polyglot-tagger/wikipedia-language-snippets-filtered huggingface dataset:
അൽഗൊരിതം മേൽ വിവരിച്ച പ്രകാരമാണ് ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ വലിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ചെറിയ സംഖ്യ ഒരുപാടു പ്രാവശ്യം കുറയ്ക്കേണ്ടി വന്നേക്കാം. ആദ്യത്തെ സംഖ്യ മറ്റേതിനെക്കാൾ വളരെയധികം വലുതാണെങ്കിലാണ് ഇങ്ങനെ സംഭവിക്കുക. സംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനു പകരം ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം ഉപയോഗിച്ചാൽ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത വളരെയധികം വർദ്ധിക്കുന്നു. സംഖ്യകൾ തുല്യമാകുന്നതിനു പകരം ഒരു സംഖ്യ പൂജ്യമാകുമ്പോഴാണ് ക്രിയകൾ അവസാനിപ്പിക്കേണ്ടതെന്നു മാത്രം. ചെറിയ സംഖ്യയിൽ എത്ര അക്കങ്ങളുണ്ടോ അതിന്റെ അഞ്ചു മടങ്ങിൽ കുറവ് ക്രിയകൾ മാത്രമേ കാര്യക്ഷമമായ അൽഗൊരിതത്തിൽ വേണ്ടിവരൂ എന്ന് 1844-ൽ ഗബ്രിയേൽ ലാമേ തെളിയിച്ചു. ഇതാണ് അൽഗൊരിതങ്ങളുടെ ഗണനപരമായ സങ്കീർണ്ണതാസിദ്ധാന്തത്തിന് തുടക്കം കുറിച്ചത്. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത വർദ്ധിപ്പിക്കാനുള്ള കൂടുതൽ വഴികൾ ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ഉസാഘയെ ഈ വിധത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കാം. വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ഒരു ചതുരമെടുക്കുക, രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും ഭാജകമായ ഒരു ഉണ്ടെന്നും കരുതുക. എങ്കിൽ വശങ്ങളെ രണ്ടിനെയും നീളമുള്ള ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കാൻ സാധിക്കും, അതുവഴി ചതുരത്തെ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള സമചതുരങ്ങളായും ഭാഗിക്കാം. ഇങ്ങനത്തെ ഏറ്റവും വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമാണ് , എന്നിവയുടെ ഉസാഘ. ഉദാഹരണമായി, നീളം 60ഉം വീതി 24ഉം ഉള്ള ചതുരത്തെ 11, 22, 33, 44, 66 അഥവാ 1212 വിസ്തീർണ്ണമുള്ള സമചതുരങ്ങളായി ഭാഗിക്കാം. അതിനാൽ 24, 60 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ 12 ആണ്. 2460 ചതുരത്തെ 1212 വിസ്തീർണ്ണമുള്ള സമചതുരങ്ങളാക്കിയാൽ വീതിയുടെ ഭാഗത്ത് രണ്ടും നീളത്തിന്റെ ഭാഗത്ത് അഞ്ചും സമചതുരങ്ങളാണുണ്ടാവുക.
ഈ അൽഗൊരിതം കണ്ടുപിടിച്ചത് യൂക്ലിഡ് ആയിരിക്കാൻ സാധ്യതയില്ല, മുൻകാലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ കണ്ടെത്തലുകൾ എലിമെന്റ്സിൽ സമാഹരിച്ച കൂട്ടത്തിലുള്ളതാവാം. പൈതഗോറിയൻ സ്കൂളിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചെഴുതിയ ഒരു ഗ്രന്ഥത്തിൽ നിന്നാണ് എലിമെന്റ്സിലെ ഏഴാം പുസ്തകം ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ചരിത്രകാരനുമായ ബി. എൽ. ഫാൻ ഡെർ വേർഡൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ക്രിസ്തുവിന് 375 വർഷം മുമ്പ് നിഡസിലെ യുഡോക്സസിന് ഈ അൽഗൊരിതത്തെക്കുറിച്ച് അറിയുമായിരുന്നിരിക്കാം. യൂക്ലിഡും അരിസ്റ്റോട്ടിലും എന്ന സാങ്കേതികപദം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതിനാൽ യൂഡോക്സസിനും മുമ്പുതന്നെ അൽഗൊരിതം കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടിരിക്കാനും സാധ്യതയുണ്ട്.
പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം വേറെയും ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി. ഒരു ബഹുപദത്തിന് ഏതെങ്കിലും ഇടവേളയിൽ എത്ര വാസ്തവിക നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ടെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന സ്റ്റുർമ് ശൃംഖലകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിന് ഈ അൽഗൊരിതം സഹായകമാണെന്ന് 1829-ൽ ചാൾസ് സ്റ്റുർമ് തെളിയിച്ചു. ഒരു വാസ്തവികസംഖ്യാഗണത്തിലെ സംഖ്യകളെ ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഗുണോത്തരങ്ങൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് തുക കണ്ടാലാണ് പൂജ്യം ഫലമായി ലഭിക്കുക എന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന അൽഗൊരിതങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേതാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം. യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ പിൻഗാമികളായി ഈ ആവശ്യത്തിനായി മറ്റനേകം അൽഗൊരിതങ്ങൾ അടൂത്തകാലത്തായി കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ഈ സമവാക്യം മേൽ വിവരിച്ചതുപോലെ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമുപയോഗിച്ച് നിർദ്ധരിക്കാം. മൊഡ്യുലാർ ഗുണനവിപരീതങ്ങൾ കാണുന്നത് ഇകൊമേഴ്സിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ആർ.എസ്.എ. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ അവശ്യഭാഗമാണ്. ക്ഷേത്രങ്ങൾക്കു പകരം വലയങ്ങളാണ് ആർ.എസ്.എ. അൽഗൊരിതത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നതെങ്കിലും വലയങ്ങളിലും അംഗങ്ങളുടെ ഗുണനവിപരീതം യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമുപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം. വാർത്താവിനിമയത്തിൽ തെറ്റുകൾ തിരുത്താനുപയോഗിക്കുന്ന എറർ കറക്റ്റിങ് കോഡുകളിലും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന് ഉപയോഗമുണ്ട്. ഉദാഹരണമായി, ഗാൽവ ക്ഷേത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ബി.സി.എച്. കോഡ്, റീഡ്-സോളമൻ കോഡ് എന്നിവ ഡീകോഡ് ചെയ്യാൻ ബെർൽകാംപ്-മാസ്സേ അൽഗൊരിതത്തിനു പകരമായി ഇത് ഉപയോഗിക്കാം.
