Strøm var sønn av kunstsmed Julius Strøm og dennes hustru Marie Kristine. Han var fra 1927 gift med lærer Selma Hanna Johnsgård (1901–1989). Julian Strøm var faren til dukkespillerne Birgit Strøm og Elisabeth Strøm Henriksen, og morfar til skuespiller og regissør Camilla Strøm Henriksen.