Ivan Klajn var sønn av musikkforskeren Stana Đurić-Klajn (1905–1986) og psykoanalytikeren og teaterregissøren Hugo Klajn (1894–1981). Han studerte til å begynne med fysikalsk kjemi, likesom sin halvbror Slobodan Ribnikar (1929–2008), men avbrøt studiet etter kort tid. Så studerte han italiensk språk og italiensk litteratur ved Universitetet i Beograd, og avsluttet med doktorgraden.