Legendre hadde i alle år vært sterkt opptatt av integralregning. Spesielt de som oppstår ved beregning av buelengder til kurver var vanskelige som for eksempel for ellipsen. Mange av disse resultatene begynte han å publisere i tre bøker fra 1811. Det var her for første gang egenskapene til elliptiske integral ble systematisk fremstilt. Legendre viste at de kunne klassifiseres i tre hovedtyper. Disse arbeidene ble stadig utvidet og igjen publisert i 1825 under navnet som også inneholdt svært nøyaktige beregninger av deres numeriske verdier. Her viste også Legendre hvordan de nye resultatene kunne brukes i mange mer praktiske anvendelser.