Currie ble født i Edinburgh, og hans skuespillerkarriere begynte på scenen. Sammen med sin hustru Maude Courtney (1884–1959) hadde han en sang- og danseforestilling som de turnerte med i USA på 1890-tallet. Han gjorde sin første film, , i 1931. I filmen (1943), innspilt under den andre verdenskrig, framstilte han en prest. Hans mest kjente rolle var som straffangen Abel Magwitch i David Leans (1946), basert på en roman av Charles Dickens. Senere begynte han å spille i episke filmer fra Hollywood, blant annet (1951) hvor han framstilte Apostelen Peter, i (1959), som fikk flere Oscar, var han Baltazar, en av de tre vise menn, og i (1964) framstilte han en aldrende, klok senator.