Arentz var sønn av ingeniørmajor Michael Smith Arentz, ble student i 1838 og tok juridisk embetseksamen i 1844. I 1846 ble han ansatt som kopist i Indredepartementet, men måtte snart gå av på grunn av helseplager. Fra 1849 bodde han tre år i Italia og Paris. Ved hjemkomsten i 1852 gikk han inn igjen i Indredepartementet. I 1857 ble han ansatt som revisor ved Telegrafvesenet, og var fra 1860 protokollsekretær i Høyesterett.