Han var sønn av biskop i Bergen Frederik Arentz i dennes første ekteskap, og bror til Hans Arentz (1731–1793) som ble embetsmann og topografisk forfatter. Som barn ble han undervist hjemme av Johan Plate Brun (død som sogneprest i Nykirken i Bergen) og dimittert av ham i 1751. Etter ex. phil. reiste han i 1752 hjem, ble huslærer for to brødre, og studerte selv teologi, så han i 1756 kunne dimittere elevene, følge dem til universitetet, og selv ta teologisk eksamen med beste karakter.