سری (ریاضیات) کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، یک سریِ متناظر با یک دنباله مانند formula_1، از مجموع جزئی تمامی اعضای دنبالهٔ formula_1 به دست می‌آید.سری‌ها به دو صورت formula_3 یا formula_4 نمایش داده می‌شوند.بررسی سری‌ها بخش بزرگی از حسابان را تشکیل می‌دهد. به علاوه، سری‌ها در رشته‌های بسیاری از ریاضیات از جمله ترکیبیات استفاده می‌شوند. سری‌ها کاربرد بسیاری در رشته‌هایی چون علوم رایانه، فیزیک و مالی دارند.تعریف.برای دنباله‌های متناهی با طول formula_5، این مقدار برابر formula_6 تعریف می‌شود.برای دنباله‌های نامتناهی، این مقدار به کمک حد مجموع جزئی تعریف می‌شود:formula_7اگر چنین حدی وجود داشته باشد، سری، همگرا نامیده می‌شود و در غیر این صورت واگرا.سری‌های خاص.سری حسابی.سری‌های حسابی مجموع جزئی یک تصاعد حسابی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:سری هندسی.سری‌های هندسی مجموع اعضای یک تصاعد هندسی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:قضیه: یک سری هندسی همگرا ست اگر و تنها اگر formula_10.سری همساز.سری هارمونیک یا همساز به صورت زیر نوشته می‌شود:formula_11این سری از مثال‌های معروفی ست که دنبالهٔ آن همگرا ست ولی سری واگرا ست."p"-سری‌ها.این سری‌ها تعمیمی از سری همساز هستند: formula_12این سری‌ها تنها در صورتی همگرا هستند که formula_13 باشد.این سری‌ها، به عنوان تابعی از formula_14 به «تابع زتای ریمان» معروف اند و به صورت formula_15 نمایش داده می‌شوند.سری گرندی.سری formula_16 یک سری واگرا ست که دنبالهٔ آن نیز واگرا ست.روش‌های غلط برای محاسبهٔ مقدار سری.اشتباهی که در این محاسبات وجود دارد این است که فرض شده مقدار سری وجود دارد که فرض نادرستی ست. این مقدار وجود ندارد و سری واگرا ست.نصف مسیر باقی‌مانده.این مسأله از پارادوکس‌های زنون بوده و به شرح زیر است:هیچ دونده‌ای نمی‌تواند به انتهای مسیر خود برسد زیرا قبل از رسیدن به انتهای مسیر، باید نصف مسیر باقی‌مانده را طی کند.اگر طول مسیر را واحد در نظر بگیریم، این مسأله معادل این است که هر چه قدر شروع به جمع کردن سری formula_20 کنیم، به مقدار دقیق ۱ نمی‌رسیم.به عبارت دیگر در دنبالهٔ مجموع جزئی formula_21 هیچ عضو آن برابر ۱ نیست.این ادّعا غلط است زیرا مقدار سری برابر حد مجموع جزئی ست.سری با جملات مثبت یا جملات منفی.اگر formula_1 همواره مثبت یا همواره منفی باشد:سری تلسکوپی.اگر formula_25، در آن صورت سری formula_26 را «تلسکوپی» می‌نامیم.قضیه: سری تلسکوپی تنها در صورتی همگرا ست که formula_27 همگرا باشد و در آن صورت: formula_28سری متناوب.برای دنبالهٔ formula_1، سری متناوب آن به صورت formula_30 است.آزمون همگرایی (قضیهٔ لایبنیتز).اگر formula_1 دنبالهٔ مثبت و نزولی با حد صفر باشد، سری متناوب آن همگرا ست.آزمون‌های همگرایی.آزمون جملهٔ nـُم.اگر سری formula_4 همگرا باشد، باید formula_44 باشد.اگر formula_45 یا formula_46 وجود نداشته باشد، سری formula_4 باید واگرا باشد.آزمون‌های سری مثبت یا منفی.این آزمون‌ها تنها در صورتی کاربرد دارند که جملات دنباله‌ها همواره مثبت یا همواره منفی باشندآزمون‌های مقایسه‌ای.آزمون مقایسه‌ای اُردر.دو آزمون بالا معادل یکدیگر هستند و به مفهوم دیگری مرتبط اند: نماد O بزرگ و تحلیل مجانبی.تعریف: اگر formula_57، می‌نویسیم formula_67 (یا formula_68) و می‌خوانیم formula_1 و formula_27 «به صورت مجانبی برابر» اند.تعریف: اگر formula_71، می‌نویسیم formula_72 و می‌خوانیم formula_27 دنبالهٔ formula_1 را «به صورت مجانبی محدود» می‌کند (یا formula_1 از اردر formula_27 است).طبق تعریف، اگر دو دنباله یکدیگر را به صورت مجانبی محدود کنند، آن دو به صورت مجانبی با یکدیگر برابر اند.آزمون انتگرال.اگر تابع formula_86 همواره مثبت باشد و formula_87 و formula_88، در این صورت دنباله‌های formula_89 و formula_90 یا هر دو همگرا هستند یا هر دو واگرا.تغییر آرایش.کوشی کشف کرد که ممکن است با تغییر آرایش یک سری، مقدار آن تغییر کند. به عنوان مثال سریformula_99امّا اگر آرایش این سری را به طوری تغییر دهیم که پس از هر دو مثبت، یک منفی ظاهر شود، به مقدار دیگری می‌رسیم:formula_100دقّت کنید که در هر دو سری، هر تقسیم فرد به صورت مثبت و یک بار و هر تقسیم زوج نیز به صورت منفی و یک بار ظاهر می‌شود؛ پس سری دوم به درستی آرایشی از سری اوّل است.سری مطلقاً همگرا.قضیه: هر گونه آرایشی از یک سری مطلقاً همگرا مقدار یکسانی دارد.همچنین ریمان اثبات کرد که برای هر سری همگرا که مطلقاً همگرا نباشد می‌توان آرایشی معرّفی کرد که در آن مقدار سری تغییر کند.سری‌های توانی.هر سری به صورت formula_101 را یک سری توانی به مرکز formula_34 می‌نامیم. در نتیجه هر سری به صورت formula_103 را یک سری توانی به مرکز ۰.سری تیلور یک نوع سری توانی ست.