Definition sigT_of_prod (p : A * B) := (fst p; snd p).Definition prod_of_sigT (s : { _ : A & B }) := (s.1, s.2).

(* Specifications: *)
Lemma sigT_prod_sigT p : sigT_of_prod (prod_of_sigT p) = p.
Lemma prod_sigT_prod s : prod_of_sigT (sigT_of_prod s) = s.