Rune ble født i 29. april 2003 i Gentofte, Danmark, og er sønnen til Aneke Rune og Anders Nødskov. Han har en søster som heter Alma. Rune begynte å spille tennis da han var 6 år, fordi søsteren hans spilte og begynte å ta sporten seriøst. Gjennom barndommen ble Rune trent av Lars Christensen, som fortsatt er hans trener. Runes største forbilder da han vokste opp var tennisspillerne Rafael Nadal og Roger Federer.