Inductive plusP :
list (Term A n) -> list (Term A n) -> list (Term A n) -> Prop :=
  | nillu1 : forall l1, plusP (pO A n) l1 l1
  | nillu2 : forall l1, plusP l1 (pO A n) l1
  | mainu1 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a2 a1 ->
      plusP l1 (pX a2 l2) l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a1 l3)
  | mainu2a :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) l3
  | mainu2b :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2)
        (pX (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) l3)
  | mainu3 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a1 a2 ->
      plusP (pX a1 l1) l2 l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a2 l3).Inductive plusP :
list (Term A n) -> list (Term A n) -> list (Term A n) -> Prop :=
  | nillu1 : forall l1, plusP (pO A n) l1 l1
  | nillu2 : forall l1, plusP l1 (pO A n) l1
  | mainu1 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a2 a1 ->
      plusP l1 (pX a2 l2) l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a1 l3)
  | mainu2a :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) l3
  | mainu2b :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2)
        (pX (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) l3)
  | mainu3 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a1 a2 ->
      plusP (pX a1 l1) l2 l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a2 l3).Inductive plusP :
list (Term A n) -> list (Term A n) -> list (Term A n) -> Prop :=
  | nillu1 : forall l1, plusP (pO A n) l1 l1
  | nillu2 : forall l1, plusP l1 (pO A n) l1
  | mainu1 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a2 a1 ->
      plusP l1 (pX a2 l2) l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a1 l3)
  | mainu2a :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) l3
  | mainu2b :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2)
        (pX (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) l3)
  | mainu3 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a1 a2 ->
      plusP (pX a1 l1) l2 l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a2 l3).Inductive plusP :
list (Term A n) -> list (Term A n) -> list (Term A n) -> Prop :=
  | nillu1 : forall l1, plusP (pO A n) l1 l1
  | nillu2 : forall l1, plusP l1 (pO A n) l1
  | mainu1 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a2 a1 ->
      plusP l1 (pX a2 l2) l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a1 l3)
  | mainu2a :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) l3
  | mainu2b :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2)
        (pX (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) l3)
  | mainu3 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a1 a2 ->
      plusP (pX a1 l1) l2 l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a2 l3).Inductive plusP :
list (Term A n) -> list (Term A n) -> list (Term A n) -> Prop :=
  | nillu1 : forall l1, plusP (pO A n) l1 l1
  | nillu2 : forall l1, plusP l1 (pO A n) l1
  | mainu1 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a2 a1 ->
      plusP l1 (pX a2 l2) l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a1 l3)
  | mainu2a :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) l3
  | mainu2b :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2)
        (pX (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) l3)
  | mainu3 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a1 a2 ->
      plusP (pX a1 l1) l2 l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a2 l3).Inductive plusP :
list (Term A n) -> list (Term A n) -> list (Term A n) -> Prop :=
  | nillu1 : forall l1, plusP (pO A n) l1 l1
  | nillu2 : forall l1, plusP l1 (pO A n) l1
  | mainu1 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a2 a1 ->
      plusP l1 (pX a2 l2) l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a1 l3)
  | mainu2a :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) l3
  | mainu2b :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2)
        (pX (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) l3)
  | mainu3 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a1 a2 ->
      plusP (pX a1 l1) l2 l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a2 l3).Inductive plusP :
list (Term A n) -> list (Term A n) -> list (Term A n) -> Prop :=
  | nillu1 : forall l1, plusP (pO A n) l1 l1
  | nillu2 : forall l1, plusP l1 (pO A n) l1
  | mainu1 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a2 a1 ->
      plusP l1 (pX a2 l2) l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a1 l3)
  | mainu2a :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) l3
  | mainu2b :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      plusP l1 l2 l3 ->
      eqT a1 a2 ->
      ~ zeroP (A:=A) A0 eqA (n:=n) (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) ->
      plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2)
        (pX (plusTerm (A:=A) plusA (n:=n) a1 a2) l3)
  | mainu3 :
      forall a1 a2 l1 l2 l3,
      ltT ltM a1 a2 ->
      plusP (pX a1 l1) l2 l3 -> plusP (pX a1 l1) (pX a2 l2) (pX a2 l3).Definition projsig1 (A : Set) (P : A -> Prop) (H : sig P) :=
  let (a, _) return A := H in a.Definition plusp : forall l, {a : _ | plusP (fst l) (snd l) a}.Definition pluspf l1 l2 := projsig1 _ _ (plusp (l1, l2)).

Theorem plusP_com : forall p q r s, plusP p q r -> plusP q p s -> eqP A eqA n r s.