For systemer som kan beskrives i klassisk fysikk, kan Hamilton-operatoren finnes fra Hamilton-funksjonen ved at de klassiske variable for posisjon og impuls blir kvantemekaniske operatorer. Denne formalismen ble utarbeidet av William Rowan Hamilton i første halvdel av 1800-tallet. Derfor blir Hamilton-funksjonen vanligvis betegnet med bokstaven . Den tilsvarende Hamilton-operatoren skrives da ofte som for å markere forskjellen mellom disse to størrelsene, men benyttes sjeldnere i mer spesialisert litteratur.