polyglot-tagger/wikipedia-language-snippets-filtered huggingface dataset:
പ്രധാനമന്ത്രിയാണ് ഭരണത്തലവൻ. പാർലമെന്റിലെ നാലിൽ മൂന്ന് അംഗങ്ങളെങ്കിലും ഉൾപ്പെട്ട കോറം കൂടിച്ചേർന്ന് വോട്ടെടുപ്പുനടത്തിയാണ് പ്രധാനമന്ത്രിയെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത്. പ്രധാനമന്ത്രി മന്ത്രിസഭയെ നിയമിക്കും. മന്ത്രിസഭാംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം പാർലമെന്റംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരുപത്തഞ്ച് ശതമാനത്തിൽ കൂടാൻ പാടില്ല എന്ന് വ്യവസ്ഥയുണ്ട്. പ്രധാനമന്ത്രിയും മന്ത്രിസഭയുമാണ് എക്സിക്യൂട്ടീവ് ഭരണസംവിധാനത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങൾ.
വാനുവാടുവിലെ പ്രധാന മതം ക്രൈസ്തവവിശ്വാസമാണ്. പല സഭകൾ ഇവിടെ നിലവിലുണ്ട്. പ്രെസ്ബൈറ്റേറിയൻ സഭയിലാണ് ജനസംഖ്യയുടെ മൂന്നിലൊന്നും വിശ്വസിക്കുന്നത്. റോമൻ കത്തോലിക്കാസഭയും ആംഗ്ലിക്കൻ സഭയും മറ്റുപ്രധാന വിഭാഗങ്ങളാണ്. ഈ സഭകളിൽ വിശ്വസിക്കുന്നവർ 15% വീതം വരും. സെവൻ‌ത് ഡേ അഡ്വന്റിസ്റ്റ് സഭ, ചർച്ച് ഓഫ് ക്രൈസ്റ്റ്, നീൽ തോമസ് മിനിസ്ട്രീസ് തുടങ്ങി മറ്റു പല വിഭാഗങ്ങളുമുണ്ട്.
വാനുവാട്ടുവിൽ നീണ്ട മഴക്കാലമാണുള്ളത്. ഏകദേശം എല്ലാ മാസത്തിലും നല്ല മഴയുണ്ടാകാറുണ്ട്. ഡിസംബർ മുതൽ ഏപ്രിൽ വരെയുള്ള സമയമാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ മഴ ലഭിക്കുന്നത്. ചുഴലിക്കൊടുങ്കാറ്റുകൾ ഉണ്ടാകുന്നതും ഈ സമയത്തുതന്നെ. ജൂൺ മുതൽ സെപ്റ്റംബർ വരെയാണ് ഏറ്റവും വരണ്ട മാസങ്ങൾ. സാധാരണയായി മഴ 2360 മില്ലീമീറ്ററാണെങ്കിലും വടക്കൻ ദ്വീപുകളിൽ ഇത് 4000 വരെയാകാറുണ്ട്.
"ഭൂമി" അല്ലെങ്കിൽ "വീട്" എന്നർത്ഥം വരുന്ന വാനുവ എന്ന പദത്തിൽ നിന്നാണ് വാനുവാട്ടു എന്ന പേര് ഉദ്ഭവിച്ചിരിക്കുന്നത്. പല ഓസ്ട്രണേഷ്യൻ ഭാഷകളിലും ഈ പദം നിലവിലുണ്ട്. ടു എന്ന വാക്കിന്റെ അർത്ഥം നിൽക്കുക എന്നാണ്. രാജ്യത്തിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിനെയാണ് ഈ രണ്ടു പദങ്ങളും ഒരുമിച്ചുപയോഗിക്കുമ്പോൾ വിവക്ഷിക്കുന്നത്.
ഏഷ്യൻ ഡെവലപ്മെന്റ് ബാങ്ക് സാമ്പത്തികനില വളർന്നുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണെന്ന് റിപ്പോർട്ട് ചെയ്തിരുന്നു. വൈദ്യുതി ഉത്പാദനം നടത്തുന്നത് സ്വകാര്യമേഖലയിലായതിനാൽ പസഫിക് പ്രദേശത്തെ ഏറ്റവു കൂടുതൽ വൈദ്യുതി നിരക്കുകൾ ഇവിടെയാണത്രേ. ദുർബലമായ ഭരണസംവിധാനവും അധികമായ ഇടപെടലുകളും ഉത്പാദനക്ഷമത കുറയ്ക്കുന്നുണ്ടത്രേ.
ദ്വീപിൽ മൊബൈൽ ഫോൺ സേവനം ലഭ്യമാക്കുന്നത് ടി.വി.എൽ., ഡിജിസെൽ എന്നീ കമ്പനികളാണ്. സർക്കാറാപ്പീസുകളിൽ ഇ മെയിൽ, ടെലിഫോൺ, ഇന്റർനെറ്റ്, വീഡിയോ കോൺഫറൻസിംഗ് എന്നീ സൗകര്യങ്ങൾ സജ്ജമാക്കാനായി ഭരണകൂടത്തിന്റെ നിയന്ത്രണത്തിലുള്ള ഒരു സംവിധാനം ഇപ്പോൾ സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്.
2009 ഒക്ടോബർ 7-നും 8-നുമിടയ്ക്ക് ഇടത്തരം മുതൽ വലിയതുവരെയായ പല ഭൂചലനങ്ങളും ഇവിടെയുണ്ടായി. സുനാമി ഭീതിയുണ്ടാവുകയും ഭീമൻ തിരമാലകളുണ്ടാവാൻ സാദ്ധ്യതയുണ്ട് എന്ന താക്കീത് 11 രാജ്യങ്ങളിലെ ജനങ്ങൾക്ക് നൽകുകയുമുണ്ടായി. വലിയ സുനാമികൾ രൂപപ്പെടാത്തതിനാൽ പിന്നീട് ഇത് പിൻവലിച്ചു.
പ്രവിശ്യകൾക്ക് സ്വയംഭരണാധികാരമുണ്ട്. പ്രൊവിൻഷ്യൽ കൗൺസിലുകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന തിരഞ്ഞെടുത്ത ഭരണകൂടങ്ങ‌ളാണ് ഭരണം നടത്തുന്നത്. പ്രധാനമന്ത്രി നിയമിക്കുന്ന ഒരു എക്സിക്യൂട്ടീവ് ഉദ്യോഗസ്ഥനാണ് എക്സിക്യൂട്ടീവ് വിഭാഗമേധാവി. പ്രവിശ്യകളെ മുനിസിപ്പാലിറ്റികളായി തിരിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ഈ ഭൂചലനങ്ങളുണ്ടായത് ഓസ്ട്രേലിയ പ്ലേറ്റ്, പസഫിക് പ്ലേറ്റ് എന്നിവ തമ്മിലുള്ള അതിർത്തിയിലാണ്. 35 കിലോമീറ്റർ ആഴത്തിലായിരുന്നു ഭൂചലനത്തിന്റെ പ്രഭവകേന്ദ്രം. പസഫിക് റിംഗ് ഓഫ് ഫയർ എന്നുവിളിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിലാണ് വാനുവാടുവിന്റെ സ്ഥാനം.
