Celli ble presteviet den 19. mars 1965. Han tok doktorgrader i fagene katolsk teologi og kirkerett. I 1970 inntrådte Celli i Den hellige stols diplomatiske tjeneste, og ble postert ti nuntiaturene til Honduras, Argentina og Filippinene. Deretter underviste han i kirkerett ved Lateranuniversitetet i Roma.