Møller arbeidet noen år ved apoteker i Christiania, Helsingør og København. I 1792 tok han kirurgisk eksamen i København og slo seg samme år ned som privatlege i Arendal, hvor han 1796–1835 var distriktskirurg i Nedenes amt. Han ivret for opplysning og naturvitenskap, og hadde en stor mineralsamling. Han var en av stifterne av Arendals Museum i 1832, og byens første museumsbygning på Tyholmen fikk navnet Doctor Alexander Møllers Minde. Han testamenterte også penger til et legat for opprettelse og vedlikehold av Møllers Asyl barnehage i Arendal. I barnehagen er det reist en bauta til hans minne.