نمایش فضای حالت کیست؟ توضیح بده.
در مهندسی کنترل و شناسایی سیستم، نمایش فضای‌حالت ، یک مدل ریاضی از یک سیستم فیزیکی است که از متغیرهای حالت برای ردیابی چگونگی شکل‌گیری رفتار سیستم توسط ورودی‌ها در طول زمان از طریق معادلات دیفرانسیل مرتبه اول یا معادلات تفاضلی استفاده می‌کند. این متغیرهای حالت بر اساس مقادیر و ورودی‌های فعلی خود تغییر می‌کنند، در حالی که خروجی‌ها به حالت‌ها و گاهی به ورودی‌ها نیز بستگی دارند. فضای حالت (که به آن رویکرد حوزهٔ-زمان نیز گفته می‌شود و معادل فضای فاز در برخی سیستم‌های دینامیکی است) یک فضای هندسی است که در آن محورها، این متغیرهای حالت هستند و حالت سیستم توسط یک بردار حالت نمایش داده می‌شود.برای سیستم‌های خطی، تغییرناپذیر با زمان و با ابعادِمحدود، معادلات را می‌توان به شکل ماتریسی نوشت، یک جایگزین فشرده برای تبدیل‌های لاپلاس حوزه فرکانس برای سیستم‌های چند ورودی و چند خروجی (MIMO) ارائه می‌دهد. برخلاف رویکرد حوزه فرکانس، این رویکرد برای سیستم‌هایی فراتر از سیستم‌های خطی با شرایط اولیه صفر نیز کار می‌کند. این رویکرد، نظریه سیستم‌ها را به یک چارچوب جبری تبدیل می‌کند و امکان استفاده از ساختارهای کرونکر را برای تحلیل کارآمد فراهم می‌کند.مدل‌های فضای‌حالت در زمینه‌هایی مانند علم اقتصاد، آمار، علوم رایانه، مهندسی برق، و علوم اعصاب کاربرد دارند. به عنوان مثال، در اقتصادسنجی، مدل‌های فضای‌حالت می‌توانند برای تجزیه یک سری زمانی به روند و چرخه، ترکیب شاخص‌های منفرد در یک شاخص ترکیبی، شناسایی نقاط عطف چرخه تجاری و تخمین تولید ناخالص داخلی با استفاده از سری‌های زمانی پنهان و مشاهده‌نشده استفاده شوند. بسیاری از کاربردها برای تولید تخمین‌هایی از متغیرهای حالت ناشناخته فعلی با استفاده از مشاهدات قبلی خود، به فیلتر کالمن یا یک ناظر حالت متکی هستند.متغیرهای حالت.متغیرهای حالت داخلی کوچک‌ترین زیرمجموعه ممکن از متغیرهای سیستم هستند که می‌توانند کل حالت سیستم را در هر زمان معین نشان دهند. حداقل تعداد متغیرهای حالت مورد نیاز برای نمایش یک سیستم معین، formula_1 معمولاً برابر با مرتبه معادله دیفرانسیل تعریف‌کننده سیستم است، اما نه لزوماً. اگر سیستم به شکل تابع تبدیل نمایش داده شود، حداقل تعداد متغیرهای حالت برابر با مرتبه مخرج تابع تبدیل پس از کاهش آن به یک کسر صحیح است. درک این نکته مهم است که تبدیلِ یک تحقق فضای‌حالت به‌شکل تابع تبدیل ممکن است برخی از اطلاعات داخلی در مورد سیستم را از دست بدهد و ممکن است توصیفی از سیستمی ارائه دهد که پایدار است، در حالی که تحقق فضای‌حالت در نقاط خاصی ناپایدار است. در مدارهای الکتریکی، تعداد متغیرهای حالت اغلب، هرچند نه همیشه، برابر با تعداد عناصر ذخیره انرژی در مدار مانند خازن‌ها و سلف‌ها است. متغیرهای حالت تعریف شده باید به صورت خطی مستقل باشند، یعنی هیچ متغیر حالتی را نمی‌توان به صورت ترکیبی خطی از سایر متغیرهای حالت دیگر نوشت، در غیر این صورت سیستم قابل حل نیست.سیستم‌های خطی.