Som barn flyttet Edmondson sammen med familien sin til en rekke forskjellige land, inkludert Kypros, Bahrain og Uganda, hvor hans far var en lærer i de væpnede styrkene. Edmondson studerte ved Pocklington School i Yorkshire fra 1968 til 1975 og senere begynte han ved University of Manchester for å studere drama og skuespill. Edmondson er trolig best kjent for hans komiske roller i TV-serien The Young Ones (1982–1984) og Bunn (1991–2003), som han også skrev manus og regisserte sammen med sin mangeårige samarbeidspartner Rik Mayall.