(*********)
Definition D_x (D:R -> Prop) (y x:R) : Prop := D x /\ y <> x.(*********)
Definition continue_in (f:R -> R) (D:R -> Prop) (x0:R) : Prop :=
  limit1_in f (D_x D x0) (f x0) x0.(*********)
Definition D_in (f d:R -> R) (D:R -> Prop) (x0:R) : Prop :=
  limit1_in (fun x:R => (f x - f x0) / (x - x0)) (D_x D x0) (d x0) x0.

Lemma Dcomp : forall (Df Dg:R -> Prop) (df dg f g:R -> R) (x0:R), D_in f df Df x0 -> D_in g dg Dg (f x0) -> D_in (fun x:R => g (f x)) (fun x:R => df x * dg (f x)) (Dgf Df Dg f) x0.