Radisjtsjev ble født inn i en mindre fornem familie på en eiendom rett utenfor Moskva. Hans ungdom ble tilbrakt hos en slektning i Moskva, hvor han fikk lov til å bruke mye tid ved det nylig etablerte universitetet i Moskva. Familien hans hadde forbindelser som ga ham en mulighet til å tjene ved Katarina den store sitt hoff, der han utmerket seg med sine tjenester og intellektuelle evner.