Han spilte blant annet på Hellas Verona i Italia, og bidro i 1985 til at klubben vant sin eneste Scudetto noensinne. I tillegg har Elkjær på elleve år skåret 38 mål for det danske landslaget. Han var fast inventar i den danske troppen som under trener Sepp Piontek spilte både i EM 1984 og VM 1986. Sistnevnte var Danmarks første VM. Hans generasjon blir ofte hylla som den gylne fotballgenerasjonen til Danmark. I VM '86 vant Elkjær bronseballen.