Lavrov ble født i Moskva den 21. mars 1950 av en armensk far fra Tbilisi, Georgia og en russisk mor fra Noginsk. Farens opprinnelige etternavn var Kalantaryan. Moren hans jobbet i det sovjetiske departementet for utenrikshandel. Ettersom favorittfaget hans på skolen var fysikk, hadde Lavrov tenkt å starte studier på Russlands Nasjonale Atomforskingsinstitutt eller Moskvas Institutt for Fysikk og Teknologi, men begynte heller å studere på MGIMO, hvor han ble uteksaminert i 1972. På MGIMO studerte han internasjonale relajsoner, og han lærte seg singalesisk og Dhivehi. Han lærte seg også engelsk og fransk, men har uttalt at han ikke behersker fransk flytende. Mens han var student ved MGIMO, ble han og flere medstudenter sendt for å hjelpe til å konstruere Ostankinotårnet i Moskva.