Håkon Austbø var elev hos Hildegunn Reuter, og han hadde opptredener med Musikselskabet Harmoniens Orkester i 1963. Hans debutkonsert i Universitetets Aula i 1964 vakte stor oppsikt. Austbø studerte deretter i Paris i årene 1966-71 (fra 1969 til 1971 med komponisten og organisten Olivier Messiaen). I 1971 vant han den åpne franske Messiaen-pianokonkurransen. Siden studerte han ved Julliard School of Music i New York og Staatliche Hochschule für Musik i München. I 1970-årene ble han blant annet kjent som kammermusiker gjennom Trio du Nord sammen med Ole Böhn og Hege Waldeland. Austbø var lenge bosatt i Nederland, hvor han først var dosent ved konservatoriet i Utrecht og senere ansatt ved konservatoriet i Amsterdam. Fra januar 2007 har han vært professor ved Universitetet i Stavanger, institutt for musikk og dans.