Beasant startet sin karriere hos amatørklubben Edgware Town, men meldte overgang til tredjedivisjonslaget Wimbledon FC i 1979. Han fikk sin førstelagsdebut for klubben den 12. januar 1980 i en kamp mot Blackpool FC, men rykket ned med klubben ved sesongslutt. Beasant etablerte seg fast på førstelaget i de påfølgende sesongene, hvor klubben slet med å stabilisere seg og rykket både opp og ned. Fra 1983 til 1986 rykket klubben opp fra tredjedivisjon til førstedivisjon (nivå en). Wimbledon spilte seg frem til finalen i FA-cupen i 1988 og møtte Liverpool FC i finalen, hvor Beasant med kapteinsbindet blant annet reddet straffe fra Liverpools John Aldridge og hjalp laget til å vinne 1–0.