Вопрос: Зачем нужны отдельные классы для работы с БД?

Лучший ответ: На самом деле это интересный вопрос. А, точнее, два: зачем нужен такой класс, и зачем их пишут.
Ответ на первый становится очевиден, когда начинаешь не смотреть на код, а писать его ;) 
Практически все библиотеки, представленные в РНР, представляют в пользование программиста довольно низкоуровневые функции, которые позволяют, с одной стороны, довольно гибко управлять процессом, но с другой - делают этот процесс ну очень многословным. Самый яркий пример - CURL. Никто, находясь в здравом уме, не будет писать все время эти бесконечные curlopt. Надо пилить библиотеку, которая реализует стандартные методы пост, гет за один вызов, и только для исключительных случаев позволяет задать кастомные параметры.
То же самое касается и работы с БД. К примеру, очень часто нам бывает нужно получить из БД массив. Сколько строк нужно написать для этого? Классическим говнокодом - 5:$ret = array();
$res = mysql_query();
while ($row = mysql_fetch_assoc($res)) {
    $ret[] = $row;
}
И такой код надо написать раз 15-20 за приложение. У программиста сразу руки зачешутся уничтожить этот повторяющийся код и написать функцию, которой передаешь запрос, а получаешь массив. За 1 вызов. Вот для этого библиотеки и пишут.
Но в здесь мы подходим ко второй причине. Дело в том, что "классический говнокод" из видеоуроков всегда очень упрощен. Авторы видеоуроков не знают, что для работы с БД надо делать миллион дополнительных действий - от обработки ошибок до защиты от инъекций. И если все эти действия выполнять вручную, то времени больше ни на что не останется - придется снова и снова переписывать одни и те же тонны кода для каждого запроса. 
Возьмем для примера код примера из мануала. Даже выкинув из него очевидные глупости, мы получаем пол-дюжины строк кода. Это на ОДИН запрос.if ($stmt = $mysqli->prepare("SELECT District FROM City WHERE Name=?")) {
    $stmt->bind_param("s", $city);
    $stmt->execute();
    $stmt->bind_result($district);
    $stmt->fetch();
}
И это все - чтобы получить единственную строчку! 
В то время как с помощью (нормальной) библиотеки вся работа с БД сведется к 1 (одной) строчке, а все необходимые телодвижения будут выполнены библиотекой автоматически:$distr = $db->getOne("SELECT District FROM City WHERE Name=?", $city);
Теперь перейдем ко второму вопрос - зачем их пишут.
Самый основной мотив - "шоб було!" "У всех есть - значит, и у меня будет!". При этом, подходя к написанию библиотеки, новички наступают на одни и те же грабли. 
Чаще всего, из-за недостатка опыта авторов, код сокращается только для самых примитивных запросов. Но при этом работа с нестандартными запросами превращается в ад. Но самое ужасное - практически никогда такие самописные библиотеки не поддерживают работу с подготовленными выражениями. А это должно быть их главной фичей, без которых ценность сразу стремится к нулю. А точнее, даже к минусу, потому что инъекции.  Ну и по мелочи: к примеру, если в коде действительно написано  $db->FetchArray(); - то это ужас, летящий на крыльях ночи, потраченной на отлов неочевидных ошибок .

Худший ответ: Это делается для автоматизации рутиных задач и возможности быстрой смены логики методов. 
+ при использовании синглитона, можно хранить версию актуального подключения к бд