Lansbury var det første barnet til den engelske politikeren og forretningsmannen Edgar Lansbury og den irske skuespillerinnen Moyna Macgill. Hun hadde også tre søsken, Bruce og Edgar jr., som var tvillinger, og en halvsøster, Isolde «Zil» Donham, fra morens første ekteskap. Donham var en stund gift med den britiske skuespilleren Peter Ustinov. Bruce er TV-produsent og Edgar jr. er film, teater og TV-produsent. Lansburys far, Edgar Lansbury, døde av magekreft da hun var ni år. Hennes bestefar, George Lansbury, var partileder i Labour Party. Hun er i familie med den engelske animatøren og dukketeaterdirektøren Oliver Postgate og den australskfødte akademikeren og forfatteren Coral Lansbury, som er mor til den australske politikeren Malcolm Turnbull.