payamvha/North_RAG huggingface dataset:
رادیان و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با formula_4 درجه. قطرها. برای "n" &gt; ۲، تعداد قطرهای "n"-ضلعی، برابر است با formula_5، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است. برای یک "n"-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با "n". مساحت. مساحت یک "n-"ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی "R"، شعاع دایره محاطی "r" و محیط "p" با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید: که در آن R برابر
از روابط زیر بدست می‌آید: که در آن R برابر است با: مساحت یک چندضلعی منتظم با طول ضلع ۱، شعاع دایره محیطی ۱، شعاع دایره محاطی ۱ در جدول زیر ارائه شده‌است: در بین همهٔ "n"-ضلعی‌ها با محیط داده‌شده، بیشترین مساحت مربوط به "n"-ضلعی منتظم است. چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای. یک چندضلعی منتظم غیرکوژ، یک چندضلعی منتظم ستاره‌ای است. متداول‌ترین نمونه، ستاره پنج‌پر است که رأس‌های آن دقیقاً مشابه پنج‌ضلعی منتظم هستند، ولی هر رأس به دو رأس متفاوت با پنج‌ضلعی متصل شده است.
تان تهنه تای (به لاتین: Tân Thanh Tây) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در مکونگ دلتا واقع شده‌است. خصوصیات. تان تهنه تای ۱۰٫۳۴ کیلومترمربع مساحت و ۶٬۶۰۳ نفر جمعیت دارد.
تان‌توان (به ویتنامی: Xã Tân Thuận) یک قصبه در ویتنام است که در استان کاماو واقع شده‌است.
تان تهانه بینه (به لاتین: Tân Thành Bình) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در مکونگ دلتا واقع شده‌است. خصوصیات. تان تهانه بینه ۱۸٫۳۳ کیلومترمربع مساحت و ۱۲٬۹۶۸ نفر جمعیت دارد.
منطقه‌تان تهانه (به لاتین: Tân Thành District) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در جنوب شرقی ویتنام واقع شده‌است. خصوصیات. منطقه‌تان تهانه ۳۳۸ کیلومترمربع مساحت و ۱۰۱٬۵۵۹ نفر جمعیت دارد.
ناحیه ‌تان تهنه، لنگ آن (به لاتین: Tân Thạnh District, Long An) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در مکونگ دلتا واقع شده‌است. خصوصیات. ناحیه ‌تان تهنه ۴۰۸ کیلومترمربع مساحت و ۷۸٬۹۷۰ نفر جمعیت دارد.
تان‌تیئن (به ویتنامی: Xã Tân Tiến) یک قصبه در ویتنام است که در استان کاماو واقع شده‌است.
تان‌چونگ (به ویتنامی: Xã Tân Trung) یک قصبه در ویتنام است که در تابعیت شهرستان فوتان، در استان آن‌جانگ می‌باشد.
تان‌چونگ (به ویتنامی: Xã Tân Trung) یک قصبه در ویتنام است که در استان کاماو واقع شده‌است.
ناحیه تان ترو (به لاتین: Tân Trụ District) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در مکونگ دلتا واقع شده‌است. خصوصیات. ناحیه ‌تان ترو ۱۷۵ کیلومترمربع مساحت و ۶۲٬۶۳۳ نفر جمعیت دارد.
قصبه تان‌توین (به ویتنامی: Xã Tân Tuyến) یک قصبه در ویتنام است که در تابعیت شهرستان چی‌تون، در استان آن‌جانگ می‌باشد.
منطقه‌تان یوین، بینه دونگ (به لاتین: Tân Uyên District, Bình Dương) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در جنوب شرقی ویتنام واقع شده‌است. خصوصیات. منطقه‌تان یوین ۶۰۱ کیلومترمربع مساحت و ۱۳۱٬۲۳۲ نفر جمعیت دارد.
منطقه تان یوین، لای چاو (به لاتین: Tân Uyên District, Lai Châu) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در شمال غربی ویتنام واقع شده‌است. خصوصیات. منطقه تان یوین ۹۰۳٫۲۶۸ کیلومترمربع مساحت و ۴۲٬۲۲۱ نفر جمعیت دارد.
ناحیه تان یین (به لاتین: Tân Yên District) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در استان باک گیانگ واقع شده‌است. خصوصیات. ناحیه ‌تان یین ۲۰۳٫۷ کیلومترمربع مساحت و ۱۶۱٬۸۳۵ نفر جمعیت دارد.
تان‌آن (به ویتنامی: Xã Tân Ân) یک قصبه در ویتنام است که در استان کاماو واقع شده‌است.
تان‌آن‌تای یا تان‌آن غربی (به لاتین: Xã Tân Ân Tây) یک قصبه در ویتنام است که در استان کاماو واقع شده‌است.
تان‌دیک (به لاتین: Xã Tân Đức) یک قصبه و روستا در ویتنام است که در استان کاماو واقع شده‌است.
تارگو ترتوش (به لاتین: Târgu Trotuș) یک منطقهٔ مسکونی در رومانی است که در شهرستان باکائو واقع شده‌است. خصوصیات. تارگو ترتوش ۵٬۳۵۴ نفر جمعیت دارد.
تارگشرو وچی (به لاتین: Târgșoru Vechi) یک منطقهٔ مسکونی در رومانی است که در شهرستان پراهووا واقع شده‌است. خصوصیات. تارگشرو وچی ۸٬۵۹۹ نفر جمعیت دارد.
تارلیشوا (به لاتین: Târlișua) یک روستا در رومانی است که در شهرستان بیستریتسا-نسئود واقع شده‌است. خصوصیات. تارلیشوا ۳٬۱۰۲ نفر جمعیت دارد.
تارناوا، سیبیو (به لاتین: Târnava, Sibiu) یک روستا در رومانی است که در شهرستان سیبیو واقع شده‌است. خصوصیات. تارناوا ۲٬۷۷۹ نفر جمعیت دارد.
شهرستان تارناوا میچا (به لاتین: Târnava-Mică County) یک منطقهٔ مسکونی در ترانسیلوانیا است. خصوصیات. شهرستان تارناوا میچا ۱٬۶۴۵٫۸۲ کیلومترمربع مساحت و ۱۴۹٬۴۸۲ نفر جمعیت دارد.
تارناوا، آراد (به لاتین: Târnova, Arad) یک روستا در رومانی است که در شهرستان آراد واقع شده‌است. خصوصیات. تارناوا ۶٬۲۴۰ نفر جمعیت دارد.
تارناوا، کاراش سورین (به لاتین: Târnova, Caraș-Severin) یک روستا در رومانی است که در شهرستان کاراش-سورین واقع شده‌است. خصوصیات. تارناوا ۱٬۹۰۸ نفر جمعیت دارد.
تارشولت (به لاتین: Târșolț) یک روستا در رومانی است که در شهرستان ساتو ماره واقع شده‌است. خصوصیات. تارشولت ۳٬۰۲۷ نفر جمعیت دارد.
ناحیه تای گیانگ (به لاتین: Tây Giang District) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در جنوب ساحل مرکزی واقع شده‌است. خصوصیات. ناحیه تای گیانگ ۹۰۱ کیلومترمربع مساحت و ۱۳٬۹۲۶ نفر جمعیت دارد.
ناحیه تای هوو (به لاتین: Tây Hồ District) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در هانوی واقع شده‌است. خصوصیات. ناحیه تای هوو ۲۴ کیلومترمربع مساحت و ۱۱۵٬۱۶۳ نفر جمعیت دارد.
تای نینها (به لاتین: Tây Ninh) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در استان تای نینها واقع شده‌است. خصوصیات. تای نینها ۱۴۰ کیلومترمربع مساحت و ۱۵۳٬۵۳۷ نفر جمعیت دارد.
پاوان رقص اشرافی کُندی بود که بیشتر در سده‌های ۱۶ تا ۱۷ میلادی (دوره رنسانس) در آغاز مراسم‌ها اجرا می‌شد. پاوان احتمالاً از ایتالیا و از طریق اسپانیا به فرانسه و انگلستان رسیده‌است. این رقص در جنوب اسپانیا در رویدادهای رسمی و در کلیسا اجرا می‌شد. توصیف. رقص پاوان به کندی و با وقار انجام می‌شده است. رقصندگان دور تا دور تالار در صف‌های منظم قرار می‌گرفتند. زوج‌ها دست یکدیگر را گرفته و شمرده قدم برمی‌داشتند در حالی که همراه با موسیقی اندکی به بدن خود تاب می‌دادند. گاهی نیز رقصندگان همزمان آواز می‌خواندند. این
گاهی نیز رقصندگان همزمان آواز می‌خواندند. این رقص بیشتر برای نمایش لباس‌های مجلل کاربرد داشته است. معمولاً بلافاصله پس از پاوان رقص گالیارد انجام می‌شده که تندتر و همراه با رقص پا بوده است. در موسیقی. آهنگ پاوان با ضرب یا می‌باشد. پاوان و گالیارد در سده ۱۷ میلادی وارد فرم سوئیت شدند. پاوان در برخی سوئیت‌های یوهان هرمان شاین ظاهر شد. از قطعات دیگر می‌توان به «پاوان برای ارکستر» اثر گابریل فوره و «پاوان برای شاهزاده مرده» اثر موریس راول اشاره کرد.
