قانون اشتفان–بولتسمان کیست؟ توضیح بده.
قانون استفان-بولتزمن رابطهٔ بین مقدار کل انرژی ای را که یک جسم از خود تابش می‌کند و دما بیان می‌کند. طبق این قانون کل انرژی تابیده شده از واحد سطح جسم سیاه (Black body) در واحد زمان با توان چهارم دمای آن جسم بر حسب کلوین متناسب است و با معادله زیر بیان می‌شود: formula_1آهنگ تابش به صورت کلی بدین صوررت خواهد بود:formula_2که در آن:formula_3: آهنگ تابش گرماformula_4: دمای ترمودینامیکی (بر حسب کلوین)formula_5: ثابت گسیلندگی جسمformula_6: ثابت استفان-بولتزمن است.ثابت گسیلندگی جسم formula_7 همواره formula_8و به صافی و ناصافی سطح جسم و رنگ آن بستگی دارد. جسمی که گسیلندگی آن برابر ۱ باشد، جذب‌کننده و گسیلندهٔ کامل تابش است. چنین جسمی را جسم سیاه می‌نامند. و هر چقدر که میزان گرمای جسمی بیشتر باشد انرژی بیشتری گسیل خواهد شد.ثابت استفان-بولتزمن مقداری ثابت است و برابر است با:formula_9مقدار ثابت استفان-بولتزمن در واحد های دیگر متفاوت خواهد شد که این مقادیر در جدول زیر آورده شده است:این قانون ابتدا توسط ژوزف استفان در ۱۸۷۹ به صورت تجربی و در ۱۸۸۴ توسط لودیگ بولتزمن با استفاده از قوانین ترمودینامیک بدست آمد.بولتزمن پدر فیزیک آماری و همچنین فردی به عنوان متخصص ترمودینامیک نیز بود.تاریخچه.در سال 1864، جان تیندال اندازه گیری های انتشار مادون قرمز یا فروسرخ (IR) توسط یک رشته پلاتین و رنگ مربوط به رشته ارائه کرد.تناسب چهارم دمای مطلق توسط استفان (1835-1893) در سال 1877 بر اساس اندازه گیری های تجربی تیندال، در مقاله "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" که این مقاله ارتباط بین تابش حرارتی و دما را بیان می کند استنتاج کرد.مثال ها.دمای سطح خورشیداستفان با قانون خود دمای سطح خورشید را نیز تعیین کرد.او از داده های ژاک-لویس سورت (١٨٢٨-١٨٩٠) استنباط کرد که چگالی شار انرژی خورشیدی ٢٩ برابر بیشتر از چگالی شار انرژی یک لاملا فلزی گرم شده خاص(یک صفحه نازک) است.یک تیغه گرد در فاصله ای از دستگاه اندازه گیری قرار داده شده بود که در همان قطر زاویه ای خورشید دیده میشد.سورت دمای لاملا را تقریبا ١٩٠٠ تا ٢٠٠٠ درجه سانتی گراد برآورد کرد.استفان حدس زد که یک سوم شار انرژی خورشیدی جذب زمین می شود، بنابراین او برای شار انرژی خورشیدی صحیح ، از دیدگاه و جانب خودمقدار آن یک و نیم برابر بیشتر از سورت یعنی ٤٣.٥=١.٥×٢٩ در نظر گرفت.دمای ستارگاندمای ستارگان را می توان با در نظر گرفتن انرژی ساطع شده به عنوان تابش جسم سیاه برآورد کرد لذا:formula_10که در آن:L: درخشندگیσ: ثابت استفان-بولتزمنR: شعاع ستارهT: دمای مؤثرمی توان این فرمول را برای محاسبه دما بدین صورت بیان کرد:formula_11به همین ترتیب شعاع آن بدین صورت بیان می شود:formula_12همین فرمول ها را می توان برای محاسبه پارامترهای مربوطه به خورشید را نیز ساده کرد:formula_13که در آن formula_14 شعاع خورشیدی است. همچنین می توان آهنگ تابشformula_15 را بر واحد سطح چنین نوشت:formula_16که در اینجا formula_17 و formula_18است.با قانون استفان-بولتزمن، ستاره شناسان به راحتی می توانند شعاع ستاره ها را استنتاج کنند.دمای مؤثر زمینمشابها ، می توانیم دمای مؤثر زمین "T"⊕ را با معادل سازی انرژی دریافتی از خورشید و انرژی تابش شده توسط زمین و با توجه به جسم سیاه (black body) بدست آوریم و قابل ذکر است که به دلیل اینکه انرژی خود زمین به اندازه ای کوچک است که ناچیز فرض می شود، درخشندگی خورشید "L"⊙ برابر:formula_19در زمین، این انرژی از کره ای با شعاع "a"0، فاصله بین زمین و خورشید و تابش (مقدار توان دریافتی بر واحد سطح) بدست می آید:formula_20و اگر شعاع زمین "R"⊕ باشد لذا دارای سطح مقطع formula_21 است. بنابراین شار تابشی جذب شده توسط زمین بدست می آید: formula_22شار ساطع شده از زمین تمایل به برابری با شار جذب شده دارد (با توجه به اینکه قانون استفان-بولتزمن از توان چهارم استفاده می کند، اثر تثبیت کننده ای بر تبادل یا مبادله دارد) و نزدیک حالت پایدار که در آن:formula_23سپس "T"⊕ قابل محسابه است:formula_24که "T"⊙ دمای خورشید، "R"⊙ شعاع خورشید و "a"0 فاصله بین زمین و خورشید است.