Familien flyttet til USA under andre verdenskrig. Rosenqvist ble født i Chicago, USA og tilbrakte de første 6 månedene av livet der før familien flyttet til Norge. Senere bodde familien en ny periode i USA og Randi Rosenqvist hadde da amerikansk pass. Hun er datter av kjemiprofessor Terkel Rosenqvist (1921-2011) og søster av samfunnsøkonomen Charlotte Koren. I Norge hadde hun oppveksten i Oslo og Trondheim. Hun studerte medisin ved Universitetet i Kiel hvor hun avla medisinsk embetseksamen i 1975. I 1987 ble hun spesialist i psykiatri.