I euklidsk geometri kan man derimot gjennom hvert punkt trekke en bestemt parallell til en annen linje. Denne vil da ikke skjære den gitte linjen. Dette følger fra parallellaksiomet. Hvis man ikke forlanger at dette skal være gyldig, oppstår en ny, ikke-euklidsk geometri i et hyperbolsk plan som ble oppdaget av Bolyai og Lobatjevskij på midten av 1800-tallet. I dette planet vil det gjennom hvert punkt utenfor en linje finnes et uendelig antall andre linjer som ikke skjærer den gitte linjen. Disse kan da i utgangspunktet alle sies å være parallelle linjer. Men nærmere betraktninger viser at det finnes to som skiller de linjene som ikke skjærer den gitte linjen, fra dem som skjærer den. Det viser seg da hensiktsmessig å kalle disse to grenseparallellene for de ekte parallellene. Man sier derfor at i det hyperbolske planet kan det trekkes to parallelle linjer gjennom et punkt utenfor en gitt linje.