Møinichen tok examen artium i 1816 og ble cand.jur. i 1824. Etter å ha bekledt forskjellige funksjoner i departementene ble han i 1842 utnevnt til amtmann i Akershus. Han var ordfører i Kristiania 1842–1843. Fra 1851 var han stortingsmann, og fra 1855 statsråd. Han bekledte en lang rekke ministerposter i årene frem til 1870: Revisjonsdepartementet fra 15/1-1855 til juni 1855. Statsrådsavdelingen i Stockholm fra juni 1855 til juni 1856. Finansdepartementet fra 26. juni 1856 til august 1857. Justisdepartementet fra august 1857 til 11/9-1857 og igjen fra oktober 1857 til september 1858. Finansdepartementet fra september 1858 til oktober 1859. Statsrådsavdelingen i Stockholm fra oktober 1859 til 18/10-1860. Postdepartementet fra november 1860 til 12/8-1861 og igjen fra 25/8 til 2/10 1861. Finansdepartementet fra september 1861 til september 1862. Midlertidig førstestatsråd fra 12. til 17. desember 1861. Statsrådsavdelingen i Stockholm fra september 1862 til 1/10-1863. Marinedepartementet fra 1/10-1863 til oktober 1864. Statsrådsavdelingen i Stockholm fra oktober 1864 til oktober 1865. Finansdepartementet fra oktober 1865 til oktober 1866. Justisdepartementet fra oktober 1866 til oktober 1867. Statsrådsavdelingen i Stockholm fra oktober 1867 til 17/6-1868. Revisjonsdepartementet fra juni 1868 til oktober 1869. Finansdepartementet fra oktober 1869 til 1/2-1870.