O crescente avanço da pandemia, declarado pela OMS em março de 2020, causada pelo novo coronavírus (SARS-CoV-2) requer a mobilização de diversos atores para a compreensão da disseminação e os seus impactos em sociedades e sistemas de saúde. (32) Em relação ao SARS-CoV-2, a doença decorrente tem apresentado uma alta transmissibilidade e considerável severidade, levandoà internação e necessidade de cuidados intensivos em aproximadamente 20% e 5% (2) dos infectados identificados, respectivamente. Tal comportamento torna a COVID-19 uma doença de alto prejuízo para os indivíduos, sistemas de saúde e sociedade como um todo.
Contudo, a pandemia de SARS-CoV-2 acontece de forma velada e a capacidade de identificar os casos apenas acontece dias após a infecção, potencializando a transmissão e o espalhamento da doença. Compreender e projetar os padrões de espalhamento (curva epidemiológica) da doença, ao longo do tempo e do espaço geográfico, tornamse fundamentais para instrumentalizar gestores e lideranças públicas no planejamento de estratégias de enfrentamento e políticas públicas frente ao fenômeno. A modelagem matemática de surtos infecciososé ferramenta fundamental para elucidação da dinâmica de disseminação do agente e para o impacto de potenciais intervenções. O planejamento para o enfrentamento do surto por parte do poder público e estabelecimentos de saúde depende de evidências que permitam projetar o avanço da doença (31). Segundo a organização mundial de saúde, modelos matemáticos ajudaram na compreensão da epidemia de SARS em 2003, e também foram utilizados durante a pandemia de H1N1 em 2009 (31).
Esta nota técnica apresenta a metodologia empregada pelo grupo de voluntários Coletivo Covid-19BR, composto por professores, pesquisadores e profissionais de mercado, com background emárea de saúde e ciências exatas. Esse coletivo surgiu organicamente a partir de iniciativas individuais que foram se somando e construindo em volta da busca de modelos matemáticos que permitissem: (a) analisar/projetar o crescimento da curva epidemiológica da pandemia e, (b) desenvolver um modelo dinâmico de projeção do esgotamento do sistema de saúde para enfrentar a pandemia. Para tanto, utilizamos a metodologia SEIR Bayesiana e a modelagem com base na teoria de filas. Este documento descreve as duas metodologias.
Compartimentado SEIR Modelos compartimentados são uma família de técnicas utilizadas para estudar e prever a dinâmica temporal de contagem e fluxo entre grupos de objetos de estudo (18) . No caso de doenças infecciosas, são utilizados para prever o alcance e impacto da doença. A população de estudoé particionada em compartimentos disjuntos de forma que os indivíduos em um mesmo compartimento possuam características homogêneas. O saldo total de pessoas em cada grupoé dependente do tempo, pois existe um fluxo de entrada e saída em cada compartimento. A dinâmica do fluxo define o comportamento transiente e estacionário do modelo, e sua intensidadeé variável com o tempo; podendo ser desde uma constante até uma função do número total de pessoas por compartimento. Este modelo permite projetar a curva epidemiológica para um dado grupo populacional considerando os parâmetros devidos (Figura 1).
Neste trabalho, foi considerado um modelo com 4 compartimentos: Suscetíveis (população não infectada, porém passível de infecção), Expostas (infectadas, porém nãocontagiosas), Infectadas (infectadas e contagiosas), e Removidas (removidas do estudo poróbito ou imunidade); denominado SEIR (18) . Mar 
A evolução temporal (variável t)é discretizada a dias. Diariamente, existe uma probabilidade de um indivíduo migrar de compartimento (Tabela I). Este valoré variável e depende da contagem de pessoas nos compartimentos S t , E t , I t , e R t ; assim como os parâmetros α −1 (período médio de incubação), γ −1 (período médio infeccioso) e r 0 (número básico de reprodução).
Esta componente estocástica resulta em um comportamento não-determinístico para a contagem e fluxo dos compartimentos. Note que 1 − exp(−x)é próximo de x para valores de x próximos a zero. Logo, para períodos de incubação e infecção elevados (acima de 1 dia), temos p EI = α e p IR = γ; que representam as taxas de infecção (razão entre infectados e expostos) e remoção (razão entre removidos e infectados), respectivamente.
