I 1766 skrev Lambert som er en studie av parallellpostulatet som formulert i Euklids Elementer. Ved å anta at postulatet var ikke-sant, oppnådde han å utlede en lang rekke resultater, og var dermed i gang med å skape en helt ny geometri. Ved å ta utgangspunkt i Saccheris firkant betraktet han en firkant med tre rette vinkler. Denne er siden blitt kalt for . Han viste at når den fjerde vinkelen er spiss, oppstår det ingen selvmotsigelser slik at dette kunne gi opphav til en ny, ikke-euklidsk geometri. En polygon med sider vil da ha et areal som er proporsjonalt med differensen mellom summen av vinklene og 2 - 4 rette vinkler. For denne nye geometrien kunne man så utlede nye teorem som lignet de som var kjent å være gyldige for sfærisk geometri på en kuleflate, men med den forskjell at radius i kuleflaten måtte være et imaginært tall. Dette var begynnelsen på hyperbolsk geometri og muligens også grunnen til at Lambert oppdaget og utviklet de hyperbolske funksjonene.