Definition add {A : Type} {dom : Dom.t} (x : key) (v : A) (m : @t A dom) : @t A (Dom.add x dom) :=
  exist (OK (Dom.add x dom)) (S.add x v (proj1_sig m)) (add_OK x v m).

(* Specifications: *)
Lemma set_OK : forall A dom x v (m : t A dom), Dom.In x dom -> OK dom (S.add x v (proj1_sig m)).