Definition dta_rec_term (d : DTA) (t : term) : bool :=
  match d with
  | dta p a => rec_term p a t (essence t p)
  end.(* définitions inductives pour la reconnaissance d'un terme par un automate *)

Inductive reconnaissance : preDTA -> ad -> term -> Prop :=
    rec_dta :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait d ladj t -> reconnaissance d a t
with state_reconnait : preDTA -> state -> term -> Prop :=
    rec_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait d l tl -> state_reconnait d s (app c tl)
with liste_reconnait : preDTA -> prec_list -> term_list -> Prop :=
  | rec_empty : forall d : preDTA, liste_reconnait d prec_empty tnil
  | rec_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      reconnaissance d a hd ->
      liste_reconnait d la tl ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
  | rec_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      liste_reconnait d ls (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl).(* définitions inductives pour la reconnaissance d'un terme par un automate *)

Inductive reconnaissance : preDTA -> ad -> term -> Prop :=
    rec_dta :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait d ladj t -> reconnaissance d a t
with state_reconnait : preDTA -> state -> term -> Prop :=
    rec_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait d l tl -> state_reconnait d s (app c tl)
with liste_reconnait : preDTA -> prec_list -> term_list -> Prop :=
  | rec_empty : forall d : preDTA, liste_reconnait d prec_empty tnil
  | rec_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      reconnaissance d a hd ->
      liste_reconnait d la tl ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
  | rec_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      liste_reconnait d ls (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl).(* définitions inductives pour la reconnaissance d'un terme par un automate *)

Inductive reconnaissance : preDTA -> ad -> term -> Prop :=
    rec_dta :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait d ladj t -> reconnaissance d a t
with state_reconnait : preDTA -> state -> term -> Prop :=
    rec_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait d l tl -> state_reconnait d s (app c tl)
with liste_reconnait : preDTA -> prec_list -> term_list -> Prop :=
  | rec_empty : forall d : preDTA, liste_reconnait d prec_empty tnil
  | rec_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      reconnaissance d a hd ->
      liste_reconnait d la tl ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
  | rec_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      liste_reconnait d ls (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl).(* définitions inductives pour la reconnaissance d'un terme par un automate *)

Inductive reconnaissance : preDTA -> ad -> term -> Prop :=
    rec_dta :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait d ladj t -> reconnaissance d a t
with state_reconnait : preDTA -> state -> term -> Prop :=
    rec_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait d l tl -> state_reconnait d s (app c tl)
with liste_reconnait : preDTA -> prec_list -> term_list -> Prop :=
  | rec_empty : forall d : preDTA, liste_reconnait d prec_empty tnil
  | rec_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      reconnaissance d a hd ->
      liste_reconnait d la tl ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
  | rec_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      liste_reconnait d ls (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl).(* définitions inductives pour la reconnaissance d'un terme par un automate *)

Inductive reconnaissance : preDTA -> ad -> term -> Prop :=
    rec_dta :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait d ladj t -> reconnaissance d a t
with state_reconnait : preDTA -> state -> term -> Prop :=
    rec_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait d l tl -> state_reconnait d s (app c tl)
with liste_reconnait : preDTA -> prec_list -> term_list -> Prop :=
  | rec_empty : forall d : preDTA, liste_reconnait d prec_empty tnil
  | rec_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      reconnaissance d a hd ->
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      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
  | rec_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      liste_reconnait d ls (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl).(* définitions inductives pour la reconnaissance d'un terme par un automate *)

Inductive reconnaissance : preDTA -> ad -> term -> Prop :=
    rec_dta :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait d ladj t -> reconnaissance d a t
with state_reconnait : preDTA -> state -> term -> Prop :=
    rec_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait d l tl -> state_reconnait d s (app c tl)
with liste_reconnait : preDTA -> prec_list -> term_list -> Prop :=
  | rec_empty : forall d : preDTA, liste_reconnait d prec_empty tnil
  | rec_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      reconnaissance d a hd ->
      liste_reconnait d la tl ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
  | rec_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      liste_reconnait d ls (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl).(* définitions inductives pour la reconnaissance d'un terme par un automate *)

Inductive reconnaissance : preDTA -> ad -> term -> Prop :=
    rec_dta :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait d ladj t -> reconnaissance d a t
with state_reconnait : preDTA -> state -> term -> Prop :=
    rec_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait d l tl -> state_reconnait d s (app c tl)
with liste_reconnait : preDTA -> prec_list -> term_list -> Prop :=
  | rec_empty : forall d : preDTA, liste_reconnait d prec_empty tnil
  | rec_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      reconnaissance d a hd ->
      liste_reconnait d la tl ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
  | rec_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      liste_reconnait d ls (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl).(* définitions inductives pour la reconnaissance d'un terme par un automate *)

Inductive reconnaissance : preDTA -> ad -> term -> Prop :=
    rec_dta :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait d ladj t -> reconnaissance d a t
with state_reconnait : preDTA -> state -> term -> Prop :=
    rec_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait d l tl -> state_reconnait d s (app c tl)
with liste_reconnait : preDTA -> prec_list -> term_list -> Prop :=
  | rec_empty : forall d : preDTA, liste_reconnait d prec_empty tnil
  | rec_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      reconnaissance d a hd ->
      liste_reconnait d la tl ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl)
  | rec_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (tl : term_list),
      liste_reconnait d ls (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl).Definition reconnait (d : DTA) (t : term) : Prop :=
  match d with
  | dta p a => reconnaissance p a t
  end.(* principe d'induction commun *)

Scheme mreconnaissance_ind := Induction for reconnaissance
  Sort Prop
  with mstrec_ind := Induction for state_reconnait 
  Sort Prop
  with mlrec_ind := Induction for liste_reconnait Sort Prop.

Lemma sem_listes_2 : forall (d : preDTA) (pl : prec_list), liste_reconnait d pl tnil -> pl = prec_empty.