Definition Xlt (x y: X): Prop := Xle x y /\ ~ Xle y x.

(* Specifications: *)
Lemma Xle_nlt: forall x y, Xle x y -> ~ Xlt y x.
Lemma Xlt_irrefl x: ~ Xlt x x.
Lemma Xle_lt_trans x y: Xle x y -> forall z, Xlt y z -> Xlt x z.