payamvha/North_RAG huggingface dataset:
که توسط مایکروسافت توسعه داده شده و تحت پروانه ام‌آی‌تی منتشر شده‌است. ویرایش ۱٫۰ آن در ۲۷ ژوئن ۲۰۱۶ به همراه به روز رسانی ۳ ویژوال استودیو ۲۰۱۵ عرضه شد. آخرین ویرایش ۵.۰.۲۰۳ آن در ‍‍۱۱ می ۲۰۲۱ عرضه شد. .Net Standard. مسئله ای که اکوسیستمِ فعلیِ توسعهٔ مبتنی بر دات نت با آن مواجه است، این می‌باشد که هر کدام از این چارچوب‌ها، علی‌رغمِ شباهت‌ها، در بخش‌های بسیاری با یکدیگر متفاوت می‌باشند و به‌طور کلی دارای کلاس‌ها، رفتارها و APIهای متفاوتی می‌باشند. در نتیجه کدی که شما در یکی از این فریم ورک‌ها می‌نویسید
کدی که شما در یکی از این فریم ورک‌ها می‌نویسید دلیلی ندارد در پلتفرم‌های دیگر هم قابل اجرا باشد. همچنین دات نت کور بسیاری از APIها دات نت سنتی را ندارد و در بعضی جاها دارای تفاوت‌های اساسی با آن می‌باشد. برای حل معضل از هم گسیختگیِ اکوسیستمِ دات نت، یکپارچه سازی APIها و بالا بردن توانایی اجرا بر روی همه پلتفرم‌ها، مایکروسافت مدتی است که استانداردی را تحت عنوان dotNet Standard معرفی کرده‌است. dotNet Standard در واقع مجموعهٔ بسیار بزرگ و کاربردی ایی از API هاست که فریم ورک‌های مختلف می‌بایست آن‌ها را
API هاست که فریم ورک‌های مختلف می‌بایست آن‌ها را پیاده‌سازی کرده و این APIها بین همه فریم ورک‌ها یکسان باشند. تست دات‌نت. تست یکی از اجزای مهم در تولید نرم‌افزار است، در دات‌نت نیز مانند سایر فناوری‌ها نیاز به تست وجود دارد. نیاز به ابزار قدرتمندی برای پروفایل کردن برنامه‌های کاربردی دات-نت همیشه احساس می‌شود. در تست باید میزان و نحوه استفاده از پردازنده، ورودی/خروجی و حافظه را در سطح برنامه مشخص نماییم. ابزارهای profiler، برخلاف ابزارهای monitoring، اشکالات کارایی و کندی سیستم را در سطح برنامه‌نویسی مشخص
کارایی و کندی سیستم را در سطح برنامه‌نویسی مشخص می‌کنند. منابع. https://plink.ir/Z5GjI
پودگوریتسا (به صربی: Подгорица) پایتخت کشور مونته‌نگرو است. نام پیشین این شهر تیتوگراد و ریبنیتسا بوده‌است. این شهر ۴۴ متر بالاتر از سطح دریا قرار دارد و جمعیت آن بر پایه آمار ۲۰۱۱ برابر با ۱۸۵٬۹۱۵ نفر است. با این حساب ۲۴٪ از جمعیت جمهوری مونته‌نگرو ساکن این شهر هستند. شهر پودگوریتسا در محل همریزش دو رودخانه قرار گرفته و موقعیت جغرافیایی مناسبی دارد.
در هندسه، دایره یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود. همچنین دایره را می‌توان یک بیضی دانست که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند (برون‌مرکزی آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان
دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند. دایره مجموعهٔ نقاط صفحه را به سه گروه تقسیم (اِفراز) می‌کند: داخل دایره (یا قرص)، روی دایره (یا محیط)، و بیرون دایره. نسبت محیط دایره به قطر آن (بیشترین فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط) همیشه ثابت است و عددِ پی formula_1 نامیده می‌شود. محاسبهٔ عدد پی سابقه‌ای طولانی در تاریخ بشر دارد. ارشمیدس روشی با استفاده از چهارضلعی‌های محاطی و محیطی برای محاسبهٔ عدد پی ابداع کرد. آپولونیوس و
محیطی برای محاسبهٔ عدد پی ابداع کرد. آپولونیوس و غیاث‌الدین جمشید کاشانی هم عدد پی را با دقتی بالا محاسبه کردند. همچنین مساحت دایره برابر است با حاصلضربِ مربعِ شعاع دایره در عدد پی. دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط و حداقل محیط ممکن برای مقدار معین مساحت را دارد. فلاسفهٔ یونان باستان (به پیروی از فیثاغوری‌ها و افلاطون) معمولاً مدل زمین‌مرکزی را با مدلی مبنی بر کروی بودن زمین درمی‌آمیختند و بر این باور بودند که زمین کره‌ای است در مرکز جهان و افلاک در دایره‌هایی به دور زمین در گردشند. بطلمیوس با
در دایره‌هایی به دور زمین در گردشند. بطلمیوس با ابداع دایره‌هایی به عنوان فلک تدویر و فلک حامل نظامی ارائه داد که ساختار هستی را بر اساس دایره توجیه کند. کوپرنیک هم با ارائهٔ نظریهٔ خورشیدمرکزی‌اش ساختار جهان را متشکل از دایره‌هایی به گرد خورشید دانست. در نهایت کپلر اعلام کرد که مسیر گردش سیارات به شکل بیضی و نه دایره است و نیوتن شرایطی را مشخص کرد که تحت آن مسیر حرکت دایره‌ای به یکی دیگر از مقاطع مخروطی بدل می‌شود. دایره کامل‌ترین شکل هندسی دانسته می‌شود و در فناوری، هنر، دین، و فرهنگ اهمیتی عمده
می‌شود و در فناوری، هنر، دین، و فرهنگ اهمیتی عمده داشته‌است. پرگار (که ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس تعریف آن با مرکز و شعاع [تعریف اقلیدسی] است) و خط‌کش، تنها ابزار مجاز در هندسه اقلیدسی‌اند، تا جایی که هندسهٔ اقلیدسی گاه «هندسهٔ خط‌کش و پرگار» خوانده شده‌است. تربیع دایره، تثلیث زاویه، و تضعیف مکعب سه مسئلهٔ دشوار و مهمی بودند که در طول تاریخ هندسه‌دانان را درگیر خود کردند. در قرن نوزدهم پیر ونزل و فردیناند فون لیندمن ثابت کردند که این مسائل غیرممکنند. تاریخچه. تاریخچهٔ مطالعهٔ دایره به پیش از آغاز
تاریخچه. تاریخچهٔ مطالعهٔ دایره به پیش از آغاز تاریخ بازمی‌گردد؛ چنان‌که اختراع چرخ در هزارهٔ چهارم پیش از میلاد در میانرودان نشان از کشف ویژگی‌های بنیادی دایره دارد. در مصر نیز احمس، نویسندهٔ پاپیروس ریاضی ریند، قانونی برای محاسبهٔ مساحت دایره به دست می‌دهد که با formula_2 مطابق است. در کتیبه‌ای بابلی متعلق به ۱۹۰۰–۱۶۰۰ پ.م. هم رابطهٔ بین مساحت و پیرامون دایره بررسی و عدد پی به‌شکلی ضمنی formula_3 تعریف شده‌است. تاریخ باستان. نخستین قضایای مربوط به دایره دو قضیه از چهار قضیهٔ منسوب به تالس ( ۶۵۰ پ. م)
دو قضیه از چهار قضیهٔ منسوب به تالس ( ۶۵۰ پ. م) هستند. او ثابت کرد که قطر دایره آن را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند و زاویهٔ محاطی‌ای که دایره را در دو سرِ یک قطرش قطع کند قائمه است. فیثاغوری‌ها باور داشتند که زمین کره‌ای است در مرکز هستی و ماه و خورشید و سیاره‌ها در دایره‌هایی هم‌مرکز روی یک صفحهٔ چرخ‌مانند به‌دور زمین در گردشند. این نظریهٔ زمین‌مرکزی، باور غالب یونانیان باستان بود. بااین‌همه آریستارخوس ساموسی ( ۳۱۰ ۲۳۰ پ. م) نظریهٔ خورشیدمرکزی را مطرح کرد که در آن خورشید ثابت است و زمین در دایره‌ای به
