آنالیز پایداری فون-نویمان کیست؟ توضیح بده.
در آنالیزهای عددی، آنالیز پایداری فون-نویمان (که به عنوان آنالیز پایداری فوریه نیز شناخته می‌شود) یک فرایند برای بررسی پایداری روش تفاضل محدود است که به معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای اعمال می‌شود. اساس این آنالیز تجزیه سری فوریه خطاهای عددی است و پس از مقاله کوتاهی در سال ۱۹۴۷ توسط محققان انگلیسی، کرنک و نیکلسون، در آزمایشگاه ملی لس آلاموس توسعه یافت. این روش یک نمونه از انتگرال‌گیری زمانی صریح است که تابع توصیف‌کننده معادله حاکم در زمان جاری مقداردهی می‌گردد. بعدها، این روش به شکلی دقیق تر از سوی جان فون نویمان در مقاله دیگری ارائه شد.پایداری عددی.پایداری روش عددی همراهی نزدیکی به خطای عددی دارد . یک روش تفاضل محدود زمانی پایدار است که خطاهای تولیدی در محاسبه یک گام زمانی باعث بزرگنمایی خطاها در ادامه ی محاسبه نشود .یک روش پایدار ذاتی ،روشی است که خطاها در طول محاسبات ثابت بمانند . اگر خطاها کاهش بیابند و در آخر از بین بروند ،روش عددی پایدار خوانده می‌شود .در غیر این صورت اگر خطاها با گذر زمان رشد کنند روش عددی را ناپایدار می خوانند . پایداری روش‌های عددی به وسیله ی آنالیز پایداری فون نیومن نیز می‌تواند مورد بررسی کرد . برای مسائل وابسته به زمان، پایداری ،بدست آمدن پاسخی کران دار به وسیله ی روش عددی را در حالتی که پاسخ دقیق معادلات دیفرانسیل کراندار باشد تضمین می‌کند .تحقیق پایداری ، در کل امری مشکل است ،خصوصا زمانی که معادله ی مفروض غیر خطی باشد. در موارد مشخص ،پایداری فون نیومن برای پایداری در مفهوم لکس ریچمایر (استفاده شده در تئوری تعادلی لکس) ضروری و مناسب است: معادله ی PDE و روش اختلاف محدود مدل‌هایی خطی هستند .معادله ی PDE مذکور،ضریب ثابت با شرطهای مرزی متناوب (پریودیک) است و تنها دو متغیر مستقل دارد ،و این روش برای بیشتر از 2 سطح زمانی استفاده نمی شوند. پایداری فون نیومن در موارد متنوع تری ضروری است. این روش به علت سادگی نسبی آن معمولاً در مواردی که آنالیز دقیق تری برای آن که حدس خوبی در محدودیت‌های (اگر وجود داشته باشد) اندازهای گام بدست دهد استفاده می‌شود .توضیح روش.روش فون نیومن بر اساس گسسته‌سازی خطاها به سری فوریه بنا شده‌است.برای توضیح فرآیند ،معادله ی گرمای یک بعدی را فرض کنید . formula_1فاصله‌های درونی L به صورت زیر مشخص شده‌است : formula_2 در حالی که formula_3و پاسخ formula_4 معادله ی گسسته شده حل تحلیلی formula_5 ، معادله ی حاکم PDE در مش را تخمین می زند .خطای گرد کردن به صورت زیر تعریف می‌شود : formula_6در حالی که formula_7 پاسخ معادله ی گسسته شده ی (1) ممکن است در غیاب خطای گرد کردن محاسبه شده باشد و formula_8 پاسخ عددی بدست آمده از دقت محدود است.از آن جایی که پاسخ formula_7 باید معادله ی گسسته را دقیقا ارضا کند ،خطای formula_10 نیز باید معادله ی گسسته را دقیقا ارضا کند .اینجا ما فرض کرده ایم که formula_8 نیز معادله را ارضا می‌کند .(این تنها در دقت ماشین امکان پذیر است ) بنابراین : formula_12 یک رابطه ی برگشتی برای خطا است. معادله ی 1 و 2 نشان می دهند که هر دوی خطا و پاسخ عددی در زمان یکسان ،رشد یا کاهش برابر دارند . برای معادلات دیفرانسیل خطی با شرط مرزهای متناوب ، تنوع فضایی خطا ممکن است در یک سری فوریه محدود گسترده شوند ،در L داخلی ، به صورتی که : formula_13 هنگامیکه عدد موج formula_14 با formula_15 و formula_16 . وابستگی خطا به زمان شامل فرض دامنه ی خطا formula_17 ، یک تابع زمان است.از آن جایی که خطا کاهش یا رشدی توانی با زمان دارد ،فرض آن که دامنه نیز همراه زمان به صورت توانی تغییر می‌کند مناسب است.بنابراین : formula_18 در حالی که formula_19 یک ثابت است.از آن جایی که معادله ی تفاضلی برای خطا خطی است (رفتار هر عبارت سری مشابه رفتار خود سری است) ،این کافی است تا رشد خطا نیز مانند عبارتی نوعی در نظر گرفته شود . formula_20 مشخصه‌های پایداری به این صورت تنها برای خطاهایی که در کل کم نمی شوند می‌تواند مورد مطالعه قرار گیرد . برای یافتن چگونگی تغییرات خطا در مراحل زمانی ،از معادلات (5) و (2) داریم: formula_21حاصل (پس از ساده سازی): formula_22 با استفاده از تطابق : formula_23 معادله ی (6) می‌تواند به صورت زیر نوشته شود : formula_24 عبارت تشدید به صورت زیر تعریف می‌شود : formula_25 وضعیت ضروری برای آن که خطا در مرز بماند formula_26 ،اگر چه : formula_27 بنابراین از معادله‌های (7) و (8) شرط پایداری به صورت زیر تعریف می‌شود : formula_28 توجه داشته باشید عبارت formula_29 همواره مثبت است.بنابراین از معادله ی (9) داریم: formula_30 در محاسبه ی شرط بالا داریم : formula_31 معادله ی (11) پایداری مورد نیاز FTCS برای انتقال حرارت یک بعدی را به ما می دهد .که بیان می‌کند برای یک formula_32 داده شده ،مقدار formula_33 باید به اندازه ی کافی کم باشد تا معادله ی (10) برقرار شود .