Acquaviva stammet fra Huset Acquaviva. Han var yngste sønn av Giovanni Antonio Aquaviva, som var 9. hertug av Atri. Denne adelsfamilien var kjent for å fremme humanistisk kultur. Hans bestefar, Andrea Matteo Acquaviva (1456–1528), var en og humanist hvis bror Belisario Acquaviva (1464–1528), hertug av Nardo, også var en lærd mann. Claudios nevø var Rodolfo Acquaviva (1550–1583), jesuittmisjonær og martyr i India.