Köybaşı begynte sin profesjonelle karriere i Gaziantepspor, der han debuterte i den tyrkiske toppdivisjonen i 2008. Etter én sesong i Gaziantepspor ble han kjøpt av toppklubben Beşiktaş for 6,5 millioner euro pluss to Beşiktaş-spillere i bytte.