payamvha/North_RAG huggingface dataset:
برد: که در آن تابع پله‌ای هویساید است و "H"(۰) = ۱/۲ می‌باشد. با کمک این برابری دوباره مشتق‌گیری می‌کنیم: می توان تابع علامت را به کمک براکت ایورسون هم نوشت: که در آن formula_10، تقریب مناسبی برای تابع علامت به صورت زیر است: تقریب دیگر چنین است: که برای formula_13 مقدار آن نزدیک‌تر به دقیق می‌شود. یادآوری می‌شود که این رابطه مشتق formula_14 است. این مطلب از آنجا بدست آمده که: رابطهٔ بالا در صورت صفر بودن formula_15 برای تمام "x"های ناصفر رابطه‌ای دقیق است و مانند تعمیم دادن تابع علامت در بُعدهای دیگر
است و مانند تعمیم دادن تابع علامت در بُعدهای دیگر می‌ماند (مانند مشتق جزئی formula_16). نگاه کنید به مقالهٔ تابع پله‌ای هویساید. تابع علامت مختلط. تابع علامت را می‌توان تا مجموعهٔ اعداد مختلط هم گسترش داد؛ به این ترتیب: که در آن "z" عضو formula_18 است مگر در نقطهٔ صفر. تابع علامت عدد دلخواه "z" در مجموعهٔ اعداد مختلط، برابر با نقطه‌ای است روی دایره واحد یک صفحهٔ مختلط که در نزدیک‌ترین فاصله به "z" قرار دارد. پس برای "z"های ناصفر داریم: در این رابطه arg همان زاویهٔ "φ" در بیان قطبی عدد مختلط است. "توضیح:"
زاویهٔ "φ" در بیان قطبی عدد مختلط است. "توضیح:" اگر یک عدد مختلط را به صورت formula_20 یا formula_21 نمایش دهیم، arg همان زاویهٔ "φ" است. به دلیل تقارن و همچنین برای آنکه تابع را به تمامی تعمیم داده باشیم، برای نقطهٔ "0 = z" تابع را چنین نشان می‌دهیم: روش دیگر برای گسترش تابع علامت هم بر روی عددهای حقیقی و هم مختلط، به کار گرفتن "csgn" است که به صورت زیر تعریف می‌شود: که در آن formula_24 بخش حقیقی "z" و formula_25 بخش موهومی آن است. در نتیجه در تمام نقطه‌ها جز "0 = z" خواهیم داشت: تابع علامت در حالت کلی.
جز "0 = z" خواهیم داشت: تابع علامت در حالت کلی. به ازای مقدارهای حقیقی formula_27 می‌توان نسخهٔ تابع عمومی برای تابع علامت تعریف کرد و نام formula_28 را بر آن گذاشت. که در آن در همه جا formula_29 حتی در نقطهٔ formula_30 (این قسمت برخلاف تابع formula_31 است چون formula_32) چنین عمومی‌سازی اجازهٔ کار بر روی جبر تابع‌های عمومی را می‌دهد اما این عمومی‌سازی به قیمت از دست رفتن خاصیت جابجایی تمام می‌شود. به ویژه تابع علامت تعمیم یافته با تابع دلتا ویژگی ناجابجایی دارد: همچنین formula_34 در formula_30 تعریف
دارد: همچنین formula_34 در formula_30 تعریف نشده‌است. کاربرد نام ویژهٔ formula_36 در این جا ضروری است تا formula_36 با formula_31 اشتباه گرفته نشود. (formula_39 تعریف نشده‌است ولی formula_40)
در ریاضیات، ترکیب تابع یک نگاشت نقطه به نقطه از یک تابع به تابعی دیگر است برای تولید تابعی سوم. برای مثال دو تابع و تابع می‌توانند ترکیب شوند و حاصل تابعی خواهد بود که مقدار در را به مقدار در نگاشت می‌کند. به‌طور شهودی، اگر حاصل تابع از باشد و حاصل تابع از باشد، بنابراین حاصل تابعی از است. تابع حاصل که به صورت نماد می‌شود -که در بسیاری از منابع شامل این مقاله به صورت نیز نوشته می‌شود- برای تمام های عضو به صورت تعریف می‌شود. نماد به صورت‌های " در دایره "، " دور "، "ترکیب با "، " بعد از "، " به دنبال " و " ی
"، "ترکیب با "، " بعد از "، " به دنبال " و " ی " و " اُ "نیز خوانده می‌شود. مشتق ترکیب توابع مشتق پذیر از طریق قاعده زنجیره ای بدست می‌آید. مشتق‌های مراتب بالاتر از چنین توابعی از رابطهٔ فادی برونو به دست می آیند. خواص. ترکیب تابع همیشه شرکت پذیر است. به این معنا که اگر ، و سه تابع با دامنه و برد مناسب باشند، در اینصورت ، که در اینجا پرانتز به این معناست که عمل ترکیب ابتدا بر روی دو تابع داخل پرانتز صورت می‌گیرد. بنابراین چون محل قرارگیری پرانتزها در حاصل نهایی ترکیب تأثیری ندارد، می‌توان آن‌ها را بدون پیش
