Definition Transition : Prop :=
  forall x : Elt,
  dans x d ->
  exists2 w1 : Word,
    inmonoid P w1 &
    (exists2 y : Elt,
       dans y (add eps X) &
       (exists2 w2 : Word,
          inmonoid P w2 & x = couple (word w1) (couple y (word w2)) :>Elt)).Definition P_automata := inmonoid P wd /\ inmonoid P wa /\ Transition.

(* Specifications: *)
Lemma P_automata_1 : P_automata -> inmonoid P wd.
Lemma P_automata_2 : P_automata -> Transition.