Bjørnstad debuterte i 1945 på Folkteatern i Sverige. Han var gjennom karrieren tilknyttet flere teater i Norge, blant annet Trøndelag Teater 1949–1951, Rogaland teater 1953–1960, deretter flere perioder ved Fjernsynsteatret i 1960- og 1970-årene. I 1978 til 1996 var han ansatt i Det norske teatret. Her gjorde han bemerket i en rekke Tsjekhov-oppsetninger som blant annet (1981) og (1987). Han gjorde også inntrykk i Cora Sandels og Okamoto Kidos .