payamvha/North_RAG huggingface dataset:
کند و نه حکومت. محمد مصدق در روزهای آخر عمر خود دربارهٔ حوادث سال ۳۲ می‌گوید: دیدگاه‌های اجتماعی و دینی. حقوق زنان. مصدق در مصاحبه‌ای در تاریخ ۳۱ امرداد ۱۲۸۸ (۲۲ اوت ۱۹۰۹) با رنه وییه یار، سردبیر مجله "La Nouvelle Egypte"، دربارهٔ جایگاه زنان در ایران اظهار داشت: در سال ۱۳۳۱، ائتلافی از گروه‌های زنان بیانیه‌ای منتشر کردند و خواستار حقوق سیاسی و اقتصادی برابر شدند. بخشی از این بیانیه چنین بود: این بیانیه با جمع‌آوری حدود صد هزار امضا همراه شد و نسخه‌هایی از آن برای مصدق (نخست‌وزیر وقت)، نمایندگان مجلس شورای
برای مصدق (نخست‌وزیر وقت)، نمایندگان مجلس شورای ملی، و سازمان ملل متحد ارسال شد. با این حال، حق رأی زنان در لایحه پیشنهادی قانون انتخابات گنجانده نشد. تعدادی از روحانیون برجسته با حق رأی و انتخاب شدن زنان به‌شدت مخالفت کردند و آن را مغایر با شرع اسلام دانستند. در آن زمان یعنی قبل از انتخابات دوره هفدهم مجلس شورای ملی، مصدق نتوانست در این زمینه اقدام مؤثری انجام نداد. پس از دریافت اختیارات توسط دکتر مصدق از مجلس دوره هفدهم، لایحه انتخاباتی از سوی دولت او تشکیل شد که در آن ذکر شده بود همه اهالی ایران
او تشکیل شد که در آن ذکر شده بود همه اهالی ایران می‌توانند در انتخابات‌های مجلس و شهر ور روستا شرکت کنند که شایبه اجازه حضور زنان برای رای دادن و انتخاب شدن را دربرگرفت به گونه ای که روحانیت به شدت در این برابر موضع‌گیری کرد. به طوریکه سید باقر جلالی موسوی نماینده مجلس هفدهم چنین گفت: از سوی دیگر در پاسخ به درخواست حق رأی زنان، مراجع تقلید، از جمله آیت‌الله بروجردی، صدر، و مرعشی، به مخالفت برخاستند. آیت‌الله مرعشی مشارکت زنان در انتخابات را «مستلزم مفاسد کثیره و برخلاف شرع مقدس اسلام» دانست. همچنین،
کثیره و برخلاف شرع مقدس اسلام» دانست. همچنین، آیت‌الله صدر و بروجردی در پاسخ به نامه آیت‌الله بهبهانی، مشارکت زنان در انتخابات (چه به‌عنوان رأی‌دهنده و چه به‌عنوان نامزد) را غیرمشروع اعلام کردند. متن نامه آیت‌الله صدر چنین بود: آیت‌الله بروجردی و آیت‌الله حجت نیز در نامه‌های جداگانه این نظر را تأیید کردند. آیت‌الله مرعشی در بیانیه‌ای دیگر تأکید کرد که «مداخله زنان در انتخابات مستلزم محرمات و مفاسد کثیره و برخلاف شرع مقدس اسلام است». کشف حجاب. مصدق دربارهٔ کشف حجاب اظهاراتی انتقادی داشت و معتقد بود این
کشف حجاب اظهاراتی انتقادی داشت و معتقد بود این اقدام باید به‌صورت تدریجی و با تکامل فرهنگی جامعه انجام شود. وی در این‌باره گفت: همچنین اظهار داشت: دیکتاتوری. مصدق به‌شدت با دیکتاتوری مخالف بود و آن را مانعی برای پیشرفت جامعه می‌دانست. او در این‌باره اظهار داشت: وی همچنین افزود: مصدق همچنین با مقایسه رژیم‌های دیکتاتوری و دموکراتیک گفت: حقوق بهاییان. مصدق با وجود داشتن اعتقادات مذهبی در خانواده، در گرماگرم مبارزات برای ملی شدن صنعت نفت و اصلاح قوانین، تمایلی به ایجاد بحرانی تازه در کشور نداشت. این امر سبب
به ایجاد بحرانی تازه در کشور نداشت. این امر سبب بروز پاره‌ای سوءتفاهمات میان برخی روحانیون در آن زمان شد. سال‌ها پس از فوت او، محمدتقی فلسفی که یکی دو بار در مجالس سوگواری مذهبی همسر دکتر مصدق در دههٔ بیست به عنوان مرثیه‌سرا حضور یافته بود و در کتاب خاطرات خود به این مورد اشاره هم کرده است، دربارهٔ واکنش محمد مصدق به پیام آیت‌الله بروجردی در مورد برخورد با بهاییان می‌گوید: دکتر مصدق بعد از تمام شدن صحبت من، به گونهٔ تمسخرآمیزی، قاه‌قاه و با صدای بلند خندیدی و گفت: این پاسخ برای من بسیار شگفت‌آور بود زیرا
