Record is_a_function_on (D F : Ens) : Prop := 
  {function_on_fn : is_a_function F; function_on_dom : EQ D (Domain F)}.Record is_a_function_on (D F : Ens) : Prop := 
  {function_on_fn : is_a_function F; function_on_dom : EQ D (Domain F)}.Record is_a_function_on (D F : Ens) : Prop := 
  {function_on_fn : is_a_function F; function_on_dom : EQ D (Domain F)}.

Theorem function_th1 : forall (F : Ens) (f : is_a_function F) (X Y : Ens) (i : IN (PAIR X Y) F), EQ Y (EV F X).