payamvha/North_RAG huggingface dataset:
کریستیان یوهان هاینریش هاینه یا «هاری هاینه» (زادهٔ ۱۳ دسامبر ۱۷۹۷ در دوسلدورف – درگذشتهٔ ۱۷ فوریهٔ ۱۸۵۶ در پاریس) شاعر و خبرنگار آلمانی در سدهٔ ۱۹ میلادی بود. هاینه بیشتر به‌خاطر اشعار غنایی‌اش مشهور شده‌است. او درضمن هم‌زمان، شاعر رمانتیسیسم نیز بود. آثار او یکی از پر ترجمه‌ترین نوشتارها در ادبیات آلمانی به‌شمار می‌روند. زندگی. هاینه در یک خانواده آلمانی‌شدهٔ یهودی فقیر در دوسلدورف زاده شد و با همراهی و مساعدت عموی ثروتمندش از ۱۸۱۱ تا ۱۸۲۹ زندگی حرفه‌ای خود را با تحصیل در رشته حقوق در دانشگاه‌های گوتینگن،
را با تحصیل در رشته حقوق در دانشگاه‌های گوتینگن، بن و برلین آغاز کرد. بعدها ولی به ادبیات بیشتر علاقه‌مندی پیدا کرد و با وجود این، تحصیلاتش در رشته حقوق را سال ۱۸۲۵ به پایان رسانید. در همین زمان نیز او از یهودیت به مسیحیت پروتستانی گروید و در مراسم مذهبی نام خود را از «هاری» به «هاینریش» برگرداند. در سال‌های بعد به‌علت اینکه کار آزاد نویسندگی را برای خود برگزیده بود، زندگانی ناثابتی داشت و مدتی دراز در لندن و مونیخ و ایتالیا به‌سر برد. هاینه سال ۱۸۳۱، آلمان را به قصد پاریس ترک کرد و تا پایان عمرش، زندگی
را به قصد پاریس ترک کرد و تا پایان عمرش، زندگی خود را در پایتخت فرانسه گذرانید. آن زمان، در اروپا دوران حکومت مترنیخ بود و هاینه که اینک یک دموکرات انقلابی شده بود در ماه مه ۱۸۳۱ به پاریس رفت و به‌عنوان شاعر و روزنامه‌نویس به همکاری با مطبوعات فرانسه و آلمان پرداخت و از این طریق نیز امرار معاش کرد. در فرانسه او با نظریه‌پردازان سوسیالیسم آرمانشهری (Utopian socialism) از جمله کونت سان-سیمون همکار شد. انتقاد سیاسی او همچنین با نام «"آلمان، یک افسانه زمستانی"» از طرف کارل مارکس در روزنامه فوروِرتس (Vorwärts)
از طرف کارل مارکس در روزنامه فوروِرتس (Vorwärts) به چاپ رسید. در سال ۱۸۳۵ مجلس آلمان نشر آثار هاینه را ممنوع ساخت و در نتیجه اشکالات دائمی مالی هاینریش هاینه ناگزیر شد که در سال ۱۸۳۶ کمک‌های مالی بودجه مخفی دولت فرانسه را برای مهاجرین سیاسی، به مبلغ چهارهزاروهشتصد فرانک در سال بپذیرد. در سال ۱۸۴۸ پس از تغییر دولت این کمک نیز قطع شد. هاینه، دو بار در پائیز ۱۸۴۳ و تابستان ۱۸۴۴ برای بازدید کوتاهی به آلمان بازگشت. از سال ۱۸۴۸ دراثر بیماری ستون فقرات در خانه فقیرانه‌اش در پاریس، که خود آن را «گورستان تشک‌ها»
در پاریس، که خود آن را «گورستان تشک‌ها» نام نهاد، پایبند و خانه‌نشین شد و از جانب همسرش اوژنی میرا که در اشعار هاینه «ماتیلده» خوانده می‌شود و بعدها معشوقه‌اش موشه (الیزه کرایتز) وفادارانه پرستاری شد. او در پاریس می‌کوشید میان فرانسوی‌ها و آلمانی‌ها ارتباط فکری برقرار کند. مقالات او زیر عنوان «دربارهٔ تاریخ ادبیات جدید در آلمان» (۱۸۳۴)، اوضاع فرانسه و مجموعه‌ای از مقالاتی که از پاریس برای روزنامه آلگماینه زایتونگ در آگسبورگ می‌نوشت و کتاب «سالن» (۱۸۳۵ تا ۱۸۴۰) که در آن راجع به تاریخ مذهب و فلسفه در آلمان
