کمترین مربعات جزئی کیست؟ توضیح بده.
کمترین مربعات جزئی (انگلیسی: Partial least squares regression (PLS regression)) یکی از روش‌های تحلیل رگرسیون است. در این روش، راه حل حداقل مربعات بر روی تعدادی مؤلفه متعامد که ترکیبی خطی از متغیرهای مستقل هستند و به صورت متناوب و با هدف بیشینه‌کردن کوواریانسِ تبدیل خطیِ متغیرهای مستقل و متغیرهای وابسته ایجاد شده‌اند، اعمال می‌شود.کمترین مربعات جزئی توسط آماردان سوئدی، Herman O. A. Wold معرفی‌شد که سپس آن را با پسرش Svante Wold توسعه‌داد. یک اصطلاح جایگزین برای «حداقل مربعات جزئی»، نگاشت به ساختارهای پنهان است، اما هوز «حداقل مربعات جزئی» در بسیاری از حوزه‌ها اصطلاح رایج است. اگرچه کاربردهای اصلی آن در علوم اجتماعی بود، اما امروزه PLS بیشترین کاربرد را در شیمیِ آماری و حوزه‌های مرتبط دارد. همچنین در بیوانفورماتیک، حس سنجی، علوم اعصاب و انسان‌شناسی نیز استفاده می‌شود.رابطه ریاضی.فرض می‌کنیم formula_1 داده داریم که هر کدام از یک متغیر وابسته و formula_2 متغیر مستقل تشکیل شده‌است؛ به کمک متغیرهای مستقل متغیر وابسته را پیش‌بینی می‌کنیم. مقادیر متغیرهای مستقل (به همراه یک بردار ثابت formula_3) و مقادیر متغیر وابسته را به ترتیب در ماتریس‌های formula_4 و formula_5 به شکل پایین نمایش می‌دهیم؛ در اینجا formula_6 یک ماتریس formula_7 از مقادیر formula_8 امین متغیر مستقل است:formula_9formula_10هدف از رگرسیون خطی بدست آوردن پارامتر formula_11 است به شکلی که formula_12 در اینجا formula_13 یک متغیر تصادفی است که خطای مدل را نشان می‌دهد. این خطا از توزیع طبیعی با میانگین صفر و واریانس ثابت برای تمامی ابعاد پیروی می‌کند به این معنی که formula_14 و formula_15. از طریق روش حداقل مربعات می‌توان formula_16 یعنی مربع میزان خطاها را کمینه کرد و به پارامتر بهینه رسید. این پارامتر با formula_17 برابراست. یکی از مشکلات اصلی این روش عدم وارونپذیری formula_18 است. برای حل این مشکل، حداقل مربعات جزئی، متناوباً مولفه‌هایی متعامد (formula_19 در پایین) که ترکیبی خطی از متغیرهای مستقل هستند تولید می‌کند و در نهایت راه حل حداقل مربعات را بر روی این مولفه‌ها اعمال می‌کند. ضرایب متغیرهای مستقل در مولفه‌ها با ضرب نقطه‌ایِ متغیرهای وابسته و مستقل برابر است. متغیرهای مستقل در ابتدای کار استاندارد شده‌اند یعنی میانگین صفر و واریانس یک دارند. در پایان هر مرحله متغیرهای مستقل نسبت به مولفه آن مرحله متعامد می‌شوند. این کار باعث می‌شود که در پایان تمام مولفه‌ها نسبت به هم متعامد باشند. الگوریتم تولید مولفه‌ها برای formula_20 به شکل پایین است (formula_21 از روش اعتبارسنجی متقابل محاسبه می‌شود):formula_22از آنجا که formula_23 یا همان مقدار پیش‌بینی شده، ترکیبی خطی از formula_24‌ها است و خود formula_24‌ها هم ترکیبی خطی از متغیرهای مستقل هستند، در نهایت مدل رگرسیون ترکیبی خطی از متغیرهای مستقل خواهد بود.الگوریتم PLS1.PLS1 یک الگوریتم پرکاربرد است که وقتی از آن استفاده می‌شود که Y یک بردار باشد. این الگوریتم در شبه‌کد زیر بیان می‌شود (حروف بزرگ ماتریس هستند، حروف کوچک اگر بالانویس داشته باشند بردار، و اگر اندیس داشته‌باشند اسکالر هستند): 1 2 3 , an initial estimate of . 4 5 7 9 10 11 12 15 16 define to be the matrix Do the same to form the matrix and vector. 17 19 این شکل از الگوریتم نیازی به مرکزیت ورودی X و Y (کم کردن میانگین هر ستون از تک تک درایه‌های آن ستون در ماتریس) ندارد، زیرا این کار به‌طور ضمنی توسط الگوریتم انجام می‌شود. متغیر "l" (فراهم‌شده توسط کاربر) محدودیتی برای تعداد متغییرهای پنهان در رگرسیون است و اگر با رتبه ماتریس "X" برابر باشد، الگوریتم تخمین‌های رگرسیون کمترین مربعات را برای "B و" formula_26 به دست می‌دهد.جستارهای وابسته.تحلیل مولفه‌های اصلیتحلیل واریانسرگرسیون خطی