که در آن خورشید ثابت است و زمین در دایره‌ای به مرکزیت خورشید در حرکت. همچنین فیلسوف یونانی افلاطون (۴۲۸/۴۲۷ ۳۴۸/۳۴۷ پ. م) باور داشت که زمین کره‌ای بی‌نقص است و همهٔ حرکت‌های سماواتی در دایره‌هایی کامل و با سرعت یکسان به گرد آن صورت می‌گیرد. این باور افلاطون به اصلی جزم‌اندیشانه در آکادمی افلاطون و بعدها در میان ستاره‌شناسان یونان باستان بدل شد. یکی از مسائل هندسی که یونانیان به‌شدت با آن درگیر بودند مسئلهٔ یافتن مربعی با مساحت مساوی دایره (اصطلاحاً تربیع دایره) بود. آناکساگوراس ( ۴۵۰ پ. م) نخستین ریاضی‌دان
بود. آناکساگوراس ( ۴۵۰ پ. م) نخستین ریاضی‌دان شناخته‌شده‌ای است که این مسئله را مطالعه کرده‌است. بقراط خیوسی (۴۷۰ ۴۱۰ پ. م) در تلاش برای حل تربیع دایره توانست ثابت کند که مساحت هلال کوچکتر ایجاد شده از برخورد دو دایره، برابر با مساحت مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقینی است که وترش برابر وتر دایرهٔ کوچکتر و اضلاعش برابر شعاع دایرهٔ بزرگتر است. هلال بقراط نخستین منحنی‌ای بود که مساحت دقیق آن از طریق ریاضی محاسبه شد. آریستوفان ( ۴۴۶ – ۳۸۶ پ. م) در نمایشنامهٔ "پرنده‌ها" «تربیع‌کنندگان دایره‌ها» را به سخره
"پرنده‌ها" «تربیع‌کنندگان دایره‌ها» را به سخره می‌گیرد. دیگر مسائل بزرگی که ریاضی‌دانان یونانی را درگیر خود کرده بود تثلیث زاویه (تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی) و تضعیف مکعب (دو برابر کردن حجم مکعب) با استفاده از پرگار و خط‌کش بود. کتاب سوم "اصول" اقلیدس ( ۳۶۵ ۲۷۵ پ. م) نیز تماماً به ویژگی‌های دایره و مسائل مربوط به محیط و محاط کردن آن نسبت به چندضلعی‌ها اختصاص دارد. همچنین سومین اصل از اصول موضوعه اقلیدس بیان می‌دارد که «برای هر پاره خط دلخواه می‌توان دایره‌ای به شعاع آن پاره خط و به مرکز یک سر آن رسم
به شعاع آن پاره خط و به مرکز یک سر آن رسم کرد.» ارشمیدس (۲۸۷ ۲۱۲ پ. م) هم در "اندازه‌های دایره" برای اولین بار فرمول مساحت دایره را اثبات کرد و با چندضلعی‌های منتظم محیطی و محاطی ۹۶ضلعی، عدد پی formula_1 را به صورت formula_5 (یعنی ) تعریف و محاسبه کرد؛ ازین‌رو عدد پی در برخی منابع «عدد ارشمیدس» نامیده شده‌است. آپولونیوس ( ۲۴۰ پ. م) به‌شکل ضمنی نشان داد که معادلهٔ دوقطبی formula_6 با تغییر formula_7 نظامی از دایره‌های هم‌محور را می‌سازد. او همچنین در اثر مهمش با عنوان "مخروطات"، دایره را به عنوان حالت خاص
با عنوان "مخروطات"، دایره را به عنوان حالت خاص بیضی و یکی از مقاطع مخروطی مطالعه، خط مماس بر منحنی (که بعدها موضوع اصلی حساب دیفرانسیل شد) را تعریف، و عدد پی را با دقتی بیشتر از ارشمیدس محاسبه کرد. او همچنین مسئله‌های آپولونیوس را مطرح و حل کرد و تعریفی متفاوت از دایره (به عنوان مکان هندسی نقاطی که نسبت فواصلشان از دو نقطه ثابت است) ارائه کرد. بطلمیوس ( ۱۰۰ ۱۶۸ میلادی) با ترکیب آرای ستاره‌شناسان پیشین در "المجسطی"، نظام زمین‌مرکزی‌اش را به‌گونه‌ای تعریف می‌کند که تمام ساختار هستی بر اساس شکل دایره توجیه
که تمام ساختار هستی بر اساس شکل دایره توجیه شود. به گفتهٔ بطلمیوس زمین و «افلاک» (به ترتیب ماه، عطارد، زهره، خورشید، مریخ، مشتری، و زحل) کاملاً کروی‌اند و زمین در مرکز گیتی ثابت و مستحکم شده‌است. به باور او افلاک با سرعت یکنواخت بر دایره‌ای کوچک به نام فلک تدویر در حرکتند و مرکز هر فلک تدویر با سرعتی یکنواخت بر دایره‌ای بزرگ به نام فلک حامل به مرکزیت زمین حرکت می‌کند. همهٔ این‌ها در داخل منطقه‌البروج قرار دارند که کره‌ای است ثابت و ستارگان روی آن استقرار یافته‌اند. مدل بطلمیوس از جهان هستی تا زمان کوپرنیک
