در مورد پایه (جبر خطی) توضیح بده.
در ریاضیات، زیرمجموعه‌‌ای مانند formula_1 از بردارهای یک فضای برداری formula_2 را پایهٔ formula_2 می‌نامیم اگر بتوان هر عنصری از formula_2 را به صورت ترکیب خطی یکتا از عناصر formula_5 نوشت. به عناصر formula_5 بردارهای پایه گفته می‌شود. ضرایب این ترکیب خطی مختصات آن بردار نسبت به پایهٔ formula_5 نامیده می‌شوند.یک فضای برداری می‌تواند چندین پایه داشته باشد. با این حال همه پایه‌ها تعداد عناصرشان یکسان خواهد بود که به آن بعد فضای برداری گفته می‌شود.تعریف.زیرمجموعهٔ formula_1 از بردارهای فضای برداری formula_2 را پایهٔ formula_2 می‌نامیم اگر دو خاصیت زیر را داشته باشد:از این خواص نتیجه می‌شود که می‌توان هر عنصری از formula_2 را به صورت یک ترکیب خطی یکتا از عناصر formula_5 نوشت. در نتیجه این دو تعریف با یکدیگر معادل اند.نتایج و قضایا.قضیه مجموعه مولد.اگر formula_20 یک مجموعهٔ مولد برای فضای formula_21 باشد (ولی لزوماً مستقل خطی نباشد)، زیرمجموعه‌ای از formula_20 وجود دارد که پایهٔ formula_2 باشد. چنین زیرمجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل حذف به شرح زیر پیدا کرد:اگر formula_20 مستقل خطی نباشد یعنی عنصری مانند formula_25 در آن وجود دارد که می‌توان آن را به صورت ترکیب خطی عناصر دیگر نوشت. در این صورت با حذف این عنصر، مجموعهٔ formula_26 هنوز مولد formula_2 خواهد بود.با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه کوچک‌ترین مولد formula_2 است. چون اگر یک بردار دیگر را حذف کنیم، بردار محذوف ترکیب خطی از بردارهای دیگر نخواهد بود و در نتیجه دیگر مولد formula_2 نخواهد بود.قضیه مجموعه مستقل خطی.اگر formula_20 یک مجموعهٔ مستقل خطی در فضای formula_21 باشد (ولی لزوماً مولد نباشد)، مجموعهٔ بزرگتر formula_32 وجود دارد که پایهٔ formula_2 باشد.چنین مجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل گسترش پیدا کرد. به خاطر عمل گسترش و حذف در قضیهٔ قبل به این دو قضیه «قضیهٔ استخراج پایه» و «قضیهٔ توسعه به پایه» نیز می‌گویند.با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه همچنین بزرگترین مجموعهٔ مستقل خطی ممکن است. چون اگر یک بردار دیگر به آن اضافه کنیم، طبق تعریف می‌توان این بردار را به صورت ترکیب خطی بردارهای قبلی نوشت. در نتیجهٔ این دو قضیه، این دو تعریف با تعریف اصلی معادل اند.قضیه پایه.پایهٔ یک فضای برداری یکتا نیست ولی تمام پایه‌های آن به تعداد برابری عضو خواهند داشت. اگر پایه‌های یک فضای برداری formula_2 به تعداد formula_35 عضو داشته باشند آن فضا را formula_35-بعدی می‌نامیم. بعد یک فضای برداری را با formula_37 نمایش می‌دهیم. طبق تعریف قراردادی formula_38.اگر formula_39 زیرفضای formula_2 باشد formula_41.قضیهٔ پایه بیان می‌کند که اگر formula_42‌ باشد، هر زیرمجموعهٔ مستقل خطی و formula_35 عضوی از اعضای formula_2 پایهٔ formula_2 است. همچنین هر زیرمجموعهٔ مولد formula_2 و formula_35 عضوی از اعضای formula_2 پایهٔ formula_2 است.هیچ زیرمجموعه‌ای از formula_2 با تعداد اعضای بیشتر از formula_35 مستقل خطی نخواهد بود و هیچ زیرمجموعه‌ای از formula_2 با تعداد اعضای کمتر از formula_35 مولد formula_2 نخواهد بود.دستگاه مختصات.طبق تعریف، یک فضای برداری با نام فرضی formula_55 به صورت formula_56 تعریف می‌شود که در آن formula_2 مجموعهٔ تمام بردارهای فضای formula_55 است. توجه کنید که در بیشتر موارد خود فضا (formula_55) نامگذاری نمی‌شود و به جایش برای اشاره به آن از عبارت «فضای formula_2» استفاده می‌کنیم.دستگاه مختصاتی دکارتی محیطی برای نگاشت بردارهای اقلیدسی به یک formula_35-تایی مرتب فراهم می‌کند. هر چند هر فضای برداری formula_35-بعدی لزوماً اقلیدسی نیست، می‌توان رفتار تقریباً مشابهی با آن داشت.اگر formula_1 پایهٔ فضای formula_2 باشد، هر بردار formula_65 را می‌توان به صورت یک ترکیب خطی یکتا از عناصر formula_5 نوشت: formula_67ضرایب این ترکیب خطی را مختصاتِ بردار formula_68 (نسبت به پایهٔ formula_5) می‌نامیم: formula_70نمایش این ضرایب در یک formula_35-تایی مرتب را بردار مختصاتیِ formula_68 (نسبت به پایهٔ formula_5) می‌نامیم و آن را با formula_74 نمایش می‌دهیم: formula_75تابع نمایش استانداردِ formula_2 (نسبت به پایهٔ formula_5) به صورت formula_78 تعریف می‌شود. تبدیل خطی formula_79 نگاشت مختصاتی formula_2 به formula_81 (نسبت به پایهٔ formula_5) است (formula_83).به «فضای formula_81» فضای مختصاتیِ formula_2 می‌گوییم. میدان formula_86 معمولاً اعداد حقیقی فرض می‌شود: formula_87formula_88formula_89مثال.اگر formula_90 مجموعهٔ تمام چندجمله‌ای‌های با درجهٔ حداکثر ۲ باشد و formula_91 باشد، formula_92 یک بردار با "مختصات" formula_93 در فضای formula_2 است و "بردار مختصاتی" آن formula_95، یک بردار اقلیدسی در فضای سه‌بعدی خواهد بود. "تابع نمایش استاندارد" formula_96 را یک "نگاشت مختصاتی" می‌نامیم.پایه استاندارد.در فضای اقلیدسی دوبعدی دو بردار پایهٔ استاندارد formula_97 و formula_98 پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.در فضای اقلیدسی سه‌بعدی سه بردار پایهٔ استاندارد formula_99 و formula_100 و formula_101 پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.در فضای اقلیدسی formula_35بعدی پایهٔ استاندارد فضا متشکل از formula_35 بردار پایه formula_104 و ... و formula_105 است.پایه‌های استاندارد یکه و بر یکدیگر عمود (یا یکامتعامد) هستند.با داشتن یک پایهٔ دلخواه از یک فضای برداری، به کمک الگوریتم گرام اشمیت می‌توان یک پایهٔ یکامتعامد برای آن فضا پیدا کرد.