payamvha/North_RAG huggingface dataset:
و آرشیدوک کارل واگذار کرد. حق او برای انجام این کار مشکوک بود، اما لوئی و ویلیام از این برای طراحی پیمان لندن در ۱۷۰۰ استفاده کردند. آرشیدوک کارل وارث جدید شد، در حالی که فرانسه، ساوی و اتریش غرامت ارضی دریافت کردند. با این حال، از آنجایی که نه لئوپولد و نه کارل موافقت نکردند، این پیمان تا حد زیادی بی‌معنی بود. در اوایل اکتبر ۱۷۰۰، کارلوس به وضوح در حال مرگ بود. وصیت نامه نهایی او تاج و تخت را به نوه لوئی چهاردهم فیلیپ، دوک آنژو واگذار کرد. اگر او امتناع می‌کرد، این پیشنهاد به برادر کوچکترش دوک بری و پس از
این پیشنهاد به برادر کوچکترش دوک بری و پس از آن آرشیدوک کارل می‌رسید. کارلوس در ۱ نوامبر ۱۷۰۰ درگذشت و در نهم نوامبر، سفیران اسپانیا رسماً تاج و تخت را به فیلیپ پیشنهاد کردند. لوئی به‌طور خلاصه امتناع کرد. اگرچه این به معنای جانشینی آرشیدوک کارل بود، اصرار ویلیام برای کمک به او برای اجرای پیمان لندن به این معنی بود که او ممکن است بدون جنگ به اهداف ارضی خود دست یابد. با این حال، پسرش دوفن این ایده را رد کرد. دیپلمات‌های فرانسوی همچنین توصیه کردند که اتریش بدون در نظر گرفتن پیمان و وصیت‌نامه، جنگ خواهد کرد،
در نظر گرفتن پیمان و وصیت‌نامه، جنگ خواهد کرد، در حالی که نه بریتانیایی‌ها و نه هلندی‌ها برای حل و فصلی که برای اجتناب از جنگ باشد، وارد جنگ نمی‌شوند؛ بنابراین لوئی از طرف نوه خود که در ۱۶ نوامبر به عنوان فیلیپ پنجم پادشاه اسپانیا معرفی شد، پذیرفت. آغاز جنگ. در آغاز کار پدروی دوم پادشاه پرتغال و دوک ساووا و امیر باواریا متحد لوئی چهاردهم و نوه‌اش فیلیپ، دوک آنژو بودند و به این سبب شاه فرانسه می‌توانست در آلمان و ایتالیا به نبرد بپردازد. در این هنگام نقشه‌ای جسورانه کشیده شد و مقرر شد دو دسته قشون یکی از
جسورانه کشیده شد و مقرر شد دو دسته قشون یکی از ایتالیا از طریق تیرول و دیگری از فرانسه از راه دره دانوب در سرزمین باواریا جمع آید و پس از پیوستن دو سپاه به وین پایتخت امپراتوری مقدس روم حمله کنند و امپراتور را وادار به تسلیم کنند. مقدمات اجرای نقشه مذکور هم شروع شد؛ وان دوم در ناحیه لوزارا لشکر شاهزاده اوژن را در هم شکست (۱۵ اوت ۱۷۰۲) و مارشال دو ویلار نیز در سمت راست رود رن در فریدلن گن فاتح گشت، (۱۴ اکتبر ۱۷۰۲) اما با رسیدن زمستان و خیانت دوک ساووا که پول گرفته و با امپراتور متحد شده بود (مه ۱۷۰۳) اوضاع
گرفته و با امپراتور متحد شده بود (مه ۱۷۰۳) اوضاع دگرگون شد. هرچند ویلار تنها به باواریا آمد ولی چون نتوانست با امیر باواریا بسازد درخواست نمود که او را احضار کنند. سال بعد متحدها نیز بر آن شدند که نیروهایشان را در دره دانوب جمع کنند. شاهزاده اوژن با قشون اتریشی ایتالیا به مال بورو که با قشون انگلیسی و هلندی رسیده بود ملحق شد، آنگاه این دو سپهسالار در همان میدان جنگ هوشتات سرداران جانشین ویلار را در ۱۳ اوت ۱۷۰۳ میلادی شکست دادند و فرانسویان را از سمت آلمان به نواحی رود رن و از جانب ایتالیا به دامنه جبال آلپ
نواحی رود رن و از جانب ایتالیا به دامنه جبال آلپ عقب راندند. شاهزاده اوژن توانست در سال‌های بعد، تورن (۱۷۰۶) و ایتالیا (۱۷۰۷) را از وجود فرانسویان پاک گرداند. طبق کنوانسیون میلان، دوک‌نشین‌های میلان و مانتوا به خاک امپراتوری مقدس روم منضم شدند، و بدین وسیله حکومت گونتساگاهای مانتوا، که از سال ۱۳۲۸ میلادی آغاز شده بود، به پایان رسید. دولت سلطنتی ناپل هم که به قدمت سلطنت اسپانیا بود، با وجودی که علی‌رغم خواست پاپ مستاصل، ارتش خود را از میان آن‌ها گذرانیده بود، برای پاپ باقی‌ماندند و نیز توسکان استقلال خود را
