Definition SF_cut_down (sf : @SF_seq R) (x : R) :=
  let s := seq_cut_down ((SF_h sf,SF_h sf) :: (SF_t sf)) x in
  mkSF_seq (fst (head (SF_h sf,SF_h sf) s)) (behead s).Definition SF_cut_up (sf : @SF_seq R) (x : R) :=
  let s := seq_cut_up ((SF_h sf,SF_h sf) :: (SF_t sf)) x in
  mkSF_seq (fst (head (SF_h sf,SF_h sf) s)) (behead s).

Lemma SF_cut_down_cons_1 h ptd x : fst h <= x < SF_h ptd -> SF_cut_down (SF_cons h ptd) x = SF_cons (fst h, Rmin (snd h) x) (SF_nil x).