تابع بیضوی کیست؟ توضیح بده.
در آنالیز مختلط، تابع بیضوی، یک تابع مرومورفیک است که در دو مسیر تناوبی است. در یک تابع متناوب، تابع فقط در یک تناوب تعریف می‌شود (این تناوب پیوسته تکرار می‌شود)، اما تابع بیضوی در یک متوازی‌الأضلاع پایه تعریف می‌شود، که این متوازی‌الأضلاع به صورت شبکه‌ای تکرار می‌شود. چون یک تابع متناوب دوقلو نمی‌تواند هام دیس (دارای دو انتهای متقارن) باشد، بر اساس قضیهٔ لیویل باید ثابت باشد. یک تابع بیضوی باید حداقل دو قطب در متوازی‌الأضلاع پایه داشته باشد.تاریخچه.کمی پس از توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال بی‌نهایت کوچک، نظریه توابع بیضوی توسط ریاضیدان ایتالیایی، جولیو دی فاگنانو، و ریاضیدان سوئیسی، لئونارد اویلر، آغاز شد. هنگامی که آنها سعی کردند طول کمان یک لمنیسکات را محاسبه کنند، با مسائلی در مورد انتگرال‌هایی که شامل جذر چندجمله‌ای‌های درجه ۳ و ۴ بودند، مواجه شدند. واضح بود که آن دسته از انتگرال‌های به اصطلاح بیضوی را نمی‌توان با استفاده از توابع مقدماتی حل کرد. فاگنانو یک رابطه جبری بین انتگرال‌های بیضوی مشاهده کرد، که آن را در سال ۱۷۵۰ منتشر کرد. اویلر بلافاصله نتایج فاگنانو را تعمیم داد و قضیه جمع جبری خود را برای انتگرال‌های بیضوی مطرح کرد. به جز نظری از لاندن، ایده‌های او تا سال ۱۷۸۶ دنبال نشد، زمانی که لژاندر مقاله خود را با عنوان «یادداشت‌هایی در مورد انتگرال‌ها بر روی کمان‌های بیضوی» منتشر کرد. لژاندر متعاقباً انتگرال‌های بیضوی را مطالعه کرد و آنها را توابع بیضوی نامید. لژاندر یک طبقه‌بندی سه‌گانه - سه نوع - را معرفی کرد که ساده‌سازی بسیار مهمی از نظریه نسبتاً پیچیده آن زمان بود. سایر آثار مهم لژاندر عبارتند از: خاطراتی درباره بیضی‌های متعالی (۱۷۹۲)، تمرین‌های محاسبه انتگرال (۱۸۱۱-۱۸۱۷)، رساله توابع بیضی (۱۸۲۵-۱۸۳۲). کار لژاندر تا سال ۱۸۲۶ عمدتاً توسط ریاضیدانان دست‌نخورده باقی ماند.پس از آن، نیلز هنریک آبل و کارل گوستاو ژاکوبی تحقیقات را از سر گرفتند و به سرعت نتایج جدیدی کشف کردند. در ابتدا آنها تابع انتگرال بیضوی را معکوس کردند. به دنبال پیشنهاد ژاکوبی در سال ۱۸۲۹، این توابع معکوس اکنون توابع بیضوی نامیده می‌شوند. یکی از مهمترین آثار ژاکوبی، «نظریه جدید توابع بیضوی» است که در سال ۱۸۲۹ منتشر شد. قضیه جمع اویلر در سال ۱۸۲۹ توسط آبل مطرح و به شکل کلی اثبات شد. در آن روزها، نظریه توابع بیضوی و نظریه توابع تناوبی مضاعف، نظریه‌های متفاوتی در نظر گرفته می‌شدند. آنها در سال ۱۸۵۶ توسط بریو و بوکه گرد هم آمدند. گاوس ۳۰ سال قبل بسیاری از خواص توابع بیضوی را کشف کرده بود، اما هرگز چیزی در این مورد منتشر نکردتعریف.یک تابع بیضوی تابعی formula_1 است که روی formula_2 تابع مرومورفیک است و برای آن دو عدد مختلط غیر صفر formula_3 و formula_4 که formula_5 (به عبارت دیگر، این دو عدد غیر موازی اند) است وجود دارد، به طوری که formula_6 و formula_7 برای هر formula_8.«شبکهٔ تناوب ها» با formula_9 نمایش داده می‌شود، در نتیجه formula_10 برای هر formula_11.دو دسته تابع بیضوی کانونی داریم:ژاکوبی و وایرشتراس. گرچه تابع بیضوی ژاکوبی قدیمی تر و مستقیماً مرتبط با کاربردهاست ولی نویسندگان جدید نظریهٔ مقدماتی را با تابع وایرشتراس دنبال می‌کنند چون ساده‌تر است.اگر یک سلول را متوازی‌الأضلاع پایه‌ای که در آن تابع چند مقداری (چندگانه) نباشد، تعریف کنیم، خواص زیر را خواهیم داشت:̈# تعداد قطب‌ها در هر سلول محدود است.تابع بیضوی با دوقطب ساده با باقیمانده و را تابع بیضوی ژاکوبی گویند.تابع بیضوی وایرشتراس.تابع بیضوی وایرشتراس formula_14 به راحتی با انتخاب formula_15 بر اساس تعریف قابل ساختن است:این تابع با تبدیل formula_17 و برای هر formula_11 ثابت است و فقط دو قطب در formula_19 و formula_20 دارد.