payamvha/North_RAG huggingface dataset:
یا مال امیر خوانده شده است. بعضی معتقدند نام قدیمی «اینز» و «ایزج» و «ایذه» تبدیل یافته است. به علاوه به‌دلیل وجود زیج‌های بسیار در این ناحیه، این شهر به نام اریگ یا ایج خوانده می‌شده است. در لغت نامه دهخدا آمده: ایذج. [ذَ] (اِخ) نام قدیمی سرزمینی در ناحیه بختیاری که بعدها مال امیر (مالمیر) نامیده شد و در شهریور ۱۳۱۴ هَ.ش. نام آن به ایذه تبدیل شد. شعر زیر از حافظ است که در آن به ایذج اشاره شده: بعد از این نشگفت اگر با نکهت خلق خوشت خیزد از صحرای ایذج نافه مشک ختن در کتاب مُعْجَم البُلدان و سفرنامه ابن
مشک ختن در کتاب مُعْجَم البُلدان و سفرنامه ابن بطوطه آمده: ثم سافرنا من مدینة تستر… و وصلنا الی مدینة ایذج و تسمی ایضاً مال الامیر. (ابن بطوطه) (ترجمه: سپس از شهر شوشتر سفر کرده و… به شهر ایذج می‌رسیم که به آن مال امیر یا مالمیر نیز گفته می‌شود) ایدیده یا ایدیذ عیلامی با توجه به اینکه تمدن عیلام در منطقه کوهستانی کنونی بختیاری قرار داشته است و شهر ایدیده از شهرهای مهم آن بوده است و ایدیذه به معنای شهر کنار آب آمده است و به‌دلیل قرار گرفتن ایذه کنونی در کنار تالاب شط (میانگران) ممکن است ایدیده همان ایذه
تالاب شط (میانگران) ممکن است ایدیده همان ایذه کنونی بوده است. شباهت میان حروف ایدیده با حروف ایذه نیز می‌تواند دلیل بر این مدعا باشد. ایزج یا ایذج بیشتر مورخان در آثار خود این شهر را با نام ایزج ذکر کرده‌اند چنان‌که ابن حوقل در صوره الارض ابودلف در سفرنامه، مقدسی در احسن التقاسیم حمدالله مستوفی در نزهه القلوب از این شهر با نام ایزج یاد کرده‌اند. اصطخری در مسالک و الممالک از ایزج اسم برده و این شهر را جزو خوزستان دانسته است و قزوینی در آثار البلاد به ایزج اشاره نموده و حدود جغرافیایی و آثار تاریخی آن را ذکر
نموده و حدود جغرافیایی و آثار تاریخی آن را ذکر نموده است. طبری در تاریخ الرسل و الملوک و ابن ایثر در تاریخ کامل این شهر را با نام ایزج ذکر نموده‌اند. در دوره ساسانیان از احداث و توسعه راه‌ها در منطقه سخن به میان آمده است. عده‌ای از مورخان برخی ایل راه‌های کنونی بختیاری را یادگار آن دوران دانسته‌اند. از واپسین روزگاران هخامنشی خاستگاه الیمایی‌ها (بازماندگان ایلامیان) بوده است که هم‌زمان با دورهٔ سلوکی- پارت، بسته به شرایط قلمرو خود را گسترش می‌دادند. پیکره{مجسمه} مفرغین مرد شمی از آن دوره است. در دوره
مفرغین مرد شمی از آن دوره است. در دوره ساسانی به نام ایذه خوانده شد و با گشودن آن به دست مسلمانان ایذج نامیده شد. اتابکان لر که در سدهٔ پنجم هجری پدیدار شدند، بدان مالمیر می‌گفتند، نامی که همچنان بر سر زبان هاست. در سال ۱۳۳۷ با تلاش‌های محمدجوادخان درگاهی که حاکمیت قشلاقات بختیاری را داشت و با مکاتباتی که با وزارت کشور انجام داد تحت عنوان شهر با آن موافقت شد. نام ایذه نامی بسیار باستانی است و از دوران پیش از ساسانیان رایج بوده است. این شهر در دوره‌هایی نام‌های دیگری نیز داشته است نام مالمیر که همان مال
