I et forsøk på å forstå objekter slik som Cantor mengder, generaliserte matematikere som Constatin Carathéodory og Felix Hausdorff det intuitive begrepet dimensjon til å omfatte ikke-heltall verdier. Dette var del av den generelle bevegelsen i den første delen av 1900-tallet på å skape en beskrivende mengdeteori; det vil si, en fortsettelse i retningen av Cantors forskning som kunne på en måte klassifisere mengder av punkter i et Euklidsk rom. Definisjonen av Hausdorff-dimensjon er geometrisk i natur, selv om den er basert teknisk sett på verktøy fra matematisk analyse. Denne retningen ble tatt opp av Besicovitch, blant andre; den er annerledes i karakter fra de logiske undersøkelsene som preget den beskrivende mengdeteorien fra 1920- og 1930-tallet. Begge disse feltene ble videre utviklet etterpå, men stort sett av spesialister.