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിലെ പടികളുടെ എണ്ണം സംഖ്യകളെ ദശാംശസമ്പ്രദായത്തിലെഴുതുമ്പോളുള്ള അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അഞ്ചിരട്ടിയിൽ കൂടുകയില്ല എന്നും ഈ ഫലമുപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാം. അൽഗൊരിതം പടികളുപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ യുടെ വില ചുരുങ്ങിയത് +1 ആയിരിക്കും എന്ന് മേലെ കണ്ടല്ലോ. സുവർണ്ണാനുപാതത്തെ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചാൽ ഇതിന്റെ വില 1 എങ്കിലും വരും. 1 ആയതിനാൽ 1 എന്നു വരുന്നു. സുവർണ്ണാനുപാതത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ വില 1/5 ൽ കുറവായതിനാൽ
എന്നു കാണാം. അതായത്, 5 10. ചെറിയ സംഖ്യയായ യുടെ അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം ആണെങ്കിൽ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിൽ ഹരണങ്ങളേ ആവശ്യമായി വരൂ.
തുടക്കത്തിൽ യെക്കാൾ ചെറുതാണെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ പടി അവയെ പരസ്പരം വച്ചുമാറ്റുക മാത്രമേ ചെയ്യൂ. ഈ ക്രിയയുടെ ഫലങ്ങളായ ഹരണഫലം 0 പൂജ്യവും ശിഷ്ടം 0 യും ആയതിനാലാണിത്. അതിനാൽ 0 ആകുമ്പോഴൊക്കെ ശിഷ്ടം അതിന്റെ മുൻഗാമിയായ 1 നെക്കാൾ ചെറുതാണെന്നു വരുന്നു. ശിഷ്ടങ്ങൾ ഓരോ പടിയിലും ചെറുതാവും, എന്നാൽ ഒരിക്കലും പൂജ്യത്തിൽ കുറവാവുകയുമില്ല എന്നതിനാൽ ഒടുവിൽ ശിഷ്ടം പൂജ്യമാവുന്ന അവസ്ഥയുണ്ടാവണം. അതോടെ അൽഗൊരിതം അവസാനിപ്പിക്കുന്നു. പൂജ്യത്തിനു തൊട്ടുമുമ്പ് ലഭിച്ച ശിഷ്ടമായ 1 ആണ് , എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ. തുടക്കത്തിലെ ശിഷ്ടമായ 0നും നും ഇടയിലെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ എണ്ണം പരിമിതമായതിനാൽ ഒരിക്കലും അനന്തമാവുകയില്ല.
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന്റെ മൂലരൂപത്തിൽ ആവർത്തിച്ച് വ്യവകലനം ചെയ്തുകൊണ്ടാണ് ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവും കണ്ടിരുന്നത്. അതായത്, ഫലം 1ൽ കുറവാവുന്നതു വരെ 2ൽ നിന്ന് 1 ആവർത്തിച്ച് കുറയ്ക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം , 1 എന്നിവയെ പരസ്പരം വച്ചുമാറിയ ശേഷം പ്രക്രിയ തുടരുന്നു. ഇങ്ങനെ ആവർത്തിച്ച് വ്യവകലനം ചെയ്യുന്നതിനു പകരം ഒറ്റ ക്രിയകൊണ്ടുതന്നെ ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവും കാണാൻ യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണം വഴി സാധിക്കുന്നു. കാര്യക്ഷമത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനു പുറമെ, ഹരണഫലങ്ങൾ ആവശ്യമില്ലാത്തതിനാൽ ശിഷ്ടം മാത്രം നൽകുന്ന മോഡ്യുലോ സംക്രിയ ഉപയോഗിക്കാനും സാധിക്കുന്നു. അതിനാൽ യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണം ഉപയോഗിച്ചുള്ള അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ക്രിയകളെ ഇപ്രകാരം എഴുതാം
രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം കാര്യക്ഷമമായി കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു ഉപായമാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം അഥവാ യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം. പ്രാചീന ഗ്രീസിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന യൂക്ലിഡിന്റെ പേരിലാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്. ക്രിസ്തുവിന് മുന്നൂറ് വർഷം മുമ്പ് എലിമെന്റ്സ് എന്ന തന്റെ ഗ്രന്ഥത്തിൽ യൂക്ലിഡാണ് ആദ്യമായി ഈ രീതി വിവരിച്ചത്. ഒരു പ്രശ്നത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണത്തിന് പടിപടിയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന നിശ്ചിതമായ ക്രിയകളുടെ ശ്രേണിയായ അൽഗൊരിതത്തിന് ഉത്തമോദാഹരണമാണിത്. ഭിന്നസംഖ്യകളെ ലഘൂകരിക്കാനും സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെയും ഗൂഢാലേഖനവിദ്യയിലെയും മറ്റനേകം കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും ഈ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
+ എന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗണം ഉസാഘയുടെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗണം തന്നെയാണെന്ന് ഇതുവഴി കാണാം. അതായത്, , എന്ന സംഖ്യകളെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെക്കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് തുക കണ്ടാൽ ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗണം യുടെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗണമാണ്. അതിനാൽ , എന്നിവയുടെ ഗുണജത്തിന്റെ ജനകമാണ് അവയുടെ ഉസാഘയായ . ഉസാഘയുടെ ഈ നിർവചനമാണ് ആധുനിക അമൂർത്തബീജഗണിതത്തിലെ സങ്കല്പങ്ങളായ പ്രിൻസിപൽ ഗുണജങ്ങൾ , പ്രിൻസിപൽ ഗുണജ മണ്ഡലം എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനം.
വിന്റെ വില എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമെടുത്താൽ എന്ന ഒറ്റ നിർദ്ധാരണത്തിൽ നിന്ന് അനന്തം എണ്ണം പരിഹാരങ്ങളെല്ലാം കണ്ടുപിടിക്കാം. പരിഹാരത്തിലെ സംഖ്യകളെല്ലാം എണ്ണൽസംഖ്യകളാകണമെന്ന് നിഷ്കർഷിച്ചാൽ പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണെന്നു വരാം. ചരങ്ങളെക്കാൾ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളുള്ള ചില ഡയൊഫന്റൈൻ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് പരിമിതമായ പരിഹാരങ്ങൾ മാത്രമുണ്ടാകാൻ ഈ നിഷ്കർഷ കാരണമാകാം; പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് പകരം വാസ്തവികസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർദ്ധരിക്കുന്ന രേഖീയ സമവാക്യ വ്യവസ്ഥകളിൽ ഇത് ഒരിക്കലും സംഭവിക്കില്ല.
