Lemma three_hypotheses_aux : forall A B C D M N A' B' C' D' M' N', Saccheri A B C D -> Saccheri A' B' C' D' -> Midpoint M B C -> Midpoint M' B' C' -> Midpoint N A D -> Midpoint N' A' D' -> Le M N M' N' -> (Per A B C <-> Per A' B' C') /\ (Acute A B C <-> Acute A' B' C').