Han tok doktorgraden i 1974 med avhandlingen . Bjørkum arbeidet for det meste ved Norsk Målførearkiv ved Universitetet i Oslo og var en av de fremste kjennerne av norske målføre. Han forsket også på språkbruken hos norske diktere, blant annet Olav H. Hauge og Tarjei Vesaas. Bjørkum ga ut mer enn 200 artikler og bøker. Han var medlem av Norsk språkråd fra 1980 til 1992, og politisk var han målmann.