Morris startet sin fotballkarriere hos Sheffield Wednesday FC i 1982, en klubb som var ledet av den tidligere engelske landslagsspilleren Jack Charlton. Han var med på å spille klubben opp til førstedivisjon (øverste nivå) med opprykk i 1984, og spilte totalt 74 seriekamper frem til 1987. Den 10. august 1987 ble Morris solgt til den skotske storklubben Celtic FC for £125 000, hvor han umiddelbart etablerte seg i førstelagstroppen som høyreback. Mellom 1987 og frem til 1992 fikk han 158 seriekamper og scoret åtte mål for klubben. Han ble også seriemester i 1987/1988-sesongen, samt cupmester i 1988 og 1989.