Enhver sum, og ethvert produkt av analytiske funksjoner er analytiske. Likeledes er sammensetningen av to analytiske funksjoner analytisk. Den inverse til en analytisk funksjon uten nullpunkter er analytisk. Det er også den inverse av en speilvendt analytisk funksjon hvis deriverte aldri har verdien null. En analytisk funksjon er alltid glatt. Et polynom kan ikke ha flere nullpunkter enn polynomgraden tilsier. Et lignende men svakere utsagn, den såkalte identitetessetningen, gjelder for analytiske funksjoner. Hvis mengden av nullpunkter til en analytisk funksjon har et opphopningspunkt i funksjonens definsjonsområde, er funksjonen identisk lik null i den sammenhengskomponenten til definisjonsområdet der opphopningspunktet ligger. Formelt kan dette fremstilles som følger: Hvis er en følge, slik at () = 0 for alle og denne følgen konvergerer mot et punkt z i definisjonsområdet , så er identisk lik null i sammenhengskomponenten til som inneholder z. Dette innebærer at to analytiske funksjoner som begge er definert på et sammehengenede område og som stemmer overens på en mengde med et opphopningspunkt i det felles definisjonsområdet er identisk like.