polyglot-tagger/wikipedia-language-snippets-filtered huggingface dataset:
ਗੁਪਤ ਰਾਜ ਦੇ ਅੰਤਲੇ ਦਿਨਾਂ ਵਿੱਚ 527 ਈਸਵੀਂ ਵਿੱਚ ਸੈਨਾਪਤੀ ਭਟਾਰਕ ਨੇ ਕੱਛ ਕਾਠੀਆਵਾੜ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਬਲਬੀਪੁਰ ਰਾਜ ਕਾਇਮ ਕੀਤਾ।
ਸਿੰਧ ਦੇ ਅਰਬ ਸੈਨਾਪਤੀ ਅਬਰੂ ਬਿਨ ਜਮਾਲ ਨੇ 757 ਈਸਵੀਂ ਵਿੱਚ ਗੁਜਰਾਤ ਕਾਠੀਆਵਾੜ ਦੇ ਚੜ੍ਹਾਈ ਕਰ ਕੇ ਬੱਲ ਬੰਸ ਦੇ ਬਲਭੀ ਰਾਜ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦਿੱਤਾ।
ਬੱਲ ਜੱਟ ਬੱਲਭੀ ਖੇਤਰ ਛੱਡ ਕੇ ਮੱਧ ਪ੍ਰਦੇਸ਼, ਰਾਜਸਥਾਨ, ਉਤਰ ਪ੍ਰਦੇਸ਼, ਹਰਿਆਣੇ ਤੇ ਪੰਜਾਬ ਵੱਲ ਆ ਗਏ।
ਬੱਲਾਂ ਦਾ ਵਡੇਰਾ ਬਾਇਆਬਲ ਮੱਧ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੇ ਮਾਲਵਾ ਖੇਤਰ ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਪਰਮਾਰ ਭਾਈਚਾਰੇ ਨਾਲ ਪੰਜਾਬ ਵਿੱਚ ਆਇਆ ਕਿਉਂਕਿ ਪਰਮਾਰ ਮੁਲਤਾਨ ਤੋਂ ਮਾਲਵੇ ਵੱਲ ਆਉਂਦੇ ਜਾਂਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਸਨ।
ਬੱਲਾਂ ਦੇ ਬਹੁਤੇ ਪਿੰਡ ਸਤਲੁਜ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਬਿਆਸ ਦੇ ਇਲਾਕੇ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕਾਫ਼ੀ ਹਨ।
ਬੱਲ ਲੁਧਿਆਣੇ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਅੰਮ੍ਰਿਤਸਰ, ਗੁਰਦਾਸਪੁਰ, ਜਲੰਧਰ ਤੇ ਕਪੂਰਥਲਾ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕਾਫ਼ੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦ ਹਨ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਬਾਬਾ ਬਕਾਲਾ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕ ਬੁਤਾਲਾ, ਸਠਿਆਲਾ, ਬੱਲ ਸਰਾਏ, ਜੋਧੇ, ਝਲਾੜੀ, ਛੱਜਲਵਡੀ, ਬੁਡਾਲਾ ਆਦਿ ਕਈ ਪਿੰਡ ਬੱਲ ਭਾਈਚਾਰੇ ਦੇ ਹਨ।
ਵੀਰ ਸਿੰਘ ਬੱਲ ਨੇ ਸਿੱਖ ਇਤਿਹਾਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਿੰਘ ਸਾਗਰ, ਗੁਰਕੀਰਤ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਆਦਿ ਪੁਸਤਕਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਹਨ।
ਬੀ ਐਸ ਦਾਹੀਆ ਵੀ ਬੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਲਭੀਪੁਰ ਦੇ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਰਾਜ ਘਰਾਣੇ ਵਿਚੋਂ ਮੰਨਦਾ ਹੈ।
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਟੈਂਸਰਾਂ ਤੋਂ ਕਿਹੜੀ ਚੀਜ਼ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਵੱਖਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਸਮਝਾਉਣਾ ਕਠਿਨ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਸਿਸਟਮ ਵਿਚਲੀ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਹਿੱਲੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਿਰਫ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਿੱਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕਿਸੇ ਚੀਜ਼ ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਹੋਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰ, ਅਜਿਹੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ ਉਸੇ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਅਧੀਨ ਘੁੰਮ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਹੋਰ ਖੋਲ ਕੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਕਿਸੇ ਟੈਂਸਰ ਅਜਿਹਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਵਿਵਰਣ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖੁਦ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਪ੍ਰਤਿ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਲਈ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਅਡਜਸਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਦੇ ਇਸ ਪੱਧਰ ਉੱਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨਹੀਂ ਏਦਾਂ ਕਰਦੇ ਦਿਸਦੇ, ਜਦੋਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬੰਦ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਹੀ ਸਿਰਫ ਵਾਸਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਗੋਂ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਉਦੋਂ ਏਦਾਂ ਕਰਦੇ ਦਿਸਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਲਪਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਜਗਹ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦਰਜਾਵਾਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਣਤਰ ਦਰਮਿਆਨ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਜਾਣੀਆਂ ਪਛਾਣੀਆਂ ਅਤੇ ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਵਾਲੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ, ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅੰਤਿਮ ਬਣਤਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਪਹੁੰਚਣ ਤੇ ਤਰੀਕੇ ਦੇ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਵਰਣ ਉੱਤੇ ਨਹੀਂ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ।
ਸਪਿੱਨੌਰ, ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਅਜਿਹੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਗੱਲ ਪ੍ਰਤਿ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਬਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦਾ ਦਰਜਾਵਾਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਉੱਥੇ ਕਿਵੇਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ: ਉਹ ਰਸਤੇ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਜੈ ਕਿ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਿਮ ਬਣਤਰ ਲਈ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਦਰਅਸਲ ਦੋ ਸਮਾਨ ਦਰਾਜਾਵਾਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਉਸੇ ਬਣਤਰ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ।
ਇਸ ਅਸਪਸ਼ਟਤਾ ਨੂੰ ਦਰਜਾਵਾਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਬੈਲਟ ਟਰਿੱਕ ਬੁਝਾਰਤ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਦੋ ਵੱਖਰੀਅਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ 2 ਦੇ ਐਂਗਲ ਰਾਹੀਂ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ 4 ਦੇ ਐਂਗਲ ਰਾਹੀਂ, ਜੋ ਉਹੀ ਬਣਤਰ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਪਿੱਨੌਰ ਦਰਅਸਲ ਇੱਨ ਚਿੰਨ-ਉਲਟਾਓ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਵਾਸਤਵ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਟੈਂਸਰਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਨੂੰ ਮਹਿਸੂਸ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦਾ।
ਸਪਿੱਨੌਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਗਰੁੱਪ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰਾਹੀਂ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਟੁੱਟਦੀ।
ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਰਿਕਾਰਡ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਬਾਬਤ ਮੁਢਲੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸੰਕੇਤਬੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਗਰੁੱਪ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਪਰ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਇਸਦਾ ਦੋਹਰਾ ਕਵਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਲਈ ਹਰੇਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਲਈ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਦੋ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਹੋਰ ਟੈਂਸਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਪਰ ਉਹ ਉਲਟੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਉਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅਧੀਨ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸਪਿੱਨੌਰ ਤੇ ਅਸਰ ਪਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ, ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਪਰਿਵਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਚ ਕੇ, ਹਰੇਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਲਈ ਰਸਤਿਆਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ-ਮਾਪਦੰਡ ਪਰਿਵਾਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਰਿਬਨ ਦੀ ਤਰਾਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਓਸ ਰਿਬਨ ਦਾ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਮਾਪਦੰਡ , ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਮੋਟੋਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਬੈਲਟ-ਟਰਿੱਕ ਬੁਝਾਰਤ ਦੀਆਂ ਦੋ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਸਹਾਇਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਾਹਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਰਚੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਅੰਤ ਨੂੰ ਅਇਸੋਮਰਫਿਜ਼ਮ ਤੱਕ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਕੁਦਰਤੀ ਬਣਤਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਜੋ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਮਨਚਾਹੀਆਂ ਪਸੰਦਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਵੇ।
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਸੇ ਸਹਾਇਕ ਗਣਿਤਿਕ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਰੂਪ ਵਾਲੀ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਆਪਣੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਾਲੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ, ਜਾਂ ਆਪਣੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਾਲੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਨਾਲ।
ਬਾਦ ਵਾਲੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਬੂਸਟ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਥਿਊਰੀ ਕਾਫੀ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਿਲਦੀ ਜੁਲਦੀ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ, ਮੰਨ ਲਓ ਇੱਕ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੈ ਜੋ ਸਹੀਸਲਾਮਤ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਵਾਲੀ ਹੈ।
ਇਹ ਗਾਮਾ ਜਾਂ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਰਚੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਦੀ ਚੋਣ ਰਾਹੀਂ, ਨੌਨ-ਡੀਜਨਰੇਟ ਕਿਸਮ ਵਾਲੀ ਹਰੇਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਇਸ ਸਟੈਂਡਰਡ ਉਦਾਹਰਨ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਖਰਾਬ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹੋਵੇ।
ਇਸਲਈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ℓ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਰਾਲੀ ਇਰਰਿਡਿਊਸੇਬਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ , ਜਿਸਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ ਤੇ 2 ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ , ਲਾਈ ਬਰੈਕਿਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਕਮਿਉਟੇਟਰ ਸਣੇ ℓ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਾਈ ਸਬਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਸਪੇਸ ਵੀ ਦੀ ਇੱਲ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੁੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਔਡ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਇਰਰਿਡਿਊਸੇਬਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਇਵਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਦੋ ਇਰਰਿਡਿਊਸੇਬਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਦੋਫਾੜ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੇਲ ਜਾਂ ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਭਾਵੇਂ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੀ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣ।
ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਇੱਕ ਸਬੰਧਤ ਅਲਜਬਰਾ ਹੈ ਜੋ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਮੁਕਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਦੋਵੇਂ, ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਅਤੇ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਅਸਾਨ ਹੈ।
ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਚੁਣ ਲੈਣ ਤੋਂ ਬਾਦ, ਅਜਿਹੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਐਂਟੀ-ਕਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਉੱਤੇ ਖਰੇ ਉਤਰਦੇ ਹਨ।
ਸਪਿੱਨੌਰ ਉਹ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਤਿੰਨ ਯੁਕਿਲਡਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੌਲੀ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੋ-ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਫੇਰ ਵੀ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਖਾਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਜੋ ਸ਼ੁੱਧ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ “ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ” ਰਚਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਵਿੱਚ, ਬੇਸਿਸ ਦੀ ਚੋਣ ਅਤੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਇੱਕ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਇਹ ਅਨੁਭਵ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਦੇ ਔਡ ਹੋਣ ਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਘਟਾਇਆ ਨਾ ਜਾ ਸਕਣ ਯੋਗ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਾਂ “ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ” ਕਿਹਾ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਜੋੜ ਬਣ ਕੇ ਖਿੰਡ ਜਾਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਡਾਇਮੈਨਸਨ ਇਵਨ ਹੋਵੇ, ਜਿਸਨੂੰ ਵੇਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੋਰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਕਿਸੇ ਕੁਆਡਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਭਰੀ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਤੋਂ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਆਪਣੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਾਲੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਜਾਂ ਆਪਣੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਾਲੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ।
ਕਿਸੇ ਢੁਕਵੇਂ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਦੇ ਬੇਸਿਸ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ, ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨਾਲ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਐਂਟੀ-ਕਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਕਾਲਮ ਵੇਕਟਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਬੇਸ਼ੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ-ਮੁਕਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸਦਾ ਖਾਸ ਅਨੁਭਵ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਕਿਹੜੇ ਔਰਥੋਗਨਲ ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਇਸਲਈ ਜੋ ਚੀਜ਼ ਸ਼ੁੱਧ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ “ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ” ਨੂੰ ਰਚਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਅਜਿਹੇ ਮਨਚਾਹੇ ਵਿਕਲਪਾਂ ਉੱਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਔਰਥੋਗਨਲ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਅਤੇ ਕੁਆਡਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ, ਦੋਵੇਂ ਹੀ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਆ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਹਰੇਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨੂੰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਿਗਨੇਚਰ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਹ ਅਨੁਭਵ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਘਟਾਇਆ ਨਾ ਜਾ ਸਕਣ ਯੋਗ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਇਹ “ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ” ਨਾਮਕ ਵੇਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਡਿੰਕਪੋਜ਼ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਅਕਾਰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣੇ ਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਸ਼ਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਵਾਂਗ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਫੇਰ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਫੈਲਦਾ ਹੋਇਆ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਤਿ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਭੇਜ ਕੇ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਅਲਜਬਰਾ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ।
ਸਪੇਸ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਸੀਜ਼ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ ਹੁਣ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਤੀਜੇ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ, ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਪੌਲੀ ਸਿਗਮਾ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਹੋਣਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਗੈਰਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਜਾਣੇ ਪਛਾਣੇ ਦੋ ਕੰਪਿਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇਸੇਤਰਾਂ, 4 4 ਡੀਰਾਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 3+1 ਅਯਾਮੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ 4 ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਡੀਰਾਕ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਜਰੂਰਤ ਮੁਤਾਬਿਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਵੇਇਲ-ਬ੍ਰਾਉਇਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਪਿੱਨੌਰ ਉਸੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਰਾਹੀਂ ਇਹ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਅਧੀਨ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਇਹ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਨਾ ਕੇਵਲ ਅੰਤਿਮ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਹੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਰਸਤਿਆਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਰਨ ਯੋਗ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਉਸੇ ਪੂਰੀ ਦੀ ਪੂਰੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਬੈਲਟ ਟਰਿੱਕ ਬੁਝਾਰਤ ਰਾਹੀਂ ਸਮਝਾਇਅ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸਮਾਨ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਉਲਟੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਪਿੱਨ ਸਮੂਹ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਦਰਜ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਰਸਤੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਲੀਨੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਉੱਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਜੋੜੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਆਮ ਟੈਂਸਰਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ, ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਜਰਾ ਜਿੰਨਾ ਘੁੰਮਾਉਣ 'ਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜਦੋਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਛੋਟੀਆਂ-ਛੋਟੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਪੂਰੀ ਅੰਤਿਮ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਰਚਣ ਲਈ ਬਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੇਰ ਵੀ, ਨਤੀਜਨ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਛੋਟੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਕਿਹੜੀ ਲੜੀ ਵਰਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਟੈਂਸਰਾਂ ਵਾਂਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ 0 ਤੋਂ 360 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਘੁਮਾਉਣ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਸੱਪਿਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਫੀ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਿਲਦੀ-ਜੁਲਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਿਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਪਰਿਵਰਤਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀ ਭੂਮਿਕਾ ਅਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
1920ਵੇਂ ਦਹਾਕਿਆਂ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਅਨੀਆਂ ਨੇ ਖੋਜਿਆ ਕਿ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਅਤੇ ਹੋਰ ਉੱਪ-ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਕਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਜਾਂ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਪਿੱਨੌਰ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹਨ।
ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਾ ਸਪਿੱਨੌਰ, ਡੀਰਾਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਜਟਿਲਤਾ ਦੀ ਮੁਢਲੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ ਜੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ 2-ਅਯਾਮੀ ਜਾਂ 2+1 ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ, ਕਿਸੇ ਡੀਰਾਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨੂੰ 2 ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਵਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰਿਡਿਊਸਿਬਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਦੋ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਅਲੱਗ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ: ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੀਆਂ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ।
ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਦਾ ਗੈਰ-ਜਟਿਲ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਰੂਪ ਕਦੇ ਕਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਛੋਟੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਕਿਸੇ ਇਵਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕਦੇ ਕਦੇ ਦੋ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟ ਜਾਵਗੀ: ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਡੀਰਾਕ ਅਤੇ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂਕਿ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹਨ।
ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੀ ਪਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਟੈਂਸਰ ਬਣਤਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਨਹੀਂ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਇਹਨਾਂ ਗੁਆਚੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਨੂੰ ਫੇਰ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦਾ ਨਾਮ ਦੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਰਚਣ ਹਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਦੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਜਰੂਰ ਹੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਕਵਰ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਿਗਨੇਚਰ ਵਾਲੀਆਂ ਸਪੇਸਾਂ ਉੱਤੇ ਜਨਰਲਾਇਜ਼ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਕਵਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਦੋਹਰੇ ਕਵਰ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਜਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ, ਰਚੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ, ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਇਹਨਾਂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਕਵਰਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ, ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਖੁਦ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਿਵ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਰਚਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਸੰਪੂਰਣ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀਆਂ।
