حذف سور کیست؟ توضیح بده.
حذف سور یکی از ویژگی‌های «جبری» مورد بررسی در منطق ریاضی (در نظریهٔ مدلها) است. تئوریِ formula_1 دارای حذف سور است (یا سورها را حذف می‌کند) هرگاه هر فرمولی به پیمانهٔ آن معادلی بدون سور داشته باشد.مصداقِ ملموسی از حذف سور،فرمول تعیین‌کنندهٔ ریشه داشتن یا نداشتن یک معادلهٔ درجهٔ ۲ در اعداد حقیقی است:formula_2حذف سور به دلایل گوناگون اهمیت دارد که برخی از آن‌ها را در ادامه ذکر کرده‌ایم. نخست، برای این که مطالعهٔ مجموعه‌های تعریف‌شدنی را آسان‌تر می‌کند: اگر تئوریformula_3دارای حذف سور باشد، برای بررسی مجموعه‌های تعریف شدنی در مدل‌های آن، تنها کافی است مجموعه‌های تعریف‌شده با ترکیبات بولیِ فرمول‌های اتمی را در نظر بگیریم. دوم این که حذف سور، مطالعهٔ جبری مدل‌ها را ساده می‌کند. اگرformula_3دارای حذف سور باشد، آن‌گاه برای هر دومدلِformula_5از آن، اگرformula_6زیرساختاری ازformula_7باشد، آن‌گاهformula_6زیرساختاری مقدماتی ازformula_7است، یعنی هر جملهٔ مرتبهٔ اول با پارامتر درformula_6اگردرformula_7درست باشد، آن‌گاه درformula_6نیز درست است. سوم این که، بررسی کامل بودنِ یک تئوری، در صورت حذف سور پذیرفتن آن، آسان‌تر است. منظور از تئوریِ کامل، تئوری‌ای است که در آن هر جملهٔ داده‌شده یا نقیض آن اثبات شدنی است. از این رو اگرروندی تصمیم‌پذیر برای اثبات حذف سور داشته باشیم، اثبات تصمیم‌پذیر بودن یک تئوری نیز در حالتی که حذف سور داشته باشد، آسان‌تر است. چهارمین اهمیت حذف سور،فراهم آوردن توصیف جبری ملموس برای برخی تئوری‌ها و بدینسان برقرار کردن پیوند میان جبر و نظریهٔ مدل است.برای مثال، بررسی ساختار یا مدل تولید شده توسط یک مجموعهٔ داده شده، یا بررسی بستارِ جبری یک مجموعهٔ داده شده، در تئوری‌ای که حذف سور داشته باشد، به مراتب آسان‌تر است.این نکته در مثال‌های جبری، مانند میدان‌های بستهٔ حقیقی و میدان‌های بستهٔ جبریراحت‌تر به چشم می‌آید.تعریف.تئوریِformula_3در زبانِformula_14«دارای حذف سور است»، یا «سورها را حذف می‌کند» هرگاه برای هر فرمولِformula_15فرمولی بدون سور مانندformula_16پیدا شود کهformula_17با به روش‌های مقدماتی منطقی، فرمول بدون سورِformula_18را می‌توان به صورتformula_19یاformula_20در نظر گرفت که در آن هرformula_21فرمولی اتمی یا نقیض یک فرمول اتمی است.معادلاً تئوریformula_1دارای حذف سور است، هرگاه «زیرساختارْکامل» باشد. یعنی برای هر مدلِformula_23و هر زیرساختارِformula_24تئوریِformula_25در زبانِformula_26(زبانی که با افزودن ثابت برای ازای هرعنصرِformula_27بهزبان تئوریِformula_1به دست آمده باشد) یک تئوریِ کامل باشد. منظور ازformula_29مجموعهٔ همهٔ جمله‌های بدون سورِ با پارامتر درformula_27است.از این رو، همان‌گونه که در مقدمه اشاره شد، اگرformula_1دارای حذف سور باشد وformula_32وformula_33آن‌گاهformula_34.