تابع گرین کیست؟ توضیح بده.
تابع گرین به انگلیسی ( Green's function ) مفهومی است که اولین بار در دهه ۱۸۳۰ توسط جرج گرین ریاضی دان انگلیسی مطرح شد. به‌طور کلی تابع گرین هسته انتگرال است که برای حل معادلات دیفرانسیل از جمله معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه یا مرزی و هم چنین مسائل دشوارتر مانند معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرهمگن با شرایط مرزی مورد استفاده قرار میگیرد.به‌طور دقیق فرض کنید عملگر دیفرانسیلی خطیL=L(x) که روی مجموعه ای از توزیع ها روی formula_1 عمل میکند داده شده است.یک تابع گرین در نقطه s ∈ Dمتناظر با عملگر L ، هر جواب معادله زیر است:formula_2که formula_3 تابع دلتای دیراک است.در واقع G تابعی است که با اثر کردن عملگر دیفرانسیلی L روی آن تابع دلتای دیراک حاصل می شود.با ضرب طرفین این رابطه در f(s) و انتگرال گیری خواهیم داشت:formula_4با استفاده از خواص تابع دلتای دیراک میدانیم عبارت سمت راست رابطه فوق برابر f(x) است، از طرفی چون عملگر L خطی است و فقط روی x اثر میکند عبارت سمت چپ رابطه فوق را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:formula_5این روند برای حل معادلات دیفرانسیل زیر که u=u(x) بسیار مفید است:formula_6formula_7formula_8خواص تابع گرین در بعد یک.تابع گرین مسئله اشتورم- لیوویل هموار پیوسته است یعنی: formula_9formula_10formula_11به کمک این خواص میتوان تابع گرین مربوط به یک مسئله اشتورم- لیوویل هموار را مشخص کرد.تابع گرین دو بعدی و سه بعدی.اگر در بعد دو و سه دامنه مورد نظر ناحیه D باشد آنگاه شرایط مرزی روی مرز D یعنی formula_12تعریف میشود.فرض میکنیم D کراندار باشد:مشابه قسمت یک بعدی میتوانیم تابع گرین دو بعدی را نیز به صورت زیر تعریف کنیم:formula_13با شرایط مرزی formula_14که formula_15 تابع گرادیان است.برای تعیین تابع گرین ، گرادیان را حول نقاطی بررسی میکنیم که به s نزدیک اند:formula_16که formula_18و formula_19formula_20 رادایره ای به شعاع formula_21 در نظر میگیریم:formula_23formula_25formula_26طبق خاصیت تابع دلتای دیراک عبارت سمت راست رابطه فوق برابر یک است،از طرفی با توجه به قضیه دیورژانس خواهیم داشت :formula_27formula_28که formula_29 بردار یکه در راستای شعاع و formula_30 است .لذا داریم :formula_31با محاسبه انتگرال فوق تابع گرین بدست خواهد آمد که به فرم زیر است :formula_32با تکرار همین روند برای حالت سه بعدی داریم : formula_29 , formula_34 :formula_35با محاسبه عبارت فوق تابع گرین سه بعدی در ناحیه بی کران به فرم زیر خواهد شد :formula_36روش تعیین پاسخ صریح برای تابع گرین.1.تعیین دو جواب مستقل خطی از معادله همگن به نام formula_37 به‌طوری که formula_38 در شرط مرزی مربوط به نقطه a وformula_39 هم در شرط مرزی همگن مربوط به نقطه b صدق کند.2.تابع گرین را به فرم زیر بنویسید ;3.شرط پیوستگیG(x,s)را در x=s اعمال کنید;formula_414.شرط پرش formula_42را در x=s اعمال کنید;formula_435.با حل روابط در مرحله 3و 4 مقادیر formula_44 بدست خواهند آمد که به صورت زیر اند;formula_45 , formula_46که W(s) رونسکین جواب های معادله همگن در نقطه s است.مثال.معادله مستقل از زمان گرما را در نظر بگیرید.formula_47با شرایط مرزی formula_48.ما جواب این مسئله را میتوانیم به فرم زیر بنویسیم:formula_49که تابع گرین در رابطه زیر صدق میکند:formula_50با شرایط مرزی formula_51. حال با توجه به تعریف تابع دلتای دیراک در formula_52 داریم:با توجه به خاصیت پیوستگی تابع G در نقطه formula_52 داریم:formula_55همچنین با شرط پرش روی مشتق در نقطه ی formula_52 داریم: formula_57با حل دستگاه مقادیر b,d بدست خواهند آمد;formula_58 و formula_59با جایگذاری مقادیر formula_60و formula_61 در معادله داریم :