گرده‌گون کیست؟ توضیح بده.
در هندسه، گُرده‌گون یا نفروئید () یک منحنی مسطح خاص است. این نوعی از برون‌چرخ‌زاد است که در آن شعاع دایره کوچکتر با ضریب یک دوم با شعاع دایره بزرگتر متفاوت است.نام.گُرده در فارسی به معنای کلیه است و گرده‌گون یعنی «به شکل کلیه». نام نفروئید نیز از واژه یونانی νεφρός به معنی گرده و گلیه آمده است. اگرچه اصطلاح «نفروئید» برای توصیف منحنی‌های دیگر استفاده می‌شد، اما توسط ریچارد ا. پروکتور در سال ۱۸۷۸ برای منحنی این مقاله به کار رفت.تعریف دقیق.گرده‌گون عبارت است از:معادلات.پارامتری.اگر دایره کوچک شعاع a داشته باشد، دایره ثابت دارای نقطه میانی (۰٬۰) و شعاع ۲a باشد، زاویه غلتش دایره کوچک ۲φ و نقطه (۲a٬۰) نقطه شروع باشد (به نمودار مراجعه کنید)، سپس نمایش پارامتری زیر به دست می‌آید:نگاشت مختلط formula_3، دایره واحد را به یک گرده‌گون نگاشت می‌کند.اثبات نمایش پارامتری.اثبات نمایش پارامتری به راحتی با استفاده از اعداد مختلط و نمایش آنها به عنوان صفحه مختلط انجام می‌شود. حرکت دایره کوچک را می‌توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط، چرخش یک نقطه z حول نقطه ۰ (مبدأ) با زاویه φ را می‌توان با ضرب نقطه z (عدد مختلط) در e^{i\varphi} انجام داد. از این رویک نقطه formula_12 از گرده‌گون با چرخاندن نقطه formula_13 توسط formula_4 و سپس چرخش با formula_8 تولید می‌شود:از اینجا به دست می‌آید:ضمنی.قرار دادن formula_19 و formula_20 در معادلهنشان می‌دهد که این معادله یک نمایش ضمنی منحنی است.اثبات نمایش ضمنی.بابه دست می‌آید:جهت.اگر تیزه‌ها روی محور y باشند، نمایش پارامتری به صورت زیر است:و نمایش ضمنی آن:ویژگی‌های متریکی.برای گرده‌گون بالا، موارد زیر برقرار است:اثبات این گزاره‌ها در هر دو مورد از فرمول‌های مناسب روی منحنی‌ها (طول کمان، مساحت و شعاع انحنا) و نمایش پارامتری بالاو مشتقات آن‌هااستفاده می‌کند.ساخت.گرده‌گون به عنوان پوشش یک دسته دایره.اثبات.فرض کنید formula_38 دایره formula_45 با نقطه میانی formula_46 و شعاع formula_13 باشد. قطر ممکن است روی محور x قرار گیرد (به نمودار مراجعه کنید). دسته دایره‌ها معادلات زیر را دارند:شرط پوشش به صورت زیر است:به راحتی می‌توان بررسی کرد که نقطه گرده گون formula_50 یک راه حل از دستگاه formula_51 است و بنابراین یک نقطه از پوشش دسته دایره‌ها است.گرده گون به عنوان پوشش یک دسته خط.مشابه تولید یک دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته خط، روش زیر را داریم:اثبات.بررسی زیر از فرمول‌های مثلثاتی برایformula_54 استفاده می‌کند. برای اینکه محاسبات ساده بماند، اثبات برای گرده‌گونی با تیزه‌های روی محور y ارائه می‌شود."معادله مماس": برای گرده‌گون با نمایش پارامتریاز اینجا ابتدا بردار نرمال formula_56 را تعیین می‌کنیم.معادله مماس formula_57 برابر است با:برای formula_59 تیزه‌های گرده‌گون را به دست می‌آوریم، که در آن هیچ مماس وجود ندارد. برای formula_60 می‌توان بر formula_61 تقسیم کرد تا به دست آید:"معادله وتر": برای دایره با نقطه میانی formula_46 و شعاع formula_64: معادله وتر حاوی دو نقطه formula_65 برابر است با:برای formula_67، وتر به یک نقطه تبدیل می‌شود. برای formula_68 می‌توان بر formula_69 تقسیم کرد و معادله وتر را به دست آورد:دو زاویه formula_71 به‌طور متفاوتی تعریف می‌شوند (formula_10 نصف زاویه غلتش است، formula_73 پارامتر دایره‌ای است که وترهای آن تعیین می‌شوند)، برای formula_74 به خط یکسانی می‌رسیم. از این رو هر وتر از دایره بالا مماس بر گرده گون است وگرده‌گون به عنوان کاستیک نیمی از یک دایره.ملاحظات انجام شده در بخش قبل، اثباتی برای این واقعیت ارائه می‌دهد که کاستیک نیمی از یک دایره، یک گرده‌گون است.اثبات.دایره ممکن است دارای مبدأ به عنوان نقطه میانی باشد (مانند بخش قبل) و شعاع آن formula_64 باشد. دایره دارای نمایش پارامتری زیر است:مماس بر نقطه دایره formula_77 دارای بردار نرمال formula_78 است. پرتو بازتاب شده دارای بردار نرمال (به نمودار مراجعه کنید) formula_79 است و شامل نقطه دایره formula_80 است. از این رو پرتو بازتاب شده بخشی از خط با معادله زیر است:که مماس بر گرده گون بخش قبلی در نقطهگسترنده و گستران یک گرده‌گون.گسترنده.گسترنده یک منحنی، مکان هندسی مراکز انحنا است. به‌طور خاص: برای یک منحنی formula_83 با شعاع انحنای formula_84، گسترنده دارای نمایش زیر است:با formula_86 به عنوان نرمال واحد به‌طور مناسب جهت‌دهی شده.برای یک گرده‌گون به دست می‌آید:اثبات.گرده‌گونی که در تصویر نشان داده شده است، نمایش پارامتری زیر را دارد:بردار نرمال واحد که به سمت مرکز انحنا اشاره می‌کند، به صورت زیر است:و شعاع انحنا formula_89 است (به بخش مربوط به ویژگی‌های متریکی مراجعه کنید).از این رو گسترنده دارای نمایش زیر است:که یک گرده گون با نصف اندازه و چرخش ۹۰ درجه است (به نمودار و بخش بالا مراجعه کنید).گستران.از آنجایی که گسترنده یک گرده‌گون، یک گرده‌گون دیگر است، گستران گرده گون نیز یک گرده‌گون دیگر است. گرده‌گون اصلی در تصویر، گستران گرده‌گون کوچکتر است.وارون یک گرده‌گون.وارونگیدر دایره با نقطه میانی formula_46 و شعاع formula_13، گرده گون را با معادلهبه منحنی درجه ۶ با معادله