Ved siden av sitt arbeid som forsker har Brekke hatt en bistilling ved den liberale tankesmien Civita. Han har markert seg i offentlig debatt om blant annet innvandring og pluralisme, samt forskningspolitikk. Han var leder for utvalget for nasjonale retningslinjer for åpen tilgang til forskningsresultater, som leverte sin innstilling til Kunnskapsdepartementet 1. juni 2016. Brekke er medlem av Oslo Høyre og var kandidat til stortingsvalgene i 2013 og 2017.