برای پاپ باقی‌ماندند و نیز توسکان استقلال خود را به بهایی گزاف نگاه داشتند. دفاع فرانسه. بعد از این پیش‌آمد ۱۱ سال کار به دفاع گذشت. میدانهای اصلی جنگ جنوب اسپانیا و شمال پی بای اسپانیا و ناحیه فلاندر متعلق به فرانسه بود. همان وقت که در ایتالیا دوک ساووا به اتریشیها پیوست (۱۶ مه ۱۷۰۳) در شبه جزیره نیز پادشاه پرتغال از فیلیپ پنجم دست کشید و با انگلیسی‌ها متحد شد. پس انگلستان قدرت آن را یافت که قشونی به اسپانیا وارد کند. سپاه مذکور هرچه زودتر به پسر دوم آرشیدوک شارل که از طرف متحدها نامزد پادشاهی اسپانیا شده
شارل که از طرف متحدها نامزد پادشاهی اسپانیا شده بود، ملحق شدند. ساکنان چندین ایالت و به ویژه مردم کاتالونی و بارسلون نیز هوادار او شدند و فیلیپ پنجم را دو بار از مادرید بیرون کردند. (۱۷۰۶–۱۷۱۰) اما فرانسویان که ۲۵ هزار سرباز را به اسپانیا فرستاده بودند به همراه داوطلبان اسپانیایی در اواخر سال ۱۷۱۰ (۱۰ دسامبر) به فرماندهی دوک وندوم در ویلاوی سیوزا قشون مختلط انگلیسی و اتریشی را در هم شکست؛ آنگاه فیلیپ پنجم باز حکمرانی اسپانیا یافت. در فرانسه هم شورش‌هایی چند در مخالفت با مالیات‌های جدید به وقوع پیوست. در
در مخالفت با مالیات‌های جدید به وقوع پیوست. در کائور، کرسی و پریگور نیز شورشی انجام شد که شورشیان گرسنه به سمت ورسای حرکت کردند ولی توسط گارد ملی پراکنده شدند. در پاریس هم پلاکاردهایی بر ضد شاه نصب گردید. در نیمهٔ مارس ۱۷۰۷ هم مارشال ووبان درگذشت. جنگ در شمال. مقصود فرانسویان از جنگی که در شمال می‌کردند نگاهداری پی بای اسپانیایی بود. مال بورو و اوژن چنان‌که در سال ۱۷۰۴ در هوشتات لشکر جمع آوردند در این‌جا نیز چندین دفعه سپاه گرد آوردند. سرزمین پی با از سال ۱۷۰۶ یعنی بعد از جنگ رامیلی از دست فرانسه رفت.
۱۷۰۶ یعنی بعد از جنگ رامیلی از دست فرانسه رفت. فرانسویان بارها کوشیدند که آن ناحیه را دوباره به چنگ آورند. اقدام اول در سال ۱۷۰۸ به شکست اودنارد سرآمد (۱۲ ژوئیه) و سبب آن، نادانی لوئی، دوک بورگوندی نوه پسری لوئی چهاردهم بود. فرانسویان عقب نشستند، بیست هزار نفر آنان کشته یا زخمی و هفت هزار نفر دیگر هم اسیر شدند. مارلبره می‌خواست به سوی پاریس پیشروی کند، اما اوژن او را وادار ساخت تا نخست شهر لیل را محاصره کند، تا مبادا خط مواصلاتی و تدارکاتی متفقین توسط پادگان آن شهر قطع شود. لیل پس از دو ماه محاصره، و به
آن شهر قطع شود. لیل پس از دو ماه محاصره، و به قیمت جان پانزده هزار سپاهی، سقوط کرد. اقدام دوم نیز به جنگ وحشتناک مال پلاکه که دهکده ایست در ایالت شمال فرانسه منتهی گشت. (۱۱ سپتامبر ۱۷۰۹) ویلار در این جنگ زخمی سخت برداشت و هرچند ناچار میدان قتال را به مالبورو و شاهزاده اوژن واگذاشت اما دو برابر کشته‌های فرانسه از لشکر دشمن به قتل رسانیده بود. صلح راشتات. دولت انگلستان در این زمان شناسایی پادشاهی فیلیپ پنجم را بر اسپانیا و مستملکات آن کشور در آمریکا تحت شرایطی مناسب پذیرفت: لوئی این شرایط را با اندک تغییری
مناسب پذیرفت: لوئی این شرایط را با اندک تغییری پذیرفت؛ انگلستان به هلند اطلاع داد که تحت این شرایط با فرانسه صلح کرده‌است؛ هلند با آن موافقت کرد، و در نتیجه، زمینه برای تشکیل کنگره صلح اوترخت فراهم آمد. صلح اوترخت. فرانسه هر آنچه را که قبلاً در مذاکرات مقدماتی وعده داده بود به انگلستان سپرد، از جمله حق انحصاری فروش و تهیه برده. دشمنان دیرین بر حقوق گمرکی واردات به توافق رسیدند. هلندی‌ها شهرهای لیل، ار، و بتون را به فرانسه پس می‌دادند، ولی در عوض کنترل سراسر هلند را، تا زمانی که صلح با امپراتوری منعقد شود،
