معادلات دیفرانسیل تاخیری کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری به معادلهٔ دیفرانسیلی گفته می‌شود که در آن مشتقات تابع مجهول در یک زمان مشخص بر حسب تابع و مشتقات آن در زمان‌ها و مکان‌های پیشین خود داده می‌شود. سیستم‌های با معادلات دیفرانسیل تاخیری را عموماً سیستم‌های زمان-تاخیری می‌گویند.یک معادلهٔ دیفرانسیل تاخیریِ معمولی، به صورت کلی به فرم زیر نوشته می‌شود.formula_1که در این معادله شرط اولیه، توسط یک تابع تاریخچهٔ آغازین مشخص می‌شود. این تابع تاریخچهٔ آغازین به شکل زیر است.formula_2در این حالت به ازای هر formula_3 و formula_4، formula_5ها و formula_6ها را تاخیرهای زمانی می‌نامند. علاوه بر این اگر معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری دارای تاخیرهای formula_6باشد، آنگاه آن معادلهٔ دیفرانسیل را یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری خنثی می‌نامیم.یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری همانند یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی یا یک معادلهٔ دیفرانسیل جزئی می‌تواند بدون پاسخ یا دارای بی‌نهایت پاسخ باشد. برای یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری تنها زمانی پاسخ منحصر به فرد موجود است، که شرایط اولیهٔ مناسب در کنار آن الحاق شود.انواع تاخیر.در این حالت تاخیرهای زمانی به صورت یک عدد ثابت نمایان می‌شود.در این حالت، معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری بدون شرط آغازین به شکل کلی زیر است:formula_8و شرط آغازین عبارت است از:formula_9در این حالت، معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری به صورت زیر است.formula_10و شرط آغازین عبارت است از:formula_9در این حالت، معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری به صورت زیر است.formula_12و شرط آغازین عبارت است از:formula_9حل معادلات دیفرانسیل تاخیری.معادلات دیفرانسیل تاخیری عموماً گام به گام و توسط روشی که به روش گام‌ها معروف است، حل می‌شوند. برای مثال یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری با تأخیر ثابت را در نظر بگیرید.formula_14با شرایط اولیهٔ formula_15، آنگاه جواب در بازهٔ formula_16 تابع formula_17 است که یک پاسخ مسئلهٔ مقداراولیهٔ غیرهمگن زیر است.formula_18که formula_19. این روش برای بازه‌های مختلف تکرار می‌شود و پاسخ نهایی معادله بر بازهٔ مورد نظر به دست می‌آید.مثال.معادلهٔ formula_20 با formula_21 درنظر بگیرید. در این حالت مسئلهٔ مقداراولیه می‌تواند به شکل زیر حل شود.formula_22برای مثال اگر formula_23 که شرط آغازین آن formula_24 است. به‌طور مشابه برای بازهٔ formula_25انتگرال می‌گیریم و تابع پاسخ را پیدا می‌کنیم.formula_26که در این حالتformula_27تبدیل معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری به معادلهٔ دیفرانسیل معمولی.یکی دیگر از راه‌های حل یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری، تبدیل آن به دستگاهی از معادلات دیفرانسیل معمولی است.معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری با تأخیر پیوستهٔ زیر را در نظر بگیرید.formula_28با معرفی formula_29 به دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی زیر می‌رسیم.formula_30formula_31معادلهٔformula_32با دستگاه زیر معادل است.formula_33formula_34formula_35که در این دستگاهformula_36 و formula_37 است.معادلهٔ مشخصه.به‌طور مشابه با معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل تاخیری نیز می‌توانند با روش معادلهٔ مشخصه تحلیل شوند. معادلهٔ مشخصهٔ متناظر با معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری خطی با تاخیرهای گسستهٔ زیر formula_38برابر است با:formula_39formula_40 ریشهٔ معادلهٔ مشخصه است که به آن ریشه یا مقدار ویژه می‌گویند. برخلاف معادلهٔ دیفرانسیل معمولی در این حالت معادلهٔ مشخصه تعداد زیادی مقدار ویژه دارد که این مقادیر ویژه یک طیف تشکیل می‌دهند. معادلهٔ مشخصهٔ یک معادله دیفرانسیل تأخیری به علت وجود تابع نمایی یک معادلهٔ غیرخطی است که نمی‌توان آن را از روش‌های معمولِ تحلیلی حل کرد؛ بنابراین برای حل این معادلات از روش‌های عددی و نرم‌افزارها کمک می‌گیریم.معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری زیر را در نظر بگیرید.formula_41معادلهٔ مشخصهٔ این معادله برابر است با:formula_42که این معادله ریشهٔ حقیقی ندارد و برای حل آن در صفحهٔ مختلط از روش‌های عددی و نرم‌افزار کمک می‌گیریم.