polyglot-tagger/wikipedia-language-snippets-filtered huggingface dataset:
ਅਕਸਰ ਇਹ ਅੰਡੇ ਉਹਨਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਮਿੱਟੀ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਲੋਕ ਖੁਲ੍ਹੇ ਵਿੱਚ ਹੱਗਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜਿੱਥੇ ਬਿਨਾਂ ਸੋਧੇ ਮਾਨਵ ਮਲ ਨੂੰ ਖਾਦ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਜਿਹੀ ਮਿੱਟੀ ਵਿੱਚ ਖੇਡਣ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਹੱਥ ਆਪਣੇ ਮੁੰਹ ਵਿੱਚ ਪਾਉਣ ਵਾਲੇ ਛੋਟੇ ਬੱਚੇ ਵੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲਾਗ ਦੇ ਸ਼ਿਕਾਰ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਕੀੜੇ ਵੱਡੀ ਅੰਤੜੀ ਵਿੱਚ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ ਚਾਰ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਮਾਈਕਰੋਸਕੋਪ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਟੱਟੀ ਦਾ ਪਰੀਖਣ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਅੰਡਿਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖਕੇ ਵਿਪਵੋਰਮ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਰੋਕਥਾਮ ਲਈ ਭੋਜਨ ਨੂੰ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਕਾਉਣਾ ਅਤੇ ਭੋਜਨ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੱਥ ਧੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।
ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਫਾਈ ਵਿਵਸਥਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰਨਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ ਅਤੇ ਸਾਫ-ਸੁਥਰੇ ਪਖਾਨਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਤੇ ਸਾਫ ਪਾਣੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਨੂੰ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਸੰਸਾਰ ਦੇ ਉਹਨਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ ਲਾਗ ਆਮ ਹੈ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਪੂਰੇ ਦੇ ਪੂਰੇ ਸਮੂਹਾਂ ਦਾ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਅਤੇ ਰੋਜਾਨਾ ਅਧਾਰ 'ਤੇ ਇਲਾਜ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਇਲਾਜ ਤਿੰਨ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਦਵਾਈ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਅਲਬੈਂਡਾਜ਼ੋਲ, ਮੇਬੈਂਡਾਜ਼ੋਲ ਜਾਂ ਆਈਵਰਮੈਕਟਿਨ।
ਟ੍ਰਿਕਿਊਰੀਆਸਿਸ, ਜਿਸਨੂੰ ਵਿਪਵੋਰਮ ਦੇ ਨਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰਜੀਵੀ ਕੀੜੇ ਟ੍ਰਿਕਿਊਰਿਸ ਟ੍ਰਿਕਿਊਰਾ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਇੱਕ ਲਾਗ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਲਾਗ ਕੁਝ ਕੀੜਿਆਂ ਦੇ ਕਾਰਨ ਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੋਈ ਲੱਛਣ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।
ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗ ਕਈ ਕੀੜਿਆਂ ਦੇ ਕਾਰਨ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਢਿੱਡ ਪੀੜ, ਥਕੇਵਾਂ ਅਤੇ ਦਸਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਬੱਚਿਆਂ ਵਿੱਚ ਲਾਗਾਂ ਮਾੜੇ ਬੌਧਿਕ ਅਤੇ ਸਰੀਰਕ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਆਇਜ਼ਾ ਖਾਨ ਨੇ ਸਕੂਲ ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਮੁਕਾਬਲੇ "ਪੈਂਟੇਨ ਸ਼ਾਈਨ ਪ੍ਰਿੰਸੇਸ" ਵਿੱਚ ਹਿੱਸਾ ਲਿਆ ਅਤੇ ਪਹਿਲੀ ਰਨਰ ਅੱਪ ਵਜੋਂ ਸਾਹਮਣੇ ਆਈ।
ਇਸ ਤੋਂ ਤੁਰੰਤ ਬਾਅਦ, ਉਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੈਲੀਕਾਮ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਸ ਨੇ ਮਾਡਲਿੰਗ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਦਿੱਤਾ।
ਆਪਣੇ ਕਾਲਜ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਉਸ ਨੇ ਹੋਰ ਮਾਡਲਿੰਗ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ਾਂ ਲੈਣੀਆਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਪੜ੍ਹਾਈ ਜਾਰੀ ਰੱਖਣ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸ਼ੋਅਬਿਜ਼ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਹੋ ਗਈ, ਜਿਸ ਦਾ ਖੁਲਾਸਾ ਉਸ ਨੇ ਏਆਰਵਾਈ ਡਿਜੀਟਲ 'ਤੇ ਨਿਦਾ ਯਾਸਿਰ ਨਾਲ ਆਪਣੀ ਇੰਟਰਵਿਊ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ।
ਉਸ ਨੇ 18 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਭਿਨੇਤਰੀ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਕਰੀਅਰ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕੀਤੀ, ਹਮ ਟੀਵੀ 'ਤੇ ਪ੍ਰਸਾਰਿਤ ਰੋਮਾਂਸ 'ਤੁਮ ਜੋ ਮਿਲੀ' ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਹਾਇਕ ਭੂਮਿਕਾ ਨਾਲ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕੀਤੀ।
ਕਈ ਟੈਲੀਵਿਜ਼ਨ ਲੜੀਵਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਕ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਜੀਓ ਟੀਵੀ ਰੋਮਾਂਟਿਕ ਡਰਾਮਾ 'ਟੂਟੇ ਹੂਏ ਪਰ' ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਅਭਿਨੇਤਰੀ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੱਤੀ।
ਉਸ ਨੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਡਰਾਮਾ ਅਕਸ , ਰੋਮਾਂਟਿਕ ਡਰਾਮਾ ਕਹੀ ਅਣਕਹੀ , ਅਤੇ ਅਧੂਰੀ ਔਰਤ , ਪਰਿਵਾਰਕ ਡਰਾਮਾ ਮੇਰੀ ਮੇਹਰਬਾਨ , ਅਤੇ ਦੁਖਦ ਰੋਮਾਂਸ ਵਿੱਚ ਕਈ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਨਾਲ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਪਾਕਿਸਤਾਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਅਭਿਨੇਤਰੀ ਵਜੋਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ।
2014 ਦੇ ਸਮਾਜਿਕ ਡਰਾਮੇ ਪਿਆਰੇ ਅਫਜ਼ਲ ਵਿੱਚ ਉਸਦੇ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਨੇ ਉਸਦੀ ਆਲੋਚਨਾਤਮਕ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਅਤੇ ਸਰਬੋਤਮ ਟੈਲੀਵਿਜ਼ਨ ਅਦਾਕਾਰਾ ਲਈ ਲਕਸ ਸਟਾਈਲ ਅਵਾਰਡ ਹਾਸਲ ਕੀਤਾ।
2019-20 ਦੇ ਰੋਮਾਂਟਿਕ ਡਰਾਮੇ 'ਮੇਰੇ ਪਾਸ ਤੁਮ ਹੋ' ਵਿੱਚ ਉਸਦੇ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਨੇ ਉਸਦੀ ਆਲੋਚਨਾਤਮਕ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਸਰਬੋਤਮ ਟੈਲੀਵਿਜ਼ਨ ਅਭਿਨੇਤਰੀ ਲਈ ਪਾਕਿਸਤਾਨ ਇੰਟਰਨੈਸ਼ਨਲ ਸਕ੍ਰੀਨ ਅਵਾਰਡ ਹਾਸਲ ਕੀਤਾ।
ਮੀਡੀਆ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੱਲ ਆਮ ਸੀ ਕਿ ਉਹ ਵਿਆਹ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਅਦਕਾਰੀ ਛੱਡ ਰਹੀ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਇੰਟਰਵੀਊ ਵਿੱਚ ਉਸਨੇ ਇਹ ਸਪਸ਼ਟ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਹ ਅਦਾਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਛੱਡੇਗੀ।
2009 ਵਿੱਚ ਉਸਨੇ ਹਮ ਟੀਵੀ ਦੇ ਇੱਕ ਟੀਵੀ ਡਰਾਮੇ ਤੁਮ ਜੋ ਮਿਲੇ ਨਾਲ ਅਦਾਕਾਰੀ ਵਿੱਚ ਕੈਰੀਅਰ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕੀਤੀ ਸੀ।
ਮੋਇਆਂ ਦੀ ਮੰਡੀ ਡੇਰਾ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਇੱਕ ਰਿਟਾਇਰਡ ਫੌਜੀ ਅਫਸਰ ਵਲੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ ।
ਇਸ ਡੇਰੇ ਦੀ ਪ੍ਰਥਾ ਅਨੁਸਾਰ ਜੇ ਕੋਈ ਇਸਦਾ ਅਨੁਯਾਈ ਬਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਮਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ ਮਰਿਆ ਘੋਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ।
ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੀ ਕਬਰ ਖੁਦ ਪੁੱਟਣੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਖੁਦ ਨੂੰ ਮਰਿਆ ਸਮਝ ਕੇ ਉਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿਨ ਗੁਜ਼ਾਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
ਉਸਨੂੰ ਦੁਨਿਆਵੀ ਵਸਤਰਾਂ ਦਾ ਵੀ ਤਿਆਗ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹ ਟਾਟ ਦੀਆਂ ਨਕਾਰਾ ਹੋਈਆਂ ਬੋਰੀਆਂ ਦੇ ਵਸਤਰ ਪਹਿਨਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋ ਕੋਣਿਆਂ ਤੋਂ ਪਾੜ ਕੇ ਬਾਹਵਾਂ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਲਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਵਿਚਕਾਰੋਂ ਪਾੜ ਕੇ ਗਰਦਨ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ।
ਖਾਣ ਪੀਣ ਲਈ ਵੀ ਉਸਨੂੰ ਹੋਲਾ ਮਹੱਲਾ ਦੇ ਮੇਲੇ ਸਮੇਂ ਸ਼ਰਧਾਲੂਆਂ ਵਲੋਂ ਸੁੱਟੇ ਗਏ ਫਾਲਤੂ ਜਾਂ ਵਾਧੂ ਭੋਜਨ ਇੱਕਠਾ ਕਰਕੇ ਸੁਕਾਓਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਉਸਨੇ ਖਾਣ ਲਈ ਵਰਤਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਡੇਰੇ ਵਿੱਚ ਸ੍ਰੀ ਗੁਰੂ ਗ੍ਰੰਥ ਸਾਹਿਬ ਦਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਕੀਰਤਨ ਹੁੰਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ।
ਮੋਇਆਂ ਦੀ ਮੰਡੀ ਪੰਜਾਬ ਦੇ ਇਤਿਹਾਸਕ ਸ਼ਹਿਰ ਅਨੰਦਪੁਰ ਸਾਹਿਬ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕ ਇੱਕ ਡੇਰਾ ਹੈ ।
ਮੁੱਖ ਸੜਕ ਤੋਂ ਡੇਰੇ ਵੱਲ ਮੁੜਦੀ ਲਿੰਕ ਸੜਕ ਤੇ ਗੁਰੂਮੁਖੀ ਵਿੱਚ "ਮੋਇਆਂ ਦੀ ਮੰਡੀ" ਦਾ ਬੋਰਡ ਲੱਗਾ ਹੋਇਆ ਹੈ ।
ਇਸਦਾ ਪਿਛੋਕੜ ਅਤੇ ਇਤਿਹਾਸ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ ਪਰ ਇਹ ਇਥੋਂ ਦੇ ਲੋਕਾਂ ਵਿੱਚ ਜਿਆਦਾ ਜਾਣਿਆ ਪਛਾਣਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਾਂ ਇਸ ਬਾਰੇ ਲੋਕ ਜਿਆਦਾ ਗਲ ਕਰਨਾ ਪਸੰਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ।
ਇਹ ਡੇਰੇ ਦੀ ਦਿੱਖ ਕਾਫੀ ਰਮਣੀਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਖੂਬਸੂਰਤ ਫੁੱਲ- ਬੂਟਿਆਂ ਨਾਲ ਸਜਾਇਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਪਰ ਨਾ ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਗੇਟ ਤੇ ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਨਾਮ ਵਗੈਰਾ ਲਿਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਡੇਰੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਇਤਿਹਾਸ ਆਦਿ ਲਿਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ।
ਇਸ ਡੇਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਨਤ ਸ਼ਰਧਾਲੂਆਂ ਵਲੋਂ ਆਲੇ ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਪਿੰਡਾਂ ਦੇ ਲੋਕਾਂ ਅਤੇ ਗਰੀਬ ਗੁਰਬਿਆਂ ਨਾਲ ਫਸਲਾਂ ਦੀ ਕਟਾਈ ਆਦਿ ਕਰਨ ਦੇ ਕੰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਬਿਮਾਰਾਂ ਦੀ ਸਾਂਭ ਸੰਭਾਲ ਕਰਨ ਵਰਗੇ ਕਾਰਜ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿੰਦਗੀ ਬਸਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ।
ਪੀ.ਆਰ ਗਿਰਾਰਡ ਦਾ ਲੇਖ “ਦੀ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗਰੁੱਪ ਐਂਡ ਮਾਡਰਨ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ” ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਵਿਭਿੰਨ ਭੌਤਿਕੀ ਕੋਵੇਰੀਅੰਸ ਗਰੁੱਪ: , ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ, ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਗਰੁੱਪ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ , ਅਤੇ ਕਨਫਰਮਲ ਗਰੁੱਪ ਮਾਡਰਨ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗਰੁੱਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਗਿਰਾਰਡ ਨੇ ਗਰੁੱਪ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਅਤੇ ਕ੍ਰਿਸਟੈੱਲੋਗ੍ਰਾਫੀ ਦੇ ਕੁੱਝ ਸਪੇਸ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਾਰੀ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ।
ਇਸਤੋਂ ਬਾਦ ਉਸਨੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤਿਆ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਥੌਮਸ ਪਰਸੈਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਿਲ ਸੀ।
ਉਸਨੇ ਲੁਡਵਿਕ ਸਿਲਬਰਸਟਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪੰਜ ਵਿਦਵਾਨਾਂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿੱਤੀ, ਜਿਸਨੇ ਇੱਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਅਸਥਿਰਾਂਕ ਦੇ ਇੱਕ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਮੈਕਵੈੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਸੀ।
ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ, ਉਸਨੇ ਰੁੰਗੇ-ਲੈੱਨਜ਼ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਮਝਾਇਆ।
ਉਸਨੇ ਬਾਇਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਆ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਬਾਇਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਗਿਰਾਰਡ ਨੇ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਉੱਤੇ ਕਨਫਰਮਲ ਮੈਪਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ।
ਪੰਜਾਹ ਹਵਾਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਗਿਰਾਰਡ ਨੇ ਅਲੈਗਜ਼ੈਂਡਰ ਮੈਕਫਾਰਲੇਨ ਅਤੇ ਉਸਦੇ "ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਸੋਸਾਇਟੀ" ਦੇ ਬੁਲੇਟਿਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤਾ।
1999 ਵਿੱਚ, ਉਸਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀਆਂ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਇੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਅੰਦਰ ਫਾਰਮੂਲਾਬੱਧ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨਾਲ ਸਿੱਧਾ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ , ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ-ਸਪੇਸ 4 ਬਰਾਬਰ ਹਨ।
