Da Akilles ble drept i kamp var det Odyssevs og Ajax som med hell klarte å gjenvinne den falne krigerens lik og rustning midt i kampen. I løpet av lekene under Akilles' gravferd, konkurrerte Odyssevs igjen med Ajax. Havnymfen Thetis sa at våpnene til Akilles ville gå til den tapreste blant grekerne, men kun disse to krigerne hadde mot til å gjøre krav på tittelen. De to kom i en opphetet diskusjon om den andres dyder og fortreffeligheter for å motta belønningen. Grekerne våget ikke å velge en vinner i frykt for å fornærme den andre og således minske krigsinnsatsen. Nestor foreslo at de skulle la trojanere som var tatt til fange beslutte hvem som var vinneren. En del redegjørelser er uenige og antyder at grekerne tok en beslutning ved hemmelig valg. I uansett tilfelle var det Odyssevs som ble vinneren. Rasende og ydmyket ble Ajax drevet til galskap av Athene. Da han kom til vettet igjen, da han oppdaget i skam at han hadde drept en buskap i sin sinnssyke, tok han livet av seg selv med det sverdet som Hektor hadde gitt ham.