Abel ble først kjent for å ha bevist at den generelle femtegradsligningen i alminnelighet ikke kan løses med de elementære regningsartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og rotutdragning. Ved å skrive om elliptiske integral på en helt ny måte, oppdaget han elliptiske funksjoner som har fått en sentral plass i teorien om komplekse funksjoner. I denne sammenhengen beviste han også sitt fundamentale addisjonsteorem som spiller en viktig rolle i algebraisk geometri og danner grunnlaget for de mer abstrakte, abelske funksjoner. Alt dette ble gjort i løpet av fem-seks år. Da han døde bare 26 år gammel, var han fremdeles lite kjent i utlandet. Internasjonalt tilhører han i dag de mest berømte matematikere som har levd de siste 200 år. I Norge regnes Abel som den fremste matematiker gjennom alle tider, ofte sammen med Sophus Lie.