Notation eq_dec := E.eq_dec.Definition eqb x y := if eq_dec x y then true else false.

(* Specifications: *)
Lemma eq_bool_alt : forall b b', b=b' <-> (b=true <-> b'=true).
Lemma eq_option_alt : forall (elt:Type)(o o':option elt), o=o' <-> (forall e, o=Some e <-> o'=Some e).
Lemma MapsTo_fun : forall (elt:Type) m x (e e':elt), MapsTo x e m -> MapsTo x e' m -> e=e'.
Lemma In_eq_iff : E.eq x y -> (In x s <-> In y s).
Lemma mem_iff : In x s <-> mem x s = true.
Lemma not_mem_iff : ~In x s <-> mem x s = false.
Lemma equal_iff : s[=]s' <-> equal s s' = true.
Lemma subset_iff : s[<=]s' <-> subset s s' = true.
Lemma empty_iff : In x empty <-> False.
Lemma is_empty_iff : Empty s <-> is_empty s = true.
Lemma singleton_iff : In y (singleton x) <-> E.eq x y.
Lemma add_iff : In y (add x s) <-> E.eq x y \/ In y s.
Lemma add_neq_iff : ~ E.eq x y -> (In y (add x s) <-> In y s).
Lemma remove_iff : In y (remove x s) <-> In y s /\ ~E.eq x y.
Lemma remove_neq_iff : ~ E.eq x y -> (In y (remove x s) <-> In y s).
Lemma union_iff : In x (union s s') <-> In x s \/ In x s'.
Lemma inter_iff : In x (inter s s') <-> In x s /\ In x s'.
Lemma diff_iff : In x (diff s s') <-> In x s /\ ~ In x s'.
Lemma filter_iff : compat_bool E.eq f -> (In x (filter f s) <-> In x s /\ f x = true).
Lemma for_all_iff : compat_bool E.eq f -> (For_all (fun x => f x = true) s <-> for_all f s = true).
Lemma exists_iff : compat_bool E.eq f -> (Exists (fun x => f x = true) s <-> exists_ f s = true).
Lemma elements_iff : In x s <-> InA E.eq x (elements s).
Lemma In_1 : E.eq x y -> In x s -> In y s.
Lemma mem_1 : In x s -> mem x s = true.
Lemma mem_2 : mem x s = true -> In x s.
Lemma equal_1 : Equal s s' -> equal s s' = true.
Lemma equal_2 : equal s s' = true -> Equal s s'.
Lemma subset_1 : Subset s s' -> subset s s' = true.
Lemma subset_2 : subset s s' = true -> Subset s s'.
Lemma is_empty_1 : Empty s -> is_empty s = true.
Lemma is_empty_2 : is_empty s = true -> Empty s.
Lemma add_1 : E.eq x y -> In y (add x s).
Lemma add_2 : In y s -> In y (add x s).
Lemma add_3 : ~ E.eq x y -> In y (add x s) -> In y s.
Lemma remove_1 : E.eq x y -> ~ In y (remove x s).
Lemma remove_2 : ~ E.eq x y -> In y s -> In y (remove x s).
Lemma remove_3 : In y (remove x s) -> In y s.
Lemma singleton_1 : In y (singleton x) -> E.eq x y.
Lemma singleton_2 : E.eq x y -> In y (singleton x).
Lemma union_1 : In x (union s s') -> In x s \/ In x s'.
Lemma union_2 : In x s -> In x (union s s').
Lemma union_3 : In x s' -> In x (union s s').
Lemma inter_1 : In x (inter s s') -> In x s.
Lemma inter_2 : In x (inter s s') -> In x s'.
Lemma inter_3 : In x s -> In x s' -> In x (inter s s').
Lemma diff_1 : In x (diff s s') -> In x s.
Lemma diff_2 : In x (diff s s') -> ~ In x s'.
Lemma diff_3 : In x s -> ~ In x s' -> In x (diff s s').