دنباله کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، یک دنباله یک گردآوری شمارا از اشیاء است که در آن تکرار مجاز و ترتیب مهم است.مشابه یک مجموعه، دنباله شامل چند عضو (یا جمله) است. تعداد اعضای یک دنباله (شاید نامتناهی) «طول دنباله» نامیده می‌شود. برخلاف یک مجموعه، در یک دنباله، عناصر مشابه می‌توانند چندین بار در محل‌های مختلف یک دنباله پدیدار شوند و ترتیب آن‌ها اهمیت دارد.به عنوان مثال، formula_1 یک دنباله است که به ترتیب از ۵ و ۳ و ۳ و ۸ تشکیل شده و با formula_2 یا formula_3 یکسان نیست.به مکانی که یک عضو در یک دنباله قرار دارد «اندیس» ِ آن عضو می‌گویند، به عنوان مثال ۸، چهارمین عضو دنبالهٔ فوق است پس اندیس آن، ۴ است. اندیس اولین عضو دنباله را معمولاً ۱ تعریف می‌کنند. n-اُمین عضو یک دنباله مانند formula_4 را به صورت formula_5 نمایش می‌دهند.به دنباله‌ای به‌طول formula_6، یک n-تایی مرتب نیز گفته می‌شود.در نظریهٔ تحلیلی اعداد، به دنباله‌ای که اعضای آن حقیقی یا مختلط باشند تابع حسابی یا دنبالهٔ حقیقی می‌گویند. در علوم رایانه، رشته دنباله‌ای از نویسه‌ها است.تعریف و نمایش.در بیشتر منابع، اندیس‌های دنباله باید شامل تمام اعداد طبیعی باشند (دنباله نامتناهی باشد) یا این که می‌توانند اعداد طبیعی کوچکتر از formula_6 باشد (دنباله متناهی باشد)؛ امّا در بعضی موارد (بر اساس نیاز) این تعریف تعمیم داده می‌شود. به این صورت که اندیس‌ها می‌توانند هر بازه‌ای از اعداد صحیح باشد.تعریف دقیق دنباله.در نظریهٔ مجموعه‌ها، دنباله به صورت تابعی تعریف می‌شود که دامنهٔ آن اعداد طبیعی باشد:formula_8نمایش.برای نمایش دنباله‌ها از formula_9 استفاده می‌شود. برای دنباله‌های متناهی از پرانتز نیز استفاده می‌شود. مثال:formula_2formula_11formula_12معمولاً برای جلوگیری از کژتابی، جملهٔ عمومی نیز نوشته می‌شود:formula_13formula_14در بسیاری از منابع، به جای formula_9 از formula_16 استفاده می‌شود امّا در این مقاله برای اشتباه نشدن با مجموعه‌ها، از این نمادها استفاده نشده. در بعضی منابع نیز از استفاده از نمادها پرهیز شده‌است.نمایش با جملهٔ عمومی.به ضابطهٔ یک دنباله مانند formula_17، «جملهٔ عمومی» آن می‌گویند. مثال:formula_18formula_19formula_20گاهی (با این که این نمایش معمولاً برای دنباله‌های نامتناهی استفاده می‌شود)، حدود اندیس‌ها را نیز مشخص می‌کنند:formula_21نمایش بازگشتی.در این روش، مقدار هر جمله از دنباله وابسته به جملات قبلی آن است. مثل دنبالهٔ فیبوناچی:formula_22بعضی مواقع می‌توان دنبالهٔ بازگشتی را ساده کرد و نمایش جملهٔ عمومی آن را پیدا کرد. به عنوان مثال دنبالهٔformula_23را می‌توان به صورت formula_19 ساده کرد.تابع آکرمن مثالی ست از مواقعی که نمی‌توان دنباله را ساده کرد: formula_25نمایش نموداری.دنباله‌ها نیز مانند بقیهٔ توابع می‌توانند به صورت نموداری نمایش داده شوند. مثال:ویژگی‌ها.یکنوایی دنباله‌ها.از آن جایی که دنباله نوعی تابع است، تعریف یکنوایی توابع در این مورد نیز همان است.شرط یکنوایی.این قضیه بیان می‌دارد که یک دنباله صعودی ست اگر و تنها اگر هر جملهٔ آن از جملهٔ قبلی بزرگتر باشد:formula_26و نزولی نیز به صورت مشابه:formula_27شرط اکیداً صعودی و اکیداً نزولی نیز به شکل مشابه.کران‌دار.یک دنباله «از بالا کران‌دار» است اگر کران بالا داشته باشد؛ به‌طور دقیق‌تر formula_28همچنین یک دنباله «از پایین کران‌دار» است اگرformula_29در نهایت، یک دنباله «کران‌دار» است اگر از بالا و پایین کران‌دار باشد. به عبارتی دیگر: formula_30دنباله‌های خاص.تصاعد حسابی.در این نوع از دنباله‌ها، اختلاف هر جمله با جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.تصاعد هندسی.در این نوع از دنباله‌ها، نسبت هر جمله به جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.دنبالهٔ چندجمله‌ای.دنبالهٔ چندجمله‌ای دنباله‌ای ست که هر جملهٔ آن ضریب تابعی چندجمله‌ای باشد. مثال:دنبالهٔ formula_31 دنبالهٔ چندجمله‌ای formula_32 است. مجموع جزئی.برای یک دنباله مانند formula_17، دنبالهٔ مجموع جزئی متناظر با آن به صورت زیر تعریف می‌شود:formula_34عنصر nـُم سری فوق را «جمع جزئی» ِ n عضو اول دنباله می‌گویند.حد مجموع جزئی در بی‌نهایت همان سری دنباله استمفهوم جمع جزئی شباهت بسیاری با انتگرال دارد. در واقع، انتگرالِ یک تابع به کمک حد این جمع تعریف می‌شود.حد و همگرایی.از آنجا که دنباله یک تابع گسسته می‌باشد، باید حد آن در بی‌نهایت را اختصاصاً تعریف کرد.اگر چنین مقداری وجود داشته باشد، دنباله را «همگرا» می‌گوییم و به اصطلاح، دنباله به آن مقدار میل می‌کند.به عنوان مثال دنبالهٔ formula_35 به صفر میل می‌کند: formula_36در غیر این صورت دنباله را «واگرا» می‌گوییم. یک دنبالهٔ واگرا می‌تواند به ∞ یا -∞ میل کند یا به هیچ مقداری میل نکند.به عنوان مثال دنبالهٔ formula_37 به هیچ مقداری میل نمی‌کند: formula_38و دنبالهٔ formula_39 به ∞ میل می‌کند: formula_40گاهی حد دنباله‌ای مانند formula_17 را به صورت formula_42 (با حروف بزرگ) نمایش می‌دهند:formula_43سری.با وجود این که کلمات «سری» و «دنباله» عموماً مترادف یکدیگر هستند، در ریاضیات مفاهیم متفاوتی دارند.سری متناظر با یک دنباله به صورت formula_44 نمایش داده می‌شود و یافتن مقدار سری از اهمیت بالایی برخوردار است.جمع اعضای یک دنبالهٔ واگرا تعریف نشده‌است. به عبارت دقیق‌تر، سری واگرا ست.از معروف‌ترین مثال‌های این حالت می‌توان به سری گرندی:formula_45و این سری اشاره کرد:formula_46جمع اعضای یک دنبالهٔ همگرا نیز ممکن است تعریف نشده باشد.سری همساز از مثال‌های معروف این حالت است:formula_47همچنین جمع اعضای یک دنبالهٔ همگرا می‌تواند همگرا باشد.این سری از مثال‌های معروف این حالت است:formula_48