Stammers vant tre Grand Slam-turneringer, alle i double, i løpet av sin tenniskarriere. Hun vant både Franske Mesterskapet og Wimbledon i 1935 og hun vant også damedoublen i Wimbledon 1936. Doublefinalene i Wimbledon vant hun sammen med Freda James, i 1935 beseiret de Simone Mathieu/Hilde Krahwinkel Sperling med 6-1, 6-4 og i 1936 det amerikanske paret Sarah Palfrey/Helen Jacobs med 6-2, 6-1. Doubletittelen i Franske mesterskapet vant hun sammen med Margaret Scriven.