ഓസ്ട്രേലിയ, യൂറോപ്യൻ യൂണിയൻ, ന്യൂസിലാന്റ് എന്നിവയുമായി വാനുവാടുവിന് ശക്തമായ സാമ്പത്തിക സാംസ്കാരിക ബന്ധങ്ങളുണ്ട്. പോലീസ് സംവിധാനമു‌ൾപ്പെടെയുള്ള സഹായങ്ങൾ ന‌ൽകുന്നത് ഓസ്ട്രേലിയയാണ്. പോലീസിന് ഒരു അർദ്ധസൈനിക വിഭാഗവുമുണ്ട്.
ഏഷ്യൻ ഡെവലപ്മെന്റ് ബാങ്ക്, ലോകബാങ്ക്, അന്താരാഷ്ട്ര നാണ്യനിധി, ഏജൻസ് ഡെ കോഓപറേഷൻ കൾചറെൽ എറ്റ് ടെക്‌നിക്വ, ല ഫ്രാങ്കോഫോണി കോമൺവെൽത്ത് ഓഫ് നേഷൻസ് എന്നിവയിൽ വാനുവാടു അംഗമാണ്.
ഇംഗ്ലീഷ് സംസാരിക്കുന്നവരും ഫ്രഞ്ച് സംസാരിക്കുന്നവരുമായി ഭരണകൂടവും സമൂഹവും വിഭജിക്കപ്പെട്ട നിലയിലാണ്. കൂട്ടുകക്ഷി ഭരണകൂടങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നതിൽ ഈ വ്യത്യാസം തടസ്സമാകാറുണ്ട്.
കന്നുകാലിവളർത്തലും ഇറച്ചി കയറ്റുമതിയും നടക്കുന്നുണ്ട്. ശരാശരി ഒരു കുടുംബത്തിൽ 5 പന്നികളും 16 കോഴികളുമുണ്ടാവും. വാണിജ്യപരമായി മൃഗങ്ങളെ വളർത്തുന്ന 30 ഫാമുകൾ ഇവിടെയുണ്ട്.
വാനുവാടുവിന് ബ്രിട്ടനിൽ ഹൈക്കമീഷൻ നിലവിലില്ല. ബ്രിട്ടീഷ് ഫ്രണ്ട്സ് ഓഫ് വാനുവാടു എന്ന സംഘടനയാണ് വാനുവാടുവിൽ നിന്ന് ഇവിടെയെത്തുന്ന സന്ദർശകരെ സഹായിക്കുന്നത്.
ദേശീയഭാഷ ബിസ്‌ലാമ ആണ്. ഔദ്യോഗിക ഭാഷകൾ ബിസ്‌ലാമ, ഇംഗ്ലീഷ്, ഫ്രഞ്ച് എന്നിവയാണ്. പഠനത്തിനുപയോഗിക്കുന്ന പ്രധാന ഭാഷകൾ ഇംഗ്ലീഷും ഫ്രഞ്ചുമാണ്.
വിനോദസഞ്ചാരം ഒരു പ്രധാന വരുമാനമാർഗ്ഗമാണ്. സ്കൂബ ഡൈവിംഗാണ് ഇവിടുത്തെ ഒരു പ്രധാന ആകർഷണം. വിനോദസഞ്ചാരമേഖല നന്നായി വികസിക്കുന്നുണ്ട്.
1987 ലും 1996 ലും അദ്ദേഹം ഇരവിപുരം മണ്ഡലത്തിൽ നിന്ന് നിയമസഭയിലേക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു. 1998ൽ അദ്ദേഹം ജലവിഭവ, തൊഴിൽ വകുപ്പുകളുടെ ചുമതലയുള്ള മന്ത്രിയായി അധികാരമേറ്റു. ഇ.കെ.നായനാർ മന്ത്രിസഭയുടെ കാലത്ത് വി.പി രാമകൃഷ്ണപിള്ള തൊഴിൽ, ജലവിഭവ മന്ത്രിയായിരിക്കെയാണ് തൊഴിലാളി ക്ഷേമത്തിനായുള്ള 'ലേബർ അജണ്ട" ഇദംപ്രഥമമായി സംസ്ഥാനത്ത് കൊണ്ടുവന്നത്.
കേരളത്തിലെ പ്രമുഖനായ രാഷ്ട്രീയ പ്രവർത്തകനും മുൻ ജലസേചന - തൊഴിൽ വകുപ്പ് മന്ത്രിയുമായിരുന്നു വി.പി. രാമകൃഷ്ണപിള്ള. ആർ.എസ്.പി. സംസ്ഥാന സെക്രട്ടറിയുമായിരുന്ന ഇദ്ദേഹം എട്ടും പത്തും കേരള നിയമസഭകളിലെ അംഗവുമായിരുന്നു.
അഷ്ടമുടി കൊയ്‌വേലി കുടുംബത്തിൽ പരമേശ്വരൻപിള്ളയുടെയും ഭാർഗവി അമ്മയുടെയും മകനായി 1931-ലാണ് വി പി. രാമകൃഷ്ണപിള്ള ജനിച്ചത്. പ്രാക്കുളം എൻ എസ് എസ് ഇംഗ്ളീഷ് സ്കൂളിലും തിരുവനന്തപുരം എം. ജി കോളേജിലുമായിരുന്നു വിദ്യാഭ്യാസം.
പഞ്ചമുഖ വാദ്യം എന്നും അറിയപ്പെടുന്ന ഈ വാദ്യോപകരണം വലിയ ലോഹനിർമിതമായ ഒരു ഭരണിയുടെ രൂപത്തിലാണ് നിർമ്മിക്കുന്നത്. പ്രത്യേക പീഠത്തിലോ നാലുചക്രങ്ങളുള്ള ഒരു സംവിധാനത്തിലോ ആണ് ഈ വാദ്യം സ്ഥാപിക്കുന്നത്. അഞ്ച് മുഖങ്ങൾക്കും ശിവന്റെ മുഖങ്ങളുടെ പേരുകളാണത്രേ നൽകപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്. ഈശാനം, തത്പുരുഷം, അഘോരം, വാമദേവം, സദ്യോജാതം എന്നിങ്ങനെയാണ് മുഖങ്ങളുടെ പേരുകൾ. ഓടുകൊണ്ടുണ്ടാക്കുന്ന ഭാഗത്തുനിന്ന് അഞ്ച് നാളികൾ മുകളിലേയ്ക്ക് ഉയർന്നു നിൽക്കും. ഇവ മൃഗത്തോലുകൊണ്ടാണ് മൂടിയിരിക്കുന്നത്. തോൽ മുറുക്കിയ മുഖങ്ങളെല്ലാം സാധാരണഗതിയിൽ ഒരേ നിരപ്പിലായിരിക്കും. ചില ഉപകരണങ്ങളിൽ മദ്ധ്യത്തിലുള്ള മുഖം മറ്റു മുഖങ്ങളേക്കാൾ അൽപ്പം ഉയർന്നാണ് നിൽക്കുന്നത്.