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਅਮੂਰਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਘੱਟੋ ਘੱਟੋ ਦੋ ਵੱਖਰੇ, ਪਰ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਦੇ ਉਸਦੇ ਆਪਣੇ ਉੱਤੇ ਖੱਬੇ ਐਕਸ਼ਨ ਲਈ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਆਦਰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਮੰਗਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀਆਂ ਨੂੰ ਰਚਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਬਸਪੇਸਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਖੱਬੇ ਗੁਣਨਫਲ: : ਰਾਹੀਂ ਦੇ ਸਪਸ਼ਟ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਮੰਨਦੀਆਂ ਹਨ।
ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ ਵਿੱਚ ਦੋ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ: ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਮੁਢਲਾ ਤੱਤ ਖੋਜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿੱਲਪੋਟੈਂਟ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਅਜਿਹਾ ਜੋ ਇਡੈੱਮਪੁਟੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਨਿਲਪੁਟੈਂਟਂ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਰਾਹੀਂ ਬਣਤਰ ਇਸ ਸਮਝ ਮੁਤਾਬਿਕ ਜਿਆਦਾ ਮੁਢਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਤੋਂ ਇੱਕ ਇਡੈੱਮਪੁਟੈਂਟ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀਆਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਦੀਆਂ ਸਬਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਸਬਸਪੇਸ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਰਚਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਓਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਤਿ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ।
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਵਰਤ ਕੇ ਠੋਸ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ ਯੁਕਿਲਡਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਤਿੰਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧੁਰਿਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਪੌਲੀ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਕੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਕੰਪਲੈਕਸ ਐਂਟਰੀਆਂ ਵਾਲੇ 22 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ, ਦੋ-ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਜਿਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ, 1 ਡਿਟਰਮੀਨੈਂਟ ਵਾਲੇ 22 ਯੂਨਾਇਟਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਜ਼ੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਲਜਬਰੇ ਅੰਦਰ ਬੈਠਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਗਰੁੱਪ, ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਈ ਗਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸਨੂੰ ਅਨੁਭਵ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਵੀ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉੱਪ ਦੱਸੇ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨੌਨਡੀਜਨਰੇਟ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਭਰਪੂਰ ਇੱਕ -ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਨੂੰ ਇਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸੀਫੀਕੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸ ਉੱਤੇ ਥੋਪੀ ਗਈ ਦੋਰੇਖਿਕ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋਵੇਂ ਇਵਨ ਅਤੇ ਔਡ ਅਯਾਮਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਦੀਆਂ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਔਡ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਰਾਹੀਂ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ℓ , ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ , ਅਤੇ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਅਤੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ।
ਇਹ ਪ੍ਰੰਪਰਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਗਲਤ ਵਹਿਮੀਆਂ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਟਰੇਸਾਂ ਵਰਗੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਚੋਣਾਂ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਸਾਰੀਆਂ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਖੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਜਰੂਰ ਹੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ।
ਇਸ ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨੂੰ 2 ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸਾਹਿਤ ਵਿੱਚ, ਸੰਖੇਪ ਸਪੇਸ ਸੂਚਕਾਂਕ ਅਕਸਰ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਚਾਹੇ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਸਪਿੱਨੌਰ ਬਣਤਰ ਹੀ ਵਰਤੀ ਜਾਵੇ।
ਭਾਰੀ ਕਣ, ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, ਡੀਰਾਕ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਦਾ ਕਲਾਸੀਕਲ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਇੱਕ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
ਫੇਰ ਵੀ, ਨਿਰੀਖਣ ਕੀਤੇ ਗਏ ਨਿਊਟ੍ਰੀਨੋ ਔਸੀਲੇਸ਼ਨ ਕਾਰਣ, ਹੁਣ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾਣ ਲੱਗਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਪਰ ਸ਼ਾਇਦ ਇਸਦੀ ਜਗਹ ਮਾਜੋਰਾਨਾ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹਨ।
