Sammenhengen med det opprinnelige problemet uttrykt i koordinatene og følger nå fra transformasjonsligningene. Fra den første transformasjonsligningen kan man ved begynnelsestidspunktet bestemme de ukjente fra begynnelsesverdiene og . Og når dette er gjort, kan man bruke den andre transformasjonsligningen ved tidspunktet til å bestemme på samme måte. Ved et senere tidspunkt kan man så bruke denne ligningen til å finne som er løsningen man er på jakt etter. Hvordan alt dette kan matematisk foregå, ble først grundig analysert av den tyske matematiker Carl Gustav Jacobi noen få år etter at Hamilton hadde utviklet denne formuleringen.