(* Ordinals *)

Definition Succ (E : Ens) := Union (Paire E (Sing E)).Inductive Ord : Ens -> Prop :=
  | Oo : Ord Vide
  | So : forall E : Ens, Ord E -> Ord (Succ E)
  | Lo : forall E : Ens, (forall e : Ens, IN e E -> Ord e) -> Ord (Union E)
  | Eo : forall E E' : Ens, Ord E -> EQ E E' -> Ord E'.Inductive Ord : Ens -> Prop :=
  | Oo : Ord Vide
  | So : forall E : Ens, Ord E -> Ord (Succ E)
  | Lo : forall E : Ens, (forall e : Ens, IN e E -> Ord e) -> Ord (Union E)
  | Eo : forall E E' : Ens, Ord E -> EQ E E' -> Ord E'.Inductive Ord : Ens -> Prop :=
  | Oo : Ord Vide
  | So : forall E : Ens, Ord E -> Ord (Succ E)
  | Lo : forall E : Ens, (forall e : Ens, IN e E -> Ord e) -> Ord (Union E)
  | Eo : forall E E' : Ens, Ord E -> EQ E E' -> Ord E'.Inductive Ord : Ens -> Prop :=
  | Oo : Ord Vide
  | So : forall E : Ens, Ord E -> Ord (Succ E)
  | Lo : forall E : Ens, (forall e : Ens, IN e E -> Ord e) -> Ord (Union E)
  | Eo : forall E E' : Ens, Ord E -> EQ E E' -> Ord E'.Inductive Ord : Ens -> Prop :=
  | Oo : Ord Vide
  | So : forall E : Ens, Ord E -> Ord (Succ E)
  | Lo : forall E : Ens, (forall e : Ens, IN e E -> Ord e) -> Ord (Union E)
  | Eo : forall E E' : Ens, Ord E -> EQ E E' -> Ord E'.Definition Nat : nat -> Ens.

Theorem Nat_Ord : forall n : nat, Ord (Nat n).