واگرایی کولبک-لیبلر کیست؟ توضیح بده.
در آمار ریاضی از واگرایی کولبک-لیبلر یا انتروپی نسبی به عنوان معیاری برای اندازه‌گیری واگرایی یک توزیع احتمال از یک توزیع احتمال ثانویه، یاد می‌شود. از جمله کاربردهای این مفهوم شامل توصیف انتروپی نسبی (shannon) در سیستم‌های اطلاعاتی، میزان تصادفی‌بودن در سری‌های زمانی پیوسته و بهره اطلاعاتی در زمانی که به مقایسه با مدلهای آماری استنباطی می‌پردازیم، می‌باشد. برخلاف تنوع اطلاعات، این معیار، یک معیار "نامتقارن" می‌باشد و در نتیجه نمی‌توان آن را به عنوان یک "معیار" پراکندگی معرفی کرد. به عبارت دیگر، مقدار formula_1 برای واگرایی کولبک-لیبلر نشان می‌دهد که ما می‌توانیم انتظار رفتار مشابهی (نه دقیقاً یکسان) از دو توزیع داشته باشیم در حالی که مقدار formula_2 برای این معیار نشان می‌دهد که دو توزیع رفتارهای متضادی دارند.ریشه‌شناسی.عبارت "واگرایی کولبک-لیبلر" در اصل توسط و در سال ۱۹۵۱ به عنوان "واگرایی" جهت‌دار بین دو توزیع معرفی گردید؛ هرچند که Kullback خودش نام "تمییز اطلاعات" را بیشتر ترجیح می‌داد. در Kullback's historic text, Information Theory and Statistics، این معیار مورد بحث قرار گرفته است.تفسیر.واگرایی کولبک-لیبلر توزیع formula_3 نسبت به formula_4 اغلب به صورت formula_5 نوشته می‌شود.یادگیری ماشین.در حوزه یادگیری ماشین از formula_5 عموماً به نام بهره اطلاعاتی حاصل به شرطی که به جای توزیع formula_4 از توزیع formula_3 استفاده شود، یاد می‌شود. از منظر تئوری اطلاعات، این مسئله انتروپی نسبی از توزیع "formula_4" با توجه به توزیع formula_3 نامیده می‌شود.کدگذاری.در حوزه نظریه کدگذاری، formula_5 می‌تواند به عنوان معیاری برای اندازه‌گیری متوسط تعداد بیت‌های اضافی مورد نیاز به منظور کد کردن نمونه‌ای از توزیع "formula_4" با استفاده از یک کد بهینه‌سازی شده برای توزیع "formula_3"، به جای استفاده از کد بهینه‌سازی شده برای "formula_4" می‌باشد.استنتاج بیزی.از منظر استنتاج بیزی formula_5، یک معیار اندازه‌گیری اطلاعات کسب شده هنگامی که یک اصلاح باورهای از توزیع پیشین احتمال "formula_3" به توزیع پسین احتمال "formula_4" رخ دهد. به عبارت دیگر، مقداری از اطلاع است که به واسطه تقریب زدن formula_4 در هنگامی که از "formula_3" برای آن استفاده می‌شود، می‌باشد. در عمل، "formula_4" به‌طور معمول نشان دهنده توزیع «صحیح» داده‌ها، مشاهدات یا یک توزیع تئوری است که دقیق محاسبه شده است؛ در حالی که "formula_3" به‌طور معمول نشان دهنده یک نظریه، مدل، توصیف یا تقریبی از "formula_4" می‌باشد. به منظور پیدا کردن یک توزیع "formula_3" که نزدیکترین توزیع به "formula_4" باشد، می‌توان به دنبال محاسبه توزیعی گشت که معیار واگرایی formula_25 را کمینه می‌کند.هندسه اطلاعات.در کاربردها، formula_4 معمولا توزیع صحیح داده‌ها را نشان می‌دهد و formula_3 یک فرضیه،‌ مدل یا تخمینی از formula_4 را نشان می‌دهد. برای اینکه بهترین تخمین توزیع formula_3 از توزیع formula_4 را بدست بیاوریم می‌توانیم واگرایی کولبک-لیبلر این دو توزیع را کمینه کنیم و سپس پرجکشن اطلاعات را بدست بیاوریم.با اینکه انتروپی نسبی یک فاصله آماری به شمار می‌رود اما یک متریک نیست. بلکه یک معیار واگرایی است. چرا که این معیار متقارن نیست، یعنی formula_31 و همچنین نامساوی مثلث در مورد آن صادق نیست. واگرایی برخلاف متریک که فاصله خطی را تعمیم می‌دهد،‌ تعمیمی از مربع فاصله است. فرم بی‌نهایت‌کوچک انتروپی نسبی و به‌طور خاص هسین آن، یک تنسور متریک می‌هد.انتروپی نسبی یک حالت خاص از یک کلاس گسترده‌تر از واگرایی‌های آماری به نام واگرایی f و همچنین کلاس واگرایی‌های برگمن است، و این تنها واگرایی روی توزیع‌های احتمالاتی است که در هر دو کلاس قرار می‌گیرد.اقتصاد.یک بازیکن را در یک بازی عادلانه با نتیجه متقابلا مجزا در نظر بگیرید. برای مثال یک شخص که در مسابقه اسب‌سواری که جمع شانس‌های رسمی برد یک است سرمایه‌گذاری می‌کند. نرخ سود مورد انتظار این سرمایه‌گذار برابر است با انتروپی نسبی احتمالاتی که وی براساس آنها سرمایه‌گذاری می‌کند و مقادیر رسمی شانس برد.تعریف.برای توزیعهای احتمالاتی گسسته formula_4 و "formula_3" معیار "واگرایی کولبک-لیبلر" واگرایی از "formula_3" به "formula_4"، به صورت زیر تعریف می‌شودبه عبارت دیگر، امید تفاوت لگاریتمی بین احتمالات "formula_4" و "formula_3" در جایی که امید با استفاده از توزیع formula_4 به دست آمده باشد، می‌باشد. معیار واگرایی کولبک-لیبلر تنها در صورتی که formula_40 نتیجه دهد formula_41 تعریف شده است. هر زمان که formula_42 برابر صفر گردد سهم formula_43"مین" جمله صفر تفسیر می‌شود و این بخاطر formula_44 می‌باشد. برای توزیعهای "formula_4" و "formula_3" از یک متغیر تصادفی پیوسته، معیار واگرایی کولبک-لیبلر به صورت انتگرال زیر تعریف می‌شود:به‌طوریکه در آن "formula_48" و "formula_49" به معنی چگالی احتمال "formula_4" و "formula_3" می‌باشد. به‌طور کلی، اگر "formula_4" و "formula_3" احتمال‌هایی تعریف شده بر روی یک مجموعه "X" باشند و "formula_4" اکیداً پیوسته نسبت به "formula_3" باشد، آنگاه معیار واگرایی کولبک-لیبلر از "formula_3" به "formula_4" به صورت زیر تعریف می‌گردد:انتروپی شنون.انتروپی شنون با تعریف برای توزیع با الفبای شماراformula_63و توزیع پیوستهformula_64برابر است باformula_65