که در آن راجع به تاریخ مذهب و فلسفه در آلمان از یک‌طرف و زندگی فرانسوی‌ها از طرف دیگر بحث کرده‌است، نمودار این تلاش اوست. در سال‌های ۱۸۴۰ هاینریش هاینه به اندیشه‌های سوسیالیستی گروید و در ایام دوستی با کارل مارکس که هاینه از او ۲۰ سال پیر بود منظومه‌ای به نام «بافندگان سیلزی» نوشت که در آن موضوع شورش بافندگان در سال ۱۸۴۴ مطرح است. هاینریش هاینه در ۱۷ فوریه ۱۸۵۶ در پاریس درگذشت و در گورستان مونت مارتر به خاک سپرده شد. آثار ادبی. هاینریش هاینه در سال ۱۸۲۲ با انتشار «اشعار» در جهان ادب جلوه‌گر شد و پس از آن
انتشار «اشعار» در جهان ادب جلوه‌گر شد و پس از آن در سال‌های ۱۸۲۶ و ۱۸۲۷ دو کتاب به نام «سفرنامه‌ها یا تصاویری از یک سفر» از او انتشار یافت که در سال‌های ۱۸۳۰ و ۱۸۳۱ دو جلد دیگر نیز بر آن‌ها افزوده شد. هاینه با دید و طنز مخصوص خودش دربارهٔ تمام مسائل مورد توجه عصر خود اظهارنظر کرده‌است و تصویرهای قابل توجهی از طبیعت که در احساس یک شاعر جلوه دارد نشان داده‌است. هاینه این ترانه‌ها را به اضافه آنچه قبلاً نشر داده بود و آثاری که بعد بر آن‌ها افزود در سال ۱۸۲۷ یکجا در کتاب «ترانه‌ها» انتشار داد و این سرشناس‌ترین
در کتاب «ترانه‌ها» انتشار داد و این سرشناس‌ترین اثری است که شهرت شاعری او را بنیان گذاشته‌است. هنگام به قدرت رسیدن نازیسم و سوزاندن کتاب‌ها در برلین سال ۱۹۳۳، در میان نوشتارهای سوخته شده، «المنصور» نوشته هاینریش هاینه نیز وجود داشت، که در آن نوشته شده بود: هاینریش هاینه منظومه‌ای نیز با عنوان «فردوسی شاعر» در بزرگداشت شاهنامه و سراینده او دارد. او در این منظومه با اشاراتی به رنجی که فردوسی در سرودن شاهنامه کشید، بیش از همه به ستمی که در حق او روا داشتند پرداخته و از ناسپاسی سلطان محمود غزنوی بسیار گفته‌است
و از ناسپاسی سلطان محمود غزنوی بسیار گفته‌است و از پشیمانی دیرهنگام او. هاینه در ابیات پایانی منظومهٔ «فردوسیِ شاعر»، صحنهٔ دردناکی را به‌تصویر کشیده‌است: "در حالی که صدای جرس کاروان هدایای سلطان محمود غزنوی و بانگ لااله‌الاالله شتررانان از بیرون دروازهٔ غربی شهر توس به‌گوش می‌رسد، کاروان تشییع جنازهٔ فردوسی از دروازهٔ شرقی شهر خارج می‌شود." فهرست برخی از آثار. برخی از آثار مشهور ادبی او عبارت هستند از:
کوه سهند یکی از بزرگ‌ترین و مهم‌ترین برجستگی‌های آذربایجان و از معروف‌ترین کوه‌های آتشفشانی ایران است که در جنوب شهر تبریز و جنوب غربی اوجان «بستان‌آباد» و شمال شهر مراغه و شمال غرب شهرستان هشترود در مرکز استان آذربایجان شرقی است. این رشته‌کوه دارای بیش از ۳۰ قله با ارتفاع بیش از ۳٬۰۰۰ متر است که بلندترین آن‌ها قلهٔ قوچ‌گولی (کمال) ۳۷۱۰ متر بلندی داشته و در محدودهٔ شهرستانی بستان آباد قرار دارد. و مرتفع‌ترین نقطهٔ استان محسوب می‌شود. این کوه بخشی از رشته کوه مرکزی و کمربند آتشفشانی سهند-بزمان محسوب می‌شود.