این یک دمای 6 درجه سانتی گراد را در سطح زمین می دهد، با فرض اینکه تمام تشعشعات را کاملا جذب کند و جوی وجود ندارد.منشاء.مشتق ترمودینامیکی چگالی انرژیاین مشتق از رابطه بین فشار تابش P و چگالی انرژی داخلی استفاده می کند، این رابطه که با استفاده از تانسور تنش انرژی الکترومغناطیسی به صورت زیر نشان داده می شود:formula_25و رابطه ترمودینامیکی زیر:formula_26و بعد تقسیم آن به formula_27 در دمای ثابت و با کمک یکی از روابط ماکسول (Maxwell relations) نهایتا:formula_28formula_29از تعریف چگالی انرژی بدست می آید که:formula_30که در آن چگالی انرژی تابش فقط به دما بستگی دارد بنابراین:formula_31و نهایتا برابر است با:formula_32و فشار، نرخ (Rate) تغییرات تکانه بر واحد سطح است و از آنجایی که که تکانه فوتون برابر است با تقسیم انرژی بر سرعت نور:formula_33جایی که یک سوم از پیش بینی انتقال تکانه در حالت نرمال به دیواره ظرف می آید. از آنجایی مشتق جزئی formula_34 می توان به عنوان رابطه ای بین formula_35 و formula_36 (در حالتی که آن را در ظرف برابری جدا کنیم)، مشتق جزئی را می توان با مشتق معمولی جایگزین کرد.formula_37 و برابر formula_38 است.مشتق از قانون پلانک( اسخراج قانون استفان-بولتزمن از قانون پلانک)این قانون را می توان با در نظر گرفتن یک سطح کوچک و مسطح جسم سیاه(Black body) که به صورت نیمکره به بیرون تابش می کند به دست آورد. این مشتق از مختصات کروی با "θ" به عنوان زاویه اوج و "φ" به عنوان زاویه ازیموتال(azimuthal angle) استفاده می کند.و سطح کوچک و مسطح جسم سیاه روی صفحه xy قرار دارد ، جایی که "θ" = /2 است.شدت نور ساطع شده از جسم سیاه(Black body) توسط قانون پلانک مشخص می شود.formula_39 که در آن:مقدار formula_45 توان تابشی است که توسط صفحه ای از سطح A از طریق یک زاویه جسم(Solid angle) در محدوده فرکانس بین و قرار دارد.قانون استفان-بولتزمن توان ساطع شده در واحد سطح جسم ساطع کننده را نشان می دهد:formula_46برای استخراج قانون استفان-بولتزمن باید formula_47 را روی نیمکره و حد های انتگرال formula_48 را ار 0 تا ∞ ادغام می کنیم.formula_49formula_50برای حل این انتگرال:formula_51که بدست می آید:formula_52این یک نوع خاص از یک انتگرال اینشتین است.این اتگرال برابر:formula_53 (که formula_54 تابع گاما است)این نتیجه را می دهد که برای یک سطح جسم سیاه(Black body) کامل:formula_55در نهایت، این اثبات تنها با در نظر گرفتن یک سطح کوچک شروع شد.درحالی که، هر سطح قابل تمایز را می توان با مجموعه ای از سطوح مسطح کوچک تقریب زد.تا زمانی که هندسه سطح باعث نشود جسم سیاه(Black body) تابش خود را دوباره جذب کند. کل انرژی تابش شده فقط مجموع انرژی های تابش شده توسط هر سطح است، و مساحت کل فقط مجموع مساحت های هر سطح است،بنابراین این قانون برای تمامی اجسام سیاه محدب نیز صادق است، تا زمانی که سطح ، در سرتاسر دمای یکسانی داشته باشد. این قانون با استفاده از این واقعیت که بدنه محدب (Convex hull) یک جسم سیاه تابش کند، به تابش اجسام غیر محدب گسترش می یابد.چگالی انرژی (انرژی حجمی)چگالی انرژی کل U را می توان مشابها بدست آورد، با این تفاوت که دیگر کسینوس وجود ندارد(کل کره مدنظر است) و شار انرژی (U c) باید بر سرعت c تقسیم شود تا چگالی انرژی U بدست آید:formula_56سپس formula_57 به جای formula_58 و در نهایت با اضافه کردن ضریب چهار:formula_59که formula_60 به عنوان ثابت تابش یا ثابت چگالی تابش شناخته می شود.تجزیه بر حسب فوتون.با توجه به قانون استفان-بولتزمن داریم:formula_61که در اینجا formula_62 شار فوتون و مقدار آن برابر است با حاصل:formula_63formula_64و همچنین انرژی متوسط در هر فوتونformula_65:formula_66 که formula_38 و مقدار ثابت است.