polyglot-tagger/wikipedia-language-snippets-filtered huggingface dataset:
ఇన్ఫార్మల్ ఎడ్యుకేషన్ అనుకోకుండా అస్పష్టంగా పరిమాణాత్మక సమాచారాన్ని కలిగి. ఇది సాధారణంగా అప్పుడు ఒక పరిమాణాత్మక కారక ఒక గుణాత్మక ఒకటి. ఇన్ఫార్మల్ ఎడ్యుకేషన్ కంటెంట్, జ్ఞానం సాంప్రదాయ విద్యను అధిగమించింది.
ఇటువంటి సంభాషణలు, చర్యలు ఎక్కడైనా, ఎప్పుడైనా జరగవచ్చు. అనధికారిక విద్య ద్వారా పనిచేస్తుంది, సంభాషణ ద్వారా సంధానం యాదృచ్ఛిక ఉంది, అన్వేషించడం, అనుభవం విస్తరించడం ఉంటుంది. అది ఏ సెట్టింగులను జరుగుతుంది.
1870 లో, హిజ్‌ హైనెస్ ఇండోర్ మహారాజు హోల్కర్ సవై శ్రీ తుకోజిరావు హోల్కర్ , అతనికి భారత రాజధాని ఇండోర్‌కు రైలు మార్గం నిర్మాణం కోసం 10 మిలియన్ స్టెర్లింగ్ రుణం పొందాడు, ఇది గ్రేట్ ఇండియన్ పెనిన్సులా రైల్వే మెయిన్ లైన్ నుంచి తీసుకున్నది. శీఘ్ర సర్వే జరిగింది. ఖాండ్వా ఆన్ జి.ఐ.పి. రైలు మార్గము మీద ఉన్న ఖాండ్వా జంక్షన్ పాయింట్‌గా ఎంపిక చేయబడింది. ఈ మార్గము నర్మదా మీద సనావాడ్, ఖేరీ ఘాట్ గుండా, తరువాత దారిలో చోరి లోయ ద్వారా వాలుగా ఉన్నవింధ్య పర్వతాలు మీదుగా ఇండోర్ వరకు వెళుతుండేది. మహారాజా హోల్కర్ యొక్క సహకారం మాల్వా ప్రాంతంలో రైలు మార్గాల నిర్మాణాన్ని వేగవంతం చేసింది.
1870 వ దశకంలో, హోల్కర్ స్టేట్ రైల్వే యొక్క మీటర్ గేజ్ రైలు మార్గం ఖాండ్వా, ఇండోర్ మధ్య మౌ ఘాట్ మీదుగా మంజూరు చేయబడింది. వింధ్య పర్వతాలు చాలా నిటారుగా, అతి ఎక్కువ గ్రేడియంట్ కలిగి ఉండటం కారణంగా హోల్కర్ రైల్వే చాలా భారీ పనులు చేపట్టవలసిన అవసరం ఏర్పడింది. ఇందులో 510 గజాల పొడవుతో 4 సొరంగాల త్రవ్వించి, లోతైన కోత తవ్వకాలు, భారీ రిటెయినింగ్ గోడలు కట్టడం వంటి పనులు ఉన్నాయి. నర్మదా నటిని దాటేందుకు, 14 స్పానులతో 197 అడుగుల పొడవైనది, తక్కువ నీటి మట్టం స్థాయి నుండి 80 అడుగుల ఎత్తైన వంతెన నిర్మాణం కూడా ఉంది. అక్కడ 14 ఇతర పెద్ద వంతెనలు అధిక స్తంభాలతో కూడా ఉన్నాయి. ఇందులో క్రింద భాగం నుండి అత్యధిక ఎత్తైన స్తంభం 152 అడుగులతో ఉంది. మొదటి విభాగం ఖాండ్వా-సనావాద్ రైలు మార్గం 1.12.1874 న ట్రాఫిక్ కోసం ప్రారంభించబడింది. అలాగే 5.10.1876 న, నర్మదా వంతెనను, హోల్కర్-నర్మదా వంతెన పేరుతో హిజ్‌ హైనెస్ హోల్కర్ మహారాజా చేత ట్రాఫిక్ కోసం ప్రారంభించ బడింది.
రెండు కొత్త ప్లాట్‌ఫారముల నిర్మాణం పురోగతిలో ఉంది. ఇది పశ్చిమ రైల్వే చే ముందే ఆమోదించబడింది. ఇండోర్ రైల్వే స్టేషన్ రాజ్‌కుమార్ రైల్వే ఓవర్ వంతెనకు సమీపంలో పశ్చిమ రైల్వే యొక్క రత్లాం డివిజను అభివృద్ధి చేసిన ఒక ఆధునిక స్టేషన్ సముదాయాన్ని కలిగి ఉంది. ఈ ఎలివేటేడ్ నిర్మాణం భూమి అంతస్తులో ప్రయాణికుల స్థలాన్ని అందిస్తుంది. అలాగే, టికెట్ బుకింగ్ కౌంటర్లు, వేచి ఉండే హాళ్ళు మొదలైనవి మొదటి అంతస్తులో ఉంటాయి. ఈ సముదాయం తగినంత పార్కింగ్ సౌకర్యాలను అందిస్తుంది. ఈ సదుపాయం డివిజను యొక్క మొదటి అండర్‌పాస్‌తో ఉంటుంది. ఈ స్టేషన్ ప్రాంగణంలో ఒక బహుళ అంతస్తుల పార్కింగ్ సౌకర్యం కూడా ఉంది.
ఇండోర్ జంక్షన్ , మధ్యప్రదేశ్ లోని అతి పెద్ద రైల్వే జంక్షన్లలో ఒకటి, వాణిజ్య రాజధాని ఇండోర్, సెంట్రల్ భారతదేశం లకు పనిచేస్తుంది. ఇండోర్ జంక్షన్ బి.జి. రైల్వే స్టేషన్‌లో ఉన్న బ్రాడ్ గేజ్ లైన్, భారతీయ రైల్వేలు, పశ్చిమ రైల్వే జోన్ యొక్క పరిపాలనా నియంత్రణలోకి వస్తుంది. ఇది 4 ప్రధాన రైల్వే ప్లాట్‌ఫారములు కలిగి ఉంది. ఇది భారతదేశం లోని ఒక సర్టిఫికేట్ స్టేషన్. ఉజ్జయినీ - ఇండోర్ రైలు మార్గం, ఇండోర్ జంక్షన్ రైలు మార్గము ఇటీవల కాలములో విద్యుద్దీకరణ చేశారు. రైల్వే స్టేషన్‌ నగర కేంద్రానికి 1 కి.మీ. దూరంలో ఉంది.
