(** * Bac 2013 - Exercice 4 spécialité *)

(** 1. Exprimer v (S n) et c (S n) en fonction de v n et c n *)

Fixpoint v (n : nat) : R :=
  match n with
  | O => 7 / 10 * 250000
  | S n => 95 / 100 * v n + 1 / 100 * c n
  end
with c (n : nat) : R :=
  match n with
  | O => 3 / 10 * 250000
  | S n => 5 / 100 * v n + 99 / 100 * c n
  end.

(* Specifications: *)
Lemma Q2 : forall n, X (S n) = scal A (X n).
Lemma Q3a : mult P P' = Mone /\ mult P' P = Mone.
Lemma Q3b : mult P' (mult A P) = D.
Lemma Q3c : forall n, pow_n A n = mult P (mult (pow_n D n) P').
Lemma Q4 : forall n, v n = 1 / 6 * (1 + 5 * (94 / 100) ^ n) * v 0 + 1 / 6 * (1 - (94 / 100) ^ n) * c 0.
Lemma lim_v : is_lim_seq v (41666 + 2 / 3).
Lemma lim_c : is_lim_seq c (208333 + 1 / 3).