Вопрос: Как работает парсинг сторонних ссылок?

Лучший ответ: Думаю, что на разных сайтах реализация различается, но вероятнее всего, подтягиваются метаданные конкретного ролика - что-то наподобие Open Graph protocol (у Ютьюба наверняка есть что-то подобное, начните с просмотра кода страницы), они парсятся, выбираются нужные. Их отображение - как вам понравится.

Картинки - по принципу https://img.youtube.com/vi/<youtube_video_id>/[0-3].jpg
ID - понятно, 0-3 - варианты размеров (выберите нужный).
Вот для вашего ролика: https://img.youtube.com/vi/bhUAIrV-PIc/0.jpg

Либо https://img.youtube.com/vi/<youtube_video_id>/default.jpg 
Вместо default.jpg можно подставлять mqdefault.jpg, sddefault.jpg, hqdefault.jpg и maxresdefault.jpg. Это тоже разное качество, но не у всех роликов есть все варианты.

Также загляните в API: https://developers.google.com/youtube/v3/
Но сейчас, по-моему, нужно получать ключ, просто так им не побалуешься.

Кстати, для 2-й версии API находится вот такой код: 
Get Youtube video details with JavaScript<script type="text/javascript" src="http://code.jquery.com/jquery-1.5.1.min.js"></script>
 <script type="text/javascript">
 var vidid = "bhUAIrV-PIc";
 function getYouTubeInfo() {
 $.ajax({
 url: "http://gdata.youtube.com/feeds/api/videos/"+vidid+"?v=2&alt=json&orderby=published&prettyprint=true",
 dataType: "jsonp",
 success: function (data) {parseresults(data)}
 });
 }
 function parseresults(data) {
 var ytvtit = data.entry.title.$t;
 var ytvcat = data.entry.media$group.media$category[0].label;
 var ytvpub = data.entry.published.$t.substr( 0, 10 );
 var ytvath = data.entry.author[0].name.$t;
 var ytvatl = data.entry.media$group.media$credit[0].$t;
 var ytvdur = data.entry.media$group.yt$duration.seconds;
 var ytvrta = data.entry.gd$rating.average.toFixed(1);
 var ytvrtm = data.entry.gd$rating.max;
 var ytvrtc = data.entry.gd$rating.numRaters;
 var ytvlks = data.entry.yt$rating.numLikes;
 var ytvdlk = data.entry.yt$rating.numDislikes;
 var ytvvwc = data.entry.yt$statistics.viewCount;
 var ytvfav = data.entry.yt$statistics.favoriteCount;
 var ytvcmc = data.entry.gd$comments.gd$feedLink.countHint;
 var ytvdes = data.entry.media$group.media$description.$t;
 var ytvurl = 'https://www.youtube.com/watch?v='+vidid;
 var ytvtmb0 = data.entry.media$group.media$thumbnail[0].url;
 $('#ytvtitle').html(ytvtit);
 $('#ytvcatgry').html(ytvcat);
 $('#ytvpublish').html(ytvpub);
 $('#ytvauthr').html('ytvath');
 $('#ytvduration').html(ytvdur + ' Seconds' );
 $('#ytvrtngavrg').html(ytvrta);
 $('#ytvrtngmax').html(ytvrtm);
 $('#ytvrtngcnt').html(ytvrtc);
 $('#ytvlks').html(ytvlks);
 $('#ytvdislks').html(ytvdlk);
 $('#ytvviewcount').html(ytvvwc);
 $('#ytvfavcount').html(ytvfav);
 $('#ytvthumb').html('
');
 $('#ytvcomment').html(ytvcmc);
 $('#ytvdescription').html(ytvdes);
 $('#ytvurl').html('Watch on YouTube');
 $('#ytvply').html('



');
 }
 $(document).ready(function () {
 getYouTubeInfo();
 });
 </script>

Худший ответ: Чисто моя теория:
1. При вставке ссылки (http/https) отрабатывает скрипт. Скрипт парсит данную ссылку.
2. Если ссылка ведёт к какому-нибудь популярному сайту, например, тот же ютуб, то он получает его идентификатор видео.
3. По API или ещё как-то он получает это видео и вставляет iframe какой-нибудь (у ютуба вроде есть свой iframe, точно не помню).
4. После этот Iframe вставляется чуть ниже сообщения, как на скриншоте.
Вроде всё. Есть конечно проблемы - как, например, сохранять такое же форматирование, но это другая уже тема.