منحنی کیست؟ توضیح بده.
خَم، خَمیدگی، انحنا، یا مُنحَنی یک مفهوم هندسی است.تعریف منحنی.در ریاضیات، مفهوم منحنی (خم) برای نشان دادن یک شیء یک بعدی و پیوسته به کار می‌رود. یک مثال ساده دایره است. در گفتگوی روزمره یک خط صاف منحنی در نظر گرفته نمی‌شود؛ ولی در مکالمهٔ ریاضیاتی خط‌های مستقیم و پاره خطها نیز خم‌اند. تعداد زیاد دیگری منحنی در هندسه مطالعه می‌شوند.عبارت منحنی (خم) همچنین در حالاتی استفاده می‌شود که آن را تقریباً هم‌معنی با تابع ریاضی یا نمودار تابع می‌سازد.انواع منحنی (خم).به‌طور کلی، خم یا منحنی بر دو گونه است:منحنی مسطح.به‌طور شهودی، خم مسطح به مجموعه‌ای از نقطه‌ها گفته می‌شود، به شرط آنکه بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم.انواع منحنی مسطح.منحنی ساده.یک منحنی ساده، یک منحنی مسطح است که هیچ‌یک از نقطه‌های خود را قطع نکند.منحنی بسته.منحنی بسته، به خمی گفته می‌شود که نقطه‌های (انتهایی) آن به هم رسیده (و بر همدیگر منطبق) باشند.منحنی سادهٔ بسته.منحنی ای ساده بسته است که نقطه‌های ابتدا و انتهایی آن برهم منطبق باشند و نقطه‌های خود را قطع نکند.قضیه منحنی جردن.هر منحنی سادهٔ بسته C، صفحه را به سه زیر مجموعهٔ جدا از هم درون، بیرون و روی منحنی تقسیم می‌کند.تعاریف.در توپولوژی، منحنی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:فرض کنیم "I" بازه‌ای‌ست از اعداد حقیقی (یعنی یک زیر مجموعه همبند ناتهی از formula_1). آنگاه، خم formula_2 یک نگاشت پیوسته formula_3 است که "X" یک فضای توپولوژیکی است.خم formula_2 را ساده می‌گویند اگر که برای هر "x","y" در "I" داشته باشیم:formula_5در صورتی که، "I" بازه‌ای بسته و کراندار formula_6 باشد، امکان formula_7 را هم مجاز در نظر می‌گیریم (این قرارداد امکان این را می‌دهد که راجع به خم سادهٔ بسته صحبت کنیم).چنانچه، به ازاء برخی formula_8 (غیر از دوسر "I") داشته باشیم:formula_9آنگاه به formula_10 یک نقطهٔ مضاعف (یا چندگانه) از خم گفته می‌شود.خم formula_2 را بسته یا یک حلقه می‌گوییم اگر formula_12 و اگر formula_13. بنابراین یک خم بسته یک نگاشت پیوسته از دایره formula_14 است. یک خم ساده بسته همچنین یک خم ژوردان گفته می‌شود.یک خم صفحه‌ای خم‌ای است که برای آن "X" یک فضای اقلیدسی است—این‌ها مثال‌هایی هستند که ابتدا بیان شدند --. یک خم فضایی خم‌ای است که برای آن "X" سه بعدی یا فضای اقلیدسی است. یک خم کج خم فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد. این تعاریف همچنین در مورد خم‌های جبری نیز صادقند. اما در مورد خم جبر معمول است که خم را به داشتن نقاط تعریف شده روی اعداد حقیقی محدود نکنیم.قراردادها و اصطلاحات.تفاوت بین یک منحنی و تصویر آن مهم است. دو منحنی متمایز ممکن است تصویر یکسان داشته باشند. به عنوان مثال یک پاره خط می‌تواند در سرعت‌های متفاوت پیموده شود، یا یک دایره می‌تواند به دفعات متفاوت پیموده شود. با این وجود خیلی اوقات ما فقط به تصویر منحنی علاقه‌مندیم. مهم است که هنگام مطالعه به زمینه و قرارداد توجه شود.نامگذاری نیز همچنین یکسان نیست. اغلت توپولوژیست‌ها از اصطلاح «مسیر» به عنوان آنچه ما منحنی می‌نامیم و از «منحنی» به عنوان به عنوان آنچه ما تصویر می‌نامیم استفاده می‌کنند. اصطلاح «خم» در حساب برداری و هندسه دیفرانسیل معمول است.انحناء منحنی‌ها.مقالهٔ اصلی: انحناءطول خم.اگر "X" یک فضای متری با متر "d" باشد، آنگاه «طول» خم formula_15 را باتعریف کنیم.یک خم تصحیح پذیر یک خم با طول متناهیست. معادله پارامتری از formula_2 طبیعی (یا سرعت واحد یا پارامتری شده با طول خم) نامیده می‌شود اگر برای هر formula_18، formula_19 در formula_20 داشته باشیماگر formula_2 یک تابع پیوسته لیپشیتس باشد، آنگاه خودش تصحیح‌پذیر است. بعلاوه، در این حالت، می‌توان سرعت formula_2 در formula_24 را به صورتتعریف کرد؛ و آنگاهبه‌طور خاص، اگر formula_27 یک فضای اقلیدسی و formula_28 مشتق‌پذیر باشد آنگاه