... + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات . . . + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ یک سری نامتناهی واگرا از اعداد طبیعی متوالی است که با هم جمع می‌شوند. با استفاده از نمادها و تعریف‌های ریاضی، این سری به این صورت نمایش داده می‌شود:formula_1همگرایی سری formula_2 را می‌توان با بررسی کمیت حد formula_3 و استفاده از مقایسه‌های زیر تعیین کرد:اگر 0formula_4 باشد، آنگاه سری واگرا است. به‌طور کلی اگر تابع مربوط مثبت، ادامه‌دار و در حال افزایش باشد، آنگاه سری واگرا است.اگر فرض کنیم مجموعه فوق را داریم و آن را S نامیده‌ایم، مجموع عدد ۱ تا n که خود یک تصاعد حسابی با قدر نسبت یک هست، از رابطه فوق به دست می‌آید. formula_5 formula_6در ریاضیات اگر حد فرمول بالا را در بینهایت بگیریم، به بینهایت می‌رسیم. formula_7 از آنجا که دنباله یک مجموع جزئی نمی‌تواند به یک سری محدود شود، مجموع ندارد چون کراندار نیست. در ابتدا به نظر می‌رسد که این سری ارزش معناداری ندارد، اما اگر آن را دستکاری کنیم به نتایج جالبی می‌رسیم. در بسیاری از موارد در ریاضیات از روش‌های جمع برای تخصیص عدد حتی به یک سری واگرا استفاده می‌شود.مثال: مجموعه همگرا C را در نظر بگیریم. formula_8 در ابتدا به نظر می‌رسد که این نیز بینهایت شود، اما با چند عمل ساده یک عدد برای آن به دست آورده می‌شود. در مرحله بعد مجموعه را تقسیم بر دو می‌کنیم.formula_9 . اگر آن‌ها را از هم کم کنیم، به یک رابطه ساده می‌رسیم. formula_10 .با استفاده از چند روش می‌توان به رابطه معروف زیر رسید که با یک فرمول بیان می‌شود.formula_11در این سری، مجموعه ذکر شده نباید به عنوان یک سری بی‌نهایت تفسیر شود، چون چیزی که ما داریم واحد در نظر می‌گیریم دو تا چیز کاملاً بی ربط به یکدیگرند و اساساً از نظر ریاضی نوعی مغلطه و غلط است. اما این روش در برخی مباحث مانند: تئوری کوانتوم و آنالیز مختلط و نظریهٔ ریسمان کاربرد دارد. علت مشهور بودن این رابطه این است که نشان می‌دهد میان ریاضی و فیزیک در مواردی تناقض وجود دارد.مجموع جزئی.مجموع جزئی سری … +۴+۳+۲+۱، سری ۱٬۳٬۶٬۱۰٬۱۵ هستند که یک دنباله درجه دو با آهنگ تغییر ۲ می‌باشد. مجموع دنباله تا جمله nام از رابطه زیر به دست می‌آید. formula_12این معادله توسط فیثاغورثیان در قرن ششم پیش از میلاد شناخته شد. چنین اعدادی مثلثی هستند. چون می‌توان آنها را مانند یک مثلث متساوی الاضلاع روی هم چید. دنباله مثلثی بهformula_13 واگرا می‌شود، پس با این حال دنباله . . . +۴+۳+۲+۱ به بینهایت واگرا می‌شود. اما واگرایی یک نتیجه ساده است که شکل استنباط می‌شود. حد جملات صفر نیست، پس با استفاده از آزمون جمله، سری واگراست.جمع‌بندی.در میان سری‌های واگرای کلاسیک، دستکاری . . . +۴+۳+۲+۱ در یک محدوده دشوار است. درست است که در ریاضیات از روش‌های جمع بسیاری برای تخصیص عدد به سری واگرا استفاده می‌شود، اما بعضی قوی تر از دیگری هستند. نمونه جالب آن جمع سزارو است که برای استفاده از سری واگرای گراندی استفاده می‌شود. سری گراندی به صورت روبه رو است:formula_14جمع هابل نیز روش قدرتمند دیگری است که نه تنها سری گراندی را با جمعبندی می‌کند، حتی سری‌های پیچیده تری مانند formula_15 را به جمع‌بندی می‌کند که توسط لئونارد اویلر حل شده است. برخلاف سری‌های پیشین، سری واگرای formula_16 ، نه توسط جمع سزار و نه جمع آبل قابل حل است. چون جمع سزار و آبل روی سرهای نوسانی کار می‌کنند و نمی‌توانند یک پاسخ متناهی را به یک سری که به formula_13 می‌شود را تولید کنند.