Familien flyttet til København in 1771 da faren Johan Philip Degen fikk en stilling i Det Kongelige Kapel. Der tjente han dårlig, men sønnen Carl Ferdinand fikk et stipendium til å kunne gå på skole i Helsingør. Der var han ferdig i 1783 og fortsatte ved Universitetet i København. I stedet for å følge det planlagte studieforløpet, fulgte han sine egne interesser og gjennomførte studier i klassiske språk, filosofi, naturvitenskap og spesielt matematikk. Da universitetet i 1792 for første gang utlyste prisoppgaver med en premie på 40 riksdaler innen hvert område, vant han både den i teologi og den i matematikk. Foruten at han kunne både latin, gresk og hebraisk, behersket han også de fleste romanske og germanske språk og kunne lese russisk og polsk. En tid var han også privatlærer i matematikk for den unge prins Christian Frederik. I 1798 mottok han den filosofiske doktorgrad på et arbeid om Kants filosofi og ble i 1800 innvalgt i det danske Videnskapsselskapet.