المان خط کیست؟ توضیح بده.
المان خط یا عنصر خطرا می توان به طور غیررسمی به عنوان یک پاره خط مرتبط با یک بی نهایت کوچک بردار جابجایی در نظر گرفت. فضای متریک. طول عنصر خط، که ممکن است به عنوان یک دیفرانسیل طول قوس در نظر گرفته شود، تابعی از تانسور متریک است و با "formula_1" نشان داده می شود.عناصر خط در فیزیک، به‌ویژه در نظریه‌های گرانش (به‌ویژه نسبیت عام) استفاده می‌شوند که در آن فضا زمان به‌عنوان یک منیفولد منحنی شبه ریمانی مدل‌سازی می‌شود. یک تانسور متریک مناسب است.فرمول های عمومی.تعریف مستقل از مختصات مربع عنصر خط "ds" در "n"-بعدال ریمانی یا منیفولد شبه ریمانی (در فیزیک معمولاً یک منیفولد لورنتسی «مربع طول» یک جابجایی بینهایت کوچک است formula_2 (در منیفولدهای شبه ریمانی احتمالاً منفی) که از ریشه دوم آن باید برای محاسبه طول منحنی استفاده شود:formula_3در جایی که "g" تانسور متریک است، "·" نشان دهنده حصول داخلی است، و "d"q یک بی نهایت کوچک [ [جابجایی (بردار)|جابجایی]] در منیفولد (شبه) ریمانی. با پارامتر کردن یک منحنی formula_4، می‌توانیم طول قوس طول منحنی منحنی را بین formula_5 و &lt; تعریف کنیم. formula_6 به عنوان انتگرال: :formula_7برای محاسبه طول معقول منحنی ها در منیفولدهای شبه ریمانی، بهتر است فرض کنیم که جابجایی های بینهایت کوچک در همه جا علامت یکسانی دارند. به عنوان مثال. در فیزیک مربع یک عنصر خط در امتداد منحنی خط زمانی (در قرارداد امضای formula_8) منفی است و جذر منفی مربع عنصر خط در امتداد منحنی، زمان مناسب برای ناظری که در امتداد منحنی حرکت می کند. از این منظر، متریک علاوه بر عنصر خط، سطح و المان حجم و غیره را نیز تعریف می‌کند.شناسایی مربع عنصر خط با تانسور متریک.از آنجایی که formula_2 دلخواه "مربع طول قوس" است formula_10 کاملاً متریک را تعریف می کند، بنابراین معمولاً بهتر است عبارت formula_11 به‌عنوان تعریفی از خود تانسور متریک، که با نمادی پیشنهادی اما غیر تنشی نوشته شده است: :formula_12 این شناسایی مربع طول کمان formula_10 با متریک در "n"-بعد کلی مختصات منحنی آسان تر است.(q = ("q"1، "q"2، "q"3، . ..، "qn"که در آن به عنوان یک تانسور رتبه ۲ متقارن نوشته شده است همزمان با تانسور متریک: :formula_14.در اینجا از شاخص "i" و "j" مقادیر 1، 2، 3، ...، "n" و کنوانسیون جمع انیشتین استفاده می شود. نمونه‌های رایج فضاهای ریمانی (شبه) شامل سه بعدی فضا (بدون احتساب مختصات زمان)، و در واقع چهاربعدی فضا زمان است.مختصات منحنی کل.با توجه به مبنای دلخواه فضایی به ابعاد formula_15، متریک به عنوان حاصلضرب داخلی بردارهای پایه تعریف می‌شود.formula_16جایی که formula_17 و حاصلضرب داخلی نسبت به فضای محیط است (معمولاً formula_18 آن)بر اساس مختصات formula_19اساس مختصات نوع خاصی از پایه است که به طور منظم در هندسه دیفرانسیل استفاده می شود.عناصر خط در فضازمان 4 بعدی.فضای زمان مینکوفسکی.سنجه مینکوفسکی عبارت است از: : در جایی که یک علامت یا علامت دیگر انتخاب می شود، از هر دو قرارداد استفاده می شود. این فقط برای فضا زمان مسطح اعمال می شود. مختصات توسط این عبارت داده می شود: :formula_20بنابراین عنصر خط عبارت است از: :formula_21مختصات شوارتزشیلد.در مختصات شوارتزشیلد مختصات formula_22 هستند که معیار کلی فرم است: :formula_23(به شباهت های متریک در مختصات قطبی کروی سه بعدی توجه کنید). بنابراین عنصر خط عبارت است از: :formula_24فضای زمان کل.تعریف مستقل از مختصات مربع عنصر خط d"s" در این است: :formula_25از نظر مختصات برابر با این رابطه است: :formula_26که در این مورد، شاخص‌های α و β برای فضازمان از 0، 1، 2، 3 عبور می‌کنند. این فاصله زمان فضا است - اندازه گیری جدایی بین دو رویداد در فضا-زمان. در نسبیت خاص تحت تبدیل لورنتسها ثابت است. در نسبیت عام تحت دلخواه معکوس متمایزپذیر تبدیل‌های مختصات تغییر ناپذیر است.