payamvha/North_RAG huggingface dataset:
این قلعه در جانب شرق جاده فیروزکوه به سوادکوه و در ارتفاعات مشرف به منتطقه نباشد که بین پل سفید و ورسک و دو قله نوک تیز در دامنه‌های جنگلی شمال آن قرار دارد. درمیان ویرانه‌های قلعه اولاد، پایه سه برج در جانب شرقی قله و آثار باروها و آب آن باروها دیده می‌شود. در حفاریهای غیر مجار دهه‌های قبل، در این محل لوله‌های آبرسانی مسی با قطر ۷ سانتی‌متر، بهمراه کاسه‌های سفالی منقوش و رنگارنگ بدست آمده که بیانگر رونق آن در اوایل دوران اسلامی می‌باشد. این لوله‌های مسی آب را از مسیری دور دست به داخل قلعه هدایت می‌کردند.
را از مسیری دور دست به داخل قلعه هدایت می‌کردند. مصالح اصلی آن آجر، سنگ و گچ است. در فاصله اندکی، در غار قرار دارد که به زندان معروف می‌باشند و احتمالاً در زمان رونق قلعه، دشمنان را در این غارها حبس می‌کرده‌اند. منابع. تارنگار شهرستان سوادکوه تدوین. فرامرز سوادکوهی وب‌گاه شهرستان سوادکوه و شیرگاه پیوند به بیرون. تارنگار شهرستان سوادکوه وب‌گاه شهرستان سوادکوه و شیرگاه
این پل بر روی تالار و در مرکز شهر پل سفید مازندران ایران بنا گردیده و دارای دو دهنه می‌باشد که با یکدیگر یکسان نیستند. طول آن ۲۵ متر و عرض آن ۵/۴ متر می‌باشد ناصرالدین‌شاه در سفرنامه سال ۱۲۸۲ هجری قمری خود به مازندران این پل را از آثار زمان شاه عباس صفوی برشمرده است. منابع. تارنگار شهرستان سوادکوه
پل معروف ورسک در منطقه عباس‌آباد قرار دارد. کوهی متصل به پایه جنوبی پل واقع شده که بر روی آن یک محوطه شیب دار دیده می‌شود. در این مکان آثار از ویرانه‌های یک قلعه قدیمی مشاهده می‌شود که در مصالح عمده آن سنگ، گچ، آجر و ساروج بوده و محققین در سده‌های قبل وجود آثاری از بارو، حصار، اتاق‌های متعدد و پایه‌های برج را ثبت کرده‌اند. مکتوبات تاریخی حاکی از آن است که قلاع بی‌شماری در منطقه کوهستانی سوادکوه وجود داشته که بیشتر آنها از بین رفته‌اند. در حال حاضر در برخی از نقاط این ناحیه آثاری از این قلعه بر جای مانده که
نقاط این ناحیه آثاری از این قلعه بر جای مانده که مهم‌ترین آنها عبارت‌اند از: قلعه قدیمی در اراضی جنگلی قفلک در کنار رودخانه کسلیان، در شرق شهر شیرگاه و در جانب غربی جنگل کند بن یار علی بیک. برای رسیدن به این محل باید از شیرگاه به جنگل قلک و حسن بور زیرآب و شاه کوه عبور کرد. اکنون نیز این مکان مملو از آجرهای قدیمی، سفاهای رنگارنگ است. بیشتر آجرها با ابعاد بزرگ و مربوط به دوران ساسانی می‌باشد. آثار قلعه و برج ویرانه با پی بنای بسیار زیبا در کنا غار اسپهبد خورشید. منابع. تارنگار شهرستان سوادکوه تدوین. فرامرز
منابع. تارنگار شهرستان سوادکوه تدوین. فرامرز سوادکوهی وب‌گاه شهرستان سوادکوه و شیرگاه پیوند به بیرون. تارنگار شهرستان سوادکوه وب‌گاه شهرستان سوادکوه و شیرگاه
منوچهر اقبال (۲۱ مهر ۱۲۸۸ – ۴ آذر ۱۳۵۶) سیاستمدار، پزشک بیماری‌های عفونی، رئیس دانشگاه تهران، مدیرعامل شرکت ملی نفت ایران و یک دوره نخست‌وزیر ایران بود. خانواده و تحصیلات. پدرش میرزا ابوتراب خان مقبل‌السلطنه خراسانی معروف به اقبال‌التولیه بود. پس از گذراندن تحصیلات ابتدائی در مشهد در سال ۱۳۰۰ همراه با پدرش که به نمایندگی مجلس شورای ملی (در دورهٔ چهارم) انتخاب شده بود به تهران رفت و در مدارس ثروت، علمیه و دارالفنون در سراسر دوران تحصیل شاگرد اول بود و در سال ۱۳۰۵ به هزینه پدرش برای ادامه تحصیل به فرانسه رفت.
