تابع هیون کیست؟ توضیح بده.
تابع هیون، از توابع خاص در علم ریاضیات با نماد (Hℓ(a,q;α,β،γ,δ;z، تابعی هولومورفیک و پاسخ یک معادله دیفرانسیل معمولی خطیِ مرتبه دو با ضرایب غیرثابت به نام معادله هیون است که به افتخار ریاضیدان آلمانی، کارل هیون به این اسم نامیده می‌شود. معادله هیون، کلی‌ترین حالت معادله فوکسین خطی مرتبه دو، با داشتن چهار نقطه منفرد منظم است. حل این معادله تحت عنوان تابع هیون، از طریق تکنیک حل معادلات دیفرانسیل با کمک سری‌های توانی، بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس امکانپذیر است. گونه‌هایی از معادلات هیون، تحت عنوان معادلات کانفلوئنت هیون، با داشتن یک یا چند نقطه منفرد نامنظم وجود دارند که دارای ویژگی‌های ریاضی متعددی، من‌جمله ارتباطی تنگاتنگ با برخی از معادلات دیفرانسیلِ مولدِ پاره‌ای از توابع خاص هستند. در کل، معادله هیون، حالتی عمومی از معادلات دیفرانسیلی نظیر معادلات گاوس هایپرژئومتریک، کانفلوئنت هایپرژئومتریک، لامه، اینس، بسل، لِژندر و لگِر است که به همین علت تابع هیون روابط اثبات شده گوناگونی با بعضی از این توابع مانند توابع لامه و توابع هایپرژئومتریک پیدا کرده‌است. همچنین تابع هیون به صورت بسطی از توابعی مانند توابع هایپرژئومتریک و توابع ریمان پی قابل نمایش است. دسته‌ای خاص از پاسخهای معادله هیون مشهور به توابع هیون موجودند که در نقطه واحد دستگاه مختصات، تحلیلی هستند، همچنین دسته‌ای دیگر از پاسخهای این معادله تحت نام چندجمله‌ای‌های هیون در تمام نقاط منفرد منظم متناهی معادله هیون، دارای رفتاری تحلیلی‌اند. توابع و چندجمله ای‌های هیون، خواص متعددی دارند که می‌توان به وجود تعامد در آن‌ها اشاره کرد. معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای متعددی در علوم فیزیک و مهندسی، پس از اعمال روش جداسازی متغیرها منجر به بروز تابع هیون می‌شوند. تابع هیون، در دینامیک سیالات، فرایند تبدیل کریستالها، مکانیک کوانتوم، مطالعه بر سیاهچاله ها، و بسیاری از علوم دیگر کاربرد دارد. امروزه، نرم‌افزارهای ریاضی گوناگونی قادر به محاسبه تابع عمومی هیون و چندجمله ای‌ها و توابع هیون با دقت و سرعت بالایی هستند. معادله دیفرانسیل هیون.حالت کلی معادله هیون را می‌توان به صورت زیر نمایش داد.formula_1formula_2معادله هیون را می‌توان یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی و از دسته معادلات فوکسین مرتبه دو با داشتن چهار نقطه تکینگی در نقاط formula_3 برشمرد. لازم به ذکر است که نقاطِ منفردِ منظمِ formula_3، به ترتیب جفت اکسپاننت هایی(پاسخهای معادله مشخصه) به شرح formula_5 و formula_6 و formula_7 و formula_8 دارند . در معادله هیون، formula_9 ثابت تکینگی، formula_10 ٬ formula_11 ٬ formula_12 ٬ formula_13 و formula_14 ثابتهای اکسپاننت و q ثابتی کمکی است. هر هفت پارامتر مؤثر در معادله هیون،formula_15، مستقل نیستند و با هم ارتباطی جبری دارند. بدین منظور، حالتی کلی از یک معادله فوکسین مرتبه دو را با 1+N نقطه تکینگی در formula_16 و formula_17، به صورت زیر در نظر بگیرید.formula_18در این حالت، جفت پاسخهای معادله مشخصه متناظر با نقاط متناهیِ formula_19 برابر با formula_20 و جفت پاسخ معادله مشخصه متناظر با formula_17 برابر با formula_22 خواهد بود. مجموع جفت پاسخهای معادله مشخصه، باید در رابطه formula_23 صدق کنند. بنابراین، ثابت‌های formula_10 ٬ formula_11 ٬ formula_12 ٬ formula_13 و formula_14 می‌باید شرط formula_29 را برقرار سازند. با این توصیف، در معادله هیون، شش ثابت مستقل وجود دارد. از این رابطه در برخی از منابع تحت عنوان رابطه فوکس یا شرط فوکسین نام برده شده‌است.