معادله دیفرانسیل خطی کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، یک معادله دیفرانسیل خطی معادله دیفرانسیلی است که به صورت تساوی یک تابع دلخواه با یک چند جمله ای خطی (درجه یک) از تابع مجهول (formula_1) و مشتق‌های آن تعریف می‌شود. به عبارت ساده‌تر دیگر این معادلات را می‌توان به فرم زیر نمایش داد:formula_2که در آن formula_3 و formula_4ها توابعی دلخواه و مشتق پذیر برحسب formula_5 هستند (که برای کوتاهی به نوشتن formula_6 بسنده کردیم). این توابع لزواماً خطی نیستند. همچنین formula_7ها نیز مشتق‌های مرتبهٔ formula_8 تابع مجهول formula_9 نسبت به متغیّر formula_5 هستند.فرم بیان‌شده یک معادله دیفرانسیل معمولی است. اگر تابع مجهول به چندین متغیر بستگی داشته باشد، مشتق‌های آن جزئی و معادله دیفرانسیل خطی یک معادله دیفرانسیل با مشتق‌های جزئی می‌شود. در این مقاله فقط معادلات دیفرانسیل معمولی مورد نظر است.معادلهٔ همگن متناظر با یک معادله، معادله‌ای است مشابه معادلهٔ اصلی که formula_11 باشد: formula_12اگر یک معادله دیفرانسیل خطی یا دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی به گونه ای باشد که معادلهٔ همگن متناظرش دارای ضرایب ثابت باشد، می‌توان جوابش را با انتگرال بیان کرد. این موضوع در مورد معادله دیفرانسیل خطی مرتبه یک با ضرایب دلخواه (غیر ثابت) نیز صدق می‌کند. در ادامه به تحلیل این دو گروه می‌پردازیم. به‌طور کلی جواب بقیهٔ معادلات دیفرانسیل خطی را نمی‌توان با با انتگرال بیان کرد.جواب معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب چند جمله ای توابع هولونومیک نامیده می‌شوند. این توابع در روش‌های حل عددی این معادلات کاربرد بسیاری دارند. جمع، ضرب، مشتق و پاد مشتق این توابع نیز هولونومیک هستند. توابع خاص (از جمله توابع نمایی، لگاریتمی، مثلّثاتی و معکوسشان و توابع هذلولوی) و اکثر توابع معمول دیگر مانند تابع خطا، توابع بسل همگی توابع هولونومیک محسوب می‌شوند. نمایش آنها با تعریف معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه امکان ساخت الگوریتمی (بر روی این توابع) برای بیشتر عملگرهای حساب از قبیل محاسبه پاد مشتق، حدها، بسط مجانبی و ارزیابی عددی با هرگونه دقت، با خطای معتبر را فراهم می‌کند.مرتبه اول."معادلهٔ دیفرانسیل" مرتبهٔ اوّل "خطّی" معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت فرم استاندارد زیر نمایش داد:formula_13یکی از فرم‌های کاربردی دیگر نمایش این معادلات به صورت زیر است:formula_14formula_15قضیهٔ وجود و یکتایی.اگر formula_16 به معنی بازهٔ بازِ دامنهٔ formula_17 باشد، معادلهٔ formula_13 در بازهٔ formula_19 جواب یکتا دارد.پیدا کردن جواب.در صورتی که formula_17 برابر صفر باشد، جواب معادله به سادگی به دست می‌آید: formula_21عامل انتگرال‌ساز.در مواردی که formula_17 ناصفر باشد، از یک ترفند استفاده می‌کنیم. در این ترفند دو طرف معادله را در یک "عامل انتگرال‌ساز" (مثل formula_23) ضرب می‌کنیم تا در معادلهٔ جدید formula_17 برابر صفر شود.می‌خواهیم با ضرب کردن تابع formula_23 به هر دو طرف تساوی ضریب formula_1 صفر شود تا بتوان جواب معادله را به دست آورد:formula_27برای این که چنین چیزی ممکن باشد باید «خط ۲ به ۳» در بالا درست باشد:formula_28طبق قاعدهٔ ضرب، "عامل انتگرال‌ساز" تنها وقتی در شرط بالا صدق می‌کند که formula_29:formula_30با کمک گرفتن از تساوی formula_29 می‌توان "عامل انتگرال‌ساز" را به دست آورد:formula_32چون تابع کمکی formula_23 کاملا دلخواه است، پس می توانیم ثابت formula_34 را (فقط در معاله خط اخر) مساوی صفر بگیریم تا کار ساده تر شود. عملگر دیفرانسیل خطی.عملگر (یا اپراتور) تبدیلی است که هر تابع را به تابعی دیگر نگاشت می‌کند. به عنوان مثال، "عملگر دیفرانسیلی پایهٔ" formula_35 تابعی مانند formula_36 را به مشتق آن تابع تبدیل می‌کند: formula_37به همین ترتیب می‌توان "عملگر ساده دیفرانسیلی مرتبه" formula_38 را تعریف کرد: formula_39کاربرد این اپراتورها در ساده و کوتاهتر کردن محاسبات ریاضی است. این مفهوم قابل تعمیم به توابع چندمتغیره و مشتقات جزئی است. طبق یک تعریف قراردادی، formula_40 است که formula_41 در این جا نماد اپراتور همانی است. همچنین وارون این اپراتور پادمشتق formula_36 را برمی‌گرداند: formula_43اگر عملگری مانند formula_44 یک نگاشت خطی باشد، آن را یک "عملگر خطی" می‌نامیم. طبق قضایای مربوط به مشتق و انتگرال در حسابان، عملگر formula_45 (از هر مرتبه‌ای) خطی است. به عبارتی دیگر formula_46.یک عملگر دیفرانسیل خطی مانند formula_44 ترکیبی خطی از عملگرهای اساسی دیفرانسیلی است با ضرایب formula_4 به صورت توابعی مشتق‌پذیر. در نتیجه، چنین عملگری یک نگاشت خطی خواهد بود. در حالت تک متغیره، یک "عملگر خطی از مرتبهٔ formula_49" فرمی بدین ترتیب را دارد.formula_50حال پس از تعریف این اپراتور می‌توان یک "معادلهٔ دیفرانسیل خطی formula_51" را به صورت ساده‌شدهٔ زیر نوشت:formula_52هستهٔ یک عملگر خطی مجموعه جواب‌های معادلهٔ همگن formula_53 است.همگن.یک معادله دیفرانسیل در صورت داشتن فرم زیر یک "معادله دیفرانسیل خطی همگن" است :اصل برهم نهی."اصل برهم‌نهی" در معادلات دیفرانسیل همگن بیان می‌کند که اگر formula_55 و formula_56 دو جواب یک معادلهٔ همگن باشند، هرگونه ترکیب خطّی آنها (یعنی formula_57 به ازای اعداد حقیقی formula_58 دلخواه) نیز جواب آن معادله خواهد بود.مجموعه اساسی جواب‌ها."مجموعه جواب اساسی" یک معادلهٔ همگن یکتا نیست.هر مجموعه‌ای مانند formula_59 (با formula_49 عضو منحصر به فرد) را "مجموعه جواب اساسی" یک معادلهٔ همگن از مرتبهٔ formula_49 می‌نامیم اگر توابع عضو آن (formula_62ها) مستقل خطی باشند. هر معادلهٔ همگنی "مجموعه جواب اساسی" دارد.اگر formula_63 "مجموعه جواب اساسی" باشد، به کمک "اصل برهم‌نهی" نتیجه می‌گیریم که جواب کلّی معادله به صورت formula_64 است (به ازای تمام مقادیر اعداد حقیقی formula_65). این مجموعه تمام جواب‌های ممکن معادله را پوشش می‌دهد.همگن با ضرایب ثابت.در صورتی که formula_6 ها اعداد ثابت حقیقی (یا مختلط) باشند به آن "معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت" می‌گوییم.حل این معادلات به صورت زیر است:یکی از جواب‌های ممکن می‌تواند به فرم formula_67 باشد (formula_68 یک عدد مختلط است). با جایگذاری در معادله نتیجه می‌گیریم:formula_69از آن جایی که تابع نمایی همواره ناصفر است، نتیجه می‌گیریم که formula_70.این معادله معادلهٔ مشخّصه نام دارد. فرض می‌کنیم که ریشه‌های این معادله formula_71 باشند.در نتیجه formula_72 "مجموعه جواب اساسی معادله" را تشکیل می‌دهند. در صورت وجود ریشه‌های مضاعف (مثلاً formula_73) جواب‌های دیگر معادله (به جز formula_74) به صورت formula_75 و formula_76 خواهد بود. در حالت کلّی اگر formula_38 تا از ریشه‌های معادلهٔ مشخّصه برابر formula_78 باشند، formula_38 تا از جواب‌های معادلهٔ همگن به صورت formula_80 خواهند بود (formula_81).با جایگذاری این جواب‌ها در معادله formula_82 به درستی آن‌ها پی می‌بریم. پس "جواب کلّی" معادله به صورت formula_83 است (به ازای تمام مقادیر اعداد حقیقی formula_65).کوشی-اویلر.معادلهٔ اویلر نوعی از "معادلات خطی همگن" است که ضرایب آن به صورت formula_85 باشد. به عنوان مثال formula_86 یک معادلهٔ اویلر مرتبه دو است.برای حل این معادلات کافی است از تغییر متغیّر formula_87 استفاده کرد تا آن را به یک "معادلهٔ همگن با ضرایب ثابت" تبدیل کرد. در مثال مذکور، معادله‌ٔ formula_88 به فرم جدید formula_89 تبدیل می‌شود.همگن مرتبه دوم.یک "معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم" "خطّی" همگن معادله‌ای است که بتوان آن را به فرم استاندارد formula_90 نمایش داد.فرمول آبل.اگر formula_55 و formula_56 دو جواب معادلهٔ formula_90 باشند formula_94.در این جا formula_95 تابع رونسکیَن است که (طبق تعریف) از رابطهٔ formula_96 به دست می‌آید.کاهش مرتبه.در بعضی مواقع یکی از جواب‌های معادله (مثلاً formula_55) به سادگی به دست می‌آید ولی جواب دوم نامعلوم است.در صورتی که یکی از جواب‌های معادله (مثلاً formula_55) را بدانیم، میتوان از شگرد "کاهش مرتبه" برای به دست آوردن "جواب کلّی" استفاده کرد. این روش را با یک مثال توضیح می‌دهیم:در حالت کلّی (formula_90) پس از ساده‌سازی به معادله formula_100 می‌رسیم.کاهش مرتبه به کمک قضیه آبل.همچنین می‌توان از "فرمول آبل" نیز برای کاهش مرتبه استفاده کرد. برای این کار، تعریف رونسکین و فرمول آبل را مقابل هم قرار می‌‌دهیم.ناهمگن.اگر formula_1 جواب کلّی معادلهٔ formula_102 و formula_103 جواب معادلهٔ همگن formula_53 باشد، با توجّه به خطّی بود formula_44 می‌دانیم formula_106. پس formula_107 نیز جواب کلّی معادلهٔ formula_102 است. در نتیجه formula_1 در درون خود formula_103 را نیز شامل می‌شود. به عبارتی دیگر:formula_111که formula_112 جواب formula_102 است. برای پیدا کردن جواب کلّی معادلهٔ formula_102 باید جواب معادلات formula_115 و formula_116 را پیدا و جمع کنیم.