Finnesen er sametingsrepresentant for perioden 2005-09 for Midtre Nordland valgkrets, og har siden 2007 vært medlem av Sametingets møtelederskap, samt Oppvekst- og utdanningskomiteen. Fra 2005-07 var hun i tillegg nestleder i Oppvekst- og utdanningskomiteen.