ولی عکس این گفته برقرار نیست. در واقع این ویژگی،«مدلْ‌کامل»بودن نام دارد. «زیرساختارْکامل بودن»معادل «حذف سور» است و «مدل‌ْ‌کاملْ بودن» با «معادل بودن هر فرمول، با فرمولی فقط دارای سورهای وجودی» معادل است.نیزتئوریِformula_1حذف سور می‌پذیرد اگروتنهااگرهر تایپ کاملی در آنبا فرمول‌های بدون سور آن تایپکاملاً تعیین شود. به بیان دیگر، برای هرformula_36در مدل هیولا و هر زیرمجموعهٔformula_27از مدل هیولا، اگرformula_38آن‌گاهformula_39؛ که منظور ازformula_40مجموعهٔ همهٔ فرمول‌های بدون سور با پارامتر درformula_27است کهformula_42آن‌ها را برآورده می‌کند.مثالها.داشتن حذف سور، تنها در یک «زبان معقول» حائزِ اهمیت است. این زبان عموماً بهینه‌ترین زبانی است که ویژگی‌های جبری یک تئوری را بتواند بیان کند. اگر جز این بخواهد باشد، هر تئوری‌ای با اضافه کردن محمول برای هر فرمول دارای سور به زبان، دارای حذف سور می‌شود. به بیان واضح‌تر اگر برای هر فرمولِformula_43 محمولformula_44 را به زبان و جملهٔformula_45 را به تئوری بیفزاییم، به یک تئوری دارای حذف سور می‌رسیم.اعداد طبیعی و حساب پئانو.ساختارِ به‌ظاهرسادهٔformula_46سورها را حذف نمی‌کند.مسئلهٔ حذف سور برای این ساختار،هم‌ارزِ مسئلهٔ ناکامل بودن اصول پئانو برای حساب است که گودل آن را ثابت کرده‌است. نیز به بیان دیگر، این مسئله معادلمسئلهٔ وجود یک زیرمجموعهٔبازگشتی شمارش‌پذیرازformula_47است که بازگشتی نباشد. در واقع زیرمجموعه‌های بازگشتی‌ِ شمارش‌پذیرِformula_47دقیقاً آنهایند که با فرمولهایformula_49تعریف می‌شوند که در آنformula_50یک چندجمله‌ای درformula_51باشد.حساب پِرِسْبِرگِر.برخلافِ حسابِ پئانو، «حسابِ پِرِسْبِرگِر» دارای حذف سور است. حساب پرسبرگر، به بیان ساده حسابی است کهاز تئوریِ کاملِ ساختارformula_52به دست می‌آید که در آن تعبیرِ محمولِformula_53زیرمجموعهٔformula_54ازformula_55است. نتیجهٔتأمل‌برانگیزِحذف سور حساب پرسبرگر این است که بر خلافformula_56که گرفتار دشواری‌های قضیهٔ ناتمامیت گودل است،ساختارِformula_57تصمیم‌پذیر است.حساب پرسبرگر دارای یک اصل‌بندی ساده است که ویژگی‌های گروه جمعیِ ترتیبیِformula_57را به همراه تعبیرِformula_53ها بیان می‌کند.میدانهای بستهٔ حقیقی.تئوریِ کاملِ ساختارِformula_60سورها را حذف می‌کند (تارسکی).این حذف سور، نتایج جبری و توپولوژیک بااهمیتی در پی دارد.نخست این کهتئوریِ کامل این ساختار، دقیقاً تئوری میدان‌های بستهٔ حقیقی است. میدان‌های بستهٔ حقیقی، میدانهایی هستند که در آنهاformula_61مجموع مربعات نباشد.و هیچ توسیع جبری‌ای نداشته باشند که در آنformula_61مجموع مربعات باشد.بنا به حذف سور، اصل‌بندی زیر برای میدان‌های بستهٔ جبری، «کامل» است و از این رومیدان‌های بسته‌جبری دقیقاً مدلهایتئوریِ کاملِ ساختارِformula_60هستند. نیز تئوری زیر،«مدل‌کامل» و تصمیم‌پذیر است.