(** Formulae are either interpreted over Prop or bool. *)
Inductive kind : Type :=
|isProp
|isBool.(** Formulae are either interpreted over Prop or bool. *)
Inductive kind : Type :=
|isProp
|isBool.(** Formulae are either interpreted over Prop or bool. *)
Inductive kind : Type :=
|isProp
|isBool.Local Notation Trace := (Trace Annot).(* see [deduce_prop] *)

  Local Notation null := (@null Annot).Local Notation push := (@push Annot).Local Notation merge := (@merge Annot).(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.(* type of formulae identifiers *)

  Inductive GFormula  : kind -> Type :=
  | TT   : forall (k: kind), GFormula k
  | FF   : forall (k: kind), GFormula k
  | X    : forall (k: kind), TX k -> GFormula k
  | A    : forall (k: kind), TA -> AA -> GFormula k
  | AND  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | OR   : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | NOT  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k
  | IMPL : forall (k: kind), GFormula k -> option AF -> GFormula k -> GFormula k
  | IFF  : forall (k: kind), GFormula k -> GFormula k -> GFormula k
  | EQ   : GFormula isBool -> GFormula isBool -> GFormula isProp.Fixpoint mapX (k:kind) (f : GFormula k) : GFormula k :=
      match f with
      | TT k => TT k
      | FF k => FF k
      | X x => X (F  x)
      | A k a an => A k a an
      | AND f1 f2 => AND (mapX f1) (mapX f2)
      | OR f1 f2  => OR (mapX f1) (mapX f2)
      | NOT f     => NOT (mapX f)
      | IMPL f1 o f2 => IMPL (mapX f1) o (mapX f2)
      | IFF f1 f2    => IFF (mapX f1) (mapX f2)
      | EQ f1 f2           => EQ (mapX f1) (mapX f2)
      end.Fixpoint foldA (k: kind) (f : GFormula k) (acc : ACC) : ACC :=
      match f with
      | TT _ => acc
      | FF _ => acc
      | X x => acc
      | A _ a an => F acc an
      | AND f1 f2
      | OR f1 f2
      | IFF f1 f2
      | IMPL f1 _ f2 | EQ f1 f2 => foldA f1 (foldA f2 acc)
      | NOT f     => foldA f acc
      end.Definition cons_id (id : option AF) (l : list AF) :=
    match id with
    | None => l
    | Some id => id :: l
    end.Fixpoint ids_of_formula (k: kind) (f:GFormula k) :=
    match f with
    | IMPL f id f' => cons_id id (ids_of_formula f')
    |  _           => nil
    end.Fixpoint collect_annot (k: kind) (f : GFormula k) : list AA :=
    match f with
    | TT _ | FF _ | X _ => nil
    | A _ _ a => a ::nil
    | AND f1 f2
    | OR  f1 f2
    | IFF f1 f2 | EQ f1 f2
    | IMPL f1 _ f2  => collect_annot f1 ++ collect_annot f2
    | NOT  f  => collect_annot f
    end.Definition rtyp (k: kind) : Type := if k then Prop else bool.Definition eTT (k: kind) : rtyp k :=
      if k as k' return  rtyp k' then True else true.Definition eFF (k: kind) : rtyp k :=
      if k as k' return  rtyp k' then False else false.Definition eAND (k: kind) : rtyp k -> rtyp k -> rtyp k :=
      if k as k' return rtyp k' -> rtyp k' -> rtyp k'
      then and else andb.Definition eOR (k: kind) : rtyp k -> rtyp k -> rtyp k :=
      if k as k' return rtyp k' -> rtyp k' -> rtyp k'
      then or else orb.Definition eIMPL (k: kind) : rtyp k -> rtyp k -> rtyp k :=
      if k as k' return rtyp k' -> rtyp k' -> rtyp k'
      then (fun x y => x -> y) else implb.Definition eIFF (k: kind) : rtyp k -> rtyp k -> rtyp k :=
      if k as k' return rtyp k' -> rtyp k' -> rtyp k'
      then iff else eqb.Definition eNOT (k: kind) : rtyp k -> rtyp k :=
      if k as k' return rtyp k' -> rtyp k'
      then not else negb.Fixpoint eval_f (k: kind) (f:GFormula k) {struct f}: rtyp k :=
      match f in GFormula k' return rtyp k' with
      | TT tk => eTT tk
      | FF tk => eFF tk
      | A k a _ =>  ea k a
      | X p => ex  p
      | @AND k e1 e2 => eAND k (eval_f  e1) (eval_f e2)
      | @OR k e1 e2  => eOR k (eval_f e1) (eval_f e2)
      | @NOT k e     => eNOT k (eval_f e)
      | @IMPL k f1 _ f2 => eIMPL k (eval_f f1)  (eval_f f2)
      | @IFF k f1 f2    => eIFF k (eval_f f1) (eval_f f2)
      | EQ f1 f2    => (eval_f f1) = (eval_f f2)
      end.

(* Specifications: *)
Lemma eval_f_rew : forall k (f:GFormula k), eval_f f = match f in GFormula k' return rtyp k' with | TT tk => eTT tk | FF tk => eFF tk | A k a _ => ea k a | X p => ex p | @AND k e1 e2 => eAND k (eval_f e1) (eval_f e2) | @OR k e1 e2 => eOR k (eval_f e1) (eval_f e2) | @NOT k e => eNOT k (eval_f e) | @IMPL k f1 _ f2 => eIMPL k (eval_f f1) (eval_f f2) | @IFF k f1 f2 => eIFF k (eval_f f1) (eval_f f2) | EQ f1 f2 => (eval_f f1) = (eval_f f2) end.