مدل بطلمیوس از جهان هستی تا زمان کوپرنیک و تیکو براهه فصل‌الخطاب اخترشناسی باقی ماند. در روم باستان، «سولکوس پریمیجنیوس» آیینی بود مبنی بر این‌که پیش از بنانهادن هر شهر، پیشوایان مذهبی با هدایت خیشی بسته به دو گاو به دور محوطهٔ آن شیاری به شکل دایره رسم می‌کردند و باور بر این بود که این عمل از شهر حفاظت خواهد کرد. در اساطیر رومی نیز رومولوس به دور شهر رم شیاری دایره‌ای می‌کِشد و برادرش رموس را به علت ورود به این دایره می‌کُشد. در امپراتوری اشکانی نیز پایتخت‌ها و شهرهای مهم به شکل دایره ساخته می‌شدند؛ از
و شهرهای مهم به شکل دایره ساخته می‌شدند؛ از جملهٔ این شهرها می‌توان از نسا، شهر گور، صددروازه، هترا، و تیسفون پارتی یاد کرد. به گفتهٔ گیرشمن، «طرح این شهرها، عدم امنیت دائمی را که در ایران عهد پارتیان حکفرما بود، عدم ثبات سیاست خارجی و اغتشاشات داخلی را آشکار می‌سازد… طرح عمومی آن‌ها عبارت است از دایره‌ای که از اصول شهرسازی قدیم آسیای غربی اقتباس شده و نیز طرح اردوگاه‌های نظامی قدیم را که در قشون آشوری متداول بوده‌است به خاطر می‌آورد.» همچنین در چین باستان لیو هوی (متولد ۲۲۵ میلادی در کائو وی) با محاط کردن
هوی (متولد ۲۲۵ میلادی در کائو وی) با محاط کردن چندضلعی در دایره عدد پی را محاسبه کرد. تسو چونگچی (۴۲۹ ۵۰۰ میلادی) نیز در رسالهٔ "شیوهٔ الحاق" مقدار عدد پی را مستقل از لیو هوی ولی به شیوه‌ای مشابه برابر formula_8 محاسبه کرد. قرون وسطی. همزمان با حکومت مأمون در خراسان (در قرن سوم هجری)، اخوان ثلاثهٔ بنوموسی دست به ترجمهٔ "مخروطات" آپولونیوس از یونانی به عربی زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از "مخروطات" را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل
سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن، نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در شام نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول "مخروطات" را با شرح اوتوکیوس پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم "مخروطات" را به هلال حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره
حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم "مخروطات" تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است. بنوموسی در باب مسئلهٔ تثلیث زاویه (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از پرگار) نیز راه حلی با استفاده از مقاطع مخروطی پیشنهاد کردند. ابوجعفر خازن خراسانی (؟ ۳۶۰ ه‍.ق)، ابوسهل بیژن کوهی (؟ ۴۰۵ ه‍.ق) و ابوسعید سجزی ( ۳۳۰ ۴۱۵ ه‍.ق) نیز راه‌حل‌هایی در مورد این قضیه ارائه کردند. ابوریحان بیرونی (۳۶۲ ۴۴۲ ه‍.ق) هم ۱۲
ارائه کردند. ابوریحان بیرونی (۳۶۲ ۴۴۲ ه‍.ق) هم ۱۲ مسئله طرح کرد و نشان داد با حل شدن هر کدام، مسئلهٔ تثلیث زاویه هم حل می‌شود. عبدالرحمن صوفی (۲۹۱ ۳۷۶ ه‍. ق) به درخواست عضدالدولهٔ دیلمی (۳۲۴ ۳۷۲ ه‍.ق) کتابی با عنوان نوشت و در آن ترسیم چندضلعی‌های منتظم را با خط‌کش و پرگاری با دهانهٔ ثابت مطالعه کرد. ابوالوفا محمد بوزجانی (۳۲۸ ۳۸۸ ه‍.ق) هم در کتاب یا "اعمال هندسی" در مورد ترسیم اشکال هندسی با پرگاری با دهانهٔ ثابت بحث کرده‌است. غیاث‌الدین جمشید کاشانی (۷۵۸ ۸۰۸ ه‍.ق) در نسبت محیط دایره به قطر آن (عدد پی) را
ه‍.ق) در نسبت محیط دایره به قطر آن (عدد پی) را با ۱۶ رقم اعشار محاسبه کرد. کاشانی این محاسبات را به کمک دو ضلعی انجام داد که یکی محاط در و دیگری محیط بر دایره بودند. او همچنین در مقدمهٔ "مفتاح الحساب" می‌نویسد که در رسالهٔ "وتر و جیب"، که امروز گمشده است، با استفاده از حل جبری معادلات درجهٔ سوم راه حلی برای تثلیث زاویه ارائه کرده بود. رنسانس و قرون جدید. در دههٔ ۱۵۴۰، کوپرنیک نظریه خورشیدمرکزی‌اش را ارائه کرد. در مدل خورشیدمرکزی کوپرنیک مسیر حرکت سیارات به دور خورشید به شکل دایره‌هایی به دور دایره (مشابه