دیگری نیز داشته است نام مالمیر که همان مال امیر (آبادی و جایگاه و پایتخت امیران و بزرگان اتابکی بختیاری) است (مال در زبان لری بختیاری به معنی آبادی، املاک و دارایی‌ها است) بیشتر در زمان هزاراسپیان که به اتابکان لر بزرگ مشهور شده‌اند کاربرد داشته است. واژه باستانی ایذه در سده‌های اخیر به کلی فراموش شده بود تا این که در زمان پهلوی اول، بار دگر زنده شد و در تیرماه ۱۳۱۴ هـ. ش، از سوی فرهنگستان ایران به نام پیشین خود، ایذه نامگذاری شد. پیشینه تاریخی. از آثار به دست آمده ایذه ازجمله نگاره‌ها و نقش برجسته‌های
به دست آمده ایذه ازجمله نگاره‌ها و نقش برجسته‌های عیلامی (اولین حجاری‌های ایران باستان قبل از هخامنشیان)، می‌توان نتیجه گرفت که آنجا مرکز مهمی در زمان عیلامی‌ها بوده است. این آثار به دو دسته آثار عیلام قدیم و نو تقسیم می‌شود که به شرح زیر می‌باشند: دوره عیلام قدیم: این دوره به دودمان آنزان متعلق است که چندین بار توسط حاکم اور نابود گشت. آثار باقی‌مانده از این دوره به شرح ذیل است: دوره عیلام نو: ایذه در دوره عیلام نو «آیاپیر» نامیده می‌شده است و پادشاهان آن به صورت مستقل زیر نظر سوخالماهو وزیر اعظم عیلام
به صورت مستقل زیر نظر سوخالماهو وزیر اعظم عیلام حکومت می‌نمودند. حکومت عیلام در این دوران به صورت اتحادیه‌ای بود و متشکل از تعدادی حکومت‌های محلی مستقل اداره می‌شد. آثار این دوره عبارتند از: براساس برخی روایات تاریخی، اسکندر پس از ورود به ایران و توقف در همدان به خاطر مرگ هفستیون سردار جوان خود سخت آشفته شد و دستور داد که یال‌های اسب و قاطرها را بچینند و کنگره‌های برج و باروها را برافکنند. سپس غیب وی وی از طرف ژوپی تر، هفستیون را نیم خدایی نامید و برای آمرزش وی قربانی طلب کرد. بالاخره اسکندر برای اینکه در
وی قربانی طلب کرد. بالاخره اسکندر برای اینکه در جنگ تسلی بیابد، به مملکت کوسی‌ها رفته و پس از مطیع کردن آن‌ها شکار انسان ترتیب داد و امر نمود تفاوتی بین مرد و زن، بزرگ و کوچک نگذاشته و همه را بکشند و این قصابی وحشت‌انگیز را قربانی دفن هفستیون نامید. این حادثه در کوه‌های بختیاری در ایذه اتفاق افتاد. از این دوران و سپس از دوران پارتی چندین مجسمه و چند نقش برجسته و… باقی مانده است. از این زمان به بعد، ایذه مستقل اداره و به نام الیمائید خوانده می‌شد. آثار این دوره عبارتند از: . و برای نخستین بار آنان بودند که
عبارتند از: . و برای نخستین بار آنان بودند که ایذه را مالمیر یا مال امیر (ملک امیر) نامیدند: آثار دوره اتابکان لر بنایی از لاشه سنگ است که در اشکفت سلمان پس از حفاری آشکار شد. پس از برافتادن حکومت اتابکان در ۸۵۷ هـ. ق ایذه رو به خرابی گذارد و شهروندان آن به کوچروی روی آوردند. همچنین آثار دوره ایلخانی و مغول از جایگاه باستانی به نام ارگ اتابکی طاق طویله به صورت بنایی سنگی - گچی با آثار گچبری و کاشی کاری در شهر کنونی ایذه به دست آمده است. از دوره صفویه گورستانی با شیرهای سنگی در شاهسوار وجود دارد که البته تا