و گفت: این پاسخ برای من بسیار شگفت‌آور بود زیرا اگر سؤال می‌کرد، فرق بین بهایی و مسلمان چیست؟ برای او توضیح می‌دادم. اما با آن خندهٔ تمسخرآمیز و موهن دیگر جایی برای صحبت کردن و توضیح دادن باقی نماند؛ لذا سکوت کردم و موقعی که به محضر آیت‌الله بروجردی رسیدم و این جمله را گفتم. ایشان نیز به حالت بهت و تحیر پیام وی را استماع کرد. سوگند در دادگاه و اهمیت وطن. مصدق در جلسه هفدهم دادگاه بدوی خود در ۷ آذر ۱۳۳۲، ضمن تأکید بر اعتقادات مذهبی‌اش، وطن را بالاترین ارزش خود دانست و گفت: درگذشت. پس از درگذشت مصدق در ۱۴
خود دانست و گفت: درگذشت. پس از درگذشت مصدق در ۱۴ اسفند ۱۳۴۵ در بیمارستان نجمیه تهران، طبق وصیت او قرار بود پیکرش در کنار کشته‌شدگان قیام ۳۰ تیر در گورستان ابن بابویه به خاک سپرده شود. با مخالفت محمدرضاشاه، از دفن وی در گورستان ابن بابویه جلوگیری شد و پیکر او در یکی از اتاق‌های خانه‌اش در قلعه احمدآباد، واقع در روستای احمدآباد، به امانت گذاشته شود. غسل پیکر مصدق توسط یدالله سحابی انجام گرفت و سید رضا زنجانی نماز میت را اقامه کرد. در دوران حکومت محمدرضاشاه، برگزاری مراسم بزرگداشت مصدق ممنوع بود. محمدرضا
برگزاری مراسم بزرگداشت مصدق ممنوع بود. محمدرضا شفیعی کدکنی شعر «مرثیه درخت» را به مناسبت درگذشت مصدق سرود که در اردیبهشت ۱۳۴۶ در مجلهٔ "سخن"، شماره ۱۲۹ منتشر شد. هم‌زمان با تاج‌گذاری محمدرضاشاه در سال ۱۳۴۶، نمایش تمثیلی "میراث و ضیافت" اثر بهرام بیضایی که به‌طور نمادین اوضاع ایران را با شخصیت‌هایی مانند «شبان» (احتمالاً اشاره به مصدق) و «دهباشی» (احتمالاً اشاره به شاه) به تصویر می‌کشید، در تالار ۲۵ شهریور اجرا شد و واکنش‌هایی را برانگیخت. پس از پیروزی انقلاب ۱۳۵۷، در ۱۵ اسفند ۱۳۵۷، یکی از بزرگ‌ترین
انقلاب ۱۳۵۷، در ۱۵ اسفند ۱۳۵۷، یکی از بزرگ‌ترین گردهمایی‌های سیاسی به مناسبت سالروز درگذشت مصدق در احمدآباد برگزار شد. این مراسم با سخنرانی سید محمود طالقانی و حضور گسترده مردم همراه بود. به گزارش روزنامه "اطلاعات"، حدود یک میلیون نفر در این مراسم شرکت کردند. در دورهٔ جمهوری اسلامی، از سال ۱۳۶۰ تا ۱۳۶۵، هرگونه حضور رسمی بر سر آرامگاه مصدق ممنوع بود. پس از این دوره، محدودیت‌ها تا حدی کاهش یافت، اما از سال ۱۳۸۹، برگزاری هرگونه مراسم عمومی یا خصوصی در احمدآباد دوباره ممنوع شد. در سال ۱۳۹۵، هیئت امنای قلعه
دوباره ممنوع شد. در سال ۱۳۹۵، هیئت امنای قلعه احمدآباد اعلام کرد که حساب بانکی این هیئت، که برای نگهداری از قلعه ایجاد شده بود، مسدود شده است. وصیت‌نامه. مصدق در سال ۱۳۴۴ طی وصیت نامه ای اموال خواستار ان شد که در کنار شهدای ۳۰ تیر دفن شود و همچنین وی طبق اسناد رسمی ثبت شده در دفتر اسناد رسمی شماره ۳۹ تهران بخشی از اموال خود را جهت خرید زمینی برای باشگاه دانشجویان دانشگاه تهران و تعمیر و نوسازی ساختمان آن بخشید. یاران مصدق پس از سقوط دولت او. پس از پیروزی کودتا، محمد نخشب به اتفاق ابراهیم کریم آبادی و حسین
محمد نخشب به اتفاق ابراهیم کریم آبادی و حسین شاه‌حسینی در روز ۲۹ مردادماه به منزل سید رضا زنجانی رفته و نخستین اعلامیه را نشر دادند. بعدها مهدی بازرگان، شاپور بختیار و سایر اعضای احزاب ملی عضو در جبهه ملی ایران، نهضت مقاومت ملی را تشکیل دادند و برخی دیگر از طرفداران مصدق همچون سید محمود طالقانی و یدالله سحابی و داریوش فروهر به آن پیوستند. شاپور بختیار در مصاحبه با پروژه تاریخ شفاهی ایران دانشگاه هاروارد در پاسخ به سؤالی دربارهٔ نهضت مقاومت ملی گفت: انعقاد قرارداد جدید کنسرسیوم، تقریباً تمامی فعالیت‌های
قرارداد جدید کنسرسیوم، تقریباً تمامی فعالیت‌های محمد مصدق، ازقبیل موازنه منفی، ملی شدن نفت و … را از بین برد. پس از اعتراض بسیاری از طرفداران مصدق، واکنش رژیم اخراج دوازده نفر از استادان دانشگاه ازجمله مهدی بازرگان، یدالله سحابی، محمد قریب بود. در اواخر دهه سی، جبهه ملی دوم توسط اللهیار صالح به همراهی احزاب ملی حزب ایران، حزب ملت ایران، حزب مردم ایران و منفردینی و همراهی اعضای نهضت مقاومت ملی و غلامحسین صدیقی، شاپور بختیار، مهدی بازرگان، ناصر یمین مردوخی کردستانی، کریم سنجابی، باقر کاظمی سید محمود طالقانی
