payamvha/North_RAG huggingface dataset:
عبدالکریم خُرم (متولد ۱۹۶۳) یک سیاست‌مدار افغان است. او از سال ۲۰۰۶ تا ۲۰۱۰ وزیر اطلاعات و فرهنگ افغانستان بود. در سال ۲۰۱۱، وی رئیس اداره امور رئیس‌جمهور حامد کرزی مقرر گردید. وی در زمان وزارت خود، نام وزارت کلتور و فرهنگ را به وزارت اطلاعات و فرهنگ تبدیل نمود که از اقدامات مهم به‌شمار می‌رود. نخستین چالش دوره کاری او مجادله با رئیس وقت رادیو تلویزیون ملی افغانستان؛ نحیب روشن بود که به استعفای آقای روشن انجامید و دلیل آنهم گماشتن فردی از سوی آقای خرم به ریاست رادیو افغانستان بود. دستور به آب انداختن
به ریاست رادیو افغانستان بود. دستور به آب انداختن کتاب‌های تاریخی. در تاریخ ۴ جوزا/خرداد ۱۳۸۸، عبدالکریم خرم دستور داد تا بیش از هزار جلد کتاب فرهنگی و تاریخی را به دریاچه هیرمند بریزند تا از به این ترتیب کتاب‌های که از ایران به افغانستان به شکل غیرقانونی وارد می‌شده را چ نابود کند. کتاب‌های شناسنامه افغانستان، گل سرخ دل افگار، هزاره‌ها و … چند نمونه از این کتاب‌ها بودند. این واقعه با واکنش فرهنگیان و نویسندگان افغانستانی مواجه شد، همچنین کانون نویسندگان افغانستان، انجمن فرهنگی دانشجویان افغانستان، کانون
انجمن فرهنگی دانشجویان افغانستان، کانون وبلاگ نویسان افغانستان و چندین مجمع دیگر این اقدام را محکوم کرده و خواستار کناره گیری عبدالکریم خرم از وزارت اطلاعات و فرهنگ شدند. سرویس خبری آریانانت در این مورد می‌نویسد:
یک قاعده سرانگشتی یا حساب سرانگشتی اصل، قانون، یا قاعده ای است که به صورت تجربی، در مقیاس نسبتاً وسیعی صحیح یا قابل اعتماد است، اما لزوماً درستی آن در همه موارد ممکن اثبات نشده‌است. از این قوانین زمانی استفاده می‌شود که به دنبال یافتن پاسخی تقریبی و سریع برای یک مسئله هستیم و لزوماً دنبال جوابی صد در صد دقیق و اثبات شده نیستیم. این گونه قوانین غالباً دارای سه ویژگی زیر می‌باشند: تاریخچه در غرب. حساب سرانگشتی را در انگستان، آمریکا و اروپای غربی با Rule of thumb به معنای قانون شست می‌شناسند؛ زیرا گفته می‌شده
به معنای قانون شست می‌شناسند؛ زیرا گفته می‌شده شوهران نباید با ترکه‌ای کلفت‌تر از شست، کتک بزنند! مثال. قاعدهٔ تقریبی برای دو برابر شدن رشد جمعیت آن است که اگر عدد ۷۰ (مقدار دقیق این عدد برابر است با ۶۹/۳۱۴۷۱۸۱ که برابر است با ۱۰۰ برابر لگاریتم طبیعی ۲ که برای نرخ رشدهای بسیار کوچکتر از ۱٪ صادق است) را بر نرخ رشد تقسیم کنیم حاصل تعداد سال‌هایی را نشان می‌دهد که اگر رشد جمعیت با همین نرخ افزایش یابد جمعیت به دو برابر میزان حاضر افزایش خواهد یافت. به‌طور مثال اگر رشد جمعیت ۲٪ باشد، حدوداً ۳۵ سال طول می‌کشد
اگر رشد جمعیت ۲٪ باشد، حدوداً ۳۵ سال طول می‌کشد تا جمعیت دو برابر شود. در مباحث مالی و به‌ویژه نرخ بهره، عموماً مقدار ۷۲ به‌کار می‌رود که به آن "قانون ۷۲" می‌گویند که گمراه‌کننده است.
چهارمین دوره بازی‌های اسلامی بانوان در سال ۲۰۰۵ در ایران، تهران و رشت برگزار شد. چهارمین دوره این بازی ها در شهریور ۱۳۸۴ در دو تهران و رشت ایران برگزار شد. در این بازی ها ۴۵ کشور، ۲۰۰ تیم و ۱۳۱۶ ورزشکار با هم به رقابت پرداختند که شامل پانزده رشته ورزشی جداگانه بود. این مسابقه توسط ۵۱۶ داور از دوازده کشور و ۱۵ ناظر بین المللی نظارت می شد. در رویداد سال ۲۰۰۵ میلادی بسیاری از کشورها برای اولین بار به رقابت پرداختند، از جمله ایالات متحده وبریتانیا و کره جنوبی و بسیاری از کشورهای آسیای شرقی ، اروپایی و آفریقایی
بسیاری از کشورهای آسیای شرقی ، اروپایی و آفریقایی . ایران با مجموع ۱۰۲ مدال قهرمان این مسابقات شد. جدول رده‌بندی چهارمین دوره بازی‌های اسلامی بانوان. توضیحات: رشته‌های ورزشی:۱۸رشته ۱.بدمینتون ۲.شنا ۳.والیبال ۴. تیراندازی ۵. هندبال ۶.جودو ۷. دو ومیدانی ۸.تکواندو ۹.بسکتبال ۱۰.ژیمناستیک ۱۱. اسکواش ۱۲.گلف ۱۳.پینگ پنگ ۱۴.کاراته ۱۵.تنیس ۱۶.فوتسال کشورهای شرکت کننده: ۴۱کشور ۱.جمهوری آذربایجان ۲.ایران ۳.پاکستان ۴.عمان ۵.قزاقستان ۶.اردن ۷.بحرین ۸.تاجیکستان ۹.لبنان ۱۰.کویت ۱۱.افغانستان ۱۲.بنگلادش ۱۳.ترکمنستان
۱۰.کویت ۱۱.افغانستان ۱۲.بنگلادش ۱۳.ترکمنستان ۱۴.قرقیزستان ۱۵.اندونزی ۱۶.بوسنی و هرزگوین ۱۷.سودان ۱۸.امارات ۱۹.ژاپن ۲۰.آلمان ۲۱.ایالات متحدهٔ آمریکا ۲۲.سری لانکا ۲۳.قبرس ۲۴.لیبی ۲۵.اتیوپی ۲۶.سنگاپور ۲۷.مالدیو ۲۸.انگلیس یا (بریتانیا) ۲۹.سنگال ۳۰.مالزی ۳۱.ارمنستان ۳۲.تایلند ۳۳.سودان ۳۴.قطر ۳۵.کره جنوبی ۳۶.اسلوواکی ۳۷.سوریه ۳۸.گرجستان ۳۹.برونئی ۴۰.روسیه ۴۱.عراق سازمان ملل متحد:چهارمین دوره بازیهای اسلامی زنان رویدادی منحصر به فرد بود. پیرو بیانیه مجمع عمومی سازمان ملل متحد مبنی بر نامیدن سال ۲۰۰۵به سال جهانی
ملل متحد مبنی بر نامیدن سال ۲۰۰۵به سال جهانی ورزش و تربیت بدنی گزارش اجمالی از مهترین برنامه‌های ورزشی در سراسر جهان در کتابی تحت عنوان گزارش سال جهانی ورزش و تربیت بدنی ـ ۲۰۰۵ توسط سازمان ملل متحد به چاپ رسید. این کتاب به همراه نامه‌ای از سوی مشاور دبیرکل کل محترم سازمان ملل متحد برای فدراسیون اسلامی ورزش زنان ارسال گردیده؛ که در آن آقای آدولف اوگی ضمن ترغیب و تشویق این فدراسیون به ادامه حرکتهای عظیم ورزشی اظهار امیدواری خود را از تداوم همکاریهای فی‌مابین ابراز نموده‌است. در این کتاب ضمن معرفی کامل
ابراز نموده‌است. در این کتاب ضمن معرفی کامل فدراسیون اسلامی ورزش زنان، تاریخ تأسیس، اهداف، تشکیلات و اعضاء آن، به برگزاری چهارمین دورهٔ بازی‌های اسلامی زنان در تهران ـ مهرماه ۱۳۸۴ برپایی کلینک‌های داوری بین‌المللی قبل از بازی‌ها و صعود حرفه‌ای به قلهٔ شاه داغ جمهوری آذربایجان توسط فدراسیون اسلامی ورزش زنان در فهرست مهترین رویدادهای ورزشی این سال اشاره شده‌است علاوه برآن برپایی پنجمین کنگره علمی ـ ورزشی و دهمین مجمع عمومی فدراسیون نیز در ردیف اهم فعالیت‌های علمی ـ اجرایی این سال قرار گرفته‌است. در توضیح
علمی ـ اجرایی این سال قرار گرفته‌است. در توضیح چهارمین دورهٔ بازی‌های اسلامی زنان ضمن اشاره به منحصر به فرد بودن این رویداد ورزشی، به افتتاح آن با پیام ریاست کمیته بین‌المللی المپیک آقای ژاک روگ و دبیرکل سازمان کنفرانس اسلامی، آقای احسان اوغلو و همچنین حضور بانوان غیر مسلمان از نقاط مختلف جهان در کنار زنان مسلمان با حفظ قوانین و ارزشهای اسلامی برای اولین بار را جزء ویژگیهای شاخص این بازیها مطرح و به آمار چشمگیر ورزشکاران (۱۵۸۷ نفر) اشاره نموده‌است. علاوه بر آن همکاریهای گسترده فدراسیون‌های جهانی و سایر
بر آن همکاریهای گسترده فدراسیون‌های جهانی و سایر سازمانهای ورزشی در برپایی این حرکت ورزشی موضوع دیگری است که در این کتاب مطرح شده‌است. در بخشی از این گزارش ضمن اشاره به عناوین تحقیقاتی انجام شده در کنار چهارمین دورهٔ بازی‌های اسلامی زنان به برگزاری پنجمین کنگره علمی ـ ورزشی فدراسیون اسلامی ورزش زنان به عنوان «به سوی آینده» که همزمان با بازیها در این سال برگزار گردید، پرداخته‌است. در بخش دیگری از این گزارش به برگزاری صعود حرفه‌ای به قلهٔ شاه داغ کشور آذربایجان که توسط فدراسیون اسلامی ورزش زنان با حضور
