مدل‌های خطا در متغیرها کیست؟ توضیح بده.
در آمار، مدل‌های خطا در متغیرها یا مدل‌های خطای اندازه‌گیری، مدل‌های رگرسیونی هستند که خطاهای اندازه‌گیری را در متغیرهای مستقل می‌توانند محاسبه کنند. در مقابل، مدل‌های رگرسیون معیار فرض می‌کنند که آن رگرسیورها دقیقاً اندازه‌گیری شده‌اند یا بدون خطا مشاهده شده‌اند. به این ترتیب، این مدل‌ها تنها خطاهای موجود در متغیرهای وابسته یا پاسخ‌ها را در نظر می‌گیرند.در مواردی که برخی از رگرسیون‌ها با خطا اندازه‌گیری شده‌اند، تخمین بر پایه فرض استاندارد منجر به تخمین‌های متناقض می‌شود، به این معنی که تخمین پارامترها حتی در نمونه‌های بسیار بزرگ به مقادیر واقعی تمایل ندارند. برای رگرسیون خطی ساده، این اثر یک ضریب دست کم برآورد است، که به عنوان "سوگیری تضعیف" شناخته می‌شود. در مدل‌های غیر خطی، جهت بایاس احتمالاً پیچیده‌تر است.مثال انگیزشی.یک مدل رگرسیون خطی ساده را در نظر بگیرید:formula_1جایی که formula_2 نشان دهنده واپسگرای "واقعی" اما مشاهده نشده‌است. به جای این مقدار را با یک خطا مشاهده می‌کنیم:formula_3جایی که خطای اندازه‌گیری formula_4 مستقل از مقدار واقعی فرض می‌شود formula_2 .اگر formula_6 به سادگی بر روی formula_7 پسرفت کند، سپس برآورد کننده ضریب شیب برابر است با:formula_8که به عنوان حجم نمونه همگرا می‌شود formula_9 بدون محدودیت افزایش پیدا می‌کند:formula_10این در تضاد با اثر «واقعی» است formula_11 ، با استفاده از formula_2 ,:formula_13واریانس‌ها غیر منفی هستند، به طوری که در حد برآورد شده‌است formula_14 کوچکتر از formula_15 ، اثری که آماردانان آن را "تضعیف" یا رقیق شدن رگرسیون می‌نامند. بنابراین برآوردگر حداقل مربعات ساده formula_14 یک برآوردگر ناسازگار برای formula_11 . با این حال، formula_14 تخمین‌گر ثابت پارامتر مورد نیاز برای بهترین پیش‌بینی‌کننده خطی است formula_19 با توجه به مشاهده شده formula_20 : در برخی از برنامه‌ها ممکن است این چیزی باشد که مورد نیاز است، نه برآورد ضریب رگرسیون «واقعی» formula_11 ، اگرچه فرض می‌شود که واریانس خطاها در تخمین و پیش‌بینی یکسان است. این به‌طور مستقیم از نتیجه ای که بلافاصله در بالا نقل شد و این واقعیت که ضریب رگرسیون مربوط به formula_6 به واقعی مشاهده شده‌است formula_7 s، در یک رگرسیون خطی ساده، توسط فرمول زیر داده می‌شود:formula_24این ضریب است، به جای formula_11 ، که برای ساختن یک پیش‌بینی کننده مورد نیاز است formula_19 بر اساس مشاهده شده formula_27 که در معرض نویز است. می توان استدلال کرد که تقریباً تمام مجموعه داده های موجود حاوی خطاهایی با ماهیت و بزرگی متفاوت هستند، به طوری که سوگیری تضعیف بسیار مکرر است (اگرچه در رگرسیون چند متغیره جهت سوگیری مبهم است ). جری هاسمن این را "قانون آهنین اقتصاد سنجی" می داند: "میزان تخمین معمولاً کمتر از حد انتظار است." مشخصات.----معمولاً مدل‌های خطای اندازه‌گیری با استفاده از رویکرد متغیرهای پنهان توصیف می‌شوند. اگر formula_19 متغیر پاسخ است و formula_27 مقادیر مشاهده شده از رگرسیون ها، پس فرض می شود که برخی از متغیرهای پنهان وجود دارد formula_30 و formula_31 که از رابطه عملکردی "واقعی" مدل پیروی می کنند formula_32 ، و به نوعی که کمیت های مشاهده شده مشاهدات پر سر و صدا آنها باشد:formula_33جایی که formula_34 پارامتر مدل است و formula_35 آن دسته از رگرسیون هایی هستند که فرض می شود بدون خطا هستند (به عنوان مثال زمانی که رگرسیون خطی حاوی یک برس است، رگرسیونی که با ثابت مطابقت دارد قطعاً "خطای اندازه گیری" ندارد). بسته به مشخصات، این رگرسیون های بدون خطا ممکن است به طور سوا بررسی شوند یا نشوند. در مورد دوم به سادگی فرض می شود که ورودی های متناظر در ماتریس واریانس از formula_36 'ها صفر هستند.متغیرها formula_19 ، formula_27 ، formula_35 همه "مشاهده می شوند" ، به این معنی که آمارگیر دارای مجموعه ای از داده ها است formula_40 واحدهای آماری formula_41 که فرآیند تولید داده شرح داده شده در بالا را دنبال می کنند. متغیرهای پنهان formula_42 ، formula_43 ، formula_44 ، و formula_36 با این حال رعایت نمی شوند.این مشخصات تمام مدل‌های خطا در متغیرهای موجود را در بر نمی‌گیرد. به عنوان مثال در برخی از آنها عملکرد formula_32 ممکن است ناپارامتریک یا نیمه پارامتریک باشد. سایر رویکردها رابطه بین formula_43 و formula_42 به عنوان توزیعی به جای عملکردی، یعنی آنها این را فرض می کنند formula_43 مشروط بر formula_42 از توزیع خاصی (معمولاً پارامتریک) پیروی می کند.