Frem til august 2012 spilte Bjørkkjær for 3.-divisjonsklubben Søgne FK. Bjørkkjær har spilt for det norske U-18 landslaget i en internasjonal U-18 turnering i Lisboa. Den 25. juli 2015 debuterte han for FK Haugesund hjemme mot Stabæk. Han ble byttet inn i det 70. minutt for Daniel Bamberg og var på banen da Vegard Skjerve headet inn 2-2 målet.