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(** *    Fractional part                                 *)
(*********************************************************)

(**********)
Definition Int_part (r:R) : Z := (up r - 1)%Z.(**********)
Definition frac_part (r:R) : R := r - IZR (Int_part r).

Lemma up_tech : forall (r:R) (z:Z), IZR z <= r -> r < IZR (z + 1) -> (z + 1)%Z = up r.