polyglot-tagger/wikipedia-language-snippets-filtered huggingface dataset:
Бицентрик координаталар — ике беркетелгән нөктәгә нигеҙләнгән теләһә ниндәй координаталар системаһы, уның сиктәрендә ниндәйҙер башҡа нөктәнең урыны, ҡағиҙә булараҡ, уның алыҫлашыу дәрәжәһе менән йәки был ике төп нөктәгә ҡарата торошо менән билдәләнә.
Координаталар йөҙө сифатында был осраҡта күсәрҙәре параллель түңәрәк цилиндрҙар ғаиләһе пары, уларға ортогональ түңәрәк цилиндрҙар ғаиләһе, шулай уҡ яҫылыҡ сығыш яһай.
Конуслы координаталар — радиустары аша бирелгән концентрик сфераларҙан һәм һәм күсәрҙәре буйлап урынлашҡан ике перпендикуляр конустар ғаиләһенән торған өс үлсәмле ортогональ координаталар системаһы.
Махсус сағыштырмалыҡ теорияһында тигеҙ тиҙләнешле өлөшсә гиперболик хәрәкәттә була, һәм һәр шундай өлөшсә өсөн Риндлер координаталарында, уға ҡарата өлөшсә тынлыҡ хәлендә булған, шундай иҫәпләү башы нөктәһе һайларға мөмкин.
Проектив координаталар исеменә ярашлы, проектлы арауыҡта ҡулланылалар һәм уның элементтары һәм есеме элементтарының сикле аҫкүмәклектәре кластары араһында, эквивалентлылыҡ һәм тәртипкә килтерелгәнлек үҙсәнлектәре менән характерланған, үҙ-ара бер ҡиммәтле ярашлылыҡ булып торалар.
Өс һыҙыҡлы координаталар тиң координаталар өлгөләренең береһе булып торалар һәм уларҙың нигеҙе булып бирелгән өсмөйөш тора, ниндәйҙер нөктәнең урыны был өсмөйөштөң яҡтарына ҡарата билдәләнә — башлыса уларҙан алыҫлашыу дәрәжәһе менән, башҡа варианттар ҙа булырға мөмкин.
Өс һыҙыҡлы координаталар сағыштырмаса еңел генә барицентрик координаталарға үҙгәртелә алалар; бынан тыш, улар шулай уҡ ике үлсәмле тура мөйөшлө координаталарға күсерелергә мөмкиндәр, бының өсөн ярашлы формулалар ҡулланыла.
Астрономияла күк йөҙө координаталары — улар ярҙамында күк йөҙө сфераһында яҡтыртҡыстарҙың һәм ярҙамсы нөктәләрҙең урынын билдәләй торған, тәртипкә килтерелгән мөйөшсә дәүмәлдәр пары .
Яҫылыҡта нөктәнең урыны йышыраҡ, бер нөктәлә тура мөйөш яһап киҫешкән ике тура һыҙыҡтан алыҫлыҡтар менән билдәләнә; координаталарҙың береһе ордината тип, ә икенсеһе — абсцисса тип атала.
Арауыҡта Декарт системаһында нөктәнең урыны, бер нөктәлә бер-береһе менән тура мөйөш яһап киҫешкән өс координаталар яҫылыҡтарынан алыҫлыҡтар, йәки координаталар башы сфераның үҙәгендә урынлашҡан сферик координаталар менән билдәләнә.
Теге йәки был математик йәки физик мәсьәләне координаталар ысулы менән сығарғанда, бирелгән конкрет осраҡта мәсьәлә ҡайһыһында ябайыраҡ йәки уңайлыраҡ сығарыла, шуныһын һайлап, төрлө координаталар системаһын ҡулланырға мөмкин.
нөктәһен уның сферик координаталары буйынса төҙөү өсөн, полюстан ыңғай ярымкүсәре буйлап -ға тигеҙ булған киҫек һалырға, уны күсәре тирәләй ыңғай ярымкүсәре йүнәлешендә мөйөшөнә борорға, һәм артабан күсәре тирәләй ыңғай ярымкүсәре йүнәлешендә мөйөшөнә борорға кәрәк.
Утрауҙарҙа урындағы парламентҡа — Лагтингҡа һайлауҙа тауыш биреү һәм үҙ кандидатураһын күрһәтеү, шулай уҡ утрауҙарҙа күсемһеҙ милеккә эйә булыу һәм эшҡыуарлыҡ менән шөғөлләнеү хоҡуғын биреүсе (был сикләүҙең мәғәнәһе утрауҙарҙағы ерҙең килмешәктәр ҡулында түгел, ә урындағы халыҡтың шәхси биләмәһендә булыуына ҡайтып ҡала) урындағы Аланд гражданлығы бар.
