مدول (ریاضیات) کیست؟ توضیح بده.
یک مدول در ریاضیات، یک ساختارهای بنیادی جبری است که در جبر مجرد از آن استفاده می‌شود. یک مدول بر روی یک حلقه تعمیمی از مفهوم فضای برداری بر روی یک میدان است، که در آن عناصر نرده‌ای، عضوی از یک حلقه هستند و عملیات ضرب نرده‌ای بین عناصر حلقه و عناصر مدول تعریف می‌شود. مدولی که نرده‌ای‌های خود را از یک حلقه مثل "R" انتخاب می‌کند را یک R-مدول می‌نامند. یک مدول، مانند یک فضای برداری، یک گروه آبلی جمعی می‌باشد، ضرب نرده‌ای روی عملیات جمع بین عناصر حلقه یا مدول توزیع‌پذیر است، و با ضرب حلقه‌ای است. مدول‌ها با نظریه نمایش گروه‌ها بسیار مرتبط هستند. آن‌ها یکی از مفاهیم اصلی در جبر جابجایی و جبر همولوژی هستند و به صورت گسترده در هندسه جبری و توپولوژی جبری از آن‌ها استفاده می‌شود. معرفی و تعریف.انگیزه.در یک فضای برداری، مجموعه اسکالرها یک میدان است و توسط ضرب اسکالری، روی بردارها اعمال می‌شود، این عمل تحت اصول موضوعه‌ای مثل قانون توزیع‌پذیری انجام می‌شود. در یک مدول، تنها نیاز است که اسکالرها، حلقه باشند، بنابراین مفهوم مدول تعمیم عمده‌ای از فضاهای برداری است. در جبر جابجایی، هم ایده‌آل‌ها و هم حلقه‌های خارج‌قسمتی مدول هستند، بنابراین بسیاری از استدلال‌ها در مورد ایده‌آل‌ها و حلقه‌های خارج‌قسمتی را می‌توان با هم ترکیب کرده و یک استدلال منفرد مدولی درباره آن‌ها انجام داد. در جبر ناجابجایی تفاوت بین ایده‌آل‌های چپ، ایده‌آل‌ها و مدول‌ها شدت می‌یابد، گرچه در آن صورت هم می‌توان برخی از شرایط نظریه-حلقه‌ای را برای ایده‌آل چپ یا مدول چپ بیان کرد. بیشتر نظریه مدول‌ها شامل گسترش خواص مطلوب فضاهای برداری به حیطه یک مدول‌ها روی یک حلقه‌ "" (مثل حوزه ایده‌آل اصلی) است. با این حال، مدول‌ها می‌توانند بسیار پیچیده‌تر از فضاهای برداری باشند؛ به عنوان مثال، تمام مدول‌ها پایه ندارند، و حتی آن‌هایی که پایه دارند، یعنی مدول‌های آزاد، در صورتی که حلقه زمینه‌شان شرط را برآورده نکند، الزامی به داشتن یک رتبه واحد ندارند، درحالیکه فضاهای برداری اینگونه نیستند و همیشه پایه دارند (ممکن است این پایه بی‌نهایت عضوی باشد) و در آنجا کاردینالیتی این پایه همیشه یکتاست (دو ادعای اخیر در حالت کلی نیازمند اصل انتخاب اند، اما در حالت فضاهای متناهی بعدی یا فضاهای خوش-رفتار بی‌نهایت بعدی مثل فضاهای formula_1 به اصل انتخاب نیازی نیست.).تعریف صوری.فرض کنید formula_2 یک حلقه باشد و formula_3 همانی ضربی‌اش باشد. یک formula_2-مدول چپ formula_5 شامل گروه آبلی formula_6 و یک عملگر formula_7 است به گونه‌ای که برای تمام formula_8، در formula_2 و formula_10 در formula_5 داشته باشیم:به عمل «⋅» "ضرب اسکالر" گویند، و اکثرا آن را ذکر نمی‌کنند، اما در این مقاله ما از آن استفاده می‌کنیم و کنار هم قرارگیری برای ضرب در R را حفظ می‌کنیم. می‌توان از نمادگذاری "R""M" استفاده کرد تا تاکید کرد که M یک R-مدول چپ است. یک R-مدول راست یا "M""R" نیز به طور مشابه تعریف می‌شود، یعنی به شکل عملیات &lt;bdi&gt;&lt;/bdi&gt; تعریف می‌شود.مؤلفانی که وجود عضو همانی حلقه را الزامی نمی‌دانند، شرط ۴ را از شرایط فوق حذف می‌کنند، و ساختار تعریف شده در بالا را "R-مدول چپ یک‌دار" می‌نامند. در این مقاله، سازگار با ، فرض می‌شود که همه حلقه‌ها و مدول‌ها یک‌دار هستند.یک -"(R,S)" ، یک گروه آبلی همراه با یک ضرب نرده‌ای چپ ⋅ در عناصر "R" و یک ضرب نرده‌ای راست * در عناصر "S" است که آن را به صورت همزمان یک مدول-"R" چپی و یک مدول-"S" راستی می‌کند، این باید شرط اضافه formula_16 را برای همه "r" در "R"، و "x" در "M"، و "s" در "S" برآورده کند. اگر "R" جابجایی باشد، آنگاه "R"-مدول‌های چپ مشابه با "R"-مدول‌های راست هستند و برای راحتی کار به هر دو R-مدول می‌گویند.