Skjelderup var sønn av professor Michael Skjelderup og Marthe Catharine Holfeldt. Han tok i 1821, ble i 1827 og i 1831. Fra samme år var han advokatfullmektig. I 1835 ble han stiftoverrettsprokurator og i 1837 høyesterettsadvokat. I 1839 ble han konstituert regjeringsadvokat og fungerte i denne stillingen til 1859. Fra 1859 til 1863 var han statssekretær.