Hans far, Christian Bohr (1741-1800), var innvandrer fra Mecklenburg, men oppnådde i 1776 borgerskap i Helsingør som handelsgartner. Gartneriet drev han på sin selveide eiendom Paa Sanden 104 i Helsingør. Fra 1789 var han også portner ved Øresund tollkammer. I løpet av fire sine ekteskap fikk han til sammen ni barn. Gottfried Bohr var nest eldst av fem helsøsken, hvorav flere døde alt i barneårene. En yngre bror, Peter Georg (1776-1847) tok teologisk embedseksamen. Han virket som rektor, og ble oldefar til Niels Bohr og hans bror Harald Bohr.