Som målvakt var Beasant kjent for sine lange utspark, som passet spillestilen til «The Crazy Gang» (populistisk kallenavn på Wimbledon) på 1980-tallet. Han tok også frispark høyt på banen og posisjonerte seg ofte i en slags sweeper-rolle når anledningen bød seg. Som følge av dette kunne Wimbledon ofte flytte laget og ballpresset høyere opp på banen. Med sine prestasjoner for Wimbledon ble han ettertraktet blant større klubber, og i juni 1988 ble han solgt videre til Newcastle United FC for 750 000 pund, noe som da var nasjonal overgangsrekord for en målvakt. Hos Newcastle ble han kun én sesong, og han kunne ikke hindre at klubben rykket ned til andredivisjon ved sesongslutt siden han allerede i januar 1989 meldte overgang til Chelsea.