Sinha ble født i Bengal, der hans far var tjenestemann. Han fikk i 1878 stipend for å studere ved Presidency College i Calcutta, men forlot i 1881 India for å reise til Storbritannia. Videre studier ble finansiert gjennom stipender og prispenger han vant. Sinha ble i 1886 kalt til advokat ved Lincoln’s Inn. Deretter vendte han tilbake til Britisk India, der han praktiserte som advokat og foreleste.