Definition predta_produit_4_def (d0 : preDTA) : Prop :=
  forall (a a0 : ad) (s s0 : state),
  MapGet state (preDTA_produit_r a0 s0 d0) a = Some s ->
  exists a1 : ad,
    (exists a2 : ad,
       (exists s1 : state,
          (exists s2 : state,
             a = iad_conv a1 a2 /\
             MapGet state (M1 state a0 s0) a2 = Some s1 /\
             MapGet state d0 a1 = Some s2))).

(* Specifications: *)
Lemma predta_produit_4_0 : predta_produit_4_def (M0 state).
Lemma predta_produit_4_1 : forall (a : ad) (a0 : state), predta_produit_4_def (M1 state a a0).
Lemma predta_produit_4_2 : forall m : preDTA, predta_produit_4_def m -> forall m0 : preDTA, predta_produit_4_def m0 -> predta_produit_4_def (M2 state m m0).
Lemma predta_produit_4_3 : forall m : preDTA, predta_produit_4_def m.
Lemma predta_produit_4 : forall (d0 : preDTA) (a a0 : ad) (s s0 : state), MapGet state (preDTA_produit_r a0 s0 d0) a = Some s -> exists a1 : ad, (exists a2 : ad, (exists s1 : state, (exists s2 : state, a = iad_conv a1 a2 /\ MapGet state (M1 state a0 s0) a2 = Some s1 /\ MapGet state d0 a1 = Some s2))).
Lemma predta_produit_5 : forall (d0 d1 : preDTA) (a : ad) (s : state), MapGet state (preDTA_produit d0 d1) a = Some s -> exists a0 : ad, (exists a1 : ad, (exists s0 : state, (exists s1 : state, a = iad_conv a0 a1 /\ MapGet state d0 a0 = Some s0 /\ MapGet state d1 a1 = Some s1))).
Lemma pl_produit_rec_0 : forall tl : term_list, (forall u : term, term_list_occur u tl -> forall (d0 d1 : preDTA) (a0 a1 : ad), predta_compatible d0 d1 -> reconnaissance d0 a0 u -> reconnaissance d1 a1 u -> reconnaissance (preDTA_produit d0 d1) (iad_conv a0 a1) u) -> forall (d0 d1 : preDTA) (plp0 plp1 : pl_path), predta_compatible d0 d1 -> pl_path_recon d0 tl plp0 -> pl_path_recon d1 tl plp1 -> pl_path_recon (preDTA_produit d0 d1) tl (pl_path_product plp0 plp1).
Lemma pl_produit_rec_1 : forall (d0 d1 : preDTA) (tl : term_list) (pl0 pl1 : prec_list), liste_reconnait d0 pl0 tl -> liste_reconnait d1 pl1 tl -> pl_tl_length pl0 (lst_length tl) -> pl_tl_length pl1 (lst_length tl) -> predta_compatible d0 d1 -> (forall u : term, term_list_occur u tl -> forall (d0 d1 : preDTA) (a0 a1 : ad), predta_compatible d0 d1 -> reconnaissance d0 a0 u -> reconnaissance d1 a1 u -> reconnaissance (preDTA_produit d0 d1) (iad_conv a0 a1) u) -> liste_reconnait (preDTA_produit d0 d1) (pl_produit pl0 pl1) tl.
Lemma pl_produit_rec_2 : forall tl : term_list, (forall u : term, term_list_occur u tl -> forall (d0 d1 : preDTA) (a0 a1 : ad), predta_compatible d0 d1 -> reconnaissance (preDTA_produit d0 d1) (iad_conv a0 a1) u -> reconnaissance d0 a0 u /\ reconnaissance d1 a1 u) -> forall (d0 d1 : preDTA) (plp : pl_path), predta_compatible d0 d1 -> pl_path_recon (preDTA_produit d0 d1) tl plp -> exists plp0 : pl_path, (exists plp1 : pl_path, plp = pl_path_product plp0 plp1 /\ pl_path_recon d0 tl plp0 /\ pl_path_recon d1 tl plp1).
Lemma pl_produit_rec_3 : forall (d0 d1 : preDTA) (tl : term_list) (pl0 pl1 : prec_list) (n : nat), liste_reconnait (preDTA_produit d0 d1) (pl_produit pl0 pl1) tl -> predta_compatible d0 d1 -> pl_tl_length pl0 n -> pl_tl_length pl1 n -> (forall u : term, term_list_occur u tl -> forall (d0 d1 : preDTA) (a0 a1 : ad), predta_compatible d0 d1 -> reconnaissance (preDTA_produit d0 d1) (iad_conv a0 a1) u -> reconnaissance d0 a0 u /\ reconnaissance d1 a1 u) -> liste_reconnait d0 pl0 tl /\ liste_reconnait d1 pl1 tl.