مجموعه‌های تعریف شدنی با فرمول‌های بدون سور درمیدان‌های بستهٔ جبری، دقیقاً «مجموعه‌های شبه‌جبری» هستند. یعنی آن‌هایی که به گونهٔ زیر تعریف شوند:formula_66که در آن formula_67ها و formula_68 چندجمله‌هایی در formula_69هستند. از آنجا که سورهای وجودی تصویر مجموعه‌ها روی محورها را به دست می‌دهند، حذف سورِ میدان‌های بستهٔ جبری در واقع، معادل این گفته‌است که «در میدانهای بستهٔ جبری، هر تصویر هر مجموعهٔ شبه‌جبری، خود نیز مجموعه‌ای شبه‌جبری است. در واقع، حذف سور، راهبردی بود تارسکی برای اثبات این قضیه پیش گرفت.از دیگر نتیجه‌های حذف سور برای میدانهای بستهٔ جبری، این است که این میدانها «کمینهٔ ترتیبی» هستند (اُمینیمال). یعنی مجموعه‌های تعریف شدنی با یک متغیر در آنها، اجتماعی متناهی از نقطه‌ها و بازه‌های باز هستند (و از این رو بنا به قضیهٔ تقسیم سلولی، مجموعه‌های تعریف شدنی در ابعاد بزرگتر، اجتماعی متناهی از سلول‌ها هستند). ترتیب‌کمینگیاین ساختار، ارتباط سودمندی میان نظریهٔ مدل و تویولوژی برقرار می‌کند.میدانِ ترتیبیِ اعداد حقیقی به همراه جرم توابع تحلیلیِ حقیقی.تئوری میدان بستهٔ حقیقیformula_70بهمراه «جرم توابع تحلیلی حقیقی» و جمع و ضرب و کمتریِ تحدید شده، مدل‌کامل است، یعنی هر فرمولی در آن معادل فرمولی به صورتformula_71است که در آنformula_72فرمولی بدون سور است. (وَن‌ْ دِنْ دریز)به بیان دیگر،اگر باformula_73خانوادهٔ همهٔ توابع تحلیلیِ حقیقیِمحدود شده به بازهٔ بستهٔformula_74را نشان دهیم، و باformula_75تابع تغییردادهٔ شدهٔ تقسیم را که هر جاformula_76باشد تعریف شده‌است،تئوریِ ساختارِformula_77سورها را حذف می‌کند.در نتیجهٔ حذف سور به راحتی می‌توان نشان داد که ساختار یادشده، کمینهٔ ترتیبی است.نیز اهمیت دیگر حذف سور در این ساختار این است، که اثباتی نظریهٔ مدلی برای قضیهٔ هندسیِ«گابْرییِلُف» فراهم می‌آورد. بنا بر قضیهٔ گابرییلف، مکمل هر مجموعهٔ زیرْتحلیلی درformula_70مجموعه‌ای زیرْتحلیلی است.مجموعه‌های زیرتحلیلی، با گرفتن تصاویرِ مجموعه‌های شبه‌تحلیلی روی محورها به دست می‌آیند.نیز، مجموعه‌های شبه‌تحلیلی، دقیقاً مجموعه‌هایی هستند که در ساختارِformula_79بدون سور تعریف می‌شوند.میدانهای بستهٔ جبری.تئوری کاملِ ساختارformula_80سورها را حذف می‌کند (رابینسون). تئوری این ساختار، از این رو، معادل با تئوری میدان‌های بستهٔ حقیقی بامشخصهٔ صفر است. در نتیجهٔ حذف سور، تئوری میدان‌های بستهٔ جبری مدلْ‌کامل است و تئوری میدان‌های بستهٔ جبری با مشخصهٔformula_50(کهformula_50 می‌تواند بی‌نهایت نیز باشد) کامل است.حذف سور در میدان‌های بستهٔ جبری نیز نتایج جبری خوشایندی به دست می‌دهد. در واقع حذف سور در این میدان‌ها معادلقضیهٔ «شُوالی» است که می‌گوید «تصویر هر مجموعهٔ ساخته‌شدنی تحت یک نگاشت چندجمله‌ایمجموعه‌ای ساخته‌شدنی است». مجموعه‌های ساخته‌شدنی در میدان‌های بستهٔ جبری، ترکیبات بولی متناهیِمجموعه‌های بستهٔ زاریسکی هستند. به بیان دیگر، آن‌ها مجموعه‌های «تعریف‌شدنی»با فرمول‌های بدون سوردریک میدان بستهٔ جبریند. طبیعی است که تصویر آن‌ها تحت نگاشت‌های چندجمله‌ای، دوباره تعریف شدنی، و بنا به حذف سور،بدون‌سورتعریف‌شدنی، و از این رو ساخته‌شدنی است.