بافه (ریاضیات) کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، بافه ابزاری برای ردگیری سازمان‌یافته‌ی اطلاعات موضعی تعریف شده و الصاق شده به مجموعه های باز یک فضای توپولوژیکی است. این داده ها را می توان به مجموعه های باز کوچکتری تحدید کرد، و داده های مربوط به یک مجموعه باز معادل کل گردایه داده‌های سازگار مربوط به مجموعه های باز کوچکتری است که مجموعه قبلی را می پوشانند. به عنوان مثال، چنین داده هایی می تواند شامل حلقه توابع پیوسته یا حقیقی-مقدار همواری باشد که روی هر مجموعه باز تعریف شده است. طراحی بافه ها به گونه ای است که اشیائی کلی و مجرد باشند، به گونه ای که تعریف صحیحشان تکنیکی و فنی می شود. آن ها را می توان به طرق مختلفی تعریف کرد، به عنوان مثال، بسته به این که بافه مورد نظر اطلاعات مجموعه ها را در خود نهفته باشد یا حلقه‌ها، تعریف متفاوتی می تواند داشته باشد. همچنین نگاشت هایی (یا ریخت هایی) از یک بافه به دیگری می توان تعریف کرد، لذا بافه ها (بافه هایی از نوع خاص، مثلا بافه گروه های آبلی) به همراه ریخت هایشان تشکیل یک رسته می دهند. از سوی دیگر، به هر نگاشت پیوسته هم یک فانکتور تصویر مستقیم نظیر می شود که هر بافه و ریخت هایش را در دامنه به بافه ها و ریخت های متناظر در هم‌دامنه نظیر می کند، و هم یک فانکتور تصویر معکوس که در جهت مخالف عمل می کند. چنین فانکتور ها و انواع مشابه آن بخش مهمی را در نظریه بافه‌ها اشغال می کنند. بافه ها به دلیل طبیعت عمومی و تنوعشان کاربردهای متعددی در توپولوژی و به‌خصوص هندسه جبری و دیفرانسیل پیدا کرده اند. اول این که ساختار های هندسی چون منیفلد دیفرانسیل یا یک اسکیم را می توان بر حسب یک بافه از حلقه ها روی آن فضا تعریف کرد. در چنین بسترهایی، سازه‌های هندسی متعددی چون کلاف های برداری یا مقسوم‌علیه ها (مفهومی مربوط به هندسه جبری) را می توان به طور طبیعی بر حسب بافه ها تعریف کرد. دوم این که بافه‌ها چارچوبی برای نظریات کوهمولوژی بسیار عام‌تر فراهم می‌کنند، چنین نظریه عامی شامل نظریات کوهمولوژی "معمولی" مثل کوهمولوژی تکین هم می شود. به‌خصوص کوهمولوژی بافه در هندسه جبری و نظریه منیفلدهای مختلط، ارتباط مستحکمی بین خواص توپولوژیکی و هندسی فضاها ایجاد می کند. بافه‌ها همچنین پایه ای برای نظریه D-مدول‌ها فراهم می آورد که در نظریه معادلات دیفرانسیل کاربرد دارد. به علاوه، تعمیم بافه ها به چیدمان‌هایی فراتر از فضاهای توپولوژیکی، چون توپولوژی گروتندیک، کاربردهایی را در منطق ریاضی و نظریه اعداد ارائه داده است. تعریف.فرض کنید فضای توپولوژیک formula_1 و یک رسته formula_2 داده شده‌است. در این حال، می‌توان رسته زیر مجموعه‌های باز formula_1 را این‌گونه تعریف کرد که عبارت است از رسته‌ای که آن را formula_4 می‌نامیم و اشیا آن زیرمجموعه‌های باز formula_1 و ریخت‌های این رسته نگاشتهای شمول در میان مجموعه‌های باز هستند. به زبان دیگر اگر formula_6 و formula_7 دو زیرمجموعه باز formula_1 باشند و formula_9، آنگاه یک ریخت در formula_4 عبارت است از یک نگاشت یک به یکformula_11. یک پیش بافه روی formula_1 با مقادیر در formula_2 عبارت است از یک عملگر پادجهت formula_14 از رسته formula_4 به رسته formula_2. به سخن دیگر، یک پیش بافه معادل است با:۱. برای هر زیرمجموعه باز formula_17 یک شی formula_18 در رسته formula_2.۲. برای هر شمول formula_9 یک ریخت formula_21 به نام نگاشت تحدید به گونه‌ای که:رسته formula_2 معمولاً یکی از رسته‌های مجموعه‌ها، گروه‌های آبلی یا حلقه‌ها است و نگاشت‌های formula_28 نیز به ترتیب تابع‌ها، همریختی‌های گروهی یا همریختی‌های حلقه‌ای هستند.اگر formula_14 یک پیش بافه روی formula_1 باشد، منظور از یک مقطع formula_14 رویformula_6، یک عضو formula_33 می‌باشد. همچنین اگر formula_33 یک مقطع روی formula_6 باشد، برای آسانی نوشتار از نویسه formula_36 به جایformula_37 بهره می‌گیریم.اکنون ابزارهای لازم برای تعریف بافه را در دست داریم:تعریف (بافه): یک بافه formula_14 روی فضای توپولوژیک formula_1 عبارت است از یک پیش بافه روی formula_1 که شرایط اضافی زیر را ارضا می‌کند:۱. (موضعی بودن): اگر formula_41 یک پوشش باز formula_1 باشد و اگرformula_43 به گونه‌ای باشند که formula_44برای هر formula_45 آنگاه formula_46.۲. (ویژگی چسبندگی): اگر formula_41 یک پوشش باز formula_1 باشد و برای هر formula_49 یک مقطع formula_50 داده شده باشد که برای هر formula_45 و formula_52 از این پوشش، داشته باشیم: formula_53، آنگاه یک مقطع formula_33 وجود دارد که: formula_55 برای هر formula_49.ریخت‌ها.میان هر دو بافه، می‌توان یک ریخت تعریف کرد. اگر formula_83 وformula_84 دو بافه روی formula_1 باشند، یک ریختformula_86 عبارت است از:در اینجا، formula_92 نگاشت تحدید formula_83 و formula_94 نگاشت تحدید formula_84 است.بافه‌سازی.در حالت کلی پیش بافه‌ها، بافه نیستند. یعنی می‌توان پیش بافه‌هایی را یافت که شرایط اضافی بافه بودن را رعایت نمی‌کنند. برای نمونه روی formula_96، نگاشتی که به هر زیرمجموعه باز formula_97 گروه آبلی formula_98 را نسبت می‌دهد یک پیش بافه است ولی یک بافه نیست. دلیل این امر این است که اگر مجموعه باز formula_99 را با formula_100 و formula_101 در نظر بگیریم، مقطع formula_102 رویformula_103 و مقطع formula_104 روی formula_105 را نمی‌توان به هم چسباند.به همین دلیل تلاش می‌شود که به هر پیش بافه، یک بافه نسبت داده شود و به این روند، بافه سازی گفته می‌شود. به زبان دیگر اگر formula_14 یک پیش بافه روی formula_1 باشد، می‌توان یک بافه formula_108 روی formula_1 ساخت که برای هر بافه formula_110 روی formula_1، مجموعه ریخت‌های پیش بافه‌ای formula_112 با مجموعه ریخت‌های بافه‌ایformula_113 برابر شود. به دیگر سخن:formula_114