Fixpoint fin_to_nat {n : nat} : fin n -> nat :=
  match n with
  | 0 => fun x : fin 0 => match x with end
  | S n' => fun x : fin (S n') =>
             match x with
             | None => 0
             | Some y => S (fin_to_nat y)
             end
  end.Definition fin_lt {n : nat} (a b : fin n) : Prop := lt (fin_to_nat a) (fin_to_nat b).

(* Specifications: *)
Lemma fin_lt_Some_elim : forall n (a b : fin n), @fin_lt (S n) (Some a) (Some b) -> fin_lt a b.
Lemma fin_lt_Some_intro : forall n (a b : fin n), fin_lt a b -> @fin_lt (S n) (Some a) (Some b).
Lemma None_lt_Some : forall n (x : fin n), @fin_lt (S n) None (Some x).
Lemma fin_lt_trans : forall n (x y z : fin n), fin_lt x y -> fin_lt y z -> fin_lt x z.
Lemma fin_lt_not_eq : forall n (x y : fin n), fin_lt x y -> x <> y.