Record mixin_of (K : Ring) := Mixin {
  abs : K -> R ;
  ax1 : abs zero = 0 ;
  ax2 : abs (opp one) = 1 ;
  ax3 : forall x y : K, abs (plus x y) <= abs x + abs y ;
  ax4 : forall x y : K, abs (mult x y) <= abs x * abs y ;
  ax5 : forall x : K, abs x = 0 -> x = zero
}.Record mixin_of (K : Ring) := Mixin {
  abs : K -> R ;
  ax1 : abs zero = 0 ;
  ax2 : abs (opp one) = 1 ;
  ax3 : forall x y : K, abs (plus x y) <= abs x + abs y ;
  ax4 : forall x y : K, abs (mult x y) <= abs x * abs y ;
  ax5 : forall x : K, abs x = 0 -> x = zero
}.Record mixin_of (K : Ring) := Mixin {
  abs : K -> R ;
  ax1 : abs zero = 0 ;
  ax2 : abs (opp one) = 1 ;
  ax3 : forall x y : K, abs (plus x y) <= abs x + abs y ;
  ax4 : forall x y : K, abs (mult x y) <= abs x * abs y ;
  ax5 : forall x : K, abs x = 0 -> x = zero
}.Record mixin_of (K : Ring) := Mixin {
  abs : K -> R ;
  ax1 : abs zero = 0 ;
  ax2 : abs (opp one) = 1 ;
  ax3 : forall x y : K, abs (plus x y) <= abs x + abs y ;
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  ax5 : forall x : K, abs x = 0 -> x = zero
}.Record mixin_of (K : Ring) := Mixin {
  abs : K -> R ;
  ax1 : abs zero = 0 ;
  ax2 : abs (opp one) = 1 ;
  ax3 : forall x y : K, abs (plus x y) <= abs x + abs y ;
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  ax5 : forall x : K, abs x = 0 -> x = zero
}.Record mixin_of (K : Ring) := Mixin {
  abs : K -> R ;
  ax1 : abs zero = 0 ;
  ax2 : abs (opp one) = 1 ;
  ax3 : forall x y : K, abs (plus x y) <= abs x + abs y ;
  ax4 : forall x y : K, abs (mult x y) <= abs x * abs y ;
  ax5 : forall x : K, abs x = 0 -> x = zero
}.Record mixin_of (K : Ring) := Mixin {
  abs : K -> R ;
  ax1 : abs zero = 0 ;
  ax2 : abs (opp one) = 1 ;
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}.Record mixin_of (K : Ring) := Mixin {
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  ax1 : abs zero = 0 ;
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  ax3 : forall x y : K, abs (plus x y) <= abs x + abs y ;
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  ax5 : forall x : K, abs x = 0 -> x = zero
}.Record class_of (K : Type) := Class {
  base : Ring.class_of K ;
  mixin : mixin_of (Ring.Pack _ base K)
}.Record class_of (K : Type) := Class {
  base : Ring.class_of K ;
  mixin : mixin_of (Ring.Pack _ base K)
}.Record class_of (K : Type) := Class {
  base : Ring.class_of K ;
  mixin : mixin_of (Ring.Pack _ base K)
}.Record class_of (K : Type) := Class {
  base : Ring.class_of K ;
  mixin : mixin_of (Ring.Pack _ base K)
}.Structure type := Pack { sort; _ : class_of sort ; _ : Type }.Structure type := Pack { sort; _ : class_of sort ; _ : Type }.Structure type := Pack { sort; _ : class_of sort ; _ : Type }.Definition AbelianGroup := AbelianGroup.Pack cT xclass xT.Definition Ring := Ring.Pack cT xclass xT.Notation AbsRing := type.Definition abs : K -> R := AbsRing.abs _ (AbsRing.class K).

Lemma abs_pow_n : forall (x : K) n, abs (pow_n x n) <= (abs x)^n.