payamvha/North_RAG huggingface dataset:
ناخالص داخلی طی ۲۸٫۸ سال می‌شود، در حالی که نرخ رشد ۸٪ در سال منجر به دو برابر شدن تولید ناخالص داخلی در عرض نه سال می‌شود؛ بنابراین، اگر این اختلاف ناچیز برای سالها ادامه یابد، اختلاف کمی در نرخ رشد اقتصادی بین کشورها می‌تواند منجر به استانداردهای بسیار متفاوت زندگی برای جمعیت آنها شود. کیفیت زندگی. یک نظریه که رشد اقتصادی را با کیفیت زندگی مرتبط می‌کند «فرضیه آستانه» است که بیان می‌کند رشد اقتصادی تا حدی افزایش کیفیت زندگی را به همراه دارد. اما در آن مرحله - که نقطه آستانه نامیده می‌شود - رشد بیشتر
مرحله - که نقطه آستانه نامیده می‌شود - رشد بیشتر اقتصادی می‌تواند کیفیت زندگی را با زوال روبرو کند. این منجر به یک منحنی U شکل وارونه می‌شود، جایی که راس منحنی نشان دهنده سطح رشد است که باید هدف قرار گیرد. نشان داده شده‌است که خوشبختی با تولید ناخالص داخلی سرانه، حداقل تا سطح ۱۵۰۰۰ دلار برای هر نفر افزایش می‌یابد. رشد اقتصادی به عنوان یک نتیجه از افزایش همزمان فرصت‌های شغلی و افزایش بهره‌وری نیروی کار، از پتانسیل غیرمستقیم کاهش فقر برخوردار است. مطالعه‌ای که توسط محققان انستیتوی توسعه خارج از کشور (ODI)
که توسط محققان انستیتوی توسعه خارج از کشور (ODI) روی ۲۴ کشور انجام شد، نشان داد که در ۱۸ مورد فقر کاهش یافته‌است. در برخی موارد، عوامل کیفیت زندگی مانند برآمد مراقبت‌های بهداشتی و تحصیلات، و همچنین آزادی‌های اجتماعی و سیاسی، با وقوع رشد اقتصادی بهبود نمی‌یابند. افزایش بهره‌وری همیشه منجر به افزایش دستمزد نمی‌شود، همان‌طور که در ایالات متحده مشاهده می‌شود که از سال ۱۹۸۰ شکاف بین بهره‌وری و دستمزد افزایش یافته‌است. رشد برابر. در حالی که تصدیق نقش اصلی رشد اقتصادی می‌تواند به‌طور بالقوه در توسعه انسانی، کاهش
می‌تواند به‌طور بالقوه در توسعه انسانی، کاهش فقر و دستیابی به اهداف توسعه هزاره باشد، اما در میان جامعه توسعه به‌طور گسترده‌ای درک شده‌است که باید تلاش‌های ویژه ای انجام شود تا اطمینان حاصل شود که قشرها فقیرتر جامعه قادر به مشارکت در رشد اقتصادی هستند. تأثیر رشد اقتصادی بر کاهش فقر - کشش رشد فقر - می‌تواند به سطح نابرابری موجود بستگی داشته باشد. به عنوان مثال، با نابرابری کم، کشوری با نرخ رشد ۲٪ به ازای شخص و ۴۰٪ از جمعیت آن در فقر زندگی می‌کند، می‌تواند فقر را در ده سال به نصف کاهش دهد، اما برای کشوری با
را در ده سال به نصف کاهش دهد، اما برای کشوری با نابرابری بالا، رسیدن به همان کاهش تقریباً ۶۰ سال طول می‌کشد. به گفته دبیرکل سازمان ملل متحد بان کی مون: «در حالی که رشد اقتصادی لازم است، اما برای پیشرفت در کاهش فقر کافی نیست». اثرات زیست‌محیطی. منتقدانی مانند باشگاه رم استدلال می‌کنند که یک نگاه محدود به رشد اقتصادی، همراه با جهانی شدن، درمی یابیم که در حال ایجاد سناریویی هستیم که بتوانیم شاهد فروپاشی سیستمی منابع طبیعی سیاره خود باشیم. نگرانی در مورد اثرات منفی زیست‌محیطی رشد اقتصادی، برخی از افراد را بر
منفی زیست‌محیطی رشد اقتصادی، برخی از افراد را بر آن داشته‌است که از سطوح پایین‌تر رشد یا کاملاً ترک رشد حمایت کنند. در دانشگاه، برای دستیابی به این هدف و غلبه بر ضرورت‌های احتمالی رشد، مفاهیمی مانند رشد اقتصادی، اقتصاد پایدار و رشد ناپایدار توسعه یافته‌است. در سیاست، احزاب سبز با پذیرش منشور جهانی سبزها، تشخیص می‌دهند که: رشد اقتصادی به هر قیمتی و استفاده بیش از حد و بی‌رویه از منابع طبیعی بدون در نظر گرفتن ظرفیت حمل زمین، باعث وخیم شدن وضعیت محیط و سبب انقراض عظیم گونه‌ها می‌شود. گزارش ارزیابی جهانی ۲۰۱۹