کریم سنجابی، باقر کاظمی سید محمود طالقانی و دیگران تشکیل شد. اما عملکرد آن به به گونه‌ای بود که مصدق (که خودش هیچ نقشی در تشکیل جبهه ملی دوم نداشت) دستور انحلال آن را صادر کرد. شاپور بختیار در مصاحبه با پروژه تاریخ شفاهی ایران دانشگاه هاروارد دربارهٔ انحلال جبهه ملی دوم گفت: برخی از اعضای جبهه ملی مانند ادیب برومند و مهندس حسیبی اینکار را از اشتباهات بزرگ مصدق در قبال جبهه ملی دوم می‌دانند. در اردیبهشت ۱۳۴۰، مهدی بازرگان به اتفاق سید محمود طالقانی و تنی چند از فعالان نهضت مقاومت ملی و اعضای جبهه ملی دوم
از فعالان نهضت مقاومت ملی و اعضای جبهه ملی دوم نسبت به تشکیل حزب نهضت آزادی ایران اقدام کردند؛ که با توجه به موضع‌گیری‌های انجام شده توسط برخی از اعضای نهضت آزادی در کنگره جبهه ملی در خصوص تهمت زدن به رهبران جبهه ملی عضویت نهضت آزادی در جبهه ملی به درخواست دکتر صدیقی تا زمان خروج این افراد از نهضت آزادی منتفی اعلام شد.
ریاضیات فن محاسبهٔ اعداد بوده و نیز به مطالعهٔ مباحثی چون کمیت (نظریه اعداد)، ساختار (جبر)، فضا (هندسه)، و تغییرات (آنالیز ریاضیات) و نظریه مجموعه ها (که امروزه به عنوان پایه‌ای برای همهٔ ریاضیات محسوب می شود) می‌پردازد. در حقیقت، تعریفی جهانی که همه بر سر آن توافق داشته باشند، برای ریاضیات وجود ندارد. استدلال‌های استوار ابتدا در ریاضیات ایران و یونان باستان ظاهر شدند؛ به‌خصوص در اثر "عناصر" اقلیدس و سجزی. از زمان کارهای تحقیقاتی جوزپه پئانو (۱۸۵۸–۱۹۳۲)، داویت هیلبرت (۱۸۶۲–۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول
هیلبرت (۱۸۶۲–۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعه‌ای در پایان سدهٔ نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آن‌ها حقایق را با استدلال ریاضی از مجموعهٔ منتخبی از اصول موضوعی و تعاریف به دست می‌آورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان رنسانس سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی که نوآوری‌های ریاضیاتی با کشفیات علمی برهم‌کنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت و تا به امروز نیز ادامه دارد. ریاضیات در بسیاری از زمینه‌ها مثل علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم
مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم ضروری است. شاخه‌های کاملاً جدیدی در ریاضیات به‌وجود آمده‌اند؛ مثل نظریهٔ بازی‌ها. ریاضی‌دانان در ریاضیات محض (مطالعهٔ ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر رازهای خود آن) بدون اینکه هیچ‌گونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات می‌پردازند؛ در حالی که کاربردهای عملی یافته‌های آن‌ها معمولاً بعدها کشف می‌شود. مادر علوم جهان ریاضیات است. تاریخچه. تاریخ ریاضیات را می‌توان به عنوان دنباله‌ای از تجریدسازی‌های فزاینده دید. اولین قابلیت تجریدسازی که در بسیاری از حیوانات مشترک
قابلیت تجریدسازی که در بسیاری از حیوانات مشترک است، احتمالاً مفهوم عدد است؛ فهم این مطلب که مجموعهٔ دو سیب و مجموعهٔ دو پرتقال (به‌عنوان مثال) با هم اشتراکی دارند، و آن کمیت تعدادشان است. همان‌طور که شواهد بر روی چوب‌خط نشان می‌دهد، مردم پیشاتاریخ می‌توانستند اشیاء فیزیکی را بشمرند و توانایی شمردن اشیاء تجریدی مثل روز، فصل و سال را نیز داشتند. شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده‌تر تا ۳۰۰۰ قبل میلاد مشاهده نشده، زمانی که بابلی‌ها و مصری‌ها شروع به استفاده از حساب، جبر و هندسه برای محاسبات مربوط به مالیات و دیگر
جبر و هندسه برای محاسبات مربوط به مالیات و دیگر مفاهیم اقتصادی، و ساخت و ساز یا نجوم کردند. قدیمی‌ترین متون ریاضیاتی مربوط به بین‌النهرین و مصر می‌شود که به ۲۰۰۰–۱۸۰۰ قبل از میلاد بازمی‌گردد. بسیاری از متون اولیه سه تایی‌های فیثاغوری را ذکر کرده و لذا به نظر می‌رسد که قضیه فیثاغورس کهن‌ترین و گسترده‌ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه باشد. در اسناد تاریخی، در ریاضیات بابلی‌ها بود که حساب مقدماتی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا پدیدار گشت. بابلی‌ها همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می‌جستند
همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می‌جستند که در آن دستگاه اعداد پایه ۶۰ پیاده‌سازی شده بود، ازین دستگاه عددی هنوز هم برای اندازه‌گیری زاویه و زمان استفاده می‌شود. با آغاز سده ششم قبل از میلاد مسیح، ریاضیات یونانی‌ها با فیثاغورسی‌ها مطالعهٔ نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند که سرآغاز ریاضیات یونانی‌ها بود. حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، اقلیدس روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می‌رود را معرفی کرد که شامل تعاریف، اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به اصول
اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به اصول اقلیدس معروف است به‌طور گسترده به عنوان موفق‌ترین و تأثیر گذارترین کتاب مرجع همه زمان‌ها شناخته می‌شود. بزرگ‌ترین ریاضیدانان باستان را اغلب ارشمیدس (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) اهل سیراکوز می‌دانند. او فرمول‌هایی برای محاسبهٔ مساحت و حجم اجسام در حال دوران پیدا کرد و از روش افنا برای محاسبه مساحت زیر منحنی سهمی با استفاده از جمع یک سری بی‌نهایت استفاده کرد به گونه ای که بی شباهت با حساب دیفرانسیل و انتگرال مدرن نیست. دیگر دستاوردهای قابل توجه در ریاضیات یونان
نیست. دیگر دستاوردهای قابل توجه در ریاضیات یونان مقاطع مخروطی (آپولونیوس اهل پرگا، سده سوم قبل از میلاد)، مثلثات (هیپارکوس اهل نیکا، سده دوم قبل از میلاد)، و آغاز جبر (دیوفانتوس، سده سوم پس از میلاد) بود. سیستم عددی هندو-عربی و قواعد استفاده از عملیاتش که امروزه در سراسر جهان استفاده می‌شود، در طی هزارهٔ اول میلادی در هند توسعه یافت و سپس از طریق ریاضیات اسلامی به جهان غرب انتقال یافت. دیگر پیشرفت‌های مربوط به ریاضیات هندی‌ها شامل تعریف مدرن سینوس و کسینوس و فرم اولیه سری‌های بی‌نهایتی است. در طی عصر طلایی
فرم اولیه سری‌های بی‌نهایتی است. در طی عصر طلایی اسلام، که در سده نهم و دهم میلادی شکل گرفت، ریاضیات نوآوری‌های مهمی را به خود دید که بر اساس ریاضیات یونانی‌ها پایه‌ریزی شده بود. مهم‌ترین دستاوردهای ریاضیات اسلامی توسعهٔ جبر بود. دیگر دستاوردهای مهم ریاضیات دورهٔ اسلامی پیشرفت در مثلثات کروی و اضافه شدن اعشار به سیستم عددی عربی بود. بسیاری از ریاضیدانان این دوره فارسی‌زبان بودند مثل خوارزمی، خیام و شرف الدین توسی. در طی اوایل عصر مدرن، ریاضیات شروع به توسعه شتاب داری در غرب اروپا کرد. توسعه حساب دیفرانسیل
شتاب داری در غرب اروپا کرد. توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتون و لایبنیتس در سده هفدهم میلادی ریاضیات را متحول کرد. لئونارد اویلر مهم‌ترین ریاضیدان سده هجدهم میلادی بود که چندین قضیه و کشفیات را به ریاضیات افزود. شاید مهم‌ترین ریاضیدانان سده نوزدهم میلادی ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس بود که خدمات متعددی به شاخه‌های مختلف ریاضیات چون جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، نظریه ماتریس، نظریه اعداد و آمار کرد. در اوایل سده بیستم میلادی، کورت گودل، ریاضیات را با انتشار قضایای ناتمامیت خویش دچار تغییر کرد.
را با انتشار قضایای ناتمامیت خویش دچار تغییر کرد. این قضایا نشان دادند که هر سیستم اصول موضوعه سازگاری شامل گزاره‌های غیرقابل اثبات اند. ریاضیات از آن زمان به‌طور گسترده‌ای توسعه یافته‌است و کنش و واکنش‌های ثمربخشی بین ریاضیات و علوم ایجاد شده که به نفع هردو است. کشفیات ریاضیات تا به امروز نیز ادامه دارد. بر اساس نظر میخائیل سوریوک، که در ژانویه ۲۰۰۶ در "بولتن انجمن ریاضی آمریکا" منتشر شد، تعداد مقالات و کتب پایگاه اطلاعاتی ژورنال "Mathematical Review" از سال ۱۹۴۰ (اولین سال عملیاتی شدن MR) اکنون به ۱٫۹
سال ۱۹۴۰ (اولین سال عملیاتی شدن MR) اکنون به ۱٫۹ میلیون می‌رسد که سالانه بیش از ۷۵ هزار مورد به این پایگاه افزوده می‌شود. اکثریت کارهای گسترده‌ای که در این اقیانوس وجود دارد شامل قضایای جدید ریاضیاتی و اثبات‌هایشان است. شاخه‌های ریاضیات. ریاضیات را می‌توان به‌طور خیلی کلی به چند قسمت تقسیم کرد: مطالعه کمیت، ساختار، فضا و تغییرات (یعنی حساب، جبر، هندسه و آنالیز). علاوه بر این‌ها که دغدغه‌های اصلی ریاضیات هستند، گرایش‌های دیگری نیز وجود دارند که خود را وقف کاوش ارتباطات بین قلب ریاضیات با دیگر زمینه‌های
کاوش ارتباطات بین قلب ریاضیات با دیگر زمینه‌های ریاضیات کرده‌اند، مثل ارتباطش با منطق، نظریه مجموعه‌ها (شالوده‌های ریاضی)، یا دیگر شاخه‌های تجربی تر ریاضیات که در علوم مختلف کاربرد دارند (ریاضیات کاربردی)، و اخیراً مطالعه عدم قطعیت. در حالی که برخی از این قلمروها ممکن است به ظاهر غیر مرتبط به نظر برسند، برنامه لنگلندز ارتباطاتی بین شاخه‌هایی را یافته‌است که پیش از این غیر مرتبط تلقی می‌شدند، مثل گروه‌های گالوا، رویه‌های ریمانی و نظریه اعداد. بنیان ریاضیات و فلسفه. نظریه مجموعه‌ها و منطق ریاضی به منظور
و فلسفه. نظریه مجموعه‌ها و منطق ریاضی به منظور تبیین بنیان‌های ریاضیات توسعه یافته‌اند. منطق ریاضی شامل مطالعهٔ منطق و کاربردهای منطق صوری به شاخه‌هایی از ریاضیات است؛ نظریه مجموعه‌ها شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه مجموعه‌ها یا گردایه ای از اشیاء می‌پردازد. نظریه رسته‌ها که به صورت مجرد به مطالعه ساختارهای ریاضیاتی و ارتباطشان با هم می‌پردازد هنوز هم در حال تکوین است. عبارت «بحران بنیان‌های ریاضیاتی» به دوره ای تاریخی بین ۱۹۰۰ تا ۱۹۳۰ اشاره دارد که در آن دوره جستجویی برای یافتن بنیانی مستحکم برای
در آن دوره جستجویی برای یافتن بنیانی مستحکم برای ریاضیات انجام شد. اختلاف نظرها در مورد بنیان‌های ریاضی تا زمان کنونی هم ادامه دارد. این بحران با یک سری بحث‌ها تحریک شد، از جمله این بحث‌ها، بحث بر سر نظریه مجموعه‌های کانتور و جدال هیلبرت-براور بود. دغدغهٔ منطق ریاضیاتی، ایجاد چارچوب مستحکم اصول موضوعه ای برای ریاضیات است. منطق ریاضی الزامات چنین چارچوبی را مطالعه می‌کند. به‌طور مثال قضایای عدم کمال گودل به‌طور ضمنی می‌گویند که هر نظام صوری اگر معنا دار باشد (یعنی تمام قضیه‌هایی که می‌توان آن‌ها را اثبات
(یعنی تمام قضیه‌هایی که می‌توان آن‌ها را اثبات کرد درست باشند)، الزاماً ناکامل اند (یعنی قضایای درستی هستند که نمی‌توان آن‌ها را در این سیستم اثبات کرد). گودل نشان داد که هر گردایه متناهی از اصول موضوعه‌های نظریه اعداد را به عنوان اصول موضوعه در نظر بگیریم، می‌توان یک جمله صوری ساخت که از نظر حقایق نظریه اعداد صحیح باشد ولی از این اصول موضوعه به‌دست نیایند؛ لذا در نظریه اعداد هیچ نظام صوری که از نظر اصول موضوعه ای کامل باشد وجود ندارد. منطق نوین به چند بخش تقسیم می‌شود: نظریه بازگشت، نظریه مدل و نظریه
بخش تقسیم می‌شود: نظریه بازگشت، نظریه مدل و نظریه اثبات و ارتباط نزدیکی با علوم رایانه و نظریه رسته‌ها دارد. در زمینهٔ نظریه بازگشت، عدم امکان وجود سیستم اصول موضوعه ای کامل را می‌توان به صورت صوری از طریق پیامدهای قضیه MRDP نشان داد. علوم رایانه شامل نظریه محاسبه پذیری، نظریه پیچیدگی محاسباتی و نظریه اطلاعات است. نظریه رایانش‌پذیری محدودیت‌های مدل‌های مختلف نظری رایانه‌ها را بررسی می‌کند که شامل بسیاری از مدل‌های شناخته شده چون ماشین تورینگ می‌شود. نظریه پیچیدگی به مطالعهٔ رام پذیری حل مسائل در رایانه
پیچیدگی به مطالعهٔ رام پذیری حل مسائل در رایانه می‌پردازد. برخی مسائل وجود دارند که با وجود این که از لحاظ نظری توسط رایانه قابل حل هستند، اما در عمل هزینه حل کردنشان از نظر زمان یا فضا زیاد است و عملاً با وجود پیشرفت‌های سریع سخت‌افزاری در دنیای رایانه حل آن‌ها به نظر نامعقول می‌آید. یک مسئله مشهور در این وادی مسئلهٔ "P=NP"؟ است که برای حل آن جایزهٔ مسائل هزاره تعیین شده‌است. در نهایت، نظریه اطلاعات با حجمی از داده‌ها سر و کار دارد که بتوان آن‌ها را بر روی یک وسیله خاص ذخیره کرد، پس این علم با مفاهیمی چون
یک وسیله خاص ذخیره کرد، پس این علم با مفاهیمی چون فشرده سازی و انتروپی سروکار دارد. ریاضی محض. کمیت. مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز می‌گردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آن‌ها که در شاخه حساب انجام می‌گردد. خواص عمیق‌تر اعداد در نظریه اعداد صورت می‌پذیرد، که قضایای معروفی چون آخرین قضیه فرما از آن بیرون می‌آید. اعداد اول دوقلو و حدس گلدباخ دو تا از مسائل لاینحل نظریه اعدادند. با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا («کسرها») شناخته شدند. خود اعداد
از اعداد گویا («کسرها») شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی می‌باشند که از آن‌ها برای نمایش مفهوم کمیت‌های پیوسته استفاده شده‌است. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. این‌ها اولین قدم‌ها در سلسله مراتب اعداد است که شامل چهارگان‌ها و هشتگان‌ها باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، می‌توان به اعداد ترامتناهی رسید که مفهوم «بی نهایت» بودن را صوری می‌کنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جواب‌های چند جمله‌ای‌های تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجه‌شان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای
نظر از درجه‌شان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعه‌ها می‌شود، که در اعداد کاردینال توصیف گشته‌اند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعه‌های نامتناهی را با هم می‌دهند. ساختار. بسیاری از اشیاء ریاضیاتی، مثل مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی از خود بروز می‌دهند که می‌تواند پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال می‌شود. سپس ریاضیات به مطالعه خواص آن مجموعه‌هایی می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را بر اساس آن ساختار مورد نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال نظریه اعداد به مطالعه
نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال نظریه اعداد به مطالعه خواص مجموعه اعداد صحیح می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را با عملیات حساب به‌دست‌آورد. به علاوه، معمولاً اتفاقی که می‌افتد این است که چنین مجموعه‌های ساخت یافته (ساختارها) خواص مشابهی از خود بروز می‌دهند که امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آن‌ها را داده و لذا در چنین شرایطی می‌توان اصول موضعه‌هایی برای آن دسته خاص از مجموعه‌ها ارائه داد، و سپس به مطالعهٔ همه آن‌ها به صورت یکجا پرداخت (همه آن مجموعه‌هایی که در آن اصول موضوعه صدق می‌کنند). ازین رو، می‌توان