به هزینه پدرش برای ادامه تحصیل به فرانسه رفت. اقبال در سال ۱۳۱۲ پس از پایان تحصیلات در دانشکده پزشکی دانشگاه پاریس و عرضه پایان‌نامه‌ای که نشان درجه اول علمی گرفت به ایران بازگشت. پس از خدمت نظام وظیفه، مدتی رئیس بهداری مشهد بود و سپس به تهران منتقل شد. در تهران در بیمارستان رازی مشغول به کار شد و به ریاست بخش بیماری‌های عفونی این بیمارستان رسید. از سال ۱۳۱۸ تدریس در دانشکده پزشکی دانشگاه تهران را آغاز کرد و صاحب کرسی بیماری‌های عفونی در این دانشکده شد. سیاست. اقبال تصدی مشاغل مهم دولتی را با معاونت وزارت
اقبال تصدی مشاغل مهم دولتی را با معاونت وزارت بهداری در کابینه اول قوام در سال ۱۳۲۱ آغاز کرد که در دولت‌های علی سهیلی و ساعد نیز که بعد از احمد قوام روی کار آمدند، این سمت را حفظ کرد. در شهریور ۱۳۲۳ که ساعد کابینه‌اش را ترمیم کرد، سرپرستی وزارت بهداری را به اقبال سپرد. او سپس با عضویت در حزب اراده ملی سیدضیا و حزب دموکرات قوام‌السلطنه وارد سیاست شد. اقبال در ۲۸ بهمن ۱۳۲۴ برای نخستین بار به وزارت رسید و احمد قوام او را به عنوان وزیر بهداری به مجلس معرفی کرد. قوام در نقشه‌ای که برای جلب اعتماد شوروی جهت حل
قوام در نقشه‌ای که برای جلب اعتماد شوروی جهت حل قضیه آذربایجان داشت، سه وزیر توده‌ای وارد کابینه‌اش کرد و از جمله وزارت بهداری را به مرتضی یزدی داد و اقبال را به وزارت پست و تلگراف فرستاد. پس از اجرای نقشه‌اش و حل قضیه آذربایجان، وزرای توده‌ای را کنار گذاشت و اقبال را دوباره به وزارت بهداری برگرداند. شش ماه پس از سقوط کابینه قوام که عبدالحسین هژیر نخست‌وزیر شد، اقبال را وزیر فرهنگ کرد. او سپس در کابینه ساعد وزیر بهداری شد و همزمان وزارت کشور را هم سرپرستی می‌کرد. ترور نافرجام شاه در دوره سرپرستی او بر
می‌کرد. ترور نافرجام شاه در دوره سرپرستی او بر وزارت کشور رخ داد و گزارش ماجرا را او به مجلس داد. اقدامات دولت پس از ترور شاه باعث شد مظفر بقائی، حسین مکی و ابوالحسن حائری‌زاده دولت را به استیضاح بکشند و عمده دفاع از دولت به عهده اقبال بود. بقائی در جریان استیضاح، اقبال را «وزیر مارک‌دار» و مهره دربار و رزم‌آرا خطاب کرد. نزدیک به پایان سال ۱۳۲۷ اقبال وزیر کشور شد. در اواخر عمر دولت ساعد از این سمت کنار رفت و در دولت بعدی که علی منصور تشکیل داد، وزیر راه شد. با روی کار آمدن سپهبد رزم‌آرا در پنجم مرداد ۱۳۲۹
با روی کار آمدن سپهبد رزم‌آرا در پنجم مرداد ۱۳۲۹ به استانداری آذربایجان منصوب شد و این زمان با مهندس رفیع فرهور مدیر راه‌آهن و کشتیرانی آذربایجان آشنا شد. همزمان ریاست دانشگاه تبریز را نیز عهده‌دار بود. در سال ۱۳۳۱ به اروپا رفت و پس از کودتای ۲۸ مرداد ۱۳۳۲ به ایران بازگشت و سناتور انتصابی تهران شد و سپس به وزارت دربار رسید. اقبال در ۱۵ فروردین ۱۳۳۶ به نخست‌وزیری منصوب شد و تا شهریور ۱۳۳۹ این سمت را داشت. در دوران نخست‌وزیری او حزب مِلّیون به رهبری او و حزب مردم به رهبری امیراسدالله علم تشکیل شد.انتخابات
مردم به رهبری امیراسدالله علم تشکیل شد.انتخابات دوره بیستم مجلس شورای ملی در دوران نخست‌وزیری اقبال انجام گرفت. بعد از اعتراض‌هایی که از سوی احزاب و مردم شد، شاه این انتخابات را مردود اعلام کرد و منوچهر اقبال از سمت خود استعفاء داد. وی در انتخابات دوره بیستم مجلس شورای ملی برای حوزه انتخابیه کاشمر شرکت کرد و از ۱۱٬۳۹۶ رأی ۵٬۷۸۰ رأی را کسب کرد که در استعفا داد و ابوالقاسم تفضلی جای او را گرفت شد. جعفر شریف امامی که بعد از منوچهر اقبال به نخست‌وزیری رسید علت سقوط دولت اقبال را به سه دلیل دانسته است: اول: وضع
دولت اقبال را به سه دلیل دانسته است: اول: وضع نامطلوب اقتصادی کشور به دلیل عدم دقت در مصارف ارزی به نحوی که بانک مرکزی سخت نگران وضع ارزی شده بود. دوم:مسئله انتخابات و جنجال‌ها و بدگویی‌هایی که بخاطر رقابت دو حزب مِلّیون و حزب مردم صورت گرفته بود و در اذهان اثر بدی گذاشته بود. سوم: سیاست خارجی اقبال که بخاطر سخنانی باعث رنجش شوروی شده بود بدون اینکه منفعت ملی برای کشور داشته باشد اقبال پس از نخست‌وزیری به ریاست دانشگاه تهران منصوب شد. دانشجویان در تظاهراتی اتومبیلش را آتش کشیدند. پس از این اقبال از ایران
اتومبیلش را آتش کشیدند. پس از این اقبال از ایران خارج شد. در سال ۱۳۴۲ که به ایران بازگشت به سمت مدیرعامل شرکت ملی نفت ایران منصوب شد و تا پایان حیات خود در این سمت باقی ماند. منوچهر اقبال مؤسس سازمان نظام پزشکی بود. اقبال، در تاریخ ۴ آذر ۱۳۵۶ بر اثر سکته در ۶۸ سالگی بدرود حیات گفت.
تَرک یکی از شهرهای استان آذربایجان شرقی در شمال‌غرب ایران است. این شهر مرکز دهستان کندوان و بخش کندوان شهرستان میانه می‌باشد. شهر ترک در میان جاده نیر به میانه واقع شده‌است. این شهر در ۲۵ کیلومتری شمال‌شرقی شهر میانه (مرکز شهرستان)، در دشتی در جنوب قسمت میانی بخش کندوان واقع است و حدود ۵۲۵، ۱ متر ارتفاع دارد. دامنه‌های جنوبی رشته‌کوه بزقوش بر آن مشرف است. ترک در منطقهٔ آب‌وهوایی سرد و خشک قرار دارد. میانگین بیشترین دمای آن در تابستان‌ها °۳۵، میانگین کمترین آن در زمستان‌ها °۱۸-، و میانگین بارش سالانهٔ آن
آن در زمستان‌ها °۱۸-، و میانگین بارش سالانهٔ آن حدود ۲۵۰ میلی‌متر است. آب شهر از رود، چشمه و قنات تأمین می‌گردد. از مراتع غنی و فراوان پیرامون شهر برای دامداری استفاده می‌شود. وجود رود و اراضی حاصلخیز و مراتع پیرامون را در پیدایش آبادی ترک و سکونت در آن مؤثر دانسته‌اند. این منطقه به دلیل قرار گرفتن در جنوب دامنه‌های رشته‌کوه‌های بزقوش حاصل‌خیز بوده و باغات سیب این منطقه بسیار معروف است. زبان مردم آن ترکی آذربایجانی است. حبیب ساهر ، شاعر آذربایجانی در این شهر متولد شده است. نام. واژهٔ تَرْک در زبان‌های
شهر متولد شده است. نام. واژهٔ تَرْک در زبان‌های مختلف معانی متفاوتی دارد ولی معلوم نیست چرا این مکان به این نام خوانده شده‌است. جمعیت. بر پایه سرشماری عمومی نفوس و مسکن در سال ۱۳۹۵ جمعیت این مکان ۲٬۰۳۱ نفر (۶۰۲ خانوار) بوده‌است. تاریخچه. قدیمی‌ترین سندی که در آن نام ترک آمده‌است کتاب محمود کاشغری به نام دیوان لغات الترک نوشته شده به سال ۴۶۶ هجری قمری معادل ۴۵۶ هجری شمسی می‌باشد که در آن از تَرک به عنوان شهری از سرزمین تُرک یاد شده‌است. از آثار باستانی باقی مانده در ترک می‌توان از بنای تاریخی مسجد سنگی ترک
مانده در ترک می‌توان از بنای تاریخی مسجد سنگی ترک و قبرستان سادات نام برد. زلزله مورخ دوم فروردین ۱۲۵۸ هجری شمسی که در ساعت ۳ و ۴۲ دقیقه بامداد با قدرت تخمینی ۶٫۷ در مقیاس بزرگی ریشتر به مرکز دامنه جنوبی رشته کوه بزقوش رخ داد باعث وارد شدن آسیب سنگین به ترک گردید. ویرانی خانه‌ها در اثر این زلزله و رانش زمین موجب شد حدود ۵۰۰ نفر از اهالی ترک جان خود را از دست بدهند. ضمناً دو مناره مسجد سنگی ترک و گنبد آجری و بخش فوقانی دیوار آن تخریب گردید.
بُستانو، روستایی در دهستان چاه‌مبارک بخش چاه‌مبارک شهرستان عسلویه در استان بوشهر ایران است. جمعیت. بر پایه سرشماری عمومی نفوس و مسکن در سال ۱۳۹۵، جمعیت این روستا برابر با ۱،۸۷۰ نفر (۴۴۰ خانوار) بوده‌است.
در ریاضیات، کره ریمان که به افتخار برنهارت ریمان نامگذاری شده‌است؛ تنها راه برای نمایش صفحه گسترش‌یافته مختلط است (صفحه مختلط به اضافهٔ یک نقطه در بینهایت) به‌طوری‌که دقیقاً نقطه در بی‌نهایت به مانند یک عدد مختلط دیده می‌شود. کاربرد اصلی آن در رابطه با توابع مختلط گسترش‌یافته است (که می‌توانند در بینهایت تعریف شوند یا به ازای اعداد مختلطی مقدار بی‌نهایت بگیرند). به همین طریق می‌توانند در نقطهٔ بی‌نهایت به مانند هر عدد مختلط دیگر پیوستگی و مشتق پذیری را ملحوظ دارند. از دید هندسی صفحه که با نقاط، خطوط، و
دارند. از دید هندسی صفحه که با نقاط، خطوط، و زوایا به استثنای فاصله‌ها سروکار دارد، کره ریمان با اضافه کردن یک نقطه در بی‌نهایت که تمام خطوط را قطع می‌کند ساخته می‌شود که در آن نقطه، خطوط موازی مماس با یکدیگر، و بقیه خطها با همان زاویه‌ای که در نقطهٔ برخورد موجود دارند یکدیگر را قطع می‌کنند. این هندسه به عنوان هندسهٔ کرهٔ دو بعدی شناخته می‌شود که از صفحهٔ گسترش‌یافتهٔ مختلط با استفاده از کنج‌نگاری شکل گرفته‌است. به فرمی که خطها، در صفحهٔ مختلط به دایره‌هایی از میان بینهایت تبدیل می‌شوند. زاویه‌ها در کرهٔ
از میان بینهایت تبدیل می‌شوند. زاویه‌ها در کرهٔ ریمان همان زاویه‌ها در صفحهٔ مختلط هستند (و به همان درستی، زوایا در بی‌نهایت همان زوایا با انتخاب طبیعی بین دو خط می‌باشند.) از نظر توپولوژیکی کره ریمان فشرده‌سازی تک‌نقطه‌ای از صفحهٔ مختلط است. کره ریمان را می‌توان به راحتی با یک کره دو بعدی هندسی تعریف کرد. در نگاه کلی نقطهٔ بی‌نهایت نقش یکسانی در قبال تمام نقاط واقع در صفحهٔ مختلط دارد. مقدمهٔ هندسی. تعریف می‌کنیم formula_1 (برای مثال صفحهٔ مختلط گسترش‌یافته).کرهٔ ریمان بر اساس یک تبدیل از formula_2 به
ریمان بر اساس یک تبدیل از formula_2 به formula_2 در فرم است. که ما کرهٔ ریمان را به مثابه یک کره در فضای سه بعدی تصور می‌کنیم. مثلاً در formula_7. در ارتباط با تبدیل بالا هر نقطه دو مؤلفهٔ formula_8 و formula_9 است که formula_10 کره را به خودش تبدیل می‌کند. کنج نگاری. برای برقراری تناظر یک‌به‌یک میان نقاط روی صفحهٔ مختلط گسترش‌یافته و کره ریمان، ما نخست formula_8 صفحه را مماس با قطب شمال کره قرار می‌دهیم. و سپس کنج نکاری را از قطب جنوب کره اعمال می‌کنیم.به این طریق که از قطب جنوب خطی که صفحهٔ مختلط و کره
این طریق که از قطب جنوب خطی که صفحهٔ مختلط و کره را قطع می‌کند را رسم می‌کنیم.که تناظر یک‌به‌یک منحصربه‌فرد مطلوب را ایجاد می‌کند. برای کامل کردن این تناظر یک‌به‌یک ما پیرو قاعدهٔ بالا قطب جنوب را formula_12. قرار می‌دهیم، با توجه به این که formula_13 قطب شمال است. تناظر بین صفحهٔ formula_9 و کرهٔ ریمان از راه دیگری نیز ممکن است. به سادگی "وارون" می‌کنیم و صفحه formula_9 را مماس به قطب جنوب و به جهت مقابل صفحهٔ formula_8 قرار می‌دهیم، به گونه‌ای که formula_17 وصل می‌شود به formula_18 و سپس کنج نگاری را از
وصل می‌شود به formula_18 و سپس کنج نگاری را از قطب جنوب انجام می‌دهیم و قطب شمال را formula_19 تعریف می‌کنیم.حالا هر نقطه روی کره formula_8وformula_9 همپایهٔ خود را در تبدیل بالا دارد. شکل سمت راست نمایش دو بعدی کنج نگاری را از سمت راست نشان می‌دهد. با وجود این که شباهت به‌هم‌خورده‌ای از نگاشت به formula_9 است، مخصوص به کرهٔ ریمان نیست. نوع دیگر از کنج نگاری. روش دیگر کنج نگاری صفحه‌ها را روی خط استوا قرار می‌دهد. اما تقابل آن‌ها را حفظ می‌کند. لذا صفحه‌ها از نطر هندسی متمایز نیستند. این روش کره ریمان در
از نطر هندسی متمایز نیستند. این روش کره ریمان در توسعه ریاضیات کمتر مورد توجه است. اما به نظر می‌رسد که در فیزیک محبوب است. برای مثال راجر پنروز در پیشبرد نظریهٔ حافظهٔ پیچشی از آن استفاده کرده‌است. خصوصیات هندسی مطلب. تبدیلات موبیوس که از formula_2 به formula_2 هستند یک خودریختی از کره ریمان هستند کهformula_26، formula_27، و formula_28. این‌ها کرهٔ ریمان را به خودش می نگارند و زاویه‌ها و جهت‌ها را حفظ می‌کنند. این می‌تواند مستقیماً دیده شود، زیرا آن‌ها می‌توانند به صورت ترکیبی از نقشه‌ها در فرم بیان شوند.
به صورت ترکیبی از نقشه‌ها در فرم بیان شوند. (که "r" و "formula_33" اعداد حقیقی هستند و "formula_34" یک عدد مختلط است ) این‌ها مرتب هستند. اتساع‌ها، چرخش‌ها و تبدیل‌های ابتدایی و وارون‌سازی مختلط (یک ترکیب از وارون سازی در دایرهٔ واحد و یک انعکاس روی خط حقیقی ) هر کدام با صفحه مختلط وفق دارند. استفاده از به ما اجازه می‌دهد که درستی آن را در بی‌نهایت چک کنیم. ساختمان مختلط. ساختمان مَنیفُلد مختلط روی صفحهٔ ریمان به وسیلهٔ یک اطلس با دو نمودار به عنوان جریان مشخص شده‌است. این دو نمودار بجز در 0 و ∞ روی هم می
شده‌است. این دو نمودار بجز در 0 و ∞ روی هم می افتند. در این روی هم افتادگی تابع‌گذار به صورت "z" → 1/"z"داده شده‌است. که به وضوح هُولُومورفیک است. و بدینگونه ساختمان مختلط را تعریف می‌کند. کره ریمان همان توپولوژی "S"2 را دارد. که کره به شعاع 1 در فضای اقلیدسی R3 است. یک هُومُومورفیسم بین آن‌ها به وسیلهٔ کنج نگاری مماس به قطب جنوب روی صفحهٔ مختلط داده می‌شود. نقطه‌ها در "S"2 بصورت ("x"1, "x"2, "x"3) که formula_38 هومومورفیسم این است: این، قطب جنوب را به مرکز صفحهٔ مختلط و قطب شمال را به ∞ نقش می‌کند. بر حسب
صفحهٔ مختلط و قطب شمال را به ∞ نقش می‌کند. بر حسب مختصات کروی (θ, φ)، با : رابطه زیر قطب شمال را به مرکز و قطب جنوب را به ∞ نقش می‌کند. با فرمول زیر : یا در مختصات کروی : خط انعکاسی مختلط. کرهٔ ریمان را می‌توان با خط انعکاسی مختلط، CP1 فهمید.صریحاً با رابطه زیر ایزومورفیسم داده می‌شود: که ["z"1 : "z"2] مختصات متوافق روی CP1 هستند، با توجه به اینکه صفحهٔ مختلط روی خط انعکاسی به عنوان زیرمجموعه می نشیند. در حالی که نقطه در بینهایت به وسیلهٔ [1 : 0] در مختصات متوافق داده می‌شود. خصوصیات. در رده‌بندی رویه‌های
متوافق داده می‌شود. خصوصیات. در رده‌بندی رویه‌های ریمان گروه اتومورفیسم از کرهٔ ریمان همان گروه تبدیلات موبیوس است این‌ها فقط تبدیلات خطوط انعکاسی PGL2 C روی CP1 هستند. کرهٔ ریمان یکی از سه رویهٔ متصل شدهٔ سادهٔ ریمان است. دو تای دیگر صفحهٔ مختلط و صفحهٔ هایپربولیک هستند. این عبارت با قضیهٔ یکنواخت‌سازی شناخته می‌شود و برای رده‌بندی رویه‌های ریمان مهم است. همچنین نگاه کنید به. صفحه مختلط
در آنالیز مختلط، یک تَکینِگی اساسی یک تابع یک تکینگی «بدرفتار» است که تابع در نزدیکی آن رفتار منفردی از خود نشان می‌دهد. فرض کنید زیر مجموعهٔ باز "U" از صفحه مختلط C، "a" عضوی از "U"، و "f" یک تابع هولومورفیک تعریف شده بر "U" - {"a"} باشد. نقطهٔ "a" یک "نقطه تکین اساسی" از "f" نامیده می‌شود اگر که نه یک قطب باشد و نه یک نقطه تکین برداشتنی. برای مثال تابع "f"("z") = "e"1/"z" یک تکین اساسی در "z" = 0 دارد. نقطهٔ "a" یک تکین اساسی است اگر و تنها اگر حد :formula_1 نه برابر یک عدد مختلط و نه برابر بینهایت باشد.
نه برابر یک عدد مختلط و نه برابر بینهایت باشد. این معادل است با اگر و تنها اگر سری لوران "f" در نقطهٔ "a" تعداد بینهایت جملهٔ با درجهٔ منفی داشته باشد. رفتار توابع هولومورفیک در اطراف نقاط تکین اساسی به وسیلهٔ قضیه وایرشتراس-کاسوراتی و قضیه بسیار قویتر پیکارد تشریح شده است. دومی می‌گوید که در هر همسایگی از نقطهٔ تکین اساسی "a"، تابع "f" هر مقدار مختلطی را، به جز حداکثر دو مقدار، بینهایت بار می‌گیرد.
در آنالیز مختلط، یک نقطهٔ تکین برداشتنی از یک تابع، نقطه‌ایست که در آن تابع تعریف نشده است (یک نقطه تکین) اما می‌تواند چنان تعریف شود که در آن نقطهٔ تکین پیوسته باشد. برای نمونه، تابع برای "z" ≠ 0 یک نقطهٔ تکین برداشتنی در "z" = 0 : می‌نوانیم تعریف کنیم "f"(0) = 1 و تابع بدست آمده پیوسته خواهد بود و حتی به طور متناهی مشتق‌پذیر (یک نتیجه از قاعده هوپیتال). به طور رسمی، اگر "U" یک زیر مجموعه باز از صفحه مختلط C باشد، "a" یک عضو از "U" و "f" : "U" - {"a"} → C یک تابع هولومورفیک باشد، آنگاه "a" یک "نقطهٔ تکین
یک تابع هولومورفیک باشد، آنگاه "a" یک "نقطهٔ تکین برداشتنی" از "f" است اگر تابع هولومورفیک "g" : "U" → C موجود باشد که در "U" - {"a"} بر "f" منطبق باشد. چنین تابع هولومورفیکی وجود دارد اگر و تنها اگر حد lim"z"→"a" "f"("z") وجود داشته باشد. آنگاه این حد برابر است با "g"("a"). قضیهٔ ریمان در مورد نقاط تکین برداشتنی می‌گوید که نقطهٔ تکین "a" از تابع هولومورفیک "f" برداشتنی است اگر و تنها اگر یک همسایگی از "a" موجود باشد که در آن "f" کراندار باشد. نقاط تکین برداشتنی دقیقاً قطبهایی از مرتبهٔ 0 هستند.
در آنالیز مختلط، شاخه‌ای از ریاضیات، یک نقطهٔ تکین منفرد نقطه‌ایست که نقطه تکین دیگری در نزدیکی آن نباشد. عدد مختلط "z" یک نقطهٔ تکین منفرد از تابع "f" است اگر یک دیسک باز به مرکز "z" وجود داشته باشد که "f" روی "D" − {z} هولومورفیک باشد. هر نقطهٔ تکین از یک تابع مرومورفیک منفرد است، اما منفرد بودن نقاط تکین به تنهایی برای تضمین مرومورفیک بودن تابع کافی نیست. خیلی از ابزارهای مهم آنالیز مختلط مانند سری لوران و قضیه مانده نیاز دارند که نقاط تکین تابع منفرد باشند.
نقطه در بینهایت یا نقطهٔ ایده‌آل، نقطه‌ایست که وقتی به خط حقیقی اضافه شود یک منحنی بسته می‌سازد که خط حقیقی انعکاسی،formula_1 نامیده می‌شود. خط حقیقی انعکاسی با خط حقیقی گسترش یافته که نقطهٔ "متفاوت" در بینهایت دارد، یکی نیست. نقطه در بینهایت همچنین می‌تواند به صفحه مختلط، formula_2، اضافه شود و یک سطح بسته تشکیل دهد که به خط انعکاسی مختلط، formula_3، موسوم است، به آن کره ریمان نیز گفته می‌شود.
در آنالیز مختلط، مانده عدد مختلطی است که رفتار انتگرال منحنی‌الخط یک تابع مرومورفیک را حول نقطه تکین شرح می‌دهد. مانده‌ها به سادگی می‌توانند محاسبه شوند و با استفاده از قضیه مانده مقدار بسیاری از انتگرال‌های پیچیده را به‌دست می‌دهند. مثال. به عنوان یک مثال، انتگرال را در نظر بگیرید که "C" یک خم ژوردان حول ۰ است. اجازه بدهید این انتگرال را بدون استفاده از قضایای استاندارد انتگرال‌گیری حل کنیم. سری تیلور "e""z" را در تابع زیر انتگرال جایگزین می‌کنیم: حال 1/"z"5 را به داخل سری می‌بریم و داریم حال انتگرال به
را به داخل سری می‌بریم و داریم حال انتگرال به شکل ساده‌تری تبدیل می‌شود. با به خاطر آوردن اکنون انتگرال حول "C" برای هر جمله که به شکل "cz"−1 نیست صفر می‌شود، و انتگرال به صورت زیر می‌شود: مقدار 1/4! با عنوان "مانده‌ی" "e""z"/"z"5 در "z" = 0 شناخته می‌شود، و به صورت زیر نشان داده می‌شود محاسبهٔ مانده. دیسک سوراخ‌دار "D" = {"z" : 0 &lt;|"z" − "c"| &lt;"R"} را در صفحه مختلط و تابع هولومورفیک "f" (حداقل) تعریف شده بر "D" را در نظر بگیرید. ماندهٔ "f" در "c" ضریب "a"−1 از ("z" − "c")−1 در سری لوران بسط "f" حول
"a"−1 از ("z" − "c")−1 در سری لوران بسط "f" حول "c" است. در یک قطب ساده، مانده به‌وسیله‌ٔ بدست می‌آید. بر اساس فرمول انتگرال‌گیری داده شده در مقالهٔ سری لوران داریم: که γ دایره را حول "c" در جهت پادساعتگرد می‌پیماید. می‌توانیم γ را یک دایره با شعاع ε حول "c" انتخاب کنیم که ε به اندازه دلخواه کوچک است. ماندهٔ تابع "f"("z")="g"("z")/"h"("z") در قطب ساده "c" که "g"و "h" توابع هولومورفیک در همسایگی "c" با "h(c)" = 0 و "g(c)" ≠ 0 به‌وسیله‌ی داده می‌شود. به طور کلی‌تر، مانده "f" حول "z" = "c"، یک قطب از مرتبه
کلی‌تر، مانده "f" حول "z" = "c"، یک قطب از مرتبه "n"، با فرمول بدست می‌آید. اگر تابع "f" روی تمام دیسک { "z" : |"z" − "c"| &lt;"R" } هولومورفیک باشد آنگاه Res("f"، "c") = 0. عکس آن در حالت کلی برقرار نیست.
قضیه وایرشتراس-کاسوراتی در آنالیز مختلط رفتار قابل توجه توابع هولومورفیک نزدیک نقاط تکین اساسی را توصیف می‌کند. این قضیه به احترام کارل تئودور ویلهلم وایرشتراس و فلیچه کازوراتی بدین نام خوانده می‌شود. با یک زیر مجموعه باز "U" در صفحه مختلط شامل عدد "z"0و یک تابع هولومورفیک "f" تعریف شده روی "U" − {"z"0} شروع می کنیم. عدد مختلط "z"0 یک "نقطه تکین اساسی" نامیده می‌شود اگر "هیچ" عدد n طبیعی وجود نداشته باشد که حد موجود باشد. برای مثال، تابع "f"("z") = exp(1/"z") یک نقطه تکین اساسی در "z"0 = 0 دارد، اما تابع
یک نقطه تکین اساسی در "z"0 = 0 دارد، اما تابع "g"("z") = 1/"z"3 چنین نقطه‌ای ندارد. (این تابع یک قطب در 0 دارد). قضیهٔ وایرشتراس کاسوراتی بیان می‌کند که قضیه بسیار قوی‌تر می‌شود با با قضیه پیکارد، که بیان می‌کند که "f" "هر " مقدار مختلط باستثنا یکی را بی‌نهایت بار اختیار می‌کند.
قضیه مانده در آنالیز مختلط، ابزاری قدرتمند برای محاسبه انتگرالهای خطی از توابع مرومورفیک روی منحنی‌های بسته است و برخی مواقع می‌تواند برای محاسبه انتگرال‌های حقیقی نیز به کار رود. این قضیه قضیه انتگرال کوشی و فرمول انتگرال کوشی را کلیت می‌بخشد. فرض کنید "U" یک زیرمجموعه باز همبند ساده از صفحه مختلط "C" و "a"1،...،"a""n" نقاطی از "U" و "f" تابعی تعریف شده و هولومورفیک روی "U" \ {"a"1...,"a""n"} باشد. اگر γ یک منحنی تصحیح پذیر در "U" باشد که هیچ‌کدام از نقاط "a""k" را ملاقات نکند و نقاط انتها و ابتدایش یکی
"a""k" را ملاقات نکند و نقاط انتها و ابتدایش یکی باشد، آنگاه اگر γ یک خم ژوردان و I(γ، "a""k") = 1 و بنابراین اینجا Res("f"، "a""k") مانده‌ی "f" در "a""k" را نشان می‌دهد و I(γ، "a""k") = 1 عدد پیچش منحنی γ دور نقطه "a""k" است. این عدد پیچش یک عدد صحیح است که نشان می‌دهد منحنی γ چندبار حول "a""k" می‌پیچد. این عدد مثبت است اگر که γ در جهت پادساعتگرد حول "a""k" بچرخد و 0 است اگر γ اصلاً دور "a""k" حرکت نکند. به منظور محاسبه انتگرال‌های حقیقی، قضیه مانده به این صورت استفاده می‌شود: انتگرال به صفحه مختلط گسترش
