Räber deltok i verdenscupen fra 1978 til 1984, og vant to utforrenn i løpet av karrieren. I tillegg vant han krystallkulen for sammenlagtseieren i utforcupen sesongen 1983/84. Etter OL 1984 i Sarajevo, der han endte på femteplass i utforrennet, la han opp som aktiv alpinist.