Han er født i Elverum og vokste opp i Ringsaker, Klepp, Kyrkjebø og Ørsta. Eldst i en søskenflokk på 5. Etter hovedfag i kjernekjemi fra Universitetet i Oslo i 1963 ble han ansatt på Institutt for atomenergi på Kjeller. I 1972 tok han doktorgraden på et arbeid om bruk av aktiveringsanalyse ved studier av sporelementer i geologisk materiale. Steinnes forlot Kjeller i 1979 for å starte som professor i den nyetablerte studieretningen naturmiljøkjemi ved Den allmennvitenskapelige høgskole (AVH). Han var rektor ved AVH 1984–90. I 1984 ble han innvalgt i Det Norske Vitenskaps-Akademi og i Det Kongelige Norske Videnskabers Selskab. I 1986 ble han medlem i Norges Tekniske Videnskapsakademi. Fra 2008 har han vært professor emeritus ved NTNU. I perioden 1977 - 2010 har han ledet arbeidet med å kartlegge i detalj nedfall av tungmetaller fra atmosfæren i Norge. Han har publisert over 350 arbeider i internasjonale vitenskapelige tidsskrifter.