Etter å ha avlagt abitur ved gymnaset Martino-Katharineum i Braunschweig tilhørte Alpers i noen år Freikorps Maercker, som blant annet bekjempet spartakistene. Alpers studerte rettsvitenskap og statsvitenskap ved universitetene i Heidelberg, München og Greifswald. Etter den annen statseksamen ble han rettsassessor og kom til å virke som advokat i Braunschweig frem til år 1933.