با انتخاب formula_30 حالت نرمال معادله هیون به صورت زیر نوشته می‌شود.formula_31در معادله بالا formula_32 می‌باشند. پارامترهای formula_33 از روابط زیر قابل محاسبه هستند.با تغییر متغیر formula_34 می‌توان به حالتی مثلثاتی از معادله هیون دست پیدا کرد.formula_35با جایگذاری formula_36 و formula_37 معادله هیون بر اساس توابع ژاکوبی بیضوی به صورت زیر قابل نمایش است.formula_38پاسخ معادله هیون.پاسخ معادله هیون، با نماد formula_39 بر پایه یک سری توانی بر اساس تئوری فوکس-فروبنیوس، حول نقطه formula_40 با احتساب مقدار formula_41 در این نقطه و اکسپاننت formula_42 قابل نوشتن است. در صورتی که مقدار اکسپاننت دیگر٬formula_43٬ عدد صحیح مثبتی نباشد یا به عبارتی دیگر formula_44، پاسخ معادله هیون بر ناحیه formula_45 موجود و تحلیلی و به صورت سری توانی زیر است.formula_46ضرایب این سری توانی از رابطه‌ای بازگشتی با احتساب formula_47٬ formula_48٬ formula_49 و به شرح زیر به دست می آیند.formula_50formula_51formula_52در صورتی که مقدار اکسپاننت دوم،formula_43٬ مقدار صحیح مثبتی باشد، یا formula_54، پاسخ معادله هیون به صورت زیر است.formula_55پاسخ حول نقطه formula_56 با احتساب اکسپاننت formula_42 برابر با مقدار زیر است.formula_58همینطور پاسخ حول نقطه formula_56 با احتساب اکسپاننت formula_60 به صورت زیر نشان داده می‌شود.formula_61پاسخهای مربوطه معادله هیون، حول نقطه formula_62 با احتساب اکسپاننت‌های formula_42 و formula_64 به ترتیب به صورتهای زیر قابل محاسبه هستند.formula_65formula_66همچنین در formula_67 با در نظر گرفتن اکسپاننت‌های formula_68 و formula_69 می‌توان به ترتیب جواب‌های معادله هیون را به مانند زیر نمایش داد.formula_70formula_71توابع هیون.به ازای دسته مقادیری از ثابت کمکی q، تابع هیون یا formula_72 در نقطه formula_56 و در نتیجه بر بازه formula_74٬ formula_75 با استفاده از کسرهایی نامتناهی به صورت formula_76 و با جایگذاری formula_77٬ formula_48٬ formula_49 به دست می آیند. برای تأکید بر تفاوت این گروه از پاسخهای معادله هیون از نماد formula_80 استفاده می‌شود.در حالتی عمومی تر به ازای هر formula_81 می‌توان دسته‌ای از مقادیر formula_82 پیدا کرد که تابع هیون، در نقاط formula_83 و formula_84 تحلیلی باشد. شیوه محاسبه formula_82 بستگی به مقادیر formula_83 و formula_84 دارد. به این گروه از تابع‌های هیون که در دو نقطه از چهار نقطه تکین در معادله دیفرانسیل هیون پاسخی تحلیلی دارند، "توابع هیون" می‌گویند که با نماد formula_88 نمایش داده می‌شوند.چندجمله‌ای‌های هیون.چندجمله‌ای های هیون، چندجمله‌ای‌هایی از درجه n هستند که بر سه نقطه متناهی تکین معادله هیون formula_89، تحلیلی اند و با نماد formula_90همچنین روابطی موجود هستند که در آن‌ها متغیر z در تبدیل از تابع هیون به معادلی به صورت یک تابع هایپرژئومتریک، تغییر توانی نمی‌یابد یا به صورت چندجمله‌ای ظاهر نمی‌شود، بلکه تنها تحت تغییرات جبری قرار میگیرد.تابع هیون، با تابع لامه نیز دارای ارتباط است. می‌توان با تغییر متغیر formula_91، معادله هیون را بر حسب متغیر formula_92 نمایش داد، به‌طوری‌که formula_36٬ formula_94٬ formula_95٬ formula_96٬ formula_97. لازم به ذکر است که معادله دیفرانسیل لامه به صورت formula_98 را برقرار سازد، به‌طوری‌که formula_99.