Luria ble født inn i en innflytelsesrik italiensk sefardisk-jødisk familie fra Torino. Han utdannet seg ved den medisinske skolen ved Universitetet i Torino der han blant annet studerte sammen med forskeren Giuseppe Levi. Der møtte han de to fremtidige nobelprisvinnerne Rita Levi-Montalcini og Renato Dulbecco. Han ble uteksaminert fra universitetet i Torino i 1935. Fra 1936 til 1937 tjente Luria verneplikt i den italienske hæren med status som sanitetsoffiser. Han meldte seg på flere kurs i radiologi ved Universitetet i Roma. Her ble han introdusert for Max Delbrück sine teorier angående gener som et molekyl og han begynte å formulere metoder for testing av den genetiske teorien ved hjelp av bakteriofager, som er virus som infiserer bakterier.