Robson signerte for Fulham i mai 1950, til tross for interesse fra Middlesbrough. Han kom fra hans lokale klubb, Langley Park Juniors. Han rykket ned fra toppdivisjonen med Fulham i 1951-52-sesongen, men returnerte da han signerte for West Bromwich Albion seks år senere, i mars 1956. Han spilte 257 kamper og scoret 61 mål for WBA, før han i august 1962 vendte tilbake til Fulham. På tampen av karrieren var han spillende trener i canadiske Vancouver Royals.