نابرابری‌های تمرکزی کیست؟ توضیح بده.
در نظریهٔ احتمالات، نابرابری‌های تمرکزی مقدار نوسانات تصادفی تابعی از چند متغیر تصادفی مستقل را اندازه می‌گیرند. به زبان ساده، نابرابری‌های تمرکزی معمولاً احتمال فاصله گرفتن مقدار یک تابع تصادفی از امید ریاضی (یا میانه) خود را کنترل می‌کنند و این نوسانات را به صورت کمّی اندازه می‌گیرند. به عنوان یک مثال از تمرکز متغیرهای تصادفی حول یک مقدار، طبق قانون اعداد بزرگ می‌دانیم میانگین چندین نمونه مستقل از یک متغیر تصادفی (در اکثر شرایط) به امید ریاضی آن متغیر تصادفی همگرا می‌شود یا به عبارت دیگر حول امید ریاضی متمرکز است. هرچند قانون اعداد بزرگ سرعت این همگرایی را کمّی نمی‌کند و فقط خود همگرایی را اثبات می‌کند. در مقابل، نابرابری‌های تمرکزی دستهٔ وسیعی از نابرابری‌های احتمالاتی هستند که سعی در کمّی‌سازی همگرایی توابع متغیرهای تصادفی حول یک مقدار دارند.در نظریه احتمال کلاسیک خواص تمرکزی جمع تعدادی متغیر تصادفی مستقل به‌طور گسترده بررسی شده بود، اما ابزارهای قوی‌تر برای بررسی خواص تمرکزی دیگر توابع تا دههٔ ۱۹۷۰ و ظهور روش‌های مارتینگیل معرفی نشده بودند. نابرابری‌های تمرکزی امروزه در زمینه‌های گسترده‌ای مانند نظریه یادگیری محاسباتی، ریاضیات گسسته، مکانیک آماری، نظریه ماتریس‌های تصادفی، نظریه اطلاعات و هندسه ابعاد بالا کاربرد دارند.در ادامه به چند نمونهٔ معروف از نابرابری‌های تمرکزی به ترتیب عام بودن نتایج‌شان اشاره شده‌است.نابرابری مارکوف.اگر formula_1 یک متغیر تصادفی (قریب به یقین) نامنفی باشد برای هر ثابت formula_2،و به عنوان یک نتیجه از نابرابری بالا:formula_4نابرابری چبیشف.نابرابری چبیشف با اعمال نابرابری مارکوف روی متغیر تصادفی formula_5 به دست می‌آید. نامساوی چبیشف بیان می‌کند اگر formula_6 متغیر تصادفی با میانگین و واریانس محدود باشد برای هر ثابت formula_7،یا معادلا:که در آن formula_10 انحراف معیار formula_6 است.کران چرنوف.کران چرنوف نیز از اعمال نابرابری مارکوف روی متغیر تصادفی formula_12 به دست می‌آید. این نابرابری کران خود را برحسب تابع مولد گشتاور متغیر تصادفی formula_6 معرفی می‌کند. طبق این نابرابری برای هر formula_14،formula_15از کران چرنوف در اثبات و هوفدینگ استفاده می‌شود.نابرابری‌های تمرکزی برای جمع متغیرهای تصادفی مستقل.یکی از متغیرهای تصادفی که به کرّات ظاهر می‌شود متغیر تصادفی حاصل از جمع تعدادی متغیر تصادفی مستقل است. به عنوان یک مثال متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان و واریانس و میانگین محدود formula_16 را در نظر بگیرید و تعریف کنید formula_17. متغیر تصادفی formula_18 می‌تواند از مرتبهٔ formula_19 باشد، هرچند این متغیر به احتمال زیادی از مرتبهٔ formula_20 خواهد بود (توجه کنید که formula_20 همان مرتبهٔ انحراف معیار formula_18 است). نابرابری‌های تمرکزی زیر سعی در کنترل احتمال فاصله گرفتن formula_18 از formula_20 را دارند. البته برای این کار می‌توان از نابرابری چبیشف هم استفاده کرد اما نزول نمایی که در این نابرابری‌ها حاصل می‌شود بسیار قوی‌تر از نزول مربعی نابرابری چبیشف است.نابرابری هوفدینگ.اگر formula_16 متغیرهای تصادفی مستقل باشند به طوری که (قریب به یقین) formula_26 و متغیر تصادفی formula_27 برابر جمع آن‌ها باشد یعنی،formula_17، آنگاه برای هر formula_29،formula_30formula_31در واقع نابرابری هوفدینگ فاصلهٔ جمع تعدادی متغیر تصادفی مستقل از امید ریاضی جمع آن‌ها را نشان می‌دهد. همان‌طور که ذکر شد از این نامساوی نتیجه می‌شود احتمال نوسانات formula_18 بالاتر از formula_20 بسیار کوچک است.نابرابری برنستاین. دسته‌ای از نابرابری‌های تمرکزی هستند که توسط سرگئی برنشتاین معرفی شدند. یکی از نابرابری‌های معروف نابرابری‌های برنستاین به صورت زیر است.اگر formula_16 متغیرهای تصادفی مستقل باشند که برای هر formula_35 دو شرط formula_36 و formula_37 برقرار باشند. در این صورت برای هر formula_14،formula_39نابرابری برنستاین در بعضی حالت‌ها کران قوی‌تری را نسبت به نابرابری هوفدینگ ابراز می‌کند.