Gaïni er cand.mag. i sosialantropologi fra Universitetet i Oslo fra 1996 og cand.scient.anth. i antropologi fra Københavns Universitet fra 1999, og tok doktorgrad i sosialantropologi ved Fróðskaparsetur Føroya i 2007. Han har gjort feltarbeid i det sørlige Frankrike og på Færøyene, og særlig forsket på barne- og ungdomskultur, kulturell identitet, fritidsaktiviteter, utdannelse og maskulinitet. Gaïni var forsker ved Fróðskaparsetur Føroya 2001–2007, lærer i samfunnsfag ved Føroya Studentaskúli og HF-skeið 2007–2008 og timelærer ved Føroya Læraraskúli 2006–2011. I 2011 ble han lektor i antropologi og samfunnskunnskap ved Fróðskaparsetur Føroya. Fra 2012-15 var han engasjert i tre år som postdoktor ved Norsk senter for barneforskning ved NTNU.