استان تای نین (به لاتین: Tây Ninh Province) یک استان در ویتنام است که در ویتنام واقع شده‌است. خصوصیات. استان تای نین ۴٬۰۲۹٫۶ کیلومترمربع مساحت و ۱٬۰۲۹٬۸۰۰ نفر جمعیت دارد.
منطقه تای سن (به لاتین: Tây Sơn District) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در جنوب ساحل مرکزی واقع شده‌است. خصوصیات. منطقه تای سن ۶۹۰ کیلومترمربع مساحت و ۱۲۳٬۳۰۰ نفر جمعیت دارد.
منطقه تای ترح (به لاتین: Tây Trà District) یک منطقهٔ مسکونی در ویتنام است که در جنوب ساحل مرکزی واقع شده‌است. خصوصیات. منطقه تای ترح ۳۳۷ کیلومترمربع مساحت و ۱۴٬۹۰۴ نفر جمعیت دارد.
تِبی یک ناحیهٔ شهری در سوئد است که در شهرستان استکهلم واقع شده است.
تافرت (به آلمانی: Täferrot) یک شهر در آلمان است که در بادن-وورتمبرگ واقع شده‌است. خصوصیات. تافرت ۱۲٫۰۰ کیلومترمربع مساحت دارد ۴۲۵ متر بالاتر از سطح دریا واقع شده‌است.
تافتی (به سوئدی: Täfteå) یک منطقهٔ مسکونی در سوئد است که در Umeå Municipality واقع شده‌است. خصوصیات. تافتی ۱٫۳۱ کیلومترمربع مساحت و ۱٬۲۳۱ نفر جمعیت دارد.
تاگرموس (به لاتین: Tägermoos) یک منطقهٔ مسکونی در سوئیس است که در ایالت تورگاو واقع شده‌است. خصوصیات. تاگرموس ۱٫۵۴۱۴۰۱ کیلومترمربع مساحت و ۲۰ نفر جمعیت دارد و ۳۹۷ متر بالاتر از سطح دریا واقع شده‌است.
تات‌ور (به لاتین: Tähtvere) یک منطقهٔ مسکونی در استونی است که در تارتو واقع شده‌است. خصوصیات. تات‌ور ۲٫۵۰ کیلومترمربع مساحت و ۳٬۰۲۳ نفر جمعیت دارد.
تالیو (به سوئدی: Täljö) یک سکونتگاه مسکونی در سوئد است که در Österåker Municipality واقع شده‌است. خصوصیات. تالیو ۰٫۹۲ کیلومترمربع مساحت و ۳۸۷ نفر جمعیت دارد.
تالبرگ (به سوئدی: Tällberg) یک منطقهٔ مسکونی در سوئد است که در Leksand Municipality واقع شده‌است. خصوصیات. تالبرگ ۳٫۰۸ کیلومترمربع مساحت و ۶۰۶ نفر جمعیت دارد.
بنی ربل با نام اصلی بهمن وفائی‌نژاد (زادهٔ ۱۳ اوت ۱۹۶۸ در اراک) عکاس حرفه‌ای ایرانی مقیم آلمان است که برای عکس‌برداری بسیار نزدیک از حیات وحش آفریقا معروف شده‌است. او در ۱۹۸۷ به هانوفر آلمان سفر کرد. علاقهٔ او به حفاظت از حیات وحش منجر به همکاری او با گروه صلح سبز شد. او سفرهای زیادی به کشورهای مختلف داشته‌است و در آن‌ها به فعالیت عکاسی پرداخته است، از جمله آفریقای جنوبی، نامیبیا، زیمبابوه، زامبیا، رواندا، کنیا و اوگاندا، و نیز ایران، ترکیه، هند، سری‌لانکا، مکزیک، کاستاریکا، جزایر گالاپاگوس، اکوادور، جمهوری
کاستاریکا، جزایر گالاپاگوس، اکوادور، جمهوری دومینیکن، ایالات متحده آمریکا و برخی کشورهای اروپایی. بنی ربل در سال‌های ۲۰۰۲ و ۲۰۰۳ در مسابقات بزرگ عکاسی Trierenberg Super Circuit اتریش برندهٔ دو مدال طلای «بهترین عکاس» در ردهٔ «طبیعت» شده‌است. آثار. برنامه‌های تلویزیونی. او تاکنون در برنامه‌های تلویزیونی بسیاری از شبکه‌های مختلف ظاهر شده‌است، از جمله شبکه دو و شبکه آفتاب صدا و سیمای ایران و نیز شبکه‌های آلمانی NDR, ARD, آرته, BR, MDR, RBB, RTL, Sat.1, SWR, WDR, و زد د اف.