با شیرهای سنگی در شاهسوار وجود دارد که البته تا دوره قاجار هم از آن استفاده می‌کردند. همچنین نامی از شهرستان ایذه در میان اشعار شاعر بزرگ؛ حافظ شیرازی (که در زمان او نام شهرستان ایزج یا ایذج بوده) وجود دارد: افسر سلطان گل پیدا شد از طرف چمن مقدمش یا رب مبارک باد بر سرو و سمن خوش به جای خویشتن بود این نشست خسروی تا نشیند هر کسی اکنون به جای خویشتن خاتم جم را بشارت ده به حسن خاتمت کاسم اعظم کرد از او کوتاه دست اهرمن تا ابد معمور باد این خانه کز خاک درش هر نفس با بوی رحمان می‌وزد باد یمن شوکت پور پشنگ و تیغ
با بوی رحمان می‌وزد باد یمن شوکت پور پشنگ و تیغ عالمگیر او در همه شهنامه‌ها شد داستان انجمن خنگ چوگانی چرخت رام شد در زیر زین شهسوارا چون به میدان آمدی گویی بزن جویبار ملک را آب روان شمشیر توست بعد از این نشکفت اگر با نکهت خلق خوشت خیزد از صحرای "ایذج" نافه مشک ختن گوشه گیران انتظار جلوه خوش می‌کنند برشکن طرف کلاه و برقع از رخ برفکن مشورت با عقل کردم گفت حافظ می بنوش ساقیا می ده به قول مستشار متمن ای صبا بر ساقی بزم اتابک عرضه دار تا از آن جام زرافشان جرعه‌ای بخشد به من. تاریخ معاصر. در اسفند ۱۴۰۳ در ایذه
بخشد به من. تاریخ معاصر. در اسفند ۱۴۰۳ در ایذه گروهی از معترضان که از جمهوری اسلامی پنهان شده بودند، توسط نیروهای امنیتی محاصره شدند. گروه تصمیم گرفت تسلیم شود، اما نیروهای امنیتی به حمله به گروه ادامه دادند و یک نارنجک به خانه آن‌ها پرداخت کردند. ابول کورکور که یک زندان سیاسی بود تصمیم به خودکشی کرد تا اینکه به دست ماموران امنیتی به قتل نرسد. قبل از شلیک گلوله به سمت خود او خطاب به مخاطبان اینستاگرام خود اعلام کرد: « نه هیچ راهی ندارد. ایران خداحافظ.» ابول کورکور دوست مصطفی احمدپور بود که در سال ۲۰۲۳ توسط
کورکور دوست مصطفی احمدپور بود که در سال ۲۰۲۳ توسط نیروهای امنیتی ربوده و کشته شد. سه عضو دیگر از مخالفان حكومت دستگیر شدند. ایذه پیشتر شاهد اعتراضات گسترده‌ای از جنبش "زن، زندگی، آزادی" پس از مرگ کیان پیرفلک، پسر ۹ ساله‌ای بود که توسط نیروهای امنیتی در حالی که در خودرو بود، هدف گلوله قرار گرفت. پویا مولایی‌راد، پسرعمه مادر کیان، نیز توسط نیروهای امنیتی مورد اصابت گلوله قرار گرفت. او بر اثر اصابت گلوله جان باخت. وضعیت طبیعی. شهر ایذه آب وهوای متفاوتی با بقیهٔ شهرستان‌های خوزستان دارد. اقلیم و بارندگی
بقیهٔ شهرستان‌های خوزستان دارد. اقلیم و بارندگی میانگین بارش سالانه ایذه ۶۴۴ میلیمتر است. ایذه رتبه اول بارش سالانه را دربین مراکز شهرستان‌های خوزستان را دارد و اقلیم مدیترانه ای از نوع نیمه کوهستانی دارد که ویژگی بارز این اقلیم تابستان‌های نسبتاً گرم و زمستان‌های کمی سرد و پربارش را دارا می‌باشد. میانگین اختلاف دمای سالانه ایذه ۲۱ درجه است. بارندگی خوب در فصل زمستان از یک سو و توپوگرافی کوهستانی دشت ایذه هم از یک سو باعث شده تا ایذه در فصل بهار تعداد بی شماری گردشگر را به سوی خود جذب کند. داده‌های اقلیم
گردشگر را به سوی خود جذب کند. داده‌های اقلیم ایذه به شرح زیر است رودخانه کارون رودخانه کارون که در شمال شهرستان ایذه قرار گرفته از دامنه‌های کوه مافارون و از سمت جنوب شرقی به شمال غربی حرکت می‌کند و به دشت سوسن می‌رسد و بعد از عبور از دشت سوسن از شهرستان ایذه خارج می‌شود. بر روی این رودخانه در نزدیکی دهدز سد کارون سه احداث شده است که بزرگ‌ترین سد برق آبی کشور محسوب می‌شود. کارون بزرگ‌ترین رودخانه کشور است. مرغاب این رودخانه فصلی است و در منطقه مرغا قرار گرفته و در ۴۰ کیلومتری ایذه واقع شده. تالاب میانگران
