Omtrent samtidig med Abels siste år arbeidet Évariste Galois med det tilsvarende problemet basert på en mer generell, matematisk behandling av permutasjonene av røttene i en ligning av en vilkårlig høy grad. Disse nye metodene dannet grunnlaget for dagens gruppeteori. Galois viste hvordan hver ligning kunne tilordnes en bestemt, endelig gruppe som maksimalt kan være symmetrigruppen . Den tilsvarer ombytte av alle røttene til en ligning av grad. Avhengig av hvordan denne «Galois-gruppen» er sammensatt av undergrupper, bestemmer den om ligningen kan løses algebraisk. For femtegradsligningen og tilsvarende ligninger av grad , viser denne Galois-teorien at for slike ligninger er det i alminnelighet umulig. Men for bestemte verdier av koeffisientene i ligningen, vil Galois-gruppen bli mindre og dermed tillate slike eksakte løsninger. På den måten hadde Galois funnet det kriteriet for løsbarhet som Abel hadde arbeidet for å finne.