payamvha/North_RAG huggingface dataset:
موارد اگر بتوان از روی نوشته تشخیص داد تنها از نماد لگاریتم استفاده می‌کنند و از نوشتن پایهٔ آن خودداری می‌کنند. در جدول زیر نمادی ستون «نماد ISO» مربوط به پیشنهادی است که از سوی سازمان بین‌المللی استانداردسازی داده شده‌است. (ISO ۳۱–۱۱) پیشینه. پیشینیان. ویراسنا، ریاضی‌دان هندی از کسانی بود که با مفهومی به نام "ardhaccheda" کار کرد. "ardhaccheda" یعنی تعداد دفعاتی که می‌توان ۲"n" را نصف کرد. برای نمونه برای توان‌های دقیق ۲ این کار برابر با لگاریتم گرفتن در مبنای ۲ بود؛ وی همچنین لگاریتم در پایهٔ دیگر اعداد
۲ بود؛ وی همچنین لگاریتم در پایهٔ دیگر اعداد صحیح مانند لگاریتم در پایهٔ ۳ ("trakacheda") و در پایهٔ ۴ ("caturthacheda") را نیز معرفی کرد. مایکل استیفل در سال ۱۵۴۴ میلادی در نورنبرگ "Arithmetica integra" را منتشر کرد، در این نوشته جدولی از اعداد صحیح و توان‌های ۲ داده شده بود، این جدول به عنوان نسخهٔ اولیهٔ جدول لگاریتم شمرده می‌شود. از نپر تا اویلر. روش لگاریتم‌گیری در سال ۱۶۱۴ از سوی جان نپر در کتابی با عنوان "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" (توصیفی بر قانون شگفت‌انگیز لگاریتم) ارائه شد.
(توصیفی بر قانون شگفت‌انگیز لگاریتم) ارائه شد. همچنین ژو بورجی نیز جداگانه روش لگاریتم‌گیری را پیدا کرده بود اما آن را شش سال پس از نپر منتشر کرد. نپر، با استفاده از روش تقسیم‌های متوالی توانسته بود عبارت formula_23 را به ازای "L"های میان ۱ تا ۱۰۰ محاسبه کند. جواب این عبارت برای ۱۰۰ = "L" تقریباً برابر است با ۰٫۹۹۹۹۹ = ۱ - ۵-۱۰ و ۲۰ ۰٫۹۹۵ ≈ ۰٫۹۹. این محاسبات که ۲۰ سال طول کشید، باعث شد تا او بتواند به ازای هر عدد "N" در بازهٔ ۵ تا ۱۰ میلیون، بتواند عدد "L" را پیدا کند که در رابطهٔ زیر صدق کند: نپر ابتدا
را پیدا کند که در رابطهٔ زیر صدق کند: نپر ابتدا نام «"عدد ساختگی"» را بر "L" نهاد ولی پس از مدتی واژهٔ «"لگاریتم"» "logarithm" را معرفی کرد و آن را بر عددی گذاشت که نمایندهٔ یک نسبت است: واژهٔ "λόγος" برابر "logos" به معنی «نسبت» است و واژهٔ "ἀριθμός" برابر "arithmos" به معنی «عدد» است. بوسیلهٔ عبارت زیر می‌توان مفهوم پیشین لگاریتم را با مفهوم امروزی لگاریتم طبیعی مرتبط کرد: با تقریب خوبی داریم: این دست‌آورد خیلی زود مورد تحسین گستردهٔ دیگران قرار گرفت، به همین دلیل با تلاش دانشمندانی چون بوناونتورا
به همین دلیل با تلاش دانشمندانی چون بوناونتورا کاوالیری (Bonaventura Cavalieri) از ایتالیا، ادموند ونگت (Edmund Wingate) از فرانسه، زو فنگزوئو (Xue Fengzuo) از چین و… مفهوم لگاریتم همه جا فراگیر شد. در سال ۱۶۴۷ گرگوآر دو سن-ونسان توانست مفهوم لگاریتم را با یک چهارم هذلولی مرتبط کند، با فرض آنکه سطح formula_27 زیر منحنی هذلولی به ازای ۱ = x تا t در رابطهٔ زیر صدق می‌کند: لگاریتم طبیعی اولین بار از سوی نیکولاس مرکاتور در مقالهٔ "Logarithmotechnia" که در سال ۱۶۶۸ منتشر کرد، توضیح داده شد. البته پیش از او جان
منتشر کرد، توضیح داده شد. البته پیش از او جان اسپیدل که یک معلم ریاضی بود در سال ۱۶۱۹ جدولی از لگاریتم طبیعی را گردآوری کرده بود. در حدود سال ۱۷۳۰ لئونارد اویلر تابع نمایی و لگاریتم طبیعی را به گونهٔ زیر تعریف کرد: همچنین اویلر نشان داد که این دو تابع وارون یکدیگرند. جدول لگاریتم، خط‌کش لغزان و کاربردها در گذشته. با ساده‌سازی محاسبات پیچیده، از لگاریتم می‌توان در دانش پیشرفته مانند اخترشناسی، نقشه‌برداری، هوانوردی و… کمک گرفت. پیر سیمون لاپلاس دربارهٔ لگاریتم گفته‌است: وسیلهٔ کلیدی که پیش از در دسترس قرار
