Swink ble utnevnt All-American i 1955 og 1956. Hans beste sesong var i 1955, da han løp for 1 283 yards (nest best i landet) og var den nasjonale toppscoreren med 125 poeng. I de fire første kampene den sesongen hadde han samlet 484 yards og 10 touchdowns. Hans beste kamp i sesongen var et møte med rivalene fra University of Texas i Austin. Swink hadde 15 løp for 235 yards og scoret 26 av lagets 47 poeng i seieren over Texas Longhorns. Samme år var han nummer to bak Howard Cassady fra Ohio State University i avstemningen for Heisman-troféet. Longhorns’ slagord og håndtegn, kjent som «Hook 'em Horns», ble tildels oppfunnet som en referanse til hvor viktig det var å hindre Swink.