Forstrøm vokste opp i Halden (Fredrikshald). Fra 1859 var han elev ved Fredrikshalds latin- og realskole, hvor han tok i 1878. Mens han studerte begynte han å undervise i skolen som vikarlærer, og i 1884 ble han fast ansatt ved sin gamle skole i Halden. Han tok språklig-historisk lærerksamen i 1887. Fra 1896 var han skolens inspektør, og beholdt denne stillingen til han gikk av i 1927.