تحلیل چند مقیاسی کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات و فیزیک، تحلیل چندمقیاسی (که روش مقیاس‌های چندگانه نیز نامیده می‌شود) شامل فنون‌هایی است که برای ساختن تقریب‌هایی با اعتبار یکسان برای حل مسائل پریشیدگی استفاده می‌شود، این روش هم برای مقادیر کوچک و هم برای مقادیر بزرگ متغیرهای مستقل قابل استفاده است. این کار با تعریف متغیرهای مستقل جدید به نام متغییرهای مقیاسی سریع و آهسته انجام می‌شود و با این متغیرها، مانند متغییرهای مستقل رفتار می‌شود. این متغییرها به ما در فرایند حل مسائل پریشیدگی، آزادی عمل می‌دهد که بتوان جملات سکیولار (جملات ناخواستهٔ دیرپا و نامتناوب که منجر به واگرایی جواب‌های تقریبی مسئله می‌شوند) را حذف کرد. همچنین قیدهایی را برای حل تقریبی ایجاد می‌کند که به آنها شرایط حل‌پذیری می‌گویند.بررسی‌های ریاضی در دهه ۱۹۸۰ پشتیبانی قوی‌تری برحسب تبدیل مختصات و منیفولدهای ثابت، برای مدل‌سازی چندمقیاسی فراهم می‌کنند (برای مثال، منیفولد مرکزی و منیفولد آهسته را ببینید).مثال: معادله دافینگ نامیرا.معادله دیفرانسیل و بقای انرژی.به عنوان یک مثال ساده برای تحلیل چندمقیاسی، معادله دافینگ بدون میرایی و بدون نیروی وادارنده را در نظر بگیرید:formula_1formula_2که یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم است و یک نوسانگر غیرخطی را توصیف می‌کند. جواب "y" ("t") برای مقادیر کوچک پارامتر غیرخطی "ε" (۰&lt; "ε" ≪ ۱) جستجو می‌کنیم. معادله دافینگ نامیرایی خود یک سیستم همیلتونی است:formula_3با "q" = "y" ("t") و "p" = "dy" / "dt". در نتیجه، "H" همیلتونی ("p" , "q") یک کمیت پایستار است که برابر با "H" است = ½ + ¼ "ε" برای شرایط اولیه داده شده. این بدان معناست که هم "y" و هم "dy" / "dt" باید محدود شوند:formula_4جواب سِری-پریشیدگی به روش مستقیم.یک سری پریشیدگی رایج برای این مسئله به صورت بسط زیر است formula_5 که با جایگزین کردن آن در معادله دافینگ نامیرا و سپس تطبیق توان‌های formula_6 سیستم معادلات زیر به‌دست می‌آید:formula_7که با حل این دستگاه برای شرایط اولیه مسئله، رابطهٔ زیر نتیجه خواهد شد:formula_8توجه داشته باشید که آخرین جملهٔ داخل کروشه، یک جملهٔ سکیولار است: که با زمان | "t" | به صورت خطی رشد می‌کند. به‌طور مشخص، برای زمان‌هایی از مرتبهٔ formula_9، این جمله از مرتبهٔ "O" (1) است و بنابراین از نظر بزرگی هم‌مرتبه با اولین جملهٔ عبارت خواهد بود. به دلیل وجود این نوع جملات در جواب پریشیدگی، این سری دیگر بسط مجانبی جواب مسئله نیست.روش مقیاس‌های چندگانه.برای ساختن جوابی که فراتر از مرتبهٔ formula_10 معتبر باشد، از روش "تحلیل مقیاس چندگانه" استفاده می‌شود. متغیر مقیاس آهسته "t"1 را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:formula_11و فرض کنید که جواب "y" ("t") دارای بسط پریشیدگی زیر است که هم به "t" و هم به "t" 1 وابسته است:formula_12بنابراین:formula_13با استفاده از خواهیم داشت:formula_14پس جواب‌های مرتبه صفر و مرتبه اول پریشیدگی - چند مقیاسی برای معادله دافینگ خواهد بود:formula_15راه‌حل.برای مسئله مرتبه صفر راه‌حل کلی زیر وجود دارد:formula_16که "A" ("t" 1) دامنه مختلط برای جواب مرتبه صفر "Y" 0 ("t" , "t"1) است. حال برای جواب مرتبه اول، نیرویی وابسته به زمان در سمت راست معادله دیفرانسیل دوم ظاهر می‌شود که برابر است با:formula_17که در آن "cc" نشان دهنده مزدوج مختلط عبارت‌های قبلی است. از ایجاد "جملات سکولار" می‌توان با تحمیل "شرط حل پذیری" در دامنه "A" ("t" 1) که هنوز نامشخص است جلوگیری کرد.formula_18جواب شرط حل پذیری، همچنین شرایط اولیه و را برآورده می‌کند، یعنی:formula_19در نتیجه، جواب تقریبی با تحلیل چندمقیاسی عبارت استformula_20با استفاده از که تا مرتبه اعتبار دارد. این با تغییرات غیرخطی فرکانس که (وابستگی فرکانس به دامنه) با استفاده از روش لیندستد-پوانکاره به‌دست می‌آید مطابقت دارد.این جواب تا زمان اعتبار دارد که زمان سپری شده برای سیستم از مرتبهٔ formula_21 باشد. جواب‌های مرتبه‌های بالاتر - با استفاده از روش مقیاس‌های چندگانه - نیاز به تعریف متغییرهای مقیاسی آهستهٔ اضافی دارد، یعنی , و به همین ترتیب. با این حال باید توجه داشت که تعریف متغییرهای جدید می‌تواند ابهامات را در بسط پریشیدگی جواب به‌وجود آورد که لازم است با احتیاط با آن برخورد کرد (به ؛ مراجعه کنید).تبدیل مختصات به متغیرهای دامنه و فاز.با رویکرد مدرن دیگری نیز می‌توان این گونه جواب‌ها را به‌دست آورد و آن با استفاده از روش تبدیل مختصات است. روشی شبیه روش اشکال نرمال، که در ادامه توضیح داده شده است.یک جواب به صورت formula_22 در مختصات جدید formula_23 جستجو می‌شود که در آن دامنه formula_24 به کند تغییر و فاز formula_25 با یک آهنگ تقریباً ثابت تغییر می‌کند، یعنی formula_26. با محاسبات جبری ساده تبدیل مختصات را می‌توان به صورت زیر یافت.formula_27که معادله دافینگ را به یک جفت معادله تبدیل می‌کند که متغیر شعاع آن (متغیر دامنه) ثابت است formula_28 و متغیر فازی به صورت زیر با زمان تحول می‌یابد:formula_29یعنی نوسانات دافینگ دامنه ثابت اما فرکانس‌های متفاوتی دارند و تغییرات فاز formula_30 به دامنه بستگی دراد.مثال‌های دشوارتر را بهتر است با استفاده از تبدیل مختصات وابسته به زمان که نماهای مختلط را نیز شامل شود (مانند آنچه که در روش قبلی- روش مقیاس چندگانه زمانی- استفاده شد) حل کرد. یک وبگاه تحلیل را برای طیف گسترده‌ای از مثال‌ها انجام می‌دهد.