Schmidt var på slutten av 1950-tallet og begynnelsen av 1960-tallet blant verdens beste amatørspillere i tennis. Hans største fremgang kom i 1958 da han sammen med landsmannen Sven Davidson vant Wimbledon-finalen, de møtte Ashley Cooper/Neale Fraser fra Australia og vant med 6-4, 6-4, 8-6. Han ble dermed den tredje svensken til å vinne en Grand Slam-tittel (Sven Davidson hadde året før vunnet singleturnering i Paris og i 1948 vant Lennart Bergelin i par med Jaroslav Drobny doublefinalen i French Open).