پیشامد مکمل کیست؟ توضیح بده.
در نظریه احتمالات، احتمال یک پیشامد (اگر پیشامد را A درنظر بگیریم و n تعداد اعضای هر مجموعه باشد) بصورت formula_1 نمایش داده می‌شود که S درواقع فضای نمونه خواهد بود. برای مثال در پرتاب یک تاس اگر بخواهیم احتمال آمدن عدد 2 را محاسبه کنیم خواهیم داشت: formula_2formula_3formula_4حال اگر A را یک پیشامد از مجموعه مرجع M فرض کنیم، مجموعه مکمل A نیز یک پیشامد از M است به طوری که هر عنصری که در مجموعه مرجع قرار دارد و عضو A نیست، عضو مکمل A باشد که آن را پیشامد مکمل A می‌نامیم. به‌طور کلی هر پیشامدی از مجموعه مرجع، یک پیشامد مکمل منحصر به فرد دارد؛ مثلاً A تنها یک پیشامد مکمل مانند B دارد که A و B با هم هیچ اشتراکی ندارند یا به عبارتی formula_5.برای مثال یک تاس همگن را در نظر بگیرید.« "نکته: تاس همگن تاسی‌ست که احتمال آمدن هر وجه آن با سایر وجوه برابر باشد.»"مجموعه مرجع تاس همگن برابر با {۱,۲,۳,۴,۵,۶} است. پیشامد A را احتمال رخداد مجموعه {۵,۶} تعریف می‌کنیم. مکمل A برابر با مجموعه {۱,۲,۳,۴} خواهد بود.اگر بدانیم پیشامد B و C، پیشامد مکمل رویداد A هستند، از آنجایی که هر رویداد تنها یک مکمل دارد، می‌توانیم نتیجه بگیریم که پیشامدهای B و C هر دو به یک پیشامد اشاره دارند. پیشامد مکمل A را می‌توان با نمادهای "'A" یا "Ā" یا formula_6 نمایش داد.در شکل زیر رویداد مکمل را به کمک نمودار ون نمایش داده‌ایم. قسمت مشکی‌رنگ نمایشگر رخداد A و قسمت‌های بنفش شامل رخداد 'A است؛ هردوی این رخدادها در مجموعه خاکستری‌رنگ M (مجموعه مرجع) قرار گرفته‌اند و آن‌را به طور کامل پوشش داده‌اند. می‌دانیم احتمالی که می‌توان برای هر پیشامد درنظر گرفت درصورت کمینه بودن برابر صفر و درصورت بیشینه بودن برابر یک است و نهایتاً مقداری که هر احتمال می‌تواند داشته باشد بین صفر و یک خواهد بود.قانون پیشامد مکمل بیان می‌کند که مجموع احتمال وقوع هر رویداد، با احتمال وقوع مکمل آن رویداد که در مجموعه مرجع وجود دارد برابر با ۱ است.formula_7گاهی اوقات، محاسبه مکمل یک رویداد، راه ساده‌تری نسبت به محاسبه احتمال خود رویداد است. در این مواقع از قانون پیشامد مکمل کمک می‌گیریم و با محاسبه احتمال اتفاق افتادن مکمل آن رویداد، احتمال مطلوب را بدست می‌آوریم. با توجه به تساوی‌ای که در رابطه فوق داشتیم می‌توان نوشت:formula_8به‌طور کلی در یک آزمایش تصادفی، جمع احتمال همه رویدادهای ممکن از یک مجموعه مرجع، برابر 1 خواهد بود؛ چراکه رویداد و مکمل آن کل مجموعه مرجع را پوشش می‌دهند درنتیجه جمع احتمالاتشان برابر ۱ می‌شود. حال به بررسی چند مثال در این باره می‌پردازیم:راه‌حل:formula_10راه‌حل: این احتمال را می‌توان برحسب مساحتی که تیر از مرکز صفحه هدف دارد نسبت به مساحت صفحه هدف (دایره‌ای شکل) محاسبه کرد. در نتیجه نسبت این دو مساحت را احتمال نهایی در نظر می‌گیریم. اگر پیشامد A‌ را مساحت دایره‌ای با شعاع ۵ سانتی‌متری از مرکز صفحه در نظر بگیریم، فضای نمونه نیز مساحت کل دایره (صفحه هدف) خواهد بود. نسبت این دو مساحت احتمال را نشان می‌دهد:formula_11برای محاسبه اصابت تیر خارج از دایره‌ای به مرکز ۵ سانتی‌متر نیز از پیشامد مکمل A استفاده می‌کنیم:formula_12راه‌حل:در چنین دنباله‌ای، انتخاب هر بیت 2حالت دارد (می‌تواند 0 یا 1 باشد) و 5 بیت تولید می‌کنیم؛ بنابراین تعداد حالت‌های موردنظر بصورت formula_13 خواهد بود. اگر رویداد formula_14 را طوری فرض کنیم که حداقل یکی از این بیت‌ها 0 باشد، مکمل آن یعنی formula_15 هیچ بیت صفری نخواهد داشت؛ که این یعنی دنباله بصورت 11111 است و تنها همین یک حالت است که بیت 0 را شامل نمی‌شود. درنتیجه احتمال وقوع این رویداد بصورت formula_16 خواهد بود. حال با استفاده از قانون پیشامد مکمل می‌توانیم احتمال رویداد formula_17 را محاسبه کنیم.formula_18لینک‌های مفید.متغیر تصادفیقانون احتمالمنابع.https://en.wikipedia.org/wiki/Complementary_event