Jacob Tengström ble født i Gamlakarleby av læreren Johan Tengström og Maria Chydenius. Opplysningspresten Anders Chydenius var hans morbror. Farsslekten stammet fra en svensk bondeslekt fra Skaraborgs län, hvorav noen hadde flyttet til Finland i 1723. Jacob Tengström gjennomgikk Vasa trivialskola, ble student ved Kungliga Akademien i Åbo i 1771 og ble uteksaminert i 1775.