Den opprinnelige motivasjonen for gruppeteori var å finne løsninger av polynomligninger av grad høyere enn fjerdegradsligningen. På slutten av 1700-tallet viste Lagrange at ombytte eller permutasjoner av røttene kunne gi bedre innsikt i egenskapene til løsningene. Dette arbeidet ble videreført av Ruffini som ved århundreskiftet viste at femtegradsligningen generelt ikke lar seg løse ved algebraiske metoder.