هلند را، تا زمانی که صلح با امپراتوری منعقد شود، در دست گرفتند. حکمران باواریا نیز قرار شد که شارلروا، لوکزامبورگ، و نامور را در دست بگیرد. نیس را هم به دوک ساووا برگرداندند. فیلیپ پنجم اسپانیا و آمریکا را نگاه داشت و سرانجام قبول کرد (۱۳ ژوئیه) که جبل الطارق و مینورکا را به انگلستان واگذارد. اوژن دو ساووا به جنگ شدیدتری علیه انگلستان، که جداگانه صلح را امضا کرده بود، ادامه داد. اما خزانه امپراتوری تهی شده بود، تعداد سپاهیانش به چهل هزار نفر تقلیل یافته بود و ویلار با یکصد و بیست هزار مرد جنگی به سوئیس
بود و ویلار با یکصد و بیست هزار مرد جنگی به سوئیس پیشروی می‌کرد. سرانجام، پیشنهاد لوئی چهاردهم را برای ملاقات با ویلار و مذاکره در خصوص شرایط صلح پذیرفت. فرانسه، طبق معاهده راشتات، (۶ مارس ۱۷۱۴)، آلزاس و استراسبورگ را پس گرفت و، در عوض، قسمت‌های ساحل راست راین را که متصرف شده بود به امپراتور بازگردانید و به تسلط اتریش، به جای اسپانیا در ایتالیا و بلژیک رضایت داد.
جنگ فرانسه و هلند مجموعه وقایعی است که از ۱۶۷۲ تا ۱۶۷۸ میلادی به طول انجامید و به صلح نیمیخن انجامید. در ماه مه ۱۶۷۲ میلادی لوئی چهاردهم با ۱۲۰ هزار سرباز که تحت فرماندهی تورن و شاهزاده کُنده بودند به میدان نبرد قدم نهاد. روز ۱۲ ژوئن معبر رن را در گدار تول هویس گرفت و چنین می‌پنداشت که دیگر سرزمین هلند زیر فرمان اوست اما با آنکه سه روز در آن کشور حکمروا بود، تصمیم دلیرانه هلندیها که لوئی چهاردهم نیز آن را تمجید کرده‌است، پیشرفت لشکر فرانسه را مانع شد. مقاومت هلندی‌ها. قسمت بزرگ مملکت هلند را که پائین‌تر از
هلندی‌ها. قسمت بزرگ مملکت هلند را که پائین‌تر از سطح دریاست سدها و بندابها در مقابل طغیان آب حفظ می‌کند. از روز ۱۵ ژوئن هلندی‌ها بندابها را گشودند، سدها را سوراخ کرده و برای نجات سرزمینشان مقاومت کردند. چنانچه ۴ روزه سرزمین هلند را آب فراگرفت و شهرها به جزیره‌هایی مبدل شد که جز با کشتی نمی‌توانستند نزدیک آن‌ها بروند و روز ۲۰ ژوئن لشکر فرانسه در کنار این اراضی متوقف شد. مدت حملات فرانسویان تنها ۸ روز به طول انجامید. با این وجود، هلندی‌ها درخواست صلح کردند ولی لوئی چهاردهم که تحت تأثیر لووا، وزیر جنگ، شده
ولی لوئی چهاردهم که تحت تأثیر لووا، وزیر جنگ، شده بود پیشنهادهای آنان را نپذیرفت. (۲۹ ژوئن) هلندیها در اوایل ماه ژوئیه کار دفاع از کشور را به گیوم اورانژ نهادند. ورود دیگر کشورها به جنگ. کم‌کم کشورهای اروپایی به دشمنی با لوئی چهاردهم برخاستند. در ماه ژوئیه امیر براندنبورگ-پروس جانب جمهوری هلند را گرفت. اسپانیا هم از ایشان پیروی کرد و در سال ۱۶۷۳ میلادی در شهر لاهه اتحاد بزرگی به وجود آمد. آنگاه لوئی چهاردهم متوجه اسپانیا شد و با آن کشور جنگید و در ۱۶۷۴ میلادی دوباره فرانش-کنته را گرفت. او سپس عزم نمود که
دوباره فرانش-کنته را گرفت. او سپس عزم نمود که هلند اسپانیا و لوکزامبورگ را قلعه به قلعه فتح کند و از ۱۶۷۴ تا ۱۶۷۸ میلادی، ووبان کار محاصره با موفقیت به پیش برد. در ۱۶۷۴ میلادی، آلمانی‌ها ناگهان آلزاس را گرفتند. تورن در جنگی که دو هفته طول کشید (ژانویه ۱۶۷۵) آنان را تا ماوراء رود رَن عقب راند و تابستان سال بعد آنجا عبور کرده و در ساسباش در ۲۷ ژوئیه ۱۶۷۵ در جنگی شبانه با اصابت گلوله کشته شد. با مرگش آلمانی‌ها دوباره حمله کردند ولی این بار شاهزاده کنده آلزاس را نجات داد. نبرد در دریا. در دریا نیز نبرد برقرار
نجات داد. نبرد در دریا. در دریا نیز نبرد برقرار بود. دوکُن سه مرتبه هلندی‌ها را در آبهای سیسیل شکست داد و رئیسشان رویتر نزدیک سیراکوز در ۱۶۷۶ کشته شد. صلح نیمیخن. در ۱۶۷۸ میلادی صلح نیمیخن در شهری به همین نام بسته شد. فرانش-کنته و دوازده قلعه فلاندر از قبیل والان سی ین و موبوژ و کامبره را به لوئی چهاردهم تسلیم نمود. ووبان این قلعه‌ها را مستحکم کرد و مانند سپری حافظ و نگهبان شهر پاریس نمود.