دور خورشید به شکل دایره‌هایی به دور دایره (مشابه فلک‌های تدویر و فلک حامل در مدل بطلمیوسی) است. در مدل کوپرنیک: کوپرنیک خود می‌دانست که پیچیدگی دایره‌هایی به دور دایره دقیقاً با داده‌های ریاضی نمی‌خواند، با این حال به باور او مدل خودش از مدل بطلمیوسی (که از ۴۰ دایره برای توصیف جهان هستی استفاده می‌کرد) ساده‌تر و دقیق‌تر بود. کوپرنیک در ویرایش‌های بعدی مدلش و برای تطبیق با داده‌های موجود مجبور شد تعداد دایره‌ها را به ۴۸ افزایش دهد. به نوشتهٔ آرتور کستلر در "خوابگردها"، «وسواس و خیال‌پردازی کوپرنیک نسبت به
"خوابگردها"، «وسواس و خیال‌پردازی کوپرنیک نسبت به دایره‌ها و کره‌ها باعث شد مدل او به جای نظام ساده و هماهنگی که می‌توانست باشد به کابوسی دردناک و سردرگم بدل شود.» در ۱۶۰۲ میلادی، کپلر در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک و با بیان این نکته که هر دایره را با داشتن سه نقطه روی محیط آن می‌توان تعریف کرد و اینکه مکان مریخ در فصل‌های مختلف در صورت سه نقطه‌ای دایره قرار نمی‌گیرد، دایره بودن مدار سیارات را رد کرد. او به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ (خاگی) است و فواصل بین آنها بر اساس اجسام
تخم‌مرغ (خاگی) است و فواصل بین آنها بر اساس اجسام افلاطونی تعیین می‌شود. تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م) با تکیه بر مشاهدات ۳۵ ساله‌اش از حرکت مریخ، نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد. براهه خود در ۱۵۸۸ نظامی از جهان هستی ارائه کرده بود تا «مزیت‌های فیزیکی مدل بطلمیوسی را با مزیت‌های ریاضیاتی مدل کوپرنیکی» ترکیب کند. در نظام براهه‌ای زمین در مرکز جهان قرار دارد و ماه و خورشید در دایره‌هایی به دور آن می‌گردند، ولی مدار دیگر سیارات (عطارد، زهره، مریخ، مشتری، و زحل) دایره‌هایی است به دور خورشید. براهه
مشتری، و زحل) دایره‌هایی است به دور خورشید. براهه همچنین کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ — که آن زمان پایتخت امپراتوری مقدس روم بود — برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی (برون‌مرکزی‌دار) و نه مدور به دور خورشید می‌گردند. کپلر همچنین در کتاب "هارمونی جهان" (۱۶۱۸) مفهوم هارمونی و هم‌نهشتی را به صورت هندسی در ریاضیات، موسیقی، اختربینی، و اخترشناسی مطالعه می‌کند و فواصل مطبوع موسیقی را با شکل دایره متناظر می‌داند.
مطبوع موسیقی را با شکل دایره متناظر می‌داند. برای مثل به باور کپلر علت اینکه فاصله‌هایی با نسبت (فاصلهٔ ششم بزرگ در نظام کوک خالص) مطبوعند و فاصله‌هایی با نسبت نامطبوع این است که پنج‌ضلعی منتظم را می‌توان را با خط‌کش و پرگار رسم کرد ولی هفت‌ضلعی منتظم را نمی‌توان. نیوتن (۱۶۴۲۱۷۲۷) در "اصول ریاضی فلسفه طبیعی" از دایره با عنوان «مسیر» یاد می‌کند. نیوتن، بیست سال پیش از نگارش "اصول،" حرکت دایره‌ای را (که در زمان تعادل کامل گرانش و مرکزگریزی روی می‌دهد) مطالعه و قوانین آن را کشف کرده بود. طبق محاسبات او، در
و قوانین آن را کشف کرده بود. طبق محاسبات او، در صورت عدم تعادل کامل بین گرانش و مرکزگریزی، برون‌مرکزیِ مسیرِ حرکت از صفر بیشتر می‌شود و مدار به یکی دیگر از مقاطع مخروطی (بیضی، سهمی، یا هذلولی) بدل می‌گردد. همچنین مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود. انتگرال‌گیری (یافتن مساحت زیر یک تابع) در واقع تعریف مدرن مسئلهٔ تربیع دایره (یافتن مستطیلی با مساحت مساوی دایره) است و نیوتن خود به جای لفظ «انتگرال‌گیری» (که از تعاریف
نیوتن خود به جای لفظ «انتگرال‌گیری» (که از تعاریف لایبنیتس گرفته‌شده‌است) از عبارت «تربیع منحنی» استفاده می‌کرد. در تاریخ معاصر. در سال ۱۷۸۶ کارل فریدریش گاوس ثابت کرد که هفده‌ضلعی منتظم را می‌توان با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد. پنج سال بعد نیز شرایط قابل رسم بودن چندضلعی منتظم با پرگار و خط‌کش را تدوین کرد و نشان داد که بیشتر چندضلعی‌ها را نمی‌توان با خط‌کش و پرگار ترسیم کرد. گابریل لامه (۱۸۷۰–۱۷۹۵) با تعمیم معادلهٔ بیضی، دایره را به همراه مربع در ردهٔ ابربیضی‌ها یا «منحنی‌های لامه» دسته‌بندی کرد. در ۱۸۳۷
یا «منحنی‌های لامه» دسته‌بندی کرد. در ۱۸۳۷ نیز پیر ونزل با استفاده از نظریهٔ میدان ثابت کرد تثلیث زاویه (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از خط‌کش و پرگار) و تضعیف مکعب (ساخت مکعبی با دوبرابر حجم مکعب اولیه با استفاده از خط‌کش و پرگار) مسائلی غیر ممکنند. از همین رو آگوست دمورگان (۱۸۰۶ ۱۸۷۱) در کتاب "خلاصه‌ای از تناقض‌ها" «ابلهان تناقض‌کار» یعنی «تربیع‌کنان دایره»، «تثلیث‌کنان زاویه»، و «تضعیف‌کنان مکعب» را نقد می‌کند. در ۱۸۸۰ جان ون با ترکیب دیاگرام اویلر و آرای جرج بول، نمودار ون را ابداع کرد که
اویلر و آرای جرج بول، نمودار ون را ابداع کرد که در آن مجموعه‌ها به صورت دایره‌های همپوشان تصویر می‌شوند. در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است، و بنابراین ثابت کرد که تربیع دایره (رسم مربعی با مساحت برابر دایره) مسئله‌ای غیرممکن است. پیت هاین (۱۹۰۵–۱۹۹۶) نیز ابرمعادلهٔ ابربیضی‌ها را به‌دست‌آورد و از آن‌ها در طراحی‌های خود استفاده کرد. کاربرد. دایره کامل‌ترین شکل ریاضیاتی دانسته می‌شود و در تاریخ تمدن بشری اهمیتی عمده داشته‌است. تقریباً همهٔ وسایل نقلیه بر اساس چرخش چرخ کار می‌کنند که
همهٔ وسایل نقلیه بر اساس چرخش چرخ کار می‌کنند که وسیله‌ای دایره‌شکل است. اغلب ابزار مکانیکی و الکترومکانیکی نیز برای انتقال توان از چرخ‌دنده بهره می‌برند که معمولاً به شکل دایره است. مولدهای الکتریکی هم بر اساس چرخش دوّار هادی در میدانی مغناطیسی عمل می‌کنند. مثلث رولو (اشتراک سه دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در تقاطع دو تای دیگر واقع شده‌است) می‌تواند در داخل یک مربع بچرخد. این ویژگی بنیاد سازوکار متهٔ واتز است. روتور موتور وانکل نیز به شکل مثلث رولو است. در دین‌ها و فرهنگ‌های مختلف، دایره نماد
رولو است. در دین‌ها و فرهنگ‌های مختلف، دایره نماد تکامل، بی‌نهایتی، و الوهیت است. در دین هندو و آیین بودا، ماندالا یا دوایر کیهان‌نما طرح‌هایی پیچیده‌اند که رابطهٔ جهان اصغر و جهان اکبر به تصویر می‌کشند. در اسلام، دایره نماد «جلال خداوندی» است و در مسیحیت پرگار بیانگر «ابتکار آفرینش» از سوی خدای پدر است. در عرفان یهودی هم درخت زندگی دیاگرامی با ده دایره به نام سفیروت است که هرکدام نماد صورتی از هستی‌اند. پرگار و گونیا نماد اصلی انجمن برادری فراماسونری است و نشان ماسونی نقطه‌ای درون دایره نیز به عنوان نماد
نشان ماسونی نقطه‌ای درون دایره نیز به عنوان نماد جهان هستی به کار می‌رود. در علوم خفیه دایره شکلی بنیادی است و آیین کشیدن «دایره تعویذ» به دور فرد او را از ارواح خبیث و خطرهای روحانی محافظت می‌کند و برای تبدیل مکان به «حرم غصب‌ناکردنی» به کار می‌رود. صوفی‌ها هم روی زمین دایره‌ای موسوم به «خط عزیمت» می‌کشیدند و درون آن نماز‌هایی با سوره سجده‌دار می‌خواندند. در روان‌شناسی تحلیلی نیز یونگی‌ها دایره را نماد «خود» می‌دانند. حلقه هم در فرهنگ‌های مختلف به‌عنوان نماد اتحاد، یگانگی، موقعیت اجتماعی، و اقتدار به‌کار