نیز حذف سور (در واقع مدل‌کاملی نتیجه‌شونده از آن) اثبات آسانی برای قضیهٔ ریشه‌های هیلبرت (نول‌اِشتِلِنْ‌سَتز) فراهم می‌آورد.بنا به این قضیه،در میدان‌های بستهٔ جبری، مجموعه‌های بستهٔ زاریسکی در تناظر یک‌به‌یکند باایده‌آل‌های رادیکال در حلقهٔ چندجمله‌ای‌های متناظر.نتیجهٔ دیگرِ حذف سور در میدان‌های بستهٔ جبری، این است که آن‌ها بسیارکمینه هستند. یعنی اگرformula_83یک میدان بستهٔ جبری باشد، هر زیرمجموعهٔ تعریف شدنی ازformula_83یا خودْ یا مکملش متناهی است (یعنی این مجموعه را می‌توان تنها با نمادِ تساوی تعریف کرد).میدان ترتیبی اعداد حقیقی به همراه تابعِ نمایی نامحدود.تئوریِساختارِformula_85یک تئوری مدل‌ْکامل است (ویلکی)؛ یعنی هر فرمول در آن معادلی دارد که تنها دارای سوروجودی است.نکتهٔ تأمل‌برانگیزاین است کهدر این جاتابع نمایی، محدود در نظر گرفته نشده‌است و بنابراین این قضیهاز قضیهٔ ون‌دِن‌دریز برایformula_86نتیجه نمی‌شود.نیز بنا به حذف سور، این تئوری ترتیب‌کمینه است. اگر «حدس شانوئل» درست باشد، این تئوری، تصمیم‌پذیر است. حدس شانوئل این است کهاگرformula_87رویformula_70مستقل «خطی» باشند، آن‌گاه مرتبهٔ تعالی میدانِformula_89حداقل،formula_90است. تصمیم‌پذیری تئوریِformula_91موردِسؤالی از تارسکی بوده‌است.زوجهای چگال از میدانهای بستهٔ حقیقی.فرض کنیدformula_1تئوری «زوجهای چگال از میدانهای بستهٔ حقیقی» باشد (این تئوری، کامل است). به بیان دیگرزوجformula_93مدلی ازformula_1است اگروتنهااگرformula_95وformula_96دو میدان بستهٔ حقیقی در زبانِformula_97باشند وformula_96درformula_95چگال باشد؛ یعنی هر بازهٔ باز که دو سر آن عناصرِformula_95باشند، دارای نقطه‌ای درformula_96باشد. این تئوری را می‌توان تئوریِ کاملِ ساختارِformula_102دانست که در آن منظور ازformula_103میدان بستهٔ حقیقی متشکل از همهٔ عناصر جبری رویformula_104است و خطِبالایِformula_70یعنی این میدان به همراه جمع و ضرب و کمتری و صفر و یک.تئوریِ formula_1 در زبانِformula_107که در آن formula_50یک نماد محمولی یک ظرفیتی برای میدانِ کوچکتراست، دارای حذف سوری این‌چنین است:هر فرمولی در این زبان، معادل ترکیبی بولی از فرمولهایی به صورتformula_110است که در آنformula_111.تئوری یادشده، ترتیب کمینه نیست ولی همچنان از لحاظ توپولوژیک خوش‌رفتار است: هر مجموعهٔ باز ازformula_70که در ساختارformula_102تعریف شدنی باشد، اجتماعی متناهی از بازه هاست.در واقع هر مجموعهٔ باز تعریف شدنی در این ساختار،در خودِformula_114تعریف شدنی است.نیز هر زیرمجموعه ازformula_115که در این ساختار تعریف شدنی باشد، اشتراکِformula_103با زیرمجموعه‌ای چونformula_117ازformula_70است که با فرمولی درformula_119تعریف شده باشد. نیز هر زیرمجموعه‌ای چونformula_120ازformula_70که در این ساختار تعریف‌شدنی باشد تجزیه‌ای به‌گونهٔformula_122دارد که در آنهرformula_123یا یک بازهٔ بازِ زیرمجموعهٔformula_120است یا یک نقطه است، یا یک بازهٔ باز به‌گونه‌ای است کهformula_125وformula_126درformula_127چگال است. مشابه این گفته برای مجموعه‌های تعریف شدنی در ابعاد بالاتر نیز برقرار است (تجزیهٔ سلولی چگال و مکمل‌ْچگال). در نتیجهformula_47در این ساختار تعریف شدنی نیست و این امر برای در امان بودن از دشواری‌های ناتمامیت، در ساختارهای نظریهٔ مدلی اهمیت دارد.