Hamilton viste også at Euler-Lagrange-ligningene kan erstattes med det dobbelte antall første ordens differensialligninger. Disse er basert på som er definert ved . Dette er energien for systemet slik at også kan kalles for energifunksjonen. Denne formuleringen av klassisk mekanikk kalles Hamilton-mekanikk og danner grunnlaget for kvantemekanikken. Sammen med den ekvivalente Lagrange-mekanikken inngår Hamilton-mekanikken i det som vanligvis omtales som .