Mury ble presteviet i 1932. Den 20. desember 1957 ble han utnevnt til titularbiskop av og til koadjutorbiskop til msgr Pierre-Marie Théas av Tarbes og Lourdes. Han ble bispeviet i Lyon den 3. februar 1958 av kardinal Pierre-Marie Gerlier, erkebiskop av Lyon.