فیلتر منطبق کیست؟ توضیح بده.
در پردازش سیگنال، یک فیلتر منطبق (Matched filter)، با هم‌بسته کردن (Correlating) یک سیگنال تأخیرداده‌شدهٔ مشخص، یا یک "الگو"، با یک سیگنال نامعلوم، و با هدف تشخیص آن الگو در سیگنال نامعلوم، پیاده می‌شود. این، معادل هم‌گشتِ (Convolution) سیگنالِ ناشناخته و نسخهٔ زمان‌معکوسِ (time-reversed) مزدوجِ مختلط الگوست. فیلتر منطبق، فیلتر خطی بهینه برای بیشینه کردن نسبت سیگنال به نویز (SNR) در حضور نویز سفیدِ جمع‌شونده است.فیلتر منطبق در رادار بسیار استفاده می‌شود، که در آن، سیگنال مشخصی گسیل می‌شود و سیگنال منعکس‌شده (دریافت‌شده) برای یافتن ویژگی‌های مشترک با سیگنال گسیل‌شده بررسی می‌شود. فشرده‌سازی پالس نمونه‌ای از کاربرد فیلتر منطبق در رادار است. در واقع پاسخ ضربه فیلتر گیرنده و سیگنال پالسی گسیل‌شده، برهم منطبق هستند.کاربرد گستردهٔ دیگر فیلتر منطبق، در گیرنده‌های مخابراتی دیجیتال است.فیلتر منطبق دوبعدی معمولاً در پردازش تصویر استفاده می‌شود، برای نمونه، در بهبود SNR مشاهدات اشعهٔ ایکس.فیلتر منطبق، یک روش دمدولاسیون با فیلترهای زمان‌نامتغیرِ خطی (Linear time-invariant, LTI) برای بیشینه کردن نسبتِ سیگنال به نویز (SNR) نیز هست. این فیلتر، در آغاز، "فیلتر نورث" نیز نامیده می‌شد.به‌دست آوردن.به‌دست آوردن از راه جبر ماتریسی.در این بخش، فیلتر منطبق برای یک سیستم زمان‌گسسته به دست می‌آید. روش به دست آوردن آن برای یک سیستم زمان‌پیوسته، مشابه است و جمع با انتگرال جایگزین می‌شود.فیلتر منطبق، فیلتر خطی formula_1 است که نسبت سیگنال به نویز خروجی را بیشینه می‌کند.که formula_3 ورودی، و تابعی از متغیر مستقل formula_4، است، و formula_5 خروجی فیلترشده است. اگرچه اغلب، فیلترها را به‌عنوان پاسخ ضربهٔ سیستم‌های هم‌گشت (Convolution) بیان می‌کنیم، همان‌طور که در بالا می‌بینیم (نظریه سیستم LTI را هم ببینید)، در نظر گرفتن فیلتر منطبق به‌عنوان ضرب داخلی بُرداری (ماتریس یک‌بعدی)، ساده‌تر است.از سوی دیگر، می‌توان این فیلتر خطی را ازین دیدگاه هم در نظر گرفت که نسبت سیگنال به نویز خروجی را بیشینه کند؛ به‌طور شهودی، فیلتر منطبق برهم‌بسته کردن سیگنال دریافت‌شده (یک بردار) با فیلتر (یک بردار دیگر) استوار است، به‌گونه‌ای‌که ضرب داخلی این دو بردار بیشینه شود. این کار، توان سیگنال خروجی فیلتر را بیشینه می‌کند. اگر نویز تصادفی جمع‌شونده را هم در سیگنال دریافت‌شده در نظر بگیریم، با انتخاب فیلتری که بر نویز، متعامد است (تعامد دو بردار)، توان نویز خروجی فیلتر، کمینه می‌شود؛ بنابراین، نسبت سیگنال به نویز، بیشینه می‌شود.پس به دنبال فیلتر formula_1 هستیم، که نسبت سیگنال خروجی به نویز را بیشینه کند، و خروجی فیلتر، حاصل‌ضرب داخلی formula_1 و سیگنال ورودی formula_8 است.formula_8 از سیگنال مطلوب formula_10 و نویز جمع‌شونده formula_11 تشکیل شده‌است:ماتریس خودهمبستگی نویز - که ماتریسی دارای تقارن هرمیتی است - چنین است:که formula_14، ترانهاد مزدوج formula_11 است، و formula_16 امید ریاضی (میانگین) است. اگر میانگین formula_11 صفر باشد، ماتریس خودهمبستگی آن formula_18 برابر با ماتریس کوواریانس آن است.formula_19، حاصل‌ضرب داخلی فیلتر و سیگنال مشاهده‌شده‌است:نسبت سیگنال به نویز را به‌عنوان نسبت توان سیگنال مورد نظر خروجی به توان نویز خروجی تعریف می‌کنیم:و آن را چنین بازمی‌نویسیم:می‌خواهیم با انتخاب formula_1، این مقدار را بیشینه کنیم. مخرج تابع هدف را چنین می‌نویسیم:حالا، formula_25 چنین می‌شود:که آن را با دست‌کاری ماتریسی، چنین بازمی‌نویسیم؛ با بهره‌گیری از تقارن هرمیتیِ ماتریس خودهمبستگی formula_18، می‌توان نوشت:یک کران بالا برای این عبارت پیدا می‌کنیم؛ با توجه به نابرابری کوشی-شوارتز:که یعنی مجذور حاصل‌ضرب داخلی دو بردار، حداکثر می‌تواند به اندازه حاصل‌ضرب تک‌تک بردارهای داخلی باشد. کران بالا وقتی به دست می‌آید که دو بردار formula_30 و formula_31 موازی باشند.formula_25 با توجه به این نابرابری:این کران بالا را می‌توان ساده کرد:وقتی به این کران بالا می‌رسیم که:که formula_36 یک عدد حقیقی دلخواه است. برای تأیید این، آن را در عبارت formula_25 که پیش‌تر به‌دست آورده بودیم می‌گذاریم:بنابراین، فیلتر منطبق بهینه چنین است:اغلب، در اثر نویز، متوسط توان خروجی فیلتر را به ۱ نرمال می‌کنیم؛ یعنی:این قید، بر اندازه‌ای از formula_36 دلالت می‌کند که:بنابراین:و فیلتر "h" نرمال‌شده، چنین به‌دست می‌آید،اگر بخواهیم پاسخ ضربه formula_1 فیلتر را برپایه سیستم کانولوشن بیان کنیم، formula_1 صرفاً مزدوج مختلطِ زمان‌معکوسِ ورودیِ formula_10 است.اگرچه فیلتر منطبق را برای سیستم زمان‌گسسته به‌دست آوردیم، با چند جایگزینی می‌توانیم آن را به سیستم زمان‌پیوسته تعمیم دهیم؛ با فرض سیگنال formula_48 ، نویز formula_49 و فیلتر formula_50، formula_18 را با تابع خودهمبستگیِ زمان‌پیوستهٔ نویز، جایگزین می‌کنیم.به‌دست آوردن از راه ضرائب لاگرانژ.می‌توان فیلتر منطبق را با حل مسئله بیشینه‌سازی از راه ضرائب لاگرانژ هم به‌دست‌آورد. فیلتر منطبق تلاش می‌کند تا نسبت سیگنال به نویز خروجی (formula_25) یک سیگنال معیّن فیلترشده - که نویز تصادفی جمع‌شونده، آن را آلوده - را بیشینه کند. داریم:ماتریس خودهمبستگی نویز:نسبت سیگنال به نویز چنین می‌شود:که formula_56 و formula_57 .برای صورت، داریم:و در مخرج،نسبت سیگنال به نویز چنین می‌شوداگر مخرج را به ۱ محدود کنیم، مسئله بیشینه کردن formula_25، به بیشینه کردن صورت، ساده می‌شود. سپس می‌توانیم با استفاده از ضریب لاگرانژ مسئله را چنین بنویسیم:که یک "مسئله مقدارِ ویژه تعمیم‌یافته" (generalized eigenvalue problem) است:ازآنجاکه رتبهٔ (rank) formula_67، ۱ است، تنها یک مقدار ویژه ناصفر دارد. می‌توان نشان داد که این مقدار ویژه برابر است با:پس فیلتر منطبق بهینه چنین است:این همان نتیجه‌ای است که در بخش پیشین به‌دست آمد.تفسیر به‌عنوان برآوردگر حداقل مربعات.به‌دست آوردن.