Euklidsk geometri modelleres gjennom vårt begrep om et "flatt plan". Den enkleste modellen for elliptisk geometri er en sfære, der linjer er "storsirkler" (som ekvator eller meridianer på en globus). Selv etter Lobatjevskijs, Gauss' og Bolyais arbeid gjensto spørsmålet: eksisterer det en slik modell for hyperbolsk geometri? Dette spørsmålet ble besvart av Eugenio Beltrami i 1864. Han beviste at en overflate kalt pseudosfære har den passende krumningen for å modellere hyperbolsk geometri. Hans arbeid bygget direkte på Riemanns. Betydningen av Beltramis arbeid ligger i at han viste at hyperbolsk geometri er logisk motsigelsesfri dersom euklidsk geometri er det.