Bonner ble født Lusik Georgievna Alikhanova i Merv i Turkmenske SSR i Sovjetunionen. Hennes far, Georgij Alikhanov (på armensk Gevork Alikhanyan), var en armener som grunnla Det sovjet-armenske kommunistpartiet.Han var også et høytstående medlem av Komintern. Hennes mor, Ruth Bonner, var en jødisk kommunistaktivist.