بسیاری از تعاریف ابتدایی از مجموع یک سری واگرا، پایدار و خطی هستند، و هر روشی که هم پایدار و هم خطی باشد نمی‌تواند سری formula_16 را با یک مقدار محدود جمع کند. روش‌های دیگر برای این کار وجود دارد مانند:استفاده از تابع زتا ریمان و جمع رامانوجان. با برخی از روش‌های اکتشافی می‌توان به این نتیجه رسید.اکتشاف حاصل جمع.رامانوجان، ریاضی‌دان هندی دو روش برای حل مسله استخراج کرد که در فصل۸ اولین دفتر یادداشت خود آن را نوشت. کلید اساسی حل آن این است که سریformula_16 بسیار نزدیک به سری formula_15 است. کار با سری نوسانی به مراتب بسیار ساده‌تر است و این نکته حل است. از قرن ۱۸، چندین روش برای مقدار دهی به این سری‌ها مورد بررسی قرار گرفته.به منظور تبدیل سری formula_16 به سری formula_15، می‌توان از جمله دوم چهار، جمله چهارم هشت و… را کم کرد. برای این کار به ترتیب، مجموعه formula_23 را در نظر می‌گیریم، (formula_24)سپس چهار برابر می‌کنیم. (formula_25) و از یکیدیگر کم می‌کنیم. (formula_26)قسمت دوم اعداد را با فاصله می‌چینیم که در ضمن کم کردن، بتوان یک سری نوسانی به دست آورد. از نظر ریاضی در اینجا نوعی مغالطه رخ می‌دهد. چون در یک مجموعه نامتناهی، حق نداریم جای اعداد به هر شکلی جابجا کنیم.در اینجا وارد بسط تیلور می‌شویم. تابع را در نظر می‌گیریم و بسط می‌دهیم. با الگوی زیر مواجه می‌شویم:formula_28اگر به جای formula_29،۱ بگذاریم همان سری مورد نظر تولید می‌شود.formula_30در این حالت با برابر قرار دادن آنها خواهیم داشت:formula_31در حالت کلی، دستکاری یک مجموعه نامتناهی به گونه ای که یک متناهی به دست آید، نادرست است. برای مثال اگر اعداد رو به صورت دلخواه جابجا کنیم به نتایجی مانند: ۱=۲ دست می‌یابیم که سازگار نیستند. یا مثلاً اگر صفرها در موقعیت دلخواه درج شوند، در مرحلهformula_32 با قانون جمع همانی قابل توجیه نیست. چون با افزودن یک صفر به جلوی سری به نتایج متفاوتی دست پیدا می‌کنیم.برای درست کردن آن، و محدود کردن صفرها، باید هر عبارت در سری پیگیری شود و به توابع، وابستگی پیوست شود.تعمیم تابع زتا ریمان.در منظم سازی تابع زتا، سری formula_33 با سری formula_34 جایگزین شده است. سری پیش نمونه ای از سری دیریکلت است. در تابع زتا ریمان، اگرsبزرگ‌تر از۱ باشد، سری دیریکلت همگرا می‌شود. مثلا:اگر به جای s،۱ بگذاریم، به صورت روبه رو است:formula_35سری دیریکلت زمانی واگرا می‌شود که s کوچکتر یا مساوی منفی یک باشد؛ بنابراین سری . . . . . زمانی حاصل می‌شود که formula_36 باشد. مزیت مهم معرفی تابع زتا ریمان این است که می‌توان آن را برای مقادیر دیگر s، با ادامه تحلیلی تعریف کرد. در اینصورت می‌توان سری formula_16 با زتای منفی یک(formula_38 تعریف کرد. اما طبق تعریف کلاسیک زتا،s باید بزرگ‌تر از یک باشد؛ یعنی تابع زتا را برای هر s نمی‌توان نوشت. این تابع به تابع زتای اویلر معروف است که بعدها با روش ادمه تحلیلی به زتا ریمان رسانده شد. چندین راه برای اثبات formula_39 وجود دارد که با معادله قبلی اشتراکاتی