مرکزی و کمربند آتشفشانی سهند-بزمان محسوب می‌شود. سهند که یکی از مهم‌ترین کوه‌های آتشفشانی خاموش ایران به‌شمار می‌رود، به‌دلیل انبوهی گیاهان، چمنزارها، گلزارها و مراتع در آن به عروس کوه‌های ایران مشهور شده‌است؛ چراکه سطح تمام مناطق این رشته‌کوه پوشیده از سبزه است. کوه‌های کمال، جام، سهند، بوز داغ، ارونه، زری داغ، بویوک داغ، کریم داغی، لیقوان داغی، سلطان داغی، دمیرلی، آغ‌داغ، موتال داغی، قبله داغی، ارشد داغی، شیر داغی، حرم داغی، گیروه داغی، چاناق، اوو داغی، آتاشان، درویشلر از مهم‌ترین قله‌های رشته‌کوه سهند
آتاشان، درویشلر از مهم‌ترین قله‌های رشته‌کوه سهند محسوب می‌شوند. درهٔ زیبا و سحرانگیز شاه یوردی در شمال قلّهٔ جام قرار گرفته‌است. در بُندَهِش، زامیادیَشت و زادسپَرَم از کوهی به نام «اَسَنوَند» نام برده می‌شود که در آذربایجان واقع شده‌است. در زادسپرم مکان آذرگشسب در این کوه قرار دارد؛ البته شواهد زیادی در رابطه با یکسان‌بودن سهند و اسنوند وجود ندارد. در جبههٔ شمالی سهند مشرف به جلگهٔ تبریز و بستان‌آباد قلّه‌های کمال (قوچ گولی)، بویوک داغ، ارونه کوه، بوز داغ، متال، دمیرلی و … واقع شده‌اند که مرتفع‌ترین بخش
متال، دمیرلی و … واقع شده‌اند که مرتفع‌ترین بخش کوهستان سهند را تشکیل می‌دهند. قله‌های جنوبی سهند همگی مشرف به جلگهٔ بستان آباد هستند. در دامنه‌های کوهستان سهند، زیباترین دره‌های آبرفتی همراه با روستاها، باغ‌ها و کشتزارها، جلوه‌هایی شگفت پدیدآورده است. کوهستان سهند بعد از سبلان یکی از بزرگ‌ترین و مهم‌ترین برجستگی‌های آذربایجان و از معروف‌ترین کوه‌های آتشفشان خاموش ایران است که در ۵۰ کیلومتری جنوب تبریز قرار گرفته‌است. در سال‌های گذشته در دامنه‌های رشته‌کوه سهند و به‌ویژه در محدودهٔ شهرستان بستان‌آباد
سهند و به‌ویژه در محدودهٔ شهرستان بستان‌آباد به‌صورت بی‌رویه معادن پوکه فعّال شده‌اند که باعث به‌هم‌ریختگی بوم‌سازگان منطقه شده‌است. آب‌وهوای سهند. آب‌وهوای منطقهٔ قلمرو کوهستان سهند مانند سایر مناطق کوهستانی تابع عواملی چون عرض جغرافیایی، ارتفاع، عوارض پستی بلندی، قرار گرفتن در معرض وزش بادها، وجود دریاها و دریاچه‌های بزرگ، فشار جریان هوا و بارندگی است. ناحیهٔ کوهستانی سهند دارای آب‌وهوای سردسیری است و مقدار بارش آن در قله‌ها سالانه ۶۰۰ الی ۷۰۰ میلی‌متر و در اطراف ۳۰۰ تا ۵۰۰ میلی‌متر است. از نظر
و در اطراف ۳۰۰ تا ۵۰۰ میلی‌متر است. از نظر تقسیم‌بندی فصول از نظم خاصی پیروی نمی‌کند و مانند مناطق جلگه‌ای نیست. مدت زمستان طولانی هشت‌ماهه و فصل گرما کوتاه‌مدت است. رودخانه‌های سهند. رودهایی که از سهند سرچشمه می‌گیرند به آبگیرهای دو حوضهٔ دریاچهٔ ارومیه و دریای خزر می‌ریزند. مهم‌ترین رودخانه‌های جاری از سهند عبارت‌اند از: اوجان چایی (رودخانه اوجان یا بستان آباد) سیداوا چایی (رودخانه سعیدآباد) صوفی چایی (صافی رود مراغه) لیوان چایی (رودخانه لیقوان) زینجانا چایی (رودخانه زین جناب) اوسکو چایی (رودخانه اسکو)
چایی (رودخانه زین جناب) اوسکو چایی (رودخانه اسکو) توفارقان چایی (رودخانه آذرشهر یا دهخوارقان) قالا چایی (قلعه رود عجب شیر) موردی چایی (رودخانه مردق) لیلان چایی (رودخانه لیلان) قرانقو چایی (رودخانه قرانقو) فعالیت‌های ورزشی و تفریحی. این کوه پذیرای کوهنوردان در فصل‌های بهار و تابستان است. پیست اسکی سهند در مسیر تبریز به بستان‌آباد و بعد از گذشتن از روستاهای سعیدآباد، ایرانق، متنق و ثمرخزان در طول فصل زمستان فعّال است.
