Björkström startet karrieren i Hanvikens SK, og gikk til IF Brommapojkarna da han var tolv år. I tenårene prøvespilte han for større klubber utenlands, men endte med å bli værende i Sverige. Björkström spilte også en periode som utlånt spiller i Gröndals IK tidlig i perioden som seniorspiller for IF Brommapojkarna.