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Definition tan (x:R) : R := sin x / cos x.

Lemma tan_minus : forall x y:R, cos x <> 0 -> cos y <> 0 -> cos (x - y) <> 0 -> 1 + tan x * tan y <> 0 -> tan (x - y) = (tan x - tan y) / (1 + tan x * tan y).