بیضی کیست؟ توضیح بده.
در هندسه، بیضی یک منحنی مسطح و بسته‌است که دو کانون دارد و حاصل جمع فاصلهٔ هر نقطه روی محیط آن با دو کانونش مقدار ثابتی است.شکل بیضی (مقدار کشیده بودنش) با مقدار برون‌مرکزی آن مشخص می‌شود. برون‌مرکزیِ بیضی عددی بین صفر و یک است و هر چه کوچک‌تر باشد کشیدگی بیضی کمتر است. اگر برون‌مرکزی بیضی صفر باشد، دو کانون آن روی هم می‌افتند و منحنی تبدیل به دایره (که حالت خاص بیضی است) می‌شود.بیضی را همچنین می‌توان با عنوان «مقطع مخروطی بسته» تعریف کرد. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود. گونه‌های دیگر مقاطع مخروطی (سهمی و هذلولی) بازند و کراندار نیستند.قضایا و ویژگی‌های بیضی را نخستین بار ریاضی‌دانان یونان باستان، به ویژه ارشمیدس و آپولونیوس مطالعه کردند.در دوران طلایی اسلام، ریاضی‌دانانی چون اخوان ثلاثهٔ بنوموسی و ابوسهل بیژن کوهی مطالعات نظری و عملی مربوط به بیضی را ادامه دادند.نقاشان رنسانس هم روش‌هایی برای ترسیم بیضی ابداع کردند.در اوایل قرن هفدهم میلادی کپلر کشف کرد که سیارات در مداری بیضوی به دور خورشید می‌گردند و خورشید همواره روی یکی از کانون‌های این بیضی قرار دارد. ریاضی‌دانان فرانسوی، ژرار دوسارگ، بلز پاسکال، رنه دکارت، و فیلیپ دو لا هیر نیز با ترکیب مساعی یونانیان باستان با نمادهای جبری، مقاطع مخروطی را در هندسه تحلیلی مطالعه کردند. قضایای آپولونیوس در باب مماس بر مقاطع مخروطی راهنمای نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال بود. همچنین نیوتن و هالی به روش علمی ثابت کردند که دنباله‌دار هالی در مداری بیضوی به دور خورشید می‌گردد. در قرن نوزدهم میلادی هم ریاضی‌دانانی چون ژان ویکتور پونسله و یاکوب اشتاینر مقاطع مخروطی را با رویکردی تصویری بازتعریف کردند.ویژگی‌های بیضی در فیزیک، مهندسی و اخترشناسی کاربردهای وسیعی دارد؛ مثلاً مدار هر یک از سیاره‌های منظومه شمسی و قمرهای سیارات به شکل بیضی است، یا اینکه با استفاده از ویژگی «نیمساز عمود زاویهٔ بین دو خط کانونی» می‌توان آینه‌هایی برای تمرکز نور یک منبع در یک کانون ساخت یا طراحی آکوستیک تالارها را بهینه کرد.همچنین از چرخش بیضی به دور قطرهای بزرگ و کوچکش، گوی‌وار کشیده یا پَخ حاصل می‌شود.چنان‌که نیوتن کشف کرد، سیاره‌ها (از جمله زمین) کره نیستند و غالباً شکلی گوی‌وار دارند.در گذر تاریخ روش‌های متعددی برای ترسیم دقیق یا تقریبی بیضی ابداع شده‌است که از آن میان می‌توان به روش باغبانی، استفاده از خاگار، و تولید مخروطی اشتاینر اشاره کرد.همچنین از آنجا که برای محاسبهٔ محیط بیضی فرمولی با فرم بسته وجود ندارد و باید از حسابان استفاده کرد، فرمول‌های پرشماری برای تخمین این مقدار ارائه شده‌است.تاریخ.در یونان باستان.بنابر تقریظی از اراتوستن، نخستین‌بار بیضی را منایخموس (۳۸۰ – ۳۲۰ پ. م)، دوست نزدیک افلاطون، در تلاش برای حل تضعیف مکعب کشف کرد.آپولونیوس برای اولین بار نام «الپسیس» (یونانی:ἔλλειψις، به معنای «کمتر بودن») را بر روی بیضی گذاشت و اقلیدس (حدود ۳۶۵–۲۷۵ پ. م) بررسی دقیقی از ویژگی‌های بیضی ارائه کرد.کانون‌های بیضی و خط‌های هادی را نخستین بار پاپوس اسکندرانی (حدود ۳۵۰ – ۲۹۰ پ. م) بررسی کرد.او همچنین روشی برای تعریف یک بیضی با داشتن پنج نقطه ابداع کرد.ارشمیدس (۲۸۷ – ۲۱۲ پ. م) در گزاره‌های ۷ و ۸ رسالهٔ «"در باب مخروط‌گون‌ها و گوی‌گون‌ها"» طریقهٔ جا دادن یک مخروط را در بیضی مرتبطش بررسی می‌کند. ارشمیدس آگاه بود که با داشتن یک مخروط با مقطع دایره‌ای می‌توان هر بیضی‌ای را ساخت، و می‌دانست که می‌توان بیضی را با برش استوانهای با مقطع دایره‌ای به دست آورد، و اینکه نسبت قطر عرضی بیضی به شعاع دایرهٔ مماس بر آن ثابت است و به مساحت بیضی مربوط می‌شود. در گزاره‌های ۲۷ تا ۳۲ "در باب مخروط‌گون‌ها و گوی‌گون‌ها" نیز ویژگی‌ها و قضایای مربوط به گوی‌وارها بررسی شده‌است.نام آپولونیوس (اواخر قرن سوم – اوایل قرن دوم پیش از میلاد) برای قرن‌ها پس از مرگ او با مطالعهٔ مقاطع مخروطی گره خورده بود. آپولونیوس اثر مهمش «"مخروطات"» را، که مشتمل بر هشت مقاله است، با مطالعهٔ مخروط آغاز می‌کند و پس از تعریف سه مقطع مخروطی (سهمی، هذلولی، و بیضی)، به تعریف خط مماس آن‌ها می‌پردازد و سپس ثابت می‌کند که فاصلهٔ کانونی برای همهٔ نقاط روی یک بیضی ثابت است.