توان (ریاضی) کیست؟ توضیح بده.
توان یک عملیات ریاضی است که به صورت formula_1 نوشته می‌شود. این عملیات به صورت "formula_2 به توان formula_3" خوانده می‌شود و در آن formula_2 به‌عنوان پایه و formula_3 به عنوان توان، نِما یا قوه (کاربرد قدیمی) شناخته می‌شوند. هنگامی که formula_3 یک عدد صحیح مثبت باشد، عملیات توان معادل formula_3 بار ضرب formula_2 در خود است:به این ترتیب formula_10 و برای هر دو عدد صحیح مثبت formula_11 و formula_3 می‌توان نوشت formula_13. همچنین با بسط تعریف عملیات به توان‌های صحیح غیرمثبت، formula_14 معادل formula_15 تعریف می‌شود و formula_16 (formula_3 مثبت و formula_2 غیر صفر) معادل formula_19 خواهد بود. به‌طور خاص formula_20 معادل formula_21 یا وارون ضربی formula_2 است.با گسترش تعریف توان، می‌توان هر عدد حقیقی یا مختلط را به عنوان نما استفاده کرد. همچنین توان‌های صحیح را می‌توان به ساختارهای دیگر جبری (برای مثال ماتریس‌ها) اعمال کرد.عملیات توان در بسیاری از علوم دیگر از جمله در اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علوم رایانه و بار کاربردهایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک شیمیایی، رفتار موجی و رمزنگاری کلید عمومی مورد استفاده قرار می‌گیرد.مربع یک عدد مثل x اشاره دارد به عددی مانند y که y=x² و در آن توان ایکس برابر دو است. مکعب یک عدد مثل x اشاره دارد به عددی مانند y که y=x³ و در آن توان ایکس برابر سه است.اگر رادیکال بافرجه۲باشد پس از جذر کمک می‌گیریم یعنی ریشه‌گیری می‌کنیمنماهای صحیح مثبت.ساده‌ترین نوع توان، با نماهای [[صحیح]] [[مثبت]] است. نما بیانگر این است که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال سه به توان پنج = ۳ × ۳ × ۳ × ۳ × ۳ = ۲۴۳. در اینجا ۳ پایه و ۵ نما است، و ۲۴۳ برابر است با ۳ به توان ۵. عدد ۳، پنج بار در خودش ضرب می‌شود چون نما برابر ۵ است.به‌طور قراردادی، "a"2 = "a"×"a" را [[مربع]]، "a"3 = "a"×"a"×"a" را [[مکعب]] می‌نامیم؛ مثلاً 32 «مربع سه» و 33 «مکعب سه» خوانده می‌شوند.اولین توان را می‌توانیم به صورت "a"0 = ۱ و سایر توان‌ها را به صورت "a""n"+1 = "a"·"a""n" بنویسیم. اگر شکل مکعبی یا مستطیل به شما بدهد پس از فرمول (یک ضلع×خودش) استفاده شود. به گونه ای که برای ضلع‌های برابر توان۲در نظر می‌گیریمنماهای صفر و یک.35 را می‌توان به صورت ۳ × ۳ × ۳ × ۳ × ۳ هم نوشت، عدد یک را می‌توان چندین بار در عبارت مورد نظر ضرب کرد، زیرا در عمل ضرب عدد یک تفاوتی در جواب ایجاد نمی‌کند و همان جواب گذشته را می‌دهد. با این تعریف، می‌توانیم آن را در توان صفر و یک هم استفاده کنیم:"a"1 = "a""a"0 = 1نماهای صحیح منفی.اگر عددی غیرمنفی را به توان ۱- برسانیم، حاصل برابر [[معکوس]] آن عدد است."a"−1 = 1/"a"در نتیجه:"a"−"n" = ("a""n")−1 = 1/"a""n"اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرجش صفر دارد و تعریف نشده‌است.توان منفی را می‌توان به صورت [[تقسیم]] مکرر پایه هم نشان داد؛ یعنی ۵-۳ = ۱ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ = ۱/۲۴۳ = 5-3/ 1.خواص.