قضیه اساسی حساب کیست؟ توضیح بده.
قضیهٔ اساسی حساب از قضایای مهم در نظریۀ اعداد است که نشان می‌دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک‌های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقش دارند.این قضیه به‌طور ساده بیان می‌کند که هر عدد صحیح به‌جز formula_1 و formula_2، به‌صورت حاصل‌ضربی از عوامل اول قابل نمایش است. همچنین این نمایش اعداد به‌صورت حاصل‌ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. به عنوان مثال، عدد ۶۰ را می‌توان به‌صورت formula_3 به حاصل‌ضرب عوامل اول نوشت.اگر عدد formula_4 را به‌صورت formula_5 به حاصل ضرب عوامل اول بنویسم، این کار را اصطلاحاً تجزیه عدد formula_4 به عوامل اول می‌گوئیم. پس قضیهٔ اساسی حساب بیان می‌کند که هر عدد صحیح به‌جز formula_1 و formula_2، قابل تجزیه به عوامل اول است و این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است.قضیۀ اساسی حساب و برهان آن.باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساساً توسط اقلیدس به اثبات رسیده‌است، اما اولین اثبات کامل از آن توسط گاوس در کتاب تحقیقات حساب منتشر شده‌است.همچنین، با گسترش جبرمجرد و نظریۀ حلقه، مفهومی مشابه در نظریۀ حلقه به عنوان حوزۀ تجزیۀ یکتا (UFD) به‌وجود آمد که در آن‌ها خاصیتی مشابه برقرار است که توسط کومر و زمانی که بروی قضیه آخر فرما کار می‌کرد، معرفی شد. این نشان می‌دهد که اگر چه قضیهٔ اساسی حساب در حلقۀ اعداد صحیح بدیهی جلوه می‌کند، اما چنین چیزی در مورد هر حلقۀ دلخواه بدیهی نیست و ممکن است نادرست باشد.برهان قضیه شامل دو قسمت وجود و یکتایی است. ابتدا نشان می‌دهیم هر عدد را می‌توان به صورت حاصل‌ضربی از عوامل اول نوشت. این کار را مبتنی بر اصل استقراء روی formula_11 انجام می‌دهیم.اگر formula_12، چون ۲ خود عددی اول است، پس حکم برقرار است. فرض می‌کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک‌تر از formula_13 برقرار باشد. نشان می‌دهیم که حکم برای formula_13 نیز برقرار است و بنابر اصل استقراء ریاضی نتیجه می‌گیریم که حکم برای هر عدد طبیعی‌ای درست است.اگر formula_15 اول باشد در این صورت چیزی برای اثبات نمی‌ماند و حکم برقرار است. اگر formula_15 اول نباشد در این صورت اعداد صحیح formula_17 وجود دارند که formula_18 و formula_19. چون formula_20، پس بنابر فرض استقراء formula_21 و formula_22 به حاصل‌ضرب عوامل اول تجزیه می‌شوند. پس formula_23 و formula_24 که در آن formula_25 و formula_26-ها اعداد اول و نه لزوماً متمایز هستند؛ بنابراین formula_27 و لذا formula_15 نیز به حاصل‌ضرب عوامل اول تجزیه می‌شود.حال نشان می‌دهیم این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. برای اثبات این مطلب فرض می‌کنیم formula_4 عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک، دلخواه و از این پس ثابت باشد و formula_30 و formula_31 دو تجزیۀ formula_4 به عوامل اول باشند. نشان می‌دهیم formula_33 و احیاناً با تجدید اندیس‌گذاری داریم formula_34.اثبات را به استقراء روی formula_35 انجام می‌دهیم. اگر formula_36 به‌وضوح حکم برقرار است. فرض می‌کنیم حکم در مورد هر عدد کوچک‌تر از formula_35 درست باشد و نشان می‌دهیم حکم در مورد formula_35 نیز درست است.چون formula_39 و formula_31، پس formula_41 حداقل یکی از formula_42-ها را عاد می‌کند. بی‌آنکه به کلیت مطلب خللی وارد شود، می‌توان فرض کرد formula_43 (چرا که می‌توان اندیس‌گذاری را تجدید کرد و به‌صورت دلخواه نوشت)، اما چون formula_44 اول است و formula_45 (بنابر اول بودن)، پس لزوماً باید داشته باشیم formula_46. پس:و بنابر فرض استقراء، formula_48 و احیاناً با تجدید اندیس‌گذاری:پس formula_33 و احیاناً با تجدید اندیس‌گذاری:تجزیه استاندارد.در ابتدا مفهوم تجزیه به عوامل اول را توضیح دادیم و دیدم که بنابر قضیۀ اساسی حساب، هر عدد صحیح به‌جز یک و منفی یک، به حاصل‌ضرب اعداد اول قابل تجزیه است، اما این عوامل اول ممکن است متمایز نباشند. اگر عدد صحیح formula_4 را به‌صورت formula_53 بنویسم که در آن formula_25-ها اعداد اول متمایز هستند، این تجزیه به عوامل اول را تجزیه استاندارد یا کانونیک formula_4 به عوامل اول می‌گوئیم. به عنوان مثال: formula_56.کاربرد.قضیۀ اساسی حساب نشان می‌دهد چگونه اعداد اول مانند بلوک‌های ساختمان در تولید سایر اعداد صحیح نقش دارند. تجزیۀ یک عدد به عوامل اول می‌تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم علیه‌های آن عدد و به‌طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد.یافتن تعداد مقسوم علیه‌های یک عدد.فرض کنید formula_4 عددی طبیعی و بزرگ‌تر از یک باشد و formula_58 تجزیه استاندارد formula_4 به عوامل اول باشد. همچنین فرض می‌کنیم formula_60 معرف تعداد مقسوم علیه‌های عدد formula_4 باشد. تجزیۀ formula_4 به عوامل اول نشان می‌دهد که هر مقسوم‌علیه formula_4 باید به صورت formula_64 باشد که formula_65به وضوح برای هر formula_66، مقدار formula_67 را به formula_68 طریق می‌توان انتخاب کرد (با احتساب مقدار صفر) و در هر حالت یک مقسوم‌علیه formula_4 حاصل می‌شود. این کار بنا بر اصل شمارش به:طریق امکان‌پذیر است. پس formula_60 (تعداد مقسوم علیه‌های عدد formula_4) برابر است با:به عنوان مثال formula_74.یافتن مجموع مقسوم علیه‌های یک عدد.تجزیۀ یک عدد به عوامل اول در مطالعۀ توابع حسابی مانند تابع مقسوم علیهی کاربرد فراوان دارد. برای هر عدد طبیعی formula_4، مجموع قوایformula_76-اُم مقسوم علیه‌های formula_4 را با formula_78 نشان می‌دهیم که در آن formula_76 عددی حقیقی یا مختلط است. پس:که مجموع فوق روی مقسوم علیه‌های formula_4 است. حال اگر formula_82، در این صورت عبارت فوق همان تعداد مقسوم علیه‌های formula_4 است که در قسمت قبل آن را بررسی کردیم. در حالت خاص دیگر اگر formula_84، در این صورت:که همان مجموع مقسوم علیه‌های عدد formula_4 است که اکنون می‌خواهیم آن را بررسی کنیم. ابتدا فرض می‌کنیم formula_4 توانی از عدد اول formula_88 چون formula_89 باشد. در این صورت مقسوم علیه‌های formula_4 عبارت‌اند از:پس:حال در حالتی کلی‌تر فرض می‌کنیم formula_58 تجزیه استاندارد formula_4 به عوامل اول باشد. در این صورت هر مقسوم‌علیه formula_4 به‌صورت formula_64 خواهد بود که formula_65. پس:پس:در نتیجه:پس دیدیم که چگونه می‌توان مجموع مقسوم علیه‌های عدد طبیعی formula_4 را محاسبه کرد و البته مطلب فوق از ضربی بودن تابع مقسوم علیهی نیز قابل استنتاج است.تعیین حاصل‌ضرب مقسوم علیه‌های یک عدد.فرض کنید formula_4 عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک باشد ومجموعۀ همۀ مقسوم علیه‌های formula_4 باشد. به‌علاوه، حاصل‌ضرب مقسوم علیه‌های formula_4 را با formula_106 نشان می‌دهیم. در این صورت برای هر formula_107 چون formula_108، پس عددی چون formula_42 وجود دارد که formula_110. اما چون formula_111 پس formula_42-ها نیز یک مقسوم علیه‌های formula_4 و لذا اعضای formula_114 می‌باشند. پس:بنابراین:به این ترتیب حاصل‌ضرب مقسوم‌علیه‌های formula_4 را نیز محاسبه کردیم. به عنوان مثال: formula_118.محاسبۀ ب. م. م. و ک. م. م. از راه تجزیه به عوامل اول.روش دیگری به‌جز روش الگوریتم اقلیدس برای تعیین بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب. م. م.) و کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک. م. م.) دو عدد از راه تجزیۀ آن‌ها به عوامل اول وجود دارد که البته از آنجایی که تجزیۀ اعداد بزرگ پیچیده خواهد بود، چندان روشی کارساز نخواهد بود.فرض کنید formula_17 دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک باشند وformula_120 و formula_121 تجزیۀ استاندارد formula_17 به عوامل اول باشد. در این صورت اگر ب. م. م. formula_17 را با formula_124 نشان دهیم، داریم:که در آن برای هر formula_66 داریم formula_127.به عبارت دیگر، ب. م. م. دو عدد formula_17 عبارت است از حاصل‌ضرب عوامل اول مشترک آن‌ها با کمترین توان.همچنین اگر ک. م. م. formula_17 را با formula_130 نشان دهیم، داریم:که در آن برای هر formula_66، داریم formula_133.به عبارت دیگر، ک. م. م. دو عدد formula_17 عبارت است از حاصل‌ضرب عوامل اول مشترک یا غیر مشترک آن‌ها با بزرگ‌ترین توان. برای اثبات قضایای فوق می‌توانید به مقالات بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک و کوچک‌ترین مضرب مشترک مراجعه کنید.