(************************** div, even and odd ****************************)

Definition div (d a : nat) := exists k : nat, a = d * k.

(* Specifications: *)
Lemma div_odd_even : forall n d : nat, div d (2 * n) -> odd d -> div d n.
Lemma div_odd_odd : forall n : nat, odd n -> forall d : nat, div d n -> odd d.
Lemma div_plus : forall n m d : nat, div d n -> div d m -> div d (n + m).
Lemma div_minus : forall n m d : nat, div d n -> div d m -> div d (n - m).