Bragg begynte sin karriere i 1961 som general trainee ved BBC. Han mottok en av bare tre praktikant-stillinger som ble tildelt det året. Han tilbrakte sine to første år i radio ved BBC World Service, deretter hos BBC Third Program og BBC Home Service. Han begynte i produksjonsteamet til Huw Wheldons Monitor arts series på BBC Television. Han presenterte BBC -bokprogrammet (og var også redaktør, 1976–77) og , en BBC Two arts-serie. Deretter redigerte og presenterte han (LWT) og kunstprogrammet fra 1978 til 2010. Intervjuet hans med dramatiker Dennis Potter kort tid før hans død blir jevnlig sitert som et av de mest rørende og minneverdige TV-øyeblikkene noensinne. Ved å være like interessert i populære så vel som klassiske sjangre, har han fått æren for å gjøre kunsten mer tilgjengelig og mindre elitistisk.