Engel var eldste sønn av presten Karl Wilhelm Christian Engel (1704–1765) og Marie Elisabeth Brasch (1724–1803). Ni år gammel ble han sendt til onkelen, Johann Ludwig Engel (1699–1758), som underviste i filosofi i Rostock. Engel ble på farens ønske immatrikulert ved det teologiske fakultet ved 26. april 1757. Han var da knapt 16 år gammel. I 1765 reiste han til Leipzig, gav opp teologistudiene og studerte i stedet filosofi, språk, litteratur, matematikk og naturvitenskap.