(* Parallel beta reduction *)
Inductive par_red1 : lambda -> lambda -> Prop :=
  | par_beta :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda,
      par_red1 N N' -> par_red1 (App (Abs M) N) (subst N' M')
  | ref_par_red : forall n : nat, par_red1 (Ref n) (Ref n)
  | abs_par_red :
      forall M M' : lambda, par_red1 M M' -> par_red1 (Abs M) (Abs M')
  | app_par_red :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda, par_red1 N N' -> par_red1 (App M N) (App M' N').(* Parallel beta reduction *)
Inductive par_red1 : lambda -> lambda -> Prop :=
  | par_beta :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda,
      par_red1 N N' -> par_red1 (App (Abs M) N) (subst N' M')
  | ref_par_red : forall n : nat, par_red1 (Ref n) (Ref n)
  | abs_par_red :
      forall M M' : lambda, par_red1 M M' -> par_red1 (Abs M) (Abs M')
  | app_par_red :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda, par_red1 N N' -> par_red1 (App M N) (App M' N').(* Parallel beta reduction *)
Inductive par_red1 : lambda -> lambda -> Prop :=
  | par_beta :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda,
      par_red1 N N' -> par_red1 (App (Abs M) N) (subst N' M')
  | ref_par_red : forall n : nat, par_red1 (Ref n) (Ref n)
  | abs_par_red :
      forall M M' : lambda, par_red1 M M' -> par_red1 (Abs M) (Abs M')
  | app_par_red :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda, par_red1 N N' -> par_red1 (App M N) (App M' N').(* Parallel beta reduction *)
Inductive par_red1 : lambda -> lambda -> Prop :=
  | par_beta :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda,
      par_red1 N N' -> par_red1 (App (Abs M) N) (subst N' M')
  | ref_par_red : forall n : nat, par_red1 (Ref n) (Ref n)
  | abs_par_red :
      forall M M' : lambda, par_red1 M M' -> par_red1 (Abs M) (Abs M')
  | app_par_red :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda, par_red1 N N' -> par_red1 (App M N) (App M' N').(* Parallel beta reduction *)
Inductive par_red1 : lambda -> lambda -> Prop :=
  | par_beta :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda,
      par_red1 N N' -> par_red1 (App (Abs M) N) (subst N' M')
  | ref_par_red : forall n : nat, par_red1 (Ref n) (Ref n)
  | abs_par_red :
      forall M M' : lambda, par_red1 M M' -> par_red1 (Abs M) (Abs M')
  | app_par_red :
      forall M M' : lambda,
      par_red1 M M' ->
      forall N N' : lambda, par_red1 N N' -> par_red1 (App M N) (App M' N').

Lemma refl_par_red1 : forall M : lambda, par_red1 M M.