در هندسه فضایی، یک وجه یا رویه ، صفحه ای تخت و بیخمی است که بخشی از مرز یک شیء جامد را می‌سازد. یک جسم سه‌بعدی احاطه‌شده با تعدادی وجه را، چندوجهی نامند. در حالت تخصصی‌تر هندسه چندوجهی‌ها و چندبرهای با ابعاد بالاتر، وجه، برای نامیدن یک جزء با هر تعداد بُعد از یک چندبر عمومی‌تر (با هر تعداد بُعد) به‌کار می‌رود. وجه چندضلعی. در هندسهٔ مقدماتی، یک وجه یک چندضلعی دوبعدی است که بر روی مرز یک چندوجهی قرار گرفته است. به عنوان مثال، هر یک از شش مربعی که یک مکعب را احاطه می‌کنند، یک وجه مکعب هستند. همچنین گاهی
را احاطه می‌کنند، یک وجه مکعب هستند. همچنین گاهی اوقات، وجه برای نامیدن مشخصهٔ دوبعدی یک ۴-چندبر به‌کار می‌رود. در این کاربرد، فرامکعب ۴-بعدی، ۲۴ وجه مربعی دارد، که هر یک در دو مکعب از ۸ سلول مکعبی فرامکعب به‌کار رفته‌اند. k-وجه. در هندسه ابعاد بالاتر، وجه‌های یک چندبر، مشخصه‌هایی با ابعاد مختلف هستند. یک وجه با ابعاد "k" یک "k"-وجه نامیده می‌شود. برای مثال، وجه‌های یک چندوجهی معمولی (۳بعدی)، ۲-وجه هستند. در نظریه مجموعه‌ها، مجموعه وجه‌های یک چندبر، شامل خود چندبر و مجموعه تهی هم می‌شود که به مجموعه تهی،
چندبر و مجموعه تهی هم می‌شود که به مجموعه تهی، برای سازگاری، بعد ۱- داده می‌شود. بنابراین برای هر "n"-چندبر (چندبر "n"-بعدی)، "k" می‌تواند بین ۱- تا "n" یا خود این اعداد باشد. برای مثال، با این تعریف، وجه‌های یک مکعب، شامل مجموعه تهی، رأس‌های آن (۰-وجه)، اضلاع آن (۱-وجه)، سطوح مربعی (۲-وجه) و خود مکعب (۳-وجه) هستند.
یک چندوجهی منتظم، چندوجهی است که گروه تقارن آن بر روی پرچم‌های آن به صورت ترایا رفتار می‌کند. یک چندوجهی منتظم، کاملاً متقارن بوده و همزمان یال-متقارن، رأس-متقارن و وجه-متقارن است. در متون کلاسیک، تعریف‌های معادل مختلفی برای چندوجهی منتظم بیان شده که یکی از متداول‌ترین آنها به صورت زیر است: «چندوجهی منتظم چندوجهی است که وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت بوده که به صورت یکسان به دور هر رأس قرار گرفته‌اند.» یک چندوجهی منتظم با نماد شلفلی {"n", "m"} نشان داده می‌شود، که "n" تعداد اضلاع هر وجه و "m" تعداد
می‌شود، که "n" تعداد اضلاع هر وجه و "m" تعداد وجه‌هایی است که در هر رأس به یکدیگر می‌رسند. ۵ چندوجهی منتظم کوژ متناهی وجود دارند که با عنوان اجسام افلاطونی شناخته می‌شوند. این چندوجهی‌ها عبارتند از چهاروجهی {۳، ۳}، مکعب {۳، ۴}، هشت‌وجهی {۴، ۳}، دوازده‌وجهی {۳، ۵} و بیست‌وجهی {۵، ۳}. همچنین با در نظر گرفتن ۴ چندوجهی ستاره‌ای منتظم(چندوجهی کپلر–پوآنسو)، در مجموع ۹ چندوجهی منتظم مختلف وجود دارند. چندوجهی‌های منتظم. ۵ چندوجهی منتظم کوژ وجود دارند که با عنوان "اجسام افلاطونی" شناخته می‌شوند و ۴ چندوجهی منتظم
"اجسام افلاطونی" شناخته می‌شوند و ۴ چندوجهی منتظم ستاره‌ای وجود دارند که با نام چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو شناخته می‌شوند. اجسام افلاطونی. مشخصه اولر اجسام افلاطونی، ۲ است.
