Østrem ble cand. med. i 1918, og var fra 1920 distriktslege i Gjemnes. Han var senere assistentlege ved Gaustad sykehus, kandidat ved Rikshospitalets nerveavdeling, og kandidat ved Hôpital Salpêtrière. Han fullførte spesialistutdannelsen i nevrologi i 1931, og var fra 1936 psykiater ved Mentalhygienisk poliklinikk i Oslo.