(* End of proof of notEEexists                                             *)

(***************************************************************************)
(* Intersection d'un ensemble a                                            *)
(* a est un ensemble non vide. On recherche l'ensemble dont tous les       *)
(* elements sont elements des elements de a.                               *)
(***************************************************************************)
Definition Einter (a : E) (Ine : a <> Vide) :=
  subset (fun v0 : E => forall v3 : E, In v3 a -> In v0 v3) (reunion a).

(* Specifications: *)
Lemma lem_Einter_propertie : forall (a v0 : E) (Ine : a <> Vide), In v0 (Einter a Ine) -> forall v3 : E, In v3 a -> In v0 v3.
Lemma lem_Einter_sing : forall a : E, Einter (singleton a) (lem_paire_not_empty a a) = a.
Lemma lem_Einter_paire : forall a b : E, Einter (paire a b) (lem_paire_not_empty a b) = inter a b.
Lemma lem_Einter_vide : forall (x : E) (Nv : x <> Vide), In Vide x -> Einter x Nv = Vide.