Kobelt ble valgt inn som medlem av Forbundsrådet den 10. desember 1940 og han forlot dette embetet den 31. desember 1954, etter fjorten sammenhengende år som medlem av Forbundsrådet. Kobelt var tilknyttet det sveitsiske Det frie demokratiske partiet. I Kobelts periode i Forbundsrådet hadde han ansvaret for den militære sveitsiske avdeling og han satt som president for den sveitsiske konføderasjonen i to omganger, henholdsvis i 1946 og igjen i 1952.