Som gutt fikk Erichsen undervisning av en prest om vinteren, mens han om sommeren arbeidet hjemme på gården. I 1743 ble han elev ved Skalholt lærde skole, hvor han gjorde inntrykk på Ludvig Harboe, som 1741–45 var på Island for å inspisere kirke- og skolevesenet. Erichsen fulgt med Harboe først til Danmark, og siden til Norge, hvor Harboe var blitt utnevnt til biskop i Trondhjems stift. Han var elev ved Trondhjems lærde skole og begynte i 1748 å studere ved Københavns Universitet.