Brekke tok doktorgraden i 1959 med en avhandling om , hvor han forsøkte å finne ut når ble fullført og hvem som var forfatteren. Han antok at sagaen ble endelig fullført i Trøndelag ca. 1204–07, av Karl Jonsson. Dette ble avvist av andre historikere som Hallvard Lie, Johan Schreiner og Halvdan Koht. Han leverte bidrag til . I 1961 ble han konstituert som lektor ved landsgymnaset i Bø.