Kjær er sønn av overlege Tage Kjær og var svoger til Poul Bundgaard. Han ble student fra Haslev Kostskole 1963 og cand.jur. i 1972, hvoretter han ble ansatt som advokatfullmektig hos Karoly Nemeth og Ole Jeppesen fram til 1976, da han fikk egen advokatpraksis i 1977 (med møterett i dansk Høiesterett i 1982).