payamvha/North_RAG huggingface dataset:
تعریف این منحنی‌ها به شکلی متقارن و برگشتی (به عنوان مکان هندسی نقاطی که روی خط قطبی خودشانند، یا منحنی محاطی خطوطی که از قطب خودشان می‌گذرند) به‌کار رود. کاربرد. با استفاده از ویژگی «نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی» می‌توان نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها را بهینه کرد. منطقه فرنل نیز با همین ویژگی بیضی به شکل گوی‌وار ایجاد می‌شود و درک آن برای طراحی شبکه‌های بی‌سیم ضروری است. از آینههای بیضوی نیز برای تمرکز نور یک منبع در کانونی معین استفاده می‌شود. مدار بیضی در اخترپویاشناسی مداری کپلری است که
مدار بیضی در اخترپویاشناسی مداری کپلری است که برون‌مرکزی آن کمتر از ۱ باشد. نمونه‌های مدار بیضی، از جمله مدار هوهمان، در محاسبات پیش‌رانش فضاپیماها و مدار ماهوارهها اهمیت زیادی دارد. جواب عام نوسانگر هماهنگ در دو بعد یا بیشتر هم بیضی است. می‌توان چرخ‌دنده‌هایی به شکل بیضی ساخت که هر یک به محور یکی از کانون‌هایشان به‌نرمی مماس یکدیگر بچرخند. چرخ‌دنده‌های بیضوی معمولاً زمانی به‌کار می‌روند که سرعت متغیر حرکت چرخ‌دنده مطلوب باشد. در سیاست بین‌الملل، عبارت بیضی استراتژیک اشاره به منطقه‌ای در غرب آسیا دارد که
استراتژیک اشاره به منطقه‌ای در غرب آسیا دارد که دربرگیرندهٔ بیش از ۷۰ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ نفت و بیش از ۶۵ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ گاز طبیعی جهان است. نقشهٔ دفتر اصلی رئیس‌جمهور آمریکا در کاخ سفید به شکل بیضی است. به نوشتهٔ کریسچن ساینس مانیتور، وجود دو کانون در دفتر بیضی نماد دو کانون وظیفه در تصمیم‌گیری‌های سیاسی (سیاستمداران و مردم) است. تعریف بیضی. تعریف بیضی با اعمال تجانس بر دایره. بیضی را می‌توان به عنوان نتیجهٔ اعمال یک نگاشت خطی (تبدیل آفین) بر دایرهای به شعاع یک تعریف کرد. اگر formula_1 و
بر دایرهای به شعاع یک تعریف کرد. اگر formula_1 و formula_2 اعدادی بزرگتر از صفر باشند، ماتریس این نگاشت عبارت است از: اگر formula_1 کمتر از ۱ باشد، بیضی حاصل از این نگاشت دایره در راستای محور xها فشرده می‌شود و اگر formula_1 بیشتر از ۱ باشد بیضی در این راستا کشیده می‌شود. همین‌طور اگر formula_2 کمتر از ۱ باشد، بیضی حاصل از این نگاشت دایره در راستای محور yها فشرده می‌شود و اگر formula_2 بیشتر از ۱ باشد بیضی در این راستا کشیده می‌شود. قطر بزرگ بیضی دو برابر هر کدام از formula_1 یا formula_2 است که بزرگتر
هر کدام از formula_1 یا formula_2 است که بزرگتر باشد و قطر کوچک بیضی دو برابر آنی که کوچکتر باشد. مساحت بیضی هم برابر است با formula_12. از سوی دیگر، با اعمال تجانس formula_13 هم، که در آن رأس‌های بزرگ ثابت می‌مانند و رأس‌های کوچک به formula_14 و formula_15 منتقل می‌شوند، می‌توان بیضی را به دایرهای با شعاع formula_1 تبدیل کرد. بیضی به عنوان مقطع مخروطی. بیضی خمی بسته‌است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با ارتفاع و هر کدام از وترهای مخروط موازی "نباشد". اگر این صفحه با
از وترهای مخروط موازی "نباشد". اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره (حالت خاص بیضی)، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با یکی از وترهای مخروط موازی باشد حاصل سهمی خواهد بود. در هندسه تصویری، اشتقاق بیضی از مخروط معادل تصویر مرکزی یک دایره (مقطع مخروط) روی صفحه‌ای است که با صفحهٔ دایره زاویه‌ای تند دارد. می‌توان نشان داد که تصویر کردن دایره روی بیضی همان تعریف بیضی با اعمال تجانس آفین بر دایره است. تعریف بیضی با دو کانون. تعریف دیگری از بیضی این است که بیضی مکان هندسی همهٔ
دیگری از بیضی این است که بیضی مکان هندسی همهٔ نقاطی است که مجموع فاصله‌هایشان از دو نقطهٔ ثابت (دو کانون) ثابت و برابر قطر بزرگ بیضی است. هر چه فاصلهٔ بین این دو نقطه کمتر باشد، خروج از مرکز بیضی کوچکتر است و شکل بیضی به دایره شبیه‌تر. قطر بزرگ بیضی خط راستی است که دو کانون آن را به هم متصل می‌کند و از دو طرف تا منحنی ادامه می‌یابد. قطر کوچک بیضی عمود بر نقطهٔ وسط قطر بزرگ (با فاصلهٔ یکسان از دو کانون) قرار دارد. به دو خطی که به موازات قطر کوچک بیضی رسم می‌شوند و از کانون‌ها می‌گذرند «راست‌وتر کانونی» گفته
و از کانون‌ها می‌گذرند «راست‌وتر کانونی» گفته می‌شود. با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی تعریف‌شده با دو کانون با بیضی ساخته‌شده از برخورد مخروط و صفحه یکی است. گیریم صفحهٔ formula_17 مخروطی را قطع می‌کند و در محل انقطاع یک منحنی تشکیل شده‌است. دو کرهٔ دندلین formula_18 روی صفحه و formula_19 زیر صفحه تعریف شده‌اند. تقاطع هر کره با مخروط یک دایره است (formula_20 و formula_21)، و هر کره بر صفحهٔ formula_17 را در یک نقطه (formula_23 و formula_24) مماس است. گیریم P نقطه‌ای روی منحنی باشد.
مماس است. گیریم P نقطه‌ای روی منحنی باشد. قصد است که ثابت شود با حرکت formula_25 بر روی منحنی، فاصلهٔ formula_26 ثابت می‌ماند: تعریف بیضی با یک کانون و یک خط هادی. بیضی را می‌توان با مسیر نقطه‌ای تعریف کرد که به‌گونه‌ای در صفحه حرکت می‌کند که نسبت فاصله‌اش از یک نقطهٔ خاص (کانون) و فاصله‌اش از خطی صاف (خط هادی) عددی ثابت و کوچکتر از یک باشد. هر مسیری که این شرط را احراز کند همین ویژگی را نسبت به یک کانون و خط هادی دیگر هم دارد، ازین‌رو بیضی را می‌توان با داشتن یکی از کانون‌ها و خط هادی متناظرش تعریف کرد.
یکی از کانون‌ها و خط هادی متناظرش تعریف کرد. نسبت این فواصل با خروج از مرکز و مقدار مبین در معادلهٔ کلی همهٔ مقاطع مخروطی برابر است. اگر کانون برابر formula_48 و معادلهٔ خط هادی formula_49 باشد، نتیجه می‌شود: با استفاده از کره‌های دندلین هم می‌توان اثبات کرد که بیضی حاصل از تعریف با کانون و خط هادی همان بیضی حاصل شده از تقاطع یک صفحه و یک مخروط است. معادله بیضی. محاسبه معادله بیضی بر اساس معادله دایره. معادلهٔ بیضی را می‌توان بر اساس معادلهٔ دایره و با اعمال نگاشت خطی formula_51 بر آن به دست آورد. گیریم
نگاشت خطی formula_51 بر آن به دست آورد. گیریم formula_52 نقطه‌ای بر روی دایره‌ای باشد که بر روی نقطهٔ formula_53 بیضی نگاشت شده‌است: از آنجا که دترمینان formula_54 صفر نیست، formula_54 وارون‌پذیر است. ماتریس وارون formula_54 را می‌توان با قاعده کرامر به‌دست‌آورد: با اعمال formula_57 بر نقاط formula_53 بیضی، نقاط formula_52 دایره حاصل می‌شود: و با قرار دادن formula_60 در معادله دایره (formula_61)، معادلهٔ بیضی حاصل می‌شود: معادله متعارف بیضی. هر معادله درجه دو با فرمول formula_62 معرف یک بیضی است که مرکزش
دو با فرمول formula_62 معرف یک بیضی است که مرکزش روی مبدأ مختصاتی، قطر بزرگش روی محور formula_63ها، و قطر کوچکش روی محور formula_64ها جای دارد. مقادیر formula_1 و formula_2 فاصلهٔ چهار رأس بیضی را از مرکز آن مشخص می‌کنند، به گونه‌ای که مختصات رأس‌های بزرگ formula_67 و formula_68 و مختصات راس‌های کوچک formula_69 و formula_70 است. مقدار formula_2 به «نیم‌قطر کوچک» و مقدار formula_1 به «نیم‌قطر بزرگ» موسوم است. این معادله غالباً به شکل formula_73 نوشته می‌شود. فاصلهٔ مرکز بیضی از هر کدام از کانون‌ها
می‌شود. فاصلهٔ مرکز بیضی از هر کدام از کانون‌ها formula_74 و مختصات کانونها formula_75 است. اگر مرکز بیضی از مبدأ مختصاتی به نقطهٔ formula_76 انتقال یابد معادلهٔ بیضی برابر formula_77 خواهد بود. از معادله عام منحنی‌های درجه دو. برای اینکه معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو (یعنی ) بیضی باشد، باید تعریف کرد که که در آن formula_78، formula_79، و formula_80 است. در این معادله اگر formula_81 باشد حاصل دایره خواهد بود (که حالت خاصی از بیضی است) و اگر formula_82 حاصل یک نقطه می‌شود. مختصات مرکز این بیضی formula_76 از
نقطه می‌شود. مختصات مرکز این بیضی formula_76 از معادلات زیر حاصل می‌شود: و محورهای نیم‌بزرگ و نیم‌کوچک بیضی عبارت است از: معادله پارامتری. معادلهٔ پارامتری بیضی را می‌توان با اعمال تجانس (تبدیل آفین) formula_84، formula_85 بر معادلهٔ پارامتری دایره واحد (یعنی formula_86) به‌دست‌آورد. با این حساب معادلهٔ پارامتری بیضی عبارت است از: که در آن formula_87. برای یافتن معادلهٔ پارامتری بیضی به صورت عبارت‌های گویا، می‌توان همان تجانس formula_84، formula_85 را بر معادلهٔ پارامتری گویای دایره‌ای به شعاع واحد اعمال
پارامتری گویای دایره‌ای به شعاع واحد اعمال کرد. در این حالت معادلهٔ پارامتری بیضی عبارت است از: معادله قطبی. معادلهٔ قطبی بیضی معمولاً به مرکزیت یکی از کانون‌های آن نوشته می‌شود. اگر آغاز زاویهٔ formula_90 از قطر بزرگ یک بیضی باشد، معادلهٔ قطبی آن عبارت است از: زاویهٔ formula_90 به آنومالی حقیقی کانون مورد نظر موسوم است و گاه با formula_92 هم نشان داده می‌شود. ثابت formula_93 هم همان «نیم‌راست‌وتر کانونی» (formula_94) است. نقطهٔ formula_95 که در آن مقدار formula_96 به حداقل خود می‌رسد «نقطهٔ حضیض» و نقطهٔ
به حداقل خود می‌رسد «نقطهٔ حضیض» و نقطهٔ formula_97 که در آن مقدار formula_96 به حداکثر خود می‌رسد «نقطهٔ اوج» نام دارد. در دستگاه مختصات دوقطبی. مختصات دوقطبی بیضی‌ای که یکی از کانون‌هایش روی مبدأ مختصات باشد عبارت است از معادلهٔ که در آن formula_1 برابر نصف قطر بزرگ بیضی است. ویژگی‌ها. کانون‌ها. هر بیضی روی قطر بزرگش دو کانون دارد که با نمادهای formula_100 و formula_101 نشان داده می‌شود. مقدار formula_17 (خروج از مرکز) را می‌توان با جایگزین کردن formula_1 و formula_2 در فرمول formula_105 , محاسبه کرد. با
و formula_2 در فرمول formula_105 , محاسبه کرد. با دانستن این فرمول و استفاده از قضیه فیثاغورث، مشخص است که فاصلهٔ رأس‌های کوچک تا formula_106 و formula_107 برابر formula_1 است. این امر حالت خاصی از ویژگی زیر است: بنابراین هر بیضی را می‌توان با داشتن دو کانون و یک نقطه روی محیط ترسیم کرد. برای اثبات این ویژگی، می‌توان نقطهٔ formula_109 را تعریف و در فرمول فاصله جایگزین کرد: و با استفاده از معادلهٔ بیضی (formula_110) می‌توان نشان داد که این مقدار برابر formula_111 است. برون‌مرکزی. نسبت فاصلهٔ هر کانون از
است. برون‌مرکزی. نسبت فاصلهٔ هر کانون از مرکز بیضی (formula_112) به اندازه نیم‌قطر بزرگ بیضی (formula_1) برون‌مرکزی بیضی نامیده می‌شود و آن را با حرف formula_17 نشان می‌دهند (formula_115). به‌این‌ترتیب برون‌مرکزی را می‌توان جای کانون در نیم‌قطر بزرگ دانست. برون‌مرکزی یک بیضیِ معین همواره مقداری ثابت و بین صفر و یک است formula_116 و به‌صورتی یکتا شکل آن را مشخص می‌کند، به این مفهوم که دو بیضی متشابهند اگر و تنها اگر برون‌مرکزی‌شان با هم برابر باشد. زمانی که برون‌مرکزی صفر باشد، کانون روی مرکز می‌افتد و
که برون‌مرکزی صفر باشد، کانون روی مرکز می‌افتد و منحنی به‌شکل دایره درمی‌آید. اگر برون‌مرکزی به یک نزدیک شود (فاصلهٔ کانون از مرکز به بی‌نهایت میل کند)، بیضی حالتی کشیده پیدا می‌کند. برون‌مرکزی بیضی برابر وارون ضربی برون مرکزی هذلولیای با نیم‌قطر بزرگ و کوچک برابر است. خطوط هادی. اگر formula_1 نیم‌قطر بزرگ بیضی و formula_112 فاصلهٔ هر کانون بیضی از مرکز آن باشد، دو خط موازی با قطر کوچک بیضی به فاصلهٔ formula_119 از این قطر به خطوط هادی بیضی موسومند. می‌توان نشان داد که در هر بیضی نسبت «فاصلهٔ نقطهٔ
می‌توان نشان داد که در هر بیضی نسبت «فاصلهٔ نقطهٔ formula_94 از هر کدام از کانون‌های بیضی» به «فاصلهٔ formula_94 از خط هادی متناظر با آن کانون» ثابت و برابر با برون‌مرکزی بیضی است؛ یعنی: اگر نسبت فاصله هر نقطه روی بیضی از کانون به فاصله‌اش از خط هادی برابر formula_96، فاصلهٔ خط هادی از مرکز بیضی برابر formula_123، و نیم‌قطر کوچک بیضی formula_2 باشد آنگاه: و برای به دست آوردن formula_123: قطر مزدوج یک وتر. به موازات هر وتر formula_126 که از مرکز بیضی بگذرد، مجموعه‌ای از وترها هست که شامل خط مماس بر بیضی با
مجموعه‌ای از وترها هست که شامل خط مماس بر بیضی با شیب مساوی formula_126 می‌شود. با وصل کردن نقطهٔ وسط همهٔ این وترها به هم formula_128 حاصل می‌شود که قطر بیضی است و با عنوان «مزدوج» formula_126 شناخته می‌شود. با استفاده از قطرهای مزدوج بر وتر می‌توان خطوط مماس بر بیضی را ترسیم کرد. خطوط مماس بر نقاطformula_95، formula_97، formula_132، و formula_133 بیضی را در یک متوازی‌الأضلاع محاط می‌کنند. اگر وتر formula_126 همنهشت بر یکی از قطرهای بیضی شود، شکل محاط‌کنندهٔ بیضی مستطیل خواهد بود. نیم‌راست‌وتر کانونی.
بیضی مستطیل خواهد بود. نیم‌راست‌وتر کانونی. وتری که از یکی از کانون‌ها می‌گذرد و بر قطر بزرگ بیضی عمود است «راست‌وتر کانونی» نامیده می‌شود. نصف این وتر، یعنی «نیم‌راست‌وتر کانونی» است که با حرف formula_94 نمایش داده می‌شود. می‌توان نشان داد که: همچنین می‌توان با استفاده از معادلهٔ قطبی بیضی نشان داد که: خط مماس. اگر خطی یک بیضی را در ۱ و فقط ۱ نقطه قطع کند، گفته می‌شود که آن خط بر آن بیضی مماس است. از هر نقطه روی بیضی تنها یک خط مماس می‌گذرد. معادلهٔ خط مماس بیضی formula_136 در نقطهٔ formula_137 عبارت است
بیضی formula_136 در نقطهٔ formula_137 عبارت است از: هر گاه دو خط مماس بیضی با هم زاویهٔ بسازند، نقطهٔ تقاطع آن دو خط مماس روی دایره‌ای قرار دارد که به دایره ارتوپتیک موسوم است و معادلهٔ آن عبارت است از: نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی. نیمساز زاویهٔ بین دو پاره‌خط formula_138 و formula_139 همواره بر خط مماس بیضی در نقطهٔ formula_94 عمود است. از این ویژگی نتیجه می‌شود اگر اشعه‌ای از یکی از کانون‌ها به هر نقطه‌ای روی محیط بیضی بتابد به‌سوی کانون دیگر بازتاب می‌شود. این امر در نورپردازی و طراحی آکوستیک
می‌شود. این امر در نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها کاربرد دارد. مساحت. مساحت بیضی برابر است با: که در آن formula_1 و formula_2 به‌ترتیب نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچکند. فرمول مساحت بیضی را به‌سادگی می‌توان از فرمول مساحت دایره‌ای به شعاع formula_2 (یعنی formula_144) به‌دست آورد. اگر دایره از یک طرف به نسبت formula_145 کشیده شود، مساحت آن با در همین نسبت ضرب می‌شود: formula_146. فرمول مساحت بیضی را با استفاده از انتگرال نیز می‌توان به‌سادگی محاسبه کرد. ابتدا معادلهٔ متعارف بیضی به صورت formula_147
