Bjørnbeth studerte medisin ved Universität zu Köln og Universitetet i Oslo fra 1984 til 1991. Han ble dr.med. ved Universitetet i Oslo i 2000 innen fagområdet leverfysiologi. Han var avdelingsoverlege ved Gastrokirurgisk avdeling ved Ullevål universitetssykehus/Oslo universitetssykehus fra 2008 til 2010, deretter avdelingsoverlege ved Gastro- og barnekirurgisk avdeling ved Oslo universitetssykehus fra 2010 til 2014, og seksjonsoverlege ved seksjonen for lever- og bukspyttkjertelkirurgi samme sted fra 2014 til 2020.