Eidsvig ble etter lisensiatstudier ved Heythrop College i London presteviet som sekularprest for Oslo katolske bispedømme i St. Olav domkirke i Oslo den 20. juni 1982 av den katolske biskop av Oslo, John Willem Gran. De neste fire årene virket han som kapellan i St. Paul menighet i Bergen, hvor han den 1. januar 1986 ble utnevnt til sogneprest etter pater Wilhelm Hertmann. Det var under hans ledelse at den katolske skole St. Paul i Bergen ble flyttet, utvidet og nybygd rett bak St. Paul kirke.