Birch sluttet seg til Manchester United som 14-åring i mai 1946, og ble profesjonell to år senere. Han debuterte på seniorlaget 27. august 1949, som venstre indreløper i et oppgjør som endte 1-1 hjemme for West Bromwich Albion. Birch var alltid en del av Manchester Uniteds førstelag, men bortsett fra en kortere periode i 1950-51-sesongen, hvor han scoret fire mål på ni kamper, levde han aldri opp til potensialet, og ble solgt til Wolverhampton Wanderers for £10 000 mot slutten av 1951-52-sesongen. Hans opphold i klubben ble imidlertid kort, og det ble ny overgang til Lincoln City etter bare ni måneder.