Samarbeidet mellom brødrene var ikke godt, og i 1948 gikk de hver til sitt. Rudi Dassler startet selskapet Puma og Adi Dassler startet Adidas. Navnet satte han sammen av de første stavelsene i sitt eget navn, og logonavnet er det skrevet uten stor forbokstav adidas. Det sies at navnet er et akronym for frasen , men den historien er trolig kommet til lenge etter etableringen, og synes fabrikkert for det amerikanske markedet.