Bjurstrøm er utdannet jurist. Hun har vært konsernadvokat i Aker RGI og dommer/nestleder i Arbeidsretten, og har også jobbet i Europarådet, hos Regjeringsadvokaten og i Justisdepartementet. Hun kom til arbeidsminister-stillingen fra en stilling som spesialrådgiver i Miljøverndepartementet og Norges forhandlingsleder i de internasjonale klimaforhandlingene. Hun er fra 2013 partner i advokatfirmaet Arntzen de Besche AS i Oslo. Nestleder i Fondet for dansk-norsk samarbeid fra 2017 og leder fra 2022.