عظیم گونه‌ها می‌شود. گزارش ارزیابی جهانی ۲۰۱۹ در مورد تنوع زیستی و خدمات اکوسیستم منتشر شده توسط پلت فرم سیاست بین دولتی علوم بین‌المللی سازمان ملل در زمینه تنوع زیستی و خدمات اکوسیستم هشدار داد که با توجه به از دست دادن قابل توجه تنوع زیستی، جامعه نباید فقط بر رشد اقتصادی تمرکز کند. انسان‌شناس ادواردو اس. بروندیزیو، گفته‌است: "ما باید روایت‌های خود را تغییر دهیم. هم روایت‌های فردی ما که مصرف بی‌رویه را با کیفیت زندگی و وضعیت مرتبط می‌کند، و هم روایت‌های سیستم‌های اقتصادی که هنوز در نظر می‌گیرند که تخریب
اقتصادی که هنوز در نظر می‌گیرند که تخریب محیط زیست و نابرابری اجتماعی نتایج اجتناب ناپذیر رشد اقتصادی است. رشد اقتصادی وسیله است و نه هدف. ما باید به دنبال کیفیت زندگی کره زمین باشیم. کسانی که در مورد تأثیرات زیست‌محیطی رشد خوش بین هستند، معتقدند که اگرچه ممکن است اثرات زیست‌محیطی موضعی رخ دهد، اما اثرات اکولوژیکی در مقیاس بزرگ جزئی هستند. این استدلال، همان‌طور که توسط جولیان لینکلن سایمون، مفسر بیان شد، بیان می‌دارد که اگر این اثرات زیست‌محیطی در مقیاس جهانی وجود داشته باشد، نبوغ انسان راهی برای سازگاری
وجود داشته باشد، نبوغ انسان راهی برای سازگاری با آنها پیدا می‌کند. در سال ۲۰۱۹، هشدار دربارهٔ تغییر آب و هوا با امضای ۱۱۰۰۰ دانشمند از بیش از ۱۵۰ کشور جهان گفت که رشد اقتصادی نیروی محرکه «استخراج بیش از حد مواد و بهره برداری بیش از حد از اکوسیستم‌ها است» و این «تا پایداری طولانی مدت زیست کره، باید به سرعت کاهش یابد». آنها اضافه می‌کنند که «اهداف ما نیاز به تغییر از رشد تولید ناخالص داخلی و پیگیری ثروتمندی به سمت حفظ اکوسیستم‌ها و بهبود رفاه انسان با اولویت بندی نیازهای اساسی و کاهش نابرابری دارند». مقاله
بندی نیازهای اساسی و کاهش نابرابری دارند». مقاله ۲۰۲۱ که توسط دانشمندان برتر در مرزها تألیف شده‌است؛ در علم حفاظت معتقد است که با توجه به بحرانهای زیست‌محیطی از جمله از دست دادن تنوع زیستی و تغییرات آب و هوایی و «آیندهٔ وحشتناک» احتمالی که بشریت با آن روبرو است، باید «تغییرات اساسی در سرمایه‌داری جهانی» ایجاد شود، از جمله «لغو رشد اقتصادی دائمی». گرم‌شدن کرهٔ زمین. ارتباط نزدیکی بین رشد اقتصادی و میزان انتشار دی اکسیدکربن در سراسر کشورها وجود دارد، اگرچه در شدت کربن نیز یک واگرایی قابل توجهی وجود دارد
در شدت کربن نیز یک واگرایی قابل توجهی وجود دارد (انتشار کربن درنتیجه تولید ناخالص داخلی). در دنیای امروز، بین ثروت اقتصادی جهانی و میزان انتشار جهانی نیز رابطه مستقیمی وجود دارد. استرن ریویو خاطرنشان می‌کند که پیش‌بینی می‌کند: در حال حاضر انتشار گازهای گلخانه ای کافی است که غلظت گازهای گلخانه ای را تا سال ۲۰۵۰ به بیش از 550 ppm CO2 و بیش از650ppm-۷۰۰ تا پایان قرن برساند. اتفاق نظر علمی این است که عملکرد اکوسیستم سیاره ای بدون ایجاد شرایط خطرناک نیاز به تثبیت در 450-550 ppm دارد. در نتیجه، اقتصاددانان محیط
در 450-550 ppm دارد. در نتیجه، اقتصاددانان محیط زیست رشد گرا مداخله دولت را در تغییر منابع تولید انرژی، به سمت انرژی باد، خورشید، برق و هسته ای پیشنهاد می‌کنند. این امر تا حد زیادی استفاده از سوخت‌های فسیلی را فقط به نیازهای پخت‌وپز خانگی (مانند مشعل‌های نفت سفید) محدود می‌کند یا اینکه فناوری جذب و ذخیره کربن می‌تواند مقرون به صرفه و مطمئن باشد. در استرن رویو، که توسط دولت انگلستان در سال ۲۰۰۶ منتشر شد، نتیجه‌گیری شد که سرمایه‌گذاری ۱٪ از تولید ناخالص داخلی (بعداً به ۲٪ تغییر یافت) برای جلوگیری از بدترین
