Støstad var blant annet parlamentarisk leder for Arbeiderpartiets stortingsgruppe i Hornsruds korte regjeringsperiode i 1928, 1935–1939 og 1945–1947, sosialminister i Johan Nygaardsvolds regjering 1939–1945, medlem av Regjeringsdelegasjonen som fungerende sjef for Sosialdepartementet og Forsyningsdepartementet 14.–31. mai 1945.