ఇండోర్ రైల్వే స్టేషన్ 1921 లో బాంబే, బరోడా, మధ్య భారత రైల్వే చేత పునఃనిర్మించబడింది. బాంబే, బరోడా, మధ్య భారత రైల్వేతో పాటుగా, ఇతర రాష్ట్ర రైల్వేలతో విలీనంతో పశ్చిమ రైల్వే, ముంబాయి లోని ప్రధాన కార్యాలయాలతో ఏర్పడింది. ఈ విధంగా ఇండోర్ జంక్షన్ పరిపాలన పశ్చిమ రైల్వేకు ఏర్పడింది. 1964-66 లో ఉజ్జయినీ నుండి మాక్సి మీదుగా ఇండోర్ వరకు బ్రాడ్ గేజ్ భాగం పొడిగించబడింది. ఇండోర్-భోపాల్ విభాగాల మధ్య రెండు రైలు మార్గములు ఏర్పాటు 1993-2001 మధ్యలో పూర్తయింది.
1881-82 సంవత్సరంలో హోల్కర్ రైల్వే, సింధియా నీముచ్ రైల్వే ఒకే నిర్వహణలో సమీకృతం అయ్యాయి. తరువాత, రాజపుతానా మాల్వా రైల్వే గా పేరు మార్చబడింది. 1882 లో, ఖాండ్వా-ఇండోర్ రైలుమార్గం అజ్మీర్ వరకు విస్తరించింది. రాజపుతానా మాల్వా రైల్వే యొక్క గుర్తింపు చాలా కొద్దికాలం కొనసాగింది. 1885 జనవరి 1 న భారతదేశం స్వాతంత్ర్యం వచ్చే వరకు దాని నిర్వహణను బాంబే, బరోడా, సెంట్రల్ ఇండియా రైల్వే కంపెనీ స్వాధీనం చేసుకుంది, నిర్వహించింది.
ఇండోర్ జంక్షన్ బిజి అనే పేరు బ్రాడ్ గేజ్ స్టేషన్‌కు చెందినది. దీని మార్గంలో వాయువ్యాన ఉన్న ఉజ్జయినీ జంక్షన్‌తో, దక్షిణాన మౌ కంటోన్మెంట్, ఉత్తరాన దివాస్ జంక్షన్, దక్షిణ తూర్పు వైపు ఖాండ్వా జంక్షన్‌తో అనుసంధానించబడి ఉంది. ఇది ఒక జంక్షన్ స్టేషన్‌గా ఉన్నది కాబట్టి, భోపాల్, ఉజ్జయినీ, గ్వాలియర్, జబల్పూర్, కట్ని, ఖాండ్వా, రత్లాం, బీనాకు రాష్ట్రంలో బాగా అనుసంధానించబడి ఉంది. అదేవిధంగా భారత దేశము లోని దాదాపు ప్రతి ఇతర రాష్ట్రాలకు జంక్షన్ స్టేషనుగా ఉంది.
ఇండోర్ జంక్షన్ ట్రాక్ గేజ్ కలిగి ఉంది: 1,676 మి.మీ. బ్రాడ్ గేజ్ . బ్రాడ్ గేజ్ నెట్వర్క్ విద్యుద్దీకరణ, సూపర్ ఫాస్ట్, ఎక్స్‌ప్రెస్, ఫాస్ట్ ప్యాసింజర్‌లకు ఉపయోగించబడుతుంది.
2000 న, గోదావరి ఎక్స్‌ప్రెస్ తన సొంత ఎయిర్ కండిషన్డ్ మొదటి తరగతి కోచ్ తో అమలు చేయబడిన దక్షిణ మధ్య రైల్వేలో మొదటి రైలు అయ్యింది, జోన్ లో 6 ఎయిర్ కండిషన్డ్ కోచ్ కలిగి ఉన్న మొదటి రైలు అయ్యింది .
జూలై, ఆగస్టు 2011 లో, గోదావరి ఎక్స్ప్రెస్ ఎయిర్ కండిషన్డ్ కోచ్‌లను ప్రయాణికులు రెండుసార్లు దోచుకున్నారు, బూటకపు కాల్ రైలు ఆరో కోచ్ బాంబు గురించి చేయబడింది.ఫలితంగా, భద్రత విస్తరించింది, రైలు ముగింపు నుండి ఒక 7 తో పూర్తిగా మళ్ళి ప్రారంభించారు. ఈ రైలు అప్పుడు 7 తో విశాఖపట్నం, విజయవాడ మధ్య నడుపుతున్న మొట్టమొదటి రైల్ గా మారింది.
రెండు కొత్త రైళ్ళు ప్రవేశపెట్టినప్పటికీ, ఈ రైలుకి ఇప్పటికి భారి రద్దీ ఉంది . ప్రజల డిమాండ్ మేరకు కొన్నిమార్లు రిజర్వేషన్ లేని జనరల్ భోగీలను స్లీపర్, మూడవ క్లాసు భోగిలతో మారుస్తుంటారు.విశాఖ, హైదరాబాద్ మధ్య వెళ్ళు రైలు మార్గాలలో ఈ రైలు వెళ్ళే మార్గాన్ని ఉత్తమంగా భావిస్తారు. అందుకే అధికారులు దీన్ని శుభ్రంగా ఉంచుతారు. ఇది ప్రస్తుతం దక్షిణ మధ్య రైల్వే ఆధీనంలో ఉంది .ఈ రైలును భుభనేశ్వర్ వరకు పొడిగించలనీ ప్రతిపాదనలు వచ్చిన ప్రజలు, రాజకీయ నాయకులూ దిన్ని తీవ్రంగా వ్యతిరేకించారు, ఆ తరువాత విశాఖ ఎక్స్ప్రెస్కి ప్రతిపాదనలు వచ్చాయి, వాటిని ఆమోదించారు. ఇప్పుడు ఆ రైలు ప్రయాణ సమయం గణనీయంగా పెరిగింది.
30 మార్చి 2012 న, గోదావరి ఎక్స్‌ప్రెస్ ఘట్కేసర్, సికింద్రాబాద్ జంక్షన్ నుండి కొన్ని కిలోమీటర్ల సమీపంలో ఒక కొత్త రంగులను దర్శనమిచ్చాయి. వెంటనే, అది రంగులకు కానీ కరూర్ వైశ్యా బ్యాంక్ ప్రకటనలు ఏమీ అని అర్థం అయ్యింది. ప్రయాణీకులు ప్రకటనలు కచ్చితంగా రైల్వే ఆదాయాన్ని అయితే, వారు రైలు యొక్క ఆకర్షణ, అందం పాడు పేర్కొన్నారు. ఒక ప్రయాణీకుడు అది కళ్ళు కోసం ఒక అప్రియమైన దృష్టి ఉంది అన్నారు.
