Müller var utdannet exam.jur. fra Københavns Universitet fra 1876 og ble fullmektig hos amtmannen på Færøyene i 1878, deretter hos landfogden, den øverste politimyndigheten på øyene, fra 1880 til 1905. Han var konstituert som postekspeditør og sysselmann under farens opphold som folketings- og landstingsmann i København, men vendte snart til forretningslivet, hvor han som skipsreder tok del i 1890-årenes innbringende sluppfiske. Han eide så mye som 13 skip og andeler i enda flere. Han drev også handel og dampskipsekspedisjon for DFDS. Pakkhuset som Müller lot oppføre i Tórshavn på slutten av 1800-tallet, ble i 1968 kjøpt av kommunen og benyttes som konsert- og utstillingslokale.