ابتدا معادلهٔ متعارف بیضی به صورت formula_147 بازنوشته می‌شود. برای هر formula_148، این منحنی نیمهٔ بالایی بیضی است. پس مساحت بیضی دو برابر انتگرال formula_149 در بازهٔ formula_150 خواهد بود: اگر معادلهٔ بیضی به‌شکل formula_151 نوشته شود، مساحت آن برابر formula_152 خواهد بود. محیط. از آن‌جا که فرمولی با فرم بسته (مثل فرمول محیط دایره، که حالت خاص بیضی است) برای محیط بیضی وجود ندارد، مسئلهٔ بیان محیط دقیق بیضی منجر به ایجاد توابع بیضوی شد که موضوعی مهم در ریاضیات و فیزیک است. برای محاسبه محیط بیضی، باید
ریاضیات و فیزیک است. برای محاسبه محیط بیضی، باید ابتدا انتگرال کامل بیضوی نوع دوم را محاسبه کرد. به این ترتیب محیط بیضی با نیم‌قطر بزرگ formula_1 و نیم‌قطر کوچک formula_2 برابر است با: که در آن formula_17 همان برون‌مرکزی (formula_156) است و formula_157 عبارت است از: محیط بیضی بر اساس انتگرال کامل بیضوی نوع دوم را با استفاده از «سری گاوس-کومر» نیز می‌توان محاسبه کرد: بااین‌همه فرمول‌های پرشماری برای تخمین محیط بیضی ارائه شده که هر یک نقاط قوت و ضعف خود را دارند؛ مثلاً فرمول ابداعی سرینیواسا رامانوجان (۱۸۸۷
مثلاً فرمول ابداعی سرینیواسا رامانوجان (۱۸۸۷ – ۱۹۲۰) برای تخمین محیط بیضی عبارت است از: که برای بیضی‌هایی با برون‌مرکزی کم دقت بالایی دارد. یا راجر مارتنز در سال ۲۰۰۰ فرمولی برای تخمین محیط بیضی ارائه داد که خطای آن همیشه کمتر از ۰٫۳۶۱۹٪ است: با این‌حال شناخته‌شده‌ترین فرمول تخمین محیط بیضی فرمولی است که اویلر در سال ۱۷۷۳ ارائه کرد: انحنا. انحنای بیضی برابر است با: شعاع انحنا در نقطهٔ formula_53 عبارت است از: زاویه مماسی بیضی نیز از فرمول formula_159 محاسبه می‌شود. رابطهٔ بین قطب و خط قطبی. خط قطبی هر نقطه
می‌شود. رابطهٔ بین قطب و خط قطبی. خط قطبی هر نقطه روی بیضی، از خود آن نقطه می‌گذرد. همچنین قطب هر خط قطبی‌ای که بر بیضی مماس است روی آن بیضی است. این رابطهٔ متقابل قطب و خط قطبی در مقاطع مخروطی اساس تعریف این دو ویژگی است. اگر معادلهٔ بیضی از معادلهٔ عام منحنی‌های درجهٔ دوم، یعنی به شکل: نوشته شود، معادلهٔ خط قطبی نقطهٔ formula_160 عبارت خواهد بود از: که در آن formula_133 و formula_157 و formula_163 ثابت‌هایی‌اند که به شکل زیر تعریف می‌شوند: با داشتن معادلهٔ خط قطبی formula_164 نیز می‌توان قطب آن را با
خط قطبی formula_164 نیز می‌توان قطب آن را با قرار دادن مقادیر formula_63 و formula_64 و formula_167 از محاسبهٔ زیر در formula_168 به‌دست آورد: در هندسه فضایی. با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به گوی‌وار موسوم است. گوی‌واری که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «گوی‌وار کشیده» و گوی‌واری که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «گوی‌وار پَخ» نام دارد. با اکستروژن موازی بیضی «استوانهٔ بیضوی» و با اکستروژن مرکزی آن «مخروط بیضوی» ساخته می‌شود. حجم‌هایی که همهٔ سطوح مقاطعشان به
ساخته می‌شود. حجم‌هایی که همهٔ سطوح مقاطعشان به شکل بیضی باشد به بیضی‌وار موسومند. بیضی‌واری که در دو محورِ دستگاه مختصات دکارتی طولی مساوی داشته باشد گوی‌وار و بیضی‌واری که در هر سه محور طول مساوی داشته باشد کره است. ترسیم. روش باغبانی. ترسیم بیضی با ویژگی کانون آن به «روش باغبانی» موسوم است. در این روش دو قطعه چوب در دو نقطه از زمین (کانون‌ها) کوبیده می‌شود. حلقه طنابی به طول formula_169 که در نقطه‌ای از آن یک میله گره خورده‌است به دور دو قطعه چوب انداخته می‌شود و سپس میله جابجا می‌شود تا طناب کشیده شود.
می‌شود و سپس میله جابجا می‌شود تا طناب کشیده شود. همهٔ نقاطی که میله را بتوان روی قرار داد به‌شکلی که طناب شل نباشد روی بیضی هستند. روش خاگار (ترامل). اگر دو رأس یک پاره‌خط را در راستای دو خط متقاطع حرکت دهیم، هر نقطهٔ ثابت روی آن پاره‌خط (یا امتداد آن) مکان هندسی کمانی از یک بیضی خواهد بود. ترسیم بیضی با این روش به «روش خاگار (ترامل)» موسوم است. در گذشته نیز ابزاری با نام «ترامل» برای ترسیم فنی و همچنین به‌عنوان اسباب‌بازی تولید می‌شد که دو پین قابل تنظیم و یک گیره (برای اتصال قلم) داشت و با استفاده از آن
یک گیره (برای اتصال قلم) داشت و با استفاده از آن می‌شد بیضی رسم کرد. روش متوازی‌الأضلاع. روش متوازی‌الأضلاع یا تولید مخروطی اشتاینر را می‌توان زمان داشتن قطرهای بیضی یا یک وتر و قطر مزدوج آن به کار برد. در این روش یک متوازی‌الأضلاع (در تصویر مجاور formula_170) به مرکزیت نقطهٔ formula_25 در نظر گرفته می‌شود به صورتی که هر کدام از اضلاع آن مساوی و موازی یکی از قطرهای بیضی (یا یک وتر و قطر مزدوجش) باشند. ضلع‌های formula_172 و formula_173 به formula_174 پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شوند. سپس از رأس formula_175 به سر
مساوی تقسیم می‌شوند. سپس از رأس formula_175 به سر هر کدام از پاره‌خط‌های روی ضلع formula_172 و از رأس formula_177 به سر هر کدام از پاره‌خط‌های روی ضلع formula_173 پاره‌خطی کشیده می‌شود. نقطهٔ تقاطع پاره‌خط‌های formula_179 و formula_179 روی بیضی قرار دارد. ترسیم تقریبی از بیضی با چهار مرکز. می‌توان با داشتن دو قطر بیضی، و با استفاده از پرگار شکلی تقریبی از بیضی ترسیم کرد. برای این منظور روی پاره‌خط AD، که انتهای قطرهای کوچک و بزرگ را به هم وصل می‌کند، نقطهٔ F در فاصله DF = b - a (تفاضل نیم‌قطرها) قرار داده
F در فاصله DF = b - a (تفاضل نیم‌قطرها) قرار داده می‌شود. از وسط AF خطی عمود خارج می‌شود که قطر بزرگ را در نقطهٔ formula_181 و قطر کوچک (یا امتداد آن را) در formula_182 قطع می‌کند. سپس با استفاده از تقارن (بازتاب formula_181 و formula_182 روی قطرها) نقاط formula_185 و formula_186 مشخص می‌شوند. با زدن کمان‌هایی متصل به مرکز هر کدام از نقاط formula_181 و formula_182 و formula_185 و formula_186 شکل تقریبی بیضی را مشخص کرد.
واریته جبری ، اشیای مرکزی مورد مطالعه در هندسه جبری می‌باشند. به طور سنتی، یک واریته جبری به صورت مجموعه جواب‌های دستگاه معادلات چندجمله‌ای‌ها بر روی اعداد حقیقی یا مختلط تعریف می‌شوند. تعاریف مدرن این مفهوم را به چندین طریق گسترش می‌دهند، در حالی که سعی بر حفظ جنبه شهودی هندسی پشت تعریف اصلی را دارند. قراردادهایی که در ارتباط با تعریف یک واریته جبری وجود دارد با هم کمی تفاوت دارند. به عنوان مثال، برخی از تعاریف نیازمند این هستند که یک واریته تحویل‌ناپذیر باشد؛ یعنی اجتماعی از دو مجموعهٔ کوچک‌تر بسته در
باشد؛ یعنی اجتماعی از دو مجموعهٔ کوچک‌تر بسته در توپولوژی زاریسکی نباشند. تحت این تعریف، واریته‌های جبری تحویل‌ناپذیر را مجموعه‌های جبری نیز گویند. قراردادهای دیگر، نیازی به مفهوم تحویل‌ناپذیری ندارند. قضیه بنیادی جبر ارتباطی بین جبر و هندسه را برقرار می‌سازد، بدین طریق که: چندجمله‌ای تکین (یک شیء جبری، چندجمله‌ای که ضریب بزرگ‌ترین توان آن یک باشد) تک متغیره با ضرایب مختلط توسط مجموعه ریشه‌هایش (شیئی هندسی) تعیین می‌گردد. قضیه صفرهای هیلبرت با تعمیم این نتیجه، تناظری بنیادین بین ایده‌آل‌های حلقه‌های
نتیجه، تناظری بنیادین بین ایده‌آل‌های حلقه‌های چندجمله‌ای و مجموعه‌های جبری برقرار می‌سازد. با استفاده از قضیه صفرهای هیلبرت و نتایج مرتبط، ریاضی‌دانان تناظری قوی بین سؤالات مربوط مجموعه‌های جبری و سؤالات مربوط به نظریه حلقه‌ها برقرار کرده‌اند. بسیاری از واریته‌های جبری منیفلد هستند؛ ممکن است واریته‌‎های جبری نقاط تکین داشته باشند، در حالی که منیفلدها نمی‌توانند نقطه تکین داشته باشند. واریته‌های جبری را می توان با کمک ابعادشان شناسایی نمود. واریته‌های جبری از بعد یک را خم‌های جبری نامیده و واریته‌های جبری
از بعد یک را خم‌های جبری نامیده و واریته‌های جبری از بعد دو را رویه‌های جبری می‌نامند. مروری بر تعاریف. "واریته آفین" بر روی یک میدان بسته جبری، از نظر مفهومی راحت‌ترین نوع واریته‌ای است که می‌توان تعریف نمود. همچنین واریته‌های تصویری و شبه‌تصویری را می‌توان به شکل مشابهی تعریف نمود. کلی‌ترین تعریف یک واریته با به‌هم‌چسباندن تکه واریته‌های شبه‌تصویری به‌دست می‌آید. ساخت واریته‌های جدید به این شکل بدیهی و واضح نیست؛ اما ناگاتا مثالی از چنین واریته‌های جدیدی را در دهه ۱۹۵۰ میلادی ارائه نمود. واریته‌های آفین.
در دهه ۱۹۵۰ میلادی ارائه نمود. واریته‌های آفین. مقاله اصلی: واریته آفین برای یک میدان جبری بسته مثل formula_1 و عددی طبیعی مثل formula_2، formula_3 را یک n-فضای آفین بر روی formula_1 در نظر بگیرید. چندجمله‌ای‌های formula_5 در حلقه formula_6 را می‌توان به صورت توابع K-مقداری روی formula_3 دید که مقادیرش را از نقاط formula_3 بر می‌گیرد؛ یعنی هر formula_9 نقطه ای از formula_1 انتخاب می کند. برای هر مجموعه formula_11 از چندجمله‌ای‌هایی در formula_6، مکان صفرهای آن یعنی formula_13 را مجموعه نقاطی از formula_3
آن یعنی formula_13 را مجموعه نقاطی از formula_3 تعریف می‌کنیم که توابع داخل مجموعهٔ formula_11 هم‌زمان بر روی آن، صفر شوند، به عبارتی دیگر: زیرمجموعه‌ای چون formula_17 از formula_3 را مجموعه جبری آفینی گویند؛ اگر برای یک مجموعه مثل formula_11 داشته باشیم formula_20. یک مجموعه جبری آفینی ناتُهی چون formula_17 را تحویل ناپذیر ویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع سره‌ای از دو زیرمجموعه جبری نوشت. یک مجموعه جبری آفینی را واریته آفینی گویند. (بسیاری از مؤلفین از عبارت "واریته آفینی" برای اشاره به هر مجموعه جبری
عبارت "واریته آفینی" برای اشاره به هر مجموعه جبری آفینی استفاده می‌کنند، چه آن مجموعه، تحویل ناپذیر باشد یا خیر)) بر روی واریته‌های آفینی می‌توان توپولوژی طبیعی، تعریف کرد، به گونه‌ای مجموعه‌های بستهٔ آن، همان مجموعه‌های جبری آفینی باشد. این توپولوژی را توپولوژی زاریسکی گویند. اگر زیرمجموعه‌ای چون formula_17 از formula_3 داده شده باشد، formula_24 را به صورت ایده‌آلی از تمام توابع چندجمله‌ای تعریف می‌کنیم که روی مجموعه formula_17 ناپدید (صفر) می‌شوند: برای هر مجموعه جبری چون formula_17، حلقه مختصاتی یا حلقه
مجموعه جبری چون formula_17، حلقه مختصاتی یا حلقه ساختاری از formula_17، خارج قسمت حلقه چندجمله‌ای توسط این ایده‌آل است. واریته‌های تصویری و شبه‌تصویری. مقالات اصلی: واریته تصویری و واریته شبه‌تصویری فرض کنید formula_29 میدانی جبری بسته باشد و formula_30 n-فضای تصویری روی formula_29 باشد. formula_5 را چندجمله‌ای همگن از درجه formula_33 عضو formula_34 در نظر می‌گیریم. formula_5 نمی‌تواند روی نقاط formula_30 در مختصات همگن خوش تعریف باشد؛ چرا که formula_5 همگن است، یعنی formula_38، ولی پرسیدن اینکه آیا
همگن است، یعنی formula_38، ولی پرسیدن اینکه آیا formula_5 در نقطه‌ای چون formula_40 صفر می‌شود معنی‌دار است. برای هر مجموعه از چندجمله‌ای‌های همگن چون formula_11 مکان هندسی صفرهای formula_11 را به صورت نقاطی از formula_30 تعریف می‌کنیم که توابع formula_11 روی آن، ناپدید (صفر) می‌شوند: زیرمجموعه‌ای چون formula_17 از formula_30 را مجموعه جبری تصویری گویند اگر برای یک formula_11 داشته باشیم formula_20. یک مجموعه جبری تصویری تحویل‌ناپذیری را واریته تصویری گویند. با اعلام بسته بودن تمام مجموعه‌های جبری،
گویند. با اعلام بسته بودن تمام مجموعه‌های جبری، واریته‌های تصویری هم مجهز به توپولوژی زاریسکی می‌شوند. با معلوم بودن formula_17 از formula_30، فرض کنید formula_24 ایده‌آل تولید شده، توسط تمام چندجمله‌ای‌های همگنی باشد که روی formula_17 ناپدید (صفر) می‌شوند. برای هر مجموعه جبری تصویری چون formula_17، حلقه مختصاتی formula_17 خارج قسمت حلقه چندجمله‌ای بر روی این ایده‌آل است. یک واریته شبه‌تصویری، یک زیرمجموعهٔ باز زاریسکی است. توجه کنید که هر واریته آفین شبه‌تصویری است؛ همچنین، متمم یک مجموعه جبری در یک
شبه‌تصویری است؛ همچنین، متمم یک مجموعه جبری در یک واریته آفین هم، یک واریته شبه‌تصویری است؛ در بستر واریته‌های آفینی، چنین واریته‌های شبه‌تصویری را اغلب نه یک واریته، بلکه یک مجموعه ساخت‌پذیر گویند.
بی‌بی شَهربانو نام آرامگاهی است در شهر ری. طبق کتیبه موجود در آن و باور مردم مقبره شهربانو همسر امام سوم شیعیان حسین بن علی و مادر امام چهارم شیعیان سجاد است. به عقیده برخی از کارشناسان به دلایلی همچون قرارگرفتن زیارتگاه بر فراز کوه، نزدیکی به چشمه، ویژگی‌های معماری سنگی، اختصاص زیارت آن به زنان در برخی دوره‌ها، کاربرد واژه بانو و شهربانو برای ایزدبانوی آناهید و تشابه افسانه بی‌بی شهربانو با داستان زیارتگاه زرتشتی «بانوی پارس» در یزد، این بنا در اصل از نیایشگاه‌های آناهید، الهه آب‌ها و باروری و از
از نیایشگاه‌های آناهید، الهه آب‌ها و باروری و از پرستشگاه‌های زرتشتیان پیش از اسلام بوده است. مری بویس استاد دانشگاه و پژوهشگر آیین زرتشتی که تمام عمرش را به پژوهش در رابطه با ایران باستان و آیین آن صرف کرده است در مقاله خود «بی‌بی‌شهربانو و بانو پارس» مقبره بی‌بی‌شهربانو شهر ری را به آناهید زرتشتیان قبل از اسلام نسب داده است. مری بویس معتقد است داستان فرار شهربانو از کربلا افسانه ای بیش نیست و به دلیل زمینه‌های دینی ایرانیان جذب مقبره شهربانو شده است. تاریخچه بقعه. هسته اصلی بنای مزبور را در دوران ساسانی
بقعه. هسته اصلی بنای مزبور را در دوران ساسانی ساخته‌اند. از دیدگاه معماری قسمت گوشه جنوب شرقی آن که مشتمل بر بنای چهار گوش منظم و استوار سنگی با پوشش ضربی سنگ و آجری می‌باشد و از عهد آل بویه و حرم و اتاق طویل جنوبی آن از دوران ساسانی و دیوارهای خارجی صحن هم‌زمان با بنای سنگی عهد آل بویه و عصر سلجوقیان می‌باشد. در سده‌های بعدی به وسیله احداث رواق و دیوارها و اتاق‌های مختلف و راهرو و… محوطه اصلی را به دو صحن تقسیم و به صورت کنونی درآورده‌اند. گنبد بقعه از عهد دیالمه است. صندوق منبت روی قبر، حدیث‌های پیامبر