Урындағы гражданлыҡ хоҡуғы, ошонда тыуыу менән йәки кешенең юллауы буйынса (Финляндия гражданлығы булған, автономия территорияһында биш йылдан да кәм йәшәмәгән һәм швед телен ҡәнәғәтләнерлек белгән осраҡта), алына.
Лагтинг түбәндәге өлкәләрҙә: мәғариф, мәҙәниәт, боронғо ҡомартҡыларҙы һаҡлау, һаулыҡ һаҡлау һәм медицина хеҙмәтләндереүе, тирә-яҡ мөхитте һаҡлау, эске транспорт, урындағы үҙидара, почта хеҙмәте, радио һәм телекоммуникация сфераһында хоҡуҡи көйләүҙе тормошҡа ашыра.
Лагтинг ҡабул иткән закондарға, әммә Лагтинг провинция автономияһы сигенә сыҡҡан осраҡта ғына, йәки ҡабул ителгән закон Финляндияның эске йәки тышҡы именлегенә хәүеф тыуҙырғанда ғына, Финляндия Президенты тарафынан вето һалыныуы ихтимал.
Финляндияның башҡа граждандарынан айырмалы рәүештә, Аланд утрауҙарында йәшәүселәр хәрби хеҙмәткә саҡырылмай, был ҡоралһыҙландырылған статусы менән түгел, ә тел һәм мәҙәни үҙенсәлектәрҙе һаҡлауға ярҙам итеү шарттарына бәйле.
Утрауҙың швед өлөшөнә Аланд утрауҙарының ҡоралһыҙландырылыуы конвенцияһы ғәмәлдә булмауы арҡаһында, сикте демаркациялау мәсьәләһе Финляндия менән Швецияның ике яҡлы килешеүҙәре сиктәренән сыға һәм (Аландовтың ризалығынан тыш — автономияның Финляндия составындағы статусы тураһында положениеға бәйле) өсөнсө илдәрҙең, атап әйткәндә, Бөйөк Британия, Германия, Дания, Италия, Польша һәм Францияның, ҡатнашыуын күҙ уңында тота.
2015 йылда Финляндияның киң мәғлүмәт сараларында, айырыуса Рәсәй яғынан хәрби янауҙар хәүефе тураһында хәбәрҙәр менән бәйле, утрауҙарҙың автономиялы статусы әүҙем тикшерелә башланы.
Финляндияның оборона министры Юсси Ниинистё, әгәр уларҙа айырма билдәләре булмаған сит ил дәүләттәренең хәрби хеҙмәткәрҙәре йөрөгән осраҡта, Аландарҙы яҡларға әҙер булыуы хаҡында белдерҙе.
2015 йылдың август урталарында Финляндия президенты Саули Ниинистё, Аланд утрауҙарында булғанда, Аландамға хәрби янауҙарҙың артыуы тураһында һөйләшеүҙәр нигеҙһеҙ тип белдерҙе.
Уның фекеренсә, «автономлы төбәктең геосәйәси хәлендә бер ниндәй ҙә үҙгәрештәр булманы» һәм Финляндия тыныс осорҙа Аланд утрауҙарын ҡоралһыҙландырыуға һәм һуғыш ваҡытында автономиялы төбәктең нейтраль статусына булышлыҡ итәсәк.
Шул уҡ ваҡытта президент Ниинистё, «әгәр Швеция Финляндияға халыҡ-ара килешеүҙәр йөкләмәләрен тормошҡа ашырыуҙа ярҙам итергә теләһә, был — Швеция эше», тип белдерҙе.
Уларҙың Балтик диңгеҙендәге төп хәлен 1939—1940 йылдарҙағы совет-фин һуғышынан һуң Аланд утрауҙары тураһында СССР һәм Финляндия килешеүе Мариехамнда совет консуллығы ойоштороуҙы шарттарҙың береһе итеп раҫланыуы билдәләй.
Аланд утрауҙары — быуаттар аҙағында географик яҡтан ярайһы уҡ уңайлы урынлашыуы быуат аҙағынан үҙенең абруйын юғалта башлай, әммә 1960 йылдарҙа, Скандинавия илдәре араһындағы сиктәрҙе бөтөргәндән һуң, йәнә ыңғай ҡабул ителә башлай, был быуат башына халыҡтың иҡтисади именлегенең юғары кимәленә килтерә.
1853—1856 йылдарҙағы Ҡырым һуғыш осоронда, 1854 йылда, утрауҙар яуланған, ә һуңынан Бомарсунд ҡәлғәһен шартлатыу һөҙөмтәһендә Аланд утрауҙары Париж тыныс килешеүе буйынса айырым статусҡа эйә була.
