Egenskapene til algebraiske kurver kommer best frem ved å la de to variable anta komplekse verdier. En slik kompleks kurve i et 2-dimensjonalt, komplekst rom vil derfor være en glatt flate i et 4-dimensjonalt, reelt rom og omtales som en Riemann-flate. Både kuleflaten og torus er eksempel på Riemann-flater.