Han plasserte seg blant de ti fremste i et verdenscuprenn for første gang i desember 1980, 19 år gammel. I over to år var dette hans beste plassering. Først i januar 1983, i slalåmrennet i Kranjska Gora, oppnådde han en identisk plassering. I de følgende rennene stabiliserte han prestasjonene sine. Under OL 1984 i Sarajevo oppnådde han karrierens høydepunkt. Selv om han inntil da ikke hadde oppnådde noen pallplasseringer i verdenscupen, fikk han trenernes tillit og ble tatt ut til slalåmrennet. I første omgang, der lagkameratene Michel Canac, Yves Tavernier og Michel Vion alle kjørte ut, oppnådde Bouvet femte beste tid. I finaleomgangen kjørte han seg opp to plasser og tok bronsemedaljen etter de amerikanske tvillingbrødrene Phil og Steve Mahre. Dette var den første olympiske alpinmedaljene til en det franske herrelaget på 16 år.