اعداد فیبوناچی کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد می‌گویند که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:غیر از دو عدد اول، اعداد بعدی از جمعِ دو عددِ قبلیِ خود به‌دست می آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱، ۳۴، ۵۵، ۸۹، ۱۴۴، ۲۳۳، ۳۷۷، ۶۱۰، ۹۸۷، ۱۵۹۷، ۲۵۸۴، ۴۱۸۱، ۶۷۶۵، ۱۰۹۴۶، ۱۷۷۱۱، ۲۸۶۵۷، ۴۶۳۶۸این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی، ریاضی‌دان ایتالیاییِ قرن سیزدهم میلادی، نام‌گذاری شده‌است.دنباله فیبوناچی.در واقع، فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقه‌مند شد. او می‌خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آن‌ها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود:حساب کنید پس از formula_2 ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت؟فرض کنیم formula_3 تعداد جفت خرگوش پس از formula_2 ماه باشد، می‌دانیم که formula_5، تعداد جفت خرگوشها در ماه formula_6-اُم برابر خواهد بود با حاصل جمع تعداد جفت خرگوش‌هایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (formula_3). اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم‌اکنون حداقل دو ماه سن خواهند داشت و به سن زادوولد رسیده‌اند. تعداد جفت خرگوش‌های متولد شده برابر خواهد بود با formula_8، پس خواهیم داشت:x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است:برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ می‌شود.جملهٔ عمومی دنبالهٔ فیبوناچی.چند فرمول برای احتساب جملهٔ formula_2-اُم دنبالهٔ فیبوناچی، بدون استفاده از جمله‌های ماقبل وجود دارد.درستی جمله عمومی را می‌توان از طریق استقرای ریاضی اثبات کرد.برای formula_14 داریم:formula_15برای formula_16 داریم:formula_17در نتیجه برای formula_14 و formula_16 فرمول درست است.حال با فرض درسی رابطه برای formula_20 می‌خواهیم فرمول را برای formula_21 ثابت کنیم.برای formula_22 داریم:formula_23برای formula_24 داریم:formula_25حال فرمول را برای formula_26 که حاصل‌جمع formula_27 و formula_28 است ثابت می‌کنیم:formula_29ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی.روش‌های متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به دو نمونه بسنده می‌کنیم.نسبت دو عضو متوالی دنباله.اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است:دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم:۱۰----۹----۸----۷----۶----۵----۴----۳----۲----۱----شماره جمله۵۵----۳۴----۲۱----۱۳----۸----۵----۳----۲----۱----۱----مقدار جملهنسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جمله‌های متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.معادله خط.معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح به جز مبدأ عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطه‌ای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند.حال به جای m قرار می‌دهیم: φ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد؛ ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله‌شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید:... ،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳)، (۱۳، ۸)، (۸، ۵)، (۵، ۳)، (۳، ۲)، (۲، ۱)، (۱، ۱)صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند.جمع جمله‌های دنباله فیبوناچی.برای به‌دست آوردن جمع جمله‌های دنباله فیبوناچی می‌توان از رابطه formula_30استفاده کرد…