Graber ble ordinert til prest i en alder av 22 år den 1. august 1926 i Plankstetten klosterkirke av biskopen av Eichstätt, Johannes Leo von Mergel O.S.B. Samme år begynte han på prestekollegiet Santa Maria dell'Anima i Roma som alumne og mottok sin doktorgrad fra i 1929.