Fra januar 1963 til januar 1964 var Eggum engasjert for å assistere ledelsen i forberedelsene til Munch-museets åpning. Han tok magistergraden i kunsthistorie ved Universitetet i Oslo med høsten 1968. Eggum ble konstituert som konservator ved Oslo kommunes kunstsamlinger, Munchmuseet, med spesielt ansvar for maleriavdelingen i mars 1969 og fikk fast ansettelse i august 1970. I en periode 1969–70 var han eneste kunstkritiker i Dagbladet.