شبکه وارون کیست؟ توضیح بده.
در فیزیک، شبکه وارون نشان دهنده تبدیل فوریه یک شبکه (گروه) دیگر (معمولاً یک شبکه براوه) است. معمولا شبکه اولیه (که تبدیل آن توسط شبکه وارون نشان معرفی می‌شود) یک تابع فضایی متناوب در فضای واقعی است که به عنوان "شبکه مستقیم" شناخته می‌شود. در حین که شبکه مستقیم در فضای واقعی وجود دارد و معمولاً به عنوان یک شبکه فیزیکی شناخته می‌شود (مانند شبکه یک کریستال)، شبکه وارون در فضای فرکانس‌های فضایی وجود دارد که به عنوان فضای وارون یا فضای k شناخته می‌شود که در آن formula_1 به بردار موج اشاره دارد. در فیزیک کوانتوم، فضای وارون با توجه به معادله formula_2 به فضای تکانه بسیار نزدیک است، که در آن formula_3 بردار تکانه است و formula_4 ثابت پلانک است. شبکه وارون یک شبکه وارون با شبکه مستقیم اولیه برابر است، به دلیل این که معادلاتی که برایش تعریف شده با توجه به بردارهای فضای واقعی و وارون متقارن هستند. از نظر ریاضی، بردارهای شبکه مستقیم و وارون به ترتیب بردارهای کوواریانت و متضاد را معرفی می‌کنند.شبکه وارون مجموعه تمام بردارهای formula_5 است، که بردارهای موج‌های صفحه‌ای در سری فوریه تابع فضایی هستند که تناوب آن با شبکه مستقیم formula_6 یکسان است. هر موج صفحه‌ای در این سری فوریه فاز یا فازهای برابری دارد که با ضرب کردن آن در formula_7 در هر نقطه شبکه مستقیم متفاوت می‌شوند (بنابراین اساساً فاز یکسان در تمام نقاط شبکه مستقیم).شبکه متقابل نقش مهم و اساسی در بیشتر مطالعات تحلیلی ساختارهای تناوبی، به ویژه در تئوری پراش دارد. در پراش نوترون، هلیوم و پراش پرتو ایکس، به علت شرایط لائو، تفاوت تکانه بین پرتوهای ایکسی که وارد می‌شوند و اشعه ایکسی که پراش شده از یک کریستال یک بردار شبکه وارون است. الگوی پراش یک کریستال می‌تواند برای تعیین بردارهای وارون شبکه استفاده شود. با استفاده از این فرایند، می‌توان آرایش اتمی یک کریستال را استنباط کرد.توضیحات مبتنی بر موج.فضای وارون.فضای وارون (که -space نیز نامیده می‌شود) راهی برای تصور نتایج تبدیل فوریه یک تابع فضایی ایجاد می‌کند. نقش آن شبیه به حوزه فرکانسی که از تبدیل فوریه یک تابع زمانی به وجود آمده‌است. فضای وارون فضایی است که بر روی آن تبدیل فوریه یک تابع فضایی در فرکانس‌های فضایی یا بردار موج امواج صفحه تبدیل فوریه نشان داده می‌شود. دامنه خود تابع فضایی اغلب به عنوان فضای واقعی اشاره می‌شود. در کاربردهای فیزیکی، مانند کریستالوگرافی، هر دو فضای واقعی و وارون در بیشتر مواقع دوبعدی یا سه بعدی هستند. با این که ابعاد فضایی این دو فضای مرتبط برابر خواهند بود، فضاها در واحدهای طول خود متفاوت خواهند بود، تا وقتی که فضای واقعی دارای واحدهای طول L باشد، فضای وارون آن دارای واحدهای یک تقسیم بر طول L یا معکوس L خواهد بود. (وارون طول).فضای وارون در رابطه با امواج، هم مکانیک کلاسیک و هم مکانیک کوانتوم، وارد بازی می‌شود؛ زیرا یک موج صفحه سینوسی با دامنه واحد را می‌توان به عنوان یک جمله تناوبی formula_8, با فاز اولیه formula_9, ،عدد موج زاویه ای formula_10 و فرکانس زاویه ای formula_11,، می‌توان آن را تابعی از هر دو formula_10 و formula_13 در نظر گرفت (و بخشی که زمان در آن متغیر است عنوان تابعی از هر دو formula_11 و formula_15).