همریختی کیست؟ توضیح بده.
در جبر مجرد، همریختی یا همومورفیسم ، نگاشتی محافظت‌کننده-از-ساختار بین دو ساختار جبری (مانند دو گروه، حلقه یا فضای برداری) است. هر هم‌ریختی که یک به یک و پوشا باشد را یک‌ریختی می‌نامیم. کلمهٔ همومرفیسم در زبان یونان باستان از کلمهٔ "ὁμός (homos)" به معنی "«یکسان»" و "μορφή (morphe)" به معنی "«ریخت»" یا "«شکل»" گرفته شده‌است.هم‌ریختی فضاهای برداری را نگاشت‌های خطی، و مطالعه‌شان را جبر خطی گویند.مفهوم هم‌ریختی تحت عنوان ریخت، به ساختارهای بسیار دیگری که بنیان مجموعه ای ندارند یا حتی جبری نیستند نیز تعمیم یافته‌است. این تعمیم نقطه آغازین نظریه رسته‌هاست.هم‌ریختی می‌تواند یک‌ریختی، درون‌ریختی، خودریختی و … نیز باشد. (ادامه مقاله را ببینید). هر کدام از این‌ها را می‌توان به گونه‌ای تعریف کرد که به هر کلاس از ریخت‌ها نیز تعمیم یابد.تعریف.یک هم‌ریختی، نگاشتی بین دو ساختار جبری از یک سنخ می‌باشد که عملیات ساختارها را حفظ می‌کند؛ یعنی نگاشتی چون formula_1 بین دو مجموعه formula_2 که هردو به یک ساختار و در نتیجه به یک عملگر مجهز باشند، چنان‌که اگر formula_3 عملی روی این ساختار باشد (در اینجا برای ساده‌سازی فرض می‌کنیم که عملگر مد نظر یک عملگر دوتاییست)، آنگاه برای هر formula_4 در formula_5 داریم:می‌گویند formula_7 عملیات را حفظ می‌کند یا با آن سازگاری دارد.به‌طور صوری، نگاشتی چون formula_8 یک عملیات formula_9-تایی چون formula_10 را که بر روی هردوی formula_5 و formula_12 تعریف شده‌است، حافظ ساختار است اگر برای تمام formula_4 در formula_5 داشته باشیم:عملیاتی که باید تحت هم‌ریختی‌ها حفظ شوند شامل عملیات ۰-تایی، یعنی ثوابت نیز می‌شود. زمانی که ساختارهای مذکور عنصر همانی داشته باشند، عنصر همانی دامنه باید به عنصر همانی متناظر با آن در هم‌دامنه نگاشته شود.به عنوان مثال:ممکن است یک ساختار جبری بیش از یک عمل داشته باشد و برای حفظ هر کدام از آن عمل‌ها نیاز به یک هم‌ریختیست؛ لذا نگاشتی که فقط برخی از آن عمل‌ها را حفظ کند هم‌ریختی ساخار نیست، بلکه صرفاً هم ریختی آن ساختار تحت عمل‌های حفظ شده می‌باشد. به عنوان مثال، نگاشتی بین مونوئیدها که عمل مونوئید را حفظ کرده اما عنصر همانی را حفظ نکند یک هم‌ریختی مونوئیدی نیست، بلکه صرفاً یک هم‌ریختی نیم‌گروهیست.مثال‌ها.اعداد حقیقی تشکیل یک حلقه می‌دهند که در آن هم عمل جمع وجود دارد و هم عمل ضرب. مجموعه تمام ماتریس‌های formula_16 نیز تحت اعمال جمع و ضرب ماتریسی تشکیل یک حلقه می‌دهند. اگر ما تابعی بین این دو حلقه (اعداد حقیقی و ماتریس‌های formula_16) به صورت زیر تعریف کنیم:که در آن formula_19 یک عدد حقیقیست، آنگاه formula_7 هم‌ریختی بین حلقه‌ها خواهد بود، چرا که formula_7 هم جمع را حفظ می‌کند:هم ضرب را:به عنوان مثالی دیگر، اعداد مختلط ناصفر را در نظر