Driver er av irsk, walisisk, skotsk, fransk og italiensk opphav. Hennes søster, Kate, er modell og produsent. Driver studerte skuespill og teater ved Webber Douglas Academy of Dramatic Art i London. Driver gjorde sin teaterdebut i 1991 og supplerte på sin inntekt ved å utføre jobber som jazz-vokalist og gitarist. Driver ble nominert til en Oscar for beste kvinnelige birolle for sin opptreden i filmen Good Will Hunting fra 1997. Hun mottok også en Screen Actors Guild Award for sin opptreden i denne filmen. Driver vant en Emmy Award og en Golden Globe for sitt arbeid i TV-serien The Riches.