ترکیب تأثیری ندارد، می‌توان آن‌ها را بدون پیش آمد هیچ ابهامی حذف کرد. گفته می‌شود دو تابع و با یکدیگر خاصیت جابه‌جایی دارند اگر . در کل، ترکیب توابع تعویض پذیر نخواهند بود. تعویض‌پذیری یک خاصیت ویژه است که توابع مخصوصی دارای آن می‌باشند و در موقعیت‌های خاص اتفاق می افتد. برای مثال، |x| + 3 = |x + 3| فقط زمانی صادق است که . مثال. به عنوان مثال فرض کنید ارتفاع یک هواپیما در زمان توسط تابع تعیین می‌شود، و تراکم اکسیژن درون هواپیما در ارتفاع توسط تابع تعیین می‌شود. بنابراین تابع ( میزان تراکم اکسیژن درون
می‌شود. بنابراین تابع ( میزان تراکم اکسیژن درون هواپیما در زمان را تعریف می‌کند. به توان رسیدن توابع. مقاله اصلی: تابع مکرر اگر formula_1، تابع formula_2 می‌تواند با خودش ترکیب شود. این ترکیب در بعضی مواقع با "f" 2 نشان داده می‌شود. بنابراین: ترکیب بیش از یک بار یک تابع با خودش، تابع مکرر نامیده می‌شود. خواص ترکیب تابع: نکته: اگر تابع مقادیر خود را در یک حلقه بگیرد (به خصوص برای ‌های حقیقی یا مختلط)، ممکن است اشتباه پیش آید، چرا که به معنای ضرب بار در خودش نیز می‌باشد. (مثال ) برای توابع مثلثاتی، معمولاً
نیز می‌باشد. (مثال ) برای توابع مثلثاتی، معمولاً دومی مد نظر است (حداقل برای توان‌های مثبت) . برای مثال در مثلثات، نماد اندیس بالایی وقتی برای توابع مثلثاتی به کار می‌رود به معنای به توان رسیدن معمولی است، مثلا: . در عین حال برای توان‌های منفی (به خصوص −1) معمولاً به وارون تابع اشاره می‌کند. مثلا: . در بعضی مواقع، یک عبارت برای از می‌توان به دست آورد اگر مقادیر غیر صحیح باشند. این مضمون "مکرر کسری" نام دارد. برای مثال مکرر تابع تابعی مانند است که در رابطهٔ صدق کند. در مثالی دیگر، اگر تابع جانشین باشد، .
صدق کند. در مثالی دیگر، اگر تابع جانشین باشد، . این ایده می‌تواند به این صورت عمومی‌سازی شود که شمارش مکررسازی یک پارامتر مداوم شود. این سیستم یک جریان نام دارد، که توسط راه حل‌های معادله ی شرودر مشخص می‌شود. توابع مکرر و جریان‌ها به‌طور معمول در مطالعهٔ فراکتال‌ها و سیستم‌های دینامیک ظاهر می‌شوند. تکوارهای ترکیب. مقاله اصلی: تکوارهای دگرگونی فرض کنیم دو تابع با دامنه و برد برابر باشند. می‌توان رشته‌های بلند و بالقوه پیچیده‌ای از ترکیب این دو تابع تولید کرد، مثل . چنین رشته‌هایی ساختمان جبری یک تکوار را
مثل . چنین رشته‌هایی ساختمان جبری یک تکوار را دارا می‌باشند، و یک تکوار دگرگونی نامیده می‌شوند. در کل، تکوارهای ترکیب، می‌توانند دارای ساختمان‌های بسیار پیچیده باشند. یک مثال خاص در این مورد منحنی درام است. مجموعهٔ تمام توابع ، یک نیم گروه کامل دگرگونی بر روی نامیده می‌شود. اگر توابع دوسو باشند، مجموعهٔ تمام ترکیب‌های ممکن از این توابع، تشکیل یک گروه دگرگونی می‌دهند؛ و گفته می‌شود که این گروه از این توابع به دست آمده‌است. مجموعهٔ تمام توابع دوسوی ، یک گروه نسبت به عملگر ترکیب می‌سازد که گروه متقارن یا گاهی
به عملگر ترکیب می‌سازد که گروه متقارن یا گاهی گروه ترکیب نامیده می‌شود. عملگر ترکیب. مقاله اصلی: عملگر ترکیب با استفاده از تابع ، عملگر ترکیب به صورت عملگری تعریف می‌شود که توابع را به هم مربوط می‌کند. عملگرهای ترکیب در رشتهٔ نظریه عملگرها مطالعه می‌شوند. عمومی سازی‌ها. ساختمان ترکیب تابع در نظریه رده ها و با مفهوم مورفیزم، به عنوان جایگزین رده ای-تئوری توابع، اصل‌گذاری شده‌است. ترکیب برای توابع چند متغیره نیز امکان‌پذیر است. تابع به دست آمده هنگامی که جایگزین متغیر از تابع می‌شود، یک ترکیب و نامیده می‌شود
متغیر از تابع می‌شود، یک ترکیب و نامیده می‌شود و به صورت نمادگذاری می‌شود. هنگامی که یک ثابت سادهٔ "b" باشد، ترکیب به صورت یک ارزه (ی ناقص) در می‌آید، که نتیجهٔ آن به عنوان یک محدودیت یا یک عامل کمکی شناخته شده‌است.
