Eliesar Arge var innvalgt i kommunestyret i Tórshavn fra 1973 til 1988 og Tórshavns viseborgermester fra 1973 til 1976. Han var innvalgt på Lagtinget fra Suðurstreymoy fra 1974 til 1978 og møtte fast på tinget som varamann for Færøyenes regjeringssjef Jógvan Sundstein fra 1989 til 1990.