Han kom opprinnelig fra Tsjekkoslovakia og ble ansett som en av landets største ishockeytalenter på slutten av 1970-tallet. Han ble tsjekkoslovakisk mester med HC Slovak Bratislava i 1979, det eneste mesterskapet han vant i sin klubbkarriere. Han hoppet av til Canada i 1980 sammen med broren Anton og ble canadisk statsborger i 1984. Storebroren Marián fulgte senere etter til Peter og Anton. Šťastný-brødrenes flukt markerte første gang at noen av de største ishockeystjernene i Østblokken hoppet av for spill i NHL.