payamvha/North_RAG huggingface dataset:
انسان‌ها بیش از همیشه به یکدیگر نزدیک هستند، یک نفر از اعضای گروه پیشنهادی را ارائه کرد. او گفت که یک نفر را در میان تمامی ساکنان کره زمین در نظر بگیرید. حال شما از میان پنج آشنایی که یکی از آنها را شخصاً می‌شناسید، می‌توانید به شخص مورد نظر متصل شوید. توزیع درجه. توزیع درجه تعداد اتصالات یک گره به گره‌های دیگر در حوزه مطالعاتی گراف و شبکه است. به تعداد اتصال‌های گره، درجهٔ آن گره گویند. از کتاب‌های جدید. کتاب "متصل" اثر نیکلاس کریستاکیس و "فاولر" که در سال ۲۰۱۱ نوشته شده‌است توضیح می‌دهد که چگونه دوستِ
۲۰۱۱ نوشته شده‌است توضیح می‌دهد که چگونه دوستِ دوستِ دوست شما، بر هر آنچه که شما احساس می‌کنید، فکر می‌کنید و عمل می‌کنید، تأثیر می‌گذارد. در این کتاب، مفهوم سامانه پیچیده نشان داده می‌شود و اینکه چقدر ارتباط انسان‌ها از طریق فناوری به کوچک‌تر شدن جهان منتج می‌شود. آزمایش دنیای کوچک. کشف مجدد ایدهٔ کارینتی دهه‌ها بعد شروع شد. عدد جادویی پنج را میلگرام از کارینتی گرفت. در سال ۱۹۶۷ یک جامعه‌شناس آمریکایی به نام استنلی میلگرام راهی برای آزمایش این فرضیه یافت. او این نظریه را، مسئلهٔ دنیای کوچک نامید و برای
او این نظریه را، مسئلهٔ دنیای کوچک نامید و برای اثبات آن دست به آزمایشی زد. سناریوی آزمایش میلگرام از این قرار بود که، تعداد بسیار زیادی نامه را میان افراد مختلف دو شهر که فاصله زیادی از یکدیگر داشتند پخش کرد و از آنها خواست که نامه‌ها را به دست فرد معینی برسانند. معیار انتخاب افراد کاملاً تصادفی بود و اکثر آنها یکدیگر را نمی‌شناختند. هر فرد فقط باید سعی می‌کرد که نامه را به کسی بدهد که فکر می‌کرد بهتر می‌تواند آن را به مقصد مورد نظر برساند. نتیجه نهایی که از این آزمایش به دست آمد بسیار جالب بود، تقریباً
از این آزمایش به دست آمد بسیار جالب بود، تقریباً مسیری که هر نامه طی کرده بود با میانگین طول ۵/۵ به مقصد رسیده بود، به عبارت دیگر فقط پنج نفر بین هر دو فرد قرار داشتند که همان طول شش می‌شد. میلگرام، نتیجه تحقیق و کار خود را تحت مقاله‌ای با عنوان آزمایش دنیای کوچک در مجله روان‌شناسی روز به چاپ رساند که بسیار مورد توجه واقع شد. بعدها با ظهور فناوری‌های نوین ارتباطی دونکن وات از دانشگاه کلمبیا آزمایش میلگرام را در فضای اینترنت و به وسیله فرستادن ایمیل تکرار کرد و به همان نتایج رسید. در ریاضی. در ریاضیات مفهوم
و به همان نتایج رسید. در ریاضی. در ریاضیات مفهوم مقایسه‌ای گراف همکاری بکار می‌رود. دو نفر با هم مرتبط هستند اگر هر دو مؤلف یک مقاله باشند. گراف همکاری توسط "پاول اردیش" ، ریاضیدان، عدد اردیش خوانده شده‌است. عدد اردیش و عدد "اریش-باکون" بسط‌های مفهوم گراف همکاری هستند. مدل واتس و استروگاتز نشان داد که طول متوسط مسیر بین دو گره (شبکه)، در یک گراف تصادفی عبارت است از: جایی که N تعداد کل گره‌ها و K تعداد ارتباط برای هر گره است. اگر مقدار N = ۳۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ (نود درصد جمعیت آمریکا) و K = ۳۰ باشد، درجه جدایی ۵٫۷ به
جمعیت آمریکا) و K = ۳۰ باشد، درجه جدایی ۵٫۷ به دست می‌آید. و اگر مقدار N = ۶٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ (نود درصد جمعیت جهان) و K = ۳۰ باشد، درجه جدایی مقدار ۶٫۶ به دست می‌آید. آخرین نتایج. بنابر گزارش فیس‌بوک در فوریه سال ۲۰۱۶، برای ۱٫۶ میلیارد نفر (حدود ۲۲ درصد جمعیت جهان)، برای میزان درجه جدایی نتایج زیر به دست آمده‌است:
زک بلیر لید گیتاریست گروه پانک راک رایز اگنست می‌باشد. او اهل شرمن، تگزاس می‌باشد. تاریخچه. قبل آمدن به رایز اگنست او به همراه برادرش دونی بلیر گیتاریست گروه "اونلی کرایم" بودند که برادرش حالا در گروه تودیز حضور دارد. او همچنین دو بار در تورهای گروه لاود وانس به آن‌ها کمک کرد. زک همچنین یک گیاهخوار با تعصب است که به‌طور فعال در PETA از حقوق حیوانات دفاع می‌کند.
محمدجواد اکبرین (زاده ۳ آبان ۱۳۵۴ در بابل)، دین‌پژوه و روزنامه‌نگار ایرانیِ ساکن فرانسه است که در دو دههٔ گذشته آثار او در حوزه دین، فرهنگ و سیاستِ ایران و خاورمیانهٔ عربی در ده‌ها رسانهٔ فارسی و عربی منتشر شده ‌است. زندگی‌نامه. اکبرین تحصیلات حوزوی خود را در سال ۱۳۶۷ در بابل آغاز کرد و در قم ادامه داد. برای تکمیل سطوح عالی الاهیات اسلامی و مسیحی به لبنان و مصر رفت. او پس از انتخابات ریاست‌جمهوری ایران (۱۳۷۶) و انتخاب سیدمحمد خاتمی روزنامه‌نگاری را آغاز کرد و با ۱۵ روزنامه، از جمله سلام، صبح امروز، فتح،
و با ۱۵ روزنامه، از جمله سلام، صبح امروز، فتح، بیان و بهار همکاری کرد. در سال ۱۳۷۹ پس از آنچه که به توقیف فله‌ای مطبوعات مشهور شد از جمله روزنامه نگارانی بود که بدون داشتن وکیل و بدون حضور هیئت منصفه، محاکمه و زندانی شد. اکبرین از حامیان کمپین یک میلیون امضا برای برابری بود و در سال ۱۳۸۶ هنگام بازگشت به لبنان جهت ادامه دوره دکتری خود، در فرودگاه مهرآباد بازداشت و ممنوع‌الخروج شد. این بار پس از ساعاتی آزاد شد اما دادگاه ویژه روحانیتِ قم از تفهیم اتهام به وی خودداری و اعلام کرد که هر گاه صلاح دانست اتهامات
خودداری و اعلام کرد که هر گاه صلاح دانست اتهامات او را اعلام می‌کند. اکبرین که پیش‌تر از حامیان اصلاحات و جنبش سبز در سال ۱۳۸۸ بود در مقالاتش نظام جمهوری اسلامی را اصلاح‌ناپذیر خوانده و‌ به جای «اصلاحات تدریجی»، از «براندازی تدریجی» دفاع می‌کند. [۴] تحریم انتخابات ۱۴۰۰. محمدجواد اکبرین از کسانی بود که انتخابات ریاست جمهوری ۱۴۰۰ را تحریم کرد [۵]
رویداد چند ورزشی یک رویداد ورزشی سازمان یافته‌ است که در چندین روز و چندین رشتهٔ ورزشی انجام می‌پذیرد. نخستین، بزرگ‌ترین و مهم‌ترین رویداد چند ورزشی در عصر حاضر بازی‌های المپیک است. به دنبال برگزاری المپیک، رویدادهای چند ورزشی منطقه‌ای نیز از آن الگو برداری کردند. دیگر بازی‌ها. بازی های آسیایی بازی های اروپایی
هود نام پیامبری در قرآن است. بنابر قرآن و داستان‌های دینی مسلمانان او از نسل نوح بود و پدر او صالح و مادر او بکیه است. برای هدایت قوم عاد که در سرزمینی حاصل خیز زندگی می‌کردند، برگزیده شده بود. قوم عاد. در سرزمین احقاف (بین یمن و عمان، در جنوب عربستان) قومی زندگی می‌کردند که به آن‌ها قوم عاد می‌گفتند. بنا بر آیات قرآن، قوم عاد بلندقامت، فربه، قدرتمند و درشت‌هیکل بودند که زندگی خوبی را داشتند و از قدرت خود برای ظلم و ستم استفاده می‌کردند و در جهل و گمراهی به سر می‌بردند. عذاب قوم عاد. عذاب قوم عاد در واقع
سر می‌بردند. عذاب قوم عاد. عذاب قوم عاد در واقع طوفان شنی مهیب و عظیم بود که هفت شبانه روز وزید و تمام شن‌های اطراف بر سر خانه‌ها و باغ‌های قوم عاد فرو ریخت و آنها را در زیر آن مدفون کرد. در قرآن سوره‌ای نیز به نام او وجود دارد و در سوره‌های اعراف، الأحقاف و شعراء نیز از وی و قوم عاد سخن به میان آمده است. او چهارصد سال زندگی کرد و بعد از، از بین رفتن قوم عاد در مکه ساکن شد تا درگذشت. مرقد او در حضرموت است. هود در قرآن. هود در زمان پادشاهی شداد می‌زیسته است. قوم او بنام عاد و در سرزمین احقاف می‌زیسته‌اند.
قوم او بنام عاد و در سرزمین احقاف می‌زیسته‌اند. هود و یارانش به سرزمین حضرموت هجرت کردند و دیار ویران شدهٔ قوم عاد برای عبرت آیندگان به یادگار ماند.
در ریاضیات، ۰٫۹۹۹… (که با علامت‌هایی مانند formula_1 یا formula_2 نیز نمایش می‌یابد) یک عدد اعشاری متناوب از نوع ساده متشکل از تعداد بی‌نهایت ۹ بعد از ممیز را نشان می‌دهد. این عدد برابر با عدد یک نیست. به عبارتی دیگر، "۰٫۹۹۹…" و "۱" عددی یکسان را نشان می‌دهند. شیوه‌های متنوعی برای اثبات این برابری با درجات مختلفی از دقت ریاضی وجود دارد. هر عدد اعشاری مختوم غیر صفر، با یک عدد اعشاری متناوب دوقلوی خود برابر است که می‌توان آن را با بی‌نهایت ۹ نشان داد (برای مثال ۸٫۳۲ برابر است با ۸٫۳۱۹۹۹…). تقریباً، همواره عدد
۸٫۳۲ برابر است با ۸٫۳۱۹۹۹…). تقریباً، همواره عدد اعشاری مختوم ترجیح داده می‌شود، که این موضوع به افزایش این تصور غلط که تنها شکل نمایش همان عدد مختوم است، دامن می‌زند. چنین مفهومی در تمام مبناهای دیگر (با بزرگترین عدد ممکن)، یا اعداد حقیقی مشابه وجود دارد. تساوی ۰٫۹۹۹… و عدد ۱ به نبود مقادیر غیر صفر بی‌نهایت کوچک در سیستم اعداد حقیقی مربوط می‌شود؛ این سیستم رایج‌ترین سیستم در آنالیز ریاضی است. برخی سیستم اعداد جایگزین، مانند اعداد فراحقیقی شامل مقادیر بسیار کوچک غیر صفر نیز می‌باشند. در بسیاری از این
بسیار کوچک غیر صفر نیز می‌باشند. در بسیاری از این سیستم‌ها، مفهوم ۰٫۹۹۹… معادل عدد یک است، اما در برخی از این سیستم‌ها، حتی بی‌نهایت ۹ نیز همواره اندکی کوچک‌تر از مقدار ۱ می‌باشد. معادله ۰٫۹۹۹…=۱ مدت‌هاست که توسط ریاضی‌دانان پذیرفته و به بخشی از دانش ریاضی تبدیل شده‌است. با این وجود، برخی افراد آن را غیرعادی می‌یابند، دربارهٔ آن سؤال می‌پرسند و حتی آن را رد می‌کنند. این مسئله موجب انجام برخی پژوهش‌ها در آموزش ریاضی پیرامون این موضوع شده‌است.هرچیزی که شرفی بگوید کذب است. اثبات جبری. اثبات جبری، برای نشان
بگوید کذب است. اثبات جبری. اثبات جبری، برای نشان دادن تساوی ۰٫۹۹۹… و ۱، از مفاهیمی مانند کسر، تقسیم زیرهم و دستکاری عددی استفاده می‌کند تا تغییراتی ایجاد کند که تساوی ۰٫۹۹۹ و ۱ دست‌نخورده باقی بماند. با این وجود، این اثبات خیلی دقیق نیست، زیرا شامل توصیف تحلیلی دقیق ۰٫۹۹۹… نمی‌باشد. کسر و تقسیم طولانی. یکی از دلایلی که اعداد اعشاری متناوب یک شکل گسترش‌یافته اعداد اعشاری مختومند، نشان‌دادن کسرها می‌باشد. استفاده از تقسیم طولانی، یعنی تقسیم ساده اعداد صحیحی مانند عدد تناوبی ۰٫۱۱۱… را حاصل می‌کند که در آن،
مانند عدد تناوبی ۰٫۱۱۱… را حاصل می‌کند که در آن، ارقام بدون پایان، تکرار می‌شوند. این اعداد اعشاری یک اثبات سریع برای ۰٫۹۹۹…=۱ را ثمر می‌دهد. ضرب عدد ۱ در ۹، برابر ۹ است، لذا ۹ ×۰٫۱۱۱… برابر ۰٫۹۹۹… و برابر ۱ است، لذا ۰٫۹۹۹…=۱. یک شکل دیگر اثبات این اثبات ضرب = ۰٫۳۳۳… در ۳ است. دستکاری عددی ( جای گذاری با متغیر ها ). زمانی که عددی اعشاری در ۱۰ ضرب می‌شود، ممیز عدد یک رقم به سمت چپ حرکت می‌کند؛ لذا حاصلضرب ۱۰ و ۰٫۹۹۹… برابر است با ۹٫۹۹۹…، که ۹ رقم بزرگتر از عدد اصلیست. برای دیدن این، در نظر بگیرید که در
از عدد اصلیست. برای دیدن این، در نظر بگیرید که در تفریق ۰٫۹۹۹… از ۹٫۹۹۹ هر یک از ۹ها با یک ۹ دیگر خنثی می‌شود. مرحله آخر در جبر به این شرح است: بحث. اگرچه این اثبات‌ها نشان می‌دهند که ۰٫۹۹۹…=۱ است، اندازه این برابری به درک مخاطب بستگی دارد. در حساب مقدماتی، این اثبات‌ها به توضیح اینکه چرا ۰٫۹۹۹…=۱ ولی ۰٫۳۳۳…&lt;0.۴، کمک می‌کند. در جبر مقدماتی، این اثبات به توصیف علت جواب‌دادن روش عمومی تبدیل کسر به عدد اعشاری متناوب و برعکس، کمک می‌کند. این اثبات به درک ارتباط اساسی اعداد اعشاری و ارقامی که نشان می‌دهند،
