Eidesgaard underskrev Fámjinserklæringen sammen med Per Stig Møller den 25. mars 2005. Erklæringen tok for seg det utenrikspolitiske samarbeidet mellom Færøyene og Danmark, og gav Færøyene større muligheter på dette feltet. Den påfølgende Overtagelsesloven samme år åpnet muligheten for at de færøyske myndighetene kan overta samtlige saker og saksområder, bortsett fra statsforfatningen, statsborgerskap, Høyesterett, utenriks-, sikkerhets- og forsvarspolitikk samt valuta- og pengepolitikk.