payamvha/North_RAG huggingface dataset:
و کتاب صوتی Scrappy Little Nobody در سال ۲۰۱۶ منتشر کرد. اوایل زندگی. کندریک در نهم اوت سال ۱۹۸۵ در شهر پورتلند، در ایالت مین زاده شد."" او فرزند یک حسابدار به نام جنیس(Janice née Cooke) و یک معلم تاریخ به نام ویلیام(William Kendrick) است"." پدرش در زمینه مالی نیز فعالیت داشته. اصالت او انگلیسی، ایرلندی، اسکاتلندی است."" کندریک یک برادر بزرگتر دارد که او در فیلم درام Looking for an Echo بازی کرده‌است. کندریک از مدرسه Deering High School فارغ‌التحصیل شده‌است. فعالیت‌های هنری. ۲۰۰۷–۱۹۹۸: ابتدای حرفه، تئاتر،
فعالیت‌های هنری. ۲۰۰۷–۱۹۹۸: ابتدای حرفه، تئاتر، آغاز بازی در فیلم. کندریک حرفه بازیگری را از کودکی با دادن تست‌های بازیگری برای تئاتر در نیویورک آغاز کرد. وقتی دوازده سال داشت، نقش مکمل را در سال ۱۹۹۸ در برادوی در تئاتر موزیکال High Society به دست آورد. نمایش جذاب او برایش جایزه جهانی تئاتر و همچنین نامزدی برای بازیگر برجسته زن در تئاتر موزیکال در Drama Desk Award و جوایز تونی را به همراه داشت. وی در سال ۲۰۰۳ در New York City Opera در تئاتری موزیکال به کارگردانی استیون سوندهایم با نام A Little Night Music
استیون سوندهایم با نام A Little Night Music بازی کرد. اولین فیلم او موزیکال 'Camp' است. بازی او برای نقش Fritzi Wagner نامزدی در Independent Spirit Awards به عنوان بهترین اولین اجرا(Best Debut Performance) به ارمغان آورد. در سال ۲۰۰۷ او نقش یک دبیرستانی مناظره کننده و جاه‌طلب را در Rocket Science بازی کرد و بار دیگر نامزد Independent Spirit Awards شد. ۲۰۱۱–۲۰۰۸: مجموعه‌فیلم گرگ‌ومیش و بالا در آسمان. کندریک در سال ۲۰۰۸ با بازی در فیلم مجموعه‌فیلم گرگ‌ومیش بر اساس رمانی به قلم استفانی میر با همین نام به شهرت
اساس رمانی به قلم استفانی میر با همین نام به شهرت رسید. کندریک نفش جسیکا استنلی، دوست قهرمان داستان بلا سوان را بر عهده داشت. وی در کمدی تجربه مارک پیز نقش آفرینی کرد و نقش اول را در جنایی-دلهره‌آور Elsewhere به عهده داشت؛ و در فیلم دیگری از مجموعه‌فیلم گرگ‌ومیش یعنی نقش جسیکا استنلی را بازی کرد. او سپس در در فیلم بالا در آسمان به کارگردانی جیسون رایتمن و در کنار جورج کلونی بازی کرد. اجرای او در نقش فردی بلند پرواز و تازه فارغ‌التحصیل شده از دانشکده را بر عهده داشت و بازی او توسط منتقدان ستایش شده بود به
عهده داشت و بازی او توسط منتقدان ستایش شده بود به طوریکه گفتند «بامزه و گیرنده» و اضافه کردند «او در هر صحنه ای که از فیلم بود، آن را به دست می‌گرفت». کندریک برای این نقش نامزد جوایزی برای بهترین بازیگر مکمل زن شد و از برجسته‌ترین آنها می‌توان به نامزدی در جوایز اسکار، جوایز گلدن گلوب، جایزه انجمن بازیگران فیلم و جوایز بفتا اشاره کرد. در ۲۰۱۰، کندریک بار دیگر نقش جسیکا استنلی را در سومین فیلم از مجموعه‌فیلم گرگ‌ومیش با نام بازی کرد. در انتهای همان سال او در فیلم اسکات پیلگریم در برابر دنیا نقش خواهر شخصیت
