Record pairwise_EQ (A B C D : Ens) : Prop := 
  {pairwise_EQ_ac : EQ A C; pairwise_EQ_bd : EQ B D}.Record pairwise_EQ (A B C D : Ens) : Prop := 
  {pairwise_EQ_ac : EQ A C; pairwise_EQ_bd : EQ B D}.Record pairwise_EQ (A B C D : Ens) : Prop := 
  {pairwise_EQ_ac : EQ A C; pairwise_EQ_bd : EQ B D}.Definition doubleton_uniqueness_1_Out : False := nD step1_2.Definition doubleton_uniqueness_2_Out : False := nB step1_2.Definition doubleton_uniqueness_Out : pairwise_EQ A B C D :=
  Build_pairwise_EQ A B C D conclusionAC conclusionBD.

Theorem Doubleton_uniqueness : forall (P : Ens -> Prop) (A B C D : Ens) (pA : P A) (nB : ~ P B) (pC : P C) (nD : ~ P D) (e : EQ (Doubleton A B) (Doubleton C D)), pairwise_EQ A B C D.