Pinzón ble født i Palos de la Frontera på kysten av provinsen Huelva, som den yngste av de tre berømte sønnene til sjøfareren Martín Pinzón og hans hustru Mayor Vicente. Det er usikkert hvilket år han ble født; men oppgis vanligvis til ca 1462. På bakgrunn av juridiske dokumenter som viser at hans to døtre var over 20 år gamle i konkluderer Juan Gil at det absolutt ikke kan være senere enn 1469. 1469 er en ganske sen dato, i og med at det finnes opptegnelser om han som sjørøver eller kaper (sammen med sin eldre bror Martín Alonso) i Middelhavet mellom 1477 og 1479 da andre byer unnlot å forsyne Palos med tilstrekkelig korn i krigstid.