Һуңынан 1917—1921 йылдарҙағы сәйәси көрсөктән һуң утрауҙарҙың дәүләтселеге һәм статусы мәсьәләһе — айырым автономиялы статусы 1921 йылғы Милләттәр лигаһы ҡарары — Аланд конвенцияһы менән раҫлана.
1720 йылдың 27 июлендә бында, Гренгам утрауы янында, рус һәм швед флоттары араһында диңгеҙ һуғышы була, рустарҙың был алышта еңеүе 1721 йылда Ништадт тыныс килешеүен төҙөүҙе байтаҡҡа тиҙләтә.
Беренсе донъя һуғышынан һәм Финляндияның бойондороҡһоҙлоғон иғлан иткәндән һуң, Аланд утрауҙары Швеция составына күсергә маташа, унда Швеция ғәскәрҙәре төшөрөлә, утрауҙарҙа өҫкө өлөшөндә зәңгәр, уртала — алтын төҫ һәм аҫҡы өлөшөндә — зәңгәр һыҙаттан торған үҙ флагы күтәрелә.
1954 йылда фин парламенты һәм президент Юхо Кусти Паасикиви менән оҙаҡ килешкәндән һуң, швед флагын хәтерләткән Аланд утрауҙарының флагы ҡабул ителә; айырмаһы — Аланд флагында швед флагындағы алтын тәре өҫтөнән ҡыҙыл төҫлөһө төшөрөлгән, улар Аланд утрауҙарын символлаштыра.
1809 йылдың 18 мартында рус-швед һуғышында кенәз Пётр Иванович Багратион етәкселегендәге рус корпусы Аланд утрауҙарын баҫып ала, һуғыш тамамланғас, улар Финляндияның Бөйөк кенәзлеге составында Рәсәй империяһына ҡушыла.
2012 йылдың 15 авгусында Аландия утрауҙарында булған Финляндия президенты Саули Ниинистё 1991 йылғы Финляндия составында архипелагтың үҙидараһы тураһындағы законды яңыртыу тәҡдиме менән сығыш яһаны.
Квадратланыусы тип, күпмөйөшкә ҡамап булған һәм уға күпмөйөштө ҡамап булған фигура атала, шуның менән бергә, ике күпмөйөштөң дә майҙандары ирекле бик бәләкәй дәүмәлгә айырылалар.
Яҫылыҡта бөтөн һандағы берәмек квадраттарҙан тормаған фигуралар өсөн, майҙан сикләмәле күсеү ярҙамында табыла; был осраҡта, фигура үҙе лә, шулай уҡ уның сиге лә өлөшләтә-шыма булыуы талап ителә.
Юғарыла тәҡдим ителгән майҙандың аксиоматик билдәләмәһен яҫы фигуралар осрағында ғәҙәттә конструктив билдәләмә менән тулылындыралар, унда асылда палетка ярҙамында майҙанды иҫәпләү башҡарыла.
Майҙандар теорияһы өлөшләтә-шыма батырылмалы -үлсәмле майҙан билдәләмәһен дөйөмөрәк арауыҡтарға таратыу менән бәйле дөйөмләштереүҙәрҙе өйрәнеү менән шөғөлләнә.
өлөшләтә-шыма батырылыу өсөн майҙанды юғарыла күрһәтелгән ысулға оҡшаш рәүештә иҫәпләйҙәр, шуның менән бергә майҙандың ыңғайлыҡ, аддитивлыҡ, нормалаштырылғанлыҡ кеүек, шулай уҡ бер нисә яңы үҙсәнлектәре һаҡлана.
Налогтарҙы иҫәпләгәндә ер үлсәме булып выть, һуҡа, урыу хеҙмәт иткән, уларҙың үлсәме ерҙең сифатына һәм хужаһының социаль хәленә бәйле булған: коробья, арҡан, жеребья һәм башҡалар.
Өс үлсәмле арауыҡта өлөшләтә-шыма йөҙҙөң майҙанын табыу өсөн һәр нөктәлә тейеүсе яҫылыҡтарға ортогональ проекцияларҙы ҡулланалар, шунан һуң сикләмәле күсеү башҡарыла.
Дөйөм мәғәнәлә майҙан төшөнсәһе аҫтында -үлсәмле арауығында -үлсәмле йөҙҙөң һанлы характеристикаһын аңлайҙар, айырым осраҡта, өс үлсәмле арауыҡта ике үлсәмле йөҙҙөң характеристикаһы.
Халыҡ хыялдарын йырлау, көндәлек тормоштағы ыңғай күренештәрҙе һүрәтләү, йәшәү шатлығын, халыҡҡа бәхет килтергән Коммунистар партияһын данлау йырҙары халыҡ күңелендә ныҡлы урын ала.