در آن اصول موضوعه صدق می‌کنند). ازین رو، می‌توان گروه‌ها، حلقه‌ها، میدان‌ها و دیگر نظام‌های مجرد را مطالعه کرد؛ چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) تشکیل یک قلمرو از ریاضیات به نام جبر مجرد را می‌دهند. جبر مجرد را می‌توان در حالت کلی آن به مسائل به ظاهر غیر مرتبط اعمال کرد؛ به عنوان مثال، تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خط‌کش و پرگار در نهایت با کمک نظریه گالوا حل شدند، که در آن از نظریه میدان و گروه‌ها استفاده شد. یکی دیگر از مثال‌های مرتبط با نظریه جبری، جبر خطیست، که عناصر آن
مرتبط با نظریه جبری، جبر خطیست، که عناصر آن بردارها می‌باشند. بردارها هم اندازه دارند و هم جهت و می‌توان از آن‌ها برای مدل‌سازی روابط بین نقاط درون فضا استفاده کرد. این مثالی از پدیده ای است که پیشتر اشاره شد، یعنی ارتباط قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط مثل هندسه و جبر، به گونه ای که مشخص می‌شود این قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط ارتباطاتی بس عمیق‌تر با یک دیگر در ریاضیات مدرن دارند. ترکیبیات به مطالعه راه‌های شمارش تعدادی اشیاء می‌پردازد که آن اشیاء در ساختار داده شده‌ای صدق می‌کنند. فضا. مطالعه فضا از هندسه آغاز
شده‌ای صدق می‌کنند. فضا. مطالعه فضا از هندسه آغاز شد، به‌خصوص هندسه اقلیدسی که فضا و اعداد را با هم ترکیب کرده و قضیه معروف فیثاغورس را به‌وجود آورد. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که درگیر ارتباطات بین اضلاع و زاویه‌های مثلث و توابع مثلثاتی است. در مطالعات مدرن فضا، این ایده‌ها تعمیم یافته تا به هندسه‌هایی با ابعاد بالاتر، فضاهای غیر-اقلیدسی (که نقش بنیادینی در نسبیت عام دارند) و توپولوژی برسد. کمیت و فضا هردو نقش بنیادینی در هندسه تحلیلی، هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری دارند. هندسه محدب و گسسته برای حل
و هندسه جبری دارند. هندسه محدب و گسسته برای حل مسائلی در نظریه اعداد و آنالیز تابعی توسعه یافتند، اما اکنون به نیت کاربردهایشان در بهینه‌سازی و علوم رایانه دنبال می‌شوند. در هندسه دیفرانسیل مفاهیم کلاف‌های تاری و حساب دیفرانسیل و انتگرال بر روی منیفلدها، به‌خصوص بردارها و حساب تانسوری وجود دارد. در هندسه جبری توصیف اشیاء هندسی مربوط به مجموعه جواب چند جمله ای‌ها بحث می‌شود که مفاهیم کمیت و فضا را با هم ترکیب می‌کند. همچنین در مطالعه بر روی گروه‌های توپولوژی نیز به دنبال ترکیب ساختار و فضاییم. گروه‌های لی
نیز به دنبال ترکیب ساختار و فضاییم. گروه‌های لی در مطالعه فضا، ساختار و تغییرات استفاده می‌شود. توپولوژی در تمام شاخه‌های متعدد خویش را می‌توان به عنوان بزرگ‌ترین رشد در ریاضیات سده بیستم تلقی کرد. شاخه‌های توپولوژی شامل توپولوژی نقطه ای، توپولوژی نظریه مجموعه ای، توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل است. به عنوان مثال توپولوژی عصر جدید شامل قضیهٔ مترپذیری، نظریه اصول موضوعه ای مجموعه‌ها، نظریه هوموتوپی و نظریه مورس است. توپولوژی همچنین اکنون شامل حدس اثبات شدهٔ پوانکاره بوده و هنوز قلمروهای لاینحلی چون حدس
پوانکاره بوده و هنوز قلمروهای لاینحلی چون حدس هاج را دربردارد. دیگر نتایج هندسه و توپولوژی شامل قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است که به کمک رایانه‌ها اثبات شده‌اند. تغییر. فهم و توصیف تغییر تم اصلی علوم طبیعی بوده و حساب دیفرانسیل و انتگرال به عنوان ابزاری برای تحقیق در این ارتباط ساخته شد. توابع در اینجا به عنوان مفهوم مرکزی توصیف کننده یک کمیت متغیر ظهور پیدا کردند. مطالعه مستحکم اعداد حقیقی و توابع تک متغیرهٔ حقیقی را آنالیز حقیقی گویند، آنالیز مختلط هم فیلد مشابهی است که بر روی میدان اعداد مختلط کار می‌کند.
