(**************************************************************)




Inductive Derive_P_A_3 : Word * Conf -> Word * Conf -> Prop :=
  | Derive3_X :
      forall (w u s : Word) (x : Elt),
      dans x X ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, cons x u)) (Append s (cons x nil), (w, u))
  | Derive3_V :
      forall (v w u s : Word) (x : Elt),
      dans (couple x (word u)) R ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, v)) (s, (Append u w, v)).(**************************************************************)




Inductive Derive_P_A_3 : Word * Conf -> Word * Conf -> Prop :=
  | Derive3_X :
      forall (w u s : Word) (x : Elt),
      dans x X ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, cons x u)) (Append s (cons x nil), (w, u))
  | Derive3_V :
      forall (v w u s : Word) (x : Elt),
      dans (couple x (word u)) R ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, v)) (s, (Append u w, v)).(**************************************************************)




Inductive Derive_P_A_3 : Word * Conf -> Word * Conf -> Prop :=
  | Derive3_X :
      forall (w u s : Word) (x : Elt),
      dans x X ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, cons x u)) (Append s (cons x nil), (w, u))
  | Derive3_V :
      forall (v w u s : Word) (x : Elt),
      dans (couple x (word u)) R ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, v)) (s, (Append u w, v)).Definition Derivestar_P_A_3 := Rstar (Word * Conf) Derive_P_A_3.

Lemma Derive_P_A_2_imp_Derive_P_A_3 : forall (s : Word) (x y : Conf), Derive_P_A_2 x y -> exists s2 : Word, Derive_P_A_3 (s, x) (s2, y).