Han var ansatt som vitenskapelig assistent og stipendiat ved Institutt for geofysikk ved UiO 1987–1992. Melsom ble cand.scient. i geofysikk ved Universitetet i Oslo i 1987 og dr.scient. innen fagområdet fysisk oseanografi ved samme universitetet i 1992. Han ble veiledet av professor Jan Erik Weber til begge gradene. I doktorgradsarbeidet studerte han havstrøm indusert av bølger.