Colista var sønn av Pietro Colista og Margherita Riveri de Honorantis. Faren hadde høytstående poster i Vatikanet, som jurist og som skriver i Vatikanbiblioteket. Lelio vokste opp i et kulturelt stimulerende miljø og fikk tidlig en førsteklasses utdanning ved jesuittenes der han knyttet kontakter med bl.a. Athanasius Kircher.