Elway og hans tvillingsøstre ble født i Port Angeles i Washington til Jante (født Jordan) og Jack Elway, som da var hovedtrener ved Port Angeles High School. Elway hadde også en søster, Lee Ann, som var ett år eldre enn tvillingene. Året etter Elway ble født flyttet de sørvest i Washington, hvor Jack var hovedtrener for Grays Harbor Community Colleges amerikansk fotballag i Aberdeen i fem sesonger. I løpet av sin barndom levde Elway i hovedsak i Missoula i Montana og Pullman i Washington, hvor faren var assistenttrener ved henholdsvis Montana og Washington State.