ਦੇ ਤਿੰਨ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਹਨ: ਜੋੜ, ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ , ਅਤੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗੁਣਨਫਲ।
ਦੇ ਦੋ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, 4 ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਦੇ ਕਿਸੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ 4 ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਤਰਾਂ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਵਿਚਲੇ ਦੋ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ 4 ਲਈ ਬੇਸਿਸ ਦੀ ਚੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
ਦਾ ਹਰੇਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਇਹਨਾਂ ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ ਮੇਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ 1 + + + , ਜਿੱਥੇ , , , ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹਨ।
ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟ 1 ਨੂੰ ਦਾ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਐਲੀਮੈਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਏਗਾ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ 1 ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਕਰਨ ਤੇ ਕੁੱਝ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ, ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟ 1 ਨੂੰ ਛੁਪਾ ਕੇ + + + ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਬੇਸਿਸ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ, ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫੇਰ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਨਿਯਮ ਵਰਤਕੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
+ 0 + 0 + 0 ਦੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਕੋਈ ਨੰਬਰ, ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਨੰਬਰ ਜੋ 0 + + + ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ , , ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੋਣ, ਅਤੇ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨਾਂ , , ਜਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਨੰਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ + + + ਕੋਈ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨੂੰ ਇਸਦਾ ਸਕੇਲਰ ਹਿੱਸਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ + + ਨੂੰ ਇਸਦਾ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਹਿੱਸਾ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਹੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਾ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਭਾਵੇਂ ਹਰੇਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦੇ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਆਮ ਗੱਲ ਹੈ।
ਇਸ ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ, ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ 3 ਦੇ ਕਿਸੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਬਰਾਬਰ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਫੇਰ ਵੀ, ਲੇਟ 20ਵੀਂ ਸਦੀ ਤੋਂ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੇ ਫੇਰ ਪੁਨਰਜੀਵਨ ਲਿਆ, ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਰਸਾਉਣ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕਾਰਨ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਨਾਲੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਤੇਜ ਹਨ।
ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਇਲੁਰ ਐਂਗਲਾਂ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਇਹ ਜਿੰਬਲ ਲੌਕ ਲਈ ਸ਼ੱਕੀ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਇਸ ਕਾਰਣ ਕਰਕੇ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਸ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਜ਼ਨ, ਰੋਬੋਟਿਕਸ, ਕੰਟਰੋਲ ਥਿਊਰੀ, ਸਗਨਲ ਪ੍ਰੋਸੈੱਸਿੰਗ, ਐਟੀਟਿਊਡ ਕੰਟਰੋਲ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਬਾਇਓਇਨਫੌਰਮੇਟਿਕਸ, ਮੌਲੀਕਿਉਲਰ ਡਾਇਨਾਮਿਕਸ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਸਿਮੁਲਟੇਸ਼ਨਜ਼, ਅਤੇ ਔਰਬਿਟਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸਕ੍ਰਾਫਟ ਦੇ ਐਟੀਟਿਊਡ ਕੰਟਰੋਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੋ ਆਮ ਗੱਲ ਹੈ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੇ ਨੰਬਰ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਾਧਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾ ਦੇ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਅਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਮਾਡਰਨ ਗਣਿਤਿਕ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਸਹਿਯੋਗੀ ਨੌਰਮਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰਾ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਦਰਅਸਲ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਪਹਿਲਾ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਨੌਨ-ਕਮਿਉਟੇਟਿਵ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰਾ ਸੀ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਬਲੈਕਬੋਰਡ ਮੋਟੇ ਅੱਖਰ ਰਾਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਫ੍ਰੋਬਿਨੀਅਸ ਥਿਊਰਮ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਅਲਜਬਰਾ ਅਵਲੋਕਨ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਥਾਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਬ-ਰਿੰਗ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਸਿਰਫ ਦੋ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਰਿੰਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ, ਦੂਜਾ ਰਿੰਗ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹਨ।
ਇਹਨਾਂ ਰਿੰਗਾਂ ਨੂੰ ਯੁਕਿਲਡਨ ਹੁਰਵਿਟਜ਼ ਅਲਜਬਰੇ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਅਲਜਬਰਾ ਹੈ।
ਵਿੱਚ ਮਾਈਨਸ ਇੱਕ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਪਰ ਬਾਕੀ ਕਿਤਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਮਿਟਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਰਹੀ ਸੀ।
