polyglot-tagger/wikipedia-language-snippets-filtered huggingface dataset:
ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೊನಾವೆಂಚುರಾ ಕೆವೆಲಿಯೆರಿ ಅವರ ಗ್ರಂಥವು ಗಣಿತದ ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಡಿಪಾಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಘನಫಲ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಣ್ಣ ಛೇದಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದ ರಾಶಿ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಗಣಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು ವಾದಿಸಿದ್ದರು. ಈ ವಿಚಾರಧಾರೆ-ಆಲೋಚನೆ ಆರ್ಕಿಮೆಡೆಸ್‌ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತಿತ್ತು. ಆದರೆ ಈ ಗ್ರಂಥವು ಇಪ್ಪತ್ತನೆಯ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದ ವರೆಗೂ ಲಭಿಸಿರಲಿಲ್ಲ. ಕೆವೆಲಿಯರಿಯವರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮನ್ನಣೆ ಸಿಗಲಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಕಂಡುಕೊಂಡ ವಿಧಾನಗಳು ಬಹಳಷ್ಟು ದೋಷಭರಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಎಡೆಮಾಡಿಕೊಟ್ಟವು. ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತದ ರಾಶಿಯು ಮೊದಲಿಗೆ ಅವರಿಗೆ ಅಪಕೀರ್ತಿ ತರುವಂತಿತ್ತು.
ಇನ್ನಷ್ಟು ಆಧುನಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಪವರ್‌ ಸೀರಿಸ್ ಮತ್ತು ಫೊರಿಯರ್‌ ಸೀರಿಸ್‌ ಸಹ ಸೇರಿವೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಅಂತರಿಕ್ಷ ನಿಲ್ದಾಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಅಂತರಿಕ್ಷ ನೌಕೆಯ ಕ್ಷಿಪಣಿ ಪಥ ಹಾಗೂ ಅಲ್ಲಿರುವ ಹಿಮದ ಪ್ರಮಾಣ ಗುರುತಿಸಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನೆರವು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂತರಿಕ್ಷದ ಸ್ಥಳ, ಸಮಯ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಚಲನಾ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ವಭಾವಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಶತಮಾನಗಳಿಂದಲೂ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಗಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸೆಣಸಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಚಲನೆಯ ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳೇಳುತ್ತವೆ. ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಕ್‌ ತತ್ವವಾದಿ ಝೀನೊ ಇಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಹಲವು ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ. ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿಯಂತಹ ಸಾಧನ ಸಲಕರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಈ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಭೇದದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ ವೃತ್ತಖಂಡನ ರೇಖೆ ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ, ) ಮತ್ತು ) ನಡುವೆ ವೃತ್ತಖಂಡನ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಫಲನದ ವರ್ತನೆಗೆ ವೃತ್ತಖಂಡನ ರೇಖೆಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಮೀಪನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಮತ್ತು + ನಡುವೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿರಿಸಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕಾಣುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಶೂನ್ಯದತ್ತ ಚಲಿಸುವುದು' ಎಂದು ಪರಿಮಿತಿ ಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ‌, ನ ಎಲ್ಲಾ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೂ ನ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನ ಮೌಲ್ಯ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದಾಗ ಸುಸಂಬಂಧಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತದೆ:
ಗಾಟ್‌ಫ್ರೇಡ್‌ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್‌ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ ನೈಜ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನಾಗಿಸಿದರು. ನ್ಯೂಟನ್‌ ಇದೇ ವೇಳೆಗೆ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ವಿರುದ್ಧ ಕೃತಿಚೌರ್ಯದ ಆರೋಪ ಹೊರಿಸಿದ್ದರು. ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ಗೆ ಈಗ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಶೋಧಕ ಹಾಗೂ ದೇಣಿಗೆದಾರ ಎಂಬ ಮನ್ನಣೆ ದೊರೆಕಿದೆ. ಅತ್ಯಲ್ಪ ಗಾತ್ರದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಗಣಿತ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತಬಳಕೆಗಾಗಿ ಹೊಸ ನಿಯಮಾವಳಿ ರಚಿಸುವುದು ಅವರ ಕೊಡುಗೆಯಾಗಿತ್ತು. ಇದು ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡಿತು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗುಣಲಬ್ಧ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ವಿಕಲನ ಮತ್ತು ಅನುಕಲ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ನ್ಯೂಟನ್‌ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ರೂಪನಿಷ್ಠೆಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಗಮನ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ದಿನಗಟ್ಟಲೇ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದರು.
ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನುಅತ್ಯಲ್ಪ ಮೊತ್ತದ ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳ ಅನಂತ ಅಥವಾ 'ಅತ್ಯಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ' ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ) ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಾಧನಗಳ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಪದ್ದತಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳ ಇತರೆ ಚಿರಪರಿಚಿತ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮೇಯ-ಪೂರಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ , ಪರಿವರ್ತನಕ್ಕೊಳಪಟ್ಟ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ , ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ , ಪೈ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನಾ-ಸಂಕಲನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಸದಿಶ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಇವೆ.
ವೇಗವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ ವೇಗವು ಬದಲಾದಲ್ಲಿ, ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಬಲ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಪದ್ದತಿ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಯವನ್ನು ಹಲವು ಅಲ್ಪಸಮಯಾವಧಿಗಳಾಗಿ ಛೇದಿಸಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು
ಅವಧಿಯಲ್ಲೂ ಗತಿಸಿದ ಕಾಲವನ್ನು ಅಲ್ಲಿನ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ಅಂದಾಜು ದೂರದ ರೀಮನ್‌ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರ ಮೂಲಕ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. 'ಕೇವಲ ಅಲ್ಪಸಮಯದ ಗತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ವೇಗವು ಹೆಚ್ಚು-ಕಡಿಮೆ ಅಷ್ಟೇ ಇರುತ್ತದೆ' ಎಂಬುದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೂ, ರೀಮನ್‌ ಮೊತ್ತವು ಕೇವಲ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರದ ನಿಖರ ಅಂತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇಂತಹ ರೀಮನ್‌ ಮೊತ್ತಗಳ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯದ ಮರ್ಮ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟಳೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಸತತ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ನಡೆಯುತ್ತಿವೆ. ಇಂದು ಬಳಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯೆಂದರೆ ಪರಿಮಿತಿಯ ಕಲ್ಪನೆ. ಇದನ್ನು ಸಹಜ ಅಂಕಿಗಳ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಪ್ರವಾಹದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಮೂಲತಃ ನ್ಯೂಟನ್‌-ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಂತೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯಾಮಾಲೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯ ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಾಕ್ಷ್ಯಾಧಾರಗಳಿವೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಮಾಪನಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿವೆ.
ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್‌ರ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಹಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಂದುವರೆದ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಮೊದಲು 19ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಕೌಚಿ, ರೀಮನ್‌ ಮತ್ತು ವೇಯರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್‌ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಯಿಸಿದರು - ಪರಿಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ನೋಡಿ). ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್‌ ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. ಲೆಬೆಸ್ಗ್‌ ಅನುಕಲದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಿದ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯು ವಸ್ತುತಃ ಅನುಕಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಲಾರೆಂಟ್‌ ಷ್ವಾರ್ಟ್ಜ್‌ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಲನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ.
ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆ, ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ ದ್ರವದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಆಕಾರ, ಭೂಮಿಯ ಧ್ರುವಗಳಲ್ಲಿ ಚಪ್ಪಟ್ಟೆಯಾಗಿರುವುದು, ಚಕ್ರಜದ ಮೇಲೆ ಜಾರುವ ಕಾಯದ ಚಲನಶೀಲತೆಯ ವಿಚಾರಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನ ಬಳಸಿದರು. ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮಾಟಿಕಾದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತಗಳೂ ಸೇರಿ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ ಗಳಿಗೆ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಇದರಿಂದಾಗಿ, ಅವರು ಟೇಲರ್‌ ಸರಣಿಯ ತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅವರು ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪ್ರಕಟಿಸಲಿಲ್ಲ; ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಮೊತ್ತಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಪದ್ದತಿಗಳು ಅಷ್ಟಾಗಿ ಜನಪ್ರಿಯತೆ ಗಳಿಸಿರಲಿಲ್ಲ ಆಗ ಇನ್ನೂ ಇದರ ಸುಧಾರಣೆ ಅಗತ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.
ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ನಿಖರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಫಲನದ ನಕ್ಷೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿರದಿದ್ದಲ್ಲಿ, ನಲ್ಲಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ ನಲ್ಲಿನ ರೂಪಾಂತರ ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಲಭ್ಯಮಾಹಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ನಿಖರ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿಕಲಜನ್ಯಗಳು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ, ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎಂಬ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿರಲಿ. ) ಫಲನದ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸನಿಹವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, + ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗೆ ಸಮೀಪದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ) ಸಂಖ್ಯೆಯು )ಗೆ ಸನಿಹವಾಗಿದೆ. ಇವರೆಡೂ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಇಳಿಮುಖತೆ ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ:
ಸರಿ ಸುಮಾರು 11ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಷೆನ್‌ ಕುವೊ ಎಂಬ ಚೀನೀ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ನು, ಅನುಕಲನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಹಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದೇ ಅಳತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮೃದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಿದ. ಸುಮಾರು 12ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರ ಎಂಬಾತ ,ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮ ಗಾತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಆರಂಭಿಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ.ಮೊದಲು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದ ರೋಲ್ಸ್‌ ಪ್ರಮೇಯದ ಆರಂಭಿಕ ರೂಪವನ್ನೂ ಸಹ ವಿವರಿಸಿದ್ದ. ಹಿಂದೆ 12ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿಯೇ, ಷರಫ್‌ ಅಲ್‌-ದೀನ್‌ ಅಲ್‌-ತೂಸಿ ಎಂಬ ಪರ್ಷಿಯಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನು, ಘನಾಕೃತಿಯ ಬಹುಪದೀಯ ಬೀಜ ಗಣಿತದ ಪದ ಪುಂಜಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ. ಇದು ವಿಲಕನಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ.
ಗುಣಲಬ್ಧ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸರಪಣಿ ನಿಯಮ, ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕಲ್ಪನೆ, ಟೇಲರ್‌ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ ಗಳನ್ನು ಐಸಾಕ್‌ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಿದ ಅಪರೂಪದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮೂಲಕ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಇವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭಾಷಾವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ ತಮ್ಮ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದರು. ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳೊಂದಿಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಬದಲಿಗೆ ಸರಿಸಮನಾದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವಾದಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್‌ ಬದಲಾಯಿಸಿದರು. ಹಾಗಾಗಿ ಈ ಹೊಸ ರೀತಿಯು ಯಾವುದೇ ಟೀಕೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ.
ಪರಿಮಿತಿ ಆಧರಿಸಿದ ಯತ್ನದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಬದಲು ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾದ ಪರಿಮಿತಿಯ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೆಂದು / ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದರೂ, ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರಲೆಂದು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಇಚ್ಛೆಯಾಗಿತ್ತು. ಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಬದಲಾವಣೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಬದಲಾವಣೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ನ್ನು ವಿಕಲನ ನಿರ್ವಾಹಕವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದು ಫಲನವನ್ನು ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿ, 'ಉತ್ಪನ್ನ'ವೆಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಫಲನವನ್ನು ಲಭ್ಯಮಾಹಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್‌ ಇಬ್ಬರಿಗೂ ಮನ್ನಣೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಳವಡಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮೊದಲಿಗ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂದೂ ಬಳಸುವ ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದರು. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಏರಿಳಿತ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಹಾಗೂ, ಬಹುಪದೀಯ ಸರಣಿಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಳಗೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಇಬ್ಬರೂ ನೀಡಿದ ಮೂಲಭೂತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನುಕೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ನ್ಯೂಟನ್‌‌ ವೇಳೆಗೆ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ತಿಳಿಯಲಾಗಿತ್ತು.
ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಯ ಇಳಿಕೆ ಮೌಲ್ಯ 6 ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ‌, ಅದು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವಂತೆ ಅದರ ವೇಗ ಆರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಪರಿಮಿತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ನಡೆಸಬಹುದಾಗಿದೆ. 'ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ವಿಕಲಜನ್ಯ ಫಲನ ', ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, 'ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ವಿಕಲಜನ್ಯ ' ಎಂದು ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಫಲನವೆಂದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಚಾರದಂತೆಯೇ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ.
ಈ ಸಂಸ್ಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಸೂಕ್ತ ಬಳಕೆ ಮಾಡುವ ತಂತ್ರಗಳ ಸಂಕಲನವಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹದ ಬದಲಿಗೆ ಅತಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ, ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಾಗಿ ಅಗತ್ಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದು ಫಲನದ ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಒದಗಿಸಲು ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಅತಿಸುಲಭ ಮಾರ್ಗವಾಗಿವೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಪ್ರಮಾಣಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಈ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ, ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ನ್ನು 'ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ' ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತಿದ್ದರೂ, ಮತ್ತು ನಂತಹ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಿ ಚತುರತೆಯಿಂದ ಬಳಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ. ಆದರೂ, ಇಂತಹ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಒಟ್ಟು ವಿಕಲಜನ್ಯದಂತಹ ನಿರ್ವಹಣೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅವುಗಳು ಸಂಕೇತರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ.
ಈ ಮೊದಲು ಗ್ರೀಸ್‌, ಚೀನಾ, ಭಾರತ, ಇರಾಕ್‌, ಪರ್ಷಿಯಾ, ಮತ್ತು ಜಪಾನ್‌ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಆಲೋಚನೆ-ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಇದರ ಆಧುನಿಕ ಬಳಕೆಯು ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ, 17ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಮುಂಚಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಡೆಸಿದ ಸಂಶೋಧನಾಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಐಸಾಕ್‌ ನ್ಯೂಟನ್‌ ಮತ್ತು ಗಾಟ್‌ಫ್ರೇಡ್‌ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್‌ ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ತಮ್ಮ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದರು.
ಇದೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಕೆವೆಲಿಯೆರಿಯ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಮೊತ್ತದ ರಾಶಿ, ಹಾಗೂ ಎಲ್ಲೆಯುಳ್ಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ಶಾಸ್ತ್ರೋಕ್ತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನವು ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಕಂಡಿತು. ಜಾನ್‌ ವಾಲಿಸ್, ಐಸಾಕ್‌ ಬ್ಯಾರೊ ಮತ್ತು ಜೇಮ್ಸ್‌ ಗ್ರೆಗೊರಿ ಈ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪಡೆದರು. ಇವರಲ್ಲಿ ಐಸಾಕ್‌ ಬ್ಯಾರೊ ಮತ್ತು ಜೇಮ್ಸ್‌ ಗ್ರೆಗೊರಿ ಸುಮಾರು 1675ರಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡನೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಡಿಪಾಯ ಗಳೆಂದರೆ ನಿಖರ ಆಧಾರ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಿಷಯದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್‌ನಂತರದ ಕಾಲಮಾನದ ಬಹಳಷ್ಟು ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಈ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗದಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಡಿಪಾಯ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರಲ್ಲಿ ಮಗ್ನರಾಗಿದ್ದರು. ಇದು ಇಂದಿಗೂ ಸಹ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಕ್ರಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ.
ಮತ್ತು " ದಿ ಇಂಟೆಗ್ರಾಲ್ ಫ್ರಮ್ ಟು ಒಫ್ -ಒಫ್- ವಿಥ್ ರೆಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಟು " ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯಡಿಯಿರುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಅಥವಾ ಘನಫಲವನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯತಗಳಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲೆಂದು
ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಸಂಕೇತ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳ ಅಗಲ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಆಗುತ್ತದೆ.
ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ:
ಸುಮಾರು 19ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಅತಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಾಗಿ ಬಂದವು. ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯ ಫಲನದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸನಿಹದ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಅವು ಸಣ್ಣ-ಪ್ರಮಾಣದ ವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಅದು ಗುರುತಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಾಧಾರಣ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ದತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.
ಇದರ ಅರ್ಥ, ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಆ ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವ ಫಲನದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನ್ನು ನಾಲ್ಕು, ಮೂರನ್ನು ಒಂಬತ್ತು, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಹದಿನಾರು ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ವರ್ಗಗೊಳಿಸಿ, ಈ ಮಾಹಿತಿ ಮೂಲಕ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಫಲನ ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. .
ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಶ. 1000ರಲ್ಲಿ ಇಬ್ನ್‌ ಅಲ್‌-ಹಯತಮ್‌ ಎಂಬ ಇಸ್ಲಾಮಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಅನುಕಲನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಬಳಸಿದ ಉನ್ನತ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೊತ್ತ ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ನಾಲ್ಕನೆ ಘಾತದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ ರೂಪಿಸಿದ.
