Welhaven tok examen artium ved Kristiania katedralskole i 1901. Han studerte ved Krigsskolen fra 1901 til 1902, og deretter juss ved Det Kgl. Frederiks (dagens Universitetet i Oslo). Han fikk cand.jur.-graden i 1907. Han arbeidet i Tana, Tromsø og Kristiania før han ble utnevnt til politimester på Rjukan i 1916. Han ble Kristianias (Oslo fra 1925) politimester i 1916, og beholdt dette vervet frem til 1954, med unntak av årene 1940–1945, da Norge var okkupert av Tyskland. Han var formann i Statens Idrettsråd fra 1936 til 1940.