ਇਹ ਗਿਆਤ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਵੇਇਲ ਸਪਿੱਨੌਰ ਮੌਜੂਦ ਵੀ ਹਨ ਕਿ ਨਹੀਂ।
2015 ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਿੰਸਟਨ ਯੂਨੀਵਰਸਟੀ ਦੇ ਵਿਗਿਆਨਿਕਾਂ ਦੀ ਅਗਵਾਈ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਰਾਸ਼ਟਰੀ ਟੀਮ ਨੇ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਇੱਕ ਕੁਆਸੀਪਾਰਟੀਕਲ ਖੋਜਿਆ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵੇਇਲ ਫਰਮੀਔਨ ਦੀ ਤਰਾਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ 1927 ਵਿੱਚ ਵੋਲਫਗਾਂਗ ਪੌਲੀ ਦੁਆਰਾ ਗਣਿਤਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ।
ਅਗਲੇ ਹੀ ਸਾਲ, ਪੌਲ ਡੀਰਾਕ ਨੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਅਤੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਦਰਮਿਆਨ ਸੰਬਧ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਸਪਿੱਨ ਦੀ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਰਿਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ ਥਿਊਰੀ ਖੋਜ ਲਈ।
1930ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਤੱਕ, ਡੀਰਾਕ, ਪੀਏਟ ਹੇਇਨ ਅਤੇ ਹੋਰਾਂ ਨੇ ਨੀਏਲਜ਼ ਬੋਹਰ ਇੰਸਟੀਟਿਊਟ ਵਿਖੇ (ਜਿਸਨੂੰ ਉਦੋਂ ਕੌਪਨਹੀਗਨ ਦੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਦਾ ਥਿਊਰਿਟੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਲਈ ਇੰਸਟੀਟਿਊਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਸੀ), ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੇ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਟੈਂਗਲੋਆਇਡਾਂ ਵਰਗੇ ਖਿਡੌਣੇ ਬਣਾਏ।
ਦੋ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਨਾਜਾਇਜ਼ ਲਾਭ ਉਠਾਉਣਾ ਆਮ ਗੱਲ ਹੋ ਗਈ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਤਿ ਮਿਲਦਾ ਜੁਲਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਲਈ, ਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਦੁਰ-ਉਪਯੋਗ ਰਾਹੀਂ, ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਅਕਸਰ ਮਿਸ਼ਰਣ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1947 ਵਿੱਚ, ਮਾਰਸਲ ਰੀਏਸਜ਼ ਨੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਇੱਕ ਮਿਨੀਮਲ ਲੈਫਟ ਆਈਡੀਅਲ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਰਚੀਆਂ।
ਇਵੇਂ ਹੀ 1980ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ, ਡੇਵਿਡ ਬੋਹਮ ਅਤੇ ਬਾਸਿਲ ਹਿਲੇਅ ਦੇ ਨੇੜੇ ਤੇੜੇ ਬਿਰਕਬੈੱਕ ਕੌਲਜ ਵਿਖੇ ਸਿਧਾਂਤਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਗਰੁੱਪ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਪ੍ਰਤਿ ਅਲਜਬਰਿਕ ਪਹੁੰਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰ ਰਿਹਾ ਸੀ, ਜਿਸਨੇ ਸਾਉਟਰ ਅਤੇ ਰੀਏਸਜ਼ ਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਵਾਲੀ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਮਿਨੀਮਲ ਲੈਫਟ ਆਈਡੀਅਲ ਉੱਤੇ ਬਣਾਇਆ।
ℓ2,0 ਦੇ ਇਵਨ ਦਰਜਾਬੱਧ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਰਾਹੀਂ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇਵਨ ਸਬਅਲਜਬਰਾ ℓ02,0 , ਇਸਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਰਾਹੀਂ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ℓ02,0 ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਫੀਲਡ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਇਹ ਇੱਕ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ , ਜਿਸਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਕਿਸੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਰਿਵਰਸ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਐਂਗਲ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਓ ਵਿੱਚ, ਵਿੱਚ ਦਿਸਣ ਵਾਲਾ ਐਂਗਲ ਅੱਧਾ ਰਹਿ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਾਰ ਫੇਰ ਤੋਂ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਤੱਕ ਚੁੱਕਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਓ ਜੋ /2 ਦੀ ਜਗਹ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਨੈਗੈਟਿਵ ਹੋਵੇਗਾ।
1930 ਵਿੱਚ ਜੀ. ਜੁਵੇਟ ਅਤੇ ਫਰਿਟਜ਼ ਸਾਉਟਰ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਲੈਫਟ ਆਦਰਸ਼ਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸਾਂ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ।
ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੌਲੀ ਵਾਂਗ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੇ 2 ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਵਜਾਏ, ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ 2 2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਖੱਬੇ ਕਾਲਮਾਂ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਇਸ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸ, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਖੱਬਾ ਆਦਰਸ਼ ਬਣ ਗਈ।
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦੇ ਵੱਡੇ ਗਣਿਤਿਕ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀ ਰੇਖਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਸਪਸ਼ਟ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਸੰਭਵ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਆਪਣੀਆਂ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਨੂੰ ਸੰਭਵ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਤਾਕਤਵਰ ਲੈਵਲ ਉੱਤੇ, ਸਪਿੱਨੌਰ, ਅਤਿਯਾਹ-ਸਿੰਗਰ ਇੰਡੈਕਸ ਥਿਉਰਮ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਜੋਂ ਸਾਹਮਣੇ ਆਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਰਧ-ਸਰਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਅਨਿਰੰਤਰ ਲੜੀ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਲਈ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਬਣਤਰਾਂ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਣ ਲਈ ਸਾਹਮਣੇ ਆਏ ਹਨ।
ਸਪਿੱਨਰਾਂ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਜਾਂਚ ਪਰਖ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਬੰਧਤ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਨ ਤੇ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਇਹ ਬਾਦ ਵਾਲੀ ਪਹੁੰਚ “ਸਪਿੱਨਰ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ” ਨੂੰ ਇੱਕ ਠੋਸ ਅਤੇ ਮੁਢਲਾ ਵਿਵਰਣ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਣ ਵਿੱਚ ਲਾਭਕਾਰੀ ਹੈ।
ਫੇਰ ਵੀ, ਅਜਿਹਾ ਕੋਈ ਵਿਵਰਣ ਸੀਮਤ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਸਪਿੱਨਰਾਂ ਦੀਆਂ ਫੀਏਰਜ਼ ਆਇਡੈਨਟਿੱਟੀਆਂ ਵਰਗੀਆਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
ਉੱਤੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਕਾਰਜ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਉੱਤੇ ਦੇ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦੇ ਕਾਰਜ ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਇਹ ਦਿਖਾ ਕੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਾਰਜ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਰਾਹੀਂ ਐਂਡੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਰਿੰਗ ਯੂਨੀਵਰਸਲ ਵਿੱਚ ਪੂਰੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ।
ਵਿਵਰਣ ਇਸ ਗੱਲ ਦੇ ਮੁਤਾਬਕ ਜਰਾ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦਾ ਅਯਾਮ ਇਵਨ ਹੈ ਜਾਂ ਔਡ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ′ ਆਇਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ℓ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਤਿਰਛਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ - ਗੁਣਨਫਲ, ′, ਇੱਕ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੁਆਟਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ ਵਾਲੇ ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਨਾਲ, ਜਿਵੇਂ ਦੋ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਅਲਨਜਬਰੇ ਦੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਉਸ ਦੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਉੱਤੇ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਕਾਰਣ, ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਕਾਰਜ ਸਧਾਰਨ ਕੁਆਟਰਨੀਔਨਿਕ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਘੱਟ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਸਰਲ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਇਵਨ-ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਸਬਅਲਜਬਰਿਆਂ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਫਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ ਤੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ ਦਰਜੇ ਵਾਲੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਕਿਵੇਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਉੱਤੇ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਫਟਾਫਟ ਜਾਂਚ ਸਾਬਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਜੂਗੇਟ-ਕਮਿਉਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੱਧਰੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਐਂਗਲ ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਉਣਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਸਬੰਧਤ ਕਾਰਜ ਰਾਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਲੌਗਰਿਥਮਿਕ ਬਰਾਂਚਿੰਗ ਕਾਰਣ, ਕਿਸੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਤਾ ਭਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਚੁਣ ਲੈਣਾ ਅਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਪੈਸ਼ਲ ਔਰਥੋਗਨਲ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ, ਵੇਇਲ ਦੀ ਬਣਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਟੈਂਸਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਤੋਂ, ਵਜ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਜਿੱਥੇ ਕਿ ਟੈਂਸਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੇ ਵਜ਼ਨ, ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਰੂਟਸ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉੱਥੇ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲਾਂ ਦੇ ਅੱਧੇ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਮੇਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਪਸ਼ਟ ਵਿਵਰਣ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਆਰਟੀਕਲ ਵਿੱਚ ਖੋਜੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਦੋਹਾਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ, ਮੁਢਲੀ ਧਾਰਨਾ ਇੱਕ ਆੀਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਸਬਸਪੇਸ ਵਾਲੀ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਬਣਤਰ ਇਸ ਸਬਸਪੇਸ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਜ਼ਾਦੀ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ।
ਭੌਤਿਕੀ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਨਾਪ ਦਾ ਸਿਸਟਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜੋ ਸਪਿੱਨ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬੇਸਿਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ, ਭਾਵੇਂ ਦਾ ਕੋਈ ਤਰਜੀਹ ਵਾਲਾ ਬੇਸਿਸ ਹੀ ਕਿਉਂ ਨਾ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇ।
3 ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰ/ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜੀਓਮੈਟਰੀ ਅਤੇ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਚੱਲਿਤ ਹੋ ਰਹੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਬੰਧਤ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਿਚਾਰਯੋਗ ਸੰਖੇਪਤਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਰਲਤਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੁਆਲੇ ਲਗਾਤਾਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੁਕਤ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇਕੱਠਿਆਂ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਆਦਰਸ਼ ਬਣਤਰ ਵਾਲੇ ਹਿਸਾਬ ਕਿਤਾਬ ਸੁਝਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨੂੰ ਆਇਸੋਟ੍ਰੋਪਿਕ ਸਬਸਪੇਸ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰਾ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰ ਕਹੇ ਜਾਣਗੇ।
ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ, ਸਾਰੇ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀਆਂ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕਈ ਤਰਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਤਸਵੀਰ “ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਵੰਡ” ਰਾਹੀਂ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਇਹ ਗੈਰ-ਜ਼ਰੂਰੀ ਬਣਤਰਾਂ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਮੁਕਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਇਹ ਦੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮੇਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਜਰੂਰ ਹੀ ℓ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਦਾ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਫਿਕਸ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦਾ ਇੱਕ ਕੰਪਲੀਮੈਂਟਰੀ ਬੇਸਿਸ ′ ਫਿਕਸ ਕਰੋ, ਤਾਂ ਜੋ
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਝ ਵਿੱਚ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਆਮ ਮਹੱਤਤਾ ਰਹੱਸਮਈ ਬਣੀ ਹੋਈ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਸਮਝ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੇਖਗਣਿਤ ਦਾ “ਵਰਗਮੂਲ” ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ, ਜਿਵੇਂ “-1 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ” ਦੀ ਸਮਝ ਨੇ ਸਦੀਆਂ ਲੈ ਲਈਆਂ, ਇਹੀ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇਗਾ।
ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਠੋਸ ਅਤੇ ਸੰਖੇਪ ਬਣਤਰਾਂ ਨਾਲ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਹਨਾਂ ਬਣਤਰਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਤਾ ਵਿੱਚ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਨਿਰਾਲਾਪਣ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
3 ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਣ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਦੇਖੋ ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰ।
ਅਖਰੀ ਬਰਾਬਰਤਾ ਸਮੀਲਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਫੇਰ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਕਿ ਆਈਸੋਟ੍ਰਿਪੋਕ ਹੈ।
ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ , ਕਿਸੇ ਵੈਕੱਮ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ ਵਿੱਚ ਐਂਟੀਕਮਿਊਟਿੰਗ ਕਰੀਏਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਵਰਤਕੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰਚਦੀ ਹੋਈ ਕਿਸੇ ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਵਾਂਗ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਅਸਾਨ ਹੈ ਕਿ, ਜੇਕਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ 12 ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪੁਨਰ ਰਚਨਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰਿਆ ਗਿਆ ਸੀ; ਅਤੇ ਅਜਿਹੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ 3 ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ
ਜਿੱਥੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਦੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਕੰਪਲੈਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਅਜਿਹਿਆਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅੰਕਾਂ ਉੱਤੇ ਇਰਰਿਡਿਉਸੇਬਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੋਰ ਵੀ ਜਟਿਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਪਾਠਕਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ ਵਿਵਰਣ ਲੈਣ ਲਈ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਆਰਟੀਕਲ ਪੜਨ ਦੀ ਸਲਾਹ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਇਵਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਕਾਰਜ , ਜੋ ℓ2,0 ਦੇ 1-ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਨਰਲ ਵੈਕਟਰ ਤੋਂ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਵੈਕਟਰ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾਂ ਬਣਾ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਐਲੀਮੈਂਟ, ਸਾਡੀ ℓ ਵਾਲੀ ਮਾਨਤਾ ਕਾਰਣ, ਜਰੂਰ ਹੀ ਕਿਸਮ ਰੱਖਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਰਲ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, “ਸਪੇਸ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ” ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ “ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ℓ2,0 ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਕੇਲਰ 1, ਦੋ ਔਰਥੋਗਨਲ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ 1 ਅਤੇ 2, ਅਤੇ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸੂਡੋਸਕੇਲਰ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹੋਰ ਅੱਗੇ, ਇਵਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਐਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਪਾਬੰਧੀ ਉੱਤੇ, ਇਹ ਦੋ ਸਪਿੱਨ ਸਪੇਸਾਂ ਅਤੇ ਵਿੱਚ ਖਿੰਡ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਥੇ ਹੀ ਬੱਸ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਸਮਝਣ ਦੇ ਲਿਹਾਜ ਨਾਲ ਖੁੱਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਠਿਨ ਮੰਨਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਮਾਈਕਲ ਅਤਿਯਾਹ ਦੇ ਇਸ ਬਿਆਨ ਦਾ ਡੀਰਾਕ ਦੇ ਬਾਇਓਗਰਾਫਰ ਗ੍ਰਾਹਮ ਫਾਰਮੇਲੋ ਵਿੱਚ ਬਿਔਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ: