Striggio kom fra en aristokratfamilie med forbindelse til hertughoffet i Mantova. Faren, madrigalisten Alessandro Striggio den eldre og moren, sangeren og luttenisten Virginia Vagnoli, gav sønnen en musikalsk utdannelse. I et dokument fra 1589 nevnes Striggio som musiker i et orkester som oppførte festmusikk til en av Medicienes bryllup.