مدل‌های پخش بیماری در شبکه کیست؟ توضیح بده.
= مدل‌های پخش بیماری در شبکه =یکی از پدیده‌های مهم در علم شبکه نحوه پخش اطلاعات در آن است. اگر شبکه مورد نظر را یک جامعه انسانی و اطلاعات نشر شده بر روی آن‌ را یک بیماری واگیردار در نظر بگیریم، به یک پدیده مهم می‌رسیم که در همه‌گیرشناسی نیز کاربرد دارد و آن نحوه پخش بیماری در شبکه است.در این متن قصد داریم، مدل‌های پخش بیماری در شبکه را بررسی کنیم. ریاضیات مورد استفاده در این مدل‌ها همان معادله دیفرانسیل معمول است و نیاز به ریاضیات پیشرفته‌تری نداریم. با این مدل‌ها می‌توانیم پیش‌بینی‌های در مورد نحوه پخش بیماری در جامعه، درصد افرادی که با بیماری درگیر می‌شوند، احتمال شیوع گسترده بیماری و ... انجام بدهیم که در زمان شیوع بیماری‌های واگیردار (مانند کووید ۱۹ یا همان کرونا) این پیش‌بینی‌ها بسیار حیاتی و کلیدی می‌شوند.مدل SI.در این مدل افراد جامعه به دو دسته S (افراد سالمی که مستعد گرفتن بیماری هستند) و I (افرادی که در حال حاضر بیمار هستند) تقسیم می‌شوند. همچنین تعداد افراد کل شبکه برابر N می‌گیریم و در شبکه تولد و مرگی رخ نمی‌دهد و در نتیجه N ثابت است.اگر k تعداد متوسط همسایه‌های یک راس در شبکه، نرخ تغییرات تعداد بیمارها به صورت زیر است که در آن بتا احتمال انتقال بیماری به او (در بازه زمان dt) و PI درصد افراد بیمار در شبکه است. (برای درک نحوه به دست آمدن این رابطه می‌توانید به کتاب علم شبکه اثر باراباسی-آلبرت مراجعه کنید):formula_1برای راحتی کار I/N را برابر i تعریف می‎‌کنیم و به همین ترتیب s را برابر S/N تعریف می‌کنیم. از آن‌جایی که N باید ثابت باشد آهنگ تغییرات S برابر منفی آهنگ تغییرات I است و در نتیجه دستگاه معادلات به شکل زیر در می‌آیند:formula_2با حل این دستگاه معادلات می‌توانیم به رابطه زیر برای i برسیم:formula_3این رابطه بیان می‌کند که در ابتدا که i کوچک است، تعداد افراد بیماری با سرعت کم افزایش پیدا می‌کند اما بعد شتاب گرفته و بعد از مدتی با سرعت بیشتری تعداد افراد بیمار افزایش پیدا می‌کند تا در نهایت همه افراد بیمار شده و i برابر یک می‌شود.مدل SIS.در این مدل که نسبت به مدل SI واقعی‌تر است، فرض می‌کنیم که هر فرد بیمار با احتمال میو (در بازه زمانی dt)، بیماری‌اش برطرف می‌شود و سالم می‌شود. بدین ترتیب دستگاه معادلاتمان این بار به صورت زیر در می‌آیند:formula_4در این آهنگ تغییرات تعداد بیماران در دو نقطه صفر می‌شود. یک زمانی که i=0 باشد و بار دیگر زمانی که برابر formula_5 باشد. البته اگر formula_6 باشد، دیگر i به محل دوم نمی‌رسد، و بعد از مدتی تعداد بیماران صفر می‌شود و این یعنی دو حالت داریم:مدل SIR.این مدل که که می‌توان گفت از دو مدل قبلی واقعی‌تر است‌، فرض بر این است که فرد بعد از گرفتن بیماری یا بهبود پیدا می‌کند و دارای پادتن بیماری می‌شود یا متاسفانه فوت پیدا می‌کند، که در هر دو صورت فرد در مقابل بیماری مقاوم می‌شود. این دسته افراد مقاوم در برابر بیماری را با R نشان می‌دهیم. باز هم فرض بر این است که N شبکه تغییر نمی‌کند و در نتیجه مجموع R,S,I برابر N است. همچنین R/N را به صورت r تعریف می‌کنیم.در این مدل هر فرد بیمار با احتمال میو (در بازه زمانی dt)، به دسته R می‌پیوندد (یا می‌میرد یا بهبود پیدا کرده و دارای پادتن بیماری می‌شود) و در مقابل بیماری مقاوم می‌شود. بدین ترتیب دستگاه معادلات در این مدل به شکل زیر درمی‌آیند:formula_10این معادلات را می‌توان به صورت زیر نیز بازنویسی کرد:formula_11در این مدل نیز دو حالت داریم:در این مدل کمیتی به صورت formula_14 تعریف می‌کنند. این کمیت به نوعی بیانگر تعداد افرادی است که یک فرد در بازه مبتلا بودن خود به بیماری، می‌تواند بیمار کند. اگر formula_15 بزرگ‌تر از یک باشد، بیماری شیوع پیدا می‌کند ولی اگر کوچک‌تر از یک باشد، بیماری سریعا کاهش پیدا می‌کند و اصلا شیوع چندانی پیدا نمی‌کند. برای مثال در شیوع بیماری کرونا، سویه سویه امیکرون سارس کووید ۲ آن دارای formula_15 بزرگ‌تری نسبت به سایر سویه‌ها بود و بیشتر از سایر سویه‌ها بود و در نتیجه بیشتر از آن‌ها نیز شیوع پیدا کرد ولی خوشبختانه نسبت به سویه دلتای سارس کووید ۲، دارای کشندگی کمتری بود و در نتیجه با شیوع سویه امیکرون تعداد کشته‌های بیماری کاهش پیدا کرد.