و در ۴۰ کیلومتری ایذه واقع شده. تالاب میانگران تالاب میانگران در فاصله یک کیلومتری غرب ایذه واقع شده. این تالاب بین‌المللی محسوب می‌شود و سالانه ده‌ها نوع پرنده مهاجر زمستان خود را در این تالاب زیبا سپری می‌کنند، این تالاب دائمی است. بندون تالاب بندون (بندان) در فاصله ۴ کیلومتری شرق ایذه واقع شده و در فصل بهار بسیار زیبا و دیدنی است و گردشگران زیادی در بهار از این تالاب دیدن می‌کنند و این تالاب ارزشمند از مهم‌ترین کانون‌های آبگیر در استان خوزستان به حساب می‌آید. آثار باستانی. یاشوسن به گفته بعضی مورخان
می‌آید. آثار باستانی. یاشوسن به گفته بعضی مورخان همان محل قصر شوسن مذکور در تورات است که در ایذج بوده. لایارد، عالم انگلیسی مدتی از عمر خود را در ایذه گذرانید. ۱۴ مورد آثار باستانی مربوط به سلسله‌های ماقبل میلاد در آن وجود دارد ازجمله ایلامیها. از دیگر آثار معروف باستانی این شهرستان می‌توان اشکفت سلمان و کول فرح و خنگ اژدر یا روستای شمی و… نام برد لازم است ذکر شود که مجسمه ایاپیر از روستای شمی کشف شده است که به این مجسمه مرد پارتی هم می‌گویند. پل ایذج یکی دیگر از آثار باستانی ایذه می‌باشد، این پل از
یکی دیگر از آثار باستانی ایذه می‌باشد، این پل از شگفتی‌های قابل توجه تاریخی است، زیرا جنس آن از سنگ و ملات ساروج بوده و بر روی بستر رودخانه‌ای خشک و بسیار عمیقی بنا شده است. همچنین در ایذج آتشکده‌ای قرار داشته است که تا زمان هارون الرشید فروزان بوده است. بردگوریهای موجود در کوه‌های ایذه و بختیاری نیز حکایت از دین اهالی آن پیش از اسلام و در ایران باستان زرتشتی دارد. شیرهای سنگی بردشیر نیز از آثار باستانی ایذه به‌شمار می‌روند که البته نمونه‌های بسیاری در دیگر نقاط بختیاری یافت می‌شود. گردشگری جهانگردی.
دیگر نقاط بختیاری یافت می‌شود. گردشگری جهانگردی. علیرغم آب وهوای مساعد، وجود پتانسیل‌های طبیعی و تاریخی گردشگری نظیر: تصاویری ازطبیعت و زیبایی ایذه صنایع‌دستی و قالی بختیاری. بافت قالی و قالیچه‌های لری بختیاری از دیرباز در ایذه، مانند سایر مناطق بختیاری رونق داشته است. مردم ایذه از بدو تولد با طبیعت زیبای ایذه یعنی با کوه، جنگل بلوط، ارتفاعات برفی و رودخانه‌ها ارتباط برقرار می‌کنند و از این‌ها هم در طرح قالی‌های خود استفاده می‌کنند و صنایع دستی ایذه الهام گرفته از طبیعت زیبای ایذه است. قالی بختیاری (فرش
گرفته از طبیعت زیبای ایذه است. قالی بختیاری (فرش لری بختیاری) نوعی قالی کهنِ ایرانی است که در آن از نقش‌های حیواناتی همچون بز کوهی (کل، پازن) و کبک و… در کنار نقش گل و بوته بهره گرفته می‌شود البته عمده شهرت قالی‌های لری بختیاری به‌دلیل به‌کارگیری اشکال هندسی و ذهنی باف همراه با رنگ و پشم و الیافِ طبیعی در آن است. از دیگر صنایع دستی ایذه می‌توان وریس بافی، شیردند بافی، گلیم بافی گلیم لری، نمد مالی، گیوه دوزی، چوقابافی، شیرسنگی تراشی و… نام برد.
مُشتَق روشی ریاضی است برای دیدن و اندازه‌گیری تغییرات آنی و لحظه‌ای در پدیده‌ها. مشتق (به معنی برکشیده) یکی از مفاهیم اصلی در ریاضیات و به‌ویژه در حسابان است. ایدهٔ اصلی مشتق آن است که نشان دهد «یک چیز در همان لحظه چه‌قدر تغییر می‌کند». به‌بیان ساده، مشتق یعنی نرخ تغییر. برای مثال، اگر مسافت طی‌شدهٔ یک خودرو در طول زمان معلوم باشد، با استفاده از مشتق می‌توان سرعت آن خودرو را در هر لحظه به‌دست آورد. یعنی اگر بدانیم ماشین در ۲ ساعت، ۱۲۰ کیلومتر حرکت کرده، می‌توانیم میانگین سرعت را حساب کنیم (۶۰ کیلومتر در
میانگین سرعت را حساب کنیم (۶۰ کیلومتر در ساعت). اما اگر بخواهیم بدانیم دقیقاً در دقیقهٔ ۳۰ یا ثانیهٔ ۱۰ چه سرعتی داشته، از مشتق استفاده می‌کنیم. مشتق مانند ذره‌بین عمل می‌کند و تغییرات آنی را آشکار می‌سازد. مفهوم مشتق از مشاهدهٔ طبیعت و حرکت به‌وجود آمد. انسان‌ها برای درک دقیق‌تر از سرعت، شتاب، یا تغییرات دما و فشار نیاز داشتند ابزاری بسازند که «تغییر لحظه‌ای» را نشان دهد. مشتق این امکان را فراهم می‌کند. میانگین سرعت را به سادگی می‌توان حساب کرد: مسافت کل تقسیم بر زمان کل. مثلاً ۱۲۰ کیلومتر در ۲ ساعت → ۶۰
بر زمان کل. مثلاً ۱۲۰ کیلومتر در ۲ ساعت → ۶۰ کیلومتر در ساعت. اما سرعت لحظه‌ای (مثلاً در دقیقهٔ ۱۰) را مستقیم نمی‌توان با تقسیم ساده پیدا کرد. برای این کار باید مسافت را در بازه‌های خیلی کوچک اطراف همان لحظه بررسی کنیم. ریاضی‌دانان این کار را با حد انجام می‌دهند. یعنی می‌گویند: اگر مسافت طی‌شده بین دقیقهٔ ۱۰ و ۱۰٫۱ را حساب کنیم و تقسیم بر زمان کنیم، یک سرعت نزدیک به سرعت واقعی در دقیقهٔ ۱۰ به‌دست می‌آوریم. حالا اگر این بازه را کوچک‌تر و کوچک‌تر کنیم (۱۰ تا ۱۰٫۰۱، ۱۰ تا ۱۰٫۰۰۱ و …)، عددی که به‌دست می‌آید به
۱۰ تا ۱۰٫۰۰۱ و …)، عددی که به‌دست می‌آید به همان سرعت لحظه‌ای نزدیک‌تر می‌شود. وقتی این بازه بی‌نهایت کوچک شود، نتیجه دقیق همان «مشتق» است. بنابراین، برای فهمیدن سرعت در لحظهٔ خاص، باید مسافت طی‌شده در یک بازهٔ خیلی ریز اطراف آن لحظه را حساب کنیم و نسبتش را به زمان بگیریم. هر چه بازه کوچک‌تر شود، جواب به سرعت واقعی نزدیک‌تر می‌شود. این همان فلسفهٔ مشتق است. کاربردهای مشتق بسیار گسترده‌اند. در فیزیک برای اندازه‌گیری سرعت و شتاب، در اقتصاد برای بررسی تغییر قیمت‌ها یا سود در یک لحظه، و در زیست‌شناسی برای
قیمت‌ها یا سود در یک لحظه، و در زیست‌شناسی برای بررسی نرخ رشد جمعیت یا تغییرات واکنش‌های شیمیایی به‌کار می‌رود. نسبت با انتگرال. مشتق نشان می‌دهد یک چیز در همان لحظه چقدر تغییر می‌کند (مثل سرعت لحظه‌ای ماشین). انتگرال همهٔ تغییرات ریز را جمع می‌کند تا کل را به ما بدهد (مثل مسافت کل طی‌شدهٔ ماشین). این‌دو برعکس هم هستند چون اگر از یک تابع مشتق بگیریم و بعد انتگرال بزنیم (یا برعکس)، دوباره به همان تابع اصلی برمی‌گردیم. این دو مفهوم,، تقریباً در همه‌جا لازم‌اند: از حساب کردن سرعت و شتاب گرفته تا محاسبهٔ
از حساب کردن سرعت و شتاب گرفته تا محاسبهٔ انرژی، سود اقتصادی، رشد جمعیت یا حتی طراحی مهندسی. تعریف علمی. مشتق ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است. عملیات مشتق‌گیری همانند یا شبیه دیفرانسیل‌گیری و برعکس عملیات انتگرال‌گیری است. در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئلهٔ یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود
تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو معلم آیزاک نیوتون بوده‌است. اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایب‌نیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامهٔ کار خود، باز هم به‌طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد. نیوتون از
اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد. نیوتون از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای به‌دست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب‌نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای به‌دست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوران بعد به آگوستَن لویی کوشی، برنهارد ریمان و برادران برنولی، یعنی یاکوب و یوهان، مربوط می‌شود. گیوم لوپیتال ، دانشمند
و یوهان، مربوط می‌شود. گیوم لوپیتال ، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بی‌نهایت کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای از درس‌هایی بود که یوهان برنولی به عنوان معلم برای او نوشته بود. در این کتاب، قاعدهٔ رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نیز آمده که به قاعدهٔ هوپیتال مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولی بوده‌است. مشتق تابع. اگر formula_1 نقطه‌ای از نمودار تابع formula_2 و formula_3 نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه
و formula_3 نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه formula_4 و شیب خط قاطع عبارت است از: کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی formula_6 در formula_7 نامیده می‌شود. اگر formula_7 ثابت نگه داشته شود و formula_9 به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی formula_6 در formula_7 اگر فقط به formula_7 بستگی داشته باشد به مقداری میل می‌کند که به آن شیب خط مماس گفته می‌شود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع formula_6 در formula_7 را به‌دست می‌دهد: تعریف مشتق تابع. برای تابع formula_6 که در
تعریف مشتق تابع. برای تابع formula_6 که در همسایگی نقطهٔ formula_17 تعریف شده‌است، اگر formula_18 وجود داشته باشد، formula_6 در formula_17 مشتق‌پذیر است. این حد (ریاضی) یکتا را با formula_21 نمایش داده و آن را مشتق تابع formula_6 در نقطهٔ formula_17 می‌نامند. بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند. با تبدیل formula_9 به formula_25 تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل می‌شود: نمادهای مشتق. لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و
مشتق. لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی به‌واسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع
است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند. لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی formula_27 خارج قسمت تفاضلی formula_28 را به شکل formula_29 نوشت و برای مشتق تابع formula_6 در formula_7 نماد formula_32 را معرفی کرد که به صورت formula_33 نیز نوشته می‌شود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل formula_34 نوشته می‌شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت formula_35 در می‌آید. نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از formula_36 و برای مشتق
برای نشان دادن مشتق اول از formula_36 و برای مشتق دوم از formula_37 استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند. مشتق تابع formula_6 را با formula_39 نیز می‌توان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که formula_39 تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از تابع formula_6 به‌دست آمده‌است و مقدارش در formula_7 با formula_43 نموده می‌شود. مختصات formula_7 و formula_45 واقع بر نمودار formula_6 با معادلهٔ formula_2 به هم مربوط می‌شوند، و علامت formula_48 نیز برای نمایش
