اپسیلون-تعادل کیست؟ توضیح بده.
در نظریه بازی‌ها یک اپسیلون-تعادل یا یک تعادل نزدیک به نش یک استراتژی است که شرایط تعادل نش به صورت تقریبی در آن برقرار است. در یک تعادل نش هیچ بازیکنی تمایل به عوض کردن رفتارش ندارد اما در تعادل نزدیک به نش این شرط ضعیف شده است؛ یعنی می‌توان بازیکنانی وجود داشته باشند که تمایل کمی به تغییر رفتارشان دارند. این حالت در شرایطی می‌تواند یک راه حل مطلوب از نظریه‌بازی‌ها باشد، مثلاً با فرض وجود سوگیری حفظ وضعیت موجود. این راه حل می‌تواند نسبت به راه حل تعادل نش ترجیح داده شود زیرا می‌توان آن را راحت‌تر محاسبه کرد و در بازی‌های با بیش از دو بازیکن ممکن است احتمالات موجود در یک تعادل نش اعداد گویا نباشند.تعریف.برای یک اپسیلون تعادل تعاریف مختلفی وجود دارد.تعادل تقریبی (تعریف استاندارد).در یک بازی با پارامتر نا منفی formula_1، یک استراتژی را اپسیلون-تعادل می‌نامیم در صورتی که هیچ بازیکنی وجود نداشته باشد که بتواند تنها با تغییر استراتژی خودش امید سودش را بیش از مقدار formula_1 افزایش دهد. هر تعادل نش معادل یک اپسیلون-تعادل است که در آن formula_3 است.به صورت رسمی فرض می‌کنیم formula_4یک بازی formula_5نفره باشد که مجموعه رفتارهای formula_6 برای بازیکن formula_7و تابع سود formula_8 را دارد. فرض کنیم formula_9 نشان دهندهٔ سود نفر formula_7است هنگامی که استراتژی formula_11 انجام شده. فرض می‌کنیم formula_12فضای توزیع احتمال بر روی formula_6باشد. بردار استراتژی formula_14 یک اپسیلون-تعادل نش برای formula_15 است اگر:به ازای هر formula_16داشته باشیم formula_17تعادل تقریبی پشتیبانی شده.این تعریف شرط قوی‌تری را برای یک اپسیلون-تعادل در نظر می‌گیرد. در این تعریف یک بازیکن تنها زمانی به استراتژی خالص formula_18یک احتمال مثبت نسبت می‌دهد که امید سودی که از این استراتژی کسب می‌کند حداکثر به مقدار formula_1از سود بهترین جواب کمتر باشد.فرض کنیم formula_20احتمال انجام استراتژی formula_11باشد. برای بازیکن formula_22فرض می‌کنیم formula_23 مجموعه استراتژی‌های تمام بازیکنان به جز بازیکن formula_22 باشد. به ازای استراتژی formula_25و استراتژی خالص formula_26 بازیکن formula_22فرض می‌کنیم formula_28 استراتژی باشد که بازیکن formula_22بازی formula_26 را انجام می‌دهد و بقیه بازیکنان بازیformula_11را انجام می‌دهند. تعریف می‌کنیم formula_32 سود بازی formula_22می‌باشد زمانی که استراتژی formula_11استفاده شده است. حال شرط تعادل تقریبی پشتیبانی شده را می‌توان به شکل زیر نوشت:formula_35نتایج.مسئله وجود یک الگوریتم تقریبی با زمان چندجمله‌ای برای یک اپسیلون-تعادل نش معادل مسئله وجود یک الگوریتم برای یک تعادل تقریبی پشتیبانی شده می‌باشد اما وجود چنین الگوریتمی همچنان یک مسئله حل نشده است. برای مقادیر ثابت اپسیلون، الگوریتم‌های چندجمله‌ای بهتری برای تعادل تقریبی نسبت به تعادل تقریبی پشتیبانی شده وجود دارد؛ یعنی مقدار اپسیلون در تعادل تقریبی کمتر از تعادل تقریبی پشتیبانی شده است. مثلاً برای بازی‌هایی که سودشان در بازه formula_36است و formula_37 یک اپسیلون تعادل را می‌توان در زمان چند جمله‌ای محاسبه کرد اما برای محاسبه تعادل تقریبی پشتیبانی شدهformula_38است.مثال.مفهوم اپسیلون-تعادل در نظریه بازی‌های تصادفی که می‌توانند تا ابد ادامه داشته باشند از اهمیت بالایی برخوردار است. مثال‌هایی از بازی‌های تصادفی وجود دارد که هیچ تعادل نشی ندارند، امابازای هر اپسیلون بزرگتر از صفر یک اپسیلون-تعادل دارند.یکی از ساده‌ترین مثال‌ها مدل خاص ارائه شده از بازی سکه‌های مطابق توسط Everett می‌باشد. در این حالت بازیکن اول سکه را قایم می‌کند و بازیکن دوم باید حدس بزند که سکه شیر است یا خط. اگر بازیکن دوم درست حدس بزند، سکه را از بازیکن اول می‌برد و بازی تمام می‌شود. اگر بازیکن دوم اشتباهاً حدس بزند که سکه شیر است، بازی با سود صفر برای هر دو نفر به اتمام می‌رسد. اگر بازیکن دوم به اشتباه حدس بزند که سکه خط است بازی تکرار می‌شود. اگر بازی تا ابد ادامه داشته باشد، سود هر دو بازیکن صفر است.به ازای پارامتر "ε"&gt; ۰ هر استراتژی که بازیکن دوم در آن با احتمال ε حدس بزند که شیر است و با احتمال formula_39حدس بزند که خط است (در هر مرحله از بازی و مستقل از مراحل قبلی) یک استراتژی اپسیلون-تعادل برای بازی می‌باشد. امید میزان سود بازیکن دوم در این استراتژی حداقل formula_39 است. همچنین واضح است که هیچ استراتژی برای نفر دوم وجود ندارد که بتواند تضمین کند سود آن دقیقاً ۱ است، بنابراین این بازی تعادل نش ندارد.یک مثال ساده دیگر مسئلهٔ دوراهی زندانی است که formula_41 بار تکرار می‌شود و سود بازیکنان در این formula_41 دوره میانگین گرفته می‌شود. تنها تعادل نش این بازی این است که در هر دوره از بازی عدم همکاری انتخاب شود. حال دو استراتژی زیر را در نظر بگیرید:با این که هیچ‌کدام از این دو استراتژی تعادل نش برای این بازی نیستند، هر دوی آنها به ازای formula_43، یک اپسیلون-تعادل برای این بازی محسوب می‌شوند. مقادیر قابل قبول برای اپسیلون بر حسب مقادیر ماتریس سود و تعداد دفعات بازی formula_41 محاسبه می‌شود.در اقتصاد، مفهوم اپسیلون-تعادل با استراتژی خالص زمانی کاربرد دارد که استراتژی میکس غیرواقعی به نظر برسد. در یک اپسیلون-تعادل با استراتژی خالص هر بازیکن یک استراتژی خالص که حداکثر به میزان اپسیلون از بهترین استراتژی خالص تفاوت دارد انتخاب می‌کند. برای مثال در مدل Bertrand–Edgeworth که هیچ تعادلی با استراتژی خالص وجود ندارد ممکن است یک تعادل-اپسیلون با استراتژی خالص وجود داشته باشد.منابع.&lt;/ul&gt;