معادله دیفرانسیل در ریاضیات، معادله‌ای است که یک یا چند تابع مجهول و مشتقات آنها را به هم مرتبط می‌کند. عموماً در کاربردها، توابع کمیت‌های فیزیکی را نشان می‌دهند، مشتق‌ها نرخ تغییر آن‌ها را نشان می‌دهند، و "معادله دیفرانسیل" رابطه بین این دو را تعریف می‌کند. چنین روابطی بسیار رایج است، و به همین دلیل معادلات دیفرانسیل نقش برجسته‌ای در بسیاری از رشته‌ها از جمله مهندسی، فیزیک، اقتصاد و زیست‌شناسی دارند. مطالعه معادلات دیفرانسیل عمدتاً شامل مطالعه جواب‌های آنها (مجموعه توابعی که هر معادله را برآورده می‌کند) و
(مجموعه توابعی که هر معادله را برآورده می‌کند) و خواص جواب‌های آنها است. فقط معادلات دیفرانسیل ساده با فرمول‌های صریح قابل حل هستند. با این حال، امکان تعیین بسیاری از خواص جواب‌های یک معادله دیفرانسیل معین بدون محاسبه دقیق آنها وجود دارد. اغلب هنگامی که یک عبارت فرم بسته برای جواب در دسترس نیست، می‌توان با استفاده از رایانه به صورت عددی جواب‌ها را تخمین زد. تئوری سیستم‌های دینامیکی بر تحلیل کیفی سیستم‌هایی که با معادلات دیفرانسیل توصیف شده‌اند، تأکید می‌کند، در حالی که روش‌های عددی زیادی برای تعیین
می‌کند، در حالی که روش‌های عددی زیادی برای تعیین راه‌حل‌ها با درجه‌ای از دقت معین توسعه داده شده‌اند. استفاده از روش‌های مبتنی بر یادگیری ماشین در حل این معادلات رو به گسترش است. تاریخچه. معادلات دیفرانسیل با اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتس به وجود آمد. نیوتن در فصل ۲ کتاب خود"Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum،" در سال ۱۶۷۱ سه نوع معادله دیفرانسیل را فهرست کرد: formula_1 در تمام این موارد، y یک تابع مجهول از x (یا از x1 و x2)، و f یک تابع معین است. او این
x (یا از x1 و x2)، و f یک تابع معین است. او این مثال‌ها و نمونه‌های دیگر را با استفاده از سری‌های بی‌نهایت حل می‌کند و در مورد منحصربه‌فرد نبودن جواب‌ها بحث می‌کند. ژاکوب برنولی در سال ۱۶۹۵ میلادی معادله دیفرانسیل برنولی را پیشنهاد کرد. این معادله یک معادله دیفرانسیل معمولی با شکل زیر است: formula_2 که سال بعد لایبنیتس با ساده کردن آن جواب‌هایی برای آن به دست آورد. از نظر تاریخی، مسئله سیم ارتعاشی مانند یک ساز موسیقی توسط ژان لو رون دالامبر، لئونارد اویلر، دانیل برنولی و ژوزف لوئی لاگرانژ مورد مطالعه قرار
دانیل برنولی و ژوزف لوئی لاگرانژ مورد مطالعه قرار گرفت. در سال ۱۷۴۶، دالامبر معادله موج یک بعدی را کشف کرد و در عرض ده سال اویلر معادله موج سه بعدی را کشف کرد. معادله اویلر-لاگرانژ در دهه ۱۷۵۰ توسط اویلر و لاگرانژ در ارتباط با مطالعات آنها در مورد مسئله خم همزمانی ایجاد شد. این مسئله در رابطه با تعیین منحنی‌ای است که در آن یک ذره وزن‌دار در یک زمان ثابت، مستقل از نقطه شروع، به یک نقطه ثابت سقوط می‌کند. لاگرانژ این مسئله را در سال ۱۷۵۵ حل کرد و راه حل را برای اویلر فرستاد. آن دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه
اویلر فرستاد. آن دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه دادند و آن را در مکانیک به کار بردند که منجر به تدوین مکانیک لاگرانژی شد. در سال ۱۸۲۲، ژوزف فوریه کار خود را در مورد شارش گرما در کتاب "Théorie analytique de la chaleur" (نظریه تحلیلی گرما) منتشر کرد، که در آن استدلال خود را بر قانون خنک‌سازی نیوتن استوار کرد. در این کتاب پیشنهاد فوریه از معادله گرما برای رسانش واپخشی گرما وجود داشت. در حال حاضر این معادله دیفرانسیل جزئی بخشی مشترک از درس فیزیک ریاضی است. مسائل مقدار اولیه. در حل مسائل کلّی به "ثابت انتگرال"
مقدار اولیه. در حل مسائل کلّی به "ثابت انتگرال" برمی‌خوریم. به عنوان مثال: formula_3 به این معنی که مقدار پادمشتق می‌تواند هر تابع formula_4 (به ازای هر formula_5) باشد. به عبارتی دیگر تابع formula_6 ممکن است formula_7 یا formula_8 یا موارد مشابه باشد. در صورتی که مقدار اوّلیّهٔ formula_6 را بدانیم، می‌توان آن را به صورت دقیق پیدا کرد. در مثال قبلی، اگر بدانیم formula_10 از این موضوع نتیجه می‌گیریم: formula_11 به عنوان مثال، اگر بدانیم سرعت یک جسم (formula_12) برابر ۱ است و همچنین در ثانیهٔ ۱ در مکان ۲