എന്ന രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം കണ്ടുപിടിക്കാനാണ് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഇവയുടെ ഉസാഘയാണെങ്കിൽ , എന്നിവയെ കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ ശിഷ്ടം വരാത്ത ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയായിരിക്കുമത്. ഇംഗ്ലീഷിലെ പല പേരുകളിലൊന്ന് എന്നായതിനാൽ എന്നാണ് സാധാരണയായി ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. എന്ന് കൂടുതൽ ലളിതമായി എഴുതാമെങ്കിലും വലയസിദ്ധാന്തത്തിൽ ഗുണജത്തെ സൂചിപ്പിക്കാനും ഈ പ്രതീകമുപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാകാം.
ഒന്നിലേറെ രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധരിക്കാനും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കാം. ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ ചൈനീസ് ശിഷ്ട പ്രമേയത്തിൽ കാണാം. പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ വിവരിക്കാനുള്ള ഒരു വ്യത്യസ്തമായ രീതിയാണിത്. സംഖ്യകളെ അവയുടെ അക്കങ്ങളുപയോഗിച്ച് വിവരിക്കുന്നതിനു പകരം എന്ന പരസ്പരം സഹ-അഭാജ്യമായ സംഖ്യകൾ കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടങ്ങളായ എന്നിവ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ സർവ്വസമതകളെ ഇപ്രകാരം എഴുതാം:
വലതുഭാഗത്തെ രണ്ട് പദങ്ങളും 1 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായതിനാൽ 1 അതിന്റെ അടുത്ത മുൻഗാമിയായ 3ന്റെയും ഭാജകമാണെന്നു കാണാം. ഈ വിധത്തിൽ തുടരുകയാണെങ്കിൽ 1 അതിനു മുമ്പുള്ള എല്ലാ ശിഷ്ടങ്ങളുടെയും ഭാജകമാണെന്നു വരുന്നു, ഈ ശിഷ്ടങ്ങളിൽ , എന്നിവയും പെടുന്നു എന്നത് പ്രധാനമാണ്. 1നു മുമ്പ് ലഭിച്ച ശിഷ്ടങ്ങളായ 2, 3 മുതലായവയൊന്നും തന്നെ ശിഷ്ടം വരുന്നതിനാൽ യുടെയോ യുടെയോ ഭാജകങ്ങളാവില്ല. 1 എന്നത് , എന്നിവയുടെ പൊതു ഭാജകമായതിനാൽ 1 .
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ശിഷ്ടങ്ങളായ 2, 1 എന്നിവ ഉസാഘ കാണേണ്ട സംഖ്യകളായ , എന്നിവയായിരിക്കും. അടുത്ത പടിയിൽ യും മുൻപത്തെ പടിയിലെ ഫലമായ 0 യുമാണ് ശിഷ്ടങ്ങളായി ഉപയോഗിക്കുക. ഇങ്ങനെ നമുക്ക് അൽഗൊരിതത്തെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയായി എഴുതാം
എന്ന് ലഭിക്കുന്നു. വലതുഭാഗത്തെ രണ്ട് പദങ്ങളും ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായതിനാൽ ഇടതുഭാഗമായ യും ന്റെ ഗുണിതമാണെന്നു വരുന്നു. ഈ ഫലം യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രമേയിക എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഇതിൽ നിന്നും, ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ന്റെ ഘടകമാണെങ്കിൽ ന്റെ ഒരു ഘടകമെങ്കിലും ആ അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ ഗുണിതമായിരിക്കണം എന്നു കാണാം. നേരെമറിച്ച്, എന്ന സംഖ്യ 1, 2, …, എന്നിവയോടെല്ലാം സഹ-അഭാജ്യമാണെങ്കിൽ അവയുടെ ഗുണനഫലമായ 1 2 … നോടും സഹ-അഭാജ്യമാണെന്നു വരുന്നു.
വലിയ സംഖ്യകളുടെ ഘടകക്രിയ ചെയ്യാനുപയോഗിക്കുന്ന ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ അൽഗൊരിതങ്ങളിലെ ഒരു പ്രധാന പടിയാണ് ഉസാഘ കാണുന്നത്. പൊളാർഡ്സ് റോ അൽഗൊരിതം, ഷോർ അൽഗൊരിതം, ഡിക്സൺ രീതി ലെൻസ്ട്ര എലിപ്റ്റിക് കർവ് ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ എന്നിവയെല്ലാം ഇങ്ങനെ ഉസാഘ ആവശ്യമുള്ള അൽഗൊരിതങ്ങളാണ്. ഇതിനായ ഉസാഘ കാണാൻ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കാം. സതതഭിന്ന ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതിയിൽ സതതഭിന്നങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാനും അൽഗൊരിതം സഹായിക്കുന്നു.
ശിഷ്ടത്തിന്റെ ഋണവിലകളും കൂടി ഉപയോഗിക്കുന്ന തരത്തിലും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം പ്രയോഗവൽക്കരിക്കാം. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ഒരു പടിയിൽ ലഭിക്കുന്ന ഹരണഫലത്തോട് 1 കൂട്ടുകയാണെങ്കിൽ ശിഷ്ടം ഋണസംഖ്യയായി മാറും. ഈ ഋണശിഷ്ടത്തിന്റെ കേവലവില ഹരണഫലത്തോട് 1 കൂട്ടാതെ ലഭിക്കുന്ന ധനശിഷ്ടത്തെക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ പരിഷ്കരിച്ച ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവും ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടാണ് ഈ അൽഗൊരിതം പുരോഗമിക്കുന്നത്. ഇതുവരെ
യെ യുടെയും യുടെയും രേഖീയസഞ്ചയമായി എഴുതാൻ ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടു ഭാഗങ്ങളെയും ന്റെ മാട്രിക്സ് വിപരീതത്തെക്കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതിയാകും. ഓരോ ഹരണഫല മാട്രിക്സിന്റെയും സാരണികം -1 ആയതിനാൽ അവയുടെ ഗുണനഫലമായ ന്റെ സാരണികം +1 ആണ്. ഇത് ഒരിക്കലും പൂജ്യമാവുകയില്ല എന്നതിനാൽ ന്റെ മാട്രിക്സ് വിപരീതം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും സമവാക്യം നിർദ്ധരിക്കുന്നതും എപ്പോഴും സാധ്യമാണ്.
