I de følgende årene fortsatte Hamilton å arbeide med sin . Det var her han innførte en karakteristisk eller prinsipal funksjon som ga en beskrivelse av klassisk mekanikk som var analog til geometrisk optikk. Han viste at impulsen for en partikkel spiller matematisk samme rolle som retningen til en lysstråle. På samme måte som Fermats prinsipp styrer geometrisk optikk, fant Hamilton et tilsvarende virkningsprinsipp for mekaniske system. Dette er kanskje hans viktigste bidrag til moderne fysikk.