همبستگی کانونی کیست؟ توضیح بده.
در آمار، آنالیز همبستگی کانونی (CCA)، که آنالیز متغیرهای کانونی نیز نامیده می‌شود، راهی برای دریافت اطلاعات از ماتریس‌های کوواریانس متقاطع() است. اگر دو بردار "X" = ("X" 1 , . . .، "X" "n") و "Y" = ("Y" 1 , . . .، "Y" "m") داشته باشیم که از متغیرهای تصادفی تشکیل شده‌اند، و بین متغیرها همبستگی وجود دارد، سپس تحلیل همبستگی کانونی، ترکیبات خطی "X" و "Y" را پیدا می‌کند که حداکثر همبستگی را با یکدیگر دارند. TR Knapp خاطرنشان می‌کند که «تقریباً تمام آزمون‌های پارامتری مهم که معمولاً با آنها مواجه می‌شوند را می‌توان به عنوان موارد ویژه ای از تجزیه و تحلیل همبستگی متعارف در نظر گرفت، که روش کلی برای بررسی روابط بین دو مجموعه از متغیرها است.» این روش برای اولین بار توسط هارولد هتلینگ در سال ۱۹۳۶ معرفی شد، اگرچه در زمینه زوایای بین تخت ()، مفهوم ریاضی توسط جردن در سال ۱۸۷۵ منتشر شد.تعریف.با توجه به دو بردار ستونی formula_1 و formula_2 از متغیرهای تصادفی، می‌توان کوواریانس متقاطع را تعریف کرد formula_3 که یک ماتریس formula_4 می‌دهد که formula_5 ورودی کوواریانس است formula_6 . در عمل، ماتریس کوواریانس را بر اساس داده‌های نمونه‌برداری شده formula_7 و formula_8 تخمین می‌زنیم (یعنی از یک جفت ماتریس داده).تحلیل همبستگی کانونی به دنبال بردارهای (formula_9)formula_10 و (formula_11)formula_12 است به طوری که متغیرهای تصادفی formula_13 و formula_14 همبستگی formula_15 را به حداکثر برساند. متغیرهای تصادفی (اسکالر) formula_16 و formula_17 اولین جفت متغیرهای کانونی هستند. سپس به دنبال بردارهایی می‌گردیم که همان همبستگی را با این محدودیت که با اولین جفت متغیرهای کانونی همبستگی ندارند، به حداکثر برسانند. این کار جفت دوم متغیرهای کانونی را به ما می‌دهد. این روش ممکن است تا formula_18 بار به طول انجامد.محاسبات.مشتق.فرض کنید formula_19 ماتریس کوواریانس متقاطع برای هر جفت (بردار شکل) متغیر تصادفی formula_7 و formula_8 باشد. تابع هدف برای به حداکثر رساندن رابطهٔ زیر می‌باشد:formula_22اولین قدم تعریف تغییر مبنا است بنابراین داریم:formula_23formula_24با جایگذاری دو رابطه بالا در رابطه اصلی داریم:formula_25حال با توجه به نابرابری کوشی-شوارتز داریم:formula_26formula_27اگر بردارها formula_28 و formula_29 خطی باشند برابری وجود دارد. علاوه بر این، اگر formula_30 بردار ویژه با حداکثر مقدار ویژه برای ماتریس formula_31 باشد حداکثر همبستگی به دست می‌آید. جفت‌های بعدی با استفاده از مقادیر ویژه قدرهای کاهشی (decreasing magnitudes) پیدا می‌شوند. متعامد بودن با تقارن ماتریس‌های همبستگی تضمین می‌شود.راه دیگری برای مشاهده این محاسبات این است که formula_30 و formula_28 بردارهای منفرد() چپ و راست ماتریس همبستگی X و Y باشند که مربوط به بالاترین مقدار منفرد(singular value) هستند.حل.حل آن به شکل زیر می‌باشد:متقابلاً داریم:با معکوس کردن تغییر مختصات، داریم:متغیرهای متعارف به صورت زیر تعریف می‌شوند:formula_42formula_43کاربردهای عملی.یک استفاده معمولی برای همبستگی متعارف در زمینه تجربی این است که دو مجموعه از متغیرها را در نظر بگیرید و ببینید چه چیزی در بین دو مجموعه مشترک است. به عنوان مثال، در تست روان‌شناختی، می‌توان دو تست شخصیت چند بعدی را انجام داد، مانند پرسشنامه شخصیت چند مرحله‌ای مینه‌سوتا (MMPI-2) و NEO. با مشاهده اینکه چگونه عوامل MMPI-2 با عوامل NEO ارتباط دارند، می‌توان بینشی در مورد ابعاد مشترک بین آزمون‌ها و میزان واریانس به دست آورد. برای مثال، ممکن است متوجه شویم که یک بعد برون گرایی یا روان رنجورخویی مقدار قابل توجهی از واریانس مشترک بین این دو آزمون را به خود اختصاص داده‌است.همچنین می‌توان از تحلیل همبستگی کانونی برای تولید یک معادله مدل استفاده کرد که دو مجموعه از متغیرها را به هم مرتبط می‌کند، برای مثال مجموعه ای از معیارهای عملکرد و مجموعه ای از متغیرهای توضیحی، یا مجموعه ای از خروجی‌ها و مجموعه ای از ورودی‌ها. محدودیت‌های محدودیتی را می‌توان بر روی چنین مدلی اعمال کرد تا اطمینان حاصل شود که الزامات نظری یا شرایط شهودی بدیهی را منعکس می‌کند. این نوع مدل به عنوان مدل حداکثر همبستگی(maximum correlation) شناخته می‌شود.مثال.فرض کنید formula_44 با امید ریاضی صفر، به عنوان مثال، formula_45 .ما متوجه می‌شویم که در هر دو مورد formula_60 ، که نشان می‌دهد که تحلیل همبستگی کانونی با متغیرهای همبسته و ضدهمبسته به‌طور مشابه رفتار می‌کند.