Sawalha ble oppkalt etter sin bestemor, en jordansk forretningskvinne som hadde fått en utmerkelse fra dronning Noor for sin bedrift. Sawalha er av jordansk, engelsk og fransk avstamning. Hennes far Nadim er også skuespiller som dukket opp i James Bond-filmene og . Sawalha er mest kjent for sin rolle som Saffron Monsoon i , som Lynda Day, redaktør i avisen i TV-serien Press Gang og som Lydia Bennett i TV-miniserien fra 1995.