Busch ble født den 17. mars 1950 i Oslo. Han har juridisk embetseksamen fra 1974. Busch har lang fartstid fra påtalemyndigheten. Før han ble riksadvokat var han assisterende riksadvokat fra 1987. Fra 1981 til august 1987 var han statsadvokat ved Eidsivating (nå Oslo) statsadvokatembeter. Som statsadvokat var han blant annet aktor i Treholt-saken. Fra 1976 til 1981 var han politifullmektig og senere politiadjutant ved Oslo politidistrikt. Han har også vært dommerfullmektig ved Nedre Romerike tingrett.