Scheja studerte i perioden 1964-69 hos Gunnar Hallhagen i Stockholm og i 1969-72 ved Juilliard School of the Performing Arts i New York, blant annet hos Ilona Kabos. I 1975 mottok han en pris i den internasjonale Busoni pianokonkurranse i Bolzano, Italia. Han slo gjennom allerede i tenårene og har spilt på verdens store scener. I 1995 mottok han Litteris et Artibus. Han har vært professor i piano ved Kungliga Musikhögskolan i Stockholm siden 1997 og har fra 2001 vært medlem av Kungliga Musikaliska akademien.