Finsen var innvalgt på det færøyske Lagtinget fra Suðurstreymoy fra 1896 til 1901. Han var oppnevnt av amtmannen og senere valgt med begrenset stemmerett til Tórshavns borgerrepresentasjon fra 1895 til 1908, fra 1904 som formann. Han ble en pådriver for en offentlig sykeforsikring i byen. Finsen var også formann i direksjonen (styret) for Færø Amts Sparekasse.