Algora fikk sin teologiske utdannelse ved Madrids presteseminar, og ble presteviet 23. desember 1967 for det daværende ekebispedømmet Madrid-Alcalá (da han døde, var det blirr oppdelt i tre bispedømmer: Madrid, Alcalá og Getafe). Han studerte dessuten sosiologi ved Sosialinstituttet Leo XIII i Madrid, tilknyttet ved Det pavelige universitet i Salamanca. Fra 1968 til 1973 var han rådgiver for arbeiderbevegelsen Hermandades del Trabajo i Alcalá de Henares. Hermandades del Trabajo er en katolsk assosiasjon i en rekke spansktalende land for evangelisering av arbeidere, deres familier og deres miljøer, som også fremmer den katolske kirkes sosiallære om deres rettigheter. Som ungdomsprest for Hermandades del Trabajo virket han selv i Madrid, og etterfulgte i 1978 grunnleggeren Abundio García Román som leder for Madrid-Sentrum-delen.