Khasbulatov ble født i landsbyen Tolstoj-Jurt nær Groznyj i den russiske delrepublikken Tsjetsjenia. Da han var 1 år gammel, ble han sammen med sin mor og søsken deportert til Nord-Kasakhstan, hvor hele det tsjetsjenske og ingusjetiske folket ble deportert etter Stalins ordre. Hans far, som lå alvorlig syk på et sykehus, ble igjen og døde like etter.