Som 14-åring ble Goram lærling hos , men måtte forlate klubben som femtenåring da klubbens nye trener Ronnie Allen vurderte ham som for kort av vekst til å slå gjennom som målvakt. Goram dro videre til , der han ligadebuterte allerede som sekstenåring. Han beholdt plassen i laget til han i 1987 ble kjøpt av , hvor hans skotske far, Lewis Goram, tidligere hadde vært målvakt.