I 1859 viste Bernhard Riemann at funksjonen kunne defineres for alle komplekse verdier av argumentet . Funksjonen har trivielle nullpunkter når argumentet er et negativt partall. I tillegg fant Riemann såkalte ikke-trivielle nullpunkt på den rette linjen = 1/2. Innholdet av Riemann-hypotesen er at funksjonen ikke har andre nullpunkt utenfor denne linjen. Det er på den måten eksistensen av disse komplekse nullpunktene knyttes direkte til fordelingen av primtall mellom de naturlige tallene.