Bergsjø ble cand.jur. i 1985. I studietiden arbeidet han en periode som vitenskapelig assistent ved Nordisk institutt for sjørett ved Universitetet i Oslo. Fra 1986 var han førstekonsulent og senere lovrådgiver i Justisdepartementets lovavdeling. Han var fra 1989 dommerfullmektig ved Lyngen sorenskriverembete/Nord-Troms tingrett. I 1990 ble han utnevnt til tingrettsdommer i Nord-Troms tingrett, et embete han innehadde til årsskiftet 1993/94. Deretter arbeidet han som advokat og partner i advokatfirmaet Vogt & Wiig. Han fikk møterett for Høyesterett i 2000. Bergsjø tiltrådte som høyesterettsdommer 1. mars 2012.