که توسط فدراسیون اسلامی ورزش زنان با حضور ورزشکاران زن ۶ کشور در این سال انجام گرفته‌است نیز اشاره شده‌است. لازم به توضیح است چهارمین دورهٔ بازی‌های اسلامی زنان که مهرماه ۱۳۸۴ در تهران برگزار گردید، در تقویم سال ۲۰۰۵ سازمان ملل متحد درج گردیده بود. افتتاح بازی‌های اسلامی زنان با پیام ژاک روگ. افتتاح بازی‌های اسلامی زنان با پیام ژاک روگ چهارمین دوره بازی‌های اسلامی زنان با پیام ژاک روگ، رئیس کمیته بین‌المللی المپیک افتتاح خواهد شد. در پیام ژاک روگ ضمن شادباش به هیئت برگزاری و کلیه شرکت کنندگان در چهارمین
به هیئت برگزاری و کلیه شرکت کنندگان در چهارمین دوره بازی‌های اسلامی زنان از طرف نهضت المپیک ذکر شده‌است: «باید به فدراسیون اسلامی ورزش بانوان تبریک بگویم که توانسته‌است با برگزاری این گونه بازی‌ها مشارکت زنان کشورهای مختلف را در عرصه‌های ورزشی ارتقاء بخشد». همچنین در بخش دیگری از پیام رئیس کمیته بین‌المللی المپیک با اشاره به فرصت‌سازی این مسابقات برای کلیه زنان ورزشکار آمده‌است: «در طول یک هفته بازی‌ها، زنان و دختران ورزشکار این فرصت را دارند که علاوه بر کسب تجربه‌های لذت‌بخش در رقابت‌ها و ارائه بهترین
کسب تجربه‌های لذت‌بخش در رقابت‌ها و ارائه بهترین عملکردشان در ۱۸ رشته ورزشی مطابق با برنامه، احساس کنند که بخشی از جنبش جهانی ارتقای زنان در عرصه ورزش هستند.» ژاک روگ در پیام خود حضور گسترده بانوان ورزشکار را بخشی از سیاست‌های این کمیته اعلام و اشاره کرده‌است: «همه این اهداف بخشی از سیاست‌های کمیته بین‌المللی المپیک است که به واسطه آنها بتوان شرکت زنان را در فعالیت‌های ورزشی و بازی‌های المپیک گسترش داد.» گفتنی است، مراسم افتتاح چهارمین دوره بازی‌های اسلامی زنان اول تا هفتم مهر ماه سال جاری باحضور ورزشکاران
اول تا هفتم مهر ماه سال جاری باحضور ورزشکاران زن از کشورهای مختلف جهان در تهران برگزار خواهد شد.
امید ریاضی یا مقدار چشمداشتی یا مقدار انتظاری در نظریه احتمالات، مقدارِ قابل انتظاری است از یک متغیر تصادفیِ گسسته که برابر است با مجموع حاصل‌ضرب احتمالِ وقوع هر یک از حالات ممکن در مقدار آن حالت. در نتیجه میانگین برابر است با مقداری که به‌طور متوسط از یک فرایند تصادفی با بی‌نهایت تکرار انتظار می‌رود. به بیان ساده‌تر، امید ریاضی از یک متغیر تصادفی، مقدارِ میانگینِ تعداد دفعاتِ مشاهده شدهٔ یک وضعیت است. به عنوان مثال، در پرتاب یک سکه، برای به دست آوردن احتمال مشاهدهٔ هر سمت از یک سکه (شیر یا خط)، می‌توان این
مشاهدهٔ هر سمت از یک سکه (شیر یا خط)، می‌توان این کار را به دفعات زیاد انجام داد. اکنون میانگین تعداد دفعاتِ مشاهدهٔ هرکدام از حالت‌ها (شیر یا خط)، برابر است با امید ریاضی به‌طور مثال برای تاس داریم: یعنی اگر بی‌نهایت بار تاس را پرت کنیم، مقدار میانگین به دست آمده به سمت عدد ۳٫۵ میل خواهد کرد. تعریف ریاضی. امید ریاضی (امید ریاضی) یک متغیر تصادفی به صورت زیر تعریف می‌شود: formula_2 که در آن formula_3 تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی formula_4 است. برای متغیرهای تصادفی گسسته تعریف بالا به صورت زیر بازنویسی
تصادفی گسسته تعریف بالا به صورت زیر بازنویسی می‌شود: formula_5 ویژگی‌ها. ثابت‌ها. امید ریاضی یک عدد ثابت برابر با همان عدد ثابت است؛ یعنی اگر formula_6 عددی ثابت باشد، آنگاه: formula_7. یکنوایی. اگر برای دو متغیر تصادفی formula_4 و formula_9 داشته باشیم formula_10، آنگاه با احتمال قریب به یقین داریم: formula_11. خطی بودن. عملگر امید ریاضی خطی است یعنی برای هر دو متغیر تصادفی formula_4 و formula_9 و هر عدد حقیقی formula_14 و formula_15 و formula_16 داریم: و یا: نامساوی. اگر متغیر تصادفی "formula_4" همواره
