Вопрос: Какие проблемы решает качественный дизайн сайта?

Лучший ответ: Ну тут надо уточнить, что дизайн сайтов/приложений не является продуктом. Это услуга. 
"Картошка" - это продукт. "Доставка картошки" - это услуга. Вы предоставляете услуги, соответственно ставить вопросы надо исходя из понимая этого. 
Бизнес выбирает поставщика услуг по нескольким пунктам:Доступность - важно что бы было легко вас найти.Понимание проблем клиента - важно что бы поставщик услуг четко понимал как его деятельность скажется на нашем бизнесе.Скорость реакции сотрудников и их вежливость - тут думаю все понятно, если на  email отвечают неделями и на от*бись, то такой поставщик услуг не получит заказ.
В контексте вашего вопроса речь идёт о "Понимании проблем клиента".
И тут важнее не написать большой список, а выбрать конкретный пункт и давить на него. Объясню:
1. Увеличение продаж - на этот пункт вы влияете очень косвенно (ниже объясню почему). Потребитель больше будет смотреть на цену и скорость доставки, чем на форму кнопочки "Перейти в корзину". 
2. Привлечение внимания - это тоже не ваша работа. Привлекают внимание маркетологи. Клиент даст рекламу в директ, и она будет привлекать внимание. Если вы занимаетесь дизайном рекламных баннеров, то тогда можно говорить о привлечении внимания, но в контексте вашей деятельности вы привлечением внимания к продукту/услуге заказчика не занимаетесь.
3. Большая конкурентоспособность/отстройка от конкурентов - это тоже не про вас. Конкурентоспособность никак не соотносится с визуальной составляющей. Вы можете сделать идеальную упаковку для пиццы, но если её везут 3 часа, то никакой конкурентоспособности быть не может. 
Отстройка от конкурентов - это тоже не про вас. Немного погуглите про то что такое "отстройка от конкурентов", и поймете это. Отстраиваются на уровне позиционирования и бизнес процессов. Например вы открыли магазин продуктов возле дома. Через пол года рядом открывается пятерочка. Вы начинаете проседать по доходам, потому что пятерка дает лучшую выходную цену для клиента, и тогда вы решаете отстроится от конкурента, убираете весь ассортимент и становитесь магазином "Колбасы от Васи". И расставляете на прилавке 1 вид продукта, но в широком ассортименте, который пятерочка никак не может себе позволить, потому что им не выгодно иметь широкий ассортимент одной товарной позиции. Вот это и есть отстройка. 
А теперь к важному. Продавайте "Повышение конверсии". И только это. 
Бизнес делает рекламу, тратит на это деньги, и тут появляетесь вы и говорите, мы можем сделать новый дизайн вашего сайта, уменьшить "боль" потребителя от использования, что повысит вашу конверсию на N процентов + увеличит кол-во повторных заказов от существующих клиентов. Повышение конверсии даст большую эффективность вашим рекламным затратам, потому что вы можете потратить 100500 миллионов денег, но если вся реклама будет вести на непродуманный, некрасивый и абсолютно неюзабельный лендинг - ваши деньги вылетят в трубу. Такая постановка вопроса будет очень понятна любому бизнесу. 
Так что вывод - переимуйте абстрактный пункт "Увеличение продаж" в более конкретный "Увеличение конверсии", и продавайте его.

Худший ответ: Правильный дизайн сайта с грамотно расположенными блоками: слоган вверху сайта, контакты, формы, отзывы, видео контент - повышают конверсию сайта. Созданный персональный стиль и дорого выглядящий современный дизайн повышают уровень доверия к компании. Лучше лаконичный дизайн, но полезная информация на сайте и чтобы все работало, и конечно же адаптивность к разным устройствам! Решает проблему конверсии нужно выбрать целевое действие на сайте, что нужно чтобы пользователь сделал: нажал кнопку заказать просчет, заказал обратный звонок, купить товар, все должно как бы подводить пользователя к этому.