Bonner begynte sin spillerkarriere hos den engelske klubben Leicester City i 1975. Han var målvakt for Leicester under FA Youth-cup, hvor han vakte oppmerksomhet hos den skotske storklubben Celtic. I mai 1978 signerte han under på en seniorkontrakt med Celtic, og ble tilfeldigvis også manager Jock Steins siste signering før han forlot klubben. For Celtic spilte han over 640 kamper tilsammen fram til 1995, hvor 483 av disse var seriekamper.