Iannuccis far, Armanso sr., er fra Napoli i Italia, og hans mor er fra Glasgow i Skottland, hvor Iannucci ble født. Faren kom til Skottland i 1950, og drev et pizzabakeri der. Iannucci har to brødre og en søster. Han er utdannet ved University of Glasgow og University College i Oxford der han studerte engelsk litteratur. Han tok mastergrad i engelsk litteratur i 1986, før han begynte en karriere som komiker.