Familien flyttet fra Qala til Ta' Kerċem mens han var liten gutt; begge småbyer er på øya Gozo. Grech begynte i 1977 på presteseminaret for bispedømmet Gozo og studerte filosofi og senere teologi. Han ble presteviet 26. mai 1984 av biskopen av Gozo, Nikol Joseph Cauchi. Ved Lateranuniversitetet i Roma tok han lisensiat i kanonisk rett og sivilrett. Ved Angelicum tok han doktorgrad i kirkerett. Ved siden av sitt pastorale arbeid i den romerske menighet Maria Himmelfart var han engasjert kirkerettslig i forskjellige domstoler ved den romerske kurie.