Under ledelse av kardinal Decio Azzolini (1623–1689) dannet de en stemmegruppe ved konklavene i 1655, 1667 og 1669/70, som så seg selv som uavhengig av de store monarkene (keiseren, Spania, Frankrike og Napoli). I to av disse tre konklavene, takket være Azzolinis diplomatiske ferdigheter, lyktes de med å få sine kandidater stemt frem til gjennombrudd: I 1655 kardinal Fabio Chigi, som ble pave Alexander VII, og i 1667 Giulio Rospigliosi, som tok navnet pave Klemens IX.