Joseph Vogts far var kommunal tjenestemann og ble ordfører i Monschau i 1870. Joseph Heinrich Vogt gikk skole i Monschau og i Malmedy, og fullførte skolegangen ved Kaiser-Karls-Gymnasium i Aachen, hvorfra han fikk 1884. Deretter studerte han teologi i Bonn og Eichstätt. På grunn av den anspente kirkepolitiske situasjonen under den såkalte Kulturkampf i Preussen, da kansler Otto von Bismarck forsøkte å redusere den katolske kirkens innflytelse i Tyskland, studerte mange prestekandidater fra Rheinland i det bayerske Eichstätt på den tiden. Striden om den katolske kirkens makt ble langt på vei bilagt da Bismarck i 1878 gjorde felles front med katolikkene mot sosialismen. Vogt kunne derfor fullføre sine teologiske studier ved det gjenåpnede presteseminaret i Köln.