Elliptiske funksjoner kan sees på som en generalisering av trigonometriske funksjoner (som for eksempel sinus- og cosinus-funksjonene). De oppstår for eksempel i forbindelse med beregning av buelengden til ellipser eller svingetiden for en pendel. Resultatet kan da uttrykkes ved bestemte, elliptiske integral som først var blitt grundig studert av Adrien-Marie Legendre. Etter reisen til København i 1823 arbeidet Abel mye med disse integralene. Abels genistrek var å betrakte dem på en helt annen måte enn det som var blitt gjort til da. I stedet for å studere selve integralene, så han på de eller inverse funksjonene. Dette fortalte han i et brev til Holmboe allerede i 1823. Året etter i et brev til Degen kunne han fortelle at disse funksjonene har to perioder. Men først i 1827 publiserte han det første arbeidet om elliptiske funksjoner.