Balanchine var født (georgisk: გიორგი მელიტონის ძე ბალანჩივაძე) i St. Petersburg i Russland av georgiske foreldre. Hans far, Meliton Balanchivadze (1862–1937), var en kjent georgisk komponist og en av grunnleggerne av den georgiske opera. Georges bror Andria Balantsjivadze (1906–1992) ble en kjent georgisk komponist.