تابع ثابت به تابعی گفته می‌شود که به ازای تمام مقادیر ورودی، همواره عددی ثابت را به عنوان خروجی به دست می‌دهد. به عنوان مثال تابع formula_1یک تابع ثابت است چرا که صرف نظر از آنکه x چه عددی باشد، مقدار خروجی آن همواره عدد ثابت ۴ است. صورت‌بندی دقیق. فرض کنید X و Y دو مجموعه ناتهی و b∈Y عضوی ثابت و دلخواه باشد. در این صورت می‌توان تابع f:X→Y را با ضابطه f(x)=b,x∈X تعریف کرد که به آن تابع ثابت می‌گوییم. وجه تسمیه این تابع نیز واضح است، چرا که به هر عضو دلخواه مجموعه X عضو ثابت b از مجموعه Y را نسبت می‌دهد. این
X عضو ثابت b از مجموعه Y را نسبت می‌دهد. این تابع را معمولاً با Cb نشان می‌دهیم و می‌توان به آن را صورت زیر نیز نشان داد: نکته: برد تنها شامل یک عضو می‌باشد. ولی ورودی‌ها (دامنه) مقادیری متفاوتی دارد. ویژگی‌های تابع ثابت. برخی از مهم‌ترین ویژگی‌های تابع ثابت را می‌توان این چنین برشمرد: نمودار دکارتی. می‌دانیم نمودار تابع ثابت، خطی موازی محور Xها است. می‌خواهیم نمودار formula_6 را رسم کنیم. نمودار ون. برای رسم نمودار ون تابع ثابت باید یادمان باشد که به ازای هر دامنه فقط یک خروجی ثابت داریم. یعنی همه‌ی
ازای هر دامنه فقط یک خروجی ثابت داریم. یعنی همه‌ی فلش.ها به یک عضو متناهی می‌شوند.
در ریاضیات، تابع همانی تابعی است که مقدار خروجی آن با ورودی‌اش برابر باشد. تابع همانی عنصر همانی در بین توابع است. تابع همانی یک تابعی است که هر عدد حقیقی را به خود ان عدد نظیر می‌کند. تعریف. برای مجموعهٔ فرضی formula_1، تابع همانی formula_2 با ضابطهٔ formula_3 چنان تعریف می‌شود که دامنه و دامنهٔ مشترک آن formula_1 باشد؛ به عبارت دیگر: formula_5 formula_6 تابع تهی نیز یک تابع همانی شمرده می‌شود. نظریّهٔ مجموعه‌ها. این تابع در نظریّهٔ مجموعه‌ها نیز با رابطهٔ دوتایی formula_7 تعریف می‌شود. مجموعهٔ تهی نیز
دوتایی formula_7 تعریف می‌شود. مجموعهٔ تهی نیز تابعی همانی شمرده می‌شود. شکل رایج. تابع همانی formula_2 با دامنهٔ formula_1 معمولاً به شکل formula_10 یا formula_11 و تابع همانی با دامنهٔ جهانی به شکل formula_12 نمایش داده می‌شود. ویژگی‌ها. با توجّه به تعریف تابع همانی، تابعی یک‌به‌یک و پوشا و در نتیجه تابعی دوسویی است. تابع همانی (با دامنهٔ اعداد حقیقی) یک تابع خطّی با شیب ۱ و عرض از مبدأ صفر است. مشتق تابع همانی. f'(x) = ۱ تابع همانی جز توابع خطی است و مشتق خطی برابر با شیب خط می‌باشد. از این رو شیب خط در
خطی برابر با شیب خط می‌باشد. از این رو شیب خط در این تابع برابر با ۱ می‌باشد زیرا ضریب x برابر با یک است.
