Faren Jonas Børresen var skipsfører, og Børge-Ask reiste i barne- og ungdomsåra verden rundt med ham. Børge-Ask tok studenteksamen ved Kongsgaard skole i 1898 i Stavanger. Han blei cand.theol. i 1904 og tok praktikum året etter. I studietida arbeidde han som lærer ved flere skoler i Oslo. Hans første kirkelige stilling var som kallskapellan i Kviteseid i 1906. Seinere var han kateket i Farsund fra 1909 og i Flekkefjord fra 1912. Her var han konstituert som sokneprest og prost fra 1922. I 1924 blei han sokneprest i Fåberg, og i 1937 fikk han samme stilling i Nordstrand fram til pensjonsalder ti år seinere. Fra 1939 var han også lærer ved Nordstrand høyere allmennskole. Under okkupasjonen nedla han arbeidet fra påsken 1944. Han var til politiforhør i 1944 og gikk i dekning i januar 1945.