Bajuk ble født inn i en slovensk intellektuell familie i det nazi-okkuperte Ljubljana, Slovenia. Faren Bozidar Bajuk var en klassisk filolog, og hans bestefar Marko Bajuk var rektor ved en av de mest prestisjetunge videregående skolene i den slovenske hovedstaden. Bajuk og hans familie forlot Slovenia i begynnelsen av mai 1945, da kommunistene tok makten i Jugoslavia. Familien bodde i nesten tre år i forskjellige flyktningleirer i Østerrike før avreise til Argentina med hjelp av en slovensk flyktningleir, før de bosatte seg i Mendoza, Argentina, der Bajuk vokste opp, studerte og senere stiftet familie.