Norman spilte inn en rekke plater, med musikk av blant andre Franz Schubert, Johannes Brahms, Richard Strauss, Gustav Mahler, Ernest Chausson og Francis Poulenc. I 1984 ble hun tildelt «Grammy Award for Best Classical Vocal Solo»; senere mottok hun ytterligere fire Grammy Awards. Hun ble utnevnt til æresdoktor ved flere universiteter og mottok en rekke andre hedersbevisninger. Dessuten ble hun tildelt en Grammy Lifetime Achievement Award, USAs hedersbevisning National Medal of Arts og den franske Æreslegionen. Videre ble hun opptatt som medlem av Storbritannias Royal Academy of Music. I 1990 utnevnte FNs generalsekretær Javier Pérez de Cuéllar henn til æresambassadør i FN.