I 1783 ble Legendre valgt inn i det franske vitenskapsakademiet etter å ha levert inn et arbeid om tyngdekraften fra en planet med form som en rotasjonsellipsoide. Det var i denne forbindelse han utviklet hva som nå kalles Legendre-polynomer. Dette arbeidet skapte stor oppmerksomhet. Spesielt hans kollega Laplace var begeistret og videreførte arbeidet. Men dette førte også etter hvert til en strid mellom de to om hvem som skulle ha prioritet til disse nye resultatene. Denne striden kan også ha vært en grunn til at Legendre etter hvert fikk vanskeligheter med å skaffe seg en fast stilling.