Wiig tok sin teologiske embedseksamen i 1917 og var de kommende årene knyttet til KFUM i Bergen. Han gjorde tjeneste som sokneprest i Karasjok fra 1923 og Sortland fra 1934, og var også prost i Hammerfest og Vesterålen. Han var også ordfører i Karasjok (1932–34). Etter krigen ble han fylkesprost i Finnmark (1945–1952) med spesielt ansvar for gjenreisning av kirkens bygg og eiendommer. I 1952 ble han først domprost i Tromsø, før han ble oppnevnt til den første biskop i det nye Nord-Hålogaland bispedømme (1952-1962). Han var pådriver for landets første kvinnelige prest Ingrid Bjerkås (1961). Han ble hedret med Petter Dass-medaljen i 1967. Han fikk også St. Olavs orden.