شیوه محاسبه تابع کرنل معادله انتگرالی با تغییر متغیرهای زیر امکانپذیر است.formula_100formula_101formula_102تابع کرنل formula_103 باید معادله زیر را پاسخگو باشد. جواب این معادله را می‌توان بر حسب تابع ریمان پی نوشت.formula_104formula_105در رابطه بالا،formula_106 ثابت روش جداسازی متغیرهاست. مثلاً در چندجمله ای‌های هیون، formula_107٬ formula_108 است به‌طوری‌که formula_109.اگر formula_110 یکی از جواب‌های معادله هیون و formula_111 جوابی دیگر از این معادله باشد، می‌توان رابطه‌ای انتگرالی به شرح زیر بین این دو پاسخ از معادله پیدا کرد.formula_112تابع وزن رابطه انتگرالی به صورت formula_113 است و کرنل formula_114 میباید در معادله دیفرانسیل چند متغیره formula_115 صادق باشد. اپراتور formula_116 نیز اپراتور دیفرانسیلی هیون است. همچنین نواحی انتگرالگیری formula_117 و formula_118 باید در روابط زیر صدق کنند.formula_119formula_120در دو رابطه بالا، formula_99 است.با تغییر متغیرهای زیر، می‌توان تابع کرنل رابطه انتگرالی را محاسبه کرد.formula_122formula_123formula_124در نهایت با اعمال تغییر متغیرهای مذکور، کرنل رابطه انتگرالی، میبایست معادله دیفرانسیل چند متغیره زیر را ارضا کند.formula_125نتیجه معادله مذکور بر حسب توابع بسل، به صورت زیر قابل محاسبه است.formula_126در رابطه بالا formula_127٬formula_128٬formula_129 ترکیبهایی خطی از توابع بسل نوع اول و دوم و formula_130 و formula_131 ثابتهای جداسازی هستند، به‌طور مثال:formula_132با تغییر متغیرهایی بر اساس دستگاه مختصات کروی، می‌توان به صورتی دیگر از معادله کرنل رسید.formula_133formula_134formula_135formula_136حل معادله بالا، بر اساس توابع ریمان پی به صورت زیر است.formula_137پارامترهای معادله بالا، از دسته روابط زیر به دست می آیند.formula_138formula_139formula_140formula_141formula_142formula_143formula_144ثابتهای formula_130 و formula_131 ثابتهای روش جداسازی متغیرها در حل معادله دیفرانسیل هستند.بسط بر اساس توابع هایپرژئومتریک.فرض کنید formula_110 جواب معادله هیون باشد و بتوان آن را به صورت بسطی از توابع ریمان پی نشان داد.formula_148formula_149formula_150در این صورت می‌توان formula_19 را از روابط زیر به دست آورد.formula_152formula_153به‌طوری‌که:formula_154formula_155formula_156در سه رابطه بالا، formula_157 و formula_158 میباید در عبارت formula_159 صدق کنند که بر این اساس، می‌توان به مقادیر گوناگونی از این دو پارامتر و در نتیجه بسطهای مختلفی بر اساس توابع هایپرژئومتریک رسید. مثلاً اگر:formula_160formula_161شرط formula_159 برقرار می‌شود و می‌توان به بسطی بر اساس توابع هایپرژئومتریک دست یافت که در آن:formula_163در زیر مقادیری از formula_157 و formula_158 که در شرط formula_159 صادق هستند قرار داده شده‌اند.formula_167 و formula_168formula_169 و formula_170formula_171 و formula_172formula_173 و formula_174formula_175 و formula_176صورتهای کانفلوئنت معادله هیون.صورت کانفلوئنت معادله هیون به نوعی از معادلات هیون گفته می‌شود که حداقل یکی از نقاط منفرد منظم این معادله، تبدیل به یک نقطه منفرد نامنظم گردیده باشد. چهار حالت استندارد برای کانفلوئنت معادله هیون وجود دارد.این معادله به شکل زیر نمایش داده می‌شود و حاوی دو نقطه منفرد نامنظم از درجه یک در formula_177 است.formula_178معادله بای کانفلوئنت هیون شامل نقطه منفرد منظم در formula_40 و نقطه منفرد نامنظم از درجه دو در formula_67 است.&lt;math&gt;\frac