اثبات گنگ بودن π کیست؟ توضیح بده.
در دهه ۱۷۶۰، یوهان هاینریش لامبرت اولین کسی بود که ثابت کرد عدد عدد گنگ است، به این معنی که نمی‌توان آن را به صورت کسری از دو عدد formula_1 بیان کرد که formula_2 و formula_3 هر دو عدد صحیح هستند(به بیان ساده تر: عدد حاصل عددی گویا نسیت). در قرن نوزدهم، چارلز هرمیت روش اثباتی را یافت که به دانشی فراتر از محاسبات پایه نیاز ندارد. سه روش اثبات ساده‌سازی هرمیت، مدیون مری کارترایت، ایوان نیون و نیکلاس بورباکی است. روش اثبات دیگر، که ساده‌سازی برهان لمبرت است، مدیون اقدامات میکلس لاکوویچ (Miklós Laczkovich) است. بسیاری از این روش‌ها مبتنی بر برهان خلف هستند.در سال ۱۸۸۲، فردیناند فون لیندمان این را ثابت کرد عدد formula_4 نه تنها گنگ است بلکه عدد ترافرازنده نیز هست.اثبات لمبرت.در سال ۱۷۶۱، لمبرت این را ثابت کرد که رسیدن به عدد formula_4 با بسط مسلسل زیر غیرمنطقی است:سپس لمبرت ثابت کرد که اگر formula_7 غیر صفر و گویا است، پس این عبارت باید گنگ باشد. از آنجا که formula_8 ، نتیجه می‌شود که formula_9 عدد گنگ است و بنابراین formula_4 نیز گنگ است. ساده‌سازی اثبات لمبرت در زیر آورده شده‌است.اثبات هرمیت.این اثبات که در سال ۱۸۷۳ نوشته شده‌است، از توصیف عدد formula_4 به عنوان کوچک‌ترین عدد مثبتی که نصف آن ریشه تابع کسینوس است و در واقع این را ثابت می‌کند formula_12 گنگ است. همان‌طور که در بسیاری از برهان‌های گنگ بودن، این هم یک برهان خلف است.توالی توابع متغیر حقیق را در نظر بگیرید؛ formula_13 و formula_14 برای formula_15 به صورت زیر تعریف شده‌اند:با استفاده از روش استقرای ریاضی می‌توانیم آن ثابت کنیم که:و بنابراین داریم:بنابراین:که معادل است با:با استفاده از تعریف دنباله و استفاده از استقرا می‌توانیم نشان دهیم که:که درآن formula_22 و formula_23 توابع چند جمله ای با ضرایب صحیح هستند و درجه formula_22 کوچکتر یا مساوی formula_25 است. به‌طور خصوص که در آن:formula_26همچنین هرمیت یک عبارت بسته برای تابع formula_13 ارائه کرد که به این صورت است:او ادعا خود را توجیه نکرد، اما به راحتی می‌توان آن را ثابت کرد. اول از همه، این ادعا معادل است با:در صورت استفاده از روش استقرا و فرض formula_30:و برای گام‌های بعدی استقرا، هر عدد طبیعی formula_32 در نظر بگیرید:سپس، با استفاده ازانتگرال‌گیری جزء به جزء و قانون لایب نیتس، می‌توان به این رسید که:اگر formula_35، با formula_36 و formula_37 که در formula_38 هستند، پس از آنجایی که ضرایب formula_22 اعداد صحیح هستند و درجه آن کوچکتر یا مساوی formula_40 است، آنگاه formula_41 مقداری عدد صحیح formula_42 است. به عبارت دیگر:اما این عدد به وضوح بیشتر از formula_44 است. از سوی دیگر، حد این مقدار وقتی formula_32 به سمت صفر می‌رود، بی‌نهایت خواهد بود و اگر formula_32 به اندازه کافی بزرگ باشد، formula_47 است. بدین ترتیب تناقضی حاصل می‌شود.