Disse tre antagelsene gjelder for alle grupper, både de diskrete og de kontinuerlige. Fra det tredje kravet følger det viktige resultatet at den inverse til et produkt er gitt ved . Hvis kombinasjonen av to gruppeelement oppfyller den kommutative loven slik at , har man med en abelsk gruppe å gjøre. Navnet går tilbake til Abel som viste at når røttene til en polynomligning kan beregnes ved de vanlige regningsartene kombinert med enkle rotutdragninger, har de en symmetri som tilsvarer en kommutativ gruppe.