به جواب formula_115 جواب مکمّل یا جواب عمومی می‌گویند.به جواب formula_116 جواب خاص یا جواب خصوصی یا جواب ویژه می‌گویند.با فرض این که formula_119 و formula_36 دو تابع دلخواه باشند، جواب مکمّل formula_102 و formula_122 یکسان خواهد بود ولی جواب خاصشان متفاوت. دلیل این نامگذاری نیز همین است.می‌دانیم اگر ضرایب معادلهٔ همگن formula_115 ثابت باشند چطور آن را حل کنیم. در غیر این صورت پیدا کردن جواب بسیار سخت خواهد بود.برای پیدا کردن جواب خاص، دو روش معمول «ضرایب نامعیّن» و «تغییر پارامتر» وجود دارد. استفاده از روش ضرایب نامعیّن معمولاً ساده‌تر است ولی فقط در موارد خاصی می‌توان از آن استفاده کرد.روش ضرایب نامعین.این روش برای پیدا کردن "جواب خصوصی" formula_116 استفاده می‌شود. در این روش فرم کلّی جواب را داریم و فقط باید ضرایب را تشخیص دهیم:یک استثنا زمانی پیش می‌آید که فرم پیشنهادی formula_112 مشابه یکی از "جواب‌های عمومی" باشد (به عبارتی دیگر، عضو "هستهٔ formula_44" باشد). در این صورت فرم پیشنهادی را در formula_136 ضرب می‌کنیم.در حالت کلّی‌تر اگر formula_137 یا formula_138 باشد، فرم formula_112 به صورت زیر خواهد بود:formula_140اگر formula_119 حاصل جمع (یا تفریق) موارد بالا باشد، (با توجّه به خطّی بودن formula_44) می‌توان formula_119 را تقسیم کرد.در صورتی که formula_119 به فرم موارد بالا یا جمع (یا تفریق) آنها نباشد نمی‌توان از این روش استفاده کرد.روش تغییر پارامتر.این روش برای پیدا کردن "جواب خصوصی" formula_116 استفاده می‌شود. در حالی که استفاده از "روش ضرایب نامعیّن" ساده‌تر بود، این روش کلّی‌تر است و در مورد formula_119 محدودیّتی ندارد. ایدهٔ کلّی این روش مشابه "کاهش مرتبه" است.در صورتی که "جواب عمومی" را به فرم formula_147 به دست بیاوریم، "جواب کلّی" را به فرم formula_148 فرض می‌کنیم و سعی می‌کنیم تا formula_149 و formula_150 را پیدا کنیم.همان طور که در ادامه نیز می‌بینیم، توابع formula_149 و formula_150 لزوماً یکتا نخواهند بود. البتّه "جواب کلّی" همیشه یکتا است. به عبارتی دیگر ممکن است formula_149 و formula_150 و همچنین formula_155 و formula_156 پیدا شوند که formula_157. توجّه داشته باشید که هدف ما پیدا کردن "جواب کلّی" معادله است و نیازی به پیدا کرد تمام formula_149 و formula_150های ممکن نداریم. به عبارتی دیگر تنها نیاز داریم یک formula_149 و formula_150 خاص پیدا کنیم که ما را به جواب برسانند.در صورتی که "جواب کلّی" را به فرم formula_148 فرض کنیم، این formula_1 باید در معادلهٔ formula_102 صدق کند. پس برای پیدا کردن formula_149 و formula_150 از این معادله کمک می‌گیریم. در این جا یک معادله و دو مجهول داریم. همچنین طبق تعریف، formula_55 و formula_56 از یکدیگر مستقل اند. از این دو مورد نتیجه می‌گیریم که بی‌نهایت جواب متفاوت برای formula_149 و formula_150 وجود دارد.