Melia ble hentet rett ut fra skolen som 15-åring, til Liverpool av manager Don Welsh. Han signerte sin første profesjonelle kontrakt på sin 17-årsdag 1. november 1954. Han gjorde sin debut for de røde som 18-åring 17. desember 1955, i en 2. divisjonskamp mot Nottingham Forest, hjemme på Anfield. Melia scoret sitt første mål i kampen som Liverpool vant 5-2.