I gammel tid ble Klostergata kalt Kloften eller Kløften. Radet var også et tidligere navn på gaten. I 1882 fant det sted en gatenavnforandring, og navnet ble endret fra Radet til Klostergaden. I nyere tider har navnet blitt endret i takt med det norske språket, til Klostergaten, og senere til Klostergata, slik den heter i dag.