Fixpoint subAllFormula (f : Formula) (m : (nat -> Term)) {struct f} : Formula :=
  match f with
  | fol.equal t s => equal (subAllTerm t m) (subAllTerm s m)
  | fol.atomic r ts => atomic r (subAllTerms _ ts m)
  | fol.impH f g =>
      impH (subAllFormula f m) (subAllFormula g m)
  | fol.notH f => notH (subAllFormula f m)
  | fol.forallH n f =>
      let nv :=
        newVar
          (freeVarFormula L f ++
           freeVarMap (freeVarFormula L (forallH n f)) m) in
      forallH nv
        (subAllFormula f
           (fun v : nat =>
            match eq_nat_dec v n with
            | left _ => var nv
            | right _ => m v
            end))
  end.

(* Specifications: *)
Lemma subAllFormula_ext : forall (f : fol.Formula L) (m1 m2 : nat -> fol.Term L), (forall m : nat, In m (freeVarFormula L f) -> m1 m = m2 m) -> subAllFormula f m1 = subAllFormula f m2.
Lemma freeVarSubAllTerm1 : forall (t : fol.Term L) (m : nat -> fol.Term L) (v : nat), In v (freeVarTerm L (subAllTerm t m)) -> exists n : nat, In n (freeVarTerm L t) /\ In v (freeVarTerm L (m n)).
Lemma freeVarSubAllTerms1 : forall (n : nat) (ts : fol.Terms L n) (m : nat -> fol.Term L) (v : nat), In v (freeVarTerms L n (subAllTerms n ts m)) -> exists a : nat, In a (freeVarTerms L n ts) /\ In v (freeVarTerm L (m a)).
Lemma freeVarSubAllTerm2 : forall (t : fol.Term L) (m : nat -> fol.Term L) (v n : nat), In n (freeVarTerm L t) -> In v (freeVarTerm L (m n)) -> In v (freeVarTerm L (subAllTerm t m)).
Lemma freeVarSubAllTerms2 : forall (a : nat) (ts : fol.Terms L a) (m : nat -> fol.Term L) (v n : nat), In n (freeVarTerms L a ts) -> In v (freeVarTerm L (m n)) -> In v (freeVarTerms L a (subAllTerms a ts m)).
Lemma freeVarSubAllFormula1 : forall (f : fol.Formula L) (m : nat -> fol.Term L) (v : nat), In v (freeVarFormula L (subAllFormula f m)) -> exists n : nat, In n (freeVarFormula L f) /\ In v (freeVarTerm L (m n)).
Lemma freeVarSubAllFormula2 : forall (f : fol.Formula L) (m : nat -> fol.Term L) (v n : nat), In n (freeVarFormula L f) -> In v (freeVarTerm L (m n)) -> In v (freeVarFormula L (subAllFormula f m)).
Lemma subSubAllTerm : forall (t : fol.Term L) (m : nat -> fol.Term L) (v : nat) (s : fol.Term L), substituteTerm L (subAllTerm t m) v s = subAllTerm t (fun n : nat => substituteTerm L (m n) v s).
Lemma subSubAllTerms : forall (n : nat) (ts : fol.Terms L n) (m : nat -> fol.Term L) (v : nat) (s : fol.Term L), substituteTerms L n (subAllTerms n ts m) v s = subAllTerms n ts (fun n : nat => substituteTerm L (m n) v s).
Lemma subSubAllFormula : forall (T : fol.System L) (f : fol.Formula L) (m : nat -> fol.Term L) (v : nat) (s : fol.Term L), folProof.SysPrf L T (fol.iffH L (substituteFormula L (subAllFormula f m) v s) (subAllFormula f (fun n : nat => substituteTerm L (m n) v s))).
Lemma subAllTermId : forall t : fol.Term L, subAllTerm t (fun x : nat => fol.var L x) = t.
Lemma subAllTermsId : forall (n : nat) (ts : fol.Terms L n), subAllTerms n ts (fun x : nat => fol.var L x) = ts.
Lemma subAllFormulaId : forall (T : fol.System L) (f : fol.Formula L), folProof.SysPrf L T (fol.iffH L (subAllFormula f (fun x : nat => fol.var L x)) f).
Lemma subAllSubAllTerm : forall (t : fol.Term L) (m1 m2 : nat -> fol.Term L), subAllTerm (subAllTerm t m1) m2 = subAllTerm t (fun n : nat => subAllTerm (m1 n) m2).
Lemma subAllSubAllTerms : forall (n : nat) (ts : fol.Terms L n) (m1 m2 : nat -> fol.Term L), subAllTerms n (subAllTerms n ts m1) m2 = subAllTerms n ts (fun n : nat => subAllTerm (m1 n) m2).
Lemma subAllSubAllFormula : forall (T : fol.System L) (f : fol.Formula L) (m1 m2 : nat -> fol.Term L), folProof.SysPrf L T (fol.iffH L (subAllFormula (subAllFormula f m1) m2) (subAllFormula f (fun n : nat => subAllTerm (m1 n) m2))).