Local Notation expo := (mscal mult 1).Definition expo_conditions :=       
      r = 0 /\ p = 1
   \/ q = 0 /\ 0 < r /\ p = 0
   \/ (0 < r /\ q <> 0) /\ exists b m a1 a2 a3, 
             (3 < q+4 /\ a1 = alpha_nat (q+4) (1+r)) 
          /\ (3 < b   /\ a2 = alpha_nat b r)
          /\ (3 < b   /\ a3 = alpha_nat b (1+r))
          /\ b = a1+q*q+2
          /\ m + q*q + 1 = b*q
          /\ p < m
          /\ rem (p+b*a2) m = rem (q*a2+a3) m.

Lemma expo_sufficiency : p = expo r q -> expo_conditions.