Schönberg er født i franske Vannes i Bretagne av jødiske foreldre fra Ungarn. Hans far var orgelreparatør og hans mor pianostemmer. Han var tidligere gift med fjernsynsjournalisten og nyhetsankeret Béatrice Schönberg. I 2003 giftet han seg med den engelske ballerina Charlotte Talbot. Han har tre barn, en sønn og to døtre.