جمع مستقیم کیست؟ توضیح بده.
جمع مستقیم عملی از جبر مجرد (شاخه‌ای از ریاضیات) است. برای مثال، جمع مستقیم formula_1 که در آن formula_2 همان است، برابر فضای دکارتی formula_3 است. برای آنکه ببینید چگونه جمع مستقیم در جبر مجرد استفاده می‌شود، یک ساختار ابتدایی‌تر در جبر مجرد، یعنی گروه آبلی را در نظر بگیرید. جمع مستقیم دو گروه آبلی formula_4 و formula_5 یک گروه آبلی دیگر formula_6 است که شامل زوج‌مرتب‌های formula_7 است که در آن با ساختار زیر، formula_8 و formula_9 است. برای جمع زوج‌مرتب‌ها، ما جمع formula_10 را به صورت formula_11 تعریف می‌کنیم؛ به زبان دیگر، جمع به صورت مختصاتی تعریف می‌شود. از یک فرایند مشابه برای تعریف جمع مستقیم دو فضای برداری یا دو مدول استفاده می‌شود.ما همچمنین می‌توانیم جمع مستقیم را با هر تعداد متناهی از جمع‌وند تشکیل دهیم، برای مثال، formula_12 را تعریف کنیم با این شرط که formula_13 و formula_14 هر سه ساختارهای جبری هم‌نوع باشند (مثلا، همه گروه آبلی باشند، یا همه فضای برداری باشند). این موضوع وابسته به این است که جمع مستقیم از بابت ایزوریختار انجمنی است؛ یعنی، formula_15 برقرار است، برای هر ساختار جبری formula_4، formula_5، و formula_14 که هم‌نوع هستند. جمع مستقیم از بابت ایزوریختار هم جابه‌جایی است، یعنی formula_19 برای هر ساختار جبری formula_4 و formula_5 که هم‌نوع هستند، برقرار است.جمع مستقیم تعداد متناهی گروه آبلی، فضای برداری، یا مدول به صورت رسمی با متناظر ایزوریختار است. بااین‌حال، این موضوع برای بعضی از اشیای جبری، مثل گروه‌های غیرآبلی نادرست است.در حالتیکه در آن اشیای نامتناهی ترکیب می‌شوند، جمع مستقیم و ضرب مستقیم ایزوریختار نیستند، این موضوع حتی برای گروه آبلی، فضای برداری یا مدول‌ها هم برقرار نیست. برای مثال، جمع مستقیم و ضرب مستقیم نسخه‌های نامتناهی (شمارا) از اعداد صحیح را درنظر بگیرید. یک عنصر در فضای برداری یک ترتیب نامتناهی، مثل (۱٬۲٬۳...) است، اما در جمع مستقیم، این نیازمندی موجود است که همه ولی تعداد متناهی از مختصات صفر باشد، از این‌رو ترتیب (۱٬۲٬۳...) یک عنصر از ضرب مستقیم است ولی عنصری از جمع مستقیم نیست، درحالیکه (۱٬۲٬۰٬۰٬۰...) یک عنصر از هر دو است. معمولاً وقتیکه یک علامت + استفاده بشود، همه ولی تعداد متناهی از مختصات باید صفر باشد، درحالیکه اگر حالتی از ضرب استفاده شود، همه ولی تعداد متناهی از مختصات باید ۱ باشد. به زبان فنی‌تر، اگر جمع‌وندها formula_22 باشند، جمع مستقیم formula_23 را به صورت مجموعه تاپل‌های formula_24 تعریف می‌کنیم، که در آن formula_25 است به این‌صورت که formula_26 برای همه ولی تعداد متناهی از "i" برقرار باشد. جمع مستقیم formula_27 در formula_28 موجود است، ولی وقتیکه formula_29 نامتناهی است، به صورت مؤکد کوچکتر است، زیرا ضرب‌های مستقیم این محدودیت را ندارند که همه ولی تعداد متناهی از مختصات باید صفر باشد.مثال‌ها.صفحه-"xy"، یک فضای برداری دوبعدی، را می‌توان به صورت جمع مستقیم دو فضای برداری یک-بعدی، با نام محورهای "x" و "y" در نظر گرفت. در این جمع مستقیم، محورهای "x" و "y" فقط در مبدأ تقاطع دارند (یعنی بردار صفر). جمع به صورت مختصاتی تعریف می‌شود، یعنی formula_30 است، که مشابه جمع برداری است.اگر دو ساختار formula_4 و formula_5 داده شود، جمع مستقیم آن‌ها به صورت formula_6 نوشته می‌شود. اگر یک از ساختارهای formula_34 داده شود، که توسط formula_35 اندیس‌دهی شده‌است، جمع مستقیم را می‌توان به صورت formula_36 نوشت. هر Ai یک جمع‌وند مستقیم از "A" نامیده می‌شود. اگر مجموعه اندیس متناهی باشد، جمع مستقیم مشابه ضرب مستقیم است. در حالت گروه‌ها، اگر عمل گروه به صورت formula_37 نوشته شود، از عبارت «جمع مستقیم» استفاده می‌شود، درحالیکه اگر عمل گروه به صورت formula_38 نوشته شود، از عبارت «ضرب مستقیم» استفاده می‌شود. وقتیکه مجموعه اندیس نامتناهی باشد، جمع مستقیم مشابه ضرب مستقیم نیست، زیرا جمع مستقیم این نیازمندی اضافی را دارد که همه ولی تعداد متناهی از مختصات باید صفر باشد.جمع‌های مستقیم دورنی و بیرونی.جمع‌های مستقیم درونی و بیرونی متفاوت هستند، اگرچه هر دو ایزوریختار هستند. اگر اول جمع‌وندها تعریف شوند، و سپس جمع مستقیم در عبارت جمع‌وند تعریف شود، آنوقت ما یک جمع مستقیم بیرونی داریم. برای مثال، اگر ما اول اعداد حقیقی formula_39 را تعریف کنیم و سپس formula_40 را تعریف کنیم، آنوقت گفته می‌شود که جمع مستقیم بیرونی است.از جهت دیگر، اگر اول یک ساختار جبری formula_41 را تعریف کنیم و سپس formula_41 را به صورت جمع مستقیم دو زیرساختار formula_43 و formula_44 بنویسیم، آنوقت گفته می‌شود که جمع مستقیم، دورنی است. در این‌حالت، هر عنصر formula_41 را می‌توان به صورت یکتا به صورت ترکیب جبری از عناصر formula_43 و یک عنصر از formula_44 بیان نمود. برای مثال یک جمع مستقیم درونی، formula_48 را در نظر بگیرید (یعنی اعداد صحیح در پیمانه شش)، که عناصر آن formula_49 هستند. این را می‌توان به صورت جمع مستقیم دورنی formula_50 بیان نمود.انواع جمع مستقیم.جمع مستقیم گروه‌های آبلی.جمع مستقیم گروه‌های آبلی یک مثال پیش‌نمون از یک جمع مستقیم است. اگر دو تا از این گروه‌ها به صورت formula_51 و formula_52 را داشته باشیم، جمع مستقیم آن‌ها formula_53 مشابه آن‌ها است؛ یعنی، مجموعه زیربنایی برابر ضرب دکارتی formula_54 است و عمل گروه formula_55 به صورت مولفه‌ای تعریف می‌شود: formula_56 این تعریف به جمع مستقیم برای تعداد متناهی از گروه آبلی تعمیم می‌یابد. برای یک خانواده دلخواه از گروه‌ها formula_34 که توسط formula_35 اندیس‌دهی شده‌است، آن‌ها یعنی formula_59 برابر زیرگروه از ضرب مستقیم است، که شامل عناصر formula_60 است، که تکیه‌گاه متناهی دارد، که در آن طبق تعریف، formula_61 وقتی دارد، اگر که formula_62 برابر عنصر همانی formula_34 است برای همه ولی تعداد متناهی formula_64 برقرار باشد. جمع مستقیم از یک خانواده نامتناهی formula_65 از گروه‌های غیربدیهی یک زیرگروه سره از گروه ضربی formula_28 است.