Eban var sønn av Abraham Meir Solomon, en forretningsmann som hadde emigrert til Sør-Afrika fra Litauen (som var under russisk okkupasjon), og hans kone, Alida. Da Eban var syv måneder gammel, flyttet familien til England. Faren døde av kreft innen ett år var omme, og moren giftet seg på nytt etter noen år med Isaac Eban, en lege fra London hvis etternavn Eban tok. Han vokste opp som Aubrey Solomon Eban, etter at han fikk det engelske fornavnet i tillegg til det hebraiske «Abba».