بگیرید، این اعداد مانند اعداد حقیقی ناصفر تحت عمل ضرب تشکیل یک گروه می‌دهند (صفر از هردوی این گروه‌ها باید حذف شود چرا که معکوس ضربی ندارد، که از شرایط ضروری گروه‌هاست). تابعی مثل formula_7 از اعداد مختلط ناصفر به اعداد حقیقی ناصفر به صورت زیر تعریف می‌کنیم:یعنی formula_26 قدرمطلق عدد مختلط formula_27 است. آنگاه formula_7 هم‌ریختی گروه‌هاست، چرا که ضرب را حفظ می‌کند:توجه کنید که formula_7 را نمی‌توان به هم‌ریختی حلقه ای بسط داد (هم‌ریختی حلقه ای از اعداد مختلط به اعداد حقیقی)، چرا که جمع را حفظ نمی‌کند:به عنوان مثالی دیگر، درون تصویر نمودار هم‌ریختی formula_7ی از مونوئید formula_33 به formula_34 نشان داده شده. به علت مختلف بودن اعمال دوتایی این دو ساختار، خاصیت هم‌ریختی formula_7 به صورت formula_36 نشان داده می‌شود و داریم formula_37.یک جبر ترکیبیاتی formula_5 روی میدان formula_39 که به فرم مربعی باشد را "نرم" نامیده که به صورت formula_40 است و یک هم‌ریختی گروهی از گروه ضربی formula_5 به گروه ضربی formula_39 می‌باشد.هم‌ریختی‌های خاص.انواع هم‌ریختی‌ها برای خود نام‌های خاصی دارند، که در تعمیم‌شان به ریخت‌های نظریه رسته‌ها نیز از همین نام‌ها بهره می‌برند.یک‌ریختی.یک یک‌ریختی بین دو ساختار جبری هم‌سنخ را اغلب به صورت هم‌ریختی دوسویه تعریف می‌کنند.در بستر عام‌تر، در نظریه رسته‌ها، یک‌ریختی به صورت ریخت تعریف می‌شود، ریختی که دارای معکوسیست که خود آن هم ریخت باشد. در مورد ساختارهای جبری خاص، این دو تعریف معادل هستند، اگرچه که ممکن است برای ساختارهای غیر جبری که دارای مجموعه زیرین باشند این دو تعریف متفاوت باشد.به‌طور دقیق تر اگر:formula_8یک (هم) ریخت باشد، دارای معکوس است اگر وجود داشته باشد:formula_44چنان‌که:اگر formula_5 و formula_12 دارای مجموعه زیرین باشند و formula_8 دارای معکوس formula_49 باشد، آنگاه formula_7 دوسویه است. در حقیقت formula_7 یک به یک است، چرا که formula_52 نتیجه می‌دهد formula_53 و formula_7 پوشاست چرا که برای هر formula_55 در formula_12 داریم formula_57 و formula_55 تصویر عنصری از formula_5 است.برعکس، اگر formula_8 یک هم‌ریختی دو سویه بین ساختارهای جبری باشد، فرض کنید formula_44 نگاشتی باشد چنان‌که formula_62 عنصر منحصر به فردی چون formula_55 از formula_5 بوده چنان‌که formula_65. در نتیجه داریم formula_66 و formula_67، و تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که نشان دهیم formula_49 یک هم‌ریختی است. اگر formula_69 یک عمل دوتایی این ساختار باشد، برای هر جفت formula_4 از عناصر formula_12 داریم:و لذا formula_49 با formula_69 سازگار خواهد بود. اثبات آن برای هر عمل چندتایی دیگر هم مشابه عمل دوتایی است، و از آن نتیجه می‌گیریم که formula_49 یک هم‌ریختی است.این اثبات برای ساختارهای غیر جبری کار نمی‌کند. به عنوان مثال، برای فضاهای توپولوژیکی، ریخت را نگاشت پیوسته می‌گویند، و معکوس نگاشت پیوسته دو سویه لزوماً پیوسته نیست. یک‌ریختی در فضاهای توپولوژی را همسان‌ریختی یا نگاشت دوپیوسته (نگاشتی که هم خودش و هم معکوسش پیوسته باشند) گویند.درون‌ریختی.یک درون‌ریختی، هم‌ریختی است که دامنه اش برابر با هم دامنه‌اش باشد، یا به‌طور کلی تر ریختی که منبع آن با هدفش برابر باشد.درون‌ریختی‌های یک ساختار جبری، یا شی‌ از یک رسته تحت عمل ترکیب تشکیل مونوئید می‌دهد.درون‌ریختی‌های یک فضای برداری یا یک مدول تشکیل یک حلقه می‌دهد. در حالتی که در بستر فضاهای برداری یا مدول‌های آزاد متناهی بعد کار می‌کنیم، انتخاب پایه، یکریختی حلقه‌ای بین حلقه درون‌ریختی‌ها و حلقه ماتریس‌های مربعی هم بعد القاء می‌کند.خودریختی.یک خودریختی، درون‌ریختی است که علاوه بر درون‌ریختی، یک‌ریختی نیز می‌باشد.خودریختی‌های یک ساختار جبری یا یک شیء از یک رسته، تحت عمل ترکیب، تشکیل گروه می‌دهد که به آن گروه خودریختی‌های آن ساختار می‌گوییم.بسیاری از گروه‌هایی که بر روی آن‌ها نامی قرار داده شده، خود گروه خودریختی از یک ساختار جبری اند. به عنوان مثال، گروه خطی عمومی formula_76 گروه خودریختی فضاهای برداری formula_77 بعدی روی یک میدان formula_9 می‌باشد.گروه‌های خودریختی میدان‌ها توسط اواریسته گالوا به منظور مطالعه ریشه چند جمله‌ای‌ها معرفی شدند و اکنون پایه نظریه گالوا می‌باشند.تک‌ریختی.برای ساختارهای جبری، تک‌ریختی‌ها عمدتاً به صورت هم‌ریختی‌های یک به یک تعریف می‌شوند.در حالت کلی تر، در نظریه رسته‌ها، یک تک‌ریختی به صورت ریختی تعریف می‌شود که خاصیت چپ حذف شدنی دارد. این بدین معناست که (هم) ریختی formula_8 تک ریختی است اگر برای هر جفت formula_80 از ریخت‌ها از هر شیء درون رسته formula_81 به شیء formula_5 از formula_83 نتیجه بگیریم که formula_84 است. این دو تعریف "تکریختی" برای همه ساختارهای جبری معمول معادل هستند. به صورت دقیق‌تر، آن‌ها برای میدان‌ها، که در آن هر همریختی یک تکریختی است، و برای واریته‌های جبر جهانی، که ساختارهای جبری هستند که در آن عمل‌ها و اصول (اتحادها) بدون هیچ محدودیتی تعریف شده‌اند، معادل اند (میدان‌ها واریته نمی‌سازند، زیرا وارون ضربی یا به صورت عمل یگانی یا به صورت یک ویژگی از ضرب تعریف شده‌است، که در هر دو حالت، تنها برای عناصر غیرصفر تعریف شده‌است).بخصوص، این دو تعریف همریختی برای مجموعه‌ها، ماگماها، نیم‌گروه‌ها، مونویدها، گروه‌ها، حلقه‌ها، میدان‌ها، فضاهای برداری و مدول‌ها معادل هستند.یک تکریختی مجزا یک همریختی است که یک وارون چپ دارد، و از این‌رو خودش یک وارون راست برای همریختی دیگری است؛ یعنی، یک همریختی formula_85 یک هوموریختی مجزا است اگر یک همریختی formula_86 موجود باشد به اینصورت که formula_87 باشد. در هر دو معنی "تکریختی"، یک تکریختی مجزا همیشه یک یکریختی است. برای مجموعه‌ها و فضاهای برداری، هر تکریختی یک تکریختی مجزا است، اما این ویژگی برای بیشتر ساختارهای جبری معمول برقرار نیست.