جمع مستقیم مدول‌ها."جمع مستقیم مدول‌ها" یک ساختار است که چندین مدول را در یک مدول جدید ترکیب می‌کند.آشناترین مثال‌های این ساختار وقتی رخ می‌دهد که فضاهای برداری را درنظر گرفته باشیم، که مدول‌هایی روی یک میدان هستند. این ساختار به فضاهای باناخ و فضاهای هیلبرت تعمیم می‌یابد.جمع مستقیم رسته‌ها.یک ، یک انتزاع از ویژگی‌های رسته مدول‌ها است. در این رسته، ضرب متناهی و همضرب پذیرفته می‌شود و جمع مستقیم می‌تواند هرکدام از آن‌ها باشد، رجوع کنید به .حالت کلی: در نظریه رسته‌ها، جمع مستقیم معمولاً، ولی نه همیشه، همضربی در رسته اشیاء ریاضی مورد نظر است. برای مثال، در رسته گروه‌های آبلی، جمع مستقیم همان همضرب است. این موضوع در رسته مدول‌ها هم درست می‌باشد.جمع مستقیم دربرابر همضرب در رسته گروه‌ها.بااین‌حال، جمع مستقیم formula_67 (که به صورت مشابه با جمع مستقیم گروه‌های آبلی تعریف شده‌است) برابر همضرب گروه‌های formula_68 و formula_69 در رسته گروه‌ها . ازاین‌رو در این رسته، یک جمع مستقیم رسته‌ای را به صورت ساده یک همضرب می‌نامند، تا از هر اشتباه ممکن جلوگیری شود.جمع مستقیم نمایش گروه.جمع مستقیم نمایش گروه، مدول‌های مبنا را تعمیم می‌دهد، و یک کنش گروهی به آن اضافه می‌کند. بخصوص، اگر به ما یک گروه formula_70 و دو نمایش formula_43 و formula_44 از formula_70 داده شود (یا به صورت کلی‌تر، دو داده شود، جمع مستقیم نمایش‌ها برابر formula_74 می‌شود، که کنش formula_75 در آن مولفه-گون است، یعنی،formula_76راه معادل دیگر برای تعریف جمع مستقیم به صورت زیر است:اگر به ما دو نمایش formula_77 و formula_78 داده شود، آنوقت فضای برداری برای جمع مستقیم برابر formula_74 است، و هوموریختار formula_80 توسط formula_81 به دست می‌آید، که در آن formula_82 همان نگاشت طبیعی است که توسط عمل مولفه-گون مثل بالا به دست می‌آید.بعلاوه، اگر formula_83 دارای بعد متناهی باشند، آوقت، با این شرط که پایه‌های formula_83 ،formula_85 و formula_86 ماتریس-مقدار باشد. در این‌حالت، formula_80 به صورت formula_88 به دست می‌آید.بعلاوه، اگر ما با formula_43 و formula_44 به صورت مدول روی formula_91 رفتار کنیم، که در آن formula_92 همان میدان است، آنوقت جمع مستقیم نمایش‌های formula_43 و formula_44 برابر جمع مستقیم‌شان و به صورت مدول‌های formula_91 است.جمع مستقیم حلقه‌ها.بعضی از نویسندگان از جمع مستقیم formula_96 دو حلقه موقعی صحبت می‌کنند که منظورشان formula_97 است، اما باید از این‌کار اجتناب کرد زیرا formula_97 هوموریختارهای حلقه‌ای طبیعی از formula_99 و formula_41 دریافت نمی‌کند: بخصوص، نگاشت formula_101 که formula_102 را به formula_103 می‌فرستد، یک هوموریختار حلقه‌ای نیست، زیرا نمی‌تواند ۱ را به formula_104 بفرستد (با این فرض که formula_105 در formula_41 قرار دارد). ازاین‌رو formula_97 یک همضرب در نیست، و نباید به صورت یک جمع مستقیم