సమైక్య ఆంధ్రప్రదేశ్ లో ఉన్న కోస్తా ప్రాంతాలని అప్పటి రాజధాని హైదరాబాద్ కు కలపాలనేదే గోదావరి ఎక్స్‌ప్రెస్ లక్ష్యం.
ఈ రైలు విశాఖపట్నం లోని 5 స్టేషన్లు, పశ్చిమ గోదావరి లోని 3 స్టేషన్లు, తూర్పు గోదావరి లోని 6 స్టేషన్లు, కృష్ణ జిల్లా విజయవాడలో ఆగుతుంది.
రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం 2 అయితే వాటిని కవల ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా "కవలలు" అంటారు. ఉదా: ; ; ; ; వగైరా. ఈ వరుస క్రమంలో తరువాత వచ్చే కవలలు మరి కొన్ని చెప్పుకోగలరా?
రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం 4 అయితే వాటిని "జ్ఞాతి ప్రధాన సంఖ్యలు" లేదా జ్ఞాతులు అంటారు. ఉదా: ; ; . మరికొన్ని మీరు రాసి చూడండి.
రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం 6 అయితే వాటిని “షష్ఠ్యంతర ప్రధాన సంఖ్యలు" అనొచ్చు. లేదా షష్ఠ్యంతరాలు. లేటిన్ లో 6 ని అంటారు కనుక వీటిని ఇంగ్లీషులో “ ప్రధాన సంఖ్యలు” అంటారు. ఉదా: ; ; . మరి కొన్ని షష్ఠ్యంతరాలు మీరు రాసి చూడండి.
కవలలనీ, జ్ఞాతులనీ, షష్ఠ్యంతరాలునీ, ., వగైరాలని గుత్తగుచ్చి “జంట” ప్రధాన సంఖ్యలు అనొచ్చు. ఇక్కడ “కవల”కీ “జంట”కీ తేడా ఉంది. జంట ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం మనం నిర్దేశించి చెప్పవచ్చు కాని “కవల” సంఖ్యల మధ్య దూరం ఎప్పుడూ రెండే.
"క్యూబన్" ప్రధాన సంఖ్యలకీ, క్యూబా దేశానికి ఏ విధమైన సంబంధము లేదు. ఇక్కడ "క్యూబన్" అంటే "క్యూబ్" కి సంబంధించిన అని అర్థం. వీటిని మనం “ఘన ప్రధాన సంఖ్యలు” లేదా ఘనాపాటీలు అనో అనొచ్చు.
ఇప్పుడు మే నెల 2013 లో ఈటాంగ్ జాంగ్ ఈ దిశలో అధిరోహించిన శిఖరం గురించి తెలుసుకుందాం. ఈయన ఆవిష్కరించిన కొత్త విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా "ప్రధాన సంఖ్యలు' వాటి మధ్య కనిపించే విరామం ఒక పరిమితమైన అవధి దాటకుండా' అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయి" అని. ఎన్నిట?
దీని సారాంశం అర్థం కావాలంటే గణిత శాస్త్రపు లోతులలోకి కొద్దిగానైనా వెళ్లాలి. సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయి అన్న విషయం మనందరికీ తెలిసిన విషయమే. ఇప్పుడు జాంగ్ వచ్చి “ఒక ప్రధాన సంఖ్యకి, దాని తరువాత కనిపించే ప్రధాన సంఖ్యకి మధ్య వచ్చే విరామం నియమితం” అని అన్నారు. అంటే, ఎంత దూరం వెళ్లినా ఆ ఖాళీ విలువ ఒక అవధి దాటకుండా పరిమితంగానే ఉంటుంది కాని ఎప్పటికీ అనంతం కాదు. ఇంకా నిర్ధిష్టంగా చెప్పాలంటే, ఆ విరామం విలువ 70,000,000 దాటదు.” ఇది సామాన్యులకి అందుబాటు కాని విషయమే అయినా గణిత ప్రపంచంలో పతాక శీర్షిక అయి కూర్చుంది.
ఈ వ్యాసానికి ముఖ్య కారణం చర్చించే ముందు మరొక్క సంగతి తెలుసుకుందాం. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యల తరచుదనం లేదా సాంద్రత తగ్గిపోతుంది అని కదా మొదట్లో చెప్పుకున్నాం; అంటే, వాటి మధ్య ఖాళీ లేదా మొర్రి లేదా విరామం పెరుగుతూ కనిపిస్తుంది. ఈ పెరుగుదలలో ఏదైనా ఒక బాణీ ఉందా అనేది ఆసక్తికరమైన పరిశోధనా అంశమే!
ప్రస్తుతానికి ఆ విషయాన్ని కూడా పక్కకి పెట్టి మరొక సంబంధిత అంశాన్ని పరిశీలిద్దాం. సిద్ధాంతపరంగా లెక్క కట్టినప్పుడు 360,000 చుట్టుపట్ల ఈ విరామం సగటున 12.8 “అంకెల దూరం” ఉంటుంది. (గణిత పరిభాషలో చెప్పాలంటే, ఒక సంఖ్య అయితే ఆ చుట్టుపట్ల విరామం విలువ సగటున “నేచురల్ లాగరిథం అఫ్ ,” , అయి ఉంటుంది.) అనగా, ఎక్కడ చూసినా ఈ సగటు విలువ కంటే ఎక్కువలు, తక్కువలు కూడా కనిపిస్తూనే ఉంటాయి. ఉదాహరణకి సంఖ్యా రేఖ మీద 360,000 చుట్టుపట్ల వచ్చే ఈ ప్రధాన సంఖ్యల జంటలని ఈ దిగువ జాబితాలో చూడండి.
అన్న మాటకి అర్థం తెలిస్తే కాని ఈ అసమీకరణం పూర్తిగా బోధపడదు. . ఒక విధంగా చూస్తే “ఇన్^ఫిమమ్”కీ “మినిమమ్” కీ పోలిక ఉంది. కాని కొన్ని సందర్భాలలో కనిష్ఠ అంశం కావాలని అడిగితే సమాధానం దొరకదు. ఉదాహరణకి “ధన నిజ సంఖ్యలు లో ఏది కనిష్ఠం?” అంటే చెప్పలేము. కాని “ధన నిజ సంఖ్యలు" అన్నీ -3 కంటే పెద్దవే, -2 కంటే పెద్దవే, -1 కంటే పెద్దవే -0.5 కంటే పెద్దవే, -0.1 కంటే పెద్దవే, 0 కంటే పెద్దవే అనుకుంటూ వెళితే ఈ -3, -2, -1, -0.5, …-0.1,., 0 లలో అన్నిటి కంటే పెద్దదయిన అధో అవధి - గరిష్ఠ అధో అవధి 0 అవుతుంది. మరొక ఉదాహరణగా {2,3,4} అనే సమితికి 2 గరిష్ఠ అధో అవధి; 1 “అధో అవధి” మాత్రమే అవుతుంది కాని గరిష్ఠ అధో అవధి కాజాలదు.)
ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలతోటే వివాహాలు చేసుకుంటాయని అనుకుందాం. అప్పుడు సంఖ్యా రేఖ మొదట్లో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలకి సంబంధాలు దొరకడం తేలిక - పక్క పక్కనే సంబంధాలు దొరుకుతాయి. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు పలచబడతాయి కనుక అక్కడ ఉన్న వారు సంబంధాలకోసం ఇరుగునా, పొరుగునా చూస్తే దొరకడం కష్టం; కావలసిన లక్షణాలు ఉన్న సంబంధం కోసం “దేశాంతరాలు” దాటి పోవాలి. ఉదాహరణకి "గూగోల్ ప్లెక్స్" దగ్గర ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యకి సంబంధం కావాలంటే ఇటూ, అటూ "గూగోల్" దూరం వెతక వలసి రావచ్చు. (గూగోల్ అంటే 1 తరువాత 100 సున్నలు, "గూగోల్ ప్లెక్స్" అంటే 1 తరువాత గూగోల్ సున్నలు.)
గణితంలో ఇటువంటి అవధులని నిర్ణయించడం చాల ముఖ్యమైన పని. ఈ ఫలితాన్ని ఆసరాగా చేసుకుని మరికొందరు ఈ అవధి ని 246 కి, తరువాత 16 కి కుదించగలిగేరు. అనగా, ఆ అవధి 16 కన్నా తక్కువ అని కూడా నిరూపించారు!
అంటే ఎంత పెద్ద సంఖ్య తీసుకొన్నా, ఆ సంఖ్య కన్నా పైన – ‘16 కంటె తక్కువ దూరం ఉన్న’ ప్రధాన జంటలు మనకి దొరుకుతాయి. మరెవ్వరైనా ఈ అవధిని 2 కి కుదించగలిగితే ఎప్పటినుంచో వాడుకలో ఉన్న కవల ప్రధాన సంఖ్యల శిష్టాభిప్రాయం నిజం అవుతుంది. ఏమిటా శిష్టాభిప్రాయం?
ప్రధాన సంఖ్యలు అనేవి 1 చేత గాని, తమ చేతే కాని మాత్రమే నిశ్శేషంగా భాగించడానికి లొంగేవి అని నిర్వచనం. ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, , వగైరాలన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలే. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే ప్రధాన సంఖ్యలకి భాజకాలు లేవు. ఈ నిర్వచనంతో సరి సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు కావు. అదే విధంగా 3 చేత, 4 చేత, 5 చేత, , భాగించబడేవి ఏవీ ప్రధాన సంఖ్యలు కాజాలవు. ఇలా మినహాయించుకుంటూ పోగా మిగిలేవే ప్రధాన సంఖ్యలు.
సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయని యూక్లిడ్ ఏనాడో అన్నాడు కదా. కాని ఆయన కవల ప్రధాన సంఖ్యల గురించి ఏమీ చెప్పలేదు. గణితశాస్త్రంలో ఒక శిష్టాభిప్రాయం – అంటే, ఇంకా రుజువు కాని ఫలితం – ప్రకారం ఇటువంటి కవల ప్రధాన సంఖ్యలు కూడా సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయిట. ఆ మాటకొస్తే జ్ఞాతి ప్రధాన సంఖ్యలు, షష్ఠ్యంతర ప్రధాన సంఖ్యలు, , వగైరాలు కూడా సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయిట.
క్రీ. పూ. 200 నాటికి ఇరాటోస్తనీస్ అనే గ్రీకు ఆసామీ అంకెలన్నిటిని “ఒక జల్లెడలో వేసి జల్లిస్తే” పైన ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే మిగిలే పద్ధతిని కనిపెట్టేడు. తరువాత 17 వ శతాబ్దం వచ్చే వరకు ప్రధాన సంఖ్యల గురించి కొత్త విషయాలు ఏవీ ఎవ్వరూ ఆవిష్కరించలేదు. అదొక అంధకార యుగం. తరువాత ప్రధాన సంఖ్యల దశ మళ్లా పుంజుకుంది. ఈనాటి వరకు మనకి తెలిసిన విషయాలు అన్నీ స్మరించుకుంటూ పోడానికి ఇది స్థలమూ కాదు, వేళా కాదు. కాని కొన్ని ముఖ్యమైన విషయాలని టూకీగా పరిశీలిద్దాం.
రెండు ప్రధాన సంఖ్యలని – ఎంత పెద్దవైనా సరే – కనుక్కోవడం పెద్ద కష్టం కాదు కాని, ఒక సంఖ్యకి ప్రధాన సంఖ్యలయిన కారణాంకాలు కనుక్కోవడం చాల కష్టం. అంతర్జాలంలో వార్తలని సురక్షితంగా పంపడానికి ఈ లక్షణం బాగా ఉపయోగపడుతుంది. వివరాలు చెప్పుకుంటూ పోతే దారి తప్పుతాం. ప్రధాన సంఖ్యలు మన జీవితంలో ఉపయోగపడే సందర్భం ఇదొకటి అని చెప్పుకోడానికి ఉదాహరణగా ఈ విషయం ప్రస్తావించవచ్చు.
ఇక్కడ గమనించవలసిన విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యా రేఖ మీద అనంతమైన దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయన్నది ఒక అంశం. అంతే కాదు అనంతంగా ఉన్న పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే ఉపయోగించి పుట్టించవచ్చు. ఇటువంటి లక్షణాలు ఉండబట్టే ఈ క్షేత్రాన్ని దున్నుతూన్న కొద్దీ వజ్రాలు పుట్టుకొస్తున్నాయి.
ఇప్పుడు జాంగ్ సాధించిన ఫలితాన్ని మరొక విధంగా చెప్పవచ్చు. ఒక అవధిని తీసుకొని, సంఖ్యలను ఎంత పెంచుకొంటూ పోయినా, తమ మధ్య దూరం ఆ అవధిని మించకుండా ఉండే ప్రధాన జంటలు దొరుకుతాయా లేదా అన్నది ఇక్కడి ప్రశ్న. దొరుకుతాయి అన్నది జాంగ్ నిరూపించారు. ఆ అవధి 70,000,000 కన్నా తక్కువని కూడా నిరూపితమైంది.
కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అని నిర్ణయం జరిగిపోతే అదే తర్కంతో జ్ఞాతులు, షష్ఠ్యంతరాలు, వగైరాలు అన్నీ కూడా అనంతమే అని రుజువు చెయ్యటం తేలిక. అంటే, మీరు ఏ సరి సంఖ్య ఇచ్చినా సరే ఆ సంఖ్య నిర్దేశించిన దూరంలో ఉండే జంట ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్న మాట!
ఇప్పుడు కొన్ని ప్రత్యేకమైన ప్రధాన సంఖ్యల పేర్లు చూద్దాం. వీటి వెనక ఉండే గణిత సూత్రాలు, రుజువులు అర్థం కాకపోయినా పరవా లేదు.
ఇతడు 1999లో రచనా వ్యాసంగం మొదలు పెట్టాడు. మొట్టమొదటి కథ "ఆశ- నిరాశ -ఆశ ". ఇంతవరకు 200కు పైగా కథలు, 6 నవలలు, ఏడు కథా సంపుటాలు ప్రకటించాడు. ఇతని నవల జిగిరి హింది,ఇంగ్లీష్,మరాటీ,ఒరియా,పంజాబీ,కన్నడ,మైథిలి,బెంగాలి,మొదలగు ఎనిమిది భారతీయ భాషలలోనికి అనువదించబడింది. దాగుడుమూత దండాకోర్ సినిమాకు మాటలు, మల్లేశం సినిమాకు పాటలు, మాటలు వ్రాశాడు.దొరసాని, వేదం మరికొన్ని సినిమాలకి రచనా సహకారం చేసారు.ఎనిమిది చిన్నసినిమాలకు కథలు మాటలు అందించారు.6 నాటికలు వంద వరకు వ్యాసాలు రాసారు.ఇతని తెగారం నాటకం నటనా విభాగంలో నంది బహుమతి తో పాటు పాతిక అవార్డులను గెలుచుకుంది.
పెద్దింటి అశోక్ కుమార్ 1968 , ఫిబ్రవరి 6 న రాజన్న సిరిసిల్ల జిల్లా, గంభీరావుపేట మండలం, భీముని మల్లారెడ్డిపేట గ్రామంలో జన్మించాడు. మల్లవ్వ, అంజయ్య ఇతని తల్లిదండ్రులు. ఇతడు ఇంటర్మీడియట్ గంభీరావుపేటలోను, బి.యస్సీ సిద్ధిపేటలోను ఎం.ఏ తెలుగు కాకతీయ విశ్వవిద్యాలయంలోను ఎం.ఎస్సీ గణితం నాగార్జున విశ్వవిద్యాల్యం లో చదివాడు. ఇల్లంతకుంట మండలం, రామాజీపేట గ్రామంలో గణిత ఉపాధ్యాయుడిగా పనిచేస్తున్నాడు. కథ, నవలా రచయితగానే కాకుండా సినిమాలకు కథలు, మాటలు, పాటలు రాస్తూ సినిమా రచయితగా రాణిస్తున్నారు.
మహాకవి శ్రీశ్రీతో అనేక సభల్లో పాల్గొన్నారు. ప్రజానాట్యమండలి, అరుణోదయ కళాసంస్థల ద్వారా తన గళాన్ని ప్రపంచానికి వినిపించారు. తెలంగాణ సాంస్కృతిక సంఘ నాయకుడిగాకూడా పనిచేశారు. పలు సినిమాల్లోనూ నటించారు. అవార్డుల కోసం ఏనాడు పాట రాయలేదంటారాయన. కేవలం పేదోడికోసమే తన పాటను అంకితం చేశానని ధైర్యంగా చెబుతారు. వచ్చిన అవార్డులతోనే సంతృప్తి చెందారు. జనంలోంచి వచ్చిన జానపదమే తన ప్రాణపాదమని నమ్మి… చివరివరకు అదే మాటపై ఉన్నారు. 1988 రజనీ తెలుగు సాహితీ సమితి అవార్డు, 1986లో సాహిత్య రత్న బంధు, 2000 లో గండె పెండేరా బిరుదుతో సత్కారం, 2004లో నవ్య సాహిత్య పరిషత్ నుంచి డాక్టర్ మలయశ్రీ సాహితీ అవార్డు అంజయ్యను వరించాయి. 2015లో తెలంగాణ రాష్ట్ర ప్రభుత్వం సాహితీ పురస్కారంతో సత్కరించింది. 2015లో సుద్దాల హన్మంతు-జానకమ్మ స్మారక పురస్కారాన్ని అందుకున్నారు.
అదీలా బాద్‌, కరీంనగర్‌ జిల్లాల్లో విప్లవోద్యమ నిర్మాణం జరుగుతున్న సమయంలో ఈ పెత్తందార్ల పాలనలో పీడిత జనానికి విముక్తి లేదని, జన ఐక్యతతో ప్రజోద్యమాల ద్వారా శ్రామిక రాజ్యం స్థాపించడమే ఏకైక మార్గమని నమ్మి ఉద్యమ బాటలో పయనించాడు. ఉన్నత చదువులకోసం హైదరాబాద్‌ హాస్టల్‌కు మకాం మార్చిన అంజన్నకు ప్రపంచ ఉద్యమాల పరిచయం ఏర్పడింది. తనలాగే జనం కోసం పాకులాడే వారు హైదరాబాద్‌లో చాలామంది ఉన్నారని తెలుసుకున్న అంజయ్య వారందరిని కలుపుకున్నాడు. అరుణోదయ సాంస్కృతిక సంస్థను స్థాపించి జనంనోట విన్న పదాలనే పాటలుగా రాసి బాణీలు కట్టి తెలుగురాష్ర్టం మెత్తం తిరుగుతూ ప్రజల నుండి నేర్చుకుంటూ, ప్రజల ఆలోచనల్లో మార్పుకోసం తన పాటల ద్వారా ప్రజల్లో చైతన్యాన్ని కలిగించాడు.
నలభై ఏళ్లుగా కవిగా, రచయితగా ఎన్నో కథలు, పాటలు రాసిన అంజయ్య కలకాలం నిలిచిపోయే పాటలు రాశాడు. వీటన్నింటికి తోడు సినిమాల్లో పాటలు రాసిన తర్వాత తెలుగు నేల నలుమూలలా ఆబాలగోపాలం అందరి నోళ్లలో నానుతున్నాడు. వృత్తిరీత్యా హైదరాబాద్‌లో ఫార్మసిస్ట్‌గా పనిచేశాడు. ఆయన పక్షవాతం వ్యాధితో బాధపడుతున్నప్పుడు తెలంగాణ ప్రభుత్వం వైద్యం చేయడానికి ముందుకు వచ్చింది. ఆయన వ్రాసిన "ఊరు మనదిరా" పాట 16 భాషలలో అనువాదమయింది. ఆయన తెలంగాణ సాంస్కృతిక సంఘ నాయకునిగా పనిచేసాడు.
