Kasparov studerte sjakk ved Mikhail Botvinniks sjakkskole. Man ble for alvor klar over talentet hans da han ble sovjetmester for juniorer i Tbilisi i 1976, med 7 av 9 poeng. Han var 13 år gammel. Han gjentok prestasjonen året etter, da med 8½ av 9 mulige poeng.