یک تابع یک‌به‌یک در ریاضیات، یک تابع است که عناصر متمایز را به عناصر متمایز نگاشت می‌دهد؛ یعنی اگر برقرار باشد، در آن‌صورت باید حتماً باشد. به زبان دیگر، هر عنصر هم‌دامنه تابع تصویر «حداکثر یک» عنصر عنصر از دامنه‌اش است. اصطلاح تابع یک-به-یک را نباید با "تناظر یک-به-یک" اشتباه کرد که به توابع دوسویه اشاره می‌کند، و توابعی هستند که هر عنصر در هم‌دامنه، تصویر دقیقاً یک عنصر از دامنه است. فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد. در این‌صورت برای تناظری که بین اعضای X و Y به‌وسیله تابع f برقرار می‌شود حالات مختلفی را
و Y به‌وسیله تابع f برقرار می‌شود حالات مختلفی را می‌توان تصور کرد. اولین حالت اینکه ممکن است به ازای هر y متعلق به برد تابع f، تنها یک x در دامنه موجود باشد که (y=f(x. این شرط را می‌توان چنین فرمول بندی کرد که اگر به ازای x1,x2∈X داشته باشیم (f(x1)=f(x2 آنگاه x1=x2 یا: چنین تابعی را با این ویژگی یک تابع "یک به یک (تک گزین)" یا "انژکتیو" می‌گوییم. یک به یک بودن تابع f را گاهی برای اختصار با نماد ۱–۱ نشان می‌دهند. در چنین حالتی ضمن اینکه به دلیل تابع بودن f هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مؤلفه اول یکسان
f هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مؤلفه اول یکسان نمی‌باشند، به دلیل یک به یک بودن هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مؤلفه دوم یکسان نیز نمی‌باشند. یک به یک بودن یک تابع از روی نمودار تابع نیز قابل بررسی است. در نمودار پیکانی تابع یک به یک f، وضوحاً به هر عضو از همدامنه f انتهای حداکثر یک پیکان وارد شده‌است. به این ترتیب نمودار پیکانی شکل(۲) نمایش گر یک تابع غیر یک به یک است. همچنین نمودار یک تابع حقیقی یک به یک به گونه‌ای است که هر خط موازی محور xها، نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. به این ترتیب نمودار
حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. به این ترتیب نمودار شکل(۴) مربوط به تابعی غیر یک به یک است. f: R ---&gt; R f(x) = |x| + x x1 = -2 ---&gt; f(x1) = |-۲| + (-۲) = ۰ x2 = -3 ---&gt; f(x2) = |-۳| + (-۳) = ۰ x2 ≠ x1 ---&gt; f(x1) = f(x2) F یک به یک نیست
در ریاضیات تابع formula_1 را پوشا (به انگلیسی: Surjective) می‌نامیم، هرگاه هر عضو مانند formula_2 با یک عضو مانند formula_3 متناظر شده باشد، به گونه‌ای که formula_4. تابع formula_5 ممکن است بیشتر از یک عضو از formula_6 را به یک عضو خاص از formula_7 تصویر کند. واژهٔ پوشا و واژه‌های مرتبط یک‌به‌یک و دوسویی توسط نیکلا بورباکی، تخلص گروهی از ریاضی دانان اساساً فرانسوی قرن بیستمی که کتاب‌های متعددی در مورد توضیح ریاضیات پیشرفته مدرن نوشتند، در سال ۱۹۳۵ معرفی شدند. واژهٔ پوشا به این معنی است که تصویر دامنهٔ تابع
واژهٔ پوشا به این معنی است که تصویر دامنهٔ تابع کاملاً برد تابع را می‌پوشاند. تعریف. تابع پوشا تابعی است که تصویر آن برابر بردش می‌باشد. یا به‌طور معادل تابع formula_5 با دامنهٔ formula_6 و برد formula_7 پوشا است اگر به ازای هر formula_2 وجود داشته باشد حداقل یک formula_3 که formula_4. توابع پوشا برخی اوقات با یک پیکان راست پیما دو سر نمایش داده می‌شوند، مانند f: X ↠ Y. formula_1، آنگاه formula_5 پوشا است اگر formula_16. مثال‌ها. به ازای هر مجموعهٔ formula_6 تابع همانی بر روی formula_6 پوشا است. تابع
تابع همانی بر روی formula_6 پوشا است. تابع formula_19 با ضابطهٔ f(n) = n mod 2 (تابعی که اعداد زوج را به صفر و اعداد فرد را به یک تصویر می‌کند) تابعی پوشا است. تابع formula_20 با ضابطهٔ formula_21 پوشا (و حتی دو سویی) است، چون به ازای هر عدد حقیقی formula_22 formula_23 ای وجود دارد به گونه‌ای که formula_4. تابع formula_20 با ضابطهٔ f(x) = x3 - 3x پوشا است زیرا تصویر معکوس هر عدد حقیقی formula_22 مجموعه جواب معادلهٔ درجه سه x3-3x-y=۰ است و هر چند جمله‌ای درجهٔ سه با ضرایب حقیقی حداقل یک ریشهٔ حقیقی دارد.
سه با ضرایب حقیقی حداقل یک ریشهٔ حقیقی دارد. اگر چه این تابع یک به یک (و در نتیجه دوسویی) نیست زیرا برای مثال تصویر معکوس formula_27 مجموعهٔ formula_28 است. (درحقیقت، تصویر معکوس این تابع به ازای هر formula_29 بیشتر از یک عضو دارد) تابع formula_30 با ضابطهٔ g(x) = x² پوشا نیست زیرا هیچ عدد حقیقی مانند formula_31 وجود ندارد که x² = -۱. اگرچه تابع formula_32 با ضابطهٔ g(x) = x² (با برد تحدید شده) پوشا است زیرا به ازای هر formula_22 از برد formula_7 (اعداد حقیقی نامنفی) حداقل یک formula_31 در دامنه formula_6
نامنفی) حداقل یک formula_31 در دامنه formula_6 (اعداد حقیقی) وجود دارد، به گونه‌ای که x² = y. تابع لگاریتم طبیعی ln: (0,+∞) → R یک نگاشت پوشا و حتی دوسویی از مجموعهٔ اعداد حقیقی مثبت به مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی است. وارون این تابع، تابع نمایی، پوشا نیست زیرا هم‌دامنه‌اش مجموعهٔ اعداد حقیقی و دامنه اش مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی در نظر گرفته می‌شود.این در صورتی است که برد فقط اعداد حقیقی مثبت است و نه کل اعداد حقیقی. The matrix exponential is not surjective when seen as a map from the space of all n×n matrices
seen as a map from the space of all n×n matrices to itself. It is, however, usually defined as a map from the space of all n×n matrices to the general linear group of degree n, i.e. the group of all n×n invertible matrices. Under this definition the matrix exponential is surjective for complex matrices, although still not surjective for real matrices. افکنش از یک ضرب دکارتی A * B به یکی از عواملش پوشا است. در یک بازی ویدئویی سه بعدی بردارها به وسیلهٔ یک تابع پوشا بر روی یک نمایشگر صفحه تخت دو بعدی تصویر
پوشا بر روی یک نمایشگر صفحه تخت دو بعدی تصویر می‌شوند. خواص. یک تابع دوسویی است اگر و تنها اگر پوشا و یک به یک باشد. اگر چه یک به یک بودن تابع از روی نمودارش قابل تشخیص است اما پوشا بودن یا نبودن یک تابع را نمی‌توان از روی نمودارش متوجه شد. توابع پوشا و right invertible. تابع formula_37 right inverse تابع formula_1 گفته می‌شود اگر برای هر formula_39، formula_2. (g توسط f خنثی می‌شود). به عبارت دیگر g یک right inverse لf است اگر ترکیب f و g (fog) تابعی همانی با دامنهٔ formula_7 باشد. نیازی نیست که g
همانی با دامنهٔ formula_7 باشد. نیازی نیست که g complete inverse f باشد زیرا ترکیب f و g به صورت gof ممکن است تابع همانی با دامنهٔ formula_6 نباشد. به عبارت دیگر f، g را خنثی یا معکوس می‌کند اما لزوماً نمی‌تواند توسط g معکوس شود. هر تابعی با یک right inverse لزوماً پوشا است. گزارهٔ هر تابع right inverse یک right inverse دارد با اصل موضوع انتخاب معادل است. برای مثال، در شکل اول، تابع formula_43 ای وجود دارد به گونه‌ای که formula_44. همچنین تابعی مانند formula_5 وجود دارد به گونه‌ای که formula_46.
formula_5 وجود دارد به گونه‌ای که formula_46. کاردینالیتی دامنهٔ یک تابع پوشا. کاردینالیتی دامنهٔ یک تابع پوشا بزرگتر یا مساوی کاردینالیتی بردش است: اگر formula_1 یک تابع پوشا باشد، در نتیجه تعداد اعضای formula_6 حداقل برابر تعداد اعضای formula_7 است. مخصوصاً اگر formula_6 و formula_7 متناهی و باتعداد اعضای برابر باشند، آنگاه formula_1 پوشا است اگر و تنها اگر یک به یک باشد. ترکیب و تجزیه. ترکیب توابع پوشا همیشه پوشا است:اگر f و g هر دو پوشا باشند و برد g برابر دامنه f باشد، آنگاه تابع fog پوشا است. برعکس،
دامنه f باشد، آنگاه تابع fog پوشا است. برعکس، اگر تابع fog پوشا باشد، آنگاه f پوشا است (اما g لزوماً پوشا نیست). این خواص از توابع پوشا در ردهٔ مجموعه‌ها به هر epimorphism در هر ردهٔ دیگری قابل تعمیم‌اند. هر تابعی را می‌توان به یک تابع پوشا و یک تابع یک به یک تجزیه کرد: به ازای هر تابع formula_53 وجود دارد تابعی پوشا مانند formula_1 و تابعی یک به یک مانند formula_55 به گونه‌ای که formula_56. به منظور مشاهده این، formula_7 را (z)اh-1هایی تعریف می‌کنیم که formula_58. لThese sets are disjoint and partition X.
لThese sets are disjoint and partition X. در نتیجه f هر x را به عضوی از Y که آن را شامل می‌شود، می‌برد و g هر عضو Y را به نقطه‌ای از Z می‌برد که h نقاطش را می‌برد؛ بنابراین f پوشا است به دلیل اینکه یک projection map است و g طبق تعریف یک به یک است.
تابع وارون یا معکوس : در ریاضیات اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد، آن گاه تابع وارون (معکوس) f یا f−1 تابعی از B به A است، با این ویژگی که برای هر x در دامنهٔ f، نتیجه‌ی اعمال پی‌درپی تابع و وارون آن روی x، خود x خواهد بود. به دیگر سخن: تعریف. اگر R یک رابطه از مجموعه X به مجموعه Y باشد، آنگاه معکوس رابطه R را با R−1 نشان می‌دهیم که عبارت است از: که رابطه‌ای از مجموعه Y به مجموعه X است. حال تابع f:X→Y نیز یک رابطه است. پس، معکوس آن را نیز می‌توان تعریف کرد که آن را با f−1 نشان می‌دهیم و حداقل یک
تعریف کرد که آن را با f−1 نشان می‌دهیم و حداقل یک رابطه از Y به X است. شرط معکوس‌پذیری. حال این سؤال مطرح می‌شود که آیا f−1 همواره تابع است؟ برای این که f−1:Y→X تابع باشد، باید در شرایط تابع بودن صدق کند. یعنی بنابراین معکوس تابع f:X→Y یعنی f−1 تابعی از Y به X خواهد بود اگر و فقط اگر f:X→Y یک دوسویی باشد. در این حالت f−1:Y→X را تابع معکوس تابع f می‌گوییم. ویژگی‌ها. اگر f−1 معکوس تابع f:X→Y باشد رابطه زیر را بین دامنه و برد f و f−1 داریم: همچنین اگر (y=f(x پس x,y)∈f) ولذا y,x)∈f−1) پس (x=f−1(y و بلعکس.
پس x,y)∈f) ولذا y,x)∈f−1) پس (x=f−1(y و بلعکس. نمودار تابع معکوس. رابطه بین یک تابع و معکوسش را می‌توان به این صورت توصیف کرد که تابع f−1 معکوس تابع f، دقیقاً عکس تناظری که تابع f بیانگر آن است را توصیف می‌کند. به همین دلیل و بنابه تعریف تابع معکوس نمودار پیکانی تابع f−1 معکوس تابع f:X→Y با معکوس کردن جهت فلش‌ها بدست می‌آید. همچنین اگر f تابعی تابعی حقیقی باشد، برای اینکه نمودار معکوس f را تعیین کنیم کافی است قرینه نمودار تابع f را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم یعنی f(x)=x رسم کنیم و چون انعکاس نسبت به
و سوم یعنی f(x)=x رسم کنیم و چون انعکاس نسبت به نیمساز ربع اول و سوم موجب جابجایی مولفه‌های اول و دوم زوج‌های مرتب تابع f می‌شود و این در حقیقت همان هدف ماست.
در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها اصلی موضوعی موسوم به اصل موضوع انتخاب بیان می‌کند برای هر دسته ناتهی formula_1 از مجموعه‌های ناتهی، تابعی چون formula_2 وجود دارد که بری هر formula_3 داریم formula_4 این تابع را "تابع انتخاب" می‌گوییم. اجمالاً تابع انتخاب، انتخاب‌های هم‌زمان از اعضای دسته formula_1 انجام می‌دهد و اعضای انتخاب شده را در برد خود قرار می‌دهد. نکته‌ای که جنجال‌برانگیز است این است که تنها وجودِ این تابع به‌وسیله اصل موضوع انتخاب تضمین می‌شود حتی اگر تعداد مجموعه‌های دسته مفروض formula_1 نامتناهی
تعداد مجموعه‌های دسته مفروض formula_1 نامتناهی باشد، و هیچ روشی برای نحوه این انتخاب ارائه نمی‌کند به عبارت دیگر برای این تابع ضابطه‌ای در نظر نمی‌گیرد. این تابع به ما امکان انتخاب‌های نامتناهی را هم می‌دهد که این امر برای اثبات بسیاری از قضایای نظریه مجموعه‌ها، خصوصاً قضیه خوشترتیبی و لم زرن لازم است.
در ریاضیات یک تناظر دوسویه (یا تناظر یک به یک) به تابعی میان اعضای دو مجموعه گفته می‌شود به شرط این که هر عضو از هر مجموعه با دقیقاً یک عضو از مجموعه‌ی دیگر جفت شده باشد. در هیچ‌کدام از مجموعه‌ها هیچ عضو بدون جفتی وجود ندارد. هر تابع دوسویی از مجموعهٔ "X" به مجموعهٔ "Y" دارای یک تابع وارون از "Y" به "X" است. اگر این دو مجموعه متناهی باشند در این صورت وجود تناظر یک‌به‌یک میان اعضای آن‌ها نشان‌دهندهٔ این است که تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است. در مورد مجموعه‌های نامتناهی این تناظرها باعث به وجود آمدن
مجموعه‌های نامتناهی این تناظرها باعث به وجود آمدن مفهوم اعداد کاردینال شدند که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌های متفاوت هستند. هر تابع دوسویی از یک مجموعه به خود آن مجموعه جایگشت نام دارد. توابع دوسویی برای بسیاری از مباحث ریاضی ابزاری ضروری هستند. به عنوان مثال: تعاریف یک‌ریختی و همسان‌ریختی. تعریف. برای این که تابع "f" از مجموعه "X" و به مجموعهٔ "Y" دوسویی باشد باید چهار شرط زیر برقرار باشند: شرط‌های یک و دو تضمین می‌کنند که "f" تابعی با دامنه‌ی "X" است. شرط‌های یک و دو گاهی به صورت یک شرط هم نوشته می‌شوند:
یک و دو گاهی به صورت یک شرط هم نوشته می‌شوند: باید هر عضو مجموعهٔ "X" دقیقاً با یک عضو از مجموعهٔ "Y" جفت شود. توابعی که شرط سوم را دارا هستند توابع پوشا نام دارند. شرط چهارم هم تعریف توابع یک‌به‌یک است. با توجه به این عبارت می‌توان نتیجه گرفت که یک تابع دوسویی است اگر و فقط اگر هم یک‌به‌یک باشد هم پوشا. مثال. معلم در کلاس به دانش‌آموزان می‌گوید روی صندلی‌ها بنشینند و مشاهده می‌کند همه دانش‌آموزان نشسته‌اند و تمام صندلی‌ها پر هستند و نتیجه می‌گیرد تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. با بررسی ۴ شرط
دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. با بررسی ۴ شرط تعریف می‌توان نتیجه گرفت که با جفت کردن هر دانش‌آموز با صندلیش می‌توان تناظر یک‌به‌یک میان دانش‌آموزان و صندلی‌ها ایجاد کرد: پس میان دانش‌آموزان وصندلی‌ها تناظر یک‌به‌یک برقرار است و در نتیجه تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. مثال دیگر بازیکنان فوتبال (یا هر ورزش دیگر) و جایگاه آن‌ها در زمین بازی است. اگر ۱۱ بازیکن و ۱۱ جایگاه در ترکیب تیم در نظر بگیریم با جفت کردن هر بازیکن با جایگاهش تناظر به دست می‌آید. چون ۴ شرط فوق برآورده می‌شوند. مثال‌های ریاضی
چون ۴ شرط فوق برآورده می‌شوند. مثال‌های ریاضی توابع دوسویی و توابع غیر دوسویی. ("x" = tan ("y" در بازه مذکور دقیقاً یک جواب دارد. معکوس. یک تناظر یک‌به‌یک "f" با دامنهٔ "X" (به عبارت دیگر "f": "X → Y") یک رابطه را هم از "Y" به "X" تعریف می‌کند. به دلیل خواص (۳) و (۴) تعریف تابع دوسویی این رابطه یک تابع با دامنه "Y" هست و به دلیل خواص (۱) و (۲) تعریف این تابع پوشا و یک‌به‌یک هست. پس معکوس تابع دوسویی وجود دارد و دوسویی است. توابعی که معکوس دارند معکوس‌پذیر نامیده می‌شوند. تابع معکوس‌پذیر است اگر و فقط اگر
نامیده می‌شوند. تابع معکوس‌پذیر است اگر و فقط اگر دوسویی باشد. به عبارت دیگر تابع "f": "X → Y" دوسویی است اگر و فقط اگر به ازای هر "y" عضو "Y" وجود دارد "x" منحصر به فرد عضو "X" که "f"("x")=y با توجه به مثال معلم و دانش‌آموزان اگر تابع را به این صورت تعریف کنیم که نام دانش‌آموز را به عنوان ورودی بگیرد و شمارهٔ صندلی او را به عنوان خروجی بدهد چون دوسویی است معکوس دارد؛ و معکوس آن تابعی است که شمارهٔ صندلی ورودی آن و نام دانش‌آموز خروجی آن است. این تابع هم دوسویی است. ترکیب. ترکیب دو تابع دوسویی "f"و"g"