عمومی‌ترین نمایش فضای‌حالت یک سیستم خطی با formula_2 ورودی‌ها، formula_3 خروجی‌ها و formula_1 متغیرهای حالت به شکل زیر نوشته می‌شوند: formula_5formula_6که‌دراینجا:در این فرمول‌بندی کلی، همه ماتریس‌ها می‌توانند متغیر با زمان باشند (یعنی عناصر آنها می‌توانند به زمان وابسته باشند)؛ با این حال، در حالت معمول اِل‌تی‌آی، ماتریس‌ها ناوَردا با زمان خواهند بود. متغیر زمان formula_7 می‌تواند پیوسته باشد (مثلاً formula_8) یا گسسته (مثلاً formula_9). در حالت دوم، متغیر زمان formula_10 معمولاً به‌جای formula_7 استفاده می‌شود. سیستم‌های ترکیبی امکان استفاده از حوزه‌های زمان با بخش‌های پیوسته و گسسته را فراهم می‌کنند. بسته به فرضیات انجام شده، نمایش مدل فضای‌حالت می‌تواند به شکل‌های زیر باشد:مثال: مورد اِل‌تی‌آی زمان‌پیوسته.ویژگی‌های پایداری و پاسخ طبیعی یک سیستم اِل‌تی‌آی زمان پیوسته (یعنی خطی با ماتریس‌هایی که نسبت به زمان ثابت هستند) را می‌توان از مقادیر ویژه ماتریس مطالعه کرد. formula_12 پایداری یک مدل فضای‌حالت تغییرناپذیر با زمان (ناوَردا با زمان) را می‌توان با نگاه کردن به تابع تبدیل سیستم به صورت فاکتورگیری شده تعیین کرد. سپس چیزی شبیه به این خواهد بود:formula_13مخرج تابع تبدیل برابر با چندجمله‌ای مشخصه است که با گرفتن دترمینان از formula_14 به دست می‌آید ، formula_15 ریشه‌های این چندجمله‌ای (مقادیر ویژه) قطب‌های تابع تبدیل سیستم هستند (یعنی نقاط تکین که در آن‌ها اندازه تابع تبدیل نامحدود است). از این قطب‌ها می‌توان برای تحلیل پایداری مجانبی یا پایداری حاشیه‌ای سیستم استفاده کرد. یک رویکرد جایگزین برای تعیین پایداری، که شامل محاسبه مقادیر ویژه نمی‌شود، تحلیل پایداری لیاپانوف سیستم است.صفرهای موجود در صورت کسر formula_16 به‌طور مشابه می‌توان از آن برای تعیین اینکه آیا سیستم کمینه فاز است یا خیر، استفاده کرد.این سیستم ممکن است همچنان ورودی-خروجی پایدار باشد (به پایداری بای‌بو مراجعه کنید) حتی اگر از نظر داخلی پایدار نباشد. این امر در صورتی ممکن است که قطب‌های ناپایدار توسط صفرها حذف شوند (یعنی اگر آن نقاط تکین در تابع تبدیل برداشتنی باشند).کنترل‌پذیری.شرط کنترل‌پذیری حالت دلالت بر این دارد که ممکن است – توسط ورودی‌های قابل قبول - برای هدایت حالت‌ها از هر مقدار اولیه به هر مقدار نهایی در یک پنجره زمانی محدود. یک مدل فضای‌حالت خطی نامتغیر با زمان پیوسته، کنترل‌پذیر است اگر و فقط اگر formula_17 که در آن رتبه تعداد سطرهای مستقل خطی در یک ماتریس و "n" تعداد متغیرهای حالت است.مشاهده‌پذیری.مشاهده‌پذیری معیاری است برای اینکه چقدر می‌توان حالت‌های داخلی یک سیستم را با آگاهی از خروجی‌های خارجی آن استنباط کرد. مشاهده‌پذیری و کنترل‌پذیری یک سیستم دوگان‌های ریاضی هستند (یعنی، همان‌طور که کنترل‌پذیری تضمین می‌کند که ورودی‌ای در دسترس باشد که هر حالت اولیه را به هر حالت نهایی مطلوب برساند، مشاهده‌پذیری نیز تضمین می‌کند که دانستن مسیر خروجی، اطلاعات کافی برای پیش‌بینی حالت اولیه سیستم را فراهم می‌کند).یک مدل فضای‌حالت خطی نامتغیر زمان پیوسته، مشاهده‌پذیر است اگر و تنها اگر formula_18تابع تبدیل.