Jameson ble født i Leith 11. juli 1774, sønn av Thomas Jameson (c.1750-1802), en såpefabrikant på Rotten Row (nå Water Street), og Catherine Paton (1750-94). De bodde på Sherrif Brae. Sin første utdannelse fikk han på Leith Grammar School. Senere lærte han kirurgi av John Cheyne II (far til John Cheyne III), med sikte på å bli skipslege. Han deltok også i forelesninger ved University of Edinburgh (1792-93), studererte medisin, botanikk, kjemi og naturhistorie. Hans onkel Robert Jameson var også lege og bodde sammen med dem på Rotten Row.