فیلتر کردن منطبق را می‌توان یک برآوردگر حداقل مربعات برای مکان و مقیاس بهینه یک مدل معین تفسیر کرد:که formula_71 نویز ناهم‌بسته با میانگین صفر است. فرض شود که سیگنال formula_72 که یک نسخه مقیاس‌شده و شیفت‌یافتهٔ یک دنبالهٔ دانستهٔ formula_73 باشد:می‌خواهیم برآوردهای بهینهٔ formula_75 و formula_76 شیفتِ نامعلومِ formula_77 و ضریبِ formula_78 را با کمینه کردن حداقل مربعات اختلاف دنباله مشاهده‌شده formula_79 و formula_80 به دست آوریم:خواهیم دید که formula_80 مناسب، فیلتر منطبق است. داریم:جمله اول در براکت‌ها، ثابت است، زیرا سیگنال مشاهده‌شده، در دست است و هیچ اثری روی راه‌حل بهینه ندارد. امید ریاضی جمله آخر هم ثابت است، زیرا نویز، ناهمبسته (uncorrelated) و میانگین آن صفر است؛ بنابراین می‌توانیم هر دو عبارت را از بهینه‌سازی کنار بگذاریم. پس‌از معکوس‌کردن علامت، مسئله بهینه‌سازی معادل، چنین می‌شود:با صفر کردن مشتقِ نسبت به formula_85، یک پاسخ تحلیلی برای formula_76 چنین می‌شود:با گذاشتن این در تابع هدف، به یک مسئله بیشینه‌سازی - تنها بر حسبformula_75 - ساده می‌شود:صورت را می‌توان با استفاده از نابرابری کوشی-شوارتز، بالاکران‌دار (upper bounded) کرد:مسئله بهینه‌سازی، وقتی برابری در این عبارت برقرار باشد، به بیشینهٔ موردنظر دست می‌یابد. با در نظر گرفتن نابرابری کوشی-شوارتز، تنها وقتی چنین می‌شود که:برای ثابت‌های دلخواه ناصفر formula_92 یا formula_93، و پاسخ بهینه چنین خواهد بود: formula_94. بنابراین، formula_80 باید مضربی از formula_96 باشد. انتخاب دلخواه formula_97، فیلتر منطبق را چنین به‌دست می‌دهد:گویی فیلتر، آینهٔ سیگنال است. این تضمین می‌کند که عملیات formula_99، در واقع هم‌گشتِ (Convolution) دنبالهٔ مشاهده‌شدهٔ formula_79 و فیلتر منطبق formula_101 باشد. دنبالهٔ فیلترشده وقتی بیشینهٔ می‌شود که formula_79 تا جای ممکن (با معیار حداقل مربعات) بر formula_73 منطبق شود.پیامدها.فیلتر منطبق را می‌توان از چندین روش به‌دست‌آورد، اما به‌عنوان یک مورد ویژه از روش حداقل مربعات، می‌تواند به‌عنوان یک روش برآورد درست‌نمایی بیشینه یک مدل نویزی گاوسی (رنگی) و "درست‌نمایی ویتل" (Whittle likelihood) مربوط به آن هم تفسیر شود. اگر سیگنال فرستاده‌شده، "هیچ" پارامتر نامعلومی (مانند زمان رسیدن، دامنه،...) نداشت، آنگاه فیلتر منطبق، برپایه لم نیمن-پیرسون، احتمال خطا را کمینه می‌کرد. اما، ازآنجاکه سیگنال، عموماً با پارامترهای نامعلوم - که در فرایند فیلتر کردن تخمین زده یا برازش می‌شوند - تعیین می‌شود، فیلتر منطبق، در واقع یک آمارهٔ درست‌نمایی بیشینهٔ تعمیم‌یافته را شکل می‌دهد. سری زمانی فیلترشده ممکن است به‌عنوان (یا متناسب با) تابع درست‌نمایی (درست‌نماییِ شرطیِ بیشینه، به‌عنوان تابعی از زمان) تفسیر شود. این، براین‌که "احتمال خطا (در مفهوم نیمن و پیرسون؛ یعنی بیشینه کردن احتمال آشکارسازی درست سیگنال به‌ازای یک احتمال هشدار نادرست (false alarm) معین) لزوماً بهینه نیست" دلالت می‌کند. آنچه "نسبت سیگنال به نویز (SNR)" نامیده می‌شود - که بناست با فیلتر منطبق، بیشینه شود - در واقع به formula_104 مربوط می‌شود، که formula_105 نسبت درست‌نمایی بیشینهٔ مشروط است. فیلتر منطبق، برپایهٔ طیف نویز "معلوم" پیاده می‌شود. اما در واقعیت، طیف نویز از روی داده‌ها، و تنها تا دقت محدودی، تخمین زده می‌شود. برای یک طیف نامعلوم، فیلتر منطبق به روش تکرار قدرتمندتری، و چه‌بسا با در نظر گرفتن نویز غیرگاوسی تعمیم داده شود.تفسیر در حوزهٔ فرکانس.