(* sens moins trivial : si un terme est reconnu par ... *)

Inductive reconnaissance_co : preDTA -> ad -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_dta :
      forall (d : preDTA) (a b : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait_co d ladj b t ->
      coacc d b a -> reconnaissance_co d a b t
with state_reconnait_co : preDTA -> state -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c b : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait_co d l b tl -> state_reconnait_co d s b (app c tl)
with liste_reconnait_co : preDTA -> prec_list -> ad -> term_list -> Prop :=
  | rec_co_empty :
      forall (d : preDTA) (b : ad), liste_reconnait_co d prec_empty b tnil
  | rec_co_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      reconnaissance_co d a b hd ->
      liste_reconnait_co d la b tl ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl)
  | rec_co_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      liste_reconnait_co d ls b (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl).(* sens moins trivial : si un terme est reconnu par ... *)

Inductive reconnaissance_co : preDTA -> ad -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_dta :
      forall (d : preDTA) (a b : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait_co d ladj b t ->
      coacc d b a -> reconnaissance_co d a b t
with state_reconnait_co : preDTA -> state -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c b : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait_co d l b tl -> state_reconnait_co d s b (app c tl)
with liste_reconnait_co : preDTA -> prec_list -> ad -> term_list -> Prop :=
  | rec_co_empty :
      forall (d : preDTA) (b : ad), liste_reconnait_co d prec_empty b tnil
  | rec_co_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      reconnaissance_co d a b hd ->
      liste_reconnait_co d la b tl ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl)
  | rec_co_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      liste_reconnait_co d ls b (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl).(* sens moins trivial : si un terme est reconnu par ... *)

Inductive reconnaissance_co : preDTA -> ad -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_dta :
      forall (d : preDTA) (a b : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait_co d ladj b t ->
      coacc d b a -> reconnaissance_co d a b t
with state_reconnait_co : preDTA -> state -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c b : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait_co d l b tl -> state_reconnait_co d s b (app c tl)
with liste_reconnait_co : preDTA -> prec_list -> ad -> term_list -> Prop :=
  | rec_co_empty :
      forall (d : preDTA) (b : ad), liste_reconnait_co d prec_empty b tnil
  | rec_co_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      reconnaissance_co d a b hd ->
      liste_reconnait_co d la b tl ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl)
  | rec_co_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      liste_reconnait_co d ls b (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl).(* sens moins trivial : si un terme est reconnu par ... *)

Inductive reconnaissance_co : preDTA -> ad -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_dta :
      forall (d : preDTA) (a b : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait_co d ladj b t ->
      coacc d b a -> reconnaissance_co d a b t
with state_reconnait_co : preDTA -> state -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c b : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait_co d l b tl -> state_reconnait_co d s b (app c tl)
with liste_reconnait_co : preDTA -> prec_list -> ad -> term_list -> Prop :=
  | rec_co_empty :
      forall (d : preDTA) (b : ad), liste_reconnait_co d prec_empty b tnil
  | rec_co_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      reconnaissance_co d a b hd ->
      liste_reconnait_co d la b tl ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl)
  | rec_co_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      liste_reconnait_co d ls b (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl).(* sens moins trivial : si un terme est reconnu par ... *)

Inductive reconnaissance_co : preDTA -> ad -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_dta :
      forall (d : preDTA) (a b : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait_co d ladj b t ->
      coacc d b a -> reconnaissance_co d a b t
with state_reconnait_co : preDTA -> state -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c b : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait_co d l b tl -> state_reconnait_co d s b (app c tl)
with liste_reconnait_co : preDTA -> prec_list -> ad -> term_list -> Prop :=
  | rec_co_empty :
      forall (d : preDTA) (b : ad), liste_reconnait_co d prec_empty b tnil
  | rec_co_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      reconnaissance_co d a b hd ->
      liste_reconnait_co d la b tl ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl)
  | rec_co_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      liste_reconnait_co d ls b (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl).(* sens moins trivial : si un terme est reconnu par ... *)

Inductive reconnaissance_co : preDTA -> ad -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_dta :
      forall (d : preDTA) (a b : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait_co d ladj b t ->
      coacc d b a -> reconnaissance_co d a b t
with state_reconnait_co : preDTA -> state -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c b : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait_co d l b tl -> state_reconnait_co d s b (app c tl)
with liste_reconnait_co : preDTA -> prec_list -> ad -> term_list -> Prop :=
  | rec_co_empty :
      forall (d : preDTA) (b : ad), liste_reconnait_co d prec_empty b tnil
  | rec_co_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      reconnaissance_co d a b hd ->
      liste_reconnait_co d la b tl ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl)
  | rec_co_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      liste_reconnait_co d ls b (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl).(* sens moins trivial : si un terme est reconnu par ... *)

