Medby vokste opp i Djupvik i Lyngen, og han var politisk aktiv på hjemstedet siden ungdomstiden. Senere ble han sekretær i Troms Arbeiderparti. I 1952 ble han representant ved Den internasjonale arbeidsorganisasjonen i Genève i Sveits. Fra 1964 var han bystyrerepresentant i Narvik for Arbeiderpartiet. Arne Meedbys far, Anton Martinius Danielsen Meedby, var ordfører i Lyngen og ble senere Kåfjords første ordfører.