Heße ble presteviet 18. juni 1993 av kardinal Joachim Meisner i Kølnerdomen. Fra 1993 til 1997 var han sogneprest for i byen Bergheim. Fra 1997 til 2003 underviste han ved , et seminar i Bonn, mens han arbeidet på en doktorgrad. I 2001 hble han doktor i teologi fra Den filosofisk-teologiske skole i Vallendar med en dissertasjon om den sveitsiske teolog Hans Urs von Balthasar. Fra 2003 til 2005 ledet han pastoralavdelingen i den erkebiskoppelige kurie i Köln. Likeså i 2003 ble han erkebispedømmets delegat for radio og fjernsyn, en post han innehadde til 2012. Den 1. mai 2006 ble Heße vise-generalvikar, og den 16. mars 2012 generalvikar for erkebispedømmet Köln.