Holst var datteren til korpslege Axel Holst og Anna Mathilde Charlotte Flemming, og sønnedatter til Frederik Holst, begge professorer ved Universitetet. Frederik Holst var for øvrig den første mannen i Norge som ble tildelt en doktorgrad i Norge. Clara Holst forble ugift, og etter hun kom tilbake til Norge i 1908, bodde hun resten av livet sammen med to søstre i Kristiania/Oslo.