تحلیل مؤلفه‌های اصلی کیست؟ توضیح بده.
تحلیل مؤلفه‌های اصلی تبدیلی در فضای برداری است، که تحلیل مجموعه داده‌های بزرگ با تعداد زیادی بعد یا ویژگی، افزایش تفسیرپذیری داده‌ها با حفظ حداکثر مقدار اطلاعات و تجسم داده‌های چند بعدی را فراهم می‌کند. تحلیل مؤلفه‌های اصلی در واقع، یک تکنیک آماری برای کاهش ابعاد یک مجموعه داده‌است.این کار با تبدیل خطی داده‌ها به یک سیستم مختصات جدید انجام می‌شود که (بیشتر) تغییرات در داده‌ها را می‌توان با ابعاد کمتری نسبت به داده‌های اولیه توصیف کرد. بسیاری از مطالعات از دو مؤلفه اصلی اول برای نمایش داده‌ها در دو بعد و شناسایی بصری خوشه‌های نقاط داده نزدیک به هم استفاده می‌کنند. تحلیل مؤلفه‌های اصلی در بسیاری از زمینه‌ها مانند ژنتیک جمعیت، مطالعات میکروبیوم‌ها و علوم جوی کاربرد دارد.مؤلفه‌ها اصلیِ مجموعه‌ای از نقاط در یک فضای مختصات حقیقی، دنباله‌ای از بردارهای واحد formula_1 هستند، که در آن بردار formula_2-ام امتداد خطی است که بهترین تطابق را با داده‌ها دارد و در عین حال به formula_3 بردار اول متعامد است. در اینجا بهترین خط، خطی است که میانگین مجذورات فاصله عمود نقاط از خط را کمینه می‌کند. این بردارها یک پایه متعامد و یکه را تشکیل می‌دهند که در آن ابعاد مختلف داده‌ها به‌طور خطی همبستگی ندارند. تحلیل مؤلفه‌های اصلی فرایند محاسبه مؤلفه‌های اصلی و استفاده از آن‌ها برای تغییر پایه داده‌ها است که گاهی فقط از چند مؤلفه اصلی اول استفاده می‌کند و بقیه را نادیده می‌گیرد.تاریخچه.تحلیل مؤلفه‌های اصلی اولین بار در سال ۱۹۰۱ توسط کارل پیرسون به عنوان متناظری از قضیه محورهای اصلی در مکانیک ارائه شد. این روش بعدها به صورت مستقل توسط هارولد هتلینگ در دهه ۱۹۳۰ میلادی توسعه یافت و نام‌گذاری شد. باتوجه به کاربرد این روش آن را تبدیل گسسته کارانن-لوف یا KLT در پردازش سیگنال نیز یا تبدیل هتلینگ در کنترل کیفیت چند متغیره می‌نامند.ایده.تحلیل مؤلفه‌های اصلی را می‌توان به عنوان برازش یک بیضی با ابعاد formula_1 به داده‌ها در نظر گرفت، که در آن هر محور بیضی یک مؤلفه اصلی را نشان می‌دهد. اگر برخی از محورهای بیضی کوچک باشد، واریانس در امتداد آن محور نیز کوچک است.برای پیدا کردن محورهای بیضی، ابتدا باید با کم کردن میانگین مقادیر هر متغیر از آن‌ها، میانگین مجموعه داده را صفر کنیم. این مقادیر تبدیل شده حالا به جای مقادیر اصلی برای هر یک از متغیرها استفاده می‌شود. سپس، ماتریس کواریانس داده‌ها را محاسبه کرده و مقادیر ویژه و بردارهای ویژه آن را محاسبه می‌کنیم. سپس باید هر یک از بردارهای ویژه متعامد را نرمال کنیم تا آنها را به بردارهای واحد تبدیل کنیم. پس از انجام این کار، هر یک از بردارهای ویژه واحد متعامد را می‌توان به عنوان محوری از بیضی برازش داده‌ها تفسیر کرد. این انتخاب پایه، ماتریس کوواریانس را به ماتریسی قطری تبدیل می‌کند، که در آن درایه‌های روی قطر واریانس هر محور را نشان می‌دهد. درصد واریانسی که هر بردار ویژه از اطلاعات موجود بیان می‌کند را می‌توان با تقسیم مقدار ویژه مربوط به آن بردار ویژه بر مجموع همه مقادیر ویژه محاسبه کرد.جزئیات.تحلیل مؤلفه‌های اصلی در تعریف ریاضی یک تبدیل خطی متعامد است که داده را به دستگاه مختصات جدید می‌برد به‌طوری‌که بزرگ‌ترین واریانس داده بر روی اولین محور مختصات، دومین بزرگ‌ترین واریانس بر روی دومین محور مختصات قرار می‌گیرد و همین‌طور برای بقیه.ماتریس formula_5 داده formula_6 با میانگین تجربی صفر، که هر سطر یک مجموعه مشاهده و هر ستون داده‌های مربوط به یک شاخصه است را در نظر بگیرید.