Class ValNull (val : Type) := {
  null : val
}.Class ValNull (val : Type) := {
  null : val
}.Definition stack := A -> val.Definition stack_empty : stack := fun x => null.Definition stack_get (x : A) : stack -> val  := fun s => s x.Definition stack_add x v s : stack :=
    fun x' => if x' ?[ eq ] x then v else s x'.

(* Specifications: *)
Lemma stack_lookup_add (s : stack) (x : A) (v : val) : ((stack_add x v s) : stack) x = v.
Lemma stack_lookup_add2 (x y : A) (v : val) (s : stack) (Hneq: x <> y) : (stack_add x v s) y = s y.
Lemma stack_add_same (s: stack) x: stack_add x (s x) s = s.
Lemma stack_add_overwrite (s: stack) x v v': stack_add x v (stack_add x v' s) = stack_add x v s.
Lemma stack_add_val_eq (s : stack) (x : A) v1 v2 (Hs : stack_add x v1 s = stack_add x v2 s) : v1 = v2.