En vanlig kuleflate eller «sfære» i hyperbolsk geometri består av de puktene som har samme avstand til et gitt punkt som er sfærens sentrum. Hyperbolske plan gjennom dette punktet vil skjære kuleflaten i storsirkler og avgrense sfæriske mangekanter. Både Bolayai og Lobatsjevskij viste at vinklene til disse oppfylte de samme lovene som i vanlig, sfærisk trigonometri. På den måten hadde de dermed bevist eksistensen av sfærisk geometri direkte fra postulatene for hyperbolsk geometri. Helt overraskende var det ikke da sfærisk geometri som er konstruert på vanlig måte i euklidsk geometri, ikke gjør bruk av parallellaksiomet.