Han tilbrakte meste av karrieren i Tsjekkoslovakia da det var forbudt for spillere å spille i utlandet. Men i 1981 ble Hlinka og forsvarsspilleren Jiří Bubla de første tsjekkiske hockeyspillerne på lang tid til å få velsignelse av det kommunistiske regimet å spille i NHL da de fikk lov til å spille for Vancouver Canucks. I sin første sesong i NHL satte Hlinka Canucks-rekord for flest poeng i løpet en vanlig sesong av nybegynner med 60 poeng (23 mål og 37 assists). Dette ville senere tangeres av Pavel Bure i 1991/1992-sesongen. Hlinka og Bubla ble også de første tsjekkerne noensinne til å spille i NHL-sluttspillet da Canucks tapte 0-4 til New York Islanders i Stanley Cup-finalen. I 1982/1983-sesongen forbedret Hlinka sin statistikk til 63 poeng (19 mål og 44 assists) på 65 kamper, og spilte igjen i sluttspillet. I alt scoret Hlinka 41 mål og 81 assists på 137 kamper for Canucks.