Carl Borgstrøm var sønn av komponisten Hjalmar Borgstrøm og Harriet Amalie Müller. Han ble student i 1928, studerte sammenlignende indoeuropeisk språkvitenskap, indisk og keltisk ved Universitetet i Oslo, og ble i 1936. Fra 1932 til 1935 var han foreleser i sammenlignende filologi ved Trinity College i Dublin. Fra 1936 til 1937 var han vikarierende professor i indisk ved Universitetet i Ankara. Han var lektor i språkvitenskap ved Universitetet i Lund fra 1945, og professor i sammenlignende språkforskning ved Universitetet i Oslo fra 1947.