Hans far, Ludvig Heiberg, døde da Peter Andreas var to år. Deretter flyttet moren med brødrene, som bl.a. inkluderte broren Ludvig Heiberg, til sin far i Vemmetofte. Der vokste Heiberg opp inntil han selv skulle på latinskole. Han ble student i 1774 i København. I 1777 tok han den store filologiske eksamen på Københavns Universitet. I 1779 forlot han København, angivelig pga. spillegjeld. Han reiste til Sverige for å bli soldat. Halvannet år senere frikjøpte hans familie ham for tjeneste, og han dro etter et kort opphold i Uppsala til Bergen. Her tilbragte han de neste tre årene hos sin onkel. I Bergen møtte han mange forfattere, som inspirerte ham til selv å skrive. Da Heiberg kom tilbake til København, brukte han sine språkkunnskaper som tolk. Han oversatte av den franske forfatteren Jean-Charles Laveaux. Verket er kritisk mot overklassen. Det var nok grunnen til at Heiberg valgte å utgi det anonymt. I 1790 giftet han seg med den 16-årige Thomasine Buntzen (etter sitt senere ekteskap kjent som forfatterinnen fru Gyllembourg). Deres sønn var Johan Ludvig Heiberg (1791–1860).