Vácha ble olympisk mester i turn under sommer-OL 1928 i Amsterdam. Han vant konkurransen i skranke og kom på andreplass i ringer bak Leon Štukelj fra Jugoslavia. Han var også med på det tsjekkoslovakiske laget som kom på andreplass i mangekamp. Fire år tidligere, under OL 1924 i Paris kom han på tredjeplass i både tauklatring og ringer.