قاعده سیمپسون کیست؟ توضیح بده.
در علم محاسبات عددی روشی برای بدست آوردن عددی انتگرال‌ها وجود دارد که توسط توماس سیمپسون مورد استفاده قرار گرفته‌است و به همین دلیل به این روش قاعده سیمپسون می‌گویند.در این قانون با استفاده از n بار استفاده از قانون ذوزنقه برای بدست آوردن مساحت زیر نمودار فرمولی برای مساحت زیر نمودار بدست میاورد که دقیقتر از روش ذوزنقه است.در این قانون با تقسیم کردن نمودار به بخش‌های کوچک‌تر مساحت زیر نمودار را بدست میاورد (با تقسیم به n+1 بخش که n عددی زوج است).البته حدود صد سال پیش از سیمپسون فردی به نام یوهانس کپلر از این فرمول استفاده کرده بود به همین دلیل گاهی به این روش قانون کپلر هم گفته می‌شود.تعمیم قاعده سیمپسون.اگر اندازهٔ بازهٔ مورد انتگرال کوچک باشد، قاعده سیمپسون برای n = ۲ یک جواب نسبتاً دقیق از جواب انتگرال خواهد بود. اما اگر تابع ما پیوستگی نداشته باشد یا اندازهٔ بازهٔ مورد انتگرال بزرگ باشد یا تابع ما دارای مشتق‌های ناپیوسته باشد، در هر یک از این موارد قاعده سیمپسون برای n = ۲ جوابی دقیق ارائه نمی‌دهد. در این صورت می‌توان بازه را به n &gt; 2 بخش تقسیم کرد و در هر یک از این بخش‌ها از قاعده سیمپسون استفاده کرد؛ که در این صورت به آن تعمیم قاعده سیمپسون گفته می‌شود.فرض کنید بازهٔ انتگرال [a,b] به n بخش تقسیم شده‌است و همچنین n را عددی زوج در نظر بگیرید در این صورت طبق قاعده سیمپسون داریمformula_2که در این فرمول formula_3 برای formula_4 و در آن formula_5خطای تعمیم قاعده سیمپسون برابر است باformula_6که در آن formula_7 عددی بین formula_8 و formula_9 است و formula_5 طول هر گام است.قاعده سیمپسون یک سوم.اگر چندجمله‌ای درجهٔ دو formula_11 را به جای تابع formula_12 در فرمول استفاده کنیم می‌توان با استفاده از درونیابی می‌توان این چندجمله‌ای را بدست آورد.formula_13با انتگرال گرفتن از دو طرف تساوی و استفاده از قانون لاگرانژ داریم:formula_14که این روش انتگرال‌گیری که یک حالت خاص از قاعده سیمپسون است را با نام سیمپسون یک سوم می‌شناسند.خطای این روش محاسبهٔ انتگرال برابر است با:formula_15 که formula_16و فرمول روش ذوزنقهformula_17است که خطای این دو روش به ترتیبformula_18وformula_19هستند که برای استخراج فرمول جدید از این دو روش به نسبت خطاها آن‌ها را جمع می‌کنیم.formula_20جمع وزن‌دار این دو فرمول دقیقاً همان فرمول سیمپسون یک سوم است.قاعده سیمپسون سه هشتم.این قانون یکی دیگر از روش‌های محاسبهٔ انتگرال است. این قانون با درونیابی یک چندجمله‌ای درجه ۳ و استفاده از قاعده سیمپسون بدست می‌آید.formula_21خطای روش سیمپسون سه هشتم برابر است با:formula_22تعمیم قاعده سیمپسون سه هشتم.در این روش با n بار استفاده از قاعده سیمپسون سه هشتم در بازهٔ [a,b] فرمول زیر به‌دست می‌آیدformula_23خطای روش تعمیم قاعده سیمپسون سه هشتم برابر است باformula_24قاعده سیمپسون تعمیم یافته.در تعمیم قاعده سیمپسون به جای استفاده از قاعده سیمپسون در بین بخش‌های جداگانه، آن را بین بخش‌هایی که همپوشانی دارند استفاده می‌کنیمformula_25این فرمول با استفاده از قاعده سیمپسون و قاعده سیمپسون سه هشتم و در نهایت میانگین گرفتن از دو فرمول به‌دست آمده به‌دست آمده‌است.قاعده سیمپسون تعمیم‌یافته برای داده‌های غیرمعمول.برای انتگرال گرفتن از بازهٔ غیرمعمول formula_26 که به علت‌های مختلفی مانند کامل نبودن داده‌ها یا از بین رفتن آن‌ها رخ می‌دهد، لازم است آن را به بازه‌های غیر زوج تقسیم کنیم.فرض کنید این بازه را به زوج زیر بخش (formula_27) با ارتفاع‌های formula_28 تقسیم کرده‌ایم در این صورت داریمformula_29که formula_30 مقادیر تابع اصلی در k امین نقطهٔ قاعده سیمپسون است و ضرایب formula_31 and formula_32 از طریق زیر به‌دست می‌آیندکه استفادهٔ این روش در قطعه کد زیر در پایتون (زبان برنامه‌نویسی) آمده‌است: