Malm vokste opp i et arbeiderhjem i Sundbyberg og begynte som sekstenåring å arbeide på Arenco. Han utdannet seg ved yrkesskolen til instrumentmaker i 1958 og begynte snart å engasjere seg faglig, først ved Arencos verkstedsklubb og siden fra 1965 som assistent ved Metalls forbundsskole Skåvsjöholm i Åkersberga. I 1967 ble han forhandlingsombudsmann for Svenska metallindustriarbetarefacke og i 1979 andre nestleder. Malm ble i 1981 andre nestleder i LO og i 1983 leder for LO.