På samme måte som på en todimensjonal flate kan man også i en mer generell mangfoldighet benytte flere forskjellige koordinatsystem. Komponentene til den metriske tensoren vil dermed forandres og derfor også ligningene for de geodetiske linjene. Likedan vil komponentene til hver vektor ta nye verdier, men indreproduktet mellom to av dem forblir uforandret. Det er under slike koordinattransformasjoner. Alle disse sammenhengene ble videreutviklet etter Riemanns forelesning og omtales i dag som tensoranalyse.