Hambro studerte først teologi, deretter filologi. Han tilbragte ett studieår ved Københavns Universitet før han ble cand.mag. fra Det Kongelige Frederiks Universitet i 1869. Etter å ha studert hebraisk og arabisk i Tyskland, forlot han sin akademiske løpebane for å undervise i gresk, latin og tysk i skoleverket. Han underviste ved Tanks skole i Bergen 1871–1878, og var deretter bestyrer for sin egen skole, Hambros skole, frem til sin død. Han introduserte 45 minutters undervisningstimer, mer gymnastikk og sløyd samt undervisning for piker.