Selv viste Eggert evner over gjennomsnittet og ble elev ved Skálholt skole i 1746 og reiste deretter til Danmark for å studere på Københavns Universitet hvor han studerte og tok eksamen i en rekke fag, naturvitenskaper, filosofi, filologi, matematikk, jus og jordbruksfag foruten også studier av klassikerne.