Cuny arbeidet i flere u-land, blant disse var Biafra, Guatemala, Etiopia, Irak, Somalia og Bosnia. Cuny ble utnevnt til en MacArthur Fellow i 1995, men han forsvant før han offisielt kunne motta sin pris. I april 1995, forsvant Cuny sammen med en lege og tolk fra det Røde Kors sin russiske avdeling i Tsjetsjenia. Forsvinningen skjedde mens han forsøkte å forhandle frem en våpenhvile mellom tsjetsjenske separatister og lokale russiske myndigheter i dette området. Tsjetsjenske opprørsgrupper har fått skylden for forsvinningen, men levningene deres er aldri blitt funnet.