Abrikosov var også medlem av Royal Academy i London, og medlem av American Physical Society, og i 2000 ble han valgt til National Academy of Sciences. Han var en av mottakerne av Nobelprisen i fysikk i 2003 sammen med Vitalij Ginzburg og Anthony James Leggett, for sine teorier om hvordan materie kan oppføre seg ved ekstremt lave temperaturer.