Alexander James Quinn ble presteviet den 24. mai 1958 i Cleveland. I 1958/59 var han kapellan i . Etter et kirkerettslig doktoratsstudiumsopphold ved Pontifical North American College i Roma ble han tilknyttet bispedømmekurien i Cleveland. Fra 1968 til 1972 var han kansellist. I 1973 ble han bispedømmets finanssjef. Dessuten var han sogneprest i i Medina.