یا: نامساوی. اگر متغیر تصادفی "formula_4" همواره کوچکتر یا مساوی متغیر تصادفی "formula_9" باشد، امید ریاضی "formula_4" کوچکتر یا مساوی امید ریاضی "formula_9" خواهد بود: اگر formula_10 آنگاه formula_27 در یک حالت خاص اگر "formula_9" را با "formula_29" مقایسه کنیم، می‌دانیم که formula_10 و formula_31. پس می‌توان نتیجه گرفت که formula_27 و formula_33. بنا به خاصیت خطی امید ریاضی داریم formula_34. در نتیجه قدر مطلق امید ریاضی یک متغیر تصادفی، کوچکتر یا مساوی امید ریاضی قدر مطلق متغیر تصادفی است. تعریف. متغیر
ریاضی قدر مطلق متغیر تصادفی است. تعریف. متغیر تصادفی گسسته، حالت متناهی فرض کنید که متغیر تصادفی "formula_4" بتواند مقدار "formula_37" با احتمال "formula_38"، مقدار "formula_39" با احتمال "formula_40"، و غیره تا مقدار "formula_41" با احتمال "formula_42" را بگیرد. پس امید انی متغیر تصادفی "formula_4" به صورت زیر تعریف می‌شود: چون جمع همهٔ احتمالات "pi" برابر یک است "p"1 + "p"2 + … + "pk" = ۱ (بنابر این می‌توان مقدار مورد انتظار را به صورت میانگین وزن دار به همراه "pi"’sهایی که وزن هستند دید: اگر همهٔ
به همراه "pi"’sهایی که وزن هستند دید: اگر همهٔ جواب‌های "xi" دارای احتمال یکسان باشند (یعنی "p"1 = "p"2 = … = "pk"), پس میانگین وزن دار به میانگین ساده تبدیل می‌شود. این شهودی است: مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی میانگین همهٔ مقادیری است که می‌توان گرفت؛ بنابراین، این مقدار مورد انتظار، مقداری است که شما انتظار دارید روی میانگین اتفاق بیفتد. اگر جواب‌های "formula_46" هم احتمال نباشند، بنابراین ممکن است میانگین ساده جایگزین میانگین وزن دار (که بعضی از جواب‌های محتمل تر از بقیه را در نظر می‌گیرد) شود؛ ولی
محتمل تر از بقیه را در نظر می‌گیرد) شود؛ ولی با این حال این شهود و کشف به همین صورت باقی می‌ماند: مقدار مورد انتظار X، مقداری است که انتظار می‌رود روی میانگین اتفاق بیفتد. مثال ۱- فرض کنید "X" جواب یک تاس شش گوشه را نشان دهد. "formula_4" تعداد خال‌های روی وجه بالایی تاس بعد از پرتاب است می‌باشد. مقادیر ممکن برای "X"، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵و۶ (که همگی دارای احتمال برابر ۱/۶ هستند) می‌باشند. امید "X"برابر است با: اگر تاس "n" بار پرتاب شود و میانگین نتایج محاسبه شوند پس با افزایش "n"، میانگین به مقدار مورد انتظار
پس با افزایش "n"، میانگین به مقدار مورد انتظار همگرا خواهد بود. به این موضوع قانون قوی مقادیر بزرگ می‌گویند. برای مثال دنبالهٔ ده تاس به صورت ۲, ۳, ۱, ۲, ۵, ۶, ۲, ۲, ۲, ۶ است که میانگین آن‌ها برابر ۳٫۱ با فاصلهٔ ۰٫۴ از مقدار مورد انتظار ۳٫۵ می‌باشند. همگرایی نسبتاً پائین است. احتمالی که میانگین در بین محدودهٔ ۳٫۵ ± ۰٫۱ افت می‌کند برای ده پرتاب ۲۱٫۶٪ و برای هزار پرتاب ۹۳٫۷٪ است. شکل که برای توضیح میانگین‌های دنباله‌های طولانی‌تر پرتاب‌ها نشان داده شده را ببینید و توجه کنید که چطور آن‌ها به مقدار مورد انتظار
و توجه کنید که چطور آن‌ها به مقدار مورد انتظار ۳٫۵ همگرا می‌شوند. عموماً نسبت همگرایی را می‌توان از طریق مثلاً نامساوی چبیشف و نظریهٔ بری-اسن (Berry-Esseen theorem) به سختی کمی کرد. مثال ۲- بازی رولت شامل یک توپ کوچک و یک چرخ با ۳۸ پاکت شماره گذاری شده در اطراف لبهٔ آن است. همان‌طور که این چرخ می‌چرخد، توپ به‌طور تصادفی به چرخش در می‌آید تا در یکی از این پاکت‌ها متوقف شود. فرض کنید متغیر تصادفی "X" جواب یک شرط‌بندی ۱دلاری (شرط مستقیم) رانشان دهد. اگر این شرط برنده شود (که با احتمال ۱/۳۸ اتفاق می‌افتد)،
شرط برنده شود (که با احتمال ۱/۳۸ اتفاق می‌افتد)، حاصل ۳۵ دلار می‌شود. در غیر اینصورت بازیکن شرط را می‌بازد. سود مورد انتظار از این چنین شرطی به صورت زیر خواهد بود: متغیر تصادفی گسسته، حالت قابل شمارش فرض کنید"X"یک متغیر تصادفی گسسته‌ای باشد که مقادیر "x", "x", … به ترتیب با احتمالات، "p", "p", … را در خود می‌گیرد. پس مقدار مورد انتظار این متغیر تصادفی جمع متناهی زیر می‌باشد: مشروط بر اینکه این سری مطلقاً همگرا است (که این جمع باید در صورتی متناهی باشد که ما همهٔ "x"'s را با مقادیر قدرمطلقشان جایگزین کنیم).
همهٔ "x"'s را با مقادیر قدرمطلقشان جایگزین کنیم). اگر این سری مطلقاً همگرا نباشد می گوئیم که مقدار مورد انتظار "X" وجود ندارد. برای مثال فرض کنید که متغیر تصادفی X شامل مقادیر ۱, −۲, ۳, −۴, … به ترتیب با احتمالات , , , , … ,باشد که یک ثابت نرمال‌ساز است که مطمئن می‌سازد که مجموع احتمالات برابر یک است. پس جمع متناهی زیر همگرا است و جمعش برابر . می‌باشد: با این حال صحیح نیست که ادعا کنیم مقدار مورد انتظار X با این مقدار برابر است در حقیقت E["X"] وجود ندارد جون این سری مطلقاً همگرا نیست (سری‌های هارمونیک را
این سری مطلقاً همگرا نیست (سری‌های هارمونیک را ببینید). متغیر تصادفی پیوسته یک متغیره. اگر توزیع احتمال "formula_4" در یک تابع چگالی احتمال "formula_53"، صدق کند پس می‌توان مقدار مورد انتظار را به صورت زیر محاسبه کرد: تعریف عمومی عموماً اگر "X"یک متغیر تصادفی تعریف شده روی یک فضای احتمال , باشد پس مقدار مورد انتظار X (که به صورت E["X"], , "X" or E["X"], مشخص می‌شود) به صورت انتگرال لبسگو تعریف می‌شود: وقتی که این انتگرال وجود داشته باشد، پس به صورت امید "X" تعریف می‌شود. توجه کنید که هیچ متغیر تصادفی اصلاً
تعریف می‌شود. توجه کنید که هیچ متغیر تصادفی اصلاً مقدار مورد انتظار متناهی ندارد چون ممکن نیست که این انتگرال مطلقاً همگرا باشد؛ به‌علاوه برای بعضی این اصلاً تعریف نشده‌است (مثلاً توزیع کوشی). دو متغیر با توزیع احتمال یکسان، مقدار مورد انتظار یکسانی خواهند داشت در صورتی که این انتگرال تعریف شده باشد این موضوع مستقیماً از تعریف حالت گسسته پیروی می‌کند که اگر "X"یک متغیر تصادفی ثابت باشد (یعنی برای چند تا مقدار حقیقی ثابت "b") پس مقدار مورد انتظار"X" نیز "b"خواهد بود. مقدار مورد انتظار یک تابع دلخواه ("X",
بود. مقدار مورد انتظار یک تابع دلخواه ("X", "g"("X", نسبت به تابع چگالی احتمال ("ƒ"("x" از طریق ضرب داخلی "ƒ" و "g" به‌دست می‌آید. بعضی مواقع به این قانون آماری ناخودآگاه می‌گویند. بااستفاده از نمایش‌ها به صورت انتگرال ریمان – استیلتجس و انتگرال‌گیری جزئی می‌توان این فرمول را به صورت زیر دوباره بیان کرد: چون در این حالت ویژه، α یک عدد حقیقی مثبت را نشان می‌دهد پس: به ویژه برای α = ۱ این به شکل زیر کاهش می‌یابد در صورتی که , باشد (که F تابع توزیع تجمعی X است). اصطلاحات متداول ویژگی‌ها ثابت‌ها مقدار مورد
