دستگاه مختصات کروی کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، دستگاه مختصات کروی یک دستگاه مختصات برای نمایش حساب‌ها و اعداد هندسی در فضای سه بعدی با استفاده از سه مختصه است:تعریف.در ریاضیات مختصات کروی، برای فضای سه بعدی است که در آن موقعیت یک نقطه با سه عدد مشخص می شود: "فاصله شعاعی" آن نقطه از یک مبدأ ثابت، "زاویه قطبی آن اندازه گیری شده از یک جهت" اوج ثابت، و زاویه "متعامد برآمدگی" متعامد آن بر روی صفحه مرجعی که از مبدا می گذرد و متعامد به نقطه اوج است، از یک جهت مرجع ثابت در آن صفحه اندازه گیری می شود. می توان آن را نسخه سه بعدی دستگاه مختصات قطبی دید .استفاده از نمادها و ترتیب مختصات در منابع و رشته ها متفاوت است. "این مقاله از کنوانسیون ISO که اغلب در فیزیک با آن مواجه می‌شود،" استفاده می‌کند :فاصله شعاعی، زاویه قطبی و زاویه ازیموت را نشان می دهد. در بسیاری از کتاب های ریاضی،یافاصله شعاعی، زاویه ازیموتال و زاویه قطبی را نشان می‌دهد و معانی "θ" و "φ" را تغییر می‌دهد . قراردادهای دیگری نیز استفاده می شود، مانند "r" برای شعاع از محور "z" ، بنابراین باید دقت زیادی برای بررسی معنای نمادها انجام شود.طبق قراردادهای دستگاه‌های مختصات جغرافیایی ، موقعیت ها با طول و عرض جغرافیایی و ارتفاع (ارتفاع) اندازه گیری می شوند. تعدادی سیستم مختصات آسمانی بر اساس صفحات بنیادی مختلف و با اصطلاحات مختلف برای مختصات مختلف وجود دارد. سیستم های مختصات کروی مورد استفاده در ریاضیات معمولاً به جای درجه از رادیان استفاده می کنند و زاویه سرسویی (سمت الراسی) را در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور x به محور y اندازه می گیرند نه در جهت عقربه های ساعت از شمال (0 درجه) به شرق (90 درجه) مانند سیستم مختصات افقی . . زاویه قطبی اغلب با زاویه جایگزین می شود"زاویه ارتفاع" از صفحه مرجع اندازه گیری می شود، به طوری که زاویه ارتفاع صفر در افق باشد.دستگاه مختصات کروی سیستم مختصات قطبی دو بعدی را تعمیم می دهد. همچنین می توان آن را به فضاهای با ابعاد بالاتر گسترش داد و سپس به عنوان یک دستگاه مختصات ابرکره ای نامیده می شود .مشخصات.دستگاه مختصات کروی، دستگاه مختصاتی با سه مختصه‌است:در فیزیک بنا به سنت جای formula_4 و formula_3 معکوس است یعنی formula_4 زاویه با محور formula_8 است.تعمیم.در مختصات کروی،همچنین می توان با استفاده از نسخه اصلاح شده مختصات کروی با بیضی ها در مختصات دکارتی مقابله کرد.فرض کنید P یک بیضی مشخص شده توسط مجموعه سطح باشد مختصات کروی اصلاح شده یک نقطه در P در کنوانسیون ISO (یعنی برای فیزیک: شعاع r، تمایل θ، آزیموت φ) را می توان از مختصات دکارتی آن (x, y, z) با فرمول بدست آورد.یک عنصر حجم بی نهایت کوچک توسطضریب ریشه مربع از خاصیت دترمینان می آید که اجازه می دهد یک ثابت از یک ستون خارج شود:محدوده مختصات.سه مختصه در محدوده‌های زیر می‌توانند باشند:رابطه با مختصات دکارتی.مختصات دستگاه کروی را با استفاده از روابط زیر به دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تبدیل کرد:مختصات دکارتی نیز را با روابط زیر می‌توان به دستگاه مختصات کروی برد:فاصله بین دونقطه.در مختصات کروی، با توجه به دو نقطه که φ مختصات ازیموتال است:formula_38فاصله بین دو نقطه را می توان به روش زیر بیان کرد:formula_39تبدیل دستگاه‌های مختصات دیگر به مختصات کروی.از آنجایی که، دستگاه مختصات کروی تنها یکی از دستگاه های مختصات سه بعدی است، معادلاتی برای تبدیل مختصات های دیگر بین دستگاه مختصات کروی و دیگر دستگاه‌ها وجود دارد.مختصات کارتزین.درمختصات کروی یک نقطه را در کنوانسیون ISO (یعنی برای فیزیک: شعاع:r، شیب:θ، آزیموت:φ)را می توان از مختصات دکارتی آن(x، y، z)بافرمول بدست آورد.formula_40در اینجا مماس معکوسφبا آرکتانژانتy/xنشان داده است که باید با در نظر گرفتن ربع صحیح (x,y) به طور مناسب تعریف شود.از طرف دیگر،این تبدیل را می توان به عنوان دو تبدیل متوالی مستطیلی به قطبی درنظر گرفت: اولین مورد در صفحه x,y دکارتی از(x,y) به(R,φ)است،که درآنR طرح ریزیr بر روی صفحه x,y است و دوم در صفحه z,R دکارتی از (z,R) تا (r,θ). ربع صحیح برای φوθ با صحت تبدیل مستطیل مسطح به قطبی مشخص می شود. این فرمول ها فرض می کنند که دو سیستم منشأ یکسانی دارند، صفحه مرجع کروی صفحه xy دکارتی است، θ از جهت z تمایل دارد، و زوایای آزیموت از محور x دکارتی اندازه گیری می شود (به طوری که محور y دارای φ = +90 درجه). اگر θ ارتفاع را از صفحه مرجع به جای شیب از نقطه اوج اندازه گیری کند، آرکوس بالا به یک کمان تبدیل می شود، و cos θ و sin θ پایین سوئیچ می شوند. برعکس، مختصات دکارتی ممکن است از مختصات کروی (شعاع r، تمایل θ، آزیموت φ)، جایی که:[r∈ [0، ∞)، θ∈ [0، π]، φ∈ [0، 2π]واحد های مختصاتی(y,x,z)طبق مختصات کروی به صورت زیر محاسبه می گردد:formula_41مختصات استوانه‌ای.مختصات استوانه ای (شعاع محوری ρ، آزیموت φ، ارتفاع z) ممکن است با فرمول ها به مختصات کروی (شعاع مرکزی r، تمایل θ، آزیموت φ) تبدیل شوند.formula_42مختصات استوانه ای به هیچ دستگاهی تبدیل نمی شود حتی مختصات کروی،ولی برعکس؛مختصات کروی ممکن است بر اساس فرمول ها یه مختصات ها الخصوص مختصات استوانه اس تبدیل شود.تبدیل‌های دستگاه مختصات.دستگاه مختصات جغرافیایی.دستگاه مختصات جغرافیایی بک مدل دیگر از دستگاه مختصات کروی است که کاربرد اصلی آن در جغرافیا است اما در ریاضیات و فیزیک نیز استفاده‌هایی دارد. در جغرافی، "ρ" معمولاً حذف یا با مقداری که ارتفاع یا بلندی از سطح دریا را نشان می‌دهد جایگزین می‌شود.عرض جغرافیایی formula_53، مکمل سمت‌الرأس یا "متمم عرض جغرافیایی" است و می‌تواند با این روابط تبدیل شود:یابا این وجود عرض جغرافیایی عمدتاً با φ نیز نمایش داده می‌شود. این، یک زاویه سمت‌الرأس را که از صفحهٔ xy سرچشمه می‌گیرد با دامنهٔ-۹۰° ≤ "φ" ≤ ۹۰°بیان می‌کند. طول جغرافیایی به وسیلهٔ درجه به شرق یا به غرب از °۰ اندازه‌گیری می‌شود، بنابراین دامنه‌اش-۱۸۰° ≤ θ ≤ ۱۸۰°است.