Josip Bozanić vokste opp på den dalmatiske øya Krk. Han var den eldste av fire barn til Ivan Bozanić og Dinka Valković. Josip fikk sin humanistiske skoleutdannelse ved seminaret i Pazin og studerte deretter filosofi og katolsk teologi ved de teologiske fakulteter i Rijeka og Zagreb. Studiene hadde et avbrudd for den obligatoriske militærtjenest. I løpet av sine år med militærtjeneste ble han dømt til militærfengsel for å ha nektet å ta avstand fra en artikkel om kardinal Alojzije Stepinac som var signert av ham, og publisert av L'Osservatore Romano.