I 1966 ble Aznavour kjent med svenske Ulla Ingegerd Thorssell. Den 11. januar 1967 giftet de seg. Den 12. januar 1968 ble de i tillegg viet av den armenske erkebiskopen i den armenske katedralen Saint-Grégoire-l’Illuminateur i Paris. De fikk tre barn: Katia (født 1969), Misha Lev (født 1971) og Nicolas (født 1977).