Biskop Welsh gikk imidlertid ikke inn i bispedømmets historie primært som kirkemann, men som en sexskandale. Tidlig i august 1986 var han på et stevne av Knights of Columbus, som han tilhørte, i Chicago. Han hadde tatt inn på Chicago Hilton. Den 8. august møtte Welsh en ung prostituert med et narkotikaproblem i en bar, og ble med ham på et hotellrom. Ifølge den unge mannen ønsket Welsh å hjelpe ham økonomisk, men også med råd. Etter det er det forskjellige versjoner av hendelsen. Konsensus er at Welsh og den unge mannen hadde oralsex. Welsh har imidlertid sterkt benektet at han strupete den unge mannen til bevisstløshet, noe mannen anklaget biskopen for. I slutten av september 1986 sto to politibetjenter utenfor husdøren til Welsh og avhørte ham om hendelsen. Han samarbeidet med tjenestemennene og innrømmet kun oralsex. Han tilbød seg deretter å bli plassert under tilsyn av en biskop og nevnte erkebiskop Raymond Hunthausen av Seattle. Den 29. september 1986 hadde politiet et møte med Welsh og Hunthausen. Der sa Welsh i føhe politirapporten hat Welsh, Hunthausen og politiet ble enige om at Welsh måtte undersøkes av psykiater. Etterforskningen av overgrepssaken, dersom det faktisk var blitt innledet en slik, ble innstilt.