Definition filterlimi {T U : Type} (f : T -> U -> Prop) F G :=
  filter_le (filtermapi f F) G.

Lemma filterlimi_comp : forall T U V (f : T -> U) (g : U -> V -> Prop) F G H, filterlim f F G -> filterlimi g G H -> filterlimi (fun x => g (f x)) F H.