I sine tidlige år skrev han om norsk litteratur, før han på 1900-tallet ble stadig mer opptatt av den språkpolitiske-og-teknikalske tilnærmingen mellom landsmål og riksmål, såvel som å videreføre lærer Simon Wright Hofgaards mange skolebøker etter hans død i 1908 (, , ). Samtidig skrev Eitrem egne skolebøker, og hans ordbøker skulle utkomme i flere titalls opplag frem til 1974. Hans bidrag innen skolereformen av 1917 er velkjente, kanskje spesielt de ortografiske. Eitrem var lærer og rektor ved skoler i Haugesund og Larvik, samt Oslo katedralskole fra 1927. Hans bror var filolog og professor Samson Eitrem (1872–1966).