For en stasjonær løsning kan man erstatte operatoren med energien til den tilsvarende kvantetilstanden. Ser man bort fra vektorpotensialet og lar partikkelen befinne seg i et Coulomb-potensial, har man dermed den differensialligningen som Schrödinger først kom frem til for hydrogenatomet. Den kan løses eksakt og gir en relativistisk oppsplitting av energinivåene som har en lignende form som den Sommerfeld tidligere hadde funnet ved bruk av halv-klassisk kvantisering. Men den numeriske verdien av effekten stemte ikke helt slik at Schrödinger så seg nødt til å forkaste denne relativistiske bølgeligningen.