Eidesgaard ble innvalgt på Lagtinget i 1990. Han gikk inn i regjeringen som helse-, sosial- og arbeidsminister i 1991 og finansminister i 1994. I kjølvannet av bankkrisen på Færøyene ble Eidesgaard valgt til partileder. Fra 1998 til 2001 var han medlem av det danske Folketinget. Fra 2008 til 2011 var han Færøyenes finansminister. Han gikk deretter ut av politikken.