Etter disse arbeidene innenfor matematisk analyse, konsentrerte Hermite seg hovedsakelig om aritmetikk og algebra. Særlig sentralt er arbeidet hans om femtegradsligninger. Abels første banebrytende arbeide var et bevis for at allmenne algebraiske ligninger av høyere enn fjerde grad ikke kunne løses gjennom rotutdragning. Dermed var det vist at den allmenne femtegradsligningen ikke kunne løses på samme måte som vanlige ligninger av lavere grad.