Abashvili var en etnisk georgier, og ble født i Tbilisi, Georgia, som da lå under det russiske keiserdømmet. Han ble uteksaminert fra sjøkrigsskolen i Leningrad i 1931, og ble straks med i Sovjetunionens baltiske flåte, hvor han tjenestegjorde i vinterkrigen og andre verdenskrig. I 1944 ble han leder for staben i den baltiske flåten, og fikk også kommando over en divisjon med Jagere, som spilte en rolle under frigjøringen av Leningrad. I 1953 var han med de sovjetiske skipene som besøkte Polen, og i 1954 var han med de som reiste til Finland. I løpet av Cubakrisen ble Abashvili viseøverstkommanderende under Issa Pliyev, og styrte den sovjetiske marinen som var stasjonert i Cuba (Operasjon Anadyr). Ifølge en uttalelse var han mot den umiddelbare bruken av makt i krisetidene. Han pensjonerte seg samme år, og døde etter et slag i Leningrad, 1982.