1971 ਵਿੱਚ ਸੈਮ ਪੈਰਲਿਸ ਦੁਆਰਾ ਹਿਸਟੋਰੀਕਲ ਟੌਪਿਕਸ ਇਨ ਅਲਜਬਰਾ , ਜੋ ਨੈਸ਼ਨਲ ਕਾਉਂਸਲ ਔਫ ਟੀਚਰਜ਼ ਔਫ ਮੈਥੇਮੈਟਿਕਸ ਰਾਹੀਂ ਛਾਪੀ ਗਈ ਸੀ।
ਵਿੱਚ ਸਫੀਅਰ ਨੂੰ ਅਪਣੇ ਤਿੰਨ ਪੰਨਿਆਂ ਦੀ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਨੀ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।
ਤਾਜ਼ਾ ਸਮਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਮਾਈਨਸ ਇੱਕ ਦੇ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਸਫੀਅਰ ਨੂੰ ਇਅਨ ਆਰ. ਪੋਰਟੇਇਓਸ ਦੀ ਕਿਤਾਬ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾਜ਼ ਐਂਡ ਦੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਗਰੁੱਪਸ ਵਿੱਚ ਪੰਨਾ 60 ਉੱਤੇ ਕਥਨ 8.13 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੋਨਵੇਅ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪੰਨਾ 40 ਉੱਤੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਜ਼ ਐਂਡ ਔਕਟੋਨੀਔਨਜ਼ ਵਿੱਚ ਅਸੀੰ ਪੜਦੇ ਹਾਂ: “ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਾਲਪਨਿਕ ਯੂਨਿਟ ਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਮਕੋਣ ਨੂੰ , ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ” , ਜੋ ਸਫੀਅਰ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਥਨ ਹੈ।
ਅੱਧੇ 1880 ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਤੋਂ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਅਵਲੋਕਨ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਣ ਲੱਗਿਆ, ਜੋ ਜੋਸੀਆਹ ਵਿਲੀਅਰਡ ਗਿੱਬਜ਼, ਓਲੀਵਰ ਹੀਵਿਜ਼ਾਇਡ, ਅਤੇ ਹਰਮਨ ਵੌਨ ਹੈਲਮਹੋਲਟਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ।
ਵੈਕਟਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੇ ਇਸੇ ਚੀਜ਼ ਨੂੰ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ ਦਰਸਾਇਆ, ਇਸਲਈ ਇਸਨੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਸਾਹਿਤ ਤੋਂ ਕੁੱਝ ਵਿਚਾਰ ਅਤੇ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਅਜ਼ਾਦੀ ਨਾਲ ਉਧਾਰੀ ਲਈ।
ਫੇਰ ਵੀ, ਵੈਕਟਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਸੰਕਲਪਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਰਲਤਮ ਅਤੇ ਚਿੰਨਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਾਫ ਸੁਥਰਾ ਸੀ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਨੂੰ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਛੋਟੀ ਜਿਹੀ ਭੂਮਿਕਾ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕੇ ਦੂਰ ਕਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ।
ਇਸ ਪਰਿਵਰਤਨਕਾਲ ਦਾ ਸਾਈਡ-ਇੱਫੈਕਟ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਹੈਮਿਲਟਨ ਦਾ ਕੰਮ ਕਈ ਅਜੋਕੇ ਪਾਠਕਾਂ ਲਈ ਸਮਝਣਾ ਕਠਿਨ ਹੈ।
ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੀਆਂ ਮੂਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਜਾਣੀਆਂ ਪਛਾਣੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਲਿਖਣ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ ਬਹੁਤ ਜਿਆਦਾ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਾਲਾ ਸੀ ਅਤੇ ਸਮਝਣ ਲਈ ਕਠਿਨ ਸੀ।
ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਾ, ਦਰਅਸਲ, ਇੱਕ “ਐਕਸੀਅਲ” ਵੈਕਟਰ ਜਾਂ “ਸੂਡੋਵੈਕਟਰ” ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕੋਈ ਸਧਾਰਣ ਜਾਂ “ਪੋਲਰ” ਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਜਿਵੇਂ ਐੱਸ.ਐੱਲ. ਅਲਟਮਾੱਨ ਦੁਆਰਾ ਅਪਣੀ 1986 ਸੰਨ ਦੀ ਪੁਸਕਤ “ਰੋਟੇਸ਼ਨਜ਼,ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਜ਼ ਐਂਡ ਡਬਲ ਗਰੁੱਪਸ” ਦੇ ਚੈਪਟਰ 12 ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।
ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਗੁਆਏ ਬਗੈਰ, ਇੱਕ ਸ਼ੁੱਧ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਰਾਹੀਂ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ (ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਨੂੰ “ਸਿਮੀਲਰਟੀ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮ” ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਗਲਤਫਹਿਮੀ ਨਹੀਂ ਪੈਦਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ।
ਕਿਸੇ ਬਾਇਨਰੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਧੁਰਾ, ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪੋਲਰ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਵਾਸਤਵਿਕ ਜਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਕਮਿਉਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਨੌਨ-ਕਮਿਉਟੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਕੁੱਝ ਨਾ ਉਮੀਦ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।
ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਉੱਤੇ ਪੌਲੀਨੌਮੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਪੌਲੀਨੌਮੀਅਲ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਵੱਖਰੇ ਹੱਲ ਰੱਖ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਜਿਵੇਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰਾਂ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਦੇ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਕਿ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜੋੜ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ 2 2 ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਰਤਣ ਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ 4 4 ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਰਤਣ ਦਾ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਮੂਰਤ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਤੋਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰਿੰਗਾਂ ਅਤੇ ਤੱਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਇੰਜੈਕਟਿਵ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਟਰਾਂਸਪੁਜ਼ੀਸਨ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਉਤਪਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਇਹ ਅਪਣੀ ਖੁਦ ਦੀ ਉਲਟ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕਿਸੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਕੰਜੂਗੇਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮੂਲ ਐਲੀਮੈਂਟ ਫੇਰ ਵਾਪਿਸ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਉਲਟੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਦੋ ਕੰਜੂਗੇਟਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਤਕਸੀਮ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰਾ ਰਚਦੇ ਹਨ।
ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਨੌਨ-ਕਮਿਊਟੇਟੀਵਿਟੀ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਇਹ ਕਿਸੇ ਫੀਲਡ ਵਰਗੀ ਬਣਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰੇ ਬਹੁਤ ਵਿਰਲੇ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਨੌਰਮ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨੌਰਮਡ ਅਲਜਬਰਾ ਬਣਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਨੌਰਮਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰੇ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਹੁਰਵਿਟਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਚਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: , ਅਤੇ ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਇੱਕ ਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਵੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਯੁਨਾਇਟਲ ਬਾਨਾਚ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਵੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ।
ਕਿ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਵਿਆਖਿਆ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਇਹੀ ਕੁੱਝ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਖੋਜ ਰਿਹਾ ਸੀ।
ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਸੀ।
ਜੋ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਤਿੱਕੜੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਈ ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਉਹ ਜਾਣ ਚੁੱਕਿਆ ਸੀ ਕਿ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਟਰਿਪਲਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ ਹੈ।
ਫੇਰ ਵੀ, ਹੈਮਿਲਟਨ ਇੱਕ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਤੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਤਕਸੀਮ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਉੱਤੇ ਫਸਿਆ ਰਿਹਾ ਸੀ।
ਉਹ ਇਹ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾ ਸਕਿਆ ਕਿ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਕੋਸ਼ੰਟ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਕੱਢੀਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਇਹਨਾਂ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਹੈਮਿਲਟਨ ਨੇ ਕੁਆਡ੍ਰਪਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ, ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਅਪਣੀ ਜਿੰਦਗੀ ਦਾ ਬਾਕੀ ਬਚਿਆ ਜਿਆਦਾਤਰ ਹਿੱਸਾ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪੜਾਉਣ ਅਤੇ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਤੇ ਸਮਰਪਿਤ ਕੀਤਾ।
ਹੈਮਿਲਟਨ ਦਾ ਵਰਤਾਓ ਅਜੋਕੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਨਾਲੋਂ ਜਿਆਦਾ ਰੇਖਾ ਗਣਿਤਿਕ ਸੀ, ਜਿਸਨੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀਆਂ ਅਲਜਬਰਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਜੋਰ ਦਿੱਤਾ।
ਉਸਨੇ “ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਿਸਟਾਂ” ਦੇ ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਦੀ ਨੀਂਹ ਰੱਖੀ, ਅਤੇ ਕਈ ਕਿਤਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਉਸਨੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕਰਨ ਦੇ ਯਤਨ ਕੀਤੇ।
ਉਸਦੀਆਂ ਕਿਤਾਬਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਅੰਤਿਮ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਲੰਬੀ ਕਿਤਾਬ, ਐਲੀਮੈਂਟਸ ਔਫ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਜ਼, 800 ਪੰਨਿਆਂ ਵਾਲੀ ਕਿਤਾਬ ਸੀ।
ਸਾਰੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ 4 ਵਾਲੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਤੁਲਨਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ 2 ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਔਕਟੋਨੀਅਨਾਂ ਦੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ 8 ਹੁੰਦੀ ਹੈ) ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਅਤੇ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਇਸਲਈ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨੌਨ-ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਅਲਜਬਰਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਭਾਵੇਂ ਵਿੱਚ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀਆਂ ਨਕਲਾਂ ਰੱਖੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਹ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਅਲਜਬਰਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਨੰਬਰ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਲਗਰਾਂਜ ਦੀ ਫੋਰ-ਸਕੁਏਅਰ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸਬੂਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਗੈਰ-ਨੈਗੈਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਚਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਥਿਊਰਮ ਹੋਣ ਦੇ ਨਾਤੇ, ਲਗਰਾਂਜ ਦੀ ਚਾਰ ਵਰਗ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਵੀ ਲਾਭਕਾਰੀ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕੰਬੀਨਾਟੋਰੀਅਲ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਥਿਊਰੀ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਅਧਾਰਿਤ ਸਬੂਤ ਹੁਰਵਿਟਜ਼ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਰਿੰਗ ਦਾ ਇੱਕ ਸਬ-ਰਿੰਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਯੁਕਿਲਡਨ ਅਲੌਗਰਿਥਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਦਰਅਸਲ, ਅਜਿਹੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ 48 ਵਿਵਸਿਥ ਸੈੱਟ ਮੌਜੂਦ ਹਨ।
ਇਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਟਰਾਂਸਪੋਜ਼ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦੇ ਨੌਰਮ ਦੇ ਵਰਗ ਦਾ ਵਰਗ ਸਬੰਧਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਡਿਟ੍ਰੀਮੀਨੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੇ ਦੁਨੀਆਂ ਤੋਂ ਚਲੇ ਜਾਣ ਤੋਂ ਬਾਦ, ਉਸਦੇ ਵਿਦਿਅਰਥੀ ਪੀਟਰ ਟੈਇਟ ਨੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀ ਮਸ਼ਹੂਰੀ ਜਾਰੀ ਰੱਖੀ।