اتحاد، یگانگی، موقعیت اجتماعی، و اقتدار به‌کار می‌رود. از آغاز معماری در دوران نوسنگی، دایره به دلایل کاربردی و نمادین نقشی بنیادی در ساخت‌وساز بوده‌است. استون‌هنج، شناخته‌شده‌ترین اثر دوران نوسنگی، به شکل دایره است. ردپای مسئلهٔ تربیع دایره را هم می‌توان در تاریخ معماری دید؛ چنان‌که محیط مقطع هرم بزرگ جیزه برابر است با محیط دایره‌ای به شعاع ارتفاع هرم. همچنین مفهوم مرد ویترویوسی، که بنیان معماری غربی از دوران روم تا دوران مدرن بوده، بر اساس تربیع دایره شکل گرفته‌است. به باور پال کلتر، از آنجا که مربع نماد
گرفته‌است. به باور پال کلتر، از آنجا که مربع نماد زمین است و دایره نماد تکامل و الوهیت، تربیع دایره نماد جهانی ایجاد تعادل بین دنیای دنی و عالی است. به گفتهٔ هانری استیرلن هم عمدهٔ تلاش‌ها و نوآوری‌های معماران ایرانی بعد از دوران اشکانی معطوف به ایجاد ارتباط بین پلان مربعی ابنیه و مقطع دایره‌ای پایهٔ گنبد بوده‌است. از دیگر الگوهای دایره‌ای در تاریخ معماری می‌توان به معابد گرد و روتونداها در معماری رومی، رمانسک و رنسانس، معابد آسمان و خانه‌های فوجیان تالو در چین، و پنجره‌ها در معماری گوتیک اشاره کرد. از
در چین، و پنجره‌ها در معماری گوتیک اشاره کرد. از آنجا که پرگار از ابزار اصلی سازندگان و معماران در طول تاریخ بوده‌است، اشکالی که می‌توان آن‌ها را با پرگار کشید (مانند چهارضلعی، پنج‌ضلعی، و شش‌ضلعی) در آثار معماری نقش عمده‌تری دارند و اشکالی که نمی‌توان با پرگار ترسیمشان کرد (مانند هفت‌ضلعی) نادرند. در نقاشی‌های مذهبی، قدیسان غالباً با هالهٔ نوری دایره‌ای شکل به گرد سرشان به تصویر کشیده می‌شوند. در تئوری موسیقی غربی، برای نمایش هندسی اعتدال مساوی دوازده‌نتی گام کروماتیک غالباً از دیاگرامی دایره‌شکل (از جمله
کروماتیک غالباً از دیاگرامی دایره‌شکل (از جمله دایره پنجم‌ها، که قدمت آن به فیثاغورث می‌رسد، و دایره کروماتیک) استفاده می‌شود. در تئوری موسیقی قدیم ایران و کشورهای دیگر جهان اسلام هم نظریهٔ ادوار دستان‌بندی سازها (نحوهٔ کوک ساز و موقعیت پردههای آن) را با کمک مجموعه‌ای از دایره‌ها توصیف می‌کرده‌است. تعریف دایره. تعریف اقلیدسی. دایره مکان هندسی همهٔ نقاطی است که از یک نقطهٔ معین (موسوم به مرکز دایره) فاصله‌ای ثابت (موسوم به شعاع) داشته باشند؛ یعنی: این تعریف دایره معادل همان تعریفی است که اقلیدس در "اصول"
دایره معادل همان تعریفی است که اقلیدس در "اصول" ارائه می‌کند: و تعریف آپولونیوسی. آپولونیوس نشان داد که دایره را می‌توان به عنوان مکان هندسی همهٔ نقاطی نشان داده که نسبت فواصلشان از دو نقطهٔ ثابت عددی است ثابت و برابر با نسبت فواصل دو نقطهٔ ثابت از دایره؛ یعنی: این دو نقطه به «کانون» های دایره موسومند. می‌توان با عملیات‌های جبری ساده ثابت کرد که تعریف آپولونیوسی و اقلیدسی معادل یکدیگرند. دایره به عنوان حالت خاص چندضلعی. دایره را می‌توان چندضلعی منتظمی با شعاع محاطی formula_9 و شعاع محیطی formula_10 دانست
محاطی formula_9 و شعاع محیطی formula_10 دانست که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند. در هندسه، از دایره‌ای با این تعریف با عنوان‌های بی‌نهایت‌ضلعی و تک‌ضلعی یاد شده‌است. با این تعریف، محیط دایره برابر است با: و مساحت آن برابر است با: که هر دو حدشان یکی است، چرا که با میل کردن formula_11 به بی‌نهایت، formula_9 و formula_10 به یک پاره‌خط (شعاع دایره) میل می‌کنند. به عنوان مقطع مخروطی. دایره «حالت خاص تبهگون» از بیضی است که در آن نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچک مساوی‌اند (برون‌مرکزی آن صفر است). ازین رو دایره
