Etter eksamen fra gymnaset i 1963 studerte Algermissen filosofi og teologi ved universitetet i Freiburg im Breisgau og ved det teologiske fakultet i Paderborn, hvor han ble ordinert til prest 19. juli 1969 av erkebiskop kardinal Lorenz Jaeger. Etter å ha gjort tjeneste som kapellan i Bielefeld og Meschede, og samtidig også var rådgiver ved et gymnasium i Paderborn, ble han sogneprest i 1980 i Bielefeld-Schildesche og dekanus i 1984. I 1991 ble han regionaldekan for dekanatet i Minden-Ravensberg-Lippe, og fra 1994 til 1998 var han president av Presterådet for erkebispedømmet Paderborn.