میدان مرتب کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، میدان مرتب (ordered field) میدانی است مجهز به ترتیب کلی عناصر آن که با عملیات میدانی سازگار باشد. مثال پایه از یک میدان مرتب، میدان اعداد حقیقی است و هر میدان مرتب ددکیند کامل با یک میدان حقیقی یکریخت است.همچنین هر زیر میدان یک میدان مرتب، با ارث بردن رابطه ترتیب، خود یک میدان مرتب خواهد بود. هر میدان مرتب شامل یک زیر میدان مرتب یکریخت با اعداد گویا است. مربع‌ها لزوماً در یک میدان مرتب نامنفی هستند؛ یعنی اعداد مختلط را نمی‌توان مرتب کرد زیرا مجذور "i" یکه موهومی، ۱- است. میدان‌های منتاهی را نمی‌توان مرتب کرد.از لحاظ تاریخی، اصول موضوعهٔ یک میدان مرتب به تدریج توسط ریاضیدانانی از جمله داویت هیلبرت، اتو هولدر و هانس هان از اعداد حقیقی انتزاع شد. این در نهایت به نظریه آرتین-شرایر در میدان‌های مرتب و میدان‌های حقیقی فرمال توسعه داده شد.تعاریف.دو تعریف مشترک معادل از یک میدان مرتب وجود دارد. تعریف ترتیب کلی از نظر تاریخی برای اولین بار ظاهر شد و اصل موضوع مرتبه اول formula_1 به عنوان یک رابطه دوتایی است. آرتین و شرایر این تعریف را بر حسب مخروط مثبت در سال ۱۹۲۶ ارائه کردند که زیرمجموعه عناصر نامنفی را تشریح می‌دهد. اگرچه مرتبهٔ دومی مرتبه بیشتر است، ولی ملاحظهٔ مخروط‌های مثبت به عنوان مخروط‌های اضافه ماکسیمال زمینهٔ بزرگ‌تری را فراهم می‌کند که در آن ترتیب‌های میدانی، ترتیب‌های اکسترمال جزئی هستند.ترتیب کلی.یک میدان formula_2 همراه با یک ترتیب کلی (اکید) formula_3 روی formula_4 یک میدان مرتب است اگر ترتیب برای همهٔ formula_5 خواص زیر را دارا باشد:مخروط مثبت.یک یا پیش ترتیب یک میدان formula_4 یک زیر مجموعه است formula_12 که خواص زیر را دارد:یک میدانی است که شامل پیش ترتیب formula_15 می‌باشد. عناصر ناصفر آن formula_25 زیر گروهی از گروه ضربی formula_4 را تشکیل می‌دهند.اگر همچنین، مجموعه formula_4 اجتماع formula_15 و formula_29 باشد، به formula_15 مخروط مثبت از formula_4 می‌گوییم. عناصر ناصفر formula_15 عناصر مثبت formula_4 نامیده می‌شوند.یک میدان مرتب یک میدان formula_4 به همراه یک مخروط مثبت formula_15 است.پیش ترتیب‌ها روی formula_4 دقیقاً محل تلاقی خانواده‌های مخروط‌های مثبت روی formula_4 هستند. مخروط‌های مثبت پیش ترتیب‌های ماکسیمال هستند.هم‌ارزی این دو تعریف.فرض کنید formula_4 یک میدان باشد. یک تناظر دوسویه بین بین ترتیبات میدانی formula_4 و مخروط‌های مثبت از formula_4 وجود دارد.یک ترتیب میدان داده شده ≤ مانند خاصیت اول، مجموعه ای از عناصر را به طوری که formula_41 باشد، تشکیل یک مخروط مثبت از formula_4 می‌دهد. متقابلاً، یک مخروط مثبت داده شده مثل formula_15 از formula_4 به صورتی که در خاصیت دوم است را می‌توان به یک ترتیب کلی formula_45 با در نظر گرفتن formula_46 بر formula_4 مرتبط کرد به معنی formula_48. این ترتیب کلی formula_45 خواص تعریف اول را برآورده می‌کند.نمونه‌هایی از میدان‌های مرتب.نمونه‌هایی از میدان‌های مرتب عبارتند از:اعداد سورئال به جای یک مجموعه، یک کلاس مناسب را تشکیل می‌دهند، اما در غیر این صورت از اصول موضوعهٔ یک میدان مرتب پیروی می‌کنند. هر میدان مرتب را می‌توان در اعداد سورئال نشاند.خواص میدان مرتب.