Stöckli etablerte en vellykket curlingkarriere på juniornivå, og han vant en bronsemedalje under junior-VM i curling i 1994. Stöckli avsluttet sin karriere som juniorcurler med å vinne bronsemedalje i 1998. Stöckli vant sølvmedalje i 2003 under curling-VM 2003 for herrer, der det sveitsiske laget tapte mot Canada. Stöckli annonserte sin avgang fra det sveitsiske curlinglandslaget i 2010.