Definition remove (x : elt) (s : t) : t := let (s', _) := remove x s in s'.

(* Specifications: *)
Lemma remove_1 : forall (s : t) (x y : elt), E.eq x y -> ~ In y (remove x s).
Lemma remove_2 : forall (s : t) (x y : elt), ~ E.eq x y -> In y s -> In y (remove x s).
Lemma remove_3 : forall (s : t) (x y : elt), In y (remove x s) -> In y s.