Omsted var sønn av grosserer Jørgen Cappelen Omsted og Marthe Christine Bang (1784–1815). Han ble første gang gift i 1835 med Olivia Arntzen (1810–1851), datter av sorenskriver Arne Arntzen. Med henne hadde han sønnen Arne Arntzen Omsted. I 1855 ble han gift igjen med Therbora Ursille Karine Rynning, datter av prost Ole Gaarder Rynning.