Sitt hovedverk publiserte Hermann Grassmann i 1844. Det inneholdt flere banebrytende, nye idéer i tillegg til det som senere er blitt omtalt som Grassmann-algebra. Den var basert på egenskapene til et vektorrom som i seg selv var nytt på den tiden. I dette rommet som kunne ha et vilkårlig antall dimensjoner, kunne man ved bruk av sin algebra beskrive geometriske forhold som tidligere alltid ble gjort i det tredimensjonale, euklidske rommet. Hans ytre produkt av vektorer viste seg å ha likheter med det produktet som Hamilton hadde oppdaget omtrent på samme tidspunkt ved multiplikasjon av kvaternioner.