Før første verdenskrig spilte Bissett for klubbene Glencraig Thistle og Third Lanark AC, begge i Skottland. I 1919 gikk han over til Manchester United, hvor han fikk sin debut i ligaen 15. november 1919 i 0-1-tapet mot Burnley. Bissett spilte 42 kamper for Manchester United, hvorav 40 i ligaen, og står registrert med ti scoringer for klubben.