മിഴാവ് എന്ന മലയാള പദം തമിഴിലെ മുഴവം എന്ന പദത്തിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതായിരിക്കണം. ചോഴമണ്ഡലം എന്നറിയപ്പെട്ട, തമിഴ്‌നാട്ടിലെ ചോഴ രാജഭരണ പ്രദേശങ്ങളിലെ ശിവക്ഷേത്രങ്ങളിൽ മാത്രം ബി.സി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു മുതൽ പഞ്ചമുഖ വാദ്യം, ഐം-മുഖ മുഴവം എന്നീ പേരുകളിൽ ഉപയോഗിച്ചു വന്ന തോൽ വാദ്യോപകരണമാണ് പഞ്ചമുഖ മിഴാവ്. തമിഴ് സാഹിത്യത്തിൽ കുടമുഴ, കുടപഞ്ചമുഖി എന്നിങ്ങനെ പല പേരുകളിൽ പരാമർശിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള പഞ്ചമുഖ മിഴാവ് ഇന്ന് തമിഴ്‌നാട്ടിലെ വിരലിലെണ്ണാവുന്ന ചില മഹാക്ഷേത്രങ്ങളിൽ മാത്രമാണുപയോഗിക്കുന്നത്.
അഞ്ചു വ്യത്യസ്ത ശബ്ദങ്ങൾ പുറപ്പെടുവിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വാദ്യോപകരണമാണ് പഞ്ചമുഖമിഴാവ് അഥവാ കടമുഴ. പഞ്ചമുഖവാദ്യം, ഐം-മുഖ മുഴവം, കടപഞ്ചമുഖി എന്നീ പേരുകളുമുണ്ട്. മണ്ണുകൊണ്ട് ഘടാകൃതിയിൽ മെനഞ്ഞെടുത്ത പ്രധാനഭാഗവും അതിനു മുകളിലായി നാട്ടിയിരിക്കുന്ന അഞ്ച് നാളികളുമാണ് ഇതിന്റെ ഭാഗങ്ങൾ. വലിച്ചുമുറുക്കിയിരിക്കുന്ന മൃഗചർമ്മത്തിൽ ശബ്ദമുണ്ടാക്കിയാണ് ഈ മിഴാവ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. താണ്ഡവനൃത്തം, ചടുലനൃത്തങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്ക് ഈ വാദ്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു, പ്രായേണ അന്യം നിൽക്കുന്ന വാദ്യവാദന സമ്പ്രദായമാണ് പഞ്ചമുഖമിഴാവിന്റേത്.
തിരുവാരൂർ, തിരുത്തുറൈപൂണ്ടി എന്നിവിടങ്ങളിലെ രണ്ടു ക്ഷേത്രങ്ങളിൽ ഇന്നും പഞ്ചമുഖ മിഴാവ് ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. തിരുവാരൂർ ക്ഷേത്രത്തിലുള്ള പഞ്ചമുഖ മിഴാവ് ഏറെ സവിശേഷതകളുള്ളതാണ്. പാമ്പു വരിഞ്ഞു മുറുക്കിയതു പോലെയാണ് ഈ മിഴാവിന്റെ ഒരു മുഖം രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. രണ്ടാമത്തെ മുഖം സ്വസ്തിക ചിഹ്നം പോലെയും, മൂന്നാമത്തെ മുഖം താമരപ്പൂവിന്റെ ആകൃതിയിലും, നാലാമത്തെ മുഖം സാധാരണ രൂപത്തിലുമാണെങ്കിൽ, നടുവിൽ ഉള്ള അഞ്ചാമത്തെ മുഖം താരതമ്യേന കൂടുതൽ വലിപ്പം ഉള്ളതായി കാണുന്നു.
രണ്ട് കൈകളുമുപയോഗിച്ചാണ് ഈ ഉപകരണം വായിക്കുന്നത്. ഒറ്റയ്ക്കും ശുദ്ധമദ്ദളത്തിനൊപ്പവും വായിക്കാറുണ്ട്. തബലയുടെ ശബ്ദവുമായി ഇതിന് സാമ്യമുണ്ടത്രേ. മൃഗത്തോൽ അയയ്ക്കുകയോ മുറുക്കുകയോ ചെയ്ത് ശബ്ദം നിയന്ത്രിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ വാദ്യം വായിക്കാൻ പരമ്പരാഗതമായി അനുവാദം ലഭിച്ചവരെ പരശൈവർ എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്.
അവർണ്ണ ലെൻസുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വർണ്ണവിപഥനം കുറക്കാവുന്നതാണ്. രണ്ടോ അതിലധികമോ വ്യത്യസ്ത ലെൻസുകൾ പ്രത്യേകവിധത്തിൽ കൂട്ടിയുപയോഗിച്ച് അവർണ്ണ ലെൻസുകൾ നിർമ്മിക്കാം. ഇതിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ലെൻസുകളുടെ അപവർത്തനസ്ഥിരാങ്കവും മറ്റു സ്വഭാവങ്ങളൂം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഒരു ഉത്തല ലെൻസ് വയലെറ്റ് നിറത്തെ ഫോകൽ ദൂരത്തിൽ നിന്നും ഇടത്തേക്ക് ഫോകുസ് ചെയ്യുമ്പൊൾ അവതല ലെൻസ് അതിനെ വലത്തേക്ക് ഫോകസ് ചെയ്യുന്നു. ഇവ ഒരുമിച്ച് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ആദ്യത്തെ ലെൻസിന്റെ വിപഥനത്തിന്റെ ഫലം രണ്ടാമത്തെ ലെൻസ് ഇല്ലാതാക്കുന്നു. ഇത്തരം ധന, ഋണ വിപഥനം ഉള്ള ലെൻസുകൾ യോജിപ്പിച്ചാണു അവർണ്ണ ലെൻസുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത്.
വർണ്ണവിപഥനം പല നിറങ്ങൾക്ക് പല ദൂരത്തിൽ പ്രതിബിംബങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നതിനു കാരണമാകുന്നു. വിവിധ തരംഗദൈർഘ്യങ്ങളുടെ അക്ഷീയ പ്രതിബിംബങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള തിരശ്ചീന ദൂരത്തെയാണ് അക്ഷീയ വർണ്ണവിപഥനം എന്നു പറയുന്നത്. പ്രതിബിംബത്തിലാകമാനം അക്ഷീയ വർണ്ണവിപഥനത്തിന്റെ ഫലം കാണപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ പ്രതിബിംബങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ഊർധ്വതനദൂരമായ അനുദൈർഘ്യ വർണ്ണവിപഥനം മദ്ധ്യത്തിൽ ഇല്ലാതിരിക്കുകയും അറ്റങ്ങളിൽ കൂടുതലായി കാണുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഒരു ലെൻസിന് അതിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന പ്രകാശത്തിലെ എല്ലാ വർണ്ണങ്ങളെയും ഒരേ ദൂരത്തിൽ ഫോക്കസ് ചെയ്യാൻ കഴിയാതെ വരുന്ന അവസ്ഥയെ ആണ് വർണ്ണവിപഥനം എന്നു വിളിക്കുന്നത്. തരംഗദൈർഘ്യത്തിനനുസരിച്ച് ലെൻസിന്റെ അപവർത്തനാങ്കത്തിൽ മാറ്റം വരുന്നത് കാരണമാണ് ഇത് സംഭവിക്കുന്നത്. ഫോക്കസ് ദൂരം അപവർത്തനസ്ഥിരാങ്കവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
പത്തനംതിട്ട ജില്ലയിലെ വള്ളിക്കോട് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഒരു ക്ഷേത്രമാണ് തൃക്കോവിൽ ശ്രീ പത്മനാഭസ്വാമി ക്ഷേത്രം.വള്ളിക്കോട് തൃക്കോവിൽ ശ്രീ പത്മനാഭസ്വാമി ക്ഷേത്രം,തിരുവനന്തപുരം ശ്രീ അനന്ത പത്മനാഭസ്വാമി ക്ഷേത്രത്തിനു ശേഷം ഇതേ ഗണത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന രണ്ടാമത്‌ ശ്രീ പത്മനാഭസ്വാമി ക്ഷേത്രമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു.പത്തനംതിട്ട ജില്ലയിലെ കൈപ്പട്ടൂരിൽ നിന്നും രണ്ടര കിലോമീറ്റർ അകലെയായി പന്തളം - കോന്നി പാതയ്ക്ക് സമീപത്താണ് ക്ഷേത്രം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ചതുർബാഹുവായ പത്മനാഭസ്വാമി പ്രധാന പ്രതിഷ്ഠയായ ക്ഷേത്രത്തിൽ ശങ്കരനാരായണൻ, പരമശിവൻ, ഗണപതി, ദേവി, നാഗരാജാവ്-നാഗയക്ഷി, ബ്രഹ്മരക്ഷസ്, മാടസ്വാമി തുടങ്ങിയ ഉപപ്രതിഷ്ഠകളുമുണ്ട്.
അതേസമയം പല വീക്ഷണതലങ്ങളിൽ നിന്നു വായിക്കാവുന്ന ഈ കവിതയെ കേവലം സാമ്രാജ്യത്വത്തിന്റെ സ്തോത്രഗീതമായി കാണുന്നത് ലളിതവൽക്കരിക്കപ്പെട്ട വായനയാണെന്നു കരുതുന്നവരുണ്ട്. ആക്ഷേഹാസ്യരചനകളുടെ കൂടി ചരിത്രമുള്ള കിപ്ലിംഗ് ഈ കവിതയിൽ വംശമേന്മയുടെ ഘോഷണത്തിന്റെ നാട്യത്തിൽ സാമ്രാജ്യത്വമനോഭാവത്തെ ഹാസ്യാനുകരണത്തിലൂടെ വിമർശിക്കുകയാണെന്നും അവർ വാദിക്കുന്നു. സാമ്രാജ്യത്വസംവേദനയുടെ ചിത്രീകരണത്തിൽ കിപ്ലിംഗ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്, എല്ലാ മനുഷ്യോദ്യമങ്ങളേയും നിലനില്പില്ലാത്ത വൃഥാപ്രയത്നമായി കാണുന്ന സന്ദേഹവാദിയുടെ വക്രോക്തിയാണെന്നും ചൂണ്ടിക്കാണിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.
ഇതരജനതകളെ അവരുടെ നന്മക്കു വേണ്ടി ഭരിക്കാൻ യൂറോപ്യൻ വംശജരെ ആഹ്വാനം ചെയ്യുന്ന 'ചുമട്', വംശഗർവിന്റേയും, വികസ്വരരാജ്യങ്ങളിൽ മേധാവിത്വം സ്ഥാപിക്കാനുള്ള പ്രവണതയുടേയും പ്രതീകമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പ്രസിദ്ധീകരണത്തിന് ഒരു നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷവും ഈ കവിത പലവിധത്തിലുള്ള തീവ്രപ്രതികരണങ്ങൾ ഉണർത്തിക്കൊണ്ട് പ്രസക്തി നിലനിർത്തുന്നു. "വെളുത്ത മനുഷ്യന്റെ ചുമട്" എന്ന ആശയത്തിന്റെ വിപരീതാർത്ഥത്തിലുള്ള പ്രയോഗം പാശ്ചാത്യകൊളോണിയൽ പൈതൃകത്തിന്റെ വിമർശനത്തിൽ സാധാരണമാണ്.
സമമിതികളുടെ ഗണവും സംക്രിയയായ ഫലനമിശ്രണവുമുപയോഗിച്ച് ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ എപ്രകാരം അനുസരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം:
ഏത് രണ്ട് സമമിതികളുടെ മിശ്രണവും ഒരു സമമിതി തന്നെയായിരിക്കണമെന്നാണ് സംവൃതിനിയമം അനുശാസിക്കുന്നത്. അതായത്, , എന്നിവ സമമിതികളാണെങ്കിൽ • എന്നതും ഒരു സമമിതിയായിരിക്കണം. ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികയിലെ അംഗങ്ങളെല്ലാം സമമിതികളാണ് എന്നതിൽ നിന്ന് ഈ ഗ്രൂപ്പ് സംവൃതിനിയമം അനുസരിക്കുന്നുവെന്ന് കാണാം
രണ്ടിൽക്കൂടുതൽ സമമിതികളെ മിശ്രണം ചെയ്യേണ്ടിവരുന്ന അവസരത്തിലാണ് സാഹചര്യനിയമം പ്രസക്തമാവുന്നത്. , , എന്നിങ്ങനെ 4 ലെ മൂന്ന് അംഗങ്ങളെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ മൂന്ന് സമമിതികളെ ക്രമത്തിൽ മിശ്രണം ചെയ്ത് പുതിയൊരു സമമിതി നിർമ്മിക്കുന്നത് രണ്ട് വിധത്തിലാകാം : ആദ്യം , എന്നിവയെ മിശ്രണം ചെയ്ത് ഒറ്റ സമമിതിയാക്കി അതിനെ യോട് മിശ്രണം ചെയ്യാം, അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യം , എന്നിവയെ മിശ്രണം ചെയ്ത് യെ ഈ സമമിതിയോട് മിശ്രണം ചെയ്യാം. ഈ രണ്ട് രീതികളും ഒരേ ഫലം നൽകുമെന്നാണ് സാഹചര്യനിയമം പറയുന്നത്.
