Omtrent på samme tid begynte Élie Cartan i Frankrike å legge grunnlaget for en mer abstrakt og generell beskrivelse av riemannske mangfoldigheter. Her benyttes differensielle former som også tydeliggjør symmetriene til krumningstensoren samtidig som de gjør konkrete beregninger mer oversiktlige og kompakte. Det er dette rammeverket som i dag ligger under moderne differensialgeometri og benyttes både i teoretiske og mer praktiske sammenhenger.