آپولونیوس همچنین خط مماس بر منحنی (که بعدها موضوع اصلی حساب دیفرانسیل شد) را تعریف و عدد پی (ثابتی لازم برای یافتن طول‌ها و مساحت دایره و بیضی) را محاسبه کرد.در قرون وسطی.همزمان با حکومت مأمون در خراسان (در قرن سوم هجری)، اخوان ثلاثهٔ بنوموسی دست به ترجمهٔ "مخروطات" آپولونیوس از یونانی به عربی زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از "مخروطات" را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در شام نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول "مخروطات" را با شرح اوتوکیوس پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم "مخروطات" را به هلال حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم "مخروطات" تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است.ترجمهٔ آثار علمی به عربی اغلب نیازمند ابداع اصطلاحات فنی تازه بود و مترجمان آن‌ها، برخلاف مترجمان لاتین، به ترانویسی عبارات یونانی اکتفا نکردند و برای واژهٔ «الپسیس» اصطلاح «» را در نظر گرفتند که معنای آن را حفظ می‌کند و هنوز در زبان عربی به بیضی «» گفته می‌شود.کتاب مفقودشدهٔ هم که به حسن بنی موسی منسوب شده‌است در مورد ترسیم بیضی بوده و به نظر می‌رسد بر اساس روش «ترسیم بیضی به روش باغبانی» (رسم بیضی با داشتن مجموع فواصل یک نقطه روی بیضی از دو کانون) باشد. دراین‌صورت ممکن است این اثر اولین جایی باشد که ترسیم بیضی به این روش در آن بحث شده‌است.ثابت بن قره نیز (که ترجمهٔ مقالات پنجم تا هفتم "مخروطات" را برای برادران بنوموسی انجام داده بود) در کتاب نگاشتی را مطالعه می‌کند که بیضی با نیم‌قطرهای formula_1 و formula_2 را به دایره‌ای با شعاع formula_3 انتقال می‌دهد.معماران و بنّاهای دورهٔ اسلامی هم، که به دلایل عملی نیاز به ترسیم بیضی داشته‌اند، ابزاری موسوم به پرگار تام ابداع کردند که با آن می‌توان مقاطع مخروطی را با حرکت اتصالی رسم کرد. ابوسهل بیژن کوهی در قرن چهارم هجری رساله‌ای به نام دربارهٔ این ابزار نوشته‌است.رنسانس و قرون جدید.علاقه به مطالعهٔ مقاطع مخروطی پس از ارشمیدس و آپولونیوس در اروپای تحت کنترل امپراتوری روم و سپس کلیسای کاتولیک فروکش کرد و تا قرن شانزدهم میلادی پیشرفتی در این مورد روی نداد.نخستین نشانهٔ علاقهٔ جدید به مقاطع مخروطی را در لورنزو والا (۱۴۰۷ – ۱۴۶۷ میلادی) می‌توان یافت. کتاب والا، گونه‌ای دائرةالمعارف در مورد علوم مقدماتی است. در فصل سوم از کتاب هشتم بخشی با عنوان «مقاطع مخروطی» هست که در آن والا توضیحی کوتاه در مورد مساعی اقلیدس، آپولونیوس، و پاپوس می‌دهد. دو دهه بعد از والا، یوهانس ورنر پژوهش‌هایی در باب مقاطع مخروطی کرد، ولی در آثار او نامی از بیضی نیامده‌است.به گفتهٔ اروین پانوفسکی، طرح اجرانشدهٔ میکل آنژ برای مقبرهٔ پاپ ژولیوس دوم (طراحی شده در ۱۵۰۵ میلادی) به شکل بیضی بوده‌است، ولی اثری از این طرح نمانده. اولین نشانه‌های شکل بیضی در معماری غربی در آثار بالداساره پروتزی (۱۴۸۱ – ۱۵۳۷ میلادی) دیده می‌شود. پس از اینکه سباستیانو سرلیو آثار پروتزی را در کتاب "هفت رسالهٔ معماری" (انتشار در ۱۵۴۷ میلادی) بررسی کرد، استفاده از الگوهای بیضوی در معماری اروپا گسترش یافت.بااین‌وجود بیضی در میان نقاشان رنسانس، احتمالاً به‌خاطر مطالعات ایشان در باب ژرفانمایی شناخته‌شده بود. لئوناردو دا وینچی خود ابزاری برای ترسیم بیضی ساخت و آلبرشت دورر، که از ابزار بیضی‌کِشی دا وینچی باخبر بود، روشی بر اساس تصویرسازی موازی برای ترسیم بیضی ابداع کرد.در دههٔ ۱۵۴۰، کوپرنیک نظریه خورشیدمرکزیاش را ارائه کرد. در مدل خورشیدمرکزی کوپرنیک مسیر حرکت سیارات به دور خورشید به شکل دایره است؛ این امر با داده‌های ریاضی موجود نمی‌خوانْد و کوپرنیک خود از این نارسایی مدلش آگاه بود.در ۱۶۰۲ میلادی، کپلر در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ (خایوی) است و فواصل بین آنها بر اساس اجسام افلاطونی تعیین می‌شود.تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م) با تکیه بر مشاهداتش از حرکت مریخ، نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پایتخت امپراتوری مقدس روم پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.