Glazer ble født i Rochester i New York og bodde i Palm Beach i Florida frem til sin død. Han var sønn av en litauisk immigrant. Da faren døde i 1943 fikk Malcolm ansvaret for å drive familiens urmakerbedrift. Virksomheten ble etter hvert utvidet, først innen eiendom. Glazer var gift og hadde seks sønner, hvorav tre er visepresidenter i First Allied.