Kvamstø ble cand.scient. ved Geofysisk institutt ved UiB i 1989 og dr.scient. i 1992 samme sted. Etter et forskningsopphold ved European Centre for Medium-Range Weather Forecasts (ECMWF) i Reading i England ble han i 1993 ansatt som forsker ved Geofysisk institutt ved UiB og i 1999 som førsteamanuensis samme sted. Han ble professor i meteorologi i 2006. Han var instituttleder for Geofysisk institutt 2011–2019. I 2019 ble han marin dekan ved UiB. Han ble i 2021 utnevnt av Kongen i statsråd til direktør for Havforskningsinstituttet i et seksårig åremål fra 2022.