دل‌گون کیست؟ توضیح بده.
در هندسه، دل‌گون () یک منحنی مسطح است که توسط یک نقطه در محیط یک دایره که به دور یک دایره ثابت با شعاع یکسان می‌غلتد، رسم می‌شود. همچنین می‌توان آن را به عنوان یک برون‌چرخ‌زاد با یک نقطه بازگشت (تیزه) تعریف کرد. همچنین نوعی مارپیچ سینوسی و یک وارون منحنی سهمی با کانون به عنوان مرکز وارونگی است. دل‌گون همچنین می‌تواند به عنوان مجموعه نقاط انعکاس یک نقطه ثابت روی یک دایره از طریق تمام مماس‌های دایره تعریف شود.دل‌گون را گاه «دل‌نما» هم نوشته‌اند.این نام توسط جیووانی سالوینی در سال ۱۷۴۱ ابداع شد، اما دل‌گون دهه‌ها قبل موضوع مطالعه بوده است. اگرچه به دلیل شکل قلب مانندش اینگونه نامیده شده است، اما شکل آن بیشتر شبیه طرح کلی مقطع یک سیب گرد بدون ساقه است.میکروفون الگوی دریافت صوت‌شناسی را نشان می‌دهد که وقتی در دو بعد رسم می‌شود، شبیه یک دل‌گون است (هر صفحه دوبعدی شامل خط مستقیم سه‌بعدی بدنه میکروفون). در سه بعد، دل‌گون به شکل یک سیب در اطراف میکروفون است که "ساقه" سیب است.معادلات.فرض کنید formula_1 شعاع مشترک دو دایره مولد با نقاط میانی formula_2 باشد، formula_3 زاویه غلتش و مبدأ نقطه شروع باشد (به تصویر مراجعه کنید). به دست می‌آید:اثبات نمایش پارامتری.یک اثبات را می‌توان با استفاده از اعداد مختلط و توصیف رایج آنها به عنوان صفحه مختلط ایجاد کرد. حرکت غلتشی دایره سیاه روی دایره آبی را می‌توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط، چرخش حول نقطه formula_9 (مبدأ) با زاویه formula_3 را می‌توان با ضرب یک نقطه formula_11 (عدد مختلط) در formula_12 انجام داد. از این رویک نقطه formula_19 از دل‌گون با چرخاندن مبدأ حول نقطه formula_1 و سپس چرخاندن حول formula_17 با همان زاویه formula_3 تولید می‌شود:formula_23از اینجا نمایش پارامتری بالا را به دست می‌آوریم:formula_24ویژگی‌های متریکی.برای دل‌گون که در بالا تعریف شد، فرمول‌های زیر برقرار هستند:اثبات این گزاره‌ها در هر دو مورد از نمایش قطبی دل‌گون استفاده می‌کند. برای فرمول‌های مناسب، به دستگاه مختصات قطبی و دستگاه مختصات قطبی مراجعه کنید. \; d\varphi = \cdots = 8a\int_0^\pi\sqrt{\tfrac{1}{2}(1 - \cos\varphi)}\; d\varphi = 8a\int_0^\pi\sin\left(\tfrac{\varphi}{2}\right) d\varphi = 16a.&lt;/math&gt;برای دل‌گون formula_31 به دست می‌آیدformula_32ویژگی‌ها.وترهای گذرنده از نوک.اثبات C1.نقاط formula_34 روی یک وتر گذرنده از نوک (=مبدأ) هستند. از این رو formula_35اثبات C2.برای اثبات از نمایش در صفحه مختلط (به بالا مراجعه کنید) استفاده می‌شود. برای نقاط formula_36 و formula_37نقطه میانی وتر formula_38 برابر است با formula_39 که روی محیط دایره با نقطه میانی formula_17 و شعاع formula_1 قرار دارد (به تصویر مراجعه کنید).دل‌گون به عنوان وارون منحنی سهمی.برای مثال نشان داده شده در نمودار، دایره‌های مولد دارای شعاع formula_42 هستند. از این رو دل‌گون دارای نمایش قطبیformula_43و وارون منحنی آنformula_44است که یک سهمی (به سهمی مراجعه کنید) با معادله formula_45 در مختصات دکارتی است."توجه:" هر وارون منحنی یک سهمی یک دل‌گون نیست. به عنوان مثال، اگر یک سهمی در یک دایره که مرکز آن در "راس" سهمی قرار دارد، معکوس شود، نتیجه یک cissoid of Diocles است.دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته دایره.در بخش قبل، اگر مماس‌های سهمی را نیز معکوس کنید، یک مداد (هندسه) (دسته) از دایره‌ها از مرکز وارونگی (مبدأ) به دست می‌آید. یک بررسی دقیق نشان می‌دهد: نقاط میانی دایره‌ها روی محیط دایره مولد ثابت قرار دارند. (دایره مولد، وارون منحنی خط هادی سهمی است.)این ویژگی منجر به روش ساده زیر برای "رسم" یک دل‌گون می‌شود:دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته خط.یک روش مشابه و ساده برای رسم دل‌گون از یک دسته «خط» استفاده می‌کند. این روش به لوئیجی کرمونا نسبت داده می‌شود:اثبات.بررسی زیر از فهرست اتحادهای مثلثاتی برای formula_52، formula_53، formula_54، formula_55، و formula_56 استفاده می‌کند.برای اینکه محاسبات ساده بماند، اثبات برای دل‌گون با نمایش قطبیformula_57 ("§ Cardioids in different positions")."معادله مماس" "دل‌گون" با نمایش قطبی "r" = 2(1 + cos φ).از نمایش پارامتریformula_58بردار نرمال formula_59 را به دست می‌آوریم. معادله مماسformula_60 برابر است با:formula_61با کمک فرمول‌های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر formula_62، معادله مماس را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:formula_63"معادله وتر" "دایره" با نقطه میانی (1,0) و شعاع ۳.برای معادله خط قاطع که از دو نقطه formula_64 می‌گذرد، به دست می‌آید:formula_65با کمک فرمول‌های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر formula_66، معادله خط قاطع را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:formula_67نتیجه‌گیری.به‌رغم اینکه دو زاویه formula_68 معانی متفاوتی دارند (به تصویر مراجعه کنید)، برای formula_69 به خط یکسانی می‌رسیم. از این رو هر خط قاطع دایره که در بالا تعریف شد، مماس بر دل‌گون نیز هست:اثبات را می‌توان با کمک «شرایط پوشش» (به بخش قبل مراجعه کنید) از یک دسته ضمنی منحنی‌ها انجام داد:formula_70دسته خطوط قاطع یک دایره (به بالا مراجعه کنید) است وformula_71برای پارامتر ثابت t، هر دو معادله نشان دهنده خطوط هستند. نقطه تقاطع آنهاformula_72است که یک نقطه از دل‌گون با معادله قطبی formula_73 است.دل‌گون به عنوان کاستیک یک دایره.ملاحظات انجام شده در بخش قبل، اثباتی ارائه می‌دهد که کاستیک یک دایره با منبع نور در محیط دایره، یک دل‌گون است. \varphi, \sin{\color{red}\tfrac{3}{2}} \varphi\right)^\mathsf{T}&lt;/math&gt; است (به نمودار مراجعه کنید) و شامل نقطه formula_75 است. پرتو بازتاب شده بخشی از خط با معادله (به بخش قبل مراجعه کنید)formula_76است که مماس بر دل‌گون با معادله قطبیformula_77"توجه:" برای چنین ملاحظاتی معمولاً بازتاب‌های چندگانه در دایره نادیده گرفته می‌شوند.دل‌گون به عنوان منحنی پدال یک دایره.تولید کرمونا از یک دل‌گون نباید با تولید زیر اشتباه گرفته شود:فرض کنید formula_78 یک دایره و formula_47 یک نقطه روی محیط این دایره باشد. در این صورت:از این رو یک دل‌گون یک منحنی پدال خاص از یک دایره است.