(بعداً به ۲٪ تغییر یافت) برای جلوگیری از بدترین تأثیرات تغییرات آب و هوایی کافی است و عدم انجام آن می‌تواند آب و هوا را به خطر بیندازد. هزینه‌های مربوطه برابر با ۲۰٪ از تولید ناخالص داخلی است. از آنجا که جذب و ذخیره کربن هنوز به‌طور گسترده اثبات نشده‌است و اثربخشی طولانی مدت آن (مانند مهار نشت دی اکسید کربن) ناشناخته است، و به دلیل هزینه‌های فعلی سوخت‌های جایگزین، این پاسخ‌های سیاست تا حد زیادی به ایمان به تغییر تکنولوژی بستگی دارد. سیاستمدار و روزنامه‌نگار محافظه کار انگلیس، نیگل لاوسون، تجارت انتشار کربن
محافظه کار انگلیس، نیگل لاوسون، تجارت انتشار کربن را «یک سیستم ناکارآمد جیره بندی» دانسته‌است. در عوض، وی برای استفاده کامل از کارایی بازار، مالیات کربن را ترجیح می‌دهد. لوسون خاطرنشان کرد: برای جلوگیری از مهاجرت صنایع پر مصرف انرژی، کل جهان باید چنین مالیاتی را وضع کند، نه فقط انگلیس. اگر کسی از این الگو پیروی نکند، فایده ای ندارد. محدودیت منابع. بسیاری از پیش‌بینی‌های قبلی تخلیه منابع، مانند پیش‌بینی‌های توماس مالتوس در سال ۱۷۹۸ دربارهٔ نزدیک شدن به قحطی در اروپا، بمب جمعیت و شرط‌بندی سیمون-ارلیچ (۱۹۸۰)
در اروپا، بمب جمعیت و شرط‌بندی سیمون-ارلیچ (۱۹۸۰) عملی نشده‌است. تولید کاهش یافته اکثر منابع تاکنون اتفاق نیفتاده است، یکی از دلایل آن این است که پیشرفت در فناوری و علوم اجازه تولید برخی از منابع غیرقابل دسترس را داده‌است. در بعضی موارد، جایگزینی مواد فراوانتر، مانند پلاستیک به جای فلزات ریخته شده، رشد استفاده از برخی فلزات را کاهش می‌دهد. در مورد منابع محدود زمین، ابتدا قحطی با انقلاب حمل و نقل ناشی از راه‌آهن و کشتی‌های بخار و بعداً با انقلاب سبز و کودهای شیمیایی، به ویژه فرایند هابر برای سنتز آمونیاک،
شیمیایی، به ویژه فرایند هابر برای سنتز آمونیاک، کاهش یافت. کیفیت منابع از عوامل مختلفی از جمله درجه‌بندی سنگ معدن، مکان، ارتفاع از سطح دریا یا پایین آن، نزدیکی به راه‌آهن، بزرگراه‌ها، تأمین آب و آب و هوا تشکیل شده‌است. این عوامل بر سرمایه و هزینه عملیاتی استخراج منابع تأثیر می‌گذارد. در مورد مواد معدنی، مقدار کمتری از منابع معدنی استخراج می‌شوند که به سرمایه و انرژی بیشتری برای استخراج و فرآوری نیاز دارند. عیارهای سنگ مس طی قرن گذشته به میزان قابل توجهی کاهش یافته‌است. مثال دیگر گاز طبیعی از شیل و سنگهای
یافته‌است. مثال دیگر گاز طبیعی از شیل و سنگهای دیگر با نفوذ پذیری کم است که استخراج آنها به انرژی، سرمایه و مواد ورودی بسیار بالاتری نسبت به گاز معمولی دهه‌های گذشته نیاز دارد. نفت و گاز دریایی با افزایش عمق آب به‌طور تصاعدی هزینه را افزایش داده‌اند. برخی از دانشمندان فیزیکی مانند سانیام میتال رشد مداوم اقتصادی را ناپایدار می‌دانند. عوامل متعددی ممکن است رشد اقتصادی را محدود کنند - به عنوان مثال: منابع محدود، اوج یا تخلیه. در سال ۱۹۷۲، مطالعه محدودیت‌های رشد، محدودیت‌های رشد بی‌نهایت را مدل‌سازی کرد. در
رشد، محدودیت‌های رشد بی‌نهایت را مدل‌سازی کرد. در ابتدا مورد تمسخر قرار گرفت، برخی از روندهای پیش‌بینی شده تحقق یافتند، و این امر موجب افزایش نگرانی‌هایی برای سقوط یا کاهش قیمتی ناشی از محدودیت منابع می‌شود. مالتوسیون مانند ویلیام آر. کاتن جونیور، نسبت به پیشرفت‌های فناوری که در دسترس بودن منابع را بهبود می‌بخشد، بدبین است. آنها پیشنهاد می‌کنند که چنین پیشرفت‌ها و افزایش کارایی صرفاً تسریع در کاهش منابع محدود است. کاتون ادعا می‌کند که افزایش نرخ استخراج منابع، ناخواسته از آینده دزدی می‌کند. انرژی.
