Kantsjelskis startet sin fotballkarriere hos Dynamo Kyiv i 1988 og dro videre til Sjakhtar Donetsk i 1990.Han signerte for Manchester United FC ett år senere og fikk sin debut for United den 11. mai 1991 mot Crystal Palace FC. Kantsjelskis hjalp klubben med å vinne to ligatitler (1993 og 1994) samt en FA-cup–tittel i 1994. Han var også delaktig i den tapende ligacupfinalen mot Aston Villa FC i 1994, hvor han ble utvist for hands.