اپی‌ریختار.در جبر، اپی‌ریختار را به صورت همریختی پوشا تعریف می‌کنند. از جهت دیگر، در نظریه رسته‌ها، اپی‌ریختارها را به صورت ریختارهای راست قابل‌لغو تعریف می‌کنند. این یعنی یک (هم) ریختی formula_88 وقتی یک اپی‌ریختار است که، برای هر جفت formula_49 ،formula_90 از ریختارها از formula_12 به هر شیء دیگر formula_81، تساوی formula_93 پیامد بدهد که formula_94 است.یک همریختی پوشا همیشه راست لغوپذیر است، اما برعکس آن همیشه برای ساختارهای جبری درست نیست. با این حال، این دو تعریف "اپی‌ریختار" برای مجموعه‌ها، فضاهای برداری، گروه‌های آبلی، مدول‌ها (زیر را برای اثبات ببینید) و گروه‌ها معادل می‌باشد. اهمیت این دو ساختار در ریاضیات، و مخصوصاً در جبر خطی و جبر هومولوژی می‌تواند وجود همزمان دو تعریف غیرمعادل را توضیح دهد.ساختارهای جبری که برای آن اپی‌ریختارهای غیرپوشا وجود دارد شامل نیم‌گروه‌ها و حلقه‌ها می‌شود. اصلی‌ترین مثال همان شمول اعداد صحیح در اعداد گویا است، که یک همریختی حلقه‌ها و نیم‌گروه‌های ضربی است. برای هر دو ساختار، این یک تکریختی و یک اپی‌ریختار غیرپوشا است ولی یک ایزوریختار نیست.یک تعمیم گسترده از این مثال توسط یک مجموعه ضربی است. هر محلی‌سازی یک اپی‌ریختار حلقه‌ای است، که به صورت کلی، پوشا نیست. به این دلیل که محلی‌سازی در جبر جابجایی و هندسه جبری مبنایی نیست، این موضوع توضیح می‌دهد که چرا در این زمینه‌ها، تعریف اپی‌ریختارها به صورت هوموریختارهای راست لغوپذیر به صورت معمول ارجح‌تر است.یک اپی‌ریختار مجزا یک همریختی است که یک وارون راست دارد، و ازاین‌رو خودش یک وارون چپ از همریختی دیگر است؛ یعنی، یک همریختی formula_85 وقتی یک اپی‌ریختار مجزا است که یک همریختی formula_86 موجود باشد که در آن formula_97 برقرار باشد. در هر دو معنی "اپی‌ریختار"، یک اپی‌رزیختار مجزا همیشه یک اپی‌ریختار است. برای مجموعه‌ها و فضاهای برداری، هر اپی‌ریختار یک اپی‌ریختار مجزا است، اما این ویژگی برای بیشتر ساختارهای جبری معمول برقرار نیست.به صورت خلاصه، این رابطه را داریمپیامد آخر برای مجموعه‌ها، فضاهای برداری، ماژول‌ها، و گروه‌های آبلی یک هم‌ارزی است؛ پیامد اول برای مجموعه‌ها و فضاهای برداری یک هم‌ارزی است.هسته.هر همریختی formula_99 یک رابطه هم‌ارزی formula_100 را روی formula_101 توسط formula_102 تعریف می‌کند، اگر و فقط اگر formula_103 باشد. این رابطه formula_100 هسته formula_7 نامیده می‌شود. این یک رابطه هم‌نهشتی روی formula_101 است. به صورت طبیعی، به مجموعه خارج‌قسمتی formula_107 می‌توان یک ساختار با نوع مشابه با formula_101 داد، این کار با تعریف عمل‌های مجموعه خارج‌قسمتی توسط formula_109 انجام می‌شود، که برای هر عمل formula_110 از formula_101 برقرار است. در آن حالت، تصویر formula_101 در formula_113 تحت همریختی formula_7 لزوماً با formula_115 ایزوریختار است؛ این واقعیت یکی از قضیه‌های ایزوریختی است.