گفته‌است: وسیلهٔ کلیدی که پیش از در دسترس قرار گرفتن ماشین حساب و رایانه برای محاسبهٔ لگاریتم از آن استفاده می‌شد و بوسیلهٔ آن بود که ارزش لگاریتم روشن شد، "جدول لگاریتم" بود. چنین جدولی برای اولین بار بوسیلهٔ هنری بریگز در سال ۱۶۱۷ بلافاصله پس از ابتکار نپر ایجاد شد. پس از آن جدول‌های وسیع تر و دقیق تری نوشته شد. در این جدول‌ها مقدار formula_31 و formula_32 برای هر عدد x در یک بازهٔ مشخص با دقت مشخص و برای پایه‌های مشخص (معمولاً پایهٔ ۱۰) نوشته شده بود. برای نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد
نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد صحیح میان ۱ تا ۱۰۰۰ با دقت ۸ رقم اعشار نوشته شده بود. از آنجایی که تابع formula_33 وارون formula_31 است به آن پادلگاریتم می‌گویند. لگاریتم ضرب و تقسیم دو عدد را همیشه به صورت جمع و تفاضل لگاریتم‌های آن‌ها نشان می‌دادند. ضرب و تقسیم عبارت داخل لگاریتم را می‌توان بوسیلهٔ تابع پادلگاریتم یا خود جدول بدست آورد: و زمانی که رایانه در دسترس نیست، جستجوی جدول‌های لگاریتم و استفاده از جمع و تفریق لگاریتم‌ها بسیار آسان‌تر از روش‌های ساده‌سازی مانند روش
بسیار آسان‌تر از روش‌های ساده‌سازی مانند روش "Prosthaphaeresis" است. روش یاد شده بر پایهٔ اتحادهای مثلثاتی است. شمارش توان‌ها و ریشه‌های اعداد به انجام عمل ضرب و تقسیم و جستجوی جدول به ترتیب زیر کاهش یافته‌است: و در بسیاری از جدول‌ها برای محاسبهٔ لگاریتم بخش اعشاری و بخش صحیح را از یکدیگر جدا می‌کردند مانند نمونهٔ زیر: وسیلهٔ دیگری که برای شمارش لگاریتم کاربرد داشت، خط‌کش لغزان بود. مدت کوتاهی پس از کشف لگاریتم از سوی نپر، ادموند گونتر خط‌کشی (معیاری) برای بدست آوردن لگاریتم ایجاد کرد که لغزان نبود و به
بدست آوردن لگاریتم ایجاد کرد که لغزان نبود و به کمک آن می‌شد لگاریتم‌ها را بدست آورد. پس از او ویلیام اوترد روش پیشرفته‌تری را پیشنهاد کرد که دارای یک جفت لگاریتم‌هایی بود که در دو لبهٔ خط‌کش قرار داده شده بود و با لغزاندن دو لبهٔ خط‌کش می‌شد لگاریتم مورد نظر را به دست آورد. تا سال ۱۹۷۰ این خط‌کش وسیلهٔ محاسبه‌گر مهمی برای مهندسان و دانشمندان بود؛ چون به کمک آن، با دقت کافی و بسیار سریع تر از جدول‌ها، می‌شد لگاریتم عدد را به دست آورد. ویژگی‌های ریاضی. مطالعهٔ بیشتر در بحث لگاریتم نیازمند مطرح کردن مفهوم
بیشتر در بحث لگاریتم نیازمند مطرح کردن مفهوم "تابع" است. یک تابع مانند یک قانون عمل می‌کند که اگر یک عدد ورودی داشته باشد، در مقابل یک خروجی تولید می‌کند. مانند تابع توان "x" ام عدد حقیقی "b" که به صورت زیر نوشته می‌شود: تابع لگاریتم. برای درک تابع لگاریتم باید نشان داد که معادلهٔ زیر: دارای راه حل و جواب یکتای "x" است به شرطی که y بزرگتر از صفر باشد و "b" بزرگتر از صفر و نامساوی ۱ باشد. برای اثبات این مطلب باید از قضیهٔ مقدار میانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر تابع
استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر تابع پیوسته‌ای دو مقدار "m" و "n" را تولید کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. یک تابع را زمانی پیوسته می‌دانیم که در هیچ نقطه‌ای ار آن «پرش» نداشته باشیم و بدون بلندکردن قلم از روی کاغذ بتوانیم خم آن را بکشیم. می‌توان نشان داد که در تابع formula_42 نیز همین ویژگی وجود دارد، برای هر y&gt; ۰ که میان دو مقدار formula_43 و formula_44 به ازای x۰ و x۱ قرار داشته باشد طبق قضیهٔ مقدار میانی می‌توان یک "x" پیدا کرد که formula_45 باشد؛
