Han er sønn av den sosialdemokratiske politikeren Henning Jensen, som var borgermester i Næstved kommune 1988–2011, og spesialklasselærer Inger Heunicke. Magnus Heunicke er gift med direktør Nina Groes, som han har barn med. Etter studentereksamen ved Næstved Gymnasium i 1995 utdannet han seg til journalist ved Danmarks Journalisthøjskole. Heunicke var prosjektmedarbeider i Kommunernes Landsforening 1995–1996 og journalist i DR 2001–2005.