مثلث خیام-پاسکال کیست؟ توضیح بده.
مثلث خیام-پاسکال به آرایش مثلث‌شکل ضرایب بسط دوجمله‌ای گویند.نام‌گذاری و پیشینه.«مثلث خیام-پاسکال» را گاه به‌ندرت «مثلث خیام-پاسکال-نیوتن» نیز می‌گویند. این مثلث توسط دانشمندان گوناگونی از هند و ایران و چین و غیره و بعدتر در اروپا بررسی شده‌است و در زبان‌های گوناگون نام‌های مختلفی دارد. در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته‌است. در آثار متون سانسکریتِ پینگالا ریاضی‌دان هندی نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی‌دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند. کتاب "مشکلات الحساب"، کتابی که اثبات‌های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تأثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می‌توان دید. بعد از او در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی‌دان چینی، شکل مثلث به چشم می‌خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی‌دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی‌دان فرانسوی هم دوره با نیوتون روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.توضیح.مثلث خیام، مثلث پاسکال، مثلث تارتالیا یا مثلث خیام-پاسکال به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دوجمله‌ای گفته می‌شود.formula_1خواص مثلث خیام-پاسکال.برای مطالعهٔ خواص جمله‌های مثلث کافی هست از تعریف استفاده کنیمformula_2formula_3formula_4دنباله‌های ویژه در داخل مثلث خیام-پاسکال.دنباله توان ۲ به صورت زیر می‌باشدformula_5الگوی جالبی در داخل مثلث پاسکال برای محاسبه توان ۲ وجود دارد:formula_6جمع عناصر هر سطر به ترتیب توان ۲ ایجاد می‌کندبا توجه به رابطه (۳٫۳)اگر:formula_7اگر a=۱وb=-۱به رابطهٔ زیر می‌رسیم:formula_8در رابطه اخیر اگر n=۰قرارداد ۱=۰۰با مشتق‌گیری از طرفین از طرفین رابطهٔ (۳٫۳)برای a=xوb=۱داریمformula_9حال اگر x=۱یا x=-۱باشدبا مشتق گرفتن از مراتب بالاتر از رابطهٔ (۴٫۳)به روابط دیگری دست می‌یابیم با تعویض عمل مشتق‌گیری با روابط دیگری به دست می‌آید. ##دنبالهٔ توان‌های عدد ۱۱:در حالت کلی اگر جمله‌های سطر nام مثلث را از راست به چپ از دیدگاه تعداد یکان دهگان … نگاه‌کنیم و بدین طریق عدد Nnرابسازیم طبق اتحاد دو جمله‌ای خیام عدد Nnتوانی از ۱۱ استمثلاً:در مورد سطر ۷ام دقت کنید. الگوی زیر رعایت شده.دنبالهٔ اعداد مصور.در مثلث پاسکال قطر از اعداد طبیعی، قطر ۲ از اعداد مثلثی و قطر۳ از اعداد ۴وجهی تشکیل شده‌اند.با نگاه به قطرهای مثلث ملاحظه می‌شود که هر عدد مثلثی مجموع چند عدد طبیعی وهر عدد ۴ وجهی مجموع چند عدد مثلثی است. به‌طور کلی می‌توان گفت که قطر kام از اعداد مصور kبعدی تشکیل شده‌اند که به صورت (c(n,kمی‌باشد. در ضمن داریم:formula_10دنبالهٔ فیبوناتچی.اگر قطرها را با شیب بیشتر انتخاب کنیم. داریم:مجموعه اعداد روی قطرها دنبالهٔ : … و۱۳و۸و۵و۳و۲و۱و۱تشکیل می‌دهد. در این دنباله جمله اول ودوم ۱ است بقیه جملات جمع دو جمله قبلی اش می‌شوند F1=F2=1 Fn+۲=Fn+1+Fnاثبات این خاصیت به وسیله مثلث به راحتی قابل مشاهده است.اگر شیب قطرهای فیبوناچی را بیشتر کنیم. به تعمیمی از این دنباله دست خواهیم یافتاگر ان را با Gn نمایش دهیم داریم G1=G2=G3=1 Gn+۲=Gn+1+Gn-1تعمیم‌های مختلف از دنباله فیبوناچی داریم.دنبالهٔ (c(2n,n.دنباله واقع بر عمود منصف مثلث را به صورت زیر در نظر می‌گیریم… و۲۵۲و۷۰و۲۰و۶و۲و۱formula_11تعمیم دنباله بالا به صورت زیر است:formula_12به عبارت دیگر مجموع مربعات جمله‌های سطر nام برابر است با رآس تحتانی یک لوزی که این لوزی که این سطر یکی از قطرهای ان می‌باشد.ویژگی هندسی فانگ.ایا دو عدد در مثلث پاسکال می‌توان یافت که مجموع یا تفاضلشان مربع کامل باشد؟عناصر واقع در قطر ۳، اعداد مثلثی هستندو نیز مجموع ۲ عدد مثلثی متوالی یک مربع کامل است. اگر Tnنشان دهنده nامین عدد مثلثی باشد. داریم: Tn+Tn+1=n2واین نتیجه می‌دهد.برای تفریق داریمویژگی چوب چوگان.تساوی زیر را در نظر بگیرید.formula_13اگر هر کدام از عناصر دو طرف تساوی را به صورت نقاط هندسی در نظر بگیریداگر طول چوب چوگان را kدر نظر بگیریم (رابطه بالا را تعمیم دهید)ضرب صلیبی.در اینجا مستطیل‌هایی را به صورت قائم الزاویه و افقی در داخل مثلث خیام در نظر می‌گیریم. رئوس این مستطیل‌ها که بر روی درایه‌های این مثلث واقع شده‌اند در اینجا رابطه‌ای بر حسب درایه‌های واقع بر رئوس این مستطیل به دست می‌آوریم.نکته جالب این است که با لغزاندن مستطیل به نحوی که نقطهٔ cدر طول قطر (در امتداد پیکان) جابه‌جا شود همواره نسبت (a*d)/(c*b)یک مقدار ثابت خواهد بود ستارهٔ داود.در خاصیت ضرب صلیبی اگر به جای مستطیل‌ها یک ستاره به صورت زیر در نظر بگیریم به قسمتی که رئوس ان بر درایه‌هایمثلث خیام قرار گیرند. به تساوی زیر می‌رسیم:formula_14در مرکز این ستاره عنصرformula_15قرار داردمثلث خیام–پاسکال و مثلث سرپینسکی.حال با این توضیح مختصر در مورد برخال‌ها برمی‌گردیم به «مثلث خیام – پاسکال».در مورد این مثلث زیاد شنیده‌ایم از جمله در مورد کاربرد فراوانش در نظریهٔ اعداد و ترکیبیات.حال می‌خواهم یکبرخالساده را در این مثلث به شما نشان دهم. موضوعی که باعث می‌شود این مثلث جایی را نیز در دنیای برخال‌ها یعنی سیستم‌های دینامیکی پیدا کند.مسئله خیلی ساده است، تمام اعداد زوج را در «مثلث خیام – پاسکال» پاک کنید، آنچه باقی می‌ماند برخالی معروف است با نام «مثلث سرپینسکی»: