payamvha/North_RAG huggingface dataset:
s بزرگ‌تر از یک است همگراست، بلکه به‌طور کلی تر وقتی که بخش حقیقی s مثبت است؛ بنابراین این سری جایگزین تابع زتا را از دامنه Re("s")&gt; 1 به دامنه بزرگتر Re("s")&gt; 0 تعمیم می‌دهد. به استثنای ریشه‌های &lt;math/&gt; از &lt;math/&gt;. تابع زتا می‌تواند برای این مقادیر نیز با تعمیم داده شود. در نوار Re(s)&gt; 0 و Re(s) &lt;1 تابع زتا در رابطه زیر صدق می‌کند. تابع زتا (ζ(s را می‌توان با فرض بر این که معادله بالا برای اعداد خارج از نوار نیز صادق است برای همه اعداد مختلط s تعریف کرد. وقتی که "s" یک عدد صحیح زوج
مختلط s تعریف کرد. وقتی که "s" یک عدد صحیح زوج منفی است ζ("s") = ۰ به این دلیل که جمله (sin(πs/2 صفر می‌شود؛ اینها ریشه‌های ساده تابع زتا هستند. (وقتی که s عدد صحیح زوج مثبت است این جمله صفر نمی‌شود چرا که ریشه‌های تابع سینوس با قطب‌های تابع گاما کنسل می‌شوند) مقدار ζ(۰) = -۱/۲ توسط معادله تابعی به دست نمی‌آید، بلکه مقدار حد تابع زتا است وقتی که تابع به صفر میل می‌کند. معادله تابعی همچنین نشان می‌دهد که تابع زتا ریشه دیگری بر روی اعداد با قسمت حقیقی منفی غیر از ریشه‌های ساده ندارد پس همه ریشه‌های غیر ساده
از ریشه‌های ساده ندارد پس همه ریشه‌های غیر ساده باید در نوار بحرانی باشند جایی که قسمت حقیقی "s" بین ۰ و ۱ است. تأثیرات و دلایل اهمیت. توزیع اعداد اول. فرمول صریح ریمان برای تعداد اعداد اول کمتر از یک عدد معین می‌گوید که مقدار نوسانات اعداد اول در اطراف موقعیت پیش‌بینی شده اشان توسط قسمت حقیقی ریشه‌های تابع زتا کنترل می‌شود. مقدار خطا در قضیه اعداد اول به مکان ریشه‌های تابع زتا مربوط است. برای مثال اگر β کران بالایی قسمت حقیقی ریشه‌ها باشد، تفاوت (π("x") - Li("x" دارای خطایی از مرتبه O(xβ log(x)) خواهد
- Li("x" دارای خطایی از مرتبه O(xβ log(x)) خواهد بود. در حال حاضر می‌دانیم که ۱/۲ ≤ β ≤ 1 فون کخ در سال ۱۹۰۱ ثابت کرد که حدس ریمان «بهترین» کران ممکن برای خطای قضیهٔ اعداد اول را ارائه می‌کند. نسخه‌ای دقیق از نتایج کخ بیان می‌کند که بر طبق حدس ریمان جایی که (π("x" تابع شمارش اعداد اول است و ("log(x" لگاریتم طبیعی "x "است. همچنین نشان داد که طبق حدس ریمان &lt;math/&gt;برای همه &lt;math/&gt;. این نسخه صریحی از قضیه کرامر است. رشد توابع ریاضی. حدس ریمان علاوه بر کرانه‌هایی که بر تابع شمارش اعداد اول تعیین
بر کرانه‌هایی که بر تابع شمارش اعداد اول تعیین می‌کند، کرانه‌هایی نیز بر روی رشد توابع ریاضی می‌گذارد. یک مثال آن تابع موبیوس μ است. معادله برای همه sها با مقدار حقیقی بزرگتر از ۱/۲ معتبر است. از این رابطه می‌توان نتیجه گرفت که اگر تابع مرتنز با رابطه زیر تعریف شود آنگاه رابطه زیر برای هر ε مثبت معادل حدس ریمان است. (J. E. Littlewood, 1912; به عنوان مثال به پاراگراف ۱۴٫۲۵ در نگاه کنید). دترمینان مرتبه n ماتریس ردهفر برابر است با ("M"("n" بنابراین حدس ریمان می‌تواند همچنین به عنوان شرطی بر رشد این
ریمان می‌تواند همچنین به عنوان شرطی بر رشد این دترمینان‌ها باشد. حدس ریمان کرانه‌ای بر رشد M قرار می‌دهد که حدس مرتنز را رد می‌کند. حدس ریمان معادل بسیاری از حدس‌های دیگر در مورد سرعت رشد توابع ریاضی است. یک مثال قضیه رابین است که بیان می‌کند که اگر (σ("n" تابع مقسوم علیه با رابطه زیر باشد آنگاه برای همه "n"&gt; 5040 اگر و تنها اگر حدس ریمان درست باشد که در آن γ ثابت اویلر – ماسکرونی است. مثال دیگر توسط ژروم فرانل پیدا شد و توسط لاندو ( را ببینید) تعمیم داده شد. حدس ریمان معادل بسیاری از اظهارات است که
داده شد. حدس ریمان معادل بسیاری از اظهارات است که نشان می‌دهند که دنباله فاری نسبتاً منظم هستند. یکی از این هم‌ارزی‌ها به شرح زیر است: اگر "F""n" دنباله فاری از مرتبه n باشد که با 1/n شروع و تا ۱/۱ ادامه یابد، آنگاه می‌توان گفت که برای همه ε&gt; ۰ معادل حدس ریمان است. در اینجا تعداد جمله‌های دنباله فاری از مرتبه n است. به عنوان مثالی دیگر از نظریه گروه، اگر ("g"("n" تابع لاندو با مرتبه ماکزیمم از المان‌های گروه متقارن "S""n" از درجه n باشد"،" آنگاه نشان داده‌اند که حدس ریمان معادل با کران تابع برای همه
داده‌اند که حدس ریمان معادل با کران تابع برای همه nهای به اندازه کافی بزرگ است. حدس تفاضل بین اعداد اول بزرگ. بر طبق قضیه اعداد اول به‌طور میانگین فاصله بین عدد اول "p" و عدد اول بعد از آن log p است. البته برخی فاصله‌ها ممکن است بسیار بزرگتر از میانگین باشد. کرامر ثابت کرد که با فرض این که حدس ریمان درست باشد، هر فاصله‌ای از مرتبه O(√p log p) است. حدس کرامر حاکی از آن است که هر فاصله‌ای از مرتبه" "(O((log p)2 است که در حالی که بزرگتر از متوسط فاصله است با این حال بسیار کوچکتر از کرانه‌ای است که از حدس
با این حال بسیار کوچکتر از کرانه‌ای است که از حدس ریمان به دست می‌آید. محاسبات عددی حدس کرامر را تأیید می‌کنند. محل ریشه‌ها. تعداد ریشه‌ها. معادله تابعی همراه با اصل استدلال حاکی از آن است که تعداد ریشه‌های تابع زتا با قسمت موهومی بین ۰ و "T" با معادله زیر به دست می‌آید برای همه "s"=1/2+i"T "جایی که آرگومان با تغییر دادن آن به‌طور مداوم در راستای خط Im(s) = T با شروع از آرگومان ۰ در iT+∞ تعریف می‌شود. این مجموع جمله بزرگ (و کاملاً فهمیده شده) زیر است همچنین مجموع جمله کوچک و ناشناخته و رازگونه زیر بنابراین