«تابع تبدیل» یک مدل فضای‌حالت خطی نامتغیر با زمان پیوسته را می‌توان به روش زیر بدست آورد:ابتدا، با در نظر گرفتن تبدیل لاپلاس از formula_19نتیجه می‌دهد formula_20 در مرحله بعد، برای formula_21 ، می‌دهد formula_22 و بدین ترتیب formula_23جایگزینی برای formula_21 در معادله خروجیformula_25می‌دهدformula_26با فرض شرایط اولیه صفر formula_27 و یک سیستم تک‌ورودی تک‌خروجی (SISO)، تابع تبدیل به صورت نسبت خروجی به ورودی تعریف می‌شود. formula_28 با این حال، برای یک سیستم چندورودی چندخروجی (MIMO)، این نسبت تعریف نشده است؛ بنابراین، با فرض شرایط اولیه صفر، ماتریس تابع تبدیل از رابطه زیر بدست می‌آید: formula_29با استفاده از روش برابر قرار دادن ضرایب که نتیجه می‌دهدformula_30در نتیجه، formula_16 ماتریسی با بعد formula_32 است که شامل توابع تبدیل برای هر ترکیب ورودی-خروجی است. به دلیل سادگی این نمادگذاری ماتریسی، نمایش فضای‌حالت معمولاً برای سیستم‌های چندورودی-چندخروجی استفاده می‌شود. ماتریس سیستم روزنبروک پُلی بین نمایش فضای‌حالت و تابع تبدیل آن فراهم می‌کند.تحقق‌های متعارف.هر تابع تبدیل داده شده که اکیدا سِرِه باشد، می‌تواند به راحتی با رویکرد زیر به فضای‌حالت منتقل شود (این مثال برای یک سیستم چهار-بُعدی، تک‌ورودی، تک‌خروجی است):با داشتن یک تابع تبدیل، آن را بسط دهید تا تمام ضرایب هم در صورت و هم در مخرج نشان داده شوند. این باید به فرم زیر منجر شود: formula_33اکنون می‌توان ضرایب را مستقیماً با روش زیر در مدل فضای‌حالت وارد کرد: formula_34formula_35این تحقق فضای‌حالت، فرم متعارف کنترل‌پذیر نامیده می‌شود زیرا تضمین می‌شود که مدل حاصل، کنترل‌پذیر باشد (یعنی، چون کنترل وارد زنجیره‌ای از انتگرال‌گیرها می‌شود، قابلیت جابجایی هر حالت را دارد).ضرایب تابع تبدیل همچنین می‌توانند برای ساخت نوع دیگری از فرم متعارف استفاده شوند. formula_36formula_37این تحقق فضای‌حالت، فرم متعارف مشاهده‌پذیر نامیده می‌شود زیرا مدل حاصل تضمین می‌کند که مشاهده‌پذیر باشد (یعنی، از آنجا که خروجی از زنجیره‌ای از انتگرال‌گیرها خارج می‌شود، هر حالت بر خروجی تأثیر می‌گذارد).توابع انتقال سِرِه (مناسب).توابع تبدیلی که فقط سره (و نه کاملاً سره) هستند نیز می‌توانند به راحتی تحقق یابند. نکته در اینجا این است که تابع تبدیل را به دو بخش تقسیم کنیم: یک بخش کاملاً سره و یک ثابت. formula_38سپس می‌توان تابع تبدیل اکیداً سره را با استفاده از فنون‌های نشان داده شده در بالا به یک تحقق فضای‌حالت متعارف تبدیل کرد. تحقق فضای‌حالت ثابت به‌طور بدیهی formula_39 سپس با هم، یک تحقق فضای‌حالت با ماتریس‌های "A" , "B" و "C" که توسط بخش اکیداً سره و ماتریس "D" که توسط ثابت تعیین می‌شوند، به دست می‌آوریم.برای روشن شدن موضوع کمی مثالی می‌زنیم: formula_40 که منجر به تحقق کنترل‌پذیری زیر می‌شود formula_41formula_42 توجه کنید که خروجی نیز مستقیماً به ورودی بستگی دارد. این به دلیل formula_43 ثابت در تابع تبدیل است.بازخورد.