Foreldrene var Peder Strøm (1682–1741, prost i Borgund, dagens Ålesund) og Gunhild (Gunnela Susanne) Hagerup (1687–1764). Han hadde en eldre søster, Aarsille Cathrine g. Lund (1724-1748), en tvillingbror, Ole (1726-1782) og en yngre bror, Jens Henrik (1729-1800). Ole var leksikograf i Danmark. Jens var borgermester i Christiania og i Bragernes. Strøm var farbror til forfatteren Hanna Winsnes og søskenbarn av Melchior Falchs andre kone. Onkelen Eiler Hagerup d.e. var biskop i Nidaros og, i likhet med faren Peder, medlem av det pietistiske selskapet «Syvstjernen». Fetrene Hans Hagerup de Gyldenpalm og Eiler Hagerup var amtmenn. Fetteren Christian Frederik Hagerup var også prest og vitenskapsmann. Kusinen Ingeborg Catharine Hagerup var gift med kjøpmannen Hans Holtermann.