Moore, den eldste av fire søsken, ble født i Newry i Nord-Irland. Mens han var ung, flyttet familien hans til Kilkenny i Irland, der hans far jobbet som ingeniør. Etter å ha gått på St Kieran's College, studerte han animasjon på Ballyfermot College i Dublin. Det var i sisteåret av studiene at han grunnla Cartoon Saloon sammen med Paul Young, Ross Murray og Nora Twomey. Studioet produserte TV-serien .