I det motsatte tilfellet hvor de to basiselementene antikommuterer, kalte Hamilton dem for «tripletter». Skriver man dem med fete typer slik at , vil dermed . Produktet er derfor en imaginær størrelse som Hamilton ikke kunne uttrykke som et element i det tredimensjonale vektorrommet. Han måtte derfor til slutt innføre et fjerde basiselement med . På den måten får vektorrommet fire dimensjoner, og alle element har formen . Mengden av slike element ga Hamilton navnet kvaternioner.