I 1908 definerte Godfrey Harold Hardy (1877-1947) en funksjon som en relasjon mellom to variabler og , der det «til noen verdier av alltid korresponderer verdier av ». Hardy krevde ikke at funksjonen skulle være definert for alle verdier av og heller ikke at funksjonen skulle forbinde en verdi av til en enkelt, entydig verdi av . Denne brede definisjonen av en funksjon omfatter flere relasjoner enn det den vanlige, samtidige matematikken betraktet.