I hans berømte artikkel fra 1814 begynte han å integrere reelle funksjoner over rektangler i det komplekse tallplanet for å regne ut reelle integraler. Her dukker Cauchy-Riemanns ligninger opp for første gang, som forbinder kompleks deriverbarhet med partielle differentialligninger: En kompleks funksjon er komplekst deriverbar hvis og bare hvis de tilfredsstiller Cauchy-Riemanns ligninger. Et bevis for Cauchys integralteorem for rektangler følger. Til slutt i artikkelen beskjeftiger han seg med tilfellet at funksjonen har simple poler, og den inneholder residualsatsen for integrasjon over et rektangel.