Almici ble presteviet den 2. juni 1928 av biskop Giacinto Gaggia. Umiddelbart etter fok han lisensgrad i dogmatis teologi og ble rektor for seminaret i Botticino Sera. I 1935 utnevnte biskop Giacinto Tredici ham til biskoppelig mannssjelesørger i Azione Cattolica. Almici var en av dem som fremmet den katolske undergrunnsbevegelsen under andre verdenskrig. var også etter krigen hans fremste innsatsområde.