هم‌نهشتی (نظریه اعداد) کیست؟ توضیح بده.
نظریۀ هم‌نهشتی یا حساب پیمانه‌ای سیستمی برای محاسبه با اعداد صحیح است که به‌وسیله کارل فردریش گاوس در کتاب رسالۀ حساب در سال ۱۸۰۱ معرفی شد.مفهوم هم‌نهشتی را می‌توان به عنوان پالایشی برای نظریۀ بخش‌پذیری دانست و به‌وسیلۀ آن می‌توان مفاهیم بنیادی را در نظریۀ اعداد مورد مطالعه قرار داد که بدون استفاده از آن، بیان و اثبات بسیاری از مطالب در نظریۀ اعداد دشوار یا غیرممکن خواهد بود. به‌علاوه هم‌نهشتی‌ها می‌توانند خیلی شبیه به معادلات مورد بحث قرار بگیرند و از این رو رابطه‌ای شبیه به تساوی ایجاد خواهند کرد.به همین دلیل، گاوس نماد formula_1 را برای هم‌نهشتی معرفی نمود. یکی از کاربردهای مهم هم‌نهشتی‌ها در حل معادلات سیاله است. مفهوم هم‌نهشتی در موارد بسیاری در زندگی ما مشهود است. یکی از کاربردهای آشنای هم‌نهشتی‌ها در زندگی روزمره، استفاده از ۲۴ ساعت در شبانه روز است. به‌طور کلی هر پدیده‌ای که به‌صورت دوره‌ای رخ می‌دهد، بیانگر کاربردی از هم‌نهشتی است.تعریف.گوئیم عدد formula_5 به پیمانۀ (سنج) formula_2 با formula_7 هم‌نهشت است و می‌نویسیم:از آنجا که با توجه به این تعریف هر دو عدد طبیعی به پیمانه formula_12 با هم هم‌نهشت می‌باشند، پیمانه را معمولاً عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک در نظر می‌گیریم. به‌علاوه برای سهولت در نوشتار، گاهی نماد formula_13 را برای نمایش هم‌نهشتی به پیمانۀ formula_2 استفاده می‌کنیم.اگر formula_5 و formula_7 به پیمانۀ formula_2 هم‌نهشت نباشد، می‌نویسیم: formula_18.به عنوان مثال: formula_19 چرا که formula_20 ولی formula_21.وقتی می گوئیم formula_5، formula_2 را عاد می‌کند، یعنی: formula_24.هم‌نهشتی به عنوان یک رابطه.هم‌نهشتی به پیمانۀ دلخواه formula_2، یک رابطه را روی مجموعۀ اعداد صحیح تعریف می‌کند. این رابطه را به صورت formula_26 نشان می‌دهیم و برای هر دو عدد صحیح formula_27 به صورت:تعریف می‌کنیم.با کمی دقت متوجه می‌شویم که این رابطه یک رابطه هم‌ارزی روی مجموعۀ اعداد صحیح است.از ۱و۲و۳ نتیجه می‌شود رابطه formula_26 یک رابطه هم‌ارزی روی اعداد صحیح تعریف می‌کند و برهان تمام است.حال که رابطه formula_26 یک رابطه هم‌ارزی روی اعداد صحیح تعریف می‌کند، طبیعی است که به دنبال کلاس‌های هم‌ارزی آن باشیم. در این راه به خاصیت جالبی از رابطه formula_26 پی خواهیم برد.اگر برای هر عدد صحیح a کلاس هم‌ارزی a به پیمانه m را با نماد formula_42 نشان دهیم، داریم:پسولذادر نتیجهبرطبق قوانین حاکم بر کلاس‌های هم‌ارزی برای هر دو عدد صحیح a,b داریمformula_47 اگر و فقط اگر formula_32همانند همه روابط هم‌ارزی، رابطه هم‌ارزی formula_26 مجموعه اعداد صحیح را به کلاس‌های هم‌ارزی خود افراز می‌کند.با کمی دقت در کلاس‌های هم‌ارزی این رابطه به سادگی می‌توان نشان داد که رابطه formula_26 مجموعه اعداد صحیح را به دقیقاً m کلاس هم‌ارزی افراز می‌کند. مجموعه خارج قسمت (مجموعه همه کلاس‌ها هم‌ارزی) رابطه هم‌ارزی به پیمانه formula_26 را با formula_52 نشان می‌دهیم و آن را مجموعه اعداد صحیح به پیمانه m می‌نامیم.این مجموعه را بنابر مطلب قبل می‌توان به صورت formula_53 نشان داد.وضوحاً هر عدد صحیح با یکی از اعضای formula_52 به پیمانه m همنهشت است.حلقۀ اعداد صحیح به پیمانه.