Brinkmann avla doktorgrad ved Freiburg 1967 med en avhandling om Arnold Schönbergs klaverstykker op. 11. I 1970 ble han habilitert ved Freie Universität Berlin. Fra 1972 til 1980 underviste han ved Philipps-Universität Marburg, deretter var han i Berlin til 1985, denne gang ved Universität der Künste Berlin. Han underviste ved Harvard University fra 1985. Brinkmann fikk den prestisjefylte Ernst von Siemens' musikkpris i 2001.