فیلم اسکات پیلگریم در برابر دنیا نقش خواهر شخصیت اصلی فیلم را داشت، این فیلم در باکس آفیس موفق نبود ولی در گذر زمان به عنوان کالت کلاسیک ظهور کرد. در سال ۲۰۱۱ او در فیلم کمدی-درام ۵۰/۵۰ که مورد تحسین منتقدان قرار گرفت نقش‌آفرینی کرد، او نقش روان‌شناس بی‌تجربه برای بیمار سرطانی که نقش آن را جوزف گوردون لویت بر عهده داشت، ایفا کرد. انتهای آن سال نیز برای آخرین بار نقش جسیکا استنلی در چهارمین از پنج فیلم از مجموعه‌فیلم گرگ‌ومیش با نام ایفا کرد. او از سال ۲۰۱۰ به عضویت آکادمی علوم و هنرهای سینما در شاخه
۲۰۱۰ به عضویت آکادمی علوم و هنرهای سینما در شاخه بازیگران درآمد. ۲۰۱۵–۲۰۱۲: آوازخوان حرفه‌ای و به سوی جنگل. در ۲۰۱۲، کندریک در فیلم وقتی حامله هستی باید منتظر چه چیزی باشی نقش آفرینی کرد که اقتباس ضعیفی از کتاب What to Expect When You're Expecting بود. همچنین در همان سال او صداگذاری یکی از شخصیت‌های انیمیشن پارانورمن به عهده داشت، در فیلم از نظر تجاری موفق آخرین گشت ایفای نقش داشت و در فیلم هیجانی-سیاسی شراکتی که نگاه می‌داری به کارگردانی رابرت ردفورد بازی کرد. موفق‌ترین فیلم کندریک در سال ۲۰۱۲ فیلم
بازی کرد. موفق‌ترین فیلم کندریک در سال ۲۰۱۲ فیلم موزیکال-کمدی 'آوازخوان حرفه‌ایکه اقتباسی ضعیف از کتاب غیر داستانی با نام" "Pitch Perfect: The Quest for Collegiate A Cappella Glory" "بود. کندریک نقش بکا میچل را ایفا کرد، دانشجوی سرکش سال اولی که به عضویت گروه موسیقی آکاپلا به نام باردن بلاز(Barden Bellas) درآمد و متوجه شد که تلاش‌های او برای اجرای موسیقی مدرن با آرمان‌های سنتی رهبر گروه مغایرت دارد. این فیلم از نظر تجاری بسیار موفق شد و نقدهای مثبت بسیاری دریافت کرد، منتقدان اجرای کندریک را "پر زرق و برق"
کرد، منتقدان اجرای کندریک را "پر زرق و برق" خواندند و اشاره کردند "نت‌های موسیقی را بسیار عالی اجرا کرده‌است". در ۲۰۱۳، کندریک در فیلم رومانتیک کمدی-درامهم‌پیاله‌ها نقش‌آفرینی کرد، این فیلم با نظر مثبت منتقدان رو به رو شد هرچند فیلم دیگری که در آن سال بازی کرد یعنی Rapture-Palooza به باد انتقاد گرفته شد. او در فستیوال فیلم Sundance در ژانویه ۲۰۱۴ در سه فیلم نقش‌آفرینی کرد. او نقش اصلی در کمدی-درام Happy Christmas و کمدی-ترسناک صداها ایفا کرد که از سمت منتقدان، نقدهای مطلوبی دریافت کردند. او همچنین نقش مکمل
نقدهای مطلوبی دریافت کردند. او همچنین نقش مکمل را در فیلم زامبی-کمدی Life After Beth بازی کرد. هر دو فیلم Happy Christmas و Life After Beth به صورت محدود در انتهای ۲۰۱۴ پخش شدند ولی فیلم صداها در ابتدای سال ۲۰۱۵ به صورت محدود پخش شد. در جشنواره بین‌المللی فیلم تورنتو در سپتامبر ۲۰۱۴، کندریک در دو فیلم نقش‌آفرینی کرد. او در فیلم موزیکال-رومانتیک The Last Five Years بازی کرد، فیلمی که برگفته و گسترش یافته از تئاتری به همان نام است. در حالی که فیلم نمرات متوسطی دریافت کرد ولی کندریک توانست برای اجرایش تحسین
دریافت کرد ولی کندریک توانست برای اجرایش تحسین گسترده منتقدان را به دست آورد. او همچنین در فیلم کمدی-درام کیک به عنوان نقش مکمل بازی کرد. کیک در نهایت به صورت گسترده در ژانویه ۲۰۱۵ پخش شد ولی فیلم The Last Five Years به صورت محدود در فوریه ۲۰۱۵ منتشر شد. کندریک نقش سیندرلا را در سال ۲۰۱۴ در فیلم به‌سوی جنگل به کارگردانی راب مارشال ایفای نقش کرد. فیلمی که اقتباسی از فیلم موزیکالی به همان نام به کارگردانی استیون سوندهایمبود. این فیلم بسیار در زمینه تجاری موفق شد و از طرف منتقدان عموماً نظرات مثبتی دریافت
شد و از طرف منتقدان عموماً نظرات مثبتی دریافت کرد. کندریک در مسابقه لب‌خوانی با جان کرازینسکی یکی از عوامل اجرایی آن برنامه در قسمتی که آوریل ۲۰۱۵ پخش شد رقابت کرد. او آهنگ دزدیدن دوست‌دخترم از گروه وان دایرکشن را اجرا کرد که در آن به شوخی محبت خودش را به همسر جان کرازینسکی یعنی امیلی بلانت که تازه ازدواج کرده بودند، نشان داد. در حین اجرا او، به تصویر امیلی بلانت در مانیتور به حالت پرستش خیره شده بود هنگامی که تی-شرتی با عکس خودش و امیلی بلانت در قالب قلب روی آن چاپ شده بود، به تن داشت. کندریک پس از آن
روی آن چاپ شده بود، به تن داشت. کندریک پس از آن آهنگ کپل از جنیفر لوپز اجرا کرد که در انتها لوپز برای سوپرایز به روی صحنه آمد. کرازینسکی آهنگ Bye Bye Bye از گروه انسینک و آهنگ Proud Mary از Ike &amp; Tina Turner اجرا کرد. بیندگان کندریک را برنده اعلام کردند. این قسمت ۱/۷۵ میلیون مخاطب از آمریکا داشت. کندریک نقش مکمل را در فیلم حفاری برای آتش داشت، این فیلم اولین بار در جشنواره فیلم Sundance نمایش داده شد و در اوت همان سال به صورت محدود پخش شد. او برای بار دیگر نقش بکا میچل در آوازخوان حرفه‌ای ۲ بازی کرد که
نقش بکا میچل در آوازخوان حرفه‌ای ۲ بازی کرد که در آن بکا (آنا کندریک) در سال آخر کالج قرار دارد و رهبری گروه بادرن بلاز را به عهده گرفته، این فیلم بسیار فروش موفقی داشت، به فیلمی پر مخاطب و محبوب تبدیل شد و از فیلم قبلی پیشی گرفت. ۲۰۱۶-اکنون: مجموعه ترول‌ها و پروژه‌های دیگر. کندریک در فیلم آقای مطلوب نقش اصلی را داشت. این فیلم در جشنواره بین‌المللی فیلم تورنتو برای اولین بار به نمایش گذاشته شد و در هشتم آوریل ۲۰۱۶ منتشر شد. او همچنین در فیلم کمدی-درام The Hollars به کارگردانی جان کرازینسکی که اولین بار در
به کارگردانی جان کرازینسکی که اولین بار در جشنواره فیلم Sundance در سال ۲۰۱۶ به نمایش داده‌شد و در اوت همان سال منتشر شد، نقش‌آفرینی کرد. پس از آن او در فیلم یه شغل پیدا کن حاضر شد که در ماه مارس سال ۲۰۱۶ به صورت محدود منتشر شد، این فیلم از سال ۲۰۱۲ تأخیر خورده بود. همچنین در سال ۲۰۱۶، کندریک در فیلم مایک و دیو همراه عروسی می‌خواهند که از نظر تجاری بسیار موفق بود به عنوان نقش اول بازی کرد؛ صداگذاری شخصیت پاپی(Poppy) در انیمیشن ترول‌ها را به عهده داشت. او در فیلم اکشن-هیجانی حسابدار بازی کرد. کندریک خاطراتش
فیلم اکشن-هیجانی حسابدار بازی کرد. کندریک خاطراتش را در قالب یک کتاب در ۱۵ نوامبر ۲۰۱۶ منتشر کرد. اون همچنین نسخه صوتی همین کتاب را که توسط خودش خوانده شده منتشر کرده‌است. کندریک در فیلم Table 19 نقش اصلی را بازی کرد؛ این فیلم در سوم مارس ۲۰۱۷ منتشر شد. او باری دیگر نقش بکا میچل در فیلم "آوازخوان حرفه‌ای ۳" که در ۲۲ دسامبر ۲۰۱۷ منتشر شد را اجرا کرد. در سپتامبر او نقش استفانی اسماثرز را در فیلم رمزآلود-هیجانی "یک لطف ساده" بازی کرد. همچنین در سپتامبر ۲۰۱۸ کندریک در چندسری از تبلیغات برای هتل‌های هیلتون ظاهر