وقتیکه ساختار جبری برای یک عمل یک گروه است، کلاس هم‌ارزی formula_116 از عنصر همانی این عمل برای مشخص‌کردن رابطه هم‌ارزی کافی است. در این‌حالت، خارج‌قسمت بر رابطه هم‌ارزی توسط formula_117 نشان داده می‌شود (که معمولاً به صورت formula_101 به پیمانه formula_116 خوانده می‌شود). بنابراین در این حالت، این formula_116 است و نه formula_100، که formula_7 نامیده می‌شود. هسته‌های همریختی‌های یک نوع بخصوص از ساختارهای جبری به صورت طبیعی مجهر به یک ساختار هستند. در حالت گروه‌های آبلی، فضاهای برداری و مدول‌ها، این نوع ساختاری هسته‌ها مشابه ساختار مدنظر است. اما در حالت‌های دیگر، متفاوت اند و نام دیگری هم گرفته‌اند، مثل زیرگروه نرمال برای هسته‌های همریختی‌های گروهی و ایده‌آل‌ها برای هسته‌های همریختی‌های حلقه‌ای (در حالت حلقه‌های غیرجابجایی، کرنل‌ها همان ایده‌آل‌های دوجهته هستند).ساختارهای رابطه‌ای.در نظریه مدل‌ها، مفهوم ساختار جبری به ساختارهای شامل هم عمل و هم رابطه تعمیم می‌یابد. فرض کنید که "L" یک امضای شامل نمادهای تابع و رابطه باشد و "A", "B" دو "L"-ساختار باشد. آنوقت یک هم‌ریختی از "A" به "B" یک نگاشت "h" از دامنه "A" به دامنه "B" است که در آندر حالت خاصی که فقط یک رابطه دودویی دارد، ما به یک مفهوم همریختی گراف می‌رسیم.نظریه زبان صوری.از همریختی در مطالعه زبان‌های صوری نیز استفاده می‌شود، و معمولاً به صورت مختصر به آن "ریختار" گفته می‌شود. اگر الفباهای formula_123 و formula_124 را داشته باشیم، یک تابع formula_125 که در آن formula_126 برای همه formula_127 برقرار است یک "همریختی" روی formula_128 نامیده می‌شود. اگر formula_90 یک همریختی روی formula_128 باشد و formula_131 نشان‌دهنده رشته خالی باشد، آنوقت formula_90 را یک همریختی فاقد-formula_131 می‌نامند وقتیکه formula_134 برای همه formula_135 در formula_128 برقرار باشد.یک همریختی formula_125 روی formula_128 که formula_139 را برای همه formula_140 برآورده می‌کند، یک همریختی formula_9-هم‌حالت نامیده می‌شود. اگر formula_142 برای همه formula_140 برقرار باشد، (یعنی formula_90 یک ۱-هم‌حالت باشد)، آنوقت formula_90 را "کدینگ" هم می‌نامند.مجموعه formula_146 از کلمه‌های تشکیل شده از الفبای formula_147 را می‌توان به صورت تولید شده توسط formula_147 تصور کرد. در اینجا عمل مونوید الحاق است، و عنصر همانی برابر کلمه خالی است. از این دیدگاه، یک همریختی زبانی دقیقاً یک همریختی مونویدی است.