Kjellman vokste opp i de skånske byene Trelleborg og Vellinge. Han tok treårig skuespillerutdannelse ved Teaterhögskolan i Malmö fra 1983 til 1987. Der gikk han i samme klasse som blant annet Rikard Wolff og Gerhard Hoberstorfer. Han scenedebuterte 1986 på Stockholms Stadsteater i teaterstykket .