(************************************************************************)
(* lookup                                                               *)


Inductive lookup (key : Int) : avl_tree -> B -> Prop :=
  | Lookup_Equal :
      forall (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      lookup key (Avl_Node key d l r b) d
  | Lookup_Left :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B),
      lookup key l data -> lookup key (Avl_Node k d l r b) data
  | Lookup_Right :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B),
      lookup key r data -> lookup key (Avl_Node k d l r b) data.(************************************************************************)
(* lookup                                                               *)


Inductive lookup (key : Int) : avl_tree -> B -> Prop :=
  | Lookup_Equal :
      forall (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      lookup key (Avl_Node key d l r b) d
  | Lookup_Left :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B),
      lookup key l data -> lookup key (Avl_Node k d l r b) data
  | Lookup_Right :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B),
      lookup key r data -> lookup key (Avl_Node k d l r b) data.(************************************************************************)
(* lookup                                                               *)


Inductive lookup (key : Int) : avl_tree -> B -> Prop :=
  | Lookup_Equal :
      forall (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      lookup key (Avl_Node key d l r b) d
  | Lookup_Left :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B),
      lookup key l data -> lookup key (Avl_Node k d l r b) data
  | Lookup_Right :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B),
      lookup key r data -> lookup key (Avl_Node k d l r b) data.(************************************************************************)
(* lookup                                                               *)


Inductive lookup (key : Int) : avl_tree -> B -> Prop :=
  | Lookup_Equal :
      forall (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      lookup key (Avl_Node key d l r b) d
  | Lookup_Left :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B),
      lookup key l data -> lookup key (Avl_Node k d l r b) data
  | Lookup_Right :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B),
      lookup key r data -> lookup key (Avl_Node k d l r b) data.

Lemma lookup_below_lookup : forall (key k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal) (data : B), lookup key (Avl_Node k d l r b) data -> Less k key -> is_below l key -> lookup key r data.