دیفرانسیل‌ها.المان خط برای جابه جایی بینهایت کوچک از (r, θ, φ) به (r + dr, θ + dθ, φ + dφ)برابر است با:به ترتیب بردارهای واحد متعامد محلی در جهت افزایش ، و و ، و بردارهای واحد در مختصات دکارتی هستند. تبدیل خطی به این سه گانه مختصات راست دست یک ماتریس چرخش است،formula_59این تبدیل از کروی به دکارتی را می دهد، برعکس آن با معکوس آن مشخص می شود. نکته: ماتریس یک ماتریس متعامد است، یعنی معکوس آن به سادگی جابجایی آن است. بنابراین، بردارهای واحد دکارتی با بردارهای واحد کروی مرتبط هستند:formula_60شکل کلی فرمول برای اثبات عنصر خط دیفرانسیل، است:formula_61یعنی تغییر در formula_62 به تغییرات فردی مربوط به تغییرات در مختصات فردی تجزیه می شود.برای اعمال این مورد در مورد حاضر، باید محاسبه کرد که formula_62 چگونه با هر یک از مختصات در کنوانسیون های مورد استفاده تغییر می کند؟جواب به این صورت است:formula_64بدین ترتیب:formula_65ضرایب مورد نظر، بزرگی این بردارها هستند:formula_66عنصر سطحی که از θ تا θ + dθ و φ تا φ + dφ را در یک سطح کروی در شعاع r (ثابت) پوشانده است، سپس:formula_67بنابراین زاویه جامد دیفرانسیل برابر است با:formula_68عنصر سطح در سطحی با زاویه قطبی θ ثابت (یک مخروط با راس مبدأ) استformula_69عنصر سطح در سطحی با آزیموت φ ثابت (نیم صفحه عمودی) است:formula_70عنصر حجمی که از r تا r + dr، θ تا θ + dθ، و φ تا φ + dφ را شامل می‌شود، توسط تعیین‌کننده ماتریس ژاکوبین مشتقات جزئی مشخص می‌شود:formula_71برای مثال:formula_72بنابراین، برای مثال، یک تابع f(r، θ، φ) را می توان در هر نقطه در R3 توسط انتگرال سه گانه ادغام کرد.formula_73عملگر del در این سیستم به عبارات زیر برای گرادیان، واگرایی، کرل و (اسکالر) لاپلاسین منجر می شود.formula_74علاوه بر این، ژاکوبین معکوس در مختصات دکارتی استformula_75تانسور متریک در سیستم مختصات کروی است:formula_76.تعمیم پ مختصات کروی به صورت n بعدی.تعمیم مختصات کروی به ابعاد formula_77 اینگونه است:زاویه ها بر اساس زیر توسعه می یابند:شماره گذاری مجدد یک فرمول بازگشتی برای زوایا به دست می دهد:که منجر به زوایای زیر می شود:mit formula_82 undشعاع عبارت است از:تمایز موردی زاویه مناسب را به مختصات دکارتی با استفاده از Arcutangent برمی‌گرداند، جایی که formula_85:Dabei fällt auf, dass formula_87 immer ein zweidimensionaler Vektor ist für formula_88.ماتریس ژاکوبین.ماتریس ژاکوبین مختصات کروی با توجه به شماره گذاری بالا می گوید:عامل تعیین کننده آن است:انتگرال بیش از مقدار مطلق این تعیین کننده را می توان با تابع گاما formula_91 به دست آورد:formula_92این مربوط به حجم کروی یک formula_77-بعدی hypersphere است:مثال ها.2D:3D:4D:مثال.تکلیف با استفاده از formula_98 به عنوان مثال با محورهای مختصات مشترک formula_99:سپس زوایا عبارتند از: