Johan Vogt var sønn av Johan Herman Lie Vogt, som var professor ved NTH i Trondhjem. Johan var tvillingbror til redaktør og NKP-politiker Jørgen Vogt (1900–1972). De var yngre brødre av geologiprofessor Thorolf Vogt (1888–1958) og ingeniør/professor Fredrik Vogt (1892–1970). Martin Linge var gift med søsteren Margit Vogt. Johan Vogt var gift med Gerd Stray Johansen fra 1937 til 1951 og fra 1960 med statsviteren Judith Vogt (1929-2024). Ragnar Vogt var hans onkel på fars mors side, og Sophus Lie var en grandonkel. Jens Holmboe var en fetter.