Alkarp studerte musikk og komposisjon ved Musikhögskolan i Göteborg 1977-1980. På 1980-tallet turnerte han som musiker. Alkarp har også studert manusskriving for teater og film samt dramaturgi. Han debuterte som skjønnlitterær forfatter i 1996 med på Gedins förlag, og har seinere også utgitt romanen på Wahlström & Widstrand.. I 2012 satte Upsala Stadsteater opp hans historiedramatiske stykke som handler om politiske opptøyer i Uppsala våren 1943. Alkarp har skrevet kronikker i blant annet og avisen Uppsala Fria Tidning som ble nedlagt i april 2013.