Foreldrene hans var jødiske immigranter. Faren var skomaker og kom til Sør-Afrika fra Litauen i 1910, mens moren kom fra Riga i Latvia i 1922. Brenner ble utdannet ved Germiston High School og University of the Witwatersrand før han begynte å studere til en doktorgrad ved Exeter College i University of Oxford.