اسپلاین (ریاضیات) کیست؟ توضیح بده.
یک تکه‌بند یا اسپلاین در ریاضیات تابع خاصی است که به صورت تکه‌ای (چندضابطه‌ای) توسط چندجمله‌ای‌ها تعریف می‌شود. در مسائل درون‌یابی، از ارجحیت دارد، زیرا منجر به نتایج مشابه می‌شود، حتی اگر از چندجمله‌ای با درجه پایین استفاده کنیم، همچینین از پدیده رونگه برای درجه‌های بالاتر جلوگیری می‌کند.اسپلاین (spline) در ریاضیات یک تابع هموار چندضابطه‌ای-چندجمله‌ای است.در مسائل درون‌یابی، معمولاً منظور از درون‌یابی اسپلاین، پیدا کردن چندجمله‌ای درون یابی است، چرا که به همان نتیجه می‌انجامد، حتی در مواقعی که از چندجمله‌ای‌های درجه پایین استفاده می‌شود.چندجمله‌ای‌های پارا متری از درجات بالا یک ضعف دارند:برای مثال در شکل زیر پرش ارتفاع در حوالی مرکز داده‌ها باعث تغییر زیادی روی چندجمله‌ای درون یابی شده در نزدیکی انتهای منحنی دارد.در عوض در شکل بعدی از منحنی اسپلاین درجه سوم (cubic spline) در همان نقاط مثال قبل استفاده شده‌است. مشاهده می‌کنید که منحنی چقدر دقیق از نقاط ورودی می‌گذرد. دقت داشته باشید که همواره منحنی‌ها در محل اتصال شکلی یکنواخت دارند.منحنی اسپیلاین با استفاده از مشتقات یک منحنی چندجمله‌ای درجه سوم میان هر دو نقطه ورودی ایجاد می‌شود. به عبارتی دیگر، منحنی درجه سوم و تابع چندضابطه‌ای است که از چند تابع چند ضابطه‌ای که به یکدیگر چسبیده‌اند تشکیل شده‌است. این توابع چند ضابطه‌ای آن چنان در محل اتصال با یکدیگر مطابقت دارند که تقریباً محل اتصال مشخص نیست.در حقیقت، اگر تمام تابع با یک تابع formula_1توصیف شود، formula_1 آن قدر یکنواخت و هموار خواهد بود که دارای مشتق دوم در تمام نقاط و مشتق دوم پیوسته خواهد بود.اسپلاین درجه سوم(cubic spline).اسپلاین درجه سوم یک منحنی چند ضابطه‌ای درجه سوم با مشتق دوم پیوسته‌است.واژه‌شناسی اسپلاین.کلمهٔ اسپلاین در حقیقت بازمی‌گردد به نوار باریکی از جنس چوب یا فلز. در گذشته منحنی‌ها برای طراحی کشتی‌ها و هواپیماها با قرار دادن دقیق منحنی‌هایی از نوارهای باریک چوب یا فلز در بدنهٔ آن‌ها به گونه‌ای که ضمن گذشتن از نقاط دلخواه انعطاف‌پذیر نیز باشند. به دلایل فیزیکی، این چنین منحنی‌هایی تقریباً چند ضابطه ای‌هایی درجه سوم با مشتق دوم پیوسته‌اند، در صورتی که به درستی پارامتری شوند.ممکن است که از ریاضیات بیاد آورید انحنای هر منحنی در هر نقطه به مشتق دوم منحنی در آن نقطه وابسته است. در نقاط انتهایی، یک نوار واقعی از چوب یا فلز خم نمی‌شود، و مشتق دوم این منحنی صفر است.منحنی اسپلاین درجه سوم ریلکس(relaxed cubic spline).منحنی اسپلاین درجه سوم را ریلکس می‌نامند، اگر مشتق دوم در هر انتها صفر شودما می‌بایستی تمرکز خود را روی منحنی‌های اسپلاین درجه سوم ریلکس قرار دهیم. همانگونه که خواهید دید، از این منحنی‌ها می‌توان برای طراحی‌های کنترل شده(b-spline) یا برای درون یابی استفاده کرد. برای تشریح ضابطه‌های از درجهٔ سوم به صورت ساده و قرادادی، می‌بایستی از منحنی‌های بزیه(bَezier) استفاده کنیم.منحنی‌های بزیه با مشتق دوم صفر در یک انتها.به منظور ارضای شرط ریلکس بودن انتهای منحنی، می‌بایستی بتوانیم تشخیص دهیم که چه زمانی یک منحنی بزیه دارای مشتق دوم صفر در یک انتها می‌باشد. برای یک منحنی بزیه درجه سوم با تا بعformula_3 و نقاط کنترلیformula_4داریم: formula_5این معادله زمانی صفر می‌شود که: formula_6و یا متعاقباً: formula_7رابطه‌ای مشابه در موردformula_8 برقرار است. حتی ساده‌تر:formula_9 اگر و تنها اگر formula_10eنقطهٔ میانی المانformula_11;formula_8 اگر و تنها اگر formula_13نقطهٔ میانی المانformula_11 باشد. نمونه‌هایی در شکل ۳ نشان داده شده‌است.چسباندن دو منحنی بزیه.۱-مطابقت دادن نقاط انتهاییبا دو منحنی که می‌توانند به همدیگر بچسبند ولی با یکدیگر به خوبی مطابقت ندارند شروع می‌کنیم. منحنی اول با نقاط کنترلیformula_15 و منحنی دوم دارای نقاط کنترلیformula_16. همان‌طور که در شکل ۴ نشان داده شده‌است.فرض کنید کهformula_17، برای قرارداد این نقطهٔ اتصال را s می‌نامیم،formula_18نتیجه در شکل ۴ نمایش داده شده‌است.منحنی دارای یک گوشه است، زیرا در s منحنی بزیه اول دارای مشتق اولformula_19 است و منحنی دومformula_20، ولی بردارهای formula_21 و formula_22 حتی دارای یک جهت نیز نیستند.۲-مطابقت دادن اندازه‌ها و مشتقات اولیک اتصال بهتر زمانی بدست می‌آید که s نقطه میانی خط P2Q1 باشد، به طوری که مشتق اول در محل اتصال مطابقت داشته باشد. شکل۵ نمونه‌ای است که دارای این شرایط می‌باشد.این نمونه هموارتر به نظر می‌آید. با این وجود، هنوز آرمانی نمی‌باشد. فرض کنید سوار بر قطاری هستید که روی این منحنی حرکت می‌کند. در بخش اول منحی بزیه به سمت دیواری سمت چپ فشار داده می‌شوید و در بخش دیگر به سمت مخالف یعنی دیوار سمت راست فشرده می‌شوید. در نقطهٔ اتصال شما از سمتی به سمت دیگر قطار کشیده می‌شوید. برای اتصالی هموارتر، انحنا می‌بایستی پیوسته باشد. چون که انحنا را می‌توان در قالب مشتقات اول و دوم بیان کرد، پیوستگی انحنا را می‌توان با مطابقت دادن مشتقات اول و دوم در نقطهٔ اتصال بدست آورد.۳-مطابقت دادن اندازه، مشتق اول و دومدر s، با قرار دادن t=1 , t=۰ …مشتق دوم منحنی بزیه به صورت 6(p1-2p2+s) و 6(s-2q1+q2) می‌شود؛ بنابراین داریم:6(p1-2p2+s)=6(s-2q1+q2) ویا متعاقباً p1-p2=q2-2q1.راهی جالب برای درون یابی از این معادله. دو طرف را در منفی ضرب می‌کنیم تا داشته باشیم:2p2-p1=2q1-q2.علت انجام این کار این است که هر دو طرف دارای ضرایبی با اختلاف یک هستند و بنابراین نقاطی را ارائه می‌دهند که از دستگاه مختصات مستقل اند. طرف سمت چپ به نقطهی A+ می‌انجامد و از p1 و p2 می‌گذرد. در حقیقت A+=2p2-p1=p2+1.(p2-p1). همانگونه که در شکل ۶ نشان داده شده‌است. A+ را راس زائیهٔ راست از چند ضلعی کنترلی اول می‌نامیم. به صورتی مشابه، بخش سمت راست معادله را راس زاویه‌ای سمت چپ نامیده و برابر است باA-=2q1-q2از منحنی بزیه دوم، مطابق شکل.همانگونه که می‌بینید، در این مثال دو راس زاویه‌ای یکسان نیستند، بنابراین معادله ارضا نمی‌شود و مشتقات دوم از منحنی‌های بزیه با یکدیگر مطابق نخواهند بود. شکل ۷ مثالی را نشان می‌دهد که این مطابقت ایجاد شده‌است، در حالی که هر دو راس زاویه‌ای در نقطهٔ یکسان A قرار دارند. قسمت مذکور در شکل ۷ به مشابه یک کلمهٔ A می‌باشد که به آن کابین با قاب A گویند.تعریف:قاب-Aشکلی است با نقاط نشان داده شده، به گونه‌ای که s نضطهٔ میانی p2p1، و p2 نقطهٔ میانیp1A، وq1 نقطهٔ میانی Q2A. مثالی در شکل ۸ آورده شده‌است؛ بنابراین:اگر دو منحنی بزیه در نقطهٔ s متصل شوند، هر دو مشتق اول و دوم در s مطابقت خواهند داشت اگر و تنها اگر چند ضلعی کنترلی آنها قاب_A را تشکیل دهند.نکته:مطابقت دادن مشتقات سوم اگر چه اطمینان بخش می‌باشد، ولی مفید نیست، همانگونه که هر دو منحنی را مجبور می‌کند که بخشی از یک منحنی درجه سوم باشند؛ بنابراین انعطاف‌پذیری بدست آمده ناشی از چسبانده دو منحنی از بین می‌رود.منابع.http://www.math.ucla.edu/~baker/149.1.02w/handouts/x_lagrange.pdf http://www.math.ucla.edu/~baker/149.1.02w/handouts/bb_bezier.pdf http://www.math.ucla.edu/~baker/149.1.02w/handouts/dd_splines.pdf