دوسویی است. ترکیب. ترکیب دو تابع دوسویی "f"و"g" formula_1 یک تابع دوسویی است. معکوس formula_1 می‌شود formula_3. اگر ترکیب دو تابع formula_1 تابع دوسویی باشد می‌توان نتیجه‌گرفت: "f" تابع یک‌به‌یک و "g" تابع پوشا است. تناظرهای یک‌به‌یک و کاردینالیتی. اگر "X" و "Y" مجموعه‌های متناهی باشند میان "X" و "Y" تناظر یک‌به‌یک وجود دارد اگر و فقط اگر تعداد اعضای آن‌ها برابر باشد. در واقع در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها این به عنوان تعریف برابری تعداد اعضا استفاده شده‌است(بنداشت گسترش) یا ()، تعمیم این به مجموعه‌های
گسترش) یا ()، تعمیم این به مجموعه‌های نامتناهی باعث به‌وجودآمدن مفهوم اعداد کاردینال می‌شود که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌ها با اندازه‌های مختلف هستند. تناظرهای یک‌به‌یک و نظریه رده‌ها. در رده از مجموعه‌ها تناظرهای یک‌به‌یک دقیقاً یک‌ریختی‌ها هستند. اگرچه برای رده‌های پیچیده‌تر تناظرهای یک‌به‌یک همواره یک‌ریختی نیستند. هم چنین ببینید. تابع یک‌به‌یک تابع پوشا نظریه رده‌ها
فهرست توابع ریاضی به شرح زیر است:
فرض کنید X مجموعه‌ای ناتهی و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت "تابع مشخصه A در X"، یعنی formula_1(بخوانید خی A) را برای هر x∈X به صورت زیر تعریف می‌کنیم: البته انتخاب مجموعه {۰٬۱} هر چند معمول‌تر است ولی الزامی نیست و می‌توان هر مجموعه دو عضوی دیگر را نیز انتخاب کرد. این تابع به هر عضو مجموعه A، عدد یک و به هر عضو X-A یعنی عناصری که متعلق به X هستند ولی به A تعلق ندارند مقدار صفر را نسبت می‌دهد. وجه تسمیه این تابع این است که عناصری زیرمجموعه A از X را از سایر عناصری که در A قرار ندارند جدا می‌کند.
را از سایر عناصری که در A قرار ندارند جدا می‌کند. نمونه‌ای از یک تابع مشخصه معروف تابع دیریکله است که همان تابع مشخصه Q(اعداد گویا) در R(اعداد حقیقی) است که آن را با D نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم: به سادگی می‌توان نشان داد این تابع در هیچ‌یک از نقاط دامنه خود پیوسته نیست. اگر بخواهیم به سادگی تابع بودن یک تابع را در نمودار پی ببریم کافی است که خط راستی موازی محورyها رسم کنیم اگر بیشتر ازیک نقطه محور را قطع کرد تابع نیست در غیراین صورت تابع بودن ان الزامی است
تِرسیتِس Thersites ، در اسطوره‌شناسی یونانی سربازی یونانی در جنگ تروا بود. مردی زشت‌رو و کچل بود که پایش می‌لنگید و زبانی تلخ داشت. آشیل را به خاطر عشق ورزیدن به جسد ملکهٔ آمازون‌ها که خود آخیلس کشته بود، مسخره کرد و آخیلس او را کشت. مورخ سوییسی قرن نوزدهمی، یاکوب بورکهارت، می‌گوید: «یونانیان نه تنها به شدت تحت تأثیر زیبایی قرار داشتند، بلکه عموماً و صادقانه عقیدهٔ خود نسبت به ارزش آن را ابراز می‌کردند». جایی در کتاب "ایلیادِ" هومر، یک فرد عامی جنجال‌برانگیز به نام ترسیتس مرجعیت آگاممنون را زیر سؤال می‌برد
به نام ترسیتس مرجعیت آگاممنون را زیر سؤال می‌برد و بلافاصله توسط اودیسئوس، که نفرتش نسبت به انسان‌های نوکیسه بسیار سرسخت است، با او برخورد می‌شود: «از میان تمامی کسانی که تحت حکومت ایلیون درآمده‌اند، تو بدترین هستی». گفته می‌شود توصیف خود هومر از ترسیتس در واقع «زشت‌ترین» بوده است که با «بدترین» جایگزین شده است: او زشت‌ترین مردی بود که تحت حکومت ایلیون درآمد. او پاچنبری بود و یک پایش لنگ می‌زد، با شانه‌هایی خمیده که به سینه‌اش نزدیک می‌کرد و بر فراز آن جمجمه‌اش با اندک مویی روی آن قرار داشت. معادل قرار