Definition pred_nat : forall (x : Z) (Hx : (0 < x)%Z), nat.

Lemma minus_pred_nat : forall (n m : Z) (Hn : (0 < n)%Z) (Hm : (0 < m)%Z) (Hnm : (0 < n - m)%Z), S (pred_nat n Hn) - S (pred_nat m Hm) = S (pred_nat (n - m) Hnm).