Definition pred_nat : forall (x : Z) (Hx : (0 < x)%Z), nat.

Lemma Zind_down : forall (P : Z -> Prop) (p : Z), P p -> (forall q : Z, (q <= p)%Z -> P q -> P (q - 1)%Z) -> forall q : Z, (q <= p)%Z -> P q.