Air Leap ble etablert av de samme eierne som av flyselskapet FlyViking. Etter at FlyViking avviklet driften januar 2018 ble det virtuelle flyselskapet Next Move etablert i mars for å fortsette driften av Ørland - Gardemoen ruten. Next Move endret navn til Air Leap etter selskapet kjøpte deler av konkursboet til det svenske flyselskapet Nextjet. Det er disse restene av Nextjet som utgjør den svenske delen av Air Leap, men de manglet driftstillatelse (AOC) til å drifte de svenske rutene. Det er derfor de i begynnelsen ble driftet av danske Danish Air Transport (DAT), estiske NyxAir og nederlandske AIS Airlines i tillegg til andre. 11. juni 2018 fortsatte Air Leap flyvninger i Sverige. 19. oktober 2018 mottok Air Leap driftstillatelse (AOC) fra svenske luftfartsmyndigheter, og registrerte selskapet som operatør av deres fire Saab 340B maskiner. Første flyvning med den nye driftstillatelsen tok sted 21. oktober 2018 fra Stockholm-Arlanda til Mariehamn.