Han ble født i Encarnación i Paraguay, like ved grensen til Argentina. Faren var tyskfødte Hugo Wilhelm Stroessner, som utvandret fra Hof i Bayern og drev et bryggeri, underviste i matematikk og førte regnskap for lokale foretak. Farfaren var bayersk kavalerioffiser. Slektsnavnet staves eller på tysk. Moren var paraguayanske Heriberta Matiauda, som kom fra en velstående familie av spansk herkomst. Paret giftet seg i 1904 og fikk fire barn, hvorav Alfredo og søsteren Heriberta vokste opp. Familien levde i enkle kår. For sitt lyse, rødlige hår fikk Alfredo kallenavnet .