اثبات.در یک دستگاه مختصات دکارتی، دایره formula_78 ممکن است نقطه میانی formula_83 و شعاع formula_84 داشته باشد. مماس در نقطه دایره formula_85 دارای معادله زیر است:formula_86پای عمود از نقطه formula_47 روی مماس، نقطه formula_88 با فاصله formula_89 نامعلوم تا مبدأ formula_47 است. قرار دادن این نقطه در معادله مماس، نتیجه می‌دهد:formula_91که معادله قطبی یک دل‌گون است."توجه:" اگر نقطه formula_47 روی محیط دایره formula_78 نباشد، یک حلزون پاسکال به دست می‌آید.گسترنده یک دل‌گون.گسترنده یک منحنی، مکان هندسی مراکز انحنا است. به‌طور خاص: برای یک منحنی formula_94 با شعاع انحنای formula_95، گسترنده دارای نمایش زیر است:formula_96با formula_97 به عنوان نرمال واحد به‌طور مناسب جهت‌دهی شده.برای یک دل‌گون به دست می‌آید:اثبات.برای دل‌گون با نمایش پارامتریformula_98formula_99نرمال واحد به صورت زیر است:formula_100و شعاع انحناformula_101بنابراین معادلات پارامتری گسترنده عبارتند از:formula_102formula_103این معادلات یک دل‌گون را توصیف می‌کنند که یک سوم کوچکتر است، ۱۸۰ درجه چرخیده و به اندازه formula_104 در امتداد محور x منتقل شده است.مسیرهای متعامد.مسیر متعامد یک دسته منحنی، منحنی است که هر منحنی از دسته را به صورت متعامد قطع می‌کند. برای دل‌گون‌ها موارد زیر صادق است:اثبات.برای یک منحنی داده شده در دستگاه مختصات قطبی توسط یک تابع formula_106، رابطه زیر با مختصات دکارتی برقرار است:formula_107و برای مشتقاتformula_108تقسیم معادله دوم بر اول، شیب دکارتی خط مماس بر منحنی در نقطه formula_109 را به دست می‌دهد:formula_110برای دل‌گون‌ها با معادلات formula_111 و formula_112 به ترتیب به دست می‌آید:formula_113 و formula_114از این روformula_118این بدان معناست که هر منحنی از دسته اول، هر منحنی از دسته دوم را به صورت متعامد قطع می‌کند.در موقعیت‌های مختلف.انتخاب موقعیت‌های دیگر دل‌گون در دستگاه مختصات منجر به معادلات متفاوتی می‌شود. تصویر، ۴ موقعیت رایج یک دل‌گون و معادلات قطبی آنها را نشان می‌دهد.در آنالیز مختلط.در آنالیز مختلط، تصویر هر دایره‌ای که از مبدأ عبور می‌کند تحت نگاشت formula_119 یک دل‌گون است. یک کاربرد این نتیجه این است که مرز مؤلفه دوره ۱ مرکزی مجموعه مندلبرو یک دل‌گون است که با معادله پارامتری زیر داده می‌شود:formula_120مجموعه مندلبرو شامل تعداد نامتناهی از کپی‌های کمی تحریف شده از خودش است و پیاز مرکزی هر یک از این کپی‌های کوچکتر، یک دل‌گون تقریبی است.کاستیک‌ها.برخی کاستیک‌ها می‌توانند شکل دل‌گون به خود بگیرند. کاتاکاستیک یک دایره نسبت به یک نقطه روی محیط آن، یک دل‌گون است. همچنین، کاتاکاستیک یک مخروط نسبت به پرتوهای موازی با یک خط مولد، سطحی است که مقطع آن یک دل‌گون است. این را می‌توان، همان‌طور که در عکس سمت راست دیده می‌شود، در یک فنجان مخروطی که تا حدی با مایع پر شده است، زمانی که نور از فاصله‌ای دور و با زاویه‌ای برابر با زاویه مخروط می‌تابد، مشاهده کرد. شکل منحنی در پایین یک فنجان استوانه‌ای، نصف یک گرده‌گون (نفروئید) است که بسیار شبیه به نظر می‌رسد.