Dalglish ble født i 1951 i Dalmarnock, i den østlige delen av Glasgow, og gikk på Milton Bank barneskole. Hans far, ingeniøren William Dalglish, var supporter av den skotske toppklubben Rangers FC. Allerede som ganske ung ble han tatt med på fotballkamper for å følge dette laget. Da familien noen år senere flyttet til en høyblokk like ved Rangers treningsbane, «The Albion», kunne han følge heltene Jim Baxter og Ian McMillan på nær hold. Han hadde bare en søster og fikk derfor tett oppfølging av sin fotballinteresserte far. Han begynte som keeper i yngre år, men ble etterhvert plassert lenger fremme på banen. Han kom tidlig med på Glasgows skolelag og Skottland U-15. I en landskamp på dette alderstrinnet spilte Skottland mot , Dalglish var høyre indreløper og scoret to mål. I sin neste kamp for U-15 spilte laget mot og en journalist fra søndagsavisen «The People» ble så imponert at han omtalte Dalglish som «a brilliant ball player». Allerede som 15-åring var han på prøvespill i både West Ham United og Liverpool, men han fant seg ikke til rette og returnerte derfor til hjembyen. I løpet av låneperioden i Liverpool fikk han én kamp for junior-B, mot Southport. Celtic hadde ham tidlig i kikkerten og 16 år gammel begynte han å trene med de grønnstripete. Familiens interesse for Rangers gjorde at han lenge trente på Celtic Park i all hemmelighet i frykt for hva de ville si hjemme. Da Jock Steins assistent, Sean Fallon, kom på uanmeldt besøk hjemme hos familien, sendte Kenny ut moren for å ta i mot mannen mens han selv fikk tatt ned de største Rangers-bildene fra veggen på gutterommet. Med farens godkjennelse skrev han under sin første proffkontrakt etter et par års trening og reservelagsspill i 1968. Celtic hadde i denne perioden sendt ham til «farmerklubben» Cumbernauld United, der han scoret 37 mål i 1967-68 sesongen. Da han ble proff spilte han den første tiden på reservelaget til Celtic. Laget var så bra at de ble omtalt som «the Quality Street gang». Celtic hadde på den tiden også et glimrende A-lag, som blant annet hadde vunnet Serievinnercupen, nå kalt UEFA Champions League, året før.