Domenico Enrici ble ordinert til prest i bispedømmet Cuneo den 29. juni 1933. For å forberede seg på en karriere i Den hellige stols diplomatiske tjeneste fullførte han studier ved Det pavelige diplomatakademi i 1935. Hans tidlige posteringer var i Irland fra 1938 og i Taiwan på midten av 1950-tallet.