همضرب (نظریه رسته‌ها) کیست؟ توضیح بده.
همضرب یا جمع رسته‌ای در نظریه رسته‌ها، یک ساختار است که به عنوان مثال می‌تواند اجتماع مجزای مجموعه‌ها، و در همان گروه‌ها، و جمع مستقیم مدول‌ها و فضاهای برداری باشد. همضرب برای خانواده‌ای از اشیاء، اساساً برابر «خاص‌ترین» شیءای است که در آن، هر شیء در خانواده یک ریختار را می‌پذیرد. این مفهوم دوگان رسته-نظری برای ضرب رسته‌ای است، که یعنی تعریف آن مشابه ضرب است اما در آن همه پیکان‌ها معکوس شده‌اند. علیرغم این تغییر بظاهر بدون ضرر در نام و نماد، همضرب گاهی (و معمولاً به صورت چشمگیر) با ضرب متفاوت است.تعریف.فرض کنید که formula_1 یک رسته باشد، و فرض کنید که formula_2 و formula_3 برابر اشیای formula_1 باشند. یک شیء همضرب formula_2 و formula_3 نامیده می‌شود و به صورت formula_7 یا formula_8 یا گاهی به صورت ساده formula_9 نوشته می‌شود اگر یک ریختار formula_10 و formula_11 موجود باشد که این را برآورده سازد: برای هر شیء formula_12 و هر ریختار formula_13 و formula_14 یک ریختار یکتا formula_15 موجود است به این صورت که formula_16 و formula_17 است؛ یعنی، نمودار زیر جابجایی است:پیکان یکتای formula_18 که نمودار را جابجایی می‌سازد، را می‌توان به صورت formula_19 formula_20 formula_21 یا formula_22 نمایش داد. ریختارهای formula_23 و formula_24 یک‌به‌یک کانونی نامیده می‌شوند، اگرچه نیازی نیست که یک‌به‌یک یا حتی باشند.تعریف یک همضرب را می‌توان به دلخواهی از اشیاء که توسط formula_25 اندیس‌دهی شده‌اند تعمیم داد. همضرب خانواده formula_26 برابر شیء formula_27 همراه با یک گردآورد از ریختارها formula_28 است به این‌صورت که، برای هر شیء formula_12 و هر گردآورد از ریختارها formula_30 یک ریختار یکتا formula_31 وجود دارد به اینصورت که formula_32 است؛ یعنی، نمودار زیر برای هر formula_33 جابجایی‌پذیر باشد:همضرب formula_27 برای خانواده formula_35 را معمولاً توسط formula_36 یا formula_37 نمایش می‌دهند.گاهی ریختار formula_31 را به صورت formula_39 نشان می‌دهند تا وابستگی آن را به formula_40های منفرد نشان بدهند.مثال‌ها.همضرب در رسته مجموعه‌ها به صورت ساده اجتماع مجزا است، که در آن نگاشت‌های "ij" همان نگاشت‌های شمول هستند. برخلاف ، همضرب در رسته‌های دیگر به صورت بدیهی به مفهوم مجموعه‌ها مبتنی نیستند، زیرا اجتماع در ارتباط با نگهداری عمل‌ها خوش‌رفتار نیست (مثلا لازم نیست که اجتماع دو گروه حتماً یک گروه باشد)، و از اینرو همضرب در رسته‌های مختلف، به صورت چشمگیری از همدیگر متفاوت‌اند. برای مثال، همضرب در رسته گروه‌ها، که نامیده می‌شود، کاملاً پیچیده‌است. از جهت دیگر، در (و به صورت برابر برای فضاهای برداری)، همضرب، که جمع مستقیم نام‌دارد، شامل عناصر ضرب مستقیم است که فقط تعداد متناهی عبارت غیرصفر دارد. (از این‌رو با ضرب مستقیم در حالت تعداد فاکتور متناهی یکسان است).اگر به ما یک حلقه جابه‌جایی "R" داده شده باشد، همضرب در ، برابر است. در ، همضرب برابر خارج‌قسمت جبر تنسور است ( را ببینید).در حالت فضاهای توپولوژیکی، همضرب‌ها همان اجتماع مجزا با هستند؛ یعنی، یک اجتماع مجزا برای مجموعه‌های زیربنایی هستند، و در یک مفهوم بیشتر شهودی، مجموعه‌های بازی هستند که "در هر فضا باز هستند". در رسته ، که مبنای است، همضرب همان است (که اتصال یک گردآورد از فضاها با نقاط مبنا در یک نقطه مبنای مشترک به حساب می‌آیند).علیرغم همه این عدم تشابه‌ها، هنوز در قلب کل موضوع، یک اجتماع مجزا موجود است: جمع مستقیم گروه‌های آبلی برابر گروهی است که توسط اجتماع مجزای «تقریبی» تولید شده‌است (اجتماع مجزای همه عناصر غیرصفر، همراه با یک صفر مشترک)، به صورت مشابه برای فضاهای برداری: فضای پوشش‌داده شده توسط اجتماع مجزای «تقریبی»؛ ضرب آزاد برای گروه‌ها توسط مجموعه همه حروف از یک اجتماع «تقریباً مجزا»‌ی مشابه تولید می‌شود که در آن هیچ دو عنصری از مجموعه مختلف، اجازه جابجایی ندارند.همضرب برای رسته پوست برابر عمل جوین است.بحث.ساختار همضرب بالا در واقع یک حالت خاص از هم‌حد در نظریه رسته‌است. همضرب در رسته formula_1 را می‌توان به صورت هم‌حد از هر تابع‌گون از یک formula_25 به formula_1 تعریف کرد.