توزیع لاپلاس کیست؟ توضیح بده.
در نظریه آمار و احتمالات، توزیع لاپلاس (laplace distribution)، توزیعی پیوسته است که بنام پیِر سیمون دو لاپلاس (Pierre-Simon de Laplace) نامگذاری شده. گاهی نیز توزیع نمایی دوتایی نامیده می‌شود، چراکه همانند دو توزیع نمایی که کنار همدیگر قرار داده شده‌اند، می‌ماند. جالب است بدانید این نام برخی اوقات برای خطاب توزیع گامبل نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد.این توزیع به بیان ساده، نمایانگر تفاوت دو متغیر تصادفی مستقل که از توزیع نمایی پیروی می‌کنند، می‌باشد.کاربرد معمول این توزیع، برای مدل کردن نمونه‌هایی است که آرام تر از توزیع نمایی به صفر میل می‌کنند ( یا به عبارت آماری از توزیع دم سنگین پیروی می‌کنند).به طور مثال افزایش جنبش لاپلاس یا پراکندگی عملیات گاما که در یک مقیاس زمانی اندازه‌گیری می‌شود، از توزیع لاپلاس پیروی می‌کنند.خصوصیات.تابع چگالی احتمال.تابع چگالی احتمال توزیع لاپلاس با پارامترهای μ و b:formula_1formula_2در اینجا، formula_3یک پارامتر مکانی است و b&gt;۰، که برخی اوقات به عنوان انحراف بیان می‌شود، یک پارامتر مقیاس است. اگر formula_4 و formula_5، نیم خط مثبت دقیقاً یک توزیع نمایی با مقیاس ۱/۲ خواهد بود.تابع چگالی احتمال لاپلاس همچنین یادآور توزیع نرمال است؛ گرچه، برخلاف توزیع نرمال که براساس مجذور اختلاف با میانگین (formula_3) بیان می‌شود، چگالی لاپلاس براساس قدر مطلق تفاضل از میانگین بیان می‌گردد. در نتیجه، توزیع لاپلاس دنباله بزرگتری از توزیع نرمال دارد.تابع توزیع تجمعی.توزیع لاپلاس برای انتگرال‌گیری راحت است (با توجه به تقارن توزیع) بخاطر وجود تابع قدرمطلق. تابع توزیع تجمعی آن به صورت زیر است:formula_7تابع وارون تجمعی آن همانند زیر است:formula_8نکته: در زبان R، می‌توانید از توابع rlaplace, dlaplace, plaplace, qlaplace برای محاسبه مقادیر بالا و تولید داده‌های نمونه از این توزیع استفاده کنید.توجه داشته باشید که شکل این توزیع بسته به پارامتر های مکان و مقیاس تعیین می‌شود.در شکل کنار صفحه، یک مثال با پارامترهای ۴ و ۰.۵ به نمایش درآمده است.امید ریاضی و واریانس.امید ریاضی و واریانس تقریباً شبیه به توزیع نرمال بوده با تفاوتی کوچک:formula_9formula_10تولید متغیر تصادفی بر اساس توزیع لاپلاس.اگر متغیر تصادفی formula_11 از توزیع یکنواخت در بازه formula_12را داشته باشیم، متغیر تصادفیformula_13از توزیع لاپلاس با پارامترهای formula_3 و formula_15پیروی می‌کند. این متغیر از روی تابع وارون تجمعی که در بالا به آن اشاره شد، بدست می‌آید.متغیر تصادفی توزیع formula_16می‌تواند از روی تفاضل دو متغیر تصادفی از توزیع نمایی formula_17نیز بدست بیاید. همچنین، formula_18نیز از لگاریتم نرخ دو متغیر تصادفی توزیع یکنواخت نیز پدید بیاید.در R کافیست از تابع rlaplace استفاده کرد و با تعیین تعداد نمونه مورد نیاز و پارامتر های مکان و مقیاس، نمونه تصادفی مورد نیاز را ایجاد کنیم.تخمین پارامتر.برای بدست آوردن برآورد درست‌نمایی بیشینه (MLE) کافیست مثل هر توزیع دیگری احتمال داشتن N نمونه از توزیع یکسان و مستقل از هم formula_19، که قبلاً مشاهده نموده‌ایم را با توجه به رابطه تئوری و گذاشتن متغیر مجهول به جای پارامتر مطلوب، را بیشینه کنیم. برای اینکار کافیست از رابطه به دست آمده مشتق بگیریم و آن را برابر صفر قرار دهیم.بعد از انجام محاسبات به فرمول زیر می‌رسیم:formula_20نمونه‌ای در R.به طور مثال نمونه‌ای از کد لازم برای ترسیم توزیع را در R در زیر قرار داده‌ایم.cl &lt;- rainbow(10)plots &lt;- ggplot()for(j in 1:6){ sample &lt;- seq(from=0, to=10, by=.1) p &lt;- dlaplace(sample, j, j) plots &lt;- plots + geom_line(data.frame(x=sample, y=p), mapping = aes(x=x, y=y), color=cl[j])print(plots)تاریخچه.از این توزیع غالباً به عنوان اولین قانون خطاهای لاپلاس شناخته می‌شود. او این قانون را در سال ۱۷۷۴ زمانی که متوجه شد تکرار خطاها می‌تواند به شکل تابعی نمایی از اندازه‌اش، وقتی که علامت آن مورد توجه نگیرد، بیان شود، منتشر نمود. جالب است بدانید که این توزیع از قدیمی ترین توزیع‌های مطرح شده است، اما کمتر استفاده‌ای از آن می‌شود.کینز مقاله‌ای بر پایهٔ پایان نامهٔ قبلی خود در سال ۱۹۹۱ منتشر نمود که در آن نشان داد توزیع لاپلاس انحراف از معیار را کمینه می‌کند.