Han vokste opp i Christiania der faren var snekkermester. Etter examen artium 1865, knapt sytten år gammel, studerte han videre og ble tildelt en cand.jur. i 1871 som ga ham innpass i Justisdepartementet der han ble fra 1873 inntil han i 1886 fikk tilslag på jobben som konservator i Kunstindustrimuseet der han virket som deltids sekretær fra det åpnet i 1876 og som direktør fra 1894 inntil han gikk av med pensjon i 1919 og ble etterfulgt av Hans Dedekam (1872–1928) som døde brått så ung i sitt virke året før Grosch selv gikk bort. Grosch rakk å stifte Den Norske Husflidsforening i 1891 og fikk ikke uventet en St. Olavs Orden for dette i 1897. Utover å sitte i foreningens ledende organer i flere år, tok han fra 1910 til 1915 på seg formannsvervet i Norges Husflidsråd.