Boltzmann var meget opptatt av å undersøke den generelle gyldigheten til Maxwell-fordelingen. Et sentralt spørsmål var å finne ut om systemet av partikler alltid vil ende opp med denne hastighetsfordelingen uansett i hvilken ikke-likevektstilstand det starter ut fra. Utviklingen av et system som ikke er i termisk likevekt, lyktes han å beskrive matematisk ved en fordelingsfunksjon (,,) som også avhenger av tiden . Den oppfyller en partiell differensialligning som i dag omtales som Boltzmann-ligningen og har hatt stor betydning i årene som fulgte.