در حوزهٔ فرکانس، فیلتر منطبق، طوری به مؤلفه‌های طیفی وزن می‌دهد که نسبت سیگنال به نویز را بیشینه کند؛ یعنی جاهایی که دامنهٔ مؤلفه‌های فرکانسی نویز در طیف، نسبتاً کم هستند، به مؤلفه‌های سیگنال وزن بیشتری می‌دهد، و برعکس؛ بنابراین، یک پاسخ فرکانسی ناصاف (non-flat) دارد، اما این ناصافی در کاربردهایی مانند رادار و مخابرات دیجیتال، که شکل‌موج سیگنال مشخص است و هدف، تشخیص سیگنال در نویز پس‌زمینه است، نگرانی ندارد. از دیدگاه فنی، فیلتر منطبق یک روش "حداقل مربعات وزن‌دار" برپایهٔ داده‌های ناهم‌واریانس حوزهٔ فرکانس است، که وزن‌ها باتوجه‌به طیف نویز تعیین می‌شوند (بخش پیشین را ببینید)، یا معادل آن، یک روش "کمترین" "مربعات" به داده‌های سفیدشده اعمال می‌شود.نمونه‌ها.رادار و سونار.فیلتر منطبق، اغلب در آشکارسازی سیگنال به‌کار می‌رود. برای نمونه، فرض کنید که می‌خواهیم فاصله یک جسم را از راه بازتاب سیگنال از آن به‌دست آوریم؛ یک پالس سینوسی خالص ۱ هرتزی به‌سوی جسم گسیل می‌کنیم. فرض می‌کنیم که سیگنال بازتابیده از جسم، نسخه‌ای ضعیف‌شده و تغییرفازیافته از سیگنال گسیل‌شده در کنار نویز جمع‌شونده باشد.برای یافتن فاصله جسم، پالس دریافت‌شده را با پاسخ ضربهٔ یک فیلتر منطبق، هم‌بسته (correlate) می‌کنیم، که آن هم در حضور نویز سفید ناهم‌بسته، سینوسی خالص ۱ هرتزی است. وقتی خروجی فیلتر از آستانه‌ای معین فراتر رود، با احتمال زیاد نتیجه می‌گیریم که سیگنال دریافت‌شده، از جسم بازتابیده است. با در نظر گرفتن سرعت انتشار موج و اختلاف زمان میان لحظهٔ گسیل شدن سیگنال و لحظهٔ آشکار شدن سیگنال در خروجی فیلتر، فاصله جسم را تخمین می‌زنیم. اگر شکل پالس را به روشی خاص تغییر دهیم، نسبت سیگنال به نویز و دقت تخمین فاصله پس‌از فیلتر کردن را می‌توان بهبود بخشید: این روشی است که فشرده‌سازی پالس نام دارد.افزون‌براین، فیلتر منطبق را می‌توان در تخمین پارامتر هم به‌کار برد (نظریه تخمین را ببینید). در بازگشت به نمونه پیشین، می‌خواهیم سرعت یک جسم متحرک را تخمین بزنیم؛ برای بهره‌گیری از اثر داپلر، می‌خواهیم فرکانس سیگنال دریافت‌شده را تخمین بزنیم (رادار داپلر). برای این کار، ممکن است سیگنال دریافت‌شده را با چندین فیلتر منطبق سینوسی در فرکانس‌های مختلف هم‌بسته کنیم. فیلتر منطبق با بیشترین خروجی، به احتمال زیاد، فرکانس سیگنال بازتابیده را نشان می‌دهد و به ما کمک می‌کند تا سرعت شعاعی جسم - یعنی سرعت نسبی به‌سوی ناظر یا دورشونده از آن - را تعیین کنیم. این روش در واقع نسخه‌ای ساده از تبدیل فوریه گسسته (DFT) است. DFT، یک ورودی formula_106-تایی مختلط را با formula_106 فیلتر منطبق از توابع نمایی مختلط در formula_106 فرکانس مختلف، هم‌بسته می‌کند، و یک خروجی formula_106-تایی مختلط از دامنه‌ها و فازهای مؤلفه‌های سینوسی به‌دست می‌دهد.مخابرات دیجیتال.فیلتر منطبق در مخابرات نیز بسیار کاربرد دارد. در یک سیستم مخابراتی که پیام‌های باینری را از راه یک کانال نویزی، از فرستنده به گیرنده می‌فرستد، می‌توان از فیلتر منطبق برای تشخیص پالس‌های فرستاده‌شده در سیگنال دریافت‌شدهٔ آلوده به نویز بهره برد.فرض کنید می‌خواهیم دنباله "۰۱۰۱۱۰۰۱۰۰" را به روش ناقطبیِ بی‌بازگشت‌به‌صفر (Nonpolar, non-return-to-zero, NRZ)، و از راه یک کانال مشخص بفرستیم.