معادله مربعی چیست؟ توضیح بده.
در جبر، معادله مربعی (که "quadratus" در لاتین به معنای مربع است) (یا معادله درجه دو)، هر معادله‌ای است که بتوان آن را به صورت فرم استاندارد زیر نوشت:که در آن formula_2 یک نامعلوم (یا متغیر، مجهول و...) و formula_3 نمایشگر اعداد معلوم‌اند با این شرط که 0 formula_4. اگر formula_5، آنگاه این معادله خطی است و دیگر مربعی نخواهد بود، چرا که دیگر جمله formula_6 وجود نخواهد داشت. اعداد formula_3 را ضرایب معادله، ثابت‌ها نامیده می‌شوند.مقادیر formula_2 هایی که در معادله صدق کنند را "حل" (یا "جواب") معادله یا "ریشه‌ها" یا "صفرها"ی طرف چپ عبارت می‌نامند. اگر همهٔ ضرایب معادله مربعی اعداد حقیقی باشند، آن‌گاه معادله یا دو ریشه حقیقی، یا یک ریشه مضاعف حقیقی و یا دو ریشه مختلط که مزدوج مختلط یکدیگرند، دارد. پس می‌توان در حالت کلی دو جواب مختلط برای معادله مربعی در نظر گرفت؛ و در حالتی که ریشه مضاعف دارد، جواب‌های آن را دوتا جواب برابر هم انگاشت. معادله مربعی را در حالت کلی می‌توان به صورت زیر تجزیه کرد:که در آن formula_10 و formula_11 جواب‌های x هستند.مربع کامل کردن معادله مربعی به فرم استاندارد منجر به فرمول‌های مربعی برحسب ضرایب formula_3 می‌شود. جواب‌های مسائلی که برحسب معادلات مربعی قابل بیان‌اند، حداقل تا ۲۰۰۰ قبل از میلاد شناخته شده بودند.چون معادله مربعی فقط با یک متغیر سروکار دارد به آن "تک متغیره" گویند. معادله مربعی تنها شامل توان‌های نامنفی x است. ضمن این که چندجمله‌ای درجه-دویی است، چرا که بزرگترین توانش برابر ۲ است.انواع روش‌های حل معادله درجه دو.معادلات درجه دو با روش‌های آزمون و خطا، فاکتورگیری و تجزیه، روش مربع کامل، روش هندسی، روش خوارزمی، نمودار تابع (رسم نمودار)، روش دلتا، روش نیوتون و روش‌های دیگر حل می‌شوند.روش آزمون و خطا.در این روش با استفاده از حدس مقادیر مختلفی را برای متغیر در معادله قرار می‌دهیم و بررسی می‌کنیم که آیا این مقدار در معادله صدق می‌کند یا خیر.روش آزمون و خطا در واقع دادن عدد به معادله برای پیدا کردن جواب می‌باشد. در این روش باید سعی کنیم مقادیر را چنان انتخاب کنیم که ما را به سمت صفر راهنمایی کند. برای این کار بهترین راه پیدا کردن یک جواب مثبت و یک جواب منفی برای حاصل معادله می‌باشد. با محدود کردن این بازه خود را به جواب نزدیکتر می‌کنیم. در نهایت باید به جوابی که در معادله صدق می‌کند برسیم. این روش حل معمولاً به ما جواب تقریبی می‌دهد.روش تجزیه.این روش موقعی کارایی مناسبی دارد که بتوان به طریقی با تقسیم کل معادله بر ضریب جملهformula_13دو ثابتformula_14وformula_15ای به دست آورد که بین آن‌ها رابطه‌ای به شکلformula_16وformula_17 به‌سرعت به ذهن‌مان برسد. به این روش که منتج شده از اتّحاد ریاضیاتی معروف به جمله مشترک است، روش حل تجزیه‌ای گفته می‌شود. معادله بر اساس این اتحاد به شکل formula_18 در می‌آید و در این حالت به‌آسانی با برابر صفر قرار دادن هر پرانتز به جواب‌های formula_19 می‌رسیم.مثال:می‌خواهیم معادلهformula_20را حل کنیم.ابتدا دو طرف را بر دو تقسیم می‌کنیم تا ضریبformula_13یک شود. سپس در صدد یافتن m و n برمی‌آییم.formula_22همان‌طور که می‌بینیم:formula_23یعنی به عبارتی جمع دو عدد می‌شود ۴- و ضربشان هم ۳پس جواب‌ها به صورت formula_24 می‌باشند.روش مربع کامل کردن.این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی، معروف به اتحاد مربع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد:formula_25حال ما بایدformula_26را به صورتformula_27در نظر بگیریم وformula_28را به صورتformula_29و از آنجاformula_30را به دست آورده و مقدارformula_31رااز طرف چپ معادله کم و زیاد کنیم و پس از مرتب کردن و فاکتورگیری، معادله را به شکلformula_32درآوریم؛ که درصورتی معادله جواب حقیقی دارد کهformula_33مقداری مثبت یا صفر شود.مثال:می‌خواهیمformula_34را حل کنیم.formula_35و سپس نتیجه می‌شود:formula_36و داریم:formula_37و از آنجا به دست می‌آوریم:formula_38روش کلی حل معادله درجه ۲.اگر یک معادله درجه دو به صورت زیر باشد:راه حل عمومی آن به این شکل است:که نماد "±" به معنی هر دو است.formula_42هر دو جواب‌هایی از معادله درجه ۲ هستند.در صورتی که formula_44 کوچکتر از صفر باشد، معادله جواب حقیقی ندارد و در صورتی که برابر صفر باشد دو حل به یک حل تبدیل شده و گفته می‌شود معادله یک ریشه مضاعف دارد.اعداد ثابت formula_45 و formula_46 به ترتیب بیانگر جمع و ضرب دو ریشه هستند.روش ریشه‌گیری.در این روش دو نکته حائز اهمیت است:مثال: formula_48چند نکته مهم در مورد حل معادله درجه دو.formula_58 ⇒formula_59 مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادلهٔ درجه دو.مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادله درجه دو در حل مسائل از اهمیت خاصی برخوردار است. معمولاً در ریاضیات مجموع ریشه‌ها را با S و ضرب ریشه‌ها را با P نمایش می‌دهند.با فرض این‌که ریشه‌ها formula_60 و formula_61 باشند،مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های معادله درجه دو به صورت زیر به دست می‌آیند:formula_62formula_63و می‌توان معادله را بصورت زیر بازنویسی کرد:formula_64روابطی کاربردی که از طریق S و P (مجموع و ضرب دو ریشه) به دست می‌آیند.formula_65formula_66formula_67formula_68formula_69formula_70formula_71