واریانس کیست؟ توضیح بده.
وردایی یا واریانس در نظریه احتمالات و آمار، نوعی سنجش پراکندگی است.مقدار واریانس با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل یا مشاهده شده با مقدار مورد انتظار محاسبه می‌شود. در مقایسه با میانگین می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که واریانس مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. واریانس کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. یکای واریانس مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. ریشه دوم واریانس که انحراف معیار نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.واریانس یا وردایی عددی است که نشان می‌دهد چگونه یک سری داده حول مقدار میانگین پخش می‌شوند. برای تعریف واریانس اگر فرض کنیم که متغیر تکی formula_1 دارای توزیع formula_2 است و متوسط توزیع جمعیت آن را با formula_3 نشان دهیم آنگاه واریانس این جمعیت به صورت زیر تعیین می‌شود:formula_4حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای احتمال formula_2 باشد، واریانس به صورت زیر محاسبه می‌شود:formula_6اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر داده‌ها مشخص نیست در این حالت واریانس را به صورت زیر تخمین می‌زنیم:formula_7در این رابطه formula_8 میانگین (امید ریاضی) داده‌هاست که خود از رابطهٔ زیر حساب می‌شود:البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای واریانس نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از واریانس تصحیح شده‌استفاده می‌کنیم که به صورت زیر تعریف می‌گرددformula_10تعریف.اگر formula_11، امید ریاضی (میانگین) متغیر کاتوره‌ای formula_1 باشد، آنگاه واریانس formula_1 برابر خواهد بود با:برای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول گفته‌می‌شود واریانس برابر است با «میانگین مجذور، منهای مجذور میانگین». واریانس متغیر کاتوره‌ای "X" را معمولاً با Var("X") یا formula_15 یا به صورت ساده‌تر σ2 (تلفظ می‌شود سیگما-دو) نمایش می‌دهند.حالت گسسته.اگر formula_1یک متغیر کاتوره‌ای با تابع جرم احتمال به این شکل باشد formula_17 آنگاه واریانس آن به این شکل محاسبه می‌شود.عبارت پیشین با معادله پایین معادل است:در اینجا formula_20 امید ریاضی formula_1 است.واریانس formula_23مقدار که از لحاظ احتمال با یکدیگر برابرند با عبارت پایین برابر خواهد بود:در اینجا formula_3 میانگین formula_23داده‌است:البته واریانس این formula_23 داده را بدون در نظرگرفتن میانگین آن‌ها هم می‌شود به شکل پایین محاسبه کرد:حالت پیوسته.در اینجا میانگین یا formula_3 به این شکل محاسبه می‌شود:مثال.تاس.اگر یک تاس داشته باشیم که احتمال آمدن هر عدد formula_45 باشد، آنگاه امید ریاضی تاس با formula_46 برابر خواهد بود و واریانس تاس می‌شود:به صورت کلی‌تر اگر یک متغیر گسسته کاتوره‌ای داشته باشیم که formula_23 مقدار بگیرد و احتمال هر کدام از این مقادیر formula_49 باشد، واریانس متغیر کاتوره‌ای ما برابر خواهد بود با: توزیع نرمال.توزیع نرمال با تابع چگالی احتمال formula_51 و پارامترهای formula_20 و formula_53 به شکل زیر محاسبه می‌شود:توزیع نمایی.توزیع نمایی با تابع چگالی احتمال formula_55 و پارامتر formula_56 به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه formula_57:formula_58توزیع پواسون.توزیع پواسون با تابع چگالی احتمال formula_59 و پارامتر formula_56 به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه formula_61:formula_62توزیع دوجمله‌ای.توزیع دوجمله‌ای با تابع چگالی احتمال formula_63 و پارامتر formula_23 و formula_65 به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه formula_66:formula_67واژه‌شناسی.فرهنگستان زبان فارسی، وردیدن از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای فعل to vary برگزیده است و از این فعل مشتقات وردایی (variance)،وردش (variation)، وردا (variant)، هم‌وردا (covariant)، هم وردایی (covariance)، ناوردا (invariant)، ناوردایی (invariance)، پادوردا (contravariance) را برساخته است.تخمین واریانس یک تابع.برای تخمین واریانس یک تابع از بسط تیلور آن به صورت پایین استفاده می‌کنند:formula_68منابع.page ۱۱۷٬۴۳ introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross