Definition Qquadratic_Qpositive_to_Q (a b c d e f g h : Z)
  (p1 p2 : Qpositive) (H_qsign : Qquadratic_sg_denom_nonzero e f g h p1 p2) :
  Q.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q),
      s1 = Zero ->
      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok01 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero g h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok02 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero f h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok20 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- f) h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok11 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e f g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok12 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) f (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok21 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok22 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e (- f) (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q),
      s1 = Zero ->
      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok01 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero g h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok02 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero f h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok20 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- f) h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok11 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e f g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok12 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) f (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok21 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok22 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e (- f) (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q),
      s1 = Zero ->
      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok01 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero g h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok02 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero f h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok20 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- f) h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok11 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e f g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok12 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) f (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok21 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok22 :
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      s1 = Qneg p1 ->
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      Qquadratic_sg_denom_nonzero e (- f) (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q),
      s1 = Zero ->
      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok01 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qpos p2 ->
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok02 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero f h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok20 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- f) h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok11 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e f g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok12 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) f (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok21 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok22 :
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      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e (- f) (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q),
      s1 = Zero ->
      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok01 :
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      s1 = Zero ->
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok02 :
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      s1 = Zero ->
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      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
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      s1 = Qpos p1 ->
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok11 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok12 :
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      s1 = Qpos p1 ->
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
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      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok22 :
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q),
      s1 = Zero ->
      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok01 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
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      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok20 :
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      Qquadratic_sg_denom_nonzero e f g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok12 :
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok21 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
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      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok22 :
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q),
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      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
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      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
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      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok01 :
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      s1 = Zero ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero g h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok02 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
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      s2 = Qneg p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok20 :
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      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok11 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e f g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok12 :
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      s1 = Qpos p1 ->
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  | Qquadraticok21 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok22 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e (- f) (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q),
      s1 = Zero ->
      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok01 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero g h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok02 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero f h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok20 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- f) h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok11 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e f g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok12 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) f (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok21 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok22 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e (- f) (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.Inductive Qquadratic_denom_nonzero : Z -> Z -> Z -> Z -> Q -> Q -> Prop :=
  | Qquadraticok00 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q),
      s1 = Zero ->
      s2 = Zero -> h <> 0%Z -> Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok01 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero g h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok02 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p2 : Qpositive),
      s1 = Zero ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- g) h p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok10 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero f h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok20 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Zero ->
      Qhomographic_sg_denom_nonzero (- f) h p1 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok11 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e f g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok12 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qpos p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) f (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok21 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qpos p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2
  | Qquadraticok22 :
      forall (e f g h : Z) (s1 s2 : Q) (p1 p2 : Qpositive),
      s1 = Qneg p1 ->
      s2 = Qneg p2 ->
      Qquadratic_sg_denom_nonzero e (- f) (- g) h p1 p2 ->
      Qquadratic_denom_nonzero e f g h s1 s2.

Lemma Qquadratic_21 : forall (e f g h : Z) (p1 p2 : Qpositive), Qquadratic_denom_nonzero e f g h (Qneg p1) (Qpos p2) -> Qquadratic_sg_denom_nonzero (- e) (- f) g h p1 p2.