منابع، ناخواسته از آینده دزدی می‌کند. انرژی. نظریه‌های اقتصادی انرژی معتقدند که میزان مصرف انرژی و بهره‌وری انرژی از نظر علیت با رشد اقتصادی مرتبط هستند. گرت معتقد است که: مستقل از سال، بین نرخ فعلی مصرف انرژی جهانی و انباشت تاریخی تولید ناخالص داخلی جهان، رابطه مستقیمی وجود دارد. از این رو می‌توان گفت که رشد اقتصادی، همان‌طور که رشد ناخالص داخلی نشان می‌دهد، به نرخهای بالاتری از رشد مصرف انرژی نیاز دارد. افزایش بهره‌وری انرژی بخشی از افزایش بهره‌وری فاکتور کل بود. برخی از مهمترین نوآوریهای فنی در تاریخ
کل بود. برخی از مهمترین نوآوریهای فنی در تاریخ شامل افزایش بهره‌وری انرژی است؛ که شامل: پیشرفت در کارایی تبدیل گرما به کار، استفاده مجدد از گرما، کاهش اصطکاک و انتقال نیرو، به ویژه از طریق برق است. بین مصرف سرانه برق و توسعه اقتصادی همبستگی زیادی وجود دارد.
جبر خطی عددی مطالعهٔ الگوریتم‌ها و کاربردهای جبر خطّی در زمینه‌های متنوّع محاسبات علمی مدرن را شامل می‌گردد. تجزیهٔ مقدارهای منفرد. مقالهٔ اصلی: تجزیه مقدارهای منفرد تجزیه مقدارهای منفرد در حکم همان تجزیه مقدارهای خاص است، ولی، بیشتر برای ماتریس‌های غیر مربّع. بر خلاف مقدارهای خاص که تنها و تنها در مورد ماتریس‌های مربّع مصداق دارند، و می‌توانند منفی نیز باشند، مقدارهای منفرد برای همهٔ ماتریس‌ها، چه مربع و چه غیر آن مفهوم دارند و هیچ‌گاه منفی نمی‌شوند.
روش تجزیه مقادیر منفرد یا SVD تاریخچه طولانی و البته جالبی دارد. این روش، در علوم اجتماعی و با تست هوش شروع شد. در گذشته، پژوهشگران آزمون‌هایی را برای اندازه‌گیری جنبه‌های مختلف هوش مانند هوش فضایی و هوش کلامی ارائه کردند که همبستگی زیادی با هم داشتند. آن‌ها بر این باور بودند که یک معیار عمومی مشترک برای هوش وجود دارد و آن را برای هوش کلی، g نامیدند که امروزه بیشتر به عنوان آی کیو (IQ) شناخته می‌شود؛ بنابراین، پژوهشگران تصمیم گرفتند عوامل مختلف هوش را تجزیه و مهم‌ترین آن‌ها را انتخاب کنند. در ساده‌ترین
و مهم‌ترین آن‌ها را انتخاب کنند. در ساده‌ترین حالت، تجزیه مقادیر منفرد به نوعی همین تجزیه و انتخاب مهم‌ترین عوامل یک ماتریس را انجام می‌دهد. تجزیه مقادیر منفرد یا SVD با نام‌های مختلفی شناخته می‌شود. این روش، ابتدا به عنوان «تجزیه عامل» نامیده می‌شد. تحلیل مؤلفه‌های اصلی یا PC و تجزیه توابع متعامد تجربی یا EOF نیز از دیگر اصطلاحات نزدیک به این روش است. همه این نام‌ها از نظر مفهوم ریاضی معادل هستند، هرچند در فرایند محاسبه آن‌ها تفاوت‌های زیادی وجود دارد امروزه، تجزیه مقادیر منفرد در بسیاری از شاخه‌های علوم
تجزیه مقادیر منفرد در بسیاری از شاخه‌های علوم و نجوم کاربرد دارد. این روش، در یادگیری ماشین و آمار توصیفی و مدل‌سازی آماری نیز بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد. به عنوان یک تجزیه و فاکتورگیری ماتریسی، تجزیهٔ مقدارهای منفرد یا تجزیهٔ مقدارهای تکین قدمی اساسی در بسیاری از محاسبات علمی و مهندسی به‌حساب می‌آید. در حل بسیاری از مسائل، مشکلاتی وجود دارد که نیازمند روش‌هایی برای حل آن‌ها می‌باشیم. تجزیهٔ مقدار تکین یکی از این روش‌ها می‌باشد که: و در نهایت جواب عددی مناسبی از فضای حل را می‌تواند ارائه کند. اما باید