این نقش تکمیل کننده formula_10 و formula_13 منجر به تجسم آنها در فضاهای مکمل (فضای واقعی و فضای وارون) می‌شود. تناوب فضایی این موج با طول موج آن یعنی لاندا تعریف می‌شود، که formula_18; پس عدد موج آن در فضای وارون formula_19. خواهد بود.در سه بعد، معادله مربوطه صفحه موج تبدیل می‌شود به formula_20,، که ساده شده آن می‌شودformula_21 در یک زمان ثابتformula_15,که در آن formula_23 بردار موقعیت یک نقطه در فضای واقعی است و اکنون formula_24 بردار موج در فضای وارون سه بعدی است. (اندازه بردار موج را عدد موج می‌گویند) ثابت formula_25 فاز جبهه موج (صفحه فاز ثابت) از مبدأ است formula_26 در زمان formula_15, و formula_28 یک بردار واحد عمود بر این جبهه موج است. جبهه موج با فاز formula_29 ، که در آن formula_30 هر عدد صحیح را نشان می‌دهد، که دارای مجموعه ای از صفحات موازی است که فاصله آن‌ها با طول موج formula_31 برابر است.شبکه وارون.در کل، یک شبکه هندسی یک آرایه نامتناهی و منظم از راس‌ها (نقاط) در فضا است که می‌تواند به صورت برداری به عنوان شبکه براوه مدل شود. برخی از شبکه‌ها ممکن است کج یا به عبارتی دیگر پیچ خورده باشند، به این معنی که خطوط اولیه آنها ممکن است لزوماً در زاویه درست و ۹۰ درجه خود نباشند. در فضای وارون، یک شبکه وارون به عنوان مجموعه ای از بردارهای موج formula_1 تعریف می‌شود. از امواج صفحه در سری فوریه هر تابع formula_33 که تناوب آن با یک شبکه مستقیم اولیه در فضای واقعی سازگار است. به همین منوال، یک بردار موج یک راس شبکه وارون است اگر به یک صفحه موج در فضای واقعی که فاز آن در هر زمانی که داده می‌شود برابر باشد (در واقع با formula_34 با یک عدد صحیح formula_30) در هر رأس شبکه مستقیم.یک رویکرد ابتکاری برای ساخت شبکه وارون در سه بعد، نوشتن بردار موقعیت یک راس شبکه مستقیم به صورت formula_36, است که formula_37 عددهای صحیحی هستند که راس را تعریف می‌کنند و formula_38‌ها بردارهای انتقال اولیه مستقل خطی (یا به اختصار بردارهای اولیه نامیده می‌شوند) هستند که نشانی از شبکه هستند. سپس یک صفحه موج منحصر به فرد (تا یک صفحه منفی ایجاد شود) وجود دارد که جبهه موج آن که مبدأ گذر می‌باشد(formula_39)شامل نقاط شبکه مستقیم در formula_40 و formula_41, و جبهه موج مجاور آن (که فاز آن با formula_7 یا formula_43 نسبت به جبهه موجی که از مبدأ می‌گذرد فرق می‌کند) از formula_44 عبور می‌کند. بردار موج زاویه ای آن شکل formula_45, می‌گیرد که formula_46 بردار واحد عمود بر این دو جبهه موج مجاور است و طول موج formula_47 است باید در معادلهformula_48 صدق کند، یعنی که formula_47 برابر با فاصله بین دو جبهه موج است. از این رو توسط تولید شدنش formula_50 و formula_51. خواهد شد.با چرخش در میان اندیس‌ها به نوبت، همان راه قبلی، سه بردار موج را تولید خواهد کرد formula_52 با formula_53، جایی که دلتای کرونکر formula_54 برابر یک می‌باشد زمانی که formula_55 است، در غیر این صورت صفر است. formula_52 شامل مجموعه ای از سه بردار موج اولیه یا سه بردار انتقال اولیه برای شبکه وارون است که هر کدام راس‌هایشان به شکل formula_57, می‌شود، که formula_58 اعداد صحیح هستند شبکه وارون نیز یک شبکه براوه است زیرا از ترکیبات صحیح بردارهای اولیه تشکیل می‌شود که در این حالتformula_59 ، formula_60 ، و formula_61 می‌باشند. سپس یک محاسبات ساده نشان می‌دهد که برای هر موج صفحه‌ای با بردار موج formula_62 در شبکه وارون، تغییر کل فاز formula_63 بین مبدأ و هر نقطه formula_64 روی شبکه مستقیم ضریبی از formula_7 است (که ممکت است صفر شود اگر ضریب صفر باشد)، بنابراین فاز صفحه موج با formula_62 لزوماً برای هر رأس شبکه مستقیم برابر است، مطابق با تعریف شبکه وارون بالا. (اگرچه هر بردار موجی formula_62 در شبکه وارون همیشه این شکل را به خود می‌گیرد، این مشتقات انگیزشی است، نه دقیق، زیرا اثبات این که ممکن است اتفاقات دیگری بیفتد را حذف کرده‌است)منطقه بریلوین یک سلول ابتدایی (به‌طور خاص یک سلول ویگنر-سایتز) از شبکه وارون است که به دلیل قضیه بلوخ نقش اساسی در فیزیک حالت جامد دارد. در ریاضیات محض، فضای دوگانه اشکال خطی و شبکه دوگانه، تعمیم انتزاعی تری از فضای وارون و شبکه وارون فراهم می‌کند.توضیحات ریاضی.با فرض یک شبکه براوه سه بعدی و نامیدن هر بردار شبکه (بردار نشان دهنده یک نقطه شبکه) توسط زیرنویس formula_68 به عنوان یک مجموعه ۳ تایی اعداد صحیح،formula_70 مجموعه اعداد صحیح و formula_38 یک بردار انتقال ابتدایی یا به اختصار بردار اولیه است. فرض کنید formula_33 تابعی است که در آن formula_23 بردار موقعیت از مبدأ formula_74 نسبت به هر موقعیتی است، اگر formula_33 از تناوب این شبکه پیروی می‌کند، مثلاً تابعی که چگالی الکتریکی در یک کریستال اتمی را توصیف می‌کند، بهتر است که formula_33 را به مانند یک سری فوریه چند بعدی نوشت:جایی که اکنون زیرنویس formula_78 ، بنابراین این یک مجموع سه تایی است.درحالی که formula_33 از تناوب شبکه پیروی می‌کند، انتقال formula_23 توسط هر بردار شبکه formula_6ای، همان مقدار قبلی را بدست خواهیم آورد، بنابراینبا توصیف کردن تابع فوق بر حسب توابع فوریه خواهیم داشتformula_83به دلیل این که برابری دو سری فوریه به معنای برابری ضریب‌های آنهاست، formula_84 ، که فقط وقتی صدق می‌کند کهاز نظر ریاضی، شبکه وارون، مجموعه همه بردارهای formula_5 است، که بردارهای موجی از موج‌های صفحه‌ای در سری فوریه یک تابع فضایی هستند که تناوب آن مانند تناوب یک شبکه مستقیم به عنوان مجموعه همه بردارهای موقعیت نقطه شبکه مستقیم یکسان است. formula_6، و formula_5 این برابری را برای همه برآورده کنید formula_6. هر موج صفحه‌ای در سری فوریه فاز یکسانی دارد (در واقع اگر ضریب formula_7 آن‌ها متفاوت باشند، فرق خواهند کرد) در تمام نقاط شبکه formula_6 .همان‌طور که در بخش سری فوریه چند بعدی نشان داده شده‌است، formula_5 را می‌توان به فرم formula_94 انتخاب کرد که در آن formula_53. با این فرم، شبکه وارون به عنوان مجموعه تمام بردارهای موج formula_5 برای سری فوریه یک تابع فضایی که تناوب آن به دنبال دارد formula_6 ، خود یک شبکه براوه است زیرا از ترکیب اعداد صحیح بردارهای انتقال اولیه خود تشکیل می‌شود. formula_98 و وارون شبکه وارون، شبکه اصلی است که دوگانگی پنتریجین فضاهای برداری مربوط به آن را نشان می‌دهد. (ممکن است فرم دیگری از formula_5 وجود داشته باشد. هر فرم معتبر دیگری ازformula_5 همان نتیجه قبلی شبکه وارون می‌شود)دو بعدی.