Adžić spilte i løpet av sin karriere som håndballspiller for Budućnost, Rudar, Epoksid, Buje 53, Borec, Mladost og Rimako. Etter sin spillerkarriere trente Adžić aldersbestemte lag i . Fra 2001 til 2009, var han assistenttrener for A-laget i samme klubb, før han tok over som hovedtrener. Under hans ledelse har Budućnost vunnet Cupvinnercupen i 2010 og Champions League i 2012, samt 5 strake montenegrinske serie- og cupgull.