Alle undergrupper og kvotientgrupper til sykliske grupper er sykliske. Spesielt, så er alle undergrupper til av formen , hvor er et heltall ≥0. Alle disse undergruppene er forskjellige fra hverandre, og bortsett fra den trivielle gruppen (for ) så er alle isomorfe til . Gitteret (eller lattice) av undergrupper av er isomorf til dualen til gitteret av naturlige tall ordnet ved dividerbarhet. Spesielt, siden primtallene er de tallene som ikke har ikketrivielle divisorer, så er en syklisk gruppe enkel hvis og bare hvis ordenen (antall elementer) er primisk.