برای یک شبکه دو بعدی بی‌نهایت، که توسط بردارهای اولیه آن تعریف می‌شود formula_101 ، شبکه وارون آن را می‌توان با تولید دو بردار اولیه وارون آن از طریق فرمول‌های زیر تعیین کرد:که formula_103 یک عدد صحیح است واینجا formula_105 نشان دهنده یک ماتریس چرخش ۹۰ درجه است، به عنوان مثال یک "چهارم" چرخش. چرخش پادساعتگرد و چرخش ساعتگرد هر دو می‌توانند برای تعیین شبکه وارون استفاده شوند: اگر formula_105 چرخش پادساعتگرد باشد و formula_107 چرخش ساعتگرد باشد، formula_108 برای همه بردارها formula_109 است؛ بنابراین، با استفاده از جایگشتبدست می‌آید:قابل توجه است که در یک فضای سه بعدی، این شبکه دوبعدی وارون مجموعه ای بی‌نهایت گسترده از میله — براگ است که توسط سونگ و همکارانش توضیح داده شده‌است.سه بعدی.برای یک شبکه سه بعدی بی‌نهایت formula_69 ، که توسط بردارهای اولیه آن formula_113 تعریف می‌شود و پانویس اعداد صحیح formula_114 ، شبکه وارون آن formula_94 با زیرنویس عدد صحیحformula_78 را می‌توان با تولید سه بردار اولیه وارون آن formula_98 تعیین کرد formula_118کهformula_119محصول سه‌گانه اسکالر است . انتخاب formula_98 برای این است کهformula_53 را به عنوان شرط معرفی کنیم (ممکن است شرایط دیگری وجود داشته باشد) بردارهای انتقال اولیه برای شبکه وارون که در رویکرد ابتکاری بالا و بخش سری فوریه چند بعدی به دست آمده‌است. این انتخاب همچنین نیاز شبکه وارون formula_84 را برآورده می‌کند به صورت ریاضی در بالا بدست آمد. با استفاده از نمایش بردار ستونی بردارهای اولیه (مقابله)، فرمول‌های بالا را می‌توان با استفاده از وارونگی ماتریس بازنویسی کرد:این روش به تعریف متوسل می‌شود و امکان تعمیم به ابعاد دلخواه را می‌دهد. ضرب خارجی در کریستالوگرافی غالب است.تعریف فوق را تعریف «فیزیک» می‌نامند، به عنوان عاملformula_124 به‌طور طبیعی از مطالعه ساختارهای دوره ای ناشی می‌شود. یک تعریف اساساً معادل، تعریف «بلورنگار»، از تعریف شبکه متقابل ناشی می‌شود. formula_125 . که بردارهای اولیه متقابل را تغییر می‌دهدو به همین ترتیب برای سایر بردارهای اولیه. تعریف کریستالوگراف این مزیت را دارد که تعریف formula_59 فقط مقدار وارون formula_44 در جهت formula_129، بدون عامل formula_124 می‌باشد. این می‌تواند برخی روابط ریاضی خاصی را ساده کند و ابعاد شبکه وارون را در واحدهای فرکانس فضایی بیان می‌کند. اینکه کدام تعریف از شبکه استفاده شود، به شرطی که این دو با هم قاطی نشوند، بستگی به سلیقه دارد. دلبخواه است.formula_78 به‌طور متعارف به عنوان formula_132 یا formula_133 نوشته می‌شود که به آن اندیس میلر گفته می‌شود؛ formula_134 با formula_135 جایگزین می‌شود ، formula_136 جایگزین شده با formula_10 ، و formula_138 جایگزین شده با formula_139 . هر نقطه شبکه در شبکه وارون مربوط به مجموعه ای از صفحات شبکه است formula_133 در شبکه فضایی واقعی (صفحه شبکه صفحه ای است که از نقاط شبکه عبور می‌کند) جهت بردار شبکه وارون مطابق با صفحات فضایی عمود به فضای واقعی است. مقدار بردار شبکه وارون formula_141 در طول وارون داده می‌شود و برابر است با فاصله وارون بین صفحات فضایی واقعی.ان بعدی.فرمول برای formula_30 بعدی را می‌توان این گونه بدست آورد که فرض شود یک بردار فضایی واقعی ان بعدی formula_143 با یک پایهformula_144 و یک محصول درونی formula_145 . بردارهای شبکه وارون به‌طور منحصر به فرد توسط فرمول تعیین formula_146 می‌شوند. با استفاده از جایگشتآنها را می‌توان با فرمول زیر تعیین کرد:اینجا، formula_149 فرم حجمی است ، formula_150 معکوس ایزومورفیسم فضای برداری است formula_151 تعریف شده بوسیلهٔ formula_152 و formula_153 نشان دهنده ضرب درونی است.