Morten Leuch stammet fra Christiania-slekten Leuch og var sønn av kjøpmann Peder Leuch (død 1746) og Cathrine Heltzen (søster av Poul Heltzen g.m. Karen Collett). Hans far Peder hadde stiftet firmaet Collett & Leuch sammen med Peter Collett. Han var oldebarn av Leuch-slektens stamfar, Peder Nielsen Leuch. I 1758 ble Morten Leuch gift med James Colletts søster, Mathia Collett (1737–1773). Etter hans død giftet hun seg på ny med Bernt Anker.