در چندسری از تبلیغات برای هتل‌های هیلتون ظاهر شد. در سال ۲۰۱۹ کندریک در فیلم کمدی جنایی روز موعود خواهد آمد بازی کرد و در فیلم کریسمس-کمدی نوئل متعلق به شبکه دیزنی+ نقش‌آفرینی کرد. کندریک همچنین وظیفه صدا گذاری شخصیت نورا در سریال انیمیشن Human Discoveries، ساخته و منتشر شده توسط Facebook Watch، را بر عهده داشت. کندریک در انیمیشن بعدی در ادامه انیمیشن ترول‌ها یعنی تور جهانی ترول‌ها صداگذاری پاپی را بر عهده داشت، باتوجه به شیوع جهانی ویروس کووید ۱۹، استودیو یونیورسال پیکچرز آن را بر روی شبکه‌های محبوب به
یونیورسال پیکچرز آن را بر روی شبکه‌های محبوب به صورت اجاره‌ای در دهم آوریل منتشر کرد."" او در سریال کمدی Dummy که توسط شبکه کوییبی ساخته شده بود نقش اصلی را داشت و همچنین از تهیه‌کنندگان اجرایی آن سریال نیز بود. او برای اجرایش نامزدی در بازیگر برتر زن در سریال کمدی کوتاه در جوایز امی را کسب کرد."" همچنین در سال ۲۰۲۰، کندریک نقش اصلی در سریال رومانتیک-کمدی Love Life متعلق به اچ‌بی‌او مکس (که اکنون از BBC iPlayer نیز پخش می‌شود)، بر عهده داشت و او در این سریال هم یکی از تهیه‌کنندگان اجرایی آن بود. او بعدها
هم یکی از تهیه‌کنندگان اجرایی آن بود. او بعدها به عنوان نقش اول در فیلم دلهره‌آور و علمی-تخیلی مسافر قاچاق ظاهر شد، این فیلم در ۲۲ آوریل سال ۲۰۲۱ در شبکه نتفلیکس به نمایش گذاشته شد. او همچنین نقش سربازی ایالتی که به کاهش شنوایی برگشت‌ناپذیر مبتلا است را در فیلم Unsound بازی کرد؛ این فیلم توسط بهارات نالوری کارگردانی می‌شود. زندگی شخصی. کندریک در شهر لس آنجلس در منطقه هالیوود هیلز ساکن هست. او در سال ۲۰۰۹ شروع به ملاقات با فیلمساز انگلیسی ادگار رایت کرد، آنها همدیگر را حین ساخت فیلم اسکات پیلگریم در برابر
همدیگر را حین ساخت فیلم اسکات پیلگریم در برابر دنیا ملاقات کردند. آن دو در مارس ۲۰۱۳ از هم جدا شدند. پس از آن از فوریه ۲۰۱۴، او با فیلمبردار انگلیسی بن ریچاردسون وارد رابطه شد، آنها هم دیگر را در فیلمبرداری فیلم هم‌پیاله‌ها ملاقات کردند. کندریک صدای زیری دارد.
آنا کارولینا رستون (زادهٔ ۴ ژوئن ۱۹۸۶ - درگذشتهٔ ۱۵ نوامبر ۲۰۰۶) مانکن اهل برزیل بود. رستون در یک خانوادهٔ متوسط در شهر ژونجیای سائو پائولو به‌دنیا آمد. در ۱۳ سالگی و پس از برنده‌شدن در یک دوره «رقابت زیبایی محلی» در زادگاه‌اش به حرفهٔ مُدلینگ روی آورد. او در دوران کوتاه فعالیت حرفه‌ای‌اش با شرکت‌های معتبر این صنعت مانند فورد، الیت و لِکیپ در کشورهای چین، ترکیه، مکزیک و ژاپن همکاری کرد و در کمپین‌های تبلیغاتی جورجیو آرمانی ظاهر شد. در ژانویهٔ ۲۰۰۴ و پس از اولین سفر کاری خارج از کشور که به گوانگ‌ژوی چین
اولین سفر کاری خارج از کشور که به گوانگ‌ژوی چین انجام داد طی گزارشی به او اعلام شد که به‌عنوان یک مانکن، بیش از اندازه چاق شده‌است و این اتفاق منجر به بروز عارضهٔ بی‌اشتهایی عصبی در رستون شد. پس از آن وزن او رو به کاهش گذاشت، به‌شکلی که در ۲۵ اکتبر ۲۰۰۶ به‌خاطر نارسایی کلیوی ناشی از تغذیهٔ بد در بیمارستان بستری شد. رژیم غذایی او در آن دوره به سیب و گوجه‌فرنگی منحصر شده بود و شاخص جرم بدن او به ۱۳/۴ رسیده بود. در هفته‌های بعد بیماری رستون رو به وخامت گذاشت و دچار عفونت عمومی شد. او ۲۰ روز پس از بستری شدن در
دچار عفونت عمومی شد. او ۲۰ روز پس از بستری شدن در بیمارستان، در حالی که با قد ۱/۷۳ سانتیمتر فقط ۴۰ کیلوگرم وزن داشت در سن ۲۱ سالگی درگذشت. او پس از لوئیزل راموس اروگوئهای دومین مانکنی بود که در سال ۲۰۰۶ و بر اثر عوارض مرتبط با سوءتغذیه از دنیا رفت.
سونگکران جشن سال نو تایلندی است در آوریل هر سال برگزار می‌شود. واژه Songkran در زبان تایلندی به معنی حرکت کردن و تغییر مکان است و علت نامگذاری آن حرکت خورشید در منطقه البروج است. در این روز همچنین جشن آب برگزار می‌شود که در واقع شروع فصل باران بوده و به باور مردم تایلند، این آب بداقبالی را از آن‌ها شسته و دور می‌کند. این سنت در جامعه تایلندی بسیار باارزش است. در روز جشن اعضای خانواده دور هم جمع می‌شوند تا احترام خود را به بزرگترها با ریختن آب خوشبو بر روی دست‌های آن‌ها نشان دهند و در مقابل از دعای آن‌ها
دست‌های آن‌ها نشان دهند و در مقابل از دعای آن‌ها برای خوش بختی و سعادت برخوردار شوند. در بعد از ظهر این روز پس از ادای احترام به بودا و شستن آن، همه مردم از پیر و جوان به یکدیگر آب می‌پاشند. معروف‌ترین جشن آب، در ایالت چیانگ مای در شمال تایلند برگزار می‌شود که مردم زیادی در این روزها از مناطق مختلف کشور برای شرکت در این جشن به چیانگ مای می‌روند. مردم در روز اول جشن سونگکران که روز ملی سالمندان است مراسم خاصی را برگزار می کنند و در آن افراد جوان آبی خوشبو را به نشانه فروتنی بر روی کف دست سالمندان می ریزند و
به نشانه فروتنی بر روی کف دست سالمندان می ریزند و از آن ها می خواهند که برای خوشبختی آن ها دعا کنند.روز دوم سونگکران روز ملی خانواده است. خانواده ها صبح زود از خواب بیدار شده و به رهبران مذهبی خود صدقه می دهند و بقیه روز را در کنار خانواده های خود می گذرانند. مراسم مذهبی مهم در سونگکران شستن مجسمه های مذهبی با آب های خوشبو است.برعکس چیزی که شما در سونگکران شاهد آن هستید، مردم تایلند فقط برای شادی و تفریح آب را روی همدیگر نمی پاشند. دلیل واقعی آب بازی، شستن همه بدشانسی های سال گذشته است و با این کار با یک
همه بدشانسی های سال گذشته است و با این کار با یک شروع تازه به استقبال سال جدید می روند. به طور سنتی، آن ها خیلی مودبانه یک کاسه آب را روی اعضای خانواده، دوستان نزدیک و همسایه های خود می ریختند اما الان به سونگکران به شکل یک آب بازی خیلی شاد نگاه می شود و کاسه آب جای خود را به سطل ها و شلنگ های آب داده است.قبل از این که در تایلند روز سال نوی بین المللی در سال ۱۹۴۰ به تصویب برسد، سونگکران بر اساس تقویم شمسی محاسبه می شد و زمان آن هر سال فرق می کرد اما الان هر سال از ۱۳ تا ۱۵ آوریل (۲۴ تا ۲۶ فروردین) برگزار
سال از ۱۳ تا ۱۵ آوریل (۲۴ تا ۲۶ فروردین) برگزار می شود و بسته به اینکه در کجای این کشور باشید ممکن است مدت این جشن متفاوت باشد.برای جشن به منطقه سیلوم بانکوک بروید.شاید شلوغ ترین جای بانکوک در هنگام جشن سونگکران منطقه سیلوم بانکوک باشد. هزاران نفر از جوانان تایلندی در خیابان ۵ کیلومتری پت پونگ جمع می شوند و هر چیزی که با آن بتوانند آب بپاشند را همراه خود می آورند، برای آن ها آب بازی در گرمای ۴۰ درجه خورشید بسیار لذت بخش است.
در حساب و نظریه اعداد، کوچکترین مضرب مشترک از دو عدد صحیح "a" و "b" را اغلب به صورت (LCM(a, b نمایش داده که کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هردوی "a" و "b" بخش پذیر می‌باشد. از آنجا که تقسیم بر صفر تعریف نشده، تعریف ک.م.م. تنها زمانی معنادار است که "a" و "b" هردو مخالف صفر باشند. با اینحال، برخی از مؤلفان formula_1 را برای تمام "a"‌ها برابر با صفر تعریف می‌کنند، به این دلیل که ک.م.م. را کوچکترین کران بالایی در مشبکه بخش‌پذیری تعریف می‌نمایند. همچنین ک.م.م. را می‌توان آن قبل از جمع، تفریق یا مقایسه کسرها
را می‌توان آن قبل از جمع، تفریق یا مقایسه کسرها به کار برد. ک.م.م. بیش از دو عدد صحیح نیز خوش‌تعریف است: در این حالت ک.م.م. برابر با کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هرکدام از آن‌ها بخش‌پذیر باشد. تعریف. فرض کنید formula_2 اعداد صحیح و ناصفر باشند. در میان مضرب‌های مشترک مثبت formula_2 کوچکترین عدد را (که بنا بر اصل خوش ترتیبی وجود دارد.) کوچکترین مضرب مشترک formula_2 می‌نامیم و آن را با ‍formula_5 نشان می‌دهیم. قضیه. اگر formula_2 اعدادی صحیح و ناصفر باشند، هر مضرب مشترک آن‌ها بر formula_5 بخش‌پذیر است.