ثابت می‌شد که این فرمول برابر با فرمول‌های شناخته شده در فضای دو یا سه بعدی با استفاده از حقایق زیر می‌باشد: در سه بعدی، formula_154 و در دو بعد formula_154 ، جایی که formula_156 چرخش ۹۰ درجه است (درست مانند فرم حجم، زاویه اختصاص داده شده به یک چرخش به انتخاب جهت بستگی دارد).شبکه‌های وارون از کریستال‌های مختلف.شبکه‌های وارون برای سیستم کریستالی مکعبی به شرح زیر است.شبکه مکعبی ساده.شبکه ساده مکعبی براوه، با سلول اولیه مکعبی با ضلع formula_157، برای وارونش دارای یک شبکه مکعبی ساده با یک سلول ابتدایی مکعبی است که ضلع آن formula_158 (یا formula_159 در تعریف کریستالوگراف) است؛ بنابراین گفته می‌شود که شبکه مکعبی خود دوگان است و همان تقارنی که در فضای وارون دارد را در فضای واقعی دارد.شبکه مکعبی وجهی محور (اف سی سی)..شبکه متقابل به یک شبکه اف سی سی، شبکه مکعبی (بی سی سی) بدنه محور است، با یک طرف مکعبی از formula_160 .یک سلول واحد ترکیبی اف سی سی را در نظر بگیرید. یک سلول واحد ابتدایی اف سی سی را پیدا کنید. به عنوان مثال، یک سلول واحد با یک نقطه شبکه. اکنون یکی از رئوس سلول واحد اولیه را به عنوان مبدأ در نظر بگیرید. بردارهای پایه شبکه واقعی را ارائه دهید. سپس از فرمول‌های شناخته شده، می‌توانید بردارهای پایه شبکه متقابل را محاسبه کنید. این بردارهای شبکه متقابل اف سی سی نشان دهنده بردارهای پایه یک شبکه واقعی بی سی سی هستند. توجه داشته باشید که بردارهای پایه یک شبکه بی سی سی واقعی و شبکه متقابل یک اف سی سی از نظر جهت به یکدیگر شباهت دارند اما نه از نظر بزرگی.شبکه مکعبی بدنه محور (بی سی سی)..شبکه متقابل به شبکه بی سی سی، شبکه اف سی سی است، با ضلع مکعبی formula_160 . می‌تواند ثابت شود که فقط شبکه‌های براوه که ۹۰ درجه بین formula_162 (مکعب، چهار ضلعی، متعامد) وجود دارد دارای بردارهای انتقال اولیه برای شبکه وارون، formula_163 موازی با بردارهای فضای واقعی آنها هستند.شبکه شش ضلعی ساده.وارون یک شبکه براوه شش ضلعی ساده با ثابت‌های شبکه formula_164 و formula_165 یک شبکه شش ضلعی ساده دیگر با ثابت‌های شبکه formula_166 و formula_167 است که ۹۰ درجه حول محور c نسبت به شبکه مستقیم چرخیده‌است؛ بنابراین می‌گوییم که شبکه شش ضلعی ساده دارای دوگان خودش است یا به عبارتی دیگر خود دوگان است و همان تقارنی را که در فضای واقعی دارد، در فضای وارون نیز دارد. بردارهای انتقال اولیه برای این بردارهای شبکه براویس شش ضلعی ساده هستند formula_168 ، formula_169 ، و formula_170.مجموعه خودسرانه اتم‌ها.یکی از مسیرهای شبکه وارون مجموعه ای دلخواه از اتم‌ها، از ایده امواج پراکنده در حد فراونهوفر (مسافت طولانی یا فصل فوکوس پشتی لنز) به عنوان مجموع دامنه‌های سبک هویگنس از همه نقاط پراکندگی (در این مورد از هر اتم منفرد). این مجموع با دامنه مختلط نشان داده می‌شود formula_171 در معادله زیر، زیرا تبدیل فوریه (به عنوان تابعی از فرکانس مکانی یا فاصله وارون) یک پتانسیل پراکندگی مؤثر در فضای مستقیم نیز می‌باشد:در اینجا g = q /(2π) بردار پراکندگی q در واحدهای کریستالوگراف است، "N" تعداد اتم‌ها، fj [g "]" ضریب پراکندگی اتمی برای اتم "j" و بردار پراکندگی g است، در حالی که r "j" بردار موقعیت اتم "جی است". توجه داشته باشید که فاز فوریه به انتخاب فرد برای مبدأ مختصات بستگی دارد.