Burney ble forfremmet til løytnant den 30. august 1879 og han sluttet seg deretter til korvetten HMS Carysfort som var en del av den britiske flåten i Middelhavet. De neste to årene ble tilbrakt ved militære skoler i Portsmouth og Devonport for videre militær utdannelse. Den 1. januar 1893 ble Burney forfremmet til kommandør og han fikk ansvaret for krysseren HMS Hawke som også var en del av den britiske middelhavsflåten. I september 1899 tok Burney kommandoen over sitt gamle skip HMS Hawke og i 1900 ble han utnevnt til kaptein ombord på HMS Sapfo.