Bassøe ble cand.med. ved Universitetet i Oslo i 1949 og tjenestegjorde ved en rekke sykehus fra 1952 til 1956, da han ble assistentlege ved medisinsk avdeling ved Haukeland sykehus i Bergen. I 1961 hadde han permisjon fra stillingen i Bergen for å være lege og sjef for medisinsk avdeling ved UNEF-hospitalet i Gaza i tre måneder. Han hadde også flere studieopphold ved sykehus i utlandet. I 1962 ble han spesiallege i endokrinologi, og samtidig ble han dosent i medisin ved Universitetet i Bergen. I 1965 tok han doktorgraden på binyrebarkfunksjon ved feber og stress. Siden ble han også utnevnt til professor, og var en populær og dyktig foreleser. Han tok også initiativ til å få etablert endokrinologi som egen spesialitet innen indremedisin.