میانی می‌توان یک "x" پیدا کرد که formula_45 باشد؛ بنابراین برای معادلهٔ formula_46 یک جواب پیدا شد که می‌توان گفت تنها جواب این معادله‌است چون تابع f برای b&gt; ۱ اکیداً صعودی و برای b میان ۰ و ۱ اکیداً نزولی است. جواب پیدا شده برای این معادله همان لگاریتم "y" در پایهٔ "b" است. قرینه تابع لگاریتمی. اگر قرینه تابع formula_47 برابر با formula_48 باشد نسبت به محور yها قرینه هم هستند. اگر قرینه تابع formula_47 برابر با formula_50 باشد نسبت به محور xها قرینه هم هستند. تابع وارون. لگاریتم تابع توانی برای هر عدد
هستند. تابع وارون. لگاریتم تابع توانی برای هر عدد "x" به صورت زیر نوشته می‌شود: اگر پایهٔ توان و لگاریتم هر دو "b" باشد جواب نهایی رابطهٔ بالا قطعاً خود "x" خواهد بود. همچنین اگر عدد مثبت "y" را داشته باشیم، رابطهٔ زیر نیز برقرار خواهد بود: بنابراین در هر دو صورت می‌توان دو تابع توانی و لگاریتم را ترکیب کرد و دوباره به مقدار اولیه رسید. پس لگاریتم در پایهٔ "b" تابع وارون است. دو تابع وارون همواره با یکدیگر ارتباط دارند به این ترتیب که خم‌های آن‌ها قرینهٔ یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در
یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در تابع formula_31 اگر "x" به سمت مثبت بی‌نهایت برود مقدار تابع لگاریتم نیز به ازای "b&gt; ۱" به سمت مثبت بی‌نهایت خواهد رفت در این حال می‌گوییم تابع formula_31 اکیداً صعودی است. به ازای "b &lt;۱" اگر "x" به سمت مثبت بی‌نهایت رود، مقدار تابع formula_31 به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود. وقتی "x" به سمت صفر می‌رود مقدار تابع formula_31 برای "b&gt; ۱" به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود و برای "b &lt;۱" به سمت مثبت بی‌نهایت می‌رود. مشتق و پادمشتق. ویژگی‌های ریاضی یک تابع را
مشتق و پادمشتق. ویژگی‌های ریاضی یک تابع را می‌توان در تابع وارون آن نیز جستجو کرد. پس چون "f"("x") = "b""x" یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که formula_57 نیز همین ویژگی را دارد. یک تابع پیوسته مشتق‌پذیر است اگر هیچ نقطهٔ تیزی (نقطهٔ شکستگی) در آن وجود نداشته باشد. از آنجایی که می‌توان نشان داد که مشتق formula_58 برابر با formula_59 است، با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی و قاعدهٔ زنجیری به این نتیجه می‌رسیم که مشتق formula_60 برابر است با: که این شیب خط مماس در نقطهٔ x بر خم formula_60
که این شیب خط مماس در نقطهٔ x بر خم formula_60 است که برابر است با formula_63. همچنین مشتق formula_64 برابر با formula_65 است که به این معنی است که پادمشتق formula_65 همان formula_67 است. اگر به جای "x" حالت کلی formula_68 را در نظر بگیریم، در این حالت خواهیم داشت: گاهی برای بدست آوردن مشتق تابع" f" از formula_70 استفاده می‌کنند که به این کار مشتق‌گیری لگاریتمی می‌گویند. پادمشتق لگاریتم طبیعی formula_64 برابر است با: رابطه‌های مرتبط با دیگر پایه‌های لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته
با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته شد بدست می‌آید. بیان انتگرالی لگاریتم طبیعی. لگاریتم طبیعی "t" برابر است با انتگرال formula_73 از ۱ تا "t": به عبارت دیگر formula_75 برابر است با سطح میان محور "x"ها و نمودار تابع formula_76 از ۱ = x تا formula_77 (شکل مقابل). این مطلب، از نتایج قضیهٔ اساسی حسابان و اینکه مشتق formula_78، formula_76 است، می‌باشد. عبارت سمت راست این رابطه را می‌توان به عنوان تعریفی برای لگاریتم طبیعی در نظر گرفت. فرمول‌های ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه
ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه گرفت. برای نمونه formula_80 را می‌توان به صورت زیر نتیجه گرفت: بخش نخست تساوی انتگرال را به دو بخش جدا می‌شکند و بخش دوم تساوی، تغییر متغیر می‌دهد (formula_82). در نگاره‌ای که در پایین نشان داده شده‌است، سطح زیر منحنی که برابر با انتگرال بالا است به دو ناحیهٔ آبی و زرد تقسیم شده‌است. در قسمت آبی همان‌طور که خم در جهت "x" کشیده شده ("t" برابر شده) به همان اندازه هم در جهت عمودی دچار جمع شدگی شده‌است بنابراین سطح زیر منحنی سمت راست که انتگرال "f"("x") = ۱/"x"
زیر منحنی سمت راست که انتگرال "f"("x") = ۱/"x" از ۱ تا "u" است با سطح زیر آن از "t" تا "tu" برابر است. پس روی شکل سمت چپ نشان داده شد که formula_83 یا سطح زیر منحنی برابر است با مجموع formula_84 و formula_85 (سطح زرد و آبی) رابطهٔ توان formula_86 را نیز به همین ترتیب می‌توان اثبات کرد: در تساوی دوم تغییر متغیر formula_88 را داریم. مجموع وارون‌های اعداد طبیعی: که سری هارمونی نام دارد، به لگاریتم طبیعی بسیار نزدیک است: هرگاه "n" به سمت بی‌نهایت برود، تفاضل زیر: به عددی معروف به ثابت اویلر-مسکرونی، همگرا
زیر: به عددی معروف به ثابت اویلر-مسکرونی، همگرا می‌شود. این ارتباط در تحلیل عملکرد الگوریتم‌هایی مانند مرتب‌سازی سریع کمک می‌کند. محاسبه. در بعضی موارد مانند ۳ = (۱۰۰۰) log۱۰ محاسبهٔ لگاریتم بسیار آسان است. در حالت کلی لگاریتم را به کمک سری‌های توانی یا ابزارهای محاسباتی-هندسی یا به کمک بازیابی جدول لگاریتم که پیش از این محاسبه شده و دقت کافی دارد، محاسبه می‌کنند. همچنین برای محاسبهٔ formula_91 می‌توان از الگوریتم لگاریتم‌های دودویی که به صورت بازگشتی و بر پایهٔ مربع‌های پشت هم از "x" عمل می‌کند استفاده
پایهٔ مربع‌های پشت هم از "x" عمل می‌کند استفاده کرد: روش تقریبی نیوتن که یک روش تکرار شونده برای حل تقریبی معادلات است، می‌تواند برای بدست آوردن مقدار لگاریتم مفید باشد؛ چون تابع وارون لگاریتم، تابع نمایی با تقریب خوبی قابل محاسبه‌است. در صورتی که تنها ابزار در دسترس ابزار جمع و اعداد پایهٔ دو باشد، می‌توان با جستجو در میان جدول CORDIC یا «روش رقم به رقم» روش‌های مناسبی برای محاسبهٔ لگاریتم پیدا کرد. سری‌های توانی. سری تیلور. برای هر عدد حقیقی "z" که میان کوچکتر از ۲ و بزرگتر از صفر است رابطهٔ زیر برقرار
کوچکتر از ۲ و بزرگتر از صفر است رابطهٔ زیر برقرار است: با استفاده از روابط زیر formula_94 را می‌توان دقیق‌تر بدست آورد: برای نمونه، تقریب سوم به ازای "z" = ۱٫۵ نتیجه برابر با ۰٫۴۱۶۷ خواهد بود که تقریباً ۰٫۱۱ بیشتر از ۰٫۴۰۵۴۶۵ = (۱٫۵) ln است. در حساب دیفرانسیل غیر پیشرفته، formula_94 را به عنوان حد این نوع سری‌ها در نظر می‌گیرند؛ که به آن بسط تیلور لگاریتم طبیعی به ازای "z" = ۱ می‌گویند. دیگر سری‌های پرکاربرد. سری دیگر برپایهٔ تابع وارون تانژانت هذلولوی (وارون تانژانت هیپربولیک) است، این سری برای اعداد
(وارون تانژانت هیپربولیک) است، این سری برای اعداد مختلط "z" با بخش حقیقی مثبت است که به صورت زیر نوشته می‌شود: با استفاده از مفهوم جمع (سیگما) می‌توان این سری را به گونهٔ دیگری نوشت: این سری از سری تیلور که در بالا گفته شد گرفته می‌شود ولی خیلی زودتر از تیلور همگرا می‌شود. به ویژه زمانی که "z" عددی نزدیک ۱ باشد. برای نمونه برای "z" = ۱٫۵ سه جملهٔ اول سری دوم با خطایی برابر با ۶-۱۰ × ۳ تقریباً می‌توان گفت تقریباً برابر با (۱٫۵)ln است. اینکه به ازای "z"های نزدیک به ۱ سری زودتر همگرا می‌شود را می‌توان به کمک
