ترکیب (ریاضی) کیست؟ توضیح بده.
ترکیب در حوزه ریاضیات مفهوم نزدیکی به جایگشت دارد. جایگشت (تبدیل) تعداد حالات چیده شدن تعدادی معین از اعضای یک مجموعه در مکان‌هایی معین است، در حالی که ترکیب تعداد حالات انتخاب تعدادی معین از اعضای یک مجموعه است.تعریف.به هر انتخاب غیر مرتب formula_1 شیء از formula_2 شیء داده شده یک ترکیب formula_1 شیء از این formula_2 شیء گفته می‌شودنماد.ترکیب را با نمادهای formula_5نمایش می‌دهند و آن را انتخاب formula_1 از formula_2 می‌خوانند.محاسبه.می‌خواهیم از مجموعهٔ {formula_8} که تمامی اعضایش "متمایز"ند، یک زیرمجموعهٔ formula_1 عضوی انتخاب کنیم. برای این کار ابتدا سعی می‌کنیم تا formula_1 عضو از این مجموعه را در یک ردیف به دنبال هم قرار دهیم که این همان جایگشت formula_1 تایی از بین formula_2 عضو است که بنابر محاسبه جایگشت‌ها، تعداد حالات انجام این کار برابر با formula_13 است. با کمی دقت می‌توان دریافت که در حین این عملیات، ما هم formula_1 عضو از بین formula_2 عضو مجموعه اصلی انتخاب کردیم و هم آن‌ها را در یک ردیف چیدیم، در حالی که برای به دست آوردن تعداد ترکیب formula_1 تایی از بین formula_2 عضو تنها باید formula_1 عضو انتخاب کرده و بخش دوم یعنی چیدن آن‌ها در یک ردیف را انجام ندهیم. برای رسیدن به این مطلوب، باید در نظر داشت که هر formula_1 عضو {formula_20} به تعداد formula_21 جایگشت ایجاد می‌کنند که در ترکیب این جایگشت‌ها حالات تکراری محسوب می‌شوند در نتیجه باید پاسخ بر formula_21 تقسیم شود:formula_23formula_24فرمول‌های مفید.formula_25formula_26formula_27ترکیب‌های با تکرار.فرض کنید ۱۰ نوع کارت مختلف داریم (روی هر کارت شکل متفاوتی وجود دارد) و از هر نوع کارت به تعداد بی‌نهایت (البته به دلایلی که در ادامه آمده به جای واژهٔ بی‌نهایت می‌توان از ۵ استفاده کرد) در دسترس داریم. حال تعداد راه‌هایی که می‌توان ۵ کارت از بین کل کارت‌ها انتخاب کرد برابر است با تعداد جواب‌های معادله زیر:formula_28در معادلهٔ بالا formula_29ها نمایندهٔ ۱۰ نوع کارت هستند و از آنجا که باید مجموع کارت‌ها ۵ شود، در سمت راست معادله عدد ۵ آمده است. حال هر جواب این معادله با یک جواب از مسئلهٔ اصلی (مسئلهٔ کارتها) متناظر است مثلاً جواب formula_30، formula_31 ،formula_32در مسئلهٔ کارت‌ها به این معنا است که از کارت نوع ۱ به تعداد ۲ عدد، از کارت نوع ۲ به تعداد ۱ عدد و از کارت نوع ۱۰ تعداد ۲ عدد و از سایر کارت‌ها هیچی انتخاب نکرده‌ایم و به‌طور بلعکس جوابی که در مورد کارت‌ها در خط بالا مطرح شد خود یک جواب برای معادله به‌شمار می‌آید.حال که تناظر بین هر جواب معادله و مسئلهٔ کارت‌ها مشخص شد می‌خواهیم به دنبال محاسبهٔ تعداد جواب‌های معادله فوق باشیم.محاسبه.می‌خواهیم پاسخ معادلهٔ زیر را بیابیم:formula_33formula_34ادعا می‌کنیم که هر جایگشت دلخواه که با formula_35 تا formula_36 و formula_1 تا formula_38 نوشته شود با یکی از جوابهای معادله فوق متناظر است. به این صورت که برای هر جایگشت دلخواه از formula_38 و formula_36ها تعداد formula_38‌هایی که قبل از اولین formula_36 آمده نشان دهنده جوابی برای formula_43 است و تعداد Uهای بین اولین و دومین formula_36 نشان دهنده عدد متناظر با formula_45 است … و در نهایت تعداد formula_38های بعد از آخرین formula_36 نشان دهنده مقدار formula_48 می‌باشد.مثلاً برای معادله formula_28 جایگشت زیر معادل با جوابformula_30، formula_31 ،formula_32 است:formula_53Sformula_54Sformula_55S … Sformula_56می‌دانیم که تعداد جایگشت‌های باتکرار برای formula_35 عنصر یکسان و formula_1 عنصر یکسان دیگر در یک ردیف برابر است با:formula_59بنابراین تعداد ترکیب‌های با تکرار برابر با مقدار فوق می‌باشد.پس تعداد جواب مسئله کارت‌ها برابر است با:formula_60