Som gutt var Arne Rygh elev ved Aars og Voss' skole, før han studerte og ble i 1904. Som student var han medlem av styret for Studentersamfundet og Den konservative studentforening. Etter et studieopphold i England ble han i 1907 edsvoren fullmektig hos advokatene Krog, Schjødt og Strøm, og fra 1909 var han ansatt som juridisk sekretær i Rjukan-selskapene, hvor hans bror Per Rygh var direktør. Han sluttet i denne stillingen i 1912 og begynte samme år advokatpraksis i Kristiania i kompaniskap med Eivind Eckbo. Til kompaniskapets 50-årsjubileum i 1962 ble det utgitt en minnebok ved Nils Kaurin.