(* passage au produit de la propriété pl_tl_length *)

Definition pl_tl_length_prod_def_0 (pl0 pl1 : prec_list) : Prop :=
  forall (l : prec_list) (a : ad) (n m : nat),
  pl_essence pl0 pl1 <= m ->
  pl_tl_length pl0 n ->
  pl_tl_length l (S n) \/ l = prec_empty ->
  (pl_tl_length pl1 (S n) -> pl_tl_length (pl_produit_0 a pl0 pl1 m l) (S n)) /\
  (pl1 = prec_empty ->
   (pl_tl_length l (S n) -> pl_tl_length (pl_produit_0 a pl0 pl1 m l) (S n)) /\
   (l = prec_empty -> pl_produit_0 a pl0 pl1 m l = prec_empty)).Definition pl_tl_length_prod_def_1 (pl0 pl1 : prec_list) : Prop :=
  forall n m : nat,
  pl_tl_length pl0 n ->
  pl_tl_length pl1 n ->
  pl_essence pl0 pl1 <= m -> pl_tl_length (pl_produit_1 pl0 m pl1) n.

Lemma pl_tl_length_prod_3 : forall (a : ad) (la ls p : prec_list), pl_tl_length_prod_def_0 p ls -> pl_tl_length_prod_def_1 p la -> pl_tl_length_prod_def_0 p (prec_cons a la ls).