Canonical Structure PA_mor_setoid (x y : PA_ob) :=
  Build_Setoid (Equal_PA_mor_Equiv x y).(* composition *)

Definition Comp_PA_mor (x y z : PA_ob) (f : PA_mor x y) :=
  match f in (PA_mor p p0) return (PA_mor p0 z -> PA_mor p z) with
  | PA_I1 => 
      (* PA_I1 *) 
      match z as p return (PA_mor PA1 p -> PA_mor PA1 p) with
      | PA1 =>
          (* PA1 *)  fun _ => PA_I1 
                     (* PA2 *) 
      | PA2 => fun g => g
      end
      (* PA_I2 *) 
  | PA_I2 =>
      match z as p return (PA_mor PA2 p -> PA_mor PA2 p) with
      | PA1 =>
          (* PA1 *) 
          fun g => PA_21_rect (fun _ => PA_mor PA2 PA1) g
          (* PA2 *) 
      | PA2 => fun _ => PA_I2
      end
      (* PA_f  *) 
  | PA_f x =>
      match z as p return (I -> PA_mor PA2 p -> PA_mor PA1 p) with
      | PA1 =>
          (* PA1 *) 
          fun _ g => PA_21_rect (fun _ => PA_mor PA1 PA1) g
          (* PA2 *) 
      | PA2 => fun i _ => PA_f i
      end x
  end.

Lemma Comp_PA_fact2 : forall (f : PA_mor PA2 PA2) (x : PA_ob) (g : PA_mor PA2 x), Comp_PA_mor f g =_S g.