گروه بنیادی کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات و در شاخه ی توپولوژی جبری، گروه بنیادی یک فضای توپولوژیکی، گروهی از دسته های هم ارزی تحت هموتوپی حلقه ها یی است که داخل آن فضا قرار دارند. این گروه، اطلاعات مربوط به شکل بنیادین، یا حفره های فضای توپولوژیکی را در خود ثبت می کند. گروه بنیادی، اولین و ساده ترین گروه هموتوپی است. گروه بنیادی یک ناوردای هموتوپیایی است، به عبارتی دیگر، فضاهای توپولوژی که هم ارز هموتوپی هستند (یا حالت قوی تر آن که با هم همسان‌ریخت باشند)، گروه های بنیادین یک ریختی دارند. شهود.از یک فضا که نقطه ای روی آن قرار دارد شروع کرده (به عنوان مثال یک رویه)، و تمام حلقه هایی با شروع و پایان از آن نقطه را در نظر بگیرید، این حلقه ها مسیر هایی هستند که شروع و پایانشان همان نقطه بوده، به گونه ای که در آن فضای مورد نظر سیر کرده و به نقطه آغازین خود باز خواهند گشت. دو حلقه را می توان به سادگی با هم ترکیب کرد: اینگونه که با طی کردن اولین حلقه، وارد حلقه دوم شود. دو حلقه در صورتی با هم معادلند که بتوان یکی را با تغییر شکل بدون پارگی به دیگری تبدیل کرد. مجموعه تمام چنین حلقه هایی به همراه روش ترکیب کردن و معادل سازی بینشان، تشکیل گروه بنیادی آن فضای خاص را خواهند داد.تاریخچه.هانری پوانکاره گروه بنیادی را در ۱۸۹۵ در مقاله اش "Analysis situs" معرفی کرد. این مفهوم در نظریه رویه های ریمانی، در کار های برنارد ریمان، پوانکاره، و فلیکس کلاین ظهور پیدا کرد. گروه بنیادی، خواص مونودرومی توابع مختلط مقدار را توصیف می کند، به علاوه این که دسته بندی توپولوژیکی کاملی بر روی رویه های بسته ارائه می نماید.تعریف.در سرتاسر این مقاله، formula_1 یک فضای توپولوژیست. مثال معمول آن رویه ای است که در تصویر مشاهده می کنید. به علاوه، formula_2 نقطه ای در formula_1 است که به آن "نقطه پایه ای" گفته می شود. (همانگونه که در ادامه توضیح داده خواهد شد، نقش این نقطه کمکی و جنبیست) ایده ی تعریف گروه هموتوپی این است که (به طور کلی) تا چه حد خم های درون فضای formula_1 را می توان با تغییر شکل به هم دیگر تبدیل نمود. تعریف دقیق آن وابسته به مفهوم هموتوپی حلقه هاست، که ابتدا آن را توضیح خواهیم داد.هموتوپی حلقه ها.فرض کنید فضای توپولوژیکی formula_1 داده شده باشد. یک حلقه (یا کمند) در formula_2 به صورت تابع پیوسته زیر تعریف شده باشد:چنان که نقطه آغازین formula_8 و نقطه پایانی formula_9 هردو برابر formula_2 باشند. یک "هموتوپی"، در حقیقت نوعی درونیابی بین دو حلقه است. به طور دقیق تر، یک هموتوپی بین دو حلقه ی formula_11 (که پایه هایشان در همان نقطه ی formula_2 قرار دارد) نگاشت پیوسته ی زیر است:چنان که:اگر چنین هموتوپی h ی وجود داشته باشد، می گوییم formula_22 و formula_23 با هم "هموتوپ" هستند. رابطه هموتوپ بودن formula_22 و formula_23 یک رابطه ی هم ارزی است که دسته های هم ارزی آن را اینگونه می توان در نظر گرفت:این مجموعه (با ساختار گروهی که در زیر توضیح داده شده است) را "گروه بنیادی" فضای توپولوژی formula_1 در نقطه پایه ای formula_2 نامگذاری می کنند. هدف از دسته بندی حلقه ها بر اساس هموتوپی این است که مجموعه اصلی، یعنی کل حلقه ها با شروع و پایان از formula_2 (که به آن فضای حلقه ای (فضای کمندی) روی فضای توپولوژی formula_1 می گویند) یک مجموعه بزرگ است که مدیریت آن سخت است. در حالی که با تعریف این رابطه هم ارزی به مجموعه ای می رسیم که مدیریت و محاسبات بر روی آن راحت تر خواهد شد.ساختار گروهی.بر اساس تعریف فوق، formula_31 صرفاً یک مجموعه است. این مجموعه را می توان با استفاده از اتصال حلقه ها تبدیل به یک گروه کرد (به همین دلیل به آن "گروه" بنیادی می گویند). به طور دقیق تر اگر دو حلقه ی formula_32 و formula_33 داده شده باشند، ضربشان را به صورت زیر تعریف می کنیم:لذا، حلقه ی formula_35 در ابتدا formula_32 را با "سرعت دو برابر" و سپس formula_33 را با "سرعت دو برابر" طی می کند.ویژگیها.اگر formula_46 یک نگاشت پیوسته میان فضاهای توپولوژیک formula_1 وformula_48 و formula_22 یک دور در formula_1 باشد، آنگاه formula_51 یک دور در formula_48 خواهد بود. می‌توان نشان داد که formula_53 دو دور هموتوپ را به دو دور هموتوپ می‌فرستد و بنابراین یک نگاشت formula_54 تعریف می‌کند.همچنین گروه بنیادی نسبت به حاصلضرب‌ها خوش رفتار است یعنی:formula_55