Botheim var kjent som et stort talent i sin ungdom og fikk sin debut på Lyns A-lag som 15-åring. Han spilte på alle ungdomslandslagene opp gjennom karrieren og i 2016 inngikk han en treårskontrakt med Rosenborg. Han slo aldri gjennom på Rosenborg og fikk aldri spille fast. Høydepunktet i Rosenborg-karrieren ble et hattrick mot Tromsø. I siste halvdel av 2020-sesongen ble Botheim leid ut til Stabæk, der han fikk 17 kamper og scora null mål. I forkant av 2021-sesongen ble Botheim frigjort fra kontrakten med Rosenborg. Han skrev under en toårskontrakt med Bodø/Glimt få dager etter. Han spilte samtlige kamper i 2021-sesongen for Bodø/Glimt og ble toppscorer for klubben med 15 mål i serien og åtte mål i Europa. 23. desember 2021 skrev Botheim under en 3,5 år lang kontrakt med FK Krasnodar i Russland i en overgang der Bodø/Glimt får 80 millioner for spilleren, med mulighet for ytterligere 20 mill. Botheim ble med det den dyreste spilleren solgt fra en norsk klubb noen sinne.