Arnesen ble født i Sarpsborg 30. april 1872. Hun var datter av organisten Hans Adolf Arnesen. Som 20-åring flyttet hun til Kristiania for å studere ved den Kongelige Tegneskole . Deretter studerte hun ved Harriet Backer og Asta Nørregaards malerskole i ett år . I 1895 flyttet hun til Paris for å studere ved Académie Delecluse. Under et studieopphold i Roma i 1898 ble hun interessert i metallarbeid. Fra ca. 1900 gikk hun i lære hos den franske emaljekunstneren Armand Point i Fontainebleau, utenfor Paris . Noen år etter at hun startet som student av Point, holdt hun sine første metallarbeidutstillinger i Paris og Oslo. Sett bort fra noen korte turer til Oslo, levde Borghild mesteparten av livet sitt i Frankrike. Først i nærheten av Paris frem til 1930, og senere i Nice .