ಮೊದಲು 14ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಸಂಗಮಗ್ರಾಮದ ಮಾಧವ ಹಾಗೂ ಕೇರಳ ಖಗೋಳವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಶಾಲೆಯ ಇತರೆ ಖಗೋಳ-ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸೇರಿ, ಟೇಲರ್‌ ಸರಣಿಯ ವಿಶೇಷ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು. ಇವನ್ನು ಯುಕ್ತಿಭಾಸ ವೆಂಬ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕ್ರಿಯಾನಿರ್ವಾಹಕ ಫಲನವನ್ನು ದತ್ತಮಾಹಿತಿಯಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿ ಅಂಕಿರೂಪದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲಭ್ಯಮಾಹಿತಿಯಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ; ಅಂಕಿಯಲ್ಲ,ಸಂಜ್ಞೆ; ಅದನ್ನು ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ, ಅಥವಾ ಅವಿಕಲಜನ್ಯ ಈ ರೀತಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನೆಡೆಯ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷಕ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಮುಖದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸುವಿಕೆ - ಇವುಗಳನ್ನುಳ್ಳ ಲೆಕ್ಕಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ವಿಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ.
ಅನುಕಲನ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಉದ್ದವಾಗಿ ಎಳೆದ ಅಕ್ಷರದಂತಿದೆ ವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ದಾಖಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಮಧ್ಯಭಾಗ, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡಗಳ ಅಳತೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಅನುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ.
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಸಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕಲ್ಪನೆಗಳಾದ 'ತತ್ ಕ್ಷಣದ ಚಲನೆ' ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಡಿಯಿರುವ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಾಣಗೊಂಡಿತು.
ವಿಶ್ವಾದ್ಯಂತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಆಧುನಿಕ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಬೋಧಿಸಲಾಗುವ ಸರ್ವೇಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.
ಅವಿಕಲಜನ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ನಂತಹ ಅನಿರ್ಣೀತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಅನುಕಲನದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ, ಲೆಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ ಪರಿಚಿಯಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತ ಹೀಗಿದೆ:
ಹಲವಾರು ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಇರಾನಿನ ಹಾಗೂ ಬಹಾಯಿ ದೇಶದಲ್ಲೂ ಸಹ ಮಾರ್ಚ್ ನಲ್ಲಿ ಹೊಸ ವರ್ಷದ ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಮೊದಲ ದಿನವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಸಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ನೌರಜ್ ಎಂದು ಹೊಸ ವರ್ಷದ ಹಬ್ಬವನ್ನಾಗಿ ಆಚರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪರ್ಸಿಯನ್ ನ ಜೇಮ್ ಶಿಡ್ ನ ಪ್ರಾಚೀನ ಪುರಾಣದಂತೆ ಪೌರಾಣಿಕ ಖ್ಯಾತಿಯ ರಾಜ ಈ ದಿನದಂದು ಸಿಂಹಾಸನ ವೇರಿದ್ದ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ಈ ಸ್ಮರಣೆಗಾಗಿ ಎರಡು ವಾರಗಳ ಹಬ್ಬವನ್ನು ಆಚರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಕಥೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪುನಃ ನೆನೆಪು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಸಂತೋಷ ಹಬ್ಬದಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ಗೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಅಜರ್‌ಬೈಜಾನ್, ಅಫ್ಘಾನಿಸ್ತಾನ, ಭಾರತ, ಟರ್ಕಿ, ಜಾಂಜಿಬಾರ್, ಅಲ್ಬೇನಿಯಾ ಮತ್ತು ಕುರ್ದರನ್ನು ಸೇರಿ ಮಧ್ಯ ಏಷ್ಯಾದ ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ದೇಶಗಳು ರಜಾದಿನವನ್ನಾಗಿ ಆಚರಿಸುತ್ತವೆ.
ಇರಾನಿಯನ್ನರೂ ಸೇರಿ ಪಾಲ್ಗೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಜೊರೋಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ರಜಾದಿನವಾಗಿ ಸಹ ಇದನ್ನು ಘೋಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹಾಯಿಯ ನಂಬಿಕೆಯ ನಿಜಾರಿ ಇಸ್ಲಾಮಿ ಮುಸ್ಲಿಂರು ಈ ಹಬ್ಬಕ್ಕೆ ನಿಷ್ಠರಾಗಿದ್ದಾರೆ.
ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ನರ ರಜಾದಿನವಾದ ಶಾಮ್ ಇಲ್ ನೆಸ್ಸಿಮ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಿ.ಪೂ. 2700ರಲ್ಲಿ ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಲಾಯಿತು. ಈಗಲೂ ಇದು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ರಜಾದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ಕೆಲ ಸಮಯ ಈಜಿಪ್ಟ್ ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ನರ ಆಳ್ವಿಕೆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಸ್ತನ ಪುನರುತ್ಥಾನ ಉತ್ಸವವಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಈ ಮೊದಲೇ ಕಾಕತಾಳೀಯ ಎಂಬಂತೆ ಮೇಷ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಹಬ್ಬದಂದೇ ಬರುವ ಹಬ್ಬವಾಗಿತ್ತು.
ಮೇಷ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಉತ್ತರಾರ್ಧದ ಪ್ರಥಮ ಹುಣ್ಣಿಮೆ ನಂತರ ಯಹೂದ್ಯರ ಹಬ್ಬ ಕೊನೆಗೊಂಡಿತು. ಆದರೂ ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಹುಣ್ಣಿಮೆಯಂದು ಇದನ್ನು ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೇಷ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ ನಂತರದ ಅಥವಾ ಪ್ರಥಮ ಹುಣ್ಣಿಮೆ ನಂತರದ ಮೊದಲ ಭಾನುವಾರದಂದು ಈಸ್ಟರ್ ಹಬ್ಬವೆಂದು ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಚರ್ಚ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚರ್ಚ್‌ಗಳ ಅಧಿಕೃತ ಹೇಳಿಕೆ ಪ್ರಕಾರ ಮಾರ್ಚ್ ೨೧ ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ವ ದೇಶಗಳ ಚರ್ಚ್‌ಗಳು ರೋಮನ್ ನಾಯಕ ಜೂಲಿಯನ್ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದವು. ಈ ಮಧ್ಯೆ ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಚರ್ಚ್‌ಗಳು ಗ್ರೆಗೋರಿಯನ್ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದವು. ಈ ಎರಡೂ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಚ್ ೨೧ರ ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯಂದೇ ಪ್ರಾರಂಭ ಎಂದು ನಿರ್ಧಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಈಸ್ಟರ್ ಹಬ್ಬದ ನೈಜ ದಿನದ ಬಗ್ಗೆ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯವಿದೆ. ಈ ಮೊದಲು ಎಲ್ಲ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ಗಳಲ್ಲಿ ಈಸ್ಟರ್ ಹಬ್ಬದ ದಿನ ಬಹುತೇಕ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಮಾರ್ಚ್ 22ರಂದೇ ಬರುತ್ತಿತ್ತು. ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಈ ದಿನ ಏಪ್ರಿಲ್ 25 ಆಗಿದೆ.
ತಮಿಳಿಯನ್ನರು ಹಾಗೂ ಬೆಂಗಾಲಿಗಳು ಹೊಸವರ್ಷವನ್ನು ಹಿಂದೂ ರಾಶಿಚಕ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅನುಸರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಮೇಷ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ ನಕ್ಷತ್ರದಂದು ಆಚರಿಸುತ್ತಾರೆ. ದಕ್ಷಿಣ ಭಾರತದ ರಾಜ್ಯವಾದ ತಮಿಳುನಾಡಿನಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನಿಂದಲೂ ಈ ದಿನವನ್ನು ಆಚರಿಸಿಕೊಂಡು ಬರಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ನಂತರದಲ್ಲಿ ಬಾಂಗ್ಲಾದೇಶ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ಭಾರತದ ಪಶ್ಚಿಮ ಬಂಗಾಳದಲ್ಲೂ ಆಚರಣೆಗೆ ಬಂತು.
ಆಂಧ್ರ ಪ್ರದೇಶ, ಕರ್ನಾಟಕ, ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರ ರಾಜ್ಯಗಳ ಜನರು ಯುಗಾದಿಯನ್ನು ಹೊಸ ವರ್ಷವನ್ನಾಗಿ ಆಚರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು ಮಾರ್ಚ್ ತಿಂಗಳ ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೊದಲ ಅಮವಾಸ್ಯೆ ನಂತರದ ಮೊದಲ ದಿನವನ್ನು ಶಾತವಾಹನ ಎಂದು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ಭಾರತದ ಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಅವರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕಾರ ಯುಗಾದಿಯನ್ನು ಹೊಸ ವರ್ಷ, ಹೊಸ ತಿಂಗಳು ಹಾಗೂ ಹೊಸ ದಿನ ಎಂದು ತಮ್ಮ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ್ದಾರೆ.
ಭಾರತದ ಕೇರಳ ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಖಗೋಳ ಮೇಷ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಏಪ್ರಿಲ್ 14ರಂದು ಹೊಸ ವರ್ಷವನ್ನಾಗಿ ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಸ್ಕೃತ ಭಾಷೆಯ ಸಮನಾದ ಅರ್ಥವುಳ್ಳ ವಿಷು ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದಾಗಿದೆ.
ಬಹಳಷ್ಟು ಅರಬ್ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಷ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯಂದು ಮದರ್ಸ್ ಡೇ ವನ್ನಾಗಿ ಆಚರಿಸುತ್ತಾರೆ.
ವಿಶ್ವ ಕಥೆ ಹೇಳುವ ದಿನವನ್ನು ಮೌಖಿಕ ಕಥೆ ಹೇಳುವ ಕಲೆಯಾಗಿ ವಿಶ್ವ ಹಬ್ಬವನ್ನಾಗಿ ಆಚರಿಸಲು ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ಬೇಸಿಗೆಯ ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯಂದು ಉತ್ತರಾರ್ಧಗೋಳದಲ್ಲಿ ಹಾಗೂ ಚಳಿಗಾಲದ ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೊದಲ ದಿನವನ್ನು ದಕ್ಷಿಣಾರ್ಧಗೋಳದಲ್ಲಿ ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿಶ್ವ ನಾಗರಿಕ ದಿನವನ್ನಾಗಿ ಮಾರ್ಚ್ ತಿಂಗಳ ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯಂದೇ ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನ್ನಾಪೊಲೀಸ್, ಮೇರಿಲ್ಯಾಂಡ್, ಯುಎಸ್‌ಎ ದೇಶಗಳ ದೋಣಿಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುವ ಕಾರ್ಮಿಕರು ಹಾಗೂ ಹಾಯಿದೋಣಿ ಮಾಲೀಕರು ಬೇಸಿಗೆಯ ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಸಾಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಸುಡುವ ಹಬ್ಬ ವನ್ನಾಗಿ ಆಚರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಈ ದೋಣಿಗ ಸಮುದಾಯದವರು ಮಳೆಗಾಲದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಕ್ಸ್ ಗಳನ್ನು ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು ಉಷ್ಣ ಹವಾಮಾನದಲ್ಲಿ ಸುಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗ್ರಾಹಕರನ್ನು ಕರೆತರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮುಂದಿನ ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿವರೆಗೂ ಯಾವೊಬ್ಬರೂ ಸಾಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
1970ರ ಮಾರ್ಚ್ 21 ರಂದು ವಿಶ್ವ ಭೂಮಿ ದಿನ ಎಂದು ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಷುವತ್‌ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ದಿನವೇ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಹಲವಾರು ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಏಪ್ರಿಲ್ 22 ರಂದು ಆಚರಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.
ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ದಿನದಲ್ಲೂ ಕೂಡ, ಸೂರ್ಯನು ಭೂಮಿಯ ಪ್ರತಿ ಭಾಗದಲ್ಲೂ ಬೆಳಿಗ್ಗೆ 06:00 ಘಂಟೆಗೆ ಉದಯಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಸಂಜೆ 18:00 ಘಂಟೆಗೆ ಅಸ್ತಮಿಸುತ್ತಾನೆ . ಈ ಸಮಯಗಳು ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರಣವೇನೆಂದರೆ ಸೂರ್ಯನು ಅಡ್ಡಳತೆಯಲ್ಲಿ ಭೂಮಿಗಿಂತ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾನೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಭೂಮಿಯ ಅರ್ಧಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮಾತ್ರ ಸೂರ್ಯನ ಬೆಳಕಿನಡಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (ಅಸಮಾನಂತರ ಕಿರಣಗಳು ಒಂದು ಸಮನಾದ-ಹಗಲು-ರಾತ್ರಿ ಪಂಕ್ತಿಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತವೆ); ಇತರ ಕಾರಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:
ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿನ ಬಹಳಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಂದು ಸಮಯ ವಲಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಹಗಲು ಬೆಳಕಿನ ಉಳಿತಾಯ ಸಮಯವು ಒಳಗೊಳ್ಳಲ್ಪಟ್ಟರೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಘಂಟೆಗಳಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ದೃಷ್ಟಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸೂರ್ಯನು 08:00 ಘಂಟೆಗೆ ಉದಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು 20:00 ಘಂಟೆಗೆ ಅಸ್ತಮಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಆಗಲೂ ಕೂಡ ಅಲ್ಲಿ 12 ಘಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ಹಗಲು ಬೆಳಕಿರುತ್ತದೆ.
ಆದರೂ ಕೂಡ ತಮ್ಮ ಸಮಯದ ವಲಯವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಸಮನಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡ ಆ ಜನರು ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಗಳಾಗಿರುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 06:00 ಘಂಟೆಗೆ ಸೂರ್ಯೋದಯ ಮತ್ತು 18:00 ಘಂಟೆಗೆ ಸೂರ್ಯಾಸ್ತಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಭೂಮಿಯು ತನ್ನ ಕಕ್ಷೆಯ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ವೇಗದ ಕಾರಣದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಮಯದ ಸಮನಾಗಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ವರ್ಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಮಾರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಸಪ್ಟೆಂಬರ್ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ .
ಸೂರ್ಯೋದಯ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯಾಸ್ತಗಳು ಸೌರಮಾನ ಡಿಸ್ಕ್‌ನ ಕೇಂದ್ರ ಭಾಗಕ್ಕಲ್ಲದೇ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಶಾಖೆಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮೇಲಿನ ಶಾಖೆಯು ಈ ಮುಂಚಿತವಾಗಿಯೇ ಕೇಂದ್ರಭಾಗವು ಕಂಡುಬರುವುದಕ್ಕೂ ಮುಂಚೆಯೆ ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ ಒಂದು ನಿಮಿಷ ಮೇಲಕ್ಕಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಶಾಖೆಯು ಸೌರಮಾನ ಡಿಸ್ಕ್‌ನ ಕೇಂದ್ರವು ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ನಂತರ ಸ್ಥಾಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವಾತಾವರಣದ ವಕ್ರೀಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಸೂರ್ಯನು, ಕ್ಷಿತಿಜದ ಸಮೀಪವಿದ್ದಾಗ, ತನ್ನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿರುವನೋ ಅಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಳತೆಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಇದು ಸೂರ್ಯೋದಯವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ನಿಮಿಷಗಳು ಮುಂಚಿತವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯಾಸ್ತವು ಎರಡು ನಿಮಿಷ ನಂತರವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಪರಿಣಾಮಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಏಳು ನಿಮಿಷಗಳಾಗುತ್ತವೆ, ಇವು ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಹಗಲನ್ನು 12 ಘಂಟೆ 7 ನಿಮಿಷಗಳಷ್ಟು ದೀರ್ಘವಾಗಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ರಾತ್ರಿಯನ್ನು ಕೇವಲ 11 ಘಂಟೆ 53 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಜೊತೆಯಾಗಿ, ರಾತ್ರಿಯು ಸಂಜೆಬೆಳಕನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಪ್ರಾತಃಕಾಲ ಮತ್ತು ಸಂಧ್ಯಾಕಾಲಗಳು ಬದಲಾಗಿ ಹಗಲಿನ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆಯೋ, ಆಗ ದಿನವು ಸರಿಸುಮಾರು 13 ಘಂಟೆಗಳ ದಿರ್ಘತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಮೇಲಿನ ಅಂಕಿಗಳು ಕೇವಲ ಅಕ್ಷಾಂಶರೇಖೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಧ್ಯಮಮಾರ್ಗದ ಅಕ್ಷಾಂಶ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ, ಈ ಭಿನ್ನತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಧ್ರುವಗಳಿಗೆ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಧ್ರುವಗಳಿಂದ ಸುಮಾರು 100 ಕಿಮಿಗಳವರೆಗೆ, ಸೂರ್ಯನು ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ದಿನದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ತಿ 24 ಘಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ಮೇಲಿರುತ್ತಾನೆ.
