Jurij Basjmets farmor, Zilia Efimovna, studerte i unge år sang ved konservatoriet, mens mormoren, Daria Aksentjevna, sang huzulersanger. Etter å ha fått undervisning på fiolin og vunnet sin første musikkonkurranse byttet Basjmet over til bratsj. Han påbegynte bratsjstudiet på Moskvakonservatoriet hos Vadim Borissvskij, som var en kjent bratsjlærer og bratsjist, berømt for sitt bratsjspill i Beethovens strykekvartetter. Etter Borissvskijs død i 1972 fortsatte han studiet hos Fjodor Drusjinin, som Dmitrij Sjostakovitsj dediserte sin bratsj-sonate til. Basjmets internasjonale solistkarriere startet etter at han vant førsteprisen i ARD internasjonale musikkonkurranse i 1976.