Stevanovič startet sin fotballkarriere i 2001 hos den lokale hovedstadsklubben Olimpija Ljubljana. Etter å ha tilbrakt kun én sesong for klubben dro han videre til Domžale i 2002, hvor han etablerte seg som førstelagsspiller. Stevanovič tiltrakk seg oppmerksomhet fra flere utenlandske klubber i sesongene som fulgte, noe som resulterte i en overgang til den spanske storklubben Real Sociedad i 2006.