Weisæth ble cand.med. ved Universitetet i Oslo i 1968, spesialist i psykiatri i 1976 og dr.med. i 1985. Han arbeidet fra 1968 som assistentlege, reservelege og forskningsstipendiat. I 1978 tjenestegjorde han som major i Den norske FN-styrken i Libanon. Tilbake i Norge ble han tilknyttet Kontoret for katastrofepsykiatri, som hadde blitt grunnlagt av Arne Sund i 1978 og som var en felles enhet under Det medisinske fakultet ved Universitetet i Oslo og Forsvarets sanitet. I 1985 etterfulgte han Sund som professor og leder for Kontoret for katastrofepsykiatri. Han var også sjefpsykiater i Forsvarets sanitet og spesiallege ved Gaustad sykehus. Da Kontoret for katastrofepsykiatri ble innlemmet i NKVTS i 2004 ble han forskningsleder der. Han har hatt en rekke oppdrag som konsulent for Verdens helseorganisasjon i krigs- og katastrofeområder.