(* End of proof of lem_couple_propertie_rl                                 *)

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(* Produit cartesien de deux ensembles                                     *)
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Definition cartesien (a b : E) :=
  subset
    (fun u : E =>
     exists x : E, (exists y : E, In x a /\ In y b /\ u = couple x y))
    (parties (parties (union a b))).

(* Specifications: *)
Lemma lem_cartesian_propertie : forall a b x : E, In x (cartesien a b) <-> (exists v1 : E, (exists v2 : E, In v1 a /\ In v2 b /\ x = couple v1 v2)).
Lemma lem_cartesian_cons : forall x y a b : E, In x a -> In y b -> In (couple x y) (cartesien a b).