Reichová vant en olympisk bronsemedalje i turn under Sommer-OL 1952 i Helsingfors. Hun var med på det tsjekkoslovakiske laget som kom på tredjeplass i damens lagkonkurrane bak Sovjetunionen og Sveits. De andre på laget var Věra Vančurová, Hana Bobková, Jana Rabasová, Alena Chadimová, Matylda Šínová, Božena Srncová og Eva Bosáková.