Året etter viste Poisson at Laplace-ligningen ikke er generelt gyldig inni i en ladningsfordeling og må erstattes av det som i dag kalles Poisson-ligningen. Han kom frem til dette ved å studere nærmere integralet som gir potensialet fra en kontinuerlig ladningsfordeling med tetthet (). Men dette uttrykket er bare gyldig hvis denne fordelingen er i et ubegrenset, uendelig stort rom. Hvis det finnes andre ledere til stede, må deres overflater være ekvipotensialflater. Disse utgjør derfor grensebetingelser som vil modifisere løsningen av Poissons differensialligning. I 1828 viste George Green i arbeidet hvordan dette mer generelle problemet med større praktisk betydning kan løses på en helt ny og systematisk måte som siden er blitt omtalt som bruk av Green-funksjoner. Dette arbeidet åpnet veien for en mengde nye løsninger av elektrostatiske problem og markerte begynnelsen av en periode hvor engelske fysikere og matematikere overtok hegemoniet på dette feltet.