Boe ble født i Oslo og har en somaliskfødt far og norsk mor (fra Trondheim). Hun og moren flyttet til Los Angeles da Alisha var sju år gammel på grunn av hennes mor giftet seg med en amerikansk mann. Boe gikk på El Camino Real High School, hvor hun ble involvert i et drama-program. Etter hun var ferdig utdannet begynte hun sin skuespillerkarriere, hvor hun ble den første skuespilleren med somalisk opprinnelse til å ha en hovedrolle i en amerikansk film siden Iman.