Abazović ble født 25. desember 1985 i Ulcinj, Montenegro, den gangen i Jugoslavia. Etter å ha fullført grunnskole og videregående skole i Ulcinj, ble han uteksaminert fra fakultetet for statsvitenskap ved Universitetet i Sarajevo som bestemann i kullet, og fikk tildelt prisene «Golden Badge» og «Golden Charter» fra universitetet. Han oppnådde mastergrad i internasjonale relasjoner fra fakultetet for statsvitenskap ved Universitetet i Montenegro i 2008, og fullførte doktorgrad i 2019 ved fakultetet for statsvitenskap ved Universitetet i Sarajevo. Doktoravhandling hadde tittelen «Global Politics - Ethical Aspects of Globalization».