Vektorrom som er definert med en norm kalles et vektorrom. Normen er et lengdemål for vektorer, som gjør at det er mulig å snakke om og i vektorrommet. Normen innfører både en metrikk og en topologi i vektorrommet. Med et definert avstandsmål er det også mulig å introdusere begreper som kontinuitet og konvergens i rommet.