Budak var en av sjefsideologene i den kroatiske fascistiske og ultranasjonalistiske organisasjonen Ustaša og fikk asyl i Italia da bevegelsen ble forbudt i Jugoslavia i 1929. Han vendte tilbake i 1938, og fra 1941 innehadde han flere politiske poster i Den uavhengige staten Kroatia, blant annet som undervisnings- og utenriksminister og ambassadør til Nazityskland.