Det er uklart hvor og når Leivur ble født, men man vet at det må ha vært før 983. I 983 døde hans far som 23-åring. Fødested var sannsynligvis enten i Gøta, hvor hans far bodde hos Tróndur i Gøta, i Hov, hvor faren fikk Havgrímurs gård, eller på Skúvoy, hvor faren også fikk gården ved Brestir og Beinir.