I Sommer-OL 1984 i Los Angeles deltok Bjønness i singlesculler. Han er også nordisk mester i dobbeltsculler i 1989, i dobbeltfirer i 1983, 1985 og 1987, og i åtter i 1987. Han ble norsk mester hele 27 ganger i løpet av 1980-tallet: dobbeltsculler fem ganger, dobbeltfirer fem ganger, firer ni ganger og åtter åtte ganger.