Gómez var født i den cubanske byen Sancti Spíritus som sønn av den tidligere presidenten José Miguel Gómez (Cubas president fra 1909 til 1913) og filantropen América Arias. Han fikk skolegang på Cuba og i USA og utdannet seg til jurist ved Universitetet på Cuba. Han deltok som cubansk utsending til kroningen av kong Georg V av Storbritannia i 1911. Han var gift med Serafina Diago y Cardenas og paret fikk tre døtre.