معادله دیفرانسیل کیست؟ توضیح بده.
معادله دیفرانسیل در ریاضیات، معادله‌ای است که یک یا چند تابع مجهول و مشتقات آنها را به هم مرتبط می‌کند. عموماً در کاربردها، توابع کمیت‌های فیزیکی را نشان می‌دهند، مشتق‌ها نرخ تغییر آن‌ها را نشان می‌دهند، و "معادله دیفرانسیل" رابطه بین این دو را تعریف می‌کند. چنین روابطی بسیار رایج است، و به همین دلیل معادلات دیفرانسیل نقش برجسته‌ای در بسیاری از رشته‌ها از جمله مهندسی، فیزیک، اقتصاد و زیست‌شناسی دارند.مطالعه معادلات دیفرانسیل عمدتاً شامل مطالعه جواب‌های آنها (مجموعه توابعی که هر معادله را برآورده می‌کند) و خواص جواب‌های آنها است. فقط معادلات دیفرانسیل ساده با فرمول‌های صریح قابل حل هستند. با این حال، امکان تعیین بسیاری از خواص جواب‌های یک معادله دیفرانسیل معین بدون محاسبه دقیق آنها وجود دارد.اغلب هنگامی که یک عبارت فرم بسته برای جواب در دسترس نیست، می‌توان با استفاده از رایانه به صورت عددی جواب‌ها را تخمین زد. تئوری سیستم‌های دینامیکی بر تحلیل کیفی سیستم‌هایی که با معادلات دیفرانسیل توصیف شده‌اند، تأکید می‌کند، در حالی که روش‌های عددی زیادی برای تعیین راه‌حل‌ها با درجه‌ای از دقت معین توسعه داده شده‌اند. استفاده از روش‌های مبتنی بر یادگیری ماشین در حل این معادلات رو به گسترش است.تاریخچه.معادلات دیفرانسیل با اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتس به وجود آمد. نیوتن در فصل ۲ کتاب خود"Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum،" در سال ۱۶۷۱ سه نوع معادله دیفرانسیل را فهرست کرد:formula_1در تمام این موارد، y یک تابع مجهول از x (یا از x1 و x2)، و f یک تابع معین است.او این مثال‌ها و نمونه‌های دیگر را با استفاده از سری‌های بی‌نهایت حل می‌کند و در مورد منحصربه‌فرد نبودن جواب‌ها بحث می‌کند.ژاکوب برنولی در سال ۱۶۹۵ میلادی معادله دیفرانسیل برنولی را پیشنهاد کرد. این معادله یک معادله دیفرانسیل معمولی با شکل زیر است:formula_2که سال بعد لایبنیتس با ساده کردن آن جواب‌هایی برای آن به دست آورد.از نظر تاریخی، مسئله سیم ارتعاشی مانند یک ساز موسیقی توسط ژان لو رون دالامبر، لئونارد اویلر، دانیل برنولی و ژوزف لوئی لاگرانژ مورد مطالعه قرار گرفت. در سال ۱۷۴۶، دالامبر معادله موج یک بعدی را کشف کرد و در عرض ده سال اویلر معادله موج سه بعدی را کشف کرد.معادله اویلر-لاگرانژ در دهه ۱۷۵۰ توسط اویلر و لاگرانژ در ارتباط با مطالعات آنها در مورد مسئله خم همزمانی ایجاد شد. این مسئله در رابطه با تعیین منحنی‌ای است که در آن یک ذره وزن‌دار در یک زمان ثابت، مستقل از نقطه شروع، به یک نقطه ثابت سقوط می‌کند. لاگرانژ این مسئله را در سال ۱۷۵۵ حل کرد و راه حل را برای اویلر فرستاد. آن دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه دادند و آن را در مکانیک به کار بردند که منجر به تدوین مکانیک لاگرانژی شد.در سال ۱۸۲۲، ژوزف فوریه کار خود را در مورد شارش گرما در کتاب "Théorie analytique de la chaleur" (نظریه تحلیلی گرما) منتشر کرد، که در آن استدلال خود را بر قانون خنک‌سازی نیوتن استوار کرد. در این کتاب پیشنهاد فوریه از معادله گرما برای رسانش واپخشی گرما وجود داشت. در حال حاضر این معادله دیفرانسیل جزئی بخشی مشترک از درس فیزیک ریاضی است.مسائل مقدار اولیه.در حل مسائل کلّی به "ثابت انتگرال" برمی‌خوریم. به عنوان مثال:formula_3به این معنی که مقدار پادمشتق می‌تواند هر تابع formula_4 (به ازای هر formula_5) باشد. به عبارتی دیگر تابع formula_6 ممکن است formula_7 یا formula_8 یا موارد مشابه باشد.