Et abstrakt matematisk system består som regel av gitte elementer (symboler, punkter, bokstaver) og visse regler for hvordan disse skal kombineres. Sammensetningen av alle aksiomene (aksiomsystemet) angir så egenskapene ved disse operasjonene, og de matematiske satsene (teoremene) følger fra aksiomene gjennom logiske slutningsregler. Særlig er en interessert i om en matematisk teori er motsigelsesfri, om den ikke kan lede til motsigelser slik som 3 = 4. Videre undersøkes om ett eller flere aksiomer kan være overflødige (redundante) ved at de kan avledes av de øvrige. Et aksiomsystem for en matematisk teori som bestemmer den entydig, sies å være kategorisk.