رویه دورانی کیست؟ توضیح بده.
در فضای اقلیدسی رویه دورانی (یا سطح دَوَرانی)، رویه‌ای است که حاصل چرخاندن یک منحنی (موسوم به منحنی مولد) حول یک محور ثابت است. رویه‌های دورانی همواره تقارن چرخشی دارند.توصیف هندسی.رویه‌های دورانی را می‌توان با چرخاندن منحنی مولد formula_1 به دور محور ثابت formula_2 ساخت.هر نقطهٔ formula_3 از منحنی formula_1 معرف دایرهٔ formula_5 است که در صفحهٔ formula_6 عمود بر محور formula_2 قرار می‌گیرد. ازاین‌رو هر رویه دورانی شامل مجموعه‌ای است از دایره‌ها در صفحات موازی، که «دایره‌های موازی» نام دارند.صفحات formula_8، که محور formula_2 را بر روی خود دارند، رویه formula_6 را در منحنی‌های همنهشت formula_11 (موسوم به «منحنی‌های نصف‌النهاری») قطع می‌کنند. صفحه‌های formula_6 (شامل دایرهٔ formula_5) و صفحه‌های formula_8 (شامل منحنی‌های نصف‌النهاری formula_11) برهم عمودند. ازاین‌رو هر منحنی نصف‌النهاری و دایرهٔ موازی با یکدیگر تشکیل زاویه قائمه می‌دهند. از مجموعهٔ منحنی‌های نصف‌النهاری و دایره‌های موازی روی رویه شبکه‌ای از منحنی‌های عمودبرهم تشکیل می‌شود.صفحهٔ formula_16 مماس بر نقطهٔ formula_3 یک رویه دورانی را می‌توان با خط formula_18 مماس بر دایرهٔ formula_5 و خط formula_20 مماس بر منحنی نیم‌روزی formula_11 تعریف کرد. در هر نقطهٔ formula_3، خط قائم formula_23 بر خط مماس formula_18 عمود است، بنابراین formula_23 روی صفحهٔ نصف‌النهاری formula_8 است و محور formula_2 را در نقطهٔ مرکز کره‌ای قطع می‌کند که formula_3 روی رویه آن است. این کره و رویه دورانی در یکی از دایره‌های موازی مماسند.از آنجا که منحنی‌های نصف‌النهاری بهتر از دیگر منحنی‌ها نشانگر شکل نهایی سطحند، بهتر است در ایجاد رویه‌های دورانی از این منحنی‌ها استفاده شود. منحنی‌های نصف‌النهاری نسبت به محور دوران متقارنند، هر کدام از بخش‌های تقارن «منحنی نیم‌نصف‌النهاری» نام دارد. برای ایجاد رویه دورانی منحنی نصف‌النهاری را باید ۳۶۰° و منحنی‌های نیم‌نصف‌النهاری را ۱۸۰° درجه چرخاند.اگر منحنی‌های نصف‌النهاری و محور دوران همدیگر را با زاویه‌ای به‌غیر از زاویهٔ ۹۰° همدیگر را قطع کنند، یک نقطه منفرد روی دورانی تشکیل می‌شود.معادله رویه دورانی.معادله در دستگاه مختصات دکارتی.اگر formula_29 فاصله نقطه‌ای روی رویه از محور ثابت باشد، معادلهٔ صریح رویه دورانی به شکل زیر نوشته می‌شود:formula_30معادله پارامتری.برای یافتن معادله پارامتری یک رویه دورانی، باید ماتریس دوران حول محور را بر منحنی مولد formula_1 اعمال کرد. فرض می‌شود محور ثابت محور formula_32-های مختصاتی باشد. معادلهٔ دوران حول محور formula_32-ها عبارت است از:formula_34,formula_35,formula_36.با جایگزین کردن formula_37، formula_38، و formula_32 با پارامترهای متناظر در معادلهٔ پارامتریک منحنی مولد formula_1 (یعنی formula_41) نتیجهٔ زیر حاصل می‌شود:formula_42formula_43formula_44یا به عبارت دیگر:اگر زاویهٔ دوران formula_46 به همهٔ مقادیر بازهٔ formula_47 (در مقیاس رادیان، برابر دوران ۳۶۰ درجه) تخصیص یابد، نتیجه یک رویه دورانی کامل خواهد بود. با استفاده از منحنی نصف‌النهاری formula_48 (که روی صفحهٔ formula_49 قرار دارد) به‌عنوان منحنی مولد می‌توان این معادله را به شکل زیر ساده ساخت:formula_50formula_51formula_44این معادله با عنوان «نمایش استاندارد رویه دورانی» شناخته می‌شود.رویه‌های دورانی خاص.رویه‌های درجهٔ دوم دورانی تبهگون.استوانه و مخروط با چرخاندن پاره‌خطی راست حول محور ثابتی که با آن در یک صفحه باشد ایجاد می‌شوند. اگر این پاره‌خط با محور موازی باشد حجم حاصل استوانه و اگر محور را در نقطهٔ formula_53 قطع کند حاصل مخروطی با راس formula_53 خواهد بود. اگر پاره‌خط مولد با محور ثابت تقاطع نداشته باشد، حاصل دوران بریده مخروطی خواهد بود.رویه‌های درجهٔ دوم با مقطع مخروطی به‌عنوان منحنی مولد.با منحنی مولد به شکل دایره.کره و چنبره حجم‌هایی‌اند که با چرخاندن دایره حول یک محور ایجاد می‌شوند. با چرخاندن دایره به دور محوری که با آن در یک صفحه باشد چنبره به دست می‌آید. بسته به فاصلهٔ محور چرخش از مرکز دایره formula_55 سه گونهٔ متفاوت چنبره ایجاد می‌شود. اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره کوچکتر باشد formula_56 و محورْ دایره را در دو نقطه قطع کند حجم حاصل «چنبرهٔ دوکی»، اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره با شعاع دایره مساوی باشد formula_57 و محورْ دایره را در یک نقطه لمس کند حجم حاصل «چنبرهٔ شاخی»، و اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره بیشتر باشد formula_58 و محور با دایره تقاطع نداشته باشد حجم حاصل «چنبرهٔ حلقه‌ای» خواهد بود.چنبرهٔ حلقه‌ای در این میان ویژگی خاصی دارد و آن این است که علاوه بر دو خانوادهٔ دوایر نصف‌النهاری و دوایر موازی، دو خانوادهٔ از دوایر دیگر نیز در آن شکل می‌گیرد (یعنی هر نقطه روی رویه چنبرهٔ حلقه‌ای روی محیط چهار دایره روی رویه آن قرار دارد) که به موسومند.اگر محور چرخش بر هر کدام از قطرهای دایره منطبق باشد formula_59 حاصل کره خواهد بود (کره را می‌توان حالت خاص چنبره دانست).با چرخاندن یک دایره به حول یک خط راست که با آن هم‌صفحه نباشد، یکی از دو حالت زیر اتفاق می‌افتد:با منحنی مولد به شکل هذلولی.با چرخش یک هذلولی به دور قطر کوچکش، «هذلولی‌گون دورانی یکپارچه» و با چرخش آن حول محور بزرگش «هذلولی‌گون دورانی دوپارچه» ایجاد می‌شود.با منحنی مولد به شکل بیضی.با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به گوی‌ئار موسوم است.کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «گوی‌وار کشیده» و کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «کره‌گون پَخ» نام دارد.با منحنی مولد به شکل سهمی.با چرخاندن سهمی به دور تنها قطرش، سطحی حاصل می‌شود که به سهمی‌گون بیضی‌وار موسوم است.ویژگی‌ها.تقارن.رویه‌های دورانی همواره دارای خاصیت تقارن چرخشی هستند، چرا که اصولاً با چرخاندن یک منحنی دوبعدی به محوریت یک خط صاف ایجاد می‌شوند. «تقارن چرخشی»، که به «تقارن آزیموتی» یا «تقارن استوانه‌ای» هم موسوم است، به تقارن حول یک خط صاف گفته می‌شود.مساحت رویه دورانی.جزء رویه رویه دورانی‌ای که با چرخاندن منحنی مولد formula_60 به دور محور ثابت formula_38ها تولید می‌شود در محدودهٔ formula_62 تا formula_63 عبارت است از:بنابراین مساحت این رویه برابر است با:به همین شکل مساحت رویه دورانی‌ای که با چرخاندن منحنی مولد formula_64 به دور محور ثابت formula_37ها تولید می‌شود در محدودهٔ formula_66 تا formula_67 عبارت است از:در جدول زیر مساحت رویه جانبی رویه‌های دورانی خاص به شکل ساده‌تر آمده‌است.اولین و دومین صورت اساسی.با در نظر داشتن معادله استاندارد پارامتری رویه‌های دورانی، اولین صورت اساسی رویه دورانی عبارت است از:formula_68formula_69formula_70هر گاه formula_71 و formula_72 مخالف صفر باشند، رویه منتظم است و دومین صورت اساسی آن عبارت است از:formula_73formula_74formula_75بردار نرمال.معادله بردار نرمال واحد بر رویه دورانی عبارت است از:formula_76انحناهای اصلی.معادله رویه دورانی را می‌توان با استفاده از اولین و دومین صورت اساسی به‌دست‌آورد:formula_77formula_78انحنای گاوسی و انحنای میانگین.انحنای گاوسی و انحنای میانگین رویه دورانی عبارت است از:formula_79formula_80رویه‌های دورانی گسسته.برای سهولت ساخت فیزیکی یا دیجیتال رویه‌های دورانی پیوسته نرم ابتدا رویه‌های به‌صورت گسسته ساخته می‌شوند.این کار با جایگزین کردن منحنی نصف‌النهاری با یک چندضلعی باز که تقریبی از آن باشد انجام می‌شود. هرچه تعداد رئوس این چندضلعی کمتر باشد، نرمی رویه حاصل کمتر خواهد بود.همچنین در مرحلهٔ بعد می‌توان مسیر چرخش (دایرهٔ عظمیه) را هم به‌صورت گسسته درآورد (آن را با یک چندضلعی بستهٔ منتظم محاط در دایره جایگزین کرد) در این‌صورت حجم حاصل یک صفحهٔ چندوجهی خواهد بود.کاربرد.به‌دلیل سادگی اصل تشکیل رویه‌های دورانی، از آن‌ها در هنر، طراحی، و معماری استفادهٔ گسترده‌ای می‌شود.تعمیم‌ها. تنها است.هذلولی‌گون دورانی یکپارچه، استوانهٔ قائم، و مخروط قائم تنها رویه‌های دورانی‌ای هستند که تحت ردهٔ رویه‌های خط‌دار هم قرار می‌گیرند.استوانه قائم و مخروط قائم هم تنها رویه‌های دورانی هستند که محسوب می‌شوند.