Specter startet i i 1985, hvor han først dekket lokale spørsmål, deretter vitenskap. Han ble etterhvert sjef for avisens New York-kontor. I 1991 startet han i , og var korrespondent i Moskva fra 1994 til 1998. Han dekket blant annet krigen i Tsjetsjenia og det russiske presidentvalget i 1996. I 1998 ble han korrespondent i Roma.