Inductive reconnaissance_co : preDTA -> ad -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_dta :
      forall (d : preDTA) (a b : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait_co d ladj b t ->
      coacc d b a -> reconnaissance_co d a b t
with state_reconnait_co : preDTA -> state -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c b : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait_co d l b tl -> state_reconnait_co d s b (app c tl)
with liste_reconnait_co : preDTA -> prec_list -> ad -> term_list -> Prop :=
  | rec_co_empty :
      forall (d : preDTA) (b : ad), liste_reconnait_co d prec_empty b tnil
  | rec_co_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      reconnaissance_co d a b hd ->
      liste_reconnait_co d la b tl ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl)
  | rec_co_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      liste_reconnait_co d ls b (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl).(* sens moins trivial : si un terme est reconnu par ... *)

Inductive reconnaissance_co : preDTA -> ad -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_dta :
      forall (d : preDTA) (a b : ad) (t : term) (ladj : state),
      MapGet state d a = Some ladj ->
      state_reconnait_co d ladj b t ->
      coacc d b a -> reconnaissance_co d a b t
with state_reconnait_co : preDTA -> state -> ad -> term -> Prop :=
    rec_co_st :
      forall (d : preDTA) (s : state) (c b : ad) (tl : term_list)
        (l : prec_list),
      MapGet prec_list s c = Some l ->
      liste_reconnait_co d l b tl -> state_reconnait_co d s b (app c tl)
with liste_reconnait_co : preDTA -> prec_list -> ad -> term_list -> Prop :=
  | rec_co_empty :
      forall (d : preDTA) (b : ad), liste_reconnait_co d prec_empty b tnil
  | rec_co_consi :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      reconnaissance_co d a b hd ->
      liste_reconnait_co d la b tl ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl)
  | rec_co_consn :
      forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) 
        (hd : term) (b : ad) (tl : term_list),
      liste_reconnait_co d ls b (tcons hd tl) ->
      liste_reconnait_co d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl).Scheme mreconnaissance_co_ind := Induction for reconnaissance_co
  Sort Prop
  with mstrec_co_ind := Induction for state_reconnait_co
  Sort Prop
  with mlrec_co_ind := Induction for liste_reconnait_co 
  Sort Prop.Definition rec_co_def_0 (d : preDTA) (a a1 : ad) (t : term)
  (pr : reconnaissance_co d a a1 t) :=
  forall a0 : ad, coacc d a0 a1 -> reconnaissance_co d a a0 t.Definition rec_co_def_1 (d : preDTA) (s : state) (a1 : ad) 
  (t : term) (pr : state_reconnait_co d s a1 t) :=
  forall a0 : ad, coacc d a0 a1 -> state_reconnait_co d s a0 t.Definition rec_co_def_2 (d : preDTA) (p : prec_list) 
  (a1 : ad) (tl : term_list) (pr : liste_reconnait_co d p a1 tl) :=
  forall a0 : ad, coacc d a0 a1 -> liste_reconnait_co d p a0 tl.

(* Specifications: *)
Lemma rec_co_0 : forall (d : preDTA) (a b : ad) (t : term) (ladj : state) (e : MapGet state d a = Some ladj) (s : state_reconnait_co d ladj b t), rec_co_def_1 d ladj b t s -> forall c : coacc d b a, rec_co_def_0 d a b t (rec_co_dta d a b t ladj e s c).
Lemma rec_co_1 : forall (d : preDTA) (s : state) (c b : ad) (tl : term_list) (l : prec_list) (e : MapGet prec_list s c = Some l) (l0 : liste_reconnait_co d l b tl), rec_co_def_2 d l b tl l0 -> rec_co_def_1 d s b (app c tl) (rec_co_st d s c b tl l e l0).
Lemma rec_co_2 : forall (d : preDTA) (b : ad), rec_co_def_2 d prec_empty b tnil (rec_co_empty d b).
Lemma rec_co_3 : forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term) (b : ad) (tl : term_list) (r : reconnaissance_co d a b hd), rec_co_def_0 d a b hd r -> forall l : liste_reconnait_co d la b tl, rec_co_def_2 d la b tl l -> rec_co_def_2 d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl) (rec_co_consi d a la ls hd b tl r l).
Lemma rec_co_4 : forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term) (b : ad) (tl : term_list) (l : liste_reconnait_co d ls b (tcons hd tl)), rec_co_def_2 d ls b (tcons hd tl) l -> rec_co_def_2 d (prec_cons a la ls) b (tcons hd tl) (rec_co_consn d a la ls hd b tl l).
Lemma rec_co_5 : forall (d : preDTA) (a a0 a1 : ad) (t : term), reconnaissance_co d a a1 t -> coacc d a0 a1 -> reconnaissance_co d a a0 t.