Arrau ble født i Chillán i Chile, sønn av Carlos Arrau, en oftalmolog som døde da Claudio var bare ett år gammel, og Lucrecia León Bravo de Villalba, som var pianolærer. Arrau tilhørte en gammel, prominent familie i Sør-Chile. Claudio Arrau nedstammet fra Lorenzo de Arrau, en spansk ingeniør som ble sendt til Chile av Karl III av Spania.