Briggs ble speidet av Manchester United i en alder av 15 år, og signerte en profesjonell kontrakt med laget på hans 17–årsdag. Hans førstelagsdebut kom ti måneder senere i en førstedivisjonskamp borte mot Leicester City den 21. januar 1961. Denne kampen ble for Briggs vedkommende en nedtur da han slapp inn hele seks mål, noe som gjorde at United tapte 6–1.