Han var sønn av skotøysfabrikant Simon Marcus Salomon og Johanna Bella Eisenstein; faren var danskfødt jøde, mens moren var født i en jødisk familie i Płock i Russland (nå Polen). Hans bror var den kjente medaljøren og billedhuggeren Harald Salomon, som designet mange danske mynter. Max Salomon var i likhet med sin far forretningsmann i lærindustrien gjennom det meste av sin karrière. Under andre verdenskrig flyktet familien til Sverige for å unnslippe nazistenes jødeforfølgelser. Familien Salomons opplevelser under krigen er beskrevet i boken , skrevet av nevøen, den amerikanske jussprofessoren Norman Poser.