به ۱ سری زودتر همگرا می‌شود را می‌توان به کمک رابطهٔ زیر نشان داد: فرض کنید "تقریباً" formula_99 و رابطهٔ زیر را نیز داریم: می‌توان از دو سوی رابطهٔ بالا لگاریتم گرفت: هرچه مقدار لگاریتم "z" دقیق‌تر باشد باید formula_102 به صفر نزدیک تر باشد در نتیجه A به ۱ نزدیک‌تر است. مقدار "A" به کمک سری‌های نمایی محاسبه می‌شود که این سری‌ها، اگر "y" بزرگ نباشد، خیلی زود همگرا می‌گردند. برای آسان‌تر کردن محاسبهٔ formula_94 می‌توان آن را به مقدارهای کوچکتر خُرد کرد به این ترتیب که بگوییم a × 10b = z و لگاریتم آن را به
ترتیب که بگوییم a × 10b = z و لگاریتم آن را به صورت formula_104 بنویسیم. از روش مشابهی می‌توان استفاده کرد تا به کمک آن لگاریتم اعداد صحیح را بدست آورد: اگر لگاریتم عدد بزرگ "n" معلوم باشد، می‌توان لگاریتم "n" + ۱ را با همگرایی سریع سری بالا بدست آورد. میانگین حسابی-هندسی. با کمک میانگین حسابی-هندسی می‌توان با دقت خوبی لگاریتم طبیعی عددی مانند "x" را بدست آورد. میزان تقریب آن برابر با formula_106 است. این رابطه از سوی ریاضیدان آلمانی کارل فریدریش گاوس پیشنهاد شد. در اینجا "M" نماد میانگین حسابی-هندسی است
شد. در اینجا "M" نماد میانگین حسابی-هندسی است که از تکرار محاسبهٔ میانگین حسابی و ریشهٔ دوم ضرب دو عدد (میانگین هندسی) بدست می‌آید. همچنین "m" از راه انتخابی مانند زیر بدست می‌آید: هم میانگین حسابی-هندسی و هم ثابت‌های π و (۲)ln به کمک سری‌هایی که زود همگرا می‌شوند قابل محاسبه‌اند. کاربرد. مفهوم لگاریتم کاربردهای زیادی در بیرون و درون دنیای ریاضی دارد. برخی از پیشامدهای لگاریتم در طبیعت، بیشتر به مفهوم نامتغیر مقیاس مرتبط است. برای نمونه هر خانهٔ پوستهٔ بدن آبزی ناتیلوس تقریباً رونوشتی از خانهٔ کناری آن است
ناتیلوس تقریباً رونوشتی از خانهٔ کناری آن است که با یک ضریب ثابت مقیاس یافته‌است و یک مارپیچ لگاریتمی را ساخته‌است. قانون بنفورد در توزیع شمارگان (رقم‌ها) را هم می‌توان با مفهوم نامتغیر مقیاس توضیح داد. همچنین مفهوم لگاریتم به بحث خودهمانندی هم مرتبط است. برای نمونه پردازش لگاریتمی کمک می‌کند تا برای حل یک مسئله، نخست آن را به دو مسئلهٔ همانند کوچکتر بخش کنیم سپس جواب دو بخش را به هم پیوند دهیم. شکل‌های هندسی خودهمانند که در آن‌ها بخش‌هایی از شکل متناسب با سراسر آن است هم به لگاریتم وابسته‌اند. مقیاس
با سراسر آن است هم به لگاریتم وابسته‌اند. مقیاس لگاریتمی مقیاسی بسیار پرکاربردی برای بررسی کمّی تغییرات پدید آمده در مقدار اصلی است. افزون بر این چون تابع رشد بسیار کندی دارد به ویژه برای "x"های بزرگ می‌توان داده‌های علمی در بازه‌های بزرگ را به خوبی فشرده کرد. همچنین پیش می‌آید که در بسیاری از فرمول‌های علمی مانند معادلهٔ فنسک، معادلهٔ نرنست و… از ویژگی‌های لگاریتم بهره برد. مقیاس لگاریتمی. کمیت‌های علمی بیشتر به صورت لگاریتم کمیت‌های دیگر ارائه می‌شوند به عبارت دیگر برای نشان دادن آن‌ها از "مقیاس
به عبارت دیگر برای نشان دادن آن‌ها از "مقیاس لگاریتمی" بهره برده می‌شود، برای نمونه دسی‌بل چنین است. برای نشان دادن تراز توان صداها در صداشناسی یا جذب نور در میدان طیف‌سنجی و نورشناسی یا در بیان نسبت سیگنال به نویز و توضیح میزان صداهای نامطلوب به سیگنال‌های بامعنی به دسی‌بل نیاز است. همانند آنچه گفته شد، نسبت سیگنال بالایی به نویز برای ارزیابی کیفیت صدا یا فشرده‌سازی تصویر بسیار کاربرد دارد که در آن هم از لگاریتم بهره برده می‌شود. لگاریتم با مفهوم ارتفاع و فاصله در موسیقی هم مرتبط است. در سامانهٔ
