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(**           Convergence properties of sequences                *)
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Definition Un_decreasing (Un:nat -> R) : Prop :=
  forall n:nat, Un (S n) <= Un n.Definition opp_seq (Un:nat -> R) (n:nat) : R := - Un n.Definition has_ub (Un:nat -> R) : Prop := bound (EUn Un).Definition has_lb (Un:nat -> R) : Prop := bound (EUn (opp_seq Un)).

(* Specifications: *)
Lemma growing_cv : forall Un:nat -> R, Un_growing Un -> has_ub Un -> { l:R | Un_cv Un l }.
Lemma decreasing_growing : forall Un:nat -> R, Un_decreasing Un -> Un_growing (opp_seq Un).
Lemma decreasing_cv : forall Un:nat -> R, Un_decreasing Un -> has_lb Un -> { l:R | Un_cv Un l }.
Lemma ub_to_lub : forall Un:nat -> R, has_ub Un -> { l:R | is_lub (EUn Un) l }.
Lemma lb_to_glb : forall Un:nat -> R, has_lb Un -> { l:R | is_lub (EUn (opp_seq Un)) l }.