برای حالت خاص یک کریستال تناوبی نامتناهی، دامنه پراکنده F = MF hkl از سلول‌های واحد M (مانند موارد بالا) فقط برای مقادیر صحیح غیر صفر است. formula_133 ، که در آنوقتی j=۱، اتم‌های m در داخل سلول واحد وجود دارد که شاخصهای شبکه کسری آنها به ترتیب {u j, v j, w j } هستند. برای در نظر گرفتن اثرات ناشی از اندازه کریستال محدود، البته باید از یک پیچش شکل برای هر نقطه یا معادله بالا برای یک شبکه محدود استفاده شود.چه آرایه اتم‌ها متناهی باشد یا نامتناهی، می‌توان یک «شبکه وارون شدت» [g] را نیز تصور کرد که از طریق رابطه معمولی I = F * F به شبکه دامنه F مربوط می‌شود که در آن F * مزدوج مختلط F است. از آنجایی که تبدیل فوریه برگشت‌پذیر است، البته، این عمل تبدیل به شدت، اطلاعات «همه به جز لحظه دوم» (یعنی فاز) را به بیرون پرتاب می‌کند؛ بنابراین در مورد مجموعه دلخواه اتم‌ها، شدت شبکه متقابل به صورت زیر است:در اینجا r "jk" جدایی برداری بین اتم "j" و اتم "k" است. همچنین می‌توان از این برای پیش‌بینی تأثیر شکل نانوکریستالیت، و تغییرات ظریف در جهت‌گیری پرتو، بر پیک‌های پراش شناسایی‌شده استفاده کرد، حتی اگر در برخی جهات خوشه فقط یک اتم ضخامت داشته باشد. در سمت پایین، محاسبات پراکندگی با استفاده از شبکه متقابل اساساً یک موج صفحه فرود را در نظر می‌گیرند؛ بنابراین پس از اولین نگاه به اثرات شبکه متقابل (پراکندگی سینماتیک)، اثرات گسترش پرتو و پراکندگی چندگانه (یعنی دینامیکی) نیز ممکن است مهم باشد.تعمیم یک شبکه دوگانه.در واقع دو نسخه در ریاضیات از مفهوم شبکه دوگانه انتزاعی، برای یک شبکه معین "L" در فضای برداری واقعی "V"، با بعد متناهی وجود دارد.اولی که مستقیماً ساختار شبکه متقابل را تعمیم می‌دهد، از تحلیل فوریه استفاده می‌کند. ممکن است به سادگی از نظر دوگانگی پنتریجین بیان شود. گروه دوگانه "V" ^ تا "V" دوباره یک فضای برداری واقعی است و زیر گروه بسته آن "L" ^ dual to "L" یک شبکه در "V" ^ است؛ بنابراین، "L" ^ کاندیدای طبیعی برای "شبکه دوگانه"، در فضای برداری متفاوت (با همان بعد) است.جنبه دیگر در حضور یک فرم درجه دوم "Q" در "V" دیده می‌شود. اگر غیر منحط باشد، امکان شناسایی فضای دوگانه "V" * از "V" با "V" را فراهم می‌کند. رابطه "V" * به "V" ذاتی نیست. بستگی به انتخاب اندازه هار (عنصر حجمی) روی "V" دارد. اما با توجه به شناسایی این دو، که در هر صورت تا حد اسکالر به خوبی تعریف شده‌است، وجود "Q" به شخص اجازه می‌دهد تا با شبکه دوگانه به "L" صحبت کند در حالی که در "V" باقی می‌ماند.در ریاضیات، شبکه دوگان یک شبکه معین "L" در یک گروه توپولوژیکی فشرده محلی آبلیانی "G"، زیرگروه "L" * از گروه دوگان "G" است که شامل همه کاراکترهای پیوسته که در هر نقطه از "L" برابر با یک هستند، است.در ریاضیات گسسته، شبکه مجموعه‌ای از نقاط گسسته‌است که توسط تمام ترکیبات خطی انتگرالی از بردارهای مستقل خطی "n بعدی" در Rn توصیف می‌شود "." شبکه دوگان سپس با تمام نقاط در گستره خطی شبکه اصلی (معمولاً همه Rn) با این ویژگی که یک "عدد" صحیح از حاصلضرب داخلی با همه عناصر شبکه اصلی ایجاد می‌شود، تعریف می‌شود. نتیجه می‌شود که دوگان شبکه دوگان همان شبکه اصلی است.به علاوه، اگر اجازه دهیم ماتریس "B" دارای ستون‌هایی با نام بردارهای مستقل خطی باشد که شبکه را توصیف می‌کند، ماتریسformula_176دارای ستون‌هایی از بردارها است که شبکه دوگانه را توصیف می‌کند.