تبدیل لژاندر کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، تبدیل لژاندر نوعی تبدیل تابعی است که توسط ریاضی‌دان بزرگ قرن ۱۸ هم، آدرین-ماری لژاندر ابداع شد.تعریف.تبدیل لژاندر یک عملیات ریاضی است که یک مجموعه از متغیرهای مستقل را در یک تابع با مجموعه جدیدی از متغیرها که به عنوان متغیرهای مزدوج شناخته می‌شوند، مبادله می‌کند.در اصل، تابعی از یک مجموعه از متغیرها را به تابع جدیدی از متغیرهای مزدوج تبدیل می‌کند. این تبدیل به ویژه هنگام برخورد با توابع محدب مفید است، زیرا راهی برای جابجایی بین نمایش‌های مختلف یک سیستم بدون از دست دادن اطلاعات ضروری فراهم می‌کند. زمانی که کارکردن با تابع اصلی دشوار است یا زمانی که باید روی مجموعه‌ای از متغیرها تمرکز کنید، می‌تواند مفید باشد.یک مفهوم کلیدی مرتبط با تبدیل لژاندر، متغیرهای مزدوج است. اینها جفت متغیرهایی هستند که از طریق مشتق تابع اصلی به هم مرتبط هستند. به عنوان مثال، در مکانیک کلاسیک، مکان و تکانه متغیرهای مزدوج هستند.مفهوم متغیرهای مزدوج.برای درک کامل تبدیل لژاندر، درک مفهوم متغیرهای مزدوج ضروری است. اینها جفت متغیرهایی هستند که عمیقاً در یک سیستم در هم تنیده شده‌اند.یک تابع formula_1 را تصور کنید. مشتق این تابع نسبت به formula_2 نشان دهنده نرخ تغییر formula_3 نسبت به formula_2 است. حال بیایید یک متغیر جدید به نام formula_5 را معرفی کنیم که به صورت زیر تعریف شده است:formula_6در این مورد formula_2 و formula_5 متغیرهای مزدوج هستند. تبدیل از formula_1 به یک تابع جدید شامل formula_5 جایی است که تبدیل لژاندر وارد عمل می‌شود.از نظر هندسی، متغیرهای مزدوج را می‌توان به عنوان شیب و قطع خطوط مماس بر نمودار تابع اصلی تجسم کرد.فورمول‌بندی ریاضی.تابع formula_1 را در نظر بگیرید که محدب و مشتق‌پذیر است. همچنین formula_12 که formula_13. تبدیل لژاندر formula_14 که با formula_15 نشان داده می‌شود به صورت زیر تعریف می‌شود:formula_16که در آن formula_5 متغیر مستقل جدید است که معمولاً مشتق formula_3 را با توجه به formula_2 نشان می‌دهد.نمایش فیزیکی.فرض کنید تابع دو متغیرهٔ formula_20 را داریم. می‌دانیم می‌توان دیفرانسیل این تابع را به صورت زیر نوشت:formula_21حال فرض کنید تابع formula_22 (تدبیل لژاندر تابع formula_3) را بدین صورت تعریف می‌کنیم:formula_24حال دیفرانسیل این تابع به صورت زیر قابل نوشتن است:formula_25که دیدیم تابع formula_20 که تابع دو متغیر طبیعی خودش یعنی formula_2 و formula_28 بود چگونه با یک تبدیل لژاندر به تابع formula_29 تبدیل شد که متغیرهای طبیعی آن formula_5 و formula_28 هستند.کاربرد در فیزیک.مکانیک کلاسیک.در مکانیک کلاسیک، تبدیل لژاندر پیوند بین فرمول‌بندی‌های مکانیک لاگرانژی و هامیلتونی را فراهم می‌کند.formula_32که در اینجا formula_33 مکان تعمیم یافته و formula_34 تکانه‌ی تعمیم یافته (formula_35) است.ترمودینامیک.تعریف پتانسیل‌های ترمودینامیکی وابسته به تبدیل لژاندر است. اگر انرژی درونی را به صورت زیر نمایش دهیم (قانون اول ترمودینامیک):formula_36می‌توانیم ببینیم که انرژی درونی تابع متغیرهای طبیعی formula_37 و formula_38 است. حال می‌توانیم تبدیل لژاند نسبت به متغیرهای متفاوتی از آن بگیریم.انرژی آزاد هلمهولتز.انرژی آزاد به صورت زیر تعریف می‌شود:formula_39پس خواهیم داشت:formula_40که متغیرهای طبیعی انرژی آزاد هلمهولتز formula_41، دو متغیر formula_42 و formula_38 هستند.آنتالپی.آنتالپی به صورت زیر تعریف می‌شود:formula_44پس خواهیم داشت:formula_45که متغیرهای طبیعی انرژی آزاد هلمهولتز formula_46، دو متغیر formula_37 و formula_48 هستند.انرژی آزاد گیبس.انرژی آزاد گیبس به صورت زیر تعریف می‌شود:formula_49پس خواهیم داشت:formula_50که متغیرهای طبیعی انرژی آزاد گیبس formula_51، دو متغیر formula_42 و formula_48 هستند.