خطای میانگین مربعات کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات و آمار، میانگین توان دوم خطاها ( یا به‌طور مخفف MSE) روشی برای برآورد میزان خطاست که در واقع تفاوت بین مقادیر تخمینی و آنچه تخمین زده شده، است. MSE به دو دلیل تقریباً همه جا مثبت است (صفر نیست) یک اینکه تصادفی است و دوم به این دلیل که تخمین‌گر اطلاعاتی که قابلیت تولید تخمین دقیق تری دارد را حساب نمی‌کند. پس این شاخص که مقداری همواره نامنفی دارد، هرچقدر مقدار آن به صفر نزدیکتر باشد، نشان دهنده میزان کمتر خطاست.MSE شامل واریانس تخمین‌گر و بایاس (سوگیری) است. برای یک برآوردگر غیر بایاس، MSE همان واریانس برآوردگر است. مثل واریانس، MSE همان واحدهای اندازه‌گیری را به عنوان مربع مقادیر تخمین زده شده، دارد. در مقایسه با انحراف معیار ریشه دوم گرفتن از MSE، خطای ریشه میانگین مربع یا انحراف معیار میانگین ریشه (خطای جذر میانگین مربعات) را ارایه می‌دهد.برای هر برآوردگر غیر بایاس،RSME ریشه دوم واریانس است که به عنوان خطای استاندارد شناخته می‌شود.روش محاسبه.تعریف MSE بر اساس توصیف تخمین‌گر یا پیش‌بینی کننده متفاوت است.برای بدست آوردن میانگین توان دوم خطاها از یک مجموعه یا n داده می‌توان از رابطه زیر استفاده کرد:که در آن formula_2 عمل میانگین‌گیری را انجام می‌دهد و formula_3 مقدار مربع خطای هر داده را محاسبه می‌کند. پس MSE میانگین مربع خطاها است.تخمین‌گر.MSE از یک تخمین‌گر formula_4با توجه به پارامتر نامعلوم formula_5به صورت زیر تعریف می‌شود:.formula_6این تعریف وابسته به پارامتر نامعلوم و MSE یک ویژگی برای تخمین‌گر است. از آنجا که MSE امید ریاضی است پس نمی‌تواند متغیر تصادفی باشد. MSE می‌تواند یک تابع از پارامترهای نامشخص باشد که در این صورت هر تخمین‌گر MSE یک تابع داده بر اساس تخمین پارامترها است، پس یک متغیر تصادفی است. این شاخص را می‌تواند به صورت جمع واریانس تخمین‌گر و مربع بایاس نیز نوشت:formula_7رابطه با واریانس و بایاس یک برآوردگر.در زیر اثبات رابطه میانگین توان دوم خطاها با واریانس و بایاس یک برآوردگر آورده شده‌است.رگرسیون.در فارسی "وایازش" خوانده می شود.در تجزیه و تحلیل رگرسیون، این شاخص گاهی برای مقدار غیربایاس واریانس خطا مورد استفاده قرار می‌گیرد و این به معنای باقیمانده تقسیم مربعات بر درجه آزادی است. در تجزیه و تحلیل رگرسیون از MSE به عنوان میانگین خطای مربع پیش‌بینی یا خطای مربع میانگین بیرون از نمونه یاد می‌شود و این می‌تواند اشاره ای به میانگین مقدار انحراف مربعات پیش‌بینی‌ها از مقادیر واقعی داشته باشد. این را می‌توان در یک فضای آزمایش خارج از نمونه بررسی کرد.مثال‌ها.میانگین.فرض کنید یک نمونه تصادفی formula_9تایی از formula_10داشته باشیم. این نمونه‌ها را از جامعه ای انتخاب کردیم که واحدهای نمونه با جایگزینی انتخاب شده‌اند. این واحدها در یک زمان انتخاب شده‌اند و واحدهای قبلاً انتخاب شده نیز هنوز معتبر هستند. در این حالت تخمین‌گر معمولی برای formula_11 میانگین نمونه است:formula_12که مقدار مورد انتظار برابر با میانگین واقعی است و MSE برابر است با:formula_13جایی که formula_14واریانس جامعه است.برای توزیع گوسی این بهترین تخمین‌گر غیربایاس است.واریانس.تخمین‌گر معمولی برای واریانس، واریانس نمونه تصحیح شده‌است:formula_15و MSE:formula_16که در آن formula_17چهارمین نقطه توزیع مرکزی یا جامعه است.با این حال می‌توان از تخمین‌گرهای دیگری برای formula_14استفاده کرد که متناسب با formula_19هستند و یک انتخاب مناسب همیشه می‌تواند کمترین میزان خطای مینگین مربع را داشته باشد. اگر داشته باشیم:formula_20آنگاه:formula_21و این دارای کمترین مقدار است زمانی که:formula_22در یک توزیع گوسی زمانی که formula_23میزان MSE به حداقل می‌رسد.توزیع گوسی.در جدول زیر می‌توانید چندین تخمین‌گر از مقادیر صحیح جامعه برای حالت گوسی ببینید.