Den 5. mars 1746 ble Boschi presteviet. Først var han konsulent ved Signatura apostolica, før pave Benedikt XIV i 1754 utnevnte ham til prefekt for Camera apostolica. I de påfølgende årene ble han tildelt flere oppgaver og titler av Benedikt XIV og hans etterfølger pave Klemens XIII, og i 1759 ble han prefekt for det apostoliske palass.