Den 1. juli 2001 mottok Lach prestevielsens sakrament i Košice av biskop Milan Chautur. Han virket ved i Košice, der han var superior fra 2009 til 2011. Deretter var Lach visedekan ved Det teologiske fakultet ved Universitetet i Trnava. I 2009 fullførte han sin doktorgrad i ved Det pavelige orientalske institutt i Roma. Samtidig var han wpiritual ved Det pavelige kolleg Russicum. Han har vært medlem av redaksjonen for det teologiske tidsskriftet siden 2010. I 2011 ble han visedekan ved Det teologiske fakultet ved Universitetet i Trnava, ansvarlig for eksterne relasjoner og utvikling.