Han ble født i Budapest, og slo gjennom internasjonalt allerede som 18-åring. I 1935 vant han det nasjonale ungarske mesterskapet, et mesterskap han skulle vinne ni ganger i karrieren. Han vant også en internasjonal turnering i Tatatóváros i Ungarn, og ble tatt ut for å spille for Ungarn i sjakkolympiaden i Warszawa. Så unge toppspillere var ikke vanlig på den tiden, og Szabó vakte oppmerksomhet med sitt friske angrepsspill, som sto i kontrast til det tradisjonelle posisjonsspillet resten av det ungarske laget pleide å bruke. Szabó skal ha blitt trent av Géza Maróczy, som hadde vært den sterkeste spilleren i de foregående tiårene.