Aleksandr Ginsburgs far, Sergej Sergejevitsj Tsjisjov, som var fra den russiske landadel, hadde studert arkitektur i 1930-årene som sovjetisk student under Le Corbusier i Frankrike; i 1936 ble han arrestert under den store terror og i 1937 døde han i varetektsfengsel. Hans mor, Ljudmila Iljinitsjna Ginsburg, hadde handelsutdannelse og arbeidet i planavdelingen i et forretningsforetak. Aleksander vokste opp uten søsken. Moren sørget for at hennes etternavn ble påført hans fødselsattest.