Córdoba var sønn av José Vicente Concha, som ble Colombias president, og hans første hustru, Leonor Córdoba. Faren forberedte ham til hans første kommunion. Han fikk hjemmeundervisning i latin av Miguel Abadía Méndez, som var professor dor samme fag på presteseminaret i Bogotá, der Concha inntrådte i 1908 for å fortsette sine sturier i latin. Da Conchas far ble utnevnt til Colombias ambassadør til Frankrike, ble Luis med ham til Paris og studerte humaniora der. Etter tilbakekomsten til Bogotá fortsatte han sine prestestudier ved seminaret.