Giménez lærte i tenårene å spille trommer. Som 15-åring spilte han i politiets Músicos de la Policía. Han ble aå medlem av Orquesta de Música Popular, ledet av Severo Rodas. I 1945, da han var 20 år gammel, lærte han seg å spille piano og ble pianist i Ramón Reyes' orkester. Der virket han til 1947, da borgerkrigen i Paraguay tvang ham til å forlate landet og bosette seg i Argentina.