Denne differensialgeometrien ble lansert av den tysk matematiker Bernhard Riemann ved en forelesning i 1854. Den er basert på antagelsen at rommet kan tilordnes en metrikk med den egenskap at rommet i svært små områder lar seg beskrive med euklidsk geometri. Linjer med endelig utstrekning i rommet er da gitt som geodetiske kurver, vinkler mellom tangentvektorer til slike kurver kan beregnes sammen med størrelsen til areal eller volum av forskjellige underrom. Riemann viste i tillegg hvordan detaljert informasjon om rommets krumning i forskjellige retninger kan sammenfattes som komponenter til en krumningstensor.