Giovanni Panico studerte katolsk teologi og filosofi i Ugento og Roma, og ble presteviet den 14. mars 1919 i Lateranbasilikaen. Etter videre studier gikk han inn i Vatikanets diplomatiske tjeneste i 1922. Fra 1923 til 1927 var han postert til det aopostoliske nuntiatur i Colombia, fra 1927 til 1931 til Argentina, fra 1931 til 1933 til Tyskland og fra 1933 til 1935 til Tsjekkoslovakia.