ضرب دیریکله کیست؟ توضیح بده.
در نظریه اعداد، ضرب دیریکله یا پیچش دیریکله توابع حسابی، یک عمل دوتایی بین توابع حسابی است که از اهمیت زیادی برخوردار است. این نوع عمل اولین بار توسط دیریکله ریاضیدان آلمانی تعریف شده است.تعریف.اگر f و g دو تابع حسابی باشند، در این صورت حاصل ضرب دیریکله f و g را با f*g نشان می‌دهیم و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می‌کنیم:که در آن مجموع روی مقسوم علیه‌های n است. چنین مجموع‌هایی در سراسر نظریه اعداد بویژه نظریه تحلیلی اعداد رخ می‌دهند و لذا از اهمیت خاصی دارند.خواص جبری ضرب دیریکله.توجه داشته باشید که دو مجموع فوق فقط در ترتیب عوامل شرکت کننده در جمع تفادت دارند.f*(g*h)=(f*g)*hحال برای هر n داریم:پس:از طرفی داریم:پس:پس حکم ثابت می‌شود.توجه داشته باشید که جملات مجموع فوق برای هر d&lt;n صفر بوده و برای d=n برابر (f(n می‌باشد. حال چون ضرب دیریکله جابجایی است پس f*I=I*f=f و لذا حکم ثابت می‌شود.f*(h+g)=f*g+f*hپس:formula_11ولذا حکم برقرار است.خواننده می‌تواند تحقیق کند که اگر m,n اعداد صحیح و متباین باشند و d|mn اعداد صحیح و یکتایی چون d1,d2 وجود دارند به طوری که d=d1d2 و d1|m و d2|n. با بکارگیری این قضیه برای هر d|mn اعداد a,b وجود دارند که d=ab و a|m و b|n پس عبارت فوق به صورت زیر قابل تبدیل است:چون 1=(n,m) پس 1=(a,b) و نیز 1=(m/a,n/b) و چون f,g توابعی ضربی اند:پس:بنابراین h ضربی است و حکم ثابت می‌شود.معکوس دیریکله.نکته جالب توجه این است که رده‌ای از توابع حسابی نسبت به ضرب دیریکله دارای معکوس هستند. اگر f تابعی حسابی باشد، تابع حسابی g را معکوس دیریکله f می‌گوییم هرگاه f*g=g*f=I. قضیه زیر بیان می‌کند که یک تابع حسابی در چه صورت دارای معکوس دیریکله است.پس جواب معادله formula_20 است و یکتا است. حال فرض می‌کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک‌تر از n درست باشد. نشان می‌دهیم حکم برای n نیز درست است. معادلهرا حل می‌کنیم(چون n&gt;1 عبارت برابر صفر است). داریم:پس:و بنابر فرض استقرا جوابی یکتا حاصل می‌شود و برهان کامل می‌شود.معکوس دبریکله تابع کاملاً ضربی.اگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، معکوس دیریکله آن به سادگی قابل محاسبه است. ابتدا دقت می‌کنیم که هر تابع ضربی و بخصوص تابع کاملاً ضربی دارای این خاصیت است که 1=(f(1 پس معکوس دیریکله در هر حال وجود دارد.پس formula_25 و لذا حکم ثابت می‌شود.چند نتیجه مهم.فرض می‌کنیم:formula_26با بررسی خواص و مطالبی که تا کنون در مورد ضرب دیریکله توابع حسابی بیان کردیم می‌توان گفت مجموعه F (مجموعه همه توابع حسابی که در یک مخالف صفر هستند):پیچش‌های تعمیم یافته.بدلیل اهمیت نوع مجموع‌هایی که در ضرب دیریکله دو تابع حسابی ظاهر می‌شود این مجموع را بین یک تابع حسابی و یک تابع مختلط یا حقیقی تعمیم می‌دهند.از این پس، فرض کنید F تابع حقیقی یا مختلط با دامنه اعداد حقیقی مثبت باشد که برای هر formula_27، داشته باشیم 0=(F(x. حال اگر تابعی حسابی باشد، عمل formula_28 را به بین F و به صورت زیر تعریف می‌کنیم:که formula_30 را می‌توان تابعی چون (G(x در نظر گرفت.توجه داشته باشید که اگر برای هر عدد غیر صحیح x داشته باشیم 0=(F(x در این صورت با تحدید دامنه F به مجموعه اعداد صحیح F تابعی حسابی خواهد بود و عمل ° در آن همان عمل ضرب دیریکله * خواهد بود. از این رو عمل ° تعمیمی بر ضرب دیریکله * است.به آسانی می‌توان تحقیق کرد که تابع همانی I معکوس چپ پیچش تعمیم یافته است. یعنی برای هر تابع F داریم I°F=F.حال چون mn≤x و mn عددی صحیح است پس به ازای عدد صحیح d داریم mn=d پس n|d و d≤x بعلاوه این نشان می‌دهد عدد صحیح m وجود دارد که mn=d≤x. پس:و برهان حکم کامل می‌شود.انعکاس تعمیم یافته.اگر تابعی حسابی با معکوس دیریکله 1- باشد و x&gt;0، در این صورت اگر:آنگاهپس: formula_37و برهان کامل است.فرمول انعکاس موبیوس.معادله ی formula_42را که فرمول انعکاس موبیوس نام دارد ایجاب می کند. برعکس فرمول انعکاس موبیوس معادله ی اول را ایجاب می کند.