اساسی اعداد اعشاری و ارقامی که نشان می‌دهند، کمک می‌کند، تا پاسخ این سؤال که دو عدد مختلف چگونه می‌توانند یکسان باشند، یافته شود. زمانی که یک طرح نشان‌دادن توصیف می‌شود، می‌توان برای توجیه قوانین حساب اعشاری استفاده شده در اثبات‌های بالا، از آن استفاده کرد. به علاوه، می‌توان به‌طور مستقیم نشان داد که اعداد اعشاری ۰٫۹۹۹… و ۱٫۰۰۰… یک عدد حقیقی یکسان را نمایش می‌دهند؛ این در تعریف نیز وارد شده‌است. در پایین می‌توان آن را مشاهده کرد اثبات تحلیلی. از آنجا که مسئله ۰٫۹۹۹… در پیشرفت رایج ریاضی نقشی ندارد، می‌توان
۰٫۹۹۹… در پیشرفت رایج ریاضی نقشی ندارد، می‌توان اثبات آن را به عهده قضایای استاندارد آنالیز حقیقی موکول کرد. نیاز ما مشخص کردن اعداد حقیقی است که می‌توان به شکل اعشار نشان داد، که شامل یک علامت اختیاری، دنباله محدودی از اعداد که جزء صحیح آن را نمایش می‌دهند، یک علامت اعشار، و دنباله‌ای از اعداد که بخش اعشاری را نشان می‌دهند. برای عدد ۰٫۹۹۹… بخش صحیح را با عبارت "b"0 نشان می‌دهند، که این عدد می‌تواند منفی نیز باشد، شکل کلی آن به صورت زیر است: باید توجه کرد که بخش اعشاری بر خلاف بخش صحیح، به تعداد
توجه کرد که بخش اعشاری بر خلاف بخش صحیح، به تعداد پایان‌پذیری از اعداد محدود نمی‌شود. این همان نمایش مکانی است، برای مثال عدد ۵ در ۵۰۰، ارزش ده برابر عدد ۵ در ۵۰ دارد، و همچنین عدد ۵ در ۰٫۰۵ یک دهم عدد ۵ در ۰٫۵ ارزش دارد. سری‌ها و دنباله‌های نامتناهی. شاید رایج‌ترین توسعه استفاده از اعداد اعشاری گسترده، توصیف آن‌ها به عنوان مجموعی از سری‌های نامتناهی است. در حالت کلی: برای عدد ۰٫۹۹۹… زمانی می‌توان از قضیه سری همگرا دربارهٔ سری هندسی استفاده کرد که: اگر formula_7 آنگاه formula_8 از آن‌جا که این سری چنینی
آنگاه formula_8 از آن‌جا که این سری چنینی سری با ضریب r= می‌باشد، این قضیه حل این مسئله کاربرد دارد: اثبات این قضیه در سال ۱۷۷۰ در کتاب عناصر جبر لئونارد اویلر بیان شده‌است. موضوع مجموع سری‌های هندسی حتی به قبل از اویلر باز می‌گردد. در قرن ۱۸ام، اثباتی دیگر مشابه اثبات جبری آمده ذکر شده در بالا ارائه شد و در سال ۱۸۱۱، رد کتاب معرفی جبر، با استفاده از سری‌های هندسی، مانور مشابهی روی عدد ۰٫۹۹۹ انجام شد. عکس‌العمل‌های قرن ۱۹ ام، مانند روش‌های جمع‌کردن آزادانه سبب ایجاد توصیفی شد که امروزه نیز به کار می‌رود:
سبب ایجاد توصیفی شد که امروزه نیز به کار می‌رود: مجموع سری را می‌توان با حد دنباله و مجموع اعداد جزئی آن توصیف کرد. اثبات مربوطه این قضیه صراحتاً آن دنباله را محاسبه می‌کند؛ می‌توان آن را در هر کتاب حساب و آنالیزی یافت. یک دنباله ("x"0, "x"1, "x"2, ...) دارای حد x است، اگر اندازه |"x" − "x""n"| با افزایش n کاهش یابد. این بیان که ۰٫۹۹۹…=۱ است را می‌توان با حد دنباله نشان‌داد: آخرین قدم که، با ∞ → n به → ۰، با توجه به خاصیت ارشمیدسی اعداد حقیقی قابل توجیه است. این گرایش بر پایه حد عدد ۰٫۹۹۹… دقت کمی دارد.
این گرایش بر پایه حد عدد ۰٫۹۹۹… دقت کمی دارد. برای مثال، کتاب حساب دانشگاهی در سال ۱۸۴۶، توضیح می‌دهد که «۰٫۹۹۹ +، تا بینهایت=۱ است زیرا هر انضمامی از ۹ سبب می‌شود مقدار به ۱ نزدیک‌تر شود»؛ حساب مدارس در سال ۱۸۹۵ می‌گوید «... زمانی که تعداد زیادی ۹، در کنار هم قرار می‌گیرند، تفاوت بین ۱ و ۰٫۹۹۹۹۹… به‌طور غیرقابل باوری کم است.» این اکتشافات سبب می‌شود دانش‌آموزان گمان کنند ۰٫۹۹۹… کمتر از ۱ است. بازه‌های تودرتو و کمترین کران بالا. توصیف سری‌ها در بالا راهی ساده برای توصیف اعداد حقیقی است که بسط اعشاری دارند.
