Addy ble født og oppvost i Tang Hall, York, det var også der han tok utdanningen sin. I 1982–84 deltok han i The Royal Academy of Dramatic Art. Han bor med sin kone Kelly og sine tre barn (Ruby, født 2000; Charlie, født 2003; og Oscar, født 2005) i Rufforth, nær Upper Poppleton landsbyen, nær York. Addys forfedre har levd i York siden 1910, da hans oldefar bodde der.