هرمیت برهان خود را به عنوان یک هدف غایی ارائه نکرد، بلکه به عنوان یک ایده بعدی در جستجوی خود برای اثبات ترافرازنده بودن formula_4 مطرح کرد. او روابط بازگشتی را برای ایجاد انگیزه و به دست آوردن یک بازنمایی یکپارچه و ساده مورد بحث قرار داد. هنگامی که این بازنمایی یکپارچه به دست آمد، راه‌های مختلفی برای ارائه یک اثبات مختصر و مستقل وجود دارد که از آن یکپارچگی شروع می‌شود (مانند ارائه‌های Cartwright, Bourbaki یا Niven)، که هرمیت به راحتی می‌توانست آن را ببیند (همان‌طور که او در اثبات ترافرازنده بودن formula_49، این کار را انجام داد.علاوه بر این، اثبات هرمیت از آنچه به نظر می‌رسد به روش اثبات لامبرت نزدیکتر است. در حقیقت، formula_50 «باقیمانده» کسر ادامه‌دار لمبرت برای formula_51 است.اثبات کارترایت.هارولد جفریس نوشت که این اثبات به عنوان نمونه در امتحانی در دانشگاه کمبریج در سال ۱۹۴۵ توسط مری کارترایت ارائه شد، اما او منشأ آن را ردیابی نکرده بود. هنوز هم در برگه ۴ سوالات امتحانی حال حاضر برای دوره تحلیل IA در دانشگاه کمبریج باقی مانده‌است.انتگرال زیر را در نظر بگیرید:جایی که formula_32 یک عدد صحیح غیر منفی است.دو انتگرال‌گیری جزء به جزء رابطه بازگشتی را نشان می‌دهد:اگر:سپس این تبدیل می‌شود به:علاوه بر این، formula_57 و formula_58، از این رو برای همه formula_59:جایی که formula_61 و formula_62 چند جمله ای درجه formula_63 و با ضرایب صحیح (بسته به هستند.با فرض formula_64 و این که formula_65 که formula_2 و formula_3 اعداد طبیعی باشند (یعنی فرض کنید formula_4 گویا است). پس:سمت راست معادله یک عدد صحیح است. ولی formula_70 در فاصله formula_71 طولی برابر formula_72 دارد و تابع فقط مقادیر بین formula_44 و formula_74 را می‌گیرد. از سوی دیگر:از این رو، برای formula_32 به اندازه کافی بزرگ:یعنی می‌توانیم یک عدد صحیح بین formula_44 و formula_74 پیدا کنیم که این تناقضی است که از این فرض حاصل می‌شود formula_4 گویا است.این برهان شبیه برهان هرمیت است. در واقع:با این حال، به وضوح ساده‌تر است و با حذف تعریف استقرایی توابع formula_13 به دست می‌آید و به عنوان نقطه شروع بیان آن‌ها به عنوان یک انتگرال در نظر گرفته می‌شود.اثبات نیون.این اثبات از توصیفformula_4به عنوان کوچک‌ترین ریشه مثبت تابع سینوس استفاده می‌کند.فرض کنید که formula_4 عدد گویا است، یعنی برای برخی از اعداد صحیح formula_2 و formula_3 که هر دو مثبت باشند: formula_87.با توجه به هر عدد صحیح مثبت formula_32، تابع چند جمله ای را تعریف می‌کنیم:و برای هر formula_90 فرض کنید:ادعای 1: formula_92 یک عدد صحیح است.اثبات:با بسط formula_93 به عنوان مجموع تک جمله‌ها، ضریب formula_94 عددی از شکل formula_95 است که formula_96 یک عدد صحیح است که formula_44 می‌باشد اگر formula_98.از این رو formula_99 برابر formula_44 است هنگامی که formula_98 و برابر است با formula_102 اگر در هر حالت، formula_99 یک عدد صحیح است و بنابراین formula_104 یک عدد صحیح است.از سوی دیگر، formula_105 و بنابراین برای هر عدد صحیح غیر منفی formula_106 خواهیم داشت: formula_107.به خصوص، formula_108از این رو formula_109 نیز یک عدد صحیح است و بنابراین formula_110 یک عدد صحیح است (در واقع بدیهی به نظر می‌رسد که از آنجا که formula_104 و formula_110 اعداد صحیح هستند، مجموع آنها نیز همین‌طور است.