المان حجم کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، یک المان حجم یا عنصر حجم وسیله ای برای ادغام یک تابع با توجه به حجم در سیستم های مختصات مختلف مانند مختصات کروی و مختصات استوانه ای فراهم می کند. بنابراین یک عنصر حجمی بیانی از فرم استجایی کهformula_2 مختصات هستند، به طوری که حجم هر مجموعهformula_3را می توان توسط:مثلاً در مختصات کروی formula_5و بنابراین:formula_6.مفهوم عنصر حجمی به سه بعد محدود نمی شود: در دو بعد اغلب به عنوان عنصر مساحت شناخته می شود و در این تنظیم برای انجام انتگرال های سطحی مفید است. تحت تغییرات مختصات، عنصر حجم با مقدار مطلق تعیین کننده ژاکوبین تبدیل مختصات (با فرمول تغییر متغیرها) تغییر می کند. این واقعیت به عناصر حجم اجازه می دهد تا به عنوان یک نوع اندازه گیری در یک منیفولد تعریف شوند. در یک منیفولد متمایز پذیر جهت‌پذیر، یک عنصر حجمی معمولاً از یک فرم حجمی ناشی می‌شود: فرم دیفرانسیل درجه بالا. در یک منیفولد غیر قابل جهت‌یابی، عنصر حجم معمولاً قدر مطلق فرم حجمی (محلی تعریف شده) است: یک چگالی 1 را تعریف می‌کند.المان حجم در فضای اقلیدوسی.در فضای اقلیدسی، عنصر حجم از حاصل ضرب دیفرانسیل مختصات دکارتی به دست می‌آید.در سیستم های مختصات مختلف فرم :formula_8,formula_9,formula_10, عنصر حجم توسط ژاکوبین (تعیین کننده) تغییر مختصات تغییر می کند::به عنوان مثال، در مختصات کروی (کنوانسیون ریاضی):این سه واحد مختصات کروی تعیین کننده ژاکوبین است:پس بنابراین عبارت برابر است با این رابطه است.این را می توان به عنوان یک مورد خاص از این واقعیت دید که فرم های دیفرانسیل از طریق عقب نشینی تبدیل می شوند formula_15 مانند:عنصر حجمی یک زیرفضای خطی.فضای فرعی خطی فضای اقلیدسی n بعدی Rn را در نظر بگیرید که توسط مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی پوشیده شده است.برای یافتن عنصر حجمی زیرفضا، دانستن این واقعیت از جبر خطی مفید است که حجم متوازی الاضلاع که توسط formula_18 جذر تعیین کننده ماتریس گرمینformula_19است. formula_20هر نقطه p در زیرفضاformula_20را می توان مختصاتی داد به طوری که:formula_23در نقطه p، اگر یک متوازی الاضلاع کوچک با اضلاع تشکیل دهیم formula_23، سپس حجم آن متوازی الاضلاع جذر تعیین کننده ماتریس گرام است.بنابراین s فرم حجم را در زیرفضای خطی تعریف می کند.عنصر حجمی منیفولدها.در یک منیفولد ریمانی جهت‌دار با بعد n، عنصر حجم یک فرم حجمی برابر با دوگانه هاج تابع ثابت واحد است.formula_27:در اینجا واحد امگا برابر با این رابطه استبه طور معادل، عنصر حجم در مختصات دقیقاً تانسور Levi-Civita formula_29 است:formula_30به طور معادل، عنصر حجم در مختصات،دقیقاً تانسور formula_31 است formula_32 .المان حجم در مساحت سطح.Aیک مثال ساده از یک عنصر حجمی را می توان با در نظر گرفتن یک سطح دو بعدی که در فضای اقلیدسی n بعدی جاسازی شده است، کاوش کرد. چنین عنصر حجمی گاهی عنصر ناحیه نامیده می شود. یک زیر مجموعه را در نظر بگیرید:formula_33و یک تابع نقشه برداری:بنابراین یک سطح تعبیه شده در آن تعریف می شود formula_35 . در دو بعد، حجم فقط مساحت است و یک عنصر حجمی راهی برای تعیین مساحت قسمت هایی از سطح می دهد. بنابراین یک عنصر حجمی بیانی از فرم استکه به فرد اجازه می دهد با محاسبه انتگرال، مساحت مجموعه B را که روی سطح قرار دارد محاسبه کنددر اینجا عنصر حجم را در سطح پیدا خواهیم کرد که مساحت را به معنای معمولی مشخص می کند. ماتریس ژاکوبین نقشه برداری استبا شاخص i در حال اجرا از 1 تا n، و j از 1 تا 2. متریک اقلیدسی در فضای n بعدی یک متریک القا می کند:formula_39در مجموعه U، با عناصر ماتریسی:تعیین کننده متریک توسط:برای یک سطح منظم، این تعیین کننده ناپدید نمی شود. به طور معادل، ماتریس ژاکوبین دارای رتبه 2 است.اکنون یک تغییر مختصات روی U را در نظر بگیرید که توسط یک دیفئومورفیسم به دست می‌آیدبه طوری که مختصاتformula_43 بر حسب داده می شوند formula_44 توسط formula_45ماتریس ژاکوبین است این تبدیل توسط این رابطه انجام می گردد.در مختصات جدید داریم:و بنابراین متریک به صورت تبدیل می شود:جایی که formula_49 متریک عقب نشینی در سیستم مختصات v است. تعیین کننده استبا توجه به ساختار فوق، درک اینکه چگونه عنصر حجم تحت یک تغییر مختصات با حفظ جهت گیری ثابت است، باید ساده باشد.در دو بعد، حجم فقط مساحت است. مساحت یک زیر مجموعه formula_51 توسط انتگرال داده می شودبنابراین، در هر دو سیستم مختصات، عنصر حجم همان عبارت را می گیرد: بیان عنصر حجم تحت تغییر مختصات ثابت است. توجه داشته باشید که در ارائه فوق هیچ چیز خاصی به دو بعد وجود نداشت. موارد فوق به طور پیش پا افتاده به ابعاد دلخواه تعمیم می یابد.مثال:کره.به عنوان مثال، کره ای را با شعاع r در مبدأ در R3 در نظر بگیرید. این را می توان با استفاده از مختصات کروی با نقشه پارامتری کردسپس:و عنصر مساحت کره در المان حجم اینگونه است: