Det arbeidet som skulle gjøre hans navn berømt, ble publisert i sin endelig form i 1775. I dette viste han hvordan en buelengde til en hyperbel kunne uttrykkes ved buelengdene til to forskjellige ellipser som hver er gitt ved et elliptisk integral.. Hans resultat tilsvarer at to slike integral er relatert ved en algebraisk sammenheng mellom deres eksentrisiteter. Denne matematiske egenskap viste seg senere å være av stor betydning for utviklingen av elliptiske funksjoner og kalles i dag for Landens transformasjon.