Hans foreldre var apotekeren Emil og hans kone, læreren Emilie Dam. Henrik Dam tok eksamen i kjemi i 1920 på Den Polytekniske Læreanstalt og ble deretter vitenskapelig assistent på Højskolen for landbrug og veterinærmedicin. I 1923 fikk han en post som lærer i biokjemi ved Københavns Universitets fysiologiske laboratorium. Han studerte mikrokjemi på Universitetet i Graz under Fritz Pregl i 1925, men vendte tilbake til København, hvor han ble utnevnt til amanuensis ved Institutt for biokjemi i 1928 og professor II året etter. Mens han var der, brukte han en del tid utenlands og i 1934 kom hans doktoravhandling: , og han hadde sin stilling ved Københavns Universitet til 1941.