payamvha/North_RAG huggingface dataset:
را گوش کرده و مقصود او را که رهایی از رنج است، دریافته و اینکه دریافته‌است که بودا به بالاترین مقصود رسیده و به این مقصود با جستجوی خود رسیده‌است و نه از راه درس. سیذارتا می‌خواهد این راه را طی کند و بر خویشتن خویش چیره شود. پس با خود می‌اندیشد و پی می‌برد که آن چیزی که معلمان نتوانستند به او بیاموزند، خویشتن بود. او فهمید که راز خود را باید از خود یاد بگیرد و شاگرد خود باشد. سیذارتا اکنون جهان را شناخته و می‌خواست جای خود را در این جهان پیدا کند و به دنبال آنچه درونش به او دستور می‌دهد، برود. سیذارتا با
آنچه درونش به او دستور می‌دهد، برود. سیذارتا با زنی زیبا آشنا می‌شود و زندگی مادی را تجربه می‌کند. در کنار این زن، دوست داشتن، مهرورزی و خوشی‌ها را می‌آموزد تا اینکه شبی خوابی می‌بیند و این زمانی است که تقریباً جوانی‌اش سپری و موهایش سفید شده‌است. او خواب می‌بیند که پرنده‌ای که این زن زیبا داشت در لانه‌اش مرده و سیذارتا آن را بیرون می‌آورد و دور می‌اندازد. گویی هر چه در درون خود نیکی داشته، بیرون ریخته‌است و ترس وجودش را فرا می‌گیرد و حس می‌کند تمام زندگی‌اش را بیهوده سپری کرده‌است. بعد از این خواب، آن زن
را بیهوده سپری کرده‌است. بعد از این خواب، آن زن را ترک می‌کند. سیذارتا در واقع دیگر به مرگ خود راضی است و نمی‌خواهد بیش از این بار زندگی بی‌محتوای خود را به دوش بکشد؛ بنابراین تصمیم می‌گیرد به حیات خود خاتمه دهد، اما در ساحل رودخانه ناگهان به یاد کلامی در دعای برهمنان می‌افتد که انسان را به ادامه راه و رسیدن به کمال فرا می‌خواند. در این هنگام از اندیشه خام خود منصرف می‌شود و خود را باز می‌شناسد. او باز هم توانسته بیندیشد و ندای درونش را بشنود و به‌دنبال آن بیاید. آن چشمه پاک هنوز در درون او زنده بود. آری،
بیاید. آن چشمه پاک هنوز در درون او زنده بود. آری، سیذارتا دریافت که ندای درون او درست بود. هیچ معلمی نمی‌توانست راه رستگاری را به او نشان دهد، او باید خود تجربه می‌کرد و به ناامیدی می‌رسید و دوباره زندگی نوین خود را آغاز می‌کرد. بالاخره سیذارتا در ساحل رودخانه می‌ماند. سیذارتا زندگی‌اش را برای مردی تعریف می‌کند و او به سیذارتا می‌گوید که رود با او سخن گفته‌است. روزی می‌رسد که افرادی از رودخانه می‌خواهند عبور کنند تا نزد گوتاما بروند؛ زیرا او در بستر مرگ است و یکی از آن‌ها زن زیبایی با پسرش است که جزء
است و یکی از آن‌ها زن زیبایی با پسرش است که جزء رهروان گوتاما شده‌است. این پسر در واقع پسر خود سیذارتا است. در راه، این زن زیبا دچار مارگزیدگی می‌شود و می‌میرد و سیذارتا پی می‌برد که پسربچه، پسر خود او است. پسر را نزد خود نگه می‌دارد، اما چون پسرک به آن زندگی عادت نداشت، روزی سیذارتا را رها می‌کند و از آنجا می‌رود. سیذارتا به دنبال او می‌رود ولی او را پیدا نمی‌کند و بازمی‌گردد، ولی در تمام این مدت به یاد یگانه فرزندش است تا اینکه تصمیم می‌گیرد به دنبال او برود و وقتی به رود نگاه می‌کند و خم می‌شود، چهره
برود و وقتی به رود نگاه می‌کند و خم می‌شود، چهره خود را می‌بیند که سیذارتا را به یاد چهره پدرش می‌اندازد و روزی را به یاد می‌آورد که پدرش را رها کرد و به زاهدان پیوست و پی می‌برد که پدرش هم همان درد را چشیده بود که او اکنون برای پسرش می‌کشد. سیذارتا با صحبت کردن با مرد و گوش سپردن به آوای رود، آرامش درونی خود را بازمی‌یابد و درمی‌یابد که اگرچه آب همواره در گذر است، اما همیشه نیز پابرجا است. این درس بزرگی برای سیذارتا است. او اکنون راه رستگاری را یافته‌است. در واقع، سیذارتا شناختی را که به دنبالش بود از
