Вопрос: Как провести соответствие между строкой и классом с точки зрения SOLID?

Лучший ответ: Это всё очень плохо.
В первом варианте человек должен знать, как мяукают кошки, а в последнем "правильном" варианте человек трогает не кошку, а кошачий голос(?!).
В "идеальном" варианте опять же выбирается не животное, которое надо погладить, а его голос.

Чтобы следовать принципам солид, надо понять в первую очередь ЗАЧЕМ это всё делается. 
А делается это для того чтобы уменьшить связность.  Чтобы класс, использующий какой-либо функционал, не знал деталей его реализации. И, соответственно, мы могли бы менять реализацию без опасения поломать что-то в классе-пользователе. 

При этом extends, кроме как от абстрактного класса, эту связность всегда увеличивает.
И его надо избегать. А использовать принцип Composition over inheritance. То есть нужный функционал получать не наследованием, а передачей независимых функциональных модулей в виде параметров.

Соответственно, нам надо сделать иерархию: голос - животное - потрогать.
И вот теперь у нас хоть голос, хоть животное, будут открыты для каких угодно изменений, до тех пор пока они поддерживают публичный контракт.
/ ******* голоса *******/
abstract class VoiceEngine {
	public function getVoice() {}
}
class CatVoiceEngine extends VoiceEngine {
	public function getVoice() {
		return "Meow!";
	}
}
class DogVoiceEngine extends VoiceEngine {
	public function getVoice() {
		return "Bark!";
	}
}
class HumanVoiceEngine extends VoiceEngine {
	public function getVoice() {
		return "Да пошёл ты!";
	}
}
/ ******* животные *******/
abstract class Animal {
	public function __construct(public VoiceEngine $voiceEngine) {}
	public function say() {
		echo $this->voiceEngine->getVoice();
	}
}
class Cat extends Animal{}
class Dog extends Animal{}
class Human extends Animal{
	public function touchAnimal(Animal $animal) {
		$animal->say();
	}
}
/ ******* исполнение *******/
$cat = new Cat(new CatVoiceEngine());
$dog = new Dog(new DogVoiceEngine());
$human = new Human(new HumanVoiceEngine());
$human->touchAnimal($cat);
$human->touchAnimal($dog);
$human->touchAnimal($human);

После того как я, раздуваясь от гордости, написал этот ответ, до меня вдруг дошло что на вопрос-то я так и не ответил. 
Соответственно, задачу выбора животного возлагаем на отдельную сущность:

class AnimalFactory {
    public static function create($type) {
        return match($type) {
            'cat' => new Cat(new CatVoiceEngine()),
            'dog' => new Dog(new DogVoiceEngine()),
            'human' => new Human(new HumanVoiceEngine()),
        };
    }
}
$human = new Human(new HumanVoiceEngine());
$human->touchAnimal(AnimalFactory::create('cat'));
В итоге мы вернулись к тому же кейсу (match - это улучшенный case), но при этом у нас всё разделено, и каждый класс занимается строго своим делом.

Худший ответ: Если уж совсем идеально, то:
interface Voice {
  void say();
}

class Dog implements Voice { ... }
class Cat implements Voice { ... }

interface VoiceFactory {
  Voice getVoice(String voiceType);
}

class VoiceFactoryImpl implements VoiceFactory {
  private Map<String, Supplier<Voice>> suppliers = new HasMap<>();
  
  void addSupplier(String type, Supplier<Voice> supplier) { suppliers.put(type, supplier); }

  @Override
  Voice getVoice(String type) {
    final Supplier<Voice> supplier = suppliers.get(type);
    if (supplier != null) {
      return supplier.get();
    } else {
      throw new RuntimeException("No supplier for type: "+type);
    }
  }
}

Класс VoiceFactoryImpl выполняет принцип OCP - открыт для дополнений через метод addSupplier, в него можно добавлять новые сопоставления строка - животное и закрыт для изменений.