Hans foreldre var Johan Nicolai Cappelen (1818–90) og Elisabeth Brunchorst Ravn (1825–1906). Faren var lege i Måløy. Axels var bror til blant andre nevnte lege Johan Christian Severin Cappelen (1855–1935) som var far til Trondheims-ordfører og justisminister Johan Cappelen (1889–1947). Axel ble i 1886 gift med Johanne Marie Kaarbø (1867–1929) fra Henningsvær. De var foreldre til blant andre Thor Cappelen (1889–1975) som var lege i Notodden og far til arkitekt Per Cappelen.