حلقه (ریاضیات) کیست؟ توضیح بده.
یک حلقه در ریاضیات، ساختاری جبری است که میدان را تعمیم می‌دهد: نیازی نیست که ضرب جابجایی‌پذیر باشد، و نیازی نیست تا وارون ضربی وجود داشته باشد. به زبان دیگر، یک "حلقه" یک مجموعه مجهز به دو عمل دوتایی است که ویژگی‌هایی شبیه جمع و ضرب اعداد صحیح را برآورده می‌کند. عناصر حلقه می‌تواند اعدادی مثل عدد صحیح یا عدد مختلط باشد، اما این عناصر می‌تواند اشیای غیر عددی مثل چندجمله‌ای، ماتریس مربعی، تابع و سری توانی هم باشد.از نظر صوری، یک "حلقه" گروهی آبلی است که عملیات آن "جمع" نامیده شده، به همراه عملگر دوتایی ثانویه که ضرب نام‌دارد و خاصیت شرکت‌پذیری داشته و روی عملگر جمع توزیع‌پذیر است و دارای عنصر همانی ضربی است (این خاصیت اخیر نزد برخی از مؤلفین الزامی نیست، را ببینید). پیرو تعمیم اعداد صحیح، به عملیات گروهی آبلی حلقه‌ها، "جمع" و به عملگر ثانویه آن "ضرب" گویند.این که آیا یک حلقه جابجایی است یا خیر (یعنی این که آیا ترتیب ضرب دو عنصر حلقه بر نتیجه ضربشان اثرگذار است یا نه؟)، اثرات ژرفی بر روی رفتار یک شیء جبری دارد. در نتیجه، نظریه حلقه‌های جابجایی را اغلب جبر جابجایی گویند، که مبحث کلیدی در نظریه حلقه هاست. توسعه جبرجابجایی به میزان چشمگیری از مسائل و ایده‌هایی که به‌طور طبیعی در نظریه جبری اعداد و هندسه جبری وجود دارند وام گرفته‌است. مثال‌هایی از حلقه‌های جابجایی شامل این موارد می‌شود: اعداد صحیح مجهز به عملیات جمع و ضرب، مجموعه چند جمله ای‌ها به همراه جمع و ضرب بینشان، حلقه مختصاتی یک واریته جبری آفینی و حلقه اعداد یک میدان عددی. مثال‌هایی از حلقه‌های ناجابجایی شامل حلقه ماتریس‌های حقیقی مربعی formula_1 که در آن formula_2، حلقه گروه‌ها در نظریه نمایش، جبر عملگرها در آنالیز تابعی، حلقه عملگرهای دیفرانسیلی در نظریه عملگرهای دیفرانسیل و حلقه کوهمولوژی یک فضای توپولوژیکی در توپولوژی.مفهوم سازی برای حلقه‌ها در دهه ۱۸۷۰ شروع شد و در دههٔ ۱۹۲۰ تکمیل شد. افرادی که نقش کلیدی در این فرایند داشتند شامل ددکیند، هیلبرت، فرانکل و نوتر بودند حلقه‌ها را اولین بار به عنوان تعمیم‌هایی از دامنه‌های ددکیند، که در نظریه اعداد، حلقه‌های چند جمله ای و پایاهایی که در هندسه جبری و نظریه پایا ظاهر می‌شوند، به صورت صوری و رسمی درآوردند. سپس، مشخص شد که مفهوم حلقه‌ها در دیگر شاخه‌های ریاضیاتی چون هندسه و آنالیز ریاضی نیز مفیدند.تعریف و مثال.آشناترین مثال یک حلقه، مجموعه اعداد صحیح، formula_3 شامل اعداد زیر است:formula_4خواص آشنای جمع و ضرب اعداد صحیح، مدلی برای اصول موضوعه حلقه هاست.تعریف.حلقه، مجموعه ای چون formula_5 است که به عمل‌های دوتایی + و . مجهز شده به گونه ای که در اصول موضوعه زیر به نام اصول موضوعه حلقه‌ها صدق کند:یادداشتی در مورد تعریف.