مربوط می‌شوند، و علامت formula_48 نیز برای نمایش formula_43 بکار می‌رود که مقدارش در formula_7 به صورت formula_51 نوشته می‌شود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر را به صورت formula_39 (مشتق اول)، formula_53 (مشتق دوم)، formula_54 (مشتق سوم)، formula_55 (مشتق چهارم) … formula_56 (مشتق formula_57ام) نشان می‌دهد. در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق formula_6 را به شکل
قرار گرفت. این نماد مشتق formula_6 را به شکل formula_59 نشان می‌دهد. علامت formula_60 یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا می‌کند که formula_59 تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از formula_6 به‌دست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت formula_63 و مقدار آن در formula_7 به صورت formula_65 نوشته می‌شود. مشتق‌های یک طرفه. مشتق راست: اگر تابع formula_6 در فاصلهٔ formula_67 تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد زیر، در صورت وجود، مشتق راست تابع در formula_68 می‌باشد: مشتق چپ: اگر تابع formula_6 در فاصلهٔ formula_71
مشتق چپ: اگر تابع formula_6 در فاصلهٔ formula_71 تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد، زیر در صورت وجود، مشتق چپ تابع در formula_68 می‌باشد: مشتق‌پذیری. تابع formula_6 در formula_68 مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد. تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع formula_6 در formula_68 مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد. اگر تابع formula_6 در نقطهٔ formula_17 مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته
مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست. ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در formula_68 شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع formula_6 در formula_17 ناپیوسته باشد، آنگاه در formula_17 مشتق‌پذیر نیست. موارد مشتق‌ناپذیری. مواردی که تابع در نقطهٔ مفروض formula_17 مشتق‌پذیر نیست: دامنهٔ تابع مشتق. منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر است. به‌طور کلی برای تابع formula_6
مشتق‌پذیر است. به‌طور کلی برای تابع formula_6 داریم: مشتق تابع نسبت به تابع. هرگاه بخواهیم انتگرال یک تابع مانند formula_6 را نسبت به تابع دیگری مانند formula_90 به‌دست آوریم، کافی است مشتق این توابع را نسبت به متغیرشان محاسبه نموده و سپس برهم تقسیم کنیم. مشتق توابع پارامتری. توابع که به فرم formula_92 هستند را توابع پارامتری می‌نامند. در این حالت، مشتق formula_45 نسبت به formula_7 از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است: مشتق تابع مرکب. اگر تابع formula_90 در نقطهٔ formula_17 و تابع formula_6 در formula_99
نقطهٔ formula_17 و تابع formula_6 در formula_99 مشتق‌پذیر باشد، آنگاه تابع formula_100 نیز در formula_17 مشتق‌پذیر است و داریم: به بیان دیگر، هرگاه formula_45 تابعی از formula_104 و formula_104 تابعی از formula_7 باشد، برای به‌دست آوردن مشتق formula_45 نسبت به formula_7، مشتق formula_45 نسبت به formula_104 را در مشتق formula_104 نسبت به formula_7 ضرب می‌کنیم. همچنین به شکل دیگری برای توابع formula_6،formula_45 و formula_104 داریم: مشتق توابع زوج و فرد. مشتق هر تابع زوج، تابعی فرد است و مشتق هر تابع فرد،
هر تابع زوج، تابعی فرد است و مشتق هر تابع فرد، تابعی زوج است. اگر formula_6 تابعی زوج و formula_21 موجود نباشد ولی formula_120 و formula_121 موجود باشند آنگاه خواهیم داشت: اگر formula_6 تابعی فرد و formula_21 موجود نباشد ولی formula_120 و formula_121 موجود باشند آنگاه خواهیم داشت: پادمشتق. اگر formula_6 تابعی پیوسته در بازهٔ formula_129 شامل نقطهٔ formula_17 باشد، آنگاه تابع formula_131 با دامنهٔ formula_129 و با ضابطهٔ: تابع اولیه یا پادمشتق تابع formula_6 نامیده می‌شود. تابع formula_131 روی formula_129
