Goycochea ble født i den vesle byen Lima i distriktet Zárate i Provincia de Buenos Aires. Femten år gammel fikk han sin ilddåp for den lokale fotballklubben Lima Fútbol Club, hvor faren hans var trener. Derfra dro han i 1980 til Defensores Unidos. Året han fylte atten år, spilte han alle kampene for Argentina i Ungdoms-VM, hvor laget ble slått ut av sluttspillet i det innledende gruppespillet.