Denny studerte klassisk piano som barn. Hennes bestemor var en skotsk-gælisk sanger og i en tidlig alder viste Denny interesse for sang. Etter grunnskolen begynt Denny på videregående skole ved Royal Brompton Hospital for å bli sykepleier. Sykepleierkarrieren hennes ble kortvarig, men hun fikk plass på et grunnkurs ved Kingston College of Art i september 1965, og ble involvert i folkemusikk-klubben ved skolen.