Bogstad ble født i bygda Årdal i Breim, på gården Bogstad. Han og hans to eldre søstre mistet sin far tidlig, og Rasmus fikk skjøttet på gården før fylte 5 år. Hans mor, Johanne Olsdatter Bogstad (f. ca. 1824) giftet seg på nytt med Rasmus Olson (f. ca. 1833), også han fra Breim, som tok over driften av gården. De fikk to sønner, der den eldste og fikk navnet Rasmus. Slik ble det to Rasmus R. Bogstad, som var halvbrødre. Den yngste Rasmus emigrerte til USA, og ble der pastor og president ved Concordia College i Minnesota.