Osberg har hatt en rekke tillitsverv, blant annet: Redaksjonssekretær i tidsskriftet , Redaksjonen for "Kirkebladet" forlaget Land og Kirke, Ringsaker barnevernsnemnd (formann), Ringsaker edruskapsnemnd, Sosialstyret Ringsaker kommune, Sentralstyret i Den norske kirkes Presteforening (nestleder), Styret for Forskningsinstituttet Modum Bad, Leder for Den norske kirkes gruppe i de bilaterale læresamtaler med Det norske baptistsamfunn (1984–89), Kirkens Diakoni- og Samfunnsråd, Bioteknologinemndas utvalg for "Bioteknologi og mennesker" (leder), Styret for Anders Jahres Humanitære Stiftelse (leder), Fondet for dansk-norsk samarbeid (leder norsk avd.), Styret for Kronprinsesse Märthas Minnefond, Redaksjonen av Aschehougs "Hvem er Hvem" 2008, Sosial-og helsdedept. utvalg for de mest hjelpetrengende rusmiddelavhengige (2009).