Eldring fullførte juridicum i 1963 mens han jobbet deltid i Postverket. Han var sysselmann på Svalbard fra 1974 til 1977 og fra 1985 til 1991. I perioden mellom de to periodene som sysselmann var han departementsråd i Justisdepartementet. Med unntak av sin andre periode på Svalbard, var han departementsråd fra 1979 til 1993. Fra 1. januar 1994 frem til sin død i august 1994 var han dommer i Høyesterett.