مهم‌ترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:formula_23که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:formula_24formula_25از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت [[جابجایی]] دارند (برای مثال ۲+۳ = ۵ = ۳+۲ و۲×۳ = ۶ = ۳×۲) توان دارای [[خاصیت جابجایی]] نیست: 23 = ۸ است در حالی که 32 = ۹. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت [[خاصیت شرکت‌پذیری|انجمنی]] هستند (برای مثال (۲+۳)+۴ = ۹ = ۲+(۳+۴) و(۲×۳)×۴ = ۲۴ = ۲×(۳×۴)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 23 به توان چهار برابر است با 84 یا ۴۰۹۶، در حالی که ۲ به توان 34 برابر است با 281 یا ۲٬۴۱۷٬۸۵۱٬۶۳۹٬۲۲۹٬۲۵۸٬۳۴۹٬۴۱۲٬۳۵۲.البته اعداد ۲ و ۴ در توان خاصیت جابجایی دارندچون (۱۶=۲^۴=۴^۲)توان‌های ده.در سیستم [[مبنای ده]]، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 106 برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن ۶ صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در [[علم فیزیک]] برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت [[نماد علمی]] کاربرد دارد؛ نمونه را، ۲۹۹۷۹۲۴۵۸ ([[سرعت نور]] با یکای متر بر ثانیه) را می‌توان به صورت ۲٫۹۹۷۹۲۴۵۸ × 108 نوشت و به صورت تخمینی به شکل ۲٫۹۹۸ × 108. [[پیشوند سیستم متریک|پیشوندهای سیستم متریک]] هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان ۱۰ استوار است. نمونه را پیشوند کیلو یعنی 103 = ۱۰۰۰، پس یک [[کیلومتر]] برابر ۱۰۰۰ [[متر]] است.توان‌های عدد دو.[[توان عدد دو|توان‌های عدد دو]] نقش بسیار مهمی در [[علم رایانه]] دارند چون در کامپیوتر مقادیر formula_26 را می‌توان برای یک متغیر هر عدد [[بیت (رایانه)|بیتی]] درنظر گرفت.توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول [[نصف]] و [[ربع]] می‌گویند.توان‌های عدد صفر (۰).اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است:formula_27.اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت formula_28 تعریف نشده‌است، زیرا [[تقسیم بر صفر]] وجود ندارد.اگر توان یک عدد صفر باشد، حاصل عبارت برابر یک است:formula_29.توان‌های منفی یک.توان‌های منفیِ یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.اگر نمای عددِ منفیِ یک، فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: formula_31اگر نمای عددِ منفیِ یک، زوج باشد، حاصل آن برابر یک است: formula_32توان‌های formula_33.توان‌های formula_33 در دنباله‌های با دورهٔ ۴ کاربرد دارند.formula_35formula_36formula_37formula_38 در مختصات قرارگرفته شود و اگر شیب خط برابر صفر باشد یا نیم‌خط متقارن یا تابع درجه اول باشد توان عدد شیب خط ریشه‌گیری شود و اگر توان رادیکالی باشد فرجه۲درنظرگرفته شودتوان‌هایE[[عدد e|عدد eE]][[حد دنباله|حد دنباله‌ای]] با توان صحیح است.formula_39.و تقریباً داریم:formula_40.یک توان صحیح غیر صفر e برابر است با:formula_41"x" می‌تواند عددی مانند صفر، [[کسر]]، [[عدد مرکب]]، یا یک [[ماتریس مربع]] باشد.توان‌های اعداد حقیقی مثبت.به توان رساندن عددی حقیقی مثبت به توان یک عدد غیرصحیح را می‌توان به چند صورت به دست آورد:توان‌های کسری.