مناسبی از فضای حل را می‌تواند ارائه کند. اما باید توجه داشت که این روش به یقین جواب اصلی معادلات را نمی‌دهد. به عبارتی دیگر، در جبر خطی، تجزیه مقدار تکین فاکتورگیری از یک ماتریس موهومی یا حقیقی می‌باشد که تجزیه مقادیر ویزه یک ماتریس نرمال را به هر ماتریس با M سطر و N ستون به وسیله توسعه تجزیه قطبی تعمیم می‌دهد. به‌طور خاص، این روش تجزیه ماتریس را به فرم formula_1تبدیل می‌کند که در آن U یک ماتریس واحد با M سطر و ستون است،formula_2یک ماتریس مستطیلی با درایه‌های غیر منفی بر روی قطر اصلی و ماتریس V یک ماتریس
غیر منفی بر روی قطر اصلی و ماتریس V یک ماتریس واحد با N سطر و ستون می‌باشد. تجزیه مقادیر تکین یکتا نیست. همیشه ممکن است که ترکیب‌هایی را انتخاب کرد که مقادیر تکین به‌صورت کاهنده مرتب شده‌باشند. در چنین حالتی formula_2 به‌صورت خاص از ماتریس M حاصل می‌گردد. گاهی نیز از اصطلاح تجزیه فشرده مقادیر تکین نیز یاد می‌شود که در آن ماتریس مقادیر ویژه formula_2 یک ماتریس مربعی قطری formula_5 می‌باشد که formula_6 مرتبه ماتریس است و فقط شامل مقادیر ویژه غیر صفر می‌باشد. در این حالت، ماتریس U یک ماتریس formula_7 و ماتریس
این حالت، ماتریس U یک ماتریس formula_7 و ماتریس V یک ماتریس formula_8 هستند به‌صورتی که formula_9. امروزه، تجزیه مقادیر منفرد در بسیاری از شاخه‌های علوم و نجوم کاربرد دارد. این روش، در یادگیری ماشین و آمار توصیفی و مدل‌سازی آماری نیز بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد. کاربردهای ریاضی SVD شامل محاسبه شبه معکوس، تقریب ماتریس و تعیین رتبه، دامنه و فضای تهی یک ماتریس است. SVD همچنین در کلیه زمینه‌های علمی و مهندسی بسیار مفید است مانند پردازش سیگنال، حداقل مربعات مناسب داده‌ها و کنترل فرایند. البته که محاسبهٔ SVD
داده‌ها و کنترل فرایند. البته که محاسبهٔ SVD برای یک ماتریسْ دارای پیچیدگیِ زمانی خوبی نیست ولی به هر حال این روش یکی از روش‌های شناخته شده در کاهشِ ویژگی‌ها در داده‌کاوی می‌باشد و کاربردهای دیگرِ آن نیز در ادامه مورد بحث قرار خواهد گرفت. در زبان‌های برنامه‌نویسی مانند Python و R می‌توانید کتابخانه‌های مختلفی را پیدا کنید که این عملیات را به سادگی برای شما انجام می‌دهند. تاریخچه. تجزیه مقادیر مفرد در ابتدا توسط هندسه‌های دیفرانسیل توسعه یافته بود، که مایل بودند با تبدیل‌های متعامد مستقل، از دو فضایی که بر
با تبدیل‌های متعامد مستقل، از دو فضایی که بر روی آن عمل می‌کنند، مشخص کنند که آیا یک شکل دوقلو واقعی می‌تواند برابر شکل دیگری باشد یا خیر. Eugenio Beltrami و Camille Jordan به‌طور مستقل، در سالهای ۱۸۷۳ و ۱۸۷۴ به‌طور مستقل کشف کردند که مقادیر منفرد دو شکل، که به عنوان ماتریس نشان داده می‌شود، یک مجموعه کامل را از ثوابت برای اشکال دوقلو را تحت تعویض‌های متعامد تشکیل می‌دهد. همچنین جیمز جوزف سیلوستر در سال ۱۸۸۹ به‌طور مستقل از بلترامی و اردن به تجزیه مقادیر منفرد برای ماتریس‌های مربع رسید. سیلوستر مقادیر مفرد
برای ماتریس‌های مربع رسید. سیلوستر مقادیر مفرد را ضربهای متعارف ماتریس A نامید. چهارمین ریاضیدان برای کشف تجزیه ارزش مفرد به‌طور مستقل، Autonne در سال ۱۹۱۵ است که از طریق تجزیه قطبی به آن دست یافت. به نظر می‌رسد اولین اثبات تجزیه ارزش مفرد برای ماتریس‌های مستطیل و پیچیده توسط کارل اکارت و گیل جی جوان در سال ۱۹۳۶ است که آن را به عنوان تعمیم تغییر محور اصلی ماتریس‌های هرمیتی می‌دیدند. در سال ۱۹۰۷، ارهارد اشمیت یک آنالوگ از مقادیر مفرد را برای اپراتورهای انتگرال (تحت برخی فرضیات فنی ضعیف) تعریف کرد. به نظر