نیز دارد. استفاده از زتا کمی راه حل را کوتاه‌تر می‌کند. یک روش، در امتداد خطوط استدلال اویلر، استفاده از رابطه میان تابع زتای ریمان و تابع دیریکلت است"η"("s"). تابع"η"("s") با یک سری دیریکله متناوب تعریف می‌شود؛ بنابراین هم تراز با یافته‌های قبلی، دو سری به هم نزدیک و در نهایت برابر می‌شوند به صورت زیر تعریف می‌شوند:حال محاسبه η(-۱) کار ساده ای است، زیرا تابع دیریکلت برابر با سری هابل است که تعریف کننده آن است. با حد یک طرفه، در همسایگی چپ آن داریم:formula_41با تقسیم بر -۳ به دست می‌آید:formula_42منظم سازی تابع قطع.روش منظم سازی با استفاده از تابع برش می‌تواند مجموعه را برای رسیدن بهformula_43 ساده کند. ساده‌سازی، یک پل مفهومی بین منظم سازی تابع زتا، آنالیز مختلط، جمع رامانوجان با میانبر به فرمول اویلر-مک لارین است. به جای آن، این روش مستقیماً بر روی تبدیل محافظه کارانه سری عمل می‌کند و از آنالیز حقیقی استفاده می‌کند. ایده اصلی این است که سری گسسته غیر نوسانی بدرفتار formula_44، با سری هموار و ساده شده جایگزین شود.formula_45در این سری تابع f یک تابع قطع با ویژگی خاص است. تابع قطع باید به حالت formula_46 نرمال شود. این نرمال سازی، چیزی متفاوت تر از آنی است که در معادلات دیفرانسیل استفاده می‌شود. تابع برش باید مشتقات محدود کافی برای صاف کردن موج‌های سری داشته باشد. و باید سریعاً به صفر میل کند. برای راحتی، ممکن است که نیاز باشد تابع f هموار، محدود و تکیه گاه باشد. سپس می‌توان ثابت کرد که مجموع این سری هموار شده، مجانبformula_47 می‌باشد که C در آن یک عدد ثابت است که به f بستگی دارد. ولی انبساط مجانبی به f بستگی ندارد، بلکه همان مقداری است که توسط ادامه تحلیلی، formula_43 به دست آمده.جمع‌بندی رامانوجان.جمع رامانوجان برای سری . . . +۴+۳+۲+۱، همانformula_43 است. رامانوجان در نامه دومش به گادفری هارولد هاردی نوشت:"جمع رامانوجان روشی برای جداکردن جمله ثابت در فرمول اویلر-مک لارین است که برای پیدا کردن یک مجموع جزئی برای یک سری کاربرد دارد. برای تابعformula_50، مجموع کلاسیکسریformula_51 رامانوجان، به صورت زیر تعریف می‌شود.formula_52که "f"(2"k"−1)، مشتق(2k-۱)امین تابع "f"، و B2k،(2k)امین مقدار عدد برنولی است که و و… است. با تنظیم کردن "f"("x") = "x"، اولین مشتق formula_50،۱ می‌شود و تمامی جملات دیگراز بین می‌روند؛ بنابراین جواب به دست می‌آید:formula_54تئوری جدید رامانوجان ایجاب می‌کند کهformula_50 باقاعده باشد. این به این معناست که مشتق‌های مرتبه بالای f، سریع دچار فروپاشی می‌شوند و باقی جملات فرمول اویلر-مکلارین به سمت صفر گرایش پیدا می‌کنند. رامانوجان صورت ضمنی این را فرض کرده، و صریحاً بیان نکرد. شرط منظم بودن سری‌ها، از استفاده جمع رامانوجان در سری‌های فاصله دار مانند:formula_56 جلوگیری می‌کند. چون هیچ تابع منظمی این مقادیر را نمی‌گیرد. در عوض چنین سری‌هایی باید با تابع زتا حل و تشریح شود. به همین دلیل هاردی احتیاط زیادی را هنگام استفاده از جمع رامانوجان برای سری‌های شناخته شده برای یافتن مجموع سری‌های مرتبط توصیه می‌کند.شکست روش‌های جمع خطی پایدار.