از منظر ریاضی، این تبدیل با مجموعه‌ای formula_7تایی از بردارهای formula_1-بعدیِ وزن یا ضرایب formula_9 تعریف می‌شود که هر بردار سطری formula_10 از formula_6 را به بردار جدیدی از "امتیازات" مؤلفه‌های اصلی formula_12 به صورتformula_13تطبیق می‌دهد. به این صورت که متغیرهای در formula_14 بیشترین واریانس ممکن از داده‌های formula_6 را داشته باشد. همچنین هر بردار ضریب formula_16 باید یک بردار واحد باشد و formula_7 معمولاً بسیار کمتر از formula_1 انتخاب می‌شود.مؤلفه اول.برای این‌که واریانس را بیشینه کنیم، اولین بردار وزن formula_19 باید شرط زیر را برآورده کند:formula_20و اگر آن را به صورت ماتریسی بنویسیم خواهیم داشت:formula_21از آن‌جایی که formula_19 باید یک بردار واحد باشد خواهیم داشت:formula_23کمیتی که باید بیشینه شود را می‌توان به عنوان خارج قسمت رایلی در نظر گرفت. یک نتیجه برای یک ماتریس مثبت نیمه معین مانند formula_24 این است که حداکثر مقدار ممکن ضریب، بزرگ‌ترین مقدار ویژه ماتریس است، که زمانی رخ می‌دهد که formula_16 بردار ویژه مربوط باشد.با پیدا کردن formula_19، اولین مؤلفه اصلی بردار داده formula_10 را می‌توان به صورت امتیاز formula_28 در مختصات تبدیل‌شده به دست آورد.مؤلفه‌های بعدی.مؤلفه formula_29ام را می‌توان با کم کردن formula_30 مؤلفه اصلی اول از formula_6 به‌دست‌آورد:formula_32و سپس بردار وزنی که حداکثر واریانس را از این ماتریس داده جدید استخراج می‌کند به‌دست می‌آوریم:formula_33عبارت بالا بردارهای ویژه باقیمانده formula_24 را با حداکثر مقادیر برای کمیت در پرانتز با مقادیر ویژه متناظر آنها را به‌دست می‌آورد؛ بنابراین بردارهای وزن همان بردارهای ویژه formula_24 هستند.مؤلفه اصلی formula_29ام بردار داده formula_10 را می‌توان به صورت امتیاز formula_38 در مختصات تبدیل‌شده به دست آورد.بنابراین، تجزیه کامل مؤلفه‌های اصلی formula_6 را می‌توان به این صورت نشان داد:formula_40که در آن formula_41 یک ماتریس formula_42 از وزن‌ها است که ستون‌های آن بردارهای ویژه formula_24 هستند. ترانهاده formula_41 گاهی تبدیل سفید یا کروی نامیده می‌شود.تجزیه مقدارهای منفرد.تبدیل مؤلفه‌های اصلی را می‌توان با تجزیه ماتریس دیگری، یعنی تجزیه مقدارهای منفرد formula_6 انجام داد.formula_46که این‌جا formula_47 یک ماتریس قطری formula_5 از اعداد مثبت formula_49 (یا همان مقادیر تکین formula_6) است. formula_51 یک ماتریس formula_52 است که ستون‌های آن بردارهای متعامد واحدی به طول formula_53 هستند که بردارهای تکین چپ formula_6 نامیده می‌شوند و formula_41 یک ماتریس formula_42 است که ستون‌های آن بردارهای متعامد واحدی به طول formula_1 هستند که بردارهای تکین راست formula_6 نامیده می‌شوند.با این تجزیه می‌توان ماتریس formula_24 را به صورت زیر نوشت:formula_60که formula_61 ماتریس قطری مربعی شامل مقادیر تکین formula_6 است که صفرهای اضافی آن حذف شده‌است و عبارت formula_63 برای آن برقرار است.مقایسه با بردارهای ویژه formula_24 نشان می‌دهد که بردارهای تکین راست formula_6 برابر با بردارهای ویژه formula_24 و همچنین مقادیر تکین formula_6 برابر با ریشه دوم مقادیر ویژه formula_24 هستند.با استفاده از تجزیه مقدارهای منفرد، ماتریس امتیاز formula_69 را به صورت زیر نوشت:formula_70بنابراین هر ستون ماتریس formula_69 را می‌توان از حاصل ضرب بردارهای تکین چپ formula_6 و مقدار تکین متناظر به‌دست‌آورد.محدودیت‌های تحلیل مولفه‌های اصلی.استفاده از تحلیل مؤلفه‌های اصلی منوط به فرض‌هایی است که در نظر گرفته می‌شود. از جمله:فرض بر این است که مجموعه داده ترکیب خطی پایه‌هایی خاص است.محاسبه مولفه‌های اصلی با استفاده از ماتریس کواریانس.