ഇത്തരമൊരു ക്ഷേത്രത്തിലെ പൂജ്യമല്ലാത്ത അംഗമാണെങ്കിൽ അതിന് അനന്യമായ മോഡ്യുലർ ഗുണനവിപരീതം ഉണ്ടായിരിക്കും. യുടെ മോഡ്യുലർ ഗുണനവിപരീതം എന്നത് എന്ന സമവാക്യം അനുസരിക്കുന്ന 1 എന്ന സംഖ്യയാണ്. 1 , എന്ന സർവ്വസമതയ്ക്ക് നിർദ്ധാരണം കാണുന്നതു വഴി ഈ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇത് താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യം നിർദ്ധരിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്
ഓരോ ക്രിയയുടെയും ഇൻപുട്ട് 1, 2 എന്ന രണ്ട് ശിഷ്ടങ്ങളാണ്, ഇവ രണ്ടും ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകളോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കും. അൽഗൊരിതത്തിന്റെ ഓരോ പടിയിലും ശിഷ്ടങ്ങൾ കുറഞ്ഞുവരുന്നതിനാൾ 1 അതിന്റെ മുൻഗാമിയായ 2 നെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് നിർദ്ധാരണമായി എന്ന ഹരണഫലവും എന്ന ശിഷ്ടവും കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് ആമത്തെ പടിയുടെ ലക്ഷ്യം.
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം പൂർത്തീകരിക്കാനെടുക്കുന്ന ശരാശരി പടികളുടെ എണ്ണത്തെ മൂന്ന് രീതിയിൽ നിർവചിക്കാം. വലിയ സംഖ്യയായ നിർണ്ണയിച്ച ശേഷം ചെറിയ സംഖ്യയായ യെ 0 മുതൽ 1 വരെയുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് തുല്യ സംഭാവ്യതയോടെ തിരഞ്ഞെടുത്താൽ അൽഗൊരിതത്തിനാവശ്യമായ ശരാശരി പടികളുടെ എണ്ണമെടുക്കുകയാണ് ഒരു വഴി. ഇതിനെ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിലെ സമവാക്യങ്ങൾ വിപരീതക്രമത്തിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഹരണഫലങ്ങളായ 0, 1 മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച് , എന്നിവയുടെ വിലകൾ കണക്കുകൂട്ടാം. അവസാനത്തെ സമവാക്യത്തിനു തൊട്ടു മുമ്പത്തേത് അനുസരിച്ച് യുടെ വില ഹരണഫലമായ 1, മുമ്പത്തെ രണ്ട് പടികളിലെ ശിഷ്ടങ്ങളായ 2 , 3 എന്നിവയുടെ വിലകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാം
യും ഇവ്വിധം അവിച്ഛിന്നമായിരിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ട്. ഇത്തരം ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകളൊഴിവാക്കാൻ യെ 0 മുതൽ 1 വരെയുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ വച്ച് യോട് സഹ-അഭാജ്യമായുള്ളവ മാത്രമെടുത്ത് ശരാശരി പടികളുടെ എണ്ണം കാണാം, ഇതിനെ
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ എല്ലാ ഭാഷ്യങ്ങളിലും വച്ച് ഇതിനാണ് ഏറ്റവും കുറവ് പടികൾ ആവശ്യമായി വരിക എന്ന് ലിയോപോൾഡ് ക്രോണെക്കർ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, , എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ കാണാനാവശ്യമായ പടികളുടെ എണ്ണം ഏറ്റവും കുറവാകുന്നത് ആവുന്ന തരത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോഴാണ് .
ഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ മറ്റൊരു ബൈനറി ട്രീ ആയ കാൽകിൻ-വിൽഫ് ട്രീയുമായും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന് ബന്ധമുണ്ട്. പഥം വിപരീതക്രമത്തിലാണ് നിർമ്മിക്കുന്നത് എന്നതാണ് വ്യത്യാസം: അതായത്, ട്രീയുടെ മൂലത്തിൽ നിന്ന് സംഖ്യയുടെ ശീർഷത്തിലേക്കുള്ള പഥത്തിനു പകരം സംഖ്യയുടെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ട്രീയുടെ മൂലത്തിലേക്ക് പോകുന്നു.
യുടെയും യുടെയും ഉസാഘയാണ് എന്നിരിക്കട്ടെ. + യിലെ രണ്ട് പദങ്ങളും യുടെ ഗുണിതങ്ങളായതിനാൽ യും ഗുണിതമായിരിക്കണമെന്നു വരുന്നു, അല്ലാത്തപക്ഷം സമവാക്യത്തിന് നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ടാവില്ല. സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടു ഭാഗത്തെയും / കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ സമവാക്യം ബെസു അനന്യതയുടെ രൂപത്തിലേക്കു മാറുന്നു
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മാത്രം നിർദ്ധാരണങ്ങളായി എടുക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ് ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലെ അലക്സാണ്ട്രിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന ഡയോഫാന്റസിന്റെ പേരിലാണ് ഇവ അറിയപ്പെടുന്നത്. രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് സാധാരണ ഗതിയിൽ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രൂപമാണുണ്ടാവുക
എന്ന ശിഷ്ടങ്ങളുപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് ലക്ഷ്യം. ഈ സമവാക്യങ്ങളെയെല്ലാം കൂട്ടിച്ചേർത്ത് എന്ന മാപാങ്കങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായ മാപാങ്കമായുള്ള ഒറ്റ രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യമായി മാറ്റുക വഴി ഇത് സാധിക്കാം. ഒഴികെയുള്ള മാപാങ്കങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തെ എന്ന് വിളിക്കുക:
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം പ്രയോഗിക്കുന്ന മിക്ക അവസരങ്ങളിലും ബെസു അനന്യത അത്യന്താപേക്ഷിതമാണ്. പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുന്ന രീതി അനന്യമാണെന്ന അങ്കഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം ഇതിന്നുദാഹരണമാണ്.
