(**************************************************************)




Inductive Derive_P_A_3 : Word * Conf -> Word * Conf -> Prop :=
  | Derive3_X :
      forall (w u s : Word) (x : Elt),
      dans x X ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, cons x u)) (Append s (cons x nil), (w, u))
  | Derive3_V :
      forall (v w u s : Word) (x : Elt),
      dans (couple x (word u)) R ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, v)) (s, (Append u w, v)).(**************************************************************)




Inductive Derive_P_A_3 : Word * Conf -> Word * Conf -> Prop :=
  | Derive3_X :
      forall (w u s : Word) (x : Elt),
      dans x X ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, cons x u)) (Append s (cons x nil), (w, u))
  | Derive3_V :
      forall (v w u s : Word) (x : Elt),
      dans (couple x (word u)) R ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, v)) (s, (Append u w, v)).(**************************************************************)




Inductive Derive_P_A_3 : Word * Conf -> Word * Conf -> Prop :=
  | Derive3_X :
      forall (w u s : Word) (x : Elt),
      dans x X ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, cons x u)) (Append s (cons x nil), (w, u))
  | Derive3_V :
      forall (v w u s : Word) (x : Elt),
      dans (couple x (word u)) R ->
      Derive_P_A_3 (s, (cons x w, v)) (s, (Append u w, v)).Definition Derivestar_P_A_3 := Rstar (Word * Conf) Derive_P_A_3.

Lemma Conserve_App_s_u : forall s1 s2 u1 u2 v1 v2 : Word, Derive_P_A_3 (s1, (u1, v1)) (s2, (u2, v2)) -> Append s1 v1 = Append s2 v2.