Richter ble født i Raab (ungarsk: Győr), Kongedømmet Ungarn, det østerriksk-ungarske imperiet. Faren hans var en lokal komponist, dirigent og Anton Richter. Hans mor var operasanger Jozefa Csazenszky. Han studerte ved konservatoriet i Wien. Han hadde en særlig interesse for hornet, og utviklet sin dirigentkarriere ved flere forskjellige operahus i det østerriksk-ungarske imperiet. Han ble assosiert med Richard Wagner på 1860-tallet, og spilte solo-trompetdelen i den private premieren av i 1870. I 1876 ble han valgt til å dirigere den første komplette forestillingen av Wagners i Bayreuth Festspielhaus.