Han tok studentereksamen i København i 1939. Forbindelsen mellom Danmark og Færøyene ble brutt under den andre verdenskrig, så Djurhuus ble, som så mange andre færøyske studenter, værende i København under krigen. Djurhuus begynte å arbeide for Handelsministeriet. Han ble cand.polit. fra Københavns Universitet i 1951, og gikk deretter inn i Utenriksministeriet som sekretæraspirant. Fra 1956 til 1960 var han ambassadesekretær ved Danmarks ambassade i Rio de Janeiro, og fra 1964 til 1968 ambassaderåd og chargé d'affaires i Jakarta. Mellom sine utenlandsopphold avanserte han også til kontorsjef i ministeriet. I 1974 ble han generalkonsul i Los Angeles, i 1978 generalkonsul i Hamburg, og i 1984 ambassadør i Reykjavík. Han døde av hjertesykdom mens han fortsatt satt i embedet som ambassadør på Island.