Røg var sønn av Augustinus Gabrielsen Røg, som var kapellan i Kvæfjord. Han gikk i den lærde skole i Bergen, der han hadde Ludvig Holberg som skolekamerat. I 1699 tok han studenteksamen og påbegynte studier i teologi i København, men i stedet for å fullføre universitetsstudier begynte han i lære som medaljør og kobberstikker. Han lærte trolig faget under Christian Wineke den yngre, som var myntmester i København.