Lekve var sønn til en gårdbrukar på Nedre Lekve i Ulvik. Selv reiste han til Helsingfors i 1863 og studerte i tre år ved høyskolen i byen, hvor broren var professor i bygningsfag. Han fortsatte studiene i Zürich 1866–69. Deretter deltok han ute i felten på Jernbaneanlegg i Østerrike, senere på Østfoldbanen. I 1877 ble Lekve overlærar i bygningsfag på Kristiania tekniske skole, hvor han i tre år sto for et reformarbeid som bar frukt. Fra 1880 var han medlem av den tekniske undervisningskommisjonen, som blant annet planla den senere tekniske høyskolen i Trondheim. I 1891 ble han leder for den tekniske revisjonen i Arbeidsdepartementet, hvor han gjorde et grunnleggende arbeid.