Вопрос: Почему пропсы из Редакса в обработчике Реакт не видит, когда в render(){} видит?

Лучший ответ: Вы передаете метод clickHandle в колбек слушателя события click, при вызове метод теряет контекст, так как вызывается не на вашем объекте. this в таком случае ссылается не на ваш объект, а  на undefined. Так как babel при трансляции добавляет 'use strict' (иначе, при выполнении в браузере, ссылался бы на window). Исправить это можно несколькими способами:
1. переделать обработчик из метода класса в class field arrow function:
было:clickHandle(e) {
  // some code
}
стало:clickHandle = e => {
  // some code
};class field arrow function получает контекстом экземпляр класса при инициализации и всегда ссылается на него, куда бы вы ее не передали. Это экспериментальная возможность JavaScript и в спецификации ее пока нет. За трансляцию этой конструкции в валидный код отвечает babel.
Результат, который будет получен после трансляции, можно посмотреть тут. Строки с 23 по 28.
2.забиндить его в конструкторе на экземпляр класса:constructor(props) {
  super(props);
  this.clickHandle = this.clickHandle.bind(this);
}
Вызов bind возвращает обертку, которая вызывает ваш метод, испльзуя переданный аргумент как контекст, в нашем случае это экземпляр класса.
3. обернуть в стрелочную функцию в render:<SomeComponent onClick={() => this.сlickHandle()} /> // контекст не будет потерян
При оборачивании в стрелочную функцию происходит следующее: сама функция использует как контекст ваш объект, поэтому при вызове метод будет вызван на вашем объекте и this в самом методе будет ссылаться на объект. Этот вариант разумно использовать, только тогда, когда в хандлер необходимо передать свои аргументы, помимо event:<ListItem
  key={item.id}
  onClick={e => this.сlickHandle(item.id, e)}
>
  {item.name}
</ListItem>
так как движок вынужден определять контекст для стрелочной функции каждый рендер, а на это уходит дополнительное процессорное время.Как метод теряет контекст.
Разберем на примере объекта. То же самое происходит в случае с классом, но мы будем использовать в примере объект:var john = {
  firstName: 'John',
  getName() {
    return this.firstName;  // this - контекст вызова и это не всегда наш объект
  }
}
Сценарий 1: console.log(john.getName()); // john
Тут мы вызываем метод на объекте. Контекстом будет наш объект.
Сценарий 2: var foo = {
  firstName: 'foo',
};
var foo.getName = john.getName;
console.log(foo.getName()); // foo
Тут мы передаем метод объекта john в свойство объекта foo без вызова и следующей строкой вызываем его на нем. Контекстом в этот раз будет объект foo. Ошибки не будет только потому, что у объекта foo есть свойство fullName
Сценарий 3: var bar = john.getName;
console.log(bar()); // undefined
В данном случае в стандартном режиме контекстом будет window, а в строгом режиме вылетит исключение:Cannot read property 'firstName' of undefined
так как this в строгом режиме будет ссылаться на undefined
Когда вы передаете метод в колбек onClick или в любой другой колбек события, вызов идет подобно третьему сценарию. Поэтому вы должны позаботиться о том, чтобы ваш метод не терял контекст, используя один из способов приведенных выше.

Худший ответ: Либо забинди хендлер либо стрелочную функцию, ты теряешь контекст