Når hjørnevinkelen i Saccheris firkant er spiss, har man hyperbolsk geometri. For dette tilfellet viste Saccheri at det for en vilkårlig linje kan trekkes et uendelig antall linjer gjennom et utenforliggende punkt som ikke skjærer den gitte linjen. Alle disse kan da kalles for parallelle linjer. Men ved en nærmere analyse viste han at de kan klassifiseres i to typer, avhengig av deres forløp uendelig langt borte. Egenskapene til hyperbolsk geometri blir dermed bestemt ut fra linjers oppførsel i et område av rommet man i utgangspunktet ikke vet noe om.