I sin ungdom studerte Hlinka med professorene Frantisek Rauch og Josef Pálenícek ved Musikkakademiet i Praha. I 1964, da Henryk Neuhaus besøkte Praha, fikk Hlinka spille for ham ved en privatkonsert. Neuhaus fikk i stand «mesterklasser» mellom Hlinka og pianistene Svjatoslav Richter og Emil Gilels. Som et resultat av dette fikk Hlinka spille med flere av Europas ledende symfoniorkestre. Han fikk også gjort LP-innspillinger av et par klaversonater av Prokofjev og av Liszts h-moll-sonate. Om Prokofjev-sonatene skal Emil Gilels i 1967 ha uttalt at «dette er den beste innspilling som noengang er gjort av Prokofiev's pianosonater».