است). اصطلاحات متداول ویژگی‌ها ثابت‌ها مقدار مورد انتظار یک ثابت مساوی باخود ثابت است یعنی اگر "c"یک ثابت است پس است. یکنوایی اگر "X" و"Y "متغیرهای تصادفی هستند به طوریکه است، پس . خطی بودن عملگر مقدار مورد انتظار (یا عملگر امید ریاضی) E در مورد زیر خطی است: توجه داشته باشید که نتیجهٔ دوم حتی اگر "X" از لحاظ آماری مستقل از "Y" نباشد، معتبر و دست است. با ترکیب نتایج حاصل از سه معادلهٔ قبلی، ما می‌توانیم به نتیجهٔ زیر برسیم: برای هر کدام از متغیرهای تصادفی "X"و "Y" (که باید در همان فضای احتمال تعریف شوند) و
"Y" (که باید در همان فضای احتمال تعریف شوند) و هر عدد formula_14و formula_15نتیجهٔ بالا در نظر گرفته می‌شود. امید ریاضی مکرر امید ریاضی برای متغیرهای تصادفی گسسته برای هر کدام از متغیرهای تصافی گسستهٔ "X", "Y" ما ممکن است امید ریاضی شرطی را تعریف کنیم: که بدین معنی است E["X"|"Y"]("y") یک تابع"Y" است. پس امید ریاضی "x "در معادلهٔ زیر صدق می‌کند: بنابر این معادلهٔ زیر برقرار است: یعنی: طرف راست معادله به امید ریاضی مکرر اشاره دارد و گاهی قانون برج یا احتمال برج نامیده شده‌است. این پیش فرض در قانون کل امید
برج نامیده شده‌است. این پیش فرض در قانون کل امید ریاضی مورد توجه قرار گرفته‌است. امید مکرر برای متغیرهای تصادفی پیوسته در مورد متغیرهای پیوسته، نتایج ما کاملاً قابل قیاس هستند. تعریف امید ریاضی شرطی از نابرابری‌ها، تابع‌های چگالی و انتگرال‌ها استفاده می‌کند تا با نابرابری‌ها، تابع‌های جزئی و مجموع‌ها به ترتیب جایگزین کند. اما نتیجهٔ اصلی هنوز برقرار است: نابرابری‌ها اگر یک متغیر تصادفی "x" همیشه کمتر یا مساوی با متغیر تصادفی دیگری "Y" باشد، پس امید ریاضی (یا مقدار مورد انتظار) کمتر یا مساوی با مقدار مورد
مقدار مورد انتظار) کمتر یا مساوی با مقدار مورد انتظار "Y" است. اگر , است، پس . است. به ویژه، اگر y را با "X" منطبق کنیم، می‌دانیم و. است. از اینرو ما می‌دانیم و . با توجه به خطی بودن امید ریاضی ما می‌دانیم است. از اینرو، مقدار مطلق امید ریاضی یک متغیر تصادفی کمتر یا مساوی با مقدار مطلق آن است: غیر ضربی اگر تابع چگالی احتمال مشترک (یا توأم) "x "و" y "را در نظر بگیریم (مثلاً "j(x,y)") پس امید ریاضی "xy" بدین صورت است: به‌طور کلی، عملگر مقدار مورد انتظار ضربی نیست، یعنی E["XY"] لزوماً با E["X"]·E["Y"] مساوی
نیست، یعنی E["XY"] لزوماً با E["X"]·E["Y"] مساوی نیست. در حقیقت، مقداری که نمی‌تواند ضرب شود، را کوواریانس می‌نامند: از اینرو، این ضرب هنگامی‌که است، برقرار است، در آن کوواریانس، "X"و"Y" گفته می‌شود نا همبسته هستند (متغیرهای مستقل یک مورد مهم متغیرهای نا همبسته هستند). حالا اگر "X" و "Y" مستقل هستند، پس با توجه به تعریف در اینجا" f" و" g "در واقع PDFهای حاشیه‌ای برای "X" و "Y"هستند. پس: and . مشاهده کنید که استقلال "X" و "Y" مورد نیاز است تا این معادله نوشته شود: , و این باید دومین تساوی بالا را ثابت کند.
