Jacobi viste at disse nye funksjonene også tilfredsstiller forskjellige addisjonsteorem slik at man kan uttrykke snved sn  og sn . Derav følger med en gang at sn( + 2,) = - sn()  slik at denne elliptiske funksjonen er periodisk med periode 4. Funksjonen = ()  blir derfor ofte omtalt som en . Han kunne også utvide argumentet i funksjon til komplekse verdier selv om dette var mer omstendelig enn for Abels funksjoner. Han fant da at hvor = er den komplimentære kvartperioden. Denne funksjonen har derfor også en kompleks periode av størrelse 2 og er derfor dobbeltperiodisk. Disse to periodene danner et   i det komplekse planet. Det ene nullpunktet for sn   gjentas da regelmessig i uendelig mange punkt   hvor og er hele tall. Nullpunktene danner derfor et rektangulært gitter. Fra de samme addisjonsteoremene kan et meget stort antall relasjoner nå utledes mellom funksjonene.