Inductive vec : nat -> Type :=
    | vec_nil  : vec 0
    | vec_cons : forall n, X -> vec n -> vec (S n).Inductive vec : nat -> Type :=
    | vec_nil  : vec 0
    | vec_cons : forall n, X -> vec n -> vec (S n).Inductive vec : nat -> Type :=
    | vec_nil  : vec 0
    | vec_cons : forall n, X -> vec n -> vec (S n).Definition vec_decomp n (v : vec n) :=
    match v in vec k return vec_decomp_type k with
      | vec_nil  => False
      | @vec_cons n x v => (x,v)
    end.Definition vec_head n (v : vec (S n)) := match v with @vec_cons _ x _ => x end.Definition vec_tail n (v : vec (S n)) := match v with @vec_cons _ _ w => w end.Fact vec_0_nil (v : vec 0) : v = vec_nil.Fact vec_head_tail n (v : vec (S n)) : v = vec_cons (vec_head v) (vec_tail v).Fixpoint vec_pos n (v : vec n) : pos n -> X.Fact vec_pos0 n (v : vec (S n)) : vec_pos v pos0 = vec_head v.Fact vec_pos_tail n (v : vec (S n)) p : vec_pos (vec_tail v) p = vec_pos v (pos_nxt p).Fact vec_pos1 n (v : vec (S (S n))) : vec_pos v pos1 = vec_head (vec_tail v).Fact vec_pos_ext n (v w : vec n) : (forall p, vec_pos v p = vec_pos w p) -> v = w.Fixpoint vec_set_pos n : (pos n -> X) -> vec n :=
    match n return (pos n -> X) -> vec n with 
      | 0   => fun _ => vec_nil
      | S n => fun g => vec_cons (g pos0) (vec_set_pos (fun p => g (pos_nxt p)))
    end.Fact vec_pos_set n (g : pos n -> X) p : vec_pos (vec_set_pos g) p = g p.Fixpoint vec_change n (v : vec n) : pos n -> X -> vec n.Fact vec_change_eq n v p q x : p = q -> vec_pos (@vec_change n v p x) q = x.Fact vec_change_neq n v p q x : p <> q -> vec_pos (@vec_change n v p x) q = vec_pos v q.Fact vec_change_idem n v p x y : vec_change (@vec_change n v p x) p y = vec_change v p y.Fact vec_change_same n v p : @vec_change n v p (vec_pos v p) = v.Fixpoint vec_eq_dec n (u v : vec n) : { u = v } + { u <> v }.Fixpoint vec_list n (v : vec n) := 
    match v with  
      | vec_nil      => nil
      | vec_cons x v => x::vec_list v
    end.Fact vec_list_length n v : length (@vec_list n v) = n.Fact vec_list_inv n v x : In x (@vec_list n v) -> exists p, x = vec_pos v p.Local Notation " e [ v / x ] " := (vec_change e x v) (at level 57, v at level 0, x at level 0, left associativity).Definition vec_app (v : vec X n) (w : vec X m) : vec X (n+m).Definition vec_split (v : vec X (n+m)) : vec X n * vec X m.Fact vec_app_split u : let (v,w) := vec_split u in vec_app v w = u.Fact vec_split_app v w : vec_split (vec_app v w) = (v,w).Fact vec_pos_app_left v w i : vec_pos (vec_app v w) (pos_left _ i) = vec_pos v i.Fact vec_pos_app_right v w i : vec_pos (vec_app v w) (pos_right _ i) = vec_pos w i.Fact vec_app_nil X n v : @vec_app X 0 n vec_nil v = v.Fact vec_app_cons X n m x v w : @vec_app X (S n) m (x##v) w = x##vec_app v w.Fixpoint vec_map n (v : vec X n) :=
    match v with 
      | vec_nil => vec_nil
      | x ## v  => f x ## vec_map v 
    end.(* Definitions taken from stdlib *)
  
