آونگ کاپیتسا کیست؟ توضیح بده.
آونگ کاپیتسا، آونگ سِفت (صُلب) وارونه‌ای است که تکیه‌گاه (مفصل، Pivot) آن در جهت عمودی به بالا و پایین می‌لرزد. این آونگ به‌افتخار فیزیکدان روسی، پیوتر کاپیتسا، برندهٔ نوبل، که سال ۱۹۵۱ نظریه‌ای را پیش نهاد که با موفقیت برخی از خواص غیرعادی آن را توضیح می‌دهد، نام گذاشته شده‌است.ویژگی یگانهٔ آونگ کاپیتسا این است که می‌تواند در اثر تعلیق ارتعاشی، و درحالی‌که وارونه است به تعادل پایدار برسد، گرچه گرانیگاه (مرکز جرم) آن بالای مفصل آونگ قرار گرفته‌است. در آونگ معمولی با یک سیستم تعلیق ثابت، تنها موقعیت تعادلی پایدار، قرار گرفتن آونگ زیر نقطه تعلیق (تکیه‌گاه، مفصل) است. موقعیت وارونگی عمودی، نقطه تعادل ناپایدار است و کوچک‌ترین اغتشاش، آونگ را از تعادل درمی‌آورد. در تئوری کنترل غیرخطی، آونگ کاپیتسا، نمونه‌ای از یک نوسان‌ساز پارامتری است که مفهوم «استواری پویا» (dynamic stabilization) را نشان می‌دهد.آونگ کاپیتسا را نخستین بار آ. استیوِنسون (A. Stephenson) در سال ۱۹۰۸ توصیف کرد. او دریافت که وقتی فرکانس ارتعاش، زیاد است، موقعیت عمودی بالایی آونگ ممکن است پایدار باشد. بااین‌حال تا دهه ۱۹۵۰ هیچ توضیحی برای این پدیدهٔ بسیار نامعمول نبود. پیوتر کاپیتسا نخستین کسی بود که در سال ۱۹۵۱ آن را تحلیل کرد. او چندین مطالعۀ تجربی کرد و با دسته‌بندی حرکت به متغیرهای «سریع» و «آهسته» و با معرفی یک پتانسیل مؤثر، بینشی تحلیلی از دلایل پایداری پیش نهاد. این کار ابتکاری موضوع جدیدی در فیزیک باز کرد؛ مکانیک ارتعاشی. روش کاپیتسا برای توصیف فرآیندهای دوره‌ای در فیزیک اتمی، فیزیک پلاسما و فیزیک سایبرنتیک به کار می‌روند. پتانسیل مؤثری که مؤلفه «آهسته» حرکت را توصیف می‌کند، در جلد «مکانیک» (فصل سی‌ام) دوره فیزیک نظری لانداو شرح داده شده‌است.یکی دیگر از ویژگی‌های جالب آونگ کاپیتسا این است که موقعیت تعادل پایین، که آونگ پایین‌تر از مفصل قرار گرفته‌است، دیگر پایدار نیست. دامنهٔ هر انحراف ناچیز از حالت عمود، با گذشت زمان افزایش می‌یابد. تشدید پارامتریک نیز می‌تواند در این موقعیت رخ دهد، و رژیم‌های آشوبناک را می‌توان وقتی‌که جاذب‌های شگفت در بخش پوانکاره وجود دارند، در سیستم مشاهده کرد.نمادگذاری.محور عمودی را با formula_1 و محور افقی را با formula_2 نشان می‌دهیم، طوری‌که آونگ در صفحهٔ (formula_1-formula_2) حرکت می‌کند. از نمادهای زیر استفاده خواهد شد:با نشان دادن زاویهٔ میان آونگ و جهت روبه‌پایین با formula_11، وابستگی زمانی موقعیت آونگ چنین نوشته می‌شودانرژی.انرژی پتانسیل آونگ در اثر گرانش است و برحسب موقعیت عمودی، چنین تعریف می‌شود.انرژی جنبشی، افزون‌بر عبارت استاندارد formula_14 که سرعت یک آونگ ریاضی را توصیف می‌کند، در اثر ارتعاش‌های تعلیق هم هستانرژی کل، جمع انرژی‌های جنبشی و پتانسیل است formula_16 و لاگرانژی، تفاوت آن دو است formula_17 .انرژی کل در یک آونگ ریاضی، پایسته می‌ماند، بنابراین وابستگی زمانی formula_18 و formula_19 نسبت‌به خط افقی متقارن است. بر اساس قضیه ویریال، میانگین انرژی جنبشی و پتانسیل در نوسانگر هارمونیک برابر است. این بدان معنی است که خط تقارن با نیمی از کل انرژی مطابق است.سیستم تعلیق ارتعاشی، دیگر یک سیستم بسته نیست و انرژی کل، دیگر پایسته نیست. انرژی جنبشی در مقایسه با انرژی پتانسیل به ارتعاش حساس‌تر است. انرژی پتانسیل formula_20 از پایین و بالا کراندار است formula_21، اما انرژی جنبشی تنها از پایین کران دارد formula_22 . در فرکانس بالای ارتعاشات formula_5، انرژی جنبشی می‌تواند در مقایسه با انرژی پتانسیل بزرگ باشد.معادلات حرکت.حرکت آونگ، معادلات اویلر-لاگرانژ را برمی‌آورد. وابستگی فاز formula_11 آونگ به موقعیتش، معادله زیر را برمی‌آورد:که لاگرانژی formula_26 چنین استتا جمله‌های مشتق زمانی نامرتبط. معادله دیفرانسیلکه حرکت آونگ را توصیف می‌کند، در اثر عامل formula_29 غیرخطی است.موقعیت‌های تعادلی. پتانسیل مؤثر formula_30 دارای دو کمینه است اگر formula_31 یا معادل آن، formula_32. کمینهٔ اول در همان موقعیت است formula_33 همان‌طور که آونگ ریاضی و حداقل دیگر در موقعیت عمودی بالایی قرار دارد formula_34 . در نتیجه موقعیت عمودی بالایی که در یک آونگ ریاضی ناپایدار است، می‌تواند در آونگ کاپیتزا پایدار شود.هنگامی که سیستم تعلیق با دامنه کمی در لرزش است (formula_35) و فرکانس formula_36 بسیار بیشتر از فرکانس formula_37 است (formula_38)، زاویه formula_39 ممکن است به‌عنوان برهم‌نهفتهٔ یک جزء «آهسته» formula_40 و یک نوسان کم‌دامنهٔ سریع formula_41 در اثر ارتعاشات کوچک اما سریع سیستم تعلیق در نظر گرفته شود formula_42. در واقع، یک فزونی اغتشاشی در ثابت‌های formula_43 با ثابت نگه داشتن formula_44 در نظر می‌گیریم. این رویکرد اغتشاشی، با formula_45 دقیق می‌شود. به‌طور دقیق‌تر، نوسان سریع formula_41 چنین تعریف می‌شودمعادله حرکت برای مولفهٔ «آهسته» formula_40 چنین می‌شودمیانگین‌گیری زمانی روی نوسان سریع formula_5، به عبارت زیر می‌انجامدمعادله «آهسته» حرکت چنین می‌شودبا فرض یک پتانسیل مؤثراگر formula_31، یا معادل آن، formula_32، پتانسیل مؤثر formula_30 دست‌کم دو کمینه دارد. نخستین کمینه در همان موقعیت است formula_33 به‌عنوان آونگ ریاضی، و کمینهٔ دیگر در موقعیت عمودی بالایی قرار دارد formula_34. درنتیجه موقعیت عمودی بالایی که در یک آونگ ریاضی ناپایدار است، می‌تواند در آونگ کاپیتسا پایدار شود.انشعاب و آشوب.برای دامنه‌هایی حتی بزرگتر، نوسان پایدار، ناپایدار می‌شود و آونگ شروع به چرخش می‌کند. در دامنه‌های بزرگتر، چرخش نیز از بین می‌رود و یک جاذب شگفت با یک انشعاب دوبرابرکنندهٔ دوره تناوب ظاهر می‌شود.پاسخ‌های چرخشی.پاسخ‌های چرخشی آونگ کاپیتسا زمانی روی می‌دهند که آونگ حول تکیه‌گاه با همان فرکانسی که تکیه‌گاه تکان داده می‌شود بچرخد. دو پاسخ چرخشی وجود دارد؛ در هر جهت، یکی. با شیفت دادن مرجع چرخان از راه formula_59، خواهیم داشت:با در نظر گرفتن حالتی که formula_5 بسیار بزرگتر از formula_37 است، رژیم formula_5 سریع و formula_64 آهسته، به این معادله می‌انجامد:پتانسیل مؤثر، همان برای معادله یک آونگ ساده است. یک تعادل پایدار در formula_66 و یک تعادل ناپایدار در formula_67 وجود دارد.