Kvarme kom til Rosenborg første gang i 1991 da han ankom klubben fra Trondheims-klubben Utleira Idrettslag. Han spilte seks sesonger for RBK og ble seriemester fem ganger før han søkte nye utfordringer. Høsten 1996 var Kvarme klar for Stabæk Fotball, men så kastet den engelske storklubben Liverpool FC seg inn i kampen om hans underskrift, og dermed ble Kvarme løst fra kontrakten med Stabæk og ble Liverpool-spiller på en Bosman-overgang som den første til Liverpool.