Eikeset var medlem av Førde kommunestyre 1972–1975, medlem av Sogn og Fjordane fylkesting 1976–1983 og medlem av fylkesutvalget 1980–1983. Han var formann i Sogn og Fjordane Høgre 1973–1976, statssekretær i Miljøverndepartementet i Kåre Willochs regjering 1981–1983 og første vararepresentant til Stortinget fra Sogn og Fjordane 1981–1989 hvor han møtte i 66 dager. Eikeset var også styreleder i Sogn og Fjordane Energi AS.