ਇਸ ਵਕਤ ਤੇ, ਡਬਲਿਨ ਵਿੱਚ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਇੱਕ ਜਰੂਰੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਿਸ਼ਾ ਸੀ।
ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਜੀਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇ ਜੋ ਹੁਣ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹੋਣਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਾਇਨਾਮੈਟਿਕਸ ਅਤੇ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਪੂਰੇ ਦੇ ਪੂਰੇ ਹੀ ਉਦੋਂ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਸਨ।
ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਫੈਸ਼ਨਲ ਰਿਸਰਚ ਸੰਸਥਾ “ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਸੋਸਾਇਟੀ” ਵੀ ਸੀ।
ਜੋ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਹਾਈਪਰ-ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਪ੍ਰਤਿ ਸਮਰਪਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਹੋਰ ਨਿੱਜੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਜੋਚਿਮ ਲੈਮਬੇਕ ਵੱਲੋਂ 1995 ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ।
ਉਸਨੇ ਅਪਣੇ ਲੇਖ “ਜੇਕਰ ਹੈਮਿਲਟਨ ਨੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਹੁੰਦਾ’’ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ: “ਮੇਰਾ ਅਪਣਾ ਸ਼ੌਕ ਇੱਕ ਗਰੈਜੁਏਟ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹੋਣ ਦੇ ਨਾਤੇ ਸਿਲਬਰਸਟਨ ਦੀ ਪੁਸਤਕ ਰਾਹੀਂ ਉੱਚਾ ਉੱਠਿਆ।
” ਉਸਨੇ ਇਹ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ ਲੇਖ ਮੁਕਾਇਆ “ਮੈਂ ਜੋਰਦਾਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਕਰਦਾ ਹਾਂ ਕਿ ਜੋ ਲੋਕ ਸਿਧਾਂਤਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਕੁੱਝ ਪਹਿਲੂਆਂ ਨਾਲ ਅਪਣੇ ਆਪ ਦੀ ਜਾਣ ਪਛਾਣ ਕਰਵਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ ਉਹਨਾਂ ਸ਼ੁੱਧ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਲਈ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਇੱਕ ਸ਼ੌਰਟ-ਕੱਟ ਮੁੱਹਈਆ ਕਰਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਦੋ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਪਲਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸੈੱਟ {1, , , } ਗੁਣਨਫਲ ਅਧੀਨ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਰਚਦਾ ਹੈ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ, ਦਾ ਕੋਸ਼ੰਟ ਰਿੰਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ 1 + , + , + , ਅਤੇ + ਰਾਹੀਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਇੱਥੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਂ ਵਿਚਲੀ ਪਹਿਲੀ ਰਕਮ ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ 1, , , ਅਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਰਕਮ ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ 1, , , ਅਤੇ – ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ 1, , , ਅਤੇ ਦੇ ਜੋੜ ਇਨਵਰਸ।
ਅਗਲੇ ਦਿਨ, ਹੈਮਿਲਟਨ ਨੇ ਅਪਣੇ ਦੋਸਤ ਅਤੇ ਸਾਥੀ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਜੌਹਨ ਟੀ. ਗਰੇਵਜ਼ ਨੂੰ ਚਿੱਠੀ ਲਿਖੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਸਦੀ ਖੋਜ ਲਈ ਅਗਵਾਈ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸੋਚਾਂ ਦੀ ਲੜੀ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਸੀ।
ਇਹ ਚਿੱਠੀ ਲੰਡਨ, ਐਡਿੰਬਰਘ, ਅਤੇ ਡਬਲਿਨ ਫਿਲੌਸਫੀਕਲ ਮੈਗਜ਼ੀਨ ਅਤੇ ਜਰਨਲ ਔਫ਼ ਸਾਇੰਸ, ਵੌਲੁਓਮ 15 , ਪੀ ਪੀ 489-95 ਵਿੱਚ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਛਾਪਿਆ ਗਿਆ, ਹੈਮਿਲਟਨ ਨੇ ਕਿਹਾ ਅਤੇ ਇੱਥੇ ਮੈਨੂੰ ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਪ੍ਰਗਟ ਹੋਇਆ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਜਰੂਰ ਹੀ , ਕਿਸੇ ਸਮਝ ਵਿੱਚ, ਟਰਿਪਲਾਂ ਨਾਲ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕਰਨ ਦੇ ਮਕਸਦ ਲਈ ਸਪੇਸ ਦੇ ਇੱਕ ਚੌਥੇ ਅਯਾਮ ਨੂੰ ਮੰਨ ਲੈਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ…ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸਰਕਟ ਬੰਦ ਹੁੰਦਾ ਲੱਗਿਆ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਚਿੰਗਾਰੀ ਅੱਗੇ ਝਲਕੀ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਸਿਸਟਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨੌਨ-ਕਮਿਉਟੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹੈਮਿਲਟਨ ਨੇ ਇੱਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਨੂੰ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਕੋਸ਼ੰਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੋਸ਼ੰਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ।
ਬਾਦ ਵਾਲੀ ਸ਼ਰਤ ਅਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਵਰਗ -1 ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਵੈਕਟਰ ਹੋਵੇ ਜਿਸਦਾ ਨੌਰਮ 1 ਹੋਵੇ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਹਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਦਾ ਦਿਨ ਅੰਤ ਨੂੰ ਸੋਮਵਾਰ 16 ਅਕਤੂਬਰ 1843 ਦੇ ਸਮੇਂ ਡਬਲਿਨ ਵਿੱਚ ਆ ਹੀ ਗਿਆ, ਜਦੋਂ ਹੈਮਿਲਟਨ ਰੌਇਲ ਆਇਰਿਸ਼ ਅਕੈਡਮੀ ਲਈ ਰਸਤੇ ਵਿੱਚ ਜਾ ਰਿਹਾ ਸੀ, ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਇੱਕ ਕੌਂਸਲ ਮੀਟਿੰਗ ਦੀ ਪ੍ਰਧਾਨਗੀ ਕਰਨ ਜਾ ਰਿਹਾ ਸੀ।
ਜਿਉਂ ਹੀ ਉਹ ਅਪਣੀ ਪਤਨੀ ਨਾਲ ਰੌਇਲ ਨਹਿਰ ਕਿਨਾਰੇ ਰਸਤੇ ਉੱਤੋਂ ਤੁਰਿਆ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਪਿੱਛੇ ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਉਸਦੇ ਦਿਮਾਗ ਵਿੱਚ ਅਕਾਰ ਲੈ ਰਹੇ ਸਨ।
ਜਦੋਂ ਜਵਾਬ ਉਸ ਕੋਲ ਪ੍ਰਗਟ ਹੋ ਗਿਆ, ਹੈਮਿਲਟਨ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਲਈ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ, ਰੁਕ ਕੇ ਬਰੌਘਮ ਬਰਿੱਜ ਦੇ ਪੱਥਰ ਉੱਤੇ ਨਕਾਸ਼ੀ ਕਰਨ ਤੋਂ ਨਾ ਹਟ ਸਕਿਆ,
