Bradshaw studerte kjemi ved Queen Mary College ved University of London og tok doktorgraden i fysikalsk kjemi i 1969. I 1974 fulgte hans habilitasjon ved Institut für physikalische Chemie ved Technische Universität München. Fra 1976 til 1998 arbeidet Bradshaw ved Fritz-Haber-Institut der Max-Planck-Gesellschaft i Berlin. I 1980 ble han vitenskapelig medlem og medlem av direktørkollegiet ved instituttet. Samtidig var han vitenskapelig forretningsfører for Berliner Elektronenspeicherring-Gesellschaft für Synchrotronstrahlung fra 1981–1985 og 1988–1989.