ذره در یک شبکه یک بعدی کیست؟ توضیح بده.
= ذره در یک شبکه یک بعدی =در مکانیک کوانتومی، ذره در یک شبکه یک بعدی، مسئله‌ای است که در مدل یک شبکه بلوری دوره‌ای به وجود می‌آید. پتانسیل توسط یون‌ها در ساختار دوره‌ای بلور ایجاد می‌شود که یک میدان الکترومغناطیس ایجاد می‌کند، بنابراین الکترون‌ها تحت پتانسیل منظم داخل شبکه قرار می‌گیرند. این یک تعمیم از مدل الکترون آزاد است که فرض می‌کند داخل شبکه پتانسیل صفر است.تعریف مسئله.هنگامی که در مورد مواد جامد صحبت می‌شود، معمولاً بحث اطراف بلورها - شبکه‌های دوره‌ای - است. در اینجا، ما درباره یک شبکه یک بعدی از یون‌های مثبت صحبت خواهیم کرد. با فرض اینکه فاصله بین دو یون برابر با a است، پتانسیل در داخل شبکه به شکل زیر خواهد بود:نمایش ریاضی پتانسیل یک تابع دوره‌ای با دوره a است. طبق قضیه بلوخ، راه حل معادله شرودینگر زمان‌ناحیه اگر پتانسیل دوره‌ای باشد، می‌تواند به شکل زیر نوشته شود:formula_1که در آن u(x) یک تابع دوره‌ای است که شرط u(x + a) = u(x) را ارضا می‌کند. این عامل بلوخ با نمایانگر فلوکه، منجر به ساختار باند از طیف انرژی معادله شرودینگر با یک پتانسیل دوره‌ای مانند پتانسیل کرونیگ-پنی یا یک تابع کسینوس مانند معادله ماتیو می‌شود. هنگام نزدیک شدن به لبه‌های شبکه، مشکلاتی در شرایط مرزی پیش می‌آید. بنابراین، ما می‌توانیم شبکه یونی را به عنوان یک حلقه نمایش دهیم که شرایط مرزی بورن-فان کارمان را دنبال می‌کند. اگر L طول شبکه باشد به گونه‌ای که L ≫ a، آنگاه تعداد یون‌ها در شبکه به حدی زیاد است که هنگام در نظر گرفتن یک یون، محیط آن تقریباً خطی است و تابع موج الکترون بدون تغییر باقی می‌ماند. بنابراین، اکنون به جای دو شرط مرزی، یک شرط مرزی دایره‌ای به دست می‌آید:formula_2اگر N تعداد یون‌ها در شبکه باشد، آنگاه ما رابطه زیر را داریم: aN = L. با جایگذاری در شرط مرزی و اعمال قضیه بلوخ، به یک کوانتوم‌سازی برای k منجر خواهد شد:formula_3formula_4formula_5مدل کرونیگ-پنی.مدل کرونیگ-پنی یک سیستم ساده و ایده‌آل در مکانیک کوانتومی است که از یک آرایه بی‌نهایت دوره‌ای از حاجب‌های پتانسیل مستطیلی تشکیل شده است. تقریباً تابع پتانسیل با یک پتانسیل مستطیلی مدل می‌شود:استفاده از قضیه بلوخ به ما فقط نیاز به یافتن یک راه حل برای یک دوره است، اطمینان حاصل کنیم که آن پیوسته و صاف است، و همچنین مطمئن شویم که تابع u(x) نیز پیوسته و صاف است. در نظر گرفتن یک دوره از پتانسیل: در اینجا دو منطقه داریم. برای هرکدام به طور مستقل حل خواهیم کرد: اجازه دهید E یک مقدار انرژی بالاتر از چاه باشد (E &gt; 0)برای : formula_6formula_7برای: formula_8formula_9برای یافتن u(x) در هر منطقه، ما نیاز به تلاش در تابع موج الکترون داریم:formula_10formula_11برای تکمیل راه حل، نیاز داریم مطمئن شویم که تابع احتمال پیوسته و صاف است، به عبارت دیگر:formula_12formula_12و همچنین که u(x) و u′(x) دوره‌ای هستند:formula_14formula_14این شرایط به ماتریس زیر منجر می‌شوند:formula_16formula_17برای داشتن یک راه حل غیر تافی، تعیین‌کننده این ماتریس باید صفر باشد. این موجب به دست آمدن عبارت زیر می‌شود:formula_18برای ساده‌تر کردن عبارت، ما تقریب‌های زیر را انجام می‌دهیم:formula_19formula_20formula_21حال عبارت به شکل زیر خواهد بود:formula_22برای مقادیر انرژی درون چاه (E &lt; 0)، به دست می‌آید:formula_23باformula_24 وformula_25پیروی از تقریب‌های مشابه به آنچه بالا بیان شد، (formula_26)به عبارت زیر منتهی می‌شود:formula_27با همان فرمول برای P که در مورد قبلی آمده استformula_28گاف‌های باند در مدل کرونیگ-پنی.در پاراگراف قبلی، تنها متغیرهایی که توسط پارامترهای سیستم فیزیکی تعیین نمی‌شوند، انرژی E و میانگین بلور k هستند. با انتخاب یک مقدار برای E، می‌توان سمت راست را محاسبه کرد و سپس با گرفتن کسینوس معکوس از هر دو طرف، مقدار k را محاسبه کرد. بنابراین، این عبارت منجر به رابطه پراکندگی می‌شود.