کلاس هم‌ارزی کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، اگر عناصر یک مجموعه formula_1 دارای یک مفهوم هم‌ارزی باشند (که این موضوع توسط یک رابطه هم‌ارزی صوری‌سازی می‌شود)، آنوقت می‌توان مجموعه formula_1 را به کلاس‌های هم‌ارزی تجزیه کرد. این کلاس‌های هم‌ارزی به این شیوه ساخته می‌شوند که عناصر formula_3 و formula_4 به یک کلاس هم‌ارزی تعلق دارند، اگر و تنها اگر، با هم هم‌ارز باشند.به صورت صوری، اگر یک مجموعه formula_1 و یک رابطه هم‌ارزی formula_6 روی formula_1 تعریف شده باشد، کلاس هم‌ارزی یک عنصر formula_3 در formula_1 که توسط formula_10 نشان داده می‌شود، برابر مجموعه زیر است:formula_11برای عناصری که با formula_3 هم‌ارز هستند. این موضوع از ویژگی‌های تعریف کننده روابط هم‌ارزی قابل اثبات است، که در آن کلاس‌های هم‌ارزی یک افراز از formula_1 می‌سازد. این افراز (یعنی مجموعه کلاس‌های هم‌ارزی) را گاهی مجموعه خارج‌قسمتی، یا فضای خارج‌قسمتی برای formula_1 توسط formula_6 هم می‌نامند و توسط formula_16 نشان داده می‌شود.وقتیکه مجموعه formula_1 یک ساختار دارد (مثل یک عمل گروهی یا یک توپولوژی) و نیز رابطه هم‌ارزی formula_6 با این ساختار سازگار است، آنوقت مجموعه خارج‌قسمتی معمولاً ساختار مشابهی از مجموعه والد خود به ارث می‌برد. مثال‌های آن شامل ، فضاهای خارج‌قسمتی در توپولوژی، گروه‌های خارج‌قسمتی، ، حلقه‌های خارج‌قسمتی، مونویدهای خارج‌قسمتی، و است.تعریف و نماد.یک رابطه هم‌ارزی روی یک مجموعه formula_19 یک رابطه دوتایی formula_6 روی formula_19 است که این سه ویژگی را برآورده می‌کند:کلاس هم‌ارزی یک عنصر formula_3 را معمولاً توسط formula_10 یا formula_59 نشان می‌دهند، و به صورت مجموعه formula_60 از عناصری تعریف می‌شود که با formula_3 توسط formula_62 مرتبط اند. واژه «کلاس» در اصطلاح «کلاس هم‌ارزی» را معمولاً به صورت هم‌معنی با واژه «مجموعه» در نظر می‌گیرند، با این حال، بعضی از کلاس‌های هم‌ارزی مجموعه نیستند، بلکه کلاس محض هستند. برای مثال، «ایزوریختار بودن» یک رابطه هم‌ارزی روی گروه‌ها است، و کلاس‌های هم‌ارزی آن، که آن‌ها را می‌نامند، مجموعه نیستند.مجموعه همه کلاس‌های هم‌ارزی در formula_19 در رابطه با یک رابطه هم‌ارزی formula_64 به صورت formula_65 نشان داده می‌شود، و formula_19 به formula_64 (یا یک مجموعه خارج‌قسمتی از formula_19 توسط formula_64) نامیده می‌شود. نگاشت پوشای formula_70 از formula_19 روی formula_65 که هر عنصر را به کلاس هم‌ارزی‌اش نگاشت می‌دهد، را تابع پوشای کانونی یا تصویر کانونی می‌نامند.هر عنصر یک کلاس هم‌ارزی، آن کلاس را معین می‌کند، و می‌توان برای «نمایش» از آن استفاده کرد. وقتیکه چنین عنصری انتخاب شود، به آن یک نماینده کلاس گفته می‌شود. انتخاب نماینده در هر کلاس یک تابع یک‌به‌یک از formula_65 به تعریف می‌کند. به دلیل آنکه ترکیب آن با تابع پوشای کانونی برابر همانی formula_65 است، به چنین تابع یک‌به‌یکی، وقتیکه از اصطلاحات نظریه رسته‌ها استفاده شود، یک برش گفته می‌شود.گاهی‌اوقات، برشی وجود دارد که ار بقیه «طبیعی‌تر» است. در این حالت، به آن نماینده «"نماینده کانونی"» گفته می‌شود. برای مثال، در حساب پیمانه‌ای، برای هر عدد صحیح که از است، تجانس به پیمانه یک رابطه هم‌ارزی روی اعداد صحیح است، که در آن دو عدد صحیح و هم‌ارز هستند، در این حالت، گفته می‌شود که «متجانس» هستند- اگر بر عدد formula_75 بخش‌پذیر باشد؛ این موضوع به صورت formula_76 نشان داده می‌شود. هر کلاس شامل یک عدد صحیح غیر-منفی یکتا است که از formula_77 کوچکتر است، و این اعداد صحیح نماینده‌های کانونی هستند.استفاده از نماینده برای نمایش کلاس امکان می‌دهد تا از درنظرگرفتن صریح کلاس به صورت مجموعه اجتناب شود. در این حالت، تابع پوشای کانونی که یک عنصر را به کلاس آن نگاشت می‌دهد، توسط تابعی که یک عنصر را به نماینده کلاسش نگاشت می‌دهد، می‌توان جایگزین کرد. در مثال قبل، این تابع به صورت formula_78 نشان داده شده است، و باقی‌مانده تقسیم اقلیدسی به را تولید می‌کند.ویژگی‌ها.هر عنصر formula_79 از formula_19 یک عضو از کلاس هم‌ارزی formula_81 است. هر دو کلاس هم‌ارزی formula_81 و formula_83 یا برابراند یا مجزا هستند. ازاین‌رو، مجموعه همه کلاس‌های هم‌ارزی formula_19 یک افراز از formula_19 می‌سازد: هر عنصر formula_19 فقط و فقط به یک کلاس هم‌ارزی تعلق دارد. به صورت معکوس، هر افراز از formula_19 از یک رابطه هم‌ارزی به دست می‌آید، به این روش که براساس آن formula_27 است اگر و فقط اگر formula_79 و formula_90 به یک مجموعه مشابه از افراز تعلق داشته باشد.از ویژگی‌های یک رابطه هم‌ارزی این موضوع قابل دستیابی است:formula_91 اگر و تنها اگر formula_92 باشد.به زبان دیگر، اگر formula_6 یک رابطه هم‌ارزی روی یک مجموعه formula_19 باشد، و formula_79 و formula_90 دو عنصر از formula_19 باشند، آنوقت این بیانیه‌ها معادل هستند:نمایش گرافیکی.یک گراف بدون‌جهت را می‌توان به هر رابطه متقارن روی یک مجموعه formula_19 منتسب کرد، که در آن راس‌ها همان عناصر formula_19 هستند و دو راس formula_103 و formula_104 متصل هستند اگر و فقط اگر formula_105 باشد. از بین این گراف‌ها می‌توان به گراف روابط هم‌ارزی اشاره کرد؛ آن‌ها به صورت گراف‌هایی مشخص می‌شوند که مولفه‌های متصل‌شان همان کلیک (خوشه) هستند.نامتغیر.اگر formula_6 یک رابطه هم‌ارزی روی formula_19 باشد و formula_108 یک ویژگی عناصر formula_19 باشد به این‌صورت که هر وقت formula_110 باشد، formula_108 در صورتی درست است که formula_112 درست باشد، آنوقت ویژگی formula_113 را یک نامتغیر از formula_114 می‌نامند، یا به آن تحت رابطه formula_62 خوش‌تعریف می‌نامند.