Kunc deltok i verdenscupen fra og med sesongen 1989/90. Han tok sine første poeng i januar 1990 i storslalåmrennet i Veysonnaz. Gjennombruddet i verdenstoppen kom på midten av 1990-tallet, da han tok noen andreplasser i storslalåm. I 1994 ble han nummer fire i storslalåm under OL på Lillehammer, bare fire hundredels sekunder bak landsmannen Jure Košir. Kunc kom på sjuendeplass i kombinasjonsøvelsen.