لگاریتم طبیعی کیست؟ توضیح بده.
لگاریتم طبیعی، یک عدد لگاریتمی است با پایهٔ ثابت ریاضیاتی e که formula_1، عدد گنگ و غیرجبریِ تقریباً برابر با formula_2 است. لگاریتم طبیعی formula_3 به‌طور کلی به صورت formula_4، formula_5 یا گاهی—اگر پایۀ formula_1 به صورت التزامی باشد—به سادگی formula_7 نوشته می‌شود. لگاریتم طبیعی را می‌توان برای همهٔ اعداد حقیقی مثبت "formula_3" به‌صورت ناحیهٔ زیر منحنیِ formula_9 از formula_10 تا formula_3 تعریف نمود. همچنین آن را برای اعداد مختلط غیرصفر می‌توان تعریف کرد. تابع لگاریتم طبیعی همچنین می‌تواند به عنوان تابع معکوس تابع نمایی تعریف شود، که منجر به یک تابع همانی می‌شود:به بیان دیگر، تابع لگاریتم، یک نگاشت دوسویی از مجموعۀ اعداد حقیقی مثبت به مجموعۀ همۀ اعداد حقیقی می‌باشد. دقیق‌تر این است که یک ایزومورفیسم (یک‌ریختی) از یک گروه از اعداد حقیقی مثبت تحت‌عمل ضرب به گروهی از اعداد حقیقی تحت عمل جمع است.دلایل طبیعی بودن.با اینکه ظاهراً پایۀ 10 لگاریتم بیشتر استفاده می‌شود، ما به دو دلیل formula_4 را طبیعی می‌نامیم:اگر پایه (formula_33) مساوی با formula_1 باشد، مشتق برابر با formula_35 خواهد بود و در نقطۀ formula_36، شیب نمودار 1 می‌باشد.دلایل دیگری برای طبیعی‌بودن لگاریتم طبیعی نیز وجود دارند. تعداد زیادی از سری‌های ساده هستند که شامل لگاریتم‌های طبیعی‌اند و این اغلب در طبیعت رخ می‌دهد. در واقع، نیکولاس هرکاتر، توصیف‌کنندۀ آن‌ها به عنوان طبیعت‌گیرای log تا قبل از حساب دیفرانسیل انتگرال تصور شده‌است.تعاریف.ممکن است formula_4 صریحاً به‌عنوان ناحیهٔ زیر نمودار (انتگرال) formula_35 از formula_10 تا formula_40 تعریف شود:این تعریف یک لگاریتم است؛ چرا که این خاصیت بنیادی لگاریتم را ایفا می‌کند: این رابطه می‌تواند با جایگذاری formula_43 چنان که در زیر آمده، اثبات شود:رقم formula_1 می‌تواند یک عدد حقیقی یکتا formula_40 تعریف شود، به‌طوری‌که formula_47. متناوباً: اگر یک تابع نمایی تعریف شده باشد، نخست از یک سری نامتناهی استفاده می‌شود. لگاریتم طبیعی ممکن است به‌عنوان تابع معکوس آن تعریف شود؛ یعنی formula_4 تابعی است که formula_49. از این رو، برد توابع نمایی در مباحث حقیقی، تمام اعداد حقیقی مثبت است و به‌این دلیل، تابع نمایی اکیداً صعودی است. این یک مشخصه برای همۀ اعداد مثبت formula_3 است.مشتق، سری تیلور، و مباحث مختلط.مشتق لگاریتم‌های طبیعی به وسیلهٔ گرفته می‌شود. این به سری تیلور منتهی می‌شود (به‌ازای formula_52، مگر آنکه formula_53 باشد):که همچنین سهمی مرکاتور نامیده می‌شود. با جانشینی formula_55 برای formula_3، ما شکل متناوبی برای formula_4 به‌دست می‌آوریم (به‌ازای formula_58، مگر آنکه formula_59 باشد:انتگرال‌گیری لگاریتم طبیعی.لگاریتم طبیعی، از توابعی به‌شکل formula_61، انتگرال ساده می‌پذیرد که با یک ضدمشتق از formula_62 با formula_63 نشان داده می‌شود. این عمل به‌علت قاعدۀ زنجیره‌ای و دلایل زیر، یک قضیه می‌باشد.