Robson var født i Carlisle, i Lancaster bispedømme, og ble døpt i Den anglikanske kirke 15. mai 1951. Som tenåring konverterte han til den katolske tro. Han studerte senere biologi ved University of Edinburgh og en spesialisering i medisinsk teknologi ved Edinburgh Napier University. Han påbegynte deretter presteutdannelse ved presteseminarene St Andrew's College, Drygrange i Melrose og deretter til Scots College i Roma. Han tok deretter en doktorgrad i teologi og kirkerett ved det pavelige universitetet Gregoriana i Roma.