Halveringslinjesetningen sier nå at linjen halverer den indre vinkelen til hjørnet i trekanten . Da det samme argumentet viser at linjen halverer den ytre vinkelen til i samme trekant, vil vinkelen være en rett vinkel. Fra Tales’ teorem følger da at punktet må ligge på en sirkel med linjestykket som diameter. Dette er Apollonios' sirkel.