بر اساس تعریف ارائه شده از تحلیل مؤلفه‌های اصلی، هدف از این تحلیل انتقال مجموعه داده X با ابعاد M به داده Y با ابعاد L است. بنابرین فرض بر این است که ماتریس X از بردارهای formula_73 تشکیل شده‌است که هر کدام به صورت ستونی در ماتریس قرار داده شده‌است. بنابرین با توجه به ابعاد بردارها (M) ماتریس داده‌ها به صورت formula_74 است.محاسبه میانگین تجربی و نرمال‌سازی داده‌ها.نتیجه میانگین تجربی، برداری است که به صورت زیر به دست می‌آید:formula_75که به‌طور مشخص میانگین تجربی روی سطرهای ماتریس اعمال شده‌است.سپس ماتریس فاصله تا میانگین به صورت زیر به دست می‌آید:formula_76که h برداری با اندازه formula_77 با مقدار ۱ در هرکدام از درایه‌ها است.محاسبه ماتریس کواریانس.ماتریس کواریانس C با ابعاد formula_78 به صورت زیر به دست می‌آید:formula_79محاسبه مقادیر ویژه ماتریس کواریانس و بازچینی بردارهای ویژه.در این مرحله، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس کواریانس، formula_84، به دست می‌آید.formula_85V ماتریس بردارهای ویژه و D ماتریس قطری است که درایه‌های قطر آن مقادیر ویژه هستند.آنچنان که مشخص است، هر مقدار ویژه متناظر با یک بردار ویژه است. به این معنا که ماتریس V ماتریسی formula_78 است که ستون‌های آن بردارهای ویژه می‌باشند و بردار ویژه formula_87 در ستون qام قرار دارد و مقدار ویژه qام یعنی درایهٔ formula_88 متناظر با آن است.بازچینی بردارهای ویژه بر اساس اندازهٔ مقادیر ویژه متناظر با آن‌ها صورت می‌گیرد؛ یعنی بر اساس ترتیب کاهشی مقادیر ویژه، بردارهای ویژه بازچینی می‌شوند؛ یعنی formula_89انتخاب زیرمجموعه‌ای از بردارهای ویژه به عنوان پایه.انتخاب زیرمجموعه‌ای از بردارهای ویژه با تحلیل مقادیر ویژه صورت می‌گیرد. زیرمجموعه نهایی با توجه به بازچینی مرحله قبل به صورت formula_90 انتخاب می‌شود. در اینجا می‌توان از انرژی تجمعی استفاده کرد که طبق آنformula_91انتخاب l باید به صورتی باشد که حداقل مقدار ممکن را داشته باشد و در عین حال g مقدار قابل قبولی داشته باشد. به‌طور مثال می‌توان حداقل l را انتخاب کرد کهformula_92بنابرین خواهیم داشت:formula_93انتقال داده به فضای جدید.برای این کار ابتدا تبدیلات زیر انجام می‌گیرد:ماتریس formula_94 انحراف معیار مجموعه داده‌است که می‌تواند به صورت زیر به دست بیاید:formula_95سپس داده به صورت زیر تبدیل می‌شود:formula_96که ماتریسهای formula_84 و formula_83 در بالا توضیح داده شده‌اند.داده‌ها می‌توانند به ترتیب زیر به فضای جدید برده شوند:formula_99کاربرد.هوش.اولین کاربرد تحلیل مؤلفه‌ای در پیداکردن و اندازه‌گیری مؤلفه‌های هوش انسانی بود. در گذشته باورها بر این بود که هوش دارای مؤلفه‌های نامرتبط مختلفی مانند هوش فضایی، هوش کلامی، استنتاج، قیاس و غیره است و می‌توان امتیازات مربوط به این موارد را با تحلیل مؤلفه‌ای از نتایج آزمون‌های مختلف به‌دست‌آورد تا یک شاخص واحد به نام ضریب هوش (IQ) به‌دست‌آورد.روان‌شناس آماری چارلز اسپیرمن در واقع تحلیل مؤلفه‌ای را در سال ۱۹۰۴ برای نظریه دو عاملی هوش خود توسعه داد و یک تکنیک رسمی را به علم روان‌سنجی اضافه کرد. در سال ۱۹۲۴، تورستون ۵۶ عامل هوش را بررسی کرد و مفهوم سن ذهنی را توسعه داد. تست‌های استاندارد هوش امروزی بر اساس همین کار اولیه است.ژنتیک جمعیت.در سال ۱۹۷۸ کاوالی-اسفورزا و دیگران پیشگام استفاده از تحلیل مؤلفه‌های اصلی برای خلاصه‌کردن داده‌ها دربارهٔ تنوع در فرکانس‌های ژن انسانی در مناطق مختلف بودند. مؤلفه‌ها، الگوهای متمایزی از جمله گرادیان و امواج سینوسی را نشان دادند. آنها این الگوها را ناشی از رویدادهای مهاجرت باستانی تفسیر کردند.