Lindstrøm begynte som assistent og bud i administrasjonsavdelingen i Utenriksdepartementet i 1962. I tiden 1968 til 1970 var han attaché ved Norges ambassade til Nigeria i Lagos. Fra 1970 til 1973 arbeidet han med handelspolitiske spørsmål i Utenriksdepartementet. I tiden 1973 til 1975 var han ambassadesekretær ved ambassaden i Budapest, deretter ved Norges faste delegasjon til FN i New York. Han var byråsjef for FN-kontoret i UD fra 1983 til 1986. Fra 1986 til 1990 var han generalkonsul i Sør-Afrika. Han var ekspedisjonssjef og sjef for UDs admnistrative avdeling fra 1993 til 1996. Lindstrøm var departementets høyeste embetsmann, utenriksråd, i tiden 1996 til 2005. I 2005 til 2010 var han Norges ambassadør i London.