Han er sønn av lærer Niels Pauli Djurholm og Gunda Skaalum. Faren var også kommunekasserer, lokalpolitiker og klokker i sognekirken. Bjarni Djurholms svoger er tidligere lagtingsmann Øssur Dam Jacobsen. Bjarni Djurholm er gift med Eydna Jacobsen. Han er utdannet lærer fra Føroya Læraraskúli fra 1982. Først underviste han ved en landsdekkende skole for elever med særskilte behov, deretter ved Tórshavns tekniske skole 1984–1996. Fra 1996 er han assisterende rektor ved barne- og ungdomsskolen Eysturskúlin i Tórshavn. Han var timelærer ved Føroya Handilsskúli 1993–1995.