Aasheim er kjent fra flere ekspedisjoner i Himalaya (Trango-ekspedisjonen i 1984 og den første norske bestigningen av Mount Everest i 1985), sykkeltur i Sahara, fottur i Ny-Guinea, ridetur i Mongolia, en serie skiturer på Svalbard, Grønland, Sibir og Gobi, og kanoturer i Tasmania, rundt Svalbard og på Nahanni River i Yukon, og ridetur i Patagonia. Sammen med familien tilbragte han i 2003 ett år på Svalbard. Han har lenge vært bosatt i Isfjorden i Rauma, der han blant annet har vært i ledelsen for Norsk Fjellfestival i nabobygda Åndalsnes.