Вопрос: Как правильно разработать CRM-систему с нуля с архитектурной точки зрения?

Лучший ответ: 1) На сколько верным было решением использовать node.js и mongo?
Вопрос во многом холиварный. CRM это по определению много-много реляционных данных. Хранить это в любом nosql - я лично считаю очень плохой идеей. Особенно когда через полгодика пойдут change request`ы и выяснится что вещи которые в реляционке делаются за пару минут в nosql могут потребовать изменения архитектуры хранения и занять человеко-недели.3) Сайтов у компании - масса, большая часть которых - лэндинги на чистых html с php-скриптом на почту. Все заказы ссылаются на единый gmail-ящик. Можно ли грабить эти данные из ящика, чтобы отправлять их в облако?
Можно. Но с учетом того что доставка email вообще говоря не гарантирована - завязывать один из ключевых бизнес процессов на это выглядит мягко говоря странно. По хорошему - сделать в вашей CRM, API наружу для формирования заказов и переписать все сайты для работы с ним.
* Странно что Ваш программист не может ответить на этот вопрос с закрытыми глазами4) Какие существуют удобные облачные сервисы, которые предоставляют API для node.js?
Я рискну предположить что ЛПР где то услышал про облака и ему понравилось. На полном серьезе отдавать весь бизнес контент во внешний сервис - это надо или полным идеалистом быть, или просто не понимать о чем речь идет. Только свои железные сервера, только физическое резервирование.5) Какова примерная стоимость подобного проекта в $ ?
Смотря где вы находитесь, насколько легально все это оформляете
В Мск приличного разработчика сейчас можно найти за 100-120 т.р. net, в регионах на 40-60 net (от региона зависит).
Сколько их нужно - без ТЗ сказать нереально, но думаю что оценка снизу это 3-4 разработчика 
+тимлид 100% +project manager 100% +аналитик на старте +дизайнер по желанию +devops на аутсорсе итд
PS Без обид, но ищите грамотного CTO который это все организует. Это в любом случае длинный проект, так что можно и в штат найти человека.

Худший ответ: 1) На сколько верным было решением использовать node.js и mongo?
Настолько, насколько вы их знаете.2) Если мы храним данные в облаке, то где мы храним само приложения? Как мы получаем доступ к нему(по url?) ?
В облаке хранятся и данные и сами сервисы для доступа к данным.
Доступ - как обычно - или через веб-интерфейс или через RESTful API.3) Сайтов у компании - масса, большая часть которых - лэндинги на чистых html с php-скриптом на почту. Все заказы ссылаются на единый gmail-ящик. Можно ли грабить эти данные из ящика, чтобы отправлять их в облако?
Да.
Включите там доступ по IMAP.4) Какие существуют удобные облачные сервисы, которые предоставляют API для node.js?
Heroku.
https://habrahabr.ru/sandbox/69602/5) Какова примерная стоимость подобного проекта в $ ?
Оно же разное бывает. Бывает заточенное узко. Бывает универсальное. Бывает много возможностей, бывает мало возможностей. Бывает по разному понимают слово "облачная" (вроде и используют облако, но зажимают деньги на дополнительные инстансы).
Я участвовал в разработке подобной системы. Как раз облачная.
10 разработчиков * 6 месяцев * 4000 долларов на человека - альфа-версия.
Еще 3 месяца - бета-версия.
Еще месяц - пре-релиз.
Итого 10*(6+3+1)*4000 = 400 000 долларов США и 10 месяцев только чтобы выйти на пре-релиз
Разработчики я имею ввиду - бекэнд, фронтенд, руководитель проекта, devops.
Чисто разработчиков 8 человек.