Brosio vokste opp i fødebyen Torino og studerte jus ved Universitetet i Torino. Under første verdenskrig tjenestegjorde han som artillerioffiser i Alpin-regimentet, og etter krigen ble han uteksaminert før han deretter gikk inn i politikken. I mellomkrigstiden ble Brosios politiske aktivitet hemmet på grunn av hans motstand til fascismen. Da de allierte invaderte Italia under andre verdenskrig gikk han under jorden, og ble senere medlem av Comitato di Liberazione Nazionale (CLN).