സമചതുരത്തെ വ്യത്യാസമില്ലാതെ നിലനിർത്തുന്ന എന്ന സമമിതിയാണ് ഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം. ഏതൊരംഗത്തിനും മുമ്പോ ശേഷമോ പ്രയോഗിച്ചാൽ ആ അംഗം തന്നെ ലഭിക്കും. അതായത്,
ഒരു അംഗം സമചതുരത്തിൽ വരുത്തുന്ന മാറ്റങ്ങൾ തിരസ്കരിക്കുന്ന അംഗത്തെയാണ് അതിന്റെ വിപരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. സമചതുരത്തിന്റെ മേൽ ഏതൊരു സമമിതി പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിലും ഫലങ്ങൾ മറ്റൊരു സമമിതി ഉപയോഗിച്ച് തിരസ്കരിക്കാൻ സാധിക്കും. തൽസമകമായ , പ്രതിഫലനങ്ങളായ , , , , 180 പരിക്രമണമായ 2 എന്നിവ അവയുടെ തന്നെ വിപരീതങ്ങളാണ്. അതായത്, ഇവയിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു സമമിതി രണ്ടു തവണ പ്രയോഗിച്ചാൽ സമചതുരം ആദ്യമുണ്ടായിരുന്ന അവസ്ഥയിൽ തന്നെ തിരിച്ചെത്തും. പരിക്രമണങ്ങളായ 3, 1 എന്നിവ പരസ്പരം വിപരീതങ്ങളാണ് - കാരണം, സമചതുരത്തെ 90 പരിക്രമണം ചെയ്ത ശേഷം 270 പരിക്രമണം ചെയ്താൽ സമചതുരം ആകെ 360 ഡിഗ്രി പരിക്രമണം ചെയ്യപ്പെടുകയും പൂർവ്വാവസ്ഥയിൽ തിരിച്ചെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. അതായത്,
ഈ സമമിതികളെയെല്ലാം ഫലനങ്ങൾ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം. ഓരോ ഫലനവും സമചതുരത്തിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിനെയും സമമിതിയനുസരിച്ചുള്ള പുതിയ സ്ഥാനത്തേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നു. ഉദാഹരണമായി 1 സമമിതിയെ കുറിക്കുന്ന ഫലനം ഓരോ ബിന്ദുവിനെയും സമചതുരത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിനു ചുറ്റും 90ഘടികാരദിശയിൽ പരിക്രമണം ചെയ്യിച്ചാലുള്ള സ്ഥാനത്തേക്കാണ് കൊണ്ടുപോവുക. രണ്ട് സമമിതികളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഫലനങ്ങളെ മിശ്രണം ചെയ്താൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലനവും ഒരു സമമിതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതായിരിക്കും. സമചതുരത്തിന്റെ സമമിതികൾ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു : ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ 4 ആണിത്. ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഗണം മേല്പറഞ്ഞ സമമിതിഫലനങ്ങളുടെ ഗണവും ദ്വയാങ്കസംക്രിയ ഫലനമിശ്രണവുമാണ്. സമചതുരത്തിനുമേൽ എന്ന സമമിതി പ്രയോഗിച്ച ശേഷം എന്ന സമമിതി പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെ ഇപ്രകാരമാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്:
വിവിധ ശാഖകളിൽ നിന്നുള്ള ഈ ആശയങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം എന്ന ഗണിതശാഖയാക്കി ഒരുമിച്ചുചേർക്കുന്നത് ആരംഭിച്ചത് കാമിൽ ജോർഡാൻ 1870-ൽ എഴുതിയ എന്ന ഗ്രന്ധത്തോടെയാണ്. 1870-ൽ വാൽത്തെർ ഫോൺ ഡിക്ക് അമൂർത്തഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ആദ്യമായി ആധുനിക നിർവചനം നൽകി. പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ പ്രാതിനിധ്യസിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങൾ നടത്തിയ ഫെർഡിനാൻഡ് ജോർജ് ഫ്രോബീനിയസ്, വില്യം ബേൺസൈഡ് എന്നിവരും റിച്ചാർഡ് ബ്രോവർ, ഐസക് ഷൂർ എന്നിവരുടെ പഠനങ്ങളും ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടോടെ ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ഇടയിൽ പൊതുസമ്മിതി നേടുന്നതിൽ സഹായിച്ചു. ഹെർമൻ വെയ്ൽ, ഏലീ കാർട്ടൻ ഉൾപ്പെടെയുള്ളവർ ലീ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം വിപുലീകരിച്ചു. ലീ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ബീജഗണിതത്തിലെ ഇരട്ടയായ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളുടെ പഠനം 1930-കളിൽ ക്ലോഡ് ഷെവാലെ തുടങ്ങിവെക്കുകയും അർമാൻഡ് ബോറെൽ, ഴാക് റ്റിറ്റ്സ് എന്നിവർ അത് മുന്നോട്ടുകൊണ്ടുപോവുകയും ചെയ്തു.
ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുടെ സമമിതികൾ വിശദീകരിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളാണ് സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ. സമമിതികൾ മുകളിൽ വിശദീകരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിലേതുപോലെ ജ്യാമിതീയമോ ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണങ്ങളുടേതുപോലെ ബീജീയമോ ആകാം. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തെ സമമിതികളുടെ പഠനമായി കാണാവുന്നതാണ്. സമമിതികൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഗണിതവ്യൂഹങ്ങളുടെ പഠനത്തിൽ വളരെയേറെ സഹായിക്കുന്നു. ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഏതെങ്കിലും ഗണിതവസ്തുവിനുമേൽ ഗ്രൂപ്പ് നിയമത്തിനനുസൃതമായ ഏതെങ്കിലും ക്രിയ ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പ് ഗണിതവസ്തുവിനുമേൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, താഴെ വലതുഭാഗത്തായി കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഘടനയുടെമേൽ ത്രികോണഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യുന്ന ക്രിയ പച്ചനിറത്തിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളെ ക്രമചയത്തിന് വിധേയമാക്കുകയാണ്. ഗ്രൂപ്പ് പ്രവർത്തനം വഴി ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഘടന അത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഗണിതവസ്തുവിന്റെ ഘടനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ അവയുടെ തുകയായ + യും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കും. ഈ സ്വഭാവത്തെ സംവൃതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു
ആയിരിക്കും. അതായത്, യും യും തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയെ യോടു കൂട്ടിയാലും, യെ യും യും തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയോടു കൂട്ടിയാലും കിട്ടുന്ന ഫലം തുല്യമായിരിക്കും. ഇതിനെ സാഹചര്യനിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു
ഗ്രൂപ്പിലെ രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ഹരണഫലം ഒരു പ്രത്യേക ഉപഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമാണെങ്കിൽ ആ അംഗങ്ങളെ സമാനമായി കണക്കാക്കാവുന്ന അവസരങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണമായി, മുകളിൽ വിശദീകരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ 4 ന്റെ കാര്യമെടുക്കുക. സമചതുരത്തിനുമേൽ ഒരു പ്രതിഫലനം പ്രയോഗിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ അതിനെ പിന്നീട് പരിക്രമണങ്ങൾ കൊണ്ട് മാത്രം 2 എന്ന അവസ്ഥയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാനാകില്ല. അതായത്, സമചതുരത്തിനുമേൽ ഒരു പ്രതിഫലനം നടന്നിട്ടുണ്ടോ എന്നത് പരിക്രമണങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നില്ല. ഈ ആശയത്തിന്റെ വിപുലീകരണമാണ് സഹഗണങ്ങൾ. എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിനെ മുഴുവനായി എന്ന ഏതെങ്കിലും ഗ്രൂപ്പംഗം കൊണ്ട് ചെയ്തതിന്റെ ഫലമായി സഹഗണങ്ങളെ മനസ്സിലാക്കാം. എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ എന്ന അംഗമടങ്ങിയ ഇടതുസഹഗണവും വലതു സഹഗണവും യഥാക്രമം
ഷിക്കാഗോ സർവകലാശാലയുടെ 1960-61 ലെ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്ത വർഷാചരണത്തിന്റെ ഭാഗമായി ഡാനിയൽ ഗോറൻസ്റ്റൈൻ, ജോൺ ജി. തൊംപ്സൺ, വാൾട്ടർ ഫെയ്റ്റ് ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തജ്ഞർ ഒരുമിച്ചു. ഇവരുടെ കൂട്ടായ്മയാണ് മറ്റനേകം ഗണിതജ്ഞരുടെ സഹായത്തോടെ 1982-ൽ എല്ലാ പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളുടെയും വർഗ്ഗീകരണം സാധിച്ചെടുത്തത്. വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ തെളിവിന്റെ വലിപ്പത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും ഇത് തെളിയിക്കുന്നതിൽ ഭാഗഭാക്കായ ഗവേഷകരുടെ എണ്ണത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും ഈ പദ്ധതി അതുവരെ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരുന്ന എല്ലാ ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളെയും കവച്ചുവെച്ചു. ഈ വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ തെളിവ് ലളിതവൽകരിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ ഇപ്പോഴും നടന്നുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്. മറ്റനേകം ശാസ്ത്ര, ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖകളെ സ്വാധീനിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഇന്നും ഏറെ ഗവേഷണങ്ങൾ നടക്കുന്ന വിഷയമാണ്.
ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയായതിനാൽ യുടെ ഗുണിതമല്ലാത്ത രണ്ട് സംഖ്യഗളുടെ ഗുണനഫലവും യുടെ ഗുണിതമായിരിക്കുകയില്ല. അതിനാൽ ഈ ഗ്രൂപ്പ് സംവൃതിനിയമമനുസരിക്കുന്നുവെന്ന് കാണാം. ഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം സാധാരണ ഗുണനത്തിലേതുപോലെ 1 ആണ്. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ സാഹചര്യനിയമം ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയയിലേക്കും പകർന്നുകിട്ടുന്നു. നാലാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണം പാലിക്കപ്പെടണമെങ്കിൽ യുടെ ഗുണിതമല്ലാത്ത ഏതൊരു യ്ക്കും · 1 , അതായത് യുടെ ഗുണിതമാണ്
ഉപഗ്രൂപ്പുകളെയും ഘടകഗ്രൂപ്പുകളെയുമുപയോഗിച്ച് ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പിനെയും അതിന്റെ പ്രെസന്റേഷൻ വഴി വർണ്ണിക്കാവുന്നതാണ്. ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പും അതിന്റെ ജനകങ്ങളുടെ സ്വതന്ത്രഗ്രൂപ്പിനെ അതിന്റെ ബന്ധങ്ങളുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൊണ്ട് ഹരിച്ചുകിട്ടുന്ന ഘടകഗ്രൂപ്പാണ്. 4 എന്ന ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകങ്ങൾ എന്ന ഒരു 90 പരിക്രമണവും എന്ന ഒരു പ്രതിഫലനവുമാണ് - അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റേതംഗത്തെയും ഈ അംഗങ്ങളുടെയും അവയുടെ വിപരീതങ്ങളുടെയും മേൽ ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ പ്രയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ അംഗങ്ങളോടൊപ്പം
എന്ന ബന്ധങ്ങളും കൂടി ഉപയോഗിച്ചാൽ ഗ്രൂപ്പിനെ പൂർണ്ണമായി വർണ്ണിക്കാം. ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാനും അതിന്റെ പ്രെസന്റേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സാധിക്കും.
മേലെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളിൽ നിന്നും മുന്നോട്ടുപോകണമെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഘടനയെക്കുറിക്കുന്ന കൂടുതൽ ആശയങ്ങളുപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഗ്രൂപ്പിൽ നാം ചേർക്കുന്ന ഏതൊരു ഘടനയും ഒരു തരത്തിൽ ഗ്രൂപ്പ് സംകാരകവുമായി ഒത്തുപോകുന്നതും ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളനുസരിക്കുന്നതുമായിരിക്കണം. ഇത് നാം സൃഷ്ടിക്കുന്ന ഘടനകളുടെമേൽ നിബന്ധനകൾ നീർക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, ഗ്രൂപ്പുകളെ തമ്മിൽ ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപതകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഫലനങ്ങൾ വഴി ബന്ധിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. എന്നാൽ ഇത്തരം ഫലനങ്ങൾ കൃത്യമായ രീതിയിൽ ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയുമായി ഒത്തുപോകേണ്ടതുണ്ട്. ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാനുള്ള മറ്റൊരു വഴി ഗ്രൂപ്പുകളെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ, ഘടകഗ്രൂപ്പുകൾ എന്നിങ്ങനെ ചെറിയ കഷണങ്ങളായി വിഭജിക്കുക എന്നതാണ്.
ഒന്നിനുപിറകെ ഒന്നായി : , : എന്നിവ പ്രയോഗിക്കുകവഴി , എന്നീ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ തൽസമകഫലനം ലഭിക്കുന്ന തരത്തിൽ , എന്ന ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപതകൾ നിർവചിക്കാമെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പുകൾ സമരൂപമാണെന്ന് പറയുന്നു. അതായത്, യിലെ ഏത് യ്ക്കും ലെ ഏത് നും (
ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഘടന നിലനിർത്തുന്ന ഫലനങ്ങളാണ് ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരുപതകൾ. എന്ന ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് എന്ന ഗ്രൂപ്പിലേക്കുള്ള : എന്ന ഫലനം ഒരു സമാംഗരൂപതയാകാനുള്ള നിബന്ധന , എന്നിവ യിലെ അംഗങ്ങളാണ് എന്നുണ്ടെങ്കിൽ
സമമിതി എന്ന ആശയവുമായി ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് അടിസ്ഥാനപരമായ ബന്ധമുണ്ട്. ഒരു ജ്യാമിതീയവസ്തുവിന്റെ സമമിതികളെ അതിന്റെ സമമിതിഗ്രൂപ്പുപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കാൻ സാധിക്കും : ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ ജ്യാമിതീയവസ്തുവിന്റെ വ്യത്യാസമില്ലാതെ നിലനിർത്തുന്ന രൂപാന്തരണങ്ങളും സംക്രിയ രണ്ട് രൂപാന്തരണങ്ങളെ ഒന്നിനുപിന്നാലെ ഒന്നായി പ്രയോഗിക്കലുമാണ്. സമമിതിഗ്രൂപ്പുകളായ ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് കണികാഭൗതികത്തിലെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് മോഡലിൽ ഉപയോഗമുണ്ട്. രസതന്ത്രത്തിൽ തന്മാത്രകളുടെ സമമിതി വിവരിക്കാൻ പോയിന്റ് ഗ്രൂപ്പുകൾ സഹായിക്കുന്നു. സാമാന്യ ആപേക്ഷികതയുടെ അടിസ്ഥാനപരമായ സമമിതി വിശദീകരിക്കുന്നത് പോങ്കാരെ ഗ്രൂപ്പുകളെ ഉപയോഗിച്ചാണ്.
എന്ന ഏതൊരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സഹഗണങ്ങളും യുടെ വിഭജനം തീർക്കുന്നു. അതായത്, സഹഗണങ്ങളുടെയെല്ലാം യോഗം ആയിരിക്കും, തുല്യമല്ലാത്ത ഏത് രണ്ട് സഹഗണങ്ങളുടെയും സംഗമം ശൂന്യഗണവുമായിരിക്കും. 1, 2 എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്ന സഹഗണങ്ങളായ 1, 2 എന്നിവ തുല്യമായി വരുന്നത് ആകുമ്പോൾ മാത്രമാണ്, അതായത്, സഹഗണത്തിലെ രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ഹരണഫലം ഉപഗ്രൂപ്പിലെ അംഗമായിരിക്കും. സാധാരണ ഗതിയിൽ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതും വലതും സഹഗണങ്ങൾ തുല്യമാകണമെന്നില്ല. അങ്ങനെ വരുന്ന ഉപഗ്രൂപ്പുകളെ - അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും ആകുന്നവയെ - അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പ് അഭിലംബമാണെങ്കിൽ അതിന്റെ സഹഗണങ്ങളുടെ മേൽ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സംക്രിയ നിർവചിക്കാനാകും. ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പിനെ ഘടകഗ്രൂപ്പ് അഥവാ ഹരണഫലഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. യുടെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് എന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഘടകഗ്രൂപ്പിനെ ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കാം:
ഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ച് ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് കണ്ടെത്താനാകുന്ന സവിശേഷതകളുടെ ശേഖരമാണ് പ്രാഥമിക ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം. ഉദാഹരണമായി, സാഹചര്യനിയമം വീണ്ടും വീണ്ടും ഉപയോഗിക്കുകവഴി മൂന്നിലേറെ അംഗങ്ങളുടെ മേൽ സംക്രിയ പ്രയോഗിച്ചാലുള്ള ഫലം കാണുന്നത് ഏത് ക്രമത്തിൽ വേണമെങ്കിലും ആകാം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. അതായത്
എന്നതുപോലെ മൂന്നിൽ കൂടുതൽ അംഗങ്ങളുള്ളപ്പോഴും കോഷ്ഠകങ്ങൾ ഏത് ക്രമത്തിലും ഇടാം. അതിനാൽ കോഷ്ഠകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാറാണ് പതിവ്.
എന്ന ഗണവും ഗണത്തിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളെയും കൂട്ടിച്ചേർത്ത് അതേ ഗണത്തിലെ ഒരംഗത്തിനെത്തന്നെ തരുന്ന • എന്ന ദ്വയാങ്കസംക്രിയയും ചേർന്ന എന്ന ക്രമജോഡിയാണ് ഗ്രൂപ്പ്. ഗണത്തിലെ , എന്ന അംഗങ്ങളുടെമേൽ ദ്വയാങ്കസംക്രിയ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ഫലത്തെ അഥവാ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എന്ന ക്രമജോഡി ഒരു ഗ്രൂപ്പാകണമെങ്കിൽ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന നാല് വ്യവസ്ഥകളനുസരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
മുകളിൽ ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഭാഗത്ത് വിശദീകരിച്ച രണ്ടുതരം ഗ്രൂപ്പുകളും ക്രമഗ്രൂപ്പുകളായതിനാൽ ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണെന്ന് കാണാം. ക്രമഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം വളരെയധികം വികസിച്ച ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തശാഖയാണ്. പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം ഈ വിഷയത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ഗവേഷണഫലമാണ്. ഗ്രൂപ്പ് കേന്ദ്രം, ക്രമവിനിമയകം മുതലായ ആശയങ്ങൾ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ക്രമഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് എത്രത്തോളം വ്യതിചലിക്കുന്നു എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.
എന്നീ അംഗങ്ങളുടെമേൽ ദ്വയാങ്കസംക്രിയ പ്രയോഗിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ഫലം ക്രമത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കാം. അതായത്,
പൂജ്യമുൾപ്പെടെയുള്ള ഭിന്നകങ്ങളുടെ ഗണം സങ്കലനത്തിനുകീഴിലും ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ്. ഒരേ ഗണത്തിൽ തന്നെ ഈവിധം സങ്കലനവും ഗുണനവും ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ബീജീയഘടനയായ വലയങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. ഗണത്തിലെപ്പോലെ വലയത്തിൽ ഹരണവും സാധ്യമാണെങ്കിൽ ബീജീയഘടനയെ ക്ഷേത്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ക്ഷേത്രങ്ങൾക്ക് അമൂർത്തബീജഗണിതത്തിലും കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലും സുപ്രധാന സ്ഥാനമാണുള്ളത്. ഈ ബീജീയഘടനകളുടെ സവിശേഷതകൾ വിവരിക്കുന്നതിലും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ നിയമങ്ങൾ സഹായിക്കുന്നു.
സംഖ്യാസിദ്ധാന്തവും ഗ്രൂപ്പ് ആശയങ്ങളുടെ നിർമ്മാണത്തിന് സംഭാവനകൾ നൽകി. ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ ചില സവിശേഷതകൾ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ്സ് 1798-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച എന്ന സംഖ്യാസിദ്ധാന്തഗ്രന്ഥത്തിൽ അസ്പഷ്ടമായും പിന്നീട് ല്യോപോൾഡ് ക്രോണെക്കർ സ്പഷ്ടമായിത്തന്നെയും ഉപയോഗിച്ചു. 1847-ൽ ഫെർ‌മയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിച്ച ഏൺസ്റ്റ് കുമ്മർ സംഖ്യകളെ അഭാജ്യസംഖ്യാഘടകങ്ങളായി ഘടകീകരിക്കുന്നത് വിശദീകരിക്കുന്ന ക്ലാസ് ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉപയോഗിച്ചു.
ഗ്രൂപ്പുകൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ട മറ്റൊരു ശാഖ ജ്യാമിതി ആയിരുന്നു. സമമിതിഗ്രൂപ്പുകൾ ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫെലിക്സ് ക്ലൈന്റെ എർലാങ്ങൻ പദ്ധതിയുടെ ഭാഗമായിരുന്നു. അതിവലയജ്യാമിതി, പ്രക്ഷേപജ്യാമിതി മുതലായ നവീന ജ്യാമിതികളുടെ ആവിർഭാവത്തിനുശേഷം ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തമുപയോഗിച്ച് വിവിധ ജ്യാമിതികളെ വർഗ്ഗീകരിക്കാനാണ് ക്ലൈൻ ശ്രമിച്ചത്. ഈ ആശയങ്ങളെ തുടർന്ന് വിപുലീകരിച്ച സോഫസ് ലീ ലീ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ പഠനത്തിന് തുടക്കം കുറിച്ചു.
ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളെ ദുർബലപ്പെടുത്തി ഇടത് തൽസമകത്തിന്റെയും ഇടത് വിപരീതത്തിന്റെയും മാത്രം അസ്തിത്വം ആവശ്യപ്പെടാം. ഈ സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാൽ വലത് തൽസമകമുണ്ടെന്നും അത് ഇടത് തൽസമകത്തിന് തുല്യമാണെന്നും അതുപോലെ ഓരോ അംഗത്തിനും വലത് വിപരിതമുണ്ടെന്നും അത് ഇടത് വിപരീതത്തിന് ലഭ്യമാണെന്നും ലഭിക്കുന്നു. അതായത്, ഈ വിധത്തിൽ ദുർബലപ്പെടുത്തിയ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾ പൂർണ്ണമായ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഒരു പ്രത്യേക അംഗത്തിന്റെ ഘാതങ്ങളായി (ഗുണനരിതിയിൽ എഴുതുമ്പോഴാണിത്, സങ്കലനരീതിയിലെഴുതുമ്പോൾ ഗുണിതങ്ങൾ) വരുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഗ്രൂപ്പിനെ ചാക്രികഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ചാക്രികഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ
എന്നിവയായിരിക്കും. ഇവിടെ , എന്നിങ്ങനെയാണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. എന്ന അംഗത്തെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ജനകം അഥവാ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
പ്രതിഫലനം : സമചതുരത്തെ തിരശ്ചീനമായുള്ള മധ്യരേഖ, ലംബമായുള്ള മധ്യരേഖ, വിപരീതവികർണ്ണം, വികർണ്ണം എന്നിവയിലൂടെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുക. ഇവയെ യഥാക്രമം , , , എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.
ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ ഉൾക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ചെറിയ ഗ്രൂപ്പിനെയാണ് ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഗണത്തിന്റെ ഉപഗണം ആ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ദ്വയാങ്കസംക്രിയയോട് ചേർക്കുമ്പോൾ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളനുസരിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അതൊരു ഉപഗ്രൂപ്പാകുന്നു. എന്നത് യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ യുടെ തൽസമകം ൽ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും 1, 2 എന്നിവ ലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ , 11 എന്നിവയും ന്റെ അംഗങ്ങളാവുകയും ചെയ്യും.
പരിക്രമണം, പ്രതിഫലനം എന്നിവ വഴി ഒരു ദ്വിമാനരൂപത്തെ മറ്റൊന്നാക്കി മാറ്റാൻ സാധിക്കുമെങ്കിൽ ആ ദ്വിമാനരൂപങ്ങൾ സർവ്വസമമാണെന്ന് പറയുന്നു. ഏതൊരു ദ്വിമാനരൂപവും അതിനോടുതന്നെ സർവ്വസമമാണ്. എന്നാൽ ചില രൂപങ്ങൾ തങ്ങളോട് ഒന്നിലേറെ രീതികളിൽ സർവ്വസമമായി വരുന്നു, ഈ സർവ്വസമതകളെ ദ്വിമാനരൂപത്തിന്റെ സമമിതികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സമചതുരത്തിന് എട്ട് സമമിതികളാണുള്ളത്:
ഗണവും സംക്രിയയും ചേർന്ന ക്രമജോഡിയായ ആണ് ഗ്രൂപ്പെങ്കിലും പലപ്പോഴും ഗ്രൂപ്പിലെ ഗണത്തിന്റെ ചിഹ്നമായ ഗ്രൂപ്പിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ചുരുക്കരൂപമായി ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. എന്നത് ഗ്രൂപ്പിനെയാണോ അതോ ഗണത്തെയാണോ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എന്ന് സന്ദർഭത്തിൽ നിന്നും മനസ്സിലാക്കിയെടുക്കാൻ സാധിക്കും. ഉദാഹരണമായി, യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് എന്ന് പറയുമ്പോൾ യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് എന്നാണ് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്.
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, ഭിന്നകസംഖ്യകൾ മുതലായ സംഖ്യാവ്യവസ്ഥകൾക്ക് ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയുണ്ട്. ഭിന്നകസംഖ്യകളുൾപ്പെടെയുള്ള ചില വ്യവസ്ഥകൾ സങ്കലനത്തിനു കീഴിലും ഗുണനത്തിനു കീഴിലും ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണങ്ങളനുസരിക്കുന്നു, അവയ്ക്ക് ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയ്ക്കു പുറമെ വലയ, ക്ഷേത്ര ഘടനകകളുമുണ്ടാകും. അമൂർത്ത ബീജഗണിതത്തിലെ മറ്റ് ആശയങ്ങളായ മോഡ്യൂളുകൾ, സദിശസമഷ്ടികൾ, ആൾജിബ്രകൾ എന്നിവയ്ക്കും ഗ്രൂപ്പ് ഘടനയുണ്ട്.
ഗുണനരീതിയിൽ എഴുതുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളുടെ തൽസമകത്തെ 1 അഥവാ 1 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാറുണ്ട്. ഗുണനത്തിലെ തൽസമകം 1 ആയതിനാലാണിത്. ഗ്രൂപ്പുകളെ സങ്കലനരിതിയിൽ എഴുതുകയാണെങ്കിൽ തൽസമകത്തെ 0 എന്നും സൂചിപ്പിക്കാറുണ്ട്. എന്നതും തൽസമകത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കാനുപയോഗിക്കുന്ന ചിഹ്നമാണ്.