Lundestad var ansatt ved Universitetet i Tromsø fra 1974 som universitetslektor i historie, professor i amerikakunnskap (1979–1988), professor i historie (1988–1990). Han deltok også i forskningsprosjekt ved Harvard University (1978–1979, 1983) og Woodrow Wilson Center (1988–1989). Han var direktør ved Det Norske Nobelinstitutt i perioden 1. januar 1990–31. desember 2014 og var i samme periode sekretær for Den Norske Nobelkomite. Han etablerte også en egen forskningsavdeling ved Nobelinstituttet som i hans tid ga opphold til mer enn 130 gjesteforskere i tillegg til å arrangere seminarer, forelesninger og konferanser.