Han var sønn av den kjente offiseren og stortingsmannen Johan Jørgen Broch. Alt som skolegutt studerte han høyere matematikk, og da han ble student 1835, la han seg etter denne vitenskapen som hovedfag ved siden av mekanikk og fysikk. Etter at han et par år hadde fortsatt disse studiene med statsstipend i Paris, Berlin og Königsberg, fikk han 1842 et dosentur ved Det Kongelige Frederiks Universitet i Christiania (dagens Oslo). Han fratrådte imidlertid snart denne stillingen for å være medbestyrer i Nissens Latin- og Realskole 1843–1847, en skole han grunnla sammen med Hartvig Nissen. 1847 disputerte han for doktorgraden som den første i Norge som anvendte morsmålet, med en betydningsfull avhandling om «Lovene for Lysets Forplantelse i isofane og eenaksig krystalliserede Legemer» (1847).