Punin var en av fem barn i en stor familie som sønn av den militære legen Nikolaj Michajlovitsj Punin. Hans mor arbeidet som skuespiller. Hans eldste bror Nikolaj ble en berømt sovjetisk kunst-kritiker som led mye under Josef Stalin sitt diktatur-regime og han døde i en arbeidsleir. Alexander Punin, den andre broren, deltok også i kampene under første verdenskrig, og i mellomkrigstiden arbeidet han som biolog. Lev Hans eneste søster Zinaida giftet seg med Jusef Bulack-Balakhowitch og flyttet til Polen hvor hun døde i 1983.