классик вариантта — алгебраик формаларҙың һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәрҙә һаҡланған үҙсәнлектәре тураһында фән, 1840-сы йылдарҙан башлап Кэли, Эрмит һәм Сильвестр хеҙмәттәрендә формалашҡан, тап инварианттар теорияһы һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙең ирекле системаларын сығарыу ҡағиҙәләрен булдырыуға килтергән тип иҫәпләнә.
Атап әйткәндә, Эрмит айырым осраҡта һыҙыҡлы Диофант тигеҙләмәләре системаһын сығарыу проблемаһын әйтеп биргән һәм сығарған, дөйөм осраҡ өсөн сығарыу юлы тарафынан табыла, һөҙөмтәһе, 1878 йылда Фробениус тарафынан асылғанға тиклем, иғтибарһыҙ ҡала.
Ирекле һанлы коэффициентлы һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системалары тураһында һөҙөмтәләр һуңғы күренешен Кронекер ойошторған хеҙмәттәрҙә ала, унда Вейерштрасс, Фробениус һәм немец ғалимдары төркөмө ҡатнаша, төп иғтибар әйтелештәрҙең ҡәтғилегенә һәм аныҡлығына бүленә.
Атап әйткәндә, Кронекер — Вейршртасс лекциялар курсында билдәләүсе -үлсәмле аруыҡтың векторынан полиһыҙыҡлы тамға үҙгәреүсәнле функция булараҡ индерелә, ул берәмек матрица өсөн 1 ҡиммәте ҡабул итерлек итеп нормалаштырыла; шуның менән бергә был билдәләмә Грассман иҫәпләмәһенән килеп сыҡҡанға эквивалентлы.
Фробениус 1877 йылда матрица рангы төшөнсәһе индерә, яҡын йылдарҙа уға нигеҙләнеп бер юлы бер нисә ғалим һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаларының сиселеүсәнлеге уның төп һәм киңәйтелгән матрицаларының рангтары тап килеү менән эквивалентлы булыуы тураһында раҫлауҙы иҫбатлайҙар.
Был раҫлау урыҫ һәм поляк сығанаҡтарында Кронекер — Капелли теоремаһы, француз сығанаҡтарында — — Фонтене теоремаһы, немец һәм испан сығанаҡтарында — Руше — Фробениус теоремаһы, итальян һәм инглиз сығанаҡтарында — Руше — Капелли теоремаһы булараҡ билдәле.
Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу маҡсатында билдәләүсе төшөнсәһен беренсе индереүсе тип Лейбницты иҫәпләйҙәр, ләкин был хеҙмәттәр баҫылып сыҡмай.
Шулай уҡ билдәләүсе төшөнсәһе Сэки Такакадзаның 1683 йылдағы хеҙмәттәрендә күренә, уларҙа Сэки Такакадза Боронғо Ҡытайҙың «Туғыҙ китапта математика»һындағы үҙгәреүсәнле -ға тиклемге тигеҙләмәнән торған һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу ысулдарын дөйөмләштерә.
Маклорен, ысынбарлыҡта 1748 йылда сыҡҡан трактатында иң ябай билдәләүселәр ҡулланып ике үҙгәреүсәнле ике тигеҙләмәләр системаһын һәм өс үҙгәреүсәнле өс тигеҙләмәләр системаһын сығарыуҙы күрһәтә.
Крамер һәм Безу бирелгән нөктә аша үткән яҫы кәкре һыҙыҡты эҙләү проблемаһы буйынса хеҙмәттәрендә был төшөнсәне яңынан төҙөйҙәр, Вандермонд һәм Лагранж осрағы өсөн индуктив билдәләмә бирәләр, ә билдәләүсенең тулы билдәләмәһен һәм тулыһынса үҙсәнлектәрен Коши һәм Якоби бирәләр.
Гаусс иҫәбенә был мәсьәләләрҙе сығарыу өсөн, уның исеме аҫтында билдәле булған, үҙгәреүсәндәрҙе эҙмә-эҙ төшөрөп ҡалдырыу ысулын әйтеп биреү инә (ысынбарлыҡта борондан һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу өсөн тап ошо ысул ҡулланылған да инде).
Д’Аламбер, Лагранж һәм Эйлер, дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы өҫтөндә эшләп, теге йәки был күренештә тиң һыҙыҡлы тигеҙләмәләр класын айыралар һәм -сы тәртиптәге бындай тигеҙләмәнең дөйөм сығарылышы айырым сығарылыштың һыҙыҡлы комбинацияһы була тигән фактты асыҡлағандар (әммә, шул уҡ ваҡытта сығарылыштарҙың һыҙыҡлы бәйләнештә булыу кәрәклеген билдәләп китмәгәндәр).