(تحت برخی فرضیات فنی ضعیف) تعریف کرد. به نظر می‌رسد وی از کار موازی روی مقادیر مفرد ماتریسهای محدود آگاه نبود. این نظریه پیشتر توسط ilemile Picard در سال ۱۹۱۰ ساخته شد، که اولین کسی است که اعداد را با مقادیر مفرد sigma می‌نامد. روشهای عملی نیز برای محاسبه SVD به Kogbetliantz در سال ۱۹۵۴، ۱۹۵۵ و Hestenes در ۱۹۵۸ بازمی‌گردد. روش‌هایی که شبیه به روش eigenvalue Jacobi عمل می‌کرد. با این حال، این روش‌ها با روشی که Gene Golub و ویلیام کاهان که در سال ۱۹۶۵ منتشر کردند، جایگزین شدند. درنهایت در سال ۱۹۷۰، Golub و
کردند، جایگزین شدند. درنهایت در سال ۱۹۷۰، Golub و Christian Reinsch نوعی از الگوریتم Golub / Kahan را منتشر کردند که امروزه هنوز هم مورد استفاده قرار می‌گیرد. تعبیر شهودی تجزیه مقدار منفرد. دوران، پیمایش مختصات. در مورد خاص، زمانی که M یک ماتریس formula_10 مربع حقیقی است، ماتریس formula_11 و formula_12 را می‌توان ماتریس‌های یکه حقیقی نیز انتخاب کرد. در این حالت، «یکه بودن» همان «متعامد» است. سپس با تفسیر هر یک از ماتریس‌های A به عنوان تبدیل خطی formula_13 محور فضای formula_14 ، ماتریس‌های formula_11 و
محور فضای formula_14 ، ماتریس‌های formula_11 و formula_12 دوران فضا را نشان می‌دهند، در حالی که formula_2 نمایانگر مقیاس هر مختصات xi توسط عامل σi است؛ بنابراین تجزیه مقدار منفرد هرگونه تغییر خطی برگشت‌پذیر formula_14 را به ترکیبی از سه دگرگونی هندسی تجزیه می‌کند: چرخش یا بازتاب (formula_12)، و به دنبال آن یک مقیاس مختصات (formula_2) و به دنبال آن چرخش یا بازتاب دیگر (formula_11). به‌طور خاص، اگر M یک دترمینان مثبت داشته باشد، می‌توانformula_11 و formula_12 را طوری انتخاب کرد که هر دو بازتاب یا دوران
را طوری انتخاب کرد که هر دو بازتاب یا دوران باشند. اگر دترمینان منفی باشد، دقیقاً یکی از آنها باید بازتاب کننده فضا باشد. اگر دترمینان صفر باشد، می‌توان هر کدام را به‌طور مستقل انتخاب کرد. اگر ماتریس M حقیقی باشد اما مربعی نباشند، یعنی formula_24 با formula_25 ، می‌توان آن را به عنوان یک تبدیل خطی از formula_26 به formula_14 تفسیر کرد. سپس formula_11 و formula_12 می‌توانند به ترتیب چرخش formula_26 و formula_14 انتخاب شوند؛ و formula_2 ، علاوه بر مقیاس کردن مختصات formula_33، همچنین بردار را با صفرها گسترش
مختصات formula_33، همچنین بردار را با صفرها گسترش می‌دهد، یا دنباله مختصات را حذف می‌کند، تا نهایت فضای formula_26 را به formula_14 تبدیل کند. مقادیر ویژه به عنوان شبه محور بیضوی. همان‌طور که در شکل نشان داده شده‌است، مقادیر تکین می‌توانند به عنوان اندازه نیم محور یک بیضی در 2D تعبیر شوند. این مفهوم را می‌توان به فضای formula_36بعدی اقلیدسی تعمیم داد، با مقادیر تکین هر ماتریس مربع formula_37 به عنوان اندازه نیم محور یک بیضی n بعدی مشاهده می‌شود. به‌طور مشابه، مقادیر تکین هر ماتریس formula_24 را می‌توان به
مقادیر تکین هر ماتریس formula_24 را می‌توان به عنوان اندازه نیم محور یک بیضی n بعدی در فضای m بعدی مشاهده کرد، به عنوان مثال به عنوان بیضی در یک صفحه (کج) 2D در یک فضای 3D. مقادیر مفرد اندازه نیم محور را تعیین می‌کنند، در حالی که بردارهای تکین جهت را تعیین می‌کنند. مفهوم هندسی. از آنجا که U و V یکه هستند، می‌دانیم که ستونهای U از U1، … ، Um یک پایه متعامد formula_39 و ستونهای V از V1، … ، Vn یک پایه متعامد از formula_40 (با توجه به ضرب استاندارد اسکالر در این فضاها). تبدیل خطی: formula_41 توضیحی به خصوص