Para capturar as incertezas presentes na literatura para os parâmetros α e γ, foi utilizada uma distribuição LogNormal com 95% da densidade dentro dos intervalos en-
Para Probabilidade Suscetíveis Expostas
Infectadas
contrados na literatura (Tabela II). Já o r 0 foi estimado a partir da série histórica de incidência de casos, cujo detalhamento está na seção a seguir. As condições iniciais do modelo S(0), E(0), I(0) e R(0) são consideradas como dadas. Formalmente, para os fluxos entre compartimentos, temos
A partir dos fluxosé possível calcular a contagem
III. Estimativa do número de reprodução O número de reprodução foi estimado com base na metodologia descrita em (28; 5). Assume-se que a incidência observada a cada tempo t, I t , seja descrita adequadamente por uma distribuição de Poisson cujo parâmetro λ t se traduz em uma função do número de reprodução instantâneo, r t , e do potencial infeccioso total, ao longo de todos os indivíduos infectados no tempo t, Λ t . Formalmente:
Na prática, considera-se r t constante ao longo de uma janela temporal de tamanho τ , de forma que a equação 9 torna-se λ t = r t · Λ t−τ . O parâmetro Λ t−τ pode então ser interpretado como o potencial infeccioso total ao longo do período [t − τ, t], sendo portanto uma função da incidência em cada passo temporal prévio a I t , denotada I t−s para s ∈ [1, t − τ ], ponderada pela probabilidade de infecção secundária em cada período de tempo s, denotada w s :
O parâmetro w sé uma função de massa de probabilidade computada a partir da distribuição estimada para o intervalo serial da doença, istoé, o tempo entre o aparecimento de sintomas em uma pessoa infectada (infector) e o aparecimento de sintomas em pessoas por ela infectadas (infectees). O intervalo serialé comumente usado como proxy para o tempo entre uma infecção primária e as infecções secundárias dela resultantes. Aqui, foi assumido que o intervalo serialé descrito adequadamente por uma distribuição Gamma com média 4,89 e desvio padrão 1,48. Tal parametrização garante 95% de densidade no intervalo [2, 4, 8, 3] e foi escolhida com base nas recentes estimativas de intervalo serial para SARS-Cov-2 (8; 25; 33; 34).
A inferência sobre r t se dá via atualização Bayesiana. Sua distribuição a posteriori, condicional aos dados de incidência entre tempo 0 e tempo t eà função de probabilidade w s ,é computada a partir da verossimilhança da incidência observada no intervalo [t − τ, t] e da distribuição a priori assumida para r t :
Assumindo a priori que r t segue uma distribuição Gamma, pode-se chegar a uma fórmula fechada para r t a posteriori haja vista o fato de ser Gamma uma distribuicão conjugadaà de Poisson, utilizada para computar a verossimilhança. Sendo assim, P (r t ∨ I 0 , . . . , I t , w s )é descrita adequadamente pela distribuição Γ (k, θ) em que k e θ são parâmetros de forma e escala, respectivamente, dados por:
em que k 0 e θ 0 são os parâmetros correspondentes da distribuição a priori de r t .
Com base em estimativas anteriores do número básico de reprodução, assumiu-se k 0 = 5, 12 e θ 0 = 0, 64, correspondendo a uma média e um desvio padrão de aproximadamente 3, 3 e 1, 45, respectivamente, e posicionando 95% da densidade a priori entre 1, 1 e 6, 7. Em linhas gerais, essa parametrização abrange as estimativas de 14 estudos anteriores revisados por (22) . Foi utilizada a janela temporal de τ = 12 dias uma vez que janelas menores geraram estimativas instáveis, potencialmente sensíveis a eventual represamento de confirmação de casos diários -em função de falta de testes diagnósticos ou capacidade de processamento destes. Janelas maiores foram descartadas por impossibilitar estimativa para maioria dos estados brasileiros nos quais não haveria dados de incidência suficientes. Estados com dados insuficientes tiveram seu r t imputado com o valor correspondente ao r t do Brasil como um todo. O valor de r t mais recente disponível para cada caso foi utilizado como entrada no modelo SEIR. A metodologia aqui descrita foi implementada em python 3 e reproduz os resultados da função "estimate R()", do pacote de R EpiEstim, utilizando o método "parametric si" (4).
Para se estimar a porcentagem dos casos, entre sintomáticos e assintomáticos, que representa o número de confirmações,é utilizada a mortalidade entre os casos confirmados. Para condições de testagem enviesadas, apenas casos mais graves chegam a ser testados, portantoé natural que a mortalidade entre estes seja elevada. Porém a mortalidade entre os já confirmadosé, ainda, subestimada pelo fato que alguns virão aóbito. Por isso, apenas dividir o número de mortes pelo número de casos confirmados nos dá um uma razão de fatalidade entre os casos subestimada.
Para chegar a um fator não enviesado, a literatura (24) sugere projetar o número de mortos que teríamos até a data estudada numa situação hipotética em que todos os confirmados morrem, utilizando a distribuição de probabilidade (21) de morte, dado que o paciente morre, entre os dias desde a hospitalização (aqui considerada igualà data de confirmação) até a data atual. A seguinte fórmula expressa o número de mortes acumulado:
Onde, D té o número de mortes registradas até o dia t, c t o número de casos confirmados no dia t e f j a probabilidade (21) , dado que morre, de a morte ocorrer após j dias da confirmação e p té a razão fatalidade-casos não enviesada observada no período. De posse desta taxa, basta utilizar a razão baseline de um estudo abrangente (29) que chegouà razão de 0,657% de morte entre infectados sintomáticos e assintomáticos.
Onde S ré a taxa de sub-reportagem estimada.
V. Projeção para esgotamento do sistema de saúde -Modelo de Filas A teoria de filas busca analisar problemas relacionados a sistemas que envolvam "linhas de espera". As bases destes modelos foram iniciadas por (9) e depois expandida por (17) . Os primeiros sistemas possuíam aspectos determinísticos sendo posteriormente evoluídos para sistemas estocásticos.
O problema principal num sistema de filasé resumido conforme o seguinte: sejam M chegadas dentro de um intervalo de tempo (λ) que utilizam (s) servidores por um tempo de serviço (µ), o sistema pode ser representado conforme a Figura 3. Estes modelos são baseados num caso especial de cadeias de Markov em tempo contínuo (processo de nascimento e morte).
Release Service Queue 
sendo P 0 apresentado na expressão 17,
7 VII. Modelo proposto para simulação na presença de Covid-19 O modelo proposto possui algumas variantes em relação ao sistema M/M/s puro. No presente estudo foi necessário a avaliação de filas de espera por leitos normais e também UTI's, respectivamente os tempos de chegada e serviço diferentes, assim como o número existente de recursos.
Também foi necessário a simulação da taxa de chegada num ambiente com Covid-19, neste caso, os valores foram obtidos pelo modelo SEIR (expressões 1 a 7) . Também foi analisada a possibilidade de aumentos de recursos (leitos e UTI's) conforme decisões governamentais. O sistema simuladoé apresentado na Diante da sofisticação da solução proposta, a obtenção dos parâmetros em uma fórmula fechada se tornou bastante complicada, deste modo, foi realizada uma simulação numérica. Utilizou-se o SimPy (Discrete event simulation for python) para a obtenção dos eventos.
Para apoiar os modelos, diversas dados foram obtidos de fontes externas e validados para compor os parâmetros para ambos os simuladores. Na Tabela IIIé possível visualizar todas as fontes utilizadas bem como a qual parâmetro elas correspondem.
Como todo modelo que visa representar a realidade, as projeções apresentadas possuem limitações -as quais estão, a medida do possível, sujeitas a melhorias futuras -que devem ser conhecidas pelo usuário: (14) sobre a disseminação da doença, que não visam determinar esse parâmetro. Devido a dificuldade (19) e vieses que todos esses métodos possuem para se estimar ou serem submetidos a extrapolações para determinação do período infeccioso, infere-se que a qualidade da estimativa de tempo de infecciosidade está sujeita a incertezas, de modo que o intervalo de confiança desse período aindaé muito abrangente.