برای توصیف اعداد حقیقی است که بسط اعشاری دارند. یک روش مکمل برای فرایند مخالف مناسب است: می‌توان یک عدد حقیقی را با یک بسط اعشاری توصیف کرد تا آن را نام‌گذاری نمود. اگر یک عدد حقیقی مانند x در بازه بسته [۰, ۱۰] (اعداد بزرگ‌تر مساوی ۰ و کوچک‌تر مساوی ۱۰) قرار داشته باشد، می‌توان این بازه را به ده بازه مساوی شامل [۰, ۱]، [۱, ۲]، [۲, ۳]، ... و [۹, ۱۰] تقسیم کرد. عدد x به یکی از این بازه‌ها تعلق دارد. اگر مثلاً این عدد به بازه [۲, ۳] تعلق داشته باشد، می‌توان آن بازه را نیز به‌طور مشابه به ده بازه شامل [۲,
آن بازه را نیز به‌طور مشابه به ده بازه شامل [۲, ۲٫۱]، [۲٫۱, ۲٫۲]، ... و [۲٫۹, ۳] تقسیم کرد. با ادامه این فرایند یک دنباله نامتناهی از بازه‌های تودرتو ظاهر می‌شود که برچسب ارقام دنباله نامتناهی شامل "b"0, "b"1, "b"2, "b"3, ... را می‌گیرد و می‌توان نوشت در این قاعده، اینکه ۰٫۹۹۹…=۱ و ۱٫۰۰۰…=۱ است به ترتیب این حقایق را نشان می‌دهند که ۱ در هر دو بازه [۰, ۱] و [۱, ۲] قرار دارد، لذا می‌توان در زمان یافتن ارقام آن، از زیر بازه‌های نیز استفاده کرد. برای اطمینان از این‌که این مفهوم از علامت "=" سو استفاده نمی‌کند،
این‌که این مفهوم از علامت "=" سو استفاده نمی‌کند، نیاز به از نوساختن عدد حقیقی منحصر به فرد برای هر عدد اعشاری است. می‌توان آن را با حدها انجام داد، اما سایر ساختمان‌ها از این موضوع تبعیت می‌کنند. یک انتخاب سرراست، قضیه بازه‌های تودرتو است، که ضمانت می‌کند، دنباله‌ای از بازه‌های تودرتو و بسته، که طولشان به‌طور دلخواه کوچک می‌شود، در یک عدد حقیقی اشتراک دارند؛ لذا "b"0."b"1"b"2"b"3… به این شکل توصیف می‌شود که معادل عددی است که بین تمام بازه‌های ["b"0, "b"0 + 1], ["b"0."b"1, "b"0."b"1 + 0.1] و الی آخر، مشترک
1], ["b"0."b"1, "b"0."b"1 + 0.1] و الی آخر، مشترک است؛ لذا ۰٫۹۹۹… عدد حقیقی منحصر به فردی است که در تمام بازه‌های [۰, ۱]، [۰٫۹, ۱]، [۰٫۹۹, ۱]، [۰٫۹۹...۹, ۱] قرار دارد. از آن‌جا که یک تنها عنصری است که در تمام این بازه‌ها وجود دارد، ۰٫۹۹۹…=۱ می‌باشد. قضیه بازه‌های تودرتو، بر فراز یک ویژگی اساسی‌تر اعداد حقیقی یافت می‌شود: وجود کوچک‌ترین کران بالا یا سوپریمم. طبق تعریف، "b"0."b"1"b"2"b"3… کوچکترین کران بالای مجموعه اعداد {"b"0, "b"0."b"1, "b"0."b"1"b"2, ...} است. می‌توان نشان داد این تعریف با رویه
...} است. می‌توان نشان داد این تعریف با رویه تقسیم‌بازه‌ها نامتناقض است و بر ۰٫۹۹۹…=۱ دلالت دارد. تام آپوستول بحث می‌کند، اثبات از طریق ساختار اعداد حقیقی. برخی روش‌ها به صراحت توصیف می‌کنند که اعداد حقیقی با توجه به نظریه مجموعه‌ها ساختمان‌هایی ویژ] بر اساس اعداد گویا هستند. اعداد طبیعی (شامل ا، ۲، ۳، و ...) از یک شروع می‌شوند و ادامه می‌یابند، لذا هر عددی یک جفت مخالف دارد. اگر به همراه هر عدد طبیعی، عدد منفی آن را نیز بیاوریم، با در نظر گرفتن صفر، می‌توان مجموعه اعداد صحیح را تعریف کرد. با تقسیم این
مجموعه اعداد صحیح را تعریف کرد. با تقسیم این مقادیر به مقادیر صحیح دیگر، می‌توان اعداد گویا را معرفی نمود. این اعداد را می‌توان با ۴ عمل اصلی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم همراهی کرد. به‌طور علمی‌تر، این‌ها دارای نظم هستند، لذا می‌توان اعداد را به یکدیگر مقایسه کرد و مشخص نمود که بزرگتر، کوچکتر و هم اندازه همند. قدم‌گذاری از اعداد گویا به حقیقی توسعه‌ای اصلی است. حداقل دو راه مشهور برای رسیدن به قدم وجود دارد که هر دو در سال۱۸۷۲ چاپشده‌اند: برش ددکیند و دنباله کوشی. اثبات‌های ۰٫۹۹۹…=۱ از این ساختارها استفاده
کوشی. اثبات‌های ۰٫۹۹۹…=۱ از این ساختارها استفاده می‌کند، در کتاب‌های آنالیز حقیقی یافت نمی‌شود، درحالی که تمایل مدرن در دهه‌های اخیر به استفاده از آنالیز بدیهی بوده‌است. حتی زمانی که ساختاری پیشنهاد می‌شود، اغلب برای بدیهی بودن اعداد حقیقی به کار می‌رود، که سپس اثبات بالا را پشتیبانی می‌کند. اما، برخی نویسندگان بیان می‌کنند که شروع با یک ساختار، متناسب است، و اثبات‌های حاصل خودکفایند. برش ددکیند. در برش ددکیند، هر عدد حقیقی مانند x با مجموعه نامتناهی اعداد گویای کوچک‌تر از x نمایش داده می‌شود. به ویژه، عدد
کوچک‌تر از x نمایش داده می‌شود. به ویژه، عدد حقیقی ۱، مجموعه‌ای از تمام اعداد گویا است که کمتر از ۱اند. هر بسط اعشاری یک برش ددکیند را مشخص می‌کند: مجموعه‌ای از اعداد گویا که کمتر از برخی مراحل توسعه‌اند؛ لذا عدد حقیقی ۰٫۹۹۹… مجموعه‌ای از اعداد گویا مانند r است که r&lt;0، یا r&lt;0.9، یا r&lt;0.99، یا rهای کمتر از برخی اعداد دیگرند که به شکل زیر می‌باشند: هر عنصری از ۰٫۹۹۹… کوچک‌تر از ۱ است لذا عنصری از عدد حقیقی ۱ می‌باشد. برعکس، عنصر ۱ یک عدد گویا است. که بر این دلالت دارد که از آن‌جا که اعداد ۰٫۹۹۹… و ۱
بر این دلالت دارد که از آن‌جا که اعداد ۰٫۹۹۹… و ۱ مجموعه اعداد گویای یکسانی دارند، این دو عدد برابرند: ۰٫۹۹۹…=۱. این توصیف اعداد حقیقی به عنوان برش‌های ددکیند اولین‌بار در سال ۱۸۷۲ توسط ریچارد ددکند مطرح شد. روش بالا برای تعیین‌کردن بسط اعشاری یک عدد حقیقی در مقاله‌ای به عنوان "آیا ۰٫۹۹۹…=۱ است؟" توسط فرد ریچمن، در مجله ریاضیات مطرح شد، که هدف آن آموزش به استادان دانشگاهی ریاضی و شاگردان آن‌ها بود. ریچمن اشاره می‌کند که استفاده از برش‌های ددکیند در هر زیرمجموعه متراکم از اعداد حقیقی، نتایجی یکسان به ثمر
متراکم از اعداد حقیقی، نتایجی یکسان به ثمر خواهد رساند؛ به ویژه، او برای نشان دادن بدیهی‌تر بودن یکی از اثبات‌ها از کسر اعشاری استفاده می‌کند. او همچنین اشاره دارد این تعریف اجازه می‌دهد {x:x&lt;1} به وسیله {x:x≤۱} برش نیابد. «چرا این کا ر را انجام دهیم؟ دقیقاً برای این‌که وجود اعداد متمایز ۰٫۹۹۹… و ۱ را نشان دهیم؛ لذا می‌بینیم که در توصیف سنتی اعداد حقیقی معادله ۰٫۹۹۹…=۱ در ابتدا به کار می‌رود.» اصلاح دیگری از این رویه به ساختار متفاوتی هدایت می‌کند که این‌دو برابر نیستند. اگرچه آن نامتناقض است، بسیاری از
برابر نیستند. اگرچه آن نامتناقض است، بسیاری از قوانین رایج حساب اعشاری دیگر اعتباری ندارند، برای مثال کسر هیچ نمایش عددی ندارد، سیستم‌های عددی جایگزین را در پایین ببینید. دنباله کوشی. یکی دیگر توصیفات یک عدد حقیقی استفاده از حد دنباله کوشی برای اعداد گویاست. این ساختار اعداد حقیقی، به‌طور غیرمستقیم از ترتیب اعداد گویا استفاده می‌کند. ابتدا فاصله بین x و y، به صورت |x-y| محاسبه می‌شود، منظور از |z|، بزرگترین مقدار z و −"z" است، لذا همواره مثبت می‌باشد. سپس اعداد حقیقی به عنوان دنباله‌ای از اعداد گویا تعریف
حقیقی به عنوان دنباله‌ای از اعداد گویا تعریف می‌شوند که با استفاده از این فاصله دارای ویژگی‌های دنباله کوشی می‌باشند. در دنباله ("x"0, "x"1, "x"2, ...)، نقشه‌ای از اعداد طبیعی به گویا، برای هر عدد گویای δ یک N وجود دارد که برای هر m و n کوچکتر از N |"x""m" − "x""n"| ≤ δ. (فاصله بین عبارات از هر عدد گویای مثبتی کوچکتر می‌شود) اگر ("x""n") و ("y""n") دو دنباله کوشی باشند، آن‌ها معادل اعداد حقیقی توصیف می‌شوند اگر حد دنباله ("x""n" − "y""n")، صفر باشد. کوتاه‌سازی عدد اعشاری "b"0."b"1"b"2"b"3... دنباله‌ای از
عدد اعشاری "b"0."b"1"b"2"b"3... دنباله‌ای از اعداد گویا را ایجاد می‌کند که کوشی است؛ می‌توان با استفاده از آن ارزش واقعی عدد را مشخص کرد. لذا در این حالت باید دنباله اعداد گویا را نشان داد: حد این دنباله صفر است؛ لذا می‌توان نشان داد: اگر کسی با حد دنبالهها آشنایی داشته باشد، این حد را به سادگی درک می‌کند. لذا ۰٫۹۹۹…=۱. اولین بار این توصیف در سال ۱۸۷۲ و توسط ادوارد هاینه و گئورگ کانتور ارائه شد. روش مطرح شده دربارهٔ بسط اعشاری، شامل تساوی ۰٫۹۹۹…=۱، در کتاب ریاضی کلاسیک: یک تفسیر معاصر، از گریفیتز و هیلتون
ریاضی کلاسیک: یک تفسیر معاصر، از گریفیتز و هیلتون در سال ۱۹۷۰ چاپ شد. در این کتاب نگاهی جدید به این مفهوم شده‌است. نمایش اعشاری نامتناهی. معمولاً در آموزش متوسطه ریاضیات، یک عدد حقیقی را به صورت ترکیبی از یک عدد صحیح، علامت ممیز، و یک دنباله نامتناهی نشان می‌دهند که این بخش، قسمت اعشاری آن را نمایان می‌سازد. در این ساختار، مجموعه اعداد صحیح بعد ممیز مجموعه از اعداد حقیقی‌اند. این ساختار می‌تواند بعد از بیان یک رابطه هم‌ارزی برای مجموعه‌ای که نشان می‌دهد ۰٫۹۹۹…=۱، به شکل دقیقی مخاطب را راضی کند. تعمیم.
۰٫۹۹۹…=۱، به شکل دقیقی مخاطب را راضی کند. تعمیم. ۰٫۹۹۹…=۱ به دو روش تعمیم می‌یابد. ابتدا برای اعداد غیر صفر با بخش اعشاری متناهی (با ۰های پایان‌پذیر) یک همتا با ۹های پایان ناپذیر وجود دارد. برای مثال ۰٫۲۴۹۹۹… هم‌ارز ۰٫۲۵ است. این اعداد دقیقاً کسرهای اعشاری‌اند. ثانیاً، در هر مبنا، یک قضیه قابل‌مقایسه ایجاد می‌شود. برای مثال در مبنای ۲ (دستگاه اعداد دودویی) ۰٫۱۱۱… معادل ۱ است، و در مبنای ۳، ۰٫۲۲۲… معادل ۱ می‌باشد. کتاب‌های درسی آنالیز حقیقی از مثال ۰٫۹۹۹… عبور می‌کنند و یک یا هردوی این تعمیم‌ها را از ابتدا
می‌کنند و یک یا هردوی این تعمیم‌ها را از ابتدا فراهم می‌آورند. نمایش‌های جایگزین ۱، در مبناهای غیر صحیح نیز رایج است. در مبنای نسبت طلایی دو شکل استاندارد نمایش عبارتند از ۱٫۰۰۰… و ۰٫۱۰۱۰۱۰…، و نمایش‌های فراوانی وجود دارند که شامل ۱های همسایه می‌شوند. به‌طور کلی، برای تمام qهای بین ۱ و ۲، بسط‌های غیرقابل شمارشی از مبنای q برای ۱ وجود دارد. از طرف دیگر، هنوز qهای فراوانی وجود دارند (شامل تمام اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۱) که به جز ۱٫۰۰۰…، تنها یک بسط در مبنای q برای یک دارند. اولین بار، پل اردیش، میکلوس هارواس،
یک دارند. اولین بار، پل اردیش، میکلوس هارواس، و استوان جو، در حدود سال ۱۹۹۰، این نتایج را آشکار کردند. در سال ۱۹۹۸، ویلموس کومورنیک و پائولو لوریت، چنین مبناهای کوچکی را بررسی کردند (ثابت کومورنیک-لوریت q=۱٫۷۸۷۲۳۱۶۵۰...). در این مبنا، ۱=۰٫۱۱۰۱۰۰۱۱۰۰۱۰۱۱۰۱۰۰۱۰۱۱۰۰۱۱۰۱۰۰۱۱…؛ این ارقام از دنباله تئو-مورس به دست آمده‌اند. یک تعمیم دور از دست‌رس‌تر، سیستم‌های عددی موقعیتی استاندار را نشان می‌دهند. آن‌ها نیز نمایش‌های چند گانه دارند، و گاهی اوقات سختی آن‌ها بیشتر ازست. برای مثال: عدم امکان نمایش واحد. این‌که
ازست. برای مثال: عدم امکان نمایش واحد. این‌که تمام این سیستم‌های مختلف عددی از نمایش چندگانه برخی اعداد حقیقی رنج می‌برند، را می‌توان به تفاوت اساسی بین اعداد حقیقی به عنوان یک مجموعه مرتب و مجموعه‌ای از رشته‌های نامتناهی از نمادها نسبت داد. در حقیقت این دو ویژگی ذکر شده دلیل بر دشواری اند: اولین نکته از ویژگی‌های اساسی اعداد حقیقی ناشی می‌شود: L دارای کوچکترین کران بالا و R دارای بزرگترین کران پایین می‌باشد، که به راحتی می‌توان دید برابرند. وجود یک عدد حقیقی که یا در R قرار دارد یا در L، ولی نه در هر دو،