بنابر قانون اول کپلر، خورشید همواره روی یکی از کانون‌های این بیضی قرار دارد.عبارت «کانون بیضی» را هم (که مفهوم آن را سده‌ها پیش آپولونیوس بیان کرده بود) کپلر نخستین بار در سال ۱۶۰۹ در کتاب "ستاره‌شناسی نوین" به کار برد. به نوشتهٔ کپلر در این کتاب، خورشید موتوری است که نیروی لازم برای حرکت سیاره‌ها را فراهم می‌کند و سرعت سیاره‌ها با نزدیک شدن به خورشید در خم مدارشان بیشتر می‌شود.در سال ۱۵۷۸ میلادی، اسقف کلیسای انطاکیه آثاری شرقی را به فردیناندو دو مدیچی تقدیم کرد که در میان آن‌ها نسخه‌ای از "مخروطات" با ویرایش و اضافات ابوالفتح اصفهانی بود. مسئول کتابخانهٔ فردیناندو، جیووانی باتیستا از اهمیت "مخروطات" آگاه بود و بر آن بود که ترجمه‌ای از آن را منتشر کند، ولی پیش از انجام این کار درگذشت. گالیلئو گالیله نیز در چندین نامه خبر از قصدش برای ترجمهٔ "مخروطات" به لاتین داده بود اما به‌نظر تلاش چندانی در این زمینه انجام نداده‌است. در نهایت در سال ۱۶۶۱ ریاضی‌دان ایتالیایی جووانی آلفونسو بورلیِ با کمک کشیش مارونی ابراهیم حاقلانی موفق به ترجمه و چاپ "مخروطات" به لاتین شد. از آنجا که ابوالفتح اصفهانی در ترجمه‌اش قضایای مختلف را با هم ترکیب کرده بود و وفاداری چندانی به نسخهٔ اصلی آپولونیوس نداشت، ترجمهٔ لاتین بورلی تفاوت‌های متعددی با نسخهٔ اصلی "مخروطات" دارد.همزمان دو نسخهٔ عربی دیگر از "مخروطات" به اروپا رسید. یکی نسخه‌ای نفیس از "مخروطات" بنوموسی (که امروزه در گنجینهٔ کتابخانه بادلین دانشگاه آکسفورد نگهداری می‌شود) و دیگری نسخه‌ای با ویرایش و اضافات عبدالملک شیرازی. ژاکوب گولیوس توانست هر دو نسخه را قرض بگیرد و نسخه‌ای کپی از روی آن‌ها بنویسد. گولیوس سپس، احتمالاً با کمک رنه دکارت، دست به ترجمهٔ "مخروطات" زد، ولی آن را چاپ نکرد و این اثر تا سی سال پس از مرگش در ۱۶۶۷ چاپ نشد. در نهایت ورثهٔ گولیوس در ۱۶۹۶ آثار او از جمله ترجمهٔ "مخروطات" را فروختند.ریاضی‌دانان فرانسوی ژرار دوسارگ و بلز پاسکال مطالعهٔ مقاطع مخروطی را به فراتر از دانسته‌های یونانیان باستان گسترش دادند. ریاضی‌دان هم‌وطن آنان کلود میدورژ نیز اثبات‌های آپولونیوس را به شیوه‌ای سیستماتیک مدون کرد. در سال ۱۶۴۷ (کمتر از یک دهه پس از انتشار اثر میدورژ)، گرگوآر د سن-ویسنت نیز کتاب خود را با عنوان «"اثر چهاربخشی هندسی: دایره و مقاطع مخروط"» منتشر کرد. در این کتاب هر مقطع مخروطی بخش مخصوص خودش را دارد و تعدادی قضیه دربارهٔ هر یک اثبات شده‌است. بخش مربوط به بیضی مشتمل بر ۲۰۴ قضیه است. سن-وینسنت بیضی را به شیوهٔ ارشمیدس تعریف می‌کند.یوهان د ویت هلندی (۱۶۲۵–۱۶۷۲ میلادی) هم بخش اول رساله‌ای که در ۱۶۵۸ چاپ کرد را به مقاطع مخروطی اختصاص داده‌است و بیضی را با روشی بدیع به عنوان مکان هندسی نقاطی با فاصلهٔ ثابت از یک خط و یک نقطه تعریف می‌کند. د ویت که تحت تأثیر دکارت بود تلاش داشت یافته‌های هندسی یونانیان را با نمادهای جبری بیان کند. بااین‌حال نقش اصلی در توسعهٔ هندسهٔ دکارتی بر عهدهٔ شاگرد دوسارگ فیلیپ دو لا هیر بود. لا هیر، در اثری که به خزانه‌دار فرانسه ژان-باتیست کولبر تقدیم شده‌است، اصول هندسی را به زبان ساده و آسان توضیح می‌دهد. هر مقطع مخروطی در فصل مخصوص خود بررسی شده‌است. بیضی به عنوان مکان هندسی نقاطی با مجموع ثابت فواصل از دو نقطه تعریف می‌شود و ویژگی‌های خط مماس، قطرهای مزدوج، و معادلهٔ آن بیان شده‌است و پس از آن بحثی در مورد مختصات دکارتی مقاطع مخروطی آمده‌است.رنه دکارت خود مقاطع مخروطی آپولونیوس، به‌ویژه بیضی و سهمی، را در آثارش در باب هندسه تحلیلی بررسی کرده بود.بااین‌حال مهم‌ترین اثر لا هیر «"مقاطع مخروطی"» نام دارد و از نُه کتاب تشکیل شده‌است. لا هیر در کتاب ۲ مخروط را به شیوهٔ آپولونیوس بیان می‌دارد و تعریف‌های جدیدی (از جمله directrix یا «خط هادی»، به عنوان خطی که با تبدیل بیضی به دایره به سمت بینهایت میل می‌کند) را نیز ارائه می‌کند. در کتاب ۳ معادلهٔ مقاطع مخروطی حاصل می‌شود و بقیهٔ اثر هم کم‌وبیش به شرح آرای آپولونیوس می‌پردازد.نیوتن (۱۶۴۲–۱۷۲۷) در "اصول ریاضی فلسفه طبیعی" علاقهٔ خاصی به مقاطع مخروطی نشان می‌دهد و آن‌ها را «مسیر» می‌نامد.