(* Second sens de l'équivalence sémantique *)

Definition dta_reconnait (d : preDTA) (a : ad) (t : term)
  (pr : reconnaissance d a t) := rec_term d a t (essence t d) = true.Definition st_reconnait (d : preDTA) (s : state) (t : term)
  (pr : state_reconnait d s t) :=
  match t with
  | app c l =>
      exists p : prec_list,
        MapGet prec_list s c = Some p /\
        rec_list_terms d p l (essence_list l d p) = true
  end.Definition pre_reconnait (d : preDTA) (p : prec_list) 
  (t : term_list) (pr : liste_reconnait d p t) :=
  rec_list_terms d p t (essence_list t d p) = true.

(* Specifications: *)
Lemma semantic_equiv_1_0 : forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state) (e : MapGet state d a = Some ladj) (s : state_reconnait d ladj t), st_reconnait d ladj t s -> dta_reconnait d a t (rec_dta d a t ladj e s).
Lemma semantic_equiv_1_1 : forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list) (l : prec_list) (e : MapGet prec_list s c = Some l) (l0 : liste_reconnait d l tl), pre_reconnait d l tl l0 -> st_reconnait d s (app c tl) (rec_st d s c tl l e l0).
Lemma semantic_equiv_1_2 : forall d : preDTA, pre_reconnait d prec_empty tnil (rec_empty d).
Lemma semantic_equiv_1_3 : forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term) (tl : term_list) (r : reconnaissance d a hd), dta_reconnait d a hd r -> forall l : liste_reconnait d la tl, pre_reconnait d la tl l -> pre_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl) (rec_consi d a la ls hd tl r l).
Lemma semantic_equiv_1_4_0 : forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (l : term_list) (n : nat), l <> tnil -> rec_list_terms d ls l n = true -> rec_list_terms d (prec_cons a la ls) l (S n) = true.
Lemma semantic_equiv_1_4 : forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term) (tl : term_list) (l : liste_reconnait d ls (tcons hd tl)), pre_reconnait d ls (tcons hd tl) l -> pre_reconnait d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl) (rec_consn d a la ls hd tl l).
Lemma semantic_equiv_1 : forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term), reconnaissance d a t -> rec_term d a t (essence t d) = true.