یک روش رایج برای بازخورد، ضرب خروجی در ماتریس "K" و تنظیم آن به عنوان ورودی سیستم است: formula_44 از آنجایی که مقادیر "K" نامقیّد هستند، می‌توان به راحتی مقادیر آن را برای بازخورد منفی، منفی کرد. وجود علامت منفی (نمادگذاری رایج) صرفاً یک علامت نمادین است و عدم وجود آن هیچ تأثیری بر نتایج نهایی ندارد.formula_45formula_46می‌شودformula_47formula_48حل معادله خروجی برای formula_49 و با جایگزینی در معادله حالت، نتیجه می‌شودformula_50formula_51مزیت این روش این است که می‌توان مقادیر ویژه "A" را با تنظیم مناسب "K" از طریق تجزیه ویژه formula_52 کنترل کرد. این فرض می‌کند که سیستم حلقه بسته کنترل‌پذیر است یا اینکه مقادیر ویژه ناپایدار "A" را می‌توان از طریق انتخاب مناسب "K" پایدار کرد.مثال.برای یک سیستم اکیداً سره "، D" برابر با صفر است. یک موقعیت نسبتاً رایج دیگر زمانی است که همه حالت‌ها خروجی هستند، یعنی "y" = "x" که منجر به "C" = "I"، ماتریس همانی، می‌شود. این امر منجر به معادلات ساده‌تر می‌شود.formula_53formula_54این امر تجزیه ویژه لازم را به فقط formula_55 کاهش می‌دهد.بازخورد با ورودی نقطه‌تنظیم (مرجع).علاوه بر بازخورد، یک ورودی، formula_56 ، می‌تواند به گونه‌ای اضافه شود که formula_57 .formula_45formula_46می‌شودformula_60formula_61حل معادله خروجی برای formula_49 و با جایگزینی در معادله حالت، نتیجه می‌شودformula_63formula_64یک ساده‌سازی نسبتاً رایج برای این دستگاه، حذف "D" است که معادلات را به صورت زیر کاهش می‌دهد:formula_65formula_66مثال شیء متحرک.یک سیستم خطی کلاسیک، سیستم حرکت یک-بُعدی یک جسم (مثلاً یک گاری) است. قوانین حرکت نیوتن برای جسمی که به صورت افقی روی یک صفحه حرکت می‌کند و با فنر به دیوار متصل است:formula_67سپس معادله حالت به صورت زیر خواهد شد:formula_75formula_76که در اینجاسپس آزمون کنترل‌پذیری به صورت زیر است:formula_81که برای همه formula_72 و formula_74 رتبه کامل (full rank) دارد این بدان معناست که اگر حالت اولیه سیستم (formula_68 ، formula_69 ، formula_70) مشخص باشد و اگر formula_72 و formula_74 ثابت باشند، پس نیرویی formula_89 وجود دارد که می‌توانست گاری را به هر موقعیت دیگری در سیستم منتقل کند.آزمون مشاهده‌پذیری به صورت زیر است:formula_90که رتبه کامل را نیز داراست؛ بنابراین، این سیستم هم کنترل‌پذیر و هم مشاهده‌پذیر است.سیستم‌های غیرخطی.شکل کلی‌تر یک مدل فضای‌حالت را می‌توان به صورت دو تابع نوشت.formula_91formula_92اولی معادله حالت و دومی معادله خروجی است. اگر تابع formula_93 ترکیبی خطی از حالت‌ها و ورودی‌ها باشد، آنگاه معادلات را می‌توان مانند بالا به صورت ماتریسی نوشت. formula_71 اگر سیستم بدون‌وادارنده (unforced) باشد (یعنی ورودی نداشته باشد)، می‌توان آرگومان‌های توابع را حذف کرد.مثال آونگ.یک سیستم غیرخطی کلاسیک، یک آونگ ساده بدون نیرو است.formula_95کج اینجاامعادلات حالت به صورت زیر هستند:formula_102formula_103کج اینجاادر عوض، معادله حالت را می‌توان به فرم کلی نوشتformula_107نقاط تعادل/مانای یک سیستم زمانی هستند که formula_108 و بنابراین نقاط تعادل یک آونگ، نقاطی هستند که در شرایط زیر صدق می‌کنند:formula_109برای اعداد صحیح "n".