  Definition case0 {A} (P:vec A 0 -> Type) (H:P (@vec_nil A)) v:P v :=
    match v with
    |vec_nil => H
    |_ => fun devil => False_ind (@IDProp) devil (* subterm !!! *)
    end.Definition caseS' {A} {n : nat} (v : vec A (S n)) : forall (P : vec A (S n) -> Type)
                                                      (H : forall h t, P (h ## t)), P v :=
    match v with
    | h ## t => fun P H => H h t
    | _ => fun devil => False_rect (@IDProp) devil
    end.Definition rect2 {A B} (P:forall {n}, vec A n -> vec B n -> Type)
             (bas : P vec_nil vec_nil) (recvec : forall {n v1 v2}, P v1 v2 ->
                                                              forall a b, P (a ## v1) (b ## v2)) :=
    fix rect2_fix {n} (v1 : vec A n) : forall v2 : vec B n, P v1 v2 :=
      match v1 with
      | vec_nil => fun v2 => case0 _ bas v2
      | @vec_cons _ n' h1 t1 => fun v2 =>
                                 caseS' v2 (fun v2' => P (h1##t1) v2') (fun h2 t2 => recvec (rect2_fix t1 t2) h1 h2)
      end.Definition vec_map2 {A B C} (g:A -> B -> C) :
    forall (n : nat), vec A n -> vec B n -> vec C n :=
    @rect2 _ _ (fun n _ _ => vec C n) (@vec_nil C) (fun _ _ _ H a b => (g a b) ## H).Fact vec_pos_map X Y (f : X -> Y) n (v : vec X n) p : vec_pos (vec_map f v) p = f (vec_pos v p).Definition vec_plus (v w : vec nat n) := vec_set_pos (fun p => vec_pos v p + vec_pos w p).Definition vec_zero : vec nat n := vec_set_pos (fun _ => 0).Fact vec_pos_plus v w p : vec_pos (vec_plus v w) p = vec_pos v p + vec_pos w p.Fact vec_zero_plus v : vec_plus vec_zero v = v.Fact vec_zero_spec p : vec_pos vec_zero p = 0.Fact vec_plus_comm v w : vec_plus v w = vec_plus w v.Fact vec_plus_assoc u v w : vec_plus u (vec_plus v w) = vec_plus (vec_plus u v) w.Fact vec_plus_is_zero u v : vec_zero = vec_plus u v -> u = vec_zero /\ v = vec_zero.Definition vec_one p : vec _ n := vec_set_pos (fun q => if pos_eq_dec p q then 1 else 0).Fact vec_one_spec_eq p q : p = q -> vec_pos (vec_one p) q = 1.Fact vec_one_spec_neq p q : p <> q -> vec_pos (vec_one p) q = 0.Fact vec_zero_S n : @vec_zero (S n) = 0##vec_zero.Fact vec_one_fst n : @vec_one (S n) pos0 = 1##vec_zero.Fact vec_one_nxt n p : @vec_one (S n) (pos_nxt p) = 0##vec_one p.Fact vec_plus_cons n x v y w : @vec_plus (S n) (x##v) (y##w) = x+y ## vec_plus v w.Fact vec_change_succ n v p : v[(S (v#>p))/p] = @vec_plus n (vec_one p) v.Fact vec_change_pred n v p u : v#>p = S u -> v = @vec_plus n (vec_one p) (v[u/p]).Fixpoint vec_sum n (v : vec nat n) := 
  match v with 
    | vec_nil       => 0
    | vec_cons x w  => x + vec_sum w
  end.Fact vec_sum_plus n v w : @vec_sum n (vec_plus v w) = vec_sum v + vec_sum w.Fact vec_sum_zero n : @vec_sum n vec_zero = 0.Fact vec_sum_one n p : @vec_sum n (vec_one p) = 1.Fact vec_sum_is_zero n v : @vec_sum n v = 0 -> v = vec_zero.Fact vec_sum_is_nzero n v : 0 < @vec_sum n v -> { p : _ & { w | v = vec_plus (vec_one p) w } }.

(* Specifications: *)
Theorem vec_nat_induction v : P v.