مساوی‌اند (برون‌مرکزی آن صفر است). ازین رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است، به این مفهوم که در محل برخورد مخروطی قائم و صفحه‌ای که با قاعدهٔ آن مخروط موازی باشد دایره پدید می‌آید. در هندسه تصویری، اشتقاق دایره از مخروط معادل تصویر مرکزی مقطع مخروط روی صفحه‌ای است که با قاعدهٔ مخروط موازی است. ویژگی‌های دایره. شعاع، قطر، و وتر. پاره‌خطی که مرکز دایره را به یکی از نقاط روی محیط دایره وصل می‌کند شعاع نام دارد و می‌توان آن را «بردار شعاع» آن نقطه دانست. شعاع معمولاً با حرف لاتین formula_9 نشان داده می‌شود. قطر
با حرف لاتین formula_9 نشان داده می‌شود. قطر دایره حداکثر فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط دایره است و اندازهٔ آن دو برابر شعاع دایره است. هر قطر دایره از مرکز دایره می‌گذرد و دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیم‌دایره نامیده می‌شوند. خود قطر هم توسط مرکز دایره به دو پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شود. قطر دایره معمولاً با حرف لاتین formula_15 نشان داده می‌شود. پاره‌خطی که دو نقطهٔ متمایز از یک دایره را به هم پیوند می‌دهد، وتر یا زِه آن دایره نامیده می‌شود. هر وتری که از مرکز دایره بگذرد حداکثر
می‌شود. هر وتری که از مرکز دایره بگذرد حداکثر اندازهٔ ممکن برای وتر یک دایره را دارد و همان قطر دایره است. خط مماس. خط‌ها یا با دایره در دو نقطه برخورد می‌کنند، یا در یک نقطه، یا با دایره برخورد نمی‌کنند. هر خطی که با دایره تنها در یک نقطه برخورد کند (آن را در یک نقطه لمس کند) به خط مماس (یا خط تانژانت) بر دایره در آن نقطه موسوم است. خط‌هایی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کنند هم خط سکانت نامیده می‌شوند و خطوطی که با دایره برخورد نمی‌کنند «خط پاسان» نام دارند. از هر نقطهٔ بیرون دایره، دو خط مماس بر آن دایره
از هر نقطهٔ بیرون دایره، دو خط مماس بر آن دایره می‌توان رسم کرد. این دو مماس طول یکسانی دارند. همچنین اگر از نقطهٔ formula_16 بیرون دایره‌ای به مرکزیت formula_17 بتوان دو مماس بر نقاط formula_18 و formula_19 روی محیط دایره رسم کرد، زاویه‌های formula_20 و formula_21 مکملند. شعاع دایره نیز در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود استformula_22. زاویه مرکزی و زاویه محاطی. زاویه‌ای که از برخورد دو شعاع یک دایره پدید می‌آید زاویهٔ مرکزی نام دارد. رأس زوایای مرکزی در مرکز دایره قرار دارد. هر زاویهٔ مرکزی از قرص دایره یک
دایره قرار دارد. هر زاویهٔ مرکزی از قرص دایره یک قطاع جدا می‌کند. همچنین هر زاویهٔ مرکزی از محیط دایره یک کمان جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویهٔ مرکزی گفته می‌شود. طول کمان نظیر هر زاویهٔ مرکزی formula_23 برابر حاصلضرب شعاع دایره formula_24 در اندازهٔ آن زاویه مرکزی بر حسب رادیان formula_25 است formula_26. اگر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی formula_27 بر حسب درجه نوشته شود، طول کمان نظیر آن برابر است با formula_28. از برخورد دو خط سکانت روی محیط دایره زاویهٔ محاطی پدید می‌آید. رأس زوایای محاطی روی محیط دایره
پدید می‌آید. رأس زوایای محاطی روی محیط دایره قرار دارد. هر زاویهٔ محاطی یک کمان از دایره جدا می‌کند که به آن کمان نظیر آن زاویهٔ محاطی گفته می‌شود. اندازه کمان نظیر هر زاویهٔ محاطی در دایره نصف اندازهٔ زاویهٔ محاطی روبروی آن کمان است. حالت تبهگون زاویهٔ محاطی زمانی رخ می‌دهد که یکی از اضلاع زاویه بر دایره مماس باشد، و به زاویهٔ مماسی موسوم است. زاویه مرکزی. زاویه‌ای که راس آن مرکز دایره و دو ضلع آن شعاع‌های دایره می‌باشند. نکته: اندازه زاویه مرکزی با اندازه کمان روبرو آن برابر است. زاویه محاطی. زاویه‌ای که