I er Ajax kjent for sin mektige styrke og store mot, sett særlig i to tvekamper med den trojanske helt Hektor. I bok 7 av Iliaden er Ajax valgt ved loddtrekning til å møte Hektor i en duell som varer det meste av dagen. Ajax gjør det først bedre enn sin motstander, sårer Hektor med spydet sitt og slår ham overende med en stor stein, men Hektor kjemper videre inn til heroldene under Zevs forordning sørger for at det blir uavgjort og ingen vinner, og ender med at de to stridende utveksler gaver. Ajax gir Hektor et belte av purpur og Hektor gir Ajax et skarpt sverd.