Ødegård vokste opp i Kristiania og tok examen artium ved Aars og Voss' skole i 1919, og ble cand.med. i 1925. Han ble en av tre leger ved Universitetets psykiatriske klinikk på Vinderen da dette åpnet i 1926, sammen med professor Ragnar Vogt og Haakon Sæthre.