هر مضرب مشترک آن‌ها بر formula_5 بخش‌پذیر است. برهان: اگر formula_8 مضرب مشترکی از formula_2 باشد، بنابر الگوریتم تقسیم اعدادی صحیح مانند formula_10 و formula_11 وجود دارند که (۱) formula_12 و formula_13 از طرف دیگر formula_14 و formula_15 برای هر formula_16 بنابراین formula_17 یعنی formula_11 مضربی مشترک از formula_2 است. در نتیجه اگر formula_20، آنگاه formula_21، که با نابرابری سمت راست (۱) تناقض دارد بنابراین formula_22 و formula_23 محاسبه ک.م.م.. برای محاسبه ک.م.م. می‌توان همه اعداد را به عوامل اول
محاسبه ک.م.م. می‌توان همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کرد. ک.م.م. برابر حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک می‌شود. همچنین می‌توان ک.م.م. را به کمک ب.م.م. تعریف نمود: از آنجا که ب م م دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ک.م.م. آنها است، ک.م.م. دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ب.م. م آنهاست: formula_24 از آنجا که ب.م.م. دو عدد شمارنده هر دو است، بهتر است اول تقسیم و سپاس ضرب کرد که بدین ترتیب ک.م.م. به این شکل تعریف خواهد شد:
مربع لاتین یک آرایهٔ مربعی (ماتریس مربعی) است که در هر سطر و هر ستون آن اعضای مجموعه A به‌طور کامل و بدون تکرار قرار داشته باشند. مثال: در احتمالات ماتریس «متغیر تصادفی دوگانه» (که حاصل جمع هر سطر و ستون آن یک است) یک مربع لاتین است. formula_1 حال در مورد مستطیل‌ها و مربع‌هایی بحث می‌کنیم که درایه‌های آن اعداد صحیح و مثبت هستند. یک مستطیل لاتین A با ابعاد p×q عبارت است از : یک ماتریس p × q که هر یک از درایه‌های آن عضو مجموعه {۳٬۲،1...n} بوده و هیچ عضو تکراری در سطر یا ستون آن به وجود نیاید. در حالت خاص اگر
در سطر یا ستون آن به وجود نیاید. در حالت خاص اگر p = q = n آن را مربع لاتین می‌نامیم. در این صورت هر سطر و هر ستون جایگشتی از مجموعه {۳٬۲،1...n} است. حال این سؤال را مطرح می‌کنیم که آیا یک مستطیل لاتین الزاماً بخشی از یک مربع لاتین است؟ مثال: آیا مستطیل لاتین زیر بخشی از یک مربع لاتین ۴×۴ است؟ یا به عبارت دیگر آیا می‌توان دو سطر دیگر به این مستطیل لاتین افزود که تبدیل به مربع لاتین ۴×۴ شود؟ formula_2 به‌طور مشابه آیا مستطیل لاتین مقابل بخشی از مربع لاتین ۵×۵ است؟ formula_3 مستطیل لاتین اول می‌تواند به مربع
است؟ formula_3 مستطیل لاتین اول می‌تواند به مربع لاتین گسترش پیدا می‌کند. مانند: formula_4 می‌توان نشان داد که هر مستطیل لاتین p×q با درایه‌هایی از مجموعه {۳٬۲،1...n} را می‌توان به مربع لاتین n×n گسترش داد. اما مستطیل دوم قابل گسترش نیست. چون به ستون‌های اول و دوم وسوم باید عدد «۲» اضافه شود. چون این سه عدد «۲» باید در دو سطر قرار گیرند پس دو تا از آن‌ها در یک سطر واقع شده‌اند؛ بنابراین مربع بدست آمده لاتین نخواهد بود. قبل از این که به بیان قضایای مورد نظر در این بحث بپردازیم، ابتدا به صورت دو قضیه و یک لم
این بحث بپردازیم، ابتدا به صورت دو قضیه و یک لم کمکی اشاره می‌کنیم: قضایای کمکی. ۱)قضیه هال (صورت ماتریسی) : ماتریس M یک ماتریس m× n با درایه‌های صفر و یک است. در این صورت در هر سطر آن یک عدد ۱ وجود دارد و در هیچ ستونی بیش از یک عدد ۱ وجود ندارد اگر و تنها اگر برای هر مجموعه از سطرها (مثلاً r تایی) تعداد ستون‌هایی که ۱های این سطرها در آن‌ها قرار دارند، حد اقل برابر r باشد. ۲)یک خانواده از مجموعه‌ها به صورت{ S={A1، A2، A3 ،...، An را در نظر می‌گیریم. مجموعه P را نیز یصورت زیر فرض می‌کنیم: P زیر مجموعهٔ