അവസാനത്തെ ശിഷ്ടം പൂജ്യമായതിനാൽ 1071,462 എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘയായി 21 കണ്ടുപിടിച്ച് അൽഗൊരിതം അവസാനിക്കുന്നു. എന്നിങ്ങനെ സംഖ്യകളുടെ ഘടകക്രിയ ചെയ്താൽ ഈ ഉത്തരം ശരിയാണെന്നു കാണാം. അൽഗഗൊരിതത്തിലെ പടികൾ ഇവിടെ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു
സാധാരണ ഗതിയിൽ ഒരു രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം പൂജ്യമോ അനന്തമോ ആണ്. പരിഹാരങ്ങൾ അനന്തമാണെങ്കിൽ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതെങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം. ഒരേ രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണങ്ങളാണ് , എന്നു കരുതുക. അതായത്,
ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ബെസു അനന്യതയിലെ ഗുണോത്തരങ്ങളാണെന്ന് ഗണിതീയാഗമനം വഴി തെളിയിക്കാം. 1 പടികൾ വരെ സമാവർത്തനബന്ധം ശരിയാണെന്ന് കരുതുക. അതായത്, യുടെ വില യിൽ കുറവാകുമ്പോഴൊക്കെ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സമവാക്യം ശരിയാണെന്നിരിക്കട്ടെ
ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിൽ 2, 3 എന്നിവയ്ക്കു പകരം ഈ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുഭാഗങ്ങൾ കൊടുത്താൽ യെ ശിഷ്ടങ്ങളായ 4, 5 എന്നിവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയമായി എഴുതാം. തുടക്കത്തിലെ സംഖ്യകളായ , എന്നിവ എത്തുന്നതു വരെ ഈ പ്രക്രിയ തുടരുന്നു:
ഇവിടെ എന്നത് യെക്കാൾ ചെറുതും യോട് സഹ-അഭാജ്യവുമായ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണമാണ്, ഇതിനെ ഓയ്‌ലറുടെ ടോഷ്യന്റ് ഫലനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ ശരാശരി യുടെ വില വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് ഏതാണ്ട് ക്രമമായാണ് വർദ്ധിക്കുന്നത്
ബെസു അനന്യതയിലെ , എന്ന ഗുണോത്തരങ്ങളെ വികസിത യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം. യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തോട് രണ്ട് സമാവർത്തന സമവാക്യങ്ങൾ ചേർത്താണ് ഇത് സാധിക്കുന്നത്
അതായത്, രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുടെ വിലകൾക്കിടയിലുള്ള കുറഞ്ഞ വ്യത്യാസം / യും വിലകൾക്കിടയിലുള്ള കുറഞ്ഞ വ്യത്യാസം / യുമാണ്. അതായത്, സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണങ്ങളെ സാമാന്യരൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെയെഴുതാം:
ഇവിടെ യുടെ കേവലവില 1ന്റേതിനെക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം. യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണത്തിന് അടിസ്ഥാനമായ പ്രമേയം ഈ നിഷ്കർഷയോടെ ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവും കണ്ടുപിടിക്കുന്നത് സാധ്യമാണെന്നും ഫലം അനന്യമാണെന്നും പറയുന്നു.
എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു. സമാവർത്തനബന്ധം 2, 1 എന്നിവയ്ക്ക് ശരിയാണെന്നാണ് ഗണിതീയാഗമനത്തിൽ സങ്കല്പിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്നതിനാൽ അവയെ യോജിച്ച , വിലകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എഴുതാം
യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രമേയിക ഉപയോഗിച്ച് ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ഘടകക്രിയ അനന്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാം. ഇങ്ങനെയല്ല, നെ , വീതം ഘടകങ്ങളുള്ള രണ്ട് രീതികളിൽ ഘടകക്രിയ ചെയ്യാം എന്ന് കരുതുക
ഓരോ പടിയിലെയും /1 എന്ന ശിഷ്ടങ്ങളുടെ അനുപാതത്തെ ഇങ്ങനെ അടുത്ത സമവാക്യമുപയോഗിച്ച് വികസിപ്പിക്കാം. അവസാനത്തെ സമവാക്യവും ഇങ്ങനെ ഉപയോഗിച്ചു കഴിയുമ്പോൾ ഒരു സതതഭിന്നം ലഭിക്കുന്നു
ഓരോ സമവാക്യത്തിന്റെയും വലതുഭാഗത്തെ രണ്ടാമത്തെ പദം അടുത്ത സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുഭാഗത്തിന്റെ വ്യുൽക്രമമാണ്. അതിനാൽ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളെയും ഈ വിധത്തിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കാം
ഇവിടെ , , എന്നിവ തന്നിരിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്; , എന്നിവ കണ്ടൂപിടിക്കേണ്ട പൂർണ്ണസംഖ്യകളും. ഇതിനെ മോഡ്യുലർ അങ്കഗണിതമുപയോഗിച്ച് നുള്ള സമവാക്യമായി എഴുതാം:
സതതഭിന്നങ്ങളുമായും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിന് അടുത്ത ബന്ധമുണ്ട്. അൽഗൊരിതത്തിലെ പടികളുടെ സമവാക്യങ്ങളെ ഇപ്രകാരവും എഴുതാം:
ഇത് ശരിയാണെന്ന് നേരിട്ട് കണക്കുകൂട്ടിയാൽ കാണാൻ വിഷമമില്ല. ഇപ്രകാരം ഏത് ഭിന്നകസംഖ്യയുടെയും സതതഭിന്നരൂപം യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമുപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം.
മാട്രിക്സ് രീതി , എന്ന സംഖ്യകളെ തത്തുല്യമായ മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ചും കണ്ടുപിടിക്കാം. യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതത്തിലെ പടികളിലെ സമവാക്യങ്ങളായ
ആദ്യ പടിയായി , എന്നിവയുടെ ഭാജകമാണ് 1 എന്ന് ഇപ്രകാരം തെളിയിക്കാം. ആദ്യമായി, 1 അതിന്റെ മുൻഗാമിയായ 2ന്റെ ഭാജകമാണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക
എന്ന സംഖ്യകൾ എന്നിവയുടെ ഗുണനവിപരീതങ്ങളായതിനാൽ മുൻപത്തെ ഭാഗത്ത് വിവരിച്ചതുപോലെ അവയെ യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതമുപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം.