ارتفاع و فاصله در موسیقی هم مرتبط است. در سامانهٔ ارتفاع‌هایی که همهٔ جفت نت‌ها، نسبت بسامد برابر دارند، نسبت بسامد تنها به فاصلهٔ میان دو ارتفاع بستگی دارد و نه به آن بسامد ویژه یا ارتفاع هر یک عدد نت. برای نمونه: نت لا بسامد ۴۴۰ هرتزی دارد و نت سی بمل نیز دارای بسامد ۴۶۶ هرتز است. فاصله میان این دو نت یک نیم ارتفاع نام دارد. همچنان که میان نت سی بمل و نت سی با بسامد ۴۹۳ هرتز هم همین‌طور است. برپایهٔ آنچه گفته شد نسبت این بسامدها به صورت زیر است: از این رو می‌توان از لگاریتم برای توضیح فاصله‌ها بهره برد:
می‌توان از لگاریتم برای توضیح فاصله‌ها بهره برد: یک فاصله در نیم-ارتفاع با گرفتن لگاریتم نسبت بسامد در پایهٔ یا در پایهٔ ۲۱/۱۲۰۰ اندازه‌گیری می‌شود. پایه دوم برای توصیف دقیق‌تر به کار می‌رود چرا که از آن برای temperamentهای نامساوی بهره گرفته می‌شود. نظریهٔ اعداد. لگاریتم طبیعی ارتباط نزدیکی با شمارش اعداد اول دارد. این مطلب موضوعی مهم در نظریهٔ اعداد است. برای هر عدد صحیح "x" شمار عددهای اول کوچکتر یا مساوی "x" را با نمایش می‌دهند. نظریهٔ اعداد اول می‌گوید که تقریباً برابر است با: با در نظر گرفتن این مطلب
که تقریباً برابر است با: با در نظر گرفتن این مطلب که برای "x"هایی که به بی‌نهایت می‌رود نسبت به کسر بالایی به یک نزدیک می‌شود. از این مطلب می‌توان نتیجه گرفت که احتمال اول بودن یک عدد دلخواه میان یک و "x" با وارون تعداد رقم‌های دهدهی "x" متناسب است. یک برآورد خیلی بهتر با کمک انتگرال لگاریتمی زیر بدست می‌آید: حدس ریمان یکی از کهن‌ترین حدسهای ریاضی است که در مقایسهٔ و کاربرد دارد. نظریهٔ اردوش-کاک به توضیح شمار عامل‌های اول می‌پردازد که در آن از مفهوم لگاریتم طبیعی کمک گرفته شده‌است. لگاریتم "n" فاکتوریل،
طبیعی کمک گرفته شده‌است. لگاریتم "n" فاکتوریل، "n"! = ۱ · ۲ ·... · "n" چنین است: از این برای بدست آوردن تقریب استرلینگ، یک تقریب برای "n"های بزرگ، استفاده می‌شود. حالت کلی. عدد مختلط "a" جواب معادلهٔ زیر، یک "لگاریتم مختلط" است. "z" عددی مختلط است. یک عدد مختلط را به صورت "z = x + iy" نمایش می‌دهیم که "x" و "y" هر دو عددی حقیقی و "i" یکهٔ موهومی است. چنین عددی را می‌توان با یک نقطه بر روی صفحهٔ مختلط نمایش داد (مانند روبرو). فرم قطبی نمایش دهندهٔ عدد ناصفر مختلط "z" است که قدر مطلق آن برابر است با فاصلهٔ
مختلط "z" است که قدر مطلق آن برابر است با فاصلهٔ "r" تا مبدأ مختصات و زاویهٔ میان خط گذرا از "z" و مبدأ با محور "x" زاویهٔ مربوط به این عدد مختلط است. قدر مطلق "z" همان "r" است که برابر است با: چون φ' = φ + ۲π پس هم φ و هم 'φ هر دو زاویهٔ مربوط به "z"اند. تنها یک φ است که در رابطهٔ صدق می‌کند که به آن آرگومان اصلی گفته می‌شود و به صورت نمایش داده می‌شود. گاهی هم به صورت تعریف می‌شود. با بهره‌گیری از تابع‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس یا شکل نمایی اعداد مختلط به ترتیب به رابطه‌های زیر می‌رسیم، "r" و φ را
به ترتیب به رابطه‌های زیر می‌رسیم، "r" و φ را بالاتر تعریف کردیم: در آغاز معادله‌ای را بیان کردیم که در آن توان "a" ام "e" برابر با "z" می‌شد. با توجه به آنچه گفته شد، مقدار "a" برابر خواهد بود با: در این رابطه، "n" هر عدد صحیحی می‌تواند باشد. در آموزش و پرورش ایران. در نظام آموزش و پرورش جدید که به کاربردی سازی محتوای دروس توجه دارد، لگاریتم در پایه یازدهم کتاب حسابان ۱ مطرح می شود.