P را نیز یصورت زیر فرض می‌کنیم: P زیر مجموعهٔ A1∪A2∪... ∪An حال Sدارای یک مجموعه نماینده‌های متمایز شامل مجموعه P است اگر و تنها اگر: الف) S یک مجموعه نماینده‌های متمایز داشته باشد. ب) برای هر داشته باشیم: لم کمکی. لم: فرض کنید L، مستطیل لاتین p × q شامل درایه‌های {۲٬۱،... ،n} باشد. اگر دو عدد صحیح باشند، آنگاه تعداد اعضای مجموعه {۲٬۱،... ،n} که دقیقاً m بار در L آمده و در همهٔ r سطر اول ظاهر شده‌اند بیشتر از نمی‌باشند. قضایای اصلی. قضیه۱:هر مستطیل لاتین n×p را می‌توان به مربع لاتین n×n گسترش داد اثبات:
n×p را می‌توان به مربع لاتین n×n گسترش داد اثبات: فرض کنیم L مستطیل لاتین n×p باشد. برای هر n&gt;i&gt;1 تعریف می‌کنیم: یافتن یک سطر اضافی از اعضای مجموعه{۳٬۲،1...n} برای تبدیل L به مستطیل لاتینیp+1)×n) در واقع معادل یافتن یک مجموعهٔ نماینده‌های متمایز از خانواده {S={A1،A2،A3،... ،An است. طبق قضیه هال اجتماع هر r تا از این مجموعه‌ها حداقل شامل r عضو متمایز است که n&gt;r&gt;1. قبل از ارائه استدلال به دو نکته اشاره می‌کنیم. ۱) A1| = |A2| = |A3| = ... = |An| = n - p| چون هر کدام از این مجموعه‌ها شامل عضوهایی
n - p| چون هر کدام از این مجموعه‌ها شامل عضوهایی از مجموعه {۳٬۲،1...n} است که در ستون p عضوی مربوط به آن نیامده‌اند. ۲) به ازای هر n&gt;j&gt;1عدد j در دقیقاً n - p مجموعه از خانواده S وجود دارد. زیرا j در دقیقاً p مکان L ظاهر می‌شود(p ستون مختلف). پس در n - p ستون وجود ندارد و بنا بر تعریف Aiها درn-p مجموعه مختلف ظاهر می‌شود. هر خانواده از مجموعه‌ها مانند S با ویژگی‌های مذکور باید یک مجموعه نماینده‌های متمایز داشته باشد. r مجموعه از خانواده S را در نظر گرفته و ثابت می‌کنیم شامل حد اقل r عضو متمایز است.
و ثابت می‌کنیم شامل حد اقل r عضو متمایز است. ابتدا همهٔ اعضای r مجموعهٔ مفروز را (با در نظر گرفتن اعضای تکراری) در یک لیست ردیف می‌کنیم. (r (n – p عضو بدست می‌آید. از طرفی همان‌طور که قبلاً گفته شد هر j حد اکثر در n-p مجموعه ظاهر می‌شود؛ بنابراین اگر اجتماع r مجموعه مفروض شامل کمتر از r عضو متمایز باشد (یعنی حد اکثر r-1 عضو متمایز داشته باشد) لیست باید شامل حد اکثر (n-p)(r-1) عضو باشد که می‌دانیم درست نیست. چون شامل (r(n-p عضو است. پس هر خانواده S شامل r مجموعه از Aiها، حد اقل r عضو متمایز دارد و طبق قضیهٔ
از Aiها، حد اقل r عضو متمایز دارد و طبق قضیهٔ هال خانواده { S={A1، A2، A3 ،...، An شامل یک مجموعه نماینده‌های متمایز از Aiها است. از طرفی همان‌طور که قبلاً گفته شد هر مجموعه نماینده‌های متمایز می‌تواند به عنوان یک سطر اضافی برای L در نظر گرفته شود و آن را به مستطیل لاتین p+1)×n) تبدیل کند. به همین ترتیب می‌توان با ادامهِ این رویه به مربع لاتین n×n رسید. اکنون مستطیل لاتین p×q را مورد بررسی قرار داده و متوجه خواهیم شد که گسترش آن‌ها همیشه ممکن نیست. قضیه۲: اگر L یک مستطیل لاتین p×q با درایه‌هایی از مجموعه
اگر L یک مستطیل لاتین p×q با درایه‌هایی از مجموعه {۳٬۲،1...n} باشد، آنگاه L را می‌توان به یک مربع لاتین n×n گسترش داد اگر و تنها اگر مقدار (L(i (تعداد تکرارهای i در L) برای هر n&gt;i&gt;1 در شرط زیر صدق کند: L(i) ≥ p + q – n اثبات: فرض می‌کنیم که L قابل گسترش به مربع لاتین n× n باشد: در شکل روبرو یک مربع لاتین 2*2 را مشاهده می کنیم چون i به تعداد (L(i مرتبه در L ظاهر شده و P مرتبه در دو بخش M و L با هم ظاهر می‌شود. پس (p - L(i در M تکرار شده‌است. اما از طرفی i به تعداد n - q مرتبه در دو بخش Q و M با هم
