Вопрос: Как организовать автоматизацию тестирования с 0?

Лучший ответ: В принципе все правильно. Берете и делаете. Серебрянной пули нет. 
Особенно порадовало, что "все занимаются тестированием"- это правильно. Лишь бы это не было "все - значит никто".  И следите за тем, чтобы тестирование давало результат - либо тикет в системе либо фикс. Если баги находят, но просто говорят о них на кухне - это не тестирование. Если баг фиксится сразу, это не значит что коммит-сообщение можно ляпнуть "fixed some strange bug" - он должен содержать описание сценария в котором он происходит и как он влияет на пользователя. 
Улучшайте коммит-сообщения. Так чтобы из них можно было собрать патчноут и  красиво показать пользователю. А не куча невнятного "внутряка".  Формулируйте с позиции пользы, это заставит разработчиков немного больше гордиться проделанной работой, а следовательно добавит им мотивации. Для примера посмотрите как пишут патчноуты передовые представители игровой индустрии. 
По автоматизации .. подводные камни такие: 
- если автотестов много - их долго выполнять. Начните с небольшого количества 20-50. На них вы обкатаете внедрение и процесс. Не считайте никакие ROI - это бред. Чем считать ROI лучше написать еще один полезный тест. 
- архитектуру тестов старайтесь организовать так, чтобы работу по их написанию можно было распараллелить. Например если у Вас Page Object - один может писать компоненты из которых другой может строить сценарии. 
- ваш сервис сильно зависит от доступности источников данных - проверяйте доступность источников регулярно, особенно если эти данные вы получаете не по API,  а выковыриваете парсером. 
- сделать тестовую базу данных - правильно. Автоматизируйте ее свертывание-развертывание через контейнеры. 
- по приоритетам автоматизации - точно так же - по "абстрактной" значимости. Хороший источник для идей  - багтрекер. Кластеризуйте ошибки по типам и делайте выводы. 
- не делайте автоматизацию ради автоматизации - в первую очередь чините продукт, потом тесты. 
- не усложняйте тесты ради того чтобы они справлялись с более сложными условиями, упрощайте условия. 
- автотесты будут сыпаться по непонятным причинам.  Делайте как можно более полезное логгирование. Если тесты выполняются в произвольном порядке - это тоже может быть одной из причин. Любой рандом в тестировании - зло. Учитывайте это при наполнении тестовой базы данных. Желательно, чтобы тестовая база всегда содержала одинаковые данные. Смотря что у Вас за база. Если это только пользователи это одно, а если у вас там хранятся аггрегированные данные, то нужно время от времени пересобирать тестовую базу из свежих источников и проверять работу тестировочных скриптов с ней. 
- автоматизацию тестирования можно применять не только для тестирования конечного продукта, можно тестировать миграции схемы базы данных, восстановление базы из бекапа и прочее.
Можете почитать мои ответы по этому хабу, может найдете там еще ответы на какие-то близкие Вам вопросы.
Вот некоторые из моих советов-ответов более-менее общей направленности: 
Как добиться независимости в тестах (phpunit)?
Правильное тестирование Javascript?
Как систематически подойти к тестированию в малой компании разработчиков?
С чего начать изучение на должность QA автоматизатора?
Как создать отдел тестирования?
Какие шаги тестирования сайта?
Читайте: 
"Lessons Learned in Software Testing" (Kaner, Bach, Pettichord)
"Experiences of Test Automation: Case Studies of Software Test Automation" (Graham, Fewster)
и вот эту вики: TestAutomationPatterns  (Кстати, ее инициатор и редактор та же Dorothy Graham. Есть даже пару записей ее лекций на ютубе - советую глянуть)
В ней прям шаблоны. Проблема - решение. Бесценная вещь. Мне в свое время очень помогло, чтобы понять "что не так" и как это лечить.

Худший ответ: начни с Jenkings + Jira интеграции
дальше по сопутствующему поймешь что делать