ادعای ۲:اثبات:از آنجایی که formula_114 چند جمله ای صفر است، خواهیم داشت:مشتقات تابع سینوس و کسینوس به صورت sin' = cos و cos' = −sin هستند. از این رو قاعده ضرب دلالت دارد که:با قضیه اساسی حسابان:از آنجا که formula_118 و formula_119 (در اینجا از خصوصیات فوق‌الذکر استفاده می‌کنیم formula_4 به عنوان صفر تابع سینوس)، ادعا ۲ دنبال می‌شود.نتیجه‌گیری:از آنجایی که formula_121 و formula_122 برای formula_123 (زیرا formula_4 "کوچک‌ترین" صفر مثبت تابع سینوس است)، ادعاهای ۱ و ۲ این را نشان می‌دهد که formula_92 یک عدد صحیح "مثبت" است. از آنجا که formula_126 و formula_127 برای formula_128، با تعریف اصلی formula_93 داریم:که برای formula_32 بزرگ، کوچکتر از formula_74 است، از این رو formula_133 برای این formula_32‌ها در ادعا ۲ است. این برای عدد صحیح مثبت formula_92، غیرممکن است. این نشان می‌دهد که فرض اصلی که formula_4 گویا است منجر به تناقض می‌شود که برهان را تکمیل می‌کند.اثبات فوق یک نسخه اصلاح شده‌است که تا حد امکان پیش نیازهای تجزیه و تحلیل فرمول را ساده کرده‌است.که توسط انتگرال‌گیری جزء به جزء، formula_138 به دست می‌آید. ادعای ۲ اساساً این فرمول را ایجاد می‌کند که در آن استفاده از formula_139 انتگرال بخش‌های تجمیع شده را پنهان می‌کند. آخرین انتگرال حذف می‌شود زیرا formula_140 چند جمله ای صفر است. ادعای ۱ نشان می‌دهد که مجموع باقی مانده یک عدد صحیح است.اثبات نیون بیشتر از آنچه در نگاه اول به نظر می‌رسد به اثبات کارترایت (و بنابراین هرمیت) نزدیک است. در حقیقت:بنابراین، جایگزینی formula_142 این انتگرال را به شکل زیر ساده می‌کند:به خصوص،ارتباط دیگر بین این برهان‌ها در این واقعیت نهفته‌است که هرمیت پیشتر ذکر می‌کند که اگر formula_93 تابع چند جمله ای است وپس:که از آن نتیجه می‌شود که:اثبات بورباکی.برهان بورباکی به عنوان تمرینی در رساله حساب دیفرانسیل و انتگرال او بیان شده‌است. برای هر عدد طبیعی "b" و هر عدد صحیح غیر منفی formula_32، تابع زیر تعریف می‌گردد:از آنجا که formula_151 انتگرال یک تابع تعریف شده در بازه formula_152 است که مقدار formula_44 را در formula_44 و formula_4 م:ی گیرد که بزرگتر از formula_44 است در غیر این صورت، formula_157.علاوه بر این، برای هر عدد طبیعی formula_3، formula_159 اگر formula_32 به اندازه کافی بزرگ باشد، زیرا:و بنابراین:از سوی دیگر، انتگرال‌گیری جزء به جزءبه ما این امکان را می‌دهد که استنباط کنیم، اگر formula_2 و formula_3 اعداد طبیعی هستند به گونه ای که formula_87 و formula_93 تابع چند جمله ای از formula_167 به formula_168 تعریف شده باشد با:پس:انتگرال آخر formula_44 است، از آنجا که formula_172 تابع تهی است (زیرا formula_93 تابع چند جمله ای درجه است). از آنجایی که هر تابع formula_174 (با مقادیر صحیح را در formula_44 و formula_4 می‌گیرد و از آنجایی که همین اتفاق در مورد توابع سینوس و کسینوس رخ می‌دهد، این موضوع را ثابت می‌کند که formula_151 یک عدد صحیح است. از آنجایی که آن نیز بیشتر از formula_44 است، پس باید یک عدد طبیعی باشد. اما این هم ثابت شد formula_159 اگر formula_32 به اندازه کافی بزرگ است، در نتیجه به تناقض می‌رسد.این اثبات کاملاً به اثبات نیون نزدیک است، تفاوت اصلی بین آنها در روش اثبات این است که اعداد formula_151 اعداد صحیح هستند.اثبات لاچکوویچ.اثبات میکلاس لاچگوویچ ساده‌سازی اثبات اصلی لمبرت است. او تابع زیر را در نظر می‌گیرد:این توابع به وضوح برای هر عدد حقیقی formula_7 تعریف شده‌اند. بعلاوه:ادعای ۱:رابطه بازگشتی زیر برای هر عدد واقعی صادق است:اثبات:این را می‌توان با مقایسه ضرایب توان‌های formula_7 از اثبات کرد.ادعای ۲:برای هر عدد واقعی formula_7،اثبات:در واقع دنباله formula_190 محدود است (از آنجایی که به میل می‌کند) و اگر formula_191 حد بالایی است و اگر formula_192، پس:ادعای ۳:اگر formula_194 در این صورتformula_195 گویا است و formula_196، پس:اثبات:در غیر این صورت، یک عدد formula_198 وجود خواهد داشت و اعداد صحیح formula_2 و formula_3 به طوری که formula_201 و formula_202 وجود خوهند داشت.برای این که دلیل را بیابید، فرض کنید formula_203formula_204 و formula_205 اگر در غیر این صورت، اعداد صحیح formula_2 و formula_3 را به شکلی انتخاب کنید که formula_208 و تعریف کنید formula_209.در هر مورد، formula_210 نمی‌تواند formula_44 باشد زیرا در غیر این صورت مطابق ادعای ۱ دنبال خواهد شد که هر کدام formula_212 (formula_213) برابر formula_44 خواهد بود که با ادعای ۲ مغایرت دارد. حالا یک عدد طبیعی formula_215 در نظر بگیرید به طوری که هر سه عدد formula_216formula_217 و formula_218 اعداد صحیح هستند و دنباله زیر را در نظر می‌گیرندپس:از سوی دیگر، از ادعای ۱ بر می‌آید که:که ترکیبی خطی از formula_222 و formula_223 با ضرایب صحیح است؛ بنابراین، هر formula_223 مضرب صحیح formula_210 است. در ضمن از ادعای ۲ بر می‌آید که هر کدام formula_223 بزرگتر است از formula_44 (و بنابراین ) اگر formula_32 به اندازه کافی بزرگ باشد و دنباله ای از همه formula_223‌ها به formula_44 همگرا می‌شود. اما دنباله ای از اعداد بزرگتر یا مساوی با formula_231 نمی‌تواند به formula_44 همگرا شود.از آنجا که formula_233 از ادعای ۳ بر می‌آید که formula_234 گنگ است و بنابراین formula_4 گنگ است.از سوی دیگر، از آنجایی که:پیامد دیگر ادعای ۳ این است که اگر formula_237، پس formula_51 گنگ است.اثبات لاکوویچ در واقع در مورد تابع فوق هندسی است. در حقیقت، formula_239 و گاوس با استفاده از معادله تابعی آن بسط کسری ادامه یافته تابع ابر هندسی را یافت. این به لاکوویچ اجازه داد تا یک اثبات جدید و ساده‌تر برای این واقعیت بیابد که تابع مماس دارای بسط کسری پیوسته‌است که لامبرت کشف کرده بود.نتیجه لاکوویچ را می‌توان در توابع بسل از نوع اول نیز بیان کرد formula_240. در حقیقت، formula_241 (جایی که formula_242 تابع گاما است). بنابراین نتیجه لاکوویچ برابر است با: اگر formula_194formula_195 گویا باشد و formula_245 پس: