Lemma thales : forall O E E' P A B C D A1 B1 C1 D1 AD, O <> E -> Col P A B -> Col P C D -> ~ Col P A C -> Pj A C B D -> Length O E E' P A A1 -> Length O E E' P B B1 -> Length O E E' P C C1 -> Length O E E' P D D1 -> Prodg O E E' A1 D1 AD -> Prodg O E E' C1 B1 AD.