Norman startet sin idrettskarriere for det lokale laget Collingwood Harriers, men tok sitt første mesterskap for Melbourne Harriers i 1960. Han tok utdanning som trener og lærer for gymnastiske fag, men fortsatte å løpe. Han tok sin første australske nasjonale tittel i 1966 og tok samme år bronsemedalje i Commonwealth Games i Jamaica. Norman ble nasjonal mester på 200 meter hvert år fram til 1971. I 1968 tok han sølv i OL i Mexico, og gull i Pacific Games i Tokyo i 1969.