Han var sjelesørger i hjembyen til 1968. Fra 1968 til 1991 var han i den romerske kurie, i Den apostoliske signatur. Fra 1992 arbeidet Menichelli i Kongregasjonen for Østkirkene, hvor han blant annet var spesialutsending til kongregasjonens kardinalprefekt Achille Silvestrini.