گستران کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، گُستَران یا اینولوت () نوع خاصی از منحنی است که به شکل یا منحنی دیگری وابسته است. گستران یک منحنی، مکان هندسی یک نقطه روی یک قطعه نخ کشیده است که نخ یا از روی منحنی باز می‌شود یا دور آن پیچیده می‌شود.گسترندهٔ یک منحنی گستران، منحنی اصلی است.این مفهوم توسط خانواده منحنی‌های غلتان تعمیم می‌یابد؛ یعنی گستران‌های یک منحنی، غلتان‌های (رولت‌های) منحنی هستند که توسط یک خط مستقیم ایجاد می‌شوند.مفاهیم گستران و گسترندهٔ (evolute) یک منحنی توسط کریستیان هویگنس در اثر خود با عنوان "ساعت آونگی" (۱۶۷۳) معرفی شد، جایی که او نشان داد که گستران یک چرخ‌زاد هنوز یک چرخ‌زاد است، بنابراین روشی برای ساخت چرخ‌زاد ارائه داد که دارای ویژگی مفید این است که دوره آن مستقل از دامنه نوسان است.گستران یک منحنی پارامتری.فرض کنید formula_1 یک منحنی در صفحه باشد که انحنا آن هیچ جا صفر نیست و formula_2، سپس منحنی با نمایش پارامتریformula_3یک "گستران" از منحنی داده شده است.با اضافه کردن یک عدد دلخواه اما ثابت formula_4 به انتگرال formula_5، یک گستران متناظر با یک نخ که به اندازه formula_4 افزایش یافته است (مانند یک توپ نخ که قبل از باز شدن مقداری نخ از آن آویزان است) به دست می‌آید. از این رو، گستران را می‌توان با ثابت formula_7 و/یا اضافه کردن یک عدد به انتگرال تغییر داد (به گستران‌های یک سهمی نیمه‌مکعبی مراجعه کنید).اگر formula_8 باشد، به دست می‌آید:ویژگی‌های گستران‌ها.برای به دست آوردن ویژگی‌های یک منحنی منظم، بهتر است فرض کنیم طول قوس formula_10 پارامتر منحنی داده شده باشد، که منجر به ساده‌سازی‌های زیر می‌شود: formula_11 and formula_12، که formula_13 انحنا و formula_14 بردار نرمال واحد است. برای گستران به دست می‌آید:و عبارت:و از formula_19 نتیجه می‌شود:خانواده گستران‌ها و خانواده مماس‌های منحنی اصلی یک دستگاه مختصات متعامد را تشکیل می‌دهند. در نتیجه، می‌توان گستران‌ها را به صورت گرافیکی ساخت. ابتدا، خانواده خطوط مماس را رسم کنید. سپس، یک گستران را می‌توان با همیشه عمود ماندن بر خط مماس عبوری از نقطه ساخت.تیزه‌ها.این بخش بر اساس این منبع است.به‌طور کلی دو نوع تیزه (کاسپ) در گستران‌ها وجود دارد. نوع اول در نقطه‌ای است که گستران منحنی را لمس می‌کند. این یک تیزه از مرتبه ۳/۲ است. نوع دوم در نقطه‌ای است که منحنی دارای نقطه عطف است. این یک تیزه از مرتبه ۵/۲ است.این را می‌توان با ساختن یک نگاشت formula_25 که توسط formula_26 تعریف می‌شود، به صورت بصری مشاهده کرد، که در آن formula_27 پارامتری طول قوس منحنی است و formula_28 زاویه شیب منحنی در نقطه formula_27 است. این صفحه ۲ بعدی را به یک سطح در فضای ۳ بعدی نگاشت می‌کند. به عنوان مثال، این دایره را به هذلولی‌گون نگاشت می‌کند.با این نگاشت، گستران‌ها در یک فرایند سه مرحله‌ای به دست می‌آیند: نگاشت formula_30 به formula_31، سپس به سطح در formula_32، سپس با حذف محور z آن را به formula_31 تصویر کنید: formula_34 که در آن formula_35 هر ثابت حقیقی است.از آنجایی که نگاشت formula_36 در همه formula_37 دارای مشتق غیرصفر است، تیزه‌های گستران فقط در جایی می‌توانند رخ دهند که مشتق formula_36 عمودی باشد (موازی با محور z)، که فقط در جایی می‌تواند رخ دهد که سطح در formula_32 دارای یک صفحه مماس عمودی باشد.به‌طور کلی، سطح در دو حالت دارای صفحات مماس عمودی است: جایی که سطح منحنی را لمس می‌کند و جایی که منحنی دارای یک نقطه عطف است.تیزه از مرتبه ۳/۲.برای نوع اول، می‌توان با گستران یک دایره، با معادله زیر شروع کرد:formula_40 سپس formula_41 را قرار داده و برای formula_42 کوچک بسط دهید تا به دست آید:formula_43 بنابراین منحنی مرتبه ۳/۲ formula_44، یک سهمی نیمه‌مکعبی، به دست می‌آید.تیزه از مرتبه ۵/۲.