Askvik var medlem av Bolsøy kommunestyre 1960–63, deretter fram til 1973 av Molde bystyre og formannskap. I 1966–67 var han varaordfører og i 1970–71 ordfører. Han var også i perioder medlem av fylkestinget og fylkesutvalget i Møre og Romsdal. I Haugesund var han en tid leder av kommunens og fylkets eldreråd. Han var vararepresentant til Stortinget for Møre og Romsdal i perioden 1965–69.