Oppdagelsen av at det er mulig å definere ikke-euklidske geometrier fikk mange til å se på grunnlaget for matematikk med nye øyne. Også utforskning av patologiske funksjoner viste at mange intuitive begrep trengte en tydeligere klargjøring. På 1800- og 1900-tallet arbeidet mange matematikere med å etablere et stringent grunnlag for matematikken. Karl Weierstrass (1815–1897) var sentral i prosessen med å klargjøre skillet mellom geometri og algebra, i en prosess som i ettertiden er kalt «aritmetrisering av analysen». Mengdelæren, innført av Georg Cantor (1845–1918), la grunnlaget for en ny uttrykksmåte, som i dag brukes i nær sagt alle deler av matematikk. Studiet av matematiske strukturer, som grupper, metriske rom og vektorrom, var viktig for utviklingen av abstrakt algebra.