است که بر روی میدان اعداد مختلط کار می‌کند. آنالیز تابعی بر روی فضاهای (اغلب بی‌نهایت بعدی) توابع متمرکز است. یکی از کاربردهای متعدد آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی است. بسیاری از مسائل به‌طور طبیعی به رابطهٔ بین یک کمیت و نرخ تغییراتش منجر می‌شوند. بسیاری از پدیده‌ها در طبیعت را می‌توان به وسیله سیستم‌های دینامیکی توصیف کرد؛ نظریه آشوب به‌طور دقیق بررسی می‌کند که چگونه یک سیستم می‌تواند پیش‌بینی ناپذیر باشد و در حالی که همزمان رفتار قطعی خود را نیز حفظ می‌کند. ریاضیات کاربردی. ریاضیات کاربردی به دنبال
می‌کند. ریاضیات کاربردی. ریاضیات کاربردی به دنبال روش‌های ریاضیاتی است که اغلب در علوم، مهندسی، بازرگانی و صنعت به کار برده می‌شوند؛ لذا «ریاضیات کاربردی» یک علم ریاضیاتی است با دانش تخصصی. همچنین عبارت "ریاضیات کاربردی" تخصصی حرفه ای را توصیف می‌کند که بر روی مسائل عملی تمرکز کرده‌است، ریاضیات کاربردی بر روی «فرمول بندی، مطالعه و استفاده از مدل‌های ریاضیاتی» در علوم، مهندسی و دیگر حوزه‌هایی که ریاضیات به کار می‌رود تمرکز می‌کند. در عمل، کاربردهای عملی منجر به توسعه قضایای ریاضیاتی شده، که این قضایا خود،
به توسعه قضایای ریاضیاتی شده، که این قضایا خود، موضوع مطالعه در ریاضیات محض شده‌اند، که در آن ریاضیات به هدف توسعه خود ریاضیات مطالعه می‌شود. ازین رو، فعالیت ریاضیات کاربردی به‌طور حیاتی به تحقیقات در ریاضیات محض گره خورده‌است. جوایز ریاضیاتی. می‌توان مدعی شد که مهم‌ترین جایزه ریاضیاتی جایزهٔ فیلدز است، که در سال ۱۹۳۶ تأسیس شد و در این سال‌ها، هر چهار سال یک بار (به جز حدود جنگ جهانی دوم) به حداکثر ۴ ریاضیدان تعلق گرفته‌است (یکی از دارندگان مدال فیلدز مریم میرزاخانی است که اولین زن است که دارنده این مدال
میرزاخانی است که اولین زن است که دارنده این مدال است). فیلدز اغلب به عنوان معادلی برای نوبل در ریاضیات در نظر گرفته شده. جایزهٔ وولف در ریاضیات، در ۱۹۷۸ تأسیس شد و به هدف قدردانی از دستاوردهایی است که یک ریاضیدان در عمر خویش به آنها نایل گشته. جایزهٔ آبل در ۲۰۰۳ تأسیس شد. مدال چرن در ۲۰۱۰ معرفی شد برای قدردانی از دستاوردهای یک عمر. این جوایز برای اهمیت دادن به برخی کارهای نوآورانه، یا برای پیدا کردن راه حل برای مسائل مهم در یک شاخه خاص در نظر گرفته شده‌اند. لیستی از ۲۳ مسئله باز که به آن‌ها «مسائل هیلبرت»
لیستی از ۲۳ مسئله باز که به آن‌ها «مسائل هیلبرت» می‌گویند در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضیدان آلمانی داویت هیلبرت معرفی شد. این لیست به معروفیت زیادی بین ریاضیدانان دست یافت. حداقل نه تا از این مسائل اکنون حل شده‌اند. لیست جدیدی از هفت مسئله مهم به نام «مسائل جایزه هزاره» نیز در سال ۲۰۰۰ منتشر شد. تنها یکی از آن‌ها با لیست مسائل هیلبرت اشتراک دارد. جایزه حل هر مسئله در لیست جایزه هزاره ۱ میلیون دلار است. خلاقیت و شهود ریاضیات. نیاز به درستی و دقت به این معنا نیست که ریاضیات جایی برای خلاقیت ندارد. برعکس، بیشتر