Sommeren 1812 forverret helsetilstanden hans seg sterkt. Cauchy hadde dårlig helse siden barndommen og sulten i Arcueil, og led til tider av depresjon. Den store arbeidsmengden i Cherbourg gjorde at han ble sykmeldt i september og fikk tillatelse til å dra tilbake til sin familie i Paris. Da helsen hans forbedret seg, var han ikke oppsatt på å fortsette å arbeide som ingeniør, og viet seg i stedet til forskningen. Inspirert av Lagranges teorem, befattet han seg med gruppeteori og fant dessuten tre aksiomer som entydig definerer en determinant.