Bare tre år gammel mistet Radici synet på det venstre øyet på grunn av grønn stær. Til tross for dette utviklet Radici seg til en av verdens fremste slalåmkjørere. Han vant europacupen i alpint sammenlagt sesongen 1972/73. Sammen med landslagskollegene Gustav Thöni og Piero Gros var han på midten av 1970-tallet en av få alpinister som var i stand til å ta opp kampen med svenske Ingemar Stenmark.