Вопрос: Почему программа на С# при параллельном чтении одного и того же файла другой программой тихо завершается?

Лучший ответ: FileShare.ReadWrite
Ты же сам заблокировал ей доступ на запись. И смысл пустых catch не понятен.

Худший ответ: В обеих программах изменил открытие файла: добавил модификаторы доступа, убрал using. Уже около двух недель программа не вылетает. Вместо этого временами пишет в лог, что
 Ошибка записи базы System.IO.IOException Процесс не может получить доступ к файлу "*.xml", так как этот файл используется другим процессом.
Что на работу программы не влияет. Поэтому можно считать, что баг устранен.
Вот как теперь выглядит код в первой программе, которая читает и пишет файл:
string fileName = Chart.GenerateDataBaseFileName(DateTime.Now);
            //Прочитать данные из файла, записать в DataSet.
            Stream readStream = null;
            try 
            {
                readStream = File.Open(fileName, FileMode.OpenOrCreate, FileAccess.Read, FileShare.Read);
                dataSet_base.ReadXml(readStream); 
            } 
            catch (Exception ex) 
            {
                MainWindow.AddStringToLogFile("Ошибка чтения базы " + ex.GetType() + " " + ex.Message);
            }
            finally
            {
                readStream?.Dispose();
            }
            //Записать в DataSet текущие показатели датчиков.
            try
            {
                dataSet_base.Tables[0].Rows.Add
                (
                    DateTime.Now.ToString("t"),
                    KND_2.StateSensors.Tsens, KND_2.StateSensors.Psens
                );
            }
            catch
            {
                MainWindow.AddStringToLogFile("Ошибка в сборе данных.");
            }
            //Записать полученные данные в файл.
            Stream writeStream = null;
            try
            {
                writeStream = File.Create(fileName);
                dataSet_base.WriteXml(writeStream);
            }
            catch (Exception ex)
            {
                MainWindow.AddStringToLogFile("Ошибка записи базы " + ex.GetType() + " " + ex.Message);
            }
            finally
            {
                writeStream?.Dispose();
            }
            //Сохранить настройки окна (все чекбоксы, настройки, выборы.)
            SaveDataSC(null, null);
А вот как во второй, которая только читает:
private bool ReadXmlFromStream(ref DataSet dataSetObj, string filePath)
        {
            //Очистить данные, оставшиеся с предыдущей записи.
            dataSetObj.Clear();
            //Прочитать данные из файла, записать в DataSet.
            Stream stream = null;
            try
            {
                stream = File.Open(filePath, FileMode.Open, FileAccess.Read, FileShare.Read | FileShare.Write | FileShare.ReadWrite | FileShare.Delete);
                dataSetObj.ReadXml(stream);
            }
            catch(Exception ex)
            {
                stream?.Dispose();
                Console.WriteLine("catch {0} {1} {2}", DateTime.Now.ToString("G"), ex.GetType(), ex.Message);
                return false;
            }
            finally
            {
                stream?.Dispose();
            }
            return true;
        }