Mulcahy ble født i Manor Street i Waterford. Han fikk sin utdannelse hos Christian Brothers i Waterford og deretter i Thurles i Tipperary, hvor faren var postmester. Han begynte å jobbe for postverkets ingeniørtjeneste i 1902, med arbeidssted i Thurles, Bantry og Dublin. Kort tid etter grunnleggelsen av Irish Volunteers i 1913 sluttet han seg til organisasjonen, og han ble også medlem av Irish Republican Brotherhood (IRB) og Conradh na Gaeilge.