در واقع، سیذارتا شناختی را که به دنبالش بود از طریق آموزش به دست نیاورد و سیر و سلوک خود را ادامه داد تا با آن زن زیبا آشنا شد و زندگی را براساس حواس تجربه کرد و بعد از آن دیگر زندگی برایش منزجر کننده شد، ولی در درون خود همواره شمن باقی‌مانده بود. زندگی جدیدی را شروع کرد و رمز رود را آموخت. وقتی سیذارتا با دقت صدای رود را گوش می‌کرد، دریافت که همه چیز به هم وابسته است؛ صداها، اهداف، رنج‌ها، میل‌ها، خوبی‌ها و بدی‌ها. همه اینها در واقع همان دنیا است، موزیک زندگی است و ناگهان به یاد کلامی در دعای برهمنان
زندگی است و ناگهان به یاد کلامی در دعای برهمنان افتاد که انسان را به ادامه راه و رسیدن به کمال فرا می‌خواند. در واقع سیذارتای هرمان هسه، هماهنگی دنیا را دوباره بازیافته‌است. راه سیذارتا از خانه پدری تا رود است؛ یعنی سمبل طبیعت. سیذارتا هماهنگی جزء با کل و با وحدت است. ویژگی‌های داستان "سیذارتا". این داستان نیز مانند دیگر داستان معروف هسه، دمیان، به خودشناسی و قدرت درونی انسان می‌پردازد. هسه در این رمان فلسفی، زندگی دو برهمن را به نام‌های سیذارتا و گوویندا که یکی به مریدان بودا می‌پیوندد و دیگری زندگی
که یکی به مریدان بودا می‌پیوندد و دیگری زندگی جسمانی را ترجیح می‌دهد، شرح داده‌است. رجوع بشر به طبیعت از جمله رودخانه و وحدت وجود در این رمان مطرح شده‌است.
تَخَلُّص به دو معنی در میان اهل ادب معمول است. نخست نام یا کنیه‌ای هنری است که شاعران برای خود انتخاب می‌کنند. بسیاری از شاعران بزرگ زبان فارسی به تخلص خود معروف هستند. مانند نظامی (که نام او الیاس بن یوسف بود)، سعدی (که نام او به احتمال زیاد مشرف‌الدین بود)، حافظ (که نام او شمس الدین محمد بود). ولی مولوی تخلص شخصی‌اش «خمش» یا «خاموش» بود و بسیاری از مواقع نیز به خاطر ارادت به شمس تبریزی «شمس» تخلص می‌کرد. به هرحال به تخلصش معروف نیست. بسیار پیش می‌آید که در طول تاریخ چندین شاعر با یک تخلص وجود دارند. مثلاً
طول تاریخ چندین شاعر با یک تخلص وجود دارند. مثلاً چندین عطار یا چندین حافظ وجود دارد. گاهی هم شاعرانی هستند که دو یا سه تخلص دارند. تخلص بیش از هرچیز در غزل کاربرد دارد و معمولاً شاعران التزام دارند که تخلص خود را در آخر غزل به نحوی بیاورند. (سنایی ظاهراً نخستین کسی‌است که خود را ملزم به آوردن تخلص در غزل کرده‌است. (در سی و پنچ درصد از غزلهایش) گاه تخلص (یعنی خود لفظ تخلص) به معنای اصلی و نه برای اشاره مستقیم به شخص شاعر به کار می‌رود. مثلاً هوشنگ ابتهاج شاعر معاصر با تخلص «سایه» در بیت آخر یکی از غزلهایش
معاصر با تخلص «سایه» در بیت آخر یکی از غزلهایش به نام کهربا (۱۳۶۲) می‌گوید: تخلص در قصیده. این تخلص به معنی گریز زدن و منتقل شدن از تشبیب و پیش‌درآمد به اصل مقصود قصیده است. این گریز زدن به وسیلهٔ بیتی که آن را «بیت تخلص» می‌نامند، صورت می‌گیرد؛ حال اگر شاعر، این بیت را به زیبایی و گیرایی و مناسبت لطیف سروده و با مهارت و استادی از تشبیب به اصل موضوع قصیده انتقال یافته باشد، به کار او «حسن تخلص» می‌گویند.
