Eidesgaard er motstander av færøysk EU-medlemskap, men ønsket som regjeringssjef å utvide samarbeidet med EU til områder som forskning, utdannelse, kultur og sivil luftfart. Han så det også som «en prioritet å inkludere Færøyene i Europas fire friheter». I 2005/2006 påbegynte regjeringen en prosess med sikte på færøysk EFTA-medlemskap. Færøyene ble assosiert medlem av FNs organisasjon for ernæring og landbruk (FAO).