نیوتن با روشی که امروزه به «ساخت طبیعی نیوتن» موسوم است «مسیر» ها را با داشتن پنج نقطه تعریف می‌کند. سپس با استفاده از نگاشت خطی هر مسیر را با داشتن چهار نقطه و یک خط مماس، سه نقطه و دو خط مماس، و یک نقطه و چهار خط مماس تعریف می‌کند.مساعی آپولونیوس در باب مقاطع مخروطی، به‌ویژه مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود.همچنین نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال و قوانین نیوتن مدار حرکت سیاره‌ها در بیضی کپلر را ثابت کرد.بین سال‌های ۱۶۸۲ و ۱۷۰۵، ادموند هالی به منظور اثبات قوانین کپلر و قوانین نیوتن مشاهدات دقیقی را از حرکت دنباله‌داری که امروزه با نام او شناخته می‌شود انجام داد. نیوتن و هالی ثابت کردند که این دنباله‌دار در مداری بیضوی به دور خورشید می‌گردد و پیش‌بینی کردند که در ۱۷۵۸ در آسمان نمایان خواهد شد.نیوتن همچنین در "اصول ریاضی فلسفه طبیعی" بیش‌بینی کرد که شکل کرهٔ زمین کروی نیست و به شکل گوی‌وار پَخ (حجمی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل می‌شود) است. در ۱۷۳۶، دانشمند فرانسوی پی‌یر لوئی موپرتوئی به پشتیبانی لوئی پانزدهم سفری تجسسی به لاپ‌لند انجام داد و این نظریهٔ نیوتن را ثابت کرد.هالی همچنین تلاش داشت با مقابلهٔ نسخه‌های بنوموسی، اصفهانی، و شیرازی "مخروطات" آپولونیوس را دقیقاً «بازسازی» کند و به همین منظور زبان عربی را آموخت. در سال ۱۷۱۰ نسخهٔ هالی از "مخروطات" با عنوان "مقاطع مخروطی آپولونیوس پرگا از نسخ عربی" به چاپ رسید. تا زمان ترجمهٔ توماس هیت از "مخروطات" در سال ۱۸۹۶، ترجمهٔ هالی نسخهٔ استاندارد و آموزشی این اثر باقی ماند.پس از نیوتن.در دو قرن پس از نیوتن، عمدهٔ پیشرفت‌های مرتبط با مقاطع مخروطی در زمینهٔ هندسه تصویری صورت گرفت.ژان ویکتور پونسله در سال ۱۸۱۳ در جریان جنگ‌های ناپلئونی در روسیه اسیر جنگی بود و در زندان رساله‌ای با عنوان «"خواص و ویژگی‌های تصاویر اشکال"» نوشت و در آن برای اولین بار بین ویژگی‌های تصویری (ویژگی‌هایی که پس از تصویر کردن شکل در صفحه‌ای دیگر حفظ می‌شوند) و غیرتصویری تمایز قائل شد.در ۱۸۲۲ ریاضی‌دان بلژیکی جرمینال پیر دندلین با ابداع کره‌های دندلین اثبات کرد که بیضی ساخته‌شده با استفاده از تعریف کانونی و بیضی ساخته‌شده با برخورد صفحه و مخروط یکی‌اند.در ۱۸۲۹ نیز پیرس مورتون با استفاده از کره‌های دندلین ثابت کرد که بیضی ساخته‌شده با تعریف کانون و خط هادی هم با بیضی ساخته شده در تقاطع صفحه و مخروط یکی است.یاکوب اشتاینر (۱۷۹۶–۱۸۶۳) نیز مقاطع مخروطی و رویه‌های درجه دوم مرتبط را به‌عنوان اشکالی صرفاً تصویری تعریف کرد و نشان داد که این برخورد به اثبات سریع‌تر و مستقیم‌تر ویژگی‌های آن‌ها می‌انجامد.کارل گئورگ کریستیان فان اشتات (۱۷۹۸–۱۸۶۷) هم نشان داد که رابطه‌ای که یک مقطع مخروطی بین قطب و خط قطبی ایجاد می‌کند از خود منحنی بنیادی‌تر است و می‌تواند برای تعریف این منحنی‌ها به شکلی متقارن و برگشتی (به عنوان مکان هندسی نقاطی که روی خط قطبی خودشانند، یا منحنی محاطی خطوطی که از قطب خودشان می‌گذرند) به‌کار رود.کاربرد.با استفاده از ویژگی «نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی» می‌توان نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها را بهینه کرد.منطقه فرنل نیز با همین ویژگی بیضی به شکل گوی‌وار ایجاد می‌شود و درک آن برای طراحی شبکه‌های بی‌سیم ضروری است.از آینههای بیضوی نیز برای تمرکز نور یک منبع در کانونی معین استفاده می‌شود.مدار بیضی در اخترپویاشناسی مداری کپلری است که برون‌مرکزی آن کمتر از ۱ باشد. نمونه‌های مدار بیضی، از جمله مدار هوهمان، در محاسبات پیش‌رانش فضاپیماها و مدار ماهوارهها اهمیت زیادی دارد.جواب عام نوسانگر هماهنگ در دو بعد یا بیشتر هم بیضی است.می‌توان چرخ‌دنده‌هایی به شکل بیضی ساخت که هر یک به محور یکی از کانون‌هایشان به‌نرمی مماس یکدیگر بچرخند.چرخ‌دنده‌های بیضوی معمولاً زمانی به‌کار می‌روند که سرعت متغیر حرکت چرخ‌دنده مطلوب باشد.در سیاست بین‌الملل، عبارت بیضی استراتژیک اشاره به منطقه‌ای در غرب آسیا دارد که دربرگیرندهٔ بیش از ۷۰ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ نفت و بیش از ۶۵ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ گاز طبیعی جهان است.نقشهٔ دفتر اصلی رئیس‌جمهور آمریکا در کاخ سفید به شکل بیضی است. به نوشتهٔ کریسچن ساینس مانیتور، وجود دو کانون در دفتر بیضی نماد دو کانون وظیفه در تصمیم‌گیری‌های سیاسی (سیاستمداران و مردم) است.تعریف بیضی.تعریف بیضی با اعمال تجانس بر دایره.بیضی را می‌توان به عنوان نتیجهٔ اعمال یک نگاشت خطی (تبدیل آفین) بر دایرهای به شعاع یک تعریف کرد. اگر formula_1 و formula_2 اعدادی بزرگتر از صفر باشند، ماتریس این نگاشت عبارت است از:اگر formula_1 کمتر از ۱ باشد، بیضی حاصل از این نگاشت دایره در راستای محور xها فشرده می‌شود و اگر formula_1 بیشتر از ۱ باشد بیضی در این راستا کشیده می‌شود. همین‌طور اگر formula_2 کمتر از ۱ باشد، بیضی حاصل از این نگاشت دایره در راستای محور yها فشرده می‌شود و اگر formula_2 بیشتر از ۱ باشد بیضی در این راستا کشیده می‌شود. قطر بزرگ بیضی دو برابر هر کدام از formula_1 یا formula_2 است که بزرگتر باشد و قطر کوچک بیضی دو برابر آنی که کوچکتر باشد. مساحت بیضی هم برابر است با formula_12.از سوی دیگر، با اعمال تجانس formula_13 هم، که در آن رأس‌های بزرگ ثابت می‌مانند و رأس‌های کوچک به formula_14 و formula_15 منتقل می‌شوند، می‌توان بیضی را به دایرهای با شعاع formula_1 تبدیل کرد.بیضی به عنوان مقطع مخروطی.بیضی خمی بسته‌است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با ارتفاع و هر کدام از وترهای مخروط موازی "نباشد".اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره (حالت خاص بیضی)، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با یکی از وترهای مخروط موازی باشد حاصل سهمی خواهد بود.در هندسه تصویری، اشتقاق بیضی از مخروط معادل تصویر مرکزی یک دایره (مقطع مخروط) روی صفحه‌ای است که با صفحهٔ دایره زاویه‌ای تند دارد. می‌توان نشان داد که تصویر کردن دایره روی بیضی همان تعریف بیضی با اعمال تجانس آفین بر دایره است.تعریف بیضی با دو کانون.تعریف دیگری از بیضی این است که بیضی مکان هندسی همهٔ نقاطی است که مجموع فاصله‌هایشان از دو نقطهٔ ثابت (دو کانون) ثابت و برابر قطر بزرگ بیضی است. هر چه فاصلهٔ بین این دو نقطه کمتر باشد، خروج از مرکز بیضی کوچکتر است و شکل بیضی به دایره شبیه‌تر.قطر بزرگ بیضی خط راستی است که دو کانون آن را به هم متصل می‌کند و از دو طرف تا منحنی ادامه می‌یابد. قطر کوچک بیضی عمود بر نقطهٔ وسط قطر بزرگ (با فاصلهٔ یکسان از دو کانون) قرار دارد. به دو خطی که به موازات قطر کوچک بیضی رسم می‌شوند و از کانون‌ها می‌گذرند «راست‌وتر کانونی» گفته می‌شود.با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی تعریف‌شده با دو کانون با بیضی ساخته‌شده از برخورد مخروط و صفحه یکی است.گیریم صفحهٔ formula_17 مخروطی را قطع می‌کند و در محل انقطاع یک منحنی تشکیل شده‌است. دو کرهٔ دندلین formula_18 روی صفحه و formula_19 زیر صفحه تعریف شده‌اند. تقاطع هر کره با مخروط یک دایره است (formula_20 و formula_21)، و هر کره بر صفحهٔ formula_17 را در یک نقطه (formula_23 و formula_24) مماس است. گیریم P نقطه‌ای روی منحنی باشد. قصد است که ثابت شود با حرکت formula_25 بر روی منحنی، فاصلهٔ formula_26 ثابت می‌ماند:تعریف بیضی با یک کانون و یک خط هادی.بیضی را می‌توان با مسیر نقطه‌ای تعریف کرد که به‌گونه‌ای در صفحه حرکت می‌کند که نسبت فاصله‌اش از یک نقطهٔ خاص (کانون) و فاصله‌اش از خطی صاف (خط هادی) عددی ثابت و کوچکتر از یک باشد. هر مسیری که این شرط را احراز کند همین ویژگی را نسبت به یک کانون و خط هادی دیگر هم دارد، ازین‌رو بیضی را می‌توان با داشتن یکی از کانون‌ها و خط هادی متناظرش تعریف کرد. نسبت این فواصل با خروج از مرکز و مقدار مبین در معادلهٔ کلی همهٔ مقاطع مخروطی برابر است.اگر کانون برابر formula_48 و معادلهٔ خط هادی formula_49 باشد، نتیجه می‌شود:با استفاده از کره‌های دندلین هم می‌توان اثبات کرد که بیضی حاصل از تعریف با کانون و خط هادی همان بیضی حاصل شده از تقاطع یک صفحه و یک مخروط است.معادله بیضی.محاسبه معادله بیضی بر اساس معادله دایره.معادلهٔ بیضی را می‌توان بر اساس معادلهٔ دایره و با اعمال نگاشت خطی formula_51 بر آن به دست آورد. گیریم formula_52 نقطه‌ای بر روی دایره‌ای باشد که بر روی نقطهٔ formula_53 بیضی نگاشت شده‌است:از آنجا که دترمینان formula_54 صفر نیست، formula_54 وارون‌پذیر است. ماتریس وارون formula_54 را می‌توان با قاعده کرامر به‌دست‌آورد:با اعمال formula_57 بر نقاط formula_53 بیضی، نقاط formula_52 دایره حاصل می‌شود:و با قرار دادن formula_60 در معادله دایره (formula_61)، معادلهٔ بیضی حاصل می‌شود:معادله متعارف بیضی.هر معادله درجه دو با فرمول formula_62 معرف یک بیضی است که مرکزش روی مبدأ مختصاتی، قطر بزرگش روی محور formula_63ها، و قطر کوچکش روی محور formula_64ها جای دارد. مقادیر formula_1 و formula_2 فاصلهٔ چهار رأس بیضی را از مرکز آن مشخص می‌کنند، به گونه‌ای که مختصات رأس‌های بزرگ formula_67 و formula_68 و مختصات راس‌های کوچک formula_69 و formula_70 است. مقدار formula_2 به «نیم‌قطر کوچک» و مقدار formula_1 به «نیم‌قطر بزرگ» موسوم است.این معادله غالباً به شکل formula_73 نوشته می‌شود. فاصلهٔ مرکز بیضی از هر کدام از کانون‌ها formula_74 و مختصات کانونها formula_75 است.اگر مرکز بیضی از مبدأ مختصاتی به نقطهٔ formula_76 انتقال یابد معادلهٔ بیضی برابر formula_77 خواهد بود.از معادله عام منحنی‌های درجه دو.برای اینکه معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو (یعنی) بیضی باشد، باید تعریف کرد کهکه در آن formula_78، formula_79، و formula_80 است. در این معادله اگر formula_81 باشد حاصل دایره خواهد بود (که حالت خاصی از بیضی است) و اگر formula_82 حاصل یک نقطه می‌شود. مختصات مرکز این بیضی formula_76 از معادلات زیر حاصل می‌شود:و محورهای نیم‌بزرگ و نیم‌کوچک بیضی عبارت است از:معادله پارامتری.معادلهٔ پارامتری بیضی را می‌توان با اعمال تجانس (تبدیل آفین) formula_84، formula_85 بر معادلهٔ پارامتری دایره واحد (یعنی formula_86) به‌دست‌آورد. با این حساب معادلهٔ پارامتری بیضی عبارت است از:که در آن formula_87.برای یافتن معادلهٔ پارامتری بیضی به صورت عبارت‌های گویا، می‌توان همان تجانس formula_84، formula_85 را بر معادلهٔ پارامتری گویای دایره‌ای به شعاع واحد اعمال کرد. در این حالت معادلهٔ پارامتری بیضی عبارت است از:معادله قطبی.معادلهٔ قطبی بیضی معمولاً به مرکزیت یکی از کانون‌های آن نوشته می‌شود.اگر آغاز زاویهٔ formula_90 از قطر بزرگ یک بیضی باشد، معادلهٔ قطبی آن عبارت است از:زاویهٔ formula_90 به آنومالی حقیقی کانون مورد نظر موسوم است و گاه با formula_92 هم نشان داده می‌شود. ثابت formula_93 هم همان «نیم‌راست‌وتر کانونی» (formula_94) است. نقطهٔ formula_95 که در آن مقدار formula_96 به حداقل خود می‌رسد «نقطهٔ حضیض» و نقطهٔ formula_97 که در آن مقدار formula_96 به حداکثر خود می‌رسد «نقطهٔ اوج» نام دارد.در دستگاه مختصات دوقطبی.مختصات دوقطبی بیضی‌ای که یکی از کانون‌هایش روی مبدأ مختصات باشد عبارت است از معادلهٔکه در آن formula_1 برابر نصف قطر بزرگ بیضی است.ویژگی‌ها.کانون‌ها.هر بیضی روی قطر بزرگش دو کانون دارد که با نمادهای formula_100 و formula_101 نشان داده می‌شود. مقدار formula_17 (خروج از مرکز) را می‌توان با جایگزین کردن formula_1 و formula_2 در فرمول formula_105 ,محاسبه کرد. با دانستن این فرمول و استفاده از قضیه فیثاغورث، مشخص است که فاصلهٔ رأس‌های کوچک تا formula_106 و formula_107 برابر formula_1 است. این امر حالت خاصی از ویژگی زیر است:بنابراین هر بیضی را می‌توان با داشتن دو کانون و یک نقطه روی محیط ترسیم کرد.برای اثبات این ویژگی، می‌توان نقطهٔ formula_109 را تعریف و در فرمول فاصله جایگزین کرد:و با استفاده از معادلهٔ بیضی (formula_110) می‌توان نشان داد که این مقدار برابر formula_111 است.برون‌مرکزی.نسبت فاصلهٔ هر کانون از مرکز بیضی (formula_112) به اندازه نیم‌قطر بزرگ بیضی (formula_1) برون‌مرکزی بیضی نامیده می‌شود و آن را با حرف formula_17 نشان می‌دهند (formula_115). به‌این‌ترتیب برون‌مرکزی را می‌توان جای کانون در نیم‌قطر بزرگ دانست. برون‌مرکزی یک بیضیِ معین همواره مقداری ثابت و بین صفر و یک است formula_116 و به‌صورتی یکتا شکل آن را مشخص می‌کند، به این مفهوم که دو بیضی متشابهند اگر و تنها اگر برون‌مرکزی‌شان با هم برابر باشد. زمانی که برون‌مرکزی صفر باشد، کانون روی مرکز می‌افتد و منحنی به‌شکل دایره درمی‌آید. اگر برون‌مرکزی به یک نزدیک شود (فاصلهٔ کانون از مرکز به بی‌نهایت میل کند)، بیضی حالتی کشیده پیدا می‌کند.برون‌مرکزی بیضی برابر وارون ضربی برون مرکزی هذلولیای با نیم‌قطر بزرگ و کوچک برابر است.خطوط هادی.اگر formula_1 نیم‌قطر بزرگ بیضی و formula_112 فاصلهٔ هر کانون بیضی از مرکز آن باشد، دو خط موازی با قطر کوچک بیضی به فاصلهٔ formula_119 از این قطر به خطوط هادی بیضی موسومند. می‌توان نشان داد که در هر بیضی نسبت «فاصلهٔ نقطهٔ formula_94 از هر کدام از کانون‌های بیضی» به «فاصلهٔ formula_94 از خط هادی متناظر با آن کانون» ثابت و برابر با برون‌مرکزی بیضی است؛ یعنی:اگر نسبت فاصله هر نقطه روی بیضی از کانون به فاصله‌اش از خط هادی برابر formula_96، فاصلهٔ خط هادی از مرکز بیضی برابر formula_123، و نیم‌قطر کوچک بیضی formula_2 باشد آنگاه:و برای به دست آوردن formula_123:قطر مزدوج یک وتر.به موازات هر وتر formula_126 که از مرکز بیضی بگذرد، مجموعه‌ای از وترها هست که شامل خط مماس بر بیضی با شیب مساوی formula_126 می‌شود. با وصل کردن نقطهٔ وسط همهٔ این وترها به هم formula_128 حاصل می‌شود که قطر بیضی است و با عنوان «مزدوج» formula_126 شناخته می‌شود. با استفاده از قطرهای مزدوج بر وتر می‌توان خطوط مماس بر بیضی را ترسیم کرد. خطوط مماس بر نقاطformula_95، formula_97، formula_132، و formula_133 بیضی را در یک متوازی‌الأضلاع محاط می‌کنند. اگر وتر formula_126 همنهشت بر یکی از قطرهای بیضی شود، شکل محاط‌کنندهٔ بیضی مستطیل خواهد بود.نیم‌راست‌وتر کانونی.وتری که از یکی از کانون‌ها می‌گذرد و بر قطر بزرگ بیضی عمود است «راست‌وتر کانونی» نامیده می‌شود. نصف این وتر، یعنی «نیم‌راست‌وتر کانونی» است که با حرف formula_94 نمایش داده می‌شود. می‌توان نشان داد که:همچنین می‌توان با استفاده از معادلهٔ قطبی بیضی نشان داد که:خط مماس.اگر خطی یک بیضی را در ۱ و فقط ۱ نقطه قطع کند، گفته می‌شود که آن خط بر آن بیضی مماس است. از هر نقطه روی بیضی تنها یک خط مماس می‌گذرد. معادلهٔ خط مماس بیضی formula_136 در نقطهٔ formula_137 عبارت است از:هر گاه دو خط مماس بیضی با هم زاویهٔ بسازند، نقطهٔ تقاطع آن دو خط مماس روی دایره‌ای قرار دارد که به دایره ارتوپتیک موسوم است و معادلهٔ آن عبارت است از:نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی.نیمساز زاویهٔ بین دو پاره‌خط formula_138 و formula_139 همواره بر خط مماس بیضی در نقطهٔ formula_94 عمود است.از این ویژگی نتیجه می‌شود اگر اشعه‌ای از یکی از کانون‌ها به هر نقطه‌ای روی محیط بیضی بتابد به‌سوی کانون دیگر بازتاب می‌شود. این امر در نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها کاربرد دارد.مساحت.مساحت بیضی برابر است با:که در آن formula_1 و formula_2 به‌ترتیب نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچکند. فرمول مساحت بیضی را به‌سادگی می‌توان از فرمول مساحت دایره‌ای به شعاع formula_2 (یعنی formula_144) به‌دست آورد. اگر دایره از یک طرف به نسبت formula_145 کشیده شود، مساحت آن با در همین نسبت ضرب می‌شود: formula_146.فرمول مساحت بیضی را با استفاده از انتگرال نیز می‌توان به‌سادگی محاسبه کرد. ابتدا معادلهٔ متعارف بیضی به صورت formula_147 بازنوشته می‌شود. برای هر formula_148، این منحنی نیمهٔ بالایی بیضی است. پس مساحت بیضی دو برابر انتگرال formula_149 در بازهٔ formula_150 خواهد بود:اگر معادلهٔ بیضی به‌شکل formula_151 نوشته شود، مساحت آن برابر formula_152 خواهد بود.محیط.از آن‌جا که فرمولی با فرم بسته (مثل فرمول محیط دایره، که حالت خاص بیضی است) برای محیط بیضی وجود ندارد، مسئلهٔ بیان محیط دقیق بیضی منجر به ایجاد توابع بیضوی شد که موضوعی مهم در ریاضیات و فیزیک است. برای محاسبه محیط بیضی، باید ابتدا انتگرال کامل بیضوی نوع دوم را محاسبه کرد. به این ترتیب محیط بیضی با نیم‌قطر بزرگ formula_1 و نیم‌قطر کوچک formula_2 برابر است با:که در آن formula_17 همان برون‌مرکزی (formula_156) است و formula_157 عبارت است از:محیط بیضی بر اساس انتگرال کامل بیضوی نوع دوم را با استفاده از «سری گاوس-کومر» نیز می‌توان محاسبه کرد:بااین‌همه فرمول‌های پرشماری برای تخمین محیط بیضی ارائه شده که هر یک نقاط قوت و ضعف خود را دارند؛ مثلاً فرمول ابداعی سرینیواسا رامانوجان (۱۸۸۷ – ۱۹۲۰) برای تخمین محیط بیضی عبارت است از:که برای بیضی‌هایی با برون‌مرکزی کم دقت بالایی دارد. یا راجر مارتنز در سال ۲۰۰۰ فرمولی برای تخمین محیط بیضی ارائه داد که خطای آن همیشه کمتر از ۰٫۳۶۱۹٪ است:با این‌حال شناخته‌شده‌ترین فرمول تخمین محیط بیضی فرمولی است که اویلر در سال ۱۷۷۳ ارائه کرد:انحنا.