ಸೂರ್ಯೋದಯ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯಾಸ್ತದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ಷಿತಿಜದ ಎತ್ತರವು ಹಗಲಿನ ದೀರ್ಘತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ವತಗಳ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದು ಹಗಲಿನ ದೀರ್ಘತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ವದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಿಮದಲ್ಲಿ ಬೆಟ್ಟಗಳ ಜೊತೆ ಕಣಿವೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುವುದು ಹಗಲನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಏಕೆಂದರೆ ಪೂರ್ವ-ಪಶ್ಚಿಮ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಕಣಿವೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿವುಗಳು ಉತ್ತರ-ದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಕಣಿವೆಗಳಿಗಿಂತ ಒಪ್ಪುವಂತದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸೂರ್ಯನು ಒಂದು ಗೋಳಾಕಾರದ ಬೆಳಕಿನ ಮೂಲವಾಗಿರುವ ಕಾರಣದಿಂದ, ಸಮಭಾಜಕ ವೃತ್ತದ ಮೆಲೆ ಸೂರ್ಯನ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ದಾಟುವಿಕೆಗೆ ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ 33 ಘಂಟೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಹಗಲು ಬೆಳಕು ಮತ್ತು ರಾತ್ರಿ-ಅವಧಿಯ ದೀರ್ಘತೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಧ್ರುವಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಗುರುತುಗಳು 24 ಘಂಟೆಗಳ ರಾತ್ರಿ ಅವಧಿಯಿಂದ 24 ಘಂಟೆಗಳ ಹಗಲು ಬೆಳಕಿನ ಅವಧಿಯವರೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಕಟಿಕ್ ವೃತ್ತ, ಲೊಂಗ್ಯೀರ್‌ಬ್ಯೇನ್, ಸ್ವಾಲ್‌ಬಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನೊರ್ವೆಯು ವಸಂತ ಋತುವಿನ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು ಪ್ರತಿದಿನವೂ 15 ನಿಮಿಷಗಳ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಗಲು ಬೆಳಕನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಅದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ ಸಿಂಗಾಪೂರ್‌ನಲ್ಲಿ , ಪ್ರತಿದಿನವೂ ಹಗಲು ಬೆಳಕಿನ ಅವಧಿಯು ಕೆಲವು ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಹೆಚ್ಚು-ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ.
ಜೂನ್ ಅಯನ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯಿಂದ ಸಪ್ಟೆಂಬರ್‌ನ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯವರೆಗೆ 94 ದಿನಗಳಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಡಿಸೆಂಬರ್ ಅಯನ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯಿಂದ ಮಾರ್ಚ್ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯವರೆಗೆ ಕೇವಲ 89 ದಿನಗಳು ಮಾತ್ರವೇ ಆಗುತ್ತವೆ.
ಭೂಮಿಯು ತನ್ನ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವ ವೇಗವು ಅಸ್ಥಿರವಾದ ವೇಗವಾಗಿರುವ ಕಾರಣದಿಂದ ಋತುಗಳು ಸಮಾನ ದೀರ್ಘತೆಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ನಿದರ್ಶನಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವೂ ಆರು ಘಂಟೆಗಳಂತೆ ತಡವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತ, ಆ ಆರು ಘಂಟೆಗಳು ನಾಲ್ಕು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪೂರ್ತಿ ದಿನವಾಗುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳು ಒಂದು ಅಧಿಕ ವರ್ಷದ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಪುನಃ ಸ್ಥಾಪನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಗ್ರೆಗೋರಿಯನ್ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿರುವ ಋತುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ರಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅದು ಉಪಯೋಗಕರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ದೋಷರಹಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ: ಗ್ರೆಗೋರಿಯನ್ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ಋತುಕಾಲಿಕ ದೋಷಗಳು.
ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಕ್ರಮರಾಹಿತ್ಯವು ಚಂದ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ಗ್ರಹಗಳ ದಿಕ್ಚ್ಯುತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಸ್ತುತದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಮತ್ತು ಅಯನ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ದಿನಾಂಕಗಳು ಮಾರ್ಚ್ 20, ಜೂನ್ 21, ಸಪ್ಟೆಂಬರ್ 22 ಮತ್ತು ಡಿಸೆಂಬರ್ 21 ಅಗಿರುತ್ತವೆ; ನಾಲ್ಕು-ವರ್ಷಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ಮುಂಬರುವ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಮುಂಚಿನ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸುಮಾರು 70 ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪೂರ್ತಿ ದಿನ ಇರುತ್ತದೆ (ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಗ್ರೆಗೋರಿಯನ್ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್‌ದ "ಅಧಿಕ ವರ್ಷ" ತತ್ವದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ). ಇಪ್ಪತ್ತನೆಯ ಶತಮಾನದ ಹಲವಾರು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾರ್ಚ್ 21, ಜೂನ್ 22, ಸಪ್ಟೆಂಬರ್ 23 ಮತ್ತು ಡಿಸೆಂಬರ್ ೨೨ ದಿನಾಂಕಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಇದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಳೆಯದಾದ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಈ ದಿನಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತವೆ. ಭಾರತೀಯ ಪದ್ದ ತಿಗೆ ಜ್ಯೋತಿಷ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ನೋಡಿ
ಸಮಯಗಳು ಯುಟಿಸಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ(ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಗ್ರೀನ್‌ವಿಚ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಮಯ, ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಬೇಸಿಗೆ ಸಮಯವನ್ನು ಕಡೆಗಣಿಸಿ) ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಪೂರ್ವಭಾಗದ ಕಡೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿರುವ ಜನರ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮಯಗಳು ಮುಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವರು ಋತುಗಳನ್ನು ನಂತರ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವುದನ್ನು ಕಾಣುತ್ತಾರೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೊಂಗಾದಲ್ಲಿ , ಒಂದು ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯು ಸಪ್ಟೆಂಬರ್ 24, 1999, ರಂದು ಸಂಭವಿಸಿತು, ಈ ದಿನಾಂಕವು 2103 ರವರೆಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಶ್ಚಿಮ ದಿಕ್ಕಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ದೂರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿರುವ ಜನರ ಯುಟಿಸಿಗಿಂತ ಹಿಂದುಗಡೆಗೆ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಗಡಿಯಾರಗಳು ತುಂಬಾ ಬೇಗ ಅಂದರೆ ಮಾರ್ಚ್ 19 ಕ್ಕೆ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಅನುಭವವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ.
ವಸಂತ ಋತುವಿನ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ ಮತ್ತು ಶರತ್ಕಾಲದ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ : ಈ ಪ್ರಾಚೀನ ಹೆಸರುಗಳು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಶಬ್ದಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆದುಕೊಂಡವಾಗಿವೆ.