نامیده می‌شود. تابع formula_131 روی formula_129 مشتق‌پذیر است و برای هر formula_137 داریم: اگر formula_139 آنگاه مشتق تابع formula_104 از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید: مشتق جزئی. مشتق جزئی، پاره‌ای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغیرهٔ formula_142 نسبت به یکی از متغیرها با ثابت در نظر گرفتن سایر متغیرها گفته می‌شود. مشتق جزئی را به جای formula_143 با formula_144 نمایش می‌دهند که «دِل»، «دِر» یا «پارشال» خوانده می‌شود. برای مثال، مشتق جزئی تابع formula_145 نسبت به formula_7 به صورت زیر نوشته می‌شود: به‌طور کلی،
formula_7 به صورت زیر نوشته می‌شود: به‌طور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغیرهٔ formula_6 نسبت به formula_149 در formula_150 است: مشتق ضمنی. در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی formula_2، رابطهٔ ضمنی آن به صورت formula_153 قرار می‌گیرد. برای محاسبهٔ مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد: مشتق جهت‌دار. مشتق جزئی تابع formula_160 میزان تغییرات formula_6 را در امتداد محورهای مختصات به دست می‌دهد درحالی‌که مشتق جهت‌دار، سویی یا جهتی، میزان تغییرات formula_6 را در امتداد یک بردار
میزان تغییرات formula_6 را در امتداد یک بردار دلخواه در فضا حساب می‌کند. اگر formula_6 در همسایگی نقطهٔ formula_164 تعریف شده باشد و formula_165 برداری شامل نقطهٔ formula_166 باشد، مشتق جهت‌دار formula_6 در formula_168 به صورت زیر محاسبه می‌شود: که در آن نقطهٔ formula_170 باید متعلق به formula_165 باشد و formula_172 فاصلهٔ علامت‌دار formula_166 تا formula_170 است یعنی اگر formula_175 و formula_176 هم‌جهت باشند formula_177 و در غیر این صورت formula_178 در نظر گرفته می‌شود. مشتق تابع برداری. مشتق تابع برداری
گرفته می‌شود. مشتق تابع برداری. مشتق تابع برداری formula_179 با فرض اینکه مؤلفه‌های سمت راست بامعنی باشند، به صورت زیر تعریف می‌شود: تابع formula_6 بر بازهٔ formula_182 پیوسته و مشتق‌پذیر است، هرگاه تک تک مؤلفه‌های formula_6 بر بازهٔ formula_182 پیوسته و مشتق‌پذیر باشند. با توجه به این تعریف، بسیاری از قضایای مشتق توابع حقیقی برای توابع برداری نیز صادق‌اند. برای محاسبهٔ مشتق یک تابع برداری، می‌توان آن را برحسب مؤلفه‌های قائم خود، به صورت formula_185 و formula_186 نوشت و از هر کدام به‌طور جداگانه مشتق گرفت؛
نوشت و از هر کدام به‌طور جداگانه مشتق گرفت؛ یعنی اگر formula_187 و formula_188 وجود داشته باشند مشتق تابع برداری formula_104 به صورت زیر نوشته می‌شود: مشتق کل. هرگاه formula_6 تابعی از formula_192 به formula_193 باشد، آنگاه مشتق جهت‌دار formula_6 در یک جهت به‌خصوص، بهترین تقریب خطی formula_6 در آن نقطه و جهت است. اما هرگاه formula_196 باشد، دیگر مشتق جهت‌دار نمی‌تواند به تنهایی، تصویر کاملی از رفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسیل کل نیز نامیده می‌شود با در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهت‌ها می‌تواند
در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهت‌ها می‌تواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند. برخلاف مشتق جزئی، در محاسبهٔ مشتق کل تابع formula_197 نسبت به متغیر formula_198، متغیرهای دیگر ثابت در نظر گرفته نمی‌شوند بلکه به formula_198 بستگی خواهند داشت و مشتق کل به صورت زیر تعریف می‌شود: مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته می‌شود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت formula_7 به صورت زیر محاسبه می‌کند: مشتق تابع معکوس. اگر تابع formula_6 در همسایگی نقطهٔ formula_17