همان طور که پیش‌تر به آن اشاره شد، ما تنها به یک formula_149 و formula_150 خاص نیاز داریم تا ما را به جواب برسانند. پیدا کردن تمام formula_149 و formula_150ها در حالت کلّی سخت تر است. پس می‌توانیم یک معادلهٔ دیگر از خودمان در بیاوریم تا کار خود را ساده‌تر کنیم:formula_175این معادله محاسبات ما را در ادامه ساده‌تر خواهد کرد. از formula_148 مقدار formula_177 را به دست می‌آوریم:formula_178حال از معادلهٔ ابداعی خودمان نتیجه می‌گیریم:formula_179و از این تساوی مقدار formula_180 را نیز به دست می‌آوریم:formula_181حال مقادیر formula_1 و formula_177 و formula_180 را در "فرم استاندارد" معادله formula_102 جایگذاری می‌کنیم:formula_186پسformula_187طبق تعریف "جواب عمومی"، دو عبارت داخل پرانتز برابر صفر هستند. در نتیجه به معادلهٔ زیر می‌رسیم:formula_188از این معادله و معادلهٔ ابداعی می‌‌توان formula_149 و formula_150 را به کمک قاعدهٔ کرامر به دست آورد:formula_191در نتیجه "جواب خصوصی" به صورت زیر به دست می‌آید:formula_192و "جواب کلّی" نیز به صورت زیر به دست می‌آید:formula_193به همین روش می‌توان این معادلات را در حالت کلّی (مرتبهٔ formula_49) حل کرد. جواب نهایی به این صورت به دست می‌آید:formula_195در این جا formula_196 و formula_197 نیز مشابه رونسکین به دست می‌آید با این تفاوت که به جای ستون formula_8 ام formula_199 قرار گیرد. برای پیدا کرد ساده‌تر مقدار formula_200 می‌توان از فرمول آبل نیز کمک گرفت: formula_201سیستم معادلات دیفرانسیل خطی.سیستم معادلات دیفرانسیل خطی شامل چندین معادله دیفرانسیل خطی است که شامل چندین تابع مجهول است. به‌طور کلی، یک مطالعه را به سیستمهایی محدود می‌کند که تعداد توابع ناشناخته با تعداد معادلات برابر باشد.formula_202مراتب بالاتر با ضرایب متغیر.غیرممکن بودن حل توسط کوادراتور را می‌توان با قضیه آبل-رافینی به دست آورد، که بیان می‌کند معادله جبری درجه ۵ حداقل، به‌طور کلی توسط رادیکال‌ها قابل حل نیست. این قیاس به روشهای اثباتی گسترش می‌یابد و انگیزه ای برای تئوری گالوی دیفرانسیل فراهم می‌کند.مشابه مورد جبری، این تئوری تصمیم می‌گیرد که چه معادلات را می‌توان با روش کوادراتور حل کرد. با این حال محاسبات لازم حتی با قدرتمندترین رایانه‌ها بسیار دشوار است. در حالت کلی پیچیدگی این معادلات ممکن است سبب شود آن هارا با روش‌های غیر صریح و تقریبی مانند مش بندی حل کنیم.معادلات اویلر-کوچی نمونه‌هایی از معادلات از هر درجه، با ضرایب متغیر است که به روش صریح قابل حل است.توابع هولونومیک.یک تابع هولونومیک، که "تابع محدود دی" نیز نامیده می‌شود "تابعی" است که از حل یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب چند جمله ای به دست می‌آید.اکثر توابعی که معمولاً در ریاضیات مورد توجه قرار می‌گیرند هولونومیک از نسبت توابع هولونومیک به‌شمار می‌آیند. در حقیقت، توابع هولونومیک شامل چند جمله ای، توابع جبری، لگاریتم، توابع نمایی، سینوسی، کسینوسی، توابع مثاثاتی، تاوابع هذلولوی، توابع معکوس مثلثاتی تابع وارون هذلولوی و بسیاری از تابع‌های ویژه مانند توابع بسل و توابع هایپرژومتریک است.