Inductive bd_par_red1 : env -> term -> term -> Prop :=
    | par_betad :
        forall (e : env) (M M' T : term),
        bd_par_red1 (Ax T :: e) M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App (Abs T M) N) (subst N' M')
    | par_delta :
        forall (e : env) (d T N : term) (n : nat),
        bd_par_red1 e (lift (S n) d) N ->
        item (Def d T) e n -> bd_par_red1 e (Ref n) N
    | sort_par_red :
        forall (e : env) (s : sort), bd_par_red1 e (Srt s) (Srt s)
    | ref_par_red : forall (e : env) (n : nat), bd_par_red1 e (Ref n) (Ref n)
    | abs_par_red :
        forall (e : env) (M M' T T' : term),
        bd_par_red1 (Ax T' :: e) M M' ->
        bd_par_red1 e T T' -> bd_par_red1 e (Abs T M) (Abs T' M')
    | app_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App M N) (App M' N')
    | prod_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 (Ax M' :: e) N N' ->
        bd_par_red1 e (Prod M N) (Prod M' N').Inductive bd_par_red1 : env -> term -> term -> Prop :=
    | par_betad :
        forall (e : env) (M M' T : term),
        bd_par_red1 (Ax T :: e) M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App (Abs T M) N) (subst N' M')
    | par_delta :
        forall (e : env) (d T N : term) (n : nat),
        bd_par_red1 e (lift (S n) d) N ->
        item (Def d T) e n -> bd_par_red1 e (Ref n) N
    | sort_par_red :
        forall (e : env) (s : sort), bd_par_red1 e (Srt s) (Srt s)
    | ref_par_red : forall (e : env) (n : nat), bd_par_red1 e (Ref n) (Ref n)
    | abs_par_red :
        forall (e : env) (M M' T T' : term),
        bd_par_red1 (Ax T' :: e) M M' ->
        bd_par_red1 e T T' -> bd_par_red1 e (Abs T M) (Abs T' M')
    | app_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App M N) (App M' N')
    | prod_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 (Ax M' :: e) N N' ->
        bd_par_red1 e (Prod M N) (Prod M' N').Inductive bd_par_red1 : env -> term -> term -> Prop :=
    | par_betad :
        forall (e : env) (M M' T : term),
        bd_par_red1 (Ax T :: e) M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App (Abs T M) N) (subst N' M')
    | par_delta :
        forall (e : env) (d T N : term) (n : nat),
        bd_par_red1 e (lift (S n) d) N ->
        item (Def d T) e n -> bd_par_red1 e (Ref n) N
    | sort_par_red :
        forall (e : env) (s : sort), bd_par_red1 e (Srt s) (Srt s)
    | ref_par_red : forall (e : env) (n : nat), bd_par_red1 e (Ref n) (Ref n)
    | abs_par_red :
        forall (e : env) (M M' T T' : term),
        bd_par_red1 (Ax T' :: e) M M' ->
        bd_par_red1 e T T' -> bd_par_red1 e (Abs T M) (Abs T' M')
    | app_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App M N) (App M' N')
    | prod_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 (Ax M' :: e) N N' ->
        bd_par_red1 e (Prod M N) (Prod M' N').Inductive bd_par_red1 : env -> term -> term -> Prop :=
    | par_betad :
        forall (e : env) (M M' T : term),
        bd_par_red1 (Ax T :: e) M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App (Abs T M) N) (subst N' M')
    | par_delta :
        forall (e : env) (d T N : term) (n : nat),
        bd_par_red1 e (lift (S n) d) N ->
        item (Def d T) e n -> bd_par_red1 e (Ref n) N
    | sort_par_red :
        forall (e : env) (s : sort), bd_par_red1 e (Srt s) (Srt s)
    | ref_par_red : forall (e : env) (n : nat), bd_par_red1 e (Ref n) (Ref n)
    | abs_par_red :
        forall (e : env) (M M' T T' : term),
        bd_par_red1 (Ax T' :: e) M M' ->
        bd_par_red1 e T T' -> bd_par_red1 e (Abs T M) (Abs T' M')
    | app_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App M N) (App M' N')
    | prod_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 (Ax M' :: e) N N' ->
        bd_par_red1 e (Prod M N) (Prod M' N').Inductive bd_par_red1 : env -> term -> term -> Prop :=
    | par_betad :
        forall (e : env) (M M' T : term),
