Han var sønn av skipsreder Anton Fredrik Klaveness (1874–1958) og Therese Grøn (1875–1948). Farfaren Anton Fredrik Klaveness (1839–1904) grunnla familiebedriften, rederiet , men døde året efter Anton Fredrik ble født. Efter Oslo handelsgymnasium og studier i utlandet, arbeidet Anton Fredrik Klaveness fra 1923 i familiebedriften og var fra 1934 med i rederiets ledelse. Fra 1947 var han styreformann i rederiet og hadde også styreverv i Norges rederiforbund og Skibsfartens Arbeidsgiverforening.