Abrikosov fikk Leninprisen i 1966, Fritz London minneprisen i 1972, og Sovjetunionens statspris i 1982. I 1989 fikk han Landau-prisen fra det russiske vitenskapsakademi. To år senere, i 1991 fikk han Sony Corporations . Samme året ble han æresmedlem ved American Academy of Arts and Sciences. Han er også medlem ved Royal Acadamy of London, American Physical Society og National Academy of Sciences. I 2003 fikk han Nobelprisen i fysikk sammen med Vitalij Ginzburg og Anthony James Leggett, for sine teorier om hvordan ting kan oppføre seg ved ekstremt lave temperaturer.