Eidem var utdannet lærer fra Tromsø Seminarium i 1877, og virket som lærer i Lenvik og Nannestad, deretter som bestyrer av en privatskole i Harstad (fra 1884), som lærer ved Tromsø folkeskole fra 1892 og adjunkt (1902) og senere overlærer ved Tromsø lærerskole til 1918. I perioden 1919–26 var han borgermester (rådmann) i Tromsø.