Hamburger tok organisteksamen ved Det Kongelige Danske Musikkonservatorium i 1921, og etter studiereiser i Østerrike og Tyskland studerte han musikkvitenskap ved Københavns Universitet. Fra 1925 til 1944 var han kantor ved Holmens kirke og deretter organist ved Dyssegårdskirken i Hellerup. I 1925 ble han dr. phil. og var 1945–1971 samtidig med organistembetet underviser ved Københavns Universitet.