روش‌هایی که سری‌های همگرا را به یک مقدار مشخص جمع می‌کنند، نمی‌توانند سری‌های واگرا را به یک مقدار مشخص جمع بزنند. (پایدار به این معنی است که با اضافه کردن یک عبارت به ابتدای سری، مجموع آن، با مقدار عبارت اضافه شده افزایش می‌یابد) می‌توان به صورت زیر آن را توضیح داد:اگرformula_57 برابر با مقدار زیر باشدformula_58سپس به هر دو طرف معادله یک صفر اضافه کنیمformula_59با شرط ثابت خطی بودن، می‌توان دو معادله بالا را از هم کم کرد.formula_60با اضافه کردن مجدد دو صفر به دو طرف معادله به دست می‌آید:formula_61و دوباره با کم کردن دو سری بالایی به دست می‌آید:formula_62که منجر به یک تناقض منطقی می‌شود. که در نتیجه روش‌های پایدار و خطی روش مناسبی برای حل سری واگرای formula_16نیست.فیزیک.نظریهٔ ریسمان.در نظریه ریسمان بوزونیک، نظریه اصلی ریسمان، تلاش می‌شود انرژی ممکن سطوح یک رشته محاسبه شود، به خصوص کم‌ترین سطح انرژی یا حد صفر آن. به صورت عامیانه یعنی هر نوسان رشته را می‌توان به عنوان مجموعه ای از نوسانگرهای هماهنگ کوانتومی مستقل D-2 مشاهده کرد. برای هر موج در جهت عرضی (محورy)یکی. که D در آن بعد فضا-زمان است. اگر بسامد نوسان ω باشد، انرژی در یک نوسان گر که به هماهنگ n-ام کمک می‌کند برابر"nħω"/۲ می‌باشد؛ بنابراین در استفاده از سری واگرا، جمع تمامی هماهنگ‌ها، برابر می‌باشد. در نهایت این واقعیت است، همراه با قضیه گودار-تورن، که منجر به عدم سازگاری نظریه ریسمان بوزونی در ابعادی غیر از ۲۶ می‌شود، یعنی ناسازگاری نظریه ریسمان بوزونی در ۲۵ به بعد فضا و ۲۶ به بعد زمان تمام می‌شود.اثر کاسیمیر.هندریک کاسیمیر، فیزیکدان هلندی مشاهده‌ای انجام داده است که به اثر کاسیمیر مشهور است. در آزمایش کاسیمیر، دو صفحه موازی هادی رو در نظر می‌گیریم که در خلأ اند. از نظر فیزیک کلاسیک (نیوتونی) در اینجا هیچ اتفاقی روی نمی‌دهد، اما مقدار بسیار کمی انرژی وجود که به عنوان حد انرژی صفر شناخته می‌شود؛ یعنی کمترین انرژی ممکن همان است، درست مانند حد انرژی موجود در صفر کلوین(۲۷۳- درجهٔ سانتی گراد) که کمترین دمایی است که انسان توانسته به آن برسد. این انرژی کم می‌تواند در اثر فعالیت دنیای زیراتمی باشد. با حساب کردن متوجه می‌شویم که میزان نیرو و چگالی انرژی در سه بعد متناسب با تابع زتای منفی سهformula_64 است که برابر باformula_65 است. از تعمیم سری. . . +۴+۳+۲+۱ یا همان تابع زتای منفی یکformula_38 نیز می‌توان برای محاسبه نیرو در اثر کاسیمیر برای یک میدان اسکالر در یک بعد استفاده کرد. یک تابع قطع نمایی برای صاف کردن سری کافی است، که نشان دهنده این واقعیت است که حالت‌های پرانرژی خودسرانه توسط صفحات رسانا مسدود نمی‌شوند. تنها چیزی که باقی می‌ماند عبارت ثابت ۱/۱۲- است و علامت منفی این نتیجه در نیرو نشان دهنده این واقعیت است که پدیده کاسیمیر عجیب و جالب است.تاریخچه.اینکه لیوناردو اویلر سری را به - ختم کرده مشخص نیست. طبق گفتهٔ موریس کلاین، کارهای اویلر برای حل سرهای واگرا متکی بر بسط توابع بود که از آن،... +۴+۳+۲+۱به بینهایت ختم می‌شد.به گفته ریموند ایوب، این حقیقت که سری زتای واگرا، با سری هابل قابل جمع شدن نیست، اویلر را از استفاده آزادانه از تابع زتا مانند تابع eta منع کرد، به همین دلیل نمی‌توانست تابع را جمع کند و به یک مجموعه جزئی برساند. برخی دیگر نویسندگان این مجموع را به اویلر نسبت داده‌اند و عنوان می‌کنند که اویلر رابطه بین توابع زتا و اتا را به اعداد صحیح منفی با استفاده از ادامه تحلیلی گسترش داده است. نوشته‌های چاپ شده اولیه، در نشریه ۱۷۶۰ اویلر که در مقاله ای با نام("De seriebus divergentibus")چاپ شد، به سری واگرای . . . +۴+۳+۲+۱ در کنار سری هندسی (با قدر نسبت ۲) . . . +۸+۴+۲+۱ پرداخته است. اویلر اشاره می‌کند که سری‌هایی از این نوع می‌توانند به صورت یک مجموعه متناهی و منفی دربیایند، همچنین وی توضیح می‌دهد که برای سری‌های هندسی به چه معناست، اما او توضیحی دربارهٔ سری . . . +۴+۳+۲+۱ نداد. در همان مقاله نشریه عنوان کرد جمع سری هندسی … +۱+۱+۱+۱ برابر بینهایت است.در رسانه.در رمان کارمند هندی، نوشته دیوید لیویت، صحنه‌ای وجود دارد که جان لیتل‌وود و هاردی در مورد مفهوم این سری صحبت می‌کنند. آنها به این نتیجه رسیدند که رامانوجان ζ(-۱) را دوباره کشف کرده است، و در نامه دوم خود خط «دیوانه نشین» را به عنوان نشانه ای از اینکه رامانوجان با آنها بازی می‌کند در نظر می‌گیرند.سایمن مک برنی در نمایشنامه عدد در حال ناپدید شدن در سال ۲۰۰۷، در ابتدای سکانس به تمرکز روی این سری می‌پردازد.شخصیت اول فیلم، روث، وارد سالن سخنرانی می‌شود و ایده یک سری واگرا را مطرح می‌کند و قبل از اینکه اسم آن را اعلام کند می‌گوید:می‌خواهم یک چیز جالب به شما نشان دهم، یعنی -= . . . + ۴ + ۳ + ۲ + ۱. همان‌طور که روث مشغول گرفتن مشتق از معادله تابع زتا بود، یکی از بازیگران رو به تماشاچیان می‌کند و اقرار می‌کند که آنها بازیگر هستند ولی ریاضیات واقعی است. ترسناک است اما بازهم واقعی است. در ژانویه ۲۰۱۴، نامبرفیل، یک یوتیوبر، ویدیویی در مورد سری‌ها ساخت که در ماه اول بیش از یک و نیم میلیون بازدید خورد. این ویدیوی هشت دقیقه‌ای توسط تونی پادیلا، استاد فیزیک دانشگاه ناتینگهام، گفته شد. پادیلا با سری . . . +۱+۱–۱+۱–۱+۱–۱ و . . . +۴–۳+۲–۱ شروع کرد و آن دو را با استفاده از تفریق جمله به جمله به سری . . . +۴+۳+۲+۱ رساند. همچنین نامبرفیل یک ویدیوی ۲۱ دقیقه‌ای دیگر را نیز با حضور ادموند کوپلند، فیزیکدان دانشگاه ناتینگهام که توضیحات بیشتری در مورد چگونگی جواب سری=. . . +۴–۳+۲–۱ با استفاده از جمع هابل، و جواب سری -= . . . + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ با استفاده از تعمیم تابع زتا منفی یک داده بود، ضبط کرد.پس از انتقاد تماشاگران ویدیو از پادیلا بابت عدم دقت، او یادداشتی در وبلاگ خودش نوشت تا رابطه میان سری دیریکله را ادامه تحلیلی که در ویدیو توضیح داده بود، واضح تر بیان کند.روزنامه نیویورک تایمز ویدیوی نامبرفیل را پوشش رسانه ای داد. ادوارد فرنکل، ریاضی‌دان، در یادداشتی برای این ویدیو نوشت:پوشش این موضوع در مجلهٔ اسمیتسونیان، ویدیوی نامبرفیل را مغلطه وار و گمراه کننده توصیف می‌کند و اشاره می‌کند تفسیر جمع این سری مساوی - و براساس تعریف متفاوتی از علامت برابری درست شده است. در این تعریف متفاوت از علامت برابری که در ادامه تحلیلی استفاده می‌شود، این علامت به معنای برابری نیست بلکه به معنای «مرتبط با یکدیگر» است. ویدیوی نامبرفیل توسط ریاضیدان آلمانی، بورکارد پلاستر، به همان شیوه مورد نقد قرار گرفت و تا سال ۲۰۲۳، حدود۲٫۷ میلیون بازدید گرفت.همچنین فیلمی به اسم مردی که بینهایت را می‌دانست از داستان زندگی رامانوجان ساخته شده است.