eq.Definition eq_dec : forall (s s':t), { eq s s' }+{ ~eq s s' }.Notation compatb := (Proper (E.eq==>Logic.eq)) (only parsing).

Lemma remove_spec : In y (remove x s) <-> In y s /\ ~E.eq y x.