گراف مور کیست؟ توضیح بده.
طول کوتاه‌ترین دور در یک گراف، کمر گراف نامیده می‌شود که با نماد (γ(G نشان داده می‌شود.به عنوان مثال مکعب کمر به طول ۴ دارد. برای گراف‌های kمنظم و با طول کمر ثابت معمولاً ویژگی‌های جالبی دارند.به عنوان مثال گراف G را یک گراف k منتظم با طول کمر ۴ چهار باشد اگرهر کدام از رأس‌های u گراف G را در نظر بگیریمk راس با فاصله یک از آن راس وجود دارد. از آنجا که گراف G هیچ مثلثی ندارد حداقل k-۱ راس با فاصله دو از u وجود دارند.بنابراین داریم، G|≥۱+k+(k-۱)=۲k| و (|G| برابر با تعداد رئوس گراف است) فقط یک گراف با ویژگی G|=۲k| وجود داردو این و این همان گراف کامل دو بخشی Kk,k است. و حال اگر G گراف k منتظم با کمر پنج باشد و u هر یک از رئوس گراف باشد،k راس با فاصله یک از u وجود دارد به‌طوری که؛ G|≥۱+k+k(k-۱)=1+K۲|تعریف گراف مور.گرافی است k منتظم با طول کمر پنج، به‌طوری‌که G|=K۲+۱| .فرض کنیم |n = |G . یک گراف ۱ منتظم نمی‌تواند کمر به طول ۵ داشته باشد. پس باید k≥۲ .اگر k =۲ پس n=۲۲+۱ = ۵ یعنی G یک دور به طول پنج دارد پس این تنها گراف مور با درجه ۲.اگر k=۳ پس n=۳۲+۱=۱۰.پس ۳ راس با فاصله یک از هر راس u وجود دارد و ۶ راس با فاصله ۲ وجود دارد که در شکل زیر نشان داده شده‌است.تعریف تعمیم یافته گراف مور.به بیان دیگر گراف مور، یک گراف با درجه k و قطر d است که تعداد رئوس آن باحد بالایبرابر باشد.گراف پترسون.گراف پترسون تنها گراف مور با درجه ۳ است.قضیه هافمن-سینگلتون.یک گراف مور فقط با درجه k=۲, ۳, ۷ , ۵۷ است.اثبات : در مرجع ۱لازم به توضیح است که گراف مور با درجه ۳ همان گراف پترسون است و گراف با درجه ۷ همانگراف هافمن-سینگلتون (Hoffman-Singleton Graph) است. البته وجود گراف مور با درجه ۵ با قضیه ثابت نشده‌است و حدس‌هایی در مورد وجود آن زده است.در هر حال پیدا کردن گراف مور با درجه ۵ و ۵۷ از مسائل حل نشده نظریه گراف است. محدود کردن تعداد رئوس با درجه و قطر:فرض کنیم گراف G و فرض کنیم درجه آن k و قطر آن d و درخت جستجوی نخستین پهنا (BFS Breadth First Search)آن را در نظر می‌گیریم که از هر کدام از رئوس دلخواه v آن را آغاز می‌کنیم . این درخت یک راس با درجه ۰(راس آغازی شروع گراف) دارد و حداکثر k راس با درجه ۱ دارد (رئوس مجاور راس مبدا). در سطح بعد حداکثر (k(k-۱ راس داریم.هر راس مجاور v از یکی از همسایه‌های v برای اتصال به v استفاده می‌کنند بنابراین حداکثر k-۱ همسایه در سطح ۲ داریم.در کل برای هر سطح i بین ۱ تا k حداکثر k(k-۱)i راس وجود دارد. پس تعداد کل رئوس در کلاست.استفاده از گراف مور به عنوان قفس.به جای حد بالا تعداد رئوس درون گراف در قابل جملات ماکزیمم درجه و قطر آن، ما می‌توانیم با روشی مشابه حد پایینیبرای برای تعداد رئوس در قالب جملاتی از درجه و کمر گراف به دست آورد. فرض کنیم گراف G دارای حداقل درجه k وکمر ۲d+۱ باشد. حال به‌طور دلخواه یک راس v را انتخاب می‌کنیم و طبق همان روشی که در بالا توضیح داده شد درخت BFSکه راس v ریشه آن است تشکیل می‌دهیم. این درخت یک راس در سطح ۰ دارد و حداقل k راس در سطح ۱ و حداقل (k(k-۱راس در سطح ۲ و در کل برای هر سطح i بین ۱ تا k حداقل d(d-۱)i راس دارد. پس مجموعاً تعداد رئوس حداقل بایدباشد.در گراف مور این حد به دست آمده برای تعداد رئوس دقیقاً دیده شده‌است. هر گراف مور کمر ۲k+۱ دارد چون برای داشتن کمر بزرگتر به اندازه کافی راس ندارد و یک دور کوتاه‌تر باعث می‌شود که تعداد خیلی کمی راس در k سطح اولیه از درخت BFS وجود خواهد داشت. بنابراین یک گراف مور تعداد رئوس ممکن در بین همهٔ گراف‌هایی دارد که درجه k دارند و قطر d دارند؛ بنابراین یک قفس است.منابع.کتاب Graphs, Algorithms, and optimizationنوشتهWilliam kocay, Donal L Kreherصفحهٔ مربوط به گراف مور در ویکی‌پدیای انگلیسی