En spesiell viktig klasse spilte de elliptiske integralene som tilhører klassen av abelske integral hvor den algebraiske funksjonen er løsning av polynomligningen hvor polynomet ()  er av tredje eller fjerde grad. Disse integralene var blitt inngående studert av Legendre. Han viste at de kunne alle bli redusert til tre standardformer som han undersøkte og numerisk beregnet med stor nøyaktighet. Gjennombruddet til Abel og Jacobi besto i å betrakte de inverse funksjonene som integralene definerte. Det førte dem til oppdagelsen av elliptiske funksjoner. Disse har to perioder i motsetning til de trigonometriske funksjonene som bare har én.