Moran ble født og oppvokst i byen Navan i Meath, Irland. Der sluttet han på skolen som sekstenåring og tilbrakte de neste fire årene som mislykket poet. Som 20-åring overvar han en forestilling med irske komikere (deriblant Ardal O'Hanlon) på «The Comedy Cellar» i Dublin, og bestemte seg for å satse på denne grenen. I 1993 vant han Channel 4 sin «So You Think You Are Funny»-pris under Edinburgh Festivalen, og i 1996 ble han den yngste som noen gang har vunnet «The Perrier Award» (i en alder av 24) på samme festival. I 1997 dro han på sin første turné i Storbritannia med showet .