میدانهای ارزیابی.تئوریمیدان‌های ارزیابی‌ِ بستهٔ جبریِکه در آن مشخصهٔ میدانِ اصلی و میدانِ خارج‌قسمتی تبیین شده‌است،در زبانِ به دست آمده از اجتماع زبان میدان‌ها بامحمول دوظرفیتیِformula_129،سورها را حذف می‌کند (رابینسون).در حالت کلی‌تر، میدان‌های ارزیابیِ (نه لزوماً بستهٔ جبری) هنسلیِ دارای مؤلفهٔ زاویه‌ای،به گونهٔformula_130را درزبان سه‌بخشیِformula_131مطالعه می‌کنند که حامل سه بخش برای میدان اصلی و میدان خارج‌قسمتی و گروه ارزیابی‌هاست.نگاشت ارزیابی با نمادformula_132نشان داده شده‌است. نیزformula_133نگاشت مؤلفهٔ زاویه‌ای، یک همومرفیسم گروه ضربی است که نگاشت کانونیِformula_134،را «روی عناصرِیکهٔformula_135»گسترش می‌دهد. در این زبان می‌توان نشان داد که میدان‌های ارزیابی هنسلی دارای مؤلفهٔ زاویه‌ای و بامشخصهٔ صفر برای میدان خارج‌قسمتی، سورها رااز میدانِ اصلی، یعنیformula_83،حذف می‌کنند. به بیان دیگر،اگر دو میدان ارزیابیِformula_130وformula_138داشته باشیم و بدانیم کهformula_139وformula_140آنگاهformula_141.حذف سور تبعات خوشایند زیادی نیز برای میدان‌های ارزیابی دارد. برای مثال، تئوری میدان‌های بستهٔ جبریِبا مشخصهٔ مشخص، سی‌کمینال (سی‌مینیمال) است. یعنی مجموعه‌های تعریف شدنی در آن ساختاری درخت‌مانند دارند.نیز در میدان‌های ارزیابیِ بستهٔ جبری، گروه ارزیابی‌هاو میدان خارج‌قسمتی، هر یک «ثابت‌ْنشانده» هستند. یعنیزیرمجموعه‌هایی از آن‌ها را که در کل ساختار تعریف‌شدنی باشند می‌توان در خودِ ساختار گروه، یا در خودِ ساختارِمیدان و بدون کمک‌گیری از بقیهٔ زبان تعریف کرد. این نکته دربارهٔ میدان‌های ارزیابیِ هنسلی دارای مشخصهٔخارج‌قسمتیِصفر و دارای مؤلفهٔ موضعی نیز درست است.روش‌های معمول برای بررسی حذف‌سور.پیدا کردن معادل بدون سوربه روش مستقیم و با دستکاری فرمولها،برای یک فرمول پیچیدهٔ دارای سور همواره عملی‌ترین راه آزمودن حذف سور نمی‌تواند باشد، به ویژه وقتی که زبان دارای چندین بخش است و فرمول‌ها بسیار پیجیده‌اند. عموماًحذف سور را با کمک گرفتن از «محکهای جبری» زیر می‌آزمایند.روش اول.تئوریformula_1دارای حذف سور است اگر و تنها اگر برای هر دو مدلِformula_143و هر زیرساختارِ مشترک از این‌دو مانندformula_144هر فرمولِformula_145که عطفی از فرمول‌های اتمی (فرمول‌های ساخته شده با کمک تساوی و نقیض و ترم‌ها و رابطه‌های زبان) است و پارامترهایformula_146در آن ازformula_27می‌آیند، داشته باشیمformula_148روش دوم، راژمانهای رفت و برگشتی.همان‌گونه که در تعریف حذف سور اشاره شد، برای این که یک تئوری حذف سور بپذیرد، باید تایپ‌های کامل عناصر را تایپ‌های بدون سور آن‌ها به دست بدهند.