برابر ۱ است و همچنین در ثانیهٔ ۱ در مکان ۲ قرار داشته (formula_10)، از روش مذکور برای پیدا کردن معادلهٔ مکان-زمان استفاده می‌کنیم. شاخه‌بندی. معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد: خطی. هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیرخطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. اکثر معادلاتی (معمولی) که در فیزیک به آنها برمی‌خوریم خطی هستند. اگر درجهٔ مجهول و مشتقاتش یک باشند، آن را "خطی" و در غیر این صورت غیرخطی می‌نامیم. به عنوان مثال، معادلهٔ formula_16 خطی است ولی معادلهٔ formula_17
معادلهٔ formula_16 خطی است ولی معادلهٔ formula_17 غیرخطی است. به دلیل این که معادلات خطی حل (نسبتاً) ساده‌تری دارند، می‌توان معادلات غیرخطی را با تقریب خطی به معادلات خطی تبدیل و آنها را با روش‌های معمول حل کرد. به این عمل "خطی‌سازی" می‌گویند. از کاربردهای فیزیکی این معادلات می‌توان به مدل‌سازی حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن به دست می‌آیند اشاره کرد. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده
معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند. همچنین در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو و قانون سرمایش نیوتن کاربرد فراوانی دارد. مرتبه. مرتبهٔ یک معادلهٔ دیفرانسیل عبارت است از مرتبهٔ مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد. به عنوان مثال، مرتبهٔ معادلهٔ formula_16 یک است و مرتبهٔ formula_19 دو است. همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه
روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود. دستگاه معادلات دیفرانسیل. یک شاخه‌بندی دیگر این معادلات، تعداد مجهول‌های این معادلات است. اگر یک مجهول وجود داشته باشد، یک معادله برای پیدا کردن جواب کافی است. اگر دو مجهول باشد دو معادله نیاز است که تشکیل دستگاه معادلات دیفرانسیل می‌دهند. از این معادلات می‌توان به معادله لوتکا-ولترا اشاره کرد که در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی استفاده می‌شود. مرتبه اول. "معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل" گروهی از "معادلات
"معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل" گروهی از "معادلات دیفرانسیل" هستند که تنها شامل مشتق مرتبهٔ اوّل تابع مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع). اگر formula_15 تابعی مجهول از متغیّر formula_14 باشد، یک "معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل" معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت زیر نمایش داد (که در آن formula_22 می‌تواند هر تابع پیوسته‌ای باشد): formula_23 به عنوان مثال formula_24 یک "معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل" است (formula_25) و حل آن ما را به formula_26 می‌رساند. یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است:
یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است: formula_27 برای حل این معادلات روش کلی وجود ندارد. روش‌های متعدّدی وجود دارد که هر کدام تنها برای دستهٔ خاصی از این معادلات کاربردی هستند. از مهم‌ترین آنها می‌توان به "مرتبه اول خطی" و "مرتبه اول تفکیک‌پذیر" اشاره کرد که در ادامه به آنها می‌پردازیم. قضیهٔ وجود و یکتایی. "قضیهٔ پیکارد-لیندلوف" : این معادلات در بازهٔ وجودی‌شان دقیقاً یک جواب دارند. اگر formula_22 پیوسته باشد، بازهٔ وجودی برابر formula_29 است. در غیر این صورت، پیدا کردن بازه‌ای که جواب در آن