ಮಾರ್ಚ್ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ ಮತ್ತು ಸಪ್ಟೆಂಬರ್ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ : ತಾಂತ್ರಿಕ ಬರಹಗಾರರಿಂದ ಒಂದು ಭಾಷೆಯ ಪ್ರಯೋಗವು ಉತ್ತರ ಭಾಗದ ಖಗೋಳಾರ್ಧ ಪೂರ್ವಗ್ರಹಿಕೆಗೆ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲ್ಪಟ್ಟ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ (ಮಾರ್ಚ್ ಇದು ವಸಂತ ಋತುವಿನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಪ್ಟೆಂಬರ್ ಇದು ಶರತ್ಕಾಲದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ - ಇದು ಉತ್ತರಭಾಗದ ಖಗೋಳಾರ್ಧದಲ್ಲಿರುವವರಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ದಕ್ಷಿಣ ಭಾಗದ ಖಗೋಳಾರ್ಧದಲ್ಲಿರುವವರಿಗೆ ಇದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ವಿರುದ್ಧದ ಅನುಭವಗಳಾಗುತ್ತವೆ).
ಉತ್ತರಾಭಿಮುಖ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ ಮತ್ತು ದಕ್ಷಿಣಾಭಿಮುಖ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ : ಹೆಸರುಗಳು ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯನ ಗೋಚರ ಚಲನೆಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ.
ವಸಂತ ಋತುವಿನ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಶರತ್ಕಾಲದ ಬಿಂದು ಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಸಂತ ಋತುವಿನ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ ಮತ್ತು ಶರತ್ಕಾಲದ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿ ಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತಾನೆ .
ಮೇಷ ರಾಶಿಯ ಮೊದಲಿನ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ತುಲಾರಾಶಿಯ ಮೊದಲನೇ ಬಿಂದು ಗಳು ನಾವಿಕರಿಂದ ಮತ್ತು ಜ್ಯೋತಿಷಿಗಳಿಂದ ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರಾಚೀನ ಹೆಸರುಗಳಾಗಿವೆ. ಸಮುದ್ರಯಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸುನ ಖಗೋಳ ಪಂಚಾಂಗ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮೇಷರಾಶಿಯ ಮೊದಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಭೌಗೋಳಿಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸಮುದ್ರಯಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸುನ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಸ್ತಾಪದಂತೆ ದಾಖಲಿಸುತ್ತವೆ. ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಅಕ್ಷಭ್ರಮಣದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಎಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಗಳು ಸ್ಥಾಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆಯೋ ಅಲ್ಲಿ ಜ್ಯೋತಿಷಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಕೇತಗಳು ವಾಸ್ತವವಾದ ತಾರಾಪುಂಜಗಳ ಜೊತೆ ಒಮ್ಮೆ ಅವುಗಳಿಗೆ ಹೊಣೆಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ದೀರ್ಘವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಗಳು ಪ್ರಸ್ತುತದಲ್ಲಿ ಮೀನರಾಶಿಯ ಮತ್ತು ಕನ್ಯಾರಾಶಿ ತಾರಾಪುಂಜಗಳಲ್ಲಿವೆ.
ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹಗಲಿನ ಬಾಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರೀಕರಣ ಮಾಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಸ್ಪುಟವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು (ಅಂದರೆ ಇದರ ದೈನಿಕ ಚಲನೆಯು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಸೂರ್ಯನ ಮಾರ್ಗದ ಪಥವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದು). ಚಿತ್ರಗಳು ಇದನ್ನು ವಿಷುವತ್ ಸಂಕ್ರಾಂತಿಯ ಪ್ರತಿ ಘಂಟೆಯಲ್ಲೂ ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಜೊತೆಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ’ಭೂತ’ ಸೂರ್ಯರೂ ಕೂಡ ಕ್ಷಿತಿಜದ ಕೆಳಗಡೆ, ಸುಮಾರು 18 ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿರುವ ಸೂರ್ಯನು ಈಗಲೂ ಕೂಡ ಸಂಜೆ ಬೆಳಕನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಉತ್ತರ ಭಾಗ ಮತ್ತು ದಕ್ಷಿಣ ಭಾಗ ಎರಡೂ ಖಗೋಳಾರ್ಧಗಳಿಗೂ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವೀಕ್ಷಕನು ಸಮುದ್ರದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ನಡುಗಡ್ಡೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಮರದ ಬಳಿ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳಬೇಕು; ಹಸಿರಾದ ದಿಕ್ಸೂಚಕಗಳು ಪ್ರಮುಖವಾದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.
ಉತ್ತರ ಭಾಗದ ಖಗೋಳಾರ್ಧದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರ ದಿಕ್ಕು ಎಡಭಾಗಕ್ಕಿರುತ್ತದೆ, ಸೂರ್ಯನು ಪೂರ್ವದಲ್ಲಿ ಉದಯಿಸುತ್ತಾನೆ , ದಕ್ಷಿಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ , ಹಾಗೆಯೇ ಬಲಗಡೆ ಚಲಿಸುತ್ತ ಮತ್ತು ಪಶ್ಚಿಮದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ .
ದಕ್ಷಿಣ ಭಾಗದ ಖಗೋಳಾರ್ಧದಲ್ಲಿ, ದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಸೂರ್ಯನು ಪೂರ್ವದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟುತ್ತಾನೆ , ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಮಿಸುತ್ತಾನೆ , ಹಾಗೆಯೇ ಎಡಗಡೆ ಚಲಿಸುತ್ತ ಪಶ್ಚಿಮದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ .
ಸಮಭಾಜಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಬಾಗಿರುವ, ತುತ್ತತುದಿಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ದಿನವು ಮಧ್ಯಾಹ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಧಕಾರದ ಛಾಯೆಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ.