Suárez ble født i Salto i Uruguay, og er den fjerde av i alt syv brødre. Han flyttet sammen med familien til Montevideo da han var syv år gammel, og hans foreldre skilte seg to år senere. Han vokste opp sammen med sin mor og sine brødre, men beholdt kontakten med sin far. I Montevideo, utviklet Suárez fotballegenskapene sine på gaten. Da han var elleve år gammel, ble han invitert med på en nasjonal treningsleir, men måtte avslå da han ikke hadde råd til fotballstøvler.