Svensson vokste opp under enkle forhold sammen med tolv søsken. Keeperen begynte sin fotballkarriere i Falkenbergs FF, før han gikk over til IF Elfsborg i 1949. I 1951 gikk han over til Malmö FF, hvor han ble førstekeeper. Han var den gang den andre spilleren for klubben som var hentet utenfor Skåne, og kom til å spille 433 kamper for klubben, hvor han også ble svensk mester i 1953.