Eckstorm ble født i Grøndokka i Lyngdal av foreldrene holzførster Johann Cornelius Eckstorm fra Hessen og Maren Jacobsdatter fra Porsgrunn. Han var eldst i en barneflokk på fem. Fra «1781» var han elev ved Kristiansand katedralskole, hvorfra han fire år senere ble dimittert. I 1785 innledet han studier ved Københavns Universitet, men la alt året etter studiene til side og vervet seg som korporal, senere fourier, ved Den kongelige livgarde. Før det hadde han uten hell forsøkt å bli skuespiller i København. Eckstorm ble utnevnt til virkelig fenrik ved det Vesterlenske infanteriregiment i 1789. Da han kom til Norge, viste det seg imidlertid at det ikke fantes noen ledig tjeneste, så Eckstorm ble i stedet forespeilet en karriere som underoffiser, og endatil med en lavere godtgjørelse enn den han hadde hatt i København.