شود: , و این باید دومین تساوی بالا را ثابت کند. تساوی سوم از یک کاربرد اولیه و اصلی تئوری نوبینی-تونلی پیروی می‌کند. ناوردایی تابعی به‌طور کلی، عملگر امید ریاضی و تابع‌های متغیرهای تصادفی تبدیل نیم شوند یعنی: یک نا تساوی مهم برای این موضوع نا تساوی جنسن است، که شامل مقدارهای مورد انتظار تابع‌های محدب می‌شود. استفاده‌ها و کاربردها مقدارهای مورد انتظار توان‌های "X"گشتاورهای "X"می‌نامند؛ گشتاورها نزدیک به میانگین "X" در واقع مقدارهای مورد انتظار توان‌های هستند. گشتاورهای بعضی از متغیرهای تصادفی می‌توانند برای
گشتاورهای بعضی از متغیرهای تصادفی می‌توانند برای تعیین توزیع‌هایشان از طریق تابع تولیدی گشتاوریشان استفاده شوند. برای تخمین تجربی مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی، ما به‌طور پیوسته مشاهدات متغیر را اندازه‌گیری می‌کنیم و میانگین حسابی نتایج را محاسبه می‌کنیم. اگر مقدار مورد انتظار وجود دارد، این فرایند مقدار مورد انتظار حقیقی را با یک شیوهٔ غیر تعصبی و غیر طرفدارانه را تخمین می‌زند و ویژگی به حداقل رساندن مجموع مربع‌های باقی‌مانده‌ها دارد (جمع تفاضل‌های مربع بین مشاهدات و تخمین) قانون اعداد بزرگ نشان داد
بین مشاهدات و تخمین) قانون اعداد بزرگ نشان داد که تحت شرایط نسبتاً مناسب، هنگامی‌که اندازهٔ نمونه بزرگتر می‌شود واریانس این تخمین کوچکتر می‌شود. این ویژگی در بسیار از مصارف استفاده می‌شود مانند: مسائل کلی تخمین آماری و آموزش ماشین، بریا تخمین مقدارهای (احتمالی) سود از طریق متود ها/روش‌های مونت کارلو، زیرا اکثر مقدارهای (کمیت‌های) سود می‌تواند از لحاظ امید ریاضی نوشته شوند یعنی، در اینجا تابع شاخصی برای مجموعهٔ است. در مکانیک کلاسیک، مرکز جرم یک مفهوم مشابه امید ریاضی است. برای مثال، فرض کنید "X" یک متغیر
امید ریاضی است. برای مثال، فرض کنید "X" یک متغیر تصادفی گسسته با مقدارهای "xi" و احتمالات مرتبط "pi" است، حالا یک میلهٔ بدون وزن که بر روی آن وزن‌ها در موقعیت‌های "xi" در طول میله قرار گرفته‌اند و جرم آنها "pi" است (که مجموع آنها یک است) نقطه که در آن میله متعادل E["X"] است. مقدارهای مورد انتظار می‌توانند همچنین برای محاسبهٔ واریانس به وسیلهٔ فرمول‌های محاسباتی واریانس استفاده شوند. یک کاربرد بسیار مهم مقدار مورد انتظار در زمینهٔ مکانیک کوانتوم است. مقدار مورد انتظار یک عملگر (یا اپراتور) مکانیکی کوانتوم
مورد انتظار یک عملگر (یا اپراتور) مکانیکی کوانتوم formula_88 که در بردار حالت کوانتوم formula_89 کار می‌کند، به این صورت نوشته می‌شود:formula_90. . ابهام در formula_88 می‌تواند با استفاده از formula_92 محاسبه شود. امید ماتریس‌ها اگر formula_4 یک ماتریس formula_94 ماتریس، باشد پس مقدار مورد انتظار ماتریس به صورت ماتریس مقادیر مورد انتظار تعریف می‌شود: از این در ماتریس‌های کوواریانس استفاده می‌شود فرمول‌ها برای حالت‌های ویژه توزیع گسسته ای که فقط مقادیر صحیح غیر منفی را می‌گیرد وقتی که یک مقدار تصادفی فقط
غیر منفی را می‌گیرد وقتی که یک مقدار تصادفی فقط مقادیر داخل formula_96را می‌گیرد پس می‌توانیم از فرمول زیر برای محاسبهٔ امیدش (حتی وقتی که این امید نا متناهی باشد) استفاده کنیم: اثبات: با مبادلهٔ توان مجموع همان‌طور که ادعا می‌کردیم، داریم: این جواب می‌تواند یک میانبر محاسباتی مفید باشد. برای مثال فرض کنید که ما یک سکه‌ای را بالا می‌اندازیم که احتمال عدد آمدن آن "p"باشد. با چند پرتاب می‌توان اولین خط‌ها (نه آنهایی که شامل خود خط هستند) را انتظار داشت؟ فرض کنید "X" این تعداد را نشان دهد. توجه کنید که ما فقط
"X" این تعداد را نشان دهد. توجه کنید که ما فقط دنباله‌ها را می‌شماریم و خط‌هایی که آزمایش را پایان می‌دهند را نمی‌شماریم. ما می‌توانیم داشته باشیم که "X" = ۰. امید "X"را می‌توان از طریق محاسبه کرد. این بدین خاطر است که تعداد پرتاب‌های سکه حداقل دقیقاً "i" هستند (در زمانی که اولین پرتاب‌های "i" دنباله‌ها را به‌دست آورده‌است). این امر، امید یک متغیر تصادفی را با یک توزیع نمایی منطبق می‌سازد. ما از این فرمول برای تصاعد هندسی استفاده کردیم: formula_100 توزیع پیوسته‌ای که مقادیر غیر منفی را می‌گیرد مثل حالت
پیوسته‌ای که مقادیر غیر منفی را می‌گیرد مثل حالت گسسته‌ای که قبلاً گفته شده وقتی که یک متغیر تصادفی پیوسته‌ای مثل"X" فقط مقادیر غیر منفی را می‌گیرد پس می‌توانیم از فرمول زیر برای محاسبهٔ امیدش استفاده کنیم (حتی وقتی که امید نامتناهی باشد): \operatorname{E}(X)=\int_0^\infty P(X \ge x)\; dx &lt;/math&gt; اثبات: ابتدا فرض کنید که "X" یک چگالی برابر formula_3 داشته باشد. ما دو تکنیک ارائه می‌کنیم: و کروشهٔ آن به صفر می‌رسد چون formula_103 به طوری که formula_104. در حالتی که هیچ چگالی وجود نداشته باشد دیده
در حالتی که هیچ چگالی وجود نداشته باشد دیده می‌شود که: تاریخ نظریهٔ مقدار مورد انتظار در اواسط قرن هفدهم از مطالعه مشکل معروف امتیازات منشأ گرفته‌است. مشکل این بود: چگونه باید پول‌های شرط‌بندی شده را به‌طور عادلانه بین دو بازیکنی که قبل از اینکه بازی کاملاً تمام شود مجبور هستند بازی را تمام کنند تقسیم کرد؟ این مشکل قرن‌ها مورد بحث و بررسی قرار گرفت و راه حل‌ها و پیشنهادهای جنجال‌برانگیز زیادی پیشنهاد شدند. این نظریه برای اولین بار توسط یک نجیب‌زاده ی فرانسوی دومر ((de Mere در سال ۱۶۵۴ به بلیز پاسکال ارائه
دومر ((de Mere در سال ۱۶۵۴ به بلیز پاسکال ارائه شد. دومر اظهار نظر کرد که این مشکل نمی‌تواند حل شود و این نشان می‌دهد ریاضی نمی‌تواند در دنیای واقعی استفاده شود و کمبود دارد. پاسکال، که یک ریاضیدان بود، برانگیخته شد و تصمیم گرفت این مشکل را برای همیشه حل کند. اولین موضوع را از طریق نامه‌های معروفی با پیر دو فرما (Pierre de fermat) در میان گذاشت. بعد از مدت زمان کوتاهی هر دوی آن‌ها به دو راه حل مجزا رسیدند. آن‌ها این مشکل را با دو راه حل محاسباتی متفاوت حل کردند، اما نتیجهٔ آن‌ها یکسان بود زیرا محاسبات شان
اما نتیجهٔ آن‌ها یکسان بود زیرا محاسبات شان بر اساس اصول پایه و اساسی یکسانی بود. این اصل پایه این بود که مقدار یک یود آینده باید مستقیماً با شانس به دست آوردن آن مساوی باشد. این اصل به نظر هر دوی آن‌ها کاملاً طبیعی بود. آن‌ها از اینکه به راه حل رسیده بودند بسیار خوشحال بودند و از اینرو این باعث شد آن‌ها متقاعد شوند بالاخره این مشکل را توانسته‌اند حل کنند. با این حال آن‌ها یافته‌هایشان را منتشر نکردند. آن‌ها تنها به تعدادی از دوستان مشترک محققشان در پاریس اطلاع دادند. سه سال بعد در سال ۱۶۵۷ یک ریاضی‌دان
اطلاع دادند. سه سال بعد در سال ۱۶۵۷ یک ریاضی‌دان آلمانی کریستیان هیگنز، که به پاریس سفر کرده بود، یک مقاله در مورد نظریهٔ احتمال با نام (de ratiociniis in ludo ale) چاپ کرد. در آن مقاله هیگنز مسئله امتیازات را در نظر گرفته بود و یک راه حل بر اساس همان اصلی که پاسکال و فرما دنبال کرده بودند پیشنهاد کرد. او همچنین نظریه امید را با اضافه کردن قوانین مربوط به چگونه محاسبه کردن امیدها در موقعیت‌های پیچیده‌تر از مسئلهٔ اصلی، گسترش داد. هینگز در مقدمهٔ مقاله اش نوشت: باید گفته شود که بریا بعضی مواقع، بعضی از
نوشت: باید گفته شود که بریا بعضی مواقع، بعضی از بهترین ریاضی دانان از فرانسه قبلاً به حل آن پرداخته بودند بنابراین هیچ‌کس نباید افتخار ابداع این نظریه را به من نسبت دهد. این به من تعلق ندارد. اما این دانشمندان، اگر چه هر دو یکدیگر را از طریق پرسیدن سوالات دشوار از یکدیگر در معرض آزمایش قرار داده بودند ولی روش‌هایشان را از هم پنهان کرده بودند. از اینرو من از همان اصول اولیه شروع کردم تا به حل این مسئله رسیدم و بدین دلیل غیرممکن است تأیید کنم که از همان اصول آن‌ها آغاز به کار کردم. اما در نهایت من در بسیاری
آن‌ها آغاز به کار کردم. اما در نهایت من در بسیاری از موارد بدین نتیجه رسیدم که پاسخ‌هایم با آن‌ها متفاوت هستند. از اینرو هیگنز در طی سفرش به فرانسه از اظهار نظر دومر در سال ۱۶۵۵ مطلع شد، بعداً در سال ۱۶۵۶ از طریق ارتباط با کارکاوی دریافت که روش او کاملاً همانند پاسکال است، بنابراین قبل از اینکه مقاله اش برای چاپ برود، او از ارجحیت و پیش قدمی پاسکال در این زمینه آگاه بود. پاسکال و هیگنز هیچ‌کدام کلمهٔ امید را با مفهوم امروزی استفاده نکردند. به خصوص شانس یا امید من برای بردن هر چیزی مساوی با به دست نیاوردن