قضیه کوچک فرما کیست؟ توضیح بده.
قضیۀ کوچک فرما که برای تمایز آن با قضیۀ آخر فرما به این نام موسوم است، بیان می‌کند اگر یک عدد اول formula_1 و formula_2 عددی صحیح باشد که formula_3، در این‌صورت formula_4.این قضیه، اساسی برای آزمون اول بودن فرما است. از این قضیه می‌توان دریافت که مرتبۀ هر عدد متباین با formula_1 به هنگ formula_1 برابراست با یک. بیانی دیگر از قضیۀ کوچک فرما نیز وجود دارد که بیان می‌کند که اگر formula_1 عددی اول و formula_2 عددی صحیح باشد، آنگاه formula_9.تاریخچه.پیر دو فرما، اولین بار این قضیه را در ۱۸ اکتبر سال ۱۶۴۰ با دوست و محرم اسرار خود فرانکل بسی (Frénicle de Bessy) مطرح ساخت و بیان کرد:«وقتی که formula_1 عدد اول است و formula_2 نسبت به formula_1 متباین است، formula_13 بر formula_1 بخشپذیر است.»طبق معمول، فرما این ادعا را اثبات نکرد و تنها بیان کرد که این گزاره درست است. نخست لئونارد اویلر در سال ۱۷۳۶ اثباتی برای این قضیه را در مقاله‌ای با عنوان "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio"، منتشر ساخت. اما مشخص شد که لایب نیتز، اثباتی مشابه را در یک دست‌نوشتۀ منتشر نشده از قبل در حدود سال ۱۶۸۳ انجام داده‌است.اصطلاح قضیۀ کوچک فرما (Fermat's little theorem) اولین بار در سال ۱۹۱۳ توسط کورت هنسل (Kurt Hensel) استفاده شد.او بیان کرد:«یک قضیۀ اساسی وجود دارد که در هر گروه متناهی برقرار است که معمولاً قضیۀ کوچک فرما گفته می‌شود. چرا که فرما اولین فردی بوده‌است که بخش خاصی از آن را اثبات کرده‌است.»این عبارت اولین بار در انگلیس در مقاله اروین کاپلانسکی با عنوان «تست لوکاس برای اعداد مرسن» بیان شد.همچنین ریاضی‌دانان چینی نیز به‌طور مستقل فرضیه‌هایی شبیه قضیۀ کوچک فرما را بیان کرده‌اند که معمولاً تحت عنوان فرضیه‌های چینی شناخته می‌شوند.این فرضیه بیان می‌کند formula_1 اول است، اگر و فقط اگر formula_16.وضوحاً اگر formula_1 اول باشد formula_16 که این حالتی خاص از قضیۀ فرما است. اما عکس مطلب یعنی اینکه «اگر formula_16 آنگاه p اول است» نادرست است و لذا کل مطلب نادرست است.این مطلب حدود ۲۰۰۰ سال قبل از آنکه فرما قضیۀ خود را مطرح کند بیان شده‌است.برهان.همانطور که گفته شد فرما در ابتدا قضیه را بدون اثبات ذکر کرده‌است و اولین اثبات قضیه را گوتفرید لایبنیتس در یک دست‌نویس بدون تاریخ ارائه داده است. او نوشته است که اثبات قضیه را قبل از سال ۱۶۸۳ می‌دانسته است.البته قضیه شکل خاصی از قضیه کلیتری موسوم به قضیه اویلر است که با اثبات آن در اصل اثبات قضیه فرما نیز انجام شده‌است اما در این قسمت برهان را مخصوص همین قضیه ارائه می‌دهیم.مجموعه formula_20 را در نظر می‌گیریم و فرض می‌کنیم formula_21 چنان باشد که formula_22 .چون مجموعه A یک دستگاه مخفف مانده‌ها به هنگ p است و a نسبت به p اول است طبق قضیهٔ بزو مجموعهنیز یک دستگاه مخفف مانده‌ها به هنگ p است و لذا بنابر تعریف:پس:لذا داریم:اما چون هر یک از اعداد موجود در A نسبت به p اولند پس حاصل ضربشان نیز نسبت به p اول است و لذا formula_27. پس:و برهان حکم کامل است. formula_29تعمیم قضیۀ فرما-قضیۀ اویلر.قضیۀ کوچک فرما حالتی خاص از قضیۀ اویلر است که بیان می‌کند که اگر formula_2 عددی صحیح و formula_31 عددی طبیعی باشد که formula_32، آنگاه:به آسانی اگر قرار دهید formula_34 که در آن formula_1 عددی اول است، قضیۀ فرما به‌دست می‌آید. به‌علاوه، این قضیه به این‌صورت نیز قابل تعمیم است که اگر formula_1 عددی اول باشد و formula_37 اعدادی طبیعی باشند که formula_38، آنگاه formula_39. این قضیه در تعریف اعداد formula_40 و رمز گذاری کاربرد فراوان دارد.قضیۀ کوچک فرما در مطالعه اعداد formula_40، رمزنگاری، آزمون‌های اول بودن و حل معادلات هم‌نهشتی کاربرد فراوان دارد.