Asensi ble født i Alicante, og begynte ved den lokale klubben Elche CF, som da spilte i Primera División. Deretter kom han over til FC Barcelona for 80 millioner pesetas. Asensi var viktig for klubben, og deltok stor med å få dem til å vinne ligaen. Han noterte seg for 11 mål på 34 kamper, tredje best i stallen. Han scoret andremålet i finalen i Cupvinnercupen i 1979 i en kamp som gikk til ekstraomganger. Barcelona vant 4–3 over Fortuna Düsseldorf.