Murphys utnevnelse kom etter en rekke kontroverser rundt den sittende erkebiskop Raymond Gerhardt Hunthausen, som først foranlediget en apostolisk visitas til erkebispedømmet bestilt av kardinal Joseph Ratzinger, prefekt for Kongregasjonen for Troslæren. Ratzinger var bekymret for at Hunthausen på noen punkter brøt kirkens lære. Den 3. desember 1985 hadde paven så utnevnt pastor Donald Wuerl til hjelpebiskop av Seattle, med myndighet til å overstyre Hunthausen på flere viktige områder. Etter protester fra Hunthausen og andre amerikanske prelater, fjernet pave Johannes Paul II Wuerl, og utnevnte Murphy til en koadjutor-erkebiskop med mindre umiddelbar autoritet.