Også for mer generelle definisjoner, der rommet er en topologi, var det lenge ansett som tilstrekkelig at funksjonen er kontinuerlig, for å definere det vi intuituvt forstår med en kurve. I 1890 ga den italienske matematikeren Giuseppe Peano imidlertid et eksempel på en kontinuerlig surjektiv funksjon , det vil si en funksjon der verdimengden fyller et helt todimensjonalt område. For å unngå slike patologiske kurver kan en innføre ulike tilleggsvilkår på funksjonen og rommet .