Den 29. juni 1912 ble Weber ordinert til prest og gikk inn i presteselskapet Saint-Sulpice. Den 19. mai 1945 ble han valgt til koadjutorbiskop av Strasbourg av bispedømmet Strasbourgs katedralkapittel. Pave Pius XII bekreftet dette valget den 1. juni samme år og utnevnte ham også til titulærbiskop av . Bispevielsen den 29. juni 1945 ble foretatt av Paris' erkebiskop, kardinal Emmanuel Célestin Suhard. Medkonsekratorer var Pierre-Maurice-Marie Rivière (biskop av Monaco) og Joseph Alphonse Marie Evrard (titulærbiskop av ).