I studietiden jobbet han blant annet som assistentlærer ved Norges tekniske høgskole. Han ble uteksaminert fra Det Kongelige Frederiks Universitet i 1916, og ble ansatt som dosent i matematikk ved Norges tekniske høgskole i 1918. Han tok sin doktorgrad i Strasbourg i 1927 etter et toårig opphold der. I 1937 ble han forfremmet til professor, en stilling han beholdt til 1950, da han ble professor ved Universitetet i Oslo, hvor han arbeidet frem til han ble pensjonert i 1961. Hans arbeidsfelt var matematisk analyse, funksjonsteori, algebra og tallteori. Han skrev omkring 60 matematiske verk og også noen få publikasjoner i botanikk. Lyche hadde et herbarium som visstnok var det største i Norge, og var også en periode formann i Norsk botanisk forening. Han ble kjent for sine matematiske lærebøker, både for den videregående skolen og et verk om matematisk analyse i tre bind for tekniske høyskoler og universiteter. De ble ofte av studentene omtalt som «Over evne I, II og III». Han var også redaksjonelt styremedlem i tidsskriftet Nordisk Matematisk Tidsskrift.