(* terme t reconnu en l'etat s : f^(high t)=true *)

Definition dt_non_empty_def_0 (d : preDTA) (a : ad) 
  (t : term) (pr : reconnaissance d a t) :=
  forall n : nat,
  term_high t <= n ->
  MapGet bool (power (Map bool) (dta_app_ne d) (map_mini state d) n) a =
  Some true.Definition dt_non_empty_def_1 (d : preDTA) (s : state) 
  (t : term) (pr : state_reconnait d s t) :=
  forall n : nat,
  term_high t <= S n ->
  st_non_empty (power (Map bool) (dta_app_ne d) (map_mini state d) n) s =
  true.Definition dt_non_empty_def_2 (d : preDTA) (p : prec_list) 
  (t : term_list) (pr : liste_reconnait d p t) :=
  forall n : nat,
  term_high_0 t <= n ->
  pl_non_empty (power (Map bool) (dta_app_ne d) (map_mini state d) n) p =
  true.

(* Specifications: *)
Lemma dt_non_empty_0 : forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term) (ladj : state) (e : MapGet state d a = Some ladj) (s : state_reconnait d ladj t), dt_non_empty_def_1 d ladj t s -> dt_non_empty_def_0 d a t (rec_dta d a t ladj e s).
Lemma dt_non_empty_1 : forall (d : preDTA) (s : state) (c : ad) (tl : term_list) (l : prec_list) (e : MapGet prec_list s c = Some l) (l0 : liste_reconnait d l tl), dt_non_empty_def_2 d l tl l0 -> dt_non_empty_def_1 d s (app c tl) (rec_st d s c tl l e l0).
Lemma dt_non_empty_2 : forall d : preDTA, dt_non_empty_def_2 d prec_empty tnil (rec_empty d).
Lemma dt_non_empty_3 : forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term) (tl : term_list) (r : reconnaissance d a hd), dt_non_empty_def_0 d a hd r -> forall l : liste_reconnait d la tl, dt_non_empty_def_2 d la tl l -> dt_non_empty_def_2 d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl) (rec_consi d a la ls hd tl r l).
Lemma dt_non_empty_4 : forall (d : preDTA) (a : ad) (la ls : prec_list) (hd : term) (tl : term_list) (l : liste_reconnait d ls (tcons hd tl)), dt_non_empty_def_2 d ls (tcons hd tl) l -> dt_non_empty_def_2 d (prec_cons a la ls) (tcons hd tl) (rec_consn d a la ls hd tl l).
Lemma dt_non_empty_5 : forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term), reconnaissance d a t -> forall n : nat, term_high t <= n -> MapGet bool (power (Map bool) (dta_app_ne d) (map_mini state d) n) a = Some true.
Lemma dt_non_empty_6 : forall (p : preDTA) (p0 : prec_list) (t : term_list) (l : liste_reconnait p p0 t), dt_non_empty_def_2 p p0 t l.
Lemma dt_non_empty_d : forall (d : preDTA) (a : ad) (t : term), reconnaissance d a t -> exists n : nat, MapGet bool (power (Map bool) (dta_app_ne d) (map_mini state d) n) a = Some true.
Lemma dt_non_empty_7 : forall (d : preDTA) (p : prec_list) (t : term_list), liste_reconnait d p t -> pl_non_empty (power (Map bool) (dta_app_ne d) (map_mini state d) (term_high_0 t)) p = true.
Lemma dt_non_empty_r_0 : forall (d : preDTA) (m r : Map bool) (a : ad) (l : state), MapGet state d a = Some l -> domain_equal state bool d r -> MapGet bool (dta_app_ne_aux d m r) a = Some true -> MapGet bool r a = Some true \/ st_non_empty m l = true.
Lemma dt_non_empty_r_1 : forall (s : state) (m : Map bool), st_non_empty m s = true -> exists c : ad, (exists p : prec_list, MapGet prec_list s c = Some p /\ pl_non_empty m p = true).
Lemma dt_non_empty_r_2 : forall (p : prec_list) (m : Map bool), pl_non_empty m p = true -> exists pl : pl_path, pl_path_true pl m /\ pl_path_incl pl p.