Men i 1812 viste Siméon Denis Poisson at Laplace-ligningen ikke gjelder inne i massefordelingen og måtte utvides med et inhomogent ledd på høyre side som var proporsjonalt med den lokale massetettheten. Da Gauss i 1839 offentliggjorde sitt bevis for divergensteoremet, fikk Poisson-ligningen et mer solid grunnlag og inntok dermed også en sentral plass i elektrostatikken. Gauss' lov for det elektriske potensialet er en omskrivning av Poisson-ligningen på integralform.