Øker krysningstallet ut over 4, finner man stadig flere knuter. Noen av disse kan forenkles ved å betrakte dem som sammensatt av enklere . Disse spiller samme rolle som primtallene i tallteori. Klassifisering av alle knuter blir dermed redusert til å finne alle primknutene. Dette programmet ble startet allerede av Tait og har fortsatt frem til i dag og fullført for primknuter med ≤ 16.