Han kom fra en kjent familie i Trondheims næringsliv og politikk. Han var sønn av øyelege Birger Lykke og hustru Dagmar Myhre. Farbroren Ivar Lykke var statsminister og stortingspresident samt kjøpmann i familiebedriften I.K. Lykke. Morfaren Andreas Myhre grunnla Britannia Hotel i Trondheim. Leif Lykkes søster Cecilie var gift med Nicolay Buch, som var grossist i Trondheim og eier av Hylla kalkverk på Inderøy, og mor til Axel Buch.