Quinn begynte sin aktive karriere med ungdomsfotball hos Manortown United før han i 1983 aksepterte et tilbud fra London-klubben Arsenal. Han fikk sin førsetalgsdebut for Arsenal i 1986/1987-sesongen hvor han kom inn som innbytter i angrep. Frem til 1990 fikk han 67 seriekamper og 14 seriemål for Arsenal, før han i mars samme år ble solgt til Manchester City for 800 000 pund. Hos City etablerte han seg fast på førstelaget og spilte en viktig rolle som målscorer for klubben frem til han pådro seg en korsbåndskade i 1993/1994-sesongen.