نظریه تجدید کیست؟ توضیح بده.
نظریه تجدید، شاخه‌ای از نظریه احتمال است که فرایندهای پواسون را به زمان‌های نگهداری اختیاری عمومیت می‌دهد. کاربردهایی شامل محاسبه زمان انتظار برای میمونی که به صورت تصادفی به صفحه کلید ضربه می‌زند تا کلمه مک بت را تایپ کند و به محاسبه مزایای دراز مدت از سیاست‌های تضمینی مختلف بپردازد.مقدمه.فرایند تجدید، تعمیم یافتهٔ فرایند پواسون است. فرایند پواسون ذاتاً یک فرایند پیوسته مارکوف می‌باشد که توزیع مستقل یکسان از زمان‌های نگهداری شده از هر عدد صحیح formula_1 با توزیع نمایی قبل از رسیدن به عدد صحیح بعدی formula_2 با احتمال یک است.در رویه غیررسمی ممکن است نظریه تجدید را به همین صورت تعریف کنیم به جز اینکه زمان‌های نگهداری شده از توزیع عمومی تری گرفته شده‌اند. (توجه داشته باشید که مشخصات توزیع‌های مستقل ویکسان(متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان)از زمان‌های نگهداری شده حفظ می‌شوند.)تعریف ریاضی.فرض کنید formula_3 دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی مستقل وتوزیع شده یکسان باشد مثل:formula_4فرض می‌کنیم متغیر تصادفی formula_5 به عنوان formula_1امین زمان ثبت شده باشد که برای هر ۰&lt;"n" به صورت زیر تعریف می‌کنیم؛هرformula_8مربوط به formula_9امین پرش زمانی است وبازهformula_10 به عنوان بازهٔ تجدید شناخته می‌شودپس متغیر تصادفی formula_11 به صورت زیر داده می‌شود.formula_12به‌طوری‌که formula_13 تابع شاخص مطرح است بیان‌کننده تعداد پرش است که در زمان t رخ داده است و به عنوان فرایند تجدید خوانده می‌شود.شرح و تفسیر.ممکن است شخصی فکر کند زمان‌های نگهداری شده formula_14 به عنوان زمان طی شده قبل از یک خرابی ماشین را در formula_1مین بار، در زمان آخرین خرابی باشد. به این فرض توجه کنید که ممکن است ماشین فوراً درست شده باشدوما کلاک را فوراً ریست می‌کنیم).در این تفسیر زمان‌های پرشformula_16، زمان‌های موفقیت را ثبت می‌کنند که در کد یک از آن‌ها ماشین خراب شده و فرایند تجدید formula_17، تعداد زمانهایی که تا این جا در زمان داده شده formula_18 باید تعمیر شده باشد را ثبت می‌کند.اگر چه این مطلب برای فهم فرایند تجدید با وجود شکل مختصر خود، مؤثر است چون ممکن است برای مدل کردن تعداد زیادی از موقعیت‌های عملی وابسته استفاده شود ارتباط خیلی نزدیکی با عملکرد ماشین نداشته باشد.فرایندهای تجدید-پاداش.فرض کنید formula_19 دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی (پاداش)،IID باشد که در رابطهformula_20 صدق کند. سپس به متغیر تصادفی formula_21، فرایند تجدید-پاداش گفته می‌شود. توجه کنید که بر خلاف formula_5، هرformula_23 ممکن است مقدار منفی را همانند مقادیر مثبت بگیرد. متغیر تصادفی formula_24، به دو دنباله وابسته است: زمان‌های نگهداری شده formula_25 وپاداشهایformula_19، نیازی نیست که این دو دنباله مستقل از هم باشند. اصولاًformula_23 تابعی ازformula_5است.تفسیر.در فهم تفسیر بالا از زمان‌های نگهداری شده، به عنوان زمان بین خرابی‌های متوالی یک ماشین، پاداش هایformula_29 (که در این مورد به عنوان منفی بودن اتفاق افتاده است) به عنوان هزینه تعمیر متوالی و به عنوان نتایج خرابی‌های متوالی می‌باشد، بیان می‌شود.یک مقایسه جایگزین این است که، یک غاز جادویی داشته باشیم که بر روی تخم‌ها در بازه‌های توزیع شده مثلformula_5 (زمان‌های نگهداری شده) می‌خوابد، بعضی وقت‌ها بر روی تخم‌های طلایی با وزنهای تصادفی می‌خوابد و گاهی اوقات بر روی تخمهای سمی می‌خوابد (باوزن‌های تصادفی) که نیازمند درد معرض دید بودن (هزینه بربودن) می‌باشد. پاداشهای formula_23، سودها یا ضررهای مالی ناشی از تخمهای متوالی می‌باشد و formula_24، مجموع مالی از پاداش‌ها در زمان formula_18 را ثبت می‌کند.مشخصات فرایندهای تجدید و فرایندهای پاداش–تجدید.تابع تجدید را به این صورت تعریف می‌کنیم؛ formula_34قضیه اولیه تجدید.تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:formula_35برهان.در زیر شما متوجه می‌شوید که قانون قوی تعداد زیاد برای فرایندهای تجدید به ما می‌گویند کهformula_36 برای اثبات قضیه اولیه تجدید، سخت است که نشان دهیم formula_37 به یک شکل قابل انتگرال‌گیری هستند.برای انجام این، تعدادی از فرایندهای کوتاه شدهٔ تجدید را در نظر بگیرید که زمان‌های نگهداری شده بوسیلهformula_38تعریف می‌شود که formula_39 نقطه‌ای است کهformula_40که برای هر فرایند تجدید تا معین، وجود دارد formula_41 یک حد بالایی روی formula_42 است و تجدیدهای آن فقط در شبکه formula_43 اتفاق می‌افتد. علاوه بر این، تعداد تجدیدها در هر زمان تصاعد هندسی با پارامتر formula_44 است، بنابراین داریم:formula_45قضیه پایه‌ای تجدید برای فرایندهای تجدید-پاداش.تابع پاداش را به صورت زیر تعریف کرده‌ایم: formula_46تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:formula_47معادله تجدید.تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:formula_48به‌طوری‌که formula_49 تابع توزیع عمومی formula_50 است و formula_51 تابع چگالی احتمال متناظر است.برهان معادله تجدید.ممکن است مجدداً انتظار اولین زمان نگهداری شده را بازگو کنیم:formula_52ولی به وسیلهٔ مشخصه مارکوف داریم:formula_53بنابراینformula_54مشخصه‌های مجانبی.مشخصه‌های مجانبی formula_11 و formula_56در رابطه زیر صدق می‌کند:(قانون قوی تعداد فراوان برای فرایندهای تجدید)formula_57formula_58برهان.ابتدا در نظر بگیرید formula_11، با تعریفی که ما داریم:formula_60برای همه formula_61 داریمformula_62و همچنین چون formula_63، داریم:formula_64بررسی قیاس ضد و نقیض.ویژگی عجیب فرایندهای تجدید این است که ما در بعضی از زمان‌های از قبل مشخص شده "t" صبر می‌کنیم و سپس مشاهده می‌کنیم که بازه تجدید شامل "t" چه اندازه است، ما باید انتظار داشته باشیم که بزرگتر از سایز بازه میانگین باشد.قیاس ضد و نقیض به صورت ریاضی این‌گونه بیان می‌شود: برای هر t&gt;0، بازه تجدید شامل "t"، به صورت اتفاقی بزرگتر از بازه تجدید اولیه است؛ که برای همه x"&gt;0" و همه t"&gt;0":formula_65که "F""S" تابع توزیع عمومی IID از زمان‌های نگهداری شده "Si" است.اصل برهم نهی.روی هم قرار دادن فرایندهای تجدید مستقل، عموماً یک فرایند تجدید نیست، تابع توزیع عمومی از رخدادهای داخلی زمان در فرایند برهم نهی به وسیله فرمول زیر داده می‌شود:formula_66به‌طوری کهR وCDF رخدادهای داخلی زمان هستند و نرخ ورودی فرایندها Kاست.