سمت راست عبارت آخری که در بالا آورده شد، گاهی اوقات ممکن است بیشتر از 1 یا کمتر از -1 باشد، در این صورت هیچ مقداری از k نمی‌تواند معادله را درست کند. از آنجایی که ،formula_29 این بدان معناست که برخی از مقادیر E وجود دارند که برای آنها هیچ تابع موج خودمختاری برابر با معادله شرودینگر وجود ندارد. این مقادیر، گاف‌های باند را تشکیل می‌دهند.بنابراین، مدل کرونیگ-پنی یکی از ساده‌ترین پتانسیل‌های دوره‌ای است که دارای یک گاف باند می‌باشد.مدل کرونیگ-پنی: راه حل جایگزین.یک روش جایگزین برای یک مسئله مشابه ارائه شده است. در اینجا، ما یک پتانسیل دلتا دوره‌ای داریم:formula_30A یک ثابت است و a ثابت شبکه (فاصله بین هر سایت) است. از آنجایی که این پتانسیل دوره‌ای است، می‌توانیم آن را به صورت یک سری فوریه گسترش دهیم:formula_31جایی کهformula_32تابع موج با استفاده از قضیه بلوخ برابر با formula_33است، جایی کهformula_34 یک تابع است که در شبکه دوره‌ای است، به این معنا که می‌توانیم آن را همچنین به صورت یک سری فوریه گسترش دهیم:formula_35بنابراین تابع موج به صورت زیر است:formula_36اگر این را در معادله شرودینگر قرار دهیم، به دست می‌آید:formula_37و یا به جای:formula_38حالا متوجه می‌شویم که:formula_39این را در معادله شرودینگر قرار دهید:formula_40این را برایformula_41 حل کردیم و به دست آوردیم:formula_42این معادله آخر را برای همه مقادیر K جمع کنیم تا به دست آوریم:formula_43یاformula_44به راحتی، formula_45 ، از بین می‌رود و به دست می‌آید:formula_46یاformula_47برای صرفه‌جویی در تلاش‌های بی‌مورد، یک متغیر جدید تعریف می‌کنیم:formula_48و سرانجام عبارت ما به صورت زیر خواهد بود:formula_49حالا، K یک بردار شبکه متقابل است، که به این معناست که یک جمع بر K در واقع یک جمع بر اعداد صحیح ضرب‌شده درformula_50 است.formula_51می‌توانیم این عبارت را کمی بازی کرده و جذاب‌تر کنیم.formula_52اگر از یک هویت جذاب مربوط به جمع تابع کوتانژانت استفاده کنیم که می‌گوید:formula_53و این هویت را در عبارت ما جایگذاری کنیم به دست می‌آید:formula_54ما از جمع cot استفاده کرده و سپس حاصلضرب sin (که جزو فرمول جمع cot است) را به دست می‌آوریم:formula_55این معادله ارتباطی بین انرژی (از طریق α و بردار موج k را نشان می‌دهد و همانطور که مشاهده می‌شود، از آنجایی که سمت چپ معادله فقط می‌تواند از -1 تا 1 تغییر کند، بنابراین برخی محدودیت‌ها بر روی مقادیری که α (و بنابراین انرژی) می‌تواند داشته باشد، وجود دارد. یعنی در برخی از دامنه‌های مقادیر انرژی، طبق این معادله، هیچ راه‌حلی وجود ندارد و بنابراین سیستم این انرژی‌ها را نخواهد داشت: گاف‌های انرژی. این گاف‌ها به نام گاف‌های باند شناخته می‌شوند که می‌توان نشان داد که در هر شکلی از پتانسیل دوره‌ای (نه فقط حاجب‌های دلتا یا مربعی) وجود دارد. برای یک محاسبه مختلف و دقیقتر از فرمول گاف (یعنی برای گاف بین باندها) و تقسیم سطوح مقادیر ویژه معادله شرودینگر یک بعدی، به مولر-کیرستن مراجعه کنید.شبکه محدود.حالت های ویژه سیستم محدود را می توان بر حسب حالت های بلوخ یک سیستم نامتناهی با پتانسیل تناوبی یکسان یافت. اگر یک شکاف نواری بین دو باند انرژی متوالی سیستم بینهایت وجود داشته باشد، بین دو نوع حالت در شبکه محدود تمایز شدید وجود دارد. برای هر باند انرژی از سیستم بینهایت،formula_61 وجود دارد حالت های توده ای که انرژی آنها به طول بستگی دارد,formula_57 اما نه در فسخ formula_58.این حالت ها امواج ایستاده ای هستند که به صورت برهم نهی از دو حالت بلوخ با لحظه ای ساخته شده اند formula_64و formula_65 جایی کهformula_66طوری انتخاب می شود که تابع موج در مرزها ناپدید شود. انرژی های این حالت ها با نوارهای انرژی منظومه بی نهایت مطابقت دارد.برای هر شکاف باند، یک حالت اضافی وجود دارد. انرژی این حالت ها به نقطه پایان بستگی دارد formula_58 اما نه در طولformula_57 ،انرژی چنین حالتی می تواند در لبه باند یا درون شکاف باند قرار گیرد. اگر انرژی در داخل شکاف نواری باشد، حالت حالت سطحی است که در یک انتهای شبکه محلی شده است، اما اگر انرژی در لبه نوار باشد، حالت در سراسر شبکه غیرمکانی شده است.