یک حالت بخصوص معمول وقتی رخ می‌دهد که formula_116 یک تابع از formula_19 به مجموعه دیگر formula_118 باشد؛ اگر formula_119 وقتی برقرار باشد که formula_120 باشد، آنوقت گفته می‌شود که formula_116 تحت formula_6 نامتغیر کلاسی است یا به صورت ساده‌تر تحت formula_62 نامتغیر است. این موضوع، برای مثال، در نظریه کاراکتر از گروه‌های متناهی رخ می‌دهد. بعضی از نویسندگان، از عبارت «سازگار با formula_6» یا فقط «حرمت‌نگهداری formula_6» به جای «نامتغیر تحت formula_6» استفاده می‌کنند.هر تابع formula_127 تحت formula_6 «نامتغیر کلاسی» است، که براساس آن formula_120 است اگر و فقط اگر formula_119 باشد. کلاس هم‌ارزی formula_79 برابر مجموعه همه عناصر در formula_19 است که به formula_133 متناظر می‌شوند، یعنی، کلاس formula_81 برابر تصویر وارون formula_133 است. به این رابطه هم‌ارزی formula_116 گفته می‌شود.به صورت کلی‌تر، یک تابع می‌تواند آرگومان‌های هم‌ارز (تحت یک رابطه هم‌ارزی formula_137 روی formula_19) را به مقادیر هم‌ارز (تحت یک رابطه هم‌ارزی formula_139 روی formula_118) نگاشت دهد. چنین تابعی یک ریختار از مجموعه‌ها است که به یک رابطه هم‌ارزی مجهز می‌باشد.فضای خارج‌قسمتی در توپولوژی.در توپولوژی، یک فضای خارج‌قسمتی برابر فضای توپولوژیکی است که روی مجموعه کلاس‌های هم‌ارزی یک رابطه هم‌ارزی روی یک فضای توپولوژیکی تشکیل شده است، که از توپولوژی فضای اصلی برای ساخت توپولوژی روی مجموعه کلاس‌های هم‌ارزی استفاده می‌کند.در جبر مجرد، روابط هم‌نهشتی روی مجموعه مبنای یک جبر به جبر امکان می‌دهد تا یک جبر را روی کلاس‌های هم‌ارزی رابطه القا کند، که به آن گفته می‌شود. در جبر خطی، یک یک فضای برداری است که توسط گروه خارج‌قسمتی گرفتن تشکیل شده است، که در آن هوموریختارهای خارج‌قسمتی یک نگاشت خطی هستند. با تعمیم، در جبر مجرد، عبارت فضای خارج قسمتی را می‌توان برای ، حلقه‌های خارج‌قسمتی، گروه‌های خارج‌قسمتی یا هر جبر خارج‌قسمتی استفاده کرد. با این‌حال، استفاده از این اصطلاح برای حالت‌های عمومی‌تر را می‌توان توسط تشابه با مدارهای یک عمل گروهی باشد.مدارهای یک عمل گروهی روی یک مجموعه را می‌توان فضای خارج‌قسمتی عمل روی مجموعه نامید، مخصوصاً وقتیکه مدارهای عمل گروهی برابر هم‌دسته راست زیرگروه یک گروه باشد، که از عمل زیرگروه روی گروه توسط ترجمه چپ پدیدار می‌شود، یا متناسب با آن توسط هم‌دسته چپ به صورت مدارها تحت ترجمه راست پدیدار می‌شود.یک زیرگروه نرمال یک گروه توپولوژیکی، که روی گروه توسط عمل ترجمه عمل می‌کند، در مفهوم توپولوژی، جبر مجرد، و عمل‌های گروهی به صورت همزمان یک فضای خارج‌قسمتی است.اگرچه اصطلاح را می‌توان برای مجموعه کلاس‌های هم‌ارزی هر رابطه هم‌ارزی (محتملا با ساختار بیشتر) استفاده کرد، هدف از استفاده از این اصطلاح معمولاً مقایسه نوع رابطه هم‌ارزی روی یک مجموعه formula_19 با یک رابطه هم‌ارزی است که یک ساختار را روی مجموعه کلاس‌های هم‌ارزی از ساختار با نوع مشابه روی formula_19 القا می‌کند، یا مقایسه با مدارهای عمل گروه است. هم مفهوم یک ساختار که توسط یک رابطه هم‌ارزی حفظ می‌شود، و هم مطالعه نامتغیرها تحت عمل‌های گروهی، منجر به تعریف نامتغیرها برای رابطه‌های هم‌ارزی داده شده در بالا می‌شود.