تمثیل خط منقسم یکی از الگوسازی‌های افلاطون است که در بخش پایانی کتاب ششم از رسالهٔ جمهوری پس از تمثیل خورشید و پیش از تمثیل غار مطرح شده‌است. در نتیجهٔ این تمثیل یک سری مباحث شناخت شناسی و همچنین برداشت‌هایی از نظریهٔ مثل پیش می‌آید. جهان‌های چهارگانه از منظر شناخت. در جریان مکالمه سقراط از گلاوکن می‌خواهد که خطی را تجسم کند که به‌طور نابرابر (شاید به نسبت یک به دو) بخش شده باشد. سپس هر کدام از بخش‌های پدید آمده را نیز به دو بخش باز هم نابرابر قسمت کند. گفتنی است از میان چهار خط به وجود آمده احتمال دارد که
است از میان چهار خط به وجود آمده احتمال دارد که خط شمارهٔ ۲ و شمارهٔ ۳ از نظر اندازه برابر و همچنین خطوط ۱ و ۴ به ترتیب کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین خط باشند. اکنون می‌توان جهان‌های دوگانه را که هر کدام دو قسمت شده‌اند به هر یک از این خطوط نسبت داد: جهان محسوس. مرتبهٔ نخست جهان محسوس یا مطابق شکل جهان دیدنی‌ها دربرگیرندهٔ سایه‌ها و نگاره‌هایی هستند که بر روی آب یا آینه بازتاب داده می‌شوند. شناختن چنین چیزهایی تنها پندار را در انسان به وجود می‌آورد، زیراکه در اینجا، موضوع شناخت، چیزهای حقیقی نیستند. مرتبهٔ دوم اما
موضوع شناخت، چیزهای حقیقی نیستند. مرتبهٔ دوم اما شامل خود اشیاء هست. مانند سنگ، چوب یا مصنوعات ساختهٔ دست بشر. شناسایی نسبت به اینان همان اعتقاد را به وجود می‌آورد. جهان معقول. در مرتبهٔ سوم دیگر وارد جهان تازه‌ای می‌شویم و شناخت با کمک استدلال صورت می‌گیرد. در این گونه شناخت انسان همانند ریاضی دانان یا هندسه دانان مفروضات اولیه‌ای مانند نقطه، خط، زوج و فرد و... را بدیهی فرض می‌کند و سپس پژوهش خود را بر روی آن‌ها بنا می‌کند. در بعضی تفسیرها گفته می‌شود که این مفروضات هرچند مشابهت‌هایی با مثال (ایده) دارند
مفروضات هرچند مشابهت‌هایی با مثال (ایده) دارند اما نباید آن‌ها را با ایده یکی گرفت چه ایده‌ها در اندیشهٔ افلاطون بر خلاف اعداد جمع پذیر نیستند. در مرتبهٔ چهارم دیگر مفروضات را اصول مسلم در نظر نمی‌گیرند بلکه به آنان به مثابه پلهٔ نخست برای پژوهش می‌نگرند تا با روش دیالکتیکی از آن‌ها صعود کرده و به نخستین اصل هستی برسند که به هیچ مفروضی تکیه نکرده‌است. دربارهٔ این موضوع که آیا تمام ایده‌ها تنها ویژهٔ پلهٔ چهارم هستند یا اینکه پلهٔ چهارم تنها جایگاه «ایدهٔ نیک» است میان مفسران همسویی وجود ندارد. برای فیلسوف
است میان مفسران همسویی وجود ندارد. برای فیلسوف کافی نیست که _در پلهٔ چهارم_ تنها به درک مثال اکتفا ورزد؛ بلکه باید رابطهٔ مثال‌ها با هر یک از چهار مرتبهٔ ساختار را درک کند تا بتواند به شناسایی چیزها برسد. در رسالهٔ جمهوری فیلسوف باید به شناسایی «مثال عدالت» نائل شود تا هم زندگی عادلانه‌ای داشته باشد و هم بتواند جامعه‌ای عادلانه را ایجاد و راهبری کند.
