Fixpoint ve''_to_be (ve : var_env'') (n : nat) {struct n} : bool_expr :=
  match n with
  | O => One
  | S m =>
      match in_dom _ (N_of_nat m) ve with
      | true => ANd (ve''_to_be ve m) (Var (N_of_nat m))
      | false => ANd (ve''_to_be ve m) (Neg (Var (N_of_nat m)))
      end
  end.

(* Specifications: *)
Lemma ve''_to_be_ok : forall (n : nat) (ve ve' : var_env''), bool_fun_of_bool_expr (ve''_to_be ve n) (var_env''_to_env ve') = true -> forall m : nat, m < n -> MapGet _ ve (N_of_nat m) = MapGet _ ve' (N_of_nat m).
Lemma ve''_to_be_ok1 : forall (n : nat) (ve ve' : var_env''), Evar_env'' 0 n ve -> bool_expr_to_var_env'' 0 n (ve''_to_be ve n) ve' -> ve = ve'.
Lemma ve''_to_be_ok2 : forall (n : nat) (ve : var_env''), eval_be' (ve''_to_be ve n) (var_env''_to_env' ve) = true.
Lemma ve''_to_be_ok3 : forall (n : nat) (ve : var_env''), n <= N -> be_ok (var_lu 0 N) (ve''_to_be ve n).
Lemma env_to_be_lemma : forall S : Ensemble var_env'', Finite _ S -> Included _ S (Evar_env'' 0 N) -> exists be : bool_expr, bool_expr_to_var_env'' 0 N be = S /\ be_ok (var_lu 0 N) be.
Lemma env_to_be_lemma1 : forall S : Ensemble var_env'', Included _ S (Evar_env'' 0 N) -> exists be : bool_expr, bool_expr_to_var_env'' 0 N be = S /\ be_ok (var_lu 0 N) be.
Lemma muevaleqset : forall (te : trans_env) (ste : set_tenv), ad_to_be_ok (var_lu 0 (2 * N)) te -> te_ste_ok te ste -> forall (f : mu_form) (re : rel_env) (sre : set_renv), f_ok f -> mu_form_ap_ok (var_lu 0 N) f -> ad_to_be_ok (var_lu 0 N) re -> re_sre_ok re sre -> mu_form2set ste f sre = bool_expr_to_var_env'' 0 N (mu_eval N te f re).