I Høyre var Norvik medlem av sentralstyret 1966–1970 og 1980–1981, 1. viseformann 1970–1972 og generalsekretær 1970–1974. I 1974 ble han valgt til partiets nye formann etter Kåre Willoch. Norviks første formannstid varte frem til 1980, og i løpet av denne tiden ble det dannet lokalforeninger av Høyre i alle landets kommuner. Norvik reiste rundt omkring og pleiet partiorganisasjonen med utallige store og små møter, og var i sitt ess når han fikk reise og møte velgerne. Hans oppfordring til Høyres landsmøte, «Hiv dokker i kalosjan», har blitt stående som Norviks mest berømte sitat og som et symbol på «Høyre-bølgen». Utsagnet var først og fremst en oppfordring om å følge opp ord med handling. Norvik var ikke den ideologisk profilerte politikeren, men snakket mindre om systemer og mer om mennesker. Det ble gjort flere forsøk på å fremheve Norvik som mindre prinsipiell og mer sentrumsorientert enn sine nærmeste medarbeidere, men i hjertesakene – fiskeri, industri, skatt og skole – var han på linje med de ledende strømningene i partiet. Det at han snakket om vekst som grunnlaget for fordeling på sin egen måte, ble allikevel oppfattet som nye toner fra partiet. Det var i hans formannstid at «bunads-Høyre» ble et begrep, og samtidig som han ble respektert av partiets tradisjonelle byvelgere, klarte han å forene by og bygd internt i partiet. I 1980 gikk Norvik av og lot landsmøtet velge Jo Benkow til ny formann.