صورت استفاده می‌شود: انتگرال به صفحه مختلط گسترش داده می‌شود و مانده‌ها محاسبه می‌شوند (که معمولاً ساده است)، و یک قسمت از محور حقیقی به یک منحنی بسته با الحاق یک نیم دایره به نیم صفه بالایی یا پایینی گسترش داده می‌شود. سپس انتگرال حول این منحنی با استفاده از قضیه مانده می‌تواند محاسبه شود. اغلب، قسمت نیم دایرهٔ انتگرال به سمت 0 میل خواهد کرد اگر به اندازه کافی بزرگ باشد و فقط قسمت محور حقیقی باقی می‌ماند، چیزی که در ابتدا می‌خواستیم. منابع. Wikipedia contributors، "Residue theorem،" Wikipedia، The Free
"Residue theorem،" Wikipedia، The Free Encyclopedia، http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Residue_theorem&amp;oldid=190379063
در ریاضیات دو قضیه با نام «قضیه نگاشت باز» وجود دارد. آنالیز تابعی. در آنالیز تابعی، قضیهٔ نگاشت باز که همچنین با نام قضیهٔ شوائر–باناخ شناخته شده‌است یک نتیجهٔ اصلی است که بیان می‌کند: اگر "A": "X" → "Y" عملگر خطی پیوسته پوشا در فضای باناخ "X" و "Y" باشد، آنگاه "A" یک نگاشت باز است (اگر "U" یک مجموعه باز در "X" باشد، آنگاه "A"("U") یک مجموعه بازدر "Y" است). برای اثبات از قضیهٔ رسته‌ای بئر استفاده می‌شود. قضیه نگاشت باز دو نتیجه مهم دارد: آنالیز مختلط. در آنالیز مختلط قضیه نگاشت باز بیان می‌کند که اگر "U"
مختلط قضیه نگاشت باز بیان می‌کند که اگر "U" یک مجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط "C" باشد و "f": "U" → C یک تابع هولومورفیک غیر ثابت باشد، آنگاه "f" یک نگاشت باز است (زیر مجموعه‌های باز "U" را به زیرمجموعه‌های باز "C" می‌نگارد). قضیه برای مثال اشاره به این مطلب می‌کند که یک تابع هولومورفیک غیر ثابت نمی‌تواند یک قرص باز را "به توی" بخشی از یک خط بنگارد. برهان. ابتدا فرض کنید f یک تابع غیر ثابت هولومورفیک و "U" یک زیرمجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط است. اگر هر نقطه در formula_1 یک نقطهٔ داخلی formula_1 باشد
نقطه در formula_1 یک نقطهٔ داخلی formula_1 باشد آنگاه formula_1 باز است؛ بنابراین اگر هر نقطه در formula_1 که محتوی یک دیسک است، شامل formula_1 باشد آنگاه formula_1 باز است. اطراف هر نقطه در formula_7، یک گوی مناسب در formula_7 وجود دارد. یک formula_9 دلخواه در formula_7 و نقطهٔ تصویر آن formula_11 را در نظر بگیرید. اگر formula_12 آنگاه formula_9 یک ریشه تابع formula_14 است. تابع formula_14 ممکن است ریشه دیگری در فاصله formula_16 از formula_9 داشته باشد. فاصله از formula_9 تا یک نقطه که در "U" نیست نوشته
از formula_9 تا یک نقطه که در "U" نیست نوشته می‌شود formula_19. هر گوی B با شعاع کمتر از مینیمم formula_16 و formula_19 داخل "U" خواهد بود و حداقل یکی وجود دارد زیرا formula_22. گوی formula_23 را اطراف formula_24 با شعاع formula_25 و عناصر formula_26 در نظر می‌گیریم. از قضیه روشه یا آرگومان اصلی توابع formula_14 و formula_28 برای هر formula_26 با فاصله formula_25 از f(formula_9)، دارای تعداد یکسانی ریشه هستند. فرض کنید formula_32 ریشه یا یکی از ریشه‌های formula_28 باشد؛ بنابراین، برای هر formula_26 در
formula_28 باشد؛ بنابراین، برای هر formula_26 در formula_23، یک formula_32 در formula_37 وجود دارد که formula_38، تصویر formula_23 یک زیر مجموعه از تصویر formula_37 است که یک زیر مجموعه formula_1 است. پس formula_26 یک نقطه درونی formula_1 بای هر formula_26 دلخواه، و قضیه ثابت شده‌است.
در آنالیز مختلط، روش انتگرال‌گیری روی مسیر، روشی است برای محاسبهٔ انتگرال‌های خاص با مقدار حقیقی روی بازه‌های حقیقی که با استفاده از متغیرهای حقیقی به سادگی محاسبه نمی‌شوند. روش‌های آنالیز مختلط زیر به کمک انتگرال‌های مسیر، وسیله‌ای به دست می‌دهند برای محاسبهٔ این نوع انتگرال‌های حقیقی-مقدار روی صفحه مختلط. این روش‌ها شامل موارد زیر است می‌توان از یکی از روش‌های بالا یا ترکیبی از آن‌ها برای یافتن این انتگرال‌ها استفاده کرد. روش‌های مستقیم. روش‌های مستقیم شامل محاسبهٔ انتگرال به وسیلهٔ روش‌هایی شبیه به