Platt ble født i Canada av amerikanske foreldre. Hans mor Sheila Maynard arbeidet som , og faren Nicholas Platt var diplomat. Faren var USAs ambassadør til Pakistan, Zambia og Filippinene. Oliver Platt har en eldre bror, Adam Platt, som er restaurantkritiker for , og en yngre bror, Nicholas Platt jr. Familien flyttet tilbake til USA da Platt var tre måneder gammel.