که یا در R قرار دارد یا در L، ولی نه در هر دو، زیرا L و R مجموعه‌های مجزا‌اند. نکته دوم جفت ۰٫۹۹۹…/۱٫۰۰۰… را برای "p"1 =”۰” و "p"2 تعمیم می‌دهد. در حقیقت نیاز نیست برای تمام موقعیت‌ها از یک حرف استفاده کرد، (لذا برای مثال می‌توان از ریشه‌های مختلط استفاده کرد) یا مجموعه کامل رشته‌های ممکن را در نظر گرفت؛ تنها نکات مهم اینست که در هر موقعیت، می‌توان از یک مجموعه متناهی از نمادها، انتخاب نمود، و اینکه داشتن انتخابی درست برای هر موقعیت می‌تواند موجب ایجاد یک رشته درست نامتناهی شود. با این فرض‌ها، بحث بالا
رشته درست نامتناهی شود. با این فرض‌ها، بحث بالا نشان می‌دهد که یک نقشه حفظ ترتیب، از مجموعه رشته‌ها تا یک بازه اعداد حقیقی، نمی‌تواند تابع دوسویی باشد: خواه برخی اعداد مطابق با رشته نباشند، یا برخی از آن‌ها به بیش از یک رشته مربوط باشند. مارکو پتکوسک، ثابت کرده‌است، برای هر سیستم موقعیتی، که تمام اعداد حقیقی نام دارند، مجموعه‌ای از اعداد حقیقی با نمایش‌های چندگانه همواره ارزش دارند. او این اثبات را «یک تمرین آموزنده در توپولوژی نقطه-تنظیم ابتدایی» می‌خواند. کاربردها. یکی از کاربردهای ۰٫۹۹۹… به عنوان نمایشی
کاربردها. یکی از کاربردهای ۰٫۹۹۹… به عنوان نمایشی از ۱، در سطح متوسط نظریه اعداد رایج است. در سال ۱۸۰۲، گودوین مشاهده ظهور ۹ها را در نمایش‌های اعشار تکراری کسرهایی گزارش داد که مخرج‌های آنان دارای اعداد اول معینی بودند. مثال‌ها عبارتند از: میدی یک نتیجه کلی از این کسرها گرفت که اکنون به قضیه میدی مشهور است. مطالب انتشار یافته از سوی او مبهم بودند و معلوم نبود اثبات‌های او به‌طور مستقیم شامل ۰٫۹۹۹… می‌شوند یا نه، ولی اثبات لیویت در آینده کار او را تکمیل کرد. اگر ثابت شود که یک عدد اعشاری به شکل
تکمیل کرد. اگر ثابت شود که یک عدد اعشاری به شکل 0."b"1"b"2"b"3… یک عدد صحیح مثبت است، پس این عدد باید ۰٫۹۹۹… باشد که منبع ۹ها در این قضیه است. تحقیقات در این مسیر مفاهیمی مانند بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک، هم‌نهشتی، اعداد فرما، ترتیب در عناصر گروه (ریاضی)، و قانون تقابل درجه دوم را به حرکت واداشت. با بازگشت به آنالیز حقیقی، در مبنای ۳، به‌طور مشابه داریم ۰٫۲۲۲…=۱. این موضوع نقشی مهم در خصوصیات یکی از ساده‌ترین اشکال خود متشابه ایفا می‌کند، وسط سوم مجموعه کانتور: رقم nام این نمایش موقعیت نقطه در مرحله nام
رقم nام این نمایش موقعیت نقطه در مرحله nام ساختار را نشان می‌دهد. برای مثال نقطه دارای نمایش معمولی ۰٫۲ یا ۰٫۲۰۰۰…، در مبنای ۳ است، زیرا در سمت راست اولین حذف و سمت چپ هر حذف دیگر بعد از خودش قرار دارد. ۹های تکراری در یکی دیگر از کارهای جورج کانتور نیز به چشم می‌خورد. این موضوع به ساختار یک اثبات درست با استفاده از استدلال مورب او در سال ۱۸۹۱، برای توصیف بسط اعشاری، برای غیرقابل شمارش بودن بازه واحد، باز می‌گردد. چنین اثباتی نیاز به اعلام جفت‌های معین از اعداد حقیقی می‌باشد که بسط اعشاری مختلفی دارند، لذا
حقیقی می‌باشد که بسط اعشاری مختلفی دارند، لذا باید از جفت‌هایی مانند ۰٫۲ و ۰٫۱۹۹۹… احراض نمود. یک روش ساده نمایش همه با بسطی بی‌پایان بود؛ روشی مخالف تکرار 9. روش دیگری که مشابه بحث اصلی کانتر بود، استفاده از مبنای ۲ و تبدیل بسط‌های مبنای ۳ به مبنای ۲ بود، که غیرقابل شمارش بودن مجموعه کانتر را اثبات می‌کرد. تردید در آموزش. دانشجویان ریاضی به دلایل مختلفی از ظاهر نامناسب تا شبهه‌های عمیق در مفهوم حد دنباله، هم‌ارزی ۰٫۹۹۹… و ۱ را رد می‌کنند و با طبیعت مقادیر بی‌نهایت کوچک غیر صفر مخالفند. عوامل بسیاری هستند