Foruten at han har innspilt nesten alle Stravinskijs verk har Craft også dirigert innspillingrr med verk av Schönberg, Varèse, Webern og andre da samtidige komponister. Selv om han ikke er noen overdreven dirigent ble Craft kjent for sine tekniske og presise tolkninger. Craft har mottatt priser som og for sine innspillinger av Varèse og Stravinskij.