فرض کنیدformula_149وformula_150مدلهاییبسیار اشباع باشند وformula_151وformula_152. بامهارتهایاولیهٔنظریهٔ مدلی می‌توان نشان داد کهformula_153اگر و تنها اگرزیرساختاری ازformula_149کهformula_146آن را تولید می‌کند با زیرساختاری ازformula_150کهformula_157آن را تولید می‌کند، ایزومرف باشد.یادآوری می‌کنیم کهformula_158نشانگر تایپ بدون سور است.نیزformula_159هرگاه یک نگاشت مقدماتی جزئی داشته باشیم کهformula_146را بهformula_157ببرد.هرگاه یک «راژمان رفت و برگشتی» ازایزومرفیسم‌های میان زیرساختارهایformula_149وformula_150وجود داشته باشد که ایزومرفیسم میان ساختار تولید شده توسطformula_146درformula_149و ساختار تولید شده توسطformula_157درformula_150در میان آن‌ها باشد، آن‌گاهformula_159.به بیان دقیق‌تر، موارد زیر با هم معادلند:روش چهارم.اگر تئوریِ formula_1 دو شرط جبری زیر را برآورد، آن‌گاه سورها را حذف می‌کند:روش پنجم.موارد زیر با هم معادلند (تعاریف در ادامه آمده‌است).مفاهیم نزدیک به حذف سور.کامل بودن.تئوریِformula_1را «کامل» می‌خوانند هرگاه هر جمله‌ای یا نقیضِ آنازformula_1نتیجه شود. اگرformula_1کامل باشد وformula_23آن‌گاهformula_1با تئوریِ کاملِformula_273هم‌ارز است. یعنی هر ویژگی‌ای که در یکی از مدلهایformula_1برقرار باشد، در همهٔ مدل‌های دیگر نیز برقرار خواهد بود. به بیان دیگر، اگرformula_1کامل باشد وformula_32آن‌گاهformula_277؛یعنیformula_95وformula_96هم‌ارز مقدماتی هستند.هرگاهformula_1کامل باشد، می‌توان مدلیبسیار بزرگ از آن را برای کار اندر آن برگزید و و آن را مدل «هیولا» خواندو همهٔ مدل‌ها را زیرمدلی از مدل هیولا دانست.نیزبررسی تایپ‌ها عموماً در تئوری‌های کامل و در مدل هیولا صورت می‌پذیرد.اگرformula_1دارای حذف سور باشد و مدلی داشته باشد که در سایر مدل‌های دیگر، مقدماتی نشانده شود، آنگاهformula_1کامل است. کامل بودن بسیاری از تئوریها، مانندمیدان‌های بستهٔ حقیقی و میدان‌های بستهٔ جبری، با کمک این نکته ثابت می‌شود.همان‌گونه که در تعریف گفتیم، تئوریِformula_1دارای حذف سور است اگر و تنها اگر برای هر مدلformula_23وهرزیرساختارِformula_24تئوریِformula_286یک تئوری کامل باشد.مدلْ‌کامل بودن.بسیاری از تئوری‌ها کامل نیستندولیویژگی‌ای را نزدیک به کامل‌بودندارا هستند که آن را «مدل‌کامل» بودن می‌خوانند.تئوریِformula_1را مدل‌ْکامل می‌خوانند هرگاه برای هر مدلِformula_23تئوریِformula_289در زبانformula_290یک تئوری کامل باشد.منظور ازformula_291مجموعهٔ همهٔجمله‌های بدون سورِدرست درformula_95است و منظور ازformula_290زبانی است که با افزودن ثابت برای عنصرِformula_95به زبانِ تئوریِformula_1به دست آمده باشد.به بیان دیگر، تئوریِformula_1مدل‌کامل است اگروتنهااگر هر مدل از آن بستهٔ وجودی باشد؛ یعنی اگرformula_23وformula_43یک فرمول بدون سور باشد وformula_299آن گاه برای هرformula_261داریمformula_301.