در صورتی که مقدار اوّلیّهٔ formula_6 را بدانیم، می‌توان آن را به صورت دقیق پیدا کرد. در مثال قبلی، اگر بدانیم formula_10 از این موضوع نتیجه می‌گیریم:formula_11به عنوان مثال، اگر بدانیم سرعت یک جسم (formula_12) برابر ۱ است و همچنین در ثانیهٔ ۱ در مکان ۲ قرار داشته (formula_10)، از روش مذکور برای پیدا کردن معادلهٔ مکان-زمان استفاده می‌کنیم.شاخه‌بندی.معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد:خطی.هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیرخطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. اکثر معادلاتی (معمولی) که در فیزیک به آنها برمی‌خوریم خطی هستند.اگر درجهٔ مجهول و مشتقاتش یک باشند، آن را "خطی" و در غیر این صورت غیرخطی می‌نامیم.به عنوان مثال، معادلهٔ formula_16 خطی است ولی معادلهٔ formula_17 غیرخطی است.به دلیل این که معادلات خطی حل (نسبتاً) ساده‌تری دارند، می‌توان معادلات غیرخطی را با تقریب خطی به معادلات خطی تبدیل و آنها را با روش‌های معمول حل کرد. به این عمل "خطی‌سازی" می‌گویند.از کاربردهای فیزیکی این معادلات می‌توان به مدل‌سازی حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن به دست می‌آیند اشاره کرد. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند. همچنین در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو و قانون سرمایش نیوتن کاربرد فراوانی دارد.مرتبه.مرتبهٔ یک معادلهٔ دیفرانسیل عبارت است از مرتبهٔ مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.به عنوان مثال، مرتبهٔ معادلهٔ formula_16 یک است و مرتبهٔ formula_19 دو است.همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.دستگاه معادلات دیفرانسیل.یک شاخه‌بندی دیگر این معادلات، تعداد مجهول‌های این معادلات است. اگر یک مجهول وجود داشته باشد، یک معادله برای پیدا کردن جواب کافی است. اگر دو مجهول باشد دو معادله نیاز است که تشکیل دستگاه معادلات دیفرانسیل می‌دهند.از این معادلات می‌توان به معادله لوتکا-ولترا اشاره کرد که در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی استفاده می‌شود.مرتبه اول."معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل" گروهی از "معادلات دیفرانسیل" هستند که تنها شامل مشتق مرتبهٔ اوّل تابع مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع). اگر formula_15 تابعی مجهول از متغیّر formula_14 باشد، یک "معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل" معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت زیر نمایش داد (که در آن formula_22 می‌تواند هر تابع پیوسته‌ای باشد):formula_23به عنوان مثال formula_24 یک "معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل" است (formula_25) و حل آن ما را به formula_26 می‌رساند.یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است:formula_27برای حل این معادلات روش کلی وجود ندارد. روش‌های متعدّدی وجود دارد که هر کدام تنها برای دستهٔ خاصی از این معادلات کاربردی هستند. از مهم‌ترین آنها می‌توان به "مرتبه اول خطی" و "مرتبه اول تفکیک‌پذیر" اشاره کرد که در ادامه به آنها می‌پردازیم.قضیهٔ وجود و یکتایی."قضیهٔ پیکارد-لیندلوف" : این معادلات در بازهٔ وجودی‌شان دقیقاً یک جواب دارند. اگر formula_22 پیوسته باشد، بازهٔ وجودی برابر formula_29 است.در غیر این صورت، پیدا کردن بازه‌ای که جواب در آن وجود دارد می‌تواند سخت باشد. بازهٔ وجودی جواب شاید هیچ ارتباطی با بازهٔ پیوستگی formula_22 نداشته باشد.اگر توابع formula_22 و formula_32 در یک مربّع فرضی (مثل formula_33) پیوسته باشند،بازه‌ای از formula_14 (مثل formula_35) وجود دارد که معادلهٔ formula_36 (با مقادیر اوّلیّهٔ دلخواه) در آن جواب دارد.توجّه کنید که شروط ذکر شده ضروری نیستند؛ یعنی شاید بتوان به روشی دیگر و بدون کمک گرفتن از این قضیه، بازهٔ وجودی پیدا کرد.مرتبهٔ اول خطی.در صورتی که درجهٔ formula_6 و formula_38 یک باشد به آن خطی گوییم.در مدارهای RL، به کمک قانون اهم به معادلاتی مشابه formula_39 می‌رسیم (formula_40 و formula_41 و formula_42 ثابت و formula_43 تابعی از formula_44) و برای پیدا کردن formula_43 باید از "معادلات دیفرانسیل مرتبه اوّل خطی" کمک بگیریم.برنولی.معادلهٔ دیفرانسیل برنولی معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت formula_46 نوشت.برای حل این معادلات می‌توان آنها را با تغییر متغیّر formula_47 به معادلهٔ خطی تبدیل کرد:formula_48مرتبهٔ اول تفکیک‌پذیر."معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل تفکیک‌پذیر" معادلاتی هستند که بتوان آن‌ها را به فرم دیفرانسیلی زیر نمایش داد (formula_49 و formula_50 دلخواه):formula_51برای حل این معادله، آن را به فرم زیر می‌نویسیم:formula_52با فرض این که formula_53 و formula_54 پادمشتق formula_22 و formula_56 باشند:formula_57طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:formula_58در نتیجه تساوی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:formula_59در نتیجه، با انتگرال‌گیری نسبت به formula_14 داریم:formula_61به عبارتی دیگر، جواب به صورت زیر به دست می‌آید:formula_62مرتبهٔ اول همگن.اگر یک "معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل" را به فرم formula_27 بنویسیم، در صورتی که توابع formula_64 و formula_65 هر دو توابع همگن با درجه (مرتبه) یکسان باشند، آن معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن است.به عبارتی دیگر formula_66 و formula_67.توجّه کنید که مرتبهٔ همگنی توابع (formula_68) با مرتبهٔ معادله (یک) اشتباه نشود.حال درصورتی که formula_69:formula_70به عبارتی دیگر formula_38 را می‌توان به صورت تابعی از تنها کسر formula_72 بیان کرد (formula_22 یک تابع همگن درجه صفر است). این معادلات را می‌توان با تغییر متغیّر formula_74 به معادلات "تفکیک‌پذیر" تبدیل کرد.به عنوان مثال، معادلهٔ formula_75 را می‌توان به صورت formula_76 نمایش داد (پس همگن است). با فرض formula_74، می‌توان معادله را به صورت formula_78 تفکیک کرد. ادامهٔ حل، به روش حل "معادلات تفکیک‌پذیر" است.یک حالت خاص.اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل به فرم formula_79 یا formula_80 باشد، می‌توان معادلهٔ مذکور را با تغییر متغیّر به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد.جواب‌های دو معادله دومجهولی formula_81 و formula_82 به صورت زیر به دست می‌آید (اگر formula_83):formula_84سپس با تغییر متغیّر formula_85 و formula_86 می‌توان معادلهٔ مذکور را به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد:formula_87مرتبهٔ اول خودگردان.در صورتی که نرخ رشد یک تابع (formula_15) تنها به مقدار تابع وابسته باشد، "خودگردان" نامیده می‌شود: formula_89رشد نمایی."معادلهٔ رشد نمایی" ساده‌ترین نوع معادلات خودگردان است و برای مدل‌سازی رشد بعضی گونه‌ها (مثل میکروب‌ها) استفاده می‌شود. به این معادله «قانون رشد طبیعی» نیز می‌گویند.