Alexander scenedebuterte som 16-åring i 1939. Han filmdebuterte i (1947) og tv-debuterte i tv-filmen (1950). Han hadde rollen som den uansvarlige playboyen Dartie Montegue i serien (1967) og fra 1981 til 1991 spilte han rollen som den rike forretningmannen Charlie Hungerford i kriminalserien . Det er denne rollen han ble mest kjent for. Han hadde utover dette gjesteroller i en rekke britiske tv-serier, deriblant fire episoder av i komiserien (1957–1960) og et par episoder av (1985). Hans siste tv-rolle var i en episode av sykehusserien i 1999.