Barron ble utdannet ved Bristol Grammar School. Han arbeidet for Daily Press i Bristol, før han begynte hos BBC News som redaktør i 1965. Barron tilbrakte de neste 40 årene hos BBC, for det meste rapporterte han om hendelser fra utlandet. I 1971 ble han korrespondent i Sørøst-Asia og han hadde derfor ansvaret for å dekke Vietnamkrigen. Hovedbasen hans fra 1977 og framover var i Nairobi, da han som sjefkorrespondent hadde ansvaret for å dekke hele Afrika. Da Barron dekket slutten på regimet til den ugandiske diktatoren Idi Amin ble han den første korrespondent til å nå Kampala. Barron fikk også det første intervjuet med Idi Amin etter hans fall fra makten.