Valverde tilbrakte mesteparten av sine år som ungdomsspiller i klubben Peñarol, hvor han raskt markerte seg. Han debuterte for Peñarol mot Cerro i deres første kamp under 2015–16 sesongen. Han ble en spiller å finne på de aldersbestemte landslagene til Uruguay og dermed begynte klubber som Arsenal, Barcelona, Chelsea og Real Madrid å vise interesse.