മൂന്നോ അധികമോ സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ അവയുടെ പൊതുവായ അഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമാണ്. സംഖ്യകളെ ഈരണ്ടെണ്ണമായെടുത്ത് ഉസാഘ കണ്ടാലും മതി. ഉദാഹരണമായി,
ആവുന്ന അവസരത്തിൽ യ്ക്കു പകരം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഓരോ പടിയിലും താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന നിഷ്കർഷ അനുസരിക്കുന്ന അൽഗൊരിതം ലഭിക്കുന്നു:
ഉദാഹരണമായി, 3/4 ന്റെ ശീർഷത്തിലെത്താൻ ട്രീയുടെ മൂലത്തിൽ തുടങ്ങി ഇടത്തേക്ക് ഒരു തവണയും തുടർന്ന് വലത്തേക്ക് രണ്ടു തവണയും നീങ്ങുന്നു:
എന്ന സമവാക്യത്തിൽ ആണെന്നായിരുന്നു നാം കല്പിച്ചിരുന്നത്. എന്നാൽ ഇതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി ഒരു ഋണശിഷ്ടം ഇപ്രകാരം കണ്ടുപിടിക്കാം:
ആമത്തെ പടിയിൽ 1, 2 എന്നീ സംഖ്യകളുപയോഗിച്ച് ഹരണഫലമായ യും ശിഷ്ടമായ യും കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് ചെയ്യേണ്ടത്.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് നിർദ്ധാരണത്തിലെ പ്രധാന പടി
എന്ന സമവാക്യത്തിന് നിർദ്ധാരണമായി , എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കാനാകും. സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടു ഭാഗവും കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ
അടുത്ത പടിയിൽ 21-ന്റെ ഗുണിതങ്ങളെ 147ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു. ഏഴ് തവണ കുറച്ചാൽ ഒന്നും ബാക്കി വരാതെ സംഖ്യ പൂജ്യമാവും:
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ പ്രയോഗം സ്യൂഡോകോഡ് ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് ഹരണം ഉപയോഗിക്കുന്ന അൽഗൊരിതം ഇപ്രകാരം എഴുതാം
എന്നിവയെ ഹരണഫലങ്ങളുടെ 22 മാട്രിക്സുകളെക്കൊണ്ട് ശിഷ്ടങ്ങളുടെ ദ്വിമാന സദിശങ്ങളെ ഗുണിക്കുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം
അൽഗൊരിതത്തിന്റെ തുടക്കത്തിലെ 2, 1 എന്നീ ശിഷ്ടങ്ങൾക്കും സമാവർത്തനസമവാക്യം ശരിയായതിനാൽ ഒടുവിൽ ആമത്തെ പടിയിൽ
ഇതേ രീതിയിൽ വലതുഭാഗത്തെ ശിഷ്ടങ്ങളെ മുൻ പടികളിലെ ഹരണഫലങ്ങളുടെയും ശിഷ്ടങ്ങളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ എഴുതാം
യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം സമാവർത്തനമുപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു
1860-1865 കാലഘട്ടത്തിൽ അമേരിക്കൻ പ്രസിഡന്റായിരുന്ന അബ്രഹാം ലിങ്കന്റെ ഘാതകനാണ് ജോൺ വിൽകിസ് ബൂത്ത്. മെറിലാന്റ് സ്വദേശിയായ ഇയാൾ ഒരു നാടകനടനായിരുന്നു, ഒപ്പം വംശവെറിയനും. അമേരിക്കയിലെ തെക്കൻ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ അനുകൂലിയുമായിരുന്നു ബൂത്ത്. തെക്കൻ സംസ്ഥാനങ്ങളിൽ നിലനിന്നിരുന്ന അടിമത്തം ലിങ്കൺ അവസാനിച്ചപ്പോൾ ആ സംസ്ഥാനങ്ങൾ വിഘടിക്കുവാൻ കാരണമായി. ഈ വിഘടിത സംസ്ഥാനങ്ങളെ ലയിപ്പിക്കുവാൻ ലിങ്കൺ മുൻ‌കൈഎടുത്തത് അദ്ദേഹത്തോട് ആ‍ ജനതയ്ക്കുള്ള വിരോധം വർദ്ധിക്കുവാൻ ഇടയായി. നാടകനടനായിരുന്ന ബൂത്ത് 1864 ൽ തന്നെ നാടകാഭിനയം നിർത്തലാക്കിയിരുന്നു. വിഘടിച്ച സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ വിജയത്തിനു വേണ്ടി പ്രവർത്തിക്കുവാൻ ബൂത്ത് ലക്ഷ്യമിട്ടു. ലിങ്കണെ വധിച്ചശേഷം അമേരിക്കയുടെ പിടിയിൽ നിന്നും തെക്കിനെയും വടക്കിനെയും സ്വതന്ത്രമാക്കാമെന്നും ബൂത്ത് ഊഹിച്ചു. ഇതു മൂലം ചരിത്രം തന്നെ വിമോചകനായി വാഴ്ത്തുമെന്നും അടിമത്തത്തെ അനുകൂലിക്കുന്ന വെള്ളക്കാരുടെ പിന്തുണ തനിക്കുണ്ടാകുമെന്നും ബൂത്ത് കരുതി. വൈറ്റ് ഹൌസിലെ ചാ‍രന്മാർ മുഖേന ലിങ്കണിന്റെ എല്ലാപരിപാടികളും ബൂത്ത് അറിഞ്ഞുകൊണ്ടിരുന്നു.
12 ദിവസത്തിനു ശേഷം ബൂത്ത് ഒളിച്ചിരുന്ന പുകയിലപ്പുര സൈന്യം വളഞ്ഞ് ഒളിച്ചിരുന്ന ഇടത്തിനു തീവെച്ചു. പുക മൂലം പുറത്തുവന്ന ബൂത്തിനെ സൈന്യം വെടിവെച്ചു കൊന്നു. ലിങ്കന്റെ തലയ്ക്ക് വെടിയേറ്റ അതേഭാഗത്തു തന്നെയാണ് ബൂത്തിനും വെടിയേറ്റത്. ഗൂഢാലോചനയിൽ പങ്കാളികളായ മറ്റുള്ളവരും പിടിക്കപ്പെട്ടു. മേരി സുറാത്ത്, ഡേവിഡ് ഹരോൾഡ്, ലൂയിസ് തോർട്ടൺ പവൽ, ജോർജ്ജ് അറ്റ്സറോട്ട് എന്നിവരെ വധശിക്ഷയ്ക്കും ഡോ:സാമുവൽ മഡിനെ ജീവപര്യന്തത്തിനും വിധിച്ചു.
ലിങ്കണെ തട്ടിക്കൊണ്ടുപോയി ബന്ദിയാക്കി കോൺഫെഡറേറ്റ് യുദ്ധത്തടവുകാരെ മോചിപ്പിക്കുകയായിരുന്നു ബൂത്തിന്റെ പ്രഥമലക്ഷ്യം. ഇതിനായി അദ്ദേഹം ഡോ:സാമുവൽ മഡ്സ്സ്, ജോൺ സുറാത്ത്, ഡേവിഡ് ഹരോൾഡ്, ലൂയിസ് തോർട്ടൺ പവൽ, ജോർജ്ജ് അറ്റ്സറോട്ട് തുടങ്ങിയവരുമായി ഗൂഢാലോചന നടത്തി. 1865 മാർച്ച് 17 ന് നിശ്ചയിച്ചിരുന്ന ഇവരുടെ ഓപ്പറേഷൻ പാളുകയാണുണ്ടായത്. യാത്രാപരിപാടിയിൽ മാറ്റം വരുത്തിയതുമൂലം സംഘം കാത്തു നിന്ന വഴിയിലൂടെ ലിങ്കൺ വന്നില്ല.
കറുത്ത വർഗ്ഗക്കാർക്ക് വോട്ടവകാശം നൽകുമെന്നെ ലിങ്കണിന്റെ പ്രഖ്യാപനം ബൂത്തിനെ പ്രകോപിതനാക്കി. അദ്ദേഹത്തെ വധിക്കുവാൻ ബൂത്തിനെ ഇതു പ്രേരിപ്പിച്ചു. സെക്രട്ടറി ഓഫ് സ്റ്റേറ്റ് സെവാർഡിനെ വധിക്കാൻ പവലിനെയും വൈസ് പ്രസിഡന്റിന് ആൻഡ്രൂ ജോൺസനെ വധിക്കാൻ അറ്റ്സറോട്ടിനെയും ചുമതലപ്പെടുത്തി. രാഷ്ട്രത്തെ പ്രതിസന്ധിയിലേക്ക് തള്ളിവിടുക എന്നതായിരുന്നു ബൂത്ത് ലക്ഷ്യമിട്ടിരുന്നത്.
