Holm studerte filologi, og tilbragte et år i Italia etter å ha avlagt embetseksamen. I 1860 fikk han doktorgraden på et arbeid om «De græske Undersaatters politiske Stilling under de romerske Kejsere», og i 1864 utga han . Året etter ble han dosent ved universitetet, og i 1867 professor.