Definition lt_gtF x y hxy := le_gtF (@ltW x y hxy).

(* Specifications: *)
Lemma lt_leAnge x y : (x < y) = (x <= y) && ~~ (y <= x).
Lemma lt_le_asym x y : x < y <= x = false.
Lemma le_lt_asym x y : x <= y < x = false.
Lemma lt_sorted_uniq_le (s : seq T) : sorted lt s = uniq s && sorted le s.
Lemma eq_sorted_lt (s1 s2 : seq T) : sorted lt s1 -> sorted lt s2 -> s1 =i s2 -> s1 = s2.
Lemma eq_sorted_le (s1 s2 : seq T) : sorted le s1 -> sorted le s2 -> perm_eq s1 s2 -> s1 = s2.
Lemma comparable_leNgt x y : x >=< y -> (x <= y) = ~~ (y < x).
Lemma comparable_ltNge x y : x >=< y -> (x < y) = ~~ (y <= x).
Lemma comparable_leP x y : x >=< y -> le_xor_gt x y (x <= y) (y < x).
Lemma comparable_ltP x y : x >=< y -> lt_xor_ge x y (y <= x) (x < y).
Lemma comparable_sym x y : (y >=< x) = (x >=< y).
Lemma comparablexx x : x >=< x.
Lemma incomparable_leF x y : (x >< y) -> (x <= y) = false.
Lemma incomparable_ltF x y : (x >< y) -> (x < y) = false.
Lemma le_comparable (x y : T) : x <= y -> x >=< y.
Lemma lt_comparable (x y : T) : x < y -> x >=< y.
Lemma ge_comparable (x y : T) : y <= x -> x >=< y.
Lemma gt_comparable (x y : T) : y < x -> x >=< y.