Jensen er født og oppvokst i Tórshavn. Etter å ha gått grunnskole og realskole i Tórshavn reiste han i 1973 til Danmark for å ta videre utdannelse. I 1976 tok han artium og flyttet hjem igjen til Færøyene. Der arbeidet han som journalist før han studerte færøysk språk og litteratur ved Froðskaparsetur Føroya. Etter eksamen i 1981 fortsatte han studiene på Island der han studerte allmenn litteraturvitenskap og islandsk fram til 1987. Han ble cand. philol. i 1990. På 1990-tallet bodde han og familien flere år i Tromsø, der kona hans arbeidet som generalsekretær i North Atlantic Marine Mammal Commission.