Etter å ha studert katolsk teologi ble Kada presteviet den 10. oktober 1948. I 1957 gikk han inn i Den hellige stols diplomatiske tjeneste. Der virket han kort i Statssekretariatet og arbeidet deretter i representasjonene til Den hellige stol i Pakistan, Skandinavia (København), Vest-Tyskland og Argentina. I 1971 ble han kalt tilbake til kurien og tilknyttet Det pavelige råd «Cor Unum», der han ble utnevnt til undersekretær i 1973.