عدد اول ، عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که نتوان آن را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچک‌تر نوشت (یعنی جز بر خودشان و یک بر عدد دیگری بخش پذیر نیستند). به عبارت ساده‌تر، اعداد اول، مجموعه‌ای از اعداد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ هستند که فقط بر یک و خود عدد بخش‌پذیر هستند. عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ که اول نباشد را عدد مرکب می‌گویند. به عنوان مثال، ۷ یک عدد اول است، چون فقط بر یک و ۷ بخش‌پذیر است و تنها روشی که می‌توان آن را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعی نوشت به‌صورت formula_1 یا formula_2 است که شامل خود ۷ می‌شود (دو عددی که در
formula_2 است که شامل خود ۷ می‌شود (دو عددی که در ضرب می‌آیند باید از خود ۷ کوچک‌تر باشند). اما به عنوان مثال، ۶ یک عدد مرکب است، چرا که می‌توان آن را به‌صورت formula_3 نوشت که هردوی آن‌ها از ۶ کوچک‌ترند. اعداد اول در نظریهٔ اعداد به دلیل قضیهٔ اساسی حساب نقش محوری دارند، این قضیه می‌گوید: هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱، یا اول است یا اگر اول نباشد، می‌توان آن را به ضرب اعداد اول تجزیه کرد، که این تجزیه در حد ترتیب یگانه است. خاصیت اعداد اول را اول بودن می‌گویند. یک روش کُند برای چک کردن اول بودن یک عدد مثل
یک روش کُند برای چک کردن اول بودن یک عدد مثل formula_4، آزمون تقسیم است. این آزمون بخش پذیر بودن &lt;&gt;math&gt;\mathrm{n}&lt;/math بر هر عدد صحیح بین ۲ و formula_5 را چک می‌کند. الگوریتم‌های سریع‌تری نیز وجود دارند، مثل آزمون اول بودن میلر-رابین که سریع است، اما احتمال رخ دادن درصدی خطا نیز در آن وجود دارد. آزمون دیگر، آزمون اول بودن AKS است، که همیشه جواب صحیح به‌دست می‌دهد، اما مرتبه زمانی آن چندجمله‌ای است و برای کاربردهای عملی بسیار کُند می‌باشد. روش‌های بسیار سریعی برای آزمون اول بودن اعداد خاصی مثل
بسیار سریعی برای آزمون اول بودن اعداد خاصی مثل اعداد مرسن نیز وجود دارد. تا دسامبر ۲۰۱۸ بزرگ‌ترین عدد اول شناخته شده در سیستم ده-دهی ۲۴٬۸۶۲٬۰۴۸ رقم دارد. اقلیدس حدود ۲۵۶ سال قبل از میلاد اثبات کرد که بی‌نهایت عدد اول وجود دارد. با این حال، توزیع اعداد اول در میان اعداد طبیعی را می‌توان از نظر آماری مدل‌سازی کرد. اولین نتیجه‌ای که در این جهت حاصل شد قضیه اعداد اول بود که در انتهای قرن نوزدهم به‌دست آمد. این قضیه می‌گوید که احتمال اول بودن یک عدد طبیعی تصادفی با تعداد ارقام آن (یعنی لگاریتم آن عدد) رابطه عکس
با تعداد ارقام آن (یعنی لگاریتم آن عدد) رابطه عکس دارد. چندین سؤال تاریخی در ارتباط با اعداد اول هنوزmath&gt;\mathrm{n}&lt;/math&gt; لاینحل مانده‌اند. این سؤالات شامل حدس گلدباخ می‌شود، این حدس می‌گوید که هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به‌صورت جمع دو عدد اول بیان کرد. یکی دیگر از این سؤالات حدس اعداد اول دوقلو است، که می‌گوید تعداد اعداد اولی که تفاضل‌شان فقط ۲ باشد بی‌نهایت است. چنین سؤالاتی موجب پیشرفت شاخه‌های مختلف نظریهٔ اعداد گشتند که در این مسیر بر روی جنبه‌های تحلیلی و جبری اعداد تمرکز
مسیر بر روی جنبه‌های تحلیلی و جبری اعداد تمرکز شده‌است. اعداد اول در چندین مسیر فناوری اطلاعات استفاده شده‌اند. مثل رمزنگاری کلید عمومی که به سخت بودن تجزیهٔ اعداد بزرگ به عوامل اول‌شان تکیه می‌کند. در جبر مجرد، اشیائی وجود دارند که به صورت تعمیم‌یافته، شبیه اعداد اول عمل می‌کنند. مثل عناصر اول و ایده‌آل‌های اول تعریف و مثال‌ها. عددی طبیعی (۱، ۲، ۳، ...) را «"عدد اول"» (یا "اول") نامند اگر بزرگ‌تر از ۱ بوده و نتوان آن را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچک‌تر نوشت. اعداد بزرگ‌تر از ۱ که اول نباشند را مرکب
نوشت. اعداد بزرگ‌تر از ۱ که اول نباشند را مرکب می‌نامند. به بیان دیگر، formula_6 اول است اگر نتوان آن را به بیش از یک گروه با اندازهٔ مساوی تقسیم‌بندی نمود، یا امکان آرایش formula_6 نقطه به شبکه‌ای از نقاط مستطیل‌گونه که طول و عرضی بزرگ‌تر از یک داشته باشند، امکان‌پذیر نباشد. به عنوان مثال، در میان اعداد ۱ تا ۶، اعداد ۲، ۳ و ۵، اعداد اول می‌باشند، چرا که هیچ عددی آن‌ها را به گونه‌ای تقسیم نمی‌کنند که باقیمانده صفر شود. ۱ اول نیست، چرا که به‌طور ویژه از تعریف مستثنی شده. ۴=۲×۲ و ۶=۲×۳، هردو اعدادی مرکب‌اند.