در غیر این صورت، پیدا کردن بازه‌ای که جواب در آن وجود دارد می‌تواند سخت باشد. بازهٔ وجودی جواب شاید هیچ ارتباطی با بازهٔ پیوستگی formula_22 نداشته باشد. اگر توابع formula_22 و formula_32 در یک مربّع فرضی (مثل formula_33) پیوسته باشند، بازه‌ای از formula_14 (مثل formula_35) وجود دارد که معادلهٔ formula_36 (با مقادیر اوّلیّهٔ دلخواه) در آن جواب دارد. توجّه کنید که شروط ذکر شده ضروری نیستند؛ یعنی شاید بتوان به روشی دیگر و بدون کمک گرفتن از این قضیه، بازهٔ وجودی پیدا کرد. مرتبهٔ اول خطی. در صورتی که درجهٔ
وجودی پیدا کرد. مرتبهٔ اول خطی. در صورتی که درجهٔ formula_6 و formula_38 یک باشد به آن خطی گوییم. در مدارهای RL، به کمک قانون اهم به معادلاتی مشابه formula_39 می‌رسیم (formula_40 و formula_41 و formula_42 ثابت و formula_43 تابعی از formula_44) و برای پیدا کردن formula_43 باید از "معادلات دیفرانسیل مرتبه اوّل خطی" کمک بگیریم. برنولی. معادلهٔ دیفرانسیل برنولی معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت formula_46 نوشت. برای حل این معادلات می‌توان آنها را با تغییر متغیّر formula_47 به معادلهٔ خطی تبدیل کرد:
تغییر متغیّر formula_47 به معادلهٔ خطی تبدیل کرد: formula_48 مرتبهٔ اول تفکیک‌پذیر. "معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل تفکیک‌پذیر" معادلاتی هستند که بتوان آن‌ها را به فرم دیفرانسیلی زیر نمایش داد (formula_49 و formula_50 دلخواه): formula_51 برای حل این معادله، آن را به فرم زیر می‌نویسیم: formula_52 با فرض این که formula_53 و formula_54 پادمشتق formula_22 و formula_56 باشند: formula_57 طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای: formula_58 در نتیجه تساوی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت: formula_59 در نتیجه، با انتگرال‌گیری نسبت به
formula_59 در نتیجه، با انتگرال‌گیری نسبت به formula_14 داریم: formula_61 به عبارتی دیگر، جواب به صورت زیر به دست می‌آید: formula_62 مرتبهٔ اول همگن. اگر یک "معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل" را به فرم formula_27 بنویسیم، در صورتی که توابع formula_64 و formula_65 هر دو توابع همگن با درجه (مرتبه) یکسان باشند، آن معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن است. به عبارتی دیگر formula_66 و formula_67. توجّه کنید که مرتبهٔ همگنی توابع (formula_68) با مرتبهٔ معادله (یک) اشتباه نشود. حال درصورتی که formula_69: formula_70 به
نشود. حال درصورتی که formula_69: formula_70 به عبارتی دیگر formula_38 را می‌توان به صورت تابعی از تنها کسر formula_72 بیان کرد (formula_22 یک تابع همگن درجه صفر است). این معادلات را می‌توان با تغییر متغیّر formula_74 به معادلات "تفکیک‌پذیر" تبدیل کرد. به عنوان مثال، معادلهٔ formula_75 را می‌توان به صورت formula_76 نمایش داد (پس همگن است). با فرض formula_74، می‌توان معادله را به صورت formula_78 تفکیک کرد. ادامهٔ حل، به روش حل "معادلات تفکیک‌پذیر" است. یک حالت خاص. اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل به فرم formula_79
خاص. اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل به فرم formula_79 یا formula_80 باشد، می‌توان معادلهٔ مذکور را با تغییر متغیّر به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد. جواب‌های دو معادله دومجهولی formula_81 و formula_82 به صورت زیر به دست می‌آید (اگر formula_83): formula_84 سپس با تغییر متغیّر formula_85 و formula_86 می‌توان معادلهٔ مذکور را به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد: formula_87 مرتبهٔ اول خودگردان. در صورتی که نرخ رشد یک تابع (formula_15) تنها به مقدار تابع وابسته باشد، "خودگردان" نامیده می‌شود: formula_89 رشد نمایی. "معادلهٔ رشد
