معادله سیاله کیست؟ توضیح بده.
در ریاضیات، معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتین معادله‌ای چندجمله‌ای با متغیرهای صحیح است که در آن معمولاً بیش از یک متغیر (مجهول) داشته باشیم. به یک معادله سیاله خطی می‌گوییم اگر برابر با جمع دو یا چند تک‌جمله‌ای درجه یک باشد، به‌طور مشابه به یک معادله سیاله، نمایی می‌گوییم اگر متغیرها در توان‌ها ظاهر شوند.معمولاً دستگاه معادلات سیاله دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد و هدف یافتن اعداد صحیحی است که به‌طور همزمان همه معادلات را حل کنند. از آنجایی که چنین دستگاه معادلاتی را توسط منحنی‌های جبری، رویه‌ها جبری یا به‌طور کلی مجموعه‌های جبری را تعریف می‌کنند، مطالعه آنها بخشی از هندسه جبری است که هندسه دیوفانتینی نامیده می‌شود.کلمه دیوفانتین به ریاضیدان قرن سوم، دیوفانت، اشاره دارد که چنین معادلاتی را مطالعه کرد و یکی از اولین ریاضیدانانی بود که نمادگرایی را وارد جبر کرد. مطالعه ریاضی مسائل دیوفانتین که دیوفانتوس آغاز کرد، اکنون آنالیز دیوفانتین نامیده می‌شود.در حالی که معادلات خاص نوعی معما بوده‌اند و در طول تاریخ مورد توجه قرار گرفته‌اند، تدوین نظریه‌های کلی معادلات دیوفانتین (فراتر از معادلات خطی و درجه دوم) دستاورد قرن بیستم بود.چند مثال.به‌طور مثال معادلهٔ formula_1 را می‌توان به صورت formula_2 نوشت. به ازای هر formula_3 یک مقدار برای formula_4 به دست می‌آید، این جواب‌ها را می‌توان با زوج formula_5 نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح بی‌شمار پاسخ دارد، اما اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی خواهد داشت که در این‌جا تنها پاسخ معادلهٔ formula_1 در اعداد طبیعی (۱و۱) است.در معادلات سیاله زیر، w, x، y و z مجهول هستند و حروف دیگر ثابت‌ها را نشان می‌دهند:معادله‌های سیاله خطی.یک معادله.ساده‌ترین معادله سیاله خطی به شکل formula_7 است که در آن a, b و c اعداد صحیح داده می‌شوند. راه حل‌ها با قضیه زیر توصیف می‌شوند:فرض کنیم a, b و c اعداد صحیح مثبت باشند و بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک a و b برابر با d باشد. معادله formula_7 در مجموعه اعداد صحیح راه‌حل دارد اگر و فقط اگر formula_9. به علاوه اگر formula_9 و formula_11 یک جواب برای معادله باشد، آنگاه کلیه جواب‌های معادله عبارتند از:formula_12که در آن k عددی صحیح است.اثبات: فرض کنید formula_11 یک جواب برای معادله باشد، در این صورت از d|a و d|b نتیجه می‌شود که formula_14؛ لذا d|c یک شرط لازم برای وجود جواب خواهد بود، نشان می‌دهیم این شرط کافی نیز هست؛ بنابراین فرض کنید که d|c آنگاه وجود دارد m که c=dm پس بنابه قضیه بزو اعداد صحیح formula_15 و formula_16 پیدا می‌شوند که formula_17 و لذا formula_18 و این یعنی formula_19 جوابی برای معادله است.برای اثبات قسمت دوم قضیه، فرض کنید که formula_11 و formula_21 دو جواب معادله باشد، در این صورت formula_22 و لذا formula_23. پس formula_24و چون formula_25، طبق لم اقلیدس نتیجه می‌شود که برای یک formula_26 داریم formula_27 و لذا از formula_28 نیز نتیجه می‌شود:formula_29 برعکس، به راحتی دیده می‌شود که برای هر k، زوج formula_30 در معادله صدق می‌کنند و در نتیجه حکم اثبات می‌شود. formula_31برای مثال کلیه جواب‌های معادله formula_32 عبارتند از:formula_33حال شرط مثبت بودن formula_34 و formula_35 را هم اگر لحاظ کنیم نتیجه می‌دهد که formula_36 یا formula_37 که دو جواب formula_38 و formula_39 به دست می‌آیند.قضیه باقی‌مانده چینی.قضیه باقیمانده چینی کلاس مهمی از دستگاه معادلات دیوفانتین خطی را توصیف می‌کند.فرض کنید formula_40 و همچنین formula_41 اعدادی صحیح باشند که برای هر formula_42 داریم: formula_43. که formula_44 ب.م. م formula_45 و formula_46است. حال حتماً عدد صحیح formula_47 وجود دارد به‌طوری‌که در دستگاه معادلات همنهشتی زیر صدق کند:formula_48