از دیدگاه ریاضی، یک دنباله به روش NRZ را می‌توان دنباله‌ای از پالس‌های یکه یا توابع مستطیلی شیفت‌یافته در نظر گرفت. هر پالس، اگر بیت "۱" باشد، با ۱+، و اگر بیت "۰" باشد، با ۱- وزن‌دار می‌شود. برای بیت formula_4-ام، پالس چنین وزن‌دار می‌شود،پیام را - به‌عنوان مجموع پالس‌های یکهٔ شیفت‌یافته - با formula_112 نشان می‌دهیم:که formula_114 بازهٔ یک بیت است و formula_115 تابع مستطیلی است.بنابراین، سیگنال فرستاده‌شده چنین است:اگر کانال نویزی را با یک کانال AWGN مدل کنیم، نویز گاوسی سفید به سیگنال افزوده می‌شود. سیگنال دریافت‌شده در گیرنده، به‌ازای نسبت سیگنال به نویز ۳ دسی‌بل، چنین شکلی دارد:در نگاه نخست، دنبالهٔ فرستاده‌شده در شکل چندان قابل تشخیص نیست. نویزی با توان نسبتاً زیاد به سیگنال فرستاده‌شده افزوده شده (نسبت سیگنال به نویز کم است). اگر گیرنده از این سیگنال در لحظه‌های درست نمونه بردارد، پیام باینری حاصل می‌تواند نادرست باشد.برای افزایش نسبت سیگنال به نویز، سیگنال دریافت‌شده را از یک فیلتر منطبق می‌گذرانیم. در اینجا، فیلتر باید با یک پالس NRZ (معادل "۱" در روش NRZ) منطبق باشد؛ پاسخ ضربهٔ فیلتر منطبق ایده‌آل - با فرض نویز سفید ناهم‌بسته - باید نسخهٔ مقیاس‌شدهٔ مزدوج مختلطِ زمان‌معکوسِ سیگنالی باشد که به‌دنبال آن هستیم:در این حالت، به‌سبب تقارن، مزدوج مختلط زمان‌معکوس formula_50، در واقع همان formula_50 است؛ بنابراین پاسخ ضربهٔ فیلتر منطبق، همین formula_50 است.پس از هم‌گشت کردن (correlate) سیگنال دریافت‌شده با این فیلتر منطبق، سیگنال حاصل، formula_120، چنین است:که formula_122 نشان‌دهنده هم‌گشت کردن است.اکنون می‌توان از خروجی فیلتر در لحظه‌های نمونه‌برداری درست، با اطمینان نمونه برداشت و با آستانه مناسب مقایسه کرد و در نتیجه دنبالهٔ فرستاده‌شده را در گیرنده به‌درستی آشکار کرد.نجوم امواج گرانشی.فیلتر منطبق در نجوم امواج گرانشی، نقشی بنیادی دارد. نخستین مشاهده امواج گرانشی، با کمک فیلتر کردن مقیاس‌بزرگ خروجی هر آشکارساز برای سیگنال‌های مشابه الگوی موردنظر، و به‌دنبال‌آن غربال‌گری برای محرک‌های هم‌زمان و منسجم میان هر دو ابزار، ممکن شد. احتمال هشدار نادرست، و با آن، معنی‌داری آماری آشکارسازی، سپس به‌کمک روش‌های بازنمونه‌گیری ارزیابی شد. استنتاج پارامترهای منبع اخترفیزیکی به‌کمک روش‌های بیزی برپایهٔ مدل‌های نظری پارامتری برای شکل موج سیگنال و برپایهٔ احتمال ویتل، کامل شد.یکی دیگر از نمونه‌های پسین کاربرد فیلتر منطبق، تشخیص و تخمین پارامتر امواج گرانشی است.زیست‌شناسی.جانورانی که در محیط‌های نسبتاً ایستا زندگی می‌کنند، ویژگی‌های نسبتاً ثابتی از محیط را درک می‌کنند. این، تکامل فیلترهایی را فراهم می‌کند که با سیگنال موردنظر با بیشترین نسبت سیگنال به نویز مطابقت دارند؛ یعنی فیلتر منطبق. حسگرهایی که جهان را از راه چنین فیلتر منطبقی درک می‌کنند، اطلاعاتی را که مغز می‌تواند از دنیای بیرون دریافت کند، به‌شدت محدود می‌کند، اما در نهایت، مغز را از محاسبات پیچیده‌تر برای استخراج اطلاعات موردنیاز برای انجام کاری مشخص، بی‌نیاز می‌کند.