Record mixin_of (M : Type) := Mixin {
  ball : M -> R -> M -> Prop ;
  ax1 : forall x (e : posreal), ball x e x ;
  ax2 : forall x y e, ball x e y -> ball y e x ;
  ax3 : forall x y z e1 e2, ball x e1 y -> ball y e2 z -> ball x (e1 + e2) z
}.Record mixin_of (M : Type) := Mixin {
  ball : M -> R -> M -> Prop ;
  ax1 : forall x (e : posreal), ball x e x ;
  ax2 : forall x y e, ball x e y -> ball y e x ;
  ax3 : forall x y z e1 e2, ball x e1 y -> ball y e2 z -> ball x (e1 + e2) z
}.Record mixin_of (M : Type) := Mixin {
  ball : M -> R -> M -> Prop ;
  ax1 : forall x (e : posreal), ball x e x ;
  ax2 : forall x y e, ball x e y -> ball y e x ;
  ax3 : forall x y z e1 e2, ball x e1 y -> ball y e2 z -> ball x (e1 + e2) z
}.Record mixin_of (M : Type) := Mixin {
  ball : M -> R -> M -> Prop ;
  ax1 : forall x (e : posreal), ball x e x ;
  ax2 : forall x y e, ball x e y -> ball y e x ;
  ax3 : forall x y z e1 e2, ball x e1 y -> ball y e2 z -> ball x (e1 + e2) z
}.Record mixin_of (M : Type) := Mixin {
  ball : M -> R -> M -> Prop ;
  ax1 : forall x (e : posreal), ball x e x ;
  ax2 : forall x y e, ball x e y -> ball y e x ;
  ax3 : forall x y z e1 e2, ball x e1 y -> ball y e2 z -> ball x (e1 + e2) z
}.Record mixin_of (M : Type) := Mixin {
  ball : M -> R -> M -> Prop ;
  ax1 : forall x (e : posreal), ball x e x ;
  ax2 : forall x y e, ball x e y -> ball y e x ;
  ax3 : forall x y z e1 e2, ball x e1 y -> ball y e2 z -> ball x (e1 + e2) z
}.Structure type := Pack { sort; _ : class_of sort ; _ : Type }.Structure type := Pack { sort; _ : class_of sort ; _ : Type }.Structure type := Pack { sort; _ : class_of sort ; _ : Type }.Notation UniformSpace := type.Definition ball := UniformSpace.ball _ (UniformSpace.class M).

Lemma ball_sym : forall (x y : M) (e : R), ball x e y -> ball y e x.