Den siste ligningen kalles Helmholtz’ ligning. Konstanten må bestemmes for å kunne tillate en ikke-triviell som kan oppfylle randbetingelsene på . Disse verdiene av kalles egenverdiene til Laplaceoperatoren i , og de assosierte løsningene er egenfunksjonene. Sturm-Liouville-teorien kan utvides til dette elliptiske egenverdiproblemet (Jost, 2002).