Kjær kom til fra den lokale klubben Hatting/Torsted IF i en alder av 12 år. Høsten 2018 dro Kjær på to prøvespill i den engelske klubben , sammen med sin far og talentutvikler i Horsens, Claus Troelsen. På sin 15-årsdag, 1. mars 2019, signerte Kjær en treårskontrakt med Horsens. Den 28. august 2019 bekreftet klubben at Kjær skulle på prøvespill i , og skulle spille i en vennskapsturnering for klubben. I november 2019 bekreftet Horsens trener, Bo Henriksen, at både Juventus og Southampton ønsket å signere Kjær, men Horsens nektet til slutt å la ham dra.