I flere tilfeller er det interessant å studere randen av , og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i (tillukningen av den åpne mengden ) har den allerede slike verdier; en generell kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.