Dennis Bergkamp ble født og vokste opp i den vestlige delen av Amsterdam. Han er sønn av katolske foreldre og har tre brødre. Han var en stille og rolig gutt som sjelden gikk ut, og han tilbrakte heller tiden hjemme. Foreldrene, som var ivrige fotballtilhengere kalte ham opp etter Denis Law, en tidligere spiss for Manchester United og Skottland. Funksjonæren i folkeregisteret syntes Denis lignet for mye på Denise og dermed ble Dennis det endelige valget. Hans mellomnavn «Maria» har vekket oppsikt, men navnet er meget vanlig mellomnavn for katolske gutter i Nederland. Bergkamps første fotballklubb var Wilskracht/SNL. Han gikk på Sint-Nicolaaslyceum-skolen i Amsterdam som ung.