Andsnes er eldste barn av lektor Steinar Andsnes (1947–) og lektor Sissel Austevik (1947–). Begge foreldrene er utdannede musikklærere, og Leif Ove fikk sin første klaverundervisning hjemme på Håvik, Karmøy, allerede som fireåring. Åtte år gammel fikk Andsnes plass ved Karmøy musikkskole. Her studerte han i seks år hos Laila Unni Laurendz Pedersen, etterfulgt av to år under Terje Mathisen, som på den tiden var fylkesmusiker i Rogaland. Sin første klaveraften holdt Andsnes i Haugesund Billedgalleri i 1984, bare 14 år gammel.