Glancy ble olympisk mester i svømming under OL 1924 i Paris. Han var med på det amerikanske stafettlaget som vant 4 x 200 meter fri med tiden 9.53,4, ny verdensrekord og nesten ni sekunder raskere enn sølvvinneren Australia. Det var totalt femtisju svømmere fra tretten nasjoner som deltok i stafetten som ble avviklet 18. og 20. juli. Svømmerne på det amerikanske laget var Glancy, James O'Connor, Ralph Breyer og Johnny Weissmuller.