(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** Definition of polynomial expressions *)

 Inductive PExpr : Type :=
  | PEO : PExpr
  | PEI : PExpr
  | PEc : C -> PExpr
  | PEX : positive -> PExpr
  | PEadd : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEsub : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEmul : PExpr -> PExpr -> PExpr
  | PEopp : PExpr -> PExpr
  | PEpow : PExpr -> N -> PExpr.(** evaluation of polynomial expressions towards R *)
 Definition mk_X j := mkPinj_pred j mkX.(** evaluation of polynomial expressions towards R *)

 Fixpoint PEeval (l:list R) (pe:PExpr) {struct pe} : R :=
   match pe with
   | PEO => rO
   | PEI => rI
   | PEc c => phi c
   | PEX j => nth 0 j l
   | PEadd pe1 pe2 => (PEeval l pe1) + (PEeval l pe2)
   | PEsub pe1 pe2 => (PEeval l pe1) - (PEeval l pe2)
   | PEmul pe1 pe2 => (PEeval l pe1) * (PEeval l pe2)
   | PEopp pe1 => - (PEeval l pe1)
   | PEpow pe1 n => rpow (PEeval l pe1) (Cp_phi n)
   end.

(* Specifications: *)
Lemma mkX_ok p l : nth 0 p l == (mk_X p) @ l.