Eidsvig ble nasjonalt kjent da han den 14. juli 1976 ble arrestert av KGB i Moskva som kurér for den eksil-russiske organisasjonen NTS. Eidsvig kom for å levere løpesedler, nyremedisiner og en håndbok i organisering av illegalt arbeid til en sovjetrusser i Moskva som selv hadde anmodet om en slik forsendelse, men vedkommende var i mellomtiden blitt avslørt og arrestert. KGB ventet i hans leilighet da Eidsvig ankom. Han satt i 101 dager i Lefortovo-fengslet i Moskva før sovjetiske myndigheter løslot ham etter utenriksminister Knut Frydenlunds og statsminister Trygve Brattelis innsats for å få ham fri.