زیرفضای خطی کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات و بخصوص در جبر خطی، یک زیرفضای خطی یا زیرفضای برداری ، یک زیرمجموعه از یک فضای برداری بزرگتر است که همچنان ویژگی‌های یک فضای برداری را داشته باشد. اگر با توجّه به موضوع، خطی بودن زیرفضا واضح باشد به آن تنها "زیرفضا" گفته می‌شود.تعریف.اگر formula_1 یک فضای برداری باشد و formula_2 یک زیرمجموعه از آن باشد (با همان میدان و عملگرها و تنها مجموعه بردارهای زیرمجموعه)، formula_2 را زیرفضای formula_1 می‌نامیم اگر همچنان اصول موضوعی یک فضای برداری در آن صدق کند.چون که formula_2 زیرمجموعهٔ formula_1 است اکثر اصول موضوعی برای آن برقرار است و تنها کافی است سه اصل از آنها بررسی شوند:بعضی منابع به جای اصل عنصر همانی، formula_2 را ناتهی فرض می‌کنند. در این صورت از بستار ضرب وجود عنصر صفر نتیجه می‌شود. در نتیجه این دو تعریف با یکدیگر معادل اند.به عنوان یک نتیجه، هر فضای برداری زیرفضای خودش است. همچنین formula_12 یا "فضای برداری صفر" تنها شامل بردار صفر نیز زیرفضای آن است. به این دو زیرفضاهای بدیهی یک فضای برداری گفته می‌شود.مثال‌ها.جمع مستقیم.اجتماع دو زیرفضا به ندرت فضای برداری محسوب می‌شود. اجتماع دو زیرفضای formula_1 زیرفضای formula_1 می‌شود اگر و تنها اگر یکی از زیرفضاها زیرفضای دیگری باشد.اگر formula_15 زیرفضای formula_1 باشند مجموع آنها به صورت formula_17 تعریف می‌شود. مجموع چند زیرفضا کوچکترین زیرفضای formula_1 است که شامل همهٔ آن زیرفضا‌ها باشد. به عبارتی دیگر هر زیرفضای formula_1 که formula_15 زیرفضای آن باشند زیرفضای formula_21 است.اگر اشتراک زیرفضاها مجموعهٔ ناتهی صفر باشد formula_22 در آن صورت به جمع آنها جمع مستقیم می‌گوییم و با formula_23 نمایش می‌دهیم. به شکل معادل، جمع formula_21 را مستقیم می‌نامیم اگر هر عنصر آن را تنها بتوان به صورت یکتا به شکل جمع formula_25 نوشت که در آن formula_26. همچنین می‌توان گفت formula_21 یک جمع مستقیم است اگر و تنها اگر تنها راه نوشتن formula_28 این باشد که هر formula_29 باشد.اگر formula_2 زیرفضای formula_1 باشد، formula_32 زیرفضای formula_1 وجود دارد که formula_34.مثال I.فرض کنید که میدان "K" برابر مجموعه R از اعداد حقیقی باشد، و فرض کنید که فضای برداری "V" یک R3 باشد."اثبات:"مثال II.دوباره فرض کنید R یک میدان باشد، اما اکنون فرض کنید که فضای برداری "V" برابر صفحه دکارتی R2 باشد. فرض کنید که "W" برابر مجموعه نقاط ("x", "y") از R2 باشد به اینصورت که "x" = "y" باشد. آنوقت "W" یک زیرفضای R2 است."اثبات:"در کل، هر زیرمجموعه از فضای مختصات حقیقی R"n" که توسط یک سامانه معادلات خطی همگن تعریف شده‌است منجر به یک زیرفضا خواهد شد. (معادلهٔ مثال I برابر "z" = ۰ بود و معادله در مثال II برابر "x" = "y" بود) به صورت هندسی، این زیرفضاها برابر نقاط، خطوط، صفحات و فضاهایی هستند که از نقطه ۰ رد می‌شوند.مثال III.دوباره فرض کنید که میدان برابر R باشد، اما اکنون فرض کنید فضای برداری "V" برابر مجموعه RR از همه توابع از R به R باشد. فرض کنید C(R) یک زیرمجموعه شامل توابع پیوسته باشد. آنوقت C(R) یک زیرفضای RR خواهد بود."اثبات:"مثال IV.میدان و فضای برداری را مثل قبل در نظر بگیرید، اما اکنون مجموعه Diff(R) از همه توابع دیفرانسیل‌پذیر را در نظر بگیرید. یک گونه استدلال مشابه قبل نشان می‌دهد که این هم یک زیرفضا است.در آنالیز تابعی مثال‌هایی که این موضوع را تعمیم می‌دهد، مکرر است.ویژگی‌های زیرفضاها.از تعریف فضاهای برداری، به این نتیجه می‌رسیم که زیرفضاها غیرتهی هستند، و تحت جمع و ضرب نرده‌ای بسته اند. به صورت هم‌ارز، زیرفضاها را می‌توان توسط خاصیت بسته‌بودن تحت ترکیب‌های خطی معین نمود؛ یعنی، یک مجموعه غیرتهی "W" اگر و تنها اگر یک زیرفضا است که هر ترکیب خطی از تعداد متناهی عنصر "W" هم به "W" متعلق باشد. تعریف هم‌ارز بیان می‌کند که معادل آن است که ترکیب‌های خطی از دو عنصر را در یک لحظه درنظر بگیریم.در یک فضای برداری توپولوژیکی "X"، نیازی نیست که یک زیرفضای "W" به صورت توپولوژیکی بسته باشد، بلکه یک زیرفضای متناهی-بعد همیشه بسته‌است. موضوع مشابهی برای زیرفضاهای متناهی درست است. (یعنی زیرفضاهایی که توسط تعداد متناهی پیوسته تعیین شده‌اند).توصیف‌ها.توصیف‌های زیرفضاها شامل مجموعه راه‌حل برای یک سامانه معادلات خطی همگن است، زیرمجموعه فضای اقلیدسی که توسط یک سامانه از معادلات پارامتری خطی همگن توصیف می‌شود؛ پوشش از یک گردآوردی از بردارها، و فضای تهی، و از یک ماتریس. از نظر هندسی (مخصوصا تحت میدان اعداد حقیقی و زیرمیدان‌هایش)، یک زیرفضا یک در یک "n"-فضا است که از مبدأ عبور می‌کند.یک توصیف طبیعی از یک ۱-فضا برابر از یک بردار غیر-صفر v به همه مقادیر نرده‌ای ممکن است. ۱-زیرفضاهایی که توسط دو بردار تعیین می‌شود در صورتی برابرند که اگر و تنها اگر یک بردار از دیگری توسط ضرب نرده‌ای قابل دستیابی باشد:این ایده توسط پوشش خطی به ابعاد بالاتر تعمیم می‌یابد، اما ملاک تساوی "k"-فضاها که توسط مجموعه‌های "k" بردار تعیین می‌شود خیلی ساده نیست.توصیف دوگان توسط ارائه می‌شود (که معمولاً به صورت معادلات خطی پیاده‌سازی می‌شود). یک تابعی خطی غیر-صفر F زیرفضای هسته خود F = ۰ را از کوبعد ۱ تعیین می‌کند. زیرفضاهای کوبعد ۱ که توسط دو تابعی خطی تعیین شده‌اند، برابرند، اگر و تنها اگر یک تابعی از دیگری توسط ضرب نرده‌ای قابل دستیابی باشد (در ):این به کوبعدهای بالاتر توسط یک سامانه معادلات تعمیم می‌یابد.