Etablert på Vålerengas høyre flanke, fikk Bjarnøy sin landslagsdebut som 19-åring mot 26. oktober 1983. Bjarnøy scoret det siste av Norges fire mål i 4-2 seieren på Melløs stadion. Senere på året dro Bjarnøy på nytt opphold hos Norwich. Krav til A-landslagsspill for å oppnå arbeidstillatelse i Storbritannia hadde tidligere forhindret Norwich fra å kunne skrive kontrakt med ham. Men selv med landskamper i bagasjen fikk han ikke innvilget arbeidstillatelse.