Han ble født i Bulwell i Nottinghamshire, så spilte han for Derby County og Mansfield Town, men karrieren ble kort på grunn av skader. Mee gikk inn i hærens medisinske avdeling (Royal Army Medical Corps) og utdannet seg til fysioterapeut, i løpet av sine seks år i hæren oppnådde han grad som sersjant. I den tiden han var i hæren oppholdt han seg en periode i Israel, der han for en tid spilte for Maccabi Netanya. Etter sin militære karriere, arbeidet han som fysioterapeut i flere klubber, før han kom til Arsenal FC i 1960, og erstattet Billy Milne.