Etter studentereksamen i 1911 ble han sivilingeniør i metallurgi fra NTH i 1915. Han dro på studiereiser til Sverige, Tyskland og Sveits. Han var ansatt ved Marinens hovedverft i Horten da han ble arrestert av okkupasjonsmakten i 1941 og internert på Bredtvet. Høsten 1942 rømte han først til Sverige, deretter til London. I 1943 var Drogseth sekretær for industrikomiteen i London, ledet av professor Fredrik Vogt for å forberede gjenreisningen av norsk industri. Etter krigen var Drogseth ansatt ved Statens jernverkskommisjon 1945–1946 og administrerende direktør i A/S Norsk Bergverk i Oslo 1951–1963.