کره (هندسه) کیست؟ توضیح بده.
کُره یا گوی یا سِپِهر یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف "r" نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است.تعریف.کره به این صورت تعریف می‌گردد:کره مجموعه نقاطی از فضا است که این نقاط به فاصلهٔ یکسان در مرکز کره شعاع آن را ایجاد می‌کند، کره نوعی چندوجهی منحنی پیچیده‌ای است که از نوع حجم‌ها هندسی است.اصلاحات پایه.شعاع کره را باRیاrنشان می‌دهند. شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می‌آید. قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می‌دهند. اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می‌آید. سیارات و ستاره‌ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند. این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند. ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می‌دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است. آنها یک کره و یک توپ را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می‌کنند. یک توپ باز خود کره را حذف می‌کند، در حالی که یک توپ بسته شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین توپ و کرههمیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می‌کنند. تمایز بین " دایره " و " دیسک " در هواپیما مشابه است.کره‌های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می‌شوند، به عنوان مثال کره مریخ.معادلات.در هندسه تحلیلی کره ای با مرکز(x0,y0,z0)داشته باشیم و مختصات کره(x,y,z)برابر با مکان تمامی شعاع کره باشد. می‌توان آن را به صورت یک چند جمله ای درجه دوم بیان کرد، یک کره یک سطح چهارگانه، نوعی سطح جبری است.formula_1معادله فرض کنید a, b، c, d، e اعداد حقیقی با "a" ≠ ۰ باشند و درمعادله درجه یک قرار دهیدformula_2سپس معادله برابر باformula_3معادله پارامتریک.اگر به صورت پارامپر معادله کره بدست آوریم به طوری که شعاع کره برابر باformula_4باشد و مرکز کره ما برابر باformula_5باشد به صورت زیر نوشته می‌گرددformula_6نمادهای استفاده شده در اینجا همان نمادهایی است که در مختصات کروی استفاده می‌شود. r ثابت است، در حالی که θ از ۰ تا π وformula_7متغیر است از۰ تاformula_8 نیز متغیر است.تعریفات کره بر اساس حوزه ریاضیات.هندسه کروی.عناصر اساسی هندسه صفحه اقلیدسی نقاط و خطوط هستند. در کره، نقاط به معنای معمول تعریف می‌شوند. آنالوگ «خط» ژئودزیک است که یک دایره بزرگ است. مشخصه تعیین‌کننده یک دایره بزرگ این است که صفحه ای که تمام نقاط آن را در بر می‌گیرد از مرکز کره نیز عبور می‌کند. اندازه‌گیری با طول قوس نشان می‌دهد که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه قرار گرفته روی کره، بخش کوتاه‌تر دایره بزرگ است که نقاط را شامل می‌شود.بسیاری از قضایای هندسه کلاسیک برای هندسه کروی نیز صادق است، اما همه اینها صادق نیستند، زیرا کره نمی‌تواند برخی از فرضیه‌های هندسه کلاسیک، از جمله فرض موازی را برآورده کند. در مثلثات کروی، زاویه‌ها بین دایره‌های بزرگ تعریف می‌شوند. مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است. به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث کروی همیشه از ۱۸۰ درجه بیشتر است. همچنین، هر دو مثلث کروی مشابه همخوان هستند.هر جفت نقطه روی یک کره که روی یک خط مستقیم از مرکز کره (یعنی قطر) قرار می‌گیرد، "نقاط پادپای" نامیده می‌شوند - روی کره، فاصله بین آنها دقیقاً نصف طول محیط است. هر جفت نقطه متمایز دیگری (یعنی نه پادپا) روی یک کرههندسه کروی شکلی از هندسه بیضوی است که همراه با هندسه هذلولی هندسه غیر اقلیدسی را تشکیل می‌دهد.