مستثنی شده. ۴=۲×۲ و ۶=۲×۳، هردو اعدادی مرکب‌اند. مقسوم‌علیه‌های یک عدد طبیعی چون formula_6، اعداد طبیعی هستند که formula_6 را به بخش‌های مساوی تقسیم می‌کنند. برای هر عدد طبیعی، ۱ و خود عدد همیشه جزو مقسوم‌علیه‌ها می‌باشند. اگر مقسوم‌علیه دیگری وجود داشته باشد، آن عدد اول نخواهد بود. این ایده منجر به تعریف متفاوت ولی معادلی برای اعداد اول می‌گردد: آن‌ها اعدادی هستند که دقیقاً دو مقسوم‌علیه دارند، ۱ و خود عدد. هنوز روش دیگری جهت بیان همین مفهوم وجود دارد، این که عدد formula_6 اول است اگر بزرگ‌تر از یک بوده و
که عدد formula_6 اول است اگر بزرگ‌تر از یک بوده و بر هیچ‌یک از اعداد formula_11 بخش‌پذیر نباشد. اولین ۲۵ عدد اول (تمام اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰) بدین قرار اند: هیچ عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ چون formula_6 اول نیست، چرا که دست کم می‌توان آن را به صورت formula_13 بیان نمود. ازین رو، هر عدد اول به غیر از ۲، یک عدد فرد است که به آن "عدد اول فرد" می‌گویند. به‌طور مشابه، هنگامی که تمام اعداد اول بزرگ‌تر از ۵ را در قالب دستگاه اعداد مبنای ده بنویسیم، رقم آخر آن‌ها (رقم یکان) به یکی از ارقام ۱، ۳، ۷ یا ۹ ختم می‌گردد.
یکان) به یکی از ارقام ۱، ۳، ۷ یا ۹ ختم می‌گردد. اعداد بزرگتر از ۵ی که به سایر ارقام ختم شوند، مرکب‌اند، چرا که اعداد ده-دهی که به ۰، ۲، ۴، ۶، یا ۸ ختم شوند زوج بوده و اعداد ده-دهی که به ۰ یا ۵ ختم شوند بر ۵ بخش‌پذیرند. برخی مواقع، مجموعه تمام اعداد اول را با formula_14 (حرف بزرگ درشت‌شده "P") و برخی از مواقع دیگر با formula_15 (حرف "P" بزرگ و درشت تخته‌سیاهی) نمایش می‌دهند. تاریخچه. پاپیروس ریاضی ریند، مربوط به حدود ۱۵۵۰ پیش از میلاد است که در آن کسرهای گسترش‌یافته مختلفی از اعداد اول و مرکب موجود است. با
مختلفی از اعداد اول و مرکب موجود است. با اینحال، قدیمی‌ترین مطالعات صریح برجای مانده که بر روی اعداد اول صورت پذیرفته، مربوط به ریاضیات یونان باستان می‌باشد. "اصول اقلیدس" (حدود ۳۰۰ پیش از میلاد)، بی‌نهایت بودن اعداد اول و قضیه اساسی حساب را اثبات کرده و نشان می‌دهد که چگونه می‌توان از یک عدد اول مرسن، عدد تامی ساخت. غربال اراتوستن، یکی دیگر از اختراعات یونانیان است که هنوز هم جهت ساخت فهرست اعداد اول مورد استفاده قرار می‌گیرد. در حدود ۱۰۰۰ میلادی، ریاضی‌دان جهان اسلام، ابن هیثم (Alhazen)، قضیه ویلسون را
جهان اسلام، ابن هیثم (Alhazen)، قضیه ویلسون را یافت، که اعداد اول را به عنوان اعدادی چون formula_6 مشخص می‌کند که formula_17 را می‌شمارند (یعنی formula_6 اول است formula_19 formula_17). همچنین او حدس زد که تمام اعداد تام زوج، از ترسیم اقلیدسی با استفاده از اعداد اول می‌آیند، اما قادر به اثبات آن نبود. یکی دیگر از ریاضیدانان جهان اسلام، به نام ابن بنای مراکشی، مشاهده نمود که غربال اراتوستن را می‌توان تنها با آزمودن مقسوم‌علیه‌های کوچکتر مساوی ریشه دوم (ریشه مربعی) بزرگترین عددی که باید آزموده شود، تسریع
مربعی) بزرگترین عددی که باید آزموده شود، تسریع نمود. فیبوناچی، نوآوری‌های جهان اسلام را به اروپا بازگرداند. کتاب او با نام "Liber Abaci" (۱۲۰۲ میلادی)، اولین کتابی بود که آزمون تقسیم را با استفاده از مقسوم‌علیه‌های کوچکتر مساوی رادیکال عدد مورد نظر، جهت آزمودن اول بودن یا نبودن یک عدد صحیح معرفی نمود. در ۱۶۴۰ میلادی، پیر دو فرما، قضیه کوچک فرما را بیان نمود (بدون اثبات)، (بعدها لایبنیتس و اویلر اثباتش نمودند). همچنین فرما در مورد اول بودن اعداد فرما formula_21، و مارین مرسن در مورد اعداد اول مرسن، یعنی
