Han var sønn av dispasjør Theodor Ameln (1847–1925) og Olivia Dorothea Hildegund Wilander (1849–1912). Han var dermed bror av assurandør Haakon Ameln (1881–1949) og nevø av stortingsmann Johan Ameln (1838–1917). Ameln-slekten har tyske aner. Henrik Ameln vokste opp i et velstående forretningsmiljø på Fjøsanger ved Bergen og bestemte seg tidlig for å gå i farens fotspor som jurist.