Weaver gikk på privatskole i Connecticut, og senere på Stanford University i California; her bestemte hun seg for å bli skuespiller. Hun gikk ut fra Stanford i 1971 med en bachelorgrad i litteratur og flyttet deretter tilbake til Connecticut for å studere drama ved Yale University. Hun ble uteksaminert derfra i 1974. Weaver spilte senere i teaterstykker skrevet av vennen og klassekameraten Christopher Durang, deriblant off-Broadway-produksjonen av Durangs komedie . 1. oktober 1984 giftet hun seg med teaterregissøren Jim Simpson, og sammen har de datteren Charlotte (født 13. april 1990).