دسته‌بندی ناپیوستگی‌ها کیست؟ توضیح بده.
توابع پیوسته در ریاضیات، توابع و کاربردهای آن از اهمیت بالایی برخوردار هستند. با این حال، همه توابع پیوسته نیستند. اگر تابعی در نقطه ای از دامنه خود پیوسته نباشد، می‌توان گفت که در آنجا ناپیوستگی دارد. مجموعه تمام نقاط ناپیوستگی یک تابع ممکن است یک مجموعه گسسته، یک مجموعه چگال یا حتی کل دامنه تابع باشد.نوسان یک تابع در یک نقطه، این ناپیوستگی‌ها را به صورت زیر کمیت‌سازی می‌کند:یک حالت خاص این است که تابع به بی‌نهایت یا منهای بی‌نهایت واگرا شود، در این حالت نوسان تعریف نمی‌شود (در اعداد حقیقی توسعه‌یافته، این یک ناپیوستگی برداشتنی است).دسته‌بندی.برای هر یک از موارد زیر، یک تابع formula_1 با مقدار حقیقی از یک متغیر حقیقی formula_2 ، تعریف‌شده در همسایگی نقطه formula_3 که در آن formula_1 ناپیوسته است، در نظر بگیرید.ناپیوستگی برداشتنی.تابع را در نظر بگیریدformula_5نقطه formula_6 یک "ناپیوستگی برداشتنی" است. برای این نوع ناپیوستگی:حد یک‌طرفه از جهت منفی:formula_7و حد یک‌طرفه از جهت مثبت:formula_8در formula_3 "هر دو" وجود دارند، متناهی هستند و برابرند formula_10 به عبارت دیگر، از آنجا که دو حد یک‌طرفه وجود دارد و مساوی است، حد formula_11 از formula_12 مانند formula_2 نزدیک formula_3 وجود دارد و برابر با همین مقدار است. اگر مقدار موجود formula_15 برابر formula_11 "نباشد بنابراین" formula_3 یک ناپیوستگی برداشتنی نامیده می‌شود. این ناپیوستگی را می‌توان برای ایجاد formula_1 پیوسته در formula_3 حذف کرد یا به‌طور دقیق تر، تابعformula_20در formula_21 پیوسته است.اصطلاح "ناپیوستگی برداشتنی" گاهی گسترش می‌یابد تا یک تکینگی برداشتنی را شامل شود، که در آن حدها در هر دو جهت وجود دارند و برابر هستند، در حالی که تابع در نقطه formula_3 تعریف نشده است. این استفاده سوء استفاده از اصطلاحات است زیرا پیوستگی و ناپیوستگی یک تابع مفاهیمی هستند که فقط برای نقاطی در دامنه تابع تعریف می‌شوند.ناپیوستگی پرشی.این تابع را در نظر بگیریدformula_23بنابراین، نقطه formula_6 یک "ناپیوستگی پرشی" هست.در این مورد، حد واحد وجود ندارد زیرا حدهای یک‌طرفه، formula_25 و formula_26 وجود دارند و متناهی هستند، اما برابر نیستند: ازاین رو formula_27 حد formula_11 وجود ندارد؛ بنابراین، formula_3 "ناپیوستگی پرشی" نامیده می‌شود، "ناپیوستگی پله‌ای" یا "ناپیوستگی نوع اول" نامیده می‌شود. برای این نوع ناپیوستگی، تابع formula_1 ممکن است هر مقداری در formula_3 داشته باشدناپیوستگی اساسی.تابع چندضابطه‌ای را در نظر بگیریدformula_32بنابراین، نقطه formula_6 یک "ناپیوستگی اساسی" هست.در این مثال، هر دو formula_25 و formula_26 در formula_36 وجود ندارد، بنابراین شرط ناپیوستگی اساسی را برآورده می‌کند؛ بنابراین formula_3 "ناپیوستگی ذاتی"، "ناپیوستگی نامتناهی" یا "ناپیوستگی از نوع دوم" است. (این متمایز از یک تکینگی اساسی است که اغلب هنگام مطالعه توابع متغیرهای مختلط استفاده می‌شود).شمارش ناپیوستگی‌های یک تابع.دو ویژگی پیرو مجموعه formula_38 در این ادبیات مناسب هستند.تام آپوستول تا حدی از طبقه‌بندی بالا با در نظر گرفتن تنها ناپیوستگی‌های برداشتنی و پرشی پیروی می‌کند. هدف او مطالعه ناپیوستگی توابع یکنواخت، عمدتاً برای اثبات قضیه فرودا است. با همین هدف، والتر رودین و کارل آر استرومبرگ نیز ناپیوستگی‌های برداشتنی و پرشی را با استفاده از واژه‌گزینی‌های مختلف مطالعه کردند. با این حال، در ادامه، هر دو نویسنده بیان می‌کنند که formula_46 همیشه یک مجموعه شمارا است (ببینید).اصطلاح "ناپیوستگی اساسی" شواهدی از استفاده در زمینه ریاضی در اوایل سال ۱۸۸۹ دارد. با این حال، به نظر می‌رسد اولین استفاده از این اصطلاح در کنار یک تعریف ریاضی در اثر جان کلیپرت ارائه شده باشد. در آنجا، کلیپرت همچنین ناپیوستگی‌های اساسی خود را با تقسیم‌بندی مجموعه formula_47 در سه مجموعه زیر طبقه‌بندی کرد:formula_48formula_49formula_50البته formula_51 هر زمان که formula_52، formula_3 "ناپیوستگی اساسی از نوع اول" نامیده می‌شود. هر formula_54 "ناپیوستگی اساسی از نوع دوم گفته می‌شود." از این رو او مجموعه formula_46 را بزرگ می‌کند بدون از دست دادن ویژگی شمارا بودن خود با بیان موارد زیر: