Axiom plus_sym : forall a b : AV, R (plus a b) (plus b a).

(* Specifications: *)
Lemma calcul : forall a b c : AV, R (plus a (plus b c)) (plus b (plus a c)).
Lemma oppu_oppv : forall u v : V, R (cons (opp u) (opp v)) (cons u v).
Lemma rotation : forall u v u' v' : V, R (cons u u') (cons v v') -> R (cons u v) (cons u' v').
Lemma reflexion : forall i u v u' v' : V, R (cons u' i) (cons i u) -> R (cons v' i) (cons i v) -> R (cons u v) (cons v' u').
Lemma calcul2 : forall a b c d : AV, R (plus (plus a (plus b c)) d) (plus (plus a (plus b d)) c).
Lemma somme_pi : forall u v w : V, R (plus (cons u v) (plus (cons w (opp u)) (cons (opp v) (opp w)))) pi.
Theorem somme_triangle : forall A B C : PO, R (plus (cons (vec A B) (vec A C)) (plus (cons (vec B C) (vec B A)) (cons (vec C A) (vec C B)))) pi.