هندسه دیفرانسیل.کره یک سطح صاف با انحنای گاوسی ثابت در هر نقطه برابر با 1/ r2 "است". طبق نظریه گاوس، این انحنا مستقل از جاسازی کره در فضای ۳ بعدی است. همچنین با پیروی از گاوس، یک کره را نمی‌توان با حفظ هر دو ناحیه و زوایا به صفحه نگاشت کرد؛ بنابراین، هر طرح‌ریزی نقشه نوعی اعوجاج را معرفی می‌کندformula_9.کره ای به شعاع r دارای عنصر مساحت است. این را می‌توان از عنصر حجم در مختصات کروی با r ثابت یافت.کره ای با هر شعاع با مرکز صفر، سطحی جدایی ناپذیر از شکل دیفرانسیل زیر است:این معادله نشان می‌دهد که بردار موقعیت و صفحه مماس در یک نقطه همیشه متعامد با یکدیگر هستند. علاوه بر این، بردار معمولی رو به بیرون برابر با بردار موقعیت است که با 1/r مقیاس شده است.در هندسه ریمانی، حدس ناحیه پر شدن بیان می‌کند که نیمکره پر شدن ایزومتریک بهینه (کمترین مساحت) دایره ریمانی است.منحنی روی یک کره.منحنی دایره ای (حلقه ای).دایره‌های روی کره مانند دایره‌هایی در صفحه هستند که از تمام نقاط با فاصله معینی از یک نقطه ثابت روی کره تشکیل شده‌اند. محل تقاطع یک کره و یک صفحه یک دایره، یک نقطه یا خالی است. دایره‌های بزرگ محل تلاقی کره با صفحه ای است که از مرکز یک کره می‌گذرد: بقیه دایره‌های کوچک نامیده می‌شوند.سطوح پیچیده‌تر نیز ممکن است یک کره را به صورت دایره ای قطع کنند: تقاطع یک کره با سطح چرخشی که محور آن شامل مرکز کره است (هم "محور" هستند) از دایره‌ها و/یا نقاط اگر خالی نباشند تشکیل شده است. به عنوان مثال، نمودار سمت راست تقاطع یک کره و یک استوانه را نشان می‌دهد که از دو دایره تشکیل شده است. اگر شعاع استوانه شعاع کره باشد، تقاطع یک دایره واحد خواهد بود. اگر شعاع استوانه بزرگتر از شعاع کره بود، تقاطع خالی بود.لوکسودروم.در ناوبری، خط رومب یا لوکسودروم کمانی است که از تمام نصف النهارهای طول جغرافیایی در یک زاویه عبور می‌کند. لوکسودروم همان خطوط مستقیم در طرح مرکاتور است. خط لوزی یک مارپیچ کروی نیست. به جز برخی موارد ساده، فرمول خط روم پیچیده است.منحنی کلیا.منحنی کللیا منحنی روی کره ای است که طول جغرافیایی آن استformula_7و همبستگیformula_12معادله را برآورده کندformula_13موارد خاص عبارتند از: منحنی ویویانی (formula_14) و مارپیچ‌های کروی (formula_15) مانند مارپیچ سیفرت. منحنی‌های کلیا مسیر ماهواره‌ها را در مدار قطبی تقریبی می‌کند.مخروط‌های کروی.آنالوگ یک مقطع مخروطی روی کره یک مخروطی کروی است، یک منحنی کوارتیک که می‌تواند به چندین روش معادل تعریف شود، از جمله:بسیاری از قضایای مربوط به مقاطع مخروطی مسطح به مخروط‌های کروی نیز گسترش می‌یابد.تقاطع یک کره با سطح عمومی تر.اگر یک کره با سطح دیگری قطع شود، ممکن است منحنی‌های کروی پیچیده تری وجود داشته باشد.مثال.تقاطع کره - استوانهتقاطع کره با معادلهformula_16و استوانه با معادلهformula_17فقط یک یا دو دایره نیست. حل سیستم غیر خطی معادلات استمداد کروی.یک کره به‌طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می‌شود. به‌طور کلی، یک کره به‌طور منحصر به فردی با چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود. این ویژگی مشابه این ویژگی است که سه نقطه غیر خطی یک دایره منحصر به فرد را در یک صفحه تعیین می‌کنند. در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می‌شود (یعنی از آن عبور می‌کند). با بررسی راه حل‌های رایج معادلات دو کره می‌توان دریافت که دو کره در یک دایره قطع می‌شوند و صفحه حاوی آن دایره رادیکال نامیده می‌شود. صفحه ' کره‌های متقاطع. اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره‌ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره‌ها در آن نقطه مماس هستند). اگر و سپس معادلات دو کره مجزا هستند پس:formula_20همچنین معادله یک کره برای مقادیر دلخواه پارامترهای و است. مجموعه تمام کره‌هایی که این معادله را برآورده می‌کنند «مداد کره‌ها» نامیده می‌شوند که توسط دو کره اصلی تعیین می‌شود. در این تعریف، کره مجاز است یک صفحه باشد (شعاع بی‌نهایت، مرکز در بی‌نهایت) و اگر هر دو کره اصلی صفحه باشند، تمام کره‌های مداد صفحه هستند، در غیر این صورت فقط یک صفحه (صفحه رادیکال) در آن وجود دارد. مداد.خواص.یک کره را می‌توان به عنوان سطحی که با چرخاندن یک دایره به دور هر یک از قطرهای آن تشکیل می‌شود، ساخت. این اساساً تعریف سنتی کره است که در عناصر اقلیدس ارائه شده است. از آنجایی که دایره نوع خاصی از بیضی است، کره نیز نوع خاصی از بیضوی چرخش است. با جایگزینی دایره با یک بیضی که حول محور اصلی آن چرخیده است، شکل به یک کروی پرولات تبدیل می‌شود. چرخش حول محور فرعی، یک کروی مایل.یک کره به‌طور منحصر به فرد توسط چهار نقطه که همسطح نیستند تعیین می‌شود. به‌طور کلی‌تر، یک کره به‌طور منحصربه‌فردی چهار شرط مانند عبور از یک نقطه، مماس بودن بر صفحه و غیره تعیین می‌شود.در نتیجه، یک کره منحصراً توسط یک دایره و نقطه ای که در صفحه آن دایره نیست تعیین می‌شود (یعنی از آن عبور می‌کند).با بررسی جواب‌های رایج معادلات دو کره، می‌توان دریافت که دو کره در یک دایره همدیگر را قطع می‌کنند و صفحه حاوی آن دایره، صفحه رادیکال کره‌های متقاطع نامیده می‌شود. اگرچه صفحه رادیکال یک صفحه واقعی است، اما دایره ممکن است خیالی باشد (کره‌ها نقطه مشترک واقعی ندارند) یا از یک نقطه تشکیل شده باشد (کره‌ها در آن نقطه مماس هستند).زاویه بین دو کره در یک نقطه تقاطع واقعی، زاویه دو وجهی است که توسط صفحات مماس بر کره در آن نقطه تعیین می‌شود. دو کره در تمام نقاط دایره تقاطع خود با یک زاویه قطع می‌شوند. آنها در زوایای قائمه متقاطع می‌شوند (متعامد هستند) اگر و فقط در صورتی که مجذور فاصله بین مراکز آنها برابر با مجموع مربعات شعاع آنها باشد.یازده خواص کره.این خواص را دو ریاضی‌دان اروپایی به اسم دیوید هیلبرت و استفان کوهن ووسن در کتاب هندسه خود توصیف کرده‌اند و این خواص‌های اثبات شده است.حجم کره.در سه بُعد، حجم درون یک کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:که در این رابطه، "r" شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره است.در ریاضیات امروزی حجم کره با کمک انتگرال‌گیری بدست می‌آید.اثبات حجم کره.یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می‌کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم می‌کنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می‌شود. پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.حجم استوانه=formula_22اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می‌آیدformula_23که در اینجا r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد. این را می‌توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری. این فرمول همچنین می‌تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم‌های بی‌نهایت از دیسک‌های دایره ای با ضخامت بی‌نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده‌اند و در امتداد محور x از "x" = - "r" تا "x" = "r" متمرکز شده‌اند، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.محاسبهٔ حجم کره با کمک مفهوم انتگرال.نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور "y"ها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ "h = ۰" قرار دارد، شعاعی برابر با "r" دارد ("s = r") و دیسکی که در نقطهٔ "h = r" قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد ("s = ۰").اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه "h"، برابر با "δh" باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:پس به جای formula_28 از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار formula_29 است استفاده می‌کنیم:مقدار تازهٔ formula_28 را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:مقدار انتگرال برابر است با:حجم نیمی از کره برابر با formula_34 است پس حجم کل کره می‌شود:حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:formula_36بنابراین حجم کره برابر با این رابطه است.formula_37روش دیگر.حجم کره، حجمی است که توسط سطح و رویه کره محدود شده است و فضای کره را اشغال کرده است.اشتقاق ارشمیدسی.از نتیجهٔ قضیهٔ فیثاغورس داریم:مساحت هر دیسک یا مساحت مقطع مخروط در هر برش عرضی از مقطع شکل برابر است با:بر اساس بازتابی از ریاضیدانان ارشمیدس یونانی، برای نیمکره ای با شعاع formula_40 میدان مرجعی وجود دارد که حجم آن با نیمکره مطابقت دارد، اما محاسبه آسان است. این بدنه مقایسه با تبدیل یک استوانه (به‌طور دقیق تر: یک استوانه دایره ای راست) با شعاع سطح پایه formula_40 و ارتفاع formula_40 به a مخروط (به‌طور دقیق تر: مخروط دایره ای راست) با شعاع پایه formula_40 و ارتفاع formula_40 حذف شده است. فکر کنم نادرست باشد برای همین ادامه ندادممی‌توان از اصل کاوالیری برای اثبات اینکه نیمکره و جسم مقایسه دارای حجم یکسانی هستند استفاده کرد. این اصل مبتنی بر ایده تقسیم اجسام در نظر گرفته شده به برش‌های بی‌نهایت با ضخامت بی‌نهایت کوچک (بی‌نهایت کوچک) است. (یک جایگزین برای این روش استفاده از حساب انتگرال خواهد بود) با توجه به اصل ذکر شده، سطوح تقاطع هر دو جسم را با صفحه که موازی و یک فاصله formula_45 از آن داده شده است. در مورد نیمکره، تقاطع یک ناحیه دایره ای است.شعاع formula_46 این ناحیه دایره ای از قضیه فیثاغورث حاصل می‌شود:این برای محتوای رابط می‌دهداز طرف دیگر، در مورد جسم مرجع، تقاطع یک حلقه دایره ای با شعاع بیرونی formula_40 و یک شعاع داخلی formula_45 است. مساحت این تقاطع بنابراینبرای فاصله دلخواه formula_45 تا ناحیه پایه، دو ناحیه تقاطع در محتوای ناحیه توافق دارند. این از اصل کاوالیری ناشی می‌شود که نیمکره و بدن مقایسه دارای حجم یکسانی هستند.اکنون می‌توان حجم بدن مقایسه و در نتیجه نیمکره را به راحتی محاسبه کرد:یکی کمتر از حجم استوانه و یکی بیشتر از حجم مخروط.بنابراین، موارد زیر در مورد حجم کره (جامد) صدق می‌کند:اشتقاق جایگزین.کره را می‌توان به بی‌نهایت هرم با ارتفاع formula_40 (راس در مرکز کره) تقسیم کرد که قاعده کل آنها با سطح کره مطابقت دارد (به زیر مراجعه کنید). بنابراین حجم کل همه اهرام برابر است با:formula_58.استخراج با استفاده از حساب انتگرال.شعاع در فاصله formula_59:ناحیه دایره ای در فاصله formula_59:حجم کرهformula_63:حجم یک قطعه کروی formula_67 از ارتفاع formula_45 را می‌توان به همین ترتیب محاسبه کرد:مشتقات بیشتر.کره ای با شعاع formula_72 که مرکز آن در مبدأ مختصات است، می‌تواند با معادله نمایش داده شود:توضیح داده می‌شود که در آن formula_74 مختصات فاصله هستند.این مشکل را می‌توان به دو روش با استفاده از حساب انتگرال حل کرد:ما کره را به یک مجموعه تهی لبسگو پارامتر بندی می‌کنیمformula_75.با تعیین عملکردی:عنصر حجم مورد نیاز formula_77 به عنوان نتیجه می‌شود:بنابراین حجم کره به این صورت داده می‌شود:امکان دیگر از طریق مختصات قطبی است:اکنون دستگاه مختصات دکارتی به سیستم مختصات قطبی تبدیل می‌شود، به این معنی که ادغام پس از تغییر سیستم مختصات با استفاده از متغیرهای formula_81 و formula_82 به جای formula_83 و formula_84. انگیزه این تحول، ساده‌سازی قابل توجه محاسبه در دوره بعدی است. برای دیفرانسیل این به این معنی است: formula_85راه دیگر با کمک فرمول بدنه‌های انقلاب:اگر قطعه ای از سطح را حول یک محور مکانی ثابت بچرخانید، جسمی با حجم معین به دست می‌آورید. در مورد یک ناحیه دایره ای، یک کره تشکیل می‌شود. این را می‌توان به عنوان یک سکه در حال چرخش تجسم کرد.فرمول کلی برای چرخش بدن انقلاب حول محور x به دست می‌دهد:معادله به صورت دایره ای است:با مرکز:با وصل کردن معادله دایره، دریافت می‌کنیم"با جایگزین کردن فرمول بدنه‌های چرخشی حول محور x، دریافت می‌کنیم:مساحت کره.مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به "r"، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا "r" می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با "δV"، ضخامت هر پوسته را با "δr" و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع "r" با نمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:هنگامی که "δr" به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت formula_99 و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت formula_100 بدست می‌آید.مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:روش دیگر.سطح کره، سطح دو بعدی است که لبه کره را تشکیل می‌دهد؛ بنابراین مجموعه تمام نقاطی است که فاصله آنها از مرکز کره دارای مقدار ثابت formula_40 است. این یک منیفولد دو بعدی بسته است. مساحت آن را همان‌طور که گفتیم برابر با formula_103 است که این یعنی چهار برابر با مساحت دایره و دو سوم و همان مساحت سطح استوانه دایره‌ای است که کره را در بر می‌گیرد. برای یک حجم معین، کره کوچک‌ترین سطح را در بین تمام اجسام ممکن دارد.محاسبه مساحت. اگر یک کره را به زیر تقسیم کنید:و اجازه دهید formula_104 برای formula_107 تلاش کند،بنابراین طول ضرب در عرض همیشه یکسان است، یعنی. همه میدان‌های مربع مساحت یکسانی دارند.مساحت خط استوا formula_114 است (formula_115 که در آن formula_108 به formula_104 تمایل دارد زیرا formula_118 در خط استوا به formula_119 سریعتر از formula_104 به formula_121 تمایل دارد. از آنجایی که همه فیلدها دارای محتوای formula_114 هستند و در مجموع (تعداد فیلدها در جهت افقی ضربدر تعداد فیلدها در جهت عمودی، به عنوان مثال) وجود دارد formula_123 در آنجا فیلد می‌شود مساحت کل همه فیلدها است: formula_124.مشتق جایگزین با استفاده از حجم کره.کره ای را می‌توان متشکل از بی‌نهایت بی‌نهایت کوچک (بی‌نهایت کوچک) هرم تصور کرد. پایه‌های این اهرام با هم سطح کره را تشکیل می‌دهند. ارتفاع اهرام برابر با شعاع کره formula_40 است. از آنجایی که حجم هرم با فرمول formula_126 داده می‌شود، یک رابطه متناظر با حجم کل همه هرم‌ها، یعنی حجم کره اعمال می‌شود:بر اساس پیدا کردن حجم کره به صورت مساحت کره برابر با:مشتق جایگزین با استفاده از حجم یک کره و حساب دیفرانسیل.حجم کره بر اساس این فرمولformula_131تعریف می‌شود و از سوی دیگر، سطح با توجه به تغییر حجم تعریف می‌شود:این است که فرمول سطح بلافاصله از مشتق فرمول حجم پیروی می‌کند.استخراج با استفاده از حساب انتگرال.به صورت انتگرالی اینگونه بدست می‌آیدبرای سطح جانبی بدنه چرخشی:استخراج با استفاده از حساب انتگرال در مختصات کروی.برای عنصر سطح روی سطوح formula_40 = ثابت در مختصات کروی اعمال می‌شود:این امر محاسبه سطح را آسان می‌کند: