Definition sproductr_1_def (s : state) : Prop :=
  forall (a : ad) (p : prec_list) (c : ad) (r : prec_list),
  MapGet prec_list (s_produit_r a p s) c = Some r ->
  exists r0 : prec_list,
    (exists r1 : prec_list,
       MapGet prec_list (M1 prec_list a p) c = Some r0 /\
       MapGet prec_list s c = Some r1).

(* Specifications: *)
Lemma sproductr_1_0 : sproductr_1_def (M0 prec_list).
Lemma sproductr_1_1 : forall (a : ad) (a0 : prec_list), sproductr_1_def (M1 prec_list a a0).
Lemma sproductr_1_2 : forall m : state, sproductr_1_def m -> forall m0 : state, sproductr_1_def m0 -> sproductr_1_def (M2 prec_list m m0).
Lemma sproductr_1_3 : forall m : state, sproductr_1_def m.
Lemma sproductr_1 : forall (s : state) (a : ad) (p : prec_list) (c : ad) (r : prec_list), MapGet prec_list (s_produit_r a p s) c = Some r -> exists r0 : prec_list, (exists r1 : prec_list, MapGet prec_list (M1 prec_list a p) c = Some r0 /\ MapGet prec_list s c = Some r1).