Leighton ble født i juli 1887 i Macon i Georgia av foreldrene Jessie M. (1865-?) og Leighton Wilson Hazelhurst sr. (1862–?). Hans far arbeidet for jernbanen. Leighton jr. ble tatt opp på United States Military Academy i West Point i New York. Han var klassekamerat til Hap Arnold. Han ble uteksaminert og fikk graden sekondløytnant og plassert i det 17. infanteriregiment i 1908.