منحنی اژدها کیست؟ توضیح بده.
یک منحنی اژدها () هر یک از اعضای خانواده‌ای از خودهمانندی منحنی‌های فراکتالی است که می‌توان آن را با روش‌های بازگشتی مانند نگارالها تقریب زد. منحنی اژدها احتمالاً بیشتر به‌عنوان شکلی شناخته می‌شود که از تا کردن مکرر یک نوار کاغذی به نصف ایجاد می‌شود، اگرچه منحنی‌های دیگری نیز وجود دارند که با نام منحنی اژدها شناخته می‌شوند و به روش‌های متفاوتی تولید می‌شوند.اژدهای های‌وی.اژدهای های‌وی (که با نام‌های اژدهای هارتر–های‌وی یا اژدهای پارک ژوراسیک نیز شناخته می‌شود) نخستین بار توسط فیزیکدان‌های ناسا، جان های‌وی، بروس بنکس و ویلیام هارتر بررسی شد. این منحنی در سال ۱۹۶۷ توسط مارتین گاردنر در ستون "بازی‌های ریاضی" در مجله ساینتیفیک آمریکن توصیف شد. بسیاری از ویژگی‌های آن برای نخستین بار توسط چندلر دیویس و دانلد کنوت منتشر شد. این منحنی همچنین در صفحات عنوان‌بندی بخش‌های رمان "پارک ژوراسیک" نوشته مایکل کرایتون ظاهر شد.ساختار.اژدهای های‌وی را می‌توان از یک پاره‌خط پایه ساخت، به این صورت که هر بخش را به دو بخش با زاویه قائمه جایگزین کرده و به‌صورت متناوب با چرخش ۴۵ درجه به راست و چپ ادامه داد:اژدهای های‌وی همچنین مجموعه حدی از سیستم تابع تکراری زیر در صفحه مختلط است:با مجموعه اولیه نقاط formula_3.اگر به جای صفحه مختلط از جفت‌های اعداد حقیقی استفاده شود، این دو تابع به‌صورت زیر خواهند بود:تا کردن اژدها.منحنی اژدهای های‌وی را می‌توان با تا کردن یک نوار کاغذی ایجاد کرد، که در واقع روش اصلی کشف آن بود. برای این کار، یک نوار کاغذی را از وسط به سمت راست تا کنید. سپس دوباره آن را از وسط به سمت راست تا کنید. اگر در این مرحله نوار را باز کنید و هر تای آن را به یک چرخش ۹۰ درجه‌ای تبدیل کنید، دنباله چرخش‌ها RRL خواهد بود، یعنی دومین تکرار منحنی اژدهای های‌وی. اگر نوار را دوباره از وسط به سمت راست تا کنید، دنباله چرخش‌های آن پس از باز شدن RRLRRLL خواهد بود، که سومین تکرار منحنی اژدهای های‌وی است. با ادامه این فرایند، تکرارهای بیشتری از منحنی ایجاد می‌شوند (اگرچه در عمل، نوار پس از چهار یا پنج تکرار بیش از حد ضخیم می‌شود و دیگر نمی‌توان آن را به‌درستی تا کرد).الگوی تا شدن این نوارهای کاغذی، به‌عنوان دنباله‌ای از تای راست (R) و تای چپ (L)، به شرح زیر است:هر تکرار را می‌توان با کپی کردن تکرار قبلی، افزودن یک R، و سپس یک کپی دیگر از تکرار قبلی به‌صورت معکوس، اما با جایگزینی L و R، به‌دست‌آورد.ویژگی‌ها. formula_7 که در آن: formula_8 ریشه حقیقی معادله زیر است: formula_9اژدهای دوقلو.اژدهای دوقلو (که با نام اژدهای دیویس–کنوث نیز شناخته می‌شود) را می‌توان با قرار دادن دو منحنی اژدهای های‌وی پشت به پشت (پس از قرینه‌سازی منحنی اولیه در راستای عمودی و افقی) ایجاد کرد. این منحنی همچنین مجموعه حدی سیستم تکرارشونده زیر است:که در آن، شکل اولیه توسط مجموعه زیر تعریف می‌شود:formula_12.این منحنی را همچنین می‌توان به‌صورت یک نگارال توصیف کرد که تنها نیاز به افزودن یک بخش دیگر در رشته اولیه دارد:این منحنی همچنین مکان نقاطی در صفحه مختلط است که هنگام نمایش در پایه formula_13، قسمت صحیح یکسانی دارند.اژدهای سه‌گانه.اژدهای سه‌گانه را می‌توان به‌صورت یک نگارال توصیف کرد:این منحنی مجموعه حدی سیستم تکرارشونده زیر است:اژدهای لوی.منحنی لوی C گاهی با نام اژدهای لوی نیز شناخته می‌شود.وقوع منحنی اژدها در مجموعه‌های حل.پس از به‌دست‌آوردن مجموعه‌ای از حل‌های یک معادله دیفرانسیل خطی، هر ترکیب خطی از این حل‌ها نیز، به دلیل اصل برهم‌نهی، معادله اصلی را ارضا خواهد کرد. به بیان دیگر، می‌توان با اعمال یک تابع بر مجموعه‌ای از حل‌های موجود، حل‌های جدیدی به دست آورد. این فرایند مشابه روشی است که در آن یک سیستم تابع بازگشتی (IFS) نقاط جدیدی را در یک مجموعه تولید می‌کند، اگرچه همه IFSها تابع‌های خطی نیستند.به‌طور مشابه، مجموعه‌ای از چندجمله‌ای لیتلوود را می‌توان از طریق اعمال تکرارشونده مجموعه‌ای از توابع به دست آورد.یک چندجمله‌ای لیتلوود، چندجمله‌ای به‌صورت زیر است:که در آن، همه ضرایب formula_19 هستند.برای بعضی مقادیر formula_20، توابع زیر را تعریف می‌کنیم:با شروع از مقدار formula_23، می‌توان با استفاده مکرر از این توابع به تعداد formula_24 مرتبه، تمام چندجمله‌ای‌های لیتلوود تا درجه formula_25 را تولید کرد. به عنوان مثال:مشاهده می‌شود که برای مقدار formula_27، این دو تابع معادل فرمول‌بندی IFS برای منحنی اژدهای های‌وی هستند. به بیان دیگر، منحنی اژدهای های‌وی، تا یک تکرار مشخص، مجموعه تمام چندجمله‌ای‌های لیتلوود تا یک درجه معین را توصیف می‌کند، هنگامی که این چندجمله‌ای‌ها در نقطه formula_27 مقداردهی شوند.در واقع، با ترسیم تعداد کافی از ریشه‌های چندجمله‌ای‌های لیتلوود، ساختارهایی مشابه منحنی اژدها در نقاطی نزدیک به این مختصات ظاهر می‌شوند.