[[پرونده:Root graphs.png|راست|بندانگشتی|300px|از بالا به پائین: "x"1/8, "x"1/4, "x"1/2, "x"1, "x"2, "x"4, "x"8.]]در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن به‌دست می‌آید.اگر formula_42 [[عدد حقیقی]] مثبت و "n" عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:formula_43و ریشه "n"ام formula_44 نامیده می‌شود:formula_45برای مثال: 81/3 = ۲.حالا می‌توانیم توان formula_46 را به صورت زیر تعریف کنیم:aبه توان n/m مساوی است با ریشهٔ a بافرجهm به توانبرای مثال: 82/3 = ۴.توان‌های مرکب اعداد مرکب.خلاصه.توان‌های صحیح [[اعداد مرکب]] به صورت بازگشتی تعریف می‌شود:"z"0 = 1"z""n"+1 = "z·z""n""z"−"n" = 1/"z""n" (برای "z" ≠ 0)توان‌های مرکب عدد e به صورت زیر تعریف می‌شود:formula_47و توان مرکب یک عدد مرکب برابر است با:"a""z" = e"bz"اگر:"a" = e"b"مثلثات.توان‌های مبهم یک [[تابع مثلثاتی]] سینوس و کسینوس برابر است با:formula_48formula_49مانند:formula_50formula_51معادله لگاریتم.عدد حقیقی مثبت [[عدد پی|π]] وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان معادله e"z" = ۱ را به صورت "z" = ۲πi·"n" حل نمود.حالت قطبی.هر عدد مرکب به شکل formula_52 را می‌توان به این صورت نوشت:formula_53برای یک مقدار حقیقی مثبت formula_54 و یک کمان formula_55 می‌توانیم از [[فرمول اویلر]] برای formula_56 استفاده کنیم:formula_57حال می‌توانیم یک بار دیگر از فرمول اویلر استفاده کنیم، در این صورت به جای [[عدد e|e]] می‌نویسیم: formula_58. در نتیجه داریم:formula_59حال اگر از formula_60 استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم:formula_61مثال.formula_62این مقدار اصلی formula_63 اما می‌توانیم برای هر [[عدد صحیح]] "n" آن را به صورت formula_64 بنویسیم، که نتیجه به صورت زیر است:formula_65جدول توان.جدول "kn"، "k" در سمت چپ و "n" در بالای جدول است.ضرب اعداد توان دار.۲ حالت ممکن است برای ضرب اعداد توان دار رخ دهد:پایه‌ها برابر.برای اینکار یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را جمع می‌کنیم:formula_66توان‌ها برابر.برای اینکار یکی از توان‌ها را نوشته و پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم.formula_67تقسیم اعداد توان دار.۲ حالت ممکن است برای تقسیم اعداد توان دار رخ دهد:پایه‌ها برابر.برای اینکار یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را کم می‌کنیم:formula_68توان‌ها برابر.برای اینکار یکی از توان‌ها را نوشته و پایه‌ها را برهم تقسیم می‌کنیم.formula_69جذر گرفتن از اعداد توان‌دار.برای محاسبه جذر اعداد توان‌دار مثل formula_70 کافی است توان formula_71 را بر فرجه تقسیم کنیم.formula_72۲/۱۲نماد علمی.نماد علمی، روشی‌ست برای نوشتن اعدادی که خیلی بزرگ یا خیلی کوچک‌ند و نمی‌توان به سادگی آن‌ها را در نماد ده‌دهی نوشت. این نماد به صورت دیجیتال معمولاً با e نمایش داده می‌شود. استفاده از نماد علمی در ماشین‌حساب‌های علمی و توسط دانشمندان، ریاضی‌دانان، متخصصین سلامت و مهندسان رایج است.جستارهای وابسته.مبحث ضرب اعداد توان‌دارپیوند به بیرون.[[رده:ریاضیات مقدماتی]][[رده:عملیات دوتایی]][[رده:نمایی‌ها]]