این فضاها). تبدیل خطی: formula_41 توضیحی به خصوص ساده با توجه به اساس تعامد دارد: ما داریم formula_42 که در آن سیگما مقدار قطری ماتریس formula_2 است و برای مقادیر کمتر از کمینه مقدار سطر وستون formula_44. از این رو مفهوم هندسی قضیه تجزیه مقدار تکین به شرح زیر خلاصه می‌شود: برای هر نگاشت خطی formula_45 می‌توان پایه‌های متعامد متعارف formula_40 وformula_39 را پیدا کرد به گونه ای که T به i امین بردار پایه از formula_40 را به یک ضرب غیر منفی از بردار پایه I از formula_39تبدیل کند، و باقی بردارهای پایه را صفر
formula_39تبدیل کند، و باقی بردارهای پایه را صفر کند. با توجه به این اساس، نگاشت T از این رو توسط یک ماتریس قطری با ورودی‌های قطری حقیقی غیر منفی نشان داده می‌شود. برای درک بهتر تجزیه مقدار تکین و فاکتورگیری آن، حداقل در هنگام استفاده از فضای برداری، یک کره با شعاع یک را در نظر بگیرید. نگاشت خطی T این کره را بر روی فضای بیضوی formula_14 تصویر می‌کند. مقادیر تکین غیر صفر به سادگی طول محورهای نیمه بیضه این فضای بیضوی هستند. به خصوص وقتی که n = m باشد، و تمام مقادیر مفرد مشخص و غیر صفر باشند، تجزیه مقدار تکین
مفرد مشخص و غیر صفر باشند، تجزیه مقدار تکین نگاشت خطی T به راحتی می‌تواند به عنوان سه حرکت متوالی مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد: بیضی (s)T و به‌طور خاص محورهای آن را در نظر بگیرید. سپس جهت‌های formula_26 منتقل شده توسط T را بر روی این محورها در نظر بگیرید. این جهت‌ها به‌طور متقابل متعامد هستند. عمل کرد یک ماتریسformula_12 این جهت‌ها را به فضای formula_26 انتقال می‌دهد. حرکت دوم، یک دگرگونی قطری در راستای محور مختصات وارد می‌سازد و با استفاده از طول نیمه محورهای(s)T به عنوان ضریب کشیدگی، در هر راستا کشیده یا
به عنوان ضریب کشیدگی، در هر راستا کشیده یا کوچک می‌شود. ترکیب ماتریس قطری در formula_12 سپس کره واحد را در فضای بیضوی به(S)Tمی‌برد. به جهت تعریف آخرین حرکت که حرکت ماتریس U است، فضایی را به فضای بیضوی اضافه کنید که آن را بر روی (S)Tمی‌برد. به راحتی می‌توان بررسی کرد که، formula_1 با formula_56 مطابقت دارد. ماتریس‌های متعامد U و V. از آنجا که formula_11 و formula_12 یکه هستند، ستونهای هریک از آنها مجموعه ای از بردارهای متعامد را تشکیل می‌دهند، که می‌توانند به عنوان بردارهای پایه در نظر گرفته شوند. ماتریس M
عنوان بردارهای پایه در نظر گرفته شوند. ماتریس M بردار پایه Vi را به بردار واحد کشیده formula_59 نگاشت می‌کند. به‌صورت خلاصه formula_60 و formula_61متعامد هستند و حاصل آن‌ها ماتریس واحد خواهد بود. مقادیر منفرده کاسته. در عمل تجزیه کامل مقادیر تکین، که نیازمند تجزیه کامل فضای تهی نیز هست. مورد نیاز نیست. در عوض گاهی بهتر است که از حالت کاهش یافتهٔ آن استفاده گردد. تجزیه مقدار تکین سبک. formula_62 فقط بردارهای ستون n از formula_11 مربوط به بردارهای ردیف formula_12 محاسبه می‌شوند. بردارهای ستون باقیمانده U
محاسبه می‌شوند. بردارهای ستون باقیمانده U محاسبه نمی‌شوند. اگر formula_65 سریعتر از تجزیهٔ کامل مقادیر تکین محاسبه می‌گردد. ماتریس formula_11 به این ترتیب یک ماتریسformula_24 و formula_2 یک ماتریس formula_37 قطری و در نهایت formula_12 یک ماتریس formula_37 خواهد بود. مرحله اول در محاسبه SVD سبک معمولاً تجزیه QR از M است، که می‌تواند محاسبه ای به‌طور قابل توجهی سریعتر انجام دهداگر formula_65 باشد. تجزیه مقدار تکین فشرده. formula_73 فقط بردارهای ستون r از بردارهای ردیف formula_11 و r ازformula_12 مربوط به