و مارین مرسن در مورد اعداد اول مرسن، یعنی اعداد اولی به فرم formula_22 که در آن formula_23 اول است، تحقیق نمودند. کریستین گلدباخ، حدس گلدباخ را فرموله کرد، این حدس بیان می‌دارد که هر عدد زوج به صورت جمع دو عدد اول است، او صورت این حدس را در ۱۷۴۲ میلادی در قالب نامه‌ای به اویلر مطرح نمود. اویلر حدس ابن هیثم (Alhazen) (که اکنون به قضیه اقلیدس-اویلر معروف است) را اثبات نمود، این حدس بیان می‌نمود که تمام اعداد تام زوج را می‌توان از اعداد اول مرسن ساخت. او در اثبات‌هایش در ارتباط با بی‌نهایت بودن اعداد اول و
اثبات‌هایش در ارتباط با بی‌نهایت بودن اعداد اول و همچنین واگرایی جمع معکوس اعداد اول formula_24، روش‌هایی را از آنالیز ریاضی به این حوزه از ریاضیات معرفی نمود. در ابتدای قرن نوزدهم میلادی، لژاندر و گاوس حدس زدند که با میل پیدا کردن formula_25 به سمت بی‌نهایت، تعداد اعداد اول کوچکتر مساوی formula_25، مجانب با formula_27 است که در آن formula_28، لگاریتم طبیعی formula_25 است. پیامد ضعیف تری از این چگالی بالای اعداد اول، اصل برتراند بود که می‌گفت: برای هر formula_30، عدد اولی بین formula_6 و formula_32 وجود
عدد اولی بین formula_6 و formula_32 وجود دارد، این اصل در ۱۸۵۲ میلادی توسط پافنوتی چبیشف اثبات شد. ایده‌های برنهارت ریمان در مقاله‌اش به سال ۱۸۵۹ میلادی، که در ارتباط با تابع زتا بود، خطوط کلی اثبات حدس لژاندر و گاوس را ترسیم نمود. گرچه که فرضیه ریمان، با وجود ارتباط نزدیک با حدس اخیر، هنوز هم اثبات نشده، ولی خطوط کلی اثبات ریمان در ارتباط با حدس لژاندر و گاوس در ۱۸۹۶ توسط آدامار و دو لا والی پوسین تکمیل شده و نتیجه آن را اکنون به نام قضیه اعداد اول می‌شناسند. یکی دیگر از نتایج مهم قرن نوزدهم میلادی، قضیه
یکی دیگر از نتایج مهم قرن نوزدهم میلادی، قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی بود، این که برخی از تصاعدهای حسابی، بی‌نهایت عدد اول را دربر می‌گیرند. بسیاری از ریاضی‌دانان، برای اعداد بزرگی که اعمال تقسیم معمولی رویشان عملی نباشند (از نظر قدرت محاسبه)، آزمون‌های اول بودن را مورد بررسی قرار داده‌اند. روش‌هایی که به فرم‌های عددی خاصی محدود شده باشند، مثل این موارد: آزمون پپین برای اعداد فرما (۱۸۷۷)، قضیه پروث (حدود ۱۸۷۸ میلادی)، آزمون اول بودن لهمر (نشأت گرفته در ۱۸۵۶ میلادی)، و آزمون اول بودن لوکاس. از
گرفته در ۱۸۵۶ میلادی)، و آزمون اول بودن لوکاس. از ۱۹۵۱میلادی، تمام بزرگترین اعداد اول شناخته شده را با استفاده از این آزمون‌ها، و با کمک کامپیوترها یافته‌اند. جستجو برای اعداد اول بزرگتر، در خارج از دایره ریاضی‌دانان نیز ایجاد علاقه نموده‌است، پروژه‌هایی چون «جستجوی بزرگ اینترنتی اعداد اول مرسن» و سایر پروژه‌هایی که با کمک محاسبات توزیع‌شده صورت می‌پذیرند. این ایده که اعداد اول کاربردهایی نیز خارج از ریاضیات محض دارد در دهه ۱۹۷۰ میلادی، هنگامی که دستگاه‌های رمزنگاری کلید عمومی و RSA ابداع شدند، درهم شکست،