فرانکی سفلا، نام گروهی از زبان‌های ژرمنی است؛ که منشأ همگی آنها زبان فرانکی باستان است؛ و در هلند، شمال بلژیک (فلاندری)، شهرستان‌های شمالی فرانسه، غرب آلمان و همچنین کشورهای سورینام، آفریقای جنوبی و نامیبیا بدان‌ها سخن گفته می‌شود. زبان فرانکی باستان. فرانکی باستان زبان فرانک‌ها بوده‌است. این زبان که در خانواده زبان‌های ژرمنی غربی جای دارد در زمان مروونژی‌ها و تا قبل از قرن هفتم میلادی رواج داشته‌است. اوسترازیا که یکی از دوبخش اصلی قلمرو مروونژی‌ها بوده شامل غرب آلمان، شرق و شمال فرانسه، لوکزامبورگ، بلژیک و
غرب آلمان، شرق و شمال فرانسه، لوکزامبورگ، بلژیک و هلند امروزی می‌شده‌است. فرانکی باستان تاثیر زیادی بر فرانسوی باستان داشته‌است. این زبان به تدریج در بخش‌های شمالی تبدیل به فرانکی سفلای باستان و در بخش‌های جنوبی تبدیل به زبان‌های اوییل شد. (فرانکی سفلای باستان دسته‌ای از گویش‌های فرانکی باستان بوده‌است که خود از دو بخش فرانکی سفلای باستان غربی (هلندی باستان) و شرقی تشکیل می‌شده.) زبان‌های فرانکی سفلای امروزی. زبان‌های فرانکی سفلای امروزی به دوبخش اصلی هلندی و آفریکانس بخش می‌شوند:
زنجیرهٔ مارکوف (به انگلیسی: Markov Chain) مدلی تصادفی برای توصیف یک توالی از رویدادهای احتمالی است که در آن احتمال هر رویداد فقط به حالت رویداد قبلی بستگی دارد. زنجیرهٔ مارکوف که به افتخار آندری مارکوف ریاضی‌دان اهل روسیه این گونه نام‌گذاری شده، یک سیستم ریاضی است که در آن انتقال میان حالات شمارا، از حالتی به حالت دیگر صورت می‌گیرد. زنجیرهٔ مارکوف یک فرایند تصادفی بدون حافظه است، بدین معنی که توزیع احتمال شرطی حالت بعد تنها به حالت فعلی بستگی دارد و مستقل از گذشتهٔ آن است. این نوع بدون حافظه بودن خاصیت
از گذشتهٔ آن است. این نوع بدون حافظه بودن خاصیت مارکوف نام دارد. زنجیرهٔ مارکوف در مدل‌سازی دنیای واقعی کاربردهای زیادی دارد. معرفی. زنجیرهٔ مارکوف (Markov Approach modeling) یک فرایند تصادفی گسسته در زمان با خاصیت مارکوف است. اگرچه برخی از نویسندگان در مورد فرایندهای پیوسته در زمان هم از اصطلاح زنجیرهٔ مارکوف استفاده می‌کنند. یک فرایند تصادفی گسسته در زمان شامل سیستمی است که در هر مرحله در حالت خاص و مشخصی قرار دارد و به صورت تصادفی در هر مرحله تغییر حالت می‌دهد. مراحل اغلب به عنوان لحظه‌های زمانی در نظر
می‌دهد. مراحل اغلب به عنوان لحظه‌های زمانی در نظر گرفته می‌شوند ولی می‌توان آن‌ها را فاصله فیزیکی یا هر متغیر گسسته دیگری در نظر گرفت. خاصیت مارکوف بیان می‌کند که توزیع احتمال شرطی برای سیستم در مرحله بعد فقط به حالت فعلی سیستم بستگی دارد و به حالت‌های قبل بستگی ندارد. چون سیستم به صورت تصادفی تغییر می‌کند به‌طور کلی پیش‌بینی حالت زنجیره مارکوف در نقطه‌ای خاص در آینده غیرممکن است. با این حال ویژگی‌های آماری سیستم در آینده قابل پیش‌بینی است که در بسیاری از کاربردها همین ویژگی‌های آماری بسیار حائز اهمیت است.
همین ویژگی‌های آماری بسیار حائز اهمیت است. تغییرات حالات سیستم انتقال نام دارند و احتمال‌هایی که به این تغییر حالت‌ها نسبت داده می‌شوند احتمال انتقال نام دارند. یک فرایند مارکوف با یک فضای حالت شمارا، یک ماتریس گذار برای توصیف احتمال‌های هر انتقال و یک حالت اولیه (یا توزیع اولیه) در فضای حالت مشخص می‌شود. اگر فضای حالت متناهی باشد زنجیر مارکوف را زنجیر مارکوف متناهی یا زنجیر مارکوف با فضای حالت متناهی می‌گوییم و اگر نامتناهی باشد زنجیر مارکوف را زنجیر مارکوف نامتناهی یا زنجیر مارکوف با فضای حالت نامتناهی
نامتناهی یا زنجیر مارکوف با فضای حالت نامتناهی می‌گوییم. طبق قرار داد، فرض می‌کنیم همیشه حالت بعدی وجود دارد و در نتیجه فرایند تا ابد ادامه پیدا می‌کند. یکی از معروف‌ترین زنجیره‌های مارکوف که موسوم به «پیاده‌روی می خواره» است یک پیاده‌روی تصادفی است که در آن در هر قدم موقعیت با احتمال برابر به اندازه ۱+ یا ۱- تغییر می‌کند. در هر مکان دو انتقال ممکن وجود دارد یکی به عدد صحیح بعدی(۱+) و یکی به عدد صحیح قبلی(۱-). احتمال هر انتقال فقط به حالت کنونی بستگی دارد. برای مثال احتمال انتقال از ۵ به ۶ برابر با احتمال
برای مثال احتمال انتقال از ۵ به ۶ برابر با احتمال انتقال از ۵ به ۴ است و هر دوی این احتمالات برابر با ۰٫۵ هستند. این احتمالات مستقل از حالت قبلی (که یا ۴ بوده یا ۶) هستند. مثالی دیگر عادات غذایی موجودی است که فقط انگور، پنیر و کاهو می‌خورد و عادات غذایی او از قوانین زیر پیروی می‌کند: عادات غذایی این موجود را می‌توان با یک زنجیره مارکوف مدل‌سازی کرد به دلیل این که چیزی که فردا می‌خورد (حالت بعدی) تنها به چیزی که امروز خورده‌است (حالت فعلی) بستگی دارد. یکی از ویژگی‌های آماری که می‌توان در مورد این زنجیره
از ویژگی‌های آماری که می‌توان در مورد این زنجیره محاسبه کرد امید ریاضی درصد روزهایی است که انگور خورده‌است (در یک دوره طولانی). مثال‌هایی از زنجیره مارکوف. ورشکستگی قمارباز. ورشکستگی قمارباز مسئله‌ای معروف از زنجیره مارکوف است. در این مسئله دو فرد سکه پرتاب می‌کنند و هر بار که سکه شیر آمد شخص A یک دلار از B می‌برد و هر بار سکه خط بیاید، شخص B یک دلار از A می‌برد. در ابتدای بازی A مقدار a دلار و B مقدار b دلار دارد. فرض کنید Xi دارایی A پس از i مرحله بازی باشد. یکی از خواص دنبالهٔ {Xi} این است که اگر در
باشد. یکی از خواص دنبالهٔ {Xi} این است که اگر در مرحلهٔ nام مقدار Xi را بدانیم در این صورت سرمایه A از آن مرحله به بعد تنها به Xn و نه به X0, X1, …, Xn-1 وابسته است. یعنی اگر سرمایهٔ A در زمان حال معلوم باشد، سرمایهٔ آیندهٔ او مستقل از پولی است که در هر مرحله از بازی در گذشته برنده شده یا باخته‌است. فرایند زاد مرگ. اگر صد دانه ذرت در فری قرار دهیم، هر دانه در زمانی مستقل که از توزیع نمایی پی‌روی می‌کند، منفجر می‌شود. این مثالی از زنجیره زمان پیوسته مارکوف است. اگر Xt نشان‌دهنده تعداد دانه‌های ذرتی باشد که
اگر Xt نشان‌دهنده تعداد دانه‌های ذرتی باشد که تا زمان t منفجر شده‌اند، مسئله را می‌توان به صورت تعداد دانه‌هایی که بعد از t منفجر می‌شوند مطرح نمود. دانستن زمان انفجار دیگر دانه‌ها اهمیتی ندارد و تنها دانستن تعداد دانه‌هایی که تا کنون منفجر شده‌اند کافیست. فرایند شرح داده شده در این‌جا، تقریبی از یک فرایند پواسونی است. در حالت کلی فرایندهای پواسون نیز فرایند مارکوف هستند. بازی‌های تخته‌ای با تاس. بازی تخته نرد یا هر بازی دیگری که حرکات با تاس تعیین می‌شود یک زنجیرهٔ مارکوف هستند. این نوع بازی‌ها در نقطه