در هندسه فضایی، چندوجهی‌های منتظمِ محدب به جسم افلاطونی موسومند. می‌توان نشان داد که در فضای سه‌بعدی تنها پنج جسم افلاطونی هست، که عبارتند از: وجه‌های هر کدام از این چندوجهی‌ها چندضلعی‌هایی منتظم و هم‌نهشتند و تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر رأس آنان به یکدیگر می‌رسند. شش‌وجهی منتظم (مکعب) با هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم با بیست‌وجهی منتظم، و چهاروجهی منتظم با خودش مزدوجند؛ یعنی با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یکی می‌توان دیگری را ساخت. همچنین در ساخت دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم نسبت طلایی پدید
منتظم و بیست‌وجهی منتظم نسبت طلایی پدید می‌آید. عنوان این چندوجهی‌ها از نام افلاطون، فیلسوف یونانی، گرفته شده‌است که در نقل داستان آفرینش در دیالوگ "تیمائوس"، این چندوجهی‌ها را به عناصر تشکیل‌دهندهٔ گیتی نسبت می‌دهد. اقلیدس، فیثاغوری‌ها، و ابوالوفا بوزجانی نیز در باب اجسام افلاطونی پژوهش کرده‌اند. ستاره‌شناس آلمانی یوهانس کپلر هم هندسهٔ جهان را بر اساس اجسام افلاطونی می‌دانست و از ویژگی‌های آنان در وضع قوانین کپلر بهره برد. اجسام افلاطونی در آثار هنرمندانی چون موریس اشر و سالوادور دالی خودنمایی می‌کنند و
چون موریس اشر و سالوادور دالی خودنمایی می‌کنند و در طبیعت نیز می‌توان آنان را در ساختارهای بلوری و هیبت برخی تک‌یاختگان و ویروس‌ها یافت. تاریخ. تقارن و زیبایی اجسام افلاطونی الهام‌بخش معماران، هنرمندان، و صنعتگران از مصر باستان تا کنون بوده‌است، و ویژگی‌های آنها پژوهشگران را از روزگار افلاطون تا رنسانس به‌خود مشغول داشته بود. یافته‌های باستان‌شناختی از ۴٬۰۰۰ سال پیش در اسکاتلند هم شامل نقش‌هایی حک‌شده در سنگ از اجسام افلاطونی است. یونان باستان. نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی را فیثاغوری‌های
نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند. ایشان بر این باور بودند که پنج جسم افلاطونی متناظر با ساختار عناصر چهارگانهٔ سازنده جهان هستند، یعنی چهاروجهی منتظم با نوک‌های تیز متناظر آتش، مکعبِ استوار متناظر خاک، و دو چندوجهی منتظم ساخته‌شده از مثلث دیگر (هشت‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) متناظر هوا و آب هستند. به باور ایشان دوازده‌وجهی منتظم نیز به شکلی مرموز نمایانگر کل هستی و ۱۲ صورت فلکی‌اش بود. خود فیثاغورث (حدود ۵۸۰ تا ۵۰۰ پ.م.) احتمالاً چهاروجهی منتظم، مکعب، و
۵۸۰ تا ۵۰۰ پ.م.) احتمالاً چهاروجهی منتظم، مکعب، و دوازده‌وجهی منتظم را می‌شناخت. او ۲۰ سال را در مصر گذرانده بود و احتمالاً این اطلاعات را آنجا آموخته بود. تحلیل ویژگی‌های اجسام افلاطونی و اثبات اینکه تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد نقطهٔ اوج کتاب پایانی "اصول اقلیدس" (حدود ۳۰۰ پ.م.) است. به نوشتهٔ اقلیدس، اولین کسی که هشت‌وجهی و بیست‌وجهی منتظم را شرح داد تئائتتوس ریاضی‌دان آتنی و دوست افلاطون (حدود ۴۱۷–۳۶۹ پ.م.) بود. از آنجا که افلاطون (۴۲۸/۴۲۷–۳۴۸/۳۴۷ پ.م.) نظریات فیثاغوری‌ها را در «داستان آفرینش» در
پ.م.) نظریات فیثاغوری‌ها را در «داستان آفرینش» در دیالوگ "تیمائوس" تکرار کرده است، نام «جسم افلاطونی» به چندوجهی‌های منتظم اطلاق گردید. افلاطون مانند فیثاغوری‌ها چهار تا از اجسام افلاطونی را به عناصر چهارگانه نسبت می‌داد. به نوشتهٔ او: افلاطون در این نوشته از دوازده‌وجهی منتظم به سرعت می‌گذرد و تنها جمله‌ای که دربارهٔ آن بیان می‌دارد این است که «خدا آن را در آفرینش کل جهان به کار برده‌است.» مفسران افلاطون دوازده‌وجهی را با دوازده برج منطقةالبروج مرتبط دانسته‌اند. افلاطون پس از بیان ساختار هر یک از عناصر
افلاطون پس از بیان ساختار هر یک از عناصر چهارگانه، دربارهٔ تبدیل آنها به یکدیگر بحث می‌کند. به باور او خاک قابل تبدیل به عناصر دیگر نیست، چرا که از مربع ساخته شده، ولی آب و آتش و هوا را، که از مثلث ساخته شده‌اند، می‌توان با تناسبی خاص به یکدیگر تبدیل کرد. افلاطون باور داشت این اجسام سایه یا بازتابی از جهان واقع هستند؛ بااین‌حال به گفتهٔ کَرِن فرنچ آرای افلاطون را باید علاوه بر رویکرد تحت‌اللفظی، با رویکردی متافیزیکی نیز بررسی کرد. قرون وسطی. ابوالوفا محمد بوزجانی (۳۲۸–۳۸۸ ه‍.ق.) هم در مطالعهٔ اجسام