బడికి పోతున్న సమయంలో దారినపోతున్న ఒక రైతును పలకరించగా ఊరిడిసి పోవన్నా.ఉరిపెట్టుకోవన్నా. అన్న మాటలే తన తొలి పాటకు అన్న ప్రాసన చేశాయని.తను కళ్లారా చూసిన కష్టాలకు, వాటిని అనుభవిస్తున్న వారి నోట వచ్చిన మాటల స్ఫూర్తిగా పాటలల్లడం తనకు బాల్యంలోనే అబ్బిన విద్య అని అసలేని వానల్ల ముసలెడ్లు కుట్టుకొని. అనే ఆయన తొలిపాట పుట్టుకకు నేపథ్యం అదేనని అంజయ్య ప్రతి సభలోనే చెప్పేవాడు.
లక్ష్మమ్మ, లక్ష్మయ్య దంపతులకు 1955లో ఆదిలాబాద్ జిల్లా, దండేపల్లి మండలం, లింగాపురం గ్రామంలో అంజయ్య జన్మించాడు. ఆయనకు ఐదుగురు సహోదరులున్నారు. ఆయన ప్రాథమిక విద్యను లింగాపురం గ్రామంలో చదివారు.ఇంటర్మీడియట్ వరకు లక్సెట్టిపేటలో చదివిన ఆయన. తర్వాత హైదరాబాద్ లో బీ ఫార్మసీ పూర్తి చేశారు. ఫార్మసిస్టుగా కూడా పనిచేశారు.
పల్లెలో పుట్టి పెరిగారు కాబట్టే. ఆ వాతావరణం. అక్కడి పరిస్థితులే ఆయన పాటలకు ప్రాణమయ్యాయి. పేదల కన్నీళ్లే ఆయన కలంలో సిరా అయ్యాయి. వారి గోసను ప్రపంచానికి చాటి చెప్పాయి. అందుకే ప్రజా కవుల్లో గూడ అంజయ్యది ప్రత్యేక స్థానం. ఆయన ఎవరికి అందని సాహితీ శిఖరం.
కొంతకాలంగా కామెర్లు, మూత్రపిండాల వ్యాధితో బాధపడిన ఆయన జూన్ 21, 2016 రంగారెడ్డి జిల్లా రాగన్నగూడలోని స్వగృహంలో ప్రాణాలు విడిచాడు.
చిరుత ప్రాయమునాడే అన్సన్నివేశం బాధ కలిగిస్తే ముందుగా తానే ఏడుస్తారు. అందుకే ఆయన పాటలు ప్రజల గుండెలను అంతలా హత్తుకుంటాయి.
ఆరేళ్ల వయసులో, కట్టెతో చేసిన ఎద్దుల బండిలో, సరైన రహదారి కూడా లేని మార్గంలో ప్రయాణం చేసి, తండ్రి పొలంలో పనిచేసిన లీ క్వాన్ యూ, ఏబై ఏళ్ల తరువాత, సూపర్ సానిక్ విమానంలో, మూడు గంటలు మాత్రమే ప్రయాణం చేసి లండన్ నుంచి న్యూయార్క్ చేరుకున్న విషయం తన పుస్తకంలో ప్రస్తావించి, దానికి కారణం విశ్వవ్యాప్తంగా జరిగిన సాంకేతికాభివృద్ధి అంటారు. మొదటి సారి అధికారాన్ని చేపట్టినప్పుడు, తమకు పాలనానుభవం లేకపోయినా, తమ నిబద్ధత, సమాజాన్ని బాగుచేయాలన్న తపన, ముందుకు సాగిపోయే ట్లు చేసిందంటారు. "ఆన్ ద జాబ్ ట్రెయినింగ్" లాగా, పదవిలో వుండగానే తానెంతో నేర్చుకున్నానంటారు. విమర్శలనెప్పుడూ ఆయన లెక్క చేయలేదు. రాజకీయ వారసత్వం ఎలా రూపుదిద్దుకోవాలో క్షుణ్ణంగా తెలిసిన వ్యక్తి. 30-40 ఏళ్ల వయసున్న వారిని రాజకీయాలలోకి లాగడంలో ఆయన దిట్ట. ఒక పథకం ప్రకారమే, తన వారసత్వాన్ని 1990 లో, గో చోక్ టోంగ్ కు బదలాయించారు. గో చోక్ తరువాత 2004 లో, తన పెద్ద కుమారుడు, లీ సూన్ లూంగ్ ప్రధాని కావడానికి మార్గం సుగమం చేశాడు.
సింగపూర్‌ జాతి పితగా ప్రసిద్ధుడైన లీ క్వాన్‌ యూ 1923 సెప్టెంబరు 16న పుట్టి, 91వ ఏట 2015, మార్చి 23న మరణించారు.సంపన్న సుందర సింగపూర్ నగర నిర్మాతగా ఖ్యాతి దక్కించుకున్నారు. 1959లో బ్రిటిష్ వారి నుంచి విముక్తమైన సింగపూర్‌కు మొదటి ప్రధానిగా బాధ్యతలు స్వీకరించిన లీ 1990 వరకు ఆ పదవిలో ఉన్నారు. ప్రజలు ప్రేమగా ఎంఎంలీ అని పిలిచే వారు. ఆర్థిక వాణిజ్య కేంద్రంగా నగరాన్ని తీర్చిదిద్దడంలో ఆయన కృషిని ఎంతోవున్నది. ఎఫిషియంట్, అన్‌సెంటిమెంటల్, ఇన్‌కరప్ట్, ఇన్‌వెంటివ్, ఫార్‌వర్డ్ లుకింగ్ అండ్ ప్రాగ్మటిక్ అని న్యూయార్క్ టైమ్స్ పత్రిక 2007 లో లీని కీర్తించింది. వి ఆర్ ఐడియాలజీ ఫ్రి అని లీ న్యూయార్క్ టైంస్ పత్రికకు ఇచ్చిన ఇంటర్వ్యూలో అన్నారు.36వ ఏట ప్రధానిగా బాధ్యతలు స్వీకరించి 31 ఏళ్లు కొనసాగారు. ఆయన మీద కూడా అప్రజాస్వామికవాది, నియంత అనే విమర్శలు, ఆరోపణలు వచ్చాయి.