یک زنجیرهٔ مارکوف هستند. این نوع بازی‌ها در نقطه مقابل بازی‌های کارتی مانند blackjack هستند که کارت‌ها مانند حافظهٔ حرکت قبلی عمل می‌کنند. برای درک این تفاوت‌ها احتمال یک حرکت مشخص را در بازی در نظر بگیرید. در بالا به بازی‌هایی که با تاس بازی می‌شوند اشاره کردیم، تنها چیزی که اهمیت دارد حالت کنونی روی تخته است. حالت بعدی روی تخته به حالت کنونی و چرخش بعدی تاس بستگی دارد و وابسته به اینکه که مهره‌ها چگونه در حالت کنونی قرار گرفته‌اند، نیست. در بازی مانند blackjack، بازیکن می‌تواند با به خاطر سپردن این که
بازیکن می‌تواند با به خاطر سپردن این که کدام کارت‌ها تاکنون نشان داده شده‌اند، برتری کسب کنند؛ بنابراین حالت بعدی بازی مستقل از حالت کنونی نیست. گام‌های تصادفی متمایل به مرکز. یک حرکت تصادفی روی تعدادی خط را در نظر بگیرید، موقعیت کنونی (که x نامیده می‌نامیم) با احتمالات زیر می‌تواند به +۱ (به راست) یا -۱(به چپ) تغییر کند: به عنوان مثال اگر عدد ثابت c برابر ۱ باشد، احتمال حرکت به چپ از موقعیت x=-۲,-۱٬۰٬۱٬۲ به ترتیب برابرست با:. یک گام تصادفی یک اثر مرکزی دارد به‌طوری‌که با افزایش تضعیف c می‌شود. از آنجایی
به‌طوری‌که با افزایش تضعیف c می‌شود. از آنجایی که احتمالات تنها به وضعیت کنونی بستگی دارد (مقدار x) و وابسته به هیچ‌یک از موقعیت‌های قبلی نیست، این گام تصادفی متمایل به مرکز در تعریف زنجیرهٔ مارکوف صدق می‌کند. یک مدل آب و هوایی بسیار ساده. احتمال وضعیت آب و هوایی که آب و هوا در طول روز را نشان می‌دهد و هم به صورت بارانی و هم آفتابی مدل می‌شود، توسط یک ماتریس انتقال ارائه داده می‌شود. ماتریس P یک مدل آب و هوایی را نشان می‌دهد به‌طوری‌که روز بعد یک روز آفتابی، با احتمال %۹۰ آفتابی است و روز بعد یک روز
آفتابی، با احتمال %۹۰ آفتابی است و روز بعد یک روز بارانی، با احتمال %۵۰ آفتابی است. ستون‌ها و سطرها با آفتابی و بارانی برچسب‌گذاری می‌شوند. احتمال این است که هوای امروز از نوع i باشد و فردا از نوع j باشد. در نظر داشته باشید که حاصل جمع احتمالات سطر P برابر ۱ است. حالت ثابت آب و هوا. در این مثال، پیش‌بینی هوا در روزهای دور از هم غلط از آب در می‌آید و متمایل به بردار حالت پایدار است. این بردار احتمال هوای آفتابی و بارانی را در همهٔ روزها نشان می‌دهد و مستقل از آب وهوای اولیه است. بردار حالت ثابت به این صورت
آب وهوای اولیه است. بردار حالت ثابت به این صورت تعریف می‌شود: formula_1 ولی تنها زمانی به یک مقدار منظم همگراست که p یک ماتریس انتقال منظم باشد (بعبارت دیگر حداکثر یک "Pn" با ورودی‌های غیر صفر وجود دارد) از آنجایی که q مستقل از شرایط اولیه است، زمانی که به‌وسیلهٔٔ P ترجمه می‌شود، بایستی بدون تغییر بماند؛ که این باعث می‌شود که q تبدیل به بردار ویژه شود، به این معنی که از P مشتق شود. برای مثال آب و هوا: formula_2 formula_3 پس formula_4 و از آنجایی که این دو بردار احتمال هستند، داریم formula_5 حل این دو
دو بردار احتمال هستند، داریم formula_5 حل این دو معادله یک توزیع حالت یکنواخت را می‌دهد: formula_6 در نتیجه %۸۳ روزها آفتابی است. تعریف رسمی. زنجیره مارکوف زمان گسسته. یک زنجیره مارکوف دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی X۱،X۲،X۳،... است که دارای خاصیت مارکوف هستند یعنی: formula_7 مقادیر ممکن برای Xi مجموعه قابل شمارشی را می‌سازند که فضای حالت نام دارد. زنجیره مارکوف اغلب توسط دنباله‌ای از گراف‌های جهت‌دار نشان داده می‌شود، که در آن یال‌های گراف n توسط احتمال از رفتن از یک حالت در زمان n به حالت‌های دیگر در زمان
