Derimot gå arbeidene til Hippokrates fra Khíos håp om å kunne gjennomføre denne beregningen. Han oppdaget at visse deler av sirkelflaten kunne beregnes eller konstrueres. Disse så ut som sigder og blir nå kalt for luner da formen minner som halvmåner. Dette kunne bety at hele sirkelflaten kunne beregnes. Han kunne til og med vise at sirkelflaten pluss arealet til en lune var like stort som et kvadrat. Men det ble raskt klart at akkurat denne lunen ikke kunne la seg konstruere.