برای نوع دوم، منحنی formula_45 را در نظر بگیرید. قوس از formula_46 تا formula_47 طول formula_48 دارد و مماس در formula_47 زاویه formula_50 دارد؛ بنابراین، گستران شروع شده از formula_46 در فاصله formula_52 دارای فرمول پارامتری زیر است:formula_53 آن را تا مرتبه formula_54 بسط دهید، به دست می‌آید:formula_55 که یک تیزه از مرتبه ۵/۲ است. به صراحت، می‌توان برای بسط چند جمله‌ای ارضا شده توسط formula_56 حل کرد:formula_57 یا formula_58 که به وضوح شکل تیزه را نشان می‌دهد.با قرار دادن formula_59، گستران عبوری از مبدأ را به دست می‌آوریم. این مورد خاص است زیرا شامل هیچ تیزه‌ای نیست. با بسط سری، معادله پارامتری آن به صورت زیر است:formula_60 یا formula_61مثال‌ها.گستران‌های یک دایره.برای یک دایره با نمایش پارامتری formula_62، داریم:formula_63.بنابراین formula_64، و طول مسیر formula_65 است.با ارزیابی معادله گستران داده شده در بالا، به دست می‌آید:برای معادله پارامتری گستران دایره.جمله formula_7 اختیاری است؛ این برای تنظیم مکان شروع منحنی روی دایره استفاده می‌شود. شکل گستران‌ها را برای formula_68 (سبز)، formula_41 (قرمز)، formula_70 (بنفش) و formula_71 (آبی روشن) نشان می‌دهد. گستران‌ها شبیه مارپیچ ارشمیدس هستند، اما در واقع اینطور نیستند.طول قوس برای formula_72 و formula_73 از گستران برابر است با:گستران‌های یک سهمی نیمه‌مکعبی.معادله پارامتری formula_75 یک سهمی نیمه‌مکعبی را توصیف می‌کند. از formula_76 به دست می‌آید formula_77 و formula_78. گسترش نخ به اندازه formula_79 محاسبات بعدی را بسیار ساده می‌کند و به دست می‌آید:حذف منجر به formula_81 می‌شود که نشان می‌دهد این گستران یک سهمی است.سایر گستران‌ها بنابراین منحنی‌های موازی یک سهمی هستند و سهمی نیستند، زیرا منحنی‌هایی از درجه شش هستند.گستران‌های یک زنجیره‌وار.برای زنجیره‌وار formula_82، بردار مماس formula_83 است و، به عنوان formula_84 طول آن formula_85 است؛ بنابراین طول قوس از نقطه (۰, ۱) برابر است با formula_86از این رو گستران شروع شده از (۰, ۱) توسطپارامتری می‌شود و بنابراین یک کشانده (تراکتریکس) است.سایر گستران‌ها کشانده نیستند، زیرا منحنی‌های موازی یک کشانده هستند.گستران‌های یک چرخ‌زاد.نمایش پارامتری formula_88 یک چرخ‌زاد را توصیف می‌کند. از formula_89، (پس از استفاده از برخی فرمول‌های مثلثاتی) به دست می‌آید:واز این رو معادلات گستران متناظر عبارتند از:که چرخ‌زاد قرمز منتقل شده در نمودار را توصیف می‌کنند. از این روگستران و گسترنده.گسترنده یک منحنی داده شده formula_96 شامل مراکز انحنای formula_96 است. بین گستران‌ها و گسترنده‌ها عبارت زیر برقرار است:کاربرد.رایج‌ترین پروفیل‌های دندانه‌های چرخ‌دنده مدرن، گستران‌های یک دایره هستند. در یک دستگاه چرخ‌دنده گستران، دندانه‌های دو چرخ‌دنده درگیر در یک نقطه لحظه‌ای واحد که در امتداد یک خط مستقیم حرکت می‌کند، تماس پیدا می‌کنند. نیروهایی که دندانه‌های در تماس بر یکدیگر وارد می‌کنند نیز از این خط پیروی می‌کنند و بر دندانه‌ها عمود هستند. سامانه چرخ‌دنده گستران که این شرایط را حفظ می‌کند، از قانون اساسی چرخ‌دنده‌ها پیروی می‌کند: نسبت سرعت‌های زاویه‌ای بین دو چرخ‌دنده باید در طول حرکت ثابت بماند.با دندانه‌هایی با شکل‌های دیگر، سرعت‌ها و نیروها با درگیر شدن دندانه‌های متوالی بالا و پایین می‌روند و منجر به لرزش، سر و صدا و سایش بیش از حد می‌شوند. به همین دلیل، تقریباً تمام سامانه‌های چرخ‌دنده مسطح مدرن یا گستران یا سیستم مرتبط چرخ‌دنده چرخ‌زاد هستند.گستران یک دایره همچنین یک شکل مهم در کمپرسور است، زیرا یک کمپرسور غلتشی می‌تواند بر اساس این شکل ساخته شود. کمپرسورهای اسکرال صدای کمتری نسبت به کمپرسورهای معمولی تولید می‌کنند و ثابت شده است که بازده مکانیکی بالایی دارند.راکتور ایزوتوپی با شار بالا از عناصر سوختی به شکل گستران استفاده می‌کند، زیرا این عناصر اجازه می‌دهند یک کانال با عرض ثابت بین آنها برای خنک‌کننده وجود داشته باشد.