نامیده می‌شود: formula_89 رشد نمایی. "معادلهٔ رشد نمایی" ساده‌ترین نوع معادلات خودگردان است و برای مدل‌سازی رشد بعضی گونه‌ها (مثل میکروب‌ها) استفاده می‌شود. به این معادله «قانون رشد طبیعی» نیز می‌گویند. این معادلات را می‌توان به فرم formula_90 نوشت (formula_91 یک عدد و formula_6 تابعی از formula_44 است) و جواب آن برابر formula_94 است. رشد لجستیک. "معادلهٔ لُجِستیک یا معادلهٔ ورهولست" از انواع معادلات خودگردان است که اوّلین بار توسّط یک ریاضی‌دان بلژیکی برای مدل‌سازی رشد جمعیّت معرّفی شد. به عنوان مثال در
مدل‌سازی رشد جمعیّت معرّفی شد. به عنوان مثال در حالت کشت سلّول در یک پتری‌دیش، اگر در ابتدا تعداد میکروب‌ها کم باشند به صورت نمایی رشد می‌کنند؛ امّا به دلیل محدود بودن فضای رشد، تعداد آن‌ها از مقدار خاصی فراتر نمی‌رود و سرعت رشد به مرور کاهش پیدا می‌کند. همچنین اگر تعداد اوّلیّهٔ میکروب‌ها از این حد فراتر بود تعدادی از آنها نابود می‌شدند. این معادلات را می‌توان به فرم formula_95 یا به شکل معمول‌ترِ formula_96 نوشت (formula_97). به ثابت formula_98 "نرخ رشد ذاتی" گفته می‌شود، زیرا در ابتدا (یعنی formula_99)
گفته می‌شود، زیرا در ابتدا (یعنی formula_99) که formula_100 است، formula_101 می‌شود. به ثابت formula_102 "حد اشباع" یا "ظرفیّت تحمّل محیطی" گفته می‌شود. تمام توابع لجستیک (با هر مقدار اوّلیّهٔ مثبتی) به formula_102 میل می‌کنند. حل این معادلات به صورت زیر است:formula_104formula_105 مرتبهٔ اول کامل. اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم formula_27 بنویسیم، با فرض این که formula_107 و formula_108 مشتق‌های جزئی این توابع باشند (که در یک ناحیهٔ خاص پیوسته است)، معادلهٔ مورد نظر "کامل" است اگر و تنها اگر
است)، معادلهٔ مورد نظر "کامل" است اگر و تنها اگر formula_109. به بیانی دیگر معادله کامل است اگر و تنها اگر تابعی مانند formula_110 وجود داشته باشد که formula_111 و formula_112. در آن صورت formula_113 می‌شود. برای حل این معادلات می‌توان از این روش استفاده کرد: formula_114 در نتیجه با قرار دادن formula_115 به جواب می‌رسیم. عامل انتگرال‌ساز. در بعضی موارد که معادلهٔ formula_27 کامل نیست می‌توان با یک ترفند آن را به یک معادلهٔ کامل تبدیل کرد و سپس آن را به روش مذکور حل کرد. در این ترفند ساده معادله را در یک
مذکور حل کرد. در این ترفند ساده معادله را در یک "عامل انتگرال‌ساز" (مثل formula_117) ضرب می‌کنیم به صورتی که معادلهٔ به دست آمده (formula_118) کامل باشد. مشکل این ترفند در پیدا کردن "عامل انتگرال‌ساز" مناسب است. طبق تعریفِ معادلهٔ کامل برای معادلهٔ جدید: formula_119 امّا پیدا کردن formula_117 با حل این معادله بسیار دشوار است (همچنین احتمالاً formula_117 یکتا نیست). برای حل این مشکل حدس می‌زنیم که formula_122 باشد و امیدوار می‌مانیم که همین‌طور باشد. اگر با این فرض formula_117 به دست آمد و معادلهٔ
اگر با این فرض formula_117 به دست آمد و معادلهٔ formula_124 طبق تعریف کامل شد، به این نتیجه می‌رسیم که فرضمان درست بوده. گاهی نیز با حدس formula_125 می‌توان به جواب رسید. یک مثال. معادلهٔ formula_126 کامل نیست. formula_127 و formula_128. برای پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز از حدس formula_122 استفاده می‌کنیم: formula_130 معادلهٔ جدید به صورت formula_131 به دست می‌آید. باید بررسی کنیم که آیا معادلهٔ جدید کامل هست یا نه، زیرا شاید حدسمان اشتباه بوده. پس از بررسی (تعریف کامل بودن) مشاهده می‌کنیم که معادله کامل
(تعریف کامل بودن) مشاهده می‌کنیم که معادله کامل شده. حال باید معادلهٔ کامل را حل کنیم تا جواب به دست بیاید. تابعی مانند formula_110 وجود دارد که formula_133 و formula_134. formula_135 از طرفی می‌دانستیم که formula_134. پس: formula_137 formula_138 برای حل معادلات کامل باید از formula_139 استفاده کرد: formula_140 در ادامه می‌توان formula_6 را بر حسب formula_14 به دست آورد. همچنین توجّه داشته باشید که formula_117 یکتا نبود. به عنوان مثال formula_144 یک "عامل انتگرال‌ساز" دیگر است که به کمک آن باز هم به همین
انتگرال‌ساز" دیگر است که به کمک آن باز هم به همین جواب می‌رسیم.
بلوز بر مبنای باخ (به انگلیسی : "Blues On Bach") نام آلبومی در سبک جاز از دسته چهارتایی جاز نوین است. این اثر شامل آثاری بر مبنای ملودی‌های مشهور باخ و همچنین چند اثر تصنیف‌شده از اعضای گروه است. نکته‌ها. شیارهای شمارهٔ دو، چهار، شش و هشت با عناوین «بلوز در ...» آغاز می‌شوند و در ادامه یکی از نت‌های سی‌بِمُل (B-flat)، لا مینور (A)، دو مینور (C) و سی عادی (B یا در آلمانی H) می‌آید که BACH را می‌سازند.
لالِجینْ (لاله‌جینْ) شهر لالجین یکی از شهرهای شمالی استان همدان است که در بخش لالجین شهرستان بهار واقع شده‌است. این شهر در طول جغرافیایی ۴۸ درجه و ۲۸ دقیقهٔ شرقی و عرض جغرافیایی ۳۴ درجه و ۵۸ دقیقهٔ شمالی قرار گرفته و ۱۷۳۱ متر از سطح دریا ارتفاع دارد. برپایهٔ سرشماری سال ۱۳۸۵ خورشیدی، لالجین جمعیتی بالغ بر ۱۴٬۶۸۹ نفر را در خود جای داده و بخش لالجین با وسعت ۵۰۸ کیلومتر مربع و جمعیت ۴۴٬۵۶۸ نفر به عنوان دومین شهر شهرستان بهار شناخته می‌شود. قحطی سال۱۲۵۰ و شورش مردم علیه غلامعلی خزایی (خان وقت) در سال ۱۳۳۱
مردم علیه غلامعلی خزایی (خان وقت) در سال ۱۳۳۱ خورشیدی از وقایع مهم این شهر محسوب می‌شود. لالجین در محاورات مردم استان همدان اغلب به‌صورت «لَلین» و «لالون» تلفظ می‌شود. لالجین در ۵ کیلومتری بهار و ۱۸ کیلومتری همدان قرار گرفته است. وجه تسمیه. به اعتقاد برخی از محققان، نام کنونی شهر لالجین تغییریافتهٔ واژهٔ «لاچین» است که نام پرنده‌ای شکاری و عنوان یکی از قبیله‌های ترک بوده‌است. از همین روی به احتمال زیاد در گذشته قبیلهٔ مذکور این منطقه را برای سکونت برگزیده و ساکن آن شده‌اند. به همین جهت شهر لالجین به این
و ساکن آن شده‌اند. به همین جهت شهر لالجین به این نام مشهور گشته و به‌عنوان سرزمین ترکان لاچین شناخته شده است. شهری به نام لاچین در جمهوری آذربایجان است که از سال ۱۹۹۲تا ۲۰۲۰ ارمنستان آن را اشغال کرده بود ولی جمهوری آذربایجان آن را درسال ۲۰۲۰ آزاد کرد. به اعتقاد برخی مورخان، گروهی از قبیله ترک لاچین در قرن ۱۱میلادی از جنوب ترکمنستان به هند و آذربایجان مهاجرت کردند که از شاخص‌ترین افرادی که به قبیله لاچین هند تعلق دارند بیدل دهلوی شاعر بزرگ سبک هندی است. همین‌طور قبیله لاچین شهرهایی را در آذربایجان مانند
قبیله لاچین شهرهایی را در آذربایجان مانند لالجین در همدان و لاچین در جمهوری آذربایجان ساختند. به اعتقاد گروهی دیگر از محققان، واژهٔ لاله‌جین (لالجین) از دو بخش «لاله» و «جین» تشکیل یافته‌است. جین پسوند مکان برای برخی از شهرها و روستاهای استان همدان نظیر توی‌جین، دیوجین، فارس‌جین، گنده‌جین و وفرجین است؛ برهمین اساس، لاله‌جین (لالجین) به معنای آبادی لاله است. به اعتقاد برخی از اهالی شهر، لشکر چنگیزخان مغول به هنگام گذر از همدان وارد لالجین شده و گروهی از اهالی این شهر را به چین فرستاده تا از هنرمندان آن
اهالی این شهر را به چین فرستاده تا از هنرمندان آن سرزمین سفالگری را بیاموزند. این افراد پس از آموختن سفالگری به لالجین برگشته‌اند و از همین روی این روستا «لاله‌چین» نام گرفته است. اما «لاله‌جین» تحریر و تلفظ فارسی نام این شهر بوده و نام صحیح آن به شکل ترکی آذری یعنی «لَلین» یا «لالون» است. اهالی لالجین نام شهر خویش را «لَلین» تلفظ می‌کنند؛ اما مردم غیربومی به ویژه اهالی بهار نام این شهر را از دوران کهن به صورت «لالون» تلفظ کرده‌اند. در اصل هر دو اصطلاح «للین» و «لالون» تلفظ یک کلمه با دو لهجهٔ متفاوت است.