نوشته شود. (همضرب در برابر است. در رسته حلقه‌ها، همضرب توسط یک ساختار مشابه با گروه‌ها به دست می‌آید)استفاده از اصطلاحات و نماد جمع مستقیم مخصوصاً وقتی مشکل‌زا است که با خانواده نامتناهی از حلقه‌ها سروکار داریم: اگر formula_108 یک گردآورد نامتناهی از حلقه‌های غیربدیهی باشد، آنوقت جمع مستقیم گروه‌های جمعی مبنا را می‌توان به ضرب جمله-گون مجهز نمود، اما این منجر به یک می‌شود، یعنی، یک حلقه که همانی ضربی ندارد.جمع مستقیم ماتریس‌ها.برای ماتریس‌های اختیاری formula_109 و formula_110، جمع مستقیم formula_111 به صورت از formula_109 و formula_110 تعریف می‌شود، اگر هر دو ماتریس مربعی باشند (و اگر نباشد، باید یک مشابه باشد).formula_114جمع مستقیم فضاهای برداری توپولوژیکی.یک فضای برداری توپولوژیکی (TVS) formula_115 مثل فضای باناخ، را یک برای دو زیرفضای برداری formula_116 و formula_117 می‌نامند اگر نگاشت جمعی زیرformula_118یک باشد، (یعنی این نگاشت خطی یک هوموریختار دوسویه باشد)، که در آن‌حالت formula_116 و formula_117 را در formula_115 می‌نامند. این موضوع وقتیکه به صورت گروه‌های توپولوژیکی درنظر گرفته شوند هم درست است (که از این‌رو ضرب نرده‌ای را درنظر نمی‌گیریم)، formula_115 همان formula_116 و formula_117 است. اگر این درست باشد و اگر formula_115 هاوسدورف باشد، آنوقت formula_116 و formula_117 باید حتماً زیرفضاهای بسته formula_115 باشند.اگر formula_116 یک زیرفضای برداری از فضاهای برداری مختلط یا حقیقی formula_115 باشد، آنوقت همیشه یک زیرفضای برداری formula_117 از formula_115 دیگر وجود دارد، که ، به این صورت که formula_115 یک برای formula_116 و formula_117 است (که فقط و فقط وقتی رخ می‌دهد که نگاشت جمع formula_136 یک باشد. دربرابر جمع‌های مستقیم جبری، وجود چنین متممی برای جمع‌های مستقیم توپولوژیکی تضمین نشده‌است.یک زیرفضای برداری formula_116 از formula_115 را یک () می‌نامند، اگر یک زیرفضای برداری formula_117 از formula_115 موجود باشد که formula_115 برابر جمع مستقیم توپولوژیکی از formula_116 و formula_117 باشد. یک زیرفضای برداری موقعی است که یک زیرفضای متتمی نباشد. برای مثال، هر زیرفضای برداری از TVS هاوسدورف که یک زیرمجموعه بسته نیست، الزاماً نامتممی است. هر زیرفضای برداری بسته از یک فضای هیلبرت متمم‌دار است. اما هر فضای باناخ که فضای هیلبرت نیست، الزاماً شامل چمد زیرفضای برداری بسته غیرمتممی است.هوموریختارها.جمع مستقیم formula_27 به یک هوموریختار "" formula_145 برای هر "j" در "I" و یک "هم‌تصویر" formula_146 برای هر "j" در "I" مجهز است. اگر یک ساختار جبری دیگر formula_5 (با ساختار اضافی مشابه) و هوموریختارهای formula_148 برای هر "j" در "I" داده شده باشد، آنوقت یک هوموریختار یکتای formula_149 وجود دارد که جمع "g""j"‌ها نامیده شده، به این‌صورت که formula_150 برای همه "j"‌ها برقرار است. از این‌رو در یک رسته مناسب، جمع مستقیم همان همضرب است.