انحنای بیضی برابر است با:شعاع انحنا در نقطهٔ formula_53 عبارت است از:زاویه مماسی بیضی نیز از فرمول formula_159 محاسبه می‌شود.رابطهٔ بین قطب و خط قطبی.خط قطبی هر نقطه روی بیضی، از خود آن نقطه می‌گذرد. همچنین قطب هر خط قطبی‌ای که بر بیضی مماس است روی آن بیضی است. این رابطهٔ متقابل قطب و خط قطبی در مقاطع مخروطی اساس تعریف این دو ویژگی است.اگر معادلهٔ بیضی از معادلهٔ عام منحنی‌های درجهٔ دوم، یعنی به شکل:نوشته شود، معادلهٔ خط قطبی نقطهٔ formula_160 عبارت خواهد بود از:که در آن formula_133 و formula_157 و formula_163 ثابت‌هایی‌اند که به شکل زیر تعریف می‌شوند:با داشتن معادلهٔ خط قطبی formula_164 نیز می‌توان قطب آن را با قرار دادن مقادیر formula_63 و formula_64 و formula_167 از محاسبهٔ زیر در formula_168 به‌دست آورد:در هندسه فضایی.با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به گوی‌وار موسوم است.گوی‌واری که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «گوی‌وار کشیده» و گوی‌واری که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «گوی‌وار پَخ» نام دارد.با اکستروژن موازی بیضی «استوانهٔ بیضوی» و با اکستروژن مرکزی آن «مخروط بیضوی» ساخته می‌شود.حجم‌هایی که همهٔ سطوح مقاطعشان به شکل بیضی باشد به بیضی‌وار موسومند. بیضی‌واری که در دو محورِ دستگاه مختصات دکارتی طولی مساوی داشته باشد گوی‌وار و بیضی‌واری که در هر سه محور طول مساوی داشته باشد کره است.ترسیم.روش باغبانی.ترسیم بیضی با ویژگی کانون آن به «روش باغبانی» موسوم است. در این روش دو قطعه چوب در دو نقطه از زمین (کانون‌ها) کوبیده می‌شود. حلقه طنابی به طول formula_169 که در نقطه‌ای از آن یک میله گره خورده‌است به دور دو قطعه چوب انداخته می‌شود و سپس میله جابجا می‌شود تا طناب کشیده شود. همهٔ نقاطی که میله را بتوان روی قرار داد به‌شکلی که طناب شل نباشد روی بیضی هستند.روش خاگار (ترامل).اگر دو رأس یک پاره‌خط را در راستای دو خط متقاطع حرکت دهیم، هر نقطهٔ ثابت روی آن پاره‌خط (یا امتداد آن) مکان هندسی کمانی از یک بیضی خواهد بود. ترسیم بیضی با این روش به «روش خاگار (ترامل)» موسوم است. در گذشته نیز ابزاری با نام «ترامل» برای ترسیم فنی و همچنین به‌عنوان اسباب‌بازی تولید می‌شد که دو پین قابل تنظیم و یک گیره (برای اتصال قلم) داشت و با استفاده از آن می‌شد بیضی رسم کرد.روش متوازی‌الأضلاع.روش متوازی‌الأضلاع یا تولید مخروطی اشتاینر را می‌توان زمان داشتن قطرهای بیضی یا یک وتر و قطر مزدوج آن به کار برد. در این روش یک متوازی‌الأضلاع (در تصویر مجاور formula_170) به مرکزیت نقطهٔ formula_25 در نظر گرفته می‌شود به صورتی که هر کدام از اضلاع آن مساوی و موازی یکی از قطرهای بیضی (یا یک وتر و قطر مزدوجش) باشند. ضلع‌های formula_172 و formula_173 به formula_174 پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شوند. سپس از رأس formula_175 به سر هر کدام از پاره‌خط‌های روی ضلع formula_172 و از رأس formula_177 به سر هر کدام از پاره‌خط‌های روی ضلع formula_173 پاره‌خطی کشیده می‌شود. نقطهٔ تقاطع پاره‌خط‌های formula_179 و formula_179 روی بیضی قرار دارد.ترسیم تقریبی از بیضی با چهار مرکز.می‌توان با داشتن دو قطر بیضی، و با استفاده از پرگار شکلی تقریبی از بیضی ترسیم کرد. برای این منظور روی پاره‌خط AD، که انتهای قطرهای کوچک و بزرگ را به هم وصل می‌کند، نقطهٔ F در فاصله DF = b - a (تفاضل نیم‌قطرها) قرار داده می‌شود. از وسط AF خطی عمود خارج می‌شود که قطر بزرگ را در نقطهٔ formula_181 و قطر کوچک (یا امتداد آن را) در formula_182 قطع می‌کند. سپس با استفاده از تقارن (بازتاب formula_181 و formula_182 روی قطرها) نقاط formula_185 و formula_186 مشخص می‌شوند. با زدن کمان‌هایی متصل به مرکز هر کدام از نقاط formula_181 و formula_182 و formula_185 و formula_186 شکل تقریبی بیضی را مشخص کرد.