Goscinny ble født i Paris i en familie av jødisk avstamning. Foreldrene var Stanisław Gościnny (etternavnet betyr på polsk), en kjemiingeniør fra Warszawa i Polen, og Anna Bereśniak-Gościnna fra Chodorków, en liten polsk landsby i et område som senere ble del av Ukraina. Stanisław og Anna møtte hverandre i Paris og ble gift i 1919. Claude, Renés storebror, ble født den 10. desember 1920.