گسترنده کیست؟ توضیح بده.
در هندسه مسطح، گُستَرَندهٔ یا اولوت () یک منحنی هموار، مکان هندسی (مجموعه) تمام مراکز انحنای محلی آن منحنی است.اگر C یک منحنی هموار با شعاع انحنای غیر صفر و متناهی باشد و E گسترنده C باشد، آنگاه C یک گستران از E است. برعکس، گسترندهٔ یک گستران، منحنی اصلی است.مقادیر حدی.اگر شعاع انحنای C به یک حداقل یا حداکثر محلی معمولی برسد، گسترنده C یک نقطه تکین دارد که به شکل یک تیزه دیده می‌شود.اگر C یک منحنی بسته محدب هموار با شعاع انحنای متناهی در همه جا باشد (به ویژه، بدون بخش‌های مستقیم)، و p نقطه‌ای از صفحه باشد که روی گسترنده C قرار ندارد، آنگاه فاصله C تا p دارای تعداد محدودی کمینه محلی است، و این تعداد برابر است با یک به اضافه (مقدار مطلق) عدد پیچش گسترنده C در اطراف p.مثال.در شکل بیضی بالا، شعاع انحنا به چهار فرینه (اکسترمم) محلی می‌رسد، هر بار در نقاط تقاطع با محورها؛ بنابراین، چهار نقطه تکین روی گسترنده وجود دارد که در شکل به صورت برآمدگی‌های تیز قابل مشاهده است. نقاط صفحه که در داخل گسترنده قرار دارند، دارای دو کمینه محلی برای فاصله تا بیضی هستند. نقاطی که خارج از گسترنده قرار دارند، تنها یک چنین کمینه محلی دارند. گسترنده سهمی، سهمی نیمه‌مکعبی است.توضیحات بیشتر.در هندسه دیفرانسیل منحنی‌ها، گسترنده یک منحنی، مکان هندسی همه مراکز انحنای آن است. به عبارت دیگر، هنگامی که مرکز انحنای هر نقطه روی منحنی رسم شود، شکل حاصل گسترنده آن منحنی خواهد بود؛ بنابراین، گسترنده یک دایره یک نقطه واحد در مرکز آن است. به‌طور معادل، یک گسترنده منحنی محاطی عمودهای یک منحنی است.گسترنده یک منحنی، یک رویه، یا به‌طور کلی یک زیرخمینه، خط سیر (caustic) نگاشت نرمال است. فرض کنید M یک زیرخمینه هموار و منظم در باشد. برای هر نقطه p در M و هر بردار v که در p قرار دارد و بر M عمود است، نقطه p + v را به آن مرتبط می‌کنیم. این یک نگاشت لاگرانژی را تعریف می‌کند که نگاشت نرمال نامیده می‌شود. خط سیر نگاشت نرمال، گسترنده M است.گسترنده‌ها ارتباط نزدیکی با گستران‌ها دارند: یک منحنی گسترنده هر یک از گستران‌های خود است.تاریخچه.آپولونیوس (حدود ۲۰۰ میلادی) در کتاب V از کتاب خود «مقاطع مخروطی» به گسترنده‌ها پرداخت. با این حال، گاهی اوقات کریستیان هویگنس (۱۶۷۳) به عنوان اولین کسی که آنها را مطالعه کرد، شناخته می‌شود. هویگنس نظریه خود را در مورد گسترنده‌ها در حدود سال ۱۶۵۹ تدوین کرد تا به حل مشکل یافتن خم هم‌زمانی کمک کند، که به نوبه خود به او در ساخت یک آونگ هم‌زمان کمک کرد. این به این دلیل بود که منحنی تاتوکرون یک چرخ‌زاد است و چرخ‌زاد دارای ویژگی منحصر به فردی است که گسترنده آن نیز یک چرخ‌زاد است. در واقع، نظریه گسترنده‌ها به هویگنس اجازه داد تا به نتایج زیادی دست یابد که بعداً با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال به دست آمد.گسترنده یک منحنی پارامتری.اگر formula_1 نمایش پارامتری یک منحنی در صفحه باشد که انحنای آن هیچ جا صفر نیست و formula_2 شعاع انحنای آن و formula_3 نرمال واحد به سمت مرکز انحنا باشد، آنگاهformula_4گسترنده منحنی داده شده را توصیف می‌کند.برای formula_5 and formula_6 به دست می‌آید:formula_7 andformula_8ویژگی‌های گسترنده.برای به دست آوردن خواص یک منحنی منظم، استفاده از طول قوس formula_9 منحنی داده شده به عنوان پارامتر آن، به دلیل formula_10 و formula_11 (به فرمول‌های فرنه-سره مراجعه کنید) مفید است. از این رو بردار مماس گسترنده formula_12 برابر است با:formula_13از این معادله می‌توان ویژگی‌های زیر را برای گسترنده به دست آورد:"اثبات" ویژگی آخر:فرض کنید در بخش مورد نظر formula_15 باشد. یک گستران از گسترنده را می‌توان به صورت زیر توصیف کرد:formula_18که formula_19 یک گسترش ثابت نخ است (به گستران مراجعه کنید).با formula_20 و formula_21 به دست می‌آیدformula_22این به این معنی است: برای گسترش نخ formula_23، منحنی داده شده بازتولید می‌شود."اثبات:" یک منحنی موازی با فاصله formula_24 از منحنی داده شده دارای نمایش پارامتری formula_25 و شعاع انحنای formula_26 است (به منحنی موازی مراجعه کنید). از این رو گسترنده منحنی موازی برابر است با: formula_27مثال‌ها.گسترنده یک سهمی.برای سهمی با نمایش پارامتری formula_28 از فرمول‌های بالا معادلات زیر به دست می‌آیند:formula_29formula_30که یک سهمی نیمه‌مکعبی را توصیف می‌کند.گسترنده یک بیضی.برای بیضی با نمایش پارامتری formula_31 به دست می‌آید:formula_32formula_33اینها معادلات یک ستاره‌گون نامتقارن هستند.حذف پارامتر formula_34 منجر به نمایش ضمنی می‌شودformula_35گسترنده یک چرخ‌زاد.برای چرخ‌زاد با نمایش پارامتری formula_36، گسترنده به صورت زیر خواهد بود:formula_37formula_38که یک کپی جابجا شده از خودش را توصیف می‌کند.گسترنده منحنی‌های لگاریتمی-زیبایی‌شناختی.گسترنده یک منحنی لگاریتمی-زیبایی‌شناختی، یک منحنی لگاریتمی-زیبایی‌شناختی دیگر است. یک نمونه از این رابطه این است که گسترنده یک مارپیچ اویلر یک مارپیچ با Cesàro equation formula_39 است.گسترنده‌های برخی از منحنی‌ها.گسترندهٔمنحنی شعاعی.منحنی با تعریف مشابه، شعاعی یک منحنی داده شده است. برای هر نقطه روی منحنی، بردار از نقطه به مرکز انحنا را در نظر بگیرید و آن را طوری انتقال دهید که از مبدأ شروع شود. سپس به مکان هندسی نقاط انتهایی چنین بردارهایی، شعاعی منحنی گفته می‌شود. معادله شعاعی با حذف عبارات x و y از معادله گسترنده به دست می‌آید. این به صورت زیر است:&lt;math display="block"&gt;(X, Y)= \left(-y'\frac