ਇਸ ਕੰਮ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅੱਗੇ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕੰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇਲੁਰ ਦੀ ਚਾਰ-ਵਰਗ ਪਛਾਣ ਅਤੇ ਓਲਿੰਡੇ ਰੋਡ੍ਰੀਜਿਉਸ ਦੀ ਚਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਰਾਹੀ ਜਨਰਲ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਲੇਖਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਨੇ ਵੀ ਚਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਵਰਤਿਆ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਅਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਸਿਧਾਂਤ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਜਗਹ ਲਿਖਣਾ ਆਮ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮਾਂ ਵਾਂਗ ਗੁਣਨਫਲ ਵੱਲ ਲਿਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸਲਈ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਇਆ ਵੈਕਟਰ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ + + + ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 2 ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਏ ਅਤੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਕੁਆਡ੍ਰਪਲਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਏ, ਤਾਂ ਇਹਨਾ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ ਇਹ ਬਣਦੇ ਹਨ;
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਸਿਧਾਂਤਕ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗਿਕ ਗਣਿਤ ਦੋਹਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮੀ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਸ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਜ਼ਨ ਅਤੇ ਕ੍ਰਿਸਟੈੱਲੋਗ੍ਰਾਫਿਕ ਟੈਕਸਚਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ।
ਪ੍ਰੈਕਟੀਕਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਇਲੁਰ ਐਂਗਲ ਅਤੇ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼, ਜਾਂ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ, ਉਪਯੋਗ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਵਰਤੋ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਲਈ, , , ਅਤੇ , ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ 3 ਲਈ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ, ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਗੇ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਨੂੰ – ਨਾਲ, ਨੂੰ – ਨਾਲ, ਅਤੇ ਨੂੰ – ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਤੇ ਕੋਈ ਵੈਕਟਰ ਅਪਣੇ ਜੋੜ-ਉਲਟ ਦਾ ਰੂਪ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਐਡੀਟਵ ਇਨਵਰਸ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਉਸਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਕਾਰਣ ਕਰਕੇ, ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਇਨਵਰਸ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਾ, 3 ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ 3 ਦਾ ਰੇਖਾ ਗਣਿਤ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀ ਅਲਜਬਰਿਕ ਬਣਤਰ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕਈ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹੀ ਗੱਲ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨੂੰ ਉੱਥੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਵੈਕਟਰ ਪੈਦਾ ਹੋਣ।
ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਅਤੇ 3 ਕੰਪਿਊਟਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ਿਕਸਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਿਰਫ ਦੋ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ –, ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਸਕੁਏਅਰ -1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਵਿੱਚ ਮਾਇਨਸ ਇੱਕ ਦੇ ਅਨੰਤ ਤੌਰ ਤੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਰਗਮੂਲ ਹਨ: -1 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਲਈ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਹੱਲ 3 ਅੰਦਰ ਯੂਨਿਟ ਸਫੀਅਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਤਰਾਂ, , ਕਿਸੇ ਸਾਂਝੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪਲੇਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਘ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਯੂਨੀਅਨ ਨੂੰ ਮਾਈਨਸ ਇੱਕ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਸਫੀਅਰ ਉੱਤੇ ਮਨ ਵਿੱਚ ਇਹ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹੀ ਪਲੇਨ ਸਫੀਅਰ ਦੇ ਐਂਟੌਪੋਡਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਵੀ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਨੌਰਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਉਸੇ ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ 1 ਬਰਾਨਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਈਆਂ ਮਾਨਤਾਵਾਂ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ ਅਤੇ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪਾਬੰਧੀ ਰਾਹੀਂ ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਯੂਨਿਟ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਇਮੇਜ ਦੇ ਸਬਗਰੁੱਪ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਗਰੁੱਪ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ; ਦੇਖੋ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ।
ਦੋ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਅਤੇ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, ਜਿਸਨੂੰ ਹੈਮਿਲਟਨ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਨਿਯਮ ਰਾਹੀਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਡਿਸਟ੍ਰੀਨਬਿਊਟਿਵ ਨਿਯਮ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਬਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਦੋ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਅਤੇ ਨੂੰ ਦੋ ਹੋਰ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਤਕਸੀਮ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਧਾਰਨਾ / ਅਸਪਸ਼ਟ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾ ਪਾਉਂਦੀ ਕਿ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤਕਸੀਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤਕਸੀਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਦੋ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕਰਨ ਤੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਨੌਨ-ਕਮਿਊਟੇਟੀਵਿਟੀ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਆਉਂਦੀ ਹੈ।
ਇਹ ਗੱਲ ਇਹ ਵੀ ਸਾਬਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਕਮਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਕੋਲੀਨੀਅਰ ਹੋਣ।
ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਹੀ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਉਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ 4 ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਯੁਕਿਲਡਨ ਨੌਰਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੇ ਇਸਦੇ ਨੌਰਮ ਨੂੰ ਨੰਬਰ ਦੇ ਸ਼ੁੱਧ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਨਾਪ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਤੋਂ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਸੇਅਲੇਅ-ਡਿੱਕਸਨ ਬਣਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਹੈਮਿਲਟਨ ਨੇ ਇਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਾ ਟੈਂਸਰ ਕਿਹਾ ਸੀ, ਪਰ ਇਹ “ਟੈਂਸਰ” ਦੇ ਅਜੋਕੇ ਅਰਥ ਨੂੰ ਖਰਾਬ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾ ਕਰ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀਆਂ ਲੇਟਵੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਖੱਬਾ ਹਿੱਸਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕਰਦੀਆਂ ਹੋਣ ਅਤੇ ਜਿਸਦੇ ਖੜਵੇਂ ਕਾਲਮ ਸੱਜਾ ਫੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕਰਦੇ ਹੋਣ, ਜਿਵੇਂ ਇਸ ਆਰਟੀਕਲ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਲਈ ਯੂਨਿਟ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ 3-ਸਫੀਅਰ 3 ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਗਰੁੱਪ ਬਣਤਰ ਦੀ ਇੱਕ ਚੋਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗਰੁੱਪ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੇ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਕਵਰ ਪ੍ਰਤਿ ਵੀ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ 2 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ 1 ਅਤੇ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ 2 ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਇਹ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਵੀ ਹੈ।
ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਵਰਸਰ , ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਯੂਨਿਟ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਸਦਾ ਵਰਗ -1 ਹੈ।
ਇਸਤਰਾਂ, ਇਹ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਨਕਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਵਰਤੋ ਦੀ ਮਾਡਲਿੰਗ ਉੱਤੇ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ, ਦੇਖੋ "ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਅਤੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਰੋਟੇਸ਼ਨ"।
ਅਬਸਟ੍ਰੈਕਟ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਹੀ, ਤੋਂ ਤੱਕ ਇੱਕ ਇੰਜੈਕਟਿਵ ਰਿੰਗ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੈ।
ਜੜਾਂ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਜੋ ਅਤੇ – ਤੱਕ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਕਿਸੇ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਨੂੰ ਉਸੇ ਦੇ ਨੌਰਮ ਨਾਲ ਤਕਸੀਮ ਕਰਨ ਤੇ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦਾ ਵਰਸਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਹੈਮਿਲਟਨ ਨੇ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਕਿਹਾ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਕਿਹਾ।
ਸਿਰਫ ਨੈਗੈਟਿਵ ਵਾਸਤਵਿਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਹੀ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੀ ਅੰਨਤ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਗੈਰ-ਵਾਸਤਵਿਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ , ਦੀ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਸਬਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਤੇ ਇਸਤਰਾਂ ਸਕੁਏਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗੁਣਾ ਹੋਣ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਤੋਂ ਵੀ ਇਹੀ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ।
1 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦਾ ਹਰੇਕ ਜੋੜਾ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਅੰਦਰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਨਕਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਫੇਰ ਨਕਲ ਨੂੰ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;
ਤੱਥ ਕਿ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗੁਣਨਫਲ ਕਮਿਉਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਖਤ ਤਿਰਛੀ ਫੀਲਡ ਦੀ ਇੱਕ ਅਕਸਰ ਹਵਾਲਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਬਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦਾ ਨੌਰਮ ਸਬੰਧਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੰਪਲੈਕਸ ਪਲੇਨ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਦੀ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਜੋੜ ਨਾਲ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਮਾਮਲਾ ਹੈ ਕਿ ਨੌਰਮ ਗੁਣਾ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ; ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਅਤੇ ਲਈ,
ਗੁਣਾ ਹੋਣ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਕਿਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਕੰਜੂਗੇਟ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।
ਵਿਵਸਿਥ ਬੇਸਿਸ , , ਅਤੇ ਰਾਹੀਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਅਤੇ ਦਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;
ਇਹ ਨੌਰਮ ਅਤੇ ਦਰਮਿਆਨ ਡਿਸਟੈਂਸ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਫਰਕ ਦੇ ਨੌਰਮ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਵੀ ਸੰਭਵ ਕਰਦਾ ਹੈ:
2 2 ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ + + + ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;
ਦੇ ਬੇਸਿਸ 1, , , ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਨੂੰ ਕੁਆਡ੍ਰਪਲਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਸੰਭਵ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀਆਂ ਦੇ ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਟਾਂ , , ਅਤੇ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।