(*************************************************)
(*		Definition Avl		  	 *)
(*************************************************)

Inductive is_avl : avl_tree -> Prop :=
  | Nil_Is_Avl : is_avl Avl_Nil
  | Node_Is_Avl :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      is_avl l ->
      is_avl r ->
      is_balanced_avl l r b ->
      is_below_avl l k -> is_above_avl r k -> is_avl (Avl_Node k d l r b).(*************************************************)
(*		Definition Avl		  	 *)
(*************************************************)

Inductive is_avl : avl_tree -> Prop :=
  | Nil_Is_Avl : is_avl Avl_Nil
  | Node_Is_Avl :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      is_avl l ->
      is_avl r ->
      is_balanced_avl l r b ->
      is_below_avl l k -> is_above_avl r k -> is_avl (Avl_Node k d l r b).(*************************************************)
(*		Definition Avl		  	 *)
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Inductive is_avl : avl_tree -> Prop :=
  | Nil_Is_Avl : is_avl Avl_Nil
  | Node_Is_Avl :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      is_avl l ->
      is_avl r ->
      is_balanced_avl l r b ->
      is_below_avl l k -> is_above_avl r k -> is_avl (Avl_Node k d l r b).

Lemma lookup_avl_inv_greater : forall (key k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B), is_avl (Avl_Node k d l r b) -> Less k key -> lookup key (Avl_Node k d l r b) data -> lookup key r data.