Han var sønn av grosserer Wilhelm Mohr (1874–1933) og Ragna Othilie Thoresen (1880–1945), datter av skipsreder Otto Keyser Thoresen. Foreldrene skilte seg i 1917 og moren giftet seg samme året med ambassadør Halvard Bachke (1873–1948). August giftet seg i 1939 med Mimi Egeberg (1905–1999), datter av godseier Westye Parr Egeberg (1877–1959) og Nini Wedel Jarlsberg (1880–1945), se Egeberg (slekt fra Sjælland). August giftet seg igjen i 1945 med Agnes Dale (1905–1992) fra Molde. De fikk sønnen August Christian Mohr (1949).