        bd_par_red1 (Ax T :: e) M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App (Abs T M) N) (subst N' M')
    | par_delta :
        forall (e : env) (d T N : term) (n : nat),
        bd_par_red1 e (lift (S n) d) N ->
        item (Def d T) e n -> bd_par_red1 e (Ref n) N
    | sort_par_red :
        forall (e : env) (s : sort), bd_par_red1 e (Srt s) (Srt s)
    | ref_par_red : forall (e : env) (n : nat), bd_par_red1 e (Ref n) (Ref n)
    | abs_par_red :
        forall (e : env) (M M' T T' : term),
        bd_par_red1 (Ax T' :: e) M M' ->
        bd_par_red1 e T T' -> bd_par_red1 e (Abs T M) (Abs T' M')
    | app_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App M N) (App M' N')
    | prod_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 (Ax M' :: e) N N' ->
        bd_par_red1 e (Prod M N) (Prod M' N').Inductive bd_par_red1 : env -> term -> term -> Prop :=
    | par_betad :
        forall (e : env) (M M' T : term),
        bd_par_red1 (Ax T :: e) M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App (Abs T M) N) (subst N' M')
    | par_delta :
        forall (e : env) (d T N : term) (n : nat),
        bd_par_red1 e (lift (S n) d) N ->
        item (Def d T) e n -> bd_par_red1 e (Ref n) N
    | sort_par_red :
        forall (e : env) (s : sort), bd_par_red1 e (Srt s) (Srt s)
    | ref_par_red : forall (e : env) (n : nat), bd_par_red1 e (Ref n) (Ref n)
    | abs_par_red :
        forall (e : env) (M M' T T' : term),
        bd_par_red1 (Ax T' :: e) M M' ->
        bd_par_red1 e T T' -> bd_par_red1 e (Abs T M) (Abs T' M')
    | app_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App M N) (App M' N')
    | prod_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 (Ax M' :: e) N N' ->
        bd_par_red1 e (Prod M N) (Prod M' N').Inductive bd_par_red1 : env -> term -> term -> Prop :=
    | par_betad :
        forall (e : env) (M M' T : term),
        bd_par_red1 (Ax T :: e) M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App (Abs T M) N) (subst N' M')
    | par_delta :
        forall (e : env) (d T N : term) (n : nat),
        bd_par_red1 e (lift (S n) d) N ->
        item (Def d T) e n -> bd_par_red1 e (Ref n) N
    | sort_par_red :
        forall (e : env) (s : sort), bd_par_red1 e (Srt s) (Srt s)
    | ref_par_red : forall (e : env) (n : nat), bd_par_red1 e (Ref n) (Ref n)
    | abs_par_red :
        forall (e : env) (M M' T T' : term),
        bd_par_red1 (Ax T' :: e) M M' ->
        bd_par_red1 e T T' -> bd_par_red1 e (Abs T M) (Abs T' M')
    | app_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App M N) (App M' N')
    | prod_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 (Ax M' :: e) N N' ->
        bd_par_red1 e (Prod M N) (Prod M' N').Inductive bd_par_red1 : env -> term -> term -> Prop :=
    | par_betad :
        forall (e : env) (M M' T : term),
        bd_par_red1 (Ax T :: e) M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App (Abs T M) N) (subst N' M')
    | par_delta :
        forall (e : env) (d T N : term) (n : nat),
        bd_par_red1 e (lift (S n) d) N ->
        item (Def d T) e n -> bd_par_red1 e (Ref n) N
    | sort_par_red :
        forall (e : env) (s : sort), bd_par_red1 e (Srt s) (Srt s)
    | ref_par_red : forall (e : env) (n : nat), bd_par_red1 e (Ref n) (Ref n)
    | abs_par_red :
        forall (e : env) (M M' T T' : term),
        bd_par_red1 (Ax T' :: e) M M' ->
        bd_par_red1 e T T' -> bd_par_red1 e (Abs T M) (Abs T' M')
    | app_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 e N N' -> bd_par_red1 e (App M N) (App M' N')
    | prod_par_red :
        forall (e : env) (M M' : term),
        bd_par_red1 e M M' ->
        forall N N' : term,
        bd_par_red1 (Ax M' :: e) N N' ->
        bd_par_red1 e (Prod M N) (Prod M' N').

Lemma bd_par_red1_subst : forall (e : env) (x y t u T : term), bd_par_red1 (Ax T :: e) t u -> bd_par_red1 e x y -> bd_par_red1 e (subst x t) (subst y u).