Adcock ble født i Desford i Leicester i Leicestershire den 15. april 1886. Han var sønn av Thomas Draper Adcock, leder av Desford Industrial School, og Mary Esther Adcock (født Coltman). Han ble utdannet ved Wyggeston School, en grammar school i Leicester. Han fortsatte med å studere oldtidshistorie ved King's College, University of Cambridge.