همان‌طور که در بخش تاریخچه در قسمت پایین توضیح داده شده، بسیاری از مؤلفان از قرارداد دیگری استفاده می‌کنند که در آن برای یک حلقه وجود عنصر همانی ضربی الزامی نیست. در این مقاله از این قرارداد استفاده شده که وجود عنصر همانی ضربی الزامی است، مگر خلاف آن ذکر شود. مؤلفانی که از قرارداد اخیر (وجود عنصر همانی ضربی) پیروی می‌کنند، به حلقه‌هایی که در آن‌ها عنصر همانی تعریف نشده rng (به صورت "rung" یا رانگ تلفظ می‌شود) گویند و برخی مواقع به آن حلقه کاذب (pseudo-ring) هم گفته می‌شود. به عنوان مثال، مجموعه اعداد زوج تحت جمع و ضرب معمولی یک rng (رانگ) است اما حلقه نیست.عملیات + و. را به ترتیب "جمع" و "ضرب" گویند. معمولاً نماد ضرب یعنی. حذف می‌شود، لذا کنار هم قرار گرفتن عناصر به صورت ضرب تعبیر می‌شود. به عنوان مثال formula_43 معنی formula_44 می‌دهد.گرچه جمع در حلقه جابجاییست، ضرب حلقه لزوماً جابجایی نیست: formula_45 لزوماً برابر با formula_46 نیست. حلقه‌هایی که شرط جابجایی ضربی را ارضاء می‌کنند (مثل حلقه اعداد صحیح) را حلقه جابجایی گویند. کتاب‌های جبر جابجایی یا هندسه جبری اغلب برای ساده‌سازی اینگونه قرارداد می‌کنند که "حلقه" به معنای "حلقه جابجایی" است.در یک حلقه، نیاز نیست که عناصر دارای معکوس ضربی باشند. یک حلقه جابجایی (نابدیهی) که در آن هر عنصر ناصفر معکوس ضربی داشته باشد را میدان گویند.گروه جمعی یک حلقه صرفاً مجهز به جمع است. گرچه که تعریف حلقه فرض را بر این می‌گیرد که گروه جمعی آبلی است، اما این مسئله (آبلی بودن گروه جمعی) را می‌توان از دیگر اصول موضوعه‌های حلقه استنباط کرد (یعنی یک اصول موضوعهٔ مستقل نیست). اثبات نکته اخیر از طریق فرض وجود عنصر "formula_30" است، پس اثبات آن در rng قابل استفاده نیست (در مورد رانگ‌ها، حذف فرض جابجایی بودن جمع، باعث می‌شود که جابجایی بودن ضرب عناصر، یعنی formula_48 را بتوان از بقیه اصول موضعه استنباط کرد).برخی از مؤلفین حلقه را بدون فرض شرکت پذیری ضربی تعریف می‌کنند. این تعریف کلی یک حلقه (که لزوماً شرکت پذیر نباشد، و لزوماً یک دار نباشد) هنگامی مفید است که بخواهیم هر جبر را یک حلقه در نظر بگیریم.خواص پایه ای.برخی از خواص پایه ای یک حلقه فوراً از اصول موضعه بدست می‌آیند:مثال: اعداد صحیح به هنگ ۴.همچنین رجوع کنید به: حساب پیمانه ایمجموعه formula_60 به عملیات زیر مجهز شده‌است:آنگاه، formula_62 یک حلقه است: هر اصل موضوع از اصل موضوع متناظرش در formula_3 بدست آمده و این عنصر را اغلب به صورت "x mod 4" یا formula_77 نمایش می‌دهند که با نمادهای formula_78 سازگاری دارند. معکوس جمعی هر عنصر مثل formula_77 در formula_62 به صورت formula_81 است. به عنوان مثال، formula_82.