ردیف formula_11 و r ازformula_12 مربوط به مقادیر مفرد غیر صفر formula_2 محاسبه می‌شوند. بردارهای باقیمانده formula_11 و formula_12 محاسبه نمی‌شوند. اگر formula_79سریعتر و مقرون به صرفه تر باشد از SVD سبک خواهد بود. ماتریس formula_11 به این ترتیب یک ماتریسformula_7 و formula_2 یک ماتریس formula_83 قطری و در نهایت formula_12 یک ماتریس formula_8 خواهد بود. تجزیه مقدار تکین کوتاه شده. formula_86 فقط بردارهای ستون t از بردارهای ردیف formula_11 و t ازformula_12 مربوط به مقادیر مفرد غیر صفر formula_2 محاسبه
مربوط به مقادیر مفرد غیر صفر formula_2 محاسبه می‌شوند. بردارهای باقیمانده formula_11 و formula_12 محاسبه نمی‌شوند. اگر formula_92سریعتر و مقرون به صرفه تر باشد از SVD فشرده خواهد بود. ماتریس formula_11 به این ترتیب یک ماتریسformula_94 و formula_2 یک ماتریس formula_5 قطری و در نهایت formula_12 یک ماتریس formula_98 خواهد بود. مقادیری که در سیگما وجود دارد در واقع همان مقادیرِ منحصر به فردی (Singular) است که می‌تواند در عملیاتِ کاهشِ ویژگی به ما کمک کند. ممکن است برای کسانی که با داده‌کاوی و عملیاتِ کاهشِ
است برای کسانی که با داده‌کاوی و عملیاتِ کاهشِ ویژگی کار نکرده باشند کمی مبهم به نظر برسد ولی در ادامه، آرام آرام این مباحث در ذهن جای خود را پیدا می‌کنند. در ادامه نیز کاهش داده به صورت کلی توضیح داده شده‌است. محاسبهٔ مقادیر منفرد. تجزیه مقدار تکین را می‌توان به صورت زیر مشاهد کرد: رویکرد عددی. یک ماتریس M معمولاً با به‌صورت دو مرحله ای محاسبه می‌شود. در مرحله اول، ماتریس به یک ماتریس دو قطری کاهش می‌یابد. مرحله دوم SVD محاسبه ماتریس دو قطری است. این مرحله فقط با یک روش تکراری (مانند الگوریتم‌های و مقادیر
فقط با یک روش تکراری (مانند الگوریتم‌های و مقادیر ویژه) قابل انجام است. با این حال، در عمل محاسبه SVD تا دقت خاصی مانند دستگاه اپسیلون کافی است. اگر این دقت ثابت در نظر گرفته شود، n مرتبه تکرار نیاز دارد که هر کدام فلوتینگ پوینت از مرتبه n دارند. اولین قدم را می‌توان با استفاده از بازتاب‌های Householder با هزینه 4mn2 - 4n3 / ۳ فلاپ انجام داد، با این فرض که فقط مقادیر تکین مورد نیاز هستند و نه بردارهای تکین. اگر m بسیار بزرگتر از n باشد، کاهش ماتریس M به به یک ماتریس سه قطری توسط روش QR و پس از آن تبدیل به
یک ماتریس سه قطری توسط روش QR و پس از آن تبدیل به یک ماتریس دو قطری با استفاده از روش Householder یک مزیت با هزینه کم محاسباتی خواهد بود. مرحله دوم را می‌توان با یک نوع از الگوریتم QR برای محاسبه مقادیر ویژه انجام داد که برای اولین بار توسط Golub &amp; Kahan (1965) بیان شده‌است. سابروتینLAPACK با نام DGESVD این روش تکرار را با کمی اصلاح برای مقدار کم مقادیر تکین پوشش می‌دهد. همین الگوریتم در کتابخانه علمی GNU (GSL) پیاده‌سازی شده‌است. GSL همچنین یک روش جایگزین ارائه می‌دهد که از یک طرفه سازی جاکوبی یک طرفه
ارائه می‌دهد که از یک طرفه سازی جاکوبی یک طرفه در مرحله ۲ استفاده می‌کند (GSL Team 2007). این روش ماتریس SVD دو قطری را با حل توالی از مسئله‌های ۲ × 2 SVD، شبیه به نحوه حل الگوریتم eigenvalue Jacobi، از روش‌های ۲ × ۲ مقادیر ویژه را محاسبه می‌کند. روش دیگر برای مرحله ۲ از ایده‌آلگوریتم‌های ویژه تقسیم و تسخیر استفاده می‌کند (Trefethen &amp; Bau III 1997، سخنرانی ۳۱). یک روش جایگزین وجود دارد که صریحاً از تجزیه مقادیر ویژه استفاده نمی‌کند. معمولاً مسئله‌های مقدار تکین یک ماتریس M به یک مسئله مقادیر متقارن