Boström var sønn av landshövding Filip Boström (1843-1908) og Pauline Sterky, nevø av statsminister Erik Gustaf Boström og filantropen Ebba Boström. Slekten Boström er en gren av slekten Laestadius. Moren døde i 1883, og faren giftet seg på nytt med Augusta Sofie Tersmeden. Wollmar Boström giftet seg i 1907 med Gertrud Wennerberg, datter av oberst Sune G:son Wennerberg og friherrinne Ellis Rehbinder.