مسئله مقدار مرزی کیست؟ توضیح بده.
مسئله مقدار مرزی عنوان دسته‌ای از مسائل ریاضیات است که در آن‌ها به حل معادلات دیفرانسیلی می‌پردازند که پاسخ معادله می‌باید در نقاط مرزیِ یک مجموعهٔ مفروض، شرایط مشخص‌شده را دارا باشد.جواب یک مسئله مقدار مرزی، پاسخی از معادله‌ی دیفرانسیل است که شرایط مرزی مسئله را ارضا می‌کند. مسائل مقدار مرزی در شاخه‌های مختلفی از فیزیک ظاهر می‌شوند. مسائلی شامل معادلات موج، مثلاً یافتن مدهای نرمال اغلب به عنوان یک مسئله‌ی مقدار مرزی شناخته می‌شود. دسته‌ی بزرگی از مسائل مهم مقدار مرزی، مسئله‌های اشتورم- لیوویل هستند. مثال.مثالی از یک مسئلهٔ مقدار مرزی به صورترا در نظر بگیرید که هدف حل آن برای یافتن تابع مجهول formula_2 با استفاده از شرایط اولیهٔاست. بدون داشتن شرایط مرزی، جواب عمومی معادله به صورت زیر قابل محاسبه است:با در نظر گرفتن شرط formula_5که نتیجه می‌دهد formula_7؛ و با توجه به شرط formula_8 داریم:پس formula_10. همان‌طور که مشخص است، با اعمال شرایط مرزی از جواب عمومی به یک جواب اختصاصی رسیدیم که در این مورد به صورت زیر خواهد بود: معادلات دیفرانسیل، شرایط مرزی به آن دسته از شرایطی گفته می‌شود که در یک مسئله مقدار مرزی اعمال می‌شود.شرایط مرزی.شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل به آن دسته از شرایطی گفته می‌شود که روی پاسخ معادله در مرزها اعمال می‌شود.شرط مرزی دیریکله.شرط مرزی دیریکله یا شرط مرزی نوع اول ، دسته‌ای از شرایط مرزی است که به افتخار دیریکله هنگامی که این شرط را بر معادلات دیفرانسیل جزئی و معادلات دیفرانسیل عادی اعمال کرد تا جواب مسئله را پیدا کند، نام‌گذاری شده است. در علوم کاربردی به شرط مرزی دیریکله، شرط مرزی ثابت نیز گفته می‌شود. formula_12در ناحیهformula_13formula_14روی ناحیه formula_15شرط مرزی دیریکله در معادلات دیفرانسیل عادی.معادله‌ی دیفرانسیل عادی زیر را در نظر بگیرید.formula_16شرط مرزی دیریکله برای این معادله برای formula_17 به فرم زیر است.formula_18formula_19که formula_20 و formula_21 مقادیر ثابت اند.شرط مرزی دیریکله در معادلات دیفرانسیل جزئی.معادله‌ی دیفرانسیل جزئی زیر را در نظر بگیرید. formula_22که در این‌جا formula_23 عملگر لاپلاسین است. شرط مرزی دیریکله روی ناحیه‌ی formula_24 به فرم زیر است.formula_25f(x) تابعی است که روی formula_15 تعریف می‌شود.شرط مرزی نویمن.شرط مرزی نویمن، دسته‌ی دیگری از شرایط مرزی است که پس از نویمن به خاطر تلاش‌هایش برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی و عادی با اعمال این شرط بر روی مشتق پاسخ نام‌گذاری شده است.شرط مرزی نویمن در معادلات دیفرانسیل عادی.برای معادله‌ی دیفرانسیل عادی formula_27 شرط مرزی نویمن در بازه‌ی [a,b] به فرم formula_28 و formula_29است، که formula_30 و formula_31 مقادیر ثابت اند.شرط مرزی نویمن در معادلات دیفرانسیل جزئی.در معادله‌ی دیفرانسیل جزئی formula_32 که formula_23 عملگر لاپلاسین است، شرط مرزی نویمن به صورت زیر است. formula_34formula_35که n بردار نرمال سطح formula_15 و f(x) تابع اسکالر است.مشتق جهتی طبق رابطه‌ی زیر تعریف می‌شود:formula_37که formula_38 عملگر گرادیان است.شرط مرزی روبین.شرط مرزی روبین پس از تلاش‌های ویکتور گوستاو روبین، برای حل معادلات دیفرانسیل عادی و جزئی با شرط مرزی‌ای که ترکیب خطی از پاسخ و مشتق پاسخ است، به نام روبین نام‌گذاری کرده‌اند.شرط مرزی روبین ترکیبی از شرط مرزی دیریکله و شرط مرزی نیومن است. به شرط مرزی روبین، شرط مرزی امپدانس نیز گفته می‌شود. این نام‌گذاری به علت کاربردهای این شرط در الکترومغناطیس صورت گرفته است.شرط مرزی روبین در معادلات دیفرانسیل.اگر formula_24 ناحیه‌ی تعریف معادله‌ی دیفرانسیل formula_40و formula_41 مرز آن باشد، شرط مرزی روبین عبارت است از:formula_42ثوابت a و b غیرصفر هستند و تابع g روی formula_41 تعریف شده است. u پاسخی از معادله‌ی دیفرانسیل روی formula_24 است و formula_45 مشتق جهتی روی formula_15 است. درحالت عمومی a و b می‌توانند تابع باشند.مثال.در یک بعد formula_47، شرط مرزی روبین به فرم زیر درمی‌آید.formula_48formula_49مسئله‌های مقدار مرزی و معادلات انتگرال.مسائل مقدار مرزی در معادلات دیفرانسیل عادی به معادلات انتگرال فردهلم منجر می‌شود .معادله‌ی دیفرانسیل عادی زیر را در نظر بگیرید. می‌خواهیم این معادله را به همراه شرایط مرزی‌اش به یک معادله‌ی انتگرال تبدیل کنیم.formula_50formula_51با انتگرال‌گیری از طرفین معادله‌ی بالا از a تاx و استفاده از شرط مرزیformula_52 مشاهده می‌کنیم formula_53در این‌جا C ثابت انتگرال‌گیری است. با دوباره انتگرال گرفتن از رابطه‌ی بالا داریم:formula_54با تبدیل انتگرال دوگانه بالا به انتگرال یگانه داریم: formula_55ثابت C در این معادله می‌تواند با استفاده از شرط مرزی formula_56 تعیین شود. در نهایت فرم معادله انتگرال فردهلم برای مسئله‌ی مقدار مرزی به شکل زیر است.formula_57که این معادله را میتوان به فرم formula_58 نوشت.در این رابطه تابع f(x) به شکل زیر است:formula_59و formula_60 هسته‌ی معادله انتگرال به صورت زیر تعریف می‌شود.formula_61formula_62formula_63formula_64منابع.معادلات دیفرانسیلمعادلات انتگرالی