Fiennes er kanskje mest kjent for sine skildringer av William Shakespeare i filmatiseringen av , som karakteren Sir Robert Dudley i og som Mark Benford i TV-serien fra 2009. Fiennes er sønn av forfatteren Jennifer Lash og fotograf Mark Fiennes. Han er den yngste av seks søsken og vokste opp i West Cork i Irland. Joseph er bror av Ralph Fiennes, som også er skuespiller, filmskaperne Sophie Fiennes og Martha Fiennes, komponisten Magnus Fiennes og hans tvillingbror Jacob Fiennes, som er teknisk konservator. Flanery er fetter av Ranulph Fiennes og dermed en fjern slektning av den britiske kongefamilien. Fiennes var medlem av det britiske Royal Shakespeare Company.