Hugo Damian von Schönborn var tredje sønn av i alt 18 barn av den kurmainzske statsminister, og var nevø av kurfyrst-erkebiskop Lothar Franz von Schönborn. Hans brødre var fyrstbiskopene Franz Georg von Schönborn, Friedrich Carl von Schönborn og Johann Philipp Franz von Schönborn. Selv om han fikk en religiøs utdannelse, var han først ikke tiltenkt den geistlige stand. Etter studier i Würzburg, Mainz, Roma, Leiden og Löwen var han fra 1699 kompanifører i den keiserlige hæren.