Sin første skolegang fikk Rosing på Røros. Da han var 12 år gammel, ble han sendt til Trondheim, for å forberedes til å bli elev ved latinskolen der. De tre første årene i byen fikk han undervisning av en student, og i 1771 ble han innskrevet ved skolen. Han var en dyktig elev med god sangstemme, og deltok, sammen med noen andre elever, med sang under gudstjenestene i Nidarosdomen. Da han i 1775 var ferdig med skolegangen i Trondheim, ble han sendt til København for å studere. Hans mor var da død, men hans velhavende stefar bekostet utdannelsen.