دیدیم که رابطه همنهشتی به پیمانه m مجموعه اعداد صحیح را به m کلاس هم‌ارزی افراز می‌کند و مجموعه خارج قسمت آن مجموعه اعداد صحیح به پیمانه m است که به صورت زیر تعریف می‌شود:اعمال روی formula_52 برای هر formula_57 به صورت زیر تعریف می‌شود.به سادگی می‌توان تحقیق نمود که formula_52 به همراه این اعمال تشکیل یک حلقه جابجایی یکدار را می‌دهد. این بحث در هم‌نهشتی‌های جبری بسیار اهمیت دارد.خواص همنهشتی‌ها.به عنوان نمونه مورد ۱ را اثبات می‌کنیم. چون بنابه فرض formula_32 پس m|a-b و چون formula_62پس m|c-d بنابر خوص رابطه عاد کردن داریم (m|(a-b)+(c-d پس (m|(a+c)-(b+d ولذا formula_63مورد ۲ نیز به طریق مشابه اثبات می‌شود.قضیه فوق را می‌توان به بیش از دو رابطه همنهشتی نیز تعمیم داد. به عبارت دیگر به سادگی به استقراء ثابت می‌شود اگر برای هر i=1,2,3.. ,n formula_68 آنگاه:دو قضیه اخیر به خوبی شباهت میان رابطه همنهشتی را با رابطه تساوی را نشان می‌دهد. اما این دو رابطه در برخی موارد دارای تفاوت می‌باشد.به عنوان مثال می‌دانیم که دو طرف یک رابطه تساوی را می‌توان بر عددی صحیح ناصفر تقسیم نمود. اما آیا این خاصیت در مورد رابطه همنهشتی به پیمانه دلخواه m صادق است؟قضیه زیر بیان می‌کند در تقسیم طرفین یک رابطه همنهشتی بر یک عامل مشترک طرفین پیمانه دچار تغییر می‌شود.آنگاهاما چون (d=(c,m پس formula_79 و در نتیجه بنابر لم اقلیدس formula_80 پسپس اگر c عددی صحیح ناصفر باشد که formula_82، اگر formula_75 آنگاه formula_84همان‌طور که اشاره شد رابطه نزدیکی میان رابطه همنهشتی و نظریه بخش پذیری وجود دارد. در حقیقت نظریه همنهشتی را می‌توان به عنوان پالایشی برای نظریه بخش پذیری دانست. قضایای زیر به خوبی این رابطه را نشان می‌دهد.چون formula_32 پس m|a-b ولذا به ازای عدد صحیح q داریم(1) a=b+mq. باقی‌مانده تقسیم b بر m را r می‌نامیم. بنابر قضیه تقسیم عدد صحیح k موجود است که (2) b=mk+r.از (۱) و (۲) داریمپس باقی‌ماندۀ تقسیم formula_5 بر formula_2 برابر formula_93 است.حال فرض می‌کنیم باقی‌ماندۀ تقسیم formula_5 و formula_7 بر formula_2 برابر formula_93 باشد. در این‌صورت بنابر الگوریتم تقسیم، اعداد صحیح formula_98 و formula_99 وجود دارند که: formula_100 و formula_101، پس formula_102 و لذا formula_103؛ پس formula_32.دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانه.دستگاه‌های کامل مانده‌ها در نظریۀ هم‌نهشتی به ویژه در حل معادلات هم‌نهشتی نقش اساسی دارند. به عبارت دقیق‌تر، در نهایت برای حل یک معادلۀ هم‌نهشتی کافی است جواب‌ها را در میان اعضای یک دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانۀ هم‌نهشتی مورد نظر جستجو کنیم.در تعریف زیر سه شرط را برای دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانۀ دلخواه formula_2 بیان می‌کنیم. ولی به سادگی می‌توان تحقیق کرد که هر یک از دو شرط زیر دیگری را نتیجه می‌دهد؛ لذا در متون مختلف ممکن است هر یک از این دو شرط را به عنوان تعریف ذکر کنند.ساده‌ترین دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانۀ formula_2، مجموعۀ formula_116است. در حقیقت قضیه زیر را داریم:دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه.مجموعۀ formula_106 از اعداد صحیح را یک دستگاه مخفف مانده‌ها (د. م. م یا دمم) به پیمانۀ formula_2 می‌گوئیم هرگاه واجد شرایط زیر باشد: