Klavan startet karrieren sin ved lokalklubben Tulevik. Han debuterte i seniorligaen Esiliiga den 8. april 2001, hvor han spilte for Tuleviks reservelag FC Elva og scoret vinnermålet mot Sillamäe Kalev i en 2–1 hjemmekamp. Han begynte å spille for Tuleviks A-lag i 2002 og debuterte i Meistriliiga den 31. mars 2002, i en alder av 16, i en uavgjort kamp mot Levadia.