I over to hundre år lyktes ingen med å finne en slik fremgangsmåte. På slutten av 1700-tallet viste Lagrange at ombytte eller permutasjoner av røttene kunne brukes til å skaffe bedre innsikt i deres egenskaper. På tross av dette kunne han ikke finne noen resolvent med mindre grad enn seks. Dette kunne tyde på at femtegradsligningen generelt ikke var algebraisk løsbar. Arbeidet til Lagrange ble videreført av Paolo Ruffini som i 1799 offentliggjorde et bevis for at dette virkelig var tilfelle. Det vakte liten interesse, var vanskelig å forstå og viste seg å snart være mangelfullt. Men i 1824 kunne Niels Henrik Abel publisere et fullstendig bevis uten å ha hatt kjennskap til Ruffinis arbeid. Dette viktige resultatet at femtegradsligningen ikke er generelt algebraisk løsbar, går i dag under navnet Abel-Ruffinis teorem. Resten av sitt korte liv brukte Abel til å finne ut av hva som karakteriserte de ligningene som representerte unntak til denne generelle egenskapen.