Etter gymnasiestudier i Basel og studier i gammelkatolsk teologi ved universitetene i Bern og i Bonn ble Küry presteviet i 1893. Han ble sogneprest i Starrkirch-Dulliken. Fra 1896 til 1906 arbeidet han i Luzern årene 1906–1924 i . Ved siden av sitt virke som utgiver av og fra 1915 også dets redaktør, tok han doktorgrad i r 1915, og ble i 1924 professor i kirkehistorie, kirkerett og fra 1933 liturgi ved det kristkatolske fakultet ved Universität Bern.