Christoph Schönborn tilhører en gammel adelsslekt, og en rekke medlemmer av hans familie har vært biskoper, fyrstbiskoper, erkebiskoper, kardinaler og tyske kurfyrster (i kraft av geistlige posisjoner). Schönborn er sønn av grev Hugo Damian von Schönborn og baronesse Eleonore Ottilie Hilda Maria von Doblhoff. Foreldrene ble skilt i 1959. Han har to brødre og en søster.