Fylkesnes er vokst opp i Tromsø. Sammen med familien bodde han to år i Botswana, hvor han gikk på skole i Gaborone 1983–1985. Hans søster, Gunvor Knag Fylkesnes, er direktør for politikk og kommunikasjon for Redd barna. Han har hovedfag i filosofi fra Universitetet i Tromsø fra 2002. Hovedoppgaven handlet om hvordan nye ideer oppstår. Han har vært studentpolitiker for Sosialistisk Studentlag på Universitetet i Tromsø, hvor han var leder av studentstyret (1998) og student­representant i universitets­styret (1999).