Den første moderne og mer presise definisjon av et vektorrom ble introdusert av Peano i 1888. Han bygget her på et matematisk apparat som var blitt lansert førti år tidligere av Grassmann, men i stor grad blitt oversett. Ved århundreskiftet hadde man dermed en teori for lineære transformasjoner i endelig-dimensjonale vektorrom. Lineær algebra fikk sin moderne form i første halvdel av det tjuende århundre, da mange ideer og metoder fra tidligere århundrer var generalisert som abstrakt algebra. Bruk av matriser i kvantemekanikk, relativitetsteori og statistikk bidro til å spre området lineær algebra ut over den rene matematikken. Utviklingen av datamaskiner førte til økt forskning på effektive algoritmer for Gausseliminasjon og matrisenedbrytning, og lineær algebra ble et viktig verktøy for modellering og simulering.