Bjørnstad ble opprinnelig kjent som vidunderbarn i 1960-årene. Han fullførte bare syvårig grunnskole før han ble musiker på fulltid. Han ble utdannet som klassisk pianist og studerte med blant andre Amalie Christie og Robert Riefling, foruten studier i London og Paris. Han viste seg tidlig å være et stort talent, og vant «Ungdommens Pianomester» både i 1966 og i 1968. Allerede 16 år gammel debuterte han som konsertpianist med Bela Bartoks tredje klaverkonsert.