محمد بوزجانی (۳۲۸–۳۸۸ ه‍.ق.) هم در مطالعهٔ اجسام افلاطونی به کمک دوایر عظیمهٔ کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخت و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زد. در برابر پنج جسم افلاطونی که هریک از یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث، مربع یا پنج‌ضلعی تشکیل شده‌است، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از ترکیب چندضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند. پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی بود، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان است. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب اشاره کرد که با استفاده از
او می‌توان به کتاب اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و ارشمیدسی، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا موزاییک‌کاری) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود. از نکات قابل توجه در کتاب بوزجانی این است که او ترسیم‌هایش را به شکل گسترده ارائه کرده‌است تا خواننده با تخیل خود بتواند آن‌ها را به شکل سه‌بعدی ببیند. به گفتهٔ گلرو نجیب‌اوغلو، تفاوت رویکرد افلاطون و بوزجانی در این است که «اگر در اجسام افلاطونی وحدت ترکیب بر تکرار یکدست
«اگر در اجسام افلاطونی وحدت ترکیب بر تکرار یکدست یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع و پنج‌ضلعی منتظم بر بدنهٔ کره قرار دارد، در اجسامی که بوزجانی بیان کرده وحدت شکلی بر توافق پی‌درپی دو نوع چندضلعی منتظم استوار است.» رنسانس و قرون جدید. هنرمندان دوران رنسانس به‌منظور بررسی ویژگی‌های پرسپکتیو در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند، که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف پائولو آچلو (۱۳۹۷-۱۴۷۵ م.) در کلیسای جامع سینت مارکو در ونیز دید. همچنین لئوناردو دا وینچی
سینت مارکو در ونیز دید. همچنین لئوناردو دا وینچی (۱۴۵۲-۱۵۱۹ م.) در تذهیب‌هایش برای کتاب "در باب تناسب الهی" اثر لوکا پاچیولی اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند نسبت طلایی) را بررسی کرده‌است. کیهان‌شناسی افلاطون در "تیمائوس" راهنمای مهم یوهانس کپلر (۱۵۷۱–۱۶۳۰ م.) در وضع قوانین کپلر بود. کپلر در مدلش، ایدهٔ استفاده از جسم‌های افلاطونی برای تشریح هندسهٔ جهان را احیا کرد. او اجسام افلاطونی را نه به‌عنوان شکل طبیعت و تعداد عناصر بلکه به عنوان مدلی از ساختار منظومهٔ شمسی می‌دانست. کپلر در سال ۱۵۹۶
از ساختار منظومهٔ شمسی می‌دانست. کپلر در سال ۱۵۹۶ م. در کتاب "رموز جهان" هر کدام از شش سیارهٔ شناخته‌شده در آن زمان را به‌گونه‌ای نشان داد که روی سطح کره‌هایی هم‌ مرکز و جداشده با پنج جسم افلاطونی دور خورشید می‌گردند. هدف کپلر در واقع این بود که فاصلهٔ میان سیاره‌ها را با استفاده از اجسام افلاطونی توصیف کند. او دریافت اگر کره‌ها و اجسام افلاطونی را به صورت یکی داخل دیگری قرار دهد، نسبت فواصل کره‌ها از مرکز مدلش در مقایسه به شکلی «بسیار خوب» بر نسبت فواصل سیارات از خورشید منطبق می‌شود. کپلر بر آن بود که
سیارات از خورشید منطبق می‌شود. کپلر بر آن بود که توانسته قانون بنیادی طبیعت را کشف کند. به نوشتهٔ آرتور کستلر: تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند. در تاریخ معاصر. موریس اِشرِ هلندی (۱۸۹۸-۱۹۷۲ م.) از اشکال خالص اجسام افلاطونی در آثارش به‌صورت گسترده استفاده کرده‌است. برای
در آثارش به‌صورت گسترده استفاده کرده‌است. برای مثال اثر حکاکی روی چوب "" ترکیبی از مکعب‌ها و هشت‌وجهی‌ها را به تصویر می‌کشد که آفتاب‌پرست‌هایی را محیط کرده‌اند. اشر در اثر دیگری با عنوان از یک دوازده‌وجهی به‌عنوان نماد آسمان بهره می‌برد. شیفتگی اشر نسبت به اجسام افلاطونی تا حدی بود که تنها چیزی که پس از نقل مکان از کارگاهش با خود برد مجموعه‌ای درهم‌رفته از اجسام افلاطونی بود. نقاش اسپانیایی سالوادور دالی (۱۹۰۴-۱۹۸۹ م.) نیز شیفتهٔ اجسام افلاطونی بود. در دالی صلیبی را مشتمل بر هشت مکعب به تصویر می‌کشد و در
صلیبی را مشتمل بر هشت مکعب به تصویر می‌کشد و در دوازده‌وجهی خالی‌ای (که نماد «خدا» است) بر فراز سر مسیح و حواریونش قرار دارد. برونو موناری (۱۹۰۷-۱۹۹۸ م.) نیز مساعی گسترده‌ای در طراحی صنعتی با استفاده از شکل اجسام افلاطونی کرده‌است. "زیرسیگاری مکعبی" او نمونهٔ شاخص طراحی ایتالیایی در میانهٔ قرن بیستم است. در قرن بیستم استفاده از اشکال خالص افلاطونی به یکی از ویژگی‌های سبک بین‌المللی معماری بدل شد. معمار سوئیسی لوکوربوزیه نیز سیستمی برای طراحی متناسب با ابعاد بدن انسان ارائه کرد که از نسبت طلایی بهره
ابعاد بدن انسان ارائه کرد که از نسبت طلایی بهره گرفته‌است. اساس باکمینستر فولر در ساخت گنبد ژئودزیک نیز بیست‌وجهی منتظم بود. اهمیت و کاربرد. با اینکه اجسام افلاطونی، برخلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. سنگ نمک (NaCl یا نمک خوراکی طبیعی) گاه در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد و بلورهای فلئوریت (CaF2 یا کلسیم فلوراید) شبیه هشت‌وجهی‌اند. پیریت (FeS2، معروف به طلای احمق‌ها) هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و
طلای احمق‌ها) هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود. شبه‌کریستال هولميم-منيزيم-روى به شكل دوازده وجهى منتظم بوده و از خانواده شبه كريستال ها با تقارن بيست وجهى R-Mg-Zn است(R=Y، Tb، Dy، Ho، Er). در سال ۲۰۱۱ نیز دانشمند اسرائیلی دن شختمن برای کشف ساختار بیست‌وجهی منتظم کریستال مایع آلومینیم جایزه نوبل شیمی را دریافت کرد. هیدروکربن‌های افلاطونی هم نمایش مولکولی چند جسم افلاطونی‌اند که در آن‌ها رأس‌ها با اتم‌های کربن و اضلاع با پیوند کربن-کربن جایگزین شده‌است. از هیدروکربن‌های افلاطونی
جایگزین شده‌است. از هیدروکربن‌های افلاطونی کوبان (C8H8) و دودِکاهدران (C20H20) سنتز شده‌اند و پیش‌بینی می‌شود تتراهدران (C4H4) از لحاظ جنبشی پایدار باشد. آنيون دودكابورات (−2 [B12H12]) شبيه بيست وجهى منتظم است. در اوایل قرن بیستم، ارنست هکل در کتاب "اشکال هنری در طبیعت" برخی شعاعیان را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند. ساختار برخی ویروس‌ها مثل تب‌خال نیز به شکل بیست‌وجهی منتظم است. به نوشتهٔ کریک و واتسون، بهینه‌ترین و ساده‌ترین حالت‌های ترکیب زیرساختارهای پروتئینی در ویروس برای تشکیل کپسید به
پروتئینی در ویروس برای تشکیل کپسید به شکل اجسام افلاطونی (و به‌ویژه بیست‌وجهی) است. ساده‌ترین کپسیدهای بیست‌وجهی با استفاده از ۳ زیرواحد همسان برای تشکیل هر وجه مثلثی ساخته می‌شوند. این بدین معنی است که برای ساختن یک کپسید کامل، به ۶۰ زیرواحد همسان نیاز است. از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود، و همچنین پازل‌های ترکیبی (مثل مکعب روبیک) به شکل همهٔ اجسام افلاطونی وجود دارد. قضایا و ویژگی‌ها. اثبات هندسی. یک چندوجهی محدب جسم افلاطونی است، اگر و تنها اگر به مجموع وجه‌ها و
افلاطونی است، اگر و تنها اگر به مجموع وجه‌ها و ضلع‌هایی که در یک رأس به هم می‌رسند «هرم رأس» گفته می‌شود. منظور از هرم در اینجا یال هرم است و قاعدهٔ این هرم ممکن است مسطح نباشد. حداقل تعداد وجه‌هایی که می‌توانند در یک ضلع به هم برسند تا تشکیل یک چندوجهی بدهند سه تا است. اگر چندوجهی محدب باشد، مجموع زوایای مسطحه‌ای که در هر رأسش به هم می‌رسند، کمتر از ۳۶۰° است. با به‌هم رسیدن سه سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، چهاروجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر است،
زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین چهاروجهی منتظم جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن چهار سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، هشت‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین هشت‌وجهی منتظم نیز جسم افلاطونی است. همچنین با به‌هم رسیدن پنج سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، بیست‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر می‌شود که از کمتر است، بنابراین بیست‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن شش سه‌ضلعی منتظم