Han ble verdensmester 31. mars 1980 etter en tittelkamp i Knoxville, Tennessee mot WBAs mester John Tate. Tate ledet kampen klart, men i 15. og siste runden, da det gjensto 45 sekunder av kampen, fikk Weaver inn et kraftig slag på Tates hake, Tate gikk i gulvet og mistet bevisstheten i flere minutter og Weaver var ny verdensmester. Han forsvarte sin tittel to ganger. Han vant på knockout i åttende runden mot tidligere verdensmester Gerrie Coetzee i en kamp i Sør-Afrika, og 1. oktober 1981 vant han en femtenrunders kamp i Rosemont, Illinois mot James Quick Tillis på poeng. Han tapte sin tittel 10. desember 1982 i en kamp mot Michael Dokes.