از یک حالت در زمان n به حالت‌های دیگر در زمان n + 1 برچسب گذاری شده‌است. همان اطلاعات در ماتریس انتقال از زمان n به زمان n + 1 درج می‌شود که در آن عنصر سطر i و ستون j، احتمال تغییر وضعیت از حالت i-1 به حالت j-1 است. مجموع عناصر هر سطر برابر یک است اما الزاماً مجموع عناصر هر ستون یک نمی‌شود. در نظریه ماتریس‌ها اگر تمام عناصر ماتریسی نامنفی و مجموع عناصر هر سطر یک باشد، در این صورت آن ماتریس را ماتریس مارکوف می‌گویند. علت آن است که برای چنین ماتریس‌هایی می‌توانیم یک فضای نمونه بسازیم به طوری که عناصر ماتریس،
یک فضای نمونه بسازیم به طوری که عناصر ماتریس، احتمال‌های تغیر وضعیت تمام پیشامدهای فضای نمونه باشند و سپس یک زنجیر مارکوف برای فضای نمونه تعریف کنیم. با این حال، زنجیره‌های مارکوف اغلب به صورت یکنواخت در زمان فرض می‌شوند در این صورت گراف و ماتریس مستقل از n هستند و به این ترتیب به شکل یک توالی ارائه نمی‌شوند. تعریف دیگری به شرح ذیل عنوان شده‌است: هرگاه فرایند تعمیرات برای سیستم‌های تعمیر پذیر لحظه‌ای یا به عبارتی با زمان کوتاه و قابل اغماض در مقایسه با زمان عملکرد سیستم را نتوان مفروض داشت، روش‌هایی مانند
عملکرد سیستم را نتوان مفروض داشت، روش‌هایی مانند زنجیرهٔ پیوسته مارکوف برای تحلیل سیستم به کار گرفته می‌شود. روش مارکوف برای مدلسازی رفتار اتفاقی به صورت پیوسته و ناپیوسته نسبت به زمان یا در فضای حالت تقسیم‌بندی می‌گردد. این تغییرات پیوسته یا ناپیوسته اتفاقی را اصطلاحاً فرایندهای اتفاقی می‌نامند. در حقیقت به‌کارگیری روش مارکوف نیازمند این امر است که سیستم نماینگر فقدان حافظه باشد. یعنی حالت و وضعیت آیندهٔ سیستم مستقل از وضعیتهای گذشته آن بوده و تنها به آخرین جزء آن وابسته باشد. زنجیره‌های مارکوف یکنواخت در
جزء آن وابسته باشد. زنجیره‌های مارکوف یکنواخت در زمان. زنجیره‌های مارکوف یکنواخت در زمان، یا ایستا، زنجیره‌هایی هستند که در آن‌ها: formula_8 که رابطه بالا برای هر n صحیح است. در واقع احتمال انتقال مستقل از n است. چنین زنجیره‌هایی را می‌توان تنها با یک ماتریس احتمال انتقال formula_9 توصیف کرد. ماتریس احتمال انتقال formula_9 مستقل از زمان n است و درایهٔ "(i,j)" ام آن، یعنی formula_11، بیانگر احتمال انتقال از حالت "i" به حالت "j" می‌باشد. زنجیره مارکوف مرتبه m. زنجیره مارکوف مرتبه m (که در آن m متناهی است)
m. زنجیره مارکوف مرتبه m (که در آن m متناهی است) فرایندی است که در آن: formula_12 به عبارت دیگر حالت بعدی به m حالت قبلی وابسته‌است. می‌توان یک {Yn} از {Xn} ساخت به طوری که در فرم کلاسیک خاصیت مارکوف صدق کند؛ که در این صورت Y یک چندتایی مرتب از Xها است یعنی:formula_13 زنجیره مارکوف افزاینده. یک زنجیره مارکوف افزاینده مرتبه m با رابطه زیر توصیف می‌شود: formula_14 زنجیره مارکوف زمان پیوسته. لامپی را در نظر بگیرید که یا روشن است یا خاموش. اگر لامپ در زمان t روشن باشد X(t) = 1 و اگر خاموش باشد X(t) = 0. در این
باشد X(t) = 1 و اگر خاموش باشد X(t) = 0. در این صورت متغیر تصادفی X زمان گسسته نیست زیرا پس از ورود به حالتی برای یک مدت زمانی که خود نیز متغیری تصادفی است، در آن جا می‌ماند و سپس به حالت دیگری منتقل می‌شود. این قبیل فرایندها را زنجیره مارکوف زمان پیوسته می‌نامیم. یک زنجیره پیوسته مارکف توسط یک فضای حالت متناهی یا شمارا، یک ماتریس نرخ انتقال Q با ابعادی برابر با فضای حالت است. برای i ≠ j، هر عنصر qij غیر منفی است و نرخ انتقال فرایند را از حالت i به حالت j توصیف می‌کند. سه تعریف برای فرایندهای مارکوف زمان
