(** Functions *)

Definition Lub_Rbar (E : R -> Prop) := proj1_sig (ex_lub_Rbar E).Definition Glb_Rbar (E : R -> Prop) := proj1_sig (ex_glb_Rbar E).

(* Specifications: *)
Lemma is_lub_Rbar_unique (E : R -> Prop) (l : Rbar) : is_lub_Rbar E l -> Lub_Rbar E = l.
Lemma is_glb_Rbar_unique (E : R -> Prop) (l : Rbar) : is_glb_Rbar E l -> Glb_Rbar E = l.
Lemma Lub_Rbar_correct (E : R -> Prop) : is_lub_Rbar E (Lub_Rbar E).
Lemma Glb_Rbar_correct (E : R -> Prop) : is_glb_Rbar E (Glb_Rbar E).
Lemma is_lub_Rbar_subset (E1 E2 : R -> Prop) (l1 l2 : Rbar) : (forall x : R, E2 x -> E1 x) -> is_lub_Rbar E1 l1 -> is_lub_Rbar E2 l2 -> Rbar_le l2 l1.
Lemma is_glb_Rbar_subset (E1 E2 : R -> Prop) (l1 l2 : Rbar) : (forall x : R, E2 x -> E1 x) -> is_glb_Rbar E1 l1 -> is_glb_Rbar E2 l2 -> Rbar_le l1 l2.
Lemma is_lub_Rbar_eqset (E1 E2 : R -> Prop) (l : Rbar) : (forall x : R, E2 x <-> E1 x) -> is_lub_Rbar E1 l -> is_lub_Rbar E2 l.
Lemma is_glb_Rbar_eqset (E1 E2 : R -> Prop) (l : Rbar) : (forall x : R, E2 x <-> E1 x) -> is_glb_Rbar E1 l -> is_glb_Rbar E2 l.
Lemma Lub_Rbar_eqset (E1 E2 : R -> Prop) : (forall x, E1 x <-> E2 x) -> Lub_Rbar E1 = Lub_Rbar E2.
Lemma Glb_Rbar_eqset (E1 E2 : R -> Prop) : (forall x, E1 x <-> E2 x) -> Glb_Rbar E1 = Glb_Rbar E2.