طرفی i به تعداد n - q مرتبه در دو بخش Q و M با هم تکرار می‌شود. پس داریم: p - L(i) ≤ n – q → L(i) ≥ p + q – n برعکس فرض کنیم رابطه L(i) ≥ p + q – n به ازای هر i بر قرار باشد و q&lt;n. روشی ارائه می‌دهیم که به وسیلهٔ آن بتوان L را به مستطیل (p×(q+1 گسترش داد و این روش برای مستطیل بدست آمده در مرحله قبل قابل تکرار باشد و بتواند تا ساختن مستطیل لاتین p×n ادامه پیدا کند. از طرفی بنا بر قضیهٔ قبل مطمئن هستیم که این مستطیل p×n قابل گسترش به مربع لاتین n×n است. پس حکم قضیه ثابت می‌شود. برای هر p&gt;i&gt;1 مجموعه
حکم قضیه ثابت می‌شود. برای هر p&gt;i&gt;1 مجموعه Ai را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: حال نشان می‌دهیم که خانواده {S={A1، A2، A3 ،...، An دارای یک مجموعه نماینده‌های متمایز شامل مجموعهٔ P است. (که این مجموعه را به عنوان ستون اضافی برای گسترش L به مستطیل لاتین (p×(q+1 در نظر می‌گیریم) برای اثبات وجود مجموعه نماینده‌های متمایز خانواده S باید به دو نکته توجه کنیم. ۱). A1| = |A2| = |A3| = ... = |Ap| = n – q| ۲) چون هر i در(p-L(i سطر ظاهر نشده و از طرفی p -L(i) ≤ n – q پس هر i در حد اکثر n-q تا از مجموعه‌های A1،
n – q پس هر i در حد اکثر n-q تا از مجموعه‌های A1، A2، ...، Ap ظاهر شده‌است. بنابراین مانند اثبات قضیه قبل اجتماع هر r تا از این مجموعه‌ها شامل حد اقل r عضو متمایز است. در نتیجه طبق قضیه هال یک مجموعه نماینده‌های متمایز از خانوادهٔ مذکور وجود دارد. حال برای آن که اثبات کنیم مجموعه نماینده‌های متمایز مورد نظر شامل مجموعه P است، باید نشان دهیم: و سپس از قضیه کمکی ۲ استفاده می‌کنیم. برای پرهیز از پیچیده شدن مسئله این حکم را تنها برای {I={۱٬۲٬۳،... ،r اثبات می‌کنیم. (در حقیقت ما یک مجموعه r عضوی شامل{A1، A2، A3
(در حقیقت ما یک مجموعه r عضوی شامل{A1، A2، A3 ،... ،Ar} را بررسی می‌کنیم و بقیه مجموعه‌ها نیز شبیه همین مورد هستند). بنا بر تعریف داریم: می‌دانیم هر عضو p مانند k دقیقاً p+q-n مرتبه در L ظاهر می‌شود. حال اگر p + q - n &lt;r آنگاه k حد اقل در یکی از Aiها ظاهر شده. بنابراین جمع بالا صفر شده و نا مساوی بر قرار می‌شود. اما اگر p + q - n ≥ r از لم گفته شده‌استفاده می‌کنیم و با در نظر گرفتن m = p + q – n نتیجه می‌گیریم که: بنا بر نامساوی فوق طبق قضیه هال خانواده S یک مجموعه نماینده‌های متمایز شامل P دارد.
S یک مجموعه نماینده‌های متمایز شامل P دارد. می‌توانیم این مجموعه نماینده‌های متمایز را به عنوان ستون اضافی برای گسترش L به مستطیل لاتین (p×(q+1 استفاده کنیم. اگر(L’(i) تعداد مرتبه‌های حضور عدد i در مستطیل لاتین جدید یعنی ’L باشد، در نتیجه خواهیم داشت: اگر i عضو p نباشد: L’(i) ≥ L(i)&gt; p + q – n اگر i عضو p باشد: L’(i) = L(i) + 1 = p + q – n +1 که در هر صورت نتیجه می‌دهد: L’(i) ≥ p + q – n + 1 یعنی مستطیل لاتین ’L نیز شرط لازم وکافی برای گسترش دادن را دارد و از این رویه می‌تواند ادامه پیدا کند تا مستطیل
و از این رویه می‌تواند ادامه پیدا کند تا مستطیل لاتین p×n ساخته شود و از طرفی بنا بر قضیه قبل مطمئن هستیم که این مستطیل می‌تواند به مربع لاتین n×n گسترش یابد. منابع. Cambridge University Press، 1993 - Mathematics - 266 pages
جواد شریفی متولد سال ۱۲۹۰ در تهران خوشنویس صاحب‌نام و از اساتید معاصر خط نستعلیق به‌شمار می‌رود او خوشنویسی را نزد پدر خود فرا گرفت. او فرزند میرزا زین‌العابدین شریفی ملقب به «ملک الخطاطین» از شاگردان برجسته محمد رضا کلهر بود همچنین او از شاگردان میرزای کلهر نیز ذکر کرده‌اند کتب بی شمار درسی فرهنگی و غیر آن که به خط جواد شریفی کتابت شده است در نزد اهل مطالعه مشهور است. زندگی. او در سال ۱۲۹۰ شمسی در تهران متولدشد. از کودکی در محیط هنری خانوادگی کسب فیض نموده و از ۱۵ سالگی مشغول کتابت خط برای ناشران کتاب‌ها