(* invariant de reconnaissance pour conv_0 au travers de u_merge *)

Definition u_merge_inv_0_dta (p0 : preDTA) (a : ad) 
  (t : term) (pr : reconnaissance p0 a t) :=
  forall p1 : preDTA, reconnaissance (u_merge p0 p1) (uad_conv_0 a) t.Definition u_merge_inv_0_st (p0 : preDTA) (s : state) 
  (t : term) (pr : state_reconnait p0 s t) :=
  forall p1 : preDTA, state_reconnait (u_merge p0 p1) (umpl_conv_0 s) t.Definition u_merge_inv_0_lst (p0 : preDTA) (pl : prec_list) 
  (lt : term_list) (pr : liste_reconnait p0 pl lt) :=
  forall p1 : preDTA, liste_reconnait (u_merge p0 p1) (upl_conv_0 pl) lt.

(* Specifications: *)
Lemma u_merge_2_0 : forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state) (e : MapGet state d a = Some ladj) (s : state_reconnait d ladj t), u_merge_inv_0_st d ladj t s -> u_merge_inv_0_dta d a t (rec_dta d a t ladj e s).
Lemma u_merge_2_1 : forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list) (l : prec_list) (e : MapGet prec_list s c = Some l) (l0 : liste_reconnait d l tl), u_merge_inv_0_lst d l tl l0 -> u_merge_inv_0_st d s (app c tl) (rec_st d s c tl l e l0).
Lemma u_merge_2_2 : forall d : preDTA, u_merge_inv_0_lst d prec_empty tnil (rec_empty d).
Lemma u_merge_2_3 : forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term) (tl : term_list) (r : reconnaissance d a hd), u_merge_inv_0_dta d a hd r -> forall l : liste_reconnait d la tl, u_merge_inv_0_lst d la tl l -> u_merge_inv_0_lst d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl) (rec_consi d a la ls hd tl r l).
Lemma u_merge_2_4 : forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term) (tl : term_list) (l : liste_reconnait d ls (tcons hd tl)), u_merge_inv_0_lst d ls (tcons hd tl) l -> u_merge_inv_0_lst d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl) (rec_consn d a la ls hd tl l).
Lemma u_merge_2_5 : forall (p : preDTA) (a : ad) (t : term) (r : reconnaissance p a t), u_merge_inv_0_dta p a t r.
Lemma u_merge_2 : forall (p0 p1 : preDTA) (a : ad) (t : term), reconnaissance p0 a t -> reconnaissance (u_merge p0 p1) (uad_conv_0 a) t.