Falk var sønn av Dorothea Sejersted (1838–67) og Gustav Falk Muus (1827–1917). Faren var kjøpmann på Hamar, og tilhørte slekten Muus. Moren tilhørte offisersslekten Sejersted, og var fra gården Vidarshov der Bjarne ble født. Hans storebror Hjalmar Falk (1859–1928) ble en kjent språkprofessor.