تور یا تورَج (به اوستایی: ؛ به پارسی میانه: )، بر پایهٔ اسطوره‌های ایران‌زمین پسر دوم از سه پسر فریدون بود که در جهان‌بخشی فریدون کشور توران به او اختصاص یافت. تور با همدستی برادر بزرگ‌ترش سلم بر برادر کوچک‌تر یعنی ایرج شوریدند و او را کشتند. تور نخستین شاه و پدیدآورنده سرزمین توران بود. معنای واژه تور را در پارسی تنومند و قدرتمندگفته‌اند. حکیم طوس فردوسی صحنه قتل ایرج را این‌گونه وصف می‌نماید: تور در ادبیات پهلوی. تور که نام آن در خدای‌نامه‌های ساسانی تُوَرمیش (شکارچی گوسفند وحشی) آمده، پهلوانی دلیر بوده
(شکارچی گوسفند وحشی) آمده، پهلوانی دلیر بوده که با پتک عظیم و آذرخشاگین خود در نبرد های متفاوت دیوان را به زانو درآورده بوده و در جنگ‌های متفاوت همراه آفریدون بوده و بعد از بر تخت نشینی خود در توران دیوزده شده و به همراه برادرش روام، بر پدر و برادر خود ایرج می‌شورد. از آنجا نامش در خدای‌ نامگ به تور (گرگ قوی) تغییر می‌کند و همواره به نام تور یا تورج شناخته می‌شود تور در "شاهنامه". دوره زندگانی تور و برادران بر دو یا سه بخش تقسیم می‌شود، بخش اوّل و دوم آن دوران کودکی و دوران ازدواج است در این دوره از زندگی
کودکی و دوران ازدواج است در این دوره از زندگی هر سه برادر هیچگونه اختلاف یا دشمنی با یکدیگر نداشتند حتی ماجرای خواستگاری از دختران سرو شاه یمن که ایلچی آن جندل وزیر فریدون بود، سه برادر در صلح و آرامش به‌سر می‌بردند. امّا بخش سوّم زندگی آنها که همراه با کینه و دشمنی از یکدیگر آغاز شد زمانی هست که فریدون هر یک را مرزبان ایالتی بزرگ منسوب نمود بطوریکه اراضی مزبور چنان فراخ وسعت داشت که حکومت فریدون بر آنها مشکل بود. این شد که سلم و تور هر کدام مرزهای سپرده شده را کشوری مستقل برای خویش مبدل نمودند که البته
شده را کشوری مستقل برای خویش مبدل نمودند که البته زبان، فرهنگ و آداب و رسوم آن اراضی مختص به خود بود. به قول شاهنامه آفریدون جهان را سه بخش کرد نخست ملت روم و خاور را به سلم سپرد. سپس قوم ترکان و چین به تور واگذاشت آنگاه سرزمین اصلی و بخشی از کشورهای پیرامونی نظیر میان‌رودان و بیت‌المقدس را تحت عنوان ایران به پسر کوچکتر ایرج سپرد. نکته قابل تأمل دربارهٔ اراضی سپرده شده به تور این است که سرزمین مزبور بعد از حیات تور با عنوان کشور توران شناخته و رسمیت یافت. بدین منوال باید سکنه توران را آمیزه‌ای از اقوام و
بدین منوال باید سکنه توران را آمیزه‌ای از اقوام و قبایل قدرتمند و نیرومند تلقی نمود که بواسطه حکومت تور و اخلافش به مرور وارد دایرهٔ مدنیت و تمدن باشکوهی می‌شدند. افراسیاب نوه تور بیشتر افراد جنگجوی مزدور را از میان همین قوم قدرتمند که در تاریخ تحت عنوان کلی‌تر بنام سکاها مشهورند، وارد میدان می‌نمود. در شاهنامه، زمانیکه قلمرو سه برادر تعیین می‌شود فردوسی تنها از تور هم‌ردیف با تخت کیان نام برده است نه از برادرانش سلم و ایرج:
ایر یا ایرَج (به اوستایی: 𐬀𐬌𐬭𐬌𐬌𐬀 ؛ به پارسی میانه: ) کوچک‌ترین پسر فریدون است که در تاریخ سنتی نام ایران از او برخاسته است. انبوهی از اسطوره‌ها در "اوستا"، ادبیات پهلوی، عربی و فارسی بر پایهٔ داستان‌های ساسانیان به‌ویژه "شاهنامهٔ" فردوسی، ایرج را در ردهٔ قهرمانی برجسته می‌دانند که نیای دودمان پیشدادی پادشاهی در ایران است و الگویی برای رهروان دفاع از اهداف محق به‌شمار می‌آید. فردوسی مفصل‌ترین روایت از داستان ایرج را ارائه می‌دهد که شیوایی و تصاویر خوش‌منظر بدیع آن جالب توجه است. پنجاه پس سال از پادشاهی،
