روش FEE کیست؟ توضیح بده.
در ریاضی، روش FEE روشی سریع برای حمع بندی سری‌های است که به یک فرم خاص هستند. در سال ۱۹۹۰ این روش توسط Ekaterina A. Karatsuba و FEE نامیده شد - ارزیابی فوری E-function - زیرا محاسبات سریع Siegel را انجام می‌دهد. formula_1 توابع ممکن است، مخصوصاً از formula_2.سیگل گروهی از توابع را که «مانند تابع‌های نمایی» هستند، «تابع E» نامید. از جمله این توابع می‌توان به توابع خاص مثل تابع فوق هندسی، استوانه، توابع کروی و … اشاره کرد.قضیه مقابل را با استفاده از FEE می‌توان اثبات نمود:قضیه: فرض می‌کنیم که اگر formula_3 یک تابع استعلایی مقدماتی باشد، یعنی تابع نمایی باشد یا یک تابع مثلثاتی، یا یک تابع جبری ابتدایی، یا برهم نهی آنها، یا معکوس آنها، یا برهم نهی معکوس‌ها. و بعد داریم:در فرمول فوق: پیچیدگی محاسبه (bit) تابع formula_5 است formula_6 باn رقم دقت، پیچیدگی ضرب دو formula_7 است اعداد صحیح n رقمیالگوریتم‌های که اساس آنها مبتنی بر روش FEE هستند روشی برای محاسبه فوری هر تابع ابتدایی ماورایی برای هر مقدار آرگومان، ثوابت کلاسیک e. formula_8 اویلرر formula_9 کاتالان و آپری، توابع ماورایی بالاتر مثل تابع گامای اویلر و مشتقات آن، توابع ابر هندسی، توابع کروی، توابع استوانه ای و برخی از تابع‌های دیگر برای مقادیر جبری آرگومان و پارامترها، تابع زتای ریمان برای مقدارهای صحیح آرگومان و تابع زتای هورویتز برای آرگومان عدد صحیح و مقدارهای جبری پارامتر، و به شکل مشابهی انتگرال‌های ویژه ای نظیر انتگرال احتمال، انتگرال فرنل، تابع نمای انتگرال، و برخی از انتگرال‌های دیگر برای مقدارهای جبری استدلال با حد بالای پیچیدگی که به حد بهینه نزدیک است شامل می‌شوند، پس داریم:الان، تنها هزینه ایجاد می‌کند به محاسبه فوری مقدارهای توابع از گروهی از توابع برتر بالاتر، برخی انتگرال خاص از فیزیک و ریاضی از جمله ثابت کلاسیک به عنوان ثابت اویلرو ثابت کاتالان است و ثابت Apery کوتاه است. امکان موازی سازی الگوریتم‌ها بر اساس FEE است مزیت اضافی روش FEE.FEE-محاسبه ثابت‌های کلاسیک.می‌توان از فرمول اویلر به صورت زیر برای سنجش فوری و سریع ثابت formula_8 استفاده نمود formula_12 و مطابق بخش پایین می‌توان از FEE برای محاسبه محموع جملات تیلور استفاده کرد.و برایمی‌توان از سایر تقریب‌ها برای حساب کردن formula_19 توسط FEE نیز استفاده کرد با این حال درتمام حالات برای پیچیدگی داریم:برای حساب کردن گامای ثابت اویلر با n رقم دقت، باید با دو سری FEE جمع شوند. پس داریم:برای بررسی فوری و سریع ثابت formula_24 برای سایر تقریب‌ها امکان اعمال FEE وجود دارد.FEE-محاسبه سری‌های توان خاص.می‌توان دو سری زیر را با استفاده از FEE سریع حساب کرد پس داریم:فرض می‌کنیم که formula_27 اعدادی صحیح هستندو formula_29 ثابت هستند و formula_30 عددی جبری است و برای پیچیدگی ارزیابی آن داریم:جزئیات FEE در مثال محاسبه سریع ثابت کلاسیک e.برای ارزیابی ثابت formula_33 گرفتن formula_34 ، شرایط سری تیلور برای formula_35ما در اینجا m را طوری انتخاب می‌کنیم که نیاز آن به باقی مانده formula_37 به طوریکه نابرابری مقابل را داشته باشیم formula_38 برطرف می‌شود. برای مثال زمانی که formula_39 ، ما formula_40 را به طوری در نظر می‌گیریم که عدد طبیعی formula_41 توسط نامساوی‌ها مشخص می‌گردد و داریم:جمع را محاسبه می‌کنیمو در k مرحله فرایند زیر داریم:مرحله ۱. ترکیب در formula_44 مجموع‌ها را به صورت دوتایی از داخل پرانتز عامل مشترک «بدیهی» را انجام می‌دهیم و حساب می‌کنیم پس داریم:ما مقداری‌های صحیح عبارت‌های داخل پرانتز را حساب می‌کنیم، یعنی داریم:پس، در مرحله اول مجموع formula_44 در استدر اولین قدم formula_50 اعداد صحیح فرمحساب می‌گردند. بعد از آن به روشی مانند آن عمل می‌نماییم: در هر مرحله مجموع جمع را به صورت جفت و متوالی ترکیب می‌کنیم formula_44، فاکتور مشترک «بدیهی» را از براکت‌ها خارج می‌نماییم و فقط مقدارهای صحیح عبارات داخل پرانتز را محاسبه می‌کنیم. فرض کنید که اولی formula_53 مراحل این فرایند تکمیل شده‌است.و غیره.قسمت آخر. عددی صحیح را حساب می‌نماییم formula_59 ما با استفاده از الگوریتم فوری که پیش تر بررسی شد، حساب می‌نماییم formula_60 و تقسیمی از عدد صحیح انجام دهید formula_61 توسط عدد صحیح formula_60 با دقت تا formula_63 ارقام نتیجه به دست آمده حاصل جمع است پیچیدگی همه محاسبات تا n رقم برابر formula_64 است یا ثابت formula_33.