Unmack var født i København, som sønn av brennevinsbrenner David Unmack og Kirstine Jensdatter. Han var ferdig utdannet jurist med Examen Juridicum i 1777. I 1784 begynte han å arbeid som kopist ved Generaltoldkammeret. Samme år giftet han seg med Margrethe Eleonora Rønne, som døde i Tromsø i 1811, fem år etter sin mann.