Desideri stammet fra en ganske velstående familie i Pistoia i Toscana. Han ble fra ung alder utdannet ved en jesuittskole i Pistoia, og ble i 1700 utvalgt til videre studier ved Collegio Romano i Roma. Fra 1706 til 1710 underviste han i litteratur ved jesuittenes kollegier i Orvieto og Arezzo, og senere også ved Collegio Romano.