бөтөн ҡиммәтле функцияның ҡиммәттәре күмәклеге һәм өҫтөндә һыҙыҡлы алмаштырыу башҡарғанда үҙгәрмәй икәнен күҙәтеүҙәргә нигеҙләнеп, Лагранж 1769 йылда бөтөн һандарҙы квадратик формалар менән күрһәтеү теорияһын эшләй, ә 1770 йылда теорияны алгебраик формаларға тиклем дөйөмләштерә.
Гаусс, формаларҙың эквивалентлыҡ мәсьәләләрен ҡарап, Лагранж теорияһын артабан үҫтерә һәм һыҙыҡлы алмаштырыуҙарға ҡағылышлы төшөнсәләр серияһын индерә, уларҙың иң мөһимдәренең береһе булып эйәртеүле алмаштырыу төшөнсәһе тора.
быуаттың икенсе яртыһынан, компьютерҙар барлыҡҡа килеү, иҫәпләү математикаһы һәм компьютер алгебраһы ысулдарының үҫешеүе менән, һыҙыҡлы алгебра сиктәрендә иҫәпләү йүнәлеше — һыҙыҡлы алгебра мәсьәләләрен, иҫәпләү техникаһын ҡулланып, эффектив сығарыуҙы тәьмин итеүсе ысулдарҙы һәм алгоритмдарҙы эҙләү йылдам үҫеш ала, үҙаллы бүлек барлыҡҡа килә, ә һыҙыҡлы алгебра мәсьәләләрен сисеү компьютерҙарҙы ҡулланыуҙың иң мөһим практик тармағы булып китә.
Был йүнәлеште эшләүгә башланғыс биргән хеҙмәттәр иҫәбендә, Тьюринг тарафынан квадрат матрицаның өҫкө һәм аҫҡы өсмөйөшлөләргә -тарҡалыуалгоритмын төҙөүе тора .
Иҫәпләү системалары ҡатмарлы һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаларын -тарҡалыу ҡулланып сығарырға тейеш булған нәтижәләре, күсеп йөрөүсе өтөр менән иҫәпләүҙәрҙе башҡарыу нәтижәлелегенең төп күрһәткесе тип иҫәпләнә, шул иҫәптән кластер системалар өсөн дә.
1950-се — 1960-сы йылдарҙа һыҙыҡлы иҫәпләү алгебраһы өлкәһендә Фаддеев һәм Уикинсон тарафынан ҙур тикшеренеүҙәр баҫтырылып сығарыла, 1970-се — 2000-се йылдарҙа Марчук, Самарский, Годунов, , Аксельсон тарафынан ҙур һөҙөмтәләргә өлгәшелә.
Әммә һыҙыҡлы алгебраның базаһы булып ысынбарлыҡта бүлек булып инеп киткән, Гаусс тарафынан комплекслы һандарҙы геометрик интерпретациялау буйынса хеҙмәттәрендә тасуирланған һәм 1840-сы — 1850-се йылдарҙа Мёбиустың, Грассмандың һәм Гамильтондың хеҙмәттәрендә тулы формаһын алған векторлы иҫәпләмә тора.
Шулай, Гамильтон 1843 йылда комплекслы һандарҙы кватерниондарға тиклем дөйөмләштерә һәм уларға Гаусс кеүек геометрик интерпретация бирә , ә 1844 йылда Грассман һыҙыҡлы арауыҡтың аҫарауығын тасуирлаусы тышҡы алгебра төшөнсәһе төҙөй.
быуат аҙағында векторлы иҫәпләмәнең дөйөм танылыу алыуы векторҙарҙың шул замандың алдынғы физик-теоретиктары, беренсе нәүбәттә, Максвелл, Гиббс, Хевисайд тарафынан ҡулланылыуы менән бәйле, атап әйткәндә, физиктар тарафынан өс үлсәмле Евклид арауығында векторлы алгебра ентекләп эшләнә: векторҙарҙың скаляр, векторлы һәм аралаш ҡабатландығы төшөнсәләре индерелә, набла-оператор, традицияға ингән символика формалаша, шулай уҡ ошо мәлдән башлап векторҙар мәктәп программаларына үтеп инә.
Һыҙыҡлы алгебраның тәүге элементтары һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙе сығарыу өсөн практик иҫәпләү мәсьәләләренән килеп сыға, атап әйткәндә, һәм кеүек арифметик ысулдар боронғо заманда уҡ әйтеп бирелгән.
Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыуға хәҙерге заман матрицалы ысулына яҡын ҡараш вавилонсыларҙа һәм боронғо ҡытайлыларҙа ("Туғыҙ китапта математика"ла, өс үҙгәреүсәнле өс тигеҙләмәләр системаһына тиклем сығарыуҙа) күренә.
