Lekve har tidligere vært forskningspolitisk rådgiver i Abelia og var leder i Sosialistisk Ungdom (SU) 1992–1994. Han tok hovedfag (cand.scient.) i 1997 og doktorgraden dr.scient. fem år senere ved Universitetet i Oslo på en avhandling om variasjoner i fiskearter i strandsonen på Skagerrak-kysten i Norge. Fra 2007 var han politisk rådgiver og deretter, fra 2009, statssekretær for statsråd Tora Aasland i Kunnskapsdepartementet. Fra 2012 var han statssekretær for Kristin Halvorsen i samme departement. I 2013 ble han assisterende direktør i Nordisk institutt for studier av innovasjon, forskning og utdanning. I perioden 2015-2023 var han vært nestleder ved Simula-senteret. Fra 2023 leder Lekve Institutt for Samfunnsforskning. Fra november 2021 har Lekve vært styreleder ved Høyskolen Kristiania.