Han har færøysk mor og iransk far, og vokste opp i Norge og på Færøyene. Firouz Gaïni er bror av lyriker og skuespiller Sigri Mitra Gaïni, dattersønn av politiker og advokat Sigurð Joensen og journalist Sigrið av Skarði Joensen samt oldebarn av rektor Símun av Skarði.