Әммә һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһы сығарылыштарын табыуҙың төп мәсьәләләре буйынса билдәлелеккә өлгәшкәс, бүлек артабан үҫеш алмай, һәм хатта быуат аҙағы — быуат башында, беренсе дәрәжә тигеҙләмәләргә ҡағылышлы проблемалар башҡа юҡ тип иҫәпләнә, шуның менән бергә, үҙгәреүсәндәр һаны тигеҙләмәләр һанынан айырмалы булған йәки һул яғында һыҙыҡлы-бәйләнешле коэффициенттар булған һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһы.
Һыҙыҡлы алгебра дөйөм алгебра ысулдары менән дөйөмләштерелгән, атап әйткәндә, һыҙыҡлы арауыҡтың хәҙерге билдәләмәһе фәҡәт абстракт структураларға нигеҙләнә, ә һыҙыҡлы алгебраның күп һөҙөмтәләре ирекле ҡулса өҫтөндә модулдәргә дөйөмләштерелгән.
Улай ғына түгел, һыҙыҡлы алгебра алымдары дөйөм алгебраның башҡа бүлектәрендә лә киң ҡулланылалар, атап әйткәндә, йыш ҡына ошондай алым ҡулланыла, абстракт структуралар һыҙыҡлы структураларға ҡайтарып ҡалдырыла һәм улар һыҙыҡлы алгебраның сағыштырмаса ябай һәм яҡшы ентекләп өйрәнелгән саралары менән өйрәнелә.
Функциональ анализ математик анализ һәм һыҙыҡлы алгебра ысулдарын сикһеҙ һыҙыҡлы арауыҡтарға ҡулланыу булараҡ барлыҡҡа килгән, һәм үҙенең артабанғы дөйөмләштерелеүҙәрендә лә башлыса һыҙыҡлы алгебра ысулдарына нигеҙләнә.
Тензорҙар һыҙыҡлы алгебра объекттары тураһында күҙаллауҙарҙың тәбиғи үҫеше булараҡ барлыҡҡа киләләр: әгәр скаляр -үлсәмдә нуль үлсәмле объект, вектор — бер үлсәмле массив , һыҙыҡлы үҙгәртеү — ике үлсәмле матрица булһа, ул саҡта тензор үлсәмле ялан элементтарының күп үлсәмле массивы булып күрһәтелергә мөмкин , ә скалярҙар, векторҙар, һыҙыҡлы операторҙар тензорҙың айырым осраҡтары булып сығалар .
Тензор төшөнсәһен ҡулланыуҙа артабанғы дөйөмләштереү һыҙыҡлы функционалды ковектор итеп күрһәтеү мөмкинлегенән һәм арауыҡ һәм уның эйәртеүе — уның һыҙыҡлы функционалдары арауығы араһында ҡапма-ҡаршылыҡ идеяһынан алынған; был мөмкинлекте файҙаланып, валентлы тензор тапҡыр контравариантлы, йәғни, «ғәҙәттәге» базиста ярашлы компоненттары менән ҡаралыусы, һәм тапҡыр ковариантлы, йәғни, эйәртеүле арауыҡта компоненттары менән итеп ҡарала.
Һыҙыҡлы алгебрала векторҙарҙың һыҙыҡлы бәйһеҙлеге төшөнсәһе төп ролде уйнай, ул векторлы арауыҡтың базисы һәм үлсәме билдәләмәләренең нигеҙендә ятаː әгәр векторлы арауыҡтың һыҙыҡлы бәйһеҙ векторы булһа һәм был арауыҡтың теләһә ниндәй векторы һыҙыҡлы бәйләнгән булһа, һаны векторлы арауыҡтың үлсәме тип атала.
Шулай итеп, векторҙар йәки үлсәмендәге матрицалар — ярашлы рәүештә вектор-бағаналар һәм вектор-юлдар күренешендә яҙылырға мөмкин, ә векторлы алгебраның бөтә ғәмәлдәре матрицалар алгебраһына ҡайтарып ҡалдырылырға мөмкинː мәҫәлән, векторҙарҙы ҡушыу матрицаларҙы ҡушыу менән тап килә, ә векторҙарҙы векторлы ҡабатлау беренсе ҡабатлашыусынан һәм икенсе ҡабатлашыусы булған вектор-бағананан төҙөлгән ҡыя симметрик матрицаның ҡабатландығы рәүешендә күрһәтелергә мөмкин.
1922 йылда Банах, уның хеҙмәттәренән һуң Банах арауығы булараҡ билдәле булған, тулы нормалаштырылған һыҙыҡлы арауыҡтарҙы өйрәнеп, сикле осраҡта уҡ үҙенең эйәртеүенә изоморфлы булмаған һыҙыҡлы арауыҡтар барлыҡҡа килә икәнен күрә, һәм ошоноң менән бәйле быуаттың беренсе яртыһында һыҙыҡлы алгебраның ысулдары һәм һөҙөмтәләре, уның төп предметын — топологик һыҙыҡлы арауыҡтарҙы өйрәнеүҙе заманса әйтеп биреп, функциональ анализды байыта.
Шулай уҡ 1920-се — 1950-се йылдарҙа дөйөм алгебраны һыҙыҡландырыу буйынса йүнәлеш таралыу ала, шулай, Дедекиндтың яландың теләһә ниндәй автоморфизмдарының һыҙыҡлы бәйләнешһеҙлеге тураһында нәтижәһен үҫтереп, Артин Галуа теорияһын һыҙыҡландыра, ә 1950-се йылдарҙа, иң беренсе Джекобсон хеҙмәттәрендә, был нәтижәләр есемдәрҙең ирекле киңәйтеүенә дөйөмләштерелә; шул арҡала яҡшы өйрәнелгән һыҙыҡлы алгебраның инструменттарын һәм ҡаҙаныштарын дөйөм алгебраның үтә абстракт бүлектәрендә ҡулланырға мөмкин була.
Йөкмәткеһенә бәйле рәүештә улар диагональ (төп яландың диагоналдәгенән башҡа бөтә элементтары — нулдәр: ), берәмек (төп яландың диагоналдәге бөтә элементтары бергә, ә ҡалғандары — нулгә тигеҙ), симметрик , ҡыя симметрик , өсмөйөшлө (төп диагоналдән өҫтәге һәм аҫтағы бөтә элементтары нулгә тигеҙ), ортогональ булырға мөмкин.
Квадрат матрицалар араһында оҡшашлыҡ бәйләнеше индерелә , бында — -ға кире матрица), матрицаларҙың ранг һәм характерлы күпбыуын кеүек характеристикалары оҡшашлыҡҡа ҡарата инвариантлы.
Кэли 1858 йылда "Матрицалар теорияһы тураһында мемуар"ын баҫтырып сығарып, матрицалар иҫәпләмәһен ентекләп эшләй, Кэлиҙың матрицаларҙы һыҙыҡлы алмаштырмалар өсөн нотация итеп ҡарауы принципиаль .
Атап әйткәндә, Кэли был хеҙмәтендә матрицаларҙы ҡушыу һәм ҡабатлау, матрицаларҙы әйләндереү төшөнсәләрен индерә, мМатрицаларҙың характерлы күпбыуындарын ҡарай һәм 22 һәм 33 осраҡтары өсөн квадрат матрицаның характерлы күпбыуыны нулгә әйләнеү тураһында раҫлауҙы (Гамильтон — Кэли теоремаһы булараҡ билдәле булған, сөнки 44 осрағын Гамильтон кватерниондарҙы ҡулланып иҫбатлай) әйтеп бирә һәм иҫбатлай, дөйөм осраҡ өсөн Фробениус иҫбатлай .
1888 йылда Пеано Грассман иҫәпләмәһе базаһында беренсе тапҡыр асыҡтан-асыҡ һыҙыҡлы арауыҡ (ысын һандар яланы өҫтөндә векторлы арауыҡтарҙың, шул иҫәптән сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙың) аксиомаларын әйтеп бирә һәм — быуаттарҙа ҡулланыуҙа һаҡланған тамғалауҙарҙы ҡуллана.
Тёплиц 1910-сы йылдар башында, һыҙыҡлы арауыҡтарҙы аксиомалаштырыу ярҙамында, һыҙыҡлы алгебраның төп теоремаларын иҫбатлау өсөн билдәләүсе төшөнсәһенә таяныу кәрәкмәй икәнен күреп ҡала, был уларҙың һөҙөмтәләрен сикһеҙ һандағы үлсәм осрағына таратырға мөмкинлек бирә, икенсе төрлө әйткәндә, һыҙыҡлы алгебра теләһә ниндәй төп ялан өсөн ҡулланыла ала.
Векторлы һәм Евклид арауыҡтарының аксиоматик билдәләмәһе, квант механикаһы талабынан сығып, беренсе булып быуат башында бер үк ваҡытта тиерлек Вейль һәм фон Нейман тарафынан аныҡ итеп әйтеп бирелә.
Вектор төшөнсәһе беренсе башлап тиҙлек, көс моменты, электр ҡыры көсөргәнеше, магнитланыусанлыҡ кеүек бер үк ваҡытта дәүмәл һәм йүнәлеш менән дә характерланыусы, бер үк ваҡытта дәүмәл һәм йүнәлеш менән өйрәнелеүсе объекттар өсөн геометрик абстракция булараҡ барлыҡҡа килә.