نیز به بیان دیگر، تئوریِformula_1مدل‌کامل است اگروتنهاگر برای هر دو مدلِformula_299داشته باشیمformula_34؛یعنیformula_95زیرمدلی مقدماتی ازformula_96باشد.تئوریِformula_1مدل‌کامل است اگروتنهااگر هر فرمولی در آن معادلی با فقط سور وجودی داشته باشد. به بیان دیگر هر فرمولبا متغیرِ آزادِformula_308معادلیبه گونهٔformula_309داشته باشد.که در آنformula_72فرمولی بدون سور است.از آنجا که «تایپ» مفهومی مقدماتی است (یعنی هر تایپ در یک گسترش مقدماتی برآورده می‌شود)به مدل‌کامل بودن یک تئوری برای بررسی تایپ‌های آن در مدل هیولا نیاز است.اگرformula_1حذف سور داشته باشد، مدل‌ْکامل است.همپای مدلی.برای بررسی راحت‌ترِویژگی‌های تئوری‌های ناکامل، می‌توان «همپای مدلی» آن‌ها را در صورت وجود بررسی کرد که مدل‌ْکامل است.تئوریِformula_312را «همپای مدلی» تئوریformula_1می‌خوانیمهرگاهformula_312مدل‌ْکامل باشد وformula_315.منظور ازformula_266مجموعهٔ همهٔ جمله‌های با سور عمومی است که ازformula_1نتیجه می‌شوند.به بیان دیگر،formula_315یعنی هر مدل ازformula_1را بتوان به یک مدل ازformula_312گستراند و هر مدل ازformula_312را به یک مدل ازformula_1.همپای مدلی یک تئوری لزوماً همیشه موجود نیست، ولی در صورت وجود، یکتاست.تئوریِformula_1دارای همپای مدلی است، اگروتنهااگر کلاس همهٔ مدل‌های بسته‌ٔوجودیِ آن، کلاسی مقدماتی باشد.در واقع همپای مدلیِformula_1،تئوری‌ِ این کلاس مقدماتی است.مدلِformula_23را «بستهٔ وجودی»می‌خوانند هرگاه برای هرformula_299و هر فرمولِ بدون سورِformula_327که در آنformula_261داشته باشیمformula_329.مُکمّلِ مدلی.اگرformula_312همپای مدلیِformula_1باشد وformula_1دارای «ویژگی پیوندی» (همان گونه که در زیر آمده‌است) باشد، آن‌گاهformula_312را «مکمل مدلیِ»formula_1می‌خوانیم. مکمل‌ِ مدلی یک تئوری به داشتن حذف سور نزدیک است؛ از آن رو کهمکملِ مدلیِ یک تئوری با اصل‌بندیِ جهانی (formula_335)دارای حذف سور است.نیزformula_312مکمل مدلیِformula_1است.اگروتنهااگرهمپای مدلیformula_1باشد و برای هرformula_23تئوریِformula_340در زبانformula_290یک تئوری کامل باشد.ویژگی پیوندی.تئوریِformula_1دارای «ویژگیِ پیوندی» است.هرگاه هر دو مدل آن را که دارای زیرمدلی مشترک باشند بتوان به هم پیوند زد. به بیان دقیق‌ترهرگاهformula_343سه مدلِformula_1باشندوformula_345وformula_346دو نشاندن باشند، آنگاه یک مدلِformula_96ازformula_1و دو نشاندنِformula_349وformula_350موجود باشند کهformula_351.ویژگی پیوندی با حذف سور رابطهٔ نزدیکی دارد. نخست توجه کنید که «پیوند» در حالت مقدماتی همیشه ممکن است؛ یعنیاگرformula_343سه ساختار باشند وformula_353برایformula_354دو «نشاندن مقدماتی» باشند، آنگاه یک ساختارِformula_96به همراه نشاندن‌های مقدماتیformula_356پیدا می‌شوند کهformula_351.از آنجا که در حضور حذف سور، هر زیرمدلی، زیرمدلی مقدماتی است رابطهٔ میان ویژگی پیوندی و حذف سورتوجیه شدنی است.در واقع موارد زیر با هم معادلند: