Fixpoint subAllFormula (f : Formula) (m : (nat -> Term)) {struct f} : Formula :=
  match f with
  | fol.equal t s => equal (subAllTerm t m) (subAllTerm s m)
  | fol.atomic r ts => atomic r (subAllTerms _ ts m)
  | fol.impH f g =>
      impH (subAllFormula f m) (subAllFormula g m)
  | fol.notH f => notH (subAllFormula f m)
  | fol.forallH n f =>
      let nv :=
        newVar
          (freeVarFormula L f ++
           freeVarMap (freeVarFormula L (forallH n f)) m) in
      forallH nv
        (subAllFormula f
           (fun v : nat =>
            match eq_nat_dec v n with
            | left _ => var nv
            | right _ => m v
            end))
  end.

Lemma subSubAllTerm : forall (t : fol.Term L) (m : nat -> fol.Term L) (v : nat) (s : fol.Term L), substituteTerm L (subAllTerm t m) v s = subAllTerm t (fun n : nat => substituteTerm L (m n) v s).