(* Extensional version *)

Inductive suff_exteq (s : infseq T) : infseq T -> Prop :=
  | sb_eq : forall s', exteq s s' -> suff_exteq s s'
  | sb_next : forall x s', suff_exteq s s' -> suff_exteq s (Cons x s').(* Extensional version *)

Inductive suff_exteq (s : infseq T) : infseq T -> Prop :=
  | sb_eq : forall s', exteq s s' -> suff_exteq s s'
  | sb_next : forall x s', suff_exteq s s' -> suff_exteq s (Cons x s').(* Extensional version *)

Inductive suff_exteq (s : infseq T) : infseq T -> Prop :=
  | sb_eq : forall s', exteq s s' -> suff_exteq s s'
  | sb_next : forall x s', suff_exteq s s' -> suff_exteq s (Cons x s').Inductive suffb (x : T) (s : infseq T) : infseq T -> Prop :=
  | sp_eqb : forall s', exteq (Cons x s) s' -> suffb x s s'
  | sp_nextb : forall y s', suffb x s s' -> suffb x s (Cons y s').Inductive suffb (x : T) (s : infseq T) : infseq T -> Prop :=
  | sp_eqb : forall s', exteq (Cons x s) s' -> suffb x s s'
  | sp_nextb : forall y s', suffb x s s' -> suffb x s (Cons y s').Inductive suffb (x : T) (s : infseq T) : infseq T -> Prop :=
  | sp_eqb : forall s', exteq (Cons x s) s' -> suffb x s s'
  | sp_nextb : forall y s', suffb x s s' -> suffb x s (Cons y s').CoInductive subseqb : infseq T -> infseq T -> Prop :=
  | Subseqb : forall x s s', suffb x s s' -> subseqb s s' -> subseqb (Cons x s) s'.CoInductive subseqb : infseq T -> infseq T -> Prop :=
  | Subseqb : forall x s s', suffb x s s' -> subseqb s s' -> subseqb (Cons x s) s'.Inductive mem (x : T) : infseq T -> Prop :=
  | mem0 : forall s, mem x (Cons x s)
  | mem_next : forall y s, mem x s -> mem x (Cons y s).Inductive mem (x : T) : infseq T -> Prop :=
  | mem0 : forall s, mem x (Cons x s)
  | mem_next : forall y s, mem x s -> mem x (Cons y s).Inductive mem (x : T) : infseq T -> Prop :=
  | mem0 : forall s, mem x (Cons x s)
  | mem_next : forall y s, mem x s -> mem x (Cons y s).

Lemma subseqb_included : forall x s, mem x s -> forall s', subseqb s s' -> mem x s'.