قضیه می کیست؟ توضیح بده.
در نظریه انتخاب اجتماعی، قضیه مِی بیان می‌کند که در صورتی که تعداد رأی‌دهندگان فرد باشد، "قاعده رأی‌گیری اکثریت" میان دو کاندیدا تنها تابع انتخاب اجتماعی است که سه خاصیت "بی‌تفاوتی میان رأی‌دهندگان" (به انگلیسی: Anonymity)، "خنثایی" (به انگلیسی: Neutrality) و "واکنش‌دهنده مثبت" (به انگلیسی: Positive Responsiveness) را دارا است و در عین حال چنین تابعی امکان تساوی میان دو کاندیدا را منتفی می‌کند. Kenneth May این قضیه را برای اولین بار در سال 1952 میلادی مطرح نمود. پس از نشر نسخه اصلی این قضیه، اصلاحات متعددی توسط دیگران برای این قضیه پیشنهاد شده‌است. Mark Fey اثبات قضیه را برای حالتی که تعداد رأی‌دهندگان به بینهایت میل کنند نیز تعمیم داد. به علاوه، قضیه عدم امکان ارو برای حالتی که تنها دو کاندیدا وجود داشته‌باشند، صادق نیست و لذا قضیه می از این حیث شباهت‌های زیادی به آن دارد (فرض بی‌تفاوتی میان رأی‌دهندگان از فرض عدم دیکتاتوری قوی‌تر است).صورت قضیه.چهار شرط زیر را برای یک تابع تصمیم‌گیری گروهی تعریف می‌کنیم:قضیه: تابع تصمیم‌گیری گروهی با تعداد رأی‌دهندگان فرد، شرایط 1، 2، 3 و 4 را ارضا می‌کند "اگر و تنها اگر" آن تابع همان قاعده رأی‌گیری اکثریت باشد.اثبات.تابع رأی‌گیری اکثریت به شکل زیر تعریف می‌شود:formula_1که در آن formula_2 نشان‌دهنده ترجیحات نفر formula_3 است و لذا می‌تواند یکی از دو عدد 1 یا -1 را اختیار کند. برای طرف اول قضیه باید نشان دهیم قاعده اکثریت چهار شرط اول را دارد. از آنجا که تعداد رأی‌دهندگان فرد است، حاصل تابع هیچگاه صفر نمی‌شود پس شرط اول برقرار است. همچنین، از آنجا که تعویض رأی هر دو نفر، نتیجه تابع اکثریت را تغییر نمی‌دهد، شرط دوم نیز برقرار می‌شود. برای شرط سوم داریم:formula_4لذا شرط سوم نیز ارضا می‌شود. در صورتی که حاصل تابع رأی‌گیری اکثریت 1 باشد، تغییر یک رأی از -1 به 1 یا 0 یا از 0 به 1، حاصل تابع را 1 خواهدکرد. به این ترتیب، شرط چهارم نیز برقرار است.برای اثبات طرف دوم قضیه، تابع تصمیم‌گیری‌ای را در نظر بگیرید که چهار شرط یادشده را دارا باشد. از آنجا که چنین تابعی شرط 2 را دارد، خروجی آن تنها به تعداد افرادی که کاندیدای اول را برمی‌گزینند، تعداد افراد بی‌تفاوت میان دو کاندیدا و تعداد افرادی که کاندیدای دوم را ترجیح می‌دهند، بستگی دارد. بنا به تعریف داریم:formula_5formula_6که در آن formula_7 و formula_8 تعداد کل افرادی هستند که به ترتیب نامزد اول و دوم را ارجح می‌دانند. چون تابع تصمیم‌گیری شرط 2 را ارضا می‌کند، می‌توان آن را به شکل زیر بازنویسی کرد:formula_9حال فرض کنید که formula_10 به گونه ای باشد که formula_11. در این صورت داریم:formula_12formula_9formula_14formula_15formula_16توجه کنید که تساوی پایانی از شرط 3 حاصل شد. از آن‌جا که تنها عددی که با قرینه خود برابر است، صفر است، نتیجه می‌گیریم که اگر formula_17 آنگاه:formula_18.حال فرض کنید formula_19 . formula_20 و formula_21 را به گونه‌ ای تعریف می‌کنیم که formula_22 و formula_23"." بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض می‌کنیم که formula_24 برای formula_25 و هم‌چنین formula_26 به ازای formula_27. حال سیستم ترجیحات formula_28 را به گونه ‌ای در نظر بگیرید که formula_29 به ازای formula_30، formula_31 به ازای formula_32 به ازای formula_33. با این وصف می‌توان نوشت:formula_34formula_35formula_36توجه شود سیستم ترجیحات جدید به نحوی ساخته شد که formula_37" "و هم‌چنین formula_38 به ازای formula_39. با توجه به خاصیت چهارم، می‌توان نوشت:formula_40حال فرض کنید که formula_41. در این صورت formula_42 و در نتیجه formula_43. با استفاده از خاصیت 3 داریم:formula_44به این ترتیب، نتیجه می‌گیریم که تابع تصمیم‌گیری formula_45 همان تابع رأی‌گیری اکثریت است و اثبات قضیه می کامل می‌شود.