به بیان دیگر :formula_65 ودر اینجا، در رابطه با formula_67، مثالی وجود دارد: با جایگذاری formula_70 و formula_71 داریم:که formula_74 همان ثابت دلخواه انتگرال‌گیری است. لگاریتم طبیعی با انتگرال‌گیری به روش جزءبه‌جزء می‌تواند انتگرال‌گیری شود:ارزش عددی.برای محاسبۀ ارزش عددیِ لگاریتم طبیعی از یک عدد، می‌توان آن را با سری تیلور به‌صورت زیر بازنویسی نمود (به‌ازای formula_76):برای به‌دست آوردن یک روش بهتر از هم‌گیرایی، همانی زیر می‌تواند استفاده شود:formula_78به‌شرطی که formula_79 و formula_80.در حالی که برای formula_4 زمانی که مقدار formula_3 نزدیک به 1 است، سریع‌ترین روش هم‌گیرایی (همانی وابسته‌شده به لگاریتم) می‌تواند برای استخراج‌کردن به‌کار برود: formula_83 همچنین، تکنیک‌هایی که قبل از ابداع ماشین‌حساب استفاده می‌شدند، با استناد به جدول‌های عددی و انجام‌دهنده‌های دستی چنان که در بالا آمده‌اند، کاربرد داشتند. دقت بالا.برای حساب‌کردن دقیق لگاریتم طبیعی با ارقام زیاد، سری تیلور به‌نظر کارآمد نمی‌آید. از آنجا که هم‌گرایی آن کند است، روش تناوبی با استفاده از روش نیوتن است و برای معکوس‌کردن تابع نمایی، سری به سرعت هم‌گرا می‌شود. فرمول زیر یک روش تناوبی با دقت بالا در محاسبات است:که formula_85 میانگین هندسی است وformula_86. با M انتخابی، چنان که formula_87 از دقت به‌دست آمده باشد، با استفاده از این روش، وارون‌سازی نیوتن از لگاریتم طبیعی ممکن است برای محاسبۀ توابع نمایی به‌شکلی کارآمد به‌طور معکوس استفاده شود (ثابت‌های formula_88 و π می‌توانند از پیش محاسبه شوند تا دقتِ به‌کار رفته برای سری، به‌سرعت هم‌گرا شود).اشتباه در محاسبۀ پیچیده.اشتباه در محاسبهٔ پیچیده از محاسبۀ لگاریتم طبیعی (با استفاده از حساب میانگین هندسی)، (O(M(x)ln است. در اینجا، formula_89 یک عدد از ارقامِ با معنی است که لگاریتم طبیعی سنجیده می‌شود و formula_90، یک محاسبۀ پیچیده از ضرب دو عدد formula_89 رقمی است.لگاریتم‌های مختلط.تابع نمایی می‌تواند به تابعی که اعداد مختلطی مانند formula_92 برای هر عدد مختلط دلخواهی می‌گیرند گسترش یابد. سری نامتناهی با formula_3 مختلط استفاده می‌شود. این تابع نمایی می‌تواند به‌شکل یک لگاریتم مختلط که نمایش بسیاری از خواص عمومی لگاریتم‌ها است معکوس شود. دو درگیری سخت وجود دارد: هیچ مقدار formula_3 وجود ندارد که formula_95 شود و این باعث تولید formula_96 می‌شود. زمانی که خاصیت افزاینده برای یک تابع نمایی مختلطformula_97 برای هر formula_98 مختلط و تابع اولیه formula_3 هنوز کاری نمی‌کند، بنابراین لگاریتم نمی‌تواند برای کل صفحۀ مختلط تعریف شود. هر لگاریتم مختلط به معادلۀ لگاریتمی می‌تواند با افزودن formula_100 به‌طور دلخواه تغییر کند. لگاریتم مختلط در یک صفحهٔ بریده‌شده، تنها می‌تواند تک‌مقداری باشد برای مثال، formula_101 برابر است با formula_102، formula_103، و... همچنین: formula_104می‌تواند به‌صورت formula_100، formula_106، formula_107، و... تعریف شود.