Fury avstammer fra irske . Hans far John «Gypsy» Fury, ga sønnen fornavn efter bokseren Mike Tyson, som var på toppen av sin karriere på 1980-tallet. Familien har en lang forhistorie med såkalt «bare-knuckle boxing», en uoffisiell bokseform uten idrettens vanlige sikkerhetsutstyr. Hans farfar og far kom fra Tuam, et lite tettsted i County Galway (Vest-Irland), mens hans mor ble født i Belfast. Han er en fetter av WBOs verdensmester i mellomvekt, Andy Lee og tungvektsbokseren Hughie Fury.