متغیرهای تصادفی تعویض پذیر کیست؟ توضیح بده.
در آمار دنباله‌ای از "متغیرهای تصادفی تعویض پذیر" دنباله‌ای است که در آن نمونه‌های آینده مانند نمونه‌های اولیه رفتار کنند.تعریف.در صورتی که دنباله‌ای بی‌نهایت formula_1 از متغیرهای تصادفی داشته باشیم، و به ازای هر جایگشت دلخواه formula_2 تعداد محدودی از از آن‌ها را جابجا کنیم، و دنبالهٔ جدیدی درست کنیمتوزیع مشترک دنبالهٔ جدید عیناً برابر با توزیع مشترک دنباله قبل از جابجایی باشد.ارتباط بین تعویض‌پذیری و IID بودن.مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی که IID متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان مشروط بر فرض دانستن اطلاعات توزیع، تعویض پذیر هستند. این نتیجه مستقیماً از تعریف دنبالهٔ تعویض پذیر بر اساس توزیع مشترک بدست می‌آید. یا به عبارت دیگر می‌توان یک دنبالهٔ تعویض پذیر را معادل با یک دنبالهٔ IID مشروط به ساختار توزیعی آن‌ها تعریف کرد. توجه باید کرد که این مسئله تنها در مورد دنباله با طول بی‌نهایت صادق است.یک دنبالهٔ تعویض پذیر با طول بی‌نهایت، اکیداً ایستا است و قانون اعداد بزرگ به فرم نظریه ارگودیک (Birkhoff-Khinchin theorem) در مورد آن صدق می‌کند. یعنی می‌توان با نسبت دادن توصیفی برای توزیع داده‌ها، خطای تجمعی نمونه‌ها اکیداً محدود کرد. هرچه نمونه‌های واقعی به نمونه‌های تعویض پذیر شباهت بیشتری داشته باشند، این استدلال واقعی تر است.می توان توصیف ریاضی مفاهیم بالا را این‌گونه بیان کرد. فرض کنیم دنبالهٔ بینهایت formula_4 را داشته باشیم، توزیع نمونه‌ای formula_5 را این‌گونه تعریف می‌کنیمformula_6اگر دنباله formula_7 تعویض پذیر باشد، بدین معنی است که المان‌های formula_8 از هم مستقل هستند. این بدی معنی است که می‌توان توزیع مشترک هر زیر مجموعه‌ای از متغیرها به این صورت جدا کرد:formula_9مثال.گلدان پلیا یک نمونه کلاسیک تعویض پذیری است. فرض کنید ما یک گلدان داریم که حاوی formula_10 توپ سفید و formula_11 توپ سیاه است. هر بار یک توپ را کاملا به صورت تصادفی از گلدان برمی‌داریم رنگ آن را را ثبت کرده و توپ را به همراه یک توپ دیگر به همان رنگ به گلدان برمی‌گردانیم. هر بار که یک توپ جدید از گلدان برمی‌داریم یک متغیر تصادفی به اسم formula_12 برای رنگ توپ تعریف می‌کنیم. formula_13 اگر رنگ توپ سیاه باشد و در غیر اینصورت formula_14. هر چه متغیرهای تصادفی قبل از formula_12 بیشتر یک باشد، احتمال اینکه formula_12 نیز یک شود بیشتر خواهد شد، چه که توپ‌های سیاه بیشتری به گلدان اضافه شده‌اند. از این رو این متغیرها نسبت به هم مستقل نیستند، اما همانطور که در پایین نشان خواهیم داد این متغیرها تعویض‌پذیرند. فرض کنیم که formula_17 بار از گلدان توپ برداریم، و از این formula_17 دفعه formula_19 بار توپ سیاه و formula_20 بار توپ سفید دیده باشیم. بار اول تعداد توپ‌های گلدان formula_21 است، بار دوم این تعداد formula_22 خواهد بود الی آخر. پس در دفعه formula_23 ام، تعداد توپ‌های ما formula_24 خواهد بود. حال فرض کنیم که تمام توپ‌های سیاه را قبل از توپ‌های سفید دیده باشیم، احتمال این رویداد عبارت پایین می‌شود: formula_25حال باید ثابت کنیم که اگر ترتیب توپ‌های سیاه و سفید به صورت دلخواه عوض شوند تغییری در احتمال نهائی پیش نخواهد آمد. همانطور که در خط بالا می‌بینیم مخرج کسرها با تغییر ترتیب توپ‌ها تغییر نخواهد کرد، همیشه در دور formula_23ام مخرج کسر ما formula_24 خواهد بود، زیرا در این دور این تعداد توپ در گلدان است. اگر formula_28امین توپ سیاه را در دور formula_29 ببینم احتمال formula_30 با formula_31 برابر خواهد بود، یعنی صورت احتمال با formula_32 برابر خواهد شد. با استدلالی مشابه می‌توان صورت احتمال برای توپ‌های سفید را هم محاسبه کرد. ازین رو احتمال نهائی با عبارت پایین برابر خواهد شد (حاصلضرب مخرج‌ها در حاصلضرب صورتها برای توپ‌های سیاه در حاصلضرب صورتها برای توپ‌های سفید):formula_33این احتمال به ترتیب دیدن توپ‌های سیاه و سفید مربوط نمی‌شود و فقط به تعدا کل توپ‌های سفید و تعداد کل توپ‌های سیاه بستگی دارد. ازین رو این احتمال تعویض‌پذیر است.