Friedrich Carl von Schönborn var andre sønn av den kurmainzske statsminister og nevø av Mainz' kurfyrst-erkebiskop, Lothar Franz von Schönborn. Hans eldre bror og for-forgjenger i Würzburg var Johann Philipp Franz von Schönborn. Hans yngre brødre var Hugo Damian von Schönborn og Franz Georg von Schönborn.