Oldenburg ble født i Bremen. Nøyaktig fødselsår er ikke kjent og er oppgitt både som 1615 og 1619. Han ble gitt samme fornavn som faren, Heinrich. Faren var lærer på gymnaset i byen, og gymnas var den gang betegnelse på en høyere læreanstalt som fungerte som universitet. Senere fikk faren stilling som professor ved universitetet i Dorpat.