Suárez er mest kjent for å vinne sammenlagtseieren og klatrekonkurransen i Vuelta a España i 1959. Han vant også poengkonkurransen i 1961, samt totalt fem etappeseire. I tillegg vant han en etappe og avsluttet på pallen med en tredjeplass under Giro d'Italia i 1961 bak Arnaldo Pambianco fra Italia og Jacques Anquetil fra Frankrike.