Vermehren vokste opp i en juristfamilie i Lübeck. Bestefaren var senatoren Julius Vermehren, faren advokaten Kurt Vermehren. Moren, journalisten Petra Vermehren, var datter av Possehl-deleieren Johannes Schwabroch. Erich var den yngste av tre barn. Søsknene var kabarettisten, skuespilleren og etterhvert nonnen Isa Vermehren og journalisten Michael Vermehren.