Hans far Štefan Dubček flyttet fra Chicago til Tsjekkoslovakia, og var en av stifterne av kommunistpartiet i landet. Familien flyttet til Sovjetunionen da Alexander var tre år, og bodde der til 1938, da de flyttet tilbake til Tsjekkoslovakia. Under den andre verdenskrig ble Alexander med i motstandsbevegelsen mot det pro-tyske styret i Slovakia, ledet av Jozef Tiso. I 1944 kjempet Alexander Dubček i den slovakiske revolten og ble såret; hans bror Július ble drept. I løpet av krigen ble Alexander med i det slovakiske kommunistpartiet KSS.