مجموعه تراز کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، یک مجموعه تراز برای یک تابع حقیقی-مقدار ، مجموعه‌ای است که تابع در آن، یک مقدار ثابت معین "c" را به خود می‌گیرد، یعنی:وقتیکه تعداد متغیرهای مستقل برابر دو است، به مجموعه تراز، منحنی تراز می‌گویند که "خط تراز (مرز)" یا "خط همبار" هم نام دارد؛ از این رو یک منحنی تراز برابر مجموعه همه راه‌حل‌های حقیقی-مقدار از یک معادله با دو متغیر "x"1 و "x"2 است. وقتیکه "n" = ۳ است، به مجموعه تراز یک رویه تراز (یا ' ) می‌گویند؛ از این‌رو یک رویه تراز برابر مجموعه همه ریشه‌های حقیقی-مقدار از یک معادله با سه متغیر "x"1، "x"2 و "x"3 است. برای مقادیر بالاتر از "n"، مجموعه تراز یک تراز"' است، یعنی مجموعه همه ریشه‌های حقیقی-مقدار از یک معادله با "n" &gt; 3 متغیر.یک مجموعه تراز حالت خاصی از یک تار است.نام‌های جایگزین.مجموعه‌های تراز در بسیاری از کاربردها دیده شده‌اند که اکثراً در آن‌ها نام متفاوتی دارند.برای مثال، یک یک منحنی تراز است، که به صورت مستقل از منحنی‌های همسایه‌اش درنظر گرفته می‌شود، و روی این موضوع تأکید دارد که چنین منحنی‌ای توسط یک معادله ضمنی تعریف شده‌است. به صورت مشابه، یک رویه تراز را گاهی رویه ضمنی یا یک می‌نامند.نام هم‌مرز هم به کار می‌رود، که به معنی یک مرز با ارتفاع برابر است. در زمینه‌های کاربردی مختلف، به هم‌مرز نام‌های خاصی داده‌شده‌است، که معمولاً نشان‌دهنده طبیعت مقادیر تابع مورد نظر است، مثل ، ، ، ، ، و منحنی بی‌تفاوتی است.مثال‌ها.فاصله اقلیدسی دو-بعدی را در نظر بگیرید formula_2 یک مجموعه تراز formula_3 از این تابع شامل آن نقاطی است که در فاصله formula_4 از مبدأ قرار می‌گیرند، که یک دایره تشکیل می‌دهند. برای مثال formula_5، زیرا formula_6 است. به صورت هندسی، این یعنی نقطه formula_7 روی دایره با شعاع ۵ با مرکز مبدأ می‌افتد. به صورت کلی‌تر، یک کره در یک فضای متری formula_8 با شعاع formula_4 و مرکز formula_10 را می‌توان به صورت مجموعه تراز formula_11 تعریف کرد.مثال دوم نمودار است که در شکل زیر نمایش داده شده‌است. هر منحنی نشان‌داده شده یک منحنی تراز از تابع است، که به صورت لگاریتمی فاصله‌دهی شده‌اند: اگر یک منحنی نمایش‌دهنده formula_12 باشد، آنوقت این منحنی به صورت مستقیم «درونی» نمایش‌دهنده formula_13 است، و به صورت مستقیم «بیرونی» نمایش‌دهنده formula_14 است.مجموعه تراز دربرابر گرادیان.برای فهم معنی این، فرض کنید که دو کوه‌نورد در یک محل روی یک یک کوه هستند. یکی شجاع است، و تصمیم می‌گیرد تا در جهتی حرکت کند که تندترین شیب را دارد. دیگری محتاط‌تر است؛ او نه می‌خواهد از کوه صعود کند و نه پایین بیاید، او مسیری را انتخاب می‌کند که او را در همان ارتفاع نگه می‌دارد. در این قیاس، قضیه بالا می‌گوید که دو کوه‌نورد در جهت‌های «عمود برهم» شروع به حرکت می‌کنند.یکی از نتایج این قضیه (و اثبات آن) آن است که اگر دیفرانسیل‌پذیر باشد، یک مجموعه ترازی در خارج از نقاط بحرانی یک و یک منیفلد است. در یک نقطه بحرانی، یک مجموعه ترازی را می‌توان به یک نقطه کاهش داد (برای مثال در یک بیشینه محلی از ) یا ممکن است که داشته باشد، مثل یک یا یک .مجموعه‌های زیرتراز و بالاتراز.یک مجموعه با حالت زیریک مجموعه زیرتراز از "f" نام‌دارد (یا به عبارت دیگر یک مجموعه تراز پایینی یا یک گودال از "f") نام دارد. یک مجموعه اکیداً زیرتراز از "f" برابر زیر استبه صورت مشابهیک مجموعه بالاتراز از "f" (یا به عبارت دیگر یک مجموعه تراز بالایی از "f") نامیده می‌شود. یک مجموعه بالاتراز اکید از "f" برابر زیر استمجموعه‌های زیرتراز در نظریه کمینه‌سازی مهم هستند. بر اساس ، « یک مجموعه زیرتراز غیر-تهی» و «شبه-پیوستگی پایینی تابع» به معنی ضمنی آن است که یک تابع به کمینه خود رسیده‌است. محدب‌بودن همه مجموعه‌های زیرتراز، از مشخصه‌های توابع شبه‌محدب هستند.