Nelson ble født i Sugar Creek i Lee County i den amerikanske delstaten Iowa til foreldrene Christen Nelson og Anne (Evenson) Nelson, som hadde utvandret fra Norge. Aven var den yngste av fire barn i en kvekerfamilie. Han gikk på Kirksville State Normal School i Kirksville i Missouri der han ble uteksaminert i 1883 med sin Bachelor of Arts-grad, mens i 1887 mottatt han sin M.S.D.-grad. Han fortsatte sin utdannelse ved Drury College i Springfield i Missouri som ga ham en Master of Science-grad i 1890. Deretter fortsatte han ved Harvard University hvor han oppnådde en Master of Arts-grad i 1892. I 1893 ble han medgrunnlegger av Rocky Mountain Herbarium.