Atli Dam vokste opp på Tvøroyri som sønn av lærer, regjeringssjef, lagtings- og folketingsmann Peter Mohr Dam og hustru Sigrid Ragnhild (født Strøm). Han var gift med seminaradjunkt Ása Hátún. Deres datter Helena Dam á Neystabø har også vært og medlem av lagting og regjering. Det har også Atli Dams niese Rigmor Dam.