Instituttet ble opprinnelig etablert under navnet Applied Mathematics Institute of the Hungarian Academy of Sciences (på ungarsk: MTA Alkalmazott Matematikai Intézete), og senere endret det navn til Mathematical Research Institute of the Hungarian Academy of Sciences (på ungarsk: MTA Matematikai Kutatóintézete). Den 1. juli 1999 fikk instituttet sitt nåværende navn til ære for Alfréd Rényi, den fremstående matematikeren som grunnla instituttet og ledet det som direktør i 20 år.