Brakstad er utdannet teolog, og har i tillegg studert i USA, Tyskland og England. To ganger har han vært elev ved Forsvarets Høyskole, og han har studert økonomi og ledelse ved Høyskolen på Lillehammer. Brakstad startet sin karriere som konsulent i Presse og kulturavdelingen i Det Kongelige Norske Utenriksdepartement, deretter var han prest på Geilo og han var prosjektleder i Kulturseksjonen i LOOC i forbindelse med Vinter-OL på Lillehammer. Etter dette ble han i 1994 assisterende kabinettsekretær ved Det Kongelige Slott. Han har i sitt arbeid på Slottet blant annet bidratt til å skrive kongens taler.