قضیه کیلی-همیلتون کیست؟ توضیح بده.
در جبر خطی و نظریه ماتریس‌ها، قضیه کیلی - همیلتون که به نام آرتور کیلی و ویلیام روان همیلتون نامگذاری شده است بیان می‌کند که هر ماتریس مربعی (بر روی یک حلقه جابه جایی مثل میدان اعداد حقیقی یا میدان اعداد مختلط) در معادله مشخصه خود صدق می‌کند.قضیه.فرض کنید ماتریس formula_1 ماتریسی با درایه‌های حقیقی، و نماد formula_2 (یا به اختصار formula_3) معرف ماتریس همانی formula_4 باشد. در این صورت اگر formula_5 معادله مشخصه ماتریس A باشد که به صورت formula_6 تعریف می‌شود، آنگاه formula_7.دقت کنید که در محاسبه چندجمله‌ای مشخصه ماتریس A نهایتاً به عبارتی به صورتformula_8می‌رسیم و وقتی می‌نویسیم formula_9 منظورمان معادله‌ای ماتریسی است که در آن توانهای ماتریس A حضور دارند. همچنین جمله آخر چندجمله‌ای که حاوی عدد ثابت است و formula_10 ندارد را به صورت formula_11 تعبیر کرده و در معادله ماتریسی با ماتریس همانی formula_12 جایگزین می‌کنیم تا معادله ماتریسی معنادار شود. نهایتاً می‌توان صورت قضیه را به شکل زیر بازنویسی کرد:formula_13دقت کنید که ضریب جمله n ام همواره برابر ۱ است زیرا این جمله از ضرب جملات روی قطر اصلی ماتریس formula_14 به دست آمده و ضرایب formula_10ها همگی ۱ است.نتایج.مهمترین نتیجه‌ای که از قضیه کیلی - همیلتون به دست می‌آید این است که تمام توانهای هر ماتریس formula_4 را می‌توان به صورت ترکیبی خطی از ماتریس همانی و formula_17 توان اول آن ماتریس نوشت. به عبارتی دیگر برای هر ماتریس formula_18 یا formula_19، ماتریس formula_20 وابسته خطی توانهای پایینتر ماتریس formula_21 است. به کمک قضیه کیلی - همیلتون توابع ماتریسی بسیاری را می‌توان محاسبه نمود. تمام توابع تحلیلی که برای اعداد حقیقی و مختلط تعریف می‌شوند به کمک این قضیه برای ماتریس‌های مربعی نیز معنا پیدا می‌کنند. از مهمترین کاربردهای آن محاسبه ماتریس معکوس و ماتریس نمایی است که در زیر توضیح داده می‌شوندمحاسبه تابع معکوس به کمک قضیه کیلی - همیلتون.ماتریس مربعی formula_21 را در نظر بگیرید. برای این ماتریس به کمک قضیه کیلی - همیلتون می‌توان نوشت:formula_13که در آن formula_24 ضرایب معادله مشخصه ماتریس A هستند. اگر ضریب formula_25، می‌توان با انتقال جمله ثابت به طرف راست، تساوی فوق را به صورت زیر نوشت:formula_26و سپس با فاکتور گیری از ماتریس formula_21 از چپ خواهیم داشت:formula_28چون formula_21 معکوس پذیر است، با ضرب کردن معکوس formula_21 از چپ در تساوی بالا داریم:formula_31و نهایتاً خواهیم داشت:formula_32دقت کنید که فرض formula_25 برای معکوس پذیر بودن ماتریس formula_21 کافی است زیرا در معادله مشخصه formula_35 ضریب formula_36 برابر است با:formula_37و ناصفر بودن formula_36 معادل ناصفر بودن دترمینان formula_21 است. همچنین این مسئله درکی شهودی به ما می‌دهد که چرا وقتی دترمینان formula_21 صفر است formula_21 معکوس پذیر نیست.مثال.معکوس ماتریسformula_42را به کمک قضیه کیلی - همیلتون به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.معادله مشخصه به صورت زیر خواهد بود.formula_43در نتیجه بنا بر کیلی - همیلتون می‌توان نوشت:formula_44با جایگذاری اعداد خواهیم داشت:formula_45نحوه محاسبه formula_46 برای توابع formula_47 تحلیلی.نحوه محاسبه ماتریس formula_48می‌دانیم برای هر عدد حقیقی a، مقدار e^a از بسط تیلور زیر قابل محاسبه است:formula_49برای محاسبه ماتریس formula_48 می‌توان نوشت:formula_51که یک مجموع نامتناهی است و محاسبه دقیق آن بدین صورت ممکن نیست. اما به کمک کیلی - همیلتون تمام توانهای بالاتر از n-1 ماتریس formula_21 ترکیبی خطی از n توان اول (شامل توان صفرم) هستند و این یعنی اعدادی متناهی به فرم formula_53 وجود دارند کهformula_54