(*************************************************)
(*		Definition Avl		  	 *)
(*************************************************)

Inductive is_avl : avl_tree -> Prop :=
  | Nil_Is_Avl : is_avl Avl_Nil
  | Node_Is_Avl :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      is_avl l ->
      is_avl r ->
      is_balanced_avl l r b ->
      is_below_avl l k -> is_above_avl r k -> is_avl (Avl_Node k d l r b).(*************************************************)
(*		Definition Avl		  	 *)
(*************************************************)

Inductive is_avl : avl_tree -> Prop :=
  | Nil_Is_Avl : is_avl Avl_Nil
  | Node_Is_Avl :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      is_avl l ->
      is_avl r ->
      is_balanced_avl l r b ->
      is_below_avl l k -> is_above_avl r k -> is_avl (Avl_Node k d l r b).(*************************************************)
(*		Definition Avl		  	 *)
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Inductive is_avl : avl_tree -> Prop :=
  | Nil_Is_Avl : is_avl Avl_Nil
  | Node_Is_Avl :
      forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal),
      is_avl l ->
      is_avl r ->
      is_balanced_avl l r b ->
      is_below_avl l k -> is_above_avl r k -> is_avl (Avl_Node k d l r b).

Lemma is_avl_rec : forall P : avl_tree -> Set, P Avl_Nil -> (forall (k : Int) (d : B) (l r : avl_tree) (b : bal), is_avl l -> P l -> is_avl r -> P r -> is_balanced_avl l r b -> is_below_avl l k -> is_above_avl r k -> P (Avl_Node k d l r b)) -> forall t : avl_tree, is_avl t -> P t.