برای هر "a", "b", "c", "d" در "F":هر زیر میدان از یک میدان مرتب نیز یک میدان مرتب است (ترتیب القایی به ارث می‌برد). کوچکترین زیر میدان نسبت به اعداد گویا یکریخت است (مثل هر میدان دیگری با مشخصه ۰) و ترتیب در این زیر میدان گویا مثل ترتیب خود گویاها است. اگر هر عنصر از یک میدان مرتب بین دو عنصر از زیر میدان گویای آن قرار گیرد، آنگاه میدان "ارشمیدسی" است. وگرنه چنین میدانی یک میدان مرتب غیر ارشمیدسی است و شامل بی‌نهایت کوچک‌ها می‌باشد؛ مثلاً، اعداد حقیقی یک میدان ارشمیدسی را تشکیل می‌دهند، اما اعداد ابرحقیقی یک میدان غیر ارشمیدسی را تشکیل می‌دهند، زیرا اعداد حقیقی را با عناصر بزرگتر از هر عدد طبیعی استاندارد می‌توان گسترش داد.یک میدان مرتب "F" با میدان عدد حقیقی R یکریخت است اگر هر زیر مجموعه ناتهی از "F" با کران بالا در "F" حداقل کران بالایی در "F" داشته باشد. این خاصیت نشان می‌دهد که میدان ارشمیدسی است.فضاهای برداری روی یک میدان مرتب.فضاهای برداری (مخصوصاً "n"-فضاها) روی یک میدان مرتب، نشان دهندهٔ برخی از ویژگی‌های خاص هستند و ساختارهای خاصی دارند، مثلا: جهت‌گیری، تحدب، و فضای ضرب داخلی مثبت-معین. برای بحث در مورد آن ویژگی‌های formula_81 ، که می‌توانند به فضاهای برداری بیش از سایر میدان‌های مرتب تعمیم یابند.میدان‌های قابل تبدیل به میدان مرتب.هر میدان مرتب یک میدان فرمال حقیقی است، برای مثال ۰ را نمی‌توان به صورت مجموع مجذورهای ناصفر نوشت.متقابلاً، هر میدان فرمال حقیقی شامل یک ترتیب کلی سازگار است که آن را به یک میدان مرتب تبدیل می‌کند. (این ترتیب نیازی به تعیین منحصر به فرد نیست) برای اثبات از لم زورن استفاده می‌شود.میدانهای متناهی و به‌طور کلی میدان‌های مشخصه مثبت را نمی‌توان به میدان‌های مرتب تبدیل کرد، زیرا در مشخصه "p"، عنصر -۱ را می‌توان به صورت مجموع (formula_78) مجذورهای formula_83 نوشت. اعداد مختلط را نیز نمی‌توان به یک میدان مرتب تبدیل کرد، زیرا -۱ مجذوری از یکه موهومی "i" است. همچنین، اعداد "p" -adic را نمی‌توان مرتب کرد، زیرا طبق لم هنسل، Q 2 شامل ریشهٔ زوج ۷- است، پس formula_84 ، و Q "p" (formula_85) حاوی یک جذر formula_78 است، بنابراین formula_87.توپولوژی ناشی از ترتیب.اگر "F" به توپولوژی ترتیبی شامل مرتبه کلی ≤ باشد، آنگاه اصول موضوع تضمین می‌کنند که عملیات + و × پیوسته هستند، پس "F" یک میدان توپولوژیکی است.توپولوژی هریسون.توپولوژی هریسون، یک توپولوژی در مجموعه‌ای از ترتیبات formula_88 از یک میدان فرمال حقیقی formula_4 است. هر مرتبه را می‌توان به عنوان یک همومورفیسم گروهی ضربی از *F بروی formula_90 در نظر گرفت. با قرار دادن formula_90 توپولوژی گسسته و formula_92 توپولوژی ضربی، توپولوژی زیرفضای formula_88 را القا می‌کند. مجموعه هریسون formula_94 زیرپایه ی توپولوژی هریسون را تشکیل می‌دهد. حاصل یک فضای بولین است (فضای فشرده، فضای هاسدورف و کاملاً منقطع) و formula_88 زیرمجموعه‌ای بسته بوده، لذا مجدداً بولین است.فن‌ها و میدان‌های فوق مرتب.یک فَن (fan) روی formula_4 پیش ترتیبی چون formula_97 است با این ویژگی که اگر formula_98 زیرگروهی از شاخص ۲ در formula_99 شامل formula_100 بوده و شامل ۱- نباشد، آنگاه formula_98 یک ترتیب است (یعنی formula_98 تحت عمل جمع بسته‌است). میدان فوق مرتب میدانی کلاً حقیقی است که در آن مجموع مربعات یک فن را تشکیل می‌دهند.