Han ble ordinert til misjonspresttjeneste i Bodø 1975. Kvarme var vitenskapelig assistent ved Menighetsfakultetet 1972–1974, og arbeidet som bibeloversetter i Det Norske Bibelselskap i 1973. I 1975 var han vernepliktig feltprest. Han var misjonsprest for Den Norske Israelsmisjon 1976–1981, med bosted i Haifa i Israel. Samtidig var han eksekutivsekretær for Bibelselskapet i Israel og for Bibelselskapet på Vestbredden for De Forente Bibelselskaper. Deretter bestyrer for Caspari Center for bibelske og jødiske studier i Jerusalem, 1982–1985, og generalsekretær i Bibelselskapet, 1986–1996.