Stossberg ble født den 22. juli 1908 i Dortmund, Nordrhein-Westfalen, Tyskland. Han begynte sin karriere i Gestapo og tjenestegjorde som referendar ved Stapo Haale/Saale fra januar 1936. Han ble senere stellvertretende leder av Gestapo i Halle og Magdeburg før han ble overført til Karlsbad i 1939.