ഫോർഡ് തീയേറ്ററിൽ ' ' എന്ന നാടകം കണ്ടുകൊണ്ടിരിക്കുമ്പോളായിരുന്നു ലിങ്കൺ വധിക്കപ്പെടുന്നത്. ഫോർഡ് തീയേറ്ററിൽ നാടകങ്ങൾ അഭിനയിച്ച ആളായതിനാൽ ബൂത്തിനെ വാതിലിൽ ആരും തടഞ്ഞില്ല. തന്റെ കുതിരയെ പുറത്തുനിർത്തി അകത്ത് പ്രവേശിച്ച ബൂത്ത് ലിങ്കണിന്റെ തലക്കുനേരെ നിറയൊഴിച്ചു.തുടർന്ന് കുതിരയിൽ കയറി രക്ഷപെടുകയും ചെയ്തു.
കൂടുതൽ വിളവു തരുന്നതും രോഗപ്രതിരോധശേഷി കൂടുതലുള്ളതുമായ സങ്കരയിനം ചെടികൾ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കുന്ന സാങ്കേതികവിദ്യയ്ക്ക് വർഷങ്ങളോളം പഴക്കമുണ്ട്.ജീനുകളുടെ ഘടനയിൽ മാറ്റം വരുത്തുന്ന മ്യൂട്ടേഷൻ എന്ന രീതിയാണ് അതിലൊന്ന്.മ്യൂട്ടേഷൻ സ്വാഭാവിക രീതിയിലോ കൃത്രിമമായ രീതിയിലോ നടത്താം.ടിഷ്യൂ കൾചർ സാങ്കേതിക വിദ്യയിലൂടെ ഒരു കോശത്തിൽ നിന്നും പൂർണ സസ്യത്തെ ഉണ്ടാക്കുന്ന വിദ്യയാണ് മറ്റൊന്ന്. ആണവ വികിരണങ്ങൾ മ്യൂട്ടേഷനുവേണ്ടി ഉപയോഗിക്കാമെന്ന കണ്ടുപിടിത്തം ഈ രംഗത്തെ ഒരു നാഴികക്കല്ലാണ്.
1980 കളുടെ തുടക്കത്തിൽ ഈ രംഗത്ത് വിപ്‌‌ളവം സംഭവിച്ചു.അമേരിക്കയിലെ വാഷിംഗ്ടൺ സർവ്വകലാശാല ,മോൺസാന്റോ കമ്പനി, ബെൽജിയത്തിലെ റിജക്സ് സർവകലാശാല ,വിസ്കോൺസിൽ സർവകലാശാല എന്നി ഗവേഷണ കേന്ദ്രങ്ങളിലെ ഗവേഷകർ ട്രാൻസ്ജനിക് സസ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കിയെടുത്തതായി അവകാശവാദമുന്നയിച്ചു. 1983 ൽ ഒരേചെടിയുടെ രണ്ട് ഇനങ്ങൾ തമ്മിൽ ജീനുകൾ മാറ്റിവച്ചതായി വിൻകോൺസിൻ സർവകലാശാല അവകാശവാദമുയർത്തി.
പുകയിലച്ചെടികളുടെ പുതിയ ഇനമായിരുന്നു ആദ്യ മൂന്നു ഗവേഷണ കേന്ദ്രങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത്.എന്നാൽ വിൻകോൺസിൽ സർവ്വകലാശാലയിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരായ ജോൺ കെംപും തിമോത്തി ഹാളും പയർചെടിയുടെ ജീനിനെ സൂര്യകാന്തിച്ചെടിയിൽ കടത്തിവിട്ട് പരീക്ഷണം നടത്തുകയുണ്ടായി.
1980 കളിൽ ബൽജിയത്തിലെ പ്ളാന്റ് ജനിറ്റിക് സിസ്റ്റംസ് എന്ന സ്ഥാപനം കീടങ്ങളെ ചെറുക്കാൻ കഴിവുള്ള പുകയിലച്ചെടി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത് അത്ഭുതാവഹമായ നേട്ടമായിരുന്നു.പുകയിലയിൽ ബാസിലസ് തുരിഞ്ചിയൻസിസ് എന്നയിനം ബാക്ടീരിയയുടെ ജീൻ കടത്തിവിട്ടാണ്പുകയിലച്ചെടിയിൽമാറ്റമുണ്ടാക്കിയത്. ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരായ മാർക് വാൻ മൊണ്ടേഗും ജെഫ് ഷെല്ലുമായിരുന്നു ഇതിനുംപിന്നിൽ.
ജനിതകമാറ്റം വരുത്തിയ വിളകൾ വാണിജ്യാടിസ്ഥാനത്തിൽ ആദ്യമായി കൃഷിചെയ്യാൻ ആരംഭിച്ചത് ചൈനയിലാണ്.1992 ൽ വൈറസുകളെ ചെറുക്കാൻ കരുത്തുറ്റ പുകയില ചെടികളാണ് കൃഷിചെയ്തത്. ഭക്ഷ്യവിളകളിൽ വിപണിയിലെത്തിയ ജി.എം ഫുഡ് അമേരിക്കയിലെ ഫ്ളേവർ സേവർ എന്ന ഇനം തക്കാളിയാണ്.കാൽജിൻ എന്ന അമേരിക്കൻ ബയോടെക്നോളജി കമ്പനിയാണ് ഈ തക്കാളി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത്.ചീഞ്ഞുപോവാതെ ഏറെ നാൾ സൂക്ഷിക്കാനാകും എന്നുള്ളതായിരുന്നു ഇതിന്റെ പ്രത്യേകത്.1995ൽ ജനിതകപരിവർത്തനം നടത്തിയ ഉരുളക്കിഴങ്ങ് വിപണിയിലെത്തി.
2009 ലെ കണക്കനുസരിച്ച് ഇപ്പോൾ 11 ഇനം ജി.എം.വിളകൾ കൃഷി ചെയ്യുന്നുണ്ട് .അമേരിക്ക , ചൈന , ബ്രസീൽ, അർജന്റീന, കാനഡ തുടങ്ങിയ രാജ്യങ്ങളിൽ ജി.എം വിളകൾ കൃഷിചെയ്യുന്നു
ഏതൊരു ജീവിയുടെയും കോശമർമ്മത്തിലെ ഡി.എൻ. എയിൽ വരുത്തുന്ന മാറ്റങ്ങളാണ് ജനിറ്റിക് മോഡിഫിക്കേഷൻ പ്രക്രിയയുടെ അടിസ്ഥാന തത്ത്വം. സസ്യത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ഡി.എൻ.എയിൽ മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തുകയോ പുതിയ ചില ജീനുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ ചെയ്താണ് ജനിതകമാറ്റങ്ങൾ സാധ്യമാക്കുന്നത്.
