Record mixin_of (G : Type) := Mixin {
  plus : G -> G -> G ;
  opp : G -> G ;
  zero : G ;
  ax1 : forall x y, plus x y = plus y x ;
  ax2 : forall x y z, plus x (plus y z) = plus (plus x y) z ;
  ax3 : forall x, plus x zero = x ;
  ax4 : forall x, plus x (opp x) = zero
}.Record mixin_of (G : Type) := Mixin {
  plus : G -> G -> G ;
  opp : G -> G ;
  zero : G ;
  ax1 : forall x y, plus x y = plus y x ;
  ax2 : forall x y z, plus x (plus y z) = plus (plus x y) z ;
  ax3 : forall x, plus x zero = x ;
  ax4 : forall x, plus x (opp x) = zero
}.Record mixin_of (G : Type) := Mixin {
  plus : G -> G -> G ;
  opp : G -> G ;
  zero : G ;
  ax1 : forall x y, plus x y = plus y x ;
  ax2 : forall x y z, plus x (plus y z) = plus (plus x y) z ;
  ax3 : forall x, plus x zero = x ;
  ax4 : forall x, plus x (opp x) = zero
}.Record mixin_of (G : Type) := Mixin {
  plus : G -> G -> G ;
  opp : G -> G ;
  zero : G ;
  ax1 : forall x y, plus x y = plus y x ;
  ax2 : forall x y z, plus x (plus y z) = plus (plus x y) z ;
  ax3 : forall x, plus x zero = x ;
  ax4 : forall x, plus x (opp x) = zero
}.Record mixin_of (G : Type) := Mixin {
  plus : G -> G -> G ;
  opp : G -> G ;
  zero : G ;
  ax1 : forall x y, plus x y = plus y x ;
  ax2 : forall x y z, plus x (plus y z) = plus (plus x y) z ;
  ax3 : forall x, plus x zero = x ;
  ax4 : forall x, plus x (opp x) = zero
}.Record mixin_of (G : Type) := Mixin {
  plus : G -> G -> G ;
  opp : G -> G ;
  zero : G ;
  ax1 : forall x y, plus x y = plus y x ;
  ax2 : forall x y z, plus x (plus y z) = plus (plus x y) z ;
  ax3 : forall x, plus x zero = x ;
  ax4 : forall x, plus x (opp x) = zero
}.Record mixin_of (G : Type) := Mixin {
  plus : G -> G -> G ;
  opp : G -> G ;
  zero : G ;
  ax1 : forall x y, plus x y = plus y x ;
  ax2 : forall x y z, plus x (plus y z) = plus (plus x y) z ;
  ax3 : forall x, plus x zero = x ;
  ax4 : forall x, plus x (opp x) = zero
}.Record mixin_of (G : Type) := Mixin {
  plus : G -> G -> G ;
  opp : G -> G ;
  zero : G ;
  ax1 : forall x y, plus x y = plus y x ;
  ax2 : forall x y z, plus x (plus y z) = plus (plus x y) z ;
  ax3 : forall x, plus x zero = x ;
  ax4 : forall x, plus x (opp x) = zero
}.Record mixin_of (G : Type) := Mixin {
  plus : G -> G -> G ;
  opp : G -> G ;
  zero : G ;
  ax1 : forall x y, plus x y = plus y x ;
  ax2 : forall x y z, plus x (plus y z) = plus (plus x y) z ;
  ax3 : forall x, plus x zero = x ;
  ax4 : forall x, plus x (opp x) = zero
}.Notation class_of := mixin_of (only parsing).Structure type := Pack { sort; _ : class_of sort ; _ : Type }.Structure type := Pack { sort; _ : class_of sort ; _ : Type }.Structure type := Pack { sort; _ : class_of sort ; _ : Type }.Notation AbelianGroup := type.Definition zero := AbelianGroup.zero _ (AbelianGroup.class G).Definition plus := AbelianGroup.plus _ (AbelianGroup.class G).Definition opp := AbelianGroup.opp _ (AbelianGroup.class G).Definition minus x y := (plus x (opp y)).

Lemma plus_reg_r : forall r x y : G, plus x r = plus y r -> x = y.