I 1992 vant Kverndokk en av prisene i konkurransen The Juilliard Composers Competition med orkesterverket . Med verket for fiolin og orkester vant han i 1993 førstepris i konkurransen for komponister under 30 år i ROSTRUM i Paris. Kverndokk har skrevet to solokonserter, begge uroppført av Bergen Filharmoniske Orkester; i 1996, og i 1998. Hans ble skrevet for Arve Tellefsen og Oslo Filharmoniske Orkester til Sommerkonserten i Holmenkollen, og uroppført der i 2000. Sesongen 1999 – 2000 var Kverndokk årets komponist ved Trondheim Symfoniorkester. I februar 2003 ble hans , konsert for fiolin, klaver og orkester, uroppført av Oslo Filharmoniske Orkester.