Watson vokste opp i Edinburgh i Skottland, og startet å spille fotball for Boroughmuir Thistle, før hun ble hentet til akademiet til Rangers. Da hun var 15 år ble hun en del av A-laget og fikk sin debut 15. august 2021 da hun ble byttet inn i det 65. minuttet i den skotske ligacupen. Hun scoret sitt første A-lagsmål 29. august 2021, i en 4–0-seier over Boroughmuir Thistle. I løpet av 2021/22-sesongen spilte Watson 12 seriekamper, da Rangers vant sin første serietittel. Hun ble nominert til årets unge spiller i Skottland, og 9. august 2022 signerte hun en profesjonell kontrakt med klubben.