قضیه نقطه ثابت کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، قضیه نقطه ثابت یا تکرار ساده قضیه‌ای است که می‌گوید در صورت برآورده‌شدن پاره‌ای از شرایط می‌توان اطمینان حاصل کرد که تابع F حداقل یک نقطهٔ ثابت مانند "x" دارد. منظور از نقطهٔ ثابت نقطه‌ای است که در آن formula_1 است.در آنالیز ریاضی.قضیه نقطه ثابت باناخ (۱۹۹۲) معیاری کلی ارائه می‌دهد که اگر برقرار باشد، فرایند تکرار یک تابع به نقطه ثابت منجر می‌شود. نقطه ثابت نقطه‌ای است که وقتی تابع روی آن اعمال می‌شود، مقدارش تغییر نمی‌کند. به عبارت دیگر، اگر f یک تابع باشد، نقطه x نقطه ثابت است اگر f(x)=x.در مقابل، قضیه نقطه ثابت بروئر (۱۹۱۱) یک نتیجه غیرسازنده است: این قضیه بیان می‌کند که هر تابع پیوسته از یک توپ بسته در فضای اقلیدسی n-بعدی به خودش باید یک نقطه ثابت داشته باشد، اما روشی برای یافتن نقطه ثابت ارائه نمی‌دهد. به عنوان مثال، تابع کسینوس در بازه [−۱٬۱] پیوسته است و این بازه را به خودش نگاشت می‌کند، بنابراین باید یک نقطه ثابت داشته باشد. اگر نمودار تابع y=cos⁡(x) را رسم کنیم، نقطه ثابت جایی است که این نمودار خط y=x را قطع می‌کند. این نقطه ثابت که به عنوان عدد داتی (Dottie number) شناخته می‌شود، تقریباً برابر با x=۰٫۷۳۹۰۸۵۱۳۳۲۱۵۱۶ است.قضیه نقطه ثابت لفشتز (و قضیه نقطه ثابت نیلسن) از توپولوژی جبری قابل توجه هستند زیرا به نوعی روشی برای شمارش نقاط ثابت ارائه می‌دهند.تعمیم‌های متعددی برای قضیه نقطه ثابت باناخ وجود دارد که در نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) به کار می‌روند. همچنین، قضیه کلاژ در فشرده‌سازی بَرخالها ثابت می‌کند که برای بسیاری از تصاویر، توصیف نسبتاً کوچکی از یک تابع وجود دارد که وقتی به‌طور تکراری روی هر تصویر اولیه اعمال شود، به سرعت به تصویر مورد نظر همگرا می‌شود.در جبر و ریاضیات گسسته.در جبر و ریاضیات گسسته، قضیه ناستر-تارسکی بیان می‌کند که هر تابع حفظ‌کننده ترتیب روی یک شبکه کامل، یک نقطه ثابت و در واقع کوچک‌ترین نقطه ثابت دارد. این قضیه کاربردهایی در تفسیر انتزاعی، شکلی از تحلیل ایستای برنامه، دارد.در حساب لامبدا، یک موضوع رایج یافتن نقاط ثابت عبارات لامبدا است. هر عبارت لامبدا یک نقطه ثابت دارد، و یک ترکیب‌کننده نقطه ثابت تابعی است که یک عبارت لامبدا را به عنوان ورودی می‌گیرد و نقطه ثابت آن عبارت را به عنوان خروجی تولید می‌کند. یک ترکیب‌کننده نقطه ثابت مهم، ترکیب‌کننده Y است که برای تعاریف بازگشتی استفاده می‌شود.در معناشناسی دنوتاسیونال زبان‌های برنامه‌نویسی، حالت خاصی از قضیه ناستر-تارسکی برای تعیین معناشناسی تعاریف بازگشتی استفاده می‌شود. در حالی که قضیه نقطه ثابت روی همان تابع (از دیدگاه منطقی) اعمال می‌شود، توسعه نظریه کاملاً متفاوت است.همین تعریف تابع بازگشتی را می‌توان در نظریه محاسبه‌پذیری با اعمال قضیه بازگشتی کلین ارائه داد. این نتایج معادل نیستند؛ قضیه ناستر-تارسکی نتیجه بسیار قوی‌تری است نسبت به آنچه در معناشناسی دنوتاسیونال استفاده می‌شود. با این حال، در پرتو تز چرچ-تورینگ، معنای شهودی آنها یکسان است: یک تابع بازگشتی را می‌توان به عنوان کوچک‌ترین نقطه ثابت یک تابعی خاص، که توابع را به توابع نگاشت می‌کند، توصیف کرد.تکنیک تکرار یک تابع برای یافتن نقطه ثابت را می‌توان در نظریه مجموعه‌ها نیز به کار برد. لم نقطه ثابت برای توابع نرمال بیان می‌کند که هر تابع پیوسته و کاملاً افزایشی از اعداد ترتیبی به اعداد ترتیبی، یک (و در واقع بسیاری) نقطه ثابت دارد.هر عملگر بستار روی یک مجموعه مرتب جزئی (پوزت) نقاط ثابت زیادی دارد؛ اینها عناصر «بسته» نسبت به عملگر بستار هستند و دلیل اصلی تعریف عملگر بستار در وهله اول همین است.هر برگشت روی یک مجموعه متناهی با تعداد فردی از عناصر، یک نقطه ثابت دارد؛ به‌طور کلی، برای هر برگشت روی یک مجموعه متناهی از عناصر، تعداد عناصر و تعداد نقاط ثابت دارای همان زوجیت هستند. دُن زیگر از این مشاهدات برای ارائه یک اثبات یک‌جمله‌ای از قضیه فرما دربارهٔ مجموع دو مربع استفاده کرد، با توصیف دو برگشت روی یک مجموعه سه‌تایی از اعداد صحیح، که یکی از آنها به راحتی می‌تواند نشان دهد که فقط یک نقطه ثابت دارد و دیگری برای هر نمایش یک عدد اول داده شده (هم‌نهشت با 1 به پیمانه 4) به عنوان مجموع دو مربع، یک نقطه ثابت دارد. از آنجایی که برگشت اولی تعداد فرد از نقاط ثابت دارد، دومی نیز همینطور است و بنابراین همیشه نمایشی از فرم مورد نظر وجود دارد.روش حل معادلات.طریقه استفاده از روش برای حل معالات:مثال.حل معادلهformula_8مرحله اول:formula_8در نتیجهformula_10مرحله دوم: مقدار اولیه k=۴formula_11مرحله سوم: k=۱٫۸۹۲۰۷۱۵۰formula_12مرحله چهارم: k=۱٫۴۴۲۴۴۹۹۴formula_13مرحله پنجم: k=۱٫۶۱۶۹۳۸formula_14مرحله ششم: k=۱٫۵۳۵۲۲formula_15پس جواب معاله تا یک رقم اعشار:formula_16با انجام عمل متوالی بالا به تقریب‌های دقیق تری از جواب خواهید رسید.اثبات روش.به مراحل حل معادله توجه کنیدformula_17formula_18formula_19که دنباله زیر را تشکیل می‌دهند.formula_20در صورتی که این دنباله واگرا نباشد و همگرا باشد به جواب می‌رسیم.