Sheen vokste opp om den eldste av fire andre brødre. Foreldrene hans drev en gård. De het Newton og Delia Sheen (født Fulton), og deres besteforeldre var innvandret til USA fra Croghan i County Roscommon i Connacht i Irland. Selv om hans opprinnelige fornavn var Peter, brukte han morens pikenavn, Fulton, som et fornavn fra barndommen.