رمزنگاری کلید عمومی و RSA ابداع شدند، درهم شکست، چرا که این الگوریتم‌ها، اعداد اول را مبنای خود قرار می‌دادند. اهمیت عملی فزاینده آزمون اول بودن با کمک کامپیوتر، و همچنین فاکتورگیری، منجر به توسعه روش‌های ارتقاء یافته‌ای شد که قادر بودند به کمک آن‌ها، با اعداد بزرگی با فرم غیر مقید و بدون محدودیت نیز کار کنند. همچنین، با کشف قضیه گرین-تائو (۲۰۰۴ میلادی)، مبنی بر این که تصاعدهای حسابی به میزان دلخواه بلندی از اعداد اول وجود دارند، به علاوه اثبات یتان ژانگ در ۲۰۱۳ میلادی مبنی بر این که بی‌نهایت شکاف اعداد
در ۲۰۱۳ میلادی مبنی بر این که بی‌نهایت شکاف اعداد اول با اندازه کراندار موجودند، قدم‌های مثبتی در پیش‌برد نظریه ریاضیاتی اعداد اول بوند. اول بودن یک. یونانیان اولیه، ۱ را حتی جزو اعداد هم به‌شمار نمی‌آوردند، پس طبیعتاً آن را اول هم در نظر نمی‌گرفتند. همچنین برخی از ریاضی‌دانان مربوط به این دوره، اعداد اول را به عنوان جزئی از اعداد فرد در نظر می‌گرفتند، بنابراین آن‌ها نیز ۲ را به عنوان عدد اول در نظر نمی‌گرفتند. با این حال، اقلیدس و بخش عمده‌ای از سایر ریاضی‌دانان یونانی، ۲ را به عنوان اول در نظر می‌گرفتند.
یونانی، ۲ را به عنوان اول در نظر می‌گرفتند. ریاضی‌دانان جهان اسلام در قرون وسطی، عمدتاً از یونانیان طبعیت کرده و ۱ را عدد در نظر نمی‌گرفتند. در قرون وسطی و رنسانس، ریاضی‌دانان کم‌کم ۱ را به عنوان عدد در نظر گرفتند، و برخی از آن‌ها ۱ را به عنوان اولین عدد اول به حساب آوردند. در اواسط قرن هجدهم میلادی، کریستین گلدباخ، ۱ را در مراودات خود با لئونارد اویلر، به عنوان عدد اول در نظر می‌گرفت؛ با این‌حال، خود اویلر ۱ را اول در نظر نمی‌گرفت. در قرن نوزدهم میلادی، بسیاری از ریاضی‌دانان هنوز هم ۱ را اول می‌دانستند، و
از ریاضی‌دانان هنوز هم ۱ را اول می‌دانستند، و فهرست‌های اعداد اولی که شامل ۱ بودند، هنوز هم تا ۱۹۵۶ میلادی منتشر می‌شدند. اگر در تعریف عدد اول تغییر ایجاد شده به گونه‌ای که ۱ نیز عدد اول محسوب شود، بسیاری از گزاره‌ها در مورد اعداد اول نیاز به بازنویسی خام و ناشیانه‌ای خواهند داشت. به عنوان مثال، قضیه بنیادین حساب را باید به گونه‌ای بازنویسی کرد تا فاکتورگیری برحسب اعداد اول بزرگتر از یک صورت گیرند، چرا که با ظهور تعداد متفاوت و تکراری از عدد ۱ در تجزیه اعداد، فاکتورگیری‌های مختلفی برای هر عدد تولید
اعداد، فاکتورگیری‌های مختلفی برای هر عدد تولید می‌شوند. به‌طور مشابه، اگر ۱ به عنوان عدد اول در نظر گرفته شود، غربال اراتوستن به خوبی کار نمی‌کند، چرا که تمام مضارب ۱ (یعنی تمام اعداد دیگر) حذف شده و خروجی تنها شامل ۱ خواهد بود. برخی از خواص فنی‌تر اعداد اول نیز برای عدد ۱ برقرار نیستند: به عنوان مثال، فرمول‌های تابع فی اویلر، یا تابع جمع مقسوم‌علیه‌ها، برای ۱ ضوابط متفاوتی نسبت به ضابطه‌شان برای اعداد اول دارند. تا اوایل قرن بیستم میلادی، ریاضی‌دانان شروع به توافق بر سر این موضوع کردند که ۱ نباید به عنوان
توافق بر سر این موضوع کردند که ۱ نباید به عنوان عدد اول فهرست شود، بلکه برایش رده مخصوصی به نام «یکه» (unit، عضو معکوس‌دار در ساختارهای جبری چون حلقه) را تعریف نمودند. قضیه‌ها. به این اثبات دقت کنید که از برهان خلف استفاده می‌کنیم: "فرض خلف :" اعداد اول متناهی است. اعداد اول را در هم ضرب می‌کنیم. formula_33 ضرب اعداد از formula_34 بزرگ‌تراست. formula_35 formula_36 formula_37 formula_38 formula_39 formula_40 formula_41 formula_42 formula_43 formula_44 که عدد یک جزء اعداد اول نیست پس به تناقض می‌رسیم و فرض
