Böhme ble utdannet ved konservatoriet i Leipzig, hvor han studerte trompetspill med Ferdinand Weinschenk og komposisjon under kapasiteter som Cornelius Gurlitt, Victor von Herzfeld og Salomon Jadassohn. Fra 1894 til 1896 spilte han med operaorkesteret i Budapest, før han i 1897 flyttet til St. Petersburg hvor han blant annet var solotrompeter i i perioden 1897-1921 og trompeter i i perioden 1930-1934.