Norman var prestesønn, tok artium i 1840 og ble ex.med. i 1847. Etter kort tid som militærlege i første slesvigske krig, arbeidet han 1849–1857 utelukkende med botanikk. Dels på undersøkelsesreiser i Gudbrandsdalen, på Vestlandet og i Vest-Finnmark; dels under videreutdanning i Paris og Wien og dels som stipendiat ved Universitetet i Oslo. Han avsluttet også dette kapitlet av livet, og utdannet seg 1858–1860 til forstmester, i Aschaffenburg i Bayern. Ved hjemkomsten ble han utnevnt til forstmester i Troms og Finnmark, en stilling han hadde 1860–1876.