Noen tiår senere begynte Adrien-Marie Legendre et systematisk studium av dette og mer generelle integral. Da noen av disse også dukker opp i forbindelse med beregning av buelengden til ellipsen, blir de kalt for elliptiske integral. Legendre viste at også de tilfredsstiller addisjonsformler. Det spesielle lemniskateintegralet ble da klassifisert som et «elliptisk integral av første type».