Odum var sønn av sosiologen Howard W. Odum (1884–1954) og Anna Louise (Kranz) Odum (1888–1965). Han var en yngre bror av Eugene Odum, som også ble økolog. Deres far oppfordret sønnene sine til å drive med vitenskap. Howard fikk sine første naturfagkunnskaper om fugler fra sin bror. Dessuten fikk han interesse for fisk og biologiens filosofi mens han arbeidet etter skoletid for marinbiologen Robert Coker. Han fikk også innsikt i elektriske kretser fra barneboken .