بدیع آن جالب توجه است. پنجاه پس سال از پادشاهی، فریدون صاحب سه پسر می‌شود. چون به بزرگسالی می‌رسند وی فرستاده‌ای می‌فرستد تا در پی سه خواهر از خانواده‌ای اشرافی بگردد که نام نداشته باشند، تا فرستاده به دختران سرو پادشاه یمن می‌رسد. سرو پسران فریدون را به یمن دعوت می‌کند تا ارزش آن‌ها را بسنجند و چون قانع می‌شود دخترانش را به پیوند آنان درمی‌آورد. در راه برگشت فریدون تصمیم می‌گیرد تا شخصیت پسران خود را بیازماید و به شکل اژدهایی آتش‌زا در می‌آید و خشمگینانه به سوی آن‌ها هجوم می‌برد. بزرگ‌ترین پسر به گوشه‌ای
سوی آن‌ها هجوم می‌برد. بزرگ‌ترین پسر به گوشه‌ای امن می‌گریزد و می‌گوید که تنها یک نادان به نبرد با اژدها می‌رود. دومین پسر با دلاوری بی‌باکانه نبرد را می‌پذیرد. سومین پسر دلاورانه به پیش می‌آید و فریاد می‌زند که آن‌ها پسران فریدون‌اند که از هیچ هیولایی نمی‌ترسند. فریدون به شکل انسان بازمی‌گردد و به آن‌ها در کاخ شاهی خوش‌آمد می‌گوید و در کنار تخت پادشاهی می‌نشاند و حقیقت داستان را برایشان بازگو می‌کند. سپس می‌افزاید من نام‌هایی مناسب شما برگزیده‌ام. بزرگ‌ترین فرزند که گوشهٔ امن سلامت را جویا شد، سلم نامید
فرزند که گوشهٔ امن سلامت را جویا شد، سلم نامید (در اینجا فردوسی با اندکی شیطنت ریشه‌ای برای کلمه سلامت ساخته در صورتی که درواقع سلم ریشه سلامت نیست). دومین پسر که جسارتی بی‌لجام نشان داد تور نامیده شد (به معنای بی‌پروا و شجاع) و کوچک‌ترین پسر که به‌درستی شجاعتی محتاطانه از خود نشان داد ایرج نام گرفت چون به تنهایی لایق ستایش بود. (ایر به معنای نجیب و شریف). ازآن پس فریدون جهان را به سه قلمرو بخش کرد. روم و غرب را به سلم بخشید. چین و توران را به تور داد که توران‌شاه نامیده شد و به ایرج ایران و عربستان و تخت
نامیده شد و به ایرج ایران و عربستان و تخت و تاج زرین و مهر پادشاهی را داد. این سه برادر دیرزمانی در قلمرو خود پادشاهی کردند. چون فریدون به پیری رسید، سلم رشک خود به ایرج را آشکار کرد چون ایرج برگزیده‌ترین سهم را دریافت کرده بود، سلم تور را به شورش برانگیخت. آن دو دیدار کردند و فرستاده‌ای را نزد فریدون فرستادند و به او گفتند که منطقه‌ای دورافتاده را به ایرج بدهد یا برای جنگ با دو پسرش آماده شود. ایرج به امید این‌که برادرانش را با پدرشان آشتی دهد، گرچه با دست کشیدن از تاج و تخت هم باشد، نزد آن‌ها رفت. آن‌ها
کشیدن از تاج و تخت هم باشد، نزد آن‌ها رفت. آن‌ها با خشم او را پذیرفتند، رشک آن‌ها با شنیدن زمزمهٔ لشکریان خود افزایش یافت: «کسی جز ایرج سزاوار حکومت شاهنشاهی و تاج اشراف نیست» تور با تحریک سلم، ایرج را کشت و سر او را پیش فریدون فرستاد. پادشاه غمگین برای کین خواهی ایرج به دست نوادگان وی دعا کرد. دعای او برآورده شد. یکی از همسران ایرج به نام ماه‌آفرید دختری به دنیا آورد. فریدون او را با برادرزادهٔ خود پشنگ پیوند داد. این زوج صاحب پسری شدند که فریدون او را منوچهر نامید و به عنوان وارث خود برگزید. منوچهر پس از
نامید و به عنوان وارث خود برگزید. منوچهر پس از بلوغ، سلم و تور را کشت و فریدون به نفع او از سلطنت کناره‌گیری کرد و اندکی بعد درگذشت. ریشهٔ نام. نام ایرج از ریشهٔ «ایر» است و با واژگانی همچون «ایران» و «آریا» هم‌خانواده است. نام ایرج را از ریشهٔ «ایر» به معنای آزاده و نجیب آورده‌اند. فریدون به‌دلیل خوی او چنین نامی را بر ایرج نهاده‌بود. نام ایرج در اوستا در بند ۱۳۱ "فروردین‌یشت" به‌صورت اَئیریاوَ یاد شده است. ایرج در اوستا و ادبیات پهلوی. فروردین‌یشت کهن‌ترین نوشته‌ای است که در آن نامی از ایرج برده شده است