Alstrup var sønn av klokker i Gulen, Anders Furnæs, og var oppkalt etter bygdas respekterte sogneprest Niels Griis Alstrup Dahl. Niels Alstrup begynte teologistudier i 1843 og avla eksamen i 1850. I perioden 1852–53 satt han som ordfører i Gulen, før han flyttet til Bergen.