Sutton er født i Shreveport i Louisiana og var en lovende golfspiller mens han studerte ved Centenary College of Louisiana; han ble utnevnt til årets collegegolfer av i 1980. Han etablerte seg som en av de lovende, unge stjernene på PGA-touren på begynnelsen av 1980-tallet, blant annet med en seier i -turneringen PGA Championship i 1983. Etter dette mistet han imidlertid toppformen og gikk fra 1986 til 1995 uten en eneste seier på touren. Mot slutten var han nær ved å miste spilleretten på touren, men beholdt den ved å bruke en engangsdispensasjon for de 50 spillerne som har vunnet mest penger på PGA-touren i karrieren. Fra 1998 til 2001 var toppformen tilbake, og i 2001 gjorde han en av sine beste sesonger da han klarte cutten i 22 av 26 turneringer og vant Shell Houston Open.