Asbjørnsen var i Brann tidlig i karrieren. Han gikk senere til Askøy og skåret der 37 mål i 3. divisjon i 2009, før han signerte for Løv-Ham foran 2010-sesongen. Etter 2010-sesongen returnerte han til Askøy og gikk senere til Follese, som er hans moderklubb.