توصیف می‌کند. سه تعریف برای فرایندهای مارکوف زمان پیوسته وجود دارد: تعریف حدی. اگر متغیر تصادفی وضعیت زنجیره درلحظهٔ t با Xt نشان دهیم و فرض کنیم زنجیره در زمان t در حالت i قرار دارد. با توجه به این که Xt = i و Xt+h به مقادیر گذشته وابسته نیستند، هنگامی که h → ۰ برای هر j و t داریم: که در این معادله formula_16 دلتای کرونکر است و همچنین از نماد o کوچک استفاده شده‌است. qij می‌تواند معیاری از سرعت تغییر حالت از i به j باشد. تعریف زنجیره پرش یا زمان نگهداری. اگر متغیر تصادفی Yn نشان‌دهندهٔ nامین پرش (تغییر
اگر متغیر تصادفی Yn نشان‌دهندهٔ nامین پرش (تغییر حالت) در زنجیره باشد و متغیرهای formula_17 زمان ایستایی در هر حالت را نشان دهند، هر کدام از Siها از توزیعی نمایی با پارامتر formula_18 پیروی می‌کنند. تعریف احتمال انتقال. برای هر مقدار formula_19 و زمان‌های formula_20 با حالت‌های formula_21 داریم: که در آن "p""ij" در دو مجموعه معادلات دیفرانسیلی به نام‌های معادلات پیشرو کولموگروف و معادلات پسرو کولموگروف صدق می‌کنند. تکامل گذرا. احتمال تغییر حالت از حالت iام به حالت jام در n حرکت برابر است با این احتمال در
به حالت jام در n حرکت برابر است با این احتمال در یک حرکت برابر است با برای یک زنجیره مارکوف یکنواخت در زمان formula_25 و formula_26 توجه کنید که برای یک زنجیره مارکوف یکنواخت در زمان، احتمال تغییر حالت از حالت iام به حالت jام در n حرکت معادل است با درایهٔ "(i,j)" ام ماتریس احتمال انتقال وقتی این ماتریس n بار در خودش ضرب شده‌است: formula_27 در حرکت‌های "n" تایی احتمالات به‌دست آمده را ارضا می‌کنند. پس برای هر k که ۰ &lt;n&gt; "k" داریم در این رابطه "S" فضای حالت زنجیره مارکوف است. توزیع حاشیه ای (Pr(Xn = x
حالت زنجیره مارکوف است. توزیع حاشیه ای (Pr(Xn = x مربوط به حرکت "n"ام است. توزیع اولیه برابر است با (Pr(X۰ = x. تعمیم یافته این توزیع برای حرکت‌های بعدی به شکل formula_29 نمایش داده می‌شود که در آن "n" زیروند است و نه توان. رده‌بندی حالت‌های یک زنجیر مارکوف. تقلیل‌پذیری. حالت jام را قابل دسترسی از حالت iام می‌نامند ("i" → "j") اگر در سیستمی که از حالت iام شروع شود با احتمال غیر ۰ در نهایت به حالت jام برسد. در واقع اگر عدد صحیح " n ≥ ۰ " وجود داشته باشد که تساوی "n" با ۰ به معنای در دسترس بودن همه حالات از
"n" با ۰ به معنای در دسترس بودن همه حالات از حالت iام است. حالت iام را مرتبط با حالت jام می‌نامند ("i" ↔ "j") اگر هر دو رابطه "i" → "j" و "j" → "i" برقرار باشند. مجموعه حالات "C" را کلاس مرتبط می‌نامند اگر هر یک از اعضای آن با هر عضو دیگر این مجموعه مرتبط باشد و هیچ‌یک از اعضای "C" با حالتی که عضو آن نیست مرتبط نباشد. می‌توان نشان داد که ارتباط همان هم‌ارزی است و کلاس‌های مرتبط در واقع کلاس‌های هم‌ارزی هستند. یک کلاس هم‌ارزی را بسته می‌نامند اگر احتمال خروج از این کلاس ۰ باشد. به عبارت دیگر اگر حالت i در C
از این کلاس ۰ باشد. به عبارت دیگر اگر حالت i در C باشد و حالت j در C نباشد، j قابل دسترسی از i نیست. مجموعه‌ای از کلاس‌های مرتبط یک گراف جهت‌دار بدون دور را تشکیل می‌دهند که یال‌های آن همان یال‌های فضای حالت اصلی هستند. یک کلاس مرتبط بسته‌است اگر و تنها اگر هیچ یال خروجی میان کلاس‌های مختلف وجود نداشته باشد. حالت "i" را ضروری می‌نامند اگر به ازای همه "j"هایی که "i" → "j"، رابطه "j" → "i" نیز برقرار باشد. در غیر این صورت حالت "i" را غیرضروری می‌نامند. اگر تمام وضعیت‌های یک زنجیر مارکوف با هم مرتبط باشند،