حساب مالیاوین کیست؟ توضیح بده.
حساب مالیاوین نظریه‌ای در نظریه احتمالات است که حساب وردش را از تابع‌های قطعی به فرآیندهای کاتوره‌ای می‌گستراند. از این روی به آن "حساب وردش کاتوره‌ای" نیز می‌توان گفت. این حساب اولین بار توسط پاول مالیویان ارایه شد.این نظریه که با معادلات دیفرانسیل تصادفی سر و کار دارد، کاربردهایی در جستارهای کنترل بهینه تصادفی و ریاضیات مالی دارد.انگیزه.کارکردوار F وابسته به فرایند وینر را درنظر بگیرید. اگر این کارکردوار تابع g باشد، متداول است تا وردش آن را (formula_1) به یاری رابطه زیر حساب کرد:formula_2اما این وردش همیشه وجود ندارد، برای همین به حساب وردش دیگری نیاز پیدا می‌شود.مشتق مالیاوین و قضیه‌های وابسته.مشتق مالیاوین بگونه ای تعریف می‌شود تا تغییرات را نسبت به فرایند وینر بسنجد. طبیعی است که برای formula_3 مشتق مالیاوین برابر با h باشد؛ (در سنجش با مشتق عادی از formula_4 که برابر formula_5 است). بنابراین اگر مشتق مالیاوین نسبت به فرایند وینر در زمان s را با formula_6 نشان دهیم، از روی تعریف داریم.formula_7بنابراین formula_8 تعییرات یک متغیر کاتوره‌ای را نسبت به فرایند وینر اندازه‌گیری می‌کند. همچنین توجه کنید که formula_9.----مشتق‌گیری زنجیره‌ای: می‌توان برطبق قاعده زنجیره ای مشتق مالیاوین از کارکردوار وینر F را که در آنformula_10بصورت زیر داشت:formula_11----قضیه انتگرال‌گیری پاره‌ای (قضیه دوگان): برای کارکردوارِ وینر formula_12 داریم:formula_13که در آن formula_14.اثبات:formula_15formula_16که برای (۱) از قاعده ایزومتری استفاده شد و برای (۲) از بهره گرفته شد که برپایه آن برای x , y که توزیع گاوسی با میانگین صفر داشته باشند داریم: formula_17.----مشتق مالیاوین از فرایند پراکنش (diffusion process):اگر فرایند پراکنش formula_18 از معادله دیفرانسیل کاتوره‌ای (SDE) formula_19 تولید شده باشد. آنگاه داریم:formula_20formula_21که درنتیجه آن به یک SDE وردشی خطی می‌رسیم. از آنجا که معادله بالا خطی است، حل آن بصورت زیر است:formula_22اثبات:از آنجا که formula_8 حساسیت نسبت به formula_24 را می‌سنجد، رابطه SDE را بصورت formula_25 باز می‌نویسیم. حال توجه کنید که مشتق مالیاوین formula_8 از جمله اول صفر است چون هیچ وابستگی ای به formula_24 ندارد. حال با کاربستِ قاعده زنجیره ای و اینکه formula_28 داریم:formula_29----قضیه ای از آنالیز پریشیدیگی: اگر x یک فرایند پراکنش از formula_19 باشد، formula_31 یک تابع مشتق‌پذیر و formula_32 فرایند وینر، در اینصورت داریم:formula_33که در آن formula_34 پریشیدگی formula_35 نسبت به فرایند وینر می‌باشد.اثبات: گیریم formula_36، آنگاه داریم formula_37، پس می‌توان داشت:formula_38از طرف دیگرformula_39که می‌توان نتیجه گرفت:formula_40از طرف دیگر گیریم formula_41، در نتیجه داریم: formula_42بنابراین دیده می‌شود که formula_43 و formula_44 هردو از یک SDE یکسان پیروی می‌کنند، حال از آنجا که formula_45، پس نتیجه می‌شود که formula_44 و formula_43 برابرند.از این قضیه نتیجه می‌شود که پریشیدن (اختلال) فرایند وینر به فرایند پراکنشی می‌انجامد که با مشتق مالیاون رابطه دارد.نتیجه: از روابط (A2) و (A5) می‌توان نتیجه گرفت که:formula_48نتیجه: از رابطه (A5)، با قرار دادن formula_49 ، داریم:formula_50که تعریفی دیگر برای مشتق مالیاوین بدست می‌دهد.----رابطه Clark-Ocone-Haussman: این رابطه در ارتباط با قضیه بازنمود مارتینگل می‌باشد. به‌طور ویژه برای کارکردوار وینر formula_51 داریم:formula_52که در آن formula_53 فیلتراسیون طبیعی از فرایند وینر است.اثبات: از روی بازنمود مارتینگل می‌دانیم که: formula_54، نیز به یاری رابطه (A2) داریم:formula_55که برای (۱) از رابطه A2 و برای (۲) از قاعده ایزومتری استفاده شد. در نتیجه:formula_56و در نتیجه formula_57. توجه شود که رابطه (*) در بالا، از این جهت بدین صورت نوشته شد که formula_58 باید حتماً یک فرایند formula_59-سازگار (adapted-formula_59) باشد. درنتیجه نمی‌توان نتیجه گرفت که formula_61 چراکه formula_62 لزوماً سازگار نیست.ارتباط با قضیه گیرسانوف.فرض کنید تعریف کنیم formula_63، آنگاه طبق قضیه گیرسانوف (Girsanov) خواهیم داشت:formula_64آنگاه خواهیم داشت:formula_65در نتیجه با توجه به رابطه (A5) خواهیم داشت:formula_66که اثباتی دیگر از رابطه (A2) می‌باشد.