Varhaug var utdannet lege ved Universitetet i Oslo der han i 1967 avla graden cand.med. Etter å ha arbeidet ved ulike sykehus ble Varhaug fra 1973 tilknyttet Haukeland universitetssykehus, der han arbeidet som kirurg. Etter å ha avlagt den medisinske doktorgrad ved Universitetet i Bergen i 1984 konsentrerte Varhaug deg særlig om endokrin kirurgi og brystkreft. Han ble i 1985 førsteamanuensis ved Universitetet i Bergen og i 1991 ble han utnevnt til professor i endokrin kirurgi.