Han hadde juridisk embedseksamen fra Universitetet i Oslo fra 1964 og møterett for Høyesterett fra 1976. Høsten 1962 var han redaktør i tidsskriftet . Etter studiene var han vitenskapelig assistent ved Nordisk institutt for sjørett og universitetslektor ved Institutt for privatrett. Eikeset var privatpraktiserende advokat i Førde 1969–1980, sorenskriver i Sunnfjord tingrett 1980–2005 samt sorenskriver i Fjordane tingrett 2005–2007.