Franzén var sønn av handelsmannen og rådmannen Zachris Franzén (1744–1787) og Helena Schulin. Slekten kommer fra Kexholm i Finland der flere av forfedrene til Franzén hadde vært handelsfolk. Franzén var først gift i 1799 med Margareta Elisabet Roos (1779–1806), deretter i 1807 med Sofia Kristina Wester (1780–1829), og til slutt i 1831 med Kristina Elisabet Arvidsson (1783–1859).