മനുഷ്യരിലെയും മറ്റു ജന്തുജാലങ്ങളിലെപ്പോലെയും സസ്യങ്ങളിലും പാരമ്പര്യമായി കൈമാറ്റം ചെയ്തു വരുന്ന ഒന്നാണ് ജീനുകൾ.ചെടികളിലും അവ എത്രമാത്രം പൊക്കം വയ്ക്കണം ,എപ്പോൾ പുഷ്പിക്കണം ,കായ്ക്കണം ,ഏതു നിറത്തിലുള്ള് കായ്കൾ ഉണ്ടാവണം എന്നൊക്കെ തീരുമാനിക്കുന്നത് കോശങ്ങളിലെ ജീനുകൾ തന്നെയാണ്. ജീനുകൾ ചെടിയിൽ നിന്നും വിത്തുകളിലേക്ക് ജീനുകൾ കൈമാറുന്നു.പ്രകൃതി സ്വാഭാവികമായി നടത്തുന്ന ഈ പ്രക്രിയയിൽ കൃതൃമമായി മാറ്റങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന സാങ്കേതിക വിദ്യയാണ് ജനിറ്റിക് എഞ്ചിനീയറിംഗ് എന്നു പറയുന്നത്.ചെടിയുടെ സ്വാഭാവിക ജീനുകളിൽ ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാർ പുതിയ ജീനുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.ഇത്തരം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്ന ജീനുകൾ ചിലപ്പോൾ ബാക്ടീരിയയിൽ നിന്നുള്ളവയായിരിക്കും.ചില പ്രത്യേകതരം ബാക്ടീരിയകൾക്ക് കീടങ്ങളെ ചെറുക്കുവാനുള്ള ശക്തിയുണ്ടാകും .അത്തരം ബാക്ടീരിയയിലെ ജീനുകളെ ശാസ്ത്രീയമായി വേർതിരിച്ചെടുത്ത് അവ സസ്യങ്ങളുടെ ജീനുകളിൽ സന്നിവേശിപ്പിക്കുകയും അങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന ചെടിയുടെ വിത്തുകൾ മുളച്ചുവരുന്ന ചെടികൾക്ക് കീടങ്ങളെ ചെറുക്കുവാൻ ശേഷിയുണ്ടാകുന്നു.
സങ്കരയിനങ്ങളിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായാണ് ജി.എം വിളകളുടെ സൃഷ്ടി. ഇത്തരം വിളകളുടെ കൂട്ടത്തിലെ ഭക്ഷണയോഗ്യമായ ധാന്യങ്ങളെയും പഴങ്ങളെയും പച്ചക്കറികളെയും ജിം.എം ഫൂഡ് എന്നു പറയുന്നു. ജനിതകസാങ്കേതിക വിദ്യ ഉപയോഗിച്ച് സസ്യത്തിന്റെ ജീനുകളിൽ മാറ്റം വരുത്തിയാണ് ജി.എം വിള ഉണ്ടാക്കുന്നത്. ഇതിന് പല മാർഗ്ഗങ്ങളുണ്ട്. ബാക്ടീരിയയിൽ നിന്നും മറ്റും ജീനുകളെ വേർതിരിച്ച് അവ ചെടികളുടെ കോശങ്ങളിൽ കടത്തിവിടുകയാണ് ഒരു രീതി. ഇങ്ങനെ ജനിതകവ്യതിയാനം വരുത്തിയ ചെടികൾക്ക് ട്രാൻസ് ജനിക് സസ്യങ്ങൾ എന്ന പേരും ഉണ്ട്. പ്രകൃതിയിൽ അതുവരെ ഇല്ലാത്ത ഒരു ചെടിയായിരിക്കും ട്രാൻസജനിക് സസ്യം. അതായത് പ്രകൃതിയിലുള്ള ഒന്നിന്റെ പരിഷ്കരിച്ച പതിപ്പ്. കാർഷികവിളകൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള ചെടികൾക്ക് കൂടുതൽ ഗുണങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയാണ് ഇതിലൂടെ ലക്ഷ്യമിടുന്നത്. ചില പ്രത്യേകതരം ജീവികളുടെ ആക്രമണങ്ങളിൽ നിന്നും രക്ഷിക്കാനോ ചില പ്രത്യേക കാലാവസ്ഥാമാറ്റങ്ങളെ അതിജീവിക്കാനോ കഴിവുള്ളവയാണ് ജി.എം വിളകൾ.
സാധാരണഭക്ഷണം ഉണ്ടാക്കുന്നതിലും വലിയ യാതൊരു ദൂഷ്യഫലങ്ങളും മനുഷ്യർക്ക് ജനിതകപരിവർത്തനം വരുത്തിയ ഭക്ഷണം ഉണ്ടാക്കുന്നില്ലെന്ന് ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരുടെ ഇടയിൽ അഭിപ്രായ ഐക്യമുണ്ട്. എന്നാൽ ഓരോ ഭക്ഷണപദാർത്ഥവും വെവ്വേറെ തന്നെ പരീക്ഷിച്ചുനോക്കിയിട്ടേ പുറത്തിറക്കാവൂ എന്നും ശാസ്ത്രജ്ഞർ അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ ജനസാമാന്യം, ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ വാദങ്ങൾ അത്രയ്ക്ക് മുഖവിലയ്ക്കെടുക്കുന്നില്ല. നിയപരവും നിയന്ത്രണപരവുമായി ജനിതകമാറ്റം വരുത്തിയ ഭക്ഷണങ്ങൾക്ക് പലരാജ്യങ്ങളിലും വ്യത്യസ്ത കാഴ്‌ചപ്പാടുകളാണ്. പല രാജ്യങ്ങളും അവയെ നിരോധിക്കുമ്പോൾ മറ്റു പലയിടങ്ങളിലും വ്യത്യസ്തതരത്തിലുള്ള നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഉണ്ട്. ജനങ്ങളുടെ ഉത്കണ്ഠകളിൽ, ഭക്ഷണത്തിന്റെ സുരക്ഷിതത്വം, ഭക്ഷ്യസുരക്ഷ, നിയന്ത്രണങ്ങൾ, പരിസ്ഥിതിപ്രശ്നം, ഗവേഷണരീതികൾ, കുത്തകവൽക്കരണം എല്ലാം പെടുന്നു.