быуат башында векторҙарҙың баштағы «йүнәлешле киҫек» булараҡ интерпретацияһы ике ғәмәл менән векторлы арауыҡ аксиоматикаһына алмаштырылаː векторҙарҙы ҡушыу һәм векторҙы һанға ҡабатлау.
Ялан сифатында ҡайһы берҙә махсус рәүештә ғәҙәттәге ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре менән ысын һандар яланы йәки комплекслы һандар яланы ҡарала, атап әйткәндә, ҡабарынҡы күмәклек теорияһында күп нәтижәләр тап ысын йәки комплекслы векторлы арауыҡтар өсөн әйтеләләр.
Әммә раҫлауҙарҙың күп өлөшө һәм конструкцияларҙың күпселеге ирекле яландар өсөн дөрөҫ, улай ғына түгел, һыҙыҡлы алгебраның векторлы арауыҡтар өсөн алынған күп нәтижәләре, быуатта коммутатив булмаған есемдәр өҫтөндә унитар модулдәргә һәм хатта ирекле ҡулса өҫтөндә модулдәргә йәки билдәле бер сикләүҙәр менән модулдәргә тиклем дөйөмләштерелә.
Билдәләүсе — тура мөйөшлө матрицаның элементтарын айырым ысул менән комбинациялаған күпбыуын, уның арҡаһында юл һәм бағаналарҙы транспонирлауға һәм һыҙыҡлы комбинацияларына бәйһеҙ рәүештә матрицаның миҡдары билдәләнә; атап әйткәндә, әгәр матрицала һыҙыҡлы-бәйле юлдар йәки бағаналар булһа — билдәләүсе нулгә тигеҙ.
Билдәләүсеһе нулгә тигеҙ булған квадрат матрицалар үҙгәртелгән тип аталалар, улар өсөн әйләндереү билдәләнмәгән; әгәр билдәләүсе нулгә тигеҙ булмаһа — матрица үҙгәртелмәгән тип атала.
Билдәләүсе һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаларын дөйөм күренештә сығарыуҙа төп роль уйнай, уның базаһында минор, өҫтәлмә минор, алгебраик өҫтәлмә төшөнсәләре индерелә.
Һыҙыҡлы алгебра өсөн тағы ла бер ҡараш сығанағы булып проектив геометрия тора, уны төҙөү Дезарг тарафынан быуатта башлана һәм Монждың быуат аҙағындағы хеҙмәттәрендә һәм артабан Понселе, Брианшон һәм Шалдың быуат башы-урталарындағы хеҙмәттәрендә һиҙелерлек үҫеш ала.
Бынан тыш, Монж индергән проектив аруыҡтарҙың ҡаршылыҡлы булыу төшөнсәһе һыҙыҡлы арауыҡтарҙа ҡаршылыҡлы булыу ҡараштарының береһе булып тора (әммә был бәйләнеш тик быуат аҙаҡтарында ғына Пинкерле тарафынан һиҙеп ҡалына).
1630-сы йылдарҙа Ферма, яҫы кәкре һыҙыҡтарҙы классификациялап, математикаға үлсәмлек принцыбын индерә һәм аналитик геометрия мәсьәләләрен билдәһеҙҙәр һаны буйынса бүлә (бер үҙгәреүсәнле — нөктәне табыу, ике үҙгәреүсәнле — кәкрене йәки яҫылыҡта геометрик урынды табыу, өс үҙгәреүсәнле — йөҙҙө табыу).
Эйлер координаталарҙы үҙгәртеү һыҙыҡлы характерҙа булыуына иғтибар итеп, кәкреләрҙе тәртибе буйынса классификациялау булдыра һәм аффинналы үҙгәртеү төшөнсәһен индерә.
Матрицалар өсөн шулай уҡ ҡыҫҡартылған яҙыу ҡулланыла , ләкин ғәҙәттә матрицалар менән берҙәм объекттар кеүек эш итәләр: матрицалар өҫтөндә ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре билдәләнгән, шулай уҡ матрицаны төп ялан элементына — скалярға ҡабатларға мөмкин.
Һыҙыҡлы алгебра – алгебраның һыҙыҡлы тәбиғәтле объекттарҙы: векторлы , арауыҡтарҙы, һыҙыҡлы сағылыштарҙы һәм һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын өйрәнеүсе өлөшө.
Квадратик һәм биһыҙыҡлы формалар, тензорҙар кеүек объекттар һәм тензорлы ҡабатландыҡ кеүек ғәмәлдәр туранан-тура һыҙыҡлы арауыҡтарҙы өйрәнеүҙән килеп сығалар, ләкин полиһыҙыҡлы алгебраға ҡарайҙар.