Familien hennes flyttet til Europa i 1955, og Argerich studerte da sammen med Friedrich Gulda i Østerrike. Senere studerte hun med Arturo Benedetti Michelangeli og Stefan Askenase. I 1957 vant hun både den internasjonale musikkonkurransen i Genève og Ferruccio Busonis internasjonale konkurranse i løpet av tre uker. Argerich vant den syvende Chopinkonkurransen i Warszawa i 1965.