Bradley begynte som journalist under opptøyene i Philadelphia i 1960-årene. Han ble ansatt i CBS i 1967, hvor han den første tiden jobbet med radio. I 1972 ble han overført til Vietnam for å dekke Vietnamkrigen. Under denne tiden ble han såret i et granatangrep. Etter Vietnam var han sjefskorrespondent for nyhetsprogrammet (etterhvert omdøpt til ) (1978–1981). I 1981 ble han en del av staben i .