Hauge begynte i Bodø/Glimts ungdomsakademi, Glimt-akademiet, da han var 13 år gammel, og signerte sin første proffkontrakt med Bodø/Glimt 12. april 2016. Dagen etter signeringen debuterte han for Bodø/Glimt i en cupkamp mot IF Fløya, der han kom inn som innbytter etter 61 minutter, og scoret hattrick i løpet av de første 21 minuttene på banen. I serien debuderte han i 0-2-tapet borte mot Strømsgodset den 23. april. Han scoret sitt første eliteseriemål i Bodø/Glimts 4-1-seier borte mot Start i 2016, og ble med det Bodø/Glimts yngste målscorer i Eliteserien. Sesongen 2016 var en gjennombruddssesong for Hauge, der han ble nominert til årets unge spiller i Eliteserien.