Alle grupper kan deles opp i to hovedklasser. Den ene inneholder diskrete grupper, som har element som er tellbare. Den andre klassen består av Lie-grupper hvor elementene er kontinuerlig forbundet med hverandre. Gruppeteorien for begge klasser har i stor grad bestått i å skape en systematisk oversikt over hvilke grupper som finnes og etablering av deres egenskaper.