Dandolo var sønn av en mektig jurist, Vitale Dandolo. Familien var både sosialt og politisk prominent i Venezia, og hans far var rådgiver for den daværende dogen, Vitale II Michiel. En av Enricos onkler, som også het Enrico Dandolo, var patriark av Grado, som var den høyeste kirkelige tittelen i Venezia.