ప్రధాని పదవి వదిలేశాక ప్రపంచం నలుమూలల పర్యటించి దేశదేశాల నాయకులతో తన అనుభవాన్ని పంచుకున్నారు. దీనిలో భాగంగా లీ భారతదేశానికి పలుమార్లు వచ్చాడు. 1960 మొదలుకొని లీ పలుమార్లు భారతదేశానికి వచ్చాడు. చివరగా 2005లో భారత్‌ను సందర్శించాడు.
1959 నుంచి 1990 వరకూ అంటే మూడు దశాబ్దాలు పైబడి సింగపూర్‌కు ప్రధానమంత్రిగా పనిచేసిన లీ క్వాన్‌ యూ తన దీక్షా దక్షతలతో ఆ దేశాన్ని భాగ్యసీమగా మార్చేశాడు. అభివృద్ధి అంతా ఏకవ్యక్తి పాలనలో, ఏకపార్టీ ఏలుబడిలోనే జరిగింది.
ఆంధ్రప్రదేశ్‌ ప్రభుత్వం తరఫున 2009లో అప్పటి ముఖ్యమంత్రి కొణిజేటి రోశయ్య చేతులమీదుగా రాజీవ్‌ప్రభ పురస్కార్‌ అందుకున్నారు. ఇవటూరి సేవలకు గుర్తింపుగా ప్రభుత్వం 2011లో ప్రతిభా రాజీవ్ పురస్కారంతో సన్మానించింది. తెలుగు కవిత్వం, లలిత కళలు, అవధానం తదితర రంగాల్లో విశిష్ట సేవలు అందించిన 11 మంది ప్రముఖులతో పాటు ఈయనకు తెలుగు విశ్వవిద్యాలయం ప్రతిభాపురస్కారాలను ప్రకటించింది.
లక్ష్మణరావు తన 15 వఏట నాటకాల్లో అడుగుపెట్టారు, తన గురువు సూర్యనారాయణ వద్ద మూడేళ్ళు సహాయకునిగా ఉంటూ తన మొదటి ప్రదర్శనను రాజమండ్రి దేవీచౌక్ వద్ద దసరా సంభరాలలో ఆంజనేయునిగా చూపరు. అప్పటి నుండి 50 ఏళ్ళపాటు సుమారు 15 వేల ప్రదర్శనలలో పాల్గొన్నారు.
గత 55 సంవత్సరాలుగా రామాంజనేయ యుద్ధం నాటకాన్ని 15వేలకుపైగా ప్రదర్శనలను ఇచ్చి అందరి మన్ననలను లక్ష్మణరావు పొందారు. సంపతనగరం లక్ష్మణరావుగా రాష్ట్రప్రజలకు సుపరిచితుడైన ఆయన అంతగా చదువుకోకపోయినాగానీ శాస్ర్తియ సంగీతాన్ని నేర్చుకుని రామాంజనేయ యుద్ధం, గయోపాఖ్యానం నాటకాల్లో నటించారు.
పి.లక్ష్మణరావు తూర్పుగోదావరి జిల్లాకు చెందిన ఎలుగుబంద గ్రామంలో 1943లో వ్యవసాయ కుటుంబంలో జన్మించారు. చిన్నపుడు చదువులో అంత శ్రద్ధ చూపకపోవడంతో తండ్రి అతడి మేనమామ సూర్యనారాయణ వద్దకు పంపడంతో అక్కడ ఆయనకు వ్యవసాయంలో సహాయం చేయడం చేస్తుండేవాడు. నాటకాలంటే ఉన్న శ్రద్ధను గమనించిన ఆయన రాజమండ్రి చింతా సుబ్బారావు గారి వద్ద శిష్యుడిగా చేర్పించారు. మూడేళ్ళు శిక్షణ పూర్తిచేసిన లక్ష్మణరావు తన 15వ యేట నాటకాల్లో అడుగుపెట్టాడు.
మరో సుప్రసిద్ధ నటులు షణ్ముఖి ఆంజనేయ రాజు శ్రీరామునిగా, లక్ష్మణ రావు ఆంజనేయునిగా ఎక్కువుగా నటించేవారు. వీరి నాటకం ఉందంటే పరిసర గ్రామాలనుంచి నాటకాభిమానులు వేలదిగా హాజరయ్యేవారు. తనతో పాటు ఎవరు శ్రీరాముని పాత్రలో నటించినా లక్ష్మణరావు నటనలో, ఏకాగ్రతలో లోపం ఉండేది కాదు. ఆంజనేయుడే ఆవహించినట్టు పాత్రలో లీనమైపోయేవారు. 1970ల నాటికే లక్ష్మణరావు రికార్డిస్టుగా పద్యనాటకాభిమానుల హృదయాలను చూరగొన్నారు.
ఆయన 2017 ఏప్రిల్ 28న మరణించాడు. ఎంతో ప్రతిభా పాటవాలు, పాండిత్యం ఉన్నా వ్యక్తిగత క్రమశిక్షణ లేక ఆర్థికంగా, శారీరకంగా క్షీణదశను అనుభవించిన ఎందరో కళాకారులు ఉన్న పౌరాణిక నాటక రంగంలో లక్ష్మణరావు ఎంతో క్రమశిక్షణతో మెలిగారు. లక్ష్మణరావు స్వగ్రామం తూర్పు గోదావరి జిల్లా ఎలుగుబందలో అభిమానులు ఏర్పాటు చేసిన ఆయన విగ్రహాన్ని ఆవిష్కరించారు.
పేపకాయల లక్ష్మణరావు ప్రముఖ రంగస్థల నటుడు. ఆయన నాటకరంగంలోనూ, అభిమానుల్లోనూ సంపత్‌నగర్ లక్ష్మణరావు అన్న పేరు స్థిరపడింది. పలుపౌరాణిక నాటకాలలో అనేక పాత్రలను పోషించిన ఈయనకు ఎన్‌టీఆర్ రంగస్థల అవార్డుకు ఎంపికయ్యారు.
ప్రవాహంలో ఉన్న ద్రవంలో, లేదా వాయువులలో, వేగము అంతటా సమంగా ఉండదు. ప్రవాహ దిశకు సమాంతరంగా ఉన్న పొర అంతటా ద్రవ్యవేగంకి ఒకే విలువ ఉంటుంది. ప్రవాహదిశాకు లంబంగా ఉండే పొరలలో వేగము స్థిరంగా ఉండదు.
పతములో చూపిన్నట్లు సమాంతరంగా ఉన్న పొరలలోని ద్రవము విభిన్న వేగాలతో ప్రవహిస్తుందను కోవచ్చు., పొరలలో ద్రవవేగానికి స్థిరమైన విలువ ఉందను కొందాము.పై తలం లోని ద్రవవేగం +;కింది తలంలోని ద్రవవేగం అవుతాయి. పొరలోని ద్రవవేగాన్ని హ్వ్చ్చించడానికి తలంలోని ద్రవము పొరలలోని ద్రవవేగాన్ని తగ్గించడానికి తలంలోని ద్రవమూ ప్రయత్నిస్తాయి.అందువల్ల పొర రెండు తలాల మీదా విరూపణ స్వభావం గల బలాలు పనిచేస్తాయి.రెండు తలాల మీది విరూపణ ప్రతి బలాలకు ఒకే పరిమాణముంటుంది.కాని అవి వ్యతిరేక దిశలలో పనిచేయడం వల్ల ప్రవాహాన్ని నిరోధిస్తాయి.ప్రవాహుల ఈ స్వభావాన్ని స్నిగ్థత అంటారు. గమనంలో ఉన్న వస్తువును ఘర్షణ నిరోధించినట్లే సాపేక్ష వేగంలో జరిగే ప్రవాహాన్ని స్నిగ్థతా బలాలు నిరోధిస్తాయి.అందువల్ల స్నిగ్థతను అంతర్ఘర్షణ అంటారు.
స్నిగ్థత బలాలు సాపేక్ష వేగాన్ని ప్రతిఘటిస్తున్నా ప్రవాహదిశకు సమాంతరంగా, అంటే స్పర్శ రేఖ దిశలో ప్రవాహిమీద బాహ్యబలము పనిచేయడం మానగానే స్నిగ్థత బలాల పొరల మధ్య ఉన్న సాపేక్ష వేగ్గాన్ని పోగొట్టి ప్రవాహాన్ని ఆపుచేస్తాయి.కలవలో సాగే నీటి ప్రవాహాన్ని ఇందుకు ఉదాహరణగా తిసుకుందాము.కాలవలో నేలను ఆనుకొని ఉన్న పొర కదలదు. ఆపైన ఉన్న పొరలలో వేగము పొరపొరకు ఎక్కువవుతూ వచ్చి తలంలో ఉన్న పొరకు గరిష్థమైన వేగముంటుంది.అంటే పొరలలో నీరు సాపేక్ష వేగంతో ప్రవహిస్తుందన్నమాట.కాలవ మీద పనిచేస్తూ ప్రవాహాన్ని కలిగించే బలాన్ని నిలిపివేస్తే నీటిలో ఉన్న స్నిగ్థత బలాలు పొరల మధ్య ఉండే సపేక్ష వేగాన్ని క్రమంగా తగ్గించి ప్రవాహాన్ని ఆపివేస్తాయి.
గాజు బీకరులో నీరు పోసి ఒక గాజు కడ్డీని అందులో ముంచి గిరగిరా తిప్పితే కడ్డీతో పాటు నీరు కూడా తిరుగుతుంది. బీకరును ఆనుకొని ఉన్న భాగాలు తిరగవు. మధ్యలో ఉన్న భాగాలు తిరిగినా వాటి వేగము బీకర్ గోడల వైపు తగ్గుతూ వస్తుంది.ఇప్పుడు కద్దీ తిప్పడం మానితే కొంత సేపటికి నీరు కూడా తిరగడం మానుతుంది.
విలువ ద్రవాన్ని బట్టి మారుతూ ఉండే స్థిరాంకము.దీనిని స్నిగ్థత గణకము అంటారు./ను పొరల మధ్య వేగపుదీణత అంటారు.స్నిగ్థత గుణకాన్ని ఈ విధంగా నిర్వచించవచ్చు. ప్రవాహ దిశకు లంబంగా, పొరల మధ్య ప్రమాణ వేగ ప్రవీణత ఉన్నప్పుడు ప్రమాణ వైశాల్యంగల పొరమీది నిరూపణబలాన్ని స్నిగ్థత గుణకము అంటారు.ను చల స్నిగ్థత అంటారు.దీనికి మితులు:
స్నిగ్థతకు, సాంద్రతకు గల నిష్పత్తిని గతిక స్నిగ్థత అంటారు.దీనినిఅనే గ్రీకు అక్షరంతో సూచిస్తారు.ఇంజనీర్లు, గణిత శాస్త్రవేత్తలు స్నిగ్థతను సూచించడానికి గతిక స్నిగ్థతను ఉపయోగిస్తారు.కు మితులు మితుల ప్రకారం ను 2-1అని సూచించవలె. దీనిని స్టోక్స్ ప్రమాణంగా ఉపయోగిస్తారు.
విరూప బలాల ప్రబల్యంవల్ల ఘన పదార్ధాల ఆకారం మారుతుంది. అయినా అంతరిక బలాలు బాహ్య బలాలను నిరోధిస్తాయి.బాహ్యబలం పని చేయడం మానిన వెంటనే సామాన్యంగా వాటి కున్న ఆకారాన్ని తిరిగి పొందగలవు.కాని ద్రవ పదార్ధాలు, వాయుపదార్ధాలు విరూప బలం ఎంత అల్పమైనా దాని ప్రాబల్యం ప్రవహిస్తాయేగాని ఆ బలాన్ని నిరేధించి నిలువలేవు. ఇది చలనంలో లేని ప్రవాహాలకే వర్తిస్తుంది.అంటే సాంఖ్యాక పరిస్థితులలో మాత్రమే ప్రవాహులలో విరూపణ ప్రతి బలాలు ఉండవన్న మాట.కాని సమాతాస్థితి పొందే ముందు అంటే ప్రవాహికదులుతున్నంత కాలం ప్రవాహులలో విరూపణ బలాలు ఉండవచ్చు.చలనంలో ఉన్న ప్రవాహులలో ఉండే అటువంటి విరూపణ బలాలను సూచిస్తుంది.
చెరువులలోనూ, సముద్రంలోనూ నీటి అలలను చూస్తము కదా.ఈ అలలు ఏర్పడటానికి కారణము గాలి వీచటమే. గాలి ఆగిన వేంటనే అలలు కూడా ఆగిపోవడానికి ఈ స్నిగ్థతా బలాల్లే కారణము. గాలిలో వర్ష బిందువులు కింద పడుతూ ఉంటే గాలి పొరలలో ఏర్పడే స్నిగ్థ్ద్త బలాల వల్లనే బిందువుల వేగము భుమ్యాకర్షణ వల్ల క్రమంగా హెచ్చకుండా స్థిరమైన విలువను పొందుతుంది.