یک جزء اعداد اول نیست پس به تناقض می‌رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند. k عدد اول وجود دارد. تابع شمارش اعداد اول. ریاضیات تابع شمارش اعداد اول تابعی است که برای بیان تعداد اعداد اول به کار می‌رود و آن را با نماد formula_45 نمایش می‌دهند. ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارارت ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است: formula_46 همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱: formula_47 بعدها ثابت شد که برای هر ε&gt;۰ عددی طبیعی مانند s وجود دارد که برای هر x&gt;s رابطه زیر برقرار است: formula_48 قضیه
هر x&gt;s رابطه زیر برقرار است: formula_48 قضیه اعداد اول. اگرformula_45 تعداد اعداد اول کمتر از formula_50 باشد آنگاه formula_51 با استفاده از قضیه اعداد اول می‌توان اثبات کرد که: formula_52 که در آن تابع formula_53، تابع مولد اعداد اول باشد. یعنی x امین عدد اول formula_54 اثبات مطلب بالا به شرح زیر است: می‌دانیم formula_51 formula_56 می‌دانیم توابع formula_53 و formula_58 معکوس هم هستند. یعنی: formula_59 در نتیجه می‌توان با حل معادله formula_60 تابع formula_53 را یافت. می‌دانیم formula_56 پس با حل معادله
را یافت. می‌دانیم formula_56 پس با حل معادله formula_63 می‌توان هم‌ارزی برای formula_53 یافت. به روش تکرار ساده معادله را حل می‌کنیم. formula_65 formula_66 formula_67 اما باید توجه داشت چون به جای formula_58 از تابع هم ارز آن استفاده شده پس: formula_69 در نتیجه: formula_52 قضیه ویلسون. قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول است. این قضیه بیان می‌کند به ازای هر عدد اول مانند formula_71 داریم formula_72 این قضیه دوشرطی است بنابراین راهی برای تشخیص اعداد اول از مرکب است یعنی: برای هر عدد صحیح x اگر رابطه زیر
مرکب است یعنی: برای هر عدد صحیح x اگر رابطه زیر برقرار باشد آنگاه x عددی اول است در غیر این صورت x عددی مرکب است. formula_73 formula_74 این قضیه تعمیم‌هایی به شکل زیر دارد: تعمیم گاوس: کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m&gt;۲ عدد اول p formula_75 در اینجا formula_76 عددی صحیح و مثبت است. بزرگترین عدد اول کشف شده. بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده تا (۲۰۱۶) برابر دو به توان ۷۴ میلیون و ۲۰۷ هزار و ۲۸۱ منهای یک است. این عدد ۲۲٬۳۳۸٬۶۱۸ رقم دارد و یک عدد مرسن است. عدد
عدد ۲۲٬۳۳۸٬۶۱۸ رقم دارد و یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است. در سال ۲۰۱۸، طولانی‌ترین عدد اول که دارای ۲۳ میلیون رقم است؛ کشف شد. این عدد اول نیز یک عدد مرسن است که در جریان محاسبات در رایانه یک مهندس برق به نام جاناتان پیس در آمریکا در جریان پروژه‌ای برای کشف اعداد اول به نام «تحقیق اینترنتی بزرگ عدد مرسن» (GIMPS) کشف شد. این عدد را به اختصار و به‌طور قراردادی، M77232917 نامیده‌اند. پژوهش‌ها برای یافتن عددهای اول بزرگ دشوار و نیازمند نرم‌افزارهای خاص و همکاری علمی
دشوار و نیازمند نرم‌افزارهای خاص و همکاری علمی پژوهشگران هستند. الگوهای توزیع اعداد اول. یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است. مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف
دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد. مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی به‌وجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.
بُناب یکی از شهرهای استان آذربایجان شرقی و مرکز اداری شهرستان بناب است و هفتمین شهر پرجمعیت این استان می باشد. شهر بناب در جنوب‌غربی استان آذربایجان شرقی در سه راه مواصلاتی آذربایجان شرقی - آذربایجان غربی و استان کردستان در ۳۷ درجه و ۲۰ دقیقه و ۳۰ ثانیه عرض شمالی و ۴۶ درجه و ۳ دقیقه و ۱۵ ثانیه طول شرقی‌ نسبت به نیمروز گرینویچ قرار دارد. این شهر در کنار دریاچه ارومیه در دامنه های زیبای رشته کوههای سهند واقع شده است. شهر بناب به دلیل داشتن رودخانه های متعدد و از طرفی محدود شدن قسمتی از شهرستان به ساحل دریاچه
از طرفی محدود شدن قسمتی از شهرستان به ساحل دریاچه ارومیه و قسمت دیگر آن به کوهستان سهند، به عنوان جلگه ای حاصل‌خیز محسوب می شود، اما امروزه با احداث سدها در مناطق بالادست این قابلیت مهم از این منطقه سلب شده و رودخانه های دائمی این شهر به رودخانه ی فصلی بدل گشته است.این شهر در ۱۲۰ کیلومتری جنوب غربی تبریز واقع شده‌است. پیشینهٔ آثار تاریخی کشف‌ شده در ارتفاعات جنوبی گورستان‌های قره قشون به سده‌های هشتم و نهم هجری می‌رسد و نشانگر رونق و آبادانی بناب در عصر صفویان است. امروزه ساکنان شهر بناب پیرو دین اسلام و
است. امروزه ساکنان شهر بناب پیرو دین اسلام و مذهب شیعهٔ دوازده‌امامی هستند. بناب از یک بخش به نام مرکزی تشکیل و دارای ۳ دهستان می‌باشد، به‌طوری که دهستان بناجوی غربی به مرکزیت روستای خانه برق جدید، دهستان بناجوی شرقی به مرکزیت روستای چلقایی و دهستان بناجوی شمالی به مرکزیت روستای روشت بزرگ قرار دارند. بناب داری 29 روستا می باشد. پیشینه. آثار به دست آمده از حفاری‌های قره تپه گزاوشت و قیزلار قلعه سی (قلعه دختران) که یکی از نود و سه تپه باستانی می‌باشند و همچنین وجود سی و شش غار مربوط به یکدیگر (معماری صخره‌ای
وجود سی و شش غار مربوط به یکدیگر (معماری صخره‌ای صور) که نشانگر زندگی‌های دسته جمعی در دوران ماقبل تاریخ است. همچنین کشف آثار قدیمی مانند ظروف سفالین، فلزی و نشانه‌های تمدن شهری تا عمق چند متری زمین، این سابقه طولانی هزاران ساله را تأیید می‌کند.شهر بناب توسط تپه‌های متعددی احاطه شده‌است. از جمله قره کولوک، تپه قبرستان قدیمی محله مهرآباد، تپه گزاوشت در محله گزوشت، تپه قره چپق و تپه‌های سپیگان، تپه آغاجاری، تپه بابالار، شیزگان تپه، همچنین تپه‌های باستانی که مساجد زرگران، مهرآباد و میدان بر روی این تپه‌ها
مساجد زرگران، مهرآباد و میدان بر روی این تپه‌ها قرار گرفته‌اند، از دوره اسلامی تا شش هزار سال پیش قدمت دارند. دیاکونوف با استفاده از مندرجات الواح آشوری از وجود یک پادشاهی نیمه‌مستقل به نام اوئیش‌دیش یا «ویش‌دیش» در سدهٔ هشتم قبل از میلاد در حدود ناحیهٔ بناب کنونی و در جوار قلمرو دولت ماننا و تحت نفوذ آن خبر داده است. مردمان بناب همانند دیگر شهرستانهای استان آذربایجانی بوده و به زبان ترکی آذربایجانی گویش میکنند. نام‌گذاری. در لغت‌نامهٔ دهخدا، فرهنگ فارسی معین، و فرهنگ عمید واژهٔ بناب به معنی «قعر آب» و «ته