Eidem satt i bystyret i Tromsø i årene 1896–1919 og 1927–31. Han var byens ordfører 1900–03, 1906 og 1910–12. Han hadde også andre kommunale verv. Fra 1901 til 1938 var han administrator ved Norges hypotekbanks kontor i Tromsø, formann fra 1912. Han var styremedlem i Tromsø arbeiderforening fra 1896 til 1918 og ble året etter utnevnt til æresmedlem. I 1936 ble han æresmedlem i Troms fylkeslag av Noregs Mållag. Han var formann i Venstres lokallag i Tromsø fra 1894 til 1925. Han hadde også verv i lærerorganisasjonene i Tromsø og Troms. Eidem var videre aktiv i avholdsbevegelsen.