Noen år senere fant Abel en feil i dette beviset selv om konklusjonen var korrekt. Men noen femtegradsløsninger lar seg løse. Abel kom frem til visse egenskaper som ligningen da må ha. Omtrent samtidig klarte Galois å komme frem til en mer generell klassifisering av løsbare polynomligninger ved å kunne assosiere en viss Galois-gruppe med hver slik ligning. Denne er basert på permutasjoner av røttene til ligningen. Hvis denne har grad , er Galois-gruppen en undergruppe av den symmetriske gruppen . Ligningen har en algebraisk løsning for spesielle egenskaper ved denne gruppen.