Juozapas Kuktas foreldre var velstående bønder. Etter å ha studert hjemme dro han til Vilnius sammen med onkelen Martynas Kuktas, en av de første litauiske boktrykkerne. Han fullførte sin videregående utdanning privat. I en alder av 18 år begynte han Wilnos (Vilnius') presteseminar. Etter eksamen der studerte han 1895–1899 videre ved Det keiserlige romersk-katolske teologiske akademi i St. Petersburg og tok lisensiatgrad der.