Han var sentralstyremedlem i Fremskrittspartiets Ungdom fra 2008 til 2012. Fra 2006 til 2007 var Kvinge Tvedt politisk rådgiver for Fremskrittspartiets bystyregruppe i Bergen samt fylkestingsgruppen i Hordaland. Fra 2007 var han politisk rådgiver for byråd for helse- og omsorg i Bergen kommune. I 2009 hadde Tvedt et vikariat i Fremskrittspartiets Stortingsgruppe, kommunal- og forvaltningsfraksjonen. I 2010 ble han politisk rådgiver for byråd for finans i Bergen kommune.