این معادلات را می‌توان به فرم formula_90 نوشت (formula_91 یک عدد و formula_6 تابعی از formula_44 است) و جواب آن برابر formula_94 است.رشد لجستیک."معادلهٔ لُجِستیک یا معادلهٔ ورهولست" از انواع معادلات خودگردان است که اوّلین بار توسّط یک ریاضی‌دان بلژیکی برای مدل‌سازی رشد جمعیّت معرّفی شد.به عنوان مثال در حالت کشت سلّول در یک پتری‌دیش، اگر در ابتدا تعداد میکروب‌ها کم باشند به صورت نمایی رشد می‌کنند؛ امّا به دلیل محدود بودن فضای رشد، تعداد آن‌ها از مقدار خاصی فراتر نمی‌رود و سرعت رشد به مرور کاهش پیدا می‌کند. همچنین اگر تعداد اوّلیّهٔ میکروب‌ها از این حد فراتر بود تعدادی از آنها نابود می‌شدند.این معادلات را می‌توان به فرم formula_95 یا به شکل معمول‌ترِ formula_96 نوشت (formula_97).به ثابت formula_98 "نرخ رشد ذاتی" گفته می‌شود، زیرا در ابتدا (یعنی formula_99) که formula_100 است، formula_101 می‌شود.به ثابت formula_102 "حد اشباع" یا "ظرفیّت تحمّل محیطی" گفته می‌شود. تمام توابع لجستیک (با هر مقدار اوّلیّهٔ مثبتی) به formula_102 میل می‌کنند.حل این معادلات به صورت زیر است:formula_104formula_105مرتبهٔ اول کامل.اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم formula_27 بنویسیم، با فرض این که formula_107 و formula_108 مشتق‌های جزئی این توابع باشند (که در یک ناحیهٔ خاص پیوسته است)،معادلهٔ مورد نظر "کامل" است اگر و تنها اگر formula_109.به بیانی دیگر معادله کامل است اگر و تنها اگر تابعی مانند formula_110 وجود داشته باشد که formula_111 و formula_112. در آن صورت formula_113 می‌شود.برای حل این معادلات می‌توان از این روش استفاده کرد:formula_114در نتیجه با قرار دادن formula_115 به جواب می‌رسیم.عامل انتگرال‌ساز.در بعضی موارد که معادلهٔ formula_27 کامل نیست می‌توان با یک ترفند آن را به یک معادلهٔ کامل تبدیل کرد و سپس آن را به روش مذکور حل کرد. در این ترفند ساده معادله را در یک "عامل انتگرال‌ساز" (مثل formula_117) ضرب می‌کنیم به صورتی که معادلهٔ به دست آمده (formula_118) کامل باشد.مشکل این ترفند در پیدا کردن "عامل انتگرال‌ساز" مناسب است. طبق تعریفِ معادلهٔ کامل برای معادلهٔ جدید:formula_119امّا پیدا کردن formula_117 با حل این معادله بسیار دشوار است (همچنین احتمالاً formula_117 یکتا نیست). برای حل این مشکل حدس می‌زنیم که formula_122 باشد و امیدوار می‌مانیم که همین‌طور باشد. اگر با این فرض formula_117 به دست آمد و معادلهٔ formula_124 طبق تعریف کامل شد، به این نتیجه می‌رسیم که فرضمان درست بوده. گاهی نیز با حدس formula_125 می‌توان به جواب رسید.یک مثال.معادلهٔ formula_126 کامل نیست. formula_127 و formula_128.برای پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز از حدس formula_122 استفاده می‌کنیم:formula_130معادلهٔ جدید به صورت formula_131 به دست می‌آید.باید بررسی کنیم که آیا معادلهٔ جدید کامل هست یا نه، زیرا شاید حدسمان اشتباه بوده. پس از بررسی (تعریف کامل بودن) مشاهده می‌کنیم که معادله کامل شده. حال باید معادلهٔ کامل را حل کنیم تا جواب به دست بیاید.تابعی مانند formula_110 وجود دارد که formula_133 و formula_134.formula_135از طرفی می‌دانستیم که formula_134. پس:formula_137formula_138برای حل معادلات کامل باید از formula_139 استفاده کرد:formula_140در ادامه می‌توان formula_6 را بر حسب formula_14 به دست آورد.همچنین توجّه داشته باشید که formula_117 یکتا نبود. به عنوان مثال formula_144 یک "عامل انتگرال‌ساز" دیگر است که به کمک آن باز هم به همین جواب می‌رسیم.