Mens den alternerende gruppen inneholder tre element og er isomorf med , inneholder tolv element. Den er ikke-abelsk da for eksempel (1, 2, 3)(4) ikke kommuterer med (1, 2)(3, 4). Men den inneholder en invariant undergruppe som er Kleins firergruppe bestående av elementene {, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}. Faktorgruppen / har derfor orden 3 og er enkel. Dette gjør at både og er oppløsbare grupper som forklarer at fjerdegradsligningen kan løses algebraisk. Derimot for femtegradsligningen er Galois-gruppen den symmetriske gruppen som ikke er oppløsbar da den alternerende gruppen ikke inneholder noen invariant undergruppe. Det samme gjelder for permutasjonsgruppen med > 5 slik at den tilsvarende polynomligningen ikke kan løses.